harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol x } _ { i } [ k + 1 ] = \bar { { \boldsymbol A } } _ { i } { \boldsymbol x } _ { i } [ k ] + ( I - \bar { { \boldsymbol A } } _ { i } ) x _ { i } ^ { \mathrm { t m p } } ( P [ k ] ) , \ \forall i \in \ensuremath { [ \! [ N ] \! ] } , } \\ & { P [ k ] = \alpha [ k + 1 ] ^ { \boxbslash } { \boldsymbol K } ( { \boldsymbol x } [ k ] ) \beta [ k ] ^ { \boxbslash } , } \\ & { \alpha [ k + 1 ] = { \bf 1 } _ { N } / N \oslash \left[ { \boldsymbol K } ( { \boldsymbol x } [ k ] ) \beta [ k ] \right] , } \\ & { \beta [ k ] = { \bf 1 } _ { N } / N \oslash \left[ { \boldsymbol K } ( { \boldsymbol x } [ k ] ) ^ { \top } \alpha [ k ] \right] , } \\ & { { \boldsymbol x } _ { i } [ 0 ] = x _ { i } ^ { 0 } , \ \alpha [ 0 ] = \alpha _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { u _ { t } = \ } & { { } D ( u , x , t ) u + F ( x , t ) , } & { } & { { } x \in \Omega , } & { } & { { } t _ { 0 } < t < T } \\ { B ( u , x , t ) u = \ } & { { } g ( x , t ) , } & { } & { { } x \in \partial \Omega , } & { } & { { } t _ { 0 } < t < T } \\ { u ( x , t _ { 0 } ) = \ } & { { } u _ { 0 } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 3 } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 3 } } \end{array} \right] , \quad y _ { 2 } = x _ { 2 } . } \end{array}
U = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { u _ { 1 , 1 } } & { u _ { 1 , 2 } } & { u _ { 1 , 3 } } & { \ldots } & { u _ { 1 , n } } \\ { 0 } & { } & { } & { } & { u _ { n , n } } \end{array} \right] }
\mathbf { G } = \left( \begin{array} { l l l } { ( 1 + g ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( 1 + g ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + g } \end{array} \right) \, ,
\frac { 4 0 9 6 } { 7 2 9 } \, ( 6 \, \pi ) ^ { 2 / 3 } \, ( 1 + \frac { R } { 2 } ) ^ { 1 6 / 3 } \, \exp ( - 2 \, R ) = \frac { 4 0 9 6 } { 7 2 9 } \, ( 6 \, \pi ) ^ { 2 / 3 } \, ( 1 + \frac { R } { 2 } ) ^ { 1 0 / 3 } \, \mathfrak { P } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 3 \left\| \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } + 3 \left\| \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \left\| { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + 3 \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \widehat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { R } } _ { \gamma } \right\| _ { R } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \sigma _ { x x } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { x ^ { 2 } z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \left( \frac { ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) R } { r ^ { 2 } ( R + z ) } + \frac { y ^ { 2 } z } { R r ^ { 2 } } \right) \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { y y } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { y ^ { 2 } z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \left( \frac { ( y ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) R } { r ^ { 2 } ( R + z ) } + \frac { x ^ { 2 } z } { R r ^ { 2 } } \right) \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { z z } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { z ^ { 3 } } { R ^ { 3 } } , } \\ { \Delta \sigma _ { x y } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \left[ \frac { x y z } { R ^ { 3 } } - \frac { 1 - 2 \nu } { 3 } \frac { x y ( 2 R + z ) } { R ( R + z ) ^ { 2 } } \right] , } \\ { \Delta \sigma _ { y z } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { y z ^ { 2 } } { R ^ { 3 } } , } \\ { \Delta \sigma _ { x z } } & { = \frac { 3 F _ { z } } { 2 \pi R ^ { 2 } } \frac { x z ^ { 2 } } { R ^ { 3 } } , } \end{array}
\lambda _ { \pm } \equiv \frac { 1 } { \tau _ { \pm } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 } { \tau _ { e l } } + \frac { 1 } { \tau _ { I } } \pm \sqrt { \left( \frac { 1 } { \tau _ { e l } } - \frac { 1 } { \tau _ { I } } \right) ^ { 2 } - 4 \frac { \mathscr { L } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { L \tau _ { 0 } } } \right] ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { - L u ( x ) = f ( x ) , } & { x \in D } \\ { \displaystyle { \operatorname* { l i m } _ { y \to x } u ( y ) } = g ( x ) , } & { x \in \partial D } \end{array} \right. } \quad { \mathrm { ( P 1 ) } }
