harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d I } { d E d \cos { \theta } } } & { = 0 . 1 4 \left[ \frac { E } { G e V } \left( 1 + \frac { 3 . 6 4 ( G e V ) } { E ( \cos \theta ^ { \ast } ) ^ { 1 . 2 9 } } \right) \right] ^ { - 2 . 7 } \left[ \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \theta ^ { \ast } } { 1 1 5 G e V } } + \frac { 0 . 0 5 4 } { 1 + \frac { 1 . 1 E \cos \theta ^ { \ast } } { 8 5 0 G e V } } \right] \; ; } \\ { \cos \theta ^ { \ast } } & { = \sqrt { \frac { ( \cos \theta ) ^ { 2 } + P { _ 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ( \cos \theta ) ^ { P _ { 3 } } + P _ { 4 } ( \cos \theta ) ^ { P _ { 5 } } } { 1 + P { _ 1 } ^ { 2 } + P { _ 2 } + P { _ 4 } } } \; . } \end{array}
{ \widehat { N _ { { \mathbf { k } } _ { i } } } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , . . n _ { { \mathbf { k } } _ { i } } . . . \rangle = n _ { { \mathbf { k } } _ { i } } | n _ { { \mathbf { k } } _ { 1 } } , n _ { { \mathbf { k } } _ { 2 } } , . . n _ { { \mathbf { k } } _ { i } } . . . \rangle
\begin{array} { r } { P _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } : \quad 0 \le n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 5 } + n _ { 6 } + n _ { 7 } + n _ { 8 } \le b \; , } \end{array}
g _ { a \gamma \gamma } = g _ { a \gamma \gamma , \mathrm { ~ D ~ F ~ S ~ Z ~ } } ( 3 0 \mathrm { ~ M ~ H ~ z ~ } ) = 1 . 8 7 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \mathrm { ~ G ~ e ~ V ~ } ^ { - 1 }
k \frac { \partial } { \partial k } U _ { k } ( \Phi ) = - \frac { \Omega _ { d } k ^ { d } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { d } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \left( \frac { - U _ { k } ^ { \prime \prime } ( \Phi ) } { k ^ { 2 } + U _ { k } ^ { \prime \prime } ( \Phi ) } \right) ^ { n } ,
\frac { \partial } { \partial r } \left( e \sp { - u } \right) = \frac { \mp k } { r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { \partial H _ { 3 } } { \partial \theta } - \cot \theta \: H _ { 3 } - H _ { 2 } H _ { 4 } \right] ,
\begin{array} { r l } { x } & { { } = \frac { - \hslash \sqrt { \gamma _ { 1 } } B } { m Z _ { m } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \left( \frac { \sqrt 2 \xi \omega _ { 0 } } { \gamma _ { + } } \big [ \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, c _ { a } \big ] + \right. } \end{array}
x _ { 2 } ^ { 2 } \geq x _ { 1 } ^ { 2 } \frac { B ^ { 2 } - 1 } { A ^ { 2 } - B ^ { 2 } } A - \left( \omega ^ { 2 } M - \frac { \delta } { B ^ { 2 } } \right) \frac { A B ^ { 2 } } { A ^ { 2 } - B ^ { 2 } } ,
w _ { k } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { + , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) - \lambda _ { + } x _ { d } ^ { + } } { \alpha _ { k } \varepsilon _ { k } } \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { + } \cap B _ { 1 } } \\ { w _ { - , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) + \lambda _ { - } x _ { d } ^ { - } } { \beta _ { k } \varepsilon _ { k } } \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { - } \cap B _ { 1 } } \end{array} \right.
