harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { W } ( 1 , w ) } & { { } = \bigl ( 1 - | s | ^ { 2 } \bigr ) p _ { 0 } ( w ) + | s | ^ { 2 } p _ { 1 } ( w ) , } \\ { p _ { C } ( 1 , c ) } & { { } = ( 1 - P ) \, \delta ( c ) + P \, \delta ( c - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \tilde { W } } _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) - W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { ( W _ { k } - 1 ) \Big ( \sum _ { j = k } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) - W _ { k } \Big ( \sum _ { j = k } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { - \Big ( \sum _ { j = k } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ x | M | y \} } & { = \langle p , p ^ { \prime } \rangle ^ { - 1 } ( x , y ) = \{ m \in M : p ( m ) = x \textrm { a n d } p ^ { \prime } ( m ) = y \} , } \\ { \{ x | N | y \} } & { = \langle q , q ^ { \prime } \rangle ^ { - 1 } ( x , y ) = \{ n \in N : q ( n ) = x \textrm { a n d } q ^ { \prime } ( n ) = y \} , } \end{array}
\| \partial _ { s } h \| _ { C ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } + \sqrt { \kappa } \| \partial _ { s } h \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } \leq C \left( \| g \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) } + \| h _ { 0 } \| _ { H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) } \right)
| M ^ { ( - ) } ( \nu ; i \alpha ) | \geq | \frac { \alpha ( \alpha + ( 2 + a _ { 1 } ) ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } | - | g | | M _ { 1 } ^ { ( - ) } ( i \alpha ) + R _ { 1 } ^ { ( - ) } ( \nu ; i \alpha ) | .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \mathrm { P r } } \frac { d } { d t } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq - \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } - \int _ { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } + \epsilon \| u _ { 2 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 4 } { \epsilon } | \Omega | \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla v _ { h } ) + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } \\ & { \quad + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) + \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla u \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) \, . } \end{array} } \end{array}
[ u ^ { - 1 } \delta u ] ( x ) \big | _ { \chi } = { \cal L } _ { \alpha } ^ { [ \chi ] } ( x ) T _ { \alpha } \; , \quad { \cal L } _ { \alpha } ^ { [ \chi ] } ( x ) = \chi _ { \beta L } ( x ) L _ { \beta \alpha } ( x ) \quad .
x _ { D } ( t ) = 2 \omega _ { \beta 0 } K _ { 0 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } A ( t ^ { \prime } ) R ( t ^ { \prime } ) ^ { 5 } x _ { c } ( t ^ { \prime } ) \sin [ \psi _ { \beta } ( t ) - \psi _ { \beta } ( t ^ { \prime } ) ] d t ^ { \prime }
\begin{array} { r } { G ( x , a _ { i \eta } ) = \frac { 1 } { N _ { B } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { B } } G _ { j } ( x , a _ { i \eta } ) : = \frac { 1 } { N _ { B } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { B } } \frac { U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) - U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \frac { 4 \zeta _ { i , j } } { ( 1 - | \zeta _ { i , j } | ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = [ I _ { c } ^ { T } \; \; I _ { v } ^ { T } ] ^ { T } } \\ { u } & { { } = V _ { c } } \\ { A } & { { } = - M _ { c v , c v } ^ { - 1 } R _ { c v } } \\ { B } & { { } = M _ { c v , c v } ^ { - 1 } } \\ { w } & { { } = - M _ { c v , c v } ^ { - 1 } M _ { c v , g } \dot { I } _ { g } } \end{array}
c _ { n 0 } ( \omega ) = \frac { \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { n ^ { \prime } 0 , 0 0 } } { \nu ^ { ( 0 ) } } c _ { 0 0 } ( \omega ) a _ { n 0 } .
