harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \rho _ { o 1 } = - 1 . 5 7 5 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x ^ { 4 } y + 1 . 0 1 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 4 } - 1 . 8 3 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x ^ { 3 } * y ^ { 2 } + 3 . 9 5 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 3 } y - } \\ & { 0 . 0 0 2 x ^ { 3 } + 3 . 9 0 1 0 \cdot 1 0 ^ { - 6 } x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 2 . 6 4 4 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 0 . 0 0 3 4 x ^ { 2 } y + 0 . 0 1 3 2 x ^ { 2 } , } \\ & { + 1 . 7 4 7 \cdot 1 0 ^ { - 5 } x y ^ { 4 } - 1 . 0 4 4 0 \cdot 1 0 ^ { - 4 } x y ^ { 3 } - 0 . 0 0 1 1 x y ^ { 2 } + 0 . 0 1 1 5 x y - 0 . 0 3 6 9 x + } \\ & { 4 . 9 1 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 } y ^ { 5 } - 0 . 0 0 1 4 y ^ { 4 } + 0 . 0 0 1 5 y ^ { 3 } + 7 . 1 6 \cdot 1 0 ^ { - 4 } y ^ { 2 } - 0 . 0 1 3 4 y + 0 . 0 4 6 , } \end{array}
U _ { k } ^ { i j } = \sqrt { - g } \left[ - g ^ { p i } ( - \Gamma _ { k p } ^ { j } + \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ^ { j } \Gamma _ { a p } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } g _ { p } ^ { j } \Gamma _ { a k } ^ { a } ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { k } ^ { i } g ^ { p m } ( - \Gamma _ { p m } ^ { j } + \frac { 1 } { 2 } g _ { p } ^ { j } \Gamma _ { a m } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } g _ { m } ^ { j } \Gamma _ { a p } ^ { a } ) \right] ,
\mathbf { T } _ { n } = [ \boldsymbol \zeta + \boldsymbol \gamma \mathbf { D } _ { n } \mathbf { M } _ { n } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { L } _ { n } ( x _ { n } ) ] ^ { - 1 } \boldsymbol \alpha .
u = 4 \left[ ( 1 + x ) ( 1 - t ^ { 2 } ) \left( 1 - { \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { m _ { i } ^ { 2 } } } \right) \, \chi _ { \ell } \right] ^ { \mathrm { \normalsize ~ - ~ { \frac { 2 ~ } { ~ 3 } } ~ } } .
\tilde { \zeta } ( R , Z , t ) \, = \, \frac { \tilde { \eta } ( R , Z , t ) } { 1 + \epsilon R } \, , \qquad \zeta _ { * } ( R , Z , t ) \, = \, \frac { \eta _ { * } ( R , Z , t ) } { 1 + \epsilon R } \, .
q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) = \frac { 1 } { 4 } + c _ { \mu } c _ { \nu } \frac { ( \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } ) } { \Lambda _ { 1 } ( \xi - \eta ) } \frac { \eta _ { 1 } } { \Lambda _ { 2 } ( \eta ) } - \sum _ { a \in \{ 1 , 2 \} , i , j \in \{ 2 , 3 \} } \mathfrak { q } _ { i , j } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) \frac { c _ { \mu } c _ { \nu } ( \xi _ { i } - \eta _ { i } ) \eta _ { j } } { \Lambda _ { 1 } ( \xi - \eta ) \Lambda _ { 2 } ( \eta ) } .
\operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow 0 } \tilde { \mathcal { V } } _ { \mathrm { i n t } } ( k ) = \iint \mathcal { V } _ { \mathrm { i n t } } ( x , y ) \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } y = \frac { \pi } { 6 } \alpha d _ { c } ^ { 4 } .
