harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { \bf p } _ { a } } & { = m _ { a } { \bf v } _ { a } } & { { \bf h } _ { a } } & { = { \bf I } _ { a } { \bf \omega } _ { a } + { \bf r } _ { a } \times { \bf p } _ { a } } \\ { { \bf p } _ { b } } & { = m _ { b } { \bf v } _ { b } } & { { \bf h } _ { b } } & { = { \bf I } _ { b } { \bf \omega } _ { b } + { \bf r } _ { b } \times { \bf p } _ { b } } \\ { \Delta { \bf p } _ { a } } & { = m _ { a } \Delta { \bf v } _ { a } = - { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf h } _ { a } } & { = { \bf I } _ { a } \Delta { \bf \omega } _ { a } + { \bf r } _ { a } \times \Delta { \bf p } _ { a } = - { \bf r } _ { c } \times { \bf J } _ { c } } \\ { \Delta { \bf p } _ { b } } & { = m _ { b } \Delta { \bf v } _ { b } = + { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf h } _ { b } } & { = { \bf I } _ { b } \Delta { \bf \omega } _ { b } + { \bf r } _ { b } \times \Delta { \bf p } _ { b } = + { \bf r } _ { c } \times { \bf J } _ { c } } \\ { \Delta { \bf v } _ { a } } & { = - \frac { 1 } { m _ { a } } { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf \omega } _ { a } } & { = - { \bf I } _ { a } ^ { - 1 } \left( { \bf r } _ { c } - { \bf r } _ { a } \right) \times { \bf J } _ { c } } \\ { \Delta { \bf v } _ { b } } & { = + \frac { 1 } { m _ { b } } { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf \omega } _ { b } } & { = + { \bf I } _ { b } ^ { - 1 } \left( { \bf r } _ { c } - { \bf r } _ { b } \right) \times { \bf J } _ { c } } \end{array}
\left\langle \overline { { \textbf { a } } } \cdot \textbf { u } + \overline { { A } } \right\rangle = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \textbf { 0 } } \\ { - \frac { Q _ { l o s s } } { \tau _ { s } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { \prime } \mathrm { ~ A ~ i ~ } + c _ { 2 } ^ { \prime } \mathrm { ~ B ~ i ~ } } & { { } = 0 , } \\ { c _ { 1 } ^ { \prime } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ^ { \prime } + c _ { 2 } ^ { \prime } \mathrm { ~ B ~ i ~ } ^ { \prime } } & { { } = K , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { M F } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) } & { = \mathcal { L } _ { H } ( \pmb { \theta } , \mathcal { P } ) + \mathcal { L } _ { L } ( \pmb { \theta } ) } \\ & { = \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } { \left\| \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H R } ^ { i } ) ; \mathcal { P } ) \right\| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N _ { H B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } { \left\| \mathcal { B } ( \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H B } ^ { i } ) ; \mathcal { P } ) \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ p h y s i c s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { H D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { H D } } { \left\| \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { H D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { H D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { H i g h - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { \left\| \mathbf { y } _ { L } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { L D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } _ { \mathrm { L o w - f i d e l i t y ~ l a b e l e d ~ d a t a } } } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { r _ { d , n d } } } & { = } & { \frac { | { \cal F } \left[ B _ { \mathrm { H } } \right] _ { 2 \omega } | } { | { \cal F } \left[ B _ { \mathrm { D } } \right] _ { 2 \omega } | } = \underbrace { \frac { | M _ { \mathrm { H } } | } { | M _ { \mathrm { D } } | } } _ { \mathrm { ~ \mathrm { r ^ { e l } _ { d , n d } } ~ } } \underbrace { \frac { N _ { \mathrm { H } } } { N _ { \mathrm { D } } } } _ { \mathrm { ~ \mathrm { r ^ { n u c l } _ { d , n d } } ~ } } } \end{array}
c \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { n } \delta \int d ^ { 1 2 } z d u \left( \frac { q ^ { + a } q _ { a } ^ { - } } { \bar { W } W } \right) ^ { n } = - \delta \int d ^ { 1 2 } z d u \, { \cal H } ( W , \bar { W } )
