harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \Delta n _ { k } } { n _ { k } } } & { { } \approx } & { \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { l } \, { \cal R } _ { k l m } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \, , } & { n _ { k } \rightarrow n _ { l } } \\ { \left( 1 - \frac { n _ { l } } { n _ { k } } \right) \, n _ { l } \, { \cal R } _ { k l m } \, \sigma _ { R } ^ { k l } \, , } & { n _ { k } > n _ { l } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \frac { \vartheta ^ { 2 } } { \big ( \vartheta ^ { 2 } + 1 - \frac { 4 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \kappa _ { 0 } ^ { 2 } - \lambda _ { n } ) ^ { 2 } } \big ) \sqrt { \vartheta ^ { 2 } + 1 - p _ { n } ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \vartheta ^ { 2 } } } \, d \vartheta \leq \frac { 5 \pi \varepsilon + o ( 1 ) } { \lambda _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ( \lambda _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 m ( 1 - \lambda _ { i } ) \left[ 1 - ( 1 - \lambda _ { i } ) ^ { T } \right] } { T \lambda _ { i } } } & { ( \lambda _ { i } \neq 0 ) , } \\ { 0 } & { ( \lambda _ { i } = 0 ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \cal E } } } & { { = } } & { { \eta \left[ 2 \pi \sum _ { k = 1 } ^ { K } L _ { k } + \oint _ { \partial \Omega } d \vec { u } \cdot \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \vec { j } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \int _ { \Omega } d ^ { 2 } \vec { u } \left\{ \left[ \left( \frac { 1 } { u } \partial _ { u } g - \frac { 1 } { u } \partial _ { \phi } j \right) - \frac { 1 } { 2 } \eta \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \right] ^ { 2 } + \left[ \partial _ { u } f + \eta \frac { 1 } { u } f g \right] ^ { 2 } + \left[ \frac { 1 } { u } \partial _ { \phi } f - \eta f j \right] ^ { 2 } \right\} } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \frac { 1 } { 2 } \left( \kappa ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \right) \int _ { \Omega } d ^ { 2 } \vec { u } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) ^ { 2 } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \frac { \mathrm { d i s t } ( { \tilde { U } } , \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) ) } { \lvert t \rvert } \leq \frac { d ( \tilde { \mathcal { X } } _ { j } ( t , x ) , \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) ) } { \lvert t \rvert } } \\ & { \leq \frac { d ( \tilde { \mathcal { X } } _ { j } ( t , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t , x ) ) ) } { \lvert t \rvert } + \frac { d ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \tau _ { x } + \tau ( t , x ) ) ) } { \lvert t \rvert } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 4 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } k r _ { g } J _ { 4 } R _ { \oplus } ^ { 4 } \Big \{ \Big ( 8 ( \vec { s } \cdot \vec { m } ) ^ { 2 } \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { m } } ) ^ { 2 } + ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \big ) + \big ( ( { \vec { s } } \cdot { \vec { k } } ) ^ { 2 } - 1 \big ) ^ { 2 } \Big ) \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ( \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } - \frac { 1 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { q } \equiv \mathbb { E } _ { \phi \sim q _ { \theta } } \left[ \frac { e ^ { - S ( \phi ) } } { q _ { \theta } ( \phi ) } \right] \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { q _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \equiv \hat { Z } _ { q } \, , } & { { } } & { \phi _ { i } \sim q _ { \theta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \Big ( \big ( \frac { \mathbf { X } _ { A } } { 2 \alpha ^ { 2 } } { } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - \frac { \mathbf { X } _ { B } } { 2 \alpha ^ { 2 } } { } ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } \big ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \operatorname* { m i n } _ { \{ \zeta _ { g } \} , \{ \beta _ { g } \} , Y } } & { \quad } & & { Y } & & { } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { } & & { , } & { \quad } & { g = 1 , 2 , \ldots , G , } \\ & { } & & { \mathrm { ~ a n d ~ } , } & & { } \\ & { } & & { \zeta _ { g } > 0 , \ 0 < \beta _ { g } < 1 , } & { \quad } & { g = 1 , 2 , \ldots , G , } \\ & { } & & { Y > 0 } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } ( x _ { + } - x _ { - } ) ( t ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { + j } ( x _ { j } - x _ { + } ) - A _ { - j } ( x _ { j } - x _ { - } ) , } \end{array}
\mathbf { V } = \frac { 5 \beta f } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \hat { \mathbf { t } } + \frac { 2 } { 5 } \mu \hat { \mathbf { n } } \right) , \qquad \boldsymbol { \Omega } = \frac { \mu f } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } \alpha ( 1 - \alpha ) L } \, \hat { \mathbf { e } } _ { z } ,
\mathcal { P } _ { c } ( \gamma ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { m } } \sum _ { k = 0 } ^ { m _ { s } - 1 } \int _ { w _ { m i n } } ^ { \infty } \frac { ( - s ) ^ { k } } { k ! } { \Bigg [ \frac { \partial ^ { k } \mathcal { L } _ { I _ { t o t } } ( s | S _ { t h } , \phi _ { 0 } ^ { i } ) } { \partial { s ^ { k } } } \Bigg ] } _ { s } f _ { S } ( S _ { t h } ) p _ { \phi } \mathrm { d } S _ { t h } ,
{ \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } \! \theta } } \, \tan \theta = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } { \frac { \tan \delta } { \delta } } \times \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \left( { \frac { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } { 1 - \tan \theta \tan \delta } } \right) .
