harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { - \lambda \beta _ { j } \varphi _ { j } = d _ { I _ { j } } \Delta \varphi _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \neq j } \left( \displaystyle \frac { L _ { j k } \bar { \varphi } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \varphi _ { j } \right) - \gamma _ { j } \varphi _ { j } , } & { x \in \Omega _ { j } , j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \varphi _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , j \in \Omega . } \end{array} \right.
\frac { d \mathbf { m } _ { 2 } } { d t } = - \gamma \mathbf { m } _ { 2 } \times \mathbf { H } _ { 2 } - \gamma H _ { \mathrm { s } 2 } \mathbf { m } _ { 2 } \times \left( \mathbf { m } _ { 2 } \times \mathbf { m } _ { 1 } \right) + \alpha _ { 2 } \mathbf { m } _ { 2 } \times \frac { d \mathbf { m } _ { 2 } } { d t } .
E _ { \mu \nu } = { \tilde { E } } _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { D - 2 } q _ { \mu \nu } { } ^ { ( D ) } R _ { \alpha \beta } n ^ { \alpha } n ^ { \beta } - \frac { 1 } { D - 2 } q _ { \mu } ^ { \alpha } q _ { \nu } ^ { \beta } { } ^ { ( D ) } R _ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { ( D - 1 ) ( D - 2 ) } q _ { \mu \nu } { } ^ { ( D ) } R ,
\begin{array} { r l } { s } & { : = r e _ { i _ { 1 } } + e _ { i _ { 2 } } \gamma _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } \circ \cdots \circ \gamma _ { i _ { k - 1 } i _ { k } } ( r ) } \\ & { \qquad + e _ { i _ { 3 } } \gamma _ { i _ { 3 } i _ { 4 } } \circ \cdots \circ \gamma _ { i _ { k - 1 } i _ { k } } ( r ) + \ldots + e _ { i _ { k - 1 } } \gamma _ { i _ { k - 1 } i _ { k } } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { A } + \mathbf { B } \right) \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) } & { { } = \left( \mathbf { X } - \mathbf { Y } \right) \mathbf { \Omega } } \\ { \left( \mathbf { A } - \mathbf { B } \right) \left( \mathbf { X } - \mathbf { Y } \right) } & { { } = \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) \mathbf { \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { m } } & { { } = \frac { \pi } { 2 } \, C _ { m } - \frac { 4 } { 3 } \, m \mu S _ { m } - \frac { 2 } { \mu } \frac { Q _ { m } } { 2 m + 1 } \, , } \\ { G _ { m } } & { { } = \pi \, T _ { m } - 2 ( 2 m + 1 ) \mu V _ { m } - \frac { 1 } { \mu } \frac { W _ { m } } { m + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { X , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) = } & { \sqrt { G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) } ( \hat { I } _ { X , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } ) + \hat { I } _ { X , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) ) , } \\ { \hat { I } _ { P , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) = } & { \sqrt { G _ { \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } ) } ( \hat { I } _ { P , \mathrm { a d d } } ( \omega _ { n } ) + \hat { I } _ { P , \mathrm { o u t } } ( \omega _ { n } ) ) . } \end{array}
F _ { - \gamma } ( p ) \, F _ { \gamma } ( p ) = \left( \frac { \Gamma ( 1 - \alpha - i \frac { \gamma p } { 2 \pi } ) \, \Gamma ( 1 - \alpha + i \frac { \gamma p } { 2 \pi } ) } { \Gamma ( 1 + \alpha - i \frac { \gamma p } { 2 \pi } ) \, \Gamma ( 1 + \alpha + i \frac { \gamma p } { 2 \pi } ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, .
