harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Phi _ { \nu _ { e } } ^ { C C } = < P ( \nu _ { e } \to \nu _ { e } ) > _ { C C } \Phi _ { \nu _ { e } } ^ { 0 } \, ; ~ ~ \Phi _ { \nu _ { e } } ^ { E S } = < P ( \nu _ { e } \to \nu _ { e } ) > _ { E S } \Phi _ { \nu _ { e } } ^ { 0 } \, ,
W _ { \pm } ( t , z ) = \sum _ { l \in \mathbb { Z } } \delta \bigg ( t \mp t _ { 0 } ( z ) - \frac { 2 \pi l } { \omega _ { 0 } } \bigg ) = \sum _ { m \in \mathbb { Z } } \Phi _ { m } ^ { \pm } e ^ { i \frac { m \pi } { T _ { 0 } } t } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \nabla \cdot ( w ( A \nabla u \cdot \nabla u ) ) } \\ & { = 2 \nabla \cdot ( ( w \cdot \nabla u ) A \nabla u ) + ( \nabla \cdot w ) A \nabla u \cdot \nabla u } \\ & { \qquad - 2 \partial _ { i } w _ { k } a _ { i j } \partial _ { j } u \partial _ { k } u - 2 ( w \cdot \nabla u ) \nabla \cdot ( A \nabla u ) + w _ { k } \partial _ { k } a _ { i j } \partial _ { i } u \partial _ { j } u . } \end{array} } \end{array}
Y _ { j , \ell } = G _ { j , \ell } + i B _ { j , \ell } = \left\{ \begin{array} { l l l } { \displaystyle \hat { y } _ { j , j } + \sum _ { k \neq j } y _ { j , k } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { j = \ell ; } \\ { - y _ { j , \ell } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { j \neq \ell , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W , \hat { W } } ( \ell ) \geq } & { \mathcal { P } _ { \hat { W } } ^ { \frac { 1 } { \beta ^ { \prime } } } \left( \mathcal { P } _ { W } ^ { \frac { \beta ^ { \prime } } { \beta } } \left( \ell ^ { \beta } \right) \right) \cdot \mathcal { P } _ { \hat { W } } ^ { \frac { 1 } { \alpha ^ { \prime } } } \left( \mathcal { P } _ { W } ^ { \frac { \alpha ^ { \prime } } { \alpha } } \left( \left( \frac { d \mathcal { P } _ { W \hat { W } } } { d \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } } \right) ^ { \alpha } \right) \right) , ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ D , S _ { t } ] u } & { = D S _ { t } u - S _ { t } D u } \\ & { = D S _ { t } ^ { 0 } ( \chi _ { 0 } u ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } D [ \chi _ { \nu } S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } u ) ] - S _ { t } ^ { 0 } ( \chi _ { 0 } ( D u ) ) - \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } \chi _ { \nu } S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } ( D u ) ) } \\ & { = \{ D S _ { t } ^ { 0 } ( \chi _ { 0 } u ) - S _ { t } ^ { 0 } D ( \chi _ { 0 } u ) \} + S _ { t } ^ { 0 } ( ( D \chi _ { 0 } ) u ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } ( D \chi _ { \nu } ) S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } u ) } \\ & { \quad + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } \chi _ { \nu } D S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } u ) - \chi _ { \nu } S _ { t } ^ { \nu } D ( \chi _ { \nu } u ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } \chi _ { \nu } S _ { t } ^ { \nu } ( ( D \chi _ { \nu } ) u ) } \\ & { = S _ { t } ^ { 0 } ( ( D \chi _ { 0 } ) u ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } ( D \chi _ { \nu } ) S _ { t } ^ { \nu } ( \chi _ { \nu } u ) + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } \chi _ { \nu } S _ { t } ^ { \nu } ( ( D \chi _ { \nu } ) u ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \mathcal { T } _ { i } \left( T ^ { H } \bar { M } _ { i } , g ^ { T { \bar { Z } } _ { i } } , h _ { T } ^ { \bar { F } _ { i } } \right) ( T ) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( f ^ { \wedge } \left( { \tilde { C } } _ { t , T ^ { \prime } } ^ { \prime } , h _ { T } ^ { { \bar { E } } _ { i } } \right) - \frac { \chi ^ { \prime } ( Z _ { i } , F _ { i } ) } { 2 } - \frac { \chi ( Z _ { i } , F _ { i } ) \dim Z - 2 \chi ^ { \prime } ( Z _ { i } , F _ { i } ) } { 4 } f ^ { \prime } \left( \frac { \sqrt { - 1 } \sqrt { t } } { 2 } \right) \right) \frac { d t } { t } . } \end{array}
- 1 . 1 0 2 \, 6 4 1 \, 5 8 1 \, 0 3 2 \, 5 7 7 \, 1 6 4 \, 1 1 8 \, 1 2 4 \, 9 9 9 \, 9 5 7 \, 6 5 6 \, 2
\begin{array} { r l } { P ( \mathrm { ~ i ~ a n d ~ j ~ c o n n e c t e d } ) = } & { P _ { \mathrm { a d j a c e n c y } } ( k _ { i } , k _ { j } , m ) } \\ { P ( \mathrm { ~ i ~ a n d ~ r ~ c o n n e c t e d } , \mathrm { ~ j ~ a n d ~ r ~ c o n n e c t e d } ) = } & { P _ { \mathrm { c o m m o n ~ n e i g h b o u r } } ( k _ { i } , k _ { j } , k _ { r } , m ) } \\ { P ( \mathrm { ~ i ~ a n d ~ r ~ c o n n e c t e d } , \mathrm { ~ j ~ a n d ~ r ~ c o n n e c t e d } , \mathrm { ~ i ~ a n d ~ j ~ c o n n e c t e d } ) ) = } & { P _ { \mathrm { t r i a n g l e } } ( k _ { i } , k _ { j } , k _ { r } , m ) } \end{array}
a ( a ^ { \dagger } ) ^ { 2 n } = 2 n ( a ^ { \dagger } ) ^ { 2 n - 1 } + ( a ^ { \dagger } ) ^ { 2 n } a , \; b ( b ^ { \dagger } ) ^ { 2 n } = 2 n ( b ^ { \dagger } ) ^ { 2 n - 1 } + ( b ^ { \dagger } ) ^ { 2 n } b
\exp [ f _ { \nu } ( z ) ] = \frac { \Gamma ( 2 + 4 \nu ) \Gamma ( 2 + 2 \nu ) \Gamma ( 2 \nu - z ) \Gamma ( - z ) } { \Gamma ( 2 + 4 \nu + z ) \Gamma ( 2 + 2 \nu + z ) \Gamma ( 2 \nu ) } ( 4 a \nu ^ { 4 } ) ^ { z } .
{ Q } _ { 4 } = \{ ( x _ { i } , y _ { i } , z _ { i } , w _ { i } ) \, | \, i = 1 , \ldots , n \; ; \; x _ { i } = \pm 1 , y _ { i } = \pm 1 , z _ { i } = \pm 1 , w _ { i } = \pm 1 \}
R _ { n } ^ { m } ( \rho ) = \! \sum _ { k = 0 } ^ { ( n - m ) / 2 } \! \! \! { \frac { ( - 1 ) ^ { k } \, ( n - k ) ! } { k ! \, ( ( n + m ) / 2 - k ) ! \, ( ( n - m ) / 2 - k ) ! } } \; \rho ^ { n - 2 \, k } \quad { \mathrm { i f ~ } } n - m { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } }
\frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial t \partial x _ { 1 } } + \frac { 1 } { m _ { j } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \partial S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } } + \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 2 } } \frac { \partial S ^ { j } } { \partial x _ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } S ^ { j } } { \partial x _ { 1 } \partial x _ { 3 } } \frac { \partial S ^ { j } } { \partial x _ { 3 } } \right) + \frac { \partial V ^ { j } } { \partial x _ { 1 } } = 0
\begin{array} { r l r } { \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 1 } } p ( x ) ^ { 1 / 2 } ~ \mathrm { d } x } & { { } = } & { \int _ { \Bar { z } _ { 0 } } ^ { \Bar { z } _ { 1 } } \frac { p ( z ) ^ { 1 / 2 } } { z } ~ \mathrm { d } z , } \end{array}
