harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } \left( \mathbf { r } , \omega _ { 0 } \right) = } & { \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { 4 \pi k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Bigl [ \left( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + i k _ { 0 } r - 1 \right) \mathbf { 1 } } \\ & { + \left( - k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } - 3 i k _ { 0 } r + 3 \right) \frac { \mathbf { r } \otimes \mathbf { r } } { r ^ { 2 } } \Bigr ] , } \end{array}
\hat { \mathcal { Q } } : \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa = \frac { x } { u _ { 2 } } , } \\ { \tau = - \frac { u _ { 1 } } { u _ { 2 } } , } \\ { \varphi ( \kappa , \tau ) = \psi \left( x , t \right) \sqrt { u _ { 2 } } \exp \left[ { - \frac { i } { 2 } \frac { m } { w } \frac { \dot { u } _ { 2 } } { u _ { 2 } } x ^ { 2 } } \right] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { a , \mathrm { A I P W } } - \widehat { \mu } _ { T } ^ { b , \mathrm { A I P W } } \leq 0 \right) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( - \frac { T \left( \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) ^ { 2 } } { V ^ { a , b * } ( P ) } \right) + A T ^ { - 1 / 4 } ( \log T ) ^ { 1 + 1 / \alpha } } & { \mathrm { i f } \ E _ { 0 } < \sqrt { T } \Delta ^ { a , b } ( P ) \leq E ; } \\ { \exp \left( - \frac { T \left( \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) ^ { 2 } } { 2 C _ { \xi } ^ { 2 } } \right) } & { \mathrm { i f } \ E _ { 0 } < \sqrt { T } \Delta ^ { a , b } ( P ) , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \boldsymbol { \tau } } _ { \mathrm { n e t } } = I _ { 1 } { \dot { \omega _ { 1 } } } { \hat { \boldsymbol { e _ { 1 } } } } + I _ { 2 } { \dot { \omega _ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { e _ { 2 } } } } + I _ { 3 } { \dot { \omega _ { 3 } } } { \hat { \boldsymbol { e _ { 3 } } } } + I _ { 1 } \omega _ { 1 } { \frac { d { \hat { \boldsymbol { e _ { 1 } } } } } { d t } } + I _ { 2 } \omega _ { 2 } { \frac { d { \hat { \boldsymbol { e _ { 2 } } } } } { d t } } + I _ { 3 } \omega _ { 3 } { \frac { d { \hat { \boldsymbol { e _ { 3 } } } } } { d t } } = I { \boldsymbol { \vec { \dot { \omega } } } } + { \boldsymbol { \vec { \omega } } } \times ( I { \boldsymbol { \vec { \omega } } } )
\begin{array} { r } { A _ { i j } ( y ) = \sum _ { ( n _ { x } , n _ { z } ) = ( - N _ { x } / 2 , - N _ { z } / 2 ) } ^ { ( N _ { x } / 2 - 1 , N _ { z } / 2 - 1 ) } \check { A } _ { i j } ( k _ { x } , y , k _ { z } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { \ell } } & { = } & { \frac { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) } { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) } } \\ { b _ { \ell } } & { = } & { \frac { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) } { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) } \, , } \end{array}
\mathrm { M S E } ( y , \tilde { y } ) : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| y _ { i } - \tilde { y } _ { i } \right| ^ { 2 } , \quad \quad \mathrm { S T D } ( y ) : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| y _ { i } - \mathrm { M E A N } ( y ) \right| ^ { 2 } , \quad \quad \mathrm { M E A N } ( y ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } .
\begin{array} { r l } { \omega ( \xi , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ \left. Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ( \eta , 0 ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ \left. Q ( \eta , t ; s ) F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon } & { { } = } & { \frac { n _ { S + } } { N _ { S } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \mathcal { H } ) \; \ldots \; \mathit { e f f i c i e n c y , s e n s i t i v i t y , s e l e c t | h i t \, r a t e } , } \\ { \alpha } & { { } = } & { \frac { n _ { S - } } { N _ { S } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \mathcal { H } ) \; \ldots \; \mathit { e r r o r \, t y p e \, I , s i g n i f i c a n c e , l o s s | m i s s \, r a t e } , } \\ { \beta } & { { } = } & { \frac { n _ { B + } } { N _ { B } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \mathcal { T } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \; \ldots \; \mathit { e r r o r \, t y p e \, I I , c o n t a m i n a t i o n | f a k e \, r a t e } , } \\ { \eta } & { { } = } & { \frac { n _ { B - } } { N _ { B } ^ { \prime } } \, = \, \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \bar { \mathcal { H } } ) \; \ldots \; \mathit { t e s t \, p o w e r , s p e c i f i c i t y , r e j e c t \, r a t e } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \ell _ { + } } & { { } = } & { \frac { \varepsilon } { \beta } \; \ldots \; \mathit { p o s i t i v e \, l i k e l i h o o d \, r a t i o } , } \\ { \ell _ { - } } & { { } = } & { \frac { \alpha } { \eta } \; \ldots \; \mathit { n e g a t i v e \, l i k e l i h o o d \, r a t i o } , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { A l } } ^ { \mathrm { o u t } } / \Gamma _ { \mathrm { N ^ { + } } } ^ { \mathrm { i n } } < \Gamma _ { \mathrm { A l } } ^ { \mathrm { o u t } } / \Gamma _ { \mathrm { A r ^ { + } } } ^ { \mathrm { i n } }
\chi = { \left\{ \begin{array} { l l } { | \kappa | ^ { - 1 / 2 } \sinh ^ { - 1 } { \sqrt { | \kappa | } } r , } & { { \mathrm { i f ~ } } \kappa < 0 \ { \mathrm { ( a ~ n e g a t i v e l y ~ c u r v e d ~ � h y p e r b o l i c � ~ u n i v e r s e ) } } } \\ { r , } & { { \mathrm { i f ~ } } \kappa = 0 \ { \mathrm { ( a ~ s p a t i a l l y ~ f l a t ~ u n i v e r s e ) } } } \\ { | \kappa | ^ { - 1 / 2 } \sin ^ { - 1 } { \sqrt { | \kappa | } } r , } & { { \mathrm { i f ~ } } \kappa > 0 \ { \mathrm { ( a ~ p o s i t i v e l y ~ c u r v e d ~ � s p h e r i c a l � ~ u n i v e r s e ) } } } \end{array} \right. }
I \, \mathrm { d } \sigma = I \, \mathrm { d } x ( x ) = I r \cos \alpha \, \mathrm { d } \alpha = I { \frac { r } { 2 } } \sin \left( { \frac { \theta } { 2 } } \right) \, \mathrm { d } \theta = I { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \theta } } \, \mathrm { d } \theta .
\begin{array} { r l } { \dot { Q } _ { t } } & { { } = m ^ { - 1 } \cdot P _ { t } , } \\ { \dot { P } _ { t } } & { { } = - V _ { 2 } \cdot Q _ { t } , } \\ { \dot { S } _ { t } } & { { } = T ( p _ { t } ) - V _ { 0 } . } \end{array}
\langle M \rangle \approx \frac { \lambda \mu ^ { 3 / 2 } ( 1 + q ^ { 3 } ) } { 3 } + \frac { \lambda \sqrt { \mu } ( 1 - q ^ { 3 } ) \ln 3 } { 2 \beta } + \frac { 0 . 5 4 \lambda ( 1 + q ^ { 3 } ) } { 2 \sqrt { \mu } \beta ^ { 2 } } ,
W [ { \psi } , A ] = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d x \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \overline { { { \psi } } } _ { k } ( { \gamma } ^ { \mu } i { \partial } _ { \mu } - m _ { k } ) { \psi } _ { k } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d x \int _ { 0 } ^ { \mathrm { L } } d y J ^ { 0 } ( x , t ) D ( x , y | \mathrm { L } ) J ^ { 0 } ( y , t )
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 \omega } } \left| \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 } \cos ( \omega t ) - u ( t ) \right| \mathrm { d } t } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 \omega } } \left[ \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 } \cos ( \omega t ) + u _ { b } \right] \mathrm { d } t } \\ { = } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } + \frac { \pi } { 2 \omega } u _ { b } . } \end{array}
G _ { \vec { k } } ^ { + + } ( t , t ^ { \prime } ) + G _ { \vec { k } } ^ { -- } ( t , t ^ { \prime } ) - G _ { \vec { k } } ^ { + - } ( t , t ^ { \prime } ) - G _ { \vec { k } } ^ { - + } ( t , t ^ { \prime } ) = 0 ~ .
