harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \overline { { \lambda } } } _ { k + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k + 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \vartheta } _ { k - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } \leq { \overline { { \lambda } } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { 1 } + { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { + { \mathrm { c } } _ { 2 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + \left( { \mathrm { c } } _ { 3 } { \mathrm { M } } _ { 2 } ^ { 2 } + { 2 } { \mathrm { M } } _ { 2 } { \mathrm { M } } _ { 3 } { \mathrm { c } } _ { 2 3 } \right) { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + { \mathrm { c } } _ { 3 0 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \overline { { \lambda } } } _ { i } + { \overline { { \lambda } } } _ { i + 1 } \right) } + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { k } { \tau } ^ { 5 } } \\ & { \leq { \overline { { \lambda } } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { 1 } + { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } + \left( { \mathrm { c } } _ { 2 } + { \mathrm { c } } _ { 3 } { \mathrm { M } } _ { 2 } ^ { 2 } + { 2 } { \mathrm { M } } _ { 2 } { \mathrm { M } } _ { 3 } { \mathrm { c } } _ { 2 3 } \right) { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + { \mathrm { c } } _ { 3 0 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \overline { { \lambda } } } _ { i } + { \overline { { \lambda } } } _ { i + 1 } \right) } + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { k } { \tau } ^ { 5 } } \\ & { = { \overline { { \lambda } } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { 1 } + { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } + { \mathrm { c } } _ { 3 1 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + { \mathrm { c } } _ { 3 0 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \overline { { \lambda } } } _ { i } + { \overline { { \lambda } } } _ { i + 1 } \right) } + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { k } { \tau } ^ { 5 } \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 + } \phi \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \left( \nu \Delta - \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } u ^ { j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial t } + A \right) \sigma = 1 _ { \{ x _ { d } = 0 \} } \left( \nu \Delta - \frac { \partial } { \partial t } + A \right) \sigma ,
\rho ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \rho ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\Gamma _ { 1 e } ( \Upsilon \to \psi + X ) = \hat { \Gamma } ( b \bar { b } ( ^ { 3 } S _ { 1 } , \underline { { { 1 } } } ) \to c \bar { c } ( ^ { 3 } S _ { 1 } , \underline { { { 8 } } } ) + q \bar { q } ) \langle \Upsilon \vert O _ { 1 } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) \vert \Upsilon \rangle \, \langle O _ { 8 } ^ { \psi } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) \rangle \; .
\begin{array} { r l } & { \| u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \| v ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + 2 { \vec { c } } \cdot \mathbb { F } ( \vec { u } ( t ) ) - 2 d ( { \vec { c } } ) } \\ & { \quad < \frac { 1 } { \alpha ( p + 1 ) - \beta n } \left( ( 2 \alpha - \beta n ) \left( \| u \| _ { { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } } ^ { 2 } - \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) + ( 2 \alpha - \beta ( n - 2 ) ) \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { g } _ { e i } ( 1 2 ) = \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { Z k _ { e 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } f _ { e 1 } ( 1 ) \left( f _ { i 0 } ( 2 ) + \int \mathrm { d } [ 3 ] \, \widetilde { g } _ { i i } ( 3 2 ) \right) } \\ & { \widetilde { g } _ { e e } ( 1 2 ) = \left[ \frac { 1 } { n _ { e } ^ { 2 } } \left( \frac { Z k _ { e 1 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( n _ { i } + \int \mathrm { d } [ 3 4 ] \, \widetilde { g } _ { i i } ( 3 4 ) \right) - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \right] f _ { e 1 } ( 1 ) f _ { e 1 } ( 2 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { n } ^ { ( D ) } ( r _ { * } ) = - \Gamma \left( - 2 n - \frac { 1 } { 2 } \right) P _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 n + \frac { 3 } { 2 } } \left( \operatorname { t a n h } r _ { * } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { c r o s s } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) = } & { { } - \frac { i } { 2 k _ { \pm } } \frac { \hat { w } _ { 0 , 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { w } _ { 0 , 2 } ^ { ( 1 ) } } { k _ { \pm x } S _ { 0 } } \frac { k _ { 1 x } k _ { 2 y } - k _ { 1 y } k _ { 2 x } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) z } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \left[ \frac { \pm b _ { i j } } { ( \xi _ { i } - z ) ^ { j - 1 } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 } { x _ { 1 2 3 4 } } , } \\ { \lambda ^ { 2 } } & { = } & { \frac { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 1 } x _ { 3 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { x _ { 1 2 3 4 } } , } \\ { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } } { x _ { 1 2 3 4 } } , } \\ { \alpha ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \varepsilon \lambda } & { = } & { 2 \frac { x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 1 } x _ { 4 } + x _ { 2 } x _ { 3 } + x _ { 2 } x _ { 4 } + x _ { 3 } x _ { 4 } } { x _ { 1 2 3 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I + t \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 k t g _ { 0 } } } { t ^ { \frac { k } { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { k , j + } ( \lambda ) } { t ^ { j } } = \left( I + t \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 k t g _ { 0 } } } { t ^ { \frac { k } { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { k , j - } ( \lambda ) } { t ^ { j } } \right) \left( I + t ^ { 1 / 2 } \mathrm { e } ^ { 2 t g _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \widehat { \Delta } _ { j } ( \lambda ) } { t ^ { j } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Q _ { \mathbf { u } } ( \theta ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - z } & { y } \\ { z } & { 0 } & { - x } \\ { - y } & { x } & { 0 } \end{array} \right] } \sin \theta + \left( I - \mathbf { u } \mathbf { u } ^ { \mathsf { T } } \right) \cos \theta + \mathbf { u } \mathbf { u } ^ { \mathsf { T } } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \left( 1 - x ^ { 2 } \right) c _ { \theta } + x ^ { 2 } } & { - z s _ { \theta } - x y c _ { \theta } + x y } & { y s _ { \theta } - x z c _ { \theta } + x z } \\ { z s _ { \theta } - x y c _ { \theta } + x y } & { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) c _ { \theta } + y ^ { 2 } } & { - x s _ { \theta } - y z c _ { \theta } + y z } \\ { - y s _ { \theta } - x z c _ { \theta } + x z } & { x s _ { \theta } - y z c _ { \theta } + y z } & { \left( 1 - z ^ { 2 } \right) c _ { \theta } + z ^ { 2 } } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { x ^ { 2 } ( 1 - c _ { \theta } ) + c _ { \theta } } & { x y ( 1 - c _ { \theta } ) - z s _ { \theta } } & { x z ( 1 - c _ { \theta } ) + y s _ { \theta } } \\ { x y ( 1 - c _ { \theta } ) + z s _ { \theta } } & { y ^ { 2 } ( 1 - c _ { \theta } ) + c _ { \theta } } & { y z ( 1 - c _ { \theta } ) - x s _ { \theta } } \\ { x z ( 1 - c _ { \theta } ) - y s _ { \theta } } & { y z ( 1 - c _ { \theta } ) + x s _ { \theta } } & { z ^ { 2 } ( 1 - c _ { \theta } ) + c _ { \theta } } \end{array} \right] } , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { 1 } = x _ { 1 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { P r } ( X _ { n } = x _ { n } \mid X _ { n - 1 } = x _ { n - 1 } , X _ { n - 2 } = x _ { n - 2 } , \dots , X _ { n - m } = x _ { n - m } ) { \mathrm { ~ f o r ~ } } n > m } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { k + 1 } = A \mathbf { x } _ { k } + \tilde { \mathbf { w } } _ { k } , } \\ { \mathbf { y } _ { k } = C \mathbf { x } _ { k } + \mathbf { v } _ { k } , } \end{array}
\mathbf { S } ^ { T } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \mathbf { S } \Delta \mathbf { m } \mathbf { U } _ { \lambda } ^ { T } \mathbf { U } _ { \lambda } = \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { Q } ^ { - 1 } \Delta \mathbf { d } \mathbf { U } _ { \lambda } .
