harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { x _ { 1 } } & { \dots } & { x _ { 1 } ^ { n - 1 } } \\ { 1 } & { x _ { 2 } } & { \dots } & { x _ { 2 } ^ { n - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { 1 } & { x _ { n } } & { \dots } & { x _ { n } ^ { n - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { C _ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ^ { M } } \\ { x _ { 2 } ^ { M } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } ^ { M } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { A } \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathbb { R } ^ { N } } \operatorname* { s u p } _ { W \in \mathbb { R } ^ { N } } \frac { ( \mathcal { A } V , W ) _ { \mathbb { R } ^ { N } } } { \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } \| W \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathbb { R } ^ { N } } \operatorname* { s u p } _ { W \in \mathbb { R } ^ { N } } \frac { A _ { h } ( v , w ) } { \| V \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } \| W \| _ { \mathbb { R } ^ { N } } } \lesssim b _ { \infty } h ^ { d - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { L J } } ^ { \mathrm { i o n - i o n } } \sim - 4 \pi \epsilon _ { i i } c _ { 0 } \left[ \frac { \sigma _ { i i } ^ { 6 } } { 2 \sigma _ { i i } ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { i i } ^ { 1 2 } } { 5 \sigma _ { i i } ^ { 1 0 } } \right] \lambda _ { D } = - \frac { 6 \pi \epsilon _ { i i } c _ { 0 } \sigma _ { i i } ^ { 2 } \lambda _ { D } } { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ a , f ] ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } ) } & { = } & { d _ { a } f ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } ) } \\ & { = } & { [ a , f ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { n } ) ] } \\ & { } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { a ( a _ { 1 } + \cdots + a _ { i - 1 } ) } f ( a _ { 1 } , \cdots , [ a , a _ { i } ] , \cdots , a _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { o } _ { p } ( n ^ { 1 / 2 - t } \| { \widetilde \theta } - \theta ^ { * } \| _ { 2 } ) = \ensuremath { o } _ { p } ( c _ { \operatorname* { m i n } } n ^ { 1 / 2 + \delta - t } \| { \widetilde \theta } - \theta ^ { * } \| _ { 2 } ) = \ensuremath { o } _ { p } ( \sqrt { n _ { 2 } } \| Z _ { 0 } ( { \widetilde \theta } - \theta ^ { * } ) \| _ { 2 } ) , } \end{array}
\mathrm { \frac { 1 \, s t a t o h m } { 1 \, a b o h m } } = \mathrm { \frac { 1 \, s t a t v o l t } { 1 \, a b v o l t } } \times \mathrm { \frac { 1 \, a b a m p e r e } { 1 \, s t a t a m p e r e } } = c ^ { 2 }
\widehat { J } _ { N , p , q } ^ { \mathrm { S } } ( \varepsilon ) = \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } } \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } \right) } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { Q } } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \left\{ 1 , 2 \right\} } \left( a _ { k } \langle x , \xi \rangle + b _ { k } \tau \right) \right] .
\tilde { \chi } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z ^ { \prime } \le f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } z ^ { \prime } > f ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) . } \end{array} \right.
