harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\cos ( \Phi ) = \cos ( i _ { A _ { a } A _ { b } } ) \cdot \cos ( i _ { A B } ) + \sin ( i _ { A _ { a } A _ { b } } ) \cdot \sin ( i _ { A B } ) \cdot \cos ( \Omega _ { A B } - \Omega _ { A _ { a } A _ { b } } ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { U } } } & { \approx \frac { ( \pi ^ { 2 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 l \mu _ { 0 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ( \sin ( 2 k _ { 2 } r _ { 2 } ) - 1 \Big ) } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) } \\ & { \quad \times \Big [ 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + J _ { 1 } ^ { 2 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + 2 \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) J _ { 0 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) - 2 \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( J _ { 0 } ^ { 2 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) + J _ { 1 } ^ { 2 } ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) \Big ] , } \end{array}
\hat { R } = \frac { \phi ( x _ { 0 } , \bar { \tau } _ { - 1 } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } - ( \bar { \tau } _ { - 1 } - \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } ) f _ { \operatorname* { i n f } } } { \tilde { \alpha } \theta \omega _ { p } \varepsilon _ { \Delta l } ^ { 2 } } + \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \ln \tilde { \alpha } - \ln \alpha _ { 0 } } { 2 \ln \gamma } , 0 \right\}
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 3 } \left( \begin{array} { c } { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n - 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } \; = \; \left( \begin{array} { c } { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n - 1 } \beta ^ { n } \rangle \ } \\ { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } \\ { \langle r ^ { n - 1 } r ^ { n + 1 } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } \beta ^ { n } \rangle } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \rangle } \\ { \langle r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \rangle } \end{array} \right) \frac { c _ { 3 } \Delta { t } } { 2 m } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial h _ { i j } } { \partial q _ { l k } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { i j } \partial q _ { l k } } - \sum _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } \delta _ { i l } \delta _ { k k ^ { \prime } } q _ { l ^ { \prime } j } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l ^ { \prime } k ^ { \prime } } } - \sum _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { k j } q _ { i k ^ { \prime } } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l ^ { \prime } k ^ { \prime } } } - \sum _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } q _ { i k ^ { \prime } } q _ { l ^ { \prime } j } \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial q _ { l ^ { \prime } k ^ { \prime } } \partial q _ { l k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \Bigg [ } & { { } \frac { \partial \bar { F } } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \varepsilon } + \frac { \partial \bar { F } } { \partial \varepsilon } } \end{array}
\left( T ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial T } + \int d x \frac { e ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { a = 1 } ^ { N ^ { 2 } } \left( \frac { \delta } { \delta A ^ { a } ( x ) } \right) ^ { 2 } \right) \left< A \right| e ^ { - H / T } \left| A ^ { g } \right> \; = \; 0 \; ,
{ \frac { \langle \bar { \Psi } \Psi \rangle } { \alpha ^ { 2 } } } \sim \left( { \frac { m _ { d } } { \alpha } } \right) ^ { 3 / 2 } \sim \exp \left[ - { \frac { 3 \pi } { \sqrt { N _ { f } ^ { c } / N _ { f } - 1 } } } \right] .
