harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { G _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { g _ { k j x x } ^ { 2 } } & { g _ { k j x y } ^ { 2 } } \\ { g _ { k j y x } ^ { 2 } } & { g _ { k j y y } ^ { 2 } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \omega _ { k j } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } & { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { 3 \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \gamma _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { k j x x } } & { \gamma _ { k j x y } } \\ { \gamma _ { k j y x } } & { \gamma _ { k j y y } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \omega _ { k j } \left( \begin{array} { l l } { 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } & { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { 3 \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { 3 \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } - 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \eta _ { k j } = \left( \begin{array} { l l } { \eta _ { k j x x } } & { \eta _ { k j x y } } \\ { \eta _ { k j y x } } & { \eta _ { k j y y } } \end{array} \right) = - N _ { k } \alpha \frac { \hbar \omega _ { k j } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { - \sin ^ { 2 } \theta _ { k j } } & { \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } \\ { \cos \theta _ { k j } \sin \theta _ { k j } } & { - \cos ^ { 2 } \theta _ { k j } } \end{array} \right) , } \\ & { j , ~ k = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n , ~ \mathrm { a n d } ~ j \neq k . } \end{array}
\lbrack \textbf { I } ( \theta ) \rbrack _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { 1 } { b _ { k } + \mu _ { \theta } ( k ) } \frac { \partial \mu _ { \theta } ( k ) } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \mu _ { \theta } ( k ) } { \partial \theta _ { j } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { i n } , j } ^ { ( \ell ) } } & { { } = } & { \sqrt { \Gamma _ { j } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { j , 0 } ^ { \left( \ell \right) } } \\ { \mathcal { L } _ { \mathrm { o u t } , j } ^ { ( \ell ) } } & { { } = } & { \sqrt { \gamma _ { j } ^ { ( \ell ) } } \sigma _ { 0 , j } ^ { \left( \ell \right) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int g \partial _ { \theta } ( \omega f ) \ d E = \int \Big ( \int \partial _ { \theta } ( g \omega f ) \ d \theta \Big ) d E _ { \theta } = \int \Big ( \int ( g \omega f ) \ d S _ { \theta } \Big ) d E _ { \theta } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { E } [ \Delta _ { 1 } ( t ) ] = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { E } [ A ^ { ( n - 1 , n ) } ( t ) ] = \frac { \mathbb { E } \left[ \left( Y ^ { ( n - 1 , n ) } \right) ^ { 2 } \right] } { 2 \mathbb { E } \left[ Y ^ { ( n - 1 , n ) } \right] } \! \! \! } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { a t t a c h \ t o \ n o d e \ o f \ d e g r e e \ 1 \! : } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \, ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ) \to ( N _ { 1 } , N _ { 2 } + 1 ) } \\ & { \mathrm { a t t a c h \ t o \ n o d e \ o f \ d e g r e e \ } k > 1 \! : ~ ~ ( N _ { 1 } , N _ { k } , N _ { k + 1 } ) \to ( N _ { 1 } + 1 , N _ { k } - 1 , N _ { k + 1 } + 1 ) \, , } \end{array}
\dot { p } _ { B } = - \kappa _ { R B } O _ { R } \left( \frac { 1 - \sin \Delta _ { B R } } { 2 } \right) p _ { R } \mathcal { H } ( p _ { B } ) , \; \; \dot { p } _ { R } = - \kappa _ { B R } O _ { B } \left( \frac { 1 + \sin \Delta _ { B R } } { 2 } \right) p _ { B } \mathcal { H } ( p _ { R } ) ,
\begin{array} { r } { m _ { e } \frac { \textrm { d } v } { \textrm { d } t } + e E + \frac { \partial p } { \partial x } = m _ { e } \left( \frac { \partial v } { \partial t } + v \frac { \partial v } { \partial x } \right) + e E + \frac { \partial p } { \partial x } \approx m _ { e } \frac { \partial \, \delta v } { \partial t } + e \, \delta E = 0 , } \end{array}