P _ { e e } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \cos ^ { 2 } \theta } } & { { \sin ^ { 2 } \theta } } \\ { { \sin ^ { 2 } \theta } } & { { \cos ^ { 2 } \theta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 - P _ { c } ( \tilde { \theta } ) } } & { { P _ { c } ( \tilde { \theta } ) } } \\ { { P _ { c } ( \tilde { \theta } ) } } & { { 1 - P _ { c } ( \tilde { \theta } ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \geq \frac { 1 } { m _ { x } - 1 } \sum _ { i } \sum _ { k \neq i } \sum _ { y _ { v } } { \mathbb P } \{ D \in { \mathcal B } _ { i k } | H _ { i } , y _ { v } \} P _ { i , y _ { v } } = \frac { 1 } { m _ { x } - 1 } } \\ & { \times \sum _ { i } \sum _ { k > i } \sum _ { y _ { v } } \sum _ { d } \operatorname* { m i n } \Big \{ I ( d , i , y _ { v } ) P _ { i , y _ { v } } , I ( d , k , y _ { v } ) P _ { k , y _ { v } } \Big \} . } \end{array}
\mathbf { X } _ { k + 1 } = \frac { \mathbf { x } _ { i , k + 1 } - \overline { { \mathbf { x } _ { k + 1 } } } } { \sqrt { N _ { e } - 1 } } \; , \qquad \overline { { \mathbf { x } _ { k + 1 } } } = \frac { 1 } { N _ { e } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } \mathbf { x } _ { i , k + 1 }
\begin{array} { r c l } { { Q } } & { { = } } & { { \int _ { 0 } ^ { L } d x \, \psi ^ { \dagger } \psi = - \lambda ( p _ { + } - p _ { - } ) \ , } } \\ { { Q _ { 5 } } } & { { = } } & { { \int _ { 0 } ^ { L } d x \psi ^ { \dagger } \gamma _ { 5 } \psi = - \frac { i \lambda \sqrt { 2 \mu } } { 2 \sqrt { \pi } \sqrt { L } } \, \left[ \varphi _ { 0 } - \varphi _ { 0 } ^ { \dagger } \right] \ . } } \end{array}
\delta _ { \epsilon } \theta = \epsilon , \qquad \delta _ { \epsilon } x ^ { \mu } = - i ( \bar { \theta } \Gamma ^ { \mu \nu } \epsilon ) n _ { \nu } , \qquad \delta _ { \epsilon } z ^ { \mu } = - \frac { i } { e } ( \bar { \epsilon } \Gamma ^ { \mu \nu } \theta ) \Pi _ { \nu } .
\left< \overline { { \delta ^ { 2 } ( \Delta ) } } \right> \sim \frac { 2 v ^ { 2 } } { \alpha \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 + \alpha ) } \frac { \Delta ^ { 1 + \alpha } } { T ^ { 1 - \alpha } } + \frac { \Gamma ( 1 + 2 H ) } { \alpha \Gamma ( \alpha ) \Gamma ( 2 - \alpha + 2 H \alpha ) } \frac { \Delta ^ { 1 - \alpha + 2 H \alpha } } { T ^ { 1 - \alpha } } .
\Omega _ { i } = \frac { 1 } { \epsilon } \left[ ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } { \cal F } _ { i j } ( p _ { ( 0 ) } ^ { j } + A ^ { j } ) + M _ { i j } ( x _ { ( 1 ) } ^ { j } - x _ { ( 0 ) } ^ { j } ) \right] \approx 0 ,
M _ { 1 } = \langle x \rangle = { \frac { \lambda ( A + B ) } { 2 - A - B } } \; , \qquad M _ { 2 } = \langle x ^ { 2 } \rangle = { \frac { 2 ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) \lambda \langle x \rangle + ( A ^ { 2 } + B ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } } { 2 - A ^ { 2 } - B ^ { 2 } } } \; .
\left| Y _ { a _ { 1 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } = h ^ { a _ { 1 } b _ { 1 } } \cdots h ^ { a _ { n } b _ { n } } Y _ { a _ { 1 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) * } Y _ { b _ { 1 } \cdots b _ { n } } ^ { ( l ) } .
\alpha _ { \Lambda } = { \frac { \alpha _ { 0 } } { 1 + \alpha _ { 0 } b _ { 0 } \ln { { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } } } } } } = { \frac { 1 } { b _ { 0 } \ln { { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } } } } } \, .
c ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { r a n k } \left( \begin{array} { c c c } { B _ { t } B _ { t } ^ { T } A ^ { T } - A B _ { t } B _ { t } ^ { T } } & { - A B _ { t } B _ { r } ^ { T } } & { B _ { t } B _ { r } ^ { T } } \\ { B _ { r } B _ { t } ^ { T } A ^ { T } } & { 0 } & { B _ { r } B _ { r } ^ { T } } \\ { - B _ { r } B _ { t } ^ { T } } & { - B _ { r } B _ { r } ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c c } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 0 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \end{array} \! \! \right) \! \right) , } } \end{array}
\alpha = - { \frac { \zeta } { \left( x ^ { 2 } + { \frac { \zeta } { 2 } } \right) \left( x ^ { 2 } + \zeta \right) } } ( \bar { z } _ { 1 } d z _ { 1 } + \bar { z } _ { 2 } d z _ { 2 } ) ,
\frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } = - S _ { 2 } \, r _ { 2 t } = - S _ { 2 } \frac { c _ { s 2 } \, e ^ { - \frac { b _ { 2 } } { T } } r _ { m } } { c _ { s 2 } \, e ^ { - \frac { b _ { 2 } } { T } } + r _ { m } } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } ( q ) } & { = \sum _ { i + j + k \ge r , j \ne 0 } \frac { ( i + j + k ) ^ { r } } { ( i + j + k ) ! } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j } \bar { \epsilon } ^ { k } \| t ^ { i + j + k - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k < r , j \ne 0 } \| \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 1 E } \! } & { = } & { \! \chi _ { 2 E } = 0 \; , \; \chi _ { 3 E } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } \; , } \\ { \chi _ { 1 M } \! } & { = } & { \! \chi _ { 2 M } = 0 \; , \; \chi _ { 3 M } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \lambda u _ { i } ^ { 4 } - \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) u _ { i } ^ { 2 } \right] d x } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ \frac { b \lambda ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } u _ { i } ^ { 4 } - 2 \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) u _ { i } ^ { 2 } \right] d x } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \int _ { \Omega } \left[ \frac { \sqrt { b } \lambda } { 2 \sigma } u _ { i } ^ { 2 } - \frac { 2 \sigma } { \sqrt { b } \lambda } \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) \right] ^ { 2 } d x } \\ { - } & { \frac { 4 m \sigma ^ { 2 } } { b \lambda ^ { 2 } } \left[ \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right] ^ { 2 } | \Omega | \geq \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) \| u _ { i } \| ^ { 2 } - \frac { 4 m \sigma ^ { 2 } } { b \lambda ^ { 2 } } \left[ \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right] ^ { 2 } | \Omega | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } \left[ L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ M \left( \vec { x } \right) \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] \right] } & { = } & { \mathcal { F } \left[ L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ a \left( 1 - 2 \mathrm { s i n c } \left( 2 x \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] \right] } \\ & { = } & { \mathcal { F } \left[ a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] - a L \left( \vec { \alpha } \right) \left( \mathrm { r e c t } \left[ \frac { \alpha } { 2 } \right] \ast \left( \mathrm { r e c t } \left[ \alpha \right] e ^ { 2 \pi i \Theta \alpha } \right) \right) \right] } \\ & { = } & { \mathcal { F } \left[ a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ \mathrm { s i n c } \left( x - \Theta \right) \right] - a L \left( \vec { \alpha } \right) \mathrm { s i n c } \left( \Theta \right) \right] } \\ & { = } & { a \left( W _ { L } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } \left( x + \Theta \right) \right) - \mathrm { s i n c } \left( \Theta \right) W _ { L } \mathrm { s i n c } \left( W _ { L } x \right) \right) \mathrm { s i n c } \left( y \right) , } \end{array}
\Phi _ { n } ^ { \langle \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } \rangle } = \frac { \mathcal { N } ^ { ( \ell ) } } { \ell ! } \sum _ { r = 0 } ^ { n } \rho _ { r } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { \ell } } a _ { n r } ^ { ( \ell ) } .
