harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { = \frac { 1 } { 4 \pi m _ { i } } \frac { ( \nabla \times \boldsymbol { B } ) \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } - \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } \\ & { + \frac { c m _ { e } } { 4 \pi e m _ { i } } \mathrm { d } _ { t } \left( \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \right) - c _ { s } ^ { 2 } \nabla \ln ( n _ { i } / n _ { 0 i } ) } \\ & { + \frac { c m _ { e } } { 4 \pi e m _ { i } } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \cdot \nabla \left( \boldsymbol { u } - \frac { c } { 4 \pi Z e } \frac { \nabla \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } \right) , } \end{array}
\delta \alpha - { \bar { \delta } } \beta = ( \mu \rho - \lambda \sigma ) + \alpha { \bar { \alpha } } + \beta { \bar { \beta } } - 2 \alpha \beta + \gamma ( \rho - { \bar { \rho } } ) + \varepsilon ( \mu - { \bar { \mu } } ) - \Psi _ { 2 } + \Phi _ { 1 1 } + \Lambda \, ,
\tilde { g } _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } = \sum _ { a = e , h } \sum _ { j > 1 } M _ { a , \mathbf { k } } ^ { 1 j } M _ { a , \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { j 1 } [ \omega _ { j } ^ { a } - \omega _ { 1 } ^ { a } ] ^ { - 1 }
\frac { \partial f } { \partial t } = - \vec { V } _ { s w } \cdot \nabla \it { f } - \langle \vec { v } _ { D } \rangle \cdot \nabla \it { f } + \nabla \cdot ( \bf { K } _ { s } \cdot \nabla \it { f } ) + \frac { 1 } { 3 } ( \nabla \cdot \vec { V } _ { s w } ) \frac { \partial f } { \partial \ln p }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } f _ { p } ( z _ { p } ^ { t , e } ) - f _ { p } ( z _ { p } ) - \langle \lambda _ { p } ^ { t + 1 } , z _ { p } ^ { t + 1 } - z _ { p } \rangle \Big ] \leq } \\ & { \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } + \big ( \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } - \frac { \alpha } { 2 } \big ) \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \| z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } + \langle \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } , z _ { p } - z _ { p } ^ { t , e } \rangle \Big \} \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { V } ( f , \mathcal { X } ) } & { { } = \mathcal { I } _ { V } ( f \psi _ { h } ) + \mathcal { I } _ { V } ( f ( 1 - \psi _ { h } ) ) - \mathcal { Q } _ { V } ( f ( 1 - \psi _ { h } ) , \mathcal { X } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { U _ { x } } ^ { j k } ( t ) \equiv - i ( 1 - T ) \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ \Delta _ { k } ^ { * } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) \Delta _ { j } ( t ) \} - } \\ { - \Big ( \frac { \kappa ^ { 2 } } { a _ { y } ^ { 2 } } \Big ) [ U _ { y } ^ { k n } ( t ) U _ { x } ^ { n m } ( t ) U _ { y } ^ { m j } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) \cdot } \\ { \cdot U _ { y } ^ { k h } ( t ) U _ { x } ^ { h g } ( t ) U _ { y } ^ { g j } ( t ) U _ { x } ^ { j k } ( t ) - 1 ] , } \end{array}
\tilde { \mathcal { O } } \left( \eta ^ { - 1 } \left( \epsilon ^ { - 2 + 2 \beta } \Delta _ { \mathrm { t r u e } } ^ { 2 - 2 \beta } + \log \left( \epsilon ^ { - \beta } \Delta _ { \mathrm { t r u e } } ^ { \beta - 1 } \right) \right) \log \left( \delta ^ { - 1 } \right) \right)
\nu _ { t } ^ { N } ( d x , d w _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ c ~ } } , d w _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } , d w _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } ) = \mu ^ { N } ( d x ) \cdot f _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ c ~ } } ^ { N } ( d w _ { \mathrm { ~ s ~ o ~ c ~ } } ) \cdot f _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ^ { N } ( d w _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } ) \cdot f _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } ^ { N } ( d w _ { \mathrm { ~ i ~ r ~ r ~ } } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \sigma \leq \tau \leq \sigma + \lambda } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( | X _ { \tau } ^ { \varepsilon } - X _ { \sigma } ^ { \varepsilon } | + | Y _ { \tau } ^ { \varepsilon } - Y _ { \sigma } ^ { \varepsilon } | > \eta \Big ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \sigma \leq \lambda } \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( | X _ { \sigma } ^ { \varepsilon } - x | + | Y _ { \sigma } ^ { \varepsilon } - y | > \eta \Big ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \lambda ] } | X _ { t } ^ { \varepsilon } - x | > \eta / 2 , \nu _ { \lambda } ^ { \varepsilon } \leq K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } \Big ) } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \lambda ] } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | > \eta / 2 , \nu _ { \lambda } ^ { \varepsilon } \leq K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } \Big ) } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { x , y } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \nu _ { \lambda } ^ { \varepsilon } > K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( X = 0 ) } & { = { \frac { { \binom { \mathrm { H a c k } } { 0 } } { \binom { N - { \mathrm { H a c k } } } { n - 0 } } } { \binom { N } { n } } } = { \frac { \binom { N - { \mathrm { H a c k } } } { n } } { \binom { N } { n } } } = { \frac { \frac { ( N - { \mathrm { H a c k } } ) ! } { n ! ( N - { \mathrm { H a c k } } - n ) ! } } { \frac { N ! } { n ! ( N - n ) ! } } } = { \frac { \frac { ( N - { \mathrm { H a c k } } ) ! } { ( N - { \mathrm { H a c k } } - n ) ! } } { \frac { N ! } { ( N - n ) ! } } } } \\ & { = { \frac { \binom { 1 0 0 - 5 } { 3 } } { \binom { 1 0 0 } { 3 } } } = { \frac { \frac { ( 1 0 0 - 5 ) ! } { ( 1 0 0 - 5 - 3 ) ! } } { \frac { 1 0 0 ! } { ( 1 0 0 - 3 ) ! } } } = { \frac { \frac { 9 5 ! } { 9 2 ! } } { \frac { 1 0 0 ! } { 9 7 ! } } } = { \frac { 9 5 \times 9 4 \times 9 3 } { 1 0 0 \times 9 9 \times 9 8 } } = 8 6 \% } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle } & { = m _ { 1 } m _ { 2 } \left\langle { A _ { 1 } A _ { 2 } } \right\rangle + m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( G _ { 2 } - m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle - m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N } m _ { 1 } \sum _ { i , j } S _ { i j } ( G _ { 1 } - m _ { 1 } I ) _ { j j } ( G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \frac { 1 } { N } m _ { 1 } \sum _ { i , j } S _ { i j } ( G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { j j } ( G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c ^ { \top } y ^ { * } = \operatorname* { m a x } \ } & { b ^ { \top } \alpha - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m a x } } ^ { t } \beta _ { D G _ { i } , t } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { ( A ^ { \prime } ) ^ { \top } \alpha = c , } \\ & { a _ { D G _ { i } } ^ { \top } \alpha - \beta _ { D G _ { i } , t } = 0 } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \beta _ { D G _ { i } , t } + \gamma _ { i , t } = \beta _ { i , t } ^ { + } } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \alpha , \beta , \gamma \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } A ( z ) } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } } & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Q ^ { \star } ( z ) } \frac { \partial Q ^ { \star } ( z ) } { \partial z } } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Q ^ { \star } ( z ) } \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { h ^ { 3 N } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } \int \ensuremath { \mathbf { q } } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( q _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ) } \ \delta [ q _ { 1 } - z ] } \\ & { = \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { