harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\epsilon _ { \gamma } ^ { \mathrm { M C , c o r r } } ( p _ { \mathrm { T } } ) = \frac { \sum _ { i } W _ { i } \times \mathrm { d } N _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { r e c , M C } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } N _ { \gamma } ^ { \mathrm { p r o d } } / \mathrm { d } p _ { \mathrm { T } } } ,
\sigma _ { \mathrm { D i c k } } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { 1 } { \tau } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \bigg ( \frac { g _ { m } ^ { c 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { g _ { m } ^ { s 2 } } { g _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ) S _ { \mathrm { L O } } ^ { f } ( m / T _ { c } ) ,
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } = } & { { } \ b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } \left( b _ { 1 1 n } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 1 } \\ { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } = } & { { } \ b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \left( b _ { 2 0 n } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } n \geqslant 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { I I } ^ { p } } & { = \left\{ \bigoplus _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathcal { V } _ { i } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { i } \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { j \in \mathcal { J } } \mathcal { E } _ { j } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { j } \right\} \oplus \left\{ \bigoplus _ { k \in \mathcal { K } } \mathcal { F } _ { k } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { k } \right\} \oplus \{ \mathcal { C } _ { 1 2 3 4 } ^ { p } \otimes \mathcal { T } _ { 1 2 3 4 } \} \, , } \\ { \mathcal { J } } & { = \{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) \} \, , \qquad \mathcal { K } = \{ ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 ) \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { v a r } } ( U _ { n , q } ) = } & { ( P _ { q } ^ { n } ) ^ { - 2 } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } , \ldots , i _ { q } \le n } ^ { * } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } , \ldots , j _ { q } \le n } ^ { * } \mathbb { E } \left[ \, \prod _ { c = 1 } ^ { q } y _ { i _ { c } , l _ { 1 } } y _ { j _ { c } , l _ { 2 } } \right] } \\ { = } & { ( P _ { q } ^ { n } ) ^ { - 2 } q ! \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } , \ldots , i _ { q } \le n } ^ { * } \prod _ { c = 1 } ^ { q } \mathbb { E } [ y _ { i _ { c } , l _ { 1 } } y _ { i _ { c } , l _ { 2 } } ] } \\ { \asymp } & { q ! n ^ { - q } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sigma _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } } ^ { q } = q ! n ^ { - q } \| \Sigma \| _ { q } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \overline { I } , C ^ { 0 , \vartheta } ( \overline { \Omega } ) ) \supset \mathcal { E } } & { \to \mathcal { L } \bigl ( \mathbb { W } ^ { 1 , r } ( I , ( X _ { \theta } , Y _ { \theta } ) ) , L ^ { r } ( I , X _ { \theta } ) \times ( X _ { \theta } , Y _ { \theta } ) _ { 1 / r ^ { \prime } , r } \bigr ) , } \\ { \eta } & { \mapsto ( \partial - \nabla \cdot \eta \mu \nabla + 1 , \gamma _ { 0 } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( { \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 3 } } } } & { = - { \frac { x _ { 1 } } { 1 - x _ { 2 } } } } \\ { \left( { \frac { \partial x _ { 3 } } { \partial x _ { 2 } } } \right) _ { \frac { x _ { 1 } } { x _ { 3 } } } } & { = - { \frac { x _ { 3 } } { 1 - x _ { 2 } } } } \end{array} }
J = \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \mathcal { L } _ { H } \left( y ^ { ( i ) } , f _ { \theta } ( x ^ { ( i ) } ) \right) + \alpha | | D f _ { \theta } ( x ^ { ( i ) } ) | | _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } } & { = \pi _ { 2 } - ( 1 - p ) \pi _ { 3 } } \\ & { = \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 2 } \pi _ { m } + \frac { p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } - ( 1 - p ) \left( \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 3 } \pi _ { m } + \frac { p } { 2 p - 1 } \pi _ { m } \right) } \\ & { = ( 1 - p ) \frac { p - 1 } { 2 p - 1 } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 2 } \pi _ { m } + \frac { p ^ { 2 } } { 2 p - 1 } \pi _ { m } . } \end{array}
1 + { \frac { 2 G _ { N } M _ { A D M } } { \pi r ^ { 2 } } } + \cdots = { \frac { 1 } { 3 } } \Big ( h _ { I } Y _ { \infty } ^ { I } + { \frac { h _ { I } \beta ^ { I } + Y _ { \infty } ^ { I } q _ { I } } { r ^ { 2 } } } + \cdots \Big )
