harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| I _ { 5 } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } | \mathcal { F } _ { h } [ I _ { 5 } ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 s } \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { | \xi + \zeta | ^ { 2 s } } { M _ { h } ( \xi + \zeta ) ^ { s } } \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \frac { | \mathcal { F } [ \Theta _ { h } ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } } { M _ { h } ( \xi + \zeta ) ^ { 2 s } | \xi + \zeta | ^ { 2 ( t - 2 s ) } } \right) \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}
\frac { C _ { F } \alpha _ { s } } { 2 \pi } \, \xi \ln \xi \, \to \, \frac { C _ { F } e ^ { 5 / 3 } } { 2 \pi ( - \beta _ { 0 } ) } \, \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \approx 1 . 6 \, \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { F ( \bar { x } _ { I ( T ) } ) - F ( x _ { * } ) \leq } & { O \left( \left( 1 + \log \frac { r + \left\Vert x _ { 1 } - x _ { * } \right\Vert } { r } \right) \left( r + \left\Vert x _ { 1 } - x _ { * } \right\Vert \right) \right. } \\ & { \quad \left. \times \left( \frac { G \sqrt { W w _ { T } } } { \sqrt { T } } \lor \frac { G \left( 1 + W \right) \log \frac { 1 } { \delta } } { T } \lor \frac { \sigma \left( 1 + W \right) \left( w _ { T } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \left( \log \frac { 1 } { \delta } \right) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } } { T ^ { \frac { p - 1 } { p } } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( { \mathcal { I } } ( \alpha , \beta ) ) } & { { } = { \mathcal { I } } _ { \alpha , \alpha } { \mathcal { I } } _ { \beta , \beta } - { \mathcal { I } } _ { \alpha , \beta } { \mathcal { I } } _ { \alpha , \beta } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 0 } \operatorname* { d e t } ( { \mathcal { I } } ( \alpha , \beta ) ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to 0 } \operatorname* { d e t } ( { \mathcal { I } } ( \alpha , \beta ) ) = \infty } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } \operatorname* { d e t } ( { \mathcal { I } } ( \alpha , \beta ) ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \operatorname* { d e t } ( { \mathcal { I } } ( \alpha , \beta ) ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) - \omega _ { p } + i \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { - } ) + \omega _ { p } + \omega _ { C } + i \frac { \gamma } { 2 } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { + } ) + \omega _ { p } + \omega _ { C } + i \frac { \gamma } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 } = } & { { } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \sin ( n \phi _ { l } ) \quad \quad \sigma _ { 3 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 2 } = } & { { } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \cos ( n \phi _ { l } ) \quad \quad \sigma _ { 4 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \end{array}
M _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = 0 . 8 7 \, \frac { \alpha ^ { 3 / 2 } \, m _ { e } ^ { 1 / 4 } \, M _ { p l } ^ { 3 } } { m _ { p } ^ { 9 / 4 } } \, e ^ { - . 4 2 4 / \sqrt { \beta } }
\begin{array} { r l } { \| R _ { \gamma } ( x ^ { k } ) \| } & { = \gamma ^ { - 1 } \| x ^ { k } - T _ { \gamma } ( x ^ { k } ) \| } \\ & { = \gamma ^ { - 1 } \| T _ { \gamma } ( w ^ { k - 1 } ) - T _ { \gamma } ( x ^ { k } ) \| } \\ & { \le \gamma ^ { - 1 } \| w ^ { k - 1 } - \gamma \nabla f ( w ^ { k - 1 } ) - x ^ { k } + \gamma \nabla f ( x ^ { k } ) \| } \\ & { \le \gamma ^ { - 1 } \| w ^ { k - 1 } - x ^ { k } \| + \| \nabla f ( w ^ { k - 1 } ) - \nabla f ( x ^ { k } ) \| } \\ & { \le ( 1 + \gamma L _ { f } ) \| R _ { \gamma } ( w ^ { k - 1 } ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { d / s , \Psi } ^ { u / v } ( t ) } & { { } = \Theta ( t ) \int \mathrm { d } \boldsymbol { x } \rho _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) \Psi ( \boldsymbol { x } ( t ) ) \Phi ( x ) } \end{array}
J ^ { ( N ) } \left( N ; 1 , \ldots , 1 \right) = \mathrm { i } ^ { 1 - 2 N } \; \pi ^ { N / 2 } \; \frac { \Gamma \left( N / 2 \right) } { N ! } \; \; \frac { \Omega ^ { ( N ) } } { V ^ { ( N ) } } \; .
