harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| f _ { x } ( \theta , \phi ) \right| = \left| \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } { \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } } \right. } & { \left\{ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m n } ^ { x } \sin \left( \frac { m \pi } { a } ( x ^ { \prime } + \frac { a } { 2 } ) \right) + \sum _ { m = 0 } ^ { M } \beta _ { m n } ^ { x } \cos \left( \frac { m \pi } { a } ( x ^ { \prime } + \frac { a } { 2 } ) \right) \right) \sin \left( \frac { n \pi } { b } ( y ^ { \prime } + \frac { b } { 2 } ) \right) \right] \right\} } \\ & { \left. e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \mathrm { P B S } } \propto \sqrt { T } e ^ { i \phi } e ^ { - 2 i \beta } \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { - } + i e ^ { 2 i \beta } \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d q } & { = } & { - \bigg ( b _ { i j } \mu _ { j i } + b _ { i j } \gamma _ { j i } + \frac { 1 } { 2 } D _ { i j k l } D _ { j i k l } \bigg ) d t ^ { \prime } - b _ { i j } D _ { j i m n } \; d W _ { m n } ^ { \prime } } \\ { d r } & { = } & { - \bigg ( b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } + b _ { i k } b _ { k j } \gamma _ { j i } + b _ { i j } D _ { j k m n } D _ { k i m n } \bigg ) d t ^ { \prime } - b _ { i j } b _ { j k } D _ { k i m n } \; d W _ { m n } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla ^ { n } \theta _ { 0 } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } n ! R _ { \theta _ { 0 } } ^ { - n } \, , \quad \forall n \in \ensuremath { \mathbb { N } } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { c _ { 0 } ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial t ^ { 2 } } } - \nabla ^ { 2 } p = \rho _ { 0 } { \frac { \partial ^ { 2 } { \hat { T } } _ { i j } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } } , \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad { \hat { T } } _ { i j } = v _ { i } v _ { j } .
\Gamma ^ { ( 1 ) } [ G , B , \varphi ] = \int d ^ { D } z \sqrt { G } \exp ( - 2 \varphi ) \{ R ( G ) + 4 \partial _ { M } \varphi \partial ^ { N } \varphi - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { M N P } H ^ { M N P } + \Lambda \} \, \, .
= - \sigma ( x _ { k } ^ { - 1 } ) f _ { i } ( x _ { k } ) - \sigma ( x _ { l } ^ { - 1 } ) f _ { i } ( x _ { l } ) \sigma ( x _ { l } ^ { - 1 } ) \sigma ( x _ { l } ) + \sigma ( x _ { k } ^ { - 1 } ) \sigma ( x _ { l } ^ { - 1 } ) ( \tilde { f } _ { i } ( x _ { k } ) \tilde { \sigma } ( x _ { l } ) + \tilde { \sigma } ( x _ { k } ) \tilde { f } _ { i } ( x _ { l } ) )
w ^ { ( a ) } : = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { x } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { x } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { y } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { y } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \end{array} \right) \; , \; z ^ { ( a ) } : = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { y } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { y } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { x } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { x } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \end{array} \right) \; , \; w ^ { ( a , b ) } : = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { x } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { x } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { y } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { y } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { x } _ { 1 } ^ { ( b ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { x } _ { n ^ { b } } ^ { ( b ) } } } \\ { { \tilde { y } _ { 1 } ^ { ( b ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { y } _ { n ^ { b } } ^ { ( b ) } } } \end{array} \right) \; , \; z ^ { ( a , b ) } : = \left( \begin{array} { c } { { \tilde { y } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { y } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { x } _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { x } _ { n ^ { a } } ^ { ( a ) } } } \\ { { \hat { y } _ { 1 } ^ { ( b ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \hat { y } _ { n ^ { b } } ^ { ( b ) } } } \\ { { \tilde { x } _ { 1 } ^ { ( b ) } } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { . } } \\ { { \tilde { x } _ { n ^ { b } } ^ { ( b ) } } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } } & { = 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + t \xi , } \\ { \rho _ { 2 } } & { = - 3 ( { \small \mathrm { \tt { 4 2 3 1 } } } ) - 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } ) + 2 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } ) + t \xi , } \\ { \rho _ { 3 } } & { = 6 ( { \small \mathrm { \tt { 4 3 2 1 } } } ) + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) - 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) + { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 } } } + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 } } } ) , } \\ { \rho _ { 4 } } & { = - 6 ( { \small \mathrm { \tt { 4 3 2 1 } } } ) - 3 ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 1 2 } } } ) + 4 ( { \small \mathrm { \tt { 1 3 2 4 } } } ) - { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 4 } } } + 3 ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 } } } ) , } \\ { \rho _ { 5 } } & { = { \small \mathrm { \tt { 1 4 2 5 3 } } } + { \small \mathrm { \tt { 2 5 3 1 4 } } } + { \small \mathrm { \tt { 3 1 4 2 5 } } } + { \small \mathrm { \tt { 4 2 5 3 1 } } } + { \small \mathrm { \tt { 5 3 1 4 2 } } } , } \end{array}
d ( k ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { d ( m _ { g } ) \left( { \frac { m _ { g } } { k } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } k \le m _ { g } } } \\ { { { \frac { d ( m _ { g } ) } { \sqrt { 1 + { \frac { 3 } { 5 } } \log { \frac { k ^ { 2 } } { { m _ { g } } ^ { 2 } } } } } } } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } k \ge m _ { g } } } \end{array} \right.
