harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C a s e ~ I I : ~ g _ j < h _ j ~ } } \\ & { r _ { j } ^ { ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { k } { K } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } k < g _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - q _ { j } } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } g _ { j } \leq k < h _ { j } ; } \\ { \frac { k } { K } - 1 } & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } h _ { j } \leq k . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \mu , \hat { V } , \xi } \mu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \ } & { q _ { N } \left( \hat { V } _ { N } ( s _ { k } , \lambda ) \right) = q _ { N } \left( \frac { \partial } { \partial x } r _ { N } ( s _ { N } , h _ { N } , \lambda , \bar { x } ) \right) , } \\ & { q _ { k } \left( \hat { V } _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \right) = q _ { k } \left( \frac { \partial } { \partial x } r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda , \bar { x } ) + \hat { V } _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) + \sum _ { \sigma } \frac { \partial V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) } { \partial s _ { k + 1 } ^ { \sigma } } \frac { \partial f _ { k } ^ { \sigma } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , x ) } { \partial x } \right) , } \\ & { \mu = q _ { 0 } \left( \hat { V } _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \right) . } \end{array}
N _ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c c } { { - E / 2 } } & { { } } & { { } } \\ { { - D / 2 } } & { { - C / 1 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { - B / 2 } } & { { A } } \end{array} \right] \tan \beta ,
\begin{array} { r l } { \langle { \bf \hat { S } } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \alpha ) } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \cos \delta } \\ { \sin ( 2 \alpha ) \sin \delta } \end{array} \right) , } \end{array}
[ ( \delta \Delta ) _ { y } G _ { D } ( y , z ) ] = ( - 2 \delta \sigma ( y ) ) \, [ \, \delta ^ { 2 } ( y - z ) - \sum _ { \nu : \, \lambda _ { \nu } = 0 } \Psi _ { \nu } ^ { * } ( y ) \Psi _ { \nu } ( z ) \, ] \, ,
t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ d ~ u ~ c ~ e ~ d ~ } } = 2 . 2 \times 1 0 ^ { 1 0 } \frac { \kappa ^ { 3 / 2 } \, \lambda ^ { 1 2 1 / 4 0 } \, m _ { p } ^ { 1 9 / 4 } \, M _ { p l } ^ { 1 / 4 } } { \alpha ^ { 2 7 / 2 } \, m _ { e } ^ { 6 } }
\begin{array} { r } { \frac { c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } } { 2 } = 1 - \frac { \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) ^ { 2 } } { 1 + \eta _ { k } } \quad \overset { k \to \infty } { \longrightarrow } \quad \frac { c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } } { 2 } = 1 - \frac { \rho ^ { 2 } } { 1 + ( c _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } / 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \upsilon } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } - \frac { \kappa \varepsilon ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) } { 2 \rho } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } : = } & { ~ \frac { \kappa } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - \kappa \varepsilon \Delta \phi , } \\ { \bar { \gamma } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ - m \left( \rho \bar { \tau } ^ { \mathrm { I I } } + \frac { \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) + \omega p \right) . } \end{array}
{ \cal L } = \partial _ { + } \sigma \partial _ { - } \sigma + \partial _ { + } \pi \partial _ { - } \pi - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \bot } \sigma ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \bot } \pi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) - \frac { \lambda } { 4 } ( \sigma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ,
h _ { 1 } = 0 , h _ { 3 } = h _ { \overline { { { 3 } } } } = \frac { 2 } { 9 } , h _ { 8 } = \frac { 1 } { 2 } , h _ { 6 } = h _ { \overline { { { 6 } } } } = \frac { 5 } { 9 } , h _ { 1 0 } = h _ { \overline { { { 1 0 } } } } = 1 , h _ { 1 5 } = h _ { \overline { { { 1 5 } } } } = \frac { 8 } { 9 } \ \ .