\Big [ { \sf P } _ { \boldsymbol { x } } ^ { a } \Big ] _ { i } : = \Big [ \Tilde { \boldsymbol { 1 } } - \Tilde U _ { \boldsymbol { x } } ^ { - 1 } \Tilde U _ { \boldsymbol { y } } \Big ] ^ { a b } \Big [ i \partial _ { i } \frac { 2 \pi } { \boldsymbol { \partial } ^ { 2 } } \Big ] _ { \boldsymbol { x y } } i \nabla _ { U _ { \boldsymbol { y } } } ^ { b }
\begin{array} { l c l } { { a _ { 2 } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 4 } u _ { 2 } } } \\ { { a _ { 3 } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 8 0 0 \theta } \{ 9 u _ { 2 } ^ { 2 } + 1 0 0 \theta u _ { 3 } ^ { \prime } - 2 8 0 { \theta } ^ { 2 } u _ { 2 } \} } } \\ { { a _ { 4 } } } & { { = } } & { { \frac { 4 9 } { 4 0 0 } u _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 8 } \theta u _ { 3 } ^ { \prime } + \frac { 4 1 } { 2 0 } { \theta } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { \vdots } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \int _ { x _ { 2 } } ^ { y } \exp \big ( f [ ( x _ { 2 } , \ell ) \to ( z , m + 1 ) ] - f _ { m } ( z ) \big ) \, d z \right) ^ { - 1 } \exp \bigg ( f [ ( x _ { 2 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] \bigg ) } \\ { - } & { \left( \int _ { x _ { 1 } } ^ { y } \exp \big ( f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( z , m + 1 ) ] - f _ { m } ( z ) \big ) \, d z \right) ^ { - 1 } \exp \bigg ( f [ ( x _ { 1 } , \ell ) \to ( y , m + 1 ) ] \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overset { c } { \nabla } _ { \dot { q } ( t ) } \dot { q } ( t ) = } & { P _ { \mathcal { D } } ( \nabla _ { \dot { q } ( t ) } ^ { \mathcal { G } } \dot { q } ( t ) ) } \\ { = } & { - P _ { \mathcal { D } } ( \mathrm { g r a d } _ { \mathcal { G } } V ( q ( t ) ) ) + P _ { \mathcal { D } } ( \hat { u } _ { a } ( t ) Y ^ { a } ( q ( t ) ) ) } \\ { = } & { - P _ { \mathcal { D } } ( \mathrm { g r a d } _ { \mathcal { G } } V ( q ( t ) ) ) , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l } { 6 } & { 2 4 } & { 1 } \\ { 1 3 } & { 1 6 } & { 1 0 } \\ { 2 0 } & { 1 7 } & { 1 5 } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \pmod { 2 6 } } \equiv { \left( \begin{array} { l l l } { 8 } & { 5 } & { 1 0 } \\ { 2 1 } & { 8 } & { 2 1 } \\ { 2 1 } & { 1 2 } & { 8 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \langle f g \rangle - \langle f \rangle \langle g \rangle = \big \langle f \bigl ( g - \langle g \rangle \bigr ) \big \rangle = \big \langle \bigl ( f - \langle f \rangle \bigr ) \bigl ( g - \langle g \rangle \bigr ) \big \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \Big \langle \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \Big \langle \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) - \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \Big \langle \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \Big \langle \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) - \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { k } = 8 \pi ^ { 2 } k \int _ { k _ { 1 } \ll k } n _ { k _ { 1 } } ^ { 2 } \frac { k _ { 1 } ^ { 4 } } { \left| \frac { d \omega _ { k _ { 1 } } } { d k _ { 1 } } \right| } \times } \\ & { \left[ \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } ( \cos \beta - \cos \alpha ) ^ { 2 } \mathrm d \alpha \mathrm d \beta \right] \mathrm d k _ { 1 } . } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ l ~ e ~ } } ( E , p , z , t ) \propto \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | d _ { m } ( t ) | ^ { 2 } | \alpha _ { p } ^ { m } | ^ { 2 } \exp \left[ - \frac { ( E - \Delta E ^ { m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \sigma } _ { n l } ( N ) } { d \Omega } } & { \simeq } & { \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } \frac { 1 } { 2 q ^ { 4 } } \left\{ 8 J _ { N } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \; { \cal A } _ { n l } ( q ) + \left( \frac { { \cal E } _ { 0 } } { \omega } \right) ^ { 2 } | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \hat { \mathbf { q } } } | ^ { 2 } { \cal D } _ { n l } ( \omega , q ) \right. } \\ & { } & { + \frac { { 8 \cal E } _ { 0 } } { \omega } | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \hat { \mathbf { q } } } | \; J _ { N } ( X _ { q } ) [ J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) \; { \cal B } _ { n l } ( \omega , q ) + J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) \; { \cal B } _ { n l } ( - \omega , q ) ] } \\ & { } & { \left. + \left( \frac { { \cal E } _ { 0 } } { \omega } \right) ^ { 2 } [ J _ { N - 1 } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \; { \cal C } _ { n l } ( \omega , q ) + J _ { N + 1 } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \; { \cal C } _ { n l } ( - \omega , q ) ] \right\} , } \end{array}
{ \cal L } _ { 2 } [ V ( 1 ^ { - \, - } ) ] = \frac { F _ { V } } { 2 \sqrt { 2 } } \langle V _ { \mu \nu } f _ { + } ^ { \mu \nu } \rangle + \frac { i \, G _ { V } } { \sqrt { 2 } } \langle V _ { \mu \nu } u ^ { \mu } u ^ { \nu } \rangle ,
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } ) } & { { } = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \end{array}
{ { \left| u _ { k , i } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right| } ^ { 2 } } = \mathcal { F } \left\{ \mathcal { R } _ { { { u } _ { i } } } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \right\} = { { { k } _ { B } } \left\langle T \right\rangle } / { \left\langle \rho \right\rangle } \; .
