harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { f ^ { * * } ( y ) } & { = \left( y \cdot { \bar { p } } - f ^ { * } ( { \bar { p } } ) \right) | _ { ( f ^ { * } ) ^ { \prime } ( { \bar { p } } ) = y } } \\ & { = g ( { \bar { p } } ) \cdot { \bar { p } } - f ^ { * } ( { \bar { p } } ) } \\ & { = g ( { \bar { p } } ) \cdot { \bar { p } } - ( { \bar { p } } g ( { \bar { p } } ) - f ( g ( { \bar { p } } ) ) ) } \\ & { = f ( g ( { \bar { p } } ) ) } \\ & { = f ( y ) ~ . } \end{array} }
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { } } & { { h ^ { 0 , 0 } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { h ^ { 1 , 0 } \! } } & { { } } & { { \! h ^ { 0 , 1 } \! } } & { { } } \\ { { h ^ { 2 , 0 } \! } } & { { \! } } & { { h ^ { 1 , 1 } } } & { { \! } } & { { \! h ^ { 0 , 2 } } } \\ { { } } & { { h ^ { 2 , 1 } } } & { { } } & { { h ^ { 1 , 2 } } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { h ^ { 2 , 2 } } } & { { } } & { { } } \end{array} = \begin{array} { c c c c c } { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 0 \! } } & { { } } & { { \! 0 } } & { { } } \\ { { 1 \! } } & { { \! } } & { { 2 0 } } & { { \! } } & { { \! 1 } } \\ { { } } & { { 0 \! } } & { { } } & { { \! 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \end{array} \ .
\begin{array} { r l } { \mathrm { g l } _ { \sigma } : \prod _ { v \in V ( \Gamma _ { \sigma } ) } M } & { \longrightarrow \prod _ { e \in E ( \Gamma _ { \sigma } ) } M / \mathbb { Z } u _ { E } \times \prod _ { i = 1 } ^ { r } M / \gamma _ { i } ^ { \perp } } \\ { ( m _ { v } ) _ { v \in V ( \Gamma _ { \sigma } ) } } & { \longmapsto ( ( m _ { \partial ^ { + } E } - m _ { \partial ^ { - } E } ) _ { E \in E ( \Gamma _ { \sigma } ) } , m _ { \partial ^ { - } E } ) \, . } \end{array}
I _ { 0 } ^ { \tau } ( f ) = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { - i s \Phi } d s \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 1 } } \widehat { \overline { { f } } } _ { k _ { 2 } } \mathrm { e } ^ { i k x } \quad \mathrm { w i t h } \ \ \Phi = k ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } .
\{ { \cal K } , { \cal G } _ { i } \} = \theta \epsilon _ { i j } { \cal G } _ { i } , \qquad \{ { \cal K } , { \cal P } _ { i } \} = { \cal G } _ { i } , \qquad \{ { \cal D } , { \cal G } _ { i } \} = - { \cal G } _ { i } + \theta \epsilon _ { i j } { \cal P } _ { j } .
Q _ { \nu } ^ { i } \gamma _ { i j } { \cal G } ^ { j k } \gamma _ { k l } Q _ { \gamma } ^ { l } = c _ { \nu \gamma } - Q _ { \alpha ; j } ^ { i } { \cal E } _ { i } { \cal G } ^ { j k } N ^ { \alpha \beta } c _ { \beta \nu } \gamma _ { k l } Q _ { \gamma } ^ { l } .
