harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\| R \| = \operatorname* { m a x } _ { \substack { y \in \mathbb { R } ^ { n } \, \| y \| = 1 } } \| R y \| = \operatorname* { m a x } _ { \substack { \beta \in \mathbb { R } ^ { n } \, \| \beta \| = 1 } } \Big \| R \sum _ { i = 1 } ^ { n } \beta _ { i } e _ { i } \Big \| \leq \operatorname* { m a x } _ { \substack { \beta \in \mathbb { R } ^ { n } \, \| \beta \| = 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \beta _ { i } | \, \| R e _ { i } \| .
\begin{array} { r l r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } G _ { j _ { l } j _ { l } } , } & { { } } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} G _ { h _ { l } h _ { l } } , } & { { } } & { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } = \sigma \sum _ { l m } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ \left( a _ { l m } + b _ { l m } \right) G _ { j _ { l } h _ { l } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla I _ { h } ^ { \textit { s z } } u ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) \, , } \\ { \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla I _ { h } ^ { \textit { s z } } u ) } & { \lesssim 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla I _ { h } ^ { \textit { s z } } u ) \lesssim 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \, , } \end{array} } \end{array}
D _ { - \frac { i } { 2 } \Lambda } ( - ( 1 + i ) \tau ) , \; \; D _ { - \frac { i } { 2 } \Lambda } ( ( 1 + i ) \tau ) , \; \; D _ { \frac { i } { 2 } \Lambda - 1 } ( ( 1 - i ) \tau ) , \; \; D _ { \frac { i } { 2 } \Lambda - 1 } ( - ( 1 - i ) \tau ) .
p _ { i } ( { \mathcal I } _ { i } | { \mathcal I } _ { 0 } , \dots , { \mathcal I } _ { i - 1 } , E _ { 0 } , \dots , E _ { 2 9 } , E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ) , \qquad i = 0 , \dots , 2 9
\int _ { - a + i ( \epsilon - h ) } ^ { a + i ( \epsilon - h ) } + \int _ { a + i ( \epsilon - h ) } ^ { a - i \epsilon } + \int _ { a - i \epsilon } ^ { - a - i \epsilon } + \int _ { - a - i \epsilon } ^ { - a + i ( \epsilon - h ) } \vartheta ( w ) \; d w = 0 , \qquad a , \epsilon > 0 .
\rho ( { \boldsymbol { \beta } } \mid \sigma ^ { 2 } ) \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - k / 2 } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) ^ { \mathrm { { T } } } \mathbf { \Lambda } _ { 0 } ( { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \mu } } _ { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \left. \eta _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } \sum _ { i \in [ K ] } Q _ { t - i , i } ^ { 2 } \mathbb E \left[ \left. S _ { t , i } ^ { \prime 2 } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le M ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = M \sum _ { t = 1 } ^ { T } M L _ { t - 1 } ^ { - 1 } t ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \left( \sqrt { 8 6 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \cdot \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( b ) } \le M \sum _ { t = 1 } ^ { T } t ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \left( \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \cdot \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \le M T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \cdot \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( c ) } \le 2 M T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \sqrt { 1 + \sum _ { s = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\varepsilon _ { i j k } S _ { j } v _ { k } = \left[ \vec { S } , \vec { v } \right] _ { i } = - \frac { S _ { B } } { \omega } a _ { i } , \quad \varepsilon _ { i j k } S _ { j } a _ { k } = \left[ \vec { S } , \vec { a } \right] _ { i } = { S _ { B } } { \omega } v _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { P f } \left( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } \right) ^ { 2 } } & { = \operatorname* { d e t } ( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } ) = 1 } \\ { \Rightarrow \mathrm { P f } \left( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } \right) } & { = \pm 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { | \alpha | = n } \frac { ( 2 \alpha ) ! } { ( \alpha ! ) ^ { 2 } } } & { = \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } } \\ & { \approx 2 + \frac { \sqrt { n } } { 2 ^ { 2 n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } } \\ & { \approx 2 + \sqrt { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { k } \sqrt { n - k } } } \\ & { \approx \sqrt { n } \sum _ { 1 \leq k \leq n / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { k } \sqrt { n - k } } } \\ & { \approx \sum _ { 1 \leq k \leq n / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \approx \sqrt { n } . } \end{array}
D ( t , u ) = 4 \int _ { \ensuremath { \mathbf { i } } \mathbb R } \frac { d z } { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } \pi } e ^ { \frac { t z ^ { 2 } } { 2 } - u z } z = 4 \int _ { \ensuremath { \mathbf { i } } \mathbb R + 1 + \eta } \frac { d z } { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } \pi } e ^ { \frac { t z ^ { 2 } } { 2 } - u z } z = d P _ { t } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , 0 ) .
