harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } } | \mathcal { F } Y ( t - r , \cdot ) ( \xi ) - \mathcal { F } Y ( s - r , \cdot ) ( \xi ) | ^ { 2 } | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi } \\ { = } & { \frac 2 \nu \int _ { \mathbb { R } } \left| \sin \left( \sqrt { \nu / 2 } ( t - r ) | \xi | ^ { \alpha / 2 } \right) - \sin \left( \sqrt { \nu / 2 } ( s - r ) | \xi | ^ { \alpha / 2 } \right) \right| ^ { 2 } | \xi | ^ { a - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } } \left| \int _ { s } ^ { t } \cos \left( \sqrt { \nu / 2 } ( u - r ) | \xi | ^ { \alpha / 2 } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } u \right| ^ { 2 } | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi } \\ { \le } & { \left| \int _ { s } ^ { t } \left( \int _ { \mathbb { R } } \cos ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } ( u - r ) | \xi | ^ { \alpha / 2 } \right) | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } u \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { V } \Big \lvert _ { \{ \textbf { M } _ { 1 } = \mathbf { V } \textbf { M } _ { 2 } \} } \overset { d } { = } \textbf { M } _ { 1 } ( \textbf { M } _ { 1 } ^ { T } \textbf { M } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \textbf { M } _ { 2 } ^ { T } + \mathbf { B } _ { \textbf { M } _ { 1 } } ^ { \perp } \widetilde { \mathbf { V } } [ \mathbf { B } _ { \textbf { M } _ { 2 } } ^ { \perp } ] ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { i j } \Phi ^ { a } = \sum _ { r , s , k , \ell } \partial _ { k r } \Psi ^ { a } ( g \circ f ) \partial _ { s } g ^ { r } ( f ) \partial _ { j } f ^ { s } \partial _ { \ell } g ^ { k } ( f ) \partial _ { i } f ^ { \ell } } & { + \sum _ { k , \ell , r } \partial _ { k } \Psi ^ { a } ( g \circ f ) \partial _ { \ell r } g ^ { k } ( f ) \partial _ { j } f ^ { r } \partial _ { i } f ^ { \ell } } \\ & { + \sum _ { k , \ell } \partial _ { k } \Psi ^ { a } ( g \circ f ) \partial _ { \ell } g ^ { k } ( f ) \partial _ { i j } f ^ { \ell } . } \end{array}
\forall ( i , j ) \in R \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { i j } ( t + 1 ) = B _ { i j } ( t ) + \alpha _ { i j } ( 1 - B _ { i j } ( t ) ) } \\ { B _ { j i } ( t + 1 ) = B _ { j i } ( t ) + \alpha _ { j i } ( 1 - B _ { j i } ( t ) ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d G ( x ) } { d x } } & { = \left. \frac { d g ( y ) } { d y } \right| _ { y = 2 x ^ { 2 } } \frac { d y } { d x } } \\ & { = \left. \frac { d } { d y } \left( \int _ { 1 } ^ { y } \frac { 1 } { 1 + 4 t ^ { 2 } } \, d t \right) \right| _ { y = 2 x ^ { 2 } } \frac { d y } { d x } } \\ & { = \left. \left( \frac { 1 } { 1 + 4 y ^ { 2 } } \right) \right| _ { y = 2 x ^ { 2 } } \, ( 4 x ) } \\ & { = \frac { 4 x } { 1 + 4 ( 2 x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 4 x } { 1 + 1 6 x ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { 1 } \left[ W \right] \geq \sum _ { \{ a , b , c \} \subset V } \frac { P _ { 1 } ( \{ a , b , c \} \in \triangle _ { 4 } ) } { w _ { a } w _ { b } w _ { c } } = \sum _ { \{ a , b , c \} \subset V _ { C } } \frac { P _ { 1 } ( a \leftrightarrow b , b \leftrightarrow c , c \leftrightarrow a ) } { w _ { a } w _ { b } w _ { c } } } \end{array}
\gamma \tau _ { A } \sim ( k \lambda ) \left( \frac { r _ { g } } { \lambda } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { \sqrt { r _ { g } \lambda } } { l _ { s } } \sim ( k \lambda ) \left( \frac { r _ { g } } { \lambda } \right) ^ { 2 } \frac { B _ { 0 } } { B _ { G } } ,
