harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
m \, \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \, \mathrm { T r } ~ ( \lambda ^ { j } \, \lambda ^ { j } ) ~ + ~ \overline { { m } } \, \sum _ { \bar { j } = 1 } ^ { 3 } \mathrm { T r } ~ ( \bar { \lambda } ^ { \bar { j } } \, \bar { \lambda } ^ { \bar { j } } ) \, .
\gamma _ { p , k } = \frac { \left| \mathbf { h } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { { k } } \right| ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \left| \mathbf { h } _ { k } ^ { H } \mathbf { w } _ { i } \right| ^ { 2 } + \left\| \mathbf { f } _ { k } ^ { H } \boldsymbol { \Psi } \right\| ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { k } ^ { 2 } } , \forall k \in \mathcal { K } ,
\widetilde { K } ^ { i j } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d z _ { + } ^ { \prime \prime } \widetilde { O } ^ { i j } ( z _ { + } , z _ { + } ^ { \prime \prime } ) \theta ( 1 - \alpha _ { + } ^ { \prime } ) \theta ( \alpha _ { + } ^ { \prime } ) \theta ( \alpha _ { + } ^ { \prime } + \alpha _ { - } ^ { \prime } ) \theta ( \alpha _ { + } ^ { \prime } - \alpha _ { - } ^ { \prime } ) K ^ { i j } ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } ) ~ ,
\begin{array} { r } { N u = 1 + \sqrt { P r R a } \left( \langle \overline { { w \theta } } \rangle - \langle \int _ { 0 } ^ { z } ( \overline { { \theta w _ { z ^ { \prime } } } } + \overline { { w } } ) d z ^ { \prime } \rangle \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { i _ { 1 } } & { { } = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) , \theta \right] , } \\ { i _ { 2 } } & { { } = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } i _ { 1 } , \theta \right] , } \\ { i _ { 3 } } & { { } = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } i _ { 2 } , \theta \right] , } \\ { i _ { 4 } } & { { } = \mathcal { N } \left[ \mathbf { X } \left( t \right) + i _ { 3 } , \theta \right] , } \\ { z } & { { } = \mathbf { X } \left( t \right) + \frac { 1 } { 6 } \left( i _ { 1 } + 2 i _ { 2 } + 2 i _ { 3 } + i _ { 4 } \right) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { b _ { 0 ~ ~ } } & { c _ { 0 ~ ~ } } & & & & & & & \\ { 0 } & { b _ { 1 ~ ~ } ^ { ' } } & { c _ { 1 ~ ~ } } & & & & & & \\ & { 0 } & { b _ { 2 ~ ~ } ^ { ' } } & { c _ { 2 ~ ~ } } & & & & & \\ & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & & & \\ & & & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & { \cdot { ~ ~ ~ } } & & & \\ & & & & { 0 } & { b _ { n - 1 } ^ { ' } } & { c _ { n - 1 } } & & \\ & & & & & { 0 } & { b _ { n ~ ~ } ^ { ' } } \end{array} \right] \left[ { \begin{array} { c } { \psi _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 1 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { 2 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { \psi _ { n - 1 } ^ { ~ } } \\ { \psi _ { n ~ ~ } ^ { ~ } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { g _ { 0 ~ ~ } ^ { ~ } } \\ { g _ { 1 ~ ~ } ^ { ' } } \\ { g _ { 2 ~ ~ } ^ { ' } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { ~ \cdot _ { ~ ~ ~ } } \\ { g _ { n - 1 } ^ { ' } } \\ { g _ { n ~ ~ } ^ { ' } } \end{array} } \right] .
