harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\chi _ { \tau = + 1 } = \left( \cos \frac { \Theta } { 2 } , - \sin \frac { \Theta } { 2 } \right) , \qquad \chi _ { \tau = - 1 } = \left( \sin \frac { \Theta } { 2 } , \cos \frac { \Theta } { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \vec { v _ { 1 } } ^ { ' } } & { = \vec { v _ { 1 n } } ^ { ' } + \vec { v _ { 1 } } - \vec { v _ { 1 n } } } \\ & { = \vec { v _ { c n } } + C _ { R } ( \vec { v _ { c n } } - \vec { v _ { 1 n } } ) + \vec { v _ { 1 } } - \vec { v _ { 1 n } } } \\ & { = \vec { v _ { 1 } } + ( 1 + C _ { R } ) ( \vec { v _ { c n } } - \vec { v _ { 1 n } } ) } \\ & { = \vec { v _ { 1 } } + ( 1 + C _ { R } ) ( \frac { m _ { 1 } \vec { v _ { 1 n } } + m _ { 2 } \vec { v _ { 2 n } } - m _ { 1 } \vec { v _ { 1 n } } - m _ { 2 } \vec { v _ { 1 n } } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ) } \\ & { = \vec { v _ { 1 } } + \frac { ( 1 + C _ { R } ) m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ( \vec { v _ { 2 n } } - \vec { v _ { 1 n } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { ~ B ~ P ~ S ~ K ~ - ~ R ~ } } ( f ) } & { { } = \Pi _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } , B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ( f ) m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } T _ { c } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) , } \\ { \sigma _ { \mathrm { ~ B ~ P ~ S ~ K ~ - ~ R ~ } } ^ { 2 } } & { { } = m _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ n ~ } } ^ { 2 } \int _ { - B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } ^ { B _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ } } } T _ { c } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ^ { 2 } ( \pi f T _ { c } ) \mathrm { ~ d ~ } f , } \end{array}
J _ { r } = \oint p _ { r } d r = 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } ( 2 m E + { \frac { m Q ^ { 2 } } { 2 \pi \epsilon _ { 0 } r } } - { \frac { ( J _ { \theta } + J _ { \phi } ) ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d r ,
\Tilde { R } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { i n } } ) = e ^ { i \phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( n - 1 ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } ) } \Tilde { R } ^ { ( n - 1 ) } ( \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { | | } ^ { \mathrm { i n } } ) e ^ { i \phi _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n - 1 ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = - i \textbf { F } ( t ) \cdot \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \left[ N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) - N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right] e ^ { - i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } , } \\ { \partial _ { t } N _ { c } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = 2 \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ i \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } \right\} , } \\ { \partial _ { t } N _ { v } ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = - 2 \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ i \textbf { F } ( t ) \cdot \left[ \textbf { d } ^ { \textbf { k } ( t ) } \right] ^ { * } \Pi ^ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) e ^ { i \left[ \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } + \phi _ { c v } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \right] } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) / C _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) \phantom { { ^ { \circ } } } } & { \cong N _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) / C _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) \phantom { ^ { \circ } } , } \\ { N _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) / C _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) ^ { \circ } } & { \cong N _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) / C _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) ^ { \circ } , } \\ { C _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) / C _ { G ( K _ { 0 } ) } ( E ) ^ { \circ } } & { \cong C _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) / C _ { G ( K _ { \ell } ) } ( E ^ { \prime } ) ^ { \circ } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \nu } } & { { } = } & { - \left[ \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi } \right] \Big ( I + \frac { 1 } { 2 } \Big ) \, \frac { 8 e g _ { I } \mu _ { N } } { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { x } = a _ { y } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } a _ { 0 } ( 1 - C ) + a _ { 0 } C } \\ { a _ { z } = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } a _ { 0 } ( 1 - C ) + \sqrt { 2 } a _ { 0 } C , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathscr { S } _ { t } ^ { n } ( f ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { n } \big [ \mathcal { X } _ { 0 } ^ { n } ( g ) L _ { n } \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( f ) \big ] } \\ & { = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \mathscr { S } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } f ) + \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( \nabla ^ { n , 1 } f \otimes \delta ) + \tilde { E } _ { t } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \frac { i \omega ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } ) - ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ) D _ { \ell } k ^ { 2 } / \lambda + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } / \lambda } { \big ( i \omega - D _ { \ell } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { \psi } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \| } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { 1 } { \tilde { c } _ { \phi } } G _ { j _ { \perp } \tilde { n } _ { \| } } ^ { R } } & { { } = 0 . } \end{array}
\underset { \Phi \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { 2 \Phi } \sum _ { n , m = 0 } ^ { \infty } \int _ { - \Phi } ^ { \Phi } d \varphi e ^ { i \sigma ( n - m ) \varphi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { ( n + m ) \sigma + 1 } \frac { W _ { \sigma } ( r ^ { 2 } ) } { \sqrt { n ! m ! } } \exp ( - r ^ { 2 \sigma } ) | n > < m | = I ,
\begin{array} { r l } { \vec { v } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { \equiv \vec { v } _ { S } ( \vec { x } , z , \omega ) + \vec { v } _ { V } ( \vec { x } , z , \omega ) } \\ & { = k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \phi _ { S } ( \vec { x } , z , \omega ) + k _ { 0 } ^ { - 1 } \nabla _ { X } \times \vec { \phi } _ { V } ( \vec { x } , z , \omega ) } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } B } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda B + \mathrm { ~ i ~ } \, \alpha _ { _ B } \mu f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu | B | ^ { 2 } B + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi | A | ^ { 2 } B ,
\psi _ { i n } ( x - x _ { i } , j ) = N _ { 0 } \exp \left[ - i p _ { j } \cdot ( x - x _ { i } ) - \frac { ( \vec { x } - \vec { x } _ { i } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { x } ^ { 2 } } - \frac { ( t - t _ { i } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right]
S _ { 1 0 } = \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } \left( R - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } e ^ { - \Phi } H ^ { 2 } \right) \, ,
\psi _ { n , { \lambda _ { k } } } = Z ^ { a + \frac { 1 } { 2 } } \, \, \ y ^ { \frac { ( { \lambda _ { k } } - l ) } { 2 } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } y } { L _ { n } } ^ { { \lambda _ { k } } + { \frac { 1 } { 2 } } } ( y ) \, \, P _ { k } ( x )
\begin{array} { r l r } { \mathbf { P } } & { = } & { ( \mathsf { Y } + t ^ { 5 } ) ( \mathsf { Y } - t ) ^ { 3 } ( \mathsf { Y } - t ^ { - 2 } ) } \\ & { = } & { \mathsf { Y } ^ { 5 } + ( t ^ { 5 } - 3 t - t ^ { - 2 } ) \mathsf { Y } ^ { 4 } - ( 3 t ^ { 6 } + t ^ { 3 } - 3 t ^ { 2 } - 3 t ^ { - 1 } ) \mathsf { Y } ^ { 3 } + ( 3 t ^ { 7 } + 3 t ^ { 4 } - t ^ { 3 } - 3 ) \mathsf { Y } ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad - ( t ^ { 8 } + 3 t ^ { 5 } - t ) \mathsf { Y } + t ^ { 6 } \enspace , } \end{array}