\begin{array} { r l } { \bigg [ \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } \log { ( n ) } + \bigg ( \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ Q ~ } } } { Y } + \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { 2 Y } \log ( 1 + Y ) \qquad \qquad \qquad } & { { } } \\ { - \, \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { Y } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } \bigg ) \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { { } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \frac { \Lambda _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { Y } \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } } & { { } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
Z - 1 = \frac { 1 } { \pi } { \cal P } \int _ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } ^ { \infty } d s ^ { \prime } \frac { \mathrm { R e } \Pi ( s ^ { \prime } ) } { ( s - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
f _ { m } ^ { ( 0 ) } = C m ^ { 2 } | m | ^ { 1 / 2 } \frac { 1 } { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 1 2 } } \left( \frac { g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } } { \phi } \right) ^ { 5 / 2 } K _ { 5 / 2 } ( | m | \phi / g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } ) e ^ { i m \phi ^ { 8 } / g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } }
\left( \hat { \Gamma } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } \right) ^ { \hat { \alpha } \hat { \beta } } \left( \hat { \Gamma } ^ { \hat { \rho } \hat { \sigma } } \right) _ { \hat { \alpha } \hat { \beta } } = 1 6 \delta _ { [ \hat { \mu } } ^ { [ \hat { \rho } } \delta _ { \hat { \nu } ] } ^ { \hat { \sigma } ] } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { i } } & { { } = \frac { 5 \beta } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \, \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) \cdot \mathbf { f } _ { i } + \frac { 5 } { 1 6 \pi \eta _ { \mathrm { s } } } \left[ \ln \frac { | \mathbf { r } _ { i j } + ( 1 - \alpha ) L \mathbf { t } _ { j } | } { | \mathbf { r } _ { i j } - \alpha L \mathbf { t } _ { j } | } \left( \mathbf { I } - \frac { 2 } { 5 } \mu \boldsymbol { \epsilon } \right) + \right. } \end{array}
\nu _ { 1 } = \mu _ { m a x , P H } \frac { S _ { I C } } { K _ { P H , I C } + S _ { I C } } \frac { S _ { N O _ { 3 } } } { K _ { P H , N O _ { 3 } } + S _ { N O _ { 3 } } } \frac { K _ { P H , N H _ { 3 } } } { K _ { P H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } } \frac { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n } } { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n } + S _ { O _ { 2 } } } \frac { K _ { M } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M } \frac { I } { I _ { o p t } } \ e ^ { ( 1 - ( \frac { I } { I _ { o p t } } ) } \ f _ { P H }
H _ { \mathrm { B O } } ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { P } } ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \frac { { \mathbf { P } } _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 M _ { \alpha } } + \epsilon _ { k } ( { \mathbf { X } } ) ,
R _ { 0 } ^ { \eta } ( \Delta ; \varepsilon ) : = \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 1 } ( \Delta ) + \eta } \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } G _ { \varepsilon } ( f _ { \Delta } ( z ) ) \, d z = \int _ { 0 } ^ { \eta } \sqrt { f _ { \Delta } ( z _ { 1 } ( \Delta ) + t ) } G _ { \varepsilon } ( f _ { \Delta } ( z _ { 1 } ( \Delta ) + t ) ) \, d t ,
\begin{array} { r l } { S _ { e } ( h ) } & { { } = \frac { 1 } { \left( 1 + | \alpha _ { 0 } h | ^ { \left( \frac { 1 } { 1 - m } \right) } \right) ^ { m } } } \\ { K ( h ) } & { { } = K _ { s } S _ { e } ^ { 1 / 2 } \left[ 1 - \left( 1 - S _ { e } ^ { 1 / m } \right) ^ { m } \right] ^ { 2 } } \end{array} ,
