harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \exp ( - i \mathcal { H } \Delta t / \hbar ) \approx \exp ( - i \Delta t \mathcal { V } ( \vec { r } \prime ) / ( 2 \hbar ) ) \exp ( - i \Delta t \mathcal { \hat { K } } / \hbar ) \exp ( - i \Delta t \mathcal { V } ( \vec { r } \prime ) / ( 2 \hbar ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { { } = \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle \exp \left( - \frac { 2 ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) + \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( ( 1 - \theta ) \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \Delta ^ { \acute { n } } F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } } & { = { \frac { \sum _ { I = 0 } ^ { \acute { N } } { \binom { - 1 } { { \acute { N } } - I } } { \binom { \acute { N } } { I } } F ( P _ { 0 } + I \Delta _ { 1 } P ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } ; } \\ & { { \frac { \nabla ^ { \acute { n } } F ( P _ { \acute { n } } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } } \\ & { = { \frac { \sum _ { I = 0 } ^ { \acute { N } } { \binom { - 1 } { I } } { \binom { \acute { N } } { I } } F ( P _ { \acute { n } } - I \Delta _ { 1 } P ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { \acute { n } } } } ; } \end{array} }
{ \Omega } _ { \phi } = a { \frac { { \Xi } _ { a } } { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } , \quad { \Omega } _ { \psi } = b { \frac { { \Xi } _ { b } } { r _ { + } ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \ .
G _ { I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } } ^ { ( k ) } = \langle \Psi _ { I _ { 1 } } \cdots \Psi _ { I _ { k } } \rangle , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ I _ { 1 } , \cdots , I _ { k } = X , 1 , 2 , \cdots ,
\begin{array} { r l } { \Xi = } & { { } \xi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \delta + \xi _ { 2 } \cos ^ { 2 } \delta , } \\ { \Psi = } & { { } \psi _ { 1 } \sin ^ { 2 } \delta + \psi _ { 2 } \cos ^ { 2 } \delta , } \\ { \Phi = } & { { } \frac { 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } - 2 \xi _ { 2 } + \psi _ { 2 } } { 2 \sqrt { \frac { 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } } { \sin ^ { 2 } \delta } + \frac { 2 \xi _ { 2 } - \psi _ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \delta } } } , } \\ { B = } & { { } \frac { m } { \pi \hbar } \sqrt { \frac { \pi \tilde { \omega } _ { 1 } \tilde { \omega } _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \hbar \tilde { \omega } _ { 1 } \beta / 2 ) \operatorname { t a n h } ( \hbar \tilde { \omega } _ { 2 } \beta / 2 ) } { ( 2 \xi _ { 1 } - \psi _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } \delta + ( 2 \xi _ { 2 } - \psi _ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \delta } } } \end{array}
N _ { \kappa } ( \gamma ) = n _ { \kappa } \gamma \sqrt { \gamma ^ { 2 } - 1 } \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { \kappa T _ { \kappa } / m c ^ { 2 } } \right) ^ { - ( 1 + \kappa ) } f _ { c u t } ( \gamma ) .
\begin{array} { r } { \sqrt { \alpha _ { \mathrm { s } } } \approx \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \phi = 0 } ^ { \pi } \int _ { \beta = - 2 \pi / 6 } ^ { + 2 \pi / 6 } \int _ { \gamma = - \pi / 2 } ^ { + \pi / 2 } \; p \; \nu \; \sin \phi \; \cos \gamma \; \mathrm { d } \gamma \; \mathrm { d } \beta \; \mathrm { d } \phi \; \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { \mu , j } = \frac { \eta } { \eta _ { \mu , j } } = \frac { C _ { 2 } ( c _ { j } + C _ { 3 } / n ) \varepsilon } { 1 5 C _ { 1 } ( \log n ) \big ( \log \frac { n } { \varepsilon } \big ) } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \tau _ { p , i } = \frac { \eta } { \eta _ { p , i } } = \frac { C _ { 2 } r _ { i } \varepsilon } { \log n } , \qquad \forall 1 \leq i , j \leq n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { i } _ { z } | i m \rangle } & { = m | i m \rangle , } \\ { \hat { i } _ { + 1 } | i m \rangle } & { = - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( i - m ) ( i + m + 1 ) } \ | i , m + 1 \rangle , } \\ { \hat { i } _ { - 1 } | i m \rangle } & { = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( i + m ) ( i - m + 1 ) } \ | i , m - 1 \rangle . } \end{array}
c ^ { n + 1 } = c ^ { n } - 1 . 5 \frac { \tau } { h _ { x } h _ { y } } \int _ { \partial E } ( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { v } ) c | _ { t _ { n } } \ d l + 0 . 5 \frac { \tau } { h _ { x } h _ { y } } \int _ { \partial E } ( \boldsymbol { n } \cdot \boldsymbol { v } ) c | _ { t _ { n - 1 } } \ d l .
