harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \Sigma _ { t , R R } ) _ { i j } : = \mathrm { C o v } ( R _ { i } , R _ { j } | A _ { i } , A _ { j } ) = \mathbb { I } \{ i = j \} \cdot \mathrm { V a r } ( \epsilon _ { i , a } ) + \mathrm { C o v } ( \theta _ { i } ^ { \mathrm { c m } } , \theta _ { j } ^ { \mathrm { c m } } ) + \mathbb { I } \{ A _ { i } = A _ { j } \} \cdot \mathrm { C o v } ( \theta _ { i , a } ^ { \mathrm { i d } } , \theta _ { j , a } ^ { \mathrm { i d } } )
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \to \infty } \kappa ^ { - 1 / 2 } N _ { l } ( \kappa ) = \frac { 2 ^ { 1 / 2 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } V ( r ) ^ { 1 / 2 } \, d r \, .
\begin{array} { r l } { f _ { 2 n , k , s } } & { \in \mathrm { I n d } _ { P _ { 2 k n } ( \mathbb { A } ) } ^ { \mathrm { S p } _ { 4 k n } ( \mathbb { A } ) } ( \Delta ( \tau , 2 n ) | \operatorname* { d e t } \cdot | ^ { s } ) , } \\ { f _ { n , k , s } } & { \in \mathrm { I n d } _ { P _ { k n } ( \mathbb { A } ) } ^ { \mathrm { S p } _ { 2 k n } ( \mathbb { A } ) } ( \Delta ( \tau \otimes \chi _ { T } , n ) | \operatorname* { d e t } \cdot | ^ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 4 \pi \cdot \Delta \nu \cdot \frac { d n _ { p h 1 2 } } { d t } = } & { { } } & { n _ { p u m p } \Gamma _ { p } - n _ { p h 1 2 } \Gamma _ { 1 2 } - } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } ( x + b ) _ { + } ^ { \alpha } ( y + b ) _ { + } ^ { \alpha } d b + \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } ( - x + b ) _ { + } ^ { \alpha } ( - y + b ) _ { + } ^ { \alpha } d b } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } ( x - b ) _ { + } ^ { \alpha } ( y - b ) _ { + } ^ { \alpha } d b + \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } ( b - x ) _ { + } ^ { \alpha } ( b - y ) _ { + } ^ { \alpha } d b . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta _ { F } = \operatorname* { m a x } _ { F \cap \bar { K } \not = \emptyset , K \in { \cal M } } \, \Theta _ { K } , \ \ \Theta _ { K } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathsf { T } \left( \frac { 1 + 3 \eta _ { K } } { 1 - \eta _ { K } } \right) ^ { 6 p } } & { \mathrm { i f ~ } K \in { \cal M } ^ { \Gamma } \cup { \cal M } ^ { \Sigma } , } \\ { 1 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\int [ d U ] [ d \psi ] [ d \bar { \psi } ] \bar { \psi } _ { y } ^ { u , a } \psi _ { y } ^ { d , a } \bar { \psi } _ { x } ^ { d , b } \psi _ { x } ^ { u , b } e ^ { - S } = \int [ d U ] ( M _ { x , y } ^ { - 1 , u } [ U ] ) ^ { a b } ( M _ { y , x } ^ { - 1 , d } [ U ] ) ^ { b a } \mathrm { d e t } M e ^ { - S _ { g } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } P } & { = \left( - \gamma \left( P - P _ { \mathrm { t h } } \right) + \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P + \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { P } \left( P \right) \mathcal { F } _ { P } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \hphantom { = } + \sqrt { \gamma \left( 1 + P _ { \mathrm { t h } } \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { o u t } } ^ { P } + \sqrt { \gamma P _ { \mathrm { t h } } \left( 1 + P \right) } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { i n } } ^ { P } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s p } } ^ { P } } \\ & { \hphantom { = } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - e m } } ^ { P } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { a b s } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - a b s } } ^ { P } , } \\ { \mathrm { d } \phi } & { = \left( \Omega _ { 0 } + \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) + \frac { \sigma _ { P } \left( P \right) } { 2 P } \mathcal { F } _ { \phi } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \hphantom { = } + \frac { 1 } { 2 P } \bigg ( \sqrt { \gamma \left( 1 + P _ { \mathrm { t h } } \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { o u t } } ^ { \phi } + \sqrt { \gamma P _ { \mathrm { t h } } \left( 1 + P \right) } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { i n } } ^ { \phi } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s p } } ^ { \phi } } \\ & { \hphantom { = + \frac { 1 } { 2 P } \bigg ( } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - e m } } ^ { \phi } + \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { a b s } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - a b s } } ^ { \phi } \bigg ) , } \\ { \mathrm { d } N } & { = \left( \frac { \eta I } { q } - R \left( N \right) - \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P - \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + \sigma _ { N } \left( N \right) \mathcal { F } _ { N } \left( t \right) \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \hphantom { = } + \sqrt { \frac { \eta I } { q } } \, \mathrm { d } W _ { I } + \sqrt { R \left( N \right) } \, \mathrm { d } W _ { R } - \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - e m } } ^ { P } } \\ & { \hphantom { = } - \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { a b s } } \left( P , N \right) P } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s t - a b s } } ^ { P } - \sqrt { \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) } \, \mathrm { d } W _ { \mathrm { s p } } ^ { P } . } \end{array}
I _ { \mathrm { R M S } } = I _ { \mathrm { p } } { \sqrt { { \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } } \left[ { \frac { t } { 2 } } \right] _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } } } = I _ { \mathrm { p } } { \sqrt { { \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } } { \frac { T _ { 2 } - T _ { 1 } } { 2 } } } } = { \frac { I _ { \mathrm { p } } } { \sqrt { 2 } } } .
D _ { i } ^ { c } ( t ) = - \frac { 1 } { k _ { i , c } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) } \sum _ { j \in { \mathscr { E } } } \frac { w _ { j i , c } ( t ) } { s _ { i , c } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) } \mathrm { l o g } \frac { w _ { j i , c } ( t ) } { s _ { i , c } ^ { \mathrm { i n } } ( t ) } ,
\begin{array} { r } { \int g \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot ( \boldsymbol { v } f ) \ d E = \int \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot ( g \boldsymbol { v } f ) \ d E = \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \int \boldsymbol { v } g f \ d E = \nabla _ { \boldsymbol { x } } \cdot \big ( n \langle g \boldsymbol { v } \rangle \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { s } v _ { t } - \kappa v _ { n } } & { { } = 0 , } \\ { - v _ { b } \nabla _ { s } \omega - 2 \omega \nabla _ { s } v _ { b } - \partial _ { \tau } \kappa + \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { n } + v _ { t } \nabla _ { s } \kappa + \left( \kappa ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) v _ { n } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi \cdot v _ { 1 } ( s ) } & { = v _ { 1 } ( \psi ( s ) ) ( \partial _ { t } \psi ( t ) ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { \partial _ { t } ^ { 3 } \psi ( t ) } { \partial _ { t } \psi ( t ) } - \frac { 3 } { 2 } \bigg ( \frac { \partial _ { t } ^ { 2 } \psi ( t ) } { \partial _ { t } \psi ( t ) } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) , } \\ { \psi \cdot v _ { j } ( s ) } & { = v _ { j } ( \psi ( s ) ) ( \partial _ { t } \psi ( t ) ) ^ { d _ { j } + 1 } \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } j > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \phi ( \mathbf { x } _ { r } ) } & { = \left( \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right) \left| \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \tau ( \mathbf { x } ^ { * } , \mathbf { x } _ { r } ) \right| - \left( \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ) \right) \left| \nabla _ { \mathbf { x } _ { r } } \tau ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } ) \right| } \\ & { = \frac { 1 } { c ( \mathbf { x } _ { r } ) } \left[ \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ) \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } } & { = \left\{ u \in \mathbb { R } ^ { m } \: \vert \: \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { U } } } \\ { T ^ { \mathcal { U } } \Omega } \end{array} \right) u \leq 1 \right\} , } \\ { \mathcal { X } } & { = \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \: \vert \: \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { X } } } \\ { T ^ { \mathcal { X } } \Theta } \end{array} \right) x \leq 1 \right\} , } \\ { \mathcal { T } } & { = \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \: \vert \: \left( \begin{array} { l } { T ^ { \mathcal { T } } } \\ { T ^ { \mathcal { T } } \Theta } \end{array} \right) x \leq 1 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \omega + u \cdot \nabla \omega } & { { } = 0 } \\ { u \left( t , x \right) } & { { } = \int K \left( x , y \right) \omega \left( t , y \right) d y } \\ { \omega | _ { t = 0 } } & { { } = \omega _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { K _ { \nu } ( t ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { t } { 2 } \right) ^ { \nu } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha ~ \alpha ^ { - 1 - \nu } \exp \left[ - \alpha - \frac { t ^ { 2 } } { 4 \alpha } \right] , ~ | \arg t | < \frac { \pi } { 2 } , ~ \mathrm { R e ~ } t ^ { 2 } > 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi 2 = \operatorname { C N O T } \left( \frac { | 0 0 \rangle + | 1 0 \rangle } { \sqrt { 2 } } \right) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \frac { | 0 0 \rangle + | 1 0 \rangle } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ( | 0 0 \rangle + | 1 0 \rangle ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
G _ { f _ { U } , \mathrm { T } } ( 0 , t ) = \frac { \hbar } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \pi } { 2 e } } \Bigl ( \frac { m _ { f } } { 2 t } \Bigr ) ^ { 3 / 2 } e ^ { 2 m _ { f } t } F _ { \mathrm { I } } \Bigl ( k _ { 0 } = \sqrt { \frac { m _ { f } } { 2 t } } \Bigr ) .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } ( { \bf k } , { \bf m } ) = 0 , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad { \bf m } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } , \dot { \bf x } _ { N } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { d + r } { 2 } ; 3 - \frac { r } { 2 } ; x ) \geq { _ 2 F _ { 1 } } ( 1 - \frac { r } { 2 } , 2 - \frac { d + r } { 2 } , 3 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) } \\ & { \quad - ( 1 - x ) \frac { ( 2 - r ) ( 4 - r - d ) } { 2 ( 6 - r ) } { _ 2 F _ { 1 } } ( 2 - \frac { r } { 2 } ; 3 - \frac { d + r } { 2 } ; 4 - \frac { r } { 2 } ; 1 ) . } \end{array}
N ^ { 2 } \equiv ( r ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) ( r ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } ) / ( r ^ { 2 } R ^ { 2 } ) \; \; \; , \; \; \; N ^ { \phi } \equiv - r _ { + } r _ { - } / ( r ^ { 2 } R ) .
