harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\widetilde { J } ( t , x , x ^ { \prime } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a ^ { 2 n } ( \widetilde { G } ^ { \triangleright n } \triangleright \widetilde { J } ) ( t , x , x ^ { \prime } , 0 , 0 ) = a ^ { - 2 } \iint _ { U ^ { 2 } } \mathcal { K } ^ { a } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \nu ( \ensuremath { \mathrm { d } } y ) \nu ( \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { \left| A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup A _ { 3 } \cup \ldots \cup A _ { n } \right| = } & { { } \left( \left| A _ { 1 } \right| + \left| A _ { 2 } \right| + \left| A _ { 3 } \right| + \ldots \left| A _ { n } \right| \right) } \end{array}
\cdot \left( 1 + \frac { 2 l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } } { \Delta _ { + } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \Delta _ { + } } \left( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } - \frac { 2 l \dot { l } H _ { + } } { \Delta _ { + } } \sqrt { l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } + \Delta _ { + } ^ { 2 } + \Delta _ { + } ( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { + } ^ { 2 } ) } \right) \right) \Bigr \}
< \phi _ { n } ( t _ { 2 } ) \phi _ { n } ^ { * } ( t _ { 1 } ) > = \frac { 1 } { Z _ { 0 } } \int [ d \phi ^ { * } d \phi ] \phi _ { n } ( t _ { 2 } ) \phi _ { n } ^ { * } ( t _ { 1 } ) e ^ { - S _ { 0 } } .
F _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = ( 1 - \frac { \omega _ { i } } { 2 } ) w _ { i } \left[ \frac { \textbf { c } _ { i } - \textbf { u } \left( \textbf { x } , t \right) } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \textbf { u } \left( \textbf { x } , t \right) } { c _ { s } ^ { 4 } } \textbf { c } _ { i } \right] \cdot \mathbf { g } ,
\mathbf { A } ( \mathbf { r } t ) = \sum _ { \mathbf { k } \lambda } { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar c ^ { 2 } } { \omega _ { k } V } } } \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( 0 ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } + a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( 0 ) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \right] e _ { \mathbf { k } \lambda }
\begin{array} { r } { a _ { m _ { y } , m _ { z } } ( r _ { q } , \theta _ { q } , \phi _ { q } ) = \left( \frac { \lambda } { 4 \pi r _ { q } } \right) ^ { 2 } \frac { \gamma \prime \Psi _ { q } ^ { 2 q \prime } } { \left[ 1 - 2 m _ { y } \varepsilon _ { q } \Phi _ { q } - 2 m _ { z } \varepsilon _ { q } \Theta _ { q } + ( m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } ) \varepsilon _ { q } ^ { 2 } \right] ^ { q \prime + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \epsilon } } & { = \int _ { B _ { \epsilon } ^ { c } } \Phi ( y ) \Delta _ { x } f ( x - y ) d y } \\ & { = \int _ { B _ { \epsilon } ^ { c } } \Phi ( y ) \Delta _ { y } f ( x - y ) d y } \\ & { = - \int _ { B _ { \epsilon } ^ { c } } \nabla \Phi ( y ) \cdot \nabla _ { y } f ( x - y ) d y + \int _ { \partial B _ { \epsilon } } \Phi ( y ) \nabla _ { y } f ( x - y ) \cdot n ( y ) d S ( y ) } \\ & { : = K _ { \epsilon } + L _ { \epsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \left[ \| J ^ { m } u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| J ^ { m } v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right] } } \\ { = \ } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) d x + 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ^ { m } ( | v | ^ { 2 p } v ) ( \overline { { J ^ { m } v } } ) d x } \\ & { \ + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } J ^ { m } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) d x + 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } J ^ { m } ( | v | ^ { p - 1 } | u | ^ { p + 1 } v ) ( \overline { { J ^ { m } v } } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j , k = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu = 1 } ^ { d ^ { 2 } - 1 } } & { \Omega _ { \mu \nu } ^ { j k } \omega _ { j k } ( t ) F _ { \mu } \rho F _ { \nu } } \\ & { = \sum _ { \alpha } \left[ ( C _ { \alpha , t } \rho C _ { \alpha , t } ^ { * } ) ^ { \mathrm { T } } - D _ { t } \rho - \rho D _ { t } ^ { * } + e ( t ) \rho \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { d b } ^ { a p p r o x } = - \frac { 1 } { 2 } ( \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } ) \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } \oint _ { \Gamma } \left( \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } \right) ^ { 2 } \mathbf { n } d \mathbf { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 6 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { N a } } & { { } = q _ { A l } = q _ { S i } = 1 / 7 } \\ { q _ { O } } & { { } = 4 / 7 } \\ { E s _ { N a } } & { { } = 1 . 