\begin{array} { r l } { A _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F ) } & { : = \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \bar { F } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F ) d \xi , \quad F \in S ^ { \gamma , 2 } ( S ^ { 2 n + 1 } ) , } \\ { B _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F ) } & { : = \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F | ^ { p } d \xi , \quad p = \frac { 2 Q } { Q - 2 \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 5 } ( r , \theta , t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } } & { { } \Big [ C _ { n , \alpha } ( t ) \Psi _ { n , \alpha } ^ { 1 } ( r , \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { f } ( \omega , | \phi | ^ { 2 } ) } & { = \beta _ { 0 } + i \beta _ { 1 } \frac { \partial } { \partial t } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \\ & { + \left( \frac { \partial \beta _ { f } } { \partial ( | \phi | ^ { 2 } ) } \right) _ { 0 } | \phi | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \mathbf { A } } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \nabla \times \nabla \times \mathbf { A } } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } } \\ { \varepsilon \nabla f } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { f } _ { 1 } } \\ { \varepsilon } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { U } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \gamma , A r ^ { \textnormal { 3 r d } } } = ( 1 - f _ { C F _ { 4 } } ) \cdot P _ { A r ^ { 3 r d } } \cdot \left( \frac { 1 / \tau _ { 3 r d } } { 1 / \tau _ { 3 r d } + f _ { C F _ { 4 } } \cdot n \cdot ( K _ { A r ^ { 3 r d } - > C F _ { 4 } ^ { + * } } + K _ { A r ^ { 3 r d } - > A r } ) } \right) } \end{array}
\mathbf { V } _ { \mathrm { k r l v } } = [ \ensuremath \boldsymbol { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { k r l v } } , \ensuremath \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \mathrm { k r l v } } , \cdots , \ensuremath \boldsymbol { v } _ { k - 1 } ^ { \mathrm { k r l v } } ]
\begin{array} { r } { | \{ D v _ { I + \ell + 4 } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + 4 } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + 4 } } ^ { 2 } \} | > \frac { t _ { \ell + 3 } } { t _ { \ell + 4 } } \varepsilon _ { \tilde { U } } | \tilde { U } | ; } \\ { | \{ D v _ { I + \ell + 4 } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + 4 } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + 4 } } ^ { 2 } \} | > \frac { t _ { \ell + 3 } } { t _ { \ell + 4 } } \varepsilon _ { \tilde { U } } ^ { \prime } | \tilde { U } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { ( n + 1 ) } } & { = \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { ( n ) } + \tau \, \sum _ { j = 1 , 2 } \left( \beta _ { - , j } \, \bar { f } _ { j , - } ^ { 0 , ( n + 1 ) } - \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { ( n + 1 ) } ) \, g _ { + } ( \bar { f } _ { + , j } ^ { 0 , ( n + 1 ) } , \bar { f } _ { - , j } ^ { 0 , ( n + 1 ) } ) \right) } \\ & { \quad + \tau \, \gamma _ { \mathrm { p r o d } } ^ { ( n ) } , } \\ { \Lambda _ { j } ^ { ( n + 1 ) } } & { = \Lambda _ { j } ^ { ( n ) } + \tau \, \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ^ { ( n + 1 ) } ) \, \bar { f } _ { + , j } ^ { n _ { e } , ( n + 1 ) } } \\ & { \quad - \tau \, \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ^ { ( n + 1 ) } ) \, g _ { - , j } ( \bar { f } _ { + , j } ^ { n _ { e } , ( n + 1 ) } , \bar { f } _ { - , j } ^ { n _ { e } , ( n + 1 ) } ) - \tau \, c _ { j } \, h _ { j } ( \Lambda _ { j } ^ { ( n ) } , L _ { j } ^ { ( n ) } ) , } \\ { L _ { j } ^ { ( n + 1 ) } } & { = L _ { j } ^ { ( n ) } + \tau \, h _ { j } ( \Lambda _ { j } ^ { ( n + 1 ) } , L _ { j } ^ { ( n + 1 ) } ) , \qquad j = 1 , 2 . } \end{array}
\Delta f = \left( \frac { a } { r } \right) \, \left[ \sin f \, \left( 1 + \frac { r } { p } \right) \, \Delta e + \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } \, \left( \frac { a } { r } \right) \right] \, \Delta \mathcal { M } ,
\delta _ { R M S } = \frac { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } ( U _ { i } - U _ { R e f _ { i } } ) ^ { 2 } + ( V _ { i } - V _ { R e f _ { i } } ) ^ { 2 } } { N _ { t } } } } { U _ { \infty } } ,
\pi = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 1 6 ^ { k } } } \left( { \frac { 4 } { 8 k + 1 } } - { \frac { 2 } { 8 k + 4 } } - { \frac { 1 } { 8 k + 5 } } - { \frac { 1 } { 8 k + 6 } } \right) .
