harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\widehat { H } = \hbar \sum _ { \mathbf { k } , \sigma } \Delta _ { \mathbf { k } } \hat { c } _ { \mathbf { k } , \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { \mathbf { k } , \sigma } - i \hbar \kappa \sum _ { \mathbf { k } } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } _ { \mathbf { k } , \uparrow } \hat { c } _ { - \mathbf { k } , \downarrow } - \hat { c } _ { - \mathbf { k } , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { \mathbf { k } , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { a } \right) ,
\begin{array} { r } { ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } = \frac { 1 } { \Delta t } \sum _ { p } \sum _ { \nu \in n } { ( J j ^ { \xi } ) } _ { i + 1 / 2 , p } ^ { \nu + 1 / 2 } \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \Big ) } \end{array}
W _ { 2 } ^ { 2 } ( \gamma _ { \delta } ^ { n , t } , \gamma ^ { n , t } ) \leq \mathcal { C } _ { n } \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } \frac { \log ( n ) + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) } { n } \quad \mathrm { w i t h ~ } \gamma _ { \delta } ^ { n , t } : = \big ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) \big ) _ { \# } \mu ^ { n , t } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } & { = \mathrm { V a r } [ \jmath _ { X Y } ( X , Y | R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) ] } \\ & { = \mathrm { V a r } [ \imath _ { X Y } ( X , Y | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) ] . } \end{array}
{ \cal E } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Bigl ( \Phi _ { i } ^ { 2 } + h _ { i } \Phi _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) = { \frac { g ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } h _ { i } { \cal I } _ { i } .
{ L _ { 2 - 3 } } = \sqrt { { L _ { 2 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 3 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 2 - 6 , b } } \cdot { L _ { 3 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
\alpha ( x ) = \left( { \frac { E } { \delta m ^ { 2 } } } \right) \, { \frac { \sqrt 2 \, G _ { F } { \frac { d } { d x } } \rho ( x ) \sin 2 \theta _ { \textstyle v } } { X ^ { 2 } ( x ) + \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { \textstyle v } } } .
\frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ] } { ( x _ { 0 } ^ { 3 } , x _ { 1 } ^ { 3 } , x _ { 2 } ^ { 3 } , x _ { 3 } ^ { 3 } ) }
N _ { o p } = \sum _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { + } \hat { a } _ { i } = \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } ^ { + } \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } = \int d ^ { 3 } r \, \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { - z } { 1 - z } } \right) ^ { k + 1 } ~ \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j + 1 } { \binom { k } { j } } ( j + 1 ) ^ { - s } ,
\partial _ { 3 } G ^ { - , + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) | _ { x _ { 3 } = x _ { 3 , S } } = \frac { 1 } { 2 } \rho ( { \bf x } ) { \partial _ { t } } R ^ { \cup } ( { \bf x } _ { S } , { \bf x } , t ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \{ M _ { r _ { m } , i , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } < M _ { r _ { m } , i , j } ^ { \textrm { e v e n } } \} } & { \leq \mathbb { P } \left\{ \bigcap _ { s = 1 } ^ { \lfloor r _ { m } / l _ { m } \rfloor } M _ { l _ { m } , s , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } < M _ { r _ { m } , i , j } ^ { \textrm { e v e n } } \right\} } \\ & { = \mathbb { P } \left\{ \bigcap _ { s = 1 } ^ { \lfloor r _ { m } / l _ { m } \rfloor } M _ { l _ { m } , s , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } \right\} - \mathbb { P } \left\{ \bigcap _ { s = 1 } ^ { \lfloor r _ { m } / l _ { m } \rfloor } M _ { l _ { m } , s , j } ^ { \textrm { o d d } } \leq x _ { j } , M _ { r _ { m } , i , j } ^ { \textrm { e v e n } } \leq x _ { j } \right\} . } \end{array}
