harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { | \widehat { \eta _ { \lambda } ^ { ( \omega ) } } ( \xi ) | } & { \le } & { \prod _ { n = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( 1 - c _ { 1 } \left\| \textup { R e } ( \lambda _ { W _ { 1 } \ldots W _ { n - 1 } W _ { n } ^ { \prime } } \cdot \theta ^ { - j } \overline { \xi } ) \right\| ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( 1 - c _ { 1 } \left\| \textup { R e } ( \lambda _ { W _ { 1 } \ldots W _ { n - 1 } W _ { n } } \cdot \lambda _ { 1 } ^ { - 5 } \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \theta ^ { - j } \Theta ^ { ( M ) } \tau ) \right\| ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( 1 - c _ { 1 } \left\| \textup { R e } ( \theta _ { W _ { n + 1 } \ldots W _ { M } } \cdot \theta _ { 2 } \theta ^ { 5 - j } \tau ) \right\| ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { M } \prod _ { j = 0 } ^ { 4 } \left( 1 - c _ { 1 } \left\| \textup { R e } ( \Theta _ { M - n } ^ { ( M ) } \cdot \theta _ { 2 } \theta ^ { 5 - j } \tau ) \right\| ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \prod _ { n = 0 } ^ { M - 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { 5 } \left( 1 - c _ { 1 } \left\| \textup { R e } ( \Theta _ { n } ^ { ( M ) } \cdot \theta _ { 2 } \theta ^ { j } \tau ) \right\| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { N } ( r ) } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { = 0 \mathrm { ~ f o r ~ } r < - N \mathrm { ~ o r ~ } r > N } \\ & { = 1 \mathrm { ~ f o r ~ } - N + 1 < r < N - 1 } \\ & { \mathrm { ~ i n c r e a s i n g ~ o n ~ } [ - N , - N + 1 ] } \\ & { \mathrm { ~ d e c r e a s i n g ~ o n ~ } [ N - 1 , N ] } \end{array} \right. . } \end{array}
\mu \equiv m _ { H } ^ { 2 } , ~ C \equiv \sqrt { 1 + \frac { K a _ { 2 } } { 2 } ( \xi A ( 0 ) B ( 0 ) ) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { K } { 2 \pi } } } \simeq \sqrt { 1 + \frac { K a _ { 2 } } { 2 } ( \xi A ( 0 ) B ( 0 ) ) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \frac { K } { 2 \pi } \right) } .
( a _ { q } , \beta _ { q } , c _ { q } , \eta _ { q } , q ) = ( 2 . 1 \times 1 0 ^ { - 5 } , 2 . 0 \times 1 0 ^ { - 5 } , 2 . 1 2 , 2 . 9 6 , 1 . 8 9 )
< x > \equiv \frac { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x x ^ { 2 } \exp ( - \frac { \alpha } { 2 } ( x - \beta ) ^ { 2 } ) } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x x \exp ( - \frac { \alpha } { 2 } ( x - \beta ) ^ { 2 } ) } = \beta + \frac { 1 } { \alpha \beta } .
