harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 5 } } \simeq \: } & { ( 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } \oplus \Sigma ^ { 4 8 , 5 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 6 4 , 8 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } \\ { \simeq \: } & { 2 \Sigma ^ { 1 6 , 1 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 3 } } \oplus \Sigma ^ { 4 8 , 5 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } \oplus \Sigma ^ { 6 4 , 8 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } \\ { \simeq \: } & { 4 \Sigma ^ { 3 2 , 2 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } \oplus 2 \Sigma ^ { 4 0 , 3 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 7 2 , 8 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } } \\ & { \: \oplus 2 \Sigma ^ { 8 8 , 1 1 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 1 0 4 , 1 4 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } } \\ { \simeq \: } & { 4 \Sigma ^ { 3 2 , 2 } v _ { 2 } ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } \oplus \Sigma ^ { 2 4 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus 4 \Sigma ^ { 4 0 , 3 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } \oplus \Sigma ^ { 5 6 , 6 } \underline { { \mathrm { T M F } _ { 0 } ( 3 ) } } . } \end{array}
\kappa \, = \, \frac { 3 \, \pi ^ { 2 } \alpha _ { S } } { 2 Q _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) } \, \times \, \frac { x G ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) ) } { \pi \, R ^ { 2 } } \, \, = \, \, 1
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } { \nu ( \omega ) \Delta y ( u , \omega , x ) } & { = g ( \omega , x ) + u ( x ) , } & { ( \omega , x ) } & { \in \Omega \times D , } \\ { \nu ( \omega ) } & { = 1 0 ^ { \xi _ { 1 } ( \omega ) - 2 } , } & { g ( \omega , x ) } & { = \frac { \xi _ { 2 } ( \omega ) } { 1 0 0 } , } \\ { y | _ { x = 0 } } & { = - 1 - \frac { \xi _ { 3 } ( \omega ) } { 1 0 0 0 } , } & { y | _ { x = 1 } } & { = - \frac { 2 + \xi _ { 4 } ( \omega ) } { 1 0 0 0 } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 2 S _ { \infty } ^ { * 2 } } { S _ { \infty } ^ { * } + 1 } ) ^ { - 2 / 3 } ( \frac { ( S _ { \infty } ^ { * } + 1 ) \cdot 4 S _ { \infty } ^ { * } - 2 S _ { \infty } ^ { * 2 } \cdot 1 } { ( S _ { \infty } ^ { * } + 1 ) ^ { 2 } } ) - 1 } \end{array}
\mathbf { v } _ { 2 } = \mathbf { v } _ { 1 } + { \boldsymbol { \omega } } _ { 1 } \times \mathbf { r } = \mathbf { v } _ { 1 } + { \boldsymbol { \omega } } _ { 1 } \times ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { q ( x , 0 ) } & { { } = 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } h ( x , 0 ) = 1 , } \\ { q ( 0 , t ) } & { { } = 1 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } h ( 0 , t ) = 1 + \mathcal { U } ( - \varepsilon , \varepsilon ) , } \\ { \partial _ { x } q ( L , t ) } & { { } = 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \partial _ { x } h ( L , t ) = 0 , } \end{array}
\Delta S = \int _ { t _ { e q } } ^ { t _ { o } } \frac { N d m } { T } \simeq \frac { \sigma ( 1 - 2 \sigma ) } { 2 \omega + 3 - ( 1 - 2 \sigma ) ^ { 2 } } \, f r a c { N m ( t _ { o } ) } { T _ { o } } \equiv \ k ( \omega , \sigma ) \ \frac { N m ( t _ { o } ) } { T _ { o } } \ \ ,
\epsilon ^ { 2 } \frac { \partial c } { \partial t } + \frac { \partial c } { \partial T } + \epsilon ^ { 2 } u \frac { \partial c } { \partial x } + \epsilon ^ { 2 } v \frac { \partial c } { \partial y } = \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial y ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e r f } x } & { = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \operatorname { s g n } x \cdot { \sqrt { 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } } } \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } \right) - { \frac { 7 } { 4 8 0 } } \left( 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 5 } { 8 9 6 } } \left( 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } - { \frac { 7 8 7 } { 2 7 6 4 8 0 } } \left( 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } - \cdots \right) } \\ & { = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \operatorname { s g n } x \cdot { \sqrt { 1 - e ^ { - x ^ { 2 } } } } \left( { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } c _ { k } e ^ { - k x ^ { 2 } } \right) . } \end{array} }
\Delta R = \frac { 1 } { r _ { \mathrm { p } } } \left[ \frac { \alpha _ { \mathrm { c } } \Delta T _ { \mathrm { c } } } { 2 } r _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } + \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { r _ { \mathrm { p } } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( \alpha _ { \mathrm { m } } \Delta T + \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \Delta \phi \right) r d r d \theta \right] \, .
