harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho _ { 1 } ^ { \mu } = \mathrm { I m \, } ( G _ { 1 2 2 } ^ { \mu } - e ^ { \beta p _ { 0 } } G _ { 1 2 2 } ^ { * \mu } ) = { \frac { 1 } { \tilde { n } ( p _ { 0 } ) } } \mathrm { I m \, } G _ { 1 2 2 } ^ { \mu } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \eta } \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \, d t } & { = \lambda ( \Delta ) \int _ { 0 } ^ { \eta } \sqrt { \left( \frac { t + \lambda ( \Delta ) } { \lambda ( \Delta ) } \right) ^ { 2 } - 1 } \, d t } \\ & { = \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } \int _ { 1 } ^ { 1 + \frac { \eta } { \lambda ( \Delta ) } } \sqrt { y ^ { 2 } - 1 } \, d y } \\ & { = \frac { \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } } { 2 } \left[ \left( 1 + \frac { \eta } { \lambda ( \Delta ) } \right) \sqrt { \frac { \eta ^ { 2 } } { \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \eta } { \lambda ( \Delta ) } } \right. } \\ & { \qquad \left. - \ln \left( \sqrt { \frac { \eta ^ { 2 } } { \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \eta } { \lambda ( \Delta ) } } + 1 + \frac { \eta } { \lambda ( \Delta ) } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \lambda ( \Delta ) + \eta \right) \sqrt { \eta ^ { 2 } + 2 \eta \lambda ( \Delta ) } \right] + \frac { \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } } { 2 } \ln \left( \lambda ( \Delta ) \right) } \\ & { \qquad - \frac { \lambda ( \Delta ) ^ { 2 } } { 2 } \ln \left( \sqrt { \eta ^ { 2 } + 2 \eta \lambda ( \Delta ) } + \lambda ( \Delta ) + \eta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { \Gamma ( N _ { 0 } + 1 ) } { 2 \Gamma ( N _ { 0 } + 1 - 2 \alpha ) } \, N ^ { - 2 \alpha } \quad \mathrm { ( U C ) } , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } + \frac { ( 1 - 2 \alpha ) \Gamma ( N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) / 2 + 1 ) } { 2 ( 1 - \alpha ) \Gamma ( N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) / 2 + 1 - \alpha ) } \, N ^ { - \alpha } \quad \mathrm { ( P A ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \cos ^ { - 1 } \varphi ^ { \prime } - \frac { \epsilon } { 2 } \right) ^ { 2 } } & { \geq c _ { 0 } ( \pi - \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } ( c _ { 0 } ( \pi - \varepsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } + 4 B ) \zeta ^ { 2 } + B ^ { 2 } } \\ & { \geq c _ { 0 } ( \pi - \varepsilon ) ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } + ( \frac { \pi } { 2 } - \varepsilon ) ^ { 2 } . } \end{array}
\boldsymbol { C } = \boldsymbol { R } \exp ( \boldsymbol { \Lambda } \tau ) \boldsymbol { R } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { C } _ { 0 } + \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \boldsymbol { f } ) - \boldsymbol { A } ^ { - 1 } \boldsymbol { f } .
= \frac { 1 } { 2 } \frac { e \hbar } { 3 ^ { 8 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } r ^ { 6 } e ^ { - 2 r ^ { \prime } / 3 a } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta ( [ \sin \varphi ] _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \theta \hat { \mathbf { x } } + [ - \cos \varphi ] _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \theta \hat { \mathbf { y } } - [ \varphi ] _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin \theta \hat { \mathbf { z } } ) d r ^ { \prime } d \theta
\begin{array} { r l } { { \tilde { { \cal L } } = } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \left( f _ { x x } ^ { \; 2 } + f _ { t x } \, f _ { x x } \right) + f _ { x x x } \, f _ { t t } \, f _ { x x } + f _ { t x x } \, f _ { t x } \, f _ { t t } } } \\ { { } } & { { - f _ { x x x } \, f _ { t t } \, f _ { t x } - f _ { t t t } \, f _ { t x } \, f _ { x x } - \frac { 1 } { 2 } \, f _ { t t t } \, f _ { t x } ^ { \; \; 2 } } } \end{array}
G _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { n } } ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } ) \; \prod _ { i = 1 } ^ { n } \; J _ { \alpha _ { i } } ^ { i } ( p _ { i } ) = \hat { G } _ { \alpha _ { 1 } \ldots \alpha _ { n } } ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { n } ) \; \prod _ { i = 1 } ^ { n } \; \hat { J } _ { \alpha _ { i } } ^ { i } ( p _ { i } ) \ \ \ \ \ .
