harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \lambda } ^ { 2 } } & { = \left( \frac { d _ { \lambda } } { n ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { h \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( h ) R ( h ) \otimes R ( h ) \sum _ { g \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( g ) R ( g ) \otimes R ( g ) } \\ & { = \left( \frac { d _ { \lambda } } { n ! } \right) ^ { 2 } \sum _ { g \in { S _ { n } } } \sum _ { g \in { S _ { n } } } \chi _ { \lambda } ( h ) \chi _ { \lambda } ( h ^ { - 1 } g ) R ( g ) \otimes R ( g ) } \\ & { = { \frac { d _ { \lambda } } { n ! } } \sum _ { g \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( g ) R ( g ) \otimes R ( g ) , } \end{array}
R ~ = ~ { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } } \omega ^ { 3 / 2 } \left[ { \frac { \alpha } { 2 } } \frac { ( { \frac { \rho } { 2 } } ) ^ { - \epsilon } } { \Gamma ( 2 - \epsilon ) } ~ + ~ { \frac { \beta } { 2 } } \left( \left( { \frac { \rho } { 2 } } \right) ^ { - \epsilon } \cot \pi ( 1 - \epsilon ) - \frac { \epsilon } { { \mathrm { s i n } } \pi ( 1 - \epsilon ) } \left( { \frac { \rho } { 2 } } \right) ^ { - 2 + \epsilon } \right) \right] ~ .
\begin{array} { r } { K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) = - \frac { 1 } { 2 } E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , 0 } } ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \log \sigma _ { 1 , 1 } ^ { 2 } + \frac { Y _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 , 1 } ^ { 2 } } \right] + \frac { 1 } { 2 } E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 0 } } ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \log \sigma _ { 1 , 0 } ^ { 2 } + \frac { Y _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 , 0 } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
F [ f ] ( x ) - c _ { 1 } ^ { \prime } \epsilon ( x ^ { 0 } ) \delta ( ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } - | { \bf x } | ^ { 2 } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N } a _ { k } \left( \sum _ { \nu = 0 } ^ { 3 } \eta ^ { \nu \nu } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { k } \delta ( x ) .
\mathcal { H } ( \mathcal { O } ( \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } ) ) = - \frac { e ^ { 2 } } { 2 B ( X _ { g y } ) } \partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle .
{ \begin{array} { r l } { g \{ \phi \} } & { = 9 . 7 8 0 3 2 7 \, \, \mathrm { m } \cdot \mathrm { s } ^ { - 2 } \, \, \left( 1 + 0 . 0 0 5 3 0 2 4 \, \sin ^ { 2 } \phi - 0 . 0 0 0 0 0 5 8 \, \sin ^ { 2 } 2 \phi \right) , } \\ & { = 9 . 7 8 0 3 2 7 \, \, \mathrm { m } \cdot \mathrm { s } ^ { - 2 } \, \, \left( 1 + 0 . 0 0 5 2 7 9 2 \, \sin ^ { 2 } \phi + 0 . 0 0 0 0 2 3 2 \, \sin ^ { 4 } \phi \right) , } \\ & { = 9 . 7 8 0 3 2 7 \, \, \mathrm { m } \cdot \mathrm { s } ^ { - 2 } \, \, \left( 1 . 0 0 5 3 0 2 4 - 0 . 0 0 5 3 2 5 6 \, \cos ^ { 2 } \phi + 0 . 0 0 0 0 2 3 2 \, \cos ^ { 4 } \phi \right) , } \\ & { = 9 . 7 8 0 3 2 7 \, \, \mathrm { m } \cdot \mathrm { s } ^ { - 2 } \, \, \left( 1 . 0 0 2 6 4 5 4 - 0 . 0 0 2 6 5 1 2 \, \cos 2 \phi + 0 . 0 0 0 0 0 5 8 \, \cos ^ { 2 } 2 \phi \right) } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle 1 \, - \, t \, = \, \frac 1 { 1 \, + \, \frac { A q _ { N } } B } \, , } \\ { \frac { s t } { t - 1 } \, = \, \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 A B } \, \frac 1 { 1 \, + \, \frac B { A q _ { N } } } \, , } \end{array} \right.
