harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { x } & { { } \mapsto x , } \\ { p _ { x } } & { { } \mapsto p _ { x } + A \, e _ { x } ( x , y ) , } \\ { y } & { { } \mapsto y , } \\ { p _ { y } } & { { } \mapsto p _ { y } + A \, e _ { y } ( x , y ) , } \end{array}
R _ { \mu \nu } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \nu } = - { \frac { 2 r _ { - } } { r _ { + } ^ { 3 } } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ R _ { \mu \nu \lambda \rho } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \lambda } n _ { j } ^ { \nu } n _ { j } ^ { \rho } = { \frac { 2 r _ { + } - 4 r _ { - } } { r _ { + } ^ { 3 } } } ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \mu } & { { } = - \iota _ { u } F , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } _ { \psi } } & { { } = - \iota _ { u } \tilde { F } _ { \psi } , } \\ { \mathrm { d } \mu _ { \ell } } & { { } = \ell \mu - \ell \iota _ { u } \Xi , } \\ { \mathrm { d } \tilde { \mu } } & { { } = \ell \tilde { \mu } _ { \psi } - \iota _ { u } \tilde { F } . } \end{array}
\left[ 1 + ( b _ { y } ) _ { i , j } ^ { 2 } \right] \frac { \partial \zeta } { \partial x } ( x _ { i } , y _ { j } ) - ( b _ { x } ) _ { i , j } ( b _ { y } ) _ { i , j } \frac { \partial \zeta } { \partial y } ( x _ { i } , y _ { j } ) = - \bar { \rho } _ { c } g ( \eta _ { c } - b _ { i , j } ) ( b _ { x } ) _ { i , j } ,
\phi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( \xi > 1 ) = - \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { 2 } ( x ) \left( \frac { 2 7 } { 4 } ( x - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } ) ^ { 3 } + x ^ { 3 } \right) d x \right] f _ { 1 } ( \xi ) ,
\begin{array} { r l } { h _ { \mu } ( x , y ) } & { = \int _ { \mathcal { X } } k ( x , t ) k ( t , y ) \, \mathrm { d } \mu ( t ) } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { i } \sigma _ { j } e _ { i } ( x ) e _ { j } ( y ) \int _ { \mathcal { X } } e _ { i } ( t ) e _ { i } ( t ) \, \mathrm { d } \mu ( t ) } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { \infty } \delta _ { i j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } e _ { i } ( x ) e _ { j } ( y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { i } ^ { 2 } e _ { i } ( x ) e _ { i } ( y ) , } \end{array}
\frac { d \sigma ^ { \mathrm { v a c u u m } } ( p _ { \perp } ) } { d p _ { \perp } ^ { 2 } } \propto \frac 1 { p _ { \perp } ^ { n } } \, , \qquad n = n ( p _ { \perp } ) \equiv - \frac { d } { d \ln p _ { \perp } } \ln \frac { d \sigma ^ { \mathrm { v a c u u m } } ( p _ { \perp } ) } { d p _ { \perp } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { p ( e _ { i , x } ( t ) \mid \tau _ { x } ( t ) ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \tau _ { x } ( t ) } \exp \left( - \frac { \sqrt { 2 } | e _ { i , x } ( t ) | } { \tau _ { x } ( t ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { q _ { 2 } } { { \bar { \Psi } } _ { x } } ( x , y ) - { q _ { 1 } } { { \bar { \Psi } } _ { y } } ( x , y ) + ( { d _ { 4 } } - { d _ { 1 } } ) \bar { \Psi } ( x , y ) } \\ & { + { d _ { 3 } } \bar { \phi } ( x , y ) = 0 , } \\ & { { q _ { 1 } } { { \bar { \phi } } _ { x } } ( x , y ) + { q _ { 1 } } { { \bar { \phi } } _ { y } } ( x , y ) - { d _ { 2 } } \bar { \Psi } ( x , y ) = 0 , } \\ & { { q _ { 2 } } { { \bar { \varphi } } _ { y } } ( x , y ) - { q _ { 1 } } { { \bar { \varphi } } _ { x } } ( x , y ) - ( { d _ { 4 } } - { d _ { 1 } } ) \bar { \varphi } ( x , y ) } \\ & { + { d _ { 2 } } \bar { \Phi } ( x , y ) = 0 , } \\ & { { q _ { 2 } } { \bar { \Phi } _ { y } } ( x , y ) + { q _ { 2 } } { \bar { \Phi } _ { x } } ( x , y ) + { d _ { 3 } } \bar { \varphi } ( x , y ) = 0 , } \\ & { { q _ { 1 } } { \bar { \gamma } } ^ { \prime } ( x ) - { \bar { \gamma } } ( x ) ( A + B K ^ { T } + { d _ { 1 } } I _ { n } ) - { d _ { 2 } } \bar { \lambda } ( x ) = 0 , } \\ & { { q _ { 2 } } \bar { \lambda } ^ { \prime } ( x ) + \bar { \lambda } ( x ) ( A + B K ^ { T } + d _ { 4 } I _ { n } ) + { d _ { 3 } } { \bar { \gamma } } ( x ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \lambda } _ { j } } & { { } = \left( \mathbf { A } _ { j } \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \phi } _ { j } ) \mathbf { A } _ { j } ^ { \intercal } \right) ^ { - 1 } \mathbf { p } ( \mathbf { X } _ { j } ) \, , } \\ { \boldsymbol { \phi } _ { j } ^ { \ast } } & { { } = \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \phi } _ { j } ) \mathbf { A } _ { j } ^ { \intercal } \boldsymbol { \lambda } _ { j } \, . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \widetilde { \alpha } \, d \tau , \qquad \theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } ( t ) = - \sum _ { k = 2 } ^ { N } \int _ { \gamma } \frac { p _ { k } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { k } \, .
\begin{array} { r l } { | Z _ { n + 1 } | _ { s } } & { \le | Z _ { n + 1 } - Z _ { n } - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 1 } ] | _ { s } } \\ & { \ + | ( I - \Pi _ { n } ) Z _ { n } | _ { s } } \\ & { \ + | \Pi _ { n } \left( I - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } \right) | _ { s } } \\ & { \ + | ( I - \Pi _ { n } ) d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s } } \\ & { + | d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) ( I - \Pi _ { n } ) T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s } . } \end{array}
\dot { x } = { \frac { i } { \hbar } } [ { \cal H } _ { q } , x ] = 2 q p K ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } , \ \ \ \ \ \dot { p } = { \frac { i } { \hbar } } [ { \cal H } _ { q } , p ] = { \frac { 2 m g } { q ^ { 4 } } } x ^ { - 3 } K ^ { 2 } \Lambda ^ { 6 } .
\begin{array} { r } { K ( \omega ) \mathcal { S } ( \omega ) \equiv \left( - M _ { \mathrm { e f f } } \omega ^ { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } L _ { \mathbf { k } } ( \omega ) } { \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } + L _ { \mathbf { k } } ( \omega ) } \right) \mathcal { S } ( \omega ) = - V _ { \omega } ^ { \prime } , } \end{array}
{ \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } } + { \frac { \partial u _ { i } u _ { j } } { \partial x _ { j } } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } + \nu { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } .
{ \mathcal { M } } f ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } e ^ { - x ^ { p } } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { p - 1 } x ^ { s - p } e ^ { - x ^ { p } } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { p - 1 } ( x ^ { p } ) ^ { s / p - 1 } e ^ { - x ^ { p } } d x = { \frac { 1 } { p } } \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { s / p - 1 } e ^ { - u } d u = { \frac { \Gamma ( s / p ) } { p } } .
