harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = \operatorname { V a r } [ \mathbf { X } ] = \operatorname { E } [ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ^ { T } ] = \operatorname { E } [ \mathbf { X } \mathbf { X } ^ { T } ] - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ^ { T }
\begin{array} { r l } & { E \Big [ \big ( P _ { k } ^ { l _ { 1 } } P _ { k } ^ { l _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { 4 } \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \Big ] } \\ { = } & { R \bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 8 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 7 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 6 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \\ & { \quad + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 6 } } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) + R \bigg ( \frac { \varepsilon ^ { 8 } } { n ^ { 4 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \bigg ) } \end{array}
B _ { m n } = | b _ { m n } | ^ { 2 } = \left| \iint _ { - \infty } ^ { \infty } E _ { 0 } ( x , y ) \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { m n } ^ { * } ( x , y ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y \right| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { e \Bigg ( \frac { \phi - \langle \phi \rangle } { T _ { e } } \Bigg ) - \sum _ { s } \frac { 1 } { N _ { e q , s } } \nabla _ { \perp } \cdot \Bigg ( \frac { m _ { s } N _ { e q , s } } { e Z _ { s } B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \phi \Bigg ) } & { = \sum _ { s } \frac { 1 } { N _ { e q , s } } \int d \mathbf { v } \mathcal { J } ( \bar { F } _ { s } - \bar { F } _ { e q , s } ) , } \end{array}
R _ { \ell } ( r ) = C _ { \ell } \; \left( 1 - { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) ^ { i k r _ { 0 } } j _ { \ell } ( k r ) { } _ { 2 } F _ { 1 } ( - \ell + 2 i k r _ { 0 } \; , \; - \ell \; ; \; - 2 \ell \; ; \; r _ { 0 } / r \, )
\begin{array} { r } { \mathcal { F } \{ \partial _ { x } u \} \ \to \ \sum _ { k } \hat { u } \cdot \overbrace { \left[ \imath \cdot k \right] } ^ { k _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ , ~ e ~ x ~ } } } e ^ { \imath k x _ { i } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { F } \{ \partial _ { x } ^ { 2 } u \} \ \to \ \sum _ { k } \hat { u } \cdot \overbrace { \left[ - k ^ { 2 } \right] } ^ { k _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ , ~ e ~ x ~ } } } e ^ { \imath k x _ { i } } \ . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial C } = \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \partial \hat { A } _ { n } } { \partial C } ( - 1 ) ^ { n } \right] - 1 ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial E } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \partial \hat { A } _ { n } } { \partial E } ( - 1 ) ^ { n } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial \kappa } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \partial \hat { A } _ { n } } { \partial \kappa } ( - 1 ) ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \iint _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \mu \ell } r ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } ( \ell + r ) ^ { - \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } - 1 } d \ell d r } & { = \iint _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \mu \ell } ( \ell t ) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } ( \ell + \ell \cdot t ) ^ { - \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } - 1 } \ell d t d \ell } \\ & { = \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \ell ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } e ^ { - \mu \ell } } { \ell ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } } } d \ell \right) \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( \alpha - Q ) } } { ( 1 + t ) ^ { \frac { 4 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 } } d t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( g ) } & { = A ( \rho _ { 0 } ( g ) ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) = A \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } d _ { 0 , j } ( g ) \rho _ { 0 } ( g _ { j } ) \right) + \mathcal { O } ( \varepsilon ) } \\ & { = \mathbf { P } ^ { * } \sum _ { j = 1 } ^ { N } d _ { 0 , j } ( g ) \rho _ { 0 } ( g _ { i } ) \mathbf { P } + \mathcal { O } ( \varepsilon ) = \mathbf { P } ^ { * } \rho _ { 0 } ( g ) \mathbf { P } + \mathcal { O } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\chi _ { n } ( x ) = \left( \frac { 1 } { \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! } } \exp \left[ - x ^ { 2 } / \ell ^ { 2 } \; \right] \; H _ { n } \left[ x / \ell \; \right]
