harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m [ ( \phi _ { a ^ { \prime } } \otimes \phi _ { R _ { a ^ { \prime } } } ) ( i d \otimes S ) \Delta ( t ) ] = \phi _ { a ^ { \prime } } ( m [ ( i d \otimes S ) \Delta ( t ) ] ) = \phi _ { a ^ { \prime } } ( \bar { e } ( t ) ) = \phi _ { a ^ { \prime } } ( 0 ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { | \Psi ( u ) - \Psi ( u _ { N , h } ) | } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi ^ { \prime } ( u + z ( u _ { N , h } - u ) ) ( u - u _ { N , h } ) d z \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \Psi ^ { \prime } ( u + z ( u _ { N , h } - u ) ) \| _ { \mathcal { L } ( H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) ; \mathbb { R } ) } \| u - u _ { N , h } \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } d z } \\ & { \le C \left( 1 + \| u \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } ^ { \rho _ { 2 } } + \| u - u _ { N , h } \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } ^ { \rho _ { 2 } } \right) \| u - u _ { N , h } \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } } \\ & { \le C \left( 1 + \| u \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } ^ { \rho _ { 2 } } + \| u _ { N , h } \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } ^ { \rho _ { 2 } } \right) \| u - u _ { N , h } \| _ { H ^ { \theta } ( \mathcal { D } ) } . } \end{array}
\dot { \Psi _ { i } } = ( \gamma _ { i } - | \Psi _ { i } | ^ { 2 } ) \Psi _ { i } - i U | \Psi _ { i } | ^ { 2 } \Psi _ { i } + \sum _ { j \ne i } { \cal C } _ { i j } \Psi _ { j } ,
\boldsymbol { \nu } = \nu \left( \begin{array} { c } { - f ^ { \prime } \cos { \theta } } \\ { - f ^ { \prime } \sin { \theta } } \\ { 1 } \end{array} \right) , \quad \nu = \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } .
V ^ { ( 4 ) } = e ^ { K ^ { ( 4 ) } } \left( G ^ { - 1 \alpha \bar { \beta } } D _ { \alpha } W D _ { \bar { \beta } } \bar { W } + ( L ^ { \tilde { A } } \partial _ { \tilde { A } } K ^ { ( 4 ) } - 3 ) | W | ^ { 2 } \right) \ ,
\operatorname { e r f } ( z ) = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } z ^ { 2 n + 1 } } { n ! ( 2 n + 1 ) } } = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \left( z - { \frac { z ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { z ^ { 5 } } { 1 0 } } - { \frac { z ^ { 7 } } { 4 2 } } + { \frac { z ^ { 9 } } { 2 1 6 } } - \cdots \right)
\sin \theta _ { \mathrm { C } } \; = \; \sqrt { s _ { l } ^ { 2 } c _ { \nu } ^ { 2 } + c _ { l } ^ { 2 } s _ { \nu } ^ { 2 } - 2 s _ { l } ^ { ~ } c _ { l } ^ { ~ } s _ { \nu } c _ { \nu } \cos \phi } \; \; .
\begin{array} { r } { v _ { \mathrm { H } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { \mathrm { H } } ^ { i } , } & { x \in D , } \\ { v _ { \mathrm { H } } ^ { e } , } & { x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \setminus \overline { { D } } , } \end{array} \right. \qquad v _ { \mathrm { M } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { \mathrm { M } } ^ { i } , } & { x \in D , } \\ { v _ { \mathrm { M } } ^ { e } , } & { x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \setminus \overline { { D } } . } \end{array} \right. } \end{array}
( \vec { \varphi } _ { i } , \vec { v } ) _ { H _ { 0 , \epsilon , \mu } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) } = ( 1 + \lambda _ { i } ) ( \vec { \varphi } _ { i } , \vec { v } ) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ) } \quad \textmd { a n d } \quad { \left\lVert { \vec { \varphi } _ { i } } \right\rVert } _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ) } = 1 .
