harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { R 1 } } & { = - \lambda \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \rangle } \\ & { \overset { ( a ) } { = } - \lambda \mathbb { E } _ { t } \langle \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) , \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \nabla F _ { i } ( \mathbf { z } ^ { t } ) \rangle } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \frac { \lambda } { 2 } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \bigl ( \mathbb { E } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \nabla F _ { i } ( \mathbf { z } ^ { t } ) \bigr ) \Vert ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 m ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } \frac { \lambda } { 2 } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \underbrace { \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbb { E } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \nabla F _ { i } ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } } _ { \mathbf { R 1 . a } } - \frac { \lambda } { 2 m ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t } \Vert \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } G = } & { { } \left( ( N \varepsilon _ { 1 } - \mu _ { 1 } ( N + 1 ) ) z + ( \varepsilon _ { 2 } + \mu _ { 2 } ( N - 1 ) ) z ^ { - 1 } - N \varepsilon _ { 1 } \right) G } \end{array}
S = \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \, \left( G _ { \mu \nu } ^ { A d S } \left( x \right) \, \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } ^ { \nu } + G _ { a b } ^ { S ^ { n } } \left( y \right) \, \dot { y } ^ { a } \dot { y } ^ { b } \right) .
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \left( f + g \right) \left( \overline { { x } } \right) - \left( f + g \right) \left( x _ { t + 1 } \right) \geq } \\ & { \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { L _ { g } } { 2 } \right) \| x _ { t } - x _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \alpha } - \frac { \rho + 1 } { 2 } \right) \left\Vert \overline { { x } } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \alpha } \| x _ { t } - \overline { { x } } \| ^ { 2 } - \frac { \alpha + 1 } { \alpha } \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { : = \frac { - t v - w } { u } } \\ & { = - \frac { t ^ { 3 } + g ( u , x , y , z , t , v ) } { z } } \\ & { = \frac { ( w x + f ( u , x , y , z , t , v ) ) ( t v + w ) - z ^ { 2 } ( t ^ { 3 } + g ( u , x , y , z , t , v ) ) } { v ^ { 2 } } \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , \frac { - 1 1 K _ { Y } + E } { 3 } \bigg ) . } \end{array}
c _ { 1 2 } = { \frac { 3 } { 1 6 s _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } } ~ [ m _ { t } ^ { 2 } \cot \beta - m _ { b } ^ { 2 } \tan \beta ] ~ [ - l n { \frac { s } { M ^ { 2 } } } ]
\begin{array} { r l r l } { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i + 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i , n - 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( i , n - 1 , 2 ) , ( i + 1 , n - 1 , 2 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 2 ) , ( i , n - 1 , 3 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( i , n - 1 , 3 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 3 ) , ( i + 1 , n - 1 , 4 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { S ( ( i , n - 1 , 4 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 4 ) , ( i + 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \end{array}
F ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { { \sqrt { q - 1 } } \, \Gamma \left( { \frac { 1 } { q - 1 } } \right) x { \sqrt { \beta } } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { q - 1 } } ; { \frac { 3 } { 2 } } ; - ( q - 1 ) \beta x ^ { 2 } \right) } { { \sqrt { \pi } } \, \Gamma \left( { \frac { 3 - q } { 2 ( q - 1 ) } } \right) } } ,
D _ { \mu \nu } ( x , y ) = g _ { \mu 1 } g _ { \nu 1 } \delta ( x ^ { 1 } - y ^ { 1 } ) \left( { \frac { 1 } { 2 } | x ^ { 0 } - y ^ { 0 } | + B ( x ^ { 0 } - y ^ { 0 } ) - A } \right) ,
\begin{array} { r l r } { L _ { a } L _ { b } [ x ] } & { { } = } & { a ( b x ) \quad \neq \quad L _ { a b } [ x ] = ( a b ) x , } \\ { R _ { a } R _ { b } [ x ] } & { { } = } & { ( x b ) a \quad \neq \quad R _ { a b } [ x ] = x ( a b ) . } \end{array}
