harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial s _ { 1 } } { \partial t } } & { = s _ { 2 } , \qquad } & { t } & { \in [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial s _ { 2 } } { \partial t } } & { = - \frac { b } { m } s _ { 2 } - \frac { g } { L } \sin ( s _ { 1 } ) , \qquad } & { t } & { \in [ 0 , T ] } \\ { s _ { 1 } ( 0 ) } & { = s _ { 2 } ( 0 ) = 1 } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { y \to 0 } \frac { L _ { 4 } ( \mu ) } { L _ { 5 } ( \mu ) } = \frac { 1 - \eta ( r ) - Z ( 3 ) - e _ { 1 } } { ( r + 2 ) [ \eta ( r ) + e _ { 1 } ^ { \prime } ] } \, .
\tau _ { m } \dot { Z } _ { n } = n \left[ i \omega Z _ { n } + h Z _ { n - 1 } - h ^ { * } Z _ { n + 1 } - \gamma ( Z _ { n } + \frac { 1 } { 2 } Z _ { n - 1 } + \frac { 1 } { 2 } Z _ { n + 1 } ) \right] \; ,
\hat { \varepsilon } ( t ; \, T , \, \rho _ { a } , \, \rho _ { b } ; \, \rho _ { c } , \, \rho _ { d } ; \, \rho _ { \star } ) : = \left| \frac { \delta \varepsilon _ { \rho _ { a } \rho _ { b } } ( t ) } { \operatorname* { m a x } _ { t } \delta \varepsilon _ { \rho _ { c } \rho _ { d } } ( t ) } \left. \varepsilon ( t ) \right| _ { \rho = \rho _ { \star } } \right| .
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { t _ { m + 1 } } \leftarrow \mathbf { x } _ { t _ { m } } + ( t _ { m + 1 } - t _ { m } ) \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { m } } ) + \sqrt { t _ { m + 1 } - t _ { m } } \, g ( t _ { m } ) \, z _ { t _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { i l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) + \Delta _ { j l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 1 } ) - \Delta _ { j l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) - \Delta _ { i l } ( \phi , \widetilde { \phi } _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 , \phi ( \mathcal { I } _ { j } ) < \phi ( \mathcal { I } _ { l } ) < \phi ( \mathcal { I } _ { i } ) , } \\ { 0 , \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\pounds _ { 1 2 } = \varphi ^ { \prime } \left( \tilde { \partial } _ { + } \tilde { \partial } _ { - } + M ^ { 2 } \right) \varphi + \chi ^ { \prime \alpha } \left( \tilde { \partial } _ { + } \tilde { \partial } _ { - } + M ^ { 2 } \right) \chi _ { \alpha } + f ^ { \prime } \left( \tilde { \partial } _ { + } \tilde { \partial } _ { - } + M ^ { 2 } \right) f + h . c
\phi ( 0 , y ) = \frac { \sinh \left( \sqrt i W \frac { y } { L } \right) } { \sinh ( \sqrt i W ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( A _ { n } + B _ { n } \right) \sin \left( \frac { n \pi y } { L } \right) = 1 .
\begin{array} { r l r } { T _ { i j } } & { = } & { \frac { \tau } { 4 } \left\langle \tilde { P } _ { i l } A _ { l } \tilde { P } _ { j h } A _ { h } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle = \frac { A ^ { 2 } \tau } { 1 2 } \left\langle \tilde { P } _ { i j } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { a ^ { 2 } \tau } { 8 } \left[ \delta _ { i j } + \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \partial _ { i } \partial _ { j } \right] \left\langle \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle , } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } ( \hbar \omega ) \sigma ( \hbar \omega ) \ln { \left( \frac { \hbar \omega - \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } } { \hbar \omega + \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } } \right) } \approx \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } ( \hbar \omega ) \sigma ( \hbar \omega ) \left( \frac { - 2 \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } } { \hbar \omega } \right) \approx \frac { - 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ K ~ } } \sigma ( \hbar \omega )
\begin{array} { r } { \gamma _ { k } ^ { ( \mathrm { D L } , \mathrm { c } ) } = \mathrm { ~ } \frac { { { \left| \mathbb { E } \left( \mathbf { h } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \mathbf { D } } _ { k } } { { \mathbf { w } } _ { k } } \right) \right| } ^ { 2 } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } { { \left| \mathbf { h } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \mathbf { D } } _ { i } } { { \mathbf { w } } _ { i } } \right| } ^ { 2 } } - { { \left| \mathbb { E } \left( \mathbf { h } _ { k } ^ { \mathrm { H } } { { \mathbf { D } } _ { k } } { { \mathbf { w } } _ { k } } \right) \right| } ^ { 2 } } + \sigma _ { \mathrm { D L } } ^ { 2 } } , } \end{array}
q q ^ { \prime } = \left( q _ { 4 } q _ { 4 } ^ { \prime } - q _ { m } q _ { m } ^ { \prime } \right) e _ { 4 } + \left( q _ { 4 } ^ { \prime } q _ { m } + q _ { 4 } q _ { m } ^ { \prime } + \epsilon _ { m n k } q _ { n } q _ { k } ^ { \prime } \right) e _ { m } .
