harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { E } _ { 2 , 1 } ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } } & { \lesssim \tau \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \Big ( \left\Vert \Pi _ { \tau } | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } \big ( ( e ^ { i \vartheta \Delta } - 1 ) u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \big ) \right\Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } \Big ) } \\ & { \lesssim \tau \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \Big ( \Vert u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 2 } \Vert ( e ^ { i \vartheta \Delta } - 1 ) \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , 1 - b _ { 0 } } } \Big ) } \\ & { \lesssim \tau ^ { 1 + \frac { s _ { 0 } } { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \tau ] } \Vert u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 3 } . } \end{array}
{ \cal N } = \left\{ \begin{array} { c l } { { \frac { 1 } { q ^ { 2 } } ( q ^ { 4 } ( q ^ { 2 } + 1 ) ( t - 1 ) - q ^ { 2 } + t ) } } & { { \nu = 1 } } \\ { { q ^ { 4 } ( q ^ { 2 } t - 1 ) + ( q ^ { 2 } + 1 ) ( t - 1 ) } } & { { \nu = 2 } } \end{array} \right.
n _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ u ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } ( \psi _ { N } ) = n _ { e } ( \psi _ { N } ) \left( \frac { Z _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi _ { N } ) - 1 } { Z _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ u ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } ^ { 2 } - Z _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ u ~ r ~ i ~ t ~ y ~ } } } \right)
c _ { 2 } = \frac { 1 } { a _ { 0 } } \left( c _ { 2 , - 1 } + c _ { 2 , 0 } a _ { 0 } + c _ { 2 , 1 } a _ { 0 } ^ { 2 } + c _ { 2 , 2 } a _ { 0 } ^ { 3 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n + 1 / 2 } } & { { } = \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \mathbf { A } _ { x } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } ) \left[ \mathbf { W } _ { i } ^ { n } - \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n } \right] } \\ { \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n + 1 / 2 } } & { { } = \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \mathbf { A } _ { x } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } ) \left[ \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n } - \mathbf { W } _ { i } ^ { n } \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \phi ( x _ { 1 } ) \, } & { = \, \exists u \; \, [ \, u \in x _ { 1 } \, \land \, \neg \exists v \; \, ( \; v \, \in \, u \, ) ] \, \land \, \, \exists w \; { \bigl ( } w \in x _ { 1 } \, \land \, \exists y \; \, [ ( \; y \, \in w \; \land \; \neg \exists z \; \, ( \; z \, \in \, y \, ) ] { \bigr ) } } \\ { \phi _ { r } ( x _ { 1 } ) \, } & { = \, \exists x _ { 2 } [ x _ { 2 } \! \in \! x _ { 1 } \, \land \, \neg \exists x _ { 3 } ( x _ { 3 } \! \in \! x _ { 2 } ) ] \, \land \, \, \exists x _ { 2 } { \bigl ( } x _ { 2 } \! \in \! x _ { 1 } \, \land \, \exists x _ { 3 } [ ( x _ { 3 } \! \in \! x _ { 2 } \, \land \, \neg \exists x _ { 4 } ( x _ { 4 } \! \in \! x _ { 3 } ) ] { \bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I ( d , w , i , y _ { v } ) = } & { \prod _ { l } \mathcal { P } _ { \sum _ { j } { \lambda _ { i , y _ { v } } ^ { ( l , j ) } } } \bigg ( \sum _ { j } { d ^ { ( l , j ) } } \bigg ) } \\ & { \times \prod _ { l } \mathcal { P } _ { \sum _ { j } { \lambda _ { i , y _ { v } } ^ { ( l , j ) } } } \bigg ( \sum _ { j } { w ^ { ( l , j ) } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { C } e ^ { s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) d s } & { = } & { \mathrm { R e s } \left( s _ { 0 } \right) = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } s \, W _ { 0 } ^ { \prime } \left( s \right) } \\ & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \, \frac { W _ { 0 } \left( s \right) } { 1 + W _ { 0 } \left( s \right) } = 0 . } \end{array}
\| ( t _ { 0 } , t _ { 1 } , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) \| _ { c } ^ { 2 } = c \sum _ { 0 } ^ { 3 } \| t _ { i } ( + \infty ) \| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } \sum _ { 0 } ^ { 3 } \left( \| t _ { i } ( s ) \| ^ { 2 } - \| t _ { i } ( + \infty ) \| ^ { 2 } \right) d s .
