harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { l c c c c c c c c c c c c c } { { \mathrm { M i n i m i z e } } } & { f ^ { \top } x } & { + } & { g ^ { \top } y } & { + } & { p _ { 1 } h _ { 1 } ^ { \top } z _ { 1 } } & { + } & { p _ { 2 } h _ { 2 } ^ { T } z _ { 2 } } & { + } & { \cdots } & { + } & { p _ { K } h _ { K } ^ { \top } z _ { K } } & & \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & { T x } & { + } & { U y } & & & & & & & & & { = } & { r } \\ & & & { V _ { 1 } y } & { + } & { W _ { 1 } z _ { 1 } } & & & & & & & { = } & { s _ { 1 } } \\ & & & { V _ { 2 } y } & & & { + } & { W _ { 2 } z _ { 2 } } & & & & & { = } & { s _ { 2 } } \\ & & & { \vdots } & & & & & & { \ddots } & & & & { \vdots } \\ & & & { V _ { K } y } & & & & & & & { + } & { W _ { K } z _ { K } } & { = } & { s _ { K } } \\ & { x } & { , } & { y } & { , } & { z _ { 1 } } & { , } & { z _ { 2 } } & { , } & { \ldots } & { , } & { z _ { K } } & { \geq } & { 0 } \end{array} }
G _ { E , k } ( x , x ^ { \prime } ) = \theta ( x ^ { \prime } - x ) \frac { u _ { 1 } ( x ) u _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) } { W } + \theta ( x - x ^ { \prime } ) \frac { u _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) u _ { 2 } ( x ) } { W }
{ \begin{array} { r l } { G ( \mathbf { q } , { \dot { \mathbf { q } } } ) d \mathbf { q } } & { \, { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \, d ( F _ { * } ( \mathbf { q } ) ) { \dot { \mathbf { q } } } = \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } d q _ { k } \right) _ { i , j = 1 } ^ { n } { \dot { \mathbf { q } } } = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \dot { q } } _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } d q _ { k } \right) _ { i = 1 , \ldots , n } ^ { T } } \\ & { = \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } d q _ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } { \dot { q } } _ { j } \right) _ { i = 1 , \ldots , n } ^ { T } = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { i } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } } { \biggl | } _ { \mathbf { q } } { \dot { q } } _ { j } \right) _ { i , k = 1 } ^ { n } d \mathbf { q } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { r l } { \eta _ { 1 1 } } & { = 0 . 9 1 3 4 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \vartheta } { 2 - \vartheta } , } \\ { \eta _ { 1 2 } } & { = 0 . 3 9 1 5 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \vartheta } { 2 - \vartheta } , } \\ { \eta _ { 2 2 } } & { = 0 . 1 6 7 8 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { \vartheta } { 2 - \vartheta } } \end{array} \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { z \in F _ { C } ( J u ) \quad \Leftrightarrow \quad } & { 0 \leq \langle J u , z - x \rangle , \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in C } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { 0 \leq \langle J u + J z - J z , z - x \rangle , \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in C . } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { z = \pi _ { C } ( J u + J z ) } \\ { \quad \Leftrightarrow \quad } & { z \in \{ y \in C : \ y = \pi _ { C } ( J u + J y ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { m } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { m } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \it I _ { s } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \it I _ { s } } } \end{array} \right] } _ { \boldsymbol A } \left[ \begin{array} { l } { \ddot { x } } \\ { \ddot { y } } \\ { \dot { \omega _ { x } } } \\ { \dot { \omega _ { y } } } \end{array} \right] = \underbrace { \left[ \begin{array} { l } { - m \left( - { \Omega } ^ { 2 } x - 2 \, \Omega \, { \dot { y } } \right) } \\ { - m \left( - { \Omega } ^ { 2 } y + 2 \, \Omega \, { \dot { x } } \right) } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } _ { \boldsymbol b } + \boldsymbol C _ { B } ^ { T } \, \boldsymbol \lambda _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 < e ^ { - t } \| \Lambda x \| \leqslant } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { \nu \rightarrow 0 ^ { + } } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu } ( t \nu ^ { - 1 } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu } ) \noindent } \\ & { \leqslant \operatorname* { l i m s u p } _ { \nu \rightarrow 0 ^ { + } } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu } ( t \nu ^ { - 1 } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu } ) \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - t } \Big ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda \mathcal { G } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ) < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathrm { \normalfont \sf \& } } ^ { \! E } ( U , V ) _ { t _ { 1 } } } & { = U _ { s _ { 0 } } \times V _ { s _ { 0 } } = \{ ( a , b ) \} } \\ { \operatorname { \mathrm { \normalfont \sf \& } } ^ { \! E } ( U , V ) _ { t _ { E } } } & { = U _ { s _ { 1 } } \mathbin { \dot { \times } } V _ { s _ { 1 } } = A \times \{ ( a , b ) \} \times B , } \end{array}
r _ { i j } = ( x _ { i j } ) ^ { 2 } , \quad u = \frac { r _ { 1 3 } r _ { 2 4 } } { r _ { 1 2 } r _ { 3 4 } } , \quad v = \frac { r _ { 1 4 } r _ { 2 3 } } { r _ { 1 2 } r _ { 3 4 } }
\Delta U ^ { j } \simeq Q c _ { p } \Delta { \left( \rho T \right) } ^ { j } = Q c _ { p } T ^ { j } \rho ^ { j } \left( \frac { \Delta T ^ { j } } { T ^ { j } } + \frac { \Delta \rho ^ { j } } { \rho ^ { j } } \right) \simeq Q c _ { p } T _ { 0 } \frac { \left( \rho _ { 0 } ^ { + } + \rho _ { 0 } ^ { - } \right) } { 2 } \left( \frac { \Delta T } { T _ { 0 } } + \frac { \Delta \rho ^ { j } } { \rho _ { 0 } ^ { j } } \right) .
F _ { B } = L \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \, \left[ 2 x _ { B } - \frac { 1 } { L } \sum _ { j = - L / 2 + 1 } ^ { L / 2 } \frac { 2 \cos ( 2 \pi j / L ) } { 1 + \alpha - 2 \alpha \cos ( 2 \pi j / L ) + \alpha g x _ { B } } + \frac { g x _ { B } ^ { 2 } } { 2 } - x _ { B } \right]
S \left( \rho _ { { { E } _ { 0 } } E } ^ { { { m } _ { B _ { 1 } } } } \right) \mathrm { ~ = ~ } S \left( \overset { { { m } _ { B _ { 1 } } } } { \mathop { { { \rho } _ { A F G } } } } \, \right)
L _ { r } = \frac { \frac { 1 5 5 } { 1 2 5 } + \frac { 1 7 0 } { 1 2 5 } + \frac { 2 3 5 } { 1 2 5 } + \frac { 2 6 5 } { 1 2 5 } + \frac { 3 3 0 } { 1 2 5 } + \frac { 3 4 5 } { 1 2 5 } } { 6 } = \frac { 1 5 5 + 1 7 0 + 2 3 5 + 2 6 5 + 3 3 0 + 3 4 5 } { 1 2 5 \cdot 6 } = 2 .
