harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } }
\mathcal I _ { P , \mathrm { W } } ^ { n + \frac 1 2 } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { y } + 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { z } + 1 } \frac { \hbar } { m } [ \hat { n } _ { \mathrm { W } } \cdot \hat { x } ] \Delta S _ { x } ^ { \prime \prime } | _ { 1 , j , k } \left( \frac { \psi _ { R } | _ { 1 , j , k } ^ { n + 1 } + \psi _ { R } | _ { 1 , j , k } ^ { n } } { 2 } [ \partial _ { x } \psi _ { I } ] _ { 1 , j , k } ^ { n + \frac 1 2 } - \frac { \psi _ { I } | _ { 1 , j , k } ^ { n + \frac 1 2 } + \psi _ { I } | _ { 1 , j , k } ^ { n - \frac 1 2 } } { 2 } [ \partial _ { x } \psi _ { R } ] _ { 1 , j , k } ^ { n } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { F = } & { - T \sum _ { \vec { k } } \ln \left( 1 + e ^ { - \beta \xi ( \vec { k } ) } \right) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { \vec { k } } \left( \xi ( \vec { k } ) - E ( \vec { k } ) \right) } \\ & { + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \sum _ { \vec { k } } { \textstyle { \frac { | \Delta ( \vec { k } ) | ^ { 2 } } { 2 \xi ( \vec { k } ) } } } \operatorname { t a n h } \left( { \textstyle { \frac { \xi ( \vec { k } ) } { 2 T } } } \right) \, . } \end{array}
\frac { \partial a _ { \mu } } { \partial { \tau } } = - ( 1 + i \zeta _ { \mu } ) a _ { \mu } + i \sum _ { \mu ^ { \prime } , \mu ^ { \prime \prime } } a _ { \mu ^ { \prime } } a _ { \mu ^ { \prime \prime } } a _ { \mu ^ { \prime } + \mu ^ { \prime \prime } - \mu } ^ { * } + 2 i \sum _ { \mu ^ { \prime } } | a _ { \mu ^ { \prime } } | ^ { 2 } a _ { \mu } + f _ { \mu } ,
\omega _ { \varphi } ^ { 2 } \approx { \frac { G M } { r _ { \mathrm { o u t e r } } ^ { 3 } } } = \left( { \frac { r _ { s } c ^ { 2 } } { 2 r _ { \mathrm { o u t e r } } ^ { 3 } } } \right) = \left( { \frac { r _ { s } c ^ { 2 } } { 2 } } \right) \left( { \frac { r _ { s } ^ { 3 } } { 8 a ^ { 6 } } } \right) = { \frac { c ^ { 2 } r _ { s } ^ { 4 } } { 1 6 a ^ { 6 } } }
\tilde { p } = \tilde { p } _ { 0 } = \left\{ p _ { 0 } ^ { \mathrm { l v } } , p _ { 0 } ^ { \mathrm { r v } } , p _ { 0 } ^ { \mathrm { a r t , P } } , p _ { 0 } ^ { \mathrm { a r t , S } } , p _ { 0 } ^ { \mathrm { v e n , S } } \right\} \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad t = 0 ,
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { h f s } } ^ { { \langle \mathrm { L O } \rangle } \, \mathrm { p o l . } } ( 1 S , \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 0 . 6 9 ( 2 . 0 3 ) \, \mathrm { p e V } , } \\ { E _ { \mathrm { h f s } } ^ { { \langle \mathrm { L O } \rangle } \, \mathrm { p o l . } } ( 1 S , \mu \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 6 . 8 ( 1 1 . 4 ) \, \upmu \mathrm { e V } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 p + \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { t a n h } r _ { * } ) } & { { } = C _ { n } \cosh ^ { 2 n + \frac { 1 } { 2 } } r _ { * } \times } \end{array}
\frac { R ^ { \prime \prime } } { R } = \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial \tilde { U } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { U } } R \right) = \frac { G ^ { 2 } } { R W ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial u } \left( \frac { G ^ { 2 } } { W ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial u } R \right) .
\mathcal { H } = \sum _ { i j } h _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } w _ { i j k l } ( t ) c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } ^ { \dagger } c _ { l } c _ { k } .
