harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
. I n c o n n e c t i o n w i t h F i g , u n d e r t h e s a m e S N R , s t e a d y - s t a t e n o i s e s u c h a s w h i t e n o i s e h a s a g r e a t e r i m p a c t o n p e r f o r m a n c e t h a n t r a n s i e n t n o i s e . T h e r e f o r e , w e g e n e r a t e t h e c o p y - m o v e f o r g e d s p e e c h d a t a s e t s w i t h a d d i t i v e w h i t e n o i s e . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s o f o u r p r o p o s e d m e t h o d d e m o n s t r a t e c o m p a r a b l e a v e r a g e p r e c i s i o n , a c h i e v i n g 9 9 . 7 0 \% a n d 9 9 . 6 8 \% u s i n g D N B a n d S N B , r e s p e c t i v e l y . F i g . ~ s h o w s t h e r e c a l l a t v a r i o u s S N R l e v e l s f o r b o t h c a s e s u s i n g D N B a n d S N B . W h e n s e l e c t i n g a n S N B , t h e p e r f o r m a n c e s i g n i f i c a n t l y e x c e e d s i t s d e n s e c o u n t e r p a r t . B y c o m p a r i n g F i g . ~ a , F i g . ~ b a n d F i g
\begin{array} { r l } { \nabla \tilde { \theta } _ { m } } & { { } = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \nabla T _ { m - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { i , \sigma } ^ { + } } & { { } = } & { ( N - i ) \pi _ { B \to A , \sigma } ( i ) , } \\ { T _ { i , \sigma } ^ { - } } & { { } = } & { i \pi _ { A \to B , \sigma } ( i ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { r } ( t + \delta t ) = \textbf { r } ( t ) + \delta t \frac { \partial \textbf { r } ( t ) } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \delta t ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \textbf { r } ( t ) } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 6 } \delta t ^ { 3 } \frac { \partial ^ { 3 } \textbf { r } ( t ) } { \partial t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \delta t ^ { 4 } ) } \\ { \textbf { r } ( t - \delta t ) = \textbf { r } ( t ) - \delta t \frac { \partial \textbf { r } ( t ) } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \delta t ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \textbf { r } ( t ) } { \partial t ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 6 } \delta t ^ { 3 } \frac { \partial ^ { 3 } \textbf { r } ( t ) } { \partial t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \delta t ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { a } \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) } & { = \prod _ { d = 2 } ^ { D } \left[ \frac { \Delta x _ { d } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] \sum _ { j _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { j _ { d } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) \, } \\ { a \left( \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } \right) } & { = \prod _ { d = 2 } ^ { D } \left[ \frac { \Delta k _ { d } } { \sqrt { 2 \pi } } \right] \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { N _ { 2 } } \ldots \sum _ { n _ { d } = 1 } ^ { N _ { D } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { x } _ { \mathbf { j } } } \tilde { a } \left( \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = \overline { { \dot { \mathrm { R } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } } ^ { \lVert \cdot \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\{ X ^ { i } , X ^ { j } \} _ { M B } = \operatorname * { l i m } _ { \stackrel { \alpha ^ { \prime } \to \alpha } { \beta ^ { \prime } \to \beta } } \sin \lambda ( \partial _ { \alpha } \partial _ { \beta ^ { \prime } } - \partial _ { \alpha ^ { \prime } } \partial _ { \beta } ) X ^ { i } ( \alpha , \beta , \sigma ) X ^ { j } ( \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \sigma ) .
