harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { = \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad + ( \theta + 1 ) \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times - \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { = \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad - \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { B e s } } ( s ) } & { = 1 - \Big ( \frac { s - 1 } { s } \Big ) ^ { \theta } + \theta \int _ { 0 } ^ { s - 1 } u ^ { - 1 + \theta } ( u + 1 ) ^ { - 1 - \theta } f _ { \mathrm { B e s } } \Big ( \frac { s - 1 } { u } \Big ) \mathrm { d } u } \\ & { = 1 - \Big ( \frac { s - 1 } { s } \Big ) ^ { \theta } + \theta ( s - 1 ) ^ { \theta } \int _ { 1 } ^ { \infty } ( s + t - 1 ) ^ { - 1 - \theta } f _ { \mathrm { B e s } } ( t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } } & { = } & { \rho _ { 0 } + \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \\ { \rho _ { - } } & { = } & { \rho _ { 0 } - \partial _ { \lambda } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } \rho _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } \rho _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } \rho _ { 0 } . . . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { \mu } S ^ { \mu } } & { { } = } & { - \frac { \pi _ { \perp } ^ { \mu \nu } \sigma _ { \perp \mu \nu } } { T } - \frac { 2 W _ { \perp l } ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } } { T } - \frac { \varepsilon - 3 P _ { \perp } } { 4 T } \frac { u ^ { \alpha } \mathcal { D } _ { \alpha } \varepsilon } { \varepsilon } - \frac { ( \mathcal { P } _ { l } - \mathcal { P } _ { \perp } ) l ^ { \mu } l ^ { \nu } \sigma _ { \mu \nu } } { T } } \end{array}
Y _ { 1 } = { \frac { \phi } { M _ { p } } } , \quad Y _ { 2 } = { \frac { \dot { \phi } } { M _ { p } ^ { 2 } } } , \quad \tilde { V } = { \frac { V ( Y _ { 1 } ) } { M _ { p } ^ { 4 } } }
\begin{array} { r l } & { | \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) | \le C | x - y | ; \quad | \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) | \le C | x - y | ; \quad | \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) - \gamma _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) | \le C | x - y | ^ { 1 + \eta } ; } \\ & { | \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) - \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) | \le \frac { C } { R ^ { \eta } } | x - y | ^ { 1 + \eta } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad | \gamma _ { 1 } ( t ) - a | \ge c R , \mathrm { ~ i f ~ } | x - a | , | y - a | \ge R \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \bigg | \frac { d j _ { t } } { d \rho _ { t } } \bigg | ^ { 2 } d \rho _ { t } \le \int _ { B _ { R } } \frac { | \nabla \phi | ^ { 2 } } { t \mu + ( 1 - t ) \lambda } \le \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } \{ \operatorname* { m i n } _ { \bar { B } _ { R } } \lambda , \operatorname* { m i n } _ { \bar { B } _ { R } } \mu \} } \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta _ { \bf k } ( \hat { X _ { \bf k } } ) } & { { } = } & { \left( \hat { I } + \exp \left( \frac { \hat { X _ { \bf k } } - \chi _ { \bf k } \hat { I } } { \tau _ { s } } \right) \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\left( \frac { 4 \sigma ^ { \prime } e ^ { \gamma } } { \left( e ^ { \sigma } + e ^ { \gamma } - 1 \right) } + \frac { \sigma ^ { \prime } e ^ { \gamma } } { e ^ { \sigma } } \right) \partial _ { \phi } f _ { 0 } - \frac { e ^ { \gamma } } { e ^ { \sigma } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } f _ { 0 } - \frac { m ^ { 2 } e ^ { \sigma } e ^ { \gamma } f _ { 0 } } { 2 \left( e ^ { \sigma } + e ^ { \gamma } - 1 \right) ^ { 2 } } = 0
