harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { s , i \cdot } } & { : = \sum _ { j } a _ { i j } ( s ) e _ { i } \otimes e _ { j } } \\ { X _ { i } ( t ) } & { : = \langle X ( t ) , e _ { i } \rangle = \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \sum _ { j } a _ { i j } ( s ) Z _ { t - s , j } = \sum _ { s \in \mathbb { Z } } A _ { s , i \cdot } \epsilon _ { t - s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } , z , \omega ) } & { { } = \left( \begin{array} { c } { \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } \\ { \mathcal { P } ( \vec { x } , z , \omega ) \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \cos ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \right\rangle } \\ { \mathcal { P } ( \vec { x } , z , \omega ) \left\langle \rho _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \sin ( 2 \gamma _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) ) \right\rangle } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { i j } ( p , q ) = \operatorname * { l i m } _ { m \to 0 } \int \! \! \! \int e ^ { i ( p \cdot x - q \cdot y ) } \langle 0 | T \{ A _ { \mu } ^ { i } ( x ) \ A _ { \nu } ^ { j } ( 0 ) \ \bar { s } s ( y ) | 0 \rangle ^ { ( c ) } ,
{ \cal Q } _ { \lambda } ( { \vec { x } } | { \vec { y } } ) = \int d t _ { N } . . . \int d t _ { 1 } \prod _ { i = N } ^ { 1 } R _ { \lambda + \beta _ { i } - 1 } ( t _ { i - 1 } , x _ { i } | t _ { i } , y _ { i } ) ~ .
{ \bf k } = ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) ^ { T } = { \bf e } _ { i } k _ { i } = { \bf e } _ { i } R _ { i j } ( R ^ { T } { \bf k } ) _ { j } = { \bf R } _ { j } ( R ^ { T } { \bf k } ) _ { j }
H ^ { \mu } ( q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \equiv \left\{ \frac { \not { q _ { 2 } } + m } { q _ { 2 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \frac { \not { q _ { 3 } } + m } { q _ { 3 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \right\}
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , l } } } \sqrt { \frac { p | W _ { k , l } | } { | W _ { \diamond } | } } } & { \lesssim \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { c \, k l } } \sqrt { \frac { p b k _ { 0 } } { a \gamma k l ^ { 2 } } } } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 1 } { c \, k } } \sqrt { \frac { p b k _ { 0 } } { a \gamma k } } \sum _ { l = \lfloor \frac { k + 4 } { 7 } \rfloor } ^ { 7 k + 1 0 } l ^ { - 3 / 2 } } \\ & { \leq 2 \sqrt { \frac { 1 } { c \, k } } \sqrt { \frac { p b k _ { 0 } } { a \gamma k } } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \lfloor \frac { k + 4 } { 7 } \rfloor - 1 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 7 k + 1 0 } } \right) } \\ & { \sim 2 \sqrt { \frac { 1 } { c \, k } } \sqrt { \frac { p b k _ { 0 } } { a \gamma k } } \left( \sqrt { 7 } - \frac { 1 } { \sqrt { 7 } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { k } } . } \end{array}
G _ { \mu \mu } = \frac { E _ { \mu \mu } } { \omega ^ { 2 } p } , \mathbf { E } = \mathbf { E } _ { 0 } - \int \frac { k d k d \phi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 2 } } \frac { s _ { k } } { s - s _ { k } } \frac { 4 \pi p } { \epsilon _ { 2 } } \frac { \mathbf { E } _ { k } \left( \mathbf { z } _ { 0 } \right) \mathbf { E } _ { - k } \left( \mathbf { z } _ { 0 } \right) } { \left\langle \mathbf { E } _ { k } | \mathbf { E } _ { k } \right\rangle } ,
\tilde { f } _ { a c } \left( \delta \tilde { k } _ { 0 } \right) = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { \Theta \left( \delta \tilde { k } _ { 0 } \right) } { D \left( \sqrt { \Delta \tilde { E } + \delta \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } .
v _ { S } ^ { 2 } = \frac { \Gamma _ { 1 1 } S _ { 1 3 } ^ { 2 } + 2 \Gamma _ { 1 2 } S _ { 1 3 } S _ { 2 3 } + \Gamma _ { 2 2 } S _ { 2 3 } ^ { 2 } } { S _ { 1 3 } ^ { 2 } + S _ { 2 3 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \Big ( \mathbb { P } \big ( \Phi _ { u } ( \mathcal { I } _ { i } ) > \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \Phi _ { u } ( \mathcal { I } _ { i } ) < \Phi ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) \Big ( \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } _ { u } ( \mathcal { I } _ { i } ) > \widetilde { \Phi } _ { u } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) - \mathbb { P } \big ( \widetilde { \Phi } _ { u } ( \mathcal { I } _ { i } ) < \widetilde { \Phi } _ { u } ( \mathcal { I } _ { j } ) \big ) \Big ) > 0 . } \end{array}
G _ { 1 } ( p _ { i } ^ { 2 } ) = h ( p _ { i } ) \sqrt { \prod _ { j = 1 } ^ { N _ { f } } ( p _ { i } ^ { 2 } - m _ { j } ^ { 2 } ) } \Lambda _ { N = 2 } ^ { 2 N _ { c } - 2 - N _ { f } } .
\bar { { \cal E } } [ \chi ] = \int d y \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \chi _ { 1 } } { d y } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \chi _ { 2 } } { d y } \right) ^ { 2 } + \bar { U } ( \chi _ { 1 } , \chi _ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 c } ^ { ( 1 ) } } & { = 9 6 0 i D p ^ { 4 } \int \cdots \int d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \int d l _ { E } \frac { x y ( y + s ) ^ { 4 } l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = - \frac { 4 i \pi ^ { D / 2 + 1 } p ^ { 4 } ( D - 1 0 ) ( D ^ { 4 } + 2 0 D ^ { 2 } + 2 4 0 D + 2 3 0 4 ) } { 5 ( D + 2 ) ( D + 4 ) ( D + 6 ) \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 2 - D } } \, . } \end{array}
I = \int d t \int d z { \cal L } , \; \; { \cal L } = - \frac { 1 } { 2 \pi g } \bigg ( R \sqrt { 1 - { \dot { R } } ^ { 2 } - { \cal E } ^ { 2 } + { R ^ { \prime } } ^ { 2 } } - \frac { h } { 2 } R ^ { 2 } \bigg )
\begin{array} { r l } { \sum _ { x } F ( x , 0 ) } & { { } = - \sum _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \langle \psi ( t ^ { \prime } ) | \{ | x \rangle \langle x | , \mathrm { I m } H _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } \} | \psi ( t ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
( \mathrm { d } q ^ { a } ) _ { x } \left( \left( \frac { \partial } { \partial { q } ^ { b } } \right) _ { \negmedspace x } \right) = \left( \frac { \partial } { \partial { q } ^ { b } } \right) _ { \negmedspace x } \left( q ^ { a } \right) = \delta _ { b } ^ { a }
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { T } \sum _ { n = - \infty } ^ { - N - 1 } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } + \frac { 1 } { T } \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } \hat { g } ( n / T ) e ^ { \mathbf { i } 2 \pi x n / T } \right| \le \frac { \epsilon ^ { \prime \prime } } { 6 } , ~ } & { { } ~ \forall x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ F ~ R ~ E ~ T ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \left( r / R _ { 0 } \right) ^ { 6 } } = \frac { k _ { \mathrm { ~ F ~ R ~ E ~ T ~ } } } { \sum k _ { f } + \sum k _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ n ~ } } } } \end{array}
P ( t , \vec { z } ) = \sum _ { \vec { n } } p _ { \vec { n } } ( t ) z _ { c } ^ { n _ { c } } z _ { d } ^ { n _ { d } } z _ { G _ { c } } ^ { n _ { G _ { c } } } z _ { G _ { d } } ^ { n _ { G _ { d } } } \, ,