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { v _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { = } & { v _ { 0 } + \frac { \sqrt { 8 } \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } R _ { \infty } } { \hbar \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } } , } \\ { \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { = } & { R _ { \infty } + \frac { \hbar \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } v _ { 0 } } { \sqrt { 8 } \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = \sum _ { \pm } } & { \left[ \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } + k _ { 2 } } r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { C L } } \right. } \\ & { + \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } - k _ { 2 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { V i T } } } \\ & { + \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } - k _ { 2 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { V o T } } } \\ & { + \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { i } \frac { 1 } { ( E _ { a } - H _ { S } ) ^ { \prime } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { L a L \, ( i r r ) } } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { j } \frac { 1 } { [ E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } ] ^ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { L a L \, ( r e d \, 1 ) } } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 2 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { j } \left. \frac { 1 } { [ E _ { a } - H _ { S } - k _ { 1 } ] ^ { 2 } } r _ { j } \right| \phi _ { a } \right\rangle _ { \mathrm { L a L \, ( r e d \, 2 ) } } \right] , } \end{array}
\tan ^ { - 1 } ( \theta ) = i \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } \left( { \frac { 1 } { \left( 1 + 2 i / \theta \right) ^ { 2 n - 1 } } } - { \frac { 1 } { \left( 1 - 2 i / \theta \right) ^ { 2 n - 1 } } } \right) = 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } { \frac { a _ { n } \left( \theta \right) } { a _ { n } ^ { 2 } \left( \theta \right) + b _ { n } ^ { 2 } \left( \theta \right) } } } ,
\frac { p _ { 1 } } { K } \mathrm { ~ F ~ L ~ O ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ O ~ M ~ } } + [ 1 + ( z _ { s } - 1 ) \frac { \ensuremath { n _ { s } } } { \ensuremath { N _ { e l e m } } } ] \frac { p _ { 2 } } { z _ { s } K } \mathrm { ~ F ~ L ~ O ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ F ~ O ~ M ~ } }
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { o u t e r } } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ { - \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & { \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] , } \\ & { Q _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { y ^ { 2 } } { ( x - c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { ( x - c / 2 ) y } { ( x - c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ { - \frac { ( x - c / 2 ) y } { ( x - c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & { \frac { ( x - 0 . 3 ) ^ { 2 } } { ( x - c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] , } \\ & { Q _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { y ^ { 2 } } { ( x + c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { ( x + c / 2 ) y } { ( x + c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \\ { - \frac { ( x + c / 2 ) y } { ( x + c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & { \frac { ( x + c / 2 ) ^ { 2 } } { ( x + c / 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } } & { \leq \exp \left( - J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } + \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 4 q } + ( p - q ) \right) } \\ & { \leq \exp \left( - \left( 1 - \frac { \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 4 q } + ( p - q ) } { J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - \left( 1 - \frac { \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 4 q } + ( p - q ) } { n _ { 2 } \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 8 p } } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - \left( 1 - \frac { C _ { 1 } } { n } \right) J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \Omega } \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) } \\ { = } & { { } \ 0 . } \end{array}
\prod _ { n = 1 } ^ { N + 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n + k } \left( 2 k - 1 \right) } { \left( n - k \right) ! \left( k + n - 1 \right) ! } \frac { \left( N + n \right) ! } { \left( N + 1 - n \right) ! \left( 2 n - 1 \right) } } = \left( N + 1 \right) \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n + k } \left( 2 k - 1 \right) } { \left( n - k \right) ! \left( k + n - 1 \right) ! } \frac { \left( N + n - 1 \right) ! } { \left( N - n \right) ! \left( 2 n - 1 \right) } } ,
{ \frac { f _ { D } } { f _ { S } } } = \sqrt { \frac { 8 0 } { 9 } } \sqrt { \frac { R _ { S } ^ { 3 } } { R _ { D } ^ { 3 } } } \cdot { \frac { 1 } { m _ { V } ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } } } \, .
\int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \Bigl ( \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \phi _ { 0 } \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \Bigr ) Z \, \, \mathrm { d } R \, \mathrm { d } Z \, = \, 0 \, .
