harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { r } _ { j } = \left( \begin{array} { c } { \textrm { R e } \gamma _ { j } } \\ { \textrm { I m } \gamma _ { j } } \\ { \beta _ { j } } \end{array} \right) , \qquad \mathbf { r } _ { 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } } \end{array} \right) + 2 \sum _ { j } \frac { \alpha _ { j } } { \omega _ { j } } \mathbf { r } _ { j } .
\operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F , q } } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x , F } \right) } \mathbb { E } _ { \zeta \sim \mathbb { Q } } [ \zeta ] = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 0 } \left( \lambda \varepsilon ^ { p } \gamma _ { x , F , q } ^ { p } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in F ( x , \Xi ) } \left( \zeta - \lambda \left| \zeta - F ( x , \widehat { \xi } _ { i } ) \right| ^ { p } \right) \right) .
r _ { i } = \left| \left\{ U _ { j } : \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \tau _ { i } \leq U _ { j } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { j } \tau _ { i } \right\} \right| \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } U _ { j } = ( j - 1 ) + u _ { j } \, .
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { d i f f } } \propto \frac { \partial } { \partial t } \sqrt { \langle x ( t ) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { f } } } = \alpha \left( \sqrt { D _ { \alpha } / 2 } \right) / t ^ { 1 - \alpha / 2 } , } \end{array}
\xi _ { \mathrm { { \small F I } } , n _ { j } } = - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { ( p - 1 ) / 2 } \mathrm { I m } ( \phi _ { k } ) ~ \mathrm { I m } \left( \mathrm { T r } \left[ \gamma _ { k } \lambda _ { n _ { j } } \right] \right) ~ .
M _ { \mathrm { s y s t } } ^ { e } = M _ { \mathrm { c r y s } } X _ { \mathrm { c r y s } } ^ { e } + M _ { \mathrm { l i q } } X _ { \mathrm { l i q } } ^ { e } + M _ { \mathrm { a t m } } X _ { \mathrm { a t m } } ^ { e } ,
\varphi ( n ) = n - \sum _ { i = 1 } ^ { r } { \frac { n } { p _ { i } } } + \sum _ { 1 \leqslant i < j \leqslant r } { \frac { n } { p _ { i } p _ { j } } } - \cdots = n \prod _ { i = 1 } ^ { r } \left( 1 - { \frac { 1 } { p _ { i } } } \right) .
S = \int d ^ { 4 } x { \sqrt { - g } } \left( - { \frac { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { 2 } } R + m ^ { 2 } M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { 4 } \beta _ { n } e _ { n } ( \mathbb { X } ) + { \mathcal { L } } _ { \mathrm { m } } ( g , \Phi _ { i } ) \right) .
E _ { n } = \hbar \omega \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { 4 \sqrt { r } } + \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 1 6 r } } \right) + \hbar \omega \frac { 1 } { 4 \sqrt { r } } n ^ { 2 }
\widehat { V P } _ { 1 } = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } & { f ( { \boldsymbol { x } } ) = \sum _ { | \alpha | \leq k } { \frac { D ^ { \alpha } f ( { \boldsymbol { a } } ) } { \alpha ! } } ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } + \sum _ { | \beta | = k + 1 } R _ { \beta } ( { \boldsymbol { x } } ) ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \beta } , } \\ & { R _ { \beta } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { | \beta | } { \beta ! } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { | \beta | - 1 } D ^ { \beta } f { \big ( } { \boldsymbol { a } } + t ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) { \big ) } \, d t . } \end{array} }
\left\langle \hat { a } \right\rangle _ { t } \approx \frac { \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } } { \Delta _ { d } + i \kappa / 2 } e ^ { i \Theta } \left[ 1 + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } ^ { + } \right\rangle } { 4 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \frac { \Delta _ { d } + i \kappa / 2 } { \Delta _ { d } - \omega _ { z } + i \kappa / 2 } e ^ { i \omega _ { z } t } - \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } ^ { - } \right\rangle } { 4 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \frac { \Delta _ { d } + i \kappa / 2 } { \Delta _ { d } + \omega _ { z } + i \kappa / 2 } e ^ { - i \omega _ { z } t } \right] .
