harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ r a t i o n a l } } } \\ { 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ i r r a t i o n a l } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q ^ { \alpha } ( \Delta + 1 , \Lambda ; 1 ) - Q ^ { \alpha } ( \Delta + 1 , \Lambda ; 0 ) } \\ { = } & { \beta \! + \! \alpha ( 1 \! - \! p ) ( \mathbb { E } V ^ { \alpha } ( 1 , \Lambda ^ { \prime } ) \! - \! \mathbb { E } V ^ { \alpha } ( \Delta + 2 , \Lambda ^ { \prime } ) ) } \\ { \leq } & { \beta \! + \! \alpha ( 1 \! - \! p ) ( \mathbb { E } V ^ { \alpha } ( 1 , \Lambda ^ { \prime } ) \! - \! \mathbb { E } V ^ { \alpha } ( \Delta + 1 , \Lambda ^ { \prime } ) ) \leq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { \dagger } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } } & { = \lambda _ { \varepsilon \perp } \mathsf { A } _ { \parallel } ^ { \dagger } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } . } \end{array}
\Delta \Gamma _ { V } ^ { ( 2 ) } = \mathrm { R e } \int d ^ { 2 } \theta \, \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } W _ { a } ( p ) C ^ { a b } W _ { b } ( - p ) \Big ( \tilde { f } _ { 1 } + \tilde { f } _ { 2 } + \tilde { f } _ { 3 } \Big ) ,
\Delta \bar { \alpha } = \left( \frac { \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \alpha _ { n } } \right) ^ { n } \left( \frac { 1 - R } { 2 } \right) ^ { 2 \kappa n } H \left( \operatorname* { m a x } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \alpha _ { \mathrm { m a x } } \left( \frac { 1 - R } { 2 } \right) ^ { 2 \kappa } - \alpha _ { e } \right)
\begin{array} { r l } & { \beta _ { j } \cdot ( X _ { j } ) _ { s } - ( \gamma _ { j } ) _ { s } = F _ { j } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { - L _ { j } ( \beta _ { j } ) _ { s } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } ( X _ { j } ) _ { s } = F _ { j } ^ { ( 3 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ & { \frac { ( B _ { j } ) _ { s } } { 4 } - \frac { B _ { j } ( L _ { j } ) _ { s } } { 2 L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 5 ) } , } \\ & { \frac { ( A _ { j } ) _ { s } } { A _ { j } } - \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \frac { ( X _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 4 ) ( 1 , \dots , d ) } , } \\ & { \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } = F _ { j } ^ { ( 6 ) } , } \end{array}
\langle { \hat { b } } _ { s } ^ { \dagger } ( t ) { \hat { b } } _ { s } ( t + \tau ) \rangle = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \Omega ^ { 2 } e ^ { i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) \tau } } { \beta ^ { 2 } ( 1 + \theta ^ { 2 } ) } } \left( 1 - { \frac { \Omega ^ { 2 } } { { \frac { 1 } { 2 } } \Omega ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } ( 1 + \theta ^ { 2 } ) } } \right) + { \frac { \Omega ^ { 4 } e ^ { - \beta | \tau | } e ^ { i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) \tau } } { 8 \beta ^ { 4 } \theta ( 1 + \theta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \times [ s i n ( \beta \theta | \tau | ) + \theta c o s ( \beta \theta \tau ) ]