{ \cal L } _ { s c a t } ^ { ( R ) } = - \frac { i g } { 2 } A _ { + } ^ { a } \left[ ( \partial _ { - } \partial ^ { * } \phi ) T ^ { a } ( \partial \phi ^ { * } ) + ( \partial _ { - } \partial \phi ^ { * } ) T ^ { a } ( \partial ^ { * } \phi ) \right] \; \; \; .
\begin{array} { r } { \mathrm { J } _ { k } ( \eta ) \lesssim e ^ { 2 \mu | k , \eta | ^ { \frac 1 2 } } \leq e ^ { 2 \mu | l , \zeta | ^ { \frac 1 2 } + 2 \mu | \xi - \zeta | ^ { \frac 1 2 } + 2 \mu | k - l , \eta - \xi | ^ { \frac 1 2 } } } \end{array}
\frac { 4 \pi ^ { 2 } } { G ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } = 1 - \left( \frac { m _ { \lambda } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) l n \left( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { \lambda } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { : = I _ { K } [ B _ { \delta } ] ( \phi ( \cdot , \bar { y } ) , \bar { x } ) - I _ { K } [ B _ { \delta } ] ( - \phi ( \bar { x } , \cdot ) , \bar { y } ) , } \\ { I _ { 2 } } & { : = I _ { K } [ B _ { 1 / 1 0 } \setminus B _ { \delta } ] ( u _ { j } , \xi _ { \bar { x } } , \bar { x } ) - I _ { K } [ B _ { 1 / 1 0 } \setminus B _ { \delta } ] ( u _ { j } , \xi _ { \bar { y } } , \bar { y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \parallel } \lambda _ { e i } \sim \frac { \Omega _ { e } ^ { 1 / 3 } \varepsilon ^ { 1 / 6 } } { \nu _ { e i } ^ { 1 / 2 } } ( k _ { \perp } \rho _ { e } ) ^ { 2 / 3 } . } \end{array}
\hat { H } _ { I , \mathrm { e f f } } / \hbar = g ( \hat { a } _ { e } \hat { a } _ { o } + \hat { a } _ { e } \hat { a } _ { t } ^ { \dagger } ) + J \hat { a } _ { t } \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ^ { \dagger } + h . c . ,
d \Gamma = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } m _ { n } } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { e } } { E _ { e } } [ M _ { 1 } \frac { ( E _ { m } - E _ { e } ) ^ { 2 } } { ( a + b x ) ^ { 3 } } + M _ { 2 } \frac { ( E _ { m } - E _ { e } ) ^ { 3 } } { ( a + b x ) ^ { 4 } } + N _ { 1 } \frac { ( E _ { m } - E _ { e } ) ^ { 2 } } { ( a + b x ) ^ { 3 } } x + N _ { 2 } \frac { ( E _ { m } - E _ { e } ) ^ { 3 } } { ( a + b x ) ^ { 4 } } x ] d x ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le \lambda _ { 1 } \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \lambda _ { 2 } \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } \} + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) } \\ & { ~ \mathbb { E } \{ \| X ^ { \Gamma } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \Big ( 1 + \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \Big ) \frac { \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } } { 2 l ^ { ( s ) } } } \\ & { \| z ^ { s } \| ^ { 2 } - \frac { 2 c _ { s } \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } ( \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } + \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } ) . } \end{array}
\displaystyle \frac { ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 1 } + x _ { 3 } ) + ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 1 } + x _ { 4 } ) } { ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } , \ \frac { ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) + ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } { ( x _ { 3 } + x _ { 4 } ) ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) }
\frac { \partial v _ { 3 } } { \partial C } = ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) \frac { \partial k _ { 1 } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial E } = ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) \frac { \partial k _ { 1 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial \kappa } = 0 ,
V _ { 1 } ( \phi ) = \frac 1 2 \int \frac { d ^ { 4 } k _ { E } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ln ( k _ { E } ^ { 2 } - \sigma + \frac 1 2 \lambda \phi ^ { 2 } ) , \qquad ( < \phi > \rightarrow \phi ) .
