harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { \check { q } } } \\ { \frac { 1 } { \check { q } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = \left( \begin{array} { l } { - \nu _ { { X _ { 1 } } , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } } \\ { - \nu _ { { X _ { 1 } } , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } } \\ { \frac { 1 } { t } } \end{array} \right)
V ( r ) \sim G _ { N } \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r } \left[ 1 + \frac { 2 } { 3 } \int _ { m _ { 0 } } ^ { \infty } d m R e ^ { - m r } | \psi _ { m } ( R ) | ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { i , l } ^ { x } } & { = \frac { \mu _ { i , l - 1 } ^ { x } } { | \mu _ { i , l - 1 } ^ { x } | } c o s ( \theta _ { i , l } ) } \\ { \mu _ { i , l } ^ { y } } & { = s i n ( \theta _ { i , l } ) c o s ( \phi _ { i , l } ) } \\ { \mu _ { i , l } ^ { z } } & { = s i n ( \theta _ { i , l } ) s i n ( \phi _ { i , l } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { 0 } } & { { } = \Big [ \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( t ) \mathrm { d } t \Big ] } \\ { \mathbf { w } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \Big [ \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( t ) \sin ( t ) \mathrm { d } t , \cdots , \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( t ) \sin ( \frac { N } { 2 } t ) \mathrm { d } t \Big ] } \\ { \mathbf { w } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } } } & { { } = \Big [ \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( t ) \cos ( t ) \mathrm { d } t , \cdots , \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } g _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ e ~ n ~ d ~ } } ( t ) \cos ( \frac { N } { 2 } t ) \mathrm { d } t \Big ] . } \end{array}
\epsilon ^ { 3 / 2 } \frac { \partial n _ { d } } { \partial \tau } - V _ { 0 } \epsilon ^ { 1 / 2 } \frac { \partial n _ { d } } { \partial \zeta } + \epsilon ^ { 1 / 2 } \frac { \partial n _ { d } u _ { d } } { \partial \zeta } = 0 ,
\prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \, \bigg [ \Big ( \lambda \, - \, \varepsilon \Big ) ^ { 2 } \: - \: \frac { n ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \, \bigg ] \, \bigg [ \, 1 \: + \: \frac { \varepsilon } { \lambda \, - \, \varepsilon } \ - \ \frac { 1 } { \lambda - \varepsilon } \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \, \frac { m ^ { ( n ) \, 2 } } { \lambda \: - \: \varepsilon \: - \: \frac { n } { R } \: } \ \bigg ] \ = \ 0 \, ,
N _ { i } ^ { \mathrm { t h } } = \int d E _ { \nu } \sigma ( E _ { \nu } ) \sum _ { j } \frac { \phi _ { j } ( t , E _ { \nu } ) } { L _ { j } ^ { 2 } } P _ { j } ( { \overline { { \nu } } } _ { e } \rightarrow { \overline { { \nu } } } _ { e } , E _ { \nu } ) \int d T R ( T , T ^ { \prime } ) \, ,
\begin{array} { r } { \hat { x } _ { E } : = \frac { \hat { x } _ { \alpha ^ { \prime } } + \hat { x } _ { \beta } } { \sqrt { 2 } } \; , \quad \hat { p } _ { E } : = \frac { \hat { p } _ { \alpha ^ { \prime } } - \hat { p } _ { \beta } } { \sqrt { 2 } } \; , } \end{array}
| \chi _ { ( K , [ 1 ] ) } ( g , h ) | = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { | G | } { | K | } } & { \mathrm { ~ i f ~ } g , h \in K ~ , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } ~ , } \end{array} \right. \quad | \chi _ { ( N , [ 1 ] ) } ( g , h ) | = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { | G | } { | N | } } & { \mathrm { ~ i f ~ } g , h \in N ~ , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } ~ , } \end{array} \right.