\begin{array} { r l } { \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) } \\ & { \quad + \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \smash { \vert \nabla u \vert } } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( 1 + \frac { 2 \gamma ^ { 2 } \alpha ( \alpha - 1 ) ( e ^ { \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { \varepsilon } } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \varepsilon } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( i \omega \tau \right) ^ { 2 } ( 1 + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times - \lambda _ { s } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot ) \vec { w } _ { \omega } } \\ & { - 2 \left( i \omega \tau \right) \left( 1 - \frac { f \rho \gamma } { 3 a \zeta T } + \lambda ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times - ( \lambda _ { s } ^ { 2 } + \lambda _ { d } ^ { 2 } ) \nabla \nabla \cdot \right) \vec { w } _ { \omega } } \\ & { - 4 \lambda _ { d } ^ { 2 } \nabla \nabla \cdot \vec { w } _ { \omega } = 0 \ . } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { e q } ( \bar { \mathbf { C } } ) + \exp { ( - { \mathsf { d } } _ { o l d } ) } \, \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) + \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { n o n l o c a l } ( \nabla { \mathsf { d } } ) ,
\begin{array} { r l } { \Vert w , j \Vert _ { X } } & { \le \exp ( ( 1 + \hat { \lambda } ) c \xi t ) \prod _ { l } \vert M ( l , t ) \vert ^ { - 1 } \Vert w _ { 0 } , j _ { 0 } \Vert _ { X } } \\ & { \le \exp ( ( 1 + \hat { \lambda } ) c \xi t ) \prod _ { l = 0 } ^ { \kappa ^ { - \frac 1 2 } } ( 1 + ( \frac 2 { \kappa l ^ { 2 } } ) ^ { \frac 1 3 } ) \Vert w _ { 0 } , j _ { 0 } \Vert _ { X } . } \end{array}
\sum _ { K } { \tilde { u } } _ { k } ( K ) = \sum _ { K } { \frac { { \frac { 2 m } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { A } { a } } } { { \frac { 2 m E _ { k } } { \hbar ^ { 2 } } } - ( k + K ) ^ { 2 } } } \, u _ { k } ( 0 )
\frac { [ t _ { 1 } t _ { 2 } ] [ t _ { 2 } t _ { 3 } ] [ t _ { 1 } t _ { 3 } ] [ s ] } { [ t _ { 1 } ] [ t _ { 2 } ] [ t _ { 3 } ] [ t _ { 4 } ] [ s ^ { \frac 1 2 } q ] [ s ^ { - \frac 1 2 } q ] } = \frac { ( 1 - t _ { 1 } t _ { 2 } ) ( 1 - t _ { 2 } t _ { 3 } ) ( 1 - t _ { 1 } t _ { 3 } ) } { ( 1 - t _ { 1 } ) ( 1 - t _ { 2 } ) ( 1 - t _ { 3 } ) ( 1 - t _ { 4 } ) } \cdot \frac { [ s ] } { [ s ^ { \frac 1 2 } q ] [ s ^ { - \frac 1 2 } q ] }
\hat { \chi } : = \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \, G _ { 1 } ( t ^ { \prime \prime } ) = \big [ 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ] J _ { 0 } ^ { 2 } \chi \cdot \hat { \chi }
\begin{array} { r l } { \beta ( \omega ) } & { = \beta _ { f } ( \omega ) + \frac { \omega } { c } n _ { 2 } | \vec { E } | ^ { 2 } + \frac { \omega } { c } \frac { n _ { 2 } \gamma _ { x x } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { \omega } { c } \frac { n _ { 2 } \gamma _ { y y } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) + i \alpha _ { f } + i \alpha _ { f } \frac { n _ { 2 } } { n _ { 0 } } | \vec { E } | ^ { 2 } } \\ & { + i \alpha _ { f } \frac { n _ { 2 } } { n _ { 0 } } \frac { \gamma _ { x x } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) + i \alpha _ { f } \frac { n _ { 2 } } { n _ { 0 } } \frac { \gamma _ { y y } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } ( | \vec { E } | ^ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \omega } { c } \frac { \chi _ { a } } { n _ { 0 } } . } \end{array}
\mathcal { J } ( \mathbf { w } ) \approx \sum _ { i = 1 } ^ { N } \omega _ { i } \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ } } ( \mathbf { x } _ { i } , ( v _ { \parallel } ) _ { i } , \mathbf { w } ) f ( \mathbf { x } _ { i } , ( v _ { \parallel } ) _ { i } , \mathbf { w } )