Q ^ { \star } ( z ) } \frac { 1 } { h ^ { 3 N } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } \int \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \ \frac { \partial } { \partial z } e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z , \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ) } } \\ & { = \frac { - 1 } { Q ^ { \star } ( z ) } \frac { 1 } { h ^ { 3 N } } \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } \int \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } \ e ^ { - \beta \mathcal { H } ( z , \ensuremath { \mathbf { q } } ^ { \prime } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { q } ) } \ \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial z } } \\ & { = \left< - \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial z } \right> _ { q _ { 1 } = z } } \\ & { = \left< - \frac { \partial U } { \partial z } - \frac { \partial K } { \partial z } \right> _ { q _ { 1 } = z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { l } _ { k - 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \tilde { \mathcal { S } } _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { J } _ { k - 1 } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { \mathbf { n } \cdot \nabla \big ( \tilde { \mathcal { S } } _ { k - \frac { 3 } { 2 } } - \mathcal { J } _ { k - 1 } \big ) } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert w _ { 0 } \rVert _ { \mathcal L ^ { \infty } ( \bar { M } ) } + \lVert \nabla w _ { 0 } \rVert _ { \mathcal L ^ { \infty } ( \bar { M } ) } } & { \leqslant \gamma \left( \lVert F - A \rVert _ { \mathcal L ^ { q } ( M , g ) } + \lVert \delta ^ { \prime } \rVert _ { W ^ { 1 , q } ( M , g ) } \right) } \\ & { \leqslant \gamma \left( \frac { A } { 2 \gamma \left( 1 + ( D + 1 ) ( 2 - p ) \lambda \right) } + \lvert \delta ^ { \prime } \rvert \cdot \mathrm { V o l } _ { g } ( M ) ^ { \frac { 1 } { q } } \right) } \\ & { \leqslant \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } ( t ) } & { { } = \varepsilon _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 + \beta + \nu } } \frac { \left\vert a _ { 1 } + a _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + a _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } \right\vert } { \left\vert b _ { 1 } + b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } \right\vert } } \end{array}
F _ { \mathrm { M } s } = \frac { n _ { s } } { \pi ^ { 3 / 2 } \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } ^ { 3 } } \exp \left( - \frac { m _ { s } w ^ { 2 } } { 2 T _ { s } } \right) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { y } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { y } ) = J _ { y } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { y } ) + \left\langle p , e _ { y } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { y } ) \right\rangle _ { Q ^ { * } Q } = 0 , } & { \qquad \forall \bar { y } \in Y , } \\ { \mathcal { L } _ { u } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { u } ) = J _ { u } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { u } ) + \left\langle p , e _ { u } ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { u } ) \right\rangle _ { Q ^ { * } Q } = 0 , } & { \qquad \forall \bar { u } \in U , } \\ { \mathcal { L } _ { p } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) ( \bar { p } ) = \langle \bar { p } , e ( y , u ; \boldsymbol { \mu } ) \rangle _ { Q ^ { * } Q } = 0 , } & { \qquad \forall \bar { p } \in Q ^ { * } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { m ^ { \prime } m } } & { = } & { \binom { \bar { k } _ { m a x } } { m } ^ { - 1 } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \sum _ { n _ { 4 } = 0 } ^ { \bar { k } _ { m a x } } \delta ( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } , { \bar { k } _ { m a x } } ) \delta ( n _ { 3 } + n _ { 4 } , m ) \delta ( n _ { 2 } + n _ { 4 } , m ^ { \prime } ) \times } \\ & { \times } & { \binom { { \bar { k } _ { m a x } } } { n _ { 1 } } \binom { { \bar { k } _ { m a x } } - n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \binom { { \bar { k } _ { m a x } } - n _ { 1 } - n _ { 2 } } { n _ { 3 } } q _ { m } ^ { n _ { 1 } } ( 1 - q _ { m } ) ^ { n _ { 2 } } ( 1 - p _ { m } ) ^ { n _ { 3 } } p _ { m } ^ { n _ { 4 } } \ . \ } \end{array}