u _ { 3 } ( x _ { 2 } ) = [ \mathrm { t a n h } ( \frac { x _ { 2 } - L _ { 2 } / 2 } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) - \mathrm { t a n h } ( \frac { x _ { 2 } - L _ { 2 } } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) - \mathrm { t a n h } ( \frac { x _ { 2 } } { 2 C _ { \theta } \theta _ { 0 } } ) ] , ~ ~ \mathrm { f o r } ~ 0 < x _ { 2 } \leq L _ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } & { \left( \begin{array} { c } { \beta _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) = a _ { 1 } \varphi _ { 1 } + a _ { 2 } \varphi _ { 2 } , } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \alpha _ { N } } \end{array} \right) = a _ { 1 } \rho _ { 1 } ^ { N } \varphi _ { 1 } + a _ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { N } \varphi _ { 2 } . } \end{array}
\frac { 1 } { i } { \cal G } ( x , x ; \chi ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 2 } k _ { E } } { ( k _ { E } ^ { 2 } + \chi ) } \equiv \frac { 1 } { ( 2 \pi ) } \int \frac { d k } { 2 \sqrt { k ^ { 2 } + \chi } }
\mathfrak { t } _ { G } ^ { k } ( i _ { 1 } , \dots , i _ { q } ; i ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathfrak { s } _ { G } ^ { k } ( i _ { 1 } , \dots , i _ { k } ) _ { i } } & { \mathrm { i f ~ } q = k , } \\ { \{ \mathfrak { t } _ { G } ^ { k } ( i _ { 1 } , \dots , i _ { q } , j ; i ) : j \in V \setminus \{ i , i _ { 1 } , \dots , i _ { q } \} \} ^ { \# } } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \geq ( c _ { 2 } / 2 ) \mathbb { E } \left[ e ^ { \lambda ( W _ { b } - \delta ) } I ( \Delta _ { 1 } \leq W _ { b } \leq \Delta _ { 2 } ) I \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i } \geq c _ { 2 } / 2 \right) \right] } \\ & { \geq \frac { c _ { 2 } } { 2 e ^ { \lambda \delta } } \left\{ \mathbb { E } \left[ e ^ { \lambda W _ { b } } I ( \Delta _ { 1 } \leq W _ { b } \leq \Delta _ { 2 } ) \right] - \mathbb { E } \left[ e ^ { \lambda W _ { b } } I \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i } < c _ { 2 } / 2 \right) \right] \right\} } \\ & { \geq \frac { c _ { 2 } } { 2 e ^ { \lambda \delta } } \left\{ \mathbb { E } \left[ e ^ { \lambda W _ { b } } I ( \Delta _ { 1 } \leq W _ { b } \leq \Delta _ { 2 } ) \right] - \sqrt { \mathbb { E } \left[ e ^ { 2 \lambda W _ { b } } \right] P \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \eta _ { i } < c _ { 2 } / 2 \right) } \right\} } \\ & { \geq \frac { c _ { 2 } } { 2 e ^ { \lambda \delta } } \left\{ \mathbb { E } [ e ^ { \lambda W _ { b } } I ( \Delta _ { 1 } \leq W _ { b } \leq \Delta _ { 2 } ) ] - \left( \mathbb { E } \left[ e ^ { 2 \lambda W _ { b } } \right] \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left( - \frac { c _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 c _ { 1 } \delta ^ { 2 } } \right) \right\} , } \end{array}
\sum _ { p \leq x , p \not \mid { \mathfrak { f } } ( \rho ) } \chi _ { \rho } ( { \mathrm { F r } } _ { p } ) \log p = r x + O { \biggl ( } { \frac { x ^ { \beta } } { \beta } } + x \exp { \biggl ( } { \frac { - c ( d n ) ^ { - 4 } \log x } { 3 \log { \mathfrak { f } } ( \rho ) + { \sqrt { \log x } } } } { \biggr ) } ( d n \log ( x { \mathfrak { f } } ( \rho ) ) { \biggr ) } ,
\begin{array} { r } { { X _ { 7 } ^ { 2 } + X _ { 8 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } X _ { i } ^ { 2 } = 4 } } \\ { { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } Y _ { i } ^ { 2 } = 1 } } \end{array}
S _ { i , 0 } = \frac { 1 } { 8 } \int _ { \Omega } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial y } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } \right) ^ { 2 } \right] d \mathbf { x } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad S _ { i , 1 } = - \frac { 1 } { 4 } \int _ { \Omega } \left[ \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial y } \right] d \mathbf { x } .
