harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
N _ { i } \equiv - i \psi _ { 0 } ^ { 2 i } \psi _ { 0 } ^ { 2 i + 1 } = d _ { i } ^ { + } d _ { i } ^ { - } - \frac { 1 } { 2 } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ N _ { i } | { s _ { i } } \rangle = s _ { i } | { s _ { i } } \rangle
\left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { A _ { \nu } } } & { { 0 } } \\ { { A _ { \nu } } } & { { B _ { \nu } } } & { { C _ { \nu } } } \\ { { 0 } } & { { C _ { \nu } } } & { { D _ { \nu } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \nu } + B _ { \nu } ) } } & { { C _ { \nu } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { C _ { \nu } } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \nu } + B _ { \nu } ) } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \nu } - B _ { \nu } ) } } & { { 0 } } \\ { { - \frac { 1 } { 2 } A _ { \nu } } } & { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } ( D _ { \nu } - B _ { \nu } ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \sin x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } , } \\ { \cos x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n } . } \end{array}
| S _ { \lambda } \setminus \operatorname { s u p p } ( { \boldsymbol { \beta } } ) | ~ \leq \frac { 2 4 3 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } ^ { \frac 3 2 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } \lambda } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } D }
\begin{array} { r l } { { \displaystyle \varphi ( \sigma , \tau ) = } } & { { \phi ( z ) + \bar { \phi } ( \bar { z } ) \: , } } \\ { { \phi ( z ) = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { 0 } - i p _ { + } \log z + i \sum _ { k \neq 0 } \frac { 1 } { k } a _ { k } z ^ { - k } \: , } } \\ { { \bar { \phi } ( \bar { z } ) = } } & { { \frac { 1 } { 2 } \varphi _ { 0 } - i p _ { - } \log \bar { z } + i \sum _ { k \neq 0 } \frac { 1 } { k } \bar { a } _ { k } \bar { z } ^ { - k } \: , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 2 } ^ { - } = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ v _ { 1 } f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( - v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) + } \\ { = } & { { } } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 2 } ^ { e q } ( - v _ { n } , v _ { t } ) + } \\ { = } & { { } } & { \left\{ - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 1 2 } ^ { e q } + \left\{ - ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) \right\} ^ { - } f _ { 2 2 } ^ { e q } + } \\ { = } & { { } } & { - ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 2 } ^ { e q } - ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 2 } ^ { e q } - } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } | e ^ { - x ^ { 2 } } | \, d x < \int _ { - \infty } ^ { - 1 } - x e ^ { - x ^ { 2 } } \, d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - x ^ { 2 } } \, d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } x e ^ { - x ^ { 2 } } \, d x < \infty .
f ^ { \mathrm { s t a t } } ( m _ { b } ) = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } { \pi } \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } C _ { f } \left( \frac { 1 5 } { 8 } + \frac { 1 } { 6 } \pi ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \ln \frac { m _ { b } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) \right] .
\Psi _ { S } ( { \vec { r } } _ { 1 } , { \vec { r } } _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } [ \Phi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \Phi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) + \Phi _ { b } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \Phi _ { a } ( { \vec { r } } _ { 2 } ) ]
\begin{array} { r l } { A _ { n } ( f , p ) } & { = T _ { n } ^ { - 1 } ( p ) T _ { n } ( f ) T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { p } ) } \\ & { = T _ { n } ^ { - 1 } ( p ) \left( T _ { n } ( p ) T _ { n } \left( \frac { f } { p } \right) + E _ { n } \right) } \\ & { \phantom { A _ { n } ( f , p ) } \cdot \left( T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { p } } \right) T _ { n } ( \bar { p } ) + E _ { n } ^ { T } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { p } ) } \\ & { = T _ { n } \left( \frac { f } { p } \right) T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { p } } \right) + T _ { n } ^ { - 1 } ( p ) E _ { n } T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { p } } \right) } \\ & { \phantom { A _ { n } ( f , p ) } + T _ { n } \left( \frac { f } { p } \right) E _ { n } ^ { T } T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { p } ) + T _ { n } ^ { - 1 } ( p ) E _ { n } E _ { n } ^ { T } T _ { n } ^ { - 1 } \left( \bar { p } \right) } \\ & { = T _ { n } \left( \frac { f } { p } \right) T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { p } } \right) + R _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( S _ { 0 } \phi ) ( t ) = } & { - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \phi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta + \frac { \mathrm { i } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta } \\ { \overset { \mathrm { d e f } } { = } } & { ( \widetilde { S } _ { 0 } \phi ) ( t ) + ( M _ { 0 } \phi ) ( t ) , } \\ { ( S _ { 1 } \phi ) ( t ) = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \sin ( t - \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } \\ { ( S _ { 2 } \phi ) ( t ) = } & { - \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) \sin ^ { 2 } ( t - \zeta ) \phi ( \zeta ) \mathrm { d } \zeta , } \end{array}
{ \scriptstyle { \begin{array} { l } { d \xi ^ { 2 } - d \tau ^ { 2 } = d x ^ { 2 } - c ^ { 2 } d t ^ { 2 } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { c = c _ { 0 } + a x } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { { \begin{array} { r l } { \xi } & { = x + { \frac { a c } { 2 } } t ^ { 2 } } \\ { \eta } & { = y } \\ { \zeta } & { = z } \\ { \tau } & { = c t } \end{array} } } \end{array} } }
\begin{array} { r } { q = \frac { \epsilon g _ { 1 } + \epsilon ^ { 3 } g _ { 3 } + . . . . . + \epsilon ^ { 2 N - 1 } g _ { 2 N - 1 } } { f _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } f _ { 2 } + . . . . . + \epsilon ^ { 2 N } f _ { 2 N } } \Big | _ { \epsilon = 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { { V _ { \mathrm { A } } I _ { 2 } } } & { { \sqrt { ( T ( V _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - 1 ) \sigma _ { z } ) } } } \\ { { \sqrt { ( T ( V _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - 1 ) \sigma _ { z } ) } } } & { { [ ( V _ { \mathrm { A } } - 1 ) + 1 + T \xi ^ { \prime } ] I _ { 2 } } } \end{array} \right) , } \\ { T } & { { } = \frac { \eta _ { \mathrm { A } } } { 2 } g ^ { 2 } , } \\ { \xi ^ { \prime } } & { { } = 1 + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { A } } } [ \eta _ { \mathrm { B } } ( \Xi _ { \mathrm { B } } - 1 ) + \eta _ { \mathrm { A } } \Xi _ { \mathrm { A } } ] + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { A } } } ( \frac { \sqrt { 2 } } { g } \sqrt { V _ { \mathrm { B } } - 1 } - \sqrt { \eta _ { \mathrm { B } } } \sqrt { V _ { \mathrm { B } } + 1 } ) ^ { 2 } , } \\ { \Xi _ { \mathrm { A } } } & { { } = \frac { 1 - \eta _ { \mathrm { A } } } { \eta _ { \mathrm { A } } } + \xi _ { \mathrm { A } } , \: \Xi _ { \mathrm { B } } = \frac { 1 - \eta _ { \mathrm { B } } } { \eta _ { \mathrm { B } } } + \xi _ { \mathrm { B } } , } \\ { \eta _ { \mathrm { A } } } & { { } = 1 0 ^ { - \alpha L _ { \mathrm { A C } } / 1 0 } , \: \eta _ { \mathrm { B } } = 1 0 ^ { - \alpha L _ { \mathrm { B C } } / 1 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E _ { t - 1 } [ \Vert Z _ { t } \Vert ^ { 2 } ] = \Vert \mu _ { t } \Vert ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } ) \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \mathbb E _ { t - 1 } [ \Vert Z _ { t } \Vert ^ { 4 } ] \leq 3 \left( \mathbb E _ { t - 1 } [ \Vert Z _ { t } \Vert ^ { 2 } ] \right) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\mathbb { C } _ { \alpha , \beta , \gamma } ^ { 3 } \Big \backslash \Big [ \{ \alpha \in \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 - d } \} \cup \{ \alpha + \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 2 - d } \} \cup \{ \beta \in \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 } \} \cup \{ \beta + \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 2 } \} \cup \{ \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 } \} \Big ] .
\delta u = - { \frac { m _ { N } s _ { 0 } } { 2 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } } e ^ { 1 - s _ { 0 } / m _ { N } ^ { 2 } } \langle \bar { u } u \rangle - { \frac { e m _ { 0 } ^ { 2 } m _ { N } } { 2 4 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } } ( \ln ( { \frac { m _ { N } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ) - 1 ) \langle \bar { u } u \rangle .
