harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta _ { H ^ { \prime } } ( x _ { V ^ { \prime } } ) = \prod _ { i \in V ^ { \prime } } ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal { H } ^ { \prime } } ( x _ { V ^ { \prime } } ) ) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \Delta _ { H ^ { \prime \prime } } ( x _ { V ^ { \prime \prime } } ) = \prod _ { i \in V ^ { \prime \prime } } ( 1 - u _ { i } ^ { \mathcal { H } ^ { \prime \prime } } ( x _ { V ^ { \prime \prime } } ) ) .
\rho _ { c } ( q , p ) = \| \Upsilon ( q , p ) \| ^ { 2 } - \operatorname { d i v } ( \| \Upsilon ( q , p ) \| ^ { 2 } \mathbb { J } \boldsymbol { \cal A } ( q , p ) ) + \hbar \operatorname { I m } \{ \Upsilon ^ { \dagger } ( q , p ) , \Upsilon ( q , p ) \} \, .
\Delta _ { y } \quad \langle \underline { { \partial } } _ { x } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle \quad \Delta _ { x } \quad \langle \underline { { \partial } } _ { y } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle \quad \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle + \langle \underline { { \partial } } _ { x } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle \quad \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle \quad \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle + \Delta _ { z } \ .
\begin{array} { r l } { { \Lambda \sqrt { \sigma _ { r , 3 } } = } } & { { \omega _ { r , 0 } - i \gamma _ { r , 0 } = \Lambda \sqrt { \sigma _ { r , 1 } ^ { * } } \, , } } \\ { { \varrho _ { r , 2 } i ^ { - \frac { 3 } { 2 } } ( \sigma _ { r , 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } = } } & { { \chi _ { r , 0 } \, e ^ { - i \varphi _ { r , 0 } } = \left[ \varrho _ { r , 0 } i ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( \sigma _ { r , 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right] ^ { * } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 \right) = - \cos \left( x _ { 1 } \right) \sin \left( x _ { 2 } \right) } \\ & { u _ { 2 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 \right) = \sin \left( x _ { 1 } \right) \cos \left( x _ { 2 } \right) } \\ & { p \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 \right) = - 0 . 2 5 \left( \cos \left( 2 x _ { 1 } \right) + \cos \left( 2 x _ { 2 } \right) \right) } \end{array}
{ \begin{array} { l c l c l } { \mathbf { c } } & { = } & { ( c _ { 1 } , \ldots , c _ { K } ) } & { = } & { { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ o c c u r r e n c e s ~ o f ~ c a t e g o r y ~ } } i , { \mathrm { ~ s o ~ t h a t ~ } } c _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ x _ { j } = i ] } \\ { \mathbf { p } \mid \mathbb { X } , { \boldsymbol { \alpha } } } & { \sim } & { \operatorname { D i r } ( K , \mathbf { c } + { \boldsymbol { \alpha } } ) } & { = } & { \operatorname { D i r } ( K , c _ { 1 } + \alpha _ { 1 } , \ldots , c _ { K } + \alpha _ { K } ) } \end{array} }
\theta _ { x } \sim U ( - \frac { \pi } { u } , \frac { \pi } { u } ) , \theta _ { y } \sim U ( - \frac { \pi } { 2 u } , \frac { \pi } { 2 u } ) , \theta _ { z } \sim U ( - \frac { \pi } { u } , \frac { \pi } { u } )
\begin{array} { r l } { V _ { \alpha , n } ( S _ { 2 } ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { a } \{ C ( S _ { 2 } , a ) + \alpha \sum _ { S ^ { \prime } \in { \mathcal { S } } } P _ { a } ( S _ { 2 } , S ^ { \prime } ) V _ { \alpha , n - 1 } ( S ^ { \prime } ) \} } \\ { \geq } & { \operatorname* { m i n } _ { a } \{ C ( S _ { 1 } , a ) + \alpha \sum _ { S ^ { \prime } \in { \mathcal { S } } } P _ { a } ( S _ { 1 } , S ^ { \prime } ) V _ { \alpha , n - 1 } ( S ^ { \prime } ) \} } \\ { = } & { V _ { \alpha , n } ( S _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial c _ { \sigma } } } & { = 2 \langle \chi _ { \sigma } \mid \frac { \delta T _ { s } } { \delta \rho } + v _ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { r } ) + \frac { \delta J } { \delta \rho } + \frac { \delta E _ { \mathrm { x c } } } { \delta \rho } - \mu | \sum _ { \nu } c _ { \nu } \chi _ { \nu } \rangle \, . } \end{array}
\Omega _ { h } ^ { i j } ( X ) = \sum _ { w , { w ^ { \prime } } \in h } \mathrm { s i g n } ( w , { w ^ { \prime } } ) \left( X _ { w } ^ { i } X _ { w ^ { \prime } } ^ { j } - { \frac { 1 } { 3 } } \delta ^ { i j } X _ { w } ^ { k } X _ { w ^ { \prime } \, k } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { I } _ { k + 1 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le \left( 1 + 2 \delta _ { k } / \lambda _ { k } + T \beta _ { k } \mu _ { g } / 8 + 2 M \xi ^ { 2 } l _ { * , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \right) \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + O \left( \frac { \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \mu _ { g } T \beta _ { k } } \right) \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + O \left( \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 3 } } \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 2 } } \right) + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \cdot ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
