harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R ( s ) = 3 \sum _ { f } Q _ { f } ^ { 2 } \biggl [ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + \frac { 1 } { 1 2 } \biggl ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggr ) ^ { 2 } - \biggl ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggr ) ^ { 3 } ( 1 6 . 2 \pm 0 . 5 ) \biggr ] - \biggl ( \sum _ { f } Q _ { f } \biggr ) ^ { 2 } \biggl ( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggr ) ^ { 3 } 1 . 2 + O ( \alpha _ { s } ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \phi } } & { { } = \phi } \\ { \cos ( \tilde { \theta } ) } & { { } = \frac { \cos ( \theta ) \cosh ( \xi ) + \sinh ( \xi ) } { \cosh ( \xi ) + \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) } } \\ { \sin ( \tilde { \theta } ) } & { { } = \frac { \sin ( \theta ) } { \cosh ( \xi ) + \cos ( \theta ) \sinh ( \xi ) } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { q _ { 1 } ^ { 2 } = x _ { 1 } s - x _ { 2 } Q ^ { 2 } } } & { { \quad g _ { 4 a } ^ { 2 } = x _ { 1 } y _ { 2 } s + x _ { 2 } y _ { 1 } u - x _ { 2 } y _ { 2 } Q ^ { 2 } } } \\ { { D _ { 1 } ^ { 2 } = x _ { 2 } s - x _ { 1 } Q ^ { 2 } } } & { { \quad g _ { 4 b } ^ { 2 } = x _ { 2 } y _ { 1 } s + x _ { 1 } y _ { 2 } u - x _ { 1 } y _ { 1 } Q ^ { 2 } . } } \end{array}
1 s ^ { 2 } \, 2 s ^ { 2 } \, ( 2 p _ { 1 / 2 } \, 2 p _ { 3 / 2 } ) ^ { 6 } \, ( 3 s \, 3 p _ { 1 / 2 } \, 3 p _ { 3 / 2 } \, 3 d _ { 3 / 2 } \, 3 d _ { 5 / 2 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { \epsilon ^ { 2 } \pi ^ { 2 } D _ { \mathrm { M e r c } } } { | p _ { 2 } | G _ { 0 } ^ { 2 } } = } & { \frac { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 2 } ) ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } p _ { 2 } + 3 \eta \delta \frac { 1 - \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 7 + \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } - \frac { 4 I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { \frac { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ( 2 \eta ^ { 2 } + 1 ) ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 4 } ( 1 + \eta ^ { 2 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } p _ { 2 } + 3 \Delta _ { x } \frac { \eta ^ { 4 } - 1 } { \eta ^ { 4 } } + \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } \left( 1 + \eta ^ { 4 } - \frac { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) . } \end{array}
H = { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } + m g z - { \frac { \lambda } { 2 } } ( r ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) + u _ { 1 } p _ { \lambda } + u _ { 2 } ( r ^ { 2 } - R ^ { 2 } ) + u _ { 3 } { \vec { p } } \cdot { \vec { r } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 2 ) } ( \omega , q = 0 , - \omega , - q = 0 , \varpi , p ) } & { { } = \frac { p ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \Bigg [ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi + \omega , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi - \omega , p ) \Bigg ] } \\ { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 3 , 1 ) } ( \omega , q = 0 , - \omega , - q = 0 , \varpi , p ) } & { { } = \frac { p ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \Bigg [ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi + \omega , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi - \omega , p ) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { - i \bar { \zeta } _ { 1 } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \zeta _ { 2 } } } & { { = } } & { { \bar { \zeta } _ { 2 } ( \gamma _ { 5 } \cos 2 \phi _ { C } + \gamma _ { 4 } \sin 2 \phi _ { C } ) \gamma ^ { \mu } \zeta _ { 1 } , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g ( x ) } & { = \mathrm { { l c m } } ( m _ { 1 } ( x ) , m _ { 2 } ( x ) , . . . , m _ { 1 4 } ( x ) ) = m _ { 1 } ( x ) m _ { 3 } ( x ) m _ { 5 } ( x ) m _ { 7 } ( x ) } \\ & { = \left( x ^ { 4 } + x + 1 \right) \left( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \right) \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right) \left( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 1 \right) = x ^ { 1 4 } + x ^ { 1 3 } + x ^ { 1 2 } + \cdots + x ^ { 2 } + x + 1 . } \end{array} }
\Psi _ { \bf D } \rightarrow \exp { ( \phi _ { 1 } E _ { 1 } - \theta _ { 2 } E _ { 2 } + \phi _ { 3 } E _ { 3 } + \theta _ { 1 } F _ { 1 } + \phi _ { 2 } F _ { 2 } + \theta _ { 3 } F _ { 3 } ) } \cdot \Psi _ { \bf D } ,
\begin{array} { r l } { \textnormal { m a x i m i z e ~ ~ } } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { n } = 1 } ^ { R _ { n } } a _ { i _ { n } } ^ { ( n ) } } \\ { \textnormal { s u b j e c t t o ~ ~ } } & { ( R _ { 1 } , \ldots , R _ { N } ) \in ( S _ { 1 } ^ { ( \varepsilon ) } \times \dots \times S _ { N } ^ { ( \varepsilon ) } ) \cap F } \end{array}
V ( \tilde { z } ) = - s _ { \perp } \left( e ^ { - \frac { 2 \tilde { z } ^ { 2 } } { w _ { x } ^ { 2 } } } + e ^ { - \frac { 2 \tilde { z } ^ { 2 } } { w _ { y } ^ { 2 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { u _ { n + 1 } } & { { } = 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \cal R ^ { k } \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } = \cal R \Big ( 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \cal R ^ { k } \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } \Big ) + 2 \tilde { \cal A } _ { - 1 } \mathrm { R H S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { x } } & { = \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { d } } \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } E _ { x } + \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 2 } } S _ { x x } p _ { x } , } \\ { m _ { y } } & { = \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } H _ { y } + \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 2 } } S _ { y y } m _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { k } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { { } ( - 1 ) ^ { j + 1 } k _ { a } T _ { j , a } \delta _ { a b } + \sum _ { c } ( \mathbb { D } _ { c a b } + k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } \mathbb { C } _ { c a b } ) \xi _ { c } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i j } ( t ) } & { = U _ { j } ( t ) \bigcap U _ { i } ( t ) } \\ { U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) } & { = U _ { i } ( t ) \setminus U _ { i j } ( t ) } \\ { L _ { i j } ( t ) } & { = L _ { i } ( t ) \bigcap L _ { j } ( t ) } \\ { L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) } & { = L _ { j } ( t ) \setminus L _ { i j } ( t ) } \\ { W _ { i j } ( t ) } & { = L _ { i } ( t ) \bigcap U _ { j } ( t ) } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } P } { d z ^ { 2 } } + \left[ - \frac { f ^ { \prime \prime } } { f ^ { \prime } } + f ^ { \prime } \cot f \right] \frac { d P } { d z } + f ^ { 2 } \left[ l ( l + 1 ) - \frac { m ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } f } \right] P = 0 ~ .
