harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) u _ { n } ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } d x + \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) \left( u _ { n , x x } ^ { \prime } ( t ) \right) ^ { 2 } d x + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ( x ) \left( u _ { n } ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } r ( x ) ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau - 2 \int _ { 0 } ^ { \ell } r ( x ) u _ { n , x x } ( t ) u _ { n , x x } ^ { \prime } ( t ) d x + 2 g ( t ) u _ { n } ^ { \prime } ( \ell , t ) - 2 \int _ { 0 } ^ { t } g ^ { \prime } ( \tau ) u _ { n } ^ { \prime } ( \ell , \tau ) d \tau } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) v _ { 0 , n x x } ^ { 2 } d x + \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ( x ) v _ { 0 , n } ^ { 2 } d x + 2 \int _ { 0 } ^ { \ell } r ( x ) u _ { 0 , n x x } v _ { 0 , n x x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ \left| n _ { 0 } - \frac { l ^ { 2 } } { m _ { 2 } m _ { 1 } } n _ { 2 } \right| = \frac { n _ { 0 } } { \int _ { 0 } ^ { l } K ( r , r ) \mathrm { d } r } \left| \int _ { 0 } ^ { l } \int _ { 0 } ^ { l } g ( r , r , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } r - \frac { l ^ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } \sum _ { i = 1 , j = 1 } ^ { m _ { 2 } , m _ { 1 } } g ( r _ { i } , r _ { i } , s _ { j } ) \right| } \\ & { \leqslant \frac { n _ { 0 } l ^ { 4 } } { 2 4 m _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } K ( r , r ) \mathrm { d } r } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g ( r , r , s ) } { \partial r ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 } ) } + \frac { n _ { 0 } l ^ { 4 } } { 2 4 m _ { 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } K ( r , r ) \mathrm { d } r } \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g ( r , r , s ) } { \partial s ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 } ) } } \\ & { \leqslant \frac { n _ { 0 } l ^ { 4 } } { 2 4 ( \mathrm { m i n } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { l } K ( r , r ) \mathrm { d } r } \left( \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g ( r , r , s ) } { \partial r ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 } ) } + \left\| \frac { \partial ^ { 2 } g ( r , r , s ) } { \partial s ^ { 2 } } \right\| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , l ) ^ { 2 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ll \xi _ { v } , \Phi \gg = } & { \int _ { \Omega } \Phi ( x , v ( x ) ) d \nu ( x ) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \ll \xi _ { l } , \Phi \gg = } & { \int _ { \Omega } \Phi \left( x , \frac { l } { \mu } ( x ) \right) d \mu ( x ) + \int _ { \Omega } \Phi ^ { \infty } \left( x , \frac { l ^ { s , \mu } } { | l ^ { s , \mu } | } ( x ) \right) d | l ^ { s , \mu } | ( x ) . } \end{array}
u ( \boldsymbol { r } ) = \int _ { D } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) \Delta f ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } + \int _ { \partial D } f \frac { \partial G ^ { t } } { \partial n } - G ^ { t } \frac { \partial f } { \partial n } d s
( \partial ^ { \mu } \psi ^ { \dagger } - i q A ^ { \mu } \psi ^ { \dagger } ) ( \partial _ { \mu } \psi + i q A _ { \mu } \psi ) = ( \partial _ { \mu } \sigma ^ { 2 } ) + \sigma ^ { 2 } q ^ { 2 } B _ { \mu } B ^ { \mu }
S = S ^ { 0 } + \phi _ { i } ^ { * } Z ^ { i } { } _ { a } ( \phi ) c ^ { a } + \sum _ { k = 0 } c _ { a _ { k } } ^ { * } Z ^ { a _ { k } } { } _ { a _ { k + 1 } } c ^ { a _ { k + 1 } } + \ldots \ ,
{ \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { S } } = { \frac { \partial } { \partial q ^ { k } } } [ S _ { i j } ~ \mathbf { b } ^ { i } \otimes \mathbf { b } ^ { j } ] \otimes \mathbf { b } ^ { k } = \left[ { \frac { \partial S _ { i j } } { \partial q ^ { k } } } - \Gamma _ { k i } ^ { l } ~ S _ { l j } - \Gamma _ { k j } ^ { l } ~ S _ { i l } \right] ~ \mathbf { b } ^ { i } \otimes \mathbf { b } ^ { j } \otimes \mathbf { b } ^ { k }
0 = - \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\langle \frac 1 2 \partial _ { t } \chi _ { e } ^ { 2 } \aftergroup \egroup \right\rangle = \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\langle \nabla \chi _ { e } \cdot \mathbf { a } _ { v } \big ( e + \nabla \chi _ { e } \big ) \aftergroup \egroup \right\rangle \, .
