harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { S ^ { A } \wedge ( \Sigma _ { + } ^ { \bullet } X ) ( B ) } & { = S ^ { A } \wedge \big ( S ^ { B } \wedge X ( B ) _ { + } \big ) \cong S ^ { A \amalg B } \wedge X ( B ) _ { + } } \\ & { \xrightarrow { S ^ { A \amalg B } \wedge X ( \textup { i n c l } ) } S ^ { A \amalg B } \wedge X ( A \amalg B ) _ { + } = ( \Sigma _ { + } ^ { \bullet } X ) ( A \amalg B ) } \end{array}
T _ { \gamma _ { \epsilon } } ( y ) = \frac { \int y ^ { \prime } e ^ { ( g _ { \epsilon } ( y ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) / \epsilon } d \mu _ { Y } ( y ^ { \prime } ) } { \int e ^ { ( g _ { \epsilon } ( y ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) / \epsilon } d \mu _ { Y } ( y ^ { \prime } ) } .
1 + R ^ { ( 2 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 - \frac { 1 } { 2 } T _ { 8 8 } ^ { ( 2 ) } } } & { { M _ { 0 8 } ^ { ( 2 ) } \big / M _ { 0 0 } ^ { ( 0 ) } - K _ { 0 8 } ^ { ( 2 ) } } } \\ { { - M _ { 0 8 } ^ { ( 2 ) } \big / M _ { 0 0 } ^ { ( 0 ) } } } & { { 1 - \frac { 1 } { 2 } K _ { 0 0 } ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) .
\mathrm { T r } ( \mathrm { M } + \mathrm { N } ) = \Big ( \frac { I \partial _ { I } Y } { 2 \| D ^ { \star } \| } + \frac { Y } { 2 \| D ^ { \star } \| } \Big ) | \xi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \Gamma } \Big ( ( 1 + B ) ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 - B ) ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { 2 } \Big ) ,
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } ^ { \prime } \right] } \\ & { \le \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { t + 1 } ^ { \prime } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } \right) \mathbb E \left[ \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } \right] + e \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } \left\langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } , \frac { \mathbf Q _ { t - 1 } } { \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } \right\rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { \int _ { \Omega } \nabla \phi ^ { n + 1 } \cdot \nabla \omega - \alpha \int _ { \Omega } \phi ^ { n + 1 } \omega = \int _ { \partial \Omega _ { o } } g _ { 2 } ^ { n + 1 } \omega + \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left[ - g _ { 3 } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right] \omega - \int _ { \Omega } \psi ^ { n + 1 } \omega , \quad \forall \omega . } \end{array}
\tilde { \Sigma } ( x , s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Sigma ( x , s ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } s \leq t } \\ { \Sigma ^ { \prime \prime } ( \Sigma ( x , t ) , s - t ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { l c l } { { \{ p ^ { - 1 } , f \} _ { \theta } } } & { { = } } & { { - f ^ { \prime } p ^ { - 2 } - { \theta } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } p ^ { - 4 } - . . . - { \theta } ^ { 2 k } f ^ { ( 2 k + 1 ) } p ^ { - 2 k - 2 } - . . . } } \\ { { \{ p ^ { - 2 } , f \} _ { \theta } } } & { { = } } & { { - 2 f ^ { \prime } p ^ { - 3 } - 4 { \theta } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } p ^ { - 5 } - . . . - ( 2 k + 2 ) { \theta } ^ { 2 k } f ^ { ( 2 k + 1 ) } p ^ { - 2 k - 3 } - . . . } } \\ { { \{ p ^ { - 3 } , f \} _ { \theta } } } & { { = } } & { { - 3 f ^ { \prime } p ^ { - 4 } - 1 0 { \theta } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } p ^ { - 6 } - . . . - \frac { ( 2 k + 3 ) ( 2 k + 2 ) } { 2 } { \theta } ^ { 2 k } f ^ { ( 2 k + 1 ) } p ^ { - 2 k - 4 } - . . . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 < \theta _ { p } ^ { ( 1 ) } < \pi / 2 \, , \, \, \, \pi < \theta _ { p } ^ { ( 2 ) } < 3 \pi / 2 \, ; \quad \alpha > 1 \, , } & { } \\ { - \pi / 2 < \theta _ { p } ^ { ( 1 ) } < 0 \, , \, \, \, \pi / 2 < \theta _ { p } ^ { ( 2 ) } < \pi \, ; \quad \alpha < 1 \, , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { M } _ { 1 2 } ( B _ { d } ) = \mathcal { M } _ { 1 2 } ^ { \mathrm { S M } } ( B _ { d } ) + \mathcal { M } _ { 1 2 } ^ { \tilde { g } } ( B _ { d } ) + \mathcal { M } _ { 1 2 } ^ { \tilde { \chi } ^ { + } } ( B _ { d } ) .
