harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i \in I } \sum _ { j \in I } \mathrm { c u m } \left( X _ { i } ( t + h ) , { X _ { j } ( t ) } , { X _ { i } ( s + h ^ { \prime } ) } , X _ { j } ( s ) \right) } \\ & { \qquad + \mathbb { E } \left\langle X ( t + h ) , X ( s + h ^ { \prime } ) \right\rangle _ { \mathbb H } \cdot \mathbb { E } \left\langle X ( t ) , X ( s ) \right\rangle _ { \mathbb H } + \left\langle C ( t - s + h ) , C ( s - t + h ^ { \prime } ) \right\rangle _ { \mathrm { H S } } . } \end{array}
R ( 1 + \omega _ { \mathrm { o u t l i e r } } ) = \frac { \omega _ { \mathrm { o u t l i e r } } + 1 - \sqrt { \big ( \omega _ { \mathrm { o u t l i e r } } + 1 \big ) ^ { 2 } - 4 \Gamma \lambda ^ { 2 } } } { 2 \Gamma \lambda ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \mu }
\begin{array} { r l r } { \lvert \lvert \lvert A _ { U ^ { n } } U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - A _ { U ^ { * } } U ^ { * } \rvert \rvert \rvert } & { \leq } & { \lvert \lvert \lvert A _ { U ^ { n } } U ^ { n } - A _ { U ^ { * } } U ^ { * } \rvert \rvert \rvert } \\ & { \leq } & { L _ { 1 } \lvert \lvert \lvert U ^ { n } - U ^ { * } \rvert \rvert \rvert } \\ & { \leq } & { L _ { 1 } \mathrm { m a x } \{ \delta a , \delta b \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Psi ( t ) \rangle _ { I } } & { = } & { \mathcal { N } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n } ( \alpha , \, r , \, \theta ) [ A _ { 1 2 } ^ { ( n ) } ( t ) | e _ { 1 } , \, e _ { 2 } , \, n - 1 \rangle + A _ { 2 2 } ^ { ( n ) } ( t ) | e _ { 1 } , \, g _ { 2 } , \, n \rangle + } \\ & { + } & { A _ { 2 3 } ^ { ( n ) } ( t ) | g _ { 1 } , \, e _ { 2 } , \, n \rangle + A _ { 2 4 } ^ { ( n ) } ( t ) | g _ { 1 } , \, g _ { 2 } , \, n + 1 \rangle ] , } \end{array}
\mathcal { D } \leftarrow \mathcal { D } \cup \big \{ \big ( \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { a } _ { t } , r \big ( \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { a } _ { t } \big ) , \mathbf { s } _ { t + 1 } \big ) \big \}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } } & { { \frac { 1 } { S _ { n } } } } \\ & { = 1 + { \frac { 1 } { 1 3 } } + { \frac { 1 } { 3 7 } } + { \frac { 1 } { 7 3 } } + { \frac { 1 } { 1 2 1 } } + { \frac { 1 } { 1 8 1 } } + { \frac { 1 } { 2 5 3 } } + { \frac { 1 } { 3 3 7 } } + \cdots } \\ & { = { \frac { \pi } { 2 { \sqrt { 3 } } } } \tan ( { \frac { \pi } { 2 { \sqrt { 3 } } } } ) } \\ & { \approx 1 . 1 5 9 1 7 3 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { c _ { s } ^ { 2 } = \frac { \gamma } { \rho } \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) } { ( p _ { + } + p _ { * k } ) ^ { 2 } } \Big \rangle ^ { - 1 } . } \end{array}
\mathrm { I m } \{ \gamma ( t ) \} = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } \sqrt { t } } \int d ^ { 3 } k \delta \left( \vec { k } ^ { 2 } + M _ { \pi } ^ { 2 } - \frac { t } { 4 } \right) \frac { 1 } { - \frac { t } { 2 } + 2 \vec { p } \cdot \vec { k } + M _ { \pi } ^ { 2 } + i 0 ^ { + } } .