\Psi _ { p _ { m } ; { \bf k } ^ { 1 } , N _ { 1 } ; \dots ; { \bf k } ^ { l } , N _ { l } } = e x p ( i p ^ { m } q _ { m } \mathrm { d i m } ( E ) ) \prod _ { j = 1 } ^ { l } ( a ^ { \dagger } ( { \bf k } ^ { j } ) ) ^ { N _ { j } } | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { C _ { 1 2 } } & { = \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ( \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 2 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 1 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) } \\ & { = 2 R _ { 1 2 4 } ( \frac { 1 } { 2 ( \cos \theta - 1 ) } ( I _ { 1 } + I _ { 3 } ) - \frac { 1 } { 2 \sin ^ { 2 } \theta } I _ { 2 } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( ( \frac { 3 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } ) \frac { 1 } { s } + ( - \frac { 7 } { 2 } + \frac { 1 } { \cos \theta } ) } \\ & { + ( \frac { 1 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta - 7 \cos ( { \theta } / { 2 } ) ) s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { n } ^ { x } } & { { } = \sqrt { \left( v _ { n } ^ { T } \right) ^ { 2 } + \left( v _ { n } ^ { N } \right) ^ { 2 } } \cos \theta _ { n } , } \\ { v _ { n } ^ { y } } & { { } = \sqrt { \left( v _ { n } ^ { T } \right) ^ { 2 } + \left( v _ { n } ^ { N } \right) ^ { 2 } } \sin \theta _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varrho ( \varphi ) \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } + \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \partial _ { t } ^ { j } \varrho ( \varphi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } + \partial _ { t } ^ { k } ( \varrho ( \varphi ) u \cdot \nabla u ) + \nabla \partial _ { t } ^ { k } p } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \mu \Delta \partial _ { t } ^ { k } u - \lambda \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } ( \nabla \varphi \otimes \nabla \varphi ) \, , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } u = 0 \, , } \\ & { \partial _ { t } ^ { k } \varphi _ { t } + \partial _ { t } ^ { k } ( u \cdot \nabla \varphi ) + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { k } \varphi = \gamma \lambda \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi - \gamma \lambda \partial _ { t } ^ { k } h ( \varphi ) - \gamma \partial _ { t } ^ { k } ( \varrho ^ { \prime } ( \varphi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle J _ { y , \theta } \rangle = ~ } & { { } \frac { N } { 2 } ( \epsilon _ { \downarrow } - \epsilon _ { \uparrow } ) + ( 1 - \epsilon _ { \downarrow } - \epsilon _ { \uparrow } ) \langle \tilde { J } _ { y , \theta } \rangle } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( J _ { \theta } \right) = ~ } & { { } ( 1 - 2 \epsilon _ { \downarrow } - 2 \epsilon _ { \uparrow } ) \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \tilde { J _ { \theta } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { L } { \mathbb E } \int _ { 0 } ^ { T } | \Delta \alpha _ { t } ^ { i } | ^ { 2 } d t \le { \mathbb E } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { T } \bigg ( } & { \big ( D _ { a } L ^ { i } ( \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } , \overline { { \alpha } } _ { t } ^ { n , i } ) - D _ { a } L ^ { i } ( X _ { t } ^ { \mathrm { M F } , i } , \alpha _ { t } ^ { \mathrm { M F } , i } ) \big ) \cdot \Delta \alpha _ { t } ^ { i } } \\ & { + \big ( D _ { x } L ^ { i } ( \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } , \overline { { \alpha } } _ { t } ^ { n , i } ) - D _ { x } L ^ { i } ( X _ { t } ^ { n , i } , \alpha _ { t } ^ { n , i } ) \big ) \cdot \Delta X _ { t } ^ { i } \bigg ) d t \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \hat { p } _ { s } ^ { 2 } ( \mathbf { y } ) d y } & { = \int \left( \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } G _ { \sigma } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) \right) ^ { 2 } d y } \\ & { = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \int \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } G _ { \sigma } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) \cdot G _ { \sigma } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) \right) d y } \\ & { = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \int G _ { \sigma } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) \cdot G _ { \sigma } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) d y } \\ & { = \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } G _ { \sqrt { 2 } \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { s } - \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \{ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \zeta ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } u - \mu ^ { \prime } \pm \lambda _ { 1 } \left( u _ { 1 } - u _ { - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } - 4 r \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } \right] } & { = } & { 8 \pi \rho \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial \varphi ^ { 2 } } + r ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z ^ { 2 } } } & { = } & { 0 \; , } \\ { - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \left[ 3 \! \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } + 3 r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + 4 r \left( \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi p _ { r } \; , \; \; \; \; } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } - r \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 r \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial \varphi } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { 1 } { 4 } \left\{ \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } - r ^ { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } + 4 \left( \frac { \partial \beta } { \partial r } \right) ^ { 2 } + 4 \beta \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r ^ { 2 } } + 4 \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial r } \right] \right\} } & { = } & { 8 \pi r ^ { 2 } p _ { \varphi } \; , } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial z } + r \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial r \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { 2 \frac { \partial \beta } { \partial r } \frac { \partial \beta } { \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial t \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \frac { \partial \beta } { \partial z } } & { = } & { 0 \; , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left[ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial \beta } { \partial z } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \partial \beta } { \partial \varphi } \right) ^ { 2 } - 2 r \left( 2 \beta \frac { \partial \beta } { \partial r } + \frac { \partial \beta } { \partial t } \right) \right] } & { = } & { 8 \pi r ^ { 2 } ( p _ { z } - p _ { \varphi } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle Q _ { i } ^ { 4 } \rangle _ { 0 } \right] } & { { } = } & { \left[ \frac { 6 n _ { i } ^ { 2 } + 6 n _ { i } + 3 } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \beta , K ) } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 \le K } \\ { \sqrt d } & { \frac 1 2 c ^ { \frac 3 4 } \le K \le 1 } \\ { 2 ( 1 + \frac \pi \beta ) } & { \frac { 2 \pi } \beta c ^ { 3 } \le K \le \frac 1 2 c ^ { \frac 3 4 } } \\ { 1 } & { K \le \frac { 2 \pi } \beta c ^ { 3 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { V a r ^ { * } ( A _ { 1 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) = } & { E ^ { * } \left( V a r ^ { * } ( A _ { 1 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ & { + V a r ^ { * } \left( E ^ { * } ( A _ { 1 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { = } & { E ^ { * } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { K } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } ^ { * } \right) \widehat { \sigma } _ { j , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \widehat { f } _ { l , n } ^ { * 2 } \right) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { K } \widehat { \sigma } _ { j , n } ^ { 2 } E ^ { * } \left( \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \widehat { f } _ { l , n } ^ { * 2 } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ^ { 1 } ( t ) } & { \leq 2 ^ { 1 - j _ { n } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) } } { ( 2 + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) ^ { L - 1 } } \, \, d y } \\ & { \leq 2 ^ { 2 - j _ { n } } \times \frac { \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) } } { ( 2 + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } ) ^ { L - 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { \hat { \Pi } _ { d / \alpha , i } } & { = \frac { \hat { \dot { \sigma } } _ { d } } { \hat { \dot { \sigma } } _ { \alpha , i } } = \frac { { \hat { \dot { \xi } } _ { d } } { | \Delta G _ { d } | } / { T } } { { \alpha _ { i } \rho _ { i } c _ { p , i } T ^ { 2 } } \, | | \nabla { T } ^ { - 1 } | | ^ { 2 } } } & & { \to { S t e } _ { i } = \frac { | \Delta \widetilde { H } _ { \lat , d } | / M _ { d , i } } { c _ { p , i } \Delta T } } \end{array} } \end{array}
{ \frac { | \langle D ^ { ( * ) } | J \cdot a | B \rangle | ^ { 2 } } { 4 m _ { B } E _ { D ^ { ( * ) } } } } < { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } \mathrm { d } \epsilon \, W _ { \Delta } ( \epsilon ) [ a ^ { * \mu } T _ { \mu \nu } a ^ { \nu } ] .
