harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G Q _ { W _ { \widehat { k } } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { \widehat { k } } } & { \widehat { V } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { D _ { G _ { \widehat { k } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \widehat { D } _ { G } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { T _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } } & { 0 } \\ { T _ { W _ { 1 2 } } ^ { \mathrm { T } } } & { T _ { W _ { 2 2 } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { I _ { \widehat { k } } } \\ { 0 } \end{array} \right] Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } + E _ { G } Q _ { W _ { \widehat { k } } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } } \\ & { = V _ { \widehat { k } } D _ { G _ { \widehat { k } } } T _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } + \widehat { V } \widehat { D } _ { G } T _ { W _ { 1 2 } } ^ { \mathrm { T } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } + E _ { G } Q _ { W _ { \widehat { k } } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } , } \end{array}
R _ { \vec { x } } ( \Psi ) = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { } & { 0 } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { \cos { \Psi } } & { } & { - \sin { \Psi } } \\ { 0 } & { } & { \sin { \Psi } } & { } & { \cos { \Psi } } \end{array} \right]
U ( r ) = ( 1 + b ^ { 2 } ) ^ { 2 } r ^ { \frac { 2 } { 1 + b ^ { 2 } } } \left( - 2 M r ^ { - { \frac { D - 1 - b ^ { 2 } } { 1 + b ^ { 2 } } } } - { \frac { 2 \Lambda } { ( D - 1 - b ^ { 2 } ) } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { = 2 \Big [ \sin \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) + \cos ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] , } \\ { \partial _ { \theta ^ { \prime } } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { = 2 \Big [ - \sin \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta - \theta ^ { \prime } } { 2 } \right) + \sin ( \theta ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ | h ( X _ { j } ) - h ( X _ { j } ^ { ( \psi ) } ) | ] = \mathbb { E } [ | \sum _ { l = 1 } ^ { K } \alpha _ { l } \sigma ( \beta _ { l } ^ { \top } X _ { j } + \gamma _ { l } ) - \sum _ { l = 1 } ^ { K } \alpha _ { l } \sigma ( \beta _ { l } ^ { \top } X _ { j } ^ { ( \psi ) } + \gamma _ { l } ) | ] \leq \sum _ { l } | \alpha _ { l } | \| \beta _ { l } \| _ { 1 } \mathbb { E } [ | Z _ { t _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) - Z _ { t _ { 1 } } ^ { \psi } ( x _ { 1 } ) | ] } \end{array}
\Delta M \approx - \epsilon _ { K } M ^ { 0 } - k \left( \begin{array} { l l l } { { 2 \epsilon _ { e } M _ { e e } ^ { 0 } } } & { { ( \epsilon _ { e } + \epsilon _ { \mu } ) M _ { e \mu } ^ { 0 } } } & { { ( \epsilon _ { e } + \epsilon _ { \tau } ) M _ { e \tau } ^ { 0 } } } \\ { { \dots } } & { { 2 \epsilon _ { \mu } M _ { \mu \mu } ^ { 0 } } } & { { ( \epsilon _ { \mu } + \epsilon _ { \tau } ) M _ { \mu \tau } ^ { 0 } } } \\ { { \dots } } & { { \dots } } & { { 2 \epsilon _ { \tau } M _ { \tau \tau } ^ { 0 } } } \end{array} \right) ,
\nabla \varphi \cdot \nabla \psi = { \frac { \partial \varphi } { \partial x } } { \frac { \partial \psi } { \partial x } } + { \frac { \partial \varphi } { \partial y } } { \frac { \partial \psi } { \partial y } } = { \frac { \partial \psi } { \partial y } } { \frac { \partial \psi } { \partial x } } - { \frac { \partial \psi } { \partial x } } { \frac { \partial \psi } { \partial y } } = 0 \, .
( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ) ( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ) = ( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ) ( { \check { R } } \otimes \mathbf { 1 } )
\begin{array} { r l } { \rho ( t ) } & { { } = \sum _ { p , q = 0 } ^ { \infty } M _ { p , q } ^ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } } ( t ) \rho ( 0 ) { M _ { p , q } ^ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } } } ^ { \dagger } ( t ) } \end{array}
Q _ { n p } = \frac { k _ { 0 } } { 2 n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \iint \varepsilon _ { 0 } \big [ n ^ { 2 } ( x , y ) - n _ { 0 } ^ { 2 } ( x , y ) \big ] F _ { n } ( x , y ) F _ { p } ^ { * } ( x , y ) ,
\begin{array} { r l } & { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) L _ { y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y \left\langle \hat { P } \tilde { \eta } ( z , t ) \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \right\rangle } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y ^ { \prime } u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) u _ { 0 } ( z ) \left\langle \tilde { \eta } ( z ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \right\rangle } \\ { = } & { T \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { L _ { y } } d y ^ { \prime } u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) u _ { 0 } ( z ) \partial _ { z } \left[ \delta ( z - z ^ { \prime } ) \delta ( y - y ^ { \prime } ) - \frac { u _ { 0 } ( z ) u _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) } { ( u _ { 0 } , u _ { 0 } ) L _ { y } } \right] } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
p _ { a } ^ { + } = 1 / R \; \; \; \; \; p _ { a } ^ { i } = v _ { a } ^ { i } / R \; \; \; \; \; E _ { a } = v _ { a } ^ { 2 } / ( 2 R ) = ( p _ { a } ^ { i } ) ^ { 2 } / 2 p ^ { + }
\frac { 1 } { 1 + \mathrm { S } } \mathrm { d } \mathrm { S } = - b \mathrm { S } ( t ) \sqrt { r ( 0 ) ^ { 2 } + 2 c A _ { \circ } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { S } ( s ) \mathrm { d } s } \mathrm { d } t + a u .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { 1 1 } } & { = } & { \frac { \partial y _ { 1 } } { \partial r } Y _ { l m } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 2 2 } } & { = } & { \frac { y _ { 1 } } { r } Y _ { l m } + \frac { y _ { 2 } } { r } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { l m } } { \partial ^ { 2 } \theta } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 3 3 } } & { = } & { \frac { y _ { 1 } } { r } Y _ { l m } + \frac { y _ { 2 } } { r } \left( \cot \theta \frac { \partial Y _ { l m } } { \partial \theta } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { l m } } { \partial ^ { 2 } \phi } \right) , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 2 3 } } & { = } & { \frac { y _ { 2 } } { r \sin \theta } \left( \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { l m } } { \partial \theta \partial \phi } - \cot \theta \frac { \partial Y _ { l m } } { \partial \phi } \right) , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 3 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sin \theta } \left( \frac { y _ { 1 } } { r } + \frac { \partial y _ { 2 } } { \partial r } - \frac { y _ { 2 } } { r } \right) \frac { \partial Y _ { l m } } { \partial \phi } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { y _ { 1 } } { r } + \frac { \partial y _ { 2 } } { \partial r } - \frac { y _ { 2 } } { r } \right) \frac { \partial Y _ { l m } } { \partial \theta } , } \end{array}
A _ { 6 } : = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 2 } & { 5 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 4 } & { 2 } \\ { 5 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 1 } & { 2 } & { 4 } \\ { 1 } & { 5 } & { 2 } \end{array} \right) .
\left( x _ { 1 } , \xi _ { 1 } , t _ { 1 } \right) \cdot \left( x _ { 2 } , \xi _ { 2 } , t _ { 2 } \right) = \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } , \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } , t _ { 1 } t _ { 2 } e ^ { 2 \pi i \left( x _ { 1 } \xi _ { 1 } + x _ { 2 } \xi _ { 2 } + x _ { 1 } \xi _ { 2 } \right) } \right) .
