harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s ^ { 2 } = - \frac { d W ^ { 2 } } { \sinh ^ { 2 } W \ln ^ { 2 / 3 } T _ { c } ^ { 2 } } + \ln ^ { 2 / 3 } T _ { c } ^ { 2 } \sum _ { j = 2 } ^ { 4 } d x _ { j } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { d y } { d u } } } & { { } = f ^ { \prime } ( u ) = e ^ { u } = e ^ { \sin ( x ^ { 2 } ) } , } \\ { { \frac { d u } { d v } } } & { { } = g ^ { \prime } ( v ) = \cos v = \cos ( x ^ { 2 } ) , } \\ { { \frac { d v } { d x } } } & { { } = h ^ { \prime } ( x ) = 2 x . } \end{array}
m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } = m _ { 0 } ^ { 2 } + 0 . 5 2 ~ m _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } M _ { Z } ^ { 2 } c o s 2 \beta ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \beta } ^ { ( n + 1 ) } = \boldsymbol { \beta } ^ { ( n ) } - \alpha ^ { ( n + 1 ) } H ^ { - 1 } \nabla L ( \boldsymbol { \beta } ^ { ( n ) } ) ; \quad H = \nabla ^ { 2 } L ( \boldsymbol { \beta } ^ { ( n ) } ) , } \end{array}
p _ { k } ( s ; \mu _ { t _ { a } } , \mu _ { t _ { b } } , \sigma _ { a } , \sigma _ { b } , N ) = \frac { ( \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { b } ) ^ { \frac { N } { 2 } } ( \mu _ { t _ { a } } + \sigma _ { a } ) ^ { \frac { N } { 2 } } } { 2 ^ { N - 1 } \Gamma ( \frac { N } { 2 } ) ^ { 2 } } s ^ { N - 1 } e ^ { - \frac { ( \mu _ { t _ { a } } + \mu _ { t _ { b } } + \sigma _ { a } + \sigma _ { b } ) } { 2 } s } ,
\begin{array} { r } { \frac { 7 } { 8 } \sum _ { i = 1 } ^ { I } \eta _ { i } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } \leq \frac { K \rho ^ { 2 } } { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i } \| ^ { 2 } + \bigg ( \frac { K \rho ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 9 6 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } b _ { 1 } } + \frac { K \rho ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 4 8 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } L ^ { 2 } } \bigg ) \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \eta _ { i } ^ { 3 } } \end{array}
F ( k ^ { 2 } ) = ( 1 - 3 k ^ { 2 } / 8 M ^ { 2 } ) [ 1 - { \hat { m } } _ { 1 } { \hat { m } } _ { 2 } ( { \frac { k ^ { 2 } } { 4 \beta ^ { 2 } } } - { \frac { k ^ { 2 } { \delta m } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } G ( 0 ) } } ) - { \frac { 3 k ^ { 2 } \beta ^ { 2 } ( 1 + { \delta m } ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) } { 8 M ^ { 2 } G ( 0 ) } } ]
\Delta \mathbf { Q } _ { i j } ^ { \prime } : = \left( \mathbf { Q } _ { j } ^ { n } - \mathbf { Q } _ { j } ^ { e } \right) - \left( \mathbf { Q } _ { i } ^ { n } - \mathbf { Q } _ { i } ^ { e } \right) , \qquad \Delta \mathbf { x } _ { i j } : = \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i }
\Delta ^ { ( 2 ) } { \cal V } = - \varepsilon ^ { 2 } \frac { 3 m ^ { 3 } } { 2 { \sqrt { 2 } } \lambda } ~ m ^ { 2 } t ^ { 2 } \int \frac { d z } { \cosh ^ { 2 } z } = - \varepsilon ^ { 2 } \frac { 3 m ^ { 5 } } { \lambda { \sqrt 2 } } t ^ { 2 } \equiv \frac { M V ^ { 2 } } { 2 } .
