harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { M _ { \mathrm { H L } } f ( x ) \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \, \frac { 1 } { 2 r } \int _ { - r } ^ { r } | f ( x - t ) | \ d t \; \; \; \mathrm { ~ o r ~ } \; \; \; \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } _ { N \geq 0 } \, \frac { 1 } { 2 N + 1 } \sum _ { n = - N } ^ { N } | f ( x - n ) | ; } \end{array}
S _ { S D } [ \vec { B } _ { m } , V _ { m n } ] = \int d ^ { 5 } x \left\{ - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } m ^ { 2 } \vec { B } _ { m } ^ { T } \vec { B } _ { m } - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } { \cal F } _ { m n } { \cal F } _ { m n } - { \textstyle \frac { m } { 8 } } \epsilon \vec { B } _ { m } ^ { T } \eta \mathcal { D } \vec { B } _ { m } \, \right\} \, ,
\Psi _ { k _ { 1 } , k _ { 1 z } ; k _ { 2 } , k _ { 2 z } ; I , I _ { z } } ^ { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ( \theta , \alpha , \beta , \gamma , \alpha _ { I } , \beta _ { I } , \gamma _ { I } ) = \sqrt { \frac { p ! } { m _ { 1 } ! m _ { 2 } ! m _ { 3 } ! m _ { 4 } ! } } \Psi _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \Psi _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } \Psi _ { 3 } ^ { m _ { 3 } } \Psi _ { 4 } ^ { m _ { 4 } } ,
\frac { ( x p _ { x } + y p _ { y } ) \cos \left( \frac { \theta } { k } \right) - L \sin \left( \frac { \theta } { k } \right) - i \omega r ^ { 2 } \cos \left( \frac { \theta } { k } \right) } { ( x p _ { x } + y p _ { y } ) \sin \left( \frac { \theta } { k } \right) + L \cos \left( \frac { \theta } { k } \right) - i \omega r ^ { 2 } \sin \left( \frac { \theta } { k } \right) } = - \frac { a } { b } i ,
\mathrm { L i n } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { H } ) \otimes _ { { \mathrm { L i n } ^ { ( 2 ) } ( \Gamma ^ { \prime } ) } } \mathrm { L i n } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { H } ^ { \prime } ) = \Big ( \bigoplus _ { x \in \Gamma _ { 0 } , z \in \Gamma _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \quad \bigoplus _ { y , y ^ { \prime } \in \Gamma _ { 0 } ^ { \prime } } \mathbf { H } ( x , y ) \otimes \mathbf { H } ^ { \prime } ( y ^ { \prime } , z ) \Big ) / \sim .
\Lambda \equiv \prod _ { i = 1 } ^ { M _ { 1 } } { \cal V } _ { \nu _ { i } } \prod _ { j = 1 } ^ { M _ { 2 } } u _ { \rho _ { j } } ( v \cdot u ) ^ { l _ { 1 } } u ^ { 2 l _ { 2 } } \chi _ { + } ^ { l _ { 3 } } \chi _ { - } ^ { l _ { 4 } } ( [ v \cdot \mathrm { D } , \ ] ) ^ { l _ { 5 } } ( \mathrm { D } _ { \beta } \mathrm { D } ^ { \beta } ) ^ { l _ { 6 } } ( u _ { \alpha } \mathrm { D } ^ { \alpha } ) ^ { l _ { 7 } } ,
\begin{array} { r l } { d q _ { i } ^ { \prime } d p _ { i } ^ { \prime } } & { { } = d q _ { i } d p _ { i } \left[ 1 + \left( { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial q _ { i } \partial p _ { i } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial p _ { i } \partial q _ { i } } } - \gamma \right) \delta t \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { A } _ { 0 i } + \mathbf { A } _ { 0 r } + \overline { { \mathbf { A } } } _ { 0 r } } & { { } = } & { \mathbf { A } _ { 0 t } + \overline { { \mathbf { A } } } _ { 0 t } , } \\ { \phi _ { 0 i } + \phi _ { 0 r } } & { { } = } & { \phi _ { 0 t } = c A _ { 0 t } , } \end{array}
g _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ i ~ c ~ k ~ e ~ } } = \sqrt { \frac { \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 N } \frac { \frac { \Delta } { 2 } \cosh \left( \frac { \beta \Delta } { 2 } \right) } { \sinh \left( \frac { \beta \Delta } { 2 } \right) } } .