\omega _ { \mu , \pm } = \omega _ { \mu } \pm \frac { D _ { 1 } } { 2 \pi } \operatorname { a r c c o s } \left[ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos \left( 2 \pi \epsilon \mu \right) \right]
\tilde { \Phi } _ { \lambda m } ^ { \mu V ^ { ( l ) } } ( z ) = g _ { \lambda } ^ { \mu V ^ { ( l ) } } ( z ) \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } \infty } d _ { p } t _ { 1 } J ^ { S } ( t _ { 1 } ) \cdots \int _ { 0 } ^ { s _ { l - m } \infty } d _ { p } t _ { l - m } \, J ^ { S } ( t _ { l - m } ) \phi _ { m } ^ { ( l ) } ( z ) ,
\Theta \left[ ^ a _ { b } \right] \left( z + n + \Omega \cdot m | \Omega \right) = e ^ { - \pi i m \cdot \Omega \cdot m - 2 \pi i m \cdot z + 2 \pi i ( a \cdot n - b \cdot m ) } \Theta \left[ ^ a _ { b } \right] \left( z | \Omega \right) .
( - g ) ^ { - 1 / 2 } \partial _ { \mu } ( \sqrt { - g } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \phi ) + \sigma , _ { \mu } \phi ^ { , \mu } + \frac { d V _ { 1 } } { d \phi } - \frac { 1 } { \chi } \frac { d V _ { 2 } } { d \phi } = 0 ,
{ \begin{array} { r l } { v _ { \mathsf { o u t } } = } & { \alpha _ { 1 } { \Bigl ( } A _ { 1 } \cos ( \omega _ { 1 } t ) + A _ { 2 } \cos ( \omega _ { 2 } t ) { \Bigr ) } } \\ & { + \alpha _ { 2 } { \Bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } A _ { 1 } ^ { 2 } [ 1 + \cos ( 2 \omega _ { 1 } t ) ] + A _ { 1 } A _ { 2 } [ \cos ( \omega _ { 1 } t - \omega _ { 2 } t ) + \cos ( \omega _ { 1 } t + \omega _ { 2 } t ) ] + { \frac { 1 } { 2 } } A _ { 2 } ^ { 2 } [ 1 + \cos ( 2 \omega _ { 2 } t ) ] { \Bigr ) } + \cdots } \end{array} }
f _ { 2 } ( s ) = { \frac { 4 } { 4 - s } } { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { 4 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \, A ( x , s ) \, Q _ { 2 } \left( { \frac { 2 x } { 4 - s } } - 1 \right) .
\eta _ { \mathrm { ~ v ~ } } = \frac { ( 1 - \beta ) \lambda | \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } | ^ { 2 } } { \left| 1 + \lambda \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } \right| ^ { 2 } } + \left( \frac { ( 1 - \beta ) } { \left| 1 + \lambda \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } \right| ^ { 2 } } + \beta \right) \eta _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ } } .
