harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F _ { \mu } ( \underbrace { e \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \rightarrow S _ { e n t } \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) } & { = \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( g ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) + } \\ & { + \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { C } _ { 1 } : = \mathbb { C } \backslash \{ z \in \mathbb { C } : \operatorname { I m } ( z ) \geq 0 , \operatorname { R e } ( z ) = 0 \} , } \\ & { \mathbb { C } _ { 2 } : = \mathbb { C } \backslash \{ z \in \mathbb { C } : \operatorname { I m } ( z ) \leq 0 , \operatorname { R e } ( z ) = 0 \} . } \end{array}
\operatorname { H } ^ { 0 } ( \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { N _ { d } } } ( k ) \otimes \mathcal { I } _ { V _ { n , d } } ) \subseteq \nu _ { k } ^ { * } ( \operatorname { H } ^ { 0 } ( \mathcal { O } _ { \mathbb { P } ^ { N _ { d } ^ { k } } } ( 1 ) \otimes \mathcal { I } _ { \mathbb { P } ( \operatorname { S y m } ^ { d k } ( W ^ { \ast } ) ) } )
\frac { 1 } { J } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { \alpha } } \left( J \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } \right) = \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { k } } { \partial \xi ^ { \alpha } \partial \xi ^ { \beta } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial } { \partial \xi ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } = \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { k } } { \partial \xi ^ { \alpha } \partial \xi ^ { \beta } } \frac { \partial \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial x ^ { k } } { \partial \xi ^ { \alpha } } \frac { \partial ^ { 2 } \xi ^ { \alpha } } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { k } } .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \chi _ { m , \alpha } - \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime } - r a \chi _ { m , \alpha } ^ { \prime \prime } \right) \chi _ { m , \beta } d r } \\ { = } & { { } S _ { m , \alpha } \delta _ { \alpha \beta } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \beta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \eta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { q _ { 1 } D = \left[ \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - F _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 ) \right] \sigma ( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) - \sigma F _ { 1 2 } ( T _ { 2 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) { , } } \\ & { q _ { 2 } D = \left[ \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - F _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 ) \right] \sigma ( T _ { 2 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) - \sigma F _ { 1 2 } ( T _ { 1 } ^ { 4 } - T _ { a m b } ^ { 4 } ) { , } } \end{array}
i \mathcal { M } ^ { s s ^ { \prime } } = - i \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } G _ { F } Q _ { W } F ( q ^ { 2 } ) ( p _ { 2 } + k _ { 2 } ) ^ { \mu } g _ { L } ^ { \nu } \overline { { \nu } } ^ { s } ( p _ { 1 } ) \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \nu ^ { s ^ { \prime } } ( k _ { 1 } )
\mathbf { A } _ { \mathbf { k } \lambda } ( \mathbf { r } , t ) = { \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar c ^ { 2 } } { \omega _ { k } V } } } \left[ a _ { \mathbf { k } \lambda } ( 0 ) e ^ { - i ( \omega _ { k } t - \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) } + a _ { \mathbf { k } \lambda } ^ { \dagger } ( 0 ) e ^ { i ( \omega _ { k } t - \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) } \right]
\begin{array} { r l } { ( * ) } & { = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { M } k e ^ { i k x } ( e ^ { i \Lambda ( k ) y } ( \Lambda ( k ) e ^ { i y } - \Lambda ( k ) - 1 ) + 1 ) } \\ & { = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { M } \left( k e ^ { i k x } + k e ^ { i k ( x - m y ) } e ^ { i n y } ( n e ^ { i y } - n - 1 ) + k ^ { 2 } e ^ { i k ( x - m y ) } e ^ { i n y } ( m - m e ^ { i y } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \left( - i \partial D ( x ) - i e ^ { i n y } ( n e ^ { i y } - n - 1 ) \partial D ( x - m y ) + m e ^ { i n y } ( e ^ { i y } - 1 ) \partial ^ { 2 } D ( x - m y ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { H } } { \hbar } } & { { } = \omega \Big ( \hat { n } + \frac 1 2 \Big ) + \big ( 1 - \eta \hat { \xi } \big ) \otimes \big ( 2 J \hat { \Sigma } _ { X } - \Delta \big ) \; . } \end{array}
