harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S ^ { \alpha } = \frac { 1 } { 1 - \alpha } \log \Pi _ { i } \left[ \Big ( \frac { 2 \xi _ { i } - \psi _ { i } } { \pi } \Big ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \frac { ( 2 \pi ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } } { | A _ { i } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \right] .
0 = 1 y _ { 0 . 5 } - 3 y _ { 1 } + 3 y _ { 1 . 5 } - 1 y _ { 2 } = 4 y _ { 0 . 5 } - 1 2 y _ { 1 } + 1 2 y _ { 1 . 5 } - 4 y _ { 2 }
\begin{array} { r l } { d _ { 2 } } & { = | u ( x ^ { * } , t + h ) - u ( x ^ { * } , t ) | } \\ & { \leq C h ^ { \frac { \nu } { 2 } } [ 1 + h ^ { \frac { \nu } { 2 } } ] \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } + \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } \bigg ] , } \end{array}
{ \cal R } _ { \mu \nu } ^ { 4 a } = \partial _ { \mu } e _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } e _ { \mu } ^ { a } + \omega _ { \mu } ^ { a c } e _ { \nu c } ^ { } - \omega _ { \nu } ^ { a c } e _ { \mu c } ^ { } ,
D 4 \sigma = 4 \sqrt { \frac { \int \left( \mathcal { F } ( x , y ) ( x - \bar { x } ) ^ { 2 } + \mathcal { F } ( x , y ) ( y - \bar { y } ) ^ { 2 } \right) d x d y } { \int \mathcal { F } ( x , y ) d x d y } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } f ( u ) H ^ { u - y } d u d y } & { = \int _ { 0 } ^ { x } f ( u ) H ^ { u } \int _ { u } ^ { x } H ^ { - y } d y d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x } f ( u ) H ^ { u } \frac { H ^ { - u } - H ^ { - x } } { \log H } d u = \frac { F ( x ) } { \log H } + \mathcal { O } ^ { * } ( 1 / \log ^ { 2 } H ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \alpha \nu > } & { { } \; \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } } , } \\ { \mathcal { R } _ { 0 } > } & { { } \; 2 \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha \nu } + \sqrt { \nu - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \left( 1 - \frac { \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \alpha } \right) } \right) . } \end{array} \right.
{ P i _ { \ell } ( \omega , k ) \; = \; { \frac { 4 \alpha } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \; { \frac { p ^ { 2 } } { E } } \left( { \frac { \omega } { v k } } \log { \frac { \omega + v k } { \omega - v k } } - 1 - { \frac { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - v ^ { 2 } k ^ { 2 } } } \right) \Bigg ( n _ { F } ( E ) \; + \; { \bar { n } } _ { F } ( E ) \Bigg ) \; . }
\begin{array} { r l } { z _ { i } ^ { G } + l _ { i } ^ { G } } & { = z _ { i , 1 } ^ { G } + \prod _ { k = 1 } ^ { \hat { a } _ { i } ^ { G } } ( \hat { a } _ { i } ^ { G } - k + 1 ) a _ { \gamma _ { i , k } ^ { G } } ^ { G } ( i ) } \\ & { \leq ( U _ { \gamma _ { i , 1 } ^ { G } } ^ { G } ( i ) ) _ { \hat { a } _ { i } ^ { G } } } \\ & { \leq ( U _ { i + 1 } ^ { G } ( i ) ) _ { \hat { a } _ { i } ^ { G } } } \\ & { = ( S _ { i } ^ { G } - \hat { a } _ { i } ^ { G } ) _ { \hat { a } _ { i } ^ { G } } } \\ & { = ( S _ { i } ^ { G } - \hat { a } _ { i } ^ { G } ) ( S _ { i } ^ { G } - \hat { a } _ { i } ^ { G } - 1 ) \dots ( S _ { i } ^ { G } - 2 \hat { a } _ { i } ^ { G } + 1 ) } \\ & { = \prod _ { k = 0 } ^ { \hat { a } _ { i } ^ { G } - 1 } ( S _ { i } ^ { G } - ( \hat { a } _ { i } ^ { G } + k ) ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } \prod _ { k = 0 } ^ { \hat { a } _ { i } ^ { G } - 1 } ( S _ { i } ^ { G } - ( 2 k + 1 ) ) } \\ & { = r _ { i } ^ { G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C V _ { * } V _ { * } ^ { H } A \widetilde { x } _ { * } } { \| V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } \| ^ { 2 } } } & { = \frac { \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C V _ { * } V _ { * } ^ { H } ( \mu _ { * } C \widetilde { x } _ { * } + \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { * } ) } { \| V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } \| ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \mu _ { * } \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C V _ { * } V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } } { \| V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } \| ^ { 2 } } + \frac { \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C V _ { * } V _ { * } ^ { H } \widetilde { x } _ { * } } { \| V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } \| ^ { 2 } } } \\ & { = \mu _ { * } + \frac { \lambda _ { * } \widetilde { x } _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } } { \| V _ { * } ^ { H } C \widetilde { x } _ { * } \| ^ { 2 } } = \mu _ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) } } \\ & { \quad = \sum _ { k \geq 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { k } } e ^ { - 2 ( \frac { 1 } { n } + t ) \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) - 2 \sum _ { k \geq 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { k } } e ^ { - ( \frac { 2 } { n } + t ) \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) + \sum _ { k \geq 1 } \frac { 1 } { \lambda _ { k } } e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d b _ { 1 } } { d t } = b _ { 1 } - \frac { b _ { 1 } ^ { 3 } } { 3 } + c + f ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) - v _ { 1 } } \\ & { \frac { d b _ { 2 } } { d t } = b _ { 2 } - \frac { b _ { 2 } ^ { 3 } } { 3 } + c + f ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) - v _ { 2 } } \\ & { \frac { d v _ { 1 } } { d t } = g ( b _ { 1 } ) - k v _ { 1 } } \\ & { \frac { d v _ { 2 } } { d t } = g ( b _ { 2 } ) - k v _ { 2 } } \\ & { \frac { d x _ { 1 } } { d t } = v _ { 1 } } \\ & { \frac { d x _ { 2 } } { d t } = v _ { 2 } . } \end{array}
\big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } { \omega _ { i } ^ { \pm } - \beta _ { i } } } ( | \partial _ { j } u | ) \leq c \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) \Gamma ^ { ( 1 - \delta _ { i } ) \frac { \tau } { 2 } } ( | \partial _ { j } u | ) \, .
\Lambda _ { - 1 , 1 } = \lambda ^ { - 1 } ( e _ { 1 , 2 p } - e _ { 2 , 2 p + 1 } ) + ( e _ { 2 , 1 } - e _ { 2 p + 1 , 2 p } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } e _ { 2 + k , 1 + k } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { p - 1 } e _ { p + 1 + k , p + k } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 } ( t , \delta , \Omega ) = } & { { } - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \Gamma \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } \right) \right) } \end{array}
S = \frac { \Gamma \, r _ { 0 } } { \delta _ { r _ { 0 } } u } = \frac { \Gamma r _ { 0 } ^ { 2 / 3 } } { \epsilon ^ { 1 / 3 } } = \left( \frac { r _ { 0 } } { L _ { \Gamma } } \right) ^ { 2 / 3 }
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { T r } ( a ^ { T } a a ^ { \dagger } a ^ { * } a ^ { T } a a ^ { \dagger } a ^ { * } a ^ { T } a a ^ { \dagger } a ^ { * } ) \rangle } \\ { = } & { \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \delta _ { i _ { 3 } i _ { 4 } } \delta _ { i _ { 5 } i _ { 6 } } \delta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 2 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 3 } ^ { \prime } i _ { 4 } ^ { \prime } } \delta _ { i _ { 5 } ^ { \prime } i _ { 6 } ^ { \prime } } \left( \delta _ { j _ { 2 } j _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 3 } j _ { 2 } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { j _ { 6 } j _ { 5 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 6 } ^ { \prime } } \right) \left[ \int d f f _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots f _ { i _ { 6 } j _ { 6 } } f _ { i _ { 1 } ^ { \prime } j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } \cdots f _ { i _ { 6 } ^ { \prime } j _ { 6 } ^ { \prime } } ^ { * } \right] } \\ { = } & { \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { m } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } i _ { 2 k } } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } i _ { 2 k } ^ { \prime } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } j _ { k - 1 } ^ { \prime } } \right) \left[ \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { 2 m } } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { i _ { k } , i _ { \sigma ( k ) } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { k } , j _ { \tau ( k ) } ^ { \prime } } \right) \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { 2 m } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) \left[ \sum _ { \lbrace i _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { m } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } i _ { 2 k } } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } i _ { 2 k } ^ { \prime } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { i _ { k } , i _ { \sigma ( k ) } ^ { \prime } } \right) \right] \left[ \sum _ { \lbrace j _ { k } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } j _ { k - 1 } ^ { \prime } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } , j _ { \tau ( k ) } ^ { \prime } } \right) \right] . } \end{array}
J _ { N C } ^ { \mu } = \sum _ { f } g _ { L } ^ { f } \overline { { f } } \gamma ^ { \mu } \left[ 1 - \gamma ^ { 5 } \right] f + g _ { R } ^ { f } \overline { { f } } \gamma ^ { \mu } \left[ 1 + \gamma ^ { 5 } \right] f =
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] ^ { - 1 } , \ \ker _ { \mathbb { Z } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right] \right) = \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 2 } \\ { 1 } \\ { - 2 } \\ { 0 } \end{array} \right] \oplus \mathbb { Z } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { - 3 } \\ { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
( \mathbf { \nabla \times f } ) _ { 3 } = \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x } - \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial y } = \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) \overline { { { u } ^ { \prime } { v } ^ { \prime } } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } \left( \overline { { { v } ^ { \prime } { v } ^ { \prime } } } - \overline { { { u } ^ { \prime } { u } ^ { \prime } } } \right) .
\begin{array} { r l } { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { i k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k i } ^ { * } ( t ) | \le } & { \frac { | \widetilde v _ { i i } ^ { * } ( t ) | } { v _ { i i } ^ { * } ( t ) } + \frac { | \widetilde v _ { n i } ^ { * } ( t ) | } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } \le q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } ( 1 + 1 / n ) , ~ i = j \in [ n ] , } \\ { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { i k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k i } ^ { * } ( t ) | \le } & { \frac { | \widetilde v _ { i i } ^ { * } ( t ) | } { v _ { i i } ( t ) } \le q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } , ~ i = j \in n + [ n - 1 ] , } \\ { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { i k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k j } ^ { * } ( t ) | \le } & { \frac { | \widetilde v _ { n j } ^ { * } ( t ) | } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } \le q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } / n , ~ i \neq j \in [ n ] , } \\ { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { i k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k j } ^ { * } ( t ) | = } & { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { j k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k i } ( t ) | \le \frac { | \widetilde v _ { i , n + i } ^ { * } ( t ) | } { v _ { i i } ^ { * } ( t ) } + \frac { | \widetilde v _ { i , n + i } ^ { * } ( t ) | } { v _ { 2 n , 2 n } ^ { * } ( t ) } } \\ { \le } & { q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } / n , ~ i \in [ n ] , ~ j = \in n + [ n - 1 ] ~ ( j \neq n + i ) , } \\ { | \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } s _ { i k } ^ { * } ( t ) \widetilde v _ { k j } ^ { * } ( t ) | = } & { 0 , ~ j = n + i ~ ( i \in [ n - 1 ] ) ~ \mathrm { o r } ~ i = n + j ~ ( j \in [ n - 1 ] ) . } \end{array}
