harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , 1 ) } s g ^ { - 1 } ( ( 1 - s ) \exp ( - \mathcal { L } ( \underline { { W } } \to ( \underline { { X } } _ { 1 } , \dots , \underline { { X } } _ { n } ) ) ) ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , 1 ) } a s ( 1 - s ) ^ { 1 / d } \frac { 1 } { \left( 1 + \left( V _ { d } ^ { 1 / d } \sqrt { \frac { n a ^ { 2 } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { d } \right) ^ { 1 / d } } } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { s \in ( 0 , 1 ) } a s ( 1 - s ) ^ { 1 / d } \frac { 1 } { \left( \left( 1 + V _ { d } ^ { 1 / d } \sqrt { \frac { n a ^ { 2 } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { d } \right) ^ { 1 / d } } } \\ & { \geq \frac { a } { 2 } \frac { 1 } { 2 ^ { 1 / d } \left( 1 + V _ { d } ^ { 1 / d } \sqrt { \frac { n a ^ { 2 } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) } } \end{array}
\langle \Pi _ { m } [ u ] \rangle _ { t } = k _ { m } \langle \Psi _ { m } [ u ] \rangle _ { t } \approx I _ { \psi } C _ { 3 } \frac { u _ { 0 } ^ { 3 } } { \ell _ { 0 } } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { \zeta _ { 3 } - 1 } ,
m _ { I , \, I I } = \frac { m ^ { ( L ) } + m _ { s } ^ { ( L ) } } { 2 } \mp \sqrt { \left( \frac { m ^ { ( L ) } - m _ { s } ^ { ( L ) } } { 2 } \right) ^ { 2 } + \mu ^ { ( L ) \, 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t ) } & { { } \leq \mathcal { E } ( 0 ) + C \int _ { 0 } ^ { t } \left( \mathcal { E } ^ { 3 / 2 } ( s ) + \mathcal { E } ( s ) \right) \ d s - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R } w _ { s } ( x , s ) ( \partial _ { x } ^ { 4 } w ( x , s ) ) ^ { 2 } \ d x d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { I } \frac { U _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( v , z ; s ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } } & { = - D _ { I } \frac { \lambda \big ( W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( v ; s ) - \frac { 1 } { x ( v ) - x ( s ) } \big ) } { ( x ( z ) + y ( v ) ) ^ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { d } D _ { I } \frac { \lambda W _ { | I _ { 0 } | + 2 } ^ { ( 0 ) } ( \hat { z } ^ { k } ; s ) } { ( x ( v ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) ( x ( z ) + y ( v ) ) } } \\ & { - \sum _ { i = 1 } ^ { | I | } D _ { I \setminus u _ { i } } \frac { \lambda ^ { 2 } W _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( u _ { i } ; s ) } { ( x ( v ) - x ( u _ { i } ) ) ( x ( z ) + y ( u _ { i } ) ) ^ { 2 } ( x ( z ) + y ( v ) ) } } \\ & { - \sum _ { I \uplus I ^ { \prime \prime } = I } D _ { I ^ { \prime } } \frac { \lambda } { x ( z ) + y ( v ) } D _ { I ^ { \prime \prime } } \frac { \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( v ) ) } - \frac { 1 } { ( x ( z ) + y ( s ) ) } } { ( x ( v ) - x ( s ) ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Big [ n _ { i } ^ { 2 } \Big ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 2 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 2 } } = 2 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } , } \\ { \Big [ { n _ { i } ^ { 3 } } \Big ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 3 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 3 } } = 6 f _ { i } ^ { 3 } + 6 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } , } \\ { \Big [ { n _ { i } ^ { 4 } } \Big ] } & { { } = } & { \frac { 1 } { z _ { i } ^ { ( 0 ) } } \frac { \partial ^ { 4 } z _ { i } ^ { ( 0 ) } } { \partial ( - \beta \omega _ { i } ) ^ { 4 } } = 2 4 f _ { i } ^ { 4 } + 3 6 f _ { i } ^ { 3 } + 1 4 f _ { i } ^ { 2 } + f _ { i } . } \end{array}