u _ { i } ^ { n + 1 } = u _ { i } ^ { n } - { \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } } \left[ f ( u _ { i + 1 } ^ { n } ) - f ( u _ { i - 1 } ^ { n } ) \right] + { \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 \Delta x ^ { 2 } } } \left[ A _ { i + 1 / 2 } \left( f ( u _ { i + 1 } ^ { n } ) - f ( u _ { i } ^ { n } ) \right) - A _ { i - 1 / 2 } \left( f ( u _ { i } ^ { n } ) - f ( u _ { i - 1 } ^ { n } ) \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { [ \psi ( x _ { 1 } , m _ { 1 } ) , \psi ( x _ { 2 } , m _ { 2 } ) ] } & { = } & { [ ( x _ { 1 } , m _ { 1 } + f ( x _ { 1 } ) ) , ( x _ { 2 } , m _ { 2 } + f ( x _ { 2 } ) ) ] } \\ & { = } & { ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , [ x _ { 1 } , m _ { 2 } + f ( x _ { 2 } ) ] + [ m _ { 1 } + f ( x _ { 1 } ) , x _ { 2 } ] + h ^ { \prime } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\pmb { y } ^ { \ast } | \pmb { y } \sim \mathcal { N } \bigg ( m ( \pmb { X } ^ { \ast } ) + \kappa ( \pmb { X } ^ { \ast } , \pmb { X } ) \pmb { K } _ { y } ^ { - 1 } ( \pmb { y } - m ( \pmb { X } ) ) , \kappa ( \pmb { X } ^ { \ast } , \pmb { X } ^ { \ast } ) - \kappa ( \pmb { X } ^ { \ast } , \pmb { X } ) K _ { y } ^ { - 1 } \kappa ( \pmb { X } , \pmb { X } ^ { \ast } ) \bigg )
- \frac { M _ { 2 } ^ { L } } { 2 } \Big [ ( \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial L _ { 1 } ^ { L } } d L _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial \ell _ { 1 } ^ { L } } d \ell _ { 1 } ) \times \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } + \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } \times ( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial L _ { 2 } ^ { L } } d L _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial \ell _ { 2 } ^ { L } } d \ell _ { 2 } ^ { L } ) \Big ] .
\Big | \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) \big ) \Big | \leqslant \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } .
\begin{array} { r } { \theta _ { \kappa } = - m \frac { \dot { u _ { 2 } } } { w } \int _ { 0 } ^ { x } \tilde { x } d \kappa = - \frac { m } { w } \frac { \dot { u _ { 2 } } } { u _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x } \tilde { x } d \tilde { x } = - \frac { m } { 2 w } \frac { \dot { u _ { 2 } } } { u _ { 2 } } x ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { B I } = - \bigtriangleup _ { s } = - \sqrt { R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( R ^ { 2 } + R _ { \theta } ^ { 2 } - E _ { \theta } ^ { 2 } ) + B ^ { 2 } - ( R ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta + B ^ { 2 } ) \dot { R } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ t ~ } = \frac { C _ { p , g } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } ) } { h _ { l , g } } , \; \mathrm { ~ P ~ r ~ } = \frac { C _ { p , g } \mu _ { g } } { k _ { g } } . } \end{array}
\Delta _ { H ^ { n - 1 } } f ( t , \xi ) = \sinh ( t ) ^ { 2 - n } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \sinh ( t ) ^ { n - 2 } { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) + \sinh ( t ) ^ { - 2 } \Delta _ { \xi } f
\begin{array} { r l } { U _ { k , e } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } m _ { e } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { e , j , k } \left[ V _ { e x , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { e y , i , j , k } ^ { 2 } + V _ { e z , i , j , k } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { W } ( \mathcal { C } ) = \mathcal { P } \exp \left[ \left( \mathrm { i } \int _ { \mathcal { C } } \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \mathbf { k } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { k } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } _ { \mathrm { c o s } } \left( \theta _ { n } , \theta _ { m } , \beta _ { n m } \right) = \Big \{ \widehat { \mathrm { c o s } } : \widehat { \mathrm { c o s } } \le ( 1 - \beta _ { n m } ) ( 1 - \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { B } _ { 1 } ( - 2 \overline { { \theta } } ; \hat { \theta } ) , \mathcal { B } _ { 1 } ( 2 \overline { { \theta } } ; \hat { \theta } ) \} ) \quad } \\ { + \mathcal { B } _ { 1 } ( \theta _ { n } - \theta _ { m } ; \hat { \theta } ) , ~ \forall \hat { \theta } \in \Theta _ { \mathrm { c o s } } \Big \} } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } \hat { s } _ { H } } = \int _ { z _ { 0 } } ^ { z _ { 1 } } \! \mathrm { d } z \, \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Gamma } { \mathrm { d } z \, \mathrm { d } \hat { p } ^ { 2 } } \right| _ { \displaystyle \hat { p } ^ { 2 } = \hat { s } _ { H } - \varepsilon z - \varepsilon ^ { 2 } } \, , \qquad \varepsilon ^ { 2 } \le \hat { s } _ { H } \le ( 1 + \varepsilon ) ^ { 2 } \, ,
{ \psi _ { \alpha } } ^ { ( \beta ) } = \frac { 1 } { 2 } ( \psi + \psi _ { \mu } \gamma ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu } \psi _ { \mu \nu } \gamma _ { 5 } ) _ { \alpha } ^ { \ \ ( \beta ) } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { G ( a ) } & { { } = \frac { H ( a ) } { a ^ { m } } ~ } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a \neq 0 , } \\ { G ( a ) } & { { } = \frac { \partial _ { \omega } ^ { m } [ H ] ( 0 ) } { m ! } ~ } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | \nabla ( w _ { p , \Omega } ( x ) \theta ( x ) ) | ^ { p } d x } & { \le c _ { 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } w _ { p , \Omega } ( x ) | \theta ( x ) | ^ { p } d x } \\ & { + c _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } w _ { p , \Omega } ^ { p } ( x ) | \nabla \theta ( x ) | ^ { p } d x . } \end{array}
\chi ( s ) = \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma \left( b _ { j } - B _ { j } s \right) \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma \left( 1 - a _ { j } + A _ { j } s \right) } { \prod _ { j = 1 } ^ { q } \Gamma \left( 1 - b _ { j } + B _ { j } s \right) \prod _ { j = 1 } ^ { p } \Gamma \left( a _ { j } - A _ { j } s \right) } \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \, d x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } { \sqrt { 1 - \sin ^ { 2 } u } } \cos ( u ) \, d u } \end{array}
E _ { b } ^ { ( 0 ) } = 4 \pi R ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } w ~ \left\{ \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { d } \phi _ { 0 } } { \mathrm { d } w } \right) ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 8 } ( \phi _ { 0 } ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right\} = 4 \pi R ^ { 2 } \Sigma ~ ~ ,
{ \left( \begin{array} { l l l l } { G _ { 1 1 } } & { G _ { 1 2 } } & { \cdots } & { G _ { 1 N } } \\ { G _ { 2 1 } } & { G _ { 2 2 } } & { \cdots } & { G _ { 2 N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { G _ { N 1 } } & { G _ { N 2 } } & { \cdots } & { G _ { N N } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { N } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { i _ { 1 } } \\ { i _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { i _ { N } } \end{array} \right) }
{ \frac { \partial { \cal O } [ \tilde { \phi } ( \kappa ) , \kappa ] } { \partial \kappa } } + \int \tilde { \delta } _ { i \ B R S } [ \tilde { \phi } ( \kappa ) , \kappa ] \Theta ^ { \prime } [ \tilde { \phi } ( \kappa ) ] { \frac { \delta { \cal O } [ \tilde { \phi } ( \kappa ) , \kappa ] } { \delta \tilde { \phi } _ { i } ( \kappa ) } } = 0 ,
\gamma ( z _ { G _ { c } } , z _ { G _ { d } } ) = k _ { 1 } C _ { 0 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( z _ { G _ { c } } ^ { 2 r } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( z _ { G _ { d } } ^ { \tau } z _ { G _ { c } } ^ { s } - 1 \right) + k _ { 4 } D _ { 0 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( z _ { G _ { d } } ^ { 2 p } - 1 \right) \, .
