harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ O ~ C ~ } _ { i j } } & { { } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right] \quad , } \\ { \mathrm { ~ O ~ O ~ C ~ } _ { i j } } & { { } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right] \quad . } \end{array}
( { \cal B } _ { V } ) _ { c l } ^ { \it { a p p r o x } } = \sum _ { { \vec { n } } , { \vec { m } } } \sum _ { s , s ^ { \prime } } \left[ ( [ a _ { \vec { n } } ^ { s } ] _ { c l } ^ { * } \bar { u } _ { \vec { n } } ^ { s } + [ b _ { - { \vec { n } } } ^ { s \dagger } ] _ { c l } ^ { * } \bar { v } _ { - { \vec { n } } } ^ { s } ) ( [ a _ { \vec { m } } ^ { s ^ { \prime } } ] _ { c l } \gamma ^ { 0 } u _ { \vec { m } } ^ { s ^ { \prime } } + [ b _ { - { \vec { m } } } ^ { s ^ { \prime } \dagger } ] _ { c l } \gamma ^ { 0 } v _ { - { \vec { m } } } ^ { s ^ { \prime } } ) \right] F ( { \vec { n } } - { \vec { m } } , X ) .
\mathrm { d e t } { \cal F } \; = \; \int { \cal D } \beta \; \prod _ { a } \; \exp \left\{ - \frac { i } { 2 \alpha } \, \int _ { P } d ^ { 4 } x \, \left[ \beta ^ { a } ( x ) \right] ^ { 2 } \right\} \; \delta \left( n ^ { \mu } \, { \cal A } _ { \mu } ^ { ( \theta ) \; a } ( x ) \; - \; \beta ^ { a } ( x ) \right) \; .
\begin{array} { r l } { a } & { = { { { \left\| { \frac { { \partial { \bf { a } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right\| } ^ { 2 } } = \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { { m ^ { 2 } } { \left( { \frac { { 2 \pi { d _ { T } } \cos \theta } } { \lambda } + m \frac { { \pi { { d _ { T } } ^ { 2 } } \sin { 2 \theta } } } { { \lambda r } } } \right) ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \left( { \frac { { 2 \pi { d _ { T } } \cos \theta } } { \lambda } } \right) ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } + { \left( { \frac { { \pi { { d _ { T } } ^ { 2 } } \sin { 2 \theta } } } { { \lambda r } } } \right) ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } , } \end{array}
\left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } = { \frac { ( C + E ) ^ { 2 } g _ { S } e ^ { 2 \phi } - | g _ { 0 0 } | [ g _ { S } g ( g ^ { 2 } h ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) + \ell ^ { 2 } e ^ { 2 \phi } ] } { 4 | g _ { 0 0 } | g _ { r r } g _ { S } g ( g ^ { 2 } h ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } } \left( { \frac { g ^ { \prime } } { g } } \right) ^ { 2 } .
\boldsymbol { \psi } ( \boldsymbol { x } , t ) = a ( \boldsymbol { x } , t ) + \boldsymbol { i } b ( \boldsymbol { x } , t ) + \boldsymbol { j } c ( \boldsymbol { x } , t ) + \boldsymbol { k } d ( \boldsymbol { x } , t )
\gamma \equiv \frac { \Gamma } { T } = \frac { \sqrt \pi \, \alpha _ { \pi } ^ { 2 } \, n _ { N } } { T ^ { 1 / 2 } m _ { N } ^ { 5 / 2 } } = 1 . 2 4 \, \rho _ { 1 4 } \, T _ { 3 0 } ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } & { - \beta [ f ] = - \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 n } \{ n ( n - 1 ) q ^ { 2 } \} - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 n } n m ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 0 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial x } \right| _ { ( 0 , 1 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial x } \right| _ { ( 1 , 0 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial x } \right| _ { ( 1 , 1 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 0 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial y } \right| _ { ( 0 , 1 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial y } \right| _ { ( 1 , 0 ) } } \\ { \left. \frac { \partial \varphi } { \partial y } \right| _ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 0 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial x } \Big | _ { 0 , 1 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 0 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial x } \Big | _ { 1 , 1 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 0 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial y } \Big | _ { 0 , 1 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 0 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 0 } } \\ { \frac { \partial Z _ { 0 } ^ { 0 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { - 1 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 1 } } & { \frac { \partial Z _ { 1 } ^ { 1 } } { \partial y } \Big | _ { 1 , 1 } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { a _ { 0 , 0 } } \\ { a _ { 1 , - 1 } } \\ { a _ { 1 , 1 } } \end{array} \right)