\sum _ { \mathbf { b \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { b } \right) - \mathbf { 1 } \right] } x _ { \mathbf { b } } ^ { \mathbf { k } } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { m } } H _ { \left( \mathbf { b , k } \right) } = 0 , \mathbf { ~ m \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] ,
\operatorname* { P r } \left[ \sqrt { S _ { n } } > \epsilon + \sqrt { \mathbb { E } [ S _ { n } ] } \right] \le \operatorname* { P r } \left[ \sqrt { S _ { n } } > \epsilon + \mathbb { E } \left[ \sqrt { S _ { n } } \right] \right] = \operatorname* { P r } \left[ \sqrt { S _ { n } } - \mathbb { E } \left[ \sqrt { S _ { n } } \right] > \epsilon \right] .
M ( p _ { i } , p _ { \varphi } , \varphi , \psi ) = M _ { b o s } ( p _ { i } , p _ { \varphi } , \varphi ) + i T r ( \psi ^ { A } \gamma _ { A B } ^ { i } [ \phi ^ { i } , \psi ^ { B } ] ) + O ( \psi ^ { 4 } ) + \cdots \, ,
x ^ { \pm } \rightarrow x ^ { \pm } \pm \alpha _ { 0 } , ~ ~ ~ ~ ~ x ^ { \pm } \rightarrow x ^ { \pm } \pm \alpha _ { 1 } x ^ { \pm } , ~ ~ ~ ~ ~ x ^ { \pm } \rightarrow x ^ { \pm } \pm \alpha _ { 2 } ( x ^ { \pm } ) ^ { 2 } ,
H ( \phi , \pi ) = \int d x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { x } \phi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + V ( \phi ) \right] .
| \psi \rangle = \sum _ { \{ s \} } \sum _ { \{ i \} } A [ 1 ] _ { i _ { 1 } } ^ { s _ { 1 } } A [ 2 ] _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { s _ { 2 } } \cdots A [ N ] _ { i _ { N - 1 } } ^ { s _ { N } } | s _ { 1 } \cdots s _ { N } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] } \\ & { \leq \left| \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , \boldsymbol { \mathcal { G } } _ { \mathrm { T r u e } } ( a ) ) \right] \right| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { \mathcal { F } } \in \mathscr { F } } \left| \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , S } } \left[ \boldsymbol { \mathcal { F } } ( a ) \right] - \boldsymbol { \mathbb { E } } _ { a \sim \mu _ { a , T } } \left[ \boldsymbol { \mathcal { F } } ( a ) \right] \right| = \gamma _ { \mathscr { F } } ( \mu _ { a , S } , \mu _ { a , T } ) . } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t ) } & { = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle } \\ { ( f _ { \mathrm { C C } } ( t ) ) _ { \mu } } & { = \langle \mu \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \theta ( \xi _ { 1 } \cdots \xi _ { n } ) } & { = \theta ( \xi _ { 1 } ) \cdots \theta ( \xi _ { n } ) , } \\ { \tau ( \xi _ { 1 } \cdots \xi _ { n } ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } \xi _ { n } \cdots \xi _ { 1 } , } \\ { ( \xi _ { 1 } \cdots \xi _ { n } ) ^ { \ast } } & { = ( - 1 ) ^ { n } \theta ( \xi _ { n } ) \cdots \theta ( \xi _ { 1 } ) . } \end{array}
\bar { \psi } ( p ^ { \prime } ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \psi ( p ) = \bar { \psi } ( p ^ { \prime } ) \left[ { \frac { ( p ^ { \prime } - p ) _ { \mu } } { 2 m } } + { \frac { i } { 2 m } } \sigma _ { \mu \nu } ~ ( p ^ { \prime } + p ) ^ { \nu } \gamma _ { 5 } \right] \psi ( p )
\begin{array} { r } { \frac { \bigl ( a \varepsilon ^ { 3 } \kappa ^ { - 1 } \bigr ) ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } \kappa ^ { - 1 } } = \frac { a ^ { 2 } \varepsilon ^ { 4 } } { \kappa } \, . } \end{array}
\left( \beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { 3 } ^ { 2 } } - 2 \mathrm { i } k M \frac { \partial } { \partial y _ { 1 } } + k ^ { 2 } \right) G ^ { a } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { x } , \omega ) = \delta ( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { x } ) .
