harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { = \operatorname* { m i n } _ { y ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 \} ^ { l } } \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } ( y ^ { \prime } ) } c ( x ) } \\ & { \geq \operatorname* { m i n } _ { y ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 \} ^ { l } } \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } G ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { h \in \Omega } \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathcal { Y } ( x , h , y ^ { \prime } ) } c ^ { \top } y } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } G ( x ) + \operatorname* { m i n } _ { y ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 \} ^ { l } } \operatorname* { m a x } _ { h \in \Omega } \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathcal { Y } ( x , h , y ^ { \prime } ) } c ^ { \top } y } \\ & { \overset { ( * ) } { \geq } \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } G ( x ) + \operatorname* { m a x } _ { h \in \Omega } \operatorname* { m i n } _ { y ^ { \prime } \in \{ 0 , 1 \} ^ { l } , y \in \mathcal { Y } ( x , h , y ^ { \prime } ) } c ^ { \top } y = . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \varphi _ { \bf k } \frac { \partial n _ { \bf k } } { \partial t } \, d { \bf k } } & { = \pi \int \frac { \alpha ^ { 2 } } { \left( \Lambda + p _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \delta ( - 2 { \bf p } _ { 1 } \cdot { \bf p } _ { 2 } ) n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { k } ^ { 2 } ( { \bf p } _ { 1 } \cdot 2 { \bf k } ) ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } - \partial _ { \omega _ { 2 } } \varphi _ { \omega _ { 2 } } \right) d { \bf k } _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } , } \end{array}
\big \| { \bf G } _ { \omega } ^ { - 1 } u \big \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \lesssim _ { s } \big ( \| u _ { 1 } \| _ { s , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| u _ { 2 } \| _ { s , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) + \| { \mathfrak I } _ { 0 } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ( \| u _ { 1 } \| _ { s _ { 0 } , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| u _ { 2 } \| _ { s _ { 0 } , 0 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) \, .
\begin{array} { r l r } { \langle \dot { \theta } _ { i } ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \langle ( - | \Gamma | \sum _ { j \in \Omega _ { i } } \sin ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) ) ^ { 2 } \rangle } \\ & { = } & { \Gamma ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P r o b ( \# n e i g h b o r s = n ) \bigg [ \sum _ { j = 2 } ^ { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta _ { j } } \\ & { + } & { \sum _ { j \neq k , = 2 } ^ { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta _ { j } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( \theta _ { k } - \theta _ { i } ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta _ { k } \bigg ] } \\ & { = } & { \Gamma ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } P r o b ( \# n e i g h b o r s = n ) \sum _ { j = 2 } ^ { n + 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta _ { j } } \\ & { = } & { \Gamma ^ { 2 } M \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \frac { 1 } { 2 \pi } d \theta _ { j } = \frac { \Gamma ^ { 2 } M } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \left( \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { \left( \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \psi \right) \right) _ { Q _ { T } } + \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \psi \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { \left( - \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( - \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } + \left( g _ { 0 } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \psi \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \right) _ { Q _ { T } } . } \end{array}
c _ { 2 } = 1 6 0 / 2 7 ~ , \qquad { \hat { \lambda } } = \frac { 1 } { 5 2 } > 0 ~ , \qquad { \hat { \xi } } = \frac { 1 7 1 } { 2 6 } > 0 \qquad ( \mathrm { a n t i ~ d e ~ S i t t e r ~ b u l k } )
