harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \xi _ { 1 } ^ { a } , \xi _ { 2 } ^ { a } , \dots , \xi _ { M } ^ { a } } \quad } & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \pi _ { j } ^ { a } ( \xi _ { j } ^ { a } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \xi _ { j } ^ { a } = \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { 1 } } \\ & { \xi _ { j } ^ { a } = \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { 2 } } \\ & { \dots } \\ & { \xi _ { j } ^ { a } = \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { m } } \end{array}
x ( u ) = \frac { 1 \! - \! e } 2 F \left( \frac u 2 , \frac { 2 \sqrt e } { 1 \! + \! e } \right) + \frac { 1 \! + \! e } 2 E \left( \frac u 2 , \frac { 2 \sqrt e } { 1 \! + \! e } \right) , \quad y ( u ) = \sqrt { 1 + 2 e \cos u + e ^ { 2 } } \big / 2 , \quad u \in [ 0 , 2 \pi ] ,
\boldsymbol { G } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) = \left[ \boldsymbol { 1 } + \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } \nabla \otimes \nabla \right] \frac { e ^ { i \xi | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } | } } { 4 \pi | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } | }
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { \leq k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { = k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \quad - \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \leq k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) + \epsilon - \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \quad + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \leq k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) + \epsilon - \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \quad + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] ) , ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] + d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) , ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right) } \\ & { \leq k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) + \epsilon + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 2 } ^ { \prime } ) , ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } ) \right] \right) , } \end{array}
S _ { g r a v } = \frac { 6 } { \kappa ^ { 2 } } \int \left\{ - \frac { { I \! \! N } ^ { - 1 } } { 2 } { I \! \! R } D _ { \bar { \eta } } { I \! \! R } D _ { \eta } { I \! \! R } + \frac { \sqrt { k } } { 2 } { I \! \! R } ^ { 2 } \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { \mathrm { p h } , ( \boldsymbol { \phi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \beta L ^ { d } } \sum _ { \mathbf { Q q q } ^ { \prime } } C ( \mathbf { Q } ) ( \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { q } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { q } ^ { \prime } } ) ( \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { q + Q } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { q ^ { \prime } - Q } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { N P Q } _ { \tau } ( t ) } & { { } = \frac { \tau _ { F } ( 0 ) - \tau _ { F } ( t ) } { \tau _ { F } ( t ) } = \tau _ { F } ( 0 ) ( \tau _ { F } ( t ) ^ { - 1 } - \tau _ { F } ( 0 ) ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { G } _ { n } ^ { ( 1 ) } } & { { } = x ^ { \nu } ( G _ { n } ^ { ( 1 ) } - \int _ { 0 } ^ { x } t ^ { - \nu - 1 } e ^ { - t - \frac { x y } { t } } d t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathrm { H F } } } & { { } = E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { H F } } - \big ( E _ { \mathrm { e l s t } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { ~ H ~ F ~ } ) + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 1 ) } ( \mathrm { ~ H ~ F ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Psi } { \partial x } \bigg | _ { ( x _ { n } , y _ { n } ) } } & { { } \approx \frac { \Psi ( x _ { n } + h , y _ { n } ) - \Psi ( x _ { n } - h , y _ { n } ) } { 2 h } , } \\ { \frac { \partial \Psi } { \partial y } \bigg | _ { ( x _ { n } , y _ { n } ) } } & { { } \approx \frac { \Psi ( x _ { n } , y _ { n } + k ) - \Psi ( x _ { n } , y _ { n } - k ) } { 2 k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( \varepsilon _ { n } , H _ { K _ { n } } ^ { 1 } , \| \cdot \| _ { 1 } ) } & { \leq N ( \varepsilon _ { n } , S _ { K _ { n } } ^ { 1 } , \| \cdot \| _ { 1 } ) \leq N ( \varepsilon _ { n } , B _ { \| \cdot \| _ { 2 } } ( 0 _ { \mathbb { R } ^ { K _ { n } } } , 1 ) , \| \cdot \| _ { 1 } ) } \\ & { \leq N ( \varepsilon _ { n } / K _ { n } ^ { 1 / 2 } , B _ { \| \cdot \| _ { 2 } } ( 0 _ { \mathbb { R } ^ { K _ { n } } } , 1 ) , \| \cdot \| _ { 2 } ) \leq \Big ( 3 K _ { n } ^ { 1 / 2 } / \varepsilon _ { n } \Big ) ^ { K _ { n } } \leq e ^ { D n \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } , } \end{array}
Z P E = \frac { M ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \epsilon } + \gamma - \ln 4 \pi + \ln \frac { M ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { \lambda } _ { j , \bar { j } , k } } & { = ( - 1 ) ^ { k + 1 } \sqrt { \frac { ( 2 j + 1 ) ! ( 2 \bar { j } + 1 ) ! } { k ! ( 2 j + 2 \bar { j } - k + 1 ) ! } } \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 1 ) ( 2 j - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) } \\ & { = - \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 1 ) ( 2 j - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) \lambda _ { j , \bar { j } , k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } } & { { } = h ( \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } - J \mathbf { u } ^ { T } W ^ { T } P ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } P W \mathbf { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { 2 } = T ^ { 2 } } & { = A ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + ( c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } ^ { 2 } - c _ { 4 } ^ { 2 } ) \bar { x } y + ( d _ { 1 } ^ { 2 } - d _ { 2 } ^ { 2 } + d _ { 3 } ^ { 2 } - d _ { 4 } ^ { 2 } ) z } \\ & { = A ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } ^ { 2 } \bar { x } y - C _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } ^ { 2 } \bar { x } y + C _ { 3 } ^ { 2 } \gamma _ { 3 } ^ { 2 } \bar { x } y - C _ { 4 } ^ { 2 } \gamma _ { 4 } ^ { 2 } \bar { x } y } \\ & { \qquad + D _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } z - D _ { 2 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } ^ { 2 } z + D _ { 3 } ^ { 2 } \delta _ { 3 } ^ { 2 } z - D _ { 4 } ^ { 2 } \delta _ { 4 } ^ { 2 } z } \\ & { = A ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + 4 C _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa + 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) - 4 C _ { 2 } ^ { 2 } ( \kappa - 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) + 4 C _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa + 1 ) ( \kappa _ { y } + 1 ) - 4 C _ { 4 } ^ { 2 } ( \kappa - 1 ) ( \kappa _ { y } - 1 ) } \\ & { \qquad + 2 D _ { 1 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) - 8 D _ { 2 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) + 2 D _ { 3 } ^ { 2 } ( \kappa _ { z } + 1 ) - 8 D _ { 4 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } ( \kappa _ { z } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = \sigma \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } , } \\ { \hat { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) \kappa \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } . } \end{array}
\hat { \sigma ( s ) } = \frac { 1 } { 1 6 \pi \hat { s } ^ { 2 } } \int _ { \hat { t } ^ { - } } ^ { \hat { t } ^ { + } } d \hat { t } \vert M _ { r e n } ( \hat { s } , \hat { t } ) \vert ^ { 2 } ,
P = { \frac { 1 } { \left( { \frac { 2 \pi N b ^ { 2 } } { 3 } } \right) ^ { 3 / 2 } } } \exp \left( { \frac { - 3 \mathbf { R } \cdot \mathbf { R } } { 2 N b ^ { 2 } } } \right) .