I _ { B } ( T ) = \frac { I _ { B } ( 0 ) } { 1 + C _ { B } e ^ { - E _ { n r B } / k _ { B } T } } + \frac { I _ { A } ( 0 ) C _ { T R } e ^ { - E _ { T R } / k _ { B } T } } { ( 1 + C _ { B } e ^ { - E _ { n r B } / k _ { B } T } ) ( 1 + C _ { A } e ^ { - E _ { n r A } / k _ { B } T } + C _ { T R } e ^ { - E _ { T R } / k _ { B } T } ) }
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } + \cdots + X _ { n } ) } \\ & { = \operatorname { v a r } ( X _ { 1 } ) + \cdots + \operatorname { v a r } ( X _ { n } ) + \underbrace { \operatorname { c o v } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) + \cdots \quad } _ { \mathrm { a l l ~ o r d e r e d ~ p a i r s } } } \\ & { = n \sigma ^ { 2 } + n ( n - 1 ) \operatorname { c o v } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) . } \end{array} }
\mathrm { s _ { A } \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
\dot { \bf z } _ { M } = \left\{ \begin{array} { l l } { { { \cal R } ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \dot { \bf z } _ { j \mathrm { T } _ { j } } / r _ { j } \right) \qquad \quad \mathrm { I ~ t y p e ~ c o n f i g u r a t i o n } } } & { { } } \\ { { \dot { \bf z } _ { l } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ I I ~ t y p e ~ c o n f i g u r a t i o n } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { S } _ { x } , \hat { S } _ { y } \right] } & { { } = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { z } , } \\ { \left[ \hat { S } _ { y } , \hat { S } _ { z } \right] } & { { } = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { x } , } \\ { \left[ \hat { S } _ { z } , \hat { S } _ { x } \right] } & { { } = } & { 2 i \hbar \hat { S } _ { y } , } \end{array}
\Gamma _ { 1 } = \Gamma _ { 1 } ^ { \mathrm { L O } } \rho _ { 1 } \left( c _ { v } ^ { 2 } ( m _ { b } ) + { \frac { C _ { F } ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 3 } } c _ { v } ( m _ { b } ) d _ { v } ( m _ { b } ) + \ldots \right) ,
k \left( 1 6 z ^ { 3 } h _ { 0 } ^ { \prime } ( z ) + 8 z ^ { 2 } h _ { 0 } ( z ) - 4 z ^ { 2 } q ^ { \prime } ( z ) + 2 z q ( z ) \right) = k \left( \frac { 1 } { 6 } z ^ { 2 } A ^ { \prime } ( z ) - \frac { 1 } { 1 2 } z A ( z ) \right) .
\Delta \omega = \sqrt { \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } - \sqrt { \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v ^ { \prime } } ^ { 2 } - \Delta ( \Omega _ { v , v ^ { \prime } } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { H _ { s } = F _ { s s } - \frac { F _ { s \theta } ^ { 2 } } { F _ { \theta \theta } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad H _ { \theta } = F _ { \theta \theta } - \frac { F _ { s \theta } ^ { 2 } } { F _ { s s } } , } \end{array}
\mathrm { c o r r } ( z , z ^ { \prime } ) = \mathrm { c o r r } ( \mu + { \frac { 1 } { 2 } } g + e , \mu + { \frac { 1 } { 2 } } g + e ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { 4 } } V _ { g }
\xi ( r , t ) = A \frac { \kappa ^ { s } \Gamma ( \frac { s } { 2 } + 1 ) } { 2 i t \big ( \kappa ^ { 2 } - i q ^ { 2 } - i / ( 2 t ) \big ) ^ { s / 2 + 1 } } \exp \Big ( \frac { i r ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \, _ { 1 } F _ { 1 } \Big [ \frac { s } { 2 } + 1 ; \, 1 ; \, - \frac { r ^ { 2 } } { 4 t ^ { 2 } \big ( \kappa ^ { 2 } - i q ^ { 2 } - i / ( 2 t ) \big ) } \Big ] ,
\begin{array} { r l } & { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { x x } = \omega _ { P } ^ { 2 } - \tilde { \gamma } _ { 1 } ( \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } + \overline { { E _ { y } ^ { 2 } } } ) - ( \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } ) \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } , } \\ & { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { y y } = \omega _ { P } ^ { 2 } - \tilde { \gamma } _ { 1 } ( \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } + \overline { { E _ { y } ^ { 2 } } } ) - ( \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } ) \overline { { E _ { y } ^ { 2 } } } , } \\ & { ( \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } ) _ { z z } = \omega _ { P } ^ { 2 } - \tilde { \gamma } _ { 1 } ( \overline { { E _ { x } ^ { 2 } } } + \overline { { E _ { y } ^ { 2 } } } ) , } \end{array}