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k + 1 } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { 2 } { \alpha _ { y } r \delta } ) { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + ( 1 - \frac { \alpha _ { y } r \delta } { 2 } ) { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] + 2 s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { y } r \sigma _ { r } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \theta ) = } & { j \frac { 4 c _ { \theta } + k ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } c _ { \theta } } { 4 j c _ { \theta } - j k ^ { 2 } \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } c _ { \theta } } \cdots } \\ & { \ \frac { k ^ { 2 } ( \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { y x } ) ^ { 2 } c _ { \theta } } { - j k ^ { 2 } ( \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { y x } ) ^ { 2 } c _ { \theta } + 2 k \chi _ { \mathrm { e e } } ^ { y y } + 2 k \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } c _ { \theta } ^ { 2 } } \cdots } \\ & { \ \ \frac { - k k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } c _ { \theta } } { - 2 k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } + j k k _ { x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { x x } \chi _ { \mathrm { m m } } ^ { z z } s _ { \theta } c _ { \theta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) Y ( \theta ) Y ( 0 ) ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle } & { = \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) Y ( \theta ) Y ( \theta ) ^ { T } ( I + \theta \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } \rangle = \langle { \boldsymbol u } , ( I + z G ( \theta ) ) ( I + \theta \gamma { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \theta \gamma } + \frac { z } { 1 + \theta \gamma } \langle { \boldsymbol u } , G ( \theta ) { \boldsymbol u } \rangle . } \end{array}
F ( \eta , x + y , p ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { y } \sigma _ { \eta } \sigma _ { p } } \exp \left[ - \frac { ( x + y - D \eta ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p } ^ { 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } & { q _ { 1 } = \frac { \alpha _ { 4 } e ^ { p _ { 1 } \xi + \frac { \tau } { p _ { 1 } } } } { \beta _ { 3 } + \beta _ { 6 } e ^ { ( p _ { 1 } + p _ { 1 } ^ { * } ) \xi + ( \frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 1 } ^ { * } } ) \tau } } ; } \\ & { \theta _ { 1 } ( \xi , \ \tau ) \to 0 ; \quad \theta _ { 2 } ( \xi , \ \tau ) \to \infty } \\ & { q _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 2 } e ^ { p _ { 2 } \xi + \frac { \tau } { p _ { 2 } } } } { \beta + \beta _ { 3 } e ^ { ( p _ { 2 } + p _ { 2 } ^ { * } ) \xi + ( \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { * } } ) \tau } } ; } \\ & { \theta _ { 2 } ( \xi , \ \tau ) \to 0 ; \quad \theta _ { 1 } ( \xi , \ \tau ) \to - \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ^ { \prime } } & { = - c ^ { \prime } \cdot \left( ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \frac { T ^ { k + 1 } - 1 } { T - T ^ { - 1 } } + ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } \left( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } \right) \frac { T ^ { k } - T } { T - T ^ { - 1 } } \right) } \\ & { = - c ^ { \prime } \cdot \left( ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \frac { T - T ^ { - 1 } } { 1 - T ^ { - 2 } } + T ^ { k + 1 / 2 } \cdot \left( ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) + T ^ { - 1 } ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \right) \frac { T ^ { ( k - 1 ) / 2 } - T ^ { - ( k - 1 ) / 2 } } { 1 - T ^ { - 2 } } \right) } \\ & { = - c ^ { \prime } \cdot ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \frac { \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } { 1 - \theta _ { - 2 ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } } \\ & { \quad - c ^ { \prime } \cdot \theta _ { ( k + 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot \left( ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) + \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \right) \frac { \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } - \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } } { 1 - \theta _ { - 2 ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } } \\ & { = - c ^ { \prime } \cdot ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - c ^ { \prime } \cdot \theta _ { ( k + 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot \left( \theta _ { ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } T _ { s ^ { \prime } } - T _ { s ^ { \prime } } \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \right) } \\ & { = - c ^ { \prime } \cdot ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) \theta _ { ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } - c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + c ^ { \prime } \cdot \theta _ { ( k + 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } \cdot T _ { s ^ { \prime } } \cdot \theta _ { - ( k - 1 ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } / 2 } . } \end{array}
\frac { d } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 3 } } + \frac { 1 } { p _ { 4 } } \le d + 1 , \quad \frac { d } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { d } { p _ { 3 } } + \frac { 1 } { p _ { 4 } } \le 2 d - 2 , \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { d } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 3 } } + \frac { d } { p _ { 4 } } \le 2 d - 2 .