\begin{array} { r l } { u _ { t } } & { = - ( 1 + \Delta ) ^ { 2 } u + \rho ( \mathbf { x } , t ) u - u ^ { 3 } , \qquad \rho ( \mathbf { x } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mu , } & { \, \, \mathbf { x } \in \Omega _ { t } } \\ { - \mu , } & { \, \, \mathbf { x } \in \Omega _ { t } ^ { c } } \end{array} \right. , \qquad \mu > 0 , \qquad \mathbf { x } = ( x , y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } ( \nu - \gamma ) , } \\ { \check { v } _ { 1 c } } & { = \frac { 1 + \alpha } { \alpha } { P } _ { 0 + } \check { v } _ { 1 + } - ( { T } _ { 1 + } - { P } _ { 1 + } { V } _ { 0 + } ) \left( \frac { 1 } { \alpha } - \ln { | \alpha | } \right) } \\ & { \quad + b ^ { 2 } { V } _ { 0 + } ^ { 2 } \frac { 1 + \gamma - B } { 4 } \alpha ( 2 + \alpha ) + b ^ { 2 } \frac { V _ { 0 + } } { P _ { 0 + } } \nu \frac { d T _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \left( \alpha + \frac { \ln { | \alpha | } } { 2 } \right) \ln { | \alpha | } } \\ & { \quad + b ^ { 2 } V _ { 0 + } \nu \frac { d V _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } ( \alpha + 2 \ln { | \alpha | } ) . } \end{array}
B = \left\{ { \left[ \begin{array} { l l l } { * } & { * } & { * } \\ { 0 } & { * } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { * } \end{array} \right] } \right\} , { \mathrm { ~ } } U _ { 1 } = \left\{ { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { * } & { * } \\ { 0 } & { 1 } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \right\}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \Delta p _ { C } ) \simeq } & { { } \left[ \left( \frac { 1 } { N } \right) ^ { 2 } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = \frac { 1 } { N } \right) + \left( - \frac { 1 } { N } \right) ^ { 2 } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) \right] \Delta t } \\ { = } & { { } ~ \frac { 2 ( k - 2 ) } { ( k - 1 ) N ^ { 2 } } p _ { C } ( 1 - p _ { C } ) ( 1 - w _ { R } ) \Delta t } \\ { \equiv } & { { } ~ v ( p _ { C } ) \Delta t . } \end{array}
{ \mathrm { . . . . . . . } } \left( { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } } \right) { \sqrt [ [object Object] ] { 5 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } + 6 + 3 \left( { \sqrt [ [object Object] ] { 8 9 + 3 ( 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 5 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 2 5 + 3 ( 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } + 5 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } ) } } \right) } }
\begin{array} { r l } { D _ { i + 1 } } & { = D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { < D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) + ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = u ^ { \mathrm { o u t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ( 0 ) \right\rangle } & { = \mathbf { A } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { Y } } , } \\ { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { Y } ^ { \dagger } ( 0 ) \right\rangle } & { = \mathbf { A } ^ { * } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { Y ^ { \dagger } } } , } \\ { \left\langle \hat { X } _ { 1 } ( 0 ) , \vec { X } ( 0 ) \right\rangle } & { = \mathbf { C } L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { X } } + \varepsilon L _ { \hat { X } _ { 1 } \vec { I } } . } \end{array}
{ { \mathbf { Z } } _ { \mathbf { u } } } { { \mathbf { I } } _ { \mathbf { u } } } = j \omega { \mathbf { M } } { } _ { { \mathbf { u T } } } { { \mathbf { I } } _ { { \mathbf { T x } } } } + j \omega { { \mathbf { L } } _ { { \mathbf { u u } } } } { { \mathbf { I } } _ { \mathbf { u } } }
S _ { r } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \gamma \alpha ( \gamma ) ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \alpha ( \gamma ) \dot { z } ^ { 2 } ( \gamma ) + \int _ { 0 } ^ { 1 } d \gamma \{ \alpha ( \gamma ) \frac { d } { d \gamma } ( f ^ { \prime } f \int _ { 0 } ^ { \gamma } \frac { \dot { z } } { f } d \gamma ^ { \prime } ) \}
\begin{array} { r } { R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) \ P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) \ . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } n _ { L } } { \mathrm { d } t } + 3 H n _ { L } = ( \epsilon ^ { \prime } + \delta _ { 1 } ) \Gamma _ { \psi _ { 1 } } ^ { t h } [ n _ { \psi _ { 1 } } - n _ { \psi _ { 1 } } ^ { e q } ] - \left( \frac { n _ { L } } { n _ { \gamma } } \right) n _ { \psi _ { 1 } } ^ { e q } \Gamma _ { \psi _ { 1 } } ^ { t h } - 2 n _ { \gamma } n _ { L } \langle \sigma | v | \rangle
