harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { 2 \pi } \mathcal { P } \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d p _ { \perp } ^ { \prime } \, \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } = \frac { \Theta ( p ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) } { 2 \sqrt { p ^ { 2 } + M ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \left\| \omega ^ { t + 1 } - \omega ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] } & { = ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] } \\ & { \leq ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \leq ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathbb { E } _ { t } \left[ \left\| z ^ { t + 1 } - z ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] } & { = ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] } \\ & { \leq ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \leq ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + C _ { 1 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \cal F } _ { \mathrm { F } } ^ { \pm } ( x , y , t ) \equiv \frac { \delta } { \delta A _ { 1 } ( x , t ) } { \cal A } _ { \mathrm { F } , \pm } ( y , t ) - \frac { \delta } { \delta A _ { 1 } ( y , t ) } { \cal A } _ { \mathrm { F } , \pm } ( x , t )
\begin{array} { r l } { _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b , c , z ) } & { = \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( c - a - b ) } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b , a + b + 1 - c , 1 - z ) } \\ & { + \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a + b - c ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } ( 1 - z ) ^ { c - a - b } _ { 2 } F _ { 1 } ( c - a , c - b , 1 + c - a - b , 1 - z ) , } \end{array}
d _ { 1 , 2 } = d _ { 2 , 3 } = d _ { 3 , 4 } = . . . = d _ { 5 , 6 } = d _ { 6 , 7 } = . . . = d _ { 1 1 , 1 2 } = d _ { 2 , 1 6 } = . . . = d _ { 8 , 1 5 } = d \geq d _ { 2 , 1 3 } = . . . = d _ { 8 , 1 5 } ,
\begin{array} { r l r } { H _ { D } } & { = } & { - K _ { L L } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { L j } ) ^ { 2 } - K _ { L R } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { R j } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { - K _ { R R } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, ( \vec { Q } _ { R i } \times \vec { Q } _ { R j } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P _ { 1 } Q _ { 1 } - P _ { 2 } Q _ { 2 } \| ^ { 2 } } & { = \lambda _ { \operatorname* { m a x } } \big ( 2 I _ { s } - \Sigma Q - Q ^ { \top } \Sigma \big ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \| x \| = 1 } x ^ { \top } \big ( 2 I _ { s } - \Sigma Q - Q ^ { \top } \Sigma \big ) x \ge ( e ^ { s } ) ^ { \top } \big ( 2 I _ { s } - \Sigma Q - Q ^ { \top } \Sigma \big ) e ^ { s } } \\ & { = 2 - 2 ( e ^ { s } ) ^ { \top } \Sigma Q e ^ { s } = 2 - 2 \sigma _ { s } ( e ^ { s } ) ^ { \top } Q e ^ { s } } \\ & { \ge 2 - 2 \sigma _ { s } \| e ^ { s } \| \| Q \| \| e ^ { s } \| = 2 ( 1 - \sigma _ { s } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \Gamma ( 1 + \gamma ) } \int _ { 0 } ^ { \rho } \frac { 1 } { 1 - t } \cdot \mathbb { E } _ { x , y \sim \mathbb { Z } _ { M } } \left[ \overline { { g _ { t , 1 - t } ( x , y ) } } \sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { a \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } ^ { * } } \sum _ { b \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } } \omega _ { i } ^ { - a y _ { i } } \omega _ { i } ^ { a x _ { i } } L _ { i } ^ { b } \Delta ^ { \gamma } f ( x ) \right] \cdot \big ( \log ( \rho / t ) \big ) ^ { \gamma } d t .