v _ { c } = - \frac { N _ { \rho } } { k \, t _ { \mathrm { c o o l } } } \frac { R _ { \lambda } + ( v _ { c } / c _ { s , 0 } ) ^ { 2 } } { 1 + ( v _ { c } / c _ { s , 0 } ) ^ { 2 } } .
\mathbf { c } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } Q _ { k , j , L } + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , L } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } Q _ { k , j , R } + \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } \psi _ { m , k - 1 / 2 , j , R } - \mu _ { m } \psi _ { m , k , j + 1 , L } ^ { ( l ) } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } Q _ { k + 1 / 2 , j , L } } \\ { \frac { \Delta x _ { j } } { 4 } Q _ { k + 1 / 2 , j , R } - \mu _ { m } \psi _ { m , k + 1 / 2 , j + 1 , L } ^ { ( l ) } } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } _ { T } } & { { } \leq \mathsf { E } _ { 0 } + C t \left( \mathsf { E } _ { T } ^ { 3 / 2 } + \mathsf { E } _ { T } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left\| w _ { 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \left\| w \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 4 } w \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) } \end{array}
[ \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) ] = \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \; \; \; , \; \; \; [ \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) ] = 0 = [ \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) , \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) ]
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) } & { { } < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa } ( G ) d G } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { H _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { 3 } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { 5 } ^ { 0 } } } \\ { { H _ { 6 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) _ { L ( R ) } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { H _ { 1 } ^ { \prime 0 } } } \\ { { H _ { 3 } ^ { \prime 0 } } } \\ { { H _ { 5 } ^ { \prime 0 } } } \\ { { H _ { 6 } ^ { \prime 0 } } } \end{array} \right) _ { L ( R ) } .
f ( \mathbf { x } ) = f ( \mathbf { a } ) + \sum _ { 1 \leq | \alpha | \leq k } { \frac { 1 } { \alpha ! } } ( D ^ { \alpha } f ) ( \mathbf { a } ) ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) ^ { \alpha } + \sum _ { | \alpha | = k + 1 } { \frac { k + 1 } { \alpha ! } } ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { k } ( D ^ { \alpha } f ) ( \mathbf { a } + t ( \mathbf { x } - \mathbf { a } ) ) \, d t .
\int _ { 0 } ^ { L } d x \varphi ^ { i j \dagger } \varphi ^ { i j } | \vec { M } , \vec { M } ^ { \prime } \rangle = \left( M _ { i j } - M _ { i j } ^ { \prime } \right) | \vec { M } , \vec { M } ^ { \prime } \rangle \ ,
P _ { i } ( k _ { \perp } ^ { 2 } ) = d _ { i } ( k _ { \perp } ^ { 2 } ) e ^ { - \int _ { k _ { \perp } ^ { 2 } } ^ { k _ { \perp , \operatorname * { m a x } } ^ { 2 } } \sum _ { j } d _ { j } ( p _ { \perp } ^ { 2 } ) d p _ { \perp } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \Psi \left( \underline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { \hat { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) \rightarrow \delta ( t ) , } \\ & { \int _ { s } ^ { t } \Psi \left( \underline { { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } , \dot { \hat { y } } _ { \mathrm { v i } , \tau } \right) \leq \delta ( t ) - \delta ( s ) } \end{array}
f = 2 \pi i \frac { d ^ { 2 } F } { d a ^ { 2 } } = - 4 \ln a + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } f _ { n } a ^ { - 4 n } = \ln z + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } f _ { n } z ^ { n } .
