harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e _ { a } = F _ { a b } U ^ { b } \; , \; \; b _ { a } = \frac { 1 } { 2 } { \varepsilon } _ { a b c } F ^ { b c } \; , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } { \varepsilon } _ { a b c } = { \varepsilon } _ { d a b c } U ^ { d } \; .
V = { \frac { \mathrm { c } } { n } } + { \frac { v \left( 1 - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) } { 1 + { \frac { v } { c n } } } } \approx { \frac { \mathrm { c } } { n } } + v \left( 1 - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { < \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { \big ( f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) + \frac { \big ( f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \left( 1 - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \right) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { 3 } } & { \leq \boldsymbol { \nu } ^ { T } ( \Lambda \left( \boldsymbol { x } \right) - \nabla \Psi ^ { * } \left( \boldsymbol { \sigma } \right) + \nabla \varphi ( \boldsymbol { \sigma } ) - \boldsymbol { \nu } ) - \| \boldsymbol { \nu } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \| \boldsymbol { \nu } \| ^ { 2 } + p _ { 2 } \| \boldsymbol { \nu } \| = - 2 V _ { 3 } + p _ { 2 } \sqrt { 2 V _ { 3 } } , } \end{array}
\langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + u ) v , v \rangle \ge \gamma \| v \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad v \in \mathbb { V } \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \| u \| _ { \mathbb { V } } < \delta ^ { \prime } .
{ \frac { d { \phi _ { \alpha } } } { d s } } \approx \tilde { \mu } \left\{ \phi _ { \alpha } , \ \pi _ { t } + H _ { 0 } \right\} _ { q , p , t , \pi _ { t } } + { \tilde { \lambda } } ^ { \beta } \left\{ \phi _ { \alpha } , \ \phi _ { \beta } \right\} \approx 0 ,
\begin{array} { r l } { A ^ { \mathcal { Y } } ( \mathcal { U } , \mathcal { V } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha - \varepsilon } \mathfrak { A } _ { x } \nabla \mathcal { U } \cdot \nabla \mathcal { U } d y d x + \varepsilon \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } y ^ { \alpha } \mathfrak { A } \nabla _ { x } \mathcal { U } \int _ { 0 } ^ { y } \tau ^ { - \varepsilon - 1 } \nabla _ { x } \mathcal { U } ( \tau ) d \tau \, d y d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } = \sum _ { n } } & { } & { t _ { 2 } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 1 } , n } + t _ { 1 } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 2 } , n } + } \\ & { } & { t _ { 1 } ^ { \prime } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 3 } , n - 1 } + t _ { 2 } ^ { \prime } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 4 } , n - 1 } + } \\ & { } & { t _ { 1 } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 1 } , n } + t _ { 2 } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 2 } , n } + } \\ & { } & { t _ { 2 } ^ { \prime } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 3 } , n } + t _ { 1 } ^ { \prime } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 4 } , n } + } \\ & { } & { - \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } - \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { L E 2 } , n } + } \\ & { } & { \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { C T 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 1 } , n } + \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { C T 2 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 2 } , n } + } \\ & { } & { \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { C T 3 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 3 } , n } + \frac { d } { 4 } a _ { \mathrm { C T 4 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 4 } , n } + } \\ & { } & { + \ h . c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { s } } & { { } = \eta _ { s } \cdot \eta _ { f i l t e r , s } \cdot R _ { S P D C } } \\ { R _ { i } } & { { } = \eta _ { i } \cdot \eta _ { f i l t e r , i } \cdot R _ { S P D C } } \\ { R _ { s \wedge i } } & { { } = \eta _ { s } \cdot \eta _ { f i l t e r , s } \cdot \eta _ { i } \cdot \eta _ { f i l t e r , i } \cdot R _ { S P D C } , } \end{array}
( Q _ { n } ^ { * } ) ^ { - 1 } e _ { k , \ell } ^ { n } ( z ) = \alpha _ { n } ^ { - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { \ell } { \binom { \ell } { m } } ( z ) _ { \ell - m } \left( \frac { u _ { k } ( n ) } { \theta } \right) ^ { z } \frac { \mathrm { d } ^ { m } } { \mathrm { d } w ^ { m } } \left( \frac { v _ { n } - w } { w a _ { n - 1 } ( w ) } \right) \bigg | _ { w = u _ { k } ( n ) } .