I _ { G } = \frac { 1 } { 3 } \, ( 1 + \sum _ { i } B _ { i } ) \ , \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ B _ { i } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, ( \overline { { u } } _ { i } - \overline { { d } } _ { i } ) _ { \mathrm { S u l l } } \ \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left( \operatorname* { s u p } _ { x \in S } \left| \widehat { r } _ { n } ^ { \mathsf { m o m } } ( x ) - r ( x ) \right| > t + \sqrt { d } K ^ { - 1 } \right) } & { \leq \mathbb P \left( \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq k \leq K ^ { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } { \mathbf { 1 } } _ { \left\{ \left| \frac { 1 } { N _ { k } ^ { ( j ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } B _ { i , k } ^ { ( j ) } \varepsilon _ { i } ^ { ( j ) } \right| > t \right\} } \geq \frac { m } { 2 } \right) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { K ^ { d } } \mathbb P \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } { \mathbf { 1 } } _ { \left\{ \left| \frac { 1 } { N _ { k } ^ { ( j ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } B _ { i , k } ^ { ( j ) } \varepsilon _ { i } ^ { ( j ) } \right| > t \right\} } \geq \frac { m } { 2 } \right) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K ^ { d } } \mathbb P \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } B _ { k } ^ { ( j ) } \geq \frac { m } { 2 } \right) \, , } \end{array}
F ^ { \mu \nu } ( x ) \, = \, \sum _ { \sigma = 0 , \pm 1 } \int \frac { d ^ { 3 } { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { p } } \, \left[ F _ { ( + ) } ^ { \mu \nu } ( { \bf p } , \sigma ) \, a ( { \bf p } , \sigma ) \, e ^ { - i p x } + F _ { ( - ) } ^ { \mu \nu } ( { \bf p } , \sigma ) \, b ^ { \dagger } ( { \bf p } , \sigma ) \, e ^ { + i p x } \right]
\chi _ { t o p } = \int \langle q ( x ) q ( 0 ) \rangle d ^ { 2 } x = \frac { e ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int \langle F _ { 1 2 } ( x ) F _ { 1 2 } ( 0 ) \rangle d ^ { 2 } x = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \hat { G } _ { F F } ( 0 ) \; ,
\begin{array} { r } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } _ { | m | \geq 2 } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 + \delta } | L \widehat { \phi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau ) ^ { - 2 - \frac { \nu _ { m } } { 2 } + \eta } D _ { 2 } ^ { ( 1 ) } [ \phi ] . } \end{array}
\int \prod _ { j = 1 } ^ { g } d \nu _ { j } d \bar { \nu } _ { j } d \hat { \nu } _ { j } d \hat { \bar { \nu } } _ { j } \, \, \mathrm { e } ^ { \int _ { \Sigma _ { g } } { \cal L } _ { 5 } } = \left| \prod _ { j = 1 } ^ { g } \delta ( a _ { j } ) \, d a _ { j } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( t ) } & { = \frac { 2 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { 0 } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \iota \right) \cos { \psi ( t ) } , } \\ { h _ { \times } ( t ) } & { = - \frac { 4 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { 0 } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \cos { \iota } \sin { \psi ( t ) } , } \end{array}
\mathbf { A } \mathbf { x } \equiv \mathbf { A } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { A } \mathbf { x } + \mathbf { A } ( \mathbf { I } - \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { A } ) \mathbf { x } \equiv \mathbf { A } \mathbf { x } + \mathbf { 0 } \equiv \mathbf { y } ,
\mathfrak { D } ( \epsilon ) = \sqrt { \mathfrak { S } } \frac { \epsilon + Q + \mathrm { i } \gamma } { \epsilon + \mathrm { i } } = \sqrt { \mathfrak { S } } \left[ 1 + \frac { Q + \mathrm { i } ( \gamma - 1 ) } { \epsilon + \mathrm { i } } \right] .
