harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \partial _ { t } \psi ( t , x ) = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x x } \psi ( t , x ) + \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) \partial _ { x } \psi ( t , x ) } \\ & { \phantom { - \partial _ { t } \psi ( t , x ) = \; \; } + ( s ( t , x , \rho ( t , x ) ) + \rho ( t , x ) s _ { \rho } ( t , x , \rho ( t , x ) ) ) u ( t , x ) \partial _ { x } \psi ( t , x ) } \\ & { \phantom { - \partial _ { t } \psi ( t , x ) = \; \; } + \mathcal { Q } ( \rho ( t , \cdot ) , \psi ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + \frac { 1 } { 2 } \left( e _ { \rho } ( t , x , \rho ( t , x ) ) + \gamma u ^ { 2 } ( t , x ) \right) , } \\ & { \psi ( T , x ) = \psi _ { T } ( x ) , } \\ & { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \psi ( t , x ) \big | _ { a } = - \beta _ { a } \psi ( t , a ) , } \\ & { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \psi ( t , x ) \big | _ { b } = - \beta _ { b } \psi ( t , b ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { p ( S _ { n + 1 } | O _ { 1 : n + 1 } ) } & { = \frac { p ( O _ { n + 1 } | S _ { n + 1 } , O _ { 1 : n } ) p ( S _ { n + 1 } | O _ { 1 : n } ) } { p ( O _ { n + 1 } | O _ { 1 : n } ) } } \\ & { = \frac { p ( O _ { n + 1 } | S _ { n + 1 } ) p ( S _ { n + 1 } | O _ { 1 : n } ) } { p ( O _ { n + 1 } | O _ { 1 : n } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 p ^ { 2 } + ( m - 2 ) p } { 2 p - 1 } + \frac { 2 ( 1 - p ) ^ { 3 } } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K - 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 2 p ( p - 1 ) ^ { 2 } } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } + \frac { p - 1 } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \pi _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 } = \lambda _ { 0 } + \frac { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi c } k u _ { f } \mathrm { s i n } ( \theta / 2 ) = \lambda _ { 0 } + \frac { \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi c } \Omega _ { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { { } \stackrel { { \mathcal { I } } _ { 1 } } { \longrightarrow } \left( \left\{ \psi , e , \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } , \theta _ { 2 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } , \cdots \right\} \longrightarrow \left\{ \widetilde { \mathbf { D } } , F \right\} \right) } \end{array}
\frac { { \partial { \mathcal L } } } { { \partial { C _ { n } } } } = \frac { { \delta { \mathcal L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) } } { { \delta { C _ { n } } } } = - { \left\langle { \frac { { \partial T _ { i j } ^ { \left( n \right) } } } { { \partial { x _ { j } } } } , \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } \right\rangle _ { { \bf { x } } , t } } , \; \left( { n = 1 , 2 , . . . , N } \right) .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \nu \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi \nu } - 1 } \right) \cos \nu z \, \mathrm { d } \nu = \frac { 1 } { 4 \sinh ^ { 2 } ( z / 2 ) }
\frac { \Delta v _ { L } } { u _ { \mathrm { i } } } \equiv \frac { u _ { \mathrm { i } } - v _ { \mathrm { a } } } { u _ { \mathrm { i } } } \approx \frac { \beta ^ { - 1 } m ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \rho \hbar ^ { 2 } C ( R / \xi ) } k _ { \xi } .
