harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } = { \frac { 2 } { 3 } } k \delta _ { i j } - \nu _ { t } \left( { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } } } } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial { \overline { { u _ { j } } } } } { \partial x _ { i } } } \right) ,
A _ { a } ^ { - } = i \omega _ { 0 a } - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { a } \, ^ { b c } \omega _ { b c } - ( 2 \pi G ) \epsilon _ { a b c } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { b c } \, _ { A B } \psi ^ { A } e ^ { B } - i \psi ^ { b } e ^ { c } \right]
\begin{array} { r l } { ( } & { { } 1 , - 1 , 0 , \dots , 0 , 0 ) , } \\ { ( } & { { } 0 , 1 , - 1 , \dots , 0 , 0 ) , } \\ { ( } & { { } 0 , 0 , 0 , \dots , 1 , - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \bar { \mu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { b _ { x } M } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
C _ { 0 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ; p _ { 1 } , p _ { 2 } ) = \frac { 1 } { i \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( ( k + p _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) ( ( k + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { P ( \mathrm { ~ S ~ u ~ c ~ c ~ e ~ s ~ s ~ } \cap \mathrm { ~ S ~ u ~ b ~ c ~ a ~ s ~ e ~ 4 ~ o ~ r ~ 5 ~ } ) = \frac { 2 } { n } \cdot \frac { 1 } { n - 1 } \cdot ( n - r _ { 2 } + 1 ) \sum _ { n _ { 1 } = r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } - 1 } \frac { r _ { 1 } - 1 } { n _ { 1 } - 1 } . } \end{array}
| \Phi \rangle = \sum _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . ; \mathrm { w i t h } \, n _ { i } = 0 \; \mathrm { o r } \, 1 \, , \, \sum _ { i } n _ { i } = N } C _ { n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . } | n _ { 1 } , n _ { 1 } , . . . , n _ { i } , . . . \rangle
\begin{array} { l l l } { { 2 ( k _ { x } \sin \theta _ { 3 } - \omega + k _ { z } \cos \theta _ { 3 } ) | \vec { q } _ { 3 } | } } & { { \ge } } & { { - \omega ^ { 2 } + s _ { 3 4 } } } \\ { { 2 ( k _ { x } \sin \theta _ { 3 } + \omega - k _ { z } \cos \theta _ { 3 } ) | \vec { q } _ { 3 } | } } & { { \ge } } & { { \omega ^ { 2 } - s _ { 3 4 } - 2 \omega m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { T } } & { { } \to \operatorname { S O } ^ { + } ( 2 , \mathbf { F } _ { q } ) } \\ { x } & { { } \mapsto { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { \omega b } & { a } \end{array} \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \mathcal { L } _ { m } ^ { \tau } \varphi ( t , x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \left[ \xi _ { \varphi } ( t , x ) + \eta _ { \varphi } ( t , x ) \right] = \mathcal { G } _ { m } \varphi ( t , x ) + \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \eta _ { \varphi } ( t , x ) . } \end{array}
\sqrt { \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 } \displaystyle { e ^ { \alpha } } v e _ { 0 } } = \frac { \| v e _ { 0 } \| } { u } = \frac { \| v e _ { 0 } \| } { c e _ { 0 } } = \frac { \| v \| } { c } < 1
{ \cal I } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \left( \frac { 1 + | z | ^ { 2 } } { 1 + | R | ^ { 2 } } \left| \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } z } \right| \right) ^ { 4 } \frac { 2 i ~ \mathrm { d } z \mathrm { d } { \bar { z } } } { ( 1 + | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \left( E - 1 \right) \left[ W _ { j } ^ { - } Q _ { j } - E ^ { - 1 } \left[ W _ { j } ^ { + } Q _ { j } \right] \right] = } \\ { - \left[ W _ { 1 } ^ { - } q _ { 1 } + W _ { N - 1 } ^ { + } \thinspace q _ { N - 1 } \right] Q _ { j } , } \end{array}
= - 2 \tau _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau _ { 2 } ^ { 2 } } + \left[ 4 a \tau _ { 2 } ^ { 2 } + 4 ( b - 1 ) \tau _ { 2 } - ( b _ { 2 } + 6 ) \right] \frac { \partial } { \partial \tau _ { 2 } } - 4 a n \tau _ { 2 } - 2 n ( b - 1 ) - 6 \ .
