harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { u ( t _ { n } + \tau ) } & { = \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } u ( t _ { n } ) - \frac { i } { 4 } B \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { i s \partial _ { x } ^ { 2 } } ( \mathrm { e } ^ { - i s \partial _ { x } ^ { 2 } } u ( t _ { n } ) + \mathrm { e } ^ { i s \partial _ { x } ^ { 2 } } \overline { { u } } ( t _ { n } ) ) ^ { 2 } d s } \\ & { \ - i ( a t _ { n } + b ) B \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathrm { e } ^ { i s \partial _ { x } ^ { 2 } } ( \mathrm { e } ^ { - i s \partial _ { x } ^ { 2 } } u ( t _ { n } ) + \mathrm { e } ^ { i s \partial _ { x } ^ { 2 } } \overline { { u } } ( t _ { n } ) ) d s + \mathcal { R } _ { 0 } ( \tau ^ { 2 } ) } \\ & { = \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } u ( t _ { n } ) - \frac { i } { 4 } B ^ { \tau } \big [ I _ { 0 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) + I _ { 1 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) + 2 I _ { 2 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) \big ] } \\ & { \quad - i \tau ( a t _ { n } + b ) B ^ { \tau } \big ( u ( t _ { n } ) + \psi _ { 1 } ( 2 i \tau \partial _ { x } ^ { 2 } ) \overline { { u } } ( t _ { n } ) \big ) + \mathcal { R } _ { 0 } ( \tau ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( f ) } & { = ( - 1 ) ^ { m + n } z ^ { \rho } h ^ { \kappa } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \mathbf { b } _ { m , n , j , 0 } ^ { \kappa , \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { j } \mathcal { Z } _ { m - j , n } ^ { \kappa + j , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \frac { \partial ^ { j } ( f ) } { \partial z ^ { j } } . } \end{array}
I = \int _ { \Omega } \frac { 1 } { 2 } \left( \epsilon _ { \mu \nu \lambda } B _ { \mu } ^ { * } ( \partial _ { \nu } - i g a _ { \nu } ) B _ { \lambda } + M B _ { \mu } ^ { * } B ^ { \mu } + \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \right) \; ,
{ \frac { 1 } { 2 } } \chi ^ { 2 } = { \mathfrak { M } } ^ { 2 } \left[ \left( 1 + { \frac { 2 \chi } { { \mathfrak { M } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 2 } - 1 \right] + e ^ { - \chi } - 1
F _ { i } ( x , Q ^ { 2 } ) \; = \; \int _ { x } ^ { 1 } \; \frac { d x ^ { \prime } } { x ^ { \prime } } \; \int \; \frac { d k _ { T } ^ { 2 } } { k _ { T } ^ { 2 } } \; f ( x ^ { \prime } , k _ { T } ^ { 2 } ) \: F _ { i } ^ { \gamma g } \left( \frac { x } { x ^ { \prime } } , k _ { T } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { { \mathscr { H } } \left( h _ { \gamma } , h _ { \gamma } \left( \, \cdot \, - \mu _ { t } \right) \right) - { \mathscr { H } } ( \tilde { l } _ { t } , h _ { \gamma } ( \, \cdot \, + \mu _ { t } ) ) } \\ & { \quad \leq { \mathscr { H } } ( \tilde { l } _ { t } , h _ { \gamma } ( \, \cdot \, + \mu _ { t } ) ) } \\ & { \quad \leq { \mathscr { H } } ( h _ { \gamma } , h _ { \gamma } \left( \, \cdot \, - \mu _ { t } \right) ) + { \mathscr { H } } ( \tilde { l } _ { t } , h _ { \gamma } ( \, \cdot \, + \mu _ { t } ) ) . } \end{array}
{ \boldsymbol { \mu } } _ { n } = ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { X } ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } + { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \mathbb { E } \left[ \int _ { \mathbb { R } } x ^ { k } \mu _ { B _ { n } } ( d x ) \right] } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { s = d + 1 } ^ { \left\lfloor \frac { k } { 2 } \right\rfloor + d } \frac { \frac { n ! } { ( n - s ) ! d ! } } { \frac { n ! } { d ! ( n - d ) ! } } \sum _ { w \in \widetilde { \mathcal { W } } _ { s } ^ { k } } T ( w ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { s = d + 1 } ^ { \left\lfloor \frac { k } { 2 } \right\rfloor + d } \frac { n ^ { s } } { n ^ { d } } \sum _ { w \in \widetilde { \mathcal { W } } _ { s } ^ { k } } p ^ { s - d } } \\ & { = \sum _ { s = d + 1 } ^ { \left\lfloor \frac { k } { 2 } \right\rfloor + d } \lambda ^ { s - d } \left| \widetilde { \mathcal { W } } _ { s } ^ { k } \right| = \beta _ { k } . } \end{array}