\varphi _ { C } = \frac { 1 } { g r } \left[ { \cal { N } } { \sin } ( \overline { { { \cal { N } } } } + { \cal { N } } ) + { \cos } ( \overline { { { \cal { N } } } } + { \cal { N } } ) - 1 \right] + { \cal T } _ { C } \left[ { \cos } ( \overline { { { \cal { N } } } } + { \cal { N } } ) - 1 \right] + { \cal T } _ { A } \, { \sin } ( \overline { { { \cal { N } } } } + { \cal { N } } ) \, .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } C _ { i j k \ell } ^ { u } e _ { k \ell } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } M ^ { ( p ) } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } \zeta ^ { ( p ) } \, , } \\ { p _ { f } ^ { ( p ) } } & { = - M ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { k \ell } ^ { ( p ) } e _ { k \ell } + M ^ { ( p ) } \zeta ^ { ( p ) } \, , } \end{array}
\oint _ { \partial \Sigma } { \mathbf { F } ( \mathbf { x } ) \cdot \, d \mathbf { l } } = \oint _ { \gamma } { \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( \mathbf { y } ) ) \cdot \, d \mathbf { \psi } ( \mathbf { y } ) } = \oint _ { \gamma } { \mathbf { F } ( \mathbf { \psi } ( \mathbf { y } ) ) J _ { \mathbf { y } } ( \mathbf { \psi } ) \, d \mathbf { y } }
\tilde { f } ( \lambda _ { i } , \lambda _ { j } ) = ( 2 \pi ) ^ { - 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mu _ { i } d \mu _ { j } f ^ { \prime } ( \mu _ { i } \mu _ { j } ) e ^ { - i \mu _ { i } \lambda _ { i } } e ^ { - i \mu _ { j } \lambda _ { j } }
\int \sum _ { k , j } \sum _ { n , m } \left( e ^ { \sigma } + e ^ { \gamma } - 1 \right) f _ { n , k + } ^ { R ^ { \ast } } \left( \phi , \rho \right) f _ { m , j + } ^ { R } \left( \phi , \rho \right) \mathrm { d } \phi \mathrm { d } \rho = \delta _ { m n } , \delta _ { k j }
V ( A ) = V ( A _ { 0 } ) + V ^ { \prime } ( A _ { 0 } ) ( A - A _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } V ^ { \prime \prime } ( A _ { 0 } ) ( A - A _ { 0 } ) ^ { 2 } + { \cal O } ( ( A - A _ { 0 } ) ^ { 3 } ) ,
I ( \omega ) \propto \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d t \, e ^ { - j \omega t } \iint _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d x _ { 0 } d p _ { 0 } \left( e ^ { - \beta \widehat { H _ { a } } } \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] \left( \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger * } ( - \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) + \widehat { \mathcal { P } } ^ { * } ( - \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x _ { t } , p _ { t } ]
{ \dot { \mathbf { O } } } = { \frac { \delta r } { \delta t } } { \hat { \mathbf { r } } } + r { \frac { \delta { \hat { \mathbf { r } } } } { \delta t } } = { \dot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + r [ { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ]
T _ { x , P } \triangleq \left\{ x ^ { \prime } \in [ - 1 , 1 ] ^ { m } : - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } < x _ { c } - x _ { c } ^ { \prime } \leq \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } , \; \forall c \in I _ { P } \right\} .
