harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \# S } & { = u _ { 1 } + u _ { 3 } + u _ { 5 } + \cdots } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { 1 } + u _ { 3 } + \cdots + u _ { s - 3 } + u _ { s - 1 } , } & { s \mathrm { ~ e v e n } , } \\ { u _ { 1 } + u _ { 3 } + \cdots + u _ { 2 s - 3 } + u _ { 2 s - 1 } = u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } + \cdots + u _ { s - 1 } + u _ { s } , } & { s \mathrm { ~ o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\tilde { u } _ { 0 } ( \tilde { r } , t ) = \sqrt { \alpha } \bar { u } _ { 0 } ( \tilde { r } / \alpha , t ) , \quad \tilde { u } _ { 1 } ( \tilde { r } , t ) = \alpha \bar { u } _ { 1 } ( \tilde { r } / \alpha , t ) , \quad \tilde { u } _ { 2 } ( \tilde { r } , t ) = \alpha ^ { 3 / 2 } \bar { u _ { 2 } } ( \tilde { r } / \alpha , t )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { d \to + \infty } d \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ( X , Z ) \right] } } & { = \operatorname* { l i m } _ { d \to + \infty } d \left( \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 1 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 2 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 3 } ( X , Z ) \right] } + \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \phi _ { d } ^ { 4 } ( X , Z ) \right] } \right) } \\ & { = - \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 \sqrt { 2 \uppi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle A , p } & { { } | \hat { O } | B , q \rangle = \delta _ { A B } \, o _ { p q } + s _ { p q } \, O _ { A B } + \langle \hat { O } \rangle _ { \mathrm { c o r e } } \, W _ { p q } ^ { B A } + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p - 2 } \frac 1 { 2 n } \int \left| \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } \right| ^ { 2 } \Delta \left( \frac 1 { \partial _ { z } v _ { n } } \right) d x d z \right| } \\ { \leq } & { C _ { p , \kappa } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p } ( \| v _ { n } \| _ { W ^ { 3 , \infty } } + \| v _ { n } \| _ { W ^ { 2 , \infty } } ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho , \kappa } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s } v _ { n } } { \sqrt { \partial _ { z } v _ { n } } } \right\| ^ { p } \leq C _ { p , \rho , \kappa } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \langle r _ { i } ^ { 2 } T \rangle } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - \langle r _ { i } \partial _ { i } T \rangle } & { { } = \frac { m } { k _ { B } } \left( \frac { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } + \omega _ { i } ^ { 2 } \right) \langle r _ { i } ^ { 2 } \rangle } \end{array}
\Sigma _ { x x } ^ { t } \! = \! \frac { E } { ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } \! \left( \varepsilon _ { x x } ^ { t } \! + \! \nu \varepsilon _ { y y } ^ { t } \right) , \, \, \Sigma _ { y y } ^ { t } \! = \! \frac { E } { ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } \! \left( \varepsilon _ { y y } ^ { t } \! + \! \nu \varepsilon _ { x x } ^ { t } \right) ,
N ^ { \prime \prime } = ( 2 \uparrow \uparrow 5 1 3 8 ) \cdot ( ( 2 \uparrow \uparrow 5 1 4 0 ) \uparrow \uparrow ( 2 \cdot 2 \uparrow \uparrow 5 1 3 7 ) ) \ll 2 \uparrow \uparrow ( 2 \uparrow \uparrow 5 1 3 8 )
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } } & { = \sum _ { m \in \mathscr { C } _ { n } } \alpha _ { i , \, m } \gamma _ { i , \, m , \, n } P ( c _ { i , \, m , \, n } ) } \\ { \alpha _ { 0 , \, n } } & { = 1 } \\ { \alpha _ { i + 1 , \, n } } & { = \left. \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } \middle / \left( \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i + 1 , \, n } ^ { \prime } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } f _ { v } } & { { } = - v _ { t } \in P ^ { \ast } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) , \quad } & { } & { { } f _ { \Sigma } = - \Sigma _ { t } \in H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W } & { \approx \frac { 1 } { r } \left( \frac { \tilde { c } - c } { 1 - c } \right) \frac { 1 } { 1 - R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } } \left[ 1 - \frac { \bar { i } _ { r e d } } { \bar { i } } \left( 1 - c _ { + } \right) \frac { \partial \ln { a _ { + } } } { \partial \ln { c _ { + } } } \right] . } \end{array}
{ \cal T } _ { \infty } = \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { 2 i \Theta ( 1 - h ) } { \omega _ { W P } ^ { ( h , 2 ) } } ^ { 3 h - 2 } \wedge \omega _ { L } ^ { ( h ) } } { ( 3 h - 1 ) ! } } \wedge d y ,
\begin{array} { r l } { \Delta ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) } & { = ( \Phi \otimes \Phi ) \circ \Delta ^ { \prime } \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - ( Q _ { \mathcal { E } } \otimes \mathrm { i d } + \mathrm { i d } \otimes Q _ { \mathcal { E } } ) \circ \Delta \circ \Phi } \\ & { = \left( ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) \otimes \Phi + \Phi \otimes ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) \right) \circ \Delta ^ { \prime } . } \end{array}
\widehat { p } _ { E _ { j } \rightarrow E _ { i } } ( \Sigma _ { E _ { j } } ) = \frac { n _ { E _ { i } } ^ { \mathrm { i n } } } { N _ { \mathrm { r e p } } } \widehat { p } _ { E _ { j } \rightarrow P } ( \Sigma _ { E _ { j } } ) .
