harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( \vec { r } _ { k } ) _ { x } } & { { } = \rho \cos ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \cos ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { r } _ { k } ) _ { y } } & { { } = \rho \sin ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \sin ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { r } _ { k } ) _ { z } } & { { } = 0 , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { x } } & { { } = - \rho \cos ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \sin ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { y } } & { { } = \rho \sin ( \pi / 4 - \theta / 2 ) \cos ( \varphi _ { k } / 2 ) , } \\ { ( \vec { R } _ { k } ) _ { z } } & { { } = 0 , } \end{array}
\frac { 1 } { 1 6 } \Bigg ( 1 - \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } \Bigg ) \Bigg ( 3 + \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } \Bigg ) ^ { 3 } < \frac { 2 \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } { I _ { 0 } } < \frac { 1 } { 1 6 } \Bigg ( 1 + \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } \Bigg ) \Bigg ( 3 - \sqrt { 1 - \frac { 8 } { N C _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } \Bigg ) ^ { 3 }
M = { \frac { ( D - 2 ) \Omega _ { D - 2 } } { 8 \pi G _ { D } } } m , \ \ \ \ \ \ J _ { i } = { \frac { \Omega _ { D - 2 } } { 4 \pi G _ { D } } } m l _ { i } = { \frac { 2 } { D - 2 } } M l _ { i } ,
\mathrm { D i v } \, { \bf T } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } + { \bf b } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } = 0 , \quad \mathrm { a n d ~ t h e ~ t r a c t i o n ~ b o u n d a r y ~ c o n d i t i o n } \quad { \bf t } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ) = { \bf T } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } { \bf n } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } .
\begin{array} { r l } & { v ( x , t , 0 ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) , \quad \mathrm { a n d ~ h e n c e } \quad \mathfrak { m } ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { l l } { \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } } & { i ( \mathfrak { m } _ { 2 2 } ^ { ( 0 ) } - \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } ) } \\ { i \mathfrak { m } _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } } & { \mathfrak { m } _ { 2 2 } ^ { ( 0 ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K r o n } _ { 4 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, \rho _ { \alpha \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \, \rho _ { \alpha \beta } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \, \rho _ { \beta \alpha } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 4 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \, \rho _ { \beta \beta } } \end{array}
\left\langle \varphi _ { 1 } , \mathrm { D } _ { \rho } \varphi _ { 2 } \right\rangle _ { \mathcal { H } } = \rho ( a ^ { \ast } \left( \varphi _ { 2 } \right) a \left( \varphi _ { 1 } \right) ) , \qquad \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } \in \mathcal { H } .
\varphi ^ { \prime } = ( 1 - \alpha _ { + } ) \varphi ^ { + } + ( 1 - \alpha _ { - } ) \varphi ^ { - } + ~ \mathrm { c o n s t } . = { \frac { 1 } { 1 - u ^ { 2 } } } ( \varphi - u \tilde { \varphi } ) + ~ \mathrm { c o n s t } . \ ,
\frac { \tilde { L } _ { i } ^ { k , k } ( e ^ { x ( t ) } ) } { \tilde { L } _ { 1 } ^ { k , k } ( e ^ { x ( t ) } ) } = \tilde { L } _ { i } ^ { k , k } ( e ^ { x ( t ) } ) { \frac { d x } { d t } } = L _ { i } ^ { k , k } ( e ^ { t } ) .
\langle q _ { l i m } \rangle = p _ { 1 } + \sum _ { \mu = 2 } p _ { \mu } \cdot \prod _ { \phi = 2 } ^ { \mu } \Theta \left( \sum _ { \nu = 1 } ^ { \phi - 1 } p _ { \nu } - \frac { { \epsilon } _ { \phi } } { { \Lambda } _ { b } } \right)
\left( \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \hat { A } _ { \nu } ^ { b } \right) \left( \hat { A } ^ { b \mu } \hat { A } ^ { a \nu } \right) - \left( \left( \hat { A } _ { \mu } ^ { a } \hat { A } _ { \nu } ^ { b } \right) \hat { A } ^ { b \mu } \right) \hat { A } ^ { a \nu } = 0 .
