harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } _ { c t } = { \frac { 1 } { 2 } } A ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } B \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \mu ^ { 2 \epsilon } C \phi ^ { 4 }
\begin{array} { r } { P T _ { C } = \left\{ \left( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } \right) : \left| \log \left[ \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { \Phi _ { k } ^ { i } } { w } \right] - \log \left[ y _ { k } ^ { i } \right] \right| \leq \zeta ( g ) , \right. } \\ { \left. \Phi _ { k } ^ { i } \in [ 0 , \alpha ) \ \forall i , k \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { V _ { h } ^ { k } } = \{ v \in L ^ { 2 } ( \Omega ) : \ v | _ { K } \in { \mathcal { Q } _ { k } ( K ) } , \ \forall K \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \\ & { \pmb { W } _ { h } ^ { k } = \{ \pmb { w } \in [ L ^ { 2 } ( \Omega ) ] ^ { d } : \ \pmb { w } | _ { K } \in [ { \mathcal { Q } _ { k } ( K ) } ] ^ { d } , \ \forall K \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \Omega \left( t \right) = - \frac { \left( \sigma + \alpha \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 4 \chi ^ { 2 } } \left( \gamma - A \right) \left( 2 \chi + \zeta \cdot \left( \gamma - A \right) \right) \right) \left( \gamma - A \right) A } { \beta \left( 4 \chi \beta \Omega \! \left( t \right) ^ { 2 } + \left( \gamma - A \right) A \right) } , } \\ { A = \sqrt { \gamma ^ { 2 } + 4 \beta \chi \left( \Delta ^ { 2 } - \Omega \left( t \right) ^ { 2 } \right) } \ \ \& \ \ \Omega ( t ) ^ { 2 } \le \Delta ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta E _ { 2 a } \approx \sum _ { i = 0 } ^ { 3 } \Delta E _ { i } \approx \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) \frac { \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } ( Z \alpha ) ^ { 6 } \ln ^ { 3 } ( Z \alpha ) ^ { - 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \psi ( r , \phi , z ) } & { { } = \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } f \left( \left( \frac { r } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { i k _ { n _ { 0 } } \frac { r ^ { 2 } } { 2 q } + i m \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { z } = 0 ) } & { = \sum _ { k _ { x } } \Bigg ( \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { m } \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \sum _ { { k _ { y } } , m } g _ { \boldsymbol k } \big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) \Bigg ) } \\ & { \equiv \sum _ { k _ { x } } \hat { h } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { W _ { \alpha } ^ { - 1 } + ( W _ { \alpha } ^ { * } ) ^ { - 1 } } { 2 } \succcurlyeq \frac { W _ { \beta } ^ { - 1 } + ( W _ { \beta } ^ { * } ) ^ { - 1 } } { 2 } } \\ { \Leftrightarrow } & { W _ { \alpha } ^ { - 1 } \frac { W _ { \alpha } + W _ { \alpha } ^ { * } } { 2 } ( W _ { \alpha } ^ { * } ) ^ { - 1 } \succcurlyeq K ^ { - 1 } \frac { K + K ^ { * } } { 2 } ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq W _ { \alpha } K ^ { - 1 } L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } W _ { \alpha } ^ { * } } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c K + ( 1 - c ) K ^ { * } \right) K ^ { - 1 } L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } \left( c K ^ { * } + ( 1 - c ) K \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c I + ( 1 - c ) K ^ { * } K ^ { - 1 } \right) L \left( c I + ( 1 - c ) ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c I + ( 1 - c ) K ^ { * } K ^ { - 1 } \right) L \left( c I + ( 1 - c ) ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c ^ { 2 } L + ( 1 - c ) ^ { 2 } K ^ { * } K ^ { - 1 } L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + c ( 1 - c ) L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + c ( 1 - c ) K ^ { * } K ^ { - 1 } L \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c ^ { 2 } + ( 1 - c ) ^ { 2 } \right) L + c ( 1 - c ) \left( L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + K ^ { * } K ^ { - 1 } L \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { K ^ { * } K ^ { - 1 } L ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K = L } ] } } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq \left( c ^ { 2 } + ( 1 - c ) ^ { 2 } \right) L + c ( 1 - c ) L + c ( 1 - c ) \left( K ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + K ^ { * } K ^ { - 1 } K ^ { * } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \mathrm { [ o n ~ e x p a n d i n g ~ \ensuremath { L = \frac { 1 } { 2 } ( K + K ^ { * } ) } ] } } \\ { \Leftrightarrow } & { \left( c + ( 1 - c ) \right) ^ { 2 } L \succcurlyeq \left( c ^ { 2 } + ( 1 - c ) ^ { 2 } \right) L + c ( 1 - c ) L + c ( 1 - c ) \left( K ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + K ^ { * } K ^ { - 1 } K ^ { * } \right) } \\ { \Leftrightarrow } & { L \succcurlyeq K ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + K ^ { * } K ^ { - 1 } K ^ { * } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { 0 \leq ~ c \leq 1 } ] } } \\ { \Leftrightarrow } & { \frac { K + K ^ { * } } { 2 } \succcurlyeq K ( K ^ { * } ) ^ { - 1 } K + K ^ { * } K ^ { - 1 } K ^ { * } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha = ( \tau _ { D } - \tau _ { C } ) b c / 2 , } \\ { \beta = \tau _ { D } b ( b - c - 1 ) - \tau _ { C } ( b ( b - c ) - c / 2 ) + c / 2 - b , } \\ { \gamma = \tau _ { C } ( b - c ) + b - c } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } ( x , t ) = - \gamma \left( \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial x _ { 1 } } \cos x _ { 3 } + \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial x _ { 2 } } \sin x _ { 3 } \right) , } \\ & { a _ { 2 } ( x , t ) = - \gamma \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial x _ { 3 } } , } \\ & { a _ { 1 2 } ( x , t ) = - \gamma \left( \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial x _ { 1 } } \sin x _ { 3 } - \frac { \partial P ( x , t ) } { \partial x _ { 2 } } \cos x _ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 3 } } ( E _ { 0 } ) } & { { } = \tau _ { L 3 } ( E _ { 0 } ) + f _ { 2 3 } \tau _ { L 2 } ( E _ { 0 } ) + [ f _ { 1 3 } + f _ { 1 2 } f _ { 2 3 } ] \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \\ { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 2 } } ( E _ { 0 } ) } & { { } = \tau _ { L 2 } ( E _ { 0 } ) + f _ { 1 2 } \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \\ { \tau _ { \mathrm { e f f } , L _ { 1 } } ( E _ { 0 } ) } & { { } = \tau _ { L 1 } ( E _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ) = } & { \mathcal { U } ( \pi _ { 0 } , \nu _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d r } \mathcal { U } ( \pi _ { r } , \nu _ { r } ) d r } \\ { \geq } & { \mathcal { U } ( \pi _ { 0 } , \nu _ { 0 } ) - \frac { t } { K } \tilde { B } + \lambda \int _ { 0 } ^ { t } ( m _ { s } ^ { * } - \mathcal { U } ( \pi _ { s } , \nu _ { s } ) ) d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { m \frac { \mathrm { d } v } { \mathrm { d } x } = - \frac { C _ { \mathrm { D } } } { 2 } \pi a ^ { 2 } m _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { g } } \frac { | v - v _ { \mathrm { g } } | } { v } ( v - v _ { \mathrm { g } } ) , } \end{array}
q ( t ^ { \prime } ) ^ { - ( 1 + r ) } + 2 r \frac { t ^ { \prime \prime \prime } t ^ { \prime } - ( t ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } } { ( t ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + \frac { ( 1 + r ) ^ { 2 } + 4 r ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { t ^ { \prime \prime } } { t ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } - 1 = 0 \, .
