harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathrm { r } } ^ { \mathrm { H } } \sim \mathcal { C N } ( \sqrt { \frac { \kappa _ { \mathrm { r } } \varrho _ { \mathrm { r } } } { 1 + \kappa _ { \mathrm { r } } } } \overline { { \mathbf { g } } } _ { \mathrm { r } } ^ { \mathrm { H } } , \frac { \varrho _ { \mathrm { r } } } { 1 + \kappa _ { \mathrm { r } } } \mathbf { I } _ { N } ) , } \end{array}
{ \frac { \partial { \bar { u _ { i } } } } { \partial t } } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left( { \overline { { u } } } _ { i } { \overline { { u } } } _ { j } \right) = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial x _ { i } } } + 2 \nu { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } { \bar { S } } _ { i j } - { \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { r } } { \partial x _ { j } } }
\begin{array} { r } { \mu _ { \parallel } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \mu _ { \parallel , j } \rangle , \; \; \; \vert \mu _ { \perp } \vert = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \langle \vert \mu _ { \perp , j } \vert \rangle . } \end{array}
\tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ) - \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ^ { 1 } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f )
\begin{array} { r l } { | \alpha \rangle } & { { } \longrightarrow | a \, \alpha \rangle \otimes | \psi _ { N } \rangle } \\ { | \beta \rangle } & { { } \longrightarrow | b \, \beta \rangle \otimes | \psi _ { N } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { S } _ { \widetilde { g } } \sigma ( n _ { \widetilde { g } } , n _ { \widetilde { g } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \partial T , \widetilde { g } ) } ^ { 2 } } & { \le C \| \mathbb { S } _ { \widetilde { g } } \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( \partial T , \widetilde { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C \| \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( \partial T ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C \left( h _ { T } ^ { - 1 } \| \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } ^ { 2 } + h _ { T } | \sigma | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\mathrm { ~ \cal { \tilde { A } } ~ } _ { j } ( u ) \equiv \int d ^ { 3 } x \frac { ( 1 + | u | ^ { 2 ( j - 1 ) } ) \partial ^ { \mu } \bar { u } \partial _ { \mu } u } { ( 1 + | u | ^ { 2 } ) ^ { j + 1 } } .
1 \equiv \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \quad I \equiv \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \displaystyle \alpha _ { x , x , 3 } } & { { } \displaystyle = - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \cdot \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { \cos { 3 \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } \ d s ^ { \prime } } , } \\ { \displaystyle \alpha _ { x , x , 1 } } & { { } \displaystyle = - \frac { 3 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \cdot \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { \cos { \Psi _ { x } ( s ^ { \prime } , s ) } } { \sin { \pi \nu _ { x } } } \ d s ^ { \prime } } . } \end{array}
\frac { \partial ( I _ { a , b } ( c , \varepsilon ) - \pi ) } { \partial \varepsilon } ( c _ { 1 } , \varepsilon _ { 1 } ) = - \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon _ { 1 } ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon _ { 1 } ) + a ) ( b \cos ^ { 2 } ( \pi / 2 - \varepsilon _ { 1 } ) + c _ { 1 } ) } } \neq 0 .
