harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta m ^ { 2 } = \frac { g } { \beta L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } \mu ^ { 2 } } \frac { 1 } { s - 1 } R e s \biggl [ A _ { 4 } ^ { c ^ { 2 } } ( s , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } ) , s = 1 \biggr ]
P _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( X , M ) = \frac { 1 } { Z _ { N } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } \, \Delta _ { N } ^ { 2 } ( X ) \, \prod _ { i = 1 } ^ { N } w ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { i } , M )
D _ { k } \mathrel { \mathop : } = \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ h _ { k } \} , E _ { k } \mathrel { \mathop : } = \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ h _ { k } \} , F _ { u , k } \mathrel { \mathop : } = \sqrt { 2 } \textnormal { R e } \{ g _ { u , k } \} , G _ { u , k } \mathrel { \mathop : } = \sqrt { 2 } \textnormal { I m } \{ g _ { u , k } \} \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 )
{ \boldsymbol { \nabla \cdot } } \left( { \boldsymbol { \nabla \times B } } \right) = 0 = \mu _ { 0 } \left( \nabla \cdot { \boldsymbol { J } } _ { f } + { \frac { \partial } { \partial t } } { \boldsymbol { \nabla \cdot D } } \right) \ ,
\begin{array} { r l r } { { \cal R } _ { 1 } } & { { } = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 2 } } & { { } = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 3 } } & { { } = } & { 0 } \\ { { \cal R } _ { 4 } } & { { } = } & { ( 1 - c _ { 2 } ) ^ { 3 } \left( \frac { \kappa \Delta { t } } { \alpha } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, \Gamma _ { 3 } } \\ { { \cal R } _ { 5 } } & { { } = } & { ( 2 c _ { 1 } X + 1 ) { \cal R } _ { 4 } } \\ { { \cal R } _ { 6 } } & { { } = } & { ( 2 c _ { 1 } X ( 2 c _ { 1 } X + 2 ) + 2 ) { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { x , f } } & { = M _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } ^ { P } t } + M _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } ^ { P } t } + A _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 1 } ^ { H } t } + A _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 2 } ^ { H } t } , } \\ { \hat { u } _ { y , f } } & { = D _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } t } + D _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } t } , } \\ { \hat { u } _ { z , f } } & { = N _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 1 } ^ { P } t } + N _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 2 } ^ { P } t } + C _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 1 } ^ { H } t } + C _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 2 } ^ { H } t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i \frac { \partial } { \partial t } \left[ N ( t ) \, e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle \right] = N ( t ) \hat { H } e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \implies } & { } & { i \left[ e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle \frac { \partial } { \partial t } N ( t ) + N ( t ) \frac { \partial } { \partial t } \hat { T } ( t ) e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle \right] = N ( t ) \hat { H } e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \implies } & { } & { i \left[ \frac { \partial } { \partial t } N ( t ) + N ( t ) \frac { \partial } { \partial t } \hat { T } ( t ) \right] e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle = N ( t ) \hat { H } e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \implies } & { } & { i \left[ \frac { 1 } { N ( t ) } \frac { \partial } { \partial t } N ( t ) + \frac { \partial } { \partial t } \hat { T } ( t ) \right] | \Phi _ { 0 } \rangle = e ^ { - \hat { T } ( t ) } \hat { H } e ^ { \hat { T } ( t ) } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \implies } & { } & { i \left[ \frac { \partial \, l o g _ { e } N ( t ) } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial t } \hat { T } ( t ) \right] | \Phi _ { 0 } \rangle = \bar { H } ( t ) | \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\alpha _ { 1 } = \frac { V _ { 1 } \sqrt { N } \Omega ( V _ { 1 } \Delta - \omega _ { B } ) } { ( V _ { 1 } \Delta ) ^ { 2 } - \omega _ { B } ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } V _ { 2 } N \omega _ { B } } , \quad \alpha _ { - 1 } = \frac { V _ { 1 } \sqrt { N } \Omega ( V _ { 1 } \Delta + \omega _ { B } ) } { ( V _ { 1 } \Delta ) ^ { 2 } - \omega _ { B } ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } V _ { 2 } N \omega _ { B } }