\langle \Pi _ { E } \rangle = \frac { d } { d t } \langle e \rangle = \frac { \overline { { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \cdot \frac { d } { d t } \langle Z \rangle = - \frac { \overline { { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \langle \Pi _ { Z } \rangle .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( q ) = \frac { \cos \frac { \psi } { 2 } \sin \frac { \psi } { 2 } \cos \delta } { | \varepsilon _ { 1 } \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } | ^ { 2 } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( \varepsilon _ { 1 } \varepsilon _ { 2 } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \dot { a _ { + } } } & { = } & { E _ { 1 } a _ { - } + \sqrt { 2 } g ( a _ { 3 } + a _ { 4 } ) , } \\ { i \dot { a _ { - } } } & { = } & { - E _ { 1 } a _ { + } , } \\ { i \dot { a _ { 3 } } } & { = } & { ( b t + E _ { 2 } ) a _ { 3 } - \sqrt { 2 } g ( a _ { + } ) , } \\ { i \dot { a _ { 4 } } } & { = } & { ( b t - E _ { 2 } ) a _ { 4 } - \sqrt { 2 } g ( a _ { + } ) . } \end{array}
\sigma _ { \lambda \mu } ( I _ { 1 } , I _ { 2 } , I _ { 3 } , I _ { 4 } ) = { \frac { [ 2 I _ { 3 4 } + \lambda + \mu ] ! [ I _ { 3 4 } - I _ { 1 2 } + \lambda ] ! } { [ 2 I _ { 3 4 } + 2 \lambda ] ! [ I _ { 3 4 } - I _ { 1 2 } + \mu ] ! } } \, \left[ { \lambda \atop \mu } \right] \ .
\mathrm { W e } = { \frac { \mathrm { D r a g ~ F o r c e } } { \mathrm { C o h e s i o n ~ F o r c e } } } = \left( { \frac { 8 } { C _ { \mathrm { D } } } } \right) { \frac { \left( { \frac { \rho \, v ^ { 2 } } { 2 } } \, C _ { \mathrm { D } } \pi { \frac { l ^ { 2 } } { 4 } } \right) } { \left( \pi \, l \, \sigma \right) } } = { \frac { \rho \, v ^ { 2 } \, l } { \sigma } }
\begin{array} { r l } { C _ { \delta } ( T ) } & { \leq K _ { 4 } T A _ { \delta } ( T ) + K _ { 5 } B _ { \delta } ( T ) } \\ & { \leq K _ { 4 } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 1 } { K _ { 2 } K _ { 3 } } } \right) \left( K _ { 1 } + K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 1 } { K _ { 2 } K _ { 3 } } } \right) \left( \frac { 2 } { 3 } K _ { 1 } \sqrt { \frac { K _ { 3 } } { K _ { 2 } } } \right) \right) + K _ { 5 } \left( \frac { 2 } { 3 } K _ { 1 } \sqrt { \frac { K _ { 3 } } { K _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { z } ^ { \prime } } & { { } = E ^ { 2 } ( \chi _ { z x x } ^ { \prime } \sin ^ { 2 } \theta + \chi _ { z z z } ^ { \prime } \cos ^ { 2 } \theta ) , } \\ { P _ { x } ^ { \prime } } & { { } = E ^ { 2 } \chi _ { x z x } ^ { \prime } \sin 2 \theta , } \\ { P _ { y } ^ { \prime } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | w ( x , y ) } & { | + | \nabla w ( x , y ) | } \\ & { \leq \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( 1 + 2 \pi | \xi | \sqrt { 2 } ) | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \, d \xi } \\ & { \leq 2 \pi \sqrt { 2 } \Bigl ( \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \xi | ^ { 2 } ( 1 + | \xi | ) ^ { - 4 } d \xi \Bigr ) ^ { 1 / 2 } \Bigl ( \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( 1 + | \xi | ) ^ { 4 } | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } d \xi \Bigr ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \| f \| _ { H } \leq C | \gamma | . } \end{array}
\frac { \partial a _ { n , l } } { \partial t _ { - 1 } } = a _ { n , l } ( b _ { n + 1 , l } ^ { * } - b _ { n , l } ^ { * } ) , \; \; \; \frac { \partial b _ { n , l } ^ { * } } { \partial t _ { 1 } } = a _ { n , l } - a _ { n - 1 , l } .