{ \alpha _ { n } } ( \ell _ { n } ( f _ { n } ) - \ell _ { n } ( f _ { t } ) ) = t \sqrt { n { \alpha _ { n } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( f - f _ { 0 } ) ( \psi _ { n } - \psi _ { 0 } ) - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } ( \| \psi _ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \psi _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } W _ { n } ( \psi _ { 0 } - \psi _ { n } ) ,
\frac { 2 M ^ { 2 } ( \mu ) } { \Lambda _ { F } ^ { 2 } } \simeq \frac { 3 \alpha _ { s } } { 4 \pi } + \frac { 3 \alpha _ { s } } { 4 \pi } \, \ln ( \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } ) \, ,
H ( \chi ) \simeq \frac { 2 P _ { t } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \delta ( \chi - | \phi _ { x } | ) + \frac { 2 P _ { t } } { Q ^ { 2 } } \sum _ { i } k _ { t i } \Bigl [ \delta ( \chi - | \bar { \phi } _ { i } - \phi _ { x } | ) - | \cos \bar { \phi } _ { i } | \delta ( \chi - | \phi _ { x } | ) \Bigr ] ,
\begin{array} { r l } { H _ { S } } & { = \frac { \omega _ { 0 } } { 2 } ( \sigma _ { z } ^ { ( 1 ) } + \sigma _ { z } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { - g ( \sigma _ { x } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { x } ^ { ( 2 ) } + \sigma _ { y } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { y } ^ { ( 2 ) } + \Delta \sigma _ { z } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { z } ^ { ( 2 ) } ) } \\ { H _ { S B } } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } ( \kappa _ { r } \hat { B } _ { r } ^ { \dagger } \sigma _ { - } ^ { ( 1 ) } + \kappa _ { r } ^ { * } \hat { B } _ { r } \sigma _ { + } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { H _ { B } } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \Omega _ { r } \hat { B } _ { r } ^ { \dagger } \hat { B } _ { r } } \end{array}
{ \cal M } = \left( \begin{array} { c r c } { { { \cal P } ^ { - 1 } } } & { { { \cal P } ^ { - 1 } { \cal Q } } } \\ { { { \cal Q } { \cal P } ^ { - 1 } } } & { { { \cal P } + { \cal Q } { \cal P } ^ { - 1 } { \cal Q } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { | v ( x ; \lambda ) | } & { \le \int _ { - \infty } ^ { x } | e ^ { B _ { - } ( \lambda ) ( x - \xi ) } | | F ( \xi ; \lambda ) ( v ( \xi ; \lambda ) + e _ { 1 } ) | d \xi } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) ( v ( \xi ; \lambda ) + e _ { 1 } ) | d \xi } \\ & { \le \int _ { - \infty } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) v ( \xi ; \lambda ) | d \xi + \int _ { - \infty } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) e _ { 1 } | d \xi } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \xi \le x } | v ( \xi ; \lambda ) | \int _ { - \infty } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) | d \xi + \int _ { - \infty } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) e _ { 1 } | d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( \mathcal { M } - \lambda I ) \boldsymbol { \xi } _ { l } } & { = \bar { \boldsymbol { l } } , } & & { \boldsymbol { l } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { l } = 0 } \\ { \left( \mathcal { M } ^ { T } - \lambda I \right) \boldsymbol { \xi } _ { r } } & { = 0 , } & & { \boldsymbol { r } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { r } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t , t + \tau } ^ { ( 1 ) } ( \Gamma ) = \left< B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ^ { * } ) } ( \Gamma ) \right> } & { { } = ( 1 + \alpha ) \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) , } \end{array}
H _ { \pm } = \left( \begin{array} { c c } { { m } } & { { i e ^ { \mp i \theta } \left( \partial _ { r } \mp \frac { i } { r } \partial _ { \theta } \mp \frac { e B } { 2 } r \right) } } \\ { { i e ^ { \pm i \theta } \left( \partial _ { r } \pm \frac { i } { r } \partial _ { \theta } \pm \frac { e B } { 2 } r \right) } } & { { - m } } \end{array} \right) .
