harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { ~ D ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ o ~ s ~ m ~ o ~ t ~ i ~ c ~ w ~ a ~ l ~ l ~ s ~ l ~ i ~ p ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ : ~ } u _ { z } = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \frac { \partial \ln c } { \partial z } ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ r = 1 .
\int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } f \cdot u \chi _ { \delta } \eta _ { \delta } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau \lesssim \| f \cdot u \| _ { L ^ { m } L ^ { l } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } \delta ^ { d \frac { l - 1 } { l } + \alpha \frac { m - 1 } { m } } ,
{ R ^ { \lambda } } _ { \mu \nu \rho } = \partial _ { \rho } { \Gamma _ { \mu \nu } } ^ { \lambda } - \partial _ { \nu } { \Gamma _ { \mu \rho } } ^ { \lambda } + { \Gamma _ { \mu \nu } } ^ { \alpha } \diamondsuit { \Gamma _ { \rho \alpha } } ^ { \lambda } - { \Gamma _ { \mu \rho } } ^ { \alpha } \diamondsuit { \Gamma _ { \nu \alpha } } ^ { \lambda } .
\gamma _ { \mathrm { m } } / \Omega _ { \mathrm { i } } \approx 0 . 0 7 \beta _ { \perp \mathrm { i } } \Lambda _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } , \quad k _ { \parallel , \mathrm { m } } \rho _ { \mathrm { i } } \approx 0 . 2 \beta _ { \perp \mathrm { i } } \Lambda _ { \mathrm { m } } , \quad k _ { \perp , \mathrm { m } } \rho _ { \mathrm { i } } \approx 0 . 6 ( \beta _ { \perp \mathrm { i } } \Lambda _ { \mathrm { m } } ) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } & { \geq \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { 0 } ^ { ( l ) } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) - \sum _ { l = 1 } ^ { m } \left( \omega _ { 0 } ^ { ( l ) } - y _ { l } \right) \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } \\ & { \overset { \mathrm { ( i ) } } { \geq } \operatorname* { m i n } _ { i \in [ N ] , l \in [ m ] } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) - \left\Vert y - \omega _ { 0 } \right\Vert _ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi ^ { 2 } \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } \\ & { \overset { \mathrm { ( i i ) } } { \geq } \operatorname* { m i n } _ { i \in [ N ] , l \in [ m ] } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) - \frac { \varepsilon m } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } } } \end{array}
D \left( S _ { \infty } \right) = \left( \int \mathrm { d } \omega \, \frac { S _ { \hat { x } , \hat { x } } \left( \omega ; S _ { \infty } \right) - \overline { { S } } _ { x , x } \left( \omega ; S _ { \infty } \right) } { \overline { { S } } _ { x , x } \left( \omega ; S _ { \infty } \right) } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \alpha , a , \sigma } = \epsilon _ { \alpha , a , \uparrow \downarrow } } & { = i \pi } \\ { \epsilon _ { \alpha , b , \sigma } = \epsilon _ { \alpha , b , \uparrow \downarrow } } & { = 1 } \\ { \epsilon _ { \alpha , a , \bar { \sigma } } = \epsilon _ { \alpha , b , \bar { \sigma } } = \epsilon _ { \alpha , a , \cdot } = \epsilon _ { \alpha , b , \cdot } } & { = 0 } \\ { \epsilon _ { \alpha , i \not \in \{ ( a , b ) \} , l } } & { = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l l } { _ 2 F _ { 1 } \left( 1 , T / 2 ; 1 + T / 2 ; - \exp [ ( 2 R - r _ { m } ( 0 ) ) / T ] \right) } & { = } & { \displaystyle \frac { \pi m } { 4 N } , \medskip } \\ { _ 2 F _ { 1 } \left( 1 , T ; 1 + T ; - \exp [ ( R - r _ { m } ( R ) ) / T ] \right) } & { = } & { \displaystyle \frac { m } { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( x ) } & { = } & { 1 + 6 E _ { 5 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } - 1 5 E _ { 7 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } , } \\ { F _ { 2 } ( x ) } & { = } & { 2 - 6 E _ { 5 } ( x ) \mathrm { e } ^ { x } , } \\ { F _ { 3 } ( x ) } & { = } & { ( \mathrm { e } ^ { x } ( x - 1 ) + \mathrm { e } ^ { - x } ( x + 1 ) ) ^ { - 1 } , } \\ { F _ { 4 } ( x ) } & { = } & { \mathrm { e } ^ { x } ( x ^ { 2 } - 3 x + 3 ) - \mathrm { e } ^ { - x } ( x ^ { 2 } + 3 x + 3 ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } w ( t , y ) } & { = \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla w ( t , y ) + \sqrt { 2 } { \boldsymbol { 1 } } _ { \left\{ n \leq t \leq n + 1 \right\} } { \boldsymbol { 1 } } _ { \{ y = x \} } } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , y ) \in ( n , n + 1 ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { w ( 0 , x ) } & { = 0 } & { \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array} \right.
