harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \left( \frac { 1 } { \left| A _ { n } \right| } \sum _ { e \in E \left( A _ { n } \right) } \mathbf { a } ( s , e ) P _ { \mathbf { a } } ( s , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac 1 2 } } \qquad } & { } \\ & { \leq \| \mathbf { a } ( s , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( A _ { n } \right) } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \kappa _ { d } } \left( A _ { n } \right) } } \\ & { \leq \| \mathbf { a } ( s , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( A _ { n } \right) } \left( \varepsilon 2 ^ { n } \left\| \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { \underline { { L } } ^ { \lambda _ { d } ^ { \prime } } \left( A _ { n } \right) } + C \varepsilon ^ { - \frac { \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( A _ { n } ) } \right) } \\ & { \leq \varepsilon 2 ^ { n } \| \mathbf { a } ( s , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( A _ { n } \right) } \| w ^ { - 1 } ( s , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { \tau _ { d } ^ { \prime } } \left( A _ { n } \right) } \left\| w ( s , \cdot ) \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( A _ { n } ) } } \\ & { \quad + C \varepsilon ^ { - \frac { \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \| \mathbf { a } ( s , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( A _ { n } \right) } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { \underline { { L } } ^ { 2 } ( A _ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { M = \{ 1 , \ldots , m \} , } \\ & { } & { q _ { k } ( u ) = \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + 2 \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + c _ { k } \ \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n } , } \\ & { } & { \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { n } \ \mathrm { ( t h e ~ l i n e a r ~ s p a c e ~ o f ~ n ~ \times ~ n ~ m a t r i x ) } , } \\ & { } & { \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n } \ \mathrm { ( t h e ~ n ~ - d i m . ~ E u c l i d e a n ~ s p a c e ~ o f ~ c o l u m n ~ v e c t o r ) } , } \\ & { } & { c _ { k } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } , \ c _ { 0 } \ = \ 0 , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { - \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } } & & { M _ { \zeta } } \\ { 0 } & & { \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { T ^ { n + 1 } } \\ { \zeta ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { F _ { \zeta } } \\ { F _ { T } } \end{array} \right) .
{ \quad \mathrm { a n d } \quad } \mathcal { R } _ { 2 } ( { \mathbf { v } } ) \, = \, - \kappa _ { 1 } \int _ { \Omega } \Big ( \nabla \mathbf { u } _ { h } - \frac { 1 } { \nu } \big ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } + ( \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } ) \big ) ^ { \mathrm { d } } \Big ) : \nabla { \mathbf { v } } + \kappa _ { 2 } \int _ { \Gamma } ( \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } - \mathbf { u } _ { h } ) \cdot { \mathbf { v } } \, .
\begin{array} { r l } { \underset { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } { \sum } \! \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } ) \sum _ { i = 1 } ^ { M } \! \operatorname* { P r } ( \theta = i \mid Y ^ { t } = y ^ { t } ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } & { \ge \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } ) C } \\ & { = C \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } ) \sum _ { i = 1 } ^ { M } { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } } \\ & { = C \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ) } \\ & { = C \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } \mid \theta = i ) \, . } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ m ~ i ~ t ~ t ~ e ~ d ~ } } ( x , y , t ) = \sum _ { k = - K } ^ { K } a _ { k } b _ { m _ { 0 } + k } \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { m _ { 0 } + k } ( x , y ) \exp ( i 2 \pi t ( \nu _ { 0 } + k \Delta \nu _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) ) \exp ( i \phi _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { I _ { a , b } } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \left( \frac { 1 - t ^ { a } } { 1 - t ^ { b } } \right) ^ { \frac { 1 } { b - a } } } ^ { 1 } \frac { d x } { x } \frac { d t } { t } = - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( \frac { 1 - t ^ { a } } { 1 - t ^ { b } } \right) ^ { \frac { 1 } { b - a } } d t } \\ & { = \frac { 2 } { b - a } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( 1 - t ^ { b } \right) d t - \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( 1 - t ^ { a } \right) d t \right] . } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } \left[ s ^ { 2 } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } - s \mathbf { X } _ { \mathrm { I } } ( 0 ) - \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } ( 0 ) \right] + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { I } } = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } ( s ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } & { \le \frac { | D ^ { 2 } u _ { k } ( x _ { k } ) - D ^ { 2 } u _ { k } ( y _ { k } ) | } { \rho _ { k } ^ { \alpha } } } \\ & { \le \frac { 2 \| D ^ { 2 } u _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } { \rho _ { k } ^ { \alpha } } \le \frac { 2 [ D ^ { 2 } u _ { k } ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } { k \rho _ { k } ^ { \alpha } } , } \end{array}
{ \frac { E } { M } } \sim G _ { N } \rho L R \left[ 1 + O ( { \frac { R } { L } } ) ^ { 2 } \right] \sim G _ { N ( 5 ) } \rho R \left[ 1 + O ( { \frac { R } { L } } ) ^ { 2 } \right] ~ .