H _ { 1 } : \qquad \Omega _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu _ { j } \bigl ( 1 + \omega _ { n } ( n _ { k } \bar { N } _ { k } ) ^ { - 1 } \big ( \frac { 1 } { K } \sum _ { k \in K } n _ { k } \bar { N } _ { k } \big ) z _ { k } b _ { j } \bigr ) , } & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq j \leq m , i \in S _ { k } } \\ { \tilde { \mu } _ { j } \bigl ( 1 - \omega _ { n } ( n _ { k } \bar { N } _ { k } ) ^ { - 1 } \big ( \frac { 1 } { K } \sum _ { k \in K } n _ { k } \bar { N } _ { k } \big ) z _ { k } b _ { j - m } \bigr ) , } & { \mathrm { i f ~ } m + 1 \leq j \leq 2 m , i \in S _ { k } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { L } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] , h \rangle _ { \Omega } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { r } \ln ( \frac 1 r ) h ( s ) h ( r ) s r d s d r + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { r } ^ { 1 } \ln ( \frac 1 s ) h ( s ) h ( r ) r s d s d r } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ( \frac 1 r ) h ( r ) r \int _ { 0 } ^ { r } s h ( s ) d s d r + \int _ { 0 } ^ { 1 } r h ( r ) \int _ { r } ^ { 1 } \ln ( \frac 1 s ) h ( s ) s d s d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { E } _ { \delta } ) } & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } } \binom { n } { \ell } \frac { ( k ! ) ^ { \ell } } { ( \delta \sqrt { n } ) ^ { \ell + 1 } ( \delta \sqrt { n } - \ell ) ! ( \ell - 1 ) ! } } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } - 3 } \binom { n } { \ell } \frac { ( k ! ) ^ { \ell } } { ( \delta \sqrt { n } ) ^ { \ell + 1 } ( \delta \sqrt { n } - \ell ) ! ( \ell - 1 ) ! } + 3 \binom { n } { \delta \sqrt { n } } \frac { ( k ! ) ^ { \delta \sqrt { n } } } { ( \delta \sqrt { n } ) ^ { \delta \sqrt { n } - 2 } ( \delta \sqrt { n } - 3 ) ! } } \end{array}
V = ( w - 1 ) \, \bigg ( { \frac { \bar { \Lambda } } { w } } + { \frac { \bar { \Lambda } ^ { 2 } } { 2 m _ { c } } } \, { \frac { 3 - w } { w ^ { 3 } } } + { \frac { \lambda _ { 1 } } { 6 m _ { c } } } \, { \frac { 3 + w } { w ^ { 3 } } } + { \frac { \lambda _ { 1 } + 3 \lambda _ { 2 } } { 3 m _ { b } } } \, { \frac { 1 } { w } } \bigg ) + \ldots \, ,
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + 1 ) } & { { } = x _ { i } ( t ) + \mu ( x _ { j } ( t ) - x _ { i } ( t ) ) \, , } \\ { x _ { j } ( t + 1 ) } & { { } = x _ { j } ( t ) + \mu ( x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { s c o } } } \left[ F _ { \textup { s c o } } ( x ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } F _ { \textup { s c o } } ( x ) } & { = O \left( \frac { G D } { \sqrt { p - 1 } } \cdot \left( \frac 1 { \sqrt n } + \frac { \sqrt { d \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p \in ( 1 , 2 ] , } \\ { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { s c o } } } \left[ F _ { \textup { s c o } } ( x ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } F _ { \textup { s c o } } ( x ) } & { = O \left( G D \sqrt { \log d } \cdot \left( \frac 1 { \sqrt n } + \frac { \sqrt { d \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { c } ( t ) = } & { \sum _ { l } \Big ( s _ { l } \sin ( \psi _ { l } ( t ) ) + c _ { l } \cos ( \psi _ { l } ( t ) ) \Big ) e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } \Theta \left( t - t _ { l } \right) } \\ { x _ { s } ( t ) = } & { \sum _ { l } \Big ( s _ { l } \cos ( \psi _ { l } ( t ) ) - c _ { l } \sin ( \psi _ { l } ( t ) ) \Big ) e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } \Theta \left( t - t _ { l } \right) } \end{array}
\frac { 1 + \frac { 3 } { 5 } x + \frac { 3 } { 2 0 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 0 } x ^ { 3 } } { 1 - \frac { 2 } { 5 } x + \frac { 1 } { 2 0 } x ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { e ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { \chi } ( e ^ { - \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } - e ^ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ) \oint \frac { d u _ { 1 } } { 2 i \pi } e ^ { u _ { 1 } \chi } \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma _ { 1 } } { u _ { 1 } } ) } \\ & { } & { = \frac { 4 } { \chi ^ { 2 } } \mathrm { s i n h } \frac { \chi \sigma _ { 1 } } { 2 } \mathrm { s i n h } \frac { \chi \sigma _ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \delta \! f + [ \mathcal { H } _ { 0 } , \delta \! f ] _ { P } } & { = } & { \nabla \big ( T \delta \rho [ \delta \! f ] / \rho _ { 0 } \big ) \cdot \partial _ { \vec { v } } f _ { 0 } ( \vec { v } ) } \\ { \delta \rho ( \vec { x } , t ) } & { = } & { \int _ { \Delta V _ { \vec { v } } } d \vec { v } \, \delta f ( \vec { x } , \vec { v } , t ) } \end{array}
