harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { T ( x , y ; a , b ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & & & \\ & { c _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & { b _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & \\ & { b _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & { c _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & \\ & & & { a _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 - b x } & & & \\ & { 1 - a b } & { 1 + b y } & \\ & { x - a } & { x + y } & \\ & & & { y + a } \end{array} \right) , } \\ { \widehat { T } ( x , y ; a , b ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \widehat { a } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & & & { \widehat { d } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } \\ & & { \widehat { b } _ { 1 } ( x , y ; a , b ) } & \\ & { \widehat { b } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & & \\ { \widehat { d } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } & & & { \widehat { a } _ { 2 } ( x , y ; a , b ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 - a x } & & & { 1 - a b } \\ & & { 1 + b y } & \\ & { x - a } & & \\ { x + y } & & & { y + a } \end{array} \right) . } \end{array}
a _ { \eta } ^ { L } = 0 , \qquad b _ { \eta } ^ { L } = { \frac { Q ^ { 2 } + 4 M ^ { 2 } } { 2 M \sqrt { \lambda _ { M } } } } , \qquad c _ { \eta } ^ { L } = { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 M \sqrt { \lambda _ { M } } } }
T _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ \phi _ { I } ( q | r _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) \exp \left( - j q \frac { x P _ { t } l _ { 0 } } { T } \right) e ^ { j q \sigma ^ { 2 } } \right] q ^ { - 1 } d q \right) \, e ^ { - x } d x .
\begin{array} { r l } { W E = \ } & { \frac { 1 } { 8 \pi } \int \left| \hat { A _ { 1 } } + \hat { A _ { 2 } } \right| ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 8 \pi } \int \left[ | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } + 2 \mathrm { R e } ( \hat { A _ { 1 } } \cdot \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ) + | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } \right] \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 3 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( - 3 r ^ { 4 } e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 2 7 \gamma r ^ { 7 } + 2 7 r ^ { 6 } ( 2 \beta + \gamma { r _ { 0 } } ) + 9 r ^ { 5 } { r _ { 0 } } ( 8 \beta + \gamma { r _ { 0 } } ) \right. \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) } & { { } = \frac { k _ { B } } { m } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ( t ) } - \frac { \sigma _ { i } ( t ) } { r _ { i } } \partial _ { i } \right) T ( \boldsymbol { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \left( ( \nabla \times \mathbf { \tilde { H } } ) _ { k } - \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \infty , k } \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } + \sigma _ { k } \tilde { E } _ { k } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } \kappa ^ { ( i ) } \Re \left\{ \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} - \left( \frac { \delta F [ \mathbf { E } ] } { \delta \mathbf { E } } \right) _ { k } \right) ( \mathrm { d } _ { \rho } E _ { k } ) \right\} } \\ { + } & { \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } \left\{ \left( \frac { \kappa ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } ^ { 2 } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } + \frac { \kappa ^ { ( i ) } a _ { p , k } ^ { ( i ) } } { \varepsilon _ { 0 } c _ { p , k } ^ { ( i ) } } \partial _ { t } \tilde { Q } _ { p , k } ^ { ( i ) } - \kappa ^ { ( i ) } \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } \right) ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) + \mathrm { c . c . } \right\} } \\ { + } & { \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \left( - \mu _ { 0 } \partial _ { t } \tilde { H _ { k } } - ( \nabla \times \mathbf { \tilde { E } } ) _ { k } \right) ( \mathrm { d } _ { \rho } H _ { k } ) \right\} } \\ { - } & { \int _ { \Omega } \int _ { I } \frac { \delta F [ \mathbf { E } ] } { \delta \rho } + \int _ { \Omega } \int _ { I } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \varepsilon _ { 0 } ( \mathrm { d } _ { \rho } \varepsilon _ { \infty , k } ) \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } E _ { k } - ( \mathrm { d } _ { \rho } \sigma _ { k } ) \tilde { E } _ { k } E _ { k } + 2 \; \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } ( \mathrm { d } _ { \rho } \kappa ^ { ( i ) } ) \partial _ { t } \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ Q _ { p , k } ^ { ( i ) } \right\} \right\} } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 