harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , 0 ) = S _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } ) , ~ ~ \rho _ { \hbar } ^ { j } ( \textbf { x } , 0 ) = \rho _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } ) ~ ~ e t ~ ~ X _ { \hbar } ^ { j } ( 0 ) = X _ { 0 } ^ { j } .
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c d } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - 6 \bigg \{ \Big ( 8 m _ { a } m _ { b } m _ { c } m _ { d } + 8 k _ { a } k _ { b } m _ { c } m _ { d } + k _ { a } k _ { b } k _ { c } k _ { d } \Big ) \times } \end{array}
\delta x ^ { \mu } = { \dot { x } } ^ { \mu } \xi \; , \; \delta e = \frac { d } { d \tau } \left( e \xi \right) \; , \; \delta f _ { a b } = \frac { d } { d \tau } \left( f _ { a b } \xi \right) \; , \; \; \delta \psi _ { a } ^ { n } = \dot { \psi } _ { a } ^ { n } \xi \; , \; \; \delta { \chi } _ { a } = \frac { d } { d \tau } \left( \chi _ { a } \xi \right) \; ,
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { n - 1 } v ^ { - \alpha } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \epsilon _ { 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + C _ { n , \epsilon _ { 1 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { - n \alpha } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \hat { x } } _ { k } = \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \mathbf { G } _ { k k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { k } + \sum _ { l = 1 , l \ne k } ^ { K } { \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { l } } + \mathbf { n } _ { k } ^ { \prime } = \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \underset { \mathbf { \tilde { x } } _ { k } } { \underbrace { \left( \mathbf { G } _ { k k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { k } + \sum _ { l = 1 , l \ne k } ^ { K } { \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { l } } + \mathbf { \tilde { n } } _ { k } ^ { \prime } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ( t , x ) - \widetilde { u } ( t , x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \le 4 C _ { T } ^ { 2 } ( \lambda L _ { \sigma } ) ^ { 2 ( n + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \, \widetilde { h } _ { n } ( s ) } \\ & { \quad \times \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } y \, \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } \widetilde { G } ( t - s _ { 1 } , x , x , y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } ) f ( y - y ^ { \prime } ) J _ { c } ( s , y ) J _ { c } ( s , y ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \alpha R _ { R } } } \\ & { = \sqrt { \alpha ^ { 2 } \left( \frac { p ^ { 2 } } { 4 } - q \right) } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) ^ { 2 } - 4 \alpha \beta n _ { \mathrm { v e s } } n _ { \mathrm { s i t e s } } } { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } ) ^ { 2 } + 2 \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } ( \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) + ( \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) ^ { 2 } - 4 \alpha \beta n _ { \mathrm { v e s } } n _ { \mathrm { s i t e s } } } { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } ) ^ { 2 } - 2 \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } ( \alpha n _ { \mathrm { v e s } } - \gamma ) + ( \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) ^ { 2 } } { ( 2 \beta ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
| \pmb { \mathrm { k } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { k } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { k } } _ { m } \rangle = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \sqrt { 2 E _ { i } } \, \hat { a } _ { \pmb { \mathrm { k } } _ { i } } ^ { \dagger } | 0 \rangle \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad | \pmb { \mathrm { p } } _ { 1 } \pmb { \mathrm { p } } _ { 2 } \cdots \pmb { \mathrm { p } } _ { m } \rangle = \prod _ { j = 1 } ^ { m } \sqrt { 2 E _ { j } } \, \hat { a } _ { \pmb { \mathrm { p } } _ { j } } ^ { \dagger } | 0 \rangle \, .