\int d \Pi _ { 2 } = \int d p _ { 1 } p _ { 1 } ^ { 2 } d \Omega \frac { d p _ { 1 } p _ { 1 } ^ { 2 } d \Omega } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } 2 E _ { 1 } 2 E _ { 2 } } \left( 2 \pi \right) \delta \left( E _ { c m } - E _ { 1 } - E _ { 2 } \right)
\mathcal P ^ { n } = \mathcal P ^ { 0 } - \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { n - 1 } \mathcal I _ { P } ^ { n ^ { \prime } + \frac 1 2 } \Delta t \, , \quad \forall n = 1 , \hdots , n _ { t } \, ,
\chi _ { \mathrm { L D A } } ( k ) = \frac { \chi _ { \mathrm { L i n } } ( k ) } { 1 - \frac { 4 \pi } { k ^ { 2 } } \left[ 1 - G _ { \mathrm { L D A } } ( k ) \right] \chi _ { \mathrm { L i n } } ( k ) } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { l , u } } & { = k ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { H _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { H _ { l } } \mathbf { A } _ { H _ { l } } } + \lambda \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { \varepsilon } ( x ) } & { { } \approx } & { \sqrt { \frac { 2 m } { \pi \hbar p _ { 0 } } } \cos \left( \frac { p _ { 0 } \, ^ { 3 } ( x ) } { 3 \hbar F m } - \frac { \pi } { 4 } \right) \; \; , \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; x \to \infty } \\ { \phi _ { \varepsilon } ( x ) } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 2 m } { \pi \hbar | p _ { 0 } | } } \exp \left( - \frac { | p _ { 0 } ( x ) | ^ { 3 } } { 3 \hbar F m } \right) \; \; , \; \; \mathrm { f o r } \; \; x \to - \infty \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathbb { D } _ { u , k } [ \omega ] \| _ { L ^ { 2 } } + \| \mathbb { D } _ { u , k } ^ { 1 } [ \omega ] \| _ { L ^ { 2 } } \leq C \| \omega \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x _ { i } ( t + 1 ) = \frac { x _ { i } ( t ) ^ { b _ { i } } s _ { i } ( t ) } { x _ { i } ( t ) ^ { b _ { i } } s _ { i } ( t ) + ( 1 - x _ { i } ( t ) ) ^ { b _ { i } } ( d _ { i } - s _ { i } ( t ) ) } ~ , } \\ & { y _ { i } ( t + 1 ) = \phi _ { i } x _ { i } ( t + 1 ) + ( 1 - \phi _ { i } ) \hat { y } _ { i , a v g } ( t ) , } \\ & { \hat { y } _ { i , a v g } ( t ) = \sum _ { j \in N _ { i } } m _ { i j } y _ { j } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I I ^ { \prime \prime } = } & { 0 . 0 1 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 2 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 1 | P _ { 2 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 4 } \right) } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 4 } | P _ { 2 } ( r ) | \left( 0 . 0 1 | P _ { 1 } ( r ) | ^ { 2 } - | \mathcal { E } | ^ { 6 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { Z } } & { { = } } & { { ( \frac { \lambda } { 2 \pi } ) ^ { n } \ \displaystyle \int { \cal D } u { \cal D } \psi { \cal D } \chi \exp ( - L ) } } \\ { { ~ } } & { { = } } & { { \displaystyle \int { \cal D } u { \cal D } \psi { \cal D } \exp ( \frac { \lambda _ { i j k } \psi ^ { i } \psi ^ { j } \chi ^ { 2 k - 1 } \chi ^ { 2 k } } { \lambda } ) } } \\ { { ~ } } & { { = } } & { { \displaystyle \int { \cal D } u ( \frac { 1 } { 2 \pi } ) ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { i j k } . } } \end{array}
| \beta - \Delta _ { + } | ^ { 2 } - | \beta ^ { - 1 } - \Delta _ { - } | ^ { 2 } = ( \rho - \rho ^ { - 1 } ) ( \rho + \rho ^ { - 1 } - 2 \rho _ { 0 } \cos ( \phi - \phi _ { 0 } ) ) .
\begin{array} { r l r } { n _ { \mathrm { s } } } & { < } & { 6 . 8 \times 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { H z } \, \left( \frac { S _ { 1 2 } } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { d _ { \mathrm { e f f } } } \right) } \\ & { } & { \quad \times \left( \frac { n _ { \mathrm { d c } } } { 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { H z } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 1 \, \mathrm { d a y } } { \tau } \right) ^ { 1 / 2 } \, . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \to \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
{ \frac { d \phi _ { i } } { d t } } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } ^ { \prime } } { \partial I _ { i } } } = \omega _ { i } + { \frac { K } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left[ 2 { \sqrt { I _ { i } I _ { k } } } \sin ( \phi _ { k } - \phi _ { i } ) \right. \left. + { \sqrt { I _ { k } / I _ { i } } } ( I _ { k } - I _ { i } ) \sin ( \phi _ { k } - \phi _ { i } ) \right] .