3 } ( T ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 ( k _ { B } T ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { 3 } ( E _ { c } ) E _ { c } ^ { 2 } e ^ { - E _ { c } / ( k _ { B } T ) } d E _ { c } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \sigma } _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { d _ { 0 , n } } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } P _ { 0 } S _ { Q _ { 0 , n } } \left( \tilde { \phi } _ { j } \right) S _ { Q _ { 0 , n } } \left( \tilde { \phi } _ { j } \right) \phi _ { j _ { 1 } } ^ { * } ( x ) \phi _ { j _ { 2 } } ^ { * } ( x ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { d _ { 0 , n } } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } \Sigma _ { 0 , n } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \phi _ { j _ { 1 } } ^ { * } ( x ) \phi _ { j _ { 2 } } ^ { * } ( x ) . } \end{array}
P ( k _ { i } ^ { + } ) = \binom { k _ { i } } { k _ { i } ^ { + } } ( p ^ { - } ) ^ { k _ { i } ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { k _ { i } ^ { + } } = \binom { k _ { i } } { k _ { i } ^ { + } } ( p ^ { + } ) ^ { k _ { i } ^ { + } } ( 1 - p ^ { - } ) ^ { k _ { i } - k _ { i } ^ { + } } ;
\tilde { \Delta } _ { t , k } ^ { l } = - k ^ { 2 } \widetilde { \varphi _ { 4 } } + \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - i t k ) \Big ( \widetilde { \varphi _ { 4 } } \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - i t k ) \Big )
\begin{array} { r l } & { A _ { \mathrm { H _ { B } } - \mathrm { M } 1 } ( ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 3 } \leftrightarrow ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } ) = } \\ & { \frac { \left\langle ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } \left| A _ { M 1 } \right| { ^ 3 \mathrm { D } _ { 2 } } \right\rangle \times \langle ^ { 3 } \mathrm { D } _ { 2 } | A _ { \mathrm { H _ { B } } } | ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } \rangle } { E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 2 } } - E _ { ^ 1 \mathrm { S } _ { 0 } } } + } \\ & { \frac { \left\langle ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } \left| A _ { M 1 } \right| { ^ 1 \mathrm { D } _ { 2 } } \right\rangle \times \langle ^ { 1 } \mathrm { D } _ { 2 } | A _ { \mathrm { H _ { B } } } | ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } \rangle } { E _ { ^ 1 \mathrm { D } _ { 2 } } - E _ { ^ 1 \mathrm { S } _ { 0 } } } + } \\ & { \frac { \left\langle ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } | A _ { \mathrm { H _ { B } } } | { ^ 3 \mathrm { D } _ { 1 } } \right\rangle \times \langle { ^ 3 \mathrm { D } _ { 1 } } \left| A _ { M 1 } \right| ^ { 1 } \mathrm { S } _ { 0 } \rangle } { E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 3 } } - E _ { ^ 3 \mathrm { D } _ { 1 } } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l l l } { T _ { 1 } } & { } & { } & { } & { } & { } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right)
A _ { x } = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } y { \sqrt { 1 + \left( { \frac { d y } { d x } } \right) ^ { 2 } } } \, d x = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } f ( x ) { \sqrt { 1 + { \big ( } f ^ { \prime } ( x ) { \big ) } ^ { 2 } } } \, d x
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } p ( x , t ) = - \frac { \partial } { \partial x } \left[ \alpha x - \beta x ^ { 2 } \right] p ( x , t ) + q \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } < \xi \xi ( t ^ { \prime } ) > \frac { \partial } { \partial x } x \frac { \partial } { \partial x } x p ( x , t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { : = x _ { 1 } ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - x _ { 1 } ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , \quad e _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) : = x _ { 2 } ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - x _ { 2 } ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , \quad \tilde { w } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) : = w ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - w ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , } \\ { \tilde { z } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } & { : = z ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - z ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , \quad \tilde { u } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) : = u ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - u ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) , \quad \tilde { y } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) : = y ^ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) - y ^ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) . } \end{array}
