harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname * { l i m } _ { r \to 0 } \cos \biggl ( { \frac { \Theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \biggr ) \biggl ( | m | r \biggr ) ^ { F } f _ { n _ { 0 } } ( r ) = i \operatorname * { l i m } _ { r \to 0 } \sin \biggl ( { \frac { \Theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \biggr ) \biggl ( | m | r \biggr ) ^ { 1 - F } g _ { n _ { 0 } } ( r ) ,
\Delta _ { R } = \Re \Delta - \Re \left( { \frac { d ^ { * } } { a } } \right) - 2 \Re \epsilon _ { M } \Re \left( { \frac { c ^ { * } } { a } } \right) , \; \; \Delta _ { I } = \Im \Delta + \Im \left( { \frac { c ^ { * } } { a } } \right) - 2 \Im \epsilon _ { M } \Re \left( \frac { c ^ { * } } { a } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 0 } } & { = \alpha f _ { \mathrm { c } } + ( 1 - \alpha ) f _ { \mathrm { t } } , } \\ { T _ { \mathrm { e f f } } } & { = \alpha ^ { 2 } T _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { c } } + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } T _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { t } } , } \\ { \varepsilon ( \theta ) } & { = \alpha \varepsilon _ { \mathrm { c } } ( \theta ) + ( 1 - \alpha ) \varepsilon _ { \mathrm { t } } ( \theta ) , } \end{array} \right.
E ( C o v ^ { * } ( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } ) )
K _ { \mu } ^ { i } = \frac 1 2 ~ i ~ \varepsilon ^ { i a b } \overline { { { \psi } } } ^ { a } \gamma _ { \mu } \psi ^ { b } - i ~ { \frac { \varphi ^ { a } \overline { { { \psi } } } ^ { a } \gamma _ { \mu } \psi ^ { i } } { \sqrt { 1 - { \varphi } ^ { 2 } } } } ~ .
\begin{array} { r } { - \bar { \tau } ^ { - 1 } \varphi = - \frac { Z } { \tau } ( 1 - \hat { \Gamma } _ { 0 } ) \varphi \approx \left\{ \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { Z } { 2 \tau } \rho _ { i } ^ { 2 } \vec { \nabla } _ { \perp } ^ { 2 } \varphi , } & { \displaystyle k _ { \perp } \rho _ { i } \ll 1 , } \\ { \displaystyle - \frac { Z } { \tau } \varphi , } & { \displaystyle k _ { \perp } \rho _ { i } \gg 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda ^ { 2 } + \left( \frac { 5 } { 2 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } + \frac { 3 4 } { 2 1 } i k \right) \lambda + \left( \frac { 5 } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } i k - \left[ \frac { 4 } { 7 } - \frac { 5 \cot \theta } { 3 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } \right] k ^ { 2 } + \frac { 5 } { 6 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } k ^ { 4 } \right) = 0 .
\gamma ^ { 1 2 5 6 } \epsilon _ { ( 1 ) } = + \epsilon _ { ( 1 ) } , \qquad \gamma ^ { 1 4 5 8 } \epsilon _ { ( 2 ) } = + \epsilon _ { ( 2 ) } , \qquad \gamma ^ { 1 3 5 7 } \epsilon _ { ( 3 ) } = + \epsilon _ { ( 3 ) } .
\tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ^ { \star } \tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ^ { \star } / ( \tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ^ { \star } + \tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ^ { \star } )
\begin{array} { r l } { t = { } } & { { } x + { \frac { b } { 3 a } } } \\ { p = { } } & { { } { \frac { 3 a c - b ^ { 2 } } { 3 a ^ { 2 } } } } \\ { q = { } } & { { } { \frac { 2 b ^ { 3 } - 9 a b c + 2 7 a ^ { 2 } d } { 2 7 a ^ { 3 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } _ { \mathrm { ~ F ~ M ~ } } } & { { } = } & { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { { } = } & { 4 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \left( ( \Bar L | _ { a b ^ { \ast } } B ) ^ { \ast } Z \right) } & { = - \mathrm { t r } ( B _ { 0 } ^ { \ast } \alpha a ^ { \ast } Z + b \beta ^ { \ast } B _ { 0 } ^ { \ast } Z ) = - \mathrm { t r } ( B _ { 0 } ^ { \ast } \alpha a ^ { \ast } Z ) - \mathrm { t r } ( B _ { 0 } ^ { \ast } Z b \beta ^ { \ast } ) = 0 , } \end{array}
\delta ( \sqrt { - G } { \cal R } ) = \sqrt { - G } \left[ ( { \cal R } _ { a b } - \frac { 1 } { 2 } { \cal R } G _ { a b } ) \delta G ^ { a b } + ( G ^ { a b } \delta \Gamma _ { a b } ^ { c } - G ^ { a c } \delta \Gamma _ { a b } ^ { b } ) _ { ; c } \right]
p ( \theta | x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ) = \frac { \int p ( x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } | \theta , z ) p ( z ) d z \cdot p ( \theta ) } { \iint p ( x _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } | \theta , z ) p ( z ) p ( \theta ) d z d \theta } ,
S _ { \mathrm { l a t e n c y } } = { \frac { L _ { \mathrm { o l d } } } { L _ { \mathrm { n e w } } } } = { \frac { 2 . 2 5 ~ \mathrm { s } } { 1 . 5 0 ~ \mathrm { s } } } = 1 . 5 .
v _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - \sqrt { \left( v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } , z } ^ { 2 } } \right] .
\left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] \simeq \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 / \sqrt 2 } } & { { 1 / \sqrt 2 } } & { { s ^ { \prime } / \sqrt 2 } } \\ { { c / \sqrt 2 } } & { { - c / \sqrt 2 + s ^ { \prime } s } } & { { - s - s ^ { \prime } c / \sqrt 2 } } \\ { { s / \sqrt 2 } } & { { - s / \sqrt 2 - s ^ { \prime } c } } & { { c - s ^ { \prime } s / \sqrt 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right] .
\frac { d c _ { n } ( t ) } { d t } = \sum _ { n ^ { \prime } \ne n } ~ \exp \Bigl [ \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } \Bigl ( ( \theta _ { n ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) - \theta _ { n } ( t ^ { \prime } ) \Bigr ) d t ^ { \prime } \Bigr ] \times \frac { \Bigl < n ; t | \frac { { \cal D } \Lambda ( t ) } { { \cal D } t } | n ^ { \prime } ; t \Bigr > } { \bigl ( \lambda _ { n } ( t ) - \lambda _ { n ^ { \prime } } ( t ) \bigr ) } ~ c _ { n ^ { \prime } } ( t ) ,
{ \cal L } _ { G F } = - \frac { 1 } { 2 \xi } ( \partial _ { \mu } A ^ { \mu } + \xi e \varphi \hat { \phi } _ { I } ) ^ { 2 } , \qquad { \cal L } _ { F P G } = c ^ { \dagger } \left[ - \partial ^ { 2 } - \xi e ^ { 2 } \varphi ( \varphi + \hat { \phi } _ { R } ) \right] c
\begin{array} { r } { \beta _ { N ^ { * } } \geq \frac { 1 } { \underline { { \nu } } } \left( 4 \mu + 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \right) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \lambda ^ { * } \geq \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } } \left( 2 \mu + 3 \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \right) + \overline { { \nu } } . } \end{array}
\partial _ { \sigma } X ^ { 0 } | _ { \sigma = 0 , \pi } = \partial _ { \tau } X ^ { 5 \cdots 9 } | _ { \sigma = 0 , \pi } = \partial _ { \tau } X ^ { 1 \cdots 4 } | _ { \sigma = 0 } = g _ { i j } \partial _ { \sigma } X ^ { j } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } B _ { i j } \partial _ { \tau } X ^ { j } | _ { \sigma = \pi } = 0
