harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \left( ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } \frac { t _ { x } - 1 } { \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 t _ { y } } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } \frac { t _ { y } - 1 } { \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 t _ { x } } \right) } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { x } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { y } - 1 } { t _ { y } \Delta y } \frac { t _ { x } + 1 } { 2 } } \\ { \frac { ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n + 1 } - ( \widehat E ^ { y } ) ^ { n } } { \Delta t } } & { = - ( \widehat B ^ { z } ) ^ { n + 1 } \frac { t _ { x } - 1 } { t _ { x } \Delta x } \frac { t _ { y } + 1 } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) - \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad \le M \xi ^ { 2 } l _ { * , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } \left( \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \vec { U } \in \mathbb { R } ^ { \nu } , \ | \vec { U } | = 1 } \left| \vec { U } \cdot \left( \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } - 2 ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { 3 } \vec { F } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \vec { u } ^ { T } ( D _ { S _ { 0 } ^ { + } } ) ^ { \alpha } \right) \vec { U } \right| \ge _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } 1 . } \end{array}
\Gamma = \frac { \pi \omega p ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \rho _ { \mu } , \, \, \, \rho = - \frac { 2 \omega } { \pi } \mathrm { I m } ( { G _ { \mu \mu } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ) } ) .
B _ { p } \sim \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 3 } s i n ( 2 \beta ) } \left( \frac { m _ { \tilde { g } } } { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } \right) 3 M _ { G U T } \left( \frac { 1 } { M _ { H _ { 3 } } ^ { ( 4 ) } } + 2 \frac { { \bar { X } } _ { 2 1 } X _ { 2 1 } } { M _ { H _ { 3 } } ^ { ( 1 ) } } + 2 \frac { { \bar { X } } _ { 2 2 } X _ { 2 2 } } { M _ { H _ { 3 } } ^ { ( 2 ) } } + 2 \frac { { \bar { X } } _ { 2 3 } X _ { 2 3 } } { M _ { H _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } } \right) 1 0 ^ { 6 } .
c _ { 2 } ^ { L } = ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 2 } 5 ^ { 5 / 2 } \exp \left[ \frac { 3 } { \varepsilon } + \frac { 3 } { 4 } - \frac { 7 } { 2 } \gamma + \frac { 3 } { \pi ^ { 2 } } \zeta ^ { ' } ( 2 ) \right] \, ,
\mathbf { P } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \mathbf { B } } & { \mathbf { C } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \ldots } \\ { \mathbf { E } } & { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \mathbf { A _ { 0 } } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \ddots } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \mathbf { A _ { 0 } } } & { \mathbf { 0 } } & { \ddots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \end{array} \right] ,
\begin{array} { l l l } { { \d G } } & { { = } } & { { { \cal D } _ { 1 } { \cal V } ~ ~ ~ , } } \\ { { \d H } } & { { = } } & { { { \cal D } _ { 2 } { \cal V } ~ ~ ~ , } } \\ { { \d B } } & { { = } } & { { { \cal D } _ { 3 } { \cal V } ~ ~ ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { \beta } \big ( s ( \tau , z ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( s ( \tau , z ) , \lambda \, \partial _ { \tau } s ( \tau , z ) \big ) = } & { \ \mathcal { W } _ { \beta } \big ( s ^ { b - } ( \tau , z ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( s ^ { b - } ( \tau , z ) , \lambda \, \partial _ { \tau } s ^ { b - } ( \tau , z ) \big ) } \\ & { \ + \mathcal { W } _ { \beta } \big ( s ^ { b + } ( \tau , z ) \big ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Psi \big ( s ^ { b + } ( \tau , z ) , \lambda \, \partial _ { \tau } s ^ { b + } ( \tau , z ) \big ) } \end{array}
f ( \hat { r } , z ) = \frac { 1 } { 2 R _ { 1 1 } \hat { r } } \frac { \sinh ( \hat { r } / R _ { 1 1 } ) } { \cosh ( \hat { r } / R _ { 1 1 } ) - \cos ( z / R _ { 1 1 } ) } .