\begin{array} { r l r } { m _ { 2 } } & { = } & { 8 ^ { - 1 } ( K - 1 ) ^ { - 1 } \left( ( K - 3 ) q _ { 1 } - 3 K + 1 \right) ^ { - 1 } ( ( K - 3 ) ^ { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } - 2 ( K - 3 ) ( 3 K - 1 ) q _ { 1 } } \\ & { } & { + K ( 1 1 K - 1 0 ) + 3 \pm ( q _ { 1 } ( q _ { 1 } ( ( K - 3 ) q _ { 1 } ( 4 ( K ( K ( 1 3 K - 3 7 ) + 4 7 ) - 3 1 ) } \\ & { } & { - ( K - 3 ) ( K ( 7 K - 1 0 ) - 1 ) q _ { 1 } ) + 2 K ( K ( - 5 1 ( K - 4 ) K - 3 2 2 ) + 1 4 0 ) + 1 5 4 ) } \\ & { } & { - 4 ( K - 3 ) ^ { 2 } ( K ( 1 7 K - 3 0 ) + 9 ) ) + ( K ( 1 7 K - 3 0 ) + 9 ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ( \delta _ { t } c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) } & { + } & { \displaystyle ( { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } \cdot \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \cdot { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) } \\ & { + } & { ( \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla \bar { c } _ { h } ) + ( c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) } \\ & { + } & { ( B _ { c } ( c _ { h } ^ { m + 1 } , { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } ) c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) = ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) _ { h } , } \end{array}
\langle \pi | \Delta _ { \mu \mu ^ { \prime } \nu \nu ^ { \prime } } ^ { j j ^ { \prime } } | \pi ^ { \prime } \rangle = \, G _ { \mu \nu \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } \prod _ { \bar { s } = 0 } ^ { 2 \pi } \, \delta ^ { 4 } ( \pi ( \bar { s } ) - \pi ^ { \prime } ( \bar { s } ) ) \int _ { s _ { - } } ^ { s _ { + } } \! d s ^ { \prime } \, d s ^ { \prime \prime } \, { \frac { \beta _ { \epsilon } ( s ^ { \prime } - s ) \beta _ { \epsilon } ( s ^ { \prime \prime } - s ) } { \pi _ { \alpha } ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) \pi ^ { ' \alpha } ( s ^ { \prime \prime } ) } } ,
\Delta \hat { \sigma } _ { g g } ^ { \chi _ { 1 } } ( \hat { s } ) \; = \; \varphi \left[ { \frac { 1 } { 1 8 } } \widetilde \Theta _ { S } ^ { \chi _ { 1 } } ( 9 ) + { \frac { 5 } { 4 8 } } \widetilde \Theta _ { D } ^ { \chi _ { 1 } } ( 9 ) + { \frac { 3 } { 1 6 } } \widetilde \Theta _ { F } ^ { \chi _ { 1 } } ( 9 ) \right] ,
\mathrm { P r } ( y ) = \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { a _ { s } = 0 } ^ { 1 } \delta _ { y , \sum _ { i } ^ { s } a _ { i } } \prod _ { i = 1 } ^ { s } \left[ \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) + \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi \right] = \sum _ { a _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \dots \sum _ { a _ { s } = 0 } ^ { 1 } \delta _ { y , \sum _ { i } ^ { s } a _ { i } } \prod _ { i = 1 } ^ { s } \mathrm { P r } ( a _ { i } ) .
\alpha _ { n } ^ { \prime } + \mu ^ { ( d - n ) / d } { \overline { { \alpha } } ^ { \prime } } _ { - n + 2 d } = 0 , \qquad \beta _ { n } ^ { \prime } - \mu ^ { - n / d } { \overline { { \delta } } ^ { \prime } } _ { - n } = 0 .