G _ { 1 } = G _ { \mathrm { A T P } } ^ { 0 } - G _ { \mathrm { C h e Y - P } } ^ { 0 } + \log \frac { [ \mathrm { A T P } ] / [ \mathrm { A T P } ] _ { 0 } } { [ \mathrm { A D P } ] / [ \mathrm { A D P } ] _ { 0 } }
\begin{array} { r c c c l } { { \partial _ { p ^ { 2 } } \Gamma _ { Z Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } ) } } & { { = } } & { { 1 } } & { { \Rightarrow } } & { { z _ { Z Z } } } \\ { { \partial _ { p ^ { 2 } } \Gamma _ { A A } ^ { T } ( p ^ { 2 } = 0 ) } } & { { = } } & { { 1 } } & { { \Rightarrow } } & { { z _ { A A } } } \\ { { \Gamma _ { A Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } = 0 ) } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \Rightarrow } } & { { \theta _ { V } } } \\ { { \Gamma _ { A Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } ) } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \Rightarrow } } & { { z _ { A Z } } } \\ { { \Gamma _ { Z Z } ^ { T } ( p ^ { 2 } = M _ { Z } ^ { 2 } ) } } & { { = } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \ln n ! - n \ln n + n - { \frac { 1 } { 2 } } \ln n \right) = 1 - \sum _ { k = 2 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } B _ { k } } { k ( k - 1 ) } } + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } R _ { m , n } .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho _ { f _ { \varepsilon } } + \nabla _ { x } \cdot ( \rho _ { f _ { \varepsilon } } u _ { f _ { \varepsilon } } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( \rho _ { f _ { \varepsilon } } u _ { f _ { \varepsilon } } ) + \nabla _ { x } \cdot ( \rho _ { f _ { \varepsilon } } u _ { f _ { \varepsilon } } \otimes u _ { f _ { \varepsilon } } ) + \nabla _ { x } \cdot \left( \int _ { \mathbb R ^ { d } } ( u _ { f _ { \varepsilon } } - v ) \otimes ( u _ { f _ { \varepsilon } } - v ) f _ { \varepsilon } \, d v \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { { } = \int \mathrm { d } \omega \, \sum _ { m n } \alpha _ { m } ( \omega ) \beta _ { n } ( \omega ) | S _ { m n } ( \omega ) | ^ { 2 } } \\ { S _ { m n } ( \omega ) } & { { } = \int _ { \cal D } \mathrm { d } { \bf r } \, { \bf R } _ { m } ^ { \ast } ( { \bf r } ) \cdot { \bf U } _ { n } ( { \bf r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \alpha _ { 2 } + 1 , \beta _ { 2 } + 1 ) = \left( \phi _ { \beta _ { 2 } + 1 } ( 0 ) \phi _ { \alpha _ { 2 } } ( 0 ) \omega _ { 0 } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { 2 } + 1 } I ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) \right) / \sqrt { \alpha _ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } _ { X } ^ { \mathrm { r e v } } \mathbf { w } _ { i } } & { { } = \hat { \kappa } _ { i } \mathbf { K } _ { X } \mathbf { K } _ { X } \mathbf { w } _ { i } , } \\ { \mathbf { K } _ { X } ^ { \mathrm { r e v } } ( r , s ) } & { { } = - \frac { 1 } { \partial 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla ^ { \top } k ( x _ { l } , x _ { r } ) a ( x _ { l } ) \nabla k ( x _ { l } , x _ { s } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \tau _ { m } } \, , \ \frac { 1 } { \tau _ { m } ^ { \prime } } \, , \, f r a c { 1 } { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } } \in 4 \ensuremath { \mathbb { N } } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \tau _ { m } ^ { \prime } } { \tau _ { m } } \, , \, f r a c { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } } { \tau _ { m } } \in 4 \ensuremath { \mathbb { N } } + 1 , \quad \forall m \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, ,
\Big \langle J _ { \mu _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ) J _ { \mu _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 2 } ) . . . . . J _ { \mu _ { n } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { n } ) \Big \rangle \; \; \Big \langle J _ { \nu _ { 1 } } ^ { ( l _ { 1 } ) } ( y _ { 1 } ) J _ { \nu _ { 2 } } ^ { ( l _ { 2 } ) } ( y _ { 2 } ) . . . . . J _ { \nu _ { k } } ^ { ( l _ { k } ) } ( y _ { k } ) \Big \rangle \; .
