harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t ^ { 5 } \cdot u ) \right) } & { = P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t ^ { 5 } ) \right) \cdot u - P ^ { 1 } ( t ^ { 5 } ) P ^ { 1 } ( u ) + t ^ { 5 } P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( u ) \right) } \\ & { = ( 7 * 5 ) t ^ { 9 } \cdot u - ( 5 t ^ { 7 } ) ( - c _ { 2 } \cdot u ) + t ^ { 5 } \cdot 0 = - ( t ^ { 9 } \cdot u + t ^ { 7 } c _ { 2 } \cdot u ) , } \\ { P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t c _ { 2 } ^ { 2 } u ) \right) } & { = P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t ) \right) \cdot u - P ^ { 1 } ( t ) P ^ { 1 } ( c _ { 2 } ^ { 2 } u ) + t P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( c _ { 2 } ^ { 2 } u ) \right) } \\ & { = - ( t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 3 } \cdot u + t c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u ) , } \\ { P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t ^ { 2 } c _ { 3 } \cdot u ) \right) } & { = P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( t ^ { 2 } ) \right) \cdot u - P ^ { 1 } ( t ^ { 2 } ) P ^ { 1 } ( c _ { 3 } \cdot u ) + t ^ { 2 } P ^ { 1 } \left( P ^ { 1 } ( c _ { 3 } \cdot u ) \right) = - t ^ { 6 } c _ { 3 } \cdot u , } \end{array}
\begin{array} { r } { R M M S E _ { o M B } = \sqrt { \frac { 1 } { 5 0 0 } \sum _ { m = 1 } ^ { 5 0 0 } \frac { 1 } { 1 0 , 0 0 0 } \sum _ { b = 1 } ^ { 1 0 , 0 0 0 } \left( R _ { I , n } ^ { * ( b ) ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } - \left( R _ { I , n } ^ { ( b ) ( m ) } - \widehat R _ { I , n } ^ { ( m ) } \right) \right) ^ { 2 } , } } \end{array}
( \langle \tilde { \zeta } _ { t } ^ { X | K } , f _ { t } \rangle , \langle \tilde { \zeta } _ { t } ^ { X | K } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle ) \xrightarrow [ K \to \infty ] { } ( \langle \tilde { \eta } _ { t } ^ { X } , f _ { t } \rangle , \langle \tilde { \eta } _ { t } ^ { X } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle ) .
I _ { x } = - \partial _ { x _ { i } } \biggl \{ \underset { i \neq j } { \sum _ { j } } \int _ { \partial _ { c _ { j } } } \phi _ { i } \; d x + \int _ { \partial _ { \Omega } } \phi _ { i } \; d x + \int _ { \sigma _ { i } ^ { + } } \phi _ { i } \; d x + \int _ { \sigma _ { i } ^ { - } } \phi _ { i } \; d x + \int _ { \partial _ { c _ { i } } } \phi _ { i } \; d x \biggl \} .
\begin{array} { r l r } & { } & { R _ { 1 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \vert _ { \tau } : = \boldsymbol { q } _ { h } \vert _ { \tau } - \mu \nabla \times \boldsymbol { v } _ { h } \vert _ { \tau } , } \\ & { } & { R _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } , \boldsymbol { q } _ { h } ) \vert _ { \tau } : = \boldsymbol { f } \vert _ { \tau } - ( \nabla \times \boldsymbol { q } _ { h } + \kappa \boldsymbol { v } _ { h } ) \vert _ { \tau } , } \\ & { } & { R _ { 3 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \vert _ { \tau } : = \nabla \cdot ( \boldsymbol { f } \vert _ { \tau } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } \vert _ { \tau } ) , } \\ & { } & { J _ { 1 } ( \boldsymbol { q } _ { h } ) \vert _ { f } : = [ [ \boldsymbol { q } _ { h } ] ] , } \\ & { } & { J _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \vert _ { f } : = [ [ ( \boldsymbol { f } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } ) ] ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| q \Sigma ^ { - 1 } + ( 1 - q ) \bar { \Sigma } ^ { - 1 } \right| } & { = \left| \Sigma ^ { - 1 } \left( q \bar { \Sigma } + ( 1 - q ) \Sigma \right) \bar { \Sigma } ^ { - 1 } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { | \Sigma | \times | \bar { \Sigma } | } \left| \begin{array} { l l } { \Sigma _ { X } } & { ( 1 - q ) \Sigma _ { X Y } } \\ { ( 1 - q ) \Sigma _ { Y X } } & { \Sigma _ { Y } } \end{array} \right| } \\ & { = \frac { \left| I - ( 1 - q ) ^ { 2 } ( I - \Sigma _ { X | Y } \Sigma _ { X } ^ { - 1 } ) \right| } { | \Sigma _ { Y } | \times | \Sigma _ { X | Y } | } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { - ( M - 1 ) / 2 } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { k } ^ { ( M - 1 ) / 2 } } \end{array} \right] = \overbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { - ( M - 1 ) / 2 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 