{ \cal O } _ { 5 } \equiv { \cal O } _ { 5 } ^ { \, m n } = \vert \Gamma _ { L m } ^ { \tilde { b } } \vert ^ { 2 } \, \Im m \left( \Gamma _ { L n } ^ { \tilde { t } * } \Gamma _ { R n } ^ { \tilde { t } } \right) \, .
\epsilon \frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial t } d x = \epsilon D _ { \mathrm { a x } } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x ^ { 2 } } d x - \epsilon u \frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x } d x + k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } ( C _ { S } ^ { i , j } - C _ { F } ^ { i , j } ) d x \ ,
\begin{array} { r l } { L } & { { } = w _ { \mathrm { d a t a } } \mathrm { M S E _ { \mathrm { d a t a } } } + w _ { \sigma } \mathrm { M S E } _ { \sigma } + w _ { \lambda } \mathrm { M S E } _ { \lambda } , } \\ { \mathrm { M S E _ { \mathrm { d a t a } } } } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } | \sigma _ { \mathrm { e x p e r i m e n t } } ( t _ { i } ) - \sigma ( t _ { i } ) | ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { \sigma } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \left. \frac { d \sigma } { d t } \right| _ { t = t _ { i } } - \frac { G } { \eta _ { s } + \eta _ { p } } \left\{ - \sigma ( t _ { i } ) + \sigma _ { y } \lambda ( t _ { i } ) + [ \eta _ { s } + \eta _ { p } \lambda ( t _ { i } ) ] \dot { \gamma } ( t _ { i } ) \right\} \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { \lambda } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \left. \frac { d \lambda } { d t } \right| _ { t = t _ { i } } - k _ { + } [ 1 - \lambda ( t _ { i } ) ] + k _ { - } \dot { \gamma } ( t _ { i } ) \lambda ( t _ { i } ) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | X _ { t } ^ { \varepsilon } | > R , \nu _ { T } ^ { \varepsilon } \leq K T / \varepsilon ^ { 2 } \Big ) } & { \leq \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K T \varepsilon ^ { - 2 } } \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { k - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big | > R - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon - | x | \Big ) } \\ & { \leq \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K T \varepsilon ^ { - 2 } } \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } \Delta _ { k } ^ { \varepsilon } \Big | > R - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon - C _ { 1 } K T - | x | \Big ) } \\ & { \leq \frac { C _ { 2 } K T } { ( R - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon - C _ { 1 } K T - | x | ) ^ { 2 } } \leq \frac { \delta } { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \phi _ { 1 } = \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } _ { k } ) \quad } & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) \phi _ { 2 } = 0 \quad } & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } } \\ { \phi _ { 1 } = \phi _ { 2 } ; \quad \epsilon _ { 1 } \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } = \epsilon _ { 2 } \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \mathbf { n } } \quad } & { \mathbf { x } \in \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { { } \mathrm { B e t a } ( A _ { q } , B _ { q } ) , m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { { } \mathrm { B e r n o u l l i } ( q _ { m } ) , } \\ { \mathbb { K } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } ( \alpha _ { \mathbb { K } } , \beta _ { \mathbb { K } } ) , } \\ { \mathbf { P } _ { \mathrm { i n } } \sim } & { { } \, \mathrm { D i r i c h l e t } ( \alpha _ { \Pi } ) . } \end{array}
