harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d _ { q ^ { \prime } + 1 } + D _ { q ^ { \prime } + 1 } } & { = d _ { q ^ { \prime } } + \delta _ { q ^ { \prime } + 1 } + D _ { q ^ { \prime } } + \Delta _ { q ^ { \prime } + 1 } } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + f _ { 5 } ( c _ { q ^ { \prime } } , d _ { q ^ { \prime } } , D _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } ) + D _ { q ^ { \prime } } + f _ { 4 } ( c _ { q ^ { \prime } } , d _ { q ^ { \prime } } , D _ { q ^ { \prime } } , F _ { q ^ { \prime } } ) } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) \right) } { \mu \left( ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus S _ { 0 } ) \setminus ( F ^ { * } \setminus S _ { 0 } ) \right) } } \\ { } & { ~ ~ + D _ { q ^ { \prime } } + \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \mu \left( ( F ^ { * } \setminus S _ { 0 } ) \setminus ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus S _ { 0 } ) \right) } { \mu \left( ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus S _ { 0 } ) \setminus ( F ^ { * } \setminus S _ { 0 } ) \right) } } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + D _ { q ^ { \prime } } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) \cdot \left( - \frac { \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) \right) } { \mu \left( ( F _ { q ^ { \prime } } \setminus S _ { 0 } ) \setminus ( F ^ { * } \setminus S _ { 0 } ) \right) } + \frac { \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } \right) } { \mu \left( F _ { q ^ { \prime } } \setminus F ^ { * } \right) } \right) } \\ { } & { = d _ { q ^ { \prime } } + D _ { q ^ { \prime } } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { q ^ { \prime } } - D _ { q ^ { \prime } } ) } \\ { } & { = u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
[ L _ { Q ( z ) } ^ { \prime } ( m ) , L _ { Q ( z ) } ^ { \prime } ( n ) ] = ( m - n ) L _ { Q ( z ) } ^ { \prime } ( m + n ) + { \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 } } ( m ^ { 3 } - m ) \delta _ { m + n , 0 } c .
\begin{array} { r l } { \phi ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { \pi } P \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { f ( u ) } { u - \frac { \omega - \omega _ { r e s } } { \sqrt { 2 } \sigma } } d u } \\ & { = \frac { 1 } { \pi } P \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { - A \times \exp ( - u ^ { 2 } ) } { t - u } d u } \\ & { = - A \, H [ \exp ( - u ^ { 2 } ) ] ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \everymath { \displaystyle } \mathbf { A } _ { 1 d } = \left( \begin{array} { c c c c } { u } & { \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial \rho } } & { u } & { \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial \eta } } & { 0 } \\ { - \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } j } & { 0 } & { u } & { \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial \rho } } & { j } & { \frac { \partial \theta } { \partial \eta } } & { u } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v } \\ { = } & { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert \int _ { 0 } ^ { 2 \frac { \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { 1 } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d \epsilon } \\ { \leq } & { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { | \Theta | \log \big ( \epsilon ^ { - 1 } \big ) } d \epsilon } \\ { \leq } & { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert \sqrt { | \Theta | } \int _ { 1 } ^ { \infty } u ^ { - 2 } \sqrt { \log ( u ) } d u } \\ { \leq } & { A _ { 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert \sqrt { | \Theta | } , } \end{array}
J _ { a } ( z ) J _ { b } ( w ) = \frac { G _ { a b } } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { i f _ { a b } ^ { \ \ c } J _ { c } ( w ) } { z - w } + O ( ( z - w ) ^ { 0 } ) \sp J _ { a } ( z e ^ { 2 \pi i } ) = J _ { a } ( z )
\partial _ { \| } ^ { 2 } f ( x _ { \| } ) = { \frac { S _ { \phi } ^ { 2 } } { S _ { c } } } f ( x _ { \| } ) - { \frac { S _ { \phi } ^ { 2 } } { S _ { c } } } \delta ^ { 2 } ( x _ { \| } ) .