L = \{ ~ ( \langle M \rangle , 1 0 ^ { k } ) : M { \mathrm { ~ a c c e p t s ~ } } ( \langle M \rangle , 1 0 ^ { k } ) { \mathrm { ~ u s i n g ~ s p a c e ~ } } \leq f ( | \langle M \rangle , 1 0 ^ { k } | ) ~ \}
\lambda { _ i } \left( 2 \delta \lambda _ { i } f _ { + , i } ^ { e q } - 2 \delta \lambda _ { i } f _ { - , i } ^ { e q } \right) = \lambda _ { i } \left( f _ { 1 i } ^ { e q } - f _ { 2 i } ^ { e q } \right) = G _ { i }
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { \ast } ( \nabla ) _ { \partial _ { t } } ( \gamma ^ { \prime } ( t ) ) } & { = \sum _ { i } \gamma ^ { \ast } ( \nabla ) _ { \partial _ { t } } ( u _ { i } ^ { \prime } ( t ) \partial _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( u _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) \partial _ { i } + u _ { i } ^ { \prime } ( t ) \gamma ^ { \ast } ( \nabla ) _ { \partial _ { t } } \partial _ { i } \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( u _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) \partial _ { i } + u _ { i } ^ { \prime } ( t ) \sum _ { j } u _ { j } ^ { \prime } ( t ) \nabla _ { \partial _ { j } } \partial _ { i } \Big ) } \\ & { = \sum _ { i } \Big ( u _ { i } ^ { \prime \prime } ( t ) \partial _ { i } + u _ { i } ^ { \prime } ( t ) \sum _ { j , k } u _ { j } ^ { \prime } ( t ) \Gamma _ { i j } ^ { k } \partial _ { k } \Big ) . } \end{array}
\mathbf { T } _ { s \mathrm { a } } ^ { ( k ) } = \frac { \partial ^ { k _ { x } + k _ { y } + k _ { z } } } { \partial x _ { a } ^ { k _ { x } } \partial y _ { a } ^ { k _ { y } } \partial z _ { a } ^ { k _ { z } } } | \mathbf { R } _ { \mathrm { a } } - \mathbf { R } _ { s } | ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial B _ { \rho } } | y _ { 1 } | ^ { p - 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } y _ { i } ^ { 2 } D _ { i i } \phi ( x ) \right) \, \mathrm { d } \sigma ( y ) } & { = D _ { 1 1 } \phi ( x ) \int _ { \partial B _ { \rho } } | y _ { 1 } | ^ { p } \sigma ( y ) + \sum _ { i = 2 } ^ { d } D _ { i i } \phi ( x ) \int _ { \partial B _ { \rho } } | y _ { 1 } | ^ { p - 2 } y _ { i } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \sigma ( y ) } \\ & { = \left( D _ { 1 1 } \phi ( x ) + \frac { 1 } { p - 1 } \sum _ { i = 2 } ^ { d } D _ { i i } \phi ( x ) \right) \rho ^ { d + p - 1 } \int _ { \partial B _ { 1 } } | y _ { 1 } | ^ { p } \, \mathrm { d } \sigma ( y ) } \\ & { = \frac { \rho ^ { d + p - 1 } } { p - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } D _ { i i } \phi ( x ) + ( p - 2 ) D _ { 1 1 } \phi ( x ) \right) \int _ { \partial B _ { 1 } } | y _ { 1 } | ^ { p } \, \mathrm { d } \sigma ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { P } ( r ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp ( 2 i k \delta \sqrt { \ell ^ { 2 } - r ^ { 2 } } ) , } & { r \le \ell , } \\ { 1 , } & { r > \ell , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \delta S } { \delta \theta ^ { \alpha \beta } } = \frac { \beta } { 2 } \int d ^ { 2 } x { \mathrm { T r } } \left[ - \frac i 4 \{ F _ { \alpha \beta } , \Phi \} \star F _ { 0 1 } - \frac i 4 \Phi \star \{ F _ { 0 \alpha } , F _ { \beta 1 } \} + \frac i 4 \Phi \star \{ F _ { 0 \beta } , F _ { \alpha 1 } \} \right] \, .
\delta = \frac { 4 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } k \left( \frac { 1 } { e ^ { ( k _ { 0 } - \mu ) / k _ { B } T } + 1 } - \frac { 1 } { e ^ { ( k _ { 0 } + \mu ) / k _ { B } T } + 1 } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial t } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial z } - 2 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } u _ { \xi } ^ { ( k ) } u _ { \phi } ^ { ( k ) } + 2 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \left( u _ { \phi } ^ { ( k ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { 1 } { \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl [ \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \biggr ) + \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl ( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \biggr ) } \\ & { + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial z ^ { 2 } } - 4 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + 4 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + 4 \frac { \cos ^ { 2 } \phi - \cosh ^ { 2 } \xi } { \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } } u _ { \xi } ^ { ( k ) } \Biggr ] } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \frac { \sinh \xi \sin \phi } { \bigl ( \cosh \xi - \cos \phi \bigr ) } , } \end{array} } \end{array}
\mathcal { A } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { k } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k \, k _ { z } \, \mathcal { F } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) , } & { \mathrm { i f } \, k _ { z } > 0 } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f } \, k _ { z } \leq 0 } \end{array} \right.
