harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { a } { \cal P } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } { \cal P } \hat { a } - \frac { \mu } { q ^ { 3 } } \hat { a } ~ ~ , ~ ~ \hat { b } { \cal P } = \frac { 1 } { q ^ { 2 } } { \cal P } \hat { b } - \frac { \mu } { q ^ { 3 } } \hat { d } \hat { c } ^ { - 1 } \hat { a } ,
\mathbb { P } \left( \left| ( 1 - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } - ( 1 - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } \right| \geq \epsilon \right) \leq \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { L _ { 2 } } \right) ,
U = \int _ { 0 } ^ { \infty } - 4 \epsilon \left( \frac { \sigma ^ { 6 } } { ( \sqrt { x ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) } ^ { 6 } } - \frac { \sigma ^ { 1 2 } } { ( \sqrt { x ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) } ^ { 1 2 } } \right) 2 \pi \rho _ { w } r d r
\begin{array} { r l } { [ \mathbf { \tilde { F } } - \mathbf { F } ] _ { i , j } } & { = m \sum _ { X } \frac { ( 1 - \delta ) p ( X ) } { p ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } | X ) } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } p ( \boldsymbol { \lambda } | X ) } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \right] _ { \boldsymbol { \lambda } = \boldsymbol { \lambda } ^ { * } } } \\ & { + m \sum _ { X } \frac { \delta p ( X ) } { 1 - p ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } | X ) } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } [ 1 - p ( \boldsymbol { \lambda } | X ) ] } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \right] _ { \boldsymbol { \lambda } = \boldsymbol { \lambda } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } \le 0 , \quad t _ { 2 } } & { { } = \frac { t _ { 1 } } { \sqrt { 3 } } , } \\ { t _ { 1 } \le 0 , \quad t _ { 2 } } & { { } = - \frac { t _ { 1 } } { \sqrt { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 a ) } ( \omega ) } & { { } = } & { - \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; \left( \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } ) \right) \phantom { x x x x x } } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { s } } ( k ^ { 2 } ) \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) } { 4 \pi } } \approx { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } \ln \left( { \frac { k ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } \right) } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \langle \mathcal { L } [ f ] , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \rangle } & { = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \sum _ { m , k = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { k ! } w _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } \langle \mathcal { L } [ \psi _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } f _ { M } ] , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \sum _ { m , k = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } a _ { k m n ^ { \prime } } \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { k ! } w _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } \langle f _ { M } \psi _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { n ^ { \prime } } , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } a _ { l n n ^ { \prime } } w _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n ^ { \prime } } , } \end{array}
\langle { T _ { \ k } ^ { j } } \rangle - \langle T _ { _ { \ominus } k } ^ { \, j } \rangle \sim { \frac { \pi M ^ { 2 } } { 2 } } \Phi ^ { 2 } \Big ( ( 2 c ^ { - 2 } - c _ { _ \mathrm { S } } ^ { - 2 } ) u ^ { j } u _ { k } - \gamma _ { _ k } ^ { j } \Big ) \, \ln \Big \{ { \frac { w _ { \! _ { \odot } } } { w } } \Big \} \ .
G _ { N } { \frac { | \hat { h } _ { m } ( 0 ) | ^ { 2 } } { e _ { l } } } \sim { \frac { G _ { N } } { y _ { * } } } \approx { \frac { 1 0 ^ { 1 1 } } { M _ { * } ^ { 2 } } } \, .
| \widetilde { \mathbf z } _ { 1 } ^ { T } \mathbf D _ { m } \hat { \mathbf P } - \widetilde { \mathbf z } ^ { T } \mathbf D _ { m } \hat { \mathbf P } | \leq \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } | ( { \overline { { Y _ { 1 } ^ { i - 2 } ( \hat { \mathbf { z } } _ { 1 } } } ) \| \mathbf { z } _ { 1 } \| } - { \overline { { Y _ { 1 } ^ { i - 2 } ( \hat { \mathbf { z } } } } ) \| \mathbf { z } \| } ) ( \mathbf D _ { m } \hat { \mathbf P } ) _ { i } | = \mathcal { O } ( \| \mathbf { z } _ { 1 } - \mathbf { z } \| _ { 1 } ) ,
\varepsilon _ { \mathrm { c u t } } = \varepsilon _ { c } \left( \frac { \tilde { B } _ { \perp } } { B _ { \mathrm { u p } } } \right) \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { m a x } } } { \gamma _ { \mathrm { s y n } } } \right) ^ { 2 } = \varepsilon _ { c } \left( \frac { \sigma } { \gamma _ { \mathrm { s y n } } } \right) .
