harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { H } = - \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } - \sum _ { i , A } \frac { Z _ { A } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { A } | } + \sum _ { i , j } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } + E _ { R } ,
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { { } = \hat { u } _ { y } | _ { t = 0 } = 0 , } \\ { a _ { 2 } } & { { } = \frac { \partial { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t } } | _ { t = 0 } = \alpha g \left( \frac { k _ { z } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) \hat { \Theta } _ { 0 } , } \\ { a _ { 3 } } & { { } = \frac { \partial ^ { 2 } \hat { u } _ { y } } { \partial { t ^ { 2 } } } | _ { t = 0 } = 0 , } \\ { a _ { 4 } } & { { } = \frac { \partial ^ { 3 } { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t ^ { 3 } } } | _ { t = 0 } = - ( \omega _ { M } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { A } ^ { 2 } ) ~ a _ { 2 } , } \\ { a _ { 5 } } & { { } = \frac { \partial ^ { 4 } { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t ^ { 4 } } } | _ { t = 0 } = \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { \eta } ~ a _ { 2 } . } \end{array}
\frac 1 { d _ { \nu , n } ^ { 2 } - 2 \nu d _ { \nu , n } + \nu ^ { 2 } / t ^ { 2 } } \quad f ^ { - 1 / 4 } ( \epsilon , t ) \quad \frac { S _ { u } ^ { + } \left( \nu , t f ^ { ( } - 1 / 2 ) ( \epsilon , t ) \right) } { S _ { u } ^ { + } \left( \nu , t \right) } \times
\begin{array} { r l } { U ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) } & { \le \operatorname* { m a x } _ { t _ { 0 } \le t \le t _ { 0 } + \varepsilon } \sum _ { i \in S _ { 1 } } | a _ { i } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) | + 4 \sqrt { \frac { \pi } { \varepsilon } } \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } \sqrt { | a _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) | \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } } } \\ & { \le \| a ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| | S _ { 1 } | + \| a ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| ^ { 1 / 2 } 4 \sqrt { \frac { \pi } { \varepsilon } } \Big ( \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } | \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } | ^ { 2 / 3 } \Big ) ^ { 3 / 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { d { \cal P } } { d z } \simeq 2 i \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ( t , z ) - \partial _ { t } \psi _ { s } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \right] . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \vec { x } } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \Omega _ { \textrm { r f } } ^ { 2 } \left[ A + 2 Q \cos \left( \Omega _ { \textrm { r f } } t \right) \right] \cdot \vec { x } = 0
\begin{array} { r l } & { \left\| \Phi \left( \cdot , r _ { n } \right) - I _ { N } \Phi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } + \varepsilon ^ { 2 p } \left\| \partial _ { r } \Phi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \Upsilon ^ { n } \right\| } \\ & { \lesssim h ^ { m } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 p } } + \lambda _ { 0 } ^ { m + \alpha / 2 } , \quad 0 \leq n \leq T / { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| X _ { t - s } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } - s } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = E \left[ \left| X _ { t - s } ^ { \varepsilon } - \phi ( t _ { k - 1 } - s ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \leq 2 ^ { p - 1 } \left( E \left[ \left| X _ { t - s } ^ { \varepsilon } - X _ { 0 } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] + \left| \phi ( 0 ) - \phi ( t _ { k - 1 } - s ) \right| ^ { p } \right) } \\ & { \leq \tilde { C } _ { p } \int _ { 0 } ^ { t - s } E \left[ \left| X _ { u } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } + \left| H \left( X _ { u - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mathrm { d } u } \\ & { \quad + 2 ^ { p - 1 } | \phi ( 0 ) - \phi ( t _ { k - 1 } - s ) | ^ { p } } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \Big ( \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p } \Big ) + R _ { k - 1 } \Big ( \varepsilon ^ { p } \big ( t - t _ { k - 1 } \big ) ^ { p / 2 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } v _ { c } ^ { 2 } - v _ { c } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } v _ { e } ^ { 2 } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } v _ { c } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } v _ { e } ^ { 2 } } \\ { - v _ { c } ^ { 2 } } & { = v _ { e } ^ { 2 } } \\ { \sqrt { - v _ { c } ^ { 2 } } } & { = v _ { e } } \\ { \sqrt { - 1 } v _ { c } } & { = v _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { r o t } } } & { { } = R T ^ { 2 } \left( { \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { r o t } } } { \partial T } } \right) } \\ { C _ { v , { \mathrm { ~ r o t } } } } & { { } = { \frac { \partial U _ { \mathrm { r o t } } } { \partial T } } } \end{array}
\mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { t } ) = ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t } ) ^ { T } , \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t + 1 } ) ^ { T } , . . . , \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { t + q - 1 } ) ^ { T } ) ^ { T }
A _ { t } \le A _ { t } ^ { i n s t } \equiv \frac { \sqrt { ( 6 m _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } + 6 m _ { t } ^ { 2 } + m _ { Z ^ { 0 } } ^ { 2 } - 4 m _ { W ^ { \pm } } ^ { 2 } ) ( 3 m _ { \tilde { t } _ { R } } ^ { 2 } + 3 m _ { t } ^ { 2 } + 2 m _ { W ^ { \pm } } ^ { 2 } ) } } { 3 \sqrt { 2 } m _ { t } }
\frac { \Delta \Gamma ^ { \mathrm { \tiny ~ o s c } } } { \Gamma _ { Q } } = 6 \pi ^ { 4 } \left( \frac { \beta } { M _ { H _ { Q } } } \right) ^ { 9 } \, \left[ x ( 1 - x ) - \frac { 1 } { 6 } \right]
C _ { d s } = \frac { \biggl \langle \left[ \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { i } \tilde { u } _ { j } } - \left( \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { i } } \widehat { \overline { { \rho } } \tilde { u } _ { j } } / \widehat { \overline { { \rho } } } \right) \right] \tilde { S } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \tilde { S } _ { m m } \left( \mathscr { T } _ { l l } - \widehat { \sigma } _ { l l } \right) \biggr \rangle } { \biggl \langle 2 { \Delta } ^ { 2 } \left[ \widehat { \overline { { \rho } } | \tilde { S } | \tilde { S } _ { i j } } \tilde { S } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \left( \overline { { \rho } } | \tilde { S } | \tilde { S } _ { m m } \right) ^ { \widehat { } } \tilde { S } _ { l l } \right] - 2 \widehat { \Delta } ^ { 2 } \left( \widehat { \overline { { \rho } } } | \widehat { \tilde { S } } | \widehat { \tilde { S } } _ { i j } \tilde { S } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \widehat { \overline { { \rho } } } | \widehat { \tilde { S } } | \widehat { \tilde { S } } _ { m m } \tilde { S } _ { l l } \right) \biggr \rangle } \, \mathrm { ~ . ~ }
0 \leftarrow m _ { q } ( T _ { c } ) = m _ { q } + \frac { 8 N _ { c } g ^ { 2 } m _ { q } } { - m _ { \sigma } ^ { 2 } } \left( \frac { T _ { c } ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \right) J _ { + } ( 0 ) ,
\begin{array} { r } { - \frac { \mathrm { ~ d ~ \, ~ \, ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \Psi ( \Phi ( { \boldsymbol x } ( t ) ) ) = \frac { \| \nabla \Phi \| ^ { 2 } } { c | \Phi ( { \boldsymbol x } ( t ) ) - \Phi ( { \boldsymbol x } _ { 0 } ) | ^ { \mu } } \geq \| \dot { { \boldsymbol x } } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { d _ { \xi } \mathcal L = 0 \quad } & { \Leftrightarrow \qquad } & { \frac { d } { d t } z = \mathcal J \, \nabla \mathcal H ( z ) , \quad z ( 0 ) = ( 0 , \hat { x } ) ^ { \top } } \\ & { } & & { \mathrm { ( s t a t e ~ e q u a t i o n ) } } \\ & { d _ { z } \mathcal L = 0 \quad } & { \Leftrightarrow \qquad } & { \frac { d } { d t } \xi = \mathcal J ^ { \top } \xi - C ^ { \prime } ( z ) , \quad \xi ( T ) = 0 , } \\ & { } & & { \mathrm { ( a d j o i n t ~ e q u a t i o n ) } } \\ & { ( d _ { w } \mathcal L , w - w _ { \mathrm { o p t } } ) \ge 0 \quad } & { \Leftrightarrow \qquad } & { \Big ( - \xi ( 0 ) , w - w _ { \mathrm { o p t } } \Big ) \ge 0 \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } w \in \mathcal W _ { \mathrm { a d } } } \\ & { } & & { \mathrm { ( o p t i m a l i t y ~ c o n d i t i o n ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \Delta \phi } { 2 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\chi h _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { d F } { d s } \right) ^ { 2 } + 3 F ^ { 3 } + 6 \left( 1 - \frac { v _ { 0 } } { c _ { 0 } } \right) F ^ { 2 } + 1 2 C _ { 1 } F + 1 2 C _ { 2 } = 0 ,
\vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \cdot \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } = \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \cdot \left( \frac { \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) } { R } \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { A _ { e } } f ( x , y ) \, \mathrm { d } A } & { = \int _ { \Gamma } ( f \circ ( \xi , \eta ) ) ( \alpha , \beta ) \, | \operatorname* { d e t } \boldsymbol { J } | \, \mathrm { d } \Gamma \, , } \\ { \int _ { V _ { e } } f ( x , y , z ) \, \mathrm { d } V } & { = \int _ { \Omega } ( f \circ ( \xi , \eta , \zeta ) ) ( \alpha , \beta , \gamma ) \, | \operatorname* { d e t } \boldsymbol { J } | \, \mathrm { d } \Omega \, . } \end{array}
\int d ^ { 4 } x \; e ^ { - i k \cdot x } \langle \gamma ( q ) | T \left( J _ { 0 , - , \frac { 1 } { 2 } } ( 0 ) J _ { 1 , - , \frac { 1 } { 2 } } ^ { \dagger \alpha } ( x ) \right) | 0 \rangle = e _ { q } e \epsilon ^ { \alpha \mu \nu \sigma } e _ { \mu } q _ { \nu } v _ { \sigma } G _ { B ^ { * } B } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) \; ,
\left( \epsilon _ { L L } \ \epsilon _ { L R } \ \epsilon _ { R L } \ \epsilon _ { R R } \right) W ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { { \epsilon _ { L L } } } \\ { { \epsilon _ { L R } } } \\ { { \epsilon _ { R L } } } \\ { { \epsilon _ { R R } } } \end{array} \right) = 9 . 4 9 .
\begin{array} { r l r } { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k + 1 } , v _ { h } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } , v _ { h } ) - B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } ^ { k + 1 } , v _ { h } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } , v _ { h } ) - B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } ^ { k } + e _ { H } ^ { k } , v _ { h } ) + A ( u _ { h } ^ { k , 1 } , v _ { h } ) - A ( u _ { h } , v _ { h } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k } - e _ { H } ^ { k } , v _ { h } ) + ( \boldsymbol { a } ( u _ { h } ^ { k , 1 } , \nabla u _ { h } ^ { k , 1 } ) , v _ { h } ) + ( f ( u _ { h } ^ { k , 1 } , \nabla u _ { h } ^ { k , 1 } ) , v _ { h } ) } \\ & { } & { - ( \boldsymbol { a } ( u _ { h } , \nabla u _ { h } ) , v _ { h } ) - ( f ( u _ { h } , \nabla u _ { h } ) , v _ { h } ) } \\ & { : = } & { A _ { 1 } - A _ { 2 } - A _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert | \partial _ { t } u _ { 1 } | + | \nabla P _ { 1 } | \right\rVert _ { L ^ { p _ { 1 } } ( - 4 , 0 ; L ^ { q _ { 1 } } ( \Omega ) ) } } & { { } + \left\lVert u _ { 1 } \right\rVert _ { L ^ { p _ { 1 } } ( - 4 , 0 ; W ^ { 2 , q _ { 1 } } ( \Omega ) ) } } \end{array}
\frac { \partial \bar { S } } { \partial \mathbf { r } ^ { ( \alpha ) } } = - \frac { 1 } { T } \pmb { \nabla } _ { r ^ { ( \alpha ) } } U ^ { ( \alpha ) } - \frac { 1 } { T } m ^ { ( \alpha ) } \frac { \partial \mathbf { v } ^ { ( \alpha ) } } { \partial t } \geq 0 .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \kappa : = \frac { \mu ^ { 2 } } { \hat { s } ^ { 3 } } , \quad \check { n } ( \xi , Z ) : = \widetilde { n _ { 0 } } \left[ \hat { z } _ { e } ( \xi , Z ) \right] , \quad \hat { \omega } ^ { 2 } : = \frac { K \check { n } \hat { s } ^ { 3 } } { \mu ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal B } ( B \rightarrow X _ { s } \nu \bar { \nu } ) = { \cal B } _ { e x p . } ^ { s l } \frac { 1 2 \alpha ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \Theta _ { W } } \frac { | V _ { t s } | ^ { 2 } } { | V _ { c b } | ^ { 2 } } \frac { C ( m _ { t } ^ { 2 } / m _ { W } ^ { 2 } ) \, \bar { \eta } } { f ( m _ { c } ^ { 2 } / m _ { b } ^ { 2 } ) \, \kappa ( m _ { c } ^ { 2 } / m _ { b } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { a } } & { = \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { j _ { k } } ( \xi ) \bar { v } _ { j _ { k } } ( \varphi , x ) , } \\ { \mathfrak { b } } & { = \sum _ { j _ { k _ { 1 } } , j _ { k _ { 2 } } \in S } C _ { j _ { k _ { 1 } } , j _ { k _ { 2 } } } ( \xi ) \bar { v } _ { j _ { k _ { 1 } } } ( \varphi , x ) \bar { v } _ { j _ { k _ { 2 } } } ( \varphi , x ) , } \\ { \mathfrak { c } } & { = \sum _ { j _ { k _ { 1 } } , j _ { k _ { 2 } } , j _ { k _ { 3 } } \in S } C _ { j _ { k _ { 1 } } , j _ { k _ { 2 } } , j _ { k _ { 3 } } } ( \xi ) \bar { v } _ { j _ { k _ { 1 } } } ( \varphi , x ) \bar { v } _ { j _ { k _ { 2 } } } ( \varphi , x ) \bar { v } _ { j _ { k _ { 3 } } } ( \varphi , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d y } { d t } } & { { } = u _ { 0 } + u ( t ) - \tilde { z } ( t ) y ( t ) , } \\ { \frac { d \tilde { z } } { d t } } & { { } = \tilde { z } ( t ) ( y ( t ) - y _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ X , Y ] ( p ) } & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } H _ { t } ^ { * } ( Y ) ( p ) } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } ( Y ) ( p ) } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( D H _ { - t } ) ( H _ { t } ( p ) ) Y ( H _ { t } ( p ) ) } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } ( D H _ { - t } ) ( H _ { t } ( p ) ) \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } \Gamma _ { s } ( H _ { t } ( p ) ) } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } \, \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } H _ { - t } \Gamma _ { s } H _ { t } ( p ) } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = 0 } \, \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } \Gamma _ { s } ( p ) = 0 . } \end{array}
J ( t | r ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { g \left( r , - D \beta _ { n } ^ { 2 } / ( R _ { 2 } - R _ { 1 } ) ^ { 2 } \right) } { \frac { d g ( R _ { 2 } , s ) } { d s } | _ { s = s _ { n } } } e ^ { - D t \beta _ { n } ^ { 2 } / ( R _ { 2 } - R _ { 1 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \le \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\cos { \frac { \pi } { 4 2 9 4 9 6 7 2 9 5 \times 2 ^ { n + 1 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + 2 \cos { \frac { \pi } { 4 2 9 4 9 6 7 2 9 5 \times 2 ^ { n } } } } } { 2 } }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } \mathbf { Q } _ { i } ^ { n * } } & { } & { { } = \mathbf { Q } _ { i } ^ { n } + \Delta t \left( - \delta _ { 1 } \frac { \mathbf { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } - \mathbf { F } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } { \Delta x } + \delta _ { 1 } \mathbf { S } _ { i } ^ { n * } \right) } \end{array}
x g ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 3 } { 5 } 5 . 8 \left[ \frac { 3 \pi } { 4 \alpha _ { s } } F _ { L } ( 0 . 4 1 7 x , Q ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { 1 . 9 7 } F _ { 2 } ( 0 . 7 5 x , Q ^ { 2 } ) \right]
f _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } } ( x , t ) = ( f ( x , t ) - \mu _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ) / ( \mu _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } - \mu _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } )
\hat { J } _ { m } ^ { ( a p p ) } = - 4 ( N - 1 ) \, R \, v _ { 0 } \, \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { \hat { P } _ { n } \, \hat { P } _ { m - n } } { ( 1 / 4 ) - ( m - n ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \frac { d ( d ^ { 2 } / 2 ) } { d z } } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d z } \left[ ( z - z _ { g } ) ^ { 2 } + ( p _ { \mathrm { R S } } ^ { n } ( z ) - \varpi _ { g } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( z - z _ { g } ) + ( p _ { \mathrm { R S } } ^ { n } ( z ) - \varpi _ { g } ) p _ { \mathrm { R S } } ^ { n \prime } ( z ) = 0 . } \end{array}
\sum _ { i } \lambda _ { i } ^ { a } , \quad \sum _ { i } \mu _ { i } ^ { b } , \quad \sum _ { i } \lambda _ { i } \mu _ { i } , \quad ( \lambda _ { i } = \lambda _ { i } ^ { ( 1 ) } , \mu _ { i } = \lambda _ { i } ^ { ( 2 ) } ) .