{ \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 2 } ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) } } \simeq { \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } \ln \left( { \frac { \sqrt { q ^ { 2 } } } { m _ { 1 } } } \right) .
\psi _ { 1 } \left( r \right) = \sqrt { k _ { 0 } + m } \, f _ { 1 } \left( r \right) \, , \, \, \, \psi _ { 2 } \left( r \right) = \sqrt { k _ { 0 } - m } \, f _ { 2 } \left( r \right) \, \, ,
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 1 , \mathbf { w } ) } & { = \langle 1 [ \phi ] | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { W } _ { n } - w _ { n } \bigr ) | 1 [ \phi ] \rangle } \\ & { = \sum _ { \mu , \nu } \phi _ { \mu } ^ { * } \phi _ { \nu } \langle 0 | \hat { a } _ { \mu } \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { W } _ { n } - w _ { n } \bigr ) \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } | 0 \rangle , } \end{array}
\Theta = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { \theta _ { 1 } + i \theta _ { 2 } } } \\ { { \theta _ { 1 } - i \theta _ { 2 } } } \end{array} \right) \, , \quad \bar { \Theta } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { \theta _ { 1 } - i \theta _ { 2 } } } \\ { { \theta _ { 1 } + i \theta _ { 2 } } } \end{array} \right) ^ { T } { \cal C } \, ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \partial _ { t } u = - \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle u + B \left[ \frac { 1 } { 4 } ( u + \overline { { u } } ) ^ { 2 } + ( a t + b ) ( u + \overline { { u } } ) \right] , } \\ & { u ( 0 , x ) = \check { z } ( 0 , x ) - i \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle ^ { - 1 } \check { z } _ { t } ( 0 , x ) . } \end{array} \right.
\mathrm { N } _ { 2 } \mathrm { O } _ { 5 } ( g ) + \mathrm { H } _ { 2 } \mathrm { O } ( l ) \rightleftharpoons 2 \mathrm { N O } _ { 3 } ^ { - } ( a q ) + 2 \mathrm { H } ^ { + } ( a q )
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( x , + 1 ) = f _ { 2 } ( x , - 1 ) } & { = \frac { \lambda _ { r } } { 4 \gamma } \left( \frac { \pi } { 4 } - \lvert \arctan ( x / \gamma ) \rvert + \frac { \gamma \lvert x \rvert } { \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \pi } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { 1 } { 4 \gamma ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } { ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ \hat { u } _ { 0 } ^ { \textup { n a i v e } } ( Z _ { n + 1 } ) > \alpha \right] } & { = \mathbb { E } \bigl [ \mathbb { P } \left[ \hat { u } _ { 0 } ^ { \textup { n a i v e } } ( Z _ { n + 1 } ; t ^ { * } ) > \alpha \mid \mathcal { D } _ { \mathrm { e s - c a l } } \right] \bigr ] } \\ & { \geq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } _ { t \in [ T ] } W _ { t } \right] } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { a \in [ 0 , 1 ] } a \cdot \mathbb { P } \left[ \operatorname* { m i n } _ { t \in [ T ] } W _ { t } \geq a \right] } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { a \in [ 0 , 1 ] } a \left( 1 - \mathbb { P } \left[ \operatorname* { m i n } _ { t \in [ T ] } W _ { t } \leq a \right] \right) } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { a \in [ 0 , 1 ] } a \left( 1 - T \cdot \mathbb { P } \left[ W _ { t } \leq a \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { S } } \left\{ p _ { e } \right\} } & { { } = \mathbb { E } _ { \mathcal { S } } \left\{ \sum _ { a ^ { n } } \operatorname* { P r } \left\{ E _ { a ^ { n } } \right\} { \mathcal { I } } \left( E _ { a ^ { n } } { \mathrm { ~ i s ~ u n c o r r e c t a b l e ~ u n d e r ~ } } { \mathcal { S } } \right) \right\} } \end{array}
\Delta E _ { 1 } ^ { h f . s } = \tilde { E } _ { F } \frac { m _ { p } m _ { \mu } } { m _ { p } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } } \frac { 3 2 \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } \rho ( s ) d s \int _ { 0 } ^ { \infty } d \xi \int _ { 0 } ^ { \infty } p ^ { 2 } d p
