harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { \mathrm { ( i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( i i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 3 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( i i i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( i v ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( v ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( v i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( v i i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} , \{ 3 \} ) , } \\ & { \mathrm { ( v i i i ) } } & { ( s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 2 3 } , t _ { 1 2 } , t _ { 1 3 } , t _ { 2 3 } ) = ( \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} , \{ 4 \} , \{ 4 \} , \{ 3 \} ) , } \end{array}
{ \frac { n ! ( n + 1 ) ^ { z } } { z ( z + 1 ) \cdots ( z + n ) } } = { \frac { ( 2 / 1 ) ^ { z } ( 3 / 2 ) ^ { z } ( 4 / 3 ) ^ { z } \cdots ( ( n + 1 ) / n ) ^ { z } } { z ( 1 + z ) ( 1 + z / 2 ) ( 1 + z / 3 ) \cdots ( 1 + z / n ) } } = { \frac { 1 } { z } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { ( 1 + 1 / k ) ^ { z } } { 1 + z / k } } , \quad z \in \mathbb { C } \setminus \mathbb { Z } _ { 0 } ^ { - }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { Z } _ { \mathrm { r , t s } } = \mathbf { F } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { N _ { \mathrm { c } } } \mathbf { Z } _ { \mathrm { f , t s } } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { \mathrm { T x } } - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \mathrm { p a t h } } - 1 } \bar { a } _ { i , k } \mathbf { u } _ { N _ { \mathrm { c } } } ^ { * } ( \bar { \tau } _ { i , k } ) \mathbf { d } _ { N _ { \mathrm { s y m } } } ^ { T } \left( \frac { \Delta \psi _ { k } } { 2 \pi } + \bar { f } _ { \mathrm { D } _ { i } } \alpha \right) . } \end{array}
\xi = \xi - \pi ^ { * } x _ { p } + \pi ^ { * } x _ { p } , \: \: \: \: \: \upsilon = \upsilon - \pi ^ { * } y _ { p } + \pi ^ { * } y _ { p } , \: \: \: \: \: \zeta = \zeta - \pi ^ { * } z _ { p } + \pi ^ { * } z _ { p }
\begin{array} { r } { \alpha _ { S } ^ { E 2 } ( \omega ) = \frac { 1 } { ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } \sum _ { n \pm } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle n _ { 0 } J _ { 0 } \| T _ { E 2 } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \hat { H } } _ { 6 } = 2 \mu _ { B } \sum _ { i } \left[ \mathbf { H } ( \mathbf { r } _ { i } ) \cdot \mathbf { s } _ { i } + { \frac { q _ { i } } { m _ { i } c } } \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { i } ) \cdot \mathbf { \hat { p } } _ { i } \right]
\Delta _ { g } ( r , k ^ { 2 } , k ^ { + \, 2 } ) \; = \; \exp \left\{ - \, \int _ { k ^ { 2 } } ^ { k ^ { + \, 2 } } \frac { d k ^ { ' \, 2 } } { k ^ { ' \, 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \; A ( r , z , k ^ { ' \, 2 } ) \; \left( \, \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { g } ^ { g g } ( z , \epsilon ) \, + \, \, \gamma _ { g } ^ { q q } ( z , \epsilon ) \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d z } \left[ \prod _ { j } \left( z \prod _ { \nu } H _ { { j } \leftarrow \nu } ( z ) \right) \right] = } & { { } \ \prod _ { j } \left( z \prod _ { \nu } H _ { { j } \leftarrow \nu } ( z ) \right) \left[ \sum _ { j } \left( z \prod _ { \nu } H _ { { j } \leftarrow \nu } ( z ) \right) ^ { - 1 } \right. } \end{array}
\eta _ { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } m _ { k , \sigma } \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \mu _ { \sigma } } = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \mu _ { \sigma } } \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \textbf { T r } \left( \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ^ { \prime } , \mathbf { Q } ; \beta ) } & { \propto } & { \int \sqrt { \tilde { g } ^ { \prime \prime } } d \mathbf { Q } ^ { \prime \prime } \, \rho _ { F } ( \mathbf { Q } ^ { \prime \prime } , \mathbf { Q } ; 0 ) \times } \\ & { } & { \oint _ { \mathbf { Q } ^ { \prime \prime } \to \mathbf { Q } ^ { \prime } \in \gamma _ { 0 } ( \mathbf { Q } ) } { \cal D } \mathbf { Q } ^ { \prime \prime \prime } \, e ^ { - S [ \mathbf { Q } ^ { \prime \prime \prime } ] / \hbar } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } = 0 ) d x = - \frac { \nu _ { t h } } { 4 M } \kappa ^ { 2 } = - \frac { 2 m _ { \pi } M + m _ { \pi } ^ { 2 } } { 8 M ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 }
\mathbf { k } _ { n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } } = k _ { n _ { x } } \mathbf { \hat { x } } + k _ { n _ { y } } \mathbf { \hat { y } } + k _ { n _ { z } } \mathbf { \hat { z } } = { \frac { n _ { x } \pi } { L _ { x } } } \mathbf { \hat { x } } + { \frac { n _ { y } \pi } { L _ { y } } } \mathbf { \hat { y } } + { \frac { n _ { z } \pi } { L _ { z } } } \mathbf { \hat { z } } .