\Lambda _ { N = 2 } ^ { 4 N _ { c } + 4 - 2 N _ { f } } ( w ^ { 2 } - w _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { N _ { f } } \mu ^ { 2 N _ { c } + 2 - 2 N _ { f } } w ^ { - 2 N _ { c } - 2 }
\langle i | \left( { \frac { a _ { 0 } } { r } } \right) ^ { m } | f \rangle = { \frac { 2 ^ { 7 / 2 } \, \Gamma ( 3 { - } m ) } { n ^ { 5 / 2 } } } \oint _ { C } { \frac { d t } { 2 \pi i } } \left( 1 + { \frac { 1 } { t } } \right) ^ { n } \left( 1 + { \frac { 2 } { n } } + { \frac { 4 t } { n } } \right) ^ { m - 3 } \, .
{ \left( \begin{array} { l } { { \ddot { x } } } \\ { { \ddot { y } } } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { m } } \left( \mathbf { F } _ { \mathrm { e x t } } + \mathbf { F } _ { c , i } + \mathbf { F } _ { c , n i } \right) = - g \left( \sin \alpha + \mu \cos \alpha \operatorname { s g n } { \dot { y } } \right) { \left( \begin{array} { l } { \cos \alpha } \\ { \sin \alpha } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \hat { H } - \hat { H } _ { \nu } = \hat { H } ^ { \prime } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R _ { j } } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \left[ \hat { p } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \left( \hat { q } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } + \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \mathbf { k } } } \hat { \mathcal { S } } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } , \zeta } \left[ \hat { \tilde { p } } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } \left( \hat { \tilde { x } } _ { \mathbf { k } , \zeta } - \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } \hat { q } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\operatorname { C r d } ( 1 0 8 ^ { \circ } + 2 ( - 3 ^ { \circ } ) ) = \operatorname { C r d } 1 0 2 ^ { \circ } \approx 2 \cdot 3 4 3 8 \sin 5 6 ^ { \circ } \approx 5 3 4 0
\begin{array} { r } { \| J _ { n } ^ { 3 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \geq C | z | \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } + C \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } \| _ { C ^ { 1 , \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } + C | z | ^ { 1 - \sigma } \| \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle m \rangle = \frac { \Omega _ { d } } { \kappa _ { m } + i \tilde { \Delta } _ { m } } , \, \, \, \, \, \, \langle c \rangle = \frac { E ( \gamma _ { a } + i \Delta _ { a } ) } { g _ { N } ^ { 2 } + ( \gamma _ { a } + i \Delta _ { a } ) ( \kappa _ { c } + i \tilde { \Delta } _ { c } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } c _ { i } + \frac { \mathrm { P e } u \left( \mathbf { y } , \frac { t } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } { \epsilon } \partial _ { x } c _ { i } = \kappa _ { i } \partial _ { x } \left( \partial _ { x } c _ { i } + z _ { i } c _ { i } \partial _ { x } \phi \right) + \frac { \kappa _ { i } } { \epsilon ^ { 2 } } \nabla _ { \mathbf { y } } \cdot \left( \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i } + z _ { i } c _ { i } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi \right) , } \\ & { \left. c _ { i } \right| _ { t = 0 } = c _ { I , i } \left( x \right) , \; \left. \mathbf { n } \cdot \kappa _ { i } ( \partial _ { x } c _ { i } + \frac { 1 } { \epsilon } \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i } + z _ { i } c _ { i } ( \partial _ { x } \phi + \frac { 1 } { \epsilon } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi ) ) \right| _ { \mathbb { R } \times \partial \Omega } = 0 , \; i = 1 , \hdots , n - 1 , } \\ & { \nabla \phi = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla c _ { i } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i } } , } \end{array}
\overline { { A } } = \frac { a b - c ^ { 2 } } { 2 ( a - c ) } \mu _ { 2 } , \; \; \underline { { A } } = \frac { a b - c ^ { 2 } } { 2 ( b - c ) } \mu _ { 1 } , \; \; \overline { { B } } = \overline { { A } } + \frac { \overline { { D } } \cdot ( \overline { { C } } - \underline { { C } } ) } { 2 ( a - c ) \overline { { C } } } , \; \; \underline { { B } } = \underline { { A } } + \frac { \underline { { D } } \cdot ( \underline { { C } } - \overline { { C } } ) } { 2 ( b - c ) \underline { { C } } } ,