\begin{array} { r l } { \{ a _ { i } , a _ { j } ^ { \dagger } \} } & { { } = a _ { i } a _ { j } ^ { \dagger } + a _ { j } ^ { \dagger } a _ { i } = \delta _ { i j } } \\ { \{ a _ { i } ^ { \dagger } , a _ { j } ^ { \dagger } \} } & { { } = \{ a _ { i } , a _ { j } \} = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| + \left| A _ { [ \frac { n } { 2 } ] } \right| } \\ & { \leqslant 3 \left\lceil \frac { n } { 1 8 } \right\rceil + \left| A \cap ( 3 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \cap \left[ \frac { n } { 2 } \right] \right| + \left| C _ { 1 } \right| } \\ & { \leqslant 3 \left\lceil \frac { n } { 1 8 } \right\rceil + \frac { n } { 1 8 } + C + \left\lceil \frac { n } { 3 6 } \right\rceil + \left\lceil \frac { n } { 1 8 } \right\rceil + \frac { \delta n } { 3 } + 2 } \\ & { \leqslant \frac { 1 1 n } { 3 6 } + \frac { \delta n } { 3 } + C + 7 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Phi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , . . . . , x _ { N } ) \; \; \; \; \; \; \mathrm { w i t h } \; } \\ & { } & { x _ { a } = \mathrm { \bf ~ r } _ { a } \; , \; a = 1 , . . . , N , \; \mathrm { s y m m e t r i z e d \; \; f o r \; s p i n l e s s \; \; b o s o n s } \; , } \\ & { } & { x _ { a } = \mathrm { \bf ~ r } _ { a } , \sigma _ { a } \; , \; a = 1 , . . . , N , \; \mathrm { a n t i s y m m e t r i z e d \; \; f o r \; f e r m i o n s } } \end{array}
d \eta ^ { 2 } = { \frac { T _ { p } ^ { 2 } V _ { p } ^ { 2 } } { E ^ { 2 } } } ( h _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ) ^ { p } e ^ { - 2 \Phi } g _ { t t } ^ { 2 } d t ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } ^ { \mathrm { r s } } ( \mu ) = \sum _ { d = 0 } ^ { \infty } r _ { d } \sum _ { \mathcal { D } _ { i } } P ( \mathcal { D } _ { i } ) \int \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathrm { d } p ^ { \mathrm { r s } } ( \mu _ { i } ) \delta ( \mu - f ^ { \mathrm { b p } } ( \mu _ { 1 } , \dots , \mu _ { d } ; \mathcal { D } _ { i } ) ) } \end{array}
\left. + \int _ { 0 } ^ { 1 } d y y ^ { 4 + \epsilon } { \frac { d } { d y } } \ln I _ { \mu } ( y ) + \int _ { 1 } ^ { \infty } d y y ^ { 4 + \epsilon } { \frac { d } { d y } } \ln { \frac { e ^ { z } } { \sqrt { 2 \pi z } } } \right\} ~ ,
{ \begin{array} { r l } { \int { \frac { W ( x ) } { x ^ { 2 } } } \, d x \; } & { = \; \int { \frac { u } { \left( u e ^ { u } \right) ^ { 2 } } } \left( u + 1 \right) e ^ { u } d u } \\ & { = \; \int { \frac { u + 1 } { u e ^ { u } } } d u } \\ & { = \; \int { \frac { u } { u e ^ { u } } } d u \; + \; \int { \frac { 1 } { u e ^ { u } } } d u } \\ & { = \; \int e ^ { - u } d u \; + \; \int { \frac { e ^ { - u } } { u } } d u } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \iint _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ y ~ g ~ o ~ n ~ } } d x d y e ^ { i q _ { \perp } \cdot r _ { \perp } } = } & { { } \sum _ { k \in \mathrm { ~ v ~ e ~ r ~ t ~ i ~ c ~ e ~ s ~ } } \pm \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { k } } { W \cdot q _ { \perp } } \; \frac { 1 } { q _ { \perp } \cdot \hat { \mu } _ { k } } \; e ^ { i q _ { \perp } \cdot V _ { k } } } \end{array} .
P _ { \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \alpha } } ^ { ( \mathrm { \scriptsize ~ S B L } ) } = 1 - \sum _ { \beta \neq \alpha } P _ { \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } } = 1 - \frac { 1 } { 2 } B _ { \alpha ; \alpha } \left( 1 - \cos \frac { \Delta { m } _ { \mathrm { \scriptsize ~ S B L } } ^ { 2 } L } { 2 p } \right)
P _ { i } \equiv - i \left. \frac { \partial x ^ { j } } { \partial a ^ { i } } \right| _ { a = b = v = 0 , \, { \cal R } = 1 } \cdot \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } = - i \cosh \frac { t } { R } \cdot \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } .
{ \pmb { c } } _ { k } = { \pmb { c } } _ { k } - \alpha \left[ \left( { \pmb { \psi } } _ { s } \star \left[ { \pmb { \psi } } _ { s } \circledast { \pmb { c } } _ { k } - \bf y _ { s } \right] \right) + \lambda ^ { 2 } { \pmb { c } } _ { k } \right]
\begin{array} { r l } { \Dot { x _ { 1 } } = } & { k _ { 2 } x _ { 3 } - k _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 6 } , } \\ { \Dot { x _ { 2 } } = } & { k _ { 4 } x _ { 4 } - k _ { 3 } x _ { 2 } x _ { 6 } , } \\ { \Dot { x _ { 3 } } = } & { k _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 6 } - k _ { 2 } x _ { 3 } , } \\ { \Dot { x _ { 4 } } = } & { k _ { 3 } x _ { 2 } x _ { 6 } - k _ { 4 } x _ { 4 } , } \\ { \Dot { x _ { 5 } } = } & { k _ { 6 } x _ { 3 } + k _ { 5 } x _ { 1 } - k _ { 9 } x _ { 5 } , } \\ { \Dot { x _ { 6 } } = } & { k _ { 1 1 } x _ { 5 } + k _ { 2 } x _ { 3 } + k _ { 4 } x _ { 4 } } \\ & { - x _ { 6 } \left( k _ { 1 } x _ { 1 } + k _ { 3 } x _ { 2 } + k _ { 1 5 } x _ { 8 } + k _ { 1 6 } \right) , } \\ { \Dot { x _ { 7 } } = } & { k _ { 8 } x _ { 4 } + k _ { 7 } x _ { 2 } - k _ { 1 0 } x _ { 7 } , } \\ { \Dot { x _ { 8 } } = } & { k _ { 1 2 } x _ { 7 } - k _ { 1 5 } x _ { 6 } x _ { 8 } + k _ { 1 3 } x _ { 9 } - k _ { 1 4 } x _ { 8 } , } \\ { \Dot { x _ { 9 } } = } & { k _ { 1 5 } x _ { 6 } x _ { 8 } - k _ { 1 3 } x _ { 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { \leq } & { s ^ { ( k _ { \omega } + 1 ) \cdots ( k _ { 1 } + 1 ) ( \ell + 1 ) } d ^ { O ( k _ { \omega } ) \cdots O ( k _ { 1 } ) O ( \ell ) } , } \\ { J _ { i } } & { \leq } & { s ^ { ( k _ { \omega } + 1 ) \cdots ( k _ { 1 } + 1 ) } d ^ { O ( k _ { \omega } ) \cdots O ( k _ { 1 } ) } , } \\ { N _ { i j } } & { \leq } & { d ^ { O ( k _ { \omega } ) \cdots O ( k _ { 1 } ) } , } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \varepsilon } ( A | B ) _ { \rho } = \operatorname* { m a x } _ { \rho _ { \ast } \in \mathcal { B } ^ { \varepsilon } ( \rho ) } H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ( A | B ) _ { \rho _ { \ast } } ,
\begin{array} { r l } { p ( \hat { u } _ { k } = u _ { k } ) } & { = C ^ { - 1 } \lambda _ { u _ { k } } \sum _ { t = 1 } ^ { I _ { k } } W \left[ t , u _ { k } \right] } \\ & { = C ^ { - 1 } \lambda _ { u _ { k } } \langle h h ^ { \top } , V \left[ : , u _ { k } \right] V \left[ : , u _ { k } \right] ^ { \top } , G _ { k } \rangle } \\ & { = q _ { h , \sqrt { \Lambda } V ^ { \top } , G _ { k } } \left[ u _ { k } \right] . } \end{array}
P ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { l } \, | \, \rho ) \approx \frac { N ^ { l } } { l ! } \sum _ { i = 1 } ^ { r } s _ { i } \exp \left( - N \! \int _ { D } I ( \vec { R } _ { i } \vec { k } ) \, \mathrm d \vec { k } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { l } I ( \vec { R } _ { i } \vec { k } _ { j } ) .