\begin{array} { r l } { \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) = } & { e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) } \\ & { - H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } - f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } . } \end{array}
{ \cal E } \; = \; { \frac { 2 \pi \rho ^ { 2 } a } { m } } \left\{ 1 \; + \; { \frac { 1 2 8 } { 1 5 \sqrt { \pi } } } \sqrt { \rho a ^ { 3 } } \; + \; \left[ { \frac { 8 } { 3 } } ( 4 \pi - 3 \sqrt { 3 } ) \log ( \rho a ^ { 3 } ) + \kappa \right] \rho a ^ { 3 } \; + \; \ldots \right\} \; ,
E ^ { ' } = \sum _ { i < j } \sigma _ { i j } A _ { i j } = \sigma _ { 1 2 } A _ { 1 2 } + \sigma _ { \mathrm { { 1 S } } } A _ { \mathrm { { 1 S } } } + \sigma _ { \mathrm { { 2 S } } } A _ { \mathrm { { 2 S } } } .
\sigma ( k ) = \int | f ( k , \theta ) | ^ { 2 } d \Omega = 4 \pi \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \frac { s i n ^ { 2 } ( \delta _ { l } ( k ) ) } { k ^ { 2 } } \equiv \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sigma _ { l } ( k ) .
\begin{array} { r l } { q _ { + - } ^ { 1 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = - \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } u _ { i } G _ { 1 } ( u ) d u \right) \int _ { \mathbf S ^ { 2 } } \mathrm { s g n } ( \xi \cdot \omega ) \omega _ { i } \{ G _ { 2 } ( R _ { \omega } \xi ) - G _ { 2 } ( \xi ) \} d \omega } \\ & { \quad + 2 \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } u _ { i } G _ { 1 } ( u ) d u \right) \int _ { \mathbf S ^ { 2 } } \mathrm { s g n } ( \xi \cdot \omega ) \omega _ { i } \omega \cdot \nabla _ { \xi } G _ { 2 } ( R _ { \omega } \xi ) d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \rho _ { 0 } \partial _ { t } v _ { 1 } = \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 1 } } \tilde { p } - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } f \sin \theta , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { t = 0 } = 0 , } \\ & { 0 = - \partial _ { y _ { 3 } } \tilde { p } - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } f \cos \theta , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } f - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f = \mathrm { P e } _ { s } \Gamma _ { 0 } v _ { 1 } \sin \theta , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } f \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. f \right| _ { t = 0 } = 0 . } \end{array}
\rho _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 + \sin { 2 \alpha } { \cos { \beta } } } { 2 } } & { \Lambda \frac { \cos { 2 \alpha } - i \sin { 2 \alpha } \sin { \beta } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \Lambda \frac { \cos { 2 \alpha } + i \sin { 2 \alpha } \sin { \beta } } { 2 } } & { \frac { 1 - \sin { 2 \alpha } { \cos { \beta } } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l l } { { \left( i M \cosh \theta e ^ { \theta / 2 } + i h e ^ { - \theta / 2 } e ^ { i \beta \phi _ { 0 } } - h e ^ { \theta / 2 } \right) A _ { + } ^ { \dagger } ( \theta ) \, B + \mu M \cosh \theta e ^ { - \theta / 2 } A _ { - } ^ { \dagger } ( \theta ) \, B } } \\ { { + \left( i M \cosh \theta e ^ { - \theta / 2 } + i h e ^ { \theta / 2 } e ^ { i \beta \phi _ { 0 } } - h e ^ { - \theta / 2 } \right) A _ { + } ^ { \dagger } ( - \theta ) \, B } } \\ { { + \mu M \cosh \theta e ^ { \theta / 2 } A _ { - } ^ { \dagger } ( - \theta ) \, B = 0 , } } \end{array}
