harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { K _ { j , \boldsymbol { k } } = \frac { C _ { d \rightarrow K } } { N _ { \epsilon } } \displaystyle \sum _ { \epsilon } ( d _ { \mathrm { d i v } , j , \boldsymbol { k } } ^ { \epsilon } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( \tau ) } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } & { } & { \langle \delta \ell ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } \\ { \langle \delta v ( \tau ) \delta \ell ( 0 ) \rangle } & { } & { \langle \delta v ( \tau ) \delta v ( 0 ) \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\underline { { \underline { { A } } } } ^ { c } \sim \mathcal { O } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l l } { M ^ { - 2 } } & { M ^ { - 1 } } \\ { M ^ { - 1 } } & { M ^ { 0 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } , \mathbf { u } , \mathbf { w } , d } } & { \quad J _ { N } ( \mathbf { x } , \mathbf { u } , \mathbf { w } , d ) - \gamma ^ { j } } \\ { \quad \mathrm { s . t . ~ } } & { ( \mathbf { x } , \mathbf { u } ) = \mathbf { z } ( \mathbf { q } ^ { j } , r ^ { j } , \mathbf { w } , d ) } \\ & { ( \mathbf { w } , d ) \in \mathbb { W } ^ { N } \times \mathbb { D } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { q H N C } } ( \boldsymbol { k } , \omega ) } & { { } = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \chi _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \omega } ^ { 0 } } { \chi _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { 0 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } ) - 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f + \mathrm { d i v } _ { v } \big [ f ( u - v - \nabla _ { x } \pi ( \vartheta ) ) \big ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } \pi ( \vartheta ) - \Delta _ { x } u - \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } u } & { = j _ { f } - \rho _ { f } u , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \vartheta ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \vartheta u ) + \pi ( \vartheta ) \left( \partial _ { t } \alpha + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha u ) \right) } & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \vert v - u \vert ^ { 2 } f \, \mathrm { d } v , } \\ { \alpha } & { = 1 - \rho _ { f } . } \end{array}
\int x ^ { m } \operatorname { a r c s e c } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r c s e c } ( a x ) } { m + 1 } } \, - \, { \frac { 1 } { a \, ( m + 1 ) } } \int { \frac { x ^ { m - 1 } } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } v ( t , x ) } & { { } = \partial _ { t } \left( \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } \xi _ { k } ( x ) \right) = \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } e ^ { - \alpha _ { k } t } \xi _ { k } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \big [ \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell } , \nabla \bigr ] X _ { m } ^ { - 1 } = \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \ell } \binom { \ell } { \ell ^ { \prime } } \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell ^ { \prime } } ( \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell - \ell ^ { \prime } } X _ { m } ^ { - 1 } = \bigl ( \mathrm { a d } \mathscr { D } _ { t , m } \bigr ) ^ { \ell } ( \nabla ) X _ { m } ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y - \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \Big | } \\ & { } & { \leq \epsilon ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) \leq \epsilon T ^ { - 2 } . } \end{array}
M _ { 3 } ( \phi ) = \frac { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } [ ( x _ { \mathrm { { i } } } - x _ { \mathrm { { b } } } ) \cos ( \phi ) + ( y _ { \mathrm { { i } } } - y _ { \mathrm { { b } } } ) \sin ( \phi ) ] ^ { 3 } } { \sum _ { \mathrm { { i } } } q _ { \mathrm { { i } } } }
\dot { X } _ { + } = i \{ X _ { 3 } , X _ { + } \} , \; \; \dot { X } _ { - } = i \{ X _ { 3 } , X _ { - } \} , \; \; \dot { X } _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } i \{ X _ { + } , X _ { - } \} ,
\begin{array} { r l } { u _ { k + 1 } } & { \leq a _ { k } + b _ { k } u _ { k } \leq a _ { k } + a _ { k - 1 } b _ { k } + b _ { k } b _ { k - 1 } u _ { k - 1 } } \\ & { \leq a _ { k } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 } a _ { k - 1 - i } \prod _ { j = 0 } ^ { i } b _ { k - j } + u _ { 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } } \\ & { \leq b \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } a _ { i } \right) + b u _ { 1 } \leq a b + b u _ { 1 } . } \end{array}