\frac { d \sigma _ { \mathrm { S D } , 1 } ^ { \gamma \gamma } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } , Q _ { 2 } ^ { 2 } ) } { d M _ { \mathrm { D } , 1 } } \approx \frac { M _ { \mathrm { D } , 1 } ^ { 2 } } { Q _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { \mathrm { D } , 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } } { Q _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { \rho } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { \gamma \gamma } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } , Q _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { \gamma \gamma } ( 0 , 0 ) } \right) \frac { d \sigma _ { \mathrm { S D } , 1 } ^ { \gamma \gamma } ( 0 , 0 ) } { d M _ { \mathrm { D } , 1 } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } d _ { l } ^ { 2 } } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \times \mathbf { w } _ { l } ] ^ { T } [ ( \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } _ { l } ) \times \mathbf { w } _ { l } ] } \end{array}
R _ { 2 1 } ( { u ^ { \prime } } ^ { + } - { v ^ { \prime } } ^ { + } ) L _ { 1 } ( { u ^ { \prime } } ^ { + } , u ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( { v ^ { \prime } } ^ { + } , v ^ { \prime } ) = L _ { 1 } ( { u ^ { \prime } } ^ { + } , v ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( { v ^ { \prime } } ^ { + } , u ^ { \prime } ) R _ { 2 1 } ( { u ^ { \prime } } ^ { + } - { v ^ { \prime } } ^ { + } ) .
[ { \pmb u } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) ] - [ { \pmb u } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ^ { \prime } ) , { \pmb w } ^ { ( m ) } ( { \pmb \xi } ) ] \; \, \left\{ \begin{array} { l l } { = 0 , \quad n = m } \\ { \neq 0 , \quad n \neq m } \end{array} \right.
\Delta L _ { n , k } \frac { K } { 2 \alpha } = \mathcal { X } _ { k } W _ { n } ^ { T } \epsilon _ { n , k } \mathcal { X } _ { k } \mathcal { X } _ { k } ^ { T } + W _ { n } \mathcal { X } _ { k } ^ { T } \mathcal { X } _ { k } \mathcal { X } _ { k } ^ { T } \epsilon _ { n , k } .
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { x } { \frac { \delta H } { \delta p ( x ) } } \, \phi ( x ) } & { = \left[ { \frac { d } { d \epsilon } } H [ p ( x ) + \epsilon \phi ( x ) ] \right] _ { \epsilon = 0 } } \\ & { = \left[ - \, { \frac { d } { d \varepsilon } } \sum _ { x } \, [ p ( x ) + \varepsilon \phi ( x ) ] \ \log [ p ( x ) + \varepsilon \phi ( x ) ] \right] _ { \varepsilon = 0 } } \\ & { = - \sum _ { x } \, [ 1 + \log p ( x ) ] \ \phi ( x ) \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d _ { t } T _ { t } } & { = d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \partial _ { u } C _ { t } \right) = d _ { t } ( \frac { 1 } { v _ { t } } ) \partial _ { u } C _ { t } + \frac { 1 } { v _ { t } } d _ { t } \partial _ { u } C _ { t } + d _ { t } ( \frac { 1 } { v _ { t } } ) d _ { t } \partial _ { u } C _ { t } } \\ & { = - \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \left( ( - 3 \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) v _ { t } T _ { t } } \\ & { + \frac { 1 } { v _ { t } } \left( ( - \partial _ { u } \rho _ { t } ) \nu _ { t } d t + v _ { t } \rho _ { t } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) T _ { t } \right) } \\ & { - 2 \rho _ { t } ^ { 2 } T _ { t } d t } \\ & { = - \frac { 1 } { v _ { t } } ( \partial _ { u } \rho _ { t } ) \nu _ { t } d t } \end{array}
\Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \pi _ { e } , \quad \, \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \pi _ { \chi } , \, \quad \Phi _ { 3 \mu } ^ { ( 1 ) } = \pi _ { \mu } - \frac { i } { 2 } \xi _ { \mu } , \quad \, \Phi _ { 4 \mu } ^ { ( 1 ) } = \pi _ { \mu } ^ { b }
\begin{array} { r } { u _ { 1 } ( x _ { 1 } , 0 ) = 0 . 5 a \Delta \tau ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) S _ { 1 1 } \sqrt { 1 - ( x _ { 1 } / a ) ^ { 2 } } , } \\ { u _ { 3 } ( x _ { 1 } , 0 ) = - \Delta \tau \left( \sqrt { S _ { 1 1 } S _ { 3 3 } } + S _ { 1 3 } \right) x _ { 1 } , \qquad \, \, } \end{array}