\mathbf { C ^ { j + 1 } } = { \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 1 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 1 2 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 1 3 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 1 4 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 2 1 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 2 2 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 2 3 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 2 4 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 3 1 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 3 2 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 3 3 } ^ { j + 1 } } \\ { C _ { 3 4 } ^ { j + 1 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r c l } { { \phi } } & { { = } } & { { \displaystyle \phi _ { 1 } + i \phi _ { 2 } = \sqrt { 2 } \frac { d g / d z } { 1 - \bar { g } g } , } } \\ { { \omega } } & { { = } } & { { \displaystyle \omega _ { \mu } d x ^ { \mu } = \frac { i } { 2 } \Big ( \frac { g d \bar { g } - \bar { g } d g } { 1 - \bar { g } g } \Big ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| v _ { i } ^ { ( k ) } ( . , . ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } } & { \leq d \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq 2 m } \left\| v _ { j } ^ { ( k - 1 ) } ( . , . ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } } \\ & { \leq d ^ { k } \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq 2 m } \left\| w _ { j } ^ { ( 0 ) } ( . , . ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + 1 ) N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } ( N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } - N _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + 1 ) N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } + N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } ( N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ } } - N _ { \mathrm { ~ o ~ c ~ c ~ , ~ a ~ c ~ t ~ } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 0 } ^ { ( n ) } } } & { { } = } & { \frac { - ( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } ) } { \left( p _ { 0 } ^ { ( n ) } - p _ { 2 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } + \left( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } = \frac { \sin } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 1 } ^ { ( n ) } } } & { { } = } & { \frac { - ( p _ { 2 } ^ { ( n ) } - p _ { 0 } ^ { ( n ) } ) } { \left( p _ { 0 } ^ { ( n ) } - p _ { 2 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } + \left( p _ { 3 } ^ { ( n ) } - p _ { 1 } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } = \frac { - \cos } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 2 } ^ { ( n ) } } } & { { } = } & { - \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 0 } ^ { ( n ) } } = \frac { \sin } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \\ { \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 3 } ^ { ( n ) } } } & { { } = } & { - \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { 1 } ^ { ( n ) } } = \frac { \cos } { n \mathcal { V } ^ { ( n ) } p ^ { ( n ) } } , } \end{array}
\frac { \partial B _ { q } ( \mu ^ { 2 } ) } { \partial m _ { q R } } \bigg | _ { m _ { q R } = 0 } = 1 \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \partial B _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { \partial m _ { s R } } \bigg | _ { m _ { s R } = 0 } = 1 .
\phi _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \exists \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ } j \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ i ~ n ~ r ~ a ~ d ~ i ~ u ~ s ~ } 8 \Delta x \mathrm { ~ , ~ } \delta _ { 0 } ^ { j } = 0 , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \sigma _ { 1 } ^ { \star 2 } } { \sigma _ { r _ { 1 } } ^ { \star 2 } } , \ \frac { \widetilde { \sigma } _ { 1 } ^ { 2 } } { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } } \right\} \leq 8 \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } - \widetilde { \sigma } _ { r _ { 1 } + 1 } ^ { 2 } } { \widetilde { \sigma } _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } } , \ \frac { \sigma _ { r _ { 1 } } ^ { \star 2 } - \sigma _ { r _ { 1 } + 1 } ^ { \star 2 } } { \sigma _ { r _ { 1 } } ^ { \star 2 } } \right\} \geq \frac { 1 } { 2 r } > 1 - \left( 1 - \frac { 1 } { 4 r } \right) ^ { 2 } } \end{array}
P ( G _ { \mathrm { g } } , G _ { \mathrm { r } } | A _ { \mathrm { g } } , A _ { \mathrm { r } } ) = \sum _ { I } \int P ( G _ { \mathrm { g } } , G _ { \mathrm { r } } | I , K _ { \mathrm { e l o } } ) P ( I , K _ { \mathrm { e l o } } | A _ { \mathrm { g } } , A _ { \mathrm { r } } ) d K _ { \mathrm { e l o } } .
B _ { m n } ^ { ( + ) } = - { \frac { i ^ { k } } { 2 \pi } } \sqrt { { \frac { n } { m } } } ( m + n ) ^ { - k } e ^ { i n T ^ { + } ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i ( m + n ) y } { \frac { d ^ { k + 1 } \varphi _ { t } } { d y ^ { k + 1 } } } \, d y \, ,
\mathcal { D } _ { i , x } ^ { W } = \frac { \sum _ { c _ { i x } = 1 } ^ { n _ { i x } } U _ { W } [ s ( t ( c _ { i x } ) ) ] \times d ( c _ { i x } ) } { U _ { W } [ s ( t ( c _ { i x } = 1 ) ) ] + \sum _ { c _ { i x } = 2 } ^ { n _ { i x } } U _ { W } [ s ( t ( c _ { i x } ) ) ] \times \Theta \left[ t ( c _ { i x } ) - t ( c _ { i x } - 1 ) \right] } ,
\mathcal { H } _ { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } = - i \frac { \hbar \Gamma _ { \mathrm { ~ 1 ~ D ~ } } } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } e ^ { i k d | i - j | } \hat { \sigma } _ { e g } ^ { i } \hat { \sigma } _ { g e } ^ { j } .