\begin{array} { r l } { X ( t ) } & { { } = x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } d s \; f ( X ( s ) , s ; \theta ) + \int _ { 0 } ^ { t } d B ( s ) \; \sigma , } \\ { \hat { X } ( t ) } & { { } = x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } d s \; f ( \hat { X } ( s ) , s ; \theta ) + \int _ { 0 } ^ { t } d B ( s ) \; \hat { \sigma } . } \end{array}
F _ { f } ( x ) : = { \sum _ { n \leq x } } ^ { \prime } f ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { n \leq [ x ] } f ( n ) , } & { x \in \mathbb { R } ^ { + } \setminus \mathbb { Z } ; } \\ { \sum _ { n \leq x } f ( n ) - { \frac { f ( x ) } { 2 } } , } & { x \in \mathbb { R } ^ { + } \cap \mathbb { Z } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \ell _ { s } ( \omega ) } } & { { } = \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } | \Delta \epsilon | ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 4 \pi } C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } } \\ { p ( \boldsymbol { \mathbf { u } } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \omega ) } & { { } = C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \left[ \int _ { 4 \pi } C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { n } ^ { [ s ] } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ s ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { 1 , j } ^ { [ s ] } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ s ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { \ell , j } ^ { [ s ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left( t \right) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } \, \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \, \mathrm { e } ^ { - i \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) t } \, \bigg ( \left[ G ^ { * } ( \omega ^ { \prime } ) H ^ { * } ( \omega ^ { \prime } ) - 1 \right] \left[ G ( \omega ) H ( \omega ) - 1 \right] \left\langle X ( \omega ) X ^ { * } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { E , X } { E } ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { { } } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ ~ ~ } \left( { } ^ { 2 } K - E \, I ^ { 2 } \right) - { } ^ { 2 } B } & { { } = 0 } \\ { \sum _ { i } { { } ^ { p } B _ { i } [ X ] } - { } ^ { 2 } B \wedge I ^ { p - 2 } } & { { } = 0 } \end{array}
y _ { t } = f _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } ) + v _ { ( i ) , t } \mathrm { ~ w h e r e ~ } \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } = [ \delta _ { ( i ) } ^ { \ast \prime } , \theta _ { i } ^ { \ast } ] ^ { \prime } \mathrm { ~ u n i q u e l y ~ s a t i s f y ~ } E \left[ v _ { ( i ) , t } g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } ) \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } [ 1 ^ { \prime } \{ G > a \} f ( G ) ] } & { = \intop _ { - \infty } ^ { \infty } 1 ^ { \prime } \{ g > a \} f ( g ) \frac { e ^ { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } d g } \\ & { = \left[ 1 \{ g > a \} f ( g ) \frac { e ^ { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] _ { - \infty } ^ { \infty } - \intop _ { - \infty } ^ { \infty } 1 \{ g > a \} \frac { d } { d g } \left( f ( g ) \frac { e ^ { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } \right) d g . } \end{array}
\underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { y _ { 1 1 } } & { y _ { 1 2 } } & { \cdots } & { y _ { 1 q } } \\ { y _ { 2 1 } } & { y _ { 2 2 } } & { \cdots } & { y _ { 2 q } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { y _ { n 1 } } & { y _ { n 2 } } & { \cdots } & { y _ { n q } } \end{array} \right] } _ { Y } = \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { x _ { 1 1 } } & { x _ { 1 2 } } & { \cdots } & { x _ { 1 p } } \\ { x _ { 2 1 } } & { x _ { 2 2 } } & { \cdots } & { x _ { 2 p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { n 1 } } & { x _ { n 2 } } & { \cdots } & { x _ { n p } } \end{array} \right] } _ { X } \times \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c c } { \beta _ { 1 1 } } & { \beta _ { 1 2 } } & { \cdots } & { \beta _ { 1 q } } \\ { \beta _ { 2 1 } } & { \beta _ { 2 2 } } & { \cdots } & { \beta _ { 2 q } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \beta _ { p 1 } } & { \beta _ { p 2 } } & { \cdots } & { \beta _ { p q } } \end{array} \right] } _ { B }
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } { a _ { 1 } \mu _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } + c _ { 2 } q _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { K q _ { 1 } ( \mu _ { 2 } ( c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } ) - \mu _ { 1 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ) } { m _ { 1 } ( K ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) - \mu _ { 2 } ) } } & { = } & { 0 . 1 4 2 6 5 6 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { 1 } = ( k _ { C } - 1 ) ( 1 - \beta ) \left[ ( \beta ( 1 - f ) + ( 1 - \beta ) ) ^ { k _ { C } - 2 } - ( \beta ( 1 - \beta ) ( 1 - f ) + ( 1 - \beta ) ) ^ { k _ { C } - 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \biggr \{ \lambda : } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Psi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) \leq 1 \biggr \} } \\ & { \subset \biggr \{ \lambda : \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) \leq 1 \biggr \} . } \end{array}
\langle { u ^ { \prime } { } ^ { i } u ^ { \prime } { } ^ { j } - b ^ { \prime } { } ^ { i } b ^ { \prime } { } ^ { j } } \rangle _ { \mathrm { { D } } } = - \nu _ { \mathrm { { K } } } { \cal { S } } ^ { i j } + \nu _ { \mathrm { { M } } } { \cal { M } } ^ { i j } + [ \Gamma ^ { i } \Omega _ { \ast } ^ { j } + \Gamma ^ { j } \Omega _ { \ast } ^ { i } ] _ { \mathrm { { D } } } ,
F = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { e } { m } \right) ^ { 3 } \frac { E _ { m w 0 } ^ { 3 } ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } ( \omega _ { m w } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } ) ( \omega _ { c } ^ { 2 } - 9 \omega _ { m w } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l r l r } { { 1 1 } \underline { { q ^ { 0 } } } } & { : = } & { \displaystyle \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n } q ^ { i } , \quad \underline { { \beta ^ { 0 } } } } & { : = } & { \displaystyle \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq n } \beta ^ { i } , } \\ { \overline { { q } } } & { : = } & { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \| q ^ { i } \| _ { \infty } , \quad \overline { { \beta } } } & { : = } & { \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \| \beta ^ { i } \| _ { \infty } , } \end{array}
e ^ { 2 \Phi ^ { \prime } } = 1 + { \frac { ( P _ { 1 } + P _ { 2 } - Q _ { 1 } - Q _ { 2 } ) } { 2 r } } + { \cal O } ( r ^ { - 2 } ) , \ \ \ \ \ \Psi = { \frac { q ( P _ { 2 } - P _ { 1 } ) } { 2 r ^ { 2 } } } + { \cal O } ( r ^ { - 3 } ) ,
