harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { r ( x ) } & { = \phi ( F _ { 1 } , x ) - \phi ( F , x ) } \\ & { = x ^ { n - 5 } ( n _ { 3 } - n _ { 2 } + 1 ) ( x ^ { 3 } + 2 ( 1 + n _ { 5 } ) x ^ { 2 } - ( n _ { 4 } + n _ { 4 } n _ { 6 } ) x - 2 n _ { 4 } n _ { 5 } } \\ & { - 2 n _ { 4 } n _ { 6 } - 2 n _ { 4 } n _ { 5 } n _ { 6 } ) } \\ & { = x ^ { n - 5 } ( n _ { 3 } - n _ { 2 } + 1 ) ( x ( x ^ { 2 } - n _ { 4 } ( n _ { 6 } + 1 ) ) + 2 n _ { 5 } ( x ^ { 2 } - n _ { 4 } ( n _ { 6 } + 1 ) ) } \\ & { + 2 ( x ^ { 2 } - n _ { 4 } n _ { 6 } ) ) . } \end{array}
\left. \frac { \partial \sigma } { \partial { \bf q } } \right| _ { { \bf q } = { \bf 0 } } = { \bf 0 } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \left. \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } \right| _ { { \bf q } = { \bf 0 } } = { \bf K } _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( M ^ { * } > t ) } & { = \mathbb { P } \bigl ( 2 \tilde { N } \omega _ { n } ^ { 2 } M _ { 1 } M _ { 2 } > t \bigr ) = \mathbb { P } \bigl ( M _ { 1 } M _ { 2 } > t \cdot \sqrt { { \tilde { n } } } \| \mu \| s _ { \tilde { n } } ^ { - 2 } \bigr ) } \\ & { \leq \mathbb { P } \bigl ( M _ { 1 } > \sqrt { t } \cdot \sqrt { { \tilde { n } } } s _ { \tilde { n } } ^ { - 1 } \bigr ) + \mathbb { P } \bigl ( M _ { 2 } > \sqrt { t } \cdot \| \mu \| s _ { \tilde { n } } ^ { - 1 } \bigr ) } \\ & { \leq 8 \exp \Bigl ( - \frac { t } { 8 s _ { \tilde { n } } ^ { 2 } } \Bigr ) + 2 \exp \Bigl ( - \frac { t } { 8 s _ { \tilde { n } } ^ { 2 } } \Bigr ) } \\ & { \leq 4 \exp ( - c _ { 1 } t / s _ { \tilde { n } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { 1 } = \frac { 1 } { ( \gamma - 1 ) } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { p u _ { j } } } - \overline { { p } } \widetilde { u _ { j } } \right) = \frac { \partial C _ { v } Q _ { j } } { \partial x _ { j } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 2 } = \overline { { p \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } } } - \overline { { p } } \frac { \partial \widetilde { u _ { k } } } { \partial x _ { k } } = \Pi _ { d i l } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 3 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \sigma _ { k j } \widetilde { u _ { k } } \right) \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 4 } = \sigma _ { k j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \widetilde { u _ { k } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 5 } = \overline { { \tau _ { k j } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } u _ { k } } } - \overline { { \tau _ { i j } } } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \widetilde { u _ { k } } = \epsilon \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 6 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { \tau _ { i j } } } \widetilde { u _ { i } } - \check { \tau } _ { i j } \widetilde { u _ { i } } \right) = \frac { \partial \mathcal { D } } { \partial x _ { j } } \, \mathrm { , } } \\ { B _ { 7 } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \overline { { q _ { j } } } - \check { q } _ { j } \right) \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) } & { = - \Big ( \kappa _ { 0 } \phi ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) + \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } \Big ) ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } \Big ( ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - R \Big ) } \\ & { = - \frac { d } { d t } \Big ( \kappa _ { 0 } \Phi ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) + \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \Big ) - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } \Big ( ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - R \Big ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \sum _ { j = - 1 } ^ { 1 } \frac { A _ { j } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \biggl ( } & { \cos ( \mathrm { u } _ { j } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { + \epsilon \Lambda } & { \sin ( \mathrm { u } _ { j } + \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \boldsymbol { e } _ { y } \biggr ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( T _ { 0 } - Q _ { 1 } ) \cdots ( T _ { 0 } - Q _ { r } ) } & { = 0 , } \\ { T _ { 0 } T _ { 1 } T _ { 0 } T _ { 1 } } & { = T _ { 1 } T _ { 0 } T _ { 1 } T _ { 0 } , } \\ { ( T _ { i } + 1 ) ( T _ { i } - q ) } & { = 0 , } & { \mathrm { f o r ~ } 1 } & { \leq i \leq n - 1 , } \\ { T _ { i } T _ { j } } & { = T _ { j } T _ { i } , } & { \mathrm { f o r ~ } 0 } & { \leq i < j - 1 \leq n - 2 , } \\ { T _ { i } T _ { i + 1 } T _ { i } } & { = T _ { i + 1 } T _ { i } T _ { i + 1 } , } & { \mathrm { f o r ~ } 1 } & { \leq i \leq n - 2 . } \end{array}
\log \left( \operatorname { t r } \left[ \exp \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } H _ { j } \right) \right] \right) \leq \frac { 4 } { \pi } \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \log \left( \operatorname { t r } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { k } \exp \left( \frac { e ^ { i \phi } } { 2 } H _ { j } \right) \prod _ { j = k } ^ { 1 } \exp \left( \frac { e ^ { - i \phi } } { 2 } H _ { j } \right) \right] \right) \, d \mu ( \varphi ) ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { 1 S - 5 S } ( v ) } & { { } = - 1 ~ 2 2 0 ~ 7 0 3 ~ 1 2 5 - 1 ~ 4 6 4 ~ 8 4 3 ~ 7 5 0 v + 1 ~ 8 5 5 ~ 4 6 8 ~ 7 5 0 v ^ { 2 } + 2 ~ 5 1 9 ~ 5 3 1 ~ 2 5 0 v ^ { 3 } } \end{array}
L \left( h \nu , T , \mu \right) = \epsilon ( h \nu ) \cdot \frac { 2 h \nu ^ { 3 } } { c ^ { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { \frac { h \nu - \mu } { k _ { B } T } } - 1 } \approx L _ { T h } e ^ { \frac { \mu } { k _ { B } T } }
P = | A _ { 1 } B _ { 2 } B _ { 2 } D _ { 2 } D _ { 3 } + A _ { 2 } B _ { 1 } B _ { 2 } D _ { 2 } D _ { 3 } + A _ { 2 } B _ { 2 } B _ { 1 } D _ { 2 } D _ { 3 } + \ldots | ^ { 2 }
T = \left. { \frac { \partial U } { \partial S } } \right\vert _ { V , N _ { i \ f o r \ a l l \ i \ v a l u e s } } , P = \left. - { \frac { \partial U } { \partial V } } \right\vert _ { S , N _ { i \ f o r \ a l l \ i \ v a l u e s } } , \mu _ { i } = \left. { \frac { \partial U } { \partial N _ { i } } } \right\vert _ { S , V , N _ { j \ f o r \ a l l \ j \neq i } }
\boldsymbol X _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } } = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } } , \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } + 1 0 \mathrm { \scriptsize ~ m s } } , \cdots , \boldsymbol x _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } + 1 0 \mathrm { \scriptsize ~ m s } \times ( \boldsymbol v - 1 ) } } \end{array} \right] ^ { T }
\begin{array} { l } { \frac { d x } { d t } = ( x - \alpha y ) Z + \Omega y + \eta } \\ { \frac { d y } { d t } = ( y + \alpha x ) Z - \Omega x } \\ { T \frac { d Z } { d t } = P - Z - ( 1 + 2 Z ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde Y ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { \widetilde Y ^ { \prime } ( t ) } { t } - \frac { \widetilde Y ( t ) } { t ^ { 2 } } - \widetilde \alpha \, \widetilde Y ( t ) + \widetilde \beta \, \widetilde Z ^ { \prime } ( t ) = 0 \quad } & { t > 0 \, , } \\ { \widetilde Z ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { \widetilde Z ^ { \prime } ( t ) } { t } - \widetilde \gamma \, \widetilde Z ( t ) - \widetilde \delta \, \bigg [ \widetilde Y ^ { \prime } ( t ) + \frac { \widetilde Y ( t ) } { t } \bigg ] = 0 \quad } & { t > 0 \, , } \end{array} \right.