1 . 2 \pi ^ { 2 } \cdot 1 0 ^ { - 5 } { \frac { { \mathrm { A U } } ^ { 3 } } { { \mathrm { y } } ^ { 2 } } } = 3 . 9 8 6 \cdot 1 0 ^ { 1 4 } { \frac { { \mathrm { m } } ^ { 3 } } { { \mathrm { s } } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { : = \int { \left( \prod _ { \alpha } \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { e } ^ { ( \alpha ) } } { \mathrm { d } x _ { \alpha , k } } \right) } } \\ & { \qquad \qquad \quad \times \delta \left( \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { \alpha ! } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e } ^ { ( \alpha ) } } { \mu _ { \alpha , k } x _ { \alpha , k } ^ { \alpha } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { R S } } } & { \equiv \frac { d _ { \mathrm { F S } } } { d _ { \mathrm { F S } } + d _ { \mathrm { R S } } } \quad \mathrm { a n d } \quad { \mathbf { v } } ( { \mathbf { P } } _ { g } ) = f _ { \mathrm { R S } } { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { R S } ) + ( 1 - f _ { \mathrm { R S } } ) { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { F S } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { m \ell } ( r ) = } & { \: e ^ { - i m ( r _ { 0 } - 1 ) } ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m \mp \sqrt { - \alpha } } ( 1 + O ( ( r - 1 ) ) } \\ & { \: \times \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 1 \pm 2 \sqrt { \alpha _ { m \ell } } + 4 i m } ( 1 + O _ { \infty } ( r ^ { \prime } - 1 ) ) \frac { 1 } { \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha } - 3 i m } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - 3 i m } F _ { m \ell } ( 1 ) \, d r ^ { \prime } } \\ & { \: + w _ { \pm , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \pm , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { 1 } ^ { r ^ { \prime } } w _ { \pm , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } \int _ { 1 } ^ { x } \widetilde { X } F _ { m \ell } ( y ) d y \, d x \, d r ^ { \prime } } \\ { = } & { \: \frac { \frac { 1 } { 2 } + i m \pm \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } { \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - 3 i m } e ^ { - i m ( r _ { 0 } - 1 ) } F _ { m \ell } ( 1 ) ( 1 + O _ { \infty } ( r - 1 ) ) } \\ & { \: + w _ { \pm , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \pm , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { 1 } ^ { r ^ { \prime } } w _ { \pm , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } \int _ { 1 } ^ { x } \widetilde { X } F _ { m \ell } ( y ) d y \, d x \, d r ^ { \prime } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \vec { p } \rightarrow 0 } \frac { \left( C _ { 1 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) + C _ { 1 } ^ { * } \left( \left| \vec { p } \right| \right) + 2 \left| C _ { 1 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) \right| ^ { 2 } \right) \left| \vec { p } \right| ^ { 3 } \frac 1 { \left( 1 - \left( 1 - \kappa \left| \vec { p } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } } { 4 p _ { 0 } } = \frac C { 2 \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } }
{ \begin{array} { r l } { y ( n _ { 1 } + \delta , n _ { 2 } ) } & { = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 1 } ( k _ { 1 } ) { \Bigg [ } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 2 } ( k _ { 2 } ) x ( n _ { 1 } - [ k _ { 1 } - \delta ] , n _ { 2 } - k _ { 2 } ) { \Bigg ] } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 1 } ( k _ { 1 } + \delta ) { \Bigg [ } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 2 } ( k _ { 2 } ) x ( n _ { 1 } - k _ { 1 } , n _ { 2 } - k _ { 2 } ) { \Bigg ] } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \left( \mathcal { R } _ { \leftarrow } \right) ^ { \mathrm { T } } } & { = } & { \hat { \sigma } _ { z } \left( \mathcal { R } _ { \leftarrow } \right) \hat { \sigma } _ { z } \, , } \\ { \left( \mathcal { R } _ { \rightarrow } \right) ^ { \mathrm { T } } } & { = } & { \hat { \sigma } _ { z } \left( \mathcal { R } _ { \rightarrow } \right) \hat { \sigma } _ { z } \, . } \end{array}
G ^ { a } [ \hat { A } + \delta \hat { A } , A ] \ = \ G ^ { a } [ \hat { A } , A ^ { \prime } ] \, + \, f ^ { a b c } \hat { \theta } ^ { b } G ^ { c } [ \hat { A } , A ^ { \prime } ] \, = \, O ^ { T , a c } ( \hat { \theta } ) G ^ { c } [ \hat { A } , A ^ { \prime } ] \, .
