harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V _ { e f f } = \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \Lambda _ { 1 } ^ { 3 } \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 6 } { 5 } } = \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \Lambda ^ { 7 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 6 } { 5 } } ,
\begin{array} { r l } { \langle X _ { \alpha } ^ { \delta } , \phi ^ { \delta } \rangle ( x , y _ { j } ) = \; } & { - ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) s _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ( 1 + s _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) a _ { 1 } ( 0 , 0 ) } \\ & { + ( x - x _ { i } ) t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) a _ { 1 } ( 0 , 0 ) - ( ( x - x _ { i } ) ^ { 3 } / 2 ) ( t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } \left( ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } \right) ( 0 , 0 ) } \\ { = \; } & { - ( x - x _ { i } ) ( t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } \left( 1 - ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) \right) a _ { 1 } ( 0 , 0 ) } \\ & { + ( x - x _ { i } ) ( t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } \left( 1 + ( ( x - x _ { i } ) / 2 ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) ( 0 , 0 ) \right) a _ { 1 } ( 0 , 0 ) } \\ & { - ( ( x - x _ { i } ) ^ { 3 } / 2 ) ( t _ { 1 } ^ { \delta } ( x , y _ { j } ) ) ^ { 2 } \left( ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } \right) ( 0 , 0 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \Xi } \left( A , a \right) = \operatorname* { m a x } _ { \tilde { q } ^ { + } , \tilde { q } ^ { - } \in { \mathbb R } _ { + } ^ { m } } \quad } & { c _ { 2 } ^ { \top } \left\{ A \left( \tilde { \xi } + \tilde { q } ^ { + } - \tilde { q } ^ { - } \right) + a \right\} } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { 1 _ { m } ^ { \top } \left( \tilde { q } ^ { + } + \tilde { q } ^ { - } \right) \leq \varepsilon } \\ & { \tilde { q } ^ { + } \leq \overline { { \xi } } - \tilde { \xi } } \\ & { \tilde { q } ^ { - } \leq \tilde { \xi } - \underline { { \xi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathcal F } _ { C R } ( \eta _ { i } ) } { 4 \pi R _ { i } ^ { 2 } } = } & { { } n _ { 0 } ~ k _ { B } T \Big [ - \alpha \eta _ { i } - \frac { \chi } { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } p + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) - M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { u } } & { = \rho \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } u \phantom { + \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } \phantom { M ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) u } + \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \\ { \mathcal { R } _ { v } } & { = \phantom { \rho } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } v } \\ { \mathcal { R } _ { s } } & { = \rho R \gamma \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } T \phantom { \gamma p \bigg ( \frac { M ^ { \- 2 } } { \rho | v | } \mu _ { 1 1 } \partial _ { x x } p + \mu _ { 1 2 } \partial _ { x x } u \bigg ) } - M ^ { 2 } u ( \gamma - 1 ) \big ( M ^ { \- 2 } \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } p + \rho | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } u \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \Psi ( \mathbf { z } _ { i } ^ { t _ { 1 } } ) , \Psi ( \mathbf { z } _ { j } ^ { t _ { 1 } } ) ) ( \tau ) } & { = 2 \cdot \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ^ { k + 1 } - 1 } \gamma \left( s _ { m } ^ { ( t _ { 1 } , i ) } , s _ { m } ^ { ( t _ { 1 } , j ) } \right) ( \tau ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { k + m + 2 } , } & { \mathrm { i f } \ \tau = 0 \ \mathrm { a n d } \ i = j , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
| j \rangle _ { \partial } \approx \left\lbrace 1 - \frac { i j C } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ( - 1 ) ^ { k } a _ { k } ^ { \dagger } a _ { - k } ^ { \dagger } \right\rbrace | 0 \rangle _ { \partial } .