P _ { \textrm { h i g h } } ^ { ( \textrm { M F } ) } \sim \sqrt { \frac { \pi k _ { \textrm { B } } T } { 2 m v _ { 0 } ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \left( 1 + Q ( \vec { x } _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { a _ { R } ^ { \prime } < n \le a _ { 0 } ^ { \prime } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| } & { \le \sum _ { r = 1 } ^ { R } \left| \sum _ { a _ { r } ^ { \prime } < n \le a _ { r - 1 } ^ { \prime } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| } \\ & { \le D _ { 1 } t ^ { 1 / 1 4 } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \left( h _ { 2 } ^ { - r } \theta _ { 2 } t ^ { 7 / 1 7 } \right) ^ { 3 / 1 4 } + D _ { 2 } t ^ { - 1 / 1 4 } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \left( h _ { 2 } ^ { - r } \theta _ { 2 } t ^ { 7 / 1 7 } \right) ^ { 1 5 / 2 8 } } \\ & { = D _ { 1 } \theta _ { 2 } ^ { 3 / 1 4 } t ^ { 1 9 / 1 1 9 } \sum _ { r = 1 } ^ { R } h _ { 2 } ^ { - 3 r / 1 4 } + D _ { 2 } \theta _ { 2 } ^ { 1 5 / 2 8 } t ^ { 7 1 / 4 7 6 } \sum _ { r = 1 } ^ { R } h _ { 2 } ^ { - 1 5 r / 2 8 } } \\ & { = D _ { 1 } \theta _ { 2 } ^ { 3 / 1 4 } \frac { 1 - h _ { 2 } ^ { - 3 R / 1 4 } } { h _ { 2 } ^ { 3 / 1 4 } - 1 } t ^ { 1 9 / 1 1 9 } + D _ { 2 } \theta _ { 2 } ^ { 1 5 / 2 8 } \frac { 1 - h _ { 2 } ^ { - 1 5 R / 2 8 } } { h _ { 2 } ^ { 1 5 / 2 8 } - 1 } t ^ { 7 1 / 4 7 6 } . } \end{array}
f ( \Psi ) = \left( 1 + \frac { a _ { + } ^ { 3 } z _ { - } c _ { 0 } ( \exp \left( - z _ { + } \Psi - \frac { u _ { L J } ^ { + w } } { k _ { B } T } \right) - 1 ) } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } z _ { + } c _ { 0 } } \right) ^ { \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } - 1 }
= \frac { 1 } { 4 } [ L _ { 0 } , L _ { 1 } ] + \frac { 1 } { 4 } ( L _ { 0 } ^ { 2 } g - L _ { 0 } g L _ { 0 } ) + \, \frac { 1 } { 4 } ( L _ { 1 } g L _ { 1 } - L _ { 1 } ^ { 2 } g ) + \frac { 1 } { 4 } ( L _ { 1 } g L _ { 0 } g - L _ { 0 } g L _ { 1 } g ) =
\begin{array} { r l } { D ^ { 2 } I _ { i } ( s , z ) = } & { \frac { R e \Omega } { d ^ { 6 } } \bigg ( d ^ { 6 } \lambda _ { i } ( 1 + s R e P r ) + 2 d ^ { 4 } \big ( ( 1 + s R e P r ) ( z - z _ { d } ) + \lambda _ { i } \big ) } \\ & { - 4 d ^ { 2 } ( z - z _ { d } ) ( \lambda _ { i } ( z - z _ { d } ) - 3 ) - 8 ( z - z _ { d } ) ^ { 3 } \bigg ) \exp \bigg ( - \lambda _ { i } z - \frac { ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { \mu \nu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } } & { { } = } & { T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + J _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } } , } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta , \vec { L } } } & { { } = } & { h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , x , \vec { L } } - \mathrm { ~ i ~ } h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , y , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta , \vec { L } } , } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } } & { { } = } & { T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } + J _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } - h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } + X _ { \mu \nu } ^ { \beta \beta , \vec { L } } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial D } \bigl ( \mathbf { v } \cdot ( x - y ) \bigr ) ^ { 2 } \phi _ { 0 } ( y ) \: \mathrm { d } \sigma = - ( \mathbf { v } \cdot x ) \int _ { \partial D } ( \mathbf { v } \cdot y ) \phi _ { 0 } ( y ) \: \mathrm { d } \sigma + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial D } ( \mathbf { v } \cdot y ) ^ { 2 } \phi _ { 0 } ( y ) \: \mathrm { d } \sigma .