\begin{array} { r } { { \cal H } ^ { ( n , m ) } = \mathrm { s p a n } \Bigl ( \hat { b } _ { p _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { p _ { 2 } } ^ { \dagger } \cdots \hat { b } _ { p _ { n } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { q _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { q _ { 2 } } ^ { \dagger } \cdots \hat { d } _ { q _ { m } } ^ { \dagger } \ensuremath { \vert 0 \rangle } , \phantom { x x x x } } \\ { p _ { 1 } < p _ { 2 } < \cdots < p _ { n } \in \ensuremath { \mathrm { P S } } , q _ { 1 } < q _ { 2 } < \cdots < q _ { m } \in \ensuremath { \mathrm { N S } } \Bigl ) . } \end{array}
\frac { Q _ { \Delta ^ { 0 } } } { Q _ { \Delta ^ { + } p } } = - \frac { 2 } { 5 } \frac { N _ { c } - 3 } { N _ { c } } \sqrt { \frac { 2 ( N _ { c } + 5 ) } { N _ { c } - 1 } } ,
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \pi ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , - 2 \delta { \it \Psi } _ { \mathrm { t } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \mathrm { ( C 1 ) } : ~ | x _ { 1 } ^ { 0 } | < \frac { R } { 2 } , \quad | x _ { 2 } ^ { 0 } | < \frac { R } { 2 } , \quad x _ { 1 } ^ { 0 } < 0 < x _ { 2 } ^ { 0 } , \quad v _ { 2 } ^ { 0 } < 0 < v _ { 1 } ^ { 0 } , } \\ & { \mathrm { ( C 2 ) } : ~ \kappa _ { 0 } \Phi ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) - \kappa _ { 0 } \phi _ { m } ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) < v _ { 1 } ^ { 0 } - v _ { 2 } ^ { 0 } , } \\ & { \mathrm { ( C 3 ) } : ~ \kappa _ { 0 } \Phi ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) + \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) < v _ { 1 } ^ { 0 } - v _ { 2 } ^ { 0 } , } \\ & { \mathrm { ( C 4 ) } : ~ \kappa _ { 2 } \ll 1 . } \end{array} } \end{array}
H _ { f g } \left( \tau , \tau _ { 1 } \right) = \sigma \mathrm { e } ^ { - \varpi \left| \tau - \tau _ { 1 } \right| } \sin \left( \varpi _ { h 0 } \tau \right) \sin \left( \varpi _ { h 1 } \tau _ { 1 } \right) ,
s _ { 1 } ^ { 2 } s _ { 2 } ^ { 2 } | - c _ { 3 } ^ { 2 } ~ m _ { 3 } ~ F ( m _ { 3 } , A ) + s _ { 3 } ^ { 2 } ~ m _ { 4 } ~ F ( m _ { 4 } , A ) | \leq 1 . 5 ~ \mathrm { e V } \ .
\mathbf { w } _ { t } ^ { r , i } = { \boldsymbol { \pi } } _ { t } ^ { i } [ 1 ] \mathbf { b } _ { t } ^ { i } + { \boldsymbol { \pi } } _ { t } ^ { i } [ 2 ] c _ { t } ^ { r , i } + { \boldsymbol { \pi } } _ { t } ^ { i } [ 3 ] f _ { t } ^ { i }
\begin{array} { r } { \P _ { z } ^ { \mathcal { E } } ( T _ { x } < T ^ { 1 } ) = \frac { \sum _ { e \leq w \leq z } e ^ { V ( w ) } } { \sum _ { e \leq w \leq x } e ^ { V ( w ) } } \; \; \textrm { i f } z \not = e , \; \; \P ^ { \mathcal { E } } ( T _ { x } < T ^ { 1 } ) = \frac { 1 } { \sum _ { e \leq w \leq x } e ^ { V ( w ) } } \; \; \textrm { e l s e } , } \end{array}
A _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { a } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 2 } } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 3 } } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { b _ { d } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ,
0 = \sum _ { n \neq 0 , 1 } \mathrm { e } ^ { i n \sigma } \dot { z } _ { n } + 2 \mathrm { e } ^ { i \sigma } p _ { - 1 } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n } } ( \mathrm { e } ^ { i n \sigma } \bar { p } _ { n } + \mathrm { e } ^ { - i n \sigma } \bar { p } _ { - n } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { S } _ { 1 } ^ { \infty } \bigg \downarrow _ { \mathfrak { s o } ( m ) } ^ { \mathfrak { s p } ( 2 m ) } } & { \cong \bigoplus _ { a \geq 1 } \bigoplus _ { \ell = 0 } ^ { \infty } R ^ { \ell } ( \mathcal { H } _ { a , 1 } \oplus \mathbb { P } _ { 2 , 0 } \mathcal { H } _ { a , 1 } ) } \\ & { \oplus \bigoplus _ { a \geq 0 } \bigoplus _ { \ell = 0 } ^ { \infty } R ^ { \ell } ( \mathbb { P } _ { - 2 , 2 } \mathcal { H } _ { a } \oplus \mathbb { P } _ { - 2 , 0 } \mathcal { H } _ { a } \oplus \mathbb { P } _ { - 2 , - 2 } \mathcal { H } _ { a } ) . } \end{array}
