harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { h } _ { t } = \left[ - 2 \partial _ { x } + \left( \frac { 2 \cot { \theta } } { 3 } - \frac { 8 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } { 1 5 } \right) \partial _ { x x } - \frac { 1 } { 3 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } \partial _ { x x x x } \right] \hat { h } + \left[ 1 + \frac { 2 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } { 3 } \partial _ { x } \right] \hat { f } .
\begin{array} { r l r } { f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 + K _ { 1 } \, x _ { 1 } + K _ { 2 } \, x _ { 2 } + K _ { 1 2 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } } { 4 } = \frac { 1 + x _ { 1 } ( K _ { 1 } + K _ { 2 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } ) + K _ { 1 2 } \, x _ { 1 } x _ { 2 } } { 4 } \; . } \end{array}
\beta _ { 0 } = { \frac { \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 1 } } { \mathbf { r } _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { 0 } } } \approx { \frac { { \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 2 8 1 0 } & { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 2 8 1 0 } \\ { 0 . 7 4 9 2 } \end{array} \right] } } { { \left[ \begin{array} { l l } { - 8 } & { - 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 8 } \\ { - 3 } \end{array} \right] } } } = 0 . 0 0 8 8 .
( M _ { 0 } - p _ { 0 } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } = - M _ { 1 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , \quad \boldsymbol { v } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \Delta ( 0 , - \nu + \tilde { B } _ { 0 } B _ { 0 } , - 2 i B _ { 0 } ) ^ { T }
\left\langle T _ { i i } ( x ) \right\rangle = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n } \omega _ { n } \left| \phi _ { n } \right| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left| \vec { \nabla } \phi _ { n } \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left| \partial _ { i } \phi _ { n } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { K _ { 2 y } ^ { 1 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 2 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ ( t \kappa - \gamma ~ u ) + t ^ { 2 } ~ u ^ { 3 } + 2 u v ^ { 2 } - 3 ~ t ~ u ^ { 2 } ~ v + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( ( \gamma - 2 ) u - t \kappa ) ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - u ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ v - t ~ u ) ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( t ~ u - \gamma _ { 1 } ~ v ) ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 4 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
{ \cal F } ( A ) = { \frac { 1 } { 2 } } \tau _ { 0 } A ^ { 2 } + { \frac { i } { \pi } } A ^ { 2 } \log \biggl ( { \frac { A } { \Lambda } } \biggr ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 \pi i } } A ^ { 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } c _ { l } \biggl ( { \frac { \Lambda } { A } } \biggr ) ^ { 4 l } .
\mathbb { C } _ { c a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \chi _ { a } \chi _ { b } \mathrm { , ~ } \mathbb { C } _ { c d a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \chi _ { d } \chi _ { a } \chi _ { b } \mathrm { ~ a n d ~ } \mathbb { D } _ { a b c d } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { a } \chi _ { b } \nabla \chi _ { c } \cdot \nabla \chi _ { d } ~ .
{ \frac { d H _ { 2 } } { d t } } = \nu \int \sp { 1 / a } k \sp 2 H _ { k } d k \propto \nu a \sp { - 6 - 4 \Delta _ { \psi } } \propto \nu \sp { \frac { 3 + \Delta _ { \phi } + \Delta _ { \psi } } { \Delta _ { \phi } - \Delta _ { \psi } } } \, .
