harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } ( \mathbf { I } - \mathbf { g } ) \cdot \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } - \frac { 1 } { 8 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } \frac { \hat { \lambda } } { 1 + \hat { \lambda } ^ { 2 } } } \\ & { \times \left( \mathbf { I } + a ^ { 2 } \mathbf { d } \right) \cdot \left( \mathbf { e } _ { z } \times \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } + \hat { \lambda } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } ( R ) } & { = n _ { t } p ( 1 - p ) / \tau ^ { 2 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) / \tau } \\ { \kappa _ { 3 } ( R ) } & { = n _ { t } p ( 1 - p ) ( 1 - 2 p ) / \tau ^ { 3 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ( 1 - 2 R \Delta t ^ { \prime } ) / \tau ^ { 2 } } \\ { \kappa _ { 4 } ( R ) } & { = n _ { t } p ( 1 - p ) ( 1 - 6 p ( 1 - p ) ) / \tau ^ { 4 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ( 1 - 6 R \Delta t ^ { \prime } ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ) / \tau ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) } & { { } = \sum _ { \gamma = 1 } ^ { M } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { L } } F _ { \gamma k } h _ { i } ^ { L \uparrow ( k ) } \right) \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } G _ { \gamma l } h _ { j } ^ { L \downarrow ( l ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d { \boldsymbol { \gamma } } } { d t } } & { { } = \lambda _ { t } \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial { \bf g } } \, , } \\ { \frac { d \bar { \bf g } } { d t } } & { { } = - \lambda _ { t } \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial \bar { \boldsymbol { \gamma } } } \, , } \\ { \frac { d t _ { 0 } } { d t } } & { { } = \left( \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial g _ { 3 } } \right) ^ { - 1 } = \lambda _ { t } \, . } \end{array}
\mathrm { ( f ) } + \mathrm { ( g ) } = - \frac { d _ { \Gamma } g ^ { 2 } } { 2 x _ { i j } ^ { 4 } } \sum _ { k } \frac { x _ { j k } ^ { \mu } x _ { i k } ^ { \nu } + x _ { j k } ^ { \nu } x _ { i k } ^ { \mu } - \delta ^ { \mu \nu } x _ { j k } \cdot x _ { i k } } { x _ { j k } ^ { 2 } \, x _ { i k } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { K } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } ( I _ { y } ) } & { { } \approx } & { \frac { R ( 1 + K ) } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } } { B \rho } \sqrt { 2 I _ { y } \beta _ { y } } } \end{array}
g ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { { - 2 \mu _ { 2 } - 2 \mu _ { 2 } ^ { 2 } + \frac 2 3 \mu _ { 3 } , } } & { { - \mu _ { 3 } ( 6 + \frac { 1 6 } { 3 } \mu _ { 2 } ) } } \\ { { - \mu _ { 3 } ( 6 + \frac { 1 6 } { 3 } \mu _ { 2 } ) , } } & { { \frac 8 3 \mu _ { 2 } ^ { 2 } \mu _ { 3 } - 8 \mu _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N _ { P } , 0 \leq k < m } \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k ) } , } \\ { T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N _ { P } , 0 \leq k < m } \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k ) } , } \\ { R _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N _ { P } , 0 \leq k < m } \boldsymbol { R } _ { i } ^ { ( k ) } , } \\ { R _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N _ { P } , 0 \leq k < m } \boldsymbol { R } _ { i } ^ { ( k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } _ { k + 1 } } & { = \operatorname { p r o x } _ { \mathbf { R } } \left( \mathbf { m } _ { k } + \alpha _ { k } \frac { \partial J } { \partial \mathbf { m } _ { k } } \right) } \\ & { = f \left( \mathbf { m } _ { k } + \alpha _ { k } \frac { \partial J } { \partial \mathbf { m } _ { k } } , \boldsymbol { s } _ { \theta ^ { * } } , t \right) + \sqrt { \beta ( t ) } d \overline { { \boldsymbol { w } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \bar { r } _ { 1 } ^ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] , } & { \qquad \bar { r } _ { 2 } ^ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l } { 3 } \\ { 3 } \end{array} \right] , } & { \qquad \bar { A } _ { 1 } ^ { 1 } } & { = \bar { A } _ { 2 } ^ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 1 } & { - 1 } \end{array} \right] , } \\ { \bar { r } _ { 1 } ^ { 2 } } & { = 2 , } & { \qquad \bar { r } _ { 2 } ^ { 2 } } & { = - 1 , } & { \qquad \bar { A } _ { 1 } ^ { 2 } } & { = \bar { A } _ { 2 } ^ { 2 } = - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial g _ { n } } { \partial e ^ { j \phi } } } } & { = - { \frac { \partial g _ { n } } { \partial { \bf G } _ { n } } } { \frac { \partial { \bf G } _ { n } } { \partial e ^ { j \phi } } } } \\ & { = - { \frac { \partial g _ { n } } { \partial { \bf G } _ { n } } } { \frac { \partial \left| { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } \right| ^ { 2 } } { \partial e ^ { j \phi } } } } \\ & { = - 4 { \bf G } _ { n } ^ { H } \mathrm { d i a g } ( c o n j ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ) { { \bf A } _ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \tilde { n } _ { \perp } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { = \tilde { \chi } \left( \frac { \big ( i \omega - \tilde { \Omega } \big ) \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } - 1 \right) , } \\ { G _ { \tilde { n } _ { \perp } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = \omega k \frac { \tilde { \sigma } ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma ) - \tilde { \chi } v _ { \perp } ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } , } \\ { G _ { \tilde { \jmath } _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = - i \omega \frac { i \omega \left( \tilde { \sigma } ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma ) - \tilde { \chi } v _ { \perp } ^ { 2 } \right) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } . } \end{array}
L _ { 1 } ^ { * } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = \frac { 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ( 1 - e ^ { L / \lambda _ { 2 } } ) } { \lambda _ { 2 } - ( 2 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) e ^ { L / \lambda _ { 2 } } } \approx \frac { 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } { 2 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } }
\omega _ { 2 } - ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { w } } ) = \frac { 2 u k } { 3 } \cos \theta \pm \frac { 2 k } { 3 } \sqrt { u ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \frac { 3 } { 2 } u v _ { L } \sin ^ { 2 } \theta } .
\begin{array} { r l } { \Omega \ni \omega \longmapsto \mathfrak { u } _ { t } \left( y _ { 0 } \right) \left( \omega \right) } & { : = \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) \Phi _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { t } \left( y _ { 0 } \right) \mathbf { 1 } _ { [ 0 , \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \omega \right) ) } \left( t \right) + } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { \{ \Phi _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \omega \right) \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } \left( y _ { 0 } \right) \} } \left( \mathfrak { x } _ { 0 } \right) \Phi _ { \pi \left( \theta ^ { \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } \omega \right) } ^ { t } \left( \mathfrak { x } _ { 0 } \right) \mathbf { 1 } _ { [ \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) \mathbf { \hat { s } } _ { 1 } \left( y _ { 0 } , \omega \right) , \mathfrak { s } _ { 1 } \left( \omega \right) ) } \left( t \right) + } \\ & { + \sum _ { n \geq 1 } \Phi _ { \pi \left( \theta ^ { n + \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } \omega \right) } ^ { t - \mathfrak { s } _ { n } \left( \omega \right) } \left( \mathfrak { x } _ { n } \right) \mathbf { 1 } _ { [ \mathfrak { s } _ { n } \left( \omega \right) , \mathfrak { s } _ { n + 1 } \left( \omega \right) ) } \left( t \right) \in U \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { p } } } & { = - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e , p } } } { \partial t ^ { 2 } } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } ( - i \omega ) ^ { 2 } { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e , p } } } \\ & { = k _ { 0 } ^ { 2 } { \boldsymbol { \pi } } _ { \mathrm { e , p } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ^ { p s } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ^ { p s } ( t ) } & { { } = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } , \quad \mu \geq 1 } \\ { f _ { \mu } } & { { } = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { ( ( k - k _ { 0 } ) t ) ^ { m } } { m ! } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p = 0 : } & { \qquad ( \chi ^ { \prime } - 1 ) ( \chi ^ { \prime } - z ) = 0 , } \\ { p = 1 : } & { \qquad ( 1 + z - 2 \chi ^ { \prime } ) B _ { 0 } ^ { \prime } - \chi ^ { \prime \prime } B _ { 0 } = 0 , } \\ { p \geq 2 : } & { \qquad B _ { p - 2 } ^ { \prime \prime } + ( 1 + z - 2 \chi ^ { \prime } ) B _ { p - 1 } ^ { \prime } - \chi ^ { \prime \prime } B _ { p - 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c c c c } { { R e } = ( \rho _ { \infty } V _ { 0 } L ) / \mu = 1 6 0 0 , } & { { M } _ { 0 } = ( V _ { 0 } / c _ { 0 } ) = 0 . 1 , } & { { P r } = ( \mu c _ { p } ) / \kappa = 0 . 7 1 , } & { \gamma = c _ { p } / c _ { v } = 1 . 4 } \end{array} } \end{array}
( 1 - \beta ^ { 2 } - \textbf { i } \beta \Omega ) e ^ { \textbf { i } q } + \left( \Omega ^ { 2 } - 2 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \right) + ( 1 - \beta ^ { 2 } + \textbf { i } \beta \Omega ) e ^ { - \textbf { i } q } = 0
\psi _ { j } ^ { + } = ( - i \lambda ^ { + } , \psi _ { H _ { 2 } } ^ { 1 } ) , \qquad \psi _ { j } ^ { - } = ( - i \lambda ^ { - } , \psi _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } ) , \qquad j = 1 , 2 .
\begin{array} { r l } & { f _ { d } ( t , \tilde { t } _ { 0 } , \tilde { \lambda } , \tilde { \alpha } , \tilde { \beta } ) \approx \int _ { 0 } ^ { t } { f _ { c } ^ { 0 } ( \tau ) G ^ { 0 } ( t - \tau ) d \tau } } \\ & { \quad + [ \int _ { 0 } ^ { t } { f _ { c } ^ { 0 } ( \tau ) \lambda h ^ { 0 } ( \tau ) G ^ { 0 } ( t - \tau ) d \tau } ] \delta t _ { 0 } } \\ & { \quad + \left\lbrace \int _ { 0 } ^ { t } { f _ { c } ^ { 0 } ( \tau ) [ \frac { 1 } { \lambda } - ( \tau - t _ { 0 } ) h ^ { 0 } ( \tau ) ] G ^ { 0 } ( t - \tau ) d \tau } \right\rbrace \delta \lambda } \\ & { \quad + \left\lbrace \int _ { 0 } ^ { t } { f _ { c } ^ { 0 } ( \tau ) [ l n \beta - l n \alpha + l n ( t - \tau ) ] G ^ { 0 } ( t - \tau ) d \tau } \right\rbrace \delta \alpha } \\ & { \quad + [ \int _ { 0 } ^ { t } { f _ { c } ^ { 0 } ( \tau ) \left( \frac { \alpha } { \beta } - t + \tau \right) G ^ { 0 } ( t - \tau ) d \tau } ] \delta \beta , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { M } \mathrm { E S N R } _ { e x , 1 } \xrightarrow [ M \rightarrow \infty ] { i . p . } \sqrt { M } [ - \frac { 2 p _ { 1 } \overline { { E } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) } { \rho ^ { 2 } \overline { { C } } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 3 } } + \frac { p _ { 1 } ( E _ { 1 } - \overline { { E } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) } { \rho ^ { 2 } \overline { { C } } ( 1 + \overline { { A } } _ { 1 } ) ^ { 2 } } ] } \\ & { = \sqrt { M } [ - \frac { 2 p _ { 1 } t _ { 1 } \overline { { d } } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \underline { { A _ { 1 } } } } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { 1 } \delta ) ^ { 3 } } + \frac { p _ { 1 } \Delta \underline { { E } } _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ( { \mathbf { P } } ) \gamma ( { \mathbf { I } } _ { M } ) ( 1 + t _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } - y ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \omega _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - w _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F | _ { t } } & { = \mathrm { i } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } ) f _ { j k } F _ { j k } - \mathrm { i } \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } + q _ { k } ) F _ { j k } } \\ & { = \mathrm { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( p _ { j } ^ { 2 } - q _ { j } ^ { 2 } ) | F | + \mathrm { i } ( | F ( { \bf 1 } ; { \bf p } ) | + | F ( { \bf q } ; { \bf 1 } ) | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { p } ^ { \mathrm { l i n e a r } } \sim R e _ { p } \left[ \beta ^ { 2 } ( 1 + \ln \lambda ^ { - 1 } ) + \beta \gamma \lambda ^ { - 1 } + \gamma \beta + \gamma ^ { 2 } ( 1 + \ln \lambda ^ { - 1 } ) \right] , } \\ & { V _ { p } ^ { \mathrm { n o n - l i n e a r } } \sim R e _ { p } \left( \beta ^ { 2 } + \beta \gamma + \gamma ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \| ( \widehat { \mu } _ { n } , \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi } \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n } . } \end{array}
| \psi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } } } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r } \hat { D } ( \beta _ { i } ) \hat { a } ^ { \dag } \hat { D } ^ { \dag } ( \beta _ { i } ) \right] | G _ { \psi } \rangle ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \delta _ { \mathrm { s f } } ) = \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( - { \it \Delta \phi } ) } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - i \mathrm { e } ^ { - i \Delta \phi } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { - i \mathrm { e } ^ { + i \Delta \phi } \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \mathcal { M } } ( k ; p _ { 1 } \cdots p _ { n } ; q _ { 1 } \cdots q _ { n } ) = \epsilon _ { \mu } ( k ) { \mathcal { M } } ^ { \mu } ( k ; p _ { 1 } \cdots p _ { n } ; q _ { 1 } \cdots q _ { n } )
\begin{array} { r l } { { \mathbf { \Phi } _ { S } ^ { M } } ^ { \prime } } & { { } = \int _ { V } C _ { 2 } \left[ \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } m } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } \delta _ { m k } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \epsilon _ { i j } R _ { \underline { { i } } \underline { { i } } } ^ { V } \Omega _ { k l } + \epsilon _ { i j } \omega _ { Z } \zeta _ { \underline { { i } } \underline { { i } } k l } \right] d V } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { \vartheta _ { \tau } } } { \partial \sigma } } & { = - 4 c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } / ( \sigma ^ { 3 } k _ { 0 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) , \; \; \frac { \partial F _ { A } } { \partial \sigma _ { \tau } } = A a _ { 1 } \zeta _ { 2 } ( 7 0 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } - 3 1 2 / \sigma _ { \tau } ^ { 3 } ) / 8 , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma } } { \partial \sigma _ { \tau } } } & { = a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma ( - 1 4 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } + 5 6 / \sigma _ { \tau } ^ { 3 } ) / 4 , } \\ { \frac { \partial F _ { \sigma _ { \tau } } } { \partial \sigma _ { \tau } } } & { = 2 \zeta _ { 2 } \vartheta _ { \tau } + ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } ) / 8 + \zeta _ { 3 } b _ { 1 } + a _ { 1 } \zeta _ { 2 } ( - 5 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - 3 6 / \sigma _ { \tau } ^ { 2 } ) / 4 + a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \sigma _ { \tau } ( 1 0 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } + 7 2 / \sigma _ { \tau } ^ { 3 } ) / 4 } \\ & { + ( 1 5 A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { X = Y } } \zeta _ { _ { X = Y } } ( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - 1 2 / \sigma ^ { 2 } ) ) / 3 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta B _ { J } = } & { \Big [ { \omega ( L _ { \mathrm { i n } } + L _ { \mathrm { o u t } } ) r _ { \mathrm { o u t } } } [ 1 + ( d / r _ { \mathrm { o u t } } ) ^ { 2 } ] ^ { 3 / 2 } \Big ] ^ { - 1 } } \\ { \times } & { N _ { \mathrm { o u t } } Q \sqrt { 4 k _ { B } T \rho \Big [ \frac { 4 ( l _ { \mathrm { i n } } + r _ { \mathrm { i n } } ) N _ { \mathrm { i n } } } { A _ { \mathrm { i n } } } + \frac { 4 \pi r _ { \mathrm { o u t } } N _ { \mathrm { o u t } } } { A _ { \mathrm { o u t } } } + \frac { 2 l _ { \mathrm { l e a d } } } { A _ { \mathrm { l e a d } } } \Big ] } , } \end{array}
\frac { \bar { S } _ { 1 } ( 0 , Q ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } } \Big \vert _ { Q ^ { 2 } \rightarrow 0 } = M _ { N } \left\{ \gamma _ { E 1 M 2 } - 3 \alpha M _ { N } \left[ P ^ { \prime ( M 1 , M 1 ) 1 } ( 0 ) + P ^ { \prime ( L 1 , L 1 ) 1 } ( 0 ) \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \theta \, d | D u | \geq } & { { } \int _ { \Omega } ( \theta \psi _ { \varepsilon } ) \cdot d D u = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \int _ { \Omega } \theta \psi _ { \varepsilon } \cdot D \chi _ { D _ { k } } \, d x = \sum _ { k \in \mathcal K } p _ { k } \int _ { G _ { k , \varepsilon } } \theta \psi _ { \varepsilon } \cdot D \chi _ { D _ { k } } \, d x - \varepsilon } \\ { \geq } & { { } \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \int _ { G _ { k , \varepsilon } } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \varepsilon } \\ { \geq } & { { } \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \left( \int _ { \Omega } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \int _ { \Omega \setminus G _ { k , \varepsilon } } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | \right) - \varepsilon } \\ { = } & { { } \sum _ { k \in \mathcal K } \frac { p _ { k } ( 1 - \varepsilon ) } { 1 + \varepsilon } \int _ { \Omega } \theta \, d | D \chi _ { D _ { k } } | - \frac { 2 \varepsilon - \varepsilon ^ { 2 } } { 1 + \varepsilon } . } \end{array}
d _ { i , j } = \operatorname* { m i n } _ { \left| \alpha , \beta \right| < \frac { L } { 2 } } \left\| \mathbf { r } _ { i } + \alpha \mathbf { \hat { u } } _ { i } - ( \mathbf { r } _ { j } + \beta \mathbf { \hat { u } } _ { j } ) \right\|
| \langle \eta _ { t } ^ { X } , F _ { T , t } \rangle | \leq | \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , F _ { T , 0 } \rangle | + C \int _ { 0 } ^ { t } \left( | \langle \eta _ { u } ^ { X } , F _ { T , u } \rangle | + | \langle \eta _ { u } ^ { X } , F _ { T , u } ^ { \mathcal { I } } \rangle | \right) d u .