\mathbf { E _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ M ~ } } } = ( 0 , 0 , \cos \alpha ) , \; \; \mathbf { H _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ M ~ } } } = ( 0 , \cos \alpha , 0 ) ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \int _ { M } ( \tau R + u ) e ^ { s b } \phi ^ { r } \, d v _ { t } } \\ { \ge } & { \int _ { M } \left\{ - C s \left( \tau ( | \nabla b | ^ { 4 } + | \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) + \tau ^ { - 1 } + R \right) + 2 \tau \left| R c + \nabla ^ { 2 } b - \frac { g } { 2 \tau } \right| ^ { 2 } + 2 \tau | R c | ^ { 2 } - R \right\} \phi ^ { r } e ^ { s b } d v _ { t } } \\ & { + X _ { t } + Y _ { t } } \\ { \ge } & { \int _ { M } \left\{ - C s \left( \tau ( | \nabla b | ^ { 4 } + | \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } + R ^ { 2 } ) \right) + \tau ( | \nabla ^ { 2 } b | ^ { 2 } + | R c | ^ { 2 } ) \right\} \phi ^ { r } e ^ { s b } d v _ { t } + X _ { t } + Y _ { t } - C ^ { \prime } \tau ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \leq } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } + \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { 6 L ^ { - 1 } } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) | 0 \rangle } & { { } = \langle 0 | e ^ { \hat { A } + \hat { B } } | 0 \rangle , } \end{array}
\hat { \psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( { \bf C } ^ { \mathrm { e } } , c , \xi , \nabla \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } , \mathrm { d } , \nabla \mathrm { d } ) = \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { m } } ( { \bf C } ^ { \mathrm { e } } , \xi , \mathrm { d } ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { c } ( c ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \xi } ( \xi ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \nabla \xi } ( | \nabla \xi | ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { e } ( { \bf C } ^ { \mathrm { e } } , \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ) + \psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { \mathrm { d } } ( | \nabla \mathrm { d } | )
\tilde { F } _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { l } } = { \frac { 1 } { l ! } } \varepsilon _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { l } \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { l } } F ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { l } } ,
\begin{array} { r } { - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } u _ { i } ( t , \mathbf { x } ) ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } . } \end{array}
\Gamma _ { 0 , \left( 5 \right) } = \sum _ { i , k ( i < k ) } \varphi ^ { i k \dagger } \gamma ^ { 0 } \left( \gamma ^ { 5 } \right) \varphi ^ { i k } + \sum _ { p = 1 } ^ { N - 1 } \psi ^ { p } \gamma ^ { 0 } \left( \gamma ^ { 5 } \right) \psi ^ { p } \ ,
\small \begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \textbf { R } \cdot \nabla \bar { Q } _ { k } } & { { } = \sum _ { m = - N _ { z } / 2 } ^ { N _ { z } / 2 - 1 } \left( \int _ { \Omega _ { 2 D } } \hat { \textbf { R } } _ { m } \cdot \nabla \omega \right) \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \Phi _ { m } ( z ) \bar { \Phi } _ { k } ( z ) \right) } \end{array}
p _ { 2 } ( \lambda ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } \left[ - 1 + \left( c _ { 2 } \mu ^ { 2 } + \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \, \mathsf { A } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { 2 \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } \right] } { 2 \sqrt { c _ { 2 } } } \, ,
M S E ( a ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { a } \int _ { 0 } ^ { a } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { { } , } & { 0 < a \leq v _ { 2 } - v _ { 1 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) - a } \int _ { a - v _ { 2 } + v _ { 1 } } ^ { v _ { 2 } - v _ { 1 } } ( N ^ { \prime } ( v ) - P ^ { \prime } ( a - v ) ) ^ { 2 } d v } & { { } , } & { v _ { 2 } - v _ { 1 } < a < 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) . } \end{array} \right.
