harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C ( r , \tau ) = } & { \frac { c _ { 0 } ^ { \ast } \, \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left[ \left( \frac { \xi \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 2 } } - \frac { c _ { 0 } ^ { \ast } \, \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left[ \left( \frac { \xi \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, , } \\ { \mathrm { w h e r e } } & { \; c _ { 0 } ^ { \ast } = \frac { c _ { 0 } \, \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { 4 \tilde { \omega } _ { d } \, \tilde { \tau } _ { c } \, \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } , \; \beta _ { s } = 1 - 2 \tilde { \tau } _ { c } \tilde { \omega } _ { d } , \; \beta _ { f } = 1 + 2 \tilde { \tau } _ { c } \tilde { \omega } _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { 0 } } { \partial t } = } & { - \sum _ { \nu } \frac { p _ { i } } { m _ { i } } \partial _ { \nu } \rho _ { 0 } + \sum _ { \nu } \partial _ { \nu } \tilde { U } _ { 0 } \partial _ { \nu } \rho _ { 0 } - \frac { \Gamma } { \hbar } f ( h ) \rho _ { 0 } } \\ & { + \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - f ( h ) ) \rho _ { 1 } } \\ { \frac { \partial \rho _ { 1 } } { \partial t } = } & { - \sum _ { \nu } \frac { p _ { i } } { m _ { i } } \partial _ { \nu } \rho _ { 1 } + \sum _ { \nu } \partial _ { \nu } \tilde { U } _ { 1 } \partial _ { \nu } \rho _ { 1 } + \frac { \Gamma } { \hbar } f ( h ) \rho _ { 0 } } \\ & { - \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - f ( h ) ) \rho _ { 1 } , } \end{array}
\frac { d ^ { k } } { d ( p ^ { 2 } ) ^ { k } } \left( \frac { p x } 2 \right) ^ { - \lambda } J _ { \lambda } ( p x ) = ( - x ^ { 2 } ) ^ { k } \left( \frac { p x } 2 \right) ^ { - \lambda - k } J _ { \lambda + k } ( p x ) .
( W ^ { 1 2 } ) ^ { p + q } ( W ^ { 1 3 } ) ^ { q } = \phi ^ { \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 1 \ldots ~ 1 } } } { p + 2 q } \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 2 \ldots ~ 2 } } } { p } } + \ldots + \theta ^ { 1 \alpha } \theta ^ { 1 \beta } \theta ^ { 2 \gamma } \theta ^ { 2 \delta } \theta ^ { 3 \kappa } \theta ^ { 3 \sigma } A _ { [ \alpha \beta ] [ \gamma \delta ] [ \kappa \sigma ] } ^ { \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 1 \ldots ~ 1 } } } { p + 2 q - 2 } \stackrel { \underbrace { \mathrm { \scriptsize ~ 2 \ldots ~ 2 } } } { p } } + \mathrm { \small ~ d . t . }
\begin{array} { r } { r = \beta I ( X _ { \mathrm { A } } , \: P _ { \mathrm { A } } : X _ { \mathrm { B } } , \: P _ { \mathrm { B } } ) - \chi ( X _ { \mathrm { B } } , \: P _ { \mathrm { B } } : E ) , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial \omega } } = { - } \left( { \frac { \mathrm { 2 } \pi c } { { \omega } ^ { \mathrm { 2 } } } } \right) { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } = { - } \left( { \frac { { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g _ { m } } & { = \sum _ { n } w _ { m n } h _ { m n } , ~ ~ ~ \forall n \in \{ n ~ | ~ \| m - n \| _ { \infty } \le 1 \} } \\ { h _ { m n } } & { = \frac { \left( \frac { \left| f _ { m } - f _ { n } \right| } { \sigma } \right) ^ { 2 } } { c + \left( \frac { \left| f _ { m } - f _ { n } \right| } { \sigma } \right) ^ { 2 - p } } } \end{array}
\log \mathcal { Z } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { T } - 1 } \log \sum _ { i = 1 } ^ { n } p ( y | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { k } ^ { i } , \mathcal { M } ) ^ { \beta _ { k + 1 } - \beta _ { k } } - ( N _ { T } - 1 ) \log n .
\sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { i } | \| v _ { i } - e _ { i } \| < \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { i } | \frac { 1 } { \sqrt { n } } \leq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } | a _ { i } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \left\| \omega ^ { t + 1 } - \omega ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ] \leq \left( \sigma ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } \right) \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } < \infty , } \\ { \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \left\| z ^ { t + 1 } - z ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ] \leq \left( \sigma ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } \right) \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
\dot { \epsilon _ { 2 } } + 2 ( \epsilon _ { 0 } - \tau _ { 0 } ) \beta _ { 1 } \dot { \beta _ { 1 } } + ( \epsilon _ { 0 } - \tau _ { 0 } ) \beta _ { 2 } ^ { \prime } + ( 1 + v _ { \scriptscriptstyle L , 0 } ^ { 2 } ) [ \epsilon _ { 1 } \beta _ { 1 } ] ^ { \prime } = 0 .
\begin{array} { r l r l } { I _ { c } } & { { } = \tilde { q } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \mathbf v _ { p } ( \mathbf k ) ( \vartheta _ { 1 } ( \mathbf k ) - \vartheta _ { 2 } ( \mathbf k ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \mathbf k ) \textrm { d } \mathbf k , \quad } & { \Rightarrow \quad } & { { } I _ { c } = \frac { \tilde { q } } { h } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { \epsilon ( 0 ) } ^ { \infty } ( \vartheta _ { 1 } ( \epsilon ) - \vartheta _ { 2 } ( \epsilon ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \epsilon ) \textrm { d } \epsilon } \\ { I _ { h } } & { { } = \sum _ { p } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \epsilon _ { p } ( \mathbf k ) \mathbf v _ { p } ( \mathbf k ) ( \vartheta _ { 1 } ( \mathbf k ) - \vartheta _ { 2 } ( \mathbf k ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \mathbf k ) \textrm { d } \mathbf k , \quad } & { \Rightarrow \quad } & { { } I _ { h } = \frac { 1 } { h } \sum _ { p } \int \displaylimits _ { \epsilon ( 0 ) } ^ { \infty } \epsilon ( \vartheta _ { 1 } ( \epsilon ) - \vartheta _ { 2 } ( \epsilon ) ) \mathcal { T } _ { p } ( \epsilon ) \textrm { d } \epsilon } \end{array}
\hat { F } ( \gamma ) = \hat { b } _ { 2 } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } - e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \hat { b } _ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } , \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) = \rho _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } ) \rho _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) , } \end{array}
\frac { d } { d \psi } p ( \psi ) = \frac { \beta } { r _ { 0 } } \left( 1 - \psi _ { N } ^ { \alpha _ { 1 } } \right) ^ { \alpha _ { 2 } } , \qquad \qquad \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d \psi } g ^ { 2 } ( \psi ) = \mu _ { 0 } r _ { 0 } ( 1 - \beta ) \left( 1 - \psi _ { N } ^ { \alpha _ { 1 } } \right) ^ { \alpha _ { 2 } } ,
d s ^ { 2 } = - { \frac { ( r ^ { d } - r _ { 1 } ^ { d } ) ( r ^ { d } - r _ { 2 } ^ { d } ) } { C ^ { 2 d } } } d t ^ { 2 } + { \frac { r ^ { 2 d - 2 } C ^ { 2 } } { ( r ^ { d } - r _ { 1 } ^ { d } ) ( r ^ { d } - r _ { 2 } ^ { d } ) } } d r ^ { 2 } + C ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { v _ { A l } } } } & { { } = 0 . 5 n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } - n _ { \mathrm { t o t , A l } } + n _ { \mathrm { A l _ { i } } } + n _ { \mathrm { A l _ { N } } } - n _ { \mathrm { N _ { A l } } } - n _ { \mathrm { ( N - N ) _ { A l } } } - n _ { \mathrm { A r _ { A l } } } } \\ { n _ { \mathrm { v _ { N } } } } & { { } = 0 . 5 n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } - n _ { \mathrm { t o t , N } } + n _ { \mathrm { N _ { i } } } + n _ { \mathrm { ( N - N ) _ { N } } } + 2 n _ { \mathrm { ( N - N ) _ { i } } } + n _ { \mathrm { N _ { A l } } } + 2 n _ { \mathrm { ( N - N ) _ { A l } } } - n _ { \mathrm { A l _ { N } } } - n _ { \mathrm { A r _ { N } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } \in \mathtt { S o l ( \mathbb { S } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) } } & { \Longrightarrow \Phi ( \mathrm { e } ) \in \mathtt { S o l \big ( \mathbb { S } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) } , } \\ { g \in \mathtt { S o l \big ( \mathbb { S } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) } } & { \Longrightarrow \Phi ^ { - 1 } ( \{ g \} ) \subset \mathtt { S o l \big ( \mathbb { S } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { \Psi _ { L _ { 0 } } ^ { - } } } \end{array} \right] = { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 _ { 2 d } - \sigma ^ { 3 } ) \Psi _ { L _ { 0 } } ,
