harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G _ { k n } \stackrel { k \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \, - \frac { a _ { n } } { \pi } \left( - 1 \right) ^ { k } \left( \frac { 1 } { A } \right) ^ { k } k ! \, k ^ { p ( n ) - 1 } \left[ 1 + { \cal O } \left( 1 / k \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { T } ( \mathbf { A } ^ { * } - \mathbf { A } ) \mathbf { x } } & { = - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { r } x _ { j } - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { s } x _ { j } + \sum _ { i \in K _ { m } \setminus \{ w \} } \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { i } x _ { j } } \\ & { > - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { r } x _ { j } \, - \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { s } x _ { j } + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { p } x _ { j } + \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } x _ { q } x _ { j } } \\ & { = \sum _ { j \in K _ { n } \setminus \{ r , s , w \} } \Big [ ( x _ { p } - x _ { r } ) x _ { j } + ( x _ { q } - x _ { s } ) x _ { j } \Big ] } \\ & { \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde f _ { t } ^ { ( s _ { k } , e _ { k } ] } = } & { \sqrt { \frac { e _ { k } - t } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( t - s _ { k } ) } } \sum _ { l = s _ { k } + 1 } ^ { t } f _ { \eta _ { k } } - \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } \sum _ { l = t + 1 } ^ { \eta _ { k } } f _ { \eta _ { k } } } \\ { - } & { \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } \sum _ { l = \eta _ { k } + 1 } ^ { e _ { k } } f _ { \eta _ { k } + 1 } } \\ { = } & { ( t - s _ { k } ) \sqrt { \frac { e _ { k } - t } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( t - s _ { k } ) } } f _ { \eta _ { k } } - ( \eta _ { k } - t ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } } } \\ { - } & { ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } + 1 } } \\ { = } & { \sqrt { \frac { ( t - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } { ( e _ { k } - s _ { k } ) } } f _ { \eta _ { k } } - ( \eta _ { k } - t ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } } } \\ { - } & { ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } + 1 } } \\ { = } & { ( e _ { k } - t ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - t ) ( e _ { k } - s _ { k } ) } } f _ { \eta _ { k } } - ( \eta _ { k } - t ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } } } \\ { - } & { ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } + 1 } } \\ { = } & { ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - t ) ( e _ { k } - s _ { k } ) } } f _ { \eta _ { k } } - ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - s _ { k } ) ( e _ { k } - t ) } } f _ { \eta _ { k } + 1 } } \\ { = } & { ( e _ { k } - \eta _ { k } ) \sqrt { \frac { t - s _ { k } } { ( e _ { k } - t ) ( e _ { k } - s _ { k } ) } } ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k } + 1 } ) . } \end{array}
W ( t ) ^ { 2 } = C _ { 0 } \frac { \int _ { A } ( y - y _ { c } ) ^ { 2 } u ( y , z , t ) ^ { 2 } d A } { \int _ { A } u ( y , z , t ) ^ { 2 } d A } , ~ ~ ~ H ( t ) ^ { 2 } = C _ { 0 } \frac { \int _ { A } ( z - z _ { c } ) ^ { 2 } u ( y , z , t ) ^ { 2 } d A } { \int _ { A } u ( y , z , t ) ^ { 2 } d A } .
