harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u _ { n } ^ { ( 0 ) } = { \cal J } [ \mathfrak { u } ^ { ( 0 ) } ] ( \eta _ { n } ) = \frac { 1 } { \mu n } + { \cal I } _ { n } [ { \mathcal J } [ \frac { 1 } { v \eta } ] ] \, , \quad u _ { n } ^ { ( 1 ) } = { \cal I } _ { n } [ { \cal J } [ \mathfrak { u } ^ { ( 1 ) } ] ] + \frac { 1 } { \mu } \frac { \varrho _ { 1 , \pm } u _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } { 1 + n } \, .
W _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 1 } } : = \mathrm { g r a p h } ( \phi _ { \rho } ) = \left\{ \, u _ { 1 } + \phi _ { \rho } ( u _ { 1 } ) \; \vert \; u _ { 1 } \in P _ { \Sigma _ { 1 } } V \, \right\}
\frac { y ( v _ { n } ) - y ( v _ { n - 2 } ) } { x ( v _ { n } ) - x ( v _ { n - 2 } ) } = \frac { \beta ^ { q _ { n } } - \beta ^ { q _ { n - 2 } } } { \alpha ^ { p _ { n } } - \alpha ^ { p _ { n - 2 } } } > \frac { \beta ^ { q _ { n - 2 } } - \beta ^ { q _ { n - 4 } } } { \alpha ^ { p _ { n - 2 } } - \alpha ^ { p _ { n - 4 } } } = \frac { y ( v _ { n - 2 } ) - y ( v _ { n - 4 } ) } { x ( v _ { n - 2 } ) - x ( v _ { n - 4 } ) }
| g . s . > = | 0 , 0 , - 3 J , 0 > = \frac { 1 } { \sqrt { 1 2 } } ( 2 | \uparrow \downarrow \uparrow \downarrow > + 2 | \downarrow \uparrow \downarrow \uparrow > - | \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow > - | \uparrow \downarrow \downarrow \uparrow > - | \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow > - | \downarrow \uparrow \uparrow \downarrow > ) \quad .
P \left\{ \underset { h \in \mathcal { H } } { \operatorname* { s u p } } [ R ( h ) - \widehat { R } _ { n } ( h ) ] \right\} \leq \mathcal { N } ( \mathcal { H } , \frac { \epsilon } { 4 L } ) \exp \left( - \frac { n ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } / 4 } { C _ { 1 } n + 2 C _ { 2 } ^ { 1 / ( \mu + 2 ) } ( n \epsilon / 2 ) ^ { ( 2 \mu + 3 ) / ( \mu + 2 ) } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) } & { { } \equiv S _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) - N S ( | \mathbf { k } _ { 1 } | ) S ( | \mathbf { k } _ { 2 } | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } N _ { \ell } = } & { \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s \partial _ { k } E _ { \ell } ( k , s ) } \\ { + } & { \sum _ { m \neq \ell } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { T } d t \langle \partial _ { k } \widetilde { \ell } ( k , t ) | m ( k , t ) \rangle \langle \widetilde { m } ( k , t ) | \partial _ { t } \ell ( k , t ) \rangle } \\ { - } & { \sum _ { m \neq \ell } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d k } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { T } d t \langle \partial _ { t } \widetilde { \ell } ( k , t ) | m ( k , t ) \rangle \langle \widetilde { m } ( k , t ) | \partial _ { k } \ell ( k , t ) \rangle . } \end{array}
\widehat { \widetilde { S } } ( t , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { i } I \otimes \sigma _ { z } ^ { ( j ) } \sigma _ { z } ^ { ( k ) } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 1 ) , } \\ { \mathrm { i } { \sigma _ { z } } ^ { ( j ) } { \sigma _ { z } } ^ { ( k ) } \otimes I } & { \mathrm { ~ i f ~ } \omega = ( j , k , 2 ) , } \end{array} \right.
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, .
- { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } } \left[ { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial R ( r ) } { \partial r } } \right) - { \frac { l ( l + 1 ) R ( r ) } { r ^ { 2 } } } \right] + V ( r ) R ( r ) = E R ( r ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { r ^ { \prime } = r v , } \\ { v ^ { \prime } = w ^ { 2 } + \frac { w _ { 0 } ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \psi } + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \psi } + \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \bar { V } ( s ) , } \\ { \psi ^ { \prime } = w , } \\ { w ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } w v - \bar { \nabla } V ( \mathbf { s } ) \cdot \mathbf { e } _ { w } - w _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \sin \psi } { \cos ^ { 3 } \psi } + w _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \cos \psi } { \sin ^ { 3 } \psi } , } \\ { w _ { 0 } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } v w _ { 0 } - r \partial _ { g _ { 0 } } U _ { 0 1 } , } \\ { w _ { 1 } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 } v w _ { 1 } - r \partial _ { g _ { 1 } } U _ { 0 1 } , } \\ { g _ { 0 } ^ { \prime } = r ^ { 3 / 2 } \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 0 } } = \frac { r ^ { 3 / 2 } m _ { 1 } } { 2 } \big ( - \frac { \langle \mathbf { x } _ { 1 } , \partial _ { G _ { 0 } } \mathbf { x } _ { 0 } \rangle } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \langle \mathbf { x } _ { 1 } , \partial _ { G _ { 0 } } \mathbf { x } _ { 0 } \rangle } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | ^ { 3 } } \big ) , } \\ { g _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { r ^ { 3 / 2 } } { 2 } \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial G _ { 1 } } = r ^ { 3 / 2 } m _ { 1 } \big ( \frac { \langle \partial _ { G _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 1 } \rangle } { | \mathbf { x } _ { 1 } | ^ { 3 } } + \frac { \langle \partial _ { G _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } \rangle } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \langle \partial _ { G _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } \rangle } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | ^ { 3 } } \big ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = p \ \xi + \frac { 1 } { p } \tau + \theta _ { 0 } } \\ { \beta _ { 2 } } & { { } = i \frac { | \alpha | ^ { 2 } | p | ^ { 2 } p } { \beta ^ { * } ( p + p ^ { * } ) ^ { 2 } } ; \quad \quad c = \frac { 2 i \beta \alpha p } { \beta ^ { * } } } \end{array}
E _ { 0 } = { \cal H } _ { 0 } \approx - D _ { \mathrm { e } } + \omega _ { \mathrm { e } } \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) + J ( J + 1 ) B _ { \mathrm { e } } , \qquad n = 0 , 1 , 2 , . . . , \qquad J = 1 , 2 , . . . ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { \mu } } & { { } = \frac { \partial H } { \partial p _ { \mu } } = p ^ { \mu } , } \\ { \dot { p } _ { \mu } } & { { } = - \frac { \partial H } { \partial x ^ { \mu } } = \Gamma _ { \beta \mu } ^ { \alpha } p _ { \alpha } p ^ { \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { H - 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { H - 1 } ^ { k } ) } & { = r _ { H - 1 } ( s _ { H - 1 } ^ { k } , a _ { H - 1 } ^ { k } ) + O C E _ { s _ { H } ^ { k } \sim P _ { H - 1 } ( \cdot \vert s _ { H - 1 } ^ { k } , a _ { H - 1 } ^ { k } ) } ( V _ { H } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { H } ^ { k } ) ) } \\ & { \overset { ( 3 ) } { = } 2 \times 1 \{ s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } \} , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { = } } & { { \left( \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } + \left( \alpha _ { z _ { m } z _ { m } } - \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } \right) \left( \left( a _ { J ^ { \prime \prime } , M ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { J ^ { \prime \prime } - 1 , M ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 2 } \right) \right) \displaystyle \int Y _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } Y _ { J ^ { \prime \prime } M ^ { \prime \prime } } d \tau } } \\ { { } } & { { } } & { { + \left( \alpha _ { z _ { m } z _ { m } } - \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } \right) a _ { J ^ { \prime \prime } , M ^ { \prime \prime } } a _ { J ^ { \prime \prime } + 1 , M ^ { \prime \prime } } \displaystyle \int Y _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } Y _ { J ^ { \prime \prime } + 2 , M ^ { \prime \prime } } d \tau } } \\ { { } } & { { } } & { { + \left( \alpha _ { z _ { m } z _ { m } } - \alpha _ { x _ { m } x _ { m } } \right) a _ { J ^ { \prime \prime } - 1 , M ^ { \prime \prime } } a _ { J ^ { \prime \prime } - 2 , M ^ { \prime \prime } } \displaystyle \int Y _ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } } ^ { \ast } Y _ { J ^ { \prime \prime } - 2 , M ^ { \prime \prime } } d \tau ~ . } } \end{array}
\hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \left( \mathbf { x } \right) = \alpha _ { e x t } \sin \left( \alpha _ { 1 } \frac { x _ { 1 } } { x _ { 2 } + \beta _ { 2 } } + \beta _ { 1 } \right) + \beta _ { e x t } .