\begin{array} { r l } & { - 4 \nu \int _ { - \infty } ^ { \infty } \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma + \mu _ { 1 } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) \chi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) d \sigma } \\ & { \geq - \mu _ { 1 } g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ^ { \prime } ( \sigma ) \chi _ { \epsilon } ( \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) ) d \sigma \geq - 2 \mu _ { 1 } g ( r ) \| \mathcal { W } ( t ; r , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } - 2 \mu _ { 1 } g ( r ) f _ { \epsilon } ( r ) . } \end{array}
x _ { 1 6 } = \frac { - \frac { 4 \sqrt [ 3 ] { - 1 } 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } { \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 } } + 4 ( - 1 ) ^ { 2 / 3 } \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 } + 4 0 } { 1 2 \zeta } .
( \mathcal { R } ^ { i } ) _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ \begin{array} { c c c c } { s ( r _ { i j } ) } & { \frac { s ( r _ { i j } ) x _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { s ( r _ { i j } ) y _ { i j } } { r _ { i j } } } & { \frac { s ( r _ { i j } ) z _ { i j } } { r _ { i j } } } \end{array} \} , } & { \mathrm { f u l l } , } \\ { \{ \begin{array} { c } { s ( r _ { i j } ) } \end{array} \} , } & { \mathrm { r a d i a l - o n l y } , } \end{array} \right.
F _ { _ { ( 1 ) } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 3 \alpha ^ { 2 } - k } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { k - 3 \alpha ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right] \; .
\left[ \begin{array} { l l } { F _ { j , j } } & { F _ { j , j + 1 } } \\ { F _ { j + 1 , j } } & { F _ { j + 1 , j + 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \lambda _ { j } ) } & { \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \lambda _ { j } ) } \\ { - \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \lambda _ { j } ) } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ } ( \lambda _ { j } ) } \end{array} \right] ,
2 ( 1 - { \cal G } _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \left\{ { \cal G } _ { 3 } , \tau \right\} = - \left( 3 + { \cal G } _ { 3 } ^ { 2 } \right) \left( \partial _ { \tau } { \cal G } _ { 3 } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \epsilon _ { \mathrm { e m i t } } = \operatorname* { m i n } { \left[ 2 . 1 5 4 3 \times 1 0 ^ { - 3 } \left( \frac { a } { 1 ~ \mu \mathrm { ~ m ~ } } \right) ^ { 0 . 8 2 5 3 } , 1 \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { p } \bar { g } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \nabla _ { p } \tilde { g } ^ { [ i ] } , \; \; \nabla _ { p } \tilde { g } ^ { [ i ] } = \mathbf { \tilde { g } } _ { p } ^ { [ i ] } - \mathbf { r } ^ { [ i ] , T } \mathbf { f } _ { p } ^ { [ i ] } , \; \; \mathbf { r } ^ { [ i ] } = J ^ { [ i ] , - T } \mathbf { \tilde { g } } _ { x } ^ { [ i ] , T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } } & { { } = 0 } \\ { Q _ { k } } & { { } = Q _ { k - 1 } + { \frac { k - 1 } { k } } \left( x _ { k } - A _ { k - 1 } \right) ^ { 2 } = Q _ { k - 1 } + \left( x _ { k } - A _ { k - 1 } \right) \left( x _ { k } - A _ { k } \right) } \end{array}
\int \frac { d p _ { 0 } } { 2 \pi i } \frac { - 1 } { ( p _ { 0 } - E _ { p } ) ( p _ { 0 } + E _ { p } ) } e ^ { - i p _ { 0 } x _ { 0 } } = - 2 \pi i ( \frac { 1 } { 2 E _ { p } * 2 \pi i } e ^ { - i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { 2 E _ { p } * 2 \pi i } e ^ { i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } ) + \pi i ( \frac { 1 } { 2 E _ { p } * 2 \pi i } e ^ { - i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { 2 E _ { p } * 2 \pi i } e ^ { i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } ) = \frac { 1 } { 4 E _ { p } } e ^ { - i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } - \frac { 1 } { 4 E _ { p } } e ^ { i E _ { p } ( x _ { 0 } ) } .
