harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma = \frac { 1 } { 2 \sqrt { - g } } \epsilon ^ { m n } \Pi _ { m } ^ { r } \Pi _ { n } ^ { s } \Gamma _ { r } \Gamma _ { s } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { - g } } \epsilon ^ { m n } \Gamma _ { m } \Gamma _ { n } ~ ,
\begin{array} { r } { \Big ( \partial _ { \rho } p _ { + } + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \varepsilon } p _ { + } \Big ) ( 2 p _ { + } - b ) } \\ { = \Big ( \partial _ { \rho } b + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \varepsilon } b \Big ) p _ { + } + \partial _ { \rho } c + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \varepsilon } c } \\ { = \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle \Big ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } + \frac { p _ { + } } { \rho } \Big ) p _ { + } } \\ { + ( \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } ) \Big ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } + \frac { p _ { + } } { \rho } \Big ) . } \end{array}
\partial _ { \hat { r } } \hat { P } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) \left[ \partial _ { \hat { z } } \hat { P } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) \right] ^ { - 1 } = \mathcal { O } \left( \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ,
\mathcal { S } _ { E T } = \frac { \left( \sum _ { i , j } \sqrt { C _ { i , j } ^ { ( E ) } C _ { i , j } ^ { ( T ) } } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i , j } C _ { i , j } ^ { ( E ) } \sum _ { i , j } C _ { i , j } ^ { ( T ) } } .
V ^ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { I - \frac 1 2 ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ^ { T } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i , j \in \mathcal { V } _ { r } , } \\ { I - \frac 1 2 \textbf { e } _ { i } ( \textbf { e } _ { i } - \textbf { e } _ { j } ) ^ { T } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \in \mathcal { V } _ { r } , j \in \mathcal { V } _ { s } , } \\ { I - \frac 1 2 \textbf { e } _ { j } ( \textbf { e } _ { j } - \textbf { e } _ { i } ) ^ { T } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i \in \mathcal { V } _ { s } , j \in \mathcal { V } _ { r } , } \\ { I , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i , j \in \mathcal { V } _ { s } , } \end{array} \right.
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { A \sin \left( { \frac { 2 \pi } { T } } x \right) } & { \quad { \mathrm { f o r ~ } } 0 \leq x < T / 2 } \\ { 0 } & { \quad { \mathrm { f o r ~ } } T / 2 \leq x < T } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \dot { P } _ { \sigma = \pm } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mathbf { k } s _ { \sigma } \dot { E } _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \beta , \gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mathbf { k } s _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) \sigma _ { \left( \sigma , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } \Re \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( \sigma , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) . } \end{array}
\biggl | \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( t ) \zeta _ { m , k } ( t ) - \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { t } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( s ) \zeta _ { m , k } ( s ) \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } ( s - t ) \aftergroup \egroup \right) \, d s \biggr | \leq C \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { C \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa \tau _ { m } } \aftergroup \egroup \right) \, .