\begin{array} { r } { L _ { e q n s } ^ { T } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { T } _ { a } ^ { j } - \left( { h } _ { 0 } { T } _ { 0 } ^ { j } + \Delta { { h T } _ { a } } ^ { j } \right) / { { h } _ { a } } \right) } ^ { 2 } } / \Delta { { t } ^ { 2 } } } \ + \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { T } _ { c } ^ { j } - \left( { h } _ { 0 } { T } _ { 0 } ^ { j } + \Delta { { h T } _ { c } } ^ { j } \right) / { { h } _ { c } } \right) } ^ { 2 } } / \Delta { { t } ^ { 2 } } } \ } \end{array}
\ensuremath { \mathrm { t r } } ( L ^ { k p } ) = \ensuremath { \mathrm { t r } } _ { ( 0 , k p b ) } ( \sigma ^ { - 1 } \circ \ensuremath { \mathrm { t r } } _ { ( M , 0 ) } ( R _ { M , k p b } \cdot T ) \circ \sigma ) = \ensuremath { \mathrm { t r } } _ { ( 0 , k p b ) } ( \ensuremath { \mathrm { t r } } _ { ( M , 0 ) } ( R _ { M , k p b } \cdot T ) ) = \ensuremath { \mathrm { t r } } ( R _ { M , k p b } \cdot T )
\begin{array} { r l } { ( A - I \omega _ { 0 } ) \chi ^ { R } = } & { { } \xi _ { F } ^ { L } - \frac { C \xi _ { F } ^ { R } } { \xi _ { A } ^ { L } C \xi _ { F } ^ { R } } } \\ { \chi ^ { L } ( F - I \omega _ { 0 } ) = } & { { } \xi _ { F } ^ { L } - \frac { \xi _ { A } ^ { L } C } { \xi _ { A } ^ { L } C \xi _ { F } ^ { R } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { j } ^ { x } } & { { } = \frac { \partial } { \partial A } \left( \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } \to \mathrm { ~ o ~ } \dagger } \hat { \mathcal { H } } _ { k + A } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ s ~ } \to \mathrm { ~ o ~ } } \right) } \end{array}
\lambda _ { k } \mathcal { N } ( \mu _ { k } , \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} ) = \left( \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} } \right) ^ { 1 / 2 } \mathcal { N } ( \mu _ { k } , \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} ) = \mathcal { N } ( \mu _ { k } , \gamma ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \underline { { f } } _ { 1 } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) } & { = G _ { 1 } } \\ { \underline { { f } } _ { \ell } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) } & { = G _ { \ell } + H _ { \ell } \ \underline { { f } } _ { \ell - 1 } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) , \quad \forall \ell \in \{ 2 , \cdots , r \} , } \end{array}
H _ { a } = - 2 A ( \lambda _ { a } ) \pi _ { a } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left[ \lambda _ { a } ^ { 2 } ( \lambda _ { a } - \bar { \sigma } _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \lambda _ { a } - \bar { \sigma } _ { 3 } ^ { 2 } ) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } ( t , \hbar ) \leq } & { \frac { C ( \hbar ^ { - 1 } t ) ^ { 2 k - 2 ( m 2 - m _ { 1 } ) - n } } { ( k - m _ { 2 } + m _ { 1 } ) ! ( k - m _ { 2 } + m _ { 1 } - n ) ! } } \\ & { \times \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { a _ { k } + m _ { 2 } - m _ { 1 } } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , \hbar ^ { - 1 } t ] } ( \boldsymbol { s } _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } - 1 } ^ { + } ) \frac { \big ( 1 - \prod _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } s _ { m } } \prod _ { j = a _ { m - 1 } + 1 } ^ { a _ { m } } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } t _ { j } } \big ) } { \operatorname* { m a x } ( 1 , | \sum _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } s _ { m } | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k } } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( 1 , | t _ { i } | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { s } } \\ & { \times \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { \tilde { a } _ { k } + m _ { 2 } - m _ { 1 } } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , \hbar ^ { - 1 } t ] } ( \boldsymbol { \tilde { s } } _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } - 1 } ^ { + } ) \frac { \big ( 1 - \prod _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { s } _ { m } } \prod _ { j = \tilde { a } _ { m - 1 } + 1 } ^ { \tilde { a } _ { m } } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 3 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { t } _ { j } } \big ) } { \operatorname* { m a x } ( 1 , | \sum _ { m = m _ { 1 } } ^ { m _ { 2 } - 1 } \tilde { s } _ { m } | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k } } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } ( 1 , | \tilde { t } _ { i } | ) ^ { \frac { d } { 2 } } } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { \tilde { s } } . } \end{array}
\int { \frac { \ d x } { \sqrt { x ^ { 2 } + c } } } = \int { \frac { \frac { t ^ { 2 } + c } { 2 t ^ { 2 } } } { \frac { t ^ { 2 } + c } { 2 t } } } \, \ d t = \int \! { \frac { \ d t } { t } } = \ln | t | + C = \ln | x + { \sqrt { x ^ { 2 } + c } } | + C
\begin{array} { r l } { I _ { k } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , b \right) , a \right) B ^ { k } ( X _ { s } ) \partial _ { k } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - { X _ { s } ^ { 1 } } , a - X _ { s } ; t - s ) d b d a \right] d s } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { \{ b > M _ { s } \} } F \left( b , a \right) B ^ { k } ( X _ { s } ) \partial _ { k } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - { X _ { s } ^ { 1 } } , a - X _ { s } ; t - s ) d b d a \right] d s } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } { \mathbf 1 } _ { \{ b < M _ { s } \} } F \left( M _ { s } , a \right) B ^ { k } ( X _ { s } ) \partial _ { k } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - { X _ { s } ^ { 1 } } , a - X _ { s } ; t - s ) d b d a \right] d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = c \sqrt { ( \tau ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } \sin ( \varphi ) \, , } \\ { y } & { { } = c \tau \xi \, , } \\ { z } & { { } = c \sqrt { ( \tau ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } \cos ( \varphi ) \, , } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial \dot { x } _ { i } } \right) - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \phi _ { t } } } { \partial x _ { i } } = \rho \dot { y } _ { i } \biggr [ \underbrace { \partial _ { y _ { i } } \int \partial _ { x _ { i } } \phi _ { i } \; d A } _ { I _ { y } } - \underbrace { \partial _ { x _ { i } } \int \partial _ { y _ { i } } \phi _ { i } \; d A } _ { I _ { x } } \biggr ] .
\frac { \sigma _ { \nu N } ( E _ { \nu } ) } { V } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } \cos _ { \theta _ { c } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } ( C _ { V } ^ { 2 } + 3 C _ { A } ^ { 2 } ) { m _ { N } ^ { * } } ^ { 2 } T ^ { 2 } \mu _ { e } \frac { \left( \pi ^ { 2 } + \frac { ( E _ { \nu } - \mu _ { \nu } ) ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \right) } { \left( 1 + e x p \frac { ( E _ { \nu } - \mu _ { \nu } ) } { T } \right) }
\begin{array} { r l r l r l } { h _ { s } } & { { } = | \nabla _ { s } x | = 1 - \sigma \kappa \cos ( \theta + \phi ) , } & { \sigma } & { { } = | \partial _ { \theta } x | = \sigma , } & { h _ { \sigma } } & { { } = | \partial _ { \sigma } x | = 1 . } \end{array}
\mathcal { X U } = \left\{ \left\{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right\} _ { 1 } , \; \left\{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right\} _ { 2 } , \; . . . , \; \left\{ \mathbf { u } _ { t } \} _ { t = 0 } ^ { T - 1 , \; * } , \{ \hat { \mathbf { x } } _ { t } \} _ { t = 1 } ^ { T } \right\} _ { c } \right\}
I _ { T O P } = \frac { \Theta _ { G } ^ { P } } { 2 \pi } \mathrm { T r } \int _ { X } R \wedge R + i \frac { \Theta _ { G } ^ { E } } { 2 \pi } \mathrm { T r } \int _ { X } R \wedge \widetilde { R } ,
R ( \zeta _ { 1 } / \zeta _ { 2 } ) ( \pi _ { \zeta _ { 1 } } \otimes \pi _ { \zeta _ { 2 } } ) \circ \Delta ( y ) = ( \pi _ { \zeta _ { 1 } } \otimes \pi _ { \zeta _ { 2 } } ) \circ \Delta ^ { \prime } ( y ) R ( \zeta _ { 1 } / \zeta _ { 2 } ) .