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 1 } } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \mu _ { 3 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 3 } + 3 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { \mu _ { 4 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 4 } + 4 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } + 3 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } + 6 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { \mu _ { 5 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 5 } + 5 \kappa _ { 4 } \kappa _ { 1 } + 1 0 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 2 } + 1 0 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + 1 5 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \kappa _ { 1 } + 1 0 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { 3 } + \kappa _ { 1 } ^ { 5 } } \\ { \mu _ { 6 } ^ { \prime } = } & { \kappa _ { 6 } + 6 \kappa _ { 5 } \kappa _ { 1 } + 1 5 \kappa _ { 4 } \kappa _ { 2 } + 1 5 \kappa _ { 4 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + 1 0 \kappa _ { 3 } ^ { 2 } + 6 0 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } + 2 0 \kappa _ { 3 } \kappa _ { 1 } ^ { 3 } } \\ & { + 1 5 \kappa _ { 2 } ^ { 3 } + 4 5 \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } + 1 5 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } ^ { 4 } + \kappa _ { 1 } ^ { 6 } . } \end{array} }
\nu _ { a b } ~ { \mathrm { i s ~ i n d e p e n d e n t ~ o f ~ a , b ~ , ~ w h e r e } } ~ \nu _ { a b } \equiv { \frac { { \widetilde b } _ { a } - { \widetilde b } _ { b } } { b _ { a } ^ { * } - b _ { b } ^ { * } } } ~ { \mathrm { f o r } } ~ a \not = b .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { n } ^ { I } ( \mathbf { r } ) } & { = \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s r c } } ( \mathbf { r } ) + \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s r c } } ( \mathbf { r } ) } & { = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } a _ { n \ell } ^ { 0 I } H _ { \ell } ( k _ { n } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \\ { \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } & { = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } c _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { n } \rho _ { n } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \end{array}
{ \pi } ^ { - } = \frac { { \delta } L } { { \delta } { \partial } _ { - } A _ { - } } = 0 , \; { \pi } ^ { + } = \frac { { \delta } L } { { \delta } { \partial } _ { - } A _ { + } } = F _ { - + } , \; { \pi } _ { B } = \frac { { \delta } L } { { \delta } { \partial } _ { + } B } = 0 , \; { \pi } _ { \psi } = \frac { { \delta } L } { { \delta } { \partial } _ { - } { \psi } } = i \bar { \psi } { \gamma } ^ { - } .
\begin{array} { r } { \mu _ { < j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 1 } \\ { \mu _ { 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 2 } \\ { \mu _ { 1 } + \dots + \mu _ { j - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \ge 3 } \end{array} \right. \qquad \mu _ { > j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = T } \\ { \mu _ { T } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = T - 1 } \\ { \mu _ { j + 1 } + \dots + \mu _ { T } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j \le T - 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d _ { 1 , - } ^ { * } d _ { 1 , + } } { | { \bf d } _ { 1 } | ^ { 2 } } \ne \frac { d _ { 2 , - } ^ { * } d _ { 2 , + } } { | { \bf d } _ { 2 } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\delta ^ { N e w } B _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p _ { a } } } ^ { a } = \partial _ { [ \mu _ { 1 } } \Lambda _ { \mu _ { 2 } \ldots \mu _ { p } ] } ^ { a } + g _ { b } p _ { a } ! p _ { b } k _ { b \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p _ { a } } } ^ { a \nu _ { 2 } \ldots \nu _ { p _ { b } } } \Lambda _ { \nu _ { 2 } \ldots \nu _ { p _ { b } } } ^ { b } .
b _ { n } = \frac { \psi _ { n } ( m x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - m \psi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( m x ) } { \psi _ { n } ( m x ) \xi _ { n } ^ { \prime } ( x ) - m \xi _ { n } ( x ) \psi _ { n } ^ { \prime } ( m x ) }
{ { \bf Q } ^ { 2 \nu } } _ { W ^ { + } } = \left[ - m _ { W } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } g ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - g m _ { W } \sigma - \frac { i g } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \sigma \right) I ^ { \mu } \right] W ^ { + \nu } .