\begin{array} { r } { ( I _ { t } ^ { [ p ^ { e } ] } : u _ { t } ^ { p ^ { e } } ) = ( J _ { 1 } ^ { [ p ^ { e } ] } , x _ { 2 } ^ { t p ^ { e } } , \cdots , x _ { d } ^ { t p ^ { e } } ) : u ( x _ { 2 } \cdots x _ { d } ) ^ { ( t - 1 ) p ^ { e } } \subseteq } \\ { ( J _ { 1 } ^ { [ p ^ { e } ] } , x _ { 2 } ^ { 4 p ^ { e } } , x _ { 3 } ^ { 4 p ^ { e } } , x _ { 4 } ^ { 4 p ^ { e } } , \ldots , x _ { d } ^ { 4 p ^ { e } } ) : x _ { 1 } ^ { 4 m - 1 } u ( x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } ( x _ { 4 } \cdots x _ { d } ) ^ { 3 } ) ^ { p ^ { e } } = ( I _ { 3 } ^ { [ p ^ { e } ] } : u _ { 3 } ^ { p ^ { e } } ) : x _ { 1 } ^ { 4 m - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } | } & { \leq \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot e ^ { \tilde { \alpha } \cdot \frac { 1 5 } { \lambda } \cdot \log n } - \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \leq \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot \Big ( 1 + \tilde { \alpha } \cdot \frac { 3 0 } { \lambda } \cdot \log n \Big ) - \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } } \\ & { = \tilde { \Gamma } _ { j } ^ { t } \cdot \tilde { \alpha } \cdot \frac { 3 0 } { \lambda } \cdot \log n \leq \frac { n } { b } \cdot n ^ { 1 / 8 } \cdot \log n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { F } ^ { p } ( \mathbf { x } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { { } = \frac { 1 } { 3 N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha } q _ { k } ( F _ { k , \alpha } ( \mathbf { x } ; \boldsymbol { \theta } ) - F _ { k , \alpha } ^ { * } ) ^ { 2 } . } \end{array}
P _ { \Pi q ^ { \prime } \leftarrow q } ( z ) = \frac { g _ { _ A } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \, \frac { ( m _ { q } + m _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \, z \int _ { - \Lambda ^ { 2 } } ^ { t _ { m } } d t \, \frac { ( m _ { q } - m _ { q ^ { \prime } } ) ^ { 2 } - t } { ( t - M _ { \Pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \ \ \ ,
\begin{array} { r l } { | | } & { = q _ { \alpha } \varepsilon | \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ ( \partial _ { t } \psi + 4 \pi \Delta _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { t } a ) g _ { \alpha } \} , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \big ( \| \partial _ { t } \psi \| _ { H _ { x } ^ { s } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } a \| _ { H _ { x } ^ { s - 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \| \Delta _ { x } ^ { - 1 } \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \big ) d \xi } \end{array}
{ \cal W } \, ( \phi , \widetilde \phi ) = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \lambda } \, \phi - \frac { \lambda } { 3 } \, \phi ^ { 3 } + \lambda \, \phi \, \widetilde \phi ^ { \, 2 } + \frac { p \, m } { 2 } \, \widetilde \phi ^ { \, 2 } + \frac { q \lambda } { 3 } \, \widetilde \phi ^ { \, 3 } \, ,
\left( \begin{array} { l l l l l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \alpha } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { n \omega _ { 1 , 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \alpha } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { n \omega _ { 1 , 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \alpha } & { \cdots } & { 0 } & { n \omega _ { 2 , 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \alpha } & { \cdots } & { 0 } & { n \omega _ { 2 , 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \alpha } & { n \omega _ { k , 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \alpha } & { n \omega _ { k , 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \cdots } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \alpha } & { \alpha } & { \cdots } & { \alpha } & { n s } \end{array} \right) .
\sigma _ { 3 } = \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } = \frac { F _ { c } } { \pi R ^ { 2 } } = \frac { 2 \mu } { \alpha } \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { \alpha - 1 } - \left( 1 - \frac { \delta } { u _ { o } } \right) ^ { - 1 - \alpha \beta \left( 1 - \frac { 2 \beta } { 1 + 2 \beta } \right) } \right\} ,
N = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { x _ { 1 2 } } & { x _ { 1 3 } } & { \ldots } & { \ldots } & { x _ { 1 \, m - 1 } } & { x _ { 1 \, m } } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 2 3 } } & { \ldots } & & { x _ { 2 \, m - 1 } } & { x _ { 2 \, m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & & { x _ { 2 \, m - 1 } } & { x _ { 3 \, m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { 0 } & { x _ { m - 1 \, m } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \ .
\frac { 1 } { \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 1 } ^ { \epsilon } ) + \mathbb { E } ( \widehat { T } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \; = \; \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \widehat { P } _ { N } ^ { \epsilon } } { N } \; \leq \; \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \frac { \mathbb { E } ( \theta _ { N } ^ { \epsilon } ) } { \pi } \; \leq \; \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \widetilde { P } _ { N } ^ { \epsilon } } { N } \; = \; \frac { 1 } { \mathbb { E } ( \widetilde { T } _ { 1 } ^ { \epsilon } ) + \mathbb { E } ( \widetilde { T } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \, .