p \ \epsilon \left[ 0 , L \right] \; \; \; \; \left( p - E \right) \phi \left( p \right) + \left( g + C _ { \Lambda } \right) \int _ { 0 } ^ { L } d p ^ { \prime } \; \phi \left( p ^ { \prime } \right) + \left( g + C _ { \Lambda } \right) \int _ { L } ^ { \Lambda } d p ^ { \prime } \; \phi \left( p ^ { \prime } \right) = 0
\begin{array} { r } { C + [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] = 0 \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 2 ~ } , } \\ { C + [ K _ { 1 } ] + 2 [ K _ { 2 } ] - 2 [ K _ { 1 } ^ { \prime } ] - [ K _ { 2 } ^ { \prime } ] = 0 \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 3 ~ } , } \\ { C - 2 [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] - [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] + [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] + 2 [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] = 0 \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 4 ~ } , } \\ { C + 8 [ K _ { 1 } ] + 4 [ K _ { 2 } ] - 3 [ M _ { 1 } ] = 0 \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 6 ~ } . } \end{array}
d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } ( c , 0 , 0 ) : X _ { \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } \times X _ { \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } \rightarrow Y _ { \mathbf { m } } ^ { \alpha } \times Y _ { \mathbf { m } } ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 2 } = } & { d ^ { 2 } s ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \nabla \varphi | ^ { 2 } \nabla \varphi \cdot \nabla | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ { = } & { - d ^ { 2 } s ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nabla ( | \nabla \varphi | ^ { 2 } ) \cdot \nabla \varphi | w | ^ { 2 } \, d x d t - d ^ { 2 } s ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi | \nabla \varphi | ^ { 2 } | w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { + d ^ { 2 } s ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } | \nabla \varphi | ^ { 2 } \partial _ { \nu } \varphi | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { = } & { 3 d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \nabla \psi | ^ { 4 } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d x d t - d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( \partial _ { \nu } \psi ) ^ { 3 } \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ & { + d ^ { 2 } s ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } ( 2 \nabla ^ { 2 } \psi ( \nabla \psi , \nabla \psi ) + \Delta \psi | \nabla \psi | ^ { 2 } ) \theta ^ { 3 } | w | ^ { 2 } \, d x d t , } \end{array}
\tilde { \mathcal { C } } = \left( \begin{array} { l } { \tilde { A } } \\ { \tilde { B } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { L _ { 1 1 } } & { L _ { 1 2 } } \\ { L _ { 2 1 } } & { L _ { 2 2 } } \end{array} \right) ^ { \dag } \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) = \mathcal { L } ^ { \dag } \mathcal { C } .
\mathbb { X } _ { \ell \nu } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { i \sigma _ { m } ^ { ( \ell ) } / \eta _ { 0 } } \\ { - i \sigma _ { e } ^ { ( \ell ) } \eta _ { 0 } } & { 1 } \end{array} \right)
\langle u _ { z } T ( t ) \rangle _ { s } = \frac { 1 } { V _ { c } } \int _ { V _ { c } } u _ { z } ( { \bf x } + { \bf r } _ { s } ( t ) , t ) T ( { \bf x } + { \bf r } _ { s } ( t ) , t ) \, d V \, .
k ^ { 2 } e ^ { s } ( { \bf k } ) = k ^ { 2 } e ^ { s } ( k , \theta _ { k } , \phi _ { k } ) = f ( \theta _ { k } , \phi _ { k } ) E ^ { s } ( k ) = f ( \theta _ { k } , \phi _ { k } ) E _ { k } ^ { s } \, .