T _ { \varepsilon } ( x ) = \left\{ \begin{array} { c } { ( 1 - \varepsilon ) ( \frac { 3 } { 4 } ( 2 x ) + \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \sqrt [ 8 ] { 1 - 2 x } ) ) ~ f o r ~ x \in \lbrack 0 , \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { ( 1 - \varepsilon ) ( \frac { 3 } { 4 } ( 2 - 2 x ) + \frac { 1 } { 4 } ( 1 - \sqrt [ 8 ] { 2 x - 1 } ) ) ~ f o r ~ x \in ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { P _ { e , i j } ( \mathbf { k , q } ) = } & { { } ( n _ { \mathbf { \nu \mathbf { q } } } + 1 ) \times f _ { i , \mathbf { k } } \times ( 1 - f _ { j , \mathbf { k + q } } ) } \end{array}
\mu = \frac { \Gamma \left( \beta ^ { 2 } \right) } { \pi \Gamma \left( 1 - \beta ^ { 2 } \right) } \left[ \frac { M \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { 1 + \xi } { 2 } \right) } { 2 \Gamma \left( \frac { \xi } { 2 } \right) } \right] ^ { 2 - 2 \beta ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { n _ { 0 } u _ { e 1 } + n _ { 1 } u _ { e 0 } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial n _ { 1 } } { \partial t } + n _ { 0 } \frac { \partial u _ { i 1 } } { \partial z } } & { = 0 , } \\ { m _ { e } u _ { e 0 } \frac { \partial u _ { e 1 } } { \partial z } + m _ { i } \frac { \partial u _ { i 1 } } { \partial t } + \frac { \kappa T _ { e } } { n _ { 0 } } \frac { \partial n _ { 1 } } { \partial z } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { f } } & { { } = } & { \rho _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { u _ { f } } & { { } = } & { u _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { v _ { f } } & { { } = } & { v _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { w _ { f } } & { { } = } & { w _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { e _ { f } } & { { } = } & { e _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
y _ { c } = C _ { 1 } e ^ { - { \frac { x } { 2 } } \, \left( b + { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 c } } \right) } + C _ { 2 } e ^ { - { \frac { x } { 2 } } \, \left( b - { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 c } } \right) }
\| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \| \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } - \frac { ( [ \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } } .
\lvert \varepsilon _ { N } ( \lvert x \rvert , T ) \rvert \le \left( \frac { 1 } { \lvert x \rvert } \right) ^ { N + 1 } \left( \left\lvert f ^ { ( N ) } ( T ) \right\rvert + \int _ { T } ^ { \infty } \left\lvert f ^ { ( N + 1 ) } ( t ) \right\rvert \; d t \right)
\begin{array} { r } { i \partial _ { t } \alpha _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) = E _ { n } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \alpha _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) + \textbf { F } ( t ) \cdot \sum _ { l } \textbf { d } _ { m l } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } \alpha _ { l , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } \int _ { - R } ^ { R } \frac { e ^ { - 2 \pi i c t z } - 1 } { 2 \pi i c z } [ \psi ( z ) - \psi ( 0 ) ] \, d z d y } & { = \frac { 1 } { 2 \pi c } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \psi ( z ) - \psi ( - z ) } { i z } \, d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi i c } \, \mathrm { p . v . } \int _ { \mathbb { R } _ { z } } \frac { \psi ( z ) } { z } d z . } \end{array}
\mathbb { P } \left[ \sum _ { x \in \mathcal { X } _ { p } ( q ) } \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { p } ( q ) , X _ { t } = x } \tilde { r } _ { t } \geq \sum _ { x \in \mathcal { X } _ { p } ( q ) } \bar { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ; x ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 3 / 4 } \right] \geq 1 - e ^ { - \frac { \sqrt { T _ { p } ^ { q + 1 } } } { 2 ^ { 2 p + 3 } } } : = 1 - p _ { 2 } ( p , q ) .