{ \cal S } _ { \mathrm { B u r g e r s } } \! \! = \! \! \int _ { t , x } \Bigg \{ \bar { v } { \Big [ \partial _ { t } v + v \partial _ { x } v - \nu \, \partial _ { x } ^ { 2 } v \Big ] } - { { \cal D } \big ( \partial _ { x } \bar { v } \big ) ^ { 2 } } \, \Bigg \} \, ,
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r _ { 1 } ( 2 - x ) - \frac { 3 r _ { 1 } z } { 1 + x + y } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( r _ { 2 } ( 2 - y ) - \frac { 3 r _ { 2 } z } { 1 + x + y } \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { 3 c _ { 1 } ( r _ { 1 } x + r _ { 2 } y ) } { 1 + x + y } - ( c _ { 1 } ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) - m ) - m z \right) , } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { s t a t i c } } = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } \, , \qquad \mathbf { M } _ { \mathrm { a d d e d } } ( \omega ) = - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } \right] \, .
| { \psi } _ { \pm } ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) > \equiv \left( \begin{array} { c } { { < + | D ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) | \pm > } } \\ { { < - | D ^ { ( \frac { 1 } { 2 } ) } ( g ) | \pm > } } \end{array} \right) \,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \forall i \in V , \, \left| x _ { i } ^ { ( 1 ) } - \mu ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) ) \right| \le 6 \gamma \right) } & { { } \ge 1 - 2 \sum _ { i \in V } \exp \left( - 2 \gamma ^ { 2 } \Big ( \sum _ { j \in V } \left( { W _ { i j } } / { D _ { i i } } \right) ^ { 2 } \Big ) ^ { - 1 } \right) } \end{array}
G _ { 2 } ( x , P , t ) = \frac { x P } { \cos ( 2 \pi t / \tau ) } - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \tan \Big ( \frac { 2 \pi } { \tau } t \Big ) - \frac { P ^ { 2 } } { 2 } \tan \Big ( \frac { 2 \pi } { \tau } t \Big ) ,
\begin{array} { r l } { n ^ { 2 } ( E ) - 1 } & { { } = \frac { \eta } { \pi } \left[ \frac { E _ { f } ^ { 4 } - E _ { \Gamma } ^ { 4 } } { 2 } + \left( E _ { f } ^ { 2 } - E _ { \Gamma } ^ { 2 } \right) E ^ { 2 } + \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } ! } { \prod _ { v = 1 } ^ { n } D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! \prod _ { v = 1 } ^ { n } D _ { \bar { c } } ^ { ( n ) } ( v ) ! } } & { \leq S _ { c } ^ { ( n ) } \log S _ { c } ^ { ( n ) } - S _ { c } ^ { ( n ) } + 1 + \frac { 1 } { 2 } \log S _ { c } ^ { ( n ) } } \\ & { \qquad - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { \bar { c } } ^ { ( n ) } ( v ) ! } \\ & { = S _ { c } ^ { ( n ) } \log n + S _ { c } ^ { ( n ) } \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { n } - S _ { c } ^ { ( n ) } } \\ & { \qquad - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { \bar { c } } ^ { ( n ) } ( v ) ! + O ( \log n ) , } \end{array}
\phi = \frac { 1 } { 4 \alpha } e ^ { - 2 \varphi } \, \, \, , \, \, \, \tilde { g } _ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 4 \alpha \phi } e ^ { \frac { \phi } { \alpha } } \bar { g } _ { \mu \nu } \, ,
8 \pi ^ { 2 } \frac { d B _ { 2 } } { d t } = 3 h _ { U } ^ { 2 } A _ { U } + h _ { \tau } ^ { 2 } A _ { \tau } + 3 g _ { 2 } ^ { 2 } M _ { 2 } + g _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 1 } \; .