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { S } } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { r } + \frac { r _ { \alpha } r _ { \beta } } { r ^ { 3 } } , } \\ { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { D } } ( \mathbf { r } ) } & { = ( 1 - 2 \delta _ { \beta z } ) \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } \left( \frac { r _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { S D } } ( \mathbf { r } ) } & { = ( 1 - 2 \delta _ { \beta z } ) \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } G _ { \alpha z } ^ { \mathrm { S } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi ( x ) - \Phi ( y ) | } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle \nabla \Phi \left( x + t ( y - x ) \right) , y - x \right\rangle \mathrm { d } t \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \nabla \Phi \left( x + t ( y - x ) \right) \right| \mathrm { d } t \left| y - x \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } \left( 1 \right) \left( 1 + \left| ( 1 - t ) x + t y \right| \right) \right) \mathrm { d } t \left| y - x \right| } \\ & { \le \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \left( 1 + \frac { | x | + | y | } { 2 } \right) \right) \left| y - x \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial t } ( x , t ) } & { { } = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } } { \partial x } ( x , t ) - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ( x , t ) + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ( x , t ) - \gamma ( x ) P _ { _ R } ( x , t ) , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial t } ( x , t ) } & { { } = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } } { \partial x } ( x , t ) - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ( x , t ) + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ( x , t ) - \gamma ( x ) P _ { _ L } ( x , t ) , } \\ { \frac { \partial P _ { _ B } } { \partial t } ( x , t ) } & { { } = } & { \gamma ( x ) [ P _ { _ R } ( x , t ) + P _ { _ L } ( x , t ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } \theta ( Y _ { \tau _ { j - 1 } } ^ { \varepsilon } ) \mathbf { E } \Big [ X _ { \tau _ { j } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } \Big ] \Big | = \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } m ( X _ { \tau _ { j - 1 } } ^ { \varepsilon } , Y _ { \tau _ { j - 1 } } ^ { \varepsilon } ) \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) \Big | \leq C k \varepsilon ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { t \le k } \mathbb { E } \left[ \| \nabla F ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } \right] \le \frac { 4 } { \beta k } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { 0 } ) - F ^ { * } \right] + 1 6 \beta ( \alpha L ) ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { | T _ { k } | } + ( \alpha L ) ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \right) \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } = \frac { A _ { \perp } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \mathrm { ~ f ~ } \leftarrow \mathrm { ~ i ~ } ) } { A _ { | | } ^ { \mathrm { ~ R ~ } } ( \mathrm { ~ f ~ } \leftarrow \mathrm { ~ i ~ } ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \zeta , n + 1 } } \displaystyle \int \left[ \frac { \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n + 1 } - \boldsymbol { u } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \prime , n } } { \Delta t } + \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } - \boldsymbol { \mathcal { D } } _ { j , \boldsymbol { k } } - \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { j , \boldsymbol { k } } ^ { \bot } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } V _ { x } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) ( V - V _ { I } ) = - \frac { r ( 2 \, A _ { 2 } k ^ { 2 } - A _ { 1 } n ^ { 2 } ) ( 4 \, A _ { 3 } + A _ { 1 } ( 4 \kappa + r ^ { 2 } ) + 4 A _ { 2 } l o g { r } ) } { 4 ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . \, \, } \end{array}
\lambda = \frac 1 2 \; { \frac { ( 1 + \eta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } - ( 1 + \eta _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) ^ { 1 / 4 } } { ( 1 + \eta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } + ( 1 + \eta _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) ^ { 1 / 4 } } } \; .
