harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 } \propto } & { \left[ t _ { \parallel } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + t _ { \perp } \left( \mathbf { p } \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } \right] } \\ & { \exp \left[ - i \mathbf { q } \cdot \boldsymbol { \rho } _ { d } - i w _ { d } z _ { d } - i w f \right] , } \end{array}
\int d ^ { 1 0 } \hat { x } \sqrt { | \hat { \jmath } | } \, \left\{ { \textstyle \frac { 1 } { 4 \cdot 5 ! } } \left( \hat { G } _ { ( 5 ) } ^ { + } \right) ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 \cdot 5 ! } } \left( \hat { G } _ { ( 5 ) } ^ { - } \right) ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 ! \cdot 5 ! } } \hat { \epsilon } \left[ \hat { G } _ { ( 5 ) } ^ { + } \hat { \cal H } \hat { C } _ { ( 2 ) } ^ { - } + \hat { G } _ { ( 5 ) } ^ { - } \hat { \cal H } \hat { C } _ { ( 2 ) } ^ { + } \right] \right\} \, .
\begin{array} { r } { G _ { \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) = \langle \Omega _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) \Omega _ { \beta } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) . \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { \approx \frac { ( \mu _ { u } + \mathcal { O } ( M ^ { 0 } ) ) + \sqrt { ( \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } \nu _ { p } - \mu _ { u } ) ^ { 2 } + \mathcal { O } ( M ^ { - 1 } ) } } { 2 \rho } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { \approx \frac { \rho a ^ { 2 } \nu _ { p } } { 2 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { \sim \mathcal { O } ( M ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i } } ( \theta ) = \: } & { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , F } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { j } } ^ { \mathrm { O D E , F } } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , F } } , t ) d t , } \\ { \mathrm { a n d } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t . } \end{array}
f ( \boldsymbol { r } , t ) = \int _ { \mathcal { R } } f ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \! \; W ( | \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | , \epsilon ) \! \; d ^ { 3 \! } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, ,
\omega _ { i } = \frac { { N _ { \mathrm { \ g a m m a } , i } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , R D } } } / { N _ { \gamma , \mathrm { g a s } } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c , R D } } } } { { N _ { \mathrm { \ g a m m a } , i } ^ { \prime \, \mathrm { \tiny ~ r e c , M C } } } / { N _ { \gamma , \mathrm { g a s } } ^ { \prime \, \mathrm { \tiny ~ r e c , M C } } } } ,
\sum _ { p _ { S _ { i } \setminus S _ { j } } \in A _ { S _ { i } \setminus S _ { j } } } \alpha _ { i } ( p _ { S _ { i } } ) \prod _ { { v _ { k } \operatorname { a d j } v _ { i } } , { k \neq j } } \mu _ { k , j } ( p _ { S _ { k } \cap S _ { i } } ) ( 1 )
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ c ~ } } ^ { { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } , \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } \to 0 , \bar { f } ) : = } & { { } c _ { 0 } ( \bar { f } ) \log r _ { s } - c _ { 1 } ( \bar { f } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tau } { \partial t } = } & { - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } \, \tau + \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial v ^ { \flat } } { \partial t } = - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } \, \tau - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \iota _ { v } \, \omega _ { \xi } - \frac { 1 } { s _ { v } } \, \mathrm { d } \big ( p + \frac { s _ { v } } { 2 } \big ) \ . } \end{array}
u = u + d t \left( \partial _ { t } u - V [ m ] + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u } + \gamma u + \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \left\{ \frac { \mu } { 2 } \vec { a } ^ { 2 } + \vec { a } \cdot \vec { \nabla } { u } \right\} \right) ,