\begin{array} { r l } { w _ { i } ( h _ { 0 } ) = w _ { i } \left( \frac { \operatorname* { d e t } A _ { 1 } } { \operatorname* { d e t } A } \right) = w _ { i } ( \operatorname* { d e t } A _ { 1 } ) - w _ { i } ( \operatorname* { d e t } A ) } & { \geq \operatorname* { m i n } \{ e _ { 1 } - 2 { \mathfrak a } , e _ { 2 } - 3 { \mathfrak a } , e _ { 3 } - 2 { \mathfrak a } , e _ { 4 } + { \mathfrak a } \} + 3 { \mathfrak a } } \\ & { = \operatorname* { m i n } \{ e _ { 1 } + { \mathfrak a } , e _ { 2 } , e _ { 3 } + { \mathfrak a } , e _ { 4 } + 4 { \mathfrak a } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } L ^ { * } - \left. \frac { \partial L } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } L _ { a a } ^ { * } } & { { } = 0 } \\ { \frac { L _ { a a } ^ { * } } { L ^ { * } } = P _ { a a } ^ { * } } & { { } = \left( \left. \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } \right) \left( \left. \frac { \partial L } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
g ( t , \eta , \bar { \eta } ) = e ^ { - i t H } e ^ { i ( \eta _ { i } Q ^ { i } + \bar { \eta } ^ { i } \bar { Q } _ { i } ) } e ^ { i ( \lambda _ { i } S ^ { i } + \bar { \lambda } ^ { i } \bar { S } _ { i } ) } e ^ { i z D } e ^ { i \omega K } e ^ { i \phi J _ { 1 } } e ^ { i \theta J _ { 2 } } e ^ { i \psi J _ { 3 } } \quad ,
\begin{array} { r } { \Delta _ { g _ { e } } \varphi = \sum _ { i , j } \left( \frac { \partial h _ { i j } } { \partial q _ { i j } } - \sum _ { k , l } q _ { i k } q _ { l j } \frac { \partial h _ { i j } } { \partial q _ { l k } } \right) , \ h _ { i j } = \sum _ { i , j } \left( \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { i j } } - \sum _ { k , l } q _ { i k } q _ { l j } \frac { \partial \varphi } { \partial q _ { l k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d A } { d t } = } & { \alpha \bar { P } _ { z } A + \frac { \epsilon B } { 2 } - \frac { A } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d B } { d t } = } & { - \frac { \epsilon A } { 2 } - \frac { B } { T _ { 2 } } , } \\ { \frac { d \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { - \frac { \alpha A ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \bar { P } _ { z } } { T _ { 1 } } + G ( P _ { 0 } - \bar { P } _ { z } ) , } \\ { \frac { d \theta } { d t } = } & { - \omega _ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \sum _ { s } \sqrt { \sum _ { \ell _ { 1 } , \cdots , \ell _ { 4 } } \mathrm { c u m } ( Z _ { 0 , \ell _ { 1 } } , Z _ { 0 , \ell _ { 2 } } , Z _ { 0 , \ell _ { 3 } } , Z _ { 0 , \ell _ { 4 } } ) ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \sqrt { \sum _ { \ell _ { 1 } , \cdots , \ell _ { 4 } } \Big ( \sum _ { i , j } \Big [ a _ { i \ell _ { 1 } } ( u - s ) a _ { j \ell _ { 2 } } ( v - s ) a _ { i \ell _ { 3 } } ( w - s ) a _ { j \ell _ { 4 } } ( - s ) \Big ] \Big ) ^ { 2 } } } \\ & { \le B \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \left( \sum _ { \ell _ { 1 } , \cdots , \ell _ { 4 } } \Big ( \sum _ { i } a _ { i \ell _ { 1 } } ( u - s ) ^ { 2 } \Big ) \Big ( \sum _ { i } a _ { i \ell _ { 3 } } ( w - s ) ^ { 2 } \Big ) \Big ( \sum _ { j } a _ { j \ell _ { 2 } } ( v - s ) ^ { 2 } \Big ) \Big ( \sum _ { j } a _ { j \ell _ { 4 } } ( - s ) ^ { 2 } \Big ) \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ & { = B \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \| A _ { u - s } \| _ { \mathrm { H S } } \| A _ { v - s } \| _ { \mathrm { H S } } \| A _ { w - s } \| _ { \mathrm { H S } } \| A _ { - s } \| _ { \mathrm { H S } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { v _ { z } = \int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d \, { k } V _ { k } [ z ] \, J _ { 0 } [ k r / h [ r ] ] } \, , \ } \\ { T _ { c } = \int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d \, { k } \Theta _ { k } [ z ] \, { h ^ { 2 } } [ r ] \, J _ { 0 } [ k r / h [ r ] ] \, . \ } \end{array}
\int _ { - \pi } ^ { \pi } \cos ( \alpha x ) \cos ^ { n } ( \beta x ) d x = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 2 \pi } { 2 ^ { n } } } { \binom { n } { m } } } & { | \alpha | = | \beta ( 2 m - n ) | } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { S _ { x \to v } ( \omega ) = q \gamma \frac { - \omega ^ { 2 } S _ { \ell } ( \omega ) } { ( { \tau _ { \mathrm { m } } } ^ { - 1 } - i \omega ) ( { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { - 1 } - i \omega ) } . } \end{array}
d _ { \alpha \beta } D ^ { \alpha } ( y _ { 1 } ^ { - } ) D ^ { \beta } ( y _ { 1 } ^ { - } ) \approx \langle d _ { \alpha \beta } D ^ { \alpha } ( 0 ) D ^ { \beta } ( 0 ) \rangle \equiv \langle D _ { T } ^ { 2 } \rangle \ .
C _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { y } ) u _ { \beta } ( \boldsymbol { y } ) + \int _ { \Gamma } t _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } ) u _ { \beta } ( \boldsymbol { x } ) \mathrm { d } \Gamma ( \boldsymbol { x } ) = \int _ { \Gamma } u _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } ) t _ { \beta } ( \boldsymbol { x } ) \mathrm { d } \Gamma ( \boldsymbol { x } ) , \quad \boldsymbol { x , y } \in \Gamma , \quad \alpha , \beta = 1 , 2 ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { A _ { 1 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) } - \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) } } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } ; } \\ & { A _ { 2 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { 1 } } \bigg [ a ( x _ { \delta } ) h _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) - a ( y _ { \delta } ) h _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) \bigg ] } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } ; } \\ & { A _ { 3 } : = \frac { \left( \epsilon + \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) ^ { a _ { 2 } } \bigg [ a ( x _ { \delta } ) ( 1 - h _ { \epsilon } ^ { v } ( x _ { \delta } ) ) - a ( y _ { \delta } ) ( 1 - h _ { \epsilon } ^ { v } ( y _ { \delta } ) ) \bigg ] } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } . } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { g _ { 4 } ( \Lambda ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 } ^ { \ast } } } < 0 ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ( \mu ) } } - { \frac { 1 } { g _ { 4 R } ^ { \ast } } } < 0 ~ .