\small \alpha _ { i j } ( \omega ) = - \frac { 1 } { \hbar } \sum _ { n > 0 } \left[ \frac { \left\langle 0 | \hat { \mu } _ { i } | n \right\rangle \left\langle n | \hat { \mu } _ { j } | 0 \right\rangle } { \omega _ { 0 n } - \omega } + \frac { \left\langle 0 | \hat { \mu } _ { i } | n \right\rangle \left\langle n | \hat { \mu } _ { j } | 0 \right\rangle } { \omega _ { 0 n } + \omega } \right]
p _ { L } ^ { 2 } - p _ { R } ^ { 2 } = 2 ( N _ { R } + 1 - N _ { L } ) + \frac { 1 } { 2 } P _ { R } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } P _ { L } ^ { 2 } = 2 n ^ { T } m + b ^ { T } C b ,
\sum _ { \mathrm { p e r m u t a t i o n s } } ( - 1 ) ^ { P } \mathrm { t r } ( \lambda _ { i _ { 1 } } \lambda _ { i _ { 2 } } ( x _ { 1 } ) ) \cdots \mathrm { t r } ( \lambda _ { i _ { 2 N - 1 } } \lambda _ { i _ { 2 N } } ( x _ { N } ) ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( \underline { { C } } ^ { E } \varepsilon + \underline { { e } } ^ { T } \nabla \phi ) : \delta \varepsilon \, d \Omega + \int _ { \Omega } ( \underline { { e } } \varepsilon - \underline { { \epsilon } } ^ { \varepsilon } \nabla \phi ) } & { \cdot \delta \nabla \phi \, d \Omega = \int _ { \Omega } \sigma : \delta \underline { { \varepsilon } } \, d \Omega - \int _ { \Omega } \vec { D } \cdot \delta \vec { E } \, d \Omega } \\ & { = \ \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \cdot \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 4 } } q _ { 0 } \delta \phi \, d \Gamma . } \end{array}
\mathrm { I m } \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( \tau ) d \tau = - \frac { \Delta \mathcal { E } } { \hbar } \; \; \; , \; \; \; R e \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( \tau ) d \tau = \frac { \Gamma } { 2 }
P _ { r , \varphi , \psi } ( R , V ) = \mathrm { R e } \left\{ \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) ( 1 + \pi \tau _ { m } R - i V ) e ^ { - i \varphi } + ( r - \cos \varphi ) \big [ 1 - r e ^ { - i \psi } + ( \pi \tau _ { m } R - i V ) ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) \big ] } { r ( 1 - r \cos \varphi ) \big [ 1 - r e ^ { - i \psi } + ( \pi \tau _ { m } R - i V ) ( 1 + r e ^ { - i \psi } ) \big ] } \right\} ;
\begin{array} { r l } { \left\langle \xi _ { \phi } \left( t \right) \xi _ { \phi } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { \approx \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \Big ( \left\langle \sin { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \sin { \left( \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { I } \left( t \right) \xi _ { I } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } \\ & { \hphantom { = \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \Big ( } - \left\langle \cos { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \sin { \left( \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { Q } \left( t \right) \xi _ { I } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } \\ & { \hphantom { = \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \Big ( } - \left\langle \sin { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \cos { \left( \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { I } \left( t \right) \xi _ { Q } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle } \\ & { \hphantom { = \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \Big ( } + \left\langle \cos { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \cos { \left( \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { Q } \left( t \right) \xi _ { Q } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle \Big ) , } \end{array}
D _ { s x , \mathrm { D D } } = D _ { s y , \mathrm { D D } } = 2 \frac { ( D _ { \perp } ^ { 2 D } ) ^ { 2 } } { D _ { \perp } } = \frac { \tilde { \lambda } ^ { 2 } } { D _ { \perp } } ( 1 - f _ { s } ) \frac { \langle b ^ { 2 } \rangle } { B _ { 0 } ^ { 2 } } ,
| R _ { 1 } ^ { ( - ) } ( \nu , k ) | \leq \frac { 2 ( 1 . 1 ) } { \sqrt { \pi } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 5 } ( \frac { 4 } { 3 } ) ^ { \ell } | \sum _ { j = 0 } ^ { 5 - \ell } | C ^ { ( 2 ) } ( \ell , j ) | ( - 1 ) ^ { j } \Gamma ( j + \frac { 1 } { 2 } ; \pi ) | \equiv C _ { 2 } ^ { \prime } ,