\varepsilon _ { K } = \nu \left\langle { \left( { \frac { \partial u ^ { \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) ^ { 2 } } \right\rangle + \eta \left\langle { \left( { \frac { \partial b ^ { \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) ^ { 2 } } \right\rangle \equiv \varepsilon ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } & { { } = \exp \left\{ - \lambda _ { c } \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { d } t } } { \lambda _ { d } } \right\} \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j \geq 1 } \lambda _ { c } \cos ( ( j - 1 ) \pi / 2 ) \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { j } t } } { \alpha _ { j } } \xi _ { j } \right) ^ { \otimes n } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq e ^ { - \beta ( t _ { 0 } + t ) } \frac { d } { d t } \left\{ V ( X ( t _ { 0 } + t ) , Z ( t _ { 0 } + t ) , t _ { 0 } + t ) \right\} } \\ & { = \mu \dot { \beta } ( t _ { 0 } + t ) D _ { h } \left( x ^ { * } , Z ( t _ { 0 } + t ) \right) + \frac { 1 + \mu e ^ { \beta ( t _ { 0 } + t ) } } { e ^ { \beta ( t _ { 0 } + t ) } } \frac { d } { d t } \left\{ D _ { h } \left( x ^ { * } , Z ( t _ { 0 } + t ) \right) \right\} } \\ & { \quad + \dot { \beta } ( t _ { 0 } + t ) \left( f ( X ( t _ { 0 } + t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + \frac { d } { d t } \left\{ f ( X ( t _ { 0 } + t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right\} } \end{array}
d ( \zeta _ { n } ( x ) , \mathcal { T } _ { - } ) \geq d ( \rho _ { n } , \mathcal { T } _ { - } ) - d ( \zeta _ { n } ( x ) , \rho _ { n } ) \geq C ^ { - 1 } \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } d ( \rho , \mathcal { T } _ { - } ) - C \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } \geq \tilde { C } ^ { - 1 } \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } d ( \rho , \mathcal { T } _ { - } )
\begin{array} { r l } { \mathbf P ^ { ( L ) } } & { { } = [ P _ { 1 } , P _ { 2 } , P _ { 3 } , \ldots , P _ { L } ] ^ { \mathsf T } , } \\ { \mathbf N ^ { ( L ) } } & { { } = [ n , n ^ { 2 } , n ^ { 3 } , \ldots , n ^ { L } ] ^ { \mathsf T } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d } { d x } \left\lbrace ( 1 - x ^ { 2 } ) \frac { d } { d x } \right\rbrace + \left( 2 - \frac { m ^ { 2 } } { 1 - x ^ { 2 } } \right) \right] G ( x , y ) = \delta ( x - y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { E } ( \varphi x , \varphi x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( F _ { \pi } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ^ { - 1 } ( i - 1 , i ) x , F _ { \pi } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ^ { - 1 } ( j - 1 , j ) x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( F _ { \pi } ( j - 1 , j ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ( i , i + 1 ) x , x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { X } ( x , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ { V } _ { \left. { { X } _ { P M } } \right| { { X } _ { { { A } _ { 1 } } } } } } = { { V } _ { \left. { { P } _ { P M } } \right| { { P } _ { { { A } _ { 1 } } } } } } = 1 + { { \xi } _ { E } } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( I ) } } & { = } & { \sum _ { { \cal A } \in \bar { \cal X } } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { = } & { \sum _ { C \in \mathrm { C C } ( G _ { \Psi } ^ { * } ) } \sum _ { { \cal A } \subseteq C } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { \hat { R } _ { \ell } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { C \in \mathrm { C C } ( G _ { \Psi } ^ { * } ) } \frac { 1 } { \gamma _ { C , \hat { \cal R } } } \cdot \sum _ { { \cal A } \subseteq C } \left| \bigcap _ { \ell \in { \cal A } } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right| \cdot ( - 1 ) ^ { | { \cal A } | + 1 } + 2 \cdot 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } } \\ & { = } & { \sum _ { C \in \mathrm { C C } ( G _ { \Psi } ^ { * } ) } \frac { 1 } { \gamma _ { C , \hat { \cal R } } } \cdot \left| \bigcup _ { \ell \in C } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right| + 2 \cdot 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot \underbrace { \sum _ { C \in \mathrm { C C } ( G _ { \Psi } ^ { * } ) } \left| \bigcup _ { \ell \in C } { \cal M } _ { R _ { \ell } ^ { * } , \Delta } \right| } _ { \mathrm { ( I I I ) } } + 2 \cdot 2 ^ { | { \cal A } ^ { * } | } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \eta _ { p } ( x ) , u , p ) } & { { } = ( \eta _ { p } ) _ { * } ( x ) f ( x , u ) , } \\ { g ( \eta _ { p } ( x ) , u , p ) } & { { } = g ( x , u ) , } \\ { \eta _ { p } ( \gamma ) } & { { } = \gamma _ { p } , } \end{array}
