harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 } } & { = - \frac { \eta } { \psi } } \\ { C _ { 1 2 } } & { = { \frac { - { \eta } ^ { 2 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 1 3 } } & { = 0 } \\ { C _ { 2 1 } } & { = { \frac { - { \eta } ^ { 2 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 2 2 } } & { = \frac { \left( 4 \, \left( \eta + 1 \right) ^ { 2 } \psi ^ { 3 } - \left( 6 \eta ^ { 2 } + 8 \eta \right) \psi ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } + 8 \eta + 2 \right) \psi + 3 \eta ^ { 4 } + 6 \eta ^ { 3 } \right) { \eta } ^ { 3 } } { 3 \left( \left( - 2 \eta - 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) \psi \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) \psi - 4 \eta ^ { 2 } \right) } } \\ { C _ { 2 3 } } & { = \frac { \left( \left( - 4 \eta - 6 \right) \psi + \eta ^ { 2 } + 6 \eta \right) \eta ^ { 5 } } { 3 ( ( - 2 \eta - 2 ) \psi + \eta ^ { 2 } + 2 \eta ) ( ( 2 \eta + 2 ) \psi ^ { 2 } + ( \eta ^ { 2 } + 2 \eta ) \psi - 4 \eta ^ { 2 } ) } } \\ { C _ { 3 1 } } & { = { \frac { { \eta } ^ { 3 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 3 2 } } & { = { \frac { \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + \eta \right) \psi - 3 \eta ^ { 2 } \right) { \eta } ^ { 4 } } { 3 \psi \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + 2 \, \eta \right) \psi - 4 \eta ^ { 2 } \right) } } } \\ { C _ { 3 3 } } & { = - { \frac { { \eta } ^ { 6 } } { \left( 6 \, \eta + 6 \right) \psi ^ { 2 } + \left( 3 \eta ^ { 2 } + 6 \eta \right) \psi - 1 2 \eta ^ { 2 } } } } \end{array}
\bar { \sigma } _ { d e v } ( t ) = 2 \left[ \frac { G _ { \alpha } } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - \tau ) ^ { - \alpha } \dot { e } ( \tau ) d \tau \right] = 2 G _ { \alpha } D _ { t } ^ { \alpha } e ( t )
\mathcal { L } _ { s } ( \boldsymbol { \theta } _ { 1 } , \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 0 } ^ { N - 1 } \lVert \mathbf { w } ^ { t + 1 } - \mathbf { w } _ { d } ^ { t + 1 } \rVert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \tilde { P } _ { e } \left( m \right) } & { \approx \left. \tilde { P } _ { e } \left( m \right) \right| _ { \rho _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { N E _ { s } } { 2 } + \frac { N _ { 0 } } { 2 } } , \ M = 1 6 , } \\ { \tilde { P } _ { e } \left( m \right) } & { \lesssim \left. \tilde { P } _ { e } \left( m \right) \right| _ { \rho _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { N E _ { s } } { 2 } \epsilon _ { M } + \frac { N _ { 0 } } { 2 } } , \ M > 1 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } = } & { } & { - \left[ k _ { o } J _ { \ell } ^ { \prime \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial \Gamma _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \right. } \\ & { } & { \left. - k _ { o } \Gamma _ { n \ell } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \right] \bigg / \left[ { H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \right] } \\ & { } & { + { \left[ k _ { o } H _ { \ell } ^ { \prime \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial \Gamma _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } H _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - k _ { o } \Gamma _ { n \ell } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \right. } } \\ & { } & { \times H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \bigg ] \bigg / { \frac { \left( H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \right) ^ { 2 } } { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } } } \\ { \frac { \partial \Gamma _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } = } & { } & { \xi _ { n } \frac { k _ { n } ^ { 2 } } { k _ { o } } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \left[ \frac { J _ { \ell } ^ { \prime \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } - \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) ^ { 2 } } { J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial t } + \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \left\{ m { v } _ { g y , \parallel } - \varepsilon _ { \delta } \frac { e } { c } \left< A _ { 1 \parallel } \right> \right\} \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F
g ( x , y ) = \frac { e ^ { i k z } } { i \lambda z } \exp \left[ \frac { i \pi } { \lambda z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \right] \textbf { \textit { F T } } \left[ o ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \exp \left[ \frac { i \pi } { \lambda z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) \right] \right] ,