\alpha ( p ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - 1 } { 4 } - \frac { n + 1 } { 2 p } } & { \quad \mathrm { i f ~ } p \geq \frac { 2 ( n + 1 ) } { n - 1 } , } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { i f ~ } 2 \frac { n + 1 } { n + 3 } \leq p \leq \frac { 2 ( n + 1 ) } { n - 1 } , } \\ { \frac { n - 1 } { 2 p } - 1 } & { \quad \mathrm { i f ~ } p \leq 2 \frac { n + 1 } { n + 3 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { E B F } ( \hbar \omega ) = } & { \frac { \mathcal { A } } { \hbar \omega } \Bigg ( 2 R ^ { * } \sum _ { n } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \mathcal { G } _ { B F } ( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega ) + } \\ & { \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( E _ { g } - \hbar \omega ) / \sigma } } + \frac { 1 } { e ^ { 2 \pi \sqrt { \frac { R ^ { * } } { \hbar \omega - E _ { g } } } } - 1 } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = n _ { f } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) f _ { 0 } } & { \theta ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots { } \mathbf { x } _ { N } ) } & { { } = n _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \ldots { } \mathbf { x } _ { N } ) \theta _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { [ a , d _ { 3 } , b , c ] + [ a , d _ { 3 } , c , b ] + [ a , b , d _ { 3 } , c ] + [ a , c , d _ { 3 } , b ] + [ a , b , c , d _ { 3 } ] + [ a , c , b , d _ { 3 } ] ; } \\ { 0 } & { = } & { [ d _ { 3 } , a , b , c ] + [ d _ { 3 } , a , c , b ] + [ d _ { 3 } , b , a , c ] + [ d _ { 3 } , b , c , a ] + [ d _ { 3 } , c , a , b ] + [ d _ { 3 } , c , b , a ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { { } = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \rho _ { A } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) - z _ { i } \right) + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } \nabla \cdot \left[ ( \mathbf { V } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \right] ^ { \prime } - \nabla ^ { 2 } \left[ ( \mathbf { V } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla _ { 3 } ) w ^ { ( 1 ) } \right] , } \\ { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { { } - \nabla ^ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \zeta ^ { ( 1 ) } ) - [ \nabla ^ { 2 } ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) { P ^ { ( 1 ) } } ^ { \prime } - \nabla ^ { 2 } w { ^ { ( 1 ) } } ^ { \prime } ] \zeta - \zeta ^ { ( 1 ) } \nabla ^ { 2 } ( \mathbf { U } ^ { \prime } \cdot \nabla ) P ^ { ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { = } & { u ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \epsilon u ^ { ( 2 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { v ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { = } & { \epsilon ^ { - 1 } v ^ { ( 0 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + v ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { w ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { = } & { \epsilon ^ { - 1 } w ^ { ( 0 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + w ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { \mathbf { X } ( s , t ; \epsilon ) } & { = } & { \mathbf { X } ^ { ( 0 ) } ( s , t ) + \epsilon \mathbf { X } ^ { ( 1 ) } ( s , t ) + \cdots } \end{array}
P F \, \equiv \, \kappa \, \, \, = \, \, \, \frac { 3 \, \pi ^ { 2 } \alpha _ { S } } { 2 Q _ { s } ^ { 2 } ( x ) } \, \times \, \frac { x G ( x , Q _ { s } ^ { 2 } ( x ) ) } { \pi \, R ^ { 2 } } \, \,
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { 0 } ( k , s ) } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) } { s } \frac { 1 } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } ( s ) \lambda ( k ) } . } \end{array}
\overline { { { G } } } = \left( \begin{array} { l c r } { { G _ { a a } } } & { { G _ { a r } } } \\ { { G _ { r a } } } & { { G _ { r r } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l c r } { { 0 } } & { { G ^ { a d v } } } \\ { { D ^ { r e t } } } & { { D ^ { c o l } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { r _ { k } ^ { d } } & { \int _ { t \ge r _ { k } } \! t ^ { - d ( \alpha - 1 ) - 1 } f _ { \gamma } ( t ) ^ { \alpha - ( \tau - 1 ) } \mathrm { d } t \lesssim r _ { k } ^ { d - d ( 1 - \gamma ) ( \alpha - ( \tau - 1 ) ) } \int _ { t \ge r _ { k } } \! \! \! t ^ { - d ( \tau - 2 ) - 1 } \mathrm { d } t \lesssim r _ { k } ^ { d ( 2 - \alpha + \gamma ( \alpha - ( \tau - 1 ) ) ) } , } \\ { r _ { k } ^ { d } } & { \int _ { t \ge r _ { k } } t ^ { - d ( \alpha - 1 ) - 1 } \mathrm { d } t \lesssim r _ { k } ^ { d ( 2 - \alpha ) } . } \end{array}