S _ { e f f } = S _ { 0 } - \frac { h g } { 4 \kappa } \frac 1 { 4 \pi } \varepsilon _ { \mu \nu \alpha } \int \int d ^ { 3 } x d ^ { 3 } y J ^ { \mu \nu } ( x ) \frac { ( x - y ) ^ { \alpha } } { \left| x - y \right| ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { x } & { = ( L ^ { T } ) ^ { + } \tilde { L } q } \\ & { = ( L ^ { T } ) ^ { + } \cdot \frac { 1 } { 2 } ( L + L ^ { T } ) q } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } q + \frac { 1 } { 2 } ( L ^ { T } ) ^ { + } L q } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } q + \frac { 1 } { 2 } ( L ^ { T } ) ^ { + } b } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } q + \frac { 1 } { 2 } ( L ^ { T } ) ^ { + } c } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } q + \frac { 1 } { 2 } p } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { x } ( t ) } & { = D \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) ( D \varphi _ { 0 t _ { 1 } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) \Delta \textbf { x } _ { 0 } + O ( \| \Delta \textbf { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } ) ) + O ( \| \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ) \| ^ { 2 } ) , } \\ & { = D \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) D \varphi _ { 0 t _ { 1 } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) \Delta \textbf { x } _ { 0 } + \mathrm { h . o . t } , } \\ & { = D \varphi _ { 0 t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) \Delta \textbf { x } _ { 0 } + \mathrm { h . o . t } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n } } \\ { Y _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { Y _ { n } } \\ { Z _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { n } } \end{array} \right) } = { \bar { M } } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l } { { \bar { X } } - { \bar { M } } } \\ { \vdots } \\ { { \bar { X } } - { \bar { M } } } \\ { { \bar { Y } } - { \bar { M } } } \\ { \vdots } \\ { { \bar { Y } } - { \bar { M } } } \\ { { \bar { Z } } - { \bar { M } } } \\ { \vdots } \\ { { \bar { Z } } - { \bar { M } } } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } - { \bar { X } } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n } - { \bar { X } } } \\ { Y _ { 1 } - { \bar { Y } } } \\ { \vdots } \\ { Y _ { n } - { \bar { Y } } } \\ { Z _ { 1 } - { \bar { Z } } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { n } - { \bar { Z } } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { N \left\langle V _ { i } , X _ { 0 } \right\rangle } & { = \left\langle \mathrm { T o r } ( N , V _ { i } - \langle V _ { i } , X _ { 0 } \rangle X _ { 0 } ) + \mathrm { T o r } ( N , \langle V _ { i } , X _ { 0 } \rangle X _ { 0 } ) , X _ { 0 } \right\rangle } \\ & { = - \left\langle N , J V _ { i } - \langle V _ { i } , X _ { 0 } \rangle J X _ { 0 } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \langle \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle } } & { { } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle , } \\ { \dot { \langle \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle } } & { { } = \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle - \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { \le C \int _ { s } ^ { t } ( u - r ) ^ { ( 2 \sigma + \delta + 2 H _ { 0 } \theta - q - 1 ) - \delta + ( q - 1 ) } \ensuremath { \mathrm { d } } u \le C T ^ { 2 \sigma + \delta + 2 H _ { 0 } \theta - q - 1 } ( s - r ) ^ { - \delta } \int _ { s } ^ { t } ( u - r ) ^ { q - 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } u } \\ & { \le C ( s - r ) ^ { - \delta } \int _ { s } ^ { t } ( u - s ) ^ { q - 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } u = C ( s - r ) ^ { - \delta } | t - s | ^ { q } , } \end{array}
\alpha _ { u , 2 } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { u } { d _ { 2 } ^ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } } { 1 + { \nu D _ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } + 2 \pi \nu \left[ R _ { \omega _ { u } 1 } - G _ { \omega _ { u } 1 2 } \right] } \, , \qquad \alpha _ { v , 2 } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { v } { d _ { 2 } ^ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } } { 1 + { \nu D _ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } + 2 \pi \nu \left[ R _ { \omega _ { v } 1 } - G _ { \omega _ { v } 1 2 } \right] } \, .
