harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \widehat { \vec { \gamma } } _ { 1 } } & { = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 ) / 2 , } \\ { \widehat { \vec { \gamma } } _ { 2 } } & { = ( 0 , 0 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , 2 , 2 ) / 2 \sqrt { 3 } , } \\ { \widehat { \vec { \gamma } } _ { 3 } } & { \approx ( - 0 . 0 4 , - 0 . 0 8 , - 0 . 3 3 , - 0 . 3 5 , 0 . 2 4 , 0 . 2 7 , 0 . 5 8 , 0 . 5 5 ) . } \end{array}
\gamma _ { \pm } \equiv 2 \mu _ { \pm } + \frac { 1 } { 2 } = 1 \pm \frac { 1 } { 2 } \quad , \quad \alpha _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \mathcal { E } _ { a , b } + \omega _ { a , b } } \quad \mathrm { a n d } \quad \beta _ { a , b } ^ { \pm } \equiv \mu _ { \pm } + \nu _ { a , b } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \mathcal { E } _ { a , b } + \omega _ { a , b } } \; .
S _ { \lambda \alpha } ^ { \omega } \ \sim \ \sum _ { w \in W _ { \omega } } \ \epsilon _ { \omega } ( w ) \exp \Bigl ( - \frac { 2 \pi i } { k + g ^ { \vee } } \bigl ( w ( \lambda + \rho ) , \alpha + \rho _ { \omega } \bigr ) \Bigr ) \ \ .
{ \frac { \partial L ( D , { \boldsymbol { \beta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \beta } } } } = { \frac { \partial \left( Y ^ { \mathsf { T } } Y - Y ^ { \mathsf { T } } X { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { \mathsf { T } } X ^ { \mathsf { T } } Y + { \boldsymbol { \beta } } ^ { \mathsf { T } } X ^ { \mathsf { T } } X { \boldsymbol { \beta } } \right) } { \partial { \boldsymbol { \beta } } } } = - 2 X ^ { \mathsf { T } } Y + 2 X ^ { \mathsf { T } } X { \boldsymbol { \beta } }
f ^ { i } = ( f _ { v } ^ { i } , f _ { \Sigma } ^ { i } , f _ { b } ^ { i } ) \in \mathcal { F } _ { 1 } , \quad e ^ { i } = ( e _ { v } ^ { i } , e _ { \Sigma } ^ { i } , e _ { b } ^ { i } ) \in \mathcal { E } _ { 1 } , \quad i = 1 , 2 .
{ \cal J } _ { i } ^ { 0 } \equiv - \frac \partial { \partial x } \psi ^ { i } - 2 \varepsilon ^ { i j k } \psi ^ { j } \pi _ { k } = - \sqrt { 1 - { \bf \varphi } ^ { 2 } } \; \varpi _ { i } - \varepsilon ^ { i j k } \varphi ^ { j } \varpi _ { k } \equiv J _ { i } ^ { 0 } .
Z = ( 1 - i ) \sqrt { \frac { \omega \mu _ { 0 } } { 2 \sigma _ { 1 } } } \frac { \beta + \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } [ ( 1 - i ) q ] } { \beta \, \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } [ ( 1 - i ) q ] + 1 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { \omega } } { L } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { \omega } } \big [ \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { [ 1 + \exp { ( - y _ { i } \mathbf { \omega } ^ { T } \cdot x _ { i } ) } ] } } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ i ~ s ~ t ~ i ~ c ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } } \\ { \quad } & { { } + \underbrace { \lambda \| \mathbf { \omega } \| } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ i ~ z ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \big ] . } \end{array}
\frac { r _ { b } ( 1 + x ) } { x - r _ { b } } \geq \frac { 1 } { r _ { b } } \; \; \; \; \Longleftrightarrow \; \; \; \; ( 1 + x ) r _ { b } ^ { 2 } + r _ { b } - x \geq 0 \; \; \; \; \Longleftrightarrow \; \; \; \; r _ { b } \geq \frac { x } { 1 + x } \; .
h ( \lambda , \beta , \gamma , \theta ) = \left\{ \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { \sqrt { - \Delta } } \log \frac { b + \sqrt { - \Delta } } { b - \sqrt { - \Delta } } \; \; \; \; f o r \; \; \; \; \Delta < 0 } } \\ { { \frac { 2 } { b } \; \; \; \; \; \; \; f o r \; \; \; \; \; \; \; \Delta = 0 } } \\ { { \frac { 2 } { \sqrt { \Delta } } ( \frac { \pi } { 2 } - \arctan \frac { b } { \sqrt { \Delta } } ) \; \; \; \; f o r \; \; \; \; \Delta > 0 } } \end{array} \right.