Q _ { i - 1 / 2 } ^ { r } = \frac { 1 } { 6 0 } \left( - 3 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + 2 7 { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + 4 7 { { { \bar { Q } } } _ { i } } - 1 3 { { { \bar { Q } } } _ { 1 } } + 2 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } \right)
\mathcal { A } ( \mathcal { B } ) = \ln \left( \prod _ { i = 0 } ^ { N } \frac { F _ { - \rho ( i ) } } { F _ { + \rho ( i ) } } \right) = \ln \left( \frac { F _ { { - \rho } ( N ) } } { F _ { { + \rho ( 0 ) } } } \right) = \ln \left( \frac { F _ { { - \rho } ( 0 ) } ^ { \mathrm { e s s } } } { F _ { { + \rho ( 0 ) } } ^ { \mathrm { e s s } } } \right) = \mathcal { A } _ { \rho ( 0 ) } ^ { \mathrm { e s s } } .
\begin{array} { r l } { \left[ \mathrm { ~ I ~ } - \Delta t \frac { \beta _ { k } } { R e } \mathrm { ~ L ~ } \right] \mathbf { u } _ { k } ^ { n } } & { { } = \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } + \Delta t \left[ \frac { \alpha _ { k } } { R e } \mathrm { ~ L ~ } \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } - \gamma _ { k } \mathrm { ~ N ~ } \mathbf { u } _ { k - 1 } ^ { n } - \zeta _ { k } \mathrm { ~ N ~ } \mathbf { u } _ { k - 2 } ^ { n } - \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) \mathrm { ~ G ~ } p _ { k } ^ { n } \right] , } \\ { \mathrm { ~ D ~ G ~ } \phi _ { k } ^ { n } } & { { } = \frac { 1 } { \Delta t \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) } \mathrm { ~ D ~ } \mathbf { u } _ { k } ^ { n } , } \\ { \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { n } } & { { } = \mathbf { u } _ { k } ^ { n } - \Delta t \left( \alpha _ { k } + \beta _ { k } \right) \mathrm { ~ G ~ } \phi _ { k } ^ { n } , } \\ { p _ { k + 1 } ^ { n } } & { { } = p _ { k } ^ { n } + \phi _ { k } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } ( x , \omega , s ) } & { = \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { s } ( x ) , \omega \right) , \ x \in \mathcal { M } ; \ \omega = ( \eta _ { 0 } , \eta _ { 1 } , \cdots , \eta _ { k } , \cdots ) \in \Omega ; \ 0 \leq s < \tau _ { \eta _ { 0 } } ( x ) } \\ { \mathbf { V } ( x , \omega , s ) } & { = \left( \Phi _ { \pi \left( \theta \omega \right) } ^ { s - \tau _ { \pi \left( \omega \right) } ( x ) } ( R _ { \pi \left( \omega \right) } ( x ) ) , \theta \omega \right) ; \ \tau _ { \eta _ { 0 } } ( x ) \leq s < \tau _ { \eta _ { 0 } } ( x ) + \tau _ { \eta _ { 1 } } ( R _ { \eta _ { 0 } } ( x ) ) \ , } \end{array}
- { \frac { 1 } { 2 } } \, \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } = - { \frac { 1 } { 2 } } \, \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } \, .
\begin{array} { c c c } { { \eta _ { L L } ^ { ( 3 ) } = - 0 . 6 \pm 0 . 4 \; T e V ^ { - 2 } } } & { { { \mathrm { i . e . } } } } & { { \Lambda _ { L L } ^ { ( 3 ) - } = 4 . 6 _ { - 1 . 1 } ^ { + 3 . 3 } \; T e V } } \end{array}
\left( - \gamma ^ { 0 } \omega + { \bf \mathrm { \boldmath ~ \ g a m m a ~ } \cdot k } + \gamma ^ { 3 } { \frac { 1 } { i } } { \frac { \partial } { \partial z } } \right) g ( z , z ^ { \prime } ) = \delta ( z - z ^ { \prime } ) .
