harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 0 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + \int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 1 - \delta } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau _ { n } ) ^ { - 2 - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] .
+ \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } \mid \varphi \mid ^ { 2 } } \{ ( \partial _ { \nu } \Lambda ^ { \nu \mu } ) + \frac { e } { 2 } ( \varphi ^ { \dagger } \partial _ { \mu } \varphi - \partial _ { \mu } \varphi ^ { \dagger } \varphi ) \} ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mid \partial _ { \mu } \varphi \mid ^ { 2 } .
{ \cal V } ^ { H } ( \mathrm { \bf r } _ { 1 } , \mathrm { \bf r } _ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ { \cal V } ( \mathrm { \bf r } _ { 1 } , \mathrm { \bf r } _ { 2 } ) + { \cal V } ^ { \dag } ( \mathrm { \bf r } _ { 1 } , \mathrm { \bf r } _ { 2 } ) \right\} . \nonumber
J _ { 4 } = \left[ \left( { \frac { Q _ { R } ^ { 2 } - Q _ { L } ^ { 2 } } { 4 } } \right) \left( { \frac { P _ { R } ^ { 2 } - P _ { L } ^ { 2 } } { 4 } } \right) - \left( { \frac { \beta ^ { 2 } P _ { R } ^ { 2 } } { 4 } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { ( \pounds _ { v } \xi ) \, \lrcorner \, \mu } & { = \pounds _ { v } \, \omega _ { \xi } } \\ & { = \mathrm { d } \bigl ( s _ { v } \, \alpha _ { v } + ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \, v ^ { \flat } \bigr ) } \\ & { = \mathrm { d } s _ { v } \wedge \alpha _ { v } + s _ { v } \, \mathrm { d } \alpha _ { v } + \mathrm { d } ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \wedge v ^ { \flat } + ( \pounds _ { v } \log s _ { v } ) \, v ^ { \flat } \wedge \alpha _ { v } \ . } \end{array}
H _ { n m } ^ { \{ { \bf R } \} } ( 0 , 0 ) = \frac { \mu _ { n m } ! | n - m | ! ( - 1 ) ^ { \frac { m + n } 2 } } { 2 ^ { \frac { | m - n | } 2 } \left( \frac { | m - n | } 2 \right) ! } \left[ R _ { 1 1 } ^ { n } R _ { 2 2 } ^ { m } \left( r ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \mu _ { m n } } \right] ^ { \frac 1 2 } C _ { \mu _ { m n } } ^ { \frac { | m - n | + 1 } 2 } \left( \frac r { \sqrt { r ^ { 2 } - 1 } } \right) .
\frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 7 ~ 0 ~ 0 ~ } } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ p ~ } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ , ~ 5 ~ 1 ~ 5 ~ } } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \Delta \tau } & { = } & { K _ { \tau g } \left[ e ^ { - \gamma _ { g } \left( T _ { 0 } - \Delta \tau \right) } - e ^ { - \gamma _ { g } \Delta \tau } \right] } \\ & { + } & { K _ { \tau q } \left[ e ^ { - \gamma _ { q } \left( T _ { 0 } - \Delta \tau \right) } - e ^ { - \gamma _ { q } \Delta \tau } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 2 } } & { = } & { - t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \mathrm { ~ } b } \\ & { } & { \exp \left\{ - \frac { 2 \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \end{array}
\frac { J _ { c } } { m _ { c } } = - M \left( \nabla \mu _ { c } - \frac { m _ { c } } { m _ { a } } \nabla \mu _ { a } - \kappa \nabla \mu _ { v } + \left( z _ { c } - \frac { m _ { c } } { m _ { a } } z _ { a } \right) \nabla \phi \right) .