\mathbf { \widetilde { K } } _ { i j } ^ { ( \mathrm { v t , e x , c t 1 , c t 2 } ) } = \{ \widetilde { K } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { j } } , \widetilde { K } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { i } } , \widetilde { K } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { i } \bar { \nu } _ { i } } , \widetilde { K } _ { i j } ^ { \bar { \mu } _ { j } \bar { \nu } _ { j } } \}
\phi ~ \geq ~ { \frac { \pi R \sin 2 \theta } { L _ { V } } } = 1 7 { \sin 2 \theta } \left( { \frac { R } { R _ { \mathrm { e a r t h } } } } \right) \left( { \frac { 1 0 \mathrm { M e V } } { E } } \right) \left( { \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 \times 1 0 ^ { - 5 } \mathrm { e V ^ { 2 } } } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { m } \mathbb E \left[ \left. \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + t - 1 } \odot \mathbf S _ { T _ { 0 } + t } , \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + t } \rangle - Q _ { T _ { 0 } + t - 1 , a _ { T _ { 0 } + t } } S _ { T _ { 0 } + t , a _ { T _ { 0 } + t } } \right\vert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le 9 ( 1 + C _ { V } ) M ^ { 3 } K m ^ { 2 - \frac \delta 3 } \cdot \left( 3 \ln m + \ln K \right) + 4 M ^ { 2 } + 1 2 K M ^ { 2 } m ^ { 2 - \frac \delta 3 } } \\ & { \le 2 1 ( 1 + C _ { V } ) M ^ { 3 } K m ^ { 2 - \frac \delta 3 } \cdot \left( 3 \ln m + \ln K \right) + 4 M ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ] } & { \leq } & { ( n \beta _ { n } \slash L ) ( C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ) } \\ & { \leq } & { C L ^ { - 1 \slash 2 } n \sqrt { \beta _ { n } } + C L n \beta _ { n } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
D _ { e } ^ { ( n ) } = \frac { \tilde { D } _ { e } ^ { ( n ) } } { \displaystyle \frac { 1 } { N _ { E } } \sum _ { i } ^ { N _ { E } } \tilde { D } _ { i } ^ { ( n ) } } , \quad C _ { \alpha } ^ { ( n ) } = \frac { \displaystyle \tilde { C } _ { \alpha } ^ { ( n ) } } { \displaystyle \frac { 1 } { N _ { A } } \sum _ { \xi } ^ { N _ { A } } \tilde { C } _ { \xi } ^ { ( n ) } } .
\begin{array} { r l } { f ( x _ { k - 1 } ) \geqslant } & { f ( x _ { k } ) + \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; x _ { k - 1 } - x _ { k } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| x _ { k - 1 } - x _ { k } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { f ( x _ { k } ) + \gamma _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| \gamma _ { k - 1 } d _ { k - 1 } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } } \end{array}
+ \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l r } { - \partial _ { \mathbf { p } } ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \right) + \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } } & { = } & \\ { \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell + 1 } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { f } ^ { \ell } + ( v _ { 1 } L ) ^ { \ell } , } & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ D L P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } & { = \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ D L P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) , } \\ { \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ N P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } & { = \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ N P ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } \\ { \mathrm { s m a l l } _ { a } \left( { \mathrm { \mathbf { [ T ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) } & { = \mathrm { s m a l l } _ { g } \left( { \mathrm { \mathbf { [ T ] } } } , { L ^ { \infty } ( G ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { t + d t } } & { = x _ { t } - w _ { r } \, x _ { t } \, d t + \mu \, { \cal F } \, \theta _ { t } \, d t + \sqrt { 2 \, k _ { B } T \mu } \, d \mathcal { B } _ { t } ^ { x } } \\ { \theta _ { t + d t } } & { = \theta _ { t } + ( 1 - 2 \, \theta _ { t } ) \Theta _ { H } ( w _ { \theta _ { t } } d t - r ) } \end{array}
\sigma _ { i j } = \mu \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad S _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } ( t ) } & { = { \frac { 1 } { t } } - { \frac { 1 } { t + 1 } } , } \\ { H _ { 1 } ( t ) } & { = - \frac { 1 } { t } + \frac { 2 } { t + 1 } - \frac { 1 } { t - 1 } , } \\ { H _ { \ell } ( t ) } & { = ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { \ell - 1 } \left( { \frac { ( \ell - 2 ) ! } { ( \ell - j - 2 ) ! j ! } } \right) ^ { 2 } 2 ( 2 t ^ { 2 } + j - \ell ) ( 2 \ell - 2 j - 2 ) ! \prod _ { a = j - \ell } ^ { \ell - j } ( t + a ) ^ { - 1 } , \qquad \ell \ge 2 . } \end{array}
\Lambda ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) = \frac { w _ { k } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { w _ { k } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) - 2 k w _ { k - 1 } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { a _ { i } } & { = - \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \frac { \rho _ { j } ( y ^ { t } ) - \Delta } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { b _ { i } } & { = - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) \frac { \rho _ { j } ( y ^ { t } ) - \Delta } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { c _ { i } } & { = - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) \frac { \rho _ { j } ( y ^ { t } ) + \Delta } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { d _ { i } } & { = - \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \frac { \rho _ { j } ( y ^ { t } ) + \Delta } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) \, . } \end{array}
\mathrm { p r } ( y , x ) = \bigg ( \frac { m } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { F } } \bigg ) ^ { T _ { a } - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \bigg ) ^ { T } e ^ { - \big ( \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } | | y - x | | ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { F } ^ { 2 } } | | \Delta A x | | ^ { 2 } \big ) } .
