harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E ( Q _ { k } ) } & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } E ^ { \top } P _ { \mathcal { D } } E \right) - \sigma ^ { 2 } s } \\ & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } \left\| P _ { \mathcal { D } } E \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right) - \sigma ^ { 2 } s } \\ & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } ( v ^ { \top } P _ { \mathcal { D } } E ) ^ { 2 } \right) - \sigma ^ { 2 } s } \\ & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } ( \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } v ^ { \top } P _ { \mathcal { D } } E ) ^ { 2 } \right) - \sigma ^ { 2 } s } \\ & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } v ^ { \top } P _ { \mathcal { D } } E \right) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } s } \\ & { = \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { D } \in \mathscr { A } _ { s , k } } v ^ { \top } P _ { \mathcal { D } } E \right) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { C r e s t p h a s e d u r a t i o n : \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } T ^ { \textnormal { L , c r e s t } } = \bigg [ \frac { 1 } { 2 } + \frac { \epsilon } { \pi } \mathcal { C } _ { \alpha } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) \bigg ] T ^ { \textnormal { E } } , } \\ & { \textrm { T r o u g h p h a s e d u r a t i o n : \, \, } T ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } = \bigg [ \frac { 1 } { 2 } - \frac { \epsilon } { \pi } \mathcal { C } _ { \alpha } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) \bigg ] T ^ { \textnormal { E } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } } & { = \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S ^ { \prime } } \big [ k ^ { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) - \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
{ \frac { \d S } { \d e ^ { a } } } ~ \Rightarrow ~ ( \Pi ^ { \underline { { { m } } } } u _ { \underline { { { m } } } } ^ { a _ { 0 } } - e ^ { a _ { 0 } } ) e ^ { a _ { 1 } } . . . e ^ { a _ { p - 1 } } \varepsilon _ { a _ { 0 } a _ { 1 } . . . a _ { p - 1 } a } = 0 ,
\begin{array} { r l r l } { \frac { d q _ { \mu } } { d \tau } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } m \partial _ { \mu } a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } ( X ) , } & { \frac { d X ^ { \mu } } { d \tau } } & { { } = \frac { q ^ { \mu } } { m } , } \end{array}
\delta S = \frac { 1 } { 3 } \int d ^ { 2 } x d _ { i j k } ( \partial _ { + } \varphi ^ { i } \partial _ { + } \varphi ^ { j } \partial _ { + } \varphi ^ { k } \partial _ { - } \lambda ^ { + + } + \partial _ { - } \varphi ^ { i } \partial _ { - } \varphi ^ { j } \partial _ { - } \varphi ^ { k } \partial _ { + } \lambda ^ { -- } ) .
\beta _ { n k } ^ { l } = - 2 \varepsilon \exp \left[ - i T \left( \omega _ { l n } ^ { ( 0 ) } + \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } \right) / 2 \right] \sum _ { \sigma = + , - } v _ { k - , n - } ^ { \sigma } e ^ { i \sigma \Omega T / 2 } \frac { \sin \left[ T \left( \omega _ { l n } ^ { ( 0 ) } + \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } - \sigma \Omega \right) / 2 \right] } { \omega _ { l n } ^ { ( 0 ) } + \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } - \sigma \Omega }
\begin{array} { r l } { V _ { i } ( t ) } & { { } = ( 1 - \frac { 1 } { \tau _ { v } } ) V _ { i } ( t - 1 ) + I _ { i } ( t ) + \beta , } \\ { I _ { i } ( t ) } & { { } = ( 1 - \frac { 1 } { \tau _ { u } } ) I _ { i } ( t - 1 ) + \sum _ { j } w _ { i j } s _ { j } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { n } } & { { } = \frac { 2 \pi n } { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } } + k _ { \mathrm { ~ t ~ } } } \\ { k _ { m } } & { { } = \frac { 2 \pi m } { p _ { \mathrm { ~ y ~ } } } \, } \end{array}
A _ { 7 } = \cos \theta _ { 1 } D _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } D _ { 2 } \cos \theta _ { 3 } D _ { 3 } \Big ( H ^ { - 1 } - 1 \Big ) I \wedge d y ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge d y ^ { 6 }