\begin{array} { r l } { | A | ( [ 0 ] ) } & { = \mathsf { G p d } ( 1 , | A | ) } \\ & { = \mathsf { G p d } \left( 1 , \int ^ { v \in \mathsf { W e i l } _ { 1 } } A ( v ) \bullet \partial v \right) } \\ & { = \int ^ { v } A ( v ) \times \mathsf { G p d } ( 1 , \partial v ) } \\ & { = \int ^ { v } A ( v ) \times D ^ { v } = A ( R ) } \end{array}
= \prod _ { j = 1 } ^ { r } z _ { j } ^ { \frac { r - 2 j + 1 } { 2 } \gamma } \times \mathrm { ( L a u r e n t e n t w i c k l u n g ~ i n ~ N u l l ~ v o n ~ } ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { r } ) ) ,
{ \left( \frac { \sqrt { t _ { + } - t ^ { \vphantom { 2 } } } + \sqrt { t _ { + } ^ { \vphantom { 2 } } } } { \sqrt { t _ { + } - t ^ { \vphantom { 2 } } } + \sqrt { t _ { + } + Q ^ { 2 } } } \right) } ^ { d } ,
\hat { \mathbf { n } } _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { N } _ { i } } { \lVert \mathbf { N } _ { i } \rVert } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \widetilde { \rho } _ { i } \lVert \mathbf { N } _ { i } \rVert > \epsilon / h } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
W _ { 0 } \Psi _ { 0 } ( 1 , 2 ) = [ \sum _ { i = 1 , 2 } \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } + \hat { h } _ { 0 } ^ { 2 } ( i ) ] \Psi _ { 0 } ( 1 , 2 ) = [ \sum _ { i = 1 , 2 } \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } } ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } + { \vec { p } _ { i } } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } ) ] \Psi _ { 0 } ( 1 , 2 )
g _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { ~ b ~ l ~ a ~ c ~ k ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } = \left( \begin{array} { c c c } { - ( c _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 2 G M } { r } ) } & { \vdots } & { - \sqrt { \frac { 2 G M } { r } } { r _ { j } } } \\ { \ldots } & { \cdot } & { \ldots } \\ { - \sqrt { \frac { 2 G M } { r } } { r _ { i } } } & { \vdots } & { \delta _ { i j } } \end{array} \right) .
{ \cal Q } _ { a } ^ { 1 } ( B ) = { \cal Q } _ { a } ^ { 1 } ( 0 ) \left( 1 + { \frac { g _ { 1 } ^ { s } } { 2 \pi ^ { 2 } } } + \cdots \right) ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \left| e B \right| \ln 2 } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } + \cdots \right) ^ { 2 . 5 / 3 } ,
\mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( 1 ) } } \\ { a _ { \nu } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } } \\ { a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } } \end{array} \right)
\left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { 1 } } } \\ { { \tilde { f } _ { 2 } } } \end{array} \right) \equiv V ^ { f \dagger } \left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { L } } } \\ { { \tilde { f } _ { R } } } \end{array} \right) .
{ \left[ \begin{array} { l } { M } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \ddot { q } } } \end{array} \right\} } + { \left[ \begin{array} { l } { K } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \Psi } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { q } \end{array} \right\} } = 0 .