{ \mathcal { L } } = - \frac { 1 } { 8 } \int { d ^ { 2 } \Theta 2 { \mathcal { E } } \left( \bar { \mathcal { D } } ^ { 2 } - 8 R \right) f } - \frac { 1 } { 8 } \int { d ^ { 2 } \bar { \Theta } 2 \bar { \mathcal { E } } \left( { \mathcal { D } } ^ { 2 } - 8 R ^ { \dagger } \right) f } .
j _ { i } = \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { q _ { p } } { \Delta t } \int _ { \mathbf { r } _ { p 1 } } ^ { \mathbf { r } _ { p 2 } } w _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { p } ) \cdot d \mathbf { r } _ { p } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathsf { V } } _ { \mathtt { R I V W } } } & { = \frac { \sum _ { j \in S _ { \lambda } } \left( \widehat \Gamma _ { j } \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } - \hat { \beta } _ { \mathtt { R I V W } } ( \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } - \hat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } ) \right) ^ { 2 } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 4 } } { \left( \sum _ { j \in S _ { \lambda } } \Big ( \widehat \gamma _ { j , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } - \hat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { \mathrm { 2 } } \Big ) / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \kappa ( x ) ( u _ { n , x x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d x d \tau } & { \le } & { \frac { r _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { n , x x } ^ { 2 } d x d \tau + R ( g , u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } \\ & { \leq } & { ( C _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) R ( g , u _ { 0 } , v _ { 0 } ) . } \end{array}
\left( - \frac { d ^ { 2 } } { d \tilde { \rho } ^ { 2 } } + \frac { - 1 / 4 } { \tilde { \rho } ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \tilde { \rho } ^ { 3 } } \right) \tilde { \phi } = \tilde { k } _ { i } ^ { 2 } \tilde { \phi }
x ^ { m + 1 , n + 1 , M N } = \frac { q ^ { m + n + 1 } } { \sqrt { ( 1 - q ^ { 2 ( m + 1 ) } ) ( 1 - q ^ { 2 ( n + 1 ) } ) } } \sum _ { K , L } c _ { \xi K } ^ { * M } c _ { \eta L } ^ { N } x ^ { m n K L }
\tilde { S } _ { 0 } ( x ^ { - } , x ^ { + } ) = - { \frac { f ^ { \prime } ( 0 ) } { 2 | 2 \mu ^ { \prime } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau \ \Delta ^ { 2 } ( \tau ) e ^ { - \tau }
( f \star g ) ( x , p ) = { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } } \, \int f ( x + x ^ { \prime } , p + p ^ { \prime } ) \, g ( x + x ^ { \prime \prime } , p + p ^ { \prime \prime } ) \, \exp { \left( { \frac { 2 i } { \hbar } } ( x ^ { \prime } p ^ { \prime \prime } - x ^ { \prime \prime } p ^ { \prime } ) \right) } \, d x ^ { \prime } d p ^ { \prime } d x ^ { \prime \prime } d p ^ { \prime \prime } ~ .
\delta _ { l s } \tilde { E } ^ { a } = - 2 i \tilde { E } ^ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } \epsilon ^ { \beta } ( x , \tilde { \theta } ( x ) ) \; , \quad \delta _ { l s } \tilde { E } ^ { \alpha } = { \cal D } \epsilon ^ { \alpha } ( x , \tilde { \theta } ( x ) ) + \ldots \; \quad \ldots
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } W _ { i } ( x ) \varepsilon _ { i } \right) ^ { 2 } \right] } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \mathbb E \left[ W _ { i } ( x ) W _ { j } ( x ) \mathbb E \left[ \varepsilon _ { i } \varepsilon _ { j } \, \big | \, X _ { 1 } , \dots , X _ { n } \right] \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb E \left[ W _ { i } ( x ) ^ { 2 } \mathbb E \left[ \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \, \big | \, X _ { i } \right] \right] } \\ & { \leq \sigma ^ { 2 } \mathbb E \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } W _ { i } ( x ) ^ { 2 } \right] \, , } \end{array}
\phi _ { \pm } ( x , t ) : = \frac { \pm \alpha _ { t } } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { ( \alpha _ { t } x ) ^ { 2 } } { 2 } } \quad \Phi _ { \pm } ( x , t ) : = \int _ { - \infty } ^ { \pm \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s : = \frac { \sqrt { \pi } } { \sqrt { 2 } } \left[ 1 + \mathrm { E r f } \left( \frac { \pm \alpha _ { t } x } { \sqrt { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } p _ { \eta } ( z ) | } & { | \mathrm { d e t } ( J _ { G } ( z ) ) | - | \mathrm { d e t } ( J _ { F } ( z ) ) | | \, d z } \\ & { \leq d ^ { \frac { d } { 2 } } \cdot \int _ { \Omega } p _ { \eta } ( z ) | J _ { g } ( z ) - J _ { F } ( z ) | _ { \ell ^ { 1 } } \cdot \operatorname* { m a x } \{ | J _ { F } ( z ) | _ { \ell ^ { 1 } } , | J _ { G } ( z ) | _ { \ell ^ { 1 } } \} ^ { d - 1 } \, d z } \\ & { \leq d ^ { \frac { d } { 2 } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { x \in \Omega } \operatorname* { m a x } \{ | J _ { F } ( x ) | _ { \ell ^ { 1 } } , | J _ { G } ( x ) | _ { \ell ^ { 1 } } \} ^ { d - 1 } \cdot \int _ { \Omega } p _ { \eta } ( z ) | J _ { G } ( z ) - J _ { F } ( z ) | _ { \ell ^ { 1 } } \, d z \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( f ) } & { { } = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } f ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t = \int _ { a } ^ { b } { \Big | } g ^ { \prime } ( \varphi ( t ) ) \varphi ^ { \prime } ( t ) { \Big | } \ d t } \end{array}
D _ { 1 1 1 1 } ^ { s } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { 2 } \left( - T e r m _ { 1 } - T e r m _ { 2 } ^ { \prime } + T e r m _ { 4 } + T e r m _ { 5 } + T e r m _ { 6 } + T e r m _ { 7 } \right) ^ { s } d s .
\sum _ { \ell = 1 } ^ { 5 } x _ { \ell } ^ { \frac { D } { w _ { \ell } } } + a _ { 0 } \prod _ { \ell = 1 } ^ { 5 } \left( x _ { \ell } \right) + \sum _ { i = 7 } ^ { r + 3 } a _ { i } \prod _ { \ell = 1 } ^ { 5 } x _ { \ell } ^ { n _ { i } ^ { \ell } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { a ^ { \alpha } } & { = d ^ { 2 \alpha \delta } e ^ { - \gamma \alpha } } \\ & { = d ^ { 2 ( 1 + \beta \gamma ) } e ^ { - \gamma \alpha } } \\ & { = d ^ { 2 } ( d ^ { 2 \beta } ) ^ { \gamma } ( e ^ { \alpha } ) ^ { - \gamma } } \\ & { = d ^ { 2 } ( e ^ { \alpha } ) ^ { \gamma } ( e ^ { \alpha } ) ^ { - \gamma } } \\ & { = d ^ { 2 } } \end{array}
f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { u n i f } } [ n ] ( q , \omega ) = \int f _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { u n i f } } [ n ] ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ) e ^ { i { \bf q } \cdot ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } ) } d { \bf r } ^ { \prime }
\left[ a ^ { 2 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { 2 } \partial _ { y } \frac { 1 } { a ^ { 2 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { y } a ^ { 2 } - \frac { 2 \kappa } { 3 } a ^ { 2 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \left( 1 + 2 \sum _ { \sigma } \lambda _ { \sigma } \delta ( y - y _ { \sigma } ) \right) \right] Y ^ { ( 1 ) } = 0 ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c c c } { N _ { R x , \pm } } \\ { N _ { R y , \pm } } \\ { N _ { R z , \pm } } \end{array} \right] = \frac 1 2 \left[ \begin{array} { c c c } { - ( k _ { 1 x } \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \pm k _ { 2 x } \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + k _ { 1 y } \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \pm k _ { 2 y } \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \mp \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) \prime } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) \prime } \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { - ( k _ { 1 x } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \pm k _ { 2 x } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + k _ { 1 y } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \pm k _ { 2 y } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \mp \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) \prime } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) \prime } \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { k _ { x 1 } \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } + k _ { x 2 } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { u } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + k _ { y 1 } \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } + k _ { y 2 } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \hat { v } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \mp \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) \prime } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \mp \hat { w } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \hat { w } _ { 2 } ^ { ( 1 ) \prime } } \end{array} \right] } \end{array}
f = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) - \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) + i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \tilde { \dot { g } } , \tilde { \dot { A } } ) .