F ( T ; H ) = \operatorname* { m a x } _ { | t - T | \leq H } { \bigl | } \zeta { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } + i t { \bigr ) } { \bigr | } , \quad G ( s _ { 0 } ; \Delta ) = \operatorname* { m a x } _ { | s - s _ { 0 } | \leq \Delta } | \zeta ( s ) | .
\langle \tilde { \eta } _ { T } ^ { X } , \mathbf { 1 } _ { \{ ( n , s ) \} \times \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } [ a _ { j } , b _ { j } ] \times \{ c \} \times \prod _ { k = i + 1 } ^ { n - s } [ a _ { k } , b _ { k } ] \right) } \rangle = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left( y ^ { \prime } - \frac { v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { \prime } + \frac { v _ { 0 } } { g } \right) ^ { 2 } } & { = \left( \frac { v _ { 0 } } { g \textrm { s i n } \theta _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } \\ { \left( g y ^ { \prime } - v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( g x ^ { \prime } + v _ { 0 } \right) ^ { 2 } } & { = v _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 + \textrm { c o t } ^ { 2 } \theta _ { 0 } \right) } \\ { ( g y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \left( g x ^ { \prime } + v _ { 0 } \right) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } } & { = g y ^ { \prime } v _ { 0 } \textrm { c o t } \theta _ { 0 } } \\ { \textrm { t a n } ^ { - 1 } \left( \frac { g y ^ { \prime } v _ { 0 } } { ( g y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( g x ^ { \prime } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } & { = \theta _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 1 } = a _ { 0 } A _ { 0 } } & { + \sum _ { L = 0 } ^ { n } ( 2 L + 1 ) x ^ { 2 L } \sum _ { k = 1 } ^ { L + 1 } C _ { L - k + 1 } ^ { n } ( 2 L - k + 2 ) a _ { 2 k } y ^ { 2 ( k + n - L - 1 ) } } \\ & { + \sum _ { L = n + 1 } ^ { 2 n } ( 2 L + 1 ) x ^ { 2 L } \sum _ { k = L - n + 1 } ^ { n + 1 } C _ { L - k + 1 } ^ { n } ( 2 L - k + 2 ) a _ { 2 k } y ^ { 2 ( k + n - L - 1 ) } . } \end{array}
T _ { \mu } = \frac { ( 2 \imath ) ^ { \frac { D - 2 } { 2 } } } { ( D - 2 ) ! } \epsilon _ { \nu \mu \rho _ { 2 } \ldots \rho _ { D - 1 } } \pi ^ { \mu } \psi ^ { \rho _ { 2 } } \ldots \psi ^ { \rho _ { D - 1 } } + \frac { \alpha } { 2 ^ { \frac { D - 2 } { 2 } } } \pi _ { \nu } = 0 \; .
\nabla _ { i } = g _ { 0 } ^ { - 1 } h _ { 1 } ^ { - 1 } ( \partial _ { i } - A _ { i } \partial _ { 2 } ) ~ , ~ ~ \nabla _ { 2 } = g _ { 0 } ^ { - 1 } h _ { 2 } ^ { - 1 } \partial _ { 2 } ~ , ~ ~ \nabla _ { p } = g _ { 0 } ^ { - 1 } h _ { 3 } ^ { - 1 } ( \partial _ { p } - A _ { p } \partial _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } > } & { \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { X _ { A } } & { { } = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { T } \cdot C _ { X } } \\ { Y _ { A } } & { { } = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { L } \cdot C _ { Y } } \\ { N _ { A } } & { { } = ( 1 / 2 ) \rho _ { A } U _ { A } ^ { 2 } A _ { L } L _ { O A } \cdot C _ { N } \enspace , } \end{array} } \end{array}
z _ { h } ^ { 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { h + i + 1 } \operatorname* { d e t } ( ( M _ { i , h } ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Q } } ) ( m _ { i , k ^ { \prime } + 1 } \widetilde { x _ { k ^ { \prime } + 1 } ^ { 1 } } + \dots + m _ { i , k } \widetilde { x _ { k } ^ { 1 } } ) } { \operatorname* { d e t } ( ( M ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Q } } ) } =