g ( r ) = \frac { \int _ { r } ^ { r _ { s } } \left( 1 - \frac { q } { q _ { s } } \right) B _ { \theta } d r } { 2 + \mathcal { A } ( r - r _ { s } ) \ln { | r - r _ { s } | } + A ^ { \pm } ( r - r _ { s } ) }
\Pi _ { \mu \nu } ^ { a b } ( k , \xi ) = i \left( k ^ { 2 } g _ { \mu \nu } - k _ { \mu } k _ { \nu } \right) \delta ^ { a b } \beta _ { 0 } \, \alpha _ { s } { \frac { 1 } { \epsilon } } \left( b x ^ { - \epsilon } - a \right) \, ,
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { m i s } } = } & { ~ \frac { g _ { A } } { \Delta } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } ^ { \dagger } a ) + \frac { g _ { B } } { \Delta } ( b ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } ^ { \dagger } b ) } \\ & { ~ + \frac { g _ { A } } { \Delta - \delta / 2 } [ a ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 4 | ) - ( | 2 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 3 | ) a ] } \\ & { ~ + \frac { g _ { B } } { \Delta + \delta / 2 } [ b ^ { \dagger } ( | 1 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 4 | ) - ( | 3 \rangle \langle 1 | + | 4 \rangle \langle 2 | ) b ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 2 } x _ { k } = } & { a + \frac { c _ { 1 } } { 1 2 } + \frac { \xi ^ { k } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 1 / 3 } \left( 4 3 2 c _ { 1 } ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } } { 7 2 } + \frac { 3 6 c _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 4 / 3 } \xi ^ { - k } \left( 4 3 2 c _ { 1 } ^ { 3 } \right) ^ { - 2 / 3 } } { 1 8 } } \\ { = } & { a + \frac { c _ { 1 } } { 1 2 } + \frac { \xi ^ { k } 6 c _ { 1 } } { 7 2 } + \frac { 3 6 \cdot ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 4 / 3 } \xi ^ { - k } ( 4 3 2 ) ^ { - 2 / 3 } } { 1 8 } } \\ & { a + \frac { c _ { 1 } ( 1 + \xi ^ { k } ) } { 1 2 } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 3 } x _ { k } = } & { a } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { M L M C } } & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - 2 } \left( 1 + \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 - d / ( \eta _ { \mathcal { O } } r ) } ( 1 + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \alpha _ { 3 } ( 2 - d / ( \eta _ { \Psi } r ) ) } ) + \ensuremath { \varepsilon } ^ { 2 - d / ( \eta _ { \Psi } r ) } ( 1 + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \alpha _ { 3 } ( 2 - d / ( \eta _ { \mathcal { O } } r ) ) } ) \right) } \\ & { \le C \left( \ensuremath { \varepsilon } ^ { \alpha _ { 3 } ( 2 - d / ( r \operatorname* { m i n } ( \eta _ { \mathcal { O } } , \eta _ { \Psi } ) } \right) \ensuremath { \varepsilon } ^ { - d / ( r \operatorname* { m i n } ( \eta _ { \mathcal { O } } , \eta _ { \Psi } ) ) } } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } ^ { - d / ( \operatorname* { m i n } ( \eta _ { \mathcal { O } } , \eta _ { \Psi } ) r ) - \epsilon } , } \end{array}
T _ { + p \pm 2 } ^ { + q } = \frac 1 2 \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \Omega _ { + p } ^ { + 2 i } \psi _ { \pm 2 \dot { q } } ^ { 1 - } , \quad T _ { - p \pm 2 } ^ { + q } = \frac 1 2 \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \Omega _ { - p } ^ { + 2 i } \psi _ { \pm 2 \dot { q } } ^ { 1 - } ;
\frac { \partial L _ { C } ^ { ( R R ) } } { \partial Q } = \frac { \partial L _ { C } ^ { ( R R ) } } { \partial r ^ { k } } = \frac { 2 q ^ { 2 } } { c } \frac { d r ^ { \mu } } { d s } \int _ { 1 } ^ { 2 } d r _ { \mu } ^ { \prime } \left[ \frac { \partial } { \partial r ^ { k } } \delta ( \widetilde { R } ^ { \mu } \widetilde { R } _ { \mu } - \sigma ^ { 2 } ) \right] .
