harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta \left( \begin{array} { l } { { g _ { i j } } } \\ { { \pi ^ { i j } } } \end{array} \right) = \{ \left( \begin{array} { l } { { g _ { i j } } } \\ { { \pi ^ { i j } } } \end{array} \right) , T _ { \mu } \} F ^ { \mu } , \: \: \delta N ^ { \mu } = \dot { F } ^ { \mu } - U _ { \beta \gamma } ^ { \mu } N ^ { \beta } F ^ { \gamma } .
\begin{array} { r l } { | ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) ( p ) - ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) ( q ) | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { d _ { 1 } } \left| \frac { \partial } { \partial t } ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) \right| d s + \int _ { d _ { 1 } } ^ { d _ { 2 } } \left| \frac { \partial } { \partial t } ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) \right| d s } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { d _ { 1 } } | \nabla ^ { g _ { 0 } } ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) | _ { g _ { 0 } } d s + \int _ { d _ { 1 } } ^ { d _ { 2 } } | \dot { \gamma } _ { 2 } | _ { g _ { 0 } } | \nabla ^ { g _ { 0 } } ( f _ { Y } - f _ { Y } ^ { 0 } ) | _ { g _ { 0 } } d s } \\ & { \leq C \int _ { 0 } ^ { d _ { 1 } } r ^ { - 1 } ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) d s + C r _ { 0 } ^ { - 1 } L _ { g _ { 0 } } ( \gamma _ { 2 } ) } \\ & { \leq C \big ( \log ( r _ { 0 } ) - \log ( r ( q ) ) + 1 \big ) \leq C \big ( \log ( r _ { 0 } ) + 1 \big ) , } \end{array}
\frac { Y } { 2 } = g _ { s t r i n g } ^ { - 2 } = S _ { R } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \delta ^ { G S } \log ( 2 T _ { R } ) \simeq \frac { 2 } { 3 ( k _ { 1 } \tilde { \beta } _ { 1 } ^ { - 1 } - k _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 2 } ^ { - 1 } ) } \log \frac { \tilde { d } _ { 1 } k _ { 1 } \tilde { \beta } _ { 1 } ^ { - 1 } } { \tilde { d } _ { 2 } k _ { 2 } \tilde { \beta } _ { 2 } ^ { - 1 } } \ - \ \frac { 0 . 1 9 5 } { 4 \pi ^ { 2 } } \ \delta ^ { G S } .
i \frac { \partial | \phi | ^ { 2 } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { * } \nabla \phi - \phi \nabla \phi ^ { * } ) = i \frac { \partial | \phi | ^ { 2 } } { \partial t } + i \nabla \cdot ( | \phi | ^ { 2 } ( 2 \mathrm { I m } \nabla \mathrm { l o g } \phi ) ) = 0 .
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { a } } } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { a } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { a } } ^ { 0 } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \\ { c _ { \mathrm { s } } } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { s } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { s } } ^ { 0 } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \\ { c _ { \mathrm { b } } } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { b } } } { V _ { \mathrm { a b } } ^ { 0 } + V _ { \mathrm { b } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \nabla _ { X _ { 2 } } \nabla _ { X _ { 1 } } d b _ { s } \right) \left( \xi , \eta \right) } & { = } & { a _ { s } ^ { \left( 2 \right) } \left( \xi , \eta , \theta _ { s } , \theta _ { s } \left( X _ { 1 } \right) , \theta _ { s } \left( X _ { 2 } \right) \right) + a _ { s } ^ { \left( 1 \right) } \left( \xi , \eta , \nabla _ { X _ { 2 } } \theta _ { s } , \theta _ { s } \left( X _ { 1 } \right) \right) } \\ & { } & { + a _ { s } ^ { \left( 1 \right) } \left( \xi , \eta , \nabla _ { X _ { 1 } } \theta _ { s } , \theta _ { s } \left( X _ { 2 } \right) \right) + a _ { s } ^ { \left( 1 \right) } \left( \xi , \eta , \theta _ { s } , \nabla _ { X _ { 2 } } \theta _ { s } \left( X _ { 1 } \right) \right) } \\ & { } & { + a _ { s } \left( \xi , \eta , \nabla _ { X _ { 2 } } \nabla _ { X _ { 1 } } \theta _ { s } \right) , } \end{array}
\frac { d \rho } { d t } = - \frac { \mathrm { i } } { \hbar } \left[ \hat { H } _ { I } , \rho \right] + \frac { \Gamma } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left[ \hat { L } _ { j } \rho \hat { L } _ { j } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { L } _ { j } ^ { \dagger } \hat { L } _ { j } , \rho \} \right] .