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to 0 ^ { + } } \int _ { U _ { \epsilon } } \frac { ( h _ { W _ { t } } - h _ { K } ) ( u ) } { t } d S _ { K } ( u ) } & { \leq \int _ { U _ { \epsilon } } \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { ( h _ { W _ { t } } - h _ { K } ) ( u ) } { t } d S _ { K } ( u ) } \\ & { = \int _ { U _ { \epsilon } } l _ { d } ( u ) d S _ { K } ( u ) } \\ & { \leq \int _ { U _ { \epsilon } } f ( u ) d S _ { K } ( u ) - \epsilon S _ { K } ( U _ { \epsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { \leftarrow \lambda - \tau _ { \lambda } ( \nu \mathbf { 1 } + T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } ) , } \\ { \nu } & { = \frac { 1 } { \tau _ { \lambda } N _ { \mathrm { p i x } } } ( \mathbf { 1 } ^ { \top } \lambda - N _ { \mathrm { t o t a l } } - \tau _ { \lambda } \mathbf { 1 } ^ { \top } T ^ { \top } \bar { u } _ { \lambda } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ^ { a } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c } \gamma _ { a } \left[ \Delta E + \ln \left( \frac { 1 + \frac { c } { K _ { 0 } } } { 1 + \frac { c } { K _ { 1 } } } \right) \right] ^ { 2 } \left( 1 + \frac { c } { \sqrt { K _ { 0 } K _ { 1 } } } \right) } \\ & { \times \left( \frac { e ^ { \Delta E / 2 } p \left( 1 , c \right) } { 1 + c / K _ { 1 } } + \frac { e ^ { - \Delta E / 2 } p \left( 0 , c \right) } { 1 + c / K _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\rho _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ^ { \prime } } = ( - 1 ) ^ { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } } \, \epsilon _ { 1 } ^ { \mu } ( \lambda _ { 1 } ) \, \rho _ { 1 } ^ { \mu \nu } \, \epsilon _ { 1 } ^ { \nu } ( \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ) \ ,
{ \frac { d ^ { 2 } \theta ^ { i j } } { d t ^ { 2 } } } = \left( { \frac { q ^ { i j } } { J ^ { i } } } + { \frac { q ^ { j i } } { J ^ { j } } } \right) \tau ^ { i j } + \sum _ { k \neq j } S ( i j , i k ) { \frac { q ^ { i k } } { J ^ { i } } } \tau ^ { i k } + \sum _ { l \neq j } S ( i j , j l ) { \frac { q ^ { j l } } { J ^ { j } } } \tau ^ { j l }
\epsilon ^ { 1 } = \Omega \epsilon ^ { 2 } , \quad \Big [ A _ { I } \gamma ^ { I } \Omega + m X ^ { i } \Pi \gamma ^ { i } \Big ] \epsilon ^ { 2 } = 0 , \quad A _ { I } \gamma ^ { I } \equiv p ^ { + } ( - F _ { a + } \gamma ^ { a } + v _ { i } \gamma ^ { i } ) .
( i { \frac { \partial } { \partial x ^ { 0 } } } - \hat { \omega } \gamma ^ { 0 } ) _ { \alpha _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime } } { \bf \Psi } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { a } ^ { \prime } \ldots \alpha _ { N } } = 0 \; , \quad a = 1 , \ldots , N \; ,
\begin{array} { r l } { \Xi } & { = \sqrt { \frac { x _ { T } ^ { M } } { ( 2 \pi ) ^ { M } \mathrm { d e t } ( C ) } } \cdot \int \mathrm { d } \varphi _ { 1 } \dots \mathrm { d } \varphi _ { M } \prod _ { j = 1 } ^ { M } ( 1 + 2 z \cos \varphi _ { j } ) \prod _ { j = 1 } ^ { M } e ^ { i q _ { j } \varphi _ { j } } \dots } \\ & { \dots \exp \left( - \frac { x _ { T } } { 4 \xi \sinh ( 1 / \xi ) } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { M - 1 } ( \varphi _ { j + 1 } - \varphi _ { j } ) ^ { 2 } + 2 ( \cosh ( 1 / \xi ) - 1 ) \sum _ { j = 2 } ^ { M - 1 } \varphi _ { j } ^ { 2 } + ( e ^ { 1 / \xi } - 1 ) ( \varphi _ { 1 } ^ { 2 } + \varphi _ { M } ^ { 2 } ) \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 1 } } = - \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 6 } } = \bar { \psi } \big | _ { \Gamma _ { 8 } } } & { { } = \bar { \Psi } _ { 0 } , } \\ { \partial _ { \bar { \rho } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 8 } } = \partial _ { \bar { z } } \bar { \psi } | _ { \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 5 } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ R _ { t } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \sigma ^ { \prime } ( \boldsymbol { S } ^ { \mathrm { o p t } } , \boldsymbol { \theta } ^ { * ^ { \prime } } ) - \sigma ^ { \prime } ( \boldsymbol { S } _ { t } , \boldsymbol { \theta } ^ { * ^ { \prime } } ) \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sigma ^ { \prime } ( \boldsymbol { S } _ { t } , \tilde { \boldsymbol { \theta } _ { t } } ) - \sigma ^ { \prime } ( \boldsymbol { S } _ { t } , \boldsymbol { \theta } ^ { * ^ { \prime } } ) \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in \boldsymbol { X } _ { \boldsymbol { S } _ { t } , Y } } \left| \boldsymbol { V } _ { t , X } ^ { \intercal } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * ^ { \prime } } ) \right| \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in \boldsymbol { X } _ { \boldsymbol { S } _ { t } , Y } } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } \left\| \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * ^ { \prime } } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in \boldsymbol { X } _ { \boldsymbol { S } _ { t } , Y } } 2 \rho _ { t - 1 } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { T } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } } & { { } \approx } & { \mathrm { R e } ( n _ { \mathrm { t } } ) \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { L } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } } & { { } \approx } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { b } } & { { } = } & { S _ { + } + S _ { - } } \\ { S _ { + } } & { { } = } & { \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { s \ge 0 } \, \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \left| \widetilde { a } \left( s \right) \right| \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) + \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { a _ { 1 } \left( s \right) \ge 0 } \overline { { F } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s \right) \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) } \\ { S _ { - } } & { { } = } & { - \left[ \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { s < 0 } \overline { { \phi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \left| \widetilde { a } \left( s \right) \right| \overline { { \phi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) + \displaystyle \sideset { } { ' } \sum _ { a _ { 1 } \left( s \right) < 0 } \overline { { F } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s \right) \overline { { F } } _ { b } \left( s \right) \right] } \end{array}
V e f f ( \phi ) = V _ { 0 } ( \phi ) + \frac { N } { 2 } \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \ln \left[ p ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( \phi ) \right] - \frac { N } { 4 ! } ( \lambda _ { 0 } + \frac { \eta _ { 0 } \phi ^ { 2 } } { 1 0 N } ) F ( \phi ) ^ { 2 } - \frac { 2 N \eta F ( \phi ) ^ { 3 } } { 6 ! } .
\begin{array} { r l } { \Delta \phi } & { { } \cong \frac { ( n - 1 ) \, \lambda 2 ^ { \frac { n - 5 } { 2 } } } { \pi d } } \\ { \Rightarrow \log ( n - 1 ) + \frac { n - 5 } { 2 } \log 2 } & { { } = \log \frac { \pi d \Delta \phi } { \lambda } \, . } \end{array}
V = \frac { \Delta V - 2 \rho J z } { 4 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \ln \! \left( \frac { { \left( x + a \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { { \left( x - a \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { + } } & { { } = \frac { 2 q } { \alpha ^ { 2 } \left( Q - q \right) } \left( 2 q e ^ { - Q h } - \left( Q + q \right) e ^ { - q h } \right) \, , } \\ { c _ { 2 } ^ { + } } & { { } = \frac { 2 q ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } Q \left( Q - q \right) } \left( 2 Q e ^ { - q h } - \left( Q + q \right) e ^ { - Q h } \right) \, . } \end{array}
r ^ { \prime \prime } - \frac { L _ { z } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } = - \frac { q ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d r } \overline { { A _ { \perp } ^ { 2 } } } | _ { \eta = 0 } \, .