( \ell - m + 1 ) P _ { \ell + 1 } ^ { m } ( x ) = ( 2 \ell + 1 ) x P _ { \ell } ^ { m } ( x ) - ( \ell + m ) P _ { \ell - 1 } ^ { m } ( x ) , \; 0 \leqslant m \leqslant \ell ,
\Big [ ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } R _ { 2 k - 1 , 2 n } x _ { 2 n } ^ { \mu } ) , ( \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } p _ { 2 m } ^ { \nu } T _ { 2 m , 2 l - 1 } ) \Big ] _ { \star } = i \delta _ { k , l } \eta ^ { \mu \nu }
\begin{array} { r } { \hat { \bf J } _ { z } = \int d ^ { 3 } { \bf r } \ { \bf r } \times \hat { \bf p } _ { \mathrm { f i e l d } } = \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ { \bf r } \times ( \hat { \bf E } \times \hat { \bf B } ) . } \end{array}
\sigma _ { s } ( s ) _ { i } = c _ { i } e x p ( - d _ { i } s ) , \mathrm { ~ \ \ \ \ } \sigma _ { v } ( s ) = \frac { 2 s - \beta ^ { 2 } ( 1 - e x p ( - 2 s / \beta ^ { 2 } ) ) } { 2 s ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { { \operatorname* { s u p } _ { g \in G _ { d } , d \in \mathbb { N } } \operatorname* { l i m } _ { c \to \infty } \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \frac { c } { \sqrt t } } { \mathbb E } _ { s _ { \alpha , g } ^ { \otimes t } } [ L ( \sqrt { t } ( \hat { \beta } _ { t } - \beta _ { \alpha , g } ^ { * } ) ) ] } \; . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { s c a l } } ^ { ( 2 ) } [ B ] = - { ( 4 \pi ) } ^ { - 4 } { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d T } { T ^ { 3 } } } e ^ { - m ^ { 2 } T } { \frac { z } { \sinh ( z ) } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u _ { a } \, A ^ { \prime } ( z , u _ { a } ) \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { C } } } { d t } } & { = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { \oplus } ^ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } + \frac { G M _ { \oplus } } { R _ { \oplus } } \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } J _ { 2 } + 3 ( C _ { 2 2 } \cos 2 \phi + S _ { 2 2 } \sin 2 \phi ) \Big ) \Big ] + { \cal O } ( 2 . 2 8 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \cos \phi ) , } \end{array}
L _ { C M } ( u ) _ { j } ^ { i } = ( p _ { i } - \frac { l } { n } \frac { \partial } { \partial q _ { i } } \ln \Delta ( z ) ) \delta _ { j } ^ { i } - \frac { l } { n } \sigma ^ { \prime } ( 0 ) ( 1 - \delta _ { j } ^ { i } ) \frac { \sigma ( u + z _ { j i } ) } { \sigma ( u ) \sigma ( z _ { j i } ) }
\begin{array} { r } { Q _ { \rho } ( s ) \simeq \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } \Big ( \frac { s } { \Gamma _ { 0 } } \Big ) ^ { \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } - 1 } \pi \csc \Big ( \frac { \beta _ { 0 } } { \beta } \pi \Big ) . } \end{array}
R _ { s } = \left( \frac { n _ { 1 } c o s \theta _ { i } - n _ { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } s i n \theta _ { i } \right) ^ { 2 } } } { n _ { 1 } c o s \theta _ { i } + n _ { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } s i n \theta _ { i } \right) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , x y } ^ { \sigma , e q } } & { { } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i x } v _ { i y } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) } \end{array} } \end{array}
S _ { \mathrm { S U G R A } } = - { \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } } \int d ^ { 1 1 } x \sqrt { - g } \left( R + { \frac { 1 } { 2 4 } } F _ { I J K L } F ^ { I J K L } + \cdots \right)