y ^ { i } = 3 D ( x ^ { n } ) _ { - } \ldots ( x ^ { i + 2 } ) _ { - } ( x ^ { i + 1 } ) _ { - } x ^ { i } ( x ^ { i + 1 } ) _ { - } ^ { - 1 } ( x ^ { i + 2 } ) _ { - } ^ { - 1 } \ldots ( x ^ { n } ) _ { - } ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } = \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon + K + J ^ { H } } & { 2 ( t + V ) } & { 0 } \\ { 2 ( t + V ) } & { 2 \epsilon + J + U } & { \frac { 1 } { 2 } ( U _ { 1 } - U _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } ( U _ { 1 } - U _ { 2 } ) } & { 2 \epsilon + U - J ^ { H } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { D } _ { \mathbf { A } } } & { { } = e ^ { - \langle \Phi ^ { 2 } \rangle / 2 } \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } J _ { \mathbf { a } } } \\ { \Delta \bar { D } _ { \mathbf { A } } } & { { } = e ^ { - \langle \Phi ^ { 2 } \rangle / 2 } \sum _ { \mathbf { a } \parallel \mathbf { A } } n _ { \mathbf { a } } \sqrt { \left[ \cosh ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) - 1 \right] J _ { \mathbf { a } } ^ { 2 } + \sinh ( \langle \Phi ^ { 2 } \rangle ) ( 1 - K _ { \mathbf { a } } ) ^ { 2 } } } \end{array}
f _ { \scriptscriptstyle { L , L } } ( a ) = \frac { 1 } { 2 \pi \, a ^ { L } } \int _ { 0 } ^ { a } d r \, r ^ { L } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \, e ^ { i ( 1 - L ) \theta } \, e ^ { 2 \phi ( r , \theta ) } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } b _ { \scriptscriptstyle { m , L } } \, r ^ { m } \, e ^ { i m \theta } \, .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ P ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } ^ { 2 / 3 } N _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ P ~ 2 ~ M ~ , ~ L ~ 2 ~ P ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } N _ { \mathrm { t } } , \quad \mathrm { ~ M ~ 2 ~ M ~ , ~ M ~ 2 ~ L ~ , ~ L ~ 2 ~ L ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } ^ { 4 / 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } ^ { \nu } \in \mathcal { P } } \mathbb { E } ^ { \mathbb { P } ^ { \nu } } \left[ e ^ { m \eta _ { P } \xi } \right] + \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } ^ { \nu } \in \mathcal { P } } \mathbb { E } ^ { \mathbb { P } ^ { \nu } } \left[ e ^ { - m \eta _ { A } \xi } \right] < + \infty \; , \quad \mathrm { f o r ~ s o m e ~ } m > 1 \; . } \end{array}
\int e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { \varrho } } \frac { 1 } { \vec { q } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \pi } K _ { 0 } ( | \mu | \varrho ) ~ ~ ,
\hat { \mathrm { H } } = \frac { \pi } { \pi } { L } \vdots \sum _ { n \in \cal Z } \{ \stackrel { \times } { \times } ( \hat { \tilde { j } } _ { + } ^ { a } ( n ) \hat { \tilde { j } } _ { + } ^ { a } ( - n ) + \hat { \tilde { j } } _ { - } ^ { a } ( n ) \hat { \tilde { j } } _ { - } ^ { a } ( - n ) ) \stackrel { \times } { \times }
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { x } } _ { j } } & { { } = \tilde { v } _ { j } , } \\ { M \dot { \tilde { v } } _ { j } } & { { } = - \Gamma \tilde { v } _ { j } - \nabla U ( \tilde { x } ) + \tilde { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { i } ( \tau _ { m } ) } & { = \frac { 1 } { 2 ( N _ { T } - m ) } \, \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { T } - m } \, \left[ z ( { \mathbf s } _ { i } , t _ { \ell + m } ) - z ( { \mathbf s } _ { i } , t _ { \ell } ) \right] ^ { 2 } , \; i = 1 , \ldots , N _ { S } ; \; m = 1 , \ldots N _ { c ; T } \, , } \\ { { \hat { \gamma } _ { \mathrm { T } } } ( \tau _ { m } ) } & { = \frac { 1 } { N _ { S } } \, \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { S } } \hat { \gamma } _ { i } ( \tau _ { m } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { \mathrm { u p p e r } } ( x , t ) } & { { } = H + h _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { L } ( x - { v _ { \mathrm { w a l l } } } t ) \right) } \\ { Y _ { \mathrm { l o w e r } } ( x , t ) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { G } ^ { \mathrm { p r } } [ T ] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { c } { \int _ { K _ { 2 } ^ { 2 } } T ( s , w , s ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \psi ( w , w ^ { \prime } ) d w \, d w ^ { \prime } } \\ { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } T ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \left( \int _ { K _ { 2 } ^ { 2 } } T ( u , w , u ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \psi ( w , w ^ { \prime } ) d w \, d w ^ { \prime } \right) d u \, d u ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \mathbf { H } ^ { \mathrm { p r } } \left[ \left( \begin{array} { c } { F } \\ { G } \end{array} \right) \right] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = \frac { F ( s , s ^ { \prime } ) G ( t , t ^ { \prime } ) } { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } ( F ( u , u ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \phi } } { \frac { d V ^ { 1 } } { d \phi } } = { \frac { 3 \lambda } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k ^ { 2 } \, d k } { \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( T , \phi ) } \left( \exp { \frac { \sqrt { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( T , \phi ) } } { T } } - 1 \right) } } \ .
\begin{array} { r l } { C } & { = \underbrace { \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \frac { P _ { d } \Bigl | \bigl ( \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { \star } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \bigr ) \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { \star } \Bigr | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } _ { \mathrm { J o i n t - O p t i m i z e d \: U s e r } } } \\ & { + \underbrace { \sum _ { k = 1 , k \neq \hat { k } } ^ { K } \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \frac { P _ { d } \Bigl | \bigl ( \mathbf { g } _ { k } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { \star } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { k } ^ { T } \bigr ) \mathbf { w } _ { k } ^ { \star } \Bigr | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } _ { \mathrm { P a r t i a l - O p t i m i z e d \: U s e r s } } } \\ & { = \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \Bigl \| \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { \star } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \Bigr \| ^ { 2 } \frac { P _ { d } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } \\ & { + \sum _ { k = 1 , k \neq \hat { k } } ^ { K } \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \bigl \| \mathbf { g } _ { k } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } ^ { \star } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { k } ^ { T } \bigr \| ^ { 2 } \frac { P _ { d } } { \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \varphi } { d t ^ { 2 } } + 3 H \frac { d \varphi } { d t } + V _ { r e n } ^ { \prime } ( \varphi ) + { \frac { 4 \alpha ^ { 2 } } { m _ { \chi } ^ { 2 } } } \left[ 3 H \varphi ^ { 2 } \frac { d \varphi } { d t } + \varphi ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d t ^ { 2 } } + \varphi \left( \frac { d \varphi } { d t } \right) ^ { 2 } \right] = 0 . \nonumber
\begin{array} { r l } { \nu _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = \nu _ { 0 } + n } \\ { \nu _ { 0 } ^ { \prime } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \prime } } & { { } = \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u - \psi _ { t } \ast \widetilde { u } \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } } & { = \left\| \int _ { B _ { t } } [ \widetilde { u } ( \cdot ) - \widetilde { u } ( \cdot - y ) ] \, \psi _ { t } ( y ) \, d y \right\| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } } \\ & { \le \int _ { B _ { t } } \left( \int _ { B _ { r } } | \widetilde { u } ( x ) - \widetilde { u } ( x - y ) | ^ { 2 } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \psi _ { t } ( y ) \, d y } \\ & { = \int _ { B _ { t } } U ( - y ) \, \psi _ { t } ( y ) \, d y \le \frac { N + 1 } { \omega _ { N } \, t ^ { N } } \, \int _ { B _ { t } } U ( - y ) \, d y } \\ & { = \frac { N \, ( N + 1 ) } { t ^ { N } } \, \int _ { 0 } ^ { t } \overline { { U } } \, \varrho ^ { N - 1 } \, d \varrho \le \frac { N \, ( N + 1 ) } { t } \, \int _ { 0 } ^ { t } \overline { { U } } \, d \varrho . } \end{array}