{ \cal A } _ { c } = \left( { \cal A } _ { c } \right) _ { S M } + \left[ - 0 . 7 8 5 s ^ { 2 } c ^ { 2 } - 1 . 1 2 3 ( 1 - s ^ { 4 } ) \right] { \frac { 1 } { x } }
\begin{array} { r l } { w _ { p , K } } & { { } = - \frac { 3 } { h } u _ { 0 } + \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { p , K - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { p , K - 2 } \right) \, , } \\ { w _ { p , - 1 } } & { { } = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { p , 0 } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { p , 1 } \right) \, , } \\ { w _ { - 1 , q } } & { { } = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { 0 , q } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { 1 , q } \right) \, , } \\ { w _ { K , q } } & { { } = \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \left( - 4 \psi _ { K - 1 , q } + \frac { 1 } { 2 } \psi _ { K - 2 , q } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \, d \tau } & { { } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \dot { \mathbf { X } } _ { I } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left[ ( \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ) \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + ( \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } ) \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \right] \, d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { { R _ { \alpha } } ( P _ { \beta _ { 0 } } | P _ { \beta _ { 1 } } , P _ { \beta _ { 2 } } ) = } & { \exp \Big ( A \big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 0 } \big ) \big ) - A \big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } \big ) \big ) } \\ & { \quad \quad - A \big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 0 } \big ) \big ) + A \big ( \beta _ { 0 } \big ) \Big ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } & { = \mathbb { P } \bigg [ \log _ { 2 } ( 1 + P _ { S } / P _ { I } ) > \theta \; \Big | \; P _ { S } + P _ { I } > \theta ^ { \prime } \bigg ] \geq \frac { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) - \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) } { \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) } } \\ { \mathcal { I } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } & { = \mathbb { P } \bigg [ P _ { S } + P _ { I } > \theta ^ { \prime } \; \Big | \; \log _ { 2 } ( 1 + P _ { S } / P _ { I } ) > \theta \bigg ] \geq \frac { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) - \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) \Big ) } { \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) } } \\ { \mathcal { J } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } & { = \mathbb { P } \bigg [ \log _ { 2 } ( 1 + P _ { S } / P _ { I } ) > \theta \; \Big | \; P _ { S } + P _ { I } < \theta ^ { \prime } \bigg ] \geq \frac { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) + \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) - 1 \Big ) } { \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) } } \\ { \mathcal { K } ( \theta , \theta ^ { \prime } ) } & { = \mathbb { P } \bigg [ P _ { S } + P _ { I } < \theta ^ { \prime } \; \Big | \; \log _ { 2 } ( 1 + P _ { S } / P _ { I } ) > \theta \bigg ] \geq \frac { \operatorname* { m a x } \Big ( 0 , \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) + \mathcal { P } _ { e } ( \theta ^ { \prime } ) - 1 \Big ) } { \mathcal { P } _ { r } ( \theta ) } } \end{array}
T ^ { \uparrow \uparrow + } = K \displaystyle { \frac { \sqrt { 2 t } } { t ^ { 2 } } } \int [ d x ] [ d x ^ { \prime } ] [ d y ] \displaystyle { \frac { \alpha _ { \bf s } ^ { 2 } } { x ( 1 - x ) x ^ { \prime } ( 1 - x ^ { \prime } ) } } { \phi } _ { L } ( y ) { \cal T } ^ { \uparrow \uparrow + }
W _ { g } ( h ) = \int _ { M } \! \mathrm { d } \mu _ { g } ( p ) \, \left( ( h ( p ) ) ^ { 2 } - ( I ( h ) ) ^ { 2 } \right) = \int _ { M } \! \mathrm { d } \mu _ { g } ( p ) \, \left( h ( p ) - I ( h ) \right) ^ { 2 } \ge 0 \, .
