harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle \psi _ { F a } ^ { 1 - a } ( t ) \mid \phi _ { F a ^ { \prime } } ^ { 1 - a ^ { \prime } } ( t ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \delta ( a - a ^ { \prime } ) \theta ( t - 1 + a ) \theta ( t - 1 + a ^ { \prime } )
U _ { L } ^ { T } U _ { L } = \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
E ^ { ' } = \sigma _ { 1 2 } A _ { 1 2 } + ( \sigma _ { \mathrm { { 1 S } } } - \sigma _ { \mathrm { { 2 S } } } ) A _ { \mathrm { { 1 S } } } + \sigma _ { \mathrm { { 2 S } } } A _ { \mathrm { { t } } } .
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ; B , d ) \leq B \sqrt { \frac { 1 } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } + { \frac { a _ { g } ( h _ { g } - 1 ) } { 4 ( k _ { g } - 1 ) ^ { 2 } } } + 1 } \cdot \sqrt { \frac { 9 + 3 \ln s } { ( k - 1 ) ^ { 2 } } + 1 } , } \\ & { \beta _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ; B , d ) \leq \frac { B ^ { 2 } } { M _ { g , h _ { g } - 1 } } . } \end{array}
H _ { \lambda } ( p , p ^ { \prime } ) = p ^ { 2 } \delta ^ { ( D ) } ( { \bf p } - { \bf p ^ { \prime } } ) + e ^ { - \frac { ( p ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lambda ^ { 4 } } } \; \left[ g _ { 0 } ( \alpha _ { \lambda } ) + g _ { 2 } ( \alpha _ { \lambda } ) \frac { ( p ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) } { 2 \lambda ^ { 2 } } + \dots \right] \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + C K _ { 0 } ^ { - 1 } \leq C . } \end{array}
\sqrt { n } \boldsymbol { M } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) - \boldsymbol { J } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { E \in \mathcal { E } } { v e c ( E ) ^ { T } H _ { i } ( A _ { 1 } p _ { 1 } + A _ { 2 } \bar { p } _ { 2 } + B q - b ) } = \delta ^ { * } ( h _ { i } | \mathcal { E } ) } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { i 1 } , \tau _ { i 2 } } \{ \delta ^ { * } ( \tau _ { i 1 } | \mathcal { E } _ { 1 } ) + \delta ^ { * } ( \tau _ { i 2 } | \mathcal { E } _ { 2 } ) ) \big | \tau _ { i 1 } + \tau _ { i 2 } = h _ { i } \} } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { i 1 } , \tau _ { i 2 } } \{ \sum _ { j } ( e _ { j } ^ { T } \tau _ { i j } + \delta ^ { * } ( J _ { j } ^ { T } \tau _ { i j } | \mathcal { X } _ { j } ) ) \big | \sum _ { j } \tau _ { i j } = h _ { i } \} } \\ { = \operatorname* { m i n } _ { \tau _ { i 1 } , \tau _ { i 2 } } \{ \sum _ { j } e _ { j } ^ { T } \tau _ { i j } + \gamma _ { 1 } | | J _ { 1 } ^ { T } \tau _ { i 1 } | | _ { 1 } + \gamma _ { 2 } | | J _ { 2 } ^ { T } \tau _ { i 2 } | | _ { * } ) } \\ { \big | \sum _ { j } \tau _ { i j } = h _ { i } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle q _ { l i m } \rangle } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 1 } ( \alpha ) \, d \alpha + \int _ { - \infty } ^ { l _ { I I } } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 2 } ( \alpha ) \, d \alpha + \int _ { - \infty } ^ { \operatorname* { m i n } { ( l _ { I I } , l _ { I I I } ) } } f _ { X } ( \alpha ) { \pi } _ { 3 } ( \alpha ) \, d \alpha , } \\ { \quad l _ { I I } } & { { } = F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I } ) - F _ { Y } ^ { - 1 } \left( \frac { { \epsilon } _ { 2 } } { { \Lambda } _ { b } } \right) , \quad l _ { I I I } = F _ { Z } ^ { - 1 } ( p _ { I I } ) - F _ { Y } ^ { - 1 } \left( \frac { { \epsilon } _ { 3 } } { { \Lambda } _ { b } } \right) } \end{array}
f _ { y z ^ { 2 } } = N _ { 3 } ^ { c } { \frac { y ( 4 z ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { r ^ { 3 } { \sqrt { 1 0 } } } } = { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { 3 } ^ { - 1 } + Y _ { 3 } ^ { 1 } \right)
