harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \partial _ { t } { n _ { d } } + \nabla \cdot ( { u _ { d } } { n _ { d } } ) } \\ { 0 = } & { m _ { d } { n _ { d } } ( \partial _ { t } { u _ { d } } + { u _ { d } } \cdot \nabla { u _ { d } } ) - { n _ { d } } e Z \nabla \phi + m _ { d } { n _ { d } } ( { \nu _ { d i } } ( { u _ { d } } - { u _ { i } } ) + { \nu _ { d n } } ( { u _ { d } } - { u _ { n } } ) ) + m _ { i } { n _ { i } } { \nu _ { A } } ( { u _ { d } } - { u _ { i } } ) - m _ { d } { n _ { d } } a } \\ { 0 = } & { \partial _ { t } { n _ { i } } + \nabla \cdot ( { u _ { i } } { n _ { i } } ) - { \nu _ { I } } { n _ { n } } + ( { \nu _ { L } } + { \nu _ { A } } ) { n _ { i } } } \\ { 0 = } & { m _ { i } { n _ { i } } ( \partial _ { t } { u _ { i } } + { u _ { i } } \cdot \nabla { u _ { i } } ) + { n _ { i } } e \nabla \phi + m _ { i } c _ { s i } ^ { 2 } \nabla { n _ { i } } + m _ { i } { n _ { i } } ( { \nu _ { i d } } ( { u _ { i } } - { u _ { d } } ) + { \nu _ { i n } } ( { u _ { i } } - { u _ { n } } ) ) + m _ { i } { n _ { n } } { \nu _ { I } } ( { u _ { i } } - { u _ { n } } ) } \\ { 0 = } & { \partial _ { t } { n _ { n } } + \nabla \cdot ( { u _ { n } } { n _ { n } } ) + { \nu _ { I } } { n _ { n } } } \\ { 0 = } & { m _ { n } { n _ { n } } ( \partial _ { t } { u _ { n } } + { u _ { n } } \cdot \nabla { u _ { n } } ) + m _ { n } c _ { s n } ^ { 2 } \nabla { n _ { n } } + m _ { n } { n _ { n } } ( { \nu _ { n d } } ( { u _ { n } } - { u _ { d } } ) + { \nu _ { n i } } ( { u _ { n } } - { u _ { i } } ) ) } \\ { 0 = } & { { n _ { i } } - n _ { e } - Z { n _ { d } } } \\ { 0 = } & { \frac { c _ { s e } ^ { 2 } m _ { e } } { \gamma _ { e } } \nabla n _ { e } - n _ { e } e \nabla \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \mathcal { G } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { p } + 1 } \lVert \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ H , \tilde { A } _ { j } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle \rVert ^ { 2 } \leq 4 n _ { p } \lVert H \rVert ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { D } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \phi } \left( R - 2 \Lambda + 4 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } H ^ { 2 } \right) .
\prod _ { m = 1 } ^ { M } ( Z ^ { 1 \dagger } ) _ { j _ { m } } ^ { i _ { m } } \prod _ { m ^ { \prime } = 1 } ^ { M ^ { \prime } } ( Z ^ { 2 \dagger } ) _ { j _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } } ^ { i _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } } \prod _ { n = 1 } ^ { N k } ( \Psi ^ { 1 \dagger } ) _ { l _ { n } } | 0 \rangle ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { E } } } & { { } = ( \mathcal { E } _ { y } \hat { \mathbf { y } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k z } + \mathrm { i } \mathcal { E } _ { x } \hat { \mathbf { x } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k z } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega t } , } \end{array}
\tilde { S } ( p ^ { 2 } ; \alpha , h _ { 1 } , \ldots , h _ { N - 1 } ) = { \frac { 1 } { N - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \tilde { s } ^ { ( 2 ) } ( p ^ { 2 } ; \alpha - h _ { i } ) .
