harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { n _ { I } } { r } \frac { \partial ( r u _ { r } ) } { \partial r } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \delta j _ { I r } ) } { \partial r } = - \frac { 1 2 \ln 2 } { \pi ^ { 2 } } \frac { n _ { I } \mu _ { I } ( r ) } { T \tau _ { R } } ,
\begin{array} { r l } { \! \dot { \phi } _ { A } = } & { { } \nabla [ ( \alpha \! + \! \phi _ { A } ^ { 2 } \! - \! \gamma \nabla ^ { 2 } ) \nabla \phi _ { A } + ( \kappa \! - \! \delta ) \nabla \phi _ { B } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { A } ] } \\ { \! \dot { \phi } _ { B } = } & { { } \nabla [ \beta \nabla \phi _ { B } + ( \kappa + \delta ) \nabla \phi _ { A } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { B } ] \, , } \end{array}
\mathbb { S } _ { M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } } ^ { \sigma _ { I _ { 1 } } ( \alpha ^ { 1 } ) } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { M ^ { 2 } , A ^ { 2 } , N ^ { 2 } } ^ { \sigma _ { I _ { 2 } } ( \alpha ^ { 2 } ) } \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } } ^ { \sigma _ { I _ { n } } ( \alpha ^ { n } ) } ,
\Re \: \Pi _ { \rho } ( q ^ { 2 } ) = c _ { 0 } + c _ { 1 } \; q ^ { 2 } - \frac { g ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \left[ q ^ { 2 } \; ( { \cal G } ( q ^ { 2 } , m _ { \pi } ^ { 2 } ) + \frac { 4 } { 3 } ) - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } \right] \, .
\begin{array} { r l } & { | \sigma ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 1 } ) - \sigma ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 2 } ) | + | \mu ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 1 } ) - \mu ^ { \mathrm { X } } ( q _ { 2 } ) | \leq L ^ { \mathrm { X } } | q _ { 1 } - q _ { 2 } | \, , } \\ & { | \sigma ^ { \mathrm { Y } } ( q _ { 1 } ) - \sigma ^ { \mathrm { Y } } ( q _ { 2 } ) | + | \mu ^ { \mathrm { Y } } ( q _ { 1 } ) - \mu ^ { \mathrm { Y } } ( q _ { 2 } ) | \leq L ^ { \mathrm { Y } } | q _ { 1 } - q _ { 2 } | \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ^ { \bullet } \left( y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { { } = \widetilde { p } ^ { \bullet } \left( y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \\ { v ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { { } = \widetilde { v } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \\ { \tau ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } ; t ^ { \bullet } \right) } & { { } = \widetilde { \tau } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } ; y ^ { \bullet } \right) e ^ { - \mathrm { i } t ^ { \bullet } } } \end{array}
I ( \omega ) n ( \omega ) \propto Q ( \omega ) \cdot \mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, e ^ { i \omega t } \sum _ { i = x , y , z } \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { i } ( t ) \cdot { \boldsymbol { \mu } _ { i } } ( 0 ) \right\rangle .