Q _ { \mathrm { g e n } } ( t ) = - \int _ { t _ { i } } ^ { t } d t ^ { \prime } \dot { T } ( t ^ { \prime } ) [ k _ { \mathrm { B } } T ( t ^ { \prime } ) - \kappa s ( t ^ { \prime } ) ] / ( 2 T ( t ^ { \prime } ) )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { \mathcal { F } [ \theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) } { | \xi + \zeta | ^ { 2 t } } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { 1 } { h ^ { 2 l } | \xi + \zeta | ^ { 2 ( t + l ) } } } \\ & { \le C \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { 1 } { h ^ { 2 l } | \zeta | ^ { 2 ( t + l ) } } } \\ & { \le C h ^ { 2 t } } \end{array}
\pi _ { \boldsymbol { X } , C _ { 1 } , \Sigma _ { b } | \boldsymbol { Y } , \langle \boldsymbol { D } \rangle } \left( \cdot | \boldsymbol { y } _ { 1 } ^ { * } , \langle \boldsymbol { d } _ { 1 } ^ { * } \rangle \right)
\begin{array} { r } { { \bf x } _ { n } = ( 1 - \alpha ) { \bf x } _ { n - 1 } + \alpha \operatorname { t a n h } ( { \bf W } ^ { i n } { \bf u } _ { n } + { \bf W } { \bf x } _ { n - 1 } ) \, , } \end{array}
\boldsymbol { W _ { u } } \boldsymbol { \hat { u } } = \boldsymbol { H _ { u } ^ { w } } \boldsymbol { W _ { b } } \boldsymbol { b } , \quad \boldsymbol { W _ { y } } \boldsymbol { \hat { y } _ { n } } = \boldsymbol { H _ { y } ^ { w } } \boldsymbol { W _ { b } } \boldsymbol { b } + \boldsymbol { W _ { y } } \boldsymbol { \hat { n } } ,
\begin{array} { r l } & { \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \vert \vert f _ { \eta _ { k } } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - f _ { \eta _ { k } } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert f _ { \eta _ { k + 1 } } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } = O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ( B _ { k \oplus } ^ { * } | \boldsymbol { B } _ { \oplus } , \Omega _ { \oplus } ) } & { \propto } & \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \exp \left[ - \frac { \left( B _ { k \oplus } ^ { * } - B _ { k \oplus } ^ { \bigstar } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { G P } } ^ { 2 } } - \frac { \left( B _ { k \oplus } ^ { * } - B _ { k \oplus } ^ { \mathrm { p a i r } } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { p r i o r } } ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { q } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { \stackrel { \cdot \cdot } { = } 0 , \; \; \; \frac { 1 } { N } [ \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot \cdot } { = } 0 , } \\ { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { \stackrel { \cdot } { = } 0 . } \end{array}
\sigma _ { x } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \, \quad \sigma _ { y } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } \, \quad \sigma _ { z } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \, .
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \rho _ { 2 } ( z , r , \theta | u , \lambda , \beta ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \exp \biggl ( - \lambda \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \int _ { r } ^ { \infty } \Bigl \{ 1 + \frac { 1 } { z } \, \Bigl ( \frac { w _ { u , v , \varphi } } { w _ { u , r , \theta } } \Bigr ) ^ { \beta } \Bigr \} ^ { - 1 } v \, \mathrm { d } v \mathrm { d } \varphi \biggr ) , } \end{array}
\int _ { I } \left( \frac { d f } { d \mathbf { s } } \right) ^ { 2 } d \mathbf { s } : = \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { c } } { d \mu _ { c } } \right) ^ { 2 } d \mu _ { c } + \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { + } } { d \mu _ { d } ^ { + } } \right) ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { + } + \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { - } } { d \mu _ { d } ^ { - } } \right) ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { - } .
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( x , y \right) = x ^ { 2 } - y } \\ { f _ { 2 } \left( x , y \right) = - 0 . 5 x - y - 1 } \end{array} \right. }
\kappa _ { a } ( \nu , T ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { m i n } ( 1 0 ^ { 7 } , 1 0 ^ { 8 } T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) } & { h \nu < 0 . 0 1 \mathrm { ~ k e V } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 1 . 5 } ) } } & { 0 . 0 1 \mathrm { ~ k e V } < h \nu < 0 . 1 \mathrm { ~ k e V } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 1 . 5 } ) } + \frac { 1 0 ^ { 6 } \left( 0 . 1 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } } { 1 + 2 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 2 } } } & { 0 . 1 \mathrm { ~ k e V } < h \nu < 1 . 5 \mathrm { ~ k e V } } \\ { \frac { 1 0 ^ { 7 } \left( 0 . 0 1 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 } \sqrt { 1 . 5 \mathrm { ~ k e V } / h \nu } } { ( 1 + 2 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 1 . 5 } ) } + \frac { 1 0 ^ { 5 } \left( 1 . 5 \mathrm { ~ k e V } / h \nu \right) ^ { 2 . 5 } } { 1 + 1 0 0 0 \cdot ( T / T _ { \mathrm { ~ k e V } } ) ^ { 2 } } } & { h \nu > 1 . 5 \mathrm { ~ k e V } . } \end{array} \right.
