harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
+ \ldots + \theta ^ { m - k _ { 1 } - r + 1 } \cdot P _ { k _ { 1 } } \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { r } } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 1 } } } \cdot \sum _ { i _ { 2 } = k _ { r - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 2 } } } \sum \cdots \sum _ { i _ { r - 1 } = k _ { 2 } } ^ { i _ { r - 2 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { r - 1 } } } \Bigg ) .
2 7 _ { L } \rightarrow ( 1 0 , 1 ) _ { L } + ( 5 ^ { * } , 1 ) _ { L } + ( 1 , 1 ) _ { L } + ( 5 , - 2 ) _ { L } + ( 5 ^ { * } , - 2 ) _ { L } + ( 1 , 4 ) _ { L } ,
\left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \Psi _ { 0 \, 0 } ^ { - 1 } } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \, r } } \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { u _ { - 1 } \left( r \right) } } \\ { { 0 } } & { { - i \, v _ { - 1 } \left( r \right) \, \left( \vec { r } \cdot \vec { \sigma } \right) } } \end{array} \right) ,
G _ { 0 , 0 } \left( u \right) = 1 + \Phi _ { 0 } \left( u , 0 \right) = 1 + \frac { b _ { 0 } \left( z \left( u \right) - \overline { { \alpha } } \right) } { \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \left( u \right) \right) \phi _ { \beta } \left( z \left( u \right) \right) } \mathrm { ~ , ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } G _ { 0 , 0 } \left( 1 \right) = \infty \mathrm { ~ ( ~ } z \left( 1 \right) = 1 \mathrm { ~ ) ~ . ~ }
Z _ { \kappa } \; = \; \int \, { \cal D } { \cal A } \; \mathrm { d e t } ( \, M \, ) \; \prod _ { a } \delta \left( \phi ^ { a } [ { \cal A } _ { \mu } ] \right) \; \exp \left[ \frac { } { } \, i \, \left( S _ { \mathrm { Y M } } [ { \cal A } ] \; + \; { \cal J } \circ { \cal A } \right) \right] \; \; \exp \left( \frac { } { } \, i \, \Re _ { \kappa } [ { \cal A } ] \right) \; ,
\begin{array} { r l } { J _ { a , 0 } = } & { \mathbf { E } [ G \cdot G ^ { a - 1 } 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ { = } & { ( a - 1 ) \mathbf { E } [ G ^ { a - 2 } 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } 1 \{ G > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] \cos \theta } \\ & { + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } 1 ^ { \prime } \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \Bigl | \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 1 } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } - \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { K } \frac { \ln \cosh ( \beta x ) } { x ^ { \alpha + 1 } } d x } \\ & { \qquad \qquad + \sum _ { r = 1 } ^ { k } \frac { \alpha } { 2 r } \int _ { 0 } ^ { K } \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta x ) } { x ^ { \alpha + 1 } } d x \cdot \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { t = 1 } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } \mathbb E \langle \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } \rangle _ { t } ^ { 2 r } \Bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { k \to \infty } \Bigl ( \frac { \alpha \beta } { 2 } \int _ { K } ^ { \infty } \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } d x + \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { K } \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta x ) } { x ^ { \alpha + 1 } } d x \cdot \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 k } ( \beta K ) } { 1 - \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta K ) } \Bigr ) } \\ & { = \frac { \alpha \beta } { 2 } \int _ { K } ^ { \infty } \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } d x = \frac { \alpha \beta } { 2 ( \alpha - 1 ) } K ^ { 1 - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { H } / \hbar = } \\ & { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { \sqrt { 6 } \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sqrt { 6 } \frac { \Omega } { 2 } } & { \Delta + \Omega } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Delta + \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \Omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta - \frac { \Omega } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \Delta + \frac { \Omega } { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
{ \cal L } \, = \, \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \sigma \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \mathrm { \boldmath ~ \ p i ~ } \right) ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 } \left( \sigma ^ { 2 } + \mathrm { \boldmath ~ \ p i ~ } ^ { 2 } - c ^ { 2 } / \lambda \right) ^ { 2 } - V _ { S B } \, .
