harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { 0 , i } , } \end{array} \right.
\textbf { E } = - \textbf { u } _ { e } \times \textbf { B } + \frac { \nabla p _ { e } } { q _ { e } n _ { e } } - \frac { m _ { e } } { q _ { e } } \sum _ { i } \mu _ { e , i } ( \textbf { u } _ { e } - \textbf { v } _ { i } ) .
m _ { l } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 0 0 2 5 6 } } & { { - 0 . 0 1 0 5 8 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 0 1 0 5 8 } } & { { 0 . 0 4 5 9 6 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { \tau }
\begin{array} { r l } { R _ { p } C \dot { \boldsymbol { \psi } } ( t ) } & { { } = m \frac { R _ { p } } { R _ { r } } \Psi ( t ) \mathbf { e } _ { 1 } + m ^ { 2 } M _ { 2 } \boldsymbol { \psi } ( t ) - \frac { R _ { p } } { R _ { F } } \boldsymbol { \psi } ( t ) \, , } \\ { M _ { 2 } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { - 1 - r / R _ { r } } & { 1 } & { } & { } & { } \\ { 1 } & { - 2 } & { 1 } & { } & { } \end{array} \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \sigma _ { y x } ^ { \textrm { C } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) , } \\ { \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } ( 1 ) } ( t , t ^ { \prime } ) + \sigma _ { y x } ^ { \textrm { S } ( 2 ) } ( t , t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\operatorname { p o s t e r i o r p r o b a b i l i t y } ( p = x \mid s , f ) = { \frac { x ^ { s - 1 } ( 1 - x ) ^ { n - s - 1 } } { \mathrm { B } ( s , n - s ) } } , { \mathrm { ~ w i t h ~ m e a n } } = { \frac { s } { n } } , { \mathrm { ~ ( a n d ~ m o d e = ~ } } { \frac { s - 1 } { n - 2 } } { \mathrm { ~ i f ~ } } 1 < s < n - 1 ) .
\begin{array} { r l } { \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } } & { = ( - 1 ) ^ { J + 1 } \mathsf { \Pi } _ { [ [ r s ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } = } \\ & { = ( - 1 ) ^ { T + 1 } \mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ q p ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } = } \\ & { = ( - 1 ) ^ { J + T } \mathsf { \Pi } _ { [ [ r s ] _ { J } , [ q p ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } . } \end{array}
{ \cal K } ( s ) = \frac 5 3 \frac { \sum _ { \alpha } \langle \tilde { s } _ { \alpha } ^ { 2 } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { l o o p s } } { \sum _ { \alpha } \langle \tilde { s } _ { \alpha } [ s , \{ A \} _ { \alpha } ] \rangle _ { l o o p s } ^ { 2 } } \approx \frac { 5 } { 3 } + \frac { \lambda } { g } f _ { \mathrm { ~ K ~ u ~ r ~ t ~ } } \left( \frac { s } { \lambda } \right) ,
\phi = \frac { \langle \Delta c _ { \mathrm { { r e f } } } \rangle } { \langle c _ { \mathrm { { r e f } } } ^ { \infty } \rangle } = 1 - \frac { \langle c _ { \mathrm { { r e f } } } ^ { * } \rangle } { \langle c _ { \mathrm { { r e f } } } ^ { \infty } \rangle } ,
\sum _ { t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { T } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { \mid t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } \mid } = T + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ) ^ { t } 2 ( T - t )
T _ { \mu \nu \lambda \sigma } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { 4 } ) = ( i ) ^ { 4 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 3 } \rho _ { 4 } \delta _ { \mu 4 } \delta _ { \nu 4 } \delta _ { \lambda 4 } \delta _ { \sigma 4 } ,
n _ { e } m _ { e } \frac { \partial \mathbf { v } _ { e } ^ { ( 0 ) } } { \partial t } + n _ { e } m _ { e } ( \mathbf { v } _ { e } ^ { ( 0 ) } \cdot \triangledown ) \mathbf { v } _ { e } ^ { ( 0 ) } = - e n _ { e } \mathbf { v } _ { e } ^ { ( 1 ) } \times \mathbf { B } _ { 0 } - \triangledown \cdot \mathbf { \Pi } _ { g } .