| \Psi _ { \mathrm { o n e \ p a r t i c l e } } ^ { \uparrow , \downarrow } \rangle = \sqrt Z \, \, \delta ( 1 - x ) \, \, \delta ( \vec { k } _ { \perp } = \vec { 0 } _ { \perp } ) \, \, \delta _ { s _ { \mathrm { f } } ^ { z } \ \pm { \frac { 1 } { 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \left( \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) \right) ^ { * } \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + | m | + 1 ) - \hbar ^ { 2 } ( m + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 2 2 } x _ { 2 2 } ^ { * } x _ { 1 1 } ^ { * } ) } & { = h ( a e e ^ { * } a ^ { * } ) = h ( a e ( a k - q \cdot c g ) ( e k - q \cdot f h ) ) } \\ & { = h ( a e a k e k ) - q \cdot h ( a e c g e k ) - q \cdot h ( a e a k f h ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a e c g f h ) } \\ & { = \frac { 1 } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) } \frac { q ^ { 6 } + q ^ { 4 } + 1 } { q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 } . } \end{array}
T = 4 \frac { M ( \Sigma _ { b } ^ { 0 } ) - M ( \Lambda _ { b } ^ { 0 } ) } { M ^ { 2 } ( B ^ { * } ) - M ^ { 2 } ( B ) } m _ { u } ^ { * } ( \frac { 1 } { 1 2 } M ( B ) \kappa ( \mu ) ^ { - \frac { 4 } { 9 } } ) \/ .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 , h } ( t , x , \xi ) } & { = a ( Z _ { h } ( 0 , t , x , \xi ) , \xi ) \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } f _ { h } ( s , Z _ { h } ( s , t , x , \xi ) , \xi ) d s \right) , } \\ { a _ { r , h } ( t , x , \xi ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } g _ { r , h } ( s , Z _ { h } ( s , t , x , \xi ) , \xi ) \exp \left( \int _ { \tau } ^ { t } f _ { h } ( \tau , Z _ { h } ( \tau , t , x , \xi ) , \xi ) d \tau \right) d s , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , \mathbf { p } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 M \hbar } \left[ \left( \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } \right) ^ { 2 } - \mathbf { p } ^ { 2 } \right] = \omega _ { D } + \omega _ { k } , } \\ { \omega _ { D } } & { { } = } & { \mathbf { k } \cdot \frac { \mathbf { p } } { M } , } \end{array}
{ \varphi } ^ { * } = \underset { \varphi \geq 0 } { \arg \operatorname* { m i n } } \left\{ \left( \Phi - \mathbf { B } \varphi \right) ^ { \mathbf { T } } \varLambda ^ { - 1 } \left( \Phi - \mathbf { B } \varphi \right) + \alpha \mathbf { R } _ { \mathrm { T V } } ( \varphi ) \right\} ,
S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } = S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } ^ { 0 } + i T _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { R \left( \left( \begin{array} { c c c } { x } & { - x } & { x } \\ { w } & { - w } & { w } \\ { p } & { - p } & { p } \end{array} \right) \right) = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c c } { x } & { - x } & { x } \\ { w } & { - w } & { w } \\ { p } & { - p } & { p } \end{array} \right) } \\ { = } & { ( x - w + p ) \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } \left( \boldsymbol { x } + \boldsymbol { c } ^ { \alpha } \Delta { t } , t + \Delta { t } \right) } & { { } = } \\ { \hat { f } _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) - \frac { 1 } { \tau } } & { { } \left[ \hat { f } _ { \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) - f _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } , \psi \vert \phi } ^ { \alpha } ( \boldsymbol { x } , t ) \right] , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \nu \to 0 } \frac { T ^ { - } ( \nu ) } { \nu } = 2 \, g _ { \rho N N } \, g _ { \rho \pi \pi } \frac { 1 } { M _ { \rho } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { F _ { \pi } ^ { 2 } } \, \, \, ,