\begin{array} { r l } { R ^ { c } } & { { } = - \sum _ { j } ^ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } \Psi _ { j } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \Psi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) W _ { 0 } ^ { c } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \epsilon _ { j } - \omega + i \eta ) \theta ( \epsilon _ { j } - \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } ( t ) = } & { m _ { 1 } \ell _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } + m _ { 2 } ( \ell _ { 1 } ^ { 2 } + \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \cos \theta _ { 2 } ( t ) ) + I _ { 1 } + I _ { 2 } , } \\ { d _ { 2 } ( t ) = } & { m _ { 2 } ( \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \cos \theta _ { 2 } ( t ) ) + I _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( t ) = } & { - m _ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \dot { \theta } ( t ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 2 } ( t ) \! - \! 2 m _ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \dot { \theta } _ { 2 } ( t ) \dot { \theta } _ { 1 } ( t ) \sin \theta _ { 2 } ( t ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + ( m _ { 1 } \ell _ { c _ { 1 } } + m _ { 2 } \ell _ { 1 } ) g \cos \theta _ { 1 } ( t ) + \phi _ { 2 } ( t ) , } \\ { \phi _ { 2 } ( t ) = } & { m _ { 2 } \ell _ { c _ { 2 } } g \cos ( \theta _ { 1 } ( t ) + \theta _ { 2 } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { x } _ { s } } { \partial a _ { r } } = } & { { } \prod _ { \tau = r + 2 } ^ { s } \! \nabla _ { \bar { x } } f ( \bar { x } _ { \tau - 1 } ) \; g ( \bar { x } _ { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { B } \widehat { V } _ { k } = \widehat { U } _ { k } \widehat { B } _ { k } , } \\ & { Q _ { B } ^ { T } \widehat { U } _ { k } = \widehat { V } _ { k } ( \widehat { B } _ { k } ^ { T } + \widehat { D } _ { k } ) + \hat { \beta } _ { k } \hat { v } _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } + \widehat { G } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { 2 } \Delta _ { g } u } & { = - \epsilon H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + \ddot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + \epsilon ^ { 2 } [ \Delta _ { t } \phi - H _ { t } \phi _ { t } + \phi _ { t t } ] } \\ { W ^ { \prime } ( u ) } & { = W ^ { \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) + W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) \phi + Q _ { 0 } ( \phi ^ { 2 } ) } \\ { \implies 0 } & { = \epsilon ^ { 2 } \Delta _ { g } u - W ^ { \prime } ( u ) } \\ & { = - \epsilon H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + L _ { \epsilon } ( \phi ) + Q _ { 0 } ( \phi ^ { 2 } ) + R _ { \omega , \epsilon } } \\ & { = - \epsilon H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + L _ { \epsilon } ( \phi ) + \tilde { Q } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { - e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { - } , 0 ) , } \\ & { - \mathbf { I } , \quad } & { z } & { \in ( 0 , z _ { + } ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( z _ { + } , + \infty ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho ( \rho - \kappa \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k + 1 } ) ] + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| f ( \mathbf { A } ) \| } & { = \left\| \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \partial \Lambda _ { \epsilon } } f ( z ) R ( z , \mathbf { A } ) \ensuremath { \mathrm { d } z } \right\| \leq \frac { \operatorname { l e n } ( \partial \Lambda _ { \epsilon } ( \vec { A } ) ) } { 2 \pi \epsilon } \| f \| _ { \Lambda _ { \epsilon } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { A } } } { d t } } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - J _ { 2 } \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { 2 } P _ { 2 0 } ( \cos \theta ) \Big ) + \sum _ { b \not = \mathrm { E } } ^ { \mathrm { S , m } } \frac { G M _ { b } } { 2 r _ { b \mathrm { E } } ^ { 3 } } \Big ( 3 ( \boldsymbol { \mathrm { n } } _ { b \mathrm { E } } \cdot \boldsymbol { \mathrm { y } } _ { \mathrm { A } } ) ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { y } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \Big ) \Big ] + { \cal O } ( 6 . 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 7 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { J } \big ( \textrm { T r } e ^ { - \beta H _ { p } } \big ) ^ { n } } & { = \textrm { T r } \exp { \left[ \sum _ { ( i _ { 1 } \cdots i _ { p } ) } \frac { p ! \beta ^ { 2 } } { 4 N ^ { p - 1 } M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } \sigma _ { i _ { 1 } } ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma _ { i _ { 1 } } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) \cdots \sigma _ { i _ { p } } ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma _ { i _ { p } } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) + \sum _ { \alpha i } H _ { \Gamma } ( \sigma _ { i } ^ { \alpha } ) \right] } } \\ & { \sim \textrm { T r } \exp { \left[ \frac { N \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \sigma _ { i } ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma _ { i } ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { p } + \sum _ { \alpha i } H _ { \Gamma } ( \sigma _ { i } ^ { \alpha } ) \right] } , } \end{array}
\hat { N } _ { \mu , \nu } ^ { 2 } = \langle I , I _ { z } , f | \int d ^ { 3 } k a _ { { \bf k } , \mu } ^ { \dagger } a _ { { \bf k } , \mu } \int d ^ { 3 } p a _ { { \bf p } , \nu } ^ { \dagger } a _ { { \bf p } , \nu } | I , I _ { z } , f \rangle .