\begin{array} { r l } & { a _ { 3 } = R _ { \phi } ^ { 2 } R _ { 0 } - R _ { \mu } R _ { \phi } ^ { 2 } \left( 1 - \kappa \right) , } \\ & { a _ { 2 } = R _ { \phi } \biggl [ R _ { 0 } ( 1 - R _ { \phi } ) + R _ { \mu } ( R _ { 0 } + R _ { \phi } ) - R _ { \mu } ( 1 - R _ { \mu } ) \left( 1 - \theta \right) - R _ { \mu } ( 1 + R _ { \mu } ) \left( 1 - \kappa \right) \biggr ] , } \\ & { a _ { 1 } = R _ { \mu } \biggl [ R _ { 0 } ( 1 - R _ { \phi } ) + R _ { \phi } ( 1 - R _ { 0 } ) - ( 1 - R _ { \mu } ) \left( 1 - \theta \right) + R _ { \mu } R _ { \phi } - R _ { \mu } \left( 1 - \kappa \right) \biggr ] , } \\ & { a _ { 0 } = R _ { \mu } ^ { 2 } ( 1 - R _ { 0 } ) , } \end{array}
V ( \phi ) = - \frac { 1 } { 4 } g ^ { a c } g ^ { b d } T r ( f _ { a b } ^ { C } \phi _ { C } - [ \phi _ { a } , \phi _ { b } ] ) ( f _ { c d } ^ { D } \phi _ { D } - [ \phi _ { c } , \phi _ { d } ] ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { X } \omega } & { = d ( i _ { \sin ( x ) \partial _ { y } - y ^ { 2 } \partial _ { x } } ( ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d x \wedge d z ) ) + i _ { \sin ( x ) \partial _ { y } - y ^ { 2 } \partial _ { x } } ( d ( ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d x \wedge d z ) ) } \\ & { = d ( - y ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d z ) + i _ { \sin ( x ) \partial _ { y } - y ^ { 2 } \partial _ { x } } ( 2 y d y \wedge d x \wedge d z ) } \\ & { = \left( - 2 x y ^ { 2 } d x + ( - 2 y x ^ { 2 } - 4 y ^ { 3 } ) d y \right) \wedge d z + ( 2 y \sin ( x ) d x \wedge d z + 2 y ^ { 3 } d y \wedge d z ) } \\ & { = \left( - 2 x y ^ { 2 } + 2 y \sin ( x ) \right) d x \wedge d z + ( - 2 y x ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 } ) d y \wedge d z } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \alpha _ { G } = } & { \frac { A \sqrt { R ^ { * } } } { \hbar \omega } \Bigg ( 2 R ^ { * } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - \left( \hbar \omega - E _ { g } + \frac { R ^ { * } } { n ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } / 2 \tau _ { n } ^ { 2 } } } { n ^ { 3 } \sqrt { 2 \pi } \tau _ { n } } + } \\ & { \frac { 1 + \textrm { e r f } \left( \frac { \hbar \omega - E _ { g } } { \sqrt { 2 } \tau _ { c } } \right) } { 2 } + \frac { \tau _ { c } e ^ { - \left( \hbar \omega - E _ { g } - R ^ { * } \right) ^ { 2 } / 2 \tau _ { c } ^ { 2 } } } { 5 8 \sqrt { 2 \pi } } + } \\ & { \frac { \hbar \omega - E _ { g } - R ^ { * } } { 1 1 6 R ^ { * } } \times } \\ & { \left( 1 + \textrm { e r f } \left( \frac { \hbar \omega - E _ { g } - R ^ { * } } { \sqrt { 2 } \tau _ { c } } \right) \right) \Bigg ) , } \end{array}
m _ { \mathrm { \scriptsize ~ s e l f } } ( a ) = \frac { C _ { A } } { C _ { F } } \frac { V _ { \mathrm { \scriptsize ~ s e l f } } ( a ) } { 2 } = \frac { N ^ { 2 } } { N ^ { 2 } - 1 } V _ { \mathrm { \scriptsize ~ s e l f } } ( a ) > V _ { \mathrm { \scriptsize ~ s e l f } } ( a ) :
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { 1 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) \big ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } \delta ( \ast e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast d e _ { \omega } ^ { 2 } ) \wedge ( \ast \omega ) } \\ { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n } \langle d e _ { \omega } ^ { 2 } , ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { { } - \int _ { \Omega } e _ { \omega } ^ { 2 } \wedge d \ast \big ( ( \ast d e _ { \omega } ^ { 1 } ) \wedge ( \ast \omega ) \big ) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { m } \tan { \frac { \gamma _ { i } } 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \gamma _ { i } } { 2 } \cdot \frac { \tan { \frac { \gamma _ { i } } { 2 } } } { \frac { \gamma _ { i } } { 2 } } \leqslant \frac { \tan { \frac { \gamma _ { * } } { 2 } } } { \frac { \gamma _ { * } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \gamma _ { i } } { 2 } = 2 \tan { \frac { \gamma _ { * } } { 2 } } .