\left( \partial _ { n } r \right) _ { \rho _ { 0 } = R } = { \frac { R ^ { 2 } + r ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } } { 2 R r } } ~ ~ , ~ ~ \left( \partial _ { n } r _ { 1 } \right) _ { \rho _ { 0 } = R } = { \frac { \rho ^ { 2 } + r ^ { 2 } - R ^ { 2 } } { 2 \rho r } }
\left[ \begin{array} { c c c } { k _ { \mathrm { W G 1 } } } & { - A } & { 0 } \\ { A } & { k _ { \mathrm { W G 2 } } } & { B } \\ { 0 } & { B } & { k _ { \mathrm { W G 3 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \\ { \psi _ { 3 } } \end{array} \right] = \beta \left[ \begin{array} { c c c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \\ { \psi _ { 3 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { F } _ { \alpha \beta \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } = - \frac { R _ { p } ^ { 3 } } { 4 ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } \left\{ \frac { ( 1 + 4 \hat { \lambda } ) ( 1 + 7 \hat { \lambda } ) } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \left[ \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } + \hat { \lambda } ( \delta _ { \beta \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } + \delta _ { \beta \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } ) \right] \right. } \\ & { } & { + \frac { R _ { p } ^ { 2 } } { 6 } \bigg [ - 4 \hat { \lambda } ^ { 2 } \left( \frac { 4 + 2 1 \hat { \lambda } } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right) \Delta _ { \xi } \delta _ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta } + 5 ( 1 + 6 \hat { \lambda } ) \nabla _ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta } + } \\ & { } & { \left. ( 1 + 6 \hat { \lambda } + 2 8 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { \beta \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } + \nabla _ { \beta \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } ) + ( 1 + 1 2 \hat { \lambda } + 5 6 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } \delta _ { \beta \beta _ { 2 } } + \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } \delta _ { \beta \beta _ { 1 } } ) \Delta _ { \xi } \bigg ] \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { R _ { p } ^ { 4 } } { 8 4 } \left[ ( 5 + 2 0 \hat { \lambda } - 5 6 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) \nabla _ { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta } + ( 1 + 4 \hat { \lambda } + 2 8 \hat { \lambda } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { \beta \beta _ { 1 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 2 } } + \nabla _ { \beta \beta _ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta _ { 1 } } ) \right] \Delta _ { \xi } \right\} } \end{array}
\zeta = \underset { \zeta \ \geq \ 0 } { \mathrm { a r g \ m i n } } \ \ \mathrm { s . t . } \ \ \left[ \Gamma _ { 1 } \left( \widetilde { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right) > 0 , \ \Gamma _ { 2 } \left( \widetilde { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right) > 0 , \ \Gamma _ { 3 } \left( \widetilde { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right) > 0 \ \ \forall \ i \in S \right] .
\begin{array} { r l } { { \left\langle { \psi _ { m , n } ^ { \gamma , \eta } , \psi _ { j , k } ^ { \gamma , \eta } } \right\rangle } } & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { m } E _ { m - \ell } ^ { \gamma + \ell , \alpha } { \left\langle { \psi _ { 0 , n } ^ { \gamma + m , \eta } , \psi _ { j - m , k } ^ { \gamma + m , \eta } } \right\rangle } } \\ & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { m } E _ { m - \ell } ^ { \gamma + \ell , \alpha } { \left\langle { \psi _ { 0 , n } ^ { \gamma + m , \eta } , A _ { \gamma + m + 1 , \eta } ^ { * } \circ A _ { \gamma + m + 2 , \eta } ^ { * } \circ \cdots \circ A _ { \gamma + j , \eta } ^ { * } ( \varphi _ { j - m , k } ^ { \gamma + m , \eta } ) } \right\rangle } } \\ & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { m } E _ { m - \ell } ^ { \gamma + \ell , \alpha } { \left\langle { A _ { \gamma + j , \eta } \circ \cdots \circ A _ { \gamma + m + 1 , \eta } ( \varphi _ { 0 , n } ^ { \gamma + m , \eta } ) , \varphi _ { j - m , k } ^ { \gamma + m , \eta } } \right\rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L , \, V o T } } = \sum _ { \pm } \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 1 } } \frac { d - 1 } { d } n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \right] } \\ & { \times \left[ e ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 2 } \, k _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { d } 2 k _ { 2 } } \frac { d - 1 } { d } \right] \left\langle \phi _ { a } \left| r _ { i } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } \right. \right. } \\ & { \times \left. \left. r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } \pm k _ { 1 } - k _ { 2 } } r _ { j } \frac { 1 } { E _ { a } - H _ { S } - k _ { 2 } } r _ { i } \right| \phi _ { a } \right\rangle . } \end{array}
\delta T \approx - \frac { \sin ^ { 2 } 2 \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 4 { ( m _ { E } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } + P _ { \mathrm { L Z } } ^ { \prime } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m _ { n a } ^ { 2 } } \left( \cos 2 \theta - \frac { \Delta m ^ { 2 } } { { ( m _ { E } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } 2 \theta \right) .