{ | \Uparrow ; \uparrow ^ { ( 1 ) } , \downarrow ^ { ( 2 ) } , . . . , \uparrow ^ { ( N ) } \rangle } \equiv { | \Uparrow \rangle \otimes | \downarrow ^ { ( 1 ) } \rangle \otimes | \uparrow ^ { ( 2 ) } \rangle \otimes . . . \otimes | \uparrow ^ { ( N ) } \rangle }
0 = { \cal M } ^ { 4 } - ( \tilde { \gamma } \tilde { g } ^ { 2 } k _ { q } + \frac 1 { k _ { q } k _ { T } } ) ( q _ { 0 } ^ { 2 } + \bar { q } _ { 0 } ^ { 2 } ) { \cal M } ^ { 2 } + \tilde { \gamma } \frac 1 { k _ { T } } \tilde { g } ^ { 2 } ( q _ { 0 } ^ { 2 } + \bar { q } _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { { \normalcolor S _ { i } } } & { { } { \normalcolor = } } & { { \normalcolor - \sigma \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } - n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } } \\ { { \normalcolor S _ { d } } } & { { } { \normalcolor = } } & { { \normalcolor n _ { i } \hat { I } _ { e 0 } \left[ \delta _ { i } \delta _ { m } \sigma ^ { 1 / 2 } n _ { i } \left( 1 - \frac { \varphi _ { d } } { \sigma } \right) - \exp ( \phi + \varphi _ { d } ) \right] . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \frac { ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) r _ { 2 } - r _ { 1 } - 1 0 m } { 1 0 } , } \\ { B } & { = } & { \frac { 4 r _ { 2 } K _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) ( r _ { 1 } + 1 0 m ) - 5 ( r _ { 1 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 9 c _ { 1 } r _ { 1 } + 8 m ) + r _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } { 4 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { C } & { = } & { \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } ( K _ { 2 } ( 9 c _ { 1 } r _ { 1 } + 8 m ) ( 2 K _ { 2 } - 3 ) - r _ { 2 } ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } { 8 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } \sim \epsilon ^ { - 2 / 3 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 2 } } , \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 1 } } , \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 3 } } , \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial y _ { 1 } } \sim \epsilon ^ { - 1 / 2 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } } , \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial y _ { 3 } } , \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 3 } } , \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial y _ { 3 } } \sim O ( 1 ) \, , \qquad \epsilon \to 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 2 a - \frac { 1 } { 2 } \Big ) E _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > - E _ { D } ^ { \infty } \big ) \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { n } \rangle } & { { } = \sum _ { \lambda } \eta _ { \lambda } ^ { 2 } \left( \sinh \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { p _ { \mathrm { t r i g } } } & { { } = 1 - \sum _ { \lambda } \frac { \mathrm { s e c h } \, \xi _ { \lambda } } { \sqrt { 1 - ( 1 - \eta _ { \lambda } ) ^ { 2 } \left( \operatorname { t a n h } \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } } } } & { { } = \frac { 1 } { c _ { p } } \left( c _ { p _ { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } } } - c _ { p _ { { \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } } } } \frac { ( W ) _ { { \mathrm { ~ C ~ O ~ } _ { 2 } } } } { ( W ) _ { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } } } - c _ { p _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } \frac { 2 ( W ) _ { \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } } } { ( W ) _ { \mathrm { ~ C ~ H ~ } _ { 4 } } } \right) \ldots } \end{array}
\mathcal { L } = - \frac { H a ^ { 2 } } { 2 } \int \left( 2 a ^ { 2 } \Omega \hat { \vartheta } _ { t } \sin ^ { 2 } \hat { \varphi } + \frac { H B } { J ( \hat { \vartheta } , \sin \hat { \varphi } ) } \right) d s d n .