\begin{array} { r } { \mathrm { P } _ { p , q , 0 } ^ { \pm } = \mathrm { P } ^ { \pm } = \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { ( 0 ) \times } \cup \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { ( 1 ) \times } , \qquad \mathrm { P } _ { p , q , 0 } = \mathrm { P } = \mathrm { Z } _ { p , q , 0 } ^ { \times } ( \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { ( 0 ) \times } \cup \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { ( 1 ) \times } ) . } \end{array}
V ( \mathbf { q } ) = \sum _ { \mathbf { m } _ { k } \in \mathrm { M C R } } \bar { V } ^ { \mathbf { m } _ { k } } = \sum _ { \mathbf { m } _ { k } \in \mathrm { M C R } } \sum _ { \substack { \mathrm { \bf m } _ { k ^ { \prime } } \subseteq \mathrm { \bf m } _ { k } \, \mathrm { \bf m } _ { k ^ { \prime } } \in \mathrm { M C R } } } ( - 1 ) ^ { k - k ^ { \prime } } V ^ { \mathbf { m } _ { k ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r } { I ( t ) \propto \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { A \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) t ^ { 1 - \alpha } } + \frac { \alpha } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) \frac { A } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } t ^ { 1 + \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t < t _ { \mathrm { t r } } } \\ { \displaystyle \frac { \alpha } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) \frac { L ^ { 2 } } { 2 A } \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } t ^ { 1 + \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } t > t _ { \mathrm { t r } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int _ { A } ^ { B } ( \lambda ^ { - 1 } \bar { \sigma } _ { 2 2 } ) _ { a } R \int _ { R } ^ { B } c ( { a } , T ) \, d T \, d R , } \\ { I _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { A } ^ { B } R \zeta ( \bar { r } _ { a } ^ { 2 } + c ( { a } , R ) ^ { 2 } ) \, d R , } \\ { I _ { 3 } } & { = \int _ { A } ^ { B } R \xi \bar { r } _ { a } c ( { a } , R ) \, d R . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { \boldsymbol k } ( t ) = \frac { 1 } { 2 m _ { e } } \left[ \boldsymbol p + \hbar \boldsymbol k + \frac { e } { c } \boldsymbol A ( t ) \right] ^ { 2 } + \hat { v } _ { \mathrm { i o n } } + v _ { \mathrm { H x c } } ( \boldsymbol r , t ) , } \end{array}
\| \Bar { w } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n + 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \leq \frac { C _ { \Vec { B } , J , F , w _ { 0 } , v _ { 0 } } t ^ { * } } { 1 - C _ { \Vec { B } , J , F , w _ { 0 } , v _ { 0 } } t ^ { * } } \left( \| \Bar { w } _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + \| \Bar { v } _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ^ { * } ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { P \tilde { \mu } _ { n } - P u } & { = \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } G \mu - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } ( G \mu - b ) - \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } b } \\ & { = \left( \Sigma G ^ { T } ( G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } - \Sigma G ^ { T } ( \sigma _ { G , n } ^ { 2 } I + G \Sigma G ^ { T } ) ^ { - 1 } \right) ( G \mu - b ) } \\ & { = \tilde { \mu } _ { n } - \tilde { \mu } ^ { \star } . } \end{array}
J _ { A } ^ { \mu } = < \Psi _ { A - 1 } ^ { S M } ( P _ { A - 1 } ) \psi _ { N } ( P _ { N } , s _ { N } ) | \sum _ { k = 1 } ^ { A } \hat { J } _ { k } ^ { \mu } | \Psi _ { A } ^ { S M } ( P _ { A } ) >
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { = \sum _ { j \neq i } \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { + } \rangle \quad \forall \: i , } \\ { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { = \sum _ { j \neq i } \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { - } \rangle \quad \forall \: i , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | { \cal C } _ { \cal S } | \! = \! \operatorname* { m a x } _ { k \in { \cal S } } \! \bigg ( \! \frac { M } { \sum _ { n \in { \cal N } _ { 1 } } \! F _ { n } } \! \bigg ) ^ { \! s } \! \! \bigg ( 1 - \frac { M } { \sum _ { n \in { \cal N } _ { 1 } } F _ { n } } \bigg ) ^ { \! \! A - s } \! \! \! \! \! F _ { d _ { k } } , \ { \cal S } \! \in \! { \cal Q } _ { 1 } ^ { s + 1 } } \end{array}