\int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb E [ \mathbf { 1 } _ { \mathcal { G } ( k , t ) } | F _ { k } ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { \log x } + i t ) | ^ { 2 } ] d t = \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathbb E [ \mathbf { 1 } _ { \mathcal { H } ( k , t ) } | F _ { k } ^ { ( R ) } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { \log x } ) | ^ { 2 } ] d t ,
\left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha _ { 3 } + \beta _ { 3 } = G _ { 1 } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \phi ; B , K ) } } \\ { { \alpha _ { 3 } + \beta _ { 3 } = G _ { 2 } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \phi ; B , K ) } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } } & { = A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } \mathcal { L } _ { \gamma + m , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } + \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } ( \alpha - 2 ( \gamma + j ) ) A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } } \\ & { = A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } \left( \mathcal { L } _ { \gamma + m + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } + ( \alpha - 2 ( \gamma + m ) ) \right) + \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } ( \alpha - 2 ( \gamma + j ) ) A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } } \\ & { = A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } \mathcal { L } _ { \gamma + m + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } + \sum _ { j = 0 } ^ { m } ( \alpha - 2 ( \gamma + j ) ) A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } } \\ & { = A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } \mathcal { L } _ { \gamma + m + 1 , \eta } ^ { \alpha , \beta , - } + ( m + 1 ) ( \alpha - 2 \gamma - m ) A _ { \gamma , \eta } ^ { * , m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in x _ { 1 } + a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 3 } x _ { 3 } + a _ { 1 } ^ { - 1 } a _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in x _ { 1 } + b _ { 1 } ^ { - 1 } b _ { 2 } x _ { 2 } + b _ { 1 } ^ { - 1 } b _ { 3 } x _ { 3 } + b _ { 1 } ^ { - 1 } b _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in x _ { 1 } + c _ { 1 } ^ { - 1 } c _ { 2 } x _ { 2 } + c _ { 1 } ^ { - 1 } c _ { 3 } x _ { 3 } + c _ { 1 } ^ { - 1 } c _ { 4 } x _ { 4 } } \end{array}
P _ { \sigma } ^ { b b + 1 } ( a ) = \frac { S ( a ) \chi _ { \mu _ { a } / 2 } ( q ) \chi _ { a , s } ^ { ( L + 2 ) } ( q ) } { \sum _ { a = 1 } ^ { L } S ( a ) \chi _ { \mu _ { a } / 2 } ( q ) \chi _ { a , s } ^ { ( L + 2 ) } ( q ) }
G _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ( r ) = G _ { \mathrm { p o p } } ( r ) \otimes \mathrm { P S F } _ { 5 1 5 } ( r ) = \frac { N _ { \mathrm { p o p } } \sigma _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } + \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } } \: \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } / 2 ( \sigma _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } + \sigma _ { 5 1 5 } ^ { 2 } ) } = \frac { N _ { \mathrm { p o p } } \sigma _ { \mathrm { p o p } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ^ { 2 } } \: \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } / 2 \sigma _ { \mathrm { m e a s , 5 1 5 } } ^ { 2 } }
z ^ { \prime } = f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) = a _ { 0 } + a _ { 1 } x ^ { \prime } + a _ { 2 } y ^ { \prime } + a _ { 3 } x ^ { 2 } + a _ { 4 } x ^ { \prime } y ^ { \prime } + a _ { 5 } y ^ { 2 } ,
{ \cal M } _ { \tilde { q } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { M _ { \widetilde { Q } } ^ { 2 } + m _ { q } ^ { 2 } + \left( T _ { 3 q } - e _ { q } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \right) \cos 2 \beta m _ { Z } ^ { 2 } } } & { { m _ { q } \left( A _ { q } ^ { * } - \mu R _ { q } \right) } } \\ { { m _ { q } \left( A _ { q } - \mu ^ { * } R _ { q } \right) } } & { { M _ { \widetilde { R } } ^ { 2 } + m _ { q } ^ { 2 } + e _ { q } \sin ^ { 2 } \theta _ { W } m _ { Z } ^ { 2 } \cos 2 \beta } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial \Phi _ { B u c k } ^ { s e l f } } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } = \frac { \partial \Phi _ { B u c k } ^ { s e l f } } { \partial V } \frac { \partial V } { \partial \epsilon _ { \lambda \mu } } = \bigg ( - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { N } C _ { i j } \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 3 } \cdot \frac { 3 V \alpha ^ { \prime } \alpha ^ { 2 } - \alpha ^ { 3 } } { V ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { N } C _ { i i } \alpha ^ { 5 } \alpha ^ { \prime } \bigg ) V \delta _ { \lambda \mu }