{ v _ { I } } _ { n } ^ { \pm } ( w , t ) = v _ { 0 } \sin { ( \beta ) } + \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { \pm } } \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } f _ { \epsilon } ( u , v ) \Omega ( u , v ) \mathrm { d } u \mathrm { d } v ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } } u ^ { T } \mathbb { E } } & { \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] u = \frac { 1 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } } \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) \rangle _ { n } \big ] } \\ & { + \frac { 1 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } a _ { n } ^ { 2 } \mu _ { n } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) \rangle _ { n } \big ] } \\ & { - \frac { 2 } { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } a _ { n } \mu _ { n } } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) \mathbb { E } \big [ \langle M ( u ) , N ( u ) \rangle _ { n } \big ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right) _ { t } + \left( \begin{array} { c } { \rho u } \\ { \rho u ^ { 2 } + p } \\ { \rho u v } \\ { u ( E + p ) } \end{array} \right) _ { x } + \left( \begin{array} { c } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { \rho v ^ { 2 } + p } \\ { v ( E + p ) } \end{array} \right) _ { y } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \rho g } \\ { \rho v g } \end{array} \right) ,
\langle V \rangle = \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t \, k _ { \mathrm { f } } ( t ) \, e ^ { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } \, V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t }
Z ^ { p } ( \ell _ { c } , n , \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L _ { n , \alpha } ^ { p } \geq \ell _ { c } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L _ { n , \alpha } ^ { p } < \ell _ { c } } \end{array} \right. ,
C _ { 1 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 0 } ^ { c } \right) ^ { 2 } + \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 0 } ^ { s } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { 1 } } & { { } \equiv } & { - 2 \frac { \mathbf { d } _ { o g } \mathbf { \cdot E } _ { 1 } } { \hbar } , } \\ { \Omega _ { 2 } } & { { } \equiv } & { - 2 \frac { \mathbf { d } _ { o e } \mathbf { \cdot E } _ { 2 } } { \hbar } } \end{array}
\tilde { G } ^ { + , + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ) = \frac { \rho ( x _ { 3 , S } ) T ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ) } { 2 s _ { 3 } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } ) } + \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cap } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , F } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { G } ^ { - , + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } ,
\frac { d W } { d z } = 2 q \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow r _ { 0 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { z } \, E _ { 3 , n } ( k _ { z } , r ) \right] .
\Delta S _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ a ~ c ~ t ~ s ~ } } = \epsilon _ { o } \, f _ { \mathrm { ~ h ~ i ~ t ~ } } \, \frac { M _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ } } \, v _ { i } ^ { 2 } } { 2 \, E _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } }
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } ( E _ { 2 } ) } & { = 1 - \prod _ { i \in \mathcal { T } } [ 1 - { \mathbb P } ( E _ { 2 } ^ { \prime } ) ] } \\ & { \geq 1 - e ^ { - n ^ { - \eta _ { 1 } ( \mathbf { g } , \rho ) - \eta _ { 1 } ( \mathbf { h } , \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { - \eta _ { 1 } ( \mathbf { g } , 1 - \rho ) - \eta _ { 1 } ( \mathbf { h } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 9 } = } & { - \frac { 1 6 1 9 2 } { 1 9 6 8 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 9 } - \frac { 2 3 2 0 0 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 8 } \xi _ { 1 } - \frac { 3 1 0 4 0 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 7 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 