| i \mathcal { M } | ^ { 2 } = 3 2 G _ { F } ^ { 2 } Q _ { W } ^ { 2 } F ^ { 2 } ( q ^ { 2 } ) ( g _ { L } ^ { \nu } ) ^ { 2 } M ^ { 2 } E _ { \nu } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { T } { E _ { \nu } } - \frac { M T } { 2 E _ { \nu } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma ) \leq \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } L I S ( \sigma | _ { n Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) \Big \} } \\ & { \leq } & { 2 \sqrt { n } \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big \} + C ^ { \prime } ( T ^ { - 4 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) } \\ & { } & { + C ^ { \prime } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \Big \} } \\ & { \leq } & { \sqrt { n } \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \Big \} } \\ & { } & { + \sqrt { n } \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { \rho _ { \theta } ( y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \Big \} } \\ & { } & { + C ^ { \prime } ( ( T ^ { - 1 \slash 2 } + \epsilon K _ { 0 } + K _ { 0 } ^ { - 1 } ) n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { 1 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) . } \end{array}
\mathbb E \left[ \boldsymbol { x } _ { t + 1 } \right] = \frac { N _ { t + 1 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { k } x _ { t } ^ { j } } \boldsymbol x _ { t } = \frac { N _ { t + 1 } } { N _ { t } } \boldsymbol x _ { t } ,
1 \sigma _ { g } ^ { 2 } \, 1 \sigma _ { u } ^ { 2 } \, 2 \sigma _ { g } ^ { 2 } \, 2 \sigma _ { u } ^ { 2 } \, 1 \pi _ { u } ^ { 4 } \, 3 \sigma _ { g } \; X \, ^ { 2 } \Sigma _ { g } ^ { + }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l } { S ^ { 2 } + 2 \mu Q } & { - \mu \theta E } \\ { - \mu \theta E } & { X ^ { 2 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { S ^ { 2 } } & { - \mu \theta E } \\ { - \mu \theta E } & { X ^ { 2 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 2 \mu Q } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
T _ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } ^ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } } T _ { c _ { 1 } \ldots c _ { m } } ^ { a _ { j } } = T _ { a _ { 1 } \ldots a _ { j - 1 } c _ { 1 } \ldots c _ { m } a _ { j + 1 } \ldots a _ { r } } ^ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } }
\mathcal { D } _ { ( \sqrt { t } - 1 ) ^ { 2 } } ^ { \mathcal { N } } \left( ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) ; ( X _ { 3 } , X _ { 4 } ) \right) / 2 = 1 - \frac { ( 1 + \rho _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } \left( ( \rho _ { 1 } - 2 \rho _ { 2 } + 1 ) ( \rho _ { 1 } + 2 \rho _ { 2 } + 1 ) \right) ^ { 1 / 4 } } { \left( ( 1 + \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) ( 1 + \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) \right) ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { \mathrm { ~ s ~ } } = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \nu _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 2 } } & { { } = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 3 } } & { { } = f \left( y _ { t + h / 2 } ^ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) = f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 1 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) } \\ { k _ { 4 } } & { { } = f \left( y _ { t + h } ^ { 3 } , \ t + h \right) = f \left( y _ { t } + h f \left( y _ { t } + { \frac { h } { 2 } } k _ { 2 } , \ t + { \frac { h } { 2 } } \right) , \ t + h \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { { } = 0 \, , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i k } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) ( \Delta G _ { l j } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) ) ^ { * } } } } & { { } = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, . } \end{array}
\widehat { H _ { 0 } } = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { 1 } { m } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } - \frac { \alpha } { r } + k r + \frac { \beta _ { V } } { 3 m ^ { 2 } r } ; } } & { { \sqrt { 8 } \frac { \beta _ { V } } { m ^ { 2 } r } ; } } \\ { { \sqrt { 8 } \frac { \beta _ { V } } { m ^ { 2 } r } ; } } & { { - \frac { 1 } { m } \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } - \frac { \alpha } { r } + k r + \frac { \beta _ { V } } { 3 m ^ { 2 } r } + \frac { 6 } { m r ^ { 2 } } - \frac { 2 \beta _ { V } } { m ^ { 2 } r } - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } ( \frac { 3 \beta _ { V } - \beta _ { S } } { r } ) ; } } \end{array} \right)
w _ { 1 } ( x | y ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { w _ { 0 } } e ^ { - { \frac { ( x - y ^ { \prime } / 2 ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } , \quad 0 < x < y \; , ^ { \prime } } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ s ~ i ~ d ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\Gamma _ { \mathrm { o p t } } = 2 g ^ { 2 } \kappa \bigg ( \frac { 1 } { ( \Omega _ { 0 } + \Delta _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( \Omega _ { 0 } - \Delta _ { \mathrm { p } } ) ^ { 2 } + ( \kappa / 2 ) ^ { 2 } } \bigg ) .
