harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \frac { 1 } { | \omega - k | ^ { 3 } | j - \omega | ^ { 3 } } } & { \leq } & { \frac { 2 } { | j - 1 - k | ^ { 3 } } + \frac { 2 } { | j + 1 - k | ^ { 3 } } + \int _ { - \infty } ^ { j - 1 } \frac { 1 } { [ ( k - \omega ) ( j - \omega ) ] ^ { 3 } } \, d \omega + } \\ & { } & { \int _ { j + 1 } ^ { m } \frac { 1 } { [ ( \omega - k ) ( j - \omega ) ] ^ { 3 } } \, d \omega + \int _ { m + 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { [ ( \omega - k ) ( j - \omega ) ] ^ { 3 } } \, d \omega + } \\ & { } & { \int _ { k + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { [ ( \omega - k ) ( \omega - j ) ] ^ { 3 } } \, d \omega } \\ & { \leq } & { \frac { 2 } { | z + 1 | ^ { 3 } } + \frac { 2 } { | z - 1 | ^ { 3 } } + \frac { 2 z ^ { 2 } - \frac { 2 z ^ { 2 } } { ( z - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 2 z } { z - 1 } + 2 4 \ln | z - 1 | } { 2 z ^ { 5 } } + } \\ & { } & { \frac { \frac { z ^ { 2 } } { ( \frac { - z } { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { z ^ { 2 } } { ( \frac { z } { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 6 z } { ( \frac { - z } { 2 } - 1 ) } - \frac { 6 z } { ( \frac { z } { 2 } - 1 ) } - 1 2 \ln | \frac { z } { 2 } + 1 | + 1 2 \ln | \frac { - z } { 2 } + 1 | } { 2 z ^ { 5 } } } \\ & { \leq } & { \tilde { C } z ^ { - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { i j } } & { { } = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle { \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x ) = - f ( g ( x ) ) } & { = \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } g ( x ) ^ { 2 } e ^ { - \frac { g ( x ) ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + O ( x ^ { - 2 } ) ) } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } x ^ { 2 } ( 1 + O ( x ^ { - 2 } ) ) ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + O ( x ^ { - 4 } ) ) ^ { 2 } } ( 1 + O ( x ^ { - 2 } ) ) } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - 1 + O ( x ^ { - 2 } ) } ( 1 + O ( x ^ { - 2 } ) ) } \\ & { = \frac 1 { e } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 + O ( x ^ { - 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb E \left( \big \| \big ( f ^ { * } ( X _ { i } ) - \pi _ { N } f ( X _ { i } ) \big ) _ { i } \big \| _ { n } ^ { 2 } \right) } & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \pmb X } | f ^ { * } ( x ) - \pi _ { N } f ^ { * } ( x ) | ^ { 2 } d \rho ( x ) } \\ & { \lesssim } & { \int _ { \pmb X } | f ^ { * } ( x ) - \pi _ { N } f ^ { * } ( x ) | ^ { 2 } d P ( x ) = \| f ^ { * } - \pi _ { N } f ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( d P ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \lambda _ { N + 1 } \| f ^ { * } \| _ { \mathcal H } ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta E _ { 3 \gamma } ^ { h f s } = \frac { \alpha ^ { 4 } R _ { \infty } } { \pi ^ { 2 } } \left\{ \frac { 3 } { 4 } \zeta ( 3 ) - \frac { 1 } { 3 } \zeta ( 2 ) l o g \, 2 - \frac { 1 } { 6 } \zeta ( 2 ) - 4 l o g 2 + \frac { 3 } { 2 } - i \pi \left[ \frac { 4 } { 3 } \zeta ( 2 ) - 2 \right] \right\} .
U _ { T } ( t ) = \frac { 1 } { ( \rho Y _ { H _ { 2 } } ) _ { u } \Lambda ^ { 2 } } \int \! \! \int \! \! \int \left| \dot { \omega } _ { H _ { 2 } } \right| ( \boldsymbol { x } , t ) d \boldsymbol { x } .