\displaystyle { G ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l c } { { 2 \left[ \ln ( \sqrt { 1 - \tau } + \sqrt { - \tau } ) \right] ^ { 2 } , } } & { { ~ \tau \leq 0 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - 2 \left[ \arcsin \sqrt { \tau } \right] ^ { 2 } , } } & { { ~ 0 \leq \tau \leq 1 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 2 \left[ \ln ( \sqrt { \tau - 1 } + \sqrt { \tau } ) - i \displaystyle \frac { \pi } { 2 } ) \right] ^ { 2 } , } } & { { ~ \tau \geq 1 . } } \end{array} \right. \, , }
F _ { i } = \omega _ { i } \left[ \mathbf { u } \cdot \nabla \rho + \frac { \mathbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { F } } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left( \mathbf { M } _ { 2 F } - c _ { s } ^ { 2 } ( \mathbf { u } \cdot \nabla \rho ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { c } _ { i } \mathbf { c } _ { i } - c _ { s } ^ { 2 } \mathbf { I } \right) } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } \right] ,
\left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , j + 1 } } & { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 4 ) } } & { \mathbb { O } } \\ { 0 } & { \mathcal { G } _ { 4 , j + 1 } ^ { ( 4 ) } } & { \nu _ { 4 } } \end{array} \right) \vec { r } = 0 .
\begin{array} { r l } { | | } & { \lesssim \| b ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \varepsilon \| \partial _ { t } ( e ^ { \gamma \psi } ) \| _ { H _ { x } ^ { s - 1 } } \| b ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim ( \varepsilon \langle \| f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle + \| b ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ) \| b ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \| a \| _ { H _ { x } ^ { 2 } } + \| ( b , c ) \| _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } + \| P _ { \gamma } ^ { \perp } f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { \perp } } & { = \sqrt { p _ { 2 } ^ { 2 } ( \sin ^ { 2 } ( \phi ) \cos ^ { 2 } ( \psi ) + \sin ^ { 2 } ( \psi ) ) } } & { \mathrm { F r o m ~ } } \\ & { = p _ { 2 } \sqrt { \sin ^ { 2 } ( \phi ) + \sin ^ { 2 } ( \psi ) } } & { p _ { 2 } > 0 . 0 , \cos ^ { 2 } ( \psi ) \approx 1 . 0 } \\ & { \approx ( m _ { 0 } c - 0 . 5 p _ { y } ) \sqrt { \sin ^ { 2 } ( \phi ) + \sin ^ { 2 } ( \psi ) } } & { \mathrm { F r o m ~ } } \\ & { \approx ( m _ { 0 } c - 0 . 5 p _ { y } ) \sqrt { \phi ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } } } & { \mathrm { W i t h ~ } \sin ( \phi ) \approx \phi , \sin ( \psi ) \approx \psi } \\ & { \approx m _ { 0 } c \sqrt { \phi ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } } } & { \mathrm { W i t h ~ } | p _ { \perp } | \gg 0 . 5 \sqrt { \phi ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } } | p _ { y } | } \end{array}
\langle n _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } \rangle \approx n \, \bigg [ p _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } + p _ { x } \, \Big ( 1 - p _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } - \left( 1 - p _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } \right) ^ { n } \Big ) \bigg ]
\mathscr { M } \mathrm { o d } _ { \mathcal { A } } ( \mathscr { R } \mathrm { e p } ( \mathbb { G } ) ) \boxtimes \mathscr { M } \mathrm { o d } _ { \mathcal { B } } ( \mathscr { R } \mathrm { e p } ( \mathbb { H } ) ) \cong \mathscr { M } \mathrm { o d } _ { \mathcal { A } \boxtimes \mathcal { B } } ( \mathscr { R } \mathrm { e p } ( \mathbb { G } ) \boxtimes \mathscr { R } \mathrm { e p } ( \mathbb { H } ) ) ,
\int _ { - 1 } ^ { 1 } d x x ^ { n - 1 } F _ { q } ( x , \xi ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\langle P _ { f } \left| \bar { \psi } _ { q } ( 0 ) \stackrel { \leftrightarrow } { i \partial } _ { \mu _ { 1 } } \cdots \stackrel \leftrightarrow { i \partial } _ { \mu _ { n - 1 } } \gamma _ { \mu _ { n } } \psi _ { q } ( 0 ) \right| P _ { i } \right\rangle n ^ { \mu _ { 1 } } \cdots n ^ { \mu _ { n } }