S _ { , i j } ^ { G } = - { \cal G } _ { i j } ^ { - 1 } + \left\{ \begin{array} { c } { { k } } \\ { { i \ j } } \end{array} \right\} { \cal E } _ { k } + \frac { \delta \chi ^ { \alpha } } { \delta \Phi ^ { i } } c _ { \alpha \beta } \frac { \delta \chi ^ { \beta } } { \delta \Phi ^ { j } } .
{ \begin{array} { r l r l r l } { { \mathrm { S i d e ~ } } A } & { = 2 m _ { 1 } n _ { 1 } } & & { = 2 ( 4 x + 5 ) { \mathrm { ~ } } ( x + 2 ) } & & { = 8 x ^ { 2 } + 2 6 x + 2 0 } \\ { { \mathrm { S i d e ~ } } B } & { = m _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } & & { = ( 4 x + 5 ) ^ { 2 } - ( x + 2 ) ^ { 2 } } & & { = 1 5 x ^ { 2 } + 3 6 x + 2 1 } \\ { { \mathrm { S i d e ~ } } C } & { = m _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 1 } ^ { 2 } } & & { = ( 4 x + 5 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } } & & { = 1 7 x ^ { 2 } + 4 4 x + 2 9 } \end{array} }
Q _ { B } ( \Psi _ { 1 } * \Psi _ { 2 } ) = ( Q _ { B } \Psi _ { 1 } ) * \Psi _ { 2 } + ( - 1 ) ^ { g n ( \Psi _ { 1 } ) } \Psi _ { 1 } * ( Q _ { B } \Psi _ { 2 } )
\frac { d ( \frac { O v e r s h o o t } { \textit { O u t b r e a k S i z e } } ) } { d S _ { \infty } } = 0 = \frac { 1 } { S _ { \infty } ^ { * } ( \ln S _ { \infty } ^ { * } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( 1 - S _ { \infty } ^ { * } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Delta { \cal E } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 \hbar \Omega _ { 1 } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } & { \quad \mathrm { ~ p ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { 2 \hbar \Omega _ { 1 } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \left( \Omega _ { 2 } \tau \right) , } & { \quad \mathrm { ~ h ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
V _ { 1 / 2 } = - \frac { 2 N _ { V } } { 2 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \log \left[ p ^ { 2 } + \left( \frac { n + \omega } { R } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { Q } & { = } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) \in { \cal S } ^ { k + 1 } ( d ) , \mid s _ { k + 1 } \mid > 0 } \int _ { u \in { \cal R } ( { s } ( k + 1 ) ) } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } \phi _ { u } ^ { k } Q _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } ( d u ) } \\ & { } & { + \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) \in { \cal S } ^ { k + 1 } ( d ) , \mid s _ { k + 1 } \mid = 0 } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( m + 1 ) } Q _ { \bar { s } ( m ) } ^ { ( m ) } ( 0 ( s _ { m } ) ) , } \end{array}
\Pi _ { i } ^ { a } \left( { \bf x } \right) \left| \Omega \right\rangle = \overline { { \psi } } \left( { \bf y } \right) U ( { \bf y } , { \bf 0 } ) \psi \left( { \bf 0 } \right) \Pi _ { i } ^ { a } \left( { \bf x } \right) \left| 0 \right\rangle + g T ^ { a } \int _ { \bf 0 } ^ { \bf y } { d z _ { i } } \delta \left( { { \bf x } - { \bf z } } \right) \left| \Omega \right\rangle .