\begin{array} { r } { \tilde { \omega } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { h _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 1 } ) } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { h _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { - h _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 1 } ) } & { - h _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \Phi _ { 2 } ) } & { 0 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\left( { \frac { p ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } } \left[ \partial _ { p } + { \frac { i \omega 4 M + 1 } { p } } + i 4 M \right] ^ { 2 } + F ^ { 2 } ( p ) \right) \tilde { \phi } _ { \omega } ( p ) = 0 \qquad .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \sum _ { i \notin S } { \mathbb { I } \left\{ { \hat { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } \\ & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in S } \sum _ { a \neq z _ { i } ^ { * } } \exp \left( - \left( 1 - \left( 2 \rho + \frac { C _ { 3 } } { 2 } \sqrt { \frac { \beta ^ { - 2 } k ^ { 3 } p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { n } \right) \frac { 1 6 k p } { \beta q } \right) J _ { n _ { a } , n _ { z _ { i } ^ { * } } , p , q } \right) } \\ & { \quad + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } k \exp \left( - \frac { 1 0 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } \right) + \frac { k } { n } n \exp \left( - \frac { 3 n ( p - q ) ^ { 2 } } { 2 p } \right) } \\ & { \quad + \frac { k } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \left( 2 k \exp \left( - \frac { 2 n ( p - q ) ^ { 2 } } { p } \right) + 2 k \exp \left( - 6 4 n p \right) \right) } \\ & { \leq k \exp \left( - \left( 1 - \left( 2 \rho + \frac { C _ { 3 } } { 2 } \sqrt { \frac { \beta ^ { - 2 } k ^ { 3 } p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { n } \right) \frac { 1 6 k p } { \beta q } \right) \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq a \neq b \leq k } J _ { n _ { a } , n _ { b } , p , q } \right) } \\ & { \quad + 4 k ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 3 n ( p - q ) ^ { 2 } } { 2 p } \right) . } \end{array}
q _ { \jmath _ { 1 } \alpha _ { 1 } } ^ { \dagger } q _ { \imath _ { 2 } \beta _ { 2 } } ^ { \dagger } \left( { \frac { \sigma ^ { i } } { 2 } } \right) _ { \imath _ { 1 } } ^ { \jmath _ { 1 } } \left( { \frac { \tau ^ { a } } { 2 } } \right) _ { \alpha _ { 2 } } ^ { \beta _ { 2 } } q ^ { \imath _ { 1 } \alpha _ { 1 } } q ^ { \imath _ { 2 } \alpha _ { 2 } } = \sum _ { \ell \neq \ell ^ { \prime } } \left( q _ { \ell } ^ { \dagger } { \frac { \sigma ^ { i } } { 2 } } q _ { \ell } \right) \ \left( q _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \dagger } { \frac { \tau ^ { a } } { 2 } } q _ { \ell ^ { \prime } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \rho } & { = } & { - i [ H , \rho ] + \kappa ( \bar { n } _ { m } + 1 ) \mathcal { L } _ { m } \rho + \kappa \bar { n } _ { m } \mathcal { L } _ { m ^ { \dagger } } \rho } \\ & { } & { + \gamma ( \bar { n } _ { q } + 1 ) \mathcal { L } _ { \sigma ^ { - } } \rho + \gamma \bar { n } _ { q } \mathcal { L } _ { \sigma ^ { + } } \rho , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \varepsilon \partial _ { t t } \vec { \eta } , \partial _ { t } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } - ( \sigma \partial _ { t t } \vec { \eta } , \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } - ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \partial _ { t } \vec { \eta } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } ) _ { L ^ { 2 } ( Q _ { ( 0 , b ) } ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( \omega ) } & { = \frac { e ^ { 2 } \pi } { m _ { e } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } c n _ { r } V \omega } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { n } \Lambda _ { \alpha \beta \mathbf { k } } | \mathcal { P } _ { \alpha \beta \mathbf { k } } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } [ \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega - \hbar \omega ) - \delta ( E _ { \alpha \beta \mathbf { k } } + n \hbar \Omega + \hbar \omega ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { 1 } { 1 - \rho } } \exp \left( { \frac { \rho ( \ln ( 1 - u ) + \ln ( 1 - v ) ) } { 1 - \rho } } \right) \cdot I _ { 0 } \left( { \frac { 2 { \sqrt { \rho \ln ( 1 - u ) \ln ( 1 - v ) } } } { 1 - \rho } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ] \ge } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } \left[ \left( \frac { 1 } { 6 } N _ { t } ( N _ { t } + 1 ) ( 2 N _ { t } + 1 ) \delta u _ { m } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } & { \quad { \scriptstyle ( \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } i ^ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } N _ { t } ( N _ { t } + 1 ) ( 2 N _ { t } + 1 ) ) } } \\ { \ge } & { { } \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } N _ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hbar ^ { - 1 } \mathbf { M } ^ { ( j j ) } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l } { \omega _ { c } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { \frac { g } { 2 } } & { \frac { g } { 2 } } & { . . . } & { \frac { g } { 2 } } \\ { \frac { g } { 2 } } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { 0 } & { . . . } & { 0 } \\ { \frac { g } { 2 } } & { 0 } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } & { . . . } & { 0 } \\ & { . . . } \\ { \frac { g } { 2 } } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { \omega _ { x g } + \Delta \omega ( 1 - \delta _ { j 0 } ) } \end{array} \right) } \\ { j } & { = 0 , . . . , N . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \pi ( i , j ) } & { { } \geq 0 , ~ ~ ~ } & { \forall i , j \in [ 1 , N ] } \\ { \sum _ { j } \pi ( i , j ) } & { { } \leq y _ { i } , ~ ~ } & { \forall i \in [ 1 , N ] } \\ { \sum _ { i } \pi ( i , j ) } & { { } \leq \hat { y } _ { j } , ~ ~ } & { \forall j \in [ 1 , N ] } \\ { \sum _ { i } \sum _ { j } \pi ( i , j ) } & { { } = 1 ~ ~ } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { x \rightarrow y } & { { } = \neg { x } \vee y } \\ { x \oplus y } & { { } = \neg ( x \equiv y ) = ( x \vee y ) \wedge ( \neg x \vee \neg y ) = ( x \wedge \neg y ) \vee ( \neg x \wedge y ) } \\ { x \equiv y } & { { } = \neg { ( x \oplus y ) } = ( x \wedge y ) \vee ( \neg x \wedge \neg y ) } \end{array}
\begin{array} { r } { c ^ { - } = \frac { b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } ( u ^ { + } - u ^ { - } ) + \sqrt { \frac { a ^ { + } a ^ { - } } { s } } ( b ^ { + } u _ { \xi } ^ { + } - b ^ { - } u _ { \xi } ^ { - } ) } { s ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } , } \\ { c ^ { + } = \frac { - b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ( u ^ { + } - u ^ { - } ) + \sqrt { \frac { a ^ { + } a ^ { - } } { s } } ( b ^ { + } u _ { \xi } ^ { + } - b ^ { - } u _ { \xi } ^ { - } ) } { s ( b ^ { + } \sqrt { a ^ { - } } + b ^ { - } \sqrt { a ^ { + } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big [ \hat { c } _ { i } , \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \Big ] _ { \mp } = \delta _ { i j } , \quad \Big [ \hat { c } _ { i } , \hat { c } _ { j } \Big ] _ { \mp } = \Big [ \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { c } _ { j } ^ { \dagger } \Big ] _ { \mp } = 0 \, , } \end{array}
M _ { \nu } \; = \; V ^ { * } \left( \begin{array} { l l l } { { \lambda _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \lambda _ { 3 } } } \end{array} \right) V ^ { \dagger } \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \gamma ^ { \prime } } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq 3 + \Gamma ( 3 ) . } \end{array}
\beta _ { l } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( \mathrm { ~ i ~ f ~ \ \ } l = 1 ) } \\ { 2 . 2 ^ { l - L } } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) . } \end{array} \right.
\mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| - \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t , \mathbf { a } _ { n } , f ) \right| \, \mathrm { d } t \right| ^ { 2 } \right] \leq \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \left| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| - \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t , \mathbf { a } _ { n } , f ) \right| \right| \, \mathrm { d } t \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { { \cal F } } & { \sim \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \sim \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \sim \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ^ { 2 } , \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } ( T = 1 \mid M = 0 ) } & { = \tau , } \\ { \mathbf { P } ( T = 1 \mid 0 < M \le \kappa ) } & { = 1 - \tau , } \\ { \mathbf { P } ( T = 1 \mid M > \kappa ) } & { = \tau , } \\ { \mathbf { P } ( J = 1 \mid M = 0 ) } & { = ( 1 - \tau ) \varphi _ { 0 } + \tau \varphi _ { 1 } , } \\ { \mathbf { P } ( J = 1 \mid 0 < M \le \kappa ) } & { = \tau \varphi _ { 0 } + ( 1 - \tau ) \varphi _ { 1 } , } \\ { \mathbf { P } ( J = 1 \mid M > \kappa ) } & { = ( 1 - \tau ) \varphi _ { 0 } + \tau \varphi _ { 1 } } \end{array}
\mathbf { J } ( \mathbf { r } ) = \sigma ( \mathbf { r } ) \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) \, \, \rightleftharpoons \, \, \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = \rho ( \mathbf { r } ) \mathbf { J } ( \mathbf { r } ) , \,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } [ U ] + c _ { x } \partial _ { x } [ U ] + c _ { y } \partial _ { y } [ U ] = 0 , } & { \Omega _ { T } ^ { 2 } ; } \\ { U ( t , \, x , \, 0 ) = U ( t , \, x , \, 2 \pi ) , } & { t \in [ 0 , T ] , \, x \in \Omega ; } \\ { U ( t , \, 0 , \, y ) = U ( t , \, 2 \pi , \, y ) , } & { t \in [ 0 , T ] , \, y \in \Omega ; } \\ { U ( 0 , \, x , \, y ) = u ( x , \, y ) , } & { \{ t = 0 \} \times \Omega ^ { 2 } ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d \langle T \rangle } { d t } } & { { } + \frac { 5 } { 3 } \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \langle T \rangle - \sum _ { i } \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \left( \frac { \langle r _ { i } ^ { 2 } T \rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - \langle r _ { i } \partial _ { i } T \rangle \right) } \end{array}
\mathbf { G } = { \left( \begin{array} { l l } { g _ { 1 1 } } & { g _ { 1 2 } } \\ { g _ { 2 1 } } & { g _ { 2 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } \\ { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 2 } \cdot \mathbf { a } _ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a _ { 1 } ^ { 2 } } & { a _ { 1 } a _ { 2 } \cos ( \alpha _ { 1 } ) } \\ { a _ { 1 } a _ { 2 } \cos ( \alpha _ { 1 } ) } & { a _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } & { \left| M _ { t + h } - M _ { t } - \left( M _ { t , h } - M _ { t } + X _ { t } ^ { 1 } \right) _ { + } \right| \leq } \\ & { \left| \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) - M _ { t , h } \right| \left[ { \mathbf 1 } _ { \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq u \leq h } ( X _ { u + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } ) > M _ { t } - { X _ { t } ^ { 1 } } \} } + { \mathbf 1 } _ { \{ M _ { t , h } > M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } \} } \right] . } \end{array}
( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { A ^ { 0 } } = \frac { \partial Q _ { T , S } ^ { * } ( \theta ) } { \partial A } \bigg \vert _ { ( A ^ { 0 } , B ^ { 0 } , \lambda ^ { 0 } , \mu ^ { 0 } ) } ~ ~ \mathrm { a n d ~ } ~ ~ ( Q _ { T , S } ^ { * } ) _ { \bar { A } \bar { B } } = \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { T , S } ^ { * } ( \theta ) } { \partial A \partial B } \bigg \vert _ { ( \bar { A } _ { T , S } , \bar { B } _ { T , S } , \bar { \lambda } _ { T , S } , \bar { \mu } _ { T , S } ) } .