\xi \equiv \zeta \mathrm { e } ^ { \frac { g _ { m } ^ { 2 } } { 2 } D _ { m _ { H } } ( 0 ) } = \frac { m _ { W } ^ { 7 / 2 } } { g } \delta \left( \frac { \lambda } { g ^ { 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { \frac { 2 \pi m _ { W } } { g ^ { 2 } } \left( - 2 \epsilon + \mathrm { e } ^ { - c } \right) }
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \omega ^ { 2 } d \omega } { ( \omega ^ { 2 } + \chi _ { + } ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } + \chi _ { - } ^ { 2 } ) } = \frac { \pi } { \chi _ { + } + \chi _ { - } } ,
\overline { { \mathfrak { E } } } ^ { i , j } : = \frac { 1 } { t _ { \operatorname* { m a x } } - s - t _ { \operatorname* { m i n } } + 1 } \sum _ { t _ { c } = t _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { t _ { \operatorname* { m a x } } - s } \mathfrak { E } _ { t _ { c } } ^ { i , j } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \overline { { \mathfrak { X } } } ^ { i , j } : = \frac { 1 } { t _ { \operatorname* { m a x } } - s - t _ { \operatorname* { m i n } } + 1 } \sum _ { t _ { c } = t _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { t _ { \operatorname* { m a x } } - s } \mathfrak { X } _ { t _ { c } } ^ { i , j } .
\begin{array} { r l } { 4 \beta ^ { 2 } - a } & { = \left( \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 - \beta ) ^ { 2 } - a / 4 } \right) } \\ & { + \left( \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 - } \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 + \beta ) ^ { 2 } - a / 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { { } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } k \d k \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \d \theta _ { k } \frac { e ^ { i k \vert \vec { \rho } - \vec { \rho } _ { 1 } \vert \cos \theta _ { k } } } { k _ { f } ^ { 2 } - k ^ { 2 } \pm i \eta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iota _ { \beta } \xi } & { { } = c _ { \phi } \frac { \mu } { T } + \frac 1 T { \cal K } , } \\ { \iota _ { \beta } \psi } & { { } = - c _ { \phi } \frac { \mu _ { \ell } } { T } - \frac { \ell } { T } { \cal K } _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( t ) } & { { } = r _ { \beta } \cos { ( \omega _ { \beta } t ) } } \\ { x ( t ) } & { { } = \beta _ { x 0 } \left[ t - \frac { r _ { \beta } ^ { 2 } } { 8 \gamma _ { x 0 } } \left( t - \frac { \cos ( 2 \omega _ { \beta } t ) } { 2 } \right) \right] } \end{array}
\kappa = 0 . 5 8 2 0 \pm 0 . 0 0 4 1 = 1 . 7 8 9 7 g _ { L } ^ { 2 } + 1 . 1 4 7 9 g _ { R } ^ { 2 } - 0 . 0 9 1 6 \delta _ { L } ^ { 2 } - 0 . 0 7 8 2 \delta _ { R } ^ { 2 } \; ,
\Delta T _ { l o g } = \frac { ( T _ { w } ^ { i n } - T _ { \infty } ) - ( T _ { w } ^ { o u t } - T ^ { o u t } ) } { \ln \bigg ( \frac { T _ { w } ^ { i n } - T _ { \infty } } { T _ { w } ^ { o u t } - T ^ { o u t } } \bigg ) } ,
Z ( \vartheta , \phi ) = \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \mathrm { p o l } } } \sum _ { n = - N _ { \mathrm { t o r } } } ^ { N _ { \mathrm { t o r } } } \mathrm { Z B S } _ { m , n } \sin ( m \vartheta - n _ { \mathrm { ~ f ~ p ~ } } n \phi ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } } { \bar { b } ^ { 2 } } } & { { } \approx \frac { \left\langle \sigma _ { x _ { n } | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } \right\rangle } { c _ { 1 } ( 2 c _ { 2 } - c _ { 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \rho ( \phi ) \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x + \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { k } \big [ \rho ( \phi ) ( u \cdot \nabla u ) \big ] ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x } \\ { + \int _ { \Omega } \nabla \partial _ { t } ^ { k } p ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x = \mu \int _ { \Omega } \Delta \partial _ { t } ^ { k } u ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x } \\ { - \lambda \int _ { \Omega } \nabla \cdot \partial _ { t } ^ { k } ( \nabla \phi \otimes \nabla \phi ) ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x - \sum _ { 1 \leq j \leq k } C _ { k } ^ { j } \int _ { \Omega } \partial _ { t } ^ { j } \rho ( \phi ) \partial _ { t } ^ { k - j } u _ { t } ( \partial _ { t } ^ { k } u + \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } ) d x \, . } \end{array}