\begin{array} { r } { g _ { a b } = - \frac { e ^ { 2 } k ^ { 2 } \eta _ { a b } } { 2 \epsilon _ { 0 } m _ { e } ^ { 2 } \mathrm { v } _ { b } \omega _ { b } ^ { 2 } \omega _ { a } } \mathrm { I m } \left[ \Gamma ( \Omega , \mathbf { k } ) \right] } \end{array}
\left( x ^ { ' } \right) _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 2 } x _ { i } + 2 x _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 2 } x _ { i + 2 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad i = 1 \mathrm { ~ ( ~ 2 ~ n ~ d ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ o ~ n ~ e ~ s ~ i ~ d ~ e ~ d ~ ) ~ } , } \\ { - \frac { 1 } { 4 } x _ { i } - \frac { 5 } { 6 } x _ { i + 1 } + \frac { 3 } { 2 } x _ { i + 2 } - \frac { 1 } { 2 } x _ { i + 3 } + \frac { 1 } { 1 2 } x _ { i + 4 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad i = 2 \mathrm { ~ ( ~ 4 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ l ~ y ~ o ~ n ~ e ~ s ~ i ~ d ~ e ~ d ~ ) ~ } , } \\ { \frac { 2 } { 3 } \left[ x _ { i + 1 } - x _ { i - 1 } \right] - \frac { 1 } { 1 2 } \left[ x _ { i + 2 } - x _ { i - 2 } \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad i = 3 \mathrm { ~ ( ~ 4 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ c ~ e ~ n ~ t ~ r ~ a ~ l ~ ) ~ } . } \end{array} \right.
f ( g ( a _ { 1 1 } , \ldots , a _ { 1 m } ) , \ldots , g ( a _ { n 1 } , \ldots , a _ { n m } ) ) = g ( f ( a _ { 1 1 } , \ldots , a _ { n 1 } ) , \ldots , f ( a _ { 1 m } , \ldots , a _ { n m } ) )
\tilde { p } ^ { \pm } ( \tilde { v } ) = \frac { \tilde { v } + 1 \pm ( 1 - \tilde { v } ) \sqrt { \tilde { \varkappa } ^ { 4 } \tilde { v } ^ { 2 } + \tilde { \varkappa } ^ { 2 } ( \tilde { v } - 1 ) ^ { 2 } + 4 } } { \tilde { v } \left( \tilde { \varkappa } ^ { 2 } ( \tilde { v } - 1 ) \tilde { v } + 3 \right) - 1 }
\begin{array} { r l } { C ^ { - 1 } \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) \leq p ( s , t , x , y ) } & { \leq C \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) , } \\ { \left| \nabla _ { x } p ( s , t , x , y ) \right| } & { \leq \frac { C } { ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) , } \\ { \forall ( y , y ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { d } , \qquad \left| p ( s , t , x , y ) - p ( s , t , x , y ^ { \prime } ) \right| } & { \leq \frac { C | y - y ^ { \prime } | ^ { \rho } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \left( \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) + \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y ^ { \prime } - x ) \right) , } \\ { \forall ( y , y ^ { \prime } ) \in \mathbb { R } ^ { d } , \qquad \left| \nabla _ { x } p ( s , t , x , y ) - \nabla _ { x } p ( s , t , x , y ^ { \prime } ) \right| } & { \leq \frac { C | y - y ^ { \prime } | ^ { \rho } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho + 1 } { \alpha } } } \left( \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) + \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ^ { \prime } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Sigma } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \xi } ) } & { { } = \lambda _ { \mathrm { d B } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sigma _ { \rho } ^ { 2 } ( z , \boldsymbol { \xi } ) d z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c \left( g , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( \nu , 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) \right) } & { = } & { S _ { g g } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } \left( \mathbf { p } _ { + , T _ { 1 , 2 m - 1 } + \tau \left( 1 , 2 m - 1 , \ell _ { 1 , 2 m - 1 } \right) } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } - \hbar \mathbf { k } / 2 \right) } \\ & { } & { \times c \left( g , \mathbf { p } _ { - } ^ { \left( 1 , 2 m - 1 \right) } , T _ { 1 , 2 m - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { j } ^ { n } ( x ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \tau ) \cdot ^ { t } \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - E _ { j } ^ { n } ( u ) \right) \nabla ^ { 2 } \eta _ { \ast } \left( E _ { j } ^ { n } ( u ) + \tau \left\{ { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - E _ { j } ^ { n } ( u ) \right\} \right) } \\ & { \times \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - E _ { j } ^ { n } ( u ) \right) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { A } ^ { * } } & { = \mathrm { a r g } \operatorname* { m i n } _ { \Delta \mathbf { A } \in \mathcal { S } } \| \Delta \mathbf { A } \| _ { F } } \\ & { \mathrm { s u b j . ~ t o } \; \sigma _ { \operatorname* { m i n } } \Bigl ( ( P + \Delta P ) ( \mu _ { j } ) \Bigr ) = 0 , \quad j = 1 , \ldots , m , } \end{array}
\langle \Psi | \pi _ { \mathrm { R ^ { \prime } } } ( x ) | \Omega _ { \mathrm { R ^ { \prime } } } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \langle \Psi _ { + } | \pi _ { E _ { \mathrm { R } } , + } ( x ) | \Omega _ { E _ { \mathrm { R } } } \rangle + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \langle \Psi _ { - } | \pi _ { E _ { \mathrm { R } } , - } ( x ) | \Omega _ { E _ { \mathrm { R } } } \rangle = 0
\alpha _ { i } \mathbf { u } _ { i } = - \frac { k _ { r , i } } { \mu _ { i } } \mathbf { K } \cdot \Big ( \nabla p _ { k } ^ { * } - \nabla p _ { c , k i } - ( \rho _ { i } - \rho _ { m } ) \mathbf { g } + ( \mathbf { g } \cdot \mathbf { h } ) \nabla \rho _ { m } \Big )
\begin{array} { r l } { \int d \omega _ { 1 } } & { \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { = \int d \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) \left[ \mathcal { C } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } ) + \mathcal { C } _ { 2 } ( \omega _ { 1 } ) \right] \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) - f _ { X } ( x ) ) - n ^ { 1 / 2 } \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) - f _ { X } ( x ) ) } { \sqrt { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) } } \overset { d } { \longrightarrow } N ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { V } { \dot { \mathsf { L } } } \left( { \dot { \nabla } } d X ; x \right) } & { { } = \int _ { V } \langle { \dot { F } } ( x ) { \dot { \nabla } } \, d X \, I ^ { - 1 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { x } ^ { K } } & { { } = \rho _ { 0 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes ( - \mathrm { i } \sigma _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { L } _ { y } ^ { K } } & { { } = \rho _ { 0 } \otimes ( - \mathrm { i } \tau _ { 2 } ) \otimes \sigma _ { 3 } , } \\ { \mathcal { L } _ { z } ^ { K } } & { { } = ( - \mathrm { i } \rho _ { 2 } ) \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \delta } ^ { \delta } \frac 1 2 e _ { i j } f _ { i j } d x = \int _ { - \delta } ^ { \delta } \frac 1 2 a ^ { 2 } c \omega ( x ) d x = \frac 1 2 E A a ^ { 2 } \to c = \frac { E A } { 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( G _ { 0 } ) = \tau _ { s 0 } S _ { 0 } \frac { v ^ { 3 } + v _ { c } ^ { 3 } } { v ^ { 3 } + v _ { c 0 } ^ { 3 } } \mathrm { U } ( v _ { \alpha 0 } - v ) = \frac { \tau _ { s 0 } S _ { 0 } } { 1 + ( v _ { c 0 } ^ { 3 } - v _ { c } ^ { 3 } ) e ^ { - 3 G _ { 0 } } } \mathrm { U } \left( v _ { \alpha 0 } - v \right) . } \end{array}
{ \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } N _ { c } } } = { \frac { 9 } { 4 } } { \frac { u } { ( 1 - u ) } } \left[ \mathrm { L i } _ { 2 } ( u ) - \left( f _ { 1 } u + f _ { 2 } { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \right) - { \frac { 1 } { 9 } } \left( h _ { 1 } ( 1 ) u + h _ { 2 } ( 1 ) { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { v } + ( \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \nabla ) \, \boldsymbol { v } + 2 \boldsymbol { \Omega } _ { c } \times \boldsymbol { v } } & { { } = - \nabla p + 2 E \, \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } ) + \boldsymbol { r } \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { \delta } , } \\ { \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { v } } & { { } = 0 , } \end{array}
\chi _ { 1 } ( 0 ) \sim \chi _ { 2 } ( 0 ) \leq \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \left( \frac { M _ { \mathrm { p } } } { M _ { \ast } } \right) \sqrt { \frac { 3 H } { 2 \Delta t } } \approx \frac { \lambda } { \kappa _ { 2 } } \sqrt { \frac { 4 \pi } { N _ { \mathrm { e } } } } M _ { \mathrm { p } } \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { a e p } } ( \delta ) } & { = 4 ( \log _ { 2 } v ) \sqrt { - \log _ { 2 } ( 1 - \sqrt { 1 - \delta ^ { 2 } } ) } } \\ & { \simeq 4 ( \log _ { 2 } v ) \sqrt { \log _ { 2 } ( 2 / \delta ^ { 2 } ) } } \\ { v } & { \leq \sqrt { 2 ^ { - H _ { \operatorname* { m i n } } ( y | \mathbf { E } ) } } + \sqrt { 2 ^ { H _ { \operatorname* { m a x } } ( y | \mathbf { E } ) } } + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ( { x _ { 0 } , \xi _ { 0 } , s _ { 0 } } ) = } & { \{ ( \gamma _ { x _ { 0 } , \eta } ( s ) , r \dot { \gamma } _ { x _ { 0 } , \eta } ( s ) ^ { b } ) \in { M _ { \mathrm { e } } } : } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \eta \in \mathcal { W } ( { x _ { 0 } , \xi _ { 0 } , s _ { 0 } } ) , s \in ( 0 , \infty ) , r \in \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \} } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mathcal { E } ( \tilde { w } \ll 1 ) } & { = C _ { \infty } ^ { - 1 } \tilde { w } ^ { \gamma } [ 1 + \mathcal { E } _ { 1 } \tilde { w } + O ( \tilde { w } ^ { 2 } ) ] , } & { \gamma } & { = \frac { 4 f _ { \pi ; 0 } } { f _ { \pi ; 0 } - \frac { 8 } { 3 } } , } & { \mathcal { E } _ { 1 } } & { = - \frac { \frac { 3 2 } { 3 } f _ { \pi ; 1 } } { ( f _ { \pi ; 0 } - \frac { 8 } { 3 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \hat { h } } _ { V b } = - { \hat { h } } _ { A b } = \sum _ { 1 \le j < k \le 3 } \sqrt { 2 } G _ { F } m _ { Z } ^ { 2 } \frac { \kappa _ { j k } \mathrm { I m } ( \beta _ { j } \beta _ { k } ^ { * } ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } { \hat { f } } ( r _ { j } , r _ { k } ) \; .