\begin{array} { r l } { { i _ { G G } } _ { * } \eta \colon { i _ { G G } } _ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { \pi _ { 2 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( - k - 2 ) ) \rightarrow } & { { i _ { G G } } _ { * } { \Delta _ { G } } _ { * } ( \mathcal { O } _ { G } ( - 2 ) ) } \\ & { \cong { i _ { G G } } _ { * } { \Delta _ { G } } _ { * } { \Delta _ { G } } ^ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { \pi _ { 2 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( - k - 2 ) ) } \end{array}
\Pi _ { \delta } ( x ) = m _ { * } ^ { 2 } ( x ) - { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 4 } x ^ { \prime } d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \; { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } E _ { k } } } \; { \frac { e ^ { - i p ( x ^ { \prime } - x ) } } { p ^ { 2 } - m _ { * } ^ { 2 } + i p _ { 0 } 0 ^ { + } } } \; f _ { 0 } ( x ^ { \prime } , { \bf k } ) \; ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \tau ^ { \pm } } = \cos \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \pm \sin \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial n ^ { \pm } } = - \sin \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \pm \cos \alpha \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } ; } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol { \sigma } } \in S } | f _ { \boldsymbol { \sigma } } ^ { \mathrm { Q T C I } } - f _ { \boldsymbol { \sigma } } | / \operatorname* { m a x } _ { { \boldsymbol { \sigma } } \in S } | f _ { \boldsymbol { \sigma } } |
\Pi ( \vec { u } ) = \left( \begin{array} { c c } { { \delta _ { i j } \! + \! g u _ { i } u _ { j } \! - \! \gamma a _ { i } u _ { j } } } & { { - g _ { + } u _ { i } \! + \! \gamma _ { + } a _ { i } } } \\ { { - \gamma u _ { j } } } & { { 1 \! + \! \gamma _ { + } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } \mapsto q _ { 1 } + \frac { \Delta t } { 2 } \, p _ { 1 } , } \\ { q _ { 2 } } & { { } \mapsto q _ { 2 } + \frac { \Delta t } { 2 } \, p _ { 2 } , } \end{array}
\partial _ { N } \overline { { { a } } } _ { M } ^ { P } = \overline { { { \Gamma } } } _ { L M } ^ { S } \overline { { { a } } } _ { N } ^ { L } \overline { { { a } } } _ { S } ^ { P } - \overline { { { a } } } _ { M } ^ { S } \Gamma _ { N S } ^ { P } \, .
