harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \bf r } _ { \perp } = \left( { \frac { { \bf B \times } ( { \bf r \times B } ) } { | { \bf B } | ^ { 2 } } } \right) \ \ \mathrm { a n d } \ \ { \bf v } _ { \perp } = \left( { \frac { { \bf B \times } ( { \bf v \times B } ) } { | { \bf B } | ^ { 2 } } } \right) .
L ( \theta ) = - \sum _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } } \log ( q _ { t } ) = - \sum _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } } \int p ( \mathbf { y } \vert \mathbf { x } ; \theta ) \mathbf { 1 } _ { D _ { t } } ( \mathbf { y } ) d \mathbf { y } ,
{ A } = \frac { 1 } { 2 ( 1 - \eta ) ^ { 2 } } \, \bigg [ \frac { \Gamma ( \frac { \eta } { 2 - 2 \eta } ) } { 2 \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { 1 } { 2 - 2 \eta } ) } \bigg ] ^ { \eta } \exp \bigg \{ - \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \Big ( \frac { \sinh ( \eta t ) } { \sinh ( t ) \cosh ( ( 1 - \eta ) t ) } - { \eta } \, e ^ { - 2 t } \, \Big ) \bigg \} \, ,
\begin{array} { r l } { E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq 1 } \left\| X _ { t - \cdot } ^ { \varepsilon } - X _ { t - \cdot } ^ { 0 } \right\| _ { \infty } ^ { p } \right] } & { \leq \Biggl \{ \varepsilon ^ { p } C _ { p } \bigg ( 1 + E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } \big | X _ { s } \big | ^ { p / 2 } \right] + \mu ( [ 0 , \delta ] ) ^ { p / 2 } E \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } \big \| X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big \| _ { \infty } ^ { p / 2 } \right] \bigg ) } \\ & { \quad + E \left[ \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq t \leq 0 } \bigl | \phi ^ { \varepsilon } ( t ) - \phi ( t ) \bigr | ^ { p } \right] \Biggr \} e ^ { 2 ^ { p } K ^ { p } \left( 1 + \mu \left( [ 0 , \delta ] \right) ^ { p } \right) } } \\ & { = O ( \varepsilon ^ { p } ) , } \end{array}
\begin{array} { c } { { - \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { \prime } D ^ { 2 } \tilde { T } - \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { 3 k } { k + 2 } - 1 \right) \tilde { T } = 0 } } \\ { { \mathrm { w i t h ~ t h e ~ s o l u t i o n : } \qquad \tilde { T } ( t , \theta ) = e ^ { \frac { 1 } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } \tilde { p } _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } \frac { \sin [ ( n + 1 ) \theta ] } { ( n + 1 ) \sin \theta } } } \end{array}
\frac { P _ { \mathrm { 1 C G } } } { m _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } ^ { 2 } } \; \sim \; \left( \frac { m _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } g _ { \mathrm { \scriptscriptstyle { M T } } } } { 2 \pi T } \right) ^ { 2 } \; \ll \; 1 .
V _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ } } ^ { 2 } = \frac { 4 \pi \rho _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ , ~ 0 ~ } } r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ } } ^ { 3 } } { r } \left( \ln \frac { r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ } } + r } { r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ } } } - \frac { r } { r + r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ h ~ } } } \right) \, .
\begin{array} { r } { K = \pi \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r f _ { \mathrm { ~ B ~ } } P _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } \frac { d F _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { d r } . } \end{array}
{ \cal L } \; = \; \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } L _ { \mu } \cdot L ^ { \nu } \, + \, \frac { 1 } { 2 } g \; \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \; \theta _ { \mu } \, \cdot F _ { \nu \lambda } ( L ) \; .