\begin{array} { r l } { f ( x _ { 0 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 1 } \left( \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } ( x _ { n } - x _ { j } ) \right) f _ { x } [ 0 , 1 , \dots , i ] } & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) f _ { x } [ 0 , 1 ] } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) \frac { f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 0 } ) } { x _ { 1 } - x _ { 0 } } } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + \left( f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 0 } ) \right) } \\ & { = f ( x _ { 1 } ) } \end{array}
e _ { { f } } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \theta ^ { \beta } v _ { \beta } ^ { { b } } \left( \Gamma ^ { \{ { f \} } } C ^ { - { 1 } } \right) _ { { b c } } \left( \delta _ { { a } } ^ { { c } } \pm ( \Gamma ^ { \prime } ) _ { { a } } ^ { { c } } \right) = 0
\left( \begin{array} { c } { \medskip \zeta _ { t } } \\ { \sigma _ { t } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { c c } { \medskip 0 } & { \partial _ { x } } \\ { \partial _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { c } { \medskip \displaystyle \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \zeta } } \\ { \displaystyle \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \sigma } } \end{array} \right)
\Delta J _ { s } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { c } } & { { Q _ { \nu } - B _ { \nu } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - Q ^ { \mu } + B ^ { \mu } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - c } } \end{array} \right) ( x ) \delta ( x - y ) \Lambda \ .
\begin{array} { r l } { \underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } } & { ~ ~ \mathcal { L } _ { G S T } = \frac { 1 } { S \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { S } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } | | y _ { s , n } - \tilde { y } _ { s , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } ( \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } + \beta \mathrm { l o g } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } ) . } \end{array}
D _ { i \alpha } \tilde { \mathrm { A } } ^ { \beta \gamma } ( \theta ) = \textstyle { \frac { 1 } { 3 } } \left( \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta } D _ { i \delta } \tilde { \mathrm { A } } ^ { \delta \gamma } ( \theta ) - \delta _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } D _ { i \delta } \tilde { \mathrm { A } } ^ { \delta \beta } ( \theta ) \right)
\mathrm { d c a y } _ { \hat { \mathbf { X } } } ^ { - 1 } ( \hat { \mathbf { U } } ) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathbf { u } } \right) } & \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) \left( \mathbf { v } - \tilde { \mathbf { y } } \mathbf { u } \right) } \\ { \mathbf { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) \in s e \left( 3 \right) .
\begin{array} { r l r } { \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \eta ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) , } \\ { \| \boldsymbol { p } _ { h } - \boldsymbol { p } _ { H } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { } & { + \bigg ( \eta ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) + \eta ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) \bigg ) . } \end{array}
\hat { F } _ { 2 } ^ { L J } ( \hat { x _ { i } } , \hat { x _ { j } } ) = - \frac { 2 4 \varepsilon } { x _ { i j } } \left( \frac { \sigma } { x _ { i j } } \right) ^ { 6 } \left[ 2 \left( \frac { \sigma } { x _ { i j } } \right) ^ { 6 } - 1 \right] \hat { x } _ { i j } ~ ,
I ^ { M } ( l , m , n ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 - z _ { 1 } } d z _ { 2 } { \frac { z _ { 1 } ^ { l } z _ { 2 } ^ { m } } { ( 1 - z _ { 1 } ) ^ { n } } } { \frac { 1 } { a z _ { 1 } z _ { 2 } + b z _ { 1 } ( 1 - z _ { 1 } ) - c } } ; \quad 0 \leq l , m , n \leq 3 .
