harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
= \Psi _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } , s _ { p } , \overline { { { s } } } _ { p } } \cdot \overline { { { \Psi } } } _ { \varepsilon , \overline { { { \varepsilon } } } , s _ { p } , \overline { { { s } } } _ { p } } ,
\begin{array} { r l r } { u ( { \mathbf \xi } ) } & { { } \approx } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \left\{ \int _ { \Gamma _ { i } } Q ( \mathbf { x } , { \mathbf \xi } ) \varphi _ { j } ( \mathbf { x } ) \ d \Gamma _ { \mathbf { x } } \right\} } \end{array}
\sqrt { \alpha ^ { \prime } } g _ { s } ^ { \frac { 1 } { 3 } } N ^ { \frac { 1 } { 7 } } \ll r \ll \sqrt { \alpha ^ { \prime } } g _ { s } ^ { \frac { 1 } { 3 } } N ^ { \frac { 1 } { 3 } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \! \! M _ { v } \mathbf { v } _ { 0 } = M _ { v } \mathbf { v } ^ { 0 } , } \\ { \! \! M _ { p } \mathbf { p } _ { 0 } = M _ { p } \mathbf { p } ^ { 0 } , } \\ { \! \! M _ { v } \mathbf { v } _ { n + 1 } - M _ { v } \mathbf { v } _ { n } - \tau M _ { v } \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } \mathbf { k } _ { j , n } ^ { v } = \mathbf { 0 } , } & \\ { \! \! M _ { p } \mathbf { p } _ { n + 1 } - M _ { p } \mathbf { p } _ { n } - \tau M _ { p } \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \mathbf { k } _ { i , n } ^ { p } = \mathbf { 0 } , } & \\ { \! \! M _ { v } \mathbf { k } _ { i , n } ^ { v } \! + \! K _ { v } ( \mathbf { v } _ { n } \! + \! \tau \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i , j } \mathbf { k } _ { j , n } ^ { v } ) \! + \! B ^ { \top } \! ( \mathbf { p } _ { n } \! + \! \tau \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i , j } \mathbf { k } _ { j , n } ^ { p } ) \! = \! \mathbf { f } _ { i , n } , } & { \! i = 1 , \ldots , s , } \\ { \! \! B \mathbf { v } _ { n } + \tau B \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i , j } \mathbf { k } _ { j , n } ^ { v } = \mathbf { 0 } , } & { \! i = 1 , \ldots , s , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi _ { 0 } } u ( r , x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) } & { = \partial _ { \xi _ { 0 } } \Big ( \Theta ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) , \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) , \zeta _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) ) \Big ) } \\ & { = u _ { 0 } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) \partial _ { \xi _ { 0 } } \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) + \partial _ { \xi _ { 0 } } \zeta _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } , \zeta _ { 0 } ) } \\ & { = u _ { 0 } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) \xi _ { t , 0 } ( x , 1 ) + \zeta _ { t , 0 } ( x , 1 , 0 ) = u ( r , x , 1 , 0 ) } \end{array}
{ \cal L } _ { L } = \dot { \rho } \rho ^ { \prime } - \rho ^ { 2 } + 2 e \rho ^ { \prime } ( A _ { 0 } - A _ { 1 } ) - { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } ( A _ { 0 } - A _ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { b \, e ^ { 2 } } { 2 } A _ { \mu } A ^ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { K _ { f } } & { { } = S _ { w } K _ { w } + ( 1 - S _ { w } ) K _ { h } , } \\ { \rho _ { f } } & { { } = S _ { w } \rho _ { w } + ( 1 - S _ { w } ) \rho _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { \varphi } ( \eta , t ) - \tilde { \varphi } ( \tilde { \eta } , t ) | } & { \leq | \chi ( \eta ) - \chi ( \tilde { \eta } ) | + \operatorname* { s u p } _ { z \in [ 0 , t ] , \eta \in \tilde { \textup { S } } } | \tilde { \varphi } ( \eta , z ) | \int _ { t } ^ { T } | \Theta _ { \epsilon } ( y _ { s } ( v ) ) - \Theta _ { \epsilon } ( y _ { s } ( \tilde { v } ) ) | \textup { d } s } \\ & { + \int _ { t } ^ { T } | \tilde { \varphi } ( \eta , s ) - \tilde { \varphi } ( \tilde { \eta } , s ) | \textup { d } s + \int _ { t } ^ { T } | \overline { { \mathbb { L } } } ( \tilde { \varphi } ( \eta , s ) - \tilde { \varphi } ( \tilde { \eta } , s ) ) ( \phi _ { s } ( \eta ) , s ) | \textup { d } s } \\ & { + \int _ { t } ^ { T } | \overline { { \mathbb { L } } } ( \tilde { \varphi } ( \eta , s ) ) ( \phi _ { s } ( \eta ) - \phi _ { s } ( \tilde { \eta } ) , s ) | \textup { d } s . } \end{array}