j _ { 0 } ( \Psi ) = \Psi ^ { * } \Psi ~ ~ ~ , ~ ~ ~ j _ { i } ( \Psi ) = - { \frac { i } { 2 m } } \left( \Psi ^ { * } \partial _ { i } \Psi - \partial _ { i } \Psi ^ { * } \Psi \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mu } \cdot \left( B - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \beta _ { t } \right) } & { \leq \tilde { \mu } \cdot \left( r ( T ) + B - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lambda _ { t } \right) } \\ & { = \tilde { \mu } \cdot r ( T ) + \tilde { \mu } \cdot \left( B - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lambda _ { t } \right) } \\ & { \leq \tilde { \mu } \cdot \left( r ( T ) + \bar { b } \right) } \\ & { \leq \kappa \cdot r ( T ) + \kappa \bar { b } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi \sim } & { { } \, \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \sigma } \sum _ { n m } { T _ { n i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) T _ { n i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { + } m } ^ { - 1 } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { i _ { + } m } ^ { - 1 } ( 0 ) } } \\ { = } & { { } \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \sigma } \frac { C _ { i _ { + } i _ { + } } ^ { l } ( 0 ) + C _ { i _ { - } i _ { - } } ^ { l } ( 0 ) } { \vert \operatorname* { d e t } T ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \sigma \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\hat { \mathbf { x } } \cdot \tilde { \mathbf H } ( \mathbf { x } ) \approx - 6 R _ { 0 } ^ { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } \mathbf T _ { n , m } ^ { T } \mathbf { P } Y _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } ) , ~ ~ \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } ,
2 ^ { 2 N - 1 } T ( u + \pi / 8 ) T ( u - \pi / 8 ) = \prod _ { k = 1 } ^ { N / 2 } | \varphi _ { k } ( u + \pi / 8 ) | ^ { 2 } | \varphi _ { k } ( u - \pi / 8 ) | ^ { 2 }
\operatorname* { l i m } _ { x \to \infty } { \frac { a _ { 1 } { x } ^ { n } + a _ { 2 } { x } ^ { n - 1 } + a _ { 3 } { x } ^ { n - 2 } + . . . + a _ { n } } { b _ { 1 } { x } ^ { n } + b _ { 2 } { x } ^ { n - 1 } + b _ { 3 } { x } ^ { n - 2 } + . . . + b _ { n } } } = { \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } }
X \cdot X ^ { \prime } = { X ^ { 0 } } { X ^ { \prime } } ^ { 0 } - { X ^ { 1 } } { X ^ { \prime } } ^ { 1 } - \cdots - { X ^ { d } } { X ^ { \prime } } ^ { d } + X ^ { d + 1 } { X ^ { \prime } } ^ { d + 1 } \ .