\int \left( { { g _ { 1 } ^ { p } } ( x , q ^ { 2 } ) - g _ { 1 } ^ { n } ( x , q ^ { 2 } ) } \right) d x = \frac { 1 } { 6 } \left| { \frac { g _ { A } } { g _ { V } } } \right| \left( { 1 - \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } \right) \; ,
\textrm { f o r } p = 1 , \dots , P , \ [ \frac { \partial \mathcal { F } } { \partial \mu _ { p } } ] _ { H h } ^ { N _ { 1 } } ( \mu ) : = \overset { t ^ { n } } { \underset { j = 1 } { \sum } } \Delta t _ { F } \ \Big ( \chi _ { H h } ^ { N _ { 1 } , j } , \nabla \cdot ( \frac { \partial A } { \partial \mu _ { p } } ( \mu ) \nabla u _ { H h } ^ { N , j } ) \big ) , \textrm { f r o m } ,
\begin{array} { r l } { \left| \left| u _ { m } ( t , x ) - u _ { n } ( t , x ) \right| \right| _ { p } ^ { 2 } \le } & { \: 4 p \lambda ^ { 2 } L _ { \sigma } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { U ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } y \, \ensuremath { \mathrm { d } } y ^ { \prime } G _ { D } ( t - s , x , y ) G _ { D } ( t - s , x , y ^ { \prime } ) f ( y - y ^ { \prime } ) } \\ & { \times \| u _ { m - 1 } ( s , y ) - u _ { n - 1 } ( s , y ) \| _ { p } \| u _ { m - 1 } ( s , y ^ { \prime } ) - u _ { n - 1 } ( s , y ^ { \prime } ) \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \psi _ { s 0 } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 2 } \left( \frac { d \phi _ { s } } { d \xi } \right) + \left[ 2 \delta d _ { s } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } + \frac { d d _ { s } } { d \xi } \right] \frac { \psi _ { s 0 } ^ { 2 } r _ { s } ^ { 4 } } { 2 } } \\ & { } & { + \frac { \delta } { 4 } \psi _ { s 0 } ^ { 2 } - \frac { \gamma } { 8 } \psi _ { s 0 } ^ { 4 } r _ { s } ^ { 2 } + i \int _ { 0 } ^ { \infty } r \left( \epsilon \psi _ { s } ^ { * } - \epsilon ^ { * } \psi _ { s } \right) d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a a } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \Gamma _ { 1 } \Tilde { \rho } _ { a a } + \frac { \Gamma _ { e } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 3 } } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a b } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a e } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a b } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ & { + i \Tilde { \rho } _ { a b } ( \omega _ { b } - \omega _ { a } - \omega _ { C } + \omega _ { P } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a c } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { c e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { \Tilde { \rho } _ { a c } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { c } ) } \\ & { + i \Tilde { \rho } _ { a c } ( \omega _ { c } - \omega _ { a } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { a e } } & { = \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { e e } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a a } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { a b } - \frac { i \Omega _ { C } } { 2 } \Tilde { a c } } \\ & { - \frac { \Tilde { \rho } _ { a e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) + i \Tilde { \rho } _ { a e } ( \omega _ { e } - \omega _ { a } - \omega _ { b } ) } \\ { \Dot { \Tilde { \rho } } _ { b b } } & { = \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } ^ { * } - \frac { i \Omega _ { P } } { 2 } \Tilde { \rho } _ { b e } - \Gamma _ { 2 } \Tilde { \rho } _ { b b } } \\ & { + \frac { \Gamma _ { 4 } \Tilde { \rho } _ { e e } } { 2 } ( \Gamma _ { a } + \Gamma _ { e } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { x } \Gamma _ { x , y } \pmb { \eta } _ { j } ( z ) } & { = \Pi _ { x } \Big ( \pmb { \eta } _ { j } + \sum _ { I , J \neq 0 , \ d ( I ) + d ( J ) = d _ { j } } C _ { j } ^ { I , J } \eta ^ { I } ( y ^ { - 1 } x ) \pmb { \eta } ^ { J } \ + \eta _ { j } ( y ^ { - 1 } x ) \Big ) ( z ) } \\ & { = \eta _ { j } ( x ^ { - 1 } z ) + \sum _ { I , J \neq 0 , \ d ( I ) + d ( J ) = d _ { j } } C _ { j } ^ { I , J } \eta ^ { I } ( y ^ { - 1 } x ) \eta ^ { J } ( x ^ { - 1 } z ) \ + \eta _ { j } ( y ^ { - 1 } x ) } \\ & { = \eta _ { j } ( y ^ { - 1 } x x ^ { - 1 } z ) } \\ & { = \eta _ { j } ( y ^ { - 1 } z ) } \\ & { = \Pi _ { y } \pmb { \eta } _ { j } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 L } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } + \beta _ { 5 } - \beta _ { 7 } ) } \\ { \beta _ { 4 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 L } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } - \beta _ { 5 } + \beta _ { 7 } ) } \\ { \beta _ { 6 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \beta _ { 2 } L ^ { 2 } - \beta _ { 5 } - \beta _ { 7 } ) } \end{array}
