harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { ( 1 - \epsilon ) \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } \leq q _ { t } ^ { u , v , r } \leq ( 1 + \epsilon ) \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } } \end{array}
\mathrm { R u n t i m e } = { \frac { \mathrm { I n s t r u c t i o n s } } { \mathrm { P r o g r a m } } } \times { \frac { \mathrm { C y c l e s } } { \mathrm { I n s t r u c t i o n } } } \times { \frac { \mathrm { T i m e } } { \mathrm { C y c l e } } } ,
f = E ^ { 3 } - 2 \tilde { \Delta } E ^ { 2 } + ( \tilde { \Delta } ^ { 2 } + \tilde { \gamma } ^ { 2 } - \tilde { \Omega } ^ { 2 } / 2 - 1 ) E \, + ( \tilde { \Delta } + 1 ) \tilde { \Omega } ^ { 2 } / 2 = 0 .
\Lambda _ { t r a } ^ { 2 } = \frac { \omega ^ { 2 } \omega _ { b i } ^ { 2 } } { \omega _ { A } ^ { 2 } { \bar { \omega } } _ { D i } ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } } { \sqrt { 2 \epsilon } } \big [ P _ { 3 } + ( P _ { 2 } - P _ { 3 } ) { S _ { f } } ( \omega , { \bar { \omega } } _ { D i } , \omega _ { b i } , \omega _ { t i } ) \big ] ,
+ \frac { \frac { 1 } { 2 } R ^ { \prime } ( y _ { 0 } ) \left( \wp ( x ; g _ { 2 } , g _ { 3 } ) - \frac { 1 } { 2 4 } R ^ { \prime \prime } ( y _ { 0 } ) \right) \pm \wp ^ { \prime } ( x ; g _ { 2 } , g _ { 3 } ) \sqrt { R ( y _ { 0 } ) } + \frac { 1 } { 2 4 } R ( y _ { 0 } ) R ^ { \prime \prime \prime } ( y _ { 0 } ) } { 2 \left( \wp ( x ; g _ { 2 } , g _ { 3 } ) - \frac { 1 } { 2 4 } R ^ { \prime \prime } ( y _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 8 } R ( y _ { 0 } ) R ^ { \prime \prime \prime \prime } ( y _ { 0 } ) } ,
\Delta = \frac { 1 } { 2 } \left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + W _ { - , \nu } ^ { 2 } - \nu + 1 - ( W _ { - , \nu } ^ { \prime } - \nu + 1 ) \right] \cdot J _ { 3 } ^ { 2 } - 2 .
\begin{array} { r l } { \| h _ { 1 } \| _ { s , 3 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } } & { \leq \big \| \omega \cdot \partial _ { \bf x } h _ { 2 } - \Pi _ { \bot } Q _ { \mathtt m } ( y ) h _ { 1 } - f _ { 2 } + { \cal R } _ { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] \big \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } } \\ & { \leq \| h _ { 2 } \| _ { s + 1 , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| f _ { 2 } \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| Q _ { \mathtt m } ( y ) h _ { 1 } \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \cal R } _ { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } } \\ & { \lesssim _ { s } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s + 1 } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s _ { 0 } } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \, . } \end{array}
\xi \left( x _ { 2 } \right) \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + 2 ( l _ { \mathrm { s l i p } } / l _ { 2 } ) } \left[ 2 \left( \frac { l _ { \mathrm { s l i p } } } { l _ { 2 } } \right) + 2 \left( \frac { x _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) - \left( \frac { x _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] } & { \mathrm { f o r ~ } x _ { 2 } \in ( 0 , l _ { 2 } ) , } \\ { 1 } & { \mathrm { f o r ~ } x _ { 2 } \in ( l _ { 2 } , L _ { 2 } - l _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { 1 + 2 ( l _ { \mathrm { s l i p } } ^ { \prime } / l _ { 2 } ) } \left[ 2 \left( \frac { l _ { \mathrm { s l i p } } ^ { \prime } } { l _ { 2 } } \right) + 2 \left( \frac { L _ { 2 } - x _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) - \left( \frac { L _ { 2 } - x _ { 2 } } { l _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] } & { \mathrm { f o r ~ } x _ { 2 } \in ( L _ { 2 } - l _ { 2 } , L _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \cos \theta _ { \mathrm { l g } } } & { { } = \frac { 1 } { \xi _ { h + \zeta } } , } & { \sin \theta _ { \mathrm { l g } } } & { { } = \frac { \partial _ { x } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } } , } \\ { \cos \theta _ { \mathrm { b l } } } & { { } = \frac { 1 } { \xi _ { \zeta } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { \sin \theta _ { \mathrm { b l } } } & { { } = \frac { \partial _ { x } \zeta } { \xi _ { \zeta } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { 0 } : = \left\{ \omega \in \Omega _ { \varepsilon } : | \omega \cdot l | > \gamma | l | ^ { \tau } , \quad \forall l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } \backslash \left\{ 0 \right\} \right\} , \quad \gamma : = \varepsilon ^ { 2 b } \mathrm { ~ ( r e c a l l ~ b > 1 ~ f r o m ~ ) } , \quad \tau : = \frac { 2 } { \alpha - 1 } + \nu + 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ( t ) - \gamma ( 0 ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \gamma } ( \tau ) d \tau = \int _ { 0 } ^ { t } \left[ | \beta ( \tau ) | ^ { 2 } - | X ( \tau ) | ^ { 2 } \right] d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left\{ \sum _ { l = 1 } ^ { d } 2 a _ { l } \cos ( \theta _ { l } ( \tau ) ) ^ { 2 } - \sum _ { l = 1 } ^ { d } 2 a _ { l } \sin ( \theta _ { l } ( \tau ) ) ^ { 2 } \right\} d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \sum _ { l = 1 } ^ { d } a _ { l } \left( \cos ( \theta _ { l } ( \tau ) ) ^ { 2 } - \sin ( \theta _ { l } ( \tau ) ) ^ { 2 } \right) d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { l = 1 } ^ { d } 2 a _ { l } \cos ( 2 \theta _ { l } ( \tau ) ) d \tau } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { d } \frac { a _ { l } } { 2 } \left[ \sin ( 2 \theta _ { l } ( t ) ) - \sin ( 2 \theta _ { l } ( 0 ) ) \right] , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \mathbf { l } } { \mathrm { d } p } = \frac { \partial \mathbf { l } } { \partial \mathbf { u } } \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial p } + \frac { \partial \mathbf { l } } { \partial p } = \mathbf { A } \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial p } + \left( \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial p } \mathbf { u } - \frac { \partial \mathbf { b } } { \partial p } \right) = 0 ,
Z ( u ) = \prod _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin \left[ \widetilde { \gamma } ( ( 2 p - 1 ) i \pi - u ) \right] \sin \left[ \widetilde { \gamma } ( 2 p i \pi + u ) \right] } { \sin \left[ \widetilde { \gamma } ( ( 2 p - 1 ) i \pi + u ) \right] \sin \left[ \widetilde { \gamma } ( 2 p i \pi - u ) \right] } .
A _ { 2 } \leq \frac { \mu \alpha \beta \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 l _ { g } \rho } , \quad A _ { 3 } \leq \frac { \mu \beta \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 8 l _ { g } \rho } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } | x _ { t } - y _ { t } | ^ { 2 } } & { = - 2 \langle x _ { t } - y _ { t } , h ( x _ { t } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( y _ { t } ) \rangle } \\ & { = - 2 \langle x _ { t } - y _ { t } , h ( x _ { t } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( x _ { t } ) \rangle - 2 \langle x _ { t } - y _ { t } , h _ { M Y , \epsilon } ( x _ { t } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( y _ { t } ) \rangle } \\ & { \leq \frac { m } { 2 } | x _ { t } - y _ { t } | ^ { 2 } + \frac { 2 } { m } | h ( x _ { t } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( x _ { t } ) | ^ { 2 } - m | x _ { t } - y _ { t } | ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { m } { 2 } | x _ { t } - y _ { t } | ^ { 2 } + \frac { 2 } { m } | h ( x _ { t } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( x _ { t } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { ( z _ { 1 } + i z _ { 2 } ) \xi _ { 1 } - ( z _ { 3 } + i z _ { 4 } ) \xi _ { 2 } = 0 } } \\ { { ( z _ { 3 } - i z _ { 4 } ) \xi _ { 1 } + ( z _ { 1 } - i z _ { 2 } ) \xi _ { 2 } = 0 ~ , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { y _ { i } ^ { \prime } ( x ) } & { = - \delta _ { i = q } + \delta _ { i = q + 1 } } \\ & { - \left( \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { i - 1 } y _ { a } ( x ) \right) ^ { k } - \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { i } y _ { a } ( x ) \right) ^ { k } \right) } \\ & { + \delta _ { i \ge q + 1 } \left( \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { i - 2 } y _ { a } ( x ) \right) ^ { k } - \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { i - 1 } y _ { a } ( x ) \right) ^ { k } \right) . } \end{array}