F _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } \sim k \frac { ( Z - 1 ) \, e ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } , \qquad F _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ v ~ } } \sim G \frac { ( A - 1 ) \, m _ { p } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { | \langle \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } | \psi \rangle | ^ { 2 } } & { { } = } & { \big | \cos ( m _ { 1 } \theta _ { 1 } ) \sin ( m _ { 2 } \theta _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { z \rightarrow a / a \rightarrow z } ( \mathbf { z } , \mathbf { a } ) } & { { } = \mathbf { z } , \exp ( S ^ { z \rightarrow a / a \rightarrow z } ( \mathbf { z } ) ) \odot \mathbf { a } + T ^ { z \rightarrow a / a \rightarrow z ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \frac { \partial } { \partial t } } \hat { \mathcal E } + \beta w { \frac { \partial } { \partial w } } \, \hat { \mathcal E } + \left[ \sigma ^ { 2 } w ^ { 4 } + 2 \, i B { w } ^ { 3 } + \left( \sigma ^ { 2 } { k } ^ { 2 } + 2 \, { \lambda } \right) { w } ^ { 2 } + 2 \, i B w { k } ^ { 2 } \right] \, \hat { \mathcal E } = 0 , } \\ & { \quad \hat { \mathcal E } | _ { t = 0 } = e ^ { - i w y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i j } } & { = \int \mathrm { d } x ^ { 3 } \phi _ { i } ^ { \ast } ( x ) \left( - \frac { \hbar } { 2 m _ { e } } \nabla ^ { 2 } + \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \frac { Z _ { i } } { | \hat { x } - \mathbf { X } _ { i } | } \right) \phi _ { j } ( x ) , } \\ { V _ { i j k l } } & { = \int \mathrm { d } x ^ { 3 } \mathrm { d } x ^ { 3 } \phi _ { i } ^ { \ast } ( x ) \phi _ { j } ^ { \ast } ( x ^ { \prime } ) \frac { 1 } { | \hat { x } - \hat { x } ^ { \prime } | } \phi _ { l } ( x ^ { \prime } ) \phi _ { k } ( x ) . } \end{array}
\langle F \rangle _ { J } = { \frac { \int { \mathcal { D } } \varphi F [ \varphi ] e ^ { i \left( { \mathcal { S } } [ \varphi ] + \langle J , \varphi \rangle \right) } } { \int { \mathcal { D } } \varphi e ^ { i \left( { \mathcal { S } } [ \varphi ] + \langle J , \varphi \rangle \right) } } } .
\left[ Z _ { L m } ^ { \Omega } , \bar { Z } _ { L n } ^ { \Omega ^ { \prime } } \right\} = \delta ^ { \Omega \Omega ^ { \prime } } \delta _ { m n } \, , \qquad \left[ Z _ { R m } ^ { \Omega } , \bar { Z } _ { R n } ^ { \Omega ^ { \prime } } \right\} = \delta ^ { \Omega \Omega ^ { \prime } } \delta _ { m n } \, ,
\begin{array} { r l } { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) } & { \leq ( 1 - \eta _ { t } \lambda \mu ) \big ( g ( x _ { t + 1 } , y _ { t } ) - G ( x _ { t + 1 } ) \big ) - \frac { \eta _ { t } } { 2 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda L _ { g } ^ { 2 } \| x _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { L _ { g } \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left. \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \right\vert _ { z = \zeta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) } = \frac { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } , \quad \left. \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } \right\vert _ { z = \zeta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) } = \frac { \varphi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } - \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } , \quad J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } = ( \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ) ^ { 2 } + ( \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ) ^ { 2 } .