{ \frac { d \Gamma _ { f l } } { d E } } = { \frac { m } { 2 \pi ^ { 3 } } } p \, | T _ { \beta } | ^ { 2 } ( Q _ { f } - E ) ^ { 2 } \, \eta ^ { 2 } \, { \frac { 4 \pi ( 2 l + 1 ) } { l ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } } } \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } d r _ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } R _ { f l } ^ { * } ( r _ { 2 } ) \phi _ { i } ( r _ { 2 } ) \right| ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { L \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \| x - b \| _ { p } = 1 } \frac { p ^ { 2 } \| x - b \| _ { 2 ( p - 1 ) } ^ { 2 ( p - 1 ) } } { ( 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \beta ( x ) p \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } } \right) } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \| x - b \| _ { p } = 1 } \frac { p ^ { 2 } \| x - b \| _ { 2 ( p - 1 ) } ^ { 2 ( p - 1 ) } } { ( 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } ) ^ { 2 } } ( 1 + p ( p - 1 ) \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \| x - b \| _ { \infty } ^ { p - 2 } ) } \\ { \leq } & { \frac { p ^ { 2 } } { ( 1 - \| b \| _ { p } ^ { p } ) ^ { 2 } } ( 1 + p ( p - 1 ) n ^ { 1 - \frac { 2 } { p } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 0 } \dot { S } ( x ) } & { { } \rightarrow } & { \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 1 } \dot { S } ( x ) } & { { } \rightarrow } & { - \infty . } \end{array}
\mathcal { I } [ \mathbf { p } ] _ { X _ { s } } = [ \mathbf { P } ] ( X _ { s } ) = \sum _ { j \in D _ { s } } ( \mathbf { p } ) _ { j } ^ { n } \delta _ { h } ( \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { X } _ { s } ) \Delta \mathbf { x }
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l } { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ { m b o x { \boldmath Q } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) , \ \mathrm { \boldmath ~ H ~ } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array} \right\} } \end{array}
s _ { \pm } = \rho \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi _ { \pm } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \rho = \sqrt [ \xi ] { \left\vert z _ { \pm } \right\vert } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \varphi _ { \pm } = \frac { \arg z _ { \pm } + 2 k \pi } { \xi } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \in \Lambda ( m , n ) } | z ^ { \alpha } | | [ \alpha ] | ^ { \frac { 1 } { r } } } & { \prec _ { C ^ { m } } 2 ^ { \frac { m } { r } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } } ^ { m } m \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , m } n ^ { k / r ^ { \prime } } \frac { 1 } { k ^ { \frac { k } { r ^ { \prime } } } } \log ( n ) ^ { ( m - k ) ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } ^ { m } } \log ( n ) ^ { m ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } \left( \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { k = 1 , \ldots , m } \left( \frac { n } { k \log ( n ) ^ { r ^ { \prime } ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } } \right) ^ { k } \right) ^ { 1 / r ^ { \prime } } } \\ & { \prec _ { C ^ { m } } \| z \| _ { \ell _ { r , s } ^ { m } } \log ( n ) ^ { m ( \frac { 1 } { r } - \frac { 1 } { s } ) } . } \end{array}
f \left( e ^ { i \theta _ { 1 } } e ^ { i \theta _ { 2 } } \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } & { - \sin ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } \\ { \sin ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } & { \cos ( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } ) } \end{array} \right] } = f \left( e ^ { i \theta _ { 1 } } \right) \times f \left( e ^ { i \theta _ { 2 } } \right) ,