a n d f i n d t h a t m o s t o f t h e c o e f f i c i e n t s a r e n o w w e a k l y n e g a t i v e , a l t h o u g h m o s t o f t h e m r e m a i n s t a t i s t i c a l l y i n s i g n i f i c a n t . T h e r e s u l t s f r o m b o t h W L S a n d O L S s u g g e s t t h a t t h e r e i s n o s y s t e m a t i c l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi _ { 1 } ) - \widetilde { \mathcal { K } } _ { g } ( f ) ( \varphi _ { 2 } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi _ { 1 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K ( \varphi _ { 2 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 2 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ { = } & { \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } K ( \varphi _ { 1 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } K ( \varphi _ { 2 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 2 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } ( K ( \varphi _ { 1 } , \varphi ^ { \prime } ) - K ( \varphi _ { 2 } , \varphi ^ { \prime } ) ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } K ( \varphi _ { 2 } , \varphi ^ { \prime } ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi _ { 2 } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { u ^ { \prime } } \\ { v ^ { \prime } } \end{array} \right] } & { = \Lambda \left[ \begin{array} { l } { \frac { - 3 + u ^ { 2 } - \cos ( \beta t ) } { 2 u } } \\ { \frac { - 2 + u ^ { 2 } - \cos ( t ) } { 2 v } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { \frac { \beta \sin ( \beta t ) } { 2 u } } \\ { \frac { \sin ( t ) } { 2 v } } \end{array} \right] , \quad \left[ \begin{array} { l } { u ( 0 ) } \\ { v ( 0 ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { \sqrt { 3 } } \end{array} \right] } \\ { \Lambda } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda ^ { \{ F \} } } & { \frac { 1 - \varepsilon } { \alpha } ( \lambda ^ { \{ F \} } - \lambda ^ { \{ S \} } ) } \\ { - \alpha \varepsilon ( \lambda ^ { \{ F \} } - \lambda ^ { \{ S \} } ) } & { \lambda ^ { \{ S \} } } \end{array} \right] } \end{array}
m _ { M } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \rho d r = \frac { q } { 2 \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ln \left( 1 + \frac { \beta q } { r ^ { 2 } } \right) d r = \frac { \pi q ^ { 3 / 2 } } { 2 \sqrt { \beta } } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \widehat { \mathcal { V } } ^ { - 1 } = \left( \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \widehat { \mathcal { V } } \right) ^ { - 1 } = \mathcal { V } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { p } ( \mu , \boldsymbol { \theta } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log \left( 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { v _ { i } } \right) \right] \, . } \end{array}
{ \cal A } _ { \Lambda } ^ { a } \left( \phi , \phi ^ { * } , \overline { { { \phi } } } , \pi \right) = \left[ \overline { { { \Delta } } } ^ { a } W _ { \Lambda } + \frac i { 2 \hbar } \left( W _ { \Lambda } , W _ { \Lambda } \right) ^ { a } \right] \left( \phi , \phi ^ { * } , \overline { { { \phi } } } , \pi \right) =
{ \cal L } ^ { F } = 2 i v _ { 0 } : \! \psi _ { + } ^ { \dagger } \partial _ { + } \psi _ { + } + \psi _ { - } ^ { \dagger } \partial _ { - } \psi _ { - } \! : + v _ { 1 } J _ { + } J _ { - } + i v _ { 2 } \left( \psi _ { + } \psi _ { -- } \psi _ { - } ^ { \dagger } \psi _ { + } ^ { \dagger } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { { } \leq C a _ { 0 } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C \delta ^ { - 1 } } \end{array}
P ( G _ { t } | G _ { t - 1 } , \theta , i _ { t } ) = \frac { m ! } { \prod _ { k } x _ { k } ^ { i a } ( t ) ! x _ { k } ^ { i b } ( t ) ! } \prod _ { k } p _ { k } ^ { i a } ( t ) ^ { x _ { k } ^ { i a } ( t ) } p _ { k } ^ { i b } ( t ) ^ { x _ { k } ^ { i b } ( t ) }
\left( \begin{array} { l } { { \alpha _ { k } ^ { j + 1 } } } \\ { { \beta _ { k } ^ { j + 1 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { \sqrt { 1 + e ^ { - \pi \epsilon ^ { 2 } } } e ^ { i \zeta _ { k } } } } & { { i e ^ { - { { \frac { \pi } { 2 } } \epsilon ^ { 2 } } + 2 i \theta _ { k } ^ { j } } } } \\ { { - i e ^ { - { { \frac { \pi } { 2 } } \epsilon ^ { 2 } } - 2 i \theta _ { k } ^ { j } } } } & { { \sqrt { 1 + e ^ { - \pi \epsilon ^ { 2 } } } e ^ { - i \zeta _ { k } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \alpha _ { k } ^ { j } } } \\ { { \beta _ { k } ^ { j } } } \end{array} \right) \ \nonumber