\times \left[ \frac { \vec { q } ^ { \: 2 } } { d ( \beta _ { 2 } k _ { 1 _ { \perp } } - \beta _ { 1 } k _ { 2 _ { \perp } } ) } - \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { d ( k _ { 1 _ { \perp } } + \beta _ { 1 } q _ { \perp } ) } - \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { d ( k _ { 1 _ { \perp } } ) } \right] + 4 m _ { A } ^ { 2 } \beta _ { 2 }
\int \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial t } + v \frac { \partial f } { \partial x } - E \frac { \partial f } { \partial v } \right) d x d v = \int \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial f } { \partial t } \bigr \rvert _ { c o l l } d x d v .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r o b } _ { \omega _ { 0 } } \big [ \mathfrak { h } = } & { \big \{ \pi ( t _ { 0 } + d t ) , \pi ( t _ { 0 } + 2 d t ) , \dots , \pi ( t ) \big \} \big ] : = } \\ & { = \omega _ { 0 } \big ( H _ { \mathfrak { h } } ( t _ { 0 } , t ) \cdot H _ { \mathfrak { h } } ( t _ { 0 } , t ) ^ { * } \big ) = \mathrm { t r } \big [ H _ { \mathfrak { h } } ( t _ { 0 } , t ) ^ { * } \cdot \Omega _ { 0 } \cdot H _ { \mathfrak { h } } ( t _ { 0 } , t ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle x } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } | \ge k \big ) } & { \le n ^ { c ^ { \prime } } \exp \big ( - c k ^ { \zeta } \big ) , } \\ { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle x } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } | \le n ^ { c } \big ) } & { \le n ^ { - 1 - c } , } \\ { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle x } \big ( \exists v \in \Xi _ { n } [ \overline { { w } } ( n , c ) , \infty ) : v \notin { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } \big ) } & { \le n ^ { - c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \eta / \partial U _ { 1 } } { \partial \eta / \partial U _ { 2 } } } & { = \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) - a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) - a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } \cdot \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { F ( \theta , U _ { 2 } , U _ { 3 } ) } { F ( \theta , U _ { 3 } , U _ { 1 } ) } \frac { G ( \theta , U _ { 1 } ) } { G ( \theta , U _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { i _ { n , p _ { w } } = j _ { n , p _ { w } } e = i _ { w } ( k _ { w } , c _ { n , p _ { w } } , c _ { n } ^ { l } ) \left[ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { \alpha _ { w } e \eta _ { n , p _ { w } } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right) - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { ( 1 - \alpha _ { w } ) e \eta _ { n , p _ { w } } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { i ( X _ { 1 } ^ { [ N _ { 1 } ] } ; Y _ { 1 } ^ { [ N _ { 1 } ] } ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } i ( X _ { 1 } [ j ] ; Y _ { 1 } [ j ] ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \left( \frac { P _ { X _ { 1 } | Y _ { 1 } } ( x _ { 1 } [ j ] | y _ { 1 } [ j ] ) } { P _ { X _ { 1 } } ( x _ { 1 } [ j ] ) } \right) } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } \log \left( \frac { \sum _ { x _ { 2 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } P _ { Y _ { 1 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( y _ { 1 } [ j ] | x _ { 1 } [ j ] , x _ { 2 } [ j ] ) } { \sum _ { x _ { 1 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 1 } } \sum _ { x _ { 2 } [ j ] \in \mathcal { X } _ { 2 , 1 } } P _ { Y _ { 1 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( y _ { 1 } [ j ] | x _ { 1 } [ j ] , x _ { 2 } [ j ] ) P _ { X _ { 1 } } ( x _ { 1 } [ j ] ) } \right) , } \end{array}
\mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n _ { j } x _ { j } } + ( - 1 ) ^ { n _ { j + 1 } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } n _ { j } x _ { j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \cos ( n _ { j } x _ { j } ) , } & { n _ { j + 1 } \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } \\ { 2 \mathrm { i } \sin ( n _ { j } x _ { j } ) , } & { n _ { j + 1 } \mathrm { ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right.
