harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \lVert \vec { \theta } _ { t + 1 } ^ { \prime } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } \right) \mathbb E \left[ \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } \right] + e \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } \left\langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \frac { \mathbf Q _ { t - 1 } } { \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } } \right\rangle \right] . } \end{array}
\int d p ^ { - } \theta ( k ^ { + } - p ^ { + } ) { \frac { \delta [ ( p ^ { + } - k ^ { + } ) p ^ { - } - p _ { t } ^ { 2 } ] } { p ^ { 2 } } } = - { \frac { 1 } { k ^ { + } p _ { t } ^ { 2 } } } ,
\tilde { \chi } = \tilde { \chi } _ { c } + 2 a _ { \Delta N } \frac { k _ { \mathrm { o n } } k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } } { \left( k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } }
\mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \rho _ { e } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \frac { \mathbf { r } } { r ^ { 3 } } \, d ^ { 3 } x ^ { \prime }
{ \cal S } _ { \sigma } = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt { \gamma } \gamma ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { M } \partial _ { \beta } X _ { M } + \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \sqrt { \gamma } \Phi ( X ) R ^ { ( 2 ) } ( \sigma , \tau )
\begin{array} { r l } & { b _ { + } ^ { ( 1 ) } ( x , k ) = \left( \sqrt { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } z ^ { ( 1 ) } , \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu } } z ^ { ( 2 ) } \right) , \qquad b _ { + } ^ { ( 2 ) } ( x , k ) = \left( \sqrt { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } z ^ { ( 2 ) } , - \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu } } z ^ { ( 1 ) } \right) , } \\ & { b _ { - } ^ { ( 1 ) } ( x , k ) = \left( \sqrt { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } z ^ { ( 1 ) } , - \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu } } z ^ { ( 2 ) } \right) , \qquad b _ { - } ^ { ( 2 ) } ( x , k ) = \left( \sqrt { \frac { 1 } { 2 \epsilon } } z ^ { ( 2 ) } , \sqrt { \frac { 1 } { 2 \mu } } z ^ { ( 1 ) } \right) . } \end{array}
a _ { 0 } = { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 1 - \Omega ^ { 2 } } } ~ , ~ ~ a _ { 1 } = { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } } ~ { \frac { \Omega ^ { 2 } - 3 } { 1 - \Omega ^ { 2 } } } .
{ \cal M } _ { \nu , S } = \left[ \begin{array} { c c } { { m _ { D } ^ { 2 } / m _ { N } } } & { { m _ { 1 } m _ { 3 } / m _ { E } } } \\ { { m _ { 1 } m _ { 3 } / m _ { E } } } & { { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } / m _ { E } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { \overset { ( 1 ) } { = } E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert } \\ & { \overset { ( 3 ) } { \leq } \left\vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right\vert \sqrt { \frac { 2 \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s , a ) \} } } , } \end{array}
\bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta \bigr \} \, = \, \partial _ { \rho } \phi _ { 0 } \, \frac { 1 } { \rho } \, \partial _ { \vartheta } \eta \, = \, n \varphi ( \rho ) \omega ( \rho ) \sin ( n \vartheta ) \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U _ { \mathrm { E } } ( { \vec { b } } , \tau ) } { c ^ { 2 } } } & { { } = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } - \Big \{ J _ { 2 } R _ { \oplus } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \Big ) + J _ { 3 } R _ { \oplus } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { 5 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 3 } } { r ^ { 7 } } - \frac { 3 ( { \vec { s } } \cdot { \vec { r } } ) } { r ^ { 5 } } \Big ) + } \end{array}
\delta \ge \frac { \displaystyle \frac { c ^ { j _ { 1 } } ( F ^ { * } ) - c ^ { j _ { 1 } } ( F ^ { \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime } ) } - \frac { c ^ { j _ { 2 } } ( F ^ { * } ) - c ^ { j _ { 2 } } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } } { \displaystyle \frac { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime } ) } - \frac { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \frac { 1 } { w } ( F ^ { * } ) - \frac { 1 } { w } ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } } .
A _ { k } ( { \mathbf X } ) = \langle \Psi _ { T } | \prod _ { i = 1 } ^ { m } B ( \textbf { x } ^ { i } ) \, \hat { A } | \phi _ { k } ^ { n } \rangle / \langle \Psi _ { T } | \prod _ { i = 1 } ^ { m } B ( \textbf { x } ^ { i } ) | \phi _ { k } ^ { n } \rangle ,
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ } } = M _ { \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ } } \left( \int _ { \Omega } \phi \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { r } - A _ { 0 } \right) \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } ( x , s ) } & { = } & { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( c _ { _ 0 } | x | \right) } + A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } \ \exp { \left( - c _ { _ 0 } | x | \right) } , \quad \mathrm { f o r ~ | x | < a ~ } , } \\ { { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) } & { = } & { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \ \exp { \left( - c | x | \right) } , \quad \mathrm { f o r ~ | x | > a ~ } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } ( x , s ) } & { = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } ( x , s ) , \quad \mathrm { f o r ~ | x | > a ~ } , } \end{array}
v ^ { \prime } v = q ^ { 2 } v v ^ { \prime } , \quad v ^ { \prime } w = q w v ^ { \prime } + ( q ^ { 2 } - 1 ) v w ^ { \prime } , \quad w ^ { \prime } v = q v w ^ { \prime } , \quad w ^ { \prime } w = q ^ { 2 } w w ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } ^ { N } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { r ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } \ \left( A _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) + B _ { n } f _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i j } ( \theta , n ) \right) } , } \\ { u _ { i } ^ { N } ( r , \theta ) } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { r ^ { \frac { n } { 2 } } } { 2 \mu } \ \left( A _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) + B _ { n } g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , i } ( \theta , n ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { L o s s } = } & { \frac { W _ { 1 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 2 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - u _ { \theta x x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 3 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta x } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 4 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) - 2 \, \mathrm { s e c h } ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { \delta } _ { 0 } ( x _ { t b } ^ { n } - x _ { 0 } ) \right) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 5 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 6 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta x } ( x _ { t b } ^ { n } , 0 ) + \frac { 1 8 \sinh ( ( 3 x _ { t b } ^ { n } - 3 x _ { 0 } ) / \delta _ { 0 } ) } { \delta _ { 0 } \cosh ^ { 4 } ( ( 3 x _ { t b } ^ { n } - 3 x _ { 0 } ) / \delta _ { 0 } ) } \right] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { W _ { 7 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ v _ { \theta } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( 5 , t _ { s b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } + \frac { W _ { 8 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta x } ( 0 , t _ { s b } ^ { n } ) - u _ { \theta x } ( 5 , t _ { s b } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \sec \theta \, d \theta = \int { \frac { 1 } { \cos \theta } } \, d \theta } & { = \int { \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 2 x } } \cdot { \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } \\ & { = \int { \frac { 1 } { x } } \, d x } \\ & { = \ln | x | + C } \\ & { = \ln \left| \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) \right| + C . } \end{array} }
g _ { 1 } = { \frac { m _ { N } ^ { 2 } } { \pi m _ { R } \Gamma _ { R } } } { \frac { g _ { + } ^ { 2 } } { Q ^ { 6 } } } = { \frac { m _ { N } ^ { 2 } } { \pi m _ { R } \Gamma _ { R } } } { \frac { g _ { + } ^ { 2 } } { ( m _ { R } ^ { 2 } - m _ { N } ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } ( 1 - x ) ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { i _ { n , p , m } = j _ { n , p , m } e = i _ { m } ( k _ { m } , c _ { n , p , m } , c _ { n } ^ { l } ) \left[ \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { \alpha _ { m } e \eta _ { n , p , m } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right) - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { ( 1 - \alpha _ { m } ) e \eta _ { n , p , m } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { k _ { \mathrm { ~ B ~ } } T } \right) \right] } \end{array}
\frac { \partial } { \partial y _ { p } } \frac { \partial } { \partial x } \phi ( x + x _ { p } , y + y _ { p } ) = \left. \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( u , v ) } { \partial v \partial u } \right| _ { u = x + x _ { p } , v = y + y _ { p } } = \left. \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( u , v ) } { \partial u \partial v } \right| _ { u = x + x _ { p } , v = y + y _ { p } }
\mathbf { H } = \left\{ \begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { \quad \mathrm { i n } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } , } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { \quad \mathrm { i n } \ \ \tilde { B } , } \\ { - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { \quad \mathrm { i n } \ \ B _ { l } , } \end{array} \right.