\alpha ^ { 2 } = \alpha _ { g _ { R } , \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) \oplus \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } } ^ { 2 } = \frac { \mathrm { d } \mathrm { v o l } _ { g _ { R } } } { \mathrm { d } \mathrm { v o l } _ { \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) \oplus \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } } } = ( 1 + r \kappa _ { R } ) .
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \left[ \left. \delta { \left( X - { \widehat { X } } _ { { { \mathscr { A } } ^ { \star } } } \right) } \right| { { \mathscr { A } } ^ { \star } } \right] } & { > \ { \mathbb { E } } \left[ \left. \delta { \left( X - { \widehat { X } } _ { C _ { \eta } } \right) } \right| C _ { \eta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c o } \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( 2 ) \cong \mathrm { c o C o m m } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( 2 ) \oplus \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( 2 ) } & { \stackrel { s ^ { - 1 } \delta * - } { \longrightarrow } \mathrm { c o C o m m } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( 2 ) [ - 1 ] \oplus \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( 2 ) [ - 1 ] \longrightarrow } \\ & { \longrightarrow \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( 2 ) [ - 1 ] \cong \mathrm { C o m m } ( 2 ) \subset \mathcal { O } ( 2 ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { T } & { = \frac { 2 } { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } } \\ { T ^ { \prime } } & { = \frac { 2 } { R _ { 1 } ( B , G , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \langle \mu \rangle = \frac { C } { N _ { s } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } \mathrm { s g n } _ { { \mathbf i } _ { s } } \langle \mu \rangle _ { { \mathbf i } _ { s } } , } \end{array}
P U = - i \left( \begin{array} { l l l l } { i \omega } & { 0 } & { \delta _ { \hat { \mu } } } & { 0 } \\ { 0 } & { i \omega } & { \ast _ { \hat { \varepsilon } } \mathrm { d } } & { \mathrm { d } } \\ { \mathrm { d } } & { - \ast _ { \hat { \mu } } \mathrm { d } } & { i \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta _ { \hat { \varepsilon } } } & { 0 } & { i \omega } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { E } } \\ { E } \\ { H } \\ { u _ { H } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bar { \mathbf { a } } } & { = \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } } & { = \Delta t \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \mathcal { D } \left[ \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } } & { = \Delta t \mathcal { D } \left[ \bar { \mathbf { a } } + \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } , t _ { n + 1 } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { = \bar { \mathbf { a } } + \left( \mathbf { d } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { d } ^ { ( 2 ) } \right) / 2 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { 0 \leq p _ { 1 } , \dots , p _ { m } } } & { \operatorname* { d e t } \left[ \kappa _ { N } \left( p _ { i } , p _ { j } \right) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } = [ 1 ] \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \cdot } \\ & { \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { i } } \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) + \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( v _ { i } ^ { - k } - u _ { i } ^ { - k } \right) \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
A ( s , t ) = \frac { \Gamma ( 1 - s / 8 ) \Gamma ( - t / 8 ) \Gamma ( - u / 8 ) } { \Gamma ( 1 + u / 8 ) \Gamma ( s / 8 ) \Gamma ( 1 + t / 8 ) } = \frac { s ^ { 2 } } { 8 } \left( \frac { 1 } { s t u } + \frac { \zeta ( 3 ) } { 2 5 6 } + \dots \right) \ .
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial \xi } = \frac { e ^ { L / \lambda } S _ { \mathrm { r } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } } { \xi ^ { 2 } \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) } \ ,
S _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \partial S _ { 0 } } { \partial x _ { 0 } } + \int _ { - \infty } ^ { 0 } d x \, e ^ { ( 2 + i k ) x } \, \frac { 1 } { \sinh 2 ( x - x _ { 0 } ) } .
\hat { V } _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 \, x , y ) \, A B } = - 2 \cdot 2 \, \mathrm { T r } \, T ^ { A } T ^ { B } \, ( Y _ { R } ^ { ( d ) } - Y _ { L } ^ { ( d ) } ) \, V _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 ) } = 4 \, \mathrm { T r } \, T ^ { A } T ^ { B } \, V _ { \mu \nu \rho } ^ { ( 1 ) } \, .