\begin{array} { r l } & { \sqrt { M } ( C - C _ { k } ) = \sqrt { M } [ \frac { p _ { k } \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } ^ { 2 } \mathbf { h } _ { k } } { M ( 1 + \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } \mathbf { h } _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } { \mathbf { H } } { \mathbf { P } } _ { k } { \mathbf { H } } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } \mathbf { h } _ { k } \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } \mathbf { h } _ { k } } { M ( 1 + \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } \mathbf { h } _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { 2 \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } { \mathbf { H } } { \mathbf { P } } _ { k } { \mathbf { H } } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } ^ { 2 } \mathbf { h } _ { k } } { M ( 1 + \mathbf { h } _ { k } ^ { H } { \mathbf { Q } } _ { k } \mathbf { h } _ { k } ) } ] \xrightarrow [ N \rightarrow \infty ] { a . s . } { \mathcal { O } } ( M ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) , } \end{array}
f = \frac { \gamma } { 2 M _ { s } \pi } \sqrt { 2 A k _ { x } ^ { 2 } ( 2 A k _ { x } ^ { 2 } - \frac { 2 \mu _ { 0 } M _ { s } ^ { 2 } t _ { h } } { t _ { h } + d \pi } + \frac { D \pi } { 2 d } ) } + \frac { D \gamma } { 4 M _ { s } } k _ { x } + f _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \Delta \varepsilon _ { i n t } } & { { } = } & { \sum _ { j = M , \kappa } n _ { j } \left( \frac { 3 ( T _ { j } - T _ { 0 } ) } { m c ^ { 2 } } + \frac { K _ { 1 } ( m c ^ { 2 } / T _ { j } ) } { K _ { 2 } ( m c ^ { 2 } / T _ { j } ) } - \frac { K _ { 1 } ( m c ^ { 2 } / T _ { 0 } ) } { K _ { 2 } ( m c ^ { 2 } / T _ { 0 } ) } \right) } \end{array}
\left[ { \frac { \lambda } { \mu } } \right] _ { 2 } = \left[ { \frac { \mu } { \lambda } } \right] _ { 2 } , \qquad \left[ { \frac { i } { \lambda } } \right] _ { 2 } = ( - 1 ) ^ { \frac { b } { 2 } } , \qquad \left[ { \frac { 1 + i } { \lambda } } \right] _ { 2 } = \left( { \frac { 2 } { a + b } } \right) .
\begin{array} { r } { H _ { \sigma } ^ { \gamma } : = \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } H ( A _ { t } ^ { \sigma } | S _ { 0 : t } ^ { \sigma } , A _ { 0 : t - 1 } ^ { \sigma } ) = \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } \mathbb { E } _ { A _ { t } ^ { \sigma } , S _ { t } ^ { \sigma } } [ - \log \mathbb { P } ( A _ { t } ^ { \sigma } | S _ { t } ^ { \sigma } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { B ( e _ { i } , e _ { j } ) : = \sum _ { T \subset \Delta } \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { i ' } ~ a n d ~ \ensuremath { j ' } ~ a r e ~ n o t ~ b o t h ~ i n ~ \ensuremath { T } ; } } \\ { - 1 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { j ' } ~ i s ~ t h e ~ a r c ~ i m m e d i a t e l y ~ c o u n t e r c l o c k w i s e ~ o f ~ \ensuremath { i ' } ~ i n ~ \ensuremath { T } ; } } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { j ' } ~ i s ~ t h e ~ a r c ~ i m m e d i a t e l y ~ c l o c k w i s e ~ o f ~ \ensuremath { i ' } ~ i n ~ \ensuremath { T } . } } \end{array} \right. } \end{array}
\Psi ( \gamma _ { \vec { r } _ { ( p ) } } , \vec { r } _ { ( p ) } ) = e x p \left( i \frac { e ^ { 2 } ( 2 \alpha - 1 ) } { 4 \pi \kappa } \Delta \Theta ( \gamma ) \right) \Phi ( \partial \gamma _ { \vec { r } _ { ( p ) } } , \vec { r } _ { ( p ) } ) ,
E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { t o t a l } } = \frac { E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { p r o d } } + E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { l i q } } + E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { s t o r e _ { 1 } } } + E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { t r a n s } } + E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { s t o r e _ { 2 } } } + E _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } _ { e l e c } } } { W _ { e l e c } } \ [ \mathrm { k g } _ { \mathrm { \ c e { C O 2 } } \cdot \ \mathrm { k W h } ^ { - 1 } } ] \, .