\begin{array} { r l } { \dot { L } _ { x x } } & { { } = ( 2 \dot { \epsilon } - \lambda ^ { - 1 } ) L _ { x x } + \lambda ^ { - 1 } } \\ { \dot { L } _ { y y } } & { { } = ( - 2 \dot { \epsilon } - \lambda ^ { - 1 } ) L _ { y y } + \lambda ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { G ( p _ { j } , \frac 3 2 S _ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } _ { ( p , S ) \in D } G ( p , S ) } { \frac 1 2 \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { \leq \frac { - \log ( S _ { 0 } / 2 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( - \log ( ( 3 / 2 ) S _ { 0 } - d ( p _ { j } , p _ { i } ) ^ { 2 } ) + ( 1 / 2 ) d ( p _ { j } , p _ { i } ) ^ { 2 } ) + ( 1 + m ) \log ( 2 S _ { 0 } ) } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { \leq \frac { - \log ( S _ { 0 } / 2 ) - m \log ( S _ { 0 } / 2 ) + ( m / 2 ) S _ { 0 } + ( 1 + m ) \log ( 2 S _ { 0 } ) } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \\ & { = \frac { ( 1 + m ) \log 4 + ( m / 2 ) S _ { 0 } } { \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { ( 1 ) } } } \end{array}
I _ { s y n , i } ^ { ( X ) } ( t ) = I _ { \mathrm { A M P A } , i } ^ { ( X , Y ) } ( t ) + I _ { \mathrm { N M D A } , i } ^ { ( X , Y ) } ( t ) + I _ { \mathrm { G A B A } , i } ^ { ( X , Z ) } ( t ) .
\begin{array} { r } { w _ { A I } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { t h } ^ { 2 } \cdot \mathrm { ~ d ~ } v _ { t h } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \theta \cdot \mathrm { ~ d ~ } \theta \cdot \Theta \left( W - I _ { p } \right) } \\ { \times \alpha _ { 0 } \left( \frac { W - I _ { p } } { I _ { p } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { e } ^ { * } } { 3 \pi k _ { b } T _ { e } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { m _ { e } ^ { * } v _ { t h } ^ { 2 } } { 3 k _ { b } T _ { e } } \right) , } \end{array}
\boldsymbol { A } ^ { - 1 } \boldsymbol { M } _ { \mathrm { r e c i p } } \boldsymbol { B } ^ { - 1 } = \frac { k } { S _ { 2 1 } } \left[ \begin{array} { l l } { S _ { 2 1 } ^ { 2 } - S _ { 1 1 } S _ { 2 2 } } & { S _ { 1 1 } } \\ { - S _ { 2 2 } } & { 1 } \end{array} \right] .
\implies \rho _ { a b } ^ { ( n ) } ( \omega ^ { ( n ) } ) = \frac { [ \hat { V } ( \omega _ { n } ) , \hat { \rho } ^ { ( n - 1 ) } ( \omega ^ { ( n - 1 ) } ) ] _ { a b } } { \hslash \omega ^ { ( n ) } - \epsilon _ { a b } } \mathrm { ~ , ~ }
\left< { \delta \vec { y } } \right> = \mathbf { L } ^ { - 1 } \delta \vec { f } = \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbf { C } _ { \vec { y } , \vec { x } } ( \tau ) \mathbf { C } _ { \vec { x } , \vec { x } } ^ { - 1 } ( 0 ) d \tau \right] \delta \vec { f }
\frac { \Gamma ^ { \tau \mu } } { \Gamma ^ { \tau e } } = \frac { f ^ { \tau \mu } ( x , y , \delta _ { \mu \tau } , \delta _ { P \tau } , \delta _ { F \tau } ) } { f ^ { \tau e } ( x , y , \delta _ { e \tau } , \delta _ { P \tau } , \delta _ { F \tau } ) } = \frac { B ^ { \tau \mu } } { B ^ { \tau e } } .