\begin{array} { r l r } & { C \Bigg ( 2 \alpha + \frac { 2 } { \sqrt { n } } \log \frac 2 { \alpha } + \frac { 2 } { n } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) ^ { - 1 } \Bigg ) } & { \quad \textrm { i f } d = 2 . } \\ & { C \Bigg ( 2 \alpha + \frac { 2 } { \sqrt { n } } \cdot \frac { 1 } { \frac { d } { 2 } - 1 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } + \frac { 2 } { n } \cdot \frac { 1 } { d - 1 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) ^ { 1 - d } \Bigg ) \quad } & { \textrm { i f } d \geq 3 . } \end{array}
{ S ( \mathbf { d } } _ { \mathbf { w } } ) = f _ { a u x } ( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } ) = \prod _ { l \in \{ \phi , P _ { p } , T \} } { f _ { a u x } \left( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( l ) } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } \right) }
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] | \ge \epsilon / 2 \right] \le \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] | \ge \epsilon / 2 ~ | ~ G \right] + \mathbb { P } \left[ \neg G \right] \le \delta / 3 + \delta / 3 = 2 \delta / 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { P } _ { e c d s w , 0 } = \frac { 1 } { 2 } \bar { u } _ { s } ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } \bar { u } _ { s } \sqrt { a } _ { s } + \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 2 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } , } \\ & { } & { \bar { P } _ { e c d s w , 1 } = \frac { 1 } { 6 } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { s } ^ { 3 } + \sqrt { 2 } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } \right) \bar { u } _ { s } ^ { 2 } \sqrt { a _ { s } } } \\ & { } & { \mathrm + \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 2 } \left( c _ { 2 } - 2 c _ { 3 } + 3 c _ { 6 } + 2 c _ { 7 } \right) \bar { u } _ { s } a _ { s } ^ { 3 / 2 } + \frac { 4 } { 1 5 } \sqrt { 2 } \left( 5 c _ { 6 } + 4 c _ { 7 } \right) a _ { s } ^ { 5 / 2 } , } \\ & { } & { \bar { P } _ { e c d s w , 2 } = \sqrt { 2 } \left( c _ { 2 } c _ { 6 } + \frac { 2 } { 3 } c _ { 2 } c _ { 7 } - 2 c _ { 3 } c _ { 6 } - \frac { 4 } { 3 } c _ { 3 } c _ { 7 } \right) \bar { u } _ { s } ^ { 2 } a _ { s } ^ { 3 / 2 } + \frac { 4 } { 1 5 } \sqrt { 2 } \left( 5 c _ { 2 } c _ { 6 } + 4 c _ { 2 } c _ { 7 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm - 1 0 c _ { 3 } c _ { 6 } - 8 c _ { 3 } c _ { 7 } \right) \bar { u } _ { s } a _ { s } ^ { 5 / 2 } + 2 \sqrt { 2 } \left( \frac { 4 } { 1 5 } c _ { 2 } c _ { 6 } + \frac { 8 } { 3 5 } c _ { 2 } c _ { 7 } - \frac { 8 } { 1 5 } c _ { 3 } c _ { 6 } - \frac { 1 6 } { 3 5 } c _ { 3 } c _ { 7 } + \frac { 1 } { 3 } c _ { 6 } ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm + \frac { 8 } { 1 5 } c _ { 6 } c _ { 7 } + \frac { 4 } { 1 7 } c _ { 7 } ^ { 2 } \right) a _ { s } ^ { 7 / 2 } , } \\ & { } & { \bar { P } _ { e c d s w , 3 } = 2 \sqrt { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } c _ { 2 } c _ { 6 } ^ { 2 } + \frac { 8 } { 1 5 } c _ { 2 } c _ { 6 } c _ { 7 } + \frac { 8 } { 3 5 } c _ { 2 } c _ { 7 } ^ { 2 } - \frac { 1 6 } { 1 5 } c _ { 3 } c _ { 6 } c _ { 7 } - \frac { 2 } { 3 } c _ { 3 } c _ { 6 } ^ { 2 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm - \frac { 1 6 } { 3 5 } c _ { 3 } c _ { 7 } ^ { 2 } \right) \bar { u } _ { s } a _ { s } ^ { 7 / 2 } + \frac { 8 } { 5 } \sqrt { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } c _ { 2 } c _ { 6 } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } c _ { 3 } c _ { 6 } ^ { 2 } + \frac { 4 } { 7 } c _ { 2 } c _ { 6 } c _ { 7 } - \frac { 8 } { 7 } c _ { 3 } c _ { 6 } c _ { 7 } \right) a _ { s } ^ { 9 / 2 } , } \\ & { } & { \bar { P } _ { e c d s w , 4 } = 8 \sqrt { 2 } \left[ \frac { 1 } { 4 5 } c _ { 2 } c _ { 6 } ^ { 3 } + \frac { 2 } { 3 5 } c _ { 2 } c _ { 6 } ^ { 2 } c _ { 7 } + \frac { 1 6 } { 3 1 5 } c _ { 2 } c _ { 6 } c _ { 7 } ^ { 2 } + \frac { 3 2 } { 2 0 7 9 } c _ { 2 } c _ { 7 } ^ { 3 } - \frac { 2 } { 4 5 } c _ { 3 } c _ { 6 } ^ { 3 } - \frac { 4 } { 3 5 } c _ { 3 } c _ { 6 } ^ { 2 } c _ { 7 } \right. } \\ & { } & { \left. \mathrm - \frac { 3 2 } { 3 1 5 } c _ { 3 } c _ { 6 } c _ { 7 } ^ { 2 } - \frac { 6 4 } { 2 0 7 9 } c _ { 3 } c _ { 7 } ^ { 3 } \right] a _ { s } ^ { 1 1 / 2 } . } \end{array}
{ \cal M } ^ { h _ { j } } = \frac { 4 i G _ { F } m _ { \mu } m _ { W } ^ { 2 } O _ { 3 j } } { \sqrt { 2 } \, v _ { 3 } \left( ( s - m _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { j } ^ { 2 } \Gamma _ { j } ^ { 2 } \right) } \sum _ { i } O _ { i j } v _ { i } \, \left( ( s - m _ { j } ^ { 2 } ) - i m _ { j } \, \Gamma _ { j } \right) \, \bar { v } ( p _ { 2 } , r _ { 2 } ) u ( p _ { 1 } , r _ { 1 } ) g _ { \rho \sigma } \epsilon ^ { \rho } \epsilon ^ { \sigma } ,
\frac { 1 } { | \vec { p } \, | } \; = \; \frac { 2 } { M _ { B } } \left( 1 + \frac { M _ { k } ^ { 2 } + M _ { n } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } \, + \, . . . \right) \; .
\int _ { t } ^ { + \infty } x ^ { k } e ^ { - \tau ( x ) } \, d x \leq \frac { 1 } { a ^ { 2 k + 3 } } \frac { 1 } { 1 - \frac { 2 k + 2 } { \tau ( t ) } } ( \tau ( t ) ) ^ { 2 k + 2 } e ^ { - \tau ( t ) }
\langle \psi ( t + \mathrm { d } t ) | \hat { J } ( t + \mathrm { d } t ) | \psi ( t + \mathrm { d } t ) \rangle = - \frac { \Phi _ { \mathrm { E N Z } } ( t + \mathrm { d } t ) } { a \mathfrak { L } } + J ( 0 ) .