F _ { \mu \nu \rho \sigma \tau } = - \frac { 1 } { 5 ! } \sqrt { - g } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma \tau \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } \tau ^ { \prime } } F ^ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } \rho ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } \tau ^ { \prime } } ~ ,
\psi ( x , y , z ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Psi _ { 0 } ( k _ { x } , k _ { y } ) ~ e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } ~ e ^ { \pm i z { \sqrt { k ^ { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } } } } ~ d k _ { x } d k _ { y } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 2 . 1 )
G ^ { 2 } = \frac { \langle \hat { y } , \hat { y } \rangle ^ { 2 } } { \langle \hat { f } , \hat { f } \rangle ^ { 2 } } = \frac { \hat { y } ^ { H } W _ { o u t } \hat { y } } { \hat { f } ( \psi ) ^ { H } \hat { f } ( \psi ) } ,
= { \hat { f } } \left( \sum _ { ( i , j ) : i + j = 2 k } { a _ { i } b _ { j } \theta ^ { k } } + \sum _ { ( i , j ) : i + j = 2 k + n } { a _ { i } b _ { j } \theta ^ { n + k } } \right) = { \hat { f } } \left( A _ { k \leftarrow k } \right) \bullet { \hat { f } } ( B _ { k \leftarrow k } ) + { \hat { f } } ( A _ { k \leftarrow k + n } ) \bullet { \hat { f } } ( B _ { k \leftarrow k + n } )
\begin{array} { r } { s _ { v } \, \mathrm { d } \bigl ( \frac { 1 } { s _ { v } } \, \pounds _ { v } \log s _ { v } \bigr ) - \mathrm { d } \, \pounds _ { v } \log s _ { v } = - ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \, ( \mathrm { d } \log s _ { v } ) \ , } \end{array}
\{ \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } , i } \} _ { i = 1 } ^ { C } = \operatorname { C o o r d T o L a t e n t } ( \{ \mathbf { T } _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { C } , \{ \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \} _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } } )
\begin{array} { r l } { \deg _ { \star } ^ { ( h , \delta ) } ( [ T , o ] ) } & { = | \{ v \sim _ { T } o : \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta \} | } \\ & { = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \Xi \times \bar { \mathcal { T } } _ { * } ^ { 0 } } | \{ v \sim _ { T } o : T [ v , o ] _ { 0 } = t \mathrm { ~ a n d ~ } T [ o , v ] _ { 0 } = t ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } ( \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta ) \} | } \\ & { = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } } | \{ v \sim _ { T } o : T [ v , o ] _ { 0 } = t \mathrm { ~ a n d ~ } T [ o , v ] _ { 0 } = t ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } ( \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta ) \} | } \\ & { = \sum _ { t , t ^ { \prime } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } } \widetilde { D } _ { t , t ^ { \prime } } ( [ T , o ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { i \neq j } \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } ( u _ { i j } + u _ { i j } ^ { \prime } ) + 2 \, v _ { i } - \left( \nu ( \Omega ) - 1 \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { j \neq i } ( u _ { i j } - u _ { i j } ^ { \prime } ) + v _ { i } \geq \nu _ { i } - \tau _ { i } , } & { \forall { i \leq m } , } \\ & { u _ { i j } , u _ { i j } ^ { \prime } , v _ { i } \geq 0 } & { \forall i , j \leq m , i \not = j . } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 3 } \} + \{ X ^ { 4 } , X ^ { 2 } \} + \{ X ^ { 5 } , X ^ { 7 } \} + \{ X ^ { 8 } , X ^ { 6 } \} = 0 } } \\ { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 4 } \} + \{ X ^ { 2 } , X ^ { 3 } \} + \{ X ^ { 8 } , X ^ { 5 } \} + \{ X ^ { 7 } , X ^ { 6 } \} = 0 } } \\ { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 5 } \} + \{ X ^ { 4 } , X ^ { 8 } \} + \{ X ^ { 7 } , X ^ { 3 } \} + \{ X ^ { 6 } , X ^ { 2 } \} = 0 } } \\ { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 6 } \} + \{ X ^ { 2 } , X ^ { 5 } \} + \{ X ^ { 3 } , X ^ { 8 } \} + \{ X ^ { 4 } , X ^ { 7 } \} = 0 } } \\ { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 7 } \} + \{ X ^ { 3 } , X ^ { 5 } \} + \{ X ^ { 8 } , X ^ { 2 } \} + \{ X ^ { 6 } , X ^ { 4 } \} = 0 } } \\ { { \{ X ^ { 1 } , X ^ { 8 } \} + \{ X ^ { 5 } , X ^ { 4 } \} + \{ X ^ { 2 } , X ^ { 7 } \} + \{ X ^ { 6 } , X ^ { 3 } \} = 0 . } } \end{array}