f _ { r a d } ( x - y ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { { - 1 } } } & { { 0 } } & { { \partial _ { x } } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { { - \partial _ { x } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { - \partial _ { x } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \partial _ { x } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ( x - y )
\begin{array} { r l } & { \left( 0 . 1 0 7 2 , - 0 . 7 2 5 9 , - 1 . 4 0 4 5 , 0 . 0 4 3 9 \right) , x < 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ & { \left( 0 . 2 5 7 9 , 0 , - 1 . 4 0 4 5 , 0 . 1 5 \right) , x \ge 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ & { \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) , x \ge 0 . 5 , y \ge 0 . 5 , } \\ & { \left( 0 . 5 1 9 7 , - 0 . 7 2 5 9 , 0 , 0 . 4 \right) , x < 0 . 5 , y \ge 0 . 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { \prime } ( 0 ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { 0 } \Big ( ( A _ { \lambda } ( x ; 0 ) - \mu _ { - } ^ { \prime } ( 0 ) I ) \eta ^ { - } ( x ; 0 ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; 0 ) d x } \\ & { \quad \quad + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Big ( ( A _ { \lambda } ( x ; 0 ) - \mu _ { + } ^ { \prime } ( 0 ) I ) \eta ^ { - } ( x ; 0 ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; 0 ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \zeta _ { k } \right\| _ { \psi _ { 2 } } ^ { 2 } = \mathbb { V } \left\{ \frac { { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \zeta _ { k } \right\} } \\ & { = \frac { { 1 } } { \tilde { T } ^ { 2 } h ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) ^ { 2 } \mathbb { V } ( \zeta _ { k } ) + \frac { { 1 } } { \tilde { T } ^ { 2 } h ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \sum _ { l = 1 } ^ { \tilde { T } } K _ { h } ( x _ { j } , x _ { l } ) \mathbb { C } \mathrm { o v } ( \zeta _ { k } , \zeta _ { l } ) } \\ & { \leq C ( T h m ) ^ { - 1 } + C ^ { \prime } \{ p ^ { - 2 } + \log ( p ) ^ { 2 } p ^ { - 2 \beta } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , t h } } = 2 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E f ( E ) [ 1 - f ( E ) ] } \\ { \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } } T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \beta , \sigma ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
\frac { d \, \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { d \, \ln ( \mu ^ { 2 } ) } = - \frac { \beta _ { 0 } } { 4 \pi } \, \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) \, - \, \frac { \beta _ { 1 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, \alpha _ { s } ^ { 3 } ( \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { P \Bigg ( } & { \left\vert O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) - O C E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s ^ { \prime } ) ) \right\vert \leq \vert u ( - H + h ) \vert \sqrt { \frac { 2 S \log \left( \frac { S A H K } { \delta } \right) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \\ & { \forall ( s , a , h , k ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } \times [ H ] \times [ K ] \Bigg ) \geq 1 - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } ( n ) } & { = } & { 1 - \frac { 4 5 } { 4 } \mathcal { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \pi x ^ { 4 / 3 } \mathrm { G i } ^ { \prime } ( x ^ { 2 / 3 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } ( n ) } & { = } & { \frac { 4 5 } { 4 } \mathcal { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \upsilon ( 1 - \upsilon ^ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } ) } \\ { 1 - \frac { 1 } { 3 } \upsilon ^ { 2 } } \end{array} \right\} \left[ \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { 3 } } \mathrm { K } _ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } x \right) \right] . } \end{array}
m _ { \nu _ { e } } : m _ { \nu _ { \mu } } : m _ { \nu _ { \tau } } \leftrightarrow 2 \cdot 1 0 ^ { - 1 2 } : 2 \cdot 1 0 ^ { - 7 } : 3 \cdot 1 0 ^ { - 3 } e V .