q _ { 1 2 } = \epsilon \sigma \left\{ ( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { 2 } ^ { 4 } ) + \frac { \left( F _ { 1 2 } ^ { - 1 } - 1 \right) } { \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } } \left[ \epsilon _ { 1 } ( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) - \epsilon _ { 2 } ( T _ { 2 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) \right] \right\} { , }
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \psi } | \phi \rangle } & { { } = \langle \phi | \dot { \psi } \rangle ^ { \ast } = - ( i \hbar ) ^ { - 1 } \langle \phi | \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) \psi \rangle ^ { \ast } } \end{array}
u [ a ] ( \mathbf { r } ) = \int f ( r ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - a ( r ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, d \mathbf { r } ^ { \prime } \ ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { r + \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( z , w ) } & { = \left( \frac { 2 r + 1 } { 4 \pi } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { 2 r } \sum _ { m \neq n } e x p ( 2 \pi i ( \theta _ { l , m } ( z ) - \overline { { \theta _ { l , n } ( w ) } } ) ) \right) } \\ & { \times t ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) \Omega _ { \mu } ( z ) \otimes \bar { t } ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( w ) \bar { \Omega } _ { \mu } ( w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial t } } & { = } & { \frac { c } { 8 B _ { 0 } ^ { 2 } } \Bigg \lbrace \left( 2 \frac { I _ { 1 } } { \gamma } - 2 \frac { I _ { 2 } q _ { \parallel } } { \gamma ^ { 2 } } \right) \frac { \partial F } { \partial q _ { \parallel } } } \\ & { } & { + \left( \frac { 1 } { q _ { \perp } } \left( I _ { 3 } + \frac { I _ { 2 } q _ { \parallel } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } - 2 \frac { I _ { 1 } q _ { \parallel } } { \gamma } \right) - \frac { I _ { 2 } q _ { \perp } } { \gamma ^ { 2 } } \right) \frac { \partial F } { \partial q _ { \perp } } } \\ & { } & { + \frac { I _ { 2 } q _ { \perp } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial q _ { \parallel } ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( I _ { 3 } + \frac { I _ { 2 } q _ { \parallel } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } - 2 \frac { I _ { 1 } q _ { \parallel } } { \gamma } \right) \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial q _ { \perp } ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \left( 2 \frac { I _ { 1 } q _ { \perp } } { \gamma } - 2 \frac { I _ { 2 } q _ { \perp } q _ { \parallel } } { \gamma ^ { 2 } } \right) \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial q _ { \parallel } q _ { \perp } } \Bigg \rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O P } : \quad } & { \operatorname* { m a x } _ { \{ \textbf { w } _ { s g } , \alpha _ { s g } \} } \qquad \sum _ { g = 1 } ^ { N _ { u } } \log _ { 2 } { ( 1 + \gamma _ { g } ) } } \\ { s . t . \quad } & { C _ { 1 } : \sum _ { g } \alpha _ { s g } \| \textbf { w } _ { s g } \| ^ { 2 } \leq P _ { \mathrm { T } } , \, \forall s \in \{ 1 , 2 , \dots , N _ { s } \} , } \\ & { C _ { 2 } : \sum _ { g } \alpha _ { s g } \leq N _ { b } , \, \forall s \in \{ 1 , 2 , \dots , N _ { s } \} , } \\ & { C _ { 3 } : \sum _ { s \in \mathcal { V } _ { g } } \alpha _ { s g } = 1 , \, \forall g \in \{ 1 , 2 , \dots , N _ { u } \} , } \\ & { C _ { 4 } : \alpha _ { s g } \in \{ 0 , 1 \} , \, \forall s , g . } \end{array}
\tilde { \Pi } _ { R { ( 2 ) } } ^ { ( \beta ) } ( \lambda , p ) = - \frac { 8 e ^ { 4 } } { p ^ { 2 } } m ^ { 2 } I ( T / \lambda ) \int d ^ { 2 } q \, n _ { F } ( | q ^ { 0 } | ) \left( q ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) \delta ^ { \prime \prime } ( q ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) \} ) _ { l e f t , { \cal T } } = \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } ) \} ) _ { l e f t , { \cal T } } \ \big | _ { s _ { 1 } = 1 } } \\ & { } & { = \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } ) \} ) _ { l e f t , { \cal T } } \ \big | _ { s _ { 1 } = 0 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } d s _ { 1 } \frac { d } { d s _ { 1 } } \operatorname* { d e t } ( \{ C ( f _ { i } , g _ { j } ) ( s _ { 1 } ) \} ) _ { l e f t , { \cal T } } , } \end{array}