\frac { \partial \mathsf { G } _ { \lambda , n } [ \mathbf { b } ] } { \partial b _ { t } } = \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \lbrack n _ { \lambda , \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ) - n _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) \rbrack g _ { t } ( \mathbf { r } )
{ \hat { \cal T } } _ { J } ^ { R } = \sum _ { J ^ { 1 } , J ^ { 2 } } \left\langle \begin{array} { l l } { { R ^ { 1 } } } & { { R ^ { 2 } } } \\ { { J ^ { 1 } } } & { { J ^ { 2 } } } \end{array} \right. \left| \begin{array} { l } { { R } } \\ { { J } } \end{array} \right\rangle { \hat { \cal T } } _ { J ^ { 1 } } ^ { R ^ { 1 } } ( 1 ) { \hat { \cal T } } _ { J ^ { 2 } } ^ { R ^ { 2 } } ( 2 ) ,
{ \mathcal { H } } = - J \sum _ { j } \left( { b } _ { j } ^ { \dagger } e ^ { - i { n } _ { j } \theta } { b } _ { j - 1 } + \textrm { h . c . } \right) + \frac { U } { 2 } \sum _ { j } { n } _ { j } ( { n } _ { j } - 1 ) ,
\eta ( s _ { n } ) = \left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s _ { n } } } } \right) \zeta ( s _ { n } ) = { \frac { 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s _ { n } } } } } { 1 - { \frac { 3 } { 3 ^ { s _ { n } } } } } } \lambda ( s _ { n } ) = 0 .
| \widehat { \phi } | ( r , \theta , \widetilde { \varphi } ) \leq \int _ { r } ^ { \infty } | \widetilde { X } \widehat { \phi } | ( \tau , r , \theta , \widetilde { \varphi } ) \, d r ^ { \prime } \leq \sqrt { \int _ { r } ^ { \infty } r ^ { - 2 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 2 } \, d r ^ { \prime } } \sqrt { \int _ { r } ^ { \infty } r ^ { 2 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 2 } | \widetilde { X } \widehat { \phi } | ^ { 2 } \, d r ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial y } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( a - y ) \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( a - y ) \left[ \frac { \partial } { \partial y } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) + ( 1 - \tau ) \frac { \partial } { \partial z } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) \right] d \tau . } \end{array}
\left\langle \widetilde { \Lambda } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \Lambda } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = \textbf { G } \Rightarrow \textbf { P } \widetilde { \Lambda } \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } = 0 , \textbf { P } \widetilde { \Lambda } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = I
I _ { 1 } = \frac { \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ \# ~ 1 ~ } } { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } } \simeq \frac { \omega _ { m } } { m \Omega _ { d } } \frac { S } { B _ { 0 } } \simeq 1 ,
{ \begin{array} { r l } { \ln q _ { \tau } ^ { * } ( \tau ) } & { = \operatorname { E } _ { \mu } [ \ln p ( \mathbf { X } \mid \mu , \tau ) + \ln p ( \mu \mid \tau ) ] + \ln p ( \tau ) + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \\ & { = ( a _ { 0 } - 1 ) \ln \tau - b _ { 0 } \tau + { \frac { 1 } { 2 } } \ln \tau + { \frac { N } { 2 } } \ln \tau - { \frac { \tau } { 2 } } \operatorname { E } _ { \mu } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( x _ { n } - \mu ) ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 } } } \\ { - } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } { \eta _ { 2 } } } \\ { - } & { \left( { { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } } \right) { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } } } { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 \bar { 1 } ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } } \right) { D _ { 3 \bar { 1 } ^ { \prime } } } { \eta _ { 3 ^ { \prime } } } . } \end{array}
L = { \sqrt { - g } } \left[ { \frac { R } { 2 \kappa ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { \kappa ^ { 2 } } } ( \nabla \psi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } \, ( e ^ { - a \psi } \, F ^ { 2 } + e ^ { - b \psi } \, H ^ { 2 } ) \right] .
