harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\vec { P } ( t ) = - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \left[ \int d ^ { 3 } x _ { 2 } ~ \Phi _ { 1 } \vec { J } _ { 2 } + \int d ^ { 3 } x _ { 1 } ~ \Phi _ { 2 } \vec { J } _ { 1 } \right]
\Tilde { \eta } ( \omega ) = \sum _ { j = I } ^ { N } \eta _ { 0 , j } \frac { 1 - i \omega \tau _ { n , j } } { 1 - i \omega \tau _ { o , j } ^ { 2 } / \tau _ { n , j } - \omega ^ { 2 } \tau _ { o , j } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \operatorname { P I - D e e p O N e t } } } & { = \lambda _ { 1 } \mathcal { L } _ { \operatorname { i n i t i a l } } + \lambda _ { 2 } \mathcal { L } _ { \operatorname { b o u n d a r y } } + \mathcal { L } _ { \operatorname { p h y s i c s } } , } \\ { \mathrm { w h e r e } \quad \mathcal { L } _ { \operatorname { i n i t i a l } } } & { = \operatorname { R M S E } [ \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } ^ { b } , t = 0 ) ( \boldsymbol { x } _ { p } ) - \mathcal { G } ( u _ { 0 } ^ { b } , t = 0 ) ( \boldsymbol { x } _ { p } ) ] , } \\ { \mathcal { L } _ { \operatorname { b o u n d a r y } } } & { = \operatorname { R M S E } [ \mathcal { B } ( \mathcal { G } _ { \theta } , \boldsymbol { x } , t ) ] , } \\ { \mathcal { L } _ { \operatorname { p h y s i c s } } } & { = \operatorname { R M S E } [ \mathcal { R } ( \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } ^ { b } , t ) ( \boldsymbol { x } _ { p } ) , \boldsymbol { x } _ { p } , t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ^ { - \alpha } } & { \le \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( h ^ { - k } \sqrt { \frac { t } { 2 \pi } } - 1 \right) ^ { - \alpha } = \left( 1 - h ^ { k } \sqrt { \frac { 2 \pi } { t } } \right) ^ { - \alpha } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( h ^ { - k } \sqrt { \frac { t } { 2 \pi } } \right) ^ { - \alpha } } \\ & { < \left( 1 - \frac { h } { \theta _ { 2 } t _ { 0 } ^ { 7 / 1 7 } } \right) ^ { - \alpha } \left( { \frac { t } { 2 \pi } } \right) ^ { - \alpha / 2 } \frac { h ^ { \alpha K } - 1 } { 1 - h ^ { - \alpha } } = \mu _ { 2 } ( \alpha ) h ^ { \alpha K ( t _ { 1 } ) } t ^ { - \alpha / 2 } . } \end{array}
\kappa _ { j } = \left( \frac { g _ { h _ { j } ^ { o } Z Z } } { g _ { h ^ { o } Z Z } ^ { S M } } \right) ^ { 2 } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } O _ { j i } \frac { v _ { i } } { v } \right) ^ { 2 } = \left[ \frac { \left( v ^ { r o t } \right) _ { j } } { v } \right] ^ { 2 } \leq 1 \ ,
\begin{array} { r l } { \left< \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } \right] \right> _ { \Gamma } = } & { { } \frac { \int \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } \right] e x p \left[ - \left( S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] \right) / \hbar \right] \, D \left[ \Psi \right] } { \int e x p \left[ - \left( S ^ { m } [ \Psi ^ { ( m ) } ] \right) / \hbar \right] \, D \left[ \Psi \right] } } \end{array}
( d g _ { 1 } ^ { t } ) _ { ( 0 , 0 ) } = \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } \ \ \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial x _ { 4 } } } \\ { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } \ \ \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial x _ { 4 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { r } { 1 \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ } \\ { t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \ \ t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } x _ { 3 } } } \\ { 0 \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ } \\ { t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 1 } x _ { 3 } } \ \ t \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial x _ { 3 } ^ { 2 } } \ } \end{array} \right] ( 0 , 0 ) = \left[ \begin{array} { r } { 1 \ \ \ 0 } \\ { 0 \ \ \ 0 } \end{array} \right] .
