harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } } & { = 2 f _ { 1 } ( D _ { 1 } ) + 4 f _ { 2 } ( D _ { 2 } ) + 4 f _ { 3 } ( D _ { 3 } ) + 5 f _ { 4 } ( D _ { 4 } ) + 5 f _ { 5 } ( D _ { 5 } ) = \mathbf { f } _ { 1 } ^ { \intercal } \mathbf { w } , } \\ { F _ { 2 } } & { = 3 f _ { 1 } ( D _ { 1 } ) + 4 f _ { 2 } ( D _ { 2 } ) + 5 f _ { 3 } ( D _ { 3 } ) + 2 f _ { 4 } ( D _ { 4 } ) + 6 f _ { 5 } ( D _ { 5 } ) + 6 f _ { 6 } ( D _ { 6 } ) = \mathbf { f } _ { 2 } ^ { \intercal } \mathbf { w } , } \\ { F _ { 3 } } & { = 2 f _ { 1 } ( D _ { 1 } ) + 4 f _ { 2 } ( D _ { 2 } ) + 6 f _ { 3 } ( D _ { 3 } ) + 5 f _ { 4 } ( D _ { 4 } ) + 2 f _ { 5 } ( D _ { 5 } ) = \mathbf { f } _ { 3 } ^ { \intercal } \mathbf { w } , } \\ { F _ { 4 } } & { = 3 f _ { 1 } ( D _ { 1 } ) + 5 f _ { 2 } ( D _ { 2 } ) + 2 f _ { 4 } ( D _ { 4 } ) + 3 f _ { 5 } ( D _ { 5 } ) + f _ { 6 } ( D _ { 6 } ) = \mathbf { f } _ { 4 } ^ { \intercal } \mathbf { w } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( H _ { t } ^ { * } Y ) g } & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( ( H _ { t } ^ { - 1 } ) _ { * } Y ) g } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( ( H _ { - t } ) _ { * } Y ) g } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } \left( Y ( H _ { - t } ^ { * } g ) \right) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } \, Y ( H _ { - t } ^ { * } g ) + \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } ( H _ { - t } ) _ { * } ( Y g ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } Y ( H _ { - t } ^ { * } g ) + \frac { d } { d t } \bigg \vert _ { t = 0 } H _ { t } ^ { * } ( Y g ) } \\ & { = - Y ( X g ) + X ( Y g ) } \\ & { = [ X , Y ] g . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 0 } } & { { } = 1 } \\ { \phi _ { 1 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { { } = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { 0 } ( x ) } & { { } = } & { \left( \frac { 1 } { \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; \; , \; \; \chi _ { 1 } ( x ) = \left( \frac { 1 } { \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \frac { \sqrt { 2 } x } { \ell } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; , } \\ { \chi _ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { \left( \frac { 1 } { 4 \pi \ell ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { x ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } - 1 \right) \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \ell ^ { 2 } } \right) \; , \; \; \mathrm { e t c } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { D } { D t } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial _ { X _ { j } } } \overline { { \frac { u _ { j } ^ { s , + } + u _ { j } ^ { s , - } } { 2 } ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ^ { 2 } } } } & \\ & { + \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { \delta u _ { j } ^ { s } ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ^ { 2 } } } + 2 \overline { { \delta u _ { i } ^ { s } \delta u _ { j } ^ { s } } } \frac { \partial \overline { { U ^ { s } } } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & \\ & { = } & \\ & { - \frac { 2 } { \rho _ { s } } \partial _ { X _ { i } } \overline { { \delta P ^ { s } \delta u _ { i } ^ { s } } } + 2 \nu _ { s } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r _ { j } ^ { 2 } } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { n } ) ^ { 2 } } } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { s + } - 2 \overline { { \epsilon } } ^ { s - } - 2 \frac { \rho _ { n } } { \rho } \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ( \delta F _ { i } ^ { n s } ) } } + 2 \overline { { ( \delta u _ { i } ^ { s } ) ( \delta f _ { i } ^ { s } ) } } . } & \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { k } \to \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \tilde { v } \mathrm { ~ i n ~ } H ^ { s - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ a . a . ~ } ( t , \omega ) \in ( 0 , T ) \times \tilde { \Omega } . } \end{array}