i G ^ { \mu \nu } = \frac { - i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \biggl [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) + e ^ { 2 } \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) \Pi _ { L } ^ { \prime } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \psi ^ { \prime } ( p ^ { 2 } ) \biggr ]
\begin{array} { r l } { \kappa \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } a _ { \kappa } \partial _ { s } h \partial _ { s } ^ { 2 } h \, d s } & { = - \kappa \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } \partial _ { s } a _ { \kappa } \frac { | \partial _ { s } h | ^ { 2 } } 2 \, d s \leq C \kappa \| h ( t ) \| _ { H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } , } \\ { - \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } } ( g + b _ { \kappa } h ) \kappa \partial _ { s } ^ { 2 } h \, d s } & { \leq C ( \| g ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } + \| h ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } ) \kappa \| \partial _ { s } ^ { 2 } h ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega } & { \ni \omega \longmapsto \mathfrak { s } _ { 0 } \left( \omega \right) : = \mathbf { t } \left( \mathfrak { x } _ { 0 } \left( \omega \right) , \omega \right) \ , } \\ { \Omega } & { \ni \omega \longmapsto \mathfrak { s } _ { n + 1 } \left( \omega \right) : = \mathfrak { s } _ { n } \left( \omega \right) + \mathbf { t } \left( \mathfrak { x } _ { n } \left( \omega \right) , \omega \right) \in \mathbb { R } ^ { + } \ , \ n \geq 0 \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( ( u _ { 1 } \wedge v _ { 1 } ) ( u _ { 2 } \wedge v _ { 2 } ) ) ( \theta ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { g } [ - \langle u _ { 1 } , a _ { i } \rangle b _ { i } + \langle u _ { 1 } , b _ { i } \rangle a _ { i } , [ v _ { 1 } , [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ] ] } \\ & { + [ - \langle v _ { 1 } , a _ { i } \rangle b _ { i } + \langle v _ { 1 } , b _ { i } \rangle a _ { i } , [ [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] , u _ { 1 } ] ] } \\ & { + [ - \langle u _ { 2 } , a _ { i } \rangle b _ { i } + \langle u _ { 2 } , b _ { i } \rangle a _ { i } , [ v _ { 2 } , [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] ] ] } \\ & { + [ - \langle v _ { 2 } , a _ { i } \rangle b _ { i } + \langle v _ { 2 } , b _ { i } \rangle a _ { i } , [ [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] , u _ { 2 } ] ] } \\ & { = [ u _ { 1 } , [ v _ { 1 } , [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ] ] + [ v _ { 1 } , [ [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] , u _ { 1 } ] ] } \\ & { + [ u _ { 2 } , [ v _ { 2 } , [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] ] ] + [ v _ { 2 } , [ [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] , u _ { 2 } ] ] } \\ & { = - [ [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] , [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] ] - [ [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] , [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ] } \\ & { = [ [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] , [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ] - [ [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] , [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { c } ( \bar { \Phi } ( \bar { \mathbf { z } } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \bar { z } _ { i } ^ { 2 } } { { \sigma } _ { i } ( \bar { z } _ { i } ) } , } \\ { \mathcal { E } _ { o } ( \bar { \Phi } ( \bar { \mathbf { z } } ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \sigma } _ { i } ( \bar { z } _ { i } ) \bar { z } _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 D } ^ { \prime } = } & { { } \int d y \Big [ \sum _ { s = \uparrow , \downarrow } | y s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \partial _ { y } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( y ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } ) \bigr ) \langle y s | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { i h } ( r , t ) } { \partial t } } & { { } = } & { 2 \left[ M _ { i l } T _ { j h } \right] _ { j l } + 2 \left[ M _ { j h } T _ { i l } \right] _ { j l } - 2 \left[ M _ { i h } T _ { j l } \right] _ { j l } } \end{array}
\eta _ { 2 } ( R , Z , \beta _ { \epsilon } ) \, = \, \beta _ { \epsilon } \Bigl ( ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 0 } + \delta R Z \eta _ { 2 1 } \Bigr ) + ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 2 } + \delta R Z \eta _ { 2 3 } + \eta _ { 2 4 } \, ,