< 0 \vert \Phi _ { 1 } \vert 0 > = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { v _ { 1 } } } \end{array} \right) ; \ \ \ < 0 \vert \Phi _ { 2 } \vert 0 > = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { v _ { 2 } e ^ { i \theta } } } \end{array} \right)
P _ { 5 0 \Omega } = \hbar \omega _ { e } G B \left[ \frac { 1 } { 2 } \coth \left( \frac { \hbar \omega _ { e } } { 2 k _ { B } T _ { 5 0 \Omega } } \right) + N _ { e , \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { { f _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( H ) } & { = } & { \frac { q _ { i } \sigma _ { 0 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) } { 1 2 } h \nu t ^ { \prime } ( 1 + \nu t ^ { \prime } ) + \frac { h ( \alpha _ { i } + \sigma _ { 1 } \nu t ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { \nu t ^ { \prime } } { 6 } ( \alpha _ { i } + 2 \nu t ^ { \prime } ) \left[ \alpha _ { i } + 2 \nu t ^ { \prime } + h ( \alpha _ { i } + \sigma _ { 1 } \nu t ^ { \prime } ) \right] , } \\ { { f _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( H ) } & { = } & { \frac { q _ { i } h } { 1 2 } \left[ h \left( \alpha _ { i } + \sigma _ { 1 } \nu t ^ { \prime } \right) + \nu t ^ { \prime } \left[ ( 2 - \sigma _ { 1 } + 6 \alpha _ { i } ) ( 1 + \nu t ^ { \prime } ) + 2 \nu t ^ { \prime } ( 3 + 4 \nu t ^ { \prime } ) - q _ { i } \sigma _ { 0 } h \nu t ^ { \prime } ( 3 + 2 \nu t ^ { \prime } ) \right] \right] , } \\ { { f _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( H ) } & { = } & { \frac { 1 + 2 \nu t ^ { \prime } } { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \upsilon \left( t , \theta \right) } & { { } = \beta _ { 0 } c + \frac { \beta _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { 0 } ^ { - 3 } } { m c } \Delta U \left( t , \theta \right) + \cdots } \\ { z \left( t , \theta \right) } & { { } = \beta _ { 0 } c t + \frac { \beta _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { 0 } ^ { - 3 } } { m c } \int _ { 0 } ^ { t } \Delta U \left( { t } ^ { \prime } , \theta \right) d { t } ^ { \prime } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( v , \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi v } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \alpha _ { r } v _ { c } } \exp { \Bigl ( - \frac { ( 1 - v / v _ { c } ) ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { r } ^ { 2 } } \Bigr ) } \Bigl [ 1 + \exp \Bigl ( - \frac { 2 v } { \alpha _ { r } ^ { 2 } v _ { c } } \Bigr ) \Bigr ] , } \end{array}
C _ { B } ^ { ( 1 ) } A _ { B } ^ { ( 0 ) } + C _ { B } ^ { ( 0 ) } A _ { B } ^ { ( 1 ) } = C _ { R } ^ { ( 1 ) } A _ { R } ^ { ( 0 ) } + C _ { R } ^ { ( 0 ) } A _ { R } ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { e r r } _ { L ^ { 2 } } ( \widetilde { y } _ { h _ { i } } ) = \| \widetilde { y } _ { h _ { i + 1 } } - \widetilde { y } _ { h _ { i } } \| , \quad \mathrm { e r r } _ { H ^ { 1 } } ( \widetilde { y } _ { h _ { i } } ) = \| \widetilde { y } _ { h _ { i + 1 } } - \widetilde { y } _ { h _ { i } } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , \quad \mathrm { e r r } _ { L ^ { 2 } } ( \widetilde { z } _ { h _ { i } } ) = \| \widetilde { z } _ { h _ { i + 1 } } - \widetilde { z } _ { h _ { i } } \| , } \\ & { \mathrm { e r r } _ { H ^ { 1 } } ( \widetilde { z } _ { h _ { i } } ) = \| \widetilde { z } _ { h _ { i + 1 } } - \widetilde { z } _ { h _ { i } } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { e r r } _ { L ^ { 2 } } ( \widetilde { u } _ { h _ { i } } ) = \| \widetilde { u } _ { h _ { i + 1 } } - \widetilde { u } _ { h _ { i } } \| . } \end{array}
f ^ { ( \kappa ) } ( z ) = \frac { 1 } { \kappa } \Bigl ( 1 - \exp ( - \kappa \tan ^ { - 1 } z ) \Bigr ) = z - \frac { \kappa } { \sqrt { 2 } } \frac { z ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } } + \frac { \kappa ^ { 2 } - 2 } { 2 \sqrt { 3 } } \frac { z ^ { 3 } } { \sqrt { 3 } } + \cdots .