\left( \operatorname { p . v . } { \frac { 1 } { x } } \right) ( \phi ) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { | x | \geq \varepsilon } { \frac { \phi ( x ) } { x } } \, d x \quad { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \phi \in { \mathcal { S } } ( \mathbb { R } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \frac { \xi \alpha _ { k } } { 2 } \cdot 3 C _ { \lambda } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } l _ { F , 1 } } { 2 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \left( 1 - O \left( \frac { \xi l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \beta _ { k } } { \mu _ { g } T \gamma _ { k } } \right) - O \left( \frac { \xi l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } T } \right) \right) \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad - \frac { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } T \mu _ { g } \beta _ { k } } { 4 } \mathcal { I } _ { k } - \frac { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } T \mu _ { g } \gamma _ { k } } { 4 } \mathcal { J } _ { k } } \\ & { \quad + O ( T + \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \cdot l _ { g , 1 } \lambda _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + ( \beta _ { k } ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + O \left( \frac { l _ { g , 1 } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } } \right) \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal K } ( \mathfrak { a } , \mathfrak { b } ) = } & { \operatorname* { i n f } _ { m \geq 0 } \; m ( \mathfrak { a } - \frac { \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } } { m } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \| \mathfrak { b } \| ^ { 2 } \quad \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathfrak { a } \geq 0 } \\ { - \infty \quad } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 2 ^ { q / 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathcal { D } _ { t \log ( t ) } ^ { \mathcal { N } } \right) } { \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { R } \right| ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left( \left( \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } - \mathbf { R } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \right) + \mathrm { T r } \left( \left( \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { R } \right) ^ { - 1 } \widetilde { \boldsymbol { \Delta } } ( \mathbf { H } ) \right) \right]
\mathcal { L } ( R a _ { c } ) \mathbf { \Psi } _ { 3 } = \underbrace { \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial _ { T _ { 1 } } } + J ( \mathbf { u } , u ) \right) - 2 \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 2 } } { \partial z \partial Z } - \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 } } { \partial Z ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { P r } \left( \frac { \partial w _ { 1 } } { \partial _ { T _ { 1 } } } + J ( \mathbf { u } , w ) \right) - r \left( \theta _ { 1 } - \phi _ { 1 } \right) - 2 \frac { \partial ^ { 2 } w _ { 2 } } { \partial z \partial Z } - \frac { \partial ^ { 2 } w _ { 1 } } { \partial Z ^ { 2 } } + \frac { \partial p _ { 2 } } { \partial Z } } \\ { - \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial Z } } \\ { \left( \frac { \partial \theta _ { 1 } } { \partial _ { T _ { 1 } } } + J ( \mathbf { u } , \theta ) \right) - 2 \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { 2 } } { \partial z \partial Z } - \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { 1 } } { \partial Z ^ { 2 } } } \\ { \left( \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial _ { T _ { 1 } } } + J ( \mathbf { u } , \phi ) \right) - \frac { 2 } { L e } \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 2 } } { \partial z \partial Z } - \frac { 1 } { L e } \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 } } { \partial Z ^ { 2 } } } \end{array} \right) } _ { \mathcal { N } _ { 3 } } ,
I _ { 3 } ( \mu ) = \int d ^ { 3 } z _ { E } \, G _ { E } ^ { 3 } ( z _ { E } ) = \int \frac { d ^ { 3 } z _ { E } } { ( 4 \pi ) ^ { 3 } } \frac { e ^ { - 3 \mu z } } { z ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \left( T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) \right) _ { Q _ { T } } \leq } & { { } C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \varepsilon - \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u _ { \nu } ) \right) _ { Q _ { T } } } \\ { \leq } & { { } C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \varepsilon - \nu \left( \left( u - u _ { \nu } \right) , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u ) \right) _ { Q _ { T } } } \end{array}