\frac { a _ { \mathrm { I R } } } { a _ { \mathrm { U V } } } = \frac { c _ { \mathrm { I R } } } { c _ { \mathrm { U V } } } = \frac { 2 7 } { 3 2 } , ~ ~ a _ { \mathrm { U V } } = c _ { \mathrm { U V } } , ~ a _ { \mathrm { I R } } = c _ { \mathrm { I R } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) = \mathbf { e } _ { x } \bigg \{ } & { { } - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } + \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { 2 r ^ { 4 } } + \left[ - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } + \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } \\ { + \mathbf { e } _ { y } \bigg \{ } & { { } \frac { ( x - t ) y } { 2 r ^ { 4 } } + \frac { ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s } _ { I + i } } & { = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I + i } = \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } - \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } } \\ & { = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { P } - \mathbf { I } ) ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = - \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = - \mathrm { s } _ { I - i + 1 } , \qquad 1 \leq i \leq k . } \end{array}
q ^ { + } ( \zeta , u ) = f ^ { i } ( x ) u _ { i } ^ { + } + \theta ^ { + \alpha } \psi _ { \alpha } ( x ) + \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } } ^ { + } \bar { \kappa } ^ { \dot { \alpha } } ( x ) + 2 i \theta ^ { + } / \! \! \! \partial \bar { \theta } ^ { + } f ^ { i } ( x ) u _ { i } ^ { - } ,
\begin{array} { r } { \delta H _ { + , i } ^ { ( 2 ) } \simeq - i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } J _ { 0 } J _ { s } \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \delta \phi _ { s } \delta \phi _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } \Big [ \Big | \frac { L I S ( \sigma ) } { \sqrt { n } } - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | \Big ] } \\ & { \leq } & { 2 \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T } \rho _ { \theta } \Big ( \frac { l } { 2 T } , \frac { l } { 2 T } \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \frac { 1 } { 2 T } - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | } \\ & { } & { + \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | \Big \} } \\ & { } & { + \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \Big | \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x , x ) } d x \Big | \Big \} } \\ & { } & { + C ^ { \prime } ( T ^ { - 1 \slash 2 } + \epsilon K _ { 0 } + K _ { 0 } ^ { - 1 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { - 1 \slash 6 } ) + \tilde { C } n ^ { 3 \slash 2 } \exp ( - \tilde { c } n ^ { 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { G ( \sigma , \Delta \omega ) = \left\{ \frac { 2 \sigma } { \sqrt { \pi } c } \frac { \left[ e ^ { - ( \frac { \omega \sigma } { c } ) ^ { 2 } } \omega \right] _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } } { \left[ e r f ( \omega \sigma / c ) \right] _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } } - 1 \right\} . } \end{array}
\hat { L } \Psi ^ { ( 1 ) } = - \sqrt { 2 } \left( \begin{array} { c } { { D _ { i } ^ { ( 0 ) } \phi ^ { ( 0 ) } } } \\ { { ( D _ { i } ^ { ( 0 ) } \phi ^ { ( 0 ) } ) ^ { \ast } } } \\ { { \lambda F _ { i k } ^ { ( 0 ) } } } \end{array} \right) K _ { a } ^ { i a } ,
S _ { L } ^ { I I } = 3 2 \; \frac { x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + { k _ { 2 } ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } \; \left[ m ^ { 2 } + k _ { 2 \perp } ^ { 2 } + ( x - 1 / 2 ) \vec { \kappa } _ { \perp } \vec { k } _ { 2 \perp } ^ { \prime \prime } \right] \to 3 2 x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } .
\varepsilon ( \theta _ { r } , \varphi _ { r } ; T ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } L _ { \lambda , e m } ( \lambda ; \theta _ { r } , \varphi _ { r } ; T ) d \lambda } { \int _ { 0 } ^ { \infty } L _ { \lambda , b } ( \lambda , T ) d \lambda } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \pi \varepsilon ( \lambda ; \theta _ { r } , \varphi _ { r } ; T ) L _ { \lambda , b } ( \lambda , T ) d \lambda } { \sigma T ^ { 4 } } \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \operatorname { i n d } ( \kappa _ { 1 } ) + \mathcal { E } } & { \geq \operatorname { i n d } ( \kappa _ { n _ { \rho } } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l e n g t h } _ { R } ( M ( 1 ) ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l e n g t h } _ { R } ( M ( n _ { \rho } ) ) + ( s ( 1 ) + 2 \rho ) ( 5 \rho + 1 ) e } \\ & { \geq \operatorname { i n d } ( \kappa _ { n _ { \rho } } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l e n g t h } _ { R } ( M ( 1 ) ) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l e n g t h } _ { R } ( M ( n _ { \rho } ) ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l e n g t h } _ { R } ( M ( 1 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C } & { = \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { \mathrm { B Z } } \mathrm { T r } ( \mathcal { F } ) = \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \sum _ { i } \int _ { U _ { i } } \mathrm { T r } ( \mathcal { F } ) } \\ & { = \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \sum _ { i } \int _ { \partial U _ { i } } \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { i } ) . } \end{array}
\mathcal { \hat { H } } _ { e l } = \hat { T } _ { \bf r } + V _ { \mathrm { c o u l } } ( \{ { { \bf r } _ { j } , { \bf Q } _ { j } } \} ) = \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } h _ { u , v , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } + \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \beta , \beta ^ { \prime } } \sum _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } U _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \beta , \beta ^ { \prime } } ^ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u ^ { \prime } , \beta } \hat { c } _ { v ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { i \frac { d } { d t } a _ { - 1 } } & { { } = ( 1 - 2 k ) a _ { - 1 } + t _ { - } a _ { 0 } } \\ { i \frac { d } { d t } a _ { 0 } } & { { } = t _ { + } a _ { - 1 } + t _ { - } a _ { 1 } } \\ { i \frac { d } { d t } a _ { 1 } } & { { } = ( 1 + 2 k ) a _ { 1 } + t _ { + } a _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { * } } & { = \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \left\{ \sum _ { n = 0 } ^ { s _ { m } - 1 } \beta ( s _ { m } , n ) ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) W _ { s _ { m } , n } ^ { * } + \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , q ) \left[ ( k ^ { ( s _ { m } ) } - 1 ) \frac { k ^ { ( s , \mathrm { n e s t e d } ) } } { k ^ { ( s _ { m } ) } } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } \right] \right\} } { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( s _ { m } ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } \equiv F _ { 1 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) , } \\ & { S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } = \frac { \mu P _ { \vec { \mathbf { k } } } } { \mu + \sum _ { n = 0 } ^ { s _ { m } - 1 } \beta ( s _ { m } , n ) k ^ { ( s _ { m } ) } W _ { s _ { m } , n } ^ { * } + \sum _ { s = 2 } ^ { s _ { m } - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { s - 1 } \beta ( s , q ) \left[ k ^ { ( s , \mathrm { n e s t e d } ) } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + k ^ { ( s , \mathrm { f r e e } ) } W _ { s , q } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } \right] } \equiv F _ { 2 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) . } \end{array}
\Gamma ( p , P ) = - e ^ { 2 } \int \mathrm { ~ \, ~ \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \ p i ) ^ { 3 } } ~ \, ~ } D ( p - q ) \gamma _ { \mu } S ( \mathrm { ~ \, ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \, ~ } P + q ) \Gamma ( q , P ) S ( - \mathrm { ~ \, ~ \frac { 1 } { 2 } ~ \, ~ } P + q ) \gamma _ { \mu } ,
\operatorname* { m i n } _ { D _ { i } } \gamma _ { 2 } \mathbb { E } \big [ D _ { i } ( x , \hat { y } _ { i } ) ^ { 2 } \big ] + \gamma _ { 3 } \mathbb { E } \big [ ( 1 - D _ { i } ( x , y _ { i } ) ) ^ { 2 } \big ]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( I - K _ { h } ) | _ { L ^ { 2 } ( t , c h ^ { - 1 } ) } } & { = \operatorname* { d e t } ( { \mathbf I } - \bar { \mathbf K } _ { h } ) = \operatorname* { d e t } \big ( { \mathbf I } - \bar { \mathbf K } _ { h } ^ { ( m ) } \big ) + h ^ { m + 1 } O ( e ^ { - 2 t } ) + e ^ { - c h ^ { - 1 } } O ( e ^ { - t } ) } \\ { * [ 1 m m ] } & { = \operatorname* { d e t } \big ( { \mathbf I } - { \mathbf K } _ { h } ^ { ( m ) } \big ) + h ^ { m + 1 } O ( e ^ { - 2 t } ) + e ^ { - c h ^ { - 1 } } O ( e ^ { - t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k ) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \# \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k , m ) , } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k , m ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } \left( n ^ { k - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { n - 1 } ( n , m ) \right) , } \\ & { = \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } \left( n ^ { k - 1 } \sum _ { d | n } d \varphi \left( \frac { n } { d } \right) \right) , } \\ & { = \# \mathcal { S } ^ { \prime } ( n , k ) 2 ^ { k } \operatorname { V o l } ( B _ { k } ( I ) ) + O _ { k } ( n ^ { k + \epsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { v a r } ( \hat { T } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } & { { } \simeq \frac { 1 } { m _ { \Delta } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { \Delta } } \mathrm { v a r } ( x _ { i } y _ { i } ^ { \prime \prime } ) } \end{array}
\langle \Phi _ { \alpha _ { 1 } } ( Z _ { 1 } , \bar { Z } _ { 1 } ) \Phi _ { \alpha _ { 2 } } ( Z _ { 2 } , \bar { Z } _ { 2 } ) \rangle = \Delta ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) ( Z _ { 1 2 } \bar { Z } _ { 1 2 } ) ^ { - 2 \Delta _ { \alpha _ { 1 } } } ,
\begin{array} { r } { \zeta ^ { [ 1 ] } = - \sum _ { j } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \exp ( i k x ) \frac { k } { \Omega ^ { ( j ) } } F ^ { ( j ) } ( k , 0 ) \times \left[ C ^ { ( j ) } ( k ) + C ^ { ( j ) * } ( - k ) \right] \exp ( - i \Omega ^ { ( j ) } ( k ) t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 1 } \boxtimes \Lambda _ { 2 } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) } & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \Lambda _ { 1 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) \boxtimes \Lambda _ { 2 } ( w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } w ( N g _ { 1 1 } \vec { x } _ { 0 } , g _ { 0 0 } \vec { y } _ { 0 } ) \boxtimes w ( - N g _ { 1 0 } \vec { x } _ { 0 } , g _ { 0 1 } \vec { y } _ { 0 } ) = w ( \vec { x } _ { 0 } , \vec { y } _ { 0 } ) } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { s c a t t } } ^ { \mathrm { R } } \simeq n _ { e } \langle \sigma _ { \mathrm { s c a t t } } v _ { \mathrm { r e l } } \rangle \frac { \Delta E _ { \mathrm { L S P } } } { E _ { \mathrm { L S P } } } ,
\begin{array} { l c l r } { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } v _ { 2 i } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { v _ { 2 i + 1 } ^ { ( M l - k , M l - j ) } } } & { { ( i = 0 , 1 , 2 , \cdots ) \, \, , } } \\ { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } w _ { 2 i - 1 } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { w _ { 2 i } ^ { ( M l - k , M l - j ) } } } & { { ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \, \, , } } \\ { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } u _ { 2 i - 1 } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { u _ { 2 i } ^ { ( M l - k , M l - j ) } } } & { { ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \, \, , } } \\ { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } v _ { 2 i + 1 } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { ( i = 0 , 1 , 2 , \cdots ) \, \, , } } \\ { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } w _ { 2 i } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \, \, , } } \\ { { Q _ { B } ^ { ( j + k ) } u _ { 2 i } ^ { ( j + M l , k + M l ) } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { ( i = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \, \, . } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { z , n _ { z } + 1 / 2 } ^ { n + 1 } = E _ { z , n _ { z } + 1 / 2 } ^ { n } - \Delta t j _ { z , n _ { z } + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } . } \end{array}
\frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta } = \frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } - k _ { B } T d \ln { a _ { + } } + k _ { B } T d \ln { c } } = \frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } } \left[ 1 + k _ { B } T \frac { d \ln { a _ { + } } } { d \eta _ { f } } - k _ { B } T \frac { d \ln { c } } { d \eta _ { f } } \right] + \mathcal { O } ( \Delta a _ { ( + ) } ^ { 2 } ) \approx \frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } } .
\begin{array} { r } { \mathcal E _ { r } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } ( T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) \le \mathcal E _ { r ^ { \prime } } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } ( T _ { r ^ { \prime } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) \le \mathcal E _ { r ^ { \prime } } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } ( u ) \le \mathcal E ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } ( u ) < \infty \, \, \mathrm { . } } \end{array}
W P L I _ { x y } ( \omega ) = \frac { | \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } I m ( C S D _ { x y } ( \omega ) ) | } { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | I m ( C S D _ { x y } ( \omega ) | }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ \vert } & { \zeta ^ { ( n ) } ( t ) - \int _ { 0 } ^ { t } K ^ { ( n ) } ( t , s ) d Y ^ { \ast } ( s ) \vert ^ { 2 } ] d t } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ \vert \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \Delta _ { n } } ( t ) - 1 } K ^ { ( n ) } ( \Delta _ { n } ( t ) , t _ { i } ^ { ( n ) } ) ( Y _ { i } ^ { \ast , ( n ) } - \Delta Y _ { i } ^ { \ast } ) \vert ^ { 2 } ] d t } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \Delta _ { n } } ( t ) - 1 } \vert K ^ { ( n ) } ( \Delta _ { n } ( t ) , t _ { i } ^ { ( n ) } ) \vert ^ { 2 } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \Delta _ { n } } ( t ) - 1 } \mathbb { E } [ \vert Y _ { i } ^ { \ast , ( n ) } - \Delta Y _ { i } ^ { \ast } \vert ^ { 2 } ] d t } \\ & { \overset { ( a ) } { \le } \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \Delta _ { n } } ( t ) - 1 } \vert K ^ { ( n ) } ( \Delta _ { n } ( t ) , t _ { i } ^ { ( n ) } ) \vert ^ { 2 } \delta _ { n } \sum _ { i = 0 } ^ { N _ { \Delta _ { n } } ( t ) - 1 } \frac { 1 } { \delta _ { n } } \mathbb { E } [ \vert Y _ { i } ^ { \ast , ( n ) } - \Delta Y _ { i } ^ { \ast } \vert ^ { 2 } ] d t } \\ & { \overset { ( b ) } { = } 0 , } \end{array}
o b j = 1 - \frac { \mathrm { c o v } \left( \mathcal { N } \left( | \boldsymbol { f } _ { \mathrm { t a r } } ( \theta , \phi ) | \right) , \mathcal { N } \left( | \boldsymbol { f } _ { \mathrm { c a l } } ( \theta , \phi ) | \right) \right) } { \sigma _ { \mathcal { N } \left( | \boldsymbol { f } _ { \mathrm { t a r } } ( \theta , \phi ) | \right) } \cdot \sigma _ { \mathcal { N } \left( | \boldsymbol { f } _ { \mathrm { c a l } } ( \theta , \phi ) | \right) } }
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi m y ) } { m ^ { 2 } - n ^ { 2 } / y ^ { 2 } } \frac { \sqrt { x + \sqrt { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } = - \frac { 1 } { 2 x ^ { 3 / 2 } } \mathrm { R e } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d z } { \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } \frac { \sqrt { 1 + i \sqrt { z ^ { 2 } - 1 } } } { z ^ { 2 } + n ^ { 2 } / ( x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { F ( x , y , z ) }
E = \sum _ { i \in V } \frac { \kappa } { 2 } \left( 2 h ( i ) - \rho _ { i } C _ { 0 } \right) ^ { 2 } A ( i ) + \sum _ { \left\langle i , j \right\rangle \in E } - w \rho _ { i } \rho _ { j } + \sum _ { i \in V } w _ { a d } \; \theta \left( z _ { i } - z _ { 0 } \right)
\int _ { - 1 } ^ { 1 } T _ { n } ( x ) \, \mathrm { d } x = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \, ( - 1 ) ^ { n } + 1 \, } { \, 1 - n ^ { 2 } \, } } \quad } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } ~ n \neq 1 } \\ { 0 \quad } & { { \mathrm { ~ i f ~ } } ~ n = 1 } \end{array} \right. } ~ .