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \delta _ { 0 } } R ( \beta + \delta _ { 0 } h ) } & { = } & { J ^ { - 1 } \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } H _ { v } ( \beta ) \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } h ( u ) \phi _ { u } ^ { k } ( v ) } \\ & { = } & { J ^ { - 1 } \sum _ { u \in { \cal R } ( d , J ) } h ( u ) \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } H _ { v } ( \beta ) \phi _ { u } ^ { k } ( v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \omega v _ { r } } & { { } = - i \frac { \omega } { k ^ { 2 } } \mathcal { L } v _ { r } - \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { \phi } , } \\ { - i \omega v _ { \phi } } & { { } = \nu _ { o } \mathcal { L } v _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 | I _ { 2 } | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \int _ { 0 } ^ { s } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w ^ { \prime } } } \nu ( z ^ { \prime } - w ^ { \prime } ) p _ { D } ( s - s ^ { \prime } , z ^ { \prime } , w ) \nu ( z - w ) } \\ & { \quad \times \left( P _ { s ^ { \prime } } ^ { D } f ( w ^ { \prime } ) ^ { 2 } + P _ { t - s } ^ { D } f ( z ) ^ { 2 } \right) \, d z ^ { \prime } \, d w ^ { \prime } \, d s ^ { \prime } \, d z \, d w \, d s = K _ { 1 } + K _ { 2 } = 2 K _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { D } } = } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } } | k _ { 1 } , k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } | \langle k _ { 1 } , k _ { 2 } | \psi _ { n _ { c } n _ { d } } ( \tau ) \rangle } \\ & { \times \langle \psi _ { n _ { c } n _ { d } } ( \tau ) | k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } \rangle e ^ { - 2 \tilde { \Gamma } \tau [ ( k _ { 1 } - k _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( k _ { 2 } - k _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle } & { = \langle \Phi _ { i } | \dag , b _ { i a } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Phi _ { i } \rangle \dag \langle \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } [ \mathcal { R } , \Lambda ] \rangle } & { = \langle \Phi _ { i } | \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Phi _ { i } \rangle \dag , . } \end{array}
K = \frac { 0 . 0 7 9 3 Z _ { \mathrm { H I } } ^ { 2 / 3 } Z _ { t } ^ { 1 / 2 } ( A _ { \mathrm { H I } } + A _ { t } ) ^ { 3 / 2 } } { A _ { \mathrm { H I } } ^ { 3 / 2 } A _ { t } ^ { 1 / 2 } ( Z _ { \mathrm { H I } } ^ { 2 / 3 } + Z _ { t } ^ { 2 / 3 } ) ^ { 3 / 4 } } ,
\mathrm { T r } _ { \mathrm { e x t } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ^ { n } \times \mathrm { T r } _ { \mathrm { i n t } } I ^ { m } = 2
{ \cal L } = - \frac 1 4 F _ { \mu \nu } ^ { 2 } + \frac 1 8 \theta _ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } F _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \frac 1 2 \theta _ { \alpha \beta } F _ { \mu \alpha } F _ { \nu \beta } F _ { \mu \nu } + { \cal O } ( \theta ^ { 2 } ) + A _ { \mu } J _ { \mu } ,
S _ { d } = \int d ^ { d } x [ \sqrt { \mathrm { d e t } ( \delta _ { \mu \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } \tilde { F } _ { \mu \nu } ) } + \frac { 1 } { 2 } \mid D _ { \mu } \varphi \mid ^ { 2 } + \lambda ( \mid \varphi \mid ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } i \Lambda ^ { \mu \nu } ( \tilde { F } _ { \mu \nu } - 2 \partial _ { \mu } A _ { \nu } ) ] ,
\begin{array} { r l } { s _ { n } } & { \leq H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } + 2 \log _ { 2 } ( 2 \varepsilon _ { \mathrm { h } } ) } \\ & { - \mathrm { l e a k } _ { \mathrm { e c } } - \log _ { 2 } ( 2 / \varepsilon _ { \mathrm { c o r } } ) } \\ & { = H _ { \mathrm { m i n } } ^ { \varepsilon _ { \mathrm { s } } } ( B ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \sigma ^ { n } } - \mathrm { l e a k } _ { \mathrm { e c } } + \theta , } \end{array}
p _ { k } ^ { a b } ( t ) = \left( c * \frac { n _ { k } ^ { b } ( t ) k } { \sum _ { l } ( n _ { l } ^ { a } ( t ) l + n _ { l } ^ { b } ( t ) l ) } + ( 1 - c ) * \frac { n _ { k } ^ { b } ( t ) } { \sum _ { l } ( n _ { l } ^ { a } ( t ) + n _ { l } ^ { b } ( t ) ) } \right) * s _ { a b }
\Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( H ; m , \mu ) = - { \frac { V H ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \cdot 6 } } \ln ( { \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ) + \overline { { { \Gamma } } } ( H ; m ) .