H = ( 1 + i \gamma ) ( { u _ { 1 } ^ { * } } u _ { 2 } + { u _ { 2 } ^ { * } } u _ { 3 } + { u _ { 3 } ^ { * } } u _ { 4 } + u _ { 4 } { u _ { 1 } ^ { * } } ) + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ }
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \left( { \mathfrak { G } } \mathbf { z } \right) ^ { \mathrm { T } } { \mathfrak { C } } \, { \overline { { ( { \mathfrak { G } } \mathbf { z } ) } } } } \\ & { = \mathbf { z } ^ { \mathrm { T } } \left( { \mathfrak { G } } ^ { \mathrm { T } } { \mathfrak { C } } { \bar { \mathfrak { G } } } \right) { \bar { \mathbf { z } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \bar { C } _ { j k } } & { = } & { - j k S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 1 1 , j } \hat { p } ( k - j ) ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 1 1 , j } \hat { q } ( k - j ) ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + } \\ & { } & { - j k S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 2 1 , j } \hat { p } ( k - j ) + S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 2 1 , j } \hat { q } ( k - j ) , \quad j \neq k , } \end{array}
[ H , x ] = \left[ { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } + V ( x , y , z ) , x \right] = \left[ { \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } , x \right] = { \frac { 1 } { 2 m } } ( p _ { x } [ p _ { x } , x ] + [ p _ { x } , x ] p _ { x } ) = - i \hbar p _ { x } / m
\begin{array} { r l } { \mathit { T T S ( t _ { s } ) } } & { { } = \mathit { t _ { s } } \cdot \mathit { R ( t _ { s } ) } , \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } \\ { \mathit { R ( t _ { s } ) } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \ln ( 1 - \eta ) } { \ln ( 1 - p _ { s } ( t _ { s } ) ) } } & { p _ { s } ( t _ { s } ) \in ( 0 , \eta ) } \\ { 1 } & { p _ { s } ( t _ { s } ) \in [ \eta , 1 ] } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { a , M } ( W { \widehat { u } } ) } & { = - 2 i \omega v \widetilde { \chi } _ { 1 } f _ { \natural } ^ { \prime } W ^ { \natural } { \widehat { u } } - 2 i \omega v ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \chi _ { \sharp } f _ { \sharp } ^ { \prime } W ^ { \sharp } { \widehat { u } } + \widetilde { \chi } _ { 1 } \mathcal { P } _ { h } ^ { \natural } { \widehat { u } } + ( 1 - \chi _ { 1 } ) \chi _ { \sharp } \mathcal { P } _ { h } ^ { \sharp } { \widehat { u } } + } \\ & { \qquad + \widetilde { \chi } _ { 1 } \mathcal { P } _ { \ell } ^ { \natural } { \widehat { u } } + ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \chi _ { \sharp } \mathcal { P } _ { \ell } ^ { \sharp } { \widehat { u } } + \mathcal { P } _ { H } + ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) \mathcal { P } _ { \chi _ { \sharp } } W ^ { \sharp } { \widehat { u } } \, , } \end{array}
W ( x ) \approx \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 . 6 6 5 \cdot \left( 1 + 0 . 0 1 9 5 \cdot \ln ( x + 1 ) \right) \ln ( x + 1 ) } } & { { + \, 0 . 0 4 ; } } \\ { { } } & { { \mathrm { \ f o r \ } 0 \leq x \leq 5 0 0 ; } } \\ { { \ln ( x - 4 ) - ( 1 - \frac { 1 } { \ln ( x ) } ) \cdot \ln ( \ln ( x ) ) ; } } & { { \mathrm { \ f o r \ } x > 5 0 0 \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ M _ { \mu _ { i } , \mu _ { j } } ] = M _ { \mu _ { i } + \mu _ { j } , \mu _ { i } + \mu _ { j } } - \frac { M _ { \mu _ { i } , \mu _ { i } } } { 2 } - \frac { M _ { \mu _ { j } , \mu _ { j } } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } K _ { g ( t ) } } & { = \partial _ { t } ( - \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \Delta _ { \bar { g } } u ( t ) + \mathrm { e } ^ { - 2 u ( t ) } \bar { K } ) } \\ & { = - 2 \partial _ { t } u ( t ) K _ { g ( t ) } - \Delta _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) } \\ & { = 2 K _ { g ( t ) } ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) + \Delta _ { g ( t ) } ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) } \\ & { = 2 ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) ^ { 2 } + 2 ( f - \alpha ( t ) ) ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) + \Delta _ { g ( t ) } ( K _ { g ( t ) } - f + \alpha ( t ) ) } \\ & { = 2 ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 2 } - 2 ( f - \alpha ( t ) ) \partial _ { t } u ( t ) - \Delta _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) } \end{array}
