harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { j _ { N } ( E , E ^ { - } ) = \mathrm { R e } \left\{ X _ { x x } ^ { L R } ( E , E ^ { - } ) + X _ { y y } ^ { L R } ( E , E ^ { - } ) + X _ { z z } ^ { L R } ( E , E ^ { - } ) \right\} . } \end{array}
\hat { f } _ { i j k } ^ { l , N _ { x } + 1 } = \frac { \sum _ { j k } v _ { x , i } ^ { + } \hat { f } _ { i j k } ^ { l , N _ { x } } } { \sum _ { i j k } \left| v _ { x , i } ^ { - } \right| \left( \Delta v \right) ^ { 3 } \mathcal { M } \left( v _ { y , r w } , v _ { z , r w } , T _ { r w } \right) } .
\begin{array} { r l } { A _ { n + 1 } ( s ) } & { = ( s ^ { 2 m } + s [ m ] ^ { 2 } ) A _ { n } ( s ) + s [ m ] B _ { n } ( s ) } \\ { B _ { n + 1 } ( s ) } & { = [ m ] A _ { n } ( s ) + B _ { n } ( s ) } \\ { C _ { n + 1 } ( s ) } & { = ( s ^ { 2 m } + s [ m ] ^ { 2 } ) C _ { n } ( s ) + s [ m ] D _ { n } ( s ) } \\ { D _ { n + 1 } ( s ) } & { = [ m ] C _ { n } ( s ) + D _ { n } ( s ) } \end{array}
R _ { 2 } \ = \ \frac { 2 8 \big ( 5 0 r ^ { 4 } + z ^ { 4 } \big ) } { 9 \big ( 1 0 0 r ^ { 4 } - 7 1 r ^ { 2 } z ^ { 2 } - 2 z ^ { 4 } \big ) ^ { 2 } } ~ .
\mathbf { \Sigma } _ { k , ( 2 ) , \mathrm { c } } = \mathbf { A } _ { k } ^ { H } ( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbf { T } _ { k l , ( 1 ) } + \sum _ { l \in \mathcal { P } _ { k } } ^ { \mathbf { T } _ { k l , ( 2 ) } } } ) \mathbf { A } _ { k } - \mathbf { D } _ { k , ( 2 ) , \mathrm { c } } \mathbf { D } _ { k , ( 2 ) , \mathrm { c } } ^ { H } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \mathbf { S } _ { k , \mathrm { c } } \mathbf { A } _ { k }
\lambda _ { \mathrm { { E P 3 } } } = - i \frac { \gamma + \kappa } { 3 } \quad \textrm { a n d } \quad \Omega _ { \mathrm { { E P 3 } } } = \frac { 2 ( \gamma + \kappa ) } { 3 } \sqrt { \frac { \gamma + \kappa } { 3 \kappa } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { i n t } ^ { - 1 R } ( t , t ^ { \prime } ) = D ^ { - 1 R } ( t , t ^ { \prime } ) - \delta ( t - t ^ { \prime } ) \Sigma ^ { R } ( t ^ { \prime } ) } \\ & { } & { = \delta ( t - t ^ { \prime } ) \left[ - \partial _ { t } ^ { 2 } - ( \omega _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) + \Sigma ^ { R } ( t ) ) \right] } \end{array}
\pi _ { \alpha } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { \cdots } & { 2 n - 1 } & { 2 n } \\ { i _ { 1 } } & { j _ { 1 } } & { i _ { 2 } } & { j _ { 2 } } & { \cdots } & { i _ { n } } & { j _ { n } } \end{array} \right] }
\begin{array} { c } { { \displaystyle \displaystyle \frac { E \pm P } { 2 } = \displaystyle \frac { { \cal M } } { 2 } \left( \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } e ^ { \pm h _ { k } } - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \left( e ^ { \pm \hat { y } _ { k } + i \eta } + e ^ { \pm \hat { y } _ { k } - i \eta } \right) + \right. } } \\ { { \left. - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } e ^ { \pm c _ { k } } - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } e _ { I I } ^ { \pm w _ { k } } \mp \displaystyle \int \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } e ^ { x } { \cal Q } _ { N } ( x ) \right) + E _ { N \, b u l k } ^ { \pm } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \hat { s } ^ { s } ) } & { : = \operatorname* { m i n } _ { \hat { s } ^ { u } \in \hat { S } _ { 2 } ^ { h } } \mathrm { d i s t } ( P _ { \Sigma } ^ { - k } ( { \tilde { W } } ^ { ( 1 ) } ( \hat { s } ^ { s } , \delta ^ { s } ) ) , P _ { \Sigma } ^ { + l } ( { \tilde { W } } ^ { ( 2 ) } ( \hat { s } ^ { u } , \delta ^ { u } ) ) ) , } \\ { \hat { s } ^ { u } ( \hat { s } ^ { s } ) } & { : = \arg \operatorname* { m i n } _ { \hat { s } ^ { u } \in \hat { S } _ { 2 } ^ { h } } \mathrm { d i s t } ( P _ { \Sigma } ^ { - k } ( { \tilde { W } } ^ { ( 1 ) } ( \hat { s } ^ { s } , \delta ^ { s } ) ) , P _ { \Sigma } ^ { + l } ( { \tilde { W } } ^ { ( 2 ) } ( \hat { s } ^ { u } , \delta ^ { u } ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { J } _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { n _ { x } , n _ { y } } p _ { n _ { x } , n _ { y } } [ \tilde { J } _ { 0 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) - J _ { 0 } ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \boldsymbol { x } } { d t } = \underbracket [ 0 . 4 p t ] [ 2 p t ] { \boldsymbol { \mathcal { M } } \boldsymbol { F } + k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T \boldsymbol { \nabla } _ { x } \cdot \boldsymbol { \mathcal { M } } + \sqrt { 2 k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \boldsymbol { \mathcal { M } } ^ { 1 / 2 } \mathcal { Z } \vphantom { \frac { D ^ { \mathrm { d r y } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \boldsymbol { F } } } _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ t ~ } } + \underbracket [ 0 . 4 p t ] [ 2 p t ] { \frac { D ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ y ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \boldsymbol { F } + \nabla _ { x } \cdot D ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ y ~ } } + \sqrt { \frac { 2 D ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ y ~ } } } { \Delta t } } \boldsymbol { W } } _ { \mathrm { ~ d ~ r ~ y ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \beta } ^ { \gamma \alpha } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } n _ { \alpha } n _ { \beta } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \gamma } n _ { \beta } } & { { } = T ^ { 2 } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \gamma \alpha } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t , n } } & { = - \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } ( v _ { n } - v ) ( \nabla ^ { h } v _ { n } \cdot f _ { n } + c _ { n } + N h \Delta ^ { h } v _ { n } - \nabla ^ { h } v \cdot f - c - N h \Delta ^ { h } v ) \varphi \, d x } \\ & { \geq N h \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | D ^ { h } ( v _ { n } - v ) | ^ { 2 } \varphi \, d x - N h \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | v _ { n } - v | | D ^ { - h } ( v _ { n } - v ) | | D ^ { - h } \varphi | \, d x } \\ & { \qquad \qquad - \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } | v _ { n } - v | \left( | \nabla ^ { h } ( v _ { n } - v ) | | f _ { n } | + | f _ { n } - f | | \nabla ^ { h } v | + | c _ { n } - c | \right) \varphi \, d x . } \end{array}
\mathbf { A } _ { \mathrm { p e n t . } } = { \frac { 1 } { 2 } } | x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 5 } + x _ { 5 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 4 } y _ { 3 } - x _ { 5 } y _ { 4 } - x _ { 1 } y _ { 5 } |
\Leftrightarrow \begin{array} { c c l } { { \partial _ { + } \partial _ { - } \left( \rho - \Phi \right) } } & { { = } } & { { 0 } } \\ { { \rho - \Phi } } & { { = } } & { { f _ { + } \left( x ^ { + } \right) + f _ { - } \left( x ^ { - } \right) \; . } } \end{array}