\begin{array} { r l r l } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { j } \int _ { \Omega } \phi | v _ { j } | d \mu = } & { \int _ { \Omega } \langle \nu _ { x } , | \cdot | \rangle \phi d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi d \lambda _ { \nu } } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { j } \int _ { \Omega } \phi \left| \frac { v _ { j } } { a } \right| a d \mu = } & { \int _ { \Omega } \langle \eta _ { x } , \frac { | \cdot | } { a ( x ) } \rangle \phi a ( x ) d \mu + \int _ { \overline { { \Omega } } } \phi d \lambda _ { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 2 } ^ { \prime \prime } \approx } & { { } \frac { x _ { 1 } \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa \theta \beta ^ { 2 } } \left( \sin ^ { 2 } \vartheta _ { c } + \frac { \theta } { \kappa } \sin ^ { 2 } \vartheta _ { w } - 2 \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \cos \vartheta _ { c w } \right) \Bigg [ \frac { \overline { { \alpha } } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \vartheta _ { c } } \end{array}
\delta = \theta _ { 0 } + \theta _ { 2 } = \theta _ { 0 } + { \mathrm { a r c s i n } } { \Big ( } n \, \sin { \Big [ } \alpha - { \mathrm { a r c s i n } } { \Big ( } { \frac { 1 } { n } } \, \sin \theta _ { 0 } { \Big ) } { \Big ] } { \Big ) } - \alpha
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { 1 } } & { { } \approx } & { \Delta _ { 2 } \approx \Delta , } \\ { \left\vert \Delta \right\vert } & { { } \gg } & { M a x \left\{ \left\vert \tilde { \delta } \right\vert , \tau ^ { - 1 } , \left\vert \dot { \phi } _ { i } \right\vert , \left\vert \mathbf { q } _ { i } \cdot \mathbf { g } \right\vert T , \left\vert \omega _ { D } \right\vert , \omega _ { k } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \sum _ { k \in \{ a , b \} } \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } + \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \sum _ { k \in \{ a , b \} } \frac { \big ( Y ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } + \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] } \\ & { = V ^ { a , b * } ( P ) } \end{array}
\Delta L _ { k } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ; N _ { 1 } ^ { \prime } , N _ { 2 } ^ { \prime } ) = \frac { \langle L _ { k } ^ { ( a ) } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ) - L _ { k } ^ { ( b ) } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ) \rangle _ { t } } { \langle L _ { k } ^ { ( a ) } ( N _ { 1 } ^ { \prime } , N _ { 2 } ^ { \prime } ) - L _ { k } ^ { ( b ) } ( N _ { 1 } ^ { \prime } , N _ { 2 } ^ { \prime } ) \rangle _ { t } } , \quad k = x , y , z
\mathcal { W } = \left( p _ { B } ^ { \prime 2 } + \frac { 1 } { 4 } + p _ { B } ^ { \prime } \cos \theta \right) \left( p _ { B } ^ { \prime 2 } + \frac { 1 } { 4 } - p _ { B } ^ { \prime } \cos \theta \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \cal E } _ { 1 } y ) ( t ) + ( { \cal E } _ { 2 } y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 4 \mathbb { E } \| { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) \| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 4 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) d e \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 4 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) d \hat { \cal W } ( e ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 4 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 4 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } \upsilon _ { i } \lambda _ { 3 } } \\ & { } & { + 4 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \left( \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } d e \right) \left( \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } \xi _ { 1 } ( e ) \| g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } d e \right) } \\ & { } & { + 4 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 q - 2 } \xi _ { 2 } ( e ) \| g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { { \cal D } _ { h } } } ^ { 2 } d e } \\ & { } & { + 8 \hat { \cal H } \Lambda _ { \sigma } { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } t _ { i + 1 } ^ { 2 \hat { \cal H } - 1 } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 q - 2 } d e } \\ & { \leq } & { 4 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } \upsilon _ { i } \lambda _ { 3 } + 4 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } { t } _ { i + 1 } ^ { 2 q } \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { q ^ { 2 } } + \frac { \lambda _ { 2 } } { t _ { i + 1 } ( 2 q - 1 ) } + \frac { 2 \hat { \cal H } \Lambda _ { \sigma } t _ { i + 1 } ^ { 2 \hat { \cal H } - 2 } } { 2 q - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { x ^ { i } x ^ { j } = q x ^ { j } x ^ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i < j ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ i \not = - j ~ , } } \\ { { q x ^ { + 2 } x ^ { - 2 } - q ^ { - 1 } x ^ { - 2 } x ^ { + 2 } = \frac { q ^ { 1 / 2 } - q ^ { - 1 / 2 } } { q - 1 + q ^ { - 1 } } \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ~ , } } \\ { { q x ^ { + 1 } x ^ { - 1 } - q ^ { - 1 } x ^ { - 1 } x ^ { + 1 } = ( 1 - q ^ { 2 } ) x ^ { + 2 } x ^ { - 2 } + q \frac { q ^ { 1 / 2 } - q ^ { - 1 / 2 } } { q - 1 + q ^ { - 1 } } \frac { 1 } { a ^ { 2 } } ~ . } } \end{array}
{ \mathcal { A } } = \frac { 2 } { 3 } \frac { \tilde { \chi } _ { \perp } - \tilde { \chi } _ { l } } { w } \left( f - \frac { 2 } { 3 } \right) + \frac { 6 \tilde { \eta } _ { l l } } { w } \, .