\textbf { J } _ { d i a \ \nabla N } = \frac { \textbf { B } \times ( k _ { b } \overleftrightarrow { T } \cdot \nabla N ) } { | \textbf { B } | ^ { 2 } } \ \ , \ \ \textbf { J } _ { d i a \ \nabla \cdot \overleftrightarrow { T } } = \frac { \textbf { B } \times ( k _ { b } N \nabla \cdot \overleftrightarrow { T } ) } { | \textbf { B } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { - 2 b } \mathcal { G } _ { 4 } \circ U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) } & { \overset = 6 \varepsilon ^ { - 2 b } \sum _ { i = 1 } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { i } ^ { i } \varepsilon ^ { 4 } ( j _ { i } \zeta _ { i } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } j _ { i } y _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { + 1 2 \varepsilon ^ { - 2 b } \sum _ { i , k = 1 , \ i \ne k } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { k } ^ { i } \varepsilon ^ { 4 } ( j _ { i } \zeta _ { i } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } j _ { i } y _ { i } ) ( j _ { k } \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } j _ { k } y _ { k } ) } \\ & { = C _ { \varepsilon , \zeta } + 1 2 \varepsilon ^ { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { i } ^ { i } j _ { i } ^ { 2 } \zeta _ { i } y _ { i } + 2 \sum _ { i , k = 1 , \ i \ne k } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { k } ^ { i } j _ { i } j _ { k } \zeta _ { i } y _ { k } \right) } \\ & { \ + 6 \varepsilon ^ { 2 b } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { i } ^ { i } j _ { i } ^ { 2 } y _ { i } ^ { 2 } + 2 \sum _ { i , k = 1 , \ i \ne k } ^ { \nu } \mathbb { G } _ { k } ^ { i } j _ { i } j _ { k } y _ { i } y _ { k } \right) } \\ & { = C _ { \varepsilon , \zeta } + 1 2 \varepsilon ^ { 2 } G ^ { \mathrm { m o d } } \zeta \cdot y + 6 \varepsilon ^ { 2 b } G ^ { \mathrm { m o d } } y \cdot y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \theta ) = } & { { } - 2 \frac { k \chi _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { y y } + 2 k \chi _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { y x } c _ { \theta } } { 2 k \chi _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { y y } + 2 k \chi _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { x x } c _ { \theta } ^ { 2 } } \cdots } \end{array}
( - \partial _ { x } ^ { 2 } ) ^ { \alpha / 2 } u ( x ) : = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( | k | ^ { \alpha } \mathcal { F } u \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } | k | ^ { \alpha } \hat { u } ( k ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k x } \mathrm { d } k ,
\begin{array} { r l r } { - \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } + A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } - \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\boldsymbol { u _ { \omega } } ( \boldsymbol { r _ { 0 } } ) = \nabla _ { 0 } \times \boldsymbol { \psi } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { \boldsymbol { \omega } \times ( \boldsymbol { r _ { 0 } } - \boldsymbol { r } ) } { | \boldsymbol { r _ { 0 } } - \boldsymbol { r } | ^ { 3 } } d V
B _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l } { \alpha _ { 1 } } & { \beta _ { 1 } } & & \\ & { \alpha _ { 2 } } & { \ddots } & \\ & & { \ddots } & { \beta _ { k - 1 } } \\ & & & { \alpha _ { k } } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { k \times k } , \ \ \widehat { B } _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l } { \hat { \alpha } _ { 1 } } & { \hat { \beta } _ { 1 } } & & \\ & { \hat { \alpha } _ { 2 } } & { \ddots } & \\ & & { \ddots } & { \hat { \beta } _ { k - 1 } } \\ & & & { \hat { \alpha } _ { k } } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { k \times k } .