| E ( 2 \omega ) | _ { z = l } = E _ { 0 } \operatorname { t a n h } { \left( { \frac { - i E _ { 0 } l \omega d _ { \mathrm { e f f } } } { n _ { \omega } c } } e ^ { 2 i \phi ( \omega ) - i \phi ( 2 \omega ) } \right) }
\begin{array} { l } { { W [ A , \Gamma - D \epsilon , e - \epsilon e ] = } } \\ { { W [ A , \Gamma , e ] - \displaystyle \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } \left( ( - \epsilon _ { \; c } ^ { a } ( x ) \Gamma _ { \; \mu } ^ { c \; b } + \epsilon _ { c } ^ { \; b } ( x ) \Gamma _ { \; \mu } ^ { a \; c } + \partial _ { \mu } \epsilon ^ { a b } ( x ) ) \frac { \delta W } { \delta \Gamma _ { \; \mu } ^ { a \; b } } + \epsilon _ { \; b } ^ { a } ( x ) e _ { \; \mu } ^ { b } \frac { \delta W } { \delta e _ { \; \mu } ^ { a } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( b + i d \right) a ^ { i } } & { { } = b \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } a ^ { i } + d \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } i a ^ { i } } \end{array}
d \Phi _ { 3 } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 9 } } \frac { 1 } { 1 6 W ^ { 2 } } \frac { Q ^ { 2 } } { \beta } d z \; d | t | \; d \theta \; \frac { d x _ { \mathrm { \tiny ~ I ~ \! ~ P } } } { x _ { \mathrm { \tiny ~ I ~ \! ~ P } } } \; d \varphi \; ,
\varkappa = \kappa - ( \vec { \mathfrak { x } } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) ^ { - 1 } ( \vec { \nu } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \kappa \vec { \nu } = \vec { \mathfrak { x } } _ { s s } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P r o b . } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { M } { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) } & { { } \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathrm { P r o b . } \left( { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { o u t } } ( ( I , i , \delta ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { I } & { i \in I \wedge \delta \neq \mathrm { D E L } } \\ { I \backslash \{ i \} } & { i \in I \wedge \delta = \mathrm { D E L } } \\ { I \cup \{ i \} } & { i \notin I \wedge \delta \neq \mathrm { D E L } } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { { \bf Q } _ { v } } \\ { { \bf P } _ { v } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { { \bf Y } _ { 0 } ^ { T } } & { { \bf C } _ { 0 } } \\ { - { \bf V } _ { 0 } } & { - { \bf Y } _ { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \bf Q } _ { v } } \\ { { \bf P } _ { v } } \end{array} \right] \, ,
\begin{array} { l l l l } { { s \hat { e } ^ { \pm } = \hat { \psi } ^ { \pm } , \quad } } & { { \quad s \hat { \psi } ^ { \pm } = 0 , \quad } } & { { \quad s \skew 5 \hat { \bar { \psi } } = \hat { A } , \quad } } & { { \quad s \hat { A } = 0 . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ~ = } & { ~ 1 + \sigma _ { A } ^ { 2 } - \frac { \frac { \eta } { 2 } T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ( \sigma _ { A } ^ { 2 } + 2 ) } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } , } \\ { \theta ~ = } & { ~ 1 + \sigma _ { B } ^ { 2 } - \frac { \frac { \eta } { 2 } T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } ( \sigma _ { B } ^ { 2 } + 2 ) } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } , } \\ { \phi ~ = } & { ~ \frac { \frac { \eta } { 2 } \sqrt { T _ { A } T _ { B } \sigma _ { A } ^ { 2 } ( \sigma _ { A } ^ { 2 } + 2 ) \sigma _ { B } ^ { 2 } ( \sigma _ { B } ^ { 2 } + 2 ) } } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { S } ^ { \dag } = \hat { S } _ { L } ^ { \dag } + \hat { S } _ { R } ^ { \dag } , \quad \hat { S } = \hat { S } _ { L } + \hat { S } _ { R } , \quad \hat { S } ^ { 0 } = \hat { S } _ { L } ^ { 0 } + \hat { S } _ { R } ^ { 0 } ,