\times \left| H _ { n - k } \left( \frac { ( T + 1 ) z + \left[ \sigma _ { p p } - \sigma _ { q q } - 2 i \sigma _ { p q } \right] z ^ { \star } } { \left\{ ( 2 T + 4 d + 1 ) \left[ \sigma _ { p p } - \sigma _ { q q } - 2 i \sigma _ { p q } \right] \right\} ^ { \frac 1 2 } } \right) \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \triangle P _ { 1 } \equiv } & { { } P ^ { * } ( 1 , 1 ) - P ^ { * } ( 1 , 0 ) } \\ { = } & { { } \frac { [ ( a + 1 ) r - a ] \left( w ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { ( N _ { I } + N _ { T } ) ( w - 1 ) } + \frac { a N _ { I } } { N _ { I } + N _ { T } } + ( a - 1 ) \epsilon } \\ { > } & { { } 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { R } ( t _ { 0 } ) = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { p } ( \omega ) \tilde { f } ( \omega ) e ^ { - i \omega t _ { 0 } } d \omega , } \\ { = } & { e ^ { - i \omega _ { s } t _ { 0 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { p } ( \omega _ { s } + \delta ) \tilde { f } ( \omega _ { s } + \delta ) e ^ { - i \delta t _ { 0 } } d \delta , } \\ { = } & { t _ { p } ( \omega _ { s } ) e ^ { - i \omega _ { s } \tau _ { g } } f ( t _ { 0 } - \tau _ { g } ) . } \end{array}
W _ { \tau } ( \tau ) = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \mathrm { d } x } { x } } \, ( 1 - 3 x ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } ) \, \widehat w _ { D } \bigg ( { \frac { \tau } { x } } \bigg ) \, .
\begin{array} { r l r } { { \bf { \hat { S } } } \cdot { \bf { \hat { S } } } / \hbar ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( \hat { n } _ { \mathrm { L } } + \hat { n } _ { \mathrm { R } } \right) \left( \hat { n } _ { \mathrm { L } } + \hat { n } _ { \mathrm { R } } + 2 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial x } \left( \rho u ^ { 2 } \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \rho u v \right) + \frac { \partial p } { \partial x } } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } \left( \rho u v \right) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \rho v ^ { 2 } \right) + \frac { \partial p } { \partial y } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \psi } \right) _ { H , \mu , \alpha } \approx \sqrt { \frac { m H } { 2 } } \int \frac { B } { \mathbf { B } \cdot \nabla \zeta } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \lambda \hat { B } } } \times } \\ & { \Bigg \{ \frac { 2 M ( 1 - \lambda \hat { B } ) } { N - \iota M } \left[ \frac { \mathrm { d } \iota } { \mathrm { d } \psi } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \kappa _ { \mathrm { n } } } { | \nabla \psi | } + D \kappa _ { \mathrm { g } } \frac { | \nabla \psi | } { B } \right) \right] - } \\ & { \left[ \frac { \kappa _ { \mathrm { n } } } { | \nabla \psi | } + D \kappa _ { \mathrm { g } } \frac { | \nabla \psi | } { B } \right] + \frac { \lambda } { \hat { B } } \frac { \mu _ { 0 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } \psi } \Bigg \} \mathrm { d } \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { k k ^ { \prime } } } & { \equiv P ( n _ { i } ^ { t + 1 } = k ^ { \prime } | n _ { i } ^ { t } = k ) } \\ & { = \frac { \sum _ { t , i } \delta _ { n _ { i } ^ { t } k } \delta _ { n _ { i } ^ { t + 1 } k ^ { \prime } } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t + 1 } } ) } { k ^ { \prime } \sum _ { k ^ { \prime } , t , i } \delta _ { n _ { i } ^ { t } k } \delta _ { n _ { i } ^ { t + 1 } k ^ { \prime } } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t + 1 } } ) } , } \end{array}
A | _ { I _ { \mu } } \; = \; \left( \begin{array} { c c c c } { { \mu } } & { { 1 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mu } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { \mu } } \end{array} \right) \; .
