harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { a } _ { \mathrm { t o t , S M M } } ^ { \mathrm { J } } } & { { } = a _ { 1 } ^ { \mathrm { J } } \frac { 1 + r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { b } } \beta _ { 1 } } } { 1 - r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } r _ { 1 1 , \mathrm { t o p } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { t o t a l } } \beta _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { z } ( 0 ) = C _ { \mathrm { L } } \langle 0 | \mathrm { L } \rangle + C _ { \mathrm { R } } \langle 0 | \mathrm { R } \rangle = \left( \begin{array} { c } { C _ { \mathrm { L } } } \\ { C _ { \mathrm { R } } } \end{array} \right) . } \end{array}
A _ { C h P } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } \, a _ { 2 } \, V _ { c b } ^ { * } V _ { c s } \, \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, T ( q ) \, \int \frac { d \vec { n } } { 4 \pi } \, e ^ { - i q \cdot x _ { 0 } } \, = \, { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } a _ { 2 } \, V _ { c b } ^ { * } V _ { c s } \, \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, T ( q ) \, \theta ( \mu , \, | \vec { q } | ) \ ,
\delta ( \alpha x ) = \operatorname* { l i m } _ { a \to 0 } { \frac { 1 } { | a | { \sqrt { \pi } } } } e ^ { - ( \alpha x / a ) ^ { 2 } } \qquad { \mathrm { s i n c e ~ } } a { \mathrm { ~ i s ~ a ~ d u m m y ~ v a r i a b l e , ~ w e ~ s e t ~ } } a = \alpha b
\mathbf { A A 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { ( 1 + 2 \lambda + \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } & { 0 } & { 0 } \\ { - ( \lambda + \alpha ) } & { ( 1 + 2 \lambda + \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - ( \lambda + \alpha ) } & { ( 1 + 2 \lambda + \beta ) } & { - ( \lambda - \alpha ) } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 \lambda } & { ( 1 + 2 \lambda + \beta ) } \end{array} \right] }
e _ { i } e _ { j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 } & { i = j , \, i \in ( 1 , \ldots , p ) } \\ { - 1 } & { i = j , \, i \in ( p + 1 , \ldots , n ) } \\ { - e _ { j } e _ { i } } & { i \neq j . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) } & { { } = \langle 0 | \hat { L } _ { 2 } ( \kappa ) \hat { \mu } _ { \alpha } \hat { S } _ { 3 } ^ { - } \hat { R } _ { 1 } ( \lambda ) | 0 \rangle = \sum _ { a i } D _ { a i } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) \mu _ { a i ; \alpha } } \\ { D _ { a i } ^ { \kappa \lambda } ( \mathrm { c T } ) } & { { } = \langle 0 | \hat { L } _ { 2 } ( \kappa ) \{ a _ { a } ^ { \dagger } a _ { i } \} \hat { S } _ { 3 } ^ { - } \hat { R } _ { 1 } ( \lambda ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 1 } = \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \operatorname* { m a x } } } f _ { \omega } ( \theta ) \cos ^ { 3 / 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta e ^ { i k z \cos \theta } J _ { 1 } ( k \rho \sin \theta ) d \theta } \\ & { I _ { 1 0 } = \int _ { 0 } ^ { \theta _ { m a x } } f _ { \omega } ( \theta ) \cos ^ { 1 / 2 } \theta \sin ^ { 3 } \theta e ^ { i k z \cos \theta } J _ { 0 } ( k \rho \sin \theta ) d \theta } \\ & { I _ { 1 2 } = \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \operatorname* { m a x } } } f _ { \omega } ( \theta ) \cos ^ { 1 / 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta e ^ { i k z \cos \theta } J _ { 1 } ( k \rho \sin \theta ) d \theta } \end{array}
n _ { i \beta } ( \textbf { r } ) = \sum _ { j } g _ { \nu } ( \textbf { r } - \mathbf { R } _ { j } ) \Theta ( r _ { c } - | \textbf { R } _ { j } - \mathbf { R } _ { i } | ) + g _ { \zeta } ( \textbf { r } - x \hat { \textbf { r } } _ { \beta } r _ { c } ) .