T _ { \mu \nu } ^ { N R } = - \frac { \alpha } { 2 \pi } \left( g _ { \mu \nu } - \frac { k _ { 1 \nu } k _ { 2 \mu } } { k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } } \right) A _ { N R } ( w ^ { + } w ^ { - } \rightarrow z z ) ,
\varphi _ { h , 0 , 0 } ( z _ { 1 0 } , z _ { 2 0 } , z _ { 3 0 } ) = \varphi _ { h } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ; z _ { 0 } ) \, , \; \varphi _ { 1 1 1 } ( z _ { i 0 } ) = \frac { 1 } { 3 } ( \varphi _ { 0 0 3 } + \varphi _ { 0 3 0 } + \varphi _ { 3 0 0 } ) ( z _ { i 0 } ) \, .
R _ { \chi } = N _ { T } \frac { \rho _ { \chi } } { m _ { \chi } } \frac { A ^ { 2 } \bar { \sigma } _ { n } } { 2 \mu _ { \chi n } ^ { 2 } } \int q \, d q \, \eta ( v _ { \mathrm { m i n } } ( E _ { R } ) ) F _ { N } ^ { 2 } ( q ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left( \widetilde { m \cdot f _ { X } } ( x ) \right) = } & { n ^ { - 1 } \mathrm { V a r } \left( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) Y \right) } \\ { \leq } & { n ^ { - 1 } \mathrm { E } ( | K _ { T _ { n } } ( x , Z ) Y | ^ { 2 } ) } \\ { \leq } & { n ^ { - 1 } \mathrm { E } ( \mathrm { E } ( | K _ { T _ { n } } ( x , Z ) | ^ { 2 } | X ) \mathrm { E } ( Y ^ { 2 } | X ) ) } \\ { \leq } & { \mathrm { ( c o n s t . ) } n ^ { - 1 } \mathrm { E } ( | K _ { T _ { n } } ( x , Z ) | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\rho _ { \mathrm { G r } _ { 2 , \mathrm { p r i m } } V _ { \mathbb { Z } } } \otimes \rho _ { ( \mathrm { G r } _ { 4 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } ) ^ { - } } \simeq \rho _ { \mathrm { G r } _ { 2 , \mathrm { p r i m } } V _ { \mathbb { Z } } \oplus ( \mathrm { G r } _ { 4 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } ) ^ { - } } \to \rho _ { \mathrm { G r } _ { 2 } ^ { W } V _ { \mathbb { Z } } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widehat { V } _ { \mathrm { n o } _ { k } } \right] = } & { V _ { \mathrm { n o } } \frac { N } { m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( \frac { { B _ { k } } _ { i } - \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) } { \sqrt { V _ { \mathrm { n o } } } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = V _ { \mathrm { n o } } , } \\ { \mathrm { V a r } \left[ \widehat { V } _ { \mathrm { n o } _ { k } } \right] = } & { V _ { \mathrm { n o } } ^ { 2 } \left( \frac { N } { m } \right) ^ { 2 } \mathrm { V a r } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m / N } \left( \frac { { B _ { k } } _ { i } - \mathbb { E } ( q _ { B _ { k } } ) } { \sqrt { V _ { \mathrm { n o } } } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = 2 \frac { N } { m } V _ { \mathrm { n o } } ^ { 2 } . } \end{array}
P _ { Y u k a w a } ^ { - } = - \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k } { k } \left[ \widetilde { [ \phi , \psi ] } _ { i j } ( k ) \: , \: \widetilde { [ \phi , \psi ] } _ { j i } ( - k ) \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. Q _ { t , i } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i } - \mathbb E \left[ \left. \sum _ { s = T _ { 0 } } ^ { t - 1 } \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i } - ( t - T _ { 0 } ) M } \\ & { = Q _ { T _ { 0 } , i } - M m , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { M } _ { P } ^ { ( n ) } ( P , u , \tau _ { m } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N - m } \left( \Delta _ { \tau _ { m } } P _ { i } \right) ^ { n } \cdot \frac { K _ { a , b } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { i } - u } { h _ { u } } \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N - m } K _ { a , b } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { j } - u } { h _ { u } } \right) } . } \end{array}