\begin{array} { r l } { { 4 } \nu _ { \alpha } } & { = \frac { \tan ( k _ { \alpha } / 2 ) } { \omega _ { \alpha } } \left[ Z _ { J } G + 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { \alpha } } { 2 } \right) \frac { Z _ { J } } { R _ { J } } \right] } \\ { \mu _ { p } } & { = \frac { 2 \sin \varphi _ { 0 } \cdot \tan ( k _ { p } / 2 ) } { \omega _ { p } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { s } + k _ { i } } { 2 } \right) } \\ { \mu _ { s , i } } & { = \frac { 2 \sin \varphi _ { 0 } \cdot \tan ( k _ { s , i } / 2 ) } { \omega _ { s , i } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { p } - k _ { i , s } } { 2 } \right) } \\ { \Delta k } & { = k _ { s } + k _ { i } - k _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \lVert \bar { \theta } _ { l + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le ( 1 + \alpha ( 3 c _ { 4 } + 1 2 ) ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + ( 6 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ) c _ { 4 } ^ { 2 } \delta _ { l } ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 8 \alpha ^ { 2 } + 6 \alpha ) \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } + ( 1 2 \alpha ^ { 2 } + 4 \alpha ) c _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { \le ( 1 + \alpha h _ { 1 } ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 8 \alpha c _ { 4 } ^ { 2 } \delta _ { l } ^ { 2 } + 2 4 \alpha \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } + 1 6 \alpha c _ { 1 } ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , } \end{array}
\psi _ { n _ { 2 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ , ~ a ~ } } \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { \cos [ k _ { z n _ { 2 } } ( z - h ) ] R _ { 0 } ( k _ { \rho n _ { 2 } } \rho , k _ { \rho n _ { 2 } } a ) } & { , n _ { 2 } = 1 , 2 , . . . } \\ { \cos [ k _ { 0 } ( z - h ) ] \ln \rho } & { , n _ { 2 } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| \Psi \| ^ { 2 } } & { { } \textstyle = \langle \Psi | \Psi \rangle \stackrel { } { = } \sum _ { s _ { 1 } , \dotsc , s _ { L } } \langle 0 | \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } \dag } \dotsb \ \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } \dag } \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } \dag } | 0 \rangle \, \langle 0 | \hat { A } _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } \hat { A } _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } \dotsb \hat { A } _ { L } ^ { s _ { L } } | 0 \rangle } \end{array}
\nu _ { t } ^ { A } = C _ { A } \frac { \mathrm { m a x } \{ \int _ { \Omega _ { \Delta } } - ( \Delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { i } ) ( \Delta x _ { k } \partial _ { k } u _ { j } ) S _ { i j } \mathrm { d } x , 0 \} } { \int _ { \Omega _ { \Delta } } ( \partial _ { l } u _ { m } ) ( \partial _ { l } u _ { m } ) \mathrm { d } x } .
\begin{array} { r l } { V _ { E } ^ { \pm } } & { { } = \frac { S _ { + } } { U _ { \pm } ^ { S } } \; , \quad \widetilde { V } _ { E } ^ { \pm } = \frac { - { S } _ { + } } { { U } _ { \mp } ^ { S } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \bar { c } ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \bigg ( \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \bigg ) ^ { 2 } d \phi _ { l } } \\ { \langle \bar { c } \bar { s } \rangle } & { = } & { - \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { ( \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } } d \phi _ { l } } \\ { \langle \bar { s } ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \frac { 2 \Gamma k _ { B } T } { m } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \bigg ( \frac { \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 4 } + \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \bigg ) ^ { 2 } d \phi _ { l } } \end{array}
G _ { b / \gamma } ( y ) = 3 e _ { b } ^ { 2 } { \frac { \alpha } { 2 \pi } } \left[ y ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } \right] \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { 0 } ^ { 2 } } \right)
| C K M | _ { l e p t o n } = \left( \begin{array} { c c c } { { \ast } } & { { 0 . 4 - 0 . 7 } } & { { 0 . 0 - 0 . 1 5 } } \\ { { \ast } } & { { \ast } } & { { 0 . 4 5 - 0 . 8 5 } } \\ { { \ast } } & { { \ast } } & { { \ast } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathcal { F } _ { h } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) - \mathcal { F } _ { h } ( n _ { h } ^ { m } , c ^ { m } + _ { h } ) } & & \\ { \displaystyle + \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \frac { 1 } { ( n _ { h } ^ { n + \theta } ) ^ { 2 } } , ( \delta _ { t } u _ { h } ^ { n + 1 } ) ^ { 2 } \Big ) _ { h } - k ( B _ { n } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } ) n _ { h } ^ { m + 1 } , \frac { 1 } { n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 } ) } & & \\ { \displaystyle - \frac { k } { 2 } \sum _ { i < j \in I } \frac { ( n _ { i } ^ { n + 1 } - n _ { j } ^ { n + 1 } ) ^ { 2 } } { ( n _ { j } ^ { n + 1 } + 1 ) ( n _ { i } ^ { n + 1 } + 1 ) } ( \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) + \frac { k } { 2 } \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \le } & { k ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) _ { h } . } \end{array}