\begin{array} { r l } { | \beta | = \left| e ^ { i n \phi } \left( 1 + r e ^ { i ( m \psi + \theta ) } \right) - 1 \right| } & { = \left| r + e ^ { - i ( m \psi + \theta ) } - e ^ { - i ( m \psi + n \phi + \theta ) } \right| } \\ & { \geq \Re \left( r + e ^ { - i ( m \psi + \theta ) } - e ^ { - i ( m \psi + n \phi + \theta ) } \right) } \\ & { = r + \Re \left( e ^ { - i ( m \psi + \theta ) } \right) - \Re \left( e ^ { - i ( m \psi + n \phi + \theta ) } \right) } \\ & { > r + 1 } \\ & { = | \alpha | + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { e M M } } } & { \approx \frac { m \Omega ^ { 2 } } { 1 6 k _ { B } } q _ { x } ^ { 2 } ( x _ { 0 } , 0 , 0 ) x _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { \approx \frac { m \Omega ^ { 2 } } { 1 6 k _ { B } } \left( \Delta q + \frac { ( x _ { 0 } - \delta x ) ^ { 2 } } { x _ { b } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { { } = \frac { f ^ { \prime 2 } } { \delta ^ { \prime } } \left( 1 - \frac { \sin \delta ^ { \prime } t } { \delta ^ { \prime } t } \right) , } \\ { \alpha } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \frac { f ^ { \prime } } { \delta ^ { \prime } } \left\{ \left[ \cos ( \delta ^ { \prime } t ) - 1 \right] e ^ { r } - i \sin ( \delta ^ { \prime } t ) e ^ { - r } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ker _ { \mathbb { Z } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 2 } & { - 6 } & { - 4 } \\ { 2 } & { 2 } & { 6 } & { 8 } \end{array} \right] \right) = \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { - 3 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \ \operatorname { i m } _ { \mathbb { Z } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 2 } & { - 6 } & { - 4 } \\ { 2 } & { 2 } & { 6 } & { 8 } \end{array} \right] \right) = \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { - 2 } \\ { 2 } \end{array} \right] \oplus \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 1 0 } \\ { - 8 } \\ { 0 } \end{array} \right] \oplus \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { - 2 0 } \\ { 2 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\overline { { v } } = \frac { \int _ { x _ { c l } } ^ { x _ { c r } } \int _ { 0 } ^ { h } v _ { x } \, d z \, d x } { \int _ { x _ { c l } } ^ { x _ { c r } } h \, d x } = \overline { { v } } _ { c a p , l } + \overline { { v } } _ { c a p , s } + \overline { { v } } _ { M a } + \overline { { v } } _ { e l } .
