harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f ( { \bf r } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \, e ^ { i \theta } \, \left( \frac { \partial } { \partial r } + \frac { i } { r } \, \frac { \partial } { \partial \theta } \right) \, \int _ { D } \, d ^ { 2 } r ^ { \prime } \, \ln { | { \bf r - r ^ { \prime } } | } \, e ^ { 2 \phi ( { \bf r ^ { \prime } } ) } \, b ( r ^ { \prime } e ^ { i \theta ^ { \prime } } ) + C \, ,
\nabla p - \mu \Delta \mathbf { u } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { L ^ { i } } d s ~ \mathbf { f } ^ { i } ( s ) \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { X } ^ { i } ( s ) ) ; ~ \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { u } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ S ^ { 2 } | { \bf n } , \beta ] } & { = \int d \boldsymbol { \rho } \; S ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) ^ { 2 } \; p ( \boldsymbol { \rho } | { \bf n } ) = \sum _ { i \neq j } ^ { K } \frac { ( n _ { i } + \beta ) \, ( n _ { j } + \beta ) } { ( N + K \beta + 1 ) \, ( N + K \beta ) } \, I _ { i , j } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } \frac { ( n _ { i } + \beta + 1 ) \, ( n _ { i } + \beta ) } { ( N + K \beta + 1 ) \, ( N + K \beta ) } \, J _ { i } \; , } \end{array}
U _ { \omega } : a | \omega \rangle + b | s \rangle \mapsto [ | \omega \rangle \, | s \rangle ] { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { - 2 / { \sqrt { N } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } .
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mu - \nu \partial _ { y y } \mu } & { = G ( \gamma ) , } \\ { \partial _ { t } \gamma + C _ { 1 } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma - \nu \nabla ^ { 2 } \gamma } & { = F ( \mu , \gamma ) , } \\ { \mu ( 0 , y ) } & { = \mu _ { 0 } ( y ) \in H ^ { s } ( \mathbb { T } _ { l } ) , } \\ { \gamma ( 0 , x , y ) } & { = \gamma _ { 0 } ( x , y ) \in H ^ { s } ( \mathbb { T } _ { l } ^ { 2 } ) , } \end{array} \right.
\operatorname { L i } _ { - n } ( z ) = ( - 1 ) ^ { n + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } k ! S ( n + 1 , k + 1 ) \left( { \frac { - 1 } { 1 - z } } \right) ^ { k + 1 } \qquad ( n = 1 , 2 , 3 , \ldots ) ,
\frac { k _ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } \varepsilon _ { S S l } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right) \sim \frac { k _ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } \varepsilon _ { S S l } \left[ \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \log \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \right] + \cdots
\begin{array} { r l } & { d _ { f _ { k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) [ h _ { k } ] ( \varphi ) } \\ & { = c \, \partial _ { \varphi } h _ { k } ( \varphi ) + h _ { k } ( \varphi ) \frac { \cos \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } { \sin ^ { 2 } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) + \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( h _ { k } ( \varphi ) \Big [ \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) + \partial _ { \theta } \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ] \Big ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f _ { k } } \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ^ { 8 } N _ { c } ( \vec { v } _ { i } , \vec { v } _ { o } ) } & { = n _ { g } \, d A \, d t \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 3 / 2 } v _ { i } \, \mathrm { c o s } \, \theta _ { i } \, e ^ { - v _ { i } ^ { 2 } \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { \times \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 4 } } v _ { o } \, \mathrm { c o s } \, \theta _ { o } \, \, e ^ { - v _ { o } ^ { 2 } \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } \, d \vec { v } _ { i } d \vec { v } _ { o } , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { { \cal L } _ { A } ^ { 2 n + 1 } a } } & { { = } } & { { e ^ { i \phi } \rho ^ { 2 n + 1 } a ^ { \dagger } } } \\ { { { \cal L } _ { A } ^ { 2 n } a } } & { { = } } & { { \rho ^ { 2 n } a } } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } e ^ { i \phi ( \xi ) + k z - \omega t } + b _ { 1 } e ^ { i k x . . . . . } + \frac { c _ { 2 } } { a e ^ { ( m \xi ) } + b e ^ { - ( m \xi ) } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { i \phi ( \xi ) + k z - \omega t } } \end{array}
\tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r _ { 0 } ) = \int _ { \Omega _ { \mathrm { { a b } } } } d \r \, \tilde { J } _ { \mathrm { { a b } } } ( s | \r ) \tilde { j } _ { \mathrm { { a b } } } ( \r , s | \r _ { 0 } ) .
\frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { \ell } } = \frac { 1 } { 8 \pi \mu r ^ { 5 } } \left( - 3 x _ { j } x _ { k } \delta _ { i \ell } S _ { j k } - 6 x _ { i } x _ { k } S _ { \ell k } + \frac { 1 5 x _ { i } x _ { j } x _ { k } x _ { \ell } S _ { j k } } { r ^ { 2 } } \right) .
\Psi _ { 2 } ^ { N + 1 } ( { \bf R } _ { N + 1 } ) = \sum _ { n } \frac { \delta D _ { k } ^ { N + 1 } } { \delta \varphi _ { k } ( { \bf r } _ { n } ) } \varphi _ { k } ( { \bf r } _ { n } ) e ^ { - U _ { N } ^ { n } ( { \bf R } _ { N + 1 } ) }
\begin{array} { r l } & { \frac { d \ensuremath { \mathrm { C H _ { 4 } } } } { d t } = E _ { a n t h r o } + E _ { b i o } + E _ { p f } - \frac { \ensuremath { \mathrm { C H _ { 4 } } } } { \nu _ { 1 } } } \\ & { \frac { d \ensuremath { \mathrm { N _ { 2 } O } } } { d t } = E _ { a n t h r o } - \frac { \ensuremath { \mathrm { N _ { 2 } O } } } { \nu _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( x , y ) } & { = O \left( \left( n ^ { 1 - \beta } \log ( n ) ^ { \gamma } \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \beta } } \exp \left( - \Omega \left( n ^ { - \beta } \log ( n ) ^ { \gamma } \left( n ^ { 1 - \beta } \log ( n ) ^ { \gamma } \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \beta } } \right) \right) \right) } \\ & { = O \left( n ^ { \beta } \log ( n ) ^ { \frac { \gamma \beta } { 1 - \beta } } \exp \left( - \Omega \left( \log ( n ) ^ { \frac { \gamma } { 1 - \beta } } \right) \right) \right) } \\ & { = o ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { T S } ^ { \infty } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { D V R } } } } & { W ( x _ { 1 } ^ { j } ) \left( | x _ { 1 } ^ { j } \rangle \langle x _ { 1 } ^ { j } | + | \tilde { x } _ { 1 } ^ { j } \rangle \langle \tilde { x } _ { 1 } ^ { j } | \right) } \\ & { - 2 W ( x _ { 1 } ^ { j } ) | x _ { 1 } ^ { \infty } \tilde { x } _ { 1 } ^ { j } \rangle \langle x _ { 1 } ^ { j } \tilde { x } _ { 1 } ^ { \infty } | . } \end{array}
c _ { \nu } ( x ) = \frac { 2 H \mathrm { i } \sin ( \frac { \pi } { 2 } \alpha ) \Gamma ( \alpha ) 2 ^ { 2 - \alpha } } { \pi \hbar } \int _ { 0 } ^ { L _ { k } } \frac { \sin ( 2 x k ) \sin ( 2 \pi \nu k / L _ { k } ) } { k ^ { \alpha } } \, \mathrm { d } k ,
\partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \hat { \Phi } _ { q } + \Biggl ( m _ { \mathrm { B } } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { \mathrm { B } } } { 2 } \phi _ { c } ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { \mathrm { B } } } { 2 } \langle \hat { \Phi } _ { q } ^ { 2 } \rangle \Biggr ) \hat { \Phi } _ { q } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } } ( \pi - \bar { \pi } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi } ( \mu ) = } & { - 2 \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } \operatorname* { m i n } _ { \bar { \pi } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } } \frac { 1 } { 2 \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } } ( \bar { \pi } - \pi ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi } ( \mu ) } \\ { \le } & { - 2 \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } \operatorname* { m i n } _ { \pi + \delta \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } , | | \delta | | _ { 2 } \le 1 } \delta ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi } ( \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k } } & { = - \tau _ { i j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } = - \tau _ { i j } \cdot S _ { i j } = - \langle \boldsymbol { \tau } , \mathbf { S } \rangle _ { F } = - \mathrm { t r } \left( \boldsymbol { \tau } \mathbf { S } \right) } \\ & { \in \left[ \rho _ { 1 } \sigma _ { 3 } + \rho _ { 2 } \sigma _ { 2 } + \rho _ { 3 } \sigma _ { 1 } , \, \rho _ { 1 } \sigma _ { 1 } + \rho _ { 2 } \sigma _ { 2 } + \rho _ { 3 } \sigma _ { 3 } \right] \ \mathrm { . } } \end{array}