f _ { \kappa } ( x _ { \kappa , i } ) = { \frac { - x _ { \kappa , i } } { ( x _ { \kappa , i } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } R ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + m _ { i } R } } f _ { \kappa - 1 } ( x _ { \kappa , i } ) .
\begin{array} { r } { \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial H } \right) _ { \mu , \psi , \alpha } = \sqrt { \frac { m } { 2 H } } \int \frac { B } { \mathbf { B } \cdot \nabla \zeta } \frac { \mathrm { d } \zeta } { \sqrt { 1 - \lambda \hat { B } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \phi \Omega _ { 2 } + \frac { b } { I _ { 2 } } ( k _ { 2 } R _ { 2 2 } + k _ { 3 } R _ { 3 2 } ) , \qquad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \phi \Omega _ { 1 } - \frac { b } { I _ { 2 } } ( k _ { 2 } R _ { 2 1 } + k _ { 3 } R _ { 3 1 } ) , \qquad \dot { \Omega } _ { 3 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { s _ { m } , n } ( t ) = \frac { ( s _ { m } - n ) C _ { s _ { m } , n } ( t ) } { \sum _ { q = 0 } ^ { s _ { m } } ( s _ { m } - q ) C _ { s _ { m } , q } ( t ) } ~ ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 1 } ^ { - 1 } ( i ) = } & { { } - \frac { 1 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 } \cos i + \frac { 5 } { 3 2 } \sqrt { 4 2 } ( \sin i ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v ( \cdot , t _ { n - 1 } ^ { + } ) - v ( \cdot , t _ { n } ^ { - } ) \| _ { K } ^ { 2 } } & { = \int _ { K } \bigg | v ( x ( t _ { n - 1 } ^ { + } ) , t _ { n - 1 } ^ { + } ) - v ( x ( t _ { n } ^ { - } ) , t _ { n } ^ { - } ) \bigg | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { K } \bigg | \int _ { I _ { n } } D _ { t } v ( x ( t ) , t ) \, \mathrm { d } t \bigg | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \leq k _ { n } \| D _ { t } v \| _ { \bar { K } _ { n } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { e \Bigg ( \frac { \phi - \langle \phi \rangle } { T _ { e } } \Bigg ) - \sum _ { s } \frac { 1 } { N _ { e q , s } } \nabla _ { \perp } \cdot \Bigg ( \frac { m _ { s } N _ { e q , s } } { e Z _ { s } B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \phi \Bigg ) } & { { } = \sum _ { s } \frac { 1 } { N _ { e q , s } } \int d \mathbf { v } \mathcal { J } ( \bar { F } _ { s } - \bar { F } _ { e q , s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } ^ { 2 } \left( k _ { 1 } , k _ { y } \right) = \omega _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } ^ { 2 } \left( k _ { 2 } , k _ { y } \right) = \omega _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ C ~ } } ^ { 2 } \left( s _ { 0 } , k _ { y } \right) . } \end{array}
\frac { d } { d t } g _ { \scriptsize { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ) = \frac { d } { d t } \Big ( c ^ { 2 } - \frac { c ^ { 2 } } { \Gamma _ { i } ^ { 2 } } \Big ) \quad \Longleftrightarrow \quad g _ { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } ( \nabla _ { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ) = \frac { c ^ { 2 } \dot { \Gamma } _ { i } } { \Gamma _ { i } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l r l } { \gamma } & { { } = H _ { k - 1 } - \ln k + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( n - 1 ) ! | G _ { n } | } { k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { g } ^ { i } ( z ) } & { { } \approx \tau _ { g } ^ { i } ( 0 ) f _ { g } ( z / h ^ { i } ) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } } \\ { f _ { g } ( X ) } & { { } \equiv \sqrt { 1 - X } \times \Theta \left( 1 - X \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d V ^ { \mathrm { l v } } \left( u _ { i } \right) } { d t } - q ^ { \mathrm { v e n } } + q ^ { \mathrm { a r t } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { a r t } } \frac { d p ^ { \mathrm { a r t } } } { d t } - q ^ { \mathrm { a r t } } + q ^ { \mathrm { p e r } } } & { { } = 0 , } \\ { C ^ { \mathrm { v e n } } p ^ { \mathrm { v e n } } - V ^ { \mathrm { t o t } } + V ^ { \mathrm { l v } } + V ^ { \mathrm { a r t } } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { \mathrm { v e n } } } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \big ( \| { \tilde { u } } \| ^ { 2 } + \alpha \| { \tilde { v } } \| ^ { 2 } \big ) + \frac 1 2 \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \le C | \alpha ^ { \prime } | \big ( \| { \tilde { u } } \| ^ { 2 } + \alpha \| { \tilde { v } } \| ^ { 2 } \big ) + C \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( u _ { x } ) ^ { 2 } } { u } \mathrm { d } x + | \alpha ^ { \prime } | \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \alpha + d t \wedge \beta , \alpha ^ { \prime } + d t \wedge \beta ^ { \prime } ) } & { = \int \langle ( d _ { Y } + d _ { Y } ^ { * } ) ( \chi ( \tau ) \alpha + d t \wedge \beta ) , \alpha ^ { \prime } + d t \wedge \beta ^ { \prime } \rangle d \tau } \\ & { = \int \chi ^ { \prime } ( \tau ) \langle d t \wedge \alpha - \beta , \alpha ^ { \prime } + d t \wedge \beta ^ { \prime } \rangle d \tau } \\ & { = \langle \alpha , \beta ^ { \prime } \rangle - \langle \beta , \alpha ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\textbf { J } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial C } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial E } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial \kappa } } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial C } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial E } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial \kappa } } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial C } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial E } } & & & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 3 } } { \partial \kappa } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial Z _ { 2 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \\ { \frac { \partial U _ { 3 , 2 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \frac { e ^ { - 2 i t \omega _ { * } } \left( \beta \sigma - 2 i ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { * } \right) \left( A _ { 1 } ( T , X ) ^ { * } \right) ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 6 } \beta } + i \omega _ { * } Z _ { 2 } ( t , T , X ) } \\ { \frac { 1 } { 6 } \left( \sqrt { 3 } \sigma A _ { 1 } ( T , X ) A _ { 1 } ( T , X ) ^ { * } - 6 \beta U _ { 3 , 2 } ( t , T , X ) \right) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { { } \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 2 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \end{array}
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \xi _ { r } } { \mathrm { d } r ^ { 2 } } + \frac { 4 } { r } \frac { \mathrm { d } \xi _ { r } } { \mathrm { d } r } - \bigg [ \bigg ( 1 - \frac { \bar { N } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \bigg ) \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } - 2 \bigg ] \xi _ { r } = 0 ,
H _ { o p } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left[ - \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \, \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) h _ { \sigma ^ { \prime } \sigma } \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
h \sim { \vec { \bf A } \cdot \vec { \bf B } } \sim \tau \langle E _ { z } \rangle \langle B _ { z } \rangle \sim \tau \frac { e ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \frac { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } { { \xi } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r l } & { B _ { 1 , k } ( 0 ) = 1 , \qquad } & & { B _ { i > 1 , k } ( 0 ) = 0 , } \\ & { B _ { N _ { \varphi } , k } ( \pi / 3 ) = 1 , \qquad } & & { B _ { i < N _ { \varphi } , k } ( \pi / 3 ) = 0 , } \\ & { B _ { 1 , k } ^ { \prime } ( 0 ) = - B _ { 2 , k } ^ { \prime } ( 0 ) , } \\ & { B _ { N _ { \varphi } , k } ^ { \prime } ( \pi / 3 ) = - B _ { N _ { \varphi } - 1 , k } ^ { \prime } ( \pi / 3 ) . } \end{array}
S = S _ { a _ { f } } + S _ { \Phi } = \int L _ { a _ { f } } ( \zeta _ { f } ) \, d \zeta ^ { ( 1 , 1 , 1 ) } \wedge \cdots \wedge d \zeta ^ { ( 2 , 2 , 3 ) } + \int \sqrt { g } L _ { \Phi } ( \zeta ) \, d \zeta ^ { ( 1 1 1 ) } \wedge \cdots \wedge d \zeta ^ { ( 2 2 3 ) } ,
\Bar { P } ^ { 2 } x ^ { 4 } - \left[ n ^ { 2 } \Bar { P } + \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \right] \Bar { P } x ^ { 3 } + 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } \left[ n ^ { 2 } \Bar { P } + \left( 1 - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) \right] x - 9 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 4 } = 0 .