\mathbf { H } _ { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } ^ { \prime } = \mathbf { H } ^ { \prime } + i \beta \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial \mathbf { q } } \mathbf { \check { q } } - \beta ^ { 2 } \frac { \partial \mathbf { C } _ { 1 } } { \partial \mathbf { q } } \mathbf { \check { q } } _ { i } .
\begin{array} { r l } { d _ { i } X _ { H _ { \zeta } } ( i _ { 0 } ) \circ D G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } & { = D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ d _ { i } X _ { K } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] + D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ X _ { K } ( \bar { i } ) , \hat { \textbf { \i } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 1 } , } \\ & { \| R _ { i n t 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \nabla R _ { i n t 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , \| \nabla R _ { t b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \lesssim \mathrm { l n } ^ { 2 } N N ^ { - k + 2 } , } \\ & { \| R _ { t b 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } , \| R _ { s b 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \lesssim \mathrm { l n } N N ^ { - k + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } } & { { } = \sum _ { j } \mu _ { j } ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \cdot \sin ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \\ { \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } } & { { } = \sum _ { j } \mu _ { j } ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \cdot \cos ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \end{array}
\mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { 1 - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } - \frac { 1 } { 1 - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } \right| \geq \epsilon \right) \leq \mathbb { P } \left( \left| \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { L _ { 2 } } \right) .
\delta \langle Q \rangle _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { m i n } \left( | \delta \langle Q \rangle _ { i } | , 2 | \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } | , 2 | \langle Q \rangle _ { i } - \langle Q \rangle _ { i - 1 } | \right) \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left( \langle Q \rangle _ { i + 1 } - \langle Q \rangle _ { i } \right) \left( \langle Q \rangle _ { i } - \langle Q \rangle _ { i - 1 } \right) > 0 } \\ { 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l r } { \delta \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) } & { { } = } & { - i \, \delta \overline { { \phi } } _ { i } \, \overline { { J } } _ { i } \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad x ^ { \, \mu } \rightarrow x ^ { \, \mu } + \delta x ^ { \, \mu } } \\ { \overline { { J } } _ { i } } & { { } = } & { \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) J _ { i } \, \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } ^ { - 1 } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) } \end{array}
\Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } = b \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } , \: \: \: \Delta T _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ C ~ R ~ } } = b \Delta T _ { b } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } ,
\rho ~ { \dot { \eta } } \geq - { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \left( { \frac { \mathbf { q } } { T } } \right) + { \frac { \rho ~ s } { T } } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \rho ~ { \dot { \eta } } \geq - { \frac { 1 } { T } } ~ { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { q } - \mathbf { q } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } \left( { \frac { 1 } { T } } \right) + { \frac { \rho ~ s } { T } } .
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbf { u } _ { 1 } } & { = \mathbf { a } _ { 1 } , } & { \mathbf { e } _ { 1 } } & { = { \frac { \mathbf { u } _ { 1 } } { \| \mathbf { u } _ { 1 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 2 } } & { = \mathbf { a } _ { 2 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \mathbf { a } _ { 2 } , } & { \mathbf { e } _ { 2 } } & { = { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } } { \| \mathbf { u } _ { 2 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 3 } } & { = \mathbf { a } _ { 3 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \mathbf { a } _ { 3 } - \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \mathbf { a } _ { 3 } , } & { \mathbf { e } _ { 3 } } & { = { \frac { \mathbf { u } _ { 3 } } { \| \mathbf { u } _ { 3 } \| } } } \\ & { \; \; \vdots } & & { \; \; \vdots } \\ { \mathbf { u } _ { k } } & { = \mathbf { a } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \operatorname { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { j } } \mathbf { a } _ { k } , } & { \mathbf { e } _ { k } } & { = { \frac { \mathbf { u } _ { k } } { \| \mathbf { u } _ { k } \| } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } ~ \frac { R _ { 1 } ( z , z \! + \! \epsilon d ) - R _ { 1 } ( z , z ) } { \epsilon } } \\ & { \qquad = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } ~ \frac { R _ { 2 } ( z , z \! + \! \epsilon d ) - R _ { 2 } ( z , z ) } { \epsilon } + \mathcal { O } ( \Vert \epsilon \Vert ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { R } ^ { t } } & { { } = \mathbf { T } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { T } = \mathbf { U } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { t } \mathbf { W } \Sigma ^ { - 1 } , } & { \mathbf { R } ^ { L } } & { { } = \mathbf { T } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { T } = \mathbf { U } ^ { \mathrm { H } } \mathbf { M } ^ { L } \mathbf { W } \Sigma ^ { - 1 } . } \end{array}
M = \frac { g _ { Y M } ^ { 2 } } { 2 V { \cal N } } ( w ^ { i } + \Theta ^ { i j } n _ { j } ) ^ { 2 } + \frac { V } { 4 g _ { Y M } ^ { 2 } { \cal N } } ( m _ { i j } + { \cal N } \Phi { i j } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \cal N } \sqrt { \frac { k _ { i } ^ { 2 } } { \Sigma _ { i } ^ { 2 } } } ,
f _ { e } ( x , v _ { x } , v _ { z } , t + \Delta t ) = f _ { e } ( X _ { e } ( t { ; } x , v _ { x } , v _ { z } ) , V _ { X _ { e } } ( t { ; } x , v _ { x } , v _ { z } ) , V _ { Z _ { e } } ( t { ; } x , v _ { x } , v _ { z } ) , t ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { R _ { A A } \to 0 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r } } ( R _ { A A } ) } & { { } = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { R _ { A A } \to 0 } \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { l r , H F } } ( R _ { A A } ) } & { { } = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } - \frac { \tau _ { A } ^ { 8 } } { ( \tau _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } \end{array}
\boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } - \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } = \theta \Bigl ( \boldsymbol { \mathbf { \check { B } } } _ { \ell } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell } - \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } ) + ( \boldsymbol { \mathbf { \check { B } } } _ { \ell } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \mathbf { B } } _ { \ell } ^ { - 1 } ) \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } \Bigr )
\begin{array} { r l } & { \Phi ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { x } ) = \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { f } ) - \tau \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { g } ) } \\ & { \times \sum _ { q = - 1 } ^ { Q - 1 } \prod _ { j = Q - q } ^ { Q } ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { j } ) ) \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y ; \xi _ { f } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = 0 . 6 1 2 2 4 0 5 6 6 2 4 1 0 8 , \qquad \beta = - 0 . 0 4 9 8 1 0 1 9 8 9 1 6 7 0 7 , \qquad \gamma = 0 . 4 3 7 5 6 9 6 3 2 6 7 5 6 2 , } \\ { \epsilon } & { { } = 4 . 5 3 1 3 7 4 5 6 8 0 5 9 0 . } \end{array}
\mathbf { I } : = j _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \, \mathrm { { d } } x _ { 2 } \wedge \mathrm { { d } } x _ { 3 } + j _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \, \mathrm { { d } } x _ { 3 } \wedge \mathrm { { d } } x _ { 1 } + j _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \, \mathrm { { d } } x _ { 1 } \wedge \mathrm { { d } } x _ { 2 } .
G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } = G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } - G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \underline { { W G _ { 2 } } } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } + G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 }
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \xi _ { i } } E ( \bar { \xi } _ { 0 } ) = ( u _ { i } - u _ { i - 1 } ) ( \xi _ { i } - v _ { i - 1 } ) , \quad k < i < l , } \\ { \frac { \partial } { \partial \xi _ { k } } E ( \bar { \xi } _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { l c r } { ( u _ { k } - u _ { k - 1 } ) ( \xi _ { k } - v _ { k - 1 } ) } & { , } & { a _ { k - 1 } = 0 , } \\ { - A ( u ) ^ { \prime } ( c - ) } & { , } & { a _ { k - 1 } > 0 ; } \end{array} \right. } \\ { \frac { \partial } { \partial \xi _ { l } } E ( \bar { \xi } _ { 0 } ) = A ( u ) ^ { \prime } ( c + ) , } \end{array}
n _ { R } ^ { c r i t } = \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { \lambda _ { 1 } T ^ { 3 } } { 3 0 } } \left[ 8 3 5 - 6 3 \left( { \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } - 6 0 0 \left( { \frac { g } { \lambda _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } \right] \; ,
f \! \! = \! \! g ( x , y , z ; t ) \exp \left( - \frac { p _ { x } ^ { 2 } } { 2 m k _ { B } T _ { x } } - \frac { p _ { y } ^ { 2 } } { 2 m k _ { B } T _ { y } } - \frac { p _ { z } ^ { 2 } } { 2 m k _ { B } T _ { z } } \right) ,