P _ { n } ( x ) \, = \, \frac { 1 } { 2 a } \int _ { \mathrm { m a x } ( - 1 , x - a ) } ^ { \mathrm { m i n } ( 1 , x + a ) } P _ { n - 1 } ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } + \frac { | a - 1 + x | + | a - 1 - x | + 2 a - 2 } { 4 a } P _ { n - 1 } ( x ) .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ L ~ } } = \sum _ { q } \hbar \omega _ { q } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } \, , } \\ { \omega _ { q } = \frac { c } { \sqrt { \epsilon } } \sqrt { q _ { 0 } ^ { 2 } + q ^ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 1 } \right) \approx { \cal B } _ { 0 } \mathbf { u } _ { 1 } , \quad { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 2 } \right) \approx { \cal C } _ { 0 } \mathbf { u } _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { { \bf P } _ { a } \times \nabla B _ { a } = } & { ( { \bf P } _ { h } - \nabla B _ { r } ) \times \nabla ( B _ { h } - B _ { r } ) } \\ { = } & { { \bf P } _ { h } \times \nabla B _ { h } + ( \nabla B _ { h } - { \bf P } _ { h } ) \times \nabla B _ { r } } \\ { = } & { { \bf P } _ { h } \times \nabla B _ { h } + \left( \nabla \frac { { \bf v } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { h } p \right) \times \nabla B _ { r } , } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu \kappa \lambda } ( p ) = { \frac { 1 } { 2 } } { \Big ( } { \bar { \eta } } _ { \mu \kappa } ( p ) { \bar { \eta } } _ { \nu \lambda } ( p ) + { \bar { \eta } } _ { \mu \lambda } ( p ) { \bar { \eta } } _ { \nu \kappa } ( p ) - { \frac { 2 } { 3 } } { \bar { \eta } } _ { \mu \nu } ( p ) { \bar { \eta } } _ { \kappa \lambda } ( p ) { \Big ) }
s _ { m } \in \{ ( \xi _ { 1 } , f _ { 1 } ) , ( \xi _ { 1 } , f _ { 2 } ) , ( \xi _ { 1 } , f _ { 3 } ) , ( \xi _ { 2 } , f _ { 1 } ) , ( \xi _ { 2 } , f _ { 2 } ) , ( \xi _ { 2 } , f _ { 3 } ) \}
\frac { d s } { d N } = \frac { s \left( x \left( 4 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha + ( 1 - 4 \alpha ) \alpha s - 1 \right) + s - 2 ( \alpha - 1 ) \alpha x ^ { 2 } - 1 \right) } { 2 \alpha ^ { 3 } x ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } } & { \nabla \Phi \cdot \left( f _ { n } \nabla a [ f _ { n } ] - f \nabla a [ f ] \right) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau \bigg | } \\ & { \le \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla \Phi \cdot ( f _ { n } - f ) \nabla a [ f _ { n } ] \right\vert \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau + \int _ { s } ^ { t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla \Phi \cdot f \nabla a [ f _ { n } - f ] \right\vert \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \le \| \Phi \| _ { L ^ { 2 } ( s , t ; H ^ { 1 } ) } \left( \| f _ { n } - f \| _ { L ^ { 2 } ( t , s ; L ^ { 2 } ) } \| \nabla a [ f _ { n } ] \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } + \| f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } } \| \nabla a [ f _ { n } - f ] \| _ { L _ { t , x } ^ { \infty } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { | \delta \ell _ { N } ( \mu ) ( y ) | = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi ( X _ { i } - y ) } { ( \mu * \phi ) ( X _ { i } ) } \leq \frac { \bar { \phi } ( r ) } { \operatorname* { i n f } _ { x \in \Omega } ( \mu * \phi ) ( x ) } , \qquad \forall r \geq 0 , ~ ~ y \in \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } . } \end{array}
\hat { H } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } ( t ) = - \frac { \hbar } { 2 } f ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } ( t ) \, \left[ \mathrm { ~ e ~ } ^ { i \Delta \omega _ { l } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } t } \left( \vert g \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert x _ { H } \rangle \langle x x \vert \right) \right] + h . c . .
\mathbf { r } _ { \mathrm { c o m } } = { \frac { 1 } { M } } \int \mathrm { d } \mathbf { m } = { \frac { 1 } { M } } \int \mathbf { r } \mathrm { d } m = { \frac { 1 } { M } } \int \mathbf { r } \rho \mathrm { d } V
\begin{array} { r l } { n _ { i } ( z ) } & { { } = n _ { i , \mathrm { t i p } } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { e } \int _ { E ( z ) } ^ { E _ { \mathrm { m a x } } } \alpha _ { \mathrm { e f f } } ( E ) \, d E } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { U } _ { 4 } = e ^ { - i \tilde { H ^ { \prime } } } = V _ { 3 4 } V _ { 2 4 } V _ { 1 4 } V _ { 2 3 } V _ { 1 3 } V _ { 1 2 } D _ { 4 } W _ { 1 2 } W _ { 1 3 } W _ { 2 3 } W _ { 1 4 } W _ { 2 4 } W _ { 3 4 } . } \end{array}
\langle \hat { T } _ { \mu } ^ { \nu } ( x ) \rangle _ { R e n . } = \langle \hat { T } _ { \mu } ^ { \nu } ( x ) \rangle _ { R e g . } - \frac 1 { 4 \pi ^ { 2 } \alpha r ^ { 4 } \ln ( q r ) } ( \xi - 1 / 6 ) d i a g ( 2 , - 1 , 3 , 2 ) \ .
\psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } + \boldsymbol { \rho } ) = \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) + \boldsymbol { \rho } \boldsymbol { \cdot } \nabla \psi _ { 1 } ( \textbf { X } _ { g y } ) .
\sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \left( j ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ^ { - 2 s } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d j \left( j ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ^ { - 2 s } + 2 \int _ { - \infty + i \epsilon } ^ { \infty + i \epsilon } \left( e ^ { - 2 \pi i z } - 1 \right) ^ { - 1 } \left( z ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ^ { - 2 s } d z
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( 2 ) } & { { } = ( a _ { 0 0 } , a _ { 0 1 } , a _ { 1 0 } , a _ { 1 1 } ) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { a _ { i j } \ge 0 , } & { { } ~ \forall ~ i , j \in \{ 0 , 1 \} , ~ \& ~ \sum _ { i , j } a _ { i j } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha y _ { 0 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } y _ { 0 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 1 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } , } \\ { 0 = } & { ~ \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } - \frac { \mu n ^ { * } ( 1 - p _ { I } ) y _ { 2 } ^ { * * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } . } \end{array}
r _ { n } ( x , y , t _ { n } ) = \frac { | \tau _ { w } ^ { \textrm { t r u e } } - \tau _ { w } ( x , y , t _ { n } ) | - | \tau _ { w } ^ { \textrm { t r u e } } - \tau _ { w } ( x , y , t _ { n - 1 } ) | } { \tau _ { w } ^ { \textrm { t r u e } } } + \textrm { B o n u s } .
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { t h } } ( x , \omega ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k ( h + x ) } , } \\ & { p _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { t h } } ( x , \omega ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { \mathrm { e f f } } h } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k x } , } \\ & { p _ { \mathrm { s c a t } } ^ { \mathrm { t h } } ( x , \omega ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k x } \left[ \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { \mathrm { e f f } } h } - \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k h } \right] . } \end{array}
{ \cal M } _ { \nu } ^ { \mathrm { M } } \; = \; \hat { U } _ { \nu } ^ { \mathrm { M } } \hat { U } _ { \nu } \; = \; \mathrm { D i a g } \{ m _ { 1 } , ~ m _ { 2 } , ~ m _ { 3 } \} \; .
\begin{array} { r l } & { \ \phi ( x _ { k } + \alpha _ { k } \bar { d } _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) - \phi ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } ( \nabla f _ { k } - \bar { g } _ { k } ) ^ { T } \bar { d } _ { k } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } \| \nabla f _ { k } - \bar { g } _ { k } \| \| \bar { d } _ { k } \| + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \sqrt { \frac { \bar { \tau } _ { k } } { \kappa _ { l } } } \kappa _ { \mathrm { F O } } \alpha _ { k } ^ { 2 } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) } \\ & { + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 \bar { \tau } _ { k } \kappa _ { l } } \alpha _ { k } ^ { 2 } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) } \\ { \leq \ } & { - \left( 1 - \left( \sqrt { \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } } } \kappa _ { \mathrm { F O } } + \frac { L } { 2 \kappa _ { l } } + \frac { \Gamma } { 2 \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } \kappa _ { l } } \right) \tilde { \alpha } \right) \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) } \\ { \leq \ } & { - \alpha _ { k } \theta \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } & { = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } J _ { \ell } R ^ { \ell } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial s ^ { \ell } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( r _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left[ S _ { 3 \times 3 } | C _ { 3 \times 1 } \right] = { \left[ \begin{array} { l l l l } { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } & { s _ { 4 } } \\ { s _ { 2 } } & { s _ { 3 } } & { s _ { 4 } } & { s _ { 5 } } \\ { s _ { 3 } } & { s _ { 4 } } & { s _ { 5 } } & { s _ { 6 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 0 1 1 } & { 1 0 0 1 } & { 1 0 1 1 } & { 1 1 0 1 } \\ { 1 0 0 