\lambda ( q , \tilde { T } , \eta ) = e ^ { - \eta ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \tilde { \beta } n } } { Z } \eta ^ { 2 m } \frac { n ! } { ( n + q ) ! } L _ { n } ^ { q } ( \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
s \equiv l n \, \frac { l n \, [ Q ^ { 2 } / ( 0 . 2 9 9 \, \mathrm { { G e V } } ) ^ { 2 } ] } { l n \, [ \mu _ { \mathrm { N L O } } ^ { 2 } / ( 0 . 2 9 9 \, \mathrm { { G e V } } ) ^ { 2 } ] }
\begin{array} { r l } & { \frac { \left( \sqrt { 1 + \sqrt { 2 } } + \sqrt { 2 + \sqrt { 2 } } \right) \Gamma ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) } { 1 6 \pi ^ { 5 / 2 } } - \frac { \sqrt { 4 + \sqrt { 2 } + 2 ^ { 7 / 4 } } \Gamma ^ { 6 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) } { 2 5 6 \pi ^ { 9 / 2 } } = } \\ & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \left\lfloor \frac { n } { 2 } \right\rfloor } ( 2 n + 1 ) \mathrm { c s c h } ^ { 2 } ( ( 2 n + 1 ) \pi ) . } \end{array}
Y ( J _ { n _ { 1 } + 1 } ^ { a _ { 1 } } J _ { n _ { 2 } + 1 } ^ { a _ { 2 } } . . . J _ { n _ { k } + 1 } ^ { a _ { k } } 1 , z ) = : { \frac { \partial ^ { n _ { 1 } } } { \partial z ^ { n _ { 1 } } } } { \frac { J ^ { a _ { 1 } } ( z ) } { n _ { 1 } ! } } { \frac { \partial ^ { n _ { 2 } } } { \partial z ^ { n _ { 2 } } } } { \frac { J ^ { a _ { 2 } } ( z ) } { n _ { 2 } ! } } \cdots { \frac { \partial ^ { n _ { k } } } { \partial z ^ { n _ { k } } } } { \frac { J ^ { a _ { k } } ( z ) } { n _ { k } ! } } :
\begin{array} { r } { q _ { i \, R } = q _ { i } + \frac { \Delta x } { 2 } \Delta _ { i \, R } ^ { n } = q _ { i } + \frac { q _ { i } - q _ { i - 1 } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 q _ { i } - q _ { i - 1 } \right) , } \\ { q _ { i + 1 \, L } = q _ { i + 1 } - \Delta _ { i + 1 \, L } ^ { n } = q _ { i + 1 } - \frac { q _ { i + 2 } - q _ { i + 1 } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 q _ { i + 1 } - q _ { i + 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha } = } & { { } ~ \tilde { \rho } _ { \alpha } ^ { 2 } \upsilon _ { \alpha } , } \\ { \upsilon _ { \alpha } : = } & { { } ~ \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \tilde { \rho } _ { \alpha } } - \frac { 1 } { \tilde { \rho } _ { \alpha } } \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \tilde { \rho } _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\Phi _ { n + 1 } \left( z \right) : = { \bf E } \left( z ^ { X _ { n + 1 } } \right) = \phi _ { \beta } \left( z \right) \sum _ { x \geq 0 } { \bf P } \left( X _ { n } = x \right) \left( \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \overline { { \alpha } } ^ { x } z \frac { 1 - \left( z / \overline { { \alpha } } \right) ^ { x } } { \overline { { \alpha } } - z } \right)
R _ { \mathrm { H } ^ { + } , w } = R _ { \mathrm { O H } ^ { - } } = k _ { w } C _ { \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } } - k _ { w } ^ { \prime } C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } = k _ { e q } \left( K _ { w } - C _ { \mathrm { H } ^ { + } } C _ { \mathrm { O H } ^ { - } } \right)
\left[ \begin{array} { l l l l l } { \boldsymbol { D } _ { 1 } } & { \boldsymbol { C } _ { 1 } } & & & \\ { \boldsymbol { B } _ { 1 } } & { \boldsymbol { D } _ { 2 } } & { \boldsymbol { C } _ { 2 } } & & \\ & { \boldsymbol { \ddots } } & { \boldsymbol { \ddots } } & { \boldsymbol { \ddots } } & \\ & & { \boldsymbol { B } _ { L - 1 } } & { \boldsymbol { D } _ { L - 1 } } & { \boldsymbol { C } _ { L - 1 } } \\ & & & { \boldsymbol { B } _ { L } } & { \boldsymbol { D } _ { L } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { w } ^ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \rho u } ^ { 2 } } \\ { \boldsymbol { \vdots } } \\ { \boldsymbol { w } ^ { L - 1 } } \\ { \boldsymbol { \rho u } ^ { L } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { b } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { b } _ { 2 } } \\ { \boldsymbol { \vdots } } \\ { \boldsymbol { b } _ { L - 1 } } \\ { \boldsymbol { b } _ { L } } \end{array} \right] .