Z = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( S - 1 ) } { \sqrt { V ( S ) } } , S > 0 , } \\ { 0 , S = 0 , } \\ { \frac { ( S + 1 ) } { \sqrt { V ( S ) } } , S < 0 , } \end{array} \right.
\varphi _ { t } = \Phi _ { y } \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { x } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { y } ^ { 2 } - g \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \tau \frac { \eta _ { x x } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { \big ( 1 + ( \eta _ { x } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ) ^ { 2 } \big ) ^ { 3 / 2 } } + C ( t ) , \qquad y = \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( x , t ) ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } } & { { } = \mathsf { a c v } _ { 0 } + 6 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) } \\ { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \bar { P } _ { \mathrm { o p t } } } & { { } = a \mathsf { a c v } _ { 0 } + b \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 2 } = } & { [ t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( \Pi _ { V } u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ & { + [ t _ { h } ( \Pi _ { V } u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } - \boldsymbol { \Pi } _ { V } u ^ { n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ { = } & { [ t _ { h } ( \Pi _ { V } u ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( u ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ & { + [ t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) - t _ { h } ( \Pi _ { V } u ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } ) ] } \\ { = } & { : I _ { 4 2 1 } + I _ { 4 2 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { p } { 1 + s K ^ { 2 } } = - \frac { F ( 0 ) } { G ( 0 ) } = \frac { 1 - \frac { \operatorname { t a n h } K } { K } } { 5 K ^ { 2 } - 4 \frac { K ^ { 2 } } { \cosh ( K ) } - K ^ { 3 } \operatorname { t a n h } K } \; . } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } , \qquad B = { \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] } ,
\int \mid \alpha , \lambda > < \alpha , \lambda \mid { \frac { 1 } { 2 \pi } } K _ { \lambda + \frac { 1 } { 2 } } ( \mid \alpha \mid ) I _ { \lambda + \frac { 1 } { 2 } } ( \mid \alpha \mid ) d ^ { 2 } \alpha = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \mid m , \lambda > < m , \lambda \mid = { \bf 1 } ,
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { k } ( z ) } & { = \nu ( z ) \wedge \nu ^ { \prime } ( z ) \wedge \cdots \wedge \nu ^ { ( k ) } ( z ) } \\ & { = \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } \le n } \left| \begin{array} { l l l l } { z ^ { \beta _ { i _ { 0 } } } g _ { i _ { 0 } } ( z ) } & { z ^ { \beta _ { i _ { 1 } } } g _ { i _ { 1 } } ( z ) } & { \cdots } & { z ^ { \beta _ { i _ { k } } } g _ { i _ { k } } ( z ) } \\ { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { 0 } } } g _ { i _ { 0 } } ( z ) \big ) ^ { \prime } } & { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { 1 } } } g _ { i _ { 1 } } ( z ) \big ) ^ { \prime } } & { \cdots } & { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { k } } } g _ { i _ { k } } ( z ) \big ) ^ { \prime } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { 0 } } } g _ { i _ { 0 } } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } & { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { 1 } } } g _ { i _ { 1 } } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } & { \cdots } & { \big ( z ^ { \beta _ { i _ { k } } } g _ { i _ { k } } ( z ) \big ) ^ { ( k ) } } \end{array} \right| e _ { i _ { 0 } } \wedge e _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } } \\ & { = \sum _ { 0 \le i _ { 0 } < i _ { 1 } < \cdots < i _ { k } \le n } z ^ { \sum _ { j = 0 } ^ { k } \beta _ { i _ { j } } - \frac { k ( k + 1 ) } { 2 } } \cdot G _ { k } \big ( \beta _ { i _ { 0 } } , \beta _ { i _ { 1 } } , \cdots , \beta _ { i _ { k } } ; g _ { i _ { 0 } } ( z ) , g _ { i _ { 1 } } ( z ) , \cdots g _ { i _ { k } } ( z ) \big ) e _ { i _ { 0 } } \wedge e _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \xi } H _ { p _ { h , z } } \rho _ { \xi } } & { = - \rho _ { b } ^ { - 2 } \Big ( \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } \hat { \xi } _ { r } ^ { 3 } - 4 r \rho _ { \xi } \hat { \xi } _ { r } ^ { 2 } z + H _ { \tilde { p } _ { h , z } } \rho _ { \xi } \Big ) \rho _ { \xi } - \rho _ { b } ^ { - 2 } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } p _ { h , z } ) \rho _ { \xi } ^ { - 1 } H _ { \rho _ { b } ^ { 2 } } \rho _ { \xi } , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p _ { h , z } } \hat { \xi } _ { \varphi } } & { = ( H _ { p _ { h , z } } \rho _ { \xi } ) \hat { \xi } _ { \varphi } , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p _ { h , z } } \Delta _ { b } } & { = - 2 \rho _ { b } ^ { - 2 } \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } \Big ( \Delta _ { b } \hat { \xi } _ { r } - \rho _ { \xi } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z + a \hat { \xi } _ { \varphi } \Big ) , } \\ { \rho _ { \xi } H _ { p _ { h , z } } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } _ { h , z } ) } & { = 2 ( H _ { p _ { h , z } } \rho _ { \xi } ) \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } _ { h , z } - \rho _ { b } ^ { - 2 } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } p _ { h , z } ) \rho _ { \xi } H _ { \rho _ { b } ^ { 2 } } \tilde { p } _ { h , z } . } \end{array}
\mathcal { I } ( k _ { \perp } ) = \left( \beta \frac { \delta B _ { \perp } } { B _ { 0 } } \frac { \delta u _ { \perp } } { v _ { \mathrm { A } } } \right) ^ { - 1 } \operatorname* { m a x } \left( 1 , \frac { \nu _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \mathrm { A } } } \right)
1 . 1 A ( s , t ) = < k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } | S | k _ { 1 } , k _ { 2 } > , \quad s = ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } , \; t = ( k _ { 1 } - k _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
1 + 1 6 \chi + ( 4 \chi + 1 5 2 \chi ^ { 2 } ) r + ( 3 4 8 \chi ^ { 3 } - 3 2 \chi ^ { 4 } ) r ^ { 2 } - 2 1 6 \chi ^ { 5 } r ^ { 3 } + 1 6 \chi ^ { 7 } r ^ { 4 } = 0
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho } { d t } = } & { - i \left[ g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \frac { \Omega } { 2 } \left( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) , \rho \right] - i \sum _ { i = 1 , 2 } \gamma _ { i } \left[ - i \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \textrm { e } } , \rho \right] - i \kappa \left[ - i a ^ { \dagger } a , \rho \right] } \\ & { + 2 \sum _ { i = 1 , 2 } { \gamma _ { i } \sigma _ { \textrm { g } _ { i } \mathrm { e } } \rho \sigma _ { \textrm { e g } _ { i } } } + 2 \kappa a \rho a ^ { \dagger } } \\ { \simeq } & { - i \left[ g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \frac { \Omega } { 2 } \left( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \mathrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \sum _ { i = 1 , 2 } - i \gamma _ { i } \sigma _ { \textrm { e } } - i \kappa a ^ { \dagger } a , \rho \right] } \\ { = } & { - i \left[ H _ { \textrm { n H } } ^ { \prime } , \rho \right] . } \end{array}
\{ \hat { X } ^ { \mu } , \hat { S } ^ { \nu \lambda } \} ^ { \prime } = 2 \frac { \bar { P } ^ { \nu } \hat { S } ^ { \lambda \mu } - \bar { P } ^ { \lambda } \hat { S } ^ { \nu \mu } } { ( P + \bar { P } ) ^ { 2 } } - \frac { 4 P ^ { \mu } } { ( P + \bar { P } ) ^ { 2 } } ( \bar { P } ^ { \lambda } D ^ { \nu \rho } A _ { \rho } - \bar { P } ^ { \nu } D ^ { \lambda \rho } A _ { \rho } ) . \nonumber \,
\{ { \tilde { \phi } _ { 2 } } , { \tilde { \phi } _ { 1 } ^ { * } } \} = \left\{ \phi _ { 2 } - \frac { \{ \phi _ { 2 } , \phi _ { 1 } \} } { \{ \phi _ { 1 } , \phi _ { N } \} } \phi _ { 1 } \ , \ \phi _ { N } \right\} \approx 0 ,
( \partial _ { s } J ) _ { B } = 2 v \int _ { \zeta _ { b _ { 1 } } } ^ { \zeta _ { b _ { 2 } } } \Bigg [ \sqrt { 1 - \lambda B } \Bigg ( \frac { \partial _ { s } ( I _ { p } + \iota I _ { t } ) } { B } - \frac { I _ { p } + \iota I _ { t } } { B ^ { 2 } } \partial _ { s } B | _ { \alpha } \Bigg ) - \frac { \lambda \partial _ { s } B | _ { \alpha } } { \sqrt { 1 - \lambda B } } \, \frac { I _ { p } + \iota I _ { t } } { 2 B } \Bigg ] \mathrm { ~ d ~ } \zeta .