\begin{array} { r } { \sum _ { i < j } \bigl \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \bigr \rangle ^ { \ell } = \sum _ { i < j } \bigl \langle \sigma _ { i } ^ { 1 } \cdots \sigma _ { i } ^ { \ell } \sigma _ { j } ^ { 1 } \cdots \sigma _ { j } ^ { \ell } \bigr \rangle = \frac { 1 } { 2 } \bigl \langle N ^ { 2 } R _ { \ell } ^ { 2 } - N \bigr \rangle } \end{array}
\Gamma _ { x } ^ { n _ { x } } ( k _ { x } ^ { n _ { x } } , M ) = { \frac { \gamma _ { x } ^ { n _ { x } } } { M } } \sqrt { [ M ^ { 2 } - ( m _ { x } + \mu _ { x } ^ { n _ { x } } ) ^ { 2 } ] [ M ^ { 2 } - ( m _ { x } - \mu _ { x } ^ { n _ { x } } ) ^ { 2 } ] }
\mathbb { P } \left( v _ { i _ { 0 } } , e _ { j _ { 1 } } , \dots , v _ { i _ { t } } \right) = \pi _ { 0 } \mathbb { P } \left( \gamma _ { v _ { i _ { 0 } } , v _ { i _ { t } } } ^ { 2 t } \right)
\underline { { S } } ^ { \dagger p h y s } = e ^ { - i \underline { { \eta } } } \underline { { \tilde { S } } } ^ { \dagger } e ^ { - i \underline { { \eta } } } \qquad \underline { { \tilde { S } } } ^ { \dagger } = \underline { { S } } _ { o o } ^ { \dagger } - \underline { { S } } _ { o c } ^ { \dagger } ( \underline { { S } } _ { c c } ^ { \dagger } - e ^ { 2 i \underline { { \beta } } } ) ^ { - 1 } \underline { { S } } _ { c o } ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { = < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cup { \sf S o } _ { x } ^ { ( \bar { \alpha } ) } \cup { \sf S i } _ { t } ^ { ( \bar { p } ) } ) } & { > ( 1 + \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) \le 2 \exp ( - g _ { 1 } ( \varepsilon ) ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) } \\ { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { = < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cup { \sf S o } _ { x } ^ { ( \bar { \alpha } ) } \cup { \sf S i } _ { t } ^ { ( \bar { p } ) } ) } & { < ( 1 - \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) \le 2 \exp ( - g _ { 1 } ( \varepsilon ) ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) . } \end{array}
\vartheta _ { \iota _ { j } } \left( \partial _ { y } ( a _ { \ell } f _ { i - 1 } ^ { \ell } ) \right) = \vartheta _ { \iota _ { j } } ( a _ { \ell } \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { \ell } ) = \frac { e _ { j } } { e _ { i } } \vartheta _ { \iota _ { i } } ( a _ { \ell } f _ { i - 1 } ^ { \ell } ) - e _ { j } \lambda _ { i } \geq \frac { e _ { j } } { e _ { i } } \rho - e _ { j } \lambda _ { i } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \ t _ { i } ^ { o } \leq T _ { i j } ( o _ { i } ) \leq t _ { i } ^ { o } + \mu ; } \\ { t _ { j } ^ { o } \leq T _ { i j } ( o _ { j } ) \leq t _ { j } ^ { o } + \mu ; } \\ { T _ { i j } ( d _ { i } ) \leq t _ { i } ^ { d } + \mu ; } \\ { T _ { i j } ( d _ { j } ) \leq t _ { j } ^ { d } + \mu , } \end{array} \right.
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi c ^ { 2 } + \frac { 4 \pi c h ^ { 2 } } { \varepsilon } - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( h ^ { 2 } , \gamma \varepsilon ^ { 2 } h ^ { 2 } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } \right) } .
G _ { k } ( \kappa , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \ \ \ } & { \omega \in \, \mathcal { B } _ { k } , \ - \pi \leq \kappa \leq \pi } \\ { 0 \ \ } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\left. \Omega _ { a b } ^ { i j } \right| _ { F ^ { a } = 0 } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { a b } \epsilon ^ { i j k l } f _ { k l } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { N } } \mathbb { E } \left[ \ell _ { N _ { k } } \right] } & { \leq 3 \sqrt { N } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { N } } \sqrt { u _ { k } } + 3 \log ( N ) N ^ { 1 / 4 } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { N } } u _ { k } ^ { 1 / 4 } + 2 N k _ { N } \exp \left( - \delta \log ( N ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = 3 \sqrt { N } \Theta \left( k _ { N } ^ { 1 - \beta / 2 } \log ( k _ { N } ) ^ { \gamma / 2 } \right) + 3 \log ( N ) N ^ { 1 / 4 } \Theta \left( k _ { N } ^ { 1 - \beta / 4 } \log ( k _ { N } ) ^ { \gamma / 4 } \right) + o ( 1 ) } \\ & { = \Theta \left( \log ( N ) ^ { 2 - 4 / \beta + \gamma / 2 } N ^ { 1 / \beta } \right) . } \end{array}