\mathbf { P } _ { k , k + 1 } = \left( \frac { 1 } { \mathbf { P } _ { k } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \mathbf { P } _ { k + 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } , \qquad X _ { k , k + 1 } = \frac { 1 } { 2 } [ \mathbf { X } _ { k } - w _ { k } + \mathbf { X } _ { k + 1 } + w _ { k + 1 } ] .
\hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } = \sum _ { q ^ { \prime } , q = - 1 } ^ { + 1 } v _ { q ^ { \prime } ; q } ^ { ( k ) } \hat { D } _ { q ^ { \prime } } \hat { d } _ { q } ^ { ( k ) } ,
\begin{array} { r } { \| \pi ( g ) \| = \| \pi ( ( f \circ p ) g ) \| \leq \operatorname* { s u p } _ { m ^ { \prime } \in M } \int _ { H _ { m ^ { \prime } } } f ( m ^ { \prime } ) | g | \, \mathrm { d } \lambda _ { H _ { m ^ { \prime } } } \leq \operatorname* { s u p } _ { m ^ { \prime } \in O } \int _ { H _ { m ^ { \prime } } } | g | \, \mathrm { d } \lambda _ { H _ { m ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( w _ { t + 1 } ) - f ( w _ { t } ) } \\ & { \le \nabla f ( w _ { t } ) ^ { \top } ( w _ { t + 1 } - w _ { t } ) + \frac { 1 } { 2 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { 2 } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { \alpha } + 2 \overline { { K } } _ { 2 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \\ & { = - \frac { \gamma } { \| v _ { t } \| } \nabla f ( w _ { t } ) ^ { \top } v _ { t } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { \alpha } + 2 \overline { { K } } _ { 2 } \gamma ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } - \frac { \gamma \big ( v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) \big ) ^ { \top } v _ { t } + \gamma \| v _ { t } \| ^ { 2 } } { \| v _ { t } \| } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } + 2 \overline { { K } } _ { 2 } ) + \frac { \overline { { K } } _ { 1 } \gamma ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \gamma \| v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) \| - \frac { \gamma } { 2 } \| v _ { t } \| - \frac { \gamma } { 2 } \big ( \| \nabla f ( w _ { t } ) \| - \| v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) \| \big ) + \frac { \gamma \epsilon } { 8 } + \frac { \gamma \epsilon } { 8 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \frac { \gamma \epsilon } { 8 } - \frac { \gamma } { 2 } \| v _ { t } \| - \frac { 3 \gamma } { 8 } \| \nabla f ( w _ { t } ) \| + \frac { 3 \gamma } { 2 } \| v _ { t } - \nabla f ( w _ { t } ) \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } ( \{ { \bf R } _ { u } \} ) = \mathcal { \hat { H } } _ { e l } + } & { \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } + \sum _ { u } e ( { \bf R } _ { u } - { \bf R } _ { u } \sum _ { \alpha } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ) \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) } \\ & { ~ \times \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } + \sum _ { u } e ( { \bf R } _ { u } - { \bf R } _ { u } \sum _ { \alpha } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ) \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) - \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } ~ ~ ~ . } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { N } y ^ { n } q ^ { n ( n + 1 ) / 2 } { \left[ \begin{array} { l } { N } \\ { n } \end{array} \right] } _ { q } = \prod _ { k = 1 } ^ { N } \left( 1 + y q ^ { k } \right) \qquad ( | q | < 1 )
\begin{array} { r l } { \kappa ( \Psi ) } & { \leq \frac { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( \Psi _ { 1 } ) + \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( \Psi _ { 2 } ) } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Psi _ { 1 } ) + \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Psi _ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { \operatorname* { m a x } _ { i } q _ { i + } + \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( \Psi _ { 2 } ) } { \operatorname* { m i n } _ { j } q _ { j - } + \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Psi _ { 2 } ) } } \\ & { \leq \frac { \operatorname* { m a x } _ { i } \{ x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } \} + \sqrt { 2 } \mu + 2 \mu \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ) } { \operatorname* { m i n } _ { j } \frac { \mu ^ { 2 } } { 3 ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) } } } \\ & { = \frac { 3 \operatorname* { m a x } _ { i } \{ x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } \} \left( \operatorname* { m a x } _ { i } \{ x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } \} + \sqrt { 2 } \mu + 2 \mu \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ) \right) } { \mu ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 3 \omega ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \mu + 2 \mu \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ) \right) } { \mu ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R 1 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { F i b r e } } } & { = R ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \\ & { = 5 . 