harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left\langle v _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle = - \frac { 2 \gamma \cot ( \theta ) } { \mathrm { P e } _ { s } } \frac { \sqrt { 2 } \gamma \left( ( - 1 ) ^ { n } - 1 \right) \left( \sin ( \gamma ) \left( 2 \gamma ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } \right) + \sinh ( \gamma ) \left( 2 \gamma ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } \right) \right) } { \left( 4 \gamma ^ { 4 } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) } , } \\ & { b _ { n } = \frac { - 1 } { \kappa _ { 2 } a _ { n } \left( \lambda _ { n } ^ { 2 } \left( \kappa _ { 2 } + \mathrm { S c } - 2 \right) ^ { 2 } - a _ { n } ^ { 2 } \right) } \left( e ^ { - t \lambda _ { n } } \left( a _ { n } ^ { 3 } - a _ { n } \lambda _ { n } ^ { 2 } \left( \mathrm { S c } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \left( - 3 \kappa _ { 2 } - 2 \mathrm { S c } + 4 \right) \right) \right) + \right. } \\ & { e ^ { - \frac { \kappa _ { 2 } + \mathrm { S c } } { 2 } \lambda _ { n } t } \left( a _ { n } ^ { 3 } \left( - \cosh \left( \frac { t a _ { n } } { 2 } \right) \right) - a _ { n } ^ { 2 } \lambda _ { n } \left( 3 \kappa _ { 2 } + \mathrm { S c } - 2 \right) \sinh \left( \frac { t a _ { n } } { 2 } \right) \right. } \\ & { + a _ { n } \lambda _ { n } ^ { 2 } \left( \mathrm { S c } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \left( - 3 \kappa _ { 2 } - 2 \mathrm { S c } + 4 \right) \right) \cosh \left( \frac { t a _ { n } } { 2 } \right) } \\ & { \left. \left. + \lambda _ { n } ^ { 3 } \left( \mathrm { S c } - \kappa _ { 2 } \right) \left( \kappa _ { 2 } + \mathrm { S c } - 2 \right) \left( \kappa _ { 2 } + \mathrm { S c } \right) \sinh \left( \frac { t a _ { n } } { 2 } \right) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\{ | \tilde { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { Y } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } \right. } & { \left. + \frac { 1 } { 2 } h | \tilde { Z } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { Z } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } h | \tilde { \Gamma } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { \Gamma } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } \right\} } \\ & { \leq \mathbb { E } \left\{ ( 1 + C h ) | \tilde { Y } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } - \hat { Y } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + C h | \tilde { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } - \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } \right\} . } \end{array} } \end{array}
\Phi _ { A } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l } { { \Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = P _ { \chi } \, \, \, , } } \\ { { \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = P _ { e } \, \, \, , } } \\ { { \Phi _ { 3 n } ^ { ( 1 ) } = P _ { n } + i \psi _ { n } \, \, \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } b \colon \hat { F } _ { J - 1 } ( P , z _ { 0 } ) } & { \, \times \, } & & { \hat { F } _ { J - 1 } ( P ^ { * } , \overline { { z _ { 0 } } } + i w ) } & & { \to \mathbb { C } , } \\ { ( \tilde { u } } & { , } & & { \tilde { u } ^ { * } ) } & & { \mapsto \operatorname { R e s } _ { z = z _ { 0 } } \langle N ( P , z ) \tilde { u } ( z ) , \tilde { u } ^ { * } ( \bar { z } + i w ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( \partial M ; F | _ { \partial M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { i } } & { { } = \sqrt { \left[ r _ { 0 } + \left( i + 1 \right) \Delta r _ { 0 } \right] ^ { 2 } - \left( r _ { 0 } + i \Delta r _ { 0 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i } ^ { 2 } \right) } - \left( r _ { 0 } + i \Delta r _ { 0 } \right) \mu _ { i } , } \\ { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { { } = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \Delta r _ { 0 } } { r _ { 0 } + \left( i + 1 \right) \Delta r _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { 0 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right) , } \\ { n _ { i } } & { { } = \frac { \eta _ { i } } { \eta _ { 0 } } \left( n _ { 0 } - 1 \right) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { H ( t , x ) } & { { } \stackrel { } = s _ { 0 } F _ { \mathrm { i n } } = \dot { s } _ { 0 } ^ { \frac 1 n } s _ { 0 } ^ { \frac { n + 3 } { n } } C _ { 5 } ( 1 - x ) ^ { \frac 3 n } ( 1 + o ( 1 ) ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad s ^ { - 1 } \ll 1 - x \ll 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \hat { \phi } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { \Gamma } } & { { } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { S } ( e ) } & { : = | z _ { S , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { A } \to z _ { S } ( e ) } \partial _ { n } \phi - \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { F } \to z _ { S } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] } \\ { \sigma _ { B } ( e ) } & { : = | z _ { B , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { F } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi - \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { B } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] = - | z _ { B , e } ( e ) | [ \operatorname* { l i m } _ { z \in \mathcal { D } _ { B } \to z _ { B } ( e ) } \partial _ { n } \phi ] \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c l } { { \delta _ { \hat { \hat { \chi } } } \sqrt { | \hat { \hat { g } } | } } } & { { = } } & { { 0 \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { \hat { \hat { \chi } } } \hat { \hat { S } } { } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { 0 \; , } } \end{array} \right.