\boldsymbol { \Phi } _ { i } = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } E _ { i } ^ { j } \rho ^ { ' } ( x , y , t _ { j } ) } { \left\| \sum _ { j = 1 } ^ { N } E _ { i } ^ { j } \rho ^ { ' } ( x , y , t _ { j } ) \right\| } , \quad \mathrm { a n d } \quad \Tilde { \mathbf { a } } _ { i } = ( \mathbf { \Phi } _ { i } ) ^ { T } \mathbf { A } , \quad i = 1 , 2 \ldots , N .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } < \partial _ { t } u _ { \theta } , \phi > _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) } d t } \\ & { } & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { - \Delta u _ { \theta } + q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \end{array}
\int _ { V } F ( x ) \, d ^ { k } X = \int _ { V } F ( x ) \left( e _ { i _ { 1 } } \wedge e _ { i _ { 2 } } \wedge \cdots \wedge e _ { i _ { k } } \right) d x ^ { i _ { 1 } } d x ^ { i _ { 2 } } \cdots d x ^ { i _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } ^ { S R 1 } ( \vec { r } , \omega ) } & { { } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { c } \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } x } \frac { 1 } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \mathrm { e } ^ { - k ^ { 2 } x } \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( p , z ) \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( \delta _ { p } , v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , \delta _ { z } ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( \delta _ { z } , v _ { x _ { 1 } , t _ { 1 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - T ^ { - } } ( v _ { p , t _ { 0 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } , v _ { x _ { 1 } , t _ { 1 } ; t _ { 0 } - T ^ { - } } ) + C _ { 1 } } \\ { \le } & { S + C _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \alpha } \left( \Bar { T } _ { W } \right) + \boldsymbol { \beta } \left( \Bar { T } _ { P } \right) + \boldsymbol { \gamma } \left( \Bar { T } _ { E } \right) + \boldsymbol { \zeta } \left( \Bar { T } _ { N } \right) + \boldsymbol { \lambda } \left( \Bar { T } _ { S } \right) + \boldsymbol { \phi } \left( \Bar { T } _ { T } \right) + \boldsymbol { \psi } \left( \Bar { T } _ { B } \right) = \boldsymbol { \varphi } , } \end{array}
\delta \eta _ { c } ^ { ( r ) } = \bigg | \frac { \partial \eta _ { c } } { \partial r _ { N } } \bigg | \, \delta r _ { N } , \quad \delta \eta _ { c } ^ { ( a ) } = \bigg | \frac { \partial \eta _ { c } } { \partial a _ { F } } \bigg | \, \delta a _ { F } .
\begin{array} { r l r } { E _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { Q _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \cos \varphi - Q _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \sin \varphi + Q _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \, , \quad \quad } \\ { E _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { G _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi + G _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi - G _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta \, , } \\ { E _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { G _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \varphi - G _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \varphi \, , \quad \quad } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l l } { y _ { t } \, } & { \, = \mathcal { H } _ { \gamma , t } ( z _ { t } ) + \eta _ { t } , \quad \quad } & { \eta _ { t } \sim \mathcal { N } ( 0 , R _ { t } ) , } \\ { 0 \, } & { \, = z _ { t } + \epsilon _ { t } , \quad \quad } & { \epsilon _ { t } \sim \mathcal { N } ( 0 , \sigma ^ { 2 } I _ { d _ { z } } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { h ( m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \binom { n + 1 } { m + ( n + 1 ) / 2 } , } & { | m | \leq ( n + 1 ) / 2 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { y } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) } & { = \mu _ { 0 } + \boldsymbol { k } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \mathbf { K } ^ { - 1 } [ \boldsymbol { Y } - \mu _ { 0 } \boldsymbol { 1 } ] \, , } \\ { \sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) } & { = \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - \boldsymbol { k } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \mathbf { K } ^ { - 1 } \boldsymbol { k } ( \boldsymbol { p } _ { \ast } ) \, , } \end{array}
\sum _ { i = u , d , \; \dots } \mathrm { c o n s t a n t } \cdot q _ { i } ^ { \; 4 } m _ { i } ^ { - 6 } \approx 3 . 8 6 \; ( 1 + 1 0 ^ { - 3 } + \; \dots \; ) \cdot \frac { 1 } { m _ { e } ^ { \; 4 } } \; \; ,