c _ { \mathbf { m } } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = c _ { k \mathbf { m } } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \qquad k \in \mathbb { N } ^ { * }
\begin{array} { r l } { Y _ { 1 } = } & { P \, \left( \begin{array} { l l } { E _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, Q ^ { * } = P [ ( e _ { 1 } e _ { 1 } ^ { * } + e _ { 3 } e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes C _ { 1 } ] Q ^ { * } = p _ { 1 } C _ { 1 } q _ { 1 } ^ { * } + p _ { 3 } C _ { 1 } q _ { 3 } ^ { * } } \\ { Y _ { 2 } = } & { P \, \left( \begin{array} { l l } { E _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, Q ^ { * } = P [ ( e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { * } + e _ { 2 } e _ { 3 } ^ { * } ) \otimes C _ { 2 } ] Q ^ { * } = p _ { 1 } C _ { 2 } q _ { 2 } ^ { * } + p _ { 2 } C _ { 2 } q _ { 3 } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { s } ( t _ { e } ) = } & { \ - \alpha \frac { i _ { e } } { s _ { e } } \left[ \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , \eta , p ) - \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , 1 , p ) \right] } \\ { \hat { v } _ { i } ( t _ { e } ) = } & { \ - \alpha \hat { M } ( t _ { e } , { \tau _ { e c o n } } , 1 , p ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \left( \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { a } ^ { b _ { i } } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } , t ) \right| ^ { 2 } d x \, d t \right) ^ { 1 / 2 } \leq \displaystyle C \left( \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } + \| \rho _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } + \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } \right) . } \end{array}
\Phi _ { C } ( t , \eta , \tau _ { D } ) = \Big ( { \frac { \varphi ( \eta ) \alpha v } { ( 1 - \eta ) c } } \Big ) \Big \{ 1 - \Big ( { \frac { c ^ { 2 } } { \varepsilon v ^ { 2 } } } \Big ) \Big \} \Big ( { \frac { t } { \tau _ { D } } } \Big ) ^ { ( 1 - \eta ) } ,
\begin{array} { r l r } { j _ { x } } & { { } = } & { e c \frac { 2 \eta _ { y } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin [ 2 k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] , } \\ { j _ { y } } & { { } = } & { - e c \frac { 2 \eta _ { x } } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] \sin [ 2 k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] . } \end{array}
Y _ { a , \alpha } \left( \theta , \varphi \right) Y _ { b , \beta } \left( \theta , \varphi \right) = { \sqrt { \frac { \left( 2 a + 1 \right) \left( 2 b + 1 \right) } { 4 \pi } } } \sum _ { c , \gamma } \left( - 1 \right) ^ { \gamma } { \sqrt { 2 c + 1 } } \left( { \begin{array} { c c c } { a } & { b } & { c } \\ { \alpha } & { \beta } & { - \gamma } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c c c } { a } & { b } & { c } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right) Y _ { c , \gamma } \left( \theta , \varphi \right)
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \frac { \mathrm { e } ^ { \frac { \mathrm { { i } } } { 1 0 } t ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { ( 1 + \mathrm { { i } } ) x - \frac { t ^ { 3 } } { 3 } } } { 1 + \frac { \mathrm { e } ^ { 2 x - \frac { 2 t ^ { 3 } } { 3 } } } { 4 } } . } \end{array}
\frac { d \sigma ( h _ { A } + h _ { B } \rightarrow V + X ) } { d Q ^ { 2 } \, d y \, d Q _ { T } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } b \, e ^ { i \vec { Q } _ { T } \cdot \vec { b } } \, \tilde { W } ( b , Q , x _ { A } , x _ { B } ) + Y ( Q _ { T } , Q , x _ { A } , x _ { B } ) \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigcup _ { t = 1 } ^ { L \slash L _ { 0 } } ( ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 \slash 2 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] \cap \mathbb { N } ^ { * } ) } \\ & { } & { = \mathcal { J } _ { s , 1 } \cap \mathbb { N } ^ { * } , } \end{array}