T ( m ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { e ^ { J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { - i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { ( - 1 ) ^ { m } e ^ { - J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { i \varepsilon - J _ { 1 } } } } \\ { { e ^ { i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { e ^ { J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { - i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { ( - 1 ) ^ { m } e ^ { - J + J _ { 1 } } } } \\ { { ( - 1 ) ^ { m } e ^ { - J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { e ^ { J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { - i \varepsilon - J _ { 1 } } } } \\ { { e ^ { - i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { ( - 1 ) ^ { m } e ^ { - J + J _ { 1 } } } } & { { e ^ { i \varepsilon - J _ { 1 } } } } & { { e ^ { J + J _ { 1 } } } } \end{array} \right)
\Big ( 1 - { \frac { l _ { 0 } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \Big ) { \frac { d l _ { 0 } } { l _ { 0 } } } d ( l _ { \perp } ^ { 2 } ) = { \frac { d x } { x } } d ( l _ { \perp } ^ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 7 } ( x , t ) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 4 k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - \exp ( - ( C \sigma _ { j } + \frac { k } { \xi } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } - \frac { k } { \xi } ) ( C \sigma _ { j } + \frac { k } { \xi } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { Y } } _ { m } ^ { \ell } ( \overline { { \upsilon } } , i ) } & { = \frac { 1 } { \Delta \varphi } \int \displaylimits _ { \varphi _ { i } - 0 . 5 \Delta \varphi } ^ { \varphi _ { i } + 0 . 5 \Delta \varphi } \hat { Y } _ { m } ^ { \ell } ( C ( \tau , \upsilon _ { 3 } , \upsilon _ { 4 } ) ) d \tau . } \end{array}
\rho _ { f i } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \rho _ { f i } ^ { ( n ) } \, , \quad \rho _ { f i } ^ { ( n ) } = \frac { q _ { L } ^ { n } } { n ! } \biggl ( \frac { d ^ { n } } { d q _ { L } ^ { n } } \rho _ { f i } \biggl ) \biggl \vert _ { q _ { L } = 0 } \, ,
s = \frac { 3 b \sqrt { \varphi } t ( y ) } { 2 F } , ~ ~ y = d \frac { { \sqrt F } } { \varphi } , ~ ~ a = \frac { { { e ^ { 3 } } } } { { 1 6 { \pi ^ { 2 } } \hbar } } , ~ ~ b = \frac { { 4 \sqrt { 2 m } } } { { 3 \hbar e } } ,
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \delta L ^ { \prime } \mathrm { d } t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { C } \lambda _ { i } { \frac { \partial f _ { i } } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } \right) \cdot \delta \mathbf { r } _ { k } \, \mathrm { d } t = 0 \, .
\sigma _ { i } ( \eta ) = \frac { 2 G _ { F } ^ { 2 } } { 3 \pi } \frac { m _ { \nu _ { \tau } } ^ { 2 } \sqrt { \eta } } { 1 - \eta } ( b _ { L i } ^ { 2 } + b _ { R i } ^ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] \le } & { \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q } } { C } + \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \left\lceil \frac { \log _ { 2 } \left( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } \right) } { C _ { 2 } } \right\rceil + 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \left( \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \, , } \end{array}
e ^ { \textstyle - J \alpha _ { - } \Phi ( \sigma , \tau ) } = c _ { J } a ( \varpi ) \sum _ { m = - J } ^ { J } \, ( - 1 ) ^ { J - m } \, { \frac { \lambda _ { m } ^ { ( J ) } ( \varpi ) } { \lfloor \varpi + 2 m \rfloor } } \psi _ { m } ^ { ( J ) } ( \sigma ) \, { \overline { { \psi } } _ { m } ^ { ( J ) } } ( \sigma ) \bigr / a ( \varpi ) ,
{ \begin{array} { l l l } { Z _ { k } } & { = } & { \left[ X _ { k } \left( Y _ { k } + Y _ { N - k } \right) + X _ { N - k } \left( Y _ { k } - Y _ { N - k } \right) \right] / 2 } \\ { Z _ { N - k } } & { = } & { \left[ X _ { N - k } \left( Y _ { k } + Y _ { N - k } \right) - X _ { k } \left( Y _ { k } - Y _ { N - k } \right) \right] / 2 } \end{array} }