\vec { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { \rho k ^ { W } } & { \rho k ^ { q } } & { \rho k ^ { s } } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k ^ { W } } & { - { \omega } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k ^ { q } } & { 0 } & { - { \omega } } & { + i W } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k ^ { s } } & { 0 } & { - i W } & { - { \omega } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r l r l r l } { e _ { u } ^ { I } } & { = u - \Pi _ { V } u , } & { e _ { u } ^ { h } } & { = u _ { h } - \Pi _ { V } u , } & { e _ { p } ^ { I } } & { = p - \Pi _ { Q } p , } & { e _ { p } ^ { h } } & { = p _ { h } - \Pi _ { Q } p , } \\ { \bar { e } _ { u } ^ { I } } & { = \gamma ( u ) - \bar { \Pi } _ { V } u , } & { \bar { e } _ { u } ^ { h } } & { = \bar { u } _ { h } - \bar { \Pi } _ { V } u , } & { \bar { e } _ { p ^ { j } } ^ { I } } & { = \gamma ( p ^ { j } ) - \bar { \Pi } _ { Q } ^ { j } p , } & { \bar { e } _ { p ^ { j } } ^ { h } } & { = \bar { p } _ { h } ^ { j } - \bar { \Pi } _ { Q } ^ { j } p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \gamma \left( t ^ { \prime } + { \frac { v x ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { x } & { { } = \gamma \left( x ^ { \prime } + v t ^ { \prime } \right) } \\ { y } & { { } = y ^ { \prime } } \\ { z } & { { } = z ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { J } ( \xi , Z ) = \frac { \partial \hat { z } _ { e } ( \xi , Z ) } { \partial Z } = : 1 \! + \! \varepsilon ( \xi , Z ) , \qquad \qquad \hat { \sigma } ( \xi , Z ) : = \frac { \partial \hat { s } ( \xi , Z ) } { \partial Z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \hat { A } ^ { i _ { 1 } } \hat { B } ^ { j _ { 1 } } \ldots \hat { A } ^ { i _ { m } } \hat { B } ^ { j _ { m } } \, \ensuremath { \mathrm { e } } ^ { t \hat { L } } u _ { 0 } \| \leq C } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textrm { p H } _ { \textrm { m } } } & { = \textrm { p H } ( R + w ) - \textrm { p H } ( R ) } \\ & { = \beta e _ { 0 } \, \log _ { 1 0 } { e } \left( B ( R , w ) \frac { \exp ( - \kappa _ { D } ( R + w ) ) } { ( R + w ) } \right. } \\ & { \left. \phantom { = } - A ( R , w ) \frac { \sinh ( \kappa _ { D } R ) } { R } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \dot { x } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( ( x + \rho ) y P _ { D \to C } + ( x + \rho ) z P _ { L \to C } - x y P _ { C \to D } } \\ { - x z P _ { C \to L } ) } \\ { \dot { y } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x y P _ { C \to D } + y z P _ { L \to D } - ( x + \rho ) y P _ { D \to C } } \\ { - y z P _ { D \to L } ) } \\ { \dot { z } = \frac { 2 } { 1 + \rho } ( x z P _ { C \to L } + y z P _ { D \to L } - ( x + \rho ) z P _ { L \to C } } \\ { - y z P _ { L \to D } ) } \end{array} .
\omega _ { 0 } \approx \frac { \lambda } { \pi n \tan ( \theta _ { e } ) } = \frac { \lambda } { \pi n } \frac { r _ { i } } { r _ { e } } \frac { 1 } { \tan ( \theta _ { i } ) } = \frac { \lambda } { \pi n } \frac { \sqrt { - l n ( 0 . 5 ) / 2 } } { \tan ( \theta _ { i } ) }
A _ { p a r e n t } ^ { \mathrm { I V } } = - \frac { T _ { p } } { 2 } \int d ^ { p + 1 } { \xi } \left[ \sqrt { - g } \left( - { \Psi } ^ { ( p + 3 ) / 2 } g _ { i j } h ^ { i j } + ( p + 3 ) { \Psi } ^ { ( p + 1 ) / 2 } \right) + { \Lambda } \left( { \Psi } - { \Phi } \right) \right] .