\begin{array} { r l } { S ( \mathbf { r } ) \sim } & { { } \, \mathrm { G P } \left( 0 , \boldsymbol { K } ( \nu ) \right) , } \\ { \nu \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } ( \alpha _ { \nu } , \beta _ { \nu } ) . } \end{array}
\rho _ { w } C _ { w } \frac { D _ { 2 } ^ { 2 } - D _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 D _ { 1 } } \frac { \partial T _ { w } } { \partial t } = q _ { c o n } - q _ { H } e \frac { D _ { 2 } } { D _ { 1 } } + \frac { D _ { 2 } ^ { 2 } - D _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 D _ { 1 } } k _ { w } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { w } } { \partial x ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } = 0 \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ) ^ { t _ { S } - t } \sum _ { l = 0 } ^ { t _ { I } - 1 - t _ { S } } ( 1 - \varepsilon ) ^ { l } } & { \mathrm { i f ~ t ~ \leq ~ t _ S ~ } , } \\ { \varepsilon \sum _ { l = 0 } ^ { t _ { I } - 1 - t } ( 1 - \varepsilon ) ^ { l } } & { \mathrm { i f ~ t _ S ~ < ~ t ~ \leq ~ t _ I ~ } , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ t > t _ I ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , P ) , ~ \underset { \Tilde { r } \in R } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { r } , Q ) \right\} \leq \epsilon ~ \mathrm { a n d } } \\ & { } & { \operatorname* { m a x } \left\{ \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , P ) , ~ \underset { \Tilde { q } \in Q } { \operatorname* { s u p } } D _ { b } ( \Tilde { q } , R ) \right\} \leq \epsilon . } \end{array}
\frac { 1 } { \cal L } \frac { d { \cal L } ^ { \Lambda \overline { { { \Lambda } } } } } { d z } = \int _ { \log z / z _ { \mathrm { \tiny ~ m a x } } } ^ { \log z _ { \mathrm { \tiny ~ m a x } } } d \eta \ 2 z D ( z e ^ { \eta } ) \frac { 1 + \Lambda P ( z e ^ { \eta } ) } { 2 } \ D ( z e ^ { - \eta } ) \frac { 1 + \overline { { { \Lambda } } } P ( z e ^ { - \eta } ) } { 2 } \ ,
f _ { \pi ^ { \pm } / \gamma } ( z , k _ { \perp } ^ { 2 } ) = \frac { g _ { e m } ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { z ( 1 - z ) } \cdot \frac { 2 k _ { \perp } ^ { 2 } } { [ 0 - M _ { \pi \pi } ^ { 2 } ( z , k _ { \perp } ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } } | F ( z , k _ { \perp } ^ { 2 } ) | ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { { } = p _ { 1 } x + p _ { 2 } y } \\ { \dot { y } } & { { } = p _ { 3 } x + p _ { 4 } x z } \\ { \dot { z } } & { { } = p _ { 5 } + p _ { 6 } z + p _ { 7 } x y } \end{array}
\rho ^ { 2 } = R ^ { 2 } - M l ^ { 2 } \frac { \Omega } { 2 } \: \: \: \Rightarrow \: \: \: d \rho ^ { 2 } = \frac { R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - M l ^ { 2 } \Omega / 2 } d R ^ { 2 }
B _ { l m n } ( \boldsymbol { \hat { k } } , \boldsymbol { \hat { k } ^ { \prime } } ) = q _ { l } ^ { * } ( \boldsymbol { \hat { k } } + \boldsymbol { \hat { k } ^ { \prime } } ) q _ { m } ( \boldsymbol { \hat { k } } ) q _ { n } ( \boldsymbol { \hat { k } ^ { \prime } } ) .
