harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | \check { u } ( \cdot , \cdot , a ) | } & { \leq | \check { u } ( \cdot , \cdot , 1 ) | + C ( S ) | a - 1 | \leq C ( S ) ( \| u \| _ { C ^ { 0 } , S \times [ 0 , 1 ] } + | a - 1 | ) ; } \\ { \| D \check { u } ( \cdot , \cdot , a ) \| } & { = \left\| D \rho _ { S } \big | _ { a \mathbf { G } } \cdot a \left( \partial _ { x } \mathbf { G } \cdot D \mathbf { Q } _ { a , u } + \partial _ { y } \mathbf { G } \cdot D u \cdot D \mathbf { P } _ { a , u } ^ { - 1 } \right) \right\| } \\ & { = a \left\| \left( D \rho _ { S } \big | _ { a \mathbf { G } } - D \rho _ { S } \big | _ { \mathbf { G } } \right) \cdot \partial _ { x } \mathbf { G } \cdot D \mathbf { Q } _ { a , u } + D \rho _ { S } \big | _ { a \mathbf { G } } \cdot \partial _ { y } \mathbf { G } \cdot D u \cdot D \mathbf { P } _ { a , u } ^ { - 1 } \right\| } \\ & { \leq C ( S ) ( | a - 1 | + \| u \| _ { C ^ { 1 } , S \times [ 0 , 1 ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ( \vec { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { i , j } ^ { i + j < r + m + n } a _ { i , j } x ^ { i } y ^ { j } e ^ { - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } & { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } < r _ { c } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { T + 1 } - E _ { T } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert x ^ { T + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert x ^ { T } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \gamma _ { T } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { T + 1 } ) - \operatorname* { i n f } F \right] - \gamma _ { T - 1 } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { T } ) - \operatorname* { i n f } F \right] } \\ & { \quad + \gamma _ { T } ( 1 - 4 \gamma _ { T } L _ { \operatorname* { m a x } } ) \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { T } ) - \operatorname* { i n f } F \right] - 2 \sigma _ { F } ^ { * } \gamma _ { T } ^ { 2 } . } \end{array}
h _ { \ell } ^ { \prime \prime } ( i t , r ) = - 2 t \xi _ { \ell } ( t r ) h _ { \ell } ^ { \prime } ( i t , r ) + \left[ \sigma ( r ) - 2 t ^ { 2 } \left. \frac { d \xi _ { \ell } ( \tau ) } { d \tau } \right| _ { \tau = t r } \right] h _ { \ell } ( i t , r )
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] \overset { \leq } \delta \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \| F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } + 2 \sigma _ { * } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { ( \delta + L ^ { 2 } ) \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \sigma _ { * } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( m ; \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Delta = \Delta ^ { * } + ( 1 - \Delta ^ { * } ) ( \frac { r } { r + \mu } ) ^ { r } , } & { m = 0 } \\ { ( 1 - \Delta ) \frac { \Gamma ( r + m ) } { \Gamma ( r ) m ! } \frac { ( \frac { \mu } { r + \mu } ) ^ { m } } { ( \frac { r } { r + \mu } ) ^ { - r } - 1 } , } & { m = 1 , 2 , \dots } \end{array} \right. , } \end{array}
( \cosh \beta \cdot \hat { P } , \chi _ { l } ) _ { P B } = e ^ { \beta } \partial + e ^ { - \beta } \partial e ^ { 2 \beta _ { l } } \Delta _ { l } = ( e ^ { \beta } - e ^ { - \beta } e ^ { 2 \beta _ { l } } \Delta _ { l } ) \partial .