\prod _ { l = 1 } ^ { d } \hat { C } ( \vec { A } _ { l } ) = \sum _ { | B | = d } \sum _ { \sigma \in B } \textrm { s g n } ( \sigma ) A _ { \sigma _ { 1 } 1 } A _ { \sigma _ { 2 } 2 } \dots A _ { \sigma _ { d } d } \left( \hat { p } _ { B _ { 1 } } \wedge \hat { p } _ { B _ { 2 } } \wedge \ldots \wedge \hat { p } _ { B _ { d } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { - \nu _ { 0 } } ^ { \nu _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( w _ { r } ^ { 2 } + r ^ { - 2 } w _ { \vartheta } ^ { 2 } ) \, r \, d r \, d \vartheta } & { = \int _ { - \nu _ { 0 } } ^ { \nu _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { w _ { s } ^ { 2 } + w _ { \vartheta } ^ { 2 } } \, d s \, d \vartheta , } \\ { \int _ { - \nu _ { 0 } } ^ { \nu _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { - 2 } w ^ { 2 } \, r \, d r \, d \vartheta } & { = \int _ { - \nu _ { 0 } } ^ { \nu _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { w ^ { 2 } } \, d s \, d \vartheta . } \end{array}
\epsilon _ { \mu } ^ { i } ( p ) \rightarrow \epsilon _ { \mu } ^ { i } ( p ) + i p _ { \mu } \tilde { \beta } \varphi ^ { i } , \quad \epsilon _ { \mu } ^ { j * } ( p ) \rightarrow \epsilon _ { \mu } ^ { j * } ( p ) - i p _ { \mu } \tilde { \beta } \varphi ^ { j } .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf q \mathbf G } \hat { L } _ { \mathbf { q G } } ^ { \prime } \hat { L } _ { \mathbf { q G } } ^ { \dagger } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( p ) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } = \frac { 2 } { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \biggl ( \frac { 1 } { 2 } - 1 _ { \{ \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } \} } \biggr ) , } \end{array}
f = n ( \mathbf { r } , t ) \left( { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T ( \mathbf { r } , t ) } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left[ - { \frac { m \left( \mathbf { v } - \mathbf { v } _ { 0 } ( \mathbf { r } , t ) \right) ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T ( \mathbf { r } , t ) } } \right] ,
\widetilde { F } ( a ) = - \frac { d \widetilde { E } _ { 2 } } { d ( 2 a ) } = - \int _ { m } ^ { \infty } \frac { d t } { \pi } \frac { t ^ { 2 } } { \sqrt { t ^ { 2 } - m ^ { 2 } } ( e ^ { 4 a t } - 1 ) } \, .
R _ { k , p } \left( \xi \right) = \frac { N _ { k , q } \left( \xi \right) w _ { k } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { { c p s } } } } N _ { j , p } \left( \xi \right) w _ { j } } \qquad k = \{ 1 , . . . , n _ { \mathrm { c p s } } \} ,
\tilde { \partial } _ { \boldsymbol { w } } = \left[ \delta - \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) ^ { \top } \right] ^ { - 1 } \partial _ { \boldsymbol { w } } \approx \left[ \delta + \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) ^ { \top } \right] \partial _ { \boldsymbol { w } }
{ \begin{array} { r l } { g _ { i j , k } } & { = ( \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { j } ) _ { , k } = \mathbf { b } _ { i , k } \cdot \mathbf { b } _ { j } + \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { j , k } = \Gamma _ { i k j } + \Gamma _ { j k i } } \\ { g _ { i k , j } } & { = ( \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { k } ) _ { , j } = \mathbf { b } _ { i , j } \cdot \mathbf { b } _ { k } + \mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } _ { k , j } = \Gamma _ { i j k } + \Gamma _ { k j i } } \\ { g _ { j k , i } } & { = ( \mathbf { b } _ { j } \cdot \mathbf { b } _ { k } ) _ { , i } = \mathbf { b } _ { j , i } \cdot \mathbf { b } _ { k } + \mathbf { b } _ { j } \cdot \mathbf { b } _ { k , i } = \Gamma _ { j i k } + \Gamma _ { k i j } } \end{array} }
