harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { + } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( E _ { x } - i E _ { y } \right) ; \quad E _ { - } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( E _ { x } + i E _ { y } \right) . } \end{array}
\langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \rangle = \langle \hat { V } \rangle \mathrm { ~ , ~ } \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } \rangle = \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle \mathrm { ~ , ~ } \langle \hat { V } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime \prime } \rangle = \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle .
4 . 2 0 \gamma ( x ) = - x \frac { [ 1 - 1 . 2 3 7 3 x - 1 . 8 4 8 5 x ^ { 2 } ] } { [ 1 - 5 . 0 2 8 9 x + 4 . 7 9 9 3 x ^ { 2 } ] }
\frac { 1 } { 2 } p ^ { i } p _ { i } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n ( N _ { b n } + N _ { c n } + \sum _ { i = d + 1 } ^ { 2 5 } N _ { i n } ) + \sum _ { r = 1 / 2 } ^ { \infty } \sum _ { a = 0 } ^ { d } r N _ { a r } = { \frac { 1 5 - d } { 1 6 } } .
S [ y _ { 1 } , y _ { 2 } ] = \int [ y _ { 1 } ^ { 2 } + 2 y _ { 2 } ^ { 2 } + ( 2 y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ^ { 2 } ] d x \implies S [ y _ { 1 } , y _ { 2 } ] = \int [ ( z _ { 1 } ^ { \prime } - a y _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 ( z _ { 2 } ^ { \prime } - 2 y _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( 2 y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ^ { 2 } ] d x \implies S [ y _ { 1 } , y _ { 2 } ] = \int ( z _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a z _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 2 } ^ { \prime } + a ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } + 2 z _ { 2 } ^ { 2 } - 8 z _ { 2 } ^ { \prime } y _ { 1 } ^ { \prime } + 8 y _ { 1 } ^ { 2 } + 4 y _ { 1 } ^ { 2 } + 4 y _ { 1 } y _ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) d x .
d \Phi _ { n } ( P ; p _ { 1 } , p _ { 2 } , \dots , p _ { n } ) = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } \left( P - \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { d ^ { 3 } { \vec { p } } _ { i } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } E _ { i } } }
0 = \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } ( p _ { n + 1 } - p _ { n } ) = - \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \frac { f ( p _ { n } ) } { f ^ { \prime } ( p _ { n } ) } = - \frac { f ( p _ { * * } ) } { f ^ { \prime } ( p _ { * * } ) } ,
{ \frac { d ^ { 2 } u } { d \theta ^ { 2 } } } = { \frac { 2 } { r ^ { 3 } } } \left( { \frac { d r } { d \theta } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { d ^ { 2 } r } { d \theta ^ { 2 } } }
\left( i \nabla \cdot \Gamma + \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } a \cdot \Gamma + H _ { \mu \nu \rho } \Gamma ^ { \mu \nu \rho } + g F _ { \mu \nu \rho } \Gamma _ { | | } \Gamma ^ { \mu \nu \rho } \right) \psi = 0
{ \begin{array} { r l } { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - \sum _ { j = 0 } ^ { \Delta - 1 } { \binom { n + \alpha } { n - j } } ( - 1 ) ^ { j } { \frac { x ^ { j } } { j ! } } } & { = ( - 1 ) ^ { \Delta } { \frac { x ^ { \Delta } } { ( \Delta - 1 ) ! } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - \Delta } { \frac { \binom { n + \alpha } { n - \Delta - i } } { ( n - i ) { \binom { n } { i } } } } L _ { i } ^ { ( \alpha + \Delta ) } ( x ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \Delta } { \frac { x ^ { \Delta } } { ( \Delta - 1 ) ! } } \sum _ { i = 0 } ^ { n - \Delta } { \frac { \binom { n + \alpha - i - 1 } { n - \Delta - i } } { ( n - i ) { \binom { n } { i } } } } L _ { i } ^ { ( n + \alpha + \Delta - i ) } ( x ) } \end{array} }
{ \cal L } _ { h } = - g \left[ \Phi _ { h } ^ { \dagger } \left( g ^ { \mu \nu } A _ { \mu } A _ { \nu } + \overline { { { m } } } A _ { \mu } e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \right) \Phi _ { h } - \mu _ { h } ^ { 2 } \Phi _ { h } ^ { \dagger } \Phi _ { h } + \frac { 1 } { 2 } \overline { { { b } } } \left( \Phi _ { h } ^ { \dagger } \Phi _ { h } \right) ^ { 2 } \right] .