\mathcal { F } [ \tau , b , \hat { \eta } ] : = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \mathcal { R } ^ { 2 } [ \tau , b , \hat { \eta } ] \, \, d \alpha _ { 1 } \, d \alpha _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { i ) } & { } & { \ \ ( \rho \ u _ { t t } ( t ) , v ) + ( \mu \ u _ { t } ( t ) , v ) + ( r u _ { x x } ( t ) , v _ { x x } ) } \\ & { } & { + ( \kappa u _ { x x t } ( t ) , v _ { x x } ) = g ( t ) v ( \ell ) , \ \forall \ v \in \mathcal { V } _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 , \ell ) , \ \ \mathrm { a . e . } \ t \in [ 0 , T ] . } \\ { i i ) } & { } & { \ \ u ( 0 ) = u _ { 0 } , \ u _ { t } ( 0 ) = v _ { 0 } , } \end{array}
\sum ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } = \sum ( X _ { i } - { \overline { { X } } } ) ^ { 2 } + \sum ( { \overline { { X } } } - \mu ) ^ { 2 } + 2 \sum ( X _ { i } - { \overline { { X } } } ) ( { \overline { { X } } } - \mu ) .
\mathcal { I } _ { 3 } = \langle \prod _ { i \in T } y _ { i } ^ { a _ { i } } x _ { F } : T \cap F = \varnothing , a _ { i } > 0 , \operatorname { r k } _ { \operatorname { P } } ( F \cup T ) \le \operatorname { r k } _ { \operatorname { P } } ( F ) + \sum a _ { i } \rangle , \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal { I } _ { 4 } = \langle y _ { i } - \sum _ { F \not \ni i } x _ { F } \rangle .
\Psi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( Q ^ { 2 } ) \; = \; \frac { N } { 8 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } a ^ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } c _ { i j } \, j \Big [ \, L ^ { j - 1 } + ( j - 1 ) L ^ { j - 2 } \, \Big ] \, .
\begin{array} { r l } { N _ { i , 0 } ( u ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 ; } & { t _ { i } \leq u < t _ { i + 1 } } \\ { 0 ; } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { N _ { i , p } ( u ) } & { = \frac { u - t _ { i } } { t _ { i + p } - t _ { i } } N _ { i , p - 1 } ( u ) + \frac { t _ { i + p + 1 } - u } { t _ { i + p + 1 } - t _ { i + 1 } } N _ { i + 1 , p - 1 } ( u ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { k } ^ { + } - \mathbf { v } _ { k } ^ { - } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { k } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { k - 1 } | _ { \rho = + \infty } } { d _ { \Gamma } } } & { \ \mathrm { o n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \setminus \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { k } ^ { + } - \mathbf { v } _ { k } ^ { - } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { k } - \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { W } ^ { k - 1 } | _ { \rho = + \infty } \big ) } & { \ \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c c c l } { { 4 1 ^ { \circ } } } & { { \le } } & { { \mathrm { A r g } ( V _ { u b } ) } } & { { \le } } & { { 1 3 4 ^ { \circ } } } \\ { { 1 1 ^ { \circ } } } & { { \le } } & { { \mathrm { A r g } ( V _ { t d } ) } } & { { \le } } & { { 2 7 ^ { \circ } } } \end{array}
\mathbf { P } _ { 0 } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { P } _ { \phi \theta \chi } \; \sin ( \theta ) \; d \phi \; d \theta \; d \chi ,
\begin{array} { r l } { \log \left( \mathbb { E } e ^ { \lambda U _ { i } } \right) } & { = \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \left( \frac { \lambda } { F ( k ) } \right) ^ { l } - \frac { \lambda } { F ( k ) } \right] = \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { l } \left( \frac { \lambda } { F ( k ) } \right) ^ { l } } \\ & { = \sum _ { l = 2 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { l } } { l } \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \frac { 1 } { F ( k ) ^ { l } } } \end{array}
{ i \cal M } _ { \mathrm { 1 ( b ) } } = \tau _ { 1 } ^ { \mu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , e _ { 1 } ) \bigg [ \frac { - i { \eta } _ { \mu \nu } } { q ^ { 2 } } \bigg ] \tau _ { 1 } ^ { \nu } ( k _ { 3 } , k _ { 4 } , e _ { 2 } )