C _ { 1 } m _ { K } ^ { 2 } = { 2 G _ { 8 } m _ { K } ^ { 2 } } { \frac { 2 + r _ { \pi } ^ { 2 } - 3 r _ { \eta } ^ { 2 } } { 3 ( z - r _ { \pi } ^ { 2 } ) } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p } { \partial t } } & { = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla p + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla p } { \omega } , } \\ { \frac { \partial q } { \partial t } } & { = - \boldsymbol { v } \cdot \nabla q + \nu \frac { \nabla \omega \cdot \nabla q } { \omega } , } \\ { \Delta \varphi } & { = - \nabla p \cdot \nabla q - p \Delta q , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ V ^ { k + 1 } ( x ^ { k + 1 } - x ^ { * } , y ^ { k + 1 } - y ^ { k } ) + U ^ { k + 1 } ( y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ) | \mathcal { F } ^ { k } \right] } \\ { \leq } & { \quad V ^ { k + 1 } ( x ^ { k } - x ^ { * } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) + U ^ { k + 1 } ( y ^ { k } - y ^ { * } ) } \\ & { \quad - V ^ { k + 1 } ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } ) . } \end{array}
B ( 1 / 2 \uparrow ) = \tilde { B } ( { \bf 8 } , 1 / 2 \uparrow ) H _ { 0 } S ( { \bf 1 } ) + \sum _ { N } a ( N ) \left[ \tilde { B } ( { \bf 8 } , 1 / 2 \uparrow ) H _ { 0 } \otimes S ( { \bf 8 } ) \right] _ { N }
\hat { m } ^ { 2 } \! \! _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { - } \! 1 } i } \, e ^ { i \theta \! _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { - } \! 1 } i } } \tan \! \beta = - e ^ { i \theta \! _ { v } } \hat { m } ^ { 2 } \! \! _ { { \scriptscriptstyle 0 } i } \, e ^ { i \theta \! _ { { \scriptscriptstyle 0 } i } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big \{ \bar { \rho } _ { p ^ { * } } [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) ] } & { \leq \operatorname* { i n f } _ { p } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } \in \mathcal { M } _ { + } ^ { 1 } ( B _ { p } ) } \hat { \rho } \Big [ R ^ { \epsilon } ( \beta ) \Big ] + \frac { 2 } { \sqrt { l } } \frac { 2 + 3 C } { C } + \frac { 2 } { \sqrt { l } } K L ( \hat { \rho } | | \pi _ { p } ) + \frac { 1 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \Big \lfloor \frac { N } { 2 } \Big \rfloor \Big ) \Big ) } \\ & { + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { ( 3 - \epsilon ) \sqrt { l ^ { * } } } + \frac { 2 } { \sqrt { l ^ { * } } } \log \frac { \bar { \alpha } } { \delta } \Big \} \geq 1 - 3 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { p } _ { t + 1 , z } ^ { Q } } & { = } & { \mathbb { E } _ { t } \left[ \frac { Q _ { t + 1 } } { \eta _ { z } } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \eta _ { z } } \mathbb { E } _ { t } \left[ Q _ { t z } ^ { x } - \xi _ { z } Q _ { t z } ^ { x } + \lambda _ { z } Q _ { t z } ^ { x } H _ { t z } + Q _ { z } ^ { i n i t } ( K _ { t + 1 , z } - K _ { t z } ^ { x } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \widehat { L } , t ) f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) + P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | } & { \widehat { L } , t ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t ) = } \\ & { = \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \, P ( \widehat { L } , t ) \right) \ . } \end{array}
\frac { d ^ { m } } { d \epsilon ^ { m } } \vert _ { \epsilon = 0 } \operatorname * { l i m } _ { \theta \to 1 } \Bigl ( \Omega , T _ { \theta ( { \cal L } _ { 0 } + \epsilon { \cal L } _ { 1 } ) } ( f ^ { \otimes l } ) \Omega \Bigr ) = i ^ { m } \operatorname * { l i m } _ { \theta \to 1 } \Bigl ( \Omega , T _ { \theta { \cal L } _ { 0 } } ( ( \theta { \cal L } _ { 1 } ) ^ { \otimes m } \otimes f ^ { \otimes l } ) \Omega \Bigr )