\begin{array} { r l } { F _ { r } \cong - e v _ { \varphi } B _ { 0 } \left[ \gamma _ { 0 } + b ( z ) \right] } & { - \frac { e v _ { z } E _ { 0 } ^ { h f } \omega \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { J _ { 1 } \left( p _ { 0 1 } \right) k _ { \perp } } } \\ & { \times J _ { 1 } ^ { \prime } \left( k _ { \perp } r \right) \sin \varphi _ { p } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - 1 2 \bar { L } ^ { 2 } I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } } & { \leq 4 \hat { L } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + 8 I \zeta ^ { 2 } + 4 I G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 I G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } } \\ { \leq } & { \int _ { \mathbb { R } } | \, | u ^ { k } | ^ { p } + | u ^ { j } | ^ { p } \, | \ | \, | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } \, | \ | u _ { x } ^ { j } | \ | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + \, 2 \int _ { \mathbb { R } } | ( u ^ { k } ) ^ { p } | \, | ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } | \ | u ^ { k } - u ^ { j } | \, | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ & { + \, 2 \, \int _ { \mathbb { R } } | u ^ { j } | \left| ( u ^ { k } ) ^ { p } \ ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } - ( u ^ { j } ) ^ { p } ( ( u ^ { j } ) ^ { p } ) _ { x } \right| | ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } | d x } \\ { \leq } & { \left( \| \, | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \right) \left( \| \, | u ^ { k } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + \| \, | u ^ { j } | ^ { p } \, \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \right) \| u _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + \, 2 \| ( u ^ { k } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \, \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \ \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + \, 2 \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { k } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( ( u ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { + \, 2 \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( u ^ { j } ) ^ { p } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| ( ( u ^ { j } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { \approx } & { 1 - \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) + 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { - } & { | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } + 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb Z } \sum _ { j ^ { \prime } \notin { L _ { j } ^ { \ell } } } \Big ( \overline { { \xi _ { j } } } ( s ) - \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \Big ) \bar { \xi } _ { j + 1 } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( s ) ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \leq \frac { T \ell ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \theta ( n ) } \| \mathcal E _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } . } \end{array}
\nabla \left( \phi _ { 1 } + \phi _ { 1 ^ { \prime } } \right) \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } \cdot \, \boldsymbol { n } _ { 2 } = \nabla \left[ \phi _ { 2 1 } + \phi _ { 2 1 ^ { \prime } } + \phi _ { 2 2 } + \phi _ { 2 2 ^ { \prime } } \right] \big | _ { { \upSigma } _ { b 2 } } \cdot \, \boldsymbol { n } _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \left( \operatorname { C a } _ { \operatorname { r m s } } \right) } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { s } \} } \operatorname { C a } _ { \operatorname { r m s } , i } } \\ { \operatorname* { m a x } \left( \operatorname { C a } _ { \operatorname* { m a x } } \right) } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , N _ { s } \} } \operatorname { C a } _ { \operatorname* { m a x } , i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \eta _ { T } ^ { H } - \overline { { \eta } } _ { T } ^ { H } , g \rangle | } & { \leq \frac { C } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \langle \eta _ { t } ^ { H } - \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \rangle \right| d t } \\ & { \leq \frac { C } { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \left| \langle \eta _ { t } ^ { H } - \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , f _ { t } ^ { \mathcal { I } } \rangle \right| d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left| \langle \eta _ { t } ^ { H } - \overline { { \eta } } _ { t } ^ { H } , f _ { t } \rangle \right| d t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathbf { C } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \: \: \: } & { \omega ( \mathbf { x } ) \leq \rho n } \\ { \frac { q ^ { n ( 1 - \tau ) } - V ( \rho , n ) } { q ^ { n } - V ( \rho , n ) } \: \: \: } & { \omega ( \mathbf { x } ) > \rho n . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ^ { ' } } & { = \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega _ { \mu } ( \hat { \sigma } ^ { + } e ^ { \eta ^ { \prime } ( \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ) } + \hat { \sigma } ^ { - } e ^ { - \eta ^ { \prime } ( \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ) } ) ( e ^ { i \omega _ { \mu } t } + e ^ { - i \omega _ { \mu } t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { l } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) } & { { } = } & { \frac { 2 q } { c r _ { c } } \sum _ { m = 1 } ^ { N } v _ { m } \sideset { } { ' } { \sum } _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s } Q _ { m , n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { m , n + p } ( u , r / r _ { c } ) } { p ^ { l - 1 } u W _ { m , n + p } ^ { I } } } \end{array}
I _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) \mathcal { F } \left( I \right) ( \boldsymbol { \xi } ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, ,
\begin{array} { r l } { H ^ { 1 } } & { { } = \sigma _ { 1 } ( W ^ { 1 } z + b ^ { 1 } ) } \\ { H ^ { 2 } } & { { } = \sigma _ { 1 } ( W ^ { 2 } H ^ { 1 } + b ^ { 2 } ) } \\ { H ^ { 3 } } & { { } = G \odot H ^ { 2 } \qquad \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad G = \sigma _ { 2 } ( W ^ { 3 } z + b ^ { 3 } ) } \\ { \hat { f } ( z ; { \theta } ) } & { { } = W ^ { 4 } H ^ { 3 } + b ^ { 4 } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \bar { B } ^ { ( 0 ) } } \\ { \bar { A } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \bar { \bar { S } } _ { j , 1 1 } } & { \bar { \bar { S } } _ { j , 1 2 } } \\ { \bar { \bar { S } } _ { j , 2 1 } } & { \bar { \bar { S } } _ { j , 2 2 } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \bar { A } ^ { ( 0 ) } } \\ { \bar { B } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] ,
{ \cal L } = { \cal L } _ { g } + { \cal L } _ { g f } + { \cal L } _ { g h } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { v } } { \cal L } _ { v _ { i } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { t } } { \cal L } _ { t _ { i } } .
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d \xi \; \exp \{ - \gamma _ { 0 } \xi ^ { 2 } + t x - { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \} = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { t ^ { n } } { n ! } } \; \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \xi \; e ^ { - \gamma _ { 0 } \xi ^ { 2 } } \; H _ { n } ( \xi ) .
\begin{array} { r l } { Q ^ { \prime } ( f , g ) - Q _ { \varphi } ( f , g ) } & { = Q ^ { \prime } ( f , g ) - Q ( \varphi f , \varphi g ) + Q ( \varphi f g , \varphi ) } \\ & { = Q ^ { \prime } ( f , g ) - Q ^ { \prime } ( \varphi f , \varphi g ) } \\ & { = Q ^ { \prime } ( ( 1 - \varphi ) f , g ) + Q ^ { \prime } ( \varphi f , ( 1 - \varphi ) g ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } & { = } & { \displaystyle \frac { u ( h ) } { h } f ^ { \prime } ( x ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { v _ { m } ( h ) } { h } w _ { m } ( x ) } \\ { f ^ { \prime } ( x ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \left( \frac { u ( h ) } { h } f ^ { \prime } ( x ) + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { v _ { m } ( h ) } { h } w _ { m } ( x ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { i j } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega , \omega ^ { \prime } ) = \sum _ { n , m , v } H ( \omega _ { n } ) \delta ( \omega _ { n } - \omega _ { m } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \int d { \bf r } ^ { \prime } G _ { i v } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega , \omega _ { n } ) G _ { j v } ^ { * } ( { \bf r } _ { 2 } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } , \omega _ { m } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { Q _ { 1 } ^ { R } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { - c _ { k _ { 0 } } ^ { - 1 } e ^ { \theta _ { 3 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 3 3 } ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( \Delta _ { 1 1 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { Q _ { 7 } ^ { R } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \frac { - d _ { k _ { 0 } } ^ { - 1 } e ^ { - \theta _ { 3 2 } ( x , t , \bar { k } _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 2 2 } ^ { \prime } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ) ^ { \prime } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( k - \bar { k } _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { Q _ { 1 } ^ { L } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \frac { - c _ { k _ { 0 } } e ^ { - \theta _ { 3 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 1 1 } ( k _ { 0 } ) \Delta _ { 3 3 } ^ { - 1 } ( k _ { 0 } ) ( k - k _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { Q _ { 7 } ^ { L } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { - d _ { k _ { 0 } } e ^ { \theta _ { 3 2 } ( x , t , \bar { k } _ { 0 } ) } } { \Delta _ { 3 3 } ( \bar { k } _ { 0 } ) \Delta _ { 2 2 } ^ { - 1 } ( \bar { k } _ { 0 } ) ( k - \bar { k } _ { 0 } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { a } ( u , \mathcal { R } ^ { * } f ) = a ( u , \mathcal { R } ^ { * } f ) + \langle S u , \mathcal { R } ^ { * } f \rangle = \langle u , f \rangle + \langle u , S \mathcal { R } ^ { * } f \rangle } & { = \langle u , ( I + S \mathcal { R } ^ { * } ) f \rangle } \\ & { = \widetilde { a } \big ( u , \mathcal { R } ^ { * } ( I + S \mathcal { R } ^ { * } ) f \big ) } \end{array}
\displaystyle \beta = \int _ { 0 } ^ { \infty } { G ( N _ { b } , m , \lambda ) \sum _ { n = n _ { 0 } + 1 } ^ { \infty } f ( n ; \lambda ) d \lambda } = \sum _ { n = n _ { 0 } + 1 } ^ { \infty } C _ { N _ { b } + n } ^ { n } \frac { m ^ { 1 + N _ { b } } } { ( m + 1 ) ^ { 1 + N _ { b } + n } } \le \Delta ,
\nabla \times \mathbf { H } = \mathbf { J _ { f } } + { \frac { \mathrm { d } \mathbf { D } } { \mathrm { d } t } } \quad { \mathrm { ( S I ) } } , \qquad \nabla \times \mathbf { H } = { \frac { 4 \pi } { \mathrm { c } } } \mathbf { J _ { f } } + { \frac { 1 } { \mathrm { c } } } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { D } } { \mathrm { d } t } } \quad { \mathrm { ( c g s ) } } ,
\begin{array} { r } { \det G _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } ^ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } = \det ( S R ) _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } ^ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } = \det S _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } R ^ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } = \sum _ { | \vartheta | = n } \det S _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } ^ { \vartheta } \det R _ { \vartheta } ^ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } . } \end{array}
\Sigma _ { m n } ( E ) = - i e ^ { 2 } \! \int \! d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y \! \int \! { \frac { d ^ { n } k } { ( 2 \pi ) ^ { n } } } \, { \frac { e ^ { i \vec { k } \cdot ( \vec { x } - \vec { y } ) } } { k ^ { 2 } + i \delta } } \, \bar { \psi } _ { m } ( \vec { x } ) \gamma _ { \mu } S _ { F } ( \vec { x } , \vec { y } ; E - k _ { 0 } ) \gamma ^ { \mu } \psi _ { n } ( \vec { y } ) .