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \sum _ { m _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { m _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h ^ { \mathrm { t w o } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { m _ { 1 } } { a _ { 1 } } } x _ { 1 } } \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { m _ { 2 } } { a _ { 2 } } } x _ { 2 } }
G _ { 2 D } ^ { - } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) = - ( 2 \pi ) ^ { - 2 } \iint \frac { \exp ( i \boldsymbol { \alpha } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ) } { \alpha ^ { 2 } - k ^ { 2 } } \; d \boldsymbol { \alpha }
T ( y ) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { y - 0 . 0 8 } { 0 . 0 1 5 } \right) ^ { 2 } \right] + \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { y + 0 . 0 8 } { 0 . 0 1 5 } \right) ^ { 2 } \right] .
D ^ { \mu \nu \lambda \sigma } ( x - y ) = 1 6 \pi G \left( \eta ^ { \mu \lambda } \eta ^ { \nu \sigma } + \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \lambda } - { \frac { 2 } { d - 2 } } \eta ^ { \mu \nu } \eta ^ { \lambda \sigma } \right) \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } { \frac { e ^ { i k \cdot ( x - y ) } } { - k ^ { 2 } } } \, .
\left\Vert \mathbf { \Phi } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { S S } } \right\Vert _ { 2 } \leq \mathcal { C } _ { \mathrm { S } } \triangleq | \alpha _ { \mathrm { ~ S ~ } } | \ \underset { i \in [ \eta + 1 , \eta + N _ { \mathrm { ~ S ~ } } ] } { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \, \sum _ { \substack { j \in [ \eta + 1 , \eta + N _ { \mathrm { ~ S ~ } } ] \, j \neq i } } | G _ { i j } | ,
\ln L = - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \ln ( | { \boldsymbol { \Sigma } } | \, ) + ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - { \boldsymbol { \mu } } ) + k \ln ( 2 \pi ) \right]
\begin{array} { r l } { ( \omega - \omega _ { m } + i \eta _ { m } ) m ^ { + } } & { { } = \Omega u ^ { + } / 2 + \kappa h ^ { + } , } \\ { ( \omega - \omega _ { a } + i \eta _ { a } ) u ^ { + } } & { { } = \Omega m ^ { + } / 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( - 1 , \frac { 1 } { 2 3 9 } , 4 , \frac { 1 } { 5 } \right) , \ \left( - 1 , \frac { 1 } { 7 } , 2 , \frac { 1 } { 2 } \right) , \ \left( - 1 , \frac { 2 } { 1 1 } , \frac { 3 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } \right) , } \\ & { \left( - 1 , \frac { 2 } { 1 1 } , 3 , \frac { 1 } { 3 } \right) , \ \left( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 3 9 } , \frac { 4 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right) , \ \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 1 1 } , \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) , } \\ & { \left( 1 , \frac { 1 } { 4 1 } , 2 , \frac { 2 } { 5 } \right) , \ \left( 1 , \frac { 1 } { 7 } , 2 , \frac { 1 } { 3 } \right) , \ \left( 1 , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } \right) , \ \left( 3 , \frac { 1 } { 7 } , 2 , \frac { 2 } { 1 1 } \right) , } \end{array}
G : \mathbb { R } ^ { d _ { a } } \times \Theta \rightarrow \mathcal { U } \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ o ~ r ~ e ~ q ~ u ~ i ~ v ~ a ~ l ~ e ~ n ~ t ~ l ~ y ~ , ~ } \; \; \; \; \; \; G _ { \theta } : \mathbb { R } ^ { d _ { a } } \rightarrow \mathcal { U } , \; \theta \in \Theta ,