W [ \phi , \pi ] = { \cal N } \exp \left( - \frac { 1 } { \hbar } \int d x \, \left( \left( \phi \left( x \right) \, \sqrt { m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } } \, \phi \left( x \right) \right) + \left( { \pi } \left( x \right) \, \left( \sqrt { m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \! { \pi } \left( x \right) \right) \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { i j } } & { = \theta _ { j } \theta _ { j } ( h + z _ { i } ) ^ { \prime } P ( h + z _ { i } ) } \\ & { = \theta _ { i } \theta _ { j } ( h ^ { \prime } P h + z _ { i } ^ { \prime } P z _ { j } ) } \\ & { = \theta _ { i } \theta _ { j } ( \alpha _ { 0 } + z _ { i } ^ { \prime } P z _ { j } ) } \\ & { = \theta _ { i } \theta _ { j } ( \alpha _ { 0 } + z _ { i } ^ { \prime } M z _ { j } ) } \\ & { = \theta _ { i } \theta _ { j } \Bigl [ \alpha _ { 0 } + \frac { a - c } { 1 - 2 \epsilon } ( \xi ^ { \prime } z _ { i } ) ( \xi ^ { \prime } z _ { j } ) \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { - \frac { L } { 2 } } ^ { \frac { L } { 2 } } { \int _ { - \frac { L } { 2 } } ^ { \frac { L } { 2 } } { m _ { 1 } ( s ^ { \prime } ) m _ { 1 } ( s ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \times \left( \frac { \cos { 3 \left( \pi \nu _ { x } - \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| \right) } } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } + \frac { 3 \cos { \left( \pi \nu _ { x } - \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| \right) } } { \sin { \pi \nu _ { x } } } \right) d s ^ { \prime } d s . } \end{array}
s ( t ) = \Biggl [ \frac { f _ { 0 } \beta + ( 1 - f _ { 0 } - \beta ) e ^ { - \displaystyle ( 1 - \beta ) t / \tau _ { 0 } } } { f _ { 0 } + ( 1 - f _ { 0 } - \beta ) e ^ { - \displaystyle ( 1 - \beta ) t / \tau _ { 0 } } } \Biggr ]
[ 1 , n + 1 - ( \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] ^ { 2 } \subseteq \Big ( \bigcup _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathcal { R } _ { s } \Big ) \bigcup \Big ( \bigcup _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } \Big ) \bigcup \Big ( \bigcup _ { s = 1 } ^ { 3 } \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } \Big ) .
\begin{array} { r } { 0 < \theta _ { M } \le \theta _ { m } \le \theta + \theta _ { m } < \pi - \theta _ { 1 } + \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { l + 1 } } { 2 } + \theta _ { m } \le \pi - \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { l + 1 } } { 2 } < \pi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { m } } { \partial t } = } & { \nabla \left[ D \nabla \phi _ { m } \right] - \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { m } } - \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { f } } , } \\ { \frac { \partial \rho _ { f } } { \partial t } = } & { \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { f } } , } \\ { D = } & { \frac { 1 } { 3 ( \alpha _ { m } ^ { - 1 } + \alpha _ { f } ^ { - 1 } + \sigma _ { m } ^ { - 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) } & { \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { c } _ { k } ( \rho , x , t ) , \quad \hat { \mathbf { v } } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( \rho , x , t ) , \quad } \\ { \hat { p } _ { \ensuremath { \varepsilon } } ( \rho , x , t ) } & { \approx \sum _ { k \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } _ { - 2 } } \ensuremath { \varepsilon } ^ { k } \hat { p } _ { k } ( \rho , x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { x } } & { = q _ { v x } } \\ { \dot { q } _ { y } } & { = q _ { v y } } \\ { \dot { q } _ { z } } & { = q _ { v z } } \\ { \dot { q } _ { \psi } } & { = q _ { v \psi } } \\ { \dot { q } _ { v x } ^ { B } } & { = \alpha _ { 1 } ^ { D } ( \alpha _ { 2 } ^ { D } E l - q _ { v x } ^ { B } ) } \\ { \dot { q } _ { v y } ^ { B } } & { = \alpha _ { 3 } ^ { D } ( \alpha _ { 4 } ^ { D } A i - q _ { v y } ^ { B } ) } \\ { \dot { q } _ { v z } } & { = \alpha _ { 5 } ^ { D } ( \alpha _ { 6 } ^ { D } T h - q _ { v z } ) } \\ { \dot { q } _ { v \psi } } & { = \alpha _ { 7 } ^ { D } ( \alpha _ { 8 } ^ { D } R u - q _ { v \psi } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { T } X } & { = \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { C } _ ( Z ) - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos \Phi \sin \Phi \sin ^ { 2 } \Theta , } \\ { \partial _ { T } Y } & { = - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos \Phi \sin \Theta \cos \Theta , } \\ { \partial _ { T } Z } & { = - [ v _ { { \mathrm { s } } \bot } + ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos ^ { 2 } \Phi \sin ^ { 2 } \Theta ] , } \\ { \partial _ { T } \Phi } & { = \lambda \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ ( Z ) ( \lambda + \cos 2 \Phi ) , } \\ { \partial _ { T } \Theta } & { = \lambda \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ ( Z ) \sin 2 \Phi \sin \Theta \cos \Theta . } \end{array}
\frac { \delta H } { \delta \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; \; ; \; \; \; \; \frac { \delta H } { \delta \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { K , S _ { K } } , T , \Delta _ { \mathrm { C M } } ) ) = \operatorname* { d e t } \left( \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \delta _ { T } ^ { 1 } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) } \right) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { L } ( 1 ) \right) f _ { \alpha } ( 1 ) = - \sum _ { \beta } \left( \int \mathrm { d } ( 2 ) \; \mathcal { V } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \, g _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \right) , } \\ & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \mathcal { L } ( 1 2 ) \right) g _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \begin{array} { r l } { [ t ] } & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) \, g _ { \gamma \beta } ( 3 2 ) \right) } \\ & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } ( 3 ) \; \mathcal { V } _ { \gamma \beta } ( 3 2 ) \, f _ { \beta } ( 2 ) \, g _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \right) } \\ & { = - \mathcal { V } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) f _ { \beta } ( 2 ) \, . } \end{array} } \end{array}
\psi ( { \bf r } ) = \sum _ { \bf k } \, \left[ \, q _ { n } ^ { \alpha } \, u _ { n } ^ { \alpha } ( { \bf r } ) + { \bar { q } } _ { n } ^ { \dagger \, { \alpha } } \, v _ { n } ^ { \alpha } ( { \bf r } ) \, \right] \, ,
{ \bf H } = \left( \begin{array} { c c } { H _ { + } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { - } } \end{array} \right) , \, \, { \bf Q } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { Q _ { + } } & { 0 } \end{array} \right) , \, \, { \bf Q } ^ { \dag } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { Q _ { - } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \xi ( { \boldsymbol x } ) } & { { } = \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } \cos \left( n { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \left[ \alpha _ { m , n } \cos \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) + \beta _ { m , n } \sin \left( n { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s - \frac { 1 } { p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \dot { \mathrm { B } } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
i \frac { d \tilde { b } } { d \varepsilon } = \frac { f ^ { 2 } \left( T + \varepsilon \right) } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \Omega \exp \left[ - i \nu \varepsilon \right] } \\ { \Omega ^ { \ast } \exp \left[ i \nu \varepsilon \right] } & { 0 } \end{array} \right) \tilde { b } .
\langle \Upsilon _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \cdots \Upsilon _ { n } ( z _ { n } ) \rangle _ { \Sigma } ^ { \Psi } = \left\langle \Upsilon _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \cdots \Upsilon _ { n } ( z _ { n } ) \exp \frac { 1 } { \pi } \int _ { \Sigma } \Psi ( z ) \, d ^ { 2 } \! z \right\rangle _ { \Sigma } .