\boxed { r _ { i } ^ { - \chi } \ln ( r _ { i } ^ { ( 1 - \chi ) } / a ) \dot { z } _ { i } = \zeta \frac { 1 } { a } ( 1 - \chi ) ( 1 - 2 \chi ) - 3 \gamma ^ { - 1 } \chi ( K + K ^ { \prime } ) \frac { r _ { i } ^ { \chi } } { \overline { { z _ { i } } } } }
\begin{array} { r l } { \psi ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( { \boldsymbol { r } } _ { 1 } , \dots , { \boldsymbol { r } } _ { n _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ) = } & { { } \operatorname* { d e t } \left[ \Phi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \right] _ { i , k = 1 \dots { n _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } } } \\ { \Phi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } : = } & { { } \phi _ { k } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( { \boldsymbol { r } } _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } W ( \theta ) \left| \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } \! \! \ln \left| \rho ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| d \theta \leq } \\ & { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } W ( \theta ) \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ln \left| \rho ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| d \theta \leq \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } W ( \theta ) \mathrm { R B } \left( \theta \right) d \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { m _ { Y } ( f ) | _ { { \boldsymbol H } _ { 1 } } - m _ { Y } ( f ) | _ { { \boldsymbol H } _ { 0 } } } { \sqrt { V _ { Y } ( f ) } } \right| ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { p , q = 1 } ^ { k } \frac { \omega _ { p } \omega _ { q } } { d _ { 0 } } \left( \frac { 1 } { w _ { 4 } - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \log \left( 1 - \frac { \omega _ { p } \omega _ { q } } { d _ { 0 } } \right) } \\ & { = \left| \frac { m ( \Omega ) - m ( 0 ) } { \sqrt { V _ { 0 } } } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbb { B } _ { \mathrm { ~ T ~ D ~ L ~ } } \subset \mathbb { T } ( \Omega ^ { * } ) ^ { n _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } \times n _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } \times n _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } \times n _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h + u \cdot \nabla _ { x } h + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \Big [ \mathrm { K } _ { 1 , G } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ) - \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } h ) u \Big ] } & { = \mathcal { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \theta , \theta _ { i } , \sigma _ { i } ) } & { { } = f _ { 1 } ( \theta , 0 ) f _ { 1 } ( \theta , \pi ) f _ { 1 } ( \theta , 2 \pi ) \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { i } } e ^ { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \theta - \theta _ { i } - 2 \pi n } { \sigma _ { i } } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
P _ { i } ^ { \prime } ( m ) = \sum _ { P _ { i } ^ { \prime } \le \textnormal { N } ( p _ { i } ) \le ( 1 + \eta ) P _ { i } ^ { \prime } } \frac { \lambda ^ { m } ( p _ { i } ) } { \textnormal { N } ( p _ { i } ) } \quad \mathrm { a n d } \quad P ( m ) = \sum _ { \textnormal { N } ( p ) \sim X / ( P _ { 1 } ^ { \prime } P _ { 2 } ^ { \prime } ) } \frac { \lambda ^ { m } ( p ) } { \textnormal { N } ( p ) }
M _ { \mu } ^ { a } ( q , x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \equiv \int d ^ { 4 } z e ^ { i q z } \bigl \langle 0 \bigl \vert T \, J _ { 5 \mu } ^ { a } ( z ) \phi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \phi _ { n } ( x _ { n } ) \Bigr \vert 0 \bigr \rangle \ .