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } = } & { \: - a ( 1 - a \upomega _ { + } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( K \Phi \psi \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) } \\ { = } & { \: - K \left( a ( 1 - a \upomega _ { + } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( \Phi \psi \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) \right) + a ( 1 - a \upomega _ { + } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( \Phi \psi K \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) } \\ { = } & { \: K \left( ( r - M ) ^ { 2 - p } O ( | \Phi \psi | | \underline { { L } } \psi | ) \right) + a ( 1 - a \upomega _ { + } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( \Phi \psi L \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) } \\ & { \: + a ( 1 - a \upomega _ { + } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( \Phi \psi \overline { { \underline { { L } } ^ { 2 } \psi } } ) + \Phi ( \ldots ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { a } _ { a s } ( \omega ) } & { = } & { - \frac { \left[ i ( \omega + \Delta _ { 2 } ) - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \right] \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \bar { \xi } _ { a s } + i g _ { \mathrm { o m } } \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \bar { \xi } _ { a c } } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ( \omega + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } , } \\ { \bar { b } _ { a c } ( \omega ) } & { = } & { - \frac { i g _ { \mathrm { o m } } \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \bar { \xi } _ { a s } + \left[ i ( \omega + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \bar { \xi } _ { a c } } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ( \omega + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } , } \end{array}
\frac { \partial \bar { \rho } \widetilde { E } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \bar { \rho } \widetilde { E } \widetilde { u _ { j } } \right) = - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \overline { { u _ { i } \left( P \delta _ { i j } - \tau _ { i j } \right) } } + \overline { { q _ { j } } } + { \overline { { q _ { j } } } ^ { t } } \right] + \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { F } } \dot { \omega } _ { T } + { \dot { E } } _ { \mathrm { h e a t } } ^ { p } + { \dot { R } } _ { \mathrm { V T } } ^ { p } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { ( r _ { 0 } ^ { 2 } + \sqrt { \Delta ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } & { = } & { 2 r _ { 0 } ^ { 4 } + r ^ { 4 } - r ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } + 2 r _ { 0 } ^ { 2 } \sqrt { \left( r ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 r _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 } } } \\ & { > } & { 2 r _ { 0 } ^ { 4 } + r ^ { 4 } - r ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } + 2 r _ { 0 } ^ { 2 } \left( r ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { r _ { 0 } ^ { 4 } + r ^ { 4 } + r ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\vert \chi \rangle = \frac { 1 } { 2 } \vert 0 \rangle _ { a n c } ( \vert a , b \rangle + \vert b , a \rangle ) + \frac { 1 } { 2 } \vert 1 \rangle _ { a n c } ( \vert a , b \rangle - \vert b , a \rangle )
[ x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { + } , ( x _ { \alpha _ { 1 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( a _ { 1 } ) } ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( b ) } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( a _ { 2 } ) } ] - ( x _ { \alpha _ { 1 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( a _ { 1 } + 1 ) } ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( b - 1 ) } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { ( a _ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { V ( z ) = \frac { 4 A \textrm { s e c h } ^ { 2 } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) \left[ A \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) + B \operatorname { t a n h } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) \right] } { 4 L ^ { 2 } \left[ A \operatorname { t a n h } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) + B \right] ^ { 2 } } } \\ { + \frac { 3 A ^ { 2 } \textrm { s e c h } ^ { 4 } \left( \frac { z - z _ { 0 } } { L } \right) } { 4 L ^ { 2 } \left[ A \operatorname { t a n h } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) + B \right] ^ { 2 } } + A \operatorname { t a n h } \left( \frac { z - z _ { 0 } } { L } \right) + B . } \end{array}
A _ { \alpha \beta } = \underset { i \neq j } { \sum _ { i } \sum _ { j } } \ \underbrace { U _ { \alpha i } ^ { * } U _ { \beta j } \sqrt { \eta _ { i j } } \sqrt { \frac { \alpha _ { i j } } { E } } e ^ { - \frac { \alpha _ { j } L } { 2 E } } e ^ { - i \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { 2 E } L } } _ { l \mathrm { - i n d e p e n d e n t } } \, u n d e r b r a c e { e ^ { \frac { ( \alpha _ { j } - \alpha _ { i } ) l } { 2 E } } e ^ { i \frac { \Delta m _ { j i } ^ { 2 } } { 2 E } l } } _ { l \mathrm { - d e p e n d e n t } } .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \Gamma _ { ( 0 ) } \ \epsilon } } & { { = } } & { { \epsilon \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { S ^ { - 1 } \ \Gamma _ { ( 0 ) } \ S \ \epsilon } } & { { = } } & { { \epsilon \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { v _ { e } ( x , y ) } & { { } = } & { q ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) f _ { e } + w ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) f _ { n } } \\ { v _ { n } ( x , y ) } & { { } = } & { w ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) f _ { e } + p ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) f _ { n } } \end{array}