\begin{array} { r l r } { \exp { \left( - \frac { t - \delta } { \tau _ { m } } \right) } } & { { } \exp { \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D ( t - \delta ) } \right) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t - \delta \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } \big ( E ( \hat { \nu } , \nu ) \big ) } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \sum _ { ( n _ { 1 } , m _ { 1 } , \ldots , m _ { k - 1 } , n _ { k } ) \in \Lambda _ { k , m _ { k } } } \sum _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in \mathcal { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } ; \ldots ; n _ { k } , m _ { k } } } | I _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) | ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \sum _ { n _ { k } = 1 } ^ { m _ { k } } \sum _ { m _ { k - 1 } = 1 } ^ { n _ { k } } \cdots \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 2 } } \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { m _ { 1 } } 4 ^ { k ( 2 t + \varepsilon ) } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } ( 4 ^ { 2 t + \varepsilon } m _ { k } ) ^ { 2 C \log m _ { k } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { K \to \infty } \sum _ { k = K } ^ { \infty } \sum _ { m _ { k } = e ^ { \frac { k } { C } } } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 4 } \varepsilon } \leq \frac { 1 } { 1 - ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { \varepsilon } { 4 } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { 2 ^ { \varepsilon } } \Big ) ^ { \frac { e ^ { \frac { k } { C } } - 1 } { 4 } } < + \infty , } \end{array}
\left( - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla ^ { 2 } + V \right) \psi = E \psi \qquad { \mathrm { w i t h } } \qquad V = - { \frac { 1 } { r _ { a } } } - { \frac { 1 } { r _ { b } } } \; .
L _ { 1 } ^ { \left( 0 \right) } \, = \, - \frac { a } { 2 } A _ { \mu } ^ { \left( 0 \right) } \, A ^ { \mu \left( 0 \right) } \, + \, \frac { b } { 2 } \left( F _ { \mu \nu } ^ { \left( 0 \right) } \right) ^ { 2 } \, + \, \theta \, \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \, \, A _ { \mu } ^ { \left( 0 \right) } \, \partial _ { \nu } \, A _ { \rho } ^ { \left( 0 \right) } .
\begin{array} { r l } { I I } & { = \int _ { u _ { f } - r _ { f } } ^ { u _ { g } - r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ f ] \, d v + \int _ { u _ { f } + r _ { f } } ^ { u _ { g } + r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v } \\ & { \quad + c \int _ { u _ { g } - r _ { g } } ^ { u _ { f } + r _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \left| \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } - \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \right| \, d v } \\ & { = : I I _ { 1 } + I I _ { 2 } + I I _ { 3 } . } \end{array}
\left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } = - { \frac { F ( a ) } { a ^ { 2 } } } + \left( { \frac { 8 \pi \; G _ { 4 + 1 } \; \rho _ { 3 + 1 } } { 3 } } \right) ^ { 2 } .
\left( \frac { k ^ { 2 } } { \sigma } \right) ^ { m } \int \frac { d ^ { D } q } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \left( \frac { q ^ { 2 } } { \sigma } \right) ^ { \epsilon _ { 0 } + \delta _ { 0 } + l + n - 2 }
\xi _ { x 2 } = \frac { n _ { 1 } \, r _ { 0 } \, Z _ { 1 } \, Z _ { 2 } \, \beta _ { x 2 } ^ { * } } { 2 \pi \, A _ { \mathrm { i o n } , 2 } \, \gamma _ { 2 } \, \sigma _ { x 1 } ( \sigma _ { x 1 } + \sigma _ { y 1 } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma + 1 } { 2 } \left( \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \right) \geq \, } & { \left( \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \right) + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \left( | D \varphi | ^ { 2 } - 1 \right) } \\ { = \, } & { ( \gamma - 1 ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi ) + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \left( | D \varphi _ { 2 } | ^ { 2 } - 1 \right) \geq \frac { \gamma - 1 } { 2 } d _ { 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \geq \frac { 1 } { C } e ^ { - C \| \psi \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } - C e ^ { C \| \psi \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } } \eta ^ { 2 } \| \mathcal P _ { \gamma } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { C } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \eta ^ { 2 } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } . } \end{array}
A ( \omega , k ) = \frac { p } { 4 \pi ^ { 2 } } \frac { m ^ { * } } { k } \frac { m ^ { * } } { \sqrt { ( p ^ { 2 } + m ^ { * 2 } ) } } \ln \left( \frac { \sqrt { ( p _ { F } ^ { 2 } + m ^ { * 2 } ) } - \omega - \sqrt { ( p ^ { 2 } + m ^ { * 2 } ) } } { \sqrt { ( ( p + k ) ^ { 2 } + m ^ { * 2 } ) } - \omega - \sqrt { ( p ^ { 2 } + m ^ { * 2 } ) } } \right) ,
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \Delta _ { i } ( t ) \right] \geq \left( \eta - \sum _ { i = i _ { 0 } } ^ { \infty } \rho _ { 0 } ^ { i } \right) \theta ^ { i _ { 0 } } + \sum _ { i = i _ { 0 } } ^ { \infty } \rho _ { 0 } ^ { i } \theta ^ { i } = \left( \eta - \frac { \rho _ { 0 } ^ { i _ { 0 } } } { 1 - \rho _ { 0 } } \right) \theta ^ { i _ { 0 } } + \frac { \rho _ { 0 } ^ { i _ { 0 } } \theta ^ { i _ { 0 } } } { 1 - \rho _ { 0 } \theta } .
