harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { p ( x _ { N \tau } \mid x _ { 0 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \underbrace { \lambda _ { i } ^ { N } ( \tau ) } _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ m ~ e ~ - ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ t ~ } } \underbrace { \alpha _ { i } ( x _ { N \tau } ) \beta _ { i } ( x _ { 0 } ) } _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ m ~ e ~ - ~ i ~ n ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ t ~ } } } \end{array}
\mathrm { E } _ { 0 } = 4 \frac { ( e q ) ^ { 2 } } { ( e q ) ^ { 2 } } { L } \sum _ { p > 0 } \frac { 1 } { ( \frac { 2 \pi p } { 2 \pi p } { L } ) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \hbar } \{ 1 - \cos ( \frac { 2 \pi p } { 2 \pi p } { L } ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) ) \}
E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G H } } = a _ { 0 } E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { S S D } } + ( 1 - a _ { 0 } ) E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { D F T } } + E _ { \mathrm { C } } .
I = \frac { k } { \pi } \int d t d \theta \left[ \partial _ { - } \beta \partial _ { \theta } \beta + \partial _ { \theta } \alpha \partial _ { - } \gamma \exp { ( 2 \beta ) } \right] + \frac { k } { \pi } \int d t d \theta T r \left( h ^ { - 1 } K ( t ) \partial _ { - } h \right) - \frac { k } { 4 } \int d t ( K ^ { 3 } ) ^ { 2 }
\theta _ { 2 } ^ { T } \stackrel { I m [ \epsilon ( x ) ] \rightarrow 0 } { \rightarrow } \frac { g } { 2 n } \frac { \partial } { \partial n } \ln \cos ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) , \ \ \ \ \theta _ { 2 } ^ { R ^ { r / l } } \stackrel { I m [ \epsilon ( x ) ] \rightarrow 0 } { \rightarrow } \frac { g } { 2 n } \frac { \partial } { \partial n } \ln \left| \sin ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) \right| .
\delta U = - \frac { m \omega _ { e } ^ { 2 } ( 1 - \omega _ { g } ^ { 2 } / \omega _ { e } ^ { 2 } ) } { 4 [ 1 + \gamma ^ { 2 } / ( 4 \omega _ { e } ^ { 2 } ) ] } ( x _ { m } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \left| P \left( \mathcal { G } _ { I _ { n } } ^ { ( n ) } \simeq \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) , \, \bigcap _ { \mathbf { j } \in \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) } \{ D _ { \theta ( \mathbf { j } ) } ^ { + } = \mathcal { D } _ { \mathbf { j } } \} \right) - 1 \right| } \\ & { \leq \left| P ( F _ { n , I _ { n } } ) - 1 \right| + P \left( \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) \not \simeq \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( t _ { n , I _ { n } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } [ D ( x , y ) I ( x , y , z = 0 ) ] } & { { } = q ( x , y ) , } \\ { \nabla _ { \perp } \cdot [ \widetilde { \mathbf { D } } ( x , y ) \nabla _ { \perp } I ( x , y , z = 0 ) ] } & { { } = q ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \left( \frac { z + 2 } z \right) } & { = \sin ( 1 ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 2 ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! z ^ { 2 n } } + \cos ( 1 ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } 2 ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! z ^ { 2 n + 1 } } } \\ & { = \sin ( 1 ) + \frac { 2 \cos ( 1 ) } z - \frac { 2 \sin ( 1 ) } { z ^ { 2 } } - \frac { 4 \cos ( 1 ) } { 3 z ^ { 3 } } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { { } = x ( 0 ) + N m _ { \mathrm { x y } } \, \mathrm { s i n } \left( \frac { \tilde { J } z t } { N } \right) , } \\ { z ( t ) } & { { } = z ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \rho _ { \textrm { p } } \pm \rho _ { \textrm { s } } \right] } \\ { \rho _ { \textrm { s } } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \rho _ { \textrm { m } } ^ { x } + \rho _ { \textrm { s } } ^ { y } + \rho _ { \textrm { s } } ^ { z } \right] } \\ { \gamma _ { \uparrow \uparrow , \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } + \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] \pm \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \Gamma _ { s } } \\ { \Gamma _ { s } } & { = } & { \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { s } } } \\ { \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left[ \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } - \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \odot \vec { \nabla } \vec { \rho } _ { \textrm { m } } \right] , } \\ { \tau _ { \uparrow , \downarrow } ^ { \textrm { m S F } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \textrm { p } } \pm \frac { f _ { \tau } } { 2 } \tau _ { \textrm { s } } , } \\ { \tau _ { \textrm { s } } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 } \left[ \tau _ { \textrm { m } } ^ { x } + \tau _ { \textrm { m } } ^ { y } + \tau _ { \textrm { m } } ^ { z } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { i } \frac { ( u _ { i } + v _ { i } + 1 ) ! } { u _ { i } ! v _ { i } ! } \{ w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } , \bar { w } _ { 1 } ^ { u _ { 1 } } \bar { w } _ { 2 } ^ { v _ { 1 } } \epsilon , \dots , \bar { w } _ { 1 } ^ { u _ { n - 1 } } \bar { w } _ { 2 } ^ { v _ { n - 1 } } \epsilon \} _ { \bar { \pi } , n } = } \\ & { \left( \sum _ { \sigma \in S _ { n - 1 } } ( \pi _ { n } ) _ { u _ { \sigma ( 1 ) } , v _ { \sigma ( 1 ) } , \dots , u _ { \sigma ( n - 1 ) } , v _ { \sigma ( n - 1 ) } } ^ { p , q ; r , s } \right) \frac { ( p + q + 1 ) } { p ! q ! } \bar { w } _ { 1 } ^ { p } \bar { w } _ { 2 } ^ { q } \epsilon , } \end{array}
F _ { B } \left( u ^ { * } + { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial x } } d x \right) - F _ { A } u ^ { * } \approx { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial x } } \sigma d V + u ^ { * } { \frac { \partial \sigma } { \partial x } } d V = \epsilon ^ { * } \sigma d V - u ^ { * } f d V
p _ { c } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } \left[ \frac { \pi } { 2 | \xi _ { c } - \xi _ { c - 1 } | } ( \xi - \xi _ { c - 1 } ) \right] , \xi _ { c - 1 } \leq \xi \leq \xi _ { c } } \\ { \cos ^ { 2 } \left[ \frac { \pi } { 2 | \xi _ { c } - \xi _ { c + 1 } | } ( \xi - \xi _ { c } ) \right] , \xi _ { c } \leq \xi \leq \xi _ { c + 1 } } \\ { 0 \ \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
U _ { \Phi } \equiv e ^ { i \phi _ { 0 } \Pi } U e ^ { i \phi _ { 1 } \Pi } \prod _ { k = 1 } ^ { ( d - 1 ) / 2 } \left( U ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { 2 k } \Pi } U e ^ { i \phi _ { 2 k + 1 } \Pi } \right) ,
Q [ L ] = m \sum _ { i } { \dot { x } } _ { i } { \ddot { x } } _ { i } - \sum _ { i } { \frac { \partial V ( x ) } { \partial x _ { i } } } { \dot { x } } _ { i } = { \frac { d } { d t } } \left[ { \frac { m } { 2 } } \sum _ { i } { \dot { x } } _ { i } ^ { 2 } - V ( x ) \right]
\mathbf { C } _ { ( l _ { i } , m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , m ) } = ( - 1 ) ^ { l _ { i } + l _ { f } + l _ { o } } \mathbf { C } _ { ( l _ { i } , - m ) , ( l _ { f } , 0 ) } ^ { * ( l _ { o } , - m ) }
\begin{array} { r l } & { K _ { \mathbf { h } , J } ^ { ( d ) } ( t , \mathbf { u } ) } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - d / 2 } \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d ) } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \widetilde { a } _ { J , k _ { \ell } } ^ { ( h _ { \ell } - 1 / 2 ) } ( s ) \, d s \right) 2 ^ { J \frac { d } { 2 } } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \phi ( 2 ^ { J } u _ { \ell } - k _ { \ell } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X ^ { C F A - D L A } ( S _ { t } ^ { h e l i } ) } & { = } & { \mathrm { a r g } \operatorname* { m a x } _ { { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } } \mathbb { E } _ { t } \left[ \sum _ { z \in { \cal Z } _ { t } ^ { h e l i } ( { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } ) } r _ { z } Q _ { t z } ^ { x } + \theta ^ { h e l i } ( K _ { t + 1 , z } - K _ { t z } ) \right] , } \\ & { = } & { \mathrm { a r g } \operatorname* { m a x } _ { { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } } \sum _ { z \in { \cal Z } _ { t } ^ { h e l i } ( { \mathbf { x } } _ { t } ^ { h e l i } ) } r _ { z } \eta _ { z } \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { Q } + \theta ^ { h e l i } f _ { t , t + 1 , z } ^ { s t a r t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \, \, \mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu \dagger } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \sigma ^ { \dagger } } ) = \mathrm { T r } ( \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \sigma } \gamma ^ { 0 } ) } \\ & { = D ( 8 \eta ^ { 0 \mu } \eta ^ { 0 \nu } \eta ^ { 0 \rho } \eta ^ { 0 \sigma } - 2 \eta ^ { 0 \rho } \eta ^ { 0 \sigma } \eta ^ { \mu \nu } - 2 \eta ^ { 0 \mu } \eta ^ { 0 \sigma } \eta ^ { \nu \rho } - 2 \eta ^ { 0 \nu } \eta ^ { 0 \rho } \eta ^ { \mu \sigma } - 2 \eta ^ { 0 \mu } \eta ^ { 0 \nu } \eta ^ { \rho \sigma } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \eta ^ { \mu \nu } \eta ^ { \rho \sigma } - \eta ^ { \mu \rho } \eta ^ { \nu \sigma } + \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \rho } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { h } _ { n } ( s ) } & { { } = } & { \frac { m } { a } \tilde { u } _ { n } ( s ) } \\ { \tilde { l } _ { n } ( s ) } & { { } = } & { \frac { m } { a } \tilde { v } _ { n } ( s ) } \\ { \tilde { k } _ { n } ( s ) } & { { } = } & { - 1 - \frac { m } { a g } \tilde { \varphi } _ { n } ( s ) \, , } \end{array}
\left[ \delta ^ { 3 } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \right] ^ { n } = \left[ \delta _ { \varepsilon } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \right] ^ { n - 1 } \delta ^ { 3 } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \nu \frac { d \check { v } _ { 1 } } { d \xi } + \frac { \check { p } _ { 0 } } { \check { v } _ { 0 } } \check { v } _ { 1 } = \frac { \check { \theta } _ { 1 } } { \check { v } _ { 0 } } + \gamma b ^ { 2 } \check { v } _ { 0 } + b ^ { 2 } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } - P _ { 1 + } - \gamma b ^ { 2 } V _ { 0 + } , } \end{array}
2 [ 5 ] 3 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) = 2 [ 4 ] 4 = 2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { 2 } } } = 2 ^ { 2 ^ { 4 } } = 2 ^ { 1 6 } = 6 5 , 5 3 6
{ \begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } - \theta _ { 1 } } & { \leqslant { \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) \left( 1 - | d _ { 1 } | ^ { 2 } \right) } { c _ { m - 1 } ( 2 \rho + 1 ) ^ { 2 } | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 - | d _ { 1 } | ^ { 2 } } { | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) { \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } ( ( m - 1 ) \operatorname { a r c o s h } ( 1 + 2 \rho ) ) } } } \\ & { = { \frac { 1 - | d _ { 1 } | ^ { 2 } } { | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) { \frac { 4 } { \left( R ^ { m - 1 } + R ^ { - ( m - 1 ) } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { \leqslant 4 { \frac { 1 - | d _ { 1 } | ^ { 2 } } { | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) R ^ { - 2 ( m - 1 ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \wedge T _ { n } \leq s < t \wedge T _ { n + 1 } } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) } \\ & { \leq C ^ { n + 1 } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( \int _ { t \wedge T _ { k } } ^ { t \wedge T _ { k + 1 } } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { T _ { k } } , \nu _ { T _ { k } } ) \right] } \\ & { \leq C ^ { n + 1 } \left[ ( n + 1 ) ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { t \wedge T _ { n + 1 } } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { T _ { k } } , \nu _ { T _ { k } } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { m } ( t ) } & { = } & { \eta _ { m } \Omega \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { m } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } , } \\ { \Theta _ { m } ( t ) } & { = } & { \eta _ { m } ^ { 2 } \Omega ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime } ) f _ { \mathrm { s d f } } ( t ^ { \prime \prime } ) } \\ & { } & { \times \sin \left[ \omega _ { m } \left( t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } \right) \right] d t ^ { \prime } d t ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { i } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } ) } } \\ & { } & { + \sum _ { I \ne f } \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } ) } . } \end{array}
1 0 ) p l a n a r b e n d i n g a c t u a t o r t o p r o d u c e a l a r g e 2 - D m o t i o n a t r e l a t i v e l y l o w v o l t a g e . P i e z o e l e c t r i c b e n d e r s a r e t r a d i t i o n a l l y u n d e r s t o o d t o b e r e l e v a n t o n l y t o l i n e a r s c a n n i n g a p p l i c a t i o n s . T h e y a r e e x t r e m e l y l o w c o s t d u e t o e a s e o f m a n u f a c t u r i n g , a n d a r e e a s i l y c a p a b l e o f l a r g e u n i d i r e c t i o n a l d i s p l a c e m e n t s a t r e l a t i v e l y l o w v o l t a g e s . B y h a r n e s s i n g a n d a m p l i f y i n g t h e c l a s s i c a l l y u n d e s i r e d c o u p l e d v i b r a t i o n i n t h e o r t h o g o n a l a x i s , o u r d e s i g n i s t h e f i r s t t o p r e s e r v e t h e a d v a n t a g e s o f a 1 - D a c t u a t o r w h i l e d e m o n s t r a t i n g a n e w f u n c t i o n a l i t y a s a h i g h p e r f o r m a n c e 2 - D s c a n n e r i n i t s o w n r i g h t . T h e F O V i s n o t l i m i t e d b y t h e m o t i o n o f a s i n g l e f i b e r b u t i s m u l t i p l e x e d a l o n g t h e b e n d e r ^ { \prime } s w i d t h v i a a n a r r a y o f o p t i c a l f i b e r s r e s o n a t i n g i n t a n d e m , u n i q u e l y e n a b l e d b y i t s p l a n a r g e o m e t r y . T h e f i b e r s c a n n i n g p l a t f o r m i s s c a l a b l e t o b e n d e r s o f d i f f e r e n t s i z e s a n d h a s t h e p o t e n t i a l t o b e f u r t h e r m i n i a t u r i z e d f o r e n d o s c o p i c a p p l i c a t i o n s . T h i s c o m p l e t e l y n e w a p p r o a c h t o m i n i a t u r i z e d o p t i c a l s c a n n i n g p r o m i s e s n e w a v e n u e s o f r e s e a r c h a n d d e v e l o p m e n t o f s u c h d e v i c e s , a n d t h e s u b s t a n t i a l l y l o w e r p r i c e p o i n t a t l i t t l e c o s t t o p e r f o r m a n c e c o u l d b e a n i m p o r t a n t f a c t o r i n a c c e l e r a t i n g c o m m e r c i a l i z a t i o n . F o r s m a l l
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d i s p } } = } & { { } \int \hat { \psi } ^ { \dagger } ( Z ) \left[ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } ( e ^ { 2 i k Z } + e ^ { - 2 i k Z } ) \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right] \hat { \psi } ( Z ) \, d Z + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \\ { \approx } & { { } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \left[ \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \frac { ( p + p _ { 0 } - \hbar k ) ^ { 2 } } { 2 m } + \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) \frac { ( p + p _ { 0 } + \hbar k ) ^ { 2 } } { 2 m } \right] \, d p + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \hbar k } ^ { + \hbar k } \left[ \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) - \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \right] \left( \omega _ { z } + \frac { 2 \hbar k p } { m } \right) \, d p + \hat { H } _ { \mathrm { c a v i t y } } } \end{array}