h _ { \mathrm { i n } } ( n ) = { \frac { \mathbb { E } [ k _ { i n } ] } { n - 1 } } { \tilde { u } } _ { \mathrm { i n } } ^ { * n } ( n - 2 ) , \; n > 1 , \; { \tilde { u } } _ { \mathrm { i n } } = { \frac { k _ { \mathrm { i n } } + 1 } { \mathbb { E } [ k _ { \mathrm { i n } } ] } } \sum _ { k _ { \mathrm { o u t } } \geq 0 } u ( k _ { \mathrm { i n } } + 1 , k _ { \mathrm { o u t } } ) ,
D f _ { 1 \, . \, . \, n } = ( D f _ { 1 } \circ f _ { 2 \, . \, . \, n } ) ( D f _ { 2 } \circ f _ { 3 \, . \, . \, n } ) \cdots ( D f _ { n - 1 } \circ f _ { n \, . \, . \, n } ) D f _ { n } = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left[ D f _ { k } \circ f _ { ( k + 1 ) \, . \, . \, n } \right]
\left( \begin{array} { l l l l l } { \partial _ { 0 } c _ { \alpha , \beta , \gamma } } & { \dots } & { \partial _ { 6 } c _ { \alpha , \beta , \gamma } } & { \partial _ { 7 } c _ { \alpha , \beta , \gamma } } & { 0 } \\ { t \partial _ { 0 } f _ { \alpha , \beta } + x _ { 7 } \partial _ { 0 } q _ { \alpha , \beta } } & { \dots } & { t \partial _ { 6 } f _ { \alpha , \beta } + x _ { 7 } \partial _ { 6 } q _ { \alpha , \beta } } & { t \partial _ { 7 } f _ { \alpha , \beta } + q _ { \alpha , \beta } + x _ { 7 } \partial _ { 7 } q _ { \alpha , \beta } } & { f _ { \alpha , \beta } } \end{array} \right) .
\frac { \partial \underline { { Q } } } { \partial t } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { e } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { e } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { e } } { \partial \zeta } = \frac { M _ { j } } { R e } \left( \frac { \partial \underline { { \mathbf { E } } } _ { v } } { \partial \xi } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { F } } } _ { v } } { \partial \eta } + \frac { \partial \underline { { \mathbf { G } } } _ { v } } { \partial \zeta } \right) \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \tau } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } & { { } = \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { { } = 0 } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t + x ) , \varphi ^ { \prime } ( t - x ) \right\} \mathcal { S } _ { 0 } \leq E _ { \ell } \left( t \right) \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t + x ) , \varphi ^ { \prime } ( t - x ) \right\} \mathcal { S } _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { h _ { 1 1 } ^ { \mathrm { T T } } ( x ^ { \mu } ) } & { { } = h _ { + } s _ { \vartheta } ^ { 2 } \, \cos \! \left[ \omega _ { g } ( t - c _ { \vartheta } x ^ { 1 } - s _ { \vartheta } x ^ { 3 } ) + \varphi _ { 0 } \right] } \end{array}
R _ { A } ^ { B } = \kappa \tau _ { A } ^ { B } \, - \, \epsilon \, \biggl [ \delta _ { A } ^ { B } \frac { 1 } { d } \, { \cal R } _ { \mathrm { E G B } } ^ { 2 } \, - 2 \, R \, R _ { A } ^ { B } + 4 \, R _ { A \, C } \, R ^ { C \, B } + 4 \, R _ { C \, D } R _ { A } ^ { ~ ~ C \, B \, D } - 2 \, R _ { A \, C \, D \, E } \, R ^ { B \, C \, D \, E } \biggr ] ,
\boldsymbol { f } = \left[ F y ^ { \prime } - k _ { 1 } \left( x ^ { \prime } ( x - x _ { S } ) + y ^ { \prime } ( y - y _ { S } ) \right) - k _ { 2 } \alpha ^ { \prime } \alpha , ~ ~ ~ - k _ { 2 } \alpha \right] _ { \xi = 0 } ^ { T } .