\begin{array} { r l } { B } & { = \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } ( 2 4 0 a _ { 1 } - 4 9 6 c _ { 0 } - 2 4 9 ) , } \\ { D } & { = - 3 2 0 b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } + \zeta _ { 1 } \zeta _ { 4 } ( 1 2 8 a _ { 1 } - 2 5 6 c _ { 0 } ) , } \\ { C } & { = - 1 2 8 \sqrt { 2 } b _ { 1 } \zeta _ { 1 } \zeta _ { 3 } , } \end{array}
M ^ { ( 3 ) } = \left[ \begin{array} { r r r } { { M _ { R } } } & { { f v } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { M _ { \eta } } } & { { 0 } } \\ { { \lambda v } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c l l l l } { \mathbf { X } } & { : = } & { [ x ( 0 ) } & { x ( 1 ) } & { \ldots } & { x ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { U } } & { : = } & { [ u ( 0 ) } & { u ( 1 ) } & { \ldots } & { u ( T - 1 ) ] } \\ { \mathbf { X } _ { \delta } } & { : = } & { [ \delta x ( 0 ) } & { \delta x ( 1 ) } & { \ldots } & { \delta x ( T - 1 ) ] . } \end{array} } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 6 . 1 9 1 7 } & { - 0 . 3 4 1 1 } & { 1 . 2 4 1 8 } & { 0 . 1 4 9 2 } & { 0 . 1 5 8 3 } & { 0 . 2 7 4 2 } & { - 0 . 0 7 2 4 } & { 0 . 0 5 6 1 } \\ { 0 . 2 2 0 5 } & { 0 . 0 2 1 4 } & { 0 . 4 5 0 3 } & { 0 . 3 9 4 7 } & { - 0 . 7 8 4 6 } & { - 0 . 4 3 9 1 } & { 0 . 1 0 0 1 } & { - 0 . 2 5 5 4 } \\ { 1 . 0 4 2 3 } & { 0 . 2 2 1 4 } & { - 1 . 0 0 1 7 } & { - 0 . 2 7 2 0 } & { 0 . 0 7 8 9 } & { - 0 . 1 9 5 2 } & { 0 . 2 8 0 1 } & { 0 . 4 7 1 3 } \\ { - 0 . 2 3 4 0 } & { - 0 . 0 3 9 2 } & { - 0 . 2 6 1 7 } & { - 0 . 2 8 6 6 } & { 0 . 6 3 5 1 } & { 0 . 3 5 0 1 } & { - 0 . 1 4 3 3 } & { 0 . 3 5 5 0 } \\ { 0 . 2 7 5 0 } & { 0 . 0 2 2 6 } & { 0 . 1 2 2 9 } & { 0 . 2 1 8 3 } & { - 0 . 2 5 8 3 } & { - 0 . 0 7 4 2 } & { - 0 . 2 0 4 2 } & { - 0 . 5 9 0 6 } \\ { 0 . 0 6 5 3 } & { 0 . 0 4 2 8 } & { - 0 . 4 7 2 1 } & { - 0 . 2 9 0 5 } & { 0 . 4 7 4 5 } & { 0 . 2 8 7 5 } & { - 0 . 0 2 8 4 } & { - 0 . 1 3 1 1 } \\ { 0 . 3 1 6 9 } & { 0 . 0 5 4 1 } & { - 0 . 1 0 3 3 } & { - 0 . 0 2 2 5 } & { - 0 . 0 0 5 6 } & { 0 . 1 0 1 7 } & { - 0 . 1 6 5 0 } & { - 0 . 1 5 0 0 } \\ { - 0 . 2 9 7 0 } & { - 0 . 0 6 2 7 } & { 0 . 1 9 6 0 } & { 0 . 0 6 4 4 } & { - 0 . 1 1 3 6 } & { - 0 . 1 0 3 1 } & { 0 . 1 8 8 7 } & { 0 . 1 4 4 4 } \end{array} \right] }
\xi _ { \small o u t } ^ { \small T E } ( \mu ) = { \frac { \pi } { 4 } } \left[ { \frac { \mu - 1 } { \mu + 1 } } \right] = { \frac { \pi } { 4 } } \left[ { \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } } \right] = - \xi _ { \small i n } ^ { \small T E } ( \mu ) .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal M _ { k } + T ) ^ { - 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } + A } & { 0 } \\ { - 2 \mathbb I } & { \Delta _ { k } + B ^ { - 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } ( \mathbb I + \Delta _ { k } A ) } & { 0 } \\ { - 2 \mathbb I } & { \Delta _ { k } ( \mathbb I + \Delta _ { k } ^ { - 1 } B ^ { - 1 } ) } \end{array} \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
Z = 2 \alpha ^ { 2 } \, \ln \mu \, \mathrm { D i a g o n a l } \Bigl ( - 1 / 3 \, , \, \, \frac { 1 } { 1 2 } ( - \sqrt \Theta + 1 7 + 1 6 N ) , \, \, \frac { 1 } { 1 2 } ( \sqrt \Theta + 1 7 + 1 6 N ) \Bigr ) \, .