q _ { \Sigma / \Delta } = \sqrt { 2 \langle a _ { \Sigma / \Delta } ^ { 2 } \rangle } m D / V _ { 0 } ^ { \mathrm { d } } \sqrt { ( \Omega _ { \Sigma / \Delta } ^ { 2 } - \Omega _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \xi _ { \Sigma / \Delta } ^ { 2 } \Omega _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } ,
{ \hat { A } } ( \bar { x ^ { \prime } } , { \bar { x } } ) = 2 \delta ( \bar { x ^ { \prime } } - { \bar { x } } ) + \lambda ^ { 2 } t r { \Big \{ } \langle \bar { x } | { \hat { B } } [ \sigma _ { 0 } ] ^ { - 1 } | \bar { x ^ { \prime } } \rangle \langle \bar { x ^ { \prime } } | { \hat { B } } [ \sigma _ { 0 } ] ^ { - 1 } | \bar { x } \rangle { \Big \} } \ ,
( T _ { m } \Psi ) ^ { \star } \, \mathbf { H } ( m ) ^ { - 1 } T _ { m } \Psi = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { M ^ { \star } } \end{array} \right) M ^ { - \star } M ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { M } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { I _ { 3 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { 3 } } \end{array} \right) = h _ { m } .
\begin{array} { r l } { p _ { x } } & { = \frac { ( 1 - d ) | e | E _ { 0 } } { 4 c } \left[ \frac { L \cos ( \xi ( k - 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi - k L } - \frac { L \cos ( \xi ( k + 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi + k L } - \frac { 2 \cos ( k \xi ) } { k } \right] _ { \xi ^ { \prime } } ^ { \xi ^ { \prime } - \phi } } \\ { p _ { y } } & { = \frac { ( 1 - d ) | e | E _ { 0 } } { 4 c } \left[ \frac { L \sin ( \xi ( k - 2 \pi / L ) ) } { k L - 2 \pi } + \frac { L \sin ( \xi ( k + 2 \pi / L ) ) } { 2 \pi + k L } + \frac { 2 \sin ( k \xi ) } { k } \right] _ { \xi ^ { \prime } } ^ { \xi ^ { \prime } - \phi } } \\ { \forall \xi \in [ - L / 2 , L / 2 ] , 0 \ \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { N } ( u ) = \frac { \left| 1 + ( - 1 ) ^ { 1 + N } e ^ { i u } + 2 e ^ { i u / ( 2 N ) } \frac { ( - 1 ) ^ { N } e ^ { i u } - 1 } { e ^ { i u / N } + 1 } \right| ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } . } \end{array}
\langle \Psi _ { T } | e ^ { - 2 \Theta H } | \Psi _ { T } \rangle = \langle \Psi _ { T } | \left( e ^ { - \Delta _ { \tau } H _ { 0 } } e ^ { - \Delta _ { \tau } H _ { U } } \right) ^ { L _ { \tau } } | \Psi _ { T } \rangle + \mathcal { O } ( \Delta { \tau } ^ { 2 } ) ,
i \left( \frac { \partial } { \partial z } + \frac { 1 } { V _ { g j } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \hat { E } _ { p j } + K _ { 0 j } \hat { E } _ { p j } - \frac { K _ { 2 j } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \hat { E } _ { p j } = i { \hat { \cal F } } _ { p j } ,
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \operatorname { T r } \left( B _ { t } \cdot \Sigma _ { t } \right) / 2 } \\ & { = \operatorname { T r } \left( B _ { t } \cdot \Sigma _ { t } \right) / 2 , } \end{array}
H _ { \mathrm { p } , 0 } : = - \mu _ { \mathrm { p } , 0 } N _ { 0 } - \gamma \sum _ { x = - l } ^ { l } \left( a _ { x , 0 } ^ { \ast } a _ { x , 1 } + a _ { x , 1 } ^ { \ast } a _ { x , 0 } \right) .