\Delta _ { \infty } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \right) ^ { 2 } > 0 ,
\hat { { \cal A } } _ { i } ^ { \mathrm { i n } } ( \vec { x } , \eta ) = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { \alpha } e _ { i } ^ { \alpha } ( \vec { k } ) \bigl [ a _ { k , \alpha } \phi _ { k } ( \eta ) e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } } + a _ { - k , \alpha } ^ { \dagger } \phi _ { k } ^ { \ast } ( \eta ) e ^ { - i \vec { k } \cdot \vec { x } } \bigr ] ,
\begin{array} { r l } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } } \\ & { = n ! C ^ { n } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \int _ { [ 0 , t ] ^ { 2 n } } \mathcal { F } \tilde { f } _ { n } ( \mathbf s , \cdot , t , x ) ( \boldsymbol \xi ) \overline { { \mathcal { F } \tilde { f } _ { n } ( \mathbf r , \cdot , t , x ) ( \boldsymbol \xi ) } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \boldsymbol \mu ( \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi ) } \\ & { = n ! \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \int _ { T _ { n } ^ { 2 } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \xi _ { 1 } + \dots + \xi _ { j } ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) } \\ & { \quad \times \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \xi _ { 1 } + \dots + \xi _ { j } ) J _ { 0 } ( r _ { 1 } ) \times | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \boldsymbol \mu ( \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi ) } \\ & { = n ! \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \bigg ( \int _ { T _ { n } ^ { 2 } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) \times \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) J _ { 0 } ( r _ { 1 } ) } \\ & { \quad \times | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ & { \ge n ! \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { \mathbb { D } _ { n } } \bigg ( \int _ { T _ { n } ^ { 2 } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) \times \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) J _ { 0 } ( r _ { 1 } ) } \\ & { \quad \times | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \left[ ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } ) - 2 m ^ { 2 } k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } \right] \, ( R _ { + } - R _ { - } ) ( r _ { + } - r _ { - } ) } \\ & { } & { - \, \alpha _ { + } \alpha _ { - } \left[ \quad 2 ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( R _ { + } R _ { - } + r _ { + } r _ { - } ) \right. } \\ & { } & { \qquad \qquad \left. + ( 2 m ^ { 4 } + ( m ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ) ( R _ { + } + R _ { - } ) ( r _ { + } + r _ { - } ) \right] } \\ & { } & { - \, 2 i m k \nu d \left[ ( \alpha _ { + } - \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { + } - R _ { - } r _ { - } ) - ( \alpha _ { + } + \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { - } - R _ { - } r _ { + } ) \right] , } \end{array}
\langle \eta _ { k } ( t ) \eta _ { - k } ( t ) \rangle = \frac { \hbar } { 2 \left( A _ { R k } ( t ) + B _ { k } ( t ) \right) } = \frac { \hbar } { 2 } { \mid \varphi _ { k } ( t ) \mid ^ { 2 } } \coth \left[ \beta _ { o } \hbar W _ { k } ( t _ { o } ) / 2 \right]
\begin{array} { r l } { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \sigma \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , } \\ { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) \kappa \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } . } \end{array}
{ \cal S } _ { W Z W } \, = \, - \frac { k } { 4 \pi } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma A _ { \alpha } ^ { I } A ^ { J \alpha } \Omega _ { I J } \, - \, \frac { k } { 1 2 \pi } \int _ { B } d ^ { 3 } \sigma \, \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } A _ { \alpha } ^ { I } A _ { \beta } ^ { J } A _ { \gamma } ^ { L } { f _ { I J } } ^ { N } \Omega _ { N L } \, ,