X _ { \mathrm { ( c h a r g e \; n e u t r a l ) } } ^ { \mu } = 2 \left\{ 1 - \cos k \times \left( i \, D + e \left[ \frac { 1 } { k \cdot D } \, F , \; \; \; \; \right] _ { M B } \right) \right\} \, F ^ { \mu }
\left( \Lambda _ { f } \ast \Lambda _ { g } \right) ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( \alpha - 1 ) f ( p ) g ( p ) } { h _ { f } ( p ) h _ { g } ( p ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } n = p ^ { \alpha } { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ p r i m e ~ } } p { \mathrm { ~ a n d ~ i n t e g e r ~ } } \alpha \geq 1 , } \\ { \frac { f ( p ) g ( q ) } { h _ { f } ( p ) h _ { g } ( q ) } + \frac { f ( q ) g ( p ) } { h _ { f } ( q ) h _ { g } ( p ) } } & { { \mathrm { i f ~ } } n = p ^ { \alpha } q ^ { \beta } { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ p r i m e ~ } } p , q { \mathrm { ~ a n d ~ i n t e g e r ~ } } \alpha , \beta \geq 1 } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\int _ { | c | = 1 } { \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } } \, \Theta _ { a } \Phi _ { n } = \sum _ { b } | \langle b ( q ) | n \rangle | ^ { 2 } \int _ { | c | = 1 } { \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } } \, \Theta _ { a } \Phi _ { b } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r | \hat { l } _ { + } \psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) | ^ { 2 } } \\ & { } & { = 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } ( n + m + 1 ) \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \left( 1 + \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) } \\ & { } & { \cdot \frac { 1 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m + 1 ) ! } a ^ { m + 1 } \mathrm { e } ^ { - a } L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) L _ { n } ^ { m + 1 } ( a ) \right. } \\ & { } & { \left. \ \ + \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m + 1 ) ! } a ^ { m + 1 } \mathrm { e } ^ { - a } L _ { n - 1 } ^ { m + 1 } ( a ) L _ { n - 1 } ^ { m + 1 } ( a ) \right) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ^ { L } ( k ) } & { = \mathcal { A } M _ { 3 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { A } M _ { 1 } ^ { L } ( \omega k ) v _ { 2 } ^ { L } ( \omega k ) v _ { 3 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } } \\ & { = \mathcal { A } M _ { 1 } ^ { L } ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } v _ { 6 } ^ { L } ( k ) v _ { 1 } ^ { L } ( k ) , } \\ { M _ { 1 } ^ { L } ( k ) } & { = \mathcal { B } \overline { { M _ { 1 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) } } \overline { { v _ { 1 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) ^ { - 1 } } } \mathcal { B } = \mathcal { B } \overline { { M _ { 1 } ^ { L } ( \overline { { k } } ) } } \mathcal { B } v _ { 1 } ^ { L } ( k ) . } \end{array}
\prod _ { k = 1 } ^ { n _ { c } - \tilde { n _ { c } } } ( x - \Lambda ^ { 2 } \omega ^ { 2 k - 1 } ) = x ^ { n _ { c } - \tilde { n } _ { c } } + \Lambda ^ { 2 ( n _ { c } - \tilde { n } _ { c } ) } \simeq \Lambda ^ { 2 ( n _ { c } - \tilde { n } _ { c } ) } ,
Q = \frac { 2 \pi } { L _ { p } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } W _ { k } W _ { l } \oint _ { \gamma _ { k } } \oint _ { \gamma _ { l } } \partial _ { i } A _ { j } d x ^ { i } d y ^ { j } ,
h ( x ) = h _ { \mathrm { m a x } } \biggl [ F \biggl ( \frac { x - x _ { s } ^ { h } } { \delta _ { s } ^ { h } } \biggl ) - F \biggl ( \frac { x - x _ { e } ^ { h } } { \delta _ { e } ^ { h } } + 1 \biggl ) \biggl ]
{ L } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ } } ( \phi ) = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { s _ { k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } s _ { l } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } \big ( 1 - h _ { k } ( T , \phi ) \big ) \quad .
\begin{array} { r l } { Z _ { \Dot { F } } ^ { g _ { V } } ( t ) } & { = \frac { \partial \Dot { F } } { \partial g _ { V } } ( t ) = \frac { \partial } { \partial g _ { V } } \frac { \partial F } { \partial t } ( t ) = \frac { \partial } { \partial t } \frac { \partial F } { \partial g _ { V } } ( t ) = \frac { \partial } { \partial t } Z _ { F } ^ { g _ { V } } ( t ) . } \end{array}
q = \frac { \displaystyle { n \left( H \chi \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \left( ( n + 1 ) H \chi + ( n + 2 ) Y \right) } } { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( \chi + Y / H ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \mathbf { q } ^ { k + 1 } = \mathbf { q } = q \frac { \mathbf { m } } { m } .