\begin{array} { r } { \sigma ^ { 2 } \simeq \frac { \bar { \gamma } _ { 0 } ^ { 2 } \bar { \tau } _ { \eta } ^ { 2 } } { 3 0 \bar { \nu } } \left( \frac { 8 } { ( \Delta \bar { k } ) ^ { 2 } } \sum _ { l } \bar { k } _ { l } ^ { 4 } \bar { \nu } \bar { \sigma } _ { 0 } ^ { 2 } \right) \simeq \frac { 1 6 \pi } { 1 0 5 \Delta \bar { k } ^ { 5 } } \bar { \gamma } _ { 0 } ^ { 2 } \bar { K } ^ { 7 } \bar { \tau } _ { \eta } ^ { 2 } \bar { \sigma } _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\kappa _ { \parallel e , i } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { \alpha _ { e , i } n _ { e , i } v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } e , i } L _ { \parallel } \kappa _ { \parallel e , i } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } } { \alpha _ { e , i } n _ { e , i } v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } e , i } L _ { \parallel } + \kappa _ { \parallel e , i } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } }
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \sigma } ^ { ( A _ { S } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } ^ { ( s ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { \tau } ^ { ( B _ { S } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } ^ { ( s ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\frac { \tilde { C } _ { 1 2 3 } } { C _ { 1 2 3 } ^ { ( \mathrm { v a c ) } } } = - \frac { J } { \sqrt { J _ { 1 } J _ { 2 } } } \; \frac { 1 } { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } ( \frac { n \pi J _ { 1 } } { J } ) \cdot ( 1 + \l ^ { \prime } n ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { f _ { n } ( p ) } & { { } = ( f _ { n - 1 } * f _ { n - 1 } ) ( p ) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { n - 1 } } \exp \left( - \frac { p ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { n - 1 } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { n } } & { { } = \boldsymbol { F } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } + \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i , j } ^ { n } , \boldsymbol { \rho } _ { i + 1 , j } ^ { n } - \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i + 1 , j } ^ { n } \right) , } & { \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { * } } & { { } = \boldsymbol { F } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } + \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i , j } ^ { * } , \boldsymbol { \rho } _ { i + 1 , j } ^ { * } - \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { \sigma } _ { i + 1 , j } ^ { * } \right) , } \\ { \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { n } } & { { } = \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } + \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j } ^ { n } , \boldsymbol { \rho } _ { i , j + 1 } ^ { n } - \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j + 1 } ^ { n } \right) , } & { \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { * } } & { { } = \boldsymbol { G } \left( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } + \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j } ^ { * } , \boldsymbol { \rho } _ { i , j + 1 } ^ { * } - \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { i , j + 1 } ^ { * } \right) , } \end{array}
\mathrm { ~ s ~ a ~ l ~ e ~ s ~ } = \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ m ~ e ~ d ~ i ~ a ~ t ~ e ~ \_ ~ e ~ x ~ p ~ e ~ n ~ d ~ i ~ t ~ u ~ r ~ e ~ } + \mathrm { ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ \_ ~ a ~ d ~ d ~ e ~ d ~ } + \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ \_ ~ c ~ o ~ s ~ t ~ s ~ } .
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | x _ { k } \, y _ { k } | \leq { \biggl ( } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | x _ { k } | ^ { p } { \biggr ) } ^ { \frac { 1 } { p } } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } | y _ { k } | ^ { q } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } ( x _ { k } ) _ { k \in \mathbb { N } } , ( y _ { k } ) _ { k \in \mathbb { N } } \in \mathbb { R } ^ { \mathbb { N } } { \mathrm { ~ o r ~ } } \mathbb { C } ^ { \mathbb { N } } .