\mathcal { E } _ { k _ { \theta , n } } = O _ { p } \left( \Delta _ { k _ { \theta , n } } ^ { 1 / 3 } ( \lambda ) \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \ln \left( k _ { \theta , n } / \Delta _ { k _ { \theta , n } } ( \lambda ) \right) \right\} ^ { 2 / 3 } \right) = O _ { p } \left( \left( \frac { k _ { \theta , n } } { \sqrt { n } } \right) ^ { 1 / 3 } \ln ( n ) ^ { 2 / 3 } \right) = o _ { p } ( 1 )
{ \frac { 1 } { g ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ; z ) } } = { \frac { b } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \log { \frac { M _ { \mathrm { P l a n c k } } ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } - \log \parallel \Phi ( z ) \parallel ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { U _ { \Delta x , - \infty } ( t ) } & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( 0 ) - \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } V _ { \Delta x , \infty } ( s ) d s } \\ & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( 0 ) - \frac { 1 } { 4 } H _ { \Delta x , \infty } ( 0 ) t } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 4 } \alpha \int _ { \mathbb { R } } H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \int _ { \tau _ { \Delta x } ( \xi ) } ^ { t } \chi _ { \{ s \geq \tau _ { \Delta x } ( \xi ) > 0 \} } ( \xi ) d s d \xi , } \\ & { = U _ { \Delta x , - \infty } ( 0 ) - \frac { 1 } { 4 } H _ { \Delta x , \infty } ( 0 ) t } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 4 } \alpha \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } H _ { k , \xi } ( 0 ) \left( \hat { \xi } _ { k + 1 } - \hat { \xi } _ { k } \right) \left( t - \tau _ { \Delta x } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { k } + \hat { \xi } _ { k + 1 } ) \right) \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \chi _ { \left\{ s \geq \tau _ { \Delta x } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { k } + \hat { \xi } _ { k + 1 } ) \right) \right\} } ( t ) \chi _ { \left\{ j : \tau _ { \Delta x } \left( \frac 1 2 ( \hat { \xi } _ { j } + \hat { \xi } _ { j + 1 } ) \right) > 0 \right\} } ( k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { \frac { 1 } { 3 r ^ { 4 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) } \left\lbrace \alpha e ^ { \mu ( - r ) } \left( 6 r ^ { 2 } e ^ { \mu r } \left( 3 r ^ { 2 } + r ( { r _ { 0 } } - 3 ) - 3 { r _ { 0 } } \right) - { r _ { 0 } } e ^ { \mu { r _ { 0 } } } \left( 6 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 1 2 ) + r { r _ { 0 } } ( ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 1 5 ) - 5 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\frac { d \sigma ( \nu _ { l } + A \to l + A ^ { \prime } ) / d t } { d \sigma ( \nu _ { l } + B \to { \l } + B ^ { \prime } ) / d t } = \frac { | \langle A | T _ { + } | A ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } { | \langle B | T _ { + } | B ^ { \prime } \rangle | ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ \| s ^ { D } \| ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ \| \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { - \mathbb { E } [ \| s ^ { D } \| ^ { 2 } ] + 2 \mathbb { E } [ \langle s ^ { D } , \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \rangle ] - \mathbb { E } [ \| \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { - \mathbb { E } [ \| s ^ { D } - \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \| ^ { 2 } ] \rightarrow _ { L ^ { 2 } } - \mathbb { E } [ \| s - \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ) \| ^ { 2 } ] } \end{array}
p _ { 0 \mu } = p _ { \mu } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { S } ^ { h _ { 1 } h _ { 2 } } \; \omega _ { h _ { 1 } h _ { 2 } \mu } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { S } ^ { k _ { 1 } k _ { 2 } } \; \omega _ { k _ { 1 } k _ { 2 } \mu } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { S } ^ { h _ { 1 } k _ { 1 } } \; \omega _ { h _ { 1 } k _ { 1 } \mu } ,
1 - { \frac { G _ { c } } { G } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \Delta } { \bar { \mu } \sin ^ { 2 } \beta } } \right) \, \left[ \ln \left( { \frac { \Delta } { \bar { \mu } \sin ^ { 2 } \beta } } \right) \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \rho { \bf v } _ { i a } ) = } & { - \frac { ( { \bf P } \times \nabla B ) } { Q _ { b } ^ { 2 } } \cdot \nabla Q _ { b } + \frac { ( \nabla \times { \bf P } ) \cdot \nabla B } { Q _ { b } } } \\ { = } & { - \frac { \rho { \bf v } _ { i a } \cdot \nabla Q _ { b } } { Q _ { b } } + \frac { ( \nabla \times { \bf P } ) \cdot \nabla B } { Q _ { b } } . } \end{array}