\begin{array} { r } { J ( s , { \varepsilon } ) : = \frac { \left( { \delta } + { \varepsilon } \right) ^ { \alpha ^ { * } + 1 } - { \varepsilon } ^ { \alpha ^ { * } + 1 } } { { \varepsilon } ^ { \beta } } = ( { \varepsilon } ^ { \kappa } s ^ { \iota } + { \varepsilon } ) ^ { \alpha ^ { * } + 1 } { \varepsilon } ^ { - \beta } - { \varepsilon } ^ { \alpha ^ { * } + 1 - \beta } \, . } \end{array}
\Vert ( k _ { 0 } - k _ { F } ^ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial k _ { 0 } } \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } , { \bf k } ) \Vert \le K _ { 1 } \gamma ^ { - ( j _ { e } - j _ { r } ) } \Vert \hat { \Sigma } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { j _ { e } , { s _ { j _ { e } } ^ { ( a ) } , s _ { j _ { e } } ^ { ( b ) } } } ( k _ { F } ^ { 0 } , { \bf k } ) \Vert ,
{ \mathcal { L } } ( \varphi ) = \underbrace { - { \frac { \mu ^ { 4 } } { 4 \lambda } } } _ { \mathrm { u n i m p o r t a n t ~ c o n s t a n t } } + \underbrace { { \frac { 1 } { 2 } } [ ( \partial \sigma ) ^ { 2 } - ( { \sqrt { 2 } } \mu ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ] } _ { \mathrm { m a s s i v e ~ s c a l a r ~ f i e l d } } + \underbrace { ( - \lambda v \sigma ^ { 3 } - { \frac { \lambda } { 4 } } \sigma ^ { 4 } ) } _ { \mathrm { s e l f - i n t e r a c t i o n s } } .
\frac { d n _ { i } } { d \rho _ { i } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { 1 1 } T _ { 2 } } \int F _ { \rho _ { i } \phi _ { i } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } \alpha _ { 5 } } ^ { ( 7 ) } d \phi _ { i } d ^ { 5 } \alpha = 8 N ^ { 2 } \frac { q _ { i } } { L _ { 7 } ^ { 6 } } \rho _ { i } \, .
\boldsymbol { K } ^ { \lambda } ( \mathcal { X } , \mathcal { X } ^ { \prime } ) = w _ { \mathrm { S } } \boldsymbol { K } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } ^ { \lambda } ( \mathcal { X } , \mathcal { X } ^ { \prime } ) + w _ { \mathrm { L } } \boldsymbol { K } _ { \mathrm { ~ L ~ R ~ } } ^ { \lambda } ( \mathcal { X } , \mathcal { X } ^ { \prime } ) ,
f _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { \infty } = \frac { L _ { \mathrm { ~ c ~ } } \left[ \left( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } \right) { } ^ { \tau _ { b } } + 1 - 2 \left( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } \right) { } ^ { \frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { ~ c ~ } } + 1 ) \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } \right] } { \left[ 1 - \left( 1 - r _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } \right) { } ^ { \tau _ { \mathrm { ~ b ~ } } } \right] N \phi }
\boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ; \omega _ { q } ) = \boldsymbol { G } _ { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ; \omega _ { q } ) + \boldsymbol { G } ^ { \prime } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ; \omega _ { q } )
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } ( \| \nabla G _ { n } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } ) } \\ & { \quad = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - 2 i } { \mathbb { E } } ( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) \| ^ { 2 } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { r = 0 , k \neq r } ^ { n } \beta ^ { 2 n - r - k } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { k } ) ) ^ { T } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { r } ) ) + O ( h ) } \\ & { \quad = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - 2 i } \left( \| \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) \| ^ { 2 } + { \mathbb { E } } ( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) - \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) \| ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \quad \quad + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { r = 0 , k \neq r } ^ { n } \beta ^ { 2 n - r - k } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { k } ) ) ^ { T } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { r } ) ) + O ( h ) } \\ & { \quad = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { r = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - r - k } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { k } ) ) ^ { T } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { r } ) ) + \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - 2 i } { \mathbb { E } } ( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) - \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t _ { i } ) ) \| ^ { 2 } ) + O ( h ) } \\ & { \quad = \left\| \sum _ { k = 0 } ^ { n } \beta ^ { n - k } \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \right\| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta ^ { 2 n - 2 i } { \mathbb { E } } \left( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) - \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } \right) + O ( h ) . } \\ & { \quad = \left( \frac { 1 - \beta ^ { n + 1 } } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } \| \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 - \beta ^ { 2 n + 2 } } { 1 - \beta ^ { 2 } } { \mathbb { E } } \left( \| \nabla E _ { i } ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) - \nabla E ( \widetilde \mathbf { x } ( t ) ) \| ^ { 2 } \right) + O ( h ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho = \boldsymbol { 0 } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] . } \end{array}