\begin{array} { r l } { \left\| \widehat \Theta _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) - \widehat \Theta _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \right\| _ { 2 } } & { = \left\| \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) ^ { \top } - \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \left\| \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) - \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \phantom { \leq } + 2 \left\| \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \right\| _ { 2 } \left\| \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) - \nabla _ { \mathbf { W } } f _ { m } ^ { ( k ) } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( x , + 1 ) = f _ { 2 } ( x , - 1 ) } & { = \frac { \lambda _ { r } } { 2 \gamma } \left( \frac { \pi } { 4 } - \lvert \arctan ( x / \gamma ) \rvert + \frac { \gamma \lvert x \rvert } { \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \pi } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { 1 } { 4 \gamma ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } { ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) + \frac { \lambda _ { r } ^ { 2 } } { 8 } \left( \ln 4 - \ln \left( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \right) \right) . } \end{array}
{ \cal L } = - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \, \partial _ { \mu } \pi _ { r } \, \partial ^ { \mu } \pi _ { r } - \mathrm { \small ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } f ^ { 2 } \lambda \left( \pi _ { r } \pi _ { r } - N \right) \; ,
+ \frac { \lambda _ { 2 } } { r } \left( ( 1 - f ^ { 2 } ) ( \eta ^ { 2 } - h ^ { 2 } ) + 2 f ^ { 2 } h ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { 4 } } { 4 } r ^ { 3 } ( \eta ^ { 2 } - h ^ { 2 } ) ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { v _ { I } } ( x , y , z ) = { } } & { { } \left( v _ { 0 } + \frac { \partial \phi } { \partial z } ( x , y , z ) \right) \mathbf { e _ { z } } + \frac { \partial \phi } { \partial y } ( x , y , z ) \mathbf { e _ { y } } + \frac { \partial \phi } { \partial x } ( x , y , z ) \mathbf { e _ { x } } . } \end{array}
( \widetilde { \mathbf { R } } _ { \mathrm { C a t } } ^ { t - 1 } , \widetilde { \mathbf { R } } _ { \mathrm { A d } } ^ { t - 1 } ) = ( \mathbf { R } _ { \mathrm { C a t } } ^ { * } , \mathbf { R } _ { \mathrm { A d } } ^ { * } ) + \widetilde { \mathbf { I } } \cdot \Delta \hat { \mathbf { R } } ^ { t - 1 }
\begin{array} { r l } { k _ { i j } ^ { \mathrm { P } } } & { = \frac { 1 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { - } \right| ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } } { \left| \mathbf { K } _ { i j } ^ { + } \right| ^ { 2 } } \right) \cdot \left( \mu \mathbf { I } + 4 \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \hat { \mathbf { t } } _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \log N ( S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } , d _ { \theta } , u ) \right) ^ { 1 / 2 } d u } & { \lesssim } & { \Upsilon \sqrt { \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } \log \left( \xi \sqrt { \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sqrt { \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lvert \hat { c } _ { \Delta } ( \eta ^ { 1 } , \xi _ { \Delta } ) - \hat { c } _ { \Delta } ( \eta ^ { 2 } , \xi _ { \Delta } ) \right\rvert \leq 4 \frac { 1 } { \delta } e ^ { R } \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \Omega , \xi _ { \Delta } \in \Omega _ { \Delta } } \left\lvert c _ { \Delta } ( \eta , \xi _ { \Delta } ) \right\rvert \leq \frac { 4 e ^ { R } K ( c ) } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( 2 ( m + 1 ) ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - 1 } \Gamma \left( m + 1 , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - 1 } \left( m \Gamma \left( m , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) + ( 2 ( 1 - w ) ) ^ { - m } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = m g ( 2 m ) + \frac { 1 } { 2 ^ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - ( m + 1 ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w } \\ & { \leq \Gamma ( m + 1 ) B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { m } \right) + \frac { 1 } { 2 ^ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - ( m + 1 ) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } \times \mathbf { n } - \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( h , \mathcal { L } h ) } & { = } & { ( 1 - \lambda ) ( h , \mathcal { L } h ) + \lambda ( h , ( \nu ( \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ) - K ) h ) } \\ & { \geq } & { ( 1 - \lambda ) \nu _ { 0 } ( h , h ) + \lambda ( h , \nu ( \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ) h ) - \lambda c _ { K } ( h , h ) } \\ & { = } & { ( \nu _ { 0 } - \lambda ( \nu _ { 0 } + c _ { K } ) ) ( h , h ) + \lambda ( h , \nu ( \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ) h ) = \lambda ( h , \nu ( \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ) h ) \mathrm { . } } \end{array}
{ \cal A } ( \overline { { { B } } } _ { d } ^ { 0 } \rightarrow D ^ { + } \rho ^ { - } ) - { \cal A } ( B ^ { - } \rightarrow D ^ { 0 } \rho ^ { - } ) = \sqrt { 2 } ~ { \cal A } ( \overline { { { B } } } _ { d } ^ { 0 } \rightarrow D ^ { 0 } \rho ^ { 0 } )
\hat { \rho } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | \mathrm { \bf ~ r } , \sigma \rangle = \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | 0 \rangle = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | 0 \rangle = \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) | \mathrm { \bf ~ r } , \sigma \rangle
\mathcal { K } ( t , \varphi ) = \left( \begin{array} { l } { - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } + \delta _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } + \gamma ( t ) \varphi _ { 4 } + b _ { 3 } \varphi _ { 3 } + b _ { 4 } \varphi _ { 2 } - \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) - \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) } \\ { - ( b _ { 4 } + c _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } + b _ { 2 } \varphi _ { 1 } + c _ { 2 } \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { G } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) - \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) } \\ { - ( b _ { 3 } + c _ { 2 } + \delta _ { 3 } ) \varphi _ { 3 } + b _ { 1 } \varphi _ { 1 } + c _ { 1 } \varphi _ { 2 } - \phi ( t ) \varphi _ { 3 } - \nabla \cdot ( \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) \nu ) + \mathcal { F } ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 3 } ) + \mathcal { H } ( \varphi _ { 2 } , \varphi _ { 3 } ) } \\ { - \gamma ( t ) \varphi 4 } \\ { \phi ( t ) \varphi _ { 3 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { S _ { A , x } S _ { B , y } } & { { } \mapsto } & { - S _ { B , x } S _ { A , y } , } \\ { S _ { A , x } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { - S _ { B , x } S _ { A , z } , } \\ { S _ { A , y } S _ { B , z } } & { { } \mapsto } & { + S _ { B , y } S _ { A , z } , } \end{array}
- S = \mu \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } - \epsilon ^ { 2 } \alpha _ { 1 } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } \: M _ { i i } + \epsilon ^ { 4 } \alpha _ { 2 } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } \: M _ { i i } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 4 } \alpha _ { 3 } \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { - \gamma } \: M _ { i j } M _ { i j } ,
\theta _ { 3 } ( z | \tau ) = ( - i \tau ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \exp \left( { \frac { z ^ { 2 } } { \pi i \tau } } \right) \theta _ { 3 } \left( { \frac { z } { \tau } } \left| - { \frac { 1 } { \tau } } \right. \right) .
\mathbf { w } ( \mathbf { r } , t ) = \sum _ { \alpha = - M } ^ { M } \sum _ { \beta = - M } ^ { M } \sum _ { \gamma = - M } ^ { M } f ( \alpha ) f ( \beta ) f ( \gamma ) \tilde { \vec { w } } _ { \alpha \beta \zeta } ( t ) e ^ { 2 \pi i ( j \alpha + k \beta + l \zeta ) / N } .
\sum _ { k = 0 } ^ { \frac { r + s } { 2 } - \frac { \mid r - s \mid } { 2 } } \frac { ( C _ { k + \mid \frac { r - s } { 2 } \mid } ^ { \frac { r + s } { 2 } } ) ( C _ { k } ^ { \frac { r + s } { 2 } } ) \mid 2 k + \mid \frac { r - s } { 2 } \mid - \frac { r + s } { 2 } \mid } { C _ { \frac { r + s } { 2 } } ^ { r + s } } \, .