- { \frac { n } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) - { \frac { n } { 2 } } \ln ( { \hat { \sigma } } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 { \hat { \sigma } } ^ { 2 } } } \mathrm { R S S } \, = \, - { \frac { n } { 2 } } \ln ( \mathrm { R S S } / n ) + C
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x q ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ^ { \prime } ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x \right) + \gamma \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ^ { \prime } ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } } { \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) ^ { 2 } g ( x ) \mathrm { d } x \right) } } \\ & { = \frac { - 2 \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x q ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \right) + \gamma \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \right) ^ { 2 } } { \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) ^ { 2 } g ( x ) \mathrm { d } x \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { \arcsin ( z ) \ \ } & { { } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } & { } & { { } z } & { } & { { } 1 } & { } & { { } - i \ln \left( { \frac { { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + z i } { 1 } } \right) } & { } & { { } = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + z i \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } + z i \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( z ) \ \ } & { { } z } & { } & { { } { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } & { } & { { } 1 } & { } & { { } - i \ln \left( { \frac { z + i { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } } { 1 } } \right) } & { } & { { } = - i \ln \left( z + { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( z + { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \right) \right) } \\ { \arctan ( z ) \ \ } & { { } 1 } & { } & { { } z } & { } & { { } { \sqrt { 1 + z ^ { 2 } } } } & { } & { { } i \ln \left( { \frac { \sqrt { 1 + z ^ { 2 } } } { 1 + z i } } \right) } & { } & { { } = { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { i + z } { i - z } } \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( 1 + z i \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( z ) \ \ } & { { } z } & { } & { { } 1 } & { } & { { } { \sqrt { z ^ { 2 } + 1 } } } & { } & { { } i \ln \left( { \frac { \sqrt { z ^ { 2 } + 1 } } { z + i } } \right) } & { } & { { } = { \frac { i } { 2 } } \ln \left( { \frac { z - i } { z + i } } \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( z + i \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c s e c } ( z ) \ \ } & { { } 1 } & { } & { { } { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } & { } & { { } z } & { } & { { } - i \ln \left( { \frac { 1 + i { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } { z } } \right) } & { } & { { } = - i \ln \left( { \frac { 1 } { z } } + { \sqrt { { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } - 1 } } \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( 1 + { \sqrt { 1 - z ^ { 2 } } } \right) \right) } \\ { \operatorname { a r c c s c } ( z ) \ \ } & { { } { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } & { } & { { } 1 } & { } & { { } z } & { } & { { } - i \ln \left( { \frac { { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } + i } { z } } \right) } & { } & { { } = - i \ln \left( { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } } } + { \frac { i } { z } } \right) } & { } & { { } \operatorname { I m } \left( \ln \left( { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } + i \right) \right) } \end{array}
\frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } = 2 \cdot \frac { \operatorname* { m a x } _ { m , m ^ { \prime } } \mathrm { d i s c } \left( \mathcal { P } _ { m } , \mathcal { P } _ { m ^ { \prime } } \right) + 2 \cdot \sqrt { 1 + \log \left( \frac { N } { \mathrm { V C d i m } \left( \mathcal { H } \right) } \right) } \cdot \sqrt { \frac { \mathrm { V C d i m } \left( \mathcal { H } \right) } { N } } } { \sigma _ { 0 } \sqrt { M - M _ { \mathrm { h i s t } } } \cdot \left( D + \frac { 2 } { \sqrt { T } } \right) } .
- { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \hat { 0 } } ^ { + a b } \sigma _ { a b } \epsilon _ { I } = \gamma ^ { i } ( - { \textstyle \frac { i } { 4 } } e ^ { 3 \phi } \partial _ { \hat { \imath } } \overline { { { \lambda } } } \gamma ^ { 0 } \epsilon _ { I } ) \, .
T r \gamma _ { 5 } f ( ( \gamma _ { 5 } D ) ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) = n _ { + } - n _ { - } + \sum _ { \lambda _ { n } \neq 0 } \frac { a } { 2 } \lambda _ { n } f ( \lambda _ { n } ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) \neq 0
\begin{array} { r l r } { \lambda } & { { } = } & { - 1 \pm \sqrt { A _ { - } ^ { 2 } - B _ { - } C _ { - } } } \\ { \lambda } & { { } = } & { - 1 \pm \sqrt { ( A _ { + } + 4 U _ { + } V _ { + } ) ^ { 2 } - ( B _ { + } - 4 V _ { + } ^ { 2 } ) ( C _ { + } - 4 U _ { + } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H \star W = { } } & { { } \left( { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } + { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } \right) \star W } \\ { = { } } & { { } \left( { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \left( x + { \frac { i \hbar } { 2 } } { \stackrel { \rightarrow } { \partial } } _ { p } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 m } } \left( p - { \frac { i \hbar } { 2 } } { \stackrel { \rightarrow } { \partial } } _ { x } \right) ^ { 2 } \right) ~ W } \\ { = { } } & { { } \left( { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } } { \stackrel { \rightarrow } { \partial } } _ { p } ^ { 2 } \right) + { \frac { 1 } { 2 m } } \left( p ^ { 2 } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } } { \stackrel { \rightarrow } { \partial } } _ { x } ^ { 2 } \right) \right) ~ W } \\ { = { } } & { { } E \cdot W . } \end{array}
T = \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - r } \\ { r } & { t ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - i k _ { 0 } d } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i k _ { 0 } d } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - r } \\ { r } & { t ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \end{array} \right] .