\Pi _ { M M ^ { \prime } } ^ { A A ^ { \prime } } ( m ^ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \Bigl ( \Pi _ { M M ^ { \prime } } ^ { ( i ) + A A ^ { \prime } } ( m ^ { 2 } ) + \alpha ^ { M ^ { \prime } } \eta ^ { A ^ { \prime } } \Pi _ { M M ^ { \prime } } ^ { ( i ) - A A ^ { \prime } } ( m ^ { 2 } ) \Bigr ) .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \alpha } ( \kappa ) ^ { \sigma } } & { = \kappa ^ { \sigma } ( \chi _ { \mu } ( \sigma ) ) ^ { - 1 } \tau ( \kappa ^ { \sigma } ) \sum _ { \underline { x } \in \mathbb Z / q ^ { m } \times \mathbb Z / q ^ { n } } \kappa ^ { - 1 } ( \underline { x } ) ^ { \sigma } \hat { \alpha } ( \underline { \zeta } ^ { \chi _ { E } ( \sigma ) \underline { x } } ) } \\ & { = \frac { \kappa ^ { \sigma } ( \chi _ { E } ( \sigma ) ) } { \kappa ^ { \sigma } ( \chi _ { \mu } ( \sigma ) ) } \tau ( \kappa ^ { \sigma } ) \sum _ { \underline { x } \in \mathbb Z / q ^ { m } \times \mathbb Z / q ^ { n } } \kappa ^ { - 1 } ( \underline { x } ) ^ { \sigma } \hat { \alpha } ( \underline { \zeta } ^ { \underline { x } } ) } \\ & { = \frac { \kappa ^ { \sigma } ( \chi _ { E } ( \sigma ) ) } { \kappa ^ { \sigma } ( \chi _ { \mu } ( \sigma ) ) } \Gamma _ { \alpha } ( \kappa ^ { \sigma } ) } \end{array}
A ^ { i j k l } = \left( \begin{array} { l l l } { A ^ { 2 2 3 3 } } & { A ^ { 3 3 1 2 } } & { A ^ { 2 2 1 3 } } \\ { * } & { A ^ { 1 1 3 3 } } & { A ^ { 1 1 2 3 } } \\ { * } & { * } & { A ^ { 1 1 2 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { r r r } { \Delta _ { 1 1 } } & { - \Delta _ { 1 2 } } & { - \Delta _ { 1 3 } } \\ { * } & { \Delta _ { 2 2 } } & { - \Delta _ { 2 3 } } \\ { * } & { * } & { \Delta _ { 3 3 } } \end{array} \right) .
K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) = E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] - E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } } ( \tau ) = } & { { } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { l ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } \frac { d _ { 2 l } ^ { * } d _ { 2 l ^ { \prime } } } { 2 \pi } } \end{array}
\frac { \partial \left( \rho e \right) } { \partial t } + \frac { \partial \left( \rho e u _ { j } \right) } { \partial x _ { j } } = - p \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( k \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } \right) + \sigma _ { i j } S _ { i j }
\mathrm { ~ E ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } _ { i j } \ ( \mathrm { ~ d ~ B ~ } ) = 2 0 \log _ { 1 0 } \left| \Gamma _ { i j } ^ { ( \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } ) } - \Gamma _ { i j } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } ) } \right|
\begin{array} { r l r } { f ^ { * } ( \nabla ) _ { X } ( f ^ { * } ( h \alpha _ { i } ) ) ( p ) } & { = } & { f ^ { * } ( \nabla ) _ { X } ( f ^ { * } ( h ) f ^ { * } ( \alpha _ { i } ) ) ( p ) } \\ & { = } & { X ( f ^ { * } ( h ) ) f ^ { * } ( \alpha _ { i } ) ( p ) + f ^ { * } ( h ) f ^ { * } ( \nabla _ { i } ) _ { X } ( f ^ { * } ( \alpha _ { i } ) ) ( p ) } \\ & { = } & { X ( f ^ { * } ( h ) ) f ^ { * } ( \alpha _ { i } ) ( p ) + h ( f ( p ) ) \theta ( f ( p ) ) ( D f ( p ) ( X ( p ) , \alpha _ { i } ( f ( p ) ) } \\ & { = } & { Y ( h ) ( \alpha _ { i } ) ( p ) + h ( f ( p ) ) \theta ( f ( p ) ) ( Y ( f ( p ) ) , \alpha _ { i } ( f ( p ) ) ) } \\ & { = } & { \nabla _ { Y } ( h \alpha _ { i } ) ( f ( p ) ) . } \end{array}