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } = } & { 1 + 2 P e \theta \Gamma { ( 2 - \alpha ) } ( 1 - \cos ( k h ) ) } \\ { C _ { 1 } = } & { - 1 + q N _ { c } \Gamma ( 2 - \alpha ) \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \cos ( k h ) + \frac { 1 } { 3 } \cos ( 2 k h ) \right) \! + \! 2 P e ( 1 - \theta ) \Gamma ( 2 - \alpha ) ( 1 - } \\ & { \cos ( k h ) ) \! - \! D a N _ { c } \Gamma ( 2 \! - \! \alpha ) \! + \! I N _ { c } \Gamma ( 2 - \alpha ) \left( \! \sin ( k h ) + \frac { 2 } { 3 } q \sin ( k h ) - \frac { q } { 3 } \sin ( 2 k h ) \right) . } \end{array}
H _ { X X Z } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \sigma _ { n } ^ { x } \sigma _ { n + 1 } ^ { x } + \sigma _ { n } ^ { y } \sigma _ { n + 1 } ^ { y } + \Delta \sigma _ { n } ^ { z } \sigma _ { n + 1 } ^ { z } \right) ,
\mathcal { D } _ { p l a s } \left[ \hat { \rho } \right] = \sum _ { s , s ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { s s ^ { \prime } } \left( 2 \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \hat { \rho } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } - \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \hat { \rho } - \hat { \rho } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \right)
\hat { \omega } _ { 1 1 } = \ln | k _ { 2 } | \, , \quad \hat { \omega } _ { 2 2 } = \ln | k _ { 1 } | \, , \quad \hat { \omega } _ { 1 2 } = \hat { \omega } _ { 2 1 } = - \ln \left| \frac { ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) ( v _ { 1 } - v _ { 2 } ) } { ( u _ { 1 } - v _ { 2 } ) ( v _ { 1 } - u _ { 2 } ) } \right| \, .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { w } _ { - , m \ell } ( r ) = } & { \: ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + O _ { \infty } ^ { m } ( ( r - 1 ) ) \right] , } \\ { \mathfrak { w } _ { + , m \ell } ( r ) = } & { \: ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \log \left( \frac { 1 } { r - 1 } \right) [ 1 + O _ { \infty } ^ { m } ( ( r - 1 ) ] } \\ { \mathfrak { w } _ { - , m \ell } ^ { - 1 } \frac { d \mathfrak { w } _ { - , m \ell } } { d r } = } & { \: - \frac { 1 } { 2 } ( r - 1 ) ^ { - 1 } ( r - 1 ) ^ { - 1 } + O ^ { m } ( 1 ) , } \\ { \mathfrak { w } _ { + , m \ell } ^ { - 1 } \frac { d \mathfrak { w } _ { + , m \ell } } { d r } = } & { \: - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \log ( r - 1 ) ^ { - 1 } } \right) ( r - 1 ) ^ { - 1 } + \log ( r - 1 ) O ^ { m } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( t ) } & { = \sum _ { i } P _ { i } \sum _ { \rho } \left\langle i \right\rvert e ^ { i H _ { g } t / \hbar } \mu _ { \rho } ^ { * } e ^ { - i H _ { e } t / \hbar } \mu _ { \rho } \left\lvert i \right\rangle } \\ { F ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau ) } & { = \sum _ { i } P _ { i } \sum _ { \rho \xi } \left\langle i \right\rvert e ^ { - i H _ { g } t _ { 2 } / \hbar } \mu _ { \xi } ^ { * } e ^ { i H _ { e } t _ { 2 } / \hbar } \mu _ { \rho } e ^ { - i H _ { g } \tau / \hbar } \mu _ { \rho } ^ { * } e ^ { - i H _ { e } t _ { 1 } / \hbar } \mu _ { \xi } e ^ { i H _ { g } t _ { 1 } / \hbar } e ^ { i H _ { g } \tau / \hbar } \left\lvert i \right\rangle . } \end{array}
\left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( r - r _ { t r a p } ) R ^ { \star } ( \chi _ { I } ) \big ( | \omega { \widehat { u } } | ^ { 2 } + m ^ { 2 } | { \widehat { u } } | ^ { 2 } + \Lambda | { \widehat { u } } | ^ { 2 } \big ) \, d r ^ { \star } \! \right| \lesssim \mathcal { S } _ { t r a p } [ { \widehat { u } } ] _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } \, .