A _ { L S N D } = 4 U _ { e 4 } ^ { 2 } U _ { \mu 4 } ^ { 2 } \approx 4 \left( \frac { m _ { e s } } { m _ { s s } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \mu s } } { m _ { s s } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathscr { W } ^ { ( l ) } ( \{ l \} ) } & { { } = \frac { 1 } { l ! } \frac { \delta ^ { l } { n } _ { \mathrm { i n d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } { \prod _ { i = 1 } ^ { l } \delta { U } _ { \mathrm { e x t } } ( i ) } \, . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { R ^ { 2 } } { c o s ^ { 2 } \theta } ( - d t ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } + s i n ^ { 2 } \theta d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } + c o s ^ { 2 } \theta d \Omega _ { 5 } ^ { 2 } )
\frac { \cal L } { N } = \frac { 1 } { 2 N } ( \partial _ { \mu } \phi _ { i } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } \rho - \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } \rho ^ { 2 } - \frac { \eta } { 6 } \rho ^ { 3 } + \frac { \chi } { 2 } ( \rho - \frac { \vec { \phi } \cdot \vec { \phi } } { N } ) .
C ( w _ { e } ) = g _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \Big [ C _ { \mathrm { A } } ( w _ { e } ) + \left( \frac { g _ { \mathrm { V } } } { g _ { \mathrm { A } } } \right) ^ { 2 } C _ { \mathrm { V } } ( w _ { e } ) + \frac { g _ { \mathrm { V } } } { g _ { \mathrm { A } } } C _ { \mathrm { V A } } ( w _ { e } ) \Big ] \, .
R _ { m a x } = c o s h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta c } { 2 L } } ) \int _ { - c } ^ { \infty } \, \, s e c h ^ { \left( { 2 / \beta } \right) } ( { \frac { \beta r } { 2 L } } ) \, \, d r ,
\operatorname * { l i m } _ { K _ { \perp } \to 0 } \frac { 1 } { K _ { \perp } } \frac { d } { d K _ { \perp } } P _ { 1 } ( { \vec { K } } ) = \operatorname * { l i m } _ { K _ { \perp } \to 0 } \int d ^ { 4 } x \left( \frac { u _ { 0 } } { E _ { K } } - \frac { u _ { \rho } } { K _ { \perp } } \cos \phi \right) \frac { \partial \bar { S } } { \partial \psi }
\begin{array} { r l } { I _ { 2 , \ell } } & { = \{ ( i , j ) : i \not = j , \ \hat { \alpha } _ { i j \ell } > 0 , \ \hat { \alpha } _ { j i \ell } > 0 \} , \quad \ell \in [ \tau ] , } \\ { I _ { 3 , \ell } } & { = \{ ( i , j , k ) : i , j , k \mathrm { ~ m u t u a l l y ~ d i f f e r e n t } , \ \hat { \alpha } _ { i j \ell } > 0 , \ \hat { \alpha } _ { j k \ell } > 0 , \ \hat { \alpha } _ { k i \ell } > 0 \} , \quad \ell \in [ \tau ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta C } & { { } \propto \vert \rho - \rho _ { c } \vert ^ { - \alpha } , } \\ { \rho _ { n } } & { { } \propto \vert \rho - \rho _ { c } \vert ^ { \beta } , } \\ { \chi } & { { } \propto \vert \rho - \rho _ { c } \vert ^ { - \gamma } , } \end{array}