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q ) } & { { } = \xi \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | 0 0 \rangle | ^ { 2 } } \end{array}
{ \scriptstyle { \begin{array} { l } { { \begin{array} { r l } { x } & { = x ^ { \prime } } \\ { y } & { = y ^ { \prime } } \\ { t - z } & { = ( t ^ { \prime } - z ^ { \prime } ) e ^ { \vartheta } } \\ { t + z } & { = ( t ^ { \prime } + z ^ { \prime } ) e ^ { - \vartheta } } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { x = x _ { 0 } , \quad y = y _ { 0 } , \quad z = { \sqrt { z _ { 0 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } } \end{array} } }
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial t } } & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left[ \left( f ( \widehat { L } ) - \frac { D } { P ( \widehat { L } , t ) } \frac { \partial P ( \widehat { L } , t ) } { \partial \widehat { L } } \right) P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \ . } \end{array}
p _ { B } ( n , s ) = a _ { n } s ^ { ( n + 1 ) q } \exp { ( - b _ { n } s ^ { ( n + 1 ) q + 1 } ) } \int _ { 0 } ^ { s } p ( n - 1 , x ) \exp ( b _ { n } x ^ { ( n + 1 ) q + 1 } ) d x ,
\begin{array} { r } { \langle \delta v ( 0 ) \delta v ( \tau ) \rangle = g ^ { 2 } \bar { \ell } ^ { 2 } \langle \delta v _ { x } ( 0 ) \delta v _ { x } ( \tau ) \rangle \simeq \sigma _ { v _ { x } } ^ { 2 } e ^ { - \tau / \tau _ { v _ { x } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { A B } } & { { } = | \Psi \rangle \langle \Psi | = \frac { 1 } { 2 } ( | 0 0 \rangle \langle 0 0 | + | 0 0 \rangle \langle 1 1 | + | 1 1 \rangle \langle 0 0 | + | 1 1 \rangle \langle 1 1 | ) } \\ { \operatorname { t r } _ { B } \left( \rho _ { A B } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( | 0 \rangle \langle 0 | + | 1 \rangle \langle 1 | ) = \frac { \mathbb { 1 } _ { A } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( i + 1 , j ) - \psi ( i , j ) } & { = ( F _ { i + 1 } - F _ { 2 j + 1 } ) F _ { 2 j - 1 } - F _ { i - 1 } F _ { 2 j + 1 } - ( F _ { i } - F _ { 2 j + 1 } ) F _ { 2 j - 1 } - F _ { i - 2 } F _ { 2 j + 1 } } \\ & { = F _ { i - 1 } F _ { 2 j - 1 } - F _ { i - 3 } F _ { 2 j + 1 } } \\ & { = F _ { i - 2 j - 2 } \geq 0 . } \end{array}
\langle V _ { 3 } | = ( \langle 0 | \otimes \langle 0 | \otimes \langle 0 | ) \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } a _ { ( i ) } | V ^ { i j } | a _ { ( j ) } \right) \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u ( x , t ) | ^ { 2 } + q ( u ( x , t ) ) \right) d z + \int _ { \Omega _ { r } \cap B \cap P } M ( u ( x , \tau ) ) | \zeta ( x , \tau ) | ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { \leq } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + q ( u _ { 0 } ( x ) ) \right) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathbf { C } ( 2 ) } ( 3 ) } & { { } = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } ~ ~ q ( \mathrm { i } \neq \mathrm { j } ) } \end{array}
- i \, g ^ { \kappa \lambda } \, \frac { \delta _ { a b } } { l ^ { 2 } + i \eta } \rightarrow - i \, \left( g ^ { \kappa \lambda } - \frac { l ^ { \kappa } l ^ { \lambda } } { l ^ { 2 } + i \eta } \right) \, \frac { \delta _ { a b } } { l ^ { 2 } + i \eta } \, \Pi ( l ^ { 2 } ) \, ,
\mathbf { k } = ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } ) = \left( { \frac { r x + a y } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } , { \frac { r y - a x } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } , { \frac { z } { r } } \right)
\hat { H } = \frac { 1 } { 2 } \vec { \hat { p } } \cdot \Omega ( \vec { \hat { q } } ) + \frac { 1 } { 2 } \Omega ( \vec { \hat { q } } ) \cdot \vec { \hat { p } } + ( \frac { 1 } { 2 } \vec { \hat { p } } \cdot \Omega ( \vec { \hat { q } } ) - \frac { 1 } { 2 } \Omega ( \vec { \hat { q } } ) \cdot \vec { \hat { p } } )
\overline { { \mathfrak { E } } } ^ { i , j } : = \frac { 1 } { t _ { \operatorname* { m a x } } - s - t _ { \operatorname* { m i n } } + 1 } \sum _ { t _ { c } = t _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { t _ { \operatorname* { m a x } } - s } \mathfrak { E } _ { t _ { c } } ^ { i , j } , \mathrm { ~ a n d ~ } \overline { { \mathfrak { X } } } ^ { i , j } : = \frac { 1 } { t _ { \operatorname* { m a x } } - s - t _ { \operatorname* { m i n } } + 1 } \sum _ { t _ { c } = t _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { t _ { \operatorname* { m a x } } - s } \mathfrak { X } _ { t _ { c } } ^ { i , j } .