( \partial _ { t } + \Gamma + D k ^ { 2 } ) \mathcal { P } _ { \Delta } = \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ f ~ } } + \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } ( \Delta _ { n } ) } & { \le \frac { L _ { 1 } } { ( \lambda + 1 ) ! } \int _ { h \in \Delta _ { n } \cdot S _ { K } } \| C ( h ) \| _ { \mathrm { H S } } \Big ( \frac { \| h \| _ { 2 } } { \Delta _ { n } } \Big ) ^ { \lambda + 1 } d h } \\ & { \le \frac { L _ { 1 } \cdot ( M _ { K } \cdot \Delta _ { n } ) ^ { \lambda + 1 - \beta } } { ( \lambda + 1 ) ! \cdot \Delta _ { n } ^ { \lambda + 1 } } \int _ { h \in \Delta _ { n } \cdot S _ { K } } \| C ( h ) \| _ { \mathrm { H S } } \| h \| _ { 2 } ^ { \beta } d h = { \cal O } ( \Delta _ { n } ^ { - \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } } & { = \cfrac { \frac { 1 } { 2 } C _ { P } \cos ^ { p } ( \gamma _ { i } ) \rho A _ { 0 } u _ { i } ^ { 3 } } { \frac { 1 } { 2 } C _ { P } \cos ^ { p } ( \gamma _ { 1 } = 0 ) \rho A _ { 0 } u _ { \infty } ^ { 3 } } , } \\ { P _ { i } } & { = \cos ^ { p } ( \gamma _ { i } ) \Big ( \frac { u _ { i } } { u _ { \infty } } \Big ) ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \left( \frac { \langle ( E ^ { y } ) _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - \langle ( E ^ { y } ) _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } - \frac { \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } \right) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - 2 \langle ( B ^ { z } ) _ { i } ^ { n } \rangle _ { j } + \langle ( B ^ { z } ) _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { \Delta x } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - 2 \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j } ^ { n } \rangle _ { i } + \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { \Delta y } } \\ { \phantom { m } } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - \langle ( B ^ { z } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { 2 \Delta y } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \left( - \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta x } \right. } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \left. + \frac { \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j + 1 } ^ { n } \rangle _ { i } - 2 \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j } ^ { n } \rangle _ { i } + \langle ( E ^ { x } ) _ { \cdot , j - 1 } ^ { n } \rangle _ { i } } { \Delta y } \right) } \\ { \phantom { m } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { \langle ( B ^ { z } ) _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - \langle ( B ^ { z } ) _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { 2 \Delta x } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \left( \frac { \langle ( E ^ { y } ) _ { i + 1 } ^ { n } \rangle _ { j } - 2 \langle ( E ^ { y } ) _ { i } ^ { n } \rangle _ { j } + \langle ( E ^ { y } ) _ { i - 1 } ^ { n } \rangle _ { j } } { \Delta x } \right. } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \left. - \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { \Delta y } \right) } \end{array}
- \vec { \sigma } \cdot \vec { p } \psi _ { + ( 2 ) } - e \vec { \sigma } \cdot ( \vec { t } \wedge \hat { r } ) A ( r ) \psi _ { + ( 2 ) } + i m \psi _ { + ( 2 ) } - i 3 \, v \, \vec { t } \cdot \hat { r } \psi _ { + ( 2 ) } \phi ( r ) = 0 ,
L _ { \mu \nu } ^ { ^ { ( 3 . 1 ) } } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 4 } } \frac { d ^ { 3 } p _ { + } } { \varepsilon _ { + } } x _ { 2 } d x _ { 2 } d \varphi d z _ { 2 } \frac { m ^ { 2 } } { q _ { 1 } ^ { 4 } } \bigl [ m ^ { 2 } L _ { \mu \nu } ^ { ^ { m } } + \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } L _ { \mu \nu } ^ { ^ { ( q _ { 1 } ) } } + \frac { 2 x _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } L _ { \mu \nu } ^ { ^ { ( p ) } } \bigr ] \ ,
\begin{array} { r l } { u _ { T + 1 } ^ { 2 } } & { \leq u _ { 1 } ^ { 2 } \, \exp \bigg ( - \frac { 1 } { 2 \kappa } \, \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \alpha _ { t } } \bigg ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 L ^ { 2 } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \alpha ^ { 2 t } } \exp \bigg ( - \frac { 1 } { 2 \kappa } \sum _ { i = t + 1 } ^ { T } \alpha _ { i } \bigg ) + 2 \epsilon \sum _ { t = 1 } ^ { T } \exp \bigg ( - \frac { 1 } { 2 \kappa } \sum _ { i = t + 1 } ^ { T } \alpha _ { i } \bigg ) \, u _ { t + 1 } } \end{array}