\frac { d _ { + } } { d _ { - } } = \frac { \Gamma ( - \frac { 2 j + 1 } { k + 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 2 j + 1 } { k + 2 } ) } \; \sqrt { \frac { \Gamma ( \frac { 2 j } { k + 2 } ) \; \Gamma ( \frac { 2 j + 2 } { k + 2 } ) } { \Gamma ( - \frac { 2 j } { k + 2 } ) \; \Gamma ( - \frac { 2 j + 2 } { k + 2 } ) } } \; = \; \frac { \gamma _ { - } } { \gamma _ { + } } ,
p _ { r } = { \frac { 1 5 } { 4 } } { \frac { T _ { r } } { V _ { r } - { \frac { 1 } { 4 } } } } - { \frac { 6 } { T _ { r } V _ { r } \left( V _ { r } - { \frac { 1 } { 4 } } \right) } } + { \frac { 4 } { T _ { r } ^ { 2 } V _ { r } ^ { 3 } } }
\mathbf { s } = \arg \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { s } ^ { \prime } } \left\| \mathbf { s } ^ { \prime } \right\| _ { 1 } \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \mathbf { y } = \boldsymbol { \Theta } \mathbf { s } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { [ c ] F _ { 0 } } & { = 1 } \\ { F _ { 1 } } & { = \sqrt { 2 } \cos ( y ) } \\ { F _ { 2 } } & { = 2 \cos ( n x ) \sin ( y ) } \\ & { \ \ \vdots } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 0 } } & { = 1 } \\ { \phi _ { 1 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \\ & { \ \ \vdots } \end{array}
\langle \beta _ { m n } \beta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle _ { E } = g ( m - n ) ( \delta _ { m m ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } + \delta _ { m n ^ { \prime } } \delta _ { m ^ { \prime } n } - \delta _ { m n } \delta _ { m ^ { \prime } n ^ { \prime } } \delta _ { n n ^ { \prime } } ) .
{ \bf u } ( { \bf X } , 0 ) = { \bf u } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \bar { c } ( { \bf X } , 0 ) = \bar { c } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \phi ( { \bf X } , 0 ) = \phi _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \bar { \xi } ( { \bf X } , 0 ) = \bar { \xi } _ { 0 } ( { \bf X } ) , \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, \, \mathrm { ~ d ~ } ( { \bf X } , 0 ) = \mathrm { ~ d ~ } _ { 0 } ( { \bf X } ) .
\begin{array} { r l } & { - 9 2 \, { q } ^ { 3 } + \left( - 2 2 4 \, { p } ^ { 2 } + 1 8 8 \, p - 2 2 4 \right) { q } ^ { 2 } + \left( 6 4 \, { p } ^ { 4 } - 2 8 8 \, { p } ^ { 3 } + 3 1 3 \, { p } ^ { 2 } + 1 4 4 \, p - 1 2 8 \right) q } \\ & { \quad + 6 4 \, { p } ^ { 5 } - 7 0 \, { p } ^ { 4 } - 6 0 \, { p } ^ { 3 } + 3 2 \, { p } ^ { 2 } + 6 4 \, p \ge 0 . } \end{array}
\psi _ { 1 } = - \frac { ( d - 4 ) l ^ { 3 } \phi ^ { 2 } } { 1 2 8 ( d - 1 ) ^ { 2 } ( d - 2 ) ^ { 2 } } ( d ^ { 3 } - 4 d ^ { 2 } + 1 6 d - 1 6 ) ~ .
\begin{array} { r l } & { V \left( \tilde { \Phi } , \Phi \right) } \\ { \leq } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \tilde { \Phi } } \right] - H \left[ \tilde { \Phi } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { + } & { V ( \breve { \tilde { \Phi } } , \breve { \Phi } ) } \\ { + } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \Phi } \right] - H \left[ \Phi \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
p _ { Y | \hat { X } , \tilde { Y } \in [ 0 , N ) } ( y | \hat { x } = i ) ~ = ~ \frac { \int _ { 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \Bigl ( - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \Bigr ) \cdot \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { i - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - t } { \sigma } \right) \right] \, d t } ,