i s \emph { n o t } a p h y s i c a l t r a n s f e r f u n c t i o n ( T F ) s i n c e i t d o e s n o t c o r r e s p o n d t o a r e a l - v a l u e d c o n v o l u t i o n k e r n e l i n t h e t i m e d o m a i n ,
\begin{array} { r l } { \bar { w } \approx } & { { } \frac { 1 } { \hat { Z } _ { p } } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \right) } \\ { = } & { { } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { { q } _ { \theta } ( \phi _ { j } ) } { e ^ { - S ( \phi _ { j } ) } } \right) \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } { { q } _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } \right) \equiv \hat { w } \, , } \end{array}
K _ { 1 x } = k _ { 1 x } - k _ { s 1 x } - k _ { L c } = ( k _ { 0 x } - \delta k _ { 0 x } ) - ( k _ { s 0 x } - \delta k _ { s 0 x } ) - k _ { L c } = K _ { 0 x } + \delta K _ { 0 x }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( c _ { \lambda } y ) ^ { \gamma _ { \lambda } x } } { \Gamma ( \gamma _ { \lambda } x ) } \frac { e ^ { - c _ { \tau } x } } { x } d x } & { = \gamma _ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - x [ c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) ] } } { \Gamma ( \gamma _ { \lambda } x + 1 ) } d x \geq \gamma _ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { \lambda } } } e ^ { - x [ c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) ] } d x } \\ & { = \gamma _ { \lambda } \frac { 1 - e ^ { - ( c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) ) / { \gamma _ { \lambda } } } } { c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) } = \frac { 1 - e ^ { - c _ { \tau } / \gamma _ { \lambda } } ( c _ { \lambda } y ) } { c _ { \tau } - \gamma _ { \lambda } \log ( c _ { \lambda } y ) } , } \end{array}
I _ { s p } = \int _ { M } d ^ { 4 } x \ \left[ \overline { { { \psi } } } _ { + } \gamma ^ { \mu } \left( \partial _ { \mu } + A _ { \mu } \right) \psi _ { + } + \overline { { { \psi } } } _ { + } \gamma ^ { \mu } \sigma _ { \mu } \psi _ { + } + \left( \mathrm { t e r m s ~ w i t h ~ ~ } + \rightarrow - \right) \right] .
\begin{array} { r l } { w _ { H , x } } & { = \frac { 1 } { n } \int u _ { x } f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } ; } \\ { s _ { H , x } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { n } \int ( u _ { x } - w _ { H , x } ) ^ { 2 } f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { s _ { H , r } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 n } \int ( u _ { y } ^ { 2 } + u _ { z } ^ { 2 } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } \langle \delta n _ { i } ( \tau ) \delta n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = R _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) + C _ { i } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \tau ^ { \prime } < \tau } \end{array}
| X _ { P } | \leq \left( 2 \left\lceil \frac { 2 \sqrt { C ^ { \prime } q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } } { \epsilon _ { 1 } } \right\rceil + 1 \right) ^ { q ( b _ { d } + c _ { d } \delta _ { 1 } ^ { d } ) } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \gamma ^ { u } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { u } + \gamma ^ { h } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { h } + \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { p } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { F } _ { ( 0 ) } ^ { T } , } \\ { 0 } & { = \gamma ^ { u } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { u } + \gamma ^ { h } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { h } + \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { p } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { G } _ { ( 0 ) } ^ { T } , } \end{array}
T ( B , A ; \tau ) \equiv \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma W ^ { - 1 } B _ { \mu \nu } W \frac { \partial x ^ { \mu } } { \partial \sigma } \frac { \partial x ^ { \nu } } { \partial \tau } = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma W ^ { - 1 } B _ { \mu \nu } W \frac { \partial ( x ^ { \mu } , x ^ { \nu } ) } { \partial ( \sigma , \tau ) }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \, \frac { \mathrm { d } r } { \mathrm { d } \theta } = } & { { } \frac { ( 1 - \alpha \cos \theta ) } { \alpha \sin \theta } } \\ { = } & { { } - \cot \theta + \frac { 1 } { \alpha \sin \theta } . } \end{array}
\zeta ( w ) = \frac { 1 - w ^ { - 1 } } { 1 - ( ( 1 - \vartheta ) w ^ { c } + \vartheta w ^ { - 1 } ) } \times \frac { 1 } { - \gamma } , \: \: \: \: \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \: \: \: \gamma : = \operatorname* { l i m } _ { f \downarrow 0 } \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } f } \varrho [ f ] .