B _ { 2 } ( \kappa , l , T ) - \Delta B _ { 2 } ( l , T ) = - \frac { 2 \lambda _ { T } ^ { 2 } } { ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \left[ Z _ { 2 } ^ { \prime } ( \kappa , l , T ) - \Delta Z _ { 2 } ^ { \prime } ( l , T ) \right] ,
\begin{array} { r } { \omega _ { \perp } ^ { 2 } = \frac { e ^ { 2 } B ^ { 2 } } { 4 m ^ { 2 } } - \frac { D } { m } , \quad \omega _ { c } = \frac { e B } { m } , \quad \omega _ { z } ^ { 2 } = \frac { 2 D } { m } . } \end{array}
\big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } = 0 ,
( \alpha _ { - , 1 } , \alpha _ { - , 2 } , \alpha _ { - , 3 } , \alpha _ { + , 1 } , \alpha _ { + , 2 } , \alpha _ { + , 3 } , \beta _ { - , 1 } , \beta _ { - , 2 } , \beta _ { - , 3 } , \beta _ { + , 1 } , \beta _ { + , 2 } , \beta _ { + , 3 } , \gamma _ { - } , - 1 , \gamma _ { + } ) \in \dot { W } _ { \ell , m , n } ^ { \mathrm { D F 1 } , \mathtt { S } } [ F ] ,
\begin{array} { r } { \exp \left\{ - \frac { \eta } { \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 } + a x \right\} v _ { \beta } ( x ) \geq - r + \left( \frac { 2 \beta } { \sigma } - \frac { \sigma h } { \eta } \right) \exp \left\{ \frac { \sigma ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \eta } \right\} \sqrt { \frac { \pi } { \eta } } \frac { 1 } { \eta } - \frac { h } { \eta } + \frac { h } { \eta } \exp \left\{ - \frac { \eta } { \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 } + a x \right\} . } \end{array}
\left( L _ { + } , L _ { - } \, | \, L _ { + } , A , L _ { - } \right) = 2 \hbar ^ { 2 } \left[ A , I \right] - 2 \hbar ^ { 3 } \left[ L _ { 0 } , A \right] - \hbar \left[ L _ { - } , \left[ L _ { + } , \left[ A , L _ { 0 } \right] \right] \right] - \hbar \left[ L _ { + } , \left[ L _ { - } , \left[ A , L _ { 0 } \right] \right] \right] \; ,
P _ { q } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { P _ { q } ^ { \prime \prime } } { P _ { q } } - \frac { 3 } { 2 } \frac { \left( P _ { q } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { P _ { q } ^ { 2 } } \right] = \epsilon _ { q } + c _ { q } < z > _ { q } - \tilde { U } ( x )
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \Pi ( \phi , \xi , \sigma , t ) = - v _ { \sigma } ^ { \prime } ( \phi ) \partial _ { \xi } [ \xi \Pi ( \phi , \xi , \sigma , t ) ] } \\ & { - \partial _ { \phi } [ v _ { \sigma } ( \phi ) \Pi ( \phi , \xi , \sigma , t ) ] + \frac { \omega _ { \sigma } ( \phi ) } { 2 } \partial _ { \xi } ^ { 2 } [ \Pi ( \phi , \xi , \sigma , t ) ] } \\ & { + \sum _ { \eta \neq \sigma } \lambda \left[ \mu _ { \eta \rightarrow \sigma } \Pi ( \phi , \xi , \eta , t ) - \mu _ { \sigma \rightarrow \eta } \Pi ( \phi , \xi , \sigma , t ) \right] . } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( A + \epsilon X ) - \operatorname* { d e t } ( A ) = \operatorname { t r } ( \operatorname { a d j } ( A ) X ) \epsilon + O \left( \epsilon ^ { 2 } \right) = \operatorname* { d e t } ( A ) \operatorname { t r } \left( A ^ { - 1 } X \right) \epsilon + O \left( \epsilon ^ { 2 } \right)
F ( m ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) \equiv \left\{ \begin{array} { l c } { { \sqrt { 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } \log \frac { 1 + \sqrt { 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } } { 1 - \sqrt { 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } } - i \pi \sqrt { 1 - \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } } } } & { { ( p ^ { 2 } > 4 m ^ { 2 } ) , } } \\ { { 2 \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } - 1 } \arctan \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 4 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } - 1 } } } } & { { ( p ^ { 2 } \leq 4 m ^ { 2 } ) , } } \end{array} \right.