\Gamma ^ { j } = \frac { v _ { \chi } } { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \kappa _ { 6 2 1 } } } & { { \kappa _ { 6 2 2 } } } \\ { { \kappa _ { 6 3 1 } } } & { { \kappa _ { 6 3 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( O u t p u t ) } } & { \propto \frac { 1 - \cos \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } ( 1 - \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } ^ { ' } ) r ( \Omega ) } { 2 } } \\ & { \simeq \frac { \gamma _ { 2 } + \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } \gamma _ { 1 } / 2 - i \Omega } { \gamma _ { 1 } - i \Omega } , } \end{array}
| { \alpha } | ^ { 2 } \, { \psi } _ { 1 } \, \otimes \, { \overline { { { \psi } } } _ { 1 } } \, + \, | { \beta } | ^ { 2 } \, { \psi } _ { 2 } \, \otimes \, { \overline { { { \psi } } } _ { 2 } }
D _ { { \cal F } } ^ { ( N , \alpha ) } ( \tau ; \Delta ) = \frac { 2 \pi } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { ( 4 \pi i s ) ^ { N / 2 } } e ^ { - i ( \tau ^ { 2 } - 2 r ^ { 2 } ) / 4 s } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } I _ { 2 \pi | n | / \alpha } \left( r ^ { 2 } / 2 i s \right) e ^ { i 2 \pi n \Delta / \alpha } .
\frac { \delta ^ { 2 } \widehat { W } _ { k } [ J , \phi ] } { \delta J \delta J } = \left( \frac { \delta ^ { 2 } \widehat { \Gamma } _ { k } [ \phi , \varphi ] } { \delta \phi \delta \phi } { \Big | } _ { \varphi = \phi } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { a ^ { 3 } } { 1 3 a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } } + \frac { b ^ { 3 } } { 1 3 b ^ { 2 } + 5 c ^ { 2 } } + \frac { c ^ { 3 } } { 1 3 c ^ { 2 } + 5 a ^ { 2 } } - \frac { a + b + c } { 1 8 } } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 1 8 ( 1 3 a ^ { 2 } + 5 b ^ { 2 } ) ( 1 3 b ^ { 2 } + 5 c ^ { 2 } ) ( 1 3 c ^ { 2 } + 5 a ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \cdot \frac { 1 } { 2 2 2 3 } \Big ( c z _ { 1 } ^ { T } A _ { 1 } z _ { 1 } + c ( a - c ) ( b - c ) z _ { 2 } ^ { T } A _ { 2 } z _ { 2 } + ( b - c ) z _ { 3 } ^ { T } A _ { 3 } z _ { 3 } + ( a - c ) z _ { 4 } ^ { T } A _ { 4 } z _ { 4 } \Big ) } \end{array}
\widetilde { \mathbf { P } } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } = \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } + \widetilde { A } + \widetilde { B } , \qquad \widetilde { \mathbf { P } } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } = ( \widetilde { A } + \widetilde { B } ) \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( \widetilde { A } - \widetilde { B } ) + \mathbf { P } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } ,
\begin{array} { r l r } { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 1 3 } + K _ { 1 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 2 3 } + K _ { 2 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 1 3 } - K _ { 1 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 2 3 } - K _ { 2 4 } \vert \; , } \\ { - 1 + \vert K _ { 3 } + K _ { 4 } \vert } & { \le } & { 1 - \vert K _ { 3 } - K _ { 4 } \vert \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { E L B O } [ q ] = \int _ { \mathbb { R } ^ { d _ { w } } \times \mathbb { R } ^ { d _ { x } } \times \Theta } d w d x _ { 0 } d \theta \ \log { \frac { p _ { \beta } ( y , w , x _ { 0 } , \theta ) } { q ( w , x _ { 0 } , \theta ) } } q ( w , x _ { 0 } , \theta ) . } \end{array}