\| \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } \nabla \rho _ { \delta } \cdot \nabla f _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } \leq \| \frac { 1 } { \rho _ { \delta } } \nabla \rho _ { \delta } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } \| \nabla f _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } \lesssim \delta ^ { - 2 } \| \nabla f _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { C } ^ { 0 , \alpha } } .
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } = \{ f \in L ^ { 2 } ( I , \mathfrak { m } ) : f \ll \mathbf { s } , d f / d \mathbf { s } \in L ^ { 2 } ( I , d \mathbf { s } ) , } \\ & { \qquad \qquad \qquad f ( j ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } j \notin I \mathrm { ~ a n d ~ } | \mathbf { s } ( j ) | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j = l \mathrm { ~ o r ~ } r \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } ( f , g ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } \frac { d f } { d \mathbf { s } } \frac { d g } { d \mathbf { s } } , \quad f , g \in { \mathscr F } ^ { ( \mathbf { s } , \mathfrak { m } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { { } = 1 + n _ { 1 } \kappa F _ { B 0 0 } / \mathcal { F } _ { B _ { 0 } } , } \\ { r _ { 2 } } & { { } = d _ { A } , } \\ { r _ { 3 } } & { { } = d _ { A } + [ ( 1 - d _ { A } ) F _ { A 0 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 0 } } + n _ { 1 } ] \kappa F _ { B 0 0 } / \mathcal { F } _ { B _ { 0 } } , } \\ { r _ { 4 } } & { { } = d _ { B } , } \\ { r _ { 5 } } & { { } = d _ { B } + [ ( 1 - d _ { B } ) F _ { B 0 1 } / \mathcal { F } _ { B _ { 1 } } + n _ { 1 } ] \kappa F _ { B 0 0 } / \mathcal { F } _ { B _ { 0 } } . } \end{array}
\sum _ { n } \frac { e ^ { i n ( \phi - \phi ^ { \prime } ) } } { 2 \pi } \frac { \Gamma ( \frac { | n | } { \alpha } + 1 - \frac { i c t } { l _ { P } } ) } { \Gamma ( \frac { | n | } { \alpha } + 1 ) } \rho ^ { \frac { | n | } { \alpha } + 1 } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { | n | } { \alpha } + 1 - \frac { i c t } { l _ { P } } ; \frac { | n | } { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } ; 2 \frac { | n | } { \alpha } + 1 ; 4 \rho )
\begin{array} { r l r } { \hat { \boldsymbol D } } & { { } \rightarrow } & { \hat { \boldsymbol D } + c g _ { a \gamma \gamma } { \boldsymbol B } \hat { a } , } \\ { \hat { \pi } } & { { } \rightarrow } & { \hat { \pi } + c g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol A } { \boldsymbol B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } \langle u ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { { } = \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \langle \hat { u } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { u } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = - 2 ( \lambda ^ { 2 } r \| c \| ^ { 3 } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 5 } } { r } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 3 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 5 } } { r } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 3 } r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } { r } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 5 } } { r } - \lambda ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 3 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) } { r } ) } \\ & { = - 8 \lambda ^ { 2 } r \| c \| ^ { 3 } } \end{array}
\phi \left( s \right) = \left\{ \! \! \! \begin{array} { l } { a s ^ { \xi } + b , \smallskip } \\ { a s ^ { 1 + \xi } + b , } \end{array} \ \right. \quad \phi \left( s \right) = \left\{ \! \! \! \begin{array} { l } { a s ^ { \xi } + b s ^ { \zeta } + c , \smallskip } \\ { a s ^ { 1 + \xi } + b s ^ { \zeta } + c , } \end{array} \ \right. \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \phi \left( s \right) = a s ^ { 2 \xi } + b s ^ { \xi } + c ,
