harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathbf { \Theta } _ { ( 1 : l _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { ( Q ) } \mathrm { T } } = \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi } { V } } \underset { ^ B } { \angle } ( \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \mathbf { g } _ { ( 1 : l _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { ( Q ) } \mathrm { H } } ) = \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi ( v + 1 ) } { V } } \underset { ^ B } { \angle } ( \mathbf { g } _ { ( 1 : l _ { 2 } ) } ^ { \mathrm { ( Q ) } \mathrm { H } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( t w + ( 1 - t ) v ) } & { = \phi \Bigl ( \, \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \langle x , t w + ( 1 - t ) v \rangle \Bigr ) } \\ & { \le \phi \Bigl ( \, t \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \langle x , w \rangle + ( 1 - t ) \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \langle x , v \rangle \Bigr ) \le t \Psi ( w ) + ( 1 - t ) \Psi ( v ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( u , \phi ) : = } & { \int _ { \Omega } H ( \nabla u ) ^ { p - 1 } H _ { \xi } ( \nabla u ) \nabla \phi - \lambda \int _ { \Omega } m ( x ) | u | ^ { p - 2 } u \phi } \\ & { + \lambda \int _ { \Omega } | u | ^ { p + q - 2 } u \phi + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } | u | ^ { p - 2 } u \phi \geqslant 0 . } \end{array}
\mathcal { L } _ { p } ( \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 0 } ^ { N - 1 } \lVert p ^ { t } + \mathscr { F } _ { c o n v _ { 1 } } [ ( 1 - \varepsilon ^ { t } ) \mathbf { u } ^ { * } + \varepsilon ^ { t } \mathbf { u } _ { c } ^ { t } , \mathbf { s } _ { c o n v _ { 1 } } ^ { t } , \boldsymbol { \lambda } ; \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ] - \mathbf { p } _ { d } ^ { t + 1 } \rVert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] } & { \le \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) + C _ { 2 } } { C } + \left\lceil \frac { \log _ { 2 } ( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } ) } { C _ { 2 } } \right\rceil \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } } \\ & { \phantom { = \, } + 2 ^ { - C _ { 2 } } \left( \frac { 2 C _ { 2 } } { C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Xi \Omega \Phi = \mathbb { E } \Omega \mathbb { E } \Xi \Phi + \mathbb { E } ( \Omega - \mathbb { E } \Omega ) \Xi \Phi = \mathbb { E } \Omega \mathbb { E } \Xi \Phi + \mathbb { E } \Xi \mathbb { E } ( \Omega - \mathbb { E } \Omega ) \Phi + \mathbb { E } ( \Xi - \mathbb { E } \Xi ) ( \Omega - \mathbb { E } \Omega ) \Phi } \\ & { = \mathbb { E } ( \Omega - \mathbb { E } \Omega ) \Xi \Phi + \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } = \omega \mathbb { E } \Xi \Phi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { n - 2 i } e _ { i } ^ { j } , K ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \varepsilon \mu A ^ { \overline { { n } } - 2 i } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } e _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - n } e _ { i } ^ { j } , L ^ { 1 / 2 } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu A ^ { 2 i - \overline { { n } } } \overline { { e } } _ { i } ^ { j } ; } \\ & { F e _ { n } ^ { k } = \lambda \overline { { e } } _ { 0 } ^ { k } , F e _ { n } ^ { j } = \lambda \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j } + \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j + 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } j \neq k , F \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j } = 0 , F e _ { i } ^ { j } = e _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq n , F \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \overline { { e } } _ { i + 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq \overline { { n } } ; } \\ & { E e _ { 0 } ^ { j } = \overline { { e } } _ { \overline { { n } } } ^ { j } , E \overline { { e } } _ { 0 } ^ { j } = 0 , E e _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] e _ { i - 1 } ^ { j } , E \overline { { e } } _ { i } ^ { j } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ \overline { { n } } - i + 1 ] \overline { { e } } _ { i - 1 } ^ { j } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } , \quad \delta _ { 2 } ( \zeta , \cdot ) , \delta _ { 3 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } , \quad \delta _ { 4 } ( \zeta , \cdot ) , \delta _ { 5 } ( \zeta , \cdot ) : \mathbb { C } \setminus \Gamma _ { 1 0 } ^ { ( 2 ) } \to \mathbb { C } } \end{array}
\sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \biggl ( \frac { C \tau _ { m } } { \tau _ { m } ^ { \prime } } \biggr ) ^ { \! \! r } \leq \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \bigl ( C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \bigr ) ^ { r } \leq 2 \, ,
\begin{array} { r l } { \langle p i | \chi _ { m } ^ { N + 2 } \rangle = } & { \sum _ { c < d } \langle p i | | c d \rangle X _ { c d } ^ { N + 2 , m } + \sum _ { k < l } \langle p i | | k l \rangle Y _ { k l } ^ { N + 2 , m } } \\ { \langle p a | \chi _ { m } ^ { N - 2 } \rangle = } & { \sum _ { c < d } \langle p a | | c d \rangle X _ { c d } ^ { N - 2 , m } + \sum _ { k < l } \langle p a | | k l \rangle Y _ { k l } ^ { N - 2 , m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \omega ^ { - \gamma } \left[ \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot \left( \left\langle \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } \right) \right] } \end{array}
\psi ^ { a \alpha } ( x ) \cong \psi _ { 0 } ^ { \alpha } \, \varphi ^ { a } + \gamma _ { \alpha \beta } ^ { 0 } \frac { m _ { a b } } { 2 E } \, \psi _ { 0 } ^ { \beta } \, \varphi ^ { b } \; ,
\Omega _ { \mathrm { P } } = \left( 0 . 1 2 \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } \right) { \frac { d _ { m } c _ { m } ( 3 c _ { m } - c _ { d } ) } { M _ { S } ^ { 4 } L _ { 5 } } } \sim - 0 . 8 5 \; .
\begin{array} { r l } { \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } } & { { } = \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } + \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } , } \\ { \omega \tilde { t } _ { n } } & { { } = \delta _ { 1 / 4 } + \delta _ { 3 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ \frac { \Lambda _ { \mathrm { L } } } { Y } \log { ( n ) } + \bigg ( \frac { \Lambda _ { \mathrm { Q } } } { Y } + \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { 2 Y } \log ( 1 + Y ) \qquad \qquad \qquad } & { } \\ { - \, \frac { \Lambda _ { \mathrm { L } } } { Y } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } \bigg ) \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { Y } \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } } & { \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\begin{array} { r l l } { { } } & { { S M A : } } & { { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \simeq 5 . 0 \times 1 0 ^ { - 6 } \ \mathrm { e V ^ { 2 } } , } } \\ { { } } & { { } } & { { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s o l } \simeq 0 . 0 0 2 4 , \ \tan ^ { 2 } \theta \simeq 0 . 0 0 0 6 ; } } \\ { { } } & { { L M A : } } & { { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \simeq 3 . 2 \times 1 0 ^ { - 5 } \ \mathrm { e V ^ { 2 } } , } } \\ { { } } & { { } } & { { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s o l } \simeq 0 . 7 5 , \ \tan ^ { 2 } \theta \simeq 0 . 3 3 ; } } \\ { { } } & { { L O W : } } & { { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \simeq 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 7 } \ \mathrm { e V ^ { 2 } } , } } \\ { { } } & { { } } & { { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s o l } \simeq 0 . 9 6 , \ \tan ^ { 2 } \theta \simeq 0 . 6 7 ; } } \\ { { } } & { { Q V O : } } & { { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } \simeq 8 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \ \mathrm { e V ^ { 2 } } , } } \\ { { } } & { { } } & { { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { s o l } \simeq 0 . 9 6 , \ \tan ^ { 2 } \theta \simeq 1 . 5 . } } \end{array}