\sigma = { \sqrt { { \frac { 1 } { N } } \left[ ( x _ { 1 } - \mu ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \mu ) ^ { 2 } + \cdots + ( x _ { N } - \mu ) ^ { 2 } \right] } } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } \mu = { \frac { 1 } { N } } ( x _ { 1 } + \cdots + x _ { N } ) ,
\left\{ \begin{array} { r } { R = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { k p ( k ) } { \langle k \rangle } \sum _ { c = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - 1 - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) , } \\ { \mu _ { f } = r + ( 1 - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } p ( k ) \sum _ { c = 0 } ^ { k } \binom { k } { c } R ^ { c } ( 1 - R ) ^ { k - c } \delta \Big ( ( 1 - b ) \mu _ { f } + b \frac { c } { k } \Big ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { f ( t ) \propto t ^ { - 2 } \int _ { \theta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ( t ) } ^ { \theta _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ( t ) } \frac { \exp \left\{ - \theta - \frac { V ( s ( \theta ) ) } { T _ { s } } + \log \left( \theta \right) \right\} } { \partial _ { s } \Delta U ( s ( \theta ) ) } \, d \theta , } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } | N | _ { g } ^ { 2 } \, d s + \int _ { I } | a ( u ) | \cdot \big | ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { 2 } N \big | _ { g } ^ { 2 } \, d s = \int _ { I } \langle Y , N \rangle _ { g } \, d s - \frac { 1 } { 2 } \int _ { I } \left| N \right| _ { g } ^ { 2 } \langle \vec { \kappa } , V \rangle _ { g } \, d s .
\begin{array} { r l } { Q _ { n } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \bigg [ ( \widetilde { \Omega } _ { i j } + W _ { i j } + \delta _ { i j } + r _ { i j } ) } & { ( \widetilde { \Omega } _ { j k } + W _ { j k } + \delta _ { j k } + r _ { j k } ) } \\ & { ( \widetilde { \Omega } _ { k \ell } + W _ { k \ell } + \delta _ { k \ell } + r _ { k \ell } ) ( \widetilde { \Omega } _ { \ell i } + W _ { \ell i } + \delta _ { \ell i } + r _ { \ell i } ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ^ { \pm } ( z ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin p _ { 1 } \pm \sin p _ { 2 } ) ^ { 2 } \ \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } , } \\ & { b ^ { \pm } ( z ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin 2 p _ { 1 } \pm \sin 2 p _ { 2 } ) ^ { 2 } \ \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } , } \\ & { c ^ { \pm } ( z ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin p _ { 1 } \pm \sin p _ { 2 } ) ( \sin 2 p _ { 1 } \pm \sin 2 p _ { 2 } ) \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } , } \\ & { d ^ { \pm } ( z ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin p _ { 1 } \pm \sin p _ { 2 } ) ( \sin p _ { 1 } \cos p _ { 2 } \pm \sin p _ { 2 } \cos p _ { 1 } ) \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } , } \\ & { e ^ { \pm } ( z ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin 2 p _ { 1 } \pm \sin 2 p _ { 2 } ) ( \sin p _ { 1 } \cos p _ { 2 } \pm \sin p _ { 2 } \cos p _ { 1 } ) \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } , } \\ & { f ^ { \pm } ( z ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \frac { ( \sin p _ { 1 } \cos p _ { 2 } \pm \sin p _ { 2 } \cos p _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathrm { d } p } { { \mathcal E } _ { 0 } ( p ) - z } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| y _ { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } = \left\| W \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( a ) } \end{array} \right] \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \geq m _ { 2 } \left\| \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( a ) } \end{array} \right] \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = m _ { 2 } \left( \| ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( a ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) ( b ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { u } \in L ^ { 2 } \left( \tilde { \Omega } ; L ^ { \infty } \left( 0 , T ; \mathcal D _ { s , \kappa } \right) \right) } \\ & { \tilde { u } \in L ^ { 2 } \left( \tilde { \Omega } ; C ( [ 0 , T ] ; \mathcal D _ { s - 1 , \kappa } ) \right) , } \\ & { \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z z } \tilde { u } - \partial _ { z z } \tilde { u } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \tilde { u } \in L ^ { 2 } ( \tilde { \Omega } ; L ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathcal D _ { s } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { e q } } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \, \, \, \mathrm { f o r } \; \theta \leq \theta ^ { \mathrm { s } } + \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } \, , } \\ { 0 } & { \, \, \, \mathrm { f o r } \; \theta \geq \theta ^ { \mathrm { s } } + \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } \, , } \end{array} \right. \qquad \chi _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } ( \theta ) \leq 0 \, \, \, \, \mathrm { o n ~ \mathbb { R } ~ } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = f ( \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } x _ { i } ) } \\ & { = f \bigl ( ( 1 - \alpha _ { p } ) \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } \alpha _ { i } x _ { i } } { 1 - \alpha _ { p } } + \alpha _ { p } x _ { p } \bigr ) } \\ & { \geq ( 1 - \alpha _ { p } ) f ( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { p - 1 } \alpha _ { i } x _ { i } } { 1 - \alpha _ { p } } ) + \alpha _ { p } f ( x _ { p } ) } \\ & { = ( 1 - \alpha _ { p } ) f ( \frac { 1 - \alpha _ { p } - \alpha _ { p - 1 } } { 1 - \alpha _ { p } } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { p - 2 } \alpha _ { i } x _ { i } } { 1 - \alpha _ { p } - \alpha _ { p - 1 } } + \frac { \alpha _ { p - 1 } } { 1 - \alpha _ { p } } x _ { p - 1 } ) + \alpha _ { p } f ( x _ { p } ) } \\ & { \geq ( 1 - \alpha _ { p } - \alpha _ { p - 1 } ) f ( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { p - 2 } \alpha _ { i } x _ { i } } { 1 - \alpha _ { p } - \alpha _ { p - 1 } } ) + \alpha _ { p - 1 } f ( x _ { p - 1 } ) + \alpha _ { p } f ( x _ { p } ) } \\ & { \geq . . . \geq \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } f ( x _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { p } \alpha _ { i } l ( x _ { i } ) } \\ & { \geq \mathbb { C } l ( x ) . } \end{array}
\sigma _ { x y } = - \left\langle \frac { 1 } { 2 \Omega N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { i > j } \frac { \partial U } { \partial r _ { i j } } \frac { r _ { i j } ^ { x } r _ { i j } ^ { y } } { { r _ { i j } } } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { D } _ { n } ^ { 2 } \psi - \mathcal { D } ^ { 2 } \psi \| _ { p + 2 } \leq \| \mathcal { D } _ { n } ^ { 2 } \psi - \mathcal { D } ^ { 2 } \psi \| _ { p + 6 } } \\ & { \leq \| \mathcal { D } _ { n } ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \psi \| _ { p + 6 } + \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) ( \mathcal { D } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi ) \| _ { p + 6 } + \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 6 } } \\ & { \preceq \| ( \mathcal { D } _ { n } - \mathcal { D } ) \psi \| _ { p + 3 } + \| ( \mathcal { D } \psi - \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi ) \| _ { p + 3 } + 1 / n \| \mathcal { P } _ { n } \mathcal { D } \psi \| _ { p + 3 } } \\ & { \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } + 1 / n \| \mathcal { D } \psi \| _ { p + 4 } + 1 / n \| \mathcal { D } \psi \| _ { p + 3 } \preceq 1 / n \| \psi \| _ { p } . } \end{array}