\mu ^ { ( n = 2 ) } ( x _ { \Delta } ) = 2 \mu _ { \mathrm { r e g } } ^ { ( n = 1 ) } + \mu _ { \mathrm { S } } ( x _ { \Delta } ) + \mu _ { \mathrm { b i n d } } ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } + \mu _ { \mathrm { b i n d } } ^ { 2 } \ .
\frac { \delta } { \delta \mu } \langle q ^ { A } \, ^ { \prime } | q ^ { B } \rangle = i \frac { \delta } { \delta \mu } \langle q ^ { A } \, ^ { \prime } | S + J _ { \phi } \Phi + J _ { m } m ^ { 2 } + J _ { \lambda } \lambda | q ^ { B } \rangle
\mathbf { H } _ { \mathrm { ~ M ~ T ~ F ~ } } ^ { [ n ] } = \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ^ { * } \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { ~ M ~ T ~ F ~ } } ^ { [ n ] } \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } }
\begin{array} { r l } { f _ { [ 0 , 1 ] } ( c _ { b } ) } & { = \sum _ { i , j } \mathbb { P } ( ( a , b ) \mathrm { ~ m o n o c h r o m a t i c } | a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) \cdot \mathbb { P } ( a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) } \\ & { = \sum _ { d ( \mathcal { B } _ { i } , \mathcal { B } _ { j } ) \mathrm { ~ \scriptsize ~ e v e n } } \mathbb { P } ( ( a , b ) \mathrm { ~ m o n o c h r o m a t i c } | a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) \cdot \mathbb { P } ( a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) } \\ & { + \sum _ { d ( \mathcal { B } _ { i } , \mathcal { B } _ { j } ) \mathrm { ~ \scriptsize ~ o d d } } \mathbb { P } ( ( a , b ) \mathrm { ~ m o n o c h r o m a t i c } | a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) \cdot \mathbb { P } ( a \in \mathcal { B } _ { i } , b \in \mathcal { B } _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { n \geq 1 } \omega _ { n } \, \hat { g } _ { n } e ^ { i n \varphi } + \sum _ { n \leq - 1 } \omega _ { n } \, \overline { { \hat { g } _ { | n | } } } e ^ { i n \varphi } = \hat { S } _ { 0 } - \frac { 2 \omega _ { 0 } M } { \pi } + \mu + \sum _ { n \geq 1 } \hat { S } _ { n } e ^ { i n \varphi } + \sum _ { n \leq - 1 } \overline { { \hat { S } _ { | n | } } } e ^ { i n \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { _ 2 F _ { 1 } ( \Delta + \Delta _ { 2 } - \Delta _ { 1 } , \Delta + \Delta _ { 3 } - \Delta _ { 4 } , 2 \Delta , z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } g _ { \Delta } ^ { n } \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { 3 } } & { \Delta _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 4 } } & { \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] z ^ { n } \, , } \\ & { c _ { r s } ( \Delta ) = 1 3 - 6 \left[ T _ { r s } ( \Delta ) + { \frac { 1 } { T _ { r s } ( \Delta ) } } \right] \, , } \\ & { T _ { r s } ( \Delta ) = { \frac { r s - 1 + 2 \Delta + \sqrt { ( r - s ) ^ { 2 } + 4 ( r s - 1 ) \Delta + 4 \Delta ^ { 2 } } } { r ^ { 2 } - 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { 0 } = \left\{ \mathbf x \in R \; \vert \; E ( \mathbf x ) > ( 1 - C _ { 0 } ) \, \mathrm { m a x } _ { \mathbf y \in R } E ( \mathbf y ) \right\} , } \end{array}
d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } / d E _ { q } d \theta = \sin \theta \, ( q \varepsilon _ { q } / \hbar c ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! d \varphi \; ( d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } / d { \bf q } )