\begin{array} { r } { t _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ^ { - 1 } \frac { \delta \bar { T } _ { e } ^ { 2 } } { T _ { 0 e } ^ { 2 } } \sim \varepsilon = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } \quad \Rightarrow \quad \bar { \varphi } \frac { \delta \bar { T } _ { e } ^ { 2 } } { T _ { 0 e } ^ { 2 } } \sim \frac { \varepsilon } { \Omega _ { e } } ( k _ { \perp } \rho _ { e } ) ^ { - 2 } . } \end{array}
\frac { d } { d t } c ^ { N } = - \nu ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } D \cdot c ^ { N } - ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } \left[ \mathcal { N } ^ { N } : c ^ { N } \otimes c ^ { N } \right] - 2 \Lambda ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } S ^ { N } ( t , c ^ { N } )
\begin{array} { r l } { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { x } } & { { } = | x _ { n m } ^ { + } \rangle \langle x _ { n m } ^ { + } | - | x _ { n m } ^ { - } \rangle \langle x _ { n m } ^ { - } | } \\ { \phantom { \frac { 1 } { 2 } } \hat { \sigma } _ { n m } ^ { y } } & { { } = | \, y _ { n m } ^ { + } \rangle \langle y _ { n m } ^ { + } | - | \, y _ { n m } ^ { - } \rangle \langle y _ { n m } ^ { - } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { ( m _ { k } ) } ( f ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \alpha _ { n } ^ { ( m _ { k } ) } f _ { n } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } \alpha _ { n } ^ { ( m _ { k } ) } f _ { n } + \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \alpha _ { n } ^ { ( m _ { k } ) } f _ { n } } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { 0 } - 1 } 0 \cdot f _ { n } + \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \alpha _ { n } ^ { ( m _ { k } ) } f _ { n } } \\ & { = \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \alpha _ { n } ^ { ( m _ { k } ) } f _ { n } } \\ & { \leq \lVert \alpha ^ { ( m ) } \rVert _ { \infty } \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \lvert f _ { n } \rvert } \\ & { \leq { \varepsilon } . } \end{array}
\int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle = \left[ \sum _ { b = 1 } ^ { N } U ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \right] \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \delta ^ { ( 1 ) } x _ { \mu } ^ { i } } } & { { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \xi ^ { i } } } \\ { { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } } & { { = i \bar { \epsilon _ { 1 } } \Gamma _ { \mu } \tilde { \psi } ^ { i j } } } \\ { { \delta ^ { ( 1 ) } \xi ^ { i } } } & { { = 0 } } \\ { { \delta ^ { ( 1 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } } & { { = i ( x ^ { i } - x ^ { j } ) _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } ^ { i j } \Gamma ^ { \mu \nu } \epsilon _ { 1 } } } \end{array} \right. \right. , \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \delta ^ { ( 2 ) } x _ { \mu } ^ { i } } } & { { = 0 } } \\ { { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { A } _ { \mu } ^ { i j } } } & { { = 0 } } \\ { { \delta ^ { ( 2 ) } \xi ^ { i } } } & { { = \epsilon _ { 2 } } } \\ { { \delta ^ { ( 2 ) } \tilde { \psi } ^ { i j } } } & { { = 0 } } \end{array} \right. \right. .
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } } & { { } = 2 \mathbf { F } \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) } { \partial \mathbf { C } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \boldsymbol { \xi } } & { { } = \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) } { \partial \nabla { \mathsf { d } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) < \infty , } \\ & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Psi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) < \infty , } \\ & { } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) \leq \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \times \mathbb { R } ^ { d } } \Psi ( \| x - y \| / \lambda ) \, d \nu ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal { E } } _ { p } = \underset { ( x , y ) \sim { \cal { D } } } { \mathbb { E } } \left| \hat { f } ( x ) - y \right| = \underset { x } { \mathbb { E } } \left| \hat { f } _ { O } ( x ) - f _ { O } ( x ) \right| . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \phi : X \to \{ 0 \} } \\ & { \phi ( x , y , z ) = \left( { \frac { x } { a } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { y } { b } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { z } { c } } \right) ^ { 2 } - 1 = 0 } \\ & { X = [ - a , a ] \times [ - b , b ] \times [ - c , c ] = \left\{ ( x , y , z ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \, : \, - a \leq x \leq a , - b \leq y \leq b , - c \leq z \leq c \right\} . } \end{array} }
{ \mathcal { C } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left\langle 0 \mid { \mathcal { T } } \phi _ { i } ( x _ { 1 } ) \phi _ { i } ( x _ { 2 } ) \mid 0 \right\rangle = \langle 0 \mid { \overline { { \phi _ { i } ( x _ { 1 } ) \phi _ { i } ( x _ { 2 } ) } } } \mid 0 \rangle = i \Delta _ { F } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) = i \int { { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { e ^ { - i k ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } } { ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) + i \epsilon } } } ,