R ^ { C } = F R ^ { A } F = \left( \begin{array} { r r r r } { { q } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { t } } & { { \Omega } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { t ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { q } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( a , [ b , c ] ) - [ a , \mu _ { 1 } ( b , c ) ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( [ a , b ] , c ) + ( - 1 ) ^ { a b } \mu _ { 1 } ( b , [ a , c ] ) + [ \mu _ { 1 } ( a , b ) , c ] + ( - 1 ) ^ { a b } [ b , \mu _ { 1 } ( a , c ) ] } \\ & { = } & { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( a , b , c ) ; \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ h o m o g e n e o u s } \; a , b , c \in L . } \end{array}
z _ { 0 } ^ { 3 } \left[ 7 \left( \frac { z _ { p } } { z _ { 0 } } \right) ^ { 3 } - 8 \left( \frac { z _ { p } } { z _ { 0 } } \right) ^ { 2 } - 3 \, \frac { R _ { c } ^ { 2 } z _ { p } } { z _ { 0 } ^ { 3 } } + 2 \, \frac { R _ { c } ^ { 2 } } { z _ { 0 } ^ { 2 } } \right] = 0 \, \, ,
f _ { 2 } ( \vec { r } ( t _ { 0 } ) , \theta ( t _ { 0 } ) , \vec { r } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) ) \approx f _ { 1 } ( \vec { r } ( t _ { 0 } ) , \theta ( t _ { 0 } ) ) \, f _ { 1 } ( \vec { r } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) )
\begin{array} { r } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } = \sum _ { i < j } [ - ( \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } ) w _ { i j } ^ { * } + p _ { i j } \ln ( \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { \langle s \rangle _ { 1 } = - \Big ( \frac { 7 } { 1 2 } + \langle \Delta g \rangle _ { 1 } + \frac { 1 } { 9 } \langle \Delta f \rangle _ { 1 } \Big ) , } } \end{array}
\mathrm { T r } ( B \, P _ { [ { \cal H \/ } _ { k } ^ { \perp } ] } \, e ^ { - t \Delta _ { k } } ) = \sum _ { 0 { \leq } l { \leq } l _ { 0 } } a _ { l } ( B \, P _ { [ { \cal H \/ } _ { k } ^ { \perp } ] } \, | \, \Delta _ { k } ) \, t ^ { - l } + O ( t ^ { \epsilon } )
\begin{array} { r l } { p G _ { n } = - [ \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] G _ { n } } & { { } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } } \\ { p H _ { n } = - [ \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] H _ { n } } & { { } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { S } ( A ) } & { \geq \frac { 1 } { 2 } \| A 1 _ { S } ^ { \prime } - A 1 _ { \overline { { S } } } ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| \frac { 1 } { k } A 1 _ { S } - \frac { 1 } { k ^ { \prime } } A 1 _ { \overline { { S } } } \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \| \frac { 1 } { k } A 1 _ { S } - \frac { 1 } { k ^ { \prime } } ( 1 - A 1 _ { S } ) \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k ^ { \prime } } \| \frac { 1 } { k } A 1 _ { S } - \frac { 1 } { n } 1 \| _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H [ v , w , \mathbf { B } ^ { \prime } , \mathbf { A } ] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } ( - \mathrm { i } \nabla _ { k } + \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { k } ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \sum _ { k } v ( \mathbf { r } _ { k } ) + \sum _ { k < l } w ( r _ { k l } ) + \sum _ { k } \mathbf { B } ^ { \prime } ( \mathbf { r } _ { k } ) \cdot \mathbf { S } _ { k } . } \end{array}
P _ { d } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , T _ { 2 } ) = \frac { 1 } { ( 4 \pi D \tilde { s } _ { d } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , \tilde { T } ] } \exp \left( - \frac { r ^ { 2 } } { 4 D \tilde { s } _ { d } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , \tilde { T } ] } \right) ,
f ( x y ) = f ( ( 2 ^ { a _ { 1 } } 3 ^ { b _ { 1 } } k _ { 1 } j _ { 1 } ) ( 2 ^ { a _ { 2 } } 3 ^ { b _ { 2 } } k _ { 2 } j _ { 2 } ) ) = f ( 2 ^ { a _ { 1 } + a _ { 2 } } 3 ^ { b _ { 1 } + b _ { 2 } } k _ { 1 } k _ { 2 } j _ { 1 } j _ { 2 } ) = 3 ^ { a _ { 1 } + a _ { 2 } } 2 ^ { b _ { 1 } + b _ { 2 } } k _ { 1 } k _ { 2 } j _ { 1 } j _ { 2 } = 3 ^ { a _ { 1 } } 2 ^ { b _ { 1 } } k _ { 1 } j _ { 1 } ( 3 ^ { a _ { 2 } } 2 ^ { b _ { 2 } } k _ { 2 } j _ { 2 } ) = f ( 2 ^ { a _ { 1 } } 3 ^ { b _ { 1 } } k _ { 1 } j _ { 1 } ) f ( 2 ^ { a _ { 2 } } 3 ^ { b _ { 2 } } k _ { 2 } j _ { 2 } ) = f ( x ) f ( y )