\dot { u } _ { j } = - u _ { j } ( u _ { j + 1 } - u _ { j - 1 } ) + \nu ( u _ { j + 1 } - 2 u _ { j } + u _ { j - 1 } ) \equiv \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } B _ { j , k } ( u _ { j } ) u _ { j + k } \equiv f _ { j } ( u ) ,
M _ { u } = \lambda _ { t } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { c \; \epsilon ^ { 3 } \; e ^ { i \phi } } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { c } / \lambda _ { t } } } & { { 0 } } \\ { { c \; \epsilon ^ { 3 } \; e ^ { - i \phi } } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \; \; M _ { d } = \lambda _ { b } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { a \; \epsilon ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { a \; \epsilon ^ { 3 } } } & { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { b \; \epsilon ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { b \; \epsilon ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\tilde { \vec { y } } ^ { k } \, = \, \mathbf { U } \vec { y } ^ { k } \, = \, \mathbf { U } \mathcal { F } ( \mathbf { S } ^ { k } \vec { x } ) \, + \, \tilde { \vec { e } } ^ { k } , \quad k \, = \, 1 , \, 2 , \, \cdots , \, n _ { c } ,
\delta \phi _ { a } \simeq \frac { H } { 2 \pi } \simeq \frac { \sqrt { \lambda } \chi ^ { 2 } } { \sqrt { 6 \pi } M _ { p } } \simeq \frac { 8 \sqrt { 2 } \sqrt { \lambda } M _ { p } } { \sqrt { 3 \pi } } ,
{ \hat { \theta } } _ { \mathrm { B A Y E S } } = { \frac { n + 1 } { n } } \left[ 1 - { \frac { { \frac { X _ { ( 1 ) } ( 1 + k ) } { X _ { ( n ) } ( 1 - k ) } } - 1 } { \left( { \frac { X _ { ( 1 ) } ( 1 + k ) } { X _ { ( n ) } ( 1 - k ) } } \right) ^ { n + 1 } - 1 } } \right] { \frac { X _ { ( n ) } } { 1 + k } }
\begin{array} { r } { \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \leq \| \hat { { \mathbf { V } } } ^ { - 1 } \| ^ { 2 } \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } { \mathbf { z } } ^ { \star } \| ^ { 2 } \leq \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { \star } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { m } } & { { } = \frac { | \int E _ { m } ^ { * } E _ { f } d A | ^ { 2 } } { \int E _ { f } ^ { * } E _ { f } d A \int E _ { m } ^ { * } E _ { m } d A } ( 1 - \epsilon _ { \mathrm { s i n g l e } } ) ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { c } } & { { } = \frac { | \int E _ { c } ^ { * } E _ { f } d A | ^ { 2 } } { \int E _ { f } ^ { * } E _ { f } d A \int E _ { c } ^ { * } E _ { c } d A } ( 1 - \epsilon _ { \mathrm { s i n g l e } } ) } \end{array}
\begin{array} { c } { F _ { 1 } ^ { n } } \\ { n F _ { 1 } ^ { n - 1 } F _ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } n F _ { 1 } ^ { n - 2 } \left( ( n - 1 ) F _ { 2 } ^ { 2 } + 2 F _ { 1 } F _ { 3 } \right) } \\ { \frac { 1 } { 6 } n F _ { 1 } ^ { n - 3 } \left( \left( 2 - 3 n + n ^ { 2 } \right) F _ { 2 } ^ { 3 } + 6 ( n - 1 ) F _ { 1 } F _ { 2 } F _ { 3 } + 6 F _ { 1 } ^ { 2 } F _ { 4 } \right) } \end{array}
V = B \cdot h = \left( \left| \mathbf { a } \right| \left| \mathbf { b } \right| \sin \gamma \right) \cdot \left| \mathbf { c } \right| \left| \cos \theta \right| = \left| \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right| \left| \mathbf { c } \right| \left| \cos \theta \right| = \left| \left( \mathbf { a } \times \mathbf { b } \right) \cdot \mathbf { c } \right| .