\mathbf { M } { \ddot { \mathbf { q } } } = \mathbf { Q } + \mathbf { M } ^ { 1 / 2 } \left( \mathbf { A } \mathbf { M } ^ { - 1 / 2 } \right) ^ { + } ( \mathbf { b } - \mathbf { A } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { Q } ) + \mathbf { M } ^ { 1 / 2 } \left[ \mathbf { I } - \left( \mathbf { A } \mathbf { M } ^ { - 1 / 2 } \right) ^ { + } \mathbf { A } \mathbf { M } ^ { - 1 / 2 } \right] \mathbf { M } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { C }
\begin{array} { r l r } { \vec { m } } & { { } = } & { \frac 1 2 \int _ { \mathcal { V } } d ^ { 3 } \vec { r } \; \left[ \vec { r } \wedge \vec { j } \left( \vec { r } \right) \right] \, , } \\ { Q _ { i j } } & { { } = } & { \frac { i } { \omega } \int _ { \mathcal { V } } d ^ { 3 } \vec { r } \left[ 3 \left( x _ { i } j _ { j } + x _ { j } j _ { i } \right) - 2 \delta _ { i j } \vec { r } \cdot \vec { j } \right] \, . } \end{array}
U = ( U _ { \alpha a } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { U _ { e 1 } } } & { { U _ { e 2 } } } & { { U _ { e 3 } } } \\ { { U _ { \mu 1 } } } & { { U _ { \mu 2 } } } & { { U _ { \mu 3 } } } \\ { { U _ { \tau 1 } } } & { { U _ { \tau 2 } } } & { { U _ { \tau 3 } } } \end{array} \right) .
t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 - 2 j } = 2 T _ { 2 } ^ { \frac { 2 r _ { \infty } - 5 - 2 j } { 2 } } \left( \sum _ { p = 1 } ^ { j } \frac { \underset { m = p + 1 } { \overset { j } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { 2 ^ { j - p } ( j - p ) ! } T _ { 1 } ^ { j - p } \tau _ { p } + T _ { 1 } ^ { j + 1 } \frac { \underset { m = 0 } { \overset { j } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { 2 ^ { j + 1 } ( j + 1 ) ! } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \xi } _ { p } } \left[ \int _ { t } ^ { t + \Delta t } f ( \boldsymbol { \xi } _ { p , s } , s ) d s \right] } \\ { \approx } & { \frac { \Delta t } { 2 } \left[ f ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t + \Delta t } , t + \Delta t ) + \sum _ { \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } \in N ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { c } , r ) } f ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } , t ) p _ { t } ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } ) \right] . } \end{array}
V = \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { - i \, \varphi } } } & { { s _ { \mathrm { u } } - s _ { \mathrm { d } } \, e ^ { - i \, \varphi } } } & { { s _ { \mathrm { u } } \, s } } \\ { { s _ { \mathrm { d } } - s _ { \mathrm { u } } \, e ^ { i \, \varphi } } } & { { 1 } } & { { s } } \\ { { - s _ { \mathrm { d } } \, s } } & { { - s } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { p r } _ { X } ^ { - 1 } ( \Phi _ { X } ) } ^ { q } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { p } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) ) } & { \otimes H _ { P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Y } ) } ^ { j } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { i } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \\ & { \to H _ { \Psi } ^ { p + j } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { p } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) \otimes \Omega _ { X \times Y } ^ { i } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \end{array}
\hat { G } _ { 0 } ( \textbf { x } _ { v r } ^ { \prime } , \textbf { x } , \omega ) = \int _ { \mathcal { D } _ { t a r } } \Gamma ( \textbf { x } _ { v r } ^ { \prime } , \textbf { x } _ { v r } , \omega ) G _ { 0 } ( \textbf { x } _ { v r } , \textbf { x } , \omega ) \, d \textbf { x } _ { v r } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, \nabla f ( x _ { k } ) \rangle - \| \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \beta _ { k - 1 } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, \nabla f ( x _ { k } ) \rangle - \| \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \beta _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { n u l l } } - D _ { \mathrm { f i t t e d } } } & { = - 2 \left( \ln { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ n u l l ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } - \ln { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ f i t t e d ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } \right) } \\ & { = - 2 \ln { \frac { \left( { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ n u l l ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } \right) } { \left( { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ f i t t e d ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } \right) } } } \\ & { = - 2 \ln { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ n u l l ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ f i t t e d ~ m o d e l } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \hat { A } ( \omega _ { n } ) \hat { B } ( \omega _ { n } ) \rangle } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ^ { \prime } ) \langle \hat { A } ( \omega ) \hat { B } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