\frac { 1 } { \sqrt { - g } } { \cal H } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { i j } \partial _ { i } \phi \cdot \partial _ { j } \phi + \frac { 1 } { 4 } \exp ( \sqrt { 2 \kappa } \phi ) ( V _ { i j } { } ^ { k } + \sqrt { 2 \kappa } A ^ { k } f _ { i j } ) ( V ^ { i j } { } _ { k } + \sqrt { 2 \kappa } A _ { k } f ^ { i j } )
\nabla _ { \mu ( z ) } ^ { i } ( { \cal D } _ { i } \nabla _ { \nu ( x ) } ^ { j } ) S _ { , j } \equiv \left[ T _ { \mu \nu } ^ { \ \ \alpha \beta } \nabla _ { \alpha } \nabla _ { \beta } \right] _ { z } \delta ( z - x ) + { \cal O } [ l ^ { - 3 } ] \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { H } ( \tau , I d ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tau ( i ) ^ { 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i \tau ( i ) = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i \tau ( i ) } \\ & { = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} } i \tau ( i ) - 2 t _ { 0 } \sum _ { t = 1 } ^ { k } \tau ( i _ { t } ) - 2 \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ( i _ { t } ) } \\ & { = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} } i \tau ( i ) - 2 t _ { 0 } \sum _ { t = 1 } ^ { k } j _ { t } - 2 \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ( i _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { I } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 1 } \varepsilon _ { F } \otimes \omega ^ { \prime } + ( - 1 ) ^ { h _ { F } + 1 } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 1 } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { D } \tilde { q } ( | \phi _ { n } ( x ) | + \xi ) ^ { q - 1 } \frac { \phi _ { n + 1 } - \phi _ { n } } { \varDelta t } ( x ) { \psi } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { \quad + \int _ { D } \tau V _ { n } ( x ) \nabla \phi _ { n + 1 } ( x ) \cdot \nabla { \psi } ( x ) \, \mathrm { d } x = \int _ { D } \rho \mathcal { L } _ { \eta } ^ { \prime } ( \phi _ { n } , \lambda _ { n } ) \psi ( x ) \, \mathrm { d } x } \end{array}
S _ { l a s e r } ( f ) \approx ( \frac { 1 } { K _ { E } K _ { L } K _ { F D } } ) ^ { 2 } S _ { 0 } ( f ) + ( \frac { 1 } { K _ { F D } } ) ^ { 2 } S _ { n } ( f ) + S _ { T R N } ( f ) ,
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { B } } & { { } = \gamma \left( \Delta t _ { A } - \frac { v \Delta x _ { A } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ { \Delta x _ { B } } & { { } = \gamma \left( \Delta x _ { A } - v \Delta t _ { A } \right) } \\ { \implies \Delta x _ { A } } & { { } = \frac { \Delta x _ { B } } { \gamma } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int { \frac { d x } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } } & { { } = \int { \frac { a \sec ^ { 2 } \theta \, d \theta } { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( R \omega ) _ { \mathrm { d i s t } } ( g _ { h } ) - ( R \omega ) ( g ) \| _ { H ^ { - 2 } ( \Omega ) } } & { \le C \left( 1 + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 2 } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 1 } | g _ { h } - g | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \right) } \\ & { \quad \times \left( \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 4 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 2 } ( T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } H _ { 4 , i } } & { \leq \mathbb { E } { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { j \in S _ { i } } A _ { i j } \geq \frac { \rho \beta n ( p - q ) } { 8 k } } \right\} } \leq \frac { 8 k } { \rho \beta n ( p - q ) } \mathbb { E } \sum _ { j \in S _ { i } } A _ { i j } \leq \frac { 8 k p } { \rho \beta ( p - q ) } \exp \left( - 1 2 8 n p \right) } \\ & { = 8 \sqrt { \frac { p } { \rho ^ { 2 } \beta ^ { 2 } n ( p - q ) ^ { 2 } } } k \sqrt { n p } \exp \left( - 1 2 8 n p \right) \leq k \exp \left( - 6 4 n p \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q < 1 , \Delta _ { u } \ge 0 } = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Delta _ { t } } { 2 } \right) \left( 1 - \frac { \Delta _ { t } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 r } } \\ & { \times B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , r + 1 \right) \, \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( - r , \frac { 1 } { 2 } ; r + \frac { 3 } { 2 } ; \frac { \left( 1 - \frac { \Delta _ { t } } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + \frac { \Delta _ { t } } { 2 } \right) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta n _ { 2 , \mathrm { H } } ( \boldsymbol { R } ) = } & { \Delta \Pi _ { \mathrm { H } } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { \vec { q } } \sum _ { \vec { q } ^ { \prime } \neq \vec { q } } e ^ { i ( \vec { q } - \vec { q } ^ { \prime } ) \cdot \vec { R } } } \\ { = } & { \Delta \Pi _ { \mathrm { H } } \big [ | g ( \bar { k } _ { F } R ) | ^ { 2 } - \frac { 1 } { M } \big ] \; , } \end{array}