1 } & { - 1 } & { ( M - 1 ) / 2 } \end{array} \right] } ^ { \mathbf { H } } \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { k } ^ { s i g } } \\ { \phi _ { k } ^ { L O } } \\ { \phi _ { k } ^ { R F } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \prime } ( s _ { 1 } + \sigma ) = \gamma ^ { \prime } ( s _ { 3 } + \sigma ) \ \ \mathrm { h o l d s ~ w h e n e v e r } \ \ s _ { 1 } + \sigma , \ s _ { 3 } + \sigma \in [ 0 , L ] , } \\ & { k ( \sigma + s _ { 1 } ) = - k ( s _ { 3 } - \sigma ) \ \ \mathrm { h o l d s ~ w h e n e v e r } \ \ \sigma + s _ { 1 } , \ s _ { 3 } - \sigma \in [ 0 , L ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma \circ ( \mu \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) ( \overline { { \star } } , \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \overset { = } \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } ( \mu \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) ( a , b , \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \times \sigma ( \overline { { \star } } , \overline { { a } } , \overline { { b } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \mu ( a , \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \times \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( b , \overline { { z } } ) \times \sigma ( \overline { { \star } } , \overline { { a } } , \overline { { b } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \ _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \langle \overline { { a } } , \overline { { x \otimes _ { \mathcal { C } } y } } \rangle \times \ _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \langle \overline { { b } } , \overline { { z } } \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle a , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { b } } ) \rangle } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , a \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle a , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { b } } ) \rangle } \\ & { \overset { \cong } \int ^ { \overline { { b } } \in \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { b } } ) \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle } \\ & { \overset { D ^ { - 1 } } { \cong } \int ^ { \overline { { b } } \in \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \ _ { \mathcal { C } } \langle b , D ^ { - 1 } ( \overline { { x \otimes _ { \mathcal { C } } y } } ) \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle } \\ & { \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle z , D ^ { - 1 } ( \overline { { x \otimes _ { \mathcal { C } } y } } ) \rangle . } \end{array}
\Delta _ { 1 } = \int d ^ { 4 } x \biggl [ \sum _ { m } c _ { \mu } ^ { a } ( x ) { { \partial } _ { { \lambda } _ { m } } } c _ { \nu } ^ { b } ( x ) \Delta _ { 1 , a , b , { \lambda } _ { m } } ^ { \mu \nu } ( x ) \biggr ]
\begin{array} { r l } { \zeta _ { i } ^ { ( n ) } } & { = \left( \varepsilon _ { i j k } \xi _ { j } ^ { ( n ) } \tilde { \kappa } _ { k } ^ { ( n ) } \right) _ { \mathrm { n o r m a l i z e } } , } \\ { \sigma _ { i } ^ { ( n ) } } & { = \left( \varepsilon _ { i j k } \tilde { \kappa } _ { j } ^ { ( n ) } \zeta _ { j } ^ { ( n ) } \right) _ { \mathrm { n o r m a l i z e } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 0 } } & { = \frac { k _ { f } \cos ( \theta _ { \mathrm { p } } - \theta ) - k _ { i } \cos \theta _ { \mathrm { p } } } { q } } \\ { \epsilon _ { \pm 1 } } & { = \frac { - i } { \sqrt { 2 } } \frac { \sin \theta _ { \mathrm { p } } ( k _ { f } \cos \theta - k _ { i } ) - k _ { f } \cos \theta _ { \mathrm { p } } \sin \theta } { q } , } \end{array}
- 4 i \dot { \alpha } _ { i } ( k ) + \left( - 4 \omega ^ { 2 } + \omega _ { k } ^ { 2 } + A ^ { 2 } + { \cal I } \right) \alpha _ { i } ( k ) + \left( A B + { \cal C } \right) \alpha _ { i } ^ { * } ( k ) + { \frac { A ^ { 2 } } { 2 } } ( \beta _ { i } ( k ) + \gamma _ { i } ( k ) ) = 0
\displaystyle { \int _ { } ^ { } q ^ { 2 } ( \varrho ) d ^ { 2 } \varrho = 4 \pi Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left[ \ln \frac { a _ { s } ^ { 2 } } { R _ { n } ^ { 2 } } + \ln 6 - 2 \right] \simeq 4 \pi Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left[ \ln \frac { a _ { s } ^ { 2 } } { R _ { n } ^ { 2 } } - 0 . 2 0 8 \right] } .