G _ { \mathrm { { F } } } ^ { 0 } \simeq { \frac { \pi \alpha } { { \sqrt { 2 } } ~ M _ { \mathrm { { W } } } ^ { 2 } ( 1 - M _ { \mathrm { { W } } } ^ { 2 } / M _ { \mathrm { { Z } } } ^ { 2 } ) } } .
\begin{array} { r l } { T _ { a } ( x ) } & { = 1 + \sum _ { t \in \mathcal T _ { a } } \xi ( t , \mathbf s ) \frac { t x ^ { w ( t ) } } { | \operatorname { A u t } ( t ) | } } \\ & { = 1 + \sum _ { k \ge 1 } \sum _ { f } ( 1 + s _ { a } k ) _ { \kappa _ { a } ( f ) } \left( \prod _ { a ^ { \prime } \ne a } ( s _ { a ^ { \prime } } k ) _ { \kappa _ { a ^ { \prime } } ( f ) } \right) \xi ( f , \mathbf s ) \frac { ( B _ { + } ^ { ( a , k ) } f ) x ^ { w ( f ) + k } } { | \operatorname { A u t } ( f ) | } } \\ & { = 1 + \sum _ { k \ge 1 } x ^ { k } B _ { + } ^ { ( a , k ) } \left( T _ { a } ( x ) ^ { 1 + s _ { a } k } \prod _ { a ^ { \prime } \ne a } T _ { a ^ { \prime } } ( x ) ^ { s _ { a ^ { \prime } } k } \right) } \\ & { = 1 + \sum _ { k \ge 1 } x ^ { k } B _ { + } ^ { ( a , k ) } ( T _ { a } ( x ) Q ( x ) ^ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 2 4 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( r + { r _ { 0 } } ) e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 6 ( \mu + 4 ) r ^ { 3 } + r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 1 8 ) \right. \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { c } _ { 1 } ^ { \mathrm { v } } ( \tilde { b } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \beta ^ { M } \colon \frac 1 2 \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } = \tilde { b } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \phi _ { j } ( \beta _ { j } ^ { M } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \tilde { \phi } _ { j } \left( \tilde { b } _ { j } \right) \; , } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 k z } \left[ A _ { \mu } ( \partial ^ { 2 } \eta ^ { \mu \nu } - z \partial _ { z } ( \frac { 1 } { z } \partial _ { z } ) \eta ^ { \mu \nu } - \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } ) A _ { \nu } + 2 A _ { 5 } \partial _ { z } \partial ^ { \mu } A _ { \mu } - A _ { 5 } \partial ^ { 2 } A _ { 5 } \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } ^ { 2 } } & { { } = 2 P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } h \nu \big ( 1 + \eta _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } \bar { n } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( \nu , T _ { \mathrm { ~ b ~ b ~ } } ) \big ) , } \\ { \mathrm { ~ N ~ E ~ P ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ^ { 2 } } & { { } = 2 P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } h \nu , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \uparrow } \left( \lambda _ { 1 } ( v _ { 1 } + v ) + \sum _ { i \geq 2 } \lambda _ { i } v _ { i } \right) = \rho _ { \uparrow } \left( \sum _ { i \geq 2 } \lambda _ { i } v _ { i } \right) = \operatorname* { m a x } _ { i \geq 2 } ( \rho _ { \uparrow } ( v _ { i } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { i } ) ) } \\ & { \qquad = \operatorname* { m a x } \left\{ \rho _ { \uparrow } ( v _ { 1 } + v ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 1 } ) , \rho _ { \uparrow } ( v _ { 2 } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 2 } ) , \ldots , \rho _ { \uparrow } ( v _ { d } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { d } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\lbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 2 , 1 \right) \right\rbrack ^ { \mathrm { T } } } & { { } = } & { \hat { \sigma } _ { z } \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { G } } \left( 1 , 2 \right) \hat { \sigma } _ { z } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { h } [ I _ { 5 } ] ( \xi ) } & { = \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \mathcal { F } [ I _ { 5 } ] ( \xi + \zeta ) } \\ & { = \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } | \xi + \zeta | ^ { 2 s } \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) \chi _ { \mathbb { R } ^ { d } \setminus \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } ( \xi + \zeta ) } \\ & { = \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 s } \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \phi } ^ { T } = } & { { } \ \left( \psi ^ { 0 } \ \psi ^ { 1 } \ \psi _ { i } ^ { 0 } \ \vline \ \phi _ { i } ^ { ( 1 ) } \ \phi _ { i j } ^ { ( 1 ) } \ \vline \ \phi ^ { ( 2 ) } \ \phi _ { i } ^ { ( 2 ) } \ \phi _ { i j } ^ { ( 2 ) } \ \phi _ { i j k } ^ { ( 2 ) } \right) , } \\ { \boldsymbol { u } ^ { T } = } & { { } \ \left( w ^ { 0 } \ w ^ { 1 } \ w _ { i } ^ { 0 } \ \vline \ u _ { i } ^ { ( 1 ) } \ u _ { i j } ^ { ( 1 ) } \ \vline \ u ^ { ( 2 ) } \ u _ { i } ^ { ( 2 ) } \ u _ { i j } ^ { ( 2 ) } \ u _ { i j k } ^ { ( 2 ) } \right) , } \end{array}
S _ { 1 1 } = \frac { s } { 2 ( s ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } \left[ s ( s ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } - \cosh ^ { - 1 } ( s ) \right] , \quad S _ { 3 3 } = 1 - 2 S _ { 1 1 } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \mathbf { g } ^ { - 1 } \circ \mathcal { M } \circ \Big ( \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathcal { S } \circ \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) + \mathcal { C } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { x _ { n + 1 } } \\ { p _ { x , n + 1 } } \\ { y _ { n + 1 } } \\ { p _ { y , n + 1 } } \end{array} \right) } & { = R ( \omega _ { x , n } , \omega _ { y , n } ) \times } \\ { \times } & { \left( \begin{array} { c } { x _ { n } } \\ { p _ { x , n } + x _ { n } ^ { 2 } - y _ { n } ^ { 2 } + \mu \left( x _ { n } ^ { 3 } - 3 x _ { n } y _ { n } ^ { 3 } \right) } \\ { y _ { n } } \\ { p _ { y , n } - 2 x _ { n } y _ { n } + \mu \left( y _ { n } ^ { 3 } - 3 y _ { n } x _ { n } ^ { 3 } \right) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\operatorname* { P r } ( \operatorname { M e d i a n } = v ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { N ! } { i ! ( N - i - k ) ! k ! } } F ( v - 1 ) ^ { i } ( 1 - F ( v ) ) ^ { k } f ( v ) ^ { N - i - k }
[ \mathbf { \Lambda } _ { T } ] _ { d i m } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( 0 , 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , \omega _ { T } , 1 / \Delta t , \omega _ { T } , 1 / \Delta t , 1 / \Delta t , 1 / \Delta t )
\frac { \partial x ^ { j } } { \partial x ^ { i } } a _ { j } ^ { ( 0 ) } ( x ^ { \prime } ) = a _ { i } ^ { ( 0 ) } ( x ) - \partial _ { i } \ln { \cal B } ( x ) \, , \qquad \frac { \partial x ^ { i } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial x ^ { j } } { \partial x ^ { l } } \gamma _ { k l } ^ { ( 0 ) } ( x ^ { \prime } ) = { \cal B } ( x ) ^ { - 2 } \gamma _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( x ) \, .
\begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { V } } \sum _ { \mathbf { k } \lambda } { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { k } } & { { } = { \frac { 2 } { 8 \pi ^ { 3 } } } \int d ^ { 3 } k { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle u _ { i } ( \tilde { t } + \tau ) \rangle } & { = \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle } \\ & { \qquad + \frac { p _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle u _ { i + 1 } ( \tilde { t } ) \rangle \bigg ( 1 - \frac { \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle + \langle m _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle } { N } \bigg ) } \\ & { \qquad + \frac { p _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle u _ { i - 1 } ( \tilde { t } ) \rangle \bigg ( 1 - \frac { \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle + \langle m _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle } { N } \bigg ) } \\ & { \qquad - \frac { p _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \bigg ( 1 - \frac { \langle u _ { i + 1 } ( \tilde { t } ) \rangle + \langle m _ { i + 1 } ( \tilde { t } ) \rangle } { N } \bigg ) } \\ & { \qquad - \frac { p _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \bigg ( 1 - \frac { \langle u _ { i - 1 } ( \tilde { t } ) \rangle + \langle m _ { i - 1 } ( \tilde { t } ) \rangle } { N } \bigg ) } \\ & { \qquad + p _ { \mathrm { p } } \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle \bigg ( 1 - \frac { \langle u _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle + \langle m _ { i } ( \tilde { t } ) \rangle } { N } \bigg ) . } \end{array}
\left( 1 - \frac { w N } { 6 } e ^ { 2 \phi } \right) \partial ^ { 2 } \rho - \partial ^ { 2 } \phi + ( \partial \phi ) ^ { 2 } + \Lambda e ^ { 2 \rho } - Q ^ { 2 } e ^ { 2 \rho + 4 \phi } = 0 ;
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \gamma } \tau _ { \mathcal M } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \rho ( p ) ) = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma } \tau _ { \mathcal M } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } E _ { N } ( \rho ( p ) ) ) } \\ { = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma } \tau _ { \mathcal M } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \sigma _ { t r } ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { N } ^ { * } ( \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \rho ( p ) \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) ) \sigma _ { t r } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } \\ { = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma } \sigma _ { t r } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } E _ { N } ^ { * } ( \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \rho ( p ) \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) ) = \parallel \! \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } E _ { N } ( \rho ( p ) ) \sigma _ { t r } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { \frac { p } { 2 p - 1 } , \sigma _ { t r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ( u ) } \\ & { = \big ( u _ { z } , u _ { y } , u _ { y z } + \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle , u _ { x } , u _ { x z } + \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { x y } + \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , z _ { 1 } \big ) , } \\ & { \quad \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } ( u ) } \\ & { = \big ( u _ { z } , u _ { y } , u _ { y z } + \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle , u _ { x } , u _ { x z } + \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { x y } + \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , z _ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert C _ { n } \left( \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right) \right\Vert _ { 2 } } & { \leq \left\Vert \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right\Vert _ { \infty } = \operatorname* { m a x } _ { x } { \left\vert \frac { f ( x ) - F _ { n - 1 } ( x ) } { F _ { n - 1 } ( x ) } \right\vert } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { x } { \frac { \left\vert f _ { 1 } ( x ) - F _ { n - 1 } ^ { 1 } ( x ) + \mathrm { i } \left( f _ { 2 } ( x ) - F _ { n - 1 } ^ { 2 } ( x ) \right) \right\vert } { \left\vert F _ { n - 1 } ^ { 1 } ( x ) + \mathrm { i } F _ { n - 1 } ^ { 2 } ( x ) \right\vert } } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { x } { \frac { \left\vert \epsilon _ { 1 } ( x ) f _ { 1 } ( x ) + \mathrm { i } \epsilon _ { 2 } ( x ) f _ { 2 } ( x ) \right\vert } { \left\vert ( 1 + \epsilon _ { 1 } ( x ) ) f _ { 1 } ( x ) + \mathrm { i } ( 1 + \epsilon _ { 2 } ( x ) ) f _ { 2 } ( x ) \right\vert } } . } \end{array}
\boldsymbol { r } _ { 3 } ( 0 ) = ( - 0 . 6 7 3 5 7 5 3 1 4 0 5 4 5 6 3 3 , - 0 . 4 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 4 ) ;
\begin{array} { r l } { | \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J _ { k } ) - \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( J ( \mu _ { * } , \lambda _ { * } , x _ { * } ) ) | } & { \leq \frac { \sigma _ { \operatorname* { m i n } , J _ { * } } } { 2 } , } \\ { | \sigma _ { n } ( \widehat { J } _ { k } ) - \sigma _ { n } ( \widehat { J } _ { * } ) | } & { \leq \frac { \sigma _ { n , \widehat { J } _ { * } } } { 2 } , } \\ { | \sigma _ { n } ( \widehat { J } ( \mu _ { * } , \lambda _ { * } , x _ { k } ) ) - \sigma _ { n } ( \widehat { J } _ { * } ) | } & { \leq \frac { \sigma _ { n , \widehat { J } _ { * } } } { 2 } . } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } = ( | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { + } | ^ { 2 } - | \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ f ~ a ~ r ~ } } ^ { - } | ^ { 2 } ) / | E _ { 0 } | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 2 - 2 i , 2 k - 4 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}