Z _ { 1 , 2 } = - i \gamma k _ { x } ^ { 2 } \pm \sqrt { ( \varepsilon + e k _ { x } ^ { 2 } - i \delta \gamma k _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( u - i \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } k _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
{ \bf W } _ { m } = { \cal K } _ { 0 } \left( \left. \partial _ { \lambda } { \bf D } [ { \bf F } _ { 0 } ( { \bf X } ) + \lambda { \bf F } _ { 1 } ( { \bf V } _ { m } ) ] \right\vert _ { \lambda = 0 } - { \bf V } _ { m } \right)
\begin{array} { r l } { E ^ { ( m + 1 ) } ( 0 , \tau ) e ^ { - i \omega _ { 0 } T } } & { { } = \sqrt { 1 - 2 \alpha } E ^ { ( m ) } ( L , \tau ) e ^ { - i \delta _ { 0 } - i \omega _ { 0 } T } } \end{array}
\boldsymbol { F } = \boldsymbol { X } \left[ \begin{array} { l l l l } { - \lambda } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda } \end{array} \right] \boldsymbol { X } ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } & { [ t , \sigma ] = i \frac { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } { 2 } } \\ & { [ \alpha _ { \mu , { \bf K } } , X _ { \bf K ^ { \prime } } ^ { \nu } ] = i \frac { { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } } { 2 } \delta _ { \mu \nu } \delta _ { { \bf K } { \bf K ^ { \prime } } } \qquad \mathrm { w i t h } \quad { \slash \! \! \! k } _ { \! { B } } = \beta k _ { B } } \end{array}
\Psi _ { + \bf k } ^ { n } ( P ) = ( - 1 ) ^ { n } C _ { n } ^ { 1 / 2 } \left( \frac { P _ { 1 } - i P _ { 2 } } { P ^ { 0 } + m } \right) ^ { n } \Psi _ { + \bf k } ^ { 0 } ( P ) , \quad \Psi _ { + \bf k } ^ { 0 } ( P ) = \delta ( P ^ { 0 } - \sqrt { { \bf P } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } ) \delta ( { \bf P } - { \bf k } ) f ( { \bf k } ) ,
\mathrm { O h } = { \frac { \mu } { \sqrt { \rho \sigma L } } } = { \frac { \sqrt { \mathrm { W e } } } { \mathrm { R e } } } \sim { \frac { \mathrm { v i s c o u s ~ f o r c e s } } { \sqrt { { \mathrm { i n e r t i a } } \cdot { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n } } } } }
\begin{array} { r l } { \tau \dot { r } } & { { } = \frac { \Delta } { \pi \tau } + 2 r v , } \\ { \tau \dot { v } } & { { } = v ^ { 2 } + \bar { \eta } + I ( t ) - a + J r \tau - ( \pi r \tau ) ^ { 2 } , } \\ { \tau _ { a } \dot { a } } & { { } = x , } \\ { \tau _ { a } \dot { x } } & { { } = \alpha \tau _ { a } r - 2 x - a . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \nu _ { \alpha , i } } \\ & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \times \mathbb { R } _ { + } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } \frac { M _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } W _ { \alpha \beta } \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \boldsymbol { \omega } } \\ & { = } & { 4 \pi \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } \frac { n _ { \beta } \varphi _ { j } ^ { \beta } m _ { \beta } ^ { 3 / 2 } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 / 2 } q _ { \alpha } } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { - I _ { j } ^ { \beta } - m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } / 2 } \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \left\vert \mathbf { g } \right\vert d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } \\ & { = } & { \sum _ { \beta = 1 } ^ { s } C _ { \alpha \beta } \frac { \sqrt { 2 } n _ { \beta } m _ { \beta } ^ { 3 / 2 } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } q _ { \alpha } \sqrt { \pi } } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { - I _ { j } ^ { \beta } - m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } / 2 } \sqrt { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } - 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \mathrm { , } } \\ & { } & { \mathrm { w i t h ~ } \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } = \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } \Delta I _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \mathrm { , } } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial \lambda _ { j } } } - { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { i \neq j } { \frac { \sigma _ { i } ^ { a } \otimes \sigma _ { j } ^ { a } } { \lambda _ { j } - \lambda _ { i } } } \right) f ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { n } ) = 0 ,
\hat { j } _ { z } ( p ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right]
\gamma _ { r a d . } = 4 \pi c ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 8 } R _ { H } \alpha ^ { 3 } \left[ \frac { R ( 2 , 1 ) } { 8 } - R ( 1 , 0 ) - l o g \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 6 4 } - \frac { 1 9 } { 3 0 } \right] ,
\begin{array} { r } { \tilde { V } _ { j , k } ^ { i , l } = \hat { \epsilon } _ { j , i } \hat { \epsilon } _ { j + k , l } / \hat { \sigma } _ { i , l } ( t _ { j } ) - 2 ^ { - 1 } \hat { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \left( \hat { \epsilon } _ { j , i } ^ { 2 } / \hat { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t _ { j } ) + \hat { \epsilon } _ { j , l } ^ { 2 } / \hat { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t _ { j } ) \right) , } \end{array}
\sqrt { g } = 1 - \frac { 1 } { 2 f ^ { 4 } } \eta ^ { \mu \nu } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \mu } \pi ^ { \alpha } \partial _ { \nu } \pi ^ { \beta } + \frac { 1 } { 2 f ^ { 4 } } M _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } \pi ^ { \alpha } \pi ^ { \beta } + . . .
H _ { i n t } ^ { A } = a ^ { A } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( - \sigma \cdot { \bf l } _ { i } + \frac 1 { 2 m _ { i } } \sigma \cdot \left( { \bf p } _ { i } \, l _ { 0 i } + l _ { 0 i } { \bf p } _ { i } \right) + O \left( m _ { i } ^ { - 2 } \right) \right) .
M _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { { \delta _ { 1 } } } & { { \epsilon ^ { \prime } + \delta _ { 2 } } } & { { \delta _ { 3 } } } \\ { { - \epsilon ^ { \prime } + \delta _ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { \delta _ { 3 } } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, \, \, ,
{ U ( R ) } ^ { \dagger } ( { \vec { V } } \cdot { \vec { W } } ) U ( R ) = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } R _ { j i } ^ { T } R _ { i k } \right) { \widehat { V } } _ { j } { \widehat { W } } _ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \delta _ { j , k } { \widehat { V } } _ { j } { \widehat { W } } _ { k } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \widehat { V } } _ { i } { \widehat { W } } _ { i }
\begin{array} { r l } & { N ^ { k } ( a ) N ( b ) = \big [ N ( N ^ { k } ( a ) b ) , N ^ { k + 1 } ( a b ) , N ^ { k } ( a N ( b ) ) \big ] , } \\ & { N ( a ) N ^ { k } ( b ) = \big [ N ( a N ^ { k } ( b ) ) , N ^ { k + 1 } ( a b ) , N ^ { k } ( N ( a ) b ) \big ] , } \\ & { N ^ { k + 1 } ( a b ) = \big [ N ( N ^ { k } ( a ) b ) , N ^ { k } ( a ) N ( b ) , N ^ { k } ( a N ( b ) ) \big ] , } \\ & { \hphantom { N ^ { k + 1 } ( a b ) } = \big [ N ^ { k } ( N ( a ) b ) , N ( a ) N ^ { k } ( b ) , N \big ( a N ^ { k } ( b ) \big ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { ~ Q ~ S ~ } } = } & { { } \sum _ { s _ { j } } \left< \left( \frac { 1 } { B ^ { 3 } } \left[ ( N - \iota M ) \mathbf B \times \nabla B \cdot \nabla \psi - ( M G + N I ) \mathbf B \cdot \nabla B \right] \right) ^ { 2 } \right> , } \end{array}
\frac { P _ { 0 } R ^ { 2 } } { B } = \frac { 1 } { 2 } [ \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } d \phi ] ^ { 2 } ,
e ^ { \pi { \sqrt { 1 6 3 } } } = 1 2 ^ { 3 } ( 2 3 1 ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } + 7 4 3 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 5 0 0 7 \dots
\begin{array} { r l } & { Q _ { r } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) \geq \mathbb { P } ( E _ { r } ) } \\ & { \quad + \mathbb { P } ( F _ { r } ) \Bigg ( \mathbb { P } ( E _ { r - 1 } ) + \mathbb { P } ( F _ { r - 1 } ) \bigg ( \mathbb { P } ( E _ { r - 2 } ) + \cdots + \mathbb { P } ( F _ { 3 } ) \Big ( \mathbb { P } ( E _ { 2 } ) + \mathbb { P } ( F _ { 2 } ) \mathbb { P } ( E _ { 1 } ) \Big ) \bigg ) \Bigg ) . } \end{array}