\mathcal { G } ^ { h } ( t , x , u ^ { h } ) = \mathcal { P } ^ { h } ( t , x ) \, u ^ { h } + \mathcal { Q } ^ { h } ( t , x ) \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } \quad \begin{array} { r c l } { \mathcal { P } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { p ^ { h } \left( t , x , w ( t ) \right) } \\ { \mathcal { Q } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { q ^ { h } \left( t , x , w ( t , x ) , w ( t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - h , S ) , T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - h + 1 , s ) , } & { T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - h + 2 , s ) , . . . , T ( \lambda _ { i } ^ { \prime } , s ) , T ( \lambda _ { i } ^ { \prime } , s + 1 ) , . . . , } \\ & { T ( \lambda _ { i } ^ { \prime } , m ) , T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } , S ) , T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - 1 , S ) , . . . , T ( \lambda _ { j } ^ { \prime } - h + 1 , S ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { o v l p } } } & { { } \simeq } & { \frac { 1 } { 4 } \Delta x \Delta y \Biggl ( \lambda _ { 0 , 0 } + \lambda _ { m , 0 } + \lambda _ { 0 , n } + \lambda _ { m , n } + } \end{array}
\omega ( h ) = \omega _ { 0 } ^ { - 1 } h \omega _ { 0 } , \; \mathrm { w i t h } \; \omega _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
P ^ { n } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; t \in \left[ t ^ { n } , t ^ { n + 1 } \right] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. ,
P _ { v a c } ^ { 3 \nu } ( \nu _ { l } \rightarrow \nu _ { l ^ { \prime } } ) = P ^ { v a c } ( \bar { \nu } _ { l } \rightarrow \bar { \nu } _ { l ^ { \prime } } ) \cong 2 | U _ { l 3 } | ^ { 2 } | U _ { l ^ { \prime } 3 } | ^ { 2 } ~ \left( 1 - \cos { \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } L } { 2 E } } \right) ~ , ~ l \neq l ^ { \prime } = e , \mu , \tau ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ M _ { t } ^ { i , d a } ] } & { = 2 \, \mathbb { E } \Big [ Z _ { 1 } ( t - a ) \Big ] \mathbb { E } \Big [ N _ { w } \Big ] \mathbb { P } ( \mathrm { d i v i s i o n ~ b e t w e e n ~ t - a - d a ~ a n d ~ t - a ~ } ) \mathbb { P } ( Z _ { 1 } ( a ) = i ) } \\ & { = 2 \, e ^ { ( b _ { 1 } - d _ { 1 } ) ( t - a ) } ( w / 2 ) b _ { 1 } d a \mathbb { P } ( \tilde { Z } _ { 1 } ( a ) = i ) . } \end{array}
+ \frac { x ^ { 4 } y ^ { 1 } z ^ { 5 } } { 4 ^ { a } 1 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 4 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 4 ^ { a } 2 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 4 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 4 ^ { a } 3 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 4 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } } { 4 ^ { a } 4 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 5 } } { 4 ^ { a } 5 ^ { b } 5 ^ { c } }
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ H \left( e ^ { i \xi \frac { W _ { n } } { v ( n ) } } - e ^ { - \frac { \xi ^ { 2 } Z } { 2 } } \right) \right] = \operatorname* { l i m } _ { A \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ H \left( e ^ { i \frac { \xi W _ { n } ^ { A } } { v ( n ) } } - e ^ { - \frac { \xi ^ { 2 } ( Z \wedge A ) } { 2 } } \right) \right] = 0 .
\int _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | f _ { k } ( x ) \, g _ { k } ( x ) | \, \mu ( \mathrm { d } x ) \leq \left( \int _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | f _ { k } ( x ) | ^ { p } \, \mu ( \mathrm { d } x ) \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \left( \int _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | g _ { k } ( x ) | ^ { q } \, \mu ( \mathrm { d } x ) \right) ^ { \frac { 1 } { q } } .
\partial X ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \partial X ( z ) } } & { { \mathrm { I m } ( z ) \geq 0 } } \\ { { \bar { \partial } \bar { X } ( \bar { z } ) } } & { { \mathrm { I m } ( z ) < 0 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } _ { k _ { \theta , n } } } & { \equiv } & { \operatorname* { s u p } _ { z \geq 0 } \left\vert P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \tilde { Z } } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\vert \leq z | \mathfrak { S } _ { n } \right) - P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { \tilde { Z } } _ { n , ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ^ { \prime } ) \right\vert \leq z \right) \right\vert } \\ & { = } & { O _ { p } \left( \Delta _ { k _ { \theta , n } } ^ { 1 / 3 } ( \lambda ) \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \ln \left( k _ { \theta , n } / \Delta _ { k _ { \theta , n } } ( \lambda ) \right) \right\} ^ { 2 / 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( 1 - \tilde { z } _ { i } ) M = 0 \leq \bar { \omega } ^ { \top } x ^ { i } + \bar { b } } & { \leq \Vert \bar { \omega } \Vert \operatorname* { m a x } _ { i \in [ 1 , N ] } \Vert x ^ { i } \Vert + \vert \bar { b } \vert } \\ & { \leq 2 \sqrt { 2 \bar { f } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ 1 , N ] } \Vert x ^ { i } \Vert + 1 = M = \tilde { z } _ { i } M . } \end{array}
{ \big . } { \frac { \Delta Q } { \Delta t } } = { \frac { A \, ( - \Delta T ) } { { \frac { \Delta x _ { 1 } } { k _ { 1 } } } + { \frac { \Delta x _ { 2 } } { k _ { 2 } } } + { \frac { \Delta x _ { 3 } } { k _ { 3 } } } + \cdots } } .