\eta _ { 1 } ( x , y , t ) = k _ { 1 } \left( \left( x - { p _ { 0 } } / { 2 } \right) + l _ { 1 } \left( y - { q _ { 0 } } / { 2 } \right) + m _ { 1 } \left( t - { r _ { 0 } } / { 2 } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \xi _ { 2 } ( T ^ { c } ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 \big ( \lceil \frac { n - 2 } { 2 } \rceil \lfloor \frac { n - 2 } { 2 } \rfloor \big ) } } { 2 } } } \\ { = } & { ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { 7 2 n - 6 3 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { 7 2 n - 4 7 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 2 } } { b } ) } } } & { = 2 F _ { a , b } \left( c _ { 2 } , \frac { - c _ { 2 } } { b } \right) - 2 \pi , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { a b } } \int _ { u _ { 3 } } ^ { 1 } \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 3 } } { b } ) } } } & { = 2 F _ { a , b } \left( c _ { 3 } , \frac { - c _ { 3 } } { b } \right) - 2 \pi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P s d } _ { d , s } } & { : = \left\{ A \in \mathrm { H e r } _ { s } ( \mathbb C ) \otimes \mathrm { H e r } _ { d } ( \mathbb C ) \mid A \geqslant 0 \right\} } \\ { \mathrm { P s d } _ { d , s } ^ { \Gamma } } & { : = \left\{ \sum _ { i } A _ { i } \otimes B _ { i } \in \mathrm { H e r } _ { s } ( \mathbb C ) \otimes \mathrm { H e r } _ { d } ( \mathbb C ) \mid \sum _ { i } A _ { i } \otimes B _ { i } ^ { T } \geqslant 0 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \mathrm { ~ r ~ } } } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi r ^ { 3 } } \left[ 3 ( \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } ) \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } - \mathbf { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } \right] = \mathbf { B } _ { 0 } + \mathcal { O } \left( \frac { R _ { f } } { d ^ { 4 } } \right) } \\ { \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ r ~ } } } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \frac { \mathbf { \hat { r } ^ { \prime } } \times \mathbf { \dot { m } _ { \mathrm { ~ r ~ } } } } { r ^ { 2 } } = \mathbf { E } _ { 0 } + \mathbf { E } _ { 1 } + \mathcal { O } \left( \frac { R _ { f } ^ { 2 } } { d ^ { 4 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } = - \sum _ { i < j } \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { \alpha } } \left[ J ^ { x } \left( S _ { i } ^ { x } S _ { j } ^ { x } + S _ { i } ^ { y } S _ { j } ^ { y } \right) - J ^ { z } S _ { i } ^ { z } S _ { j } ^ { z } \right] } \end{array}
\mathbb { I } = \int \frac { d \phi ^ { * } d \phi } { \pi } | \phi \rangle \langle \phi | \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad d \phi ^ { * } d \phi = d ( \mathrm { ~ R ~ e ~ } \phi ) d ( \mathrm { ~ I ~ m ~ } \phi )
\varphi ( p , \theta _ { p } , \varphi _ { p } ) = { \sqrt { { \frac { 2 } { \pi } } { \frac { ( n - \ell - 1 ) ! } { ( n + \ell ) ! } } } } n ^ { 2 } 2 ^ { 2 \ell + 2 } \ell ! { \frac { n ^ { \ell } p ^ { \ell } } { ( n ^ { 2 } p ^ { 2 } + 1 ) ^ { \ell + 2 } } } C _ { n - \ell - 1 } ^ { \ell + 1 } \left( { \frac { n ^ { 2 } p ^ { 2 } - 1 } { n ^ { 2 } p ^ { 2 } + 1 } } \right) Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta _ { p } , \varphi _ { p } ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \sum _ { j = x , y } \bigg ( \frac { \hbar \omega _ { j } } { 2 } \big ( \hat { p } _ { j } ^ { 2 } + \hat { q } _ { j } ^ { 2 } \big ) + \hbar G _ { j } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } \hat { q } _ { j } } \\ & { } & { + S _ { j } q _ { j } c o s ( \delta _ { j } t + \phi _ { j } ) \bigg ) + \hbar \Delta _ { c } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } } \\ & { } & { - i \hbar \eta ( \hat { c } - \hat { c } ^ { \dag } ) . } \end{array}
A = \frac { g ^ { 2 } } { 4 M _ { W } ^ { 2 } } [ | X _ { 3 0 } | ^ { 2 } - | X _ { 4 0 } | ^ { 2 } ] [ T _ { 3 q } - e _ { q } s i n ^ { 2 } \theta _ { W } ] - \frac { | C _ { q R } | ^ { 2 } } { 4 ( M _ { \tilde { q 1 } } ^ { 2 } - M _ { \chi } ^ { 2 } ) } - \frac { | C _ { q R } ^ { ' } | ^ { 2 } } { 4 ( M _ { \tilde { q 2 } } ^ { 2 } - M _ { \chi } ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { A \partial _ { x } B - B \partial _ { x } A } & { = O p ^ { W } \left( \left\{ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \right\} _ { x } \right) + O p ^ { W } \left( \left( \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 2 } ) + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { \mathfrak { b } , \partial _ { x } \mathfrak { a } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { b } , \partial _ { x } \mathfrak { a } } ^ { 2 } ) + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { b } , \xi \mathfrak { a } } ^ { 2 } \right) \right) , } \end{array}
\nu \approx { \frac { ( \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } ) ^ { 2 } } { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } / ( n _ { 1 } - 1 ) + \gamma _ { 2 } ^ { 2 } / ( n _ { 2 } - 1 ) } } \quad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \gamma _ { i } = \sigma _ { i } ^ { 2 } / n _ { i } .