\begin{array} { r } { \left\langle k _ { i } ^ { - } \middle | \kappa _ { i } ^ { - } \right\rangle \simeq \kappa _ { i } ^ { - } \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \left\langle k _ { i } ^ { + } \middle | \kappa _ { i } ^ { + } \right\rangle \simeq \kappa _ { i } ^ { + } \ . } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } ^ { a u x ~ ^ { \prime } } = \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { m \hat { q } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } \hat { q } ^ { 2 } + \hbar \omega ,
\begin{array} { r l } { x } & { = ( A ^ { T } A ) ^ { - 1 } A ^ { T } b } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { M + 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 2 } { M ( M + 1 ) ( M + 2 ) } } \end{array} \right] A ^ { T } b } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { A ^ { T } b [ 1 ] \frac { 1 } { M + 1 } } \\ { A ^ { T } b [ 2 ] \frac { 1 2 } { ( M ( M + 1 ) ( M + 2 ) ) } } \end{array} \right] } \end{array}
< \hat { { \cal { J } } } _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } } ^ { ( s ) } ( x ) ~ \hat { { \cal { J } } } _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { s } } ^ { ( s ) } ( 0 ) > = { \prod } _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } , \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { s } } ^ { ( s ) } \left( { \frac { c _ { s } ( t ) } { x ^ { 4 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { d I ^ { N e } ( \omega ) } { d \omega } \simeq N ( N - 1 ) ^ { 2 } F ( \omega ) \frac { d I ^ { e } ( \omega ) } { d \omega } \simeq N ^ { 2 } F ( \omega ) \frac { d I ^ { e } ( \omega ) } { d \omega } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n ! } { ( ( k - 1 ) ! ) ^ { 2 } ( n - 2 k ) ! } \, a _ { n , k } \, a _ { n , 2 k } ( 1 - b _ { n , k } ) ^ { k - 1 } ( b _ { n , k } - b _ { n , 2 k } ) ^ { k - 1 } ( b _ { n , 2 k } ) ^ { n - 2 k } } \\ { \times \Big ( 1 - \frac { a _ { n , k } x } { 1 - b _ { n , k } } \Big ) ^ { k - 1 } \Big ( 1 + \frac { a _ { n , k } x - a _ { n , 2 k } y } { b _ { n , k } - b _ { n , 2 k } } \Big ) ^ { k - 1 } \Big ( 1 + \frac { a _ { n , 2 k } x } { b _ { n , 2 k } } \Big ) ^ { n - 2 k } . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } \sim { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } - { \frac { 1 } { n } } + { \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 6 n ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 3 0 n ^ { 5 } } } - { \frac { 1 } { 4 2 n ^ { 7 } } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { f _ { t } = } & { { } - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle f _ { s } , \phi _ { n } \right\rangle \phi _ { n } ( y _ { 3 } ) e ^ { - \lambda _ { n } \kappa _ { 2 } t } \left( \cos \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) + \frac { \lambda _ { n } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \sin \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) \right) , } \\ { v _ { t } = } & { { } - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\langle v _ { s } , \varphi _ { n } \right\rangle \varphi _ { n } ( y _ { 3 } ) e ^ { - \lambda _ { n } \kappa _ { 2 } t } \left( \cos \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) + \frac { \lambda _ { n } } { 2 \gamma ^ { 2 } } \sin \left( 2 \gamma ^ { 2 } \kappa _ { 2 } t \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathcal { C } _ { w } f ) ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { k } { u } \frac { f ( u ) w ^ { + } ( u ) } { u - k _ { - } } d u + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { k } { u } \frac { f ( u ) w ^ { - } ( u ) } { u - k _ { + } } d u , \qquad k \in \Gamma \setminus \Gamma _ { \star } , } \end{array}
U _ { I } ( t , - \infty ) = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 0 } \to - \infty } U _ { I } ( t , t _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \epsilon \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } U _ { I } ( t , t ^ { \prime } ) ,