\begin{array} { r } { \Delta { g } _ { \mathrm { p o i n t } } ^ { \mathrm { l e p t . } } ( 1 s ) = - \frac { 8 \alpha ( Z \alpha ) } { 3 \pi s } \left[ I _ { 1 3 3 } - \frac { 1 } { 3 } I _ { 2 3 3 } + \frac { Z \alpha s } { 2 \gamma } \left( I _ { 1 2 2 } - \frac { 1 } { 3 } I _ { 2 2 2 } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathbf { k } } = \frac { c } { n _ { \mathrm { c } } } \sqrt { k _ { \perp } ^ { 2 } + k _ { \parallel } ^ { 2 } } = \frac { c k _ { \perp } } { n _ { \mathrm { c } } } \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \Sigma } ( r ) = \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r } \d s \, s ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { t o t } } ( s ) + \int _ { r } ^ { \infty } \d s \, \frac { 4 s \rho _ { \mathrm { t o t } } ( s ) } { s + \sqrt { s ^ { 2 } - r ^ { 2 } } } . } \end{array}
M _ { d } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 . 0 2 4 2 - 0 . 0 0 7 9 \, i } } & { { 0 } } \\ { { 0 . 0 2 4 2 + 0 . 0 0 7 9 \, i } } & { { 1 . 6 0 0 7 } } & { { - 0 . 3 3 1 9 + 1 . 4 2 2 3 \, i } } \\ { { 0 } } & { { - 0 . 3 3 1 9 - 1 . 4 2 2 3 \, i } } & { { 1 . 4 7 5 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { E 1 M 2 } } & { = } & { \frac { \alpha g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 6 } \left[ 1 - \frac { 7 \pi } { 4 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! , } \\ { P ^ { \prime ( M 1 , M 1 ) 1 } ( 0 ) } & { = } & { \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 8 M } \left[ - 1 + \frac { 7 \pi } { 4 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! , } \\ { P ^ { \prime ( L 1 , L 1 ) 1 } ( 0 ) } & { = } & { \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 9 M } \left[ 1 - \frac { 1 7 \pi } { 8 } \frac { m _ { \pi } } { M _ { N } } \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( z _ { 1 } ) - \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( z _ { 2 } ) | } & { = | z _ { 1 } e ^ { - i \tau f ( | z _ { 1 } | ^ { 2 } ) } - z _ { 2 } e ^ { - i \tau f ( | z _ { 2 } | ^ { 2 } ) } | } \\ & { \leq | z _ { 1 } - z _ { 2 } | + | z _ { 2 } | \left| 1 - e ^ { - i \tau ( f ( | z _ { 1 } | ^ { 2 } ) - f ( | z _ { 2 } | ^ { 2 } ) ) } \right| } \\ & { \leq | z _ { 1 } - z _ { 2 } | + \tau | z _ { 2 } | \left| f ( | z _ { 1 } | ^ { 2 } ) - f ( | z _ { 2 } | ^ { 2 } ) \right| . } \end{array}
\operatorname { s g n } ( z ) = { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { s g n } ( z _ { 1 } ) } \\ { \operatorname { s g n } ( z _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { \operatorname { s g n } ( z _ { i } ) } \\ { \vdots } \\ { \operatorname { s g n } ( z _ { n } ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \left\langle u _ { n - 1 } ^ { * < } ( \omega ^ { \prime } - \omega ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \left\langle u _ { n - 2 } ^ { < } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = } & { u _ { n - 2 } ^ { < } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i q _ { \rho } \widetilde { M } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m ) } & { { } = } & { \frac { m ^ { 2 } e _ { f } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { 1 } { m ^ { 2 } - x k _ { 1 } ^ { 2 } - y k _ { 2 } ^ { 2 } + ( x k _ { 1 } - y k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { a = f - b \in \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \mathrm { Y } _ { \mathcal { D } } ) \subset \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { , ~ } } \end{array}
\delta \vec { B } _ { \perp } = \sum _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } } \sqrt { \frac { 2 } { N _ { k _ { x } } N _ { k _ { y } } N _ { k _ { z } } } } \frac { \delta B _ { r m s } } { k } ( k _ { y } \hat { x } - k _ { x } \hat { y } ) \cos ( k _ { x } x + k _ { y } y + k _ { z } z + \phi _ { B } ( k _ { x } , k _ { y } , k _ { z } ) ) ,