\begin{array} { r l } & { \int _ { D } ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( h \cdot ( \nabla \cdot \nabla u ^ { \top } ) ) \, \mathrm { d } x + \int _ { D } ( \nabla \cdot u ) ( h \cdot ( \nabla \cdot \nabla \bar { v } ^ { \top } ) ) \, \mathrm { d } x } \\ & { + \int _ { D } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ( \nabla \cdot h ) \, \mathrm { d } x = \int _ { D } \nabla \cdot ( h ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { S } ( h \cdot n ) ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n } \vert } & { \le } & { 4 K _ { 0 } ^ { 3 } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sum _ { s _ { + , 1 } , s _ { + , 2 } , s _ { + , 3 } } \gamma ^ { - ( j _ { i _ { 0 } } - s _ { + , { i _ { 0 } } } ) - \frac { 2 } { 3 } \delta ( s _ { + , i } ) } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \times \sum _ { s _ { - , 1 } , s _ { - , 2 } , s _ { - , 3 } } \gamma ^ { - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } s _ { - , i } } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } \gamma ^ { j _ { i _ { 0 } } - \frac { 1 } { 3 } \delta \{ j _ { i } \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 1 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 1 } \cos \phi , ~ S _ { 4 1 } \sin \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 3 . 0 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \cos \phi , ~ 2 . 6 7 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 4 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 4 . 6 6 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 2 \phi , ~ 8 . 8 2 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \sin 2 \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 3 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 3 } \cos 3 \phi , ~ S _ { 4 3 } \sin 3 \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 3 . 5 3 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 3 \phi , ~ 7 . 1 6 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \sin 3 \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 4 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 5 } } P _ { 4 4 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 4 4 } \cos 4 \phi , ~ S _ { 4 4 } \sin 4 \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 2 . 3 7 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \cos 4 \phi , ~ 3 . 8 8 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \sin 4 \phi \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
g _ { k } ^ { 2 } ( 0 ) = 1 + \frac { 2 s i n h ^ { 4 } ( r ) + ( 2 \alpha ^ { 2 } + 1 ) s i n h ^ { 2 } ( r ) - s i n h ( 2 r ) } { k ( \alpha ^ { 2 } + s i n h ^ { 2 } ( r ) ) ^ { 2 } }
\beta _ { n } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { r } \int _ { I _ { i } } \Delta x ^ { 2 \alpha - 1 } \left( { \frac { \mathrm { d } ^ { \alpha } P _ { n } \left( x \right) } { \mathrm { d } x ^ { \alpha } } } \right) ^ { 2 } { \mathrm { d } x } , ~ n = 0 , 1 , 2 ,
U ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { \nu } k } { ( 2 \pi ) ^ { \nu } } \, \Bigl [ \ln \left( k ^ { 2 } + M _ { + } ^ { 2 } \right) + \ln \left( k ^ { 2 } + M _ { - } ^ { 2 } \right) \Bigr ] ,
\begin{array} { r l } & { E _ { 1 } \phi = \kappa ^ { 2 } | \gamma ^ { \prime } | ^ { 2 } \phi , \quad E _ { 2 } \phi = \kappa ^ { 2 } n \cdot \gamma ^ { \prime \prime } \phi , \quad E _ { 3 } \phi = \kappa ^ { 2 } \gamma ^ { \prime } \cdot \gamma ^ { \prime \prime } \phi , } \\ & { E _ { 4 } \phi = \kappa ^ { 4 } | \gamma ^ { \prime } | ^ { 4 } \phi + 2 \kappa ^ { 2 } \gamma ^ { \prime } \cdot \gamma ^ { \prime \prime \prime } \phi , \quad E _ { 5 } \phi = - \frac { 3 } { 4 } \kappa ^ { 4 } | \gamma ^ { \prime } | ^ { 4 } \phi + \kappa ^ { 2 } \gamma ^ { \prime } \cdot \gamma ^ { \prime \prime \prime } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { + + } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) ( v ) } & { = \frac { 1 } { m _ { + } ^ { 2 } } \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( v - v ^ { \prime } ) \left\{ G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { v } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } , } \\ { Q _ { - + } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) ( v ) } & { = \frac { 1 } { m _ { + } } \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( v - v ^ { \prime } ) \left\{ \frac { 1 } { m _ { + } } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - \frac { 1 } { m _ { - } } G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { v } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } , } \\ { Q _ { + - } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) ( v ) } & { = \frac { 1 } { m _ { - } } \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( v - v ^ { \prime } ) \left\{ \frac { 1 } { m _ { - } } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - \frac { 1 } { m _ { + } } G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { v } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } , } \\ { Q _ { -- } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) ( v ) } & { = \frac { 1 } { m _ { - } ^ { 2 } } \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( v - v ^ { \prime } ) \left\{ G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \nabla _ { v } G _ { 2 } ( v ) - G _ { 2 } ( v ) \nabla _ { v } G _ { 1 } ( v ^ { \prime } ) \right\} d v ^ { \prime } , } \end{array}
F _ { \pi } ( m _ { 2 \pi } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { ( 1 - 0 . 1 4 5 ) } B W _ { \rho } \, \frac { 1 + 1 . 8 5 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \cdot B W _ { \omega } } { 1 + 1 . 8 5 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \mathrm e ^ { \mathrm i ( E + \mathrm i \eta ) x } \mathrm e ^ { \mathrm i ( E + \mathrm i \eta ) ^ { 3 } t } \hat { q _ { 0 } } ( E + \mathrm i \eta ) \right| \mathrm d E } & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \mathrm e ^ { \eta | x | } \mathrm e ^ { ( \eta ^ { 3 } + 3 E ^ { 2 } \eta ) t } \hat { q _ { 0 } } ( E + \mathrm i \eta ) \right| \mathrm d E } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm e ^ { a R + a ^ { 3 } t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \mathrm e ^ { 3 \eta t E ^ { 2 } } \hat { q _ { 0 } } ( E + \mathrm i \eta ) \right| \mathrm d E . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( x , z ) } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { k } { 2 \pi | z - z ^ { \prime } | } } e ^ { - i \pi / 4 } e ^ { i k | z - z ^ { \prime } | } } \\ & { \times \int _ { - \infty } ^ { \infty } U ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \exp \left( \frac { i k } { 2 } \frac { ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { | z - z ^ { \prime } | } \right) \; d { x ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { s c a } ^ { t o t a l } } & { = } & { C _ { s c a } ^ { p } + C _ { s c a } ^ { m } + C _ { s c a } ^ { Q } + C _ { s c a } ^ { M } } \\ { C _ { s c a } ^ { t o t a l } } & { = } & { \frac { k ^ { 4 } } { 6 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } | E _ { i n c } | ^ { 2 } } \left[ \sum \left( | p _ { \alpha } | ^ { 2 } + \left| \frac { m _ { \alpha } } { c } \right| ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 1 2 0 } \sum \left( | k Q _ { \alpha \beta } ^ { e } | ^ { 2 } + \left| \frac { k Q _ { \alpha \beta } ^ { m } } { c } \right| ^ { 2 } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } & { { } = { \frac { 1 } { \theta } } \mathbf { 1 } _ { \{ 0 \leq x _ { 1 } \leq \theta \} } \cdots { \frac { 1 } { \theta } } \mathbf { 1 } _ { \{ 0 \leq x _ { n } \leq \theta \} } } \end{array}
\mathrm { e } ^ { i \alpha } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - \left[ { \frac { | F _ { n } ^ { \prime \prime } ( u _ { 0 } ) | } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { i ( 2 \alpha + \beta ) } \, ( t - | u _ { 0 } | ) ^ { 2 } \right] } \mathrm { d } t \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } } { b _ { x } M } G _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \eta \alpha _ { t - 1 } \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| \gamma \alpha _ { t - 1 } \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\overline { { { | { \cal A } | } } } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 4 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } \pi ^ { 2 } s ^ { 2 } \frac { | { \cal I } | ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { 2 k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) .