D ( Q ^ { 2 } ) = 1 + { \frac { \gamma _ { 0 } } { \beta _ { 0 } } } \log \left[ { \frac { A ( Q ^ { 2 } ) } { a ( \mu ^ { 2 } ) } } \right] _ { \vert { N _ { f } = \infty } } + { \cal O } ( 1 / N _ { f } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \bar { x } ^ { k } } & { \triangleq \frac { 1 } { n } ( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } ) { \mathbf { x } } ^ { k } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { k } , } \\ { \bar { e } _ { x } ^ { k } } & { \triangleq \frac { 1 } { n } ( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } ) \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } = \bar { x } ^ { k } - x ^ { \star } , } \\ { \overline { { { \nabla } f } } ( { \mathbf { x } } ^ { k } ) } & { \triangleq \frac { 1 } { n } ( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } ) { \nabla } { \mathbf { f } } ( { \mathbf { x } } ^ { k } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \nabla } f _ { i } ( x _ { i } ^ { k } ) , } \\ { \bar { v } ^ { k } } & { \triangleq \frac { 1 } { n } ( \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } \otimes I _ { d } ) { \mathbf { v } } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Re \left[ { \bf E } ^ { * } \times { \bf B } \right] = \frac { \omega } { 2 i } | A _ { 0 } | ^ { 2 } \left( \Psi ^ { * } \overrightarrow { \nabla } \Psi - \Psi \overrightarrow { \nabla } \Psi ^ { * } \right) . } \end{array}
G ( T _ { e } ) = \frac { \pi \hbar { k _ { B } } \lambda \langle \omega ^ { 2 } \rangle } { N ( E _ { F } ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } N ^ { 2 } ( \varepsilon ) \left( - \frac { \partial { f _ { e } } } { \partial \varepsilon } \right) d \varepsilon .
\begin{array} { r } { B _ { 1 } ^ { \ell } c _ { h } \left( \varphi ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \varphi ^ { \ell } \right) + B _ { 1 } ^ { \ell + 1 } c _ { h } \left( \varphi ^ { \ell + 1 } - \varphi ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \rho ^ { \ell } \varphi ^ { \ell } \frac { c _ { h } } { \rho ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } , - } } \frac { 1 } { 2 } \left( B _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - B _ { 1 } ^ { \ell } \right) } \\ { + \rho ^ { \ell + 1 } \varphi ^ { \ell + 1 } \frac { c _ { h } } { \rho ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } , + } } \frac { 1 } { 2 } \left( B _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - B _ { 1 } ^ { \ell } \right) = c _ { h } \left( \left( \varphi B _ { 1 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( \varphi B _ { 1 } \right) ^ { \ell } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \boldsymbol { r } _ { i } ( t ) } & { { } = \left( \boldsymbol { r } _ { i } ( t ) - \boldsymbol { r } _ { i } ( t - \Delta t ) \right) \odot \frac { \vec { r } _ { i } ( t ) - \vec { x } _ { c } } { | \vec { r } _ { i } ( t ) - \vec { x } _ { c } | } , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } ^ { \mathrm { s l e p t o n } } = - \tilde { m } _ { \tilde { \nu } } \tilde { \nu } _ { l } ^ { * } \tilde { \nu } _ { l } - m _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { l } _ { 1 } ^ { + } \tilde { l } _ { 1 } ^ { - } - m _ { 2 } ^ { 2 } \tilde { l } _ { 2 } ^ { + } \tilde { l } _ { 2 } ^ { - } .