\begin{array} { r } { a _ { i j } \in \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ - \frac { 2 } { 3 } , \frac { 4 } { 3 } \right] \ } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ i = j } \\ { \left[ - 1 , 1 \right] \ } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ i \neq j } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { V _ { g } / m ^ { 4 } } } & { { = } } & { { \displaystyle + 3 / 2 \{ D _ { m } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ( 1 + K _ { 1 } + K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + [ D _ { m } ( k _ { 1 } + p ) D ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + p ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + D _ { m } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } + p ) D ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + p ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + D _ { m } ( k _ { 1 } - p ) D ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } - p ) D ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ] K _ { 1 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + [ D _ { m } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } ) ] D ( k _ { 2 } + p ) K _ { 1 } \} } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 1 / 2 \{ \mathrm { s a m e ~ a s ~ a b o v e ~ b u t ~ i n t e r c h a n g i n g ~ m a s s e s ~ i n ~ } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \mathrm { 3 r d ~ a n d ~ 4 t h ~ } D \mathrm { ~ a n d ~ } m \to 0 \mathrm { ~ i n ~ 5 t h ~ } D \} , } } \end{array}
y = \phi _ { j } ^ { m } - \frac { \Delta \tau } { \Delta \xi } ( \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } - \rho _ { i } ^ { n + 1 } ) - \beta \Delta \tau \frac { ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { m } } { \rho _ { i } ^ { n + 1 } + \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } }
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - \frac { C _ { 6 } } { R _ { 1 2 } ^ { 6 } } } \\ { C _ { 6 } } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \frac { r _ { S P } ^ { 2 } ( C s ) r _ { S P } ^ { 2 } ( A r ) } { E _ { S P } ( C s ) + E _ { S P } ( A r ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { \mu } ^ { + } ( k , 0 ) } & { = } & { - \frac { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 2 } - 2 \zeta _ { 1 } \zeta _ { 2 } \varepsilon _ { 1 2 } + \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 1 } } { \varepsilon _ { 1 1 } \varepsilon _ { 2 2 } - \varepsilon _ { 1 2 } ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \varepsilon _ { i j } } & { = } & { \langle \Psi _ { i } ^ { N + 1 } | H _ { N + 1 } - E _ { 0 } ^ { N } - \mu | \Psi _ { j } ^ { N + 1 } \rangle } \\ { \zeta _ { i } } & { = } & { \langle \Psi _ { i } ^ { N + 1 } | a _ { k } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } \end{array}
S [ \pi ^ { 0 } ] \, = \, \exp \left\{ \sum _ { n \ge 0 } \int \, d x \, S _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { n } } ^ { ( n ) } ( x ) \, \pi _ { i _ { 1 } } ^ { 0 } ( x ) \cdots \pi _ { i _ { n } } ^ { 0 } ( x ) \right\} ,
\begin{array} { r } { \overline { { X } } _ { ( G , \omega ) } = \overline { { X } } _ { ( G / e , \omega / e ) } + \overline { { X } } _ { ( G \cup e , \omega ) } + \overline { { X } } _ { ( G ^ { 1 } , \omega ^ { 1 } ) } + \overline { { X } } _ { ( G ^ { 2 } , \omega ^ { 2 } ) } + \overline { { X } } _ { ( G ^ { \star } , \omega ^ { \star } ) } . } \end{array}
\mathbf { M } : = { D } { \mathbf { u } } ^ { L } + { D } \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } - \alpha ^ { 2 } N \nabla _ { \epsilon { \mathbf { x } } } \phi = : \mathbf { m } - \mathbf { p } \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathbf { m } : = { D } { \mathbf { u } } ^ { L } + { D } \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { p } : = \alpha ^ { 2 } N \nabla _ { \epsilon { \mathbf { x } } } \phi \, .
\int _ { D } Z d M = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } Z ( x _ { j } ^ { n } ) M ( I _ { j } ^ { n } ) = \sum _ { \alpha \leq m } X _ { \alpha } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { j \in J _ { n } } f _ { \alpha } ( x _ { j } ^ { n } ) M ( I _ { j } ^ { n } ) = \sum _ { \alpha \leq m } X _ { \alpha } \int _ { D } f _ { \alpha } ( x ) d M ( x ) .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c c } { \partial { \bf R } _ { V e } ^ { ( k ) } / \partial { \bf V } } & { \partial { \bf R } _ { V e } ^ { ( k ) } / \partial { \bf E } } \\ { \partial { \bf R } _ { E e } ^ { ( k ) } / \partial { \bf V } } & { \partial { \bf R } _ { E e } ^ { ( k ) } / \partial { \bf E } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \Delta { \bf V } } \\ { \Delta { \bf E } } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { c } { { \bf R } _ { V e } ^ { ( k ) } } \\ { { \bf R } _ { E e } ^ { ( k ) } } \end{array} \right] . } \end{array}
I ( \omega ) = I _ { 0 } \sum _ { \nu } \frac { n _ { \nu } + 1 } { \omega _ { \nu } } \bigg | \sum _ { i j } u _ { \mathrm { i n } } ^ { i } R _ { i j } ^ { \nu } u _ { \mathrm { o u t } } ^ { j } \bigg | ^ { 2 } \delta ( \omega - \omega _ { \nu } ) \, .