\begin{array} { r l } { ^ 3 \Delta _ { 1 } } & { { } : T _ { e } = 9 7 6 . 9 3 0 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Delta _ { 2 } } & { { } : T _ { e } = 2 1 4 9 . 4 3 2 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Pi _ { 0 ^ { - } } } & { { } : T _ { e } = 1 0 2 1 2 . 6 2 3 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ , } \\ { ^ 3 \Pi _ { 0 ^ { + } } } & { { } : T _ { e } = 1 0 4 0 1 . 7 2 3 ~ \mathrm { c m } ^ { - 1 } \ . } \end{array}
{ \cal A } _ { f i } = \int d { \bf x \, } \left[ - \frac e { w _ { { \bf p } } } { \bf A } ( { \bf x } ) \, { \bf \cdot \, p } + V ( { \bf x } ) \right] \, \mathrm { e } ^ { - \, i \, ( { \bf p } ^ { \prime } - { \bf p } ) \, { \bf \cdot \, x } } = - \frac e { w _ { { \bf p } } } \, { \bf \tilde { A } ( q } ) \, { \bf \cdot \, p } + \tilde { V } ( { \bf q } ) \; \; \;
\begin{array} { r } { | F ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C ( 1 + | x | ^ { 2 } ) , \quad | D F ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C ( 1 + | x | ) , \quad | D ^ { 2 } F ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C , } \\ { | G ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C ( 1 + | x | ^ { 2 } ) , \quad | D G ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C ( 1 + | x | ) , \quad | D ^ { 2 } G ^ { ( k ) , i } ( x ) | \leq C , } \end{array}
\frac { \partial ^ { n } V } { \partial \Phi ^ { n } } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } 2 { \binom { n - 1 } { k - 1 } } \frac { \partial ^ { k } W } { \partial \Phi ^ { k } } \left( \frac { 2 7 } { 4 } \frac { \partial ^ { n - k + 2 } W } { \partial \Phi ^ { n - k + 2 } } - 1 2 \frac { \partial ^ { n - k } W } { \partial \Phi ^ { n - k } } \right) .
\boldsymbol { r } ( \tau , \xi ) = \Bigl ( \, \frac { q _ { x } } { R } + \cos ( \xi + \phi _ { 0 } + \beta _ { 2 } \tau ) \, , \frac { q _ { y } } { R } + \sin ( \xi + \phi _ { 0 } + \beta _ { 2 } \tau ) \, , \frac { q _ { z } } { R } + \beta _ { 1 } \tau \, \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \right] } & { = \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } } \\ & { \qquad + \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ( 1 - p + ( 2 p - 1 ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } { 2 ( 1 - ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 = \frac { \operatorname* { m a x } { \left\{ | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } , | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | \right\} } } { \operatorname* { m a x } { \left\{ | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } , | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | \right\} } } \to 0 , } \end{array}
\Big \| \Big ( \frac { 1 } { N } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } + \gamma I \Big ) ^ { - 1 } u \Big \| _ { \infty } = \operatorname* { s u p } _ { \bar { x } \in \ensuremath { \mathscr { X } } } \Big | \Big \langle \Big ( \frac { 1 } { N } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } + \gamma I \Big ) ^ { - 1 } u ( \cdot ) , \ensuremath { \mathscr { K } } ( \bar { x } , \cdot ) \Big \rangle _ { \ensuremath { \mathscr { H } } } \Big |
\begin{array} { r l } { x } & { = - \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \gamma _ { + } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \sqrt { \mathcal { X } ^ { 2 } + \mathcal { H } ^ { 2 } } } { Z } \times } \\ & { \qquad \times \left( c _ { a } \cos \chi + c _ { \phi } \sin \chi \right) - } \\ & { - \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \gamma _ { 0 } \gamma _ { + } } { ( \gamma _ { + } - i \Omega ) Z } \left( \mathcal { H } b _ { a } + i \frac { \Omega } { \gamma _ { + } } \mathcal { X } b _ { \phi } \right) + } \\ & { \qquad + \frac { F _ { T } } { m Z } , \quad \tan \chi = \frac { \mathcal { X } } { \mathcal { H } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { \mathrm { U S t a b } } ( \boldsymbol { \theta } ; \mathbf y , \mathbf t ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \nu } | | \mathcal { D } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf { x } _ { n } + \boldsymbol \nu ) - \mathcal { D } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mathbf t ) | | _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l c c } { \displaystyle \partial _ { t } n + { \boldsymbol u } \cdot \nabla n - \Delta n + \nabla \cdot ( n \nabla c ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } c + { \boldsymbol u } \cdot \nabla c - \Delta c + c } & { = } & { n } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \partial _ { t } { \boldsymbol u } + ( { \boldsymbol u } \cdot \nabla ) { \boldsymbol u } - \Delta { \boldsymbol u } + \nabla p - n \nabla \Phi } & { = } & { \boldsymbol { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q , } \\ { \nabla \cdot { \boldsymbol u } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } } & { Q . } \end{array} \right.