\ell _ { \psi } ^ { p } \ensuremath { \stackrel { \r { d e f } } { = } } \mathbb { C } _ { c } ^ { p } \frac { \widetilde Q _ { b } } { N ^ { 2 } \sqrt { e } + Q _ { b } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } \, ,
s ^ { j k } ( \omega ; k _ { 1 } ) = \int _ { \xi _ { 1 } } \Pi \left( \frac { 2 \xi _ { 1 } } { L _ { 1 } } \right) \, m ^ { j k } ( \omega ; \xi _ { 1 } ) \, \exp { [ - \imath \, k _ { 1 } \, \xi _ { 1 } ] } \, \mathrm { ~ d ~ } \xi _ { 1 } ,
J _ { \perp } \left[ \frac { \mathrm { ~ A ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } ^ { 2 } } \right] = \frac { k _ { \perp } } { \omega B } \cdot P _ { R F } \left[ \frac { \mathrm { ~ W ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } } \right]
\Delta _ { s } = \left\{ \vec { \omega } \in \mathbb { R } ^ { s } : \omega _ { j } \geq 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } j = 1 , \dots , s \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \sum _ { j = 1 } ^ { s } \omega _ { j } = 1 \right\} ,
J ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) = J _ { \mathrm { ~ e ~ N ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) + J _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ( \mathbf { r } ) + J _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ N ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) .
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { t } } & { = \mu _ { x } \bigl ( - k _ { b } x _ { t } - k _ { \mathrm { i n t } } ( x _ { t } - y _ { t } ) + C _ { 1 } \bigr ) + \sqrt { 2 D _ { x } } \eta _ { t } ^ { x } } \\ { \dot { y } _ { t } } & { = \mu _ { y } \bigl ( - k _ { c } y _ { t } + k _ { \mathrm { i n t } } ( x _ { t } - y _ { t } ) + f _ { t } ^ { a } + C _ { 2 } \bigr ) + \sqrt { 2 D _ { y } } \eta _ { t } ^ { y } } \end{array}
a ^ { 1 2 } + 1 8 a ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 6 4 a ^ { 9 } c ^ { 3 } + 1 1 1 a ^ { 8 } c ^ { 4 } + 1 9 2 a ^ { 7 } c ^ { 5 } + 2 5 2 a ^ { 6 } c ^ { 6 } + 1 9 2 a ^ { 5 } c ^ { 7 } + 1 9 2 a ^ { 4 } b ^ { 8 } + 1 1 1 a ^ { 4 } c ^ { 8 } + 7 6 8 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c + 6 4 a ^ { 3 } c ^ { 9 } + 1 1 5 2 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 1 8 a ^ { 2 } c ^ { 1 0 } + 7 6 8 a b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 1 9 2 b ^ { 8 } c ^ { 4 } + c ^ { 1 2 }
\hat { n } _ { \textsc { i } } = | \textsc { i } \rangle \langle \textsc { i } | \, , \qquad \hat { q } _ { \textsc { s } \to \textsc { i } } = | \textsc { i } \rangle \langle \textsc { s } | - | \textsc { s } \rangle \langle \textsc { s } | \, .