x _ { c } = \frac { \int \int x T ^ { \alpha \beta } t _ { \alpha } t _ { \beta } d x d y } { \int \int T ^ { \alpha \beta } t _ { \alpha } t _ { \beta } d x d y } , \qquad y _ { c } = \frac { \int \int y T ^ { \alpha \beta } t _ { \alpha } t _ { \beta } d x d y } { \int \int T ^ { \alpha \beta } t _ { \alpha } t _ { \beta } d x d y } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \sigma \left( t \right) } { d t } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d t d \tau } \left( p \left( t , \tau \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) \right\vert _ { \tau = 0 } } \\ & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , \tau \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , \tau \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } \\ & { } & { - \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( t , \tau \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \circ _ { s } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s } p \left( t , 0 \right) \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 2 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { C _ { 1 2 , p } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \Delta t N + C _ { 1 2 , q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t + C _ { 1 2 , p ^ { 2 } } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t N + } \\ & { } & { C _ { 1 2 , p q } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t + C _ { 1 2 , q ^ { 2 } } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t , } \end{array}
\Gamma _ { \mu \alpha \beta \gamma } ( q , k _ { 1 } , k _ { 2 } ; q - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) = q _ { \mu } { k _ { 1 } } _ { \alpha } { k _ { 2 } } _ { \beta } f _ { \gamma } ( q , k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ,
S = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \ \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \biggl ( - R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } H ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \beta \, \mathrm { t r } F ^ { 2 } \biggr ) \ ,
A _ { \mu \nu \gamma } \, \Pi ^ { \mu \mu ^ { \prime } } \, \Pi ^ { \nu \nu ^ { \prime } } \, \Pi ^ { \gamma \gamma ^ { \prime } } \, \left( i \epsilon _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } \alpha } \, ( X \partial ^ { \alpha } X ^ { \dagger } - X ^ { \dagger } \partial ^ { \alpha } X ) \, \phi ^ { N } \right)
\! \! \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) \! \leq \! \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \! \left\{ \! H ( X ) \! + \! ( f _ { L } - f _ { W } ) \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } \omega \right\} \! - \! f _ { L } .
( u _ { 1 } + 1 / u _ { 1 } + u _ { 2 } + 1 / u _ { 2 } ) ^ { - 2 } = \frac { 1 } { \Gamma ( 2 ) } \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { 2 \pi i } \cdots \int _ { c _ { 4 } - i \infty } ^ { c _ { 4 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 4 } } { 2 \pi i } \langle z _ { 1 } + \cdots + z _ { 4 } + 2 \rangle u _ { 1 } ^ { z _ { 1 } - z _ { 2 } } u _ { 2 } ^ { z _ { 3 } - z _ { 4 } } \Gamma ( - z _ { 1 } ) \cdots \Gamma ( - z _ { 4 } )
{ \mathcal { H } } ( d , P _ { s } ) \; { \widehat { = } } \; { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \ln | S \, D ^ { - 1 } | - j ^ { \dagger } D \, j \right] = { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { T r } \left[ \ln \left( S \, D ^ { - 1 } \right) - j \, j ^ { \dagger } D \right] ,
\begin{array} { r l } { P _ { j } } & { { } = \exp \left\{ - \left[ 2 J _ { i j } \sigma _ { i } \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \sigma _ { j } \left( \tau \right) d \tau \right] ^ { + } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { s _ { n } ( x ) = a _ { n } ( x ) , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ x \in ( 1 , x _ { n } ] ~ \mathrm { a n d ~ f o r ~ a l l } ~ n \geq 1 . } \\ & { s _ { n } ( x ) = t _ { n } ( x ) , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ x \in \left( x _ { n } , \frac { 4 V _ { c } } { \sqrt { 3 } } \right] ~ \mathrm { a n d ~ f o r ~ a l l } ~ n \geq 1 . } \end{array}
S _ { 2 } ( t ) = \frac { d \Gamma ( \lambda _ { \gamma } = - 1 , t ) - d \Gamma ( \lambda _ { \gamma } = + 1 , t ) } { d \Gamma ( \lambda _ { \gamma } = - 1 , t ) + d \Gamma ( \lambda _ { \gamma } = + 1 , t ) } .