\sin ( x ) \approx { \frac { ( 1 2 6 7 1 / 4 3 6 3 9 2 0 ) x ^ { 5 } - ( 2 3 6 3 / 1 8 1 8 3 ) x ^ { 3 } + x } { 1 + ( 4 4 5 / 1 2 1 2 2 ) x ^ { 2 } + ( 6 0 1 / 8 7 2 7 8 4 ) x ^ { 4 } + ( 1 2 1 / 1 6 6 6 2 2 4 0 ) x ^ { 6 } } }
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { C | C } = } & { { } ~ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { p _ { C C } } { p _ { C } } \right) } \\ { = } & { { } ~ \frac { \dot { p } _ { C C } p _ { C } - \dot { p } _ { C } p _ { C C } } { { p _ { C } } ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } ~ \frac { 2 } { k N } \frac { p _ { C D } } { p _ { C } } ( 1 - w _ { R } ) [ 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | D } - q _ { C | C } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ) , } \end{array}
\Psi \propto { \left( \begin{array} { l } { \rho ^ { \gamma - 1 } e ^ { - \rho / 2 } \left( Z \alpha \rho + ( \gamma - 1 ) { \frac { \gamma \mu c ^ { 2 } - E } { \hbar c C } } ( - \rho + 2 \gamma ) \right) z / r } \\ { \rho ^ { \gamma - 1 } e ^ { - \rho / 2 } \left( Z \alpha \rho + ( \gamma - 1 ) { \frac { \gamma \mu c ^ { 2 } - E } { \hbar c C } } ( - \rho + 2 \gamma ) \right) ( x + i y ) / r } \\ { i \rho ^ { \gamma - 1 } e ^ { - \rho / 2 } \left( ( \gamma - 1 ) \rho + Z \alpha { \frac { \gamma \mu c ^ { 2 } - E } { \hbar c C } } ( - \rho + 2 \gamma ) \right) } \\ { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \theta ^ { \circ } = \theta ^ { r } \frac { f + f _ { r T E 2 1 1 } - 2 \times f _ { r T E 1 1 1 } } { f _ { r T E 2 1 1 } - f _ { r T E 1 1 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \llangle \alpha ( \mathbf { x } ) \rrangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \alpha ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \alpha ^ { - } ( \mathbf { x } ) \Big ) } \\ { \llangle \mathbf { a } ( \mathbf { x } ) \rrangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbf { a } ^ { + } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { a } ^ { - } ( \mathbf { x } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { C ( \Delta T ) = \frac { \left\langle \left[ I n t _ { j } ( t ) - \left\langle I n t _ { j } \right\rangle \right] \left[ I n t _ { j } ( t + \Delta T ) - \left\langle I n t _ { j } \right\rangle \right] \right\rangle } { \sqrt { \left\langle \left( I n t _ { j } ( t ) - \left\langle I n t _ { j } \right\rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle \left\langle \left( I n t _ { j } ( t ) - \left\langle I n t _ { j } \right\rangle \right) ^ { 2 } \right\rangle } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } : A ( \textnormal { \texttt { c } } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ) } & { \vdash \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \delta ^ { \prime \prime } ) : \Delta ^ { \prime \prime \prime } , \; \phi ( \delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } ) : A ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( f ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ) ) } \\ { \gamma ^ { \prime \prime } , x : A ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ^ { \prime \prime } ) ) } & { \vdash \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( \gamma ^ { \prime \prime } ) : \Gamma ^ { \prime \prime \prime } , \; \phi ^ { \prime } ( \gamma ^ { \prime \prime } , x ) : A ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( \gamma ^ { \prime \prime } ) ) ) } \end{array}
\left\langle \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } \right\rangle = \frac { \left\langle \psi \right\vert \hat { b } _ { 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \left\vert \psi \right\rangle } { \left\langle \psi | \psi \right\rangle } - 1 = \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } + \frac { \left\vert \beta \right\vert ^ { 2 } } { \left( 1 - \gamma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } .
\tilde { R } _ { \xi } ^ { + } = \left[ \frac { ( L - 2 ) ( L + 1 ) ( L + 4 ) ( L + 2 ) } { 2 7 \sqrt { 3 } L ^ { 4 } \sin \left( \frac { \pi ( 2 L + 1 ) } { 3 ( L + 2 ) } \right) \sin \left( \frac { \pi ( L - 2 ) } { 3 L } \right) } \right] _ { L = 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left[ \frac { 4 0 } { 2 7 \sqrt { 3 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { N _ { k } } & { = { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( \left( 1 + { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 k } - \left( 1 - { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 k } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( \left( 1 + { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 4 k } - 2 + \left( 1 - { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 4 k } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 2 } } \left( \left( 1 7 + 1 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } - 2 + \left( 1 7 - 1 2 { \sqrt { 2 } } \right) ^ { k } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | x _ { k } ( t ) - x ^ { k } | } & { { } < \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, , } \\ { | x _ { k } ( t ) - x _ { k } ( t ^ { \prime } ) | } & { { } < \frac { \mu } { 4 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \, . } \end{array}
\{ F , G \} = \int _ { \Omega } \left( \begin{array} { l } { \delta F / \delta \boldsymbol { m } } \\ { \delta F / \delta \eta } \\ { \delta F / \delta b } \end{array} \right) \cdot \mathbb { J } ( \boldsymbol { m } , \eta , b ) \left( \begin{array} { l } { \delta G / \delta \boldsymbol { m } } \\ { \delta G / \delta \eta } \\ { \delta G / \delta b } \end{array} \right) \, d \mu \, ,
G _ { \beta } ( \vec { x } , \tau ) = { \frac { 1 } { V } } \sum _ { \vec { p } } { \frac { 1 } { 2 E _ { p } } } \left[ { \frac { e ^ { i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { 1 - e ^ { - \beta E _ { p } } } } + { \frac { e ^ { - i \vec { p } \cdot \vec { x } - E _ { p } \tau } } { e ^ { \beta E _ { p } } - 1 } } \right] \; .
\partial _ { t } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] + f _ { 0 } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } \mathbb { E } \big [ \eta \big ] - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] ) = 0 ,
\left\{ { \frac { \hat { \varepsilon } } { c ^ { 2 } } } \left( { \frac { \partial } { \partial t } } \right) ^ { 2 } - \nabla ^ { 2 } \right\} \phi = \left( \frac { 4 \pi } { \hat { \varepsilon } } \right) \rho _ { e x t } ,
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { T } \! \theta } & { = } & { ^ { T } \! ( \nabla _ { X } \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \tilde { p } , \tilde { \theta } ) X ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { H } \! ( R ( J \tilde { p } , \tilde { p } ) X ) \big ) } \end{array}
T _ { A } = \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } T _ { A } ^ { s } \, , \qquad T _ { A } ^ { 0 } = \Theta _ { A } \, , \quad T _ { A } ^ { s } = T _ { A \, B _ { 1 } , \ldots , B _ { s } } ^ { s } ( x ) Y ^ { B _ { 1 } } , \ldots , Y ^ { B _ { s } } \, ,
{ \mathcal { H } } \left( r , \theta , { \dot { r } } , { \dot { \theta } } \right) = \underbrace { { \frac { 1 } { 2 } } M _ { t } \left( R { \dot { \theta } } - { \dot { r } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m r ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } } _ { T } + \underbrace { g r \left( M - m \cos { \theta } \right) + g R \left( m \sin { \theta } - M \theta \right) } _ { U } ,
\begin{array} { r l } & { w _ { e } = \frac { 2 \pi f _ { w } \cosh { ( k _ { w } z ) } } { \sinh { ( k _ { w } h ) } } \cos { \theta _ { w } } , } \\ & { w _ { n } = \frac { 2 \pi f _ { w } \cosh { ( k _ { w } z ) } } { \sinh { ( k _ { w } h ) } } \sin { \theta _ { w } } , } \\ & { w _ { u } = \frac { 2 \pi f _ { w } \sinh { ( k _ { w } z ) } } { \sinh { ( k _ { w } h ) } } . } \end{array}