\Gamma \left[ \Phi \right] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { p } \Phi _ { p } \Phi _ { - p } C ^ { - 1 } ( p , \Lambda ) + S \left[ \Phi \right] + \frac { 1 } { 2 } { t r } \ln \left. \left( C ^ { - 1 } + \frac { \delta ^ { 2 } S } { \delta \phi \delta \phi } \right) \right| _ { \phi = \Phi } + \cdots
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { R } ^ { - } = { \mathbf { R } } _ { \infty } ^ { - } } } & { { } { = } } & { { q _ { n _ { \infty } } - \frac { 2 } { \gamma - 1 } a _ { \infty } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { { \mathbf { R } ^ { + } = { \mathbf { R } } _ { e } ^ { + } } } & { { } { = } } & { { q _ { n _ { e } } - \frac { 2 } { \gamma - 1 } a _ { e } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | m _ { 1 , \alpha } ( j + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j - k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | | j | ^ { \alpha - 2 } , } \\ { | ( m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } - k ) ) - ( m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } + k ) - m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } - k ) ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } | k | . } \end{array}
J _ { B } ^ { A } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { - \partial _ { \nu } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - c \delta _ { \nu } ^ { \mu } } } & { { D ^ { \mu } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { c } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { \int _ { - R } ^ { R } e ^ { - i c t z } \, \frac { \psi ( z ) - \psi ( 0 ) } { z } \, d z } & { = - \int _ { - R } ^ { R } \frac { 1 } { i c t } \, { \partial } _ { z } e ^ { - i c t z } \, F ( z ) d z } \\ & { = - \frac { 1 } { i c t } \, e ^ { - i c t z } \, F ( z ) \Big | _ { z = - R } ^ { R } + \frac { 1 } { i c t } \, \int _ { - R } ^ { R } e ^ { - i c t z } \partial _ { z } F ( z ) \, d z . } \end{array}
\left| { \frac { t ^ { 0 } } { c ^ { 0 } } } \right| \le { \frac { 4 \left| { \frac { \tau ^ { 0 } } { \mu ^ { 0 } } } \right| } { \left( 2 \left| { \frac { e ^ { 0 } s ^ { 0 } } { \mu ^ { 0 } d ^ { 0 } } } \right| ^ { 1 / 4 } + \left| { \frac { e ^ { 0 } s ^ { 0 } } { \mu ^ { 0 } d ^ { 0 } } } \right| ^ { 1 / 2 } - 1 \right) } } ~ .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \textbf { r } _ { i } } { d t } } & { { } = } & { \textbf { v } _ { i } } \\ { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { { } = } & { \frac { q _ { i } } { m _ { i } } \textbf { E } + \frac { q _ { i } } { m _ { i } } \textbf { v } _ { i } \times \textbf { B } + \frac { \partial \textbf { v } _ { i } } { \partial t } | _ { i , e } + \sum _ { j } \frac { \partial \textbf { v } _ { i } } { \partial t } | _ { i , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { M C S } } ^ { \Omega , \, \mathrm { Q P D } _ { 2 } } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \lambda \delta z _ { 0 } } { 2 \pi w _ { 0 } ^ { 2 } } m \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } } \\ & { - B _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n - 2 , m ) } + B _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m - 2 ) } \Big ) } \end{array}
\mathcal { M } ^ { \mathrm { p . b . } } \, = \, \frac { \mathrm { S U } ( 1 , 1 ) } { \mathrm { U } ( 1 ) } \otimes \frac { \mathrm { S O } ( 2 , 1 ) } { \mathrm { S O } ( 2 ) } ~ .
\hat { a } _ { i } ^ { + } | n _ { i } \rangle = \sqrt { n _ { i } + 1 } | n _ { i } + 1 \rangle \; \; \; \; , \; \; \; \; \hat { a } _ { i } | n _ { i } \rangle = \sqrt { n _ { i } } | n _ { i } - 1 \rangle