\tilde { \Gamma } _ { I J } ^ { i } = \Gamma _ { I J } ^ { i } - ( T ^ { i } + \bar { T ^ { i } } ) G _ { I J } - { \frac { 2 } { 3 } } ( T ^ { i } + \bar { T ^ { i } } ) ( T ^ { k } + \bar { T ^ { k } } ) K _ { T k j } \Gamma _ { I J } ^ { j }
S _ { \mathcal { F } , \mathcal { F } } \left( \omega \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \tau \, \mathrm { e } ^ { i \omega \tau } C _ { \mathcal { F } , \mathcal { F } } \left( \tau \right) = A \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \, \frac { 2 \gamma _ { j } } { \omega ^ { 2 } + \gamma _ { j } ^ { 2 } } = A \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \gamma \, \rho \left( \gamma \right) \frac { 2 \gamma } { \omega ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } ,
\mathscr { L } _ { \mathrm { ~ S ~ M ~ } } = \frac { e } { \sin \theta _ { W } \cos \theta _ { W } } Z _ { \mu } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \bar { l } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \nu } _ { \alpha } \gamma ^ { \mu } P _ { L } \nu _ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \bar { u } \gamma ^ { \mu } P _ { L } u - \frac { 1 } { 2 } \bar { d } \gamma ^ { \mu } P _ { L } d \right] \; ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { p } = \frac { q } { m c } \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } \mathbf { E } _ { j } , } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } \mathbf { E } _ { j } = - 4 \pi c _ { j } \bar { \vec { J } } , \ j = 1 , . . . , M , } \\ & { \bar { \vec { J } } = \frac { q c } { V _ { g } } \frac { \vec { p } } { \sqrt { 1 + p ^ { 2 } } } , } \end{array}
H = i \left[ \begin{array} { c c c } { - \mathbb { G } _ { R C } } & { - \mathbb { C } ^ { - 1 } } & { - \mathbb { C } ^ { - 1 } \mathbb { S } } \\ { \mathbb { L } ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathbb { L } _ { x } ^ { - 1 } \mathbb { S } ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \equiv \left\langle \tilde { E } _ { + } ^ { ( a ) } ( \tau ) \right\rangle } \\ & { = \mathcal { E } _ { + , i n } ^ { ( a ) } ( \tau ) + \frac { 3 i \hbar \Gamma _ { \mathrm { s p } } } { 8 \pi \mu } \sum _ { z _ { b } < z _ { a } } \mathcal { G } ( \mathbf { r } _ { a } - \mathbf { r } _ { b } ) \rho _ { e g } ^ { ( b ) } ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq D _ { \alpha } ( P _ { p } , Q ) = \frac 1 { \alpha - 1 } \log \mathbb { E } \left[ \left( \frac { d Q } { d P } \right) ^ { \alpha } \left( \frac { d P _ { p } } { d P } \right) ^ { 1 - \alpha } \right] } \\ & { = - p \log \mathbb { E } \left[ \left( \frac { d Q } { d P } \right) ^ { \alpha } | X | \right] + p \log \| X \| _ { p } , } \end{array}
\zeta _ { 2 } ^ { L L T + T R } ( 0 ) = \left( \frac { \alpha } { A } \right) ( P r ^ { 2 } ) - \left( \frac { a _ { 1 } - 2 } { A } \right) ( Q r ^ { 2 } ) + \left[ \frac { 2 } { 3 A } ( 3 \alpha - 2 A ) + \frac { a _ { 1 } - 2 } { A } \right] \ .
