harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { O F F } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 k _ { \mathrm { O N } } } } \\ { T _ { \mathrm { O N } } } & { { } = \frac { k _ { \mathrm { O N } } + 2 k _ { \mathrm { O F F } } } { 2 k _ { \mathrm { O F F } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\{ \hat { \zeta } _ { m , l } \, : \, m \in \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , \, l \in \ensuremath { \mathbb { Z } } \} \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \{ \hat { \xi } _ { m , l } \, : \, m \in \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } , \, l \in \ensuremath { \mathbb { Z } } \} \, .
\begin{array} { r l } { [ x ^ { 0 } ] \left( G + 1 - R \right) ^ { 2 } } & { = 1 } \\ { [ x ^ { n - k - j } ] \left( G + 1 - R \right) ^ { 2 } } & { = [ x ^ { n - k - j } ] \left( \frac { G ^ { \prime } } { r x } + 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ [ \mathrm { f r o m ~ } ] } \\ & { = r ^ { n - k - j - 2 } \left( 2 \cdot q _ { n - k - j } \cdot r + \sum _ { i = 1 } ^ { n - k - j - 1 } q _ { i } q _ { n - k - j - i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \langle \tilde { F } _ { P } \left( \omega \right) \tilde { F } _ { P } \left( \omega ^ { \prime } \right) \rangle } & { = \left( 2 \left( \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \big ( \overline { { P } } , \overline { { N } } \big ) + \gamma P _ { \mathrm { t h } } \right) \overline { { P } } \left( 1 + \frac { 1 } { \overline { { P } } } \right) + \sigma _ { P } ^ { 2 } \big ( \overline { { P } } \big ) \frac { 1 } { \omega ^ { \nu _ { P } } } \right) \, \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \\ { \langle \tilde { F } _ { \phi } \left( \omega \right) \tilde { F } _ { \phi } \left( \omega ^ { \prime } \right) \rangle } & { = \left( \left( \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \big ( \overline { { P } } , \overline { { N } } \big ) + \gamma P _ { \mathrm { t h } } \right) \left( 1 + \frac { 1 } { \overline { { P } } } \right) + \left( \frac { \sigma _ { P } \big ( \overline { { P } } \big ) } { 2 \overline { { P } } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \omega ^ { \nu _ { P } } } \right) \, \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \\ { \langle \tilde { F } _ { N } \left( \omega \right) \tilde { F } _ { N } \left( \omega ^ { \prime } \right) \rangle } & { = \left( 2 R \big ( \overline { { N } } \big ) + 2 \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \big ( \overline { { P } } , \overline { { N } } \big ) \overline { { P } } \left( 1 + \frac { 1 } { \overline { { P } } } \right) + \frac { \sigma _ { N } ^ { 2 } \big ( \overline { { N } } \big ) } { \omega ^ { \nu _ { N } } } \right) \, \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \\ { \langle \tilde { F } _ { P } \left( \omega \right) \tilde { F } _ { N } \left( \omega ^ { \prime } \right) \rangle } & { = - \left( \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \big ( \overline { { P } } , \overline { { N } } \big ) \left( 2 \overline { { P } } + 1 \right) - \Gamma v _ { g } g \big ( \overline { { P } } , \overline { { N } } \big ) \overline { { P } } \right) \, \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( r - z \right) ^ { 2 } + \left( \Delta x + x \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { { } = L _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \left( r - z - \delta \right) ^ { 2 } + \left( \Delta x + x \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & { { } = L _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { d ( E _ { n } ^ { i } , E _ { n } ^ { j } ) \left\{ \begin{array} { c l } { \gtrsim \frac { 1 } { S _ { k } | i _ { 1 } - j _ { 1 } | } \gtrsim \lambda ^ { - n } > 0 } & { \quad \mathrm { i f ~ } i _ { 1 } \ne j _ { 1 } , } \\ { \asymp S _ { k } ^ { - 1 } \qquad \qquad \qquad } & { \quad \mathrm { i f ~ } i _ { 1 } = j _ { 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
( f ^ { ( 2 ) } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { \delta _ { i j } - a _ { i } a _ { j } } } & { { a _ { i } } } & { { 0 } } \\ { { - \delta _ { i j } + a _ { i } a _ { j } } } & { { a _ { j } \pi _ { i } - a _ { i } \pi _ { j } } } & { { - \pi _ { i } } } & { { a _ { i } } } \\ { { - 2 a _ { i } } } & { { - 2 \pi _ { i } } } & { { 0 } } & { { - \delta _ { i j } } } \\ { { 0 } } & { { 2 a _ { i } } } & { { \delta { i j } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
V ( R ) = \frac { 6 \pi } N m _ { 0 } ^ { 2 } R + \frac { 2 c _ { L } } N m _ { 0 } - \frac 2 N \int _ { 0 } ^ { \infty } \cos ( k R ) \left[ \Delta _ { ( \lambda ) } ( k ) - \frac { 1 2 \pi m _ { 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right] \frac { d k } { 2 \pi }
f _ { i } ^ { \sigma , ( 1 ) } = - \tau ^ { \sigma } ( \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma , e q } } { \partial t _ { 1 } } + v _ { i \alpha } \cdot \frac { \partial f _ { i } ^ { \sigma , e q } } { \partial r _ { 1 \alpha } } ) - \tau ^ { \sigma } S _ { 1 i } ^ { \sigma } .