\left( F _ { \mathit { l } } \otimes I _ { m } \right) \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d \left( \mathcal { A } \right) } \right) \left( F _ { \mathit { l } } ^ { H } \otimes I _ { n } \right) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \bar { A } _ { 1 } } & & & \\ & { \bar { A } _ { 2 } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \bar { A } _ { \mathit { l } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \| v \| _ { ( \ell _ { \vec { p } } ^ { n } ) ^ { \prime } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| ( z _ { j } ) \| _ { \ell _ { \vec { p } } ^ { n } } = 1 } \, \sum _ { j = 1 } ^ { n } | z _ { j } | v _ { j } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \, \operatorname* { s u p } _ { \| ( z _ { j } ) \| _ { \ell _ { \vec { p } } ^ { n } } = 1 } \, \sum _ { j = 1 } ^ { n } \big ( | z _ { j } | ^ { p _ { j } } + \varphi _ { j } ^ { * } \big ( p _ { j } u _ { j } ^ { p _ { j } - 1 } \big ) \big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \big ( u _ { j } ^ { p _ { j } } + \varphi _ { j } ^ { * } \big ( p _ { j } u _ { j } ^ { p _ { j } - 1 } \big ) \big ) = \frac { 1 } { \gamma } \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { j } u _ { j } ^ { p _ { j } } = 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \frac { P _ { n + 2 } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } { P _ { n + 1 } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } \beta _ { n + 1 } ^ { ( k ) } - \frac { P _ { n + 1 } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } { P _ { n } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } \beta _ { n } ^ { ( k ) } + \alpha _ { n + 1 } ^ { ( k ) } , } \\ { \beta _ { n } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \frac { C _ { n } ^ { ( k ) } } { C _ { n + 1 } ^ { ( k ) } } \frac { P _ { n } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } { P _ { n + 1 } ^ { ( k ) } \left( z _ { 0 } \right) } \beta _ { n } ^ { ( k ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \infty } ( \psi , \eta , w ) } & { = C + 2 \pi \omega \cdot \eta } \\ & { \ + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \eta } ^ { 2 } ( K _ { \infty } ) ( \psi , 0 , 0 ) [ \eta , \eta ] + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { w } ^ { 2 } ( K _ { \infty } ) ( \psi , 0 , 0 ) [ w , w ] + \partial _ { \eta } \nabla _ { w } ( K _ { \infty } ) ( \psi , 0 , 0 ) [ \eta , w ] } \\ & { \ + O _ { 3 } ( \eta , w ) , } \end{array}
M _ { \pm } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( U _ { \phi \phi } + U _ { \chi \chi } \right) \pm \frac { 1 } { 2 } \, \sqrt { \left( U _ { \phi \phi } + U _ { \chi \chi } \right) ^ { 2 } - 4 U _ { \phi \chi } U _ { \chi \phi } } .
\begin{array} { r l } { \left| \varepsilon \int _ { r } ^ { s } K _ { s - \tau } ( x , 0 ) \mathbb { E } \big [ Z _ { \tau } ( 0 ) \nabla ^ { + } Z _ { \tau } ( 0 ) | \mathcal F _ { r } \big ] d \tau \right| } & { \leqslant C \varepsilon ^ { 1 + 4 \alpha } e ^ { - 2 b | x | } \int _ { r } ^ { s } \left( 1 \wedge ( s - \tau ) ^ { 1 + \nu } \right) d \tau } \\ & { = C \varepsilon ^ { 1 + 4 \alpha } e ^ { - 2 b | x | } ( s - r ) ^ { - \nu } . } \end{array}
F ( x ) \equiv \int _ { 0 } ^ { x } d x \, \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + { \frac { 1 } { i \alpha } } \ln ( x ^ { 2 } + 1 ) , \quad \alpha \equiv { \frac { 2 \beta } { \hbar v g } } = { \frac { 4 } { \hbar v g ^ { 2 } [ V _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) - V _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) ] } } > 0 .
