harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) } & { = \sum _ { \mu \subseteq \nu \subseteq \lambda } s _ { \nu / \mu ; a , b } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } / y _ { 1 } , \dots , y _ { n - 1 } ) f _ { \lambda / \nu ; a , b } ( x _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) } & { = \sum _ { \mu \subseteq \nu \subseteq \lambda } \widehat { s } _ { \nu / \mu ; a , b } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n - 1 } / y _ { 1 } , \dots , y _ { n - 1 } ) \widehat { f } _ { \lambda / \nu ; a , b } ( x _ { n } , y _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \mathrm { t r } \left( \rho _ { \mathrm { m p } } H _ { \mathrm { i n t } } \right) \right| _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ p ~ a ~ r ~ t ~ } } = \frac 1 2 \int \mathrm { d } x \, \mathrm { d } x ^ { \prime } \, \beta \, ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, n ( x ) \, n ( x ^ { \prime } ) = \int \mathrm { d } x \, \frac 1 2 \, 2 \beta N \, x ^ { 2 } \, n ( x ) \, , } \end{array}
\mathfrak { V } \ni \left( x , \omega , t \right) \longmapsto f \left( x , \omega , t \right) : = \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \left( \mathbf { \bar { t } } \right) \frac { \psi \left( x , \omega \right) } { \mathbf { \bar { t } } \left( x , \omega \right) } \mathbf { 1 } _ { [ 0 , \mathbf { \bar { t } } \left( x , \omega \right) ) } \left( t \right) \in \mathbb { R }
\underbrace { ( w ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } ) + ( w ^ { h } , a \phi _ { , x } ^ { h } ) + ( w _ { , x } ^ { h } , \kappa \phi _ { , x } ^ { h } ) } _ { \mathrm { ~ B ~ a ~ s ~ e ~ l ~ i ~ n ~ e ~ G ~ a ~ l ~ e ~ r ~ k ~ i ~ n ~ } } + \underbrace { \sum _ { e } \Big ( \tau a w _ { , x } ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { ~ T ~ h ~ e ~ S ~ U ~ P ~ G ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } } - \underbrace { \sum _ { e } \Big ( i \omega \tau w ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { ~ T ~ h ~ e ~ n ~ e ~ w ~ V ~ M ~ S ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } } = 0 .
\begin{array} { c } { { \dot { t } _ { 0 } + [ T _ { 0 } , t _ { 0 } ] + [ T _ { 1 } , t _ { 1 } ] + [ T _ { 2 } , t _ { 2 } ] + [ T _ { 3 } , t _ { 3 } ] = 0 , } } \\ { { \dot { t } _ { 1 } + [ T _ { 0 } , t _ { 1 } ] - [ T _ { 1 } , t _ { 0 } ] + [ T _ { 2 } , t _ { 3 } ] - [ T _ { 3 } , t _ { 2 } ] = 0 , } } \\ { { \dot { t } _ { 2 } + [ T _ { 0 } , t _ { 2 } ] - [ T _ { 1 } , t _ { 3 } ] - [ T _ { 2 } , t _ { 0 } ] + [ T _ { 3 } , t _ { 1 } ] = 0 , } } \\ { { \dot { t } _ { 3 } + [ T _ { 0 } , t _ { 3 } ] + [ T _ { 1 } , t _ { 2 } ] - [ T _ { 2 } , t _ { 1 } ] - [ T _ { 3 } , t _ { 0 } ] = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { h } } & { = ( \lambda \bar { q } _ { h } - \hat { u } \hat { p } , \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = ( \mathcal { P } _ { h } ( \hat { u } \hat { p } ) - \hat { u } \hat { p } , \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \| \hat { u } \hat { p } - \mathcal { P } _ { h } ( \hat { u } \hat { p } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \| \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\langle \hat { \rho } ( x ) \hat { \rho } ( y ) \rangle _ { c } = - { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } N ^ { 2 } \beta } } { \frac { 1 } { ( x - y ) ^ { 2 } } } { \frac { a ^ { 2 } - x y } { [ ( a ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } } } .
\left( \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { X } \right) ^ { - 1 } = \mathbf { A } ^ { - 1 } - \varepsilon \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { X } \mathbf { A } ^ { - 1 } + { \mathcal { O } } ( \varepsilon ^ { 2 } ) \, .