4 \left( \frac { C } { A B } + \frac { A } { B C } + \frac { B } { A C } \right) ^ { 2 } \leq \left( \frac { \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } { A } + \frac { \sqrt { 1 - B ^ { 2 } } } { B } + \frac { \sqrt { 1 - C ^ { 2 } } } { C } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { C ^ { 2 } + A ^ { 2 } B ^ { 2 } } } { A B } + \frac { \sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } C ^ { 2 } } } { B C } + \frac { \sqrt { B ^ { 2 } + A ^ { 2 } C ^ { 2 } } } { A C } \right)
\begin{array} { r } { { | { X } \rangle } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } X _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } } X _ { b _ { 2 } , b _ { 3 } } ^ { a _ { 2 } } \cdots X _ { b _ { L } , b _ { L + 1 } } ^ { a _ { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \left( \frac { 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \right) \left( \frac { 6 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } + \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) - \frac { \left( 1 - 1 3 \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } { n ^ { 2 } } , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \left( - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { { } = \pm \sqrt { - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
A ^ { u , d } = \left( \begin{array} { c c c } { { x _ { u , d } } } & { { x _ { u , d } } } & { { y _ { u , d } } } \\ { { x _ { u , d } } } & { { x _ { u , d } } } & { { y _ { u , d } } } \\ { { y _ { u , d } } } & { { y _ { u , d } } } & { { z _ { u , d } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { \Xi } ( t ) = } & { \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) U \left( t , t _ { M } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \\ & { \times U \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots U \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) \widetilde { S } \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) U \left( t _ { 1 } , 0 \right) { \rho } _ { \Xi } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \sigma _ { n - r } } _ { 1 0 ^ { - 4 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 6 \times 1 0 ^ { - 2 } } , } \\ & { \underbrace { 4 \, \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 2 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 } } \ > \underbrace { \sigma _ { n - r + 1 } } _ { 1 0 ^ { - 3 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { x } & { { } = ( q a _ { 0 } + \rho ) \cos \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \sin \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { y } & { { } = ( q a _ { 0 } + \rho ) \sin \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \cos \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { z } & { { } = z _ { 0 } + \rho \phi \cot { \theta } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { G _ { \mathrm { s e r i e s } } } } & { { } = \frac { 1 } { G _ { 1 } } + \frac { 1 } { G _ { 2 } } + \cdots , } \\ { G _ { \mathrm { p a r . } } } & { { } = G _ { 1 } + G _ { 2 } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { + , + } ( \lambda _ { 0 } ) } & { : = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { + } ( x ; \lambda _ { 0 } ) = \frac { v ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) } { | v ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) | | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) | } } \\ { \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + , + } ( \lambda _ { 0 } ) } & { : = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + } ( x ; \lambda _ { 0 } ) = \frac { v ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } _ { M } ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) } { | v ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) | | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( \lambda _ { 0 } ) | } . } \end{array}
G ( t ) = - \frac { 2 } { 3 } + \frac { 4 } { 3 } \ln \frac { \mu } { m _ { c } } - \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi 4 \, \xi ( 1 - \xi ) \ln [ 1 - \xi ( 1 - \xi ) t + i \delta ] ,
\operatorname { p f } ( A ) = \sum _ { { j = 1 } \atop { j \neq i } } ^ { 2 n } ( - 1 ) ^ { i + j + 1 + \theta ( i - j ) } a _ { i j } \operatorname { p f } ( A _ { { \hat { \imath } } { \hat { \jmath } } } ) ,
\frac { d J ( c _ { m ^ { \prime } } ) } { d c _ { m } ^ { \prime } } = - 2 \frac { 1 } { ( c _ { m ^ { \prime } } + \epsilon ) } \sum _ { x _ { i } \in R _ { m ^ { \prime } } } ( l o g ( y ( x _ { i } ) + \epsilon ) - l o g ( c _ { m ^ { \prime } } + \epsilon ) ) = 0 .