\delta _ { \nu _ { s } = 0 } = \Omega _ { e } \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { 1 / 3 } ( \sqrt { 2 } \mid c _ { A } \mid \sin \theta _ { q _ { 0 } } ) ^ { 2 / 3 } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c } { \rho ( t , x ) } \\ { \rho ( t , x ) U ( t , x ) } \\ { 3 \rho ( t , x ) T ( t , x ) + \rho ( t , x ) | U ( t , x ) | ^ { 2 } } \end{array} \right) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } F ( t , x , v ) \left( \begin{array} { c c c } { 1 } \\ { v } \\ { | v | ^ { 2 } } \end{array} \right) d v \leq C _ { q } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \| F ( s ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { n + 1 } = N _ { n } \cos \Phi _ { n } \ e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } + N _ { 0 , g } \Big ( 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta } & { = B S _ { c } F ( t _ { 0 } ) - B D ( S _ { c } - 1 ) n _ { s } } \\ { \Omega } & { = \frac { \omega } { T _ { w } } \, , D = \frac { D ^ { * } } { T _ { w } n _ { c } } } \\ { F ( t _ { 0 } ) } & { = \frac { g L _ { i } \hat { w } } { c _ { p } R _ { v } T _ { 0 0 } ^ { 2 } } \cos ( \Omega t _ { 0 } + \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb E [ ( \widehat \theta _ { N } ^ { \mathfrak d } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } ] } & { = } & { \mathbb E [ ( \widehat \theta _ { N } - \theta _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf 1 _ { D _ { N } \geqslant \mathfrak d } ] + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \mathbb P ( D _ { N } < \mathfrak d ) } \\ & { \leqslant } & { \frac { 1 } { \mathfrak d ^ { 2 } } \mathbb E ( U _ { N } ^ { 2 } ) + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \mathbb P \left( | D _ { N } - \| b \| _ { f } ^ { 2 } | > \frac { \| b \| _ { f } ^ { 2 } } { 2 } \right) \leqslant \frac { 1 } { \mathfrak d ^ { 2 } } [ \mathbb E ( U _ { N } ^ { 2 } ) + \theta _ { 0 } ^ { 2 } \mathbb E [ ( D _ { N } - \| b \| _ { f } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { \diamond } } \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond , j } \Phi _ { j } ^ { \diamond } ( \mathbf { x } ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond , j } = \mathrm { d o f } _ { j } \left( \varphi _ { h _ { \diamond } } ^ { \diamond } \right) . } \end{array}
\Omega _ { \pm } = - \frac { \omega _ { c } } { 2 } \mp \sqrt { \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { q E } { r M } } \underset { | \frac { E } { r B } | \ll \omega _ { c } } { \approx } - \frac { \omega _ { c } ~ } { 2 } \mp \frac { \omega _ { c } } { 2 } \pm \frac { E } { r B } ,
\begin{array} { r l } & { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { 0 } ) h ( x ) = \int _ { x _ { 0 } \in \mathcal { X } } f ( Y _ { 0 } ; \theta | x _ { 0 } ) h ( x _ { 0 } ) Q ( d x _ { 0 } ) , ~ ~ ~ \textrm { a ~ c o n s t a n t ~ f u n c t i o n a l , } } \\ & { { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { t } ) h ( x ) = \int _ { s \in \mathcal { X } } p _ { \theta } ( s , x ) f ( Y _ { t } ; \theta | x , Y _ { t - 1 } ) h ( s ) Q ( d s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { ( a _ { 1 } + b _ { 1 } + c _ { 1 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( a _ { n } + b _ { n } + c _ { n } ) ^ { 2 } } } & { = \sqrt { ( a _ { 1 } + ( b _ { 1 } + c _ { 1 } ) ) ^ { 2 } + \cdots + ( a _ { n } + ( b _ { n } + c _ { n } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } } + \sqrt { ( b _ { 1 } + c _ { 1 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( b _ { n } + c _ { n } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { e q } } = } & { \operatorname* { m a x } \left\{ T _ { \mathrm { s t r a } } , \left[ T _ { \mathrm { s u r f } } + \Delta T _ { \mathrm { h o r i z } } \cos \left( \lambda - \lambda _ { \mathrm { s u b } } \right) \cos \phi \right. \right. } \\ & { \left. \left. - \Delta T _ { \mathrm { v e r t } } \log \left( \frac { p } { p _ { 0 } } \right) \cos ^ { 2 } \phi \right] \left( \frac { p } { p _ { 0 } } \right) ^ { \kappa } \right\} . } \end{array}