L = \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { i } \Lambda ^ { i j } \dot { \Gamma } _ { j } - \rho ( \Gamma ) = q _ { i } \dot { x } _ { i } + \frac { B } { 2 } \epsilon _ { i j } x _ { i } \dot { x } _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { q _ { i } ^ { 2 } } { m } + k x _ { i } ^ { 2 } \right)
\left( \begin{array} { l } { { \tilde { P } } } \\ { { \tilde { Q } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \cos \tilde { \varphi } } } & { { - \sin \tilde { \varphi } } } \\ { { \sin \tilde { \varphi } } } & { { \cos \tilde { \varphi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \tilde { F } _ { 1 } } } \\ { { \tilde { F } _ { 2 } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l } { f ( x _ { m } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { b } } F ( \theta _ { j } ) \delta _ { h } ^ { ( n ) } \left( x _ { m } - X ( \theta _ { j } ) \right) \Delta \theta , } \\ { U ( \theta _ { j } ) = \sum _ { m = 1 } ^ { N } u ( x _ { m } ) \delta _ { h } ^ { ( n ) } ( x _ { m } - X ( \theta _ { j } ) ) h , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { H = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Delta _ { _ i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j > i } ^ { N } \frac { 1 } { r _ { i j } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { Z } { r _ { i } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t \right) \right) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \left( 2 h ( 0 ) + \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } \right) \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \tan \left( \frac { \xi ( t ) } { 2 } \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \arctan \left( \tan \left( \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } \right) \right) - m _ { t } \frac { \pi } { 2 } . } \end{array}
\cdots \xrightarrow H _ { q } ( A ) \xrightarrow { \overline { { \iota } } _ { q } } H _ { q } ( X ) \xrightarrow { \overline { { \pi } } _ { q } } H _ { q } ( X , A ) \xrightarrow { \delta _ { q } } H _ { q - 1 } ( A ) \xrightarrow { \overline { { \iota } } _ { q - 1 } } H _ { q - 1 } ( X ) \xrightarrow { \overline { { \pi } } _ { q - 1 } } H _ { q - 1 } ( X , A ) \xrightarrow \cdots .
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { n } } & { : = a _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } W _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) } \\ & { + a _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } . ( I I ) _ { s _ { l } , t _ { l } , A } \, V _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) + a _ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m } \alpha _ { l } B _ { n , i , s _ { l } , t _ { l } } \right) } \end{array}
{ \frac { \kappa } { 4 \pi } } \partial _ { z } \Bigl ( \{ \xi _ { \alpha A } ( x ) , \xi _ { \beta R } ( z ) \} \; R _ { \beta \rho } ( z ) \Bigr ) = R _ { \rho \gamma } ^ { - 1 } ( z ) \; P _ { ( \alpha A ) ( \gamma R ) } ( x , z ) \quad .
( { \bar { x } } - 0 . 9 8 ; { \bar { x } } + 0 . 9 8 ) = ( 2 5 0 . 2 - 0 . 9 8 ; 2 5 0 . 2 + 0 . 9 8 ) = ( 2 4 9 . 2 2 ; 2 5 1 . 1 8 ) .