f ( \textbf { u } ) = \| \textbf { d } - \textbf { R } \textbf { u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \epsilon _ { r } \| \textbf { u } _ { x } + \boldsymbol \Sigma \textbf { u } _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 }
S _ { f i } = - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \langle \chi _ { \mathbf { k } _ { f } } ( \mathbf { R } , t ) \Psi _ { n _ { f } l _ { f } m _ { f } } ( \mathbf { r } , t ) | V ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) | { \chi } _ { \mathbf { k } _ { i } } ( \mathbf { R } , t ) \Psi _ { n _ { i } l _ { i } m _ { i } } ( \mathbf { r } , t ) \rangle \; ,
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { F F } } ( \textrm { N A } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \textrm { N A } } } S _ { \textrm { F F } } ( R , \theta , \phi ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \textrm { N A } } } p _ { \textrm { F F } } ( \theta , \phi ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi , } \end{array}
< B R > E _ { i } = 3 D - \Pi = _ { i } + { \frac { \mu } { = 2 0 2 } } \epsilon _ { i j } A _ { j } ; ~ ~ B = 3 D - \epsilon _ { i j } \partial _ { i } A _ { j } ; ~ ~ \Pi _ { \theta } = 2 0 ; ~ ~ A _ { i } + \partial _ { i } \theta , < B R > < B R >
\frac { \lambda \varphi _ { 0 } ^ { 3 } } { 6 } > \frac { g ^ { 2 } N } { 8 } \sum _ { i } ^ { t . e . } ( \varphi _ { 0 } - M _ { i } ) T ^ { 2 } \approx \frac { g N } { 8 } T ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { u _ { r } } & { { } = r \cos \theta \sin \theta \sin \phi \tan \phi , } \\ { u _ { \theta } } & { { } = r \left( \cos ^ { 2 } \theta \sec \phi + \cos \phi \sin ^ { 2 } \theta \right) , } \\ { u _ { z } } & { { } = - r \epsilon ^ { - 1 } \sin \theta \sin \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ } & { ~ } & { ~ \partial _ { \tau } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) = \beta _ { 1 } \Bigl ( \partial _ { \xi } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \times \partial _ { \xi } ^ { \, 2 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \Bigr ) + } \\ { ~ ~ } & { + } & { \beta _ { 2 } \Bigl ( 2 \, \partial _ { \xi } ^ { \, 3 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) + { 3 } \, \bigl \vert \, \partial _ { \xi } ^ { \, 2 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \bigr \vert ^ { \, 2 } \partial _ { \xi } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \Bigr ) \, . } \end{array}
\left[ e ^ { i \bar { x } p ^ { + } y ^ { - } } \, \hat { H } _ { 1 a } ( \bar { x } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) - e ^ { i x p ^ { + } y ^ { - } } \, \hat { H } _ { 1 a } ( x , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right] _ { k _ { T } = 0 } = 0 \ ,
\boldsymbol { \psi } = \cos \theta \cos \frac { \phi _ { 1 } } { \hbar } + \boldsymbol { i } \cos \theta \sin \frac { \phi _ { 1 } } { \hbar } + \boldsymbol { j } \sin \theta \cos \frac { \phi _ { 2 } } { \hbar } + \boldsymbol { k } \sin \theta \sin \frac { \phi _ { 2 } } { \hbar }
\widehat { J } _ { N , p , q } ^ { \mathrm { S } } ( \varepsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } , \lambda \geq 0 , s \in \mathbb { R } ^ { N } , \gamma } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { { \displaystyle \langle \gamma _ { i , k } , e + \widehat { \xi } _ { i } \rangle + a _ { k } \langle x , \widehat { \xi } _ { i } \rangle + b _ { k } \tau \leq s _ { i } , } } & { \forall i \in [ N ] , k \in \{ 1 , 2 \} } \\ & { \| \gamma _ { i , k } + a _ { k } x \| _ { \infty } \leq \lambda , } & { \forall i \in [ N ] , k \in \{ 1 , 2 \} } \\ & { \gamma _ { i , k } \geq 0 . } & { \forall i \in [ N ] , k \in \{ 1 , 2 \} } \end{array} \right.