\Omega ^ { ( 1 ) } [ \{ \nu _ { i \alpha } \} , \{ c _ { i \alpha } \} ] = - \frac { 1 } { \beta } \sum _ { i \alpha } c _ { i \alpha } \ln c _ { i \alpha } - \sum _ { i \alpha } \nu _ { i \alpha } c _ { i \alpha } + \langle \Omega _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } \rangle _ { 0 } [ \{ c _ { i \alpha } \} ] ,
\mathrm { F . T . } \langle \mathrm { T } j _ { \mu } ( x ) j _ { \nu } ( y ) \rangle _ { c , \phi } = i v ^ { 2 } { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } } + \mathrm { l o o p ~ d i a g r a m s } ,
F _ { k l } ^ { + + } = - \frac { 2 \mathcal { N } I _ { k } I _ { l } v ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { k } - \phi _ { l } ) } { 2 + v ^ { 2 } \cos ( \phi _ { k } - \phi _ { l } ) } ~ , ~ ~ k \neq l
\Psi \left( \boldsymbol { F } , \Gamma _ { 0 } \right) = \int _ { \Omega _ { 0 } } W ( \boldsymbol { F } ) \ \mathrm { d } \Omega _ { 0 } + \int _ { \Gamma _ { 0 } } \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } \ \mathrm { d } \Gamma _ { 0 }
V _ { E } ( \beta , L , \phi ) = \mu ^ { 4 } \biggl ( 2 \pi ^ { 2 } c ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \pi ^ { 2 } g \phi ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 \mu ^ { 2 } } \delta m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } \delta \lambda \phi ^ { 4 } \biggr ) + G _ { E } ( \beta , L , \phi )
p \left( \begin{array} { l } { H _ { 0 } } \\ { H _ { - } } \\ { G _ { + } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { - \eta k ^ { 2 } } & { k } & { i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } k } & { - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } ( - 1 + k ^ { 2 } ) } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) } & { - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { H _ { 0 } } \\ { H _ { - } } \\ { G _ { + } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { : = - \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } ( x _ { j } - C _ { j i } ) ^ { 2 } + \beta _ { i } \right) , } \\ { \beta } & { = \frac { 1 } { 1 0 } ( 1 , 2 , 2 , 4 , 4 , 6 , 3 , 7 , 5 , 5 ) ^ { \top } , } \\ { \textbf { C } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 4 . 0 } & { 1 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 3 . 0 } & { 2 . 0 } & { 5 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 7 . 0 } \\ { 4 . 0 } & { 1 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 7 . 0 } & { 9 . 0 } & { 3 . 0 } & { 1 . 0 } & { 2 . 0 } & { 3 . 6 } \\ { 4 . 0 } & { 1 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 3 . 0 } & { 2 . 0 } & { 5 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 7 . 0 } \\ { 4 . 0 } & { 1 . 0 } & { 8 . 0 } & { 6 . 0 } & { 7 . 0 } & { 9 . 0 } & { 3 . 0 } & { 1 . 0 } & { 2 . 0 } & { 3 . 6 } \end{array} \right) , } \end{array}
0 = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \, g _ { 2 } ( x , \, Q ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, g _ { 2 } ( x , \, Q ^ { 2 } ) - \frac { \tau } { 2 } F _ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) G _ { M } ( Q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r c l } { \Delta \bar { D } _ { t } ^ { w } } & { = } & { \Delta D _ { t } ^ { w } + \Delta E D _ { t } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ = ~ 7 ~ k ~ a ~ n ~ d ~ k ~ = ~ 1 ~ , ~ 2 ~ , ~ \dots ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { F } _ { M } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } F _ { M } ( s ) d s \le \int _ { 0 } ^ { t } ( \varphi _ { \omega _ { M } } ( s ) + D ) d s = \widetilde { \varphi } _ { \omega _ { M } } ( t ) + D t \le \varphi _ { \omega _ { M } } ( k t ) + D t } \\ & { \le F _ { M } ( k t ) + D t + C \le 2 F _ { M } ( k t ) \le F _ { M } ( 2 k t ) . } \end{array}