\begin{array} { r l r } { \, \mathrm { R e } \left\{ { \sigma _ { x x } ( \Omega ) } \right\} } & { = } & { \frac { 3 \sigma _ { 0 } } { 8 } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { 2 \pi } \frac { \theta ( \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } ) } { | \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } | ^ { 2 } } \frac { f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } - \hbar \Omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } ) } { \Pi _ { m _ { 1 } = 0 } ^ { 2 , \prime } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } - \epsilon _ { m _ { 1 } } ) \Pi _ { m _ { 2 } = 0 } ^ { 2 , \prime } ( \epsilon _ { n _ { 2 } } - \epsilon _ { m _ { 2 } } ) } \Bigg \{ 1 6 \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) ^ { 2 } } \\ & { - } & { 4 \sqrt { 2 } \frac { \hbar \Omega } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } \right) \left( 2 g - 2 \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } } \\ & { - } & { 3 \left( \frac { \hbar \Omega } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \hbar \Omega ) ^ { 2 } - \left( 2 g - 2 \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] } \\ & { - } & { 2 \sqrt { 2 } \left( \frac { \hbar \Omega } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \right) ^ { 3 } \left( 2 g - 2 \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) \cos { ( 3 \varphi ) } + \left( \frac { \hbar \Omega } { \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } } \right) ^ { 4 } \left[ \cos ^ { 4 } { ( \varphi ) } + 3 \sin ^ { 4 } { ( \varphi ) } \right] \Bigg \} . } \end{array}
G ( t ) \triangleq \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N } \pi _ { n } ( t ) \right] \left( r ( s ) d s + d A ( s ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \pi _ { n } ( t ) \left( b _ { n } ( t ) + \mathbf { \delta } _ { n } ( t ) - r ( t ) \right) \right] d t + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbf { \sigma } _ { n , d } ( t ) \pi _ { n } ( t ) d W _ { d } ( s ) \quad 0 \leq t \leq T
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C o v } \bigg ( \sum _ { m } \Big ( c _ { m } \tilde { \xi } _ { j k } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) + d _ { m } \tilde { \xi } _ { j } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) \Big ) , \tilde { \xi } ^ { ( n ) } ( x ) \bigg ) } \\ & { = \sum _ { m } \bigg ( c _ { m } \mathrm { C o v } \Big ( \tilde { \xi } _ { j k } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) , \tilde { \xi } ^ { ( n ) } ( x ) \Big ) + d _ { m } \mathrm { C o v } \Big ( \tilde { \xi } _ { j } ^ { ( n ) } ( t _ { m } , x ) , \tilde { \xi } ^ { ( n ) } ( x ) \Big ) \bigg ) } \\ & { = a _ { n } ^ { d } \sum _ { m } c _ { m } \int p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m } | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) ^ { 2 } \lambda ( \mathrm { d } u ) } \\ & { \quad - a _ { n } ^ { d } \sum _ { m } c _ { m } \bigg ( \int p _ { j k } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m } | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) \bigg ) \bigg ( \int g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) \bigg ) } \\ & { \quad + a _ { n } ^ { d } \sum _ { m } d _ { m } \int p _ { j } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m } | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) ^ { 2 } \lambda ( \mathrm { d } u ) } \\ & { \quad - a _ { n } ^ { d } \sum _ { m } d _ { m } \bigg ( \int p _ { j } ^ { \texttt { c } } ( t _ { m } | u ) g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) \bigg ) \bigg ( \int g ( u ) \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \, \lambda ( \mathrm { d } u ) \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { i + 1 } ^ { \mathrm { L A T } } = \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } w _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } + ( n - n _ { i } ) L _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } } { L _ { i } } + ( n - n _ { i } ) \frac { L _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { \sigma _ { w } R _ { i + 1 } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \int \left[ \frac { \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n + 1 } - \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n } } { \Delta t } + \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } - \boldsymbol { \mathcal { D } } _ { j , \boldsymbol { k } } - \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } \right] \cdot \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta } ( \boldsymbol { \xi } ( \boldsymbol { x } ) ) \mathrm { d } V _ { x } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { n _ { 0 } , n } } & { = S _ { n _ { 0 } , n - 1 } + a _ { n - 1 } } \\ & { = { \binom { n - 2 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - 1 } ( n - 1 - n _ { 0 } ) + { \binom { n - 2 } { n _ { 0 } - 1 } } ( n _ { 0 } - ( n - 1 ) e ^ { - \mu t } ) ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n _ { 0 } - 1 } } \\ & { = { \binom { n - 2 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - 1 } \left[ ( n - 1 - n _ { 0 } ) + ( n _ { 0 } - ( n - 1 ) e ^ { - \mu t } ) \right] } \\ & { = { \binom { n - 2 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - 1 } \left[ n - 1 - n e ^ { - \mu t } + e ^ { - \mu t } \right] } \\ & { = { \binom { n - 2 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n } ( n - 1 ) } \\ & { = { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n } ( n - n _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { c } { u ^ { 8 } + 2 8 u ^ { 6 } ( \theta - 1 ) + 2 1 0 u ^ { 4 } { ( \theta - 1 ) } ^ { 2 } + 4 2 0 u ^ { 2 } { ( \theta - 1 ) } ^ { 3 } } \\ { + 1 0 5 { ( \theta - 1 ) } ^ { 4 } } \end{array}
| M _ { \xi } ^ { 2 } ( 0 ) | - | { \cal M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X _ { 0 } ) | = \lambda e _ { \xi } \vec { \varphi } ^ { \, 2 } ( X _ { 0 } ) < < | M _ { \xi } ^ { 2 } ( 0 ) | \; \; \; \; \; ( e _ { \pi } = 1 / 6 , \, e _ { \sigma } = 1 / 2 ) ,
\begin{array} { r l } & { \rho ( \phi ) = \frac { \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } } { 2 } + \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \phi , \qquad \mu ( \phi ) = \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } + \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { 2 } \phi , } \\ & { \epsilon ( \phi ) = \frac { \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } } { 2 } \frac { \phi ( 3 - \phi ^ { 2 } ) } { 2 } . } \end{array}
J _ { g f } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { J _ { + } } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad ; \quad \tilde { J } _ { g f } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { J _ { + } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \quad ; \quad g = \left( \begin{array} { c c } { { - J _ { + } g _ { 2 2 } } } & { { - g _ { 2 1 } } } \\ { { g _ { 2 1 } } } & { { g _ { 2 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | v | ^ { 2 } M [ f ] \, d v } & { = c \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | v + u _ { f } | ^ { 2 } \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } } \, d v } \\ & { = c | u _ { f } | ^ { 2 } \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac { n + d } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( 1 - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le 1 } \, d v } \\ & { \quad + c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac { n + d } { 2 } + 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | v | ^ { 2 } \left( 1 - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le 1 } \, d v } \\ & { = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \pi ^ { \frac d 2 } \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) } \rho _ { f } \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } r ^ { d + 1 } \, d r } \\ & { = \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma } \frac { \Gamma \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \right) } { \Gamma ( \frac n 2 + 1 ) \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) } B \left( \frac { d } { 2 } + 1 , \frac n 2 + 1 \right) . } \end{array}
E = \mathrm { d i a g } \, ( e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda + \psi _ { 1 } ) } , e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda + \psi _ { 2 } ) } , \cdots , e ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda + \psi _ { d } ) } )
\hat { Q } _ { l s } = \int d ^ { 3 } r \, ( 3 r _ { l } r _ { s } - \delta _ { l s } r ^ { 2 } ) \hat { \rho } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } ( 3 r _ { a , l } r _ { a , s } - \delta _ { l s } r _ { a } ^ { 2 } )
\varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) \lesssim \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } } { ( 2 \alpha _ { \mu \nu } ) ^ { l _ { \mu \nu } - 1 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { \frac { l _ { \mu \nu } - 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { 2 \alpha _ { \mu \nu } } } < \tau .
