harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { x _ { I , \alpha } } \\ { \partial _ { I , \alpha } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l } { \partial _ { I , \alpha } ^ { \lambda } } \\ { - \lambda _ { I , \alpha } } \end{array} \right) , \ \ \ \left( \begin{array} { l } { x _ { I , m + \stackrel { \cdot } \alpha } } \\ { \partial _ { I , m + \stackrel { \cdot } \alpha } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l } { \bar { \lambda } _ { I , \stackrel { \cdot } \alpha } } \\ { \bar { \partial } _ { I , \stackrel { \cdot } \alpha } ^ { \lambda } } \end{array} \right) ,
[ { \pmb w } , { \pmb w } ^ { \prime } ] = \int _ { \partial D _ { \infty } } \left( { \pmb \sigma } \{ { \pmb w } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb w } ( { \pmb x } ) - { \pmb \sigma } \{ { \pmb w } ( { \pmb x } ) \} \cdot { \pmb w } ^ { \prime } ( { \pmb x } ) \right) \cdot { \pmb n } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) = 0
{ N _ { X } } ( u ) = 6 4 \left( { 3 + \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \sin { \left[ u \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } + 6 4 \sin { \left[ u \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } ,
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { { } = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } } { 2 } \left( 1 - \exp \left( - 2 \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) ~ , } \\ { \bigg \langle ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \, ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \bigg \rangle } & { { } = C _ { 0 } \epsilon \frac { T _ { L } ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right) ^ { 2 } ~ , } \\ { \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { { } = C _ { 0 } \epsilon T _ { L } ^ { 2 } \left\{ \Delta t - \frac { T _ { L } } { 2 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] \left[ 3 - \exp \left( - \frac { \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] \right\} ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { i j } ( { \bf E } , { \bf B } ) \! } & { { } = } & { \! \left\{ 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { ( \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } ) } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - { \cal F } } \beta ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } \right. } \\ { ( \mu _ { i j } ) ^ { - 1 } ( { \bf E } , { \bf B } ) \! } & { { } = } & { \! \left\{ 1 + \frac { \alpha _ { D } } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \frac { ( \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + 4 \beta \, \sqrt { - { \cal F } } \, { \cal F } ) } { \sqrt { 2 } \, { \cal G } ^ { 2 } + \sqrt { - { \cal F } } \beta ( - 2 { \cal F } + \beta ^ { 2 } ) } \right. } \end{array}
\mathrm { p r } ( x ) = \rho ( \Delta a ) = \rho ( \Delta A x ) = \bigg ( \frac { m } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { F } } \bigg ) ^ { T _ { a } - 1 } e ^ { - \frac { m ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } | | \Delta A x | | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { T ^ { 0 0 } } & { { } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m c ^ { 4 } } } \left( \partial _ { 0 } { \bar { \phi } } \partial _ { 0 } \phi + c ^ { 2 } \partial _ { k } { \bar { \phi } } \partial _ { k } \phi \right) + m { \bar { \phi } } \phi , } \\ { T ^ { 0 i } = T ^ { i 0 } } & { { } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m c ^ { 2 } } } \left( \partial _ { 0 } { \bar { \phi } } \partial _ { i } \phi + \partial _ { i } { \bar { \phi } } \partial _ { 0 } \phi \right) , \ \mathrm { a n d } } \\ { T ^ { i j } } & { { } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \left( \partial _ { i } { \bar { \phi } } \partial _ { j } \phi + \partial _ { j } { \bar { \phi } } \partial _ { i } \phi \right) - \delta _ { i j } \left( { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } { \bar { \phi } } \partial _ { \beta } \phi + m c ^ { 2 } { \bar { \phi } } \phi \right) . } \end{array}
\omega _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( - ( \mathcal { M } + \mathcal { D } ) \pm \sqrt { ( \mathcal { M } - \mathcal { D } ) ^ { 2 } - 4 \mathcal { X } } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) ,
\underbrace { \frac { 5 \pi \rho _ { f } L ^ { 3 } } { 2 4 ( \ln 2 \kappa ) ^ { 2 } } ( \boldsymbol { W } \cdot \boldsymbol { p } ) ( \boldsymbol { W } \times \boldsymbol { p } ) } _ { \textit { i n e r t i a l s e d i m e n t a t i o n } } - \underbrace { \frac { \pi \mu L ^ { 3 } } { 3 \ln ( 2 \kappa ) } ( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } ) . \boldsymbol { \Omega } _ { \textit { r e l } } } _ { \textit { r e l a t i v e r o t a t i o n } } + \underbrace { \frac { \pi \mu L ^ { 3 } } { 3 \ln ( 2 \kappa ) } ( \boldsymbol { p } \times ( \boldsymbol { S } \cdot \boldsymbol { p } ) ) } _ { \textit { t u r b u l e n t s t r a i n } } = 0 .