\left[ g _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \right] = \left[ \rho _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) , \hat { \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } } _ { a } \right] = i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) = - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } } & { = ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } - \frac { M _ { 2 } ^ { R } } { 2 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } , } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } } & { = \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } + \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } , } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } } & { = \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } - \frac 1 2 M _ { 1 } ^ { L } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } , } \\ { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } } & { = \frac 1 2 M _ { 2 } ^ { R } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } + ( 1 - \frac { 1 } { 4 } M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } ) \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \left\langle \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } \right\rangle } & { \equiv } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin { ( \theta ) } \cos { ( \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { r } ) } ~ \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \phi } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin { ( \theta ) } \cos { ( q r \cos { ( \theta ) } ) } ~ \mathrm { d } \theta } \\ & { = } & { j _ { 0 } ( q r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } } ^ { \perp } \widetilde { \mathbf { V } } [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p k } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { k } } & { \stackrel { d } { = } \frac { \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p k } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { k } \| } { \| \mathbf { Z } _ { q k } \| } \, \, \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } } ^ { \perp } \, \mathbf { Z } _ { q k } } \\ & { = \left[ \frac { \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p k } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { k } \| } { \| \mathbf { Z } _ { q k } \| } - \sqrt { \rho _ { q k } } \right] \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } } ^ { \perp } \, \mathbf { Z } _ { q k } - \sqrt { \rho _ { q k } } \, \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u k } } \, \breve { \mathbf { Z } } _ { q k } + \sqrt { \rho _ { q k } } \, \mathbf { O } _ { q k } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q k } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { A _ { 4 a } ^ { s p a c e } } } & { { = } } & { { - \displaystyle \frac { 8 g _ { s } ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ \mathrm { d } x ] [ \mathrm { d } y ] [ \mathrm { d } z ] \phi _ { B } ( x ) \phi _ { Y } ( y ) \phi _ { Z } ( z ) \displaystyle \frac { - 1 2 } { z _ { 1 } ( 1 - y _ { 1 } ) } , } } \\ { { A _ { 4 b } ^ { s p a c e } } } & { { = } } & { { - \displaystyle \frac { 8 g _ { s } ^ { 2 } } { 3 \sqrt { 6 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ \mathrm { d } x ] [ \mathrm { d } y ] [ \mathrm { d } z ] \phi _ { B } ( x ) \phi _ { Y } ( y ) \phi _ { Z } ( z ) \displaystyle \frac { 1 2 } { z _ { 1 } ( 1 - y _ { 1 } ) } , } } \\ { { A _ { 4 k } ^ { s p a c e } } } & { { = } } & { { 0 ~ ~ ~ ~ ( k = c , d , e , f ) , } } \end{array}
\frac { d \sigma _ { \mu } } { d E _ { e } } = \frac { \pi \alpha ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } } \frac { ( | \mu _ { \nu , e f f } | ^ { 2 } } { \mu _ { B } ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { E _ { e } - m _ { e } } - \frac { 1 } { E _ { \nu } } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { M a p } _ { \mathrm { O p } _ { \mathrm { C o m m } / } } ( \mathbb { P } _ { 1 } ^ { \le m } , \mathcal { O } ) } & { \simeq \mathrm { M a p } _ { \mathrm { O p } _ { \mathrm { C o m m } / } } ( \mathcal { F } ( k [ x ] / ( x ^ { m + 1 } ) ) , \mathcal { O } ) \simeq } \\ & { \simeq \mathrm { M a p } _ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { g r } } } ( k [ x ] / ( x ^ { m + 1 } ) , \mathcal { P } \mathrm { o l } ( \mathcal { O } ) ) \: . } \end{array}
\Psi _ { L l m } ( \phi _ { L l m } , \tau ) = A _ { L l m } \exp [ \frac { i H } { 2 } ( H ^ { - 1 } \cosh \tau ) ^ { 3 } \frac { \dot { V } _ { L l m } } { V _ { L l m } } \phi _ { L l m } ^ { 2 } ]
\begin{array} { r } { \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { \star } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } \le 4 \sqrt { 2 } \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { \star } ) \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { \star } ) ^ { - 1 } } \le 8 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { \star } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) ^ { - 1 } } . } \end{array}
{ \tilde { \Upsilon } } _ { n , p } \, \doteq \left\{ \theta \in \mathbb { R } ^ { d _ { \theta } } : ( \theta - \hat { \theta } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { I V } } ) ^ { \mathrm { T } } R _ { n } ( \theta - \hat { \theta } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { I V } } ) \leq \frac { \mu \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { n } \right\} \! , \!