\alpha = \alpha _ { M } \left( \left[ F _ { i j } ^ { a } \right] , \left[ \pi _ { a } ^ { \mu } \right] , \left[ y ^ { \alpha _ { 0 } } \right] , \left[ \mathcal { P } _ { 1 a } \right] , \left[ \mathcal { P } _ { 2 a } \right] \right) e ^ { M } \left( \eta _ { 2 } ^ { a } \right) ,
\boldsymbol { W } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } , \texttt { r o t a t e } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } ) \}
\begin{array} { r l r } { \delta I _ { k } = - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } } & { - } & { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 4 } k ^ { 4 } } \left( \log ( 2 \pi k ) - \mathrm { C i } ( \pi k ) + \gamma - \frac { 1 1 } { 6 } \right) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { \pi k ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \widetilde { { S _ { \infty } ^ { \mathrm { s p } } } } ^ { ( 4 ) } ( \omega ) \, \cos ( \omega k ) d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { 3 } ^ { B } } & { = } & { \frac { 6 } { \psi _ { 0 } } ( N - 1 ) ( 1 + ( N + 1 ) N \alpha _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( N - 2 ) ( 4 + ( N + 2 ) N \alpha _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { 6 } { \psi _ { 0 } } ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 1 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \chi ( \omega ) \right] _ { \mathrm { s t a t } } = } & { \frac { E _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } { S ( \omega , \omega _ { a } ; \rho _ { \mathrm { D M } } , X _ { a } ; L , r ) } \, } \\ { = } & { \frac { \sqrt { 2 S _ { E ^ { 2 } } } } { ( T _ { \mathrm { o b s } } \tau ( \omega ) ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } S ( \omega , \omega _ { a } ; \rho _ { \mathrm { D M } } , X _ { a } ; L , r ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { P } } & { = \Psi _ { P } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } + Q _ { \mathbb { P } ^ { 1 } } \hat { \chi } = \Psi _ { P } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } + Q _ { \mathbb { P } ^ { 1 } } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \Theta ( r - r _ { 0 } ) \psi _ { \Phi } + \frac { 1 } { 2 \pi } q e ^ { - 2 i Y } \psi _ { \Phi } \right) } \\ & { = q ^ { 2 } e ^ { - 3 i Y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( A ) } & { = \{ y \in X \mid \mathrm { t h e r e ~ e x i s t ~ } a _ { n } \in A , t _ { n } \mathrm { ~ s . t . ~ } \Phi ( t _ { n } , a _ { n } ) \to y , t _ { n } \to \infty \} , } \\ { \alpha ( A ) } & { = \{ y \in X \mid \mathrm { t h e r e ~ e x i s t ~ } a _ { n } \in A , t _ { n } \mathrm { ~ s . t . ~ } \Phi ( t _ { n } , a _ { n } ) \to y , t _ { n } \to - \infty \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { i } \sum _ { \alpha } \sum _ { s \in \left\{ 0 , 1 \right\} } g _ { \alpha , i , s } \cos \left( { \mathbf k } _ { \alpha } \cdot { \mathbf r } _ { i } - \omega _ { \alpha } t - \phi _ { \alpha , i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Dot { \theta } = \omega - \sigma ^ { \downarrow } D ^ { k - 1 } \sin ( B ^ { k } \theta ) = \omega - \sigma ^ { \downarrow } \widetilde { B } ^ { 1 } \sin ( \widetilde { D } ^ { 0 } \theta ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } } & { { } = } & { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = } & { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) } \\ { \lambda _ { 3 } } & { { } = } & { \cos \left( \theta _ { l } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathcal { M } ( u ) = \partial _ { t } \mathcal { M } ( \tilde { u } + \phi ^ { + } ) } & { = \partial _ { t } \bigl ( M _ { 0 } \tilde { u } + M _ { 0 } \phi ^ { + } + \mathcal { G } ( \tilde { u } + \phi ^ { + } ) \bigr ) } \\ & { = \partial _ { t } \bigl ( M _ { 0 } \tilde { u } + \mathcal { G } ( \tilde { u } + \phi ^ { + } ) \bigr ) + \theta ^ { + } \partial _ { t } M _ { 0 } \phi ^ { + } + M _ { 0 } \phi ^ { + } ( 0 ^ { + } ) \delta _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - f ( x ^ { k } ; S _ { k } ) - \langle g _ { k } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle } & { \leq - f ( x ^ { k } ; S _ { k } ) + f ( x ^ { k } ) } \\ & { \quad - f ( x ^ { k + 1 } ) + \frac { \theta \alpha _ { k } } { 2 } \| \nabla f ( x ^ { k } ) - g _ { k } \| ^ { 2 } + \big [ \frac { 1 } { 2 \theta \alpha _ { k } } + \frac { L } { 2 } \big ] \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \left( \hat { p } - p _ { t } \right) ^ { T } \rangle } & { = \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle \cdot A _ { t } , } \\ { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes x ^ { T } \rangle } & { = \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = - n } ^ { I - K - 1 } E ^ { * } \left( \left( \frac { C _ { i , j } \left( F _ { i , j } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) } { \frac { 1 } { \sqrt { I + n - K } } \sum _ { k = - n } ^ { I - K - 1 } C _ { k , j } } \right) ^ { 4 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \left( \frac { 1 } { I + n - K } \sum _ { k = - n } ^ { I - K - 1 } C _ { k , j } \right) ^ { 4 } } \frac { 1 } { ( I + n - K ) ^ { 2 } } \sum _ { i = - n } ^ { I - K - 1 } C _ { i , j } ^ { 4 } E ^ { * } \left( \left( F _ { i , j } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \rho } _ { t } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \alpha _ { t } m _ { t } ( 1 - \delta _ { t } ) } & { \mathrm { i f ~ } 0 \le \alpha _ { t } \le \alpha _ { t _ { - } } } \\ { \left( 1 - \frac { 2 \alpha _ { t } L _ { t } m _ { t } } { L _ { t } + m _ { t } } + \frac { \alpha _ { t } \delta _ { t } ^ { 2 } ( L _ { t } + m _ { t } - 2 \alpha _ { t } L _ { t } m _ { t } ) } { 2 - \alpha _ { t } ( L _ { t } + m _ { t } ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } \alpha _ { t _ { - } } \le \alpha _ { t } \le \alpha _ { t _ { + } } } \\ { ( 1 + \delta _ { t } ) \alpha _ { t } L _ { t } - 1 } & { \mathrm { i f ~ } \alpha _ { t _ { + } } \le \alpha _ { t } \le \frac { 2 } { ( 1 + \delta _ { t } ) L _ { t } } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \widehat { P } } _ { \ell - 1 } ^ { c } } & { = } & { { \mathbb { E } } \left[ H ( { \widehat { S } } _ { T } ^ { c } { - } K ) \ | \ { \widehat { S } } _ { T - h _ { \ell - 1 } } ^ { c } , \Delta W _ { N - 1 } \right] } \\ & { = } & { \Phi \left( \frac { { \widehat { S } } _ { T - h _ { \ell - 1 } } ^ { c } + a ( { \widehat { S } } _ { T - h _ { \ell - 1 } } ^ { c } ) \, h _ { \ell - 1 } + b ( { \widehat { S } } _ { T - h _ { \ell - 1 } } ^ { c } ) \, \Delta W _ { N - 1 } - K } { b ( { \widehat { S } } _ { T - h _ { \ell - 1 } } ^ { c } ) \ \sqrt { h _ { \ell } } } \right) . } \end{array}
\varrho _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \overset { \eta _ { 1 } = 3 / 4 } { \underset { ( 1 , 3 ) } { \longrightarrow } } \; \varrho _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 3 } { 2 } } & & { * } & \\ & { 2 } & & \\ { * } & & { \frac { 1 } { 2 } } & \\ & & & { 0 } \end{array} \right) \overset { \eta _ { 2 } = 1 / 2 } { \underset { ( 2 , 3 ) } { \longrightarrow } } \; \varrho _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 3 } { 2 } } & { * } & { * } & \\ { * } & { \frac { 5 } { 4 } } & { * } & \\ { * } & { * } & { \frac { 5 } { 4 } } & \\ & & & { 0 } \end{array} \right) \overset { \eta _ { 3 } = 3 / 5 } { \underset { ( 3 , 4 ) } { \longrightarrow } } \; \varrho _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 3 } { 2 } } & { * } & { * } & { * } \\ { * } & { \frac { 5 } { 4 } } & { * } & { * } \\ { * } & { * } & { \frac { 3 } { 4 } } & { * } \\ { * } & { * } & { * } & { \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - S } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - W } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { A } _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } \gets g } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 - \mathcal { P } _ { 1 2 } } { 2 i \sqrt { 3 } } C _ { \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { A } - \Sigma _ { A } } \sum _ { L a } \Pi _ { L S _ { A } } ^ { - 1 } \times } \\ & { } & { \qquad \times \sum _ { i j } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \frac { \tilde { F } _ { j } ( E _ { A } + E _ { 1 } + E _ { 2 } - E _ { g } - \omega ) \tilde { F } _ { i } ( \omega ) } { E _ { g } + \omega - E _ { a } - E _ { 2 } + i 0 ^ { + } } \times } \\ & { } & { \qquad \times \sum _ { M M _ { a } \mu \nu } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { 1 \mu } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L M } \epsilon _ { j } ^ { \nu } \epsilon _ { i } ^ { \mu } \times } \\ & { } & { \qquad \times \langle \Psi _ { A \ell _ { 1 } E _ { 1 } } ^ { ^ { 2 S _ { a } + 1 } L ^ { \bar { \pi } _ { a } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a } \rangle \, \langle \Psi _ { a \ell _ { 2 } E _ { 2 } } ^ { { ^ 1 P ^ { o } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| g \rangle \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( s ) } & { = } & { \frac { P _ { 1 2 9 } ( s ) \delta \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( s ) - R P _ { 1 3 1 } ( s ) \delta \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( s ) } { 1 + R } } \\ & { = } & { \frac { \Gamma _ { 1 2 9 } \delta \varphi _ { \mathrm { w } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( s ) - R \Gamma _ { 1 3 1 } \delta \varphi _ { \mathrm { w } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( s ) } { 1 + R } + \xi _ { \mathrm { c } } \delta \varphi _ { \mathrm { c } } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \rho \mathbf u ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf u \otimes \mathbf u ) + \nabla p ^ { \prime } + g z \nabla \rho = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \, \, \Omega \times ( 0 , t _ { f } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { r ( \theta , t ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \varepsilon _ { n } ( t ) P _ { n } ( \cos \theta ) - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } ( t ) \right] \cos ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) , } \\ { z ( \theta , t ) } & { = R _ { 0 } \left[ 1 + \varepsilon _ { n } ( t ) P _ { n } ( \cos \theta ) - \frac { 1 } { 2 n + 1 } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } ( t ) \right] \sin ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) + 1 . 0 , } \end{array} \right. \quad \theta \in [ 0 , \pi ] , \quad t \geq 0 , \quad n \geq 2 ,
\begin{array} { r l } { \hat { m } ( x ) - m ( x ) } & { = \frac { 1 } { \hat { f } _ { X } ( x ) } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { f _ { X } ( x ) } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) \left( 1 + \frac { f _ { X } ( x ) - \hat { f } _ { X } ( x ) } { \hat { f } _ { X } ( x ) } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { n i } ( x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { n i } ( x ) \cdot \frac { f _ { X } ( x ) - \hat { f } _ { X } ( x ) } { \hat { f } _ { X } ( x ) } , } \end{array}
g _ { i j } = \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { g _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { g _ { 3 } } } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } h _ { a b } = \left[ \begin{array} { l l } { { h _ { 4 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { h _ { 5 } } } \end{array} \right]