\mathrm { ~ E ~ } = \mathcal { C } ( \mathrm { ~ A ~ D ~ C ~ } , p _ { 0 } , p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = p _ { 0 } + p _ { 1 } \times \mathrm { ~ A ~ D ~ C ~ } + p _ { 2 } \times \mathrm { ~ A ~ D ~ C ~ } ^ { 2 }
\begin{array} { r c l c l } { \frac { d } { d t } x _ { 1 } } & { = } & { g _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { 1 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { 1 m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ { \frac { d } { d t } x _ { 2 } } & { = } & { g _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { 2 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { 2 m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \\ { \frac { d } { d t } x _ { n } } & { = } & { g _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = } & { w _ { n 1 } l _ { 1 } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) + \ldots + w _ { n m } l _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 } = } & { { } \epsilon ^ { - 1 / 2 } \tilde { S } _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \tilde { T } _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 2 } = } & { { } \epsilon ^ { - 2 / 3 } Y _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \epsilon ^ { - 1 / 2 } \tilde { S } _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \tilde { T } _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , } \\ { \omega _ { 3 } = } & { { } \epsilon ^ { - 2 / 3 } Y _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \epsilon ^ { - 1 / 2 } \tilde { S } _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) + \tilde { T } _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \, , \qquad \epsilon \to 0 } \end{array}
2 c _ { 1 } ( x ) - 3 c _ { 2 } ( x ) = \allowbreak - \frac { 2 x ^ { 2 } - x x _ { 0 } - 7 x _ { 0 } ^ { 2 } } { \left( x + x _ { 0 } \right) \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } ,
1 = J _ { h } \int \prod _ { k = 2 } ^ { \cal N } d { z ^ { \prime } } _ { k } ^ { c } d \bar { z ^ { \prime } } _ { k } ^ { c } D [ \delta \sigma _ { R } ] D [ \xi ^ { 0 } ] e ^ { - 2 C ( \delta \sigma _ { R } , \delta \sigma _ { R } ) } e ^ { - ( P \xi ^ { 0 } , P \xi ^ { 0 } ) } e ^ { - 2 \delta { z ^ { \prime } } _ { k } ^ { c } \delta \bar { z ^ { \prime } } _ { l } ^ { c } ( P \xi ^ { k } , Q _ { n } ) ( Q _ { n } , \bar { Q } _ { s } ) ^ { - 1 } ( \bar { Q } _ { s } , P \bar { \xi } ^ { l } ) }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \left| \frac { d u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } } { d r _ { * } } - i \omega u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \right| ( r _ { i } ) = } & { \: 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \left| \frac { d u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } } { d r _ { * } } + i \widetilde { \omega } u _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \right| ( \tilde { r } _ { i } ) = } & { \: 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \mathcal { L } ( \boldsymbol { W } ; \, \boldsymbol { V } , \boldsymbol { V } ) \, \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \int _ { E } { \mathrm { c u r l } } ( - \nu \mathbf { { d i v } } ( \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { V } ) ) ) \, { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { V } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { V } ) \boldsymbol { W } ) \, \mathrm { d } E \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad \geq - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \left( \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { V } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { V } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { E } ^ { 2 } \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \delta _ { E } \nu ^ { 2 } \| { \mathrm { c u r l } } ( \mathbf { { d i v } } ( \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { V } ) ) ) \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \right) } \\ & { \quad \geq - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { V } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { V } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \frac { \delta _ { E } \nu ^ { 2 } \gamma _ { E } ^ { 2 } } { h _ { E } ^ { 4 } } \| \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { V } ) \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad \geq - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { V } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { V } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \nu \| \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { V } ) \| _ { E } ^ { 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad \geq - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { E \in \Omega _ { h } } \delta _ { E } \| { \mathrm { c u r l } } ( \boldsymbol { V } _ { t } + ( \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { V } ) \boldsymbol { W } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( E ) ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \nu \| \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { V } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ c ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \equiv p _ { B } ( V _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } - V ( 0 ) ) = E ( 0 ) - E _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } - T _ { B } ( S _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } - S ( 0 ) ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { M } _ { \mathrm { d i p } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = } & { \frac { e ^ { 2 } \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } k _ { F } ^ { 4 } f _ { \mathrm { d i p } } ^ { ( 1 ) } \left( k _ { F } r \right) } { 6 \pi ^ { 3 } m _ { e } } \left( 3 ( \mathbf { I } \cdot \hat { \mathbf { r } } ) \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { I } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { r , \lambda , t } ( r , \lambda ) } & { \approx \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { i \alpha _ { k } x _ { \ell } ^ { \prime } } \phi _ { t } \left( \frac { \alpha _ { k _ { 1 } } } { 2 \pi } , \frac { \alpha _ { k _ { 2 } } } { 2 \pi } \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \ell _ { 1 } + \ell _ { 2 } } \left( \frac { \eta N } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { 2 \pi i k \ell ^ { \prime } / N } ( - 1 ) ^ { k _ { 1 } + k _ { 2 } } \phi _ { t } \left( \frac { \alpha _ { k _ { 1 } } } { 2 \pi } , \frac { \alpha _ { k _ { 2 } } } { 2 \pi } \right) , } \end{array}
\Psi _ { 2 } ^ { 2 } = \phi _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { 1 } + a _ { 2 } \phi _ { 3 } ^ { 1 } , ~ ~ ~ ~ ~ \Psi _ { 2 } ^ { 3 } = \phi _ { 2 } ^ { 3 } + a _ { 3 } \phi _ { 3 } ^ { 2 } ,
{ C _ { 9 } } \mathrm { { = } } [ i { \Omega _ { m } } ( { C _ { 2 } } \Omega _ { c } ^ { 2 } - i { C _ { 1 } } { C _ { 2 } } { C _ { 3 } } + { C _ { 1 } } \Omega _ { m } ^ { 2 } ) + { C _ { 1 } } \Omega _ { p } ^ { 2 } ]
{ \begin{array} { r l } { \Phi _ { 3 } ( - z ) } & { = \Phi _ { 6 } ( z ) = z ^ { 2 } - z + 1 } \\ & { = ( z + 1 ) ^ { 2 } - 3 z } \\ { \Phi _ { 5 } ( z ) } & { = z ^ { 4 } + z ^ { 3 } + z ^ { 2 } + z + 1 } \\ & { = ( z ^ { 2 } + 3 z + 1 ) ^ { 2 } - 5 z ( z + 1 ) ^ { 2 } } \\ { \Phi _ { 6 / 2 } ( - z ^ { 2 } ) } & { = \Phi _ { 1 2 } ( z ) = z ^ { 4 } - z ^ { 2 } + 1 } \\ & { = ( z ^ { 2 } + 3 z + 1 ) ^ { 2 } - 6 z ( z + 1 ) ^ { 2 } } \end{array} }
\tilde { k } _ { t } ^ { 2 } = \frac { 2 ( p _ { + } k ) ( p _ { - } k ) } { p _ { + } p _ { - } } = \frac { 2 E _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - \cos \Theta _ { + 2 } ) ( 1 - \cos \Theta _ { - 2 } ) } { 1 - \cos \Theta _ { + - } } \ > \ Q _ { 0 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial \Phi } { \partial t } \right| _ { M _ { t } } } & { = \frac { \partial \phi } { \partial t } - \bar { \nabla } \Phi | _ { M _ { t } } \cdot \frac { \partial \iota } { \partial t } } \\ & { = \frac { \partial \phi } { \partial t } - \left( \bar { \nabla } \Phi | _ { M _ { t } } \cdot N _ { 0 } \right) \frac { \partial \zeta } { \partial t } } \\ & { = \frac { \partial \phi } { \partial t } - \frac { 1 } { N _ { 0 } \cdot N ( \iota ) } \left( \bar { \nabla } \Phi | _ { M _ { t } } \cdot N _ { 0 } \right) \cdot D [ \zeta ] \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \alpha } } & { { } = k _ { \mathrm { B } } T ^ { 2 } \frac { \partial \ln q _ { \alpha } } { \partial T } = \frac { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } \ \mathcal { H } } { \int _ { \Omega _ { \alpha } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { x } } \ \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } } ] } & { = e ^ { \ln ( \mathbb { E } [ e ^ { a \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } X _ { i } } ] ) } = e ^ { \ln ( \prod _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \mathbb { E } [ e ^ { a X _ { i } } ] ) } = e ^ { \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \ln ( \mathbb { E } [ e ^ { a X _ { i } } ] ) } } \\ & { = e ^ { \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \ln ( e ^ { a } p _ { i } + e ^ { - a } q _ { i } + ( 1 - p _ { i } - q _ { i } ) ) } } \\ & { = e ^ { ( N + K ) \left( \frac { 1 } { N + K } \sum _ { i \in \mathcal { N } \cup \mathcal { K } } \ln ( e ^ { a } p _ { i } + e ^ { - a } q _ { i } + ( 1 - p _ { i } - q _ { i } ) ) \right) } } \\ & { \leq e ^ { ( N + K ) \ln ( e ^ { a } \Bar { p } + e ^ { - a } \Bar { q } + ( 1 - \Bar { p } - \Bar { q } ) ) } , } \end{array}