N _ { 1 , 2 } ^ { ( L , R ) } = \frac { 1 } { \sqrt { \left( \frac { k _ { 0 } \chi ^ { ( L , R ) } } { 2 \kappa } [ \beta _ { 1 , 2 } ^ { ( L , R ) } ] ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } + k _ { 0 } \kappa \chi ^ { ( L , R ) } ) \right) ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } [ \beta _ { 1 , 2 } ^ { ( L , R ) } ] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \big ( \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } } \\ { \leq } & { 3 ^ { 3 } \Bigg \{ \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \log \operatorname* { d e t } \Xi _ { k - 1 } ( \beta _ { 0 } ) \bigg ) ^ { 4 } + n ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 8 } ( 2 d ) ^ { 3 } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } ^ { d } \Bigg [ \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 0 } ) \bigg ) ^ { l _ { 1 } l _ { 2 } } \Bigg ] ^ { 4 } \big ( P _ { k } ^ { l _ { 1 } } P _ { k } ^ { l _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } } \\ & { + 1 6 n ^ { - 2 } \varepsilon ^ { - 8 } d ^ { 3 } \sum _ { l _ { 1 } } ^ { d } \Bigg [ \bigg \{ \biggl ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } \bigl ( \theta _ { 0 } \bigr ) \biggr ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta _ { 0 } ) \bigg \} ^ { l _ { 1 } } \Bigg ] ^ { 4 } \big ( P _ { k } ^ { l _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } \Bigg \} , } \end{array}
Q _ { j } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \hbar \omega [ \Theta ( \omega , T _ { \mathrm { ~ H ~ } } , 0 ) - \Theta ( \omega , T _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mu ) ] \Phi _ { m j } ( \omega ) A _ { \mathrm { ~ B ~ i ~ } } d \omega
{ \begin{array} { r l } { p _ { H } ( x | { \boldsymbol { \chi } } , \nu ) } & { = { \displaystyle \int _ { \boldsymbol { \eta } } p _ { F } ( x | { \boldsymbol { \eta } } ) p _ { G } ( { \boldsymbol { \eta } } | { \boldsymbol { \chi } } , \nu ) \, \operatorname { d } { \boldsymbol { \eta } } } } \\ & { = { \displaystyle \int _ { \boldsymbol { \eta } } h ( x ) g ( { \boldsymbol { \eta } } ) e ^ { { \boldsymbol { \eta } } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { T } ( x ) } f ( { \boldsymbol { \chi } } , \nu ) g ( { \boldsymbol { \eta } } ) ^ { \nu } e ^ { { \boldsymbol { \eta } } ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \chi } } } \, \operatorname { d } { \boldsymbol { \eta } } } } \\ & { = { \displaystyle h ( x ) f ( { \boldsymbol { \chi } } , \nu ) \int _ { \boldsymbol { \eta } } g ( { \boldsymbol { \eta } } ) ^ { \nu + 1 } e ^ { { \boldsymbol { \eta } } ^ { \mathrm { { T } } } ( { \boldsymbol { \chi } } + \mathbf { T } ( x ) ) } \, \operatorname { d } { \boldsymbol { \eta } } } } \\ & { = h ( x ) { \frac { f ( { \boldsymbol { \chi } } , \nu ) } { f ( { \boldsymbol { \chi } } + \mathbf { T } ( x ) , \nu + 1 ) } } } \end{array} }
n = \frac { 3 + \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } } { 3 ( 1 + \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } ) } \; , \; \; \; \; m = \frac { - 2 } { 1 + \sqrt { 3 \Omega _ { 0 } } } \; .
S _ { { \cal C } , 2 p , n } = { \frac { 1 } { n ! } } \sum _ { { \cal B } = \emptyset , { \cal Q } = \emptyset \atop \{ \underline { \tau } \} , { \cal J } _ { r _ { m a x } } ^ { \prime } } \sum _ { \{ { \sigma } \} } ^ { \prime } { \epsilon } ( { \cal J } ^ { \prime } ) \prod _ { v } \int _ { \Lambda _ { \beta } } d x _ { v } \prod _ { \ell \in { \cal T } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d w _ { \ell } C _ { r _ { \ell } , { \sigma } _ { \ell } } ( x _ { \ell } , y _ { \ell } ) [ \operatorname* { d e t } C _ { r , { \sigma } } ( w ) ] _ { { l e f t } } .