\alpha = - \hat { \gamma } _ { s } ^ { \xi _ { A } } \hat { \xi } _ { A } + \bar { \gamma } _ { s } ^ { \xi _ { A } } \xi _ { A } + \xi _ { A } \partial _ { \xi _ { A } } \hat { \xi } _ { A } = x \xi _ { A } + { \cal O } ( \hbar )
\begin{array} { r l } { \mathbf { x _ { i n } } } & { = \mathbf { Z _ { i n } } \cdot \left[ \mathbf { Z _ { s } } + \mathbf { Z _ { i n } } \right] ^ { - 1 } \cdot \mathbf { x _ { g } } } \\ & { = \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( - L ) \right] \cdot \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ^ { * } ( - L ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } | \Psi _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ - ~ C ~ C ~ } } \rangle = E _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ - ~ C ~ C ~ } } | \Psi _ { \mathrm { ~ Q ~ E ~ D ~ - ~ C ~ C ~ } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } g ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) \psi = - 2 \frac { g } { v _ { 0 } } ( l + m + 1 ) \omega \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle = } \\ & { \sum _ { \sigma , \tau \in M _ { 2 n } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { \ r S p } } ( N ; \sigma , \tau ) \left[ \sum _ { \lbrace i _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle i _ { k } , i _ { n + k } \rangle \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle i _ { \sigma ( 2 k - 1 ) } , i _ { \sigma ( 2 k ) } \rangle \right] \left[ \sum _ { \lbrace j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle j _ { k } , j _ { n + 1 + ( k \bmod n ) } \rangle \prod _ { k = 1 } ^ { n } \langle j _ { \tau ( 2 k - 1 ) } , j _ { \tau ( 2 k ) } \rangle \right] . } \end{array}
C _ { J } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } ) = ( 2 J + \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + 1 ) \frac { { \mit \Gamma } ( J + 1 ) { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + 1 ) } { { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 1 } + 1 ) { \mit \Gamma } ( J + \nu _ { 2 } + 1 ) } \, .
\Gamma \left( H \to q \bar { q } \right) = \Gamma _ { q \bar { q } } ^ { \mathrm { B o r n } } \left[ \left( 1 + \Delta _ { q } ^ { \mathrm { Q E D } } \right) \left( 1 + \left. \Delta _ { q } ^ { \mathrm { w e a k } } \right| _ { x _ { t } = 0 } \right) \left( 1 + \Delta _ { q } ^ { \mathrm { Q C D } } \right) \left( 1 + \Delta _ { q } ^ { t } \right) + \Xi _ { q } ^ { \mathrm { Q C D } } \Xi _ { q } ^ { t } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { o c t } } } & { = { \sqrt { T _ { i } ^ { ( n ) } T _ { i } ^ { ( n ) } - \sigma _ { \mathrm { o c t } } ^ { 2 } } } } \\ & { = \left[ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \right) - { \frac { 1 } { 9 } } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } \left[ ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \sigma _ { 3 } - \sigma _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { 3 } } { \sqrt { 2 I _ { 1 } ^ { 2 } - 6 I _ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { 2 } { 3 } } J _ { 2 } } } } \end{array} }
g _ { v , 2 } ( x ) = \frac { k } { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } ( { \hat { h _ { v } } } + 4 \Omega _ { s p h } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \bigg [ \{ ( 5 + 4 k ^ { 2 } ) - 9 k ^ { 2 } s n ^ { 2 } ( x ) \} s n ( x ) c n ^ { 2 } ( x ) d n ( x ) \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } _ { 0 } ( Z ) = \mathrm { V a r } _ { 0 } ( - Z ) } & { = E _ { 0 } \left( \int \log \left( \frac { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } \right) d \bar { \Pi } ( \eta ) - \int _ { B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) } K ( p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } , p _ { \eta } ^ { n } ) d \bar { \Pi } ( \eta ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = E _ { 0 } \left( \int \log \left( \frac { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } \right) - K ( p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } , p _ { \eta } ^ { n } ) d \bar { \Pi } ( \eta ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \int _ { B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon ) } E _ { 0 } \left( \log \left( \frac { p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } { p _ { \eta } ^ { n } ( Y ^ { n } ) } \right) - K ( p _ { \eta _ { 0 } } ^ { n } , p _ { \eta } ^ { n } ) \right) ^ { 2 } d \bar { \Pi } ( \eta ) \leq n \varepsilon ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta \hat { B } ^ { H } ( { \bf r } , t ) \rangle _ { t _ { 0 } } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \, \overline { { \overline { { D } } } } _ { \mathrm { B A } } ( { \bf r } , t ; { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime } ) \cdot \mathrm { T r } \left[ \hat { \rho } _ { \mathrm { s r c } } ( t _ { 0 } ) \hat { F } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] } \\ { \overline { { \overline { { D } } } } _ { B A } ( { \bf r } , t ; { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } & { { } = \frac { - i } { \hbar } \theta ( t - t ^ { \prime } ) \mathrm { T r } \left[ \hat { \rho } _ { \mathrm { s y s } } ( t _ { 0 } ) \left[ \hat { B } ^ { I } ( { \bf r } , t ) , \hat { A } ^ { \mathrm { I } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \right] . } \end{array}
\nabla _ { h } \left( { \varepsilon _ { h } } \, \phi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \right) = \left[ \; { \varepsilon _ { h } } \, \nabla _ { x ^ { \prime } } \phi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) + \nabla _ { y } \phi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \; \right| \left. \; \frac { { \varepsilon _ { h } } } { h } \, \partial _ { x _ { 3 } } \phi \left( x , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } \right) \; \right]
\begin{array} { r l r } { \Delta P } & { { } = } & { \exp { \left( - \frac { \beta } { N } n ( t ) \Delta t \right) } - \exp { \left( - \frac { \beta } { N } \left[ n ( t ) \Delta t + n ^ { \prime } ( t ) \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } \right] \right) } } \end{array}
\Upsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } ^ { 0 } \equiv g _ { \{ \mu \nu } g _ { \alpha \beta \} } \int _ { k } \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 2 4 \int _ { k } \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } k _ { \alpha } k _ { \beta } } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( u _ { 0 } + x _ { 0 } ) - u _ { 0 } x _ { 1 } = } & { 0 } \\ { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { u _ { 0 } } f _ { x _ { 0 } } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { v _ { 0 } x _ { 0 } ^ { 2 \alpha } } \\ { \partial _ { v _ { 0 } } f _ { x _ { 0 } } ( u _ { 0 } , v _ { 0 } ) } & { - u _ { 0 } } \end{array} \right) = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathcal H } } & { { } = } & { v _ { x } \sigma _ { x } \pi _ { x } + v _ { y } \sigma _ { y } \pi _ { y } + \left( v _ { t x } \pi _ { x } + v _ { t y } \pi _ { y } \right) I + U I + M \sigma _ { z } } \end{array}
\epsilon _ { \mathrm { d i p } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \nu a L _ { z } } { L _ { z } + \varDelta } \int { \frac { \partial \left( M _ { 1 } - M _ { 2 } \right) } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial x } d x }
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ C ~ } _ { 0 , 2 } } ^ { ( 3 ) } ( 1 , 1 ) } & { { } = - \frac { 5 } { 1 2 \pi } \approx - 0 . 1 3 2 \ 6 2 9 \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mu _ { n } ^ { k } ( t ) + \textnormal { d i v } _ { x } ( v _ { n } ^ { k } ( t ) \mu _ { n } ^ { k } ( t ) ) = 0 \quad \mathrm { i n ~ \big [ ~ \frac { k T } { n } , \frac { ( k + 1 ) T } { n } ~ \big ] ~ \times ~ \mathbb { R } ^ d ~ } , } \\ & { \mu _ { n } ^ { k } ( \frac { k T } { n } ) = \mu _ { n } ^ { k - 1 } \big ( \frac { k T } { n } \big ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu + 1 } v ^ { \sigma } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a \gtrsim - \frac { \epsilon } { p } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a - C _ { \epsilon } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { - \frac { \sigma } { \mu } } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \epsilon _ { n } ^ { ( k ) } = \epsilon _ { n + 1 } ^ { ( k - 2 ) } + \frac { 1 } { \epsilon _ { n + 1 } ^ { ( k - 1 ) } - \epsilon _ { n } ^ { ( k - 1 ) } } , } \\ & { } & { \mathrm { w i t h \quad } \epsilon _ { n } ^ { ( - 1 ) } = 0 , \quad \epsilon _ { n } ^ { ( 0 ) } = \mathcal { O } _ { n } , } \end{array}