\begin{array} { r } { N \ge \frac { { P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } } } { { P _ { { \mathrm { B S - P } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } } } \frac { { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \sigma ^ { 2 } } } } { { \left( { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \varrho _ { f } ^ { 2 } + P _ { { \mathrm { B S - A } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \sigma ^ { 2 } } \varrho _ { g } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } } \right) } } , } \end{array}
H T = \pi + 2 \bar { k } K ( \bar { k } ) \sqrt { \frac { 1 - 2 \bar { k } ^ { 2 } } { 1 - \bar { k } ^ { 2 } } } - 2 K ( \bar { k } ) E ( \bar { \phi } , \bar { k ^ { \prime } } ) + 2 [ K ( \bar { k } ) - E ( \bar { k } ) ] F ( \bar { \phi } , \bar { k ^ { \prime } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { I m } [ \rho ( k , t ) ] } & { { } = - \frac { j _ { \parallel } ( k , 0 ) } { s _ { \mathrm { T } } } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) , } \\ { \mathrm { I m } [ j _ { \parallel } ( k , t ) ] } & { { } = - \rho ( k , 0 ) e ^ { - \frac { t } { \tau _ { \parallel } } } \left( s _ { \mathrm { T } } - \frac { 1 } { s _ { \mathrm { T } } \tau _ { \parallel } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \right) \sin ( s _ { \mathrm { T } } k t ) . } \end{array}
\frac { \pi ^ { 3 } \left( 3 - \cos \left( \frac { \pi u } { K } \right) \right) \sec ^ { 3 } \left( \frac { \pi u } { 2 K } \right) } { 1 6 K ^ { 3 } } - \frac { \pi ^ { 3 } } { 2 K ^ { 3 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } q ^ { 2 n + 1 } ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \cos \left( \frac { ( 2 n + 1 ) \pi u } { 2 K } \right) } { 1 - q ^ { 2 n + 1 } } ,
{ \cal L } _ { e f f } ^ { n m } = \partial _ { + } A _ { i } \partial _ { - } A _ { i } - \frac 1 2 ( \partial _ { i } A _ { i } + \frac { 1 } { \partial _ { - } } \ast J _ { n m } ^ { + } ) ^ { 2 } - \frac 1 4 \left( \partial _ { i } { A } _ { j } - \partial _ { j } { A } _ { i } \right) ^ { 2 } + A _ { i } J _ { n m } ^ { i } \ .
G = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 2 } \end{array} \right)
b _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } [ F _ { 1 } ^ { 1 , + 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + F _ { 1 } ^ { 1 , - 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) - 2 F _ { 1 } ^ { 1 , 0 } ( x , Q ^ { 2 } ) ] \/ .