\begin{array} { r c l } { { v _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } = i \, \mathrm { s g n } ( k ) { \epsilon } _ { \nu \mu \rho } { \partial } ^ { \rho } c ^ { a } } } & { { , } } & { { v _ { \mu } c ^ { a } = 0 \, , } } \\ { { v _ { \mu } { \bar { c } ^ { a } } = A _ { \mu } ^ { a } } } & { { , } } & { { v _ { \mu } B ^ { a } = - D _ { \mu } c ^ { a } \, , } } \end{array}
I _ { e y } : \qquad \tau \rightarrow \tau , \qquad x ^ { i } \rightarrow - ( x ^ { i } - 2 y ^ { i } ) , \qquad e \rightarrow - e , \qquad \varepsilon _ { p } \rightarrow - \varepsilon _ { p } , \qquad \varepsilon \rightarrow \varepsilon ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \psi _ { s 0 } } { d \xi } } & { { } = - 2 \delta d _ { s } \psi _ { s 0 } + \frac { G _ { R } } { 2 f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 2 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] \psi _ { s 0 } , } \\ { \frac { d r _ { s } } { d \xi } } & { { } = 2 \delta d _ { s } r _ { s } - \frac { G _ { R } } { 2 f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] r _ { s } , } \\ { \frac { d d _ { s } } { d \xi } } & { { } = - 2 \delta d _ { s } ^ { 2 } - \frac { \gamma } { 4 } \left( \frac { \psi _ { s 0 } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \delta } + \frac { \delta } { 2 r _ { s } ^ { 4 } } } \\ { \frac { d \phi _ { s } } { d \xi } } & { { } = - \frac { \delta } { r _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 4 } \gamma \psi _ { s 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 \Gamma } { f _ { p } } \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \left[ 2 - \left( \frac { r _ { e } } { r _ { s } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \wp ( z ) } & { \wp ^ { \prime } ( z ) } & { 1 } \\ { \wp ( y ) } & { \wp ^ { \prime } ( y ) } & { 1 } \\ { \wp ( z + y ) } & { - \wp ^ { \prime } ( z + y ) } & { 1 } \end{array} \right] } = 0
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = - \xi - { \frac { \lambda } { 2 \alpha } } { \Big [ } \exp { \Big ( } { \frac { 1 - 2 \gamma \delta } { 2 \delta ^ { 2 } } } { \Big ) } \Phi { \Big ( } \Phi ^ { - 1 } ( \alpha ) - { \frac { 1 } { \delta } } { \Big ) } - \exp { \Big ( } { \frac { 1 + 2 \gamma \delta } { 2 \delta ^ { 2 } } } { \Big ) } \Phi { \Big ( } \Phi ^ { - 1 } ( \alpha ) + { \frac { 1 } { \delta } } { \Big ) } { \Big ] }
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { i n t } } \equiv V _ { L } ( R ) } & { { } = { \displaystyle \sum _ { L = 0 } ^ { \infty } } ( - 1 ) ^ { L } \frac { 4 \pi } { R ^ { 2 L + 1 } ( 2 L + 1 ) } r _ { 1 } ^ { L } r _ { 2 } ^ { L } } \end{array}
g _ { [ m , n ] } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { g _ { m , n } ( k ) } } & { { \mathrm { i f } \; m \leq n } } \\ { { g _ { n , m } ( k ) } } & { { \mathrm { i f } \; m > n } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { 2 r _ { \natural } \Delta _ { \natural } } & { = ( r _ { \natural } - M ) \Gamma _ { \natural } \, , } \\ { \Gamma - \Gamma _ { \natural } } & { = ( r - r _ { \natural } ) ^ { 2 } + 2 r _ { \natural } ( r - r _ { \natural } ) , } \\ { \Delta - \Delta _ { \natural } } & { = ( r - r _ { \natural } ) ^ { 2 } + 2 ( r _ { \natural } - M ) ( r - r _ { \natural } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm M } \frac { d V _ { i } } { d t } } & { { } = } & { - g _ { \mathrm K } n _ { i } ^ { 4 } ( V _ { i } - E _ { \mathrm K } ) - g _ { \mathrm { N a } } m _ { i } ^ { 3 } h _ { i } ( V _ { i } - E _ { \mathrm { N a } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { I } _ { s , d } N ^ { 2 } - C _ { s , d } ^ { \prime } N ^ { 1 + \frac { s } { d } } } & { \le \mathcal { E } _ { K _ { s } } ( N ) \le \mathcal { I } _ { s , d } N ^ { 2 } - C _ { s , d } N ^ { 1 + \frac { s } { d } } , \quad } & { s > 0 , } \\ { \mathcal { I } _ { s , d } N ^ { 2 } + C _ { s , d } ^ { \prime } N ^ { 1 + \frac { s } { d } } } & { \le \mathcal { E } _ { K _ { s } } ( N ) \le \mathcal { I } _ { s , d } N ^ { 2 } + C _ { s , d } N ^ { 1 + \frac { s } { d } } , \quad } & { s < 0 . } \end{array}