\lambda ( \eta ) - \lambda ( \eta _ { 0 } ) = \int _ { \eta _ { 0 } } ^ { \eta } \mathrm { d } \eta ^ { \prime } \ \frac { C _ { 2 2 } ( \eta ^ { \prime } ) + s C _ { 2 3 } ( \eta ^ { \prime } ) } { C _ { 3 2 } ( \eta ^ { \prime } ) + s C _ { 3 3 } ( \eta ^ { \prime } ) } \ .
\begin{array} { r } { c _ { \boldsymbol k } ( f ) \approx \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M } | } \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } f ( \boldsymbol M ^ { - 1 } \odot \boldsymbol \ell ) \, \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k ( \boldsymbol M ^ { - 1 } \odot \boldsymbol \ell ) } , \quad \boldsymbol k \in \mathbb Z ^ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tau _ { 1 } = \operatorname* { i n f } \{ t > 0 | \Phi _ { 0 } / S _ { 0 } < \gamma e ^ { - \delta T } , \Phi _ { t } / S _ { t } \geqslant \gamma e ^ { - \delta ( T - t ) } \} , } \\ & { } & { \tau _ { 2 } = \operatorname* { i n f } \{ t > 0 | \Phi _ { 0 } / S _ { 0 } > \gamma e ^ { - \delta T } , \Phi _ { t } / S _ { t } \leqslant \gamma e ^ { - \delta ( T - t ) } \} , } \end{array}
\frac { \phi ^ { + } ( y ^ { + } , R e _ { \tau } ) - \phi _ { w } ^ { + } ( R e _ { \tau } ) } { \phi _ { p } ^ { + } ( R e _ { \tau } ) - \phi _ { w } ^ { + } ( R e _ { \tau } ) } = f _ { \phi } ( y ^ { + } ) ,
\begin{array} { r l } & { \bigg \vert D ^ { \nu } \left\{ { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { t } ) h _ { \theta } ( x ) \right\} - D ^ { \nu } \left\{ { \bf P } _ { \theta } ( Y _ { t } ) g _ { \theta } ( x ) \right\} \bigg \vert } \\ { = } & { \bigg \vert \sum _ { \nu _ { p } + \nu _ { f } + \nu _ { h } = \nu } \int _ { s \in \mathcal { X } } D ^ { \nu _ { p } } p _ { \theta } ( s , x ) D ^ { \nu _ { f } } f ( Y _ { t } ; \theta | x , Y _ { t - 1 } ) D ^ { \nu _ { h } } h _ { \theta } ( s ) Q ( d s ) } \\ & { - D ^ { \nu _ { p } } p _ { \theta } ( s , x ) D ^ { \nu _ { f } } f ( Y _ { t } ; \theta | x , Y _ { t - 1 } ) D ^ { \nu _ { h } } g _ { \theta } ( s ) Q ( d s ) \bigg \vert . } \end{array}
{ \bf V } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 7 } } & { { 0 . 2 4 } } & { { 3 . 6 \times 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { 0 . 2 4 } } & { { 0 . 9 7 } } & { { 2 . 2 \times 1 0 ^ { - 2 } } } \\ { { 8 . 9 \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { 2 . 1 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { 1 . 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) > 4 \pi c ^ { 2 } + 4 \pi \frac { h ^ { 2 } c } { \varepsilon } - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { c \varepsilon } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) } } \\ { > 4 \pi - \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { c \varepsilon } \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma ^ { \star } ( x ) = \mathbf { 1 } \big ( x ^ { 2 } > l _ { \varphi } \big ) } \\ & { \eta ^ { \star } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f } \ \ y \in \{ \varnothing , \mathfrak { C } \} } \\ { x , } & { \mathrm { i f } \ \ y = x } \end{array} \right. } \\ & { \varphi ^ { \star } = 1 - \frac { c } { l _ { \varphi } } . } \end{array}
e ^ { + } e ^ { - } \to \tilde { \tau } _ { 1 } ^ { + } \tilde { \tau } _ { 1 } ^ { - } \quad \mathrm { w i t h } \quad \tilde { \tau } _ { 1 } ^ { - } \to \tau _ { L , R } ^ { - } \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad \tau _ { L , R } ^ { - } \to \nu _ { \tau } \pi ^ { - }