\chi ^ { A } = \frac { \tau _ { A } } { \tau _ { N L } } \sim \frac { k _ { \perp } b _ { \ell } } { k _ { \parallel } b _ { 0 } } \quad \mathrm { { a n d } \quad \ c h i ^ { F } = \frac { \ t a u _ { F } } { \ t a u _ { N L } } \sim \frac { b _ { \ell } } { b _ { 0 } } . }
| \mathbf { v } _ { 1 } | ^ { 2 } \equiv \rho ^ { 2 } \, \cos \phi \, , \qquad | \mathbf { v } _ { 2 } | ^ { 2 } \equiv \rho ^ { 2 } \, \sin \phi \, , \qquad \vec { \mathbf { v } } _ { 1 } \, \cdot \, \vec { \mathbf { v } } _ { 2 } \equiv \rho ^ { 2 } \sin \phi \cos \phi \, \cos \theta \, .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathfrak { a } } \left( j _ { 1 } , \xi + \frac { j _ { 2 } } 2 \right) } & { = \widehat { \mathfrak { a } } ( j _ { 1 } , \xi ) + \widehat { \partial _ { \xi } \mathfrak { a } } ( j _ { 1 } , \xi ) \frac { \mathrm { i } j _ { 2 } } { 2 \mathrm { i } } + \frac { 1 } { 2 ! } \widehat { \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { a } } ( j _ { 1 } , \xi ) \left( \frac { \mathrm { i } j _ { 2 } } { 2 \mathrm { i } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { j _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \widehat { \partial _ { \xi \xi \xi } \mathfrak { a } } ( j _ { 1 } , \xi + \tau \frac { j _ { 2 } } 2 ) \frac { ( 1 - \tau ) ^ { 2 } } { 2 ! } d \tau } \\ & { = : a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } , } \\ { \widehat { \mathfrak { b } } \left( j _ { 2 } , \xi - \frac { j _ { 1 } } 2 \right) } & { = \widehat { \mathfrak { b } } ( j _ { 2 } , \xi ) - \widehat { \partial _ { \xi } \mathfrak { b } } ( j _ { 2 } , \xi ) \frac { \mathrm { i } j _ { 1 } } { 2 \mathrm { i } } + \frac { 1 } { 2 ! } \widehat { \partial _ { \xi \xi } \mathfrak { b } } ( j _ { 2 } , \xi ) \left( \frac { \mathrm { i } j _ { 1 } } { 2 \mathrm { i } } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { j _ { 1 } } { 2 } \right) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \widehat { \partial _ { \xi \xi \xi } \mathfrak { b } } ( j _ { 2 } , \xi - \tau \frac { j _ { 1 } } 2 ) \frac { ( 1 - \tau ) ^ { 2 } } { 2 ! } d \tau } \\ & { = : b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + b _ { 4 } . } \end{array}
I _ { 2 } = \frac { R } { 4 \pi i } \int _ { \Lambda } ^ { - \Lambda } \frac { ( - y ^ { 2 } ) \, i \, d y } { i \sqrt { y ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \frac { \cosh ( R \sqrt { y ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ) } { \sinh ( R \sqrt { y ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ) } d y = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } y \, d \left[ \ln \sinh \left( R \sqrt { y ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \right] .
\Delta E = E - E ^ { \prime } = \frac { m } { 2 } v ^ { 2 } - \frac { m } { 2 } v ^ { 2 } = \frac { m } { 2 } v ^ { 2 } \left[ \left( \frac { M - m } { M + m } \right) ^ { 2 } - 1 \right] \approx 4 E \frac { m } { M } .
\psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = 4 \gamma ^ { 2 } e ^ { - 2 \gamma ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) } \Biggl ( \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathrm { d } t _ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } \xi ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \Biggl )
I _ { \mathrm { d i a g } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { r } } } \log _ { 2 } \Biggl ( 1 + \zeta _ { i } ^ { 2 } \! \left[ \int _ { 0 } ^ { L } \! \! n _ { i } ( z ) e ^ { - \frac { z } { \lambda _ { i } } } \, \mathrm { d } z \right] ^ { 2 } \Biggr ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left\vert \nabla \xi \right\vert \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert d \tau } & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { t } \left\vert \nabla \xi \right\vert \left( \left\vert \theta _ { s } \right\vert + \tau \left\vert d \xi \right\vert \right) d \tau } \\ & { \leq } & { t \left\vert \nabla \xi \right\vert \left\vert \theta _ { s } \right\vert + t ^ { 2 } \left\vert d \xi \right\vert ^ { 2 } } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left\vert \theta _ { A \left( \tau \right) s } \right\vert ^ { 2 } \left\vert \xi \right\vert d \tau } & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { C \tau \left\vert \xi \right\vert } \left( \left( \left\vert \theta _ { s } \right\vert + \tau \left\vert d \xi \right\vert \right) ^ { 2 } \left\vert \xi \right\vert \right) d \tau } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { C } e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left( \left\vert \theta _ { s } \right\vert + t \left\vert d \xi \right\vert \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\overline { { G } } _ { 3 } V \overline { { G } } _ { 4 } V = - \sum _ { f } { \frac { \alpha } { 6 \pi } } \ln { \bigg ( 1 + { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 4 m _ { f } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } } \bigg ) } \, .