= \int [ - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( A _ { \mu } + \partial _ { \mu } \rho ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \partial _ { \mu } ( A ^ { \mu } \rho ) ]
\mathbf { F } _ { \nu , X F } ^ { ( \alpha ) } ( t ) = \sum _ { \mu } ^ { N _ { n } } \sum _ { l , k } \frac { 2 \mathbf { Q } _ { \mu } ^ { ( \alpha ) } } { M _ { \mu } } \cdot \mathbf { f } _ { \mu , l } ^ { ( \alpha ) } \rho _ { l l } ^ { ( \alpha ) } \rho _ { k k } ^ { ( \alpha ) } \Delta \mathbf { f } _ { \nu , l k } ^ { ( \alpha ) }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \frac 1 2 \int d \boldsymbol r \left[ \epsilon _ { 0 } \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \hat { \boldsymbol B } ^ { 2 } \right] } \end{array}
D = \frac { \frac { 2 G _ { c } } { t _ { e } ^ { o } } ( \delta _ { e } ^ { m a x } - \delta _ { e } ^ { o } ) } { \delta _ { e } ^ { m a x } ( \frac { 2 G _ { c } } { t _ { e } ^ { o } } - \delta _ { e } ^ { o } ) } \leq 1
\left( \int _ { \gamma _ { \rho } ^ { + } } + \sum _ { k } \int _ { C _ { \rho } ( i y _ { k } ) } \right) \frac { H _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( \lambda z ) } { H _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( z ) } F ( z ) d z + \left( \int _ { \gamma _ { \rho } ^ { - } } + \sum _ { k } \int _ { C _ { \rho } ( - i y _ { k } ) } \right) \frac { H _ { \mu } ^ { ( 2 ) } ( \lambda z ) } { H _ { \nu } ^ { ( 2 ) } ( z ) } F ( z ) d z
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \Gamma _ { Q } } \frac { \partial Q _ { 1 1 } } { \partial t } } & { = } & { \pm 2 | A | Q _ { 1 1 } - 4 C ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 1 } + 2 L \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 1 } + c _ { 0 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } - P _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { Q } } \frac { \partial Q _ { 1 2 } } { \partial t } } & { = } & { \pm 2 | A | Q _ { 1 2 } - 4 C ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 2 } + 2 L \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 2 } + 2 c _ { 0 } P _ { 1 } P _ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { P } } \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial t } } & { = } & { [ - \alpha ( \rho ) - \beta { \bf P } \cdot { \bf P } ] P _ { 1 } - \frac { v _ { 1 } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { x } \rho + \frac { \lambda _ { 1 } } { \Gamma _ { P } } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \nabla _ { x } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } P _ { 1 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa \nabla ^ { 2 } P _ { 1 } + 2 c _ { 0 } ( Q _ { 1 1 } P _ { 1 } + Q _ { 1 2 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { P } } \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial t } } & { = } & { [ - \alpha ( \rho ) - \beta { \bf P } \cdot { \bf P } ] P _ { 2 } - \frac { v _ { 1 } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { y } \rho + \frac { \lambda _ { 1 } } { \Gamma _ { P } } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 2 } + \lambda _ { 2 } \nabla _ { y } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } P _ { 2 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa \nabla ^ { 2 } P _ { 2 } + 2 c _ { 0 } ( Q _ { 1 2 } P _ { 1 } - Q _ { 1 1 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { \rho } } \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = } & { - \frac { v _ { 0 } } { \Gamma _ { \rho } } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) + D _ { \rho } \nabla ^ { 2 } \rho . } \end{array}