\| \mathcal { R } _ { 2 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq 3 2 C ( C \eta M _ { \eta } ) ^ { 2 } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty } = 2 C ( 4 C \eta M _ { \eta } ) ^ { 2 } \| \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } \| _ { \infty }
\begin{array} { r l } { \int s ^ { 2 n - 1 } D f ^ { 2 } ( s ) D \left[ \frac { g ( s ) } { s ^ { 2 n - 3 } f ( s ) } \right] d s } & { = s ^ { 2 n - 1 } f ^ { 2 } ( s ) D \left( \frac { g ( s ) } { s ^ { 2 n - 3 } f ( s ) } \right) - ( 2 n - 1 ) s f ( s ) g ( s ) } \\ & { \quad + \int \left( ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 2 ) f ( s ) + 2 ( 2 n - 1 ) s f ^ { \prime } ( s ) \right) g ( s ) d s . } \end{array}
\frac { \mathcal { P } ^ { \tilde { Z } ^ { T , t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) } { \mathcal { P } ^ { Z ^ { t } } ( \widetilde { X } _ { [ 0 , t ] } ) } = \frac { \tilde { \varrho } ^ { Z ^ { T } } ( X ( t ) , T - t ) } { \varrho ^ { Z ^ { t } } ( X ( t ) , 0 ) } = e ^ { - \beta \delta _ { t } } .
V ( x ) = \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 2 } x ^ { 6 } + \frac { c _ { 1 } c _ { 0 } } 8 x ^ { 4 } + \frac 1 8 \left( c _ { 0 } ^ { 2 } - 2 c _ { 1 } ( 2 n - m ) \right) x ^ { 2 } + \frac { 4 m ^ { 2 } - 1 } { 8 x ^ { 2 } } + c o n s t ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { \theta } ( r , z , t ) \, } & { = \, \frac { \Gamma } { \nu t } \, \eta \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, , } \\ { \psi ( r , z , t ) \, } & { = \, \Gamma \, \bar { r } ( t ) \, \phi \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, , } \end{array}
\langle k _ { A } | \hat { H } | k _ { B } \rangle = - t \sum _ { i \in A , \delta } \langle k _ { A } | i \rangle \langle i + \delta | k _ { B } \rangle = - t \sum _ { i \in A , \delta } \frac { 1 } { N / 2 } \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i k r _ { i } } } & { 0 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { e ^ { i k ( r _ { i } + \delta ) } } \end{array} \right) = 0
\begin{array} { r l } { L ( \mu , \boldsymbol { \sigma ^ { 2 } } ) = } & { { } \prod _ { i } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { i } ^ { 2 } } } e ^ { - ( y _ { i } - \mu ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \; p ^ { 2 } \delta ( \omega + E _ { 0 } - p ^ { 2 } / 2 - V ( q ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { - } } & { \mu _ { 2 } ( \mu _ { 2 } ( v , w ) , u ) = \mu _ { 2 } ( G _ { - } \mu _ { 2 } ( v , w ) , u ) + ( - 1 ) ^ { | w | ( | v | - 1 ) } \mu _ { 2 } ( w , G _ { - } \mu _ { 2 } ( v , u ) ) } \\ & { \qquad + ( - 1 ) ^ { | v | } \mu _ { 2 } ( v , G _ { - } \mu _ { 2 } ( w , u ) ) - \mu _ { 2 } ( G _ { - } v , \mu _ { 2 } ( w , u ) ) - ( - 1 ) ^ { | v | } \mu _ { 2 } ( v , \mu _ { 2 } ( G _ { - } w , u ) ) } \\ & { \qquad - ( - 1 ) ^ { | u | + | v | } \mu _ { 2 } ( v , \mu _ { 2 } ( w , G _ { - } u ) ) . } \end{array}