{ \begin{array} { r l } { \psi ( 1 ) } & { = - \gamma } \\ { \psi \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } & { = - 2 \ln { 2 } - \gamma } \\ { \psi \left( { \frac { 1 } { 3 } } \right) } & { = - { \frac { \pi } { 2 { \sqrt { 3 } } } } - { \frac { 3 \ln { 3 } } { 2 } } - \gamma } \\ { \psi \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } & { = - { \frac { \pi } { 2 } } - 3 \ln { 2 } - \gamma } \\ { \psi \left( { \frac { 1 } { 6 } } \right) } & { = - { \frac { \pi { \sqrt { 3 } } } { 2 } } - 2 \ln { 2 } - { \frac { 3 \ln { 3 } } { 2 } } - \gamma } \\ { \psi \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) } & { = - { \frac { \pi } { 2 } } - 4 \ln { 2 } - { \frac { \pi + \ln \left( { \sqrt { 2 } } + 1 \right) - \ln \left( { \sqrt { 2 } } - 1 \right) } { \sqrt { 2 } } } - \gamma . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { f k , i } ^ { p } } & { { } = } & { \int d \Omega _ { 1 } \Sigma _ { i } \left\{ \left( m _ { i } \textbf { v } _ { i } + \frac { q _ { i } } { c } \textbf { A } ( x , t ) \right) \boldsymbol { \boldsymbol { \cdot } } \dot { x } - \frac { 1 } { 2 } m _ { i } | \textbf { v } _ { i } | ^ { 2 } + q _ { i } \phi _ { 1 } ( x , t ) \right\} , } \end{array}
A _ { + } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \sigma _ { - } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { + } } } \end{array} \right) \; , \; \; A _ { - } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \sigma _ { + } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sigma _ { - } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } + \frac { 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } - \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ { = } & { \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) } { ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } - \frac { ( 1 + \| P _ { c } y \| ^ { 2 } ) + ( 1 + \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \\ & { \quad + \frac { \| P _ { c } y - P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } \| P _ { c } y ^ { \prime } \| ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { p } ^ { \dagger } } & { { } | n _ { p } \rangle = \sqrt { n _ { p } + 1 } | n _ { p } + 1 \rangle , } \\ { b _ { p } } & { { } | n _ { p } \rangle = \sqrt { n _ { p } } | n _ { p } - 1 \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \textbf { E } [ \| E _ { k } \| ] \leq \gamma _ { 1 } \rho ^ { k } \textbf { E } [ \| E _ { 0 } \| ] + \frac { 1 } { 1 - \rho } \left( \gamma _ { 1 } \rho \Delta + \gamma _ { 2 } \right) , } \\ & { } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \textbf { E } [ \| E _ { k } \| ] \leq \frac { 1 } { 1 - \rho } \left( \gamma _ { 1 } \rho \Delta + \gamma _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 2 } & { - 6 } & { - 4 } \\ { 2 } & { 2 } & { 6 } & { 8 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 4 } & { 5 } & { 5 } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 5 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ^ { - 1 } = U ^ { - 1 } D V ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) ) } & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \\ & { = p _ { \mathbf { z } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) ) } \end{array}
\langle 0 | { \cal V } _ { \mu } ^ { e m } | \rho _ { \nu } ^ { 0 } ( k ) \rangle = - e g _ { \rho } \Pi _ { \mu \nu } ( k ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } ) = e g _ { \rho } ( k ^ { 2 } g _ { \mu \nu } - k _ { \mu } k _ { \nu } ) \Pi ( k ^ { 2 } , m _ { q } ^ { 2 } ) ,
\sigma _ { \varepsilon } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] , } \\ { \theta ( t ) \phi ( | x | / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \arg x \in ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha ) , } \\ { \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \arg x \in [ \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha , 2 \pi - \alpha ] ; } \end{array} \right.
R _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ , ~ L ~ o ~ S ~ } } ^ { ( k ) } = R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ , ~ L ~ o ~ S ~ } } ^ { ( k ) } ( \tau _ { \mathrm { ~ L ~ B ~ } } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } , \bar { n } _ { B } ^ { \mathrm { ~ U ~ B ~ } } ) .
\sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { l + 1 } [ \frac { 8 m } { \beta l } K _ { 1 } ( m \beta l ) + \frac { 2 } { 3 } \frac { ( e H ) ^ { 2 } l \beta } { m } K _ { 1 } ( m \beta l ) + \cdots ] .