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { f i } } ^ { ( 1 , \pm ) } \! } & { = } & { \! - i e N _ { \mathrm { f i } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \overline { { u } } _ { p ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \Big ( \widetilde { \mathcal { M } } _ { n } ^ { \pm } \pm \widetilde { M } _ { n } ^ { \pm } \Big ) v _ { p , s } } \\ & { } & { \times \, ( 2 \pi ) ^ { 4 } \, \delta ^ { 4 } \big ( q ^ { \prime \mu } + q ^ { \mu } - k ^ { \prime \mu } - n k ^ { \mu } \pm \tilde { k } ^ { \mu } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \frac { \partial S _ { H J } [ \varphi ] } { \partial \xi _ { i } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) + e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] } \\ & { \quad \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Bigg [ - { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { \partial H _ { j } } e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \gamma _ { j } } { \partial \xi _ { i } } } d \overline { { \gamma _ { j } } } - { \frac { \partial \overline { { \gamma _ { j } } } } { \partial \xi _ { i } } } d \gamma _ { j } \right) + { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { j } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] \Bigg ] } \\ & { \quad \quad + { \frac { i } { 4 \pi } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } d \overline { { z } } \; \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \varphi + \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } \, . } \end{array}
\frac { \sigma _ { 0 } ( k ) } { \sigma _ { 0 } ( 0 ) } = \frac { \sigma _ { 0 } ( k ) } { 4 \pi a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( 1 + ( k a ) ^ { 2 } \frac { R ^ { * } } { a } ) ^ { 2 } + ( k a ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 3 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big ( \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { C ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } + \frac { 4 C ^ { 2 } } { K } + \frac { 4 C ^ { 3 } } { K _ { 1 } } + \frac { 4 C ^ { 2 } } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } \frac { C } { K _ { 1 } } \sum _ { t _ { 1 } = 1 } ^ { K _ { 1 } } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { 2 H - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { 4 ( H - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + t _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + t _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + s + t _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 4 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + s + t _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 4 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \Big | } \end{array}
J _ { m } ^ { ( c o l l ) } = J _ { m } ^ { ( r e c ) } + J _ { m } ^ { ( a p p ) } = ( N - 1 ) \Gamma R ^ { 2 } \pi ^ { 2 } m \left[ \hat { P } _ { m - 1 } \hat { P } _ { 1 } - \hat { P } _ { m + 1 } \hat { P } _ { - 1 } \right] + O ( S c ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \Vert \nabla _ { x } ^ { q } \mathrm { K } _ { ( t - s ) \mathcal { G } } ^ { \mathrm { f r i c } } [ F ] \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \times \mathbb T ^ { d } ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 q } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } ( t - s ) ^ { 2 q } \vert \widehat { H } _ { k } ( s ) \vert ^ { 2 } \vert k \cdot ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \, \mathrm { d } s \mathrm { d } t } \\ & { \quad \times \underset { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { t \in ( 0 , T ) } { \operatorname* { s u p } } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \vert k \cdot ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \vert \mathrm { d } s } \\ & { = ( \mathrm { I } ) \times ( \mathrm { I I } ) . } \end{array}
W _ { o } ( T , U ) = \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { - 2 } ( U ) \eta ^ { - 2 } ( \frac { T } { 2 } ) , \; \; \; \; \; \; \kappa ( T , U ) = - 4 ( \partial _ { U } \log \eta ( U ) ) ( \partial _ { T } \log \eta ( \frac { T } { 2 } ) ) .
\left. \frac { \partial M _ { \alpha } ^ { 2 } } { \partial l } \right| _ { l = \tau = 0 } \, = \, \left. \frac { \partial M _ { \alpha } ^ { 2 } } { \partial \tau } \right| _ { l = \tau = 0 } \, = \, 0 \; \; \; ,
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } } } & { { } { = } } & { { \rho _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { u _ { f } } } & { { } { = } } & { { u _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { v _ { f } } } & { { } { = } } & { { v _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { w _ { f } } } & { { } { = } } & { { w _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { e _ { f } } } & { { } { = } } & { { e _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \end{array}
\big \| \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i y \cdot \eta } \frac { i q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \psi _ { k } ( \xi ) \psi _ { k _ { 1 } } ( \xi - \eta ) \psi _ { k _ { 2 } } ( \eta ) d \eta d \xi \big \| _ { L _ { x , y } ^ { 1 } } \lesssim 2 ^ { 8 \alpha m } .