\begin{array} { r } { C _ { \mathbf q , q _ { z } , k _ { z } } = \frac { \omega _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { X } } { c } \sqrt { \frac { 2 \pi \hbar v } { L } } ( q ^ { 2 } + q _ { z } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \mathbf e _ { \mathbf q , q _ { z } } \cdot \mathbf d _ { \mathbf q , q _ { z } } ^ { c v } ) \psi _ { X } ( \mathbf r = 0 ) I _ { k _ { z } , q _ { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ g ( \Omega ) , \, g ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right] } & { = 2 \pi \, \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) , } \\ { \left\langle g ( \Omega ) \, g ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { = 2 \pi \left( n _ { T } + 1 \right) \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) , } \\ { n _ { T } } & { = \frac { 1 } { e ^ { \hslash \Omega / k _ { B } T } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r } & { { } = } & { \mathrm { R e } \left\{ { I _ { \mathrm { H M F } } ( \lambda , r , \psi ) } \right\} \equiv I _ { r } ( \lambda , r , \psi ) , } \\ { 0 } & { { } = } & { \mathrm { I m } \left\{ { I _ { \mathrm { H M F } } ( \lambda , r , \psi ) } \right\} \equiv I _ { \psi } ( \lambda , r , \psi ) . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { c o n f } } = \int _ { x } \Big \{ \frac { 1 } { 4 Z _ { \! A } } ( Z _ { \! A } f _ { \mu \nu } + Y \tilde { B } _ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac { Z _ { \! B } } { 4 } ( \partial _ { \rho } \tilde { B } _ { \mu \nu } ) ^ { 2 } \Big \} .
f ( \bar { \beta } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! d x \, \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \beta } ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \left[ \exp \left( \sqrt { \bar { \beta } ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \right) - 1 \right] } .
\Lambda _ { \mathrm { p o s } } ^ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { c o s } \left( \left( 1 + \frac { n } { 2 } \right) x \frac { \pi } { l _ { 0 } } \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } n } \\ { \mathrm { s i n } \left( \left( 1 + \frac { n - 1 } { 2 } \right) x \frac { \pi } { l _ { 0 } } \right) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ o ~ d ~ d ~ } n , } \end{array} \right.
W _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] : = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] | \hat { V } _ { e e } | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } [ n ] \rangle - U _ { \mathrm { ~ H ~ } } [ n ] .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v ~ \partial _ { x } f + E ~ \partial _ { v } f } & { { } = \nu _ { e e } ~ \partial _ { v } ( v f + v _ { 0 } ^ { 2 } ~ \partial _ { v } f ) , } \\ { \partial _ { x } E } & { { } = Z n _ { i } - n _ { e } , } \end{array}
\mathrm { i } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \chi _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { d y n } } } ^ { A _ { 2 } | F | ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { k i n } } } ^ { A _ { 2 } | F | ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { d } r ,
\begin{array} { r l } { N _ { m } } & { = \frac { D _ { m } } { T _ { m } } \bigg [ \omega _ { C } \omega _ { A } ^ { 2 } \left( \frac { k k _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \right) \left( - ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } + \omega _ { \eta } ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \omega _ { \eta } \lambda _ { m } ^ { P } \right) } \\ & { + \omega _ { A } ^ { 2 } \frac { k _ { z } k _ { y } } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } } \left( - \mathrm { i } ( \lambda ^ { P } ) ^ { 3 } - 2 \omega _ { \eta } ( \lambda _ { m } ^ { P } ) ^ { 2 } + \mathrm { i } ( \omega _ { \eta } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) \lambda _ { m } ^ { P } + \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { \eta } \right) \bigg ] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin x } & { = { \frac { 2 \sin { \frac { x } { 2 } } \, \cos { \frac { x } { 2 } } } { \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 2 \tan { \frac { x } { 2 } } } { 1 + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } , } \\ { \cos x } & { = { \frac { \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } - \sin ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } { \cos ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 1 - \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } { 1 + \tan ^ { 2 } { \frac { x } { 2 } } } } = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\left( \partial _ { \tilde { t } _ { i } } \partial _ { \tilde { t } _ { j } } - \sum _ { k = 1 } ^ { r } { C _ { i j } } ^ { k } ( \tilde { t } ) \partial _ { \tilde { t } _ { k } } \partial _ { \tilde { t } _ { r } } \right) \Pi = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Hat { u } ( x , t _ { k + 1 } ) } & { { } = \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) 1 _ { \{ t _ { k } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = i \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ H , \tilde { A } _ { j } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \\ { \mathcal { H } _ { j k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = - \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ [ H , \tilde { A } _ { j } ] , \tilde { A } _ { k } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \\ { \mathcal { T } _ { j k l } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = - i \langle \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) | [ [ [ H , \tilde { A } _ { j } ] , \tilde { A } _ { k } ] , \tilde { A } _ { l } ] | \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf u } ( { \mathbf x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathbf u } ^ { + } ( { \mathbf x } ) \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } { \mathbf x } \in B ^ { + } , } \\ { { \mathbf u } ^ { - } ( { \mathbf x } ) \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } { \mathbf x } \in B ^ { - } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigcup _ { ( x ^ { \prime } , b ) \in \mathrm { O b } E ( F ) } E ( F ) ( ( x , a ) , ( x ^ { \prime } , b ) ) } & { = \{ ( f , \xi ) \mid f \in X ( x , x ^ { \prime } ) , \xi \in F x ^ { \prime } ( F f a , b ) \} } \\ & { = \bigcup _ { x ^ { \prime } \in \mathrm { O b } X } \bigcup _ { b \in \mathrm { O b } F x ^ { \prime } } \bigcup _ { f \in X ( x , x ^ { \prime } ) } \ast ( \deg f ) \times F x ^ { \prime } ( F f a , b ) } \\ & { = \bigcup _ { x ^ { \prime } \in \mathrm { O b } X } \bigcup _ { f \in X ( x , x ^ { \prime } ) } \left( \ast ( \deg f ) \times \bigcup _ { b \in \mathrm { O b } F x ^ { \prime } } F x ^ { \prime } ( F f a , b ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 9 } } & { = } & { \exp \left\{ - \frac { 2 \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) + \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) + \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] . } \end{array}
E = \int \mathrm { d } \boldsymbol { p } \, \varepsilon ( \boldsymbol { p } ) \langle f \rangle ( \boldsymbol { p } ) = \frac { a + 1 } { \beta } \int _ { \eta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \eta _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { d } \eta \, \rho ( \eta ) .
\operatorname { E } \left[ g ( X _ { 1 } , \dots , X _ { d } ) \right] = \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { d } } g ( F _ { 1 } ^ { - 1 } ( u _ { 1 } ) , \dots , F _ { d } ^ { - 1 } ( u _ { d } ) ) \, \mathrm { d } C ( u _ { 1 } , \dots , u _ { d } ) .
\operatorname* { l i m } _ { x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \rightarrow + \infty } F _ { X _ { 1 } \ldots X _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = 1 { \mathrm { ~ a n d ~ } } \operatorname* { l i m } _ { x _ { i } \rightarrow - \infty } F _ { X _ { 1 } \ldots X _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = 0 , { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } i .
E _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { F } _ { 0 } ( \mathcal { D } ^ { i } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ \in ~ \mathrm { ~ Q ~ M ~ } ~ } , } \\ { \mathcal { F } _ { 0 } ( \mathcal { D } ^ { i } ) - \mathcal { F } _ { 0 } ( \mathbf { 0 } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ \in ~ \mathrm { ~ M ~ M ~ } ~ } , } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = j _ { i , e x } , \quad i = 1 \cdots , N , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega , } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega . } \end{array} \right.