\begin{array} { r l r } { K _ { \gamma \mathrm { B I } } ( u , \bar { u } ) } & { = } & { \frac { 1 - \sqrt { 1 + \lambda \left[ \cosh ( \gamma ) ( u + \bar { u } ) - 2 \sinh ( \gamma ) \sqrt { u \bar { u } } \, \right] + \frac { 1 } { 4 } \lambda ^ { 2 } ( u - \bar { u } ) ^ { 2 } } } { \lambda \cosh ( \gamma ) u \bar { u } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 \lambda } \left( \frac { 1 } { u } + \frac { 1 } { \bar { u } } \right) ~ . } \end{array}
{ \bf \Delta } \phi _ { n _ { 1 } } ^ { 0 } \geq - y _ { 1 } ^ { 2 } \cdot \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \phi _ { n _ { 1 } } ^ { 0 } = y _ { 1 } ^ { 2 } \cdot 4 \pi ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } \phi _ { n _ { 1 } } ^ { 0 } .
T _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { \pi } Q ^ { 2 } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } \left[ \sigma _ { T } - \frac { \nu ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \sigma _ { L } \right] ( \nu , Q ^ { 2 } ) .
\Dot { \mathcal { F } } = \int _ { \Omega } \mathbf { b } \cdot \Dot { \mathbf { u } } \, \textrm { d } V + \int _ { \partial \Omega _ { t } } \mathbf { t } \cdot \Dot { \mathbf { u } } \, \textrm { d } S ,
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 9 , 3 } } & { = } & { \bar { y } \bar { 2 } y 2 Y _ { 2 , 3 } \bar { 2 } y 2 \bar { y } \bar { b } = \bar { y } \bar { 2 } y \underline { { 2 \cdot 1 2 } } \bar { y } \underline { { \bar { 2 } \bar { 1 } \cdot \bar { 2 } } } y 2 \bar { y } \bar { b } } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { \bar { y } \bar { 2 } \underline { { y 1 } } 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \underline { { \bar { 1 } y } } 2 \bar { y } \bar { b } } \\ & { = } & { \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 2 1 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } y 1 2 \bar { y } \bar { b } } \end{array}
r ( x ) \approx \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } \frac { w _ { i } } { x - x _ { i } } } \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } \frac { w _ { i } } { x - x _ { i } } r ( x _ { i } ) \, .
\sigma = { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 4 } \pi ^ { 5 } } { 1 5 c ^ { 2 } h ^ { 3 } } } \approx 5 . 6 7 0 4 0 0 \times 1 0 ^ { - 8 } \, \mathrm { J \, s ^ { - 1 } m ^ { - 2 } K ^ { - 4 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u ^ { ( i ) } } { \partial s } = - \nu \frac { u ^ { ( i - 2 ) } - 4 u ^ { ( i - 1 ) } + 6 u ^ { ( i ) } - 4 u ^ { ( i + 2 ) } + u ^ { ( i + 2 ) } } { \Delta x ^ { 4 } } - \frac { u ^ { ( i + 1 ) } - 2 u ^ { ( i ) } + u ^ { ( i - 1 ) } } { \Delta x ^ { 2 } } - \frac { \big ( u ^ { ( i + 1 ) } \big ) ^ { 2 } - \big ( u ^ { ( i - 1 ) } \big ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i = 2 , \dots , d _ { u } - 1 , } \\ & { u ^ { ( 1 ) } ( s ) = u ^ { ( d _ { u } ) } ( s ) = 0 , } \\ & { u ^ { ( 0 ) } ( s ) = u ^ { ( 2 ) } ( s ) , u ^ { ( d _ { u } + 1 ) } ( s ) = u ^ { ( d _ { u } - 1 ) } ( s ) , } \\ & { u ^ { ( i ) } ( 0 ) = u _ { 0 } ( i \Delta x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \alpha _ { s } ( t ) } & { { } = } & { \alpha _ { s } ( 0 ) \left( 1 - 2 d _ { g } \frac { \beta ( g _ { s } ) \phi ( t ) } { g _ { s } \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \right) , \, \frac { \partial \ln \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \partial \phi } = \frac { d _ { g } } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \, } \\ { \hat { m } ( t ) } & { { } = } & { \hat { m } ( 0 ) \left( 1 + d _ { \hat { m } } \frac { \phi ( t ) } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \right) , \, \frac { \partial \ln \hat { m } } { \partial \phi } = \frac { d _ { \hat { m } } } { \sqrt { 2 } M _ { \mathrm { P l } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { c } { { H _ { l } s _ { l } \left( r , \chi \right) = \left\{ 2 \sinh { } ^ { 2 } \frac { i } { 2 } \frac { d } { d r } + \frac { l \left( l + 1 \right) } { 2 r \left( r + i \right) } e ^ { i \frac { d } { d