f ( \Delta m ^ { 2 } , \theta ) \ = \ \frac { 2 \ \cos ^ { 2 } 2 \bar { \theta _ { m } ^ { 0 } } \ \sin ^ { 2 } 2 \theta } { 1 \ + \ \cos 2 \bar { \theta _ { m } ^ { 0 } } \cos 2 \theta } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { | \mathcal { M } | } \mathbb { E } \left| \sum _ { m } \langle \phi _ { m } | \chi _ { m } \rangle \right| \geq \frac { 1 } { | \mathcal { M } | } \mathbb { E } \bigg [ \mathrm { R e } \left( \sum _ { m } \langle \phi _ { m } | \chi _ { m } \rangle \right) \bigg ] = \frac { 1 } { | \mathcal { M } | } \sum _ { m } \mathbb { E } \bigg [ \mathrm { R e } \left( \langle \phi _ { m } | \chi _ { m } \rangle \right) \bigg ] \geq 1 - \epsilon . } \end{array}
\left| x - \left( \frac { \nu _ { n } } { \nu _ { m } } \right) ^ { \frac { 1 } { j } } \right| \leq x _ { 0 } ^ { 1 - j } \left| x ^ { j } - \frac { \nu _ { n } ^ { 2 } \nu _ { m } } { \nu _ { m } ^ { 2 } \nu _ { n } } \right| \leq x _ { 0 } ^ { 1 - j } \left( \nu _ { m } ^ { 2 } \nu _ { n } \right) ^ { - \sigma _ { \infty } } \left( \nu _ { n } ^ { 2 } \nu _ { m } \right) ^ { - \sigma _ { \infty } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { X } f ^ { - } ( x ) d \mu } & { = \int _ { X } f ^ { - } ( x ) \chi _ { X \setminus N } ( x ) d \mu + \int _ { X } f ^ { - } ( x ) \chi _ { N } ( x ) d \mu } \\ & { = \int _ { X } f ^ { - } ( x ) \chi _ { X \setminus N } ( x ) d \mu + 0 } \\ & { = \int _ { X } ( f \chi _ { X \setminus N } ) ^ { - } ( x ) d \mu } \end{array}
W _ { 2 } ( a _ { \epsilon } ) \stackrel { \epsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } d y \exp \left[ { \frac { \omega ( y , \epsilon ) } { \epsilon } } ( 1 - \epsilon ) \right] \; \; \; ,
E _ { \mathrm { K } } = { \frac { 1 } { 2 } } m \mathbf { v } \cdot \mathbf { v } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( m r ^ { 2 } \right) \omega ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } I \omega ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } - C _ { t , \epsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y \geq \int _ { B _ { \varepsilon ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } - C _ { t , \epsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y \geq \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon ^ { \prime } } } e ^ { - \frac { D _ { t , \varepsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } - C _ { t , \varepsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z . } \end{array}
( H _ { t a d } ^ { 3 } ) _ { p - n } \simeq \frac { 2 } { 3 } ( H _ { t a d } ^ { 3 } ) _ { \Sigma ^ { 0 } - \Sigma ^ { - } } \simeq \frac { 1 } { 3 } ( H _ { t a d } ^ { 3 } ) _ { \Sigma ^ { + } - \Sigma ^ { - } } \simeq \frac { 1 } { 2 } ( H _ { t a d } ^ { 3 } ) _ { \Xi ^ { 0 } - \Xi ^ { - } } \simeq - 2 . 5 \mathrm { ~ M e V } .
| 1 - { \frac { i ( \eta \cdot k ) \sqrt { { \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + i \epsilon } } } } { \sqrt { - ( \eta \cdot k ) ^ { 2 } - i \epsilon \eta ^ { 2 } } } } | \to 0 \ \mathrm { a s } \ \epsilon \to 0 .
