harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left. \overline { { \delta g _ { B z } } } \right| _ { F } } & { { } = - \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { e } { m } \partial _ { t } \left[ \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \left. \frac { \partial } { \partial { \cal E } } \right| _ { \bar { \psi } } \bar { F } _ { 0 } \right] } } \right| _ { F } + \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \parallel g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial } { \partial \bar { \psi } } \partial _ { t } \bar { F } _ { 0 } } } \right| _ { F } } \end{array}
\omega _ { 0 } ( x ) = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x \rho ( \lambda ) d \lambda } { x ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( \lambda ) d \lambda \left( { \frac { 1 } { x - \lambda } } + { \frac { 1 } { x + \lambda } } \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { \rho ( \lambda ) d \lambda } { x - \lambda } } ,
\int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } d \sigma e ^ { 2 \pi i m \sigma } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 / 2 \qquad } } & { { m = 0 } } \\ { { i \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { m } } { 2 \pi m } \qquad } } & { { m \neq 0 . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( j ) } & { = \underbrace { \mathcal { B } _ { m } ( { \boldsymbol { 0 } } , j ) \times \dots \times \mathcal { B } _ { m } ( { \boldsymbol { 0 } } , j ) } _ { k \ \mathrm { t i m e s } } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { B } ( j ) } & { = \underbrace { \mathcal { B } _ { n } ( { \boldsymbol { 0 } } , j ) \times \dots \times \mathcal { B } _ { n } ( { \boldsymbol { 0 } } , j ) } _ { k \ \mathrm { t i m e s } } . } \end{array}
H _ { S u t h } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } d _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq N } \frac { g } { { \sin } ^ { 2 } \mathrm { ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } ( x _ { i } - x _ { j } ) }
I _ { 1 } \leq \sqrt { m _ { n } ( \frac { R } { r } B _ { n } ) } \| \phi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } = c _ { n } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } \| b _ { j } ^ { r } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } = c _ { n } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \sqrt { k r ^ { n } \| b \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } = c _ { n } R ^ { \frac { n } { 2 } } \sqrt { k \| b \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { A ^ { \alpha } \left( p _ { k } , p _ { l } \right) } \\ & { = } & { W _ { t o t } \Delta t \, \int d ^ { 4 } r _ { k } d ^ { 4 } r _ { l } \, \left( r _ { k } + r _ { l } \right) ^ { \alpha } } \\ & { } & { \times \, \omega \left( r _ { k } r _ { l } | p _ { k } p _ { l } \right) \, , } \\ & { } & { B ^ { \alpha \beta } \left( p _ { k } , p _ { l } \right) } \\ & { = } & { W _ { t o t } \Delta t \, \int d ^ { 4 } r _ { k } d ^ { 4 } r _ { l } \, \left( r _ { k } + r _ { l } \right) ^ { \alpha } \left( r _ { k } + r _ { l } \right) ^ { \beta } } \\ & { } & { \times \, \omega \left( r _ { k } r _ { l } | p _ { k } p _ { l } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Lambda } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } } & { = \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } t _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } + \sum _ { u } \tilde { \nu } _ { u u } ^ { t _ { 1 } t _ { 2 } } S _ { u _ { 1 } } ^ { t _ { 4 } } , } \\ { \tilde { \Lambda } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } } & { = \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t _ { 1 } u _ { 4 } } + \sum _ { t } \tilde { \nu } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { t t } S _ { u _ { 4 } } ^ { t _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \cosh ( x ) } { \cosh ( x / 2 ) \cosh ( 3 x ) } } & { = } & { \frac { 1 } { \cosh ( x / 2 ) } + \frac { ( 2 \sqrt { 3 } - 3 ) } { 1 2 } \left( \frac { 1 } { \cosh ( x / 2 ) - \cos ( \frac { \pi } { 1 2 } ) } + \frac { 1 } { \cosh ( x / 2 ) - \cos ( \frac { 1 1 \pi } { 1 2 } ) } \right) } \\ & { - } & { \frac { ( 2 \sqrt { 3 } + 3 ) } { 1 2 } \left( \frac { 1 } { \cosh ( x / 2 ) - \cos ( \frac { 5 \pi } { 1 2 } ) } + \frac { 1 } { \cosh ( x / 2 ) - \cos ( \frac { 7 \pi } { 1 2 } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { t } \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } ^ { * } } & { = \operatorname* { m a x } _ { t } \operatorname* { i n f } \left\lbrace \lambda > 0 : \mathbb { E } ^ { * } \exp \left( \left\lvert \operatorname* { m a x } _ { j } \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert ^ { 2 } / \lambda ^ { 2 } \right) \leq 2 \right\rbrace } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { t } \operatorname* { i n f } \left\lbrace \lambda > 0 : \exp \left( \left\lvert \operatorname* { m a x } _ { j } \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert ^ { 2 } / \lambda ^ { 2 } \right) \leq 2 \right\rbrace } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { t } \operatorname* { i n f } \left\lbrace \lambda > 0 : \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert ^ { 2 } / \lambda ^ { 2 } \right) \leq 2 \right\rbrace } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { t } \operatorname* { i n f } \left\lbrace \lambda > 0 : \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert \leq \sqrt { \log ( 2 ) } \lambda \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } } - \beta _ { 1 } \left( u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell } } } ) \right) } & { \in \left\{ \begin{array} { l l } { \partial \left( \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left\| | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | - \sqrt { d _ { j } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ A G M } , } \\ { \partial \left( \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left\langle | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | ^ { 2 } - d _ { j } \log | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | ^ { 2 } , \mathbf { 1 } \right\rangle \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ I P M } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \partial \left| u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \right| \circ \left( | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | - \sqrt { d _ { j } } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ A G M , } } \\ { \partial \left| u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } \right| \circ \left( | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | - \displaystyle \frac { d _ { j } } { | u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell } } + 1 } | } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ I P M } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \dim \cal F _ { \lambda , \omega _ { 1 } } \leq } & { 2 \dim V ( \lambda + \omega _ { 1 } ) + 2 \dim V ( \lambda + ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) ) + 2 \dim V ( \lambda - \omega _ { 2 } ) } \\ { \leq } & { ( \lambda _ { 1 } + 2 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 ) + \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } + 2 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) + ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 1 ) } \\ { \leq } & { 3 ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) + ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( 2 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 4 ) - ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) } \\ & { - ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + 2 ) } \\ { \leq } & { 3 ( \lambda _ { 1 } + 1 ) ( \lambda _ { 2 } + 1 ) ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 2 ) = 2 \dim V ( \omega _ { 1 } ) . \dim V ( \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } s \frac { d N _ { \gamma } } { d s } } & { { } = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 2 + \Delta } { \Delta } \right) \ln ( 1 + \Delta ) - 2 \right] , } & { \Delta } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \varphi \to \infty } \left[ \frac { \eta _ { e } } { \eta ( \varphi ) } \right] ^ { 2 } - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathcal { R } } ( n ) } & { = - 1 + \sqrt { 1 - \frac { \mathcal { R } } { 6 } R _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } f ( n ) } } \\ & { = - 1 + \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { n } \right) \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } \sec ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { n } \right) \right) \frac { \mathcal { R } } { 1 2 } R _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } } } \end{array}
\displaystyle { \Pi _ { -- } ( p ) } = \displaystyle { \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { 2 7 - D } { 3 } \frac { ( p _ { 1 } ) ^ { 2 } ( p _ { 2 } ) ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \, . }
