harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \mathbb { V } } ( v ^ { \prime } + v + w ) } & { = e ^ { - \pi Q ( v , v ) } } \\ & { \quad \times \varphi _ { \mathbb { V } } ( a ( v ^ { \prime } ) N e ^ { 2 , 2 } + b ( v + v ^ { \prime } ) N ^ { 2 } e ^ { 2 , 2 } + w ) . } \\ & { = e ^ { - \pi ( Q ( v , v ) - Q ( v ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) ) } } \\ & { \quad \times \phi \left( \frac { b ( v + v ^ { \prime } + w ) - a ( v ^ { \prime } ) \mathrm { R e } ( z ) } { \mathrm { I m } ( z ) } \right) \Omega , } \end{array}
| 0 ; g \rangle = A d \, T ( g ) \, | 0 ; e \rangle = | ( 3 , 0 ) ; ( I , I _ { 3 } , Y ) ; e \rangle D _ { ( I , I _ { 3 } , Y ) ; ( 0 , 0 , - 2 ) } ^ { ( 3 , 0 ) } ( g )
\begin{array} { r } { \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ s ~ e ~ d ~ } } ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { s } } \\ { \mathbf { u } ^ { s } = \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ i ~ m ~ p ~ o ~ s ~ e ~ d ~ } } ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { u } } \\ { p ^ { l } = 0 ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { p } } \\ { p ^ { b } = 0 ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \mathbb { D } { \boldsymbol \varepsilon } ( { \boldsymbol u } _ { \Omega } ) ( x ) \colon { \boldsymbol \varepsilon } ( { \boldsymbol v } ) ( x ) \, \mathrm { d } x = \langle \boldsymbol { t } , \boldsymbol { v } \rangle _ { H ^ { 1 / 2 } ( \Gamma _ { t } ) ^ { d } } \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \ \boldsymbol { v } \in V ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } \beta ( x ) } & { = 4 \int _ { 0 } ^ { x } f ( z ) d z \int _ { x } ^ { \infty } z f ( z ) d z - \frac { x } { 2 } + 2 x \left( \int _ { 0 } ^ { x } f ( z ) d z \right) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 f ( x ) \int _ { 0 } ^ { x } z ^ { 2 } f ( z ) d z + 2 x f ( x ) \int _ { x } ^ { \infty } z f ( z ) d z , } \end{array}
- { \frac { \lambda _ { 2 } } { m _ { c } ^ { 2 } } } + { \frac { \lambda _ { 1 } + 3 \lambda _ { 2 } } { 4 m _ { c } ^ { 2 } } } \, \bigg ( 1 + \frac 2 3 \, z + z ^ { 2 } \bigg ) \, .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb E \left[ L _ { T - 1 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \le \mathbb E \left[ L _ { T - 1 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \cdot \left( \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } } + \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ K ^ { 3 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { 1 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) L _ { T - 1 } ^ { 2 } \right] + \mathbb E \left[ ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) L _ { T - 1 } \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { g a p } , n } ^ { K } } & { = v _ { F } \mathrm { s g n } \, ( n ) \sqrt { 2 | ( | n | + \frac { \varphi } { 2 \pi } ) \beta | - ( | n | + \frac { \varphi } { 2 \pi } ) ^ { 2 } \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } , } \\ { E _ { \mathrm { g a p } , n } ^ { K ^ { \prime } } } & { = v _ { F } \mathrm { s g n } \, ( n ) \sqrt { 2 | ( | n | - \frac { \varphi } { 2 \pi } ) \beta | - ( | n | - \frac { \varphi } { 2 \pi } ) ^ { 2 } \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } . } \end{array}
\check { R } ^ { ( 2 3 ) } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) \check { R } ^ { ( 1 2 ) } ( z _ { 1 } ) \check { R } ^ { ( 2 3 ) } ( z _ { 2 } ) = \check { R } ^ { ( 1 2 ) } ( z _ { 2 } ) \check { R } ^ { ( 2 3 ) } ( z _ { 1 } ) \check { R } ^ { ( 1 2 ) } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left[ \left\vert \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } ( X _ { 1 } ^ { \top } X _ { 1 } - T _ { 1 } \Gamma ^ { ( 1 ) } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } \right\vert \geq \frac { 4 T _ { 1 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { \mathfrak m ( f ) } \right] } & { \leq 2 e ^ { - \frac { T _ { 1 } } { 2 } \operatorname* { m i n } \{ \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \} } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { H } ( \Phi _ { 1 } , Q ) = h _ { 3 } ( - Q ) - \epsilon \left[ \cos \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { \Phi _ { 0 } } \right) + \frac { L _ { 2 } \epsilon } { 4 \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } \cos \left( \frac { 2 \Phi _ { 1 } } { \Phi _ { 0 } } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { - 2 } } & { { } = \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \sin 2 \phi h _ { + } + \cos \theta \cos 2 \phi h _ { \times } } \\ { h _ { - 1 } } & { { } = - \frac 1 2 \sin 2 \theta \sin \phi h _ { + } - \sin \theta \cos \phi h _ { \times } } \\ { h _ { 0 } } & { { } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta h _ { + } } \\ { h _ { 1 } } & { { } = - \frac 1 2 \sin 2 \theta \cos \phi h _ { + } + \sin \theta \sin \phi h _ { \times } } \\ { h _ { 2 } } & { { } = \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \cos 2 \phi h _ { + } - \cos \theta \sin 2 \phi h _ { \times } . } \end{array}
[ E _ { \alpha } , E _ { \beta } ] = \left\{ \begin{array} { c l } { { \pm \, E _ { \alpha + \beta } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ \ a l p h a + \ b e t a ~ i s ~ a ~ r o o t } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \rho _ { e q } ( x ) : } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x | x _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { N } ( x | - x _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } ) = } \end{array}
S ( 0 , x ) = S _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad I ( 0 , x ) = I _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad R ( 0 , x ) = R _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad x \in \mathcal { U } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \eta ^ { 2 } } h ( s ; \eta ) } & { = \mathbb { E } \left[ \frac { s } { 2 } \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { \frac { s } { 2 } - 1 } \left( \frac { 2 \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] } \\ & { \qquad + \mathbb { E } \left[ \frac { s } { 2 } \left( \frac { s } { 2 } - 1 \right) \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { \frac { s } { 2 } - 2 } \left( - \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { 2 \eta \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X ^ { 2 } + \frac { 2 \eta \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\mathrm { d } \mathrm { J a c } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } ) = \mathrm { J a c } ( \mathrm { d } r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { \lvert r _ { 1 } \rvert } \mathrm { J a c } ( r _ { 1 } , \mathrm { d } r _ { 2 } , r _ { 3 } ) + ( - 1 ) ^ { \lvert r _ { 1 } \rvert + \lvert r _ { 2 } \rvert } \mathrm { J a c } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \mathrm { d } r _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { q _ { 0 , \Phi } ^ { ( | i - L _ { j } | ) } } & { \ge q _ { 0 , \Phi } ^ { \prime } } \\ { D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { ( | i - L _ { j } | ) } ) } & { \ge D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } \\ { 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { ( | i - L _ { j } | ) } ) } } & { \le 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { \mathrm { m i n } } ) } } \end{array}
\mathrm { I m } T _ { I J } ^ { ( 4 ) } ( s ) = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \sqrt { 1 - { \frac { 4 m ^ { 2 } } { s } } } [ T _ { I J } ^ { ( 2 ) } ( s ) ] ^ { 2 } , \, \, \, s > 4 m ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { h ( \theta _ { t } ; s _ { t } ^ { i } , a _ { t } ^ { i } ) } & { = \delta _ { i } ^ { \pi _ { \theta _ { t } } } \cdot \nabla _ { \theta } \log \pi _ { \theta _ { t } } ( a _ { t } ^ { i } | s _ { t } ^ { i } ) , } \\ { \delta _ { i } ^ { \pi _ { \theta _ { t } } } } & { = r ( s _ { t } ^ { i } , a _ { t } ^ { i } ) - \eta _ { t } + \langle \phi ( s _ { t + 1 } ^ { i } ) - \phi ( s _ { t } ^ { i } ) , \omega _ { t } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl \| } & { { } \frac { \tau \sigma } { 1 + \sigma } A ^ { \dagger } F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - \frac { \tau \sigma } { 1 + \sigma } A ^ { \dagger } F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) \Bigr \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \beta _ { * } \sim } & { \frac { \langle B _ { l , * } , ( \Delta \hat { \mathcal { B } } ) B _ { r , * } \rangle } { \langle B _ { l , * } , B _ { r , * } \rangle } = - \frac { 1 } { | m | ^ { 2 } + | z | ^ { 2 } | u | ^ { 2 } } \langle ( M \mathcal { S } [ \cdot ] ( \Delta M ) ^ { * } ) M M ^ { * } \rangle } \\ { = } & { - \langle M ( \Delta M ) ^ { * } \rangle \sim - \langle M ( \partial _ { w } M ) ^ { * } \rangle ( w _ { 2 } - \bar { w } _ { 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { q , n } ( t ) } & { { } = \eta _ { 0 q , n } \exp \! \; \! \left[ { - \omega _ { n } \zeta _ { n } ( 1 - \zeta _ { n } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } ( t - t _ { n } ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { h } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { u } | | _ { \omega } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } + \mathbf { u } ^ { \prime } | | _ { \omega } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf B } } & { { } = } & { \nabla \times \hat { \bf A } = \frac { { \bf k } \times \hat { \bf E } } { \omega } } \\ { \hat { \bf E } } & { { } = } & { - \partial _ { t } \hat { \bf A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d F _ { c } ( x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \Psi _ { c ( x ) s } ( x ) d s + d c ( x ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s Z \circ \Psi _ { c ( x ) s } ( x ) d s } \\ { d F _ { c } ( x ) ( Z ( x ) ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } Z \circ \Psi _ { c ( x ) s } ( x ) d s + ( d c ( x ) ( Z ( x ) ) ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s Z \circ \Psi _ { c ( x ) s } ( x ) d s } \\ & { = \frac { 1 } { c ( x ) } ( \Psi _ { c ( x ) } ( x ) - x ) + ( d c ( x ) ( Z ( x ) ) ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s Z \circ \Psi _ { c ( x ) s } ( x ) d s \mathrm { ~ w h e n ~ } c ( x ) \neq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { = \{ v = ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } : \, v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } + v _ { 3 } ^ { 2 } = 1 \} , } \\ { \quad S _ { 2 } } & { = \{ w = ( w _ { 1 } , w _ { 2 } , w _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } : \, w _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 2 } ^ { 2 } + w _ { 3 } ^ { 2 } = 1 \} . } \end{array}
\partial _ { x } = \partial _ { x ^ { \prime } } ; ~ ~ ~ \partial _ { y } = \partial _ { y ^ { \prime } } ; ~ ~ ~ \partial _ { z } = \partial _ { z ^ { \prime } } ; ~ ~ ~ \partial _ { t } = \partial _ { t ^ { \prime } } - U _ { 0 } \partial _ { x } ^ { \prime } ;
\begin{array} { r l } { \Pi _ { i n } \left( \lambda _ { 0 } , \Delta \lambda , \sigma \right) } & { { } = \tilde { \Delta } ^ { o p } \left( \lambda _ { 0 } , \Delta \lambda , \sigma \right) \tilde { P } _ { i n } \left( \lambda _ { 0 } , \Delta \lambda , \sigma \right) } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \vec { \xi } } & { \vec { \nu } } & { \vec { \epsilon } } \end{array} \right) ^ { \top } = \left( \begin{array} { l l l } { \vec { 1 } } & { \vec { 0 } } & { \vec { 0 } } \end{array} \right) ^ { \top } \! .
\Omega _ { - \ell m } \tau _ { - \ell m } ^ { ( \lambda ) } ( \theta ) = \Omega _ { \ell m } \tau _ { \ell m } ^ { ( - \lambda ) } ( \theta ) = ( - 1 ) ^ { \ell + m + 1 } \Omega _ { \ell m } \tau _ { \ell m } ^ { ( \lambda ) } ( \pi - \theta )
{ \cal R } _ { 0 } = m \sqrt { u ^ { 2 } } + e u ^ { \mu } A _ { \mu } - \frac { u ^ { \mu } } { 2 } { \omega } _ { \mu } ^ { a b } S _ { a b } + \frac { e g } { 4 m } F ^ { a b } S _ { a b } \sqrt { u ^ { 2 } } - \frac { \kappa } { 8 m } R ^ { a b c d } S _ { a b } S _ { c d } \sqrt { u ^ { 2 } } \, .