\begin{array} { r l } & { x _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , \quad y _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } ) , } \\ & { \Bar { x } _ { 1 } = x _ { 1 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 1 } = y _ { 1 } - y _ { c m } , \quad \Bar { x } _ { 2 } = x _ { 2 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 2 } = y _ { 2 } - y _ { c m } , \quad \Bar { x } _ { 3 } = x _ { 3 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 3 } = y _ { 3 } - y _ { c m } , } \\ & { u _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } ) , \quad v _ { c m } = \frac { 1 } { 3 } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } ) , } \\ & { \Bar { u } _ { 1 } = u _ { 1 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 1 } = v _ { 1 } - v _ { c m } , \quad \Bar { u } _ { 2 } = u _ { 2 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 2 } = v _ { 2 } - v _ { c m } , \quad \Bar { u } _ { 3 } = u _ { 3 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 3 } = v _ { 3 } - v _ { c m } , } \\ & { L _ { c m } = x _ { c m } v _ { c m } - y _ { c m } u _ { c m } } \\ & { L = \Bar { v } _ { 1 } \Bar { x } _ { 1 } + \Bar { v } _ { 2 } \Bar { x } _ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } \Bar { x } _ { 3 } - \Bar { u } _ { 1 } \Bar { y } _ { 1 } - \Bar { u } _ { 2 } \Bar { y } _ { 2 } - \Bar { u } _ { 3 } \Bar { y } _ { 3 } , } \\ & { E = \Bar { u } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { u } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { u } _ { 3 } ^ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ & { I = \Bar { x } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 1 } ^ { 2 } + \Bar { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 2 } ^ { 2 } + \Bar { x } _ { 3 } ^ { 2 } + \Bar { y } _ { 3 } ^ { 2 } , } \\ & { J = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } , } \\ & { K = u _ { 1 } v _ { 2 } - u _ { 1 } v _ { 3 } - u _ { 2 } v _ { 1 } + u _ { 2 } v _ { 3 } + u _ { 3 } v _ { 1 } - u _ { 3 } v _ { 2 } , } \\ & { A = x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } , } \\ & { D = u _ { 1 } ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) + v _ { 1 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) + u _ { 2 } ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) + v _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) + u _ { 3 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) + v _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) , } \\ & { \omega = u _ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) + u _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) + u _ { 3 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + v _ { 1 } ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) + v _ { 2 } ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) + v _ { 3 } ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) , } \\ & { G = \Bar { u } _ { 1 } \Bar { x } _ { 1 } + \Bar { u } _ { 2 } \Bar { x } _ { 2 } + \Bar { u } _ { 3 } \Bar { x } _ { 3 } + \Bar { v } _ { 1 } \Bar { y } _ { 1 } + \Bar { v } _ { 2 } \Bar { y } _ { 2 } + \Bar { v } _ { 3 } \Bar { y } _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \dots , A ^ { j _ { 1 } } , \dots , A ^ { j _ { 2 } } , \dots ) } & { { } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \left( \prod _ { i = 1 , i \neq j _ { 1 } , i \neq j _ { 2 } } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) } ^ { i } \right) a _ { \sigma ( j _ { 1 } ) } ^ { j _ { 1 } } a _ { \sigma ( j _ { 2 } ) } ^ { j _ { 2 } } } \end{array}
Y _ { 1 } X _ { 2 } Z _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } c _ { 3 } + s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 3 } s _ { 1 } s _ { 2 } - c _ { 1 } s _ { 3 } } & { c _ { 2 } s _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 2 } c _ { 3 } } & { - s _ { 2 } } \\ { c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } - c _ { 3 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } s _ { 2 } + s _ { 1 } s _ { 3 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } } \end{array} \right] }
G ^ { m e a n } ( t ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( { \bf M } _ { t } { \bf B } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } ^ { 2 } ( { \bf B } ) } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { k } } & { = } & { \frac { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } - \| \delta ^ { k } \| ^ { 2 } } { 2 \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { ( 1 - \sigma _ { k } ^ { 2 } ) \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } { 2 \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 - \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \sigma _ { k } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 + \sigma _ { k } } . } \end{array}
K = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { u _ { 1 } } & { 0 } & { v _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & \\ { 0 } & { u _ { 2 } } & { 0 } & { v _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & \\ { w _ { 1 } } & { 0 } & { u _ { 3 } } & { 0 } & { v _ { 3 } } & { \cdots } & \\ { 0 } & { w _ { 2 } } & { 0 } & { u _ { 4 } } & { 0 } & { \cdots } & \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) ,
g _ { \pm \pm } = \left( \begin{array} { c c } { { u _ { \pm \pm } ^ { ( + ) } } } & { { u _ { \pm \pm } ^ { ( - ) } } } \\ { { v _ { \pm \pm } ^ { ( + ) } } } & { { v _ { \pm \pm } ^ { ( - ) } } } \end{array} \right)
\frac { \sum _ { l = ( \chi _ { i } ( 0 ) + \epsilon ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } { \sum _ { l = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } = \frac { \sum _ { l = ( \chi _ { i } ( 0 ) + \epsilon ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } { \sum _ { l = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } \cdot \frac { \sum _ { l = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( l ) } } { \sum _ { l = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } \xrightarrow { N \to \infty } 0
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { k } B _ { p , l } D _ { l , q } - C _ { p , q } = } & { ~ ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \underbrace { y _ { i } y _ { i } ^ { \top } } _ { \mathrm { m a t r i x } } \cdot \underbrace { ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { u _ { * , q } ^ { \top } U _ { t } U _ { t } ^ { \top } x _ { i } } _ { \mathrm { s c a l a r } } ) - C _ { p , q } } \\ { = } & { ~ ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \underbrace { y _ { i } y _ { i } ^ { \top } } _ { \mathrm { m a t r i x } } \cdot \underbrace { ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { u _ { * , q } ^ { \top } U _ { t } U _ { t } ^ { \top } x _ { i } } _ { \mathrm { s c a l a r } } ) - ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } \cdot ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { * , q } ^ { \top } I _ { d } x _ { i } ) ) } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \underbrace { y _ { i } y _ { i } ^ { \top } } _ { \mathrm { m a t r i x } } \cdot \underbrace { ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { u _ { * , q } ^ { \top } ( U _ { t } U _ { t } ^ { \top } - I _ { d } ) x _ { i } } _ { \mathrm { s c a l a r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ N ] } & { = \sum _ { i } \P ( Y _ { i } > A / \alpha _ { i } ) \leq \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] \sum _ { i } \frac { \alpha _ { i } } A = \frac { \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { A } , } \\ { \mathbb { E } [ N ^ { 2 } ] } & { = \sum _ { i } \P ( Y _ { i } > A / \alpha _ { k } ) + \sum _ { i \neq j } \P ( Y _ { i } > A / \alpha _ { i } ) \P ( Y _ { j } > A / \alpha _ { j } ) } \\ & { \leq \frac { \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { A } + \frac { \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] ^ { 2 } } { A ^ { 2 } } . } \end{array}
\Gamma _ { \infty } [ \phi , G , \{ C _ { r } \} ] \equiv \Gamma _ { 2 } [ \phi , G , \{ j _ { n } \} ] - \sum _ { n \ge 3 } { \frac 1 { n ! } } J _ { n } \sum _ { P _ { n } } \prod _ { p } C _ { r }
\begin{array} { r l } { D ( \varepsilon ) } & { \simeq \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \eta \, \exp \left\lbrace - \beta f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \varepsilon + \frac { \beta } { \mathrm { d } 2 } \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right| _ { \eta = f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } \left[ \eta - f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \right] ^ { 2 } \right\rbrace F ( f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) ) } \\ & { = e ^ { - \beta f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \varepsilon } F ( f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) ) \sqrt { \frac { 2 \pi } { \beta } } \left[ - \left. \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \right| _ { \eta = f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) } \right] ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
U _ { k _ { 1 } , k _ { 1 z } ; k _ { 2 } , k _ { 2 z } ; I _ { z } , I _ { z } ^ { \prime } } = \sum _ { m , I _ { z } } \langle k , m ; I , I _ { z } | k _ { 2 } , k _ { 2 z } \rangle D _ { m , k _ { 1 z } } ^ { k _ { 1 } } ( \alpha , \beta , \gamma ) D _ { I _ { z } , I _ { z } ^ { \prime } } ^ { I } ( \alpha _ { I } , \beta _ { I } , \gamma _ { I } ) | I , I _ { z } ^ { \prime } \rangle .