F _ { x _ { \perp } \bar { x } _ { \perp } } ^ { 2 1 } = - \frac { 1 } { 2 \pi | x _ { \perp } | } e ^ { 2 i x \cdot \omega } \partial _ { \bar { x } _ { \perp } } ( \bar { x } _ { \perp } I ) \sim e ^ { 2 i x \cdot \omega } e ^ { - 2 | \omega | | x _ { \perp } | } { \frac { ( \omega _ { 1 } + i \omega _ { 2 } ) \pi ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { 2 ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } | \omega | ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } | x _ { \perp } | ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } } }
T _ { \alpha , \beta } ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { \prime } } ) = \operatorname* { l i m } _ { \omega \to 0 } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } G _ { \alpha , \beta } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega )
{ \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { a l l \; s p i n s } | T | ^ { 2 } = { \frac { e ^ { 2 } } { 4 } } \sum _ { a l l \; s p i n s } | \bar { u } ( v ^ { \prime } ) H _ { \nu } ^ { \mu } u ^ { \nu } ( v ) \epsilon _ { \mu } ^ { ( \lambda ) * } | ^ { 2 } ,
\chi ^ { 2 } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 8 } \big [ \delta T _ { i } ^ { 2 } - ( \delta T _ { i } ^ { 2 } ) _ { t h } \big ] C _ { i j } ^ { - 1 } \big [ \delta T _ { j } ^ { 2 } - ( \delta T _ { j } ^ { 2 } ) _ { t h } \big ] \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { G } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { L } ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \sum _ { t = ( L + 1 ) / 2 } ^ { L } \mathbb { P } \{ T = t \} } & { } & { L \mathrm { ~ i s ~ o d d } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \mathbb { P } \left\{ T = L / 2 \right\} + \sum _ { t = ( L + 1 ) / 2 } ^ { L } \mathbb { P } \{ T = t \} } & { } & { L \mathrm { ~ i s ~ e v e n } . } \end{array} \right. } \end{array}
r _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ i ~ a ~ l ~ } } = \lvert \gamma ^ { \prime } [ n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ] + 2 . 0 \rvert - \lvert \gamma ^ { \prime } [ n ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ] + 2 . 0 \rvert
\frac { \mathrm { d } { \psi _ { j } } } { \mathrm { d } { h } } = 2 K _ { 3 } \psi _ { j } ( h ) \bigg ( \frac { K _ { j } } { K _ { 3 } } \mathrm { c o s e c h } ( 2 K _ { j } h ) - \mathrm { c o s e c h } ( 2 K _ { 3 } h ) \bigg ) > 0 \quad \mathrm { f o r } \, \, \, 0 < K _ { j } < K _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { A _ { \phi } } & { { } = \pm \lambda k a , } \\ { L _ { \phi } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \pi } { 2 } + 2 \Phi , \quad 0 < \Phi < \frac { \pi } { 2 } , } \\ { \phantom { + } \frac { \pi } { 2 } + 2 \Phi , \quad \frac { \pi } { 2 } < \Phi < \pi . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \left( \pi _ { X } \circ \gamma \right) \otimes y \right) \ast \left( x ^ { \prime } \otimes \left( \pi _ { Y } \circ \gamma \right) \right) } & { = \left( \left( \pi _ { X } \circ \gamma \right) \otimes \left( \pi _ { Y } \circ \gamma \right) \right) \circ p _ { \bot , n , n } } \\ & { = \left( \sigma \circ s \right) \otimes \left( \tau \circ t \right) \circ p _ { \bot , n , n } } \\ & { = \left( \sigma \otimes \tau \right) \circ p _ { \bot , k , l } \circ \left( s \ast t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = - \frac { \left( t ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } { 4 ( t - 1 ) ( t + 1 ) } , } \\ { c } & { = - \frac { t ^ { 2 } \left( t ^ { 2 } - 2 t + 2 \right) } { 4 ( t - 1 ) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ a n d } } \\ { c } & { = - \frac { t ^ { 2 } \left( t ^ { 2 } + 2 t + 2 \right) } { 4 ( t + 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
Y _ { l _ { 1 } m _ { 1 } } ( \theta , \phi ) Y _ { l _ { 2 } m _ { 2 } } ( \theta , \phi ) = \sum _ { L = 0 } ^ { \infty } \sum _ { M = - L } ^ { L } G _ { L \, l _ { 1 } \, l _ { 2 } } ^ { M m _ { 1 } m _ { 2 } } \, Y _ { L M } ( \theta , \phi )