\frac { \sigma ( E _ { 1 } ) } { V } = \lambda ^ { - 1 } ( E _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 E _ { 1 } } \prod _ { i = 2 , 3 , 4 } d \rho _ { i } W _ { f i } f _ { 2 } ( E _ { 2 } ) ( 1 - f _ { 3 } ( E _ { 3 } ) ) \left( 1 - f _ { 4 } ( E _ { 4 } ) \right)
V ( r ; a , b ) = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { h ^ { \prime } ( r ; a , b ) } { r } + \frac { h ^ { \prime } ( r ; a , b ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { h ^ { \prime \prime } ( r ; a , b ) } { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } } & { { } = } & { \psi _ { 1 } ^ { i , j } - i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha } ( \psi _ { 1 } ^ { i + 1 , j } - 2 \psi _ { 1 } ^ { i , j } + \psi _ { 1 } ^ { i - 1 , j } ) + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha } ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) } \end{array}
{ \sf A } ( Q ^ { 2 } ) = { \sf A } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \left[ \frac { ^ { \mathrm { N } } \widetilde { \alpha } _ { \mathrm { a n } } ^ { ( 1 ) } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } { ^ { \mathrm { N } } \widetilde { \alpha } _ { \mathrm { a n } } ^ { ( 1 ) } ( Q ^ { 2 } ) } \right] ^ { \gamma } ,
\begin{array} { r l } { S _ { R } ^ { ( n ) } ( x ) } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { n ! } { m ! ( n - m ) ! } \ w ^ { m } ( 1 - w ) ^ { n - m } ( f _ { m } * g _ { n - m } * B ) ( x ) } \\ & { = ( 1 - w ) ^ { n } ( g _ { n } * B ) ( x ) } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { n ! } { m ! ( n - m ) ! } \ w ^ { m } ( 1 - w ) ^ { n - m } ( f _ { m } * g _ { n - m } * B ) ( x ) , } \end{array}
\lambda _ { 1 } ( t ) = \frac { 1 } { t } \ln \sqrt { \dot { \xi } _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) + \ddot { \xi } _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } , \; \; \lambda _ { 2 } ( t ) = 0 , \; \; \lambda _ { 3 } ( t ) = - \lambda _ { 1 } ( t ) .