\phi ( \hat { k } ^ { \prime } , \hat { k } , \hat { p } ) = \left[ \hat { k } ^ { n } - \hat { p } ^ { n } + \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } \right. \right. + { \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { n - 1 } } + \cdots \, + \left. \left. { \frac { \hat { p } ^ { n - 2 } } { 3 } } \right) \hat { V } _ { 0 } ( \hat { p } ) \right] \hat { V } _ { 0 } ( \hat { p } ) .
n ( k , d ) \le \operatorname* { m i n } _ { 0 \le h \le \frac { d - k - 3 } { 2 } } \operatorname* { m a x } \left\{ 2 ^ { h } \sum _ { j = 0 } ^ { k } \binom { d - h } { j } , \sum _ { j = h + 1 } ^ { \frac { d - k - 3 } { 1 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \big | B _ { k + 2 j } ^ { ( d ) } \big | + \frac { 1 } { 2 ^ { \frac { d - k + 1 } { 2 } } } \big | B _ { d - 1 } ^ { ( d ) } \big | + 2 ^ { \frac { d + k - 1 } { 2 } } \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \partial w ^ { * } } { \partial z ^ { * } } = 0 } \\ & { \frac { \partial u ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \frac { \partial p ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \mu } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \nabla ^ { * 2 } u ^ { * } } \\ & { \frac { \partial w ^ { * } } { \partial t ^ { * } } = - \frac { 1 } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \frac { \partial p ^ { * } } { \partial z ^ { * } } - \frac { \rho ^ { * } } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } g + \frac { \mu } { \rho _ { \mathrm { r e f } } } \nabla ^ { * 2 } w ^ { * } } \\ & { \frac { \partial \rho ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \left( \frac { d \rho _ { b } ^ { * } } { d z ^ { * } } \right) w ^ { * } = \kappa \nabla ^ { * 2 } \rho ^ { * } } \end{array}
\mathbf { q } _ { 1 } = A _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 1 n } t - \theta \right) } + B _ { 1 } \left( T _ { 2 } \right) \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 1 } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \omega _ { 1 n } t + \theta \right) } + c . c . ,
| Y _ { \scriptscriptstyle { W } } ^ { 2 } ( k r ) - J _ { \scriptscriptstyle { W } } ^ { 2 } ( k r ) | \, \sin ^ { 2 } \Delta _ { \scriptscriptstyle { l } } \leq \left( e ^ { a | | B | | / \sqrt \pi } + 1 \right) ^ { 2 } \, \frac { ( M a / 2 ) ^ { 2 W } } { \Gamma ^ { 2 } ( W + 1 ) } \, ( 1 + \mathrm { O } ( ( M a ) ^ { 2 } , ( M a ) ^ { 2 W } ) ) \, ,
\epsilon _ { h } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 0 } } T ^ { 4 } + { \frac { 4 m ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } T ^ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { l + 1 } } { l ^ { 2 } } } [ K _ { 2 } ( l { \frac { m } { T } } ) - l { \frac { m } { T } } K _ { 2 } ^ { ' } ( l { \frac { m } { T } } ) ] \cosh ( l { \frac { \mu } { T } } ) ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B } } { \partial \mathcal { E } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \quad \left| \mathcal { E } \right| \ge \sigma _ { o } / \gamma } \\ { 2 \gamma } & { \mathrm { i f } \quad \left| \mathcal { E } \right| < \sigma _ { o } / \gamma \, . } \end{array} \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) = E _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { 0 } + E _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } + E _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { + } F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } .
\begin{array} { r l } { a _ { h } ^ { \mathrm { s i p } } ( w , v ) = } & { \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } ( \nabla w , \nabla v ) _ { T } - \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } ( \{ \mathbf { n } \cdot \nabla w \} , [ v ] ) _ { e } - \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } ( \{ \mathbf { n } \cdot \nabla v \} , [ w ] ) _ { e } } \\ & { + \sigma \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } ^ { - 1 } ( [ w ] , [ v ] ) _ { e } } \end{array}
D _ { s } ^ { n } = \frac { N + 1 } { 3 } \Bigl [ \Bigl ( \frac { N + 1 } { 3 } \Bigr ) ^ { n - 1 } + \Bigl ( \frac { 2 } { 3 } \Bigr ) ^ { n - 1 } ( N - 2 ) \Bigr ] .