L _ { - } = i k \left( \begin{array} { c c c } { { f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { f ^ { \prime \prime } ( 0 ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { r ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } r ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) G _ { \varepsilon } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\bigl \{ ( \beta _ { \epsilon } - 1 ) P _ { 1 } \eta _ { 1 } + L P _ { 1 } \eta _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} \, = \, R Z \chi _ { 4 } ( \rho ) + \delta ( R ^ { 2 } - Z ^ { 2 } ) \chi _ { 5 } ( \rho ) \, .
\begin{array} { r l } { g ( x _ { 1 } ) } & { = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \exp ( - \gamma ( t - \tau ) ) x _ { 1 } ( \tau ) \mathrm { d } { \tau } , } \\ { f _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 4 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } ^ { 3 } - 3 x _ { 1 } ^ { 2 } , \quad } & { x _ { 1 } < 0 , } \\ { ( x _ { 4 } - 0 . 6 ( x _ { 3 } - 4 ) ^ { 2 } ) x _ { 1 } , \quad } & { x _ { 1 } \geq 0 , } \end{array} \right. } \\ { f _ { 2 } ( x _ { 4 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { x _ { 4 } < - 0 . 2 5 , } \\ { 6 ( x _ { 4 } + 0 . 2 5 ) , \quad } & { x _ { 4 } \geq - 0 . 2 5 . } \end{array} \right. } \end{array}
2 T = c ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } \left( { \dot { t } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } \left( { \dot { r } } \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left( { \dot { \varphi } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u ^ { * } + \sigma u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } p + \sigma p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u ^ { * } | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \| \partial _ { t } p | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \left( \partial _ { \tau } f + \sigma f , \, \partial _ { \tau } u + \sigma u \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } \, d \tau . } \end{array}
R ( x , x _ { 1 } \ldots x _ { n } ) \left( \frac { \delta } { \delta J _ { - } } + \frac { \delta } { \delta J _ { + } } \right) ^ { n } ( - i ) ^ { n } \frac { \delta } { \delta J _ { + } } \langle 0 | 0 \rangle _ { \pm } \Bigg | _ { J _ { \pm } = 0 } .
{ \begin{array} { r l } { x ^ { 0 } } & { = 1 } \\ { x ^ { m + n } } & { = x ^ { m } x ^ { n } } \\ { ( x ^ { m } ) ^ { n } } & { = x ^ { m n } } \\ { ( x y ) ^ { n } } & { = x ^ { n } y ^ { n } \quad { \mathrm { i f ~ } } x y = y x , { \mathrm { a n d , ~ i n ~ p a r t i c u l a r , ~ i f ~ t h e ~ m u l t i p l i c a t i o n ~ i s ~ c o m m u t a t i v e . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f } \Psi \{ f \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } & { { } = \big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ f \} [ h ] \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \varphi \big ) } \end{array}
\rho _ { N , L } ( r _ { 0 } + r ^ { \prime } ) = \bar { \rho } \Bigl ( \frac { p _ { N , L } } { p _ { F } } \Bigr ) ^ { 3 } \bigl ( 1 - h ( 2 p _ { N , L } | r ^ { \prime } | ) \bigr ) + O ( L ^ { - \frac { 3 5 } { 2 3 } + \varepsilon } )