\varepsilon _ { \frac { 1 } { 2 } } = \{ \varepsilon _ { 0 } + 1 , \omega ^ { \varepsilon _ { 0 } + 1 } , \ldots \mid \varepsilon _ { 1 } - 1 , \omega ^ { \varepsilon _ { 1 } - 1 } , \ldots \} .
\begin{array} { r l } { \nu d } & { { } = 2 - \alpha = 2 \beta + \gamma = \beta ( \delta + 1 ) = \gamma { \frac { \delta + 1 } { \delta - 1 } } } \\ { 2 - \eta } & { { } = { \frac { \gamma } { \nu } } = d { \frac { \delta - 1 } { \delta + 1 } } } \end{array}
a _ { \tau } = { \frac { \sqrt { \pi } \Gamma ( \tau + 1 ) } { 2 ^ { \frac { \tau + 1 } { 2 } } \Gamma \! \left( { \frac { \tau + 2 } { 2 } } \right) } } , \qquad b _ { \tau } = { \frac { \sqrt { 2 } \Gamma \! \left( { \frac { \tau + 2 } { 2 } } \right) } { \Gamma \! \left( { \frac { \tau + 1 } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l } { U ( \mathbf { x } - \varepsilon \mathbf { 1 } ) } & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \exp \left( \alpha _ { n } \varepsilon \right) \exp \left( - \alpha _ { n } x ^ { n } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \exp \left( \operatorname* { m a x } _ { n } \alpha _ { n } \varepsilon \right) \exp \left( - \alpha _ { n } x ^ { n } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \exp \left( 2 \operatorname* { m a x } _ { n } \alpha _ { n } \varepsilon \right) \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \exp \left( - \alpha _ { n } x ^ { n } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( 1 - \exp \left( 2 \operatorname* { m a x } _ { n } \alpha _ { n } \varepsilon \right) \right) \frac { N ^ { 2 } } { 2 } + \exp \left( 2 \operatorname* { m a x } _ { n } \alpha _ { n } \varepsilon \right) U ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \gamma } _ { t } } & { = T ( p _ { t } ) - \langle \hat { V } \rangle - ( \hbar / 4 ) \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } \right) } \\ & { = T ( p _ { t } ) - \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } \left[ m ^ { - 1 } \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) \right] / 2 } \\ & { = 2 T ( p _ { t } ) - \langle \hat { V } \rangle - \langle \hat { T } \rangle = 2 T ( p _ { t } ) - \langle \hat { H } \rangle . } \end{array}
q _ { \alpha , i } ^ { E , E ^ { \prime } } = \lambda _ { \alpha } ^ { * } \frac { \bigl ( B ^ { E ^ { \prime } } \bigr ) _ { i i } ^ { - 1 } \Lambda _ { \alpha , i } ^ { E } - \left( B ^ { E } \right) _ { i i } ^ { - 1 } \Lambda _ { \alpha , i } ^ { E ^ { \prime } } } { \bigl ( B ^ { E } \bigr ) _ { i i } ^ { - 1 } + \bigl ( B ^ { E ^ { \prime } } \bigr ) _ { i i } ^ { - 1 } }
\begin{array} { r l } { I \dot { \boldsymbol { \omega } } _ { \mathrm { f } } } & { = \mathbf { m } _ { \mathrm { f } } \times \mathbf { B } _ { \mathrm { r } } - \zeta _ { \mathrm { r o t } } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { f } } } \\ { \mathfrak { m } \dot { \mathbf { v } } _ { \mathrm { f } } } & { = \mathbf { F } _ { \mathrm { d i p } } - \zeta _ { \mathrm { t r a n s } } \mathbf { v } _ { \mathrm { f } } - g \hat { \mathbf { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } _ { 2 } } & { = \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) | | \Delta _ { 2 } ( s , t , x , w , y ) | \mathbb { 1 } _ { | w - y | < ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim v ^ { - 1 } \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \frac { \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \int | \bar { p } _ { \alpha } ( v , y - w ) | | w - y | ^ { \rho } \mathrm { d } w \mathrm { d } u } \\ & { \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \mathrm { d } u , } \end{array}
1 + D ( \varepsilon ) \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { D ( \varepsilon ) \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \varepsilon < f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) , } \\ { 1 \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \varepsilon > f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta _ { \mathrm { m i n } } ) . } \end{array} \right.
