harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { k } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) ] } \\ { \leq } & { \frac { \gamma _ { k } - \rho } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma _ { k } - \kappa ) ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } + \frac { 3 \lambda } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \\ { = } & { V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) - \frac { \rho - 2 \lambda - \kappa } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) - \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma _ { k } - \kappa ) ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } + \frac { 3 \lambda } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \end{array}
\frac { \ddot { a } } { a } = \frac { - 1 } { 3 M _ { P l } ^ { 2 } \sqrt { 1 + 4 \alpha \Lambda _ { b } / 3 M ^ { 5 } } } \bigg ( \frac { \rho _ { \mathrm { v i s } } } { 2 } ( 1 + \frac { 2 \rho _ { \mathrm { v i s } } } { \Lambda _ { 2 } ^ { + } } ) + \frac { 3 p _ { \mathrm { v i s } } } { 2 } ( 1 + \frac { \rho _ { \mathrm { v i s } } } { \Lambda _ { 2 } ^ { + } } ) \bigg ) > 0
P _ { i j } ^ { \mathrm { s c a l e d } } = \frac { P _ { i j } - \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m i n } } ( P _ { i j } ) } { \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m a x } } ( P _ { i j } ) - \underset { j = 1 , \ldots , N _ { s } } { \operatorname* { m i n } } ( P _ { i j } ) } , \quad \mathrm { f o r } \quad i = 1 , \ldots , n _ { \mu } + 1
\begin{array} { l l } { \psi _ { n } ( \alpha ; x , t ) = \frac { N _ { n } ( \alpha ) e ^ { \textstyle i n \theta } } { \sqrt { 1 + 2 i \alpha ^ { 2 } \tau } } H _ { n } ( \xi ) \exp ( - \xi ^ { 2 } / 2 ) } \\ { \times \exp \left\{ i \left[ \frac { 2 \alpha ^ { 4 } \tau ( x - A ) ^ { 2 } + 2 k _ { 0 } ( x - A ) - 2 k _ { 0 } ^ { 2 } \tau } { 2 ( 1 + 4 \alpha ^ { 4 } \tau ^ { 2 } ) } \right] \right\} , } \end{array}
\langle \Delta ^ { + } ( P ) | \pi _ { 0 } ( 0 ) | N ^ { + } ( p ) \rangle = \i { \frac { G _ { \pi \mathrm { N } \Delta } ( q ^ { 2 } ) } { 2 M _ { N } } } \, { \frac { \bar { u } _ { \Delta \mu } \, q ^ { \mu } u _ { N } } { - q ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } } } \, \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \; .
\lbrack \alpha _ { n } ^ { \mu } , \alpha _ { n ^ { \prime } } ^ { \nu } ] = \kappa _ { n } ^ { \prime } \delta _ { n + n ^ { \prime } } \eta ^ { \mu \nu } \, \, , \quad \kappa _ { n } ^ { \prime } \equiv \epsilon ( n ) \kappa _ { | n | } \, \, .
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { A } } } & { { } = \chi _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e q } } - w \sqrt { \frac { 3 \beta + \sigma } { D } } \qquad \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \chi _ { \mathrm { R } } ( \mu ) } & { { } = \chi _ { \mathrm { R } } ^ { \mathrm { e q } } + w \sqrt { \frac { 2 \sigma ( \mu / \mu _ { * } - 1 ) } { D } } \; , } \end{array}
{ \cal M } _ { \lambda \bar { \lambda } \lambda _ { \gamma } } ^ { \mathrm { t r e e } } = i \frac { e g m _ { \mu } } { \sqrt { \displaystyle 2 t u } \, m _ { W } } \left\{ \begin{array} { l c l } { { + s } } & { { , } } & { { \lambda \bar { \lambda } \lambda _ { \gamma } = -- + , } } \\ { { - s } } & { { , } } & { { \lambda \bar { \lambda } \lambda _ { \gamma } = + + - , } } \\ { { + m _ { H } ^ { 2 } } } & { { , } } & { { \lambda \bar { \lambda } \lambda _ { \gamma } = + + + , } } \\ { { - m _ { H } ^ { 2 } } } & { { , } } & { { \lambda \bar { \lambda } \lambda _ { \gamma } = --- , } } \end{array} \right. \,
\Delta _ { 4 } = \Delta _ { 2 } - b \Delta _ { 1 } = a b a b + b a b a - a b ^ { 2 } a - b a ^ { 2 } b - b \left( 2 a b a - a ^ { 2 } b - a b ^ { 2 } \right) = a b a b - b a b a - a b ^ { 2 } a + b a b ^ { 2 } .