\begin{array} { r } { \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( 0 , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) = \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( \theta , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) \left[ 1 + \theta \sqrt { \lambda } \left( { \boldsymbol u } ( m ) ^ { T } R ( 0 , z ) { \boldsymbol u } ( m ) \right) \right] + O ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \Delta p / m _ { g } } d v _ { i , z } \, v _ { i , z } ( \Delta p / m _ { g } - v _ { i , z } ) \, e ^ { - \big ( v _ { i , z } ^ { 2 } + ( \Delta p / m _ { g } - v _ { i , z } ) ^ { 2 } \big ) \big / 2 \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { \, \sqrt { \pi } e ^ { - \Delta p ^ { 2 } \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( \frac { v _ { i , z } \overline { { v } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \Delta p \overline { { v } } ^ { 2 } } { 4 m _ { g } } \Big ) e ^ { - \big ( v _ { i , z } / \overline { { v } } - \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { \Delta p ^ { 2 } \overline { { v } } } { 4 m _ { g } ^ { 2 } } - \frac { \overline { { v } } ^ { 3 } } { 2 } \Big ) \Big ( 1 + \mathrm { e r f } \big ( v _ { i , z } / \overline { { v } } - \Delta p / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) \Big ) \bigg ] _ { 0 } ^ { \Delta p / m _ { g } } , } \end{array}
\sigma _ { i } ^ { s u b } = \int _ { p _ { T m } } ^ { p _ { T 5 m a x } } d p _ { T 5 } \; p _ { T 5 } ^ { - 1 - 2 \, \epsilon } \int _ { C _ { i } } d \phi _ { i 5 } \; d y _ { 5 } \; \phi _ { i 5 } ^ { - \, 2 \, \epsilon } \; \frac { 2 \, F ( p _ { T 5 } , 0 , y _ { i } ) } { ( y _ { i } - y _ { 5 } ) ^ { 2 } + \phi _ { i 5 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \dot { \eta } _ { 2 } = - ( 1 + u ) \frac { \gamma _ { 1 2 } } { \gamma _ { 1 1 } } \eta _ { 2 } ^ { 2 } - ( 1 + u ) \frac { \gamma _ { 1 2 } } { \gamma _ { 1 1 } } \eta _ { 2 } ^ { 3 } + O ( | \eta _ { 2 } | ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } : \quad \varnothing \stackrel { k _ { 2 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 2 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 2 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { r _ { 3 } : \quad \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 3 } } { \longrightarrow } 2 \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { r _ { 4 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + 2 \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 4 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { \mathbf { k } = [ 1 , 1 , 1 , 1 ] , } \end{array}
V _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ } } ( R ) = E _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } \mathrm { ~ H ~ e ~ } ^ { + } } \! ( R ) - E _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } } ( R ) - E _ { \mathrm { ~ B ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ H ~ e ~ } ^ { + } } \! ( R ) \ ,
\begin{array} { r } { J _ { \parallel } ( t ) = - \frac { 1 } { n } \frac { \sqrt { 3 } a ^ { 2 } q ^ { 2 } t _ { \mathrm { h o p } } } { 2 \pi \hbar } A _ { E } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { t } d t [ \partial _ { t } J _ { \parallel } ( t ) ] _ { \mathrm { c o r r } } } \end{array}
t _ { 3 } \frac { t _ { 0 } ^ { 5 } } { 5 ! } + 3 t _ { 1 } t _ { 2 } \frac { t _ { 0 } ^ { 4 } } { 4 ! } + 6 \frac { t _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 ! } \frac { t _ { 1 } ^ { 3 } } { 3 ! }
V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ^ { ( \Lambda ) } = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } \left[ a _ { 1 2 } + d _ { 1 } d _ { 2 } \frac { 8 } { 5 \pi } \Lambda + \frac { 2 a _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \pi } \Lambda \right]
\begin{array} { r l r } { \dot { a } } & { { } = } & { \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) a + \zeta a + i U | a | ^ { 2 } a + i 2 U | a | ^ { 2 } a + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { c c } ^ { \mu } } & { { } = D _ { c } D _ { c } x ^ { \mu } = D _ { c } \pi ^ { \mu } , } \\ { a _ { s s } ^ { \mu } } & { { } = D _ { s } D _ { s } x ^ { \mu } = D _ { s } u ^ { \mu } , } \\ { a _ { c s } ^ { \mu } } & { { } = D _ { c } D _ { s } x ^ { \mu } = D _ { c } u ^ { \mu } , } \\ { a _ { s c } ^ { \mu } } & { { } = D _ { s } D _ { c } x ^ { \mu } = D _ { s } \pi ^ { \mu } . } \end{array}