\begin{array} { r l } { d R _ { t } ( v ) = } & { \mathrm { I m } \left( \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( v ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { \left( g _ { t } ( g ( v ) ) - W _ { t } \right) ^ { 3 } } ( d \langle W \rangle _ { t } - 2 d t ) \right) } \\ & { + \mathrm { I m } \left( \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( v ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { \left( g _ { t } ( g ( v ) ) - W _ { t } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { W _ { t } - g _ { t } ( 0 ) } + d W _ { t } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { i } } & { { } : = \int \! \! \mathrm { d } \omega f ( \omega ) \sum _ { n \ne 0 } \frac { 1 } { n ! } \left( \hat { a } _ { i } ( \omega ) ^ { \dagger } \right) ^ { n } | \mathrm { v a c } \rangle \langle \mathrm { v a c } | \left( \hat { a } _ { i } ( \omega ) \right) ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \sum _ { k \neq j } A _ { j k } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \left\| { \sum _ { k \neq j } ( A _ { j k } - p ) ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + p \left\| { \sum _ { k \neq j } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq \left\| { \sum _ { k \neq j } ( A _ { j k } - p ) ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + p \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( X , Y ) } & { = \operatorname { c o v } \left( X , X ^ { 2 } \right) } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X \cdot X ^ { 2 } \right] - \operatorname { E } [ X ] \cdot \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X ^ { 3 } \right] - \operatorname { E } [ X ] \operatorname { E } \left[ X ^ { 2 } \right] } \\ & { = 0 - 0 \cdot \operatorname { E } [ X ^ { 2 } ] } \\ & { = 0 . } \end{array} }
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { G ( y _ { 1 } , . . , y _ { M } ) = } & { \int _ { D } | x | ^ { 2 } \, d x + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( - 2 y _ { i } \cdot \int _ { V _ { i } } x \, d x + | y _ { i } | ^ { 2 } | V _ { i } | \right) } \\ { = } & { \int _ { D } | x | ^ { 2 } \, d x + \sum _ { i = 1 } ^ { M } | V _ { i } | ( | y _ { i } | ^ { 2 } - 2 y _ { i } \cdot c _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | f ( x ^ { \prime } + i y ^ { \prime } ) | \, d x ^ { \prime } } & { { } \leq \sqrt { \frac { 2 } { t } } \sigma \exp \big [ x y ^ { \prime } / t + y ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) + ( \sigma y ^ { \prime } ) ^ { 2 } / t ^ { 2 } \big ] \big ( e ^ { \delta y ^ { \prime } / t } + e ^ { - \delta y ^ { \prime } / t } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 2 } ( t ) \lesssim \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( 1 + | \nabla u _ { 2 } | ) N _ { 2 } ( \cdot , u ) ^ { 1 / 2 } d x d r \lesssim \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } ) \, d x d r + \mathsf { H } ( t ) . } \end{array}
\delta ( \Delta \beta ) = - \frac { 2 i } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { 2 \Delta \alpha } ^ { \pi - 2 \bar { \alpha } } d \eta \, \log \left[ \frac { e ^ { i \eta + 2 \Delta \beta } - 1 } { e ^ { i \eta } - e ^ { 2 \Delta \beta } } \right] .
\frac { 1 } { 2 \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \Omega } \omega ( u \cdot \nabla ) \omega + \int _ { \Omega } \omega \Delta \omega + \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } \omega \partial _ { 1 } T
\frac { \partial \mathbf { U } } { \partial t } + \left( \mathbf { U } \cdot \nabla \right) \mathbf { U } = - c _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \nabla \ln \rho - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { U } + \frac { 1 } { \rho } \mathbf { J } \times \mathbf { B } - \nu \mathbf { Q } + \mathbf { g } + \mathbf { f } ,
[ { { J } _ { i j } } ] = { { \mathbf { \xi } } ^ { 1 } } \times { { \mathbf { ( } { { \mathbf { \xi } } ^ { 1 } } \mathbf { ) } } ^ { T } } + { { \mathbf { \xi } } ^ { 2 } } \times { { \mathbf { ( } { { \mathbf { \xi } } ^ { 2 } } \mathbf { ) } } ^ { T } } + { { \mathbf { \xi } } ^ { 3 } } \times { { \mathbf { ( } { { \mathbf { \xi } } ^ { 3 } } \mathbf { ) } } ^ { T } } + \cdots + { { \mathbf { \xi } } ^ { N } } \times { { \mathbf { ( } { { \mathbf { \xi } } ^ { N } } \mathbf { ) } } ^ { T } }
\mathbf { f } ^ { C } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { f } ^ { D } ( \mathbf { x } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \overline { { \mathbf { F } } } _ { i } - \mathbf { f } ^ { D } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { f } ) \cdot \mathbf { n } _ { i } \right] \mathbf { h } _ { i } ( \mathbf { x } ) ,
\sigma _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ r ~ g ~ } } = \sum _ { \zeta = 1 } ^ { c } \left[ \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } \right) + \beta _ { \zeta } ^ { \tt B } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt B } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt B } } \right) \right] , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \tilde { p } _ { \mathrm { F } } \neq 0 .