\begin{array} { r l } & { \frac { 3 \eta D } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| - \frac { \widetilde \mu } { 2 } \eta ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { \frac { 1 } { 2 \widetilde \mu } ( 3 D / 2 ) ^ { 2 } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| \Big ) ^ { 2 } } \\ { \le \ } & { \frac { 9 M D ^ { 2 } } { 8 \widetilde \mu } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
x = \frac { \omega } { k c } , \, \, \, \varkappa = \frac { k } { k _ { 0 } } , \, \, \, s = \frac { c _ { s } } { c } , \, \, \, a = \frac { u _ { A } } { c } , \, \, \, \nu = \frac { c } { k _ { 0 } \nu _ { m } } .
d \mathcal S ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { { \Lambda } r ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } \right) } [ c ^ { 2 } ( d t ) ^ { 2 } - ( d x ) ^ { 2 } - ( d y ) ^ { 2 } - ( d z ) ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { T r } \big [ \phi _ { i } ^ { \dagger } \phi _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle = 1 \dag \mathrm { T r } \big [ \phi _ { i } ^ { \dagger } \phi _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \tilde { F } _ { i a } ^ { \dagger } \tilde { F } _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \big ] } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = [ \Delta _ { i } ] _ { a b } \qquad \forall \dag , a , b = 1 , . . . , B { \nu } _ { i } } \end{array}
E = \int d ^ { 3 } x \left[ { \vec { \bigtriangledown } \phi } ^ { * } \vec { \bigtriangledown } \phi + \vec { \bigtriangledown } \pi ^ { + } \vec { \bigtriangledown } \pi ^ { - } + \lambda { ( \pi ^ { + } \pi ^ { - } + \phi ^ { * } \phi - \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 } ) } ^ { 2 } \right] .
W ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int e ^ { \imath q x } \langle P ^ { \prime } | [ { \hat { J } } ^ { \mu } ( \frac { x } { 2 } ) , { \hat { J } } ^ { \nu } ( - \frac { x } { 2 } ) ] | P ^ { \prime } \rangle d ^ { 4 } x
{ \begin{array} { r c l } { L } & { = } & { + { \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } } e R - { \frac { 1 } { 2 } } e { \overline { { \psi } } } _ { M } \Gamma ^ { M N P } D _ { N } [ { \frac { 1 } { 2 } } ( \omega - { \overline { { \omega } } } ) ] \psi _ { P } } \\ & & { + { \frac { 1 } { 4 8 } } e F _ { M N P Q } ^ { 2 } + { \frac { { \sqrt { 2 } } \kappa } { 3 8 4 } } e ( { \overline { { \psi } } } _ { M } \Gamma ^ { M N P Q R S } \psi _ { S } } \\ & & { + 1 2 { \overline { { \psi } } } ^ { N } \Gamma ^ { P Q } \psi ^ { R } ) ( F + { \overline { { F } } } ) _ { N P Q R } + { \frac { { \sqrt { 2 } } \kappa } { 3 4 5 6 } } \varepsilon ^ { M _ { 1 } \dots M _ { 1 1 } } F _ { M _ { 1 } \dots M _ { 4 } } F _ { M _ { 5 } \dots M _ { 8 } } A _ { M _ { 9 } M _ { 1 0 } M _ { 1 1 } } } \end{array} }
S _ { 0 } = \int d ^ { 3 } x ~ \left( \kappa \epsilon ^ { \mu \nu \rho } t r ( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } - \frac { 2 } { 3 } i A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } ) + ( D _ { \mu } \phi ) ^ { \dagger } ( D ^ { \mu } \phi ) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \Psi ^ { \mathrm { e q } } ( r ) = } \\ & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \Psi _ { R } + \frac { \kappa _ { \mathrm { + , i n } } ^ { 2 } - \kappa _ { \mathrm { - , i n } } ^ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { R \sinh \kappa _ { \mathrm { i n } } r } { r \sinh \kappa _ { \mathrm { i n } } R } \right) } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { \displaystyle \Psi _ { R } \frac { R } { r } \mathrm { e } ^ { - \kappa _ { \mathrm { o u t } } ( r - R ) } } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 0 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 3 3 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 0 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \Phi _ { 0 } ^ { ( 4 4 ) } ( \mathbf { x } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ( \eta _ { 1 } ) = \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { \eta _ { 1 } } { | \eta _ { 1 } | } \otimes \frac { \eta _ { 1 } } { | \eta _ { 1 } | } , \ \ \eta _ { 1 } = q _ { \overline { { x } } } + \xi , } \\ & { A ( \eta _ { 2 } ) = \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { \eta _ { 2 } } { | \eta _ { 2 } | } \otimes \frac { \eta _ { 2 } } { | \eta _ { 2 } | } , \ \ \eta _ { 2 } = q _ { \overline { { y } } } + \xi . } \end{array}
T _ { a b } ( x ) ( \Omega ) = \sum _ { p = - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d x } { x } } \Omega ( x ) \sin [ ( a + 2 p \pi ) x + { \frac { b } { x } } ] ( 1 - { \frac { \sin \pi x } { \pi x } } ) .