\left\langle \Theta _ { i i } ( x ) \right\rangle = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left| \partial _ { i } \phi _ { n } \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { n } \omega _ { n } \left| \phi _ { n } \right| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left| \vec { \nabla } \phi _ { n } \right| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left[ \phi _ { n } \partial _ { i } ^ { 2 } \phi _ { n } ^ { * } + \left( \partial _ { i } ^ { 2 } \phi _ { n } \right) \phi _ { n } ^ { * } \right]
\overline { { \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } \mathbf { \Omega } _ { L } ( \mathfrak { u } ) } } : = \{ \mathbf { P } \in \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } \mathbf { \Omega } _ { L } ( \mathfrak { u } ) \ \backslash \ [ \mathbf { G } , \mathbf { P } ] \in \left[ \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \right] ^ { v } \forall \mathbf { G } \in \mathcal { G } \} ,
\begin{array} { r } { | \mathcal { I } ( \rho , \rho ) | = \sum _ { i = 0 } ^ { \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor } \sum _ { j = 0 } ^ { i } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { j } } + \sum _ { i = \lfloor \frac { n \rho } { 2 } \rfloor + 1 } ^ { n \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { n \rho - i } { \binom { n \rho } { i } } { \binom { n - n \rho } { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { c } { 8 B _ { 0 } ^ { 2 } } \Bigg \lbrace \left( 2 \frac { I _ { 1 } } { \gamma } - 2 \frac { I _ { 2 } q _ { \parallel } } { \gamma ^ { 2 } } \right) \frac { \partial F } { \partial q _ { \parallel } } } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { s } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { L } } } \\ { B _ { \mathrm { T } } } \end{array} \right) = Z _ { \mathrm { s } } \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\delta _ { \lambda ^ { \dagger } } \widehat \Lambda ^ { \dagger } ( \lambda ^ { \dagger } , A ^ { \dagger } ) - \delta _ { \eta ^ { \dagger } } \widehat \Lambda ^ { \dagger } ( \lambda ^ { \dagger } , A ^ { \dagger } ) - i [ \widehat \Lambda ^ { \dagger } ( \lambda ^ { \dagger } , A ^ { \dagger } ) \stackrel { * } { , } \widehat \Lambda ^ { \dagger } ( \eta ^ { \dagger } , A ^ { \dagger } ) ] = \widehat \Lambda ^ { \dagger } ( - i [ \lambda ^ { \dagger } , \eta ^ { \dagger } ] , A ^ { \dagger } ) .
\begin{array} { r l r } { P \left( \left\lfloor n / \beta \right\rfloor \leq \hat { n } \leq \left\lceil \beta n \right\rceil \: | \: n , r _ { 1 } , x \right) } & { = } & { \sum _ { \hat { n } = \left\lfloor n / \beta \right\rfloor } ^ { \left\lceil \beta n \right\rceil } \frac { B ( \hat { n } + n - 1 , 2 x - \hat { n } - n + 1 ) } { x B ( \hat { n } , x - \hat { n } + 1 ) B ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { P \left( \left\lfloor n / \beta \right\rfloor \leq \hat { n } \leq \left\lceil \beta n \right\rceil \: | \: n , x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { e l } ( x , x _ { 0 } ; t - t ^ { \prime } ) \simeq \frac { t _ { R } } { 4 M _ { p } } \sum _ { s = 0 } ^ { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } H ( t - t ^ { \prime } - t _ { s } - n t _ { R } ) . } \end{array}
| M _ { \pi } ^ { 2 } | = | M _ { \varphi } ^ { 2 } | = \Lambda ^ { 2 } \left( \frac { 4 - D } { 2 \lambda _ { D } } \right) ^ { \frac { 2 } { D - 2 } } \left( \frac { g _ { \mathrm { c r } } - g } { g _ { \mathrm { c r } } g } \right) ^ { \frac { 2 } { D - 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } = \frac { L ^ { 2 } } { m k } \left( \cosh u - \sqrt { 1 + \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \right) , \quad } & { q _ { 2 } = \frac { L G } { m k } \sinh u , } \\ { p _ { 1 } = - \frac { m k } { L } \frac { \sinh u } { 1 - \sqrt { 1 + \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \cosh u } , \quad } & { p _ { 2 } = - \frac { m k } { L ^ { 2 } } \frac { G \cosh u } { 1 - \sqrt { 1 + \frac { G ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } \cosh u } . } \end{array}
\gamma = 8 \pi G \eta _ { 1 } ^ { 2 } \ \ , \ \alpha = e ^ { 2 } / \lambda _ { 1 } \ \ , \ \ q = \frac { \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \ \ , \ \ { \bar { \Lambda } } = \frac \Lambda { \lambda _ { 1 } \eta _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ , \ \, b e t a _ { i } ^ { 2 } = \frac { \lambda _ { i } } { \lambda _ { 1 } } \ \ , \ \ i = 1 , 2 , 3 \ .