\begin{array} { r l } { ( \theta * 1 _ { f d b } ) ( 1 _ { j f } * \alpha ) } & { = \bigl ( \theta * 1 _ { f } * 1 _ { d b } \bigr ) ( 1 _ { j f } * \alpha ) } \\ & { = \bigl ( ( \theta * 1 _ { f } ) ( 1 _ { j f } ) \bigr ) * ( 1 _ { d b } \alpha ) } \\ & { = \theta * 1 _ { f } * \alpha } \\ & { = ( 1 _ { k i } \theta ) * \bigl ( ( 1 _ { f } * \alpha ) ( 1 _ { f a } ) \bigr ) } \\ & { = \bigl ( 1 _ { k i } * 1 _ { f } * \alpha \bigr ) ( \theta * 1 _ { f a } ) } \\ & { = ( 1 _ { k i f } * \alpha ) ( \theta * 1 _ { f a } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Xi _ { 1 } = \left( 1 + \bar { \eta } \right) ^ { 2 } - \left( \bar { \eta } - 1 \right) ^ { 2 } e ^ { i \left( \phi _ { + } + \phi _ { - } \right) } \, , } \\ & { } & { \Xi _ { 2 } = \left( 1 - \bar { \eta } ^ { 2 } \right) \left( e ^ { i \left( \phi _ { + } + \phi _ { - } \right) } - 1 \right) \, , } \\ & { } & { \phi _ { + } + \phi _ { - } = 2 \omega L \sqrt { \mu \varepsilon } \, ; \mathrm { ~ } \bar { \eta } \equiv \eta / \eta ^ { \prime } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial { \phi } } { \arg { \Tilde { \Psi } ( r , \phi ) } } = \frac { 1 } { 2 r } \left( l _ { 1 } + l _ { 2 } + \frac { ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) ( 1 - { b ( r , l _ { 1 } , p _ { 1 } , l _ { 2 } , p _ { 2 } ) } ^ { 2 } ) } { 1 + { b ( r , l _ { 1 } , p _ { 1 } , l _ { 2 } , p _ { 2 } ) } ^ { 2 } + 2 { b ( r , l _ { 1 } , p _ { 1 } , l _ { 2 } , p _ { 2 } ) } { \cos \{ ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) \phi \} } } \right) ,
\begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t = } & { \Big [ \lambda _ { i } u _ { i } + u _ { i } \sum _ { 1 \leq j < i } \chi _ { i , j } u _ { j } - u _ { i } \sum _ { j \geq i } \chi _ { i , j } u _ { j } \Big ] \, d t } \\ & { \qquad + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } } \end{array}
\rho _ { y } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 1 , y } \rho _ { y } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \sum _ { \mathcal { M } } \sum _ { \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \alpha ) } , \eta _ { \mathcal { M } } ^ { ( \beta ) } } \Big ( \sum _ { \Phi \in \Tilde { \mathcal { P } } } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \alpha ) * } \eta _ { \mathcal { M } , \Phi } ^ { ( \beta ) } \Big ) \left| \psi ( \mathcal { M } , \alpha ) \middle > \middle < \psi ( \mathcal { M } , \beta ) \right| ,
{ T ^ { k } } _ { i j } = \theta ^ { k } \left( \nabla _ { \mathbf { e } _ { i } } \mathbf { e } _ { j } - \nabla _ { \mathbf { e } _ { j } } \mathbf { e } _ { i } - \left[ \mathbf { e } _ { i } , \mathbf { e } _ { j } \right] \right)
\begin{array} { r l r } { \dot { \Sigma } _ { \mathrm { i n t } } } & { = } & { \sum _ { u , s } \left( \Gamma _ { s \to s + 1 } p _ { U , S } ( u , s , h , t ) + \right. } \\ & { ~ } & { \left. - \Gamma _ { s + 1 \to s } p _ { U , S } ( u , s + 1 , h , t ) \right) \log \frac { \Gamma _ { s \to s + 1 } } { \Gamma _ { s + 1 \to s } } } \end{array}
E = \frac { g ^ { 2 } L } { 4 } \left( \sum _ { m } ^ { \mathrm { o c c } } m ^ { 2 } - \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { m } ^ { \mathrm { o c c } } m \right) ^ { 2 } \right) - \frac { N g ^ { 2 } L ( N ^ { 2 } - 1 ) } { 4 8 } \ ,
p _ { \infty } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( \bar { p } + \bar { q } - 2 \bar { p } \bar { q } ) ^ { k } \bar { p } \bar { q } = \frac { \bar { p } \bar { q } } { ( 1 - \bar { p } - \bar { q } + 2 \bar { p } \bar { q } ) } = \frac { 1 } { 1 + r ^ { ( \gamma _ { r } + \gamma _ { p } ) } } \; .