f _ { \overline { { i } } } ( \mathbf { x _ { b } } , t + \Delta t ) = - f _ { i } ^ { * } ( \mathbf { x _ { b } } , t ) + 2 w _ { i } \rho _ { w } \left[ 1 + \frac { ( \mathbf { c _ { i } } \cdot \mathbf { u _ { w } } ) ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \mathbf { u _ { w } } \cdot \mathbf { u _ { w } } } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial t } = d _ { S _ { j } } \Delta S _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \in \Omega } \left( \frac { L _ { j k } \bar { S } _ { k } } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } S _ { j } \right) , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial S _ { j } } { \partial \nu } = 0 , } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \sum _ { j \in \Omega } \int _ { \Omega _ { j } } S _ { j } ( x , 0 ) = N . } & \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | E _ { 1 } ( t , n ) | } & { \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | H | \left| e ^ { - \frac { Z } { 2 } } - e ^ { - \frac { Z _ { t } } { 2 } } \right| \right] \le \frac { \| H \| _ { \infty } } { 2 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | Z - Z _ { t } | \right] , } \\ { | E _ { 2 } ( t , n ) | } & { \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | H - H _ { t } | \left| e ^ { i \frac { W _ { n } } { v ( n ) } } - e ^ { - \frac { Z } { 2 } } \right| \right] \le 2 { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | H - H _ { t } | \right] . } \end{array}
\bar { \tau } _ { k } | \bar { g } _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } | \leq \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} + 1 } { \kappa _ { l } } \cdot \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \frac { \bar { \tau } _ { k } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } { 4 } \epsilon _ { g } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { 0 = \{ F , C \} } & { = - \int _ { \Omega } \frac { \delta F } { \delta \omega } \nabla \cdot \left( q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } - q \nabla \frac { \delta C } { \delta D } + r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \\ & { \quad + \frac { \delta F } { \delta D } \nabla \cdot \left( q \nabla \frac { \delta C } { \delta \omega } + q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta D } + \nabla \frac { \delta C } { \delta \eta } + r \nabla \frac { \delta C } { \delta b } \right) } \\ & { \quad - \frac { \delta F } { \delta \eta } \nabla \cdot \left( \nabla \frac { \delta C } { \delta D } \right) } \\ & { \quad + \frac { \delta F } { \delta b } \nabla \cdot \left( r \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta \omega } - r \nabla \frac { \delta C } { \delta D } \right) \, d \mu \, . } \end{array}
u _ { 1 , 2 } ( x , t ) = \left[ U _ { 1 , 2 } ( x ) + a _ { 1 , 2 } ( x ) e ^ { \lambda t } + b _ { 1 , 2 } ^ { \ast } ( x ) e ^ { \lambda ^ { \ast } t } \right] e ^ { i k t } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } ( z ^ { * } ) = } & { \frac { 2 } { T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } t \Big [ \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { \eta ^ { t } } { 2 } \| f ^ { \prime } ( z ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } ^ { t , e } \| ^ { 2 } } \\ & { + \big ( \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } - \frac { \alpha } { 2 } ) \| z ^ { * } - z ^ { t , e } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta ^ { t } } \| z ^ { * } - z ^ { t , e + 1 } \| ^ { 2 } + \langle \tilde { \xi } ^ { t , e } , z ^ { * } - z ^ { t , e } \rangle \Big \} \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert A f \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } } } & { \lesssim \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \Vert \eta _ { r s } \Vert _ { L ^ { \infty } ( G ) } \Vert \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } } } \\ & { \lesssim \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \Vert \eta _ { r s } \Vert _ { L ^ { \infty } ( G ) } \sqrt { d } _ { \eta } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , \cdot ) \Vert _ { L ^ { 1 } ( G , \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) ) } } \\ & { = \Vert { \sigma } _ { N } ( x , \cdot ) \Vert _ { L ^ { 1 } ( G , \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) ) } \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \sqrt { d } _ { \eta } \sum _ { r , s = 1 } ^ { d _ { \eta } } \Vert \eta _ { r s } \Vert _ { L ^ { \infty } ( G ) } } \\ & { \leq \Vert { \sigma } _ { N } ( x , \cdot ) \Vert _ { L ^ { 1 } ( G , \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) ) } \sum _ { [ \eta ] \in \widehat { G } } \langle \eta \rangle ^ { - N } \sqrt { d } _ { \eta } d _ { \eta } \sqrt { d } _ { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \pi _ { 3 } ) _ { \bar { j } - \bar { m } , \bar { j } + \bar { m } } ^ { j _ { 1 } + m _ { 1 } , j _ { 1 } - m _ { 1 } ; j _ { 2 } + m _ { 2 } , j _ { 2 } - m _ { 2 } } : = \frac { ( - 1 ) ^ { \bar { j } + \bar { m } } N ( j _ { 1 } , m _ { 1 } ) N ( j _ { 2 } , m _ { 2 } ) } { N ( \bar { j } , \bar { m } ) N ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 , m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } ) } } \\ & { \times \sum _ { i } \tilde { \lambda } _ { j _ { 2 } , \bar { j } , i } \lambda _ { j _ { 2 } - 1 , \bar { j } + 1 , i } ^ { - 1 } h _ { j _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } } \Pi _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , \bar { j } ; i } C _ { m _ { 2 } , \bar { m } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } C _ { m _ { 2 } + \bar { m } , m _ { 1 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } + \bar { j } - i , j _ { 1 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } - \bar { j } - 3 } . } \end{array}
K \sim \frac { \tau _ { 3 } } { 2 } L ^ { 2 } \frac { 3 } { 2 ^ { 5 / 3 } } \left( \frac { u ^ { 2 } { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 4 / 3 } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } g _ { Y M } ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 ^ { 5 / 3 } } \left( \frac { { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } ( u ^ { 2 } ) ^ { 4 / 3 } \ ,
\begin{array} { r l r l r } { \partial _ { t } \rho _ { i } + \nabla \cdot q _ { i } ( \rho ) } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \Omega , } \\ { q _ { i } \cdot n } & { = q _ { i } ^ { 0 } \cdot n } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { \rho _ { i } ( 0 ) } & { = \rho _ { i } ^ { 0 } } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } & \end{array}
\cos { \left( \Big ( k _ { 1 } + \frac { 2 } { p } k _ { 1 } + k _ { 2 } \Big ) \, \gamma - k _ { 3 } \varphi _ { 1 } + \Big ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } \Big ) \, \varphi _ { 2 } \right) } \ .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ P ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } ^ { 1 / 2 } N _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } , \quad \mathrm { ~ P ~ 2 ~ M ~ , ~ L ~ 2 ~ P ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } N _ { \mathrm { t } } , \quad \mathrm { ~ M ~ 2 ~ M ~ , ~ M ~ 2 ~ L ~ , ~ L ~ 2 ~ L ~ } \sim N _ { \mathrm { s } } ^ { 3 / 2 } } \end{array}
S ( k , \omega ) = \frac { D _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 H ^ { 2 } } \left( \delta ( k + k _ { 0 } ) \delta ( \omega - \omega _ { 0 } ) + \delta ( k - k _ { 0 } ) \delta ( \omega + \omega _ { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { 2 \Delta \eta } & { = \nabla \cdot \nabla \operatorname { t a n h } ( k d ) = \nabla \cdot \big ( k \operatorname { t a n h } ^ { \prime } ( k d ) \nabla d \big ) } \\ & { = k \, \nabla \operatorname { t a n h } ^ { \prime } ( k d ) \cdot \nabla d + k \operatorname { t a n h } ^ { \prime } ( k d ) \Delta d } \\ & { = k ^ { 2 } \operatorname { t a n h } ^ { \prime \prime } ( k d ) \nabla d \cdot \nabla d + k \operatorname { t a n h } ^ { \prime } ( k d ) \Delta d , } \end{array}
K _ { w } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \cdots , t _ { l } ) = \prod _ { j = 1 } ^ { l } \Gamma ( - \beta _ { j } ) ^ { - 1 } \times \{ \exp ( - t _ { l } F _ { m _ { l } } ) \cdots \exp ( - t _ { 1 } F _ { m _ { 1 } } ) \prod _ { j = 1 } ^ { l } t _ { j } ^ { - \beta _ { j } - 1 } 1 \} ,
S ^ { c } = \frac { e ^ { i \frac { \pi } { 4 } } } { 2 ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d e _ { 0 } \left( \operatorname * { d e t } \frac { \sinh \frac { g e _ { 0 } F } { 2 } } { g F } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { i I [ x _ { c l } , e _ { 0 } ] } \Phi [ x _ { c l } , e _ { 0 } ] ,
X = { \left( \begin{array} { l l } { \xi _ { 4 } + \xi _ { 3 } } & { \xi _ { 1 } + i \xi _ { 2 } } \\ { \xi _ { 1 } - i \xi _ { 2 } } & { \xi _ { 4 } - \xi _ { 3 } } \end{array} \right) } \qquad \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { 4 } \in \mathbb { R } .