3 7 6 } { 7 2 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 7 } \lambda _ { 2 } - \frac { 3 2 0 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 6 } \xi _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + \frac { 4 5 7 6 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 6 } \xi _ { 1 } \lambda _ { 2 } + \frac { 3 0 7 8 4 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \xi _ { 1 } ^ { 4 } + \frac { 1 0 1 4 4 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } + \frac { 3 9 6 8 } { 8 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 6 2 5 6 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \xi _ { 1 } ^ { 5 } + } \\ & { + \frac { 1 5 1 3 6 } { 7 2 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \xi _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } + \frac { 9 9 2 } { 2 7 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \xi _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 2 0 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \xi _ { 1 } ^ { 6 } - \frac { 5 7 9 2 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \xi _ { 1 } ^ { 4 } \lambda _ { 2 } - \frac { 1 1 0 7 2 } { 8 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } - } \\ & { - \frac { 7 2 6 4 } { 2 7 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } ^ { 3 } - \frac { 7 3 6 0 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { 7 } - \frac { 5 2 1 6 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { 5 } \lambda _ { 2 } - \frac { 1 1 3 9 2 } { 8 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 2 8 4 8 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 3 } + } \\ & { + \frac { 6 4 0 } { 6 5 6 1 } \lambda _ { 1 } \xi _ { 1 } ^ { 8 } + \frac { 1 9 5 2 } { 7 2 9 } \lambda _ { 1 } \xi _ { 1 } ^ { 6 } \lambda _ { 2 } + \frac { 8 3 2 } { 2 7 } \lambda _ { 1 } \xi _ { 1 } ^ { 4 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 5 6 8 } { 9 } \lambda _ { 1 } \xi _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 3 } + 3 8 4 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 4 } + } \\ & { + \frac { 2 9 1 2 } { 1 9 6 8 3 } \xi _ { 1 } ^ { 9 } + \frac { 3 5 2 } { 8 1 } \xi _ { 1 } ^ { 7 } \lambda _ { 2 } + \frac { 3 8 0 8 } { 8 1 } \xi _ { 1 } ^ { 5 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 5 9 8 4 } { 2 7 } \xi _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } ^ { 3 } + 3 8 4 \xi _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 4 } . } \end{array}
\varphi ^ { ( 2 ) } = \frac { D } { 4 \pi R _ { o } ^ { 3 } } ( 3 \textrm { c o s } ^ { 2 } \theta - 1 ) = \frac { D } { 2 R _ { o } ^ { 3 } } \mathcal { P } _ { 2 } ( \textrm { c o s } \ \theta )
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { r \ e ^ { \alpha L _ { g } N ^ { * } } < \cos ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) + e ^ { 2 \alpha L _ { g } N ^ { * } } \ \sin ^ { 2 } \Big ( \frac { r \Phi ^ { * } } { 2 } \Big ) , } \\ { e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } < 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
J _ { \mu } = \bar { u } ( p _ { 1 } ^ { \prime } ) \, \left\{ F _ { 1 } ( q _ { 1 } ^ { 2 } ) \, \gamma _ { \mu } + \frac { \kappa } { 2 m } \, F _ { 2 } ( q _ { 1 } ^ { 2 } ) \, i \sigma _ { \mu \alpha } \, q ^ { \alpha } \right\} \, u ( p _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { x ^ { \mathrm { H O } } } & { { } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 m \Omega } } ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } + ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } ) ^ { \dag } ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } ^ { \mathrm { H O } } } & { { } = \sqrt { \frac { m \Omega } { 2 \hbar } } ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } - ( a _ { x } ^ { \mathrm { H O } } ) ^ { \dag } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( t - t _ { e n d } + \frac { \beta } { 2 } ( t - t _ { e n d } ) ^ { 2 } ) ) ) } d t } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp { ( - \frac { \beta } { 2 } b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( \frac { 2 } { \beta } u + u ^ { 2 } ) ) ) } d u } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \left[ 2 ( g _ { \delta } ) _ { x y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) + ( g _ { \delta } ) _ { y y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \right] \leq C _ { 1 } | y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) | } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } ( 4 a _ { 2 } ( \delta ) x _ { 0 } + 4 N x _ { 0 } ^ { N - 1 } | h ( 0 , 0 ) | ) A C } \\ & { \leq } & { 4 A C C _ { 1 } x _ { 0 } a _ { 2 } ( \delta ) + 4 A C C _ { 1 } x _ { 0 } \frac { ( 3 + c ) a _ { 2 } ( \delta ) N | h ( 0 , 0 ) | } { N ( N - 1 ) | h ( 0 , 0 ) | ( 1 - c ) } } \\ & { = } & { 4 A C C _ { 1 } x _ { 0 } a _ { 2 } ( \delta ) \left[ 1 + \frac { 3 + c } { ( N - 1 ) ( 1 - c ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = - \lambda _ { r } \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) - [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) } \\ & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Bigg ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } } \\ & { \quad + \int ( \langle y , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) y \rangle - \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } ) \nu ( d y ) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } | \phi _ { m } | ^ { q } | \nabla \phi _ { m } | ^ { 2 } \leq | | \phi _ { m } | | _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ^ { q } | | \nabla \phi _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } \leq C | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { \frac { 4 + q } { 2 } } \left( | | \phi _ { m } | | ^ { \frac { q } { 2 } } + | | \Delta \phi _ { m } | | ^ { \frac { q } { 2 } } \right) } \\ & { \leq C | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 + q } + | | \phi _ { m } | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { \frac { 2 ( q + 4 ) } { 4 - q } } + \frac { 1 } { 4 } | | \Delta \phi _ { m } | | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \mathrm { h } } } & { { } = \sqrt { \gamma _ { \mathrm { h } } } \sigma _ { - } ^ { \mathrm { h } } , } \\ { L _ { \mathrm { c } } } & { { } = \sqrt { \gamma _ { \mathrm { c } } } \sigma _ { - } ^ { \mathrm { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak M ( p a + q c , r a + t c ) } & { = \mathfrak N + ( r a + t c ) ( \mathfrak b \mathfrak s ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathfrak N + r a ( a \mathfrak b + c R ) ^ { - 1 } + t c ( \mathfrak b \mathfrak s ) ^ { - 1 } } \\ & { \subseteq \mathfrak N + c ( \mathfrak b \mathfrak s ) ^ { - 1 } = \mathfrak M ( a , c ) , } \end{array}
\frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \partial { \cal M } } T r { \cal K } = \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { \partial } { \partial { \bf n } } \, ( \mathrm { V o l } \, \partial { \cal M } ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { \partial } { \partial \, t } \, \left[ \left( \frac { 3 } { 2 } \, t \right) ^ { 1 / 3 } \, { \cal V } \right] \ .
\ensuremath { \mathcal { S } } _ { \mathrm { d y n } } = \mathrm { M a } ^ { - 2 } \frac { ( \ensuremath { \nabla _ { \mathrm { { a d } } } } - \ensuremath { \nabla _ { \mathrm { { r a d } } } } ) _ { \mathrm { R Z } } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \left[ \begin{array} { l } { \Phi } \\ { \mathrm { K } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \beta \partial _ { x } } & { 1 } \\ { \partial _ { x } ^ { 2 } } & { \beta \partial _ { x } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Phi } \\ { \mathrm { K } } \end{array} \right] , } & { \Omega _ { T } ; } \\ { \Phi ( t , \, 0 ) = \Phi ( t , \, 2 \pi ) , \quad \mathrm { K } ( t , \, 0 ) = \mathrm { K } ( t , \, 2 \pi ) , } & { t \in [ 0 , \, T ] ; } \\ { \Phi ( 0 , \, x ) = \phi ( x ) , \quad \mathrm { K } ( 0 , \, x ) = \mathrm { k } ( x ) , } & { \{ t = 0 \} ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \beta _ { k } \le \gamma _ { k } \le \frac { 1 } { 1 6 l _ { g , 1 } } , \ \xi \alpha _ { k } \le \frac { 1 } { l _ { F , 1 } } , \ \xi \le c _ { \xi } \frac { \mu _ { g } } { l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } , \ \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } } \le \frac { \mu _ { g } \beta _ { k } } { 8 } , } \\ & { \eta _ { 0 } = \eta _ { 1 } = 1 , \ \operatorname* { m a x } \left( 2 \frac { \gamma _ { k - 1 } - \gamma _ { k } } { \gamma _ { k - 1 } } , c _ { \eta } \frac { l _ { g , 1 } ^ { 3 } } { \mu _ { g } } \gamma _ { k } ^ { 2 } \right) \le \eta _ { k + 1 } \le 1 , \ \delta _ { k } / \gamma _ { k } = o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos E } & { { } = { \frac { x } { a } } = { \frac { a e + r \cos \theta } { a } } = e + ( 1 - e \cos E ) \cos \theta } \\ { \Rightarrow \cos E } & { { } = { \frac { e + \cos \theta } { 1 + e \cos \theta } } } \\ { \sin E } & { { } = { \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } E } } = { \frac { { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \sin \theta } { 1 + e \cos \theta } } \ . } \end{array}
\lambda = \operatorname* { m i n } _ { 0 \neq u \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \frac { \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } d x + \int _ { \Omega } v u ^ { 2 } d x } { \int _ { \Omega } u ^ { 2 } d x } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { \perp } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \left\{ ( \vec { \xi } , \vec { \nu } , \vec { \epsilon } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 N } | ( \vec { 1 , 0 , 0 } ) ^ { \top } ( \vec { \xi } , \vec { \nu } , \vec { \epsilon } ) = 0 \right\} , } \\ { \mathcal { D } _ { \perp } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \left\{ ( \vec { \xi } , \vec { \epsilon } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 N } | ( \vec { 1 , 0 } ) ^ { \top } ( \vec { \xi } , \vec { \epsilon } ) = 0 \right\} , } \\ { \mathcal { D } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \left\{ \vec { \xi } \in \mathbb { R } ^ { N } | \vec { 1 } ^ { \top } \vec { \xi } = 0 \right\} . } \end{array}
\mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t ) \to \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t + \Delta t ) = \mathrm { ~ { ~ \bf ~ O ~ } ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ R ~ } ~ } , t + h )
\begin{array} { r l } & { ( u _ { 1 } \tilde { h } _ { e } ( \alpha _ { 1 } ) , \ldots , u _ { \Delta } \tilde { h } _ { e } ( \alpha _ { \Delta } ) , v _ { 1 } \tilde { h } _ { e } ( \beta _ { 1 } ) , \ldots , v _ { k } \tilde { h } _ { e } ( \beta _ { k } ) ) \cdot } \\ & { ( \phi ( \alpha _ { 1 } ) , \ldots , \phi ( \alpha _ { \Delta } ) , \phi ( \beta _ { 1 } ) , \ldots , \phi ( \beta _ { k } ) ) ^ { T } = } \\ & { v _ { 1 } \tilde { h } _ { e } ( \beta _ { 1 } ) \phi ( \beta _ { 1 } ) + \ldots + v _ { k } \tilde { h } _ { e } ( \beta _ { k } ) \phi ( \beta _ { k } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi ( B _ { n } ( f _ { 0 } , \sqrt { D } \varepsilon _ { n } ) ) } & { \geq C e ^ { - c K _ { n } \log ( \frac { 1 } { \rho _ { n } } ) } \geq C e ^ { - c n \alpha _ { n } ( K _ { n } \rho _ { n } ) ^ { 2 } } \geq C e ^ { - c n \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } = C e ^ { - n \alpha _ { n } ( \sqrt { c } \varepsilon _ { n } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { m } ( \Omega _ { R R } ) - \kappa _ { m } = K _ { \ell } , \quad \mathrm { w i t h } \quad m \in ( 1 , 2 ) , ~ \ell \in \mathbb { Z } , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { D _ { m } ( \Omega _ { R R } ) - 2 \kappa _ { m } + \kappa _ { m ^ { \prime } } = K _ { \ell } , \quad \mathrm { w i t h } \quad m , m ^ { \prime } \in ( 1 , 2 ) , ~ m \neq m ^ { \prime } , ~ \ell \in \mathbb { Z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { q } \rho c _ { v } \partial _ { t } ^ { 3 } T + \rho c _ { v } \partial _ { t } ^ { 2 } T = \kappa _ { 1 } \Delta T + \hat { \tau } _ { \alpha } \partial _ { t } \Delta T + \kappa _ { 2 } \tau _ { T } \partial _ { t } ^ { 2 } \Delta T } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { i } \{ \delta _ { i } ( z _ { \mathrm { s p a r s e } } ) \} = \frac { 1 } { \sqrt { N \, z _ { \mathrm { s p a r s e } } \, s _ { p } ^ { * } } } \simeq \sqrt { \frac { s _ { p } ^ { * } } { k _ { 1 } } } \simeq \sqrt { \frac { \alpha } { k _ { 1 } } } \, N ^ { - \eta / 2 }