\langle \mathcal { K } ( t ^ { 1 } , \lambda ) , s ^ { 1 } \rangle = \langle \mathcal { A } ( t ^ { 0 } + \lambda t ^ { \angle } ) , s ^ { 0 } \rangle + \langle \mathcal { A } ( t ^ { 1 } ) , s ^ { \angle } \rangle ,
\begin{array} { r l r } { R { \mathbf { r } } } & { = } & { R ( { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ldots , { \mathbf { r } } _ { N _ { e } } ) = ( R { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ldots , R { \mathbf { r } } _ { N _ { e } } ) , } \\ { R { \mathbf { p } } } & { = } & { R ( { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ldots , { \mathbf { p } } _ { N _ { e } } ) = ( R { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ldots , R { \mathbf { p } } _ { N _ { e } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = 2 ^ { 1 / 4 8 } e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } \zeta ^ { \prime } ( - 1 ) } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 4 } } | x | ^ { 3 } } } { | x | ^ { 1 / 1 6 } } } \left( 1 + { \frac { 3 } { 2 ^ { 7 } | x | ^ { 3 } } } + O ( | x | ^ { - 6 } ) \right) } \\ { E ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 / 4 } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 3 { \sqrt { 2 } } } } | x | ^ { 3 / 2 } } { \Biggl ( } 1 - { \frac { 1 } { 2 4 { \sqrt { 2 } } | x | ^ { 3 / 2 } } } + { \cal { O } } ( | x | ^ { - 3 } ) { \Biggr ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } } & { = F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) + \lambda _ { k + 1 } l _ { g , 1 } \mathcal { I } _ { k + 1 } - \lambda _ { k } l _ { g , 1 } \mathcal { I } _ { k } } \\ & { + \frac { \lambda _ { k + 1 } l _ { g , 1 } } { 2 } \mathcal { J } _ { k + 1 } - \frac { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } } { 2 } \mathcal { J } _ { k } . } \end{array}
\frac { 1 } { \rho _ { i } ( t ) } = \sum _ { n = - M } ^ { M } r _ { i , n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } , \quad \frac { 1 } { \kappa _ { i } ( t ) } = \sum _ { n = - M } ^ { M } k _ { i , n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t }
e _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ } } = G _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } ~ p = G _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ } } \left( \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \alpha ^ { - 1 } ) - G \right) ^ { - 1 } e _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } }
5 u ^ { 2 } f _ { 1 } ^ { \prime \prime } + 1 0 ( u f _ { 1 } ^ { \prime } + f _ { 1 } ) - \frac { 4 } { f _ { 1 } } ( u f _ { 1 } ^ { \prime } + f _ { 1 } ) ^ { 2 } - 6 u f _ { 1 } f _ { 2 } ^ { \prime } - 6 f _ { 1 } f _ { 2 } = 0
K = \sigma _ { \mu } x ^ { \mu } = \left[ \begin{array} { c c } { { q ( x ^ { 0 } - x ^ { 3 } ) } } & { { - \left[ 2 \right] ^ { 1 / 2 } q ^ { - 1 / 2 } x ^ { + } } } \\ { { - \left[ 2 \right] ^ { 1 / 2 } q ^ { 1 / 2 } x ^ { - } } } & { { q x ^ { 0 } + q ^ { - 1 } x ^ { 3 } } } \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array} { c c } { { q D } } & { { B } } \\ { { A } } & { { C / q } } \end{array} \right] \; ,
n _ { _ { I I } } = 7 . 7 \times 1 0 ^ { 3 } \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \right) ^ { 1 / 3 } \times \left( \frac { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } { 1 \; s e c } \right) ^ { 2 / 3 } \; s e c ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { p } = \frac { a _ { p } } { b _ { p } } = \left( \frac { \sqrt { \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { \left( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } + 1 } + 1 } { \sqrt { \frac { 4 \alpha _ { b } ^ { 2 } n _ { b } ^ { 2 } } { \left( \alpha _ { b } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } + 1 } - 1 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 0 , 4 } } & { b _ { 0 , 5 } } \\ { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 5 } } & { 0 } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 4 } } & { 0 } \\ { b _ { 0 , 2 } } & { 0 } & { b _ { 0 , 4 } } & { b _ { 1 , 4 } } & { b _ { 2 , 4 } } & { b _ { 1 , 3 } } \\ { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 4 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 4 } } \\ { b _ { 0 , 4 } } & { b _ { 1 , 4 } } & { b _ { 2 , 4 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { 0 } \\ { b _ { 0 , 5 } } & { 0 } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 4 } } & { 0 } & { b _ { 0 , 1 } } \end{array} \right) .