P _ { \mu \rightarrow l } = | U _ { 2 a } e ^ { - i m _ { a } ^ { 2 } t / 2 E } U _ { l a } ^ { * } + t a n \psi e ^ { 2 i \phi } U _ { l b } e ^ { - i m _ { b } ^ { 2 } t / 2 E } U _ { l b } ^ { * } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } f } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } f d v \mu + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } f v d v \cdot ( v \mu ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } f \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } d v \left( \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } \mu \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \langle f , e _ { i } \rangle _ { v } ( e _ { i } \mu ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ 0 , t _ { 1 } \right] } \right) } & { = F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ 0 , s _ { l - 1 } \right] } \right) + F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ s _ { l - 1 } , s _ { l } \right] } \right) } \\ & { + F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ s _ { l } , s _ { k } \right] } \right) } \\ & { \geq \alpha \log \left( \frac { \delta \left( x _ { l - 1 } \right) } { \delta \left( x _ { 0 } \right) } \right) + C \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } + \alpha \log \left( \frac { \delta \left( x _ { k } \right) } { \delta \left( x _ { l } \right) } \right) } \\ & { \geq \alpha \log \left( \frac { \delta \left( x _ { k } \right) } { \delta \left( x _ { 0 } \right) } \right) + C \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } - \frac { \alpha } { \beta } \log 2 } \\ & { = \alpha \log \left( \frac { H } { \delta ( x ) } \right) + C \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } - C . } \end{array}
B _ { y } | _ { k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } = B _ { y } | _ { k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n - 1 } - S \left( E _ { x } ^ { * } | _ { k + 1 } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } - E _ { x } ^ { * } | _ { k } ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \right) - v \Delta t \frac { \partial B _ { y } } { \partial z } ,
\textup { R E R } = \frac { 1 } { 2 } \left( \textup { e r f } \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sigma } \right) - \textup { e r f } \left( \frac { - 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sigma } \right) \right) = \textup { e r f } \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } \sigma } \right)
F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) ~ = ~ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { f } } e _ { q _ { i } ^ { 2 } } \left( q _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x , Q ^ { 2 } ) ~ + ~ { \bar { q } } _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x , Q ^ { 2 } ) \right)
\mathbb { D } _ { c a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathbb { D } _ { c d a b } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \chi _ { c } \chi _ { d } \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } ~ .
- \frac { d f / d \bar { z } _ { 0 } } { \left( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 2 } } = - \left[ \frac { d } { d \bar { z } _ { 0 } } \left( \frac { f } { \left( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \right) - 2 \frac { f } { \left( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } \right] \, .
\frac { d \sigma _ { N ( L ) D P E } ^ { d i j e t } } { d E _ { T } ^ { 2 } d y _ { - } d y _ { + } } = \int d ^ { 2 } { \bf Q } _ { p } d ^ { 2 } { \bf Q } _ { \bar { p } } \frac { | \overline { { { { \cal M } } } } | ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { 2 ^ { 1 6 } \pi ^ { 7 } E _ { T } ^ { 4 } } ,
