harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } } & { = } & { F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \sum _ { k l , m n } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { m n } ) } \\ { F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } } & { = } & { F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } + \sum _ { k l } \left( \frac { \partial F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) + \sum _ { k l , m n } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { k l } ) ( - \frac { 1 } { 2 } \Delta D _ { m n } ) } \end{array}
\mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } : = \big ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } \big ) ^ { \circ } + \sum _ { \sigma } \frac { \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } ) } { 1 - \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 2 } ) } \big ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } _ { \sigma } ] M _ { 2 } \big ) ^ { \circ }
\mathcal { S } = \left\{ \begin{array} { l l } { \emptyset , } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } < \frac { \Theta } { 2 } , } \\ { \{ \vec { r } \, | \, \alpha \in [ \alpha _ { f } , \pi - \alpha _ { f } ] \} , } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } \in [ \frac { \Theta } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } ] , } \\ { \{ \vec { r } \, | \, \alpha \in [ \frac { \Theta } { 2 } , \pi - \frac { \Theta } { 2 } ] \} , } & { \frac { g \mu _ { \mathrm { B } } B } { 2 \omega } > \frac { \pi } { 2 } . } \end{array} \right.
\| ( t _ { 0 } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) \| ^ { 2 } = c \sum _ { 0 } ^ { 3 } \| t _ { i } ( + \infty ) \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \sum _ { 0 } ^ { 3 } \left( \| t _ { i } ( s ) \| ^ { 2 } - \| t _ { i } ( + \infty ) \| ^ { 2 } \right) d s .
L _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } ( x ) = L _ { 0 } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } } \textrm { e x p } \Big ( - \frac { ( x - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { I _ { \mathcal { C } } } = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } + \frac { 1 - x } { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 - x } { 2 } \right) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { 1 } { g _ { s } } } \left( \mu _ { 6 } V Z _ { 2 } - \mu _ { 2 } Z _ { 6 } \right) d x _ { \perp } ^ { 2 } = { \frac { \alpha ^ { - 3 / 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } g } } \Biggl ( \frac { V } { V _ { * } } - 1 - \frac { g _ { s } N \alpha ^ { 1 / 2 } } { r } \Biggr ) ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) \ .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { a } } } & { = H \mathbf { w } , } \\ { \hat { \mathbf { a } } } & { = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { a } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { a } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathbf { a } } _ { N _ { A } } } \end{array} \right] , H = \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { I + C _ { 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } } \\ { \bar { A } _ { 3 , 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { \bar { A } _ { 3 , 1 } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 4 , 0 } } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { \bar { A } _ { 3 , N _ { A } } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } G _ { 1 } } & { \bar { A } _ { 3 , N _ { A } } \big ( I - \bar { A } _ { 1 } \big ) ^ { - 1 } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 4 , N _ { A } - 1 } } \end{array} \right] , \mathbf { w } = \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { v e c } ( Q ) } \\ { \mathrm { v e c } ( R ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \nabla _ { x } f ( x _ { 1 } , y ) - \nabla _ { x } f ( x _ { 2 } , y ) \| \leq L _ { f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { x } f ( x , y _ { 1 } ) - \nabla _ { x } f ( x , y _ { 2 } ) \| \leq L _ { f } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| , } \\ { \| \nabla _ { y } f ( x _ { 1 } , y ) - \nabla _ { y } f ( x _ { 2 } , y ) \| \leq L _ { f } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , \ \| \nabla _ { y } f ( x , y _ { 1 } ) - \nabla _ { y } f ( x , y _ { 2 } ) \| \leq L _ { f } \| y _ { 1 } - y _ { 2 } \| ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi _ { \epsilon } ( p , x ) = \int _ { \mathbb R ^ { 2 } \times \mathbb R ^ { 2 } } \int _ { \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } } S _ { N } ^ { \epsilon } ( p , x | q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ^ { \prime } ) \phi ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ^ { \prime } ) \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 2 } \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 1 } \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \xi _ { p } ^ { \nu } / ( v _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } / ( J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } ) = \sum _ { s \in \nu } \Delta \xi _ { p } ^ { s } / ( v _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } / ( J _ { \xi } ) _ { p } ^ { s + 1 / 2 } ) . } \end{array}
\vert F ( z ) \vert < \varepsilon ( x ) e ^ { a _ { 1 } \vert y \vert } \quad \textrm { o r } \quad \vert F ( z ) \vert < M \vert z \vert ^ { - \alpha } e ^ { a _ { 2 } \vert y \vert } , \quad \vert z \vert \to \infty ,
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; x ) \equiv F ( a , b ; c ; x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( a ) _ { k } ( b ) _ { k } } { ( c ) _ { k } k ! } } \, x ^ { k } , \quad | x | < 1 , \; c \ne 0 , - 1 , - 2 , \ldots \; ,
\begin{array} { r } { \sum _ { \pm } \left\langle \phi _ { a } \left| p _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k } p _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle } \\ { = k ^ { 2 } \sum _ { \pm } \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle + 3 . } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( x , p ) = \frac { 2 } { \pi } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { i 2 p x ^ { \prime } } \langle x - x ^ { \prime } | \rho | x + x ^ { \prime } \rangle \, \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } . } \end{array}
\overline { { M _ { \lambda } F _ { \lambda } \theta _ { s , \lambda } ^ { 2 } } } = ( - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ \, \frac { \overline { { I _ { \Delta , \lambda } ^ { ( m ) } } } - \overline { { I _ { \Delta , \lambda } ^ { ( s + m ) } } } } { \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } } \, \right] , \quad T _ { \lambda } = 1
{ \frac { f } { { \bf k } ^ { \; 2 } } } = { \frac { ( A + B ) ( { \bf k } ^ { \; 2 } + { \frac { A } { A + B } } C ^ { 2 } ) } { { \bf k } ^ { \; 2 } ( { \bf k } ^ { \; 2 } + C ^ { 2 } ) } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } } & { = \{ \operatorname* { m a x } [ \hat { Q } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } , 0 ] + \hat { a } _ { g , t } \} ^ { 2 } } \\ & { \leq \hat { Q } _ { g , t } ^ { 2 } + \hat { a } _ { g , m a x } ^ { 2 } + \hat { x } _ { g , m a x } ^ { 2 } + 2 \hat { Q } _ { g , t } ( \hat { a } _ { g , t } - \hat { x } _ { g , t } ) . } \end{array}
\left| \iiint _ { { \mathcal D } _ { t _ { i } , 1 } } \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d w _ { x } - \iiint _ { { \mathcal D } _ { t _ { i } , 1 , \varepsilon } } \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d w _ { x } \right| < \eta
1 - \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right\} \right\}
\frac { 1 } { 2 } ( i \mathcal { D } \cdot V ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d ^ { 2 } } { d s ^ { 2 } } \right) _ { s = 0 } e ^ { i ( \mathcal { D } \cdot V ) s } .
K ( x , x ^ { \prime } , \beta , \beta ^ { \prime } ) = \delta ( \beta ^ { \prime } - x ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \int _ { 0 } ^ { \bar { y } } d z { \cal K } ( y , z ) \delta ( x - x ^ { \prime } z - \beta y ) .