\mathbb { E } \left| \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; i } d X _ { r } ^ { l ; j } - \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { m ; i } d X _ { r } ^ { m ; j } \right| ^ { p } \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } \cdot \frac { p } { 2 } } \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { \rho ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = - \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \frac { \pi ^ { 2 } a } { 2 \, \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 4 } } , } \\ { c _ { 2 } } & { = \sqrt { \frac { 3 } { \sqrt { 5 } } } \left[ \frac { 2 } { \pi } + \frac { \pi a } { \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 4 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X Y Z } } & { { } ( x , y , z , t \vert x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) = f _ { X } ( x , t \vert x _ { 0 } ) \cdot f _ { Y } ( y , t \vert y _ { 0 } ) \cdot f _ { Z } ( z , t \vert z _ { 0 } ) = } \end{array}
p = \lambda \tilde { p } , \qquad K ( \lambda ^ { 2 } \tilde { p } ^ { 2 } ) = { \cal K } ( \tilde { p } ^ { 2 } ) , \qquad \phi _ { \lambda \tilde { p } } = { \cal F } ( \tilde { p } ^ { 2 } ) \tilde { \phi } _ { \tilde { p } }
H _ { 0 } ^ { B \to V e \nu } ( q ^ { 2 } ) = \frac 1 { 2 m _ { V } \sqrt { q ^ { 2 } } } \left[ ( M + m _ { V } ) ( M ^ { 2 } - m _ { V } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) - \frac { 4 M ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } } { M + m _ { V } } A _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \right]
9 Y ^ { 2 } { \frac { w _ { R } } { m _ { U } } } \simeq { \frac { m _ { t } } { w _ { L } } } \sim 1 , \qquad 9 Y ^ { 2 } { \frac { w _ { R } } { m _ { D } } } \simeq { \frac { m _ { b } } { w _ { L } } } \sim 0 . 0 2 ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { p } \equiv \langle \mathrm { H F } } & { | \hat { H } _ { \mathrm { P F } } | \mathrm { H F } \rangle = E _ { \mathrm { H F } } + \omega _ { \alpha } \big ( \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dag } \hat { a } _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { + \sqrt { \frac { \omega _ { \alpha } } { 2 } } \langle \boldsymbol { \lambda } _ { \alpha } \cdot \hat { \mathbf { D } } \rangle _ { \mathrm { H F } } \cdot ( \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dag } + \hat { a } _ { \alpha } ) + \frac { 1 } { 2 } \langle ( \boldsymbol { \lambda } _ { \alpha } \cdot \hat { \mathbf { D } } ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { H F } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { k } ( \eta _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { k } ^ { * } ) + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) } \\ & { - \gamma _ { k } \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ 4 ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon + \mathrm { E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] , } \end{array}
\delta _ { K T } c _ { a _ { k + 1 } } ^ { * } = c _ { a _ { k } } ^ { * } Z _ { a _ { k + 1 } } ^ { a _ { k } } + M _ { a _ { k + 1 } } ( \phi , \phi ^ { * } , c _ { a } ^ { * } , . . . , c _ { a _ { k - 1 } } ^ { * } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \textrm { C E } } & { { } = { r _ { \textrm { E F } } } ^ { 2 } ( \frac { \textrm { R e } [ E _ { t 0 } ( 1 - r ^ { * } ) ] } { F } - \frac { I _ { t 0 } ( 2 - r _ { \textrm { E F } } \textrm { R e } [ r ] ) } { F ^ { 2 } } ) } \end{array}
{ \boldsymbol { e } } ( { \boldsymbol { k } } , R ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left[ { \boldsymbol { e } } ( { \boldsymbol { k } } , 1 ) - i { \boldsymbol { e } } ( { \boldsymbol { k } } , 2 ) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { S } = - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { 8 a _ { 2 } } \bigg [ 4 \, b _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 0 ) } ( \alpha ) - } & { { } \alpha \, b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \alpha ) \, \bigg ( I _ { 1 } ^ { 2 } + I _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \Delta = + 1 \quad } } & { { : \qquad } } & { { E _ { n } ^ { + } = E _ { n + 1 } ^ { - } > 0 \quad , \qquad E _ { 0 } ^ { - } = 0 \quad , } } \\ { { \Delta = - 1 \quad } } & { { : \qquad } } & { { E _ { n } ^ { - } = E _ { n + 1 } ^ { + } > 0 \quad , \qquad E _ { 0 } ^ { + } = 0 \quad , } } \\ { { \Delta = 0 \quad } } & { { : \qquad } } & { { E _ { n } ^ { - } = E _ { n } ^ { + } > 0 \quad , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } = } & { { } \int f _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \{ n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ) \} , } \end{array}