\rho = \sum _ { \alpha } q _ { \alpha } n _ { \alpha } \exp \left( - \frac { z ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z , \alpha } ^ { 2 } } \right) \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r , \alpha } ^ { 2 } } \right)
F _ { m n } ^ { a } = e _ { m } ^ { \mu } e _ { n } ^ { \nu } ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + i g f _ { b c } ^ { a } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } )
\langle \phi \rangle = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { { \frac { v } { \sqrt 2 } } } } \end{array} \right) \ \ \Longrightarrow \ \ G _ { \mathrm { S M } } \rightarrow S U ( 3 ) _ { \mathrm { C } } \times U ( 1 ) _ { \mathrm { E M } } .
\begin{array} { l } { { \epsilon ( k _ { i } ) = 1 ~ , ~ ~ ~ ~ \epsilon ( X _ { i } ^ { - } ) = 0 = \epsilon ( X _ { i } ^ { + } ) ~ , } } \\ { { S ( k _ { i } ) = k _ { i } ^ { - 1 } ~ , ~ ~ ~ S ( X _ { i } ^ { - } ) = - X _ { i } ^ { - } k _ { i } ^ { - 1 } ~ , ~ ~ ~ S ( X _ { i } ^ { + } ) = - k _ { i } X _ { i } ^ { + } ~ . } } \end{array}
( 1 , 3 , \overline { { { 3 } } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { H _ { 1 } } } & { { H _ { 2 } } } & { { l } } \\ { { E ^ { + } } } & { { \overline { { { \nu } } } _ { R } } } & { { N ^ { 0 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { 9 B L _ { 1 } I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( 5 \sigma ^ { 2 } + \frac { \gamma } { \eta } \sigma \right) } & { = 9 B L _ { 1 } I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left( 1 6 \sigma ^ { 2 } + \frac { A L _ { 0 } \sigma } { B L _ { 1 } \rho } \right) } \\ & { \leq \eta I \epsilon \frac { 1 6 B L _ { 1 } \sigma + A L _ { 0 } } { 2 0 \Gamma } \stackrel { ( i i ) } { \leq } \frac { 1 } { 4 } \epsilon \eta I } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \lambda } _ { 2 } B ^ { 2 } + \hat { \lambda } _ { 3 } A B + \hat { \lambda } _ { 5 } B } & { { } = 0 } \\ { \hat { \mu } _ { 1 } A ^ { 2 } + \hat { \mu } _ { 3 } A B + \hat { \mu } _ { 4 } A } & { { } = 0 , } \end{array}
P _ { 0 0 } + P _ { 1 1 } = \frac { \tilde { P } _ { 0 0 } + \tilde { P } _ { 1 1 } - 2 p _ { \mathrm { T P } } p _ { \mathrm { F P } } } { ( p _ { \mathrm { T P } } - p _ { \mathrm { F P } } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { l _ { \mathrm { s t o p } } } & { \simeq } & { 3 . 3 \times 1 0 ^ { 3 } ~ \mathrm { k m } } \\ & { } & { \times \left( \frac { a } { 1 ~ \mathrm { m m } } \right) \left( \frac { v } { v - v _ { \mathrm { g } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { \mathrm { 0 } } } { 1 0 ^ { 1 3 . 5 } \mathrm { ~ c m } ^ { - 3 } } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
g _ { T } ( x _ { B } , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { i a } \int _ { - 1 } ^ { 1 } { \frac { d x d y } { x y } } \left( C _ { a } \left( { \frac { x _ { B } } { x } } , { \frac { x _ { B } } { y } } , \alpha _ { s } \right) K _ { i } ( x , y ) + ( x _ { B } \rightarrow - x _ { B } ) \right) \ ,
\omega = - \displaystyle \frac { 1 } { C _ { K } } \left( R _ { 1 } \, d R _ { 2 } \wedge d L + R _ { 2 } \, d L \wedge d R _ { 1 } + \displaystyle \frac { ( \lambda - 8 E ) L + 4 \lambda L ^ { 3 } } { ( \lambda - 8 E ) + 8 \lambda L ^ { 2 } } d R _ { 1 } \wedge d R _ { 2 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } d \bar { C } _ { i } \wedge d C ^ { i } ~ ,