( W _ { 1 } ) _ { i i } = \frac { \sqrt { \kappa _ { i } } } { \ell _ { i } } , \ \ \ \ ( W _ { 2 } ) _ { i i } = \sqrt { \kappa _ { i } } , \ \ \ \ \ ( W _ { 3 } ) _ { i i } = \frac { \sqrt { \kappa _ { i } } } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { \kappa _ { i } ^ { \prime } } { \kappa _ { i } ^ { 3 / 2 } } ,
f _ { x } ( x ^ { * } , u ^ { * } ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { \left. { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } & { \cdots } & { \left. { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { n } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \left. { \frac { \partial f _ { n } } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } & { \ldots } & { \left. { \frac { \partial f _ { n } } { \partial x _ { n } } } \right| _ { x = x ^ { * } , u = u ^ { * } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { \mathrm { l o c } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } & { = \frac { \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \hat { \mathcal { O } } \right| \Psi _ { \mathcal { W } } \right\rangle } { \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \Psi _ { \mathcal { W } } \right. \right\rangle } } \\ & { = \sum _ { \left\{ \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\} } \left\langle \boldsymbol { \sigma } _ { s } \left| \hat { \mathcal { O } } \right| \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } \right\rangle \frac { \Psi _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } ; \mathcal { W } \right) } { \Psi _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } _ { s } ; \mathcal { W } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \pm } ( r ) = } & { \: ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m \pm i \sqrt { 2 m ^ { 2 } - \Lambda _ { + , m \ell } - \frac { 1 } { 4 } } } \left[ 1 + O _ { \infty } ( ( r - 1 ) ) \right] , } \\ { w _ { \pm , m \ell } ^ { - 1 } \frac { d w _ { \pm , m \ell } } { d r } = } & { \: - \frac { 1 } { 2 } ( r - 1 ) ^ { - 1 } + i \left( - m \pm \sqrt { 2 m ^ { 2 } - \Lambda _ { + , m \ell } - \frac { 1 } { 4 } } \right) ( r - 1 ) ^ { - 1 } + O _ { \infty } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \beta \rangle } & { { } = \sum _ { \beta = 0 } ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 W ^ { * } } } \beta \binom { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } } { W ^ { * } \beta } p ^ { W ^ { * } \beta } ( 1 - p ) ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } - W ^ { * } \beta } = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } W _ { 2 } ^ { 2 } ( q _ { T } , q _ { * } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } ( p _ { T } , p _ { * } ) } \\ { \leq } & { \frac { 4 } { \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { p _ { T } ^ { * } } , \alpha _ { q _ { T } ^ { * } } \} } \left\{ \mu ^ { T } \left[ \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) + \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) \right] \right. } \\ & { + \left. \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ 8 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } \right] \right\} + 3 T ^ { - 2 J } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ - \hat { m } \left( \left( \frac { \sigma _ { 1 } } { \rho _ { 1 } \varepsilon } + \frac { \sigma _ { 2 } } { \rho _ { 2 } \varepsilon } \right) F ^ { \prime } ( \phi ) - \left( \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { \rho _ { 1 } } + \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { \rho _ { 2 } } \right) \Delta \phi \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = H _ { 1 1 } - H _ { 2 2 } - H _ { 3 3 } + H _ { 4 4 } } \\ { J _ { \perp } } & { { } = 2 H _ { 2 3 } } \\ { W } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( H _ { 1 1 } - H _ { 4 4 } ) } \\ { V } & { { } = \frac { 1 } { 4 } ( H _ { 1 1 } + H _ { 2 2 } + H _ { 3 3 } + H _ { 4 4 } ) } \end{array}
\overline { { \mathbf { B } } } _ { \zeta } = \frac { 1 } { J } \left[ \begin{array} { c c c c c } { W } & { \rho \zeta _ { x } } & { \rho \zeta _ { y } } & { \rho \zeta _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { W } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \zeta _ { x } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { W } & { 0 } & { \frac { \zeta _ { y } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { W } & { \frac { \zeta _ { z } } { \rho } } \\ { 0 } & { \gamma p \zeta _ { x } } & { \gamma p \zeta _ { y } } & { \gamma p \zeta _ { z } } & { W } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \frac { d u ^ { \mu } } { d \tau } = - \Gamma _ { \rho \sigma } ^ { \mu } u ^ { \rho } u ^ { \sigma } = - \Gamma _ { 0 0 } ^ { \mu } + \mathcal { O } ( h ^ { 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } } { n } } } \\ & { = { \frac { { \frac { m } { n } } \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \right) } { m } } } \\ & { = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } + { \frac { m - n } { n } } \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } \right) } { m } } } \\ & { = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } + \left( m - n \right) \alpha } { m } } } \\ & { = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + \cdots + x _ { n } + x _ { n + 1 } + \cdots + x _ { m } } { m } } } \\ & { > { \sqrt [ { m } ] { x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n } x _ { n + 1 } \cdots x _ { m } } } } \\ & { = { \sqrt [ { m } ] { x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n } \alpha ^ { m - n } } } \, , } \end{array}
\Gamma ^ { \mathrm { P I } } \; = \; \sum _ { k , n } \Gamma _ { k n } ^ { \mathrm { P I } } \, \simeq \, - 2 a _ { 1 } a _ { 2 } \, \frac { G ^ { 2 } N _ { c } } { 4 \pi M _ { B } ^ { 2 } } \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \mathrm { d } x \: \varphi _ { B } ( x ) \right| ^ { 2 } \, = \, - 2 a _ { 1 } a _ { 2 } \, \frac { G ^ { 2 } } { 4 } \: f _ { B } ^ { 2 } \; .