r } } \right\} s _ { l } \left( r , \chi \right) = } } \\ { { = \left( \cosh \chi - 1 \right) s _ { l } \left( r , \chi \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| G \| _ { \infty } } & { \leq } & { 1 + \Delta t N \left( C _ { k 2 , p } \| \tilde { p } \| _ { \infty } + C _ { k 2 , p ^ { 2 } } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } \right) + \Delta t ^ { 2 } N ^ { 2 } \left( C _ { k 1 , p } \| \tilde { p } \| _ { \infty } + C _ { k 1 , p ^ { 2 } } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { \Delta t \left( C _ { k 2 , q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } + C _ { k 2 , p q } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } + C _ { k 2 , q ^ { 2 } } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { \Delta t ^ { 2 } \left( C _ { k 1 , q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } + C _ { k 1 , p q } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } + C _ { k 1 , q ^ { 2 } } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { t } S _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { { } = } & { - \Lambda _ { \mathbf { a } } ( t ) S _ { \mathbf { a } } ( t ) } \\ { d _ { t } E _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { { } = } & { \Lambda _ { \mathbf { a } } ( t ) S _ { \mathbf { a } } ( t ) - \Psi E _ { \mathbf { a } } ( t ) } \\ { d _ { t } I _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { { } = } & { \Psi E _ { \mathbf { a } } ( t ) - \Gamma I _ { \mathbf { a } } ( t ) } \\ { d _ { t } R _ { \mathbf { a } } ( t ) } & { { } = } & { \Gamma I _ { \mathbf { a } } ( t ) } \end{array}
\frac { 2 b \delta _ { 1 } ^ { \prime } } { 7 \log ^ { 2 } ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) } - 2 2 \log ( b ( \delta _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) \geq \log \left( \frac { 1 } { \epsilon ^ { \prime } } \right) .
\begin{array} { r } { I _ { m , n } = e ^ { - \psi ^ { 2 } } \left( \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) M \left( \frac { m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) + 2 \omega \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) M \left( \frac { m + 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { v } _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - 2 \sum _ { j } m _ { j } \frac { { p } ^ { * } } { \rho _ { i } \rho _ { j } } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \nu _ { i } V _ { j } \frac { \mathbf { v } _ { i j } } { r _ { i j } } \frac { \partial W _ { i j } } { \partial r _ { i j } } + \mathbf { g }
\mathcal { V } _ { \mathrm { x c } } ( \ensuremath { \boldsymbol { r } } ) = V _ { \mathrm { x c } } ( \ensuremath { \boldsymbol { r } } ) \mathrm { I } _ { 2 } + \mu _ { \mathrm { B } } \ensuremath { \boldsymbol { B } } _ { \mathrm { x c } } ( \ensuremath { \boldsymbol { r } } ) \cdot \ensuremath { \boldsymbol { \sigma } } ,
\begin{array} { r } { \textbf { P } = \chi \textbf { E } = \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left( \left[ \nabla \times \nabla \times - \omega ^ { 2 } \right] \textbf { E } - i \omega \textbf { J } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname* { P r } \left\{ d _ { 1 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 1 } ^ { n } ) > D _ { 1 } \right\} } & { \le \varepsilon _ { 1 } , } \\ { * \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname* { P r } \left\{ d _ { 2 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 2 } ^ { n } ) > D _ { 2 } \right\} } & { \le \varepsilon _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta r } { r } = \left( \Delta K _ { \alpha } d _ { \gamma } ^ { ( n ) } + \Delta K _ { \mu } ( d _ { m _ { e } } ^ { ( n ) } - d _ { g } ^ { ( n ) } ) + \Delta K _ { q } ( d _ { q } ^ { ( n ) } - d _ { g } ^ { ( n ) } ) \right) ( \kappa \phi ) ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle w _ { i } \left( \mathbf { r } \right) w _ { j } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) N _ { i j } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) . } \end{array}