1 1 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { A l } } & { { } = 3 . 4 1 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { S i } } & { { } = 4 . 6 6 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { O } } & { { } = 2 . 5 8 \, \mathrm { e V } \Rightarrow E s _ { a v g } = 2 . 7 9 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { O } } & { { } = 6 . 5 0 \, \mathrm { e V } \Rightarrow E s _ { a v g } = 5 . 0 3 \, \mathrm { e V } } \end{array}
M ^ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } C _ { \beta _ { 0 } \gamma _ { 0 } } \approx \delta _ { \; \; \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } - Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } d _ { \; \; \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 1 } } ,
\begin{array} { c } { { d s ^ { 2 } = F ( r ) \left( d \chi + 2 n \cos \theta _ { 1 } d \phi _ { 1 } + 2 n \cos \theta _ { 2 } d \phi _ { 2 } + 2 n \cos \theta _ { 3 } d \phi _ { 3 } + 2 n \cos \theta _ { 4 } d \phi _ { 4 } \right) ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { F ( r ) } + ( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) } } \\ { { \times \left( d \theta _ { 1 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } d \phi _ { 1 } ^ { 2 } + d \theta _ { 2 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } d \phi _ { 2 } ^ { 2 } + d \theta _ { 3 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 3 } d \phi _ { 3 } ^ { 2 } + d \theta _ { 4 } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { 4 } d \phi _ { 4 } ^ { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { \ell p } = \frac { 2 | \beta _ { s } | ^ { 2 } T } { \sigma _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { R e } \big \{ \mathrm { t r } ( \tilde { \mathbf { G } } _ { p } \mathbf { R } _ { x } \tilde { \mathbf { G } } _ { \ell } ^ { H } ) \big \} , } \\ & { J _ { \ell \beta _ { s } ^ { r } } = \frac { 2 \beta _ { s } ^ { * } T } { \sigma _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { R e } \big \{ \mathrm { t r } ( \tilde { \mathbf { G } } \mathbf { R } _ { x } \tilde { \mathbf { G } } _ { \ell } ^ { H } ) \big \} , \quad J _ { \ell \beta _ { s } ^ { i } } = j J _ { \ell \beta _ { s } ^ { r } } } \\ & { J _ { \beta _ { s } ^ { r } \beta _ { s } ^ { r } } = J _ { \beta _ { s } ^ { i } \beta _ { s } ^ { i } } = \frac { 2 T } { \sigma _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { t r } ( \tilde { \mathbf { G } } \mathbf { R } _ { x } \tilde { \mathbf { G } } ^ { H } ) . } \end{array}
\frac { V _ { i } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } { ( V _ { i } ^ { \prime } ( 0 ) ) ^ { 2 } } = 2 \frac { \left( z _ { i } - z _ { i + 1 } \right) - \ell \left( z _ { i + 1 } - z _ { i - 1 } \right) } { \left( z _ { i } - z _ { i + 1 } \right) \left( z _ { i } - z _ { i - 1 } \right) }
\mathcal { T } ^ { [ 1 ] } ( t + h _ { 1 } ) , \cdots , \mathcal { T } ^ { [ k - 1 ] } ( t + h _ { k - 1 } ) , \mathcal { T } ^ { [ k + 1 ] } ( t + h _ { k + 1 } ) , \cdots , \mathcal { T } ^ { [ K ] } ( t + h _ { K } )
\Delta H _ { v v ^ { \prime } } ^ { \mathrm { K I } ( 2 ) } ( \mathbf { k } ) = - \frac { 1 } { 2 } \left\langle n _ { \mathbf { q } } ^ { \mathbf { 0 } v } \middle | v _ { \mathrm { p e r t , \mathbf { q } } } ^ { \mathbf { 0 } v } \right\rangle \delta _ { v v ^ { \prime } }
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F ( \hat { \mu } _ { N } ) } \right] = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ \mathbf { 1 } _ { \{ d _ { \mathrm { L i p } } ( \hat { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) \leqslant \delta \} } e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F ( \hat { \mu } _ { N } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d \log \gamma } { d Y _ { i } } } & { { } = \frac { 1 } { c _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { p _ { j } } \frac { d Y _ { j } } { d Y _ { i } } - \frac { 1 } { c _ { v } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { v _ { j } } \frac { d Y _ { j } } { d Y _ { i } } . } \end{array}