\widehat { u } _ { j } = \big ( u , \frac { \varphi _ { j } } { \lVert \varphi _ { j } \rVert ^ { 2 } } \big ) = \int _ { \Omega } w ( x ) u ( x ) \frac { \varphi _ { j } ^ { \ast } ( x ) } { \lVert \varphi _ { j } \rVert ^ { 2 } } \mathrm { d } x .
\partial _ { t } \mathbb { E } \big [ \eta \big ] + H \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \mathbb { E } \big [ \eta \big ] ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } \left( \exp \left( \frac { R - I } { 2 } \right) \right) } & { = e ^ { - \delta } \cdot \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } \exp \left( \frac { R } { 2 } \right) D _ { v } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } D _ { v } \mathbf { 1 } \rangle } } \\ & { = e ^ { - \delta } \cdot \sum _ { i \geq 1 } \frac { \delta ^ { i } } { i ! } \cdot \frac { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } R ^ { i } D _ { v } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle } { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } D _ { v } \mathbf { 1 } \rangle } } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { \langle \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { u } I D _ { v } \mathbf { 1 } _ { \overline { { S } } } \rangle = 0 } ] } } \\ & { = e ^ { - \delta } \cdot \sum _ { i \geq 1 } \frac { \delta ^ { i } } { i ! } \cdot \phi _ { S } ( R ^ { i } ) } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { R ^ { i } } ~ a l s o ~ h a s ~ \ensuremath { u } ~ a n d ~ \ensuremath { v } ~ a s ~ t h e ~ l e f t ~ a n d ~ r i g h t ~ e i g e n v e c t o r s ~ f o r ~ e i g e n v a l u e ~ 1 ] } } \\ & { \leq e ^ { - \delta } \cdot \sum _ { i \geq 1 } \frac { \delta ^ { i } } { i ! } \cdot i \cdot \phi _ { S } ( R ) } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ u s i n g ~ L e m m a ~ ] } } \\ & { = e ^ { - \delta } \cdot \delta \cdot \phi _ { S } ( R ) \sum _ { i \geq 1 } \frac { \delta ^ { i - 1 } } { ( i - 1 ) ! } } \\ & { = e ^ { - \delta } \cdot \delta \cdot \phi _ { S } ( R ) \cdot e ^ { \delta } } \\ & { = \delta \cdot \phi _ { S } ( R ) } \end{array}
\Delta x = 2 \pi \left[ \varepsilon \omega _ { k } \left( T _ { 1 , 2 n } ^ { \left( 0 \right) } - T _ { 1 , 0 } \right) \frac { 2 n } { \psi \left( 2 n + 1 \right) + \gamma } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \kappa _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) } & { = \kappa _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } ( { \bf r } _ { \mathrm { t i p } } ) + \gamma _ { \mathrm { G S } } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { - } = - z _ { - } e \psi + k _ { B } T \Bigg [ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) } \\ { - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) \Bigg ] + u _ { L J } ^ { - } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { q ^ { \prime } + 1 } } & { > \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \hphantom { x } \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } } \\ { } & { = \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) + d _ { q ^ { \prime } } \cdot \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } \right) + D _ { q ^ { \prime } } \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) \right) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } } } \\ { } & { ~ ~ - \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( Z _ { q ^ { \prime } } ) + d _ { q ^ { \prime } } \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) + D _ { q ^ { \prime } } \cdot \left( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) \right) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } } } \\ { } & { = \frac { \hphantom { x } \displaystyle \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { c _ { q ^ { \prime } } ( F ^ { * } ) - c _ { q ^ { \prime } } ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } \hphantom { x } } { \displaystyle \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { q ^ { \prime } } ) } - \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus Z _ { q ^ { \prime } } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( Z _ { q ^ { \prime } } ) } } + d _ { q ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { p h } ^ { ( T ) , ( \infty ) } = \pm \sqrt { \frac { \hat { c } _ { v } + 2 } { \hat { c } _ { v } + 1 } } c _ { s } , } \\ & { \alpha ^ { ( T ) , ( \infty ) } = \pm \frac { \sqrt { \hat { c } _ { v } + 1 } \left\{ 1 + ( \hat { c } _ { v } + 2 ) \hat { \tau } _ { q } \right\} } { 2 ( \hat { c } _ { v } + 2 ) ^ { 3 / 2 } \hat { \tau } _ { q } \tau _ { \sigma } c _ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } \ast \mathcal { B } } & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \right) } \right) \cdot \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { B } \right) } \right] } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left( \left[ \begin{array} { l l l } { \mathcal { A } ( : , : , 1 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 3 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 2 ) } \\ { \mathcal { A } ( : , : , 2 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 1 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 3 ) } \\ { \mathcal { A } ( : , : , 3 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 2 ) } & { \mathcal { A } ( : , : , 1 ) } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { B } ( : , : , 1 ) } \\ { \mathcal { B } ( : , : , 2 ) } \\ { \mathcal { B } ( : , : , 3 ) } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\mathrm { e v } ^ { \chi } : = \mathrm { e v } _ { \Psi } \oplus \mathrm { e v } _ { \Omega \setminus \Psi } \oplus \mathrm { e v } _ { \Omega ^ { c } } : \mathbb Q _ { p } ( R _ { n } ^ { \chi } ) \hookrightarrow \mathbb Q _ { p } ( R _ { n } ) _ { \Psi } \oplus \mathbb Q _ { p } ( R _ { n } ) _ { \Omega \setminus \Psi } \oplus \mathbb Q _ { p } ( R _ { n } ) _ { \Omega ^ { c } } .
\begin{array} { r } { f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) = \frac { e ^ { \frac { \lambda } { 4 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } } { 2 \pi \beta } \iint d x d p H _ { Q } ^ { ( T ) } ( x , p ) e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { p } p ) } , \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { L = } & { { } \left( \begin{array} { l l l l } { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } + \alpha \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { \hat { n } } & { \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { \mathbb { 1 } } \end{array} \right) \, , } \\ { R = } & { { } \left( \begin{array} { l } { \mathbb { 1 } } \\ { \lambda \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } \\ { \lambda \hat { n } } \\ { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } + \alpha \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } } & { { } = \frac { \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { x _ { 1 } } , } \\ { \frac { \partial \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } } & { { } = 0 . } \end{array}
S _ { f } = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - i \right) ^ { n } } { n ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d ^ { 4 } x _ { 1 } . . \int _ { - \infty } ^ { \infty } d ^ { 4 } x _ { n } T : \mathcal { H }
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { 0 } U \kappa _ { p } } { L ^ { 2 } } \rho ^ { \prime } \partial _ { t ^ { \prime } } u _ { i } ^ { \prime } + \frac { \rho _ { 0 } U ^ { 2 } } { L } \rho ^ { \prime } \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } u _ { i } ^ { \prime } = \frac { \mu U } { L ^ { 2 } } \Delta _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } u _ { i } ^ { \prime } - \frac { \mu U } { L ^ { 2 } } \partial _ { x _ { i } ^ { \prime } } p ^ { \prime } - \rho _ { 0 } g \rho ^ { \prime } \delta _ { i 3 } , \; i = 1 , 2 , 3 , } \\ & { \frac { L ^ { 2 } } { \kappa _ { p } } \partial _ { t ^ { \prime } } T ^ { \prime } + \frac { U } { L } \mathbf { u } \nabla _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } T ^ { \prime } = \frac { \kappa _ { p } } { L ^ { 2 } } \Delta _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } T ^ { \prime } , } \\ & { \frac { \rho _ { 0 } \kappa _ { p } } { L ^ { 2 } } \partial _ { t ^ { \prime } } \rho ^ { \prime } + \frac { U \tilde { \rho } } { L } \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } \rho ^ { \prime } = \frac { \kappa _ { s } \tilde { \rho } } { L ^ { 2 } } \Delta _ { \mathbf { x } ^ { \prime } } \rho ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { R e p } _ { H } ^ { \{ 1 \} , \lambda _ { 1 } } ) _ { F ( \lambda _ { 1 } ) } \times ( \mathrm { R e p } _ { H } ^ { \{ 1 \} , \lambda _ { 2 } } ) _ { F ( \lambda _ { 2 } ) } } & { \rightarrow ( \mathrm { R e p } _ { H } ^ { \{ 1 \} , \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } } ) _ { F ( \lambda _ { 1 } ) \otimes F ( \lambda _ { 2 } ) } } \\ & { \cong ( \mathrm { R e p } _ { H } ^ { \{ 1 \} , \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } } ) _ { F ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { z } L ( z , \lambda , p ) } & { = 0 , \qquad c _ { i } ( z , p ) \leq 0 , \: \: \forall i \in \mathcal { I } , \qquad c _ { i } ( z , p ) = 0 , \: \: \forall i \in \mathcal { E } } \\ { \ensuremath { { \lambda } ^ { \mathrm { T } } } c ( z , p ) } & { = 0 , \qquad \qquad \: \lambda _ { i } \geq 0 , \: \: \forall i \in \mathcal { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | - 4 \pi ^ { - 1 } \beta \rho { \bf \hat { n } _ { i } ^ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \kappa \big ( { \bf \hat { n } } \times { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } \big ) \Big | = | { \bf \nabla } _ { i } \mathcal { T } | } \\ & { } & { = 2 \Big | \Lambda ( \cos X _ { i } + \cos P _ { i } ) \Big | \sqrt { \sin ^ { 2 } X _ { i } + \sin ^ { 2 } P _ { i } } } \\ & { } & { \leqslant 2 \sqrt { 2 } | \Lambda | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = \operatorname* { s u p } \{ a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , \ldots \} , } \\ { s _ { 1 } } & { = \operatorname* { s u p } \{ \phantom { a _ { 0 } , } \, a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , \ldots \} , } \\ { s _ { 2 } } & { = \operatorname* { s u p } \{ \phantom { a _ { 0 } , a _ { 1 } } \, \, \, a _ { 2 } , a _ { 3 } , \ldots \} , } \\ { s _ { 2 } } & { = \operatorname* { s u p } \{ \phantom { a _ { 0 } , a _ { 1 } , a _ { 2 } } \, \, \, a _ { 3 } , \ldots \} , } \\ { \, \, \, } & { \, \, \, \vdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \tt d } ( \gamma _ { k - 1 } ) } & { = H _ { \tt d } ( \alpha _ { k - 1 } ) = - \log \frac { 1 - \alpha _ { k - 1 } ^ { 2 } } { 1 - \gamma _ { \tt d } ^ { 2 } } - 2 { \tt d } \log \frac { 1 - \alpha _ { k - 1 } } { 1 - \gamma _ { \tt d } } } \\ & { = - ( 1 + 2 { \tt d } ) \log \frac { 1 - u _ { 2 k } } { 1 - \gamma _ { \tt d } } - \log \frac { 1 + u _ { 2 k } } { 1 + \gamma _ { \tt d } } } \\ & { = \mathcal H _ { e } ^ { \kappa , \kappa } ( u _ { 2 k } ) } \end{array}
i S _ { F } ( p ) = \left( Z _ { R } ^ { - 1 / 2 } P _ { R } + Z _ { L } ^ { - 1 / 2 } P _ { L } \right) i S _ { F } ^ { 0 } ( p ) \left( Z _ { R } ^ { - 1 / 2 } P _ { L } + Z _ { L } ^ { - 1 / 2 } P _ { R } \right) \, ,
E _ { a , b } ( p ^ { \bot } ) \cos 2 \vartheta _ { a , b } ( p ^ { \bot } ) = m ^ { 0 } + \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \int } \frac { d ^ { 3 } q ^ { \bot } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } V ( p ^ { \bot } - q ^ { \bot } ) \cos 2 \vartheta _ { a , b } ( q ^ { \bot } ) ,
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { { } = } & { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left[ \nabla \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \nabla \delta \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \nabla \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \nabla \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] = } \end{array}
P _ { - } ( 2 k + 1 ) = \frac { ( \mid \alpha _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid \alpha _ { 2 } \mid ^ { 2 } ) ^ { ( 2 k + 1 ) } } { ( 2 k + 1 ) ! s i n h ( \mid \alpha _ { 1 } \mid ^ { 2 } + \mid \alpha _ { 2 } \mid ^ { 2 } ) } .
\frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial t } } + \left( { \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \right) { { \bar { u } } _ { j } } + \frac { { \partial { { \bar { p } } ^ { \dag } } } } { { \partial { x _ { i } } } } + \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } + \frac { \partial } { { \partial { x _ { j } } } } \left( { \bar { u } _ { k } ^ { \dag } \frac { { \partial { \tau _ { j k } } } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } } \right) - \bar { u } _ { k } ^ { \dag } \frac { { { \partial ^ { 2 } } { \tau _ { j k } } } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } = 0 .