\begin{array} { r l r } { C _ { 1 } | u | ^ { r + 1 } - C _ { 2 } \leq q ( u ) } & { \leq } & { C _ { 3 } | u | ^ { r + 1 } + C _ { 4 } , } \\ { | q ^ { \prime } ( u ) | } & { \leq } & { C _ { 5 } | u | ^ { r } + C _ { 6 } } \\ { C _ { t } | u | ^ { r - 1 } - C _ { 8 } } & { \leq } & { q ^ { \prime \prime } ( u ) \leq C _ { 9 } | u | ^ { r - 1 } + C _ { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } : = \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \left( \mathrm { i d } - \check { \boldsymbol { \mathbf { p } } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell - 1 } \right) ^ { - 1 } \check { \boldsymbol { \mathbf { r } } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell } \right) \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 2 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { \frac { 4 } { ( \cos \theta - 1 ) ^ { 2 } ( \cos \theta + 1 ) } ( I _ { 1 } I _ { 2 } + I _ { 3 } ) } \\ { = } & { - \frac { 1 } { ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( ( - \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 4 \cos \theta } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta ) \frac { 1 } { s } } \\ & { + ( 1 - \frac { 1 } { 2 \cos \theta } ) + ( - 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) - \frac { 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } - \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } ) s + \mathcal { O } ( s ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \eta ( \varphi ) } & { = \frac { \eta _ { e } } { 1 + \frac { 2 } { 3 } \alpha a _ { 0 } ^ { 2 } \eta _ { e } \mathcal { I } ( \varphi ) } , } & { \mathcal { I } ( \varphi ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \varphi } \left[ g ^ { 2 } ( \psi ) + \left( \frac { d g } { d \psi } \right) ^ { 2 } \right] \, \mathrm { d } \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { i , j , 4 } + _ { j , i + 1 , 4 } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , i + 1 } t ^ { w } e _ { i + 1 , u } t ^ { - s } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { j } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { j , u } t ^ { - s } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w } } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { j , j } t ^ { - s } \otimes e _ { j , v } t ^ { s - w } , } \end{array}
\frac { d \mathrm { N u } } { d \mathbf { c } } = \frac { d \mathrm { N u } } { d \mathbf { T } } \frac { d \mathbf { T } } { d \mathbf { \Psi } } \frac { d \mathbf { \Psi } } { d \mathbf { c } } \quad ; \quad \frac { d \mathrm { N u } } { d L _ { x } } = \frac { d \mathrm { N u } } { d \mathbf { T } } \frac { d \mathbf { T } } { d L _ { x } } + \frac { d \mathrm { N u } } { d \mathbf { T } } \frac { d \mathbf { T } } { d \mathbf { \Psi } } \frac { d \mathbf { \Psi } } { d L _ { x } } .