\tau = 2 i \beta _ { 1 } e ^ { - i \beta _ { M } L ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { - \texttt { \textbf { M } } _ { 2 1 } + \beta _ { 1 } \beta _ { M } \texttt { \textbf { M } } _ { 1 2 } + i ( \beta _ { 1 } \texttt { \textbf { M } } _ { 2 2 } + \beta _ { M } \texttt { \textbf { M } } _ { 1 1 } ) } \right]
\left( \frac { 1 } { { N _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } } } \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } } q _ { i } - \frac { 1 } { { N _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ i ~ l ~ d ~ } } } } \sum _ { j } ^ { N _ { c h i l d } } q _ { j } \right) < s \cdot \sigma ( q _ { i } ^ { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ e ~ n ~ t ~ } } )
\begin{array} { r } { \chi ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \frac { 4 \pi } { q ^ { 2 } } \left[ 1 - G ( \mathbf { q } , \omega ) \right] \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } = - \int _ { \mathbb R } ( \mathscr { N } h \mathscr { Q } h ) _ { x x x } \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 4 } \left( ( \mathscr { Q } h ) ^ { 2 } \right) \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x = - \int _ { \mathbb R } \partial _ { x } ^ { 2 } \left( ( \mathscr { Q } h _ { x } ) ^ { 2 } - \mathscr { Q } h \mathscr { L } h \right) \partial _ { x } ^ { 3 } v \ d x . } \end{array}
\rho \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 S } } \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { S 3 } } \mathbf { W } _ { \mathrm { 3 } } ^ { - 1 } \right) < 1
\hat { \Gamma } ( b \bar { b } ( ^ { 3 } S _ { 1 } , \underline { { { 1 } } } ) \to g g g ) = \frac { 2 0 \alpha _ { s } ^ { 3 } } { 2 4 3 m _ { b } ^ { 2 } } \; ( \pi ^ { 2 } - 9 ) \; \; ,
F ^ { * } ( u \; d y ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge d y ^ { n } ) = ( u \circ F ) \operatorname* { d e t } \left( { \frac { \partial F ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) d x ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge d x ^ { n }
\begin{array} { r l } & { \forall \widetilde { \mu } _ { k } \in \mathcal { G } _ { T } , \ \forall i = 1 , \cdots , N _ { \mu , T } , \ \forall n = 0 , \cdots , N _ { T } , } \\ & { \quad \quad \quad A _ { i } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) = \int _ { \Omega } \widetilde { u _ { H } } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \Phi _ { i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \\ & { \quad \quad \quad B _ { i } ^ { p , n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) = \int _ { \Omega } \Psi _ { p , h } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \zeta _ { p , i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { e i t h e r } } & & { \bar { x } \in \Gamma _ { \textsc { o p } } ^ { + } = \partial \Omega _ { u } ^ { + } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { - } , } \\ & { \mathrm { o r ~ } } & & { \bar { x } \in \Gamma _ { \textsc { t p } } = \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap \partial \Omega _ { u } ^ { - } . } \end{array}
\hat { T } = \exp \{ - a _ { 0 } [ \, \frac { g ^ { 2 } } { 2 a } \sum _ { \ell } \hat { E } _ { \ell } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 a g ^ { 2 } } \sum _ { p } ( \hat { W } _ { p } + \hat { W } _ { p } ^ { \dagger } ) \, ] \, + O ( a _ { 0 } ^ { 2 } ) \} ,
\left[ \begin{array} { l l l } { \textbf { \textit { M } } _ { b } } & { \textbf { \textit { 0 } } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { b } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \textbf { \textit { 0 } } } & { \textbf { \textit { M } } _ { e } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { e } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \boldsymbol { \Phi } _ { b } } & { \boldsymbol { \Phi } _ { e } } & { \textbf { \textit { 0 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \ddot { q } } _ { b } } \\ { \boldsymbol { \ddot { e } } } \\ { \lambda } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \textbf { \textit { Q } } _ { b } } \\ { \textbf { \textit { Q } } _ { e } } \\ { \textbf { \textit { Q } } } \end{array} \right]