{ \begin{array} { r l } { \wp ( - z ) } & { = { \frac { 1 } { ( - z ) ^ { 2 } } } + \sum _ { \lambda \in \Lambda \setminus \{ 0 \} } \left( { \frac { 1 } { ( - z - \lambda ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + \sum _ { \lambda \in \Lambda \setminus \{ 0 \} } \left( { \frac { 1 } { ( z + \lambda ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + \sum _ { \lambda \in \Lambda \setminus \{ 0 \} } \left( { \frac { 1 } { ( z - \lambda ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \right) = \wp ( z ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - \psi \big | _ { \Gamma _ { 1 } } = - \psi \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \psi \big | _ { \Gamma _ { 6 } } = \psi \big | _ { \Gamma _ { 7 } } } & { = \Psi _ { 0 } , } \\ { \boldsymbol { \nabla } \psi \cdot \boldsymbol { n } \big | _ { \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 8 } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \big ( \Omega _ { u } ^ { q G } } & { ( \Delta _ { u } ; r ) _ { q > 1 } \big ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \, e } \, \sigma _ { u } ^ { q G } } \frac { e ^ { 3 } e } { \sqrt { 2 } e ^ { 2 } e ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( - \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } \, \sigma _ { u } ^ { q G } } \exp \left( - \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 { \sigma _ { u } ^ { q G } } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
2 C _ { 0 } \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } c _ { \ell } P _ { \ell } ( \cos \theta _ { 0 } ) = : \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } w _ { \ell } ( \theta _ { 0 } ) = 1 ,
S = { \frac { k A _ { H } } { 4 \ell _ { P } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { T _ { H } } } \int _ { \Sigma } \{ \varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } \} K ^ { \mu } d \Sigma _ { \mu } + \int _ { \Sigma } s V ^ { \mu } d \Sigma _ { \mu } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { K 1 : } \ \nu _ { k , 1 } ^ { \star } , \lambda _ { i , 1 } ^ { \star } \geq 0 , \ \mathbf T _ { i , 1 } ^ { \star } \succeq \mathbf 0 , \ \forall i , k \in \mathcal K , } \\ & { \mathrm { K 2 : } \ \mathbf T _ { i , 1 } ^ { \star } \mathbf W _ { i , 1 } ^ { \star } = \mathbf 0 , \ \forall i \in \mathcal K , } \\ & { \mathrm { K 3 : } \ \mathbf T _ { i , 1 } ^ { \star } = \lambda _ { i , 1 } ^ { \star } \mathbf I _ { M } - \zeta \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nu _ { k , 1 } ^ { \star } \mathbf a _ { i , k , 1 } \mathbf a _ { i , k , 1 } ^ { H } , \ \forall i \in \mathcal K , } \end{array}
I _ { 2 , 2 } ( \overline { { { P _ { 1 } } } } , \overline { { { P _ { 2 } } } } , Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) = \int d x \, \overline { { { P _ { 1 } ( x ) } } } \overline { { { P _ { 2 } ( x ) } } } Q _ { 1 } ( x ) Q _ { 2 } ( x ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } E _ { f } ( u ( t ) ) } & { = \int _ { M } ( - \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \bar { K } - f \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \int _ { M } ( ( - \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \bar { K } ) \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } - f ) \mathrm { e } ^ { 2 u ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \int _ { M } ( ( - \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \bar { K } ) \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } - f ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { g ( t ) } } \\ & { = \int _ { M } ( K _ { g ( t ) } - f ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { g ( t ) } = \int _ { M } ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { g ( t ) } } \\ & { = - \int _ { M } | \partial _ { t } u ( t ) | ^ { 2 } d \mu _ { g ( t ) } \le 0 . } \end{array}
Z _ { c } = { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( 1 1 - 2 { \sqrt { 7 } } \sinh ( { \frac { 1 } { 3 } } \operatorname { a s i n h } ( { \frac { 1 3 } { 7 { \sqrt { 7 } } } } ) ) \right) \approx 0 . 3 0 7 4 0 1