\int { \mathcal { D } _ { \hat { g } } } ( \bar { \Psi } , { \Psi _ { 0 } } ) \exp \{ - { S _ { c } ^ { 0 0 } } [ \bar { \Psi } , { \Psi _ { 0 } } , \hat { g } ] \} = { e ^ { \mathcal { F } _ { B } ^ { 0 0 } } } { { \left( { \frac { D e t ^ { \prime } { \tilde { K } _ { D } } } { \oint { d } \tilde { s } } } \right) } ^ { - d / 2 } } \int { d } { \Psi _ { 0 } } { e ^ { - { Q _ { 0 } } { \chi _ { o } } { \Psi _ { 0 } } / 2 } }
h _ { 3 } = \Delta _ { 1 2 } , \quad h _ { 8 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( \Delta _ { 1 3 } + \Delta _ { 2 3 } ) \quad \textrm { a n d } \quad \Delta _ { i j } = \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } } { 2 p } , ~ i , j = 1 , 2 , 3 .
\mathcal T ( \boldsymbol a ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ \| \boldsymbol a \| \leq \tau } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ \| \boldsymbol a \| > \tau } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { I _ { \textrm { s c a t t e r e d } } ( \mathbf { Q } _ { \perp } ) } & { \propto \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } [ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } _ { \perp } ] ^ { T } \! \, \ell ^ { 2 } \mathbf { I } _ { 3 } \, [ \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } _ { \perp } ] \right\} } \\ & { = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \ell ^ { 2 } \mathbf { Q } _ { \perp } ^ { T } \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } \mathcal { R } _ { \mathbf { \Phi } ( \mathbf { r } _ { A } ) } ^ { T } \mathbf { Q } _ { \perp } \right] } \\ & { = \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \ell ^ { 2 } \mathbf { Q } _ { \perp } ^ { T } \mathbf { Q } _ { \perp } \right) } \\ & { = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \ell ^ { 2 } ( Q _ { x } ^ { 2 } + Q _ { y } ^ { 2 } ) \right] } \\ & { \approx \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \ell ^ { 2 } k ^ { 2 } \theta ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } z _ { 2 } } { \mathrm { d } \tau } = \lambda _ { 2 } z _ { 2 } + \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } R _ { 2 1 } ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } f _ { 0 } } { \mathrm { d } \tau } ,
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , 0 ) , \, \hat { \mathrm { I } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left\{ \bigl [ \hat { \phi } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] + \bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \bigr ] \right\} } \end{array}
{ \mathbb C } _ { \mu _ { \mathtt { i } _ { ( j - 1 ) } } } \otimes ( \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } } \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } + 1 } \circ \cdots \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { ( j + 1 ) } - 1 } ) ( { \mathbb C } _ { \mu _ { \mathtt { i } _ { j } } } \otimes \bullet ) .
\begin{array} { r l } { \hat { L } \hat { \rho } ( t ) = } & { { } \sum _ { i \neq j } \cfrac { \gamma _ { i j } } { 2 } \left( 2 \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } - \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) - \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \right) , } \end{array}
h ^ { i } \equiv f _ { + } ^ { - i } + f _ { - } ^ { + i } = 2 f _ { + } ^ { + i } = { \frac { 1 } { 2 } } u ^ { \underline { { { m } } } i } u ^ { \underline { { { n } } } - } u ^ { \underline { { { k } } } + } H _ { \underline { { { k } } } ~ \underline { { { n } } } ~ \underline { { { m } } } } ( X ( \xi ) )
\| T _ { j } ^ { k } ( \mathcal { F } _ { - h + n } , b _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } \times E _ { j , k } ) } \lesssim 2 ^ { \frac { 3 } { 2 } h - n } ( c 2 ^ { \frac { \gamma d k } { 2 } } + 1 ) 2 ^ { \frac { \gamma j } { 2 } } \| \mathcal { F } _ { - h + n } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } ) } .