\begin{array} { r } { E = E _ { H F } ^ { [ 0 ] } + \sum _ { A } ^ { N _ { f r a g } } \sum _ { p \in \mathbb { C } _ { A } } \Bigg [ \sum _ { q } ^ { 2 N _ { A } } F _ { p q } ^ { A , [ 0 ] } \Delta P _ { p q } ^ { A } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { q r s } ^ { 2 N _ { A } } V _ { p q r s } ^ { A } K _ { p q r s } ^ { A } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { P _ { 1 } } & { P _ { 2 } } & { P _ { 3 } } & { \cdots } & { P _ { N - 1 } } & { P _ { N } } \\ { - P _ { 2 } } & { - P _ { 3 } } & { - P _ { 4 } } & { \cdots } & { - P _ { N } } & { 0 } \\ { P _ { 3 } } & { P _ { 4 } } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { ( - 1 ) ^ { N - 1 } P _ { N } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { u } ( t ) \simeq \kappa \big ( \Gamma _ { 0 } t \big ) ^ { \alpha - 1 } ; \ \ \ \kappa = \frac { 1 } { \alpha } \frac { \sin \big ( \alpha \pi \big ) } { \pi \Gamma [ \alpha ] } , } \end{array}
p = e ^ { - \frac { \pi K ^ { \prime } } { K } } , \qquad - q = e ^ { - \frac { \pi \lambda } { 2 K } } , \qquad \zeta = e ^ { \frac { \pi u } { 2 K } } , \qquad r = e ^ { \frac { \pi \alpha } { K } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { v } } ( u , \mathbf { Q } ) = \int _ { \Omega } \bigg ( f _ { \mathrm { s } } ( u ) } & { + B \left| \mathcal { D } ^ { 2 } u + q ^ { 2 } \left( \mathbf { Q } + \frac { \mathbf { I } _ { 2 } } { 2 } \right) u \right| ^ { 2 } \! \! \! \! \! \! \! \! } \\ & { + f _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { Q } , \nabla \mathbf { Q } ) \bigg ) , \! \! \! \! \! \! \! \! } \end{array}
\epsilon _ { 0 , \gamma } = \left[ \left( \frac { 4 \pi \eta / s } { \tau _ { 0 } } a ^ { 1 / 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 9 \gamma } { 8 } } \left( \frac { C _ { \infty } ^ { \mathrm { R T A } } } { C _ { \infty } ^ { \gamma } } \right) ^ { 9 / 8 } \epsilon _ { 0 , \mathrm { R T A } } \right] ^ { \frac { 8 / 9 } { 1 - \gamma / 4 } } .
( \kappa _ { \tau } \frac { \partial } { \partial \kappa _ { \tau } } + \gamma _ { \phi ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { * } ( 2 + t \frac { \partial } { \partial t } ) ) \Gamma _ { R ( \tau ) } ^ { ( 0 , 2 ) } = ( \kappa _ { \tau } ^ { - 2 \tau } ) ^ { \frac { \epsilon _ { L } } { 2 } } B _ { \tau } ( u _ { \tau } ^ { * } ) ,
\begin{array} { r } { L ( u , \delta ^ { 2 } ; D _ { \mathrm { t r a i n } } ) = \prod _ { x \in \mathcal { M } ^ { * } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \left( \sigma _ { x , \mathrm { e m u } } ^ { 2 } ( u ) + \sigma _ { \mathrm { m e a s } , x } ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } \right) ^ { - \frac 1 2 } \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \frac { \left[ \hat { \eta } _ { x } ( u ) - z ( x ) \right] ^ { 2 } } { \sigma _ { x , \mathrm { e m u } } ^ { 2 } ( u ) + \sigma _ { \mathrm { m e a s } , x } ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { { \cal M } ( ^ { 1 } D _ { 2 } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 1 } ^ { \prime } , \lambda _ { 2 } ^ { \prime } , \lambda _ { R } ) } } & { { = } } & { { \frac { c _ { 5 } e ^ { 2 } } { t t ^ { \prime } } \varepsilon ^ { * \mu \nu } ( \lambda _ { R } ) k _ { 1 \mu } k _ { 2 \nu } } } \\ { { } } & { { } } & { { \varepsilon \left[ k _ { 1 } , k _ { 2 } , j _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ) , j _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] , } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \{ O _ { 1 } , O _ { 2 } \} } \\ { \{ O _ { 3 } , O _ { 5 } , O _ { 7 } , O _ { 9 } , O _ { 1 0 } \} } \\ { \{ O _ { 4 } , O _ { 6 } , O _ { 8 } \} } \end{array} \right.