\pi _ { i \leftarrow \tau } ( s _ { \tau } ) = \pi _ { i \leftarrow \tau } ( s _ { \tau } \mid \mathcal C _ { n } ) P ( \mathcal C _ { n } ) + \sum _ { r = 1 } ^ { n - 1 } \pi _ { i \leftarrow \tau } ( s _ { \tau } \mid \mathcal C _ { n - r } ) P ( \mathcal C _ { n - r } ) .
\operatorname { C o v } ( \hat { q } ) = \frac { \hbar } { 2 } Q _ { t } \cdot Q _ { t } ^ { \dag } \mathrm { ~ \ \ a ~ n ~ d ~ \ \ } \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) = \frac { \hbar } { 2 } P _ { t } \cdot P _ { t } ^ { \dag } .
\begin{array} { r l r } { \dot { x _ { i } } ( t ) } & { { } = } & { - f _ { i } ( x ( t ) ) + 2 g _ { i j } ( x ( t ) ) p _ { j } ( t ) } \\ { \dot { p _ { i } } ( t ) } & { { } = } & { p _ { j } \partial _ { i } f _ { j } ( x ( t ) ) - p _ { j } \partial _ { i } g _ { j k } ( x ( t ) ) p _ { k } ( t ) . } \end{array}
q ^ { \mu } \left\{ \tilde { \Gamma } _ { \mu } ( q ; p , p ^ { \prime } ) - i e \mu ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } ( p ^ { \prime } + p ) _ { \mu } \tilde { D } \right\} = - e \mu ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } \left\{ ( \tilde { \Gamma _ { 2 } } ( p ^ { \prime } ) + i p ^ { \prime 2 } \tilde { D } ) - ( \tilde { \Gamma _ { 2 } } ( p ) + i p ^ { 2 } \tilde { D } ) \right\} \; .
x S ( x , Q ^ { 2 } ) = N ( Q ^ { 2 } ) x ^ { \alpha ( Q ^ { 2 } ) } ( 1 - x ) ^ { \beta ( Q ^ { 2 } ) } \bigl [ 1 + a ( Q ^ { 2 } ) x + b ( Q ^ { 2 } ) x ^ { 2 } \bigr ] \Bigl [ \ln ( { \frac { 1 } { x } } ) + f ( \ln ( { \frac { 1 } { x } } ) , Q ^ { 2 } \Bigr ] .
\begin{array} { r l } { h _ { N } ( k ) } & { \geq \frac { \pi } { 2 } \Big [ \frac { 3 } { 2 0 4 8 } k ^ { 8 } + \sum _ { n = 5 } ^ { N - 1 } \tau _ { n } k ^ { 2 n } - \sum _ { n = N } ^ { \infty } ( P _ { 2 n } ) ^ { 2 } k ^ { 2 n } \Big ] } \\ & { \geq \frac { \pi } { 2 } \Big [ \frac { 3 } { 2 0 4 8 } k ^ { 8 } + \sum _ { n = 5 } ^ { N - 1 } \tau _ { n } k ^ { 2 n } - k ^ { 2 N } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( P _ { 2 n } ) ^ { 2 } k ^ { 2 n } \Big ] } \\ & { = \frac { 3 \pi } { 4 0 9 6 } k ^ { 8 } + \frac { \pi } { 2 } \sum _ { n = 5 } ^ { N - 1 } \tau _ { n } k ^ { 2 n } - k ^ { 2 N } K ( k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( t ) } & { { } \sim t ^ { - \beta / \nu _ { | | } } \mathcal { F } ( \Delta t ^ { 1 / \nu _ { | | } } ) } \\ { \rho ( t ) } & { { } \sim L ^ { - \beta / \nu _ { \perp } } \mathcal { G } ( t L ^ { - z } ) , } \end{array}
{ \frac { C ( 1 , 1 ) } { 2 ^ { 5 / 2 } } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { 3 - x ^ { 2 } } } \, \left( \log \frac 3 4 + \log \frac { 3 + x } { 2 + x } - \frac { x ^ { 2 } } { 4 - x ^ { 2 } } \log \frac { 4 } { 2 + x } + \frac { x } { 2 + x } \log \frac { 3 + x } { 3 } \right)