\begin{array} { c l } { { } } & { { \displaystyle \prod _ { \mu = 2 } ^ { n - 2 } ( x _ { \mu } - z _ { 1 } \tau ) \Delta ( z _ { 1 } \tau ^ { - 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n - 2 } | z _ { 1 } \tau ^ { - n } , z _ { 2 } , \cdots , z _ { n } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { \mu = 2 } ^ { n - 2 } ( x _ { \mu } - z _ { 1 } \tau ^ { - 1 } ) \Delta ( z _ { 1 } \tau , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n - 2 } | z _ { 1 } \tau ^ { n } , z _ { 2 } , \cdots , z _ { n } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| C _ { g } \tilde { g } ( x ) - g \left( \frac { 1 } { \theta } \arcsin ( x ) \right) \right| } & { = \left| ( 1 - \frac { \epsilon } { 3 C _ { g } } ) \left( C _ { g } \bar { g } ( x ) - g \left( \frac { 1 } { \theta } \arcsin ( x ) \right) \right) + \frac { \epsilon } { 3 C _ { g } } g \left( \frac { 1 } { \theta } \arcsin ( x ) \right) \right| } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \epsilon } { 3 C _ { g } } ) \frac { 2 \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 C _ { g } } C _ { g } < \frac { 2 \epsilon } { 3 } + \frac { \epsilon } { 3 } = \epsilon , } \end{array}
k _ { 1 } = 5 . 0 , k _ { 2 } = 1 0 . 0 , x _ { 1 } ^ { \circ } = - 2 . 0 , x _ { 2 } ^ { \circ } = 2 . 0 , , d = 3 . 0 , \kappa = 1 0 . 0 , C = 0 . 5 , \alpha = 2 . 0
\begin{array} { r l } & { p _ { T e s } ( s ; \mu _ { t } , \sigma , N ) = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \dots \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } p _ { T e s _ { 1 } } ( \ell _ { 1 } ; \mu _ { t } , \sigma ) p _ { T e s _ { 1 } } ( \ell _ { 2 } ; \mu _ { t } , \sigma ) \dots p _ { T e s _ { 1 } } ( \ell _ { N } ; \mu _ { t } , \sigma ) \delta ( \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } + \dots + \ell _ { N } - s ) d \ell _ { 1 } d \ell _ { 2 } \dots d \ell _ { N } } \\ & { = \frac { s ^ { N - 1 } ( \mu _ { t } + \sigma ) ^ { N } e ^ { - ( \mu _ { t } + \sigma ) s } } { ( N - 1 ) ! } . } \end{array}
\Psi _ { \tau n m } ^ { ( 3 ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } ( B _ { \tau n m , j } \mathbf { \Phi } _ { j } ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } ,
\begin{array} { r l r } { C _ { 4 } = C ( t ) \Big | _ { t ^ { 4 } } } & { = } & { E _ { 1 } ( t ) \Big | _ { t ^ { 4 } } = - { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { 1 / 2 } ( t ) \Big | _ { t ^ { 4 } } = - { \frac { t ^ { 4 } } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \, ( 1 - \lambda ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( ( n - 1 / 2 ) ^ { 2 } + \lambda t ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \Big | _ { t ^ { 4 } } } \\ & { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { ( n - 1 / 2 ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } } - ( n - 1 / 2 ) - { \frac { t ^ { 2 } } { 2 n - 1 } } \right) \Big | _ { t ^ { 4 } } } \\ & { = } & { - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { t ^ { 4 } } { ( 2 n - 1 ) ^ { 3 } } } = - { \frac { 7 } { 8 } } \zeta ( 3 ) t ^ { 4 } \; . } \end{array}