\operatorname * { l i m } _ { r \rightarrow 0 } c ^ { ( 2 ) } ( r ) = \frac { 3 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \theta \frac { | F _ { 2 } ^ { \Theta } ( 2 \theta ) | ^ { 2 } } { \cosh ^ { 4 } \theta } \, .
\begin{array} { r l } { g _ { i } \left( \frac { \big ( g _ { i } ^ { - 1 } l \big ) } { \gamma ( g _ { i } ) ( g _ { i } , | l | ) } \cdot \delta _ { H } \right) } & { = \frac { \tau ( g _ { i } ) \big ( g _ { i } | l | g _ { i } ^ { - 1 } , 1 \big ) } { \gamma ( g _ { i } ) ( g _ { i } , | l | ) } \big ( g _ { i } \big ( g _ { i } ^ { - 1 } l \big ) \big ) \cdot ( g _ { i } \delta _ { H } ) } \\ & { = \frac { \gamma ( g _ { i } ) ( g _ { i } , | l | ) } { \gamma ( g _ { i } ) ( g _ { i } , | l | ) } l \cdot \delta _ { g _ { i } H } = l \cdot \delta _ { g _ { i } H } . } \end{array}
S = \int _ { k } { \Big ( } { \big ( } 1 - \cos ( k _ { 1 } ) { \big ) } + { \big ( } 1 - \cos ( k _ { 2 } ) { \big ) } + \cdots + { \big ( } 1 - \cos ( k _ { d } ) { \big ) } { \Big ) } \phi _ { k } ^ { * } \phi ^ { k } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 2 p u ( t ) } d \mu _ { \bar { g } } = \mathrm { e } ^ { 2 p \bar { u } ( t ) } \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 2 p ( u ( t ) - \bar { u } ( t ) ) } d \mu _ { \bar { g } } } & { \le \mathrm { e } ^ { p \log ( A ) } C _ { \mathrm { M T } } \exp ( 4 \eta _ { 2 } p ^ { 2 } \| \nabla _ { \bar { g } } u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } ) } \\ & { \le A ^ { p } C _ { \mathrm { M T } } \exp \Bigl ( ( 4 \eta _ { 2 } p ^ { 2 } \bigl ( c _ { 1 } + c _ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \bigr ) \Bigr ) } \\ & { \le C _ { \mathrm { M T } } A ^ { p } \mathrm { e } ^ { 4 \eta _ { 2 } p ^ { 2 } c _ { 1 } } \exp \bigl ( 4 \eta _ { 2 } p ^ { 2 } c _ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \bigr ) } \\ & { = \nu _ { 0 } \mathrm { e } ^ { \nu _ { 1 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \Lambda ^ { c _ { n } , + } \psi , ( \sqrt { c _ { n } ^ { 4 } - c _ { n } ^ { 2 } \Delta } - c _ { n } ^ { 2 } ) \Lambda ^ { c _ { n } , + } \psi ) \leq - \frac { 1 } { 2 } ( \Lambda ^ { c _ { n } , + } \psi , \Delta \Lambda ^ { c _ { n } , + } \psi ) \leq \frac { c ^ { * } } { \lambda ^ { 2 } } \| \psi \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \qquad \textrm { i n d e p e n d e n t l y o f } c _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \zeta } { \partial x } ( x _ { i } , y _ { j } ) } & { { } = \frac { \bar { \rho } _ { c } g } { 2 \Delta x } \left[ ( \eta _ { c } - b _ { i + 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } - ( \eta _ { c } - b _ { i - 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } { \sigma } _ { N } ^ { B 1 } } { d \Omega _ { f } \, d \Omega _ { e } \, d E _ { f } } = { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } \frac { k _ { f } k _ { e } } { k _ { i } } \left( \frac 1 4 { \left| T _ { N , d } + T _ { N , e x } \right| } ^ { 2 } + \frac 3 4 { \left| T _ { N , d } - T _ { N , e x } \right| } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r l r l } { \mu _ { \L } = } & { \frac { 1 0 } { 9 } } & { \eta _ { \L } = } & { \frac { 9 } { 1 0 } } & { \mu _ { \Psi } = } & { \frac { 5 } { 4 } } \\ { \mu _ { P _ { 1 } } = } & { \mu _ { m } = 1 } & { \epsilon _ { 0 } = } & { \frac { 9 } { 1 0 } } & { \varepsilon _ { 1 } = } & { \frac { 4 } { 5 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) = \langle [ \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) - \omega _ { \alpha \beta } ] \tau \rangle } \end{array}