E _ { o p t } ^ { ( p ) } = 0 . 4 2 8 5 8 4 - 0 . 0 0 3 8 2 7 9 4 / p + 0 . 0 0 2 4 4 3 5 7 / p ^ { 2 } + \mathrm { O } ( p ^ { - 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { j - 1 } } & { G _ { j } B _ { j } \ \cdots \ G _ { k } = G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { j - 1 } M _ { j } B _ { j } \ \cdots \ G _ { k } } \\ & { + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } \sigma G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { l - 1 } G _ { l } \langle G _ { l } \ \cdots \ G _ { j - 1 } B _ { j - 1 } M _ { j } E _ { \sigma } \rangle E _ { \sigma } G _ { j } B _ { j } \ \cdots \ G _ { k } } \\ & { + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = j + 1 } ^ { k } \sigma G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { j - 1 } M _ { j } \langle G _ { j } B _ { j } \ \cdots \ B _ { l - 1 } G _ { l } E _ { \sigma } \rangle E _ { \sigma } G _ { l } B _ { l } \ \cdots \ G _ { k } } \\ & { - \underline { { G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { j - 1 } M _ { j } W G _ { j } B _ { j } \ \cdots \ G _ { k } } } + \langle G _ { j } - M _ { j } \rangle \, G _ { 1 } \ \cdots \ B _ { j - 1 } M _ { j } G _ { j } B _ { j } \ \cdots \ G _ { k } \, . } \end{array}
\rho ( \eta ) \simeq \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } \beta ( \beta - 1 ) a ^ { 4 } } \int _ { \cal K } \mathrm { d } k \, k ^ { 2 } \left( \frac { \eta _ { 2 } } { \eta _ { 1 } } \right) ^ { 2 \beta - 1 } \left| \gamma _ { 2 } \eta _ { 2 } \right| ^ { 2 } \left| 1 + \frac { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } } { 1 - 2 \beta } \right| ^ { 2 } \omega ( k , \eta ) ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 5 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 5 , 3 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 5 , 4 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { 1 } { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \Omega _ { 6 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 6 , 3 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 6 , 4 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { 1 } { c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 3 } ^ { \{ S \} } - c _ { 4 } ^ { \{ S \} } ) } } \\ { \Omega _ { 7 , 1 } ^ { \{ 1 \} } } & { = - ( \Omega _ { 7 , 5 } ^ { \{ 1 \} } + \Omega _ { 7 , 6 } ^ { \{ 1 \} } ) , \ \Omega _ { 7 , 5 } ^ { \{ 1 \} } = \frac { 1 } { c _ { 5 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } , \ \Omega _ { 7 , 6 } ^ { \{ 1 \} } = - \frac { 1 } { c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ( c _ { 5 } ^ { \{ S \} } - c _ { 6 } ^ { \{ S \} } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 0 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { \sigma } ) } = } & { \frac { 1 } { \mathrm { A r e a } ( S , \sigma ) } \int _ { S } 4 | q | _ { \sigma } ^ { 2 } \big ( - ( \Delta _ { \sigma } - 2 ) ^ { - 1 } ( 1 ) \big ) d v _ { \sigma } = \frac { 1 } { \pi | \chi ( S ) | } \int _ { S } | q | _ { \sigma } ^ { 2 } d v _ { \sigma } = \frac { 1 } { \pi | \chi ( S ) | } \| q \| _ { \sigma } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { W } _ { \neq k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { W } _ { \neq k } ^ = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { - k } } \mathbf { W } _ { \neq k } ( : , i ) \mathbf { W } _ { \neq k } ( : , i ) ^ { \mathsf { T } } = \sum _ { \mathbf { i } _ { - k } } \Tilde { \mathbf { w } } _ { k } ( \mathbf { i } _ { - k } ) \Tilde { \mathbf { w } } _ { k } ( \mathbf { i } _ { - k } ) ^ { \mathsf { T } } ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ; B , d ) } & { \leq \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q _ { \tt a } ; B , 1 ) \cdot \alpha _ { 2 } ( \tilde { Q } ; 1 , d ) } \\ & { \leq \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q _ { \tt a } ; B , 1 ) \cdot \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \alpha _ { 2 } ( Q _ { { \tt a t } , R } ; 1 , d ) } \\ & { \leq B \sqrt { \frac { 1 } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } + { \frac { a _ { g } ( h _ { g } - 1 ) } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } } + 1 } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { \mu } } \sqrt { \frac { 9 + 3 \ln s } { ( k - 1 ) ^ { 2 } } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ( \mu _ { i } , \mu _ { j } ) } & { \geq \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ^ { [ M _ { \ell } ] } ( \vec { x } _ { i } ^ { [ M _ { \ell } ] } , \vec { x } _ { j } ^ { [ M _ { \ell } ] } ) - 2 N ^ { 2 } \epsilon \geq - 2 N ^ { 2 } \epsilon , } \end{array}
