harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { P } ( A ) \circ \vec { v } = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { d + 1 } A ^ { i } \vec { v } \Delta _ { i } = \sum _ { i = 0 } ^ { d } A ^ { i + 1 } \vec { v } \Gamma _ { i } - \alpha \sum _ { i = 0 } ^ { d } A ^ { i } \vec { v } \Gamma _ { i } } \\ { = } & { A \cdot P ( A ) \circ \vec { v } - \alpha P ( A ) \circ \vec { v } = ( A - \alpha I _ { n } ) \cdot ( P ( A ) \circ \vec { v } ) = Q ( A ) \cdot ( P ( A ) \circ \vec { v } ) . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } x ^ { i } } { d \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } = - { \frac { F } { \sigma + \varrho } } \left[ { \frac { 1 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } } \sum _ { j } \left( { \frac { d x ^ { j } } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 2 } { a _ { 0 } ^ { 4 } } } \right] { \frac { d x ^ { i } } { d \tilde { \lambda } } } .
\eta _ { a b } = \eta ^ { a b } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } a = b = 0 , } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } a = b = 1 , 2 , 3 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } a \neq b . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | } \leq \frac { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | } \to 0 , } \\ { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | } \leq \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 4 } } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { z } _ { i } ( \xi ) \, \simeq \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \frac { d y \, \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } _ { i } ^ { 2 } ( y ) } \simeq \int _ { \xi _ { 0 } } ^ { \xi } \! \! \frac { d y \, \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \left[ s ^ { \prime } ( \xi _ { f } ) \, ( \xi _ { f } \! - \! y ) \right] ^ { 2 } } \simeq \frac { \mu _ { i } ^ { 2 } } { 2 \left[ s ^ { \prime } ( \xi _ { f } ) \right] ^ { 2 } ( \xi _ { f } \! - \! \xi ) } . } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 } ^ { f u l l } = { \cal L } _ { 1 } ^ { m o d i f i e d } ( \psi _ { x } ^ { i } , \psi _ { x x } ^ { i } . . . ) + \lambda _ { i } [ u ^ { i } - M ^ { i } ( \psi _ { x } ^ { i } , \psi _ { x x } ^ { i } . . . ) ]
2 A ^ { \prime \prime } ( z ) = - \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \left( \sum _ { \ell = k - 2 \left[ \frac { k - 1 } { 2 } \right] } ^ { k } \left( \ell - n - 1 \right) \, \ell \, t _ { \ell } ( k ) \, \frac { \alpha _ { \ell , \ell - n } } { \alpha _ { \ell , \ell } } \, u _ { 0 } ^ { \ell - n - 2 } ( z ) \, u _ { 0 } ^ { \prime } ( z ) \right) A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 n } } { \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \left( \sum _ { \ell = k - 2 \left[ \frac { k - 1 } { 2 } \right] } ^ { k } n \, \ell \, t _ { \ell } ( k ) \, \frac { \alpha _ { \ell , \ell - n } } { \alpha _ { \ell , \ell } } \, u _ { 0 } ^ { \ell - n - 1 } ( z ) \right) A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 n - 1 } } .