\begin{array} { r } { E \left[ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) \Big | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] = \frac { 1 } { n } \left( b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } } - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ^ { i _ { 1 } } \right) + \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) ~ d s + R _ { k - 1 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon } { n \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha } ^ { \pm } = \frac { \pm a + \sqrt { { { b } ^ { 2 } } - 1 } } { b } \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } I \left( a , b \right) \right\} , I \left( a , b \right) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { d u \, \ln \left[ 1 + \frac { 1 } { b } \sqrt { { { u } ^ { 2 } } + 1 } \right] } { u - a } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R _ { u } \psi ) ( x ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } ^ { n } } \big ( \langle x , y \rangle - R _ { u } \psi ( y ) \big ) = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } ^ { n } } \big ( \langle x , y \rangle - \psi ( R _ { u } ( y ) ) \big ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } ^ { n } } \big ( \langle x , R _ { u } ( y ) \rangle - \psi ( y ) \big ) = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathbb { R } ^ { n } } \big ( \langle R _ { u } ( x ) , y \rangle - \psi ( y ) \big ) } \\ & { = ( \mathcal { L } \psi ) ( R _ { u } ( x ) ) = R _ { u } ( \mathcal { L } \psi ) ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u ^ { \ell } w ^ { k } ] \hat { F } ( z , y , u , w ) } & { = [ u ^ { \ell } w ^ { k } ] \frac { u z y ( 2 w ( 1 - y ) - 1 ) } { ( 1 - y - z ) ( 1 - 2 w P ( z y ) ) ( 1 - u P ( z y ) ) } } \\ & { = [ w ^ { k } ] \frac { z y ( 2 w ( 1 - y ) - 1 ) P ( z y ) ^ { \ell - 1 } } { ( 1 - y - z ) ( 1 - 2 w P ( z y ) ) } } \\ & { = \frac { 2 ^ { k } z y } { 1 - y - z } \Big ( ( 1 - y ) P ( z y ) ^ { \ell + k - 2 } - P ( z y ) ^ { \ell + k - 1 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f } & { { } = } & { 1 - 4 \cdot u + 8 \cdot u ^ { 2 } + 2 \left[ ( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - 6 ) - 3 \left( \sigma ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \right) \, \cos ^ { 2 } \theta \right] \cdot u ^ { 3 } } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { + ( n ) } ^ { ( a ) } = \mathcal { E } _ { + , i n ( n ) } ^ { ( a ) } + i \frac { 3 \hbar } { 8 \pi \mu } \Gamma _ { \mathrm { s p } } \sum _ { z _ { b } < z _ { a } } \mathcal { G } ( \mathbf { r } _ { a } - \mathbf { r } _ { b } ) \hat { \rho } _ { e g ( n ) } ^ { ( b ) } .
\left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } & { - 2 \cos \alpha \, \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } \\ { - 2 \cos \alpha \, \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } } & { 2 \mathbf { K } _ { \mathrm { G } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } { f ( S = 1 ) } & { { } > \frac { 1 } { R _ { 0 } } } \\ { s i n ( a \cdot 1 ) } & { { } > \frac { a ( S _ { \infty } - 1 ) } { l n ( \frac { | c s c ( a ) + c o t ( a ) | } { | c s c ( a S _ { \infty } ) + c o t ( a S _ { \infty } ) | } ) } } \end{array}
\operatorname* { m a x } \biggl \{ s _ { m - 1 } , \frac 1 { s _ { m - 1 } } \biggr \} \leq \operatorname* { m a x } \biggl \{ s _ { m } , \frac 1 { s _ { m } } \biggr \} \Bigl ( 1 + C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 q \theta \wedge 1 } \Bigr ) \, .