\tilde { \delta } _ { 2 } X _ { 1 } = { \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { 1 - t _ { 1 } t _ { 2 } } } ( X _ { 1 } g _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 2 } g _ { 0 } - g ^ { - 1 } \tilde { \eta } _ { 2 } g X _ { 1 } ) .
\langle \Xi _ { k } , \chi _ { 1 } \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { E u c } } \rangle = \langle \Xi _ { k } ^ { \perp } , \chi _ { 1 } \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { E u c } } \rangle - \langle \pi _ { k } , \chi _ { 1 } \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { E u c } } \rangle = \langle \Xi _ { k } ^ { \perp } , \Xi _ { \ell } \rangle + \langle \pi _ { k } , \chi _ { 1 } \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { E u c } } \rangle
a _ { f _ { C P } } = { \frac { \Gamma \left( B ^ { o } ( t ) \to f _ { C P } \right) - \Gamma \left( \overline { { { B } } } ^ { o } ( t ) \to f _ { C P } \right) } { \Gamma \left( B ^ { o } ( t ) \to f _ { C P } \right) + \Gamma \left( \overline { { { B } } } ^ { o } ( t ) \to f _ { C P } \right) } } ,
T _ { q g } ^ { A ( m ) } ( x , x _ { L } ) \approx \frac { \widetilde { C } } { x _ { A } } ( 1 - e ^ { - x _ { L } ^ { 2 } / x _ { A } ^ { 2 } } ) f _ { q } ^ { A } ( x ) \left[ 1 - \frac { 1 - z } { 2 } \right] ,
A = \left( - \frac { 2 a _ { 1 } r } { a _ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } \left( \left( - \frac { a _ { 1 } r } { a _ { 3 } } \right) ^ { 1 / 2 } Z \right) e ^ { i \chi } ,
I _ { \mathrm { W Z } } = \int d ^ { 4 } x \left[ \partial _ { \mu } \phi ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } \phi - i \chi \sigma ^ { \mu } \partial _ { \mu } { \bar { \chi } } - \left| { \frac { \partial W } { \partial \phi } } \right| ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \phi ^ { 2 } } } \chi \chi - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } W ^ { \dagger } } { \partial \phi ^ { \dagger 2 } } } { \bar { \chi } } { \bar { \chi } } \right]
T = { \frac { ( r ^ { d } + c _ { 1 } ) \, r ^ { d - 1 } } { ( r ^ { 2 d } - 2 b _ { 1 } r ^ { d } + b _ { 2 } ) } } - { \frac { 1 6 \phi ^ { \prime } } { ( d + 1 ) ^ { 2 } \alpha _ { e } } } .
\begin{array} { r l r } { \left\| \gamma \sum _ { l = 0 } ^ { T - 1 } \theta _ { l } \right\| } & { \leq } & { \sqrt { \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } R ^ { 2 } } = R , } \\ { A _ { T } } & { \leq } & { 4 R ^ { 2 } + 2 R \sqrt { \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } R ^ { 2 } } } \\ & { } & { \quad + R ^ { 2 } + R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } R ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 9 R ^ { 2 } , } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { N } _ { k } \cdot \delta \mathbf { r } _ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { N } _ { k } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial q _ { j } } } \delta q _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } Q _ { j } \delta q _ { j } \, .