\begin{array} { r l } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { d } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { c } J _ { k _ { 1 } } ^ { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) } J _ { k _ { 2 } } ^ { ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 2 \Gamma \left( a _ { 2 } + k _ { 2 } + 1 \right) \Gamma \left( b _ { 2 } + k _ { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( c + d + k _ { 1 } + k _ { 2 } + 2 \right) } \sum _ { i = 0 } ^ { k _ { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { i } \Gamma \left( d - a _ { 1 } + i + 1 \right) } { \Gamma ( i + 1 ) \Gamma \left( a _ { 2 } + i + 1 \right) } } \\ & { ~ ~ ~ \! ~ \times \frac { \Gamma \left( c - b _ { 1 } - i + k _ { 2 } + 1 \right) } { \Gamma \left( k _ { 2 } - i + 1 \right) \Gamma \left( b _ { 2 } - i + k _ { 2 } + 1 \right) } \sum _ { j = 0 } ^ { k _ { 1 } } \frac { ( - 1 ) ^ { j } \left( k _ { 1 } - j + 1 \right) _ { d + i } } { \Gamma ( j + 1 ) } } \\ & { ~ ~ ~ \! ~ \times \frac { \left( c - i + j - b _ { 1 } - k _ { 1 } + k _ { 2 } + 1 \right) _ { b _ { 1 } + k _ { 1 } } } { \Gamma \left( d - a _ { 1 } + i - j + 1 \right) } , \quad \Re ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c , d ) > - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { X } F d \mu - \int _ { X } F d \nu } & { = \sum _ { x \in X } F ( x ) ( f ( x ) - g ( x ) ) } \\ & { \leq \sum _ { x : f ( x ) \geq g ( x ) } M ( f ( x ) - g ( x ) ) + \sum _ { x : f ( x ) < g ( x ) } m ( f ( x ) - g ( x ) ) } \\ & { \leq \sum _ { x : f ( x ) \geq g ( x ) } ( m + 1 ) ( f ( x ) - g ( x ) ) + \sum _ { x : f ( x ) < g ( x ) } m ( f ( x ) - g ( x ) ) } \\ & { = \sum _ { x : f ( x ) \geq g ( x ) } f ( x ) - g ( x ) + \sum _ { x \in X } m ( f ( x ) - g ( x ) ) } \\ & { = \sum _ { x : f ( x ) \geq g ( x ) } f ( x ) - g ( x ) , } \end{array}
\sum _ { j } F _ { j } ^ { 2 } \equiv \sum _ { j } \left( \frac { \partial P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } { \partial j } \frac { \sigma _ { j } } { P _ { \mathrm { r e f } } ^ { i } } \right) ^ { 2 } = \frac { \sigma _ { V _ { \mathrm { e f f } } } ^ { 2 } } { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 } { \beta } - \frac { 1 } { 1 + \beta } \right) ^ { 2 } \sigma _ { \beta } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { G _ { \mathrm { n e t } } } ^ { 2 } } { G _ { \mathrm { n e t } } ^ { 2 } } .
\beta F = - \frac { 4 } { 3 } \beta \int d ^ { 3 } x \int _ { \mu \sqrt { \xi ^ { 2 } - \Omega _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } } ^ { \infty } d \omega \frac { 1 } { e ^ { \beta \omega } - 1 } \frac { \xi r } { \sqrt { ( \xi ^ { 2 } - \Omega _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } ) } } \left( \frac { \omega ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } - \Omega _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } } - \mu ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } .
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { f _ { 1 } f _ { 5 } } } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 9 } ^ { 2 } + K ( \cosh \sigma d t - \sinh \sigma d x _ { 9 } ) ^ { 2 } )
\left( 1 / 2 \right) A _ { 2 } F \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 2 } F } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \left( 3 \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - 3 \theta \right) } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \Lambda T _ { 1 } } + \left( 1 / 2 \right) A _ { 2 } \overline { { F } } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 2 } \overline { { F } } } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \left( \omega _ { 2 n } / 2 \right) t - \theta \right) } e ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Lambda T _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \mu ( T ) = \mu _ { \infty } \left( \frac { T } { T _ { \infty } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \frac { T _ { 0 } + S _ { 1 } } { T + S _ { 1 } } } & { { } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \: S _ { 1 } = 1 1 0 . 4 K \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}