K = \frac { 1 } { 4 i } ( \sqrt { { \cal O } _ { 0 } ^ { 2 } - { \cal O } _ { 2 } { \cal O } _ { 2 } ^ { \dagger } } ) - \frac { 1 } { 2 g _ { Y M } ^ { 2 } ( \mathrm { s i n g } ) } { \cal O } _ { 0 }
R _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) \leqslant | R _ { N } ^ { \infty } ( x , \alpha , \theta ) | \leqslant \frac { x ^ { - \alpha N - 1 } } { \pi N ! } \left| \Re i ^ { \alpha N + 1 } e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { \alpha N } e ^ { - \tau e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } \theta } } \exp \left\{ - \left( \frac { i \tau } { x } \right) ^ { \alpha } \zeta \right\} d \tau \right|
\begin{array} { r l } { | B _ { 3 2 , l } ( t ) | \le } & { \frac { 1 } { 2 n } \| \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 n - 1 } | b _ { l , i j } ( t ) | \le 2 e ^ { q _ { n } } \| \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } } \\ { = } & { O _ { p } \Big ( ( q _ { n } + 1 ) ^ { 2 } e ^ { 2 5 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 2 } \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } \Big ) . } \end{array}
F ( z ) = \sum _ { k \geq 1 } \varphi ( k ) \sum _ { m \geq 1 } { \frac { 1 } { k m } } f ( z ^ { k } ) ^ { m } = \sum _ { k \geq 1 } { \frac { \varphi ( k ) } { k } } \log { \frac { 1 } { 1 - f ( z ^ { k } ) } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \omega + \sin x \, ( \omega _ { y } - \psi _ { y } ) = B _ { 0 } \, j _ { x } + \eta ^ { - 1 } B _ { 0 } \cos x \, ( j _ { y } - a _ { y } ) + \nu \nabla ^ { 2 } \omega , } \\ & { \partial _ { t } a + \sin x \, a _ { y } = B _ { 0 } \, \psi _ { x } + \eta ^ { - 1 } B _ { 0 } \cos x \, \psi _ { y } + \eta \nabla ^ { 2 } a , } \\ & { \omega = - \nabla ^ { 2 } \psi , \quad j = - \nabla ^ { 2 } a , } \end{array}
\overline { { { d _ { i R } } } } D _ { i j } d _ { j L } = ( \overline { { { d _ { R } } } } , \overline { { { s _ { R } } } } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { a ^ { \prime } } } \\ { { a ^ { \prime } } } & { { b ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { d _ { L } } } \\ { { s _ { L } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } & { { } = n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \lambda = 0 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } \end{array}
f ( { \bf x } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { ( n - 1 ) / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n - 1 } } } } \exp \Big [ \! - { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n - 1 } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] \, ,
\operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( \beta ; \theta ) \mathrm { d } \beta _ { 1 } \mathrm { d } \beta _ { 2 } \mathrm { d } \beta _ { 3 } = { \frac { 4 } { \pi } } \, { \frac { 1 } { \theta } } \operatorname { K } _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) ^ { - 1 } \, e ^ { - { \frac { \gamma ( \beta ) } { \theta } } } \gamma ( \beta ) ^ { 5 } \mathrm { d } \beta _ { 1 } \mathrm { d } \beta _ { 2 } \mathrm { d } \beta _ { 3 }
[ { \cal L } _ { i } , { \cal L } _ { j } ] = { c _ { i j } } ^ { k } { \cal L } _ { k } \ , \quad [ { \cal L } _ { 0 } , { \cal L } _ { i } ] = { c _ { i } } ^ { j } { \cal L } _ { j } \quad ( i , j , k \geq 1 )
\Delta _ { I } = - \frac { 1 } { S _ { c } } \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { 1 } { m _ { 1 } } Z _ { N 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { m _ { 2 } } Z _ { N 2 } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { m _ { 3 } } Z _ { N 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right] = - \frac { 1 } { 1 + \delta } \left[ \begin{array} { c c c } { Z _ { N 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { Z _ { N 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Z _ { N 3 } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { k + 1 } } \\ { y ^ { k + 1 } } \end{array} \right) \right\} ~ \mathrm { i s ~ c o n v e r g e n t } } \\ { \iff } & { V ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { y ^ { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { a } \\ { 0 } \end{array} \right) \ \mathrm { f o r ~ s o m e ~ a ~ \in ~ \mathbb { R } ~ } \iff \left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { y ^ { 0 } } \end{array} \right) \in \mathcal { S } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { A } } { d t ^ { 2 } } } } & { = \mathbf { a } _ { A B } + \mathbf { a } _ { B } + 2 \ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } v _ { j } \ { \frac { d \mathbf { u } _ { j } } { d t } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } \ { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { u } _ { j } } { d t ^ { 2 } } } } \\ & { = \mathbf { a } _ { A B } \ + \mathbf { a } _ { B } \ , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial \underline { { R } } _ { \mathrm { s e c } } } { \partial \xi } = \frac { L _ { 1 } L _ { 2 } } { \mathrm { l n 2 } \mit ( L \mathrm { _ 3 \ x i + \mit L \mathrm { _ 2 ) [ \mit L \mathrm { _ 2 + \ x i ( \mit L \mathrm { _ 1 + \mit L \mathrm { _ 3 ) ] } } } } } } } \\ & { - \frac { M \mathrm { t r ( \bf { R } \mathrm { ^ 2 ) \mathrm { ( 1 + \ r h o ^ { \prime } ) \mit \ b e t a _ { k } } } } } { M \mathrm { t r ( \bf { R } \mathrm { ^ 2 ) \mathrm { ( 1 + \ r h o ^ { \prime } ) \mit \ b e t a _ { k } } } } } { l n 2 \big [ \sum _ { \mit i \mathrm { = 1 } } \mit ^ { K } \mit \beta _ { i } \big ( N - \mathrm { t r ( \bf { R } \mathrm { ^ 2 ) \mit a \big ) \ k a p p a \mathrm { ^ 2 + \mit M \ x i \ b e t a _ { k } \mathrm { t r ( \bf { R } \mathrm { ^ 2 ) \mit \ k a p p a \big ] } } } } } } , } \end{array} } \end{array}
[ L _ { i } , \, L _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } L _ { k } , \ \ \ \ \ \ \ \ [ M _ { i } , \, M _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } L _ { k } , \ \ \ \ \ \ \ \ [ L _ { i } , \, M _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } M _ { k } .
\varepsilon \bigg ( \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } \tau _ { \sigma } \mathrm { D } _ { K , \sigma } w _ { i } ^ { \varepsilon } - \operatorname { m } ( K ) w _ { i , K } ^ { \varepsilon } \bigg ) = \frac { \operatorname { m } ( K ) } { \Delta t } \bigg ( \frac 3 2 w _ { i , K } - 2 u _ { i , K } ^ { k - 1 } + \frac 1 2 u _ { i , K } ^ { k - 2 } \bigg ) + \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } ^ { + } ( w )
\begin{array} { r l r } { \Upsilon _ { 1 , m } } & { { } = } & { \tau + \Theta _ { 1 , m } , } \\ { \Upsilon _ { 2 , m } } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { c } { \tau + \Theta _ { 2 , m } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } - 2 n \leq m \leq 0 } \\ { 3 \tau + \Theta _ { 2 , m } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 0 < m \leq 2 n } \end{array} \right. , } \\ { \Upsilon _ { 3 , m } } & { { } = } & { 3 \tau + \Theta _ { 3 , m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { I } _ { \theta } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \qquad \qquad t \leq T _ { 3 } / 2 , } \\ { \, } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { [ \xi ( t ) - \xi ( \tau ) ] [ w ( x , \tau ) w _ { 1 } ( \tau ) - w ( x , 0 ) w _ { 1 } ( 0 ) ] d \tau } { ( t - \tau ) ^ { 1 + \theta } } , \quad t \in ( T _ { 3 } / 2 , 3 T _ { 3 } / 4 ) , } \\ { \, } \\ { \int _ { 0 } ^ { 3 T _ { 3 } / 4 } \frac { [ \xi ( t ) - \xi ( \tau ) ] [ w ( x , \tau ) w _ { 1 } ( \tau ) - w ( x , 0 ) w _ { 1 } ( 0 ) ] d \tau } { ( t - \tau ) ^ { 1 + \theta } } , \quad t \geq 3 T _ { 3 } / 4 , } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \qquad \qquad t \leq T _ { 3 } / 2 , } \\ { \, } \\ { \int _ { 0 } ^ { 3 T _ { 3 } / 4 } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t , \tau ) [ w ( x , \tau ) - w ( x , 0 ) ] w _ { 1 } ( \tau ) d \tau } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } + \int _ { 0 } ^ { 3 T _ { 3 } / 4 } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t , \tau ) [ w _ { 1 } ( \tau ) - w _ { 1 } ( 0 ) ] w ( x , 0 ) d \tau } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } , \quad t \in ( T _ { 3 } / 2 , 3 T _ { 3 } / 4 ) , } \\ { \, } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t , \tau ) [ w ( x , \tau ) - w ( x , 0 ) ] w _ { 1 } ( \tau ) d \tau } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \mathcal { W } ( \xi ; t , \tau ) [ w _ { 1 } ( \tau ) - w _ { 1 } ( 0 ) ] w ( x , 0 ) d \tau } { ( t - \tau ) ^ { \theta } } , \quad t \geq 3 T _ { 3 } / 4 , } \end{array} \right. } \end{array}
\Psi _ { _ \mathrm { ( g s ) } } ( { \bf r } ) = \sqrt { \Gamma ( \nu + 1 ) \, \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { \pi } \right) ^ { \nu + 1 } } \; \frac { K _ { 0 } ( \mu r ) } { \left( \mu r \right) ^ { \nu } } \; ,
{ \begin{array} { r l } { R = R _ { z } ( \alpha ) \, R _ { y } ( \beta ) \, R _ { x } ( \gamma ) } & { = { \overset { \mathrm { y a w } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } & { 0 } \\ { \sin \alpha } & { \cos \alpha } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } { \overset { \mathrm { p i t c h } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \beta } & { 0 } & { \sin \beta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \beta } & { 0 } & { \cos \beta } \end{array} \right] } } { \overset { \mathrm { r o l l } } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } \\ { 0 } & { \sin \gamma } & { \cos \gamma } \end{array} \right] } } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \alpha \cos \beta } & { \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma - \sin \alpha \cos \gamma } & { \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma } \\ { \sin \alpha \cos \beta } & { \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma } & { \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \sin \gamma } \\ { - \sin \beta } & { \cos \beta \sin \gamma } & { \cos \beta \cos \gamma } \end{array} \right] } } \end{array} }
\left[ - \frac 1 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac 1 2 \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 z _ { 0 } } x ^ { 2 } \right] \varphi _ { 0 } ( z ( x ) ) = \frac { \epsilon _ { 1 } } { 4 z _ { 0 } } \varphi _ { 0 } ( z ( x ) )
\begin{array} { c } { \dot { \boldsymbol { X } } = A \boldsymbol { X } + \textbf { F } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } ) } \\ { \dot { \boldsymbol { Y } } = B \boldsymbol { Y } + \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } ) } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { e ( G ) } & { = e ( G [ N ( v ) ] ) + e ( G [ N ( v ) , \overline { { N ( v ) } } ] ) + e ( G [ \overline { { N ( v ) } } ] ) } \\ & { = \binom { p _ { 1 } - 2 } { 2 } + ( p _ { 1 } - 2 ) ( n - p _ { 1 } + 2 ) + e ( G [ \overline { { N ( v ) } } ] ) } \\ & { \leqslant \binom { p _ { 1 } - 2 } { 2 } + ( p _ { 1 } - 2 ) ( n - p _ { 1 } + 2 ) + \sum _ { i = 2 } ^ { t } \binom { p _ { i } + 1 } { 2 } . } \end{array}
p _ { 3 3 } \frac { \partial ^ { N } k _ { \delta } } { \partial u ^ { N } } ( u , v ) = \sum _ { a + b = 1 } ^ { N } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } \sum _ { I , J } c _ { I , J } A ^ { a - | I | } B ^ { b - | J | } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } ( \frac { \partial B } { \partial u } ) ^ { j _ { 1 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } B } { \partial u ^ { p } } ) ^ { j _ { p } } .
i \partial X = { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \sum _ { \alpha } e ^ { - i e _ { \alpha } \cdot \phi } ~ , ~ ~ ~ i \partial { \overline { { X } } } = { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } \sum _ { \alpha } e ^ { i e _ { \alpha } \cdot \phi } ~ .