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { 1 } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) \right| \leq 2 d ^ { 1 / 2 } r \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \right| \right] + 2 d r ^ { 2 } \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left| \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right| \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { 1 } ^ { s } = 0 \quad ; \quad m _ { 1 } ^ { d } = \langle x \rangle _ { + } = - \langle x \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } } { 1 + 2 \gamma } } \\ & { } & { m _ { 2 } ^ { s } = \langle x ^ { 2 } \rangle _ { + } = \langle x ^ { 2 } \rangle _ { - } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + 2 \gamma } + \frac { g } { 2 } \quad ; \quad m _ { 2 } ^ { d } = 0 } \\ & { } & { m _ { 3 } ^ { s } = 0 \quad ; \quad m _ { 3 } ^ { d } = \langle x ^ { 3 } \rangle _ { + } = - \langle x ^ { 3 } \rangle _ { - } = \frac { 6 v _ { 0 } ^ { 3 } + 3 g v _ { 0 } ( 3 + 2 \gamma ) } { 2 ( 1 + 2 \gamma ) ( 3 + 2 \gamma ) } } \\ & { } & { m _ { 4 } ^ { s } = \langle x ^ { 4 } \rangle _ { + } = \langle x ^ { 4 } \rangle _ { - } = \frac { 3 v _ { 0 } ^ { 4 } } { ( 1 + 2 \gamma ) ( 3 + 2 \gamma ) } + \frac { g v _ { 0 } ^ { 2 } ( 3 + 5 \gamma ) } { ( 1 + 2 \gamma ) ^ { 2 } } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \quad ; \quad m _ { 4 } ^ { d } = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { t } ^ { * } } } & { = 4 \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { m } } ( \mathbf { o } ^ { T } \lvert \mathbf { F } ( \mathbf { a } _ { q } ^ { * } \odot \mathbf { t } ) \rvert ^ { 4 } - y _ { q } ) \mathbf { a } _ { q } } \\ & { \odot \{ \mathbf { F } ^ { \dag } [ \mathbf { o } \odot \lvert \mathbf { F } ( \mathbf { a } _ { q } ^ { * } \odot t ) \rvert ^ { 2 } \odot ( \mathbf { F } ( \mathbf { a } _ { q } ^ { * } \odot \mathbf { t } ) ) ] \} . } \end{array}
\operatorname { S t e k } ( { \mathbb { D } } ( \mathbf L _ { S } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { N } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { D } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \mathbf L _ { D N } ) )
t _ { \mathrm { { f f } } } = { \frac { 1 } { ( G \rho ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \approx 2 { \mathrm { ~ M y r } } \cdot \left( { \frac { n } { 1 0 ^ { 3 } { \mathrm { ~ c m } } ^ { - 3 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } }
\begin{array} { r } { \rho _ { 1 } \approx i \chi \Delta z _ { m } = 8 \pi i \frac { \gamma _ { 1 } } { 1 - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { r _ { 2 } } { 1 - r _ { 2 } } \frac { \Delta z _ { m } } { \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \nu } = ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { 1 } , \ldots , \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { L } ) , \quad \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { \ell } = ( c _ { x } ^ { \ell } , c _ { y } ^ { \ell } , r _ { 0 } ^ { \ell } , r _ { 1 } ^ { \ell } , \ldots , r _ { Z - 1 } ^ { \ell } , \mu _ { \mathrm { i } } ^ { \ell } ) , \quad \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array}
M _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { m _ { e \mu } } } & { { m _ { e \tau } } } & { { m _ { e s } } } \\ { { m _ { e \mu } } } & { { 0 } } & { { m _ { \mu \tau } } } & { { m _ { \mu s } } } \\ { { m _ { e \tau } } } & { { m _ { \mu \tau } } } & { { 0 } } & { { m _ { \tau s } } } \\ { { m _ { e s } } } & { { m _ { \mu s } } } & { { m _ { \tau s } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \frac { d } { d t } } \iint _ { \Sigma ( t ) } \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) \cdot d \mathbf { A } = \iint _ { \Sigma ( t ) } \left( \mathbf { F } _ { t } ( \mathbf { r } , t ) + \left[ \nabla \cdot \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) \right] \mathbf { v } \right) \cdot d \mathbf { A } - \oint _ { \partial \Sigma ( t ) } \left[ \mathbf { v } \times \mathbf { F } ( \mathbf { r } , t ) \right] \cdot d \mathbf { s } ,
\begin{array} { r l r } & { \frac { k _ { B } T } { L _ { p } } \left[ \frac { 1 } { 4 ( 1 - ( y _ { i } / L _ { C } ) ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } + \frac { y _ { i } } { L _ { C } } \right] , } & { y _ { i } > 0 , } \\ & { \frac { k _ { \mathrm { m } } } { \gamma } [ \exp ( \gamma \cdot y _ { i } ) - 1 ] , } & { y _ { i } \le 0 . } \end{array}