\mathrm { L } ( x , x _ { 0 } , y , y _ { 0 } , \Gamma ) = \frac { 2 } { \pi \Gamma } [ ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \Gamma / 2 ) ^ { 2 } ] ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \rho _ { A } ( t ) } & { = \mathrm { T r } _ { B } [ \rho ( t ) ] = \mathrm { T r } _ { B } \left[ e ^ { \mathcal { L } t } \rho ( 0 ) \right] } \\ { \dot { \rho } _ { A } ( t ) } & { = \frac { d } { d t } \mathrm { T r } _ { B } \left[ \rho ( t ) \right] = \mathrm { T r } _ { B } \left[ \dot { \rho } ( t ) \right] = \mathrm { T r } _ { B } [ \mathcal { L } [ \rho ( t ) ] ] = \mathcal { L } _ { A } [ \rho _ { A } ( t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { \mathrm { R } } ( r ) = \left( \frac { 2 } { \lambda _ { c } } \int _ { r - \lambda _ { c } / 2 } ^ { r + \lambda _ { c } / 2 } \left( \mathrm { R e } [ \eta _ { 1 } ( r ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad \eta _ { \mathrm { I } } ( r ) = \left( \frac { 2 } { \lambda _ { c } } \int _ { r - \lambda _ { c } / 2 } ^ { r + \lambda _ { c } / 2 } \left( \mathrm { I m } [ \eta _ { 1 } ( r ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } r ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \setminus \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
{ \bf x } _ { c } ^ { f , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } _ { 0 } + { \boldsymbol { \theta } } _ { 1 } ^ { i } } & { \textnormal { i f } c = 1 } \\ { \underline { { \bf x } } _ { c - 1 } ^ { a } + { \boldsymbol { \theta } } _ { c } ^ { i } } & { \textnormal { i f } c > 1 } \end{array} \right.
\varphi = \int { \frac { d r } { \pm r ^ { 2 } { \sqrt { { \frac { 1 } { b ^ { 2 } } } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) \left( { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \right) } } } } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } _ { r } ^ { + } - \boldsymbol { u } _ { r } ^ { - } } & { { } = \sum _ { k = d + 1 } ^ { r _ { i + 1 } } ( \Phi _ { i + 1 } ) _ { , k } ( \boldsymbol { a } _ { i + 1 } ) _ { k } - \sum _ { l = d + 1 } ^ { r _ { i } } ( \Phi _ { i } ) _ { , l } ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { l } + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \boldsymbol { e } _ { j } } { | | \boldsymbol { e } _ { j } | | _ { \Omega _ { h } } } ( ( \boldsymbol { a } _ { i + 1 } ) _ { j } - ( \boldsymbol { a } _ { i } ) _ { j } ) } \end{array}
v _ { \| } ^ { 2 } = \frac { \partial P } { \partial \epsilon } , \quad D _ { \pi } ^ { \perp } = \frac { \eta } { \epsilon + P } , \quad D _ { \pi } ^ { \| } = \frac { \zeta + 2 { \textstyle \frac { d - 1 } { d } } \eta } { \epsilon + P } .
W = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathbf { F } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } d t = \int _ { \mathbf { X } ( t _ { 1 } ) } ^ { \mathbf { X } ( t _ { 2 } ) } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { X } .