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \varepsilon } ( q _ { \varepsilon } ) } & { = \int _ { \Omega } W ^ { \varepsilon } [ q _ { \varepsilon } ] \, \mathrm { d } x , \qquad W ^ { \varepsilon } [ q _ { \varepsilon } ] = W _ { \mathrm { e l a s t } } ( \boldsymbol { F } , \psi ) + W _ { \mathrm { p h a s e } } ^ { \varepsilon } ( \psi , \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { { } , } & { \mathrm { C y l i n d e r } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { R } } & { { } , } & { \mathrm { S p h e r e } } \\ { \frac { 1 } { R _ { \mathrm { n e c k } } } - \frac { 1 } { \delta } } & { { } , } & { \mathrm { V e s i c l e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { = - \frac { i } { \hbar } ( 2 J \cos ( k _ { 1 } ) - 2 J \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \\ & { - \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \frac { i 2 J ( \cos q - \cos k _ { 2 } ) } { \hbar } ( t - \tau ) } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { - \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \frac { i 2 J ( \cos k _ { 1 } - \cos q ) } { \hbar } ( t - \tau ) } \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { + \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \frac { i 2 J ( \cos q - \cos k _ { 2 } ) } { \hbar } ( t - \tau ) } \langle \tilde { \rho } ( q , q + k _ { 2 } - k _ { 1 } ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau } \\ & { + \frac { g ( 0 ) } { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d q \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \frac { i 2 J ( \cos k _ { 1 } - \cos q ) } { \hbar } ( t - \tau ) } \langle \tilde { \rho } ( q + k _ { 1 } - k _ { 2 } , q ; \tau ) \rangle _ { E } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { D E S } } & { { } = \operatorname* { m i n } ( L _ { R A N S } , \, C _ { D E S } \, \Delta ) \mathrm { ~ ~ ~ o ~ r ~ } } \\ { L _ { D D E S } } & { { } = L _ { R A N S } - f _ { d } \cdot ( L _ { R A N S } - C _ { D E S } \, \Delta ) \mathrm { ~ ~ ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \mu } } & { = } & { \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { i n / u m } } X _ { m } } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { i n / u m } } } , } \\ { \widetilde { \sigma } ^ { 2 } } & { \equiv } & { \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { i n / u m } } \left( X _ { m } - \widetilde { \mu } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } k _ { m } ^ { \mathrm { i n / u m } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { K } ^ { \left( n \right) } \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { 0 } , \tau \right) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int \prod _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \big \langle \mathbf { x } _ { \left( k + 1 \right) \varepsilon } \big \vert \mathbf { U } _ { \varepsilon } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { k \varepsilon } \big \rangle \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \varepsilon } \cdots \mathsf { d } \mathbf { x } _ { \left( N - 1 \right) \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } & { { } } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } = \sum _ { l m } \left( | D _ { l m } ^ { \sigma + } | ^ { 2 } - | D _ { l m } ^ { \sigma - } | ^ { 2 } \right) G _ { h _ { l } h _ { l } } , } & { { } } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } = 2 \sigma \sum _ { l m } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ { C _ { l m } ^ { \sigma } } ^ { * } D _ { l m } ^ { \sigma \sigma } G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}
E _ { + } ^ { ( a ) } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } , s } \cos { \vartheta _ { \mathbf { k } , s } } \mathscr { E } _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { a } } a _ { \mathbf { k } , s } ( t ) , ~ E _ { - } ^ { ( a ) } ( t ) = { E _ { + } ^ { ( a ) \dagger } ( t ) } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) \delta u _ { t t } + \mu ( x ) \delta u _ { t } + ( r ( x ) \delta u _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) \delta u _ { x x t } ) _ { x x } = 0 , \ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { \delta u ( x , 0 ) = 0 , ~ \quad \; \; \ \delta u _ { t } ( x , 0 ) = 0 , ~ \qquad \qquad \; \; \ x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { \delta u ( 0 , t ) \ = 0 , ~ \quad \; \; \; \delta u _ { x } ( 0 , t ) = 0 , ~ \qquad \qquad \quad t \in [ 0 , T ] , } \\ { \left[ r ( x ) \delta u _ { x x } + \kappa ( x ) \delta u _ { x x t } \right] _ { x = \ell } \; = 0 , ~ \quad \qquad \ \quad \; \; } \\ { \qquad - \left[ \big ( r ( x ) \delta u _ { x x } + \kappa ( x ) \delta u _ { x x t } \big ) _ { x } \right] _ { x = \ell } = \delta g ( t ) , \ t \in [ 0 , T ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { M } ( \tilde { p } , u _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n } } + q ^ { \mathrm { a r t } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t } } + q ^ { \mathrm { p e r } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n } } p ^ { \mathrm { v e n } } - V ^ { \mathrm { t o t } } + V ^ { \mathrm { l v } } + V ^ { \mathrm { a r t } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n } } } & { { } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \| } n _ { \| } } ^ { R } } & { { } = - \frac { i \chi \Gamma } { \omega + i k ^ { 2 } D _ { \| } + i \Gamma } , } \\ { G _ { j _ { \perp } j _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = - i \omega \sigma . } \end{array}
\xi _ { q } ( r ) = \frac { r } { S _ { r } ^ { ( q ) } } \frac { \partial S _ { r } ^ { ( q ) } } { \partial r } = r q \biggl ( \gamma ( r ) + ( 1 - q ) \biggl ( \delta ( r ) + \frac { S _ { r } ^ { ( q - 2 ) } } { S _ { r } ^ { ( q ) } } \alpha ( r ) \biggr ) \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \aleph _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \bar { \gamma } - 1 } \left[ \left( \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { f } } } - \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { a i r } } } \right) Y _ { \mathrm { f } } ^ { \prime } + \left( \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { p r o d } } } - \frac { d \log \gamma } { d Y _ { \mathrm { a i r } } } \right) Y _ { \mathrm { p r o d } } ^ { \prime } \right] . } \end{array}
\delta { \hat { W } } _ { n k u 0 } = \frac { \pi \alpha _ { E 0 } } { 4 \sqrt { 2 } } \left[ 2 - { \bar { \omega } } \ln \left( \frac { { \bar { \omega } } + 1 } { { \bar { \omega } } - 1 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { = \sum _ { \gamma } e ^ { - \beta ( E _ { \gamma } - \mu N _ { \gamma } ) } } \\ & { = \sum _ { \gamma } e ^ { - \beta \sum _ { i } n _ { i } ( \epsilon _ { i } - \mu ) } } \\ & { = \sum _ { n _ { 0 } } \sum _ { n _ { 1 } } \ldots \; \left( \prod _ { i } e ^ { \beta n _ { i } ( \mu - \epsilon _ { i } ) } \right) } \\ & { = \prod _ { i } \sum _ { n _ { i } } \left( z e ^ { - \beta \epsilon _ { i } } \right) ^ { n _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } _ { i } } & { = \mathrm { L N } ( \mathbf { z } _ { i } + \mathbf { \bar { v } } _ { i } ) , } \\ { \mathbf { b } _ { i } } & { = \mathbf { W } _ { 2 } \mathrm { R e L U } ( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { a } _ { i } ) , } \\ { \mathbf { \bar { z } } _ { i } } & { = \mathrm { L N } ( \mathbf { b } _ { i } + \mathbf { a } _ { i } ) . } \end{array}
F ( \omega ) = \frac { E _ { r e f } } { E _ { i n c } } = r _ { 1 } - \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } \exp ( - j \omega 2 L / c ) } { 1 - r _ { 1 } r _ { 2 } \exp ( - j \omega 2 L / c ) }
\frac { 1 } { 2 } I ( 0 ) = \frac { V _ { 0 } C } { \tau } e ^ { - t / \tau } \implies e ^ { - t / \tau } = \frac { 1 } { 2 } \implies - \frac { t } { \tau } = \ln { \frac { 1 } { 2 } } \implies t _ { 2 } = \tau \ln { 2 } = 1 \mathrm { ~ s ~ } \ln { 2 } \approx 0 . 6 9 3 \mathrm { ~ s ~ }
\hat { \psi } ( z , t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s _ { n } ) z ) } \Bigg [ \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s _ { n } ) | ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } A d j ( \mathscr { D } ( s _ { n } ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s _ { n } ) \Bigg ] \exp { ( s _ { n } t ) } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l } { \rho u _ { \infty } = 2 0 0 . 0 \ \left[ \frac { k g } { m ^ { 2 } \cdot s } \right] , } & { \rho _ { \infty } = 1 . 0 \ \left[ \frac { k g } { m ^ { 3 } } \right] , } & { \rho e _ { o , \infty } = 3 0 5 7 1 4 . 3 \ \left[ \frac { k g } { m \cdot s ^ { 2 } } \right] } \end{array} } \end{array}
\sum _ { l } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d r r \, \psi _ { \scriptscriptstyle { l , L } } ^ { \ast } ( k , r ) \, \psi _ { \scriptscriptstyle { l , L ^ { \prime } } } ( k ^ { \prime } , r ) = \delta _ { \scriptscriptstyle { L , L ^ { \prime } } } \, \delta ( E - E ^ { \prime } ) \, .