\cos { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } + 1 . 7 5 } } } } { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { Q } & { = Q _ { 1 } ^ { \textsf { T } } Q _ { 2 } ^ { \textsf { T } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 8 5 7 1 } & { - 0 . 3 9 4 3 } & { 0 . 3 3 1 4 } \\ { 0 . 4 2 8 6 } & { 0 . 9 0 2 9 } & { - 0 . 0 3 4 3 } \\ { - 0 . 2 8 5 7 } & { 0 . 1 7 1 4 } & { 0 . 9 4 2 9 } \end{array} \right] } } \\ { R } & { = Q _ { 2 } Q _ { 1 } A = Q ^ { \textsf { T } } A = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 4 } & { 2 1 } & { - 1 4 } \\ { 0 } & { 1 7 5 } & { - 7 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 3 5 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } \operatorname* { m i n } _ { x \in \bar { \Omega } _ { j } } S _ { j } ( x , t ) > \varepsilon _ { 0 } \ \ \mathrm { a n d } \ \ \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } \operatorname* { m i n } _ { x \in \bar { \Omega } _ { j } } I _ { j } ( x , t ) > \varepsilon _ { 0 } , \ \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } j \in \Omega ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal J } ( E , u ) : = } & { 2 \mu \int _ { \Omega \setminus E } | e ( u ) | ^ { 2 } \, d x + \beta \int _ { \partial ^ { * } E } | u ^ { + } | ^ { 2 } \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } + \beta \int _ { J _ { u } \setminus \partial ^ { * } E } [ | u ^ { + } | ^ { 2 } + | u ^ { - } | ^ { 2 } ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { + c { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \partial ^ { * } E ) + 2 c { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u } \setminus \partial ^ { * } E ) + f ( | E | ) , } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } \hat { \mathbf { N } } \cdot \hat { \mathbf { S } } = \gamma _ { \mathrm { ~ s ~ r ~ } } \sum _ { p = - 1 } ^ { 1 } ( - 1 ) ^ { q } \hat { N } _ { p } ^ { ( 1 ) } \hat { S } _ { - p } ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { r l } { ( E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) ) ^ { \theta + 1 } } & { \leq \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } ( \hat { \rho } ( x , T ) ) ^ { \theta + 1 } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x } \\ & { \quad - \frac { \gamma + 1 } { 2 } \mu \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - 1 } \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta } } \\ & { \quad \times \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } r ( x , T ) d x \right. } \\ & { \left. \quad - \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } r ( x , T ) d x \right) } \\ & { \quad + o ( { \varDelta } x ) \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { \hat { k } - 1 } ) \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \frac { 2 ( \mathbb { E } [ f ( x _ { 0 } ) ] - \mathbb { E } [ f ( x _ { K } ) ] ) } { \eta K } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta P ^ { \prime } } & { = s \delta T + n \cdot \delta \mu + \tilde { n } \cdot \delta \tilde { \mu } + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } + \tilde { n } _ { \ell } \cdot \delta \tilde { \mu } _ { \ell } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { 2 } r ^ { \mu \nu } \delta g _ { \mu \nu } , } \\ { \epsilon } & { = - P ^ { \prime } + T s + \mu \cdot n + \tilde { \mu } \cdot \tilde { n } } \\ & { \qquad + \mu _ { \ell } \cdot n _ { \ell } + \tilde { \mu } _ { \ell } \cdot \tilde { n } _ { \ell } , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ & { L _ { 1 } } & & \end{array} } \qquad \qquad { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ & { L _ { 2 } } & & \end{array} } \qquad \qquad { \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { 3 } & { 4 } & { 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 1 } & { 4 } & { 3 } \\ & { L _ { 3 } } & & \end{array} }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
{ \frac { _ { 1 } F _ { 1 } ( a ; b + 1 ; z ) } { _ { 1 } F _ { 1 } ( a ; b ; z ) } } = { \cfrac { 1 } { 1 + { \cfrac { { \frac { a } { b ( b + 1 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { a - b - 1 } { ( b + 1 ) ( b + 2 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { a + 1 } { ( b + 2 ) ( b + 3 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { a - b - 2 } { ( b + 3 ) ( b + 4 ) } } z } { 1 + \ddots } } } } } } } } } }
\widetilde V _ { S } \ = \ \widetilde V _ { S } ^ { ( 1 ) } + \widetilde V _ { S } ^ { ( 2 ) } \ = \- \frac { \alpha } { 2 P _ { L } r } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 P _ { L } ^ { 2 } r ^ { 2 } } \ .