\begin{array} { r l } { v _ { x , a v e } = \frac { 1 } { h } \int _ { 0 } ^ { h } v _ { x } \, d z = } & { \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { h ^ { 2 } } { 6 } - \frac { h \zeta } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \xi \bigg ) + \left( \epsilon ^ { 2 } C _ { l } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \sigma } { \partial x } ( \frac { h } { 2 } - \xi ) } \\ & { + H \frac { \partial b _ { 2 } } { \partial t } - H ^ { 2 } \frac { \partial b _ { 1 } } { \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pi _ { 0 , 1 } ^ { \top } } & { { } = } & { [ 0 . 0 0 8 , 0 . 4 9 3 , 0 , 0 . 4 9 3 , 0 . 0 0 7 ] } \\ { \pi _ { 0 , 2 } ^ { \top } } & { { } = } & { [ 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . \bar { 3 } , 0 , 0 . \bar { 3 } , 0 . 1 \bar { 6 } ] } \\ { \pi _ { 0 , 3 } ^ { \top } } & { { } = } & { [ 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . 0 8 \bar { 3 } , 0 . 2 5 , 0 . 1 \bar { 6 } , 0 . \bar { 3 } ] } \\ { \pi _ { 0 , 4 } ^ { \top } } & { { } = } & { [ 0 . 2 8 4 , 0 . 0 7 2 , 0 . 2 1 5 , 0 . 1 4 3 , 0 . 2 8 7 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } ( \eta , \sigma ) } & { { } \simeq \frac { \eta \Lambda ( \eta , \sigma ) } { \ln 2 } , } \\ { \Lambda ( \eta , \sigma ) } & { { } : = 1 - \int _ { 0 } ^ { + \infty } d x ~ \exp \left( - \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } x ^ { 2 / \gamma } - x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { q } } & { { } = \frac { K ^ { 2 } } { K _ { q } ^ { \prime } } , K _ { p } = K \frac { K _ { p } ^ { \prime } } { K _ { q } ^ { \prime } } , } \\ { \theta _ { q } \rightarrow \theta _ { k } , } & { { } \theta _ { k } \rightarrow \theta _ { q ^ { \prime } } , \theta _ { p } = \theta _ { p ^ { \prime } } , } \end{array}
\centering W _ { x y / y x } = < E _ { x / y } ^ { * } E _ { y / x } > = \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } + 1 + 2 \sqrt { \frac { q ^ { 2 } + 1 } { \epsilon ^ { 2 } + 1 } } \eta _ { x y / y x } \cos { \psi _ { x / y } }
M _ { f } = \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 0 } } & { x { \cdot } \Phi ( a _ { r - 1 } ) } & { \cdots } & { x { \cdot } \Phi ^ { r - 1 } ( a _ { 1 } ) } \\ { a _ { 1 } } & { \Phi ( a _ { 0 } ) } & { \cdots } & { x { \cdot } \Phi ^ { r - 1 } ( a _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { a _ { r - 2 } } & { \Phi ( a _ { r - 3 } ) } & { \cdots } & { x { \cdot } \Phi ^ { r - 1 } ( a _ { r - 1 } ) } \\ { a _ { r - 1 } } & { \Phi ( a _ { r - 2 } ) } & { \cdots } & { \Phi ^ { r - 1 } ( a _ { 0 } ) } \end{array} \right) .