\delta ^ { 2 } S [ g ] = - \frac 1 2 \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \sqrt { - g ^ { ( 0 ) } } \, \delta g _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } P ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } \delta g _ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } ,
\nabla \cdot \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = \nabla p _ { s } + \nabla \cdot \left( - 2 \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } } & { = \frac { 1 } { J } \left( \frac { \partial x ^ { j + 1 } } { \partial \xi ^ { i + 1 } } \frac { \partial x ^ { j + 2 } } { \partial \xi ^ { i + 2 } } - \frac { \partial x ^ { j + 1 } } { \partial \xi ^ { i + 2 } } \frac { \partial x ^ { j + 2 } } { \partial \xi ^ { i + 1 } } \right) , } \\ { \frac { \partial x ^ { i } } { \partial \xi ^ { j } } } & { = J \left( \frac { \partial \xi ^ { j + 1 } } { \partial x ^ { i + 1 } } \frac { \partial \xi ^ { j + 2 } } { \partial x ^ { i + 2 } } - \frac { \partial \xi ^ { j + 1 } } { \partial x ^ { i + 2 } } \frac { \partial \xi ^ { j + 2 } } { \partial x ^ { i + 1 } } \right) . } \end{array}
H = V D = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { L _ { 1 } ^ { 1 } } & { L _ { 2 } ^ { 1 } } & { L _ { 3 } ^ { 1 } } & { \cdots } & { L _ { n } ^ { 1 } } \\ { L _ { 1 } ^ { 2 } } & { L _ { 2 } ^ { 2 } } & { L _ { 3 } ^ { 2 } } & { \cdots } & { L _ { n } ^ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { L _ { 1 } ^ { t - 1 } } & { L _ { 2 } ^ { t - 1 } } & { L _ { 3 } ^ { t - 1 } } & { \cdots } & { L _ { n } ^ { t - 1 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l l } { { \frac { 1 } { g ( L _ { 1 } ) } } } & & & & \\ & { { \frac { 1 } { g ( L _ { 2 } ) } } } & & & \\ & & { { \frac { 1 } { g ( L _ { 3 } ) } } } & & \\ & & & { \ddots } & \\ & & & & { { \frac { 1 } { g ( L _ { n } ) } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } ( \omega \Delta t ) } & { { } = \frac { 1 6 } { \omega \Delta t } \left[ \sin ( \omega \Delta t / 2 ) - 2 \sin ( \omega \Delta t / 4 ) \right] } \\ { A _ { 1 } ( \omega \Delta t ) } & { { } = - \frac { 9 6 } { ( \omega \Delta t / 2 ) ^ { 2 } } \left[ \cos ( \omega \Delta t / 2 ) \left( 1 - \frac { 6 0 } { ( \omega \Delta t ) ^ { 2 } } \right) \right. } \\ { A _ { 2 } ( \omega \Delta t ) } & { { } = - 3 \pi ^ { 4 } \frac { \sin ( \omega \Delta t / 2 ) } { ( \omega \Delta t / 2 ) ^ { 3 } } } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { \alpha } f } { \partial x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \, \partial x _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } } \, \cdots \, \partial x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } } } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { n } )
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a < n \le b } e ( f ( n ) ) - \sum _ { \alpha < \nu \le \beta } \frac { e ( f ( x _ { \nu } ) - \nu x _ { \nu } - 1 / 8 ) } { | f ^ { \prime \prime } ( x _ { \nu } ) | ^ { 1 / 2 } } \right| } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \le \frac { 4 . 6 8 6 } { \sqrt { \lambda _ { 2 } } } + \frac { 2 \cdot 3 ^ { 2 / 3 } } { \pi ^ { 2 / 3 } } h _ { 2 } h _ { 3 } ^ { 1 / 3 } ( b - a ) \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } + \frac { 5 } { \pi } \log ( \beta - \alpha + 2 ) + 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { N } } & { { } = | J _ { N } | ^ { 2 } | w | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } | L _ { N } | ^ { 2 } + \operatorname { R e } { \{ J _ { N } L _ { N } ^ { * } w \} } } \end{array}