i s t h e s p e c t r a l n o r m . T h e f u n c t i o n i s n o t c o e r c i v e a n d i t s g r a d i e n t i s n o t L i p s c h i t z c o n t i n u o u s . T h u s n o n e o f t h e c o n v e r g e n c e t h e o r e m s i n t h e o p t i m i z a t i o n l i t e r a t u r e a p p l y , t o t h e b e s t o f o u r k n o w l e d g e . T h e r e o n l y e x i s t r e s u l t s t a i l o r e d t o l o w - r a n k m a t r i x f a c t o r i z a t i o n \cite [ T h e o r e m 3 . 1 ] { d u 2 0 1 8 a l g o r i t h m i c } \cite [ T h e o r e m 1 . 1 ] { y e 2 0 2 1 g l o b a l } . T h e y r e q u i r e i n i t i a l i z a t i o n n e a r t h e o r i g i n a n d
g _ { m n } = \delta _ { m n } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { p } y ^ { q } N _ { p } ^ { P } N _ { q } ^ { Q } N _ { m } ^ { M } N _ { n } ^ { N } R _ { M P N Q } ( y = 0 ) + { \cal O } ( y ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } , y _ { 1 } , \ldots , y _ { M } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log _ { 2 } \left( 1 + \alpha _ { i } x _ { i } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { M } \log _ { 2 } \left( 1 + \beta _ { j } y _ { j } \right) \right) } \\ & { - \lambda _ { 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { M } y _ { j } - A \right) } \\ & { - \lambda _ { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \log _ { 2 } \left( 1 + \beta _ { j } y _ { j } \right) - B \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 2 } } t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ( \widetilde { c } ^ { 1 } \sqcup \cdots \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 2 } \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) } \\ & { = } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 3 } } t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ( \widetilde { c } ^ { 1 } ) \sqcup \cdots \sqcup t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ( \widetilde { c } ^ { k - 2 } ) \sqcup t _ { \gamma ^ { k - 1 } } ( \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) ) } \\ & { = } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 3 } } t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( \widetilde { c } ^ { 1 } \sqcup \cdots \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 2 } \sqcup \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) ) } \\ & { = } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 3 } } ( t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( \widetilde { c } ^ { 1 } ) \sqcup \cdots \sqcup t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( \widetilde { c } ^ { k - 3 } ) \sqcup t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( \widetilde { c } ^ { k - 2 } ) \sqcup t _ { \gamma ^ { k - 2 } } ( \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) ) ) } \\ & { = } & { t _ { \gamma ^ { 1 } } \cdots t _ { \gamma ^ { k - 3 } } ( \widetilde { c } ^ { 1 } \sqcup \cdots \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 3 } \sqcup \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 2 } ) \sqcup \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) ) } \\ & { \vdots } & \\ & { = } & { \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { 1 } ) \sqcup \cdots \sqcup \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 2 } ) \sqcup \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) } \\ & { = } & { \widetilde { \sigma [ a ] } ( \widetilde { c } ^ { 1 } \sqcup \cdots \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 2 } \sqcup \widetilde { c } ^ { k - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { y } ^ { c } ( x ) } & { = \mathbf { C } ( x ) \mathbf { C } _ { \mathrm { s } } ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } , } \\ { C _ { y } ^ { c } ( x , x ^ { \prime } ) } & { = C _ { y } ( x , x ^ { \prime } ) - \mathbf { C } ( x ) \mathbf { C } _ { \mathrm { s } } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\frac { \varphi _ { n + 1 } - 2 \varphi _ { n } + \varphi _ { n - 1 } } { T ^ { 2 } } + \left( \mu ^ { 2 } - \nabla ^ { 2 } \right) \frac { \left( \varphi _ { n + 1 } + 4 \varphi _ { n } + \varphi _ { n - 1 } \right) } 6 = { } _ { { } _ { \! \! \! \! \! \! \! c } } \; \, j _ { n } .