\sum _ { l \geq 0 } \sum _ { \mid m \mid \leq l } \int _ { 1 } ^ { \infty } d \lambda u _ { \lambda , l , m } ( r , \theta , \phi ) \overline { { { u } } } _ { \lambda , l , m } ( r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } ) = \Omega ( k ) \delta ^ { 3 } ( k - k ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ H _ { \mathfrak { c } } \frac { \nu ^ { \prime } \bar { L } } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \exp ( \iota t \nu ^ { \prime } \bar { L } / \vartheta _ { \mathfrak { c } } ) \right] } \\ & { = - [ \psi \big ( \frac { t } { n \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \big ) ] ^ { n - 1 } \left[ \frac { 1 - \mathfrak { c } } { 2 } \frac { \iota t } { \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] + O \left( \frac { | t | } { n ^ { 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { t ^ { 2 } } { n ^ { 3 / 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { | t | h ^ { P } } { h ^ { d + 2 } } \right) \right] } \\ & { \qquad - [ \psi \big ( \frac { t } { n \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \big ) ] ^ { n - 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } + 4 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) + O \left( \frac { | t | } { n } \right) \right] } \\ & { \qquad - [ \psi \big ( \frac { t } { n \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \big ) ] ^ { n - 2 } \left[ \frac { ( \iota t ) ^ { 2 } } { 2 \vartheta _ { \mathfrak { c } } ^ { 3 } n ^ { 2 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } ^ { 3 } + 4 \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) + O \left( \frac { t ^ { 2 } + | t | ^ { 3 } } { n } + \frac { t ^ { 4 } } { n ^ { 3 / 2 } } \right) \right] } \\ & { \qquad - [ \psi \big ( \frac { t } { n \vartheta _ { \mathfrak { c } } } \big ) ] ^ { n - 3 } \left[ O \left( \frac { | t | ^ { 3 } + | t | } { n } + \frac { t ^ { 2 } } { n ^ { 3 / 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { t ^ { 6 } } { n ^ { 3 } h ^ { d + 2 } } + \frac { | t | ^ { 5 } } { n ^ { 5 / 2 } h ^ { d + 2 } } + \frac { t ^ { 4 } + | t | ^ { 3 } } { n ^ { 2 } h ^ { d + 2 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( q , p ) } & { = \frac { \partial ( \widetilde { G } \circ ( \mathrm { i d } \times \varphi ^ { - 1 } ) ) } { \partial I _ { 1 } } ( t , \varphi ( h , j ) ) , } \\ { \phi _ { 2 } ( q , p ) } & { = \frac { \partial ( \widetilde { G } \circ ( \mathrm { i d } \times \varphi ^ { - 1 } ) ) } { \partial I _ { 2 } } ( t , \varphi ( h , j ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i j } = \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta [ \ln ( R \Delta \theta _ { i j } ) - \frac { 1 } { D } \ln ( \mu \kappa _ { i } \kappa _ { j } ) ] } } \equiv \frac { 1 } { 1 + e ^ { A } } . } \end{array}
\mu _ { + } ^ { - 1 } \mu _ { - } = \left( \begin{array} { c c } { { I _ { m _ { 1 } } - \mu _ { + 1 2 } \mu _ { - 2 1 } } } & { { - \mu _ { + 1 2 } } } \\ { { \mu _ { - 2 1 } } } & { { I _ { m _ { 2 } } } } \end{array} \right) .