Q _ { \textrm { e x t } } ^ { \texttt { P } } = - \frac { 2 } { | k _ { h } R _ { N } | } \textrm { R e } \left[ a _ { 0 } ^ { \texttt { P } } + 2 \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } a _ { \nu } ^ { \texttt { P } } \right] ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { K } E _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] \leq \frac { 1 } { K } E _ { 0 } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] + \sqrt { \frac { 1 } { 2 } K L ( P _ { 0 } , P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { { } { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \partial } { \partial t } } ( \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi ) + { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial t ^ { 2 } } } \right] } \\ { + } & { { } \left( 1 - M _ { x } ^ { 2 } \right) { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial x ^ { 2 } } } + \left( 1 - M _ { y } ^ { 2 } \right) { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial y ^ { 2 } } } + \left( 1 - M _ { z } ^ { 2 } \right) { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial z ^ { 2 } } } - 2 M _ { x } M _ { y } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial x \, \partial y } } - 2 M _ { y } M _ { z } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial y \, \partial z } } - 2 M _ { z } M _ { x } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial z \, \partial x } } = 0 } \end{array}
\epsilon _ { 2 } ( t ) = \left[ \iint _ { \mathcal { X } \times \mathcal { K } } \left( F ( x , k , t ) - f ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( x , k , t ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } k \right] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Delta v ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } = } & { - ( \partial _ { x x } + \partial _ { z z } ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } v ) ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + \partial _ { y x } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } u ) ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } } \\ & { + \partial _ { y z } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { \nabla } w ) ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + \frac { 1 } { R e } \Delta \Delta v ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { i } ^ { \infty } } & { { } = } & { K _ { i j } ^ { F U } U _ { j } ^ { \infty } + K _ { i j } ^ { F \itOmega } \itOmega _ { j } ^ { \infty } + \itGamma _ { i j k } ^ { F } E _ { j k } ^ { \infty } } \\ { M _ { i } ^ { \infty } } & { { } = } & { K _ { i j } ^ { M U } U _ { j } ^ { \infty } + K _ { i j } ^ { M \itOmega } \itOmega _ { j } ^ { \infty } + \itGamma _ { i j k } ^ { M } E _ { j k } ^ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho \textbf { v } ) } & { { } = 0 , } \\ { \rho ( \partial _ { t } \textbf { v } + \textbf { v } \cdot \nabla \textbf { v } ) } & { { } = - \nabla p + \eta \triangle \textbf { v } + ( \zeta + \eta / 3 ) \nabla ( \nabla \cdot \textbf { v } ) , } \\ { \partial _ { t } \left[ \epsilon + \frac { \rho v ^ { 2 } } { 2 } \right] } & { { } + \nabla \cdot \left[ \left( \epsilon + p + \frac { \rho v ^ { 2 } } { 2 } \right) \bf { v } - \bf { v } \cdot \sigma ^ { \prime } \right] = 0 , } \end{array}
S _ { I } [ x , \vec { \alpha } ] = \int _ { 0 } ^ { t } { d t ^ { \prime } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \vec { \alpha } \cdot \frac { d \vec { \alpha } ^ { * } } { d t ^ { \prime } } - \vec { \alpha } ^ { * } \cdot \frac { d \vec { \alpha } } { d t ^ { \prime } } \right) - \frac { i } { \hbar } ( H _ { R } - \dot { x } h _ { I } ) \right\}
\left\langle f \, , \, \mathsf { D } g \right\rangle = \left\langle \mathsf { D } f \, , \, g \right\rangle - \frac 1 { 2 \pi i } \left( \left\langle f ( \vec { \beta } ) \, , \, g ( \vec { \beta } ) \right\rangle - \left\langle f ( \vec { \alpha } ) \, , \, g ( \vec { \alpha } ) \right\rangle \right) = \left\langle \mathsf { D } f \, , \, g \right\rangle - \frac { 1 } { 2 \pi i } \left( \left\langle B f ( \vec { \alpha } ) \, , \, B g ( \vec { \alpha } ) \right\rangle - \left\langle f ( \vec { \alpha } ) \, , \, g ( \vec { \alpha } ) \right\rangle \right) = \left\langle \mathsf { D } f \, , \, g \right\rangle .