t = { \frac { ( { \overline { { x } } } _ { 1 } - { \overline { { x } } } _ { 2 } ) - d _ { 0 } } { s _ { p } { \sqrt { { \frac { 1 } { n _ { 1 } } } + { \frac { 1 } { n _ { 2 } } } } } } } ,
\delta - \bar { \delta } = - \frac { 4 i } { 2 l + 1 } \left( \frac { \alpha - 1 } { 8 } \right) ^ { 2 l + 1 } \frac { \Gamma ( 1 + l - i \omega ) \Gamma ( 1 + l + i \omega ) } { \Gamma ( l + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } \sinh \pi \omega .
\begin{array} { r } { \langle ( \ldots ) \rangle = \frac { 1 } { Z } { \sum _ { \xi _ { 1 } \ldots \xi _ { N } } } ^ { \prime } \sum _ { \mathrm { r o t } } \left( \exp \left[ - \frac { E ( \xi _ { 1 } \ldots \xi _ { N } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } \right] ( \ldots ) \right) . } \end{array}
0 = \frac { 1 } { \Gamma } \big [ G \Delta _ { 0 } H + 2 \delta ^ { \mu \nu } \{ \partial _ { \mu } G + 2 G ( \partial _ { \mu } \log \Gamma ) \} \partial _ { \nu } H + \{ \Delta _ { 0 } G + 4 \delta ^ { \mu \nu } ( \partial _ { \mu } G ) ( \partial _ { \nu } \log \Gamma ) \} H \big ]
{ \mathbf { A } } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { w } & { 1 } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { w } \\ { w ^ { 2 } } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { 0 } & { w ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { \vec { r } _ { i } } ^ { 2 } + \sum _ { i > j } \frac { 1 } { | { \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } } | } } \\ & { + \sum _ { I > J } \frac { Z _ { I } Z _ { J } } { | { \vec { R } _ { I } - \vec { R } _ { J } } | } - \sum _ { i , I } \frac { Z _ { I } } { | { \vec { r } _ { i } - \vec { R } _ { I } } | } } \end{array}
\mathrm { ( A ) } \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { a t m } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } } _ { \mathrm { L S N D } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathrm { ( B ) } \qquad \underbrace { \overbrace { m _ { 1 } < m _ { 2 } } ^ { \mathrm { s o l a r } } \ll \overbrace { m _ { 3 } < m _ { 4 } } ^ { \mathrm { a t m } } } _ { \mathrm { L S N D } } \, .
\begin{array} { r l } { \vert \overline { { A } } _ { i } ^ { t } - \underbar { A } _ { i } ^ { t } \vert } & { = \left\vert \frac { X _ { i } ^ { t } \overline { { C } } _ { i } ^ { t } } { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } - \frac { X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } } { \underbar { Y } _ { i } ^ { t } } \right\vert } \\ & { = \left\vert \frac { X _ { i } ^ { t } \overline { { C } } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } - X _ { i } ^ { t } \underbar { C } _ { i } ^ { t } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } } \right\vert } \\ & { \leq \frac { ( D + 2 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) ) X _ { i } ^ { t } } { \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } } \\ & { \leq D + 2 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 2 } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \} \cap \tilde { \mathcal { C } } \cap \tilde { \mathcal { W } } _ { s } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 2 } } ) \geq \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil \} \cap \tilde { \mathcal { C } } \cap \tilde { \mathcal { W } } _ { s } ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { - \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil } \leq \exp ( - c L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
G _ { L } \cdot ( \boldsymbol { z } ) _ { ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 2 } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 } g _ { \ell i } z _ { i } \right) c _ { \ell } X _ { 1 } ^ { \ell } X _ { 2 } ^ { k - 2 - \ell } = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 } z _ { i } \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 2 } g _ { \ell i } c _ { \ell } X _ { 1 } ^ { \ell } X _ { 2 } ^ { k - 2 - \ell } \right) .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } \left( \mathcal { D } _ { x } ^ { \varphi } \| \mathcal { D } _ { x ^ { \prime } } ^ { \varphi } \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \nabla ^ { 2 } \psi ( x _ { t } ) [ h , h ] \textup { d } t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } 4 ( 1 - t ) \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) [ h , h ] \textup { d } t \le \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\frac { { \cal M } _ { n } } { ( 4 M ^ { 2 } ) ^ { n } } = \frac { 9 \pi } { \alpha _ { e m } ^ { 2 } Q _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { 6 } \frac { \Gamma _ { k } } { E _ { k } ^ { 2 n + 1 } } + \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } d s \, \frac { R ^ { P t } ( s ) } { s ^ { n + 1 } } \, .