\begin{array} { r l } { g _ { y } ( x , y ) \Big | _ { x = J _ { \varepsilon } ( y ) } } & { = \varepsilon ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } x \, Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) \, \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( y ) \Big | _ { x = J _ { \varepsilon } ( y ) } } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 4 } x \, \frac { Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( y ) ) } { P _ { \varepsilon } ^ { \prime } \left( J _ { \varepsilon } ( y ) \right) } \Big | _ { x = J _ { \varepsilon } ( y ) } } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } x } { P _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( x ) } \, Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) = \varepsilon ^ { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 4 } x } { \varepsilon ^ { 2 } x \, Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) } \, Q ^ { \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) = 0 , } \end{array}
\sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } } \frac { K \left( \rho \right) } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right\vert ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { i } \wedge d \ast \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega \big ) = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { i } \wedge \ast \delta \big ( d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \langle d e _ { \omega } ^ { i } , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge \ast \omega ) \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { - \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) \wedge ( \ast d e _ { \omega } ^ { i } ) \wedge ( \ast \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { n \kappa } ( r ) } & { = N _ { n \kappa } r ^ { \kappa } \left\{ r - \left[ \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 2 } ( 3 + 2 \kappa ) } + \frac { V _ { 2 } ( 1 + 2 \kappa ) } { ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) ( 3 + 2 \kappa ) } \right] r ^ { 3 } + \cdots \right\} } \\ { Q _ { n \kappa } ( r ) } & { = N _ { n \kappa } r ^ { \kappa } \left\{ \frac { c ( 1 + 2 \kappa ) } { ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } - V _ { 0 } ) } - \frac { E _ { n \kappa } - V _ { 0 } } { 2 c } r ^ { 2 } + \cdots \right\} \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ S ^ { 2 } ] } & { = \mathbb { E } [ \tau _ { x } ^ { T } \tau _ { x } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ t r ( \tau _ { x } ^ { T } \tau _ { x } ) ] } \\ & { = t r ( \mathbb { E } [ \tau _ { x } ^ { T } \tau _ { x } ] ) } \\ & { = t r ( \mathbb { E } [ \tau _ { x } ] \mathbb { E } [ \tau _ { x } ] ^ { T } + C o v [ \tau _ { x } , \tau _ { x } ] ) } \\ & { = t r ( \mu \mu ^ { T } + \Sigma ) } \\ & { = \mu _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \mu _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } + \sigma _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { > \mu _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \mu _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } = ( \mathbb { E } [ \tau _ { x } ] ) ^ { 2 } + ( \mathbb { E } [ T _ { x _ { 2 } } ] ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { S } } & { : = \exp \left\{ \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } S ( \tau ) \right\} = \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( t t ) } \big \} } \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( t o ) } \big \} } \sum _ { \big \{ \mathbf { J } ^ { ( o t ) } \big \} } \exp ( \mathcal { L } _ { J } ) } \\ { S ( \tau ) } & { = B ( \tau ) + D ( \tau ) } \end{array}
\phi _ { i j } ( T , L ) = ( E _ { i } - E _ { j } ) T - ( p _ { i } - p _ { j } ) L - \frac { T } { T ^ { d i s p } } \, \frac { 1 } { 1 + ( T / T ^ { d i s p } ) ^ { 2 } } \, \frac { ( v _ { i } T - L ) ^ { 2 } - ( v _ { j } T - L ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { x e f f } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l r } { 1 ^ { \mathrm { s t } } \mathrm { ~ t e r m ~ i n ~ ( ) } } & { = } & { \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { j _ { 1 } = 0 , \ 1 \leq j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta _ { 1 } = 1 , \ \eta = ( \eta _ { 2 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell - 1 } } \\ { | \eta | = m - 1 } \end{array} } \ldots + \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { j _ { 1 } = 0 , \ 1 \leq j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta _ { 1 } = 0 , \ \eta = ( \eta _ { 2 } , \ldots \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell - 1 } } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \ldots } \\ & { = } & { C \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m - 1 } + B \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m } . } \end{array}
\mathrm { d e t } \, { \cal O } = \left[ \frac { b } { \alpha r } \tilde { \lambda } ^ { 2 } + \frac { b ^ { 2 } } { 4 Q ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } - \left[ \frac { 2 Q _ { M } b \alpha r } { 4 Q ^ { 2 } } - 4 Q _ { M } ( 1 - \tilde { \lambda } ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } \, .