\eta _ { k } ^ { 1 } ( x ) = \frac { i } { \omega _ { 1 } } \left( \frac { d } { d x } - m \operatorname { t a n h } m x \right) e ^ { i k x } = - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } ( k + i m \operatorname { t a n h } m x ) e ^ { i k x }
\Omega _ { M } ^ { v \flat } \mathbf { K } ^ { q } = 0 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Omega _ { M } ^ { q \flat } \mathbf { K } ^ { v } = \mathbf { - } \Omega _ { F } ^ { \flat } \mathbf { K } ^ { q } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to 1 / 2 ^ { + } } \frac { N ( T , \infty ) } { \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) \log \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) } < \infty , } \\ & { \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to 1 / 2 ^ { + } } \frac { N ( T , \infty ) } { \left( \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) \right) ^ { 1 / 2 - \epsilon } } = \infty , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \epsilon > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left( \begin{array} { l l l l l l } { s ^ { 2 } + 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \alpha _ { 2 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } } & { - \beta _ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n - 1 } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { n - 1 } + \beta _ { n - 1 } } & { - \beta _ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha _ { n } } & { s ^ { 2 } + \alpha _ { n } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] } & { { } = \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) + \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \xi } { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } , } \end{array}
p _ { k } ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) = p _ { k } ( \theta ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ v ~ } } + ( 1 - \theta ) \tilde { u } _ { j } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } ) \ge \theta p _ { k } ( ( \tilde { u } _ { j } ^ { n + 1 } ) ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ v ~ } } ) + ( 1 - \theta ) p _ { k } ( \tilde { u } _ { j } ^ { \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } , n + 1 } ) \ge \epsilon _ { j } , \qquad j = 0 , N
{ \begin{array} { r l } { \iint _ { D } { \frac { \partial L } { \partial y } } \, d A } & { = \int _ { a } ^ { b } \, \int _ { g _ { 1 } ( x ) } ^ { g _ { 2 } ( x ) } { \frac { \partial L } { \partial y } } ( x , y ) \, d y \, d x } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } \left[ L ( x , g _ { 2 } ( x ) ) - L ( x , g _ { 1 } ( x ) ) \right] \, d x . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | S _ { 1 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } & { { } = \left( 1 - \frac { \kappa _ { 1 } } { ( \frac { \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 } ) } \right) ^ { 2 } , } \\ { | S _ { 2 1 } | _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { \left( \frac { \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r } { C } & { = A ^ { - 1 } B } & { { \mathrm { w h e r e } } } & { \ } & { A = \left( { \begin{array} { l } { \left[ x _ { 1 } - x _ { 0 } \right] ^ { T } } \\ { \left[ x _ { 2 } - x _ { 0 } \right] ^ { T } } \\ { \left[ x _ { 3 } - x _ { 0 } \right] ^ { T } } \end{array} } \right) } & { \ } & { { \mathrm { a n d } } } & { \ } & { B = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \begin{array} { l } { \| x _ { 1 } \| ^ { 2 } - \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ { \| x _ { 2 } \| ^ { 2 } - \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } } \\ { \| x _ { 3 } \| ^ { 2 } - \| x _ { 0 } \| ^ { 2 } } \end{array} } \right) } \end{array} }
i n o n e g o a n d s o l v e t h e b a d l y - c o n d i t i o n e d l i n e a r s y s t e m . I n V + A , h o w e v e r , w e o r t h o g o n a l i z e e a c h c o l u m n a s s o o n a s p o s s i b l e u s i n g t h e A r n o l d i a l g o r i t h m . T h u s , t h e A r n o l d i p r o c e s s g i v e s u s a n o p t i m a l l y - c o n d i t i o n e d l e a s t - s q u a r e s p r o b l e m
U ( f , h , u ) = \frac { ( u ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { 2 x ^ { 4 } } + \frac { u ^ { 2 } f ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac { f ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac \beta 4 ( h ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + \frac \beta 4 ( f ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } \vartheta ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega \; \equiv \; \overline { { \vartheta } } ^ { ( f ) } = \overline { { \vartheta } } ^ { ( r ) } \; \equiv \; \frac { 1 } { \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { I + J } ^ { \alpha } } & { { } = \langle \Phi _ { I + J } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { I + J } \rangle = \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { I } \rangle + \langle \Phi _ { J } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle + 2 \langle \Phi _ { I } | ( \nabla _ { \alpha } \bar { H } ) | \Phi _ { J } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { p } } } & { = } & { \frac { \kappa _ { \mathrm { p } } a _ { \mathrm { p } } } { 2 } ( C _ { \ell 1 } - C _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { \mathrm { s i d e } } a _ { \mathrm { p } } } { 2 } ( C _ { \ell 2 } - C _ { \mathrm { s i d e } } ) ^ { 2 } , } \\ { C _ { \ell 1 } } & { = } & { C _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) + C _ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) , } \\ { C _ { \ell 2 } } & { = } & { C _ { 1 } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) + C _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { p c } } ) , } \end{array}
\epsilon ^ { \delta \alpha \beta \gamma } D _ { \delta } ^ { i } ( w _ { \alpha \ldots \alpha _ { m _ { 1 } } } w _ { \beta \ldots \beta _ { m _ { 2 } } } w _ { \gamma \ldots \gamma _ { m _ { 3 } } } ) = 0 \ \rightarrow \ \ell = 6 + { \frac { 1 } { 2 } } ( J _ { 1 } + 2 J _ { 2 } + 3 J _ { 3 } ) \; .
