harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\beta = - \pi \frac { E _ { 0 } ^ { 3 } } { 2 ^ { 2 } } \sum _ { \ell } z _ { b \epsilon } ^ { \ell } z _ { \epsilon \neq b } ^ { \ell } = - \sum _ { \ell } \sigma _ { \ell } \sqrt { \gamma _ { b } ^ { \ell } \gamma _ { a } ^ { \ell } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } & { = \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) + \int _ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \boldsymbol { v } \, \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } { \omega - \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { v } } \, f _ { i 0 } ( \boldsymbol { v } ) } \\ & { = n _ { i } + n _ { i } \, [ \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) - 1 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \mathcal X _ { t + r } , \mathscr X _ { t + r , p } ) = } & { { } ~ \| \mathcal D ( \boldsymbol z _ { t + r } ) - \mathcal P ( \mathcal X _ { t + r } ) \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { { } ~ \| \mathcal D _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( \boldsymbol h _ { t + r } ) - \mathscr X _ { t + r , p } \| _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } } \\ { + } & { { } ~ \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( \mathcal N ( \boldsymbol \mu _ { t + r } , \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \boldsymbol \sigma _ { t + r } ) ) | \mathcal N ( \boldsymbol 0 , \boldsymbol I ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \Sigma } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } } & { { } = \d _ { t } \left( S - \frac { E } { T _ { B } } \right) - \frac { 1 } { T _ { B } } \int _ { \partial \Omega ( t ) } \d \mathbf { n } \cdot p _ { B } \mathbf { v } _ { B } \geq 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } P _ { \mathrm { l o s s } } \left( U _ { \eta } = r _ { 2 } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { l o s s } } \rightarrow \infty } \frac { \exp \left( - \beta _ { \mathrm { l o s s } } r _ { 2 } \right) } { Z _ { \mathrm { l o s s } } } , } \\ & { = \frac { 1 } { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert - Z _ { \eta } \left( M \right) } , } \end{array}
j ^ { \mu \nu } = \frac 1 2 \frac 1 { \sqrt { g _ { x } } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } T _ { \lambda \rho } = \frac 1 2 \frac 1 { \sqrt { g _ { x } } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } ( \partial _ { \lambda } A _ { \rho } - \partial _ { \rho } A _ { \lambda } ) .
+ \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { \frac { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } & { - 2 } \\ { \frac { ( 1 - v ^ { 3 } ) ( 1 - w ^ { 3 } ) ( 1 - x ^ { 3 } ) ( 1 - y ^ { 3 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { \frac { ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } { ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! }
{ \! { \bf { W } } _ { { \! \mathrm { Z F } } } ^ { 1 } } \! = \! \frac { { \! { { \bf { H } } _ { \! \mathrm { { c o m } } } ^ { 1 } } { { \left( { ( \! { { \bf { H } } _ { \! \mathrm { { c o m } } } ^ { 1 } } \! ) ^ { \! H } { \! { \bf { H } } _ { \! { \mathrm { c o m } } } ^ { 1 } } } \right) } ^ { \! - 1 } } { \! { \bf { P } } ^ { \! \frac { 1 } { 2 } } } } } { { { { \left\| \! { { \bf { H } } _ { \! \mathrm { { c o m } } } ^ { 1 } } { { \left( { ( \! { { \bf { H } } _ { \! { \mathrm { c o m } } } ^ { 1 } } \! ) ^ { \! H } { \! { \bf { H } } _ { \! \mathrm { { c o m } } } ^ { 1 } } } \right) } ^ { \! - 1 } } \! \right\| } ^ { 2 } } } } \! = \! \left[ { \! { \boldsymbol { w } } _ { \! { \mathrm { Z F } } , 1 } ^ { 1 } } , { \! { \boldsymbol { w } } _ { \! \mathrm { { Z F } } , 2 } ^ { 1 } } , \! \cdots \! , { \! { \boldsymbol { w } } _ { \! { \mathrm { Z F } } , \! K } ^ { 1 } } \! \right] ,
\begin{array} { r l r } { x \oplus y } & { { } = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) + f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \ominus y } & { { } = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) - f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \otimes y } & { { } = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) f ^ { - 1 } ( y ) ) , } \\ { x \oslash y } & { { } = } & { f ( f ^ { - 1 } ( x ) / f ^ { - 1 } ( y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { 2 \overline { { u v } } _ { o } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { d \overline { { u v } } _ { o 1 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { \overline { { u v } } _ { o 2 } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 1 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { d \overline { { u v } } _ { 0 2 } } { d y _ { o } } ( y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } ) } \\ { - R e _ { * } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 3 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 3 } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) } \\ { - 2 \frac { u _ { * } ^ { 3 } } { U _ { e } ^ { 3 } } \overline { { u v } } _ { o 4 