E ( \mathrm { d o u b l e ~ ~ b r a n c h } ) = \frac { 1 } { \alpha t } + \frac { t } { 6 \alpha } - \frac { t } { 4 \alpha } [ \beta ^ { 2 } + ( 1 - \beta ) ^ { 2 } ] + O ( t ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { s ^ { * } \omega ^ { 0 } } & { \to t ^ { * } \omega ^ { 0 } = \mathrm { d } y - p \mathrm { d } x , } \\ { s ^ { * } \omega ^ { 1 } } & { \to t ^ { * } \omega ^ { 1 } = \mathrm { d } x - b _ { 1 } ( \mathrm { d } y - p \mathrm { d } x ) , } \\ { s ^ { * } \omega ^ { 2 } } & { \to t ^ { * } \omega ^ { 2 } = \mathrm { d } p - F ( x , y , p ) \mathrm { d } x - b _ { 2 } ( \mathrm { d } y - p \mathrm { d } x ) , } \\ { s ^ { * } \theta _ { 1 } } & { \to t ^ { * } \theta _ { 1 } = \mathrm { d } b _ { 1 } + z _ { 1 1 } \mathrm { d } x + z _ { 1 2 } \mathrm { d } y + z _ { 1 3 } \mathrm { d } p , } \\ { s ^ { * } \theta _ { 2 } } & { \to t ^ { * } \theta _ { 2 } = \mathrm { d } b _ { 2 } + z _ { 2 1 } \mathrm { d } x + z _ { 2 2 } \mathrm { d } y + z _ { 2 3 } \mathrm { d } p , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { 4 1 } } & { = } & { \tilde { Q } _ { 4 1 } - \frac { \mu _ { g } } { \nu } \tilde { q } _ { 4 0 } } \\ { Q _ { 4 2 } } & { = } & { \tilde { Q } _ { 4 2 } + \frac { \mu _ { g } } { \nu } \tilde { q } _ { 4 0 } } \\ { \tilde { q } _ { 4 0 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 3 } \nu } [ ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 5 } \kappa ^ { 4 } - 4 \sigma ( 2 \sigma ^ { 4 } + 9 \sigma ^ { 2 } + 5 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \kappa ^ { 3 } } \\ & { } & { + 2 \sigma ^ { 2 } ( 9 \sigma ^ { 4 } + 1 6 \sigma ^ { 2 } - 9 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { } & { - 4 \sigma ^ { 3 } ( 4 \sigma ^ { 4 } - 9 \sigma ^ { 2 } - 7 ) \kappa + 5 \sigma ^ { 4 } ( \sigma ^ { 2 } - 5 ) ] } \\ { \tilde { Q } _ { 4 1 } } & { = } & { \tilde { q } _ { 4 1 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 1 6 \sigma ^ { 5 } \nu } [ ( 2 \sigma ^ { 6 } - 1 1 \sigma ^ { 4 } - 1 0 \sigma ^ { 2 } + 2 7 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } \kappa ^ { 3 } - \sigma ( 6 \sigma ^ { 8 } - 2 1 \sigma ^ { 6 } + 9 \sigma ^ { 4 } - 4 3 \sigma ^ { 2 } + 8 1 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { } & { + \sigma ^ { 2 } ( 6 \sigma ^ { 8 } - 1 5 \sigma ^ { 6 } - 7 7 \sigma ^ { 4 } + 7 1 \sigma ^ { 2 } - 8 1 ) \kappa - \sigma ^ { 3 } ( \sigma ^ { 2 } + 1 ) ( 2 \sigma ^ { 4 } - 7 \sigma ^ { 2 } - 2 7 ) ] } \\ { \tilde { q } _ { 4 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 3 2 \sigma ^ { 5 } \nu } [ ( 4 \sigma ^ { 6 } - 1 3 \sigma ^ { 4 } + 1 0 \sigma ^ { 2 } - 9 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } \kappa ^ { 3 } - \sigma ( 1 2 \sigma ^ { 8 } - 5 1 \sigma ^ { 6 } + 1 7 \sigma ^ { 4 } - \sigma ^ { 2 } - 9 ) ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { } & { + \sigma ^ { 2 } ( 1 2 \sigma ^ { 8 } - 6 7 \sigma ^ { 6 } + 3 3 \sigma ^ { 4 } - \sigma ^ { 2 } - 9 ) \kappa - \sigma ^ { 3 } ( 4 \sigma ^ { 6 } - 2 9 \sigma ^ { 4 } + 4 2 \sigma ^ { 2 } - 9 ) ] } \\ { q _ { 3 } } & { = } & { - \frac { \hat { \beta } } { \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { \tilde { Q } _ { 4 2 } } & { = } & { \tilde { q } _ { 4 2 } - 2 \frac { c _ { g } } { c _ { p } } q _ { 3 } } \end{array}
