harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\small \begin{array} { r l } & { \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \widehat { u } ^ { \intercal } X _ { k , \cdot } W _ { k } \epsilon _ { k } } _ { \mathrm { a s y m p ~ n o r m a l } } + \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( W _ { k } h ^ { \prime } ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) X _ { k , \cdot } X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { u } - e _ { j } \right) ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) } _ { \mathrm { r e m a i n i n g ~ b i a s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \widehat { u } ^ { \intercal } X _ { k , \cdot } W _ { k } R _ { k } } _ { \mathrm { n o n l i n e a r i t y ~ b i a s } } . } \end{array}
{ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( \mathbf { k } ^ { 2 } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) - 2 i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) - e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r l } { \left\| \frac { \varphi ^ { s + k - 1 } } { \psi ^ { s } } \right\| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } } & { \le 8 ^ { k - 1 } ( s + k - 1 ) ^ { k - 1 } M ^ { k - 1 } \le 8 ^ { k - 1 } ( s + k ) ^ { k - 1 } M ^ { k - 1 } } \\ { \left\| \frac { \varphi ^ { s + k } } { \psi ^ { s + 1 } } \right\| _ { \mathrm { M u l t } ( B _ { \omega } ^ { k - 1 } ) } } & { \le 8 ^ { k - 1 } ( s + k ) ^ { k - 1 } M ^ { k - 1 } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 3 } & { 4 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 3 } \end{array} \right] } ,
S _ { m a x } = \sqrt { \frac { 7 } { 2 } } \left( \ln \left( \frac { 1 2 \Theta } { 1 3 } \right) + 2 \right) - \sqrt { \frac { 1 0 } { 3 } } \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { 2 1 } { 5 } } \right) ,
\begin{array} { r } { L L ( Y | \alpha , \beta , \phi , \theta ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left( e ^ { \alpha } + \sum _ { j : t _ { j } < t _ { i } } \phi e ^ { - \theta ( t _ { i } - t _ { j } ) } \right) } \\ { - \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { f i n } } \left( e ^ { \alpha } + \sum _ { j : t _ { j } < t } \phi e ^ { - \theta ( t - t _ { j } ) } \right) d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \mathcal { S } } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( s ) } \\ { - \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( s ) } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta ^ { * } = 1 + \frac { T _ { x } } { T _ { s } } \frac { \partial _ { s } V ( s \left( \theta ^ { * } \right) ) } { \partial _ { s } \Delta U ( s \left( \theta ^ { * } \right) ) } = 1 + \frac { T _ { x } } { T _ { s } } \frac { a n } { b k } s ^ { n - k } \, , } \end{array}
- 2 \int m ^ { 2 } d ^ { 3 } x \int _ { \epsilon } ^ { \infty } d t \int \frac { d p _ { 0 } } { 2 \pi } e ^ { - p _ { o } ^ { 2 } t } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - p ^ { 2 } t } \, .
d b _ { i j } = d \; \bigg ( \frac { 1 } { A } \; . \; A _ { i j } \bigg ) = \frac { 1 } { A } \; d A _ { i j } + A _ { i j } \; d \bigg ( \frac { 1 } { A } \bigg ) + d A _ { i j } \; d \bigg ( \frac { 1 } { A } \bigg )
\begin{array} { r l r } { \langle x ( t _ { 1 } ) x ( t _ { 2 } ) \rangle } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle x ( s _ { 1 } ) x ( s _ { 2 } ) \rangle h ( s _ { 2 } , t _ { 2 } , s _ { 1 } , t _ { 1 } ) d s _ { 1 } d s _ { 2 } } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ v ^ { 2 } s _ { 1 } s _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( s _ { 1 } ^ { 2 H } + s _ { 2 } ^ { 2 H } - | s _ { 2 } - s _ { 1 } | ^ { 2 H } \right) \right] h ( s _ { 2 } , t _ { 2 } ; s _ { 1 } , t _ { 1 } ) d s _ { 1 } d s _ { 2 } } \\ & { = } & { v ^ { 2 } \langle s ( t _ { 1 } ) s ( t _ { 2 } ) \rangle + \frac { 1 } { 2 } \left[ \langle s ( t _ { 1 } ) ^ { 2 H } \rangle + \langle s ( t _ { 2 } ) ^ { 2 H } \rangle - \langle | s ( t _ { 2 } ) - s ( t _ { 1 } ) | ^ { 2 H } \rangle \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( \tau , z ) } & { = \frac { 1 } { l ^ { ( 3 ) } } \biggl \{ - 4 z a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { j + 1 } \cos \tau } { ( \pi j ) ^ { 2 } - ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } + \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } } ( 1 - \cos \tau ) - 4 z a _ { 2 } ^ { 2 } l ^ { ( 2 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { ( \pi j ) ^ { 2 } - ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } \biggr \} } \\ & { = \frac { 1 } { l ^ { ( 3 ) } } \Biggl \{ - 2 z a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } \biggl ( \frac { 1 } { ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } - \frac { \cos ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) } { l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } \sin ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) } \biggr ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 2 z a _ { 1 } ^ { 2 } l ^ { ( 1 ) } \cos \tau \biggl ( \frac { 1 } { ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } \sin ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) } \biggr ) + \frac { 2 a _ { 1 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } } ( 1 - \cos \tau ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 2 z a _ { 2 } ^ { 2 } l ^ { ( 2 ) } \biggl ( \frac { 1 } { ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } - \frac { \cos ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) } { l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } \sin ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) } \biggr ) + 2 z a _ { 2 } ^ { 2 } l ^ { ( 2 ) } \biggl ( \frac { 1 } { ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } \sin ( l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } ) } \biggr ) \Biggr \} } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { z } } { l ^ { ( 3 ) } } \Biggl \{ a _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \cos ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) - \cos \tau } { \sin ( l ^ { ( 1 ) } \sqrt { z } ) } - a _ { 2 } ^ { 2 } \tan \biggl ( \frac { l ^ { ( 2 ) } \sqrt { z } } { 2 } \biggr ) \Biggr \} . } \end{array}
S _ { s } ( z ) = \frac { \mathcal { N } } { \left( 2 \pi \mathcal { T } _ { s } / m _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { v _ { \parallel } ^ { 2 } + 2 \mu B } { 2 \mathcal { T } _ { s } / m _ { s } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { i } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q = - 1 , 1 } \frac { 1 } { 2 J _ { i } + 1 } \sum _ { M _ { i } } \sigma ( J _ { i } , M _ { i } , q ) } \\ & { = \zeta \frac { 1 } { 3 ( 2 J _ { i } + 1 ) } \sum _ { J _ { f } } \sum _ { l } \sum _ { j _ { f } } \sum _ { J } ( 2 J + 1 ) | \langle \left[ ( l s ) j _ { f } J _ { f } \right] J | | D | | J _ { i } \rangle | ^ { 2 } , } \end{array}
\epsilon = \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \left[ n _ { e } ^ { - } ( 0 ) - n _ { e } ^ { - } ( B ) \right] + \sigma _ { s } ^ { - } \left[ n _ { s } ^ { - } ( B ) n _ { e } ^ { - } ( 0 ) - n _ { s } ^ { - } ( 0 ) n _ { e } ^ { - } ( B ) \right] } { \left( n _ { e } ^ { - } ( B ) \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } ( B ) \sigma _ { s } ^ { - } + n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \right) n _ { e } ^ { - } ( 0 ) }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \Xi _ { c } , y \in [ 0 , 1 ] } | T _ { j } ( x , y ) | \leq \frac { | \log \alpha | ( \mathfrak { F } _ { 0 } + \mathfrak { F } _ { c } ) \left( 1 + \mathfrak { F } _ { c } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } \alpha ^ { | j | / 2 } } { \left( 1 - \mathfrak { I } _ { c } ^ { 2 } \right) ( \alpha - \alpha ^ { | j | } ) } , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , 1 ] , y \in \Xi _ { c } } | T _ { j } ( x , y ) | \leq \frac { 2 | \log \alpha | \, \mathfrak { F } _ { c } \left( 1 + \mathfrak { F } _ { c } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } \alpha ^ { | j | / 2 } } { \left( 1 - \mathfrak { I } _ { c } ^ { 2 } \right) ^ { 5 / 4 } ( \alpha - \alpha ^ { | j | } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \mathbf { x } | } & { { } } & { \mathbf { P } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \left| \begin{array} { c c c c } { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } \\ { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \phi _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } & { \phi _ { P _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } & { \cdots } & { \phi _ { P _ { N } } ( \mathbf { x } _ { N } ) } \end{array} \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { V _ { p , i m } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = M _ { p i , m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { V _ { p , a m } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = M _ { p a , m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \end{array}
O \sim L ^ { - \beta / \nu } F \left( ( p - p _ { c } ) / L ^ { 1 / \nu } \right) \sim L ^ { - \beta d / \overline { { \nu } } } F \left( ( p - p _ { c } ) / L ^ { d / \overline { { \nu } } } \right) \sim N ^ { - \beta / \overline { { \nu } } } F \left( ( p - p _ { c } ) / N ^ { 1 / \overline { { \nu } } } \right)
\left( k ^ { 2 } - \frac { \left[ m - \beta \Theta ( R - r ) \right] ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + \frac { \beta } { r } \delta ( R - r ) + \frac 1 r \partial _ { r } + \partial _ { r } ^ { 2 } \right) g _ { 2 } ( r ) \ = \ 0 \ ,
\begin{array} { l } { { T _ { 0 } | \Omega \rangle = \frac { 1 } { 2 ( k + \check { g } ) } S _ { a 0 } ^ { a } | \Omega \rangle = \frac { p } { 2 ( k + \check { g } ) } | \Omega \rangle } } \\ { { \ } } \\ { { J _ { 0 } | \Omega \rangle = \frac { 1 } { ( k + \check { g } ) } S _ { a 0 } ^ { a } | \Omega \rangle = \frac { p } { ( k + \check { g } ) } | \Omega \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { U , s } } & { { } = U _ { s 0 } / U _ { 0 } , } \\ { r _ { U , s p } } & { { } = U _ { s p 0 } / U _ { 0 } , \mathrm { ~ ~ ~ w h e r e ~ } U _ { s p 0 } = M _ { 0 } / W _ { s p } H _ { s p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { j } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( u _ { j } s _ { k } + u _ { j } e _ { k } + u _ { j } i _ { k } + u _ { j } r _ { k } + d _ { k } ) \, , } \\ { a _ { j } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( a _ { j } s _ { k } + a _ { j } e _ { k } + a _ { j } i _ { k } + a _ { j } r _ { k } ) \, , } \end{array}
\mathscr { R } ^ { l ^ { \mathrm { { c } } } } = \int q , \frac { d l ^ { \mathrm { c } } } { d t } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega _ { 0 } } - \int q , \left[ E ^ { \mathrm { a } } \left( l ^ { \mathrm { s } } - l ^ { \mathrm { c } } \right) - 1 \right] v ^ { \mathrm { 0 } } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega _ { 0 } } = 0 \qquad \forall q \in { \mathcal { Q } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) + \boldsymbol { \sigma } _ { 1 } ^ { ( k ) } ) \, ] } & { = \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \delta \in [ - 4 , 4 ] } \Vert e ^ { i n \tau \delta \Delta } u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , } \\ { \Vert \Pi _ { \tau } u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim \tau ^ { b ^ { \prime } - b } \Vert \Pi _ { \tau } u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b ^ { \prime } } } , } \\ { \Vert \Pi _ { \tau } u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim \tau ^ { \frac { s ^ { \prime } - s } { 2 } } \Vert \Pi _ { \tau } u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s ^ { \prime } , b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { B e r } } ( W ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) , } \\ { { \mathrm { S t r } } \left( W ^ { k } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) , } \\ { { \mathrm { S t r } } \left( W ^ { - k } \right) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( u _ { j } ^ { - k } - v _ { j } ^ { - k } \right) , } \\ { { \mathrm { V d M } } ( W ) } & { = \frac { \prod _ { 1 \leq j < i \leq m } \left| u _ { i } - u _ { j } \right| ^ { 2 } \left| v _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \left| u _ { i } - v _ { j } \right| ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { u } ; r } & { { } ) _ { q < 1 } = \frac { 1 } { B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , r + 1 \right) \sqrt { 2 r + 3 } \, \sigma _ { u } ^ { q G } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] = } & { \frac { e ^ { r _ { \mathrm { E } } } } { 4 \eta } } \\ & { + \frac { e ^ { - r _ { \mathrm { E } } } } { 4 } \left[ \left( \frac { 1 } { \eta } - 2 \right) \tan ^ { 2 } \left( \frac { \Omega \tau } { 2 } \right) + \eta \sec ^ { 2 } \left( \frac { \Omega \tau } { 2 } \right) \right] } \end{array}
y = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \operatorname { f r a c } ( f t ) < 0 . 2 5 } \\ { A _ { 1 } } & { 0 . 2 5 < \operatorname { f r a c } ( f t ) < 0 . 5 } \\ { 0 } & { 0 . 5 < \operatorname { f r a c } ( f t ) < 0 . 7 5 } \\ { - A _ { 1 } } & { \operatorname { f r a c } ( f t ) > 0 . 7 5 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = V _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) + E _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( R , x _ { c } ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { t } ^ { - 1 } D _ { \Psi } ( x _ { t } , \widetilde { z } _ { t } ) } & { \le \frac { e \eta _ { t } } 2 \widetilde g _ { t , a _ { t } } ^ { 2 } x _ { t , a _ { t } } } \\ & { = \frac { e \eta _ { t } } 2 \frac { g _ { t , a _ { t } } ^ { 2 } } { p _ { t , a _ { t } } ^ { 2 } } x _ { t , a _ { t } } . } \end{array}
f _ { \mathrm { m 1 } } = \left[ 5 4 2 5 0 2 . 0 5 \pm 0 . 0 8 _ { \mathrm { s t a t } } \left( ^ { + 0 . 0 1 } _ { - 0 . 1 1 } \right) _ { \mathrm { s y s } } \right] \ensuremath { \, \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } }
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) | ^ { 2 } d f _ { 1 } d f _ { 2 }
X _ { 1 , 1 } ( 0 ) = X _ { 2 , 1 } ( 0 ) = X _ { 2 , 2 } ( 0 ) = 1 , Z _ { 1 , 1 } ( 0 ) = Z _ { 2 , 1 } ( 0 ) = Z _ { 2 , 2 } ( 0 ) = 0
x ( 2 P ) = \frac { x ^ { 4 } - b _ { 4 } x ^ { 2 } - 2 b _ { 6 } x - b _ { 8 } } { 4 x ^ { 3 } + b _ { 2 } x ^ { 2 } + 2 b _ { 4 } x + b _ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { \cos ^ { 2 l } { ( x ) } } & { { } = \frac { c _ { 0 , 2 l } } { 2 } + \sum _ { m = 1 } ^ { l } c _ { 2 m , 2 l } \cos { [ ( 2 m ) x ] } \, , } \\ { \cos ^ { 2 l + 1 } { ( x ) } } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { l } c _ { 2 m + 1 , 2 l + 1 } \cos { [ ( 2 m + 1 ) x ] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ^ { ( n ) } ( t ) } & { = \frac { \tilde { K } _ { t } ^ { ( n ) } - t ^ { 2 } n } { \sqrt { n } } } \\ & { = \frac { ( 1 - \eta ) K _ { j } ^ { ( n ) } + \eta K _ { j + 1 } ^ { ( n ) } - ( j + \eta ) ^ { 2 } / n } { \sqrt { n } } } \\ & { = \frac { ( 1 - \eta ) ( K _ { j } ^ { ( n ) } - j ( j - 1 ) / n ) + \eta ( K _ { j + 1 } ^ { ( n ) } - j ( j + 1 ) / n ) - ( j + \eta ^ { 2 } ) / n } { \sqrt { n } } } \\ & { = ( 1 - \eta ) \frac { K _ { j } ^ { ( n ) } - j ( j - 1 ) / n } { \sqrt { n } } + \eta \frac { K _ { j + 1 } ^ { ( n ) } - j ( j + 1 ) / n } { \sqrt { n } } - \frac { j + \eta ^ { 2 } } { n ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow \ } & { { } \left| - \omega _ { g } ^ { \textbf { k } _ { l } } + \textbf { F } ( s ) \cdot \left[ \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) - \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } _ { l } + \textbf { A } ( t _ { r } ) - \textbf { A } ( s ) } \right] \right| = \operatorname* { m i n } \left\{ \left| \partial _ { s } S ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) \right| \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { v a l } } } & { = \mathcal { L } _ { \mathrm { M O L } } + \mathcal { L } _ { \mathrm { S O L } } } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { M O L } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { D B } } N _ { \mathrm { D B / V A L } } \times \mathrm { M S D } _ { \mathrm { D B / V A L } } ^ { \mathrm { S C F } } \times \left( 1 + \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \tilde { \sigma } _ { \mathrm { D B } } ^ { 2 } } \right) } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { S O L } } } & { = \mathrm { M S D } _ { \mathrm { S O L 6 2 / V A L 2 2 } } ^ { \mathrm { N S C F } } , } \end{array}
( 1 , 2 ) \mapsto \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \ ( 2 , 3 ) \mapsto \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \ ( 3 , 4 ) \mapsto \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
q ^ { \mathrm { h o m } } ( x , \eta ; Q ^ { 2 } ) _ { | x | < \eta } = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d y \, U _ { \mathrm { E R B L } } \left( \frac { x } { \eta } , y ; Q ^ { 2 } , Q _ { 0 } ^ { 2 } \right) q ^ { \mathrm { h o m } } ( \eta y , \eta ; Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ,
A S \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \mathrm { o u t } } \cdot \mathbf { r } _ { \mathrm { s c r e e n } } } \int d \mathbf { r } f ( \mathbf { r } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } } = A S \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \mathrm { o u t } } \cdot \mathbf { r } _ { \mathrm { s c r e e n } } } F ( \mathbf { q } ) ,
s < s _ { \textup { c r } } \rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { \textup { F a l s e } } & { \textup { f o r } x _ { 3 } = h ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { T r u e } & { \textup { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l l } { H ^ { n + 1 } } & { = } & { H ^ { n } - \Delta t \, \nabla \cdot \left( \mathbf { \bar { u } } ^ { n } H ^ { n + 1 } \right) + \Delta t F _ { H } ^ { n } } \\ { \mathbf { \bar { u } } ^ { n } } & { = } & { \mathcal G ( \beta , H ^ { n } ) } \end{array} \right.
\mathrm { I m } \lambda _ { t } = \eta A ^ { 2 } \lambda ^ { 5 } , \quad \mathrm { R e } \lambda _ { t } = - \left( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \right) A ^ { 2 } \lambda ^ { 5 } ( 1 - \overline { { { \rho } } } )
\begin{array} { r l } & { \langle \mathbf { K } | \hat { \mathcal { O } } | \mathbf { K } \rangle = \sum _ { I \in \mathbf { K } } o _ { I I } = \langle \hat { \mathcal { O } } \rangle _ { \mathbf { K } } , \quad \langle \mathbf { K } | \hat { \mathcal { O } } | \mathbf { K } _ { B } ^ { Q } \rangle = o _ { A Q } , } \\ & { \langle \mathbf { K } _ { A } ^ { P } | \hat { \mathcal { O } } | \mathbf { K } _ { B } ^ { Q } \rangle = \delta _ { A B } \left[ \delta _ { P Q } \left( \langle \hat { \mathcal { O } } \rangle _ { \mathbf { K } } - o _ { A A } \right) + o _ { P Q } \right] . } \end{array}
\varepsilon ^ { 2 } | t - t ^ { \prime } | ^ { 1 / 2 } \times ( \varepsilon ^ { 4 } t ^ { \prime } ) ^ { - 1 } = \left( ( \varepsilon ^ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) ) ^ { 1 / 2 - \alpha / 2 } \varepsilon ^ { 2 \alpha } ( t - t ^ { \prime } ) ^ { \alpha / 2 } \right) \times \left( ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { \alpha / 2 } ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 - \alpha / 2 } \right) .