{ } \frac { G _ { B } } { Q _ { m } } = \frac { 2 \omega _ { p } } { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \Omega _ { m } ^ { 2 } } \left| \int \left( f _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } + f _ { \mathrm { ~ R ~ O ~ } } \right) d A + \int f _ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } d l \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ( G , G _ { * } ) } & { : = \lambda ( \| \Delta \mu \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma \| ^ { 2 } ) + \lambda ^ { * } ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } ) } \\ & { - \operatorname* { m i n } \left\{ \lambda , \lambda ^ { * } \right\} \biggr ( \| \Delta \mu \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma \| ^ { 2 } + \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 4 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ^ { 2 } \biggr ) } \\ & { + \biggr ( \lambda ( \| \Delta \mu \| ^ { 2 } + \| \Delta \Sigma \| ) + \lambda ^ { * } ( \| \Delta \mu ^ { * } \| ^ { 2 } + \| \Delta \Sigma ^ { * } \| ) \biggr ) \biggr ( \| \mu - \mu ^ { * } \| ^ { 2 } + \| \Sigma - \Sigma ^ { * } \| \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 1 ^ { - } } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 - \nu , - 2 \nu , 1 - \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( - \nu , 1 , - \nu ) , } \\ { \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { - } K ^ { - } } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 ^ { - } } \times \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , - \nu , - \nu ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta W _ { \delta } W _ { \delta } ^ { \top } \leqslant Q } & { \Rightarrow \gamma W _ { \gamma } W _ { \gamma } ^ { \top } \leqslant Q + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - \delta ) T L I _ { n } , } \\ { \gamma W _ { \gamma } W _ { \gamma } ^ { \top } \leqslant Q } & { \Rightarrow \delta W _ { \delta } W _ { \delta } ^ { \top } \leqslant Q + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - \delta ) T L I _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( P ) : = \; } & { ( f _ { 1 } ( P ) , f _ { 2 } ( P ) , \ldots , f _ { n } ( P ) ) , \quad \mathrm { w h e r e } } \\ { f _ { i } ( P ) \; = \; } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ i ~ \underset { P } { \not \sim } ~ i ~ } , } \\ { j } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ i n ~ t h e ~ j ~ - t h ~ p a r t ~ o f ~ P ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { ~ b ~ i ~ f ~ } } = \frac { I _ { c } \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } { 2 c _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ m ~ } } } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) + V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } - \Delta V \log \left[ - 1 + \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { e e ^ { \prime } } } { d t } } & { { } = } & { i \omega _ { e ^ { \prime } \! e } \rho _ { e e ^ { \prime } } + i \sum _ { e ^ { \prime \prime } } ( \chi _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } \rho _ { e e ^ { \prime \prime } } - \chi _ { e e ^ { \prime \prime } } \rho _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } ) } \end{array}
\Delta f = { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial f } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } ,
{ \begin{array} { r l } { ( \nabla \cdot \nabla ) \psi } & { = \nabla \cdot ( \nabla \psi ) = \nabla ^ { 2 } \psi } \\ { ( \nabla \cdot \nabla ) \mathbf { A } } & { = \nabla \cdot ( \nabla \mathbf { A } ) = \nabla ^ { 2 } \mathbf { A } } \\ { ( \nabla \times \nabla ) \psi } & { = \nabla \times ( \nabla \psi ) = \mathbf { 0 } } \\ { ( \nabla \times \nabla ) \mathbf { A } } & { = \nabla \times ( \nabla \mathbf { A } ) = \mathbf { 0 } } \end{array} }
{ \bf V } _ { E } = \frac { \int | \tilde { \bf E } | ^ { 2 } { \bf v } _ { g } \, d ^ { 3 } { \bf k } } { \int | \tilde { \bf E } | ^ { 2 } \, d ^ { 3 } { \bf k } } \equiv \langle { \bf v } _ { g } \rangle _ { E } = { \bf c o n s t } \, .
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { n , \alpha } ^ { 1 } ( r , \theta ) } & { { } = \cos ( n \theta ) \chi _ { n , \alpha } ( r ) , } \\ { \Upsilon _ { n , \alpha } ^ { 2 } ( r , \theta ) } & { { } = \sin ( n \theta ) \chi _ { n , \alpha } ( r ) , } \end{array}
\omega _ { 0 } = \omega _ { 0 } ^ { \prime } - \frac { \delta _ { + } + \delta _ { - } } { 2 t _ { \mathrm { R } } } + \frac { \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( p ) + \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( - p ) } { 2 } .
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } D _ { \mu } \phi { \overline { { { D ^ { \mu } \phi } } } } - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 8 } } \left( | \phi | ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } , \qquad \phi = \phi _ { 1 } + i \phi _ { 2 } ,
L _ { n } = e _ { n } ^ { - 1 / 2 } \ell _ { n } e _ { n } ^ { 1 / 2 } = e _ { n } \left( \partial _ { z } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { e _ { n } ^ { \prime } } { e _ { n } } } \right) .