E _ { \mathrm { F } } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } } \left( { \frac { 3 \pi ^ { 2 } ( 1 0 ^ { 3 6 } ) } { 1 \ \mathrm { m } ^ { 3 } } } \right) ^ { 2 / 3 } \approx 3 \times 1 0 ^ { 5 } \ \mathrm { e V } = 0 . 3 \ \mathrm { M e V }
\mathcal { D } _ { R } = \mathrm { I d } + f _ { \mu , \lambda } \cdot O \left[ \begin{array} { c c c c } { \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \epsilon ^ { 2 } } & { \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \frac { 1 } { \chi } } \\ { \chi } & { \epsilon } & { \chi } & { 1 } \\ { \frac { 1 } { \chi } } & { \frac { \epsilon } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } \\ { \chi } & { \epsilon } & { \chi } & { 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \mathsf { i Q P E } _ { q } ^ { \dagger } \, \mathsf { R e f l } _ { q } ^ { \phantom { \dagger } } \, \mathsf { i Q P E } _ { q } ^ { \phantom { \dagger } } \approx 1 - 2 | Q _ { q } \rangle \! \langle Q _ { q } | _ { \mathsf { s i m } \, q , \mathsf { e n c } [ H _ { q } ] } \otimes | \boldsymbol { 0 } \rangle \! \langle \boldsymbol { 0 } | _ { \mathsf { p h a s e } \, q } \, - \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( { X } ; { Z } ) } & { = K L ( p _ { x , z } | | p _ { z } p _ { x } ) = \int p _ { x , z } ( x , z ) \log \left( \frac { p _ { x , z } ( x , z ) } { p _ { z } ( z ) p _ { x } ( x ) } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \\ & { = \int p _ { x } ( x ) p _ { z | x } ( z ) \log \left( \frac { p _ { x } ( x ) p _ { z | x } ( z ) } { p _ { z } ( z ) p _ { x } ( x ) } \right) \mathrm { d } x \mathrm { d } z = \int p _ { x } ( x ) K L ( p _ { z | x } | | p _ { z } ) \mathrm { d } x } \\ & { = \mathbb { E } _ { x } [ K L ( p _ { z | x } | | p _ { z } ) ] \enspace . } \end{array}
K _ { L _ { s } } ^ { ( n _ { s } ) } ( t , t ^ { \prime } ; \{ q \} _ { s } ) = \frac { \vartheta - \vartheta ^ { \prime } } { z - z ^ { \prime } } + \tilde { K } _ { L _ { s } } ^ { ( n _ { s } ) } ( t , t ^ { \prime } ; \{ q \} _ { s } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } } & { = \mathrm { E } _ { 0 } \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] , } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { i n } } } & { = \frac { \mathrm { E } _ { 0 } } { c } \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l + 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] . } \end{array}
\left( a - b e ^ { i \alpha } \right) \left( a - b e ^ { - i \alpha } \right) = a ^ { 2 } - a b \left( e ^ { i \alpha } + e ^ { - i \alpha } \right) + b ^ { 2 } e ^ { i \alpha } e ^ { - i \alpha } = a ^ { 2 } - 2 a b \cos \, \alpha + b ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { F ( \phi ) } & { = ( 1 + \kappa \phi ) ^ { - d } \phi ^ { 1 - k } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { d + k } \frac { h ^ { ( j ) } ( \phi ) } { \mu ^ { j + 1 } } \right) = ( 1 + \kappa \phi ) ^ { - d } \phi ^ { 1 - k } \frac { h ( \phi ) } { \mu } + O ( 1 ) } \\ & { = \frac { ( \tau - k \kappa ) } { \mu } \phi + O ( 1 ) = p \phi + O ( 1 ) . } \end{array}
\left| \Psi \left( 1 \right) \right\rangle = a \left| 0 \right\rangle \otimes \left| \textrm { A l i c e m e a s u r e d 0 } \right\rangle + b \left| 1 \right\rangle \otimes \left| \textrm { A l i c e m e a s u r e d 1 } \right\rangle .