\begin{array} { r } { \gamma = ( s _ { 1 } - \mathrm { i } \xi _ { 1 } , s _ { 2 } + \mathrm { i } \xi _ { 2 } , s _ { 2 } - \mathrm { i } \xi _ { 2 } , \dots , s _ { N } + \mathrm { i } \xi _ { N } , s _ { N } - \mathrm { i } \xi _ { N } ) , } \\ { \bar { \gamma } = ( \bar { s } _ { 1 } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 1 } , \bar { s } _ { 2 } + \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 2 } , \bar { s } _ { 2 } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { 2 } , \dots , \bar { s } _ { N } + \mathrm { i } \bar { \xi } _ { N } , \bar { s } _ { N } - \mathrm { i } \bar { \xi } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) } & { { } = \left( \mathcal { L } _ { \phi } \gamma \right) \left( x _ { t } \right) + \kappa \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { t } \right) } & { { } = \gamma _ { B } , \; x _ { t } \in \partial D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { { } = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in D \times \{ 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf f } _ { { \bf v } _ { k } } ( { \bf n } ) = } & { { } \frac { \partial { \bf f } ( { \bf n } + \lambda { \bf v } _ { k } ) } { \partial \lambda } \Big \vert _ { \lambda = 0 } = { \bf J } { \bf v } _ { k } } \\ { { \widetilde { \bf f } } _ { { \bf v } _ { k } } ( { \bf n } ) \equiv } & { { } ~ { \bf K } _ { 0 } { \bf f } _ { { \bf v } _ { k } } ( { \bf n } ) } \\ { { \widetilde { \bf f } } { \bf ( n ) } = } & { { } ~ { \bf K } _ { 0 } { \bf f ( n ) } = { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A D | ^ { 2 } \frac { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = } & { ( ( \cos \theta + \sin \theta \alpha ) ( 1 + \alpha ) - \sin \theta ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } + } \\ & { ( ( \cos \theta + \sin \theta \alpha ) ( 1 - \alpha ) - \cos \theta ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } } \\ { = } & { ( ( \cos \theta - \sin \theta ) + ( \cos \theta + \sin \theta ) \alpha ) ^ { 2 } + } \\ & { ( ( \cos \theta - \sin \theta ) + ( \cos \theta + \sin \theta ) \alpha ) ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \\ { | A D | ^ { 2 } \frac { 1 + \alpha ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = } & { ( 1 - \sin 2 \theta ) + 2 \cos 2 \theta \alpha + ( 1 + \sin 2 \theta ) \alpha ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { ( \cos 2 \theta + ( 1 + \sin 2 \theta ) \alpha ) ^ { 2 } } { ( 1 + \sin 2 \theta ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \mathrm { F A } ( \lambda ) ) } & { = \sqrt { 1 - \frac { E ( \lambda ) ^ { 2 } } { E ( \lambda ^ { 2 } ) } } } \\ & { = \sqrt { 1 - \frac { \left( E ( \Lambda ) / T \right) ^ { 2 } } { E ( \Lambda ^ { 2 } ) / T ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { 1 - \frac { E ( \Lambda ) ^ { 2 } / T ^ { 2 } } { E ( \Lambda ^ { 2 } ) / T ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { 1 - \frac { E ( \Lambda ) ^ { 2 } } { E ( \Lambda ^ { 2 } ) } } } \\ & { = E ( \mathrm { F A } ( \Lambda ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s s , k } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { = \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } \nu _ { 3 } } P _ { 1 ; s , k } + \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } } P _ { 2 ; s , k } ( \vartheta _ { 3 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { \nu \nu _ { 3 } } P _ { 3 ; s , k } ( \vartheta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { \nu } P _ { 4 ; s , k } ( \vartheta _ { 0 } , \vartheta _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { R , x } ^ { p } } & { { } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ F ( \sin k _ { x } , \sin k _ { y } , d ) \right] , } \\ { d _ { R , z } ^ { p } } & { { } = \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ F ( \sin k _ { x } , \sin k _ { y } , d ) \right] , } \\ { d _ { I , y } ^ { p } } & { { } = \cos k _ { x } + \cos k _ { y } . } \end{array}