\begin{array} { r } { \mathfrak { P } = \sum _ { \mathfrak { n } } \sum _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n ^ { \prime } } } \, \big [ ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { - } ) ^ { 2 } + ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } \big ] \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \nabla \tilde { u } \| _ { C ^ { 0 , 1 - \frac { n + 1 } { q _ { 0 } } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } \leq \| \tilde { u } \| _ { W ^ { 2 , q _ { 0 } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } \leq \| \tilde { f } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } + \| W ^ { \prime } ( \tilde { u } ) \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } < \infty , } \end{array}
\mathbf { H } _ { 0 } = \mathbf { G } ( t _ { n } ) \mathbf { G } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) \qquad \mathbf { H } _ { 1 } = \mathbf { G } ( t _ { n } ) { \frac { d \mathbf { G } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) } { d t } } + { \frac { d \mathbf { G } ( t _ { n } ) } { d t } } \mathbf { G } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) \qquad \mathbf { H } _ { 2 } = { \frac { d \mathbf { G } ( t _ { n } ) } { d t } } { \frac { d \mathbf { G } ^ { \intercal } ( t _ { n } ) } { d t } } { \mathrm { . } }
\begin{array} { r } { T ( x ) = T _ { 0 } ( 1 - e ^ { - \frac { 2 { \pi r } _ { 1 h } } { { \dot { m } } _ { a } C _ { a } } x } ) + T _ { f i } e ^ { - \frac { 2 { \pi r } _ { 1 h } } { { \dot { m } } _ { a } C _ { a } } x } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 2 6 0 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 } \left( 1 - x \right) ^ { 4 } } { 2 } } \, d x < \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 } \left( 1 - x \right) ^ { 4 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x < \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 } \left( 1 - x \right) ^ { 4 } } { 1 } } \, d x = { \frac { 1 } { 6 3 0 } } .
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 1 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 Q _ { N } } \right) \, \frac { q _ { N } N } { B } \, \left( \frac { 1 } { 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } } \right) ^ { N } \, } \\ { \displaystyle \times \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \frac { \mathrm { d } \xi } { \left( 1 \, + \, \frac { A \, q _ { N } } { B } \, \xi \right) ^ { N + 1 } } \, _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - N ; 1 ; \frac { \mathrm { i } k r ^ { 2 } } { 2 A B } \, \frac \xi { 1 \, + \, \frac B { A q _ { N } } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { \frac { \lvert \chi ^ { ( B ) } ( q _ { B } ) \rvert ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \mathcal { S } _ { D } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { B } ^ { \prime } \frac { p _ { B } ^ { D - 1 } } { \left( p _ { B } ^ { 2 } + 1 / 2 \mu _ { B } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \xi } _ { 1 m } ( \theta , \varphi ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \left( \cos \theta e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \theta } + i m e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \varphi } \right) } \\ { \boldsymbol { \eta } _ { 1 m } ( \theta , \varphi ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 \pi } } \left( \cos \theta e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \theta } - i m e ^ { i m \varphi } \hat { { \bf u } } _ { \varphi } \right) } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial w _ { 0 } \partial g _ { 0 } } = r ^ { 1 / 2 } ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial G _ { 0 } \partial g _ { 0 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial g _ { 0 } \partial G _ { 1 } } ) U _ { 0 1 } , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial w _ { 0 } \partial G _ { i } } = ( - 1 ) ^ { i } r ^ { 1 / 2 } ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial G _ { i } ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial G _ { 0 } \partial G _ { 1 } } ) U _ { 0 1 } , \; i = 0 , 1 .
\begin{array} { c } { u ^ { 9 } + 3 6 u ^ { 7 } ( \theta - 1 ) + 3 7 8 u ^ { 5 } { ( \theta - 1 ) } ^ { 2 } + 1 2 6 0 u ^ { 3 } { ( \theta - 1 ) } ^ { 3 } } \\ { + 9 4 5 u { ( \theta - 1 ) } ^ { 4 } } \end{array}
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \Pi } [ F _ { k } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { \alpha } { 4 \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } | \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } | ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \Pi } [ S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { ( 2 ^ { N } - 1 ) } { 1 6 \varepsilon ^ { 3 } } .
R _ { i j } ^ { - } R _ { i j } ^ { + } = \frac { 1 } { 4 } ( \nabla \times \mathbf { z } ^ { - } ) _ { k } ( \nabla \times \mathbf { z } ^ { + } ) _ { k } = \frac { 1 } { 4 } ( \omega _ { k } - j _ { k } ) ( \omega _ { k } + j _ { k } ) = \frac { 1 } { 4 } ( \omega _ { k } \omega _ { k } - j _ { k } j _ { k } )
\left\| [ \sigma _ { q _ { \epsilon _ { m ^ { \prime } } } ( j ) } ^ { x } , C ^ { \dagger } ( \{ \epsilon _ { m } \} ) H C ( \{ \epsilon _ { m } \} ) ] \right\| \leq \sum _ { i : \, | h _ { i } | < \epsilon _ { m ^ { \prime } } } 2 | h _ { i } | .