\sigma = \underset { i \in [ r ] } { \operatorname* { m i n } } \; \left\lbrace \alpha { \Gamma ^ { 0 } } ^ { t } \pi ^ { i } + d ^ { t } \rho ^ { i } + \underline { { c } } ^ { t } x ^ { i } \right\rbrace = \underset { i \in [ r ] } { \operatorname* { m i n } } \; \left\lbrace \Gamma ^ { t } \pi ^ { i } + d ^ { t } \rho ^ { i } + \underline { { c } } ^ { t } x ^ { i } \right\rbrace
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { r } } & { { } = } & { 0 } \\ { \hat { p } _ { \phi } } & { { } = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { z } } & { { } = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d _ { 1 1 8 } = d _ { 2 2 8 } = d _ { 3 3 8 } = - d _ { 8 8 8 } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } } \\ { d _ { 4 4 8 } = d _ { 5 5 8 } = d _ { 6 6 8 } = d _ { 7 7 8 } } & { = - { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 3 } } } } } \\ { d _ { 3 4 4 } = d _ { 3 5 5 } = - d _ { 3 6 6 } = - d _ { 3 7 7 } = - d _ { 2 4 7 } = d _ { 1 4 6 } = d _ { 1 5 7 } = d _ { 2 5 6 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ~ . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) \in \mathcal { Z } } R e g r e t ( \mathcal { M } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } , \textbf { a l g o } , K ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \cdot \sqrt { \frac { p } { c _ { 1 } } } [ u ( H - \bar { H } - d - \rho ) - u ( - \rho ) ] \sqrt { \bar { H } \cdot \frac { S } { 4 } A K } \cdot \frac { 4 } { 9 } } \\ & { = \frac { 1 } { 9 \sqrt { 2 } } \cdot \sqrt { \frac { p } { c _ { 1 } } } [ u ( H - \bar { H } - d - \rho ) - u ( - \rho ) ] \sqrt { S A \bar { H } K } . } \end{array}
\frac { d \mathcal { E } _ { k } ^ { c } } { d t } : = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \dot { \mathrm { \boldmath ~ w ~ } } _ { i } \rangle , \quad \frac { d \mathcal { E } _ { p } ^ { c } } { d t } : = \frac { \kappa _ { 2 } } { 4 N } \sum _ { \substack { i , j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } ( r _ { i j } - R _ { i j } ^ { \infty } ) \Big \langle \frac { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j i } } { r _ { j i } } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } \Big \rangle .
( \Delta m ^ { 2 } ) _ { 1 2 } \propto { \frac { m _ { D , 1 } m _ { D , 2 } ^ { 5 } s ^ { 3 } c } { 2 \sqrt { 2 } m _ { 1 } ^ { 2 } w _ { w k } ^ { 2 } v _ { B - L } ^ { 2 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \dot { \boldsymbol { x } } } & { = \boldsymbol { A } _ { 0 } \boldsymbol { x } + \sum _ { k = 1 } ^ { p } \boldsymbol { A } _ { k } \boldsymbol { x } ( t - k \tau ) + \boldsymbol { r } ( t ) } \\ { \dot { \boldsymbol { r } } } & { = \boldsymbol { B } _ { 0 } \boldsymbol { r } + \sum _ { k = 1 } ^ { q } \boldsymbol { B } _ { k } \boldsymbol { r } ( t - k \tau ) + \boldsymbol { C } \boldsymbol { x } + \boldsymbol { Q } \dot { { \boldsymbol { W } } } _ { t } . } \end{array}
\bar { e } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \bar { e } _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { 3 } \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \right)
\begin{array} { r l } { \left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { X } \rangle } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| } & { { } \leq | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { B } - n _ { C } \} | } \end{array}
{ \frac { \partial \overline { { U _ { i } } } } { \partial t } } + \overline { { U _ { i } } } { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } + \overline { { U _ { j } } } { \frac { \partial \overline { { U _ { j } } } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \overline { { P } } } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { U _ { i } } } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } - { \frac { \partial \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \partial x _ { j } } } ~ ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3
b _ { 0 } ^ { > } ( p ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \ln \frac { m _ { G } ^ { 2 } ( T ) } { \Lambda ^ { 2 } } - 1 - \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { G } ^ { 2 } ( T ) } { p ^ { 2 } } } \left( \ln \frac { 1 - \sqrt { 1 - 4 m _ { G } ^ { 2 } ( T ) / p ^ { 2 } } } { 1 + \sqrt { 1 - 4 m _ { G } ^ { 2 } ( T ) / p ^ { 2 } } } + i \pi \right) \right] .