\begin{array} { r l } { J _ { a , b } } & { = \mathbf { E } [ G \cdot G ^ { a - 1 } ( G \cos \theta + W \sin \theta ) ^ { b } 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { = \mathbf { E } [ ( a - 1 ) G ^ { a - 2 } ( G \cos \theta + W \sin \theta ) ^ { b } 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { \; \; \; \; \; \; + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } b \cos \theta ( G \cos \theta + W \sin \theta ) ^ { b - 1 } 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { \; \; \; \; \; \; + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } ( G \cos \theta + W \sin \theta ) ^ { b } 1 ^ { \prime } \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { \; \; \; \; \; \; + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } ( G \cos \theta + W \sin \theta ) ^ { b } 1 \{ G > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} \cos \theta ] } \\ & { = ( a - 1 ) J _ { a - 2 , b } + b \cos \theta J _ { a - 1 , b - 1 } + 0 + 0 , } \end{array}
{ h _ { 1 , 2 } } \equiv { h _ { 1 , 2 } } ( r ) = { \frac { c _ { 1 , 2 } \, Q _ { 1 , 2 } } { \left| \vec { r } - \vec { r } _ { 1 , 2 } \right| ^ { 5 } } } \, ,
\mathbf { D } ( \mathbf { r } , \ t ) = \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } \ \varepsilon ( \mathbf { r } , \ t ; \mathbf { r } ^ { \prime } , \ t ^ { \prime } ) \mathbf { E } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , \ t ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \textbf { q } } ( \tau ) = \sum _ { n \in \{ s , p \} } \biggl \{ \varepsilon _ { n } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n } + \sum _ { i = 1 } ^ { Z } \left[ t _ { n , i } \left( e ^ { i ( \theta _ { i } ( \tau ) + \textbf { q } \cdot \textbf { b } _ { i } ) } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { n } + h . c . \right) \right] - \textbf { F } ( \tau ) \cdot \hat { r } \sum _ { m \in \{ s , p \} \neq n } \eta _ { n m } \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } \hat { a } _ { m } \biggl \} , } \end{array}
\delta _ { \textrm { s s } } = - \frac { \Delta ( i \kappa - \Delta + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ) \kappa + \lambda _ { 1 } ( \Delta \kappa - i \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } ) } { ( \Delta - \lambda _ { 1 } ) ( \Delta - \lambda _ { 2 } ) ( \Delta - \lambda _ { 3 } ) \kappa } \epsilon .
{ C _ { \mathrm { ~ D ~ } } } = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { 2 4 } { R e _ { \mathrm { p } } } \left( 1 + 0 . 1 5 { R e _ { \mathrm { p } } } ^ { 0 . 6 8 7 } \right) } & { \ R e _ { \mathrm { p } } \leq 1 0 0 0 } \\ { 0 . 4 4 } & { \ R e _ { \mathrm { p } } > 1 0 0 0 \, , } \end{array} \right.
\Gamma _ { \mathrm { s } } , I _ { n } ^ { ( \pm ) } ( \infty , t ) , \tilde { \eta } _ { 0 } ^ { - 1 } \sim x _ { 0 } ^ { 2 } , \qquad x _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } , x _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } , \big | a _ { q } \Delta T _ { 0 } \big | \sim x _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \bf p } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { l } { \tilde { \bf p } ^ { + } } \\ { \tilde { \bf p } ^ { - } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } m _ { i } { n _ { i } } ( \partial _ { t } { u _ { i } } + { u _ { i } } \cdot \nabla { u _ { i } } ) + { n _ { i } } e \nabla \phi + m _ { i } c _ { s i } ^ { 2 } \nabla { n _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = \{ f ^ { * } \in L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) : { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) < \infty , } \\ & { \qquad \qquad f ^ { * } ( j ^ { * } ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } | j ^ { * } | = \infty , \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow j ^ { * } } | c _ { n } | < \infty \mathrm { ~ f o r ~ } j ^ { * } = - p \mathrm { ~ o r ~ } q \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \sum _ { - p \leq n \leq q - 1 } \mu _ { n , n + 1 } \cdot ( f ^ { * } ( n + 1 ) - f ^ { * } ( n ) ) ^ { 2 } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { \mu } } { d t ^ { 2 } } } = - \Gamma ^ { \mu } { } _ { \alpha \beta } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } { \frac { d x ^ { \beta } } { d t } } + \Gamma ^ { 0 } { } _ { \alpha \beta } { \frac { d x ^ { \alpha } } { d t } } { \frac { d x ^ { \beta } } { d t } } { \frac { d x ^ { \mu } } { d t } } \ .