\frac { 1 + g } { 1 - g } = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } c o t h \frac { 1 } { 2 } k ( r + i t ) + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } c o t h \frac { 1 } { 2 } k ( r + i t - i c k ^ { - 1 } ) + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } c o t h \frac { 1 } { 2 } k ( r + i t + i c k ^ { - 1 } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } = \frac { \partial x _ { i } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \left\| \frac { \partial x _ { j } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \right\| ^ { - 1 } } & { { } = \left( \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) \mathrm { c o s } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { x } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { i j } ( q ) } & { { } = \chi _ { \parallel } ( q ) \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } + \chi _ { \perp } ( q ) \left( \delta _ { i j } - \frac { q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } } \right) \quad \textrm { w h e r e } ( i , j ) \in \{ x , y , z \} ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { m } } { \partial \tau } = \frac { \partial H } { \partial \mathbf { p } } , \quad \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial \tau } = - \frac { \partial H } { \partial \mathbf { m } } \, , } \end{array}
m _ { \mu \mu , \tau \tau } \approx 1 0 ^ { - 6 } \mathrm { ~ e V } \left( \frac { \lambda _ { 1 2 1 , 1 3 1 } } { 1 0 ^ { - 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \tilde { f } } } { 1 5 0 \mathrm { ~ G e V } } \right) ^ { - 1 } .
( \Delta S ) _ { r e g . } \, = \, { \frac { i } { 4 \pi } } \int d ^ { 2 } x ( c - \tilde { c } ) \Big ( ( 1 - a ) \partial _ { \mu } ( A ^ { \mu } - \tilde { A } ^ { \mu } ) - \epsilon ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } ( A _ { \nu } - \tilde { A } _ { \nu } ) \Big )
I ( \xi _ { K } ) \; = \; \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; \frac { y } { \xi _ { K } - x y \, ( 1 - y ) } \; = \; 2 \left[ \arcsin \sqrt { \frac { 1 } { 4 \, \xi _ { K } } } \; \right] ^ { 2 } = 4 . 1 9 7 \pm 0 . 4 8 2 \, ,
c _ { \bar { 1 0 } } ^ { B } \; = \; \frac { \sqrt { 5 } } { 1 5 } ( \sigma - r _ { 1 } ) \left[ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right] I _ { 2 } m _ { s } , c _ { 2 7 } ^ { B } \; = \; \frac { 1 } { 7 5 } ( 3 \sigma + r _ { 1 } - 4 r _ { 2 } ) \left[ \begin{array} { c } { { \sqrt { 6 } } } \\ { { 3 } } \\ { { 2 } } \\ { { \sqrt { 6 } } } \end{array} \right] I _ { 2 } m _ { s } .
\chi _ { _ K } = \left( \begin{array} { c c c } { { - ( 1 - Z ) - { \frac { 4 M _ { K } ^ { 2 } a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } ( 1 - Z ) } } } } & { { 0 } } & { { - { \frac { 2 M _ { K } a \cos \theta } { \rho ( 1 - Z ) } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { - { \frac { 2 M _ { K } a \cos \theta } { \rho ( 1 - Z ) } } } } & { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { 1 - Z } } } } \end{array} \right) .
\operatorname { K } _ { \mathbf { X Y \mid I } } = \operatorname { p c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } \mid \mathbf { I } ) = \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) - \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { I } ) \operatorname { c o v } ( \mathbf { I } , \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \operatorname { c o v } ( \mathbf { I } , \mathbf { Y } ) .