\hat { H } ^ { \mathrm { ~ D ~ i ~ r ~ a ~ c ~ - ~ C ~ o ~ u ~ l ~ o ~ m ~ b ~ } } = \sum _ { j } ^ { n } \, \left[ c \, \boldsymbol { \alpha } _ { j } \cdot { \bf { p } } _ { j } + \beta _ { j } c ^ { 2 } - \frac { Z } { r _ { j } } { 1 \! \! 1 } _ { 4 } \right] + \sum _ { j , k > j } ^ { n } \, \frac { 1 } { r _ { j k } } { 1 \! \! 1 } _ { 4 }
x _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } = \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { N _ { 3 } - 1 } X _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } } \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 1 } } } \left( n _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 1 } \right] \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 2 } } } \left( n _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 2 } \right] \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 3 } } } \left( n _ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 3 } \right] , \quad { \mathrm { f o r ~ } } n _ { i } = 0 , 1 , 2 , \dots , N _ { i } - 1 .
\partial _ { m } \Phi { \bar { \epsilon } ^ { + } } [ A , \gamma ^ { m } ] _ { \mp } \epsilon ^ { + } + \frac { 1 } { 1 2 } H _ { m n p } { \bar { \epsilon } ^ { + } } [ A , \gamma ^ { m n p } ] _ { \pm } \epsilon ^ { + } = 0
c _ { a b } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - \omega _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \omega _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { - \omega _ { \frac { p + 1 } { 2 } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \omega _ { \frac { p + 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \omega _ { \pm } } & { { } = \omega _ { 0 } \pm \epsilon ^ { 1 / 2 } \omega _ { 1 } + \epsilon \omega _ { 2 } \pm \epsilon ^ { 3 / 2 } \omega _ { 3 } + \ldots } \\ { \Psi _ { \pm } } & { { } = \Psi _ { 0 } \pm \epsilon ^ { 1 / 2 } \Psi _ { 1 } + \epsilon \Psi _ { 2 } \pm \epsilon ^ { 3 / 2 } \Psi _ { 3 } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { j } ( \delta ) + J _ { \sigma _ { j } } ( \delta ) } & { { } = 2 \biggr ( \prod _ { \ell \neq j } d _ { \ell } \biggr ) L ^ { 2 } \int _ { \delta } ^ { \infty } \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \biggr ( \partial _ { 2 } f \bigr ( \bar { \rho } ( 1 - t h ( 2 p _ { F } r _ { j } ) ) , t 2 \bar { \rho } p _ { F } | \dot { h } ( 2 p _ { F } r _ { j } ) | \bigr ) 2 \bar { \rho } p _ { F } | \dot { h } ( 2 p _ { F } r _ { j } ) | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { \{ r \} \{ r \} } } & { = } & { ( a + 1 ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ^ { 2 } ( \varphi ) } \\ & { } & { + \sin ( \varphi ) ( \sin ^ { 2 } ( \theta ) ( 2 b \cos ( \varphi ) + ( d + 1 ) \sin ( \varphi ) ) } \\ & { } & { + e \sin ( 2 \theta ) ) + c \sin ( 2 \theta ) \cos ( \varphi ) } \\ & { } & { + ( f + 1 ) \cos ^ { 2 } ( \theta ) , } \\ { \gamma _ { \{ \varphi \} \{ \varphi \} } } & { = } & { 1 / 2 ( 2 + a + d + ( - a + d ) \cos [ 2 \varphi ] } \\ & { } & { - 2 b \sin [ 2 \varphi ] ) , } \\ { \gamma _ { \{ \theta \} \{ \varphi \} } } & { = } & { \cos ( \theta ) ( ( d - a ) \sin ( \varphi ) \cos ( \varphi ) } \\ & { } & { + b \cos ( 2 \varphi ) ) + \sin ( \theta ) ( c \sin ( \varphi ) - e \cos ( \varphi ) ) } \end{array}
\varepsilon ^ { a b } = \sum _ { i } e ^ { - { \frac { \pi \omega _ { i } } { \kappa } } } \, 2 \, _ { i } { \lambda ^ { \left( a \right. } } _ { i } \tau ^ { \left. b \right) } + \varepsilon _ { 0 } ^ { a b } \; ,
\times \prod _ { I = 2 } ^ { N } \; \Bigg \langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \; \prod _ { j = 1 } ^ { n _ { b } } : e ^ { - i 2 \sqrt { \pi } U _ { I b } \Phi ^ { ( I ) } ( x _ { j } ^ { ( b ) } ) } : _ { M ^ { ( I ) } } \; \prod _ { l = 1 } ^ { m _ { b } } : e ^ { + i 2 \sqrt { \pi } U _ { I b } \Phi ^ { ( I ) } ( y _ { l } ^ { ( b ) } ) } : _ { M ^ { ( I ) } } \Bigg \rangle _ { Q ^ { ( I ) } }