f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \phi ) = \frac { d ^ { 3 } \Gamma ( B \rightarrow V _ { 1 } V _ { 2 } ) } { \Gamma ( B \rightarrow V _ { 1 } V _ { 2 } ) d { ( \cos \theta _ { 1 } ) } d { ( \cos \theta _ { 2 } ) } d \phi } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d j } \, T ^ { T } ( 0 ) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { \hat { d } _ { 0 } ( 0 ) , - \hat { d } _ { 0 } ( 0 ) , 0 , \dots , 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin 2 \theta _ { p } > 1 \, ; \quad \alpha > 1 \, , } & { } \\ { \sin 2 \theta _ { p } < 1 \, ; \quad \alpha < 1 \, , } \end{array} \right. } \end{array}
+ M \left( \left( \rho _ { i } + 1 - \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \rho _ { i } \right) \rho _ { b } ^ { 2 } \rho _ { k } \left| f _ { k } \right| ^ { 2 } + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \rho _ { b } ^ { 2 } \rho _ { i } \left| f _ { i } \right| ^ { 2 } + \left( \rho _ { k } + 2 \rho _ { b } + 1 \right) \left( \rho _ { i } + 1 - \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \rho _ { i } \right) + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \rho _ { i } \right)
\begin{array} { r l } & { \sum _ { a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n } ^ { \prime } } \big ( q _ { n - m _ { k } } ( a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n } ^ { \prime } ) \big ) ^ { - 2 \widetilde { s } _ { l _ { k + 1 } } } \ge \sum _ { a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n } ^ { \prime } } \big ( q _ { n - m _ { k } } ( a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n } ^ { \prime } ) \big ) ^ { - 2 { s } _ { n - m _ { k } } - \varepsilon ^ { \prime } } } \\ & { \ge \sum _ { a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n - \lfloor ( n - m _ { k } ) \xi \rfloor } ^ { \prime } } \Big ( { q _ { n - m _ { k } } ( a _ { m _ { k } + 1 } ^ { \prime } , \ldots , a _ { n - \lfloor ( n - m _ { k } ) \xi \rfloor } ^ { \prime } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { - 2 s _ { n - m _ { k } } - \varepsilon ^ { \prime } } } \\ & { \ge \Big ( { q _ { n - m _ { k } } ( B , \ldots , B ) } \Big ) ^ { - \varepsilon ^ { \prime } } \ge ( { B + 1 } ) ^ { - ( n - m _ { k } ) \varepsilon ^ { \prime } } \ge ( { B + 1 } ) ^ { - n \varepsilon ^ { \prime } } \ge 2 ^ { \frac { - n \varepsilon } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( e _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i - 1 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { i \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { i + 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) , i \ne n } \\ { n , \quad } & { \mathrm { i f ~ } i = n } \end{array} \right. } \\ { f ( v _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 n - i + 1 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \ne 1 , 2 } \\ { 2 n - 1 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i = 1 } \\ { 2 n \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } i = 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left| \begin{array} { l } { 1 , z _ { 1 } , \dots , z _ { 1 } ^ { N _ { 0 } - 1 } } \\ { 1 , z _ { 2 } , \dots , z _ { 2 } ^ { N _ { 0 } - 1 } } \\ { \dots } \\ { 1 , z _ { N } , \dots , z _ { N } ^ { N _ { 0 } - 1 } } \end{array} \right| = \prod _ { i > j } ^ { N } ( z _ { i } - z _ { j } ) .
{ C _ { d } , _ { s p h e r e } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 4 2 4 } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ \ > ~ \ 1 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ } } \\ { \frac { 2 4 } { 2 4 } { R e } ( 1 + \frac { 1 } { 6 } \mathrm { R e } ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) } & { \mathrm { ~ R ~ e ~ \ \leq ~ \ 1 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ } } \end{array} \right.