S _ { \alpha \beta } ^ { * } = ( \rho \varsigma ^ { 2 } + P _ { \alpha \alpha } ^ { * } ) \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + ( \rho \varsigma ^ { 2 } + P _ { \beta \beta } ^ { * } ) \partial _ { \beta } u _ { \alpha } + E _ { \alpha \beta } ^ { s } ,
S _ { ( 5 ) } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { ( 5 ) } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int d y \sqrt { - g _ { ( 5 ) } } \left[ R ^ { ( 5 ) } + 1 2 k ^ { 2 } \right] - \int d ^ { 4 } x \left[ \sqrt { - g _ { ( + ) } } \lambda _ { ( + ) } + \sqrt { - g _ { ( - ) } } \lambda _ { ( - ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \mathrm { r e f l } } } & { = \Bigg ( - \mathcal { U } _ { n } + \frac { \mathrm { i } m } { 2 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \bigg ) - \frac { \mathrm { i } \alpha } { \Theta } \bigg ( \mathcal { U } _ { n + 1 } \sqrt { n + 1 } + } \\ & { \mathcal { U } _ { n - 1 } \sqrt { n } \bigg ) + \frac { \alpha } { \Theta } \frac { m } { 2 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n + 1 } \sqrt { n + 1 } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n + 1 } \sqrt { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } } \\ & { + \mathcal { U } _ { n - 1 } \sqrt { n } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n - 1 } \sqrt { n } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \bigg ) \Bigg ) \cdot E _ { 0 } e ^ { \mathrm { i } \omega t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t ^ { 2 } } ^ { 2 } \vec { x } = } & { { } \mathbf { B } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathbf { C } _ { B } } { \partial _ { t } } \left( \mathbf { M } - \vec { 1 } \vec { x } ^ { T } \mathbf { B } ^ { T } \right) ( \mathbf { G } _ { 0 } + \mathbf { \Delta } \mathbf { \tilde { U } } e ^ { - \mathbf { \Xi } t } \mathbf { V } ) \vec { x } } \end{array}
\hbar \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( \tau ) d \tau = i \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int d \mathcal { E } \, \overline { { | V _ { 0 \mu } | ^ { 2 } } } \; \; \frac { 1 } { \mathcal { E } - \mathcal { E } _ { 0 } - i \epsilon }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { y _ { p } ^ { \prime } } } } \right) } & { = \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } + \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } \right) } & { = \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } + \frac { 1 } { S t } \left[ \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { y _ { p } ^ { \prime } } } } - \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } x _ { p } ^ { \prime } } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) \right] , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } \right) } & { = \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } - \frac { 1 } { S t } \left[ \overline { { \alpha } } \left( k \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } { y _ { p } ^ { \prime } } } } + \overline { { { y _ { p } ^ { \prime } } { u _ { p } ^ { \prime } } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } y _ { p } ^ { \prime } } } \left( k \overline { { x } } _ { p } + \overline { { u } } _ { p } \right) \right] , } \\ { S t \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \overline { { { u _ { p } ^ { \prime } } { v _ { p } ^ { \prime } } } } \right) } & { = \overline { { \alpha } } \left( - k \overline { { x _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } + k \overline { { y _ { p } ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } - 2 \overline { { u _ { p } ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } u _ { p } ^ { \prime } } } \left( - k \overline { { x } } _ { p } - \overline { { u } } _ { p } \right) + \overline { { \alpha ^ { \prime } v _ { p } ^ { \prime } } } \left( k \overline { { y } } _ { p } - \overline { { v } } _ { p } \right) , } \end{array}
g ( k ^ { ( 2 ) } | h ) = \sum _ { k _ { i j } } \delta _ { \sum { k _ { i j } } } ^ { k ^ { ( 2 ) } } \prod _ { i \geq j } ^ { C } g _ { i j } ^ { ( h ) } ( k _ { i j } ^ { ( 2 ) } | h _ { i } , h _ { j } ) ,