\overline { { \mathrm { k e r ~ } \mathbf { \Omega } _ { L } ( \mathfrak { u } ) } } : = \{ \mathbf { P } \in \mathrm { k e r ~ } \mathbf { \Omega } _ { L } ( \mathfrak { u } ) \ \backslash \ [ \mathbf { G } , \mathbf { P } ] \in \left[ \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \right] ^ { v } \forall \mathbf { G } \in \mathcal { G } \} ,
\left( { \frac { p _ { \mu } u ^ { \mu } } { c } } \right) ^ { 2 } + p _ { \mu } p ^ { \mu } = { \frac { E _ { 1 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } - ( m c ) ^ { 2 } = \left( \gamma _ { 1 } ^ { 2 } - 1 \right) ( m c ) ^ { 2 } = \gamma _ { 1 } ^ { 2 } { \mathbf { v } _ { 1 } \cdot \mathbf { v } _ { 1 } } m ^ { 2 } = \mathbf { p } _ { 1 } \cdot \mathbf { p } _ { 1 } .
\langle \xi _ { N } , \eta _ { N } \rangle _ { N } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 g } \, ( \xi _ { N } , \eta _ { N } \, u _ { j } ^ { \dagger } ) \, u _ { j } , \qquad \xi _ { N } , \eta _ { N } \in { \bf C } ^ { N }
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ( m = 1 ) \approx \frac { 1 } { 2 } \frac { { \lambda - { \lambda _ { c ( 1 ) } } } } { \lambda } \ln \lambda \approx \frac { 1 } { 2 } { \left( { \frac { { \lambda - { \lambda _ { c ( 1 ) } } } } { \lambda } } \right) ^ { 2 } } \sim { \eta ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) = \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \frac { 2 } { 3 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q _ { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \varphi q _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } ^ { 2 } ( \cos \varphi ) ^ { 2 } ( \sin \varphi ) ^ { 2 } \phantom { x x x x x } } \\ { \times \Biggl [ \theta ( E ) ( 2 E ) ^ { 3 } \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 1 } , \! \sqrt { 2 E } \cos \varphi ) \phantom { x x x x x x x x x } } \\ { \times \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 2 } , \! \sqrt { 2 E } \sin \varphi ) \Biggl ] _ { E = E ( \omega , q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ) } , \phantom { x x x x } } \end{array}
\Delta { \cal S } _ { \kappa } [ \varphi ] = \frac 1 2 \int _ { \omega , { \bf q } } \ \; \varphi _ { i } ( \omega , { \bf q } \, ) \, { \cal R } _ { \kappa , i j } ( \omega , { \bf q } \, ) \, \varphi _ { j } ( - \omega , - { \bf q } \, ) \, ,
\nu = c _ { s } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { { { s _ { \nu } } } } - \frac { 1 } { 2 } ) \Delta t , ~ ~ { \nu _ { b } } = \frac { 2 } { 3 } c _ { s } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { { { s _ { b } } } } - \frac { 1 } { 2 } ) \Delta t .
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \phi } _ { \mathrm { i n } } } & { r \leq R , } \\ { \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } - \frac { B } { r } - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 2 } } } & { r > R . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \textrm { f o r t i m e : } \quad } & { \frac { \textrm { d } \varphi } { \textrm { d } t } + \beta ^ { 2 } \varphi = 0 , } \\ { \textrm { f o r s p a c e : } \quad } & { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \xi + \partial _ { r } ^ { 2 } \xi + \partial _ { z } ^ { 2 } \xi + \beta ^ { 2 } \xi = 0 , \quad \Rightarrow \quad \xi ( r , z ) = \rho ( r ) \zeta ( z ) , \quad \Rightarrow } \\ { \textrm { f o r r : } \quad } & { \frac { 1 } { r } \frac { \textrm { d } \rho } { \textrm { d } r } + \frac { \textrm { d } ^ { 2 } \rho } { \textrm { d } r ^ { 2 } } + \mu ^ { 2 } \rho = 0 , } \\ { \textrm { f o r z : } \quad } & { \frac { \textrm { d } ^ { 2 } \zeta } { \textrm { d } z ^ { 2 } } + \gamma ^ { 2 } \zeta = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { 3 } ( e _ { m _ { 0 } } ^ { ( j _ { 0 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } ) } \epsilon , \bar { e } _ { m _ { 2 } } ^ { ( \bar { j } _ { 2 } ) } \epsilon ) } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h _ { j _ { 0 } - \frac { i _ { 1 } } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } - \frac { i _ { 1 } } { 2 } } \lambda _ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } , i _ { 1 } } \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ; i _ { 1 } } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ; i _ { 2 } } \sqrt { ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 2 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 0 } + 2 \bar { j } _ { 1 } - 2 i _ { 1 } + 1 ) } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { j } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 0 } + \bar { j _ { 1 } } - i _ { 1 } } \\ { j _ { 0 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - i _ { 2 } } & { \bar { j } _ { 2 } } & { \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} C _ { m _ { 0 } , m _ { 1 } ; m _ { 0 } + m _ { 1 } } ^ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } ; j _ { 0 } + \bar { j } _ { 1 } - i _ { 1 } } C _ { m _ { 0 } + m _ { 1 } , m _ { 2 } ; m _ { 0 } + m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 0 } + \bar { j } _ { 1 } - i _ { 1 } , \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 0 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - i _ { 0 } } e _ { m _ { 0 } + m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { i _ { 2 } } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { i _ { 2 } } { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 } : = \big ( \frac { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \tilde { r } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { \star } } ) | ^ { - \frac { 1 } { 4 } } = \big ( \frac { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \tilde { r } ( \frac { 1 } { k _ { 4 } } ) | ^ { - \frac { 1 } { 4 } } , } \end{array}
r ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } { \delta } \overline { { { \cal { N } } } } ( r ) + 2 r \frac { d } { d r } { \delta } \overline { { { \cal { N } } } } ( r ) - 2 { \delta } \overline { { { \cal { N } } } } ( r ) = 2 g ^ { 2 } { \Delta } ( r ) r { \cal T } _ { C } ( r ) .
2 \mu { \frac { \sqrt { J _ { 1 } J _ { 2 } J _ { 3 } } } { N } } \big ( \bar { O } ^ { \prime J _ { 3 } } \Pi ^ { \prime J _ { 1 } } \bar { \Pi } ^ { \prime J _ { 2 } } \delta _ { J _ { 3 } + J _ { 1 } , J _ { 2 } } + O ^ { J _ { 3 } } \Pi ^ { \prime J _ { 1 } } \bar { \Pi } ^ { \prime J _ { 2 } } \delta _ { J _ { 3 } + J _ { 2 } , J _ { 1 } } \big ) .
t _ { b } = - \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } \partial u _ { 2 } } \pm \sqrt { \Delta } \quad \mathrm { w i t h } \quad \Delta = - 4 \left( \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial u _ { 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } < 0
\iint | f ( x ) g ( z - x ) | \, d z \, d x = \int \left( | f ( x ) | \int | g ( z - x ) | \, d z \right) \, d x = \int | f ( x ) | \, \| g \| _ { 1 } \, d x = \| f \| _ { 1 } \| g \| _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } ( z ) } & { { } = a ( I _ { u } ( z ) u ( z ) ) ^ { 2 } } \\ { \varepsilon ( z ) } & { { } = \frac { u _ { A B L } ^ { * 3 } } { \kappa ( z + z _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { f _ { 0 } } } & { { = } } & { { \tilde { f } _ { 0 } \; , } } \\ { { f _ { i } } } & { { = } } & { { \tilde { f } _ { i } \; \; \; ; i = 1 , \ldots , k - 1 \; , } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \omega ^ { x } } } & { { = } } & { { 2 \, f _ { t t } \, d f _ { t x } \wedge d f _ { t t } + \frac { 3 } { 2 } \, d f _ { x } \wedge d f _ { t x } , } } \\ { { \omega ^ { t } } } & { { = } } & { { 2 \, f _ { t x } \, d f _ { t t } \wedge d f _ { t x } - \frac { 1 } { 2 } \, d f _ { x } \wedge d f _ { x x } } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { P } ( \| n ^ { T } w _ { t } \| < \epsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ < ~ 0 ~ } ; } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ m ~ > ~ 1 ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } \left( \Omega \cap B _ { R _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \right) } } & { \leq \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } \left( \Omega \cap B _ { R _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \right) } + \| \psi \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } \left( \Omega \cap B _ { R _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \right) } } \\ & { \leq C \left( \| u \| _ { C ^ { \gamma } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| q \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \| \psi \| _ { C ^ { 1 } \left( \overline { \Omega } \right) } \right) } \\ & { \leq C \left( \| u \| _ { C ^ { \gamma } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| p \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \| \psi \| _ { C ^ { 1 } \left( \overline { \Omega } \right) } \right) } \\ & { \leq C \left( \| u \| _ { C ^ { \gamma } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| p \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \right) , } \end{array}
\mathcal { J _ { \mathrm { L T 1 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { * * * } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { * * * } \end{array} \right) , \quad \mathcal { J _ { \mathrm { L T 2 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { * * * } & { - 1 7 } & { 2 4 } \\ { - 1 6 } & { * * * } & { - 1 4 } \\ { 2 4 } & { - 1 4 } & { * * * } \end{array} \right) ,
{ \Lambda } _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { - G } G _ { i j } \left( { \Phi } ^ { ( p - 1 ) / 2 } G ^ { k l } h _ { k l } - ( p - 1 ) { \Phi } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \right) - \sqrt { - G } { \Phi } ^ { ( p - 1 ) / 2 } h _ { i j } ,
\begin{array} { r } { T _ { d } = \frac { \Gamma _ { L } \Gamma _ { R } } { ( \omega _ { k } - \omega _ { e } - \Delta _ { d } ) ^ { 2 } + \frac { ( \Gamma _ { L } + \Gamma _ { R } ) ^ { 2 } } { 4 } } , R _ { d } = 1 - T _ { d } , } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ } } = I _ { \mathrm { ~ w ~ } } + \frac { V _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ a ~ l ~ } } + V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ s ~ c ~ } } } \quad ( \mathrm { ~ m ~ A ~ } )
H _ { \mathrm { p } } : = H _ { \mathrm { p } , 1 } + H _ { \mathrm { p } , 0 } \in \mathcal { B } \left( \mathcal { F } \right) , \qquad H _ { \mathrm { r - p } } \in \mathcal { B } \left( \mathcal { F } \right) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad H _ { \mathrm { r } } \in \mathcal { B } \left( \mathcal { F } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \tilde { \eta } , \tilde { \xi } , \sigma ) = \hat { V } ( p _ { k - 2 } - p _ { k - 3 } ) \overline { { \hat { V } ( q _ { k - 2 } - q _ { k - 3 } ) } } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \beta + k } } ( p _ { k - 3 } , \tilde { p } _ { \beta - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \beta + k } } ( q _ { k - 3 } , \tilde { q } _ { \beta - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { m = - 2 } ^ { \beta - 1 } \Big \{ \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m + k } } ( \tilde { p } _ { m } , \tilde { p } _ { m - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m + k } } ( \tilde { q } _ { m } , \tilde { q } _ { m - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } \Big \} \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { k - 3 } } ( \tilde { p } _ { - 3 } , p _ { k - 4 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { k - 3 } } ( \tilde { q } _ { - 3 } , q _ { k - 4 } , \boldsymbol { \eta } ) } } } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { k - 3 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { m } , p _ { m - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( q _ { m } , q _ { m - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { k } _ { \perp } = \frac { 1 } { { \cal N } } ( - t _ { 2 } \textbf { b } _ { 1 } + t _ { 1 } \textbf { b } _ { 2 } ) \, , } \\ { \textbf { k } _ { \parallel } = \frac { 1 } { { \cal N } } ( m \textbf { b } _ { 1 } - n \textbf { b } _ { 2 } ) \, , } \end{array}