C _ { 9 } ^ { V } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 3 } \frac { V _ { c b } V _ { c s } ^ { * } } { V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } } \left( \frac { f _ { V } } { m _ { V } } \right) ^ { 2 } \frac { a _ { 2 } } { q ^ { 2 } - m _ { V } ^ { 2 } + i m _ { V } \Gamma _ { V } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( { p } , { q } ) - b ( \boldsymbol { u } , { q } ) = \ell _ { 1 } ( { q } ) , ~ ~ \forall { q } \in \mathbb { Q } , } \\ & { } & { d ( \boldsymbol { v } , { p } ) + c ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) = \ell _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) , ~ \forall \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { U } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert e _ { t } \Vert ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) ^ { t + 1 } \Vert e _ { - 1 } \Vert ^ { 2 } + 1 8 \delta G ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { t } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) ^ { k } } \\ & { \leq 1 8 \delta G ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \delta } \right) ^ { k } } \\ & { = 3 6 \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S G } } ( \varphi ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \varphi _ { t } ^ { 2 } - \varphi _ { x } ^ { 2 } \right) - { \frac { \varphi ^ { 2 } } { 2 } } + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { \left( - \varphi ^ { 2 } \right) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \delta z _ { 0 } } } & { { } ( x , y , z ) = \mathrm { i } ^ { m } \bigg ( \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 4 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \end{array}
( \sigma ( 1 ) , \sigma ( 2 ) , \sigma ( 3 ) , \ldots ) = ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , \ldots , p _ { b _ { 1 } } , n _ { 1 } , p _ { b _ { 1 } + 1 } , p _ { b _ { 1 } + 2 } , \ldots , p _ { b _ { 2 } } , n _ { 2 } , \ldots ) .
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { C C P } \right) } \left( t \right) } & { { } = 2 \frac { 1 } { \rho _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } ^ { 1 + \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } \right) \right\vert } } \end{array}
\frac { d \Delta \sigma } { d z } \equiv \frac { d \sigma _ { L } } { d z } - \frac { d \sigma _ { R } } { d z } = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } } { s } \sum _ { q } \hat { g } _ { q } \left[ \Delta D _ { q \Lambda } ( z , Q ^ { 2 } ) - \Delta D _ { \bar { q } \Lambda } ( z , Q ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { Q } _ { m c d s w } = 3 \bar { u } _ { s } ^ { 2 } + 1 2 \sqrt { 2 } \bar { u } _ { s } \sqrt { a _ { s } } + 4 \sqrt { 2 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 3 } \bar { u } _ { s } ^ { 3 } c _ { 1 } + 2 \sqrt { 2 } c _ { 1 } \bar { u } _ { s } ^ { 2 } \sqrt { a } _ { s } + 4 \sqrt { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } c _ { 1 } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \mathrm + 3 c _ { 6 } + 2 c _ { 7 } \right) \bar { u } _ { s } a _ { s } ^ { 3 / 2 } + 4 \sqrt { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 5 } c _ { 2 } - \frac { 1 } { 5 } c _ { 3 } + 2 c _ { 6 } + \frac { 8 } { 5 } c _ { 7 } \right) a _ { s } ^ { 5 / 2 } \right] . } \end{array}
T _ { n } ( \widehat { \mathfrak { g } } ) - \mathcal { C } _ { n } ( \widehat { \mathfrak { g } } ) = \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \nu } \frac { \alpha _ { k } } { 2 \pi } \left( T _ { n } ( \mathfrak { g } _ { k } ) - \mathcal { C } _ { n } ( \mathfrak { g } _ { k } ) \right) + \mathrm { i } \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \nu } \frac { \beta _ { k } } { 2 \pi } \left( T _ { n } ( \mathfrak { g } _ { k } ) - \mathcal { C } _ { n } ( \mathfrak { g } _ { k } ) \right) .