H _ { 0 } - E _ { 0 } = L \left\{ \frac { \left( 1 - \frac { \delta v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} \eqno ( 4 5 )
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \pi } \dot { \pi } ^ { \langle \mu \nu \rangle } + \pi ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { 2 \eta \sigma ^ { \mu \nu } + 2 \tau _ { \pi } \pi _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \omega ^ { \nu \rangle \lambda } - \delta _ { \pi \pi } \pi ^ { \mu \nu } \theta - \tau _ { \pi \pi } \pi _ { \lambda } ^ { \langle \mu } \sigma ^ { \nu \rangle \lambda } + \lambda _ { \pi \Pi } \Pi \sigma ^ { \mu \nu } - \tau _ { \pi n } n ^ { \langle \mu } \nabla ^ { \nu \rangle } P _ { 0 } + \ell _ { \pi n } \nabla ^ { \langle \mu } n ^ { \nu \rangle } + } \end{array}
L = - m \sqrt { - \dot { x } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 s } { m } \frac { \dot { \varphi } } { ( \dot { x } , n ) } - \frac { \varrho ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \frac { \dot { \varphi } ^ { 2 } } { ( \dot { x } , n ) ^ { 2 } } \right) } + \varrho \frac { ( \dot { x } , \partial _ { \varphi } n ) } { ( \dot { x } , n ) } \dot { \varphi } \ .
\left\langle \Lambda _ { c } ( v ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \right\vert \bar { c } \gamma _ { \mu } b \left\vert \Lambda _ { b } ( v , s ) \right\rangle \equiv \bar { u } _ { \Lambda _ { c } } ( v ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) ( F _ { 1 } \gamma _ { \mu } + F _ { 2 } v _ { \mu } + F _ { 3 } v _ { \mu } ^ { \prime } ) u _ { \Lambda _ { b } } ( v , s ) \; ,
\begin{array} { c } { c _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 , } & { 2 s - k - 2 t \le 2 m - n , } \\ { s - \frac { 1 } { 2 } k - t + \frac { 1 } { 2 } n - m , } & { 2 s - k - 2 t \ge 2 m - n , } \end{array} \right. } \\ { c _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c c } { s - 2 t + n - m , } & { 2 s + k - 2 t \le 2 m - n , } \\ { - \frac { 1 } { 2 } k - t + \frac { 1 } { 2 } n , } & { 2 s + k - 2 t \ge 2 m - n . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma _ { q { \bar { q } } \rightarrow Q { \bar { Q } } } ^ { B } = \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \mu _ { R } ^ { 2 } ) K _ { q \bar { q } } N _ { c } C _ { F } \left[ \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 1 } ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } + \frac { 2 m ^ { 2 } } { s } \right] \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t + \Delta t ) ( \boldsymbol { x } _ { p } ) } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \xi } _ { p } } \left[ \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t ) ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ) + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } f ( \boldsymbol { \xi } _ { p , s } , s ) d s \right] , } \end{array}
H _ { 1 } = \exp ( - 4 ( 1 - y ) G ) [ ( - 4 ( 1 - y ) \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } G ) [ - \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { 1 } { 8 } ( r - s ) ] - \frac { i } { 2 } ( 1 - y ) \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } F ( r + s ) ] ,
\begin{array} { r l } { P r \left( \left\Vert v \right\Vert _ { \ell _ { p } } > \delta \right) } & { = P r \left( \left\Vert v \right\Vert _ { \ell _ { p } } ^ { p } > \delta ^ { p } \right) } \\ & { = P r \left( \sum _ { \ell } \left| v _ { \ell } \right| ^ { p } > \delta ^ { p } \right) } \\ & { \leq P r \left( \sum _ { \ell } \gamma _ { \mathcal { F } _ { \ell } } ( \mathbb { Q } _ { n _ { 0 } } ^ { 0 } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { p } > \delta ^ { p } \right) } \\ & { \leq \sum _ { \ell } P r \left( \gamma _ { \mathcal { F } _ { \ell } } ( \mathbb { Q } _ { n _ { 0 } } ^ { 0 } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { p } > \delta ^ { p } / d \right) } \\ & { = \sum _ { \ell } P r \left( \gamma _ { \mathcal { F } _ { \ell } } ( \mathbb { Q } _ { n _ { 0 } } ^ { 0 } , \mathbb { Q } _ { n _ { 1 } } ^ { 1 } ) > \delta / d ^ { 1 / p } \right) } \\ & { \leq \sum _ { \ell } B ( \delta / d ^ { 1 / p } , D ^ { * } , C ^ { * } ) = d B ( \delta / d ^ { 1 / p } , D ^ { * } , C ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { { } = - \frac { 1 } { K } + \frac { c } { 6 } \, t - \frac { c } { 6 } \, \bigg ( \frac { 3 M } { 2 } + 6 \bigg ) t ^ { 2 } - \frac { M } { 2 } t ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } } & { { } = \lambda ^ { ( l ) } ( \nabla \cdot u ) \delta _ { i j } + 2 \mu ^ { ( l ) } \varepsilon _ { i j } , } \\ { \varepsilon _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { n } ( t ) } { 1 - C _ { n } ( t ) } } & { = \frac { \frac { t ^ { n } } { n ! \tau ^ { n + 1 } } \exp [ - t / \tau ] } { \exp [ - t / \tau ] \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { t ^ { l } } { l ! \tau ^ { l } } } = \frac { t ^ { n } } { n ! \tau ^ { n + 1 } } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { t ^ { l } } { l ! \tau ^ { l } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