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { d l } } } = \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \, \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu , \mathbf { r } ) \, ( - e ) \frac { \partial \left[ \phi ( \mathbf { r } ) - \phi _ { \mathrm { e l y t e } } \right] } { \partial N } \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Sigma } ( n ^ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta \zeta } ^ { \lambda \eta \sigma } g ^ { \beta \rho } g ^ { \zeta \phi } \delta g _ { \eta \rho } \wedge \nabla _ { \lambda } \delta g _ { \sigma \phi } ) \mathrm { v o l } _ { \gamma } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial \Sigma } ( \mu ^ { \sigma } n ^ { \alpha } g ^ { \beta \mu } - \overline { { m } } ^ { \beta } \nu ^ { \alpha } g ^ { \mu \sigma } ) \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } \mathrm { v o l } _ { \overline { { \gamma } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( L , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) = } & { { \sum } _ { N _ { 1 1 1 0 } , N _ { - 1 1 1 0 } , N _ { 1 0 1 0 } , N _ { - 1 0 1 0 } , N _ { 1 - 1 1 0 } , N _ { - 1 - 1 1 0 } \atop N _ { 1 1 - 1 0 } , N _ { - 1 1 - 1 0 } , N _ { 1 0 - 1 0 } , N _ { - 1 0 - 1 0 } , N _ { 1 - 1 - 1 0 } , N _ { - 1 - 1 - 1 0 } } ^ { \prime } C _ { L / 4 } ^ { N _ { 1 1 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } } ^ { N _ { - 1 1 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } } ^ { N _ { 1 0 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } } ^ { N _ { - 1 0 1 0 } } } \\ & { C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } } ^ { N _ { 1 - 1 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } } ^ { N _ { - 1 - 1 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } } ^ { N _ { 1 1 - 1 0 } } } \\ & { C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } - N _ { 1 1 - 1 0 } } ^ { N _ { - 1 1 - 1 0 } } C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } - N _ { 1 1 - 1 0 } - N _ { - 1 1 - 1 0 } } ^ { N _ { 1 0 - 1 0 } } } \\ & { C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } - N _ { 1 1 - 1 0 } - N _ { - 1 1 - 1 0 } - N _ { 1 0 - 1 0 } } ^ { N _ { - 1 0 - 1 0 } } } \\ & { C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } - N _ { 1 1 - 1 0 } - N _ { - 1 1 - 1 0 } - N _ { 1 0 - 1 0 } - N _ { - 1 0 - 1 0 } } ^ { N _ { 1 - 1 - 1 0 } } } \\ & { C _ { L / 4 - N _ { 1 1 1 0 } - N _ { - 1 1 1 0 } - N _ { 1 0 1 0 } - N _ { - 1 0 1 0 } - N _ { 1 - 1 1 0 } - N _ { - 1 - 1 1 0 } - N _ { 1 1 - 1 0 } - N _ { - 1 1 - 1 0 } - N _ { 1 0 - 1 0 } - N _ { - 1 0 - 1 0 } - N _ { 1 - 1 - 1 0 } } ^ { N _ { - 1 - 1 - 1 0 } } . } \end{array}
V ^ { \prime \prime } ( \phi ) = m ^ { 2 } \frac { 1 - \frac { \phi ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } } { \left( 1 + \frac { \phi ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \simeq - \frac { 2 m ^ { 4 } } { \phi ^ { 2 } } ,
( \vec { Y } , \rho , N , W ^ { a } ) = ( \vec { t } , \lambda , C , \frac { 1 } { 4 } \widehat { \cal D } _ { b } v ^ { a b } + \frac { 1 } { 4 8 } \varepsilon ^ { a b c d e } \widehat { F } _ { b c } \widehat { F } _ { d e } ) .