\epsilon ^ { \prime } / \epsilon = \mathrm { I m } \lambda _ { t } \cdot \left[ c _ { 0 } + \left( c _ { 6 } { \cal B } _ { 6 } ^ { ( 1 / 2 ) } + c _ { 8 } { \cal B } _ { 8 } ^ { ( 3 / 2 ) } \right) \left( \frac { M _ { K } } { m _ { s } ( m _ { c } ) + m _ { d } ( m _ { c } ) } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { \tau _ { n } } { 2 } \sum _ { \mu = 1 } ^ { k + 1 } \hat { \omega } _ { \mu } ^ { \mathrm { G R } } ( \langle \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n , \mu } ^ { \mathrm { G R } } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ( t _ { n , \mu } ^ { \mathrm { G R } } ) \rangle - \langle \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n , \mu } ^ { \mathrm { G R } } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ( t _ { n , \mu } ^ { \mathrm { G R } } ) \rangle ) + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle } \\ & { = \frac { \tau _ { n } } { 2 } \hat { \omega } _ { l } ^ { \mathrm { G R } } \langle \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } ( t _ { n , l } ^ { \mathrm { G R } } ) - \boldsymbol v _ { \tau , h } ( t _ { n , l } ^ { \mathrm { G R } } ) , \boldsymbol \phi _ { h } \rangle + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \xi _ { n , l } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \boldsymbol \phi _ { h } \rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { = \frac { \pi } { 4 } , \; \gamma = 1 . 4 , } \\ { U _ { \infty } } & { = \sqrt { 2 } \: m / s , \; p _ { \infty } = 1 . 0 \: P a , \; \rho _ { \infty } = 1 . 0 \: k g / m ^ { 3 } , } \\ { c _ { \infty } } & { = \sqrt { \frac { \gamma p _ { \infty } } { \rho _ { \infty } } } = \sqrt { 1 . 4 } \: m / s , } \\ { M _ { \infty } } & { = \frac { U _ { \infty } } { c _ { \infty } } = \sqrt { \frac { 2 } { 1 . 4 } } \approx 1 . 1 9 5 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla f ( x ^ { ( k ) } ) } & { { } = \sum _ { s = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 1 } ^ { m } 2 w _ { i } a _ { s , i } ( a _ { s , i } ^ { T } x ^ { ( k ) } - p _ { i } ) , } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } } & { { } = \operatorname* { m a x } ( x ^ { ( k ) } - \rho ^ { ( k ) } \nabla f ( x ^ { ( k ) } ) , 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { i } } & { = \frac { 1 } { 2 } \bigl ( ( P _ { 2 k + 2 i } - P _ { 2 k + 2 i - 2 } ) - ( P _ { 2 i } - P _ { 2 i - 2 } ) \bigr ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 2 P _ { 2 k + 2 i - 1 } - 2 P _ { 2 i - 1 } ) } & { \mathrm { ( b y ~ t h e ~ P e l l ~ r e c u r r e n c e ) } } \\ & { = P _ { 2 k + 2 i - 1 } - P _ { 2 i - 1 } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 P _ { k } Q _ { k + 2 i } , } & { \mathrm { i f ~ k ~ i s ~ e v e n } ; } \\ { 2 Q _ { k } P _ { k + 2 i } , } & { \mathrm { i f ~ k ~ i s ~ o d d } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 , 2 } } & { = \frac { 2 ( ( c - 1 ) + ( d - 1 ) ) \pm \sqrt { 4 ( c - 1 + d - 1 ) ^ { 2 } - 4 ( c - d ) ^ { 2 } } } { 2 } } \\ & { = ( c - 1 + d - 1 ) \pm \sqrt { ( c + d ) ^ { 2 } - 4 ( c + d ) + 4 - ( c - d ) ^ { 2 } } } \\ & { = ( c - 1 + d - 1 ) \pm \sqrt { c ^ { 2 } + 2 c d + d ^ { 2 } - 4 c - 4 d + 4 - c ^ { 2 } + 2 c d - d ^ { 2 } } } \\ & { = ( c - 1 + d - 1 ) \pm \sqrt { 4 c d - 4 c - 4 d + 4 } } \\ & { = ( c - 1 + d - 1 ) \pm 2 \sqrt { c - 1 } \sqrt { d - 1 } } \\ & { = ( \sqrt { d - 1 } \pm \sqrt { c - 1 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { a } + r _ { b } + r _ { c } + r } & { { } = A H + B H + C H + 2 R , } \\ { r _ { a } ^ { 2 } + r _ { b } ^ { 2 } + r _ { c } ^ { 2 } + r ^ { 2 } } & { { } = A H ^ { 2 } + B H ^ { 2 } + C H ^ { 2 } + ( 2 R ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ L _ { 0 - 2 } } = \sqrt { ( { L _ { 0 - 1 } } ^ { 2 } + { L _ { 1 - 2 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 0 - 1 } } \cdot { L _ { 1 - 2 } } \cdot \cos ( { A _ { 1 } } ) ) }