\pi ^ { i j } = - 2 \gamma ^ { 1 / 2 } e ^ { - \frac { 3 } { 2 } ( \phi - \tilde { \phi } ) } \left[ \frac { 1 } { 2 } \gamma ^ { i j } H + \gamma ^ { - 1 / 3 } \frac { \partial H } { \partial h _ { i j } } \right] ~ ~ ~ ,
( \widetilde M _ { d } ^ { 2 } ) _ { R R } \sim \widetilde m ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { \lambda } } & { { \lambda } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { n ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } , ( 1 ) } ( x ) } & { { } = } & { - \frac { Z m } { \pi } \int _ { 1 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t \; \frac { e ^ { - 2 m c | x | t } } { t \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { d K Q _ { j } } { d K Q _ { 0 } } ( y ) - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } } & { = \bigg ( \frac { \int k ( y , x ) [ \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } ( q _ { j } ( x ) - q _ { 0 } ( x ) ) ] \, d \nu ( x ) } { \int k ( y , x ^ { \prime } ) q _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) \, d \nu ( x ^ { \prime } ) } \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { \int k ( y , x ) \big ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \frac { ( q _ { j } ( x ) - q _ { 0 } ( x ) ) } { q _ { 0 } ( x ) } \big ) ^ { 2 } q _ { 0 } ( x ) \, d \nu ( x ) } { \int k ( y , x ^ { \prime } ) q _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) \, d \nu ( x ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\frac { h ( \bar { u } ( v ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } { h ( \bar { u } ( v _ { 0 } ) ) - h ( \bar { u } ( 0 ) ) } > \frac { \bar { u } ( v ) - \bar { u } ( 0 ) } { \bar { u } ( v _ { 0 } ) - \bar { u } ( 0 ) } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } v > v _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { M = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 + \xi } { 1 - \xi } } & { \mathrm { i f } ~ \varepsilon _ { 0 } \leq \varepsilon _ { 1 } } \\ { \frac { \eta _ { \L } \mu _ { \Psi } + 2 \xi \eta _ { K } \mu _ { P _ { 1 } } } { \eta _ { \L } \mu _ { \Psi } - 2 \xi \eta _ { K } \mu _ { P _ { 1 } } } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { \alpha = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \xi } { \xi + 1 } \frac { c \eta _ { \L } } { \mu _ { P _ { 1 } } \mu _ { m } } } & { \mathrm { i f } ~ \varepsilon _ { 0 } \leq \varepsilon _ { 1 } } \\ { \frac { 2 c \eta _ { K } \eta _ { \L } \xi } { \mu _ { m } \left( \eta _ { \L } \mu _ { \Psi } + 2 \xi \eta _ { K } \mu _ { P _ { 1 } } \right) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \boldsymbol { V } } \cdot ( \mathbf { n } _ { i } \otimes \mathbf { n } _ { i } ) \cdot { \boldsymbol { V } } = \lambda _ { i } ^ { 2 } ~ \mathbf { n } _ { i } \otimes \mathbf { n } _ { i } ~ ; ~ ~ i = 1 , 2 , 3 .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \left\| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { k } \boldsymbol { V } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \right\| _ { F } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \left\| \boldsymbol { U } _ { k } - \boldsymbol { V } _ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } \left\| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { E } _ { B , C } \Bigg [ \Big ( p ( a | b , c ) - { E } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Big ) ^ { n } \Bigg | b ^ { \prime } \Bigg ] } & { { } = } & { { E } _ { B , C } \Big [ ( p ( a | b , c ) - p ( a | b ^ { \prime } ) ) ^ { n } \Big | b ^ { \prime } \Big ] } \end{array}
a _ { i } ^ { [ 2 ] e f f } ( x ) = e _ { i j } \partial _ { j } \int d ^ { 2 } x ^ { \prime } { \frac { \ln ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 \pi } } \{ - { \frac { e } { \mu c } } \sqrt { g ( x ^ { \prime } ) } J _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) + b ^ { ( 2 ) } ( x ^ { \prime } ) \} .