{ { \bf { F } } _ { a d s } } ( { \bf { x } } ) = - { G _ { a d s } } \psi ( { \bf { x } } ) \sum _ { i } { w ( { { \left| { { { \bf { e } } _ { i } } } \right| } ^ { 2 } } ) } \psi ( { \bf { x } } ) s ( { \bf { x } } + { { \bf { e } } _ { i } } \Delta t ) { { \bf { e } } _ { i } }
\begin{array} { r } { [ \mathbf { f } ] _ { ( j , d ) } ^ { [ i ] } = \left[ \mathbf { X } _ { j } ^ { [ i ] } - \boldsymbol { \Psi } _ { j - 1 } ( \mathbf { X } _ { j - 1 } ^ { [ i ] } , \ldots , \mathbf { X } _ { j - m } ^ { [ i ] } , \boldsymbol { \omega } _ { j - 1 } ; \mathbf { p } ) \right] ^ { ( d ) } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { m x } = } & { { } \iint _ { - \hbar k } ^ { \hbar k } \Bigr [ \hbar \chi _ { + } \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( q ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( q ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathrm { d i v } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le C _ { 2 } ( \omega , h , L ) ^ { 2 } C _ { 1 } ( \omega , h , L ) \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } + C _ { 3 } ( \omega , h ) ^ { 2 } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V ( p _ { G _ { * } } ^ { n } , p _ { G _ { * } ^ { \prime } } ^ { n } ) } & { \leq } & { h ( p _ { G _ { * } } ^ { n } , p _ { G _ { * } ^ { \prime } } ^ { n } ) } \\ & { = } & { \sqrt { 1 - \left( 1 - h ^ { 2 } ( p _ { G _ { * } } , p _ { G _ { * } ^ { \prime } } ) \right) ^ { n } } } \\ & { \leq } & { \sqrt { 1 - ( 1 - C _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 r } ) ^ { n } } . } \end{array}
K ^ { ( N , G ) } \left( \frac { i } { N } \right) = K ^ { ( N + 1 , G ) } \left( \frac { i } { N + 1 } \right) + \left( \frac { i } { N } - \frac { i } { N + 1 } \right) \frac { p _ { i + 1 } ^ { ( N + 1 , G ) } } { \left( N - 1 \right) ^ { - 1 } } , \qquad i = 1 , \dots , N - 1 ,
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { e ^ { x } - 1 } } - { \frac { 1 } { x e ^ { x } } } \right) d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { e ^ { - x } + x - 1 } { x [ e ^ { x } - 1 ] } } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { x [ e ^ { x } - 1 ] } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } x ^ { m + 1 } } { ( m + 1 ) ! } } d x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } x ^ { m } } { ( m + 1 ) ! [ e ^ { x } - 1 ] } } d x = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } x ^ { m } } { ( m + 1 ) ! [ e ^ { x } - 1 ] } } d x = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { ( m + 1 ) ! } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { m } } { e ^ { x } - 1 } } d x } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { ( m + 1 ) ! } } m ! \zeta ( m + 1 ) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { m + 1 } } \zeta ( m + 1 ) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { m + 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { m + 1 } } } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { m + 1 } } { \frac { 1 } { n ^ { m + 1 } } } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { m + 1 } } { \frac { 1 } { n ^ { m + 1 } } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 1 } { n } } - \log \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) \right] = \gamma } \end{array} }