\mathbf { P } = \sum _ { p } \int d ^ { 3 } r \, \, \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { A } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) } \, \nabla A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) = - \sum _ { p } \int d ^ { 3 } r \, \, \varepsilon \left( t \right) \dot { A } _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right) \, \nabla A _ { p } \left( \mathbf { r } , t \right)
c ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \delta _ { n } ( t ) + k _ { 1 } , } & { \textrm { i f } \ensuremath { d _ { m , m ^ { \prime } } ( t ) < d _ { \textrm { s a f e } } , m \neq m ^ { \prime } , m , m ^ { \prime } \in \mathcal { M } , } } \\ { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \delta _ { n } ( t ) , } & { \textrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { \dot { q } _ { a } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) } & { = \mathbf { q _ { d } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) \oplus K _ { r } \mathbf { E _ { p } } , } \\ { \mathbf { \ddot { q } _ { a } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) } & { = \mathbf { \dot { q } _ { d } } ( \mathbf { T _ { i } } ; \mathbf { K } ) \oplus K _ { r } \mathbf { E _ { v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { r } _ { k } ( \Delta t ) } & { { } \approx } & { \vec { r } _ { k } + \vec { b } _ { k l m } \, \Delta t - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) } \\ { \vec { u } _ { k } ( \Delta t ) } & { { } \approx } & { \vec { b } _ { k l m } - \left( \vec { b } _ { k l m } - \vec { u } _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \nabla . ( { \boldsymbol { u } } { \boldsymbol { u } } ) } & { { } = - { \nabla } { p } + \frac { 1 } { R e } { \nabla } ^ { 2 } { \boldsymbol { u } } + \boldsymbol { f } , } \\ { { \nabla } . { \boldsymbol { u } } - q } & { { } = 0 . } \end{array}
\{ \widetilde { \lambda } _ { I _ { B } } ^ { B } \} \cup \{ \widetilde { \lambda } _ { I I _ { B } } ^ { B } \} = \{ \widetilde { \lambda } \} , \ \{ \widetilde { \lambda } _ { I _ { B } } ^ { B } \} \cap \{ \widetilde { \lambda } _ { I I _ { B } } ^ { B } \} = \emptyset \ , \ \{ \widetilde { \lambda } _ { I _ { C } } ^ { C } \} \cup \{ \widetilde { \lambda } _ { I I _ { C } } ^ { C } \} = \{ \widetilde { \lambda } \} , \ \{ \widetilde { \lambda } _ { I _ { C } } ^ { C } \} \cap \{ \widetilde { \lambda } _ { I I _ { C } } ^ { C } \} = \emptyset
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { n u c l } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, \exp \left( - \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta < \delta } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, b _ { \delta } \, \alpha _ { \delta } \, \big | { \mathbf { R } _ { \eta } } - { \mathbf { R } _ { \delta } } \big | ^ { 2 } \right) \mathrm { . } } \end{array}
{ \cal L } _ { g e o d } = \left( { \frac { d U } { d \tau } } \right) ^ { 2 } + G _ { a b } { \frac { d \phi ^ { a } } { d \tau } } { \frac { d \phi ^ { b } } { d \tau } } + e ^ { 2 U } V ( \phi , ( p , q ) ) ,
\begin{array} { r } { { \left\| { { u _ { 0 } } } \right\| _ { { H ^ { 1 } } ( \Lambda _ { h } ) } } \le \sqrt { 1 + 2 { \tau ^ { 2 } } + { k ^ { 2 } } } \theta _ { 0 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } , \ { \left\| { { \frac { \partial { u _ { 0 } } } { \partial \nu } } } \right\| _ { { L ^ { 2 } } ( \Lambda _ { h } ) } } \le \sqrt { 2 { \tau ^ { 2 } } + { k ^ { 2 } } } \theta _ { 0 } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } , } \end{array}
\frac { \alpha _ { 3 } ( m _ { \mathrm { s t r i n g } } ) } { \alpha _ { Y } ( m _ { \mathrm { s t r i n g } } ) } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 2 } | x y | + | x ( p - y ) | + | x | + | p x - 1 |