\epsilon ^ { \prime } = \frac { - i } { \sqrt { 2 } } e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 0 } ) } \omega \biggl [ \frac { \mathrm { I m } A _ { 0 } } { \mathrm { R e } A _ { 0 } } ( 1 - \Omega _ { I B } ) - \frac { \mathrm { I m } A _ { 2 } ^ { \prime } } { \mathrm { R e } A _ { 2 } } \biggr ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 } = } & { { } f _ { 0 } \left\{ - \cos { ( \theta _ { 0 } ) } \left[ \cos { ( \phi ) } \hat { x } + \sin { ( \phi ) } \hat { y } \right] + \sin { ( \theta _ { 0 } ) } \hat { z } \right\} = - f _ { 0 } \hat { \theta } _ { 0 } } \\ { \mathbf { E } _ { r } = } & { { } f _ { r } \left\{ \left[ - r _ { p p } \cos { ( \theta _ { r } ) } \cos { ( \phi ) } + r _ { p s } \sin { ( \phi ) } \right] \hat { x } - \left[ r _ { p p } \cos { ( \theta _ { r } ) } \sin { ( \phi ) } + r _ { p s } \cos { ( \phi ) } \right] \hat { y } + r _ { p p } \sin { ( \theta _ { r } ) } \hat { z } \right\} } \\ { = } & { { } - f _ { r } \left( r _ { p p } \hat { \theta } _ { r } + r _ { p s } \hat { \phi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } ( f + \lambda _ { n } ) \mathrm { e } ^ { 2 ( u _ { n } + w _ { n } ) } d \mu _ { \bar { g } } } & { = \int _ { M } \Bigl ( - \Delta _ { \bar { g } } w _ { n } + h \mathrm { e } ^ { 2 w } \Bigr ) \mathrm { e } ^ { 2 w _ { n } } d \mu _ { \bar { g } } = \int _ { M } \Bigl ( 2 \mathrm { e } ^ { 2 w _ { n } } | \nabla _ { \bar { g } } w _ { n } | _ { \bar { g } } ^ { 2 } + h \mathrm { e } ^ { 2 ( w + w _ { n } ) } \Bigr ) d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = 2 \int _ { M } | \nabla _ { \bar { g } } \mathrm { e } ^ { w _ { n } } | _ { \bar { g } } ^ { 2 } d \mu _ { \bar { g } } + \int _ { \Omega } h \mathrm { e } ^ { 2 u _ { n } } d \mu _ { \bar { g } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { r _ { 0 } } { \sqrt { B \log ( n / \delta ) / n } } } & { = \bigg ( \frac { n } { B } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 4 \alpha + 2 } } \cdot \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \frac { \alpha } { 2 \alpha + 1 } } \cdot \frac { \log ^ { \frac { \alpha } { 2 \alpha + 1 } } ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { \sqrt { \log ( n / \delta ) } } } \\ & { \gtrsim \bigg ( \frac { n } { B } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 4 \alpha + 2 } } \cdot \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \bigg ) ^ { \frac { \alpha } { 2 \alpha + 1 } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { \log ( n / \delta ) } } = \bigg ( \frac { n ( \sigma / R ) ^ { 4 \alpha } } { B \log ^ { 2 \alpha + 1 } ( n / \delta ) } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 4 \alpha + 2 } } \gtrsim 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { 4 I } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 1 + \frac { 1 } { 4 I } ) ( 1 + 4 I ) \frac { \tau ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 2 5 6 I \tau ^ { 2 } L _ { y ^ { 2 } } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 6 4 I \tau ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { 0 , 0 } ^ { 0 , 2 } ( h , K ^ { ( 0 , 2 ) } ) , \ J _ { 0 , 0 } ^ { 2 , 0 } ( h , K ^ { ( 2 , 0 ) } ) } \\ & { \leq | g | ^ { 2 } N \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \{ \kappa , \tilde { \kappa } \} } \left[ \| \tau _ { \theta + h } - \tau _ { \theta } \| _ { \infty } \| \partial _ { \theta } \tau _ { \theta } \| _ { \infty } + \| \tau _ { \theta + h } \| _ { \infty } \| \mathfrak { D } _ { h } \tau _ { \theta } \| _ { \infty } + \| \mathfrak { D } _ { h } \tau _ { \theta } \| _ { \infty } \| \tau _ { \theta } \| _ { \infty } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } ^ { 2 } } & { = - r ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } + \left( r { \frac { \partial } { \partial r } } + 1 \right) r { \frac { \partial } { \partial r } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \sin \theta { \frac { \partial } { \partial \theta } } - { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \varphi ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \textstyle Q _ { ( n - k , n - \ell ] } ^ { + } ( \eta ^ { \prime } , z ) - \mathbb { P } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } ( \mathrm { h i t ~ o n ~ } ( n - k , n - \ell ) , B _ { n - \ell } ^ { + } = z ) } \\ & { \; \; \textstyle = Q _ { ( n - k , n - \ell ] } ^ { + } ( \eta ^ { \prime } , z ) - \sum _ { m = n - k + 1 } ^ { n - \ell - 1 } \mathbb { P } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } ( { \tau ^ { + } } = m , B _ { n - \ell } ^ { + } = z ) , } \\ & { \; \; \textstyle = Q _ { ( n - k , n - \ell ] } ^ { + } ( \eta ^ { \prime } , z ) - \sum _ { m = n - k + 1 } ^ { n - \ell - 1 } \sum _ { \eta ^ { \prime \prime } > y _ { m + 1 } } \mathbb { P } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta _ { k - 1 } } ( { \tau ^ { + } } = m , B _ { m } ^ { + } = \eta ^ { \prime \prime } ) Q _ { ( m , n - \ell ] } ^ { + } ( \eta ^ { \prime \prime } , z ) } \\ & { \; \; \textstyle = Q _ { ( n - k , n - \ell ] } ^ { + } ( \eta ^ { \prime } , z ) - \mathbb { E } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } \bigl [ Q _ { ( { \tau ^ { + } } , n - \ell ] } ^ { + } ( B _ { { \tau ^ { + } } } ^ { + } , z ) \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < n - \ell } \bigr ] . } \end{array}
d \vartheta ^ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \gamma } , \mathbf { e } _ { \alpha } ) = - \omega ^ { \beta } { } _ { \gamma \alpha } + \omega ^ { \beta } { } _ { \alpha \gamma } \, , \qquad d \vartheta ^ { \gamma } ( \mathbf { e } _ { \alpha } , \mathbf { e } _ { \beta } ) = - \omega ^ { \gamma } { } _ { \beta \alpha } + \omega ^ { \gamma } { } _ { \alpha \beta } \, .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { \textnormal { m a x i m i z e } } & { \sum _ { i \in I } \overline { { s } } _ { i } u _ { i } + \sum _ { j \in J } \overline { { d } } _ { j } v _ { j } } \\ & { \textnormal { s u b j e c t t o } } & { \textnormal { c o n s t r a i n t s } , } \\ & { } & { u _ { i } + v _ { j } \le \overline { { c } } _ { i j } , } & { \qquad \forall i \in I , j \in J , } \\ & { } & { u _ { i } \le 0 , \ \, } & { \qquad \forall i \in I . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \sum _ { \alpha = 1 , 2 , 3 } \frac { \Delta _ { \alpha } - i \gamma / 2 } { | \nu _ { \alpha } | ^ { 2 } } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \right) ^ { \dagger } { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \, , } \\ { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { \alpha = 4 , 5 } \frac { \Delta _ { \alpha } - i \gamma / 2 } { | \nu _ { \alpha } | ^ { 2 } } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \right) ^ { \dagger } { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \, . } \end{array}
{ \frac { m _ { s i } } { \mathrm { k e V } } } \sim 0 . 1 c _ { \beta } s _ { \beta } \left( \frac { \mu } { 5 0 0 \, \mathrm { G e V } } \right) \left( \frac { 1 0 ^ { 1 0 } \, \mathrm { G e V } } { f _ { a } } \right) \left( \frac { \xi _ { i } c _ { \beta } } { 1 0 ^ { - 6 } } \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \mathbb { E } _ { \nu } \Big [ X ^ { 2 } - \frac { 2 \lambda } { 1 + i } X + b ^ { 2 } - 2 X b + } } \\ & { } & { \left( b + \frac \lambda { 1 + i } - X \right) ^ { 2 } ( R ^ { \top } C ^ { - 1 } \mathbb { E } R ) ^ { 2 } + \left( 2 X - 2 b - \frac { 2 \lambda } { 1 + i } \right) \left( b + \frac \lambda { 1 + i } - X \right) R ^ { \top } C ^ { - 1 } \mathbb { E } R \Big ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { \nu } \Big [ X ^ { 2 } - \frac { 2 \lambda } { 1 + i } X - 2 b X + \left( b + \frac \lambda { 1 + i } - X \right) ^ { 2 } ( ( R ^ { \top } C ^ { - 1 } \mathbb { E } R ) ^ { 2 } - 2 R ^ { \top } C ^ { - 1 } \mathbb { E } R ) \Big ] + b ^ { 2 } } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { \nu } \Big [ X ^ { 2 } - \frac { 2 \lambda } { 1 + i } X \Big ] - 2 b \mathbb { E } _ { \nu } X - \mathbb { E } _ { \nu } \left( b + \frac \lambda { 1 + i } - X \right) ^ { 2 } ( \mathbb { E } R ) ^ { \top } C ^ { - 1 } \mathbb { E } R + b ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d \bar { \sigma } _ { 3 3 } } { d ( \cos \theta ) } = \frac { 1 } { 1 2 8 s } \sum _ { \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } } R e [ F ( + + \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } ) F ^ { * } ( -- \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } ) ]
\begin{array} { r l } { \phi _ { I } ( x , y , z ) } & { = v _ { 0 } z + c + \phi ( x , y , z ) } \\ & { = v _ { 0 } z + c - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { \Omega ( u , v ) \mathrm { d } u \mathrm { d } v } { \sqrt { ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i } = \frac { x _ { 3 } } { x _ { 1 } } T \left( \frac { x _ { 4 } / x _ { 3 } } { x _ { 2 } / x _ { 1 } } \right) T \left( \frac { [ 3 4 . 2 i ] } { [ 1 2 . 2 i ] } \right) , } & { \quad B _ { i } = \frac { x _ { 3 } } { x _ { 1 } } T \left( \frac { x _ { 4 } / x _ { 3 } } { x _ { 2 } / x _ { 1 } } \right) T \left( \frac { [ 3 4 . 1 i ] } { [ 1 2 . 1 i ] } \right) , } \\ { A _ { 2 } / A _ { 1 } = T \left( \frac { [ 3 4 . 2 2 ] , [ 1 2 . 2 1 ] } { [ 3 4 . 2 1 ] , [ 1 2 . 2 2 ] } \right) , } & { \quad B _ { 2 } / B _ { 1 } = T \left( \frac { [ 3 4 . 1 2 ] , [ 1 2 . 1 1 ] } { [ 3 4 . 1 1 ] , [ 1 2 . 