\phi ( x ^ { 0 } \, , \, x ^ { 1 } ) = \frac { 1 } { 2 R } \sum _ { n \geq 0 } \left\{ \left[ a _ { n } ( x ^ { 0 } ) + i b _ { n } ( x ^ { 0 } ) \right] e ^ { i \omega _ { n + \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 1 } } + \left[ a _ { n } ( x ^ { 0 } ) - i b _ { n } ( x ^ { 0 } ) \right] e ^ { - i \omega _ { n + \frac { 1 } { 2 } } x ^ { 1 } } \right\} ,
\rho ( 0 ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \cdots \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \varrho _ { l + 1 } \big ( \tau ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) = } & { { } \mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) G ( \alpha _ { l } ; \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = - \frac { 1 } { K } + \frac { c } { 6 } \, t - \frac { c } { 6 } \, \bigg ( \frac { 3 M } { 2 } + 6 \bigg ) t ^ { 2 } - \frac { M } { 2 } t ^ { 2 } \, , } \\ & { = - \frac { 1 } { K } + \frac { c } { 6 } \, t - \, \frac { M ( c + 2 ) + 4 c } { 4 } \, t ^ { 2 } \, , } \\ & { = - \frac { 1 } { K } + t \, \bigg ( \frac { c } { 6 } \, - \, \frac { M ( c + 2 ) + 4 c } { 4 } \, t \bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { O B C } } ^ { ( \mp 1 ) } = \mathcal { P } \mathcal { E } _ { \mathrm { O B C } } ^ { ( \pm 1 ) } \mathcal { P } , \quad ( \mathcal { E } _ { \mathrm { P B C } } ) ^ { \mp 1 } = \mathcal { P } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { P B C } } ) ^ { \pm 1 } \mathcal { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { u } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } \vee \dots \vee \boldsymbol { v } _ { r } ) \, } & { = \sum _ { 1 \leq j \leq r } ( - 1 ) ^ { j } \, ( \boldsymbol { u } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } \boldsymbol { v } _ { j } ) ( \boldsymbol { v } _ { 1 } \vee \dots \vee \widehat { \boldsymbol { v } } _ { j } \vee \cdots \vee \boldsymbol { v } _ { r } ) , } \\ { ( \boldsymbol { v } _ { 1 } \vee \dots \vee \boldsymbol { v } _ { r } ) { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } \boldsymbol { w } } & { = \boldsymbol { v } _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } ( \boldsymbol { v } _ { 2 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } ( \cdots { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } ( \boldsymbol { v } _ { r } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } \boldsymbol { w } ) \cdots ) ) , \; \textrm { i f } \, r \leq k , } \\ { \textrm { a n d } \; \; \; ( \boldsymbol { u } _ { 1 } \vee \dots \vee \boldsymbol { u } _ { r } ) { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } ( \boldsymbol { v } _ { r } \vee \dots \vee \boldsymbol { v } _ { 1 } ) \; } & { = \textrm { d e t } ( \boldsymbol { u } _ { i } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } \boldsymbol { v } _ { j } ) _ { 1 \leq i , j \leq r } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { g } ^ { 1 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 1 } } & { = } & { - 1 2 \, k \nu \, \frac { x z } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { B _ { g } ^ { 2 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 2 } } & { = } & { - 1 2 \, k \nu \, \frac { y z } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } , } \\ { B _ { g } ^ { 3 } = \left( \vec { \nabla } \times \vec { w } \right) ^ { 3 } } & { = } & { - 4 \, k \nu \, \frac { 2 z ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } . } \end{array}
\exp ( - \Gamma _ { e f f . } [ \exp ( { \alpha } ) e _ { A } , A _ { A B } ^ { - } , W _ { a } ] ) = \int \exp ( \int _ { M } \alpha A ) D { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } D { \tilde { \Psi } } _ { L } \exp ( - S ^ { - } - i \frac { 3 } { 2 } \int _ { M } \alpha \partial _ { \mu } J ^ { \mu } ) .