\small { u ^ { \intercal } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } X _ { k , \cdot } ( Y _ { k } - X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) } - ( \beta _ { j } - \widehat { \beta } _ { j } ) = { u ^ { \intercal } \frac { 1 } { n } X ^ { \intercal } \epsilon } + { \left( \widehat { \Sigma } u - e _ { j } \right) ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) } ,
\int _ { { Q _ { h } } } { ( \phi \Delta \psi - \psi } \Delta \phi ) \mathrm { d } \mathbf x = \int _ { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } { ( \phi { \frac { \partial \psi } { \partial \nu } } } - \psi { \frac { \partial \phi } { \partial \nu } } ) \mathrm { d } \sigma + \int _ { \Lambda _ { h } } { ( \phi { \frac { \partial \psi } { \partial \nu } } } - \psi { \frac { \partial \phi } { \partial \nu } } ) \mathrm { d } \sigma ,
\begin{array} { r l } & { W _ { z z } ( { \bf R } _ { 1 } , { \bf R } _ { 2 } , \omega , \omega ^ { \prime } ) = \frac { \hbar } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { n } \mathrm { I m } \left\{ \epsilon ( \omega _ { n } ) \right\} \frac { \omega } { \omega _ { n } } \Theta ( \omega _ { n } ) } \\ & { \times \int d { { \bf k } _ { \parallel } } \psi _ { z z } ^ { ( n ) } ( { { \bf k } _ { \parallel } } , d , \omega , \omega _ { n } ) e ^ { i { { \bf k } _ { \parallel } } \cdot ( { \bf R } _ { 1 } - { \bf R } _ { 2 } ) } \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } \end{array}
\eta = g ^ { 2 } \frac { \kappa _ { b , e } / 2 } { \Delta _ { b } ^ { 2 } + ( \kappa _ { b } / 2 ) ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \kappa _ { a , e } } { \Delta _ { a } ^ { 2 } + ( \kappa _ { a } / 2 ) ^ { 2 } } { } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \hbar \omega _ { b } } { ( \hbar \omega _ { a } ) ^ { 2 } } ,
\hat { h } \in \mathcal A _ { \mathrm { p h g } } ^ { \mathcal G \operatorname { \overline { \cup } } \hat { \mathcal S } } ( \overline { { \mathbb { R } ^ { n } } } ; S ^ { 2 } \, ^ { \mathrm { s c } } T ^ { * } \overline { { \mathbb { R } ^ { n } } } ) , \quad \hat { q } \in \mathcal A _ { \mathrm { p h g } } ^ { \mathcal G \operatorname { \overline { \cup } } \hat { \mathcal S } + 1 } ( \overline { { \mathbb { R } ^ { n } } } ; S ^ { 2 } \, ^ { \mathrm { s c } } T ^ { * } \overline { { \mathbb { R } ^ { n } } } )
V ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l l } { - V _ { 0 } \left[ 1 + \cos \left( 2 \pi x / a _ { 0 } \right) \right] } & { a \leqslant x \leqslant b \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad c \leqslant x \leqslant d } \\ { - ( V _ { 0 } + \Delta V ) \left[ 1 + \cos \left( 2 \pi x / a _ { 0 } \right) \right] } & { b < x < c } \end{array} \quad \right.