( 1 / h _ { S } ) ^ { 2 } = ( 1 / h _ { T 1 } ) ^ { 2 } + ( 1 / h _ { T 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 / h _ { T 3 } ) ^ { 2 } + ( 1 / h _ { T 4 } ) ^ { 2 } + ( 1 / h _ { T 5 } ) ^ { 2 } + ( 1 / h _ { T 6 } ) ^ { 2 } = 6 \times ( 1 / h _ { T } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \lambda } & { = } & { \frac { 3 } { 2 } \left( \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle - 1 \right) = \langle \textrm { P } _ { 2 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle - 1 , } \\ { \bar { \lambda } } & { = } & { \frac { 6 \langle p _ { 3 } ^ { 2 } \rangle - 5 \langle p _ { 3 } ^ { 4 } \rangle - 3 } { 8 } = \frac { \langle \textrm { P } _ { 2 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle - \langle \textrm { P } _ { 4 } \left( p _ { 3 } \right) \rangle } { 7 } - \frac { 1 } { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 2 } ^ { M } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } ( N - i ) \tau \right) \exp \left( - \mathrm { i } \delta ( N - i ) \left( T + \tau \right) \right) } \\ & { \times \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau \right) \right) . } \end{array}
S _ { D 2 } = \sum _ { 0 \le j \le l } \frac { \left( l + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - ( \gamma + a ) ( l + n ) + ( \gamma + b ) ( j + n ) } } { \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
{ \begin{array} { r l } { \Delta F ( A \rightarrow B ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \partial F ( \lambda ) } { \partial \lambda } } d \lambda } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { k _ { B } T } { Q } } { \frac { \partial Q } { \partial \lambda } } d \lambda } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { k _ { B } T } { Q } } \sum _ { s } { \frac { 1 } { k _ { B } T } } \exp [ - U _ { s } ( \lambda ) / k _ { B } T ] { \frac { \partial U _ { s } ( \lambda ) } { \partial \lambda } } d \lambda } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle { \frac { \partial U ( \lambda ) } { \partial \lambda } } \right\rangle _ { \lambda } d \lambda } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle U _ { B } ( \lambda ) - U _ { A } ( \lambda ) \right\rangle _ { \lambda } d \lambda } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \int d \phi \exp \left[ - \phi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } + \frac { 2 i k s z } { z - s } \right) \right. } & { { } } & { } \\ { \quad \left. + \phi \left( - \frac { p } { \sigma _ { \phi } ^ { 2 } } + \frac { 2 i k ( z + s ) x } { z - s } \right) \right] , } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r c l l } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } & { = } & { 1 } & { \quad \mathrm { f o r ~ a l l \ } 1 \leq i < n ; } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } } & { = } & { \sigma _ { j } \sigma _ { i } } & { \quad \mathrm { f o r ~ a l l \ } 1 \leq i , j < n \mathrm { \ w i t h \ ~ } | i - j | < 1 ; } \\ { \sigma _ { i } \zeta } & { = } & { \zeta \sigma _ { i + 1 } ; } & { \quad \mathrm { f o r ~ a l l \ } 1 \leq i < n - 1 . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { p q } \sum _ { \sigma } h _ { q } ^ { p } \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q \sigma } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \sum _ { \sigma \tau } g _ { s r } ^ { p q } \hat { a } _ { p \sigma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q \tau } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r \tau } \hat { a } _ { s \sigma } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \gamma | } \left\| \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma } \nabla F ( \mathbf { y } ) - \nabla F ( { \mathbf x } ) \right\| } & { \ge \| \nabla F ( { \mathbf x } ) \| - \frac { H } { | \gamma | } \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| } \\ & { \ge \| \nabla F ( { \mathbf x } ) \| - H \sqrt { \frac { 1 } { | \gamma | } \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } } } \\ & { \ge \| \nabla F ( { \mathbf x } ) \| - H \sqrt { \left( \frac { V } { H | \gamma | } \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { H ^ { 2 } } { 4 V ^ { 2 } } } } \\ & { \ge \| \nabla F ( { \mathbf x } ) \| - \frac { V } { | \gamma | } \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } - \frac { H ^ { 2 } } { 2 V } } \end{array}