\begin{array} { r c l } { t _ { \ell } } & { = } & { t _ { S S l } \frac { 1 } { 1 + \varepsilon _ { S S l } } \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \bigg [ \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } + \varepsilon _ { S S l } \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } + 1 \right) \bigg ] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { \nu } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \big ( \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } \big ) - \bigg ( \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \big ( \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \big ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \big ( \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \big ) + \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } ( 1 + \frac { 1 } { I } ) ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \bigg ( 1 + I \bigg ) \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { I } \right) \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \bigg ( 1 + I \bigg ) \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
J _ { B } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , y _ { 3 } ) = \Gamma _ { 1 } q ^ { a _ { 1 } } ( y _ { 1 } ) q ^ { a _ { 2 } } ( y _ { 2 } ) C \Gamma _ { 2 } q ^ { a _ { 3 } } ( y _ { 3 } ) \varepsilon ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } & { \frac 1 8 \frac { | \Omega | } { 5 ^ { N } } \le \sum _ { B \in \mathcal { F } _ { S _ { 2 } } ^ { \prime } } | B | \le 5 ^ { N } \sum _ { i \in I ^ { \star } } | B ( y _ { i } ^ { \star } , 2 R _ { 0 } ) | } \\ & { \le \frac { 5 ^ { N } M ^ { p } } { \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { p } \omega _ { N } r _ { 1 } ^ { N } } \sum _ { i \in I ^ { \star } } \left| \left\{ w \ge \frac { 3 } { 2 } \right\} \cap B ( y _ { i } ^ { \star } , r _ { 1 } ) \right| | B ( y _ { i } ^ { \star } , 2 R _ { 0 } ) | } \\ & { \le \frac { 1 0 ^ { N } M ^ { p } R _ { 0 } ^ { N } } { \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { p } r _ { 1 } ^ { N } } \sum _ { i \in I ^ { \star } } \left| \left\{ w \ge \frac { 3 } { 2 } \right\} \cap B ( y _ { i } ^ { \star } , r _ { 1 } ) \right| \le \frac { 1 0 ^ { N } M ^ { p } R _ { 0 } ^ { N } } { \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { p } r _ { 1 } ^ { N } } \left| \left\{ w \ge \frac { 3 } { 2 } \right\} \right| , } \end{array}
< \rho > ^ { 2 } = - \frac { 6 m ^ { 2 } } { \lambda } - \frac { 1 8 e ^ { 2 } } { \lambda } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } + e ^ { 2 } < \rho > ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial k _ { 0 \rightarrow 1 } } { \partial A } } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \epsilon \Gamma \frac { e ^ { - ( E _ { r } - \epsilon + \bar { E } _ { d } ) ^ { 2 } } / 4 E _ { r } k T } { \sqrt { 4 \pi E _ { r } k T } } \times \sum _ { n } \left[ \frac { 1 } { \Omega } J _ { n } ( \frac { A } { \Omega } ) ( J _ { n - 1 } ( \frac { A } { \Omega } ) - J _ { n + 1 } ( \frac { A } { \Omega } ) ) f ( \epsilon - n \Omega ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { R ^ { 2 } } { 8 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } + C ( R , T ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } \leq \frac { R ^ { 2 } } { 4 } \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 N + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l } { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } \in F , \ \mathrm { \boldmath ~ y ~ } \in G , } \\ { y _ { k } q _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) = 0 \ ( k \in M ) } \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { \boldmath ~ X ~ } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } \end{array} \right) ^ { T } \in \widetilde { F } , \ \mathrm { \boldmath ~ y ~ } \in G , } \\ { y _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } ) = 0 \ ( k \in M ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ A ~ t ~ t ~ e ~ n ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ( \mathbf { Q } , \mathbf { K } , \mathbf { V } ) = \mathrm { ~ s ~ o ~ f ~ t ~ m ~ a ~ x ~ } \big ( \frac { \mathbf { Q } \mathbf { K } ^ { T } } { \sqrt { d _ { k } } } \big ) \mathbf { V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \sigma _ { 1 } . . . \sigma _ { N } } = } & { { } \sum _ { \alpha _ { 1 } , . . . , \alpha _ { N } } M _ { 1 \alpha _ { 1 } } ^ { \sigma _ { 1 } } \cdots M _ { \alpha _ { N } 1 } ^ { \sigma _ { N } } } \\ { = } & { { } \mathbf { M } ^ { \sigma _ { 1 } } \cdots \mathbf { M } ^ { \sigma _ { N } } . } \end{array}
\langle \; { \cal B } ( { \{ x \} } ) \; \rangle _ { 0 } ^ { \theta } \; \; : = \; \; e ^ { i \theta \frac { Q _ { 5 } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) } { 2 N } } \operatorname * { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) \; { \cal B } ( { \scriptstyle \{ x \} } ) \rangle _ { 0 } \; .