\frac { \partial \psi ^ { S } } { \partial E _ { i j } } = C \left( 2 a _ { 1 } I _ { 1 } \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial E _ { i j } } - a _ { 2 } \frac { \partial I _ { 2 } } { \partial E _ { i j } } + 2 a _ { 3 } I _ { 4 } \frac { \partial I _ { 4 } } { \partial E _ { i j } } \right) \ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( Q \right) ,
\rho _ { \mathrm { ~ 4 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } ^ { ( i + 1 ) } = \rho ^ { ( i ) } + \left( \frac { 2 8 2 5 } { 2 7 , 6 4 8 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 8 , 5 7 5 } { 4 8 , 3 8 4 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { 1 3 , 5 2 5 } { 5 5 , 2 9 6 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 4 } ^ { 2 } } + \frac { 2 7 7 } { 1 4 , 3 3 6 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 5 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { \hat { c } _ { 6 } ^ { 2 } } \right) \Delta p ^ { ( i ) } ,
\Gamma _ { D } ~ = ~ g _ { \mathrm { e f f } } ~ \omega ~ \rho \left( \frac { \omega } { 2 T _ { L } } \right) ~ \rho \left( \frac { \omega } { 2 T _ { R } } \right) ~ \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \left\langle t _ { \mathrm { A P } } \right\rangle } & { = \tau _ { s } \left\langle S _ { \infty | - \infty } \right\rangle = \tau _ { \mathrm { r e s t } } \left( \frac { 4 } { \nu ^ { 2 } ( 1 - 4 \rho ) } \right) ^ { 1 / 3 } M ( \alpha ) = \frac { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } { \nu ^ { 2 / 3 } } \left( \frac { 4 } { 1 - 4 \rho } \right) ^ { 1 / 3 } \ M ( \alpha ) , } \\ { \mathrm { V a r } \left( t _ { \mathrm { A P } } \right) } & { = \tau _ { s } ^ { 2 } \mathrm { V a r } \left( S _ { \infty | - \infty } \right) = \frac { \tau _ { \mathrm { r e s t } } ^ { 2 } } { \nu ^ { 4 / 3 } } \left( \frac { 4 } { 1 - 4 \rho } \right) ^ { 2 / 3 } \ S ( \alpha ) . } \end{array}
\Gamma _ { 4 , t r e e } ^ { \hat { \varepsilon } ^ { 0 } a _ { 0 } . . . \hat { \varepsilon } ^ { 3 } a _ { 3 } } \propto \left[ ( \hat { \varepsilon } ^ { 0 } \cdot \hat { \varepsilon } ^ { 1 } ) ( \hat { \varepsilon } ^ { 2 } \cdot \hat { \varepsilon } ^ { 3 } ) f ^ { a _ { 0 } a _ { 3 } e } f ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } e } + p e r m . \right] \neq 0 .
P ( \delta y ) = N \int d \Gamma \; \Gamma ^ { a } e ^ { - b \Gamma } \; \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \; \; \frac { ( 1 - z ) ^ { a } } { z } \; e ^ { - b m ^ { 2 } / z } \; \delta \left( \delta y - \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { \Gamma + m ^ { 2 } / z } { \Gamma ( 1 - z ) } \right) \right) \; .