' s p l a y a c r u c i a l r o l e i n f i x i n g t h e i n t e n s i t y o f t h e v e c t o r b r i g h t l i n e - s o l i t a r y w a v e s . I n t h e v e c t o r E q . ( ) , t h e l i n e s o l i t a r y w a v e c a n p r o p a g a t e s i n t h r e e d i f f e r e n t p l a n e s , l i k e i n t h e c a s e o f s c a l a r E q . ( ) , n a m e l y (
\begin{array} { r l } { \dot { r } _ { j } ( t ) = } & { \left[ \lambda - r _ { j } ( t ) ^ { 2 } \right] r _ { j } ( t ) + K r _ { j + 1 } ( t - \tau ) \left( \sum _ { n = 0 } ^ { 5 } a _ { n , r } \cos \left\{ n \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] \right\} + b _ { n , r } \sin \left\{ n \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] \right\} \right) , } \\ { \dot { \varphi } _ { j } ( t ) = } & { \omega _ { j } - \gamma r _ { j } ( t ) ^ { 2 } + K \frac { r _ { j + 1 } ( t - \tau ) } { r _ { j } ( t ) } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { 5 } a _ { n , \varphi } \cos \left\{ n \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] \right\} + b _ { n , \varphi } \sin \left\{ n \left[ \varphi _ { j + 1 } ( t - \tau ) - \varphi _ { j } ( t ) \right] \right\} \right) , } \end{array}
\lambda ^ { 2 } + ( 2 D \xi ^ { 2 } + \mu + \beta i _ { e } ) \lambda + D ^ { 2 } \xi ^ { 4 } + ( \mu + \beta i _ { e } ) D \xi ^ { 2 } + \beta i _ { e } \left( \mu + \nu + \mu p ^ { \prime } ( i _ { e } ) \widehat { Q } _ { s p a c e } ( \xi ) \widehat { Q } _ { t i m e } ( \lambda ) \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \underbrace { P \left[ b ^ { ( 0 ) } \left( - \frac { 3 } { 2 } \left( H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ) ^ { 2 } \right) - \tau ^ { ( 0 ) } \left( 2 H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } + H ^ { \coth } \big [ \tilde { \eta } _ { \alpha \alpha } ^ { ( 1 ) } \big ] \tilde { \eta } _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } \right) \right] } _ { C ^ { ( 2 ) } } . } \end{array}
\gamma = - \mathrm { I m } ( \delta { \hat { W } } _ { n k } ( \omega _ { r } ) ) \frac { \omega _ { A } ^ { 2 } } { \omega _ { r } } \frac { n \left( \delta { \hat { W } } _ { n f } + \mathrm { R e } ( { \delta { \hat { W } } _ { n k } ( \omega _ { r } ) ) } \right) } { \left| k _ { \parallel n 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } \right| S ^ { 2 } } ,
\begin{array} { c c } { { \mathrm { s d e t } \: F ( z _ { 1 2 } ) = - x _ { \bar { 1 } 2 } ^ { 2 } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \operatorname * { d e t } v ( z _ { 2 1 } ) = \displaystyle { \frac { x _ { \bar { 2 } 1 } ^ { 2 } } { x _ { \bar { 1 } 2 } ^ { 2 } } } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { i n f } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \tau \psi _ { \mathrm { i n f } } ( \tau ) d \tau } , } \\ { T _ { \mathrm { r e m } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \tau \psi _ { \mathrm { r e m } } ( \tau ) d \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | S ( G ) - S ( H ) | } \\ & { = \big | \mathrm { C o v } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ) - \mathrm { C o v } ( Z _ { 1 } , Z _ { 2 } ) \big | } \\ & { = \big | \mathrm { C o v } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } - Z _ { 2 } ) - \mathrm { C o v } ( Z _ { 1 } - Y _ { 1 } , Z _ { 2 } ) \big | } \\ & { \leq \mathrm { V a r } ( Y _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } \mathrm { V a r } ( Y _ { 2 } - Z _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + \mathrm { V a r } ( Z _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \mathrm { V a r } ( Z _ { 1 } - Y _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma _ ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) - \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( 0 , T ; L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) \right) } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C \left\| ( \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) - \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma _ ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( 0 , T ; L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) \right) } ^ { 2 } } \\ & { + C \left\| \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) ( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ) \sigma _ ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( 0 , T ; L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) \right) } ^ { 2 } } \\ & { + C \left\| \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \sigma _ ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) - \sigma ( \tilde { u } ) ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( 0 , T ; L _ { 2 } \left( \mathscr { U } , L ^ { 2 } \right) \right) } ^ { 2 } \to 0 . } \end{array}
S _ { \mathrm { g f } } ^ { A } \equiv - { \frac { 1 } { 2 \lambda } } \int d ^ { 4 } x \sum _ { \alpha } ( \eta \cdot A ^ { \alpha } ) ^ { 2 } \equiv - { \frac { 1 } { 2 \lambda } } \sum _ { \alpha } \int d ^ { 4 } x ( f _ { A } ^ { \alpha } [ A ] ) ^ { 2 } .
\frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { \hat { v } } \\ { \hat { \eta } } \end{array} \right] = - i \left[ \begin{array} { l l l } { \mathcal { L } _ { O S } } & { } & { 0 } \\ { \mathcal { L } _ { C } } & { } & { \mathcal { L } _ { S Q } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { v } } \\ { \hat { \eta } } \end{array} \right] \mathrm { ~ . ~ }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } K _ { x } ( y ) e ^ { - i \omega y } d y = { \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - i \omega x } } & { { \mathrm { i f ~ } } \omega \in [ - a , a ] , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } { \textrm { o t h e r w i s e } } , } \end{array} \right. }
\Gamma _ { \mathrm { S } } = | \rho | = \left| \frac { 1 - y } { 1 + y } \right| = \left| \frac { 1 - g - i b } { 1 + g + i b } \right| = \left| \frac { R - Z _ { 0 } - i R b } { R + Z _ { 0 } + i R b } \right| .
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } = \frac { 4 } { 3 } \left( \mathbb { 1 } - \frac { 1 } { 4 } \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } \right) . \hat { \boldsymbol { e } } _ { g } } \\ & { } & { - S _ { F } ^ { f } \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \cdot } \boldsymbol { p } \right) \left( \bar { \boldsymbol { W } } ^ { c } { \times } \boldsymbol { p } \right) - 4 ( \mathbb { 1 } { - } \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } ) { \cdot } \bar { \boldsymbol { \Omega } ^ { \textit { c } } } + 4 ( \boldsymbol { p } { \times } ( \bar { \boldsymbol { \Gamma } } \cdot \boldsymbol { p } ) ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { t _ { 2 } ^ { * } - t _ { 1 } ^ { * } } \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } ^ { * } - t _ { 1 } ^ { * } } \left( \delta r * \right) ^ { 2 } d \tau ^ { * } = \epsilon ^ { \prime } } \\ { \left( \delta r * \right) ^ { 2 } = \frac { \left( \delta q ^ { * } \right) ^ { 2 } - \left( \delta q _ { \mathrm { s i m } } ^ { * } \right) ^ { 2 } } { \left( \delta q ^ { * } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 3 3 } = \sigma _ { 2 2 } - \sigma _ { 3 3 } = \lambda _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } - \lambda _ { 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } }
\left\{ \begin{array} { c } { E _ { 2 0 } ^ { c } = \frac { 3 \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( ( \cos i ) ^ { 2 } - 1 \right) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \bar { C } _ { 2 2 } , } \\ { E _ { 2 0 } ^ { s } = \frac { 3 \sqrt { 1 5 } } { 2 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( ( \cos i ) ^ { 2 } - 1 \right) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \bar { S } _ { 2 2 } , } \end{array} \right.