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { x , f } } & { { } = M _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } ^ { P } t } + M _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } ^ { P } t } + A _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 1 } ^ { H } t } + A _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 2 } ^ { H } t } , } \\ { \hat { u } _ { y , f } } & { { } = D _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } t } + D _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } t } , } \\ { \hat { u } _ { z , f } } & { { } = N _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } ^ { P } t } + N _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } ^ { P } t } + C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 1 } ^ { H } t } + C _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 2 } ^ { H } t } , } \end{array}
g _ { l } = \tilde { g } _ { l } , \qquad f _ { l } = \tilde { f } _ { l } + { \frac { 1 } { \epsilon } } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \delta ( r - r ^ { \prime } ) { \bf X } _ { l m } ( \Omega ^ { \prime } ) ,
\mathscr { H } ^ { ( 3 ) } = \exp \left( \mathcal { L } _ { \chi _ { 3 } ^ { ( 3 ) } } \right) \mathscr { H } ^ { ( \mathrm { I I } ) } = \mathscr { Z } _ { 0 } + \mathscr { Z } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \mathscr { Z } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } + \mathscr { Z } _ { 2 } ^ { ( \mathrm { I I } ) } + \mathscr { Z } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } + \mathscr { R } _ { 4 } ^ { ( 3 ) } \; ,
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { \alpha \in \Lambda ^ { L \times k } ( m , n \times k ) } \frac { m ! } { \alpha ! } | z ^ { \alpha s } | \right) ^ { 1 / s } } & { \le \left( \sum _ { | A | = L } \; \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , A \times \{ 1 , \dots , k \} ) } \frac { m ! } { \alpha ! } | z ^ { \alpha s } | \right) ^ { 1 / s } } \\ & { = \left( \sum _ { | A | = L } \; \| ( z _ { i j } ) _ { i \in A , 1 \le j \le k } \| _ { \ell _ { s } ^ { L k } } ^ { s m } \right) ^ { 1 / s } } \\ & { \le L ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \sum _ { | A | = L } \; \| ( z _ { i j } ) _ { i \in A , 1 \le j \le k } \| _ { \ell _ { r } ^ { L } ( \ell _ { s } ^ { k } ) } ^ { s m } \right) ^ { 1 / s } } \\ & { = L ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \sum _ { | A | = L } \left( \sum _ { i \in A } \Big ( \sum _ { j \le k } | z _ { i j } | ^ { s } \Big ) ^ { r / s } \right) ^ { \frac { s m } { r } } \right) ^ { 1 / s } } \\ & { \le L ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \left( \sum _ { | A | = L } \sum _ { i \in A } \Big ( \sum _ { j \le k } | z _ { i j } | ^ { s } \Big ) ^ { r / s } \right) ^ { m / r } \le L ^ { m ( \frac 1 { s } - \frac 1 { r } ) } \| z \| _ { \ell _ { r } ^ { n } ( \ell _ { s } ^ { k } ) } ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { - } ^ { p } \geq | \nabla f _ { \overline { { t } } } ^ { - } ( \overline { { x } } ) | ^ { p } } & { = \beta ^ { p } \left( 1 - p c \overline { { t } } \epsilon \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \geq \left( \lambda _ { - } ^ { p } - \lambda _ { + } ^ { p } + \alpha ^ { p } \right) \left( 1 - p c \overline { { t } } \epsilon \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \ge \left( \lambda _ { - } ^ { p } - \lambda _ { + } ^ { p } + \left( \operatorname* { m a x } ( \lambda _ { + } , L _ { 0 } ) + M \epsilon \right) ^ { p } \right) \left( 1 - p c \overline { { t } } \epsilon \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { = \lambda _ { - } ^ { p } + p \left( L _ { 0 } ^ { p - 1 } M - c \overline { { t } } \partial _ { n } \varphi ( \overline { { x } } ) \right) \epsilon + O ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}
\Pi _ { k _ { \perp } } / \Pi _ { 0 } \sim 1 - f _ { \mathrm { b u l k } } { \mathcal D } _ { k _ { \perp } } ^ { \mathrm { r a d } } / { \mathcal D } _ { k _ { \operatorname* { m a x } } } ^ { \mathrm { r a d } }