\begin{array} { c c c } { \displaystyle \nabla _ { g } \times \mathbf { E } ^ { n + \theta } + \frac { 1 } { c } \frac { \mathbf { B } _ { g } ^ { n + 1 } - \mathbf { B } _ { g } ^ { n } } { \Delta t } = 0 } \\ { \displaystyle \nabla _ { g } \times \mathbf { B } ^ { n + \theta } - \frac { 1 } { c } \frac { \mathbf { E } _ { g } ^ { n + 1 } - \mathbf { E } _ { g } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { 4 \pi } { c } \overline { { \mathbf { J } } } _ { g } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { 2 } ( S ; Y ) } & { = \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \big ( l ( s , y ) - 1 \big ) ^ { 2 } \leq \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \big ( \Lambda ( y ) - 1 \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \big ( \Lambda ( y ) - 1 \big ) ^ { 2 } \leq \sum _ { y \in \mathcal { Y } } P _ { Y } ( y ) \big ( \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } - 1 \big ) ^ { 2 } = ( \mathrm { e } ^ { \varepsilon _ { u } } - 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 1 } \, ( \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } ) \biggl ( \frac { \delta ( \boldsymbol { v } _ { 1 } - \boldsymbol { v } _ { 3 } ) } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } _ { 3 } } } & { + \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 1 } } \frac { 1 } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } _ { 1 } ) \biggr ) } \\ & { = \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } + \frac { 1 - \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } } \\ & { = - 1 + \frac { 1 } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 1 } = 0 . 3 5 9 9 0 3 \ \mathrm { ~ k ~ g ~ } \cdot \mathrm { ~ m ~ \textsuperscript ~ { ~ 2 ~ } ~ } , } \\ { I _ { 2 } = 0 . 4 6 2 8 2 4 \ \mathrm { ~ k ~ g ~ } \cdot \mathrm { ~ m ~ \textsuperscript ~ { ~ 2 ~ } ~ } , } \\ { I _ { 3 } = 0 . 5 4 9 1 9 6 \ \mathrm { ~ k ~ g ~ } \cdot \mathrm { ~ m ~ \textsuperscript ~ { ~ 2 ~ } ~ } . } \end{array}
{ \boldsymbol { F } } = F _ { 1 1 } \mathbf { e } _ { 1 } \otimes \mathbf { e } _ { 1 } + F _ { 1 2 } \mathbf { e } _ { 1 } \otimes \mathbf { e } _ { 2 } + F _ { 2 1 } \mathbf { e } _ { 2 } \otimes \mathbf { e } _ { 1 } + F _ { 2 2 } \mathbf { e } _ { 2 } \otimes \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } \otimes \mathbf { e } _ { 3 }
\mathcal { L } _ { i j } \left( \overline { { \mathbf { U } } } \right) : = - \frac { 1 } { \Delta x } \left( \widehat { \mathbf { F } } _ { 1 , i + \frac { 1 } { 2 } , j } - \widehat { \mathbf { F } } _ { 1 , i - \frac { 1 } { 2 } , j } \right) - \frac { 1 } { \Delta y } \left( \widehat { \mathbf { F } } _ { 2 , i , j + \frac { 1 } { 2 } } - \widehat { \mathbf { F } } _ { 2 , i , j - \frac { 1 } { 2 } } \right) + { \mathbf { S } } _ { i j } ,
{ \begin{array} { r l r } { P ( x ) \uparrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \uparrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \downarrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \downarrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \nrightarrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nrightarrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \gets ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \gets Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \uparrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \uparrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \downarrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \downarrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \nrightarrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nrightarrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \gets ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \gets Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \overline { { \pi } } _ { r } ^ { D N } \ge \pi _ { r } ^ { D N } \ge \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { r } ^ { D N } } \pi _ { r , n } ^ { D N , G } , } \\ & { \pi _ { r , n } ^ { D N , G } \ge a _ { r , n , i } ^ { D N , G } P _ { r , n } ^ { D N , G } + b _ { r , n , i } ^ { D N , G } , } \\ & { \begin{array} { r l } & { P _ { r , n } ^ { D N , G } + \sum _ { m \in \mathcal { A } _ { n } } P _ { r , m n } ^ { D N , F } = P _ { r , n } ^ { D N , D } , P _ { r , 0 } ^ { D N } = \sum _ { m \in \mathcal { A } _ { 0 } } P _ { r , m 0 } ^ { D N , F } , } \\ & { Q _ { r , n } ^ { D N , G } + \sum _ { m \in \mathcal { A } _ { n } } Q _ { r , m n } ^ { D N , F } = Q _ { r , n } ^ { D N , D } , Q _ { r , 0 } ^ { D N } = \sum _ { m \in \mathcal { A } _ { 0 } } Q _ { r , m 0 } ^ { D N , F } , } \end{array} } \\ & { V _ { r , m } ^ { 2 } - V _ { r , n } ^ { 2 } = 2 ( r _ { r , m n } P _ { r , m n } ^ { D N , F } + x _ { r , m n } Q _ { r , m n } ^ { D N , F } ) , } \\ & { ( \cos \frac { 2 k \pi } { N _ { s } } ) P _ { r , m n } ^ { D N , F } + ( \sin \frac { 2 k \pi } { N _ { s } } ) Q _ { r , m n } ^ { D N , F } \leq ( \cos \frac { \pi } { N _ { s } } ) \overline { { F } } _ { r , m n } ^ { D N } , } \\ & { \underline { { V } } _ { r , n } ^ { 2 } \leq V _ { r , n } ^ { 2 } \leq \overline { { V } } _ { r , n } ^ { 2 } , } \\ & { \underline { { P } } _ { r , n } ^ { D N , G } \leq P _ { r , n } ^ { D N , G } \leq \overline { { P } } _ { r , n } ^ { D N , G } , \underline { { Q } } _ { r , n } ^ { D N , G } \leq Q _ { r , n } ^ { D N , G } \leq \overline { { Q } } _ { r , n } ^ { D N , G } . } \end{array}
\frac { 2 \omega _ { C } - \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 \mathbf { m } } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \neq 0 .
\begin{array} { r l r l } { \Xi _ { \ell } } & { : = \left\{ 0 = \xi _ { \ell , 1 } = \dots = \xi _ { \ell , p _ { \ell } + 1 } \leq \dots \leq \xi _ { \ell , m _ { \ell } } = \dots = \xi _ { \ell , m _ { \ell } + p _ { \ell } + 1 } = 1 \right\} } & & { \mathrm { f o r ~ } \ell = 1 , \ldots , d , } \\ { \Xi _ { t } } & { : = \left\{ 0 = \xi _ { t , 1 } = \dots = \xi _ { t , p _ { t } + 1 } \leq \dots \leq \xi _ { t , m _ { t } } = \dots = \xi _ { t , m _ { t } + p _ { t } + 1 } = 1 \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) } & { { } = A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( X _ { 0 } - t , Y _ { 0 } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ \, ~ \, ~ } \theta _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { 5 0 \times 6 } , \theta _ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { 6 \times 5 0 } , b _ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { 5 0 } , b _ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { 6 } .
A _ { C P T } = \frac { P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \mu } ) - P ( \overline { { { \nu } } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { { \nu } } } _ { \mu } ) } { P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \mu } ) + P ( \overline { { { \nu } } } _ { \mu } \rightarrow \overline { { { \nu } } } _ { \mu } ) } ~ .
\left\langle \left\langle \phi ( t _ { d } , G _ { 0 } ) ^ { 2 } \right\rangle \right\rangle = G ^ { 2 } \beta _ { G G } ( t _ { d } ) + 2 G _ { 0 } G \beta _ { 0 G } ( t _ { d } ) + G _ { 0 } ^ { 2 } \beta _ { 0 0 } ( t _ { d } )
\begin{array} { r } { \mathbf { W } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = ( { } _ { 1 } \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { p } ) ) ^ { - 1 } { } _ { 2 } \mathbf { \Gamma } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) . } \end{array}