\boldsymbol { w } ^ { i + 1 } = \tilde { \boldsymbol { w } } + \mathsf { K } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } ( \mathsf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } - \mathsf { H } ^ { \mathrm { ~ a ~ } } [ \tilde { \boldsymbol { w } } ] )
\widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 3 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 4 i } ^ { e q } } \end{array} \right] , \widetilde { \Lambda } _ { 1 i } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } \end{array} \right] , \widetilde { \Lambda } _ { 2 i } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \left\lbrace \overline { { u } } , \, \overline { { \tau } } \right\rbrace } & { { } \rightarrow 0 , } \\ { \left( \frac { \partial } { \partial \eta } + \left\vert { \kappa _ { z } } \right\vert \left( 2 \overline { { x } } \right) ^ { 1 / 2 } \right) \left\lbrace \overline { { v } } , \, \overline { { w } } , \, \overline { { p } } \right\rbrace } & { { } \rightarrow \left\lbrace - 1 , \, \mathrm { i } \kappa _ { y } ( 2 \overline { { x } } ) ^ { 1 / 2 } , \, 0 \right\rbrace e ^ { \mathrm { i } \left( \overline { { x } } + \kappa _ { y } \left( 2 \overline { { x } } \right) ^ { 1 / 2 } \overline { { \eta } } \right) } e ^ { - \left( \kappa _ { y } ^ { 2 } + \kappa _ { z } ^ { 2 } \right) \overline { { x } } } , } \end{array}
z ( 1 - z ) { \partial _ { z } } ^ { 2 } \Phi ( z ) + ( 1 - z ) \partial _ { z } \Phi ( z ) + \frac { \omega ^ { 2 } \ell ^ { 4 } } { 4 r _ { H } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { z } - 1 \right) \Phi ( z ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \Omega _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c } { ( - 1 ) ^ { i + 1 } \cos \psi _ { i } \cos \theta _ { i } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i + 1 } \sin \theta _ { i } } \\ { \sin \psi _ { i } } & { 1 } & { 0 } \\ { ( - 1 ) ^ { i + 1 } \cos \psi _ { i } \sin \theta _ { i } } & { 0 } & { ( - 1 ) ^ { i } \cos \theta _ { i } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \dot { \phi } _ { i } } \\ { \dot { \theta } _ { i } } \\ { \dot { \psi } _ { i } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r } & { = } & { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } , } \\ { A _ { i } } & { = } & { \frac { T _ { \perp i } } { T _ { \parallel i } } , } \\ { \sigma } & { = } & { \frac { \frac { 1 } { 2 } m n _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } } { B _ { 1 } ^ { 2 } / 8 \pi } , } \\ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { m v _ { 1 } ^ { 2 } } { k _ { B } T _ { \perp 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o r r } _ { x } ( z , t ) = } & { \frac { \langle u _ { z } B _ { x } \rangle - \langle u _ { z } \rangle \langle B _ { x } \rangle } { \operatorname* { m a x } _ { z } \left[ \sqrt { \langle u _ { z } ^ { 2 } \rangle - \langle u _ { z } \rangle ^ { 2 } } \sqrt { \langle B _ { x } ^ { 2 } \rangle - \langle B _ { x } \rangle ^ { 2 } } \right] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } & { { } = { v } _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { p _ { 1 } p _ { 2 } } \delta _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \delta _ { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( n ) } & { = 2 f ( { ( n - 5 ) / 8 } ) + f ( { ( n - 1 ) / 4 } ) + 2 f ( { ( n + 3 ) / 4 } ) } \\ & { \leq { ( n - 5 ) / 4 } - 2 ( { ( n - 5 ) / 8 } \bmod 2 ) + { ( n - 1 ) / 4 } - ( { ( n - 1 ) / 4 } \bmod 2 ) } \\ & { \quad \quad \quad + { ( n + 3 ) / 2 } - 2 ( { ( n + 3 ) / 4 } \bmod 2 ) } \\ & { \leq n - 1 , } \end{array}
{ \bf \bar { \Psi } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \bar { \cal W } ^ { 2 } } \nabla ^ { 4 } \ln { \cal W } , \: { \bf \Psi ^ { 2 } } = \frac { 1 } { { \cal W } ^ { 2 } } \bar { \nabla } ^ { 4 } \ln \bar { \cal W }
x ^ { \mu } - y ^ { \mu } + \frac { 2 i } { ( 1 ^ { 1 } 2 _ { 4 } ) } \xi _ { 2 / 4 } \sigma ^ { \mu } \bar { \theta } ^ { 1 } \, , \qquad \xi _ { 2 / 4 } \equiv [ ( 1 ^ { 2 } 2 _ { 4 } ) \theta _ { 2 } + ( 1 ^ { 3 } 2 _ { 4 } ) \theta _ { 3 } + ( 1 ^ { 4 } 2 _ { 4 } ) \theta _ { 4 } ]