V _ { n } \Delta \mathcal { H } _ { k } ( u ) = \frac { 1 } { n ^ { 3 / 2 } } \left( \begin{array} { l } { N _ { k } ( u ) \epsilon _ { k } ( u ) ^ { - 1 } - \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } a _ { k } \delta _ { k - 1 } } \\ { \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } a _ { k } \delta _ { n } } \end{array} \right) \epsilon _ { k } ( u ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \widehat { u } ( t , k ) \overline { { \widehat { u } ( t , k ^ { \prime } ) } } ] = | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \left( \chi _ { | k | > c t + \kappa } \right. } & { \ \left[ \Psi _ { d , H } ( | k | - c t ) - \Psi _ { d , H } ( | k | ) \right] } \\ & { + \left. \chi _ { | k | \leq c t + \kappa } \left[ \Psi _ { d , H } ( \kappa ) - \Psi _ { d , H } ( | k | ) \right] \right) \delta _ { k - k _ { 2 } } \ . } \end{array}
V ( x ^ { 1 1 } ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { { \left( 1 - { \cal S } _ { 1 } x ^ { 1 1 } \right) ^ { 2 } \, V _ { 0 } } } & { { ; } } & { { x ^ { 1 1 } < z _ { M 5 } } } \\ { { \big ( 1 - ( { \cal S } _ { 1 } + { \cal S } _ { M 5 } ) x ^ { 1 1 } + { \cal S } _ { M 5 } z _ { M 5 } \big ) ^ { 2 } \, V _ { 0 } } } & { { ; } } & { { x ^ { 1 1 } \ge z _ { M 5 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 1 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { j \in \hat { I } _ { N } } 1 + \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } | \hat { q } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) | \Delta t ^ { 2 } \right| . } \end{array}
\lambda < \frac { 2 S ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 x _ { 1 } ^ { 4 } + ( S - 1 ) ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 4 } } = \frac { 2 S ^ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 + ( S - 1 ) ^ { 2 } } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ 1 - e ^ { - \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } } } \left( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } } \right) \right] S ( x ) d x = \frac { 1 } { 2 } .
\partial _ { a } ^ { 3 } { \cal F } = { \frac { \pi ^ { 2 } \left( a \partial _ { a } ^ { 2 } { \cal F } - \partial _ { a } { \cal F } \right) ^ { 3 } } { 1 6 \left[ { \Lambda ^ { 4 } } + \pi ^ { 2 } \left( { \cal F } - { a } \partial _ { a } { \cal F } / 2 \right) ^ { 2 } \right] } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \alpha ( t ) \int _ { \Omega } \left< \partial _ { t } u _ { \theta } , \phi _ { j } \right> _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) } d t } \\ & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) \mu _ { \theta } \phi _ { j } d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } \alpha ( t ) M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi _ { j } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \hat { \mathcal { W } } \rangle - \textrm { R e } ( \mathrm { T r } ( O \rho ^ { m } ) ) | } & { = \left| \langle \hat { \mathcal { W } } \rangle - \mathbb { E } [ \hat { \mathcal { W } } ] \right| } \\ & { = \left| \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { o } } a _ { k } \left( \langle \hat { W } _ { k } \rangle - \textrm { R e } [ \mathrm { T r } ( P _ { k } \rho ^ { m } ) ] \right) \right| } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { o } } \left| a _ { k } \right| \varepsilon _ { k } < \varepsilon , } \end{array}
\mu ^ { \prime \prime } + \left[ - \frac { 1 } { 4 } + \frac { a } { z } + \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } \right] \mu = 0 , ~ ~ ~ ~ z = 2 i k ( \eta - \eta _ { c } ) , ~ ~ ~ a = i \frac { q ^ { 2 } \eta _ { c } } { k }
a ( t ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { a _ { 0 } [ 1 + \varepsilon \sin ( \Omega t ) ] , } } & { { \quad 0 \leq t \leq T } } \\ { { a _ { 0 } , } } & { { \quad t < 0 , \; t > T } } \end{array} \right. ,
\gamma ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \vec { \gamma } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \vec { \sigma } } } \\ { { \vec { \sigma } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 4 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + 4 \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 8 C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { 1 6 L ^ { 2 } } { M } + \frac { 3 2 L _ { x y } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\chi ( \omega ) = \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } d ^ { 2 } n } { 3 \epsilon _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } t \ e ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } \omega t } \sum _ { \alpha } \left( R _ { \alpha \alpha } ( t ) - R _ { \alpha \alpha } ^ { * } ( t ) \right) ,