\bigl [ \begin{array} { l } { \epsilon _ { 1 , t } } \\ { \epsilon _ { 2 , t } } \end{array} \bigr ] \sim N \left( 0 , \bigl [ \begin{array} { l l } { 1 . 0 0 } & { 0 . 8 6 } \\ { 0 . 8 6 } & { 1 . 5 0 } \end{array} \bigr ] \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d X _ { 1 } } { d t } } & { { } = \sqrt { F } - X _ { 1 } + ( X _ { 1 } ^ { 2 } + Y _ { 1 } ^ { 2 } + B X _ { 2 } ^ { 2 } + B Y _ { 2 } ^ { 2 } - \Delta ) Y _ { 1 } , } \\ { \frac { d X _ { 2 } } { d t } } & { { } = \sqrt { F } - X _ { 2 } + ( X _ { 2 } ^ { 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } + B X _ { 1 } ^ { 2 } + B Y _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta ) Y _ { 2 } , } \\ { \frac { d Y _ { 1 } } { d t } } & { { } = - Y _ { 1 } - ( X _ { 1 } ^ { 2 } + Y _ { 1 } ^ { 2 } + B X _ { 2 } ^ { 2 } + B Y _ { 2 } ^ { 2 } - \Delta ) X _ { 1 } , } \\ { \frac { d Y _ { 2 } } { d t } } & { { } = - Y _ { 2 } - ( X _ { 2 } ^ { 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } + B X _ { 1 } ^ { 2 } + B Y _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta ) X _ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { G } _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { s } , \omega _ { a } ) = A _ { \mu } ( \omega _ { \mathrm { a } } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { s } )
\begin{array} { r l } { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } + d \alpha ^ { 3 } ) + ( e + f \alpha + g \alpha ^ { 2 } + h \alpha ^ { 3 } ) } & { { } = ( a + e ) + ( b + f ) \alpha + ( c + g ) \alpha ^ { 2 } + ( d + h ) \alpha ^ { 3 } } \\ { ( a + b \alpha + c \alpha ^ { 2 } + d \alpha ^ { 3 } ) ( e + f \alpha + g \alpha ^ { 2 } + h \alpha ^ { 3 } ) } & { { } = ( a e + b h + c g + d f ) + ( a f + b e + b h + c g + d f + c h + d g ) \alpha \; + } \end{array}
\mathrm { V a r } ( \mathcal { Y } ( J , \left( \gamma _ { j } \right) _ { j } , \left( T _ { j } \right) _ { j } , f ) ) \lesssim _ { r , \delta , \kappa } [ f ] _ { 1 } ^ { 2 } \left( \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { \gamma _ { j } ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } } { T _ { j } } + \frac { \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 2 ) } } } { T _ { 0 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \mathrm { A u } } ( \omega ) = \varepsilon _ { \infty } } & { - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + i \gamma _ { p } ) } } \\ & { + \sum _ { j = 1 , 2 } A _ { j } \omega _ { j } \biggl [ \frac { e ^ { i \varphi _ { j } } } { \omega _ { j } - \omega - i \gamma _ { j } } + \frac { e ^ { - i \varphi _ { j } } } { \omega _ { i } + \omega + i \gamma _ { j } } \biggr ] , } \end{array}
D _ { i j } ( x , y ) = \sum _ { \bf k } \frac { 1 } { 2 k } \left( \delta _ { i j } + \frac { k _ { i } k _ { j } } { k _ { 3 } { } ^ { 2 } } \right) e ^ { i \left[ { \bf k \cdot ( x - y ) } - k | x _ { 0 } - y _ { 0 } | \right] } ,
\begin{array} { r l } { { S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , s h } } } & { { } { = S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } = 0 , } } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , s h } } } & { { } { = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 p ( 1 - p ) \int d E ( f - f _ { 0 } ) ^ { 2 } , } } \\ { { S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , s h } } } & { { } { = ( 1 - T ) S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , s h } } . } \end{array}
\Sigma _ { 2 } = \frac { 6 4 } { \pi ^ { 4 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sigma _ { n , m , l } ^ { ( 2 ) } \right) ^ { 2 }