\frac { \partial } { \partial \xi _ { 1 } } \left( h _ { 1 } h _ { 2 } \dot { \xi } _ { 1 } \right) + \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \left( h _ { 1 } h _ { 2 } \dot { \xi } _ { 2 } \right) = 0
\begin{array} { r } { \sigma _ { c } = \frac { 2 \langle \delta \mathbf { v _ { \perp } } \cdot \delta \mathbf { b _ { \perp } } \rangle } { \langle \delta \mathbf { v _ { \perp } } ^ { 2 } \rangle + \langle \delta \mathbf { b _ { \perp } } ^ { 2 } \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial G _ { 2 D } ^ { - } } { \partial z } ( x , z - z ^ { \prime } ) } & { { } \approx \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k } { 2 \pi | z - z ^ { \prime } | } } e ^ { - i \pi / 4 } e ^ { i k | z - z ^ { \prime } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 1 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } [ [ v _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( m ) } ] , v _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( 2 m - 1 ) } ] = 0 , } \\ & { [ v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m - 1 } , a v _ { m } ] = a [ v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m } ] + \rho ( v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m - 1 } , a ) v _ { m } , } \\ & { \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { m , m - 2 } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \Big ( \rho ( [ v _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( m ) } ] , v _ { \sigma ( m + 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , a ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \rho ( v _ { \sigma ( m ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( 2 m - 2 ) } , \rho ( v _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , v _ { \sigma ( m - 1 ) } , a ) ) \Big ) = 0 , } \\ & { \rho ( v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m - 1 } , a b ) = a \rho ( v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m - 1 } , b ) + b \rho ( v _ { 1 } , \dotsc , v _ { m - 1 } , a ) } \end{array}
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { 1 } { \beta } \sum _ { p _ { 0 } } \frac { 1 } { ( x _ { 1 } + p _ { 0 } ) ^ { 2 } - ( x _ { 2 } + p _ { 0 } ) ^ { 2 } } \log \left( \frac { m ^ { 2 } - ( x _ { 1 } + p _ { 0 } ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } - ( x _ { 2 } + p _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right) \, .
\Phi \in H ^ { 1 } ( 0 , T ; L _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 1 } ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) )
( T _ { \omega _ { 0 } } ( D \odot M _ { \tau _ { 0 } } ( \xi ) ) * a ^ { \dag } ) ( 0 ) = ( M _ { - \omega _ { 0 } } ( \hat { D } * T _ { \tau _ { 0 } } ( \hat { \xi } ) ) * \hat { a } ^ { \dag } ) ( 0 ) = e ^ { i \omega _ { 0 } \tau _ { 0 } } ( T _ { \tau _ { 0 } } ( M _ { - \omega _ { 0 } } ( \hat { D } * \hat { \xi } ) ) * \hat { a } ^ { \dag } ) ( 0 ) ,
\begin{array} { r l } { Z _ { w v } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \sum _ { a n } \frac { z _ { a n } \tilde { g } _ { w n v a } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } - \omega } + \sum _ { a n } \frac { \tilde { g } _ { w a v n } z _ { n a } } { \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { n } + \omega } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r { \frac { \partial } { \partial r } } } & { { } = x { \frac { \partial } { \partial x } } + y { \frac { \partial } { \partial y } } } \\ { { \frac { \partial } { \partial \varphi } } } & { { } = - y { \frac { \partial } { \partial x } } + x { \frac { \partial } { \partial y } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal X } _ { i } = \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) e ^ { i ( \omega _ { p } t + \varphi ) } + h . c . , } \\ { \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) \equiv \hat { U } ^ { \dagger } ( t ) \left( \left| 2 \right> _ { i } \left< 1 \right| + \left| 1 \right> _ { i } \left< 2 \right| \right) \hat { U } ( t ) , } \end{array}