\widehat { P } ( k ^ { 2 } \Delta t ) = \exp \left[ \mathrm { i } \phi \left( \widehat { Z } _ { 2 } + \frac 1 2 \widehat { Z } _ { 1 } + \frac 1 4 \widehat { Z } _ { 0 } + 2 \widehat { Z } _ { 2 } \otimes \widehat { Z } _ { 1 } + \widehat { Z } _ { 2 } \otimes \widehat { Z } _ { 0 } + \frac 1 2 \widehat { Z } _ { 1 } \otimes \widehat { Z } _ { 0 } \right) \right] ,
\tilde { G } _ { \mu \nu } ^ { ( 6 . 1 0 ) } ( q , T ) = - \frac { 4 } { 9 F ^ { 2 } } \; q _ { \mu } q _ { \nu } \; I ( q , T ) + \frac { 9 } { F ^ { 2 } } \; I _ { \mu \nu } ( q , T ) ,
\mathbb { T } _ { i } ^ { G } = [ ( t _ { 1 } ^ { i } , p _ { 1 } ^ { i } ) ; ( t _ { 2 } ^ { i } , p _ { 2 } ^ { i } ) ; \dots ; ( t _ { L _ { i } } ^ { i } , p _ { L _ { i } } ^ { i } ) ]
\begin{array} { r l } { \langle m + 1 | e ^ { i t H _ { \mathrm { X X Z } } } \; \hat { X } \; e ^ { - i t H _ { \mathrm { X X Z } } } | m \rangle } & { \sim \mathrm { c o s } ( \Delta E \cdot t ) , } \\ { \langle m + 1 | e ^ { i t H _ { \mathrm { X X Z } } } \; \hat { Y } \; e ^ { - i t H _ { \mathrm { X X Z } } } | m \rangle } & { \sim \mathrm { s i n } ( \Delta E \cdot t ) , } \end{array}
e ^ { - \Delta \tau ( \hat { H } _ { 1 } + \hat { H } _ { 2 } ) } \simeq e ^ { - \frac { \Delta \tau \hat { H } _ { 1 } } { 2 } } e ^ { - \frac { \Delta \tau \hat { H } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { - \frac { \Delta \tau \hat { H } _ { 1 } } { 2 } } + \mathcal { O } ( \Delta \tau ^ { 3 } ) .
\underline { { F } } _ { \boldsymbol { n , \epsilon } } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) = \left( 1 - \frac { \epsilon } { \sqrt { n } } \right) \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 , n } ( \boldsymbol { \delta } ) } ( \boldsymbol { y } ) + \frac { \epsilon } { \sqrt { n } } \Lambda _ { \boldsymbol { y } } .
\begin{array} { r l } { V \approx } & { { } V _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { m g } { l _ { e q } } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \frac { m g } { l _ { e q } } y ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } k z ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } k R ^ { 2 } \phi ^ { 2 } . } \end{array}
\rho ( x _ { i } ) \propto \frac { 1 } { ( 1 - x _ { 1 } x _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 2 } x _ { 3 } ) ( 1 - x _ { 3 } x _ { 4 } ) ( 1 - x _ { 4 } x _ { 1 } ) } .