S _ { E } \simeq \left( - \frac { 2 { \cal V } ( \phi _ { 0 } ) } { n - 1 } + \left( \frac { n } { ( n - 1 ) } \right) ^ { 1 / 2 } { \cal V } , _ { \phi _ { 0 } } \right) \frac { I _ { n } } { H ^ { ( n + 1 ) } } V o l ( \mathrm { S } ^ { n } ) ,
\begin{array} { r l } & { \forall i = 1 , \cdots , N _ { p } , \quad \textrm { a n d } \quad \forall \widetilde { \mu } _ { k } \in \mathcal { G } _ { p } , } \\ & { \quad A _ { k , i } ^ { p , n } = \int _ { \Omega } \widetilde { \Psi _ { p , H } } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \zeta _ { p , i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \\ & { \quad B _ { k , i } ^ { p , n } = \int _ { \Omega } \Psi _ { p , h } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \zeta _ { p , i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { S _ { i } } \equiv \oint _ { C } \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } { \bf E } \times { \bf B } \cdot d { \bf C } = \int _ { A } \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \nabla \cdot ( { \bf E } \times { \bf B } ) d A , } \end{array}
| \phi ( t ) \rangle = \phi _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { D _ { \nu } ( z ) } \\ { - i \sqrt { \nu } D _ { \nu - 1 } ( z ) } \end{array} \right) + \phi _ { 2 } \left( \begin{array} { l } { D _ { \nu } ( - z ) } \\ { - i \sqrt { \nu } D _ { \nu - 1 } ( - z ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { ( \alpha _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , \alpha _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \alpha _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , \gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \gamma _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) \in \mathcal { R } _ { M D } ^ { * } \left( ( ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ) , X _ { 0 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } ) , \left( \{ X _ { 0 } , X _ { 1 } , X _ { 2 } \} \right) \right) ; } \end{array}
\tau \equiv C _ { 0 } + i \mathrm { e } ^ { - \phi } = \mathrm { i } \left( 1 - \, \frac { N g _ { s } } { 2 \pi } \, \log \frac { z } { \epsilon } \right) ~ ~ , ~ ~ z \equiv x ^ { 4 } + i x ^ { 5 } = \rho \mathrm { e } ^ { i \theta }
\sum _ { k = 0 } ^ { n } \prod _ { j = 0 } ^ { k } a _ { j } = { \frac { a _ { 0 } } { 1 + } } \, { \frac { - a _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } + } } \cdots { \frac { - a _ { n } } { 1 + a _ { n } } }
t _ { 0 } = \frac { 1 } { H _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } a } { a \, ( \Omega _ { M } / a ^ { 3 } + \Omega _ { R } / a ^ { 4 } ) ^ { 1 / 2 } } \, \approx \frac { 1 } { H _ { 0 } \sqrt { 1 - \Omega _ { \Lambda } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { a } \, \, \mathrm { d } a \, = \frac { 2 } { 3 H _ { 0 } \sqrt { 1 - \Omega _ { \Lambda } } } \, .
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } - \frac { \alpha + \beta } { 2 } \right) , } \\ & { = \Delta _ { B } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha + \beta } { 2 } \right) , } \\ & { = \Delta _ { B } \left[ \sin \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \beta } { 2 } \right) + \sin \left( \frac { \beta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) \right] ^ { 2 } , } \\ & { = \Delta _ { B } \left[ \sin ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) + \sin ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \sin \alpha \sin \beta \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j } } & { { } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } = Z _ { T } \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } \, , } \\ { \beta _ { i j k \ell } } & { { } = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \beta _ { i j k \ell } ^ { ( p ) } = ( Z _ { N } - Z _ { T } ) \sum _ { p = 1 } ^ { n } n _ { i } ^ { ( p ) } n _ { j } ^ { ( p ) } n _ { k } ^ { ( p ) } n _ { \ell } ^ { ( p ) } \, . } \end{array}
r = \frac { 1 } { N _ { \mathscr { E } } } \sum _ { ( i , j ) \in \mathscr { E } } \frac { ( k _ { i } - \left\langle k _ { i } \right\rangle ) ( k _ { j } - \left\langle k _ { j } \right\rangle ) } { \sigma _ { i , \mathscr { E } } \sigma _ { j , \mathscr { E } } } ,
S ^ { v } + S ^ { l o g } = \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g \left( \frac { V _ { l } } { \left( l _ { i j } \right) ^ { 4 } } \right) \right)
{ \frac { 3 } { 1 } } , { \frac { 2 2 } { 7 } } , { \frac { 3 3 3 } { 1 0 6 } } , { \frac { 3 5 5 } { 1 1 3 } } , { \frac { 1 0 3 9 9 3 } { 3 3 1 0 2 } } , { \frac { 1 0 4 3 4 8 } { 3 3 2 1 5 } } , { \frac { 2 0 8 3 4 1 } { 6 6 3 1 7 } } , { \frac { 3 1 2 6 8 9 } { 9 9 5 3 2 } } , { \frac { 8 3 3 7 1 9 } { 2 6 5 3 8 1 } } , { \frac { 1 1 4 6 4 0 8 } { 3 6 4 9 1 3 } } , { \frac { 4 2 7 2 9 4 3 } { 1 3 6 0 1 2 0 } } , { \frac { 5 4 1 9 3 5 1 } { 1 7 2 5 0 3 3 } }