\left[ \left( \frac { \partial } { \partial Y } - \frac { 2 \pi N _ { A } } { \kappa L _ { 2 } } \frac { \partial } { \partial \theta } \right) , \left( \frac { N _ { A } } { L _ { 1 } } \theta + \frac { 2 \pi { N _ { A } } ^ { 2 } } { \kappa L _ { 1 } L _ { 2 } } Y \right) \right] = 0
{ \mathrm { \boldmath ~ E ~ } } _ { j k } ( \zeta ) = \left( \begin{array} { c c } { { E _ { j k } ( \frac { 3 } { 2 } ; \alpha _ { p } | \zeta ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { E _ { j \, k - 1 } ( \frac { 5 } { 2 } ; \alpha _ { p } ^ { \prime } | \zeta ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } & { = } & { \left\langle r , \phi , z | n , m \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } } \\ & { } & { L _ { n } ^ { m } \left( 2 \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \| \xi ^ { \nu } ( t ) \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { p } } + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \xi ^ { \nu } | ^ { p - 2 } | \nabla _ { x } \xi ^ { \nu } | ^ { 2 } d x d s \leq C ( p ) \left( \| \xi _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { p } + \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { p } \right) } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } ( \tau _ { \ell } ) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s } } - \ell } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - \ell } ( \tilde { x } _ { n + \ell } - \tilde { x } _ { n } ) ^ { 2 }
\partial _ { t } \Delta \phi \approx \boldsymbol { \varphi } _ { 1 } ^ { \dagger } \left( T _ { 0 } / 2 \right) \mathbf { u } _ { 2 } \left( T _ { 0 } / 2 \right) - \boldsymbol { \varphi } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( 0 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( 0 \right) ,
\begin{array} { r l } & { { \left[ \gamma ^ { - 2 } + \left( \frac { v _ { z } } { c } \right) ^ { 2 } \right] \frac { d v _ { z } } { d t } \cong - \frac { \omega } { B _ { 0 } } \gamma ^ { - 3 } \left[ 1 - \frac { \omega \omega _ { c } ( z ) } { c ^ { 2 } k _ { \perp } ^ { 2 } } \right] \frac { E _ { 0 } ^ { h f } } { J _ { 1 } \left( P _ { 0 1 } \right) } } } \\ & { \times J _ { 1 } \left( k _ { \perp } r \right) \cos \varphi _ { p } - \frac { v _ { \varphi } ^ { 2 } } { 2 \left( \dot { \varphi } _ { p } + 1 \right) } \frac { d b ( z ) } { d z } \gamma ^ { - 3 } - \frac { v _ { z } v _ { \varphi } } { c ^ { 2 } } \frac { d v _ { \varphi } } { d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } \sigma ^ { \mathrm { ( t w , c i r c ) } } } { \mathrm { d } \Omega _ { p } } \left( \theta _ { p } , \phi _ { p } ; \, \theta _ { c } \right) } & { { } = } & { \mathcal { N } \frac { 1 } { 2 J _ { i } + 1 } \times \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { p o t } } } & { = E _ { \mathrm { B o n d } } + E _ { \mathrm { A n g l e } } + E _ { \mathrm { T o r s i o n } } + E _ { \mathrm { P l a n e } } + E _ { \mathrm { c r o s s } } } \\ & { + E _ { \mathrm { C o u l o m b } } + E _ { \mathrm { v d W } } } \\ { E _ { \mathrm { B o n d } } } & { = \sum _ { i , j \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 2 } ^ { 4 } K _ { n , i j } ( r _ { i j } - r _ { 0 , i j } ) ^ { n } } \\ { E _ { \mathrm { A n g l e } } } & { = \sum _ { i , j , k \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 2 } ^ { 4 } K _ { n , i j k } ( \theta _ { i j k } - \theta _ { 0 , i j k } ) ^ { n } } \\ { E _ { \mathrm { T o r s i o n } } } & { = \sum _ { i , j , k , l \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } K _ { n , i j k l } ( 1 - \cos ( n \phi _ { i j k l } - \phi _ { n , i j k l } ) ) } \\ { E _ { \mathrm { P l a n e } } } & { = \sum _ { i , j , k , l \mathrm { ~ b o n d e d } } K \left( \frac { \chi _ { i j k l } + \chi _ { k j l i } + \chi _ { l j i k } } { 3 } - \chi _ { 0 , i j k l } \right) } \\ { E _ { \mathrm { C o u l o m b } } } & { = \sum _ { i , j \mathrm { ~ n o t ~ b o n d e d } } a _ { i j } \frac { q _ { i } q _ { j } } { r _ { i j } } } \\ { E _ { \mathrm { v d W } } } & { = \sum _ { i , j \mathrm { ~ n o t ~ b o n d e d } } \epsilon _ { i j } \left( 2 \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 9 } - 3 \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ( \xi , \zeta | { a } , { c } ) } & { { } = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Theta ( W - | t - t ^ { \prime } | ) P ( t | { a } , \xi ) P ( t ^ { \prime } | { c } , \zeta ) \, d t \, d t ^ { \prime } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { * } } & { { } \sim \frac { 1 } { \vert \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \vert ^ { 2 } } \sum _ { k } \frac { \chi ^ { k } } { \vert \boldsymbol { q } ^ { k } \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { z } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac 1 { \ell + 1 } \sqrt { \frac { ( \ell - m + 1 ) ( \ell + m + 1 ) \ell ( \ell + 2 ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } } } \\ { \Lambda _ { z } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac m { \ell ( \ell + 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d i v } _ { x } ( u \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] ) = \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ ( u \cdot \nabla _ { x } \mathfrak { h } ) ] + ( \mathrm { d i v } _ { x } u ) \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] + \mathrm { K } _ { ( u \cdot \nabla _ { x } ) G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] - \mathrm { K } _ { ( G \cdot \nabla _ { x } ) \widetilde { u } } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \mathfrak { h } ] + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathrm { K } _ { ( u _ { i } - \widetilde { u } _ { i } ) G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ \partial _ { i } \mathfrak { h } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { = } & { \Omega _ { a } \frac { d } { d \Omega _ { a } } \left. \left< \hat { \mathcal X } \right> \right| _ { \Omega _ { a } = 0 } } \\ & { = } & { 2 \cdot \frac { 1 } { \left( \gamma _ { 2 } + \frac { \omega _ { p } \sigma } { c } \Gamma + \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma } { \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \left( 1 + \Gamma ^ { \prime } \right) \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } \gamma } { \left( \Omega _ { L O } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } 2 \Omega _ { L O } \cdot N \Omega _ { p } \Omega _ { a } t _ { \mathrm { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ^ { - 1 } ~ = ~ } & { \prod _ { n \in \mathbb { Z } } \left[ - \frac { 2 \pi i n } { \beta } + \omega \right] } \\ { ~ = ~ } & { \omega \prod _ { n \in \mathbb { N } } \left[ \left( \frac { 2 \pi n } { \beta } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right] } \\ { ~ = ~ } & { \omega \left[ \prod _ { n \in \mathbb { N } } \frac { 2 \pi } { \beta } \right] ^ { 2 } \left[ \prod _ { n \in \mathbb { N } } n \right] ^ { 2 } \prod _ { n \in \mathbb { N } } \left[ 1 + \left( \frac { \beta \omega } { 2 \pi n } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { ~ \stackrel { ( 2 ) } { = } ~ } & { \omega \cdot \frac { \beta } { 2 \pi } \cdot 2 \pi \cdot \frac { \sinh \frac { \beta \omega } { 2 } } { \frac { \beta \omega } { 2 } } } \\ { ~ = ~ } & { 2 \sinh \frac { \beta \omega } { 2 } } \\ { ~ = ~ } & { \left( \sum _ { n \in \mathbb { N } _ { 0 } } e ^ { - ( n + 1 / 2 ) \beta \omega } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
W _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { ( A ) } } = \varepsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \, n ^ { \rho } \, \sum _ { a } \frac { e _ { a } ^ { 2 } } { 2 } \, \langle \gamma ^ { \sigma } \gamma ^ { 5 } \rangle \, .