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) + \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) } \\ { - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { 2 U _ { o } \overline { { u v _ { o } } } } { k \frac { U _ { o } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } y _ { o } ( - 1 + \frac { 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) + ( \frac { u _ { * } } { u _ { e } } ) ^ { 2 } U _ { o _ { 1 } } \frac { - 2 \overline { { u v } } _ { o 2 } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } } \\ { - \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } U _ { o 1 } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - 1 + \frac { - 1 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } ) + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial y _ { o } } } \\ { = - \overline { { \Big ( u \frac { \partial p } { \partial y } + v \frac { \partial p } { \partial x } \Big ) } } _ { o } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } \frac { \partial U _ { o } } { \partial y _ { o } } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } ^ { 2 } } } \end{array}
\mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } ( h y p o t h e s i s | d a t a , I ) \propto \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } ( d a t a | h y p o t h e s i s , I ) \times \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ b ~ } ( h y p o t h e s i s | I ) .
{ \frac { 1 } { 2 } } K _ { i j k } + J _ { j , i k } = \operatorname { E } { \bigg [ } \; { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 3 } \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) } { \partial \theta _ { i } \, \partial \theta _ { j } \, \partial \theta _ { k } } } + { \frac { \partial \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) } { \partial \theta _ { j } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \ln f _ { \theta _ { 0 } } ( X _ { t } ) } { \partial \theta _ { i } \, \partial \theta _ { k } } } \; { \bigg ] } .
\chi _ { \alpha \beta } ( x , y ; P ) = \langle 0 | T \psi _ { \alpha } ( x ) { \bar { \psi } } _ { \beta } ( y ) | P \rangle = \exp [ i e r ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { e x t } ( R ) ] \tilde { \chi } _ { \alpha \beta } ( R , r ; P ) .
\begin{array} { r l r } { E ( { \bf k } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle \hat { \bf u } _ { k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } ^ { * } + \hat { \bf b } _ { k } \cdot \hat { \bf b } _ { k } ^ { * } \right\rangle = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } \left\langle k _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } \left( \vert \hat { \phi } _ { k } ^ { u } \vert ^ { 2 } + \vert \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \vert ^ { 2 } \right) + k ^ { 2 } \vert \hat { \xi } _ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \rho _ { 0 } \left\langle \vert A _ { k } ^ { + } \vert ^ { 2 } + \vert A _ { k } ^ { - } \vert ^ { 2 } \right\rangle \, . } \end{array}
v _ { r } ^ { f } ( r , \theta , \omega , t ) = \varphi _ { 0 } k \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( 2 n + 1 \right) i ^ { n } \left( A _ { n } h _ { n } ^ { ( 1 ) ^ { \prime } } ( k r ) + j _ { n } ( k r ) ^ { ' } \right) P _ { n } ( \cos \theta ) e ^ { - i \omega t }
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { \lambda \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) } = S _ { z , z } \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) = \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega , \boldsymbol { \theta } \right) .
\begin{array} { c c } { \mathbf { d } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } + L _ { e _ { 0 } } { \boldsymbol { * } } \boldsymbol { B } ^ { \flat } = 0 } & { \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \boldsymbol { B } ^ { \flat } = 0 } \\ { { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } = \frac { k } { \alpha } \rho } & { - L _ { e _ { 0 } } \frac { \boldsymbol { E } ^ { \flat } } { \alpha } + { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } \boldsymbol { B } ^ { \flat } = \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J ^ { \flat } } } { c } } \end{array}
P = { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { q ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } = { \frac { q ^ { 2 } a ^ { 2 } } { 6 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l } { \left. { \frac { \partial H ^ { \prime } } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } } & { { } = \left. { \frac { \partial } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } ( { \dot { x } } _ { i } p _ { i } ^ { \prime } - L ^ { \prime } ) = - \left. { \frac { \partial L ^ { \prime } } { \partial { x _ { i } } } } \right| _ { p _ { i } ^ { \prime } } } \end{array}
c _ { 4 } ( \mu , m ) = 6 \left( \displaystyle \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( m ) } \right) ^ { - { \frac { 8 } { 2 5 } } } - 5 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ c _ { 5 } ( \mu , m ) = 2 \left( \displaystyle \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( m ) } \right) ^ { - { \frac { 9 } { 2 5 } } } - 1 .
