harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) s ^ { ( 0 ) } + \frac { 2 k } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 1 ) } + \frac { k ^ { 2 } } { ( k + 1 ) G } r s ^ { ( 2 ) } } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( s ^ { ( 0 ) } - \frac { 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 1 ) } - \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } s ^ { ( 2 ) } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \left( \frac { r } { ( k + 1 ) G } - 1 \right) \left( N p ^ { ( 0 ) } + \frac { k } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } N p ^ { ( 1 ) } - \frac { 2 k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } { k + 2 \mathrm { e } ^ { \tau } } \right) } \end{array}
\mathbf { v } ( x , t ) \in \left[ C ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } \times [ 0 , \infty ) ) \right] ^ { 3 } \, , \qquad p ( x , t ) \in C ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } \times [ 0 , \infty ) )
{ \chi _ { \alpha } ^ { \prime } } ( \bf R ) = e ^ { i \theta _ { \alpha } ( \bf R ) } { \chi _ { \alpha } ( \bf R ) } , { \phi _ { \alpha } ^ { \prime } } ( \bf r ; \bf R ) = e ^ { - i \theta _ { \alpha } ( \bf R ) } { \phi _ { \alpha } } ( \bf r ; \bf R )
F _ { \mu \nu } = s \left( \varepsilon _ { \mu \nu \rho } A ^ { * \rho } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac 1 { \xi ^ { k } } \mathcal { M } _ { \mu \nu } ^ { k } ( \Omega , A , A ^ { * } ) \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { x } } _ { i } } & { { } = \mathbf { f } ( \mathbf { x } _ { i } ) + d \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \cal L } _ { i j } \: \mathbf { g } ( \mathbf { x } _ { j } ) , } \end{array}
w h e r e S i s a s l o w l y v a r y i n g f u n c t i o n a t i n f i n i t y . I t i s n o t h a r d t o s e e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g s p e c t r a l d e n s i t i e s f \in { \cal P } _ { D } ( \beta + \epsilon , L ) f o r a n y \epsilon > 0 , d e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f L . A l s o , a s s u m e t h a t t h e k e r n e l f u n c t i o n i s o f t h e f o r m
\Phi _ { P P } ( \omega ) = \frac { \tau _ { m a x } ^ { 2 } \delta ^ { * } } { U _ { e } } \frac { \left[ 2 . 8 2 \Delta ^ { 2 } ( 6 . 1 3 \Delta ^ { - 0 . 7 5 } + F _ { 1 } ) ^ { A _ { 1 } } \right] \left[ 4 . 2 \left( \frac { \Pi } { \Delta } \right) + 1 \right] \tilde { \omega } ^ { 2 } } { \left[ 4 . 7 6 \tilde { \omega } ^ { 0 . 7 5 } + F _ { 1 } \right] ^ { A _ { 1 } } + \left[ C _ { 3 } ^ { ' } \tilde { \omega } \right] ^ { A _ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { V ^ { 2 } } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } e ^ { i E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ( t - t _ { 0 } ) / \hbar + i n \Omega t } D _ { u v , \alpha \beta , \mathbf { k } } ^ { ( n ) } \hat { c } _ { u \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v \mathbf { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { s \left( t \right) = \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } } ( { d \left( { m N + n } \right) } \exp \left( { j 2 \pi { f _ { n } } t } \right) } \\ & { \quad \; \; \quad \; \; \cdot \exp \left( { j \pi { k } { t ^ { 2 } } } \right) \mathrm { { r e c t } } ( { \frac { { t - m { T _ { s y m } } } } { { { T _ { s y m } } } } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R e g } [ j ] ( T ) \ge \Omega \left( \frac { K _ { 1 } } { \Delta _ { P _ { j } } } \ln T + \Delta \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { K _ { 1 } } { \Delta _ { P _ { j } } ^ { 2 } } \ln T , \frac { K _ { 1 } } { ( \Delta _ { P _ { j } } ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } \ln \frac { 1 } { \delta _ { T } } \right\} \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } ^ { \intercal } \lambda ) _ { i , j , k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Delta t } ( - \frac { \lambda _ { i , j , 1 } } { 2 } - \lambda _ { i , j , 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = 0 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } ( - \frac { \lambda _ { i , j , 2 } } { 2 } + \lambda _ { i , j , 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = 1 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { 2 \Delta t } ( - \lambda _ { i , j , k + 1 } + \lambda _ { i , j , k - 1 } ) , } & { \mathrm { i f ~ 1 < k < n _ t - 2 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } ( - \lambda _ { i , j , n _ { t } - 1 } + \frac { \lambda _ { i , j , n _ { t } - 3 } } { 2 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = n _ t - 2 ~ } ; } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } ( \lambda _ { i , j , n _ { t } - 1 } + \frac { \lambda _ { i , j , n _ { t } - 2 } } { 2 } ) , } & { \mathrm { i f ~ k = n _ t - 1 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { n o } ( R ) \, { \mathbf { X } } _ { \alpha } \, U _ { n o } ( R ) ^ { \dagger } } & { { } = } & { R ^ { - 1 } { \mathbf { X } } _ { \alpha } , } \\ { U _ { n o } ( R ) \, { \mathbf { P } } _ { \alpha } \, U _ { n o } ( R ) ^ { \dagger } } & { { } = } & { R ^ { - 1 } { \mathbf { P } } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \zeta ( s ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } n ^ { - s } \right| } & { < \frac { N ^ { 1 - \sigma } } { t } + \frac { 1 } { 2 N ^ { 1 - \sigma } } + \frac { \sqrt { \sigma ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } { 1 2 N ^ { 1 + \sigma } } + \frac { ( 1 + \sigma ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } } { 1 2 ( 1 + \sigma ) N ^ { 1 + \sigma } } . } \end{array}
W _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { A D S } } = ( N _ { f } - N _ { c } ) \left[ \frac { \mathrm { d e t } \left( T \right) \left( 1 - Z \right) ^ { \rho } } { \Lambda ^ { 3 N _ { c } - N _ { f } } } \right] ^ { 1 / ( N _ { f } - N _ { c } ) } .
\left\{ \begin{array} { r l } & { x = x + f ( e - x ^ { 3 } ) , } \\ & { x = F ^ { 2 } ( y ) = y + f ( e - y ^ { 3 } ) + f ( e - ( y + f ( e - y ^ { 3 } ) ) ^ { 3 } ) , } \\ & { | 1 - 3 f x ^ { 2 } | > 1 , } \\ & { | 1 - 3 f y ^ { 2 } | > 1 , } \\ & { | 1 - 3 f ( y + f ( e - y ^ { 3 } ) ) ^ { 2 } | \neq 0 , } \\ & { x \neq y , } \\ & { x > 0 , ~ y > 0 , ~ e > 0 , ~ f > 0 . } \end{array} \right.