\begin{array} { r l } { P _ { l m } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } } & { { } = - i \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \chi _ { l + 1 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } g _ { l + 1 } ^ { m } W _ { l + 1 } ( k R ) } \\ { M _ { l m } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } } & { { } = i \chi _ { l } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \chi _ { l - 1 } ^ { \mathrm { ~ E ~ } } g _ { l } ^ { m } W _ { l - 1 } ( k R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \mathcal { C } _ { 0 0 } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi d ^ { 2 } } } \int [ c o s ^ { 2 } ( E t ) + \frac { s i n ^ { 2 } ( E t ) } { E ^ { 2 } } ( E _ { v } - E _ { t } ) ^ { 2 } ] e x p \left( - \frac { E _ { v } ^ { 2 } } { 2 d ^ { 2 } } \right) d E _ { v } , } \\ & { \mathcal { C } _ { 0 1 } } & { = \mathcal { C } _ { 1 0 } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi d ^ { 2 } } } \int [ c o s ^ { 2 } ( E t ) + \frac { s i n ^ { 2 } ( E t ) } { E ^ { 2 } } ( \frac { E _ { t } ^ { 2 } } { 4 } - E _ { v } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - i 2 E _ { v } \frac { s i n ( E t ) } { E } c o s ( E t ) ] e x p \left( - \frac { E _ { v } ^ { 2 } } { 2 d ^ { 2 } } \right) d E _ { v } , } \\ & { \mathcal { C } _ { 1 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 \pi d ^ { 2 } } } \int [ c o s ^ { 2 } ( E t ) + \frac { s i n ^ { 2 } ( E t ) } { E ^ { 2 } } ( E _ { v } + E _ { t } ) ^ { 2 } ] e x p \left( - \frac { E _ { v } ^ { 2 } } { 2 d ^ { 2 } } \right) d E _ { v } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { c } _ { o u t } } & { = \tau \, \hat { c } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { L } ^ { c w } } & & { = - \kappa \, \hat { c } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } , } \\ { \hat { d } _ { o u t } } & { = \tau \, \hat { d } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } } & & { = - \kappa \, \hat { d } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } . } \end{array}
\sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \partial _ { i } \phi _ { n } \partial _ { j } \phi _ { n } ^ { * } = \operatorname * { l i m } _ { \vec { y } \rightarrow \vec { x } } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial } { \partial y ^ { i } } \zeta ( s = \frac { 1 } { 2 } \mid \vec { x } , \vec { y } ) .
\frac { Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } } { \gamma } = \frac { H _ { z } | _ { y = 0 ^ { + } } - H _ { z } | _ { y = 0 ^ { - } } } { E _ { x } } - \frac { v k _ { x } } { \omega } \, \frac { H _ { z } | _ { y = 0 ^ { + } } - H _ { z } | _ { y = 0 ^ { - } } } { E _ { x } } .