\{ S _ { 1 } , H _ { 1 } \} _ { m } = \frac { B ^ { * } } { m B _ { \parallel } } ( \nabla ^ { * } S _ { 1 } \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial v _ { \parallel } } - \nabla ^ { * } S _ { 1 } \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial v _ { \parallel } } ) = \mathcal { O } ( \varepsilon _ { \delta } ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r } { \tau _ { 1 } = \pm \sqrt { \frac { \gamma \sigma \tau _ { 2 } ^ { 2 } ( 2 - Z _ { 2 } - Z _ { 2 } ^ { * } ) - ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \gamma ( 2 - Z _ { 1 } - Z _ { 1 } ^ { * } ) } } . } \end{array}
( - \mu _ { 0 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } \cdot \boldsymbol { p } _ { t } ^ { \prime } - \boldsymbol { f f } _ { t } ^ { \prime } , \bar { \bar { \boldsymbol { I } } } _ { \phi , t } , \boldsymbol { p } _ { t } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \Delta { \bf n } ^ { ( 0 ) } = } & { { } \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \rho } _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 0 ) } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] - { \bf n } ^ { ( 0 ) } \right) , } \end{array}
P \left[ \boldsymbol { Y } | \boldsymbol { H } \right] = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { y _ { i } ^ { t } , h _ { i } ^ { t } } P \left[ y _ { i } ^ { t } | h _ { i } ^ { t } \right]
\begin{array} { r l } { K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { m } - v ^ { m } - v ^ { m } ] \leq } & { K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) v ^ { m } [ ( 1 + z ) ^ { m } - 1 - z ^ { m } ] \leq 2 C _ { m } K ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) v ^ { m } z } \\ { \leq } & { 2 C _ { m } K _ { 0 } v ^ { \gamma } ( z ^ { \beta } + z ^ { - \alpha } ) v ^ { m } z \leq 4 C _ { m } K _ { 0 } v ^ { \gamma + m } z ^ { - \alpha + 1 } } \\ { \leq } & { 4 C _ { m } K _ { 0 } ( v ^ { \beta + m - 1 } v ^ { - \alpha + 1 } + v ^ { \beta + m - 1 } v ^ { - \alpha + 1 } ) , } \end{array}
R _ { e } = \left( R _ { e } \right) _ { S M } \left( 1 - 1 . 0 1 \delta g _ { L } ^ { b } + \left( - 0 . 3 1 3 s ^ { 2 } c ^ { 2 } - 0 . 5 0 5 s ^ { 4 } - 0 . 2 6 0 \left( 1 - s ^ { 4 } \right) \right) { \frac { 1 } { x } } \right)
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - y } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq a - \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - x } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq a - \epsilon , y \leq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { \epsilon - \sqrt { \left( x - a + \epsilon \right) ^ { 2 } + \left( y - a + \epsilon \right) ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq a - \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 1 , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \\ { \phi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { a - y } { \epsilon / 2 } , \quad x \geq L x - a + \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { x - L x + a } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq L x - a + \epsilon , y \leq a - \epsilon , } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \frac { \epsilon - \sqrt { \left( x - L x + a - \epsilon \right) ^ { 2 } + \left( y - a + \epsilon \right) ^ { 2 } } } { \epsilon / 2 } , \quad x \leq L x - a + \epsilon , y \geq a - \epsilon , } \\ { 1 , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
E ^ { 3 } + \frac { 3 E ^ { 2 } } { 2 } + ( \delta \tilde { \gamma } ^ { 2 } + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \delta \tilde { \gamma } + \frac { 3 } { 4 } ) E + \frac { 1 } { 8 } = 0 .