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\sum _ { \epsilon _ { l } \leq 0 } u _ { \epsilon _ { l } l } \left( r \right) u _ { \epsilon _ { l } l } \left( r ^ { \prime } \right) + \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } \, u _ { k l } \left( r \right) u _ { k l } \left( r ^ { \prime } \right) = \delta \left( r - r ^ { \prime } \right) \, .
\begin{array} { r } { \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } \Big ( \kappa ^ { 2 } D _ { \rho ^ { \prime } } ^ { 2 } + g ^ { 2 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } G _ { \lambda , \rho } ( D ) ^ { 4 } \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \Big ) \pi _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } \; \geq \; \frac { \kappa ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { 4 } \, { \bf 1 } _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } \; \geq \; \frac { c _ { \rho } ^ { 2 } } { 4 } \, \big ( 1 + \frac { \| \Im m ( H ) \| } { g } \big ) ^ { 2 } \, g ^ { 2 } \, { \bf 1 } _ { \rho ^ { \prime } , \frac { \rho } { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) } & { = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n } \right) ^ { - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { f ( x + n \alpha ) } { n } - \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } f ( y ) d y } \\ & { = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n } \right) ^ { - 1 } \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } } { n } \right) \widehat { f } ( m ) e ^ { 2 \pi i m \cdot x } . } \end{array}
\mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] \ge \alpha \mu \sqrt { N _ { t } } \beta ( N _ { t } ) - \epsilon \sqrt { N _ { t } } .
Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \prime } = \frac { \gamma \Big [ ( H _ { z } - v \varepsilon _ { 0 } E _ { y } ) | _ { y = 0 ^ { + } } - ( H _ { z } - v \varepsilon _ { 0 } E _ { y } ) | _ { y = 0 ^ { - } } \Big ] } { E _ { x } }
p _ { 1 } \, = \, - \, \frac { \partial L } { \partial \dot { x } } \, - \, \dot { p } _ { 2 } , \quad p _ { 2 } \, = \, - \, \frac { \partial L } { \partial \ddot { x } } \, - \, \dot { p } _ { 3 } , \quad p _ { 3 } \, = \, - \, \frac { \partial L } { \partial \stackrel { \ldots } { x } } \, { , }
\begin{array} { r l } { T = } & { \frac { 1 } { 2 } I _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } I _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { V = } & { \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } [ ( R \cos ( \theta ) \sin ( \alpha _ { 1 } ) ] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ R \cos \left( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } \right) \sin ( \alpha _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ R \cos \left( \theta + \frac { 4 \pi } { 3 } \right) \sin ( \alpha _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } . } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \{ R \cos ( \theta ) [ \sin ( \alpha _ { 1 } ) - \sin ( \alpha _ { 2 } ) ] \} ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \left\{ R \cos \left( \theta + \frac { 2 \pi } { 3 } \right) [ \sin ( \alpha _ { 1 } ) - \sin ( \alpha _ { 2 } ) ] \right\} ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \left\{ R \cos \left( \theta + \frac { 4 \pi } { 3 } \right) [ \sin ( \alpha _ { 1 } ) - \sin ( \alpha _ { 2 } ) ] \right\} ^ { 2 } . } \end{array}