K _ { N } ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ) ~ = ~ \sqrt { \lambda \lambda ^ { \prime } } \prod _ { f = 1 } ^ { \alpha } \sqrt { \lambda ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } } \sqrt { { \lambda ^ { \prime } } ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } } e ^ { - \frac { N } { 2 } ( V ( \lambda ^ { 2 } ) + V ( { \lambda ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \frac { Q _ { j } ( \lambda ) Q _ { j } ( \lambda ^ { \prime } ) } { r _ { j } } ~ ,
\Delta = ( y - 1 ) \times { \frac { ( 1 - z ) ^ { 2 } - y z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } } \times { \frac { ( ( 1 - x ) ^ { 2 } - z ) ^ { 2 } - y z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } } = \Delta _ { y } \times \Delta _ { z } \times \Delta _ { x } ;
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { \ell + 1 } } & { { } = \mathbb { I } - \Delta _ { i m p , b a t h - b a t h } ^ { \ell } , } \\ { R ^ { \ell + 1 } \cdot \sqrt { \Delta ^ { \ell + 1 } ( \mathbb { I } - \Delta ^ { \ell + 1 } ) } } & { { } = \Delta _ { i m p , b a t h - i m p } ^ { \ell , t } . } \end{array}
\Phi ( \mathbf { r } ) \equiv { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { S } \mathbf { \hat { n } } ^ { \prime } \cdot { \frac { \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } S ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } } \\ & { + } & { R ( \beta _ { 3 } - \beta _ { 2 } ) + \int _ { \beta _ { 3 } } ^ { \phi _ { 4 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 1 } } { B } [ \sin ( \phi _ { 4 } - \phi _ { 1 } ) - \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } . } \end{array}
( f g ) ^ { \prime \prime } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 2 } { { \binom { 2 } { k } } f ^ { ( 2 - k ) } ( x ) g ^ { ( k ) } ( x ) } = f ^ { \prime \prime } ( x ) g ( x ) + 2 f ^ { \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) g ^ { \prime \prime } ( x ) .
\begin{array} { r l } { C ^ { \theta } \, } & { { } = \, N N _ { \theta } ^ { C } ( f ( q ) ^ { C } ) } \\ { L ^ { \theta } \, } & { { } = \, N N _ { \theta } ^ { L } ( f ( q ) ^ { L } ) } \\ { \dot { a } _ { i } ^ { R } ( t ) \, } & { { } = \, C _ { i } ^ { \theta } + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N } L _ { i j } ^ { \theta } a _ { j } ^ { R } ( t ) + \displaystyle \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } Q _ { i j k } a _ { j } ^ { R } ( t ) a _ { k } ^ { R } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f * B ) ( x ) = } & { \frac { \alpha } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } - \alpha t } H ( t ) d t } \\ { = } & { \frac { \alpha } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( x - Q _ { 0 } - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } - \alpha t } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \pi = \phi _ { \mathrm { O A } _ { 1 } | f = f _ { \mathrm { b } } } + } & { \phi _ { \mathrm { A A } _ { 1 } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { A _ { 1 } B } | f = f _ { \mathrm { b } } } + } \\ & { \phi _ { \mathrm { B B _ { 1 } } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { B _ { 1 } P } | f = f _ { \mathrm { b } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | g _ { 1 , r } ^ { ( j ) } ( z ) | } & { = r ^ { - n } \left| \frac { j ! r ^ { j } ( r - 1 ) ^ { n } } { ( 1 - r z ) ^ { j + 1 } } ) + \frac { \partial ^ { j } } { \partial z ^ { j } } q ( r , z ) \right| } \\ & { \le 2 ^ { - n } \left( \frac { j ! ( 1 - r ) ^ { n } } { | 1 - r z | ^ { j + 1 } } + | \frac { \partial ^ { j } } { \partial z ^ { j } } q ( r , z ) | \right) } \end{array}
\Omega _ { - 2 } ^ { - 2 i } - \Omega _ { + 2 } ^ { + 2 i } = 4 i \psi _ { + 2 q } ^ { 1 + } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \psi _ { - 2 \dot { q } } ^ { 1 - } - 4 i \psi _ { - 2 q } ^ { 1 + } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \psi _ { + 2 \dot { q } } ^ { 1 - } - 4 i \psi _ { + 2 q } ^ { 2 - } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \psi _ { - 2 \dot { q } } ^ { 2 + } + 4 i \psi _ { - 2 q } ^ { 2 - } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \psi _ { + 2 \dot { q } } ^ { 2 + } .