\mathcal I _ { P } ^ { n + \frac 1 2 } = \mathcal I _ { P , \mathrm { W } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { E } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { S } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { N } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { B } } ^ { n + \frac 1 2 } + \mathcal I _ { P , \mathrm { T } } ^ { n + \frac 1 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { C _ { 2 _ { L } } } & { = D _ { \beta _ { L } } ( C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) = D _ { \beta _ { L } } \frac { D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } } { 1 - ( D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } ) } \mathrm { , } } \\ { C _ { 2 _ { R } } } & { = D _ { \beta _ { R } } ( C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) = D _ { \beta } \frac { D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } } { 1 - ( D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { R } } D _ { \beta _ { L } } ) } \mathrm { , } } \\ { C _ { 3 } } & { = D _ { \beta _ { L } } ( 1 + C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) D _ { \beta _ { R } } = \frac { D _ { \beta _ { L } } D _ { \beta _ { R } } } { 1 - ( D _ { \alpha } + D _ { \beta _ { L } } D _ { \beta _ { R } } ) } \mathrm { . } } \end{array}
E _ { 2 } ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { m } , I ) = { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { m } ! } } { \frac { \partial ^ { n } D ( I ; \lambda ) } { \partial \lambda ^ { n _ { 1 } } \cdots \partial \lambda ^ { n _ { m } } } } \Bigr \vert _ { \lambda _ { 1 } = \cdots = \lambda _ { m } = 1 }
\left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } - \mu _ { e x t } \right) \Psi _ { e x t } = 0 \quad , \quad \left( - \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { m } \partial _ { m } - \mu _ { i n t } + V _ { 0 } \right) \Psi _ { i n t } = 0
\begin{array} { r l r } { \chi _ { T } } & { = } & { \frac { \ell ^ { 2 } } { 6 } \sqrt { - \frac { g } { 2 c _ { p } } \frac { \partial \overline { { s } } } { \partial r } } , } \\ { \nu _ { T } } & { = } & { \mathrm { P r } _ { T } \chi _ { T } , } \\ { \eta _ { T } } & { = } & { \mathrm { P m _ { T } \ n u _ { T } } , } \\ { \eta _ { \mathcal { E } } } & { = } & { a _ { E } \chi _ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } } & { \left\{ - \left( \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } \tilde { u } _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } \right\} } \\ { = } & { - \left( u , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma u \partial _ { x } u , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \gamma \left( \partial _ { x } u \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } + \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } u ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( g _ { 0 } u , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } - \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| g ( x ) - \frac { 1 } { T } \sum _ { n = - N } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } \right| = \left| g ( x ) - \hat { g } ( 0 ) - \frac { 2 } { T } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \hat { g } ( n / T ) \cos ( 2 \pi x n / T ) \right| \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 3 } , ~ } & { { } ~ \forall x \in [ - \pi , \pi ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf u } _ { m } } & { { } = \mathrm { B N } \left[ \mathcal { W } _ { m } ^ { \mathrm { d } } ( { \bf v } _ { m } ) \right] , } \\ { { \bf v } _ { m + 1 } } & { { } = \mathrm { M a x P o o l } ( { \bf u } _ { m } ) , } \end{array}
E = { \frac { - 1 } { 2 } } g ^ { 4 } + { \frac { 3 } { 2 } } \kappa ^ { \prime } - { \frac { 3 } { 2 } } \kappa ^ { ' 2 } g ^ { - 4 } + { \frac { 2 7 } { 4 } } \kappa ^ { ' 3 } g ^ { - 8 } + . . . .