m i n ~ P _ { \alpha \beta } = 0 : ~ \left\{ \begin{array} { l } { { \sin \phi ^ { \prime } = 0 , ~ o r ~ 2 \phi ^ { \prime } = 2 \pi k ^ { \prime } , ~ k ^ { \prime } = 0 , 1 , . . . , } } \\ { { \sin \phi ^ { \prime \prime } = 0 , ~ o r ~ 2 \phi ^ { \prime \prime } = 2 \pi k ^ { \prime \prime } , ~ k ^ { \prime \prime } = 0 , 1 , . . . ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } c _ { i , 0 } + \partial _ { \tau } c _ { i , 2 } + \mathrm { P e } u \left( \mathbf { y } , \tau \right) \partial _ { x } c _ { i , 1 } } \\ { = } & { \kappa _ { i } \partial _ { x } \left( \partial _ { x } c _ { i , 0 } + z _ { i } c _ { i , 0 } \partial _ { x } \phi _ { 0 } \right) + \kappa _ { i } \nabla _ { \mathbf { y } } \cdot \left( \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i , 2 } + z _ { i } \left( c _ { i , 2 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 0 } + 2 c _ { i , 1 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 1 } + c _ { i , 0 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\widetilde { w } _ { i } ^ { j } = \left\{ \begin{array} { r } { \frac { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } \mathbf { u } ^ { j } \mathbf { K } _ { l } \mathbf { u } ^ { j } } { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } } , \quad \rho _ { i } ^ { j } = 1 } \\ { \varepsilon \frac { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } \mathbf { u } ^ { j } \mathbf { K } _ { l } \mathbf { u } ^ { j } } { \sum _ { l \in \mathcal { N } _ { i } ^ { r } } h _ { i , l } ^ { r } } , \quad \rho _ { i } ^ { j } = 0 } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { D ( A ) = \{ y \in V _ { 0 } : \; { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) + q y \in L ^ { 2 } ( a , b ) \; \mathrm { ~ a n d ~ } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) ( b ^ { - } ) = 0 \} } \\ { A y = { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ) + q y . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\| \mathcal { L } ( \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \widehat { W } ) ) - \mathcal { L } ( \xi ^ { n } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; W ) ) \right\| _ { \mathrm { T V } } \leq 1 - \frac { 1 } { 2 } \exp \left( - D _ { \mathrm { K L } } ( \mathcal { L } ( \widehat { W } ) \| \mathcal { L } ( W ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \delta } } & { { \displaystyle = ( - 1 ) ^ { r ( q + 1 ) + 1 } * d * \sim ( - 1 ) ^ { r ( q + 1 ) + 1 } * s _ { 2 } * = - ( - 1 ) ^ { r ( q + 1 ) + 1 } { \frac { 1 } { 2 } } { C _ { i j } } ^ { k } * c ^ { i } c ^ { j } \pi _ { k } * } } \\ { { } } & { { \displaystyle = - ( - 1 ) ^ { r ( q + 1 ) + 1 + ( q - 1 ) ( r - q + 1 ) + q ( r - q ) } { \frac { 1 } { 2 } } { C _ { i j } } ^ { k } * c ^ { i } * * c ^ { j } * * \pi _ { k } * = { \frac { 1 } { 2 } } { C _ { i j } } ^ { k } \pi ^ { i } \pi ^ { j } c _ { k } = \overline { { { s } } } _ { 2 } \; . } } \end{array}
\overline { { n _ { z } } } = \frac { \sum _ { n _ { z } = 0 } ^ { n _ { z } ^ { \mathrm { m a x } } } n _ { z } \exp { ( - h \nu _ { z } n _ { z } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { v e r } } ) } } { \sum _ { n _ { z } = 0 } ^ { n _ { z } ^ { \mathrm { m a x } } } \exp { ( - h \nu _ { z } n _ { z } / k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { v e r } } ) } }
\begin{array} { r l } { v _ { k } \in C _ { 0 } ^ { \infty } ( Q \times ( k , k + 1 ) ) } & { \subseteq W _ { 0 } ^ { 1 , p } ( Q \times ( k , k + 1 ) ) } \\ & { = W _ { 0 } ^ { 1 , p } ( ( Q \times ( k , k + 1 ) ) \setminus S _ { k } ) \subseteq W _ { 0 } ^ { 1 , p } ( \mathcal { T } ) = \mathcal { D } _ { 0 } ^ { 1 , p } ( \mathcal { T } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \check { L } _ { 1 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { = } & { - \frac { Q ( \lambda , \hbar ) } { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } , } \\ { \check { L } _ { 1 , 2 } ( \lambda , \hbar ) } & { = } & { \frac { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { j } ) } { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } , } \\ { \check { L } _ { 2 , 2 } ( \lambda , \hbar ) } & { = } & { P _ { 1 } ( \lambda ) + \frac { Q ( \lambda , \hbar ) } { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } , } \\ { \check { L } _ { 2 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { = } & { \hbar \frac { \partial \bigg ( \frac { Q ( \lambda , \hbar ) } { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { j } ) } \bigg ) } { \partial \lambda } + L _ { 2 , 1 } ( \lambda , \hbar ) \frac { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { j } ) } } \\ & { } & { - P _ { 1 } ( \lambda ) \frac { Q ( \lambda , \hbar ) } { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { j } ) } - \frac { Q ( \lambda , \hbar ) ^ { 2 } } { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - q _ { j } ) \, { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } } } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { n \ell } } & { = - \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } { H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) - \Gamma _ { n \ell } H _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } } \\ { \Gamma _ { n \ell } } & { = \frac { \xi _ { n } k _ { n } J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } { k _ { o } J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } } \\ { \xi _ { n } } & { = \frac { \mu _ { o } } { \mu _ { n } } ~ \left[ \frac { \epsilon _ { o } } { \epsilon _ { n } } \right] ~ \mathrm { ~ f o r ~ } \mathrm { T M } ~ [ \mathrm { T E } ] } \end{array}
0 \leq g _ { R } ( r ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { f o r } \; r \leq R ; } \\ { 1 + \frac { 1 } { R ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } \quad \mathrm { f o r } \; R \leq r \leq 2 R ; } \\ { \frac { 1 } { r ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } \leq \frac { 1 } { ( 2 R ) ^ { \operatorname* { m a x } ( 0 , p - 4 ) } } \quad \mathrm { f o r } \, r \geq 2 R , } \end{array} \right.
N = \int _ { E _ { t h r e s h } } ^ { E _ { m a x } } I _ { 0 } ^ { \prime } ( \varepsilon ) \eta ( \varepsilon ) A t _ { e x p } \exp \left[ - \int _ { \underline { { x } } \in V } \rho ( \underline { { x } } ) \mu ( \underline { { x } } , \varepsilon ) x d \underline { { x } } \right] d \varepsilon
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \frac { \gamma _ { 0 } \Tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } - \hat { \textbf { u } } } { \Delta t } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P ^ { n + 1 } = - \textbf { N } ( \textbf { u } ^ { * , n + 1 } ) + \left( \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } - \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \nabla P ^ { * , n + 1 } - \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } \nabla \times \nabla \times \textbf { u } ^ { * , n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \! \! \! \! \! \! } & { } & { \int { \frac { d ^ { \, 4 } p } { ( p ^ { 2 } - 2 p \cdot q x + q ^ { 2 } x - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { \times } & { } & { \left( 2 p _ { \mu } p _ { \nu } - p _ { \mu } q _ { \nu } - p _ { \nu } q _ { \mu } - \delta _ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } - p \cdot q - m ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j _ { 1 } } ] } & { = c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } \int \tau ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } \frac { 1 + \tau ^ { 2 } } { 1 + s _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) j ( s _ { 0 } ) } \\ & { \le c ^ { 4 + \gamma _ { 1 } } \eta ^ { \gamma _ { 1 } } \int ( 1 + \tau ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) j ( s _ { 0 } ) } \\ & { \le \eta ^ { \gamma _ { 1 } } \frac { c ^ { 4 + \gamma _ { 1 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } j ( s _ { 0 } ) } \end{array}
\nabla \times \mathbf { H } = \left[ \begin{array} { l } { \partial _ { y } H _ { z } - \partial _ { z } H _ { y } , \partial _ { z } H _ { x } - \partial _ { x } H _ { z } , \partial _ { x } H _ { y } - \partial _ { y } H _ { x } } \end{array} \right] ^ { T }
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } \sum _ { j = 1 } ^ { Z _ { m } ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) } F _ { p _ { n } } ( j , m ) } & { = 2 \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } ( \xi _ { p _ { n } } + W _ { p _ { n } - 1 } ) , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } \sum _ { j = 1 } ^ { Z _ { m } ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) } F _ { p _ { n } } ( j , m ) } & { = \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } \mathrm { V a r } _ { \omega } F _ { p _ { n } } + \mathrm { V a r } _ { \omega } Z ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) ( \mathrm { E } F _ { p _ { n } } ) ^ { 2 } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { d d } } = - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left( 2 d _ { 1 , 0 } d _ { 2 , 0 } + d _ { 1 , - 1 } d _ { 2 , 1 } + d _ { 1 , 1 } d _ { 2 , - 1 } \right) \, .