\operatorname { t r } \left( \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { B } \right) = \operatorname { v e c } ( \mathbf { B } ) ^ { \mathsf { T } } \operatorname { v e c } ( \mathbf { A } ) = \operatorname { v e c } ( \mathbf { A } ) ^ { \mathsf { T } } \operatorname { v e c } ( \mathbf { B } )
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } _ { R } ( \hat { A } , \hat { B } ) } & { { } = [ \operatorname { C o v } ( \hat { A } , \hat { B } ) + \operatorname { C o v } ( \hat { B } , \hat { A } ) ^ { T } ] / 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } } \\ { T ^ { \mathcal { X } } \Theta } \end{array} \right) x ( 0 ) \leq 1 , } \\ & { \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } \left( \begin{array} { l l l l l } { A ^ { k - 1 } B } & { A ^ { k - 2 } B } & { \cdots } & { B } & { 0 ^ { n \times ( N - k ) n } } \end{array} \right) } \\ { T ^ { \mathcal { X } } \Theta \left( \begin{array} { l l l l l } { A ^ { k - 1 } B } & { A ^ { k - 2 } B } & { \cdots } & { B } & { 0 ^ { n \times ( N - k ) n } } \end{array} \right) } \end{array} \right) U } \\ & { \quad \quad \quad + \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } A ^ { k } } \\ { T ^ { \mathcal { X } } \Theta A ^ { k } } \end{array} \right) x ( 0 ) \leq 1 , } \end{array}
u = - { \frac { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } & { x _ { 1 } - x _ { 3 } } \\ { y _ { 1 } - y _ { 2 } } & { y _ { 1 } - y _ { 3 } } \end{array} \right| } { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } & { x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\ { y _ { 1 } - y _ { 2 } } & { y _ { 3 } - y _ { 4 } } \end{array} \right| } } = - { \frac { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) - ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } ) - ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) } } ,
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 0 , 0 , 1 0 0 0 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad 0 \leq x < 0 . 1 } \\ { ( 1 . 0 , 0 , 0 . 0 1 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad 0 . 1 \leq x < 0 . 9 } \\ { ( 1 . 0 , 0 , 1 0 0 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad 0 . 9 \leq x \leq 1 . } \end{array} \right.
\Psi _ { R } ( \mathbf { r } _ { j } ) = t _ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + t _ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } - \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } .
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I } , * } - \left( \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } W ^ { \prime } ( \phi _ { \alpha } ) - 2 \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \Delta ^ { * } \phi _ { \alpha } \right) } & { = ~ 0 , } \\ { \mu _ { \alpha } ^ { \mathrm { I I } , * } - 2 \phi _ { \alpha } \left( \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } W ^ { \prime } ( \phi _ { \alpha } ) - 2 \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \Delta ^ { * } \phi _ { \alpha } \right) } & { } \\ { - 2 \left( \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ) - \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \| \nabla ^ { * } \phi _ { \alpha } \| ^ { 2 } \right) } & { = ~ 0 . } \end{array}
S _ { e f f } = \frac { 1 } { 2 } ( E ^ { a } E ^ { b } - B ^ { a } B ^ { b } ) \left( \delta ^ { a b } + \frac { 2 2 } { 3 } \frac { g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \ln \left( \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } \sqrt { 2 g ^ { 2 } ( B ^ { a } B ^ { b } - E ^ { a } E ^ { b } ) } \right) \right)
\frac { 1 } { \sigma ^ { \downarrow } } \frac { \gamma } { \sin ( \gamma ) } \left\lVert \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } \leq \frac { \gamma } { \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } ( w _ { i } ^ { k - 1 } ) } } \iff \sigma ^ { \downarrow } \geq \frac { \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } ( w _ { i } ^ { k - 1 } ) } } { \sin ( \gamma ) } \left\lVert \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } .
i \; \frac { d } { d t } \; \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \end{array} \right) = { \bf H } \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \end{array} \right) \equiv \left( { \bf M } - \frac { i } { 2 } { \bf \Gamma } \right) \; \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = \frac { \gamma s ^ { 2 } } { 1 + \gamma s ^ { 2 } } } \\ { x _ { 2 } } & { = \frac { G _ { 1 } } { 2 + G _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 3 } } & { = \frac { G _ { 2 } } { 2 + G _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } } \\ { x _ { 4 } } & { = \frac { G _ { 3 } } { 2 + G _ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
g \ = \ \frac { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) F ^ { 2 } } { 4 } \left( \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } [ 1 + \cos ( 2 a x ) ] [ 1 + \cos ( 2 b y ) ] } & { - a b \sin ( 2 a x ) \sin ( 2 b y ) } \\ { - a b \sin ( 2 a x ) \sin ( 2 b y ) } & { b ^ { 2 } [ 1 + \cos ( 2 a x ) ] [ 1 + \cos ( 2 b y ) ] } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { = \sigma \lbrace \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { U } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { P } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { V } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { Q } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \rbrace , } \\ { \mathcal { Q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { = \sigma \lbrace \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { U } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { P } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { V } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { Q } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \rbrace . } \end{array}
N _ { \mathrm { C S } } [ A ] = { \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \int d ^ { 3 } x \ \epsilon _ { i j k } \biggl ( A _ { i } ^ { a } \partial _ { j } A _ { k } ^ { a } - { \frac { g } { 3 } } \epsilon _ { a b c } A _ { i } ^ { a } A _ { j } ^ { b } A _ { k } ^ { c } \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { ( \lambda w _ { \tau , * } ( z ) + w _ { \tau , * } ( z ^ { \prime } ) ) * u _ { \rho } } & { = \lambda w _ { \tau , * } ( z ) * u _ { \rho } + w _ { \tau , * } ( z ^ { \prime } ) * u _ { \rho } } \\ & { = \lambda z _ { \rho } + z _ { \rho } ^ { \prime } } \\ & { = ( \lambda z + z ^ { \prime } ) _ { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] } & { { } = - \sum _ { \mu , \nu } \varphi _ { \mu } ^ { * } \varphi _ { \nu } \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { q q } ( \vec { k } ) } & { { } = F _ { q q } ( \vec { k } , t = 0 ) = \frac { 1 } { N } \langle \left| \hat { \rho } _ { q } ( \vec { k } , t = 0 ) \right| ^ { 2 } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon \tilde { \beta } G ( \phi ) \partial _ { t } \phi } & { = } & { \tilde { \sigma } \left( \epsilon \Delta _ { \cal { S } } \phi - \frac { 1 } { \epsilon } W ^ { \prime } ( \phi ) \right) + G ( \phi ) \lambda , } \\ { \lambda } & { = } & { \tilde { \sigma } \frac { 1 } { | { \cal { S } } | } \int _ { \cal { S } } \left( - \frac { \epsilon } { G ( \phi ) } \Delta _ { \cal { S } } \phi + \frac { 1 } { \epsilon G ( \phi ) } W ^ { \prime } ( \phi ) \right) \, d { \cal { S } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sqrt { 1 + \nu ^ { 2 } } r ^ { d - 1 } } { ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } \sqrt { ( \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \nu ) ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } } } \, d r } & { = C \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sqrt { 1 + \nu ^ { 2 } } u ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } } { ( 1 + u ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } \sqrt { ( \frac { 1 } { 2 } u + \nu ) ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } } } \, d u } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 + | \nu | } { ( 1 + u ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { ( \frac { 1 } { 2 } u + \nu ) ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } } } \, d u } \end{array}
\widehat { \rho ( \tau ) / \rho ( 0 ) } _ { \mathcal { O } } = \frac { \frac { 1 } { T - \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { T - \tau } ( \mathcal { O } _ { i } - \bar { \mathcal { O } } ) ( \mathcal { O } _ { i + \tau } - \bar { \mathcal { O } } ) } { \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } ( \mathcal { O } _ { i } - \bar { \mathcal { O } } ) ^ { 2 } }
{ \cal A } _ { N } = \langle \tau _ { N } | V _ { N - 1 } ( 1 ) \Delta \ldots \Delta V _ { 2 } ( 1 ) { \frac { G _ { 0 } ^ { + } - \Lambda ^ { + } } { L _ { 0 } - h _ { t } } } | \tau _ { 1 } \rangle .
\begin{array} { r l } & { b < - \frac { a } { \gamma - 1 } + \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } \frac { \partial { { \cal L } _ { 0 } } } { \partial T } + \frac { \kappa _ { \parallel } k ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } + \frac { 1 } { \gamma - 1 } , } \\ & { b < a + \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } \frac { \partial { { \cal L } _ { 0 } } } { \partial T } + \frac { \kappa _ { \parallel } k ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \frac { T _ { 0 } } { { \cal L } _ { 0 } } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { A } } & { = D _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } ^ { A } , } \\ { d _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { A } } & { = d _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } } ^ { A } = d _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { A } = d _ { \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } ^ { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { Z _ { 3 } } ( Z ) } & { = \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { ( \log Z - C ) } - B } { A } \right) ^ { 2 } \right] } { 2 \sqrt { 2 \pi } A Z \sqrt { ( \log Z - C ) } } \qquad } & { \mathrm { f o r ~ } R > 0 , } \\ { p _ { Z _ { 4 } } ( Z ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } F Z } \exp \left[ - \frac { \left( \log Z - G \right) ^ { 2 } } { 2 F ^ { 2 } } \right] \qquad } & { \mathrm { f o r ~ } R \leq 0 . } \end{array}
A _ { 3 } - i V _ { 3 } = M , \qquad A _ { 3 } + i V _ { 3 } = \bar { M } , \qquad \psi _ { 3 } ^ { a } = i \bar { \zeta } ^ { a } , \qquad \bar { \psi } _ { 3 } ^ { a } = - i \zeta ^ { a } .