\mathrm { T r } \left[ \left( | x ^ { ' } \rangle \langle x | \otimes \hat { \textbf { \textit { 1 } } \, } _ { \! \mathrm { Y } } \right) \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } \right] = \sum _ { y } \langle x y | \hat { \rho } _ { \mathrm { X Y } } | x ^ { ' } y \rangle .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } ^ { H } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \omega _ { C } + \mathrm { i } \omega _ { \eta } + \sqrt { \omega _ { C } ^ { 2 } - 2 \mathrm { i } \omega _ { C } \omega _ { \eta } - \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { H } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( - \omega _ { C } + \mathrm { i } \omega _ { \eta } - \sqrt { \omega _ { C } ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { C } \omega _ { \eta } - \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda _ { 3 } ^ { H } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \omega _ { C } + \mathrm { i } \omega _ { \eta } - \sqrt { \omega _ { C } ^ { 2 } - 2 \mathrm { i } \omega _ { C } \omega _ { \eta } - \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { H } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( - \omega _ { C } + \mathrm { i } \omega _ { \eta } + \sqrt { \omega _ { C } ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { C } \omega _ { \eta } - \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 4 \omega _ { M } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda _ { 5 } ^ { H } } & { { } = 0 , } \end{array}
R _ { 0 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 0 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } = R _ { 0 1 0 1 } , \qquad R _ { 0 ^ { \prime } k 1 ^ { \prime } k } = \cosh \alpha \sinh \alpha ( R _ { 0 k 0 k } + R _ { 1 k 1 k } ) ,
C S ( \Gamma ) = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { i j k } { \biggl ( } \Gamma _ { i q } ^ { p } \partial _ { j } \Gamma _ { k p } ^ { q } + { \frac { 2 } { 3 } } \Gamma _ { i q } ^ { p } \Gamma _ { j r } ^ { q } \Gamma _ { k p } ^ { r } { \biggr ) } .
\boldsymbol { \hat { \omega } } = \frac { 1 } { | \mathbf { \sigma } | } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } ) \, , \qquad | \mathbf { \sigma } | ^ { 2 } = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \, .
E \sim { \frac { ( \epsilon ^ { \prime } - \epsilon ) ^ { 2 } } { 3 2 \pi a } } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \nu ^ { 2 } { \frac { \pi } { 2 } } = { \frac { ( \epsilon ^ { \prime } - \epsilon ) ^ { 2 } } { 6 4 a } } \left( - { \frac { 1 } { 4 } } \right) ,
T _ { 3 1 } ( \omega ) = \frac { \frac { 1 } { 4 Q _ { w } ^ { 2 } } } { \left( \frac { \omega - \omega _ { 0 } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 Q ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { X _ { \rho _ { s } } + X _ { \rho _ { c } } \rightleftharpoons _ { k _ { \rho } ^ { - } } ^ { k _ { \rho } ^ { + } } Y _ { \rho } \overset { v _ { \rho } } { \to } X _ { \rho _ { p } } + X _ { \rho _ { c } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { \mathcal { H } ( p ( \cdot ) ^ { \prime } , q ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) } \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } r ^ { \frac { n } { \alpha ^ { \prime } } } \left\| \| \chi _ { B ( x _ { 0 } / r , r _ { 0 } / r ) } \chi _ { B ( \cdot , 1 ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) ^ { \prime } } } \right\| _ { L ^ { q ^ { \prime } } } \lesssim r _ { 0 } ^ { n / \alpha ^ { \prime } } . } \end{array}
H _ { 1 } ^ { 0 \prime } = \frac { \sum _ { c o m p l e x } ( \chi _ { k } ^ { 0 } + ( \chi _ { k } ^ { 0 } ) ^ { * } ) } { \sqrt { 2 T + 1 } } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { T + 1 / 2 } \sqrt { 2 } \chi _ { k } ^ { 0 , r } } { \sqrt { 2 T + 1 } } .
p _ { \mathrm { b } } ^ { \mathrm { n } } \approx \frac { [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { n } } { \left( \frac { K _ { \mathrm { D } } } { \sqrt [ n ] { w } } \right) ^ { n } + [ D ] _ { \mathrm { f , A T P } } ^ { n } }