\mathbf { x } ^ { ( t ) } = \bar { \mu } \mathbf { 1 } + \mathbf { r } ^ { ( t ) } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \bar { \mu } : = \frac { \sum _ { i \in V } D _ { i i } x _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \sum _ { i \in V } D _ { i i } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \| \mathbf { r } ^ { ( t ) } \| _ { \infty } \leq \nu ^ { t } \sqrt { \Delta n } ,
[ \tilde { \cal T } _ { \mu } , \tilde { \cal T } _ { \nu } ] = 2 ( p ^ { 2 } \eta _ { \mu \nu } - p _ { \mu } p _ { \nu } ) , \quad [ \tilde { \cal T } _ { \mu } , \tilde { \cal T } _ { \nu } ] _ { { } _ { + } } = 4 i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } p ^ { \lambda } ( p \widehat { J } ) ,
\mathcal { D } = \epsilon \mathcal { D } _ { x } ^ { 2 } - \mathcal { D } _ { x } , \quad \mathcal { B } = \left( \begin{array} { l } { \epsilon E _ { s } \mathcal { D } _ { x } - ( 1 - \dot { x } _ { s } ) E _ { s } } \\ { E _ { e } } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { \delta } = \left( \begin{array} { l } { E _ { s } } \\ { - \epsilon E _ { e } \mathcal { D } _ { x } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \dot { x } _ { e } ) E _ { e } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime \prime } } & { = 9 . 2 2 2 \delta ^ { - 2 } + \frac { 1 + \delta / t _ { 0 } } { 2 \pi t _ { 0 } } - \frac { \log \delta } { t _ { 0 } } - \frac { \log 2 \pi } { \pi \delta } + 0 . 0 0 0 1 4 + \nu _ { 0 } \left( \frac { \delta } { \pi } \left( \frac { \delta } { t _ { 0 } } - \log 2 \pi \right) + 4 . 6 1 \right) } \\ & { \qquad \qquad + 2 . 5 6 \left( \eta ^ { - 2 } - \eta _ { 0 } ^ { - 2 } \right) + \frac { 1 } { 1 . 8 7 9 } \left( \frac { \log \eta _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \log \eta } { \eta ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } [ P _ { \neq } \Xi _ { 2 } ] \right\| _ { L ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \lambda } | \psi \rangle } & { = \frac { d _ { \lambda } } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \sum _ { \alpha \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( \alpha ) f ( \sigma ) | \alpha \sigma \rangle } \\ & { = \frac { d _ { \lambda } } { n ! } \sum _ { \sigma , \beta \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( \beta \sigma ^ { - 1 } ) f ( \sigma ) | \beta \rangle = \frac { d _ { \lambda } } { n ! } \sum _ { \sigma , \beta \in S _ { n } } \chi _ { \lambda } ( \sigma \beta ^ { - 1 } ) f ( \sigma ) | \beta \rangle , } \end{array}
L = \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \, \left( { \scriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } g _ { I J } ( \phi ) \, \partial _ { t } \phi ^ { I } \, \partial _ { t } \phi ^ { J } \right) - V [ \phi , \partial _ { m } \phi ] \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } { \frac { 1 } { z } } \left( { \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + z ) } } - { \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - z ) } } \right) } & { { } = 2 \gamma } \\ { \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 } { \frac { 1 } { z } } \left( { \frac { 1 } { \Psi ( 1 - z ) } } - { \frac { 1 } { \Psi ( 1 + z ) } } \right) } & { { } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 \gamma ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 5 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D - \varepsilon ^ { 2 } \left( \partial _ { x } S _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } [ \mathfrak { A } _ { 1 } , \partial _ { x } S _ { 1 } ] - [ \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 2 } ] \right) , \mathrm { u p ~ t o ~ O ( \varepsilon ^ { 9 - 6 b } ) ~ , } } \end{array}
\nabla ^ { ( 2 ) } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( 2 ) } \rho \right) } } = \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { 3 } \ { \frac { \partial ^ { \, 2 } } { \partial r _ { \alpha } \, \partial r _ { \beta } } } \ { \frac { \partial f } { \partial \rho _ { \alpha \beta } } } \qquad { \mathrm { w h e r e } } \ \ \rho _ { \alpha \beta } \equiv { \frac { \partial ^ { \, 2 } \rho } { \partial r _ { \alpha } \, \partial r _ { \beta } } } \ .