\begin{array} { r l r } { K _ { \tau } \left( \theta \right) } & { = } & { \left( \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { 1 / 2 } \sigma \left( \theta \right) } \right) ^ { 2 \tau } \left\{ \frac { 1 } { \left( 1 + 2 \tau \right) ^ { 5 / 2 } } \left[ \tau ^ { 2 } \left( \frac { \partial \log \sigma ^ { 2 } \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right. \right. } \\ & { } & { \left. + \left( 1 + 2 \tau \right) \sigma ^ { - 2 } \left( \theta \right) \left( \frac { \partial \mu \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \log \sigma ^ { 2 } \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \left. - \frac { \tau ^ { 2 } } { 4 \left( 1 + \tau \right) ^ { 3 } } \left( \frac { \partial \log \sigma ^ { 2 } \left( \theta \right) } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } \rightarrow \mathbf { x } _ { j } ^ { \alpha } = \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } + \sum _ { \stackrel { \scriptstyle i = 1 } { \scriptstyle ( i \ne j ) } } ^ { N ^ { \alpha } } } & { \eta _ { \parallel } ( r _ { i j } ^ { \alpha \alpha } ) ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \alpha } - \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } ) } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { \bar { \alpha } } } \eta _ { \nparallel } ( r _ { i j } ^ { \bar { \alpha } \alpha } ) ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \bar { \alpha } } - \mathbf { r } _ { j } ^ { \alpha } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } : \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } \to { \mathrm { G L } } \left( \mathbb { C } ^ { 2 } \oplus \mathbb { C } ^ { 3 } \right) } \\ { \left( \rho _ { 1 } \oplus \rho _ { 2 } \right) ( k , l ) = { \left( \begin{array} { l l } { \rho _ { 1 } ( k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { 2 } ( l ) } \end{array} \right) } } & { k \in \mathbb { Z } / 2 \mathbb { Z } , l \in \mathbb { Z } / 3 \mathbb { Z } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { m = 0 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 0 } } & { { } = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , - 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \ , } \\ { m = 1 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 1 } } & { { } = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } + X _ { k } ^ { - 3 , 1 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \ , } \\ { m = 2 \quad \Rightarrow \quad ( 1 - e ^ { 2 } ) \, X _ { k } ^ { - 4 , 2 } } & { { } = \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + \frac { e } { 2 } \, X _ { k } ^ { - 3 , 3 } \ . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } u ^ { 3 } = - 3 u ^ { 2 } \left( 6 u u _ { x } + u _ { x x x } \right) = - \frac { \partial } { \partial x } \frac { 9 } { 2 } u ^ { 4 } - 3 u ^ { 2 } u _ { x x x } ,
\eta = \frac { \mathcal { A } _ { \mathrm { D } } } { \mathcal { A } _ { \mathrm { D } } + \mathcal { A } _ { \mathrm { S } } } = \frac { ( R ^ { A } ) ^ { 2 } [ \mathrm { t a n } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] - ( R ^ { S } ) ^ { 2 } [ \mathrm { t a n } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] } { ( R ^ { A } ) ^ { 2 } [ \mathrm { t a n } ( \frac { \alpha } { 2 } ) - \alpha ] } = 1 - ( \frac { R ^ { \mathrm { S } } } { R ^ { \mathrm { A } } } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal O } & { \left( 2 ^ { d _ { 1 } } ( k ( d + \log ( n _ { 1 } / 2 ) ) + n _ { \operatorname* { m i n } } + s k ^ { 2 } ) ( n _ { i _ { 1 } } / 2 ) ^ { d _ { 1 } } n _ { i _ { 2 } } ^ { d _ { 2 } } n _ { i _ { 3 } } ^ { d _ { 3 } } \dots n _ { i _ { r } } ^ { d _ { r } } \right) } \\ & { = O \left( ( k ( d + \log ( n _ { 1 } ) ) + n _ { \operatorname* { m i n } } + s k ^ { 2 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { d } n _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { f } ( \kappa ) = f _ { 0 } \sum _ { j = 0 } ^ { \kappa } ( p _ { 0 } - f _ { 0 } ) ^ { j } = f _ { 0 } \frac { 1 - ( p _ { 0 } - f _ { 0 } ) ^ { \kappa + 1 } } { 1 - ( p _ { 0 } - f _ { 0 } ) \hfill } , } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { i } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { \kappa } \frac { 1 } { 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { \kappa } ^ { i } - \mu _ { i } - e Z _ { i } \lambda } { k T } \right) } \, | \Psi _ { \kappa } ^ { i } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { L _ { 2 \tau , 2 h } ^ { - 1 } } : = } & { \left( I _ { 2 \tau , 2 h } - S _ { 2 \tau , 2 h } ^ { \eta _ { 2 } } \big [ I _ { 2 \tau , 2 h } \right. } \\ & { \left. - P _ { 2 , 1 } ( L _ { 4 \tau , 2 h } ^ { - 1 } ) R _ { 2 , 1 } L _ { 2 \tau , 2 h } \big ] S _ { 2 \tau , 2 h } ^ { \eta _ { 1 } } \right) L _ { 2 \tau , 2 h } ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , P } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { d V ^ { \mathrm { r v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , P } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , P } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , P } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , P } } + q ^ { \mathrm { p e r , P } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t , S } } + q ^ { \mathrm { p e r , S } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , S } } \frac { d p ^ { \mathrm { v e n , S } } } { d t } - q ^ { \mathrm { p e r , S } } + q ^ { \mathrm { a r t , S } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n , P } } p ^ { \mathrm { v e n , P } } - V ^ { \mathrm { v e n , P } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n , P } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \big | \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \mathring { A } _ { 1 } , w _ { 2 } ) ) \mathring { A } _ { 2 } \rangle \big | ^ { 2 p } } \\ { \lesssim } & { \, \mathbf { E } \, \widetilde { \Xi } _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } \, \big \vert \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( \ldots ) ) \mathring { A } _ { 2 } \rangle \big \vert ^ { 2 p - 2 } } \\ & { + \sum _ { | \boldsymbol { l } | + \sum ( J \cup J _ { * } ) \ge 2 } \mathbf { E } \, \Xi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } ( \boldsymbol { l } , J , J _ { * } ) \big \vert \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M ( \ldots ) ) \mathring { A } _ { 2 } \rangle \big \vert ^ { 2 p - 1 - | J \cup J _ { * } | } + \mathcal { O } _ { \prec } \big ( ( \mathcal { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 p } \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathord { \mathrm { s c a l } } ( _ { R } h } & { + _ { R } f ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { 2 } ) - _ { R } \mathord { \mathrm { s c a l } } ( h ) } \\ & { = R ^ { - 2 } \cdot _ { R } \left( f ^ { - 2 } \left( \frac { 3 } { 4 } \mathrm { t r } ( ( \Dot { h } ^ { \mathrm { o p } } ) ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 } \mathrm { t r } ( \Dot { h } ) ^ { 2 } - \mathrm { t r } ( \Ddot { h } ) + f ^ { - 1 } \Dot { f } \mathrm { t r } ( \Dot { h } ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta : \mathbb { C } \otimes \mathcal { G } _ { p , q } \to M _ { p , q } : = \left\lbrace \begin{array} { l l } { \mathrm { M a t } ( 2 ^ { \frac { n } { 2 } } , \mathbb { C } ) } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \\ { \mathrm { M a t } ( 2 ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } , \mathbb { C } ) \oplus \mathrm { M a t } ( 2 ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } , \mathbb { C } ) } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { { } \propto \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \frac { ( k _ { i } ^ { 2 } - t _ { i } ^ { 2 } ) \hat { x } _ { i } ^ { 2 } + ( t _ { i } ^ { 2 } - k _ { i } ^ { 2 } ) \hat { y } _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + 2 t _ { i } k _ { i } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \kappa ^ { 4 } + \left( i \frac { \omega } { \nu } - 2 k ^ { 2 } \right) \kappa ^ { 2 } - \left( i \frac { \omega } { \nu } - k ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } f = 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( ( \mathscr { C } _ { \Gamma , l } ) ^ { c } ) \leq \mathbb { P } ( \mathscr { E } _ { l } ^ { c } ) + \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) + C _ { 0 } \exp ( - c _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 3 \slash 4 } ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \tilde { \Delta } _ { e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } } \ni z \to e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } } \frac { G ( e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } ) - G ( z ) } { ( e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } - z ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = - G _ { 1 } } \\ & { = - \alpha _ { s _ { 0 } , 1 } N ( e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } ) \boldsymbol { v } ^ { R } ( e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } ) \boldsymbol { u } _ { s _ { 0 } } ^ { G } ( e ^ { \theta _ { 1 } ^ { m a x } } ) \ge O , \ \ne O , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathbf { a b } } ( \mathbf { c } | \mathbf { a } \mathbf { b } ) D _ { \mathbf { a b } } \overset { \mathrm { E q . \, } } { = } } & { { } \sum _ { \mathbf { a b } } \left( \sum _ { \mathbf { \tilde { c } \tilde { p } } } E _ { \mathbf { c } } ^ { \mathbf { \tilde { c } } } ( \mathbf { \tilde { c } } | \mathbf { \tilde { p } } ) E _ { \mathbf { a b } } ^ { \mathbf { \tilde { p } } } \right) D _ { \mathbf { a b } } } \\ { = } & { { } \sum _ { \mathbf { \tilde { c } } } E _ { \mathbf { c } } ^ { \mathbf { \tilde { c } } } \left( \sum _ { \mathbf { \tilde { p } } } ( \mathbf { \tilde { c } } | \mathbf { \tilde { p } } ) D _ { \mathbf { \tilde { p } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] V _ { t + \Delta { t } } } & { = ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) } \\ { V _ { t + \Delta { t } } ^ { \ast } } & { = ( 1 - \Theta _ { \ast } ) V _ { t } ^ { \ast } + \Theta _ { \ast } \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { s , t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \, \left\Vert \partial _ { x , v } ^ { \beta } \left( \mathrm { V } _ { s , t } ( x , v ) - e ^ { t - s } v \right) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T _ { x } ^ { d } \times \mathbb R _ { v } ^ { d } ) } } & { \leq \varphi ( T ) \Lambda ( T , R ) , \ \ \vert \beta \vert \leq k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \pi m } & { { } = n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m , \pm } \overline { { L } } / c \mp \operatorname { a r c c o s } [ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos ( n _ { \mathrm { w g } } \omega _ { m , \pm } \Delta L / c ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { * } [ \mathcal { R } , \Lambda ] } & { { } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { \mathcal { N } } [ \Pi _ { i } h _ { * } \Pi _ { j } ] _ { a b } \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \sqrt { r } \left\{ - 2 \, \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \varsigma C _ { 1 } ( \varsigma k _ { c } r ) \right] + \mathrm { H } _ { 1 } ( k _ { c } r ) + \mathrm { Y } _ { 1 } ( k _ { c } r ) \pm 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 1 } ( k _ { c } r ) + \mathrm { i } \left[ 2 \, \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ C _ { 0 } ( \varsigma k _ { c } r ) \right] - \mathrm { H } _ { 0 } ( k _ { c } r ) - \mathrm { Y } _ { 0 } ( k _ { c } r ) \mp 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 0 } ( k _ { c } r ) \right] \right\} = 0 , } \end{array}
\tau _ { 0 } ( y ) = \sum _ { \sigma _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } . . \sum _ { \sigma _ { 4 } = 0 } ^ { 1 } Y _ { \sigma _ { 1 } . . \sigma _ { 4 } } ^ { ( 0 ) } ( t _ { 1 } Z _ { 1 } ) ^ { \sigma _ { 1 } } ( t _ { 2 } Z _ { 2 } ) ^ { \sigma _ { 2 } } ( t _ { 5 } Z _ { 5 } ) ^ { \sigma _ { 3 } } ( t _ { 8 } Z _ { 8 } ) ^ { \sigma _ { 4 } }
F _ { m } \left( x , p \right) = \frac { C _ { f } \rho } { A _ { p } } \left( \underbrace { \alpha \pi d _ { v } x } _ { A _ { v } \left( x \right) } C _ { d , v } \sqrt { \frac { 2 p } { \rho } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { d \hat { U } _ { N } } { d \hat { \tau } } } & { = } & { \displaystyle \frac { 1 } { 2 ( \alpha + | U _ { 1 } | ^ { 2 } ) } \, \bigg ( \mathcal { B } _ { N + 1 } [ U ] - U _ { N + 1 } \sum _ { j \ge 0 } \alpha ^ { j } \mathrm { R e } \left( U _ { - j } ^ { * } \mathcal { B } _ { - j } [ U ] \right) \bigg ) } \end{array}