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } } & { \triangleq \Big \{ \operatorname* { m i n } _ { i \in C _ { 1 } ^ { * } } ( e ( i , C _ { 1 } ^ { * } ) - e ( i , C _ { 2 } ^ { * } ) ) \leq - 2 \Big \} , } \\ { F _ { 2 } } & { \triangleq \Big \{ \operatorname* { m i n } _ { i \in C _ { 2 } ^ { * } } ( e ( i , C _ { 2 } ^ { * } ) - e ( i , C _ { 1 } ^ { * } ) ) \leq - 2 \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ^ { \mathrm { s } } ( \alpha , t ) = \tilde { \eta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \tilde { \eta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol \alpha , t ) = \sum _ { \boldsymbol { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \hat { \eta } _ { \boldsymbol { j } } ^ { \mathrm { s } } ( t ) e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol \alpha \rangle } , } \\ { \eta ^ { \mathrm { b } } ( \alpha , t ) = \tilde { \eta } ^ { \mathrm { b } } ( \boldsymbol k \alpha , t ) , \qquad \tilde { \eta } ^ { \mathrm { b } } ( \boldsymbol \alpha , t ) = \sum _ { \boldsymbol { j } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \hat { \eta } _ { \boldsymbol { j } } ^ { \mathrm { b } } ( t ) e ^ { i \langle \boldsymbol j , \boldsymbol \alpha \rangle } , } \end{array}
\big ( \boldsymbol { u } - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { a } \big ) \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } h + h \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } = 0 .
\gamma ^ { 0 } \hat { t } _ { 2 } \Psi _ { \zeta } ( x ) = \left[ \gamma ^ { \mu } \left( i \hbar \partial _ { \mu } - q A _ { \mu } \right) - m \right] \Psi _ { \zeta } ( x ) = 0 \, \, , \; \, z e t a = \pm 1 \, \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mu _ { 1 } } { \partial x } } & { = - \mu _ { 1 } \Sigma _ { \mu _ { 1 } } ^ { - 1 } ( x - m _ { \mu _ { 1 } } ) } \\ { d \mu _ { 1 } ( x _ { i } ) } & { = - ( \mu _ { 1 } \Sigma _ { \mu _ { 1 } } ^ { - 1 } ( x - m _ { \mu _ { 1 } } ) ) [ i ] d x _ { i } } \\ { \therefore d \mu _ { 1 } ( x ) } & { = d e t ( d i a g ( - \mu _ { 1 } \Sigma _ { \mu _ { 1 } } ^ { - 1 } ( x - m _ { \mu _ { 1 } } ) ) ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \_ E _ { { \/ R } , { \/ L } } ^ { r } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } \Bigg ( { \frac { \epsilon } { \epsilon _ { \/ { M D } } } } - \sqrt { { \frac { \mu \epsilon } { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } - { \frac { \chi ^ { 2 } } { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } c ^ { 2 } } } } - { \frac { \chi ^ { 2 } } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } c ^ { 2 } } } \pm j { \frac { \chi } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } c } } \sqrt { \mu \epsilon - { \frac { \chi ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \Bigg ) ( \_ a _ { x } \mp j \_ a _ { y } ) , } \\ & { \_ E _ { { \/ R } , { \/ L } } ^ { t } = { \frac { E _ { 0 } } { 4 } } \Bigg ( { \frac { \epsilon } { \epsilon _ { \/ { M D } } } } + \sqrt { { \frac { \mu \epsilon } { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } } } - { \frac { \chi ^ { 2 } } { \mu _ { \/ { M D } } \epsilon _ { \/ { M D } } c ^ { 2 } } } } - { \frac { \chi ^ { 2 } } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } c ^ { 2 } } } \pm j { \frac { \chi } { \mu \epsilon _ { \/ { M D } } c } } \sqrt { \mu \epsilon - { \frac { \chi ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \Bigg ) ( \_ a _ { x } \mp j \_ a _ { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { P } } & { { } \approx \frac { r _ { 2 } ( \pi n I _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } l ^ { 2 } c _ { 3 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { t + 1 } - C _ { t } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 4 } C _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } E _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma b _ { x } M } + \frac { 9 I L ^ { 2 } \gamma } { 2 \mu } \bigg [ \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { \ell } + \gamma ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } B _ { \ell } \bigg ] + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \end{array}