F \left[ - i { \frac { \delta } { \delta J } } \right] G [ J ] = ( - i ) ^ { n } { \frac { \partial ^ { k _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } } } { \frac { \delta } { \delta J ( x _ { 1 } ) } } \cdots { \frac { \partial ^ { k _ { n } } } { \partial x _ { n } ^ { k _ { n } } } } { \frac { \delta } { \delta J ( x _ { n } ) } } G [ J ] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E _ { 1 , 2 } } } & { = \mathrm { \frac { E _ { 1 } + E _ { 2 } } { 2 } - i \frac { \hbar { ( \ g a m m a _ { 1 } + \ g a m m a _ { 2 } ) } } { 2 } } } \\ & { \mathrm { \pm \sqrt { [ \frac { E _ { 1 } - E _ { 2 } } { 2 } - i \frac { \hbar ( \ g a m m a _ { 1 } - \ g a m m a _ { 2 } ) } { 2 } ] ^ { 2 } + ( \hbar \ k a p p a - i \hbar e ^ { i \ v a r p h i } \sqrt { \ g a m m a _ { 1 } \ g a m m a _ { 2 } } ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle ( x ( t ) - \mu ) ^ { 3 } \rangle } & { = } & { \left( \frac { 3 \Gamma ( 2 + 2 H ) v } { \Gamma ( 1 + \alpha + 2 H \alpha ) } - \frac { 3 \Gamma ( 2 + 2 H ) v } { ( 1 + 2 H ) \Gamma ( 1 + 2 H \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) } \right) t ^ { 2 H \alpha + 2 \alpha } } \\ & { } & { + \left( \frac { 6 v ^ { 3 } } { \Gamma ( 1 + 3 \alpha ) } - \frac { 6 v ^ { 3 } } { \Gamma ( 1 + 2 \alpha ) \Gamma ( 1 + \alpha ) } + \frac { 2 v ^ { 3 } } { \Gamma ( 1 + \alpha ) ^ { 3 } } \right) t ^ { 3 \alpha } , } \end{array}
D _ { K L } \Big ( q _ { \theta } ( z | x ^ { \star } ) \ | | \ p ( z | x ^ { \star } ) \Big ) \approx - \frac { d } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \log ( d _ { k n n } ( z _ { m } ) ) + \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \Big [ - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log p ( x _ { i } ^ { \star } | z _ { m } ) + \frac { 1 } { 2 } | | z _ { m } | | ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) \leq ( 1 + \gamma ) \operatorname* { m i n } _ { \lambda \in \Lambda } [ \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 1 } } { \gamma } \xi ( \widetilde { \lambda } , \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \ \mathrm { T r i p l e t } \ \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( | \nearrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \nearrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } - | \searrow \ \rangle _ { \mathrm { s } } | \searrow \ \rangle _ { \mathrm { o } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle P _ { c l } ( t ) \rangle _ { { S _ { K } } } = \int D [ P ] ~ e ^ { { { i } } ( { \cal S } _ { 2 } + { \cal S } _ { 4 } ) } P _ { c l } ( t ) } \\ & { = } & { \langle P _ { c l } ( t ) \rangle _ { \mathrm { { { \cal S } _ { 2 } } } } + i \langle P _ { c l } ( t ) { \cal S } _ { 4 } \rangle _ { \mathrm { { \cal S } _ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 } \langle P _ { c l } ( t ) \left( { \cal S } _ { 4 } \right) ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { { { \cal S } _ { 2 } } } } + . . . . , } \\ & { } & \end{array}
\langle 0 | \mathrm { T } \phi ( x ) \phi ( y ) | 0 \rangle = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { i } { ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
U ( r ) = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } + 1 } } \biggl ( \epsilon + { \frac { l ^ { 2 } } { 2 } } \biggr ) = { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { 1 + b ^ { 2 } } { 1 + r ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { { C R M S E } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \sqrt { \sum _ { v ^ { \prime } \in V } p ( v ^ { \prime } ) \Big ( p ( u | v ^ { \prime } ) - p ( u | v ^ { ' ( n ) } ) \Big ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { L } _ { s } ( t ) } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { s } } ( L _ { s } ( t ) + B _ { s } P _ { c i r c } ( t ) ) } \\ { \dot { L } _ { f } ( t ) } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { f } } ( L _ { f } ( t ) + B _ { f } P _ { c i r c } ( t ) ) } \end{array}