C = \left( \begin{array} { c c c } { { \begin{array} { c } { { c _ { 2 } ^ { 2 } - c _ { 1 } ^ { 1 } } } \end{array} \, } } & { { \begin{array} { c } { { c _ { 1 } ^ { 0 } - c _ { 2 } ^ { 1 } } } \end{array} \, } } & { { \begin{array} { c } { { c _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { c } { { c _ { 2 } ^ { 3 } - c _ { 1 } ^ { 2 } } } \end{array} } } & { { \begin{array} { c } { { - 2 c _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} } } & { { \begin{array} { c } { { c _ { 1 } ^ { 0 } + c _ { 2 } ^ { 1 } } } \end{array} \, } } \\ { { \begin{array} { c } { { c _ { 2 } ^ { 4 } } } \end{array} } } & { { \begin{array} { c } { { - c _ { 2 } ^ { 3 } - c _ { 1 } ^ { 2 } } } \end{array} } } & { { \begin{array} { c } { { c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 1 } } } \end{array} } } \end{array} \right)
E ( \epsilon ) = \left\{ \begin{array} { l l } { E ^ { * } / k , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon < \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( c ) } , } \\ { E ^ { * } { \, \, \, \, \, \, } , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( c ) } \leq \epsilon \leq \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( t ) } , } \\ { E ^ { * } / k , } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon > \epsilon _ { \mathrm { f } } ^ { ( t ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { p ( x _ { t } | x _ { t - 1 } ) = } & { \mathcal { N } \left( x _ { t } ; \sqrt { 1 - \beta _ { t } } \cdot x _ { t - 1 } , \beta _ { t } \cdot \mathbf { I } \right) } \\ { p ( x _ { t } | x _ { 0 } ) = } & { \mathcal { N } \left( x _ { t } ; \sqrt { \hat { \alpha _ { t } } } \cdot x _ { 0 } , ( 1 - \hat { \alpha } _ { t } ) \cdot \mathbf { I } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { \lambda w } { 1 - w } \right) ^ { j } } { e ^ { \lambda } - 1 } d \lambda } } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { j } } { e ^ { \lambda } - 1 } d \lambda } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } } { j ! } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \Gamma ( j + 1 ) \zeta ( j + 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \binom { x - 1 } { j - 1 } \left( \frac { w } { 1 - w } \right) ^ { j } \zeta ( j + 1 ) , } \end{array}
\eta _ { \mathrm { c } } = \left( 1 - \beta _ { 2 } \right) \left[ ( 1 - \beta _ { 1 } ) \eta _ { \mathrm { i c } } + \beta _ { 1 } \eta _ { \mathrm { c w g } } \right] + \beta _ { 2 } \eta _ { \mathrm { i c } }
\tan ( \theta _ { P M F } ) = - \left( \frac { V _ { g , p } ^ { - 1 } ( \omega _ { p } ) - V _ { g , s } ^ { - 1 } ( \omega _ { s } ) } { V _ { g , p } ^ { - 1 } ( \omega _ { p } ) - V _ { g , i } ^ { - 1 } ( \omega _ { i } ) } \right) ,
C ( \Tilde { p } ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \dots } & { 1 } & { 1 } & { \dots } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \Tilde { p } ( d + 2 ) ) _ { 1 } } & { \dots } & { \Tilde { p } ( n ) _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \dots } & { 0 } & { \Tilde { p } ( d + 2 ) ) _ { 2 } } & { \dots } & { \Tilde { p } ( n ) _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { \operatorname* { d e t } ( C ( 1 \dots ( d + 1 ) , p ) ) } & { \Tilde { p } ( d + 2 ) _ { d } } & { \dots } & { \Tilde { p } ( n ) _ { d } ( } \end{array} \right] .