n _ { \mu } = \frac { 1 } { p ! } \sqrt { - G } \epsilon _ { \mu \nu _ { 1 } . . . \nu _ { p } } \epsilon ^ { a _ { 1 } . . . a _ { p } } \partial _ { a _ { 1 } } X ^ { \nu _ { 1 } } . . . \partial _ { a _ { p } } X ^ { \nu _ { p } }
S _ { d u a l } = \int d ^ { 6 } x \left[ - { \frac 1 6 } G _ { { \mu } { \nu } { \sigma } } G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } + \frac { 1 } { 2 ( { \partial } _ { \lambda } a ) ( { \partial } ^ { \lambda } a ) } { \partial } ^ { \mu } a { \cal G } _ { { \mu } { \nu } { \sigma } } { \cal G } ^ { { \nu } { \sigma } { \rho } } { \partial } _ { \rho } a + A _ { { \nu } { \sigma } } { \partial } _ { { \mu } } G ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } \right] .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { \Vert \tilde { f } \Vert _ { L ^ { d / ( d - 2 ) } ( A ) } + \Vert \nabla \tilde { f } \Vert _ { L ^ { d / ( d - 1 ) } ( A ) } \le C | { \mathrm { D } } ^ { 2 } f | ( A ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d \ge 3 , } \\ & { \Vert \tilde { f } \Vert _ { L ^ { r } ( A ) } + \Vert \nabla \tilde { f } \Vert _ { L ^ { 2 } ( A ) } \le C | { \mathrm { D } } ^ { 2 } f | ( A ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d = 2 , } \\ & { \Vert \tilde { f } \Vert _ { L ^ { \infty } ( A ) } + \Vert \nabla \tilde { f } \Vert _ { L ^ { \infty } ( A ) } \le C | { \mathrm { D } } ^ { 2 } f | ( A ) \qquad } & & { \mathrm { i f ~ } d = 1 . } \end{array}
\psi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { A e ^ { \left| k _ { 1 } \right| x } } & { x < - \ell } \\ { B e ^ { - \left| k _ { 2 } \right| x } } & { x > \ell } \end{array} \right. \quad \quad \quad \quad \tilde { E } < 0
\frac { \partial h _ { t } } { \partial w _ { h } } = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \sum _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \Bigg ( \prod _ { j = i + 1 } ^ { t } \frac { \partial f ( x _ { j } , h _ { j - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { j - 1 } } \Bigg ) \frac { \partial f ( x _ { i } , h _ { i - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } .
\int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \left( f _ { \varepsilon , i } ^ { 2 } + 1 \right) | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon , i } | d V \le \left( \frac { 6 - c ^ { - 1 } } { c ^ { - 1 } } + 1 \right) ( R _ { 0 } + c ^ { - 1 } \Lambda _ { c } + 1 ) | \Omega | + | \Omega | \operatorname* { s u p } _ { \Omega } ( | f _ { \varepsilon , i } | ^ { 2 } + 1 ) \le C _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { \left\lVert ( \widetilde { V } ^ { * } S ( c ) \widetilde { V } ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } = \left\lVert ( A ^ { * } A ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 3 } } k _ { B } T \Bigl [ \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) - \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] } \\ & { + 2 \dot { \gamma } ^ { 2 } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 4 } } k _ { B } T \Bigl [ \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) + \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t \Bigr ) \cos \Bigl ( \Bigl ( ( \omega _ { i } + \frac { \dot { \gamma } } { 2 } - \frac { \dot { \gamma } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } } \Bigr ) t ^ { \prime } \Bigr ) \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } ( \omega _ { n } ) } & { = \frac { \Delta t } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { i \omega _ { n } t _ { j } } \bar { a } ( t _ { j } ) \, } \\ { \bar { a } ( t _ { j } ) } & { = \frac { \Delta \omega } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { - i \omega _ { n } t _ { j } } \tilde { a } ( \omega _ { n } ) \, . } \end{array}