\begin{array} { r l } { j _ { \mathrm { F B W } } ( t [ i ] ) } & { { } = J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \\ { A _ { \mathrm { M , F B W } } ( t [ i ] ) } & { { } = A _ { 0 } \omega J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \\ { n _ { \mathrm { P I , F B W } } ( t [ i ] ) } & { { } = A _ { 0 } \omega J \cdot \mathrm { r a n d n } [ i ] , } \end{array}
{ \tilde { G } } ( k ) \; = \; \frac { q } { 4 \pi } \, + \, \frac { m } { 2 \pi \mid k \mid } \, \arcsin ( 1 \, + \, \frac { 4 m ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \delta ( T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \, \, } & { \stackrel { \mathrm { P r o p . } \, } { \iff { \, \, } } \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \neq 0 \neq \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { L e m m a } \, } { \iff { \, \, } } \textup { r e s } _ { p } \left( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \neq 0 \neq \textup { r e s } _ { p } \left( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \mathrm { ~ a n d ~ } \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \neq 0 } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { S _ { t } - d _ { S } S _ { x x } = \Lambda ( x ) - S - \beta ( x ) S I + \gamma ( x ) I , } & { 0 < x < L , \, t > 0 , } \\ { I _ { t } - d _ { I } I _ { x x } = \beta ( x ) S I - \left[ \gamma ( x ) + \eta ( x ) \right] I , } & { 0 < x < L , \, t > 0 , } \\ { S _ { x } = I _ { x } = 0 , } & { x = 0 , L , \, t > 0 , } \\ { S ( x , 0 ) = S _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \, I ( x , 0 ) = I _ { 0 } ( x ) \geq , \not \equiv 0 , } & { 0 < x < L . } \end{array} \right.
O _ { R , S } = ( \overline { { { s } } } _ { L } ^ { \alpha } b _ { R } ^ { \alpha } ) ~ ( \overline { { { s } } } ^ { \beta } s ^ { \beta } ) , ~ ~ ~ O _ { R , P } = ( \overline { { { s } } } _ { L } ^ { \alpha } b _ { R } ^ { \alpha } ) ~ ( \overline { { { s } } } ^ { \beta } \gamma _ { 5 } s ^ { \beta } )
\begin{array} { r l } { - \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \eta _ { c } \mu ^ { \prime } T T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } } \overline { { u } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu T } { 3 } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \overline { { x } } } - \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \eta _ { c } \mu T } { 6 \overline { { x } } } \frac { \partial \overline { { u } } } { \partial \eta } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } \overline { { v } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu } { 3 } \frac { \partial \overline { { v } } } { \partial \eta } } & { { } } \\ { + \left( - \mathrm { i } + \frac { 4 } { 3 } \kappa _ { z } ^ { 2 } \mu T \right) \overline { { w } } + F ^ { \prime } \frac { \partial \overline { { w } } } { \partial \overline { { x } } } - \left( \frac { F } { 2 \overline { { x } } } + \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T } - \frac { \mu T ^ { \prime } } { 2 \overline { { x } } T ^ { 2 } } \right) \frac { \partial \overline { { w } } } { \partial \eta } - \frac { \mu } { 2 \overline { { x } } T } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { w } } } { \partial \eta ^ { 2 } } } & { { } } \\ { - \kappa _ { z } ^ { 2 } T \overline { { p } } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \frac { \mu ^ { \prime } T ^ { \prime } F } { 3 \overline { { x } } } \overline { { \tau } } } & { { } = 0 . } \end{array}
P _ { 6 } = P _ { 7 } \simeq \frac { | F _ { 1 } ^ { B \to \pi } ( m _ { K ^ { * } } ^ { 2 } ) | ^ { 2 } } { ( 1 + x ) | A _ { 1 } ^ { B \to \rho } ( m _ { K ^ { * } } ^ { 2 } ) | ^ { 2 } } .