{ \frac { \tan \left( { \frac { A - B } { 2 } } \right) } { \tan \left( { \frac { A + B } { 2 } } \right) } } = { \frac { \tan \left( { \frac { a - b } { 2 } } \right) } { \tan \left( { \frac { a + b } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( g , \tau ) } & { { } = \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } g ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \left[ \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( 1 - \sin { \mu c t } \right) ( \delta ( c t - x ) + \delta ( c t + x ) ) + \mu \Theta ( c t - | x | ) J _ { 0 } ( \mu u ) \right] , \, u = { \sqrt { c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { Q ( \varphi ) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma ( A ( t ) \cdot \mathrm { c o s } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } } \\ { Q ( \varphi ) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma _ { F N } ( A ( t ) \cdot \mathrm { c o s } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Gamma _ { F N } ( - A ( t ) \cdot \mathrm { c o s } \left( \omega _ { 0 } t + \varphi \right) ) ~ \mathrm { d t } . } \\ { Q ( \varphi ) = } & { Q ^ { + } ( \varphi ) - Q ^ { - } ( \varphi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { u } ) ] } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \Delta r _ { 3 , i } } & { \Delta r _ { 2 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } } & { 0 } & { - \Delta r _ { 1 , i } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } } & { 0 } \end{array} \right] } \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \Delta r _ { 3 , i } } & { \Delta r _ { 2 , i } } \\ { \Delta r _ { 3 , i } } & { 0 } & { - \Delta r _ { 1 , i } } \\ { - \Delta r _ { 2 , i } } & { \Delta r _ { 1 , i } } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } } \\ { u _ { 2 } } \\ { u _ { 3 } } \end{array} \right] } \right) \right) \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ a s ~ m a t r i x ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { u } ) ] } & { { } = \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta r _ { i } ] ^ { 2 } \right) \mathbf { u } \; \ldots \; \mathbf { u } { \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ c h a r a c t e r i s t i c ~ o f ~ } } P _ { i } } \end{array}
F _ { \pi } ^ { 2 } ( M ^ { 2 } ) = \frac { N _ { c } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { M ^ { 2 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } d x M ^ { 2 } \frac { \frac { f ( x ) ^ { 2 } } { f ( M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { x } ,
\begin{array} { r c l } { { \Sigma } } & { { = } } & { { \Sigma _ { u n p o l } + ( \kappa - \bar { \kappa } ) \cos \theta ^ { * } { \cal P } + \cos \theta ^ { * } \cos \bar { \theta ^ { * } } \kappa \bar { \kappa } { \cal Q } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sin \theta ^ { * } \sin \bar { \theta ^ { * } } \cos ( \phi ^ { * } + \bar { \phi ^ { * } } ) \kappa \bar { \kappa } { \cal Y } + \dots } } \end{array}
n _ { \mathrm { E } } ^ { ( \mathrm { b a s s } ) } ( t ) = L \frac { 1 - \exp \left( - ( p + q ) ( t - t _ { 0 } ) \right) } { 1 + q p ^ { - 1 } \exp \left( - ( p + q ) ( t - t _ { 0 } ) \right) } \qquad L , q , p , t _ { 0 } , t > 0 ,
B _ { r } \left( r , h \right) = B _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } d \psi \left( \cos ^ { 2 } \psi - \sin ^ { 2 } \psi \right) \left\{ \frac { \alpha _ { + } } { \sqrt { \cos ^ { 2 } \psi + k _ { + } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } } - \frac { \alpha _ { - } } { \sqrt { \cos ^ { 2 } \psi + k _ { - } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi } } \right\}
N u = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left. - \frac { H } { \epsilon T _ { B } } \frac { d \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } { d z } \right| _ { z = 0 } \left. - \frac { H } { \epsilon T _ { B } } \frac { d \langle T _ { s a } \rangle _ { A , t } } { d z } \right| _ { z = H } \right]
\begin{array} { r } { U = \sum _ { N = 1 } ^ { N } a m _ { N } ( { \bf k } , { \bf x } _ { N } ( t ) ) = b ( { \bf k } , { \bf z } ( t ) ) = b ( { \bf k } , R ( t ) { \bf z } ( 0 ) ) , \qquad b \equiv a L \mu . } \end{array}