u _ { \theta , i } ^ { l a t } = a _ { l a t } \frac { r _ { i } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } + b _ { l a t } \frac { \overline { { \triangle } } _ { r } } { r _ { i } } + \frac { A _ { l a t } } { 8 } \frac { r _ { i } ^ { 3 } } { \overline { { \triangle } } _ { r } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { 0 = \{ F , C \} } & { = - \int _ { \Omega } \frac { \delta F } { \delta \omega } \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \Psi ( r ) + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \\ & { \quad + \frac { \delta F } { \delta D } \nabla \cdot \left( q \nabla \Psi ( r ) + \nabla \frac { \delta C } { \delta \eta } + r \nabla \frac { \delta C } { \delta b } \right) \, d \mu \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { E _ { x } } ^ { 2 } } & { { } = ( p _ { 1 } ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } + p _ { 2 } ^ { 2 } \beta _ { 0 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } ) \sigma _ { \theta } ^ { 2 } } \end{array}
\Delta m _ { e \mu } ^ { 2 } = m _ { \nu _ { \mu } } ^ { 2 } - m _ { \nu _ { e } } ^ { 2 } \simeq ( 4 - 6 ) e V ^ { 2 } , \qquad \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { e \mu } \simeq 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 2 } \ ,
{ w _ { i } } = { R _ { S } } ^ { 2 } \frac { { 4 \pi } } { { { n ^ { 2 } } } } \sin { \theta _ { i } } \sum _ { l = 0 } ^ { n / 2 - 1 } { \frac { { \sin ( ( 2 l + 1 ) { \theta _ { i } } ) } } { { 2 l + 1 } } } n ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } \vert } , \Omega } \big ( h _ { \mathcal { T } } ^ { - 1 } ( e _ { h } - I _ { h } ^ { \textit { a v } } e _ { h } ) \big ) } & { \lesssim \, \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } { \rho _ { ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla v _ { h } ( T ) \vert } , \omega _ { T } } ( \nabla _ { \! h } e _ { h } ) } } \\ & { \quad + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla v _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } + \vert \nabla _ { \! h } e _ { h } \vert ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } \, . } \end{array} } \end{array}
{ \cal L } _ { O ^ { \prime } } \supset \int { d ^ { 4 } \theta } \Big ( \frac { X X ^ { \dagger } } { M _ { * } ^ { 3 } } H _ { u } H _ { u } ^ { \dagger } + \frac { X X ^ { \dagger } } { M _ { * } ^ { 3 } } H _ { d } H _ { d } ^ { \dagger } \Big ) ,
h = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) , \ x = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \ y = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) - \imath ( Y ^ { k } ; Z ^ { k } | W ) \geq \gamma \Big \} } \\ { * } & { = \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) - \imath ( Y ^ { k } ; Z ^ { k } | W ) \geq \gamma , d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) > D \Big \} } \\ { * } & { \qquad + \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) - \imath ( Y ^ { k } ; Z ^ { k } | W ) \geq \gamma , ~ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \Big \} } \\ & { \leq \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n , k } ( D ) + \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } | D , P _ { X } ) - \imath ( Y ^ { k } ; Z ^ { k } | W ) \geq \gamma , ~ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) \leq D \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| e ^ { i t P _ { m } ^ { 1 / 2 } } \widetilde { \phi } ( P _ { 0 } ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { q } ( \mathcal { M } ) } \lesssim \| e ^ { i t P _ { m } ^ { 1 / 2 } } \widetilde { \phi } ( P _ { 0 } ) u _ { 0 } \| _ { H ^ { s } ( \mathcal { M } ) } = \| ( 1 - \Delta _ { g } ) ^ { s / 2 } \widetilde { \phi } ( P _ { 0 } ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \lesssim C \| \widetilde { \phi } ( P _ { 0 } ) u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } } \end{array}