\mathrm { e } ^ { u _ { 1 } } = { \frac { \prod _ { r = 1 } ^ { n } | z - z _ { r } | ^ { 2 } + \left| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } q _ { k } z ^ { k } \right| ^ { 2 } } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } ( | z - z _ { r } | ^ { 2 } + \mu ) } } ,
\phi ( g _ { 1 } , g _ { 2 } , g _ { 3 } , g _ { 4 } ) \ = \ \phi ( g _ { \sigma _ { E } ( 1 ) } , g _ { \sigma _ { E } ( 2 ) } , g _ { \sigma _ { E } ( 3 ) } , g _ { \sigma _ { E } ( 4 ) } ) ,
\begin{array} { r l } & { \bar { \gamma } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } = p _ { \mathrm { e c } } ^ { - 1 } \sum _ { f , \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } } p ( f ) p ( \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } ) \times } \\ & { \vert \mathbf { s } \rangle _ { A ^ { n } } \langle \mathbf { s } \vert \otimes \vert \mathbf { s } \rangle _ { B ^ { n } } \langle \mathbf { s } \vert \otimes \rho _ { E ^ { n } } ^ { f , \hat { \mathbf { s } } , \mathbf { s } } \otimes \vert f \rangle _ { F } \langle f \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( t ) = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { \cos ^ { 4 } \left( \pi \frac { t - T _ { P } / 2 } { T _ { P } } \right) } & { 0 \leq t \leq T _ { P } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \; . } \end{array}
\theta _ { F } \equiv \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { T _ { + } } { T _ { - } } \right] = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { \bar { T } + i \sqrt { T _ { x y } ^ { 2 } - \Delta T ^ { 2 } } } { \bar { T } - i \sqrt { T _ { x y } ^ { 2 } - \Delta T ^ { 2 } } } \right] \ ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \to H ^ { 0 } ( X , \mu _ { n } ) \to H ^ { 0 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to H ^ { 0 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to } \\ & { \to H ^ { 1 } ( X , \mu _ { n } ) \to H ^ { 1 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to H ^ { 1 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to } \\ & { \to H ^ { 2 } ( X , \mu _ { n } ) \to H ^ { 2 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to H ^ { 2 } ( X , \mathbf { G } _ { m } ) \to } \\ & { \to \cdots } \end{array} }
\widehat { S } ( \omega ) = \left( \begin{array} { c c c } { C _ { 1 1 } + \Omega _ { 1 1 } D _ { 1 } ^ { 2 } } & { C _ { 1 2 } + \Omega _ { 1 1 } D _ { 1 } D _ { 2 } } & { \Omega _ { 1 2 } D _ { 1 } d _ { 3 } } \\ { C _ { 2 1 } + \Omega _ { 1 1 } D _ { 2 } D _ { 1 } } & { C _ { 2 2 } + \Omega _ { 1 1 } D _ { 2 } ^ { 2 } } & { \Omega _ { 1 2 } D _ { 2 } d _ { 3 } } \\ { \Omega _ { 2 1 } d _ { 3 } D _ { 1 } } & { \Omega _ { 2 1 } d _ { 3 } D _ { 2 } } & { r _ { 0 } + \Omega _ { 2 2 } d _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\Phi \left[ \frac { \delta } { \delta C _ { \alpha } ( \theta ) } \right] \exp \left( \frac { \imath \gamma } { \nu } \oint d C _ { \alpha } ( \theta ) P _ { \alpha } ( \theta ) \right) = \Phi \left[ - \frac { \imath \gamma } { \nu } P _ { \alpha } ^ { \prime } ( \theta ) \right] \exp \left( \frac { \imath \gamma } { \nu } \oint d C _ { \alpha } ( \theta ) P _ { \alpha } ( \theta ) \right)
\mathcal { L } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ f ~ i ~ l ~ e ~ } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \prod _ { b } \mathcal { G } _ { b } ( \theta _ { b } ; a _ { b } , \sigma _ { b } ) \times \mathcal { C } ( \theta _ { s } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } , \theta _ { \mathrm { ~ 8 ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } )
\begin{array} { r l } { C _ { g } ^ { \dagger } \left( t \right) } & { = \sum _ { \tau = 1 } ^ { T } E _ { g } ( t - \tau ) \cdot \mathrm { G a m m a } ( \tau ; \mu = D , \sigma = \sigma _ { D } ) } \\ { D } & { = \log \left( D ^ { \dagger } \right) } \\ { D ^ { \dagger } } & { \sim \mathcal { N } \left( \mu = \mathrm { e x p } \left( \Bar { D } _ { \mathrm { c o u n t r y } } \right) , \sigma = \sigma _ { \log \Bar { D } } \right) } \\ { \sigma _ { D } } & { \sim \mathcal { N } \left( \mu = 0 . 2 \cdot \Bar { D } _ { \mathrm { c o u n t r y } } , \sigma = 0 . 0 8 \cdot \Bar { D } _ { \mathrm { c o u n t r y } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \gamma } _ { q \tau , 0 } = \hat { X } _ { q , \tau } \hat { Z } _ { q - 1 , \tau } \cdots \hat { Z } _ { 0 , \tau } , } \\ { \hat { \gamma } _ { q \tau , 1 } = \hat { Y } _ { q , \tau } \hat { Z } _ { q - 1 , \tau } \cdots \hat { Z } _ { 0 , \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( { x } , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \int \! d k \left[ b ( { k } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) \exp [ \mathrm { i } ( k x - c | k | t ) ] \right. } \end{array}
