harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { { } = \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { s i g } ( \mathbf u ) _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbf u _ { k + 2 } + \sum _ { i + j = k } \binom k i \mathbf u _ { i + 1 } \mathbf u _ { j + 1 } \Big ) , \qquad \mathrm { a n d } } \\ { R ^ { p o w } ( \mathbf u ) _ { k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( ( k + 1 ) ( k + 2 ) \mathbf u _ { k + 2 } + \sum _ { i + j = k } ( i + 1 ) ( j + 1 ) \mathbf u _ { i + 1 } \mathbf u _ { j + 1 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p \approx \frac { 1 } { \sigma _ { x } + 0 . 2 ( 1 + \operatorname { t a n h } ( b _ { g } ) ) } + 0 . 0 4 \operatorname { t a n h } ( b _ { g } ) \sigma _ { x } + 1 . 7 b _ { g } + 2 . 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { - 2 } \phi ^ { - s } ( E _ { n } ^ { i } ) } & { \asymp \frac { ( \lambda ^ { n } + \lambda ^ { - n } - 2 ) ^ { s - 1 } } { ( \lambda ^ { n } - 1 ) ( 1 - \lambda ^ { - n } ) ^ { s - 1 } } e ^ { \alpha s n } } \\ & { \lesssim e ^ { \alpha s n } \lambda ^ { n ( s - 2 ) } = \exp \{ n ( \alpha s - ( 2 - s ) \log \lambda ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } + \sum _ { n \ge 0 } d _ { n } ( \tilde { \alpha } ) \tilde { \alpha } ^ { - 2 a \xi _ { n } } \mathrm { e } ^ { - 2 \xi _ { n } / \tilde { \alpha } } , } \\ { d _ { n } ( \tilde { \alpha } ) } & { = d _ { ( n ) , 0 } + d _ { ( n ) , 2 , 1 } \tilde { \alpha } \log \tilde { \alpha } + d _ { ( n ) , 1 } \tilde { \alpha } + \mathcal { O } \big ( \tilde { \alpha } ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } & { { } = \Bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) } \end{array}
E _ { \mathrm { C B S } } = \frac { \left[ \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } \right] ^ { 3 } E _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { C C S D ( T ) } } \left( \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } \right) - \left[ \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } \right] ^ { 3 } E _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { C C S D ( T ) } } \left( \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } \right) } { \left[ \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 1 ) } \right] ^ { 3 } - \left[ \ell _ { \mathrm { m a x } } ^ { ( 2 ) } \right] ^ { 3 } } .
a _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ = ~ j ~ } , } \\ { w _ { i j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ \leftrightarrow ~ j ~ } , } \\ { \iota w _ { i j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ \rightarrow ~ j ~ } , } \\ { - \iota w _ { i j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ j ~ \rightarrow ~ i ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \tilde { \psi } ^ { * } } = \left[ \sqrt { \frac { m + M + b } { I + M + b } } - \sqrt { \frac { m + b } { I + b } } \right] \tilde { \psi } , \; \; \; \textrm { ( g e n e r a l i z e d A n s c o m b e g r a d i e n t ) }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) : = } & { \{ \mu \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) \mid \rho ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu \in L ^ { 2 } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) , \rho = \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) \} } \\ { = } & { \{ \mu \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma _ { 1 } ) \mid \mu _ { 0 } \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = } & { [ a , b , b , d ] ^ { 2 } [ a , d , b , b ] [ a , b , d , d ] [ a , d , d , b ] ^ { 2 } [ a , c , c , d ] ^ { 2 } [ a , d , c , c ] [ a , c , d , d ] [ a , d , d , c ] ^ { 2 } } \\ & { [ a , b , c , d ] ^ { 2 } [ a , c , b , d ] ^ { 2 } [ a , d , b , c ] [ a , d , c , b ] = [ a , b , c , d ] ^ { 2 } [ a , c , b , d ] ^ { 2 } [ a , d , c , b ] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \alpha _ { 2 } + 1 , \beta _ { 2 } + 1 ) = \left( \phi _ { \alpha _ { 2 } + 1 } ( 0 ) \phi _ { \beta _ { 2 } } ( 0 ) \omega _ { 0 } ( 0 ) + \sqrt { \alpha _ { 2 } + 1 } I ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) \right) / \sqrt { \beta _ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { v e n } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t } } } & { = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t } } } { R ^ { \mathrm { a r t } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r } } } & { = \frac { p ^ { \mathrm { a r t } } - p ^ { \mathrm { v e n } } } { R ^ { \mathrm { p e r } } } , } \end{array}
\mathrm { T r } \ln G ^ { - 1 } \, = \, \frac { 2 T } { R } \, v ( q ) \, + \, \frac { T } { R } \, \pi \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, \sqrt { n ^ { 2 } \, + \, \epsilon ^ { - 1 } } \, { , }
E = - \int \frac { d \omega } { 2 \pi } \sum _ { \lambda _ { \omega } } \ln \left( i \omega + e _ { \lambda } ( \omega ^ { 2 } ) \right) + \frac { 1 } { 2 G ^ { 2 } } \int d _ { 3 } x \, \, \left( S ^ { 2 } + P _ { a } ^ { 2 } \right) - E _ { \mathrm { v a c } } \, ,
\partial _ { \lambda _ { k } } \overline { { \mathrm { K L } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } } \approx \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { n \lambda _ { k } } - \frac { 1 } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } \frac { { \bf v } _ { k } ^ { \prime } { \bf C } { \bf v } _ { k } } { \mathrm { T r } [ { \bf C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \overline { { \hat { C } } } ( t ; T ) } & { \cong } & { \frac { 1 } { T - t } \int _ { 0 } ^ { T - t } I _ { 2 } ( t ^ { \prime } + t ) I _ { 2 } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } + { I _ { 1 } ^ { + } } ^ { 2 } } \\ & { } & { + 2 I _ { 1 } ^ { + } \overline { { I _ { 2 } } } ( T ) - \{ I _ { 1 } ^ { + } + \overline { { I _ { 2 } } } ( T ) \} ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { t } ( \tilde { \mathbf { t } } ) = ( \mathbf { I } + \mathbf { P } ) \tilde { \mathbf { t } } = \left( \mathbf { I } + \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } } \\ { \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } + \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } } \\ { \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } + \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } } \end{array} \right]
\bar { \nu } ( \varepsilon ) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { \varepsilon + u } & { , \; \; \varepsilon < u \, \, , } \\ { \varepsilon + u - \lambda ( \varepsilon ) } & { , \; \; \varepsilon \geq u \, \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { H _ { W } = \int _ { M } N \omega ( { \mathbf { k } } ) \, d ^ { 3 } x \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \frac { \delta H _ { W } } { \delta N } \Big | _ { { \mathbf { k } } } = \, \omega ( { \mathbf { k } } ) \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \delta H _ { W } } { \delta { \mathbf { k } } } \Big | _ { N } = N \frac { \partial \omega ( { \mathbf { k } } ) } { \partial { \mathbf { k } } } = : \, N { \mathbf { v } } _ { G } ( { \mathbf { k } } ) \, , } \end{array}
r ^ { \ell } \, { \left( \begin{array} { l } { Y _ { \ell } ^ { m } } \\ { Y _ { \ell } ^ { - m } } \end{array} \right) } = \left[ { \frac { 2 \ell + 1 } { 4 \pi } } \right] ^ { 1 / 2 } { \bar { \Pi } } _ { \ell } ^ { m } ( z ) { \left( \begin{array} { l } { \left( - 1 \right) ^ { m } ( A _ { m } + i B _ { m } ) } \\ { ( A _ { m } - i B _ { m } ) } \end{array} \right) } , \qquad m > 0 .