Q _ { C } = i \int d ^ { 3 } x \left[ \overline { { { c } } } ^ { a } \left( x \right) \nabla _ { 0 } c ^ { a } \left( x \right) + g \overline { { { c } } } ^ { a } \left( x \right) f ^ { a b c } A _ { 0 } ^ { b } \left( x \right) c ^ { c } \left( x \right) \right] ,
\begin{array} { r } { p _ { 0 } = - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \left( \rho _ { 0 } y _ { 3 } \cos \theta + \rho _ { 0 } y _ { 1 } \sin \theta - \Gamma _ { 0 } y _ { 1 } y _ { 3 } \cos \theta \sin \theta - \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } y _ { 3 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta - \frac { \Gamma _ { 0 } } { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \right) . } \end{array}
- \Gamma _ { T } ^ { [ 0 , 0 ] } ( k ^ { 2 } , \Lambda ^ { 2 } ) = k ^ { 2 } + \zeta _ { 0 , 1 } \Lambda ^ { 2 } \qquad ( \zeta _ { 0 , 1 } \, \, \mathrm { { r e a l \, \, a n d } } \, > 0 )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) \xi _ { k } ^ { + } \right| ^ { 2 } \right\} = \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \left| \frac { 1 } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) ( \xi _ { k } ^ { + } ) ^ { \ell } ( \xi _ { k } ^ { + } ) ^ { 1 - \ell } \right| ^ { 2 } \right\} } \\ & { \leq R ^ { 2 - 2 \ell } \mathbb { E } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq \tilde { T } } \frac { 1 } { \tilde { T } ^ { 2 } h ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \gamma _ { h } ( x _ { j } , x _ { k } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } ( \xi _ { k } ^ { + } ) ^ { 2 \ell } \right\} \leq R ^ { 2 - 2 \ell } \mathbb { E } \left[ \frac { C _ { 1 } } { \tilde { T } h } \sum _ { k = 1 } ^ { \tilde { T } } \xi _ { k } ^ { 2 \ell } \right] } \\ & { \lesssim h ^ { - 1 } R ^ { 2 - 2 \ell } \log ^ { 4 \ell } ( m ) [ m ^ { - 2 \ell } + \{ T ^ { - 1 } + T ^ { - 1 } \log ( p ) p ^ { 1 - \beta } \} ^ { 2 \ell } ] . } \end{array}
d ( \phi _ { i } , \phi _ { j } ) = \lVert { \bf A } _ { k } ( \phi _ { i } - \phi _ { j } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \approx \lVert { S } ( \phi _ { i } ) - { S } ( \phi _ { j } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } u } & { { } = \widehat { n } \left[ \partial _ { \sigma } \left( \frac { \partial _ { \sigma } ( | J | u _ { \sigma } ) + \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } u _ { \bot } ) } { | J | } \right) - \frac { \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } J ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ( J u _ { \bot } ) - \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } ) } { | J | } \right] } \end{array}
g _ { * } ^ { 2 } = \frac { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { - b _ { ( 1 ) } } \frac { \epsilon } { 2 } \left( 1 + \frac { b _ { ( 2 ) } } { b _ { ( 1 ) } ^ { 2 } } \frac { \epsilon } { 2 } \right) + { \cal O } ( \epsilon ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \Tilde { \varepsilon } , \varepsilon _ { 2 } } } & { { } = \frac { \Tilde { \varepsilon } - \varepsilon _ { 2 } } { \Tilde { \varepsilon } + \varepsilon _ { 2 } } , } \\ { \delta _ { \Tilde { \varepsilon } , \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } & { { } = \frac { \Tilde { \varepsilon } - \varepsilon _ { 2 } \xi } { \Tilde { \varepsilon } + \varepsilon _ { 2 } \xi } , \qquad \xi = \frac { e ^ { 2 k R } - \delta _ { \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } { e ^ { 2 k R } + \delta _ { \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { } & & { \frac { \lambda \Delta t } { 2 \Delta x ^ { 2 } } \left\lbrace \left[ \alpha ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) \frac { q ( x _ { { i } + 2 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) } { \Delta x } - \alpha ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \frac { q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) } { \Delta x } \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \left[ \alpha ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \frac { q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) } { \Delta x } - \alpha ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) \frac { q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } - 2 } , t ^ { n } ) } { \Delta x } \right] \right\rbrace } \\ & { = } & & { \frac { \lambda \Delta t } { 2 \Delta x ^ { 3 } } \left\lbrace \alpha ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) \left[ \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 3 } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \frac { 7 } { 6 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 4 } ) \right] - \alpha ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \left[ \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right. \right. \right. } \\ & { } & & { \left. \left. 2 \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 