f _ { 0 , \mathrm { ~ a ~ n ~ i ~ s ~ o ~ } } \left( \boldsymbol { p } \right) = \frac { n _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } \xi ^ { 2 } } { \left( \pi \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 . 5 } } \frac { \mathcal { G } \left( \kappa + 1 \right) } { \mathcal { G } \left( \kappa - 0 . 5 \right) } \left( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \mu ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \right) \right) ^ { - \kappa - 1 } ,
\varepsilon = \frac { \left| c \right| ^ { 2 } \left( 1 + r ^ { 2 } \right) - \left| a \right| ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } \left| a b ^ { \ast } + b c ^ { \ast } \left( 1 + r ^ { 2 } \right) \right| }
\bar { \epsilon } _ { c } { \cal Q } = \left( \begin{array} { c c } { { \epsilon _ { a } } } & { { } } \\ { { } } & { { \bar { \epsilon } ^ { a } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { { \cal Q } ^ { ( 4 ) , a } } } & { { } } \\ { { } } & { { \bar { { \cal Q } } _ { a } ^ { ( 4 ) } } } \end{array} \right) \rightarrow \epsilon _ { a } { \cal Q } ^ { ( 4 ) , a } + \bar { \epsilon } ^ { a } \bar { { \cal Q } } _ { a } ^ { ( 4 ) } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } } & { : = \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - 2 \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot \nabla p \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } - \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 2 } { 3 \mathrm { P r } } \langle ( \alpha + \kappa ) u \cdot ( u \cdot \nabla ) u \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } + 2 \mathrm { { R a } } \langle ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } n _ { 1 } \rangle _ { \gamma ^ { - } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { H } ( 0 ) - \mathcal { K } _ { H } ( \ell ) = } & { \ \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > \kappa } \, \left( 1 - e ^ { 2 \pi i k \cdot \ell } \right) \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, d k } \\ { = } & { \ \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | < r } \chi _ { | k | > \kappa } \, \left( 1 - e ^ { 2 \pi i k \cdot \ell } \right) \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, d k } \\ & { + \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > r } \chi _ { | k | > \kappa } \, \left( 1 - e ^ { 2 \pi i k \cdot \ell } \right) \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } ^ { ( t o t ) } } & { { } \cong \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { N _ { j } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } \ddot { x } _ { j } = \frac { - e \omega _ { e x } ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } N _ { j } A _ { 2 j - 1 } \right) \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) : = A _ { x } ( \omega _ { e x } ) \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ { E _ { y } ^ { ( t o t ) } } & { { } \cong \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { N _ { j } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } \ddot { y } _ { j } = \frac { - e \omega _ { e x } ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } N _ { j } A _ { 2 j } \right) \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) : = A _ { y } ( \omega _ { e x } ) \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ { E _ { z } ^ { ( t o t ) } } & { { } \cong 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 1 } ) ) } & { = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 1 } ) ) . } \\ { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 2 } ) ) } & { = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 2 } ) ) . } \\ { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 3 } ) ) } & { = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 3 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 3 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 3 } ) ) . } \end{array}
\exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( y ) \right) \mathbf { h } ( y ) = \sum _ { j } \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( x ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( y ) \right) \mathbf { a } _ { j } ( y ) \otimes \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( x ) \right) \exp \left( \frac { \theta } { 4 } F ( y ) \right) \mathbf { b } _ { j } ( y ) .