\mu _ { j } = \frac { \tilde { \mu } _ { j } } { \tilde { \mu } _ { 1 , 0 } } , \quad g _ { 2 } = \frac { G _ { 2 } } { G _ { 1 } } , \quad g _ { 1 2 } = \frac { G _ { 1 2 } } { G _ { 1 } } , \quad m _ { 2 } = \frac { M _ { 2 } } { M _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } [ ( a ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } , \quad \| \mathcal { M } _ { 3 } P _ { \neq } [ ( a \partial _ { z } P _ { \neq } ( \Upsilon _ { 2 } \Pi ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
S _ { M B S } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 + i x } & { - y } & { i x } & { - y } \\ { y } & { 1 + i x ^ { \prime } } & { y } & { i x ^ { \prime } } \\ { i x } & { - y } & { 1 + i x } & { - y } \\ { y } & { i x ^ { \prime } } & { y } & { 1 + i x ^ { \prime } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { s _ { p } ^ { \prime \prime } ( \eta ) } & { { } = 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 2 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) + J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ^ { \prime \prime } ( \eta ) } & { { } = 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 2 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) - J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \pi } } = 1 2 \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( 6 k ) ! ( 1 3 5 9 1 4 0 9 + 5 4 5 1 4 0 1 3 4 k ) } { ( 3 k ) ! ( k ! ) ^ { 3 } 6 4 0 3 2 0 ^ { 3 k + 3 / 2 } } }
\begin{array} { r } { K _ { n } ( t ) = \langle \hat { F } ^ { n } ( t ) \rangle - \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } { \binom { n - 1 } { m } } K _ { n - m } ( t ) \langle \hat { F } ^ { m } ( t ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 s } = } & { { } \frac { \mathrm { ~ i ~ } J a _ { 2 s } } { \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { 1 } ^ { \prime } } , } \\ { a _ { 2 s } = } & { { } \frac { \mathrm { ~ i ~ } J a _ { 1 s } + F _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { 2 } ^ { \prime } } , } \\ { x _ { 1 s } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } - \beta \left( g _ { 1 1 } | a _ { 1 s } | ^ { 2 } + g _ { 1 2 } | a _ { 2 s } | ^ { 2 } \right) , } \\ { x _ { 2 s } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } = } & { { } - \beta \left( g _ { 2 1 } | a _ { 1 s } | ^ { 2 } + g _ { 2 2 } | a _ { 2 s } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \left( I _ { U } \left( \Phi _ { s } \right) \right) ( F _ { v , U } ) \right) ( s ) \right) ( m ) } & { = \delta _ { P } ( m ) ^ { 1 / 2 } \int _ { U ( F ) } \Phi _ { s } \left( f _ { v } ^ { G } \right) ( u m s ) d u } \\ & { = \delta _ { P } ( m ) ^ { 1 / 2 } \cdot c ( m ) \cdot f _ { v _ { s } } ^ { M } ( m ) } \\ & { = c ( m ) \cdot f _ { v _ { s } } ^ { M } ( m ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ I I \leq \int _ { - 1 } ^ { 0 } \int _ { Y } | \nabla ^ { Y } u _ { 1 } | ^ { 2 } e ^ { - 2 f _ { T } ( s ) - T } \mathrm { d v o l } _ { Y } d s + C \int _ { - 1 / 4 } ^ { - 1 / 2 } \int _ { Y } T ^ { 2 } | e ^ { - T / 1 6 } u _ { 1 } | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { Y } d s } \\ & { \leq \frac { C _ { 2 } ( 1 + \lambda _ { k } ^ { 2 } ) } { \sqrt { T } } \int _ { M _ { 2 } \cup M _ { 2 } } | \bar { u } | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { \bar { M } } \leq \frac { C _ { 2 } ( 1 + \lambda _ { k } ^ { 2 } ) } { \sqrt { T } } \int _ { \bar { M } } | \bar { u } | ^ { 2 } \mathrm { d v o l } _ { \bar { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathbf { P } _ { p } , \mathbf { P } _ { q } ^ { \dagger } \right] } & { { } = \delta _ { p q } \left( 1 - \mathbf { N } _ { q } \right) , } \\ { \left[ \mathbf { N } _ { p } , \mathbf { P } _ { q } ^ { \dagger } \right] } & { { } = 2 \delta _ { p q } \mathbf { P } _ { q } ^ { \dagger } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { h , k } } & { = \left( R _ { A } ^ { G } ( \infty \cdot I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( \infty \cdot I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \right) ^ { H } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { B } } \left( R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \circ \vec { u } \right) \left( \left( I _ { m } - R _ { B } ^ { G } ( \bar { z } I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \right) \circ \vec { y } \right) ^ { H } d z } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { A } } \left( \left( I _ { n } - R _ { A } ^ { G } ( z I _ { n } ) \circ ^ { - 1 } R _ { A } ^ { G } ( A ) \right) \circ \vec { x } \right) \left( R _ { B } ^ { G } ( \bar { z } I _ { m } ) \circ ^ { - 1 } R _ { B } ^ { G } ( B ^ { H } ) \circ \vec { v } \right) ^ { H } d z . } \end{array}
U ( P _ { 1 } ) \propto \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } g ( r , \theta ) e ^ { { \frac { \mathbf { i } \pi \rho ^ { 2 } } { \lambda } } \left( { \frac { 1 } { g } } + { \frac { 1 } { b } } \right) } \rho \, d \rho \, d \theta .
r ( \alpha ) ~ = ~ \frac { \alpha a ( \alpha - \mu ) } { ( \mu - \alpha ) a ( \alpha ) \pi ^ { 2 \mu } } { } ~ ~ , ~ ~ ~ s ( \alpha , \lambda ) ~ = ~ \frac { \alpha ( \alpha - \mu ) q ( \alpha , \lambda ) } { ( \alpha - \mu + \lambda ) ( \alpha - \lambda ) }
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 4 m ^ { 3 } T } { [ m ^ { 2 } + ( ( 2 n + 1 ) \pi T ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } = 1 - \left( \frac { 2 m } { T } \right) e ^ { - \frac { m } { T } } + \dots
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( G _ { Y } , D _ { X } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x ) } \left[ \log D _ { X } ( x ) \right] } \end{array}
\mathbf { u } _ { n + 1 } = \mathbf { u } _ { n } + \underbrace { S ( \mathbf { f } , \mathbf { u } _ { n } , \Delta t _ { c } ) \Delta t _ { c } } _ { \mathrm { I n t e g r a t i o n ~ t e r m } } + \underbrace { \mathrm { N e t } ( \mathbf { u } _ { n } | \mathbf { \phi } , \mathbb { D } _ { f } ) } _ { \mathrm { C o m p e n s a t i o n ~ t e r m } } ,
{ \left[ \begin{array} { l l l } { \, \, \, 2 } & { 3 } & { 5 } \\ { - 4 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { P } \left( t _ { 1 } , t _ { 2 } \right) \cdot = \operatorname* { l i m } _ { \Delta \rightarrow 0 } \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { i \mathcal { L } \left( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t _ { 1 } + k \Delta \right) \Delta } \cdot , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } - \check { \boldsymbol { \mathbf { p } } } _ { \ell ; r _ { \ell } } \right\| _ { \ell _ { 2 } ( \Xi _ { \ell - 1 } ) \to \ell _ { 2 } ( \Xi _ { \ell } ) } \le C _ { p w } C _ { \mathrm { t r u n c } } ( K | \log ( h _ { \ell } ) | ) ^ { d } h _ { \ell } ^ { \frac { \nu } { 2 } K } . } \end{array}
v _ { \lambda _ { 1 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } , \quad v _ { \lambda _ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } , \quad v _ { \lambda _ { 3 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ,