\begin{array} { r } { u ^ { ( 1 ) } = u ^ { ( 2 ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ v ^ { ( 1 ) } = v ^ { ( 2 ) } ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ ~ ~ ~ ~ y = f ^ { ( 2 ) } ( x , t ) . } \end{array}
, a s \delta \to 0 , M _ { \delta } ^ { \# } - l a w o f ( A _ { \delta } , P _ { \delta } ) c o n v e r g e s i n l a w t o ( \widetilde A , \widetilde P ) a n d B _ { \delta } \to 0 i n p r o b a b i l i t y . T h e r e f o r e , w e c a n c o u p l e M _ { \delta } ^ { \# } a n d M _ { \mathbb D } ^ { \# } s o t h a t ( A _ { \delta } , P _ { \delta } ) = ( \widetilde A , \widetilde P ) w i t h p r o b a b i l i t y 1 - o _ { \delta } ( 1 ) . B y L e m m a
\begin{array} { r l } & { F _ { 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { F _ { 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 4 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { F _ { 5 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 6 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { F _ { 7 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad F _ { 8 } = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } = } & { { } M ^ { ( n ) } \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } C _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } ( x , t ) - \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) } { d _ { \Gamma } ( x , t ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } ( x , t ) - \mathbf { v } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } ( x , t ) - \mathbf { u } _ { 0 } ( x , t ) d _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x , t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( x , t ) \in \Gamma } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 4 } } & { { } = \tau \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) , } \\ { q _ { 5 } } & { { } = \tau \Delta t e ^ { - \Delta t / \tau } - \tau ^ { 2 } \left( 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } + \mathbf { v } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } + { \frac { \alpha _ { v } \mathbf { u } _ { \perp } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } } & { { } = { \frac { \mathbf { v } + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { v ^ { 2 } } } \mathbf { v } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } + { \frac { \alpha _ { v } \mathbf { u } ^ { \prime } - \alpha _ { v } { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { v ^ { 2 } } } \mathbf { v } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { \mathrm { r m s } } } & { = } & { \frac { \pi } { \sqrt { 2 } \sin { \pi Q _ { x } } } \frac { \Bar { \beta } } { \sqrt { N _ { d } } } \left( \frac { \Delta B } { B } \right) _ { \mathrm { r m s } } + } \\ & { } & { \frac { \sqrt { N _ { q } } } { \sqrt { 2 } \sin { \pi Q _ { x } } \cos { \mu / 2 } } ( \Delta q _ { x } ) _ { \mathrm { r m s } } + } \\ & { } & { \frac { \sqrt { 1 / 2 } } { \left[ 1 + \sin ( \mu / 2 ) \right] } ( \Delta \sigma _ { x } ) _ { \mathrm { r m s } } } \\ { y _ { \mathrm { r m s } } } & { = } & { \frac { \pi } { \sqrt { 2 } \sin { \pi Q _ { y } } } \frac { \Bar { \beta } } { \sqrt { N _ { d } } } ( \Delta \theta ) _ { \mathrm { r m s } } + } \\ & { } & { \frac { \sqrt { N _ { q } } } { \sqrt { 2 } \sin { \pi Q _ { y } } \cos { \mu / 2 } } ( \Delta q _ { y } ) _ { \mathrm { r m s } } + } \\ & { } & { \frac { \sqrt { 1 / 2 } } { \left[ 1 + \sin ( \mu / 2 ) \right] } ( \Delta \sigma _ { y } ) _ { \mathrm { r m s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { \left| T ^ { \beta } F ( t ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i } } } } _ { | k } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \geq \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| T ^ { \beta } F ( t ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } } } \\ { { \psi _ { 2 } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { \psi _ { 1 } } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { \psi _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { | e ^ { - \pi \| v \| _ { \mathcal { V } , t } ^ { 2 } } - e ^ { - \pi \| v \| _ { \mathcal { V } ^ { \mathrm { n i l p } } , t } ^ { 2 } } | } & { < C | t | ^ { B } e ^ { - \pi ( 1 - A | t | ^ { B } ) \| v \| _ { \mathcal { V } , t } ^ { 2 } } \| v \| _ { \mathcal { V } , t } ^ { 2 } } \\ { | p _ { \mathbb { V } } ( v ) - p _ { \mathbb { V } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( v ) | _ { t } } & { < C | t | ^ { B } ( 1 + \| v \| _ { \mathcal { V } , t } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left( { \begin{array} { c c } { \cos \theta _ { \mathrm { P } } } & { - \sin \theta _ { \mathrm { P } } } \\ { \sin \theta _ { \mathrm { P } } } & { \cos \theta _ { \mathrm { P } } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { \eta _ { 8 } } \\ { \eta _ { 1 } } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { c } { \eta } \\ { \eta ^ { \prime } } \end{array} } \right)
\begin{array} { r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ( n ) q ^ { n } \equiv \frac { 1 } { ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } } \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } - q \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { b } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ) = \int d ^ { 3 } r _ { 0 } G _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ( \vec { 0 } , 0 | \vec { r } _ { 0 } , - t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) G _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } ( \vec { r } , t _ { 2 } + ( 1 - x _ { s - t _ { 2 } } ) ( s - t _ { 2 } ) | \vec { r } _ { 0 } , t _ { 2 } ) = } \\ { = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] ) ^ { 3 / 2 } } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] } \right) , } \end{array}
\chi _ { 1 2 } ( p _ { 3 0 } ) \, = \, \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \, T _ { 1 2 } ^ { 0 } ( p _ { 3 0 } ) \, \int d \, p _ { 1 2 0 } \, G _ { 0 1 } G _ { 0 2 } \, \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \, [ \, \, \chi _ { 2 3 } ( p _ { 1 0 } ) \, + \, \chi _ { 3 1 } ( p _ { 2 0 } ) \, ]