\zeta _ { 0 } ^ { ( p ) } ( \nu ) = { \frac { 1 } { \pi \Gamma ( \nu ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ~ t ^ { \nu - 1 } e ^ { - t x ^ { 2 } } { \frac { 1 } { ( 4 \pi t ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \breve { a } _ { n } ( x ) t ^ { n } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { q } \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } q ( x ) d x \right\} , } & { \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } } \\ { q ( 0 ) = 0 , ~ \int _ { 0 } ^ { 1 } ( q ^ { \prime } ( x ) ) ^ { 2 } d x } & { \leq \ensuremath { n } , \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha } q ^ { 2 } ( x ) d x \leq 1 . } \end{array}
{ e _ { i } } = \frac { 1 } { { { c _ { 1 } } \operatorname* { d e t } D } } \left( { { \delta _ { i j } } \operatorname* { d e t } D - \frac { { { d _ { 2 } } } } { { { c _ { 1 } } } } \, { B _ { 0 i } } { B _ { 0 j } } } \right) { \Pi _ { j } } \, .
\frac { K } { 2 } \partial _ { s } \ln \left( 1 + a _ { 2 0 } \right) = \frac { 4 } { { d _ { t } } ( { d _ { t } } + 2 ) } \left[ ( { d _ { t } } + 2 ) \mu _ { 2 0 } - \frac { \mu _ { 4 0 } } { 1 + a _ { 2 0 } } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mu _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { \mathrm { ~ o r ~ } } & { \mu _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \\ { \nu _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { \mathrm { ~ o r ~ } } & { \nu _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \\ { \xi _ { n } > 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n } & { \mathrm { ~ o r ~ } } & { \xi _ { n } < 0 \mathrm { ~ } \forall \mathrm { ~ } n , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { q } \partial _ { t t } T _ { t } + \partial _ { t } T _ { t } + \frac { \varepsilon \rho _ { b } c _ { b } } { ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } } \mathbf v _ { b } \cdot \nabla T _ { t } = \alpha _ { \textrm { e f f } } \Big ( \Delta T _ { t } + \tau _ { T } \partial _ { t } \Delta T _ { t } \Big ) + \left( \frac { 1 - \varepsilon } { ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } } + \frac { \varepsilon \rho _ { b } c _ { b } } { h ( \rho c ) _ { \textrm { e f f } } } \partial _ { t } \right) q _ { \textrm { m e t } } } \end{array}
a _ { i j } = p _ { i } ^ { \prime } p _ { j } ^ { \prime } = E _ { i } ^ { \prime } E _ { j } ^ { \prime } - \mathbf { p } _ { i } ^ { \prime } \mathbf { p } _ { j } ^ { \prime } = E _ { i } ^ { \prime } E _ { j } ^ { \prime } - | \mathbf { p } _ { i } ^ { \prime } | \, | \mathbf { p } _ { j } ^ { \prime } | \, \cos \frac { 2 \pi } { 3 } = E _ { i } ^ { \prime } E _ { j } ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \, | \mathbf { p } _ { i } ^ { \prime } | \, | \mathbf { p } _ { j } ^ { \prime } |
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } } & { { } = \sum _ { \vec { j } } \Big \{ ( m _ { z } + i \gamma _ { \downarrow } / 2 ) \bigr ( | \vec { j } \uparrow \rangle \langle \vec { j } \uparrow | - | \vec { j } \downarrow \rangle \langle \vec { j } \downarrow | \bigr ) } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { e _ { 1 } ^ { \prime } } & { \cdots } & { e _ { n } ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { e _ { 1 } } & { \cdots } & { e _ { n } } \end{array} \right] } S
