harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal O } _ { 7 } = - \frac { g _ { \mathrm { e m } } \hat { m } _ { b } } { 8 \pi ^ { 2 } } \, \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) b F _ { \mu \nu } , \qquad { \cal O } _ { 8 } = - \frac { g _ { s } \hat { m } _ { b } } { 8 \pi ^ { 2 } } \, \bar { s } _ { i } \sigma ^ { \mu \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) T _ { i j } ^ { A } b _ { j } G _ { \mu \nu } ^ { A } ,
{ \bf K } _ { \mathrm { P C } , j i } = \sum _ { l = 0 } ^ { m } \left[ \int _ { \Theta } \xi _ { l } \left( \theta \right) \Gamma _ { i } \left( \theta \right) \Gamma _ { j } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) \right] { \bf K } _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } _ { n _ { k } } } \\ & { \rightarrow \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } . } \end{array}
\xi _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { j } \dot { \beta } _ { 1 } \cdots \dot { \beta } _ { k } } \mapsto A _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \rho _ { 1 } } \cdots A _ { \alpha _ { j } } ^ { \rho _ { j } } \bar { A } _ { \dot { \beta } _ { 1 } } ^ { \dot { \sigma } _ { 1 } } \cdots \bar { A } _ { \dot { \beta } _ { k } } ^ { \dot { \sigma } _ { k } } \xi _ { \rho _ { 1 } \cdots \rho _ { j } \dot { \sigma } _ { 1 } \cdots \dot { \sigma } _ { k } } ,
I _ { d , d } [ \Phi ] = 2 ^ { \frac { d } { 2 } + 1 } \int _ { { \cal F } } \frac { d ^ { 2 } \tau } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } Z ( g / 2 , b / 2 ; \tau ) ~ H _ { \Gamma _ { 2 } ^ { - } } \cdot \Phi ( \bar { \tau } ) \ .
\left| \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle \right| \prec \frac { \Lambda _ { 1 } } { \sqrt { L N } } \left( \Lambda _ { k } \Lambda _ { k + 1 } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \wedge \ast \Big ( ( - 1 ) ^ { n } d \big ( \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) + d \big ( \mathrm { l i } ( E ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) ) \big ) \Big ) } \\ { = } & { \int _ { \partial \Omega } \Big ( E ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { d } ( \mathbf { k } ) } & { = \sum _ { j , k } \int _ { V _ { \mathrm { c e l l } } } w _ { c } ^ { * } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { k } \right) \left[ \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right] w _ { v } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { k } \right) } \mathrm { d } \mathbf { x } } \\ & { = \sum _ { j , l } \int _ { V _ { \mathrm { c e l l } } } w _ { c } ^ { * } \left( \mathbf { x } - \left( \mathbf { x } _ { j } + \mathbf { x } _ { l } \right) \right) \left[ \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right] w _ { v } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } _ { l } } \mathrm { ~ d } \mathbf { x } } \\ & { = \sum _ { l } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } _ { l } } \int _ { V _ { \mathrm { c r y s t a l } } } w _ { c } ^ { * } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { l } \right) \mathbf { x } w _ { v } ( \mathbf { x } ) \mathrm { d } \mathbf { x } = \sum _ { l } \mathbf { d } _ { l } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } _ { l } } . } \end{array}
I = \int d x ^ { + } d x ^ { - } ( 4 \Omega \partial _ { + } \partial _ { - } \rho + \frac { \mu } { 2 } e ^ { 2 \rho } \Omega ^ { 1 - \lambda - \gamma / 4 } + \Omega ^ { \delta } \partial _ { + } f \partial _ { - } f - e ^ { - 2 \rho } \Omega ^ { ( \gamma - 2 \epsilon ) / 4 + 1 } F _ { - + } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \| w _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } & { \lesssim \| w _ { h } - \Pi _ { h } w _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \| \Pi _ { h } w _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } \\ & { \lesssim \| \mathrm { h } ^ { - 1 } ( w _ { h } - \Pi _ { h } w _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \big ( 1 + | \log h _ { \operatorname* { m i n } } | \big ) ^ { \frac 1 2 } \| \Pi _ { h } w _ { h } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } v _ { g , n } } & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \sum _ { n \geq g } \frac { [ p ( 1 - p ) ] ^ { n } } { n } \gamma _ { n , g } } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \int _ { 0 } ^ { p } ( 1 - 2 x ) \sum _ { n \geq g } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n - 1 } \gamma _ { n , g } } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \int _ { 0 } ^ { p } \frac { ( 1 - 2 x ) } { x ( 1 - x ) } \sum _ { n \geq g } \sum _ { i = 1 } ^ { n - g + 1 } \alpha _ { i } [ x ( 1 - x ) ] ^ { i } \gamma _ { n - i , g - 1 } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n - i } , } \end{array}
