harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } = { \cal L _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \mu } \pi ) ^ { 2 } + \frac { g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } { 2 } ( D _ { \mu } \pi \cdot D ^ { \mu } \pi ) ^ { 2 } + \frac { g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } } { 2 } ( D _ { \mu } \pi \cdot D _ { \nu } \pi ) ( D _ { \mu } \pi \cdot D _ { \nu } \pi ) + \cdots
{ \left[ \alpha _ { s } ^ { n } \left( Q ^ { 2 } \right) \right] } _ { \mathrm { a n } } \equiv \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \xi } { \xi + Q ^ { 2 } - i \epsilon } \rho ^ { ( n ) } ( \xi ) \; ,
\operatorname* { s u p } _ { \nu > 0 } \left( \| u ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( 0 , T ; L ^ { r } ( \Omega ) ) } + \| p ^ { \nu } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( 0 , T ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \Omega ) ) } \right) < \infty ,
\begin{array} { r l } { A _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } ( \omega ) } & { { } = A _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } + \Xi _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } ( \omega ) } \\ { B _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } ( \omega ) } & { { } = B _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } + \Xi _ { i a , b j } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) \ = \ 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right) + 1 \ = } } \end{array}
\boldsymbol { Y } \approx \hat { \mathcal { M } } \left( \boldsymbol { X } \right) = \boldsymbol { \mu _ { \boldsymbol { Y } } } + \operatorname { d i a g } \left( \boldsymbol { \sigma _ { \boldsymbol { Y } } } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \left( \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } _ { j } } a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \Psi _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( \boldsymbol { X } \right) \right) \boldsymbol { \phi } _ { j }
d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 \sigma } \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + r _ { c } ^ { 2 } \, d \phi ^ { 2 } + R ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \omega ^ { 2 } ) ,
x _ { j } = r \frac { 2 u _ { j } } { 1 + \sum u _ { j } ^ { 2 } } \quad ( j = 1 \sim 3 ) , \quad x _ { 4 } = r \frac { - 1 + \sum u _ { j } ^ { 2 } } { 1 + \sum u _ { j } ^ { 2 } } .
( ~ H _ { I } ~ ) = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { G _ { 0 } } } } & { { z } } & { { \sqrt { 2 } z } } \\ { { z } } & { { m _ { s \bar { s } } } } & { { 0 } } \\ { { \sqrt { 2 } z } } & { { 0 } } & { { m _ { n \bar { n } } } } \end{array} \right) ,
U _ { \mathrm { F E N E } } ( r ) = - 0 . 5 K _ { \mathrm { F E N E } } R _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } \ln \left[ 1 - \left( \frac { r } { R _ { \mathrm { 0 } } } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \nu } { \partial r } = \frac { ( r U ) _ { r } - 1 } { \nu } = \frac { 1 } { \nu _ { 0 } } , \ \frac { \partial \nu } { \partial u } = \theta _ { * } \frac { r U _ { \theta } \cos u - 2 \gamma ^ { 2 } \sin u / \cos ^ { 5 } u } { \nu } = 0 , \ } \\ & { \frac { \partial \nu } { \partial \gamma } = \frac { - \gamma } { \nu \cos ^ { 4 } u } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { i } ^ { T } \mathbf { v } _ { j } } & { { } = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { i } + \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { T } ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } + \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } ) = \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } + \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } + \bar { \mathbf { v } } _ { j } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } + ( \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { T } \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } = \delta _ { i j } , } \end{array}
\textbf { B } ( x , y , s ) = \nabla \times \textbf { A } ( x , y , s ) = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \partial A _ { s } } { \partial y } - \frac { 1 } { 1 + \frac { x } { \rho } } \frac { \partial A _ { y } } { \partial s } } \\ { \frac { 1 } { 1 + \frac { x } { \rho } } \frac { \partial A _ { x } } { \partial s } - \frac { \partial A _ { s } } { \partial x } - \frac { A _ { s } } { \rho + x } } \\ { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } - \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } \end{array} \right] \overset { \overset { \mathrm { ~ g ~ a ~ u ~ g ~ e ~ } } { A _ { x } = A _ { y } = 0 } } { = } \left[ \begin{array} { l } { \frac { \partial A _ { s } } { \partial y } } \\ { - \frac { \partial A _ { s } } { \partial x } - \frac { A _ { s } } { \rho + x } } \\ { 0 } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l r } & { } & { Q _ { \Gamma , l } : = ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , x _ { l } ( \Gamma ) ] \times ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l } ( \Gamma ) ] , } \\ & { } & { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } : = [ a _ { l - 1 } ( \Gamma ) , c _ { l } ( \Gamma ) ] \times [ b _ { l - 1 } ( \Gamma ) , d _ { l } ( \Gamma ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { A } \hat { n } _ { \alpha } \epsilon _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha , \beta , \gamma , \delta } V _ { \alpha \beta , \delta \gamma } \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \gamma } \hat { a } _ { \delta } , } \end{array}
\langle g ( p , \theta ) \rangle = \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: p ( \theta , p | y ) g ( p , \theta ) = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp { ( - \beta \mathcal { H } ( p , \theta ) ) } \: g ( p , \theta ) \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } g ( p ^ { ( i ) } , \theta ^ { ( i ) } ) .