\begin{array} { r l } { f ( x _ { k + 1 } ) + \frac { \rho _ { 0 } } { 2 } \| F ( x _ { k + 1 } ) \| ^ { 2 } } & { \leq P _ { k } + \frac { \| \lambda _ { k } \| ^ { 2 } } { 2 ( \rho - \rho _ { 0 } ) } { \overset { } { \leq } } P _ { k } + 1 } \\ & { { \overset { } { \leq } } 4 \bar { U } + 4 c _ { 0 } - 3 \bar { L } + 8 \| \lambda _ { 0 } \| ^ { 2 } + 3 = \hat { \alpha } , } \end{array}
K _ { e } ( V ) = \frac { p + 1 } { ( p + 2 ) ! } \epsilon _ { \mu _ { 0 } ^ { \prime } . . . \mu _ { p + 2 } ^ { \prime } } V ^ { \mu _ { 0 } ^ { \prime } } d X ^ { \mu _ { 1 } ^ { \prime } } \wedge . . . d X ^ { \mu _ { p + 2 } ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l } & { h _ { i + l + 1 } h _ { i + l } \cdot t _ { i + l , i + l + 1 } ^ { \frac { l + 1 } { 2 } } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { i + l - 2 , i + l - 1 } ^ { - 1 } \cdot t _ { i + l + 1 , i + l + 2 } ^ { - 1 } } \\ & { \cdot h _ { i + l - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) } \\ { = } & { t _ { i + l + 2 , i + l + 3 } ^ { \frac { l + 3 } { 2 } } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } t _ { i + 3 , i + 4 } ^ { - 1 } \cdots t _ { i + l , i + l + 1 } ^ { - 1 } \cdot t _ { i + l + 3 , i + l + 4 } ^ { - 1 } } \\ & { \cdot h _ { i + l } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } t _ { i , i + 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) h _ { i + l + 1 } } \end{array}
\langle \mathcal { H } _ { K } e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle = \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t _ { * } ) \langle e ^ { T _ { * } } \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad s \in \mathbb { V } .
\big \langle \mathrm { ~ S ~ i ~ m ~ i ~ l ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } \big \rangle [ \lambda , p , \sigma _ { K } , \sigma _ { A } ] = 1 - \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { T } \frac { d t } { T - t _ { 0 } } \int _ { x _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \big \vert \rho _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) - \rho _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ( x , t ) \big \vert d x ,
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \mu } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \boldsymbol { y } ^ { \left( k \right) } } \\ { \hat { \boldsymbol { \sigma } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { = \sqrt { \frac { 1 } { K - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \boldsymbol { y } ^ { \left( k \right) } - \hat { \boldsymbol { \mu } } _ { \boldsymbol { Y } } \right) ^ { 2 } } } \\ { \hat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { \boldsymbol { Y } } } & { = \frac { 1 } { K - 1 } \boldsymbol { \mathcal { Y } } ^ { \ast } \left( \boldsymbol { \mathcal { Y } } ^ { \ast } \right) ^ { \intercal } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( t ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { E } ( t ) e ^ { - \mathrm { { i } } \omega t } + \mathrm { c . c . } } \\ & { = { \mathrm { R e } } \left\{ \mathcal { E } ( t ) e ^ { - { \mathrm { i } } \omega t } \right\} } \\ & { = | \mathcal { E } ( t ) | \cos { \Big ( - \omega t + \mathrm { A r g } \big ( \mathcal { E } ( t ) \big ) \Big ) } } \end{array}
{ \bf g } ( \Omega ) = { \frac { \partial ^ { 2 } \Omega } { \partial x ^ { i } \partial { \tilde { x } ^ { j } } } } d x ^ { i } d { \tilde { x } } ^ { j } \, , \quad \quad { \tilde { x } } ^ { i } = { \tilde { x } } \, , { \tilde { y } } \, , \quad x ^ { j } = x \, , y \, .