\begin{array} { r } { \delta _ { \mathbf { u } } \psi : = - \nabla \cdot \left[ \partial _ { \nabla _ { s } \mathbf { u } } \psi \right] , \quad \delta _ { \mathbf { w } } \psi : = - \nabla \cdot \left[ \partial _ { \nabla _ { s } \mathbf { w } } \psi \right] . } \end{array}
W _ { N R } \sim \lambda M _ { C } ^ { 3 } \left[ \left( \frac { S _ { 0 } { \overline { { S } } } } { M _ { C } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 k } + k \left( \frac { N _ { 0 } ^ { c } { \overline { { N } } ^ { c } } } { b ^ { 2 } M _ { C } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 c \left( \frac { S _ { 0 } { \overline { { S } } } } { M _ { C } ^ { 2 } } \right) ^ { k } \left( \frac { N _ { 0 } ^ { c } { \overline { { N } } ^ { c } } } { b ^ { 2 } M _ { C } ^ { 2 } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \bar { X } _ { t } = } & { a ( \bar { X } _ { t } ) \mathrm { d } t + \sigma ( \bar { X } _ { t } ) \mathrm { d } \bar { B } _ { t } + { \sf K } _ { t } ( \bar { X } _ { t } ) ( \mathrm { d } Z _ { t } - \frac { h ( \bar { X } _ { t } ) + \bar { h } _ { t } } { 2 } \mathrm { d } t ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \nabla | { \sf K } _ { t } ^ { ( j ) } ( \bar { X } _ { t } ) | ^ { 2 } \mathrm { d } t , } \end{array}
\underbrace { \int _ { a } ^ { x } \int _ { a } ^ { x _ { p } } \int _ { a } ^ { x _ { p - 1 } } \dots \int _ { a } ^ { x _ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ i ~ n ~ t ~ e ~ g ~ r ~ a ~ l ~ s ~ } } f ( x _ { 1 } ) d x _ { 1 } d x _ { 2 } \dots d x _ { p } = { \frac { 1 } { ( p - 1 ) ! } } \int _ { a } ^ { x } { ( x - \tau ) } ^ { p - 1 } f ( \tau ) d \tau
\frac { \partial f } { \partial t } = \nabla \cdot [ \mathbf { K } ^ { S } \cdot \nabla f ] - ( \vec { V } _ { s w } + \vec { V } _ { D } ) \cdot \nabla f + \frac { 1 } { 3 } ( \nabla \cdot \vec { V } _ { s w } ) \frac { \partial f } { \partial ( l n R ) }
\psi _ { a } ^ { ( \textrm { L G } ) } = L _ { n } \left( 2 ( f _ { x } f _ { x } ^ { * } \xi ^ { 2 } + f _ { y } f _ { y } ^ { * } \upsilon ^ { 2 } ) \right) \left( \frac { f _ { x } f _ { y } } { f _ { x } ^ { * } f _ { y } ^ { * } } \right) ^ { n / 2 } \psi _ { a } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { a _ { i } } \parallel S _ { p a t } ( \lambda ) - S _ { p a t - m } ( \lambda ) \parallel ^ { 2 } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { a _ { i } } \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } | a _ { 0 } | S _ { b g } ( \lambda ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } a _ { i } S _ { i } ( \lambda ) - S _ { p a t - m } ( \lambda ) | ^ { 2 } \, d \lambda } \\ { \Rightarrow \operatorname* { m i n } _ { a } \parallel M a - b _ { m e a s } \parallel ^ { 2 } \Rightarrow a } & { { } = M ^ { + } b _ { m e a s } \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } M ^ { + } = ( M ^ { T } M ) ^ { - 1 } M ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 1 } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { n - 1 } C _ { l } ^ { n } y ^ { 2 ( n - l ) - 1 } \sum _ { k = - 1 } ^ { n } 2 ( k + l ) ( k + 2 l + 1 ) a _ { 2 k } x ^ { 2 ( k + l ) - 1 } , } \\ { \widetilde { S } _ { 2 } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { n - 1 } C _ { l } ^ { n } x ^ { 2 l + 1 } \sum _ { k = - 1 } ^ { n } 2 ( k + n - l - 1 ) ( k + 2 ( n - l ) - 1 ) b _ { 2 k } y ^ { 2 ( k + n - l - 1 ) - 1 } . } \end{array}
Y Y _ { \phi } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } & { i \sin ( \phi ) } \\ { 0 } & { \cos ( \phi ) } & { - i \sin ( \phi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sin ( \phi ) } & { \cos ( \phi ) } & { 0 } \\ { i \sin ( \phi ) } & { 0 } & { 0 } & { \cos ( \phi ) } \end{array} \right] }
{ \cal E } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \psi | ^ { 2 } d \zeta = \frac { 4 } { 3 } \psi _ { m } ^ { 2 } w = \frac { 2 4 } { A _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { U } { B } \right) ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , \alpha } ^ { M } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } , } & { \mathrm { ~ i f } \quad X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } \leq X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } } \\ { \alpha ( X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } ) + ( 1 - \alpha ) ( X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad X _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } > X _ { 2 } - c _ { 0 , 2 } } \end{array} \right. } \end{array}
V _ { n } = { \frac { \pi ^ { n / 2 } } { \Gamma ( 1 + n / 2 ) } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \pi ^ { n / 2 } } / { ( n / 2 ) ! } } & { \mathrm { i f ~ } n \geq 0 \mathrm { ~ i s ~ e v e n , } \ } \\ { { \pi ^ { \lfloor n / 2 \rfloor } 2 ^ { \lceil n / 2 \rceil } } / { n ! ! } } & { \mathrm { i f ~ } n \geq 0 \mathrm { ~ i s ~ o d d , } } \end{array} \right. }
\mathcal { A } _ { t } + \mathcal { T } _ { \overline { { S } } } + \mathit { \Pi } _ { \overline { { S } } } ^ { ' } = \mathcal { D } _ { r , \nu } ^ { ' } + \mathcal { D } _ { x , \nu } - \mathcal { \epsilon } ^ { ' } + \mathcal { I } ^ { ' } .