p _ { \mathrm { ~ j ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } } ( \mathbf { x } , \mathbf { z } ) = p _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } ( \mathbf { x } ) \cdot p _ { \mathrm { ~ a ~ u ~ x ~ i ~ l ~ i ~ a ~ r ~ y ~ } } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } )
\begin{array} { r } { n _ { p } = { ^ { 1 } \Gamma } _ { p p } \approx \nu _ { p } + \sum _ { i } \, \frac { \eta _ { p } \, \nu _ { i } - \nu _ { p } \, \eta _ { i } } { ( \epsilon _ { p } - \epsilon _ { i } ) ^ { 2 } } \; | G _ { p i } | ^ { 2 } + \, \frac { 1 } { 2 } \; ( \eta _ { p } - \nu _ { p } ) \, \sum _ { i j k } \frac { \eta _ { p } \, \eta _ { i } \, \nu _ { j } \, \nu _ { k } + \nu _ { p } \, \nu _ { i } \, \eta _ { j } \, \eta _ { k } } { ( \epsilon _ { i } + \epsilon _ { p } - \epsilon _ { j } - \epsilon _ { k } ) ^ { 2 } } \; | \mathfrak { g } _ { i p j k } | ^ { 2 } \, . } \end{array}
B _ { z } = \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { z 0 } , } & { y < y _ { b } } \\ { B _ { z 0 } \exp \Bigg [ - \left( y - y _ { b } \right) / \lambda _ { B } \Bigg ] , } & { y _ { b } \leqslant y \leqslant y _ { p } } \\ { B _ { z 0 } \exp \Bigg [ - \left( y _ { p } - y _ { b } \right) / \lambda _ { B } \Bigg ] , } & { y _ { p } < y , } \end{array} \right.
\lambda _ { \mathrm { p e a k } } = { \frac { h c } { x } } { \frac { 1 } { k T } } = { \frac { 2 . 8 9 7 7 7 1 9 5 5 1 8 5 1 7 2 { \mathrm { m m } } { \cdot } { \mathrm { K } } } { T } } .
{ \begin{array} { r l } { | P _ { 1 1 } P _ { 2 2 } | ^ { 2 } } & { = ( a _ { 2 } u _ { 2 } - a _ { 1 } u _ { 1 } ) ^ { 2 } + \left( { \sqrt { ( a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } ) } } - { \sqrt { ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } ) } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \left( 1 + a _ { 1 } a _ { 2 } u _ { 1 } u _ { 2 } + { \sqrt { ( a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) ( a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - u _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 1 - u _ { 2 } ^ { 2 } ) } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { I _ { \alpha } ( \mathbf { \Omega } , t ) } & { { } = } & { \frac { c } { 4 \pi } \left\langle \psi \right\vert E _ { \alpha } ^ { ( - ) } ( \mathbf { r } ) E _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } ) \left\vert \psi \right\rangle r ^ { 2 } } \end{array}
n = n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { o } + \Delta n _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } } + \Delta n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } c o s ( \frac { 2 \pi z } { \Lambda } )
\left( \begin{array} { c } { { Z } } \\ { { Z ^ { \prime } } } \\ { { A ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { \cos \xi + \sin \xi \sin \theta _ { W } \tan \chi } } & { { - \sin \xi + \cos \xi \sin \theta _ { W } \tan \chi } } & { { 0 } } \\ { { \sin \xi / \cos \chi } } & { { \cos \xi / \cos \chi } } & { { 0 } } \\ { { - \sin \xi \cos \theta _ { W } \tan \chi } } & { { - \cos \xi \cos \theta _ { W } \tan \chi } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { Z _ { 1 } } } } \\ { { { Z _ { 2 } } } } \\ { { { A } } } \end{array} \right) .
\epsilon ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \left( \frac { V ^ { \prime } ( \phi ) } { V ( \phi ) } \right) ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ \eta ( \phi ) = \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \frac { V ^ { \prime \prime } ( \phi ) } { V ( \phi ) } .