\begin{array} { r l r } { d _ { \Lambda } ( f ) } & { = } & { \left| f * F _ { \Lambda } ( x ) - f ( x ) \right| } \\ & { = } & { \frac { 1 } { L ^ { m } } \left| \int _ { { \cal { X } } } \left[ f ( x - y ) - f ( x ) \right] F _ { \Lambda } ( y ) \mathrm { d } y \right| } \\ & { \le } & { \frac { 1 } { L ^ { m } } \int _ { { \cal { X } } } \left| f ( x - y ) - f ( x ) \right| \times \left| F _ { \Lambda } ( y ) \right| \mathrm { d } y } \\ & { = } & { \frac { 1 } { L ^ { m } } \int _ { { y \in \cal { X } } , \| y \| _ { 2 } \le \eta } \left| f ( x - y ) - f ( x ) \right| \times \left| F _ { \Lambda } ( y ) \right| \mathrm { d } y + \frac { 1 } { L ^ { m } } \int _ { { y \in \cal { X } } , \| y \| _ { 2 } \ge \eta } \left| f ( x - y ) - f ( x ) \right| \times \left| F _ { \Lambda } ( y ) \right| \mathrm { d } y } \\ & { \le } & { \frac { \varepsilon } { 4 } + B \left( \frac { C } { \Lambda } \right) ^ { m } \le \frac { \varepsilon } { 2 } , } \end{array}
\times { \cal D } h _ { \mu \nu } ^ { a } \exp \Biggl \{ \int d ^ { 4 } x \Biggl [ - \frac { 1 } { 2 4 \eta ^ { 2 } } \left( H _ { \mu \nu \lambda } ^ { a } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 g _ { m } ^ { 2 } } { 8 } \left( h _ { \mu \nu } ^ { a } \right) ^ { 2 } + i \pi h _ { \mu \nu } ^ { a } \bar { \Sigma } _ { \mu \nu } ^ { a } \Biggr ] \Biggr \} .
\begin{array} { c } { { H _ { \mu \nu } \otimes I _ { E } = I _ { E } \otimes K _ { \mu \nu } } } \\ { { D _ { \mu } ^ { A } \Phi _ { A } \otimes I _ { E } = I _ { E } \otimes D _ { \mu } ^ { B } \Phi _ { B } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ - C \left( 0 \right) \right] ^ { 3 / 2 } } & { { } \approx \frac { 2 \pi L _ { c } } { \lambda } \cos ^ { 3 } \theta - \frac { 3 } { 2 } L _ { c } k _ { y } \sin 2 \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ^ { * } = } & { { } Z _ { e f f } + \frac { 1 } { \ln \Lambda } \frac { n _ { A r } } { n _ { e } } \left[ \left( Z _ { A r } ^ { 2 } - Z _ { e f f } ^ { 2 } \right) \ln \left( \bar { a } _ { A r } p \right) \right. } \end{array}
J = \left( \begin{array} { l l } { \mu _ { 0 } ( 1 - 2 x ) - \mu _ { 1 } y + 1 } & { - \mu _ { 1 } x } \\ { \nu _ { 1 } y } & { \nu _ { 0 } ( - 1 + 2 y ) + \nu _ { 1 } x + 1 } \end{array} \right) ,
\mathrm { i } \hbar \dot { \beta } _ { \mathbf { k } } = \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( { \mathbf { k } } ) W _ { \mathbf { k } } + \Omega _ { \mathbf { k } } \beta _ { \mathbf { k } } ,
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { q _ { 3 } ( \overline { { c } } ) \equiv \frac { ( 1 - 2 \overline { { c } } ) } { 2 \, \overline { { c } } ^ { \, 2 } ( 1 - \overline { { c } } ) ^ { 2 } } , \qquad q _ { 4 } ( \overline { { c } } ) \equiv \frac { ( 1 - 3 \overline { { c } } + 3 \overline { { c } } ^ { \, 2 } ) } { 3 \, \overline { { c } } ^ { \, 3 } ( 1 - \overline { { c } } ) ^ { 3 } } . } } \end{array}
F f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \langle \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \nabla \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \rangle \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left[ z ^ { x } \right] \phi \left( z \right) \sim C _ { 2 } z _ { c } ^ { - x } \cdot \frac { \sigma \left( x \right) } { x } \frac { 1 } { \Gamma \left( a \right) } \mathrm { ~ a ~ s ~ } x \rightarrow \infty \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) _ { \mu , \lambda } = \bigl \{ \varphi \in C ( \mu ) \, \big | \, \forall \, \nu \in P , \: \mathrm { c o a d } ^ { r } ( K _ { \nu } ^ { - 1 } ) ( \varphi ) = q ^ { ( \lambda , \nu ) } \varphi \bigr \} , } \\ & { ( \mathcal { L } _ { 1 , 0 } ) _ { \mu , \omega , \lambda } = \bigl \{ x \in C ( \mu ) \otimes C ( \omega ) \, \big | \, \forall \, \nu \in P , \: \mathrm { c o a d } ^ { r } ( K _ { \nu } ^ { - 1 } ) ( x ) = q ^ { ( \lambda , \nu ) } x \bigr \} } \end{array}
S _ { c l } ^ { I } = \frac { a ^ { n } } { n ! } \int d ^ { d + 1 } x \int d ^ { d } \vec { y } _ { 1 } . . . d ^ { d } \vec { y } _ { n } [ \lambda _ { n } ^ { \prime } \Psi _ { 1 } + \lambda _ { n } ( \Psi _ { 2 } + n \frac { a ^ { \prime } } { a } + \ln \frac { ( x ^ { d } ) ^ { n } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } [ ( x ^ { d } ) ^ { 2 } + | \vec { x } - \vec { y _ { i } } | ^ { 2 } ] } ) ]