v _ { o } = { \frac { 2 \pi a } { T } } \left[ 1 - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { 2 } - { \frac { 3 } { 6 4 } } e ^ { 4 } - { \frac { 5 } { 2 5 6 } } e ^ { 6 } - { \frac { 1 7 5 } { 1 6 3 8 4 } } e ^ { 8 } - \dots \right]
\frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 { \Omega } _ { 0 } } = 2 { \Omega } _ { 0 } + s _ { 0 } = 2 { \Omega } _ { 0 } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } { \Omega } } { \mathrm { ~ d ~ l ~ n ~ } R } \bigg | _ { R _ { 0 } } \; ,
\sigma ( p p \to \Phi ^ { 0 } + X ) = \sigma _ { L O } ^ { \Phi ^ { 0 } } + \Delta \sigma _ { v i r t } ^ { \Phi ^ { 0 } } + \Delta \sigma _ { g g } ^ { \Phi ^ { 0 } } + \Delta \sigma _ { g q } ^ { \Phi ^ { 0 } } + \Delta \sigma _ { q \bar { q } } ^ { \Phi ^ { 0 } } \, .
\mathcal { C } ^ { T } ( \chi _ { 0 } , \cdot ) \ : \ \left\lbrace \begin{array} { r l } { L ^ { \infty } ( ( 0 , T ] , \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) ) } & { \rightarrow L ^ { \infty } ( ( 0 , T ] , \mathcal { B } ( L ^ { 2 } + L ^ { \infty } , L ^ { 1 } \cap L ^ { 2 } ) ) } \\ { \chi } & { \mapsto \mathcal { C } ( \chi _ { 0 } , \chi ) ( T ) } \end{array} \right.
+ 4 \pi i \sqrt { \frac 2 3 } \frac { 1 } { g } \Biggl [ S _ { \mathrm { i n t . } } \left( \Sigma ^ { 1 } , j _ { \mu } ^ { 1 } \right) + S _ { \mathrm { i n t . } } \left( \Sigma ^ { 2 } , j _ { \mu } ^ { 2 } \right) - S _ { \mathrm { i n t . } } \left( \Sigma ^ { 1 } , j _ { \mu } ^ { 3 } \right) - S _ { \mathrm { i n t . } } \left( \Sigma ^ { 2 } , j _ { \mu } ^ { 3 } \right) \Biggr ] \Biggr \} ,
( r _ { 1 } , \ { \vec { v } } _ { 1 } ) ( r _ { 2 } , \ { \vec { v } } _ { 2 } ) = ( r _ { 1 } r _ { 2 } - { \vec { v } } _ { 1 } \cdot { \vec { v } } _ { 2 } , \ r _ { 1 } { \vec { v } } _ { 2 } + r _ { 2 } { \vec { v } } _ { 1 } + { \vec { v } } _ { 1 } \times { \vec { v } } _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } \psi _ { 1 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = - \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( s , 0 ) - h _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( s , 0 ) ) , } \\ { x _ { 1 } \psi _ { 2 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( s , 0 ) - h _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ( s , 0 ) ) , } \\ { x _ { 1 } \psi _ { 3 , B } \Big | _ { t = 0 } } & { = \frac { i } { \sqrt { \pi } } ( h _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ( s , 0 ) - h _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ( s , 0 ) ) . } \end{array}