\begin{array} { r l } { | I _ { 1 } | } & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { \frac { 3 } { 2 } d } \frac { d w } { | w | ^ { 1 - \alpha } \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } d w } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } d ^ { \alpha } } \\ & { = C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } . } \end{array}
u ^ { 2 } = \frac { \gamma _ { 0 } R T } { M _ { \mathrm { m } } } \left( 1 + \frac { \beta _ { \mathrm { a } } ( T ) \, p } { R T } + \frac { \gamma _ { \mathrm { a } } ( T ) \, p ^ { 2 } } { R T } + \frac { \delta _ { \mathrm { a } } ( T ) \, p ^ { 3 } } { R T } + \cdots \right) ,
\begin{array} { r } { h _ { n } ^ { d } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left( 1 + \| h _ { n } x \| ^ { \beta } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( c _ { 0 } \wedge \frac { c _ { \ell } } { | h _ { n } x _ { i } | ^ { \ell } } \right) d x = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \left( 1 + \| u \| ^ { \beta } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( c _ { 0 } \wedge \frac { c _ { \ell } } { | u _ { i } | ^ { \ell } } \right) d u , } \end{array}
\begin{array} { c } { { { [ } a \dot { x } + i b \dot { y } ^ { * } { ] } _ { < 0 } = \xi _ { < 0 } ^ { x } } } \\ { { { [ } a \dot { y } - i b \dot { x } ^ { * } { ] } _ { < 0 } = \xi _ { < 0 } ^ { y } } } \end{array}
\rho \left( x , y , z , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 2 } & { \mathrm { i f } \; r \le 0 . 5 , } \\ { 1 . 1 2 5 } & { \mathrm { i f } \; r > 0 . 5 , } \end{array} \right. \qquad p \left( x , y , z , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { 2 } & { \mathrm { i f } \; r \le 0 . 5 , } \\ { 1 . 1 } & { \mathrm { i f } \; r > 0 . 5 , } \end{array} \right. \qquad \mathbf { u } \left( x , y , z , 0 \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { E _ { \pm } } & { = \frac { \omega _ { 1 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 1 } + \Lambda + \omega _ { 2 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 2 } + \Lambda } { 2 } } \\ & { \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left[ \left( \omega _ { 1 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 1 } \right) - \left( \omega _ { 2 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 2 } \right) \right] ^ { 2 } + 4 \Lambda ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { n m } ( \hat { x } , \hat { p } ) } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int \int d k _ { x } d k _ { p } f _ { n m } ( k _ { x } , k _ { p } ) e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathrm { R } ( T ^ { \prime } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 1 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] \mathbb { P } [ \mathcal { E } ] + \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 2 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] \mathbb { P } [ \mathcal { E } ] + 2 \mu ^ { \star } \cdot T L \left( \xi ( \omega _ { \mu } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ^ { \prime } ) \right) + 2 \mu ^ { \star } L } \\ & { \leq \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 1 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 2 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + 2 \mu ^ { \star } \cdot T L \left( \xi ( \omega _ { \mu } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ) + 2 \xi ( \omega _ { v } ^ { \prime } ) \right) + 2 \mu ^ { \star } L } \\ & { = \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 1 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + \mathbb { E } [ \mathrm { R } _ { 2 } ( T ^ { \prime } ) | \mathcal { E } ] + \mathrm { R } _ { 3 } ( T ) } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f } { \partial { z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } } = \sum _ { v = 1 } ^ { \infty } { \frac { \partial ^ { k _ { 1 } + \cdots + k _ { n } } f _ { v } } { \partial { z _ { 1 } } ^ { k _ { 1 } } \cdots \partial { z _ { n } } ^ { k _ { n } } } }
[ \hat { Q } _ { k } , \hat { P } _ { k ^ { \prime } } ] = i \hbar \delta _ { k k ^ { \prime } } \; \; , \; \; [ \hat { Q } _ { k } , \hat { Q } _ { k ^ { \prime } } ] = [ \hat { P } _ { k } , \hat { P } _ { k ^ { \prime } } ] = 0