\begin{array} { r } { ( g _ { a b } ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 . 0 1 4 } & { - 0 . 6 5 8 } & { 0 . 1 9 2 } \\ { - 0 . 6 5 8 } & { 0 . 5 5 4 } & { 0 . 2 7 1 } \\ { 0 . 1 9 2 } & { 0 . 2 7 1 } & { 1 . 2 9 9 } \end{array} \right) \approx \left( \begin{array} { l l l } { 1 . 0 4 4 } & { - 0 . 6 8 8 } & { 0 . 1 9 0 } \\ { - 0 . 6 8 8 } & { 0 . 5 6 2 } & { 0 . 2 6 7 } \\ { 0 . 1 9 0 } & { 0 . 2 6 7 } & { 1 . 4 5 8 } \end{array} \right) = ( g _ { 0 , a b } ) + 0 . 1 ( g _ { a b } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 3 } = \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 8 a ^ { 3 } } \sin \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } } & { { } \bigg [ } & { \hat { k } _ { 2 } ( k n - \omega ) \left( 2 x X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - ( 1 + x ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } + ( 1 - x ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vartheta ( \tau , \phi ) } & { = } & { \arctan \left[ i \left( \sec \phi \; - \frac \tan \phi \; e ^ { i \tau } \right) \right] } \\ & { } & { - \; \arctan \left[ i \left( \sec \phi \; - \frac \tan \phi \right) \right] } \\ & { \equiv } & { - \, \frac { i } { 2 } \ln \left( \frac { 1 - e ^ { i \tau } \, \cot ( \phi / 2 ) } { e ^ { i \tau } - \cot ( \phi / 2 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \hat { a } _ { 2 / 1 } } ^ { r / b } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { b } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { i g _ { b } \hat { b } ^ { \dagger } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \\ { C _ { \hat { b } } ^ { r / b } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { i g _ { r } \hat { a } _ { 2 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ r ~ e ~ d ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ } } \\ { i g _ { b } \hat { a } _ { 1 } ^ { \dagger } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ b ~ l ~ u ~ e ~ p ~ u ~ m ~ p ~ i ~ n ~ g ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\int { \cal D } \, \partial _ { k } \left[ { \frac { k ^ { 2 } } 9 } \left( 1 - 2 k ^ { 2 } - 4 ( 1 - k ^ { 2 } ) \omega _ { 1 } + 6 \omega _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \omega _ { 1 } ^ { 3 } \right) \rho _ { t 1 } \, \partial _ { k } \rho _ { t 2 } \right] = \frac { 1 2 5 } { 2 7 \pi ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } - \frac { 1 1 5 3 } { 1 8 9 \pi ^ { 2 } } - \frac { 2 8 9 5 3 6 } { 2 1 8 7 \pi ^ { 4 } }
T _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) T ( z , \theta ) = \frac { \frac { c ( \theta ) } { 2 } I ( \theta ) } { ( z ^ { \prime } - z ) ^ { 4 } } + \frac { 2 + \theta } { ( z ^ { \prime } - z ) ^ { 2 } } T ( z , \theta ) + \frac { \partial _ { z } T ( z , \theta ) } { z ^ { \prime } - z } + \cdots \: \: \: ,