{ \bf h _ { \varphi } } = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \varphi / 4 } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - \varphi / 4 } } } \end{array} \right) , \qquad { \bf \bar { h } _ { \varphi } } = \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { \varphi / 4 } } } & { { 0 } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { \bar { w } } e ^ { - \varphi / 4 } } } & { { e ^ { - \varphi / 4 } } } \end{array} \right) .
d e t [ - \tilde { K } _ { i k } ] \sim d e t ( - D _ { 1 } ^ { 2 } + ( D _ { 1 } D _ { 2 } + \hat { F } _ { 2 1 } ) D _ { 2 } ^ { - 2 } ( D _ { 2 } D _ { 1 } + \hat { F } _ { 1 2 } ) ) .
\Delta q _ { f } ( x , M _ { f } ) = { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } ( \ln M _ { f } ^ { 2 } - \ln \mu ^ { 2 } ) \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d z } { z } } q _ { f } ( x / z ) P _ { q q } ^ { + } ( z ) \; .
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { a d } } & { { } = 0 . 2 5 \frac { h } { \left| \mathbf { v } \right| _ { m a x } } } \\ { \Delta t _ { a c } } & { { } = 0 . 6 \left( \frac { h } { c + \left| \mathbf { v } \right| _ { m a x } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { ( f _ { m } , g _ { m } ) } ( u , v ) } & { - B ( u , v ) = \mu \int _ { D _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla u _ { j } ( I _ { 2 } - \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } ^ { - 1 } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } ^ { - 1 } } ^ { \top } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } } } ) \nabla \bar { v } _ { j } \, \mathrm { d } x } \\ & { + ( \lambda + \mu ) \int _ { D _ { h } } ( \nabla \cdot u ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) - ( \nabla \tilde { u } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } ^ { - 1 } } ) ( \nabla \bar { \tilde { v } } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } ^ { - 1 } } ^ { \top } ) \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } } } \, \mathrm { d } x } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { D _ { h } } u \cdot \bar { v } ( \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } } } - 1 ) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\frac { T } { T ^ { \mathrm { { S M } } } } = \frac { \Delta M _ { q } } { { \Delta M _ { q } } ^ { \mathrm { S M } } } = \frac { 2 \sin ^ { 2 } \phi } { x } - 2 . 2 4 \frac { \sin ^ { 4 } \phi } { x } \, .
M _ { i h } ( r , t ) = \int e ^ { - 2 \eta \tau \boldsymbol { p ^ { 2 } } } e ^ { i \boldsymbol { p } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { 0 } ) } R _ { i j h l } M _ { j l } ( r _ { 0 } , t _ { 0 } ) ~ \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { r } _ { 0 } \mathrm { d } ^ { 3 } \boldsymbol { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { g _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \bigg ( \int d ^ { D } k \frac { g ^ { \alpha \beta } g _ { \beta \delta } g ^ { \delta \gamma } g _ { \gamma \alpha } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( \mathbf { x } ) } & { { } = E [ f ( \mathbf { x } ) ] , } \\ { f ( \mathbf { x } ) } & { { } \sim G P ( m ( \mathbf { x } ) , k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j } & { \equiv \cos { \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) } + j \sin { \left( { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \equiv e ^ { j { \frac { \pi } { 2 } } } } \\ { { \frac { 1 } { j } } \equiv - j } & { \equiv \cos { \left( - { \frac { \pi } { 2 } } \right) } + j \sin { \left( - { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \equiv e ^ { j \left( - { \frac { \pi } { 2 } } \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \big ( \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] , ~ q \big ) = \int _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z - \omega ^ { m } \int _ { \mathscr { R } } \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z } \\ & { = \int _ { \Gamma ^ { m } } ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) ( \vec { U } ^ { m + 1 } \cdot \vec { \nu } ^ { m } ) \mathrm { d } r \mathrm { d } z = \Big \langle \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } , ~ \vec { U } ^ { m + 1 } \cdot \vec { \nu } ^ { m } \, | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | \Big \rangle . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { m _ { \overline { { { \kappa ( 9 0 0 ) } } } } ^ { 2 } } } & { { \lambda _ { K _ { 0 } } } } \\ { { \lambda _ { K _ { 0 } } } } & { { m _ { \overline { { { K _ { 0 } ^ { * } ( 1 4 3 0 ) } } } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \ \ m _ { \overline { { { \kappa ( 9 0 0 ) } } } } = 1 . 0 4 7 \mathrm { G e V } , \ \ m _ { \overline { { { K _ { 0 } ^ { * } ( 1 4 3 0 ) } } } } = 1 . 3 0 7 \mathrm { G e V }
\langle 0 | O _ { 1 } ^ { J / \psi } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) | 0 \rangle \approx 3 ~ \langle J / \psi | O _ { 1 } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) | J / \psi \rangle \approx \left( { \frac { 9 } { 2 \pi } } \right) ~ \left| R _ { \psi } ( 0 ) \right| ^ { 2 } ,
\kappa ^ { \gamma + 1 } = \kappa ^ { \gamma } - \frac { \mathcal { U } ( L ; \kappa ^ { \gamma } ) } { \frac { \partial } { \partial \kappa } ( \mathcal { U } ( L ; \kappa ^ { \gamma } ) ) } ~ ~ , ~ ~ \gamma = 0 , ~ 1 , ~ 2 , ~ . . . ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } > t ] } & { \ge } & { \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) > t , \kappa _ { \{ { \mathcal Y } _ { t } \} } ( B _ { 2 } ) > t ] } \\ & { = } & { \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal Y } _ { t } \} } ( B _ { 2 } ) > t | \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) > t ] \cdot \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) > t ] } \\ & { \ge } & { \gamma _ { 0 } \cdot \mathbb { P } [ \kappa _ { \{ { \mathcal X } _ { t } \} } ( B _ { 1 } ) > t ] \simeq \lambda _ { \varepsilon } ^ { - t } , } \end{array}
f ( b ; \overline { { { b } } } , \sigma _ { b } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \ \sigma _ { b } } \, e x p \left[ - \frac { ( b - \overline { { { b } } } ) ^ { 2 } } { 2 \, \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right] \, ,
\left( \frac { \mu _ { j } - \frac { i } { 2 } } { \mu _ { j } + \frac { i } { 2 } } \right) ^ { 2 N } \left( \frac { \mu _ { j } - i \left( ( \xi + i \chi ) - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \mu _ { j } + i \left( ( \xi + i \chi ) - \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) \left( \frac { \mu _ { j } - i \left( ( \xi - i \chi ) - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \mu _ { j } + i \left( ( \xi - i \chi ) - \frac { 1 } { 2 } \right) } \right) = \prod _ { j \neq \ell = 1 } ^ { M } \left( \frac { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } - \mu _ { \ell } + i } \right) \left( \frac { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } - i } { \mu _ { j } + \mu _ { \ell } + i } \right) ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \omega _ { M } } ^ { c } ( s ) } & { = \int _ { 0 } ^ { s } \Gamma _ { M } ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \Gamma _ { M } ( t ) d t + \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \Gamma _ { M } ( t ) d t = \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \Gamma _ { M } ( t ) d t + \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } f _ { M } ^ { c } ( t ) d t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \Gamma _ { M } ( t ) d t + \int _ { 0 } ^ { s } f _ { M } ( t ) d t = \varphi _ { \omega _ { M } } ^ { c } ( s _ { 0 } ) + F _ { M } ^ { c } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial i } \left( \frac { g _ { 1 } ( i , r ) } { i r } \right) + \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { g _ { 2 } ( i , r ) } { i r } \right) } \\ & { = \left[ \left( \frac { \partial g } { \partial i } - \frac { \partial g } { \partial s } \right) \beta \left( \frac { 1 - i - r } { r } \right) \right] - \frac { \beta g ( 1 - i - r , i , r ) } { r } - \frac { \gamma } { r ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { \omega } - \left[ \left( \boldsymbol { \omega } + \boldsymbol { \Omega } _ { c } \right) \boldsymbol { \cdot } \nabla \right] \boldsymbol { U } = - \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { \Omega } _ { c } + \mathcal { L } \boldsymbol { \Gamma } _ { \nu } ,
\langle \overline { { { \phi } } } ^ { 2 } ( x ) \rangle _ { \beta } = \frac { 1 } { 1 2 \beta ^ { 2 } } ( 1 + \eta ^ { 2 } ) - \eta ^ { 2 } \xi \frac { \sqrt { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } S _ { 1 } + \eta ^ { 2 } \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } S _ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \left\| \int _ { 0 } ^ { t } T ( s ) B u ( s ) \, d s \right\| _ { X } } & { \le } & { h _ { t } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } 1 \cdot | u ( s ) | ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } } \\ & { \leq } & { h _ { t } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } 1 ^ { \frac { p } { p - q } } d s \Big ) ^ { \frac { p - q } { p } } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } | u ( s ) | ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq } & { h _ { t } t ^ { \frac { p - q } { p } } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } | u ( s ) | ^ { p } d s \Big ) ^ { 1 / p } , } \end{array}
\theta _ { F } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { E _ { L C P } ^ { t } } { E _ { R C P } ^ { t } } \right] ; ~ ~ ~ ~ ~ \theta _ { K } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { E _ { L C P } ^ { r } } { E _ { R C P } ^ { r } } \right] .
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { p h o t } } ( t _ { \mathrm { b } } ) = \theta ( t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } ) \left\{ 1 - \exp \left[ - \frac { t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { p h o t } } } \right] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { P _ { q } } } & { { } = } & { \left\langle P _ { q } ( t ) \right\rangle } \\ { \mu _ { \Delta \Phi _ { q } } } & { { } = } & { \left\langle \Delta \Phi _ { q } ( t ) \right\rangle , } \end{array}
F _ { \cal P } ( Q ^ { 2 } , \beta \approx 0 ) = \frac { e _ { f } ^ { 2 } \alpha ^ { 5 } N _ { c } ^ { 2 } } { C _ { \Phi } \pi ^ { 2 } } H ( 1 ) \frac { r _ { 0 } Q } 2 \beta ^ { - \Delta _ { \cal P } } \left( \frac { 2 a ( \beta ) } { \pi } \right) ^ { \frac 1 2 } \exp [ - \frac { a ( \beta ) } 2 l o g ^ { 2 } ( \frac { r _ { 0 } Q } 2 ) ] .
\scriptstyle { \begin{array} { l } { { \begin{array} { r l } { x } & { = x ^ { \prime } } \\ { y } & { = y ^ { \prime } } \\ { { \frac { c ^ { 2 } } { \gamma } } + z } & { = \left( { \frac { c ^ { 2 } } { \gamma } } + z ^ { \prime } \right) \cosh { \frac { \gamma t ^ { \prime } } { c } } } \\ { c t } & { = \left( { \frac { c ^ { 2 } } { \gamma } } + z ^ { \prime } \right) \sinh { \frac { \gamma t ^ { \prime } } { c } } } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d s ^ { 2 } = d x ^ { \prime 2 } + d y ^ { \prime 2 } + d z ^ { \prime 2 } - \left( c + { \frac { \gamma } { c } } z ^ { \prime } \right) ^ { 2 } d t ^ { \prime 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Psi _ { K } \leq 2 \left( \frac { a _ { 1 } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 2 a _ { 2 } ^ { 1 / 3 } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } + \frac { \underline { { \alpha } } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } . } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } + \boldsymbol { u } _ { c o n s t } \cdot \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { x } } + \frac { q } { m } ( \boldsymbol { E } + \boldsymbol { u } _ { c o n s t } \times \boldsymbol { B } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial \boldsymbol { v } } = 0 ,