T _ { s } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { T _ { y } + T _ { x } } { 2 } } & { \frac { - T _ { y } + T _ { x } } { 2 } } \\ { \frac { - T _ { y } + T _ { x } } { 2 } } & { \frac { T _ { y } + T _ { x } } { 2 } } \end{array} \right] = S T _ { s } S ^ { - 1 }
{ \displaystyle F _ { \mathrm { K S } } [ \varrho ] = 2 \mathrm { t r } [ t _ { \mathrm { s } } \varrho ] + \mathrm { t r } [ \varrho v _ { \mathrm { H } } [ \varrho ] ] + E _ { \mathrm { x c } } \left[ \varrho \right] } { \displaystyle + E _ { \mathrm { e n t } } ( f ) } . \,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } & { = | \xi | ^ { 1 / 2 } \left( { \frac { e } { 2 } } - { \frac { 1 } { e ^ { 3 } } } \cos ( 2 \theta ) + \cdots \right) + | \xi | ^ { 3 / 2 } \left( - { \frac { e ^ { 3 } } { 1 9 2 } } + { \frac { e } { 8 } } \cos ( \theta ) - { \frac { 1 } { 9 6 e } } \cos ( 2 \theta ) - { \frac { 1 } { 4 e ^ { 3 } } } \cos ( 3 \theta ) + \cdots \right) } \\ & { + | \xi | ^ { 5 / 2 } \left( { \frac { 7 e ^ { 5 } } { 1 8 4 3 2 0 } } - { \frac { e ^ { 3 } } { 2 5 6 } } \cos ( \theta ) + { \frac { 6 1 3 3 e } { 9 2 1 6 0 } } \cos ( 2 \theta ) - { \frac { 1 } { 1 2 8 e } } \cos ( 3 \theta ) + \cdots \right) + \cdots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \nu _ { t } , \tau _ { t } , \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } ) = \left( 1 + \nu _ { t } \right) \left( 1 - 2 \alpha _ { t } ^ { 2 } L _ { t } m _ { t } \right) + } & { 2 \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } L _ { t } + \tau _ { t } \left( L _ { t } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { ( \lambda _ { t } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { t } \phi _ { t } ) ^ { 2 } } { \tau _ { t } } - 2 \alpha _ { t } \phi _ { t } ( L _ { t } + m _ { t } ) . } \end{array}
\langle \Omega _ { 2 \alpha _ { 0 } } ^ { * } , \psi _ { \alpha _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) \ldots \psi _ { \alpha _ { N } } ( z _ { N } ) \Omega _ { 0 } \rangle = \prod _ { i < j } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 \alpha _ { i } \alpha _ { j } } \, ,
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { t } - 2 \gamma _ { L } ( k ) \right) I _ { k } = \frac { 2 } { \partial _ { \omega _ { k } } \hat { \epsilon } _ { A k , R } } \sum _ { k _ { 1 } } \frac { 1 } { k _ { \perp 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { \hat { C } _ { 0 } } { \lvert \epsilon _ { s } \rvert ^ { 2 } } + \chi _ { 0 } \right) \epsilon _ { s , i } I _ { k _ { 1 } } I _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { { } = \langle \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) , r ^ { 1 } \rangle = \langle \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } + r ^ { 1 } ) - \mathcal { A } ^ { 1 } ( t _ { * } ^ { 1 } ) , r ^ { 1 } \rangle \ge C _ { \mathrm { S M } } ^ { 1 } \| r ^ { 1 } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho } } & { = \tilde { a } ^ { \rho \lambda } \widetilde \Gamma _ { \lambda \mu \nu } = \left( a ^ { \rho \lambda } - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b ^ { \lambda } \right) \left( \Gamma _ { \lambda \mu \nu } + b _ { \lambda } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } - b _ { \mu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \nu ] } - b _ { \nu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \mu ] } \right) } \\ & { = \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \rho } - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b _ { \lambda } \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \lambda } + \left( a ^ { \rho \lambda } - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b ^ { \lambda } \right) b _ { \lambda } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } - \left( a ^ { \rho \lambda } - \frac { 1 } { 1 + b ^ { 2 } } b ^ { \rho } b ^ { \lambda } \right) \left( b _ { \mu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \nu ] } + b _ { \nu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \mu ] } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } ( t ) | ^ { 2 } - | \rho ( t ) | ^ { 2 } d x d t } & { \leq T \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho _ { 0 } ^ { \nu } | ^ { 2 } - | \rho _ { 0 } | ^ { 2 } d x } \\ & { + T \| g ^ { \nu } - g \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { { p } } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { { p } ^ { \prime } } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } g ( \rho ^ { \nu } - \rho ) d x d s d t . } \end{array}
\vert z \vert \equiv \sqrt { \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \Gamma _ { a } } { 2 \pi k _ { B } T } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 \pi k _ { B } T } \right) ^ { 2 } } \gg 1 \ , \ \vert \arg z \vert < \pi
\bar { \mathbf { x } } _ { A | k } : = \mathrm { T r } ( \mathbf { \hat { x } } _ { A } \rho _ { k } ) = \alpha \left( \begin{array} { l } { \cos \left( 2 k \pi N ^ { - 1 } \right) } \\ { \sin \left( 2 k \pi N ^ { - 1 } \right) } \end{array} \right) ,
\rho _ { \mathrm { m i n } } = \vert \beta \vert \biggl ( \frac { \beta } { 1 + \beta } \biggr ) ^ { 1 / 4 } \sqrt { \biggl ( 1 + \frac { K _ { + } } { 4 k _ { \mathrm { c } } } \biggr ) ^ { 2 } + \frac { 1 + \beta } { \beta } } \, , \quad \cos \Phi _ { \mathrm { m i n } } \, = \, \frac { 1 + K _ { + } / ( 4 k _ { \mathrm { c } } ) } { \sqrt { \left[ 1 + K _ { + } / ( 4 k _ { \mathrm { c } } ) \right] ^ { 2 } + ( 1 + \beta ) / \beta } } .
\begin{array} { r } { \left( \frac { E _ { x } } { E _ { x } ^ { 0 } } \right) ^ { 2 } - 2 \left( \frac { E _ { x } } { E _ { x } ^ { 0 } } \right) \left( \frac { E _ { y } } { E _ { y } ^ { 0 } } \right) \cos \delta + \left( \frac { E _ { y } } { E _ { y } ^ { 0 } } \right) ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } \delta . } \end{array}
{ \cal I } _ { i j } = \sum _ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } | { \bf 8 _ { i } } \ ; \ n _ { 1 } , n _ { 2 } \rangle \otimes \langle { \bf 8 _ { j } } \ ; \ n _ { 1 } , n _ { 2 } | \ ,