\begin{array} { r l } { f ( z , p , q ) = } & { ~ z _ { p } ^ { \top } ( \sum _ { l = 1 } ^ { k } B _ { p , l } D _ { l , q } - C _ { p , q } ) z _ { q } } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \underbrace { ( z _ { p } ^ { \top } y _ { i } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \underbrace { ( y _ { i } ^ { \top } z _ { q } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) } _ { \mathrm { s c a l a r } } \cdot \underbrace { u _ { * , q } ^ { \top } ( U _ { t } U _ { t } ^ { \top } - I _ { d } ) x _ { i } } _ { \mathrm { s c a l a r } } } \end{array}
\Pi ( q ^ { 2 } ) \; = \; \pi \sum _ { n } \, \frac { f _ { n } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } - M _ { n } ^ { 2 } } \; , \qquad \rho ( q ^ { 2 } ) \; = \; \pi \sum _ { n } \, f _ { n } ^ { 2 } \, \delta \left( q ^ { 2 } - M _ { n } ^ { 2 } \right) \; ,
\begin{array} { c c c c c c c } { { { \cal L } _ { \mathbf { I } } K ^ { x } } } & { { = } } & { { \epsilon ^ { x y z } K ^ { y } W _ { \mathbf { I } } ^ { z } } } & { { ; } } & { { { \cal L } _ { \mathbf { I } } \omega ^ { x } } } & { { = } } & { { \nabla W _ { \mathbf { I } } ^ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { { } = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \sum _ { \beta \in \mathcal { L } } c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \eta _ { I \cup \left\{ i \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) - \eta _ { I \cup \left\{ j \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = Z _ { \widehat { k } } D _ { B _ { k } } U _ { \widehat { k } } ^ { \mathrm { T } } + \widehat { Z } \widehat { D } _ { B } \widehat { U } ^ { \mathrm { T } } + E _ { B } = Q _ { Z _ { \widehat { k } } } T _ { Z _ { \widehat { k } } } D _ { B _ { \widehat { k } } } U _ { \widehat { k } } ^ { \mathrm { T } } + Q _ { Z } \widehat { T } _ { Z } \widehat { D } _ { B } \widehat { U } ^ { \mathrm { T } } + E _ { B } , } \\ { G } & { = V _ { \widehat { k } } D _ { G _ { \widehat { k } } } W _ { \widehat { k } } ^ { \mathrm { T } } + \widehat { V } \widehat { D } _ { G } \widehat { W } ^ { \mathrm { T } } + E _ { G } = V _ { \widehat { k } } D _ { G _ { \widehat { k } } } T _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } Q _ { W _ { \widehat { k } } } ^ { \mathrm { T } } + V _ { \widehat { k } } \widehat { D } _ { G } \widehat { T } _ { W } ^ { \mathrm { T } } Q _ { W } ^ { \mathrm { T } } + E _ { G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf b } = } & { \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } \left[ \begin{array} { l } { - 2 d _ { 1 } ^ { o } \| { \bf x } ^ { o } \| - 2 { \bf a } _ { 1 } ^ { \top } { \bf x } ^ { o } + \eta _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { - 2 d _ { m } ^ { o } \| { \bf x } ^ { o } \| - 2 { \bf a } _ { m } ^ { \top } { \bf x } ^ { o } + \eta _ { m } } \end{array} \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf A } ^ { o } \left[ \begin{array} { l } { { \bf x } ^ { o } } \\ { \| { \bf x } ^ { o } \| } \end{array} \right] + \frac { 1 } { \sqrt { m } } O _ { p } \left( 1 \right) , } \end{array}
{ \cal L } _ { \rho N } = \frac { g } { 2 } \, \bar { \Psi } _ { N } \, \biggl [ \gamma ^ { \mu } \, \vec { \rho } _ { \mu } \cdot \vec { \tau } - \frac { \kappa _ { \rho } } { 2 m } \, \sigma ^ { \mu \nu } \, \partial _ { \nu } \, \vec { \rho } _ { \mu } \cdot \vec { \tau } \biggr ] \, \Psi _ { N } \, \, \, .