D ( \bar { t } ) = \sqrt { \frac { \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } ( \bar { \phi } ( \bar { t } , \bar { z } ) - \bar { \phi } _ { s } ( \bar { z } ) ) ^ { 2 } \, d \bar { z } } { \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \bar { \phi } _ { s } ( \bar { z } ) ^ { 2 } \, d \bar { z } } } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \chi } \big ( \mathcal { P } _ { k } ( X _ { n } ) \big ) } & { \le 2 ^ { k } { \mathrm { g l } } \big ( \mathcal { P } _ { k } ( X _ { n } ) \big ) } \\ & { \le 2 ^ { m } e ^ { m ( 2 m + 1 ) } { \mathrm { g l } } \big ( \mathcal { P } _ { m } ( X _ { n } ) \big ) \le 2 ^ { m } e ^ { m ( 2 m + 1 ) } \boldsymbol { \chi } \big ( \mathcal { P } _ { m } ( X _ { n } ) \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mu _ { 2 } ^ { \prime } ( [ 0 , C ] ) } & { = \frac { f ( K + 1 / 2 ) } { 1 2 } \! \! \! \! \! } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { K ^ { 2 } } { 4 8 } - \frac { K } { \; \, 4 8 \, \; } + \frac { 1 } { 1 9 2 } , } \\ { \mu _ { 2 } ( [ 0 , C ] ) } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { K } \frac { k - 1 } { 2 4 } \! \! \! \! \! } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { K ^ { 2 } } { 4 8 } - \frac { K } { \, \; 4 8 \; \, } , } \\ { | { \mathcal { L } } ( [ 0 , C ] , 1 ) | } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { K } \dim ( S _ { k } ( 1 ) ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { K ^ { 2 } } { 4 8 } - \frac { 1 4 K } { \, \; 4 8 \; \, } + \frac { 2 4 4 } { 1 9 2 } . } \end{array}
\langle k , l _ { m } | \varphi _ { - n _ { m } } ^ { ( l _ { m } , l _ { m - 1 } ) } \cdots \varphi _ { - n _ { 2 } } ^ { ( l _ { 2 } , l _ { 1 } ) } \varphi _ { - n _ { 1 } } ^ { ( l _ { 1 } , l _ { 0 } ) }
H _ { B } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 . 0 } & { 0 . 3 } & { - 0 . 6 } & { 0 . 7 } & { 2 . 3 } & { 1 . 5 } & { 0 . 9 } & { 0 . 1 } \\ { 1 . 5 } & { - 0 . 4 } & { - 2 . 5 } & { - 1 . 5 } & { 7 . 4 } & { 5 . 2 } & { 1 . 5 } & { 0 . 7 } \\ { 1 . 4 } & { 0 . 1 } & { - 2 . 7 } & { 5 . 7 } & { 4 . 6 } & { 2 . 3 } & { 4 . 0 } & { 0 . 8 } \\ { 0 . 3 } & { 0 . 5 } & { 0 . 7 } & { 1 . 9 } & { - 0 . 6 } & { - 0 . 4 } & { 1 . 9 } & { - 0 . 8 } \\ { 0 . 7 } & { 0 . 9 } & { 1 . 1 } & { - 0 . 1 } & { 1 . 8 } & { 0 . 1 } & { - 0 . 7 } & { 1 . 3 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 7 } & { 0 . 8 } & { 1 . 4 } & { - 1 . 4 } & { - 1 . 5 } & { 1 . 6 } & { - 1 . 0 } \\ { 0 . 3 } & { 0 . 2 } & { - 0 . 7 } & { 4 . 8 } & { - 1 . 6 } & { 0 . 1 } & { 5 . 7 } & { - 2 . 3 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 6 } & { 1 . 5 } & { - 1 . 1 } & { 4 . 0 } & { - 3 . 1 } & { - 5 . 2 } & { 3 . 6 } \end{array} \right) .