{ \mathbf R } = \frac { 1 } { \sqrt 6 } \left( \begin{array} { c c c } { { \sqrt 2 } } & { { \sqrt 2 } } & { { \sqrt 2 } } \\ { { - \sqrt 3 } } & { { \sqrt 3 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \dot { n _ { \alpha } } } & { = \pi \epsilon ^ { 2 } \int \! d \beta d \gamma \ \omega _ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } \left( \omega _ { \beta } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \omega _ { \gamma } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \omega _ { \alpha } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \delta \left( \mathbf { k } _ { \alpha , \beta , \gamma } \right) \delta \left( \Omega _ { \alpha \beta \gamma } \right) . } \end{array}
\lambda _ { 0 } = 4 { \frac { M _ { \mathrm { P } } \Lambda ^ { 2 } } { g } } w _ { 0 } , \qquad \lambda _ { 1 } = - 4 { \frac { M _ { \mathrm { P } } \Lambda ^ { 2 } } { g } } w _ { 0 } - 8 { \frac { \Lambda ^ { 3 } } { g ^ { 2 } k } } E ( k ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m m m m m m } - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ & { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 3 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 3 2 , j - \frac 3 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 3 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ & { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { J } ( \boldsymbol { x } , t ) \approx \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e } } } \sum _ { \beta \ge 0 } J _ { j } ^ { \beta } \boldsymbol { f } _ { j } ( \boldsymbol { x } ) N ^ { \beta , d } ( t ) \quad \boldsymbol { x } \in S , \ t > 0 , } \end{array}
x _ { n } = e ^ { - { \frac { 2 n \pi i } { N - 1 } } } - { \frac { t } { ( N - 1 ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \frac { N } { 2 \pi ( N - 1 ) } } } \sum _ { q = 0 } ^ { N - 2 } \psi _ { n } ( q ) _ { ( N + 1 ) } F _ { N } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { q N + N - 1 } { N ( N - 1 ) } } , \ldots , { \frac { q + N - 1 } { N - 1 } } , 1 ; } \\ { { \frac { q + 2 } { N - 1 } } , \ldots , { \frac { q + N } { N - 1 } } , { \frac { q + N - 1 } { N - 1 } } ; } \\ { \left( { \frac { t e ^ { \frac { 2 n \pi i } { N - 1 } } } { N - 1 } } \right) ^ { N - 1 } N ^ { N } } \end{array} \right] } , \quad n = 1 , 2 , 3 , \dots , N - 1
\begin{array} { r l } { L _ { { \mathbf j } } \left( c d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z \right) } & { = \left( c L _ { { \mathbf j } } d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z \right) + \left( c d t \wedge L _ { { \mathbf j } } d x \wedge d y \wedge d z \right) } \\ & { \quad \, + \left( c d t \wedge d x \wedge L _ { \mathbf j } d y \wedge d z \right) + \left( c d t \wedge d x \wedge d y \wedge L _ { \mathbf j } d z \right) } \\ & { = \left( \div j + \frac { \partial \rho } { \partial t } \right) c d t \wedge d x \wedge d y \wedge d z . } \end{array}
\rho _ { \mathrm { A r _ { A l } } } ^ { \prime } = n _ { \mathrm { t o t } } / n _ { \mathrm { t o t } } ^ { \prime } ( \rho _ { \mathrm { A r _ { i } } } + \rho _ { \mathrm { A r _ { A l } } } + \rho _ { \mathrm { A r _ { N } } } ) - \rho _ { \mathrm { A r _ { i } } } ^ { \prime } - \rho _ { \mathrm { A r _ { N } } } ^ { \prime }
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( u \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , v \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { C _ { \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = C ( 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ { C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } } & { { } = C \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ { C _ { \frac { 3 } { 7 } } } & { { } = C \left( \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 6 } } ( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \right) , } \end{array}
\omega _ { ( - ) } \partial _ { - } \omega _ { ( - ) } ^ { - 1 } = \left( g _ { ( 0 ) } ^ { - 1 } \, y _ { ( 0 ) + } \right) ^ { - 1 } \, L _ { ( - 1 ) } \, g _ { ( 0 ) } ^ { - 1 } y _ { ( 0 ) + } = y _ { ( 0 ) + } ^ { - 1 } \, N _ { ( - 1 ) } ^ { - 1 } \, \partial _ { - } N _ { ( - 1 ) } \, y _ { ( 0 ) + } .