S _ { g r } = - { \frac { 1 } { 4 \pi G l ^ { 2 } } } \left[ V _ { R } - { \frac { A _ { R } l } { 2 } } \right] = - { \frac { l } { 4 G } } \left[ { \frac { 4 R } { ( 1 + R ) ^ { 2 } } } - 2 \ln { { \frac { 1 + R } { 1 - R } } } \right] .
\begin{array} { r l } & { I ( p , q , p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } , p _ { \mathrm { s } } ) } \\ & { = \left( p ^ { 2 } + p q + q ^ { 2 } \right) \Big [ p \big ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) \big ( q + ( 2 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) + \big ( q + ( 1 - q ) p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } \big ( 1 - p _ { \alpha ^ { \mathrm { s } } } p _ { \mathrm { s } } \big ) ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\frac { d \mathbf { T } } { d \mathbf { \Psi } } = - \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { T } } ^ { - 1 } \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { \Psi } } \quad ; \quad \frac { d \mathbf { T } } { d L _ { x } } = - \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { T } } ^ { - 1 } \frac { d \mathbf { r } } { d L _ { x } }
\left[ u _ { 3 } , u _ { 1 } \right] = 2 \ u _ { 2 } , \quad \left[ u _ { 1 } , u _ { 2 } \right] = 2 \ u _ { 3 } , \quad \left[ u _ { 2 } , u _ { 3 } \right] = 2 \ u _ { 1 } ~ .
E _ { \textnormal { r e f } } = \left( | \hat { u } ( k _ { 1 } , 0 , m _ { 1 } ) | ^ { 2 } + | \hat { w } ( k _ { 1 } , 0 , m _ { 1 } ) | ^ { 2 } + | \hat { v } ( k _ { 1 } , 0 , m _ { 1 } ) | ^ { 2 } + | \hat { b } ( k _ { 1 } , 0 , m _ { 1 } ) | ^ { 2 } / N ^ { 2 } \right) \bigg | _ { t = 0 }
{ \mathrm { p e r i o d } } \left( { \frac { 1 } { p } } \right) = { \mathrm { p e r i o d } } \left( { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) = \cdots = { \mathrm { p e r i o d } } \left( { \frac { 1 } { p ^ { m } } } \right)
\Psi _ { 2 } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k \neq j } ^ { N } \delta ( \vec { r } - \vec { r } _ { j } ) \, \delta ( \theta - \theta _ { j } ) \, \delta ( \vec { z } - \vec { r } _ { k } ) \, \delta ( \beta - \theta _ { k } )
\gamma _ { k } | a _ { k , k } ^ { ( k ) } | = \operatorname* { m a x } _ { \ell \ge k } \bigg [ \bigg ( \frac { 1 + \varepsilon _ { \ell } } { 1 + \delta _ { \ell } } \bigg ) ^ { 2 } - 1 \bigg ] | a _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } | \, \prod _ { p = k } ^ { \ell - 1 } \frac { 1 } { 1 + \delta _ { p } } + \sum _ { m = k } ^ { \ell - 1 } ( \varepsilon _ { m } - \delta _ { m } ) | a _ { m , m } ^ { ( m ) } | \, \prod _ { p = k } ^ { m } \frac { 1 } { 1 + \delta _ { p } } .