\operatorname { V a r } \partial _ { \hat { U } _ { j } } \langle \Psi | \hat { H } | \Psi \rangle \sim 4 \big [ \operatorname { T r } ( \hat { h } ^ { 2 } ) + 2 \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) \big ] / ( m ^ { 2 } d ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { E _ { j , k } \left( \Omega _ { \infty } , \mathfrak c ^ { - 1 } \mathfrak m \Omega _ { \infty } \right) } & { = E _ { j , k } \left( \rho \alpha , \mathfrak c ^ { - 1 } \mathfrak m \Omega _ { \infty } \right) } \\ & { = E _ { j , k } \left( \rho \alpha , \mathfrak c ^ { - 1 } \mathfrak m \mathcal { L } \right) } \\ & { = \alpha ^ { j - k } E _ { j , k } \left( \rho , \mathfrak c ^ { - 1 } \mathcal { L } \right) \quad \textrm { b y \cite [ P r o p o s i t i o n ~ 3 . 3 ( i ) , p . ~ 5 8 ] { d S 8 7 } } } \\ & { = \alpha ^ { j - k } \Lambda ( \mathfrak c ) ^ { k - j } E _ { j , k } \left( \rho , \mathcal { L } \right) ^ { ( \mathfrak c , \mathscr { R } ( \mathfrak m ) ) } \quad \textrm { b y \cite [ P r o p o s i t i o n ~ 3 . 3 ( i i i ) , p . ~ 5 8 ] { d S 8 7 } } , } \end{array}
u - \mathrm { i } v = { \frac { \mathrm { i } \omega _ { 0 } } { 2 } } ( z - \overline { { z } } + \mathrm { i } \Lambda ) + q = - { \omega _ { 0 } y } + \left( q - { \frac { \Lambda \omega _ { 0 } } { 2 } } \right)
\begin{array} { l l } { \ddot { \Phi } _ { t } ( x ) = - \nabla p \left( t , \Phi _ { t } ( x ) \right) } & { \mathrm { ~ ( ~ t ~ , ~ x ~ ) ~ \in ~ [ ~ 0 ~ , ~ T ~ ] ~ \times ~ M ~ , ~ } } \\ { \Phi _ { 0 } ( x ) = x } & { \mathrm { ~ x ~ \in ~ M ~ , ~ } } \\ { \Phi _ { t } ( \cdot ) \in { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } & { \mathrm { ~ t ~ \in ~ [ ~ 0 ~ , ~ T ~ ] ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb Q ( A ^ { \prime } ) \leq C \mathbb Q \big ( } & { E _ { \{ 2 , \ldots , n \} , R } \cap \{ Y ( B _ { 3 T } \setminus B _ { T / 2 } ) \leq \rho _ { 0 } T ^ { d } + 1 \} } \\ & { \quad \cap \{ | y _ { 1 } - y _ { n + 1 } | < 1 \} \cap \{ y _ { 1 } \in B _ { 2 T + 1 } \setminus B _ { T / 2 - 1 } \} \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ i ~ m ~ a ~ r ~ y ~ } , g } ( t ) } & { { } = \frac { S ( t ) R _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ o ~ t ~ b ~ a ~ l ~ l ~ } } ( t ) } { N } \sum _ { g ^ { \prime } } I _ { g ^ { \prime } } ( t ) \mathbf { C } _ { \mathrm { f o o t b a l l } , g ^ { \prime } , g } } \\ { f _ { g } } & { { } = \sum _ { t } \frac { I _ { \mathrm { p r i m a r y } , g } ( t ) } { I _ { g } ( t ) } \quad t \in [ \mathrm { ~ 1 ~ 1 ~ t ~ h ~ J ~ u ~ n ~ e ~ } , \mathrm { ~ 3 ~ 1 ~ s ~ t ~ J ~ u ~ l ~ y ~ } ] } \end{array}
A _ { + + , + - } ^ { q } = \varepsilon \frac { \sqrt { t _ { 0 } - t } } { 2 m } \left( \tilde { H } _ { T } ^ { q } + ( 1 - \xi ) \frac { E _ { T } ^ { q } + \tilde { E } _ { T } ^ { q } } { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { c ^ { - 2 } u _ { \mathrm { E \odot } } ^ { \tt t i d a l } } & { { } \simeq } & { \frac { G M _ { \odot } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } \mathrm { A U } ^ { 3 } } \Big ( 3 \cos \Big [ 2 \phi _ { \odot 0 } + 2 ( n _ { \oplus } + n _ { \tt G P S } ) t \Big ] + 1 \Big ) . } \end{array}
u = \frac { 1 } { \mathcal { R } } \left[ u _ { 0 } - \mathcal { I } + \frac { n } { 2 \, n \cdot u _ { 0 } } \left( 2 \, \mathcal { I } \cdot u _ { 0 } - \mathcal { I } ^ { 2 } + \mathcal { R } ^ { 2 } - 1 \right) \right] ,
\begin{array} { r l r } { \| x ^ { K + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq } & { ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K + 1 } \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K - k } \langle x ^ { k } - x ^ { * } - \gamma F ( x ^ { k } ) , \omega _ { k } \rangle } \\ & { } & { \quad + \gamma ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K - k } \| \omega _ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}