\psi _ { + } = \Lambda ^ { + } \psi = \left[ \begin{array} { l } { { \xi } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] ~ ~ , ~ ~ \psi _ { - } = \Lambda ^ { - } \psi = \left[ \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \left( \frac { 1 } { i \partial ^ { + } } \right) [ \tilde { \sigma } ^ { i } ( i \partial ^ { i } + g A ^ { i } ) + i m ] \xi } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { f \left( r , \theta , z , t \right) = f \left( - r , \theta \pm \pi , z , t \right) , } \\ { g _ { r } \left( r , \theta , z , t \right) = - g _ { r } \left( - r , \theta \pm \pi , z , t \right) , } \\ { g _ { \theta } \left( r , \theta , z , t \right) = - g _ { \theta } \left( - r , \theta \pm \pi , z , t \right) , } \\ { g _ { z } \left( r , \theta , z , t \right) = g _ { z } \left( - r , \theta \pm \pi , z , t \right) , } \end{array}
\ddot { \phi } + \frac { 3 \dot { a } } { a } \dot { \phi } = \eta \dot { \phi } ^ { 2 } \frac { f ^ { \prime } } { 1 + 2 \eta f } + \eta \frac { \Lambda } { 2 \pi G } \frac { f ^ { \prime } ( 1 + 2 \eta f ) } { ( 1 + 4 \eta f ) ^ { 2 } }
m _ { i , d } \frac { d v _ { i , d , y } ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } = m _ { i , d } \frac { d v _ { i , d , y } ^ { \prime } } { d y ^ { \prime } } v _ { i , d , y } ^ { \prime } = Z _ { d } e E _ { y } \ ,
\begin{array} { r l } { W } & { { } = W _ { 1 } \cdot W _ { 2 } } \\ { W _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 0 ( s + \omega _ { n 1 } ^ { 2 } ) } { s ^ { 2 } + 2 \zeta _ { 1 } \omega _ { n 1 } s + \omega _ { n 1 } ^ { 2 } } , \; \; W _ { 2 } = \frac { 1 0 ( s + \omega _ { n 2 } ^ { 2 } ) } { s ^ { 2 } + 2 \zeta _ { 2 } \omega _ { n 2 } s + \omega _ { n 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\delta _ { \varepsilon } I _ { c s } = \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { D \times R } \mathrm { T r } d ( \varepsilon d A ) = \frac { i k } { 4 \pi } \int _ { D \times R } \mathrm { T r } d ( \varepsilon ( F - A ^ { 2 } ) ) .
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { c f } } ( \mathbf { r } ) } & { { } \propto \int d \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } \int d \mathbf { k } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } A ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \tilde { U } _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a b a } & { { } = - a b ( 1 - a ) - a ( 1 - b ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { a ^ { 2 } b } & { { } = - a ^ { 2 } ( 1 - b ) - a ( 1 - a ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { b a ^ { 2 } } & { { } = - b a ( 1 - a ) - b ( 1 - a ) - ( 1 - b ) + 1 . } \end{array}
R = R _ { h } + \frac { e ^ { - 2 \Phi _ { h } } } { 8 K R _ { h } ^ { 2 } } \left( 1 6 R _ { h } ^ { 4 } - 4 R _ { h } ^ { 2 } ( w _ { h } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } - ( w _ { h } ^ { 3 } - 3 w _ { h } + 4 \kappa ) ^ { 2 } \right) r + { \cal O } ( r ^ { 2 } ) \, .