\sigma _ { a , 1 } ^ { R } ( t ) = \sigma _ { a , 1 } ^ { 3 } \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + \frac { t } { t _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ m ~ p ~ } } } \Delta , } & { 0 < t < t _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ m ~ p ~ } } } \\ { 1 + \Delta , } & { t \ge t _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ m ~ p ~ } } , } \end{array} \right.
g _ { n m } ^ { a d } ( k , q ) = \sqrt { k _ { B } T } \sum _ { G \neq - q } ^ { } \bigg [ \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { l } } { c l \sqrt { \rho } } + \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { t _ { 1 } } } { c t _ { 1 } \sqrt { \rho } } + \frac { \tilde { D } _ { n k } : \tilde { S } _ { t _ { 2 } } } { c t _ { 2 } \sqrt { \rho } } \bigg ] \langle m k + q | e ^ { i ( q + G ) . r } | n k \rangle
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { P } \Big ( ( 1 - s ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { t } ) _ { - } \, d t \le \big ( h _ { n } ^ { 3 / 2 } n \big ) ^ { - 1 + \delta } \Big ) \, d s } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 - b _ { n } } \mathbb { P } \Big ( ( 1 - s ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { t } ) _ { - } \, d t \le \big ( h _ { n } ^ { 3 / 2 } n \big ) ^ { - 1 + \delta } \Big ) \, d s + \int _ { 1 - b _ { n } } ^ { 1 } \, d s } \\ & { \le \mathbb { P } \Big ( b _ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { t } ) _ { - } \, d t \le \big ( h _ { n } ^ { 3 / 2 } n \big ) ^ { - 1 + \delta } \Big ) + b _ { n } = \mathcal { O } \Big ( \big ( h _ { n } ^ { 3 / 2 } n b _ { n } ^ { - 1 } \big ) ^ { - \frac { 1 + \delta } { 3 } } + b _ { n } \Big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ) } & { = A ( 0 ) \left( \frac { L ( t ) } { L ( 0 ) } \right) ^ { \frac { 2 - d } { 2 } } , } \\ { e ^ { 4 k ( t ) } } & { = L ( t ) ^ { 2 } = 2 h ( t ) - \cos ( \xi ( t ) ) \sqrt { 4 h ( t ) ^ { 2 } - 1 } , } \\ { B ( t ) } & { = 2 \sin ( \xi ( t ) ) \sqrt { 4 h ( t ) ^ { 2 } - 1 } , } \\ { X _ { i } ( t ) } & { = \sin ( \theta _ { i } ( t ) ) \sqrt { 2 a _ { i } ( t ) } , \quad i = 1 , \dots , d , } \\ { \beta _ { i } ( t ) } & { = \cos ( \theta _ { i } ( t ) ) \sqrt { 2 a _ { i } ( t ) } , \quad i = 1 , \dots , d , } \\ { \gamma ( t ) } & { = \gamma ( 0 ) + \sum _ { l = 1 } ^ { d } \frac { a _ { l } ( 0 ) } { 2 } \left[ \sin ( 2 \theta _ { l } ( t ) ) - \sin ( 2 \theta _ { l } ( 0 ) ) \right] } \\ { s ( t ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t \right) \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) + m _ { t } \frac { \pi } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { i , n } ^ { \mathrm { T X } } \triangleq \frac { \jmath + \widetilde { w } _ { i , n } ^ { \mathrm { T X } } e ^ { \jmath \rho _ { i , n } \beta _ { i } } } { 2 } , \, \, w _ { i , n } ^ { \mathrm { R X } } \triangleq \frac { \jmath + \widetilde { w } _ { i , n } ^ { \mathrm { R X } } e ^ { \jmath \rho _ { i , n } \beta _ { i } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } { \left\lVert { X _ { s , t } ^ { l ; i , j _ { 1 } } - X _ { s , t } ^ { m ; i , j _ { 1 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } } ^ { p } } & { \preceq \epsilon \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { 2 \rho ^ { \prime } } } , } \\ { \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; i , j _ { 1 } } d X _ { r } ^ { l ; k , j _ { 2 } } - \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } d X _ { r } ^ { m ; k , j _ { 2 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes ( i + k ) } } ^ { p } } & { \preceq \epsilon \left| t - s \right| ^ { \frac { p } { \rho ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert { M ( t ) } \rangle } & { { } = \left( m _ { 0 } ( t ) + \sum _ { a i } m _ { i } ^ { a } ( t ) c _ { a } ^ { \dagger } c _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } m _ { i j } ^ { a b } ( t ) c _ { a } ^ { \dagger } c _ { b } ^ { \dagger } c _ { j } c _ { i } + \cdots \right) \vert { 0 } \rangle } \\ { \langle { \tilde { M } ( t ) } \vert } & { { } = \langle { 0 } \vert \left( \tilde { m } _ { 0 } ( t ) + \sum _ { a i } \tilde { m } _ { a } ^ { i } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } \tilde { m } _ { a b } ^ { i j } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } ^ { \dagger } c _ { b } c _ { a } + \cdots \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 1 1 } } & { \triangleq } & { \textrm { d i a g } \left( U _ { m k } , U _ { m k } \right) , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 1 2 } } & { \triangleq } & { \left[ \textrm { I m } \left( \alpha _ { k } ^ { r } T _ { m k } \right) , - \textrm { R e } \left( \alpha _ { k } ^ { r } T _ { m k } \right) \right] ^ { T } , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 2 2 } } & { \triangleq } & { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \left| \alpha _ { k } ^ { r } \right| ^ { 2 } V _ { m k } , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k l } ^ { o } \right) _ { 1 2 } } & { \triangleq } & { \left[ \textrm { I m } \left( \alpha _ { l } ^ { r } T _ { m k l } \right) , - \textrm { R e } \left( \alpha _ { l } ^ { r } T _ { m k l } \right) \right] ^ { T } , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k l } ^ { o } \right) _ { 2 1 } } & { \triangleq } & { \left[ \textrm { I m } \left( \alpha _ { k } ^ { r } T _ { m k l } \right) , - \textrm { R e } \left( \alpha _ { k } ^ { r } T _ { m k l } \right) \right] ^ { T } , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k l } ^ { o } \right) _ { 2 2 } } & { \triangleq } & { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \left( \alpha _ { k } ^ { r } \right) ^ { * } \alpha _ { l } ^ { r } V _ { m k l } , } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k l } ^ { o } \right) _ { 1 1 } } & { \triangleq } & { \left[ \begin{array} { c c } { \textrm { R e } \left( U _ { m k l } \right) } & { - \textrm { I m \ensuremath { \left( U _ { m k l } \right) } } } \\ { \textrm { I m } \left( U _ { m k l } \right) } & { \textrm { R e } \left( U _ { m k l } \right) } \end{array} \right] , } \end{array}
\partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { K } = 0 , \ \ \ \partial _ { z _ { i } } H _ { K } = \epsilon _ { i j k } \partial _ { z _ { j } } A _ { k } , \ \ \ \partial _ { \vec { z } } ^ { 2 } H _ { 5 } + H _ { K } \partial _ { x } ^ { 2 } H _ { 5 } = 0 .