\int _ { \mathcal { D } _ { R } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \alpha } { \pi } \, w \left( \vert \alpha \vert ^ { 2 } \right) \, \overline { { \phi _ { n } ( \alpha , \bar { \alpha } ) } } \, \phi _ { n ^ { \prime } } ( \alpha , \bar { \alpha } ) = \delta _ { n n ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \overline { { x } } _ { 0 } } { d t } } & { = } & { V _ { e } \cos \phi + \gamma \overline { { y } } _ { 0 } , } \\ { \frac { d \overline { { y } } _ { 0 } } { d t } } & { = } & { V _ { e } \sin \phi , } \\ { \frac { d \overline { { \phi } } _ { 0 } } { d t } } & { = } & { - \frac { \gamma } { 2 } ( 1 - B _ { e } \cos 2 \overline { { \phi } } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { r } } { V } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { v } \: \frac { h _ { e } ^ { ( 0 ) } } { f _ { 0 e } } C _ { e e } ^ { ( l ) } \left[ h _ { e } ^ { ( 0 ) } \right] + \int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { r } } { V } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { v } \: \frac { h _ { e } ^ { ( 0 ) } } { f _ { 0 e } } \mathcal { L } _ { e i } \left[ h _ { e } ^ { ( 0 ) } \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) c _ { 1 } + b _ { 2 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) c _ { 2 } + b _ { 3 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) c _ { 3 } } & { = } & { b _ { 3 } ( c _ { 2 } + c _ { 3 } ) c _ { 1 } + b _ { 3 } ( c _ { 1 } + c _ { 3 } ) c _ { 2 } + b _ { 3 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) c _ { 3 } } \\ & { = } & { b _ { 3 } \left( ( c _ { 2 } + c _ { 3 } ) c _ { 1 } + ( c _ { 1 } + c _ { 3 } ) c _ { 2 } + ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) c _ { 3 } \right) } \\ & { = } & { 2 b _ { 3 } \left( c _ { 1 } c _ { 2 } + c _ { 2 } c _ { 3 } + c _ { 3 } c _ { 1 } \right) \, . } \end{array}
( P _ { i } ^ { \; \circ } - P _ { \! 1 } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] \, } } O ^ { \circ } = ( P _ { i } ^ { \; \circ } - P _ { \! 1 } ^ { \; \circ } ) { \scriptstyle { \, [ \mathfrak { A } _ { 0 } { \, + \, } \mathfrak { A } _ { 1 } ] } } ( \frac { 1 } { 2 } ( P _ { i } ^ { \; \circ } + P _ { \! 1 } ^ { \; \circ } ) ) , \, 1 { \, \le \, } i { \, \le \, } n { + } 1 \; .
K _ { 0 } = H _ { 0 } - E _ { 0 } = E _ { 0 } \left\{ \frac { \left( 1 - \frac { \delta v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} \eqno ( 4 5 ^ { \prime } ) .