v _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { s } } = { \frac { 1 } { ( n - 2 s ) ! } } v _ { \alpha _ { 1 } \dots \alpha _ { s } j _ { 1 } \dots j _ { n - 2 s } } d \varphi ^ { j _ { 1 } } \wedge \dots \wedge d \varphi ^ { j _ { n - 2 s } } \quad .
\mathbf { S } ^ { ( 1 ) } = S _ { c c } ^ { ( 1 ) } \hat { c } ^ { ( 1 ) } \hat { c } ^ { ( 1 ) } + S _ { d d } ^ { ( 1 ) } \hat { d } ^ { ( 1 ) } \hat { d } ^ { ( 1 ) } + S _ { e e } ^ { ( 1 ) } \hat { e } ^ { ( 1 ) } \hat { e } ^ { ( 1 ) } ,
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } a _ { j } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } + \omega _ { j } ^ { 2 } a _ { j } = d _ { j } \frac { t } { \sqrt { 2 \pi } \tau ^ { 3 } } e ^ { - t ^ { 2 } / { 2 \tau ^ { 2 } } } ,
\partial _ { t } \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } + \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } { \cal B } _ { 2 } + \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( t + T \right) { \cal C } _ { 2 } = 0 .
{ \frac { d } { d t } } { \big ( } f ( \gamma ( t ) , t ) { \big ) } + { \frac { f { \big ( } \gamma ( t ) , t { \big ) } } { 2 ( t _ { 0 } - t ) } } \leq { \frac { R ^ { g ( t ) } ( \gamma ( t ) ) + | \gamma ^ { \prime } ( t ) | _ { g ( t ) } ^ { 2 } } { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } , } \\ { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } , } \end{array}
S ^ { \prime } ( \beta _ { 1 } ) = \frac { S [ \beta _ { r } ( \beta _ { 1 } ) ] } { \tau ( \beta _ { 1 } ) } \frac { \beta _ { 1 } } { \sqrt { ( k _ { r } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } ) + \beta _ { 1 } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \left\langle \left( \xi _ { x } - ( \alpha _ { x } + \beta _ { x } ) \right) ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \left( \xi _ { x } - { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } + { \bar { \xi } _ { x } } | _ { a } - ( \alpha _ { x } + \beta _ { x } ) \right) ^ { 2 } \right\rangle \; , } \end{array}
{ \bf 7 0 } \, \stackrel { U s p ( 4 ) \, \times \, S U ( 4 ) \, \times \, U ( 1 ) } { \longrightarrow } \, \left( { \bf 1 } , { \bf 1 } , { \bf 1 } + { \bar { \bf 1 } } \right) \, \oplus \, \left( { \bf 5 } , { \bf 6 } , { \bf 1 } \right) \, \oplus \, \left( { \bf 1 } , { \bf 6 } , { \bf 1 } \right) \, \oplus \, \left( { \bf 4 } , { \bf 4 } , { \bf 1 } \right) \, \oplus \, \left( { \bf 4 } , { \bf 4 } , { \bf 1 } \right)
V _ { 0 } = m _ { 1 } ^ { 2 } \Phi _ { d } ^ { \dag } \Phi _ { d } + m _ { 2 } ^ { 2 } \Phi _ { u } ^ { \dag } \Phi _ { u } - \left( m _ { 3 } ^ { 2 } \epsilon _ { i j } \Phi _ { d } ^ { i } \Phi _ { u } ^ { j } + \mathrm { h . c . } \right) + \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } + g _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 } \left( \Phi _ { d } ^ { \dag } \Phi _ { d } - \Phi _ { u } ^ { \dag } \Phi _ { u } \right) ^ { 2 } + \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \left| \Phi _ { d } ^ { \dag } \Phi _ { u } \right| ^ { 2 } ,