\mathrm { I m } \, D ( t + i \epsilon ) \ge { \frac { n _ { f } } { 1 6 \pi t ^ { 2 } } } \, t _ { 0 } \, t _ { 1 } \sqrt { ( t - t _ { 0 } ) ( t - t _ { 1 } ) } \, | F _ { 0 } ( t ) | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } + \mathcal { F } - \mathcal { C } } & { { } = \mathcal { E } + \mathcal { F } _ { 1 } - \mathcal { C } _ { 1 } + \sum _ { \beta = 2 } ^ { \infty } \left( \mathcal { F } _ { \beta } - \mathcal { C } _ { \beta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C } _ { + } } & { { } = } & { \left[ ( N ) \cdot \omega _ { + } , ( N - 1 ) \cdot 2 \omega _ { - } , ( 1 ) 2 \omega _ { z } \right] } \\ { \mathrm { C } _ { - } } & { { } = } & { \left[ ( N - 1 ) \cdot \omega _ { + } , ( 1 ) \omega _ { z } , ( N ) \cdot 2 \omega _ { - } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { i } } } & { { } = s g n ( \hat { z } \cdot ( \boldsymbol { r } _ { i j } \times \boldsymbol { r } _ { i k } ) ) \frac { \hat { z } \times \boldsymbol { r } _ { j k } } { | \boldsymbol { r } _ { i j } | | \boldsymbol { r } _ { i k } | } } \end{array}
W _ { n } ^ { ( - ) } ( a ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { e } ^ { - t } \, w ^ { n } ( t a ) \, \mathrm { d } t \, - { 2 \mathrm { i } } \, \mathrm { e } ^ { - { \frac { 2 } { a } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { e } ^ { - t } \, f _ { n } ( t a ) \, \mathrm { d } t \, , \quad 0 < \psi < \pi / 2 \, .
\begin{array} { r l r l } & { \{ \mathbf { 1 } , [ \mathbf { 1 } , \phi _ { 1 3 } , \phi _ { 1 3 } ] , \Phi _ { 1 3 } \} } & & { \mathrm { i n ~ t h e ~ c h a n n e l ~ } \eta \to 1 \, , } \\ & { \{ \sigma _ { 1 2 } , L _ { - 1 / 3 } ^ { ( 1 ) } \cdot \sigma _ { 1 2 } , \sigma _ { 1 4 } \} } & & { \mathrm { i n ~ t h e ~ c h a n n e l s ~ } \eta \to 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \eta \to \infty \, . } \end{array}
\phi ( g ) = \sum _ { \Lambda } \ \phi _ { \alpha \beta } ^ { \Lambda } \ D _ { \alpha \beta } ^ { ( \Lambda ) } ( g ) = \int _ { S O ( 3 ) } d h \ \phi ( g h ) = \sum _ { \Lambda } \ \int _ { S O ( 3 ) } d h \ \phi _ { \alpha \beta } ^ { \Lambda } \ D _ { \alpha \gamma } ^ { ( \Lambda ) } ( g ) \ D _ { \gamma \beta } ^ { ( \Lambda ) } ( h ) .
\begin{array} { r l } & { \psi _ { k } e ( \mathbf { i } ) f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { a } } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta f _ { \mathfrak { t } \mathfrak { a } } - \delta _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } } \frac { 1 } { r } f _ { \mathfrak { s } \mathfrak { a } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } = \mathbf { i } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } \neq \mathbf { i } } \end{array} \right. } \\ & { f _ { \mathfrak { a } \mathfrak { s } } e ( \mathbf { i } ) \psi _ { k } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { \beta } f _ { \mathfrak { a } \mathfrak { t } } - \delta _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } } \frac { 1 } { r } f _ { \mathfrak { a } \mathfrak { s } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } = \mathbf { i } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \mathbf { i } ^ { \mathfrak { s } } \neq \mathbf { i } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { 0 } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + 2 \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + \sum _ { k \in M } y _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + 2 \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ u ~ } + c _ { k } ) , } \\ { \nabla _ { u } L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) / 2 } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { 0 } + \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { 0 } ^ { T } + \sum _ { k \in M } y _ { k } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { T } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } + \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { k } ^ { T } ) , } \\ { \nabla _ { u u } L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) / 2 } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { 0 } + \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ A ~ } _ { k } , } \end{array}
\partial _ { t } \rho = \mathcal { L } _ { 0 } \rho = - \nabla \cdot \left( \mathbf { F } ( \boldsymbol { x } ) \rho \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \cdot \nabla \Big ( \boldsymbol { \Sigma } \boldsymbol { \Sigma } ^ { T } ( \boldsymbol { x } ) \rho \Big ) .