F ( \{ \omega _ { p } \} , \{ c _ { p } \} ) = \frac { 1 } { \omega } + \sqrt { \pi } \sum _ { p , q = 1 } ^ { M } c _ { p } A _ { p q } c _ { q } - 2 \sqrt { \pi } \sum _ { p = 1 } ^ { M } c _ { p } b _ { p } \ ,
\begin{array} { r l } { D ^ { 4 } I _ { i } ( s , z ) = } & { { } \frac { R e \Omega } { d ^ { 1 0 } } \Bigg ( d ^ { 1 0 } ( 1 + s R e P r ) \lambda _ { i } ^ { 3 } + 2 d ^ { 8 } \lambda _ { i } \bigg ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + 3 \lambda _ { i } ( 1 + s R e P r ) ( z - z _ { d } ) - 3 ( 1 + s R e P r ) \bigg ) } \end{array}
\operatorname* { P r } ( X _ { n + 1 } = x \mid X _ { 1 } = x _ { 1 } , X _ { 2 } = x _ { 2 } , \ldots , X _ { n } = x _ { n } ) = \operatorname* { P r } ( X _ { n + 1 } = x \mid X _ { n } = x _ { n } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { t } \int _ { X } \int _ { X \setminus B ( z , \delta t ^ { 1 / d _ { w } } ) } \phi _ { x } ( z ) ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } p _ { t } ( z , y ) \, d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq \frac { c } { t } e ^ { - c ^ { \prime } \delta ^ { d _ { w } / ( d _ { w } - 1 ) } } \int _ { X } \int _ { X } \phi _ { x } ( z ) ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } p _ { c t } ( z , y ) \, d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) = : A _ { \delta } \psi _ { x } ( c t ) , } \end{array}
\mathcal { F } [ Q ] = \mathcal { K L } \Big ( Q ( X _ { 0 : T } ) | | \mathrm { ~ P ~ } ( X _ { 0 : T } \mid \hat { f } ) \Big ) - \sum _ { k = 1 } ^ { K } { E } _ { Q } [ \ln \mathrm { ~ P ~ } ( \mathcal { O } _ { k } \mid X _ { t _ { k } } ) ] .
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \frac { ( 1 - x ^ { 4 } ) ( 1 - y ^ { 4 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } + e t c .
E _ { n } ^ { ( 2 ) } = { \frac { m a ^ { 2 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } } \sum _ { k } { \frac { \left| \left( \delta _ { n , 1 - k } + \delta _ { n , - 1 - k } \right) \right| ^ { 2 } } { n ^ { 2 } - k ^ { 2 } } }
c _ { q } = \frac { \partial \Omega } { \partial q } = \frac { \sin ( q ) \left( \beta ^ { 2 } ( \cos ( q ) - 1 ) + 1 \right) } { \sqrt { \beta ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( q ) + 4 ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { q } { 2 } \right) } } - \beta \cos ( q )
\mathrm { R } ^ { 2 } = \frac { \sum \left( \hat { \phi } \left( x , y \right) - \phi \left( x , y \right) \right) ^ { 2 } } { \sum \left( \hat { \phi } \left( x , y \right) - \phi _ { \infty } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { { } T ^ { 2 } ( I , I ) \cdot T ^ { 2 } ( n ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M } & { { } = } & { \int _ { \tt V } d ^ { 3 } { \vec { x } } \, \rho ( { \vec { x } } ) , \qquad { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } = \frac { 1 } { M } \int _ { \tt V } d ^ { 3 } { \vec { x } } \, \rho ( { \vec { x } } ) \, x ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta x ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - { z } ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } R _ { x x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 4 } ^ { \uparrow \uparrow , s h } = \frac { - 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } } \\ { { \times T r ( S _ { 2 \gamma } ^ { \uparrow \rho \dagger } s _ { 2 \delta } ^ { \uparrow \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 4 \delta } ^ { \uparrow \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 4 \gamma } ^ { \uparrow \rho } ) } . } \end{array}