\mathbb { E } ( \widehat { T } _ { - , + } ) \; = \; \frac { \mathbb { E } \big ( \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \big ) } { \mathbb { E } ( \chi ) } \; = \; \frac { \widehat { y } _ { - } ^ { \prime } \big ( 1 - \mathbb { P } \big ( \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \} \big ) \big ) \, + \, \widehat { y } _ { + } ^ { \prime } \mathbb { P } \big ( \{ \widehat { y } _ { \widehat { T } _ { - , + } } \geq \widehat { y } _ { + } \} \big ) } { \mathbb { E } ( \chi ) } \, .
{ \cal { L } } _ { D } = { \cal { L } } _ { E } + \sum _ { \vec { n } } ~ i { \frac { 1 } { M _ { P } } } \bar { \psi } \gamma ^ { c } \sigma ^ { a b } \psi ~ \partial _ { [ c } { \tilde { B } ^ { \vec { n } } } _ { ~ a b ] } - i { \frac { 1 4 4 q m } { M _ { P } } } ~ \bar { \psi } \gamma _ { 5 } ~ \psi ~ \chi
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \vec { w } _ { \omega } } & { { } = i \omega \delta \phi _ { \omega } \left( \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } + \frac { 1 } { 1 - \phi _ { 0 } } \right) \ , } \\ { \left( \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } \right) \nabla \cdot \vec { u } _ { \omega } } & { { } = i \omega \delta \phi _ { \omega } \left( \frac { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } } { \phi _ { 0 } } - \frac { \eta ^ { \mathrm { s } } } { 1 - \phi _ { 0 } } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } ^ { 3 } } & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \delta ^ { 3 } } { u + \sigma ^ { 2 } t } \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } t } = \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { 1 + t } \leq \frac { \delta ^ { 3 } } { \sigma ^ { 2 } } \ln ( T + 1 ) = \frac { b ^ { 2 } M ^ { 2 } \ln ( T + 1 ) } { 1 6 \tilde { L } } } \end{array}
k ^ { 2 } ( \bar { s } ) \, = \, 1 \, - \, \mu ^ { 2 } \, \frac { ( \operatorname { t a n h } \bar { s } ) ^ { 2 } \, - \, 1 } { ( \operatorname { t a n h } \bar { s } ) ^ { 2 } \, - \, \mu ^ { 2 } } \, { . }
{ \cal F } _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } ^ { i } = \partial _ { \bar { \mu } } { \cal A } _ { \bar { \nu } } ^ { i } - \partial _ { \bar { \nu } } { \cal A } _ { \bar { \mu } } ^ { i } , \ \ \ H _ { \bar { \mu } \bar { \nu } \bar { \rho } } = ( \partial _ { \bar { \mu } } B _ { \bar { \nu } \bar { \rho } } + 2 { \cal A } _ { \bar { \mu } } ^ { i } L _ { i j } { \cal F } _ { \bar { \nu } \bar { \rho } } ^ { j } ) + \mathrm { c y c . \ p e r m s . } .