\left\langle \dot { p } ( t ) p ( 0 ) \right\rangle + \left\langle \frac { d W } { d q } ( t ) p ( 0 ) \right\rangle = - \int _ { 0 } ^ { t } K ( t - \tau ) \left\langle p ( \tau ) p ( 0 ) \right\rangle d \tau .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) \right] = \frac { 1 } { \sqrt n } \sum _ { i j k } y _ { s j } \mathbb { E } \left[ \frac { \partial u _ { 1 i } } { \partial W _ { i j k } } w _ { 2 k } + u _ { 1 i } \frac { \partial w _ { 2 k } } { \partial W _ { i j k } } \right] } \\ & { \simeq - \frac 1 n \sum _ { i j k } y _ { s j } \mathbb { E } \left[ v _ { 1 j } w _ { 1 k } R _ { i i } ^ { 1 1 } ( \lambda _ { 1 } ) w _ { 2 k } + u _ { 1 i } u _ { 2 i } v _ { 2 j } Q _ { k k } ^ { 3 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] } \\ & { \xrightarrow [ n \to \infty ] - \langle y _ { s } , v _ { 1 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) - \langle y _ { s } , v _ { 2 } \rangle \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq \frac { 1 } { e - s } \sum _ { i = s } ^ { \eta _ { k } } | p - k | \kappa _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s , e } + \sum _ { i = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k + 1 } } | p - k - 1 | \kappa _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s , e } + \ldots + \sum _ { i = \eta _ { k + q } + 1 } ^ { e } | p - k - q - 1 | \kappa _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s , e } } \\ & { \leq \frac { 1 } { e - s } \sum _ { i = s } ^ { e } \Big ( C _ { R } + 1 \Big ) \kappa _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s , e } , } \end{array}
\mathbf { u } = \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { i } } _ { = \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } } + \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } } _ { = \mathbf { u } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \big \| \boldsymbol h _ { \mathrm { o p t } } - \b { \hat { f } } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \big \| \big ( \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } ^ { * } \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big ) \b { \hat { f } } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \big \| \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol B _ { \mathrm { o p t } } ^ { * } \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } \, \big \| \b { \hat { f } } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \underbrace { \sigma _ { n - r } } _ { 1 0 ^ { - 3 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 6 \times 1 0 ^ { - 3 } } \ \lesssim \ \underbrace { 4 \, \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 2 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { n - r + 1 } } _ { 1 0 ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm P } ( Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } < Z _ { i } < Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } , Z _ { i } > Y _ { 3 } \vee Y _ { 4 } ~ \mathrm { o r } ~ Z _ { i } < Y _ { 3 } \wedge Y _ { 4 } , } \\ & { Y _ { 3 } \wedge Y _ { 4 } < Z _ { j } < Y _ { 3 } \vee Y _ { 4 } , Z _ { j } > Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } ~ \mathrm { o r } ~ Z _ { j } < Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } ) = 1 / 4 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } & { { } \simeq T - w \sigma _ { T } , } \\ { \xi _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } & { { } \simeq \frac { T } { T _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } \xi + w \sigma _ { \xi } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { 2 \, \Im m \, \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { i } \varphi ^ { \prime } ( x + i \epsilon ) \log ( 1 + f ( x + i \epsilon ) ) = } } \\ { { = - 2 \, \Re e \, \displaystyle \int _ { \Gamma } \displaystyle \frac { d u } { u } \log ( 1 + u ) - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \int d x \, G ( x ) \left( F ^ { 2 } ( + \infty ) - F ^ { 2 } ( - \infty ) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A A ^ { \mathrm { T } } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 6 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 4 } & { 3 2 } \\ { 3 2 } & { 7 7 } \end{array} \right] } } \\ { \left( A A ^ { \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 4 } & { 3 2 } \\ { 3 2 } & { 7 7 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { 5 4 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 7 7 } & { - 3 2 } \\ { - 3 2 } & { 1 4 } \end{array} \right] } } \\ { A ^ { \mathrm { T } } \left( A