\left| \frac { V _ { u b } } { V _ { c b } } \right| \; \approx \; \left( \frac { m _ { u } } { m _ { c } } \right) ^ { 1 / 2 } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left| \frac { V _ { t d } } { V _ { t s } } \right| \; \approx \; \left( \frac { m _ { d } } { m _ { s } } \right) ^ { 1 / 2 } \; ,
\mathbf U ^ { \dagger } \mathbf { T } _ { \mathrm { ~ H ~ P ~ } } \mathbf U = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { \mathrm { i } \zeta _ { m } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { \mathrm { i } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathrm { i } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \mathrm { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { i } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { E _ { z } = \int _ { x _ { b } } ^ { \infty } \frac { d x _ { 0 } } { d x } \frac { d x } { d \xi } d x + g \int _ { x _ { b } } ^ { \infty } x _ { 0 } \frac { d x _ { 0 } } { d x } \frac { d x } { d \xi } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { = 1 + \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \varepsilon _ { r } - 1 ) } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega } , } \\ { f _ { \mathrm { F } } ( \omega ) } & { = \frac { A _ { 3 } \omega \omega _ { 0 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \eta \omega ) ^ { 2 } } , } \end{array}
i \hbar { \frac { \partial \psi ( \vec { x } , t ) } { \partial t } } = \hat { H } \, \psi ( \vec { x } , t ) = \left[ \hat { \vec { p } } \, \sp 2 - { \frac { l ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } + { \frac { \overline { { { l } } } \sp 2 } { r ^ { 2 } } } \right] \Psi ( \vec { x } , t )
\begin{array} { r l } { P _ { A } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } \frac { \langle B ^ { 2 } \rangle } { \langle N _ { W } \rangle } \bigg [ \bigg \langle \frac { N _ { W } } { B ^ { 2 } } \bigg \rangle - \bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { W } } \bigg \rangle ^ { - 1 } \bigg ] , } \\ { P _ { B } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \epsilon ^ { 2 } } \frac { \langle B ^ { 2 } \rangle } { \langle N _ { W } \rangle } \bigg [ \frac { \langle N _ { W } \rangle } { \langle B ^ { 2 } \rangle } - \bigg \langle \frac { B ^ { 2 } } { N _ { W } } \bigg \rangle ^ { - 1 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \alpha } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + m _ { \beta } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } } & { = } & { m _ { \alpha } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + m _ { \beta } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + \Delta I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } \mathrm { , ~ w i t h } } \\ { \Delta I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } } & { = } & { I _ { k } ^ { \alpha } + I _ { j } ^ { \beta } - I _ { i } ^ { \alpha } - I _ { l } ^ { \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \circ \Bar { R } ( x ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k } \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } ( j + 1 , k - j ) } \epsilon ( \sigma ) P ( R _ { j } ( x _ { \sigma ( 0 ) } \cdot \cdots \cdot x _ { \sigma ( j ) } ) \cdot x _ { \sigma ( j + 1 ) } \cdot \cdots \cdot x _ { \sigma ( k ) } ) } \\ & { = \sum _ { \tiny { \begin{array} { c } { i + j = k } \\ { i , j \geq 0 } \end{array} } } \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } ( j + 1 , i ) } \epsilon ( \sigma ) P _ { i } ( R _ { j } ( x _ { \sigma ( 0 ) } \cdot \cdots \cdot x _ { \sigma ( j ) } ) \cdot x _ { \sigma ( j + 1 ) } \cdot \cdots \cdot x _ { \sigma ( r ) } ) } \\ & { = \sum _ { \tiny { \begin{array} { c } { i + j = r } \\ { i , j \geq 0 } \end{array} } } ( P _ { i } \circ R _ { j } ) ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { - 1 } U _ { l } ( r ) U _ { l } ( r ^ { \prime } ) = \frac { ( h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( r ) + A h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( r ) ) ( h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( r ^ { \prime } ) + A h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( r ^ { \prime } ) ) } { 2 \beta _ { + } ^ { - 1 } ( 1 ) \frac { h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) } { h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } \left( 1 - A \frac { h _ { + } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) } { h _ { + } ^ { ( 2 ) } ( 1 ) } \right) } } \end{array}