c _ { \alpha } \left( j _ { \pm } , j _ { 0 } \right) = \left( e ^ { \frac { j _ { 0 } ^ { \alpha + 2 } } { 2 } } \right) ^ { 4 } \left( e ^ { \frac { j _ { \pm } ^ { \alpha + 2 } } { 2 } } \right) ^ { 1 2 } \ ,
K ( k ) E \left( { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) + E ( k ) K \left( { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) - K ( k ) K \left( { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) = { \frac { \pi } { 2 } } .
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \boldsymbol { P } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { \textsf { T } } = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { F } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { \textsf { T } } = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + { \boldsymbol { F } } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { E } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { \textsf { T } } = - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + 2 ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { \textsf { T } } ~ .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { 1 } { \alpha } \ln { \bigg ( 1 + \frac { m ( e ^ { \alpha \tau } - r ) } { f _ { e n d } } \bigg ) } \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) . } \end{array}
d ^ { 3 } { \hat { p } } _ { 3 } d ^ { 3 } { \hat { q } } _ { 1 2 } = ( { \sqrt 3 } / 2 ) ^ { 3 } d ^ { 3 } \xi d ^ { 3 } \eta = d ^ { 3 } z d ^ { 3 } z ^ { * }
\begin{array} { r l } { | S _ { p , q } ( G _ { 1 } ) - S _ { p , q } ( G _ { 2 } ) | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } | G _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ) - G _ { 2 } ^ { - 1 } ( u ) | u ^ { p } ( 1 - u ) ^ { q } \, \mathrm { d } u } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq u \leq 1 } u ^ { p } ( 1 - u ) ^ { q } \times \int _ { 0 } ^ { 1 } | G _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ) - G _ { 2 } ^ { - 1 } ( u ) | \, \mathrm { d } u } \\ & { = \Big ( \frac { p } { p + q } \Big ) ^ { p } \Big ( \frac { q } { p + q } \Big ) ^ { q } \mathcal { W } _ { 1 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { a b e \to c d e } ^ { ( \mathrm { o n } ) } } & { = i M _ { a e \to a e } ^ { ( 0 ) } ( p , k , p , k ) \frac { \partial } { \partial m _ { a } ^ { 2 } } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { + i M _ { b e \to b e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , k , p ^ { \prime } , k ) \frac { \partial } { \partial m _ { b } ^ { 2 } } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { + i M _ { c e \to c e } ^ { ( 0 ) } ( q , k , q , k ) \frac { \partial } { \partial m _ { c } ^ { 2 } } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { + i M _ { d e \to d e } ^ { ( 0 ) } ( q ^ { \prime } , k , q ^ { \prime } , k ) \frac { \partial } { \partial m _ { d } ^ { 2 } } M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { e l a s t } } ^ { i } ( \boldsymbol { F } ) } & { { } = \frac { G _ { i } } { 2 } \mathrm { t r } ( \boldsymbol { F } ^ { T } \boldsymbol { F } - I ) + \frac { \kappa } { 2 } ( J - 1 ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { = - \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \left[ \cos \Omega \, \left( e \, \sin \omega + \sin u \right) + \cos I \, \sin \Omega \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) \right] , } \\ { v _ { y } } & { = - \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \left[ - \cos I \, \cos \Omega \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) + \sin \Omega \, \left( e \, \sin \omega + \sin u \right) \right] , } \\ { v _ { z } } & { = \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \sin I \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log Z _ { \beta } ( \lambda ) \right] } & { { } = \operatorname { \mathbb { E } } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \int d \Tilde { w } \ \exp \left\{ - \beta H ( \Tilde { w } | \lambda ) \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d T B } = } & { { } \sum _ { x \ne - 1 , 0 } J \big ( c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x + 1 } + c _ { x + 1 } ^ { \dagger } c _ { x } \big ) + \sum _ { x \ne 0 } \omega _ { o } c _ { x } ^ { \dagger } c _ { x } + \hat { H } _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { H ( \omega ) = \omega ^ { m } ~ G ( a ) ~ \frac { \prod _ { z _ { \ell } } ( 1 - \frac { \omega - a } { z _ { \ell } - a } ) ^ { \nu _ { z _ { \ell } } } } { \prod _ { p _ { \ell } } ( 1 - \frac { \omega - a } { p _ { \ell } - a } ) ^ { \nu _ { p _ { \ell } } } } ~ e ^ { i \tau ( \omega - a ) } } \\ & { \tau = - i \left( \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } - \sum _ { z _ { \ell } } \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } + \sum _ { p _ { \ell } } \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { + x } u _ { i j } ^ { n , + x } + u ^ { \ast , \pm x } + \mu _ { - x } u _ { i j } ^ { n , - x } } & { { } = 2 u _ { i j } ^ { n , \pm x } } \\ { \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } + u ^ { \ast , \pm y } + \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } } & { { } = 2 u _ { i j } ^ { n , \pm y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Tilde { L } _ { \alpha ( a , a ^ { \prime } ) , ( b , b ^ { \prime } ) } ^ { \beta ( \gamma , \beta ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) ( c , c ^ { \prime } ) \gamma ^ { \prime } } = C _ { \alpha ^ { \prime } , b , a ^ { \prime } } ^ { \beta ^ { \prime } \gamma \gamma ^ { \prime } } L _ { \gamma ^ { \prime } a b } ^ { \beta \beta ^ { \prime } c } \overline { { R _ { \alpha a ^ { \prime } b ^ { \prime } } ^ { \gamma ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } c ^ { \prime } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ( z ) : \mathfrak { H } _ { - 1 } ^ { ( \nu ) } \rightarrow \mathfrak { H } ^ { ( \nu + 1 ) } , } & { \qquad } & { \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ( z ) : = - A _ { \nu , \nu + 1 } \mathcal { G } _ { \nu } ^ { - 1 } ( z ) , } \\ { \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ^ { \dag } ( z ) : \mathfrak { H } ^ { ( \nu + 1 ) } \rightarrow \mathfrak { H } _ { + 1 } ^ { ( \nu ) } , } & { \qquad } & { \gamma _ { \nu , \nu + 1 } ^ { \dag } ( z ) : = - \mathcal { G } _ { \nu } ^ { - 1 } ( z ) A _ { \nu , \nu + 1 } ^ { \dag } , } \end{array}
F _ { g } ^ { \mu \nu } ( q ) = D ( q ) ^ { \mu \nu } A _ { T } ( q ^ { 2 } ) + n ^ { \mu } n ^ { \nu } { \frac { q ^ { 2 } } { { \cal Q } ^ { 2 } } } \, \left[ A _ { E } ( q ^ { 2 } ) - A _ { T } ( q ^ { 2 } ) \right] .