( \tilde { A } _ { i j } , \tilde { A } _ { i } ) \in C ^ { 1 , \alpha } ( \mathbb { R } ^ { 2 } \times ( \overline { { \Omega } } \setminus ( \overline { { \Gamma } } _ { 2 } \cup \overline { { \Gamma _ { 0 } } } ) ) )
i \gamma _ { d } \cdot \partial _ { i } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { u } } } \\ { { \psi _ { l L } } } \end{array} \right) = \frac { g } { 2 } \gamma _ { d } ^ { \alpha } \left( \begin{array} { c c } { { Z _ { \alpha } / \cos \theta _ { w } } } & { { W _ { \alpha } ^ { 1 } - i W _ { \alpha } ^ { 2 } } } \\ { { W _ { \alpha } ^ { 1 } + i W _ { \alpha } ^ { 2 } } } & { { - Z _ { \alpha } / \cos \theta _ { w } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { u } } } \\ { { \psi _ { l L } } } \end{array} \right) -
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { g \to f } \int _ { \mathcal { Z } _ { g } ( \Omega ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \int _ { \mathcal { Z } ( \Omega ^ { n } ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { Z } ( \overline { { \Omega } } ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ { \mathrm { ( c o n d i t i o n ~ ) ~ } } & { = \int _ { \mathcal { Z } ( \Omega ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( G _ { n } > ( 1 + a ) m _ { n } ; \{ L _ { n } ( \varepsilon c _ { a } ( n ) ) = 0 \} \right) } \\ & { \quad \leq \mathbb { P } \left( G _ { n } > ( 1 + a ) m _ { n } ; \{ L _ { n } ( \varepsilon c _ { a } ( n ) ) = 0 \} ; E _ { n } ( A , \delta , c ) \right) + \mathbb { P } \left( E _ { n } ( A , \delta , c ) ^ { c } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \kappa ( u _ { B } - u _ { B , S } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { 1 } { | { \lambda _ { * } ^ { j } } - 1 | ^ { 2 } } \| \kappa ( f _ { \kappa } - P _ { I _ { j } } ^ { j } f _ { \kappa } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { j } ) } ^ { 2 } , } \\ { \| \sqrt { a } \nabla ( u _ { B } - u _ { B , S } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { \lambda _ { \# } ^ { j } } { | \lambda _ { \# } ^ { j } - 1 | ^ { 2 } } \| \kappa ( f _ { \kappa } - P _ { I _ { j } } ^ { j } f _ { \kappa } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { j } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { a } = 0 , \, I _ { b } = I _ { c } > 0 \quad } & { \textrm { : L i n e a r t o p } \, , } \\ { I _ { a } = I _ { b } = I _ { c } \quad } & { \textrm { : S p h e r i c a l t o p } \, , } \\ { I _ { a } = I _ { b } < I _ { c } \quad } & { \textrm { : O b l a t e s y m m e t r i c t o p } \, , } \\ { I _ { a } < I _ { b } = I _ { c } \quad } & { \textrm { : P r o l a t e s y m m e t r i c t o p } \, , } \\ { I _ { a } < I _ { b } < I _ { c } \quad } & { \textrm { : A s y m m e t r i c t o p } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } = \, } & { { } \frac { 4 \gamma _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } ^ { 2 } P _ { P } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 4 } \omega _ { S } \omega _ { I } } { \omega _ { P } ^ { 4 } \left( \omega _ { S } Q _ { I } + \omega _ { I } Q _ { S } \right) } \frac { Q _ { P } ^ { 4 } Q _ { S } ^ { 2 } Q _ { I } ^ { 2 } } { Q _ { C , P } ^ { 2 } Q _ { C , S } Q _ { C , I } } } \end{array}
{ \cal P } _ { 3 } ( y ) \| = \int _ { - \infty } ^ { u } d { \bar { u } } \, \log \Bigl ( m \frac { u - { \bar { u } } } { 2 } \Bigr ) \frac { d } { d { \bar { u } } } \Bigl ( { \bar { Y } } \| \Bigr ) \quad .
\sum _ { i , j } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } ( s ) - x _ { j } ( s ) | \big ) \, | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | ^ { 2 } < \frac { c \varepsilon ^ { 2 } w _ { m } } { N ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { l } ) + \frac { 1 } { M ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { M } k ( y _ { i } , y _ { j } ) k ( y _ { \kappa } , y _ { l } ) } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } k ( y _ { i } , y _ { j } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 } { N ^ { 2 } M } \sum _ { i , \kappa = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , y _ { j } ) + \frac { 2 } { N M ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , \kappa = 1 } ^ { M } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { i } , y _ { \kappa } ) } \\ & { - \frac { 2 } { N ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { i , l = 1 } ^ { N } \sum _ { j , \kappa = 1 } ^ { M } k ( x _ { i } , y _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , y _ { l } ) - \frac { 2 } { N M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { M } k ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 2 } { N ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { \kappa } ) - \frac { 2 } { M ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { M } k ( y _ { i } , y _ { j } ) k ( y _ { i } , y _ { \kappa } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J j ^ { \xi } = \sum _ { p } q _ { p } \frac { v _ { z , p } } { J _ { \xi } } \delta ( \xi - \xi _ { p } ( t ) ) = \sum _ { p } q _ { p } \frac { \mathrm { d } \xi _ { p } } { \mathrm { d } t } \delta ( \xi - \xi _ { p } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 1 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) } & { { } \geq } & { 0 , } \\ { \Gamma _ { 1 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) } & { { } \leq } & { 0 . } \end{array}
( a _ { 1 } + b _ { 1 } x ) ( a _ { 2 } + b _ { 2 } x ) = a _ { 1 } a _ { 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } + b _ { 1 } a _ { 2 } ) x + ( b _ { 1 } b _ { 2 } ) x ^ { 2 } \equiv ( a _ { 1 } a _ { 2 } - b _ { 1 } b _ { 2 } ) + ( a _ { 1 } b _ { 2 } + b _ { 1 } a _ { 2 } ) x \, .