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { l e n g t h } ( a b ) } & { = { \sqrt { \left( d x + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } d x \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } d x \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \sqrt { d x ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + d x ^ { 2 } \left( { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = d x ~ { \sqrt { \left( 1 + { \frac { \partial u _ { x } } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial u _ { y } } { \partial x } } \right) ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { x _ { i _ { 1 } } ( c _ { 1 } ) n _ { i _ { 1 } } ^ { - 1 } \cdots x _ { i _ { \ell } } ( c _ { \ell } ) n _ { i _ { \ell } } ^ { - 1 } x _ { j } ( c ) n _ { j } ^ { - 1 } } & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } b x _ { j } ( c ) n _ { j } ^ { - 1 } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { j } ( \tilde { c } ) n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 0 } \cdot \gamma _ { 1 } \colon [ 0 , 1 ] } & { { } \to X } \\ { ( \gamma _ { 0 } \cdot \gamma _ { 1 } ) ( t ) } & { { } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { 0 } ( 2 t ) } & { 0 \leq t \leq { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \gamma _ { 1 } ( 2 t - 1 ) } & { { \frac { 1 } { 2 } } \leq t \leq 1 . } \end{array} \right. } } \end{array}
E _ { \gamma _ { \pm } } = \frac { E _ { \gamma _ { \pm } } ^ { \prime \prime } \left( 1 \mp \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } , \eqno ( 5 9 )
d s ^ { 2 } = - e ^ { 2 A ( r ) } d t ^ { 2 } + e ^ { 2 B ( r ) } [ d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { n } ^ { 2 } ] + \sum _ { a } e ^ { 2 C _ { a } ( r ) } d y _ { a } ^ { 2 } .
\left[ \begin{array} { c } { E _ { \{ x , z \} } ( \textbf { r } , t ) } \\ { j ^ { G } ( x , t ) } \\ { j ^ { 2 D } ( x , t ) } \end{array} \right] \! \! = \! \! \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \! \left[ \begin{array} { c } { E _ { \{ x , z \} , \omega , k } ( z ) } \\ { j _ { \omega , k } ^ { G } } \\ { j _ { \omega , k } ^ { 2 D } } \end{array} \right] \! \exp ( i [ Q _ { k } x - \omega t ] ) ,
\begin{array} { r l } { \bar { u } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { t } ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \left[ \frac { d \mathbf { L } ^ { \prime } \cdot \left( \bar { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { t } ) \mathbf { r } + F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \mathbf { r } _ { t } \right) } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } \right. } \end{array}
B _ { 2 } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { 1 } , \ \ \ \ \ \ B _ { 5 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( B _ { 4 } - B _ { 3 } ) , \ \ \ \ \ \ B _ { 7 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } B _ { 6 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { \mathrm { { R F } } } = } & { - \frac { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } } { 8 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } ( \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \\ { = } & { - \frac { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla { E } _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \\ { = } & { - \frac { \omega _ { \mathrm { p e } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \boldsymbol \nabla \left\langle \frac { { E } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right\rangle - \frac { \omega _ { \mathrm { { p e } } } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) \boldsymbol \nabla \left\langle \frac { { E } ^ { 2 } } { 8 \pi } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { { \tilde { S } } [ X ^ { \mu } , b _ { i } ] } } & { { = } } & { { - T _ { M 2 } l \int d ^ { 2 } \xi \sqrt { | D _ { i } X ^ { \mu } D _ { j } X ^ { \nu } g _ { \mu \nu } | } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - { \textstyle \frac { T _ { M 2 } l } { 2 } } \int d ^ { 2 } \xi \epsilon ^ { i j } D _ { i } X ^ { \mu } D _ { j } X ^ { \nu } B _ { \mu \nu } \, . } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { q ^ { \prime \prime } \to \infty } e ^ { i \frac { q ^ { \prime \prime } ( p ^ { \prime } - p ^ { \prime \prime } ) } { \hbar } } = \operatorname* { l i m } _ { Q \to \infty , \Delta \to \infty } \frac { 1 } { \Delta } \int _ { Q } ^ { Q + \Delta } d q ^ { \prime \prime } e ^ { i \frac { q ^ { \prime \prime } ( p ^ { \prime } - p ^ { \prime \prime } ) } { \hbar } } = 0
K _ { \mu \nu } ^ { \mathbf { k } } \leftarrow \sum _ { P Q } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } X _ { P Q } ^ { \mathbf { k } } u _ { \nu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { Q } )
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \int K _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } , { \bf r ^ { \prime } } ) \left( \frac { \delta q _ { \sigma ^ { \prime } } [ { \bf n } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \delta n _ { \sigma ^ { \prime \prime } } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } - \frac { \delta n _ { \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \delta n _ { \sigma ^ { \prime \prime } } ( { \bf r ^ { \prime \prime } } ) } \right) d { \bf r ^ { \prime } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime \prime } } \times \delta ( { \bf r - r ^ { \prime \prime } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mu } ^ { \prime } } & { { } = } & { ( 1 - i \mathbf { a } ) A _ { \mu } ( 1 + i \mathbf { a } ) + ( 1 - i \mathbf { a } ) \partial _ { \mu } ( 1 + i \mathbf { a } ) } \end{array}
\frac { \partial u } { \partial t } + c _ { x } \frac { \partial u } { \partial x } + c _ { y } \frac { \partial u } { \partial y } = \nu \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } \Big ) .
\left\langle \left\vert \mathcal { M } \right\vert ^ { 2 } \right\rangle = \frac { \lambda ^ { 4 } } { 4 } \frac { \begin{array} { c } { 8 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \times } \\ { \left( \begin{array} { c } { 9 E ^ { 4 } + 1 2 E ^ { 2 } m ^ { 2 } + 3 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cos ( 4 \theta ) - 1 8 E ^ { 2 } M ^ { 2 } + } \\ { \cos ( 2 \theta ) \left( - 1 2 E ^ { 4 } - 1 2 E ^ { 2 } \left( m ^ { 2 } - 2 M ^ { 2 } \right) + m ^ { 4 } + 1 2 m ^ { 2 } M ^ { 2 } - 1 2 M ^ { 4 } \right) + } \\ { 7 m ^ { 4 } - 1 2 m ^ { 2 } M ^ { 2 } + 9 M ^ { 4 } } \end{array} \right) } \end{array} } { \left[ \left( 2 E ^ { 2 } + m ^ { 2 } - 2 M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \theta ) \right] ^ { 2 } } .
\langle 0 | T A _ { c } ^ { \mu } ( x ) A _ { c } ^ { \nu } ( y ) | 0 \rangle = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \frac { i } { p ^ { 2 } + i \epsilon } \left[ - g ^ { \mu \nu } + ( 1 - \alpha ) \, \frac { p ^ { \mu } p ^ { \nu } } { p ^ { 2 } } \right] e ^ { - i p ( x - y ) }
\begin{array} { r l r } { R _ { i j h l } } & { { } = } & { \bigg \langle \delta _ { i j } \delta _ { h l } + \frac { \tau ^ { 2 } a _ { i } q _ { j } a _ { h } q _ { l } } { 2 } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r _ { 0 } } ) } } \end{array}
\Phi ^ { * } \approx \pi , \ \ \ P ^ { * } = 0 , \ \ \ N ^ { * } = N _ { 0 , g } \ \frac { 1 - e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } { 1 + e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 1 } } } .