\phi ( A ) = \operatorname* { m i n } _ { S : \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } } \frac { \langle \boldsymbol { 1 } _ { S } , D _ { w } A D _ { w } ( \boldsymbol { 1 } - \boldsymbol { 1 } _ { S } ) \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { s } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle } = 1 - \operatorname* { m a x } _ { S : \sum _ { i \in S } w _ { i } ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } } \frac { \langle \boldsymbol { 1 } _ { S } , D _ { w } A D _ { w } \boldsymbol { 1 } _ { S } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { s } , D _ { w } ^ { 2 } \mathbf { 1 } \rangle }
\begin{array} { r } { B _ { \parallel } ( r ) = \frac { \langle u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } + r \boldsymbol { e } _ { \parallel } , t ) \rangle } { \langle u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \rangle } , } \\ { B _ { \perp } ( r ) = \frac { \langle u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } + r \boldsymbol { e } _ { \perp } , t ) \rangle } { \langle u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) u _ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \mathrm { B S E } } ^ { " } } & { = \frac { g _ { s } \pi e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } N _ { k } V _ { c } } \sum _ { s } | \sum _ { m n \textbf { k } } A _ { m n \textbf { k } } ^ { s } \textbf { x } _ { m n \textbf { k } } \cdot \textbf { e } | ^ { 2 } \delta ( \omega - E ^ { s } ) } \\ & { = \frac { g _ { s } \pi e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } N _ { k } V _ { c } } \sum _ { s } | \textbf { X } _ { s } \cdot \textbf { e } | ^ { 2 } \delta ( \omega - E ^ { s } ) } \end{array}
\beta ^ { k } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { \tau _ { 1 } ^ { k } + \hat { \delta } ^ { k } } { 2 } } } ( \tau _ { 1 } ^ { k } + \hat { \delta } ^ { k } , \tau _ { 2 } ^ { k } , . . . , \tau _ { n } ^ { k } ) ^ { T } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \hat { \delta } ^ { k } = \sqrt { ( \tau _ { 1 } ^ { k } ) ^ { 2 } - | | \tau _ { 2 : n } ^ { k } | | ^ { 2 } } .
\left\{ \psi ( t , \vec { x } ) , \vphantom { \int } \psi ^ { \dagger } ( t , \vec { x } ^ { \prime } ) \right\} = \delta ^ { 3 } ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) \; \; , \; \; \; \; \; \left\{ \widetilde { \psi } ( t , \vec { x } ) , \vphantom { \int } \widetilde { \psi } ^ { \dagger } ( t , \vec { x } ^ { \prime } ) \right\} = \delta ^ { 3 } ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) \;
\mu _ { 0 } - \mu _ { \theta } = \beta ( \beta + 1 ) ( \frac { 3 } { 2 } \mu _ { \theta } - \frac { 5 } { 2 } \mu _ { \rho } - 4 \mu _ { 0 } ) + ( 1 + 2 \beta ) ^ { 2 } A ^ { 2 } M _ { 6 } ^ { 4 } ~ .
\operatorname { U C o n f } _ { n } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) = \{ \{ u _ { 1 } , . . . , u _ { n } \} : u _ { i } \in \mathbb { R } ^ { 2 } , u _ { i } \neq u _ { j } { \mathrm { ~ f o r ~ } } i \neq j \}
\begin{array} { r } { - ( s + \alpha + r ) \tilde { Q } _ { 0 } ^ { i n h } ( s | x _ { 0 } ) + \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ^ { i n h } ( s | x _ { 0 } ) = - 1 - r \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) , } \\ { - ( s + \beta + r ) \tilde { Q } _ { 1 } ^ { i n h } ( s | x _ { 0 } ) + \beta \tilde { Q } _ { 0 } ^ { i n h } ( s | x _ { 0 } ) = - 1 - r \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) , } \end{array}
S _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } \mathrm { R e } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 2 } \theta \, W _ { a } C ^ { a b } W _ { b } + \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } \theta \, \Big ( \phi ^ { * } e ^ { 2 V } \phi + \tilde { \phi } ^ { * } e ^ { - 2 V } \tilde { \phi } \Big ) .
