harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
+ < \phi \mid { ( \alpha / 4 m ^ { 2 } ) { \bf \sigma } _ { 1 } \cdot ( Z { \bf r } _ { 1 } \times { \bf p } _ { 1 } / r _ { 1 } ^ { 3 } - { \bf r } _ { 1 2 } \times { \bf p } _ { 1 } / r _ { 1 2 } ^ { 3 } ) } + { 1 \leftrightarrow 2 } \mid \phi >
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { E _ { D F T } + \sum _ { I } \frac { U _ { e f f } } { 2 } \sum _ { p q \sigma } \left( \tilde { n } _ { p p } ^ { I \sigma } - \sum _ { q } \tilde { n } _ { p q } ^ { I \sigma } \tilde { n } _ { q p } ^ { I \sigma } \right) } \end{array}
\begin{array} { l c l } { \| H _ { n + 1 } \| _ { A } } & { \leqslant } & { \| H _ { n } \| _ { A } ^ { 2 } \| \overline { { F _ { n } } } \| _ { A } \| \overline { { G _ { n } } } \| _ { A } \left\| \frac { 1 } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right\| _ { A } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \| H _ { n } \| _ { A } ^ { 2 } \| F _ { n } \| _ { A } \| G _ { n } \| _ { A } \left\| \frac { 1 } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right\| _ { A } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant } & { \left( \varepsilon \cdot 2 ^ { - n } \cdot \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \cdot K ^ { 2 } \cdot \widehat { T } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant } & { \varepsilon \cdot 2 ^ { - n } \cdot \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \cdot \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \cdot K ^ { 2 } \cdot \widehat { T } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant } & { \varepsilon \cdot 2 ^ { - n } \cdot \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { K } } \\ & { \leqslant } & { \varepsilon \cdot 2 ^ { - n - 1 } \cdot \frac { \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } } & { \lesssim \| v ^ { 3 } + \psi ^ { 3 } + \psi \phi ^ { 2 } + \psi v ^ { 2 } + \phi ^ { 2 } v + \phi v ^ { 2 } \| _ { L _ { t , x } ^ { \frac { 4 } { 3 } } } } \\ & { \lesssim \| v \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 3 } + \| \psi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 3 } + \| \psi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| \psi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } \| v \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 2 } \| v \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } + \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } \| v \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap ( B _ { 1 } \cup B _ { 2 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { - \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } + \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } } \\ { \qquad \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. . } \end{array}
j _ { 3 } ( \alpha , m , L ) \approx \left\{ \begin{array} { c c } { { \sqrt { 2 } \left( \frac { m } { \pi L } \right) ^ { 3 / 2 } e ^ { - m L } \sin 2 \pi \alpha } } & { { \quad m L \gg 1 } } \\ { { \frac { 4 \pi } { 3 L ^ { 3 } } \left( \alpha - 3 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } \right) } } & { { \quad m L \ll 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { T _ { 8 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 9 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \frac { 1 } { 2 } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 1 0 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 1 1 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \times } \\ & { } & { [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { ~ L ~ } - \mathrm { ~ C ~ } } } & { { } = } & { \hbar \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } l ^ { \dagger } l + \hbar \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } a ^ { \dagger } a + \hbar J ( a ^ { \dagger } l + a l ^ { \dagger } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \mathbf { x } _ { p } } { d t } = \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \alpha ^ { 3 } \mathcal { M } ( \mathbf { x } _ { p } ) + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 6 } \Delta \bar { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { p } ) } \end{array}
R _ { N } ( \beta ) = { \frac { \beta ^ { N + 1 } } { ( 1 - \beta ) ^ { \sigma } } } \oint _ { \Gamma } { \frac { d \beta ^ { \prime } } { 2 \pi i } } { \frac { \Psi ( \beta ^ { \prime } , \rho ) } { ( \beta ^ { \prime } ) ^ { N + 1 } ( \beta ^ { \prime } - \beta ) } } .