G _ { A B C 1 1 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 2 \pi } \left( \frac { \kappa } { 4 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } \delta ( x ^ { 1 1 } ) \bar { \chi } ^ { a } \Gamma _ { A B C } \chi ^ { a }
g ^ { - 1 } ( \lambda ) = \left( \begin{array} { c c } { { - 2 \lambda _ { 2 } , } } & { { - 6 \lambda _ { 3 } } } \\ { { - 6 \lambda _ { 3 } , } } & { { + \frac 8 3 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } } } \end{array} \right)
\big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) ^ { 2 } \partial _ { y } \psi _ { k } + \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \big ( i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } \big ) = i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \Phi _ { k } .
L ( \theta ) = L [ \tilde { u } ] = \frac { \int _ { \Omega } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } d x + \int _ { \Omega } v \tilde { u } ^ { 2 } d x } { \int _ { \Omega } \tilde { u } ^ { 2 } d x } , \quad \tilde { u } \in \mathcal { F } ,
\begin{array} { r l } { \| Z ^ { D } - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } } & { \leqslant \| P ^ { D } ( \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ^ { D } ] - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] ) \| _ { K } ^ { 2 } + \| ( I - P ^ { D } ) \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \| \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ^ { D } ] - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } + \| ( I - P ^ { D } ) \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } } \end{array}
V _ { 1 } ( \mathrm { x ) = \frac { 1 } { 3 2 } \mathrm { x ^ { 6 } - \frac { \ o m e g a } { 1 6 \mathrm { g } } \mathrm { x ^ { 4 } + ( \frac { \ o m e g a ^ { 2 } } { 3 2 \mathrm { g ^ { 2 } } } - \frac { 3 j } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } ) \mathrm { x ^ { 2 } - \frac { \ o m e g a } { 4 \mathrm { g } } ( 3 j - \frac { 1 } { 2 } ) } } } }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { P } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \delta ( r - r _ { 0 } ) \psi _ { \Phi } \psi _ { R } + q _ { + } e ^ { i Y } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; \delta ( r - r _ { 0 } - t ) + q _ { - } e ^ { - i Y } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \; \delta ( r - r _ { 0 } + t ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \delta ( r - r _ { 0 } ) \psi _ { \Phi } \psi _ { R } + q _ { + } e ^ { i Y } \Theta ( r - r _ { 0 } ) + q _ { - } e ^ { - i Y } \Theta ( r _ { 0 } - r ) . } \end{array}
\phi _ { 3 \nu } ( t , r ) = e ^ { - i \nu \left[ t + \frac { r } { c } - \chi ( r ) \right] } - e ^ { i \varphi _ { 0 } } e ^ { - i \nu \left[ t - \frac { r } { c } + \chi ( r ) \right] } \theta ( r _ { - } - r ) ,
\begin{array} { r l } & { R _ { i j } + 2 \nabla _ { i } \nabla _ { j } \varphi - \frac { 1 } { 4 } H _ { i } ^ { m n } H _ { j m n } = 0 , } \\ & { R _ { \Bar { \imath } j } + 2 \nabla _ { \Bar { \imath } } \nabla _ { j } \varphi - \frac { 1 } { 4 } H _ { \Bar { \imath } } ^ { m n } H _ { j m n } = - ( R _ { \Bar { \imath } j } ^ { \mathrm { C h } } + H _ { \Bar { \imath } } ^ { \Bar { k } l } H _ { j \Bar { k } l } ) . } \end{array}
T _ { \mathrm { D } } = \frac { l _ { n + 2 } } { 4 \pi r _ { \mathrm { B H } } ^ { 2 } } \left( ( n - 1 ) - ( n + 1 ) \frac { r _ { \mathrm { B H } } ^ { 2 } } { l _ { n + 2 } ^ { 2 } } \right) ,
\ensuremath { F _ { \! s } } ( k , t ) C ( k , t ) \approx 1 - \mathrm { ~ \small ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } k ^ { 2 } \left( \mathrm { ~ \small ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 3 ~ } ~ } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { \parallel } } ^ { 2 } + \mathrm { ~ \small ~ \displaystyle ~ \frac ~ { ~ 2 ~ } ~ { ~ 3 ~ } ~ } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } \right) t ^ { 2 }
\bar { Q } _ { m r } = 3 \bar { u } _ { r } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } a _ { r } ^ { 2 } + \epsilon \left[ \frac { 1 } { 3 } c _ { 1 } \bar { u } _ { r } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 1 } \bar { u } _ { r } a _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } c _ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 4 } c _ { 3 } k _ { r } ^ { 2 } \right]
V _ { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, { \cal S } _ { 0 } = - \frac { 3 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, V _ { 2 } \beta M ^ { 3 } \, \ln ( \Lambda ^ { 2 } / M ^ { 2 } ) - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 8 \pi } \, V _ { 2 } \beta M ^ { 3 } + O ( 1 / \Lambda ^ { 2 } ) \; .