{ \mathbf { \mathbf { \mathbf { h } } } } ^ { t } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } { \mathbf { \mathbf { \mathbf { h } } } } ^ { T } \otimes { \mathbf { \mathbf { \mathbf { h } } } } ^ { \tau } ,
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { 0 } ( Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 6 \alpha M ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, x ^ { 2 } \Big [ g _ { 1 } - x ^ { 2 } \tau ^ { - 1 } g _ { 2 } \Big ] ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { \nu ^ { 3 } } \, \sigma _ { T T } ( \nu , Q ^ { 2 } ) , } \\ { \delta _ { L T } ( Q ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 6 Z ^ { 2 } \alpha M ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } \mathrm { d } x \, x ^ { 2 } \big [ g _ { 1 } + g _ { 2 } \big ] ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \nu _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } \nu } { Q \nu ^ { 2 } } \, \sigma _ { L T } ( \nu , Q ^ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { \sqrt { 5 } } { 3 } \frac { \partial w ^ { 1 } } { \partial x _ { i } } = \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } a _ { 1 1 n ^ { \prime } } w _ { i } ^ { n ^ { \prime } | 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } a _ { 1 n n ^ { \prime } } w _ { i } ^ { n ^ { \prime } | 1 } = 0 , \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 2 .
\begin{array} { r l } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } } \\ { \le } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times \sum _ { a \in \mathcal { D } _ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \le } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \sum _ { a \in \mathcal { D } _ { n } } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } \frac { \partial } { \partial t } u _ { i } + \frac { \partial } { \partial t } v _ { i } \le a ^ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } \left( d _ { u , i } { u _ { i } } _ { x x } - { u _ { i } } _ { x } \right) } & { + \left( d _ { v , i } { v _ { i } } _ { x x } - { v _ { i } } _ { x } \right) } \\ & { + K _ { 2 \beta _ { 1 } + 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( u _ { j } + v _ { j } ) ^ { r } + 1 \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi ( x ) } & { = \int { \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { \delta ( p ^ { 0 } - E ( \mathbf { p } ) ) } { 2 E ( \mathbf { p } ) } } \left( A ( p ) e ^ { - i p \cdot x } + B ( p ) e ^ { + i p \cdot x } \right) \theta ( p ^ { 0 } ) } \\ & { = \int \left. { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { 2 E ( \mathbf { p } ) } } \left( A ( \mathbf { p } ) e ^ { - i p \cdot x } + B ( \mathbf { p } ) e ^ { + i p \cdot x } \right) \right| _ { p ^ { 0 } = + E ( \mathbf { p } ) } . } \end{array} }
\begin{array} { c } { m ( \frac { \partial v } { \partial t } + ( v \cdot \nabla ) v ) = - \nabla V + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \frac { \Delta \sqrt { \rho } } { \sqrt { \rho } } } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal L } _ { \mathrm { e q } } } & { { } = } & { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \bar { \psi } _ { e } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { 5 } \psi _ { e } \sum _ { u , d } \left[ C _ { 1 u } \bar { \psi } _ { u } \gamma _ { \mu } \psi _ { u } + C _ { 1 d } \bar { \psi } _ { d } \gamma _ { \mu } \psi _ { d } \right] } \end{array}