\begin{array} { r l r l } { \tau \cdot \mathbb { D } u \cdot n + \alpha u _ { \tau } } & { { } = 0 } & { } & { { } \textnormal { o n } \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \\ { u \cdot n } & { { } = 0 } & { } & { { } \textnormal { o n } \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { a _ { k _ { \eta } } ( \tau ) } & { { } = 1 \: , } & { \partial _ { \tau } a _ { k _ { \eta } } ( \tau ) } & { { } = 0 \: , } \\ { b _ { k _ { \eta } } ( \tau ) } & { { } = 0 \: , } & { \partial _ { \tau } b _ { k _ { \eta } } ( \tau ) } & { { } = 1 \: , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l r l } & { \mathcal { A } _ { 0 } = 1 , } & & { \mathcal { A } _ { 1 } = s _ { 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 2 } = s _ { 2 } , } & & { \mathcal { A } _ { 3 } = s _ { 3 } , } & & { \ldots } \\ & { \mathcal { A } _ { 2 1 } = s _ { 3 } + s _ { 1 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 3 1 } = s _ { 4 } + s _ { 2 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 4 1 } = s _ { 5 } + s _ { 3 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 5 1 } = s _ { 6 } + s _ { 4 1 } , } & & { \ldots } \\ & { \mathcal { A } _ { 3 2 } = s _ { 5 } + s _ { 3 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 4 2 } = s _ { 6 } + s _ { 4 1 } + s _ { 2 2 } , } & & { \mathcal { A } _ { 5 2 } = s _ { 7 } + s _ { 5 1 } + s _ { 3 2 } , } & & { \mathcal { A } _ { 6 2 } = s _ { 8 } + s _ { 6 1 } + s _ { 4 2 } , } & & { \ldots } \end{array}
\mu ( \tau ) = \alpha k _ { 1 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - \alpha k _ { 3 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } & { \leqslant \frac { n } { 1 2 } + 2 - \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 2 } } \\ { \left| B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } & { \leqslant \frac { n } { 1 0 } + 2 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 5 } . } \end{array}
\tau \left( \theta \right) \triangleq \frac { \left| \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } \ln \left| \rho ^ { \mathrm { { o p t } } } ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| } { \left| \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } \ln \left| \rho ^ { \mathrm { { o p t } } } ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| } { { R B } \left( \theta \right) } ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \big | f ^ { \prime \prime } ( c _ { A } ) u \Delta u \big | \mathrm { d } x \mathrm { d } t } & { \leq C \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } } \\ & { \leq C R \varepsilon ^ { N + 3 } T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } . } \end{array}
- \gamma ^ { - 1 } \sigma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } \Big ( X _ { \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } } ( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } ) - \beta \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - 2 \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } \Big ) \longrightarrow \mathfrak { h } ( \mathbf { t } , \mathbf { x } ; \mathfrak { h } _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { * } \left( \boldsymbol { x } , t \right) } & { = f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } \left( \boldsymbol { x } , t \right) + \left( 1 - \Omega \right) f _ { i } ^ { \mathrm { n e q } } \left( \boldsymbol { x } , t \right) } \\ { f _ { i } \left( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t \right) } & { = f _ { i } ^ { * } \left( \boldsymbol { x } , t \right) , } \end{array}
Z ( 5 ) = 1 + \gamma ^ { 5 } - \frac { 3 1 } { 3 2 } \zeta ( 5 ) + \frac { 5 } { 1 } \gamma ^ { 3 } \gamma _ { 1 } + \frac { 5 } { 2 } \gamma ^ { 2 } \gamma _ { 2 } + \frac { 5 } { 6 } \gamma ^ { 1 } \gamma _ { 3 } + \frac { 5 } { 2 4 } \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 4 } \qquad \qquad \, \, + 5 \gamma ^ { 1 } \gamma _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } \gamma ^ { 0 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \Delta \Gamma } & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } \left( \left[ \frac { R P } { \gamma _ { r } } - \gamma _ { c } \right] \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } - | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } \right) - \frac { P R ^ { 2 } } { \gamma _ { r } ^ { 2 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 4 } - | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 4 } \right) + \frac { P R ^ { 3 } } { \gamma _ { r } ^ { 3 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 6 } - | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 6 } \right) \mp . . . \right) } \\ { \Leftrightarrow \Delta \Gamma } & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } \left( \left[ \frac { R P } { \gamma _ { r } } - \gamma _ { c } \right] \Delta | \psi | ^ { 2 } - \frac { P R ^ { 2 } } { \gamma _ { r } ^ { 2 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } \right) \Delta | \psi | ^ { 2 } + \frac { P R ^ { 3 } } { \gamma _ { r } ^ { 3 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 4 } + | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 4 } \right) \Delta | \psi | ^ { 2 } \mp . . . \right) } \\ { \Leftrightarrow \Delta | \psi | ^ { 2 } [ \Delta \Gamma ] } & { = } & { \frac { 2 \Delta \Gamma } { \left[ \frac { \hbar R P } { \gamma _ { r } } - \hbar \gamma _ { c } \right] - \frac { \hbar P R ^ { 2 } } { \gamma _ { r } ^ { 2 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } \right) + \frac { \hbar P R ^ { 3 } } { \gamma _ { r } ^ { 3 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 4 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 4 } \right) \mp . . . } } \\ { \Rightarrow \Delta | \psi | ^ { 2 } [ \Delta \Gamma ] } & { \approx } & { \frac { 2 \Delta \Gamma } { \left[ \frac { \hbar R P } { \gamma _ { r } } - \hbar \gamma _ { c } \right] - \frac { \hbar P R ^ { 2 } } { \gamma _ { r } ^ { 2 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } \right) + \frac { \hbar P R ^ { 3 } } { \gamma _ { r } ^ { 3 } } \left( | \overline { { \psi _ { \upalpha } } } | ^ { 2 } + | \overline { { \psi _ { \upbeta } } } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \mp . . . } } \\ { \Rightarrow \Delta | \psi | ^ { 2 } [ \Delta \Gamma ] } & { = } & { \frac { 2 \Delta \Gamma } { \left[ \frac { \hbar P R } { \gamma _ { \mathrm { r } } } - \hbar \gamma _ { \mathrm { c } } \right] + \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } \left( - 1 \right) ^ { m - 1 } \frac { \hbar P R ^ { m } } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { m } } \left( | \psi _ { \mathrm { t o t } } | ^ { 2 } \right) ^ { m - 1 } } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } V _ { O u t } ( t ) } { d t ^ { 2 } } + 2 \zeta \omega _ { k } \frac { d V _ { O u t } } { d t } ( t ) + \omega _ { k } ^ { 2 } V _ { O u t } ( t ) = V _ { i n } ( s ) \omega _ { k } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { N _ { S _ { 1 } } } & { { } = \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } } \\ { N _ { S _ { 0 } } } & { { } = \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) . } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle _ { l } = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle _ { l } + \left( \frac { l ( l + 1 ) } { 2 } \frac { 1 } { q ^ { 2 } } + V ( q ^ { \prime } ) \right) \langle q ^ { \prime } , t \mid q , 0 \rangle _ { l } ,
\begin{array} { r l } & { \dot { E } ( t ) + \mu ( t ) E ( t ) \ \leq \ \left( \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } + ( \alpha - 2 \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \varepsilon ( t ) } \right) \left( \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ) \right) } \\ & { + \ \left( \gamma ^ { 2 } ( \alpha - \gamma ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) + \frac { \gamma ^ { 2 } \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 c } - \frac { \gamma \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \right) \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { \gamma } { a } + \gamma - \alpha - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } \right) \frac { \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \gamma \beta ^ { 2 } \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { a } - \beta + 2 \beta ^ { 2 } ( \alpha - \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } - \frac { 3 \beta ^ { 2 } \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \varepsilon ( t ) } - \dot { \lambda } ( t ) \right) \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { \beta \varepsilon ^ { 2 } ( t ) + \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 } - \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 4 } \right) \| x ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { + \ \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \right) + \frac { \gamma ( 2 a + c \gamma ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) } - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) } \right) ^ { 2 } \right) \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \beta } { 2 } \| \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { b } = } & { a \, { Q _ { \alpha \beta } } ^ { 2 } - b \, ( Q _ { \alpha \beta } Q _ { \beta \gamma } Q _ { \gamma \alpha } ) + c \, { Q _ { \alpha \beta } } ^ { 4 } , } \\ { f _ { e l } = } & { \frac { L _ { 1 } } { 2 } ( \partial _ { \gamma } Q _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } + \frac { L _ { 2 } } { 2 } \partial _ { \epsilon } Q _ { \nu \epsilon } \partial _ { \gamma } Q _ { \nu \gamma } } \\ & { + \frac { 4 \pi L _ { 1 } } { p } \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma } Q _ { \alpha \epsilon } \partial _ { \beta } Q _ { \gamma \epsilon } , } \\ { f _ { w } = } & { \frac { W } { 2 } \left( Q _ { \alpha \beta } - Q _ { \alpha \beta } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } _ { f _ { n } } [ \Delta ( f _ { n } ) ] } } & { \ge } & { \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { 1 } { P _ { X ^ { n } | U ^ { n } } ( X ^ { n } | E _ { n } ) } \right. } \\ & { } & { \quad \le \left. \frac { 1 } { n } \log M _ { n } - \gamma \right\} - e ^ { - \gamma n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb J } _ { 1 } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 2 1 } + { \mathbb O } _ { 4 3 } \right) = - \, { \mathbb S } _ { 1 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 2 } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 3 2 } + { \mathbb O } _ { 1 4 } \right) = - \, { \mathbb D } _ { 3 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 3 } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 1 3 } + { \mathbb O } _ { 4 2 } \right) = \, { \mathbb S } _ { 2 } , } \\ { { \mathbb J } _ { 4 } } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 1 4 } + { \mathbb O } _ { 2 3 } \right) = \, { \mathbb S } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { r } ^ { 2 } F ( r ) } & { = - \frac { ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z ) } { \Delta _ { b } ^ { 2 } } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } \Delta _ { b } } { \partial r ^ { 2 } } ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z ) + 2 z r \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } + 4 z \Delta _ { b } \Big ) } \\ & { = - \frac { 8 z ^ { 2 } r } { \Delta _ { b } ( \partial _ { r } \Delta _ { b } ) ^ { 2 } } \Big ( 2 \frac { \partial ^ { 2 } \Delta _ { b } } { \partial r ^ { 2 } } r \Delta _ { b } - r ( \partial _ { r } \Delta _ { b } ) ^ { 2 } - 2 \Delta _ { b } \partial _ { r } \Delta _ { b } \Big ) } \\ & { = \frac { 3 2 z ^ { 2 } r } { \Delta _ { b } ( \partial _ { r } \Delta _ { b } ) ^ { 2 } } \Big ( r ^ { 3 } - 3 \mathbf { m } r ^ { 2 } + 3 \mathbf { m } ^ { 2 } r - \mathbf { m } ( a ^ { 2 } + \mathbf { Q } ^ { 2 } ) \Big ) > 0 \quad \mathrm { o n } \quad r _ { b } < r < \infty . } \end{array}
\sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( q ; q ) _ { m } ( q ; q ) _ { n - m } } ( - 1 ) ^ { m } q ^ { \frac { 1 } { 2 } m ( m + 1 ) } = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { ( q ; q ) _ { n - m } } \left( \prod _ { l = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { l } } \right) \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { q ^ { - \frac { 1 } { 2 } m ( m + 1 ) } } = 1 ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - r } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = r p _ { s } \left( 1 - \Pi - \frac { \alpha _ { S D } } { \alpha _ { D D } } \right) - a _ { d i f } } \end{array}
\overline { Y } _ { t } ( \omega ) = \overline { Y } _ { 0 } ( \omega ) + \int _ { 0 } ^ { t } \Pi _ { \mathcal { T } ( L _ { \delta } , \overline { Y } _ { s } ( \omega ) ) } \left( ( \overline { X } _ { s } ( \omega ) - \overline { Y } _ { s } ( \omega ) ) S ^ { \beta } ( \overline { X } _ { s } ( \omega ) , \overline { Y } _ { s } ( \omega ) ) \right) d s
\begin{array} { r l } { \underline { \tau } _ { \circ } ^ { - 1 } : \widehat { \mathcal { A } } \times T ^ { * } \mathfrak { g } ^ { S } \times { G _ { \mathrm { r e l } , 0 } ^ { \Sigma } } } & { \to \mathcal { A } \times { ( \mathfrak { g } ^ { S } ) ^ { * } } } \\ { ( { \mathsf { a } } , \lambda , { \mathsf { e } } , { U _ { \circ } } ) } & { \mapsto \left( \begin{array} { l } { A } \\ { E _ { \mathrm { i n } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \mathsf { a } } + \frac 1 2 ( u - 1 ) D \lambda + \frac 1 2 \lambda d u - d { U _ { \circ } } { U _ { \circ } } ^ { - 1 } } \\ { { \mathsf { e } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\dot { T } _ { 1 } ( \theta ) = \frac { A \kappa _ { t } } { L ^ { 2 } } \left[ T _ { 2 } ( \theta , \theta _ { 2 } ) - T _ { 1 } ( \theta , \theta _ { 1 } ) \right] + \frac { 4 \mathrm { ~ N ~ u ~ } \kappa } { H ^ { 2 } } [ T _ { m , 1 } - T _ { 0 , 1 } ] \ .
{ \alpha } _ { 1 } ( \gamma , \tau ) \equiv - \frac { 1 } { 4 \pi } ( \frac { e \mathrm { L } } { 2 \pi } ) ^ { 2 } \sum _ { p > 0 } ( { \alpha } _ { - p } { \tau } _ { - } - { \alpha } _ { p } { \tau } _ { + } )