\begin{array} { r l r } { C _ { i j } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N ^ { ' } } \sum _ { a = 1 } ^ { N ^ { ' } } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } | F T ( I ^ { a } ) _ { i , j } | ^ { 2 } , } \\ { B _ { i j } } & { { } = } & { f \times \frac { 1 } { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { D ^ { 2 } } | F T ( Y ^ { a } ) _ { i , j } | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \Big ( \sum _ { Q \in \mathbb { D } _ { l } } | Q | \big ( \delta [ \Psi ; 0 . 6 \ell ( Q ) ] ( c _ { Q } ) \big ) ^ { p } \Big ) ^ { q / p } = \Big ( \sum _ { Q \in \mathbb { D } _ { l - N + n } } | Q | \big ( \delta [ \tilde { \Psi } ; 0 . 6 \ell ( Q ) ] ( c _ { Q } ) \big ) ^ { p } \Big ) ^ { q / p } \lesssim 2 ^ { - ( l - N ) q } , \quad l \geqslant N . }
\left( k _ { \bot } ^ { 2 } \, \frac { c ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } \; - \; k _ { \| } ^ { 2 } \, \nu ^ { 2 } \right) \delta \widetilde { \Phi } \; = \; - \, \left( \frac { k _ { \| } \omega _ { \mathrm { p } e } } { c } \right) \; \nu \; \delta \widetilde { A } _ { \| } ,
\sigma _ { \mathrm { s t a t } , \mathrm { s i m } , k } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { p r } } \left( N _ { \mathrm { p r } } - 1 \right) } \cdot \left[ \left( N _ { \mathrm { p r } } - N _ { \mathrm { d e p } } \right) \cdot c _ { \mathrm { s i m } , k } ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d e p } } } \left( c _ { \mathrm { s i m } , k l } - c _ { \mathrm { s i m } , k } \right) ^ { 2 } \right] }
r = \frac { N _ { f } \mathrm { F } _ { m ^ { 2 } } } { - N _ { f } \mathrm { F } _ { s } + 4 \pi / g ^ { 2 } } \rightarrow \frac { \mathrm { F } _ { m ^ { 2 } } } { - 3 \mathrm { F } _ { s } + 4 \pi / g ^ { 2 } } \approx \frac 1 3 < 1 \ .
E _ { c } ^ { \mathrm { R P A } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm { d } \omega } T r [ ( \ln ( 1 - \chi ^ { 0 } ( i \omega ) \nu ) + \chi ^ { 0 } ( i \omega ) \nu ) ]
\begin{array} { r l } { \frac { \log n } { \log p _ { \mathrm { m i n } } } } & { \geqslant \sum _ { q } \nu _ { q } ( n ) \geqslant \sum _ { q } \sum _ { p } ( p - 1 ) \nu _ { p } ( \nu _ { q } ( n ) + 1 ) = \sum _ { p } \left( ( p - 1 ) \sum _ { q } \nu _ { p } ( \nu _ { q } ( n ) + 1 ) \right) } \\ & { = \sum _ { p } ( p - 1 ) \nu _ { p } \left( \prod _ { q } ( \nu _ { q } ( n ) + 1 ) \right) = \sum _ { p } ( p - 1 ) \nu _ { p } ( d ( n ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 0 ) } F _ { 1 } ( \bar { r } , t ) = \frac { 1 } { \bar { r } } w _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { \bar { r } } \varrho \upsilon \; d \varrho - w ^ { ( 0 ) } \upsilon - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \left< P _ { s } ^ { ( 1 ) } \right> + \sigma ^ { ( 0 ) } \alpha g \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \pmb { \tau } } \: \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( A ) } & { { } = \sum _ { A } e ^ { - H ( A ) } = \sum _ { A } e ^ { - \sum _ { i , j \neq i } \left( \alpha _ { i } ^ { o u t } + \alpha _ { j } ^ { i n } \right) a _ { i j } } = } \end{array}
+ \frac { ( x + y - 1 ) ( x + y - 3 ) } { M _ { b } ^ { 2 } } \biggl [ \left( \frac { Z _ { b } } { 2 } \right) K _ { 1 } ( Z _ { b } ) e ^ { i ( x + y - 1 ) p \wedge p ^ { \prime } } - \frac { 1 } { 2 } \biggr ] \biggr \}