\mathbf { \hat { F } } _ { n } = \mathbf { D } _ { n } \mathbf { \hat { W } } _ { n } = \mathbf { D } _ { n } \mathbf { M } _ { n } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { \hat { w } } _ { n } = : \mathbf { Z } _ { n } \mathbf { \hat { w } } _ { n } ,
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathbf { w } ( \mathbf { q _ { A } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) , \Delta _ { 0 } , [ \Delta ] ) ) } & { = \operatorname* { m a x } \Big ( \left\vert { \mathrm { \ t e x t n o r m a l { \ t e x t t t { i n f } } } } ( \mathbf { w } ( \mathbf { q _ { A } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) , \Delta _ { 0 } , [ \Delta ] ) ) \right\vert , } \\ & { \left\vert { \mathrm { \ t e x t n o r m a l { \ t e x t t t { s u p } } } } ( \mathbf { w } ( \mathbf { q _ { A } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) , \Delta _ { 0 } , [ \Delta ] ) ) \right\vert \Big ) , } \end{array}
S _ { m m ^ { \prime } , n n ^ { \prime } } ^ { N S } = \frac { 1 } { u } ( - 1 ) ^ { m + n } e ^ { - i \pi ( u + 1 ) ( u - m - 1 ) ( u - n - 1 ) / u } e ^ { - i \pi ( u - 1 ) ( m - 2 m ^ { \prime } + u ) ( n - 2 n ^ { \prime } + u ) / u } ,
\begin{array} { r l } { x _ { j } ( t + 1 ) - x _ { i } ( t + 1 ) } & { \leq \frac { | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | \left( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) - \overline { { U _ { i j } ^ { \prime } } } ( t ) + 2 c \right) + c + c + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | \left( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) - \overline { { U _ { i j } } } ( t ) + 2 c \right) } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \leq \frac { \left( 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | \right) c } { 2 + | U _ { i j } ^ { \prime } ( t ) | + | U _ { i j } ( t ) | + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ & { \leq c } \end{array}
\langle { \cal E } \rangle = { \frac { 1 } { \Omega } } \int _ { \Omega } d t \, d ^ { 3 } \! k \, { \cal E } _ { \bf k } ( t ) = { \frac { 1 } { \Omega } } \sum _ { M \in \Omega } \delta t \int _ { \Omega } d ^ { 3 } \! k \, { \cal E } _ { \bf k } ^ { M } ,
\begin{array} { r } { P _ { ( d ) } ( s , l _ { 1 } , l _ { 2 } , h , \tilde { l } _ { 1 } , \tilde { l } _ { 2 } , x ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { d } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } , } \end{array}
E _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \lambda \left( { \frac { \alpha } { \pi } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha ^ { 2 } } } \left( { \frac { \pi } { \alpha } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \lambda { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } = { \frac { 3 } { 4 } } { \frac { \hbar ^ { 2 } \lambda } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol A - \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \big \| _ { \mathrm F } = \sqrt { \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \left| \left[ \boldsymbol E _ { \mathrm { r } } \right] _ { \boldsymbol k , \boldsymbol \ell } \, \right| ^ { 2 } } \leq \sqrt { \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \varepsilon ^ { 2 } } = | \mathcal I _ { \b { M } } | \, \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { 9 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 1 0 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = V _ { 9 } ^ { * } } \\ { V _ { 1 1 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 1 2 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = V _ { 1 1 } ^ { * } } \end{array}
{ \cal F } _ { H } ^ { D L } = \frac { 4 m ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \log ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 \Gamma ( n + 1 ) } { \Gamma ( 2 n + 3 ) } \left( - \frac { \alpha _ { s } C _ { F } } { 2 \pi } \log ^ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) ^ { n }
\Psi ( Q ^ { 2 } ) \; = \; ( M \mp m ) ^ { 2 } Q ^ { 2 } \, \biggl \{ \, \Psi _ { 0 } + \Psi _ { 2 } \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } + \Psi _ { 4 } \frac { 1 } { Q ^ { 4 } } + \Psi _ { 6 } \frac { 1 } { Q ^ { 6 } } + \ldots \, \biggr \} \, .