{ \frac { 1 } { Z _ { \beta , n } } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } e ^ { - { \frac { \beta n } { 4 } } \lambda _ { k } ^ { 2 } } \prod _ { i < j } \left| \lambda _ { j } - \lambda _ { i } \right| ^ { \beta } ~ , \quad ( 1 )
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { 0 } } & { = \omega _ { C } \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } + \sum _ { i = 1 , 2 } \omega _ { i } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } } \\ & { + \sum _ { \alpha } \omega _ { \alpha } \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \alpha } + \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { \beta _ { i } } \omega _ { \beta _ { i } } \hat { b } _ { \beta _ { i } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \beta _ { i } } } \\ { \hat { V } } & { = \sum _ { i } g _ { i } \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } \left( \hat { b } _ { i } + \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \right) } \\ & { + \sum _ { \alpha } \left( V _ { C \alpha } \hat { a } _ { C } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \alpha } + V _ { \alpha C } \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { C } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { \beta _ { i } } \left( V _ { i \beta _ { i } } \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \beta _ { i } } + V _ { \beta _ { i } i } \hat { b } _ { \beta _ { i } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { i } \right) } \end{array}
\rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } = \lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { R 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } [ 1 - \rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ] \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ,
\begin{array} { r l } & { ( I + o ( 1 ) ) T ^ { - 1 } \Lambda ^ { n } \mathrm { ~ a s ~ } n \to \infty , \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \\ & { T ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { \lambda _ { 1 } ^ { L } } & { \cdots } & { \lambda _ { L + 1 } ^ { L } } \\ { \lambda _ { 1 } ^ { L - 1 } } & { \cdots } & { \lambda _ { L + 1 } ^ { L - 1 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { 1 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } ( r _ { [ 1 , \infty ] } | s _ { 1 } ) = } & { r _ { 1 } + \gamma \rho _ { 2 } ^ { s _ { 1 } } ( r _ { 2 } ) } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \sum _ { t = 3 } ^ { T } \gamma ^ { t - 1 } \mathbb { E } _ { s _ { [ 1 , t - 1 ] } } \left[ { \rho _ { t } ^ { s _ { [ 1 , t - 1 ] } } } ( r _ { t } ) \right] , } \end{array}
\nabla \left( \begin{array} { l } { { V _ { A B } } } \\ { { V _ { I } } } \\ { { \bar { V } ^ { A B } } } \\ { { \bar { V } ^ { I } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } P _ { A B C D } } } & { { P _ { A B J } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } P _ { I C D } } } & { { P _ { I J } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } P ^ { A B C D } } } & { { P ^ { A B J } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } P ^ { I C D } } } & { { P ^ { I J } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { V _ { C D } } } \\ { { V _ { J } } } \\ { { \bar { V } ^ { C D } } } \\ { { \bar { V } ^ { J } } } \end{array} \right)
\vec { z } _ { \mathrm { ~ a ~ c ~ s ~ } } \, : = \, ( \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ A ~ C ~ S ~ } } \vec { z } ) _ { i } \, = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \vec { z } _ { i } , } & { i \in \mathrm { ~ A ~ C ~ S ~ r ~ e ~ g ~ i ~ o ~ n ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \tau } \left( \tau B _ { x } \right) } & { { } = } & { - ( \partial _ { y } E _ { \eta } - \partial _ { \eta } E _ { y } ) \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau B _ { y } \right) } & { { } = } & { ( \partial _ { x } E _ { \eta } - \partial _ { \eta } E _ { x } ) \; , } \\ { \partial _ { \tau } \left( \tau ^ { - 1 } B _ { \eta } \right) } & { { } = } & { - ( \partial _ { x } E _ { y } - \partial _ { y } E _ { x } ) \; , } \end{array}
T _ { i j } ^ { \left( 1 \right) , \dag } = - { { \bar { \Delta } } ^ { 2 } } \left( { | \bar { S } | \bar { S } _ { i j } ^ { \dag } + \frac { { 2 { { \bar { S } } _ { k l } } \bar { S } _ { k l } ^ { \dag } } } { { | \bar { S } | } } { { \bar { S } } _ { i j } } } \right) .