D _ { \mu \nu } ^ { p r o p } = \left[ - g _ { \mu \nu } ^ { \perp } + \frac { n _ { \mu } \partial _ { \nu } ^ { \perp } + n _ { \nu } \partial _ { \mu } ^ { \perp } } { ( n \partial ) } - \frac { n _ { \mu } n _ { \nu } \partial _ { \perp } ^ { 2 } } { ( n \partial ) ^ { 2 } } \right] \frac { 1 } { \partial _ { \mu } ^ { 2 } + i \varepsilon } .
\tilde { Z } _ { p } = \frac { 1 } { ( \sqrt { 4 \pi } ) ^ { 2 6 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { 2 \pi } \left( \frac { 2 \pi } { t } \right) ^ { ( 2 5 - p ) / 2 } e ^ { 2 t } f ^ { - 2 4 } ( t ) \, .
{ \cal H } ( p ) = - 2 i \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \varepsilon ^ { \alpha \beta \lambda } g _ { \nu \alpha } \frac { \mu ^ { \epsilon } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int { \cal D } q \frac { 1 } { ( p + q ) ^ { 2 } q ^ { 2 } } I _ { \beta \mu \lambda \rho } ( q ) \; ,
= \frac { 1 } { 2 \mu ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { k _ { 0 } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } & { { k ^ { 0 } k ^ { 1 } \mp i \mu k ^ { 2 } } } & { { k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } } } \\ { { k ^ { 0 } k ^ { 1 } \mp i \mu k ^ { 2 } } } & { { \frac { ( k ^ { 0 } k ^ { 1 } \mp i \mu k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { k _ { 0 } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } } & { { \frac { ( k ^ { 0 } k ^ { 1 } \mp i \mu k ^ { 2 } ) ( k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } } \\ { { k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } } } & { { \frac { ( k ^ { 0 } k ^ { 1 } \mp i \mu k ^ { 2 } ) ( k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } ) } { k _ { 0 } ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } } & { { \frac { ( k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 0 } k ^ { 2 } \pm i \mu k ^ { 1 } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right) e ^ { \pm 2 i \phi ( k ) }
\begin{array} { r l r } { E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sum _ { m = 1 } ^ { j } \psi _ { k } \psi _ { m } \right\} } & { = } & { \Psi ^ { 2 } \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \operatorname* { m i n } ( i , j ) = \Psi ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 0 } ^ { j - 1 } i + \sum _ { i = 0 } ^ { N } i \right) = } \\ & { = } & { \Psi ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { ( j - 1 ) j } { 2 } } + \sum _ { i = 0 } ^ { N } i \right) = \Psi ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } j ^ { 2 } = { \frac { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } { 6 } } \Psi ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } = } & { \left( \frac { 1 9 } { 1 0 8 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 1 9 } { 1 0 8 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 3 1 } { 5 4 } { v } _ { i - 1 } - \frac { 2 4 1 } { 2 7 } { v } _ { i } + \frac { 3 1 } { 5 4 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 9 } { 4 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 9 } { 2 } { u } _ { i } + \frac { 9 } { 4 } { u } _ { i + 1 } + \right. } \\ & { \left. \frac { 1 5 } { 2 } { v } _ { i - 1 } - \frac { 1 5 } { 2 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 7 0 } { 9 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 7 0 } { 9 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 2 0 0 } { 9 } { v } _ { i - 1 } + \frac { 1 2 8 0 } { 9 } { v } _ { i } + \frac { 2 0 0 } { 9 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + } \\ & { \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { 5 } { 2 } { u } _ { i - 1 } - 5 { u } _ { i } + \frac { 5 } { 2 } { u } _ { i + 1 } + 9 { v } _ { i - 1 } - 9 { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { 1 7 5 } { 1 8 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 1 7 5 } { 1 8 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 2 7 7 } { 9 } { v } _ { i - 1 } + \right. } \\ & { \left. \frac { 1 5 4 6 } { 9 } { v } _ { i } + \frac { 2 7 7 } { 9 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 8 0 } \left( \frac { 9 5 } { 1 8 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 9 5 } { 1 8 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 1 5 5 } { 9 } { v } _ { i - 1 } + \frac { 8 3 0 } { 9 } { v } _ { i } + \frac { 1 5 5 } { 9 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + } \\ & { \frac { 1 0 9 3 4 1 } { 1 7 5 } \left( \frac { 5 } { 8 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 5 } { 4 } { u } _ { i } + \frac { 5 } { 8 } { u } _ { i + 1 } + \frac { 1 5 } { 4 } { v } _ { i - 1 } - \frac { 1 5 } { 4 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 7 5 5 3 9 3 3 } { 1 7 6 4 } \left( \frac { 3 5 } { 3 6 } { u } _ { i - 1 } - \frac { 3 5 } { 3 6 } { u } _ { i + 1 } + \right. } \\ & { \left. \frac { 7 7 } { 1 8 } { v } _ { i - 1 } + \frac { 1 3 3 } { 9 } { v } _ { i } + \frac { 7 7 } { 1 8 } { v } _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } , } \\ { \beta _ { 1 } = } & { 1 4 4 v _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 3 } ( u _ { i - 1 } - u _ { i } + 1 2 v _ { i } ) ^ { 2 } , } \\ { \beta _ { 2 } = } & { 1 4 4 v _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 3 } { 3 } ( u _ { i } - u _ { i + 1 } + 1 2 v _ { i } ) ^ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
| \tilde { A } { } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rangle \propto | \tilde { A } { } ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { \mu } | \mu { } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { ( + ) } ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { \kappa } | \kappa { } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { ( - ) } ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } + c _ { B } | \tilde { B } { } ^ { 2 } \Pi ( 0 1 0 ) \rangle _ { 0 } .
\varphi _ { f } ( t ; \sigma , \gamma , \mu _ { \mathrm { G } } , \mu _ { \mathrm { L } } ) = e ^ { i ( \mu _ { \mathrm { G } } + \mu _ { \mathrm { L } } ) t - \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } / 2 - \gamma | t | } .
\overline { { f } } \left( \mathcal { B } , \overline { { \mathcal { B } } } \right) > \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { s , n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 3 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 3 } { \sqrt { l _ { n } } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s } , } \\ { \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } } - \frac { 3 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 3 } { \sqrt { l _ { n } } } , } & { \mathrm { i f ~ } [ w ] _ { s ( n ) + 1 } \neq [ \overline { { w } } ] _ { s ( n ) + 1 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 p _ { n + 1 } } \cdot \left( \beta _ { n } ^ { c } - \frac { 1 } { R _ { n } ^ { c } } - \frac { 2 } { \sqrt { l _ { n } } } \right) - \frac { 1 } { R _ { n + 1 } } - \frac { 1 } { \sqrt { l _ { n } } } , } & { \mathrm { i f ~ } w \neq \overline { { w } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \overline { { \boldsymbol { x } } } _ { p } } { \mathrm { d } t } + \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { d } t } } & { = \overline { { \boldsymbol u } } _ { p } + \boldsymbol u _ { p } ^ { \prime } , } \\ { \frac { \mathrm { d } \overline { { \boldsymbol { u } } } _ { p } } { \mathrm { d } t } + \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { u } _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 1 } { S t } \left( \overline { { f } } _ { 1 } + f _ { 1 } ^ { \prime } \right) \left( \overline { { \boldsymbol u } } + \boldsymbol u ^ { \prime } - \overline { { \boldsymbol u } } - \boldsymbol u ^ { \prime } \right) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \overline { T } _ { p } } { \mathrm { d } t } + \frac { \mathrm { d } T _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { 2 c _ { r } } { 3 P r S t } \left( \overline { { f } } _ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \right) \left( \overline { { T } } + T ^ { \prime } - \overline { { T } } _ { p } - T _ { p } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P } & { = } & { \| \overline { { \boldsymbol { e } _ { i } } } \| , } \\ { M } & { = } & { \| \overline { { \boldsymbol { y } _ { i } \times \boldsymbol { e } _ { i } } } \| , } \\ { S } & { = } & { \left( \overline { { \| \boldsymbol { x } _ { i } - \overline { { \boldsymbol { x } _ { i } } } \| ^ { 2 } } } / a ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \; = \; } & { { } \kappa \pi _ { \rho } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { { } [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) \pi _ { \rho } ^ { * } } \end{array}