\begin{array} { r l } { [ H _ { \mathrm { P G } } ( t _ { 2 } ) , H _ { \mathrm { P G } } ( t _ { 1 } ) ] = } & { [ H _ { x } ( t _ { 2 } ) , H _ { x } ( t _ { 1 } ) ] + [ H _ { y } ( t _ { 2 } ) , H _ { y } ( t _ { 1 } ) ] } \\ { + } & { [ H _ { x } ( t _ { 2 } ) , H _ { y } ( t _ { 1 } ) ] + [ H _ { y } ( t _ { 2 } ) , H _ { x } ( t _ { 1 } ) ] . } \end{array}
- \frac { \left( \xi _ { n } \Omega \right) ^ { 2 } } { \beta _ { n } } \hat { \eta } _ { n } + \mathrm { ~ i ~ } \left( \xi _ { n } \Omega \right) \frac { 2 M } { \rho b } k \operatorname { t a n h } { k h } \hat { \eta } _ { n } + \left( 1 + \Gamma \right) g k \operatorname { t a n h } { k h } \, \hat { \eta } _ { n } = \frac { g k \operatorname { t a n h } { k h } } { 2 } \, f \left( \hat { \eta } _ { n - 1 } + \hat { \eta } _ { n + 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 1 2 } ^ { * } x _ { 3 2 } x _ { 3 1 } ^ { * } ) } & { = h ( a b ^ { * } h g ^ { * } ) = ( - q ) ^ { - 1 } \cdot h ( a ( d k - q \cdot f g ) h ( b f - q \cdot c e ) ) } \\ & { = - q ^ { - 1 } [ h ( a d k h b f ) - q \cdot h ( a d k h c e ) - q \cdot h ( a f g h b f ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a f g h c e ) ] } \\ & { = \frac { - q ^ { 4 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \right) - \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \ \mathrm { a n d } \ \exists 0 < j < \ell < \tau _ { A } : X _ { j } = X _ { \ell } \right) } \\ & { - \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \ \mathrm { a n d } \ \exists j < M : X _ { j } \in y [ 0 , i M ] \cup ( T \setminus A ) \right) . } \\ & { \leq \mathbb { P } _ { u } \! \left( X [ 0 , M ] \cap A \neq \emptyset \ \mathrm { a n d } \ \not \exists 0 < j < \ell \leq \tau _ { A } : X _ { j } = X _ { \ell } \ \mathrm { a n d } \ \not \exists j \leq \tau _ { A } : X _ { j } \in y [ 0 , i M ] \cup ( T \setminus A ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | C _ { \cal S } | = } & { \operatorname* { m a x } _ { k \in { \cal S } } | W _ { d _ { k } , { \cal S } \backslash \{ k \} } | = \operatorname* { m a x } _ { k \in { \cal S } } q _ { d _ { k } } ^ { s } ( 1 - q _ { d _ { k } } ) ^ { A - s } F _ { d _ { k } } , } \\ & { \quad \quad \quad \quad { \cal S } \subseteq { \cal A } , | { \cal S } | = s + 1 , s = 0 , \ldots , A - 1 . } \end{array}
_ { + } ^ { - } { \cal D } _ { n n ^ { \prime } } = \int { } \ { } _ { + } ^ { - } \phi _ { p _ { - } , n , + 1 , r } ^ { \dagger } ( x ) \ { } _ { + } ^ { - } \phi _ { p _ { - } , n ^ { \prime } , + 1 , r } ( x ) { } d x ^ { 2 } d x ^ { 4 } . . . d x ^ { 2 \left[ ( d - 1 ) / 2 \right] } , \; \mp \pi _ { - } < 0 .
w _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } - \left\lfloor \frac { u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } { L _ { i } } + \frac { \alpha } { 2 } \right\rfloor L _ { i } \, .