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha : \mathbf { R } ^ { 1 } \to \mathbf { R } ^ { 2 } } \\ { \alpha ( t ) = \left( { \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } } , t - { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \rho ( | D \varphi | , \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + ( \gamma - 1 ) ( B - \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } - \varphi ) \big ) ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \gamma > 1 \, , } \\ { \, \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( B - \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } - \varphi ) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \gamma = 1 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i + 1 } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , i } } - \frac { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , i - 1 } } } \\ & { \leq \bigg [ \frac { ( 1 - a _ { \tau , i + 1 } ) ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , i } } - \frac { 1 } { \eta _ { \tau , i - 1 } } \bigg ] \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \frac { 4 0 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } K ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \tau , \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \frac { 4 a _ { \tau , i + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \eta _ { \tau , i } b _ { 1 } K } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \big ( \eta _ { \tau , i } ^ { - 1 } - \eta _ { \tau , i - 1 } ^ { - 1 } - c \eta _ { \tau , i } \big ) \mathbb { E } \| \bar { e } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \frac { 8 0 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \tau , \ell } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \tau , \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \tau , \ell } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } } { K } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { \tau , i } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \sigma ^ { 2 } c ^ { 2 } \eta _ { \tau , i } ^ { 3 } } { b _ { 1 } K } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \psi _ { j } , \psi _ { k } \right] = 0 , } \\ & { } & { \left[ e _ { j + 3 } , e _ { k } \right] - 3 \left[ e _ { j + 2 } , e _ { k + 1 } \right] + 3 \left[ e _ { j + 1 } , e _ { k + 2 } \right] - \left[ e _ { j } , e _ { k + 3 } \right] } \\ & { } & { \quad + \sigma _ { 2 } \left[ e _ { j + 1 } , e _ { k } \right] - \sigma _ { 2 } \left[ e _ { j } , e _ { k + 1 } \right] - \sigma _ { 3 } \left\{ e _ { j } , e _ { k } \right\} = 0 , } \\ & { } & { \left[ f _ { j + 3 } , f _ { k } \right] - 3 \left[ f _ { j + 2 } , f _ { k + 1 } \right] + 3 \left[ f _ { j + 1 } , f _ { k + 2 } \right] - \left[ f _ { j } , f _ { k + 3 } \right] } \\ & { } & { \quad + \sigma _ { 2 } \left[ f _ { j + 1 } , f _ { k } \right] - \sigma _ { 2 } \left[ f _ { j } , f _ { k + 1 } \right] + \sigma _ { 3 } \left\{ f _ { j } , f _ { k } \right\} = 0 , } \\ & { } & { \left[ e _ { j } , f _ { k } \right] = \psi _ { j + k } , } \\ & { } & { \left[ \psi _ { j + 3 } , e _ { k } \right] - 3 \left[ \psi _ { j + 2 } , e _ { k + 1 } \right] + 3 \left[ \psi _ { j + 1 } , e _ { k + 2 } \right] - \left[ \psi _ { j } , e _ { k + 3 } \right] } \\ & { } & { \quad + \sigma _ { 2 } \left[ \psi _ { j + 1 } , e _ { k } \right] - \sigma _ { 2 } \left[ \psi _ { j } , e _ { k + 1 } \right] - \sigma _ { 3 } \left\{ \psi _ { j } , e _ { k } \right\} = 0 , } \\ & { } & { \left[ \psi _ { j + 3 } , f _ { k } \right] - 3 \left[ \psi _ { j + 2 } , f _ { k + 1 } \right] + 3 \left[ \psi _ { j + 1 } , f _ { k + 2 } \right] - \left[ \psi _ { j } , f _ { k + 3 } \right] } \\ & { } & { \quad + \sigma _ { 2 } \left[ \psi _ { j + 1 } , f _ { k } \right] - \sigma _ { 2 } \left[ \psi _ { j } , f _ { k + 1 } \right] + \sigma _ { 3 } \left\{ \psi _ { j } , f _ { k } \right\} = 0 , } \end{array}