\begin{array} { l } { { \phi _ { g } \left( t , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right) = \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \delta _ { t } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \left( t - t _ { n + 1 } \right) + \delta _ { y ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } y ^ { \prime } + \delta _ { x ^ { \prime } } \phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } x ^ { \prime } } } \\ { { \rho _ { g } \left( t , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right) = \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } + \delta _ { t } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \left( t - t _ { n + 1 } \right) + \delta _ { y ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } y ^ { \prime } + \delta _ { x ^ { \prime } } \rho _ { j , k , g } ^ { n + 1 } x ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { h } _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , \vec { L } } = } & { { } \left( \begin{array} { l l } { h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } } & { h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , x , \vec { L } } - \mathrm { ~ i ~ } h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , y , \vec { L } } } \\ { h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , x , \vec { L } } + \mathrm { ~ i ~ } h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , y , \vec { L } } } & { - h _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S O } , z , \vec { L } } } \end{array} \right) } \\ { = } & { { } \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) \boldsymbol { V } _ { \textrm { S O } } ^ { \textrm { E C P } } \left( \vec { r } \right) \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
E ( k , t ) = \sum _ { k \leq | | \widetilde { \boldsymbol { k } } | | < { k + 1 } } \hat { E } \left( \widetilde { \boldsymbol { k } } , t \right) , \quad \hat { E } ( \boldsymbol { k } , t ) = \frac { 1 } { 2 } k ^ { 2 } | \hat { \psi } ( \boldsymbol { k } , t ) | ^ { 2 } ,
{ \cal L } = - \frac 1 4 F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } + \sum _ { C } \mathrm { T r } [ { \bf D } _ { \mu } { \bf \Phi } _ { C } { \bf D } _ { \mu } { \bf \Phi } _ { C } ^ { \dagger } ] - m _ { 0 } ^ { 2 } \sum _ { C } \mathrm { T r } [ { \bf \Phi } _ { C } { \bf \Phi } _ { C } ^ { \dagger } ] + { \cal L } _ { i n t } \ ,
D ^ { \mu } = \partial ^ { \mu } - i g _ { 1 } ( Y / 2 ) B ^ { \mu } - i g _ { 2 } ( \tau _ { i } / 2 ) \cdot W _ { i } ^ { \mu } - i g _ { 3 } ( \lambda _ { a } / 2 ) \cdot G _ { a } ^ { \mu }
a _ { \ell } ^ { a } \mathrm { ( 1 - l o o p ) } = - { \frac { { m _ { \ell } } ^ { 2 } } { 8 { \pi } ^ { 2 } { M _ { a } } ^ { 2 } } } \left( \frac { g A _ { \ell } m _ { \ell } } { 2 M _ { W } } \right) ^ { 2 } H \left( { \frac { m _ { \ell } ^ { 2 } } { M _ { a } ^ { 2 } } } \right) \ , \quad \mathrm { w i t h ~ } H ( y ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 3 } d x } { 1 - x + x ^ { 2 } y } } \ .
\left( \frac { v } { m _ { P l } } \right) ^ { 2 } < { \frac { 1 5 m \left( m - 2 \right) } { 4 \pi } } \left| { \frac { f ^ { \prime \prime } \left( 0 \right) } { f \left( 0 \right) } } \right| ,
T r e ^ { - s E } = \frac { N ^ { 2 k } } { L _ { 0 } \cdots L _ { p } } ( \frac { \pi } { 2 s } ) ^ { k } \exp { - b ^ { 2 } s } \prod _ { i = k + 1 } ^ { l } ( 2 \sinh \omega _ { i } s ) ^ { - 1 }
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { O } } } } & { = r { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { { \dot { \mathbf { O } } } } & { = { \frac { \delta r } { \delta t } } { \hat { \mathbf { r } } } + r { \frac { \delta { \hat { \mathbf { r } } } } { \delta t } } = { \dot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + r \left[ { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } \right] } \\ { { \ddot { \mathbf { O } } } } & { = \left[ { \ddot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + { \dot { r } } { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } \right] + \left[ { \dot { r } } { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + r { \ddot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } - r { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \hat { \mathbf { r } } } \right] } \\ & { = \left[ { \ddot { r } } - r { \dot { \theta } } ^ { 2 } \right] { \hat { \mathbf { r } } } + \left[ r { \ddot { \theta } } + 2 { \dot { r } } { \dot { \theta } } \right] { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { D _ { 0 \perp } \sim \frac { 1 } { 3 } \Gamma _ { A x } ^ { 2 } \beta _ { A x } ^ { 2 } L _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { - 1 } ( 1 + b _ { g } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } c . } \end{array}
n _ { p } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { r < a } \\ { n _ { 0 } \frac { r - a } { b - a } , } & { a \leq r < b } \\ { n _ { 0 } , } & { b \leq r < c } \\ { n _ { 0 } \frac { d - r } { d - c } , } & { c \leq r < d } \\ { 0 , } & { d \leq r } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { e q } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { i } } { m _ { e } } \frac { 3 \sqrt { m _ { e } } ( k _ { \mathrm { B } } T _ { e } ) ^ { 3 / 2 } } { 4 \sqrt { 2 \pi } n _ { e } e ^ { 4 } \ln { \Lambda _ { e } } } } \\ & { \approx 5 \times 1 0 ^ { 3 } \: \left( \frac { \Theta _ { e } } { 0 . 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { n _ { e } } { 1 0 ^ { 1 1 } \: \mathrm { c m } ^ { - 3 } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \ln { \Lambda _ { e } } } { 2 3 } \right) ^ { - 1 } \: \mathrm { s } . } \end{array}
\psi ( p ) = - \frac { \lambda } { \pi ^ { 2 } i } \int d ^ { 4 } q \frac { \psi ( q ) } { \left[ \left( p - q \right) ^ { 2 } + i o \right] \left[ \left( \frac { P } { 2 } - q \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] \left[ \left( \frac { P } { 2 } + q \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right] } .