S _ { F } ~ = ~ \mathrm { c o n s t . } \left( \int d ^ { 2 } z d ^ { 2 } \theta \left( X ^ { 3 } + ( \beta _ { c } - \beta ) ^ { 1 / 2 } ~ X \right) ~ + ~ \right. \qquad \qquad \qquad \qquad \nonumber
\frac { \mathrm { d } ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { x } + \psi ) } { \mathrm { d } t } \equiv \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { d } t } = 2 \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { u } = 0 ,
W _ { S O / S p } ( \Phi ) = \sum _ { p = 1 } ^ { n + 1 } \frac { g _ { 2 p } } { 2 p } \mathrm { T r } \Phi ^ { 2 p } \equiv \sum _ { p = 1 } ^ { n + 1 } g _ { 2 p } u _ { 2 p } ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } _ { P } = \frac { P ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \mathbf { { Q } } ) + \mathbf { { Q } } \mathbf { { P } } : \nabla \mathbf { { u } } } \\ & { \mathcal { H } _ { B } = \sum _ { i } \Bigl [ \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { i } ^ { 2 } \Bigl ( \mathbf { { q } } _ { i } - \frac { c _ { i } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \mathbf { { Q } } \Bigr ) ^ { 2 } + \mathbf { { q } } _ { i } \mathbf { { p } } _ { i } : \nabla \mathbf { { u } } \Bigr ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d \Pi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } } } & { { \equiv } } & { { \mathrm { c h } ^ { 2 } \chi \, d \phi ^ { 2 } - d \chi ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d \Omega _ { ( 2 ) } ^ { 2 } } } & { { \equiv } } & { { d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \theta } d \varphi ^ { 2 } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { \delta \mathbf { x } } _ { i } } & { { } = J \mathbf { f } ( \mathbf { x } _ { s } ) { \delta \mathbf { x } } _ { i } + d \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \cal L } _ { i j } \: J \mathbf { g } ( \mathbf { x } _ { s } ) { \delta \mathbf { x } } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { d } \left( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { s } _ { 0 } \right) } & { { } = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { 0 } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } \boldsymbol { x } \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \bf Y } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \left( \begin{array} { l l } { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { \tilde { \bf F } _ { 1 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } \\ { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( { { \bf x } } , - { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } & { \tilde { \bf F } _ { 2 } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \frac { d \mathbf { P } _ { k } } { d t } } = C _ { p } ( \mathbf { P } _ { k } ) \left( { \frac { 2 \bar { H } _ { m } ^ { 3 } } { \langle D _ { H } \rangle } } ( \mathbf { P } _ { k } - \langle \mathbf { P } \rangle ) + { \frac { \beta \mu } { 6 } } \langle D _ { A } \rangle ( 2 \langle \mathbf { P } \rangle + 4 \mathbf { P } _ { k } - 6 \mathcal { P } _ { * } ) + \beta J ^ { n c } ( \mathbf { P } _ { k } ) \right) .
\phi ^ { ( \mathrm { { h o r } ) } } H _ { i j k \ell } ^ { ( \mathrm { { h o r } ) } } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Z _ { N _ { H } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Z _ { T _ { H } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Z _ { T _ { H } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \, .
\mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } \; = \; - \, \epsilon _ { \delta } \; \frac { \widehat { \sf z } } { \Omega _ { 0 } } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \nabla \left( \chi _ { \mathrm { g c } } \; \frac { \partial \delta \Phi } { \partial t } - \frac { c \, \beta } { 4 \pi } \, \widehat { \sf z } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \delta A _ { \| } \right) ,
E _ { \mu x } = - J _ { a x } C _ { a \nu } ^ { ( 2 ) } M _ { P \nu \mu } ^ { - 1 } + J _ { a y } C _ { a \nu } ^ { ( 2 ) } M _ { P \nu \rho } ^ { - 1 } C _ { \rho \lambda } ^ { ( 0 ) } \Sigma _ { x } ^ { y } M _ { P \lambda \mu } ^ { - 1 } + . . .