\eta _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 0 } & { \displaystyle i = j , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { N } \upsilon \left( \beta \right) + \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \gamma \beta } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { i k } ^ { \left[ \gamma \right] } \eta _ { k j } ^ { \left[ \gamma \right] } + \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } p _ { j k } ^ { \left[ \gamma \right] } \eta _ { i k } ^ { \left[ \gamma \right] } + \left( 1 - \frac { 2 } { N } \right) \eta _ { i j } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) } & { \displaystyle i \neq j . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { k _ { \tilde { \lambda } } ( x , y , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) = \exp ( - \frac { ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 l ^ { 2 } } - \frac { ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { 2 l ^ { 2 } } ) , } \\ { 0 \le x , y , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \le 1 , ~ l = 0 . 2 5 . } \end{array}
\lbrace A , B \rbrace { } ^ { * } = \lbrace A , B \rbrace - \int d ^ { 3 } \sigma [ \lbrace A , \zeta ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) \rbrace \lbrace { \cal H } _ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) , B \rbrace - \lbrace A , { \cal H } _ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) \rbrace \lbrace \zeta ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) , B \rbrace ] ,
\begin{array} { r l } { \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot r ^ { 2 } } & { \leq \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot ( 1 - r ) ^ { 2 } + ( 1 - A _ { 1 , 1 } ) ^ { 2 } - 2 \cdot \frac { 1 - r } { n } \cdot ( 1 - A _ { 1 , 1 } ) } \\ { \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot r ^ { 2 } } & { \leq \frac { n - 1 } { n ^ { 2 } } \cdot ( 1 - r ) ^ { 2 } + ( 1 - A _ { 1 , 1 } ) \left( 1 - A _ { 1 , 1 } - 2 \cdot \frac { 1 - r } { n } \right) } \\ { ( n - 1 ) ( 2 r - 1 ) } & { \leq ( n ( 1 - r ) + 2 r - 1 ) ( n ( 1 - r ) + 4 r - 3 ) } \\ { 0 } & { \leq ( n ^ { 2 } - 6 n + 8 ) r ^ { 2 } + ( - 2 n ^ { 2 } + 8 n - 8 ) r + n ^ { 2 } - 3 n + 2 } \end{array}
\partial _ { t } g _ { t } = ( 4 - D ) g _ { t } - 3 K _ { D } \left\langle G _ { t } ( \hat { \bf { q } } ) \right\rangle _ { \hat { \bf { q } } } g _ { t } ^ { 2 } + O ( g _ { t } ^ { 3 } , c _ { t } g _ { t } ^ { 2 } ) \; ,
\log L ( \{ t _ { i } , m _ { i } \} ) = \sum _ { i } \left[ \log \lambda ( t _ { i } , m _ { i } | H _ { t } ) \ - \int _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } } \int _ { \mathcal { M } } \lambda ( t , m | H _ { t } ) d m d t \right] .
\begin{array} { c c l } { | \Psi _ { \mathrm { e x c } } ( t ) | ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } | \Psi ( t ) \rangle \right| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left| \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \beta _ { j } ^ { m } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, e } } \, e ^ { i \left( k _ { \mathrm { e } } ( z _ { j } - a ) + k _ { \mathrm { m } } ( z - z _ { j } + a ) \vphantom { b ^ { 2 } } \right) } = \left( \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, i } } + \frac { 2 \pi i \rho \left( e ^ { i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) ( z _ { j } - 3 a ) } - e ^ { - i ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) a } \right) } { ( k _ { \mathrm { e } } - k _ { \mathrm { m } } ) k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! S ( 0 ) \vec { E } _ { 0 } ^ { \mathrm { \, e } } \right) e ^ { i k _ { \mathrm { m } } z } , } \end{array}
h _ { r , s } = { \frac { c - c _ { 0 } } { 2 4 } } + { \frac { 1 } { 9 6 } } \left( ( r + s ) \sqrt { c _ { 0 } - c } + ( r - s ) \sqrt { c _ { 1 } - c } \right) ^ { 2 } + \Delta _ { j } ^ { j } { } ~ .