g _ { x } ( w ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 2 \pi } \bar { \Phi } ( x ) \left( ( 1 + w ^ { 2 } ) e ^ { w ^ { 2 } / 2 } \Phi ( w ) + \frac { w } { \sqrt { 2 \pi } } \right) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \quad w \leq x } \\ { \sqrt { 2 \pi } \Phi ( x ) \left( ( 1 + w ^ { 2 } ) e ^ { w ^ { 2 } / 2 } \bar { \Phi } ( w ) - \frac { w } { \sqrt { 2 \pi } } \right) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } \quad w > x } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { L _ { \underline { { W } } } ( \rho ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \underline { { w } } \in \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { P } _ { \underline { { W } } } ( \| \underline { { W } } - \underline { { w } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \rho ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \underline { { w } } \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { B ( \underline { { w } } , \sqrt { \rho } ) } \mathcal { P } _ { \underline { { W } } } ( \underline { { u } } ) d \underline { { u } } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \underline { { w } } \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { B ( \underline { { w } } , \sqrt { \rho } ) } \operatorname* { s u p } _ { \underline { { u } } } \mathcal { P } _ { \underline { { W } } } ( \underline { { u } } ) d \underline { { u } } } \\ & { = \left( \operatorname* { s u p } _ { \underline { { u } } \in \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { P } _ { \underline { { W } } } ( \underline { { u } } ) \right) \left( \operatorname* { s u p } _ { \underline { { w } } \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { B ( \underline { { w } } , \sqrt { \rho } ) } 1 d \underline { { u } } \right) } \\ & { = \left( \frac { \rho } { 2 \pi \sigma _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } V _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( \alpha + \eta - \beta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \eta \right) \pi \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { h } & { = { \left( \begin{array} { l l } { c } & { a - i b } \\ { a + i b } & { - c } \end{array} \right) } } & & { ( a , b , c ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \\ { u } & { = { \left( \begin{array} { l l } { d + i e } & { f + i g } \\ { - f + i g } & { d - i e } \end{array} \right) } } & & { ( d , e , f , g ) \in \mathbb { R } ^ { 4 } { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } d ^ { 2 } + e ^ { 2 } + f ^ { 2 } + g ^ { 2 } = 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } = } & { 2 L _ { f } ^ { \prime } + 4 M _ { f } L _ { y } + \frac { 2 L _ { y x } M _ { f } } { \eta L _ { y } } , } \\ { c _ { 1 } = } & { \frac { 1 } { 4 } + 4 L _ { f } ^ { \prime } + 8 M _ { f } L _ { y } + \frac { 4 L _ { y x } M _ { f } } { \eta L _ { y } } , } \\ { c _ { 2 } = } & { \frac { 1 } { 2 } + 4 L _ { f } ^ { \prime } + 8 M _ { f } L _ { y } + \frac { 4 L _ { y x } M _ { f } } { \eta L _ { y } } , } \\ { c _ { 3 } = } & { \frac { 2 5 M _ { f } } { L _ { y } } \Big [ 1 + ( 1 2 + \frac { 2 \alpha _ { k } } { 3 } ) ( \frac { 2 \bar { \alpha } _ { 2 } \lambda ^ { 2 } L _ { g } ^ { 2 } M ^ { 2 } \rho ^ { 2 } L _ { y } } { N M _ { f } } \alpha _ { 2 } ( N ) + \frac { \bar { \alpha } _ { 2 } \lambda L _ { f } ^ { 2 } L _ { g } ^ { 2 } ( N + 1 ) L _ { y } } { \mu M _ { f } } ) + \frac { M _ { f } L _ { y } \bar { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } } \\ & { \quad \qquad + \frac { 1 1 \bar { \alpha } _ { 2 } M _ { f } L _ { y } } { 2 } + \frac { \eta L _ { y x } D _ { h } ^ { 2 } \bar { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ] \frac { \bar { \beta } ^ { 2 } } { N } , } \end{array}