C _ { i , j } ^ { m } ( \tau ) = \frac { \left\langle T _ { i } ^ { m } ( t ) I _ { j } ^ { m } ( t - \tau ) \right\rangle - \left\langle T _ { i } ^ { m } ( t ) \right\rangle \left\langle I _ { j } ^ { m } ( t - \tau ) \right\rangle } { \sqrt { \operatorname { V a r } ( T _ { i } ^ { m } ( t ) ) \operatorname { V a r } ( I _ { j } ^ { m } ( t - \tau ) ) } } ,
Q _ { \mathrm { l o c } } ( \mathbf { r } ) = \frac { \alpha _ { X } } { 4 \pi } n _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) n _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } ) V _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( 2 ) \left[ e ^ { - \mu R _ { 2 } } | \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; L _ { 2 } ) | \right] } & { = 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 2 } { \gamma } \overline { G } ( \alpha , \gamma ) \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } [ e ^ { - \mu R _ { 2 } } L _ { 2 } ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } ] } \\ & { = 2 ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } \frac { 2 } { \gamma } \overline { G } ( \alpha , \gamma ) \frac { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } - 1 } } { ( 1 - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } ) \Gamma ( 1 - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } } } \iint _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \mu \ell } r ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } ( \ell + r ) ^ { - \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } - 1 } d \ell d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \frac { a _ { 0 } } { 3 } - \frac { \pi a _ { 2 } } { 9 } - \frac { a _ { 2 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } a _ { 2 } } { 3 } - a _ { 3 } - \frac { \pi a _ { 4 } } { 9 } - } \end{array}
\frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { r } ^ { N } } \\ { \mathbf { v } ^ { N } } \\ { \mathbf { a } ^ { N } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { v } ^ { N } } \\ { ( \mathbf { R } _ { N } ^ { A } ) ^ { T } \mathbf { a } _ { M } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } _ { \odot } ^ { N } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ P ~ } } ^ { N } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { a } ^ { N } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] ,
\operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 1 } - p _ { 1 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } , \, \operatorname* { i n f } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \| q _ { 2 } - p _ { 2 } * \gamma \| _ { L ^ { 2 } } , \, \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 1 } } , \mu _ { p _ { 1 } } ) , \, \operatorname { W F R } ( \mu _ { q _ { 2 } } , \mu _ { p _ { 2 } } ) < \epsilon / 4 .
E _ { t o t } \{ \rho \} = \frac 1 2 \int d ^ { 3 } r \left[ i \frac { \partial } { \partial t } + h ( r ) \right] G ( r t , r ^ { \prime } t ^ { \prime } ) _ { r ^ { \prime } \to r , t ^ { \prime } \to t ^ { \dag } }
\bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell } ( \nabla ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \sum _ { { \boldsymbol { \alpha } } \in \ensuremath { \mathbb { N } } _ { 0 } ^ { j } \colon | { \boldsymbol { \alpha } } | = \ell - j } c _ { \ell , j , { \boldsymbol { \alpha } } } \prod _ { i = 1 } ^ { j } ( \mathscr { D } _ { t , m } ^ { { \boldsymbol { \alpha } } _ { i } } \nabla \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } ) \cdot \nabla \, ,