\left( \begin{array} { l l } { \frac { \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } \theta } } { n _ { r } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } \theta } { \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ^ { 2 } \theta } } } \end{array} \right)
\frac { m ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 4 8 } - \frac { m ^ { 4 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \left( \ln ( \pi T / m ) - \gamma _ { E } + . 7 5 \right) \, , \qquad \frac { m ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 2 4 } - \frac { m ^ { 3 } T } { 1 2 \pi }
\frac { d E _ { 0 } ^ { \prime } } { E _ { 0 } ^ { \prime } } = \frac { \frac { 2 } { 1 + \beta } } { 2 ( 1 - \beta ) \gamma ^ { 2 } + X } \frac { d E _ { 0 } } { E _ { 0 } } = \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 + \beta } { 2 } X } \frac { d E _ { 0 } } { E _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { l } = \sin \varphi \cdot a + \cos \varphi \cdot l , \quad \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } } & { = \frac { ( \omega _ { \mathrm { c a v } } + \omega _ { \mathrm { L } } ) - \sqrt { 4 J ^ { 2 } + ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - \omega _ { \mathrm { L } } ) ^ { 2 } } } { 2 } , } \\ { \tilde { a } = \cos \varphi \cdot a - \sin \varphi \cdot l , \quad \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } } & { = \frac { ( \omega _ { \mathrm { c a v } } + \omega _ { \mathrm { L } } ) + \sqrt { 4 J ^ { 2 } + ( \omega _ { \mathrm { c a v } } - \omega _ { \mathrm { L } } ) ^ { 2 } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ Q , P ] } & { = Q [ \Theta ] X + ( - 1 ) ^ { | \Theta | } \Theta \cdot [ Q , X ] } \\ & { = Q [ \Theta ] X + ( - 1 ) ^ { | \Theta | } \Theta \odot \sum _ { k , \, | \xi ^ { k } | = 1 } \xi ^ { k } \left[ \sum _ { j } Q _ { k } ^ { j } ( x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } , X \right] + \mathrm { v e r t i c a l \; v e c t o r \; f i e l d s } } \\ & { = Q [ \Theta ] X + ( - 1 ) ^ { | \Theta | } \sum _ { k , \, | \xi ^ { k } | = 1 } \Theta \odot \xi ^ { k } \left[ \rho ( \xi _ { k } ) , X \right] + \mathrm { v e r t i c a l \; v e c t o r \; f i e l d s } } \end{array}
\tilde { \psi } ( \tau , \vec { \sigma } ) \equiv \psi ( z ( \tau , \vec { \sigma } ) ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \bar { \tilde { \psi } } } ( \tau , \vec { \sigma } ) \equiv \bar { \psi } ( z ( \tau , \vec { \sigma } ) ) = \psi ^ { \dagger } ( \tau , \vec { \sigma } ) \gamma ^ { o } .
I _ { 1 } \ = \ \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \sqrt { \rho } } } \ x \ B _ { 1 } \ d u \qquad \mathrm { w i t h } \qquad { \displaystyle z = { \frac { \rho ^ { 2 } x } { 1 \, - \, \rho x } } u } \qquad \mathrm { a n d }
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { = \sum _ { m _ { g } } \big [ \delta _ { 1 / 2 } | 1 / 2 , m _ { g } \rangle \langle 1 / 2 , m _ { g } | + \delta _ { 3 / 2 } | 3 / 2 , m _ { g } \rangle \langle 3 / 2 , m _ { g } | \big ] } \\ & { + \sum _ { m _ { e } } \big [ - \Delta _ { \mathrm { H F } } ^ { \prime } | 1 / 2 , m _ { e } \rangle \langle 1 / 2 , m _ { e } | + 0 \times | 3 / 2 , m _ { e } \rangle \langle 3 / 2 , m e | \big ] } \end{array}
\mathcal { S } _ { C S } ( A ) = \frac 1 2 t r \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \left( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } + \frac 2 3 g A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } \right) \; .
M _ { R R } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { | 2 n _ { 1 } + \sigma | } } } & { { \lambda ^ { | n _ { 1 } + n _ { 2 } + \sigma | } } } & { { \lambda ^ { | n _ { 1 } + n _ { 3 } + \sigma | } } } \\ { { . } } & { { \lambda ^ { | 2 n _ { 2 } + \sigma | } } } & { { \lambda ^ { | n _ { 2 } + n _ { 3 } + \sigma | } } } \\ { { . } } & { { . } } & { { \lambda ^ { | 2 n _ { 3 } + \sigma | } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { [ c ] k _ { \phi } } & { { } \in \{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \} ; } \\ { \mathcal { M } } & { { } \in \{ 0 . 0 1 , 0 . 1 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 1 . 0 \} . } \end{array}