U _ { * } = { \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { * } } \\ { u _ { * } } \end{array} \right] } = \beta _ { 1 } \mathbf { e } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } \mathbf { e } ^ { ( 2 ) } = \beta _ { 1 } { \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { 0 } } \\ { - a } \end{array} \right] } + \alpha _ { 2 } { \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { 0 } } \\ { a } \end{array} \right] }
\sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 3 3 } = \lambda _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } - \lambda _ { 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ ; ~ ~ \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 3 3 } = \lambda _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } - \lambda _ { 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } }
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { a } ( \tau ) } & { { } = \underbrace { \tau ( 2 \hat { x } _ { a } ( 0 ) \hat { x } _ { b } ( 0 ) + \hat { x } _ { a } ^ { 2 } ( 0 ) ) } _ { \approx 3 \tau \hat { x } _ { a } ^ { 2 } ( \tau ) } + \underbrace { ( \hat { p } _ { a } ( 0 ) + \hat { p } _ { b } ( 0 ) ) } _ { \approx 0 } - \underbrace { \hat { p } _ { b } ( \tau ) } _ { \mapsto p _ { b } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ( w _ { 1 } , A _ { 1 } , w _ { 2 } ) + ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } - \underline { { G _ { 1 } \big ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } \big ) ^ { \circ } W G _ { 2 } } } } \\ & { + G _ { 1 } \big ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } \big ) ^ { \circ } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } + G _ { 1 } \mathcal { S } \big [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \big ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } \big ) ^ { \circ } \big ] G _ { 2 } } \\ & { + \sum _ { \sigma } \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ A _ { 1 } ] M _ { 2 } ) \left[ - ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) E _ { \sigma } + \big ( G _ { 1 } \Phi _ { \sigma } G _ { 2 } - M ( w _ { 1 } , \Phi _ { \sigma } , w _ { 2 } ) \big ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ^ { \pi ^ { e } } ( s , a ) } & { = \textstyle \mathbb { E } _ { P _ { t } } [ R _ { t } + Q _ { t + 1 } ^ { \pi ^ { e } } ( S _ { t + 1 } , \pi _ { t + 1 } ^ { e } ) | S _ { t } = s , A _ { t } = a ] , } \\ { V _ { t } ^ { \pi ^ { e } } ( s ) } & { = \mathbb { E } _ { A \sim \pi _ { t } ^ { e } ( s ) } [ Q _ { t } ^ { \pi ^ { e } } ( s , A ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \hbar } \varphi ( p ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \langle x , p \rangle } \varphi ( x ) \, d x } \\ { \mathcal { F } _ { \hbar } ^ { - 1 } \psi ( x ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { i \hbar ^ { - 1 } \langle x , p \rangle } \psi ( p ) \, d p , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { V } ^ { X } \left( X , Y , Z \right) } & { = H \underbrace { \left( U _ { 1 } + \frac { \partial \Bar { p } } { \partial X } \Bar { I } _ { p } + U _ { s } \Bar { I } _ { s } \right) } _ { U } = H U , } \\ { \Tilde { V } ^ { Y } \left( X , Y , Z \right) } & { = r _ { x y } H \underbrace { \left( V _ { 1 } + r _ { x y } \frac { \partial \Bar { p } } { \partial Y } \Bar { I } _ { p } + V _ { s } \Bar { I } _ { s } \right) } _ { V } = r _ { x y } H V , } \\ { \Tilde { V } ^ { Z } \left( X , Y , Z \right) } & { = W - \left( \frac { \partial H } { \partial X } U + r _ { x y } \frac { \partial H } { \partial Y } V \right) Z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A _ { h } \nabla ( \omega v ) , \nabla \chi ) } & { = ( \omega A _ { h } \nabla v , \nabla \chi ) + ( A _ { h } \nabla \omega , v \nabla \chi ) } \\ & { = ( A _ { h } \nabla v , \nabla ( \omega \chi ) ) - ( A _ { h } \nabla v , \chi \nabla \omega ) + ( A _ { h } \nabla \omega , v \nabla \chi ) } \\ & { = ( A _ { h } v \nabla \omega , \nabla \chi ) - ( A _ { h } \nabla v \cdot \nabla \omega , \chi ) \quad \forall \chi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \varOmega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( e _ { \eta } ^ { 1 } \wedge \ast \big ( ( \ast e _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) ) \wedge ( \ast d \eta ) \big ) + e _ { \eta } ^ { 2 } \wedge f _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) } \\ & { \wedge \ast d ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \wedge \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 2 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) } \\ & { + \int _ { \partial \Omega } \big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } \big ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + \int _ { \Sigma } ( - e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge e _ { \phi } ^ { 2 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } ) = 0 . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ( \hat { \mathbf { x } } ) = h ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { d } ^ { \dag } \hat { d } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } \epsilon _ { k } \hat { c } _ { k } ^ { \dag } \hat { c } _ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { M } V _ { k } ( \hat { \mathbf { x } } ) ( \hat { d } ^ { \dag } \hat { c } _ { k } + \hat { c } _ { k } ^ { \dag } \hat { d } )
\begin{array} { r } { \rho ( \mathbf x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho , } & { \mathbf x \in R \setminus \overline { { \Omega } } , } \\ { \rho _ { \mathrm { i } } ^ { \ell } , } & { \mathbf x \in \Omega ^ { \ell } , \; \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array} \right. } \\ { \mu ( \mathbf x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu , } & { \mathbf x \in R \setminus \overline { { \Omega } } , } \\ { \mu _ { \mathrm { i } } ^ { \ell } , } & { \mathbf x \in \Omega ^ { \ell } , \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array} \right. } \end{array}
[ \phi _ { m ^ { 2 } } ^ { { \tiny \begin{array} { l } { { o u t } } \\ { { i n } } \end{array} } } ( x ) , \phi _ { m ^ { 2 } } ^ { { \tiny \begin{array} { l } { { o u t } } \\ { { i n } } \end{array} } } ( y ) ] = i \Delta _ { m ^ { 2 } } ( x - y ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \supset } & { { } } & { - y _ { \mu } \bar { l } _ { L } \mu _ { R } H - \lambda _ { E } \bar { l } _ { L } E _ { R } H - \lambda _ { L } \bar { L } _ { L } \mu _ { R } H } \end{array}
C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ^ { ( n ) } = \frac { g ^ { 2 } } { h \cdot m ^ { 2 } } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } } ^ { ( k ) } C _ { a _ { k + 1 } \ldots a _ { n } } ^ { ( n - k ) } + \sum _ { j } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } \bar { j } } ^ { ( k + 1 ) } \frac { 1 } { m _ { j } ^ { 2 } } C _ { j a _ { k + 1 } \ldots a _ { n } } ^ { ( n + 1 - k ) }
d g ( X _ { t } , t ) = \frac { \partial g } { \partial X _ { t } } d X _ { t } + \frac { \partial g } { \partial t } d t + \frac { 1 } { 2 } \biggl ( { \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial X _ { t } ^ { 2 } } ( d X _ { t } ) ^ { 2 } + \frac { 2 \partial ^ { 2 } g } { \partial X _ { t } \partial t } d X _ { t } d t + \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial t ^ { 2 } } d t ^ { 2 } } \biggr ) .
\begin{array} { r l } { N ( \omega _ { a } ) } & { { } \approx \frac { X _ { a } ^ { 4 } \epsilon ^ { 2 } } { \cos ^ { 4 } ( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } ) } \, , } \\ { S ( \omega _ { a } ) } & { { } \approx \frac { \beta c X _ { a } \sqrt { 2 \mu _ { 0 } \rho _ { \mathrm { D M } } } \sqrt { \epsilon } } { \sqrt { 2 } \cos ^ { 2 } ( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } ) } \left( 1 + \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } G _ { i j } ^ { \gtrless } ( t , t ) - \sum _ { k } \left[ h _ { i k } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \, G _ { k j } ^ { \gtrless } ( t , t ) - G _ { i k } ^ { \gtrless } ( t , t ) \, h _ { k j } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \right] = I _ { i j } ( t ) + \left[ I _ { j i } ( t ) \right] ^ { * } , } \end{array}
T ^ { \rho \sigma } = { \cal B } n ^ { \rho } n ^ { \sigma } + { \cal A } \big ( n ^ { \rho } s ^ { \sigma } + s ^ { \rho } n ^ { \sigma } \big ) + { \cal C } s ^ { \rho } s ^ { \rho } + \Psi g ^ { \rho \sigma } \ ,
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = - \mu - { \frac { 2 \sigma } { \pi } } \ln { \Big ( } \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { \Big ) } - { \frac { 2 \sigma } { \pi ^ { 2 } \alpha } } i { \Big [ } { \mathrm { L i } } _ { 2 } { \Big ( } - i \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { \Big ) } - \operatorname { L i } _ { 2 } { \Big ( } i \tan { \frac { \pi \alpha } { 2 } } { \Big ) } { \Big ] }
m _ { \mathrm { \ p i ^ { \pm } } } ^ { 2 } = \frac { 2 c } { f _ { \pi } ^ { 2 } } m _ { s } ( m _ { u } + m _ { d } ) \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m _ { \mathrm { K ^ { \pm } } } ^ { 2 } = \frac { 2 c } { f _ { \pi } ^ { 2 } } m _ { d } ( m _ { u } + m _ { s } ) \ .