\mathbf { a } = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \rho } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \mathbf { u } _ { \rho } + { \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { u } _ { \rho } } { \mathrm { d } t } } + { \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } } \mathbf { u } _ { \theta } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } + \rho { \frac { \mathrm { d } \mathbf { u } _ { \theta } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \mathrm { d } t } } + \rho \mathbf { u } _ { \theta } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \theta } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \gamma _ { m } ^ { + } = \gamma _ { e } ^ { + } = \gamma ^ { + } , \quad \tau _ { m } ^ { + } = \tau _ { e } ^ { + } = \tau ^ { + } , } \\ { \gamma _ { m } ^ { - } = \gamma _ { e } ^ { - } = \gamma ^ { - } , \quad \tau _ { m } ^ { - } = \tau _ { e } ^ { - } = \tau ^ { - } . } \end{array}
\widetilde { A } _ { \mathrm { R } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left. \widehat { A } \right| _ { \mathrm { R } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \nu \eta } \, \mathrm { d } \eta \, , \quad \widetilde { A } _ { \mathrm { L } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left. \widehat { A } \right| _ { \mathrm { L } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \nu \eta } \, \mathrm { d } \eta
\begin{array} { r l } { \left\langle \left[ J N , N \right] , N \right\rangle } & { = \left\langle \left[ X _ { 2 } , X _ { 1 } \right] - X _ { 1 } \left( \theta \right) X _ { 1 } - X _ { 2 } \left( \theta \right) X _ { 2 } , \cos \theta X _ { 1 } - \sin \theta X _ { 2 } \right\rangle } \\ & { = \left( X _ { 1 } \delta \right) c _ { 1 2 } ^ { 1 } + \left( X _ { 2 } \delta \right) c _ { 1 2 } ^ { 2 } + X _ { 1 } X _ { 2 } \delta - X _ { 2 } X _ { 1 } \delta } \\ & { = \left( X _ { 1 } \delta \right) c _ { 1 2 } ^ { 1 } + \left( X _ { 2 } \delta \right) c _ { 1 2 } ^ { 2 } - [ X _ { 2 } , X _ { 1 } ] \delta = - ( X _ { 0 } \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } | \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } \rangle = \langle \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } | \boldsymbol { \varPsi } _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { [ A 2 0 ] ^ { \prime } = k _ { 1 } [ A 2 0 \_ m R N A ] + k _ { 2 } , } & & { [ A 2 0 \_ m R N A ] ^ { \prime } = k _ { 5 } [ N F { \kappa } B \_ N ] , } \\ & { [ F L I P ] ^ { \prime } = k _ { 3 } [ F L I P _ { m } R N A ] + k _ { 4 } , } & & { [ F L I P \_ m R N A ] ^ { \prime } = k _ { 6 } [ N F { \kappa } B \_ N ] , } \end{array}
\biggl \{ \frac { ( x + y ) ( 1 - x - y ) } { M _ { a } ^ { 2 } } \left( \frac { Z _ { a } } { 2 } \right) K _ { 1 } ( Z _ { a } ) + \frac { ( x + y - 1 ) ( x + y - 3 ) } { M _ { b } ^ { 2 } } \biggl [ \left( \frac { Z _ { b } } { 2 } \right) K _ { 1 } ( Z _ { b } ) - \frac { 1 } { 2 } \biggr ] \biggr \}
\begin{array} { r l r } { { { c } _ { 0 , u } } } & { = } & { a \sqrt { \frac { { { k } _ { u } } } { { { M } _ { n } } } } , } \\ { \gamma } & { = } & { a \sqrt { \frac { { { M } _ { n } } } { 4 { { J } _ { n } } } } , } \\ { a } & { = } & { 2 l , } \\ { { { K } _ { \theta } } } & { = } & { \frac { 4 { { k } _ { \theta } } } { { { k } _ { u } } { { a } ^ { 2 } } } , } \\ { { { { C } ^ { \prime } } _ { i } } } & { = } & { \frac { 4 } { { { a } ^ { 2 } } { { k } _ { u } } } { { C } _ { i } } \ \ \ \ \ ( i = 4 , 6 ) . } \end{array}