\int d { \bf x } _ { F } d { \bf x } _ { G } \vert \langle { \cal A } ^ { - 1 } ( x , y ) \rangle \vert ^ { 2 } = \int d { \bf k } _ { G } d { \bf k } _ { F } \vert \langle { \cal A } ^ { - 1 } ( k ) \rangle \vert ^ { 2 } < \infty
\begin{array} { r l } { \left\langle \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \right\rangle _ { x } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \int d x \, \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left[ x ^ { 2 } + \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right] \right) } \\ & { = \frac { \exp \left( - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \int d x \, \exp \left( - \frac { 1 + \sigma ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left[ x - \frac { \mu } { ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right] ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \sigma ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) . } \end{array}
\Theta ^ { ( \mathrm { 2 p h } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) = \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { B Z } } ^ { 2 } } \sum _ { \alpha _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { \alpha _ { 2 } = \pm 1 } A _ { \alpha _ { 1 } } A _ { \alpha _ { 2 } } \delta ( \epsilon _ { k } - \epsilon _ { k ^ { \prime } } - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \hbar \omega _ { \mathrm { L O } } ) I ^ { ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } ( k , k ^ { \prime } , \theta _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ) ,
\begin{array} { r l } { d \theta _ { \mathrm { i n } } } & { = \theta _ { \mathrm { i n } } - \theta _ { \mathrm { i n , 0 } } , } \\ { d \theta _ { \mathrm { b m } } } & { = \theta _ { \mathrm { b m } } - \theta _ { \mathrm { b m , 0 } } , } \\ { d \theta _ { \mathrm { t r } } } & { = \theta _ { \mathrm { t r } } - \theta _ { \mathrm { t r , 0 } } , } \end{array}
d _ { \chi ^ { 2 } } ( X _ { k } , X _ { l } ) = \sum _ { i , j } [ X _ { k i } - X _ { l i } ] ( \Sigma ^ { e x p } + \Sigma ^ { t h } ) _ { i j } ^ { - 1 } [ X _ { k j } - X _ { l j } ] = \sum _ { i } ( Y _ { k i } - Y _ { l i } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ( d u ( j ) : j \in s _ { 1 } / s _ { k + 1 } ) } & { = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { k } \prod _ { l \in s _ { j } / s _ { j + 1 } } \phi _ { 0 } ^ { j - 1 } ( u ( l ) ) d u ( l ) } \\ & { = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { k } \phi _ { 0 } ^ { j - 1 } ( u ( s _ { j } / s _ { j + 1 } ) ) d \mu ( u ( s _ { 1 } / s _ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { E _ { \nu } } & { { } : = \left\lVert u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } , } & { D _ { \nu } } & { { } : = \nu \left\lVert \nabla u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { 2 } , } \\ { H _ { \nu } } & { { } : = \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } & { F _ { \nu } } & { { } : = \nu ^ { \frac 1 3 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { \frac 4 3 } , } \end{array}
\pi _ { c o m p t } = - { \frac { i e ^ { 2 } g ^ { 2 } N _ { c } C _ { F } } { 4 \pi ^ { 3 } } } \zeta _ { Q } \zeta _ { G } e ^ { - k u / T } 2 m ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 } d x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } { \cal F } _ { c } ( x ) [ C ( x , T ) - \zeta _ { Q } C ( x , { \frac { T } { 2 } } ) ]
{ \cal L } _ { { \cal H } t t } = - \frac { g _ { W } } { \sqrt 2 } \frac { m _ { t } } { m _ { W } } { \cal H } \bar { t } \left( a _ { t } ^ { \cal H } + i b _ { t } ^ { \cal H } \gamma _ { 5 } \right) t ~ ,