\Sigma = \exp \, ( \frac { i } { f _ { \pi } } \left( \! \! \begin{array} { c c } { { \pi ^ { 0 } \! } } & { { \! \sqrt 2 \pi ^ { + } } } \\ { { \sqrt 2 \pi ^ { - } \! } } & { { \! - \pi ^ { 0 } } } \end{array} \! \! \right) ) ,
\operatorname { o r d } ( V ) = \omega \cdot 2 + 4 = \{ 0 , 1 , 2 , \ldots ; \omega , \omega + 1 , \omega + 2 , \ldots ; \omega \cdot 2 , \omega \cdot 2 + 1 , \omega \cdot 2 + 2 , \omega \cdot 2 + 3 \} ,
\begin{array} { r l } { u ( x , t _ { k } ) = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \delta h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } \right) , } \\ { \theta ( x , t _ { k } ) = } & { - \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle _ { n \, | \, n _ { 0 } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } t \, P _ { n } ^ { \mathrm { F P } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t e ^ { - \mu n _ { 0 } t } ( 1 - e ^ { - \mu t } ) ^ { n - n _ { 0 } - 1 } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } ( - 1 ) ^ { k } \int _ { 0 } ^ { \infty } t e ^ { - \mu ( n _ { 0 } + k ) t } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } ( - 1 ) ^ { k } \left[ \frac { - e ^ { - \mu ( n _ { 0 } + k ) t } ( 1 + \mu ( n _ { 0 } + k ) t ) } { \mu ^ { 2 } ( n _ { 0 } + k ) ^ { 2 } } \right] _ { 0 } ^ { \infty } } \\ & { = \mu ( n - n _ { 0 } ) { \binom { n - 1 } { n _ { 0 } - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - n _ { 0 } - 1 } { \binom { n - n _ { 0 } - 1 } { k } } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \mu ^ { 2 } ( n _ { 0 } + k ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \mu } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } + \frac { 1 } { n _ { 0 } + 1 } + \cdots + \frac { 1 } { n - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Bar { F } \otimes \Bar { F } ) \circ \Delta ^ { \prime } ( x , y ) } & { = ( \Bar { F } \otimes \Bar { F } ) ( x \otimes y + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } y \otimes x ) } \\ & { = ( \Bar { F } \otimes \Bar { F } ) ( x \otimes y ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } ( \Bar { F } \otimes \Bar { F } ) ( y \otimes x ) } \\ & { = F _ { 0 } ( x ) \otimes F _ { 0 } ( y ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } F _ { 0 } ( y ) \cdot F _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
V \sim \left( \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } \left( \ln \frac { M _ { H _ { C } } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } \right) M _ { H _ { C } } \left( \frac { F _ { X } } { M _ { H _ { C } } } \right) ^ { 2 } S .
W _ { i } ^ { ( 1 ) a } ( { \bf r } ; 1 ) = \frac { i } { \kappa } \epsilon ^ { i j } \partial _ { j } G ( { \bf r } - { \bf r } _ { 1 } ) T _ { ( 1 ) } ^ { a } , ~ ~ ~ ~ ~ \left( G ( { \bf r } - { \bf r } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \ln | { \bf r } - { \bf r } _ { 1 } | \right)
\left( \hat { u } _ { j } ^ { C } \right) _ { \eta } = \left( \hat { u } _ { j } \right) _ { \eta } + \left[ \hat { u } _ { j - 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { u } _ { j } ( - 1 ) \right] g _ { \mathrm { L B } } ^ { \prime } + \left[ \hat { u } _ { j + 1 / 2 } ^ { \mathrm { c o m } } - \hat { u } _ { j } ( 1 ) \right] g _ { \mathrm { R B } } ^ { \prime } , \
{ \cal L } _ { q u a n t } = { \cal L } _ { } - 3 i \delta ^ { 4 } ( 0 ) \ln \left( 1 + \frac { h } { v } \right) = { \cal L } _ { } - 3 i \delta ^ { 4 } ( 0 ) \ln \left( 1 + \frac { g } { 2 M } h \right)
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } [ F ( { \mathbf x } _ { N } ) ] } & { = F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathop { \mathbb { E } } [ R ^ { k } ( \mathbf { u } ^ { k } ) ] } \\ & { \quad + \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \langle \mathbf { g } _ { t } ^ { k } , \mathbf { u } ^ { k } \rangle \right] ~ . } \end{array}
\displaystyle { \cal N } ( 0 , 0 ) = \sqrt { \frac { 2 M _ { ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } ) } } { 2 m _ { Q _ { 1 } } 2 m _ { Q _ { 2 } } } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \{ \bar { u } _ { 1 } ( p _ { Q _ { 1 } } , + ) \bar { u } _ { 2 } ( p _ { Q _ { 2 } } , - ) - \bar { u } _ { 1 } ( p _ { Q _ { 1 } } , - ) \bar { u } _ { 2 } ( p _ { Q _ { 2 } } , + ) \} ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { L i f t = F _ { \parallel } \ s i n \ \psi - F _ { \bot } \ c o s \ \psi } \\ { T h r u s t = F _ { \parallel } \ c o s \ \psi + F _ { \bot } \ s i n \ \psi } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } = } & { { } \frac { i } { ( 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } d \vec { x } ^ { \prime } d \vec { x } ^ { \prime \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime \prime } ) + i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) } } \end{array}