2 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \gamma R ^ { \textrm { F i b r e } } \eta _ { \textrm { d e t } } \ \textrm { H z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) } & { \approx } \\ { \frac { \alpha ( x ) \alpha ( x ^ { \prime } ) } { 2 i } } & { \sqrt { \frac { 1 } { k ( x ) k ( x ^ { \prime } ) A ( x ^ { \prime } ) A ( x ) } } \exp [ - i \! \! \! \! \! \! \! \int _ { \operatorname* { m i n } ( x , x ^ { \prime } ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( x , x ^ { \prime } ) } \! \! \! \! \! \! \! { k ( \hat { x } ) d \hat { x } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \geq i } ( \pi ) = \{ f : \mathrm { G } _ { \geq i } \to \pi \mid f \mathrm { ~ l o c a l l y ~ c o n s t a n t , } } & { \mathrm { ~ o f ~ c o m p a c t ~ s u p p o r t ~ m o d u l o ~ } \mathrm { P } ( L ) , } \\ & { \forall p \in \mathrm { P } ( L ) , g \in \mathrm { G } _ { \geq i } , f ( p g ) = p f ( g ) \} , } \end{array}
\left( \frac { \partial p } { \partial t } \right) _ { \mathrm { g r . r a d . } } = - { \frac { \partial } { \partial l } } ( { \dot { l } } _ { \mathrm { g r . r a d . } } p ) - { \frac { \partial } { \partial { \bf r } } } { \cdot } ( \dot { \bf r } _ { \mathrm { g r . r a d . } } p ) + { \frac { \dot { L } _ { \mathrm { g r . r a d . } } } { L } } p .
G ^ { 1 1 } \left( X , p \right) = \frac 1 2 \left[ G _ { 1 } - 2 i \mathrm { R e } G _ { r e t } \right] ; \; G ^ { 2 2 } \left( X , p \right) = \frac 1 2 \left[ G _ { 1 } + 2 i \mathrm { R e } G _ { r e t } \right]
\begin{array} { r l } & { \int \frac 1 { \operatorname* { d e t } ( I + \omega { \boldsymbol u } { \boldsymbol u } ^ { T } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } \cdot \exp \left( \frac { N \lambda } { 2 ( 1 + \omega \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( Y Y ^ { T } ) _ { i j } u _ { i } u _ { j } \right) \mathrm { d } { \mathcal P } _ { { \boldsymbol u } } } \end{array}
\hat { B } = \frac { 1 } { 2 } \hat { e } ^ { + } \wedge \hat { e } ^ { i } \wedge \hat { e } ^ { j } \hat { C } _ { + i j } - \bar { \theta } \Gamma _ { + \hat { I } } D \theta \wedge \hat { e } ^ { + } \wedge \hat { e } ^ { \hat { I } } ~ ,
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { = } & { S _ { \mathrm { e x t } } ( \frac { T } { n _ { T } } ) ^ { \alpha } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \mu S , } \\ { \dot { T } } & { = } & { \phi n _ { T } v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } + \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { X X } } { ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } } - \mu T , } \\ { \dot { X } } & { = } & { - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } + \phi ( n _ { T } + 2 n _ { X } ) v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } + 2 \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { T X } } { n _ { T } n _ { X } } } \\ & { } & { - 2 \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } \left( \frac { X } { n _ { X } } \right) ^ { 2 } + \phi ( n _ { T } + 2 n _ { X } ) n _ { X } v \frac { Y _ { X X } } { ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } } - \mu X , } \\ { \dot { Y } _ { S X } } & { = } & { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \mu Y _ { S X } , } \\ { \dot { Y } _ { T X } } & { = } & { \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { T X } } { n _ { T } n _ { X } } - \mu Y _ { T X } , } \\ { \dot { Y } _ { X X } } & { = } & { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } \left( \frac { X } { n _ { X } } \right) ^ { 2 } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } v \frac { Y _ { X X } } { ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } } - \mu Y _ { X X } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = - d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } + ( A _ { 2 } ^ { 2 } - B _ { 2 } ^ { 2 } ) d \theta ^ { 2 } + 2 { \frac { ( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } - \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } ) } { \sqrt { \beta _ { 1 } ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } } } ( x d y - y d x ) d \theta .