1 2 ] } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \vec { r } _ { i } = - \vec { \nabla } _ { i } \mathcal { V } - \boldsymbol { \Gamma _ { i } } \cdot \vec { p } _ { i } + \vec { \xi } _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \theta _ { 1 } = } & { \frac { \theta _ { 3 } ( \theta _ { 2 } ^ { 2 } - \theta _ { 5 } ^ { 2 } ) + 2 \theta _ { 2 } \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } } { \theta _ { 3 } ^ { 2 } + \theta _ { 6 } ^ { 2 } } - \beta \theta _ { 2 } - \alpha \theta _ { 3 } , } \\ & { \theta _ { 2 } = } & { \frac { 2 \theta _ { 2 } \theta _ { 3 } \theta _ { 5 } - \theta _ { 2 } ^ { 2 } \theta _ { 6 } + \theta _ { 5 } ^ { 2 } \theta _ { 6 } } { \theta _ { 3 } ^ { 2 } + \theta _ { 6 } ^ { 2 } } - \beta \theta _ { 5 } - \alpha \theta _ { 6 } , } \\ & { \theta _ { 7 } = } & { \frac { 3 } { ( \theta _ { 3 } ^ { 2 } + \theta _ { 6 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 3 } \theta _ { 5 } - \theta _ { 2 } \theta _ { 6 } ) ^ { 2 } } [ \theta _ { 2 } ^ { 4 } - 2 \beta \theta _ { 2 } ^ { 2 } \theta _ { 3 } + \alpha ^ { 2 } \theta _ { 3 } ^ { 4 } + ( \alpha \theta _ { 6 } ^ { 2 } + \beta \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } - \theta _ { 5 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \theta _ { 3 } ^ { 2 } ( ( 2 \alpha + \beta ^ { 2 } ) \theta _ { 5 } ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } + 2 \alpha ^ { 2 } \theta _ { 6 } ^ { 2 } ) + 2 \theta _ { 2 } \theta _ { 3 } ( \alpha \beta ( \theta _ { 3 } ^ { 2 } + \theta _ { 6 } ^ { 2 } ) - \beta \theta _ { 5 } ^ { 2 } - 4 \alpha \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } ) } \\ & { } & { + \theta _ { 2 } ^ { 2 } ( ( \beta ^ { 2 } - 2 \alpha ) \theta _ { 3 } ^ { 2 } + 2 \theta _ { 5 } ^ { 2 } - 2 \beta \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } + ( 2 \alpha + \beta ) ^ { 2 } \theta _ { 6 } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { f _ { 2 4 } = } & { 2 { m _ { 1 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) { y _ { 1 } } + } \\ & { 2 { m _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) { y _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { i } } & { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } _ { n } } g _ { i j } , } \\ { \sigma _ { i i ^ { \prime } } } & { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \in \mathbb { Z } _ { n } } ( g _ { i j } - \mu _ { i } ) ( g _ { i ^ { \prime } j } - \mu _ { i ^ { \prime } } ) , } \\ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } & { = } & { \sigma _ { i i } } \\ { { \bf { Z } } } & { = } & { \left( \frac { g _ { i j } - \mu _ { i } } { \sigma _ { i } } \right) } \\ { \rho _ { i i ^ { \prime } } } & { = } & { \frac { \sigma _ { i i ^ { \prime } } } { \sigma _ { i } \sigma _ { i ^ { \prime } } } . } \end{array}
r \, = \, \frac { e ^ { - 2 i k L } } { \Omega } \frac { ( m + E + k ) B ( 2 \nu , - \mu - \nu - \lambda ) } { ( m + E - k ) B ( - 2 \nu , 1 - \mu + \nu + \lambda ) } \times \left[ 1 - e ^ { 4 i p L } \frac { B ( 2 \mu , - \mu - \nu + \lambda ) B ( 2 \mu , - \mu + \nu + \lambda ) } { B ( - 2 \mu , \mu + \nu - \lambda ) B ( - 2 \mu , \mu - \nu - \lambda ) } \right]