\frac { 1 } { N _ { \mathrm { C C } } } \frac { d N _ { \mathrm { C C } } } { d T _ { e } } = \frac { \displaystyle \int d E _ { \nu } \lambda ( E _ { \nu } ) \int d T _ { e } ^ { \prime } \frac { d \sigma _ { \mathrm { C C } } } { d T _ { e } ^ { \prime } } R ( T _ { e } ^ { \prime } , \, T _ { e } ) \epsilon _ { \mathrm { C C } } ( T _ { e } ^ { \prime } ) } { \displaystyle \int _ { T _ { \mathrm { m i n } } } d T _ { e } \int d E _ { \nu } \lambda ( E _ { \nu } ) \int d T _ { e } ^ { \prime } \frac { d \sigma _ { \mathrm { C C } } } { d T _ { e } ^ { \prime } } R ( T _ { e } ^ { \prime } , \, T _ { e } ) \epsilon _ { \mathrm { C C } } ( T _ { e } ^ { \prime } ) } \quad ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \psi \frac { \partial C _ { A } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { A } } { \partial x } } & { = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { A } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { A } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \psi \frac { \partial C _ { B } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { B } } { \partial x } } & { = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { B } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { B } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { C _ { A } ( x , 0 ) } & { = 1 , C _ { B } ( x , 0 ) = 0 , } & { x } & { \in [ 0 , 5 ] } \\ { C _ { A } ( 0 , t ) } & { = 1 , C _ { B } ( 0 , t ) = 0 , } & { t } & { \in [ 0 , 1 ] } \\ { \frac { \partial C _ { A } ( 5 , t ) } { \partial x } } & { = \frac { \partial C _ { B } ( 5 , t ) } { \partial x } = 0 , } & { t } & { \in [ 0 , 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ^ { k + 1 } ) + h ( x ^ { k + 1 } ) } & { \leq f ( x ^ { k } ) + \left\langle \nabla f ( x ^ { k } ) , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\rangle + \frac { L } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + h ( x ^ { k + 1 } ) } \\ & { \leq f ( x ^ { k } ) + h ( x ^ { k } ) + \left( \frac { L } { 2 } - \frac { 1 } { 2 t _ { k } } \right) \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
? E ? = F _ { 4 } \oplus \left( \begin{array} { c c c } { { a } } & { { { \bf O } _ { + } } } & { { { \bf O } _ { v } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf O } _ { + } ^ { \dagger } } } & { { b } } & { { { \bf O } _ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf O } _ { v } ^ { \dagger } } } & { { { \bf O } _ { - } ^ { \dagger } } } & { { - a - b } } \end{array} \right) \oplus \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { { \bf O } _ { + } } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf O } _ { + } ^ { \dagger } } } & { { 0 } } & { { { \bf O } _ { - } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { { \bf O } _ { - } ^ { \dagger } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { { \cal H } _ { K e p } = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \left( \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { 2 m _ { j } ^ { \prime } } - \frac { \mu _ { j } m _ { j } ^ { \prime } } { r _ { j } ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { | t | \le \frac { 1 } { \log R } } \mathbb E [ \prod _ { p \in \mathcal { P } _ { 1 } \cup \mathcal { P } _ { 3 } } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } } } | ^ { - 2 } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t } } | ^ { - 2 } ] } \\ { \times \mathbb E [ \mathbf { 1 } _ { L ( 0 ) } \mathbf { 1 } _ { L ( t ) } \prod _ { p \in \mathcal { P } _ { 2 } } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } } } | ^ { - 2 } | 1 - \frac { f ( p ) } { p ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 V } { \log x } + i t } } | ^ { - 2 } ] d t . } \end{array}
| \omega _ { p } ^ { \prime } | < \left( \frac { 8 } { 2 7 } \right) ^ { 1 / 2 } \epsilon _ { \omega } \left( 1 + \frac { 2 \epsilon _ { 3 } } { \epsilon _ { \omega } } \right) ^ { 1 / 2 } \eta _ { 0 } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { t } \ast g } & { = ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast \mathbb { E } _ { k _ { j } } g ) } \\ & { \quad + \, ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast \mathbb { E } _ { k _ { j } } g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho c _ { j } } g ) + \, ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho c _ { j } } g - \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g ) } \\ & { \quad + \, ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g - P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g ) + P _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } g . } \end{array}