p _ { S } \equiv \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } ) = \frac { N _ { S } } { N } \le 1 \; \ldots \; \mathit { p r e v a l e n c e } , \qquad p _ { B } \equiv \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } ) = \frac { N _ { B } } { N } = 1 - p _ { S } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { L H S } } & { = a z \cdot z - \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n } \cdot z | ^ { 2 } + F ( \cdot , y ) \cdot z - \sum _ { n \geq 1 } b _ { n } \cdot z g _ { n } ( \cdot , y ) - h ( y ) } \\ & { \stackrel { ( i ) } { \geq } \nu | z | ^ { 2 } - | z | \, | F ( \cdot , y ) | - | z | \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n } | \, | g _ { n } ( \cdot , y ) | - h ( y ) } \\ & { \stackrel { ( i i ) } { \geq } \varepsilon | z | ^ { 2 } + \frac { 4 } { \nu - \varepsilon } \Big ( | F ( \cdot , y ) | + \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n } | \, | g _ { n } ( \cdot , y ) | \Big ) ^ { 2 } - h ( y ) } \\ & { \stackrel { ( i i i ) } { \geq } \varepsilon | z | ^ { 2 } - M ( | y | ^ { 2 } + 1 ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x } & { = Q _ { z y } - Q _ { y z } } \\ { y } & { = Q _ { x z } - Q _ { z x } } \\ { z } & { = Q _ { y x } - Q _ { x y } } \\ { r } & { = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \\ { t } & { = Q _ { x x } + Q _ { y y } + Q _ { z z } } \\ { \theta } & { = \operatorname { a t a n 2 } ( r , t - 1 ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \nabla h ^ { ( m ) } ( x ) - \nabla h ^ { ( j ) } ( x ) \| } & { = \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad - \left( \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \right) \| } \\ & { \leq \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| + \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \quad - \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg \| } \\ & { \quad + \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \quad - \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \Gamma } ^ { \mathbf { x } } \left( \varphi \right) } & { = \oint _ { \Gamma } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } \\ { K _ { \Gamma } ^ { \mathbf { x } } \left( \varphi \right) } & { = \oint _ { \Gamma } \frac { \partial G } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \varphi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } } \end{array}
- i \frac { \alpha } { \pi f _ { \pi } } \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } k _ { 1 } ^ { \alpha } k _ { 2 } ^ { \beta } \, \frac { M _ { \rho } ^ { 2 } } { M _ { \rho } ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { M _ { \rho } ^ { 2 } } { M _ { \rho } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } } \, .
\varepsilon _ { n } ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) = \varepsilon _ { n } ( \mathbf { k } ) + \sum _ { i } { \frac { \partial \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } } } q _ { i } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i j } { \frac { \partial ^ { 2 } \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } \partial k _ { j } } } + O ( q ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { { } = \sum _ { q , q ^ { \prime } } v _ { q ^ { \prime } ; q } ^ { ( k ) } \langle \Uparrow | \hat { D } _ { q ^ { \prime } } | \Downarrow \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | \hat { d } _ { q } ^ { ( k ) } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } \end{array}
C _ { Z _ { 7 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { { 2 } } & { { 6 } } & { { 6 } } \\ { { 2 } } & { { { { - 1 - i \sqrt { 7 } } } } } & { { { { - 1 + i \sqrt { 7 } } } } } \\ { { 2 } } & { { { { - 1 + i \sqrt { 7 } } } } } & { { { { - 1 - i \sqrt { 7 } } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \phi ( \cos ( 5 \pi t ) \times _ { \mathbb { R } } \cos ( 6 \pi t ) ) } \\ { = \, } & { \phi ( \cos ( 5 \pi t ) ) \times _ { \mathbb { C } } \phi ( \cos ( 6 \pi t ) ) } \\ { = \, } & { ( 1 / 4 , 0 ) \times _ { \mathbb { C } } ( \exp ( ( 0 , 5 \pi t ) ) + _ { \mathbb { C } } \exp ( 0 , - 5 \pi t ) ) ) \times _ { \mathbb { C } } ( \exp ( ( 0 , 6 \pi t ) ) + _ { \mathbb { C } } \exp ( 0 , - 6 \pi t ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \left| \textbf { r } - \textbf { r } ^ { \prime } \right| } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { l } } { \left( r ^ { \prime } \right) ^ { l + 1 } } P _ { l } \left( \cos \theta \right) \qquad r < r ^ { \prime } } \\ { \frac { 1 } { \left| \textbf { r } - \textbf { r } ^ { \prime } \right| } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( r ^ { \prime } \right) ^ { l } } { r ^ { l + 1 } } P _ { l } \left( \cos \theta \right) \qquad r > r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \widetilde U = \left( \begin{array} { l l } { \Delta \widetilde U ^ { 0 0 } } & { \Delta \widetilde U ^ { 0 1 } } \\ { \Delta \widetilde U ^ { 1 0 } } & { \Delta \widetilde U ^ { 1 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}