\mathrm { I m } \lambda _ { t } \, = \, \mathrm { I m } \, ( V _ { t s } ^ { * } \, V _ { t d } ^ { } ) \, = \, A ^ { 2 } \lambda ^ { 5 } \, \eta \, = \, V _ { u s } \, | V _ { c b } | ^ { 2 } \, \eta \, ,
R = A _ { 1 } { \frac { \rho ^ { z _ { 1 } } \left[ - \mu + \lambda + { \frac { 2 c _ { 2 } \lambda \rho ^ { 2 \lambda } } { 1 - c _ { 2 } \rho ^ { 2 \lambda } } } \right] ^ { 2 } } { [ ( r ^ { d } - r _ { 1 } ^ { d } ) ( r ^ { d } - r _ { 2 } ^ { d } ) ] ^ { 1 + { \frac { 1 } { d } } } ( 1 - c _ { 2 } \rho ^ { 2 \lambda } ) ^ { z _ { 2 } } } } + A _ { 2 } { \frac { \rho ^ { z _ { 1 } + 2 \lambda } \left( { \frac { 1 - c _ { 2 } } { 1 - c _ { 2 } \rho ^ { 2 \lambda } } } \right) ^ { z _ { 2 } + 2 } } { [ ( r ^ { d } - r _ { 1 } ^ { d } ) ( r ^ { d } - r _ { 2 } ^ { d } ) ] ^ { 1 + { \frac { 1 } { d } } } } }
- \frac { 1 } { A } ( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { B ^ { ' } } { B } ) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } = \epsilon ^ { 2 } T _ { 1 } ^ { 1 } - \frac { \beta } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ \eta _ { \ast } ( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { k - 0 } ) ) - \eta _ { \ast } ( { u } _ { n , 0 } ^ { \varDelta } ( x ) ) \right\} d x } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ \eta _ { \ast } ( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { k - 0 } ) ) - \eta _ { \ast } ( E ^ { k } ( x ; u ) ) \right\} d x + o ( { \varDelta } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left( \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { 4 ( \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) , \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { w } ) \} + k ) } \right) } & { \leq \log \left( \frac { 2 | \mathfrak { E } _ { k } | + k | \mathfrak { V } _ { k } | } { \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } \right) } \\ & { = \log \left( \binom { \bar { n } } { k } \right) + \log \left( \frac { \mathrm { a v g \; d e g } ( \mathfrak { L } _ { k } ) + k } { \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) + k } \right) . } \end{array}
L _ { m } = \gamma + \ln \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } \right) , \, \, \, \, \, \, L _ { p } = \gamma + \ln \left( \frac { - p ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } \right) \, .
\mathbf { J } _ { \mathbf { y } } = \left[ \begin{array} { l } { - \mathbf { H } _ { \mathbf { u } } \frac { \partial \mathbf { u } ( \mathbf { y } ) } { \partial \mathbf { y } } } \\ { - \mathbf { H } _ { \mathbf { y } } } \\ { \sqrt { \gamma } \, \mathbf { D } } \end{array} \right] ,
A _ { \mu } d x ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 g r } \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \tau _ { \phi } ^ { n } \left[ H _ { 1 } d r + ( 1 - H _ { 2 } ) r d \theta \right] } } } \\ { { \displaystyle { - n \left[ \tau _ { r } ^ { n } H _ { 3 } + \tau _ { \theta } ^ { n } \left( 1 - H _ { 4 } \right) \right] r \sin \theta d \phi } } } \end{array} \right\}
{ \bar { x } } = ( a \mathrm { C o s } ( 2 \pi \sigma ^ { 1 } ) , a \mathrm { S i n } ( 2 \pi \sigma ^ { 1 } ) , h ( a ) ) , \quad \quad a ^ { 2 } = ( X ^ { p } ) ^ { 2 } + ( X ^ { 0 } ) ^ { 2 } \quad ,
n _ { \mathrm { t o t } } = ( { 1 + \rho _ { \mathrm { v _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { v _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { A l } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { N } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { A r } _ { i } } } - 2 \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { i } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { N } } } - \rho _ { \mathrm { { ( N \mathrm { ~ - ~ } N ) } _ { A l } } } } ) ^ { - 1 } { n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } }
V ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \rightarrow i V ( - x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) , \ \ \ \ \, l a m b d a ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \rightarrow \sigma _ { 3 } \lambda ( - x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) .
{ \cal R } _ { 1 2 } ^ { s h } ( x ) { \cal R } _ { 1 3 } ^ { s h } ( x y ) { \cal R } _ { 2 3 } ^ { s h } ( y ) \, = \, { \cal R } _ { 2 3 } ^ { s h } ( y ) { \cal R } _ { 1 3 } ^ { s h } ( x y ) { \cal R } _ { 1 2 } ^ { s h } ( x ) \, .