\begin{array} { r } { \hat { \phi } ( z ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n - 1 } \, \frac { ( 2 \, n + 1 ) ! ! } { 2 ^ { n - 1 } } \, z ^ { n } , \quad \hat { \varphi } ( z ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n - 1 } \, \frac { ( 2 \, n + 1 ) ! ! } { 2 ^ { n - 1 } } \, z ^ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( \phi _ { i } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { | p | \leq k _ { c } } \frac { d p } { 2 \pi } \frac { \xi _ { i } ^ { - 2 } - p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } + \xi _ { i } ^ { - 2 } } , } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \frac { 2 } { \xi _ { j } } \mathrm { t a n } ^ { - 1 } ( \xi _ { j } k _ { c } ) - k _ { c } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { x } ^ { \prime } } \\ { \tilde { E } _ { y } ^ { \prime } } \end{array} \right) \propto \, } & { \delta \left( k ^ { \prime } - \frac { 2 \pi } { \lambda } \right) \sqrt { \frac { \cos \theta ^ { \prime } } { \cos \theta } } } \\ & { \left( \begin{array} { l } { - E _ { 0 , \parallel } \sin \phi + E _ { 0 , \perp } \cos \theta ^ { \prime } \cos \phi } \\ { E _ { 0 , \parallel } \cos \phi + E _ { 0 , \perp } \cos \theta ^ { \prime } \sin \phi } \end{array} \right) , } \end{array}
( V _ { 0 } , \Omega _ { 0 } , \delta ) = ( 4 , 1 , - 0 . 2 ) E _ { \mathrm { { r } } } , t _ { \mathrm { { R } } } = 1 0 \mu s , \delta _ { \mathrm { { R } } } = 0 , \Omega _ { \mathrm { { R 0 } } } \approx 3 . 4 E _ { \mathrm { { r } } }
\pmb { { \cal D } } = \pmb { { \cal E } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ h ~ o ~ m ~ } ~ } } + { \pmb { { \cal D } } } _ { \mathrm { ~ \textsc ~ { ~ l ~ w ~ } ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ r ~ e ~ t ~ } ~ } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } g _ { k } ( b _ { \rho ( k ) } ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n } g _ { k } ( b _ { \sigma ( k ) } ) } & { = g _ { i } ( b _ { \rho ( i ) } ) + g _ { j } ( b _ { \rho ( j ) } ) - g _ { i } ( b _ { \sigma ( i ) } ) - g _ { j } ( b _ { \sigma ( j ) } ) } \\ & { = g _ { i } ( b _ { \rho ( i ) } ) + g _ { j } ( b _ { \rho ( j ) } ) - g _ { i } ( b _ { \rho ( j ) } ) - g _ { j } ( b _ { \rho ( i ) } ) } \\ & { = \left( g _ { j } ( b _ { \rho ( j ) } ) - g _ { i } ( b _ { \rho ( j ) } ) \right) - \left( g _ { j } ( b _ { \rho ( i ) } ) - g _ { i } ( b _ { \rho ( i ) } ) \right) \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Y _ { t } } & { { } = } & { x _ { 0 } + \left[ \left( \left( X _ { T _ { 1 } } \cdot c + X _ { T _ { 2 } } \right) \cdot c + X _ { T _ { 3 } } \right) \cdot c + \dots \right] \cdot c + X _ { t - T _ { N _ { t } } } } \end{array}
m _ { H _ { U } } ^ { 2 } ( M _ { \mathrm { S U S Y } } ) \ \simeq \ m _ { H _ { U } } ^ { 2 } ( M ) - { \frac { 3 \lambda _ { t } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } ( m _ { { \tilde { Q } } _ { 3 } } ^ { 2 } + m _ { { \tilde { U } } _ { 3 } } ^ { 2 } ) \ln \left( { \frac { M } { M _ { \mathrm { S U S Y } } } } \right) ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \frac { \rho } { 2 } \frac { d } { d t } \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } | v _ { t } | ^ { 2 } d x + \frac { \alpha } { 2 } \frac { d } { d t } \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } | v _ { x } | ^ { 2 } d x - \alpha \Re \left( v _ { x } ( l _ { 2 } , t ) \overline { { v _ { t } ( l _ { 2 } , t ) } } \right) + \alpha \Re \left( v _ { x } ( l _ { 1 } , t ) \overline { { v _ { t } ( l _ { 1 } , t ) } } \right) } \\ { \displaystyle - \gamma \beta \Re \left( \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } p _ { x } \overline { { v _ { x t } } } d x \right) + \gamma \beta \Re \left( p _ { x } ( l _ { 2 } , t ) \overline { { v _ { t } ( l _ { 2 } , t ) } } \right) - \gamma \beta \Re \left( p _ { x } ( l _ { 1 } , t ) \overline { { v _ { t } ( l _ { 1 } , t ) } } \right) = - \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } d _ { 2 } | v _ { t } | ^ { 2 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 2 } ( \mathbf { b } , \boldsymbol { \gamma } , \psi ) = \tau ^ { F L } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \gamma _ { k } } & { \Big [ a _ { k } b _ { k } \log _ { 2 } ( 1 + \frac { h _ { k } p _ { k } ^ { u p ^ { * } } } { b _ { k } N _ { 0 } } ) - \frac { a _ { k } s } { t _ { k } ^ { u p } } \Big ] + \psi ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } b _ { k } - { { B } } ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \Delta } d s _ { 4 } \, f ( s _ { 4 } ) [ g ( s _ { 4 } ) ] _ { \Delta } \equiv \int _ { 0 } ^ { \Delta } d s _ { 4 } \, \left[ f ( s _ { 4 } ) - f ( 0 ) \right] g ( s _ { 4 } ) \; \; ,