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \mathop { \mathbf { J } _ { \mathrm { u n c o } } ^ { ( \nu ) } } = } & { \left\langle | s | ^ { 2 } \right\rangle \left\langle | v | ^ { 2 } \right\rangle \left| \rho _ { \zeta , p \nu } \rho _ { \varepsilon , s \nu } - \rho _ { \varepsilon , p \nu } \rho _ { \zeta , s \nu } \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { T r } \mathop { \mathbf { J } _ { \mathrm { u n c o } } ^ { ( \nu ) } } = } & { \left\langle | s | ^ { 2 } \right\rangle \left( | \rho _ { \zeta , p \nu } | ^ { 2 } + | \rho _ { \zeta , s \nu } | ^ { 2 } \right) } \\ & { + \left\langle | v | ^ { 2 } \right\rangle \left( | \rho _ { \varepsilon , p \nu } | ^ { 2 } + | \rho _ { \varepsilon , s \nu } | ^ { 2 } \right) \: . } \end{array}
G _ { i } ( a _ { i } , b _ { i } ) = { \frac { 1 } { 8 \sqrt { 2 \pi } } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \left[ a _ { i } \left( 1 - { \frac { a _ { i } ^ { 2 } } { 3 } } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { a _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } - b _ { i } \left( 1 - { \frac { b _ { i } ^ { 2 } } { 3 } } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { b _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } \right] \, .
\begin{array} { r } { \tau \partial _ { t t } T + \partial _ { t } T = \alpha \Delta T + ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) \partial _ { t } \Delta T + \frac { 1 } { \rho c _ { v } } \left( Q _ { v } + \tau \frac { \partial Q _ { v } } { \partial t } - ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) \Delta Q _ { v } \right) , } \end{array}
B _ { z 0 } \left( x _ { 0 } \right) d x _ { 0 } \left[ \frac { \partial y _ { 0 } } { \partial y } d y \right] = B _ { z } \left( x _ { 0 } \right) \left[ \frac { \partial x } { \partial x _ { 0 } } d x _ { 0 } \right] d y
\frac 1 { \Gamma _ { 0 } } \frac { d ^ { 3 } \Gamma } { d y _ { 0 } \, d y \, d x } = \; 1 2 \, ( y _ { 0 } - x ) ( x - y ) \int _ { \xi } ^ { x _ { m } } d z \, S ( z ) \, m _ { b } ^ { 2 } \, J [ m _ { b } ^ { 2 } \; h ( z - \xi ) , \mu ] \, H ( m _ { b } \, h / \mu ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } ] } & { \leq \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) O \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { \mathrm { m i x } } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) . } \end{array}
d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime \prime } , q ^ { \prime \prime } ) \asymp \operatorname* { m i n } ( d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) , e ^ { \epsilon } d _ { \mathrm { T V } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) ) \asymp \operatorname* { m i n } ( \gamma ^ { 1 + \delta } , e ^ { \epsilon } \gamma ^ { 2 + 2 \delta } ) \asymp \gamma ^ { 1 + \delta } \cdot \operatorname* { m i n } ( 1 , e ^ { \epsilon } \gamma ^ { 1 + \delta } ) ,
\begin{array} { r l } { { \bf D } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ } { \bf L } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } , } \\ { { \bf D } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ } { \bf L } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } , } \end{array}
c _ { i j } ( t + 1 ) = c _ { j i } ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { i j } ( t ) + \gamma ( 1 - c _ { i j } ( t ) ) \, , } & { \mathrm { ~ i f ~ } | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | < c _ { i j } ( t ) } \\ { \delta c _ { i j } ( t ) \, , } & { \mathrm { ~ i f ~ } | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | \geq c _ { i j } ( t ) \, . } \end{array} \right.
\delta ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { a \to 0 + 0 } V _ { a } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { a \to 0 + 0 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } a } \exp { ( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } ) } .