H _ { i } ( \mathbf { R P } ^ { n } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { Z } } & { i = 0 { \mathrm { ~ o r ~ } } i = n { \mathrm { ~ o d d , } } } \\ { \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } & { 0 < i < n , \ i \ { \mathrm { o d d , } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { e l s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \hat { \psi } _ { 1 } } \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \pm } ( z _ { 0 } ) } & { = - 3 0 \, C _ { 2 } ( 1 + c ) ^ { 3 } \, ( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } ) , } \\ { \partial _ { \hat { \gamma } _ { 3 } } \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \pm } ( z _ { 0 } ) } & { = C _ { 1 } ^ { \pm } \, ( 1 + c ) ^ { 3 } \, \beta - 3 0 \, C _ { 2 } ( 1 + c ) ^ { 3 } \, ( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } ) , } \\ { \partial _ { \hat { \ell } _ { 3 } } \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \pm } ( z _ { 0 } ) } & { = - C _ { 1 } ^ { \pm } \, \delta _ { 2 } ^ { - 3 } \, ( 1 + c ) ^ { 5 } \, \beta + C _ { 2 } \, 3 0 \, ( 1 + c ) ^ { 5 } \, \frac { \delta _ { 3 } } { \delta _ { 1 } } \, ( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } ) \delta _ { 2 } ^ { - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathfrak { c } | _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { m , m ^ { \prime } , \eta , s } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta + N } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } . } \end{array}
\gamma = - { \frac { 2 } { 1 + 2 a } } \left\{ \ln \Gamma ( a + 1 ) - { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( 2 \pi ) + { \frac { 1 } { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } \psi _ { n + 1 } ( a ) } { n } } \right\} , \qquad \Re ( a ) > - 1
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( \tau _ { t } = \infty | X _ { t } = x ) - ( 1 - e ^ { - \alpha x } ) e ^ { \alpha \rho \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } } \\ & { \leq 1 - e ^ { \alpha \rho \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } - \left( 1 - e ^ { \alpha \rho \int _ { \frac { x } { \rho } + t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } \right) \mathbb { P } ( \tau _ { t } < \infty | X _ { t } = x ) } \\ & { = e ^ { \alpha \rho \int _ { \frac { x } { \rho } + t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } + \left( 1 - e ^ { \alpha \rho \int _ { \frac { x } { \rho } + t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } \right) \mathbb { P } ( \tau _ { t } = \infty | X _ { t } = x ) - e ^ { \alpha \rho \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { y _ { k } \geq 0 \ ( k = 1 , 2 , 3 ) , } \\ & { } & { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \equiv \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } - s \mathrm { \boldmath ~ H ~ } = \left( \begin{array} { l l l } { y _ { 3 } - s } & { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y _ { 2 } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y _ { 1 } } & { y _ { 3 } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } y _ { 2 } } & { 0 } & { - y _ { 3 } } \end{array} \right) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Re \left[ i z \right] = \Re \left[ i ( x + i y ) \right] = \Re \left[ i x - y \right] = - \Im \left[ z \right] } \\ { \Im \left[ i z \right] = \Im \left[ i ( x + i y ) \right] = \Im \left[ i x - y \right] = \phantom { - } \Re \left[ z \right] } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { \omega _ { A } + \omega _ { B } + 2 \lambda ^ { \prime } } & { \lambda ^ { \prime } } & { \lambda ^ { \prime } } & { 0 } \\ { \lambda ^ { \prime } } & { 2 \omega _ { B } + 2 \lambda ^ { \prime } } & { 0 } & { \lambda ^ { \prime } } \\ { \lambda ^ { \prime } } & { 0 } & { 2 \omega _ { A } + 2 \lambda ^ { \prime } } & { \lambda ^ { \prime } } \\ { 0 } & { \lambda ^ { \prime } } & { \lambda ^ { \prime } } & { \omega _ { A } + \omega _ { B } + 2 \lambda ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ^ { k + 1 } } & { { } = p r o x _ { \mu f ^ { * } } ( \mathbf { y } ^ { k } + \mu \mathbf { K } \bar { \mathbf { x } } ^ { k } ) } \\ { \mathbf { x } ^ { k + 1 } } & { { } = p r o x _ { \tau g } ( \mathbf { x } ^ { k } - \tau \mathbf { K } ^ { H } \mathbf { y } ^ { k + 1 } ) } \\ { \bar { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } } & { { } = 2 \mathbf { x } ^ { k + 1 } - \mathbf { x } ^ { k } . } \end{array}
\frac { \partial { \cal H } _ { 0 } } { \partial S } + g \beta z = \mu _ { r } - T \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta } \qquad \frac { \partial { \cal H } _ { 0 } } { \partial S } = \mu _ { r } - \theta \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta }
\begin{array} { r } { _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { z } } ) \rangle \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle ( x \otimes y ) \otimes z , k \rangle \cong \ \langle x \otimes ( y \otimes z ) , k \rangle \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle x , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { y \otimes z } } ) \rangle . } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } [ \tilde { x } ^ { \mu } ] = S [ \tilde { x } ^ { \mu } , \phi ^ { \mathrm { c l a s s } } , C _ { \mu } ^ { \mathrm { c l a s s } } ] = S ^ { \mathrm { M a x w e l l } } [ \tilde { x } ^ { \mu } ] + S ^ { \mathrm { N P } } [ \tilde { x } ^ { \mu } ] \, ,
e ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { 1 2 F ( a - x ) } { Y w d ^ { 3 } } z } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ x ~ < ~ a ~ , ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ x ~ \geq ~ a ~ . ~ } } \end{array} \right.
\mathcal { Z } ( s , \tau ) = 2 \partial _ { s } ^ { 2 } \ln \left[ 1 + b _ { 1 } \exp ( \phi _ { 1 } ) + b _ { 2 } \exp ( \phi _ { 2 } ) + b _ { 0 } b _ { 1 } b _ { 2 } \exp ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) \right] ,
^ 1 ( \sigma _ { s } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \sigma _ { s } ^ { * 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \left( ^ 1 ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { x } ^ { * } ) - { } ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
\begin{array} { r l } & { \| \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } } = \| P _ { N } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } \leq C ( M _ { 2 } ) , \qquad 0 \leq \theta \leq 1 , } \\ & { \| B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) \| _ { L ^ { \infty } } \leq C ( \| V \| _ { L ^ { \infty } } , \| P _ { N } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| P _ { N } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } \leq C ( M _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \operatorname { p f } ( A ) } } { \frac { \partial ^ { 2 } \operatorname { p f } ( A ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( A ^ { - 1 } { \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { t r } \left( A ^ { - 1 } { \frac { \partial A } { \partial x _ { i } } } A ^ { - 1 } { \frac { \partial A } { \partial x _ { j } } } \right) + { \frac { 1 } { 4 } } \operatorname { t r } \left( A ^ { - 1 } { \frac { \partial A } { \partial x _ { i } } } \right) \operatorname { t r } \left( A ^ { - 1 } { \frac { \partial A } { \partial x _ { j } } } \right) .