g _ { 2 } ^ { \prime } ( r ) + \frac { 1 + \kappa } { r } g _ { 2 } ( r ) - \mu E ( r ) g _ { 2 } ( r ) = ( \epsilon - M ( r ) ) f _ { 2 } ( r ) + i \mu B ( r ) f _ { 1 } ( r ) - a _ { P } g _ { 1 } ( r ) = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( x _ { t + 1 } ) \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq f ( x _ { t } ) - \alpha _ { t } Q \left\langle \nabla f ( x _ { t } ) , \frac { 1 } { n Q } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\rangle } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } L } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } g _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ; \xi _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { = f ( x _ { t } ) - \frac { \alpha _ { t } Q } { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { \alpha _ { t } Q ( 1 - \alpha _ { t } Q L ) } { 2 } \left\Vert \frac { 1 } { n Q } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } Q } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) - \frac { 1 } { n Q } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } L } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \left[ g _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ; \xi _ { i , t } ^ { \ell } ) - \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right] \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { s } ( t ) = \int \frac { d \omega } { 2 \pi } e ^ { - i \omega t } \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 T } \left[ \hat { v } _ { 0 } ( \omega ^ { \prime } ) F ( \omega - \omega ^ { \prime } ) + \hat { v } _ { 0 } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) F ( \omega ^ { \prime } ) \right] } \\ & { + \int \frac { d \omega } { 2 \pi } e ^ { - i \omega t } \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 T } \left[ \hat { v } _ { 1 } ( \omega ^ { \prime } ) F ( \omega - \omega ^ { \prime } ) + \hat { v } _ { 1 } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) F ( \omega ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { \parallel } = } & { { } c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 4 } + c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 5 } ( \alpha - 1 ) ^ { c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 6 } } \, , } \\ { \beta _ { \perp } = } & { { } c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 4 } + c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 5 } ( \alpha - 1 ) ^ { c _ { \mathrm { ~ d ~ } , 6 } } \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { p } & { 0 } & & \\ { 0 } & { p } & & \\ & & { 1 } & { 0 } \\ & & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & & \\ { 0 } & { 1 } & & \\ { 0 } & { i \hat { N } N } & { 1 } & { 0 } \\ { i \hat { N } N } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \left( \begin{array} { l l l l } { p } & { - N } & { { \hat { \imath } } N / p } & { { \hat { \imath } } } \\ { \hat { N } } & { \hat { p } p } & { \hat { p } { \hat { \imath } } } & { - \hat { N } { \hat { \imath } } / p } \\ & & { \hat { p } p } & { - \hat { N } } \\ & & { N } & { p } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \tau _ { 0 } \frac { d f } { d t } } & { { } = } & { - \frac { \partial U ( f ) } { \partial f } , } \\ { U ( f ) } & { { } = } & { - \frac { f ^ { 2 } ( 1 - 2 f / 3 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { E } } & { { } \leq 4 \frac { T _ { H } } { T _ { C } } \eta _ { E } ( \eta _ { C } - \eta _ { E } ) } \\ { \rho _ { N } } & { { } \leq 8 \frac { T _ { H } } { T _ { C } } \eta _ { N } ( \eta _ { C } - \eta _ { N } ) , } \end{array}
\widehat { \pi } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta \gamma ^ { u } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } u \geq u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) \widehat { \pi } ( u - c ) + \vartheta \widehat { \pi } ( u + r ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } c < u < u _ { 0 } } \\ { ( 1 - \vartheta ) + \vartheta \widehat { \pi } ( u + r ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < u \leq c , } \end{array} \right.