\begin{array} { r l r } { r _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \left[ \lambda r _ { j } + \rho _ { j } \cos { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } \right] } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { { } = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \rho _ { j } \sin { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { j } U _ { 1 } ^ { \top } = ( U _ { j } O ) ( U _ { 1 } O ) ^ { \top } = ( U _ { j } ^ { * } + \xi _ { j } ) ( U _ { 1 } ^ { * } + \xi _ { 1 } ) ^ { \top } = U _ { j } ^ { * } ( U _ { 1 } ^ { * } ) ^ { \top } + \xi _ { j } ( U _ { 1 } ^ { * } ) ^ { \top } + U _ { j } ^ { * } \xi _ { 1 } ^ { \top } + \xi _ { j } \xi _ { 1 } ^ { \top } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 - { \tilde { x } } } e ^ { - n f ( { \tilde { y } } ) } d { \tilde { y } } = \int _ { 0 } ^ { 1 - { \tilde { x } } } \frac { - 1 } { n f ^ { \prime } ( { \tilde { y } } ) } ( e ^ { - n f ( { \tilde { y } } ) } ) ^ { \prime } d { \tilde { y } } = \frac { 1 } { n f ^ { \prime } ( 0 ) } + O ( n ^ { - 2 } ) } \end{array}
\mathcal { F } _ { \omega } \langle u ^ { 2 } ( t ) \rangle _ { n e q } = \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \hat { F } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { F } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \hat { \chi } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { \chi } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \, .
\sum _ { i \in \mathcal { I } } { n _ { i } a _ { i } \chi _ { i j } } \rightarrow \sum _ { i \in \mathcal { I } } \int _ { \theta } { a _ { i , \theta } \cdot \chi _ { i } \left( l _ { j } ^ { \parallel } , l _ { j } ^ { \perp } , \theta \right) d \theta } .
\begin{array} { r l } { \left. \langle v _ { 1 , r } \rangle \right| _ { r = 1 } } & { { } = \left. \frac { 1 } { r \sin \theta } \frac { \partial ( \langle \varphi _ { 1 } \rangle \sin \theta ) } { \partial \theta } \right| _ { r = 1 } = 0 ~ } \\ { \left. \langle v _ { 1 , \theta } \rangle \right| _ { r = 1 } } & { { } = - \left. \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \langle \varphi _ { 1 } \rangle ) } { \partial r } \right| _ { r = 1 } = - \frac { \kappa } { M ^ { 2 } } \sin 2 \theta ~ G _ { 1 } ( \zeta ) F ( m ) F ^ { * } ( m ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { P } ( k ) = \frac { 1 } { f } \left[ \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } } P ( k ^ { \prime } ) \binom { k ^ { \prime } } { k } \hat { f } ^ { k } ( 1 - \hat { f } ) ^ { k ^ { \prime } - k } - \Delta f P ( k _ { \mathrm { c u t } } ) \binom { k _ { \mathrm { c u t } } } { k } \hat { f } ^ { k } ( 1 - \hat { f } ) ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - k } \right] , } \\ { \hat { Q } ( k ) = \frac { 1 } { \hat { f } } \left[ \sum _ { k ^ { \prime } = k _ { \mathrm { m i n } } } ^ { k _ { \mathrm { c u t } } } Q ( k ^ { \prime } ) \binom { k ^ { \prime } } { k } \hat { f } ^ { k } ( 1 - \hat { f } ) ^ { k ^ { \prime } - k } - \Delta f Q ( k _ { \mathrm { c u t } } ) \binom { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 } { k } \hat { f } ^ { k } ( 1 - \hat { f } ) ^ { k _ { \mathrm { c u t } } - 1 - k } \right] . } \end{array}
O \left( \frac { \sqrt { m + n } } { \epsilon ^ { 2 . 5 } } \log ^ { 4 } \left( \frac { m n } { \epsilon } \right) \log ^ { 2 . 5 } \left( \frac { m n } { \alpha \epsilon } \right) + \frac { \sqrt { m + n } } { \epsilon ^ { 2 } } \log ^ { 4 } \left( \frac { m n } { \epsilon } \right) \log ^ { 3 } \left( \frac { m n } { \alpha \epsilon } \right) + \frac 1 { \epsilon ^ { 3 } } \log ^ { 7 } \left( \frac { m n } { \epsilon } \right) \right) .