\begin{array} { r } { \theta = ( - \psi _ { \gamma } \psi ^ { \gamma } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , \quad ( u , v ) : = ( u ^ { 0 } , u ^ { 1 } ) = \theta ( \psi ^ { 0 } , \psi ^ { 1 } ) } \end{array}
F _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } : = i \, ( k _ { \mu } \zeta _ { \nu } - k _ { \nu } \zeta _ { \mu } ) e ^ { i \, k \cdot x } + i \, ( { k ^ { \prime } } _ { \mu } { \zeta ^ { \prime } } _ { \nu } - { k ^ { \prime } } _ { \nu } { \zeta ^ { \prime } } _ { \mu } ) e ^ { i \, k ^ { \prime } \cdot x }
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { 1 } \times B _ { 2 } } \! \! \! K ( x - y ) \! \! \sum _ { \iota _ { 1 } \in P , \iota _ { 2 } \in P } \prod _ { i = 1 , 2 } \sigma ( \iota _ { i } ) \, d p _ { s } ^ { \iota _ { 1 } , \iota _ { 2 } } ( x , y ) \, d s } \\ & { \qquad = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { 1 } \times B _ { 2 } } \! \! \! K ( x - y ) \Big ( d p _ { s } ^ { + + } ( x , y ) + d p _ { s } ^ { -- } ( x , y ) - d p _ { s } ^ { + - } ( x , y ) - d p _ { s } ^ { - + } ( x , y ) \Big ) d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ \Delta ^ { a , b } ( H _ { i - 1 , 1 } ) , \Delta ^ { a , b } ( e _ { u , i } t ^ { x } ) ] + [ \Delta ^ { a , b } ( H _ { i , 1 } ) , \Delta ^ { a , b } ( e _ { u , i } t ^ { x } ) ] } \\ & { = _ { i - 1 , i } - _ { i , i } + _ { i , i } - _ { i + 1 , i } } \\ & { \quad + _ { i - 1 , i } + _ { i - 1 , i } + _ { i - 1 , i } + _ { i - 1 , i } + _ { i - 1 , i } } \\ & { \quad + _ { i , i } + _ { i , i } + _ { i , i } + _ { i , i } + _ { i , i } } \\ & { \quad + _ { i - 1 , i } - _ { i , i } + _ { i , i } - _ { i + 1 , i } . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle b _ { 2 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \times \biggr ( - 8 \sin { \left( 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \frac { 3 \delta } { 2 } \frac { s ^ { \prime } } { R } \right) } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - \frac { 3 \delta } { 2 } \frac { s } { R } \right) } \cos { \left( \frac { 3 \delta } { 2 } \frac { s } { R } \right) } \frac { s ^ { \prime } } { 2 \pi R } } \\ & { \displaystyle - 2 \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \pi \delta + \sin { 3 | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } } \\ & { \displaystyle + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ) } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right) \biggr ) . } \end{array}
V _ { \mathrm { 1 2 } } = \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } \left( a _ { \mathrm { 1 2 } } + \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } } ( 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathbf { k } } - 1 ) \right)
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ^ { d } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { r l r } { 1 } & { , } & { x = 0 \mathrm { ~ o r ~ } x = l } \\ { 0 } & { , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { f _ { 1 } ^ { d } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { r l r } { 1 } & { , } & { x \geq l - 1 } \\ { 0 } & { , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { N ( \psi , \theta ) = N _ { e q } ( \psi ) \exp { \Bigg ( - \frac { e Z \phi _ { 0 } ( \psi ) } { T _ { e q } ( \psi ) } - \frac { e Z \tilde { \phi } _ { 1 } ( \psi , \theta ) } { T _ { e q } ( \psi ) } + \frac { 1 } { 2 } \frac { m \Omega ^ { 2 } R ^ { 2 } } { T _ { e q } ( \psi ) } \Bigg ) } . } \end{array}
{ \cal Z } _ { \mathrm { G - L } } ^ { \mathrm { 3 D } } = \int { \cal D } { \bf h } { \cal D } \Phi { \cal D } \Phi ^ { * } \exp \left\{ - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 4 \eta ^ { 2 } } H _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 } { \bf h } ^ { 2 } + \left| \left( \partial _ { \mu } + 2 \pi i h _ { \mu } \right) \Phi \right| ^ { 2 } + m _ { H } ^ { 2 } \left| \Phi \right| ^ { 2 } + \lambda \left| \Phi \right| ^ { 4 } \right] \right\} .