\frac { \partial U _ { \Lambda } ( \varphi , T ) } { \partial \Lambda } = - \frac { K _ { 3 } } { 2 } 2 \pi T ^ { 2 } \Lambda \, g \left( \frac { \Lambda } { T } \right) \ln \operatorname * { d e t } \left[ \Lambda ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } U _ { \Lambda } ( \varphi ) } { \partial \varphi _ { i } \partial \varphi _ { j } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x _ { i } , x _ { j } } [ p _ { i j } ( w _ { i } , w _ { j } , x _ { i } , x _ { j } ) ] } & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \left( \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } 1 d V + \int _ { r _ { 0 } } ^ { 1 } \left( \frac { r _ { 0 } } { V } \right) ^ { \gamma } d V \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } \left( r _ { 0 } + \left[ \frac { r _ { 0 } ^ { \gamma } } { \gamma - 1 } \left( r _ { 0 } ^ { - \gamma + 1 } - 1 \right) \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + C _ { 1 } } r _ { 0 } ( 1 + ( \gamma - 1 ) ^ { - 1 } ) + O ( r _ { 0 } ^ { \gamma } ) . } \end{array}
a ^ { a i } ( t , { \bf x } ) = \int \! { \frac { d { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 | { \bf p } | } } \left( f _ { \bf p } ^ { a b } ( t , { \bf x } ) \mathrm { e } ^ { - i | { \bf p } | t + i { \bf p x } } \epsilon _ { \alpha } ^ { i } ( { \bf p } ) b _ { \bf p } ^ { b \alpha } + f _ { \bf p } ^ { a b } ( t , { \bf x } ) \mathrm { e } ^ { i | { \bf p } | t - i { \bf p x } } \epsilon _ { \alpha } ^ { i * } ( { \bf p } ) b _ { \bf p } ^ { b \alpha \dagger } \right)
\mathcal { L } \left( \boldsymbol \chi , \omega , \lambda _ { j } \right) = \int \frac { 1 } { 2 } \mathcal { E } ^ { 2 } \left( \xi ; \boldsymbol \chi , \omega \right) \mathrm { d } \xi + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { { c o n s } } } } \int \lambda \left( \xi \right) \cdot \mathcal { C } _ { j } \left( \xi ; \boldsymbol \chi , \omega \right) \mathrm { d } \xi ,
{ \cal M } _ { { \mu } { \nu } } = 2 e ^ { 2 } N A ( s ) \int d \tilde { \ell } \frac { g _ { { \mu } { \nu } } \left( l ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right) - \left( 2 { \ell } + k _ { 1 } \right) _ { \mu } \left( 2 { \ell } - k _ { 2 } \right) _ { \nu } } { \left( { \ell } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right) \left[ \left( { \ell } + k _ { 1 } \right) ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right] \left[ \left( { \ell } - k _ { 2 } \right) ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } \right] } + O ( 1 / N ) + O ( ( \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { F ^ { 2 } } ) ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf A } ^ { t } ( - { { \bf s } } , x _ { 3 } ) } & { = } & { - { \bf N } \tilde { \bf A } ( { { \bf s } } , x _ { 3 } ) { \bf N } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { \bf A } ^ { \dagger } ( { { \bf s } } , x _ { 3 } ) } & { = } & { - { \bf K } { \tilde { \bar { \bf A } } } ( { { \bf s } } , x _ { 3 } ) { \bf K } ^ { - 1 } , } \\ { \tilde { \bf A } ^ { * } ( - { { \bf s } } , x _ { 3 } ) } & { = } & { { \bf J } { \tilde { \bar { \bf A } } } ( { { \bf s } } , x _ { 3 } ) { \bf J } ^ { - 1 } . } \end{array}
f ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { - B _ { 2 } ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k = 0 } \\ { \mathrm { ~ E ~ H ~ V ~ I ~ } ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) \times \mathrm { ~ R ~ F ~ } ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) \times \alpha ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) \! \! \! \! } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 < k < 8 } \\ { - \tilde { B } _ { 2 } ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) + \tilde { D } ( \vec { x } ^ { ( i ) } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } k = 8 , } \end{array} \right.