\left\langle U _ { \ell } \right\rangle = \frac { n _ { \mathrm { b } } } { 2 \uppi } \, \int _ { f _ { 0 } } ^ { f _ { 0 } + 2 \uppi } \, \Delta U _ { \ell } \, \frac { { { \textrm { d } } } { t } } { { { \textrm { d } } } { f } } \, \mathrm { d } f .
\begin{array} { r l } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { ( 1 - t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) } { 2 } \right) } & { \geqslant C \big | \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) - t \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big | ^ { 2 } } \\ & { \geqslant C \big | ( 1 - t ) \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) + t \big ( f _ { 2 } ( \varphi ) - f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big | ^ { 2 } } \\ & { \geqslant C \Big [ ( 1 - t ) - t \| f _ { 2 } \| _ { \textnormal { \tiny { L i p } } } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| \Big ] ^ { 2 } } \\ & { \geqslant C \Big [ \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } } { 2 } - t ^ { 2 } \| f _ { 2 } \| _ { \textnormal { \tiny { L i p } } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } V _ { i } ^ { \alpha } = 0 , } & { ( 0 , L ) \backslash D , } \\ { V _ { i } ^ { \alpha } ( x ) = \delta _ { i j } , } & { x \in D _ { j } , } \\ { V _ { i } ^ { \alpha } ( x + m L ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha m L } V _ { i } ^ { \alpha } ( x ) , } & { m \in \mathbb { Z } . } \end{array} \right.
F _ { \lambda } ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \lambda - 1 } { \lambda } } \mathbf { 1 } _ { x \in [ 0 , \lambda _ { - } ) } + \left( { \frac { \lambda - 1 } { 2 \lambda } } + F ( x ) \right) \mathbf { 1 } _ { x \in [ \lambda _ { - } , \lambda _ { + } ) } + \mathbf { 1 } _ { x \in [ \lambda _ { + } , \infty ) } , } & { { \mathrm { i f ~ } } \lambda > 1 } \\ { F ( x ) \mathbf { 1 } _ { x \in [ \lambda _ { - } , \lambda _ { + } ) } + \mathbf { 1 } _ { x \in [ \lambda _ { + } , \infty ) } , } & { { \mathrm { i f ~ } } 0 \leq \lambda \leq 1 , } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { I B } } ( u ) } & { { } = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 3 } } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \frac { h ^ { 2 } } { ( 2 \pi m ) ^ { 3 / 2 } c } \frac { Z ^ { * 3 } } { ( k _ { B } T [ \mathrm { e V } ] ) ^ { 7 / 2 } u ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \Big | _ { \alpha ^ { 2 } } = 2 \frac { \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } } { \Delta t } ( - \alpha k _ { 3 } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\hat { \partial } _ { + } \hat { \partial } _ { - } X ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } G ^ { i l } ( \partial _ { j } G _ { k l } + \partial _ { k } G _ { j l } - \partial _ { l } G _ { j k } ) \hat { \partial } _ { + } X ^ { i } \hat { \partial } _ { - } X ^ { k } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge d \phi _ { t } = \int _ { \Omega } d \phi _ { t } \wedge \big ( d ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) + \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } d \phi _ { t } \wedge \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \mathrm { t r } ( \phi _ { t } ) \wedge \mathrm { t r } ( \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) } \\ { = } & { \int _ { \partial \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } \wedge ( \phi _ { \partial } ) _ { t } , } \end{array}
Q _ { p , e } = \Bigg [ \sum _ { n } 2 C _ { 2 _ { b e s t \_ f i t } } \overline { { \gamma } } _ { n _ { p , e } } ( k _ { \perp } ) \overline { { k } } _ { \perp n } \bigg ( \frac { b _ { k n } ^ { 3 } } { b _ { k i } ^ { 3 } } \bigg ) \delta ( \mathrm { ~ l ~ n ~ } \overline { { k } } _ { \perp n } ) \Bigg ] \bigg ( \frac { k _ { 0 } } { k _ { \perp i } } \bigg ) \frac { C _ { 2 _ { b e s t \_ f i t } } ^ { - 3 } v _ { A } ^ { 3 } } { \rho _ { p } } .
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } U ^ { x } + u ( y ) \partial _ { x } U ^ { x } + u ^ { \prime } ( y ) \partial _ { x } \psi + U \cdot \nabla U ^ { x } + \theta \partial _ { x } P + d \partial _ { x } P = 0 } \\ & { \partial _ { t } U ^ { y } + u ( y ) \partial _ { x } U ^ { y } + U \cdot \nabla U ^ { y } + \theta \partial _ { y } P + d \partial _ { y } P = 0 , } \end{array} \right.