\Psi ( \tilde { R } , \tilde { \varphi } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { \mathrm { A \, \left( \tilde { R } ^ { \ n u } + \tilde { R } ^ { - \ n u } \right) e ^ { \pm \frac { \ n u } { \sqrt { 6 } } \tilde { \ v a r p h i } } } ; \qquad \mathrm { m = - \ n u ^ { 2 } < 0 , } } } \\ { { \mathrm { B c o s \left( \ n u L n \tilde { R } \right) \, e ^ { \pm i \frac { \ n u } { \sqrt { 6 } } \tilde { \ v a r p h i } } } ; \qquad \mathrm { m = \ n u ^ { 2 } } \, > \, 0 \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { | \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi , \nu ; z , \tilde { z } ) | + | \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi , \nu ; \theta ) | \leq M } \\ & { | \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi ^ { 1 } , \nu ^ { 1 } ; z ^ { 1 } , \tilde { z } ^ { 1 } ) - \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi ^ { 2 } , \nu ^ { 2 } ; z ^ { 2 } , \tilde { z } ^ { 2 } ) | \leq L ( W _ { 1 } ( \pi ^ { 1 } , \pi ^ { 2 } ) + W _ { 1 } ( \nu ^ { 1 } , \nu ^ { 2 } ) + | z ^ { 1 } - z ^ { 2 } | + | \tilde { z } ^ { 1 } - \tilde { z } ^ { 2 } | ) } \\ & { | \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi ^ { 1 } , \nu ^ { 1 } ; \theta ^ { 1 } ) - \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi ^ { 2 } , \nu ^ { 2 } ; \theta ^ { 2 } ) | \leq L ( W _ { 1 } ( \pi ^ { 1 } , \pi ^ { 2 } ) + W _ { 1 } ( \nu ^ { 1 } , \nu ^ { 2 } ) + | \theta ^ { 1 } - \theta ^ { 2 } | ) . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , ( 1 ) } ^ { y y x x } ( \omega ) = - \frac { 4 i e ^ { 3 } } { \hslash ^ { 2 } } \frac { ( f _ { 1 2 } - f _ { 3 4 } ) t _ { x } t _ { y } \omega R _ { x } ^ { 2 } R _ { y } ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } - ( 2 t _ { x } ) ^ { 2 } ) ( \omega ^ { 2 } - t _ { y } ^ { 2 } ) } \mathrm { ~ . ~ }
\Psi _ { h } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) = U ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \pi \kappa } } \sum _ { \alpha } \operatorname * { l i m } _ { z \rightarrow z _ { \alpha } } \int ^ { z } { \frac { \hat { Q } _ { \alpha } ^ { 2 } } { z - z _ { \alpha } } } d z \right)
\mathcal { J } ( \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) = \frac { 1 } { 2 N _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } } \left\lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \mathbf { r } ( n ) - \mathbf { v } ( n ) \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \beta } { 2 } \left\lVert \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right\rVert _ { \mathrm { ~ F ~ } } ^ { 2 } \, .
\tilde { \xi } : = \frac { 1 } { \sqrt { s _ { 0 } n } } \sum _ { 1 \le v \le s _ { 0 } n } ( \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r 1 } } l _ { u v } ^ { ( s ) } - \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r 2 } } l _ { u v } ^ { ( s ) } ) e _ { v } ^ { s }
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { 1 1 } : = ( 0 , 1 - \lambda _ { x } ) \times ( 0 , 1 - \lambda _ { y } ) , \quad \quad \Omega _ { 1 2 } : = ( 1 - \lambda _ { x } , 1 ) \times ( 0 , 1 - \lambda _ { y } ) , } \\ & { \Omega _ { 2 1 } : = ( 0 , 1 - \lambda _ { x } ) \times ( 1 - \lambda _ { y } , 1 ) , \quad \quad \Omega _ { 2 2 } : = ( 1 - \lambda _ { x } , 1 ) \times ( 1 - \lambda _ { y } , 1 ) } \end{array}
h _ { 1 } = \left( { g _ { 1 } ( r ) } \atop { f _ { 1 } ( r ) } \right) \, e ^ { - i \, \theta } \mathrm { ~ , ~ } h _ { 2 } = \left( { g _ { 2 } ( r ) } \atop { f _ { 2 } ( r ) } \right) \, e ^ { \, i \, \Delta } e ^ { \, i \, \theta } \, ,
\begin{array} { r l } { \varphi \colon \mathbb { C } ^ { 2 } } & { { } \to \operatorname { M } ( 2 , \mathbb { C } ) } \\ { \varphi ( \alpha , \beta ) } & { { } = { \left( \begin{array} { l l } { \alpha } & { - { \overline { { \beta } } } } \\ { \beta } & { { \overline { { \alpha } } } } \end{array} \right) } , } \end{array}