\begin{array} { l } { { u _ { t } } + u ( { u _ { x } } + { u _ { y } } ) = 0 . 1 ( { u _ { x x } } + { u _ { y y } } ) , \mathrm { { } } ( x , y ) \in \left[ { 0 , 1 } \right] \times \left[ { 0 , 1 } \right] , t \in \left[ { 0 , 2 } \right] } \\ { u ( 0 , x , y ) = \frac { 1 } { { 1 + \exp \left( { \frac { { x + y } } { { 0 . 2 } } } \right) } } } \\ { u ( t , { x _ { b } } , { y _ { b } } ) = \frac { 1 } { { 1 + \exp \left( { \frac { { { x _ { b } } + { y _ { b } } - t } } { { 0 . 2 } } } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r _ { \delta } ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \textup { d } \eta ) - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) g ( \textup { d } \eta ) \bigg | } \\ & { \leq C \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | r _ { \delta } ( \eta ) - r ( \eta ) | | \partial _ { a } \varphi ( \eta ) | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \textup { d } \eta ) + \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) [ g - \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ] ( \textup { d } \eta ) \bigg | } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ L ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ L ~ } = ( \mathrm { ~ \bf ~ J ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } ) ^ { 2 } = \mathrm { ~ \bf ~ J ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ J ~ } + \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } - 2 \mathrm { ~ \bf ~ J ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ S ~ }
\boldsymbol { \hat { n } _ { s } } \cdot \mathrm { \hat { T } _ { l } } \cdot \boldsymbol { \hat { n } _ { s } } - \boldsymbol { \hat { n } _ { s } } \cdot \mathrm { \hat { T } _ { s } } \cdot \boldsymbol { \hat { n } _ { s } } + 2 \hat { \gamma } \hat { \kappa } _ { s } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( t ) = } & { { } \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } _ { u v } t } \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } _ { u v } ( t - \xi ) } \boldsymbol { H } _ { u v } \mathrm { d } \xi } \\ { = } & { { } \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { A } _ { u v } t } \boldsymbol { \psi } _ { u v } ( 0 ) + \boldsymbol { A } _ { u v } ^ { - 1 } ( e ^ { \boldsymbol { A } _ { u v } t } - \boldsymbol { I } ) \boldsymbol { H } _ { u v } , } \end{array}
{ \frac { \overline { { E _ { 4 0 } E _ { 1 } } } } { \overline { { E _ { 1 } F } } } } = { \frac { \overline { { E _ { 4 0 } F } } } { \overline { { E _ { 4 0 } E _ { 1 } } } } } = { \frac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } = \varphi \approx 1 . 6 1 8
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \xi _ { k } ^ { i _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \xi _ { k } ^ { i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 4 I _ { b } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \eta _ { k } ^ { j _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \eta _ { k } ^ { j _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 4 I _ { \sigma } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ ( \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) ) ^ { 4 } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 0 , } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ ( \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) ) ^ { 4 } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \xrightarrow { P } 0 . } \end{array}
x _ { j } ^ { \tau } \; = \; \operatorname * { m a x } _ { \lambda \in \Lambda } x _ { j } ^ { \lambda } \; { \mathrm { ~ f o r ~ } } j = 2 , \ldots , p \; \; \; \; { \mathrm { a n d } } \; \; \; \; y _ { k } ^ { \tau } \; = \; \operatorname * { m a x } _ { \lambda \in \Lambda } y _ { k } ^ { \lambda } \; { \mathrm { ~ f o r ~ } } k = 2 , \ldots , q .