M = 2 \mu + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } q _ { i } = 2 ( r _ { + } + r _ { + } ^ { 3 } g ^ { 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } H _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } q _ { i } \ ,
\begin{array} { r l } { \big \| f ( \cdot , x _ { 1 } ( \cdot ) ) - f ( \cdot , x _ { 2 } ( \cdot ) ) \big \| _ { X } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } \big | f ( z , x _ { 1 } ( z ) ) - f ( z , x _ { 2 } ( z ) ) \big | ^ { 2 } d z } \\ & { \leq L ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } | x _ { 1 } ( z ) - x _ { 2 } ( z ) | ^ { 2 } d z , } \end{array}
\sum _ { u = - l } ^ { l } \sum _ { v = - l } ^ { l } a _ { i , j , g } ^ { u , v } \, \phi _ { i + u , j + v , g } ^ { ( k ) } - a _ { i , j , g } ^ { 0 , 0 } \, \phi _ { i , j , g } ^ { ( k ) }
\frac { d \widehat { \Gamma } } { d E _ { \gamma } } ( Z ^ { 0 } \rightarrow \gamma ( E _ { \gamma } ) + \ell ^ { + } \ell ^ { - } , \mu ^ { 2 } ) = \frac { 2 \alpha } { \pi } \; \frac { \Gamma ( Z ^ { 0 } \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } { M _ { Z } } \; \left[ \frac { ( y - 1 ) ^ { 2 } + 1 } { y } \log { \frac { y M _ { Z } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \; - \; y \right] .
\begin{array} { r l r } { K _ { p } ^ { i } } & { = } & { K _ { p } [ j , k , j , k ] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \bigg [ \left( \frac { \partial _ { j } R } { R } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { j } ^ { 2 } R } { R } \! + \! \left( \frac { \partial _ { k } R } { R } \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { k } ^ { 2 } R } { R } - \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } \! \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { P } [ \tilde { { \boldsymbol { x } } } ( t ) ] } & { { } = e ^ { - \beta \{ U _ { A } ( { \boldsymbol { x } } ( 0 ) ) - F _ { A } + S [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ] + W [ { \boldsymbol { x } } ( t ) ] - \Delta F \} } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { 2 } ( \mu _ { i } \otimes _ { \mathcal O } \partial _ { x _ { a } } , \mu _ { j } \otimes _ { \mathcal O } \partial _ { x _ { b } } ) = \frac { \partial \varphi _ { j } } { \partial x _ { a } } \, \mu _ { i } \otimes _ { \mathcal O } \partial _ { x _ { b } } - \frac { \partial \varphi _ { i } } { \partial x _ { b } } \, \mu _ { j } \otimes _ { \mathcal O } \partial _ { x _ { a } } } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } = E _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ h ~ } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { ( 2 ) } + E _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ h ~ } } ^ { ( 2 ) } + \cdots
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { s } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } { F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { f o r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left[ \begin{array} { l } { V _ { M 1 } / V _ { M 0 } } \\ { I _ { 1 } / V _ { M 0 } } \end{array} \right] = \mathbf { F ^ { \prime } } \mathbf { T } \mathbf { F ^ { \prime - 1 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { Y / ( A + B Y ) } \end{array} \right] .
V ( r ) \sim - \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } M _ { 5 } ^ { 3 } \lambda r } \left[ \frac { \pi } { 2 } - \frac { \frac { 2 R } { \lambda } } { \frac { 2 R } { \lambda } - \frac { 1 5 } { 8 } } \left\{ \frac { \pi } { 2 } - f \left( \frac { r } { R } \left( \frac { 2 R } { \lambda } - \frac { 1 5 } { 8 } \right) \right) \right\} \right]