\begin{array} { r l r } { { \cal G } } & { = } & { \{ v \in { \cal P } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) : } \\ & { } & { v ( B \times \mathbb { U } ) = \int _ { z , u } \mathbb { P } ( z _ { t + 1 } \in B | z , u ) v ( d z , d u ) , \quad B \in { \cal B } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } ^ { - 1 } \mathcal { H } \hat { S } = \frac { ( \hat { \mathbf { P } } - \hat { \mathbf { P } } _ { \mathrm { B } } ) ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \omega _ { \mathbf { k } } \hat { b } _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \mathbf { k } } + n V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } = 0 ) + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k \neq 0 } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \left( \hat { b } _ { \mathbf { k } } + \hat { b } _ { - \mathbf { k } } ^ { \dagger } \right) . } \end{array}
M _ { \nu } \approx - m _ { 0 } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { S _ { e \mu } ( x _ { e } - x _ { \mu } ) } } & { { S _ { e \tau } ( x _ { e } - 1 ) } } \\ { { S _ { e \mu } ( x _ { e } - x _ { \mu } ) } } & { { 0 } } & { { S _ { \mu \tau } ( x _ { \mu } - 1 ) } } \\ { { S _ { e \tau } ( x _ { e } - 1 ) } } & { { S _ { \mu \tau } ( x _ { \mu } - 1 ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \mathrm { n e w } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } ( \tau , q ) } & { = a ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \, \exp ( \mathrm { i } \, \lambda _ { 1 } \, \tau ) \, \exp ( \mathrm { i } \, \lambda _ { 2 } \, q ) } \\ & { = a ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \ \tilde { \varphi } _ { \mathrm { o l d } } ^ { ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) } ( \tau , q ) } \end{array}
\Gamma ( t _ { * * } ^ { 1 } , \lambda ) = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 N } \frac { ( 1 - \lambda ) ^ { k - 1 } } { k ! } e ^ { - ( T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ) } [ \mathcal { H } _ { K } , T _ { * * } ^ { \angle } ] _ { ( k ) } e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } } .
P I _ { } ^ { d - 1 } = \{ P I _ { 1 } ^ { d - 1 } , P I _ { 2 } ^ { d - 1 } , \dots , P I _ { n } ^ { d - 1 } \} , x _ { } ^ { d } = \{ x _ { 1 } ^ { d - 1 } , x _ { 2 } ^ { d - 1 } , \dots , x _ { n } ^ { d - 1 } \}
{ \bf P } _ { 2 } ^ { T } ( \bar { \bf x } _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ P ~ } } , \bar { \bf x } _ { 0 } ) = { \bf Q } _ { 1 } ( \bar { \bf x } _ { 0 } , \bar { \bf x } _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ P ~ } } )
{ \cal L } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \alpha } \chi _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } } ) ^ { 2 } - \frac { s } { s + 1 } ( \partial _ { \alpha } \chi _ { \alpha \mu _ { 2 } \cdots \mu _ { s } } ) ^ { 2 } ,
\Pi ( x ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( m ^ { 2 } ) D _ { 3 } ( x , m ) d m ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( m ^ { 2 } ) { \frac { e ^ { - m x } } { 4 \pi x } } d m ^ { 2 }
{ \left\{ \begin{array} { l l } { - { \mathcal { A } } u ( x ) = f ( x ) , } & { x \in D } \\ { \displaystyle { \operatorname* { l i m } _ { t \uparrow \tau _ { D } } u ( X _ { t } ) } = g { \big ( } X _ { \tau _ { D } } { \big ) } , } & { \mathbb { P } ^ { x } { \mathrm { - a . s . , } } \; \forall x \in D } \end{array} \right. } \quad { \mathrm { ( P 2 ) } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \ell } } & { { } = ( \mu - 1 ) + \Big [ \xi _ { s } + ( \mu - 1 ) \zeta _ { \ell s } \Big ] \mathcal { Z } ( \zeta _ { \ell s } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { \ell } } & { { } = - 2 ( \xi _ { s } + \zeta _ { \ell s } \mathcal { A } _ { \ell } ) \quad \textnormal { a n d } \quad \mathcal { C } _ { \ell } = \xi _ { s } \zeta _ { \ell s } + \left( \zeta _ { \ell s } + \frac { U _ { s } } { \alpha _ { \parallel s } } \right) ^ { 2 } \mathcal { A } _ { \ell } , } \end{array}
e ^ { { \cal F } ^ { ( p ) } } \rightarrow \big ( 1 + \bar { \lambda } \Gamma _ { p } d \lambda d \phi ^ { p } - ( d \phi ^ { p } + \bar { \lambda } \Gamma _ { p } d \lambda ) d \sigma ^ { p } \big ) e ^ { { \cal F } ^ { ( p - 1 ) } } .