{ \frac { d f } { d t } } = { \frac { 1 } { ( s / n ) ^ { 2 } } } \left( { \frac { P _ { \eta } } { T _ { \mathrm { n } } } } \right) ^ { 2 } ~ { \frac { 4 } { 9 } } ~ { \frac { Q _ { a } } { Q _ { \eta } } } ~ ~ \ ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } a \cdot b } & { { } { } = { } 2 ^ { a _ { 1 } + b _ { 1 } } 3 ^ { a _ { 2 } + b _ { 2 } } 5 ^ { a _ { 3 } + b _ { 3 } } 7 ^ { a _ { 4 } + b _ { 4 } } \cdots } & { } & { { } { } = { } \prod p _ { i } ^ { a _ { i } + b _ { i } } , } \\ { \operatorname* { g c d } ( a , b ) } & { { } { } = { } 2 ^ { \operatorname* { m i n } ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) } 3 ^ { \operatorname* { m i n } ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } 5 ^ { \operatorname* { m i n } ( a _ { 3 } , b _ { 3 } ) } 7 ^ { \operatorname* { m i n } ( a _ { 4 } , b _ { 4 } ) } \cdots } & { } & { { } { } = { } \prod p _ { i } ^ { \operatorname* { m i n } ( a _ { i } , b _ { i } ) } , } \\ { \operatorname { l c m } ( a , b ) } & { { } { } = { } 2 ^ { \operatorname* { m a x } ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) } 3 ^ { \operatorname* { m a x } ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } 5 ^ { \operatorname* { m a x } ( a _ { 3 } , b _ { 3 } ) } 7 ^ { \operatorname* { m a x } ( a _ { 4 } , b _ { 4 } ) } \cdots } & { } & { { } { } = { } \prod p _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } ( a _ { i } , b _ { i } ) } . } \end{array}
\mathbf { \left( A \times B \right) \cdot } \left( \mathbf { C } \times \mathbf { D } \right) = \left( \mathbf { A } \cdot \mathbf { C } \right) \left( \mathbf { B } \cdot \mathbf { D } \right) - \left( \mathbf { B } \cdot \mathbf { C } \right) \left( \mathbf { A } \cdot \mathbf { D } \right)
V _ { a b c _ { 1 } d _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } = \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } \frac { \Sigma ^ { 1 } } { 2 } ( C _ { 1 } s _ { a b c _ { 1 } d _ { 1 } } + \frac { 2 } { 3 } V _ { a b c _ { 1 } d _ { 1 } } ^ { 1 } ) ,
\frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } = \frac { 2 q ^ { 2 } } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow r _ { 0 } } \mathrm { I m } \left[ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { z } \, \frac { k _ { z } } { \varepsilon _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } I _ { n } ( \gamma _ { 0 } k _ { z } r _ { < } ) K _ { n } ( \gamma _ { 0 } k _ { z } r _ { > } ) \right] ,
{ \cal H } _ { S M } ^ { \Delta S = 2 } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 4 { \pi } ^ { 2 } } { m _ { c } } ^ { 2 } \big ( ( V _ { K M } ) _ { 1 2 } ( V _ { K M } ) _ { 1 1 } ^ { * } \big ) ^ { 2 } ( \bar { d } _ { L } \gamma ^ { \mu } s _ { L } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { D _ { - } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } - i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell + 1 } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } } { D _ { + } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } - i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell + 1 } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } } } \end{array}
\omega ^ { ( S ) - 1 } ( x ) \{ \tilde { A } _ { i } ^ { ( S ) } ( x ) - S ( x ) \tilde { A } _ { i } ^ { ( N ) } ( x ) S ^ { - 1 } ( x ) \} \omega ^ { ( S ) } ( x ) = 2 \sqrt { 6 } \{ { \cal T } _ { i } ^ { ( N ) } ( x ) - { \cal T } _ { i } ^ { ( S ) } ( x ) \} ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { n + 1 } B _ { n } ^ { \ell } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { = - \partial _ { n + 1 } \left( \mathrm { i d } _ { s f _ { 1 } } \otimes f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) \right) } \\ & { = f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i + 1 } \mathrm { i d } _ { s f _ { 1 } } \otimes f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { n + 1 } \mathrm { i d } _ { s f _ { 1 } } \otimes f _ { 1 } \otimes \dots \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) . } \end{array}
\frac { I _ { 1 3 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 \mathrm { i } } \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 3 } \sin \theta \, \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k M } \ .