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial h } { \partial I _ { 1 } } } & { = - \frac { \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { j } P ( w , h , j ) \, d w } { 2 \pi \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w } , } & { \frac { \partial j } { \partial I _ { 1 } } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } , } \\ { \frac { \partial h } { \partial I _ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { 2 \int _ { z _ { - } ( h , j ) } ^ { z _ { + } ( h , j ) } \partial _ { h } P ( w , h , j ) \, d w } , } & { \frac { \partial j } { \partial I _ { 2 } } } & { = 0 . } \end{array}
G ^ { t t t t } ( \omega , q ) = - 4 { \frac { \delta ^ { 2 } S _ { \epsilon } } { \delta ( H _ { t t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 3 N ^ { 2 } \pi ^ { 2 } T ^ { 4 } q ^ { 2 } } { 2 ( 3 \omega ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } } - { \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 8 } } N ^ { 2 } T ^ { 4 } = 3 P \frac { 5 q ^ { 2 } - 3 \omega ^ { 2 } } { 3 \omega ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { H } \sum _ { h _ { k - 2 } = 0 } ^ { H - 1 } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { n = 0 } ^ { H - 1 } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } G _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , n + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } h _ { i } \epsilon _ { i } } \Big | ^ { 2 } } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 0 } ^ { 2 ( H - 1 ) } e ^ { 2 \pi i m t } \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \cdot } \\ & { \ \ \ \Big ( \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { 1 } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in V _ { k - 3 } ^ { * } } T ^ { a _ { d } ( m + s + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 3 } h _ { i } \epsilon _ { i } ) } f _ { d } \Big ) \Big | ^ { 2 } . } \end{array}
| M = 2 > = \sum _ { x _ { 1 } < x _ { 2 } = 1 } ^ { N } \phi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) | x _ { 1 } , x _ { 2 } > \quad w i t h \quad | x _ { 1 } , x _ { 2 } > = S _ { x _ { 1 } } ^ { - } S _ { x _ { 2 } } ^ { - } | \Omega > \quad .
\textstyle \langle \! \langle \hat { P } _ { + } | 0 , 0 \rangle \! \rangle = \langle 0 _ { \chi } , 0 _ { \chi } | \hat { P } _ { + } | 0 _ { \chi } , 0 _ { \chi } \rangle \stackrel { } { = } 1 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \langle \! \langle \hat { P } _ { - } | 0 , 0 \rangle \! \rangle = 0 ,
Y _ { m } = \left\langle \prod _ { i = 1 } ^ { k _ { 1 } } ( v _ { 1 i } ) _ { m _ { 1 i } } \prod _ { j = 1 } ^ { k _ { 2 } } ( v _ { 2 j } ) _ { 2 m _ { 2 j } } | v _ { 1 i } \in G , m _ { 2 j } \in G _ { 2 } , \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { 1 } } m _ { 1 , i } + \sum _ { j = 2 } ^ { k _ { 2 } } v _ { 2 , j } \le m , k _ { i } \in \mathbb { N } \right\rangle .
\sigma _ { \pi N } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } ( m _ { u } + m _ { d } ) \, \langle p ^ { \prime } \, | \bar { u } u + \bar { d } d \, | p \, \rangle \, \, , \quad t = ( p ^ { \prime } - p ) ^ { 2 } \, \, .
T W ( \textrm { E } _ { 1 } , \textrm { E } _ { 2 } ) = T W ( \textrm { E } _ { 2 } ) - T W ( \textrm { E } _ { 1 } ) = \frac { P R D ( \textrm { E } _ { 1 } , \textrm { E } _ { 2 } ) } { 2 } .