{ \mathcal R } ( x ) \frac { \delta } { \delta \varphi ( y ) } S = - \frac { \delta F } { \delta \varphi ( x ) } \int d z \, \Delta _ { S } ^ { \mathrm r e t } ( z , x ) \frac { \delta ^ { 2 } S } { \delta \varphi ( x ) \delta \varphi ( z ) } = - \frac { \delta F } { \delta \varphi ( x ) } \delta ( x - y ) \ .
V _ { 2 } ^ { + } = V _ { 2 } ^ { - } + 2 \eta ^ { \prime } , \quad \gamma = \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \eta ^ { \prime } } { 2 } - V _ { 2 } ^ { - } + \epsilon _ { 2 } , \quad V _ { 2 } ^ { - } = \frac { \eta ^ { \prime \prime } } { 2 \eta } - \left( \frac { \eta ^ { \prime } } { 2 \eta } \right) ^ { 2 } - \eta ^ { \prime } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 } + \epsilon _ { 2 } .
\hat { H } _ { 2 } = \sum _ { n } ( r _ { x } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \mu \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \mathrm { H . c . } ) \otimes \sigma _ { x } .
\sum _ { i } p _ { i } ^ { \prime } = \sum _ { i } m _ { i } v _ { i } ^ { \prime } = \sum _ { i } m _ { i } ( v _ { i } - V _ { c } ) = \sum _ { i } m _ { i } v _ { i } - \sum _ { i } m _ { i } { \frac { \sum _ { j } m _ { j } v _ { j } } { \sum _ { j } m _ { j } } } = \sum _ { i } m _ { i } v _ { i } - \sum _ { j } m _ { j } v _ { j } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \Pi _ { L } ^ { \prime } ( p ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \ln \biggl ( \frac { - p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \biggr ) , } \\ { \psi ^ { \prime } ( p ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 5 1 7 } { 6 4 0 \pi ^ { 2 } } \ln \biggl ( \frac { - p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \biggr ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 2 } ( \omega ) \ } & { { } { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ { - i \omega \cdot x } \, d x = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } { \hat { f } } _ { 1 } \! \left( { \frac { \omega } { 2 \pi } } \right) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } { \hat { f } } _ { 3 } ( \omega ) } \\ { f ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } { \hat { f } } _ { 2 } ( \omega ) e ^ { i \omega \cdot x } \, d \omega } \end{array}
X _ { 3 } [ \phi _ { 0 } , m ( \mu ) , \lambda ( \mu ) ] = \alpha _ { 4 } ( \lambda ( \mu ) ) \; \phi _ { 0 } ^ { 4 } + \alpha _ { 5 } ( \lambda ( \mu ) ) \; m ^ { 2 } ( \mu ) \; \phi _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { \delta _ { \alpha \beta } } { r } + \frac { r _ { \alpha } r _ { \beta } } { r ^ { 3 } } , } \\ { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { ~ D ~ } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = ( 1 - 2 \delta _ { \beta z } ) \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } \left( \frac { r _ { \alpha } } { r ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = ( 1 - 2 \delta _ { \beta z } ) \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } G _ { \alpha z } ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( \mathcal { R } ^ { ( n , n ) } ( f - f _ { x } ) ( y ) | } & { = | \langle \Pi _ { y } ( f ( y ) - f _ { x } ( y ) ) , \varphi _ { y } ^ { ( n ) } \rangle | } \\ & { = | \langle \Pi _ { y } ( f ( y ) - \Gamma _ { x , y } f ( x ) ) , \varphi _ { y } ^ { ( n ) } \rangle | } \\ & { \lesssim \| \Pi \| _ { \gamma ; B _ { \lambda } ( y ) } \| f \| _ { \gamma ; B _ { C \mathfrak { r } ^ { - n } } ( y ) } \sum _ { \underline { { \alpha } } \leq \alpha \leq \gamma } \mathfrak { r } ^ { - \alpha n } | y ^ { - 1 } x | ^ { \gamma - \alpha } } \\ & { \lesssim \| \Pi \| _ { \gamma ; B _ { \lambda } ( y ) } \| f \| _ { \gamma ; B _ { C \mathfrak { r } ^ { - n } } ( y ) } \mathfrak { r } ^ { - \underline { { \alpha } } n } ( { | y ^ { - 1 } x | } ^ { \gamma - \underline { { \alpha } } } + \mathfrak { r } ^ { ( \underline { { \alpha } } - \gamma ) n } ) , } \end{array}