\left| \Phi \right\rangle = \left\{ \phi _ { 0 } , \phi _ { 1 } ^ { ( \mu _ { 1 } ) } \left( p _ { 1 } \right) , \phi _ { 2 } ^ { ( \mu _ { 1 } ) ( \mu _ { 2 } ) } \left( p _ { 1 , } p _ { 2 } \right) , . . . , \phi _ { n } ^ { ( \mu _ { 1 } ) . . . ( \mu _ { n } ) } \left( p _ { 1 } , . . . , p _ { n } \right) , . . . \right\} \; \, ,
\begin{array} { r l } { \langle v \rangle _ { x , \Omega _ { T } } ^ { ( \beta ) } } & { = \operatorname* { s u p } \Big \{ \frac { | v ( x _ { 1 } , t ) - v ( x _ { 2 } , t ) | } { | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { \beta } } : \quad x _ { 2 } \neq x _ { 1 } , \quad x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \bar { \Omega } , \quad t \in [ 0 , T ] \Big \} , } \\ { \langle v \rangle _ { t , \Omega _ { T } } ^ { ( \beta ) } } & { = \operatorname* { s u p } \Big \{ \frac { | v ( x , t _ { 1 } ) - v ( x , t _ { 2 } ) | } { | t _ { 1 } - t _ { 2 } | ^ { \beta } } : \quad t _ { 2 } \neq t _ { 1 } , \quad x \in \bar { \Omega } , \quad t _ { 1 } , t _ { 2 } \in [ 0 , T ] \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { F } _ { { \mathrm { B , p } } } ^ { ( s ) } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \hat { z } \frac { 1 2 8 \pi ^ { 5 } R ^ { 6 } } { 3 c \lambda _ { 0 } ^ { 4 } } \left( \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } \right) ^ { 2 } n _ { m } ^ { 5 } I _ { p } ( \vec { r } ) } \\ { \vec { F } _ { { \mathrm { B , p } } } ^ { ( g ) } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \frac { 2 \pi n _ { m } R ^ { 3 } } { c } \left( \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } \right) \nabla I _ { p } ( \vec { r } ) } \end{array}
h = \int d ^ { 2 } x \; \left[ \frac { 1 } { 2 L } p _ { - } ^ { 3 \, \dagger } ( { x } _ { \bot } ) p _ { - } ^ { 3 } ( { x } _ { \bot } ) + \frac { L } { 2 \eta ^ { 2 } } ( \nabla _ { \bot } a _ { - } ^ { 3 } ( { x } _ { \bot } ) ) ^ { 2 } \right] .
- 1 = \big \lfloor \frac { y _ { i - 1 } - \varepsilon } { \varepsilon } \big \rfloor - \big \lfloor \frac { y _ { i - 1 } } { \varepsilon } \big \rfloor \le \big \lfloor \frac { y _ { i } } { \varepsilon } \big \rfloor - \big \lfloor \frac { y _ { i - 1 } } { \varepsilon } \big \rfloor \le \big \lfloor \frac { y _ { i - 1 } + \varepsilon } { \varepsilon } \big \rfloor - \big \lfloor \frac { y _ { i - 1 } } { \varepsilon } \big \rfloor = 1 ,
\left[ \begin{array} { c c } { k _ { \mathrm { N I M } } } & { - \gamma } \\ { \gamma } & { k _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { N I M } } } \\ { \psi _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] = k _ { \pm } \left[ \begin{array} { c c } { \psi _ { \mathrm { N I M } } } \\ { \psi _ { \mathrm { P I M } } } \end{array} \right] .
\mu ^ { m } = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \sum _ { j = 0 } ^ { i } \binom { m } { i } \binom { i } { j } \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { j } \tilde { \Sigma } _ { 2 } ^ { i - j } \tilde { \Sigma } _ { 3 } ^ { m - i } M _ { m } ( ( j + 1 ) ( i - j + 1 ) ( m - i + 1 ) )
\frac { a ^ { \prime } } { a } = \pm W \, , \qquad \phi ^ { x \prime } = \mp 3 g ^ { x y } \frac { \partial } { \partial \phi ^ { y } } W \, , \qquad q ^ { X \prime } = \mp 3 g ^ { X Y } \frac { \partial } { \partial q ^ { Y } } W \, ,
\begin{array} { r } { \tilde { \bf W } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) = \tilde { \bf Y } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) \{ \tilde { \bf D } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) \} ^ { - 1 } , } \end{array}
{ } \Gamma ( \tilde { \mu } , \mu ) = \substack { \mathrm { ~ \normalsize ~ e ~ x ~ t ~ r ~ } \, \tilde { \theta } , \theta } \left\lbrace \ln \int d \tilde { \phi } \, d \phi \, \exp \left[ S _ { \alpha } ( \tilde { \phi } , \phi ) - \sum _ { i } \left( \int d \tau \, \tilde { \mu } _ { i } ( \tau ) \tilde { \theta } _ { i } ( \tau ) + \int d \tau \, \mu _ { i } ( \tau ) \theta _ { i } ( \tau ) \right) \right] \right\rbrace