\begin{array} { r l } { \psi } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \phi + \frac { i } { m } \frac { \partial \phi } { \partial t } - \frac { e A ^ { 0 } } { m } \Big ) } \\ { \chi } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \phi - \frac { i } { m } \frac { \partial \phi } { \partial t } + \frac { e A ^ { 0 } } { m } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( \zeta ) } & { { } = } & { \sum _ { \ell = 1 , 3 } ^ { \infty } \ell ( \ell + 1 ) w _ { \ell } \left[ \frac { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) } { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) } \right] ^ { 2 } } \end{array}
P _ { j } = \frac { 1 } { 2 } ( \sum _ { n } q _ { j } ^ { n } \; \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 2 ~ } ) \mathrm { ~ , ~ } \qquad ( - 1 ) ^ { q _ { j } ^ { n } } = \frac { \eta ( X _ { j } ) } { \eta ( \Gamma ) }
\begin{array} { r } { \| [ W _ { 2 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \mathcal D _ { \gamma } - c ^ { 2 } \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \leq 2 c ( 1 + \kappa ) \| \nabla W _ { 2 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } + c ^ { 2 } \| [ W _ { 2 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } , \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { \beta } \phi } { \partial \xi ^ { \beta } } } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon ^ { \beta + 1 } } \frac { 1 5 } { R F } \frac { \partial ^ { \beta } h } { \partial x ^ { \beta } } , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial \tau } } & { { } = \frac { 1 8 0 } { \epsilon ^ { 5 } W R F ^ { 2 } } \frac { \partial h } { \partial t } + \frac { 1 8 0 } { \epsilon ^ { 5 } W R F } \frac { \partial h } { \partial x } . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \theta } \begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \varepsilon \rightarrow 0 } } \end{array} I ( p , m , \theta , \varepsilon ) \mid _ { _ { \theta _ { 0 } ^ { - } } } \neq \frac { \partial } { \partial \theta } \begin{array} { c } { { l i m } } \\ { { \varepsilon \rightarrow 0 } } \end{array} I ( p , m , \theta , \varepsilon ) \mid _ { _ { _ { \theta _ { 0 } ^ { + } } } }
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 2 } ( t ) } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } u _ { n } ^ { < } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { { S } _ { e i g e n } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 . 2 6 } & { 0 . 2 5 } & { 0 . 3 6 } \\ { 0 } & { 0 . 2 5 } & { 0 . 2 4 } & { 0 . 3 4 } \\ { 0 } & { 0 . 3 6 } & { 0 . 3 4 } & { 0 . 5 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathbb { E } [ \vert \hat { Z } _ { 0 , i } ^ { ( n ) } - \Delta Z _ { 0 , i } \vert ^ { 2 } ] \le 2 \kappa ^ { 2 } \vert d _ { k } ^ { ( n ) } \vert ^ { 2 } \delta _ { n } \frac { ( e ^ { \kappa \delta _ { n } } - 1 ) ^ { 2 } ( e ^ { 2 \kappa t _ { k } ^ { ( n ) } } - 1 ) } { e ^ { 2 \kappa \delta _ { n } } - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { n } e ^ { - 2 \kappa \delta _ { n } } ( e ^ { 2 \kappa \delta _ { n } } - 1 ) ^ { 2 }
\times \sum _ { c _ { j } , c _ { j + 1 } , { P _ { 1 } , P _ { 2 } } } | \gamma _ { c _ { j } c _ { j + 1 } } ^ { P _ { 1 } P _ { 2 } } ( q _ { j } , q _ { j + 1 } ) | ^ { 2 } .