( \mu \nu | \kappa \lambda ) _ { \mathrm { ~ L ~ R ~ } } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { n } \frac { w _ { n } } { | \mathbf { G } _ { n } | ^ { 2 } } \rho _ { \mu \nu } ( \mathbf { G } _ { n } ) \rho _ { \lambda \kappa } ( \mathbf { G } _ { n } ) ^ { * }
\begin{array} { r l } & { \int _ { J _ { u _ { n } } } [ \phi ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } \geq \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { + } \cap \tilde { J } _ { n } ^ { - } } [ \phi ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { + } \Delta \tilde { J } _ { n } ^ { - } } [ \phi ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \geq \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { + } \cap \tilde { J } _ { n } ^ { - } } [ \phi ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { + } \setminus \tilde { J } _ { n } ^ { - } } \phi ( u _ { n } ^ { + } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { - } \setminus \tilde { J } _ { n } ^ { + } } \phi ( u _ { n } ^ { - } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \geq \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { + } } \phi ( u _ { n } ^ { + } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \int _ { \tilde { J } _ { n } ^ { - } } \phi ( u _ { n } ^ { - } ) \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \geq [ \phi ( u ^ { + } ) - \tilde { \eta } _ { n } ] { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \tilde { J } _ { n } ^ { + } ) + [ \phi ( u ^ { - } ) - \tilde { \eta } _ { n } ] { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \tilde { J } _ { n } ^ { - } ) } \end{array}
\langle \hat { A } \rangle _ { k } \approx \frac { \langle \Psi _ { T } | \, e ^ { - ( m - { \overline { n } } ) \tau \hat { H } } \, \hat { A } \, e ^ { - { \overline { n } } \tau \hat { H } } \, | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } { \langle \Psi _ { T } | \, e ^ { - m \tau \hat { H } } \, | \phi _ { k } ^ { n } \rangle } \, ,
\begin{array} { r } { B _ { 1 } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 q ^ { 2 } } [ A ( m _ { 1 } ) - A ( m _ { 2 } ) + ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) B _ { 0 } ( q ^ { 2 } ; m _ { 1 } , m _ { 2 } ) ] , } \end{array}
- { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \; \left( 1 - { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) { \frac { d } { d r } } \left( r ( r - r _ { 0 } ) \; { \frac { d R _ { \ell } } { d r } } \right) + { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { r ^ { 2 } } } \; \left( 1 - { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) \; R _ { \ell } = k ^ { 2 } \; R _ { \ell }
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } | u | ^ { r + 1 } - C _ { 2 } \leq q ( u ) } & { \leq } & { C _ { 3 } | u | ^ { r + 1 } + C _ { 4 } , } \\ { | q ^ { \prime } ( u ) | } & { \leq } & { C _ { 5 } | u | ^ { r } + C _ { 6 } , } \\ { C _ { t } | u | ^ { r - 1 } - C _ { 8 } } & { \leq } & { q ^ { \prime \prime } ( u ) \leq C _ { 9 } | u | ^ { r - 1 } + C _ { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { b } = \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { d } { 2 } } \frac { 1 } { 2 } m _ { p } \overline { { v _ { t } ^ { 2 } } } f ( r ) r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { d } { 2 } } f ( r ) r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u ( t , x ) = \Delta u ( t , x ) + f ( u ( t , x ) ) + \xi ( t , x ) , \, ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times \Lambda } \\ { u ( 0 , x ) = u ( x ) , \quad x \in \Lambda } \\ { \frac { \partial u } { \partial \textbf { n } } ( t , x ) = 0 , \quad ( t , x ) \in ( 0 , T ] \times \partial \Lambda } \end{array} \right.
U _ { v } = e ^ { i \chi _ { v } } \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - i \alpha _ { v } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \alpha _ { v } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { { \cos \theta _ { v } } } & { { \sin \theta _ { v } } } \\ { { - \sin \theta _ { v } } } & { { \cos \theta _ { v } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - i \beta _ { v } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \beta _ { v } } } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { { 9 } { \frac { \pi } { 2 } } ~ } & { = ~ \arcsin ( x ) } & & { + \operatorname { a r c c o s } ( x ) ~ } & & { = ~ \arctan ( r ) } & & { + \operatorname { a r c c o t } ( r ) ~ } & & { = ~ \operatorname { a r c s e c } ( s ) } & & { + \operatorname { a r c c s c } ( s ) } \\ { \pi ~ } & { = ~ \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & & { + \operatorname { a r c c o s } ( - x ) ~ } & & { = ~ \operatorname { a r c c o t } ( r ) } & & { + \operatorname { a r c c o t } ( - r ) ~ } & & { = ~ \operatorname { a r c s e c } ( s ) } & & { + \operatorname { a r c s e c } ( - s ) } \\ { 0 ~ } & { = ~ \arcsin ( x ) } & & { + \arcsin ( - x ) ~ } & & { = ~ \arctan ( r ) } & & { + \arctan ( - r ) ~ } & & { = ~ \operatorname { a r c c s c } ( s ) } & & { + \operatorname { a r c c s c } ( - s ) } \end{array} }