\frac { \partial t _ { s } } { \partial t _ { c } } = \alpha \frac { \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) \Bigg ] } { V ^ { ' } ( t _ { s } ) } ~ ,
\mathcal { D } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } \hat { w } _ { n - 1 } ^ { ( p ) } ( x _ { n } ) = \mathcal { D } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } \hat { w } _ { n } ^ { ( p ) } ( x _ { n } ) - \hat { F } _ { n } ^ { ( p ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } ( t _ { n } , \tau _ { n } ) = } & { q _ { 1 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } } \\ & { + q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) ( \frac { \hbar \omega } { U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } ( \nu ) } & { = \mathbf E _ { 0 \leq i \leq n } \left( H _ { m _ { \varepsilon } ^ { \prime } } ( \nu ^ { x , i } ) \right) + O \left( \frac { m _ { \varepsilon } ^ { \prime } + \log R } { n } \right) } \\ & { \leq 3 \sqrt { \varepsilon ^ { \prime } } O ( 1 ) + ( 1 - 3 \sqrt { \varepsilon ^ { \prime } } ) O ( 1 / m _ { \varepsilon } ^ { \prime } ) + O \left( \frac { m _ { \varepsilon } ^ { \prime } + \log R } { n } \right) } \\ & { = 3 \sqrt { \varepsilon ^ { \prime } } O ( 1 ) + ( 1 - 3 \sqrt { \varepsilon ^ { \prime } } ) O \left( \frac { 1 } { \log ( 1 / \varepsilon ^ { \prime } ) } \right) + O \left( \frac { \log ( 1 / \varepsilon ^ { \prime } ) + \log R } { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { n } } & { { } = \eta \cdot \nu _ { n - T } + O _ { n , \textrm { o F O V } } - O _ { n + 1 - T , \textrm { o F O V } } } \\ { O _ { n + 1 , \textrm { o F O V } } } & { { } = O _ { n , \textrm { o F O V } } + \eta \cdot \nu _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { R } ^ { - n } \left( \mu _ { \varepsilon } \left( \cup _ { x \in X _ { - } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 3 } } \right) + \mu _ { \varepsilon } \left( \cup _ { x \in X _ { + } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 3 } } ^ { t _ { 2 } } \right) \right) } \\ & { \leq \tilde { R } ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \tilde { R } + \mathrm { d i a m } ( X ) } ( x _ { 0 } ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) } \\ & { = \left( 1 + \frac { 1 } { \Gamma } \right) ^ { n } ( \tilde { R } + \mathrm { d i a m } ( X ) ) ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \tilde { R } + \mathrm { d i a m } ( X ) } ( x _ { 0 } ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { \Gamma } \right) ^ { n } \left( R ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { R } ( x _ { 0 } ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) + C R ^ { \gamma _ { 0 } } + 2 \omega \right) } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { \Gamma } \right) ^ { n } \left( R ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } ( \cup _ { x \in X } B _ { R } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) \right) + C R ^ { \gamma _ { 0 } } + 2 \omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \textrm { F F } } ( R , \theta , \phi ) = ( E _ { \textrm { F F } , \theta } ^ { * } H _ { \textrm { F F } , \phi } - E _ { \textrm { F F } , \phi } ^ { * } H _ { \textrm { F F } , \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus A } \hat { p } _ { D } ( s , x , w ) \hat { \nu } ( w , z ) p _ { D } ( t - s , z , y _ { n } ) \, d z \, d w \, d s } \\ { \to \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus A } \hat { p } _ { D } ( s , x , w ) \hat { \nu } ( w , z ) p _ { D } ( t - s , z , y ) \, d z \, d w \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t } ^ { * } Y ) ( p ) } & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = t _ { 0 } } ( ( H _ { t - t _ { 0 } } \circ H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } Y ) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = t _ { 0 } } \left( H _ { t _ { 0 } } ^ { * } ( H _ { t - t _ { 0 } } ^ { * } Y ) \right) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { s = 0 } \left( H _ { t _ { 0 } } ^ { * } ( H _ { s } ^ { * } Y ) \right) ( p ) } \\ & { = D ( H _ { - t _ { 0 } } ) \left( \frac { d } { d s } \bigg \vert _ { s = 0 } ( H _ { s } ^ { * } Y ) ( p ) \right) } \\ & { = D ( H _ { - t _ { 0 } } ) ( [ X , Y ] ( p ) ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } } & { \overset { \mathrm { ( i ) } } { \leq } \frac { G ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } ^ { 2 } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \left( Y \right) \right\Vert \right] } { c ^ { 2 } } \overset { \mathrm { ( i i ) } } { \leq } \frac { G ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \left\Vert \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \left( Y \right) \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
u = \tilde { u } _ { e } + u _ { s } , \; \tilde { u } _ { e } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { u } } \tilde { u } _ { n } , \; \tilde { u } _ { n } : = \epsilon _ { n } \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ^ { 2 } \left[ k _ { n } ( x - v _ { n } t ) \right]
\begin{array} { r l } & { \left\| { \mathbb { E } \left[ \sum _ { k \neq j } ( A _ { j k } - p ) ^ { 2 } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } \Bigg | \Delta ^ { ( j ) } \right] } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { = p ( 1 - p ) \left\| { \sum _ { k \neq j } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq p ( 1 - p ) \left\| { \, \left[ { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } ^ { \top } \, \cdots \, { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } ^ { \top } \right] \left[ \begin{array} { l l l } { { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } ^ { \top } } & & \\ & { \cdots } & \\ & & { { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } ^ { \top } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } \\ { \vdots } \\ { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } \end{array} \right] } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq p ( 1 - p ) \left\| { \left[ \begin{array} { l l l } { { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } { \Delta _ { 1 } ^ { ( j ) } } ^ { \top } } & & \\ & { \cdots } & \\ & & { { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } { \Delta _ { n } ^ { ( j ) } } ^ { \top } } \end{array} \right] } \right\| _ { \mathrm { o p } } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } } \\ & { = p ( 1 - p ) \left( \operatorname* { m a x } _ { k \in [ n ] } \left\| { \Delta _ { k } ^ { ( j ) } { \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } ^ { \top } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } } \\ & { \leq p ( 1 - p ) \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } ^ { 2 } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | T ( z ^ { \hat { k } } ) | } & { \le \binom { n } { \hat { k } } | A _ { \tilde { \epsilon } } ^ { ( n - \hat { k } ) } ( X ) | } \\ & { \le 2 ^ { n H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) } | A _ { \tilde { \epsilon } } ^ { ( n - \hat { k } ) } ( X ) | } \\ & { \le 2 ^ { n H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) } 2 ^ { ( n - \hat { k } ) ( H ( X ) + \tilde { \epsilon } ) } } \\ & { = 2 ^ { n \left[ H _ { b } ( \frac { \hat { k } } { n } ) + ( 1 - \frac { \hat { k } } { n } ) ( H ( X ) + \tilde { \epsilon } ) \right] } } \end{array}
\hat { h } _ { i , j } = \frac { 1 } { 2 } m _ { y } ( \hat { h } _ { i , j + 1 } + \hat { h } _ { i , j - 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } m _ { x } ( \hat { h } _ { i + 1 , j } + \hat { h } _ { i - 1 , j } ) + \frac { \hat { \varepsilon } _ { i , j } } { \sqrt { 2 } } ,
\xi ( w ) = \frac { 1 } { I _ { H H } } \cdot \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \tau } { W } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \phi _ { H } ^ { 2 } ( \tilde { z } _ { W } ) \biggl [ a ( \tilde { z } _ { W } ) + \sqrt { u / W } b ( \tilde { z } _ { W } ) \biggr ]