\mathcal { M } _ { 0 } ( r , t ) \sim \frac { \sqrt { 1 - t } } { \pi } - \frac { ( 1 - t ) } { 2 \pi } - \frac { \sqrt { 2 ( 1 - t ) } } { \pi } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) \sqrt { 1 - r } - \frac { ( 1 - t ) } { \pi } ( 1 - r ) + O ( ( 1 - r ) ^ { 3 / 2 } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( f ) ( \xi ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f ( x ) e ^ { - i \langle x , \xi \rangle } d x } \\ { f ( x ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { F } ( f ) ( \xi ) e ^ { i \langle x , \xi \rangle } d \xi } \\ { \mathcal { F } ( \mu ) ( \xi ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } f ( x ) e ^ { - i \langle x , \xi \rangle } \mu ( d x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( \mathbf { A } ) = \frac { e ^ { - \alpha L ^ { + } ( \mathbf { A } ) - \beta L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } ) ^ { L } } \equiv \frac { x ^ { L ^ { + } ( \mathbf { A } ) } y ^ { L ^ { - } ( \mathbf { A } ) } } { ( x + y ) ^ { L } } \equiv ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \alpha } } & { { } = x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } } \\ { \partial ^ { \alpha } } & { { } = { \frac { \partial ^ { | \alpha | } } { \partial x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots \partial x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { V } ^ { \mathrm { ( a c ) } } ( t ) } & { \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \tau _ { A } ^ { - 1 / 2 } } { { \tau } ^ { 3 / 2 } } \frac { \sigma ^ { 5 / 2 } } { l _ { p } ^ { 1 / 2 } } \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \times \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { t / \tau _ { A } } } - D _ { + } \left( \sqrt { t / \tau _ { A } } \right) \right) } \\ & { \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } { ( \sigma \mathcal { Y } ) } ^ { 2 } \tau _ { A } ^ { - 2 } } \\ & { \qquad \qquad \times \left\{ \begin{array} { l r } { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } & { \tau _ { 0 } \ll t \ll \tau _ { A } } \\ { \Bigl ( - \frac { 1 } { 4 } \Bigr ) \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { - 3 / 2 } , } & { \tau _ { A } \ll t \ll \tau _ { R } } \end{array} \right. } \end{array}
f _ { a b b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) = a \, \delta _ { a b } n _ { b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + b \, \delta _ { a b _ { 1 } } n _ { b } ( { \pmb x } ) + c \, n _ { a b b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + d \, \delta _ { b b _ { 1 } } n _ { a 1 } ( { \pmb x } )
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } : \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \oplus \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \longrightarrow \textup { O } ( 4 , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { g i v e n ~ b y ~ } } & { \varphi _ { 1 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { 1 } , \varphi _ { 1 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { a } } \\ & { \varphi _ { 2 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { a } , \varphi _ { 2 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal N } \left( u , z \right) } & { { } = } & { z ^ { x _ { 0 } } \left( \overline { { \alpha } } - z \right) + \overline { { \alpha } } \left( 1 - z \right) u \phi _ { \beta } \left( z \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) = : a \left( z \right) + b \left( z \right) \Phi _ { x _ { 0 } } \left( u , \overline { { \alpha } } \right) } \\ { { \cal D } \left( u , z \right) } & { { } = } & { : c \left( z \right) - d \left( z \right) u \sim \left( z - z \left( u \right) \right) \left[ c ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) - d ^ { \prime } \left( z \left( u \right) \right) u \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 2 } { \mu \gamma } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { \mu \gamma } { 2 } ) ( 1 - \mu \gamma ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 2 } { \mu \gamma } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \frac { 2 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int { d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R + \frac { 1 } { 6 { m _ { 0 } } ^ { 2 } } R ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 { m _ { 2 } } ^ { 2 } } C ^ { 2 } \right] } ,
d s ^ { 2 } = r ^ { 2 } \Bigl \{ \frac { 1 } { z ^ { 2 } } ( d z ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } d x _ { i } ^ { 2 } ) + d \alpha ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \alpha \ d \Omega _ { ( 4 ) } \Bigr \} \, .