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \sum _ { \boldsymbol { \mu } _ { j } \in \mathcal { P } _ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } } \operatorname* { m i n } _ { \bar { y } \in { Y } ^ { N } } \left\| y ^ { \mathcal { N } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { j } \right) - \bar { y } \right\| _ { Y } ^ { 2 } } , } \\ { \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \sum _ { \boldsymbol { \mu } _ { j } \in \mathcal { P } _ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } } \operatorname* { m i n } _ { \bar { u } \in { U } ^ { N } } \left\| u ^ { \mathcal { N } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { j } \right) - \bar { u } \right\| _ { U } ^ { 2 } } , } \\ { \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \sum _ { \boldsymbol { \mu } _ { j } \in \mathcal { P } _ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } } \operatorname* { m i n } _ { \bar { p } \in ( Q ^ { N } ) ^ { * } } \left\| p ^ { \mathcal { N } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { j } \right) - \bar { p } \right\| _ { Q ^ { * } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\gamma t ^ { * } = \frac { \gamma \Delta ( j , P ) } { 2 v _ { \mathrm { l r } } } > \frac { \gamma \delta _ { 1 } } { 2 v _ { \mathrm { l r } } } \geq \operatorname* { m a x } ( 5 9 0 0 , \alpha , 7 ( d + 1 1 ) , \theta ) \geq \theta .
\begin{array} { r l } { \overline { { \tilde { p } _ { \theta } ( \boldsymbol { 0 } ) } } ^ { \theta } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \Delta \theta \sum _ { i = 1 } ^ { M } p ( [ R \cos \theta _ { i } , R \sin \theta _ { i } ] ) + \frac { 1 } { 2 \pi } \Delta \theta \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { r = 0 } ^ { r = R } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { e } _ { r } d r , \quad \theta _ { i } = \frac { 2 \pi i } { M } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { r = R } p d \theta + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { e } _ { r } d r d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { r = R } p d \theta + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \frac { \boldsymbol { e } _ { r } } { r } r d r d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { r = R } p d \theta + \frac { 1 } { 2 \pi } \iint _ { A } \left( \boldsymbol { \nabla } p \cdot \frac { \boldsymbol { e } _ { r } } { r } \right) d A . } \end{array}
\psi _ { J = 3 / 2 } = 0 . 9 9 3 2 \phi ( 7 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } p _ { 3 / 2 } ^ { 1 } ) + 0 . 0 9 9 \phi ( 7 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } p _ { 3 / 2 } ^ { 2 } ) -
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } _ { X } ^ { L } } & { { } = \left[ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } a ( i , j ) ( x _ { r } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { x ^ { i } } { \partial x ^ { j } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } F ( i ) ( x _ { r } ) \frac { \partial \partial x ^ { i } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) \right] _ { r , s } } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \cdot \mathbf q = \rho T \left( \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial T ^ { 2 } } \dot { T } + \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \boldsymbol \varepsilon \partial T } \dot { \boldsymbol \varepsilon } \right) . } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } \sigma } { d y _ { \Upsilon } d y _ { j e t } d p _ { T } } = 2 p _ { T } \ x ^ { 2 } g ( x , Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } \ \frac { d \hat { \sigma } _ { g g } ( Q ^ { 2 } ) } { d \hat { t } }
\begin{array} { r l } { H _ { 4 , j , - j , k , - k } } & { = - \frac { \alpha ( \alpha + 4 ) \pi } { 1 9 2 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) ) - \frac { \alpha ^ { 2 } \pi } { 3 8 4 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) ) } \\ & { \ + \frac { \alpha \pi } { 1 9 2 } m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) + \frac { \alpha ( \alpha + 2 ) \pi T _ { \alpha } } { 1 9 2 } } \\ & { = - \frac { \alpha \pi } { 1 9 2 } \left( ( { \alpha + 4 } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) ) \right. } \\ & { \left. \ + \frac { \alpha } { 2 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , k ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) , } \\ { H _ { 3 , j , k , - ( j + k ) } } & { = \frac { \alpha \pi } { 2 4 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) - T _ { \alpha } ) , } \\ { H _ { 3 , j , - k , - ( j - k ) } } & { = \frac { \alpha \pi } { 2 4 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) - T _ { \alpha } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) = \int _ { ( x - a ) _ { + } } ^ { \infty } \frac { 1 } { z } d Q ( z ) = \tilde { f } ( x ) } \\ { \implies } & { \quad f ( x ) = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) } \end{array}