\begin{array} { r } { \nabla _ { ( \rho , U , T ) } \left( \frac { 1 } { \rho } \mathcal { M } ( F ) \right) = \left[ { \begin{array} { c } { - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \mathcal { M } + \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \rho } \mathcal { M } } \\ { \frac { 1 } { \rho } \partial _ { U _ { 1 } } \mathcal { M } } \\ { \frac { 1 } { \rho } \partial _ { U _ { 2 } } \mathcal { M } } \\ { \frac { 1 } { \rho } \partial _ { U _ { 3 } } \mathcal { M } } \\ { \frac { 1 } { \rho } \partial _ { T } \mathcal { M } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } } \\ { \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } } \\ { \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho T } } \\ { \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { \rho T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 \rho T ^ { 2 } } \right) } \end{array} } \right] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { { } = } & { - \left[ \frac { d } { d t } - 1 \right] L _ { n } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { { } = } & { - \frac { d } { d t } L _ { n + 1 } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m + 1 } ( t ) } & { { } = } & { L _ { n - 1 } ^ { m + 1 } ( t ) + L _ { n } ^ { m } ( t ) , } \\ { L _ { n } ^ { m } ( t ) } & { { } = } & { L _ { n - 1 } ^ { m } ( t ) + L _ { n } ^ { m - 1 } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { 4 ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ( 1 - \alpha ) ^ { - \frac { 4 } { \alpha - 1 } } \left( \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 2 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 4 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) - \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 3 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) ^ { 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { - \alpha D + 2 D + 2 \gamma } { D - D \alpha } \right) ^ { 2 } } ( D \tau ) ^ { - \frac { 2 } { \alpha - 1 } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } \\ { \frac { i } { { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } & { \frac { - i } { { \sqrt { 2 } } } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, .
\mathbf { S } ^ { \ast T } ( \mathbf { I } - z _ { s } \ensuremath { \Delta \mathrm { t } } \mathbf { J } ) ( \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) = \mathbf { S } ^ { \ast T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - z _ { s } } ,
G ^ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { \tilde { d } + 1 } } = k H _ { 1 } ^ { \sigma _ { 1 } } H _ { 2 } ^ { \sigma _ { 2 } } \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } . . . \alpha _ { \tilde { d } + 1 } \beta } \partial _ { \beta } H _ { 2 } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \rho { \bf v } _ { i a } ) = } & { { } - \frac { ( { \bf P } \times \nabla B ) } { Q _ { b } ^ { 2 } } \cdot \nabla Q _ { b } + \frac { ( \nabla \times { \bf P } ) \cdot \nabla B } { Q _ { b } } } \\ { = } & { { } - \frac { \rho { \bf v } _ { i a } \cdot \nabla Q _ { b } } { Q _ { b } } + \frac { ( \nabla \times { \bf P } ) \cdot \nabla B } { Q _ { b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } ( v - z ) \frac { e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } } { v - z } \, d v = - z Z + \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } v \frac { e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } } { v - z } \, d v } \\ & { = - z Z - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { e ^ { - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } } } { ( v - z ) ^ { 2 } } \, d v = - z Z - \frac { d } { d z } Z , } \end{array}
L = { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } { \bf x } \, \dot { \phi } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D } { \bf x } d ^ { D } { \bf y } \, \phi ( { \bf x } ) F ( { \bf x } - { \bf y } ) \phi ( { \bf y } ) = \int { \frac { d ^ { D } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } } { \frac { 1 } { 2 } } \left[ | \dot { Q } _ { \bf k } | ^ { 2 } - \omega _ { \bf k } ^ { 2 } | Q _ { \bf k } | ^ { 2 } \right]
\psi _ { r r ^ { \prime } } ^ { L } ( { \bf k } , z ) = e _ { f } \frac { 1 } { { \bf k } ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } z ( 1 - z ) } 2 Q \delta _ { r r ^ { \prime } } z ( 1 - z ) .