\Gamma = \Gamma _ { b } \, \bigg \{ 1 + { \frac { \lambda _ { 1 } - 9 \lambda _ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } } \bigg \} \, , \qquad \langle E _ { \ell } \rangle = { \frac { 7 m _ { b } } { 2 0 } } \, \bigg \{ 1 - { \frac { 7 \lambda _ { 1 } + 5 7 \lambda _ { 2 } } { 1 4 m _ { b } ^ { 2 } } } \bigg \} \, .
f ( s , t ) ~ ~ \sim ~ ~ { \frac { 1 } { t } } { \frac { \Gamma \left( 1 - i ( G s + \alpha { \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 s } } ) \right) } { \Gamma \left( i ( G s + \alpha { \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 s } } ) \right) } } ~ ~ .
\begin{array} { r l } { | V _ { i } | | V _ { k } | - d _ { V _ { i } , V _ { k } } ( v _ { 2 } ) } & { \geqslant | N _ { V _ { i } } ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \setminus X | \cdot \left( | Z | - \frac { | Z | } { 2 } \right) \geqslant \frac { 1 } { 2 } d _ { V _ { i } } ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \cdot \frac { 3 } { 4 n } d _ { V _ { j } , V _ { k } } ( v _ { 1 } ) } \\ & { \geqslant \frac { 3 } { 8 n } d _ { V _ { j } , V _ { k } } ( v _ { 1 } ) \left( \frac { 3 n } { d _ { V _ { j } , V _ { k } } ( v _ { 1 } ) } \left( | V _ { i } | | V _ { k } | - d _ { V _ { i } , V _ { k } } ( v _ { 2 } ) \right) + 2 \varepsilon ^ { 1 / 2 } n \right) } \\ { d _ { V _ { j } , V _ { k } } ( v _ { 1 } ) } & { \geqslant \frac { 9 } { 8 } \left( | V _ { i } | | V _ { k } | - d _ { V _ { i } , V _ { k } } ( v _ { 2 } ) \right) + \frac { 3 } { 2 } \varepsilon ^ { 3 / 4 } n ^ { 2 } > | V _ { i } | | V _ { k } | - d _ { V _ { i } , V _ { k } } ( v _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { N ^ { * } } ( \alpha ) - S _ { N } ( \alpha ) = } & { ( - 1 ) ^ { k + 1 } \left( b _ { k } ^ { * } \frac { 1 - b _ { k } ^ { * } q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } - b _ { k } ( N ) \frac { 1 - b _ { k } ( N ) q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } \right) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { k } ( b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) ) \left( \| q _ { k } \alpha \| \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } b _ { j } ( N ) q _ { j } + \frac { \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } \right) } \\ & { + \sum _ { \ell = k + 1 } ^ { L - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell } b _ { \ell } ( N ) \| q _ { \ell } \alpha \| ( b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) ) q _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { \frac { 8 p } { 2 p - 6 } } ( 0 , T ; L ^ { 2 p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) , } \end{array}
p _ { u } = \left( { \frac { e ^ { ( r - q ) \Delta t / 2 } - e ^ { - \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } } { e ^ { \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } - e ^ { - \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } } } \right) ^ { 2 }
\vec { \mathbb { A } } _ { m } ^ { - } ( \vec { \nu } _ { d } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { p _ { m } } C _ { m , j } ^ { - } [ \hat { h } _ { m } \star \hat { s } _ { e } ] _ { \vec { \nu } _ { d } , \vec { \nu } _ { i } } \vec { \mathbb { A } } _ { i }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { + } ^ { 1 } ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 - ( x - v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \left[ \int _ { x } ^ { v _ { 0 } + \sqrt { 2 } } [ v _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( x ^ { \prime } + v _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 } ] d x ^ { \prime } + \int _ { v _ { 0 } + \sqrt { 2 } } ^ { + \infty } [ v _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( x ^ { \prime } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( x ^ { \prime } + v _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 } ] d x ^ { \prime } \right] } \\ & { } & { \equiv \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 - ( x - v _ { 0 } ) ^ { 2 } } } ( \tilde { I } _ { 1 } ( x ) + I _ { 0 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k + 1 } ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \| y _ { k + 1 } ^ { * } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \langle y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } , y _ { \lambda , k + 1 } ^ { * } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \rangle } \\ & { \le \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { 1 } { 8 \beta _ { k } \mu _ { g } } \right) \| y _ { \lambda , k + 1 } ^ { * } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + 4 \beta _ { k } \mu _ { g } \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } , } \end{array}
R = ( \frac { A } { 2 } - \frac { A _ { 0 } } { 2 } ) ^ { 2 } + ( B - B _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 2 } ( C + \frac { A } { 2 } ) - \sqrt { 2 } ( C _ { 0 } + \frac { A _ { 0 } } { 2 } ) ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { { } = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta } \left( \frac { k _ { f } } { k _ { i } ^ { 3 } } \right) \theta ^ { - 2 } , \qquad \beta \ll \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \theta ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 0 } } & { : = \hat { \phi } _ { 0 } ( \mu _ { 0 } ) , \quad \mu _ { 1 } : = \hat { T } _ { 0 } ( \mu _ { 0 } , \phi _ { 0 } ) , } \\ { \phi _ { 1 } } & { : = \hat { \phi } _ { 1 } ( \mu _ { 1 } ) , \quad \mu _ { 2 } : = \hat { T } _ { 1 } ( \mu _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) , } \\ & { \vdots } \\ { \phi _ { N - 1 } } & { : = \hat { \phi } _ { N - 1 } ( \mu _ { N - 1 } ) , \quad \mu _ { N } : = \hat { T } _ { N - 1 } ( \mu _ { N - 1 } , \phi _ { N - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P } \left( \bigcup _ { n > n ^ { \prime } } \bigcup _ { j \in J _ { n } } E _ { j , n } \right) } & { \leq } & { \sum _ { n > n ^ { \prime } } 2 ^ { 2 ^ { n + 1 } } 2 \exp ( - 2 ^ { n } u ^ { \beta } ) } \\ & { = } & { 2 \sum _ { n > n ^ { \prime } } \exp ( 2 ( \log 2 ) 2 ^ { n } ) \exp ( - 2 ^ { n } u ^ { \beta } ) } \\ & { \leq } & { 2 \sum _ { n > n ^ { \prime } } \exp ( ( \log 2 - 1 ) 2 ^ { n } u ^ { \beta } ) } \\ & { = } & { \exp ( - 2 ^ { n ^ { \prime } } u ^ { \beta } / 2 ) \sum _ { n > n ^ { \prime } } \exp ( ( \log 2 - 1 ) 2 ^ { n } u ^ { \beta } + 2 ^ { n ^ { \prime } } u ^ { \beta } / 2 ) } \\ & { \leq } & { \exp ( - 2 ^ { n ^ { \prime } } u ^ { \beta } / 2 ) \sum _ { n > 0 } \exp ( ( \log 2 - 1 ) 2 ^ { n } u ^ { \beta } + 2 ^ { n } u ^ { \beta } / 4 ) . } \end{array}
{ \frac { \langle H _ { Q } ( v ^ { \prime } ) | \, \bar { h } _ { v ^ { \prime } } \, i g _ { s } G ^ { \mu \nu } h _ { v } \, | H _ { Q } ( v ) \rangle } { \langle H _ { Q } ( v ) | \, \bar { h } _ { v } \, h _ { v } \, | H _ { Q } ( v ) \rangle } } = { \frac { 2 m _ { Q } } { 3 } } \, ( v ^ { \mu } v ^ { \nu } - v ^ { \nu } v ^ { \mu } ) \, \Big [ K _ { Q } + { \cal { O } } ( w - 1 ) \Big ] \, ,