- ( { \frac { \partial S } { \partial t } } ) ^ { 2 } + D _ { 6 } ^ { - 1 } [ ( { \frac { \partial S } { \partial r } } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { \frac { \partial S } { \partial \theta } } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } ( { \frac { \partial S } { \partial \phi } } - q _ { 6 } ( 1 - \cos \theta ) { \frac { \partial S } { \partial x ^ { 1 1 } } } ) ^ { 2 } ] + D _ { 6 } ( { \frac { \partial S } { \partial x ^ { 1 1 } } } ) ^ { 2 } = 0
\big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { k } \sum _ { \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( k , n ) } \sum _ { \kappa \in \mathcal { S } _ { n } } \sum _ { \alpha , \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { k } } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } ( - i \lambda ) ^ { | \tilde { \alpha } | } \mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \kappa ) ,
n _ { 2 , i a } = \frac { F _ { \nu _ { 2 } } } { F _ { \nu _ { 1 } } } \ n _ { 1 , i a } + \left( K _ { \nu _ { 2 } } - \frac { F _ { \nu _ { 2 } } } { F _ { \nu _ { 2 } } } K _ { \nu _ { 1 } } \right) \ ,
\begin{array} { r } { \eta \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ H ~ } } } { \partial z ^ { 2 } } \sim \frac { \eta _ { 0 } \alpha \Delta T _ { 0 } } { h ^ { 2 } } \{ 2 a f , U \} . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Phi \mapsto \sum _ { \tau \in { \widehat { G } } } \tau ( \Phi ) } \\ { \tau ( \Phi ) = \int _ { G } \Phi ( t ) \tau ( t ) d t \in { \mathrm { E n d } } ( V _ { \tau } ) } \end{array} \right.
m _ { \textup { d } } \frac { d { \textbf { \textit { u } } } _ { \mathrm { d } } } { d t } = - \frac { \pi } { 8 } \rho _ { \textup { g } } C _ { \textup { d ~ } } d ^ { 2 } \left\| \textbf { \textit { u } } _ { \mathrm { d } } - \textbf { \textit { u } } \right\| \left( \textbf { \textit { u } } _ { \mathrm { d } } - \textbf { \textit { u } } \right) + m _ { \textup { d ~ } } \textbf { \textit { g } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) A _ { 1 , 1 } , p A _ { 0 , 0 } ) } + \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) A _ { 0 , 1 } , p A _ { 1 , 0 } ) } } & { \leq \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 0 , 1 } ) , p ( A _ { 0 , 0 } + A _ { 1 , 0 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) ( B _ { 1 , 1 } + B _ { 1 , 0 } ) , p ( B _ { 0 , 1 } + B _ { 0 , 0 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } p ( B _ { 0 , 1 } + B _ { 0 , 0 } ) \; \mathrm { ~ b y ~ } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \frac { { \partial \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } } { { \partial { x _ { j } } } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } = - \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } \right] } \\ { = - \frac { { { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } } } { 2 } \left[ { \left( { | \bar { S } | \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right) \left( { \frac { { \partial { \delta _ { i k } } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial { \delta _ { j k } } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \right) + \left( { \frac { { \partial { \delta _ { m k } } } } { { \partial { x _ { n } } } } + \frac { { \partial { \delta _ { n k } } } } { { \partial { x _ { m } } } } } \right) \left( { \frac { { 2 { { \bar { S } } _ { m n } } } } { { | \bar { S } | } } { { \bar { S } } _ { i j } } \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } } \right) } \right] \delta { { \bar { u } } _ { k } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } \right] } \\ { = - \frac { { { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } } } { 2 } \left\{ { \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { | \bar { S } | \left( { \frac { { \partial \bar { u } _ { k } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { k } } } } } \right) } \right] + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \frac { { 2 { { \bar { S } } _ { j k } } } } { { | \bar { S } | } } { { \bar { S } } _ { m n } } \left( { \frac { { \partial \bar { u } _ { m } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { n } } } } + \frac { { \partial \bar { u } _ { n } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { m } } } } } \right) } \right] } \right\} \delta { { \bar { u } } _ { k } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left[ { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \delta T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) } } \right] , } \end{array}
\| \partial _ { \tau } ^ { \ell } \mu _ { k } \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \leq C _ { \alpha } \| \partial _ { \tau } ^ { \ell } \mathcal { Z } _ { k } ^ { \rho } \mu \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } , \qquad \| \partial _ { \tau } ^ { \ell } \mu _ { k } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { T } ) } \leq C _ { p } \| \partial _ { \tau } ^ { \ell } \mathcal { Z } _ { k } ^ { \rho } \mu \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { T } ) }
\begin{array} { r } { \frac { \left( \log z - \log z _ { 0 } \right) _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \left( \log z - \log z _ { 0 } \right) _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \geqslant \frac { t _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { t _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } , } \end{array}
P ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \alpha } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \alpha } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \alpha } & { 1 } \end{array} \right] } = P .