\begin{array} { r } { \tilde { u } _ { i } ^ { \pm } = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle \tilde { b } ^ { \pm } | g | \tilde { b } ^ { \pm } \rangle | \tilde { i } ^ { \pm } \rangle - \langle \tilde { b } ^ { \pm } | g | \tilde { i } ^ { \pm } \rangle | \tilde { b } ^ { \pm } \rangle \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta u } & { { } = \left( \Delta u _ { s } - \frac { 2 \mathcal { A } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { \sigma } - \frac { 2 \mathcal { B } } { h _ { s } } \nabla _ { s } u _ { \theta } + \left( - \mathcal { A } ^ { 2 } - \mathcal { B } ^ { 2 } \right) u _ { s } - \frac { \nabla _ { s } \mathcal { A } } { h _ { s } } u _ { \sigma } - \frac { \nabla _ { s } \mathcal { B } } { h _ { s } } u _ { \theta } \right) \widehat { t } _ { s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { a } } } r \sin \theta \, \cos \varphi , } \\ { y } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { b } } } r \sin \theta \, \sin \varphi , } \\ { z } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { c } } } r \cos \theta , } \\ { r ^ { 2 } } & { { } = a x ^ { 2 } + b y ^ { 2 } + c z ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \tilde { \Omega } ) ) } } & { \lesssim \| p - \tilde { p } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { 1 } ( \Omega ) ) } + \| \tilde { p } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 } ) ) } } \\ & { \lesssim \| p \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( \varepsilon , T ; L ^ { 1 } ( \Omega ) ) } + \| \tilde { p } \| _ { L ^ { \frac { q } { 2 } } ( I ; L ^ { \frac { r } { 2 } } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - u _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq - \beta _ { t + 1 } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \beta _ { t + 1 } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \beta _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { = - c _ { 1 } \eta _ { t } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + 2 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } / c _ { 1 } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + c _ { 1 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \leq - 1 0 \eta _ { t } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } } { 5 } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \frac { m \eta _ { t } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } , } \end{array}
H ^ { \mu } = \langle \pi ^ { - } ( p _ { 1 } ) \pi ^ { 0 } ( p _ { 2 } ) | V ^ { \mu } - A ^ { \mu } | 0 \rangle = \sqrt { 2 } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { \mu } F _ { V } \left( Q ^ { 2 } \right)
\langle \hat { A } ( t ) \rangle = \frac { \textrm { T r } [ \hat { U } ( - i \beta , 0 ) \hat { U } ^ { \dagger } ( 0 , t ) \hat { A } \hat { U } ( t , 0 ) ] } { \textrm { T r } [ \hat { U } ( - i \beta , 0 ) ] }
\begin{array} { r l } { \frac { q _ { \parallel , t } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } & { { } = e x p \left( \int _ { u } ^ { t } \frac { S _ { p w r } } { q _ { \parallel } } d s \right) \equiv } \\ { ~ } & { { } \equiv 1 - f _ { c o o l i n g } } \\ { \frac { p _ { t o t , t } } { p _ { t o t , u } } } & { { } = e x p \left( \int _ { u } ^ { t } \left[ \frac { S _ { m o m } } { p _ { t o t } } - \frac { \kappa } { R } \partial _ { s } ( R ) \right] d s \right) \equiv } \\ { ~ } & { { } \equiv 1 - f _ { m o m - l o s s } } \end{array}
{ \cal A } _ { n + 1 } ( x ) = \frac { 1 } { n } { \cal D } { \cal A } _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { n ! } { \cal D } ^ { n + 1 } \ln { \cal A } _ { 0 } ( x ) \; \; \, m b o x { w i t h } \ \ \ { \cal A } _ { 0 } ( x ) = \frac { x - 1 } { x \ln x } \,
\begin{array} { r l } { \widetilde { g } _ { i i } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 2 } , t ) } & { { } = \int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 3 } \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, \widetilde { g } _ { i i } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } , t = 0 ) \widetilde { U } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 3 } , t ) \widetilde { U } ( - \boldsymbol { k } , \boldsymbol { v } _ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { 4 } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( n + 1 - i , i ) } } & { = a _ { k , i } ^ { ( n + 1 ) } ; } \\ { \left( \widehat { Q } _ { n + 1 , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - k , k ) , ( s , i ) } } & { = \sum _ { w = 2 } ^ { n + 1 } a _ { k , w } ^ { ( n + 1 ) } \gamma w \left( \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n + 1 - w , w - 1 ) , ( s , i ) } . } \end{array}
x _ { e } ^ { b } : = \kappa _ { e } ^ { - 1 } S x _ { o } \, , \quad p _ { e } ^ { b } : = \kappa _ { e } S p _ { o } \, , \quad x _ { e } ^ { c } : = T y _ { o } \, , \quad p _ { e } ^ { c } : = \bar { R } q _ { o } \, .