p _ { n } = \mathbb { P } \left( X _ { 1 } < Y _ { 1 } \right) \mathbb { P } \left( X _ { 1 } + X _ { 2 } < Y _ { 1 } + Y _ { 2 } | X _ { 1 } < Y _ { 1 } \right) \ldots \mathbb { P } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } Y _ { i } \bigg | X _ { 1 } < Y _ { 1 } \bigcap X _ { 1 } + X _ { 2 } < Y _ { 1 } + Y _ { 2 } \bigcap \ldots \right)
\begin{array} { r l r } { f _ { \infty } ^ { ( { \bf I I } ) } ( \lambda ) } & { = } & { \log \left( | a _ { 3 } ( \lambda ) | \right) - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sinh ( ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) x ) \exp ( - x ) } { x \cosh ( x / 2 ) } d x } \\ & { + } & { 4 \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \cosh \left( ( \lambda + 3 ) x \right) \sinh ( x / 2 ) \cosh ( x ) \exp ( - 3 x / 2 ) } { x \cosh ( 3 x ) } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U ( 1 ) = [ 1 ] , \quad ( \alpha , a , m ) \star ( \alpha ^ { \prime } , a ^ { \prime } , m ^ { \prime } ) = ( \alpha \star \alpha ^ { \prime } , a ^ { m ^ { \prime } } { a ^ { \prime } } ^ { m } , m m ^ { \prime } ) , } \\ & { F _ { s } ( \alpha , a , m ) = ( F _ { s } ( \alpha ) , a ^ { s } , m ) , \quad V _ { s } ( \alpha , a , m ) = ( V _ { s } ( \alpha ) , a , s m ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \perp } ^ { T } ( k _ { \perp } ) = \int \mathrm { d } k _ { \parallel } \: E _ { 2 \mathrm { D } } ^ { T } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \int _ { 0 } ^ { k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } } \mathrm { d } k _ { \parallel } \: k _ { \perp } ^ { - c } k _ { \parallel } ^ { d } \sim k _ { \perp } ^ { - c + 2 ( 1 + d ) / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { a } } & { { } = - \hbar \omega _ { a } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hat { \sigma } _ { g _ { a } g _ { a } } ^ { j } + \sum _ { j , l = 1 } ^ { N } J _ { j l } ^ { a } \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } , } \\ { \mathcal { L } _ { a } ( \rho ) } & { { } = \sum _ { j , l = 1 } ^ { N } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { a } } { 2 } \left( 2 \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { j } \rho \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { l } - \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } \rho - \rho \hat { \sigma } _ { e g _ { a } } ^ { j } \hat { \sigma } _ { g _ { a } e } ^ { l } \right) , } \end{array}
3 \sum _ { k = 1 } ^ { m } \; A _ { r k } \, \alpha _ { k i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \; \left( A _ { r i } \, A _ { r k } \, \beta _ { k j } + A _ { r j } \, A _ { r k } \, \beta _ { k i } \right) .
0 = \partial _ { t } u - V [ m ] + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u } - \gamma u + \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \left\{ \frac { \mu } { 2 } \vec { a } ^ { 2 } + \vec { a } \cdot \vec { \nabla } { u } \right\} .
\delta W = { \frac { m _ { V } ^ { 3 } } { 8 \pi } } \int d \sigma \delta { \bf X } \cdot [ { \bf X } ^ { \prime } \times { \bf X } ^ { \prime \prime \prime } ] \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ( - z ^ { 2 } ) \exp ( - m _ { V } | z | ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d \sigma \delta { \bf X } \cdot [ { \bf X } ^ { \prime } \times { \bf X } ^ { \prime \prime \prime } ] .
\Lambda _ { X } ( t ) = \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { s _ { \overline { { X } } } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } = \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { s _ { \overline { { X } } } ( t ) } \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } S I n _ { ( S , I ) } ^ { \overline { { X } } } ( t ) + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } ,
F _ { - } = T ( \phi ) F _ { + } = \left( \begin{array} { l l l l } { { e ^ { - 2 i q _ { 1 } \phi } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - 2 i q _ { 2 } \phi } } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { e ^ { - 2 i q _ { n } \phi } } } \end{array} \right) F _ { + }
| v \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 r ( r + x _ { 2 m + 1 } ) } } } \left( \begin{array} { c } { { r + x _ { 2 m + 1 } } } \\ { { x _ { 2 m } - i x _ { i } \Gamma _ { i } ^ { ( 2 m - 2 ) } } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \Big ( 2 - 2 \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } \Big ) e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\Delta S = - \int _ { \Delta V } d \vec { x } \frac { 1 } { 2 } \Big [ \rho C _ { v } \Big ( \frac { \delta T } { T } \Big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \kappa _ { T } T } \Big ( \frac { \delta \rho } { \rho } \Big ) ^ { 2 } + \rho \frac { \delta B _ { \| } } { B } - \rho ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \Big ( \frac { \delta B } { B } \Big ) ^ { 2 } \Big ]