\mathbf { a _ { i } ^ { i } } \gets ( \mathbf { R _ { i - 1 } ^ { i } } \bigodot \mathbf { a _ { i - 1 } ^ { i - 1 } } ) \bigoplus ( \mathbf { \dot { \omega } _ { i } ^ { i } } \bigotimes \mathbf { p _ { i - 1 , i } ^ { i } } ) \bigoplus ( \mathbf { \omega _ { i } ^ { i } } \bigotimes ( \mathbf { \omega _ { a , i } ^ { i } } \times \mathbf { p _ { i - 1 , i } ^ { i } } ) )
{ \cal E } _ { \tau } ^ { \underline { { a } } } ( z ^ { M } ) = \partial _ { \tau } X ^ { \underline { { a } } } - i \partial _ { \tau } \bar { \Theta } \Gamma ^ { \underline { { a } } } \Theta = { \frac { 1 } { D - 2 } } D _ { q } \bar { \Theta } \Gamma ^ { \underline { { a } } } D _ { q } \Theta ,
\Psi \left( \omega \right) = \frac { A _ { 1 } } { \pi } \frac { \gamma _ { 1 } } { \left( \omega - \Omega _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { A _ { 2 } } { \pi } \frac { \gamma _ { 2 } } { \left( \omega - \Omega _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \delta = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { | \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ o ~ } } - \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } | } { \Delta E _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } + \frac { | \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ o ~ } } - \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } | } { \Delta E _ { 3 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } \right) } \end{array}
\vert \phi _ { 1 } \rangle = L _ { - 1 } \vert { h ; 0 } \rangle { } ~ , { } ~ { } ~ { } ~ \vert \phi _ { 2 } \rangle = G _ { - { \frac { 2 } { 3 } } } ^ { - } G _ { - { \frac { 1 } { 3 } } } ^ { + } \vert { h ; 0 } \rangle { } ~ .
\frac { 7 ! 3 ! } { 2 } ( C \Gamma ^ { [ \nu _ { 1 } } ) _ { \alpha { ' } \beta { ' } } ( C \Gamma ^ { \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } ] } ) _ { \delta { ' } \epsilon { ' } } + \frac { 6 ! 4 ! 7 } { 4 ! } ( C \Gamma ^ { \mu _ { 7 } \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \alpha { ' } \beta { ' } } ( C \Gamma _ { \mu _ { 7 } } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \delta { ' } \epsilon { ' } } = 0 \quad ,
e ^ { - 1 } { \cal L } = - { \frac { 1 } { 2 } } R - { \frac { 1 } { 4 } } G _ { I J } F _ { \mu \nu } { } ^ { I } F ^ { \mu \nu J } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { i j } \partial _ { \mu } \phi ^ { i } \partial ^ { \mu } \phi ^ { j } + { \frac { e ^ { - 1 } } { 4 8 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma \lambda } C _ { I J K } F _ { \mu \nu } ^ { I } F _ { \rho \sigma } ^ { J } A _ { \lambda } ^ { k } \ .
= ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / v _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / v _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / v _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\frac { | \rho _ { m } ( \nu , f _ { l } ) | ^ { 2 } } { R _ { m } ( f _ { l } ) } = e ^ { - \pi ^ { 2 } w _ { m } ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } \enskip \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \enskip w _ { m } = \frac { w _ { s } } { \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } 2 \theta _ { 0 } ^ { i } } }