\begin{array} { r l } & { \vec { \boldsymbol { \xi } } _ { i } ( { \bf q } ) = \vec { \boldsymbol { \Phi } } ( { \bf p } _ { i } ) + { \bf G } _ { i } ^ { T } ( { \bf q } - { \bf p } _ { i } ) } \\ & { \qquad \implies \vec { \boldsymbol { \xi } } ( { \bf q } ) = \frac { \sum _ { i } \frac { \lambda _ { i } ( { \bf q } ) } { | | { \bf q } - { \bf p } _ { i } | | } \, \vec { \bf \xi } _ { i } ( { \bf q } ) } { \frac { \lambda _ { i } ( { \bf q } ) } { | | { \bf q } - { \bf p } _ { i } | | } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \textbf { k } } \left[ S ^ { \mu } ( \mathbf { k } , t , s ) - \omega t \right] = \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) - \Delta \textbf { D } ( \textbf { k } , t , s ) = \textbf { 0 } , } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { F } } ^ { \prime } = F \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } \left( \frac { 1 } { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t - \theta \right) } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t + \theta \right) } \right) + c . c .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \lambda } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } & { = \frac { \partial } { \partial \lambda } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } } \\ & { = \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } k \frac { \lambda ^ { k - 1 } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } - \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) ^ { 2 } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } j \frac { \lambda ^ { j - 1 } } { ( j ! ) ^ { \nu } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \lambda Z ^ { 2 } ( \lambda , \nu ) } \left( \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } k \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } } + \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } j \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 } { \lambda } \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda ^ { k } } { ( k ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } j \frac { \lambda ^ { j } } { ( j ! ) ^ { \nu } Z ( \lambda , \nu ) } } \\ & { \leq \frac { 2 } { \lambda } \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] \operatorname { E } | X _ { i , t } | . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \partial ^ { \mu } C _ { n \mu } ^ { F } = 0 , } } & { { \quad \partial _ { \mu } b _ { n } ^ { F \mu } = 0 , } } & { { \quad \partial _ { \mu } \bar { C } _ { n } ^ { F \mu } = 0 , } } \\ { { \partial ^ { \mu } C _ { n \mu } ^ { B } = 0 , } } & { { \quad \partial _ { \mu } b _ { n } ^ { B \mu } = 0 , } } & { { \quad \partial _ { \mu } \bar { C } _ { n } ^ { B \mu } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ( z , f ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } e ^ { \Gamma ^ { ( k ) } ( z , f ) } } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { d } z ^ { \prime } \int \mathrm { d } f ^ { \prime } g _ { R } ( f , f ^ { \prime } ) \mathcal { L } _ { 0 } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \prod _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \left( \Gamma ^ { ( k ) } ( z ^ { \prime } , f ^ { \prime } ) \right) ^ { n } \: , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { P _ { t } ^ { 1 } P _ { t } ^ { 3 } P _ { 2 t } ^ { 2 } P _ { t } ^ { 3 } P _ { t } ^ { 1 } V } } \\ & { \leq } & { P _ { t } ^ { 1 } P _ { t } ^ { 3 } P _ { 2 t } ^ { 2 } P _ { t } ^ { 3 } \left( e ^ { \kappa W } \left( ( 1 + t \kappa \theta ) \varphi ( \theta ) + t \varepsilon \| \varphi ^ { \prime } \| _ { \infty } + t ^ { 2 } C \right) \right) + t C } \\ & { \leq } & { P _ { t } ^ { 1 } P _ { t } ^ { 3 } P _ { 2 t } ^ { 2 } \left( e ^ { \kappa W } \left( ( 1 + t \kappa \theta ) \varphi ( \theta ) + \lambda _ { r } t ( A - \varphi ( \theta ) ) + t \varepsilon \| \varphi ^ { \prime } \| _ { \infty } + t ^ { 2 } C \right) \right) + t C } \\ & { : = } & { P _ { t } ^ { 1 } P _ { t } ^ { 3 } P _ { 2 t } ^ { 2 } \left( e ^ { \kappa W } \Psi ( \theta ) \right) + t C \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } y } } \left( \mu _ { 0 } { \frac { \mathrm { d } U } { y } } \right) + R a ( \Theta _ { 0 } + N \Phi _ { 0 } ) } & { { } = } & { R e { \frac { \mathrm { d } P } { \mathrm { d } x } } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Theta _ { 0 } } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } } } & { { } = } & { U , } \\ { { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Phi _ { 0 } } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } } } & { { } = } & { U , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } \right\rVert _ { \infty } > \eta _ { T } \right) = } & { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq p \leq N } \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left\lvert \left[ \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \right] _ { p , \cdot } \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } \right\rvert > \eta _ { T } \right) } \\ { = } & { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq p \leq N } \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left\lvert \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { B } _ { k } \right) L ^ { j } \right] _ { p , \cdot } \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } \right\rvert > \eta _ { T } \right) } \\ { = } & { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq p \leq N } \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left\lvert \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { b } _ { p , k } \right) \boldsymbol { \epsilon } _ { - j } \right\rvert > \eta _ { T } \right) , } \end{array}
\mathbf { D } = { \sin { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } + \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \cos { \frac { \beta } { 2 } } \mathbf { A } + \sin { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \alpha } { 2 } } \mathbf { B } \times \mathbf { A } }
\begin{array} { r l r l r } & { } & { Z _ { i j } } & { = z _ { i j } ^ { - 1 / 2 } w _ { i j } ^ { - 3 / 2 } = z _ { i j } r _ { i j } ^ { - 3 } = w _ { i j } ^ { - 1 } r _ { i j } ^ { - 1 } = W _ { i j } ^ { 1 / 3 } w _ { i j } ^ { - 4 / 3 } } & \\ & { } & { W _ { i j } } & { = w _ { i j } ^ { - 1 / 2 } z _ { i j } ^ { - 3 / 2 } = w _ { i j } r _ { i j } ^ { - 3 } = z _ { i j } ^ { - 1 } r _ { i j } ^ { - 1 } = Z _ { i j } ^ { 1 / 3 } z _ { i j } ^ { - 4 / 3 } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { u } ^ { 1 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 1 } u _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 } u _ { 2 \ } ^ { \ 1 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 1 } \frac { \tilde { u _ { 1 } } } { 4 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 1 } u _ { 2 \ } ^ { \ 1 } } \\ & { \tilde { u } ^ { 2 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 2 } u _ { 2 \ } ^ { \ 2 } = w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \frac { \tilde { u _ { 1 } } } { 4 } + w _ { 2 \ } ^ { \ 2 } u _ { 2 \ } ^ { \ 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ ( 1 - t ) A + t ( A ^ { 1 / 2 } B A ^ { 1 / 2 } ) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 2 } } & { \leq } & { A } \\ { ( 1 - t ) A + t ( A ^ { 1 / 2 } B A ^ { 1 / 2 } ) ^ { 1 / 2 } } & { \leq } & { A ^ { 1 / 2 } } \\ { ( 1 - t ) A + t A ^ { 1 / 2 } C A ^ { 1 / 2 } } & { \leq } & { A ^ { 1 / 2 } } \\ { ( 1 - t ) I + t C } & { \leq } & { A ^ { - 1 / 2 } } \\ { C } & { \leq } & { \frac { 1 } { t } A ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { t } \right) I . } \end{array}
h _ { 2 } ( 0 ) = h _ { 2 } ( L _ { x } ) = \frac { d ^ { 3 } h _ { 2 } } { d x ^ { 3 } } ( 0 ) = \frac { d ^ { 3 } h _ { 2 } } { d x ^ { 3 } } ( L _ { x } ) = 0 .