( f g ) \left( ( a + b { \sqrt { 2 } } ) + ( c + d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } \right) = ( a - b { \sqrt { 2 } } ) - ( c - d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } = a - b { \sqrt { 2 } } - c { \sqrt { 3 } } + d { \sqrt { 6 } } .
J ^ { ( N ) } ( N - 1 ; 1 , \ldots , 1 ) = - \frac { 1 } { 2 \; D ^ { ( N ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { m _ { i } ^ { 2 } } \; F _ { i } ^ { ( N ) } \; \left. J ^ { ( N - 1 ) } ( N - 1 ; 1 , \ldots , 1 ) \right| _ { \mathrm { \scriptsize ~ w i t h o u t } \; i } .
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { t } ) = } \\ & { \frac { 1 } { \Delta k _ { t } } \int _ { k _ { t } \le \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } < k _ { t } + \Delta k _ { t } } d k _ { x } d k _ { y } \left( \frac { L } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \left| \boldsymbol { v } _ { t } \left( k _ { x } , k _ { y } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { 1 } + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \left( \rho _ { 1 } \left[ 1 - \kappa \rho _ { 2 } \right] \right) } & { = 0 } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 2 } - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \left( \rho _ { 2 } \left[ 1 - \kappa \rho _ { 1 } \right] \right) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T = \left\lceil \frac { 4 \Delta _ { \delta } } { \eta \epsilon ^ { 2 } } \right\rceil , ~ b ^ { \prime } = \left\lceil \frac { 2 \sigma _ { \delta } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { 2 } } \right\rceil , ~ b = \left\lceil \frac { 2 b ^ { \prime } } { m } \right\rceil , } \\ & { \eta = \frac { \sqrt { b ^ { \prime } } } { m M _ { \delta } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad m = \left\lceil \frac { L _ { \delta } \sqrt { b ^ { \prime } } } { M _ { \delta } } \right\rceil , } \end{array}
\frac { c _ { 1 } } { M _ { 5 } } \, \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi M _ { 5 } r } } \, \frac { ( \frac { 1 } { 2 } + \nu ) } { 2 ( 1 + \nu ) } \, \frac { e ^ { 2 k \pi r ( 1 + \nu ) } - 1 } { e ^ { k \pi r ( 1 + 2 \nu ) } } \left( \bar { f } _ { R } \sigma ^ { \mu \nu } f _ { L } \right) \, Z _ { \mu \nu } ~ .
\mathcal { H } ( \mathbf { U } _ { i } ^ { \eta , * } ; \tilde { \mathbf { G } } _ { i } ^ { \eta } ) : = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { F } _ { 2 } [ \mathbf { u } _ { i } ^ { \eta } ] ( \mathbf { x } _ { 1 } ) - \mathbf { g } _ { i } ^ { \eta } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) / \mathbf { F } _ { 1 } [ \mathbf { b } ^ { \eta } ] ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { F } _ { 2 } [ \mathbf { u } _ { i } ^ { \eta } ] ( \mathbf { x } _ { M } ) - \mathbf { g } _ { i } ^ { \eta } ( \mathbf { x } _ { M } ) / \mathbf { F } _ { 1 } [ \mathbf { b } ^ { \eta } ] ( \mathbf { x } _ { M } ) } \end{array} \right] = \mathbf { 0 } ,
{ \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - a _ { 0 } } \\ { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - a _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { - a _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } & { - a _ { n - 1 } } \end{array} \right) } .
\operatorname* { m a x } { \left( \frac { \mathcal { T } _ { i , j } - \mathcal { T } _ { i , j - 1 } } { \Delta y } , \frac { \mathcal { T } _ { i , j } - \mathcal { T } _ { i , j + 1 } } { \Delta y } , 0 \right) } = \frac { \mathcal { T } _ { i , j } + s _ { k } ^ { \mathrm { t o p } } } { \Delta y } .