g _ { \mu } ^ { ( i ) } ( \mathbf { r } ) = e ^ { i m ^ { ( i ) } \phi } r ^ { | m ^ { ( i ) } | } \left( e ^ { - \alpha _ { \mu } r _ { 1 } - \beta _ { \mu } r _ { 2 } } \pm e ^ { - \beta _ { \mu } r _ { 1 } - \alpha _ { \mu } r _ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { \ t h e t a _ { \mathrm { t h } } } } ^ { \mathrm { F F } } ( s ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r } } } H _ { \mathrm { L } } ( s ) , } \\ { H _ { \mathrm { \ t h e t a _ { \mathrm { d } } } } ^ { \mathrm { F F } } ( s ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r } } } \frac { 1 } { H _ { \mathrm { r } } ( s ) } H _ { \mathrm { L } } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { \mathrm { l i g h t / d a r k } } \equiv k ^ { \mathrm { l i g h t / d a r k } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k ^ { \mathrm { l i g h t } } , \mathrm { ~ i ~ f ~ H ~ L ~ a ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } t } \\ { k ^ { \mathrm { d a r k } } , \mathrm { ~ i ~ f ~ D ~ a ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } t . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 2 ^ { 2 } } & { 3 ^ { 3 } } \\ { 1 } & { 2 ^ { 2 } } & { 0 } & { 4 ^ { 2 } } \\ { 1 } & { 3 ^ { 2 } } & { 4 ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right| \overset { \mathrm { S t e p ~ 1 } } { = } - \left| \begin{array} { l l l l } { \boxed { 1 } } & { 9 } & { 1 6 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 4 } & { 9 } \\ { 1 } & { 4 } & { 0 } & { 1 6 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| \overset { \mathrm { S t e p ~ 2 } } { = } - \frac { 1 } { 1 ^ { 4 - 2 } } \left| \begin{array} { l l l } { - 9 } & { - 1 2 } & { 9 } \\ { - 5 } & { - 1 6 } & { 1 6 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| \overset { \mathrm { S t e p ~ 3 } } { = } - 3 \left| \begin{array} { l l l } { \boxed { - 3 } } & { - 4 } & { 3 } \\ { - 5 } & { - 1 6 } & { 1 6 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } \\ { \overset { \mathrm { S t e p ~ 2 } } { = } - \frac { 3 } { ( - 3 ) ^ { 3 - 2 } } \left| \begin{array} { l l } { 2 8 } & { - 3 3 } \\ { 1 } & { - 6 } \end{array} \right| \overset { \mathrm { S t e p ~ 3 } } { = } 3 \left| \begin{array} { l l } { 2 8 } & { - 1 1 } \\ { 1 } & { - 2 } \end{array} \right| = 3 ( - 4 5 ) = - 1 3 5 = - ( 2 ! ) ^ { 2 } 2 ^ { 2 } { \mathcal A } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p , N } ^ { L } ( t \, ; \, \mathbf { Y } _ { p } , \mathbf { V } _ { p } , \mathbf { V } _ { s } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { p } ^ { ( i ) } \, \delta ( \mathbf { Y } _ { p } - \mathbf { X } _ { p } ^ { ( i ) } ( t ) ) \, \delta ( \mathbf { V } _ { p } - \mathbf { U } _ { p } ^ { ( i ) } ( t ) ) \, \delta ( \mathbf { V } _ { s } - \mathbf { U } _ { s } ^ { ( i ) } ( t ) ) ~ , } \\ { F _ { p , N } ^ { E } ( t , \mathbf { x } \, ; \, \mathbf { V } _ { p } , \mathbf { V } _ { s } ) } & { = F _ { p , N } ^ { L } ( t \, ; \, \mathbf { Y } _ { p } = \mathbf { x } , \mathbf { V } _ { p } , \mathbf { V } _ { s } ) ~ , } \end{array}
s _ { \theta } ( x _ { i } , | x _ { 1 } , \dots , x _ { N } ) = \mathrm { ~ F ~ F ~ N ~ } ( x _ { i } | x _ { 1 } , \dots , x _ { N } ) + \sum _ { j \neq i } \frac { 1 } { x _ { i } - x _ { j } }
\beta _ { F M V } \, = \, \frac { 2 5 6 \pi } { 3 \sqrt { 2 } } \, \frac { G _ { 8 } \alpha _ { e m } m _ { V } ^ { 2 } } { F _ { \pi } | F ( 0 , 0 ) | } \, \, f _ { V } ^ { 3 } h _ { V } \eta \, \simeq \, 1 . 4 3 ~ .