R = { \displaystyle \sum _ { \mu , \nu } } e _ { i } ^ { \mu } e _ { j } ^ { \nu } R _ { \mu \nu } ^ { \quad i j } = { \displaystyle \sum _ { \mu , \nu } } \epsilon ^ { i j k } e _ { i } ^ { \mu } e _ { j } ^ { \nu } R _ { \mu \nu } ^ { k }
\begin{array} { r } { \langle A _ { m } ( t ) \delta f _ { m } ( t ) \rangle = \left( \frac { 8 r ^ { 2 } D \tau _ { c } } { 2 1 B _ { 0 } } + i m \frac { \mu D \tau _ { c } } { \gamma _ { d } q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 1 } } & { { } = \Omega _ { c } a _ { 3 1 } ^ { ( 1 ) } / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - \Omega _ { c } ^ { \ast } a _ { 3 1 } ^ { \ast ( 1 ) } / d _ { 4 3 } + a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { \ast ( 1 ) } , } \\ { s _ { 1 2 } } & { { } = \Omega _ { c } a _ { 3 2 } ^ { ( 1 ) } / d _ { 4 3 } ^ { \ast } - \Omega _ { c } ^ { \ast } a _ { 3 2 } ^ { \ast ( 1 ) } / d _ { 4 3 } + a _ { 4 2 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } , } \\ { s _ { 2 1 } } & { { } = i \Gamma _ { 3 2 } ( a _ { 4 1 } ^ { \ast ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } ) , } \\ { s _ { 2 2 } } & { { } = i \Gamma _ { 3 1 } ( a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } - a _ { 4 2 } ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
{ \cal F } \equiv { \cal F } \left( \overline { { \psi } } _ { k } , \overline { { \psi } } _ { k } ^ { \prime } , \overline { { \psi } } _ { k } ^ { \prime \prime } , \ldots \right) , \quad k = 1 , 2 , \qquad ^ { \prime } \equiv \partial _ { \bar { z } } ,
{ \left[ \begin{array} { l l } { 4 } & { 1 } \\ { 6 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } = 6 \cdot { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }
{ \cal L } _ { \mathrm { \scriptsize ~ Q E D } } = \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \Big ( \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } \Big ) \psi + { \cal L } _ { \mathrm { \footnotesize ~ g f } } + { \cal L } _ { \mathrm { \footnotesize ~ g h } } .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } p _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } p _ { 2 } p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ { \times \; \delta ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \times \; \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } ) \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } ) . \phantom { x x x x x x x x x x x } } \end{array}
\mathbf { P } ( z ) = \left( \begin{array} { c c c c } { e ^ { i k _ { 0 } n _ { 1 } z } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i k _ { 0 } n _ { 1 } z } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { i k _ { 0 } n _ { 2 } z } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { - i k _ { 0 } n _ { 2 } z } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } m _ { t } } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int \rho _ { t } ( \theta ) \theta \mathrm { d } \theta = \int \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { t } ) \theta \mathrm { d } \theta , } \\ & { \frac { \mathrm { d } C _ { t } } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int \rho _ { t } ( \theta ) ( \theta - m _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ^ { T } \mathrm { d } \theta = \int \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ( \theta - m _ { t } ) ^ { T } \mathrm { d } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { u } _ { + } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { B s i n ( k _ { 0 } y ) - C c o s ( k _ { 0 } z ) } \\ { 0 } \\ { A s i n ( k _ { 0 } x ) } \end{array} \right] } \end{array}
\left\langle H \right\rangle _ { \Omega } = \left\langle \Omega \right| \int { d x _ { 1 } } \left( { - \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { 1 } \left( { 1 - \frac { { e ^ { 2 } } } { \pi } \frac { 1 } { { \partial _ { 1 } ^ { 2 } } } } \right) ^ { - 1 } \Pi ^ { 1 } } \right) \left| \Omega \right\rangle .