\overline { { u } } ( z ) = \left( \frac { \alpha _ { B J } U } { \sqrt { K _ { x } \eta _ { x } ( 0 ) } + \alpha _ { B J } d } \right) z + \frac { U \sqrt { K _ { x } \eta _ { x } ( 0 ) } } { \sqrt { K _ { x } \eta _ { x } ( 0 ) } + \alpha _ { B J } d } , \quad \overline { { w } } = 0 ~ ,
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } ; \mathrm { ~ L ~ S ~ T ~ } } ( x _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ) = \hat { u } _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ( x _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } , x _ { \mathrm { ~ w ~ n ~ } } ) \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { x _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } } \alpha ( X _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } ) d X _ { \mathrm { ~ w ~ p ~ } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { 3 } | } & { \le \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left| \sum _ { a _ { k } < n \le a _ { k - 1 } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| \le C _ { 1 } t ^ { 1 1 / 8 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ^ { 5 / 8 2 } + C _ { 2 } t ^ { 6 1 / 3 2 8 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ^ { - 1 7 / 3 2 8 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + E _ { 1 } t ^ { - 1 5 / 8 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ^ { 8 7 / 1 6 4 } + E _ { 2 } t ^ { 5 / 4 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ^ { - 5 / 2 4 6 } + E _ { 3 } K . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } _ { l } ^ { S } ( a l k _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { a l k _ { 0 } } \frac { \mathrm { J } _ { l } ^ { 2 } ( u ) } { u ^ { 2 } } \, \mathrm { d } u = \frac { a l k _ { 0 } } { 2 l } \bigg [ \frac { \mathrm { J } _ { l } \mathrm { J } _ { l + 1 } ^ { \prime } - \mathrm { J } _ { l + 1 } \mathrm { J } _ { l } ^ { \prime } } { 1 + 2 l } + \frac { \mathrm { J } _ { l } \mathrm { J } _ { l - 1 } ^ { \prime } - \mathrm { J } _ { l - 1 } \mathrm { J } _ { l } ^ { \prime } } { 1 - 2 l } \bigg ] _ { a l k _ { 0 } } \quad l \geq 1 , } \\ & { \mathcal { I } _ { l } ^ { R } ( a l k _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { a l k _ { 0 } } \mathrm { J } _ { l } ^ { 2 } ( u ) \, \mathrm { d } u = \bigg [ \mathcal { I } _ { l - 2 } ^ { R } - \frac { 2 ( l - 1 ) } { a l k _ { 0 } } \mathrm { J } _ { l - 1 } ^ { 2 } - 2 ( l - 1 ) \mathcal { I } _ { l - 1 } ^ { S } \bigg ] _ { a l k _ { 0 } } \quad l > 1 , } \\ & { \mathcal { I } _ { 1 } ^ { R } ( a k _ { 0 } ) = \int _ { 0 } ^ { a k _ { 0 } } \mathrm { J } _ { 1 } ^ { 2 } ( u ) \, \mathrm { d } u = \big [ \mathcal { I } _ { 0 } ^ { R } - a k _ { 0 } ( \mathrm { J } _ { 1 } ^ { 2 } - \mathrm { J } _ { 0 } ^ { 2 } ) \big ] _ { a k _ { 0 } } \quad l = 1 , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\left( \exp \left( - e ^ { 2 } \sum _ { w } \rho _ { w } \left( { \frac { \delta } { \delta i J _ { w } ^ { i } } } { \frac { \delta } { \delta i J _ { w } ^ { i } } } \right) \right) \, Z [ J , \Delta ] \right) _ { J = 0 } .