\begin{array} { r l } { h ^ { \prime } } & { = \sum _ { k \geq 0 } ( N ^ { k } \tilde { h } ^ { k } \partial _ { z } ^ { k } ) h , } \\ { p ^ { \prime } } & { = p ( \sum _ { k \geq 0 } N ^ { k } \tilde { h } ^ { k } \partial _ { z } ^ { k } ) , } \\ { i ^ { \prime } } & { = \sum _ { k \geq 0 } ( N ^ { k } \tilde { h } ^ { k } \partial _ { z } ^ { k } ) i . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { j } } \right) } & { = } & { 0 \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial } { \partial t } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \rho } } \widetilde { u _ { i } } \widetilde { u _ { j } } \right) + \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } } { \partial x _ { j } } } & { = } & { - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \sigma _ { i j } - \left( \overline { { \tau _ { i j } } } - \check { \tau } _ { i j } \right) \right] \, \mathrm { , } } \\ { \displaystyle \frac { \partial \overline { { \rho } } \check { E } } { \partial t } + \frac { \partial \left( \overline { { \rho } } \check { E } + \overline { { p } } \right) \widetilde { u _ { j } } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \check { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial \check { q } _ { j } } { \partial x _ { j } } } & { = } & { - B _ { 1 } - B _ { 2 } - B _ { 3 } + B _ { 4 } + B _ { 5 } + B _ { 6 } - B _ { 7 } \, \mathrm { , } } \end{array}
\langle \langle \hat { \rho } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \hat { \rho } ^ { * } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \rangle \rangle = \langle \hat { \rho } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \hat { \rho } ^ { * } ( \mathbf { k } _ { 1 } ) \rangle = N S ( k _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ( x , y ) } & { : = ( 5 + 4 y ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } h ^ { - 1 } ( x , y ) \big ( ( 5 + 4 y ^ { 2 } ) ( X _ { 0 } + { \sqrt { 5 } } / { 2 } ) + \sqrt { 5 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \big ) , } \\ { v _ { 3 } ( x , y ) } & { : = 2 \sqrt { 5 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) h ^ { - 1 } ( x , y ) \sqrt { ( 1 + y ^ { 2 } ) ( 5 + 4 y ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 r ^ { 4 } ( r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) \left( { r _ { 0 } } ( 2 r + { r _ { 0 } } ) - 3 r ^ { 2 } e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \right) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( - 8 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } ( 3 r + 4 { r _ { 0 } } ) \left( 2 r ^ { 2 } \right. \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( r , E , E _ { 1 } ) } & { = } & { \left( { \frac { 2 } { \gamma \, r ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 - N _ { 0 } } { 4 } } \left( c \, \left( { \frac { 2 } { \gamma \, r ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { a } { 4 } } \, U _ { 1 } + d \, \left( { \frac { 2 } { \gamma \, r ^ { 2 } } } \right) ^ { - \frac { a } { 4 } } \, U _ { 2 } \right) } \end{array}
h _ { o } ( x ) = \frac { h _ { m } a ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } , \qquad \; \; \hat { h } _ { o } ( k ) = \frac { h _ { m } a } { 2 } e ^ { - k a } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k > 0 ,
\begin{array} { r l } & { - ( \alpha + ( 1 - \alpha ) ) \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] + \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \alpha K _ { j } ^ { \prime } + ( 1 - \alpha ) K _ { j } ^ { \prime \prime } ) \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] + ( \alpha + ( 1 - \alpha ) ) \lambda } \\ & { = \alpha \left( - \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] + \sum _ { j = 1 } ^ { m } K _ { j } ^ { \prime } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] + \lambda \right) + ( 1 - \alpha ) \left( - \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \right] + \sum _ { j = 1 } ^ { m } K _ { j } ^ { \prime \prime } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , j } \right] + \lambda \right) } \\ & { = \alpha \mu _ { i } + ( 1 - \alpha ) \mu _ { i } = \mu _ { i } } \end{array}
2 \beta \frac { \partial \beta } { \partial T } = 2 \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } } { \partial T } + 2 \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } } { \partial T } .
\begin{array} { r l r } { - \langle \Delta ^ { \nabla ^ { \pi } } d ^ { \pi } w , d ^ { \pi } w \rangle } & { = } & { \langle \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) d ^ { \pi } w ] , d ^ { \pi } w \rangle } \\ & { = } & { - \langle * \langle ( \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) ) \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle , d ^ { \pi } w \rangle } \\ & { } & { - \langle * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle , d ^ { \pi } w \rangle } \\ & { } & { - \langle * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w , \nabla w ^ { * } \lambda \rangle , d ^ { \pi } w \rangle . } \end{array}
p ^ { ( 1 ) } p ^ { ( \widetilde { 1 } ) } = p ^ { ( \widetilde { 1 } ) } p ^ { ( 1 ) } = p ^ { ( 0 ) } p ^ { ( \widetilde { 0 } ) } = p ^ { ( \widetilde { 0 } ) } p ^ { ( 0 ) } = 0 ,
\mathbf { S } _ { k } ( \mathbf { U } ) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \phi ^ { l } \overline { { K } } _ { S } / K _ { S } ^ { l } \cdot \partial u _ { k } / \partial x _ { k } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 2 } { 3 } \overline { { V } } _ { e , i j } \partial u _ { k } / \partial x _ { k } - u _ { i } \partial \overline { { V } } _ { e , k j } / \partial x _ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right) , \quad \mathbf { S } _ { \mathrm { s p l i t } } ( \mathbf { U } ) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \boldsymbol \Phi } \\ { \rho ^ { l } \phi ^ { l } \dot { \pi } _ { m } ^ { l } } \end{array} \right)