\begin{array} { r l r } { K _ { \, t \, t } ^ { \phantom { \, t } \phantom { \, t } } } & { { } = } & { \frac { a ^ { 4 } + a ^ { 2 } r ^ { 2 } + 2 \, m r ^ { 3 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, t \, { \phi } } ^ { \phantom { \, t } \phantom { \, { \phi } } } } & { { } = } & { - \frac { a ^ { 3 } + a r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, r \, r } ^ { \phantom { \, r } \phantom { \, r } } } & { { } = } & { - a ^ { 2 } + 2 \, m r } \\ { K _ { \, { \theta } \, { \theta } } ^ { \phantom { \, { \theta } } \phantom { \, { \theta } } } } & { { } = } & { \frac { { \left( 4 \, \pi ^ { 2 } - 4 \, \pi \mu + \mu ^ { 2 } \right) } r ^ { 4 } } { 4 \, \pi ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, { \phi } \, t } ^ { \phantom { \, { \phi } } \phantom { \, t } } } & { { } = } & { - \frac { a ^ { 3 } + a r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \\ { K _ { \, { \phi } \, { \phi } } ^ { \phantom { \, { \phi } } \phantom { \, { \phi } } } } & { { } = } & { \frac { a ^ { 2 } r ^ { 2 } - 2 \, m r ^ { 3 } + r ^ { 4 } + a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { l } { { L G _ { 2 ( 1 , Z ) } = Z _ { R } ^ { 1 / 3 } Z _ { L } ^ { 2 / 3 } L G _ { 2 } Z _ { L } ^ { - 2 / 3 } Z _ { R } ^ { - 1 / 3 } , } } \\ { { G _ { 2 ( 1 , Z ) } = Z _ { R } ^ { 1 / 3 } Z _ { L } ^ { 2 / 3 } G _ { 2 } Z _ { L } ^ { - 2 / 3 } Z _ { R } ^ { - 1 / 3 } . } } \end{array}
g _ { m , n } = { \frac { 8 } { 3 } } m \left[ { \frac { { \frac { 3 } { 2 } } m - n } { ( m - n ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } } } + { \frac { n + { \frac { 1 } { 2 } } m } { ( m - n ) ^ { 2 } - { \frac { 9 } { 4 } } } } \right]
\begin{array} { r } { - \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) } { ( p _ { + } + p _ { * k } ) ^ { 2 } } \Big \rangle \Big ( \partial _ { \rho } p _ { + } + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \varepsilon } p _ { + } \Big ) } \\ { + \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) } { p _ { + } + p _ { * k } } \Big \rangle + \frac { p _ { + } } { \rho ^ { 2 } } \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } \rho } { p _ { + } + p _ { * k } } \Big \rangle = 0 . } \end{array}
e ^ { 2 } { \binom { N - 1 } { \lceil \ln N \rceil } } \Big ( \frac { N } { n } \Big ) ^ { \lceil \ln N \rceil } \le e ^ { 2 } \Big ( \frac { e ( N - 1 ) } { \lceil \ln N \rceil } \Big ) ^ { \lceil \ln N \rceil } \Big ( \frac { N } { n } \Big ) ^ { \lceil \ln N \rceil } = e ^ { 2 } \Big ( \frac { 2 e } { \lceil \ln N \rceil } \Big ) ^ { \lceil \ln N \rceil } ,
G _ { a b , a ^ { \prime } b ^ { \prime } } G _ { c d , c ^ { \prime } d ^ { \prime } } G ^ { a b , c d } F _ { i } ^ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } , c ^ { \prime } d ^ { \prime } , e ^ { \prime } } = \frac { ( N - 2 ) ( N + 1 ) } { 2 } \delta _ { i } ^ { e ^ { \prime } } ,
D _ { 1 } [ \phi ] ( \tau _ { A } ) \leq ( 1 + \tau _ { A } ) ^ { - 2 } \int _ { \tau _ { A } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } [ ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } + r ^ { 2 } \chi _ { \tau _ { A } \leq \tau \leq \tau _ { A } + 1 } + r ^ { 1 + \epsilon } ] ( 1 + \tau ) ^ { 2 } | K G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { n , p , s } t ^ { - ( \theta - \eta ) } \left( \lVert { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { 1 - \eta } \lVert { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \right) \mathrm { . ~ } } \end{array}