\hat { f } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } = \frac 1 { M _ { 2 } } \sum _ { m _ { 2 } = 0 } ^ { M _ { 2 } - 1 } \left( \frac 1 { M _ { 1 } } \sum _ { m _ { 1 } = 0 } ^ { M _ { 1 } - 1 } \tilde { f } _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } e ^ { - 2 \pi i j _ { 1 } m _ { 1 } / M _ { 1 } } \right) e ^ { - 2 \pi i j _ { 2 } m _ { 2 } / M _ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \Pi } = - p \mathbf { 1 } + \kappa ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \mathbf { 1 } + 2 \eta \left\{ \frac { 1 } { 2 } [ \nabla \mathbf { u } + ( \nabla \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ] - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { 1 } ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \right\} . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { 2 n } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] = } & { { } \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { q } [ \omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { q } [ \omega ] | ^ { 2 } } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] = } & { { } \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { p } [ \omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { ~ G ~ } } ^ { p } [ \omega ] | ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial z \partial \bar { z } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } e ^ { u _ { j } } } & { = 0 \, \, \mathrm { o n } \, \, { \mathbb C } } \\ { \frac { \sqrt { - 1 } } { 2 } \, \int _ { { \mathbb C } } e ^ { u _ { i } } \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } } & { < \infty } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad i = 1 , \cdots , n .
H _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } { \bf b _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } { \bf a _ { 0 } } ^ { 2 } + \frac { \pi } { 4 L e ^ { 2 } } ( Q ^ { 2 } + Q _ { 5 } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 L } } { \bf a _ { 0 } } ( Q - Q _ { 5 } ) \ .
\begin{array} { r l } { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { L D A } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \frac { \partial f _ { \mathrm { x c } } } { \partial n _ { \sigma } } \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) \mathrm { d } r } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { G G A } } } & { = F _ { \mu \nu } ^ { \sigma ; \mathrm { L D A } } } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \left[ 2 \frac { \partial f _ { \mathrm { x c } } } { \partial \gamma _ { \sigma \sigma } } \frac { \mathrm { d } n _ { \sigma } } { \mathrm { d } r } + \frac { \partial f _ { \mathrm { x c } } } { \partial \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } } \frac { \mathrm { d } n _ { \sigma ^ { \prime } } } { \mathrm { d } r } \right] } \\ & { \times \left( \chi _ { \mu } ^ { \prime } ( r ) \chi _ { \nu } ( r ) + \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) \right) \mathrm { d } r , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { \mu } _ { \psi } } { T } } & { = \tilde { \Lambda } _ { \beta } ^ { \psi } + \iota _ { \beta } \tilde { A } _ { \psi } - \mathrm { d } \tilde { \varphi } _ { \psi } , } \\ { \frac { \tilde { \mu } } { T } } & { = \tilde { \Lambda } _ { \beta } + \iota _ { \beta } \tilde { A } - \mathrm { d } \tilde { \varphi } - \ell \tilde { \varphi } _ { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \frac { g _ { c } / t } { L } \Big ) ^ { 2 } = \sin \theta \operatorname* { m i n } _ { k _ { n } , \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } } \Big ( \frac { - 2 \sin ^ { 2 } k _ { n } } { \cos 2 k _ { n } + \cos 2 \phi } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \alpha N ^ { * } ( z ) = \frac { d N ^ { * } ( z ) } { d z } \cdot \frac { 2 N _ { 0 , g } } { \Big ( N ^ { * } ( z ) - N _ { 0 , g } \Big ) } \cdot } \\ & { } & { \frac { 1 } { \Big ( N ^ { * } ( z ) \Big ( 1 + e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } \Big ) - N _ { 0 , g } \Big ( e ^ { T _ { \mathrm { r t } } / T _ { 1 } } - 1 \Big ) \Big ) } , } \\ & { } & { 0 \le z \le L _ { g } . } \end{array}