: \chi ^ { \dagger \alpha } ( p ) \chi _ { \beta } ( q ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { - \chi _ { \beta } ( q ) \chi ^ { \dagger \alpha } ( p ) } } & { { \mathrm { i f } \enspace p < 0 , q < 0 , } } \\ { { \chi ^ { \dagger \alpha } ( p ) \chi _ { \beta } ( q ) } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } , ( 1 ) } = \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } / \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } } & { { } = \omega _ { 0 } \sum _ { u } \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { u } + \sum _ { \langle u , v \rangle } \tau _ { u v } ( \hat { d } _ { u } ^ { \dagger } \hat { d } _ { v } + \hat { d } _ { u } \hat { d } _ { v } ^ { \dagger } ) + \sum _ { { \boldsymbol k } , u , { \boldsymbol \xi } } ( \hat { \boldsymbol \mu } _ { u } \cdot \hat { \boldsymbol \lambda } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ) \Big ( e ^ { - i { { \bf k _ { \parallel } } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { \dagger } + e ^ { i { \bf k _ { \parallel } } \cdot { \bf R } _ { u } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \Big ) \sin ( { k _ { y } } ( \hat { \bf y } \cdot { \bf R } _ { u } ) ) } \end{array}
\langle ~ \delta _ { S } { \bar { Q } } _ { \dot { \alpha } } ( { \cal I } ^ { + } ) ~ \rangle ~ = ~ \epsilon ^ { \beta } ~ \sum _ { k } k _ { \beta { \dot { \alpha } } } ~ \sum _ { n _ { k } ^ { B } , n _ { k } ^ { F } } ~ \rho _ { n _ { k } ^ { B } n _ { k } ^ { F } , n _ { k } ^ { B } n _ { k } ^ { F } } ~ ( - ) ^ { n _ { k } ^ { F } } ~ \left( ~ n _ { k } ^ { B } ~ + ~ n _ { k } ^ { F } ~ \right) ~ .
S _ { e f f } [ A _ { \mu } ] = { \frac { 1 } { 4 g _ { 4 } ^ { 2 } } } \int d ^ { D } x F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } \int { \frac { d ^ { D } q } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } A _ { \mu } ( q ) \Pi ^ { \mu \nu } ( q ^ { 2 } ) A _ { \nu } ( - q ) ,
Q ( x , y ) \; = \; \frac { 1 } { 2 } \: \sum _ { n , c , s } \frac { \partial { \cal { L } } ( \lambda ^ { x y } ) } { \partial \lambda _ { n c s } ^ { x y } } \: F _ { n c s } ^ { x y } \: P _ { 0 } ( x , y ) \: + \: ( \deg < 1 1 ) .
\varphi _ { \mathrm { R } } = \left. k ( x \mp c t ) \right| _ { \mathrm { R } } = k \xi \, \mathrm { e } ^ { \mp \eta } \, , \quad \varphi _ { \mathrm { L } } = \left. k ( x \mp c t ) \right| _ { \mathrm { L } } = - k \xi \, \mathrm { e } ^ { \mp \eta } \, .
\hat { H } = \hat { H } _ { \mathrm { ~ C ~ F ~ } } + \sum _ { j } \hat { V } _ { j } \otimes ( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } .
\begin{array} { r l r } { | \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { I \ne i } | \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } \rangle \frac { \langle \Psi _ { I } ^ { ( 0 ) } | D | \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } \rangle } { ( E _ { f } ^ { ( 0 ) } - E _ { I } ^ { ( 0 ) } - \omega ) } } \end{array}
S = \sqrt { \frac { 2 } { N + 1 } } \left[ \begin{array} { l l l l } { \sin \frac { \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 2 \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 3 \pi } { N + 1 } } & { \cdots } \\ { \sin \frac { 2 \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 4 \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 6 \pi } { N + 1 } } & { \cdots } \\ { \sin \frac { 3 \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 6 \pi } { N + 1 } } & { \sin \frac { 9 \pi } { N + 1 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right] ,
\boldsymbol { I } ( \boldsymbol { \theta } ) _ { i j } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { i } \partial \theta _ { j } } \left( - \log \hat { \mathcal { L } } _ { A } ( \boldsymbol { \theta } ; \boldsymbol { \phi } ) \right) ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } \{ { \cal H } _ { 2 } ^ { 1 / 2 } g ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ) \} h ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } = \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 2 } } g ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ) \{ { \cal H } _ { 2 } ^ { 1 / 2 } h ( { \bf x } _ { \mathrm { H } } ) \} \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { \mathrm { H } } } \end{array}
p ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { m } { n _ { 0 } } \left( \frac { n } { n _ { 0 } } \right) ^ { m - 1 } \exp \left[ - \left( \frac { n } { n _ { 0 } } \right) ^ { m } \right] , } & { n \ge 0 } \\ { 0 , } & { n < 0 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { k } ^ { ( j ) } } & { { } \simeq x _ { k } \Big ( J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) + \Delta J _ { k j } \Big ) - x _ { k } \Big ( J _ { k j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } , z , \tau ) = \langle \Omega _ { \alpha } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) \Omega _ { \beta } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { \perp } , z , \tau ) \Omega _ { \gamma } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } , z , \tau ) \Omega _ { \delta } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } , z , \tau ) \rangle , } \end{array}