\frac { | \overline { { u } } _ { E _ { \mathrm { o u t } } } | } { | \overline { { u } } _ { E _ { 1 } } | | \overline { { u } } _ { E _ { 2 } } | } | \overline { { u } } _ { E _ { 1 } } \wedge \overline { { u } } _ { E _ { 2 } } | = \frac { | \gamma _ { E _ { \mathrm { o u t } } } | } { | \gamma _ { E _ { 1 } } | | \gamma _ { E _ { 2 } } | } | \omega ( \gamma _ { E _ { 1 } } , \gamma _ { E _ { 2 } } ) | \, .
\frac { s _ { 0 } - s _ { \mathrm { c r o s s } } } { s _ { 0 } } \geq \frac { k _ { 2 } } { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } \varepsilon _ { S S l } \left[ \log \left( \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \right) \right] + \cdots
\begin{array} { l c l } { { \lambda ^ { ( 0 ) } = \gamma _ { 1 , 6 } \lambda ^ { ( 0 ) } \gamma _ { 1 , 6 } ^ { - 1 } } } & { { , } } & { { \lambda ^ { ( 0 ) } = - \gamma _ { \Omega R , 6 } \lambda ^ { ( 0 ) ^ { T } } \gamma _ { \Omega R , 6 } ^ { - 1 } } } \\ { { \lambda ^ { ( i ) } = e ^ { 2 \pi i v _ { i } } \gamma _ { 1 , 6 } \lambda ^ { ( i ) } \gamma _ { 1 , 6 } ^ { - 1 } } } & { { , } } & { { \lambda ^ { ( i ) } = - \gamma _ { \Omega R , 6 } \lambda ^ { ( i ) ^ { T } } \gamma _ { \Omega R , 6 } ^ { - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \Delta \phi _ { 1 } ^ { i n t } } & { { } = - \nabla \vec { m } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \; \Omega , } \\ { \phi _ { 1 } ^ { i n t } } & { { } = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \; \partial \Omega } \end{array}
K _ { \alpha } = \pm \frac { 1 } { 2 } \frac { \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } { \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \left( 1 \mp \sqrt { 1 - \frac { 4 \lambda } { R _ { 0 } \alpha } } \right) }
\Omega _ { 3 } ^ { 2 } = ( \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) = \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 }
\int _ { 0 } ^ { 1 / ( 1 + \sqrt { \epsilon } ) ^ { 2 } } d \hat { \tau } \; \hat { \tau } ^ { \omega } \left( \frac { 1 + \hat { \tau } ^ { 2 } + \hat { \tau } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } + 2 \epsilon \hat { \tau } ^ { 2 } } { 1 - \hat { \tau } - \epsilon \hat { \tau } } \right) \; \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left[ \frac { \sqrt { \Lambda } } { 1 - \hat { \tau } - \epsilon \hat { \tau } } \right]
v _ { 2 } ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \simeq \bigoplus _ { i } ( \alpha _ { i } \Sigma ^ { 0 , i } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } + \beta _ { i } \Sigma ^ { - 8 , i } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } ) \oplus \bigoplus _ { k , l } \Sigma ^ { 8 l , k } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } .
\int _ { \vec { x } _ { k + 1 } \in X } \Psi \big ( \vec { x } _ { k + 1 } | \vec { x } _ { k } , \vec { u } _ { k } \big ) V \big ( \vec { x } _ { k + 1 } , \vec { u } _ { k + 1 } \big ) = \int _ { \vec { x } _ { k + 1 } \in X } \left( \psi \big ( \vec { x } _ { k } , \vec { u } _ { k } \big ) + \vec { \xi } \cdot ( \delta t ) \right) V \big ( \vec { x } _ { k + 1 } , \vec { u } _ { k + 1 } \big )
\xi ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi _ { m a x } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z \in \Omega _ { a s y m } ( L _ { s } , L _ { r } ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
t _ { i j \ldots I J \ldots } ^ { a b \ldots A B \ldots } \prod _ { \gamma , \lambda } \hat { a } _ { \gamma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \lambda } \prod _ { \Gamma , \Lambda } \hat { a } _ { \Gamma } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \Lambda } ,
r _ { \mathrm { 0 } } ^ { 2 } = r _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { r _ { \mathrm { g } } } { r _ { \mathrm { c } } } \right) + O \left[ \left( \frac { r _ { \mathrm { g } } } { r _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { { } = [ 2 3 . 5 ( s / l - t / l ) ^ { - 0 . 8 3 } + 1 4 . 9 ] ( t / l ) ^ { 0 . 8 4 } ( h / l ) ^ { - 2 } } \\ { c _ { 1 } } & { { } = 5 6 . 5 ( s / l - t / l ) ^ { - 1 . 3 4 } ( t / l ) ^ { 2 . 9 4 } ( h / l ) ^ { - 1 . 0 8 } } \end{array}
z _ { i , a _ { i } } ^ { G } + b _ { \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { G } ( i ) = \binom { U _ { 1 + \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { G } ( i ) } { 1 } + b _ { \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { G } ( i ) = b _ { \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { G } ( i ) + \sum _ { s = 1 + \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { n _ { r } } b _ { s } ^ { G } ( i ) = U _ { \gamma _ { i , a _ { i } } ^ { G } } ^ { G } ( i ) ,
\begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( t - { \frac { v x } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { x ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( x - v t \right) } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = y } \\ { z ^ { \prime } } & { { } = z } \end{array}
W ( \boldsymbol { x } ) ) = \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { C _ { T } c o s \gamma } { \frac { 8 \sigma _ { x } \sigma _ { y } } { D ^ { 2 } } } } ) \right) e x p \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left\{ \left( \frac { z - z _ { h } } { \sigma _ { z } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { y - \delta } { \sigma _ { y } } \right) ^ { 2 } \right\} \right] ,
w _ { \mathrm { s p i n o r } } = 2 \mathrm { I m } { \cal L } _ { \mathrm { s p i n o r } } ^ { ( 1 ) } = - \Bigl ( \frac { q E } { 2 \pi } \Bigr ) \Bigl ( \frac { q B } { 2 \pi } \Bigr ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \sigma = \pm 1 } \ln \Biggl \{ 1 - \exp \Bigl ( - \pi \frac { m ^ { 2 } + q B ( 2 j + 1 - \sigma ) } { q E } \Bigr ) \Biggr \} .
- \int _ { \mathbf { R } ^ { n } } f ( \mathbf { x } ) \, \mathbf { n } _ { x } \cdot \nabla _ { x } \mathbf { 1 } _ { \mathbf { x } \in D } \; d ^ { n } \mathbf { x } = \oint _ { S } \, f ( \mathbf { \beta } ) \; d ^ { n - 1 } \mathbf { \beta } .