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 2 } \exp \left( - i ( t _ { 1 } + t _ { 2 } + T ) \right) \frac { 1 } { ( t _ { 1 } + t _ { 2 } + T ) ^ { 2 } } \simeq \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \mathrm { e } ^ { - i t } \frac { t } { ( t + T ) ^ { 2 } } } } } \\ { { \displaystyle { \simeq \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \mathrm { e } ^ { - i t } \frac { t } { ( t + T ) } - 1 \simeq - C - \ln T - 1 + i \frac { \pi } { 2 } } , } } \end{array}
\mathcal { M } _ { i j } ^ { s } = \zeta _ { s } ( \omega ) \mathbf { E } \cdot \mathbf { f } ^ { s } \langle \psi _ { i } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) | V _ { H } ^ { s } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) | \psi _ { j } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \rho } } & { \ln ( 2 ) f ( \rho , \alpha ) = \frac { q - p } { q } \frac { 1 } { ( 1 - \rho ) \rho } + } \\ & { \frac { p } { q } \frac { 1 \! + \! \alpha } { ( 1 \! - \! \rho ) ^ { 2 } } \left( \frac { ( q - p ) } { 1 + ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } - \frac { ( q - p ) } { 1 - ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } \right) \, . } \end{array}
\zeta _ { T } ( \nu | \beta ) = { \frac { \nu \varrho ^ { - 2 \nu } } { \pi i } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C _ { + } } d z { \frac { 2 z } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu + 1 } } } \ln \left( 1 - e ^ { i \beta z } \right) \breve { \Psi } ( \omega ; z ) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { c } { { \Phi \sim ( 1 , 1 , 2 , 2 ) ( 0 ) , } } \\ { { \begin{array} { c c } { { \chi _ { 1 } \sim ( 3 , 1 , 1 , 1 ) ( \frac { 2 } { 3 } ) , } } & { { \chi _ { 2 } \sim ( 1 , 3 , 1 , 1 ) ( - \frac { 2 } { 3 } ) , } } \\ { { \Delta _ { 1 L } \sim ( \overline { { { 6 } } } , 1 , 3 , 1 ) ( \frac { 2 } { 3 } ) , } } & { { \Delta _ { 1 R } \sim ( \overline { { { 6 } } } , 1 , 1 , 3 ) ( \frac { 2 } { 3 } ) , } } \\ { { \Delta _ { 2 L } \sim ( 1 , \overline { { { 6 } } } , 3 , 1 ) ( - \frac { 2 } { 3 } ) , } } & { { \Delta _ { 2 R } \sim ( 1 , \overline { { { 6 } } } , 1 , 3 ) ( - \frac { 2 } { 3 } ) , } } \\ { { \eta _ { 1 L } \sim ( \overline { { { 3 } } } , 1 , 2 , 1 ) ( - \frac { 5 } { 3 } ) , } } & { { \eta _ { 1 R } \sim ( \overline { { { 3 } } } , 1 , 1 , 2 ) ( - \frac { 5 } { 3 } ) , } } \\ { { \eta _ { 2 L } \sim ( 1 , \overline { { { 3 } } } , 2 , 1 ) ( \frac { 5 } { 3 } ) , } } & { { \eta _ { 2 R } \sim ( 1 , \overline { { { 3 } } } , 1 , 2 ) ( \frac { 5 } { 3 } ) . } } \end{array} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { L S - T H C - M P 2 a } } & { { } = - \sum _ { a b i j } \sum _ { R S T U } \sum _ { \lambda = 1 } ^ { L } \tau _ { a } ^ { \lambda } \tau _ { b } ^ { \lambda } \tau _ { i } ^ { \lambda } \tau _ { j } ^ { \lambda } \left( 2 \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { i } ^ { R } V _ { R S } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { j } ^ { S } - \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { j } ^ { R } V _ { R S } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { i } ^ { S } \right) } \\ { E _ { L S - T H C - M P 3 a } } & { { } = \sum _ { a b i j } \sum _ { R S T U } \sum _ { \lambda = 1 } ^ { L } \tau _ { a } ^ { \lambda } \tau _ { b } ^ { \lambda } \tau _ { i } ^ { \lambda } \tau _ { j } ^ { \lambda } \left( 2 \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { i } ^ { R } V _ { R S } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { j } ^ { S } - \tilde { X } _ { a } ^ { R } \tilde { X } _ { j } ^ { R } V _ { R S } \tilde { X } _ { b } ^ { S } \tilde { X } _ { i } ^ { S } \right) } \end{array}