\begin{array} { r } { { \bf u } _ { \bf 3 D } ( x , y , z , t ) = { \bf \widehat { u } } _ { \bf 3 D } ( x , y , t ) e ^ { i q z } + { \bf \widehat { u } } _ { \bf 3 D } ^ { \ast } ( x , y , t ) e ^ { - i q z } } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i , j } ^ { n + 1 } = - u _ { i , j } ^ { n - 1 } + 2 u _ { i , j } ^ { n } } \\ { + \frac { 2 } { \gamma _ { i , j } } \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta x } \right) ^ { 2 } \left( \left( \frac { 1 } { \gamma _ { i , j } } + \frac { 1 } { \gamma _ { i + 1 , j } } \right) ^ { - 1 } ( u _ { i + 1 , j } ^ { n } - u _ { i , j } ^ { n } ) - \left( \frac { 1 } { \gamma _ { i - 1 , j } } + \frac { 1 } { \gamma _ { i , j } } \right) ^ { - 1 } ( u _ { i , j } ^ { n } - u _ { i - 1 , j } ^ { n } ) \right) } \\ { + \frac { 2 } { \gamma _ { i , j } } \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta y } \right) ^ { 2 } \left( \left( \frac { 1 } { \gamma _ { i , j } } + \frac { 1 } { \gamma _ { i , j + 1 } } \right) ^ { - 1 } ( u _ { i , j + 1 } ^ { n } - u _ { i , j } ^ { n } ) - \left( \frac { 1 } { \gamma _ { i , j - 1 } } + \frac { 1 } { \gamma _ { i , j } } \right) ^ { - 1 } ( u _ { i , j } ^ { n } - u _ { i , j - 1 } ^ { n } ) \right) } \\ { + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } \gamma _ { i , j } } f _ { i , j } ^ { n } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } C \, = \, M _ { { \Sigma } ^ { * } } - M _ { \Delta } \, = \, M _ { { \Xi } ^ { * } } - M _ { { \Sigma } ^ { * } } \, = \, M _ { \Omega } - M _ { { \Xi } ^ { * } } .
{ \begin{array} { r l r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } } & { = x _ { m } } & & { 1 } \\ { y _ { k } } & { = x _ { 1 } \cdot \prod _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \gamma _ { l } } & & { 2 } \\ { \Rightarrow \sum _ { m = 1 } ^ { i } y _ { m } } & { = x _ { 1 } + x _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j } \gamma _ { k } = x _ { i } } & & { 3 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d x _ { r } ( t ) } & { = \left[ A _ { r } x _ { r } ( t ) + { B _ { r } } u ( t ) \right] \, d t + \sum _ { i = 1 } ^ { q } { N } _ { i , r } x _ { r } ( t ) \, d W _ { i } ( t ) , \quad x _ { r } ( 0 ) = x _ { 0 , r } \in \mathbb R ^ { r } , } \\ { y _ { r } ( t ) } & { = C _ { r } x _ { r } ( t ) , \quad t \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \arg [ G _ { p } ^ { ( - ) } ( \theta _ { 1 } ) ] } & { { } = } & { \arctan \left[ - \frac { k _ { p } \cot \theta _ { p } + \left( \delta - x \right) + \zeta ^ { - 1 } d _ { p } ^ { \prime } / d _ { p } } { - 1 + \left( \delta - x \right) k _ { p } \cot \theta _ { p } + \zeta ^ { - 1 } k _ { p } ^ { \prime } \cot \theta _ { p } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { J } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) } & { = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) = \sum _ { k } [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) ] \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) } \\ & { } & { \qquad + \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { U } _ { \u { \tau } } \left[ \sum _ { i \in \mathcal { I } } X _ { i } \boldsymbol { E } _ { i } \right] } & { { } = U _ { 2 } ^ { \mathcal { C } } \left[ \bar { r } \left[ \mathsf { X } \right] , \tau \right] \overline { { \boldsymbol { \mathscr { C } } } } _ { 2 } \left[ \mathsf { X } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { N } d _ { k } } & { \geq \sum _ { k = n ^ { \prime } } ^ { N } d _ { k } \geq \frac { 1 } { 2 } \left( N + 1 - n ^ { \prime } \right) d _ { N + 1 } \geq \frac { 1 } { 2 } \left( N + 1 - \left( N + 2 - \frac { N + 1 } { \log _ { 2 + } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) } \right) \right) d _ { N + 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { N + 1 } { \log _ { 2 + } ( d _ { N + 1 } / d _ { 0 } ) } - 1 \right) d _ { N + 1 } . } \end{array}
f _ { X } ( x | \theta ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( H ( \cos ( t / g ) - 1 ) - \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } / 2 ) \cos ( ( \mu - x ) t + H \sin ( t / g ) ) \, \mathrm d t .