\mathrm { v a r } \hat { X } _ { n , m } = \frac { 1 } { 2 G } \left[ - \left( G ^ { 2 } - 1 \right) \cos \left( 2 \alpha _ { n } - 2 \beta _ { n } \right) + ( G ^ { 2 } + 1 ) \right] ,
H _ { \mathrm { N H } } = \left( \begin{array} { c c c } { - \delta } & { J } & { 0 } \\ { J } & { - \frac { i } { 2 } \gamma _ { \mathrm { o p t } } } & { J } \\ { 0 } & { J } & { \delta } \end{array} \right) .
\mathscr { P } = \frac { e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } ( \tau - \tau _ { z } ) ( \tau e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - \tau - t _ { c } ) } { \tau ( \tau + \tau _ { z } ) ( e ^ { \frac { t _ { c } } { \tau } } - 1 ) ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } } & { = \Big \{ { \left( s ^ { k } , x ^ { k } , z ^ { n } \right) \in \mathcal { S } ^ { k } \times \mathcal { X } ^ { k } \times \mathcal { Z } ^ { n } } : { d _ { S } ^ { k } \left( s ^ { k } , \psi _ { S } ^ { k } \left( z ^ { n } \right) \right) > D _ { s } \mathrm { ~ o r ~ } d _ { X } ^ { k } \left( x ^ { k } , \psi _ { X } ^ { k } \left( z ^ { n } \right) \right) > D _ { x } } \Big \} . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { g } e ^ { - 2 \phi } } \frac { \partial \Gamma ^ { ( 2 ) } } { \partial \phi } = 8 { \tilde { B } } ^ { \phi ( 2 ) } + 2 B _ { \rho \sigma } ^ { b ( 1 ) } B ^ { b ( 1 ) \rho \sigma } + 2 B _ { \rho \sigma } ^ { g ( 1 ) } B ^ { g ( 1 ) \rho \sigma } - 2 ( { \tilde { B } } ^ { \phi ( 1 ) } ) ^ { 2 } ,
( b _ { i } ) ^ { n } \psi _ { p } = \sum _ { { { 1 \leq j _ { k } \neq j _ { l } \leq N \atop j _ { k } , j _ { l } \neq i } \atop ( 1 \leq k < l \leq n ) } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { z _ { i } - z _ { j _ { k } } } \psi _ { p } \, ,
\begin{array} { r l } { \left\vert \mathcal { E } _ { j , k } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { { } \leq \big \vert \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \mathcal { F } \left( I \right) \left( e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right) } \\ { \qquad } & { { } + \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } \left( \delta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } - \delta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { 2 \pi i \eta _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) } \right) \right) \big \vert \, . } \end{array}
\langle \sigma _ { + } ( 0 ) \sigma _ { - } ( \tau ) \rangle = { \frac { 1 } { 4 } } \left( e ^ { - { \frac { \Gamma } { 2 } } \tau } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - { \frac { 3 \Gamma } { 4 } } \tau } e ^ { - i \Omega _ { R } \tau } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - { \frac { 3 \Gamma } { 4 } } \tau } e ^ { i \Omega _ { R } \tau } \right) e ^ { - i \omega \tau }
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } \lesssim } & { \| u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla u \| ^ { \frac { 5 } { 2 } } + \| \nabla u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } \| \Delta u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| u _ { t } \| + ( \| \nabla \varphi \| + \| \nabla \Delta \varphi \| ) \| \Delta \varphi \| ( \| u \| + \| u _ { t } \| ) } \\ { \lesssim } & { ( \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) + \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) \, , } \end{array}
\left\langle \tilde { u } \right\rangle = \frac { 1 } { \tilde { h } } \int _ { \tilde { z } = 0 } ^ { \tilde { z } = \tilde { h } } \tilde { u } \, d \tilde { z } = - H _ { a } ( x ) \frac { \tilde { h } ^ { 2 } } { 3 \tilde { \eta } } \frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } .
\begin{array} { r l } { T _ { \boldsymbol { p } } = } & { { } ( - \dot { \iota } ) \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty , t ^ { \prime } \to - \infty } \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } d \tau \langle \Psi _ { \boldsymbol { p } } ( t ) | \hat { U } _ { l e } ( t , \tau ) \hat { V } _ { l e } ( \boldsymbol { r } , \tau ) | \Psi _ { 0 } ( \tau ) \rangle } \end{array}
\delta L = \frac { d } { d \tau } \left( \rho \left( s m + e ^ { - 1 } \dot { x } J - J ^ { 2 } e ^ { - 1 } \left( \dot { x } J + ( \dot { x } \xi ) ( \xi J ) \right) \cdot ( J ^ { 2 } + ( J \xi ) ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right) \right) ,
\begin{array} { r } { \tilde { \Theta } _ { \beta } ^ { \mathrm { d o b } } ( \boldsymbol { s } _ { \beta + m , k } ; V , \hbar ) = \sum _ { \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } ^ { \beta } } \prod _ { m = 1 } ^ { \beta } \Theta _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( s _ { m - 1 + k } , { s } _ { m + k } , x _ { \tilde { \iota } ( m ) } ; V , \hbar ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \gamma _ { j } } \\ { \alpha _ { j } } \end{array} \right) } & { \sim \pi _ { x } \rho \left( \begin{array} { l } { \mathcal { N } ( 0 , \varepsilon _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { \delta _ { 0 } } \end{array} \right) + \pi _ { x } ( 1 - \rho ) \left( \begin{array} { l } { \mathcal { N } ( 0 , \varepsilon _ { x } ^ { 2 } ) } \\ { \mathcal { N } ( 0 , \tau ^ { 2 } ) } \end{array} \right) + \pi _ { y } \left( \begin{array} { l } { \delta _ { 0 } } \\ { \mathcal { N } ( 0 , \tau ^ { 2 } ) } \end{array} \right) + ( 1 - \pi _ { x } - \pi _ { y } ) \left( \begin{array} { l } { \delta _ { 0 } } \\ { \delta _ { 0 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { k + 1 } } & { = x ^ { k } - \tau _ { x } \left( W ^ { \top } \left( \sigma ( W x ^ { k } + b ) - y \right) - \alpha \mathrm { d i v } z ^ { k } \right) \, , } \\ { z ^ { k + 1 } } & { = \mathrm { p r o x } _ { \tau _ { z } \| \cdot \| _ { 2 , 1 } ^ { \ast } } \left( z ^ { k } + \tau _ { z } \left( 2 \alpha \nabla x ^ { k + 1 } - \alpha \nabla x ^ { k } \right) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \pm , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = ( 1 - \epsilon ) ^ { 1 . 5 } \times \sigma _ { s } } \\ { \sigma _ { \pm , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \epsilon ^ { 1 . 5 } \times k _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \end{array}
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a \; , \; b \; ; \; c \; ; \; z ) = 1 + { \frac { a b } { c } } \; z + { \frac { a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) } { c ( c + 1 ) } } \; { \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { a ( a + 1 ) ( a + 2 ) b ( b + 1 ) ( b + 2 ) } { c ( c + 1 ) ( c + 2 ) } } \; { \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } } + \cdots
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { e l a s t } } ( \boldsymbol { F } , \psi ) } & { { } = \frac { G ( \psi ) } { 2 } \mathrm { t r } ( \boldsymbol { F } ^ { T } \boldsymbol { F } - I ) + \frac { \kappa } { 2 } ( J - 1 ) ^ { 2 } } \\ { W _ { \mathrm { p h a s e } } ^ { \varepsilon } ( \psi , \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi ) } & { { } = \sum _ { i \in \{ s , \ell , a \} } \gamma _ { i } \left[ \frac { \varepsilon } { 2 } | \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi _ { i } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \varepsilon } ( 1 - \psi _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] J } \end{array}
T _ { B } ^ { A } = \frac { \delta ( y ) } { b _ { 0 } } \mathrm { d i a g } ( V _ { \star } + \rho _ { \star } , V _ { \star } - p _ { \star } , V _ { \star } - p _ { \star } , V _ { \star } - p _ { \star } , 0 ) + \frac { \delta ( 1 - y ) } { b _ { 0 } } \mathrm { d i a g } ( - V + \rho , - V - p , V - p , V - p , 0 ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { H } ^ { + } } } & { | \mathcal { P } _ { \mathcal { B } , \mathcal { C } } \Psi _ { \chi , \mathcal { T } } | ^ { 2 } + \int _ { \mathcal { I } ^ { + } } | \partial \mathcal { P } _ { \mathcal { B } , \mathcal { C } } \Psi _ { \chi , \mathcal { T } } | ^ { 2 } + \int _ { \mathbb { R } \times ( r _ { 0 } , r _ { 1 } ) \times \mathbb { S } ^ { 2 } } | \mathcal { P } _ { \mathcal { B } , \mathcal { C } } \Psi _ { \chi , \mathcal { T } } | ^ { 2 } } \\ & { \leq B ( r _ { 0 } , r _ { 1 } , C _ { \mathcal { B } } , C _ { \mathcal { C } } , a , M ) \left( \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { 0 } } | \partial \Psi _ { \mathcal { T } } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { n + 1 } } & { { } = } & { \nabla \cdot \left( \mathbf { v } ^ { n } - { \Delta t } \, \nabla \cdot ( \mathbf { v } ^ { n } \otimes \mathbf { v } ^ { n } ) + { \Delta t } \, \nu \Delta \mathbf { v } ^ { * } - { \Delta t } \, \nabla p ^ { n } \right) + { \Delta t } \, \Delta p ^ { n } - { \Delta t } \, \Delta p ^ { n + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( C _ { 1 } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right) + C _ { 1 } \eta \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \nabla u _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { b } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \lambda u _ { i } ^ { 4 } - \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) u _ { i } ^ { 2 } \right) d x + C _ { 1 } P \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } ( u _ { i } - u _ { j } ) ^ { 2 } \, d x } \\ { \leq } & { \, C _ { 1 } m \| \varphi \| ^ { 2 } + m \left( C _ { 1 } + \frac { C _ { 1 } } { 2 \lambda } ( ( \lambda + k ) ^ { 2 } + J ^ { 2 } ) + \frac { c ^ { 2 } } { b } \right) | \Omega | , \quad t \in I _ { m a x } = [ 0 , T _ { m a x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq w \left( \frac { a ^ { 2 } x ^ { 2 } g ( a , b ) } { 1 - x - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } \right) \leq 2 w ( a ) + 2 w ( x ) + w ( g ( a , b ) ) - \operatorname* { m i n } \lbrace 0 , 2 w ( a ) + 2 w ( x ) \rbrace } \\ & { = \operatorname* { m a x } \lbrace 2 w ( a ) + 2 w ( x ) + w ( g ( a , b ) ) , w ( g ( a , b ) ) \rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 } ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , O } \} ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , F / C } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , F / C } ; \mathfrak { p } _ { L , F / C } , \mathfrak { p } _ { R , S / C } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , F } \bigr ] } \\ & { \qquad \to [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R } ; \mathfrak { p } _ { L } ] . } \end{array}
L _ { i } \ast _ { M } ^ { } F = L _ { i } F + \nu \sum _ { 1 \leq j , k \leq 3 } \varepsilon _ { i j k } L _ { k } { \frac { \partial F } { \partial L _ { j } } } + \nu ^ { 2 } \Bigl ( 2 { \frac { \partial F } { \partial L _ { i } } } + \sum _ { 1 \leq j \leq 3 } L _ { j } { \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial L _ { i } \partial L _ { j } } } \Bigr ) , \quad 1 \leq i \leq 3 .
\begin{array} { r l } & { \left( i \frac { \partial } { \partial z } + K _ { 0 j } \right) \hat { E } _ { p j } + } \\ & { ( W _ { j j } | g _ { p j } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p j } ^ { \dag } \hat { E } _ { p j } + W _ { j 3 - j } | g _ { p 3 - j } | ^ { 2 } \hat { E } _ { p 3 - j } ^ { \dag } \hat { E } _ { p 3 - j } ) \hat { E } _ { p j } = 0 , } \end{array}
\gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = \frac { 2 ( y ^ { T } y _ { 0 } - r \frac { \zeta ^ { T } y } { \| \zeta \| } ) ^ { 2 } + ( 2 r \frac { \zeta ^ { T } y _ { 0 } } { \| \zeta \| } - \| y _ { 0 } \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } - 2 ( y ^ { T } y _ { 0 } - r \frac { \zeta ^ { T } y } { \| \zeta \| } ) \sqrt { ( y ^ { T } y _ { 0 } - r \frac { \zeta ^ { T } y } { \| \zeta \| } ) ^ { 2 } + ( 2 r \frac { \zeta ^ { T } y _ { 0 } } { \| \zeta \| } - \| y _ { 0 } \| ^ { 2 } ) \| y \| ^ { 2 } } } { ( 2 r \frac { \zeta ^ { T } y _ { 0 } } { \| \zeta \| } - \| y _ { 0 } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
H ^ { 2 } + { \frac { k } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 2 \kappa _ { 5 } ^ { ~ 2 } } { 9 } } \left( \rho _ { \phi } + \Delta \rho _ { \phi } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } E _ { ~ 0 } ^ { 0 } \, .
\tilde { G } ( \vec { p } , E ) \; = \; \frac { m _ { t } } { ( \kappa ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) } [ 1 + 4 p _ { s } \kappa \cdot \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x x ^ { - \frac { p _ { s } } { \kappa } } } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + x ) ^ { 2 } + p ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } ] ,