\begin{array} { l l } { { U = - 2 \pi \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } t } ^ { t } r d r ; } } \\ { { T = - 2 \pi \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } \tilde { T } _ { _ { ( 0 ) } z } ^ { z } r d r . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { J ( \ t h e t a ) } } & { { } = \mathrm { Q W P \left( \frac { \ p i } { 4 } \right) } \cdot \mathrm { H W P \left( \ t h e t a \right) } \cdot \mathrm { Q W P \left( - \frac { \ p i } { 4 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { l } & { \leq ( k + 1 ) ^ { | \mathcal { S } | | \mathcal { X } | | \mathcal { Z } | } \exp \left\{ k \left( H ( Q _ { X } , U _ { S | X } ) \right. \right. \left. \left. - R ( Q _ { X } , U _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) \right) \right\} } \\ & { = \exp \left\{ k \left( H ( Q _ { X } , U _ { S | X } \right) \right. \left. \left. - R ( Q _ { X } , U _ { S | X } , D _ { s } , D _ { x } ) + \hat { \epsilon } _ { 1 } ( k ) \right) \right\} , } \end{array}
( A _ { 1 } + \cdots + A _ { J } ) ^ { \alpha } = \frac { 1 } { \Gamma ( - \alpha ) } \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { 2 \pi i } \cdots \int _ { c _ { J } - i \infty } ^ { c _ { J } + i \infty } \frac { \mathrm { d } z _ { J } } { 2 \pi i } \langle z _ { 1 } + \cdots + z _ { J } - \alpha \rangle A _ { 1 } ^ { z _ { 1 } } \cdots A _ { J } ^ { z _ { J } } \Gamma ( - z _ { 1 } ) \cdots \Gamma ( - z _ { J } )
S = \frac { 1 0 A \kappa _ { t } \delta _ { 0 } [ \sqrt { 2 } | \Delta \bar { T } _ { 0 , c o } | / \bar { \delta } _ { c o } - 2 ] } { \pi ^ { 2 } L ^ { 2 } \tau _ { \dot { \theta } } \omega _ { r } ^ { 2 } \bar { \delta } _ { c o } } \ .
\begin{array} { r l } { { \mathbf Y } _ { D } ^ { 1 } } & { = { \textbf H } _ { S D } { \mathbf X } _ { S } ^ { 1 } + { \textbf H } _ { R D } ^ { 1 } { \mathbf X } _ { R } ^ { 1 } + { \mathbf W } _ { D } ^ { 1 } } \\ & { = [ { \textbf H } _ { S D } , { \textbf H } _ { R D } ^ { 1 } ] \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf U } [ { \mathbf I } _ { N _ { S } } , \mathbf { 0 } _ { N _ { S } \times n _ { r } } , { \mathbf V } _ { S } ^ { 1 } ] } \\ { \mathbf { 0 } _ { n _ { r } \times N _ { S } } , { \mathbf I } _ { n _ { r } } , { \mathbf V } _ { R } ^ { 1 } } \end{array} \right] + { \mathbf W } _ { D } ^ { 1 } } \\ & { = [ { \textbf H } _ { S D } { \mathbf U } , { \textbf H } _ { R D } ^ { 1 } ] \Bigg [ { \mathbf I } _ { ( N _ { S } + n _ { r } ) } , \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf V } _ { S } ^ { 1 } } \\ { { \mathbf V } _ { D } ^ { 1 } } \end{array} \right] \Bigg ] + { \mathbf W } _ { D } ^ { 1 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { n } = V _ { n } ( \varphi _ { n } ) + \frac { Z _ { n } } { 4 \epsilon ^ { 2 } } \{ ( \varphi _ { n + 1 } - \varphi _ { n } ) ^ { 2 } + ( \varphi _ { n } - \varphi _ { n - 1 } ) ^ { 2 } \}
\begin{array} { r l } { I l l ( r , \theta , t ) } & { { } = \iint _ { - \infty } ^ { \ \ \ + \infty } M ( r _ { d } , \theta _ { d } , t ) e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } ( r _ { d } r \cdot ( c o s ( \theta _ { d } ) c o s ( \theta ) + s i n ( \theta _ { d } ) s i n ( \theta ) ) } r _ { d } \mathrm { d } r _ { d } \mathrm { d } \theta _ { d } } \end{array}
\langle \chi _ { c L } \rangle = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { v _ { L } } } \end{array} \right) , \quad \langle \chi _ { c R } \rangle = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { v _ { R } } } \end{array} \right) , \quad \langle \Phi \rangle = \left( \begin{array} { l l l l } { { v } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { v } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { v } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { v ^ { \prime } } } \end{array} \right) .