\frac { 1 } { v _ { \perp } } \left( \mu v _ { \| } \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { ~ d } z } + B \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } t } \right) = \frac { m } { 2 B } \frac { d B } { d z } v _ { \perp } v _ { \| }
\begin{array} { r l } { \chi _ { n } \circ \psi _ { n } \circ h _ { n } \circ g _ { n - 1 } ( q _ { n - 1 } ) } & { = \chi _ { n - 1 } \circ \psi _ { n - 1 } \circ h _ { n - 1 } ( q _ { n - 1 } ) \quad \mathrm { f o r ~ e a c h ~ q _ { n - 1 } ~ \in ~ I _ { n - 1 } ^ + ~ } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \chi _ { n } \circ \psi _ { n } \circ h _ { n } \circ g _ { n } ^ { - 1 } ( q _ { 1 } ) } & { = \chi _ { 1 } \circ \psi _ { 1 } \circ h _ { 1 } ( q _ { 1 } ) \quad \mathrm { f o r ~ e a c h ~ q _ { 1 } ~ \in ~ I _ { 1 } ^ - ~ } . } \end{array}
\Delta _ { \ell _ { w } ^ { 1 } } ( x , S , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } \left\{ | ( A ^ { * } ( A x - y ) ) _ { j } | - \frac { \lambda } { 2 } w _ { j } , 0 \right\} ^ { 2 } } & { j \notin S } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ | x _ { j } | ( \lambda w _ { j } - | x _ { j } | ) , \lambda w _ { j } \left( | x _ { j } | - \frac { \lambda w _ { j } } { 4 } - \left| | x _ { j } | - \frac { \lambda w _ { j } } { 2 } \right| \right) , 0 \right\} } & { j \in S } \end{array} \right. .
P _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ } , n } = \langle p _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ } , n } \rangle = 1 + ( n ! ) ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } \frac { Z _ { k } + Z _ { k } ^ { \ast } } { ( n + k ) ! ( n - k ) ! } \ .
F _ { 2 } = { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha _ { e m } } } \int d ^ { 2 } x _ { \perp } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \sum _ { F } e _ { F } ^ { 2 } \vert \psi _ { T } ( x _ { \perp } , z , Q ) \vert ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ( 1 - e ^ { x _ { \perp } ^ { 2 } { \bar { Q } } _ { s } ^ { 2 } / 4 } )
S = \int d x ^ { + } d x ^ { - } \, \mathrm { t r } \Bigg [ \partial _ { + } \phi \partial _ { - } \phi + i \psi \partial _ { + } \psi + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } J ^ { + } \frac { 1 } { \partial _ { - } ^ { 2 } } J ^ { + } - \frac { 1 } { 2 } i g ^ { 2 } [ \phi , \psi ] \frac { 1 } { \partial _ { - } } [ \phi , \psi ] \Bigg ] .
{ \cal L } _ { 0 } \equiv \frac { 1 } { 4 } f ^ { 2 } T r [ ( D _ { \mu } U ) ^ { \dag } ( D ^ { \mu } U ) ] - \frac { 1 } { 4 } B _ { \mu \nu } B ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } T r W _ { \mu \nu } W ^ { \mu \nu } ,
F _ { u u u } = { { \epsilon ^ { 2 } } } \frac { 6 4 ( - 3 u + 4 m ^ { 2 } ) } { - 2 5 6 u ^ { 2 } ( u - m ^ { 2 } ) + 3 2 \Lambda ^ { 3 } m ( 9 u - 8 m ^ { 2 } ) - 2 7 \Lambda ^ { 6 } } + { \cal O } ( \epsilon ^ { 3 } ) .