\psi _ { \eta } ( z , t ) = \left( { \frac { 1 } { \pi } } \right) ^ { 1 / 2 } \exp \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } \left( e ^ { - 2 \eta } u ^ { 2 } + e ^ { 2 \eta } v ^ { 2 } \right) \right\} .
J = \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 + i A } & { i B } & { i C } & { i D } \\ { - i B ^ { * } } & { - 1 - i A ^ { * } } & { - i D ^ { * } } & { - i C ^ { * } } \\ { i E } & { i F } & { - 1 + i G } & { i H } \\ { - i F ^ { * } } & { - i E ^ { * } } & { i H ^ { * } } & { - 1 - i G ^ { * } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { S _ { i } ^ { z + 1 } = S _ { i } ^ { z } + 1 , \forall i \in [ 5 \cdot 2 ^ { z - 1 } - 1 ] , } \\ & { S _ { i } ^ { z + 1 } = S _ { i - 5 \cdot 2 ^ { z - 1 } + 2 } ^ { z } + 5 \cdot 2 ^ { z } - 1 , \forall i \in [ 5 \cdot 2 ^ { z - 1 } - 1 , 5 \cdot 2 ^ { z } - 4 ] , } \\ & { S _ { 5 \cdot 2 ^ { z } - 3 } ^ { z + 1 } = \{ 1 , 5 \cdot 2 ^ { z + 1 } - 4 \} , } \\ & { S _ { 5 \cdot 2 ^ { z } - 2 } ^ { z + 1 } = \{ 5 \cdot 2 ^ { z } - 2 , 5 \cdot 2 ^ { z } - 1 \} , } \end{array}
\frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \; \approx \; - \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } \; \approx \; - \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } \; .
\Phi = - i \, l n \, i \delta ( \lambda _ { 1 } ^ { \prime \prime } - \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ) \delta ( \lambda _ { 2 } ^ { \prime \prime } - \lambda _ { 2 } ^ { \prime } ) \delta ^ { 4 } ( P ^ { \prime \prime } - P ^ { \prime } ) \, .
\begin{array} { r } { \boxed { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } = 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } + 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } \left( \beta - | a _ { 0 } | ^ { 2 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - \sqrt { | a _ { 0 } | ^ { 4 } - 1 } \right) ^ { 2 } , \quad ( | a _ { 0 } | ^ { 4 } > 1 ) } } \end{array}
{ \hat { C } } ( \mathbf { k } ) = { \frac { { \hat { H } } ( \mathbf { k } ) } { 1 + \rho { \hat { H } } ( \mathbf { k } ) } } \, \, \, \, { \mathrm { a n d } } \, \, \, \, \, \, \, { \hat { H } } ( \mathbf { k } ) = { \frac { { \hat { C } } ( \mathbf { k } ) } { 1 - \rho { \hat { C } } ( \mathbf { k } ) } } .
a _ { i } ^ { d } ( t + 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p _ { 1 } ^ { r } \mathrm { ~ w h e n } } \\ & { I _ { 1 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p _ { 0 } ^ { p } \mathrm { ~ w h e n ~ } } \\ & { I _ { 3 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 \mathrm { ~ w h e n ~ } } \\ & { I _ { 3 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 0 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p _ { 1 } ^ { r } \mathrm { ~ w h e n ~ } } \\ & { I _ { 1 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 1 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } p _ { 0 } ^ { p } \mathrm { ~ w h e n ~ } } \\ & { I _ { 3 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 1 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 \mathrm { ~ w h e n ~ } } \\ & { I _ { 3 } ( t ) = 1 , h _ { t } = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \hat { X } _ { t } = 1 , } \\ { a _ { i } ^ { d } ( t ) + 1 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } \approx h \sqrt { 2 \left( 1 - \cos { \phi } \right) } , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } \approx r _ { 2 } \sqrt { 4 + 4 \eta \sin { \phi } + 2 \eta ^ { 2 } \left( 1 - \cos { \phi } \right) } . } \end{array}
\tilde { { \bf y } } _ { c , \mathrm { W S R } } ^ { o , i } = \phi _ { c } \left( { \bf y } _ { c , \mathrm { W S R } } ^ { o , i } \right) , \; \tilde { { \bf y } } _ { c , \mathrm { W S R } } ^ { f , i } = \phi _ { c } \left( { \bf y } _ { c , \mathrm { W S R } } ^ { f , i } \right) .