B _ { 0 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 - \eta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - \eta } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda ^ { s s } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu ^ { u u } } \end{array} \right] \ \ B _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 + \eta } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 + \eta } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda ^ { s s } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu ^ { u u } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { R _ { 1 } ^ { ( \pi , ~ \mathrm { E } ) } + . . . + R _ { n } ^ { ( \pi , ~ \mathrm { E } ) } = I ^ { ( \pi , ~ \mathrm { E } ) } ( A _ { 1 } , . . . , A _ { n } ; ~ B ) } \end{array}
X _ { 0 } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , \quad X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } = X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } + \delta u \left( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) + \sqrt { 2 \nu } ( B _ { t _ { k } } ^ { 1 } - B _ { t _ { k - 1 } } ^ { 1 } ) ,
\mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \kappa ) = \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \tilde { x } } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { 2 k } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \rho ^ { - 1 } \delta ( x _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } - \tilde { x } _ { \sigma _ { \kappa ( i ) ^ { 2 } } } ) \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathcal { I } _ { \nu } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , \alpha , t ; \hbar ) \varphi ( x ) \overline { { \mathcal { I } _ { \nu } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { \tilde { x } } , \tilde { \alpha } , t ; \hbar ) \varphi ( x ) } } \, d x ,
\begin{array} { r l } { a d _ { e } g } & { = \left( \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \cos x ^ { 3 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } - \left( \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } \cos x ^ { 3 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } , } \\ { a d _ { e } ^ { 2 } g } & { = \mu _ { 3 } \cos x ^ { 3 } \left( \left( \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 2 } \mu _ { 4 } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } - \left( \mu _ { 2 } \mu _ { 4 } + \mu _ { 4 } ^ { 2 } \right) \! \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I B r ( K ) } & { = \{ [ D ] | D \mathrm { ~ i s ~ ~ a ~ ~ f i n i t e ~ ~ d i m e n s i o n a l ~ ~ ~ u n r a m i f i e d ~ ~ d i v i s i o n ~ ~ a l g e b r a ~ ~ o v e r ~ ~ } K \} } \\ { S B r ( K ) } & { = \{ [ D ] | D \mathrm { ~ i s ~ ~ a ~ ~ f i n i t e ~ ~ d i m e n s i o n a l ~ ~ ~ t a m e ~ ~ d i v i s i o n ~ ~ a l g e b r a ~ ~ o v e r ~ ~ } K \} } \end{array}
e _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } ^ { ( p ) } \, ( p ) = p _ { i _ { 1 } } + p _ { i _ { 2 } } + \cdots + p _ { i _ { p } } - \frac { 1 } { 2 } \ \lambda _ { p } \, p _ { \varphi } \, ,
\frac { n _ { B } } { s } \sim 1 0 ^ { - 1 0 } \left( \frac { \lambda } { 1 0 ^ { - 1 1 } } \right) \left( \frac { m _ { 3 / 2 } } { 1 0 ^ { 2 } G e V } \right) \left( \frac { \phi _ { A D } } { 1 0 ^ { 6 } G e V } \right) ^ { 4 } \left( \frac { 1 0 ^ { 5 } G e V } { T _ { A } } \right) ^ { 5 }
\hat { y } ( w , x ) = w _ { 0 } + w _ { 1 } x _ { 1 } + w _ { 2 } x _ { 2 } + w _ { 3 } x _ { 1 } x _ { 2 } + w _ { 4 } x _ { 1 } ^ { 2 } + w _ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } + . . . + w _ { n } x _ { 1 } ^ { d } + w _ { n + 1 } x _ { 2 } ^ { d }