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { \sigma } } \left( 1 + \xi { \frac { x - \mu } { \sigma } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { \xi } } - 1 } \exp \left[ - \left( 1 + \xi { \frac { x - \mu } { \sigma } } \right) ^ { - { 1 } / { \xi } } \right] } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { { \frac { 1 } { \sigma } } e ^ { - { \frac { x - \mu } { \sigma } } } e ^ { - e ^ { - { \frac { x - \mu } { \sigma } } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi = 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { y } } ( \omega ) } & { = \frac { S _ { \Delta \omega } ( \omega ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { S _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } ( \omega ) | H _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } ( \mathrm { j } \omega ) | ^ { 2 } + S _ { \theta _ { \mathrm { d } } } ( \omega ) | H _ { \theta _ { \mathrm { d } } } ( \mathrm { j } \omega ) | ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { S _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } ( \omega ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ | H _ { \theta _ { \mathrm { t h } } } ( \mathrm { j } \omega ) | ^ { 2 } + \mathcal { K } ^ { 2 } | H _ { \theta _ { \mathrm { d } } } ( \mathrm { j } \omega ) | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
b = 2 \pi a \int _ { 0 } ^ { \infty } d r e ^ { ( \frac { D _ { 1 } } { 2 } - 2 ) A + \frac { 1 } { 2 } B } \left( \frac { P ^ { 2 } ( r ) } { a ^ { 2 } e ^ { 2 } } + \frac { e ^ { B } } { \kappa ^ { 2 } } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \tilde { \pi } _ { s } } & { \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } \mathcal { D } _ { h } ( p , \nabla h ^ { * } ( \eta f _ { s } ^ { \theta } ) ) } \\ & { \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } h ( p ) - h ( \nabla h ^ { * } ( \eta f _ { s } ^ { \theta } ) ) - \langle \nabla h ( \nabla h ^ { * } ( \eta f _ { s } ^ { \theta } ) ) , p - \nabla h ^ { * } ( \eta f _ { s } ^ { \theta } ) \rangle } \\ & { \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } h ( p ) - \langle \eta f _ { s } ^ { \theta } , p \rangle } \\ & { \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } \langle - \eta f _ { s } ^ { \theta } + \nabla h ( \bar { \pi } _ { s } ) , p \rangle + h ( p ) - h ( \bar { \pi } _ { s } ) - \langle \nabla h ( \bar { \pi } _ { s } ) , p - \bar { \pi } _ { s } \rangle } \\ & { \in \mathop { \mathrm { a r g m i n } } _ { p \in \Delta ( \mathcal { A } ) } \langle - \eta f _ { s } ^ { \theta } + \nabla h ( \bar { \pi } _ { s } ) , p \rangle + \mathcal { D } _ { h } ( p , \bar { \pi } _ { s } ) , } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu } ^ { a b \, g l u o n } ( k , \xi ) = - { \frac { 1 } 2 } g _ { s } ^ { 2 } \mu ^ { 2 \epsilon } f ^ { a c d } f ^ { b d c } \int { \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { N _ { \mu \nu } ( p , k , \xi ) } { p ^ { 2 } ( p + k ) ^ { 2 } } } \, ,
F ( \zeta ) = \sum _ { \ell = 1 , 3 } ^ { \infty } w _ { \ell } \frac { \sin \zeta \, \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + \cos \zeta \, \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) } { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i } \omega _ { i } \left( - \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } - \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { + V _ { \mathrm { r e f } } + \sum _ { i } \tilde { F } _ { i } \left( \hat { a } _ { i } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { i , j } \tilde { F } _ { i j } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { i , j , k } \tilde { F } _ { i j k } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \right. } \\ & { } & { \left. + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 ! } \sum _ { i , j , k , l } \tilde { F } _ { i j k l } \left( \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } \right. } \\ & { } & { \left. + \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } + \cdots + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { \dagger } \right) + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf S } _ { i } } & { = } & { - \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ ( { \bf r } \cdot \hat { \bf E } ) ( \nabla \times \hat { \bf A } ) _ { i } } \\ & { = } & { - \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \epsilon _ { i l m } ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) ( \partial _ { l } \hat { A } _ { m } ) } \\ & { = } & { - \epsilon \left[ ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) \hat { A } _ { m } \right] _ { - \infty } ^ { \infty } + \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \epsilon _ { i l m } \hat { A } _ { m } \partial _ { l } ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) , } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { a } ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) \mid _ { I } } \ = \ \mathrm { R e } S \ + \ s _ { a } \, m \ - \ \frac { b _ { a } ^ { I } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \: \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { M _ { I } ^ { 2 } } \ .
\sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } = 0 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 3 ) } = 0 , ~ x _ { V ( s ) C ( s ) } ^ { ( 3 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 3 ) } = 0 . 5
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { I \alpha J \beta } = } & { { } - 2 \hbar \mathrm { I m } \langle \nabla _ { I \alpha } \phi ^ { \mathrm { G H F } } | \nabla _ { J \beta } \phi ^ { \mathrm { G H F } } \rangle } \\ { = } & { { } - 2 \hbar \operatorname { I m } \Big [ \sum _ { i } \left\langle \phi _ { i } ^ { ( I \alpha ) } \mid \phi _ { i } ^ { ( J \beta ) } \right\rangle - \sum _ { i j } \left\langle \phi _ { i } ^ { ( I \alpha ) } \mid \phi _ { j } \right\rangle \left\langle \phi _ { j } \mid \phi _ { i } ^ { ( J \beta ) } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 < \mu ( B _ { \frac { r } { 4 } } ) \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \frac { r } { 4 } } ) \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \mu _ { \varepsilon } \left( B _ { \frac { r } { 4 } } \cap \{ | u _ { \varepsilon } | < 1 - \tau \} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \sigma _ { \alpha \beta } } } & { { } = \mathcal { M } \left( \frac { 1 } { 2 p } \right) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) , } \\ { \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial q _ { \alpha } } } & { { } = \mathcal { M } \left( \frac { C _ { \alpha } } { p v _ { T } } \right) \left( \frac { C ^ { 2 } } { 5 } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 0 } } & { { } = \frac { \kappa _ { L } } { 2 } \left( 1 + \sqrt { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } - \frac { | S _ { 2 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } { 1 - \sqrt { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } } \right) , } \\ { \kappa _ { 1 } } & { { } = \frac { \kappa _ { L } } { 2 } \left( 1 - \sqrt { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } = \frac { \kappa _ { L } } { 2 } \left( \frac { | S _ { 2 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } { 1 - \sqrt { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
N ^ { 2 } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \bigg ( 1 + \cos \Big ( 2 \pi \frac { r - \beta } { \delta r } \Big ) \bigg ) \quad } & { | r - \beta | < \frac { \delta r } { 2 } , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } V } & { = \frac { 1 } { f ^ { \prime } } \left( 2 - \frac { 1 } { 2 } \frac { f ^ { \prime \prime \prime } } { f ^ { \prime } } + \frac { f ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \right) V _ { 0 } ^ { \prime } \left( r ^ { 2 } / 2 f ^ { \prime } \right) } \\ & { \quad + \frac { r ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { f ^ { 2 } } { 4 f ^ { 2 } } \right) V _ { 0 } ^ { \prime \prime } \left( r ^ { 2 } / 2 f ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\tilde { \mathbf { A } } _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { U } ^ { \prime } } { \partial t } + \tilde { \mathbf { B } } _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { U } ^ { \prime } } { \partial x } = \tilde { \mathbf { C } } _ { 0 } \mathbf { U } ^ { \prime } , \quad \tilde { \mathbf { A } } _ { 0 } ^ { T } = \tilde { \mathbf { A } } _ { 0 } > 0 , \quad \tilde { \mathbf { B } } _ { 0 } ^ { T } = \tilde { \mathbf { B } } _ { 0 } , \quad \tilde { \mathbf { C } } _ { 0 } ^ { T } = \tilde { \mathbf { C } } _ { 0 } \le 0 ,