1 } & { 1 0 1 1 } & { 1 1 0 1 } & { 0 0 0 1 } \\ { 1 0 1 1 } & { 1 1 0 1 } & { 0 0 0 1 } & { 1 0 0 1 } \end{array} \right] } \Rightarrow { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 0 0 1 } & { 0 0 0 0 } & { 1 0 0 0 } & { 0 1 1 1 } \\ { 0 0 0 0 } & { 0 0 0 1 } & { 1 0 1 1 } & { 0 0 0 1 } \\ { 0 0 0 0 } & { 0 0 0 0 } & { 0 0 0 0 } & { 0 0 0 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \mathcal { D } [ L _ { k } ] ( \rho ) = L _ { k } \rho L _ { k } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } ( L _ { k } ^ { \dagger } L _ { k } \rho + \rho L _ { k } ^ { \dagger } L _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathfrak { n } } ( \mathfrak { p } ^ { k } \gamma z ) = D _ { \mathfrak { n } } ( \left( \begin{array} { l l } { \mathfrak { p } ^ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c \mathfrak { p } ^ { k } } & { d } \end{array} \right) z ) } \\ & { = D _ { \mathfrak { n } } ( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b \mathfrak { p } ^ { k } } \\ { c } & { d } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \mathfrak { p } ^ { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) z ) } \\ & { = \chi _ { \mathfrak { n } } ( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b \mathfrak { p } ^ { k } } \\ { c } & { d } \end{array} \right) ) \operatorname* { d e t } ( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b \mathfrak { p } ^ { k } } \\ { c } & { d } \end{array} \right) ) ^ { \delta / 2 } D _ { \mathfrak { n } } ( \mathfrak { p } ^ { k } z ) } \\ & { = \chi _ { \mathfrak { n } } ( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c \mathfrak { p } ^ { k } } & { d } \end{array} \right) ) \operatorname* { d e t } ( \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c \mathfrak { p } ^ { k } } & { d } \end{array} \right) ) ^ { \delta / 2 } D _ { \mathfrak { n } } ( \mathfrak { p } ^ { k } z ) } \\ & { = \chi _ { \mathfrak { n } } ( \gamma ) \operatorname* { d e t } ( \gamma ) ^ { \delta / 2 } D _ { \mathfrak { n } } ( \mathfrak { p } ^ { k } z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( x ) : = g ( x , \ell \varepsilon ^ { - 2 } ) } & { = \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) + \ell - \varepsilon ^ { 2 } x Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( \ell \varepsilon ^ { - 2 } ) ) } \\ & { = \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) + \kappa Q ( \kappa ) - \tilde { Q } ( \kappa ) - \varepsilon ^ { 2 } x Q ( \kappa ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { r e c } } = \epsilon ^ { 4 } \left( \frac { m _ { \gamma ^ { \prime } } } { \omega } \right) ^ { 4 } \left| G \right| ^ { 2 } \, \omega \, Q _ { \mathrm { r e c } } \, U _ { \mathrm { e m } } ~ ,
\frac { 2 } { h _ { i } } \left( \omega , L _ { i , m } ^ { * } \right) _ { i } = ( \partial _ { t } \eta , \phi _ { i , m + 1 } ^ { * } ) _ { i } + \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( u _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } u _ { I } , \phi _ { i , m + 1 } ^ { * } \right) _ { i } : = { \cal H } _ { 1 } + { \cal H } _ { 2 } .
\int _ { ( \mathbb { T } ^ { d } ) ^ { 2 } } \left( \frac { w _ { a } w _ { b } } { \mu k | | x _ { b } ^ { \prime } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \left( \frac { w _ { a } w _ { c } } { \mu k | | x _ { c } ^ { \prime } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \left( \frac { w _ { b } w _ { c } } { \mu k 2 ^ { d } | | x _ { b } ^ { \prime } | | ^ { d } } \wedge \frac { w _ { b } w _ { c } } { \mu k 2 ^ { d } | | x _ { c } ^ { \prime } | | ^ { d } } \wedge 1 \right) ^ { \gamma } \mathrm { d } x _ { b } ^ { \prime } \; \mathrm { d } x _ { c } ^ { \prime }
\left( \Psi _ { M _ { n } , N _ { n } } , \Psi _ { M _ { n } ^ { \prime } , N _ { n } ^ { \prime } } \right) = \delta _ { M _ { n } , M _ { n } ^ { \prime } } \delta _ { N _ { n } , N _ { n } ^ { \prime } } ( - ) ^ { M _ { n } } .
\begin{array} { r l } & { ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } } \\ & { = ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot ( \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } - \xi _ { j } ^ { \nu } ) + \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) \cdot \xi _ { j } ^ { \nu } } \\ & { = ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) ) \cdot ( \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } - \xi _ { j } ^ { \nu } ) + h _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) , } \end{array}