\begin{array} { r l } { \nu _ { t } = \Tilde { \nu } f _ { v 1 } \, , \quad f _ { v 1 } = \frac { \chi ^ { 3 } } { \chi ^ { 3 } + c _ { v 1 } ^ { 3 } } \, , \quad \chi = \frac { \Tilde { \nu } } { \nu } \, } & { { } , \quad \Tilde { S } = \Omega + \frac { \Tilde { \nu } } { \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } f _ { v 2 } \, , \quad \Omega = \sqrt { 2 W _ { i j } W _ { i j } } \, , } \\ { f _ { v 2 } = 1 - \frac { \chi } { 1 + \chi f _ { v 1 } } \, , \quad f _ { w } = g \left( \frac { 1 + c _ { w 3 } ^ { 6 } } { g ^ { 6 } + c _ { w 3 } ^ { 6 } } \right) ^ { 1 / 6 } \, } & { { } , \quad g = r + c _ { w 2 } ( r ^ { 6 } - r ) \, , \quad r = \operatorname* { m i n } \left( \frac { \Tilde { \nu } } { \Tilde { S } \kappa ^ { 2 } d ^ { 2 } } , 1 0 \right) } \\ { W _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { j } U _ { i } - \partial _ { i } U _ { j } ) \, } & { { } , \quad f _ { t 2 } = c _ { t 3 } e ^ { - c _ { t 4 } \chi ^ { 2 } } } \end{array}
{ \frac { f } { g } } = b + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sum _ { j = 2 } ^ { n _ { i } } \left( { \frac { c _ { i j } } { p _ { i } ^ { j - 1 } } } \right) ^ { \prime } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \frac { c _ { i 1 } } { p _ { i } } } .
{ \cal F } _ { \mathrm { C a u c h y } } = \frac { | | S | | } { | | C | | } = \frac { | | S | | } { \sqrt { | | S | | ^ { 2 } + | | A | | ^ { 2 } } } = \sqrt { \frac { S ^ { i j k l } S _ { i j k l } } { C ^ { i j k l } C _ { i j k l } } } \, .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \omega } _ { L } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ - \omega _ { c } + \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \, \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } \, \right] \, , } \\ { \widetilde { \omega } _ { R } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \omega _ { c } + \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \, \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } \, \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { v } _ { h } ^ { n + 1 } = \mathbf { v } _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf { v } _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { s _ { h } ^ { n + 1 } = s _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } s _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } = \mathbf { F } _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf { F } _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { \mathbf { M } _ { h } ^ { n + 1 } = \mathbf { M } _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf { M } _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { \phi _ { h } ^ { n + 1 } = \phi _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } \phi _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \\ & { \mu _ { h } ^ { n + 1 } = \mu _ { h , 0 } ^ { n + 1 } + A _ { h } ^ { n + 1 } \mu _ { h , 1 } ^ { n + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int \frac { 1 } { 2 } | ( \log \rho ) _ { t } | ^ { 2 } + \int c _ { 0 } \rho ^ { - 1 } | \nabla ( \log \rho ) _ { t } | ^ { 2 } } \\ & { = - \int c _ { 0 } \rho ^ { - 1 } \nabla ( \log \rho ) _ { t } \cdot \nabla \log \rho ( \log \rho ) _ { t } - \int v _ { t } \cdot \nabla \log \rho ( \log \rho ) _ { t } } \\ & { \quad + \int c _ { 0 } \rho ^ { - 1 } | ( \log \rho ) _ { t } | ^ { 2 } | \nabla \log \rho | ^ { 2 } } \\ & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } P _ { i } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \omega _ { \; \; 1 } ^ { 0 } } & { = - \omega _ { \; \; 3 } ^ { 2 } = - { \frac { e ^ { 1 } } { r } } } \\ { \omega _ { \; \; 2 } ^ { 0 } } & { = - \omega _ { \; \; 1 } ^ { 3 } = - { \frac { e ^ { 2 } } { r } } } \\ { \omega _ { \; \; 3 } ^ { 0 } } & { = { \frac { r ^ { 2 } - 1 } { r } } e ^ { 3 } \quad \quad \omega _ { \; \; 2 } ^ { 1 } = { \frac { 1 + 2 r ^ { 2 } } { r } } e ^ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { h ( t ) = } & { h _ { \mathrm { M e m + } } ( t ) = h _ { \mathrm { M e m } 1 1 } = - h _ { \mathrm { M e m } 2 2 } } \\ { = } & { \frac { D _ { \mathrm { { L } } } } { 1 9 2 \pi c } \sin ^ { 2 } \iota ( 1 7 + \cos ^ { 2 } \iota ) \int _ { - \infty } ^ { t } \vert \dot { h } _ { 2 2 } ( t ) \vert ^ { 2 } d t } \\ { h _ { \mathrm { M e m } \times } ( t ) = } & { h _ { \mathrm { M e m } 1 2 } = h _ { \mathrm { M e m } 2 1 } = 0 } \end{array}