\begin{array} { r } { \check { \Xi } _ { z , j } = ( \tilde { y } _ { j , h } ^ { i } \tilde { y } _ { j , h } ^ { l } / 2 - \tilde { y } _ { j , k } ^ { i } \tilde { y } _ { j , h } ^ { l } ) / \check { \sigma } _ { i , l } ( t ) - 4 ^ { - 1 } \check { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \left( \tilde { y } _ { j , h } ^ { i , 2 } / \check { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t _ { j } ) + \tilde { y } _ { j , h } ^ { l , 2 } / \check { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t _ { j } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \int d { \bf { k } } \langle { u ^ { \prime } { } ^ { \ell } ( { \bf { k } } ; \tau ) b ^ { \prime } { } ^ { \ell } ( { \bf { k } } ; \tau ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 a } ^ { ( 1 ) } } & { { } = 9 6 0 D \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y ( l ^ { 0 } ) ^ { 4 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ W ^ { k + 1 } \right] - \mathbb { E } \left[ W ^ { k } \right] \leq } & { { \alpha _ { k } b ^ { 2 } } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { n } + \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } ] } \\ & { + ( \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } ) \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + \frac { a _ { 1 } ( \alpha _ { k } ) M _ { f } } { L _ { y } } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { L _ { y } } } \\ & { - \frac { M _ { f } } { L _ { y } } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \right] } \\ { = } & { { \alpha _ { k } b ^ { 2 } } + ( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } } { n } + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + ( \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } + \frac { a _ { 1 } ( \alpha _ { k } ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + ( \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } ) \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { M _ { f } } { L _ { y } } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \right] . } \end{array}
( \, { \tilde { \Gamma } } _ { { \bar { i } } { \bar { j } } } ^ { \bar { k } } - { \tilde { \Gamma } } _ { { \bar { j } } { \bar { i } } } ^ { \bar { k } } \, ) \langle \, { \hat { \phi } } _ { \bar { k } } \, \prod _ { l = 1 } ^ { s } \phi _ { l } \, \rangle _ { g } = \sum _ { l = 1 } ^ { s } { \cal R } _ { D _ { l } } + \sum _ { n o d e s } { \cal R } _ { \Delta } \,
\begin{array} { r l r } { \beta ( r ) } & { = } & { X _ { 5 } ( r , R _ { \mathrm { r e f } } ) \ln \frac { 2 D _ { \mathrm { e } } } { U _ { \mathrm { L R } } ( R _ { \mathrm { e } } ) } } \\ & { + } & { ( 1 - X _ { 5 } ( r , R _ { \mathrm { r e f } } ) ) \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \beta _ { i } X _ { 3 } ( r , R _ { \mathrm { r e f } } ) ^ { i } , } \end{array}
\frac { \displaystyle { \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) - \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) - B _ { M } } } { 2 \sigma _ { M } } \overset { d } { \to } \mathrm { S t a b } ( 1 , 1 ) , \quad \frac { \displaystyle { \operatorname* { m a x } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) + \operatorname* { m i n } _ { 0 \le N < M } S _ { N } ( \alpha ) } } { 2 \sigma _ { M } } \overset { d } { \to } \mathrm { C a u c h y }
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 1 , i } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = \left( c _ { 1 , i } ^ { - } + \alpha _ { i } \frac { z } { \hbar } \right) e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } + c _ { 1 , i } ^ { + } e ^ { \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } , } \end{array}
\frac { d \mathcal { W } } { d t } = \frac { \mathcal { I } _ { 0 } } { \rho ^ { 2 } } [ \textrm { s i n } \ \varphi \ \textrm { s i n } \ \delta + \textrm { c o s } \ \varphi \ \textrm { c o s } \ \delta \ \textrm { c o s } \ ( \omega + \psi ) ]
\sum _ { p , q } w _ { p } [ \partial ^ { 2 } \mathcal { S } _ { \mathrm { l o g } } ] _ { p , q } w _ { q } = \sum _ { n } \frac { \left( \sum _ { p } \chi _ { p } ( x _ { n } ) w _ { p } \right) ^ { 2 } } { \left( \sum _ { p ^ { \prime } } \psi _ { p ^ { \prime } } \chi _ { p ^ { \prime } } ( x _ { n } ) \right) ^ { 2 } } > 0 ,
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { l } \sim } & { { } ~ \frac { \vert \lambda _ { 0 } \vert ^ { 2 } \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } + \vert \lambda _ { 1 } \vert ^ { 2 } \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } } { \mathrm { R e } \lambda _ { 0 } \mathrm { R e } \lambda _ { 1 } \vert \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } \vert } \frac { 1 } { \vert \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } \vert } \, X } \end{array}
v _ { \mu } \nabla ^ { \mu } v _ { \alpha } - \frac { \omega _ { 0 } } { \hat { m } } \nabla ^ { 0 } v _ { \alpha } = F _ { \alpha } ^ { E } + F _ { \alpha } ^ { Q } + F _ { \alpha } ^ { G } + F _ { \alpha } ^ { n } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } ^ { t + 1 } = x _ { i } ^ { t } + \mu ( x _ { j } ^ { t } - x _ { i } ^ { t } ) } \\ { x _ { j } ^ { t + 1 } = x _ { j } ^ { t } + \mu ( x _ { i } ^ { t } - x _ { j } ^ { t } ) } \end{array} \right.