- \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \left( \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \Omega ^ { 2 } } \right) \psi _ { 4 } = E \psi _ { 4 } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } & { { } = \sum _ { \left\{ \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\} } \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \hat { \mathcal { H } } \right| \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\rangle \frac { \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ; \mathcal { W } \right) } { \Psi \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] , } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } } { c } \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l + 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } } & { { } = 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { w } } - g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { A B B } ) } } \\ { g _ { \bar { i } } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } } & { { } = \frac { k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } 2 \mathrm { w } _ { i } C _ { \mathrm { e q } } + \frac { 1 - k _ { \bar { i } } } { 1 + k _ { \bar { i } } } g _ { i } ^ { \ ( \mathrm { R B C } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \Psi ^ { * } V _ { e f f } \Psi \, d \vec { r } } & { { } = N \left( { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { m + 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } + | \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \theta _ { 0 2 } ^ { * } = \theta ( \nu _ { 2 } ^ { * } ) } & { { } = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { \Delta } \right) e ^ { - \Delta \nu _ { 2 } ^ { * } } + \frac { \eta } { \Delta } , } \\ { \psi _ { 0 1 } ^ { * } = \psi ( \nu _ { 1 } ^ { * } ) } & { { } = } & { \delta _ { \psi } e ^ { - \nu _ { 1 } ^ { * } } \mathrm { ~ , ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ , ~ } } \\ { t h e t a _ { 0 2 } ^ { * } e ^ { - C \nu _ { 1 } ^ { * } } \ = \ \delta _ { \theta } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \end{array}
| \Psi ( 0 ) \rangle ^ { ( \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ . ~ o ~ n ~ } j \mathrm { ~ ) ~ } } = \sum _ { \alpha } ^ { N + n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } c _ { \alpha } ( 0 ) | \psi ^ { \alpha } \rangle = \sum _ { \alpha } ^ { N + n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } U _ { \alpha j } ^ { \dagger } | \psi ^ { \alpha } \rangle
\begin{array} { r l } & { h _ { 0 } \geqslant 1 , \mathrm { ~ i . \, e . ~ } v _ { 0 } : = h _ { 0 } ^ { 2 } - 1 \geqslant 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in \bar { \Omega } ; } \\ { s q r t { v _ { 0 } } \in H ^ { 1 } ( \Omega ) ; } \\ & { h _ { 0 } \Phi ( h _ { 0 , x } ) , \ - \log ( v _ { 0 } ) , \ v _ { 0 } u _ { 0 } ^ { 2 } \in L ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { B P S K - R } } ( f ) } & { = \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } T _ { c } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) , } \\ & { \approx \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } T _ { c } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { B P S K - R } } ^ { 2 } } & { = m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ^ { B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } T _ { c } \mathrm { s i n c } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \mathrm { d } f , } \\ & { \approx 2 m _ { \mathrm { p r n } } ^ { 2 } B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } T _ { c } . } \end{array}
\sum _ { p , q = 1 } ^ { Q } w _ { p } \frac { \partial \mathcal { S } } { \partial \psi _ { p } \partial \psi _ { q } } w _ { q } = \Delta t ^ { 2 } \sum _ { m , n } W _ { m } ^ { + } V _ { m } C _ { m , n } ^ { - 1 } W _ { n } ^ { + } V _ { n } .
\boldsymbol { D } _ { \boldsymbol { w } } ^ { * } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } w _ { 1 } \boldsymbol { D } _ { 1 } + w _ { 2 } \boldsymbol { D } _ { 2 } + \cdots + w _ { 9 } \boldsymbol { D } _ { 9 } .
\begin{array} { l } { \displaystyle { J \big ( \alpha , \beta \big ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \frac { \lambda \, d \lambda } { \sqrt { \big ( \cos ^ { - 1 } \! \alpha - \lambda \big ) \big ( 1 - \lambda \big ) \big ( \psi ( \alpha , \beta ) + \lambda \big ) \big ( \cos ^ { - 1 } \! \beta \, \cdot \psi ( \alpha , \beta ) + \lambda \big ) } } , } } \end{array}
\left[ \mathrm { d } , \ell _ { k } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } = - \sum _ { \overset { i + j = k + 1 } { i \leq j } } \left[ \ell _ { i } , \ell _ { j } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \overset { i + j = k + 1 } { i , j \geq 1 } } \left[ \ell _ { i } , \ell _ { j } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } }
\mathbf { t r i v } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } = \mathbf { o b l v } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } \colon \mathcal { A } \mathrm { \sf ~ l g } _ { \mathrm { C o m m } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathrm { g r } } \longrightarrow \mathcal { A } \mathrm { \sf ~ l g } _ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathrm { g r } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mu _ { A } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 A } - k _ { 2 A } \mu _ { A } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { B } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 B } - k _ { 2 B } \mu _ { B } ( \tau ) - \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { \tau } \mu _ { C } ( \tau ) } & { { } = \alpha k _ { 1 C } - k _ { 2 C } \mu _ { C } ( \tau ) + \alpha k _ { 3 } \mu _ { A } ( \tau ) \mu _ { B } ( \tau ) - ( \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } R _ { 0 A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
G _ { \mathrm { n o i s e } } [ n ] = \frac { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] | _ { g \neq 1 } } { N _ { \mathrm { r m s } } [ n ] | _ { g = 1 } } = \sqrt { \frac { g ^ { 2 ( n + 1 ) } - 1 } { ( n + 1 ) ( g ^ { 2 } - 1 ) } } \; .