C O P _ { \mathrm { c o o l i n g } } = { \frac { \Delta Q _ { \mathrm { c o o l } } } { \Delta A } } \leq { \frac { T _ { \mathrm { c o o l } } } { T _ { \mathrm { h o t } } - T _ { \mathrm { c o o l } } } } ,
\left( \vec { E } _ { g } ( r , \cos \theta ) \right) _ { r } = - \frac { \partial \phi ( r , \cos \theta ) } { \partial r } = - \frac { 2 m } { r ^ { 2 } } + \frac { 8 m ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \frac { 3 } { 2 } f _ { 3 } ( \cos \theta ) \frac { m ^ { 3 } } { r ^ { 4 } } + 2 f _ { 4 } ( \cos \theta ) \frac { m ^ { 4 } } { r ^ { 5 } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { d _ { e } ( a , g ) } & { \leq d _ { e } ( a , [ c _ { 0 } ] _ { e } ) + d _ { e } ( [ c _ { 0 } ] _ { e } , g ) } \\ & { < \frac { 1 } { 3 } \varepsilon + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { e } ( c _ { n } , c _ { n + 1 } ) } \\ & { < \frac { 1 } { 3 } \varepsilon + e ( c _ { 0 } , b ) + \frac { 4 } { 3 } \frac { 1 } { 4 } \varepsilon } \\ & { < \frac { 1 } { 3 } \varepsilon + f ( a ) + \frac { 1 } { 3 } \varepsilon + \frac { 1 } { 3 } \varepsilon } \\ & { = f ( a ) + \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf M a g } P } & { = \# P + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { a _ { 0 } \neq \dots \neq a _ { k } } q ^ { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) + \dots + d ( a _ { k - 1 } , a _ { k } ) } } \\ & { = \# P + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { a _ { 0 } < \dots < a _ { k } } q ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \dim \Delta ( P ) } ( - 1 ) ^ { k } \# \{ a _ { 0 } < \dots < a _ { k } \} q ^ { k } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } = B \left( t , X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } , \mathcal { L } ( X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } ) , Y _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } \right) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , X _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \ge 0 , } \\ { \, \mathrm { d } Y _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } = - F \left( t , X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } , \mathcal { L } ( X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } ) , Y _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } , \sigma ^ { \operatorname { T } } ( t , X _ { t } ) z ( t , X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } ) \right) \, \mathrm { d } t + z ( t , X _ { t } ^ { y _ { 0 } , z } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \ge 0 , } \\ { X _ { 0 } ^ { y _ { 0 } , z } \sim \mu _ { 0 } , \qquad Y _ { 0 } ^ { y _ { 0 } , z } = y _ { 0 } ( X _ { 0 } ^ { y _ { 0 } , z } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { { } } & { \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { P E R } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } } & { \exp \left( - \frac { 2 } { l _ { \alpha } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \left| \alpha - \alpha ^ { \prime } \right| } { 2 } \right) \right) } \\ & { \cdot \exp \left( - \frac { 2 } { l _ { \beta } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \left| \beta - \beta ^ { \prime } \right| } { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon _ { A k } = \left( 1 - \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { k } \frac { 1 - \Gamma _ { k } } { b _ { k } } - \left( \frac { V _ { A } ^ { 2 } } { b } \frac { k _ { \parallel } b k _ { \parallel } } { \omega ^ { 2 } } \right) _ { k } \sigma _ { * k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< { \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } } \right> _ { \theta } = 0 , } \\ { \left< { \frac { \partial F ^ { \left( 1 \right) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } | U | ^ { 2 } \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta } & { = \frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \left[ \frac { 2 \overline { { U f } } \mathcal { F } _ { 1 } } { \zeta - \zeta _ { k } } - \frac { \overline { { ( \zeta - \zeta _ { k } ) f f _ { \zeta } U ^ { 2 } } } } { \zeta - \zeta _ { k } } \right] \, d \zeta } \\ & { = \operatorname { R e } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { \overline { { w _ { z } f } } \mathcal { F } _ { 1 } } { \zeta - \zeta _ { k } } \, d \zeta + \frac 1 2 \operatorname { R e } \overline { { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { w _ { \zeta } ^ { 2 } f } { f _ { \zeta } } \, d \zeta } } . } \end{array}