D _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { i j } ^ { \mathrm { ~ u ~ n ~ r ~ e ~ s ~ t ~ r ~ i ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } } } & { i \in \mathrm { ~ s ~ p ~ o ~ t ~ s ~ p ~ e ~ c ~ i ~ f ~ i ~ c ~ r ~ e ~ s ~ t ~ r ~ i ~ c ~ t ~ e ~ d ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ g ~ r ~ i ~ d ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \delta u } { \delta \beta } \left( \beta \right) \left( \beta _ { 1 } \right) : = \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \epsilon } u \left( \beta + \epsilon \beta _ { 1 } \right) \right] _ { \epsilon = 0 } , } \\ { \frac { \delta ^ { 2 } u } { \delta \beta ^ { 2 } } \left( \beta \right) \left( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \right) : = \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \epsilon } \frac { \delta u } { \delta \beta } \left( \beta + \epsilon \beta _ { 2 } \right) \left( \beta _ { 1 } \right) \right] _ { \epsilon = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { s } n _ { s } \left[ \frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } + \left( \vec { v } _ { s } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { v } _ { s } \right] \times \vec { B } } & { = } & \\ { q _ { s } n _ { s } \left( \vec { E } + \vec { v } _ { s } \times \vec { B } \right) \times \vec { B } } & { - } & { \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } . } \end{array}
H = \frac { 1 } { L } \left[ \sqrt { \Bigl ( 1 + \frac { r ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \Bigr ) \Bigl ( P _ { \phi } ^ { 2 } + \frac { { \tilde { N } } ^ { 2 } r ^ { 6 } } { L ^ { 6 } } \Bigr ) } - \frac { { \tilde { N } } r ^ { 4 } } { L ^ { 4 } } \right] \, ,
\delta H = - c _ { 1 } \frac { ( \vec { D } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 m _ { Q } ^ { 3 } } + c _ { 2 } \frac { i g } { 8 m _ { Q } ^ { 2 } } ( \vec { D } \cdot \vec { E } - \vec { E } \cdot \vec { D } ) - c _ { 3 } \frac { g } { 8 m _ { Q } ^ { 2 } } \vec { \sigma } \cdot ( \vec { D } \times \vec { E } - \vec { E } \times \vec { D } ) - c _ { 4 } \frac { g } { 2 m _ { Q } } \vec { \sigma } \cdot \vec { B } .
\begin{array} { l } { \hat { \tau } _ { i \rightarrow j } = p ^ { [ H ] } \sum _ { \ell \in \mathcal { N } ( i ) } \mathcal { M } _ { \ell i \rightarrow i j } \tau _ { \ell \rightarrow i } , } \\ { \tau _ { i \rightarrow j } = p ^ { [ N ] } \sum _ { \ell \in \mathcal { N } ( i ) } \mathcal { M } _ { \ell i \rightarrow i j } \hat { \tau } _ { \ell \rightarrow i } . } \end{array} { }
\begin{array} { r l r } { \dot { \rho } _ { r } ^ { \langle \mu \rangle } } & { { } = } & { C _ { r - 1 } ^ { \langle \mu \rangle } + \alpha _ { r } ^ { ( 1 ) } \nabla ^ { \mu } \alpha _ { 0 } + r \dot { u } _ { \nu } \rho _ { r - 1 } ^ { \mu \nu } - \Delta _ { \alpha } ^ { \mu } \nabla _ { \beta } \rho _ { r - 1 } ^ { \alpha \beta } + \rho _ { r } ^ { \langle \nu } \omega ^ { \mu \rangle } { } _ { \nu } + \frac { 1 } { 3 } \left[ ( r - 1 ) m ^ { 2 } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu } - ( r + 3 ) \rho _ { r } ^ { \mu } \right] \theta + ( r - 1 ) \sigma _ { \alpha \beta } \rho _ { r - 2 } ^ { \mu \alpha \beta } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { l a t } \left( M , N _ { r } \right) = } & { { } - \frac { b _ { l a t } ^ { 2 } } { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) + a _ { l a t } b _ { l a t } \bigg \{ \left( M + N _ { r } \right) ^ { 2 } \log \left( 1 + \frac { N _ { r } } { M } \right) - } \end{array}