\nu _ { W L } = - \frac { \varepsilon _ { L } } { \varepsilon _ { W } } = - \frac { \mathrm { d } L / L } { \mathrm { d } W / W } = - \frac { \tan ( \psi / 2 ) } { \tan ( \phi / 2 ) } \bigg ( \frac { \mathrm { d } \phi } { \mathrm { d } \psi } \bigg ) \, .
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \left[ a _ { x } ( x , y , z ) + 2 q _ { x } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } x } & { = \frac { Q \cdot E _ { x } } { m } , } \\ { \ddot { y } + \left[ a _ { y } ( x , y , z ) + 2 q _ { y } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } y } & { = \frac { Q \cdot E _ { y } } { m } , } \\ { \ddot { z } + \left[ a _ { z } ( x , y , z ) + 2 q _ { z } ( x , y , z ) \cos \left( \Omega t \right) \right] \frac { \Omega ^ { 2 } } { 4 } z } & { = \frac { Q \cdot E _ { z } } { m } . } \end{array}
\frac { 1 } { t ^ { 2 } } \sum _ { p \le q } ( 2 - \delta _ { p q } ) \left( \frac { d ( p + q ) + 2 ( p - q ) - 2 p q } { 4 } - \frac { d ( d - 2 ) } { 8 } \right) \left( \frac { ( m ^ { [ p ] } ) ^ { 2 } } { V _ { d } ~ p ! } \right) \left( \frac { ( m ^ { [ q ] } ) ^ { 2 } } { V _ { d } ~ q ! } \right)
M ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { a ^ { \prime } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { a ^ { \prime } } } & { { 1 } } & { { b ^ { \prime } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { b ^ { \prime } } } & { { 1 } } & { { c ^ { \prime } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { c ^ { \prime } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l r } { \xi _ { j } ^ { i + 1 } = } & { } & { a r g \operatorname* { m i n } _ { \xi _ { j } } \left( g _ { 1 : i } - \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \xi _ { j } ^ { k } \right) \xi _ { j } + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 } } \\ & { } & { + 0 . 5 \left( \lambda _ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \right) \| \xi _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 5 \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \| \xi _ { j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
k _ { 1 } = \frac { ( p ^ { \prime } + q ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 q ^ { 2 } } , \quad k _ { 0 } = \frac { q ^ { 2 } - p ^ { 2 } } { 2 q ^ { 2 } } , \quad k _ { - 1 } = \frac { ( p ^ { \prime } - q ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 4 q ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { D } F ( x ) } { \mathrm { D } x } } & { { } = } & { g _ { \mathbb { Y } } \left( \frac { \mathrm { d } \tilde { F } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) \big ) } { \mathrm { d } f _ { \mathbb { X } } ( x ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { K } _ { 1 } : \mathbb { K } _ { 1 } = \mathbb { K } _ { 1 } \quad \Leftrightarrow \quad a _ { 1 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } + 2 a _ { 1 1 } a _ { 1 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } + a _ { 1 2 } ^ { 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } = a _ { 1 1 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } + a _ { 1 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } , } \\ { \mathbb { K } _ { 2 } : \mathbb { K } _ { 2 } = \mathbb { K } _ { 2 } \quad \Leftrightarrow \quad a _ { 2 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } + 2 a _ { 2 1 } a _ { 2 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } + a _ { 2 2 } ^ { 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } : \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } = a _ { 2 1 } \hat { \mathbb { I } } _ { 1 } + a _ { 2 2 } \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } , } \end{array}
W _ { n } \langle \mathcal { H } ( u ) \rangle _ { n } W _ { n } ^ { T } \to I ( \beta ) u ^ { T } u \cdot \frac { 1 } { d } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a s } \quad n \to \infty \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } \quad \mathrm { w i t h } \quad I ( \beta ) = \frac { 4 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 } } { 9 } .