{ \cal L } ^ { ( 1 ) } = - \partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 1 } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \psi _ { 1 } - \partial _ { \mu } \overline { { \psi } } _ { 2 } \gamma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \psi _ { 2 } - m ^ { 2 } \overline { { \psi } } _ { 1 } \psi _ { 1 } + m ^ { 2 } \overline { { \psi } } _ { 2 } \psi _ { 2 } \quad .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } } & { { } = \frac { 1 } { J } \left( \frac { \partial x ^ { j + 1 } } { \partial \xi ^ { i + 1 } } \frac { \partial x ^ { j + 2 } } { \partial \xi ^ { i + 2 } } - \frac { \partial x ^ { j + 1 } } { \partial \xi ^ { i + 2 } } \frac { \partial x ^ { j + 2 } } { \partial \xi ^ { i + 1 } } \right) , } \\ { \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } } & { { } = J \left( \frac { \partial \xi ^ { j + 1 } } { \partial x ^ { i + 1 } } \frac { \partial \xi ^ { j + 2 } } { \partial x ^ { i + 2 } } - \frac { \partial \xi ^ { j + 1 } } { \partial x ^ { i + 2 } } \frac { \partial \xi ^ { j + 2 } } { \partial x ^ { i + 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } W _ { i j } ^ { \boldsymbol { u v } } } & { = } & { \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } \operatorname* { m a x } \left\{ w ( u _ { i \varsigma } v _ { j \mu } ) : 1 \leq \varsigma \leq \alpha _ { i } , 1 \leq \mu \leq \beta _ { j } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { j = \eta _ { l } , 1 \leq l \leq r } \operatorname* { m a x } \left\{ w ( u _ { \lambda \varsigma } v _ { j \mu } ) : 1 \leq \varsigma \leq \alpha _ { \lambda } , 1 \leq \mu \leq \beta _ { j } \right\} } \\ & { \geq } & { \sum _ { j = \eta _ { l } , 1 \leq l \leq r } \operatorname* { m a x } \left\{ w ( u _ { \lambda \varsigma } v _ { j \mu } ) : 1 \leq \mu \leq \beta _ { j } \right\} } \\ & { = } & { \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( u _ { \lambda \varsigma } \boldsymbol { v } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { ( x ) } ( 0 ) } & { { } = u ( x ) } \\ { u _ { ( x ) } ^ { \prime } ( 0 ) } & { { } = 0 } \\ { u _ { ( x ) } ^ { \prime \prime } ( 0 ) } & { { } = { \frac { 1 } { n } } \Delta u ( x ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { A _ { + } = { \displaystyle \frac { 2 } { \lambda } } e ^ { \phi } E _ { 1 } + 2 e ^ { - 2 \phi } E _ { 2 } , } } \\ { { A _ { - } = \partial _ { - } \phi H _ { 1 } + \lambda E _ { - 1 } + E _ { - 2 } . } } \end{array} \right.
( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } ) \times ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) = ( v _ { 2 } u _ { 3 } - v _ { 3 } u _ { 2 } , v _ { 3 } u _ { 1 } - v _ { 1 } u _ { 3 } , v _ { 1 } u _ { 2 } - v _ { 2 } u _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { ( T , \rho ) } & { = ( \bar { T } , \bar { \rho } ) ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 1 + \alpha } ( T ^ { \prime } , \rho ^ { \prime } ) ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } , z _ { s } ) } \\ { p } & { = \bar { p } ( z _ { s } ) + { \varepsilon } ^ { 2 + \alpha } p ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { w } , t _ { w } , z _ { s } ) \, . } \end{array}
{ \frac { d n _ { f } } { d \varphi } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \Re [ Z ^ { \prime } ( \bar { v } _ { a } / \sqrt { 2 } ) ] = \Re [ 1 + i \sqrt { \pi } z w ( \bar { v } _ { a } / \sqrt { 2 } ) ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \mathcal { H } _ { j k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { k } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \mathcal { T } _ { j k l } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { k } \partial \theta _ { l } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } [ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) ] } \\ { * } & { = \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \} D + \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) > D \} \bar { d } } \\ & { \leq D + \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D ) \bar { d } , } \end{array}
{ \bf S } ^ { - 1 } ( L ) \left[ \gamma ^ { 5 } \gamma ^ { \mu } \frac { \partial x ^ { \nu } } { \partial x ^ { \prime \, \mu } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } + m \right] { \bf S } ( L ) \Psi ( x ) = 0 \quad .
\begin{array} { r l } { P ( \Delta t _ { k } | } & { \lambda _ { 1 : M } , \pi _ { 1 : M } ) = \bigg [ \sum _ { m = 1 } ^ { M } \pi _ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { p l } } \frac { \lambda _ { m } } { 2 } } \\ { \times } & { \exp \Big ( \frac { \lambda _ { m } } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T ) + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \Big ) } \\ { \times } & { \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) \bigg ] , } \end{array}
\pi ( u ) = \frac { 2 k - 1 } { 4 \pi } \int _ { \tau = 0 } ^ { \infty } d \tau \; \sinh \tau \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \left[ \cos \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } - i \sin \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } \hat { n } . \hat { r } \right] ^ { - 2 k }