\left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { r } A _ { i } K \left( - \frac { | \mathbf x - \mathbf c _ { i } | ^ { 2 } } { L _ { i } ^ { 2 } } \right) : A _ { i } \in \mathbb R , L _ { i } \neq 0 , \mathbf c _ { i } \in \mathbb R ^ { d } , r \in \mathbb N \right\}
q ^ { Q } \prod _ { k = 1 } ^ { Q - 1 } \frac { q z _ { i } - z _ { k } } { z _ { i } - q z _ { k } } = \frac { \left( z _ { i } - i \tau \kappa \lambda ^ { - \frac { 1 } { 2 } } q ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( z _ { i } + i \kappa \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } q ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) } { \left( q ^ { \frac { 1 } { 2 } } z _ { i } + i \tau \kappa \lambda ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( q ^ { \frac { 1 } { 2 } } z _ { i } - i \kappa \lambda ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { m } } & { { } = ( 0 , L ) \times \{ 0 \} \quad \mathrm { ~ ( ~ m ~ e ~ m ~ b ~ r ~ a ~ n ~ e ~ ) ~ } } \\ { \Gamma _ { i n } } & { { } = \{ 0 \} \times ( 0 , H ) \quad \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ l ~ e ~ t ~ ) ~ } } \\ { \Gamma _ { o u t } } & { { } = \{ L \} \times ( 0 , H ) \quad \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ l ~ e ~ t ~ ) ~ } } \end{array}
u _ { 2 } = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \partial _ { 2 } u _ { 1 } = \frac { 1 } { L _ { s } } u _ { 1 } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad y _ { 2 } = \{ 0 , 1 \} \, ,
{ \frac { I ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { c ^ { 2 } B } { I ^ { 3 / 2 } } } \varrho \right) \ddot { \Phi } + { \frac { 3 I } { c ^ { 2 } } } { \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } } \dot { \Phi } \left( 1 + { \frac { B } { \sqrt { I } } } \wp \right) + V ^ { \prime } ( \Phi ) = 0 .
{ \cal W } + \Delta { \cal W } = \lambda \Lambda ^ { 8 } \left( \tilde { y } ^ { 2 } - \tilde { x } ^ { 3 } + \tilde { x } ^ { 2 } u - \Lambda ^ { 4 } \tilde { x } \right) + \epsilon \left( \Lambda ^ { 4 } \tilde { x } - v \right)
\begin{array} { r l } { h _ { i j } ( t ) h _ { n - i + 1 , n - j + 1 } ( t ) } & { = \left( \sum _ { F ^ { \prime } } t ^ { \# \mathrm { R } ( F ^ { \prime } ) } \right) \left( \sum _ { F ^ { \prime \prime } } t ^ { \# \mathrm { R } ( F ^ { \prime \prime } ) } \right) } \\ & { = \sum _ { F ^ { \prime } , F ^ { \prime \prime } } t ^ { \# \mathrm { R } ( F ^ { \prime } ) + \# \mathrm { R } ( F ^ { \prime \prime } ) } } \\ & { = \sum _ { F \ni ( i , j ) } t ^ { \# ( \mathrm { R } ( F ) \setminus \{ ( i , j ) \} ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \omega } ^ { s } ( L _ { \omega } ^ { \pm } ) ^ { k } S _ { \omega } v } & { = \partial _ { \omega } ^ { s } \int _ { \partial \Omega } c _ { \omega } \frac { v ( y ) } { \ell ^ { \pm } ( x - y , \omega ) ^ { k } } } \\ & { = \sum _ { n = k } ^ { k + s } \int _ { \partial \Omega } \frac { P _ { \omega , n } ( x , y ) v ( y ) } { \ell ^ { \pm } ( x - y , \omega ) ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = } & { \tilde { Z } ^ { 0 } \int \delta \left( \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { e x p \Bigg [ - R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \Bigg ] \prod _ { l } \left( \frac { \sqrt { w _ { l } } } { l } \right) D \left[ l \right] } \end{array}