\begin{array} { r l } { I _ { p e } ( } & { { } \bar { w } , \varepsilon _ { e } , \chi _ { e } ) = \frac { \alpha } { \sqrt { 3 } \pi } \frac { \lambda _ { r } } { \lambda _ { C } } \frac { \chi _ { e } } { \gamma _ { e } } \omega _ { r } \tilde { I } _ { p e } ( \bar { w } , \chi _ { e } ) , } \end{array}
\Theta ^ { \mathrm { ( 1 p h ) } } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) = \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { ~ B ~ Z ~ } } } | g _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } ( | \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } | ) | ^ { 2 } \sum _ { \alpha = \pm 1 } A _ { \alpha } \delta ( \epsilon _ { k } - \alpha \hbar \omega _ { \mathrm { ~ L ~ O ~ } } - \epsilon _ { k ^ { \prime } } )
\begin{array} { r l r l } { R ^ { \Sigma } = \underset { \mathcal { G } _ { 1 } , \ldots , \mathcal { G } _ { L } } { \mathrm { m a x } } } & { \; \; \sum _ { l = 1 } ^ { L } f _ { l } ^ { \pi } ( \mathcal { G } _ { l } ) , } & & { } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \; \; \mathcal { G } _ { v } \cap \mathcal { G } _ { u } = \phi , \; \forall u , v \in \mathcal { L } , \cup _ { l = 1 } ^ { L } \mathcal { G } _ { l } = \mathcal { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \eta \right| _ { F } } & { = \left( \frac { c } { b _ { 1 } } - \sum _ { j = 2 } ^ { n } \frac { b _ { j } } { b _ { 1 } } x ^ { i } \right) d x ^ { 2 } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } + \sum _ { j = 2 } ^ { n } \frac { b _ { i } } { b _ { 1 } } x ^ { i } d x ^ { 2 } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } = \frac { c } { b _ { 1 } } d x ^ { 2 } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } . } \end{array}
\alpha _ { R C S } = - \beta a + \frac { r \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { r } \ln \left[ \frac { z ^ { r } } { 2 } \mathrm { e r f c } \left( \frac { l _ { m i n } - a + r \beta \sigma ^ { 2 } } { \sigma \sqrt 2 } \right) \right] \ .
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac n { m ^ { 3 } } \left[ \sinh ( m r _ { s } ) - m r _ { s } \cosh ( m r _ { s } ) \right] \, , } \\ { D } & { { } = - \frac n { 2 m ^ { 3 } } \left[ 1 - e ^ { - m r _ { s } } - m r _ { s } e ^ { - m r _ { s } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) \ } & { { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ { - 2 \pi i x \cdot \xi } \, d x = ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } { \hat { f } } _ { 2 } ( 2 \pi \xi ) = { \hat { f } } _ { 3 } ( 2 \pi \xi ) } \\ { f ( x ) } & { { } = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } { \hat { f } } _ { 1 } ( \xi ) e ^ { 2 \pi i x \cdot \xi } \, d \xi } \end{array}
W _ { I J } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { - \alpha _ { J } ( \bar { \rho _ { J } } ) \frac { \rho _ { I } ( r _ { I J } ) } { \bar { \rho _ { J } } } \vec { e } _ { I J } \times \vec { e } _ { I J } } & { \; \; ( I \ne J ) } \\ & { \alpha _ { I } ( \bar { \rho _ { I } } ) \sum _ { K \ne I } \frac { \rho _ { K } ( r _ { I K } ) } { \bar { \rho _ { I } } } \vec { e } _ { I K } \times \vec { e } _ { I K } } & { \; \; ( I = J ) } \end{array} \right.