\begin{array} { r l } { \textrm { d } Y _ { t } ^ { j } } & { = \sqrt { 2 \nu } 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \cdot \textrm { d } B _ { t } } \\ & { + 1 _ { \left\{ t < T _ { \xi } \right\} } \left( \nu \Delta W _ { \varepsilon } ^ { j } - ( u \cdot \nabla W _ { \varepsilon } ^ { j } ) - \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { j } } { \partial t } \right) ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t } \end{array}
P _ { g } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( k ) = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } 2 ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } \frac { \Gamma ( \nu ) } { \Gamma ( 3 / 2 ) } ( \nu - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu } \frac { H } { m _ { p l } } | _ { k = a H }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { d i r e c t e d , D C M S } } & { { } = } & { \Gamma _ { n e u t r a l s } } \\ { \Gamma _ { d i r e c t e d , H i P I M S } } & { { } = } & { 0 . 1 5 \cdot \Gamma _ { n e u t r a l s } + 0 . 8 5 \cdot \Gamma _ { i o n s } } \end{array}
\begin{array} { l r } { { \bar { \beta } _ { 0 0 } ^ { G } = 2 \alpha ^ { \prime } D _ { 0 } \partial _ { 0 } \phi ( X ^ { 0 } ) = 2 \alpha ^ { \prime } \ddot { \phi } \ , } } & { { } } \\ { { \bar { \beta } _ { m n } ^ { G } = \beta _ { m n } ^ { G } } } & { { ( D _ { m } \partial _ { n } \phi = 0 \ \mathrm { i f } \ K = \mathrm { c o n s t . \ a n d } \ \partial _ { m } \phi = 0 ) \ , } } \\ { { \bar { \beta } ^ { \phi } = \beta ^ { \phi } + \frac { \alpha ^ { \prime } } { a ^ { 2 } } \left( \dot { \phi } ( X ^ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \ . } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Psi ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { p 1 } ( k ) } \end{array} \right) e ^ { i ( k x - \omega _ { p 1 } t ) } , } & { \quad \mathrm { i f ~ t < t _ 0 ~ } } \\ { e ^ { i ( k x - \omega _ { p 1 } t _ { 0 } ) } \left[ S _ { p p } ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { p 2 } ( k ) } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { p 2 } ( t - t _ { 0 } ) } + S _ { h p } ( k ) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { h 2 } ( k ) } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { h 2 } ( t - t _ { 0 } ) } \right] , } & { \quad \mathrm { i f ~ t \ge ~ t _ 0 ~ } } \end{array} \right. , } \\ & { } & { D ( k ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { k } } e ^ { - \frac { \left( k - k _ { c } \right) ^ { 2 } } { 2 { \sigma _ { k } } ^ { 2 } } } . } \end{array}
h _ { ( \zeta _ { \bf p } , \zeta _ { \bf q } ) } \zeta _ { \bf m } = \zeta _ { \bf m } \Biggl ( 1 + i \frac { \Delta ( \zeta _ { \bf p } , \zeta _ { \bf q } ) } { R ^ { 2 } } + O \left( \biggl ( \frac { | \mathrm { \boldmath ~ \ d e l t a ~ } | } { n } \biggr ) ^ { 2 } \right) \Biggr ) ,
\sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } = \left( \langle x ^ { 2 } \rangle - \langle x \rangle ^ { 2 } \right) \left( \langle p ^ { 2 } \rangle - \langle p \rangle ^ { 2 } \right) \geq \left( \langle x p \rangle - \langle x \rangle \langle p \rangle \right) ^ { 2 } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } } ~ .
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { z _ { l } } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( z \right) \right\Vert _ { 2 } } & { = \left\Vert \nabla _ { z _ { l } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { = \left\Vert - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) m ^ { - 1 } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } { \left[ m ^ { - 1 } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right] ^ { 2 } } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \overset { \mathrm { ( i ) } } { \leq } \frac { m ^ { - 1 } \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \right| \left\Vert X _ { i } - z _ { l } \right\Vert _ { 2 } \overset { \mathrm { ( i i ) } } { \leq } \frac { 9 m ^ { - 1 } } { \delta ^ { 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { d } } R ^ { 2 } , } \end{array}