Q ( x ) = { \frac { x } { \zeta ( 2 ) } } + O \left( x ^ { 1 7 / 5 4 + \varepsilon } \right) = { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } } x + O \left( x ^ { 1 7 / 5 4 + \varepsilon } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \partial _ { 1 } c } & { = \partial _ { 1 } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } + t _ { 3 } ) } \\ & { = \partial _ { 1 } ( t _ { 1 } ) + \partial _ { 1 } ( t _ { 2 } ) + \partial _ { 1 } ( t _ { 3 } ) } \\ & { = \partial _ { 1 } ( [ v _ { 1 } , v _ { 2 } ] ) + \partial _ { 1 } ( [ v _ { 2 } , v _ { 3 } ] ) + \partial _ { 1 } ( [ v _ { 3 } , v _ { 4 } ] ) } \\ & { = ( [ v _ { 2 } ] - [ v _ { 1 } ] ) + ( [ v _ { 3 } ] - [ v _ { 2 } ] ) + ( [ v _ { 4 } ] - [ v _ { 3 } ] ) } \\ & { = [ v _ { 4 } ] - [ v _ { 1 } ] . } \end{array} }
\frac { 1 } { \mathcal { G } } = \frac { \int _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ } } \left| \vec { H } _ { \parallel } \right| ^ { 2 } d \sigma } { \omega \mu _ { 0 } \int _ { \mathrm { ~ v ~ o ~ l ~ } } \left| \vec { H } \right| ^ { 2 } d v } ,
\delta x ^ { \mu } = \varepsilon ^ { \mu } + \frac { i } { 2 } \left( \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \xi - \overline { { { \xi } } } \gamma ^ { \mu } \psi \right) \, , \quad \delta \psi = \xi \, , \quad \delta \overline { { { \psi } } } = \overline { { { \xi } } }
\begin{array} { r } { I _ { k , \ell } \approx 8 \sum _ { j = 1 } ^ { M } \omega _ { j } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } I _ { k _ { i } , \ell _ { i } , j } \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; I _ { a , b , j } = \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { a , b } ( t ) e ^ { - \alpha _ { j } t ^ { 2 } } d t , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( \mathbf { \boldsymbol { z } } ( t ) | \mathbf { \boldsymbol { z } } ( 0 ) ) = p ( \mathbf { \boldsymbol { x } } ( t ) | \mathbf { \boldsymbol { x } } ( 0 ) ) \delta ( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ( t ) - \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { \mathcal { C } } ( 0 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { \mathbf { m } } \mathcal { P } _ { \mu } ( \mathbf { u } , \mathbf { m } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n _ { s } } \nabla _ { \mathbf { m } } \| \mathbf { A } ( \mathbf { m } ) \mathbf { u } _ { s } ^ { e } - \mathbf { b } _ { s } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
V = { \frac { M _ { h } ^ { 2 } } { 2 } } h ^ { 2 } + { \frac { M _ { h } ^ { 2 } } { 2 v } } h ^ { 3 } + { \frac { M _ { h } ^ { 2 } } { 8 v ^ { 2 } } } h ^ { 4 } \quad .
i \hbar \frac { \partial \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , . . . , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } , t ) } { \partial t } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla _ { a } ^ { 2 } + U ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \right] \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } , . . . , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } , t )
\begin{array} { r l r } { \frac { t ^ { n + 1 } - 2 t ^ { n } + t ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } } & { { } = } & { E ( x ^ { n } ) ^ { \top } \, \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } } \\ { \frac { x ^ { n + 1 } - 2 x ^ { n } + x ^ { n - 1 } } { h ^ { 2 } } } & { { } = } & { E ( x ^ { n } ) \, \frac { t ^ { n + 1 } - t ^ { n - 1 } } { 2 h } - \widehat B ( x ^ { n } ) \, \frac { x ^ { n + 1 } - x ^ { n - 1 } } { 2 h } , } \end{array}