f _ { d } = \frac { 1 } { 2 \hbar } \left\{ \tilde { \omega } _ { d } , \tilde { g } _ { d } \right\} - \frac { i } { 4 \hbar } \left[ \partial _ { \vec { k } } \, \tilde { \omega } _ { d } , \partial _ { \vec { x } } \tilde { g } _ { d } \right] + \frac { i } { 4 \hbar } \left[ \partial _ { \vec { x } } \, \tilde { \omega } _ { d } , \partial _ { \vec { k } } \tilde { g } _ { d } \right] ,
f ( \vec { x } , \vec { p } , t ) = \int _ { \Delta V } { \frac { d ^ { 3 } x ^ { \prime } \, d ^ { 3 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, W ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } , \vec { p } - \vec { p } ^ { \prime } , t ) \cdot g ( \vec { x } ^ { \prime } , \vec { p } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { \parallel } = f \varepsilon _ { 1 } + ( 1 - f ) \varepsilon _ { 2 } , \quad \varepsilon _ { \perp } = \frac { \varepsilon _ { 1 } \varepsilon _ { 2 } } { ( 1 - f ) \varepsilon _ { 1 } + f \varepsilon _ { 2 } } . } \end{array}
C = \left( \frac { 2 \sigma \left( T _ { \mathrm { l } } \right) \alpha _ { \mathrm { l } } } { 9 \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \rho _ { \mathrm { v } } L _ { \mathrm { v } } } { \lambda _ { \mathrm { l } } } \frac { \left\{ \rho _ { \mathrm { l } } \left[ P _ { \mathrm { v } } - P _ { \mathrm { l } } \right] \right\} ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } { \left( T _ { \mathrm { l } } - T _ { \mathrm { s a t } } \left( P _ { \mathrm { l } } \right) \right) } , \,
\begin{array} { r l } { \big ( f ^ { * } \circ f _ { * } ^ { \prime } ( \mu ) \big ) ( \alpha ) } & { = \int _ { y \in Y } \alpha ( y ) d \big ( f ^ { * } \circ f _ { * } ^ { \prime } \big ) ( \mu ) } \\ & { = \int _ { x \in X } \int _ { y \in f ^ { - 1 } ( x ) } \alpha ( y ) d \mu _ { x } d f _ { * } ^ { \prime } ( \mu ) } \\ & { = \int _ { y ^ { \prime } \in Y ^ { \prime } } \int _ { y \in f ^ { - 1 } ( f ^ { \prime } ( y ^ { \prime } ) ) } \alpha ( y ) d \mu _ { f ^ { - 1 } ( f ^ { \prime } ( y ^ { \prime } ) ) } d \mu } \\ & { = \int _ { y ^ { \prime } \in Y ^ { \prime } } \int _ { y \in f ^ { - 1 } ( f ^ { \prime } ( y ^ { \prime } ) ) } \alpha ( y ) d \mu _ { g ^ { - 1 } ( y ^ { \prime } ) } d \mu } \\ & { = \int _ { ( y , y ^ { \prime } ) \in Y \times _ { X } Y ^ { \prime } } \alpha ( y ) d g ^ { * } ( \mu ) } \\ & { = \int _ { y \in Y } \alpha ( y ) d \big ( g _ { * } ^ { \prime } \circ g ^ { * } \big ) ( \mu ) = ( g _ { * } ^ { \prime } \circ g ^ { * } \big ) ( \mu ) ( \alpha ) . } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 2 0 , 0 , 0 , 1 2 0 / \gamma ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < x < 0 . 5 , } \\ { ( 1 . 2 , 0 , 0 , 1 . 2 / \gamma ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \le x < 1 . } \end{array} \right.