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \cos ( \alpha x ) \sin ^ { n } ( \beta x ) d x = { \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { \left( { \frac { n } { 2 } } \right) } ( - 1 ) ^ { m } { \frac { 2 \pi } { 2 ^ { n } } } { \binom { n } { m } } } & { n { \mathrm { ~ e v e n } } , \ | \alpha | = | \beta ( 2 m - n ) | } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r l } { \frac { \d ^ { 3 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = x \, ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { 1 - n } } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad ( 0 , 1 ) , } \\ { \omega } & { { } = \big ( \frac 2 3 \big ) ^ { n - 1 } s _ { 0 } ^ { n + 3 } \dot { s } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \overline { { C } } _ { k , i } \left( n - \frac { s ( 3 s - 1 ) } { 2 } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \overline { { C } } _ { k , i } \left( n - \frac { s ( 3 s + 1 ) } { 2 } \right) \right) q ^ { n } } \\ & { \equiv \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } q ^ { \frac { k ( n ^ { 2 } - n ) } { 2 } + i n } + \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } q ^ { \frac { k ( n ^ { 2 } + n ) } { 2 } - i n } \ ( \mathrm { m o d } \ 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { - } \left( \mathbf { k } \right) } & { { } = z _ { - } ^ { * } \left( - \mathbf { k } \right) } \\ { z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) } & { { } = z _ { + } ^ { * } \left( - \mathbf { k } \right) } \end{array}
( { \mathrm { D i } } \oplus { \mathrm { R a c } } ) \otimes ( { \mathrm { D i } } \oplus { \mathrm { R a c } } ) = ( D ( 1 , 0 ) \oplus D ( 2 , 0 ) ) \oplus 2 \bigoplus _ { s = \frac { 1 } { 2 } } ^ { \infty } D ( s + 1 , s ) .
\left| \langle B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) | \hat { h } ^ { \mathrm { ~ L ~ V ~ C ~ } } | A ^ { 2 } \Pi _ { x } ( 0 1 0 ) \rangle \right| \approx \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { t _ { 0 } Z _ { 0 } i _ { g } ( \tau ) } & { = } & { \Theta ( \tau ) \frac { V _ { 0 } \tau ^ { 2 \alpha } } { 2 } \sum _ { \zeta _ { 0 } } \frac { j q _ { 0 } ^ { 2 } } { G ( \zeta _ { 0 } ) } e ^ { q _ { 0 } ( \tau + 2 ) } } \\ & { } & { \times \left[ H _ { 2 \alpha } ( \beta _ { 1 } ( \tau ) ) - H _ { 2 \alpha } ( \beta _ { 2 } ( \tau ) ) \right] } \\ { t _ { 0 } r { \mathcal E } _ { \theta } ( { \bf r } ; \tau ) } & { = } & { \frac { V _ { 0 } C _ { 0 } ( \tau - R ) ^ { 2 \alpha } } { 2 j } \sum _ { \zeta _ { 0 } } Q _ { e } ( { \bf r } ; \zeta _ { 0 } ) e ^ { q _ { 0 } ( \tau - R + 1 ) } } \\ & { } & { \times \left[ H _ { 2 \alpha } ( \beta _ { 1 } ( \tau - R ) ) - H _ { 2 \alpha } ( \beta _ { 2 } ( \tau - R ) ) \right] } \\ & { } & { \times \Theta ( \tau - R ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { } } & { { M \ \mathrm { i s ~ c o m p l e m e n t e d ~ a s ~ a ~ s u b s p a c e ~ o f ~ t h e ~ n o r m e d ~ s p a c e ~ o f } } } \\ { { } } & { { \mathrm { a l l ~ o p e r a t o r s ~ i n ~ a ~ H i l b e r t ~ s p a c e . } \hfill } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { t _ { d n } } = } & { { } { t _ { d n } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s n } \frac { { n _ { n } } _ { 1 } } { { n _ { n } } _ { 0 } } - \zeta _ { w n } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { n } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { n } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { n } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { d i } } = } & { { } { t _ { d i } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s i } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } - \zeta _ { w i } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { i } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { d A } } = } & { { } { t _ { d A } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { s A } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } - \zeta _ { w A } \frac { ( { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } ) \cdot ( { u _ { d } } _ { 1 } - { u _ { i } } _ { 1 } ) } { | { u _ { d } } _ { 0 } - { u _ { i } } _ { 0 } | ^ { 2 } } \right) } \\ { { t _ { n i } } = } & { { } { t _ { n i } } _ { 0 } \left( 1 - \zeta _ { n i } \frac { { n _ { i } } _ { 1 } } { { n _ { i } } _ { 0 } } \right) } \end{array}