1 } { 3 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 4 } ) ) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \alpha ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) \left[ \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x - \frac { 3 } { 2 } \partial ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \frac { 7 } { 6 } \partial ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 4 } ) \right] \right. \right. } \\ & { = } & & { \frac { \lambda \Delta t } { 2 \Delta x ^ { 3 } } \left[ \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \alpha ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + 3 \partial _ { x } \alpha _ { i } ^ { n } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } \right. } \\ & { } & { + } & { \left. 2 \alpha _ { i } ^ { n } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 4 } \right) \right] } \\ & { = } & & { \frac { \lambda \Delta t } { 2 } \left[ \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left( \alpha ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right) + \partial _ { x } \left( \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right) \right] } \\ & { } & { + } & { \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \sigma } } & { = } & { p ^ { \rho - 1 } \sigma \left( 1 + ( p - 1 ) \frac { 1 + 2 \nu - \sigma } { 2 } \right) - \frac { p ^ { \rho + \sigma - \mu } } { p - 1 } \mathrm { ~ a n d } } \\ { A } & { = } & { \frac { 3 p ^ { \rho - 1 } - 2 } { p - 1 } + p ^ { \rho - 1 } \frac { 6 - \rho + 2 \nu \rho - \rho ^ { 2 } + p ( \rho ^ { 2 } + 2 \nu - 3 \rho - 2 \nu \rho + 2 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 1 } } & { = \frac { 2 \pi c \tau _ { \mathrm { L } } } { \lambda _ { \mathrm { L } } } } \\ { \Pi _ { 2 } } & { = \frac { 2 \pi \mathrm { F W H M } } { \lambda _ { \mathrm { L } } } } \\ { \Pi _ { 3 } } & { = \frac { Z _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } e ^ { 2 } n _ { O } \lambda _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } 4 \pi ^ { 2 } m _ { O } c ^ { 2 } } } \\ { \Pi _ { 4 } } & { = \left( \frac { E _ { \mathrm { L } } \lambda _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } \sin \left( \Theta _ { \mathrm { L } } \right) } { \tau _ { \mathrm { L } } \pi \mathrm { F W H M } ^ { 2 } \cdot 1 . 3 7 \times 1 0 ^ { 1 8 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
- \boldsymbol { \nabla } _ { s } \Pi + \eta _ { s } ^ { 0 } \nabla _ { s } ^ { 2 } \mathbf { u } + \frac { \eta _ { s } ^ { 0 } } { \Pi _ { c } } \boldsymbol { \nabla } _ { s } \boldsymbol { \cdot } ( \Pi \mathbf { S } ) + \mathbf { F } _ { p } [ c ( \mathbf { x } ) - n ] = \mathbf { 0 } ,
\epsilon _ { i j } = \varepsilon _ { L } ( k ) { \frac { k _ { i } k _ { j } } { { \bf k } ^ { 2 } } } + \varepsilon _ { T } ( k ) ( \delta _ { i j } - { \frac { k _ { i } k _ { j } } { { \bf k } ^ { 2 } } } ) .
{ \cal F } _ { a b } ( \tau / z ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \delta ( 1 - \tau / ( z x _ { 1 } x _ { 2 } ) ) { \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } } { \frac { d x _ { 2 } } { x _ { 2 } } } F _ { a / h _ { 1 } } ( x _ { 1 } , Q ^ { 2 } ) F _ { b / h _ { 2 } } ( x _ { 2 } , Q ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \underbrace { \left[ \frac { C _ { p } H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \langle \rho u _ { z } T \rangle _ { A , t } } _ { = J _ { c } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \int _ { 0 } ^ { z } \Big \langle u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } d z ^ { \prime } } _ { = J _ { p } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \Big \langle \frac { d T _ { \mathrm { s a } } } { d z } \Big \rangle _ { A , t } } _ { = J _ { d } ( z ) } \underbrace { - \left[ \frac { H } { k \epsilon T _ { \mathrm { b o t } } } \right] \int _ { 0 } ^ { z } \langle \sigma _ { i j } S _ { i j } \rangle _ { A , t } d z ^ { \prime } } _ { = J _ { \langle \epsilon \rangle } ( z ) } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \omega \omega ^ { \prime } } ^ { - 1 } } & { \equiv \frac { 1 } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \, e ^ { - i \omega \tau } G ^ { - 1 } ( \tau ) e ^ { i \omega ^ { \prime } \tau } } \\ & { = \frac { 1 } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \, e ^ { - i \omega \tau } \left[ \begin{array} { l l } { i \omega ^ { \prime } + \lambda } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - i \omega ^ { \prime } + \lambda } \end{array} \right] e ^ { i \omega ^ { \prime } \tau } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { i \omega + \lambda } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - i \omega + \lambda } \end{array} \right] \delta _ { \omega \omega ^ { \prime } } \equiv \mathcal { G } _ { \omega } ^ { - 1 } \delta _ { \omega \omega ^ { \prime } } } \end{array}