N _ { \rightleftarrows } = \frac { N m } { 4 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \xi } d \xi \int _ { 0 } ^ { \xi } e ^ { - \zeta / 2 } d \zeta + \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \xi / 2 } d \xi \int _ { \xi } ^ { \infty } e ^ { - \zeta } d \zeta \right) = \frac { N m } { 3 }
m _ { 0 } \triangleq \operatorname* { i n f } \left\{ m : m \ge \left( 6 K ^ { \frac 1 2 } \right) ^ { \frac 2 \delta } + 1 , f ( m ^ { \prime } ) \le \frac \epsilon 2 \space \forall m ^ { \prime } \ge m \right\} \le \left( ( 1 + C _ { V } ) M ^ { \frac 1 2 } K ^ { \frac 3 4 } \ln K \epsilon ^ { - 1 } \right) ^ { \operatorname { \mathcal O } ( 1 / \delta ) }
\ensuremath { \vert { \Phi } _ { \alpha } \rangle } = \Biggr \vert \prod _ { q = 1 } ^ { \infty } { n } _ { q } ^ { \alpha } \Biggr \rangle = \prod _ { q = 1 } ^ { \infty } ( { \hat { c } ^ { \dagger } } _ { q } ) ^ { { n } _ { q } ^ { \alpha } } \ensuremath { \vert 0 \rangle } ,
2 \pi G _ { I I } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { c } { { \displaystyle \displaystyle \frac { i } { p } \left[ \coth \displaystyle \frac { \theta } { p } \: \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) + \coth \displaystyle \frac { ( i \pi - \theta \, \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) ) } { p } \right] \qquad \mathrm { i f } \quad p > 1 } } \\ { { \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) \: i \left[ \displaystyle \frac { 1 } { \sinh \theta } + \displaystyle \frac { 1 } { \sinh ( \theta - i \pi p \, \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) ) } \right] \qquad \mathrm { i f } \quad p < 1 } } \end{array} \right.
\frac { d \mathrm { ~ N ~ u ~ } } { d \mathbf { c } } = - \frac { d \mathrm { ~ N ~ u ~ } } { d \mathbf { T } } \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { T } } ^ { - 1 } \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { \Psi } } \frac { d \mathbf { \Psi } } { d \mathbf { c } } = - \mathbf { q } ^ { T } \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { \Psi } } \frac { d \mathbf { \Psi } } { d \mathbf { c } } \quad ; \quad \frac { d \mathrm { ~ N ~ u ~ } } { d L _ { x } } = - \mathbf { q } ^ { T } \frac { d \mathbf { r } } { d L _ { x } } - \mathbf { q } ^ { T } \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { \Psi } } \frac { d \mathbf { \Psi } } { d L _ { x } } .
{ \frac { \delta } { \delta \psi _ { \alpha } ^ { a } ( x ) } } = \int d z \int d y { \frac { \delta \sigma _ { \beta \rho } ( y , z ) } { \delta \psi _ { \alpha } ^ { a } ( x ) } } { \frac { \delta } { \delta \sigma _ { \beta \rho } ( y , z ) } } = - \int d y \bar { \psi } _ { \beta } ^ { a } ( y ) { \frac { \delta } { \delta \sigma _ { \beta \alpha } ( y , x ) } }
G = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { a _ { 1 , 3 } } & { a _ { 1 , 4 } } & { \cdots } & { a _ { 1 , s - 3 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { a _ { 2 , 3 } } & { a _ { 2 , 4 } } & { \cdots } & { a _ { 2 , s - 3 } } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { a _ { 3 , 1 } } & { a _ { 3 , 2 } } & { a _ { 3 , 3 } } & { a _ { 3 , 4 } } & { \cdots } & { a _ { 3 , s - 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \dot { \mathrm { H } } _ { 0 } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } \, \dot { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) = \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , 0 } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ^ { \mathrm { I F , a d d . } } ( \phi ) } & { { } = ( 1 - \kappa ) ^ { \frac { 1 } { \epsilon } \left( 1 - \frac { I } { \gamma } \left( 1 - ( 1 - \frac { \gamma } { I } \right) ^ { \phi } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \rho } \gamma _ { i j } + f _ { i j } ) \, , \qquad \varphi _ { i } = \partial _ { \rho } a _ { i } \, , \qquad f _ { i j } = D _ { i } a _ { j } - D _ { j } a _ { i } \, , } \\ { \tilde { \Gamma } ^ { i } _ { j k } } & { = \frac { 1 } { 2 } \gamma ^ { i m } ( D _ { j } \gamma _ { m k } + D _ { k } \gamma _ { j m } - D _ { m } \gamma _ { j k } ) - ( a _ { j } \delta ^ { i } _ { k } + a _ { k } \delta ^ { i } _ { j } - a ^ { i } \gamma _ { j k } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \tau _ { \alpha } } \hat { V } ( \Phi ^ { n } ) r ^ { n } \right] } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in \alpha } \hat { V } ( x ) \mathbb { E } _ { x } [ r ^ { \tau _ { \alpha } } ] + \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \tau _ { \alpha } - 1 } \hat { V } ( \Phi ^ { n } ) r ^ { n } \right] } \\ { \mathbb { E } _ { \alpha } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \tau _ { \alpha } } \hat { V } ( \Phi ^ { n } ) r ^ { n } \right] } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in \alpha } \hat { V } ( x ) \mathbb { E } _ { \alpha } [ r ^ { \tau _ { \alpha } } ] + \mathbb { E } _ { \alpha } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \tau _ { \alpha } - 1 } \hat { V } ( \Phi ^ { n } ) r ^ { n } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \psi ( t ) } & { { } = } & { \sin ^ { 2 } { \psi } + g _ { 2 } ( t ) \cos ^ { 2 } { \psi } , } \\ { \frac { d } { d t } \big [ t \lambda _ { 1 } ( t ) \big ] } & { { } = } & { \big [ g _ { 2 } ( t ) - 1 \big ] \sin { \psi } \cos { \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i \hat { A } } \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } e ^ { - i \hat { A } } } & { { } = \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } + i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { \phi } _ { n \nu } ^ { \dagger } + \frac { i ^ { 2 } } { 2 ! } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \hat { \phi } _ { n \nu } ^ { \dagger } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } _ { s } } \\ { \widehat { t } _ { \sigma } } \\ { \widehat { t } _ { \theta } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } \\ { - \alpha ^ { \prime } } & { 0 } & { \gamma ^ { \prime } } \\ { - \beta ^ { \prime } } & { - \gamma ^ { \prime } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \widehat { t } _ { s } } \\ { \widehat { t } _ { \sigma } } \\ { \widehat { t } _ { \theta } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \ddot { x } } & { = - K _ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) \sin ( \theta ) + K _ { 2 } ( \Omega _ { 1 } + \Omega _ { 2 } ) \dot { x } } \\ { \ddot { y } } & { = K _ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) \cos ( \theta ) - g + K _ { 2 } ( \Omega _ { 1 } + \Omega _ { 2 } ) \dot { y } } \\ { \ddot { \theta } } & { = K _ { 3 } ( \Omega _ { 2 } ^ { 2 } - \Omega _ { 1 } ^ { 2 } ) , } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { k } } = [ M _ { k i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { i } } = [ I _ { k j } ] [ P _ { j } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] [ I _ { j i } ] [ P _ { i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { i } } ,
\P ( \Lambda ) = \left\{ z \in \Gamma \, \bigg | \, \begin{array} { l } { \exists y \in \Lambda \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \| z - y \| _ { 2 } < w } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \| z - y \| _ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { \zeta \in \Gamma } \| \zeta - y \| _ { 2 } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { r a d } } } & { { } = \frac { \omega } { 2 } \int _ { V } \int _ { V ^ { \prime } } \mathbf { P } ( \mathbf { x } ) \operatorname { I m } \mathbb { G } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathbf { P } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } \end{array}
A _ { F B , N S } ^ { ( 2 ) } = A _ { F B } ^ { ( 2 ) ; \mathrm { \footnotesize ~ f i n i t e } } - \frac { \sigma _ { A } ^ { ( 0 ) } } { \sigma _ { S } ^ { ( 0 ) } } \int E _ { S } = A _ { F B } ^ { ( 2 ) ; \mathrm { \footnotesize ~ f i n i t e } } - A _ { F B } ^ { ( 0 ) } \int E _ { S } \; ,
\mathrm { I m } [ G _ { \chi _ { j } } ^ { + + } ( { \bf q } , t - t ^ { \prime } ) ] _ { t > t ^ { \prime } } ^ { 2 } = - \frac { \exp ( - 2 \Gamma _ { \chi _ { j } } | t - t ^ { \prime } | ) } { 4 \omega _ { \chi _ { j } } ^ { 2 } } \sin ( 2 \omega _ { \chi _ { j } } | t - t ^ { \prime } | ) \; .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { x } f ( x ) = [ f _ { 1 } ( x ) , f _ { 2 } ( x ) , . . . . , f _ { F } ( x ) ] ^ { T } } \\ & { \mathrm { s . t . } \quad g _ { i } ( x ) \le 0 \quad \forall i \in \{ 1 , . . . , N \} } \\ & { h _ { j } ( x ) = 0 \quad \forall j \in \{ 1 , . . . , M \} } \\ & { x = [ x _ { 1 } , x _ { 2 } , . . . , x _ { K } ] ^ { T } \in \mathcal { S } \subset \mathbb { R } ^ { K } } \end{array}