\begin{array} { r l r } { \Omega } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \beta } \ln \Xi , } \\ { U } & { { } = } & { - \frac { \partial } { \partial \beta } \ln \Xi = \Omega + \beta \frac { \partial \Omega } { \partial \beta } , } \\ { S } & { { } = } & { \frac { U - \Omega } { T } = \frac { \beta } { T } \frac { \partial \Omega } { \partial \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) = } & { \int _ { s } ^ { t } \left[ \textbf { v } _ { c } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } - \textbf { v } _ { v } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } , } \\ { \textbf { v } _ { m } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } = } & { \nabla _ { \textbf { k } } E _ { m } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + \textbf { F } ( t ^ { \prime } ) \times \mathbf { \Omega } _ { m } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { a b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 1 } } \xi ( t _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) } \\ & { - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 2 } } \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathrm { d } t _ { 2 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 2 } } \xi ( \tau _ { 1 } , t _ { 2 } ) } \\ & { + \psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \end{array}
V _ { \mathrm { \tiny ~ C K M } } ^ { l } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } & { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } & { { - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } & { { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } & { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } } } & { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( q c _ { 1 } ^ { + } + Q c _ { 2 } ^ { + } \right) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = - G _ { r } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 2 } ^ { + } \right) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q } & { { } = - G _ { z } ^ { \infty } ( r , z = 0 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { 1 } : \mathsf { S } [ X ] } & { \longrightarrow \mathsf { S } [ U ] \times \mathsf { S } [ V ] } \\ { ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { ( T _ { 1 U } , T _ { 2 U } ; T _ { 1 V } , T _ { 2 V } ) } & { ( U , V ) \mathrm { ~ i s ~ a ~ c u t ~ f o r ~ } T _ { 1 } } \\ { { \mathbf 0 } } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 - \theta } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { t = k } ^ { k + N - 1 } \left\| \tilde { u } _ { t } \right\| ^ { 2 } \leqslant V _ { a } ( K _ { k } ) + \frac { N } { m ^ { 2 } } \bar { \varepsilon } ^ { 2 } , } \\ & { \quad \leqslant \frac { 4 } { \theta } \bar { W } + \frac { N } { m ^ { 2 } } \bar { \varepsilon } ^ { 2 } . } \end{array}
= \rho _ { k } \stackrel [ m _ { 1 } = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m _ { 1 } } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) e ^ { - j \varphi _ { m } } \tilde { g } _ { n m _ { 1 } } ^ { H } \stackrel [ m _ { 2 } = 1 ] { M } { \sum } \tilde { g } _ { n m _ { 2 } } e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } a _ { M , m _ { 2 } } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) ,
\frac { m _ { A } } { m _ { 2 } } = \frac { 2 ~ \left( \frac { m _ { A } } { m _ { 2 } } \right) _ { \frac { 1 } { 3 } } } { 3 \sqrt { \frac { 1 } { 3 } + \left( \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \quad ,