\begin{array} { r l r } { { \mathcal P } _ { y } ^ { \mathrm { H V } } } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i , 1 } ^ { 2 } + x _ { i , 2 } ^ { 2 } + x _ { i , 3 } ^ { 2 } = 1 \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ 1 \leq ~ i \leq ~ k ~ , } } \\ { ( x _ { i , 1 } - x _ { i ^ { \prime } , 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { i , 2 } - x _ { i ^ { \prime } , 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { i , 3 } - x _ { i ^ { \prime } , 3 } ) ^ { 2 } \leq d ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ 1 \leq ~ i < ~ i ' \leq ~ k ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { I _ { c } ( r , \theta ) } & { = } & { - 2 \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { m + 1 } \, Q _ { m } ( r , \theta ) } \\ { I _ { d } ( r , \theta ) } & { = } & { - 2 \, \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { m + 1 } \, S _ { m } ( r , \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = ( \mu \kappa ^ { - 1 } u _ { h } ^ { d } , v _ { h } ) _ { \Omega ^ { d } } - ( p _ { h } ^ { d } , \nabla \cdot v _ { h } ) _ { \Omega ^ { d } } + \langle \bar { p } _ { h } ^ { d } , v _ { h } \cdot n ^ { d } \rangle _ { \partial \mathcal { T } _ { h } ^ { d } } } \\ & { = ( \mu \kappa ^ { - 1 } u _ { h } ^ { d } , v _ { h } ) _ { \Omega ^ { d } } + ( \nabla p _ { h } ^ { d } , v _ { h } ) _ { \Omega ^ { d } } - \langle p _ { h } ^ { d } - \bar { p } _ { h } ^ { d } , v _ { h } \cdot n ^ { d } \rangle _ { \partial \mathcal { T } _ { h } ^ { d } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \Pi _ { 0 } \hat { e } _ { 1 } \vert \sim \vert \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \vert \vert \lambda _ { 1 } \vert \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, , } \end{array}
q _ { v a l . / p } ( x , Q ^ { 2 } ) = 2 \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } G _ { U / p } ( y ) q _ { v a l . / U } ( x , Q ^ { 2 } ) + \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d y } { y } G _ { D / p } ( y ) q _ { v a l . / D } ( x , Q ^ { 2 } ) = u _ { v a l . / p } ( x , Q ^ { 2 } ) + d _ { v a l . / p } ( x , Q ^ { 2 } )
f _ { 0 2 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 1 . 5 7 4 2 } \end{array} \right) , f _ { 3 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 2 2 . 9 5 5 2 } \\ { 6 . 1 2 5 6 } \end{array} \right) , f _ { 2 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { 9 . 2 5 9 3 } \\ { - 2 . 9 8 8 1 } \end{array} \right) , f _ { 1 2 0 } = f _ { 0 3 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
T _ { \mathrm { ~ B ~ F ~ } } ( \mathbf { u } ) = - 2 \mathcal { F } ^ { * } [ \mathrm { I m } ( \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathcal { F } [ C _ { D } \mathcal { F } ^ { - 1 } [ \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { * } ] ] ) ] ( \mathbf { u } )
L = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { - \frac { h } { 3 } } & { 1 } & { 0 } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { l _ { 1 } } & { 1 } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { l _ { 2 } } & { \ddots } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { l _ { M } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - \frac { 3 l _ { M } } { h } } & { \frac { 3 l _ { M + 1 } } { h } } & { 1 } \end{array} \right)
\frac { \dot { m } _ { f } } { L _ { z } } = \frac { 2 } { 3 } \frac { \tau _ { w } h ^ { 2 } } { \nu } \left( 1 + \frac { 3 } { ( u _ { \tau } h ) ^ { 2 } } \int _ { y = 0 } ^ { h } \int _ { y ^ { \prime } = 0 } ^ { y } \langle u _ { f } ^ { \prime } v _ { f } ^ { \prime } \rangle d y ^ { \prime } d y \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \{ O _ { 1 } , O _ { 2 } \} } \\ { \{ O _ { 3 } , O _ { 7 } , O _ { 1 0 } \} } \\ { \{ O _ { 4 } , O _ { 6 } \} } \\ { \{ O _ { 5 } , O _ { 9 } \} } \\ { \{ O _ { 8 } \} } \end{array} \right.