\vec { \Gamma } _ { \nu } \partial _ { \mu } \vec { J } ^ { \mu } = - \vec { \Gamma } _ { \nu } \vec { q } \, \frac { d \Lambda } { d q _ { 0 } } = - \partial _ { \nu } \alpha \sin \alpha \, \frac { d \Lambda } { d q _ { 0 } } = \partial _ { \nu } q _ { 0 } \, \frac { d \Lambda } { d q _ { 0 } } = \partial _ { \nu } \Lambda .
n _ { \mathrm { e f f } } = n _ { \mathrm { g a s } } - \frac { j _ { 0 , 1 } ^ { 2 } } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } n _ { \mathrm { g a s } } R ^ { 2 } } - \frac { j _ { 0 , 1 } ^ { 2 } } { k _ { 0 } ^ { 3 } n _ { \mathrm { g a s } } ^ { 2 } R ^ { 3 } } . \frac { \mathrm { c o t } \left[ \Psi ( t ) \right] } { \sqrt { \epsilon - 1 } } . \frac { \epsilon + 1 } { 2 } .
Z _ { k } ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } , \lambda _ { 2 } ^ { 2 } , q ^ { 2 } ; \lambda ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z z ^ { k } l n \left( \frac { q ^ { 2 } z ( 1 - z ) + \left( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \right) z - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { - \lambda ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathscr { R } _ { \Gamma , l ; \delta } } & { : = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] } \\ & { } & { \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } x \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ( x ) \partial ^ { \mu } \phi ( x ) - 4 \pi \frac { \tilde { \lambda } } { 2 } e ^ { - i \beta \phi ( x ) / \sqrt { 4 \pi } } + \sqrt { 2 } i \alpha _ { 0 } \phi ( x ) R ( x ) \right)
R _ { \mathrm { s e c } } = \left[ \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { M \beta _ { \mathrm { I } , k } \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \sum _ { i \neq k } \beta _ { \mathrm { I } , i } } \right) - \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { \xi M _ { \mathrm { E } } ( M - K ) \beta _ { \mathrm { I } , k } } { ( 1 - \xi ) ( M - K - M _ { \mathrm { E } } ) \beta _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \beta _ { \mathrm { I } , j } } \right) \right] ^ { + }
\begin{array} { r l } { h ( 2 ( m + 1 ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { m } \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( t + 1 ) ^ { m - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { e } } \frac { 1 } { 2 ^ { m } } U \left( \frac { 1 } { 2 } , m + 1 , \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ o ~ d ~ u ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ i ~ n ~ s ~ t ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { W ^ { 3 } ( W - 1 ) < \alpha ^ { 2 } ( W - \frac { 1 } { 4 } ) \, , \quad | V | > \nu \quad ( \mathrm { s u p e r s o n i c } ) } \\ { W ^ { 3 } ( W - 1 ) > \alpha ^ { 2 } ( W - \frac { 1 } { 4 } ) \, , \quad | V | < \nu \quad ( \mathrm { s u b s o n i c } ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { S _ { n } } & { = \mathrm { ~ \mathbb { P } ~ [ ~ \phi _ n ~ > ~ \phi | r ~ ] } } \\ & { = \mathrm { ~ \mathbb { P } ~ [ N u m b e r ~ o f ~ p o i n t s ~ i n ~ W ( \phi , r ) ~ < n ~ ] } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \mathrm { ~ \mathbb { P } ~ [ ~ k ~ p o i n t s ~ i n ~ W ( \phi , r ) ~ ] } = \frac { \Gamma ( n , \lambda | W ( \phi , r ) | ) } { \Gamma ( n ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathcal { L } \left( \mathcal { N } ^ { L } ( { \bf x } , t , { \bf \phi } ) \right) } { \partial { \bf Z } ^ { L } } = \frac { \partial } { \partial \mathrm { N N } ^ { L } ( { \bf x } , t , { \bf \phi } ) } \mathcal { L } \left( \mathcal { N } ^ { L } ( { \bf x } , t , { \bf \phi } ) \right) \odot \frac { \partial \sigma ( { \bf Z } ^ { L } ) } { \partial { \bf Z } ^ { L } } . } \end{array}