\begin{array} { r l r } { X _ { p } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt { 2 } \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 4 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ \left( b ^ { + } \mathcal { A } _ { p } ^ { + } + b ^ { - * } \mathcal { A } _ { - p } ^ { - * } \right) e ^ { i ( p \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \tilde { c } } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) = \sum _ { j } \partial _ { 1 } k ( \mathbf { X } ^ { [ i _ { 0 } ] } , \mathbf { Y } ^ { [ j ] } ; p ) , \; \; \mathbf { \tilde { c } } _ { 3 } = \sum _ { i , j } \partial _ { 3 } k ( \mathbf { X } ^ { [ i ] } , \mathbf { X } ^ { [ j ] } ; p ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l l l l } { { \alpha _ { N } ^ { \pi } = 4 , } } & { { \alpha _ { N } ^ { K } = 1 , } } & { { \alpha _ { N } ^ { \eta } = 0 } } & { { \alpha _ { \Sigma } ^ { \pi } = 2 / 3 , } } & { { \alpha _ { \Sigma } ^ { K } = 1 0 / 3 , } } & { { \alpha _ { \Sigma } ^ { \eta } = 1 , } } \\ { { \alpha _ { \Lambda } ^ { \pi } = 3 , } } & { { \alpha _ { \Lambda } ^ { K } = 2 , } } & { { \alpha _ { \Lambda } ^ { \eta } = 0 } } & { { \alpha _ { \Xi } ^ { \pi } = 1 , } } & { { \alpha _ { \Xi } ^ { K } = 3 , } } & { { \alpha _ { \Xi } ^ { \eta } = 1 . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { A \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) t _ { \mathrm { t r } } ^ { 1 - \alpha } } = \frac { \alpha } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) \frac { L ^ { 2 } } { 2 A } \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } t _ { \mathrm { t r } } ^ { 1 + \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \hat { \omega } } ( \hat { \omega } ^ { 2 } ) = \mathcal { N } \sqrt { \hat { \omega } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { \omega } _ { 2 } ^ { 2 } \hat { \omega } _ { 3 } ^ { 2 } } \rho _ { \hat { \omega } } ( \hat { \omega } ^ { 2 } ) } \end{array}
\mathbf { e } ^ { ( i ) } = \tilde { \mathbf { F } } ^ { ( i ) } \cdot \tilde { \mathbf { P } } ^ { \dagger } \cdot \tilde { \mathbf { S } } - \tilde { \mathbf { S } } \cdot \tilde { \mathbf { P } } ^ { \dagger } \cdot \tilde { \mathbf { F } } ^ { ( i ) } \mathrm { ~ , ~ }
\mu _ { \overline { { \mathbf { S } } } } \left( f \right) : = \frac { 1 } { \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \left( \mathbf { \bar { t } } \right) } \int \mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } \left( d x , d \omega \right) \int _ { 0 } ^ { \mathbf { \bar { t } } \left( x , \omega \right) } d t f \circ \check { \pi } \left( x , \omega , t \right)
\begin{array} { r l } { N _ { G } ( B _ { w } ) ^ { F } / ( C _ { G } ( B _ { w } ) ^ { \circ } ) ^ { F } } & { \cong C _ { N _ { G } ( B ) / C _ { G } ( B ) ^ { \circ } } ( w ) , \ \mathrm { a n d } } \\ { C _ { G } ( B _ { w } ) ^ { F } / ( C _ { G } ( B _ { w } ) ^ { \circ } ) ^ { F } } & { \cong C _ { C _ { G } ( B ) / C _ { G } ( B ) ^ { \circ } } ( w ) . } \end{array}
E _ { z x , 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = { \sqrt { 3 } } \left[ l n ( n ^ { 2 } - ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) / 2 ) V _ { d d \sigma } + l n ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) V _ { d d \pi } - [ l n ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) / 2 ] V _ { d d \delta } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { R } } & { = \frac { 1 } { N _ { R } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R } } | \mathbf { u } _ { t } + \mathcal { N } [ \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) ] | ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { B C } } & { = \frac { 1 } { N _ { B C } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B C } } | \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) - g ( \mathbf { x } ^ { i } , t ^ { i } ) | ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { I C } } & { = \frac { 1 } { N _ { I C } } \sum _ { i = 1 } ^ { I _ { B C } } | \mathbf { u } ( \mathbf { x } ^ { i } , 0 ) - f ( \mathbf { x } ^ { i } ) | ^ { 2 } . } \end{array}