\mathcal { U } _ { 2 } ^ { \pm } = \Bigg [ s = 0 , x = \frac { \pm \sqrt { - 8 \alpha ^ { 2 } + 8 \alpha + 1 } - 4 \alpha + 1 } { 8 \alpha - 1 2 \alpha ^ { 2 } } \Bigg ] ,
7 . 1 2 \Gamma _ { \hat { h } } ( \phi ) \ = \ \frac { 1 } { 9 6 \pi } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \xi \sqrt { | \hat { h } ( \xi ) | } \ \left( \hat { h } ^ { \alpha \beta } ( \xi ) \, \partial _ { \alpha } \phi ( \xi ) \, \partial _ { \beta } \phi ( \xi ) \; + \; 4 r _ { \hat { h } } ( \xi ) \, \phi ( \xi ) \right) \ .
\begin{array} { r l } { r ( x + 1 ) - r ( x ) } & { = \binom { n - 1 } { i - 1 } \cdot \bigl [ ( x + 1 ) ^ { i - 1 } \, ( - x ) ^ { n - i } - x ^ { i - 1 } \, ( 1 - x ) ^ { n - i } \bigr ] } \\ & { = \binom { n - 1 } { i - 1 } \cdot \biggl [ \sum _ { k = i } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } \, \binom { n - i } { n - k } \, ( - x ) ^ { k - 1 } + \sum _ { k = n - i + 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { n - i } \, \binom { i - 1 } { n - k } \, x ^ { k - 1 } \biggr ] . } \end{array}
\Delta m _ { \tilde { \nu } _ { i } } = 2 m _ { \tilde { \nu } _ { i } } M _ { Z } ^ { 2 } m _ { A } ^ { 4 } | \eta _ { i } | ^ { 2 } c _ { \beta } ^ { 2 } s _ { \beta } ^ { 4 } / F _ { S }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \alpha ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) = \frac { \exp ( \mathrm { L e a k y R e L U } ( e ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { j } ) ) ) } { \sum _ { k \in \mathcal { N } _ { i } ^ { \phi _ { p } } } \exp ( \mathrm { L e a k y R e L U } ( e ^ { \phi _ { p } } ( h _ { i } , h _ { k } ) ) ) } , } \end{array} } \end{array}
{ \cal L } _ { m o d e l } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 1 } { 4 } \, c _ { 1 } \, f _ { \mu \nu } ^ { \, 2 } - \frac { 1 } { 4 } \, c _ { 2 } \, f _ { \mu \nu } \, \widetilde { f } ^ { \mu \nu } + \, \frac { 1 } { 8 } \, Q _ { B \mu \nu \kappa \lambda } \, f ^ { \mu \nu } \, f ^ { \kappa \lambda } \; ,
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { n ^ { 2 } \pi i \tau + 2 n i z } = \frac { 1 } { \sqrt { - i \tau } } \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { ( z - n \pi ) ^ { 2 } / ( \pi i \tau ) }
N ^ { \prime } = n _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k - 1 } ^ { 2 } + n _ { i } + \cdots + n _ { k - 1 } + \sum _ { j = 2 } ^ { k - 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { j } - n _ { j + 1 } } a _ { p } ^ { ( j ) } + 2 \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { k - 1 } } b _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \bar { \textbf { f } } _ { * } } & { { } = k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } ) \left[ k ( \textbf { x } , \textbf { x } ) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \textbf { I } \right] ^ { - 1 } \textbf { y } } \\ { c o v ( \textbf { f } _ { * } ) } & { { } = k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } _ { * } ) - k ( \textbf { x } _ { * } , \textbf { x } ) \left[ k ( \textbf { x } , \textbf { x } ) + \sigma _ { n } ^ { 2 } \textbf { I } \right] ^ { - 1 } k ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { * } ) } \end{array}