{ \left| \begin{array} { l l l } { 6 } & { 2 4 } & { 1 } \\ { 1 3 } & { 1 6 } & { 1 0 } \\ { 2 0 } & { 1 7 } & { 1 5 } \end{array} \right| } \equiv 6 ( 1 6 \cdot 1 5 - 1 0 \cdot 1 7 ) - 2 4 ( 1 3 \cdot 1 5 - 1 0 \cdot 2 0 ) + 1 ( 1 3 \cdot 1 7 - 1 6 \cdot 2 0 ) \equiv 4 4 1 \equiv 2 5 { \pmod { 2 6 } }
\left( g _ { 1 L } ^ { ( \pm ) } \right) _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } = \frac { 8 } { 3 } I _ { 3 } ( \tau ^ { 3 } ) _ { t _ { 2 } t _ { 1 } } M N _ { c } V _ { 3 } ^ { ( \pm ) } = O ( N _ { c } ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp { [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] } d \tau = \prod _ { j = 1 } ^ { r } \int _ { \mathbb { R } _ { + } } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp { [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] } d \tau _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } ( \underline { { S } } ^ { D } \underline { { \sigma } } - \underline { { g } } ^ { T } \vec { D } ) : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \delta \sigma \rangle } & { = \ 0 , } \\ { - \int _ { \Omega } ( \underline { { g } } \underline { { \sigma } } + ( \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } ) ^ { - 1 } \vec { D } ) \cdot \delta \vec { D } \, d \Omega - \int _ { \Omega } \phi \cdot \delta \operatorname { d i v } \vec { D } \, d \Omega } & { = \ - \int _ { \Gamma _ { 3 } } \phi _ { 0 } \, \delta D _ { n } \, d \Gamma , } \\ { \langle \delta \underline { { \epsilon } } , \underline { { \sigma } } \rangle } & { = \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \cdot \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma , } \\ { - \int _ { \Omega } \operatorname { d i v } \vec { D } \, \delta \phi \, d \Omega } & { = \ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + P ( \rho , \j ) \ \mathbf { I } + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho } \ \j \otimes \j \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \eta } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \eta \mathbf { u } + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho } \j \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \j } { \partial t } } & & { + \nabla \left( \j \cdot \mathbf { u } + \theta ( \rho , \eta ) \right) + \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } - \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } \right) \mathbf { u } + \frac { \rho } { \varkappa } a _ { c } \nabla \wedge \boldsymbol { \psi } = 0 , } \\ & { \frac { \partial \boldsymbol { \psi } } { \partial t } } & & { + \frac { \partial \boldsymbol { \psi } } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { u } - \frac { \varkappa } { \rho } a _ { c } \nabla \wedge \j = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf T ^ { 3 } } \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { - , i n } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma _ { i n } ^ { \varepsilon } } e ^ { \beta _ { i n } \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } } ) d x d \xi + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \phi _ { i n } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } - | \nabla _ { x } \psi _ { i n } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } d x \right| } \\ & { \quad \lesssim \sqrt { \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 , i n } } + \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 , i n } } \\ & { \quad \lesssim C _ { M } ( \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b ( x , \Gamma ) = \left[ 1 - f ( x ) \right] b _ { \mathrm { s } } ( x , \Gamma ) + f ( x ) b _ { \mathrm { i } } ( x , \Gamma ) \, , } \\ & { b _ { \mathrm { s } } ( x , \Gamma ) = s _ { 0 } ( \Gamma ) + \textstyle \sum _ { i = 2 } ^ { 5 } s _ { i } ( \Gamma ) x ^ { i } \, , } \\ & { b _ { \mathrm { i } } ( x , \Gamma ) = l _ { 0 } ( \Gamma ) \Gamma ^ { 5 / 6 } \exp { \left[ - l _ { 1 } ( \Gamma ) ( x - 1 . 4 4 ) - 0 . 3 x ^ { 2 } \right] } \times } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left\{ \cos { \left[ l _ { 2 } ( \Gamma ) ( x - 1 . 4 4 ) \right] } + l _ { 3 } ( \Gamma ) \exp { \left[ - 3 . 5 ( x - 1 . 4 4 ) \right] } \right\} , } \\ & { f ( x ) = 0 . 5 \left\{ 1 + \mathrm { e r f } \left[ 5 . 0 \left( x - 1 . 5 \right) \right] \right\} \, , } \\ & { s _ { i } ( \Gamma ) = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } s _ { i } ^ { j } \Gamma ( \ln { \Gamma } ) ^ { j } \, , \, \, \, l _ { i } ( \Gamma ) = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { 4 } l _ { i } ^ { j } \Gamma ^ { 1 / 6 } ( \ln { \Gamma } ) ^ { j } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 4 \mu ( 1 - \mu ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x \sin { t } - y \cos { t } ) \left( \rho _ { 1 } ^ { - 3 } - \rho _ { 2 } ^ { - 3 } \right) , } \\ { g _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { \frac { - 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \end{array}