\begin{array} { r } { ( \Delta _ { \alpha } \frac { w } { \alpha } , \alpha \varphi ) = \int _ { M } \frac { w } { \alpha } \Delta _ { \alpha } \frac { \varphi } { \alpha } \alpha ^ { 2 } \, \mathrm { d v } = \int _ { M } \frac { w } { \alpha } \alpha ^ { 2 } \frac { \mathcal { L } \varphi } { \alpha } \, \mathrm { d v } = \int _ { M } w \mathcal { L } \varphi \, \mathrm { d v } = ( \mathcal { L } w , \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { K } \mathrm { - l e n g t h ~ } ( \gamma ) } & { \geq 2 \log \left( \frac { L ( \gamma ) ^ { m } + \delta ( x ) \vee \delta ( y ) } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } \right) - C } \\ & { \geq 2 \log \left( \frac { | x - y | ^ { m } + \delta ( x ) \vee \delta ( y ) } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } \right) - C . } \end{array}
\frac { a _ { o } ^ { \prime } } { a _ { o } } \left( \frac { a _ { o } ^ { \prime } } { a _ { o } } + \frac { n _ { o } ^ { \prime } } { n _ { o } } \right) - \frac { b _ { o } ^ { 2 } } { n _ { o } ^ { 2 } } \left( \frac { \dot { a } _ { o } } { a _ { o } } \left( \frac { \dot { a } _ { o } } { a _ { o } } - \frac { \dot { n } _ { o } } { n _ { o } } \right) + \frac { \ddot { a } _ { o } } { a _ { o } } \right) - k \frac { b _ { o } ^ { 2 } } { a _ { o } ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 6 M ^ { 3 } } \Lambda b _ { o } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 M ^ { 3 } } T _ { 5 5 } ,
2 D _ { M } \left( \frac { 1 } { \sqrt { G } } \frac { \delta S _ { b u l k } } { \delta G _ { M N } } \right) - \frac { 1 } { \sqrt { G } } \frac { \delta S _ { b u l k } } { \delta \chi } \partial ^ { N } \chi = 0 .
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + { \boldsymbol { \omega } } \times - ( \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) ) ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + { \boldsymbol { \omega } } \times \{ 0 - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) \} ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + { \boldsymbol { \omega } } \times \{ [ { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ] - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) \} ] \; \ldots \; { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) = 0 } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + { \boldsymbol { \omega } } \times \{ [ { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) - \Delta \mathbf { r } _ { i } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) ] - { \boldsymbol { \omega } } ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \} ] \; \ldots { \mathrm { ~ a d d i t i o n ~ a s s o c i a t i v i t y } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ( 2 n ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } } } \\ & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } } } \\ & { = \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } } \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } - q \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \psi ^ { \prime } ( t ) = } & { { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r \, t } K ( r ) \, d r } = { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r t } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r u } \rho ( u ) \, d u \right) d r } } \\ & { = { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r u } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r t } \, d r \right) \rho ( u ) \, d u } } \\ & { = { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - r ( t + u ) } \, d \tau \right) \, \rho ( u ) \, d u } = { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \rho ( u ) } { t + u } d u } , } \end{array}
G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \lambda , \vec { r } _ { 1 } , z _ { 1 } , \vec { r } _ { 3 } , z _ { 3 } ) = \frac { \lambda } { 2 } \int d ^ { d - 1 } r _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { L } d z _ { 2 } G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } _ { 1 } - \vec { r } _ { 2 } ; z _ { 1 } , z _ { 2 } ) G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { 0 } , z _ { 2 } ) G _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } _ { 3 } ; z _ { 2 } , z _ { 3 } ) .