\bar { G } _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } \equiv - \frac 1 2 G _ { \mu \nu } ( \bar { \sigma } ^ { \mu } ) _ { \dot { \alpha } \gamma } ( \sigma ^ { \nu } ) _ { \dot { \beta } } ^ { \gamma } \equiv ( { E } ^ { a } + i \, { B } ^ { a } ) ( { \bar { \sigma } } ^ { a } ) _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = - N } ^ { N } \frac { ( 2 N ) ! } { 2 ^ { 2 N } \left( N - n \right) ! \left( N + n \right) ! } e ^ { 2 \pi i n t } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { 2 N } \frac { ( 2 N ) ! } { m ! \left( 2 N - m \right) ! } \left( \frac { e ^ { \pi i t } } { 2 } \right) ^ { m } \left( \frac { e ^ { - \pi i t } } { 2 } \right) ^ { 2 N - m } } \\ & { = \left( \frac { e ^ { \pi i t } + e ^ { - \pi i t } } { 2 } \right) ^ { 2 N } = \cos ^ { 2 N } ( \pi t ) . } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ S ~ M ~ } } , R _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ , ~ L ~ M ~ } } , \epsilon _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ , ~ S ~ M ~ } } , \epsilon _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ , ~ L ~ M ~ } }
\begin{array} { r l } & { { \theta } _ { j } ^ { d } + { \theta } _ { j } ^ { r } = c _ { j } ^ { - 1 } , \ { \theta } _ { j } ^ { d } \ge 0 , \ { \theta } _ { j } ^ { r } \ge 0 , \forall j \in \mathcal { G } } \\ & { d _ { l } ^ { d } + d _ { l } ^ { r } = d _ { l } , \forall l \in \mathcal { L } } \\ & { \lambda ^ { d } = \lambda ^ { r } = \frac { d } { \sum _ { j \in \mathcal { G } } c _ { j } ^ { - 1 } } } \end{array}
V ( t ) = \frac { 1 } { C _ { D } } \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { t } \frac { Q _ { i n } v _ { e } } { d } \theta \Big ( \frac { x } { v _ { e } } - t ^ { \prime } \Big ) d t ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { Q _ { i n } v _ { h } } { d } \theta \Big ( \frac { d - x } { v _ { h } } - t ^ { \prime } \Big ) d t ^ { \prime } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { \frac { D } { D t } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle = } & { - \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \times \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle \cdot \left( \left\langle \mathbf { W } \right\rangle + 2 \boldsymbol { \Omega } \right) - \left\langle w _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } - j _ { i } ^ { \prime } b _ { j } ^ { \prime } \right\rangle \partial _ { j } \left\langle B \right\rangle _ { i } - \partial _ { j } \left\langle U \right\rangle _ { m } \left\langle \epsilon _ { i j k } u _ { i } ^ { \prime } \partial _ { m } b _ { k } ^ { \prime } \right\rangle } \\ & { + \left\langle \left[ \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \mathbf { b } ^ { \prime } \right) \cdot \nabla \right] \mathbf { b } ^ { \prime } \cdot \mathbf { j } ^ { \prime } + \left[ \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \mathbf { b } ^ { \prime } \right) \cdot \nabla \right] \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { w } ^ { \prime } - u _ { i } ^ { \prime } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } u _ { m } ^ { \prime } \partial _ { m } b _ { k } ^ { \prime } \right\rangle } \\ & { - \nabla \cdot \left\langle \Pi ^ { \prime } \mathbf { j } ^ { \prime } \right\rangle - \left( \nu - \eta \right) \left\langle \mathbf { w } ^ { \prime } \cdot \nabla ^ { 2 } \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \phi + \delta \phi | } & { = \sqrt { ( \phi ^ { * } + \delta \phi ^ { * } ) ( \phi + \delta \phi ) } , } \\ & { = | \phi | \sqrt { 1 + \frac { 2 \mathrm { R e } [ \phi ^ { * } \delta \phi ] } { | \phi | ^ { 2 } } } , } \\ & { \approx | \phi | + \frac { 1 } { | \phi | } \mathrm { R e } [ \phi ^ { * } \delta \phi ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 0 } } & { { } = \frac { \sum _ { t } C ( t ) } { p _ { c } } } \\ { X _ { c } } & { { } = N _ { 0 } \cdot \frac { \sum _ { t } R _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ } , c } ^ { T _ { c } / 4 } ( t ) } { N } } \\ { \epsilon _ { c } } & { { } = \vec { 0 } } \end{array}