\begin{array} { r l } { | R _ { N } ( \eta _ { n } ) | } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { z \geq \eta _ { N } } | U ( z ) | \frac { \eta ^ { \frac { 1 - \alpha } { B } } } { B \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { \eta _ { N } } ^ { \infty } ( \eta ^ { - \frac { 1 } { B } } - z ^ { - \frac { 1 } { B } } ) ^ { - \alpha } z ^ { - \frac { 1 } { B } - 1 } d z } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { z \geq \eta _ { N } } | U ( z ) | \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { \left( \frac { n } { N } \right) ^ { 1 / B } } ( 1 - s ) ^ { - \alpha } d s = \frac { \operatorname* { m a x } _ { z \geq \eta _ { N } } | U ( z ) | } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } \left( 1 - \left( 1 - \gamma ^ { - \frac { 1 } { B } } \right) ^ { 1 - \alpha } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { d ^ { \prime } } } \\ { { s ^ { \prime } } } \\ { { b ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { V _ { u d } } } & { { V _ { u s } } } & { { V _ { u b } } } \\ { { V _ { c d } } } & { { V _ { c s } } } & { { V _ { c b } } } \\ { { V _ { t d } } } & { { V _ { t s } } } & { { V _ { t b } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { d } } \\ { { s } } \\ { { b } } \end{array} \right) ~ .
X _ { k } = e ^ { - { \frac { \pi i } { N } } k ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left( x _ { n } e ^ { - { \frac { \pi i } { N } } n ^ { 2 } } \right) e ^ { { \frac { \pi i } { N } } ( k - n ) ^ { 2 } } \qquad k = 0 , \dots , N - 1 .
c _ { h _ { 1 } h _ { 2 } h _ { 3 } , \bar { h } _ { 1 } \bar { h } _ { 2 } \bar { h } _ { 3 } } \frac { 1 } { \rho _ { 1 2 } ^ { h _ { 1 } + h _ { 2 } - h _ { 3 } } \rho _ { 1 3 } ^ { h _ { 1 } + h _ { 3 } - h _ { 2 } } \rho _ { 2 3 } ^ { h _ { 2 } + h _ { 3 } - h _ { 1 } } } \frac { 1 } { \rho _ { 1 2 } ^ { \ast \, \bar { h } _ { 1 } + \bar { h } _ { 2 } - \bar { h } _ { 3 } } \rho _ { 1 3 } ^ { \ast \, \bar { h } _ { 1 } + \bar { h } _ { 3 } - \bar { h } _ { 2 } } \rho _ { 2 3 } ^ { \ast \, \bar { h } _ { 2 } + \bar { h } _ { 3 } - \bar { h } _ { 1 } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H _ { \mu ^ { y } } ^ { \beta } ( U \setminus U _ { N } ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , B _ { i } } \, \leq \, h _ { 0 } ( B _ { i } ) , 1 \leq i \leq n \} } \right] } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { r } \left( \operatorname* { s u p } _ { u \in B _ { i } } \pi ^ { y } ( u ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( B _ { i } ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , B _ { i } } \, \leq \, h _ { 0 } ( B _ { i } ) } \right] . } \end{array}