A L - A l - A \left( L - l \right) \equiv 0 , \quad \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \quad \frac { \frac { k } { 2 } L ^ { 2 } } { \frac { k } { A } L } - \frac { \frac { k } { 2 } l ^ { 2 } } { \frac { k } { A } l } - \frac { \frac { k } { 2 } \left( L - l \right) ^ { 2 } } { \frac { k } { A } \left( L - l \right) } \equiv 0 ,
\frac { d } { d t } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } c ( t ) \, p _ { i } ^ { 2 } + V \right] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { c } ( t ) \, p _ { i } ^ { 2 } - \frac { \partial V } { \partial t } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } & { \tilde { x } = \frac { 1 2 n + 8 } { 8 n + 1 6 } x - \frac { 4 n - 3 } { 8 n + 1 6 } y \leq \frac { n + 5 } { n + 8 } x < 0 } \\ & { \tilde { x } = \frac { 1 2 n + 8 } { 8 n + 1 6 } x - \frac { 4 n - 3 } { 8 n + 1 6 } y \geq \frac { 8 n + 1 1 } { 8 n + 1 6 } x \geq x = \tilde { y } } \\ & { 2 \tilde { x } = \frac { 1 2 n + 8 } { 8 n + 1 6 } 2 x - \frac { 8 n - 6 } { 8 n + 1 6 } y \leq \frac { 8 n + 2 8 } { 8 n + 1 6 } x \leq x = \tilde { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \phi _ { u } ( s ) } & { = \frac { d f ( u ) } { \sqrt { \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { d F _ { s } ( u ) \cdot \nabla ^ { 2 } f ( u , u ) } { ( \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { s } \phi _ { u } ( s ) - \frac { 1 } { s } \frac { d F ( u ) } { \sqrt { \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { d F _ { s } ( u ) \cdot \nabla ^ { 2 } f ( u , u ) } { ( \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 s } \phi _ { u } ( s ) - \frac { 1 } { s } \frac { d F ( u ) } { \sqrt { \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) } } + \frac { 1 } { 2 s } \frac { d F _ { s } ( u ) \cdot \nabla ^ { 2 } F ( u , u ) } { ( \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 s } \phi _ { u } ( s ) \left( 1 + \frac { \nabla ^ { 2 } F ( u , u ) } { \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) } \right) - \frac { 1 } { s } \frac { d F ( u ) } { \sqrt { \nabla ^ { 2 } F _ { s } ( u , u ) } } . } \end{array}
Q _ { V ^ { * } } ( u _ { 2 } , u _ { j } ) = \mathsf { d e t } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { d _ { j - 1 , 0 } + d _ { j - 2 , 0 } } \end{array} \right] + \mathsf { d e t } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { d _ { j - 2 , 0 } + d _ { j - 3 , 0 } } & { d _ { j - 2 , 1 } + d _ { j - 3 , 1 } } \end{array} \right] = 4 j - 1 0 .
a ^ { 1 2 } + 1 5 a ^ { 8 } c ^ { 4 } + 2 4 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c + 1 4 4 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 2 } + 3 2 a ^ { 6 } c ^ { 6 } + 3 8 4 a ^ { 5 } b ^ { 6 } c + 1 6 8 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 7 2 a ^ { 4 } b ^ { 8 } + 2 8 8 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 1 5 a ^ { 4 } c ^ { 8 } + 1 9 2 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c + 1 2 8 0 a ^ { 3 } b ^ { 6 } c ^ { 3 } + 1 6 8 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 4 3 2 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 1 4 4 a ^ { 2 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 1 9 2 a b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 3 8 4 a b ^ { 6 } c ^ { 5 } + 2 4 a b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 6 4 b ^ { 1 2 } + 7 2 b ^ { 8 } c ^ { 4 } + c ^ { 1 2 }
\begin{array} { r l } { \Psi ( [ x , y ] , \phi ( z ) ) = } & { \Psi ( x \cdot y - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } y \cdot x , \phi ( z ) ) } \\ { = } & { \Psi ( x \cdot y , \phi ( z ) ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \Psi ( y \cdot x , \phi ( z ) ) } \\ { = } & { \Psi ( x , y \cdot \phi ( z ) ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | z | ( | x | + | y | ) } \Psi ( \phi ( z ) , y \cdot x ) ) } \\ { = } & { \Psi ( \phi ( x ) , y \cdot z ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | + | z | ( | x | + | y | ) } \Psi ( z \cdot y , \phi ( x ) ) } \\ { = } & { \Psi ( \phi ( x ) , y \cdot z ) - ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \Psi ( \phi ( x ) , z \cdot y ) ) } \\ { = } & { \Psi ( \phi ( x ) , y \cdot z - ( - 1 ) ^ { | z | | y | } z \cdot y ) } \\ { = } & { \Psi ( \phi ( x ) , [ y , z ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { p H } ( r \leq R ) = - \log _ { 1 0 } { [ \textrm { H } ^ { + } ] _ { 0 } } + \beta e _ { 0 } ~ \log _ { 1 0 } { e } ~ A \frac { \sinh ( \kappa _ { D } r ) } { r } , } \end{array}
{ \frac { m } { \sqrt { 2 } } } \, \Xi = \operatorname * { l i m } _ { | z | \rightarrow \infty } \left\lbrace \left( \begin{array} { l } { { ( \tau + 1 - \epsilon _ { z } ) \sqrt { 2 z } } } \\ { { \sqrt { 2 z } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { { a _ { D } ( z , \tau , m ) } } \\ { { a ( z , \tau , m ) } } \end{array} \right) \right\rbrace \cdotp