\Psi ^ { S S _ { z } } ( x , \kappa _ { \bot } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = { \cal F } \, R ^ { S S _ { z } } ( x , \kappa _ { \bot } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \tilde { \Phi } ^ { S S _ { z } } ( x , \kappa _ { \bot } ^ { 2 } ) \, ,
\Delta W _ { ( 1 / 2 ) } = \frac { 4 \beta } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sum _ { j = 1 / 2 } ^ { \infty } 2 ( 2 j + 1 ) \: \bar { \delta } _ { f } ( k ) - \frac { 8 \beta } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \sum _ { j = 1 / 2 } ^ { \infty } 2 ( 2 j + 1 ) \: \frac { \delta _ { f } ( k ) } { e ^ { \beta k } + 1 } .
\begin{array} { r l } { \overline { { b } } _ { \mathtt { P T } } ( e , \widehat { \omega } ) _ { I } } & { : = \epsilon _ { I J K L } ( 2 \mathrm { N } ^ { K } \mathrm { d } N ^ { L } - ( \jmath ^ { * } \widehat { \omega } ) ^ { K L } ) \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { J } + 2 \epsilon _ { M J K L } \mathrm { N } _ { I } \mathrm { N } ^ { L } ( \iota _ { \overline { { E } } ^ { J } } \mathrm { d } \overline { { e } } ^ { K } ) \wedge \overline { { e } } ^ { M } , } \\ { \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { : = \epsilon _ { I J K L } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { \mathrm { e } } } ^ { J } \wedge \mathrm { N } ^ { K } \wedge \delta \mathrm { N } ^ { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E _ { x } [ W ( X _ { t } ) ] } & { = \sum _ { y \in \mathbb S } W ( y ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } = y ) } \\ & { = \sum _ { y \in \mathbb S } W ( y ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } = y , t < \tau _ { m } ) + \sum _ { y \in \mathbb S } W ( y ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } = y , t \ge \tau _ { m } ) } \\ & { \le \sum _ { y \in \mathbb S } W ( y ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } = y , t < \tau _ { m } ) + \sum _ { y \in \mathbb S } C \mathbb P _ { x } ( X _ { t } = y , t \ge \tau _ { m } ) } \\ & { = \sum _ { y \in \mathbb S _ { m } } W ( y ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } ^ { m } = y ) + W ( \Delta ) \mathbb P _ { x } ( X _ { t } ^ { m } = \Delta ) } \\ & { = \mathbb E _ { x } [ W ( X _ { t } ^ { m } ) ] , } \end{array}
h \approx \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - b ^ { 2 } n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } = \sqrt { n _ { r } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } - \beta _ { r } ^ { 2 } }
S _ { v } p = { \left[ \begin{array} { l l l } { v _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { v _ { z } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { p _ { x } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { v _ { x } p _ { x } } \\ { v _ { y } p _ { y } } \\ { v _ { z } p _ { z } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \left[ \| J v \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] } } \\ { = \ } & { \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x | u | ^ { p + 1 } \ \frac { d } { d x } ( | v | ^ { p + 1 } ) d x } \\ & { \ - \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d t } ( | v | ^ { p + 1 } ) | u | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U } & { = } & { G M \Big \{ \frac { 1 } { r } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) , } \end{array}
x _ { 0 } = | | A | | \left[ ( \hat { w } _ { 1 } + \hat { w } _ { 2 } ) \delta \ell ( 0 ) - \hat { w } _ { 2 } \Delta t \frac { \delta \ell ( 0 ) - \delta \ell ( - \Delta t ) } { \Delta t } \right] + \xi ,