i \partial _ { t } \Tilde { c } _ { a } ( t ) = \tilde { \Omega } _ { a g } \left( 1 - \frac { i } { q } \right) \Tilde { c } _ { g } ( t ) - \left( Δ + i \frac { Γ } { 2 } \right) \Tilde { c } _ { a } ( t ) ,
\begin{array} { r l } & { U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) : = \varepsilon { \sum _ { j _ { k } \in S } \sqrt { | j _ { k } | ( \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } y _ { k } ) } e ^ { \mathrm { i } \theta _ { k } } } e ^ { \mathrm { i } j _ { k } x } + \varepsilon ^ { b } z { = : \varepsilon v _ { \varepsilon } ( \theta , y ) } + \varepsilon ^ { b } z , } \\ & { \zeta _ { - k } : = \zeta _ { k } , \quad y _ { - k } = y _ { k } , \quad \theta _ { - k } = - \theta _ { k } , \quad k = 1 , \ldots , \nu , \quad \varepsilon > 0 \quad b - 1 \in ( 0 , \frac { 1 } { 1 2 } ) . } \end{array}
h ^ { \ast } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { - B - \sqrt { B ^ { 2 } - 4 A C } } { 2 A } } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } A \neq 0 } \\ { - \frac { C } { B } } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } A = 0 . } \end{array} \right.
g ^ { * } h _ { \alpha \beta \gamma } ^ { B } \: = \: \left( h _ { \alpha \beta \gamma } ^ { B } \right) \, \left( \nu _ { \alpha \beta \gamma } ^ { F g } \right) ^ { - 1 } \, \left( \nu _ { \alpha \beta \gamma } ^ { R g } \right) \, \left( \kappa _ { \alpha \beta } ^ { g } \right) \, \left( \kappa _ { \beta \gamma } ^ { g } \right) \, \left( \kappa _ { \gamma \alpha } ^ { g } \right)
\begin{array} { r } { B _ { n m } = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { 1 } r q _ { v r } ( r ) q _ { v z } ( z ) J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) \textrm { d } r \textrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mu \sigma } } & { = \Gamma _ { \, \, \, \mu \sigma , \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, \sigma \nu , \mu } ^ { \nu } + \Gamma _ { \, \, \, \mu \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \, \, \, \lambda \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, \mu \lambda } ^ { \nu } \Gamma _ { \, \, \, \nu \sigma } ^ { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( x , p ; y , q ) \equiv { \sum } _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } R ( x , p ; y _ { j } ) = { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } f ( u ( x _ { i } ) - u ( y _ { j } ) ) p _ { i } q _ { j } , } \end{array}
\dot { \mho } _ { \ell , m , n } [ F ] = ( \cap _ { j = 1 } ^ { \ell } \dot { \Omega } _ { \ell , m , n } [ F ] ^ { \sigma _ { j } } ) \cap ( \cap _ { j = \ell } ^ { \ell + m } \dot { \Omega } _ { \ell - 1 , m + 1 , n } [ F ] ^ { \sigma _ { j } } ) \cap ( \cap _ { j = \ell + m } ^ { N } \dot { \Omega } _ { \ell - 1 , m , n + 1 } [ F ] ^ { \sigma _ { j } } ) .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ^ { \prime } ) \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \mathbf { E } \langle E G _ { s } \mathcal { A } _ { s } E ^ { \prime } \mathcal { A } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } \rangle } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ^ { \prime } ) \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \mathbf { E } \langle E G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } \tilde { E } G _ { s } \mathcal { A } _ { s } \rangle \langle E ^ { \prime } G _ { s } \tilde { E } ^ { \prime } ( G _ { s ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { s ^ { \prime } } ) ^ { * } \rangle \, , } \end{array}