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] } & { { } = \delta _ { \mu \nu } , \qquad \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } \bigr ] = 0 , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \sum _ { \mu } u _ { \mu } ( \mathbf { x } , z ) u _ { \mu } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) = \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 0 } = } & { { } - \left[ 1 + \frac { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } \right] p _ { 2 } + \frac { 3 \eta } { 2 } \frac { 1 - \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } \delta + \eta ^ { 2 } \left( \frac { 4 + \eta ^ { 4 } } { 3 + \eta ^ { 4 } } - \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { { } - \left[ 1 + \frac { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } \right] p _ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } \frac { \eta ^ { 4 } - 1 } { \eta ^ { 4 } } \Delta _ { x } + \eta ^ { 2 } \left( \frac { 1 + 4 \eta ^ { 4 } } { 4 \eta ^ { 4 } } - \frac { I _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 + \eta ^ { 4 } } \right) , } \\ { = } & { { } 2 \Delta _ { x } \left[ 1 + \frac { ( 3 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right] + \frac { \eta } { 2 } \left[ 1 + \frac { 4 \eta ^ { 4 } I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right] \delta + \eta ^ { 2 } \left( 1 - \frac { ( 2 + \eta ^ { 4 } ) I _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \eta ^ { 4 } ) ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\mathcal { I } ( \alpha ) = \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi / d } \mathrm { d } q \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } } \right) ^ { p } \cos ( \alpha q d ) \equiv \mathcal { J } ( \alpha ) + \mathcal { K } ( \alpha ) ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { R } ^ { ( l + 1 ) p } ( L _ { i } ) } & { \cong \Omega _ { R } ^ { l p } \! \left( L _ { \sigma ( i ) } \right) \oplus \Omega _ { R } ^ { l p } \! \left( N _ { i } ^ { \prime } \right) } \\ & { \cong \Omega _ { R } ^ { ( l - 1 ) p } \! \left( L _ { \sigma ^ { 2 } ( i ) } \right) \oplus \Omega _ { R } ^ { ( l - 1 ) p } \! \left( N _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } \right) \oplus \Omega _ { R } ^ { l p } \! \left( N _ { i } ^ { \prime } \right) } \\ & { \ \, \vdots } \\ & { \cong L _ { \sigma ^ { l + 1 } ( i ) } \oplus N _ { \sigma ^ { l } ( i ) } ^ { \prime } \oplus \left( \bigoplus _ { j = 1 } ^ { l } \Omega _ { R } ^ { j p } \! \left( N _ { \sigma ^ { l - j } ( i ) } ^ { \prime } \right) \right) } \\ & { \cong \Omega _ { R } ^ { p } ( L _ { i } ) \oplus \left( \bigoplus _ { j = 1 } ^ { l } \Omega _ { R } ^ { j p } \! \left( N _ { \sigma ^ { l - j } ( i ) } ^ { \prime } \right) \right) . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int \left\{ - R + 2 \left| \partial z ( z - { \bar { z } } ) ^ { - 1 } \right| ^ { 2 } + i \left( z { \cal F } ^ { 2 } + c . c \right) \right\} \sqrt { - g } d ^ { 4 } x ,
\tilde { x } _ { 0 } \, f _ { 1 / g } ( \tilde { x } _ { 0 } ) = 1 \qquad \mathrm { a n d } \qquad \tilde { y } _ { 0 } ^ { 1 + g } = ( 1 + \tilde { y } _ { 0 } ) ^ { g } \, .
\int _ { - 1 } ^ { 1 } T _ { n } ( x ) \, T _ { m } ( x ) \, { \frac { \mathrm { d } x } { \, { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } \, } } \, } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { ~ ~ 0 \quad } & { ~ { \mathrm { ~ i f ~ } } ~ n \neq m ~ , } \\ { \ \pi \quad } & { ~ { \mathrm { ~ i f ~ } } ~ n = m = 0 ~ , } \\ { \ { \frac { \pi } { 2 } } \quad } & { ~ { \mathrm { ~ i f ~ } } ~ n = m \neq 0 ~ . } \end{array} \right. }
\boldsymbol { \psi } _ { \mathrm { o u t } } = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { R } _ { L } } \\ { \mathbf { T } _ { R } } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { \psi } _ { \mathrm { i n } } = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { I } _ { L } } \\ { \mathbf { I } _ { R } } \end{array} \right) , \quad \mathcal { S } = \left( \begin{array} { c c } { - \mathcal { M } _ { 2 2 } ^ { - 1 } \mathcal { M } _ { 2 1 } } & { \mathcal { M } _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \\ { \mathcal { M } _ { 1 1 } - \mathcal { M } _ { 1 2 } \mathcal { M } _ { 2 2 } ^ { - 1 } \mathcal { M } _ { 2 1 } } & { \mathcal { M } _ { 1 2 } \mathcal { M } _ { 2 2 } ^ { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { \hat { k } - 1 } ) \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \frac { 2 ( \mathbb { E } [ f ( x _ { 0 } ) ] - \mathbb { E } [ f ( x _ { K } ) ] ) } { \eta K } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { + 2 e \mathbb { E } \| \widetilde v _ { 1 } - \nabla f ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { + 2 e \left( K ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + \frac { K L ^ { 2 } } { b } + K C _ { 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } d \right) \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { R } \ = \ } & { { } < S _ { R } ( x ) > } \\ { \ = \ } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x S _ { R } ^ { ( n ) } ( x ) \ d x } \\ { \ = \ } & { { } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) ( Q _ { 0 } + n Q _ { s } ) } \\ { \ = \ } & { { } Q _ { 0 } + \mu Q _ { s } . } \end{array}
v _ { { \mathrm { s } } , \textrm { s p h e r e } } = \frac { ( \rho _ { \mathrm { p } } - \rho ) ( V _ { \mathrm { p } } / ( \pi / 6 ) ) ^ { 2 / 3 } g } { 1 8 \rho \nu } = \frac { ( \rho _ { \mathrm { p } } - \rho ) d _ { \mathrm { p } } \ell _ { \mathrm { p } } g } { 1 8 \rho \nu } \, \mathrm { A R } ^ { - 1 / 3 }
\begin{array} { r l } { \frac { d u } { d t } } & { { } = \mathcal { R } ( u ) ~ ~ i n ~ ~ D \times ( 0 , \infty ) } \\ { u } & { { } = g ~ ~ i n ~ ~ \partial D \times ( 0 , \infty ) } \\ { u } & { { } = a ~ ~ i n ~ ~ \bar { D } \times { 0 } } \end{array}
M _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \ i \notin S ( j ) } \\ { \frac { 1 } { N _ { j } } , } & { \mathrm { i f } \ F _ { S _ { i } } \ge F _ { S _ { j } } } \\ { \exp { \left( \frac { - \Delta F _ { S } / T } { N _ { j } } \right) } , } & { \mathrm { i f } \ F _ { S _ { i } } \le F _ { S _ { j } } } \\ { 1 - \sum _ { k \ne j } M _ { k , j } , } & { \mathrm { i f } \ i = j } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { \overline { { 2 \mathcal { Q } } } } _ { B _ { \mathcal { A } } } ^ { \boldsymbol { \mathrm { M o r } } } } \big ( \Sigma , \overline { { f } } _ { \Sigma } ( i _ { X _ { \Sigma } } , \mathcal { A } ) \big ) \cong \mathrm { L i n } ^ { ( 2 ) } \big ( \pi _ { 1 } ( \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( X _ { \Sigma } ) , \mathcal { A } ) \big ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + \bigg ( \frac { 9 \hat { L } ^ { 2 } \eta c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 8 L ^ { 2 } } + \frac { 9 \eta c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } - \frac { \hat { L } ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } } \\ & { \qquad - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } } { 8 } - \frac { 9 \eta \gamma \hat { L } ^ { 2 } } { 8 \mu } \bigg ) \alpha _ { t } F _ { t } } \\ & { \qquad - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 3 2 4 \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } - \frac { 9 \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 9 \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) \eta \alpha _ { t } E _ { t } } \\ & { \qquad + \bigg ( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 6 4 } + \frac { 6 4 8 I \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } + 9 I \hat { L } ^ { 2 } + 9 I \hat { L } ^ { 2 } \bigg ) \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + 4 \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { S i O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 6 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 6 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 6 } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 6 } } } } \right) = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 5 } } { \Bigl ( } \mathrm { 3 6 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 4 8 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 1 8 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 2 4 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { u ^ { e x a c t } ( x _ { 1 } , t ^ { n + 1 } ) - u ^ { e x a c t } ( x _ { 1 } , t ^ { n } ) } { \Delta t } + a \frac { u ^ { e x a c t } ( x _ { 1 } , t ^ { n } ) - u ^ { e x a c t } ( x _ { 1 } - h , t ^ { n } ) } { h } = s ( x _ { 1 } , t ^ { n } ) - { E } _ { 1 } ^ { n } , } \end{array}