\boldsymbol \alpha = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol \alpha _ { n - 1 } ^ { ( - P ) } } & & & \\ & { \boldsymbol \alpha _ { n - 1 } ^ { ( - P + 1 ) } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \boldsymbol \alpha _ { n - 1 } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \zeta = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol \zeta _ { n } ^ { ( - P ) } } & & & \\ & { \boldsymbol \zeta _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \boldsymbol \zeta _ { n } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] , \; \boldsymbol \gamma = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \chi ^ { ( - P ) } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \chi ^ { ( - P + 1 ) } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \chi ^ { ( P ) } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \| v _ { 0 , j } - v _ { 0 , i } \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime } \cap q _ { 0 , i } ^ { \prime } ) } } & { \le \| ( a _ { 0 , j } - a _ { 0 , i } ) 1 _ { \omega _ { 0 , j } \cup \omega _ { 0 , i } } \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime } \cap q _ { 0 , i } ^ { \prime } ) } + \| ( u - a _ { 0 , j } ) 1 _ { \omega _ { 0 , i } } \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime } \setminus \omega _ { 0 , j } ) } } \\ & { + \| ( u - a _ { 0 , i } ) 1 _ { \omega _ { 0 , j } } \| _ { L ^ { 2 } ( q _ { 0 , i } ^ { \prime } \setminus \omega _ { 0 , i } ) } } \\ & { \le \| ( a _ { 0 , j } - a _ { 0 , i } ) \| _ { L ^ { 4 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime } \cap q _ { 0 , i } ^ { \prime } ) } | \omega _ { 0 , j } \cup \omega _ { 0 , i } | ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \| ( u - a _ { 0 , j } ) \| _ { L ^ { 4 } ( q _ { 0 , j } ^ { \prime } \setminus \omega _ { 0 , j } ) } | \omega _ { 0 , i } | ^ { \frac { 1 } { 4 } } } \\ & { + \| ( u - a _ { 0 , i } ) \| _ { L ^ { 4 } ( q _ { 0 , i } ^ { \prime } \setminus \omega _ { 0 , i } ) } | \omega _ { 0 , j } | ^ { \frac { 1 } { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta \left( e _ { n } ^ { ( a ) } \right) = e _ { n } ^ { ( a ) } \otimes 1 + \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } C ^ { - n - j / 2 } \psi _ { - , j } ^ { ( a ) } \otimes e _ { n + j } ^ { ( a ) } , } \\ & { \Delta \left( f _ { n } ^ { ( a ) } \right) = 1 \otimes f _ { n } ^ { ( a ) } + \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } f _ { n - j } ^ { ( a ) } \otimes C ^ { - n + j / 2 } \psi _ { + , j } ^ { ( a ) } , } \\ & { \Delta \left( \psi _ { + , n } ^ { ( a ) } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { n } C ^ { n - j } \psi _ { + , j } ^ { ( a ) } \otimes \psi _ { + , n - j } ^ { ( a ) } , } \\ & { \Delta \left( \psi _ { - , n } ^ { ( a ) } \right) = \sum _ { j = 0 } ^ { n } \psi _ { - , n - j } ^ { ( a ) } \otimes C ^ { - n + j } \psi _ { - , j } ^ { ( a ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } } & { \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) \| _ { H } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \| P _ { h } ( G _ { 1 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) - G _ { 2 } ( r , u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } ) ) \| _ { H } + C \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \| u _ { r } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { r } ^ { G _ { 2 } , h } \| _ { H } , } \end{array}