{ { \tilde { S _ { \beta } } } } \left( \boldsymbol { \kappa } \right) = \iint { \Gamma \left( { \bf { r } } _ { 1 } , { \bf { r } } _ { 2 } \right) { { { \mathrm O } } _ { \beta } } \left( { \bf { r } } _ { 1 } \right) { \mathrm O } _ { \beta } ^ { * } \left( { \bf { r } } _ { 2 } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \left( { \bf { r } } _ { 1 } - { \bf { r } } _ { 2 } \right) \cdot \boldsymbol { \kappa } \right] { { d } ^ { 2 } } { { \bf { r } } _ { 1 } } { { d } ^ { 2 } } { { \bf { r } } _ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } & { | a _ { 0 } | ^ { 4 } - \left( \beta + 3 | a _ { 0 } | ^ { 2 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 } \\ { \Leftrightarrow \, } & { \frac { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 4 } } { 1 6 } - \left( \beta - \frac { 1 } { 4 } f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 } \\ { \Leftrightarrow \, } & { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } = \frac { 2 + 2 \left( \beta + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \beta + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { d x } { d t } } \right) = { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { d x } { d t } } \right) { \frac { d x } { d t } } = { \frac { d } { d x } } \left( \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 1 } \right) \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 1 } = } \end{array}
\begin{array} { r } { \stackrel { \nabla } { \boldsymbol { \tau } } \equiv \frac { \partial \boldsymbol { \tau } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \nabla \boldsymbol { \tau } - ( \nabla \boldsymbol { u } ) ^ { T } \cdot \boldsymbol { \tau } - \boldsymbol { \tau } \cdot \nabla \boldsymbol { u } } \end{array}
\partial _ { \hat { t } } f _ { k } ( t ; \hat { t } ) = i \omega _ { k } ( \hat { t } ) f _ { k } ( t ; \hat { t } ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \dot { \omega } _ { k } ( \hat { t } ) } { \omega _ { k } ( \hat { t } ) } f _ { k } ^ { * } ( t ; \hat { t } ) .
\begin{array} { r l } { { 1 } x _ { 3 } } & { { } = - 3 x _ { 1 } + 5 x _ { 2 } } \\ { x _ { 5 } } & { { } = 2 x _ { 1 } - x _ { 2 } + 7 x _ { 4 } } \\ { x _ { 6 } } & { { } = 4 x _ { 2 } - 9 x _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| \nabla f ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f ( w _ { k / n } ) \| } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { k / n } ) \| ^ { \alpha } \! + \! K _ { 2 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \\ & { \overset { ( i i i ) } { = } \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Big ( \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) + \frac { 1 } { n } \cdot \frac { K _ { 2 } } { n ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \Big ) } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| \Big ( \frac { K _ { 2 } } { n ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } h \Big ( \frac { k } { n } \Big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } } & { { } = ( 1 - j ) \epsilon - \alpha , } \\ { Q _ { j } } & { { } = j ( 1 - j ) + j ( \epsilon - \gamma - \delta ) , } \\ { R _ { j } } & { { } = ( j + 1 ) ( j + \gamma ) . } \end{array}
\left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V = \left( \sigma ^ { - 1 } \right) _ { * } V ^ { i } { \frac { \partial } { \partial u ^ { i } } } = V ^ { i } { \frac { \partial x ^ { j } } { \partial u ^ { i } } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } + V ^ { i } { \frac { \partial \tau } { \partial u ^ { i } } } { \frac { \partial } { \partial \tau } } = V ^ { i } { \frac { \partial } { x } } ^ { j } { \partial u ^ { i } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } + V ^ { i } { \frac { \partial } { \tau } } { \partial u ^ { i } } { \frac { \partial } { \partial \tau } } = V x ^ { j } { \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } + V \tau { \frac { \partial } { \partial \tau } } .
m _ { 0 \pi } ^ { 2 } = m ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 6 } \xi ^ { 2 } \mathrm { , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } m _ { 0 \sigma } ^ { 2 } = m ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \xi ^ { 2 } ,
\sigma _ { \gamma \gamma } ^ { L T } = \frac { 4 \pi \alpha ^ { 2 } Q _ { t } ^ { 2 } N _ { c } } { 3 M _ { W } ^ { 2 } } \beta _ { t } ( 1 + \frac { 1 } { 2 } x _ { t } ^ { 2 } )
b _ { a } = \operatorname * { l i m } _ { \tau _ { 2 } \rightarrow \infty } { \cal B } _ { a } ( \tau , \bar { \tau } ) = \frac { - 1 1 } { 3 } t r _ { V } Q _ { a } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 3 } } t r _ { F } Q _ { a } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } t r _ { S } Q _ { a } ^ { 2 } .