\int d ^ { 4 } \theta ( m _ { 3 / 2 } \theta ^ { 2 } ) ( m _ { 3 / 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } ) \frac { L _ { e } ^ { * } L _ { \mu } H _ { u } ^ { * } H _ { u } } { M _ { X } ^ { 2 } } ,
\Delta \Gamma _ { 1 } ( \Delta { \bar { \Gamma } _ { 1 } } ) \propto \pm \displaystyle \sum _ { j , k } \{ \displaystyle | a _ { L } ^ { j } | | b _ { L } ^ { k } | \sin ( \displaystyle ( \delta _ { L } ^ { j k } ) \pm ( \phi _ { L } ^ { j k } ) ) + L \to R \} ,
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot ( h u \mathbf { v } ) } & { = } & { \cfrac { 1 } { R \cos \theta } \left[ \partial _ { \lambda } ( h u ^ { 2 } ) + \partial _ { \theta } ( h u v \cos \theta ) \right] } \\ { \nabla \cdot ( h v \mathbf { v } ) } & { = } & { \cfrac { 1 } { R \cos \theta } \left[ \partial _ { \lambda } ( h u v ) + \partial _ { \theta } ( h v ^ { 2 } \cos \theta ) \right] } \end{array}
\left. + \overline { { g } } ^ { 2 } \left\{ - 2 t _ { 1 } t _ { 2 } ( { \cal I } _ { 5 } ^ { \mu } + { \cal L } _ { 3 } ^ { \mu } ) + 2 t _ { 1 } \bar { r } _ { A } \frac { p _ { A } ^ { \mu } } { s _ { 1 } } - 2 t _ { 2 } \bar { r } _ { B } \frac { p _ { B } ^ { \mu } } { s _ { 2 } } \right\} \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \phi ( r , \theta , z ) } & { = \sum _ { n = - N } ^ { N } S ^ { ( n ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } n \theta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \theta _ { 1 } } } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } , } \\ { R ^ { 2 } } & { = r ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r r _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + ( z - z _ { 1 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta p _ { { } _ { T } } ^ { 2 } \equiv \langle p _ { { } _ { T } } ^ { 2 } \rangle - \langle p _ { { } _ { T } } ^ { 2 } \rangle _ { { } _ { N N } } = \lambda ^ { 2 } ( { \overline { { n } } } _ { A } + { \overline { { n } } } _ { B } - 2 ) .
\frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int | \psi _ { p z } ( r _ { 1 } ) | ^ { 2 } \frac { J _ { 0 } ( q | \rho - \rho ^ { \prime } | ) } { 1 + \alpha q } e ^ { - q | z - z ^ { \prime } | } | \psi _ { p z } ( r _ { 2 } ) | ^ { 2 } d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 } d q
\begin{array} { r } { H _ { z } \approx - \frac { k ^ { 2 } A _ { \mathrm { T } } I _ { 1 } } { 4 \pi d } \left[ 1 + \frac { 1 } { j k d } - \frac { 1 } { ( k d ) ^ { 2 } } \right] e ^ { - j k d } . } \end{array}