{ _ { x _ { j } ^ { + } } } ^ { C } D _ { \infty } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \overline { { U _ { i } ^ { + } } } = - \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \infty } ( \xi - x _ { j } ^ { + } ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \frac { d \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ( \xi ) } { d x _ { j } ^ { + } } d \xi
\begin{array} { r l } { \dot { \bar { x } } ^ { n } } & { = \frac { d } { d t } h ( x ^ { n } ) = \Lambda ( x ^ { n } ) \dot { x } ^ { n } = \Lambda ( x ^ { n } ) y ^ { n } = \bar { y } ^ { n } } \\ { \dot { \bar { y } } ^ { n } } & { = \frac { d } { d t } \left( \Lambda ( x ^ { n } ) y ^ { n } \right) = \Lambda ( x ^ { n } ) \lambda ( x ^ { n } ) \dot { x } ^ { n } y ^ { n } + \Lambda ( x ^ { n } ) \dot { y } ^ { n } } \\ & { = \Lambda ( x ^ { n } ) \lambda ( x ^ { n } ) y ^ { n } y ^ { n } + \Lambda ( x ^ { n } ) \dot { y } ^ { n } } \\ & { = \Lambda ( x ^ { n } ) \lambda ( x ^ { n } ) y ^ { n } y ^ { n } + \Lambda ( x ^ { n } ) \left( - \Gamma _ { n n } ^ { n } ( x ^ { n } ) y ^ { n } y ^ { n } + x ^ { n - 1 } \right) } \\ & { = \Lambda ( x ^ { n } ) x ^ { n - 1 } = \bar { x } ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( u , v ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Omega } \left( \partial _ { t } u - \frac 1 4 \partial _ { x } ^ { 2 } u \right) \left( \partial _ { t } v - \frac 1 4 \partial _ { x } ^ { 2 } v \right) \, \mathrm d x \mathrm d t } \\ & { \quad + \int _ { \Omega } u ( 0 , x ) v ( 0 , x ) \, \mathrm d x + \int _ { I \times \partial \Omega } u v \, \mathrm d s \mathrm d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \delta \psi _ { \pm } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e f f } } - E _ { 0 } \pm \omega } \, \sum _ { k } | \Psi _ { k } \rangle \langle \Psi _ { k } | D | \Psi _ { 0 } \rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e f f } } - E _ { 0 } \pm \omega } \, D | \Psi _ { 0 } \rangle , } \end{array}
S _ { M } = N \frac { \coth \frac { 3 } { 4 } \beta } { 1 + 2 \mathrm { e } ^ { - \frac { 3 } { 2 } \beta } } \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left[ M ^ { 2 } - \frac { 2 } { 1 + \mathrm { e } ^ { \frac { 3 } { 2 } \beta } } { \cal L } M { \cal L } ^ { 2 } M \right] + N \mathrm { T r } \ln ( 1 - g M ) .
d _ { \mathtt { H } } ( \boldsymbol { i } _ { 0 } , \boldsymbol { i } _ { 1 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } | b _ { i j } ^ { ( 0 ) } - b _ { i j } ^ { ( 1 ) } | .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } _ { x } ( T _ { a } ) , \quad x \in [ a , r ] \cap E , } \\ & { \frac { h _ { b } ( b _ { k } ) - h _ { b } ( a _ { k } ) } { b _ { k } - a _ { k } } \cdot ( x - a _ { k } ) + h _ { b } ( a _ { k } ) , \quad x \in ( a _ { k } , b _ { k } ) \subset ( a , r ) , k \geq 1 , } \\ & { \mathbf { E } _ { r } T _ { a } , \quad x \geq r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \le } & { { } \frac { 4 d } { L } \sum _ { s = 1 } ^ { \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil } \log _ { 2 } ( 2 ^ { s + \log _ { 2 } ( L ) } ) } \\ { = } & { { } \frac { 4 d } { L } \sum _ { s = 1 } ^ { \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil } \left( s + \log _ { 2 } ( L ) \right) } \\ { = } & { { } \frac { 2 d } { L } \left( \left\lceil \log _ { 2 } ^ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil + ( 1 + 2 \log _ { 2 } L ) \left\lceil \log _ { 2 } \frac { N } { L } \right\rceil \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { S } = \frac { \sum \tilde { S } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ p ~ } } ^ { 1 } - \tilde { S } _ { \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ t ~ o ~ m ~ } } ^ { 1 } } { \sum \tilde { S } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ d ~ d ~ l ~ e ~ } } ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 0 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | \cos \gamma \sin 2 \phi | } \\ { g ^ { ( \pm 1 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } | \mp \cos \gamma \cos 2 \phi + i \sin \gamma \cos \phi | } \\ { g ^ { ( \pm 2 ) } \left( \gamma , \phi \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \bigg | \frac { 1 } { 2 } \cos \gamma \sin 2 \phi \mp i \sin \gamma \sin \phi \bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega \delta \hat { \phi } } & { = - M ( \phi _ { 0 } ) q ^ { 2 } ( \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } ^ { \prime } ( \phi _ { 0 } ) + \kappa q ^ { 2 } ) \delta \hat { \phi } + \chi _ { 0 } \phi _ { 0 } q ^ { 2 } f ^ { \prime } ( \tilde { c } _ { 0 } ) \delta \hat { c } , } \\ { \omega \delta \hat { c } } & { = - D _ { c } q ^ { 2 } \delta \hat { c } - k ( g ( \tilde { c } _ { 0 } ) \delta \hat { \phi } + \phi _ { 0 } g ^ { \prime } ( \tilde { c } _ { 0 } ) \delta \hat { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { z ( \frac { T } { 4 } ) = z ( - \frac { T } { 4 } ) = - z ( - \frac { 3 T } { 4 } ) = - z ( \frac { T } { 4 } ) \, , } \\ { \dot { \rho } ( \frac { T } { 4 } ) = \dot { \rho } ( - \frac { T } { 4 } ) = - \dot { \rho } ( \frac { T } { 4 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Psi \rangle = \sum _ { \lambda } \sqrt { r _ { \lambda } } \, \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \, u _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \right) \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, u _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 2 } ) \, \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) \right) | \mathrm { v a c } \rangle \, . } \end{array}
\sum _ { ( m , k ) \in \mathcal { I } } M _ { ( n , j ) ( m , k ) } \lbrack x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) \rbrack \, s _ { ( m , k ) } = \frac { 1 } { 2 \lambda g U } \, s _ { ( n , j ) } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \substack { i \in \mathcal { I } _ { k } ^ { n } , j \in \mathcal { I } _ { k - 1 } ^ { n } } } | J _ { \frac { i } { n } } - J _ { \frac { j } { n } } | } & { \le \operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] , t \in [ ( k - 1 ) h _ { n } , k h _ { n } ] } } | J _ { s } - J _ { t } | } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] } } | J _ { s } - J _ { k h _ { n } } | + \operatorname* { s u p } _ { \substack { t \in [ ( k - 1 ) h _ { n } , k h _ { n } ] } } | J _ { k h _ { n } } - J _ { t } | \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \hat { a } _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] , \hat { a } _ { \mathrm { G } } ^ { \dagger } [ \Omega ^ { \prime } ] ] = } & { \frac { | H _ { 0 } [ \Omega ] | ^ { 2 } - 1 } { | H _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] | ^ { 2 } } 2 \pi \cdot \delta [ \Omega + \Omega ^ { \prime } ] } \\ { = } & { \, 2 \pi \cdot \delta [ \Omega + \Omega ^ { \prime } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } } & { { } = \Big ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \Big ) v - \frac { 1 } { \beta } w - c v ^ { 3 } + \Big ( \frac { \alpha } { \beta } + I \Big ) } \\ { \dot { w } } & { { } = - c v ^ { 3 } - \Big ( \frac { b } { \tau } + \frac { 1 } { \beta } \Big ) w . } \end{array}
T _ { A } / T _ { \mu } \sim { \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } } \left( { \frac { \bar { Q } _ { s } ^ { 2 } ( A ) } { Q _ { s } ^ { 2 } } } \right) ^ { 1 - \lambda _ { 0 } } { \frac { \ell n ( Q ^ { 2 } / \bar { Q } _ { s } ^ { 2 } ( A ) ) } { \ell n ( Q ^ { 2 } / Q _ { s } ^ { 2 } ) } } .
\begin{array} { r l } { K ( k ) \, } & { { } = \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a _ { m } ^ { 2 } \, \kappa ^ { 2 m } \Bigl ( \log \frac { 1 } { \kappa } + 2 b _ { m } \Bigr ) \, , } \\ { E ( k ) \, } & { { } = \, 1 + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 m + 1 } { 2 m + 2 } \, a _ { m } ^ { 2 } \, \kappa ^ { 2 m + 2 } \Bigl ( \log \frac { 1 } { \kappa } + b _ { m } + b _ { m + 1 } \Bigr ) \, , } \end{array}