\mathbf { X } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { x _ { 1 } ^ { \mathsf { T } } } } & { \mathbf { x _ { 2 } ^ { \mathsf { T } } } } & { \dots } & { \mathbf { x _ { n } ^ { \mathsf { T } } } } \end{array} \right] } ^ { \mathsf { T } }
G _ { \pm } ( \alpha _ { \pm } ) = e ^ { \alpha _ { \pm } \bar { T } _ { \pm } } = 1 + \alpha _ { \pm } \bar { T } _ { \pm } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \frac { \alpha _ { \pm } } { \sqrt { 2 } } } } & { { \mp i \frac { \alpha _ { \pm } } { \sqrt { 2 } } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d V } { d r } } } & { = \overbrace { \frac { 2 \pi r h } { 3 } } ^ { \frac { \partial V } { \partial r } } + \overbrace { \frac { \pi r ^ { 2 } } { 3 } } ^ { \frac { \partial V } { \partial h } } { \frac { d h } { d r } } \, , } \\ { { \frac { d V } { d h } } } & { = \overbrace { \frac { \pi r ^ { 2 } } { 3 } } ^ { \frac { \partial V } { \partial h } } + \overbrace { \frac { 2 \pi r h } { 3 } } ^ { \frac { \partial V } { \partial r } } { \frac { d r } { d h } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r } { k ( \omega ) = k _ { 0 } + \frac { 1 } { v _ { g } } ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { 2 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { { \bf { F } } _ { i j } ^ { y k w } } } & { { } = } & { - { \nabla } { \sum _ { \substack { i < j } } { { { U } } _ { i j } ^ { y k w } } } } \\ { { { \bf { F } } _ { r } ^ { e x t } } } & { { } = } & { + { Q } { E _ { r } ^ { e x t } } { \hat { r } } } \\ { { { \bf { F } } _ { z } ^ { g } } } & { { } = } & { - { { m _ { d } } g { \hat { z } } } } \\ { { { \bf { F } } _ { z } ^ { e x t } } } & { { } = } & { + { Q } { E _ { z } ^ { e x t } } { \hat { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + T ) \right| ^ { 2 } = 4 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - \gamma T } } \\ & { \times } & { \left[ \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh \beta + \frac { \gamma } { \Omega } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sinh \beta \right] ^ { 2 } , } \\ { P _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + 2 T ) \right| ^ { 2 } = 1 6 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - 2 \gamma T } } \\ & { \times } & { \left\{ \left[ \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh \beta + \frac { \gamma } { \Omega } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \sinh \beta \right] ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \right\} ^ { 2 } , } \\ { P _ { 2 } ^ { ( 4 ) } } & { = } & { \left| u _ { 2 } ( \tau + 3 T ) \right| ^ { 2 } = 6 4 \; P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } e ^ { - 3 \gamma T } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta } \\ & { \times } & { \left[ \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cosh ^ { 2 } \beta - \frac { 1 } { 2 } \right] ^ { 2 } \qquad ( \gamma \ll \Omega _ { 0 } ) , } \end{array}
\mathcal { M } = \frac { ( - 1 ) ^ { L } d ^ { L / 2 } } { 2 \kappa ^ { L / 2 } } \left( \begin{array} { c c } { \kappa ^ { L } + 1 } & { - i ( \kappa ^ { L } - 1 ) } \\ { i ( \kappa ^ { L } - 1 ) } & { \kappa ^ { L } + 1 } \end{array} \right) .
\displaystyle \int _ { \mathcal { M } } d ^ { 4 } x \sqrt { g } \nabla _ { \mu } \left( T ^ { \mu \nu } \xi _ { \nu } \right) = \displaystyle \int _ { \partial \mathcal { M } } d ^ { 3 } \sigma \sqrt { h } n _ { \mu } T ^ { \mu \nu } \xi _ { \mu }