{ \hat { G } } ( { \hat { \xi } } { \hat { \eta } } ; { \hat { \xi } } ^ { \prime } { \hat { \eta } } ^ { \prime } ) = \int \int \int \int d s d t d s ^ { \prime } d t ^ { \prime } G ( \xi \eta ; { \xi } ^ { \prime } { \eta } ^ { \prime } )
i s s m a l l , a s f o u n d i n t h e n u m e r i c a l r e s u l t s a b o v e , i t f o l l o w s f r o m E q s . ~ a n d t h a t t h e g r o u n d s t a t e d e n s i t i e s o f K S - D F T a n d O F - D F T a r e \emph { c l o s e } , w h i c h a l s o j u s t i f i e s t h e u s e o f l i n e a r r e s p o n s e t h e o r y . F u r t h e r m o r e , s i n c e t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n
\begin{array} { r l } { F _ { k } ( \tau ) } & { = { \mathbb { E } } [ e ^ { - 2 \theta _ { k } \Gamma ( K , \epsilon , w ) } ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } f _ { \tilde { Y } } ( z ) d z + \int _ { \tau } ^ { \infty } e ^ { - 2 \theta _ { k } z } f _ { \tilde { Y } } ( z ) d z } \\ & { = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \frac { \mu ^ { \rho } } { ( \rho - 1 ) ! } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \! \! z ^ { \rho - 1 } e ^ { - \mu z } d z \! + \! \! \int _ { \tau } ^ { \infty } \! \! \! z ^ { \rho - 1 } e ^ { - ( 2 \theta _ { k } + \mu ) z } d z \right] } \\ & { = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \gamma ( \mu \tau , \rho ) \! + \! \left( \frac { \mu } { 2 \theta _ { k } + \mu } \right) ^ { \rho } ( 1 \! - \! \gamma ( ( 2 \theta _ { k } \! + \! \mu ) \tau , \rho ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { I \mathcal B } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { ~ D ~ a ~ } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| u _ { \Delta x } \left( y _ { \Delta x } ( \xi _ { \Delta x } ) \right) - u _ { \Delta x } \left( y _ { \Delta x } ( \xi ) \right) \right| } & { = \left| \int _ { y _ { \Delta x } ( \xi ) } ^ { y _ { \Delta x } ( \xi _ { \Delta x } ) } u _ { \Delta x , x } ( z ) d z \right| } \\ & { \leq \| u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } \sqrt { \left| y _ { \Delta x } ( \xi _ { \Delta x } ) - y _ { \Delta x } ( \xi ) \right| } } \\ & { \leq \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \sqrt { \left| y ( \xi ) - y _ { \Delta x } ( \xi ) \right| } } \\ & { \leq \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \sqrt { \| y - y _ { \Delta x } \| _ { \infty } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { i } ^ { w } } & { { } = \frac { 1 } { | \mathcal { C } _ { i } | } \frac { 1 } { \Delta t } \frac { c } { \varepsilon } \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \int _ { \partial \Omega _ { i } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \vec { \Omega } \cdot \vec { n } I ^ { w } ( \vec { x } , \vec { \Omega } , t ) \mathrm { d } \vec { \Omega } \mathrm { d } \vec { x } \mathrm { d } t } \end{array}
\Delta ^ { \prime } ( s ) = 2 { \big ( } u ( \mathbf { X } ( s ) ) - U ( s ) { \big ) } { \Big ( } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) \cdot \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , U ( s ) ) - { \big ( } \mathbf { a } ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) \cdot \nabla u ( \mathbf { X } ( s ) ) - c ( \mathbf { X } ( s ) , u ( \mathbf { X } ( s ) ) ) { \big ) } { \Big ) }
{ \begin{array} { r l } { \sin ( \alpha + \beta ) } & { = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \\ { \sin ( \alpha - \beta ) } & { = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta } \\ { \cos ( \alpha + \beta ) } & { = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \\ { \cos ( \alpha - \beta ) } & { = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \end{array} }
( \dot { T } ^ { M } ) ^ { \dot { A } \dot { B } } ( \Gamma ^ { A } ) ^ { \dot { B } \ddot { A } } - ( \Gamma ^ { A } ) ^ { \dot { A } \ddot { B } } ( \ddot { T } ^ { M } ) ^ { \ddot { B } \ddot { A } } = ( T ^ { M } ) ^ { A B } ( \Gamma ^ { B } ) ^ { \dot { A } \ddot { A } } .