\begin{array} { r l } { \Delta R _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ o ~ t ~ b ~ a ~ l ~ l ~ } } ( t ) } & { { } : = \sum _ { m } ( \Delta R _ { \mathrm { m a t c h } , m } + \Delta R _ { \mathrm { s t a d i u m } , m } ) \cdot \delta ( t _ { m } - t ) . } \end{array}
\sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times { \mathbf { P } } _ { \alpha } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } \bar { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times \bar { \mathbf { P } } _ { \alpha } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } & { = \frac { \chi } { 2 } \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } \Big | _ { s = 0 } ^ { s = 1 } } \\ & { = - \frac { \chi } { 2 } \, \left( \vartheta _ { \mathrm { o u t l e t } } ^ { ( r ) } - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\hat { T _ { n } } = T _ { n } / T ^ { \mathrm { c o n } } ~ , ~ ~ ~ \hat { F _ { 1 } } = F _ { 1 } / T ^ { \mathrm { c o n } } ~ , ~ ~ ~ \hat { Q _ { 1 } } = Q _ { 1 } / \left( D _ { 1 } c _ { 1 } ^ { \mathrm { o u t } } / l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ~ , ~ ~ ~ \hat { Q _ { 2 } } = Q _ { 2 } / \left( D _ { 2 } c _ { 2 } ^ { \mathrm { o u t } } / l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ,
\left( { \frac { \dot { G } } { G H } } \right) _ { 0 } = - 2 \left[ \omega \tan \theta _ { 0 } + { \frac { 3 } { 4 } } \right] ( \beta _ { 3 } F _ { t } ( \kappa , Z _ { 0 } ) \Delta \varphi ) ^ { 2 } \ .
\mathbb { P } ( \boldsymbol { \vartheta } | \mathcal { D } , \mathbb { M } ) = \frac { \mathbb { P } ( \mathcal { D } | \boldsymbol { \vartheta } , \mathbb { M } ) \mathbb { P } ( \boldsymbol { \vartheta } | \mathbb { M } ) } { \mathbb { P } ( \mathcal { D } | \mathbb { M } ) } ,
{ \frac { I _ { \mathrm { S t o k e s } } } { I _ { \mathrm { a n t i - S t o k e s } } } } = { \frac { ( { \tilde { \nu } } _ { 0 } - { \tilde { \nu } } _ { M } ) ^ { 4 } } { ( { \tilde { \nu } } _ { 0 } + { \tilde { \nu } } _ { M } ) ^ { 4 } } } \exp \left( { \frac { h c \, { \tilde { \nu } } _ { M } } { k _ { B } T } } \right)
f _ { y } ( T ) = \frac { | y _ { 0 } - a _ { y } | \gamma _ { s } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { T ^ { \gamma _ { s } / 2 + 1 } } , \quad T > T _ { \Delta } = 2 ^ { - \frac { 1 } { \gamma _ { s } } } | y _ { 0 } - a _ { y } | ^ { \frac { 2 } { \gamma _ { s } } } .
\left| \left( ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { 0 } ^ { \omega } \omega \widetilde { f } _ { 0 } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \right) \widehat { w } _ { { m ^ { \prime \prime } } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \right| \lesssim | m ^ { \prime \prime } \widehat { w } _ { m ^ { \prime \prime } } ^ { \omega ^ { \prime \prime } } | \big | v { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \big | \, .
\phi _ { P } = \arctan \left[ \frac { ( m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 m _ { K } ^ { 2 } + m _ { \pi } ^ { 2 } ) ( m _ { \eta } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) } { ( 2 m _ { K } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } ) ( m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) } \right] ^ { 1 / 2 } = 4 1 . 9 ^ { o } .
Y _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { r } } ^ { \prime } = \sigma a _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } a _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } \cdots a _ { i _ { r } j _ { r } } Y _ { j _ { i } j _ { 2 } \cdots j _ { r } } ,
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } { { 0 \! \! \! } } & { { \! \stackrel { } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega ^ { 0 } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { 0 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \cdots \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k - 2 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega ^ { k - 1 } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k - 1 } } { \longrightarrow } \! \! \! } } & { { \! \! \Omega ^ { k } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k } ^ { * } } { \longleftarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega ^ { k + 1 } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { k + 1 } ^ { * } } { \longleftarrow } \! \! \! } } & { { \! \cdots \! \! \! } } & { { \! \stackrel { d _ { n - 1 } ^ { * } } { \longleftarrow } \! \! \! } } & { { \! \Omega ^ { n } \! \! \! } } & { { \! \stackrel { } { \longleftarrow } \! \! \! } } & { { \! 0 . } } \end{array}