{ \bf F } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla ( \partial { \bf X } / \partial \phi ) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf G } \; = \; \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, ( { \bf F } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf G } ) ,
\begin{array} { r l } & { \| \varepsilon \partial _ { t } b _ { j } + ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { j } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { j } ) a - 4 \pi \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { = \Big \| \varepsilon \frac { \dot { \gamma } } { 2 \gamma } b _ { j } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \partial _ { x _ { j } } c + \partial _ { x _ { k } } \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } + \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + e ^ { \gamma \psi } \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \Big \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon | \dot { \gamma } | \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| c \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \\ & { \quad + \| \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad + \| e ^ { \gamma \psi } \langle \mathfrak h _ { j } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \end{array}
\langle \mathrm { ^ 1 H , ^ { 1 } H } \rangle n \left( \mathrm { ^ 1 H } \right) ^ { 2 } / 2 ~ + ~ \langle \mathrm { ^ 1 H } , e ^ { - } + \mathrm { H } \rangle n ( e ) n ( \mathrm { H } ) ~ = ~ \langle \mathrm { ^ 1 H , ^ { 2 } H } \rangle n \left( \mathrm { ^ 1 H } \right) n \left( \mathrm { ^ 2 H } \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } ^ { { \boldsymbol { f } } } ( \mathbf { Q } , { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } ) } & { \simeq \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) \oplus \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } { \frac { d - \ell - 2 } { 2 a _ { d } } } } & { = { \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } \pi } } \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } { \frac { d - \ell + 2 } { 2 \Gamma ( { \frac { d - \ell } { 2 } } ) ^ { \frac { 2 } { d - \ell + 2 } } } } = \kappa ^ { 2 } \pi e \operatorname* { l i m } _ { d \to \infty } { \frac { d - \ell + 2 } { ( d - \ell ) ^ { \frac { d - \ell } { d - \ell + 2 } } } } = \kappa ^ { 2 } \pi e . } \end{array}
L ( \mathbf { z } | \theta , \mu , \lambda , \boldsymbol { \beta } , \sum ) = { | \sum | } ^ { - 1 / 2 } e x p \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { z } - \mu ) ^ { T } \, { \sum } ^ { - 1 } ( \mathbf { z } - \mu ) \right]
\begin{array} { r l } { \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } - \Delta \bigg ) | \psi _ { H } | _ { H , \omega } ^ { 2 } = } & { - 2 | \nabla \psi _ { H } | _ { H , \omega } ^ { 2 } - 2 \langle \psi _ { H } \circ R i c , \psi _ { H } \rangle _ { H , \omega } } \\ & { - 2 | \psi _ { H , D } \wedge \psi _ { H , D } | _ { H , \omega } ^ { 2 } + 8 \langle F _ { D } ^ { + } , \psi _ { H } \wedge \psi _ { H } \rangle _ { H , \omega } . } \end{array}
{ \mathbf Y } ( \tau ) = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf y } ( \tau ) } \\ { \tau } \end{array} \right) \; \; \; , \; \; \; { \mathbf U } ( { \mathbf Y } ) = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf u } ( { \mathbf y } , z ) } \\ { 1 } \end{array} \right)
M _ { d } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 } ^ { B } c _ { 1 } } } & { { c _ { 1 } ^ { B } c _ { 2 } } } & { { c _ { 1 } ^ { B } c _ { 3 } } } \\ { { b _ { 1 } } } & { { b _ { 2 } } } & { { b _ { 3 } } } \\ { { a _ { 1 } } } & { { a _ { 2 } } } & { { a _ { 3 } } } \end{array} \right) \ ,
\frac { E _ { \mathrm { t o r o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { D } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) - E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ,