\begin{array} { r c l } { { x ^ { i } x ^ { j } } } & { { = } } & { { q x ^ { j } x ^ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i < j ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ i \not = - j ~ , } } \\ { { x ^ { i } x ^ { - i } } } & { { = } } & { { x ^ { - i } x ^ { i } + \lambda q ^ { i - 3 / 2 } L _ { i - 1 } } } \\ { { } } & { { = } } & { { q ^ { - 2 } x ^ { - i } x ^ { i } + \lambda q ^ { i - 3 / 2 } L _ { i } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ i > 0 ~ , } } \end{array}
\Sigma _ { a } = \frac { \alpha m _ { a } m _ { b } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 3 } { \mathbf { k } } } { \omega _ { a } ( { \mathbf { p } } - { \mathbf { k } } ) \omega _ { \gamma } ( { \mathbf { k } } ) } \frac { 1 } { E - \omega _ { b } ( { \mathbf { p } } ) - \omega _ { a } ( { \mathbf { p } } - { \mathbf { k } } ) - \omega _ { \gamma } ( { \mathbf { k } } ) } \ \ .
{ \mathfrak { N } } _ { \alpha } ( \nu ; \nu _ { 0 } , \theta ) = { \frac { \alpha } { \Gamma ( { \frac { 1 } { \alpha } } ) } } { \frac { 1 } { \nu - \nu _ { 0 } } } L _ { \alpha } \left( { \frac { \theta } { \nu - \nu _ { 0 } } } \right)
- \frac { d M ( u ) } { d u } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } { \cal S } \Bigl [ \Bigl ( \frac { \partial } { \partial u } C _ { 1 } \Bigr ) ^ { 2 } + \Bigl ( \frac { \partial } { \partial u } C _ { 2 } \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ] + \frac { 1 } { 8 \pi } \int d ^ { 2 } { \cal S } \: \frac { 1 } { 4 } \: r ^ { 2 } R ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } v \nabla _ { \nu } v \biggl | _ { { \cal I } ^ { + } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \Big \{ \big \| ( \partial _ { t } \! + \! 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \Big \} \leq 4 t ( 3 + \sqrt { 2 } ) \Big ( 1 \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + \! \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \! + } \\ { + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } e ^ { t } ( 1 + t ) ^ { 3 } \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) | k | ^ { 2 } \exp \bigg \{ 2 ^ { \frac { 5 } { 6 } } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { t } { 3 } } t \bigg \} . } \end{array}
{ \cal { V } } = - \frac { T V ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 4 } \lambda } \frac { m } { N ( N + m ) } + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { N } ( B ^ { 0 } ) ^ { 2 } + \sum _ { k } ( B ^ { k } ) ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { i } \sum _ { j > i } | X ^ { ( i j ) } | ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { i } | X ^ { i } | ^ { 2 }
< \lambda , \mu \mid { } ^ { i } { \hat { \gamma } } _ { ( \tau , \nu , \alpha ) } ^ { r } \mid \tau , \nu > = { } ^ { * } \delta _ { \lambda \tau } { } ^ { * } \delta _ { \mu , \nu } { } ^ { i } e _ { ( \tau , \nu , \alpha ) } ^ { r } ,
\begin{array} { r l } { d ( z , T z ) } & { = d ( \eta ( \varepsilon ) , \theta ( \varepsilon ) ) = L _ { 1 } ( \varepsilon , \delta ) , } \\ { d ( z , p ( z ) ) } & { = d ( p ( \eta ( \varepsilon ) ) , \eta ( \varepsilon ) ) = L _ { 2 } ( \varepsilon , 0 ) , } \\ { d ( T z , p ( T z ) ) } & { = d ( p ( \theta ( \varepsilon ) ) , \theta ( \varepsilon ) ) = L _ { 2 } ( \varepsilon , \delta ) . } \end{array}
\kappa _ { \delta \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { b } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \Vert \delta \boldsymbol { b } \Vert = \epsilon } \left( \left. \frac { \Vert \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \delta \boldsymbol { b } \Vert } { \Vert \boldsymbol { x } \Vert } \right/ \frac { \Vert \delta \boldsymbol { b } \Vert } { \Vert \boldsymbol { b } \Vert } \right) ,