\int _ { \Theta } \left[ { \bf K } \left( \theta \right) \sum _ { i = 1 } ^ { k } \Gamma _ { i } \left( \theta \right) { \bf d } _ { \mathrm { P C } , i } - { \bf F } \left( \theta \right) \right] \Gamma _ { j } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) = 0 , \quad j = 1 , \cdots , k ,
\begin{array} { r } { \Delta t = C _ { s } \operatorname* { m i n } _ { e } \left( { \frac { | \overline { { u } } _ { e } | + \overline { { c } } _ { e } } { \Delta x _ { e } } + \frac { | \overline { { v } } _ { e } | + \overline { { c } } _ { e } } { \Delta y _ { e } } } \right) ^ { - 1 } \mathrm { ~ C ~ F ~ L ~ } ( N ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } ( z ) } & { { } = \mathbf { x _ { i } } ( z ) + \mathbf { x _ { r } } ( z ) = \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \mathbf { x _ { i } } ( z ) , } \\ { \mathbf { y } ( z ) } & { { } = \frac { \mathbf { x _ { i } } ( z ) - \mathbf { x _ { r } } ( z ) } { Z _ { 0 } } = \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \frac { \mathbf { x _ { i } } ( z ) } { Z _ { 0 } } . } \end{array}
\delta \tilde { { u } } _ { j } \tilde { { u } } _ { k } ^ { * } \frac { \partial } { \partial X _ { k } } \delta U _ { i } = \delta \tilde { { u } } _ { j } \tilde { { u } } _ { k } ^ { * } \delta \left( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { k } } \right) .
\begin{array} { r l } { e ^ { - t H ^ { \epsilon } } } & { = e ^ { - t H } + \int _ { 0 } ^ { t } d s \; e ^ { ( s - t ) H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - s H } + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = e ^ { - t H } + \int _ { 0 } ^ { t } d s \; e ^ { ( s - t ) H } \{ G _ { + } , [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , \cdot ) ] \} e ^ { - s H } + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { ~ K ~ L ~ } } ( P | | T ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln \frac { P ( \mathbf { A } ) } { T ( \mathbf { A } ) } , } \\ { D _ { \mathrm { ~ K ~ L ~ } } ( \overline { { Q } } | | \overline { { R } } ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) \ln \frac { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } { R ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } d \mathbf { W } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \nu = \frac { x } { q - 1 } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ r ~ o ~ n ~ s ~ } , } \\ { \nu = 1 - \frac { x } { q - 1 } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ h ~ o ~ l ~ e ~ s ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 0 , i } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = c _ { 0 , i } ^ { - } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } + c _ { 0 , i } ^ { + } e ^ { \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } . } \end{array}
\rho \ddot { u } _ { i } + \rho v _ { 0 } \frac { \dot { u } _ { i + 1 } - \dot { u } _ { i - 1 } } { a } + \left( \rho v _ { 0 } ^ { 2 } - E \right) \left( \frac { { u } _ { i + 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i - 1 } } { a ^ { 2 } } \right) = 0
\begin{array} { r l } & { \| \log A - \log A _ { n } ) g \| } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \left\| \int _ { + \partial \Omega } \log \lambda ( R ( \lambda , A ) - R ( \lambda , A _ { n } ) ) g \mathrm { d } \lambda \right\| } \\ { \le } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { + \partial \Omega } | \log \lambda | \left\| ( R ( \lambda , A ) - R ( \lambda , A _ { n } ) ) g \right\| \mathrm { d } \lambda } \\ { < } & { \frac { r } { 2 \pi } \int _ { + \partial \Omega } \frac { \epsilon } { K r } \mathrm { d } \lambda = \epsilon . } \end{array}
\Gamma = \prod _ { j } \omega _ { j } = \prod _ { j } \frac { \left[ G _ { j } + ( N _ { j } - 1 ) ( h - 1 ) \right] ! } { N _ { j } ! \left[ G _ { j } + ( N _ { j } - 1 ) ( h - 1 ) - N _ { j } \right] ! } ,
P = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } 5 ^ { 2 } 7 ^ { 2 } 1 1 } \frac { 2 \kappa ^ { 2 } T _ { 0 } ^ { 2 } } { \Omega _ { 8 } } \omega ^ { 1 0 } \left[ Q ^ { i j } Q _ { i j } ^ { * } - \frac { 1 } { 9 } | Q _ { \ i } ^ { i } | ^ { 2 } \right]