A ^ { \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { 5 4 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 5 } \\ { 3 } & { 6 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l } { 7 7 } & { - 3 2 } \\ { - 3 2 } & { 1 4 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 1 8 } } { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 7 } & { 8 } \\ { - 2 } & { 2 } \\ { 1 3 } & { - 4 } \end{array} \right] } = A _ { \mathrm { r i g h t } } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { } } & { { M ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( 2 \lambda \theta ) / ( P _ { \mathrm { T } } ( \theta ) P _ { \mathrm { T } } ( - \theta ) ) } } \\ { { } } & { { = k ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( 2 \lambda \theta ) [ \cos ^ { 2 } ( \xi ) + \sinh ^ { 2 } ( \lambda \theta ) + k ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \lambda \theta ) \cosh ^ { 2 } ( \lambda \theta ) ] ^ { - 1 } . } } \end{array}
Z _ { N } = - { \frac { \beta ^ { N + 1 } } { \pi \omega x } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d s } { s } } \, \Im \, \widetilde Z \oint _ { C _ { 0 } } { \frac { d w } { 2 \pi i } } { \frac { 1 } { w ^ { N + 1 } ( w - \beta ) } } F _ { 0 } ( w , s ) ,
1 - 3 ( \cos ( 2 \theta _ { 1 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 2 } ) + \cos ( 2 \theta _ { 3 } ) ) = 4 ( 1 + 3 \cos ( \theta _ { 1 } ) \cos ( \theta _ { 2 } ) \cos ( \theta _ { 3 } ) )
{ \boldsymbol { F } } _ { 1 } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { { \boldsymbol { r } } _ { 1 } - { \boldsymbol { r } } _ { 2 } } { | { \boldsymbol { r } } _ { 1 } - { \boldsymbol { r } } _ { 2 } | ^ { 3 } } } = { \frac { q _ { 1 } q _ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { { \boldsymbol { \hat { r } } } _ { 1 2 } } { | { \boldsymbol { r } } _ { 1 2 } | ^ { 2 } } }
\tau _ { F 1 } = \mu _ { \mathrm { o n } } + \mu _ { \mathrm { o f f } } = \frac { \mu _ { \mathrm { o n } } } { \phi } ; \quad \quad \tau _ { F 2 } = \mu _ { \mathrm { o n } } ; \quad \quad \tau _ { F 3 } = \phi \mu _ { \mathrm { o n } } ,
\begin{array} { r } { \xi _ { i } ^ { \prime } = \mathrm { s g n } \left( ( \nabla z ^ { t } ) _ { i } - \frac { ( y ^ { t } ) _ { i } } { \beta _ { 2 } } \right) \circ \operatorname* { m a x } \left( \left| ( \nabla z ^ { t } ) _ { i } - \frac { ( y ^ { t } ) _ { i } } { \beta _ { 2 } } \right| - \frac { \lambda } { \beta _ { 2 } } , 0 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \cos \left( \omega t \right) \tilde { C } ^ { \prime } ( \omega ) , } \\ { C ^ { \prime \prime } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \sin \left( \omega t \right) \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big [ K _ { A } ( \tilde { A _ { i } } - \tilde { A _ { 0 } } ) ^ { 2 } + K _ { P } \tilde { P _ { i } } ^ { 2 } \big ] + \lambda ^ { ( c ) } \sum 2 l ^ { ( c ) } + \lambda ^ { ( n ) } \sum l ^ { ( n ) } , } \end{array}
( x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } + x _ { 3 } + 3 x _ { 4 } + x _ { 5 } + 3 x _ { 6 } + x _ { 7 } + 3 x _ { 8 } + x _ { 9 } + 3 x _ { 1 0 } + x _ { 1 1 } + 3 x _ { 1 2 } + x _ { 1 3 } ) \equiv 0 { \pmod { 1 0 } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { P } \left( \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \epsilon _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } \left( ( f _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) - f _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) ) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right) \leq \exp ( - u ^ { 2 } / 2 ) . } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { a } } { \partial t } = \mathbf { A } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] + \underline { { \mathbf { B } } } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] \cdot \mathbf { w } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { L } \left[ \mathbf { \nabla } , \mathbf { a } , \mathbf { r } \right] . \mathbf { a } .