{ \cal L } _ { 2 } \equiv { \cal L } _ { 3 } \left( \varphi , \partial _ { \mu } \varphi , \partial _ { \mu \nu } \varphi ; B _ { \rho } , F ^ { ( 1 ) } , F ^ { ( 2 ) } , C ^ { ( 1 ) } , C ^ { ( 2 ) } ; B _ { \rho \sigma } , D ^ { ( 1 ) } , D ^ { ( 2 ) } , G ^ { ( 2 ) } , G ^ { ( 3 ) } \right) .
\frac { t _ { g } } { t _ { d } } = \frac { 2 ( \beta - \alpha ) r _ { 0 } k _ { r } ^ { 2 } } { k _ { \perp } \bar { N } } \frac { ( \nu + \kappa ) k _ { r } ^ { 2 } } { 2 } \approx \frac { ( \nu + \kappa ) ( \beta - \alpha ) r _ { 0 } } { \bar { N } } \frac { \bar { N } ^ { 4 } k _ { \perp } ^ { 4 } } { \omega ^ { 4 } } ,
= \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } } } b ^ { * } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { n } } } ) H ( { \boldsymbol { r } } ) \psi ( { \boldsymbol { r } } )
\begin{array} { l l } { a _ { 0 } = 1 , } & { b _ { 0 } = 0 \mathrm { ~ i ~ f ~ } \kappa > 0 } \\ { a _ { 0 } = 0 , } & { b _ { 0 } = 1 \mathrm { ~ i ~ f ~ } \kappa < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \varphi } ( z , w ) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \boldsymbol { \nu } _ { ( i , j ) } z ^ { i } w ^ { j } , \quad \boldsymbol { \varphi } _ { + } ( z , w ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { \nu } _ { ( i , j ) } z ^ { i } w ^ { j } , } \\ & { \boldsymbol { \varphi } _ { 1 } ( z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { \nu } _ { ( i , 0 ) } z ^ { i } , \quad \boldsymbol { \varphi } _ { 2 } ( w ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { \nu } _ { ( 0 , j ) } w ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , } & { { } \quad h = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { C ( ( N - 1 ) \Delta t ) - C ( \Delta t ) } \\ { \vdots } \\ { C ( 2 \Delta t ) - C ( ( N - 2 ) \Delta t ) } \\ { C ( \Delta t ) - C ( ( N - 1 ) \Delta t ) } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( 5 ) = \mathstrut } & { - 0 . 1 4 5 + 0 . 4 2 a _ { 2 } ^ { r } - 1 . 5 4 a _ { 2 } ^ { i } + 0 . 3 5 a _ { 3 } ^ { r } + 0 . 2 9 a _ { 3 } ^ { i } - 0 . 0 4 2 a _ { 4 } ^ { r } + 0 . 0 3 2 a _ { 4 } ^ { i } + \cdots } \\ & { + 0 . 0 0 0 0 2 2 a _ { 7 } ^ { r } + 0 . 0 0 0 0 1 2 a _ { 7 } ^ { i } + \cdots + 3 . 5 \times 1 0 ^ { - 1 0 } a _ { 1 1 } ^ { r } - 1 . 1 \times 1 0 ^ { - 0 } a _ { 1 1 } ^ { i } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { Y } _ { t } } & { = e ^ { - \gamma ( t - n \lambda ) } \Tilde { Y } _ { n \lambda } - \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } h _ { t a m , \gamma } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } d W _ { s } } \\ { \Tilde { x } _ { t } } & { = \tilde { x } _ { n \lambda } + \int _ { n \lambda } ^ { t } \tilde { Y } _ { s } d s , } \end{array}
\phi _ { n } \, = \, \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { k } } } ( a _ { k } ^ { ( n ) } e ^ { i k x } + { a _ { k } ^ { ( n ) } } ^ { \dagger } e ^ { - i k x } )
f = { \frac { V } { { \frac { 4 } { 3 } } \pi r _ { u } ^ { 3 } } } = { \frac { 2 0 ( 3 + { \sqrt { 5 } } ) } { ( 2 { \sqrt { 5 } } + 1 0 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \pi } } \approx 0 . 6 0 5 \, 4 6 1 \, 3 8 2 9