\Xi _ { p h } ^ { 0 } = \Xi _ { s } ^ { 0 } - \sigma ( \frac { 1 } { \sqrt 2 } \Sigma _ { s } ^ { 0 } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \Lambda _ { s } ) + \delta ^ { \prime } ( \frac { 1 } { \sqrt 2 } \Sigma _ { p } ^ { 0 } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \Lambda _ { p } ) + \cdots
i \frac { d } { d x } \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] = \left\{ U \left[ \begin{array} { c c c } { { m _ { 1 } ^ { 2 } / 2 E } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 2 } ^ { 2 } / 2 E } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 } ^ { 2 } / 2 E } } \end{array} \right] U ^ { + } + \left[ \begin{array} { c c c } { { a ( x ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \right\} \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] ,
\operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) - 1 \geqslant \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 2 } - 1 .
Z \left[ \eta \right] = Z \left[ 0 \right] \exp \left\{ - i T ^ { 2 } \sum _ { n , m = - \infty } ^ { \infty } \int d \mathbf { x \, } d \mathbf { y } \eta _ { n } ^ { + } \left( \mathbf { x } \right) \gamma ^ { 0 } S _ { F } ^ { n - m } \left( \mathbf { x - y } \right) \eta _ { m } \left( \mathbf { x } \right) \right\} .
d S ^ { 2 } = { \frac { 1 } { I _ { 0 } } } \{ { \frac { 1 } { f _ { 0 } } } [ e ^ { 2 k _ { 0 } } d z \, d { \bar { z } } + \rho ^ { 2 } \, d \phi ^ { 2 } ] - f _ { 0 } \, d t ^ { 2 } \} + I _ { 0 } ^ { 2 } ( A _ { 0 3 } \, d \phi + d x ^ { 5 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \bigl | \mathbb E \hat { F } _ { N } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } - \mathbb E F _ { N } ^ { \mathrm { \tiny ~ V B } } \bigr | \leq \sum _ { s = 0 } ^ { M } \bigl | \mathbb E F _ { s } ( P _ { i _ { s } j _ { s } } ) - \mathbb E F _ { s } ( B _ { i _ { s } j _ { s } } ) \bigr | \leq \frac { C } { N } \Bigl ( \gamma ^ { 3 } + \gamma ^ { 2 } \Bigl ( 1 + \frac { \gamma } { N } + \gamma ^ { 2 } \Bigr ) \mathbb E | y | \Bigr ) . } \end{array}
\frac { d \Gamma } { \Gamma \ d \phi _ { i j } } = 1 + \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } \epsilon _ { i } ^ { f } \epsilon _ { j } ^ { f } \rho _ { f } \cos 2 \lambda _ { f } \cos \phi _ { i j } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } \epsilon _ { i } ^ { f } \epsilon _ { j } ^ { f } \eta _ { f } \sin 2 \lambda _ { f } \sin \phi _ { i j }
\begin{array} { r l } { R e _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \int _ { y = 0 } ^ { { \beta } \delta _ { \tau _ { 0 } } } \frac { y } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \mathrm { d } y + \frac { 1 } { \kappa \delta _ { \tau _ { 0 } } } \int _ { y = { \beta } \delta _ { \tau _ { 0 } } } ^ { H } \left[ \ln \left( \frac { y } { \delta _ { \tau _ { 0 } } } \right) + \kappa B \right] \mathrm { d } y , } \end{array}
\pi ( x | z ) = \frac { \pi ( z | x ) \pi ( x ) } { \pi ( z ) } = \frac { \pi ( z | x ) \pi ( x ) } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \pi ( z | x ) \pi ( x ) \mathrm { d } x } \propto \pi ( z | x ) \pi ( x ) ,