{ _ 2 } \phi _ { 1 } \left[ \begin{array} { c } { { \begin{array} { c c } { { a , } } & { { b } } \end{array} } } \\ { { c } } \end{array} ; q , u \right] = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( a ; q ) _ { n } ( b ; q ) _ { n } } { ( q ; q ) _ { n } ( c ; q ) _ { n } } u ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } } { \epsilon _ { 0 } } \cdot W \left( - \epsilon _ { 0 } \exp ( \frac { \ln \eta } { h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } } - 1 ) \right) } & { \approx - \frac { h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } } { \epsilon _ { 0 } } \cdot \left( - \epsilon _ { 0 } \exp ( \frac { \ln \eta } { h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } } - 1 ) \right) } \\ & { = h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } \exp ( \frac { \ln \eta } { h _ { \mathscr { A } ( \phi ) } } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { \phi ^ { \prime } } } & { { } \equiv } & { \frac { \partial r _ { 1 } ^ { \prime \mu } } { \partial \phi ^ { \prime } } \left( u _ { \mu } ^ { \prime } - \frac { q } { 2 } F _ { \mu \nu } ^ { \prime } r _ { 1 } ^ { \prime \nu } \right) } \end{array}
( 4 \pi ) ^ { 2 } V _ { 1 } = \frac { m _ { H } ^ { 4 } } { 4 } \left( \ln \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right) + ( N - 1 ) \frac { m _ { G } ^ { 4 } } { 4 } \left( \ln \frac { m _ { G } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right) ,
{ K } _ { \alpha } ( H ( x ) , H ( x ^ { \prime } ) ) : = ( 1 - \alpha ) K \big ( H ( x ) , H ( x ^ { \prime } ) \big ) + \alpha \sum _ { s = 1 } ^ { S } K \big ( H _ { s } ( x ) , H _ { s } ( x ^ { \prime } ) \big ) .
- \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } \leq \frac { 1 } { \phi _ { 0 } \alpha _ { 0 } } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 + 2 \phi _ { 0 } \sqrt { \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } \alpha _ { 0 } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in I + ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) } | V ^ { \prime } ( x ) | } & { \le \operatorname* { s u p } _ { | x | \le K } | V ^ { \prime } ( x ) | + \operatorname* { s u p } _ { \stackrel { x \in I + ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) } { | x | > K } } | V ( x ) | ^ { \theta } } \\ & { = C _ { 2 } + C _ { 1 } | V ( r ^ { + } + 1 / 2 ) | ^ { \theta } + C _ { 1 } | V ( - r ^ { - } - 1 / 2 ) | ^ { \theta } } \\ & { = C _ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } | V ( r ^ { + } ) | ^ { \theta } + C _ { 1 } ^ { 2 } | V ( - r ^ { - } ) | ^ { \theta } . } \end{array}
A ^ { l ^ { \pm } } ( \eta , { k _ { 1 } } _ { T } ) = \frac { \sigma ^ { \pm } ( p _ { N _ { 2 } } = 1 ) - \sigma ^ { \pm } ( p _ { N _ { 2 } } = - 1 ) } { \sigma ^ { \pm } ( p _ { N _ { 2 } } = 1 ) + \sigma ^ { \pm } ( p _ { N _ { 2 } } = - 1 ) } = \frac { \Delta \sigma ^ { \pm } } { \bar { \sigma } ^ { \pm } } .
\mathbf { C } ( 2 ) \equiv \{ ( p ( \mathrm { h h } ) , p ( \mathrm { h t } ) , p ( \mathrm { t h } ) , p ( \mathrm { t t } ) ) ^ { \mathrm { T } } ~ | ~ p ( \mathrm { i j } ) \ge 0 , ~ \forall ~ \mathrm { i } , \mathrm { j } \in \{ \mathrm { h } , \mathrm { t } \} , ~ \& ~ \sum _ { \mathrm { i } , \mathrm { j } } p ( \mathrm { i j } ) = 1 \}
{ \Gamma \left( b \rightarrow h _ { c } + X \right) \; = \; H _ { 1 } \; { \widehat \Gamma } _ { 1 } \left( b \rightarrow c { \bar { c } } ( ^ { 1 } P _ { 1 } ) + X , \mu \right) \; + \; 3 \; H _ { 8 } ^ { \prime } ( \mu ) \; { \widehat \Gamma } _ { 8 } \left( b \rightarrow c { \bar { c } } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) + X \right) \; , }
{ \cal L } ( 1 , \alpha - \frac { 1 } { 2 } , g ) = - i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B _ { \mu } ^ { * } ( \partial _ { \nu } + i a _ { \nu } + i C _ { \nu } + M ) B _ { \lambda } + \frac { g } { 4 } ( B _ { \mu } ^ { * } B _ { \mu } ) ^ { 2 } - \frac { i } { 8 \pi ( \alpha - 1 / 2 ) } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \; .