\theta = f ^ { ( 4 ) } ( \phi ) = \left[ \begin{array} { l l } { \phi + \pi , \quad } & { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ s ~ t ~ i ~ m ~ u ~ l ~ u ~ s ~ : ~ } \ { \phi } \in [ 0 , \pi ) , } \\ { \phi - \pi , \quad } & { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ s ~ t ~ i ~ m ~ u ~ l ~ u ~ s ~ : ~ } \ \phi \in ( \pi , 2 \pi ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \vert v \vert \leq N } e ^ { - ( t - s ) } \langle v \rangle ^ { 2 } \vert \mathbf { P } f ( s , x - v ( t - s ) , v ) \vert d v d s } & { \leq C _ { q } N ^ { 5 } ( 1 - e ^ { - \lambda } ) \overbar { M } + \frac { C _ { q } } { N ^ { q - 1 0 } } \overbar { M } } \\ & { \quad + C N ^ { 6 } ( \lambda ^ { - 2 } + N ^ { 3 } ) \left( \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) + N ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) } \right) , } \end{array}
d s _ { 5 } ^ { 2 } = d \chi ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \chi [ d \rho ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \sin ^ { 2 } \rho ( ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \psi ^ { 2 } ) + ( d x ^ { 5 } + \cos \theta d \psi ) ^ { 2 } ) ] ,
H ^ { ( 1 ) } Q U ^ { c } , ~ H ^ { ( 2 ) } Q D ^ { c } , ~ H ^ { ( 2 ) } L E ^ { c } , ~ N ^ { 2 } H ^ { ( 1 ) } H ^ { ( 2 ) } , ~ N ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } , ~ T L L , ~ \bar { T } H ^ { ( 1 ) } H ^ { ( 1 ) } , ~ \bar { \phi } \bar { \phi } T \bar { T } ~ .
\begin{array} { r } { \mathrm { P } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in T } \left\Vert \mathcal { X } _ { t } - \mathcal { X } _ { t _ { 0 } } \right\Vert _ { \alpha } \geq C _ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { m } \gamma _ { n } ( T , d _ { n } ) + C _ { 3 } \sum _ { n = 1 } ^ { m } u ^ { 1 / n } \Delta _ { d _ { n } } ( T ) \right) \leq e ^ { - u } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } ( s ) = ( \alpha + \gamma ) ( \eta _ { 1 } \ldots \eta _ { n } ) } \\ & { \times \left\{ ( \alpha \eta s + \gamma \eta s + \gamma \alpha ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( \omega _ { i } + s ) + \gamma \alpha \eta s \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \eta _ { i } } \prod _ { j \ne i } ^ { n } ( \omega _ { j } + s ) \right\} } \\ & { = ( \alpha + \gamma ) ( \eta _ { 1 } \ldots \eta _ { n } ) \left\{ \eta ( \alpha + \gamma ) s \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( \omega _ { i } + s ) + \frac { \gamma } { \alpha } P _ { 2 } ( s ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \partial \Omega } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n } d s = \int _ { \partial \Omega _ { f } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { f } } d s + \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { s } } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \vec { E } _ { a } ^ { \mathrm { t o t } } \right] _ { \mathrm { R I N } } } & { = \frac { \Delta X _ { a } ( \Delta \omega ) } { 2 X _ { a } } \left( \vec { A } ( 2 \omega _ { a } - \omega ) \cos ( [ 2 \omega _ { a } - \omega ] t + \phi _ { + } ) \right. } \\ & { \left. + \vec { B } ( 2 \omega _ { a } - \omega ) \sin ( [ 2 \omega _ { a } - \omega ] t + \phi _ { + } ) \right. \, } \\ & { \left. + \vec { A } ( \omega ) \cos ( \omega t + \phi _ { - } ) + \vec { B } ( \omega ) \sin ( \omega t + \phi _ { - } ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal V } _ { \Sigma _ { F } } ( t ) = \frac { 2 \, k _ { B } T \, t } { \mu } + \frac { 2 \, k _ { B } T } { \mu ^ { 2 } \, k } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } \right) + \frac { 2 \, { \cal F } ^ { 2 } \, q ( 1 - q ) } { w _ { r } ( w + w _ { r } ) } \left( 1 - \frac { w \, \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } } { w - w _ { r } } + \frac { w _ { r } \, \mathrm { e } ^ { - w \, t } } { w - w _ { r } } \right) \, . } \end{array}
\Omega _ { F } ^ { \alpha } ( \Omega _ { F } ^ { \beta } ) ^ { \dagger } = L _ { F } ^ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta } \ ; \qquad ( \Omega _ { F } ^ { \alpha } ) ^ { \dagger } \Omega _ { F } ^ { \beta } = R _ { F } ^ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta } \ .
\left. \left( - \psi _ { + \mu } \delta \psi _ { + } ^ { \mu } + \psi _ { - \mu } \delta \psi _ { - } ^ { \mu } \right) \right| _ { \sigma = 0 } = \left. \left( - \psi _ { + \mu } \delta \psi _ { + } ^ { \mu } + \psi _ { - \mu } \delta \psi _ { - } ^ { \mu } \right) \right| _ { \sigma = \pi } = 0 .
\operatorname* { m a x } s _ { X } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { s _ { X } ( 1 , p _ { 2 } ) , } & { 0 < q _ { 4 } \leq h _ { A a } } \\ { s _ { X } ( 0 , 0 ) , } & { h _ { A a } < q _ { 4 } \leq h _ { A } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { c _ { 1 1 } } & { = \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { c _ { 1 2 } } & { = \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { c _ { 1 3 } } & { = \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { c _ { 2 1 } } & { = \mathbf { n } _ { 2 } \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { c _ { 2 2 } } & { = \mathbf { n } _ { 2 } \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { c _ { 2 3 } } & { = \mathbf { n } _ { 2 } \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } \\ { c _ { 3 1 } } & { = \mathbf { n } _ { 3 } \cdot \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { c _ { 3 2 } } & { = \mathbf { n } _ { 3 } \cdot \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { c _ { 3 3 } } & { = \mathbf { n } _ { 3 } \cdot \mathbf { e } _ { 3 } } \end{array} }
| \rho ( \omega , k _ { z } ) | ^ { 2 } = \frac { k _ { z } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \frac { 2 \pi s ^ { 2 } e ^ { 2 } } { ( \omega - k _ { z } s ) ^ { 2 } } \frac { | \omega | / \kappa } { e ^ { \frac { 2 \pi | \omega | } { \kappa } } - 1 } \, .
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \, ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { y } ) ^ { 1 } ( \pi _ { x } ^ { * } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } )
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { l o c a l } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } } & { { } = \rho _ { w } q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { L M B E _ { i } } & { { } = { m _ { \mathrm { l o c a l } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - { m _ { \mathrm { l o c a l } } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \quad \forall i = 1 , 2 , \cdots , N C e l l s , } \\ { G M B E } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N C e l l s } L M B E _ { i } , } \end{array}
c _ { \Delta S = 2 } \simeq { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } m _ { W } ^ { 2 } \Bigl \{ \lambda _ { c } ^ { 2 } \eta _ { 1 } x _ { c } + \lambda _ { t } ^ { 2 } \eta _ { 2 } S ( x _ { t } ) + 2 \lambda _ { c } \lambda _ { t } \eta _ { 3 } S ( x _ { c } , x _ { t } ) \Bigr \} b ( \mu ) ,
\begin{array} { r c l } { { B _ { l } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { q ^ { l ^ { 2 } + r l } } { ( q ^ { r + 1 } ) _ { 2 l } } \overline { { { F } } } _ { p - 1 ; r } ^ { ( 2 l + r ) } ( q ) . } } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { E O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 8 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 8 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 8 } { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { { \partial \omega } ^ { \mathrm { 7 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 8 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 8 } } } } \right) = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 7 } } { \Bigl ( } \mathrm { 2 0 1 6 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 4 0 3 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 2 5 2 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 6 7 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 8 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + } \\ { + \mathrm { 4 8 } { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } { \frac { { \partial } ^ { 8 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
{ \cal G } _ { d } \sim { \frac { { \cal S } _ { 3 } } { 3 2 \, | \vec { \ell } _ { 4 } | ^ { 2 } \, | \vec { \ell } _ { 5 } | ^ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { | \vec { \ell } _ { 2 } | ^ { 3 } } } \, { \frac { 1 } { [ 1 - \vec { u } _ { 2 } \cdot \vec { u } _ { 4 } ] } } \, { \frac { 1 } { [ 1 - \vec { u } _ { 2 } \cdot \vec { u } _ { 5 } ] } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { s g n } ( \phi ( \delta _ { n } ) - \theta ( \delta _ { n } ) ) } & { = \mathrm { s g n } \left( \frac { \lambda } { \kappa } ( e ^ { - \kappa \delta _ { n } } - 1 ) \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { r l } { - 1 , } & { ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ \lambda > 0 ; } \\ { 0 , } & { ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ \lambda = 0 ; } \\ { 1 , } & { ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ \lambda < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\tau _ { k } \int _ { V } | \boldsymbol { Q } _ { k } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } V = - 2 E \int _ { V } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { Q } _ { k } ) : \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { Q } _ { k } ^ { \dagger } ) \, \mathrm { d } V .