\langle F \rangle _ { \phi } = \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi } \frac { 1 } { \Delta \Tilde { V } } \frac { N _ { p h } } { N _ { m } } \int _ { \Delta \Tilde { V } } d ^ { 3 } \Vec { R } \int d \phi \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { m } } w _ { p } \delta ( \Vec { R } - \Vec { R } _ { p } ) \delta ( \Vec { v } - \Vec { v } _ { p } ) X ,
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal H } _ { \mathrm { X L - B O M D } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { I } { \dot { R } } _ { I } ^ { 2 } + { \cal U } ( { \bf R } , { \bf X } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { I } { \dot { R } } _ { I } ^ { 2 } + 2 \mathrm { T r } \left[ { \bf h } { \bf D } [ { \bf X } ] \right] + \mathrm { T r } \left[ \left( 2 { \bf D } [ { \bf X } ] - { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) { \bf G } \left( { \bf X } { \bf S } ^ { - 1 } \right) \right] - T _ { e } { \cal S } ( { \bf f } ) + V _ { n n } ( { \bf R } ) } . } \end{array}
\langle \eta _ { \mu } ( t ) \eta _ { \nu } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { d } \gamma ^ { 2 } v _ { p } ^ { 2 } \delta _ { \mu , \nu } \exp { \left( - \frac { | t - t ^ { \prime } | } { \tau _ { A } } \right) }
\begin{array} { r } { \left\lVert u \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) } + \left\lVert ( \partial _ { t } u , \nabla ^ { 2 } u ) \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) } \lesssim _ { p , q , s , n } \left\lVert f \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { q } ( ( 0 , T ) , \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) } + \left\lVert u _ { 0 } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { 2 + s - \frac { 2 } { q } } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W _ { \mathrm { p a i r } } } { \mathrm { d } \varepsilon _ { + } \mathrm { d } t } = 2 W _ { 0 } \left\{ \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( \rho ) + \frac { \varepsilon _ { - } ^ { 2 } + \varepsilon _ { + } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { - } \varepsilon _ { + } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) - \xi _ { 3 } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( \rho ) \right\} .
\begin{array} { r } { T _ { \varphi } ^ { \mu \nu } = 2 \, e ^ { - 1 } \frac { \delta \left( e \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } \right) } { \delta g _ { \mu \nu } } = 2 \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } \, e ^ { - 1 } \frac { \delta e } { \delta g _ { \mu \nu } } + 2 \frac { \delta \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } = 2 \frac { \delta \overline { { \mathcal { L } } } _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } = 2 \, \varphi ^ { \dag } \frac { \delta A _ { \varphi } } { \delta g _ { \mu \nu } } \varphi } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { H _ { n } } \\ { P _ { n } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { H _ { n - 1 } } \\ { P _ { n - 1 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } ^ { n } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { \vec { \mathcal { E } } _ { \ell } ^ { \mathrm { \, s } } ( k _ { x } , k _ { y } , 0 ) = \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, s } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \left( - k _ { x } x _ { \ell } - k _ { y } y _ { \ell } + k _ { \mathrm { e } } ( z _ { \ell } - a ) + 2 k _ { \mathrm { m } } a \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \big ( g _ { j } ^ { + } ( \kappa , \alpha ) \Phi _ { j } ^ { + } + g _ { j } ^ { - } ( \kappa , \alpha ) \Phi _ { j } ^ { - } \big ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } ,
\displaystyle \mathcal { A } _ { D } ^ { k } [ \Phi ] ( \mathbf { x } ) : = \int _ { \partial D } \Gamma _ { k } ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \Phi ( \mathbf { y } ) ~ \mathrm { d } s _ { \mathbf { y } } , \quad \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \partial B .