\forall _ { p > q , \, p ^ { \prime } > q ^ { \prime } \in X } \ \ \ [ { \bf C } ^ { X } ( \omega ) ] _ { p q , p ^ { \prime } q ^ { \prime } } = 2 \sum _ { \nu } \left[ \mathbf { \tilde { Y } } _ { \nu } ^ { X } \right] _ { p q } \left[ \mathbf { \tilde { Y } } _ { \nu } ^ { X } \right] _ { p ^ { \prime } q ^ { \prime } } \frac { \omega _ { \nu } ^ { X } } { \left( \omega _ { \nu } ^ { X } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { p ! } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } a ^ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } } & { = a ^ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } ] } , } \\ { { \frac { 1 } { p ! } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } a _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } } & { = a _ { [ \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } ] } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { 1 } ( \mathbf { g } , \rho ) + \eta _ { 1 } ( \mathbf { h } , \rho ) > 1 } & { \mathrm { w h e n } \quad \rho \leq 0 . 5 } \\ { \eta _ { 1 } ( \mathbf { g } , 1 - \rho ) + \eta _ { 1 } ( \mathbf { h } , 1 - \rho ) > 1 } & { \mathrm { w h e n } \quad \rho > 0 . 5 } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { S p ( 4 ) _ { 2 } } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { - ( \sigma _ { 1 2 } , 2 ) } } & { { \left( \sigma _ { 1 2 } , 1 \right) \left( \sigma _ { 1 2 } , 3 \right) } } & { { - ( \sigma _ { 1 2 } , 2 ) } } \\ { { - ( \sigma _ { 2 1 } , 2 ) } } & { { i ( 0 , - 2 ) } } & { { - \left( 0 , - 1 \right) \left( 0 , - 3 \right) } } & { { - i ( 0 , - 2 ) } } \\ { { \left( \sigma _ { 2 1 } , 1 \right) \left( \sigma _ { 2 1 } , 3 \right) } } & { { - \left( 0 , - 1 \right) \left( 0 , - 3 \right) } } & { { ( 0 , - 2 ) ^ { 2 } } } & { { - \left( 0 , - 1 \right) \left( 0 , - 3 \right) } } \\ { { - ( \sigma _ { 2 1 } , 2 ) } } & { { - i ( 0 , - 2 ) } } & { { - \left( 0 , - 1 \right) \left( 0 , - 3 \right) } } & { { i ( 0 , - 2 ) } } \end{array} \right) \, ,
D _ { S E M } [ { \bf g } _ { T } ; \, \mathcal { M } _ { T } ] = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \, \frac { 1 } { 2 } \, \int _ { \mathbb { D } } | | { \bf g } _ { T } - { \bf a } [ \mu ] | | ^ { 2 } \, \sqrt { g _ { T } } \, d ^ { 2 } \vec { \bf x } ,
\omega _ { n } c _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \left( i \pi - \ln \gamma _ { \eta } \right) \varphi ( t + x ) } \left( \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } \right) e ^ { - n i \pi \varphi ( t + x ) } d x \medskip , } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq \eta < 1 , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { 4 } \int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \left( \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } \right) e ^ { - n i \pi \varphi ( t + x ) } d x , } & { \mathrm { i f ~ } 1 < \eta < + \infty , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { U ^ { T } \overline { { \vec { x } ^ { T } ( t + d t ) \vec { x } ( t + d t ) } } U = } & { { } U ^ { T } K ^ { T } U ^ { T } \overline { { \vec { x } ^ { T } ( t ) \vec { x } ( t ) } } U K U } \end{array}
\begin{array} { r } { { V a r } _ { B , C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big ] = { E } _ { B } \Bigg [ { V a r } _ { C } \Big [ p ( a | b , c ) \Big | b \Big ] \Bigg ] + { V a r } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big ] , } \end{array}