- V \left. \frac { d } { d V } f \left( \{ n _ { i } = \frac { \bar { N _ { i } } } { V } \} \right) \right| _ { \{ \bar { N _ { i } } \} } = \sum _ { j } n _ { j } \frac { d } { d n _ { j } } f ( \{ n _ { i } \} ) ,
\left( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } + { \frac { a _ { 3 } u _ { 1 } } { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } - { \frac { a _ { 4 } u _ { 2 } } { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } +
\lambda ^ { U } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 2 \lambda _ { 1 3 } ^ { U } } } \\ { { 0 } } & { { \lambda _ { 2 2 } ^ { U } } } & { { 2 \lambda _ { 2 3 } ^ { U } } } \\ { { 2 \lambda _ { 1 3 } ^ { U } } } & { { 2 \lambda _ { 2 3 } ^ { U } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { { R _ { \alpha } } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , P _ { 2 } ) = \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \frac { \theta _ { 0 \ell } ^ { 1 - 2 \alpha } \theta _ { 1 \ell } ^ { \alpha } \theta _ { 2 \ell } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 \ell } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 \ell } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 \ell } ) ^ { \alpha } } { r ( \theta _ { 0 \ell } , \theta _ { 1 \ell } ) r ( \theta _ { 0 \ell } , \theta _ { 2 \ell } ) } - 1 , } \end{array}
\frac { d e } { d \omega } = \frac { \hbar } { \pi ^ { 2 } c ^ { 3 } } \Big [ \frac { \omega ^ { 3 } } { 2 } + \gamma \omega _ { c } ^ { 3 } x ^ { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \beta ^ { 2 n } } { 2 n + 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } \frac { n - k - x } { k ! ( 2 n - k ) } \Theta [ n - k - x ] \Big ]
\begin{array} { r l r } & { } & { V = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , ~ } \\ & { } & { X _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { u _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { u _ { 3 } + \delta } \end{array} \right) , ~ X _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { u _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { u _ { 3 } - \delta } \end{array} \right) . } \end{array}
= H _ { a } \left( j { \frac { 2 } { T } } \cdot { \frac { \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } - e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) / ( 2 j ) } { \left( e ^ { j \omega _ { d } T / 2 } + e ^ { - j \omega _ { d } T / 2 } \right) / 2 } } \right)
\omega _ { i j } ( t , { \mathbf { u } } ) = ( M ^ { - 1 } ) _ { j i } ( t , { \mathbf { u } } ) - ( M ^ { - 1 } ) _ { i j } ( t , { \mathbf { u } } ) = \frac { \widetilde { M } _ { j i } ( t , { \mathbf { u } } ) - \widetilde { M } _ { i j } ( t , { \mathbf { u } } ) } { \operatorname* { d e t } ( M ( t , { \mathbf { u } } ) ) } \, , \qquad i , j = 1 , \dots , n .
H = \frac { \sigma ( \omega r _ { 2 } ) ^ { 2 } - r _ { 2 } \omega Q \tan { ( 9 0 ^ { \circ } - \beta _ { 2 } ) } } { 2 \pi g r _ { 2 } b _ { 2 } } = 1 2 . 5 \; \mathrm { { m } }
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon c } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) } ,
w ( m , m ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi N | \Phi _ { m } ^ { ( 2 ) } ( t _ { + } ) | } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi N | \Phi _ { m ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( s _ { + } ) | } } \mathrm { e } ^ { - N ( \Phi _ { m } ( t _ { + } ) + \Phi _ { m ^ { \prime } } ( s _ { + } ) ) } \mathrm { d e t } M ( t _ { + } , s _ { + } ) ,
{ \vec { P } } = ( { \overline { { q } } } + 3 A ^ { I } p ^ { I } w , { \overline { { p } } } _ { 2 } , { \overline { { p } } } _ { 3 } \vert \vert q + ( 3 A ^ { I } p ^ { I } + \alpha _ { 2 } ) w , p _ { 2 } , p _ { 3 } \vert p ^ { I } + \alpha _ { 2 } A ^ { I } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { | \nabla ( \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ) | ^ { q } } & { = | \nabla ( a u ^ { + } ) | ^ { q } + | \nabla ( b u ^ { - } ) | ^ { q } . } \\ { | \nabla ( \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ) | ^ { q - 2 } \nabla ( \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ) } & { = | \nabla ( a u ^ { + } ) | ^ { q - 2 } \nabla ( a u ^ { + } ) - | \nabla ( b u ^ { - } ) | ^ { q - 2 } \nabla ( b u ^ { - } ) } \\ & { = a ^ { q - 1 } | \nabla u ^ { + } | ^ { q - 2 } \nabla u ^ { + } - b ^ { q - 1 } | \nabla u ^ { - } | ^ { q - 2 } \nabla u ^ { - } . } \end{array}
^ 4 S = \int d ^ { 4 } x { \mid g \mid } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \{ - R + T r [ \frac { 1 } { 2 } ( \partial p p ^ { - 1 } ) ^ { 2 } - p F F ^ { T } + \frac { 1 } { 3 } ( p H ) ^ { 2 } ] \} ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } } } & { = i \textbf { E } ( t ) \cdot \textbf { d } _ { v c } ( \textbf { k } _ { t } ) \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } + \textrm { c . c . } } \\ { \frac { d } { d t } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } } & { = - \left[ i \varepsilon _ { c v } ( \textbf { k } _ { t } ) + \frac { 1 } { \textrm { T } _ { 2 } } \right] \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } + i \textbf { E } ( t ) \cdot \textbf { d } _ { c v } ( \textbf { k } _ { t } ) \left[ \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } } - \rho _ { c c } ^ { \textbf { k } } \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { c ^ { 2 } } \partial _ { t } \Phi + \vec { \nabla } \cdot \vec { A } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \left. \frac { \partial _ { t } \rho ( \vec { x } ^ { \prime } , t ) + \vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t ) } { R } \right| _ { t = t _ { r e t } } .