| e | \, R = 2 | e | \ast d ( e _ { a } \ast d e ^ { a } ) = 2 \, \tilde { \epsilon } ^ { \tau \sigma } \partial _ { \tau } \left( e _ { \sigma } { } ^ { a } \frac { \tilde { \epsilon } ^ { \mu \nu } } { | e | } \partial _ { \mu } e _ { a \nu } \right) \; .
\nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } = \left( \begin{array} { l l } { \nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { Q } \, , } & { \mathbb { O } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { Q } } \\ { \mathbb { O } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } \, , } & { \nabla { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } } \end{array} \right) \, ,
( 7 8 ) \log \frac { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } A } { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } B } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \mathrm { T r } ( e ^ { - t A } ) - \mathrm { T r } ( e ^ { - t B } ) \right] \frac { d t } { t } .
P _ { i j k } ^ { C } = \sum _ { n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } \frac { \sqrt { m _ { + } ! ( N - m _ { + } ) ! i ! j ! k ! } e ^ { i \frac { 2 \pi } { 3 } ( 2 n _ { 1 } - 2 n _ { 2 } - i + j ) } } { \sqrt { 3 ^ { N } } n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! n _ { 3 } ! ( i - n _ { 1 } ) ! ( j - n 2 ) ! ( k - n _ { 3 } ) ! } \delta _ { m _ { + } , n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } .
G _ { f g } \left( \tau , \tau _ { 1 } \right) = \theta \left( \tau - \tau _ { 1 } \right) \varsigma \mathrm { e } ^ { - \varpi \left| \tau - \tau _ { 1 } \right| } \sin \left( \varpi _ { g 0 } \tau \right) \sin \left( \varpi _ { g 1 } \tau _ { 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { Y } ^ { z } - \mathbf { Y } ^ { \tilde { z } } \| } & { = \| | z | ^ { 2 } \mathbf { I } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \mathbf { I } - ( z - \tilde { z } ) \mathbf { G } ^ { * } - ( \overline { { z - \tilde { z } } } ) \mathbf { G } \| } \\ & { \leq \big | | z | ^ { 2 } - | \tilde { z } | ^ { 2 } \big | + 2 | z - \tilde { z } | \| \mathbf { G } \| } \\ & { \leq 2 ( f + g + 1 ) | z - \tilde { z } | . } \end{array}
\int _ { \Omega _ { n } } \varphi _ { i } \nabla \cdot \textbf { F } ( \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } ) d \Omega = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot \textbf { F } ( \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta } ) d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \varphi _ { i } \widehat { \textbf { F } } ( \textbf { w } _ { n } ^ { \delta , + } , \textbf { w } _ { n } ^ { \delta , - } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta , + } , \nabla \textbf { w } _ { n } ^ { \delta , - } , \widehat { \textbf { m } } ) d S ,
{ \bf { u } } _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) = { \bf { u } } _ { \mathrm { { S } } 1 } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) - i \frac { { \bf { k } } } { k ^ { 2 } } \frac { \partial u _ { \mathrm { { B } } \ell } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } { \partial X _ { \mathrm { { I } } \ell } } ,
\begin{array} { r l } { ( \Pi ( R ) f ) ( \theta ( x ) , \varphi ( x ) ) } & { { } = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m , = - l } ^ { l } \sum _ { m ^ { \prime } = - l } ^ { l } D _ { m m ^ { \prime } } ^ { ( l ) } ( R ) f _ { l m ^ { \prime } } Y _ { m } ^ { l } \left( \theta \left( R ^ { - 1 } x \right) , \varphi \left( R ^ { - 1 } x \right) \right) , } \end{array}