{ \bf F } = \left( \begin{array} { c c } { { \left\{ \gamma \cdot { \partial } - \mu \gamma _ { 4 } \right\} \delta ( x - y ) + { \bf M } _ { O } \Sigma ( x , y ) } } & { { i \Gamma ^ { \dagger } ( x , y ) C ^ { T } { \bf M } _ { C } } } \\ { { i C ^ { T } \Gamma ( x , y ) { \bf M } _ { C } } } & { { \left\{ \gamma \cdot { \partial } + \mu \gamma _ { 4 } \right\} \delta ( x - y ) + { \bf M } _ { O } \Sigma ( x , y ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = \bigg ( ( \beta + 1 ) ( 1 9 \lambda + 1 6 ) x _ { 3 } \big ( - 3 5 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 1 } ^ { 4 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \big ( - 3 \big ( 4 2 ( \beta - 1 ) \lambda ^ { 2 } + ( 2 8 1 \beta + 7 1 ) \lambda + 1 6 7 \beta + 4 1 \big ) } \\ & { + 1 0 5 0 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 2 } - 3 5 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } \big ) - 3 5 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 2 } ^ { 4 } + x _ { 2 } ^ { 2 } \big ( 3 \lambda ( 7 1 \beta - 4 2 ( \beta - 1 ) \lambda ) } \\ & { + 1 2 3 \beta + 8 4 3 \lambda + 3 5 ( \beta + 1 ) ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } + 5 0 1 \big ) + 2 ( \beta + 1 ) \big ( x _ { 3 } ^ { 2 } - 1 \big ) \big ( 2 7 ( \lambda - 1 ) + 3 5 ( \lambda + 1 ) x _ { 3 } ^ { 2 } \big ) \big ) \bigg ) \Bigg / ( 1 2 6 0 ( \lambda + 1 ) ^ { 3 } ) . } \end{array}
e _ { m + 1 , 0 } ^ { ( a ) } e _ { n , 0 } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } e _ { m , 0 } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 , 0 } ^ { ( b ) } = ( - 1 ) ^ { | a | | b | } \left( H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } e _ { n , 0 } ^ { ( b ) } e _ { m + 1 , 0 } ^ { ( a ) } - H _ { 2 } ^ { - M _ { a b } } e _ { n + 1 , 0 } ^ { ( b ) } e _ { m , 0 } ^ { ( a ) } \right) ,
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d p \; a _ { \varepsilon ^ { \prime } } ^ { * } ( p ) \; a _ { \varepsilon } ( p ) = | C | ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p \; \exp \left[ \frac { i } { \hbar F } \left( \varepsilon - \varepsilon ^ { \prime } \right) p \right] = \delta ( \varepsilon - \varepsilon ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { K _ { S } ( l ^ { \prime } , l ) } & { \equiv z C _ { S } ( l ^ { \prime } ) e ^ { - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \theta ( l ^ { \prime } - l _ { m i n } ) } \\ { K _ { A } ( l ^ { \prime } , l ) } & { \equiv 2 z C _ { A } ( 2 l ^ { \prime } - l ) e ^ { - \beta ( 2 l ^ { \prime } - l ) } \theta ( l ^ { \prime } - l _ { m i n } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { 0 } B _ { 1 } { } ^ { 0 } C _ { 0 0 } + A ^ { 0 } B _ { 1 } { } ^ { 1 } C _ { 1 0 } + A ^ { 0 } B _ { 1 } { } ^ { 2 } C _ { 2 0 } + A ^ { 0 } B _ { 1 } { } ^ { 3 } C _ { 3 0 } + D ^ { 0 } { } _ { 1 } { } E _ { 0 } } & { { } = T ^ { 0 } { } _ { 1 } { } _ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } B _ { 0 } { } ^ { 0 } C _ { 0 0 } + A ^ { 1 } B _ { 0 } { } ^ { 1 } C _ { 1 0 } + A ^ { 1 } B _ { 0 } { } ^ { 2 } C _ { 2 0 } + A ^ { 1 } B _ { 0 } { } ^ { 3 } C _ { 3 0 } + D ^ { 1 } { } _ { 0 } { } E _ { 0 } } & { { } = T ^ { 1 } { } _ { 0 } { } _ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } B _ { 2 } { } ^ { 0 } C _ { 0 2 } + A ^ { 1 } B _ { 2 } { } ^ { 1 } C _ { 1 2 } + A ^ { 1 } B _ { 2 } { } ^ { 2 } C _ { 2 2 } + A ^ { 1 } B _ { 2 } { } ^ { 3 } C _ { 3 2 } + D ^ { 1 } { } _ { 2 } { } E _ { 2 } } & { { } = T ^ { 1 } { } _ { 2 } { } _ { 2 } . } \end{array}