\begin{array} { r l r } { \| { \bf u } _ { j } ^ { N } \| ^ { 2 } } & { + } & { \nu _ { \operatorname* { m i n } } \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \| \nabla { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \kappa _ { \operatorname* { m a x } } \Delta t \| { \bf u } _ { j } ^ { N } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } } \\ & { } & { \le \| { \bf u } _ { j } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + C \Delta t \| { \bf u } _ { j } ^ { 0 } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } + C \Delta t \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \| { \bf f } _ { j } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) | } & { { } \leq \sum _ { n } \rho _ { n } \sum _ { n _ { 1 } } | \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n _ { 1 } \rangle | | \langle n _ { 1 } | c _ { j } | n \rangle | } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( S , t ) } & { { } = N ( d _ { 1 } ) S - N ( d _ { 2 } ) K e ^ { - r ( T - t ) } } \\ { d _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { T - t } } } } \left[ \ln \left( { \frac { S } { K } } \right) + \left( r + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \right) ( T - t ) \right] } \\ { d _ { 2 } } & { { } = d _ { 1 } - \sigma { \sqrt { T - t } } } \end{array}
A ^ { \prime } = \frac { ( M _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } - 2 M _ { K } ^ { 2 } + M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ( M _ { \eta } ^ { 2 } - 2 M _ { K } ^ { 2 } + M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } ) } { 2 ( M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } - M _ { K } ^ { 2 } ) } ,
N _ { \mathrm { e s c } } = \mathrm { e r f } \! \left( \frac { v _ { \mathrm { e s c } } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { v } } \right) - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { v _ { \mathrm { e s c } } } { \sigma _ { v } } \exp \left[ { - \frac { v _ { \mathrm { e s c } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { v } ^ { 2 } } } \right] .
\mathcal { D } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } ( \mathcal { G } ^ { i } ) ^ { T } \mathcal { R } ^ { i } ( \mathcal { R } ^ { i } ) ^ { T } \mathcal { G } _ { < } ^ { i } , } & { \mathrm { ~ f ~ u ~ l ~ l ~ } , } \\ { \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { j } ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j k } , } & { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ l ~ - ~ o ~ n ~ l ~ y ~ } , } \end{array} \right.
\Omega _ { i } = - \frac { g _ { i } q _ { i } H T } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d \varepsilon _ { i } \sum _ { \nu } \frac { d p _ { i } } { d \varepsilon _ { i } } \ln [ 1 + e x p ( \mu _ { i } - \varepsilon _ { i } ) / T ] .