\begin{array} { l } { \frac { \partial S _ { f } ( t , x ) } { \partial t } = a ( t ) S _ { f } ( t , x ) - \rho _ { s } ( t ) S _ { f } ( t , x ) - \beta ( t , x ) S _ { f } ( t , x ) I ( t , x ) + \gamma ( t ) I _ { f } ( t , x ) + \zeta ( t ) E _ { f } ( t ) , } \\ { \frac { \partial E _ { f } ( t , x ) } { \partial t } = \beta ( t , x ) S _ { f } ( t , x ) I ( t , x ) - \phi ( t ) E _ { f } ( t , x ) - \rho _ { e } ( t ) E _ { f } ( t , x ) - \zeta ( t ) E _ { f } ( t ) , } \\ { \frac { \partial I _ { f } ( t , x ) } { \partial t } = \phi ( t ) E _ { f } ( t , x ) - \gamma ( t ) I _ { f } ( t , x ) - \xi ( t ) I _ { f } ( t , x ) - \rho _ { i } ( t ) I _ { f } ( t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { I } } & { { } = } & { \left( x ^ { 3 } e ^ { - x } \right) y \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } , } \\ { \mathbf { I I } } & { { } = } & { 3 \left( x ^ { 2 } e ^ { - x } \right) y ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } , } \\ { \mathbf { I I I } } & { { } = } & { 2 \left( x e ^ { - x } \right) y ^ { 3 } \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } . } \end{array}
P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( f , f + 1 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) : = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } ^ { ( f + 1 ) } } \alpha _ { i } ^ { ( f , f + 1 ) } k \left( \boldsymbol { X } _ { i } , \boldsymbol { X } _ { q } \right) ~ .
\mathit { l M S E } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } W _ { i } \left( 1 0 l o g _ { 1 0 } \left( \widetilde { \omega } _ { i } ^ { 2 } Y _ { i } ^ { G E P } \right) - 1 0 l o g _ { 1 0 } Y _ { i } ^ { t r u e } \right) ^ { 2 }
E \equiv B + G = \left( \begin{array} { l l } { { ( G + B + { \frac { 1 } { 4 } } A ^ { K } A _ { K } ) _ { i j } } } & { { A _ { i J } } } \\ { { 0 } } & { { ( G + B ) _ { I J } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { S ^ { m } = \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \Bigg ( \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } } & { { } \Big ( \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \left( \Psi ^ { ( m ) } ( p + \mu _ { k } ) - \Psi ^ { ( m ) } ( p ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \omega } ( s _ { 2 } , s _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { = d _ { \omega } ( s _ { 2 } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) - d _ { \omega } ( s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \ge d _ { \omega } ( s _ { 2 } , x _ { 2 } ) - d _ { \omega } ( s _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ) - d _ { \omega } ( s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \ge k - \ell _ { 0 } - 2 d _ { \omega } ( s _ { 2 } ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } ) - 1 5 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { * ( 1 ) } } & { = - \frac { 1 } { 1 2 } \mathcal { A } ^ { 2 } \mathcal { B } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { U _ { q } ^ { * ( 1 ) } } & { = - \frac { 1 } { 1 2 } \mathcal { A } \mathcal { B } ^ { 2 } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \Omega _ { r } ^ { * ( 1 ) } } & { = 0 , } \\ { \phi ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 1 2 } t ^ { * 4 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
{ \bf f } ( { \bf z } ) = \left[ f _ { 1 } ( { \bf z } ) , f _ { 2 } ( { \bf z } ) , f _ { 3 } ( { \bf z } ) , f _ { 4 } ( { \bf z } ) , f _ { 5 } ( { \bf z } ) \right] ^ { T } = { \bf 0 }
\begin{array} { r l } & { f _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { i n d } } = - \left[ \frac { f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) - f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) } { \hbar \omega - \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \epsilon _ { \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \imath 0 } \right] { U } _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { e x t } } - } \\ & { \, \, \, \int \, \frac { d \omega ^ { \prime } d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \left[ \frac { f _ { \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } } ^ { \mathrm { i n d } } - f _ { \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } } ^ { \mathrm { i n d } } } { \hbar \omega - \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \epsilon _ { \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \imath 0 } \right] { U } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } } ^ { \mathrm { e x t } } \, . } \end{array}
\hat { \mathcal E } ( t , w , y ) = { { e } ^ { { \frac { w \left( { \mathrm { e } ^ { - \beta \, t } } - 1 \right) \left( w { \sigma } ^ { 2 } ( { { e } ^ { - \beta \, t } } + 1 ) + 4 \, i B \right) } { 4 \beta } } - i w e ^ { - \beta t } y } } \, \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { c } { \alpha } \\ { j } \end{array} \right) \, \Psi ^ { j } ( t , w ) .