\frac { \varphi ^ { \prime } } { z } \left( \left( \cos ^ { - 1 } \varphi ^ { \prime } - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 } - ( \pi - \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } z ^ { 2 } \right) \geq \frac { 2 c } { \pi z } ( \pi - \varepsilon _ { 0 } ) ( \frac { \pi - \varepsilon _ { 0 } } { 2 } - c ( \pi - \varepsilon ) ^ { 2 } ) ( \pi - \varepsilon ) ^ { 2 } ( \frac { 1 } { 2 } - z ) ^ { 2 } .
X _ { a - 1 , a + 1 } ^ { a } ( u ^ { ' } ) X _ { a + 1 , a - 1 } ^ { a } ( u ) = X _ { a - 1 , a + 1 } ^ { a } ( u ) X _ { a + 1 , a - 1 } ^ { a } ( u ^ { ' } ) \; ; 2 \leq a \leq p - 2
\begin{array} { r } { \langle \Phi _ { v } ^ { * } | [ ( H e ^ { T } ) _ { l } - E _ { v } ] S _ { v } | \Phi _ { v } \rangle = - \langle \Phi _ { v } ^ { * } | ( H e ^ { T } ) _ { l } | \Phi _ { v } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { v e c } ( { P } ^ { 0 } ) } \\ { \vdots } \\ { \mathrm { v e c } ( P ^ { d } ) } \end{array} \right] = { \cal A } ^ { \prime } \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { v e c } ( { P } ^ { 0 } ) } \\ { \vdots } \\ { \mathrm { v e c } ( P ^ { d } ) } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { v e c } ( Q ) } \\ { \vdots } \\ { \mathrm { v e c } ( Q ) } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \cal T } _ { k k ^ { \prime } } = - i ( \underline { { \lambda } } _ { k } - \underline { { \lambda } } _ { k ^ { \prime } } ) ( y _ { D } ^ { 0 } - x _ { S } ^ { 0 } ) - C _ { k } ( \underline { { \lambda } } _ { k } , x _ { S } , y _ { D } ) - C _ { k ^ { \prime } } ( \underline { { \lambda } } _ { k ^ { \prime } } , x _ { S } , y _ { D } ) .
\begin{array} { r } { 2 \rho e = \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } ( m C ^ { 2 } + 2 I ) f ( t , \mathbf x , \mathbf c , I ) \varphi ( I ) \textrm { d } I \textrm { d } \mathbf c , \quad 3 ( p + \Pi ) = \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { \infty } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } m C ^ { 2 } f ( t , \mathbf x , \mathbf c , I ) \varphi ( I ) \textrm { d } I \textrm { d } \mathbf c . } \end{array}
{ \cal S } ^ { i l } = \frac 1 { 3 \rho } ( C ^ { i j k l } + C ^ { i k l j } + C ^ { i l j k } ) n _ { j } n _ { k } = \frac 1 { 3 \rho } ( 2 C ^ { i j k l } + C ^ { i l j k } ) n _ { j } n _ { k }
\begin{array} { r l r } { P _ { f a r } ( \vec { x } _ { f } , \vec { x } _ { i } ) } & { { } = } & { \langle \vec { x } _ { f } | \Psi _ { D S } \rangle \langle \Psi _ { D S } | \vec { x } _ { i } \rangle } \end{array}
\phi _ { E } ( \omega ) = \phi _ { D } ( \omega ) = - t a n ^ { - 1 } ( \frac { 2 \gamma _ { 0 } \omega } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } ) \approx - t a n ^ { - 1 } \left( \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { r l } { p _ { i } + q _ { 0 } - 2 - p _ { i } \frac { q _ { 0 } } { n + 1 } } & { = p _ { i } \frac { n + 1 - q _ { 0 } } { n + 1 } + q _ { 0 } - 2 } \\ & { = \left( \frac { 2 ( n + 1 ) } { n + 1 - q _ { 0 } } - \delta \right) \frac { n + 1 - q _ { 0 } } { n + 1 } + q _ { 0 } - 2 } \\ & { = q _ { 0 } - \frac { n + 1 - q _ { 0 } } { n + 1 } \delta . } \end{array}