\frac { \partial \phi } { \partial t } + \nabla \cdot \vec { f } = \frac { \partial } { \partial x } \left( D _ { x } ^ { \ast } \frac { \partial f _ { x } } { \partial x } \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( D _ { y } ^ { \ast } \frac { \partial f _ { y } } { \partial y } \right) .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 0 } P _ { 0 0 } Q _ { 0 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 0 1 } Q _ { 0 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 0 0 } Q _ { 0 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 0 1 } Q _ { 0 1 } } & { = 0 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 1 0 } Q _ { 1 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 1 1 } Q _ { 1 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 1 0 } Q _ { 1 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 1 1 } Q _ { 1 1 } } & { = 0 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 2 0 } Q _ { 2 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 2 1 } Q _ { 2 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 2 0 } Q _ { 2 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 2 1 } Q _ { 2 1 } } & { = 0 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 0 0 } Q _ { 1 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 0 1 } Q _ { 1 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 0 0 } Q _ { 1 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 0 1 } Q _ { 1 1 } } & { = 1 / 6 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 0 0 } Q _ { 2 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 0 1 } Q _ { 2 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 0 0 } Q _ { 2 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 0 1 } Q _ { 2 1 } } & { = 1 / 6 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 1 0 } Q _ { 0 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 1 1 } Q _ { 0 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 1 0 } Q _ { 0 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 1 1 } Q _ { 0 1 } } & { = 1 / 6 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 1 0 } Q _ { 2 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 1 1 } Q _ { 2 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 1 0 } Q _ { 2 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 1 1 } Q _ { 2 1 } } & { = 1 / 6 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 2 0 } Q _ { 0 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 2 1 } Q _ { 0 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 2 0 } Q _ { 0 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 2 1 } Q _ { 0 1 } } & { = 1 / 6 , } \\ { a _ { 0 0 } P _ { 2 0 } Q _ { 1 0 } + a _ { 1 0 } P _ { 2 1 } Q _ { 1 0 } + a _ { 0 1 } P _ { 2 0 } Q _ { 1 1 } + a _ { 1 1 } P _ { 2 1 } Q _ { 1 1 } } & { = 1 / 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } \left[ \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } } & { = \sum _ { m \in \mathscr { C } _ { n } } \alpha _ { i , \, m } \gamma _ { \mathrm { s y s } , \, i , \, m , \, n } \gamma _ { \mathrm { p a r } , \, i , \, m , \, n } P ( a _ { i , \, m , \, n } ) } \\ { \alpha _ { 0 , \, n } } & { = 1 } \\ { \alpha _ { i + 1 , \, n } } & { = \left. \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } \middle / \left( \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } \right) \right. } \end{array}
\mathcal { H } _ { a , b , c } ( \mathbb { R } ^ { 3 m } , \mathbb { C } ) : = \mathcal { H } _ { a , b , c } ^ { * } ( \mathbb { R } ^ { 3 m } , \mathbb { C } ) \cap \ker \left( \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle , \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle , \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle \right) \ .
\begin{array} { r l r } { \xi \left( x _ { 0 } , y \right) } & { \simeq } & { h ( y ) + \mathrm { s g n } ( x _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { x ^ { \prime } } { \sqrt { f ( x ^ { \prime } ) + g ( y ) } } - 1 \right) d x ^ { \prime } } \\ & { } & { - \mathrm { s g n } ( x _ { 0 } ) \int _ { | x _ { 0 } | } ^ { \infty } \left( \frac { x ^ { \prime } } { \sqrt { x ^ { 2 } + g ( y ) } } - 1 \right) d x ^ { \prime } } \\ & { \simeq } & { h ( y ) + \mathrm { s g n } ( x _ { 0 } ) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { x ^ { \prime } } { \sqrt { f ( x ^ { \prime } ) + g ( y ) } } - 1 \right) d x ^ { \prime } \right] + \frac { 1 } { 2 } \frac { g ( y ) } { x _ { 0 } } . } \end{array}