\mu ^ { 2 } = \mu _ { 0 } ^ { 2 } { \frac { [ 1 + ( \xi e ^ { 2 } / \pi \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ] [ 1 - ( \eta e ^ { 2 } / \pi \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) ( 1 - r ^ { 2 } ) ] } { 1 - ( e ^ { 2 } / \pi \mu _ { 0 } ^ { 2 } ) ( \xi r ^ { 2 } + \eta ) , } }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } n } { \mathrm { d } t } = } & { { } - C _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } \left( N _ { \mathrm { ~ T ~ } } - n _ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) n + E _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } n _ { \mathrm { ~ T ~ } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } = } & { { } + C _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } \left( N _ { \mathrm { ~ T ~ } } - n _ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) n - E _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } n _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \\ { \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } t } = } & { { } - C _ { \mathrm { ~ h ~ , ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } n _ { \mathrm { ~ T ~ } } p , } \end{array}
y = m x + y _ { 0 } - | A _ { l } | \ \frac { ( q _ { l } + \epsilon _ { l } ) ^ { 2 } } { 1 + \epsilon _ { l } ^ { 2 } } - | A _ { u } | \ \frac { ( q _ { u } + \epsilon _ { u } ) ^ { 2 } } { 1 + \epsilon _ { u } ^ { 2 } }
( b ^ { 2 } - 4 a c ) ^ { 1 / 2 } = p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) \left[ 1 + \frac { 4 ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 3 } A + 4 p ^ { 3 } B } { p ^ { 2 } ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { z \mapsto \frac { z - \varepsilon } { 1 - \varepsilon z } + \varepsilon = \frac { z - \varepsilon ^ { 2 } z } { 1 - \varepsilon z } = z + h _ { \varepsilon } ( z ) , \quad h _ { \varepsilon } ( z ) = \frac { \varepsilon z ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } z } { 1 - \varepsilon z } = \varepsilon z ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) } \end{array}
H _ { 0 } = \omega \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } ) - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega } \left( P _ { 1 } + P _ { 3 } + P _ { 5 } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla _ { h } ^ { + } \boldsymbol { x } } & { = T \left( a b s \left( \nabla _ { h } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { h } ^ { - } \boldsymbol { x } } & { = T \left( a b s \left( - \nabla _ { h } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { v } ^ { + } \boldsymbol { x } } & { = T \left( a b s \left( \nabla _ { v } \boldsymbol { x } \right) \right) , } \\ { \nabla _ { v } ^ { - } \boldsymbol { x } } & { = T \left( a b s \left( - \nabla _ { v } \boldsymbol { x } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) : = \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \mathcal { C } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } \iint _ { \ell _ { 2 } ( \Lambda ) \times \ell _ { 2 } ( \Lambda ) } \| \Lambda ( u - v ) \| ^ { p } \pi ( \mathrm { d } u , \mathrm { d } v ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { p } } , } \end{array}
c _ { k } = \beta _ { k } \frac { \| \nabla ^ { T } \left( \mathbf { p } _ { k } + \mathbf { q } _ { k } - \nabla \mathbf { m } _ { k } \right) \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \mathbf { g } _ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { s _ { j } ( t _ { 0 } , t ) = S _ { j } ^ { * } ( t ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \theta \int _ { 0 } ^ { \theta } F _ { s , j } ( { \bf x } ( \tau , t ) , { \bf s } ( \tau , t ) , c ( \theta , t ) , c ( \tau , t ) , \frac { \partial c } { \partial \theta } ( \theta , t ) , \frac { \partial c } { \partial \tau } ( \tau , t ) ) d \tau , } \\ & { \ 0 < t _ { 0 } < t \leq T , \ j = 1 , . . . , m , } \end{array}