\eta _ { m \kappa } \left( 0 \right) + \eta _ { - m \kappa } \left( 0 \right) = \left( N _ { \kappa } ^ { + } + N _ { \kappa } ^ { - } \right) \pi + \left( - 1 \right) ^ { l } \frac { \pi } { 2 } \left[ \sin ^ { 2 } \eta _ { m \kappa } \left( 0 \right) + \sin ^ { 2 } \eta _ { - m \kappa } \left( 0 \right) \right] \, ,
\begin{array} { r } { \left| \ensuremath { { \mathbb { E } } } [ Z _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ] - \sigma ^ { 2 } ( \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } ) \right| \leq \ensuremath { t } ( \varepsilon , \delta ) \quad \mathrm { a n d } \quad \| Z _ { i } \mid \ensuremath { X } _ { i } , \ensuremath { A } _ { i } \| _ { \psi _ { 1 } } \leq 4 \big ( \gamma ^ { 2 } + \ensuremath { t } ( \varepsilon , \delta ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } = \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { { } \quad } & { \mathbf { m } = - \frac { \chi } { 3 } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 } = \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } , } & { { } \quad } & { \mathbf { B } _ { 0 } = - \frac { 2 \chi } { 3 R ^ { 3 } } \frac { \mathbf { d } _ { 0 } } { 1 + \frac { 2 \chi ^ { 2 } } { 9 } } . } \end{array}
\frac { \rho _ { a } } { \rho _ { \phi } } = \frac { m _ { a } } { m _ { \phi } } \frac { m _ { a } ( T _ { 1 } ) F _ { a } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } { \rho _ { \phi } ( t _ { 1 } ) / m _ { \phi } } = \frac { 3 } { 2 } \frac { F _ { a } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \frac { 1 } { \xi ( T _ { 1 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { T } g _ { a b } } & { = 2 N \Sigma _ { a b } + 2 \hat { N } g _ { a b } - \mathcal { L } _ { X } g _ { a b } , } \\ { \partial _ { T } \Sigma _ { a b } } & { = - 2 \Sigma _ { a b } - N ( \mathrm { R i c } [ g ] _ { a b } + \frac { 2 } { 9 } g _ { a b } ) + \nabla _ { a } \nabla _ { b } N + 2 N \Sigma _ { a c } \Sigma _ { b } ^ { c } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 3 } \hat { N } g _ { a b } - \hat { N } \Sigma _ { a b } - \mathcal { L } _ { X } \Sigma _ { a b } + N \tau S _ { a b } . } \end{array}
\mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) = \frac { 1 + q z _ { 0 } } { 1 + q H } \, , \qquad \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) = \frac { q ( H - z _ { 0 } ) } { 1 + q H } ,
\partial _ { \mu } \sqrt { - g } \partial ^ { \mu } \varphi + \sqrt { - g } V _ { r e n } ^ { \prime } ( \varphi ) + { \frac { \alpha ^ { 2 } } { m _ { \chi } ^ { 2 } } } u _ { \varphi } ^ { \prime } ( \varphi ) \partial _ { \mu } \sqrt { - g } \partial ^ { \mu } u ( \varphi ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { f ( x _ { \gamma } , y _ { \gamma } ) + \gamma p ( x _ { \gamma } , y _ { \gamma } ) - \epsilon _ { 1 } } & { \leq f ( x ^ { * } , y ^ { * } ) - \epsilon _ { 1 } + \epsilon _ { 2 } \quad \mathrm { s i n c e ~ } p ( x ^ { * } , y ^ { * } ) = 0 } \\ & { \leq f ( x _ { \gamma } , y _ { \gamma } ) + \gamma ^ { * } p ( x _ { \gamma } , y _ { \gamma } ) + \epsilon _ { 2 } \quad \mathrm { b y ~ . } } \end{array}