\begin{array} { r l } { R _ { i j } } & { { } = - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a , b = 1 } ^ { n } { \Big ( } { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { i j } } { \partial x ^ { a } \partial x ^ { b } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { a b } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { j } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { i b } } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { a } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { j b } } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { a } } } { \Big ) } g ^ { a b } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin x } { x } } \, d x } & { \to \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \alpha x } { \frac { \sin x } { x } } d x , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { x } { \tan x } } \, d x } & { \to \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \frac { \tan ^ { - 1 } ( \alpha \tan x ) } { \tan x } } d x , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \ln ( 1 + x ^ { 2 } ) } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } & { \to \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \ln ( 1 + \alpha ^ { 2 } x ^ { 2 } ) } { 1 + x ^ { 2 } } } d x } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x - 1 } { \ln x } } \, d x } & { \to \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { \alpha } - 1 } { \ln x } } d x . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau ( \omega ) ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { s } \leq C _ { \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau ( \omega ) ] } \| u ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } \leq C _ { \kappa } ( 1 + 2 ^ { - l + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } ) \leq C _ { \kappa } ( 1 + \| u _ { 0 } \| _ { \tilde { s } } ) . } \end{array}
\eta _ { 0 } ( R , Z ) \, = \, \frac { 1 } { 4 \pi } \, e ^ { - ( R ^ { 2 } + Z ^ { 2 } ) / 4 } \, , \qquad \phi _ { 0 } ( R , Z ) \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \bigl ( L \eta _ { 0 } \bigr ) ( R , Z ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \varphi ( q ) } & { = 1 + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 4 q \left( 1 - q ^ { 2 } \cosh \left( { \sqrt { 2 \log q } } \, t \right) \right) } { q ^ { 4 } - 2 q ^ { 2 } \cosh \left( { \sqrt { 2 \log q } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \\ { \psi ( q ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } t ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 1 - { \sqrt { q } } \cosh \left( { \sqrt { \log q } } \, t \right) } { q - 2 { \sqrt { q } } \cosh \left( { \sqrt { \log q } } \, t \right) + 1 } } \right] d t } \end{array} }
{ \cal F } _ { 5 } ^ { \mu } = \frac { s } { \pi ^ { 2 + \epsilon } \Gamma ( 1 - \epsilon ) } \biggl [ q _ { 1 } ^ { \mu } I _ { 5 } - p _ { A } ^ { \mu } \frac { I _ { 4 A } } { s } + p _ { B } ^ { \mu } \frac { I _ { 4 B } } { s } - I _ { 5 } ^ { \mu } \biggr ] + \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { s ( - s _ { 1 } ) ( - s _ { 2 } ) } { ( - s ) s _ { 1 } s _ { 2 } } \right) { \cal I } _ { 3 } ^ { \mu } \; .
\left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) = \frac { e ^ { L / \lambda } \left( e ^ { L / \lambda } \xi S _ { \mathrm { l } } - S _ { \mathrm { r } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) } { \xi \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) } } \\ { P _ { \mathrm { r } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) = - \frac { e ^ { L / \lambda } \left( - e ^ { L / \lambda } S _ { \mathrm { r } } + \xi S _ { \mathrm { l } } \eta _ { l } ^ { \prime } \right) } { \xi \left( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } \right) } \ . } \end{array} \right.
{ j } = \lambda _ { T } \frac { a } { { { t ^ { 2 } } \left( y \right) } } \frac { { { F ^ { 2 } } } } { \varphi } \exp \left( { - b \frac { { { \varphi ^ { { 3 \mathord { \left/ { \vphantom { 3 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } } } { F } \vartheta \left( y \right) } \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { c } { \nu ^ { 1 / 3 } } \int _ { s } ^ { t } | \nabla \xi ( \tau ) | ^ { 4 / 3 } d \tau \leq \int _ { s } ^ { t } \left( \frac { \alpha \nu } { 2 } | \nabla \xi ( \tau ) | ^ { 2 } + C _ { \alpha } \right) d \tau \leq \frac { \alpha \nu } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } | \nabla \xi ( \tau ) | ^ { 2 } d \tau + C _ { \alpha } T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } X _ { t } ^ { P } } & { = b ^ { P } \left( t , a , X ^ { P } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } \mathrm { d } B _ { t } , \ X _ { 0 } ^ { P } = \xi , } \\ { \mathrm { d } X _ { t } ^ { Q } } & { = b ^ { Q } \left( X _ { t } ^ { Q } \right) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } \mathrm { d } B _ { t } , \ X _ { 0 } ^ { Q } = \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { 2 } } & { { } : = \mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { 1 } | \Psi \rangle \langle \Psi | = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } ^ { \prime } \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \bar { F } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) | \mathrm { v a c } \rangle \langle \mathrm { v a c } | \hat { a } ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle { { S _ { 1 } } } \left( { \xi } _ { i + 1 / 2 } - { \xi } _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) \right\rangle _ { p } ^ { \nu } = \frac { 1 } { \Delta \xi _ { p } ^ { \nu } } \sum _ { s \in \nu } S _ { 1 } \left( \xi _ { i + 1 / 2 } - \xi _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) \Delta \xi _ { p } ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / t _ { 3 } } & { = \frac { \sinh [ \pi w _ { 1 } / ( 4 h ) ] } { \sinh [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] } \sqrt { \frac { \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } + 2 w _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] - \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] } { \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } + 2 w _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] - \sinh ^ { 2 } [ \pi w _ { 1 } / ( 4 h ) ] } } . } \end{array}
P _ { 2 } ( { \bf k } _ { 1 } , { \bf k } _ { 2 } ) \ = \ \int d ^ { 4 } x _ { 1 } \int d ^ { 4 } x _ { 2 } \ g \left( x _ { 1 } , k _ { 1 } \right) \ g \left( x _ { 2 } , k _ { 2 } \right) \ [ 1 \ + \ \cos ( ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ) ] ,
\tilde { S } _ { \partial \Sigma } = - \log t r P \exp \bigl \lbrace \oint _ { \partial \Sigma } d \theta ( i A _ { \alpha } \partial _ { \theta } \sigma ^ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \Phi _ { i } \partial _ { r } X ^ { i } ) \bigr \rbrace
\vec { \pi } ( \vec { x } , \, t ) = { \frac { \delta { \cal L } } { { \delta \dot { \vec { u } } } ( \vec { x } , \, t ) } } = { \frac { \partial \vec { u } } { \partial t } } + \nabla \phi - \nu \nabla ^ { 2 } \vec { u } = - \vec { l } ( \vec { x } , t ) ,
{ \cal F } ( s ) = \frac { \sqrt { \pi } } { \Gamma ( s ) } \sum _ { \mu _ { k } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ~ t ^ { s - 3 / 2 } \sum _ { n \in Z \! \! \! Z } \exp \left[ - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } ( m ^ { 2 } + \mu _ { k } ^ { 2 } ) t - \frac { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { t } - 2 \pi i \left( a + \frac { 1 } { 2 } \right) n \right] .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } T _ { 1 } } & { : = G _ { n , ( 1 ) } , \quad } & & { \mathrm { ( r e s c a l e d ) ~ l a r g e s t ~ o f f - d i a g o n a l ~ e n t r y ~ o f ~ { \bf ~ S } ~ , } } \\ { T _ { 2 , k } } & { : = G _ { n , ( 1 ) } - G _ { n , ( k ) } , } & & { \mathrm { g a p ~ o f ~ l a r g e s t ~ a n d ~ k ~ - t h ~ l a r g e s t ~ e n t r y , } } \\ { T _ { 3 , k } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k - 1 } \big ( G _ { n , ( i ) } - G _ { n , ( i + 1 ) } \big ) , \quad } & & { \mathrm { m a x i m u m ~ s p a c i n g ~ b e t w e e n ~ c o n s e c u t i v e ~ o r d e r ~ s t a t i s t i c s , } } \\ { T _ { 4 , k } } & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( G _ { n , ( i ) } - G _ { n , ( i + 1 ) } ) ^ { 2 } , } & & { \mathrm { s u m ~ o f ~ s q u a r e d ~ s p a c i n g s ~ b e t w e e n ~ c o n s e c . \ o r d e r ~ s t a t i s t i c s . } } \end{array}
\begin{array} { c l } { \alpha _ { x , x , 3 } = } & { \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left\{ \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) e ^ { i \left( - 3 \chi _ { x } ( s ) + \frac { 3 \nu _ { x } s } { R } - \frac { n s } { R } \right) } } \right. } \end{array}
\hat { R } \left( \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) = \left( \begin{array} { l l } { \cos ( \frac { \theta _ { r } } { 2 } ) } & { - e ^ { - i \phi _ { r } } \sin ( \frac { \theta _ { r } } { 2 } ) } \\ { e ^ { i \phi _ { r } } \sin ( \frac { \theta _ { r } } { 2 } ) } & { \cos ( \frac { \theta _ { r } } { 2 } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l r l } { X _ { i } ^ { \prime } } & { = \partial _ { \varphi ^ { i } } , } & { i } & { = 1 , . . . , r , } \\ { X _ { i } ^ { \prime } } & { = X _ { i } - d \varphi ^ { n } ( X _ { i } ) X _ { n } ^ { \prime } , } & { i } & { = n - r , . . . , n - 1 , } & { X _ { n } ^ { \prime } } & { = \partial _ { \kappa ^ { n } } . } \end{array}
L _ { F } = \exp \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { ( P \Xi ) _ { \alpha N } } } \\ { { ( \overline { { { P \Xi } } } ) ^ { \beta M } } } & { { } } \end{array} \right) \exp \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { ( Q \Xi ) _ { \alpha N } } } \\ { { ( \overline { { { Q \Xi } } } ) ^ { \beta M } } } & { { } } \end{array} \right)