\frac { \partial \mathrm { g } } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = 2 \Re \left\{ \frac { \partial \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } \left( \varphi _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } \right) ^ { * } \right\}
\begin{array} { r } { C = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathrm { B Z } } \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \nabla _ { \mathbf { k } } \times \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \mathbf { k } ) ] \ \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( P _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { Q } _ { h } ^ { n + 1 } ; \rho , \pmb { \theta } ) = } & { ( \pmb { Q } _ { h } ^ { n + 1 } , \nabla \rho ) - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \pmb { Q } } _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \pmb { \nu } , \rho ) _ { \partial K } } \\ & { - ( P _ { h } ^ { n + 1 } , \nabla \cdot \pmb { \theta } ) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { P } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { \theta } ) _ { \partial K } . } \end{array}
P _ { \Gamma } = P _ { \Gamma } ( x , t ) = I _ { 3 \times 3 } - n _ { \Gamma } \otimes n _ { \Gamma } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 - n _ { 1 } ^ { \Gamma } n _ { 1 } ^ { \Gamma } } & { - n _ { 1 } ^ { \Gamma } n _ { 2 } ^ { \Gamma } } & { - n _ { 1 } ^ { \Gamma } n _ { 3 } ^ { \Gamma } } \\ { - n _ { 2 } ^ { \Gamma } n _ { 1 } ^ { \Gamma } } & { 1 - n _ { 2 } ^ { \Gamma } n _ { 2 } ^ { \Gamma } } & { - n _ { 2 } ^ { \Gamma } n _ { 3 } ^ { \Gamma } } \\ { - n _ { 3 } ^ { \Gamma } n _ { 1 } ^ { \Gamma } } & { - n _ { 3 } ^ { \Gamma } n _ { 2 } ^ { \Gamma } } & { 1 - n _ { 3 } ^ { \Gamma } n _ { 3 } ^ { \Gamma } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { w _ { \delta _ { k } } ^ { 0 } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } ^ { \delta _ { k } } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau } ( f ( X _ { s } ) - \lambda ) d s + \phi ( X _ { \tau } ) } \right] , \quad k \in \mathbb { N } , \, x \in E , } \\ { w _ { \delta _ { k } } ^ { 2 } ( x ) } & { : = \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } } \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta _ { k } } ) d s + \phi ( X _ { \tau } ) } \right] , \quad k \in \mathbb { N } , \, x \in E . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { d } ^ { } , t _ { d } ^ { } ; \mathbf { r } _ { j } ^ { } , t _ { j } ^ { } ) = \langle \mathbf { E } _ { d } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } _ { d } ^ { } , t _ { d } ^ { } ) \mathbf { A } _ { s } ^ { ( - ) } ( \mathbf { r } _ { j } ^ { } , t _ { j } ^ { } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( + ) } ( z > \ell ) } & { { } = \left[ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { k } _ { \parallel } ) } { 2 d } \left( \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { L } + \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } q _ { z } \ell } \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { R } \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } z } \right] \approx t _ { c } E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } , } \\ { E ^ { ( + ) } ( 0 < z < \ell ) } & { { } = \left[ E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) } { 2 d } \left( \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { L } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } z } + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } ( \ell - z ) } \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { R } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \! g ( ^ { B S } \nabla _ { ^ { T } \! \omega } ^ { T } \! \theta , \mathcal { N } ) \mathcal { N } } & { = } & { \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , J p ) g ^ { - 1 } ( \theta J , p ) + g ^ { - 1 } ( \theta , J p ) g ^ { - 1 } ( \omega J , p ) \big ) ^ { V } \! p } \\ & { } & { - g ^ { - 1 } ( \omega , \theta ) ^ { V } \! p + g ^ { - 1 } ( \omega , p ) g ^ { - 1 } ( \theta , p ) ^ { V } \! p . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { { \mathbb { E } } } \Big [ \big ( h _ { \varepsilon } - \sigma ^ { 2 } \frac { d \omega } { d \pi } \big ) \cdot \frac { d \omega } { d \pi } ( \ensuremath { A } \mid \ensuremath { X } ) \Big ] \leq \| h _ { \varepsilon } - \sigma ^ { 2 } \frac { d \omega } { d \pi } \| _ { 2 } \cdot \frac { 1 } { \underline { { \sigma } } } \: \| \sigma \frac { d \omega } { d \pi } \| _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 6 8 8 } \le f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } _ { 0 } ) - f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \tilde { \mathcal { Y } } ) } & { \le f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } _ { 0 } ) - f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } ^ { \ast } ) } \\ & { \le { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \left( f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell } ) - f ^ { \mathrm { S D P } } ( X _ { \ell + 1 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \Omega _ { u , r _ { k } } } ( \omega ) = } & { \, \frac { ( \mathcal { K } + 1 ) e ^ { - \mathcal { K } } } { \overline { { \Omega } } _ { u , r _ { k } } } \exp \left( \frac { - ( \mathcal { K } + 1 ) \omega } { \overline { { \Omega } } _ { u , r _ { k } } } \right) } \\ & { \times I _ { 0 } \left( 2 \sqrt { \frac { \mathcal { K } ( \mathcal { K } + 1 ) \omega } { \overline { { \Omega } } _ { u , r _ { k } } } } \right) , \, \omega \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } ( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } ) \, d t } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } } ^ { 2 } + \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } ) \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( 1 + | s | ) ^ { 2 } | s | ^ { 2 } \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| s ^ { 2 } f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \left( \| \partial _ { t } ^ { 2 } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t . } \end{array}
\sigma _ { 1 } = \sigma _ { x } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \, , \quad \sigma _ { 2 } = \sigma _ { y } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } \, , \quad \sigma _ { 3 } = \sigma _ { z } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) }
1 , \quad \eta _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } ^ { \prime } : = \frac { \chi ^ { 8 } } { 1 + \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ( 1 + \chi ^ { 4 } ) ( 1 + \chi ^ { 8 } ) } , \quad \frac { \eta _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } ^ { \prime } } { 3 } , \quad \frac { \eta _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } ^ { \prime } } { 3 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \eta _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } ^ { \prime } } { 9 } .
\begin{array} { r } { d I _ { \mathrm { B , p } } ( x , 0 , 0 ) / d x \vert _ { x = W / 2 } = 0 \, , \ \ \ \ \ d I _ { \mathrm { B , p } } ( z , 0 , 0 ) / d z \vert _ { z = H / 2 } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 x x _ { H } ^ { \prime } - y _ { H } ^ { \prime } } & { = 2 \left( 2 ^ { 2 H - 1 } - 1 \right) \cdot 2 ^ { 2 H } \log 2 - 3 ^ { 2 H } \log 3 + 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \log 2 } \\ & { = 2 ^ { 4 H } \log 2 - 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \log 2 - 3 ^ { 2 H } \log 3 + 2 \cdot 2 ^ { 2 H } \log 2 } \\ & { = 3 ^ { 2 H } \log 2 \left( \left( \frac 4 3 \right) ^ { 2 H } - \frac { \log 3 } { \log 2 } \right) < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { g } } \rho V _ { p } \overline { { a } } _ { x , j } ^ { k } N _ { j p } ^ { k } w _ { x , i } N _ { i p } ^ { k } = } & { - \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } ^ { k } w _ { x , i } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial x } - \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } ^ { k } \frac { \partial N _ { i p } ^ { k } } { \partial y } w _ { x , i } } \\ & { - \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } A _ { p } \tau _ { x z , p } ^ { k } w _ { x , i } N _ { i p } ^ { k } + \sum _ { p = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { g } } \rho V _ { p } b _ { x , p } ^ { k } \; w _ { x , i } N _ { i p } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } } { 2 } \left( 1 - \exp \left( - 2 \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) ~ , } \\ { \bigg \langle ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \, ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \bigg \rangle } & { = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) ^ { 2 } ~ , } \\ { \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { = C _ { 0 } \epsilon T _ { L } ^ { 2 } \left\{ \Delta t - \frac { T _ { L } } { 2 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] \left[ 3 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] \right\} ~ . } \end{array}