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } ( E _ { 2 } ) } & { = 1 - \prod _ { i \in \mathcal { T } } [ 1 - { \mathbb P } ( E _ { 2 } ^ { \prime } ) ] } \\ & { \geq 1 - \Big [ 1 - n ^ { - \eta _ { 2 } ( \mathbf { q } , \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { - \eta _ { 2 } ( \mathbf { q } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } \Big ] ^ { | \mathcal { T } | } } \\ & { \geq 1 - e ^ { - n ^ { 1 - \eta _ { 2 } ( \mathbf { q } , \rho ) + o ( 1 ) } - n ^ { 1 - \eta _ { 2 } ( \mathbf { q } , 1 - \rho ) + o ( 1 ) } } . } \end{array}
G _ { \perp } ^ { ( 1 ) } = \langle ^ { 3 } \Delta _ { 1 } | \hat { L } _ { - } ^ { e } - \mathrm { g } _ { S } \hat { S } _ { - } ^ { e } | ^ { 3 } \Delta _ { 2 } \rangle = - 2 . 6 1 7 ,
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { e q } } = } & { \operatorname* { m a x } \left\{ T _ { \mathrm { s t r a } } , \left[ T _ { \mathrm { s u r f } } - \Delta T _ { \mathrm { h o r i z } } \sin ^ { 2 } \phi \right. \right. } \\ & { \left. \left. - \Delta T _ { \mathrm { v e r t } } \log \left( \frac { p } { p _ { 0 } } \right) \cos ^ { 2 } \phi \right] \left( \frac { p } { p _ { 0 } } \right) ^ { \kappa } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { \mathbf { L } } _ { \pi } ^ { * } ( \omega ) } & { \leq c _ { 1 } + \frac { 1 } { l } \phi _ { 1 } + \gamma \bigg ( c _ { 2 } + \frac { 1 } { l } \phi _ { 2 } \bigg ) + \gamma ^ { 2 } \bigg ( c _ { 3 } + \frac { 1 } { l } \phi _ { 3 } \bigg ) + \cdots } \\ & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma ^ { t - 1 } \bigg ( c _ { t } + \frac { 1 } { l } \phi _ { t } \bigg ) + \bigg ( c _ { M } + \frac { 1 } { l } \phi _ { M } \bigg ) \gamma ^ { T } \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } } \\ & { \leq \Tilde { \mathbf { L } } _ { \pi } ^ { T } ( \omega ) + \bigg ( c _ { M } + \frac { 1 } { l } \phi _ { M } \bigg ) \gamma ^ { T } \frac { 1 } { 1 - \gamma } . } \end{array}
T ( s , z : q ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \left( \frac { q - q ^ { 2 } } { 1 - q ^ { z } } \right) ^ { s } \sum _ { l \ne 0 } \frac { 1 } { l } F ( \delta l , 1 , 1 - s : 1 - q ^ { z } ) .
\begin{array} { r l } { \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } ! } { \prod _ { v = 1 } ^ { n } D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! \prod _ { v = 1 } ^ { n } D _ { \bar { c } } ^ { ( n ) } ( v ) ! } } & { \leq S _ { c } ^ { ( n ) } \log n + S _ { c } ^ { ( n ) } \log \frac { S _ { c } ^ { ( n ) } } { n } - S _ { c } ^ { ( n ) } } \\ & { \qquad - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { c } ^ { ( n ) } ( v ) ! - \sum _ { v = 1 } ^ { n } \log D _ { \bar { c } } ^ { ( n ) } ( v ) ! + O ( \log n ) , } \end{array}
V ( \vec { p } \, ^ { \prime } , \vec { p } \, ) = \sqrt { \frac { M _ { Q } + M _ { \bar { Q } } } { W ( \vec { p } \, ^ { \prime } ) } } { \cal V } ( \vec { p } \, ^ { \prime } , \vec { p } \, ) \sqrt { \frac { M _ { Q } + M _ { \bar { Q } } } { W ( \vec { p } \, ) } } ,
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) \sim } & { \frac { x _ { 2 } } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \theta _ { 0 } ( \xi _ { 1 } ) } { | \xi _ { 1 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \mathrm { d } \xi _ { 1 } } \\ & { - \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( Y ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( Y _ { t } ^ { \eta } , x ) \cdot R ( \eta , t ; 0 ) \varTheta ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta . } \end{array}
n _ { L } ^ { 0 } = \operatorname * { m i n } _ { i } \left[ { \frac { T ^ { 6 } \left( \sum _ { a } C _ { 2 } ^ { a } ( r _ { i } ) g _ { a } ^ { 2 } \right) } { 4 \left( { \cal A } ^ { - 1 } { \cal B } ^ { i } { \cal A } ^ { - 1 } \right) _ { L L } } } \right] ^ { 1 / 2 } \; .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \langle p _ { 2 } ( t ) \rangle \approx \langle p _ { 1 } ( t ) \rangle k _ { 1 \rightarrow 2 } ^ { a v } - \langle p _ { 2 } ( t ) \rangle k _ { 2 \rightarrow 1 } ^ { a v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \, \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { \, C \big ( \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime } | + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( + 2 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } = 0 } } | \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( \pm 0 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } = 0 } } | \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( - 2 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } = 0 } } | \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \end{array}
\mu ^ { 2 } ( Q _ { 0 } ) = \left[ \frac { 1 } { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } ( \tan ^ { 2 } \beta - 1 ) - ( m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } - \tan ^ { 2 } \beta m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } ) \right] / ( 1 - \tan ^ { 2 } \beta ) ~ .