M _ { L O } ^ { 2 } = B _ { 0 } \left( \begin{array} { c c c } { { 2 \hat { m } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( m _ { u } - m _ { d } ) } } & { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( m _ { u } - m _ { d } ) } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( m _ { u } - m _ { d } ) } } & { { \frac { 2 } { 3 } ( \hat { m } + 2 m _ { s } ) } } & { { - \frac { \sqrt { 8 } } { 3 } ( m _ { s } - \hat { m } ) } } \\ { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( m _ { u } - m _ { d } ) } } & { { - \frac { \sqrt { 8 } } { 3 } ( m _ { s } - \hat { m } ) } } & { { ~ ~ ~ \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { B _ { 0 } } + \frac { 2 } { 3 } ( 2 \hat { m } + m _ { s } ) . } } \end{array} \right)
C _ { I } = \frac { \biggl \langle \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } \tilde { u } _ { l } } - \left( \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } } \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { l } } / \widehat { \overline { { \rho } } } \right) \biggr \rangle } { \biggl \langle 2 \widehat { \Delta } ^ { 2 } \widehat { \overline { { \rho } } } | \widehat { \overline { { S } } } | ^ { 2 } - 2 { \Delta } ^ { 2 } \widehat { \overline { { \rho } } | \overline { { S } } | ^ { 2 } } \biggr \rangle } \, \mathrm { . }
( \bar { \psi } _ { L } ^ { i _ { 3 } P _ { 3 } } ( A _ { J _ { 3 } } ^ { I _ { 3 } } ) _ { P _ { 3 } } ^ { Q _ { 3 } } ( t _ { R } ) _ { Q _ { 3 } } \chi _ { i _ { 3 } I _ { 3 } } ^ { J _ { 3 } } ) . ( \bar { t } _ { R } ^ { Q _ { 4 } } ( A _ { J _ { 4 } } ^ { I _ { 4 } } ) _ { Q _ { 4 } } ^ { P _ { 4 } } ( \psi _ { L i _ { 4 } } ) _ { P _ { 4 } } \chi _ { I _ { 4 } } ^ { i _ { 4 } J _ { 4 } } )
F _ { o p } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) f ^ { ( 2 ) } \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 8 9 + 3 ( 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 5 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 5 + 3 ( 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 5 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } \right) } }
\begin{array} { r l } { \alpha \mathbf e _ { u } + \beta \mathbf e _ { v } } & { = \sum _ { \lambda \in \sigma _ { u } ( M ) } ( \alpha E _ { \theta } \mathbf e _ { u } + \beta E _ { \theta } \mathbf e _ { v } ) = ( \alpha - \beta ) E _ { \theta } \mathbf e _ { u } + ( \alpha + \beta ) \sum _ { j = 1 } ^ { r } E _ { j } \mathbf e _ { u } . } \end{array}
( \vec { k } _ { \perp } ^ { \, 2 } ) _ { m a x } = \frac { m _ { N } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \, ( \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } + 1 ) \, ( \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } + 1 - 2 y ) - m _ { V } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { N , k } ( V , a ) } & { : = \mathcal { O } _ { { \mathbb P } ^ { N } } ( k ) \otimes \mathcal { I } _ { V } \otimes \mathcal { I } _ { p ^ { a } } , } \\ { \mathcal { L } _ { N , k } ( { \bf \Pi } , a ) } & { : = \mathcal { O } _ { { \mathbb P } ^ { N } } ( k ) \otimes \mathcal { I } _ { v } \otimes \mathcal { I } _ { p _ { 0 } ^ { a } } . } \end{array}
K _ { 0 } \left( \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } } } \right) \simeq \exp \left( - \sqrt { \frac { 8 } { \tilde { \rho } } } \right) \frac { \sqrt { \pi } \tilde { \rho } ^ { 1 / 4 } } { 2 \cdot 2 ^ { 1 / 4 } }