\begin{array} { r } { n _ { g } ( \omega ) ^ { 2 } = \varepsilon _ { g } ( \omega ) = \varepsilon _ { g , \mathrm { b a c k } } + \frac { \alpha _ { g } \nu ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \gamma _ { g } \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { r } } & { = } & { \omega _ { K e p l e r } \left[ 1 - 3 \frac { 1 - e ^ { 2 } } { p } \left( 1 - \frac { \alpha \beta } { \sqrt { p } } \right) + { \cal O } \left( \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \right) \right] , } \\ { \Delta \omega _ { p e r i h e l i o n } } & { = } & { \frac { 3 \omega _ { K e p l e r } } { p } \left[ 1 - \frac { 2 \alpha \beta } { \sqrt { p } } + { \cal O } \left( \frac { 1 } { p } \right) \right] , } \\ { \Delta \omega _ { L T } } & { = } & { \frac { 2 \alpha \omega _ { K e p l e r } } { p ^ { 3 / 2 } } \left[ 1 + { \cal O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { p } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde { \mathcal { M } } _ { n , \mathbf { j } } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } F _ { \textbf { j , k } } \varepsilon _ { \textbf { j , k } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left\| \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } F _ { \textbf { j , k } } \varepsilon _ { \textbf { j , k } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } \sum _ { \textbf { k } ^ { \prime } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } F _ { \textbf { j , k } } F _ { \textbf { j , k } ^ { \prime } } \mathbb { E } \left[ \varepsilon _ { \textbf { j , k } } \varepsilon _ { \textbf { j , k } ^ { \prime } } \right] } \\ & { \le d \, ! \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } \sum _ { \textbf { k } ^ { \prime } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } \big | F _ { \textbf { j , k } } \big | \big | F _ { \textbf { j , k } ^ { \prime } } \big | } \\ & { = d \, ! \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \sum _ { \textbf { k } \in \daleth _ { n , i } ( t ) } \big | F _ { \textbf { j , k } } \big | \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } [ Q _ { \mathrm { s i m } } , Q _ { \mathrm { e x a c t } } ] } & { \equiv \int \mathrm { d } ^ { d } x \; | Q _ { \mathrm { s i m } } ( x ) - Q _ { \mathrm { e x a c t } } ( x ) | } \\ & { \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { x { \sim } Q _ { \mathrm { e x a c t } } } \left| \frac { Q _ { \mathrm { s i m } } ( x ) } { Q _ { \mathrm { e x a c t } } ( x ) } - 1 \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( T , P , x ) = } & { \dots F _ { n , - 2 } F _ { n , - 1 } F _ { n , 0 } F _ { n , 1 } F _ { n , 2 } \dots } \\ { a ( T ^ { f } , P ^ { f } , \Phi ( x ) ) = a \left( T , \Phi ^ { - 1 } ( P ^ { f } ) , x \right) = } & { \dots \tilde { F } _ { n , - 2 } \tilde { F } _ { n , - 1 } \tilde { F } _ { n , 0 } \tilde { F } _ { n , 1 } \tilde { F } _ { n , 2 } \dots } \end{array}
S _ { 3 } = S _ { 1 2 } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial { u _ { s } } } { \partial { n } } \right) ^ { * } + \left( \frac { \partial { u _ { n } } } { \partial { s } } \right) ^ { * } \right] \qquad \textrm { a n d } \qquad S _ { 4 } = \left( \frac { \partial { p } } { \partial { s } } \right) ^ { * } h _ { m } ^ { * }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( \mathbf { V } _ { 1 } , \mathbf { V } _ { 2 } | \mathbf { X } _ { 1 : N } , \tilde { \mathbf { f } } _ { 1 : N } , \mathbf { c } _ { 1 : N } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { T _ { n } } \ln p _ { q _ { \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { V } _ { 2 } } ( \mathbf { c } _ { n } ) } ( \tilde { \mathbf { f } } _ { n } | \mathbf { X } _ { n } ) . } \end{array}