\Phi ( 1 ) = \rho _ { 2 } \frac { \omega ^ { 1 / 2 } ( a - c ) } { b } \sum _ { l = 0 } ^ { L - 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { l } \frac { c \omega } { a \omega - b \omega ^ { 1 / 2 - j } } .
\varphi _ { t } ( M _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) ) \cap \widehat { B } _ { r } ( 0 ) \subset M _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( \varphi _ { t } ( u ) ) , \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } t \geq 0 .
T _ { l g } = { \frac { - 2 k _ { 1 } } { - k _ { 1 } + \sqrt { \left( { \frac { n _ { I } } { n _ { T } } } \right) ^ { 2 } \omega ^ { 2 } - \left( k _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + k _ { m } ^ { 2 } \right) } } } .
\begin{array} { r l } { Z ( \mathfrak { m } ) } & { = Z ( [ 1 ; 4 ] ) \times Z ( [ 0 ; 3 ] ) \times Z ( [ 2 ; 2 ] ) - Z ( [ 0 ; 4 ] ) \times Z ( [ 1 ; 3 ] ) \times Z ( [ 2 ; 2 ] ) , } \\ & { = - \left| \begin{array} { l l l } { Z ( [ 0 ; 4 ] ) } & { Z ( [ 0 ; 3 ] ) } & { 0 } \\ { Z ( [ 1 ; 4 ] ) } & { Z ( [ 1 ; 3 ] ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Z ( [ 2 ; 2 ] ) } \end{array} \right| . } \end{array}
\| Q _ { n } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , \infty } \leq C \frac { 1 } { 1 - h \| ( I - h A \otimes L ) ^ { - 1 } A \Gamma _ { n } \bullet \| _ { \star } } \left( \| e _ { n } \| _ { H ^ { \sigma } } + C h \| P _ { n } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , \infty } + \| R _ { n } ^ { 2 } \| _ { { ( H ^ { \sigma } ) ^ { s } } , \infty } \right) .
\mathinner { \langle { \hat { u } \hat { v } \hat { w } } \rangle } = \mathinner { \langle { \hat { u } \hat { v } } \rangle } \mathinner { \langle { \hat { w } } \rangle } + \mathinner { \langle { \hat { v } \hat { w } } \rangle } \mathinner { \langle { \hat { u } } \rangle } + \mathinner { \langle { \hat { u } \hat { w } } \rangle } \mathinner { \langle { \hat { v } } \rangle } - 2 \mathinner { \langle { \hat { u } } \rangle } \mathinner { \langle { \hat { v } } \rangle } \mathinner { \langle { \hat { w } } \rangle } .
\begin{array} { r l } { G _ { x } } & { { } = G _ { i } \sin \operatorname { a r c c o s } t _ { j } \cos \varphi _ { k } , } \\ { G _ { y } } & { { } = G _ { i } \sin \operatorname { a r c c o s } t _ { j } \sin \varphi _ { k } , } \\ { G _ { z } } & { { } = G _ { i } \cos \operatorname { a r c c o s } t _ { j } , } \\ { w } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } G _ { i } ^ { 2 } w ( G ) _ { i } w ( t ) _ { j } w ( \varphi ) _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { z , n } ( x ) = } & { { } \frac { x ^ { 2 } - z ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { n } ( z ) C _ { z , n } ( x ) } } \\ { B _ { z , n } ( x ) = } & { { } \frac { n - 2 \gamma _ { n } ( z ) } { 2 \gamma _ { n } ( z ) C _ { z , n } ( x ) } x } \\ { C _ { z , n } ( x ) = } & { { } x ^ { 2 } - z ^ { 2 } + \gamma _ { n } ( z ) + \gamma _ { n + 1 } ( z ) - n - \frac { 1 } { 2 } } \end{array}