\begin{array} { r } { \frac { 3 } { 8 \pi } n ( \textbf { r } ) \lambda ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } } { \gamma _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ c ~ . ~ } } } \left( \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ x ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) - \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ g ~ r ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla \psi \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { R } ) } } & { \leq R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } - 1 } \| \nabla \psi _ { R } \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } - 1 } \| \psi _ { R } \| _ { W ^ { 2 , \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } - 1 } R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \omega } \\ & { = C R ^ { 0 } \omega } \\ & { = C \omega = C \delta ^ { 3 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - \pi + \theta } ^ { \pi + \theta } \frac { \cos \theta \widehat { R } ^ { 4 } \sin ( \theta - x ) \sin x \delta } { 4 \pi d ( x ) ( - 2 \delta + d ( x ) ) } \, { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } \theta = - \frac { \widehat { R } ^ { 4 } \delta } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - \pi + \theta } ^ { \pi + \theta } \frac { \cos \theta \sin \theta \cos x \sin x - \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } x } { d ( x ) \left( - 2 \delta + d ( x ) \right) } \, { \mathrm { d } } x \, { \mathrm { d } } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { x _ { A } , x _ { B } } ^ { x _ { A } ^ { \prime } , x _ { B } ^ { \prime } } } & { = \delta _ { x _ { B } } ^ { x _ { B } ^ { \prime } } \, K _ { x _ { B } , x _ { A } } ^ { x _ { B } ^ { \prime } , x _ { A } ^ { \prime } } + \delta _ { x _ { A } } ^ { x _ { A } ^ { \prime } } \, K _ { x _ { B } , x _ { A } } ^ { x _ { B } ^ { \prime } , x _ { A } ^ { \prime } } } \\ & { = K _ { x _ { B } , x _ { A } } ^ { x _ { B } , x _ { A } ^ { \prime } } ( A ) + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { x _ { B } , x _ { A } } ^ { x _ { B } ^ { \prime } , x _ { A } } ( B ; v ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { M } _ { a - 1 } } } & { { = } } & { { - R _ { 5 } P _ { a } \, , \ \ \ ( a = 0 , . . . , 4 ) } } \\ { { \tilde { M } _ { 6 a } } } & { { = } } & { { R _ { 5 } P _ { a } \, , \ \ \ ( a = 5 , . . . , 9 ) \, . } } \end{array}
V _ { x } = { \frac { 7 \, { x ^ { 6 } } \, y } { 3 } } - 6 \, { x ^ { 5 } } \, { y ^ { 3 } } + 5 \, { x ^ { 4 } } \, { y ^ { 5 } } - 3 \, { x ^ { 2 } } \, { y ^ { 6 } } + { \frac { { y ^ { 7 } } } { 3 } } = 0
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { a e p } } } & { : = 4 \log _ { 2 } \left( \sqrt { | \mathcal { L } | } + 2 \right) \sqrt { - \log _ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \simeq 4 \log _ { 2 } \left( \sqrt { | \mathcal { L } | } + 2 \right) \sqrt { \log _ { 2 } ( 2 / \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { D } & { 0 } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right] L } & { = \left[ \begin{array} { l l } { O ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { O ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { D } & { 0 } \\ { 0 } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { O } & { 0 } \\ { 0 } & { O } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { O ^ { T } D O } & { 0 } \\ { 0 } & { O ^ { T } D O } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { 0 } & { A } \end{array} \right] } \\ & { = T . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( t ) : = \frac { 3 } { 2 \beta _ { i n } } + \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { + , i n } ^ { \varepsilon } - F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) ) d x d v + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } d x . } \end{array}