\begin{array} { r l } & { { \cal A } _ { \nu } ^ { k + 1 } = \{ \gamma \in { \cal S } : \delta _ { \nu } ^ { \gamma , k } \geq 0 \} , } \\ & { { \cal I } _ { \nu } ^ { k + 1 } = \{ \gamma \in { \cal S } : \delta _ { \nu } ^ { \gamma , k } < 0 \} , } \\ & { { \cal A } _ { \tau } ^ { k + 1 } = \{ p \in { \cal S } : \| \boldsymbol \lambda _ { \tau } ^ { \gamma , k } \| < \mu \lambda _ { \nu } ^ { \gamma , k } \} , } \\ & { { \cal I } _ { \tau } ^ { k + 1 } = \{ p \in { \cal S } : \| \boldsymbol \lambda _ { \tau } ^ { \gamma , k } \| \ge \mu \lambda _ { \nu } ^ { \gamma , k } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U _ { M } ^ { 1 } - u _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { C _ { a , b } } \left\| \sum _ { m = M + 1 } ^ { + \infty } Y _ { 2 m + 1 } ( \rho ) \cos \theta \cos \left[ \frac { ( 2 m + 1 ) \pi } { h } \, z \right] \right\| _ { L ^ { 2 } \left( - \frac h 2 , \frac h 2 \right) } ^ { 2 } d x d y } \\ & { = \frac h 2 \sum _ { m = M + 1 } ^ { + \infty } \int _ { C _ { a , b } } ( \cos ^ { 2 } \theta ) ( Y _ { 2 m + 1 } ( \rho ) ) ^ { 2 } d x d y = \frac { \pi h } { 2 } \sum _ { m = M + 1 } ^ { + \infty } \int _ { a } ^ { b } ( Y _ { 2 m + 1 } ( \rho ) ) ^ { 2 } \rho \, d \rho } \\ & { \le \frac { 2 p ^ { 2 } b ^ { 4 } ( b - a ) h } { \mu ^ { 2 } a \pi } \, \sum _ { m = M + 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \le \frac { p ^ { 2 } b ^ { 4 } ( b - a ) h } { 2 \mu ^ { 2 } a \pi } \, \sum _ { m = M + 1 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \le \frac { p ^ { 2 } b ^ { 4 } ( b - a ) h } { 2 \mu ^ { 2 } a \pi } \, \frac 1 M \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } ( m , t _ { l - 1 } ) } & { \le \hat { w } ( m , t _ { m - 1 } ) + \int _ { t _ { m - 1 } } ^ { t _ { l } } a ( m + 1 , t ) \hat { w } ( m + 1 , \tau ) } \\ & { + \int _ { t _ { m - 1 } } ^ { t _ { m - 2 } } a ( m - 1 , t ) \hat { w } ( m - 1 , \tau ) + \int _ { t _ { m - 2 } } ^ { t _ { l } } a ( m - 1 , t ) \hat { w } ( m - 1 , \tau ) } \\ & { \le 4 ( 2 c ) ^ { m - k _ { 0 } } + 1 2 \pi c ^ { 2 } \eta _ { 0 } ( 2 c ) ^ { \vert m - k _ { 0 } \vert } + 4 \pi \eta _ { 0 } ( 2 c ) ^ { m - k _ { 0 } } + 6 \pi c \eta _ { 0 } ( 2 c ) ^ { m - k _ { 0 } } } \\ & { \le 6 \pi \eta _ { 0 } ( 2 c ) ^ { m - k _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( A ) - P _ { \varepsilon _ { \mathrm { s i g n } } , \Delta } ^ { \mathrm { s i g n } } ( \tilde { A } ) \right\| } \\ & { \qquad \leq D \sqrt { \frac { 2 } { 1 - \| \frac { A + \tilde { A } } { 2 } \| ^ { 2 } } } \| A - \tilde { A } \| } \\ & { \qquad \leq \sqrt { \frac { 8 } { 3 } } D \frac { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } { 1 + \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } < \sqrt { 3 } D \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ \} } \end{array} \! \! \right) . } \end{array}