\int d x _ { 5 } \int d ^ { 4 } \theta \bar { H } H + \bar { H ^ { c } } H ^ { c } + \int d ^ { 2 } \theta H ^ { c } ( \partial _ { 5 } - \frac { 1 } { 2 } \Sigma ( x _ { 5 } ) ) H + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho = 1 0 0 0 U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { v = 1 . 9 9 9 9 U _ { \tt r a n d } - 1 . 9 9 9 9 / 2 , } \\ { p = 1 0 U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { \gamma = 1 . 0 0 0 1 + 0 . 9 9 9 9 U _ { \tt r a n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\delta _ { n , j } ^ { ( 1 ) } ( k ) = - \frac { \pi } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r V ( r ) r \left( J _ { \frac { n } { 2 } + j - \frac { 3 } { 2 } } ( k r ) ^ { 2 } + J _ { \frac { n } { 2 } + j - \frac { 1 } { 2 } } ( k r ) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { = \bigg \langle \left( ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \\ { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) ( \widetilde { I } ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) \bigg \rangle } & { = \bigg \langle ( I ^ { U } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) ( I ^ { X } ) ^ { [ 1 ] } ( \Delta t ) \bigg \rangle ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \hat { X } ; \hat { Y } ) } & { = H ( \hat { Y } ) - H ( \hat { Y } | \hat { X } ) } \\ & { = - \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \mathbb { P } ( \hat { Y } = i ) \log ( \mathbb { P } ( \hat { Y } = i ) ) } \\ & { ~ ~ ~ + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \mathbb { P } ( \hat { X } = i ) \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \mathbb { P } ( \hat { Y } = j | \hat { X } = i ) \log ( \mathbb { P } ( \hat { Y } = j | \hat { X } = i ) ) } \\ & { = - \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \hat { \pi } _ { i } \log ( \hat { \pi } _ { i } ) ~ + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \hat { \pi } _ { i } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } p _ { i j } \log ( p _ { i j } ) , } \end{array}
\textsf { r m s e } = \sqrt { \frac { 1 } { | \widetilde { N } _ { s } | } \sum _ { s \in \widetilde { N } _ { s } } | | \mathbf { d } _ { s } - \mathbf { d } _ { s } ^ { \mathrm { ~ g ~ t ~ } } | | _ { 2 } ^ { 2 } }
\hat { H } _ { \mu \nu } ^ { ( D ) } ( p _ { c } ) = \frac { 4 } { 3 } \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } \alpha _ { e m } e _ { q } ^ { 2 } \, \mathrm { T r } \left[ \gamma \cdot p \gamma _ { \mu } \gamma \cdot ( x p + q ) \gamma ^ { \sigma } \gamma \cdot p _ { c } \gamma ^ { \rho } \gamma \cdot ( x p + q ) \gamma _ { \nu } \right] \, p _ { \rho } \, p _ { \sigma } \ ,
\begin{array} { r l } { | D ^ { r + 1 } \check { v } _ { h } | ( x ) = } & { | D ^ { r + 1 } ( ( \check { v } _ { h } \circ M _ { K } ) \circ M _ { K } ^ { - 1 } ) | ( x ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { l = 1 } ^ { r + 1 } | D ^ { l } ( \check { v } _ { h } \circ M _ { K } ) ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) | \sum _ { i \in I ( l , r + 1 ) } | D M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) | ^ { i _ { 1 } } | D ^ { 2 } M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) | ^ { i _ { 2 } } . . . | D ^ { r + 1 } M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) | ^ { i _ { r + 1 } } } \\ { \leq } & { C \sum _ { l = 1 } ^ { r + 1 } | D ^ { l } ( \check { v } _ { h } \circ M _ { K } ) | ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) } \\ { = } & { C \sum _ { l = 1 } ^ { r } | D ^ { l } ( \check { v } _ { h } \circ M _ { K } ) | ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { u + i - b } { ( u + i ) b } \right) = \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { u + i } \right) \approx \frac { 1 } { \pi } \ln \left( \frac { - 1 } { u + i } \right) = - \frac { 1 } { \pi } \ln ( - u - i ) , } \\ { \chi ^ { \prime } ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { \pi } \frac { 2 } { u + i - 0 } = \frac { 1 } { \pi } \frac { 2 ( u - i ) } { u ^ { 2 } + 1 } , } \end{array}
f _ { \alpha 0 } = n _ { \alpha 0 } \left( \frac { m _ { \alpha } } { 2 \pi T _ { \alpha 0 } } \right) ^ { 3 / 2 } e x p \left( - \frac { m _ { \alpha } v _ { | | } ^ { 2 } + 2 \mu B _ { 0 } } { 2 T _ { \alpha 0 } } \right)