\sigma _ { x } ^ { 2 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 } \cdot | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, d x - \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x \cdot | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { 2 }
g ( x , y ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } ) ~ f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ~ d x ^ { \prime } d y ^ { \prime } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 4 . 1 )
\begin{array} { r l r } { { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big ] } & { { } = } & { { E } _ { B ^ { \prime } } \Bigg [ { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B ^ { \prime } } \Bigg [ { E } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { C } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \pi _ { i } p _ { i j } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( - \left( T - \tau _ { j j } \right) C _ { j \ell } + \left( T - \tau _ { j \ell } \right) B _ { \ell j } \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \lambda } ^ { 2 } \rho v + \alpha _ { 1 } v _ { x x } + \gamma \mu { \lambda } ^ { 2 } p = { \lambda } ^ { - \ell } G ^ { 1 } + i { \lambda } ^ { 1 - \ell } G ^ { 2 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } \mu \alpha p + \alpha _ { 1 } \beta p _ { x x } + \rho \gamma \beta { \lambda } ^ { 2 } v = { \lambda } ^ { - \ell } G ^ { 3 } + i { \lambda } ^ { 1 - \ell } G ^ { 4 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d z } \operatorname* { d e t } ( J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) ) } & { { } = \frac { d u _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d y _ { z } } { d y _ { 0 } } + \frac { d v _ { z } } { d y _ { 0 } } \frac { d x _ { z } } { d x _ { 0 } } - \frac { d v _ { z } } { d x _ { 0 } } \frac { d x _ { z } } { d y _ { 0 } } - \frac { d u _ { z } } { d y _ { 0 } } \frac { d y _ { z } } { d x _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \Psi _ { N } } = \left\{ { 1 + \frac { { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } } } { 2 } + \frac { { a _ { 1 } ^ { 2 } } } { { 8 L { k _ { 1 1 } } } } \sin ( 2 { k _ { 1 1 } } L ) + \frac { { a _ { 2 } ^ { 2 } } } { { 8 L { k _ { 2 1 } } } } \sin ( 2 { k _ { 2 1 } } L ) } \right. } \\ & { { \left. { + \frac { { { a _ { 1 } } } } { L } \left[ { \frac { 1 } { { { k _ { 1 1 } } } } + \frac { { { a _ { 2 } } { k _ { 1 1 } } \cos ( { k _ { 2 1 } } L ) } } { { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } } } \right] \sin ( { k _ { 1 1 } } L ) + \frac { { { a _ { 2 } } } } { L } \left[ { \frac { 1 } { { { k _ { 2 1 } } } } - \frac { { { a _ { 1 } } { k _ { 2 1 } } \cos ( { k _ { 1 1 } } L ) } } { { k _ { 1 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 1 } ^ { 2 } } } } \right] \sin ( { k _ { 2 1 } } L ) } \right\} ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \tilde { u } _ { x x } + g ( \tilde { u } ; \overline { { \mu } } ) = 0 ~ ~ ( x \in ( - \ell / 2 , \ell / 2 ) ) , } \\ & { \tilde { u } ( - \ell / 2 ; \overline { { \mu } } , \ell ) = \omega ( \overline { { \mu } } , \ell ) , \qquad \tilde { u } ( \ell / 2 ; \overline { { \mu } } , \ell ) = \chi ( \omega ( \overline { { \mu } } , \ell ) , \overline { { \mu } } ) . } \end{array}
\Vert \lambda \Vert _ { H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } ^ { 2 } : = \Vert \lambda \Vert _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \Vert d \lambda \Vert _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { k + 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } .
{ \cal H } _ { \rho } = \frac { 1 6 \pi G } { \sqrt { - g } } \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { d - 1 } - \pi _ { a b } \pi ^ { a b } \right) - \frac { \sqrt { - g } } { 1 6 \pi G } \left( R + \frac { d ( d - 1 ) } { \ell ^ { 2 } } \right) ,
{ \cal L } _ { G } = - \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { \hat { i } } F _ { \mu \nu } ^ { \hat { i } } F ^ { \hat { i } \mu \nu } + F _ { \mu \nu } ^ { 0 } F ^ { 0 \mu \nu } \right) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { j < i } \left( F _ { i \mu \nu } ^ { j } \right) ^ { * } F _ { i } ^ { j \mu \nu }
M _ { A } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r l } & { \mathfrak { m } _ { 1 } : = i _ { 1 } , } \\ & { \mathfrak { m } _ { 2 } : = \mathrm { M } _ { 2 , n , m } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , } \\ & { \mathfrak { m } _ { 3 } : = \mathrm { M } _ { 2 , n , m } ( \mathfrak { m } _ { 2 } , i _ { 3 } ) = \mathrm { M } _ { 3 , n , m } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } ) , } \\ & { \quad \vdots } \\ & { \mathfrak { m } _ { I } : = \mathrm { M } _ { 2 , n , m } ( \mathfrak { m } _ { I - 1 } , i _ { I } ) = \cdots = \mathrm { M } _ { I , n , m } ( i _ { 1 } , \ldots , i _ { I } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } } & { = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } F _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } - \frac { e } { 2 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \lambda _ { \sigma \alpha } ^ { 2 } \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial _ { \rho } j ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } \lambda _ { \nu \alpha } ^ { 2 } \lambda _ { \sigma \beta } ^ { 2 } \partial _ { \mu } j ^ { \alpha } \partial _ { \rho } j ^ { \beta } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } B \pmb { M } ^ { - 1 } C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } ( D ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) } \\ { \leqslant } & { \| B \| \| \pmb { M } ^ { - 1 } \| \| C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) \| \| \pmb { M } ^ { - 1 } \| \| B ^ { T } \| \| M ^ { - 1 } \| \| D _ { \widetilde { U } } ( \xi _ { 1 } ^ { n + 1 } ) \| \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leqslant } & { c \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { b e s t } } = \operatorname* { m i n } _ { \omega \in \Omega } \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { P } _ { \mathrm { p o s s } } \in \Delta _ { P } } F ( \omega , \mathrm { P } _ { \mathrm { p o s s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { 2 } F D , } \\ { r } & { { } = \frac { d } { 2 } , } \\ { J } & { { } = \frac { \pi d ^ { 4 } } { 3 2 } , } \\ { A } & { { } = \frac { \pi d ^ { 2 } } { 4 } , } \end{array}
\nu _ { i } ( x ) = V ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { { \bf k } , r } \left[ u _ { { \bf k } , i } ^ { r } e ^ { - i \omega _ { k , i } t } \alpha _ { { \bf k } , i } ^ { r } \: + v _ { - { \bf k } , i } ^ { r } e ^ { i \omega _ { k , i } t } \beta _ { - { \bf k } , i } ^ { r \dag } \right] e ^ { i { \bf k } \cdot { \bf x } } , \; \; \; ~ i = 1 , 2 \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \varphi ( A _ { u } ) \right) = } & { e ^ { - { u ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } + } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { J \in \mathcal { O } _ { k } } \frac { | J | | \Lambda _ { J } | ^ { 1 / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { ( k + 1 ) / 2 } \sigma ^ { k } } H _ { k - 1 } \left( \frac { u } { \sigma } \right) + } \\ & { \Phi \left( \frac { u } { \sigma } \right) , } \end{array}
\rho _ { H _ { 0 } } ( \xi ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \theta ( - d ) ( 1 - \theta ( - b _ { 2 } ) \theta ( b _ { 1 } ) ) \left| \sqrt { | y _ { 2 } | } + ( 1 - 2 \theta ( 4 M ^ { 3 } - 3 N M ) ) \sqrt { | y _ { 3 } | } \right|
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } = \frac { | \beta | ^ { 2 } } { \Delta T } = } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \int d \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \end{array}