n _ { _ I } = 3 . 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \right) ^ { 1 / 3 } \times \left( \frac { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } { 1 \; s e c } \right) ^ { 2 / 3 } \; s e c ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { - 1 } \partial _ { \rho } ( \rho \partial _ { \rho } \psi ) + \partial _ { z } ^ { 2 } \psi } & { { } = - \frac { e } { \varepsilon } ( c _ { + } - c _ { - } ) , } \\ { \partial _ { t } c _ { \pm } } & { { } = - \rho ^ { - 1 } \partial _ { \rho } ( \rho j _ { \rho , \pm } ) - \partial _ { z } j _ { z , \pm } , } \\ { j _ { \rho , \pm } } & { { } = - D \left( \partial _ { \rho } c _ { \pm } \pm c _ { \pm } \beta e \partial _ { \rho } \psi \right) , } \\ { j _ { z , \pm } } & { { } = - D \left( \partial _ { z } c _ { \pm } \pm c _ { \pm } \beta e \partial _ { z } \psi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \{ \tau _ { \infty } < t \} = \mathbb { P } \left\{ \underset { M \in \mathbb { N } ^ { * } } { \bigcap } A _ { M } \right\} } & { = \underset { M \rightarrow + \infty } { \operatorname* { l i m } } \mathbb { P } ( A _ { M } ) } \\ & { \leq \underset { M \rightarrow + \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { M } \Vert u _ { 0 } \Vert _ { \mathbb { L ^ { \infty } } ( \mathcal { U } ) } \left( 1 + T e ^ { \left( C _ { \mathcal { F } } + \underset { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} } { \operatorname* { m a x } } \Vert \mathcal { C } _ { i } \Vert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { Z } \times \mathcal { U } ) } \nu ( \mathbb { Z } ) \right) T } \right) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\rho _ { c } = { \frac { 3 H ^ { 2 } } { 8 \pi G } } = 1 . 8 7 8 8 \times 1 0 ^ { - 2 6 } h ^ { 2 } \mathrm { { k g } } \, \mathrm { { m } } ^ { - 3 } = 2 . 7 7 5 4 \times 1 0 ^ { 1 1 } h ^ { 2 } M _ { \odot } \, \mathrm { { M p c } } ^ { - 3 } ,
B [ A _ { T } ^ { ( 1 ) } ] = - { \frac { i \lambda ^ { 2 } } { 1 2 \pi N _ { f } } } \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { e ^ { C } } } \right) \bar { U } _ { s } \sigma ^ { \mu \nu } U _ { \tau } \ \bar { U } _ { e } \sigma _ { \mu \nu } U _ { d } \ { \frac { 1 } { M ^ { 4 } } } \ { \frac { 1 } { \Delta u } } .
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } } { \partial y ^ { 2 } } = u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v _ { o } } } } { d y _ { o } ^ { 2 } } ( \frac { U _ { e } } { x u _ { * } ^ { 2 } } ) , } \\ { \frac { x } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } \nu \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } } { \partial y ^ { 2 } } = \frac { x \nu } { U _ { e } u _ { * } ^ { 2 } } \frac { U _ { e } ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } ^ { 2 } } = \frac { \nu } { u _ { * } x } \frac { U _ { e } } { u _ { * } } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } ^ { 2 } } = \frac { \nu } { U _ { e } \delta } \frac { U _ { e } } { u _ { * } } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v _ { o } } } } { d y _ { o } ^ { 2 } } = \frac { \nu } { u _ { * } \delta } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } \, | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle \, | \! \updownarrow \rangle } & { { } = \pm \mu _ { n } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle \, | \! \updownarrow \rangle , } \\ { H _ { \pm } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle } & { { } = \pm \mu _ { n } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle , } \\ { H _ { \pm } } & { { } = \pm \left( \lambda \tau _ { 1 } + m \pm i \gamma \tau _ { 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert K _ { 2 0 } - 6 \varepsilon ^ { 2 b } \mathbb { A } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 b + 2 } + \varepsilon ^ { 2 b } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \rVert K _ { 1 1 } ^ { T } \mathcal { L } _ { \omega } ^ { - 1 } \partial _ { x } ( K _ { 1 1 } ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 1 0 - 6 b } + \varepsilon ^ { 4 - 2 b } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) = ( - \Delta ) ^ { - 1 } \nabla _ { i } \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) \equiv \nabla _ { i } \nabla _ { j } ( - \Delta ) ^ { - 1 } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { T } _ { i j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { x } , t ) } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { l l } { { { \frac { 1 } { 8 \pi } } \, \delta A } } & { { = \left\{ r _ { + } + M \left( 1 + { \left( r _ { + } - M \right) } ^ { - 1 } \left( \frac { M ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { M } \right) \right) \right\} \delta M - \frac { a } { \left( r _ { + } - M \right) } \, \delta J } } \\ { { } } & { { = \frac { r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { r _ { + } - M } \, \delta M - \frac { a } { r _ { + } - M } \, \delta J = { \frac { 1 } { \kappa } } \, \delta M - \frac { \Omega _ { H } } { \kappa } \, \delta J \; , } } \end{array}