u _ { i } = \left( \boldsymbol { l } _ { i } ^ { T } { \boldsymbol { B } _ { i } } ^ { - 1 } + \boldsymbol { \widetilde { l } } _ { i } ^ { T } { \boldsymbol { { \widetilde { B } } } _ { i } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { { B } } _ { \tilde { b } _ { i } } } { \boldsymbol { { B } } _ { i } } ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { d } _ { i } + \tilde { f } _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { J _ { k } = a _ { k , 1 } a _ { k , 6 } t _ { k } ^ { 2 } \kappa _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { M } ) + a _ { k , 2 } a _ { k , 5 } t _ { k } ^ { 2 } \kappa _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) + } \\ & { \frac { a _ { k , 1 } a _ { k , 5 } t _ { k } ^ { 2 } \gamma _ { k } } { \Delta _ { k } } + a _ { k , 2 } a _ { k , 6 } t _ { k } ^ { 2 } [ \kappa _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } ) - z \beta _ { k } ( { \mathbf { P } } _ { k } , { \mathbf { I } } _ { M } ) ] , } \end{array}
P _ { o } ( x , y ) = P _ { d } ( x , y ) \propto \mathrm { e x p } \left( - \frac { \left( x - \mu _ { x } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { \left( y - \mu _ { y } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right)
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq I \eta ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \bigg \| \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \\ { \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq I \gamma ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \bigg \| \omega _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \\ { \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq I \tau ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } \bigg \| q _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { \ell } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } K ( x - x ^ { \prime } ) \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } k x ^ { \prime } } = \frac { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } k x } } { \sqrt { k ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } } & { { } = } & { \psi _ { 1 } ^ { i , j } - \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 1 } ^ { i , j - k } ] + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha , \mu } ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c , l o c } } [ \rho ] } & { { } : = [ 1 - ( \alpha + \beta ) ] E _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { D F T } } + \beta E _ { \mathrm { x } , \mathrm { s r } } ^ { \omega , \mathrm { D F T } } + E _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { D F T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d u _ { n } } { d t } + \bar { \nu } k _ { n } ^ { 2 } u _ { n } } & { = } & { - i \lambda [ a _ { 1 } k _ { n } u _ { n + 1 } ^ { * } u _ { n + 2 } + a _ { 2 } k _ { n - 1 } u _ { n - 1 } ^ { * } u _ { n + 1 } } \\ & { } & { ~ ~ ~ - a _ { 3 } k _ { n - 2 } u _ { n - 1 } u _ { n - 2 } ] + f _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \partial _ { t } F _ { t } \mathrm { d } \mathsf { P } _ { t \delta } ^ { \star } \mu _ { t } ^ { \varepsilon } \mathrm { d } t } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \mathsf { P } _ { \delta t } \partial _ { t } F _ { t } \mathrm { d } \mu _ { t } ^ { \varepsilon } \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int ( \partial _ { t } \mathsf { P } _ { t \delta } F _ { t } - \delta \mathsf { L } \mathsf { P } _ { t \delta } F _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { t } ^ { \varepsilon } \mathrm { d } t . } \end{array}
\frac { 1 } { \phi _ { 1 } } \frac { d ^ { 2 } \phi _ { 1 } } { d x ^ { 2 } } = \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } \left( \varepsilon + F x \right) = \frac { 1 } { \phi _ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } \phi _ { 2 } } { d x ^ { 2 } }