a _ { i } ^ { m * } = \frac { \sum _ { t _ { l } \in d 1 } ^ { L } \left[ \left( D _ { i , d 1 } ^ { m } ( t _ { l } ) - \left< D _ { i , d 1 } ^ { m } ( t _ { 0 } ) \right> \right) \left( t _ { l } - t _ { 0 } \right) \right] } { \sum _ { t _ { l } \in d 1 } ^ { L } \left[ t _ { l } - t _ { 0 } \right] ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } = } & { { } f + \left( 1 - f \right) \left[ \varepsilon ^ { 3 } + 3 \varepsilon ^ { 2 } ( 1 - \varepsilon + 3 \varepsilon \left( 1 - \varepsilon \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { M } ^ { \mathrm { e + } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \bigg [ 2 G ( \bar { \xi } ) \langle \mathrm { E } _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } + \left( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \right) \bigg ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { + } \bigg ) \bigg ] { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } } \\ { \textbf { M } ^ { \mathrm { e - } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \Big [ 2 G ( \bar { \xi } ) \langle \mathrm { E } _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } + \Big ( K ( \bar { \xi } ) - \frac { 2 } { 3 } G ( \bar { \xi } ) \Big ) \Big ( \langle \mathrm { E } _ { 1 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 2 } ^ { \mathrm { e } } + \mathrm { E } _ { 3 } ^ { \mathrm { e } } \rangle _ { - } \Big ) \Big ] { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } \otimes { \bf r } _ { i } ^ { \mathrm { e } } } \end{array}
M _ { c } = \sqrt { \frac { d } { \kappa } } \left( \begin{array} { c c } { \frac { G _ { v v } G _ { w w } } { w ^ { 2 } } - \kappa } & { - \frac { G _ { v v } } { w } } \\ { \frac { G _ { w w } } { w } } & { - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { a _ { n \ell , x } ^ { 0 E } = } & { { } } & { - \frac { 1 } { 8 j } \left[ H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ { a _ { n \ell , y } ^ { 0 E } = } & { { } } & { - \frac { 1 } { 8 } \left[ H _ { \ell + 1 } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j ( \ell + 1 ) \theta _ { n s } } \right. } \\ { a _ { n \ell , z } ^ { 0 E } = } & { { } } & { \frac { 1 } { 4 j } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { - j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Omega _ { 1 } ( t ) } & { = } & { + \Omega _ { 2 } ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } \cdot \cos ( t ) + C _ { 1 } \cdot t + C _ { 2 } } \\ { \Omega _ { 1 } ( t ) } & { = } & { - \Omega _ { 2 } ( t ) = - \frac { 1 } { 4 } \cdot ( \sin ( t ) + \cos ( t ) ) + C _ { 3 } \cdot \exp { ( - t ) } } \\ { \Omega _ { 3 } ( t ) } & { = } & { + \Omega _ { 4 } ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } \cdot \cos ( t ) + C _ { 4 } \cdot t + C _ { 5 } } \\ { \Omega _ { 3 } ( t ) } & { = } & { - \Omega _ { 4 } ( t ) = - \frac { 1 } { 4 } \cdot ( \sin ( t ) + \cos ( t ) ) + C _ { 6 } \cdot \exp { ( - t ) } } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } f } { d x ^ { 2 } } - \frac { ( x ^ { 3 } - 2 ) } { x ( 1 - x ^ { 3 } ) } \frac { d f } { d x } - \frac { l ( l + 3 ) } { x ^ { 2 } ( 1 - x ^ { 3 } ) } f + \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ( 1 - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \rho _ { 0 } ^ { 3 } } { ( \omega R ) ^ { 3 } x ^ { 3 } } \right) f = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( u , \rho , \psi ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( e ( t , x , \rho ) + \gamma | u | ^ { 2 } \rho \right) d x d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } c ( T , x , \rho ( T , x ) ) d x } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \psi \left( \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot \left[ \left( \mathcal { P } ( \rho ) + s ( t , x , \rho ) u \right) \rho \right] - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \rho \right) d x d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) = - f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) - \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \ . } \end{array}
\mathsf { P } _ { n } ^ { \boldsymbol { \mathsf { h } } } ( u ) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { u ^ { s - n } \, \left( h _ { n } ( u ) \right) ^ { 2 } \; } & { n = 0 , 1 , \dotsc \, , s } \\ { u ^ { n - s } \, \left( h _ { n } ( u ) \right) ^ { 2 } \; } & { n = s + 1 , \dotsc } \end{array} \, , \right.
R _ { i j k l } ^ { \phi } - ( \nabla _ { k } ^ { \phi } C _ { i j l } - \nabla _ { l } ^ { \phi } C _ { i j k } ) = R _ { i j k l } ^ { \omega } - 2 C _ { i j m } C _ { m k l } - ( C _ { i m k } C _ { m j l } - C _ { i m l } C _ { m j k } ) \, .
\left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)