\tilde { \Phi } = ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } ^ { 2 } - j _ { 1 } ^ { 3 } + j _ { 2 } ^ { 2 } - j _ { 2 } ^ { 3 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 3 } } \sqrt { \frac { ( 2 r _ { 2 } ^ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } ^ { 1 } + 1 ) } { ( 8 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 2 j _ { 1 } ^ { 1 } + 1 ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } ^ { i } - r _ { 2 } ^ { i } } \sqrt { ( 2 r _ { 2 } ^ { i } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } ^ { i } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } ^ { i } + 1 ) } .
J = { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { x } ^ { \mathsf { T } } ( t _ { f } ) \mathbf { S } _ { f } \mathbf { x } ( t _ { f } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f } } [ \, \mathbf { x } ^ { \mathsf { T } } ( t ) \mathbf { Q } ( t ) \mathbf { x } ( t ) + \mathbf { u } ^ { \mathsf { T } } ( t ) \mathbf { R } ( t ) \mathbf { u } ( t ) ] \, \mathrm { d } t
\begin{array} { r l } { \lefteqn { - \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \kappa _ { m } \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \tilde { \psi } _ { m } \sigma \bigr ) \nabla \tilde { \theta } _ { m } \bigr ) } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { t o t } ( t + d t ) } & { = \sum _ { \beta } C ^ { \beta } ( t + d t ) } \\ & { = \sum _ { \beta \neq \alpha } C ^ { \beta } ( t ) + C ^ { \alpha } ( t + d t ) } \\ & { = C ^ { t o t } ( t ) + C ^ { \alpha } ( t + d t ) - C ^ { \alpha } ( t ) } \\ & { = C ^ { t o t } ( t ) + \frac { C ^ { \alpha } ( t ) } { Q ^ { \alpha } ( t ) } Q ^ { \alpha } ( t + d t ) - C ^ { \alpha } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \ge \mathcal L _ { A _ { n } } ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) + \Pi _ { N _ { n } } ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } - \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } \\ & { \ge \mathcal L _ { A _ { n } - B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) + \Pi _ { N _ { n } } ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } - \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } \\ & { \quad + \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ^ { - 1 } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } } \\ & { = ( \mathcal { L } _ { A _ { n } - B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma } + \Pi _ { N _ { n } } ) ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) + ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) B _ { n } B _ { n } ^ { \top } ( \Sigma _ { n } + \Sigma _ { n } ^ { - 1 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { ( 1 - \epsilon ) t } \| f _ { 1 } ^ { n + 1 } ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } } & { \leq e ^ { - \epsilon t } \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } e ^ { - \epsilon ( t - s ) } \| \Gamma ( f _ { 1 } ^ { n } + g ) ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } d s } \\ & { \leq \| f _ { 0 } \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } + C \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } e ^ { ( 1 - \epsilon ) s } \| ( f _ { 1 } ^ { n } + g ) ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } ^ { 2 } . } \end{array}
Z _ { a } = \prod _ { k \neq 0 } \left( \operatorname * { d e t } \frac { N ^ { 2 } } { i } \Omega k ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \operatorname * { d e t } \left( \frac { N ^ { 2 } } { i } \Omega \right) ^ { - \zeta ( 0 ) } e ^ { ( N - 1 ) \zeta ^ { \prime } ( 0 ) } = \sqrt { N } \left( \frac { 2 T } { e ^ { 2 } L } \right) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } \ \ .
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathbf V } ^ { n + 1 } - { \mathbf V } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = \mathbb { L } \mathbb { T } ^ { \top } \mathbb { Q } ^ { b v } \mathbb { C } \frac { { \mathbf b } ^ { n + 1 } + { \mathbf b } ^ { n } } { 2 } , } \\ { \frac { { \mathbf b } ^ { n + 1 } - { \mathbf b } ^ { n } } { \Delta t } } & { { } = - \mathbb { M } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbb { C } ^ { \top } ( \mathbb { Q } ^ { b v } ) ^ { \top } \mathbb { T } \mathbb { L } ^ { \top } \mathbb { W } \frac { { \mathbf V } ^ { n + 1 } + { \mathbf V } ^ { n } } { 2 } . } \end{array}
\int _ { \Delta } \frac { d ^ { \, 4 } P } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 2 } \left[ \Delta _ { \ell \ell } ^ { \mu \nu } \left\{ \Pi _ { \ell \ell } ( P ) \right\} _ { \mu \nu } \right] \, ,
\frac { \partial E _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi K _ { \theta , \phi } C _ { E } ^ { 2 } k ^ { 2 + 2 x } } { 3 2 b _ { 0 } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } I ^ { s s _ { p } s _ { q } } ( x ) \, ,
\left( \begin{array} { l l } { \tilde { } } & { \theta ^ { - 1 } ( t ) } \\ { \tilde { } } & { - \eta ( x , t ) } \end{array} \right) = J ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { \alpha _ { 0 } \gamma _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) J , \quad J = \left( \begin{array} { c c } { t _ { t } ^ { \prime } } & { t _ { x } ^ { \prime } } \\ { x _ { t } ^ { \prime } } & { x _ { x } ^ { \prime } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { X ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \Psi ( \tau ) / B _ { 0 } } \; \cos \left( t ^ { \prime } \frac { } { } \overline { { \omega } } ( \epsilon ) \right) , } \\ { Y ( t ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sqrt { 2 \, \Psi ( \tau ) / B _ { 0 } } \; \sin \left( t ^ { \prime } \frac { } { } \overline { { \omega } } ( \epsilon ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { A B C } } & { { } = } & { \sum _ { i < j } V _ { i j } ^ { 2 b } + V _ { A B C } ^ { 3 b } \, , } \\ { V _ { A B C D } } & { { } = } & { \sum _ { i < j } ^ { } V _ { i j } ^ { 2 b } + \sum _ { i < j < k } ^ { } V _ { i j k } ^ { 3 b } + V _ { A B C D } ^ { 4 b } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \hat { B } ] _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \equiv B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \ensuremath { \langle \b { q } + \b { s } / 2 \vert } \hat { B } \ensuremath { \vert \b { q } - \b { s } / 2 \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ( \gamma { U _ { T } , } _ { y y } + ( 1 - \gamma ) { U _ { L } , } _ { y y } ) - v ( \gamma { U _ { T } , } _ { y } + ( 1 - \gamma ) { U _ { L } , } _ { y } ) = p _ { x } , } \end{array}
\hat { \sigma } = ( - 1 ) ^ { n } \, \frac { \xi _ { n - 1 } } { \xi _ { - 1 } } = \frac { 1 } { v _ { n } } \quad , \quad \hat { \tau } = \frac { L _ { - 1 } } { L _ { n - 1 } } = \frac { A } { L _ { n - 1 } } = \frac { A } { \tau _ { n } \, L _ { n } } = \frac { 1 } { \tau _ { n } ( \alpha + \theta _ { A } / \theta _ { B } ) } \frac { 1 } { v _ { n } }
\frac { d U _ { N } } { d \tau } = \mathcal { B } _ { N } [ U ] - U _ { N } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ] \right) , \quad N \in \mathbb { Z } ,
\begin{array} { r l r } { Q ^ { ( l ) } ( E ) } & { { } = } & { 2 \pi \int \left( 1 - \cos ^ { l } \theta \right) \sigma ( E , \theta ) \sin \theta \mathrm { d } \theta } \\ { \Omega ^ { ( l , s ) } ( T ) } & { { } = } & { 2 \int \frac { \mathrm { e } ^ { - E / ( k _ { \mathrm { B } } T ) } } { ( s + 1 ) ! } \left( \frac { E } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) ^ { s + 1 } Q ^ { ( l ) } ~ \frac { \mathrm { d } E } { k _ { \mathrm { B } } T } , } \end{array}