\Lambda ^ { \pm } = { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { \mp } \gamma ^ { \pm } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { \pm } , \quad ( { \Lambda ^ { \pm } } ) ^ { 2 } = { \Lambda ^ { \pm } } , \quad { \Lambda ^ { + } } \Lambda ^ { - } = \Lambda ^ { - } \Lambda ^ { + } = 0 , \quad \gamma ^ { 0 } \Lambda ^ { + } = \Lambda ^ { - } \gamma ^ { 0 }
\begin{array} { r } { \small { \left( \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \! \! \right) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta p ^ { 0 } = - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \lambda _ { D } } \! d \lambda ^ { \prime } \big [ \Gamma _ { 0 0 } ^ { 0 } + 2 \Gamma _ { 1 0 } ^ { 0 } + \Gamma _ { 1 1 } ^ { 0 } \big ] _ { x ^ { \mu } = x _ { \lambda ^ { \prime } , 0 } ^ { \mu } } \, , } \end{array}
P _ { 3 / 2 } ( m _ { l } ) = \left( { \frac { 1 } { 2 } } w _ { 3 / 2 } , { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w _ { 3 / 2 } ) , { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w _ { 3 / 2 } ) , { \frac { 1 } { 2 } } w _ { 3 / 2 } \right) \; \; ,
\begin{array} { r l } { P _ { 4 _ { 1 } , 0 } ( x , q ) } & { = q ^ { 2 } x ^ { 2 } ( q ^ { 3 } x ^ { 2 } - 1 ) \, , } \\ { P _ { 4 _ { 1 } , 1 } ( x , q ) } & { = - q ^ { 1 / 2 } ( 1 - q ^ { 2 } x ^ { 2 } ) ( 1 - q x - q x ^ { 2 } - q ^ { 3 } x ^ { 2 } - q ^ { 3 } x ^ { 3 } + q ^ { 4 } x ^ { 4 } ) \, , } \\ { P _ { 4 _ { 1 } , 2 } ( x , q ) } & { = q ^ { 3 } x ^ { 2 } ( - 1 + q x ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\underset { \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } , t } { \mathbb { E } } [ | | \mathbf { s } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } , \mathbf { y } , t ) - \nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } | \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) } | | ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r } { \int _ { \alpha } ^ { \beta } \! P ( \{ u > t \} , B ) \, d t = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! P ( \{ u _ { \alpha } ^ { \beta } > t \} , B ) \, d t = | D u _ { \alpha } ^ { \beta } | ( B ) \leq \int _ { B } | \nabla u _ { \beta } ^ { \alpha } ( x ) | \, d x + ( \beta - \alpha ) \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( J _ { u } ) . } \end{array}
\psi ^ { \prime } ( \frac { 1 + z } { 2 } ) = \psi ^ { \prime } ( \frac { 1 + z } { 4 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \psi ^ { \prime } ( \frac { 3 + z } { 4 } ) - \psi ^ { \prime } ( \frac { 1 + z } { 4 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \hat { O } _ { n , t } ( \mathbf { r } ) } & { = \mathcal { P } _ { - z _ { \mathrm { p r o p } } } \! \left\{ E _ { \mathrm { p r o x } , n } ( \mathbf { r } ) \cdot \exp \left( - i \phi _ { t } ( \mathbf { r } ) \right) \right\} } \\ & { = \mathcal { P } _ { - z _ { \mathrm { p r o p } } } \! \left\{ E _ { \mathrm { d i s t } , n } ( \mathbf { r } ) \cdot \exp \left( i \phi ( \mathbf { r } ) - i \phi _ { t } ( \mathbf { r } ) \right) \right\} } \end{array}
{ \boldsymbol f } = \left( \begin{array} { l l l l } { f _ { 0 , 0 } } & { f _ { 0 , 1 } } & { \cdots } & { f _ { 0 , 2 ^ { m } - 1 } } \\ { f _ { 1 , 0 } } & { f _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { f _ { 1 , 2 ^ { m } - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { f _ { 2 ^ { n } - 1 , 0 } } & { f _ { 2 ^ { n } - 1 , 1 } } & { \cdots } & { f _ { 2 ^ { n } - 1 , 2 ^ { m } - 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \lVert E \rVert _ { \varrho , 2 } } & { \lesssim V ( \varPhi , \varPsi ) + \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } N \rVert _ { \varrho , 0 } + \lVert N \rVert _ { \varrho , 2 } } \\ { \lVert H \rVert _ { \varrho , 2 } } & { \lesssim V ( \varPsi , \varPhi ) + \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } N \rVert _ { \varrho , 0 } + \lVert N \rVert _ { \varrho , 1 } , } \end{array}
\frac { \partial { \cal L } _ { 2 } } { \partial s _ { 2 } } = 2 \Sigma ^ { 2 } t s _ { 2 } - 2 s _ { 2 } \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { y _ { n } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } } \stackrel { ! } { = } 0 \: .