\sigma _ { x _ { Z } } ^ { 2 } = \frac { x _ { \zeta } ^ { 2 } } { x _ { \xi } ^ { 4 } } \sigma _ { x _ { \xi } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { x _ { \xi } ^ { 2 } } \sigma _ { x _ { \zeta } } ^ { 2 }
\beta _ { \lbrace J _ { i j } ^ { \prime } \rbrace } ^ { \prime } = \langle q _ { \lbrace J _ { i j } \rbrace } \rangle ^ { - 1 } ( \langle q _ { \lbrace J _ { i j } ^ { \prime } \rbrace } ^ { \prime } \rangle ( \beta _ { \lbrace J _ { i j } \rbrace } ) ) .
\int d x \phi _ { \star } ^ { n } = \int d p _ { 1 } d p _ { 2 } \ldots d p _ { n } \exp ( - \frac { i } { 2 } \sum _ { i < j } ( p _ { i } ) _ { \mu } \theta ^ { \mu \nu } ( p _ { j } ) _ { \nu } ) \phi ( p _ { 1 } ) \phi ( p _ { 2 } ) \ldots \phi ( p _ { n } ) \delta ( p _ { 1 } + p _ { 2 } + \ldots + p _ { n } )
\vert u _ { l } ( r ) \vert \leq r ^ { l } ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { { \frac { 1 - l } { 2 } } } { \frac { \Gamma ( 2 ) \Gamma ( l + { \frac { 3 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { l } { 2 } } + 2 ) \Gamma ( { \frac { l + 3 } { 2 } } ) } } .
g \, \langle \langle F _ { 0 k } ( z _ { j } ) \rangle \rangle ^ { \mathrm { S R } } = \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { s } \left( \frac { r _ { j i } ^ { k } } { r _ { j i } ^ { 3 } } + \frac { r _ { j n } ^ { k } } { r _ { j n } ^ { 3 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { \textsc { F a s t P M } } } ( \Delta a , a ) = p _ { \mathrm { { S y m p l e c t i c ~ 2 } } } ( \Delta a , a ) } & { = 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { \Delta a } { a } + \frac { 1 5 } { 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 5 } { 1 6 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } + \frac { 3 1 5 } { 1 2 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \\ { p _ { \textsc { T s a f P M } } ( \Delta a , a ) } & { = 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { \Delta a } { a } + \frac { 1 5 } { 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 9 } { 4 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } + \frac { 3 3 3 } { 1 2 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \\ { p _ { \mathrm { \textsc { P o w e r F r o g } } } ( \Delta a , a ) } & { = 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { \Delta a } { a } + \frac { 1 5 } { 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } - 2 . 0 5 9 \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } + 1 . 9 6 0 \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \\ { p _ { \epsilon } ( \Delta a , a ) } & { = 1 - \frac { 3 } { 2 } \frac { \Delta a } { a } + \frac { 1 5 } { 8 } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 ( 3 + 2 2 \epsilon ^ { 2 } ) } { 3 2 \epsilon ^ { 2 } } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 3 } + \frac { 3 ( 3 6 + 8 9 \epsilon ^ { 2 } ) } { 1 2 8 \epsilon ^ { 2 } } \left( \frac { \Delta a } { a } \right) ^ { 4 } } \\ & { \quad + \mathscr { O } \left( ( \Delta a ) ^ { 5 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { { } = \psi _ { x } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) - \frac { \omega } { 1 0 } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { x y } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) - \frac { \omega } { 1 0 } t x ) \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring \Pi ( R ( \gamma _ { 2 } ) ) } & { = \mathring \Pi \Big ( R ( \gamma _ { 1 } ) + L _ { \gamma } ( h _ { 1 } ) + ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma } ) ( h _ { 1 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) \Big ) } \\ & { = \mathring \Pi \Big ( ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma } ) ( h _ { 1 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) \Big ) } \\ { \mathring \Pi ( R ( \gamma _ { 3 } ) ) } & { = \mathring \Pi \Big ( R ( \gamma _ { 2 } ) + L _ { \gamma } ( h _ { 2 } ) + ( L _ { \gamma _ { 2 } } - L _ { \gamma _ { 1 } } ) ( h _ { 2 } ) + [ ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma } ) ( h _ { 2 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) \Big ) } \\ & { = \mathring \Pi \Big ( ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma } ) ( h _ { 1 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert u _ { k + 1 } \rVert _ { W ^ { 2 , q } ( M , g ) } } & { \leqslant \gamma ^ { \prime } \left( \lVert A u _ { k } + F ( \cdot , u _ { k } ) \rVert _ { \mathcal L ^ { q } ( M , g ) } + \left\lVert \left( B - \sigma \right) u _ { k } + G \left( \cdot , u _ { k } \right) \right\rVert _ { W ^ { 1 , q } ( M , g ) } \right) } \\ & { \leqslant \gamma ^ { \prime } \left( \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } \right) } \\ & { \qquad + \gamma ^ { \prime } \left( ( B - \sigma ) \lVert u _ { k } \rVert _ { W ^ { 1 , q } ( M , g ) } + \lVert G ( \cdot , u _ { k } ) \rVert _ { \mathcal L ^ { q } ( M , g ) } + \lVert \nabla G ( \cdot , u _ { k } ) \rVert _ { \mathcal L ^ { q } ( M , g ) } \right) } \\ & { \leqslant \gamma ^ { \prime } \left( \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } \right) } \\ & { \qquad + \left( \gamma ^ { \prime } \right) ^ { 2 } ( B - \sigma ) \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + 1 \right) } \\ & { \qquad \qquad + \gamma ^ { \prime } D _ { 1 } \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + \left( \gamma ^ { \prime } \right) ^ { 2 } D _ { 2 } \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + 1 \right) } \\ & { \leqslant \gamma ^ { \prime } \left( \left( A \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } \left( \lvert u _ { + } \rvert , \lvert u _ { - } \rvert \right) + C \right) \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 } & { = } & { U + G _ { S } \left( \frac { \mathrm { i } h } { 2 } , C _ { F , U } \right) U + G _ { D } \left( \frac { \mathrm { i } h } { 2 } , R ^ { 2 } C _ { D , F } C _ { F , U } \right) U + G _ { Q } \left( \frac { \mathrm { i } h } { 2 } , R ^ { 4 } C _ { Q , F } C _ { F , U } \right) U } \\ & { } & { + G _ { O } \left( \frac { \mathrm { i } h } { 2 } , R ^ { 6 } C _ { O , Q } C _ { Q , F } C _ { F , U } \right) U + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { _ \mathrm { D } } = { \frac { 1 } { 2 ( \mathrm { q - 1 } ) \Omega ^ { [ q - 1 ] } } } \Big ( \Phi R - { \frac { \omega _ { _ \mathrm { D } } } { \Phi } } g ^ { \mu \nu } \Phi _ { , \mu } \Phi _ { , \nu } \Big ) \, ,
V ( \sigma ) = \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 0 } } { \sigma ^ { \prime } } ^ { 2 } - i \mathrm { t r } \int _ { 0 } ^ { \sigma ^ { \prime } } d s S ( x , x ; s ) + O \left( \frac { 1 } { N } \right) \, ,
\Gamma ^ { 2 } + \frac { c ^ { 4 } k ^ { 4 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { p e } ^ { 2 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \beta _ { s } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { Y ( s , a ) = r ( s , a ) + \gamma \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) } \\ { = r ( s , a ) + \gamma Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ a ~ x ~ } _ { a ^ { \prime } } Q _ { \theta ^ { \prime } } ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) ) ~ . } \end{array}