\begin{array} { r l } { Q } & { { } < 1 , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } } & { { } > Q ( 1 - 2 \nu Q ) , } \\ { ( \mathcal { R } _ { 0 } - Q ) ^ { 2 } } & { { } > 4 \nu Q ^ { 2 } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array}
( P _ { - } ) _ { k k ^ { \prime } } ^ { i i ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \delta _ { k } ^ { i } \delta _ { k ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } - \delta _ { k } ^ { i ^ { \prime } } \delta _ { k ^ { \prime } } ^ { i } \right] ~ , ~ ~ ~ ( P _ { + } ) _ { k k ^ { \prime } } ^ { i i ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \delta _ { k } ^ { i } \delta _ { k ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } + \delta _ { k } ^ { i ^ { \prime } } \delta _ { k ^ { \prime } } ^ { i } \right] ~ .
\Gamma ( \Sigma ^ { 2 } ) = \frac { { n _ { f } } N } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \! \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p \Sigma ( p ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p d k \Sigma ( p ) \Sigma ( k ) \mathit { F } ( p , k ) \! \right) { }
\mathbf { M } = \left( \begin{array} { l l l } { M _ { \mathrm { i m } } + M _ { \mathrm { e v } } } & { - M _ { \mathrm { i m } } } & { - M _ { \mathrm { e v } } } \\ { - M _ { \mathrm { i m } } } & { M _ { \mathrm { i m } } + M _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } } & { - M _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } } \\ { - M _ { \mathrm { e v } } } & { - M _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } } & { M _ { \mathrm { e v } } + M _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } \big ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } \big ) } & { = \mathbb { E } _ { \tilde { A } _ { { \tilde { X } } } } [ \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } = \tilde { a } _ { \tilde { X } } ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \tilde { X } } [ \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | { { { \tilde { X } } } } ] . } \end{array}
P ( \nu _ { e } \to \nu _ { \mu } ) \; = \; P ( \nu _ { e } \to \nu _ { \tau } ) \; = \; \frac { 2 } { 9 } \left( \sin ^ { 2 } k _ { 2 1 } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) ,
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ i ~ c ~ } } = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 0 } } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { M ( \omega ) } & { J ( \omega ) } \\ { J ( \omega ) } & { I ( \omega ) } \end{array} \right] \, ,
{ \cal H } = \frac { 2 E ^ { 2 } } { 2 E ^ { 2 } - M ^ { 2 } } ( \vec { \alpha } \vec { p } ) + \beta \left[ E - \frac { 2 E } { 2 E ^ { 2 } - M ^ { 2 } } ( \vec { \alpha } \vec { p } ) ^ { 2 } \right] ,
\left[ \begin{array} { l } { \bar { B } ^ { ( 1 ) } } \\ { \bar { A } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \bar { \bar { S } } _ { M , 1 1 } } & { \bar { \bar { S } } _ { M , 1 2 } } \\ { \bar { \bar { S } } _ { M , 2 1 } } & { \bar { \bar { S } } _ { M , 2 2 } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \bar { A } ^ { ( 1 ) } } \\ { \bar { B } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { - \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ ( \nabla \times \mathrm { d } _ { \rho } \mathbf { H } ) _ { k } \tilde { E } _ { k } + \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \tilde { E } _ { k } \partial _ { t } E _ { k } + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \infty , k } \tilde { E } _ { k } \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} \; } & { { } } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ ( \mathrm { d } _ { \rho } \sigma _ { k } ) \tilde { E } _ { k } E _ { k } + \sigma _ { k } \tilde { E } _ { k } ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} \; } & { { } } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 ( \mathrm { d } _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ) \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ \partial _ { t } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 \kappa ^ { ( i ) } \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ \partial _ { t } ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) \right\} } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } = \int - \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) \theta \mathrm { d } \theta , } \\ & { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } = \int - \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) ( \theta - m _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ^ { T } \mathrm { d } \theta , } \end{array}