- \, \frac { 3 \mu ^ { 2 } ( 2 \mu - 1 + \xi ) ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } ^ { \mathrm { o } } ) ^ { 2 } } { 2 ( \mu - 1 ) ( \mu - 2 ) ^ { 2 } ( 2 \mu - 1 ) ^ { 2 } }
m _ { n } = \langle X ^ { n } \rangle = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } x x ^ { n } e ^ { i l x } P ( x ) = \left. ( - i ) ^ { n } \frac { \partial ^ { n } \hat { P } ( l ) } { \partial d l ^ { n } } \right\vert _ { l = 0 } .
\left| \sum _ { \alpha \beta } \langle \Phi _ { \alpha } \Phi _ { \beta } \rangle _ { c } \left. \right/ \sum _ { \alpha \beta } \langle \Phi _ { \alpha } \Phi _ { \beta } \rangle \right| = \left| \langle \Phi ^ { 2 } ( x ) \rangle _ { c } \left. \right/ \langle \Phi ^ { 2 } ( x ) \rangle \right| \; ( n = 2 ) \; ,
\dot { t } \frac { \partial L } { \partial \dot { t } } - L = \dot { t } 2 c ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 H } { r } \right) \dot { t } - \left( c ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 \mu } { r } \right) \dot { t } ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { 2 \mu } { r } \right) ^ { - 1 } \dot { r } ^ { 2 } - r ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } \right) = \operatorname { c o n s t }
\frac { d \bar { U } ^ { + } } { d \bar { u } ^ { + } } = \left( \frac { 1 + \mu _ { t } ^ { c } / \Bar { \mu } } { 1 + \mu _ { t } ^ { i } / \mu _ { w } } \right) \frac { \delta _ { v } ^ { * } } { \delta _ { v } } \frac { d Y ^ { + } } { d y ^ { + } } \frac { u _ { \tau } } { u _ { \tau } ^ { * } } .
\begin{array} { r } { q ( x ) \ensuremath { : = } \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { x \leq 1 - \ensuremath { n } ^ { \frac { - 1 } { 2 + \alpha } } , } \\ { \ensuremath { n } ^ { \frac { 3 + \alpha } { 2 ( 2 + \alpha ) } } \big ( x - 1 + \ensuremath { n } ^ { \frac { - 1 } { 2 + \alpha } } \big ) } & { x > 1 - \ensuremath { n } ^ { \frac { - 1 } { 2 + \alpha } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial s _ { X } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } { \partial p _ { 1 } } = \frac { ( 1 - p _ { 2 } ) q _ { 4 } g _ { A } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } { f _ { A } ^ { 2 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) - \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { \ell } ( t ) ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { \ell } ^ { n } \left[ ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { n } - \Delta _ { \ell } ^ { n } ( t ) \right] } \\ & { = ( \Delta _ { N } ^ { \ell } - \Delta _ { \ell } ( t ) ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { \ell } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) ^ { n - j - 1 } \Delta _ { \ell } ^ { j } ( t ) \, . } \end{array}
f _ { \left[ k \right] } ^ { \mu _ { n } ( i ) } \left( p \right) f _ { \left[ l \right] ( i ) } ^ { * \mu _ { n } } \left( p \right) = \pm \eta _ { \left[ k \right] \left[ l \right] } \; \, , \; p \in V _ { \mu _ { n } } ^ { + } \; \, ,
\left[ \begin{array} { c } { e } \\ { - \zeta } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { 1 } { K } } & { \frac { 1 } { 3 } S B } \\ { \frac { 1 } { 3 } S B } & { S } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { - p _ { c } } \\ { - p _ { f } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \left\| r _ { t } \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } } & { = \left\| g _ { \alpha _ { t } , \lambda _ { t } } ( x _ { t } , j _ { t } ) \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } = \alpha _ { t } ^ { 2 } ( 2 j _ { t } - 1 ) ^ { 2 } \left( x _ { t } ^ { 2 } + \lambda _ { t } ^ { 2 } ( \lambda _ { t } ^ { - 1 } x _ { t } - 1 ) ^ { 2 } \right) } \\ & { \leqslant x _ { t } ^ { 2 } + \lambda _ { t } ^ { 2 } ( \lambda _ { t } ^ { - 2 } x _ { t } ^ { 2 } - 2 \lambda _ { t } ^ { - 1 } x _ { t } + 1 ) \leqslant 2 x _ { t } ^ { 2 } + \lambda _ { t } ^ { 2 } \leqslant 3 \lambda _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