\sum _ { a b } \, \delta _ { a b } t ^ { a } \, \frac { 1 } { H ^ { ( 0 ) } - E _ { n } ^ { ( 0 ) } } \, t ^ { b } \, \Bigl \vert \mathrm { s i n g l e t } \Bigr \rangle = C _ { F } \, \frac { 1 } { H ^ { \, ^ { \prime } ( 0 ) } - E _ { n } ^ { ( 0 ) } } \, \, \Bigl \vert \mathrm { s i n g l e t } \Bigr \rangle \; .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { 1 } } & { : = \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \sum _ { q \in \Phi } \frac { \overline { { \chi } } ( q ^ { 2 } ) } { q } \sum _ { 1 \leq r \ll M _ { q } - p ^ { 2 } n } \chi ( r ) } \\ & { \times \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { q } } \left( \frac { \mathcal { I } _ { 1 } ( n , x , q ) \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + r , x ) } { ( n ( p ^ { 2 } n + r ) ) ^ { 1 / 4 } } \right) \left( \lambda _ { f } ( n ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + r ) \right) } \\ & { = \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \sum _ { q \in \Phi } \frac { \overline { { \chi } } ( q ^ { 2 } ) } { q } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { q } } \lambda _ { f } ( n ) \left( \frac { \mathcal { I } _ { 1 } ( n , x , q ) } { n ^ { 1 / 4 } } \right) } \\ & { \times \sum _ { 1 \leq r \ll M _ { q } - p ^ { 2 } n } \lambda _ { g } ( r + p ^ { 2 } n ) \chi ( r + p ^ { 2 } n ) \left( \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + r , x ) } { ( p ^ { 2 } n + r ) ^ { 1 / 4 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal V } _ { 1 , 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t ) } & { { } = \exp \Big ( \frac { i } { \hbar } H _ { 0 } t \Big ) { \cal V } _ { 1 , 2 } ( t ) \exp \Big ( \frac { - i } { \hbar } H _ { 0 } t \Big ) } \end{array}
P _ { \mathrm { a t m } } ( \nu _ { \mu } \to \nu _ { \mu } ) \simeq 1 - 4 | U _ { \mu 3 } | ^ { 2 } ( 1 - | U _ { \mu 3 } | ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \Delta _ { 3 2 } .
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { M } ^ { ( 1 1 ) } - ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) ^ { - 1 } \| } \\ & { = \| [ \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } - \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { - 1 } - ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \le \| [ \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } - \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } ] ^ { - 1 } \| \| ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) ^ { - 1 } \| \| \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| } \\ & { = \frac { \| \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| } { \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } - \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } ) } } \\ & { \le \frac { \| \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| } { \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) ( \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) - \| \hat { M } ^ { ( 1 2 ) } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ^ { - 1 } \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| ) } } \\ & { \le \frac { \| \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| ^ { 2 } / \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) } { \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) ( \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 1 1 ) } ) - \| \hat { M } ^ { ( 2 1 ) } \| ^ { 2 } / \lambda _ { 1 } ( \hat { M } ^ { ( 2 2 ) } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } ( \Lambda , t ) } & { = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } G ( 0 , t , y , \tau ) \left[ \dot { \Lambda } \psi _ { 2 } \; \xi _ { \delta } ^ { 2 } + F _ { 2 } + F _ { 3 } + F _ { 4 } \right] ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau + \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } G ( 0 , t , y , 0 ) U _ { 0 } ( y ) \; \mathrm { d } y } \\ & { = : I + I I + I I I + I V + V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } } & { \mathbb { E } \left\| ( \mathbf { y } ^ { t , k } ( i ) + \delta _ { i , k } ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k } - \eta \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k - 1 } ) - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k - 1 } - \mathbf { x } ^ { t } ( i ) + \delta _ { i , k } - \delta _ { i , k - 1 } - \eta \Big ( \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k - 1 } ) - \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ) } \\ & { + \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) + \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) - \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ) + \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ) \Big ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \emph { I } + \emph { I I } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 \leq \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) \mathbb { E } [ x _ { k } ^ { \star } ] + \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + p _ { k } ^ { i } \perp \mu _ { k } ^ { i \star } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L a p } ( \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } ; 0 , \bar { \Delta } _ { p } ^ { t , e } / \bar { \epsilon } ) : = \frac { \bar { \epsilon } } { 2 \bar { \Delta } _ { p } ^ { t , e } } \exp \big ( - \frac { \bar { \epsilon } \| \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| _ { 1 } } { \bar { \Delta } _ { p } ^ { t , e } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \tau } = m \frac { d \kappa } { d \tau } = \frac { \stackrel { \circ } { t } } { u _ { 2 } } p _ { x } - m \frac { \dot { u _ { 2 } } } { u _ { 2 } ^ { 2 } } \stackrel { \circ } { t } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left[ \nabla f _ { j } \left( y \right) \right] _ { j } \right| } & { = \left| - \left[ 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } \right] - \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { y _ { j } \phi ^ { 2 } \left( X _ { i } - \mu ^ { ( j ) } \right) } { \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) \right] ^ { 2 } } \right] \right| } \\ & { \leq 1 + \frac { \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } { \delta } + \frac { \left( 1 + \varepsilon \right) \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } = 1 + \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } \delta } + \frac { 1 + \varepsilon } { \left( 2 \pi \right) ^ { d } \delta ^ { 2 } } , } \end{array}
i \frac { d b _ { m } } { d t } = - \sum _ { n \neq m } e ^ { - i \lambda \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } [ E _ { n } ( t ^ { \prime } ) - E _ { m } ( t ^ { \prime } ) ] } e ^ { i [ \gamma _ { n } ( t ) - \gamma _ { m } ( t ) ] } < m ; t | i \frac { \partial } { \partial t } | n ; t > b _ { n } ( t ) .
W [ v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { k } ] = w ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { k } ) \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , \ldots , v _ { k } ) \in \mathcal { L }
\left( \Psi _ { m } [ \{ x _ { i } \} ] , \Psi _ { n } [ \{ y _ { i } \} ] \right) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
\begin{array} { r l } { R a _ { T } } & { { } = \frac { g C _ { b } \Delta T ^ { 2 } H ^ { 3 } } { 2 \nu \kappa _ { T } } , R a _ { S } = \frac { g b _ { 0 } S _ { m } H ^ { 3 } } { \nu \kappa _ { S } } , P r = \frac { \nu } { \kappa _ { T } } , } \\ { S c } & { { } = \frac { \nu } { \kappa _ { S } } , S t = \frac { \mathcal { L } } { c _ { p } \Delta T } , \Lambda _ { S } = \frac { \Delta S _ { v } } { S _ { m } } . } \end{array}
a _ { 3 } : = \frac { \ln ( 3 9 2 2 . 2 6 ) - \ln ( 8 6 0 9 1 9 ) } { 3 . 8 5 8 0 3 0 - 1 . 1 5 7 4 0 9 } = - 1 . 9 9 6 3 3 0 6 2 3 6 1 ,
\begin{array} { r l } { \ddot { \xi } } & { { } = - \nu \dot { \xi } ; \qquad \xi ( 0 ) = x _ { n } , \quad \dot { \xi } ( 0 ) = v _ { n } ^ { x } } \\ { \ddot { \eta } } & { { } = - g - \nu \dot { \eta } ; \qquad \eta ( 0 ) = y _ { n } , \quad \dot { \eta } ( 0 ) = v _ { n } ^ { y } , } \end{array}
\Phi ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { n - 1 } ) = \sum _ { \lambda _ { 1 } = 0 } ^ { L } \cdots \sum _ { \lambda _ { n } = 0 } ^ { L } p ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { n } ) \alpha _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { n } \beta _ { 1 } ) z _ { 1 } } \cdots \alpha _ { n - 1 } ^ { ( \lambda _ { n - 1 } + \lambda _ { n } \beta _ { n - 1 } ) z _ { n - 1 } }