\begin{array} { r } { \omega _ { o p t } ( k ) - \omega _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) = \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) , ~ ( A ) } \\ { \omega _ { o p t } ( k ) + \omega _ { a c } ( k - k ^ { \prime } ) = \omega _ { o p t } ( k ^ { \prime } ) , ~ ( B ) . } \end{array}
{ \bf P } _ { 0 } = \frac { \partial { \bf p } _ { 0 } ^ { T } } { \partial { \bf q } } = \frac { \partial \tau } { \partial \sigma } \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } + \frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial \sigma ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma } { \partial { \bf q } } \otimes \frac { \partial \sigma } { \partial { \bf q } } \, .
\begin{array} { r } { I _ { 0 } ( \theta ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \, \int { \frac { \mathrm { d } \theta } { a _ { c } \, \sin ( \theta ) - a _ { s } \, \cos ( \theta ) } } = { \frac { 1 } { \sqrt { a _ { c } ^ { 2 } + a _ { s } ^ { 2 } } } } \tan ^ { - 1 } \left[ { \frac { a _ { c } + a _ { s } \tan ( \theta / 2 ) } { \sqrt { a _ { c } ^ { 2 } + a _ { s } ^ { 2 } } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \Phi } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left\langle \mathrm { T r } \; ( u U + v V ) ^ { n } \right\rangle } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { N } \sum _ { w ( u , v ) } w ( u , v ) \left\langle \mathrm { T r } \; w ( U , V ) \right\rangle \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } d _ { n } [ i ] / a ^ { i } } & { = } & { F ^ { n } ( a ) d _ { 0 } ( a ) = F ^ { n } ( a ) \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } d _ { 0 } [ i ] / a ^ { i } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } d _ { n } [ i ] ( \pm 1 ) ^ { i } \! \! \! } & { = } & { \! \! \! F ^ { n } ( \pm 1 ) d _ { 0 } ( \pm 1 ) = F ^ { n } ( \pm 1 ) \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } d _ { 0 } [ i ] ( \pm 1 ) ^ { i } \, . } \end{array}
\left\{ \tilde { \gamma } , C \right\} = 0 \quad ( C \ \mathrm { i s \ { \it o d d } } ) , \quad \ \mathrm { o r } \ \quad \left[ \tilde { \gamma } , C \right] = 0 \quad ( C \ \mathrm { i s \ { \it e v e n } } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { \triangleq [ F _ { 1 } , F _ { 2 } , \hdots , F _ { K } ] ^ { \intercal } } \\ { \mathbf { f } _ { k } } & { \triangleq [ f _ { k , 1 } , f _ { k , 2 } , \hdots , f _ { k , L } ] ^ { \intercal } , \: k \in [ K ] } \\ { \mathbf { w } } & { \triangleq [ W _ { 1 } , W _ { 2 } , \hdots , W _ { L } ] ^ { \intercal } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { m _ { 1 } } & { = } & { 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 1 } - a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } + 1 , \quad m _ { 2 } = 2 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 1 } - a _ { 2 } ^ { 1 } - a _ { 2 } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } + 1 , } \\ { n _ { 1 } } & { = } & { 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 } ^ { 1 } - a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 , \quad n _ { 2 } = 2 a _ { 1 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 1 } - a _ { 2 } ^ { 2 } + 2 a _ { 2 } ^ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 1 . } \end{array} } \end{array}