- \frac { 1 } { r _ { 1 } - 1 } T _ { 2 } ^ { r _ { 1 } - 1 } \left( \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { a } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) + T _ { 1 } T _ { 2 } ^ { - 1 } \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { b } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) \right) = \frac { \hbar } { r _ { 1 } - 1 } T _ { 2 } ^ { r _ { 1 } - 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { g } \hat { q } _ { j } \hat { p } _ { j } + T _ { 1 } T _ { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { g } \hat { p } _ { j } \right)
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } u ( x , t ) - \alpha ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } u ( x , t ) = 0 , \qquad } & { x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x _ { 0 } , t ) = g _ { 1 } ( t ) , } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x _ { 1 } , t ) = g _ { 2 } ( t ) , } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , 0 ) = h ( x ) , } & { x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , } \end{array}
m _ { b } = \frac { 5 r _ { b } ^ { 8 } + ( \ell ^ { 2 } - 2 8 N ^ { 2 } ) r _ { b } ^ { 6 } + 5 N ^ { 2 } ( 1 4 N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) r _ { b } ^ { 4 } + 5 N ^ { 4 } ( 3 \ell ^ { 2 } - 2 8 N ^ { 2 } ) r _ { b } ^ { 2 } + 5 N ^ { 6 } ( \ell ^ { 2 } - 7 N ^ { 2 } ) } { 1 0 \ell ^ { 2 } r _ { b } }
\Gamma _ { D ^ { 0 } \bar { D } ^ { 0 } } ^ { + + } = \left[ \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( \cosh ^ { 2 } a _ { m } - \cos ^ { 2 } \phi \right) \right] \Gamma ^ { 2 } ( D \to f _ { + } ) ,
{ \cal T } _ { 1 1 } ( q ) = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q _ { 0 } ^ { \prime } \left( \frac { M ^ { + } ( q _ { 0 } ^ { \prime } , \vec { q } ) } { q _ { 0 } - q _ { 0 } ^ { \prime } + i \epsilon } - \frac { M ^ { - } ( q _ { 0 } ^ { \prime } , \vec { q } ) } { q _ { 0 } - q _ { 0 } ^ { \prime } - i \epsilon } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \log q _ { \theta } ( \phi ) } & { { } \rightarrow \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ s ~ u ~ m ~ e ~ x ~ p ~ } _ { \mathfrak { g } \in G } \left( \log q _ { \theta } \left( \mathfrak { g } ( \phi ) \right) \right) - \log \left| G \right| } \\ { \phi } & { { } \rightarrow \mathfrak { g } ( \phi ) \qquad \mathfrak { g } \sim G } \end{array}
T r _ { \mu } ^ { \pm } = { \frac { \pm m ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) _ { \mu } + \epsilon _ { \mu \lambda \rho \sigma } p _ { 1 \lambda } p _ { 2 \rho } { \hat { n } } _ { \sigma } } { 2 \sqrt { E _ { 1 } ( m + E _ { 1 } ) E _ { 2 } ( m + E _ { 2 } ) } } }
\pi \epsilon _ { 0 } \iint \epsilon _ { r } ( \rho , z ) \hat { e } _ { \nu ^ { \prime } \mu ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \hat { e } _ { \nu \mu } \rho d { \rho } d z = \delta _ { \nu \nu ^ { \prime } } \delta _ { \mu \mu ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ c _ { \eta } \cdot \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \cdot \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { = } & { ~ c _ { \eta } \cdot \Big ( \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \cdot \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } } \langle ~ y _ { v } \cdot \mathcal { M } _ { z } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle \Big ) } \\ { : = } & { ~ c _ { \eta } ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) . } \end{array}
V \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { 1 . 0 0 } } & { { 0 . 8 7 \times 1 0 ^ { - 1 } } } & { { - } } \\ { { - 0 . 6 6 \times 1 0 ^ { - 1 } } } & { { 0 . 7 5 5 } } & { { 0 . 6 5 6 } } \\ { { - } } & { { - 0 . 6 5 6 } } & { { 0 . 7 5 5 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 2 2 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}