\omega _ { \mathrm { w } } = { \left( v _ { 0 } ^ { 2 } - v _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } / { [ \left( \rho _ { s } q - \alpha \zeta \varDelta \right) \frac { \left( \rho _ { s } + \alpha \zeta \varDelta \right) } { \alpha \left( q + \zeta ^ { 2 } \varDelta ^ { 2 } \right) } + \alpha ] \varDelta } }
\begin{array} { r l r } & { X = \alpha _ { D D } ( p _ { a } + 2 p _ { d } ) S } & { Y = \alpha _ { D D } D } \\ & { A = \frac { \alpha _ { S S } } { \alpha _ { D D } } \frac { p _ { s } } { p _ { a } + 2 p _ { d } } } & { B = \frac { \alpha _ { S D } } { \alpha _ { D D } } p _ { s } } \\ & { C = \frac { \alpha _ { D S } } { \alpha _ { D D } } \frac { 1 } { p _ { a } + 2 p _ { d } } } & { P = p _ { s } - p _ { d } } \\ & { M = \frac { a _ { d i f } } { r ( p _ { a } + 2 p _ { d } ) } } & { \tau = r t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \mathcal { Y } } \varphi \, \mathrm { d i v } _ { y } ( \Sigma _ { n } ) ^ { \prime \prime } \cdot \bar { u } \, d y + \int _ { \mathcal { Y } } \varphi \, ( \Sigma _ { n } ) ^ { \prime \prime } : d E _ { y } \bar { u } + \int _ { \mathcal { Y } } ( \Sigma _ { n } ) ^ { \prime \prime } : \big ( \bar { u } \odot \nabla _ { y } \varphi \big ) \, d y } & { = } & { 0 , } \\ { \int _ { \mathcal { Y } } \varphi \, u _ { 3 } \, \mathrm { d i v } _ { y } \left( \begin{array} { l } { ( \Sigma _ { n } ) _ { 1 3 } } \\ { ( \Sigma _ { n } ) _ { 2 3 } } \end{array} \right) \, d y + \int _ { \mathcal { Y } } \varphi \, \left( \begin{array} { l } { ( \Sigma _ { n } ) _ { 1 3 } } \\ { ( \Sigma _ { n } ) _ { 2 3 } } \end{array} \right) \cdot d D _ { y } u _ { 3 } + \int _ { \mathcal { Y } } u _ { 3 } \, \left( \begin{array} { l } { ( \Sigma _ { n } ) _ { 1 3 } } \\ { ( \Sigma _ { n } ) _ { 2 3 } } \end{array} \right) \cdot \nabla _ { y } \varphi \, d y } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathord { \mathbb { R } } ^ { n + 1 } \cup \{ \infty \} , \{ \infty \} ; \, \mathrm { F r e d } _ { 0 } ^ { d , 0 } ( H ) , G L _ { 0 } ( H ) ] } & { \rightarrow K K ( C l _ { 0 , d } , \mathcal { C } _ { 0 } ( \mathord { \mathbb { R } } ^ { n + 1 } ) ) } \\ { F } & { \mapsto [ \mathcal { C } _ { 0 } ( \mathord { \mathbb { R } } ^ { n + 1 } , H ) , \check { \rho } , F ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \frac { 1 8 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + \frac { 1 8 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau T } + 2 C _ { 1 } \eta ^ { 2 } \bigg ( 9 6 \zeta _ { f } ^ { 2 } + 1 6 \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 1 6 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 3 2 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \qquad + 2 C _ { 1 } \gamma ^ { 2 } \bigg ( 2 4 \zeta _ { f } ^ { 2 } + 8 \zeta _ { g } ^ { 2 } + \frac { 4 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 8 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( H ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { j , k } } & { \ = \ \Re \sum _ { s \in \mathcal { S } } \sum _ { \omega \in \mathcal { W } } \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \, , \, \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial u } { \partial m _ { k } } ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \right\rangle , } \\ { \left( H ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \right) _ { j , k } } & { \ = \ - \Re \sum _ { s \in \mathcal { S } } \sum _ { \omega \in \mathcal { W } } \left\langle \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial m _ { k } \partial m _ { j } } ( \boldsymbol { m } , \omega , s ) \, , \, \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \omega , s , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { N L } } } & { { } = \frac { 8 } { \pi } \epsilon _ { 0 } d _ { 3 3 } A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 2 } - \frac { 2 \pi } { a } ) y - i ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) t } \hat { z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { U } { Q } \right) \left( \frac { 1 8 0 ^ { \circ } } { \pi } \right) } \\ { \frac { b } { a } } & { { } = } & { \frac { 1 + Q ^ { 2 } + U ^ { 2 } - 2 \sqrt { Q ^ { 2 } + U ^ { 2 } } } { 1 - \left( Q ^ { 2 } + U ^ { 2 } \right) } } \end{array}
m _ { h } ^ { 2 } \leq \frac { \lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } } { 2 } \sin ^ { 2 } { 2 \beta } + m _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } { 2 \beta } + \frac { 6 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { m _ { t } ^ { 4 } } { v ^ { 2 } } \ln { \frac { m _ { s t o p } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial F } { \partial n _ { 1 } } } = n _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 n _ { 1 } \sigma _ { 1 } \left( \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } ^ { 2 } \right) + \left( \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } - \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) n _ { 1 } } & { = 0 } \\ { n _ { 1 } \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 n _ { 1 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { \mathrm { n } } + \left( \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } - \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) n _ { 1 } } & { = 0 } \\ { \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \sigma _ { 1 } \sigma _ { \mathrm { n } } + \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } - \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } \right) n _ { 1 } } & { = 0 } \end{array} }