\left\langle \left\vert \mathcal { M } \right\vert ^ { 2 } \right\rangle = \frac { \lambda ^ { 4 } } { 4 } \left\{ \begin{array} { c } { \frac { 1 6 \left( \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) \cos \theta + E ^ { 2 } + M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) \cos ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } + m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } + } \\ { \frac { 1 6 \left( \left( M ^ { 2 } - E ^ { 2 } \right) \cos \theta + E ^ { 2 } + M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } + m ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - } \\ { \frac { 8 \left( - E ^ { 4 } + \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cos ( 2 \theta ) + 1 0 E ^ { 2 } M ^ { 2 } - M ^ { 4 } \right) } { \left( 2 E ^ { 2 } + m ^ { 2 } - 2 M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 \left( E ^ { 2 } - M ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \end{array} \right\} .
U ( r = r _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) = \frac { \mu v _ { \infty } ^ { 2 } } { 2 } \frac { r _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { r _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { m i n i m i z e } \quad } & { { \| \mathbf { e } _ { \mathbf { J } } \| } _ { 2 } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { a ^ { q } ( \mathbf { J } _ { h } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) = a ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) . } \end{array} } \end{array}
\delta ^ { ( k ) } = \frac { 2 } { n } \left( \left\| \varepsilon ^ { ( k - 1 ) } \right\| _ { 1 } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } \right) \leq \frac { 2 } { n } \left( \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } \right) \implies \hat { \rho } ^ { ( k ) } \succeq - 2 \left( \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k - 1 ) } } + \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } } { \eta ^ { ( k ) } } \right) n ^ { - 1 } I ,
\mathrm { \ v a r p h i } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } { e ^ { - \mathrm { i } \hat { h } _ { I } \delta t } \vec { \phi } _ { p } ( t ) } & { { } = } & { V ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - W _ { j , p } \delta t } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { W _ { j , p } \delta t } } \end{array} \right) V \left( \begin{array} { l } { c _ { p } ( t , { \bf r } _ { j } ) } \\ { c _ { j , p } ( t ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\widetilde { g } _ { i i } ( 1 2 ) = - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { k _ { i } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { i } ^ { 2 } } f _ { i } ( 1 ) \left( f _ { i } ( 2 ) - \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } [ 3 ] \, \widetilde { g } _ { e i } ( 3 2 ) \right)
\frac { d \mu _ { r u n } ^ { 2 } } { d t } \approx \beta _ { ( \mu ^ { 2 } ) } ^ { ( 1 ) } = \frac { \mu _ { r u n } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( 4 \lambda _ { r u n } - 3 g _ { r u n } ^ { 2 } ) ,
+ \left( \frac { x ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ^ { a } } \right) \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } } { 5 ^ { b } } \right) \frac { z ^ { 5 } } { 5 ^ { c } }
W _ { p } ^ { p } ( F _ { \sharp } \mu , G _ { \sharp } \mu ) = \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Gamma ( F _ { \sharp } \mu , G _ { \sharp } \mu ) } \int _ { \Omega ^ { \prime } \times \Omega ^ { \prime } } | x - y | ^ { p } \pi ( \mathrm { d } x , \mathrm { d } y ) \leq \int _ { \Omega ^ { \prime } \times \Omega ^ { \prime } } | x - y | ^ { p } ( F \times G ) _ { \# } \mu ( \mathrm { d } x , \mathrm { d } y ) .