\begin{array} { r } { \iota _ { M , \Delta s } ^ { ( T ) } = - \int \mathrm { d } ^ { M + 1 } \vec { u } \ P \left( \vec { u } | \alpha ( T ) \right) \partial _ { T } ^ { 2 } \log P \left( \vec { u } | \alpha ( T ) \right) . } \end{array}
{ \cal P } _ { \mathrm { r e c o n } } = 1 - \exp \left( - k _ { \mathrm { I } } \int \mathrm { d } ~ 3 \mathrm { \bf ~ x } \, \mathrm { d } t \; \Omega _ { \mathrm { m a x } } ~ + ( \mathrm { \bf ~ x } , t ) \, \Omega _ { \mathrm { m a x } } ~ - ( \mathrm { \bf ~ x } , t ) \right)
\Gamma ( \nu _ { 2 L } ^ { c } \rightarrow \nu _ { 1 R } ^ { c } \chi ) = \frac { h _ { 2 } ^ { 2 } } { 3 2 \pi } \sin ^ { 2 } { \theta } \cos ^ { 2 } { \theta } \frac { m _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } } { E _ { \nu _ { 2 } } }
\epsilon ( k _ { \perp } ) = C _ { 1 } ^ { - 3 / 2 } k _ { \perp } \overline { { \omega } } \Bigg ( \frac { k _ { \parallel } ^ { 3 } v _ { A } ^ { 3 } } { C _ { 2 } ^ { 3 } k _ { \perp } ^ { 3 } } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { F ^ { n } ( \mathbf { x } ) } & { : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } F _ { 1 } ( x ^ { i } ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } F _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) , } \\ { G ^ { n } ( \mathbf { x } ) } & { : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { 1 } ( x ^ { i } ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } G _ { 2 } ( x ^ { i } - x ^ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { L } ( \mathbf { x } ) } & { = \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \beta \nabla ^ { 2 } \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \cdot \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \approx \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \frac { \beta } { \rho } \bigl ( \nabla \mathcal { L } _ { p } \bigl ( \mathbf { x } + \rho \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \bigr ) - \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \\ & { = \bigl ( 1 - \frac { \beta } { \rho } \bigr ) \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \frac { \beta } { \rho } \nabla \mathcal { L } _ { p } \bigl ( \mathbf { x } + \rho \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \\ & { = ( 1 - \alpha ) \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) + \alpha \nabla \mathcal { L } _ { p } \bigl ( \mathbf { x } + \rho \nabla \mathcal { L } _ { p } ( \mathbf { x } ) \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { y } ^ { \mathrm { ~ f ~ w ~ d ~ } } ( \delta _ { y } ^ { \mathrm { ~ b ~ w ~ d ~ } } w ) \approx } & { { } Q _ { y } ^ { \mathrm { ~ f ~ w ~ d ~ } } f _ { w _ { y } } ^ { \mathrm { ~ b ~ w ~ d ~ } } } \end{array}
a _ { 3 } = 1 / 2 \ \ , \qquad a _ { n } = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { n ( n - 2 ) } { ( n - 1 ) ( n - 3 ) } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 3 } a _ { k + 2 } a _ { n - k } \ \ , \qquad n \ge 4 \ \ .
\begin{array} { r l r } { { \frac { d D } { d \ln Q ^ { 2 } } } } & { = } & { { \frac { \delta D } { \delta g _ { \Lambda } ^ { 2 } } } \, { \frac { \partial g _ { \Lambda } ^ { 2 } } { \partial \ln \Lambda ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { { \frac { \delta D } { \delta \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } \, { \frac { \partial \alpha ( Q ^ { 2 } ) } { \partial \ln Q ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
\nu _ { 4 } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } } \frac { S _ { O _ { 2 } } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } } \frac { K _ { M } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M } \ f _ { H }