{ { \frac { \Gamma ( Z ^ { 0 } \rightarrow \eta _ { c } c { \bar { c } } ) } { \Gamma ( Z ^ { 0 } \rightarrow c { \bar { c } } ) } } \; = \; 0 . 1 8 1 4 \; \alpha _ { s } ( 3 m _ { c } ) ^ { 2 } \; { \frac { | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { M _ { \eta _ { c } } ^ { 3 } } } \; }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } } & { \displaystyle \sum _ { e \in E } \omega _ { e } L _ { e } z _ { e } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \displaystyle \sum _ { e \in S } z _ { e } \leq d , \forall S \subset E ( | S | = d + 1 ) : \bigcap _ { e \in S } ( e \oplus \mathbb { B } _ { R } ( 0 ) ) = \emptyset , } \\ & { z _ { e } \in \{ 0 , 1 \} , \forall e \in E . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { X _ { t } } \big [ \mathbb { E } _ { P } \big [ | \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } | \mid X _ { t } \big ] \big ] \to 0 , } \\ & { \mathbb { E } _ { X _ { t } } \big [ \mathbb { E } [ | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) | \mid X _ { t } ] \big ] \to 0 . } \end{array}
\mathcal { C } _ { 0 0 } = \langle \hat { c } _ { 0 , L } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 , L } \hat { c } _ { 0 , R } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 , R } \rangle - \langle \hat { c } _ { 0 , L } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 , L } \rangle \langle \hat { c } _ { 0 , R } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 , R } \rangle
X _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ } } = T _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ m ~ 2 ~ S ~ L ~ } } [ f _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ p ~ r ~ o ~ j ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ a ~ m ~ } } ( p , z ; \Pi ) , 1 ] ^ { \intercal } ,
\omega _ { \mathrm { d i s r } } = \frac { A } { a _ { \mathrm { e f f } } } \sqrt { \frac { \gamma } { \rho _ { \mathrm { m a t } } \left< a _ { \mathrm { m o n } } \right> } } \Biggl ( \ \left< N _ { \mathrm { c o n } } \right> N _ { \mathrm { m o n } } \Phi \ \Biggr ) ^ { \alpha }
\left( \begin{array} { l } { c _ { 1 , \textrm { E P 3 } } } \\ { c _ { 2 , \textrm { E P 3 } } } \\ { c _ { 3 , \textrm { E P 3 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { \Omega _ { \textrm { E P 3 } } } { 2 } \frac { \lambda _ { \textrm { E P 3 } } + i \kappa } { \lambda _ { \textrm { E P 3 } } } } \\ { \lambda _ { \textrm { E P 3 } } + i \kappa } \\ { g _ { \textrm { E P 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { ( k - l ) ! \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \binom { k _ { 2 } } { l } \frac { R _ { k } ( p , q , r , s ) } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! [ p + q ] _ { k _ { 1 } } [ r + s ] _ { k _ { 2 } } [ p + q + r + s - k + 1 ] _ { k } } } \\ & { = \frac { R _ { k } ( p , q , r , s ) } { l ! [ p + q ] _ { k - l } [ r + s ] _ { k } [ p + q + r + s - 2 k + l + 1 ] _ { l } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x , a v e } = \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } v _ { x } \, d z = } & { { } \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { h ^ { 2 } } { 6 } - \frac { h \zeta } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \xi \bigg ) + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( \frac { h } { 2 } - \xi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \leq x + 1 } \lambda _ { f } ^ { 4 } ( n ) \chi _ { 0 } ( n ) } \\ { = } & { x \log x \prod _ { p \mid q } ( 1 - \frac { 1 } { p } ) ^ { 2 } L ^ { 3 } ( 1 , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 2 } f \otimes \chi _ { 0 } ) L ( 1 , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi _ { 0 } ) U ( 1 ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C _ { 1 } } F _ { f } ( s , \ \chi _ { 0 } ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s + O \left( \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } \right) } \end{array}