{ \begin{array} { r l } { d s _ { M 2 } ^ { 2 } } & { = \left( 1 + { \frac { q } { r ^ { 6 } } } \right) ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } + \left( 1 + { \frac { q } { r ^ { 6 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } d x ^ { i } d x ^ { j } \delta _ { i j } } \\ { F _ { i \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } } & { = \epsilon _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } \partial _ { i } \left( 1 + { \frac { q } { r ^ { 6 } } } \right) ^ { - 1 } , \quad \mu = 1 , \ldots , 3 \quad i = 4 , \ldots , 1 1 , } \end{array} }
\mathbf { C } = \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \hat { \mathbf { e } } _ { j } \big ( \bigotimes _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { L - 1 } \phi _ { l ^ { \prime } m } ( r _ { j } ) \delta _ { l l ^ { \prime } } \hat { \mathbf { e } } _ { m } ^ { \top } \big ) ,
{ \frac { \Delta V } { V _ { 0 } } } = { \frac { \left( 1 + \varepsilon _ { 1 1 } + \varepsilon _ { 2 2 } + \varepsilon _ { 3 3 } + \varepsilon _ { 1 1 } \cdot \varepsilon _ { 2 2 } + \varepsilon _ { 1 1 } \cdot \varepsilon _ { 3 3 } + \varepsilon _ { 2 2 } \cdot \varepsilon _ { 3 3 } + \varepsilon _ { 1 1 } \cdot \varepsilon _ { 2 2 } \cdot \varepsilon _ { 3 3 } \right) \cdot a ^ { 3 } - a ^ { 3 } } { a ^ { 3 } } }
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \phi _ { 1 } + \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \phi _ { n + 1 } = 0 \, , } \\ & { \qquad \cdots \cdots } \\ & { - \phi _ { n } + \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \phi _ { n + 1 } = 0 \, , } \\ & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \phi _ { 1 } + \cdots + \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \phi _ { n } = h } \end{array} \right.
\frac { i } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { I _ { i \omega } ( k \xi _ { 1 } ) I _ { - i \omega } ( k \xi _ { 2 } ) - I _ { - i \omega } ( k \xi _ { 1 } ) I _ { i \omega } ( k \xi _ { 2 } ) \, } { I _ { i \omega } ( k \xi _ { 2 } ) K _ { i \omega } ( k \xi _ { 1 } ) - I _ { i \omega } ( k \xi _ { 1 } ) K _ { i \omega } ( k \xi _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Psi } { \partial r } ( r = 1 R _ { \mathrm { S } } , \theta , \phi ) } & { { } = g ( \theta , \phi ) , } \\ { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } ( r = r _ { \mathrm { S S } } , \theta , \phi ) } & { { } = \frac { \partial \Psi } { \partial \phi } ( r = r _ { \mathrm { S S } } , \theta , \phi ) = 0 , } \\ { \Psi ( r , \theta , \phi = 0 ) } & { { } = \Psi ( r , \theta , \phi = 2 \pi ) , } \end{array}
{ \cal F } _ { \mu \nu } ^ { \pm \Lambda } = { \frac { 1 } { 2 } } \, \Bigl ( F _ { \mu \nu } ^ { \Lambda } \pm { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } F ^ { \Lambda \vert \mu \nu } \Bigr )
\begin{array} { r l } { 2 r _ { i } } & { = \Vert \mathbf { P X } _ { i } \mathbf { Y } - \mathbf { D } \Vert ^ { 2 } + \lambda \Vert \nabla ^ { 2 } \mathbf { X } _ { i } \Vert ^ { 2 } } \\ { \nabla r _ { i } } & { = \mathbf { P } ^ { T } ( \mathbf { P X } _ { i } \mathbf { Y } - \mathbf { D } ) \mathbf { Y } ^ { T } + \lambda \nabla ^ { 2 } \mathbf { X } _ { i } } \\ { \mathbf { X } _ { i + 1 } } & { = \mathbf { X } _ { i } - \alpha _ { i } \nabla { r _ { i } } + \beta _ { i } \mathbf { p } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { H - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , h _ { k } \epsilon _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { C } { K } + \frac { C } { K } \sum _ { s = 1 } ^ { K } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ( H - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \Big | . } \end{array}
V ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) = { } - ( 2 \pi i ) ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \tilde { k } _ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 - \tilde { k } _ { 3 } } \! \! \! \! d \tilde { l } _ { 3 } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \tilde { k } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! d \tilde { l } _ { 0 } \, \frac { 1 } { ( b _ { 1 } \, \tilde { k } _ { 0 } + b _ { 0 } ) \, \tilde { l } _ { 0 } + ( a _ { 1 } \, \tilde { k } _ { 0 } + a _ { 0 } ) + \, i \eta }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } } \left( X _ { j } ^ { \left( c _ { 0 } ( 2 i ) T ^ { 2 / 3 } + k \right) } - X _ { j } ^ { \left( c _ { 0 } ( 2 i + 1 ) T ^ { 2 / 3 } + k \right) } \right) > c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 1 / 3 } \log ( T ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \geq 1 - \exp \left( - \frac { 2 \log ( T ^ { 2 } ) \left( c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } \mathbb { E } [ Z ] - c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 2 } } { 4 c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } } \right) } \\ & { \ge 1 - \exp \left( - \frac { 2 \log ( T ^ { 2 } ) \left( c _ { 0 } T ^ { 1 / 3 } - c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 2 } } { 4 c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } } \right) } \\ & { \ge 1 - \exp \left( - \frac { c _ { 0 } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { 2 } \log ( T ^ { 2 } ) } { 2 } \right) } \\ & { \geq 1 - T ^ { - c _ { 0 } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { 2 } } } \\ & { \ge 1 - \frac { 1 } { T } . } \end{array}
\Omega = \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } \left( r _ { 0 } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) + 3 r _ { 0 } ^ { 2 } q _ { m } ^ { 2 } + n ^ { 2 } q _ { m } ^ { 2 } } { 4 r _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } + 3 n ^ { 4 } } { 4 L ^ { 2 } r _ { 0 } }
\left\{ { \begin{array} { l l } { P _ { W } ^ { ( \mathrm { { R } } ) } > 0 \; \; } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ S ~ } ~ } ~ } : \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ M ~ } ~ } ~ } > 0 , } \\ { P _ { W } ^ { ( \mathrm { { R } } ) } < 0 \; \; } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ S ~ } ~ } ~ } : \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ { ~ M ~ } ~ } ~ } < 0 . \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right.
\Gamma _ { 2 } = ( { \frac { \alpha } { \pi } } ) ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } [ { \frac { ( 2 \mathrm { l n } 2 + 1 ) \pi ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } } + { \frac { 2 \pi A ( \lambda ) } { \lambda } } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } \mathrm { l n } \lambda + B _ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \left( 1 + | v | ^ { q } \right) M ^ { \varepsilon } [ f ^ { k } ] ( v ) } & { = \left( 1 + | v | ^ { q } \right) c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma - 1 } - | v - u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v - u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \gamma - 1 } } } \\ & { \leq C ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \frac { n ( \gamma - 1 ) } { 2 } } \left( 1 + | u _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } | + ( \rho _ { f ^ { k } } ^ { \varepsilon } ) ^ { \frac { \gamma - 1 } { 2 } } \right) ^ { q } } \\ & { \leq C _ { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { a } } ( \mathrm { p H } , k _ { \mathrm { a } } ) } & { = \left( \frac { \partial \mathcal { D } _ { \mathrm { a } } } { \partial \mathrm { p H } } \right) } \\ & { = \frac { \ln { 1 0 } } { k _ { \mathrm { a } } } \frac { 1 0 ^ { 7 - \mathrm { p H } } } { \left( 1 + \frac { 1 0 ^ { 7 - \mathrm { p H } } } { k _ { \mathrm { a } } } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}