\eta = \frac { 3 m _ { e } ^ { 1 / 2 } e ^ { 2 } \ln { \Lambda _ { f } } } { 4 \sqrt { 2 } k _ { B } ^ { 3 / 2 } ( T + T _ { F } ) ^ { 3 / 2 } } \operatorname* { m i n } \{ 1 , \ T / T _ { F } \} .
\begin{array} { r c l } { { | \psi _ { i } > } } & { { = } } & { { | q _ { i } > \otimes | p _ { \lambda } = 0 > \otimes | - + > = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | n > \otimes | p _ { \lambda } = 0 > \otimes | - + > < n | q _ { i } > \ \ \ , } } \\ { { | \psi _ { f } > } } & { { = } } & { { | q _ { f } > \otimes | p _ { \lambda } = 0 > \otimes | - + > = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } | n > \otimes | p _ { \lambda } = 0 > \otimes | - + > < n | q _ { f } > \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { i j } + { \mathrm { \boldmath ~ v ~ } } _ { j i } } & { = \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) } { d _ { i j } } + \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } } } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ) } { d _ { i j } } } \\ & { = \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) } { d _ { i j } } + \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( P _ { i j } \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } , P _ { i j } - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ) } { d _ { i j } } } \\ & { = \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) } { d _ { i j } } - \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( P _ { i j } \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) } { d _ { i j } } } \\ & { = - \frac { g _ { { \scriptsize \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } } ( P _ { i j } \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , - \log _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } } \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ) } { d _ { i j } } = \dot { d } _ { i j } . } \end{array}
y [ n ] = { \frac { b _ { 0 } K ^ { 2 } + b _ { 1 } K + b _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } \cdot x [ n ] + { \frac { 2 b _ { 2 } - 2 b _ { 0 } K ^ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } \cdot x [ n - 1 ] + { \frac { b _ { 0 } K ^ { 2 } - b _ { 1 } K + b _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } \cdot x [ n - 2 ] - { \frac { 2 a _ { 2 } - 2 a _ { 0 } K ^ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } \cdot y [ n - 1 ] - { \frac { a _ { 0 } K ^ { 2 } - a _ { 1 } K + a _ { 2 } } { a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } } } \cdot y [ n - 2 ] \ .
\begin{array} { r l } & { { R _ { \phi } } ( P _ { 0 } | P _ { 0 } + t \mu , P _ { 0 } + s \widetilde \mu ) } \\ & { = \frac { s t \phi ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } \int g h \, d P _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) } { ( 1 + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( 1 ) \int h ^ { 2 } \, d P _ { 0 } ) ( 1 + \frac { s ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( 1 ) \int g ^ { 2 } \, d P _ { 0 } ) + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) } } \\ & { = s t \phi ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } \int g h \, d P _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) . } \end{array}
[ T _ { i } , T _ { j } ] = c _ { i j k } T _ { k } \ , \quad [ T _ { i } , T _ { j } ^ { \prime } ] = c _ { i j k } T _ { k } ^ { \prime } \ , \quad [ T _ { i } ^ { \prime } , T _ { j } ^ { \prime } ] = - c _ { i j k } T _ { k } \ .
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \tilde { \phi } _ { i } ( \mathbf { r } ) \tilde { \phi } _ { j } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 6 } } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \exp \left[ \frac { - ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \ell } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, \exp \left[ \frac { - \left( \mathbf { r } - \left[ \frac { \mathbf { r } _ { k } + \mathbf { r } _ { \ell } } { 2 } \right] \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { V } ( \xi ) = \left( - \frac { p _ { \theta } } { p _ { \rho } } V _ { 5 } , V _ { \xi } , V _ { 5 } , 0 , 0 , 0 \right) ^ { \top } , \quad \mathcal { W } ( \xi ) = \left( - \frac { p _ { \theta } } { p _ { \rho } } V _ { 5 } , W _ { \xi } , V _ { 5 } , 0 , 0 , 0 \right) ^ { \top } , } \end{array}
\epsilon = \frac { n _ { G R D } ( E _ { X } ) } { I ( E _ { X } ) \cdot \kappa _ { I } \cdot t } = \frac { n _ { G R D } ( E _ { X } ) \cdot \epsilon _ { H P G e } ( E _ { X } ) } { n _ { H P G e } ( E _ { X } ) \cdot \kappa _ { I } } ,