M _ { T } ^ { X | K } ( f ) = \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) f _ { t - , u } ^ { X } \widetilde { Q } _ { Y } ( d t , d u )
\begin{array} { r l } { { u _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \vec { q } , \omega ) } } & { { } = \frac { \rho _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \vec { q } , \omega ) } { \chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } } \end{array}
+ \frac { i } { 2 } g _ { \infty } \oint _ { \infty } \phi ( \frac { d \bar { z } } { \bar { z } } - \frac { d z } { z } ) - \pi \sum _ { n } g _ { n } ^ { 2 } \ln \epsilon ^ { 2 } - \pi g _ { \infty } ^ { 2 } \ln \epsilon ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) : = } & { \operatorname* { m a x } \Big \{ \operatorname* { s u p } _ { c _ { t } \in [ [ C _ { t } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } c _ { t } , } \\ & { \; \; \; \operatorname* { s u p } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ] ] } \hat { V } _ { t + 1 } ( \hat { \pi } _ { t + 1 } ) \Big \} , } \\ { \hat { V } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } ) : = } & { \relax _ { u _ { t } \in [ [ U _ { t } ] ] } \hat { Q } _ { t } ( \hat { \pi } _ { t } , u _ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \{ c _ { s } > K \sigma ^ { 2 } \Big \} \cap \Big \{ c _ { s } + c _ { s - 1 } > 2 K \sigma ^ { 2 } \Big \} \cap \cdots \cap \Big \{ c _ { s } + c _ { s - 1 } + \cdots + c _ { 1 } > s K \sigma ^ { 2 } \Big \} } \\ & { \supseteq E _ { s } \sqcup \Bigg ( F _ { s } \sqcap \bigg ( E _ { s - 1 } \sqcup \Big ( F _ { s - 1 } \sqcap \big ( E _ { s - 2 } \sqcup \cdots \sqcup ( F _ { 3 } \sqcap ( E _ { 2 } \sqcup ( F _ { 2 } \sqcap E _ { 1 } ) ) ) \big ) \Big ) \bigg ) \Bigg ) , } \end{array}
\boldsymbol { \tau } ^ { * } + \lambda _ { 1 } ^ { * } \stackrel { \nabla ^ { * } } { \boldsymbol { \tau } ^ { * } } = 2 \mu _ { 0 } ^ { * } ( \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } + \lambda _ { 2 } ^ { * } \stackrel { \nabla ^ { * } } { \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } } ) ,
\sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \beta _ { i } = 0 , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \beta _ { i } x _ { i } = 0 , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { c } } \beta _ { i } y _ { i } = 0 .
\begin{array} { r } { M ( x , t , k ) : = P ( k ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { n e ^ { \mathcal { L } x + \mathcal { Z } t } } \\ { ( n e ^ { \mathcal { L } x + \mathcal { Z } t } ) _ { x } } \\ { ( n e ^ { \mathcal { L } x + \mathcal { Z } t } ) _ { x x } } \end{array} \right) e ^ { - ( \mathcal { L } x + \mathcal { Z } t ) } = P ( k ) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { n } \\ { n _ { x } + n \mathcal { L } } \\ { n _ { x x } + 2 n _ { x } \mathcal { L } + n \mathcal { L } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}