\beta _ { 0 } = { \frac { \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 1 } } { \mathbf { r } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 0 } } } = { \frac { { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 2 8 1 0 } & { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } } { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } } = 0 . 0 0 8 8 .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \left( v _ { 0 } + \frac { \sigma \xi } { \tau } \right) ^ { 2 } + 2 g x } } & { { } \approx \sqrt { v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x } \left( 1 + \frac { v _ { 0 } \sigma \xi } { ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) \tau } + \frac { \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 2 ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) \tau ^ { 2 } } - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } { 2 ( v _ { 0 } ^ { 2 } + 2 g x ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\theta _ { 6 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathrm { i f } } & { x \in [ l _ { 1 } , a _ { 1 } + \epsilon ] , } \\ { 0 } & { \mathrm { i f } } & { x \in [ a _ { 2 } - \epsilon , L ] } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { 7 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \mathrm { i f } } & { x \in [ l _ { 1 } , a _ { 1 } + \epsilon ] , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } } & { x \in [ a _ { 2 } - \epsilon , L ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { m ! ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { [ ( m + 1 ) ! ] ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { h ^ { 2 ( m + 1 ) } } } \cdot \Gamma ( m + 3 / 2 ) \big ( 1 + { \frac { b _ { H } } { 3 / 2 - m } } \big ) \cdot { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } } } \\ & { } & { = s i n h ^ { - 1 } { h } - l n ( 2 \cdot h ) - { \frac { b } { 2 } } \cdot _ { 3 } F _ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } , 1 , 1 ; 2 , 2 ; - { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } } ) + { \frac { b } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 h ^ { 2 } } } , } \end{array}
{ \sqrt [ [object Object] ] { \tan ^ { 2 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \tan ^ { 2 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \tan ^ { 2 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } =
\begin{array} { r l } { w _ { \sigma , * } ( z ) - w _ { \tau , * } ( z ) } & { = \mathrm { p r } ^ { \tau } ( w _ { \sigma , * } ( z ) ) } \\ & { = \sum _ { \rho \in \sigma ( 1 ) \setminus \tau ( 1 ) } a _ { \rho } \; \mathrm { p r } ^ { \tau } ( u _ { \rho } ) } \\ & { = \sum _ { \eta \in \sigma ^ { \tau } ( 1 ) } a _ { \hat { \eta } } \; u _ { \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - ( n + 1 ) \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } - n - 1 ) } & { = e ^ { - t _ { N } \theta _ { N } } e ^ { ( t _ { N } - n - 1 ) \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( t _ { N } - n - 1 ) } \\ & { = e ^ { - t _ { N } \theta _ { N } } e ^ { m \theta _ { N } } Y _ { t _ { 1 } , \dots , t _ { N - 1 } } ( m ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \neq { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { s } A _ { l } ^ { 2 } } & { = } & { - \frac { e k _ { p } \mathrm { R e } ( E _ { p } ) } { m \omega _ { b } \sqrt { v _ { g _ { l } } v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \frac { \zeta _ { b } } { \zeta _ { l } } } A _ { l } [ A _ { b } + A _ { b _ { f } } ] , } \\ { \partial _ { s } A _ { b } ^ { 2 } } & { = } & { - \frac { e k _ { p } \mathrm { R e } ( E _ { p } ) } { m \omega _ { l } \sqrt { v _ { g _ { l } } v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \frac { \zeta _ { l } } { \zeta _ { b } } } A _ { l } A _ { b } , } \\ { E _ { p } } & { = } & { \frac { \Gamma _ { p } } { \gamma + \nu _ { p } - i \delta \omega } \sqrt { \frac { v _ { g _ { l } } } { v _ { g _ { b } } } } \sqrt { \zeta _ { l } \zeta _ { b } } E _ { l _ { 0 } } ^ { 2 } A _ { l } [ A _ { b } + A _ { b _ { f } } ] , } \end{array}
T _ { q } = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { 0 } } & { \textrm { i f } ~ \ell _ { T _ { 0 } } ^ { R } < \hat { \ell } , } \\ { + \infty } & { \textrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { T _ { I C C D 1 } = - \frac { i } { 2 } \exp ( i l \pi ) \left| l \right\rangle - \frac { i } { 2 } \left| l \right\rangle } \\ { T _ { I C C D 2 } = \frac { 1 } { 2 } \exp ( i l \pi ) ) \left| l \right\rangle - \frac { 1 } { 2 } \left| l \right\rangle } \end{array}