{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x } } } = 1 - { \frac { 1 } { 2 } } x + { \frac { 3 } { 8 } } x ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 1 6 } } x ^ { 3 } + { \frac { 3 5 } { 1 2 8 } } x ^ { 4 } - { \frac { 6 3 } { 2 5 6 } } x ^ { 5 } + \cdots
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } ( r ) = } & { \left[ r ^ { q } + p \left( 1 - r ^ { q } - \left( 1 - r \right) ^ { q } \right) - r \left( 1 - r \right) ^ { q - 1 } \right] \left( 1 - r \right) } \\ { \chi _ { 2 } ( r ) = } & { \left[ r ^ { q } + p \left( 1 - r ^ { q } - \left( 1 - r \right) ^ { q } \right) + r \left( 1 - r \right) ^ { q - 1 } \right] \frac { \left( 1 - r \right) } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { \dagger } } & { \frac { \partial \psi } { \partial t } + \frac { \partial \psi ^ { \dagger } } { \partial t } \psi } \\ & { = - i \psi ^ { \dagger } \left( \mathcal { M } - \mathcal { M } ^ { \dagger } \right) \psi - \partial _ { 1 } \left( \psi ^ { \dagger } \Sigma _ { 1 } \psi \right) - \partial _ { 2 } \left( \psi ^ { \dagger } \Sigma _ { 2 } \psi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| u ^ { 2 } | \nabla u | \right\| _ { W ^ { 1 , 1 } } } & { { } \leq C \left( \| u \| _ { q } \| u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } + \| u \| _ { q } \| \nabla u \| _ { r } \| \nabla u \| _ { 2 } + \| u \| _ { q } \| u \| _ { r } \| \nabla ^ { 2 } u \| _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } S ( x ) \ d x \ = \ } & { w \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } \alpha e ^ { - \alpha x } \ d x + ( 1 - w ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x } \\ { \ = \ } & { \frac { 2 w } { \alpha ^ { 2 } } + ( 1 - w ) ( \sigma _ { g } ^ { 2 } + Q _ { g } ^ { 2 } ) } \end{array}
M = { \Big \{ } { \mathrm { c o n t i n u o u s ~ f u n c t i o n s ~ } } f : [ 0 , 1 ] \to \mathbb { R } { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , 1 ] } | f ( x ) | \leq 1 { \Big \} }
\begin{array} { r l } { R _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } = R _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] x _ { k } ^ { t } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t ^ { \prime } } \right) } \end{array}
D ^ { ( k ) } ( k ) ( { \bf 1 } , { \bf 1 } ) \oplus D ^ { ( k - 1 / 2 ) } ( k + 1 / 2 ) ( { \bf 2 } , { \bf 1 } ) \oplus D ^ { ( k - 1 ) } ( k + 1 ) ( { \bf 1 } , { \bf 1 } )
A _ { 0 } = A \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \left( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } - 2 R T e ^ { - \frac { 2 | \tau | } { T _ { \mathrm { d e p } } } } \right) e ^ { - \frac { | \tau | } { T _ { 1 } } } = A \left[ 2 T _ { 1 } ( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } ) - 4 R T \frac { T _ { 1 } T _ { \mathrm { d e p } } } { 2 T _ { 1 } + T _ { \mathrm { d e p } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \psi } _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) ] _ { q } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi l _ { x } } { L _ { \mathrm { R } , x } } r _ { x } ^ { q } + \frac { 2 \pi l _ { y } } { L _ { \mathrm { R } , y } } r _ { y } ^ { q } + \gamma _ { \mathrm { R } } ( l _ { x } , l _ { y } ) r _ { z } ^ { q } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { R } , q } \left( \theta _ { \mathrm { R } } ^ { * } ( l _ { x } , l _ { y } ) , \phi _ { \mathrm { R } } ^ { * } ( l _ { x } , l _ { y } ) \right) , } \end{array}
\langle \mathcal { Q } _ { f } \rangle = \frac { \int j ( \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } ) \mathcal { Q } _ { f } ( \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } ) d \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } } { \int j ( \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } ) d \mathcal { L } _ { \mathrm { { H _ { 2 } 0 } } } } .
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { r _ { g } } { r } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 - \frac { r _ { g } } { r } } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \right) ,
\hat { T } = \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a } ^ { \mathrm { v i r } } \theta _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { i } ^ { a } + \sum _ { i j } ^ { \mathrm { o c c } } \sum _ { a b } ^ { \mathrm { v i r } } \theta _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { i j } ^ { a b } + \cdots