\begin{array} { r l } { \rho ( \partial _ { t } \mathbf { u } + \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } & { { } = - \nabla p + \eta \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \nabla \cdot \mathbf { \sigma } ^ { ( a ) } } \\ { \partial _ { t } \mathbf { P } + ( \mathbf { u } + w \mathbf { P } ) \cdot \nabla \mathbf { P } } & { { } = \mathbf { \Omega } \cdot \mathbf { P } - \Gamma \mathbf { P } + D \nabla ^ { 2 } \mathbf { P } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { V \in \mathcal { V } _ { n , k } ( x ) , V \neq V _ { k } ( x ) } \exp \bigg ( g [ U _ { n , k } ( \varepsilon ) \to V ] + g [ V \to V _ { k } ( y ) ] \bigg ) } \\ { = } & { \exp \bigg ( g [ U _ { n , k } ( \varepsilon ) \to V _ { k } ( y ) ] \bigg ) - \exp \bigg ( g [ U _ { n , k } ( \varepsilon ) \to V _ { k } ( x ) ] + g [ V _ { k } ( x ) \to V _ { k } ( y ) ] \bigg ) . } \end{array}
1 + \xi _ { 1 } z + \xi _ { 2 } z ^ { 2 } + \xi _ { 3 } z ^ { 3 } + \dots = \exp [ \zeta _ { 1 } z + \zeta _ { 2 } z ^ { 2 } + \zeta _ { 3 } z ^ { 3 } + \dots ] \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} } & { \equiv } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } - 4 f _ { i } \, \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + 2 f _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
R ( \mu ) = \frac { 1 } { g ^ { 2 } ( \mu ) } + \left( \theta ^ { 2 } \frac { 2 m _ { \lambda } ( \mu ) } { g ^ { 2 } ( \mu ) } + \mathrm { h . c . } \right) + \theta ^ { 2 } \bar { \theta } ^ { 2 } R _ { D } .
\begin{array} { r } { \Omega _ { 1 2 9 } = \vert \gamma _ { \mathrm { X e } } ^ { ( 1 2 9 ) } \vert \left( B _ { 0 } + B _ { \mathrm { A } } ^ { ( 1 2 9 ) } \right) + \Omega _ { \mathrm { { r o t } } } , } \\ { \Omega _ { 1 3 1 } = \vert \gamma _ { \mathrm { X e } } ^ { ( 1 3 1 ) } \vert \left( B _ { 0 } + B _ { \mathrm { A } } ^ { ( 1 3 1 ) } \right) - \Omega _ { \mathrm { r o t } } , } \end{array}
\Psi _ { \mathrm { { B } } } [ \mathbf { r } _ { i } ] = { \mathcal { N } } { \mathcal { S } } \Psi [ \mathbf { r } _ { i } ] = { \mathcal { N } } \sum _ { \pi \in S _ { N } } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \psi _ { \alpha _ { \pi ( i ) } } ( \mathbf { r } _ { i } ) = { \mathcal { N } } \sum _ { \pi \in S _ { N } } \psi _ { \alpha _ { \pi ( 1 ) } } \otimes \psi _ { \alpha _ { \pi ( 2 ) } } \otimes \cdots \otimes \psi _ { \alpha _ { \pi ( N ) } } ;
\rho _ { 2 1 _ { D } } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } \, \, v _ { \sigma } } \int _ { - 3 v _ { \sigma } } ^ { 3 v _ { \sigma } } \rho _ { 2 1 } \left( \Delta _ { p } ^ { \prime } , \Delta _ { c } ^ { \prime } \right) \, \, e ^ { \frac { - v ^ { 2 } } { v _ { \sigma } ^ { 2 } } } \, \, d v \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { | | \mathrm { -- } | | _ { 1 , \nabla ^ { \mathrm { s u s p } } } } & { \leq \left( 1 + d \sum _ { k = 1 } ^ { n } | | \partial _ { t _ { k } } h | | _ { \mathrm { o p } } \right) | | \mathrm { -- } | | _ { 1 , \nabla \otimes \mathrm { i d } } } \\ & { \leq \left( 1 + d \sum _ { k = 1 } ^ { n } | | \partial _ { t _ { k } } h | | _ { \mathrm { o p } } \right) ^ { 2 } | | \mathrm { -- } | | _ { 1 , \nabla ^ { \mathrm { s u s p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 2 } ^ { N } u _ { j } ^ { 2 } \big [ \operatorname* { m a x } ( 1 , \theta N ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } ) ) - \theta N ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } ) \big ] } & { = \sum _ { j = 2 } ^ { N } u _ { j } ^ { 2 } \big [ 1 - \theta N ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } ) \big ] 1 _ { \theta N ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { j } ) \in [ 0 , 1 ) } } \\ & { \le \sum _ { j = 2 } ^ { N } u _ { j } ^ { 2 } \le 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { i j } ^ { \prime } \equiv \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \left[ { \bf x } _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) \delta ^ { i j } - x _ { N } ^ { i } ( 0 ) x _ { N } ^ { j } ( 0 ) \right] , } \end{array}
\int _ { a } ^ { x _ { 0 } - \delta } e ^ { n f ( x ) } \, d x + \int _ { x _ { 0 } + \delta } ^ { b } e ^ { n f ( x ) } \, d x \leq \int _ { a } ^ { b } e ^ { f ( x ) } e ^ { ( n - 1 ) ( f ( x _ { 0 } ) - \eta ) } \, d x = e ^ { ( n - 1 ) ( f ( x _ { 0 } ) - \eta ) } \int _ { a } ^ { b } e ^ { f ( x ) } \, d x .
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) } & { { } = h _ { 0 } ( \mathbf { k } ) \mathbb { I } _ { 2 \times 2 } + \mathbf { h } ( \mathbf { k } ) \cdot { \boldsymbol \sigma } } \\ { \mathbf { h } ( \mathbf { k } ) } & { { } = [ h _ { x } ( \mathbf { k } ) , h _ { y } ( \mathbf { k } ) , h _ { z } ( \mathbf { k } ) ] } \end{array}
\pi _ { M | \langle \boldsymbol { D } \rangle } ( m | \langle \boldsymbol { d } \rangle ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { w } ^ { * } ; \langle \boldsymbol { d } \rangle ) + 1 - \int _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } ( M ) } \mathcal { L } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { w } ^ { * } ; \langle \boldsymbol { d } \rangle ) \, \textrm { d } m \, , } & { m \in \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } ( M ) \, ; } \\ { 0 \, , } & { m \not \in \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ p ~ } ( M ) \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \varepsilon } & { = } & { \frac { a } { 3 } + \frac { \sqrt [ 3 ] { - 2 a ^ { 3 } - 9 a b - 2 7 c + 3 \sqrt { 3 } \sqrt { 4 a ^ { 3 } c - a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 8 a b c - 4 b ^ { 3 } + 2 7 c ^ { 2 } } } } { 6 \sqrt [ 3 ] { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { a ^ { 2 } + 3 b } { 3 \times 2 ^ { 2 / 3 } \sqrt [ 3 ] { - 2 a ^ { 3 } - 9 a b - 2 7 c + 3 \sqrt { 3 } \sqrt { 4 a ^ { 3 } c - a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 8 a b c - 4 b ^ { 3 } + 2 7 c ^ { 2 } } } } , } \\ { \omega } & { = } & { - \frac { \sqrt { 3 } \sqrt [ 3 ] { - 2 a ^ { 3 } - 9 a b - 2 7 c + 3 \sqrt { 3 } \sqrt { 4 a ^ { 3 } c - a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 8 a b c - 4 b ^ { 3 } + 2 7 c ^ { 2 } } } } { 6 \sqrt [ 3 ] { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { \sqrt 3 ( a ^ { 2 } + 3 b ) } { 3 \times 2 ^ { 2 / 3 } \sqrt [ 3 ] { - 2 a ^ { 3 } - 9 a b - 2 7 c + 3 \sqrt { 3 } \sqrt { 4 a ^ { 3 } c - a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 8 a b c - 4 b ^ { 3 } + 2 7 c ^ { 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } } & { { } \frac { \bar { D } } { D t } \left( \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } \right) = - \frac { 1 } { \bar { T } \bar { c } _ { p } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \bar { \mu } _ { i } } { \bar { W } _ { i } } \right) \dot { \omega } _ { i } ^ { \prime } , } \\ { \bar { \rho } } & { { } \frac { \bar { D } Y _ { i } ^ { \prime } } { D t } = { \Dot \omega _ { i } ^ { \prime } } . } \end{array}