\begin{array} { r } { \mathcal { D } [ \hat { A } ] \rho _ { \mathrm { a } } = 2 \hat { A } \rho _ { \mathrm { a } } \hat { A } ^ { \dagger } - \rho _ { \mathrm { a } } \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } - \hat { A } ^ { \dagger } \hat { A } \rho _ { \mathrm { a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 0 } } & { = \left\{ \phi \in \mathbb { W } ^ { 0 } : \phi = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega \right\} , } \\ { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 1 } } & { = \left\{ u \in \mathbb { W } ^ { 1 } : u \times n = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega \right\} , } \\ { \mathring { \mathbb { W } } ^ { 3 } } & { = \mathbb { W } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } { \partial t } } & { { } = - } & { v \frac { \partial P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } , } \\ { \frac { \partial P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } { \partial t } } & { { } = } & { v \frac { \partial P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } { \partial x } - \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ L } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } + \frac { \alpha } { 2 } P _ { _ R } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textstyle \mu _ { \mathrm { a u g } } ( x ^ { p } , x ^ { v } ) \propto \exp \left( { - \frac { U ( x ^ { p } ) } { k _ { B } T } } \right) \mathcal { N } ( x ^ { v } ; 0 , I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \tilde { Z } } { 2 \pi } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) - \int _ { \tau } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) + \epsilon _ { s } \tilde { B } _ { s } E _ { 3 } ( \tau ) } \\ & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 3 } ( \vert \tau - \tau ^ { \prime } \vert ) { \frac { \partial \tilde { B } ( \tau ^ { \prime } ) } { \partial \tau ^ { \prime } } } + \tilde { B } ( \tau _ { \infty } ) E _ { 3 } ( \tau _ { \infty } - \tau ) . } \end{array}
\tilde { U } _ { \mathrm { U C C S D } } ^ { ( m ) } ( \boldsymbol { \theta } ^ { ( m ) } ) \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { \epsilon _ { m } } } R _ { y , q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } \left( \phi _ { q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } ^ { ( m ) } \right) \right] U _ { \mathrm { i n i t } } | 0 \rangle ^ { \otimes n } ,
\frac { 1 } { ( a b ) ^ { \rho } } = \frac { 1 } { B ( \rho , \rho ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t [ t ( 1 - t ) ] ^ { \rho - 1 } \frac { 1 } { [ a t + ( 1 - t ) b ] ^ { 2 \rho } } ,
\begin{array} { r l } & { \langle 1 A , 2 B | V _ { L } ( R ) | 3 A , 4 B \rangle = } \\ & { ( - 1 ) ^ { L - 1 - \Omega + j _ { \mathrm { t o t } } } \sqrt { \hat { \ell } _ { 1 } \hat { \ell } _ { 2 } \hat { \ell } _ { 3 } \hat { \ell } _ { 4 } \hat { j } _ { 1 } \hat { j } _ { 2 } \hat { j } _ { 3 } \hat { j } _ { 4 } } \; \frac { \mathcal { R } _ { 1 3 , A } ^ { L } \; \mathcal { R } _ { 2 4 , B } ^ { L } } { R ^ { 2 L + 1 } } } \\ & { \times \left( \begin{array} { c c c } { \ell _ { 1 } } & { L } & { \ell _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { \ell _ { 2 } } & { L } & { \ell _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 1 } } & { L } & { j _ { 3 } } \\ { \ell _ { 3 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \ell _ { 1 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 2 } } & { L } & { j _ { 4 } } \\ { \ell _ { 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } } & { \ell _ { 2 } } \end{array} \right\} } \\ & { \times { \displaystyle \sum _ { m = - L } ^ { L } } B _ { 2 L } ^ { L + m } \left( \begin{array} { c c c } { j _ { 1 } } & { L } & { j _ { 3 } } \\ { - m _ { j _ { 1 } } } & { m } & { m _ { j _ { 3 } } } \end{array} \right) } \\ & { \times \left( \begin{array} { c c c } { j _ { 2 } } & { L } & { j _ { 4 } } \\ { - m _ { j _ { 2 } } } & { - m } & { m _ { j _ { 4 } } } \end{array} \right) \, \, , } \end{array}
\begin{array} { c l } { { A _ { n + } } } & { { = { \displaystyle \frac { n } { 2 } } ( 1 + \cos \theta ) d \phi } } \\ { { A _ { n - } } } & { { = { \displaystyle \frac { n } { 2 } } ( - 1 + \cos \theta ) d \phi } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } = - i \sum _ { \mathbf q , k _ { z } , q _ { z } } C _ { \mathbf q , q _ { z } , k _ { z } } ( b _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { \dagger } X _ { \mathbf q , k _ { z } } - h . c . ) \, . } \end{array}