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { 0 , 3 } } = V _ { \mathrm { 0 , 2 } } + \left( V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } - V _ { \mathrm { 0 , 2 } } \right) \left( 1 - e ^ { - t _ { \mathrm { e x p } } / \tau _ { \mathrm { e x p } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal D } _ { { \cal C } _ { \nu } ^ { \lambda } } ( \delta _ { \nu } ^ { k } , \lambda _ { \nu } ^ { k } ) ( \Delta \delta _ { \nu } ^ { k + 1 } , \Delta \lambda _ { \nu } ^ { k + 1 } ) = - { \cal C } _ { \nu } ^ { \lambda } ( \delta _ { \nu } ^ { k } , \lambda _ { \nu } ^ { k } ) , } \\ & { ( \delta _ { \nu } ^ { k + 1 } , \lambda _ { \nu } ^ { k + 1 } ) = ( \delta _ { \nu } ^ { k } , \lambda _ { \nu } ^ { k } ) + ( \Delta \delta _ { \nu } ^ { k + 1 } , \Delta \lambda _ { \nu } ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\sigma = { \tiny \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { P \left( \mathbf { X } + \Delta \mathbf { X } , t + \tau \right) = \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { X } , t \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } , } \\ & { \implies P \left( \mathbf { X } , t \right) + \Delta \mathbf { X } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } P \left( \mathbf { X } , t \right) + \tau \frac { \partial P \left( \mathbf { X } , t \right) } { \partial t } + \mathcal { O } ( \tau ^ { 2 } , \Delta \mathbf { X } ^ { 2 } ) = \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { X } , t \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } , } \\ & { \implies \frac { \partial P \left( \mathbf { X } , t \right) } { \partial t } \approx - \frac { \Delta \mathbf { X } } { \tau } \cdot \nabla _ { \mathbf { X } } P \left( \mathbf { X } , t \right) - \frac { 1 } { \tau } \left( 1 - \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } , t \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } \right) P \left( \mathbf { X } , t \right) } \end{array}
\operatorname { T i } _ { 0 } ( z ) = { \frac { z } { 1 + z ^ { 2 } } } , \quad \operatorname { T i } _ { 1 } ( z ) = \arctan z , \quad \operatorname { T i } _ { 2 } ( z ) = \int _ { 0 } ^ { z } { \frac { \arctan t } { t } } d t , \quad \ldots ~ \quad \operatorname { T i } _ { n + 1 } ( z ) = \int _ { 0 } ^ { z } { \frac { \operatorname { T i } _ { n } ( t ) } { t } } d t ,
\zeta _ { T } ( \nu | \beta ) = { \frac { \varrho ^ { - 2 \nu } } { \pi i } } \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega \int _ { C _ { + } } d z \ln \left( 1 - e ^ { i \beta z } \right) \left[ { \frac { 2 \nu z \breve { \Phi } ( \omega ; z ) } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu + 1 } } } - { \frac { \partial _ { z } \breve { \Phi } ( \omega ; z ) } { ( z ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { \nu } } } \right] .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } \{ | \Delta Y _ { t _ { n + 1 } } | ^ { 2 } \} \geq } & { [ 1 - ( 1 + f _ { x } + \lambda _ { 8 } ) \Delta { t _ { n } } ] \mathbb { E } \{ | \Delta Y _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \} + ( 1 - f _ { z } \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } ) \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } \{ | \Delta Z _ { n } d t | ^ { 2 } \} } \\ & { + ( \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } - f _ { \Gamma } \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } ) \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } \{ | \Delta \Gamma _ { n } | ^ { 2 } \} - f _ { x } \lambda _ { 8 } ^ { - 1 } \Delta { t _ { n } } \mathbb { E } \{ | \Delta X _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { S } _ { 1 , l } : = \{ i \in \{ s _ { 1 } , \cdots , s _ { 2 } \} \backslash \{ Y _ { s _ { 2 } ^ { \prime } + 1 } , \cdots , Y _ { n } \} : b _ { i } > s _ { 2 } ^ { \prime } \} , } \\ & { } & { \mathcal { S } _ { 2 , l } : = \{ i \in \{ s _ { 1 } , \cdots , s _ { 2 } \} \backslash \{ Y _ { s _ { 2 } ^ { \prime } + 1 } , \cdots , Y _ { n } \} : s _ { 1 } ^ { \prime } \leq b _ { i } \leq s _ { 2 } ^ { \prime } \} , } \\ & { } & { \mathcal { S } _ { l } ^ { \prime } : = \{ i \in \{ s _ { 1 } , \cdots , s _ { 2 } \} : s _ { 1 } ^ { \prime } \leq b _ { i } \leq s _ { 2 } ^ { \prime } \} , \quad W _ { l } : = | \mathcal { S } _ { l } ^ { \prime } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i j k } ^ { l m n } = } & { { } \int \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) } & { = \beta _ { 0 } ( t , \mathbf { x } ) \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) - \log Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) ) ; i = 1 , \cdots , M } \\ { Z ( \boldsymbol { \beta } ; \boldsymbol { \phi } ) } & { = \int \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; i = 1 , \cdots , M , } \end{array}
{ \frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } } = { \frac { - 1 } { 2 n _ { \gamma } } } \int \left[ { \frac { \partial P _ { 0 } } { \partial t } } ( 1 - P _ { z } ) - P _ { 0 } { \frac { \partial P _ { z } } { \partial t } } - { \frac { \partial \bar { P } _ { 0 } } { \partial t } } ( 1 - \bar { P } _ { z } ) + \bar { P } _ { 0 } { \frac { \partial \bar { P } _ { z } } { \partial t } } \right] N ^ { 0 } d p .
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \partial ^ { i + j } S } { \partial x ^ { i } \partial y ^ { j } } ( x , y ) \right| \le C , } \\ & { \left| \frac { \partial ^ { i + j } E _ { 1 } } { \partial x ^ { i } \partial y ^ { j } } ( x , y ) \right| \le C \varepsilon ^ { - i } e ^ { - \beta _ { 1 } ( 1 - x ) / \varepsilon } , } \\ & { \left| \frac { \partial ^ { i + j } E _ { 2 } } { \partial x ^ { i } \partial y ^ { j } } ( x , y ) \right| \le C \varepsilon ^ { - j } e ^ { - \beta _ { 2 } ( 1 - y ) / \varepsilon } , } \\ & { \left| \frac { \partial ^ { i + j } E _ { 3 } } { \partial x ^ { i } \partial y ^ { j } } ( x , y ) \right| \le C \varepsilon ^ { - ( i + j ) } e ^ { - \beta _ { 1 } ( 1 - x ) / \varepsilon } e ^ { - \beta _ { 2 } ( 1 - y ) / \varepsilon } . } \end{array}
E ( R ) \! = \! 2 \pi \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \! \! r d r \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! \! \! \! d z \! \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial B _ { r } } { \partial z } \! - \! \frac { \partial B _ { z } } { \partial r } \right) ^ { 2 } \! \! \! \! + \! \! \left( \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) ^ { 2 } \! \! \! \! + \! \! \left( \frac { \partial \phi } { \partial z } \right) ^ { 2 } \! \! \! \! + \! \hat { g } ^ { 2 } ( { B _ { r } ^ { \prime } } ^ { 2 } \! \! + \! { B _ { z } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } \! + \! \hat { \lambda } ( \phi ^ { 2 } \! - \! \hat { v } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { X : = \left[ \begin{array} { l l l l } { X _ { ( 1 ) } } & { X _ { ( 2 ) } } & { \ldots } & { X _ { ( p ) } } \end{array} \right] \, , \quad \quad } & { { } \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ u ~ m ~ n ~ - ~ w ~ i ~ s ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \, , } \\ { X : = \left[ \begin{array} { l } { X ^ { ( 1 ) } } \\ { X ^ { ( 2 ) } } \\ { \vdots } \\ { X ^ { ( p ) } } \end{array} \right] \, , \quad \quad } & { { } \mathrm { ~ r ~ o ~ w ~ - ~ w ~ i ~ s ~ e ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \, , } \end{array}
E _ { \mathrm { c v } } = \frac { k _ { B } T l _ { p } } { \sigma } \sum _ { n = 2 } ^ { N - 1 } \left( 1 - \cos { \theta _ { n } } \right) = \sum _ { n = 2 } ^ { N - 1 } E _ { \mathrm { b e n d } } ( \theta _ { n } )