\boldsymbol { R } _ { \boldsymbol { w } } ^ { * } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } w _ { 1 } \boldsymbol { R } _ { 1 } + w _ { 2 } \boldsymbol { R } _ { 2 } + \cdots + w _ { 9 } \boldsymbol { R } _ { 9 } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { R S } } } & { = v _ { \mathrm { M C } } { \mathrm { \boldmath ~ \hat { r } ~ \unboldmath } } + f _ { p d } \, ( s _ { L } - s _ { M } ) \, { \mathrm { \boldmath ~ \hat { p } ~ \unboldmath } } } \\ { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { F S } } } & { = v _ { \mathrm { M C } } { \mathrm { \boldmath ~ \hat { r } ~ \unboldmath } } + f _ { p d } \, ( s _ { R } - s _ { M } ) \, { \mathrm { \boldmath ~ \hat { p } ~ \unboldmath } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { m } ( q , p ) = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ) ^ { N } } \int d x \ e ^ { \frac { i } { \hbar } \left( S ( q + x , I _ { m } ) - S ( q - x , I _ { m } ) - 2 p \cdot x \right) } } \\ & { \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ^ { 2 } S ( q + x , I _ { m } ) } { \partial q _ { a } \partial I _ { b } } \operatorname* { d e t } \frac { \partial ^ { 2 } S ( q - x , I _ { m } ) } { \partial q _ { a } \partial I _ { b } } \right| \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 0 } = A _ { 0 } \sin \left( \Omega _ { 0 } t _ { 0 } + \varphi _ { 0 } \right) } \\ { v _ { 0 } = A _ { 0 } \Omega _ { 0 } \cos \left( \Omega _ { 0 } t _ { 0 } + \varphi _ { 0 } \right) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array} \right.
\tilde { \Theta } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } \nu , \boldsymbol { p } \mu } ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } = ( N _ { \boldsymbol { q } } + \delta _ { \alpha _ { 1 } , 1 } ) ( N _ { \boldsymbol { p } } + \delta _ { \alpha _ { 2 } , 1 } ) \left[ | \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } | ^ { 2 } + \mathrm { R e } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } ^ { * } ) \right] \delta ( \epsilon _ { \boldsymbol { k } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } - \alpha _ { 1 } \omega _ { \nu \boldsymbol { q } } - \alpha _ { 2 } \omega _ { \mu \boldsymbol { p } } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \Phi _ { 1 } | \Phi _ { 1 } \rangle = \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { \pi ^ { 2 } - 6 } { 9 } \frac { ( k h ) ^ { 2 } } { \sigma \alpha ^ { 3 } } } \\ & { } & { \langle \Phi _ { 2 } | \Phi _ { 2 } \rangle = 2 k ^ { 2 } - \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { 2 k ^ { 2 } } { \sigma \alpha } } \\ & { } & { \langle \Phi _ { 1 } | \Phi _ { 2 } \rangle = \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { k ^ { 2 } h } { \sigma \alpha ^ { 2 } } . } \end{array}
P _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 2 } = { \frac { n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } { 6 } } = { \frac { 2 n ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } + n } { 6 } } = { \frac { n ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { n ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { n } { 6 } } .