\tau _ { a } = \frac { 4 } { 1 1 7 } \big ( 2 ^ { \frac { 1 3 } { 2 } } - 1 \big ) \frac { Q ^ { \prime } } { \Omega _ { o } } \bigg ( \frac { M } { M _ { 2 } } \bigg ) \bigg ( \frac { a } { r _ { 0 } } \bigg ) ^ { 5 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 q ( 2 q - 1 ) } \dot { V } _ { u } ( y ) } & { \leq \Big ( \Big ( \frac { \omega } { 2 } - \epsilon \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { q ^ { 2 } L ^ { 2 } } + \omega _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { q - 1 } } \frac { q - 1 } { 2 \omega q } \Big ) \frac { \| y \| _ { X } ^ { 2 q } } { 1 + \| y \| _ { X } ^ { 2 q } } } \\ & { \quad \qquad \qquad - \frac { \hat { \alpha } ( \| y \| _ { X } ^ { 2 q } ) } { 1 + \| y \| _ { X } ^ { 2 q } } + \frac { 1 } { 2 \omega \omega _ { 2 } q } \| v \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , L ) } ^ { 2 q } . } \end{array}
\rho = \frac { v _ { \phi } ^ { 2 } + 4 v _ { \xi } ^ { 2 } } { v _ { \phi } ^ { 2 } } = 1 + \frac { 4 v _ { \xi } ^ { 2 } } { v _ { \phi } ^ { 2 } } \equiv 1 + \Delta \rho \, .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( ( \mathscr { D } _ { \Gamma , l } ) ^ { c } ) } & { \leq } & { C \exp ( - \Phi _ { 4 } ^ { 1 \slash 4 } ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash ( K _ { 0 } ^ { 5 } T ^ { 5 } ) ) + C _ { 0 } \exp ( - c _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 3 \slash 4 } ) } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\mathcal { A } ( Y , \Delta \theta _ { j } ) = \frac { V _ { p } L ^ { 4 - n } F ( \Delta \theta _ { j } ) } { 2 ^ { p - 2 } ( 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } ) ^ { ( p + 1 - n ) / 2 } } \sum _ { \omega _ { k } \in Z } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \frac { p + n - 5 } { 2 } } \exp ^ { - \frac { t \sum _ { k } ( Y _ { k } + 2 \pi \omega _ { k } R ) ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } } d t \, ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \langle X ( t ) \rangle } & { { } = } & { \left. - i \frac { \partial \hat { P } ( l , t ) } { \partial l } \right\vert _ { l = 0 } } & { { } } & { = } & { { } \left( \langle u _ { \mathrm { ~ S ~ } } \rangle + \frac { \alpha } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \left. - \frac { \partial ^ { 2 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 2 } } \right\vert _ { l = 0 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } } & { = } & { { } \left( \sigma ^ { 2 } + \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 3 } \rangle } & { { } = } & { \left. i \frac { \partial ^ { 3 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 3 } } \right\vert _ { l = 0 } - 3 m _ { 1 } m _ { 2 } + 2 m _ { 1 } ^ { 3 } } & { { } } & { = } & { { } \frac { \alpha ( 1 + \alpha ) ( 2 + \alpha ) } { \beta ^ { 2 } } \Lambda t , } \end{array}
\frac { n _ { B } } { s } \sim \frac { \epsilon { \phi _ { o } } ^ { 4 } { m _ { \eta } } ^ { 3 / 2 } } { { M _ { X } } ^ { 2 } { M _ { P } } ^ { 5 / 2 } \tilde { m } } \sim \frac { \epsilon m _ { \eta } ^ { 7 / 2 } } { { M _ { X } } ^ { 2 } { M _ { P } } ^ { 1 / 2 } \tilde { m } } \sim ( 1 0 ^ { - 6 } - 1 ) \epsilon
V = \mu ^ { 4 } ( 1 + { \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } [ 2 l n { \frac { g x \mu ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } + ( x - 1 ) ^ { 2 } l n ( 1 - x ^ { - 1 } ) + ( x + 1 ) ^ { 2 } l n ( 1 + x ^ { - 1 } ) ] )