m _ { 3 / 2 } ( S U ( 4 ) \otimes U ( 1 ) ) = \left( \frac { 1 0 } { 2 7 } / 5 \right) ^ { \sqrt 3 } m _ { 3 / 2 } ( S U ( 3 ) \otimes S U ( 2 ) \otimes U ( 1 ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s \bar { s } , k } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { { } = \frac { 1 } { \nu _ { 0 } \nu _ { 3 } } P _ { 5 ; s , k } ( \vartheta ) + \frac { 1 } { \nu _ { 0 } } P _ { 6 ; s , k } ( \vartheta , \vartheta _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { K L } ( \mathrm { P a } ( \kappa _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ) , \mathrm { P a } ( \kappa _ { 2 } , \alpha _ { 2 } ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \log \left( \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \right) + \alpha _ { 2 } \log \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { \kappa _ { 2 } } \right) + \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } - 1 } & { \mathrm { i f ~ } \kappa _ { 2 } \leq \kappa _ { 1 } , } \\ { \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { [ \overline { { u } } ( p ^ { \prime } ) \epsilon \! \! \! \slash u ( p ) ] ^ { * } } } & { { [ \overline { { u } } ( p ^ { \prime } ) M _ { v } u ( p ) ] \; = \; - \biggl | \overline { { u } } ( p ^ { \prime } ) M _ { r } u ( p ) \biggr | ^ { 2 } } } \\ { { \; = } } & { { \; [ \epsilon _ { \mu } ( k ) J ^ { \mu } ( k ) ] ^ { 2 } \biggl | \overline { { u } } ( p ^ { \prime } ) \epsilon \! \! \! \slash ( q ) u ( p ) \biggr | ^ { 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \frac { d \rho _ { 1 } ^ { 4 } } { d t } \right\rangle = \left\langle 4 \rho _ { 1 } ^ { 4 } \left( - \frac { 2 \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - 1 \right) \right\rangle , \quad \left\langle \frac { d \rho _ { 2 } ^ { 4 } } { d t } \right\rangle = \left\langle \frac { 4 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 3 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + 4 \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right\rangle , } & \\ & { \left\langle \frac { d } { d t } \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta \right\rangle = \left\langle 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta \left( - \frac { 2 \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - 1 \right) + \frac { \rho _ { 1 } ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \sqrt { \chi } } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta ) \right\rangle , } & \\ & { \left\langle \frac { d } { d t } \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \left( - \frac { 2 \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } - 1 \right) + 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } \sin \theta } { \sqrt { \chi } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right\rangle , } & \end{array}
\eta ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \eta _ { 2 n } ( 1 ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } R _ { n } \left( { \frac { 1 } { 1 + x } } , 0 , 1 \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { 1 + x } } = \log 2 \neq 0 .
\begin{array} { r } { \mathcal { M } ( { \bf k } , \omega ) = \left( \begin{array} { l l l } { \hbar \omega - \epsilon _ { \bf k } ^ { C } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { C C } ( \omega ) } & { } & { - g _ { R } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { C X } ( \omega ) } \\ { - g _ { R } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { X C } ( \omega ) } & { } & { \hbar \omega - \epsilon _ { \bf k } ^ { X } + i \tilde { \Gamma } _ { \bf k } ^ { X X } ( \omega ) } \end{array} \right) . } \end{array}