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \rho ( \xi _ { x } ) d \xi _ { x } } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( \alpha _ { x } ) d \alpha _ { x } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] d \alpha _ { x } = 1 } \\ { \langle \xi _ { x } \rangle } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \xi ( \alpha _ { x } ) \rho ( \alpha _ { x } ) d \alpha _ { x } = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp [ - 2 \alpha _ { x } ] d \alpha _ { x } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] } \end{array}
\ell ( \mu , \sigma ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( y - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \varepsilon ^ { 2 } } \right) \log { \sigma ^ { 2 } } - \frac { v } { 4 \varepsilon ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { y } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { r y } ^ { 2 } + D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } , } \\ { \Sigma _ { x } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { r x } ^ { 2 } , } \\ { \Sigma _ { \phi x , y } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { p x , y } ^ { 2 } + \sigma _ { \phi x , y } ^ { 2 } . } \end{array}
m _ { \tau } ( m _ { Z } ^ { < } ) = m _ { \tau } \left[ 1 - \frac { \alpha _ { e } ( m _ { Z } ) } { \pi } \left( 1 + \frac { 3 } { 4 } \ln \left( \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { m _ { \tau } ( m _ { Z } ^ { < } ) } \right) \right) \right] .
\nu _ { \mathrm { ~ L ~ } } \lesssim \left( \frac { 3 m ^ { 2 } c ^ { 3 } a } { 6 4 \pi ^ { 4 } h ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } \approx 4 . 9 \times 1 0 ^ { 1 7 } \left( \frac { I _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { 1 0 ^ { 2 0 } \, \, \mathrm { W / c m ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 / 6 } \, \, \mathrm { H z , }
\mathcal { A } = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \big [ - ( \beta _ { 0 } - \beta _ { 1 } ) \Delta E \big ] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \Delta E > 0 } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
x = \frac { \sqrt { 2 } r ^ { ( 3 / 2 ) } } { 1 + r ^ { ( 1 / 2 ) } } \left( 1 - \frac { 2 } { 3 \sqrt { 3 } } \epsilon _ { 8 } \frac { ( 2 + 3 ( r ^ { ( 3 / 2 ) } - r ^ { ( 1 / 2 ) } ) } { 1 + r ^ { ( 1 / 2 ) } } \right) + \frac { \epsilon _ { 8 } } { 1 5 } \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { ( 1 0 - 9 r ^ { ( 3 / 2 ) } + 6 0 r ^ { ( 1 / 2 ) } ) } { 1 + r ^ { ( 1 / 2 ) } }
\begin{array} { r l } { r \widehat { \vartheta } _ { t } - c ( 1 - \widehat { \vartheta } _ { t } ) } & { { } < r \left( \frac { c } { c + r } \right) - c \left( 1 - \frac { c } { c + r } \right) , } \end{array}
\frac { \partial \phi ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } } { \partial x _ { 1 } } \cdot ( \phi _ { 1 } ^ { \lambda } | _ { \mathcal { C } ^ { \prime \prime } } ) ^ { * } \left( f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha ) } \circ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } + \sum _ { i = 2 } ^ { \ell } ( \gamma _ { j } ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } ) ^ { \prime } \cdot f _ { \mathcal { C } , j , \lambda } ^ { ( \alpha - 1 _ { 1 } + 1 _ { j } ) } \circ \gamma ^ { \mathcal { C } , j , \lambda } \right) .