n ^ { \mathrm { e q } } = \sum _ { i } n _ { i } ^ { \mathrm { e q } } = \sum _ { i } \frac { g _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } p _ { i } e ^ { - E _ { i } / T } = \frac { T } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i } g _ { i } m _ { i } ^ { 2 } K _ { 2 } \left( \frac { m _ { i } } { T } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Phi _ { A } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) = - \Phi _ { A } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { { } \{ h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( t ) } & { = \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( x _ { 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) + \frac { p _ { x 0 } } { m \omega _ { \perp } } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) + \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( y _ { 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) + \frac { p _ { y 0 } } { m \omega _ { \perp } } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { y ( t ) } & { = \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( y _ { 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) + \frac { p _ { y 0 } } { m \omega _ { \perp } } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) - \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( x _ { 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) + \frac { p _ { x 0 } } { m \omega _ { \perp } } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { p _ { x } ( t ) } & { = \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( p _ { x 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) - m \omega _ { \perp } x _ { 0 } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) + \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( p _ { y 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) - m \omega _ { \perp } y _ { 0 } \sin ( \omega _ { \perp } t \right) , } \\ { p _ { y } ( t ) } & { = \cos \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( p _ { y 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) - m \omega _ { \perp } y _ { 0 } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) - \sin \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( p _ { x 0 } \cos ( \omega _ { \perp } t ) - m \omega _ { \perp } x _ { 0 } \sin ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { z ( t ) } & { = z _ { 0 } \cos ( \omega _ { z } t ) + \frac { p _ { z 0 } \sin ( \omega _ { z } t ) } { m \omega _ { z } } , } \\ { p _ { z } ( t ) } & { = p _ { z 0 } \cos ( \omega _ { z } t ) - m \omega _ { z } z _ { 0 } \sin ( \omega _ { z } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ C _ { n } , G \} } & { = \left\langle \underbrace { n q \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } } _ { = ( n - 1 ) \nabla ^ { \perp } q ^ { n } } , \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle } \\ & { \qquad - \left\langle \underbrace { \nabla \cdot n \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } } _ { = 0 } , \frac { \delta G } { \delta D } \right\rangle + \left\langle ( n - 1 ) q ^ { n } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle , } \\ & { = \left\langle ( n - 1 ) \nabla q ^ { n } , \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle - \left\langle ( n - 1 ) q ^ { n } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { H _ { 2 } } } = n _ { \mathrm { g } } k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { g } } + \frac { 1 } { 3 } m _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { g } } ( v - v _ { \mathrm { g } } ) ^ { 2 } , } \end{array}