\mathscr { H } _ { 3 } ( V + S ) = \left\{ X = \left( \begin{array} { c c c } { x _ { 1 } } & { s _ { 0 } } & { s _ { 1 } } \\ { s _ { 0 } ^ { \flat } } & { x _ { 2 } } & { v } \\ { s _ { 1 } ^ { \flat } } & { v ^ { \flat } } & { x _ { 3 } } \end{array} \right) \ \mathrm { w i t h } \ x _ { i } \in \mathbb { K } , \ v \in V , s _ { i } \in S _ { i } \ \right\} \ .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \bar { \imath } \in ( I \cup J ) ^ { * } } \| A _ { j } A _ { \bar { \imath } } | \mathrm { I m } ( A _ { j } ) \| ^ { s } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \bar { \imath } _ { 0 } , \ldots , \bar { \imath } _ { k } \in ( I \cup J \setminus \{ j \} ) ^ { * } } \| A _ { j } A _ { \bar { \imath } _ { 0 } } A _ { j } \cdots A _ { j } A _ { \bar { \imath } _ { k } } | \mathrm { I m } ( A _ { j } ) \| ^ { s } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { \bar { \imath } \in ( I \cup J \setminus \{ j \} ) ^ { * } } \| A _ { j } A _ { \bar { \imath } } | \mathrm { I m } ( A _ { j } ) \| ^ { s } \right) ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { 0 } ^ { C } D _ { t } ^ { \alpha } v ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ) = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - s ) v ^ { \prime } ( s ) d s } \\ { \approx } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } } ^ { t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } } \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } - s ) ( v ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } - v ^ { k - \frac { 3 } { 2 } } ) d s } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { n - k } ^ { ( n ) } \nabla _ { \tau } v ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } : = \mathcal { D } _ { \tau } ^ { \alpha } v ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } , ~ ~ n \ge 1 , } \end{array}
m _ { \mathrm { c } } = { \frac { \lambda ^ { \prime } R _ { A ^ { \prime } } } { m _ { \mathrm { v } } \lambda R _ { A } } } = { \frac { 1 } { m _ { \mathrm { v } } } } \, { \frac { n } { n ^ { \prime } } } \, { \frac { R _ { A ^ { \prime } } } { R _ { A } } } \, ,
\int _ { 0 } ^ { \tau _ { B } } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } | L ( r ^ { 2 } L ) ^ { 2 } K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq C \int _ { \Sigma _ { 0 } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r | L ( r ^ { 2 } L ) ^ { 2 } K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r + C D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] .
\begin{array} { r l r l } { \lambda _ { x } } & { > \frac { \pi } { 2 \omega _ { x } } } & & { x \in \partial \Omega , \mathrm { ~ t w o ~ m a t e r i a l s , ~ u n i f o r m ~ b o u n d a r y ~ c o n d i t i o n } , } \\ { \lambda _ { x } } & { > \frac { \pi } { 2 \omega _ { x } } } & & { x \in \partial \Omega , \mathrm { ~ o n e ~ m a t e r i a l , ~ b o u n d a r y ~ c o n d i t i o n ~ c h a n g i n g } , } \\ { \lambda _ { x } } & { > \frac { 1 } { 2 } } & & { x \in \Omega , \mathrm { ~ t w o ~ a d j a c e n t ~ m a t e r i a l s } , } \\ { \lambda _ { x } } & { > \frac { 1 } { 4 } } & & { x \in \Omega , \mathrm { ~ t h r e e ~ a d j a c e n t ~ m a t e r i a l s } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 3 } ( \delta ) } & { = } & { c _ { 1 } \cos ^ { 2 } \delta \sin \delta + c _ { 2 } \cos \delta \sin ^ { 2 } \delta + c _ { 3 } \sin ^ { 3 } \delta } \\ { a _ { 4 } ( \delta ) } & { = } & { c _ { 4 } \cos ^ { 3 } \delta \sin \delta + c _ { 5 } \cos ^ { 2 } \delta \sin ^ { 2 } \delta + c _ { 6 } \cos \delta \sin ^ { 3 } \delta + c _ { 7 } \sin ^ { 4 } \delta } \\ & { } & { \vdots } \\ { a _ { N - 1 } ( \delta ) } & { = } & { c _ { 8 } \cos ^ { N - 2 } \delta \sin \delta + \cdots + c _ { 9 } \sin ^ { N - 1 } \delta } \\ { \Rightarrow } & { } & { | a _ { 3 } ( \delta ) | , \ldots , | a _ { N - 1 } ( \delta ) | \leq M | \sin \delta | } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { r } \underline { { M } } + \underline { { M } } ^ { \mathsf { T } } P _ { r } } & { \preceq - 2 \lambda _ { r } P _ { r } - \sigma _ { r } I _ { 2 } , } \\ { P _ { r } \overline { { M } } + \overline { { M } } ^ { \mathsf { T } } P _ { r } } & { \preceq - 2 \lambda _ { r } P _ { r } - \sigma _ { r } I _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { D R 2 } ^ { l } = } & { \, \frac { 1 } { \ln { ( 2 ) } \Gamma ( a + 1 ) } \left[ \frac { \pi \, \mathrm { c s c } \left( { a \pi } / { 2 } \right) } { \left( a + 2 \right) b ^ { a + 2 } } \left\{ \frac { \mathcal { F } _ { 4 } } { ( c _ { 1 } \rho _ { r } ) ^ { \frac { a } { 2 } + 1 } } - \frac { \mathcal { F } _ { 5 } } { ( c _ { 2 } \rho _ { r } ) ^ { \frac { a } { 2 } + 1 } } \, \right\} + \frac { \pi \, \mathrm { s e c } \left( { { a \pi } / { 2 } } \right) } { \left( a + 1 \right) b ^ { a + 1 } } \left\{ \frac { \mathcal { F } _ { 6 } } { ( c _ { 1 } \rho _ { r } ) ^ { \frac { a + 1 } { 2 } } } - \frac { \mathcal { F } _ { 7 } } { ( c _ { 2 } \rho _ { r } ) ^ { \frac { a + 1 } { 2 } } } \right\} \right. } \\ & { \left. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \, \Gamma ( a - 1 ) \left\{ \mathcal { F } _ { 8 } - \mathcal { F } _ { 9 } \right\} + \left( a ^ { 2 } - a \right) \Gamma ( a - 1 ) \ln \left( \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } , X ) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } H ( S _ { 1 } | S _ { 2 } ) + H ( Y _ { 1 } | S _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | S _ { 2 } ) + I ( S _ { 1 } ; Y _ { 1 } , X | S _ { 2 } ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } P _ { S _ { 1 } S _ { 2 } } ( 1 , 0 ) H ( Y _ { 1 } | S _ { 1 } = 1 , S _ { 2 } = 0 ) + H ( X ) + H ( Y _ { 1 } | X , S _ { 2 } ) - H ( Y _ { 1 } , X | S _ { 2 } , S _ { 1 } ) } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ S ~ V ~ T ~ } } ( V _ { t } , \mu ) d V _ { t } d \mu = C \underbrace { \frac { d \mu } { 2 } } _ { ( A ) } \underbrace { ( v _ { n } + V _ { t } ) \frac { 4 \beta ^ { 3 } } { \sqrt { \pi } } V _ { t } ^ { 2 } e ^ { - \beta ^ { 2 } V _ { t } ^ { 2 } } d V _ { t } } _ { ( B ) } \underbrace { \left( \frac { v _ { r } } { v _ { n } + V _ { t } } \right) } _ { ( C ) }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { b _ { k } = 1 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { b _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \sum _ { ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) \in \mathcal { D } _ { n _ { k } , m _ { k } } ( \{ b _ { k } \} ) } | I _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } } ) | ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } } \\ { \le } & { \sum _ { b _ { k } = 1 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { b _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } 4 ^ { k ( t + \frac { \varepsilon } { 2 } ) } \Big ( \frac { 1 } { q _ { \psi ( m _ { k } ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { k } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { j } - n _ { j } + 1 } ( b _ { j } , \ldots , b _ { j } ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \le } & { 4 ^ { k ( t + \frac { \varepsilon } { 2 } ) } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { \psi ( m _ { k } ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { k } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { j } - n _ { j } + 1 } ( i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \right) } \\ { \le } & { ( 4 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M ) ^ { k } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { \psi ( m _ { k } ) } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { k } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { j } - n _ { j } + 1 } ( 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \le } & { ( 1 6 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M ) ^ { k } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } \in \mathbb { N } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { \psi ( m _ { k } ) } , 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { 2 t + \varepsilon } } \\ { \le } & { ( 1 6 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M ) ^ { k } \sum _ { a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } - \lfloor m _ { k } ( \xi - \varepsilon ) \rfloor } \in \mathbb { N } } \Big ( \frac { 1 } { q _ { m _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { m _ { k } - \lfloor m _ { k } ( \xi - \delta ) \rfloor } , 1 , \ldots , 1 ) } \Big ) ^ { 2 s _ { m _ { k } } ( \xi - \varepsilon , { \tau ( 1 ) } ) + \varepsilon } } \\ { \le } & { ( 1 6 ^ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } M ) ^ { k } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { \frac { m _ { k } - 1 } { 2 } \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } f ^ { 2 } ( x _ { j } ) - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } f ^ { 2 } ( x ) d x | } \\ { = } & { | \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x _ { j } , y ) g ^ { 2 } ( y ) d y - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) g ^ { 2 } ( y ) d y d x | } \\ { = } & { | \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { N } K ( x _ { j } , y ) g ^ { 2 } ( y ) d y - \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } g ^ { 2 } ( y ) \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } K ( x , y ) d x d y | , } \end{array}
{ \cal C } _ { \cal A } = | C A _ { 1 } | + | C A _ { 2 } | \ , \qquad \mathrm { o r : } \quad { \cal C } _ { \cal A } = \sqrt { ( C A _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( C A _ { 2 } ) ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { [ 1 . 3 ] \hat { k } _ { x } } \\ { \hat { k } _ { y } } \\ { \hat { k } _ { z } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { [ 1 . 3 ] \cos { \Theta _ { \mathrm { i } } } } & { 0 } & { \sin { \Theta _ { \mathrm { i } } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin { \Theta _ { \mathrm { i } } } } & { 0 } & { \cos { \Theta _ { \mathrm { i } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { [ 1 . 3 ] \hat { k } _ { x } ^ { \parallel } } \\ { \hat { k } _ { y } ^ { \parallel } } \\ { \hat { k } _ { z } ^ { \parallel } } \end{array} \right) } \end{array}
\bar { g } ( x ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { k } e ^ { i k x } = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \beta ^ { - k } e ^ { i k x } = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta ^ { m } e ^ { - i m x } = g ^ { * } ( x )
\mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } = ( \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { S } ^ { T } - \mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { B } _ { v } ^ { - 1 } ) \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } ,
S = \int d ^ { 4 } x \{ \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a , \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } T r \{ ( D _ { \mu } \phi _ { 1 } ) ^ { 2 } \} + \frac { 1 } { 2 } T r \{ ( D _ { \mu } \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } \} - \frac { \lambda } { 4 } ( T r \{ \phi _ { 1 } ^ { 2 } \} - T r \{ \phi _ { 2 } ^ { 2 } \} - f ^ { 2 } ) ^ { 2 } \} \quad .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } y ^ { i } \left( - \phi _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ) + q ^ { i } \phi ^ { i } \right) \; d x d t } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { Q _ { i } } f ^ { i } \phi ^ { i } d x \, d t + \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { a } ^ { b _ { i } } y ^ { 0 , i } ( x ) \phi ^ { i } ( x , 0 ) \; d x } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = m + 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } v _ { i } ( t ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t - \displaystyle \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { i } ( t ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \; d t . } \end{array}
{ \cal { S } } ^ { \alpha \beta } = \frac { \partial U ^ { \beta } } { \partial x ^ { \alpha } } + \frac { \partial U ^ { \alpha } } { \partial x ^ { \beta } } - \frac { 2 } { 3 } { \boldsymbol { \nabla } } { \boldsymbol { \cdot } } { \bf { U } } \delta ^ { \alpha \beta } ,
\begin{array} { r l } { H ^ { 2 } + \frac { k } { a ^ { 2 } } } & { = \Lambda _ { 4 } + \frac { 8 \pi G _ { 4 } } { 3 } \rho \left( 1 + \frac { \rho } { 2 \sigma } \right) + \frac { \mu } { a ^ { 4 } } , } \\ { \dot { H } - \frac { k } { a ^ { 2 } } } & { = - 4 \pi G ( \rho + p ) \left( 1 + \frac { \rho } { \sigma } \right) - 2 \frac { \mu } { a ^ { 4 } } , } \end{array}