\sum _ { ( n _ { j } ) _ { 0 } ^ { k } } \sum _ { ( X _ { i } ) _ { 0 } ^ { n } } \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } b ( X _ { i + 1 } , X _ { i } ) \prod _ { j = 0 } ^ { k } \prod _ { i = m _ { j - 1 } + 1 } ^ { m _ { j } } \chi ( X _ { i } \in L X _ { j } ^ { \prime } ) =
| k | = \bigg ( \frac { 4 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } \Big ( \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ) ^ { 3 } \leq \bigg ( \frac { 4 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } e ^ { \frac { 3 \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } , \qquad | k | = \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } \Big ( \frac { \sigma } { 1 2 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ) ^ { 3 } \leq \bigg ( \frac { 1 2 } { \sigma } \bigg ) ^ { 3 } e ^ { \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } .
T _ { 2 } = \int _ { \Sigma } \big ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \big ) \wedge \ast \boldsymbol { n } ( d \phi ) .
\Delta M = \int _ { - \infty } ^ { \infty } < T _ { u u } > \mid _ { v \rightarrow \infty } d u = \frac { N \hbar } { 9 6 \pi } \int _ { | Q | } ^ { \infty } \frac { F ^ { \prime } F ^ { \prime } } { F } \, d r = \frac { k } { 6 } | Q | ,
\begin{array} { r l } { S _ { c } = } & { S _ { f e } + S _ { b e } } \\ { = } & { S _ { f 0 } \left[ 1 + \frac { 2 } { 3 } \pi n _ { b } \left( \frac { v } { \omega _ { p } } \right) ^ { 3 } \right] + \sum _ { k } S _ { b 0 k } \left[ 1 + \frac { 2 } { 3 } \pi n _ { b } \left( \frac { v } { \omega _ { k } } \right) ^ { 3 } \right] } \\ { = } & { \left( S _ { f 0 } + \sum _ { k } S _ { b 0 k } \right) + \left[ S _ { f 0 } \frac { n _ { b } } { 1 2 \sqrt { \pi } } \left( \frac { m _ { e } v ^ { 2 } } { \alpha _ { l } n _ { t e } e ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { k } S _ { b 0 k } \cdot \frac { 2 } { 3 } \pi n _ { b } \left( \frac { v } { I _ { k } / \hbar } \right) ^ { 3 } \right] } \\ { = } & { S _ { 0 } + S _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \mathcal P } } & { = \mathcal N ( \vec { d } _ { 1 3 } \rho _ { 1 3 } e ^ { - i \omega _ { p } t } + \vec { d } _ { 1 2 } \rho _ { 1 2 } e ^ { - i \omega _ { c } t } + \vec { d } _ { 4 2 } \rho _ { 4 2 } e ^ { - i \omega _ { q } t } } \\ & { + \vec { d } _ { 4 3 } \rho _ { 4 3 } e ^ { - i \omega _ { g } t } + c . c . ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { L J } ^ { + - } = \frac { 1 } { 2 } \int \int _ { | x - x ^ { \prime } | \geq \frac { a _ { + } + a _ { - } } { 2 } } - 4 \pi \epsilon _ { + - } c _ { - } ( x ^ { \prime } ) . . } \\ { . . c _ { + } ( x ) \left[ \frac { \sigma _ { + - } ^ { 6 } } { 2 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 4 } } - \frac { \sigma _ { + - } ^ { 1 2 } } { 5 ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 1 0 } } \right] d x d x ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle N _ { 1 } ^ { 2 } ( N + 1 ) \right\rangle } & { { } = 1 + \left( 1 - \frac { 2 } { N } \right) \langle N _ { 1 } ^ { 2 } ( N ) \rangle + \left( 2 - \frac { 1 } { N } \right) \langle N _ { 1 } ( N ) \rangle \, , } \end{array}
\small \ell ( \mu , \boldsymbol { \sigma ^ { 2 } } ) = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \frac { v _ { i } } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \, .