L = - \frac { 1 } { 4 } G _ { \mu \nu } ^ { a } G ^ { a \mu \nu } + i \bar { \psi } \hat { D } \psi - m _ { 0 } \bar { \psi } \psi + M _ { 0 } ^ { 2 } A ^ { a \mu } A _ { \mu } ^ { a }
Q ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { p } ^ { 2 } - ( x _ { p + 1 } ^ { 2 } + \cdots + x _ { p + q } ^ { 2 } ) .
f _ { a u x } \left( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( l ) } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } \right) = \prod _ { i } ^ { N _ { l } } { f \left( \left[ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( l ) } \right] _ { \mathbf { i } } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } \right) } ; \ \ \ l \in \{ \phi , P _ { p } , T \}
\begin{array} { r } { \delta \hat { f } _ { h } ^ { 3 } ( \mathbf H ( t ) , \mathbf V ( t ) ) = - \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } \left[ \delta { \boldsymbol \eta } _ { k } \cdot \hat { \nabla } S ( { \boldsymbol \eta } - { \boldsymbol \eta } _ { k } ) \, \delta ( { \mathbf v } - { \mathbf v } _ { k } ) + \delta { \mathbf v } _ { k } \cdot S ( { \boldsymbol \eta } - { \boldsymbol \eta } _ { k } ) \nabla _ { v } \delta ( { \mathbf v } - { \mathbf v } _ { k } ) \right] \, . } \end{array}
d s _ { d e S } ^ { 2 } = - { \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } } \left( { \frac { d \rho } { \rho } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \rho } } \, d \vec { x } \cdot d \vec { x } = - { \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } } { \frac { d \rho ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \rho } } \, \delta _ { a b } d x ^ { a } d x ^ { b } \, .
F ( p ) \approx 2 g ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, { \cal D } ( p - q ) \left[ \frac { F ( q ) } { q _ { | | } ^ { 2 } + F ^ { 2 } ( q ) + ( q _ { 4 } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 i \mu } ) ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { h ( f _ { \sigma _ { 2 } } , K ) } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \big ( 2 \hat { \mu } _ { 1 } \rho _ { 1 } ( t ) + 2 \hat { \mu } _ { 2 } \rho _ { 2 } ( t ) \big ) } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \, 2 \bigg ( \frac { 7 } { 3 } ( 1 - \rho _ { 2 } ( t ) ) + \frac { 2 9 } { 9 } \rho _ { 2 } ( t ) \bigg ) = 2 \bigg ( \frac { 7 } { 3 } + \bigg ( \frac { 2 9 } { 9 } - \frac { 7 } { 3 } \bigg ) \hat { \rho } _ { 2 } \bigg ) \approx 6 . 2 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n } & { { } = n _ { 1 } N _ { 2 } + n _ { 2 } N _ { 1 } \mod N , } \\ { k } & { { } = k _ { 1 } N _ { 2 } ^ { - 1 } N _ { 2 } + k _ { 2 } N _ { 1 } ^ { - 1 } N _ { 1 } \mod N , } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 2 } ^ { q } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( f _ { 0 } ( E ) ( 1 - f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) } } \\ { { + ( 1 - f _ { 0 } ) ( f _ { 0 } ( E + \hbar \omega ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \bar { H } } _ { 3 } \boldsymbol { X } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \bar { H } } _ { B , B } } & { \boldsymbol { \bar { H } } _ { B , A B } } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A B , B } } & { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A B , A B } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \bar { H } } _ { B , B } \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A B , B } \boldsymbol { r } ^ { B } } \end{array} \right) = ( E _ { A } + E _ { B } + \omega _ { B } ) \left( \begin{array} { l } { \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } \otimes \boldsymbol { r } ^ { B } } \end{array} \right) } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 3 } \boldsymbol { X } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { B , B } } & { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { B , A B } } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A B , B } } & { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A B , A B } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { B , B } \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A B , B } \boldsymbol { r } ^ { B } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } \boldsymbol { r } ^ { B } } \\ { \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } \otimes \boldsymbol { r } ^ { B } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal Z } } & { = } & { \operatorname* { d e t } ^ { - 1 } A \int { \cal D } [ c , c ^ { * } ; f , f ^ { * } ] e ^ { - \sum _ { i } S _ { i m p } ^ { i } } \int { \cal D } [ d , d ^ { * } ] e ^ { - \sum _ { \alpha } [ c _ { \alpha } ^ { * } d _ { \alpha } + d _ { \alpha } ^ { * } c _ { \alpha } + d _ { \alpha } ^ { * } A _ { \alpha } d _ { \alpha } ] } \phantom { . } } \end{array}
\frac { \partial S _ { r } } { \partial m } = M _ { H } \mathbb { H } ^ { 0 } ( \chi ) , \quad \frac { \partial S _ { r } } { \partial E } = M _ { H } \mathbb { H } ^ { 1 } ( \chi ) , \quad \frac { \partial S _ { r } } { \partial L _ { z } } = \mathbb { H } ^ { 2 } ( \chi ) , \quad \frac { \partial S _ { r } } { \partial L } = \mathbb { H } ^ { 3 } ( \chi ) ,
\frac { \Delta R _ { \tau } } { R _ { \tau } ^ { 0 } } = \frac { 1 } { 3 \sqrt { 1 2 } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { M _ { \tau } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } { \exp } \left( - \frac { 2 \pi B M _ { \tau } ^ { 2 } } { N _ { c } \sigma ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { E _ { K _ { s } } ( \omega _ { N , d } ) } & { \le E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = m } ^ { N - 1 } \mathcal { P } _ { K _ { s } } ( k ) } \\ & { \leq E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = m } ^ { N - 1 } \big ( \mathcal I _ { s , d } k - c _ { s , d } k ^ { \frac { s } { d } } \big ) } \\ & { = E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \Big ( \mathcal I _ { s , d } k - c _ { s , d } k ^ { \frac { s } { d } } \Big ) - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \Big ( \mathcal I _ { s , d } k - c _ { s , d } k ^ { \frac { s } { d } } \Big ) } \\ & { = E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + \mathcal { I } _ { s , d } N ( N - 1 ) - \mathcal { I } _ { s , d } m ( m - 1 ) - 2 c _ { s , d } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } k ^ { \frac { s } { d } } - \sum _ { h = 1 } ^ { m - 1 } h ^ { \frac { s } { d } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } \psi _ { m , \beta } \right) d r = K _ { m , \alpha } \delta _ { \alpha \beta } } \end{array}
\chi _ { n \ell m } ^ { * } ( { \mathbf { r } } ) = \int { \frac { ~ e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } ~ } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } ~ \chi _ { n \ell m } ^ { * } ( { \mathbf { k } } ) ~ \operatorname { d } ^ { 3 } k
\tilde { I } ( k _ { x } , k _ { y } ) = \sum _ { x = - N / 2 } ^ { N / 2 - 1 } \sum _ { y = - N / 2 } ^ { N / 2 - 1 } I ( x , y ) \exp { [ - i 2 \pi / N ( k _ { x } x + k _ { y } y ) ] } .
\hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { m G G A , \uparrow } } [ \cdots , \kappa ^ { \uparrow } , \kappa ^ { \downarrow } ] \phi _ { k } ^ { \uparrow } = \cdots - \nabla \cdot \left( \rho \ \frac { \partial \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { m G G A } } } { \partial \kappa ^ { \uparrow } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } \right) ,
\begin{array} { r l } { \big ( } & { \dot { f } _ { 2 } \, c - f _ { 2 } \, \dot { c } \big ) \, V + f _ { 2 } \, c \, \frac { \partial V } { \partial t } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } \, c \, \sum _ { i } x _ { i } \frac { \partial V } { \partial x _ { i } } } \\ { + \bigg ( } & { \dddot { f _ { 2 } } - \frac { 3 \ddot { f } _ { 2 } \, \dot { c } + \dot { f } _ { 2 } \, \ddot { c } } { c } + \frac { 3 \dot { f } _ { 2 } \, \dot { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i } { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } x _ { i } ^ { 2 } = 0 \, . } \end{array}
{ \hat { \sigma } } ^ { 2 } = { \frac { \| { \hat { r } } \| ^ { 2 } } { n - \operatorname { t r } ( 2 H - H H ^ { \prime } ) } } = { \frac { \| { \hat { r } } \| ^ { 2 } } { n - 2 \operatorname { t r } ( H ) + \operatorname { t r } ( H H ^ { \prime } ) } }