\begin{array} { r } { x _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } = \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } \right\rVert _ { \infty } , \qquad \epsilon _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } = \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { B } ( 1 ) \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \right\rVert _ { \infty } , \qquad z _ { T } ^ { ( \operatorname* { m a x } ) } = \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { y } _ { k + 1 } - H _ { k + 1 } = \mathbf { x } _ { k + 1 } - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } - { D } _ { k + 1 } - H _ { k } - \alpha \mathcal { C } \left( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right) } \\ & { = \mathbf { x } _ { k } - \eta _ { k } G _ { k } - { D } _ { k + 1 } - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } - { D } _ { k + 1 } - H _ { k } - \alpha \mathcal { C } \left( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right) } \\ & { = \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } + { D } _ { k } - 2 { D } _ { k + 1 } - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } - \alpha E _ { k } - \alpha ( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } ) } \\ & { = ( 1 - \alpha ) ( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } ) - \alpha E _ { k } - 2 \left( I - \tilde { W } \right) E _ { k } - 2 \left( I - \tilde { W } \right) \mathbf { y } _ { k } - \tilde { V } \hat { \mathbf { s } } _ { k } + \eta _ { k } \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \eta _ { k + 1 } G _ { k + 1 } } \\ & { = ( 1 - \alpha ) ( \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } ) - \alpha E _ { k } - 2 \left( I - \tilde { W } \right) E _ { k } + \mathcal { A } _ { 2 } , } \end{array}
u _ { 1 } ^ { ( g v K P ) } = \frac { 1 2 e ^ { - \frac { t } { 1 0 } + x + \sqrt { 3 } y + \frac { 4 0 } { 1 0 1 } e ^ { - t / 1 0 } [ 1 0 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) + \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( t ) ] } } { ( 1 + e ^ { x + \sqrt { 3 } y + \frac { 4 0 } { 1 0 1 } e ^ { - t / 1 0 } [ 1 0 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) + \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( t ) ] } ) ^ { 2 } } .
{ \left[ \begin{array} { l } { \gamma _ { 1 } } \\ { \gamma _ { 2 } } \\ { \gamma _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \gamma _ { p } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma _ { 0 } } & { \gamma _ { - 1 } } & { \gamma _ { - 2 } } & { \cdots } \\ { \gamma _ { 1 } } & { \gamma _ { 0 } } & { \gamma _ { - 1 } } & { \cdots } \\ { \gamma _ { 2 } } & { \gamma _ { 1 } } & { \gamma _ { 0 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \gamma _ { p - 1 } } & { \gamma _ { p - 2 } } & { \gamma _ { p - 3 } } & { \cdots } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varphi _ { 1 } } \\ { \varphi _ { 2 } } \\ { \varphi _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \varphi _ { p } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \alpha , \rho } ^ { \{ I \} } } & { = \{ z ^ { \{ I \} } \in \mathbb { C } ^ { - } : | R ( z ^ { \{ F \} } , 0 , z ^ { \{ I \} } ) | \le 1 , \ \forall z ^ { \{ F \} } \in \mathcal { S } _ { \alpha , \rho } ^ { \{ F \} } \} , } \\ { \mathcal { J } _ { \alpha , \rho } ^ { \{ E \} } } & { = \{ z ^ { \{ E \} } \in \mathbb { C } ^ { - } : | R ( z ^ { \{ F \} } , z ^ { \{ E \} } , 0 ) | \le 1 , \ \forall z ^ { \{ F \} } \in \mathcal { S } _ { \alpha , \rho } ^ { \{ F \} } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \varepsilon } } & { : = \frac { 1 } { \varepsilon } \left( ( I + \varepsilon \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } ) ( I + \varepsilon \nabla v _ { \varepsilon } ) ^ { - 1 } - I \right) } \\ & { = ( \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } - \nabla v _ { \varepsilon } ) - \varepsilon \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } \nabla v _ { \varepsilon } + \varepsilon ( I + \varepsilon \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } ) ( \nabla v _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } ( I + \varepsilon \nabla v _ { \varepsilon } ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } - \nabla v _ { \varepsilon } ) - \varepsilon \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } \nabla v _ { \varepsilon } + M _ { \varepsilon } + \varepsilon \nabla \widetilde { u } _ { \varepsilon } M _ { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } I ( t _ { e n d } < t _ { e } ) d t \bigg ) } \\ { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { { } \approx \delta S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ( 1 - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) ( t _ { e } - t _ { e n d } ) \bigg ) } \end{array}