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { 2 } } { d t } } & { { } = \left( 2 \langle I \rangle - ( 1 + \alpha _ { 0 } ) \langle I ^ { 2 } \rangle \right) \left( \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { M P 2 } = E _ { M P 2 a } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) g _ { i j } ^ { a b } } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } \\ { E _ { M P 3 } = E _ { M P 3 a } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j k l } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) g _ { k l } ^ { i j } g _ { k l } ^ { a b } } { ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) ( \varepsilon _ { k } + \varepsilon _ { l } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b c d i j } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) g _ { c d } ^ { a b } g _ { i j } ^ { c d } } { ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { c } - \varepsilon _ { d } ) } } \\ & { + \sum _ { a b c i j k } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) ( g _ { j c } ^ { b k } - g _ { c j } ^ { b k } ) ( g _ { i k } ^ { a c } - g _ { k i } ^ { a c } ) } { ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { k } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { c } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| u - u _ { h } \| _ { W _ { 0 } ^ { 1 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) ^ { 3 } } } & { \leqslant } & { C h \| u \| _ { W _ { 2 } ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) ^ { 3 } } , } \\ { 0 \leqslant { \mathscr E } _ { s f } ( u ) - { \mathscr E } _ { s f } ( u _ { h } ) } & { \leqslant } & { C _ { 2 } h \| u \| _ { W _ { 2 } ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k + 1 } } \\ { = } & { { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } + \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - ( { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } + \alpha _ { y } { \mathbf { Q } } _ { y } ^ { k } ) } \\ { = } & { { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } + ( 1 - \alpha _ { y } r ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } ) } \\ & { + \alpha _ { y } r ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { y } ^ { k } } { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } ( W _ { i , j } ^ { 2 } ) } & { \geq } & { { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \} } \\ & { \geq } & { \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \} } \\ & { = } & { \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \} - \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \geq } & { \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \} - \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } [ { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } \} ] ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \gtrsim } & { \omega _ { j j } \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } - \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } \times \omega _ { j j } \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { \gtrsim } & { \omega _ { j j } \{ \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - k _ { u } ^ { 2 } T _ { \alpha } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } \Bigg \{ \underbrace { \frac { \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } [ B D ] _ { \sigma _ { r } } } { 2 [ B D ] _ { y } } } _ { p } + \underbrace { \frac { \sigma _ { p } ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 2 } [ B D ] _ { \sigma _ { \phi } } } { 8 [ B D ] _ { y } } } _ { q } - \underbrace { \frac { i k ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } \Sigma _ { y \eta } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } } _ { r } \Bigg \} } \\ & { } & { \qquad - \underbrace { \frac { 2 [ B D ] k _ { u } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } } _ { s } + \underbrace { \frac { 2 D k _ { u } ^ { 2 } T _ { \alpha } ( z - s ) ^ { 2 } [ B D ] _ { \sigma _ { r } } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } } _ { t } - \underbrace { \frac { 2 i D k k _ { u } ^ { 2 } T _ { \alpha } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } } { [ B D ] _ { y } } } _ { u } . } \end{array}
| \psi ( t ) \rangle = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } { \Big [ } e ^ { - i \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } { \hat { H } } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } { \hat { H } } _ { I } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle { \Big ] } + e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle \qquad ( 1 . 2 )
T ^ { ( l ) } = \int \frac { d ^ { 4 } p _ { n } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; \overline { { { u } } } _ { Y } ( p _ { Y } ^ { \prime } ) \left\{ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } { \cal A } _ { j } { \cal M } _ { j } \right) S ( p _ { p } ) \Gamma _ { d } C S ( p _ { n } ) T _ { Y N } S ( p _ { Y } ) \right\} \overline { { { u } } } ( p _ { N } ^ { \prime } ) \; .