harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { q } } \quad } & { \mathbf { q } ^ { H } \boldsymbol { \chi } \boldsymbol { \chi } ^ { H } \mathbf { q } + \mathbf { q } ^ { H } \boldsymbol { \chi } \mathbf { d } ^ { H } + \mathbf { d } \boldsymbol { \chi } ^ { H } \mathbf { q } + \| \mathbf { d } \| ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { | q _ { n } | ^ { 2 } = 1 , \: \forall n = 1 , \ldots , N _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 0 } ( q , \omega ; r _ { s } , \zeta ) = } & { { } - \frac { k _ { F } } { 8 \pi ^ { 2 } } \big [ h _ { + } C ( \frac { Q } { h _ { + } } , \frac { \Gamma } { h _ { + } } ) + h _ { - } C ( \frac { Q } { h _ { - } } , \frac { \Gamma } { h _ { - } } ) \big ] } \end{array}
\int _ { s _ { i j } ^ { - } } \Omega ^ { ( 2 , 0 ) } = ( - \psi _ { s } ) ^ { - 1 / 1 2 } \frac { \sqrt { 6 } } { 2 \pi } \tilde { \epsilon } ^ { 1 / 3 } ( \tilde { x } _ { j ^ { - } } - \tilde { x } _ { i ^ { - } } ) + { \cal O } ( \tilde { \epsilon } ^ { 4 / 3 } ) \ .
A _ { j i } ^ { - 1 } \frac { | \alpha _ { i } | ^ { 2 } } { 2 } = \left\langle \lambda _ { j } , \lambda _ { i } \right\rangle = \sum _ { x = 1 } ^ { h } \frac { x } { h } \, \left\langle \lambda _ { j } , \sigma ^ { x + \frac { c _ { i } - 1 } { 2 } } \gamma _ { i } \right\rangle \; ,
Z _ { 1 } ^ { * } W _ { \pi ^ { + } } ( K ) Z = e ^ { i \frac 1 9 3 0 m } e ^ { i 9 0 m } b _ { 1 } z _ { 1 } ^ { * } z _ { 1 } + e ^ { i \frac 1 9 3 0 m } e ^ { i 9 0 m } b _ { 2 } z _ { 2 } ^ { * } z _ { 2 } + \frac 1 2 e ^ { i \frac 1 9 3 0 m } e ^ { i 9 0 m } b _ { 3 } [ z _ { 1 } ^ { * } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) + z _ { 1 } ^ { * } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) ]
\begin{array} { r } { \omega m ^ { + } = \gamma \mu _ { 0 } ( H - M _ { s } ) m ^ { + } + \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \frac { \partial u ^ { + } } { \partial z } , } \\ { - \rho \omega ^ { 2 } u ^ { + } = C _ { 4 4 } \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { + } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { M _ { s } } \frac { \partial m ^ { + } } { \partial z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { A } - \widehat { \mathcal { A } } \| _ { F } } & { \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \left( 2 \cdot ( 1 + \lambda _ { n } ) \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } , 1 ) + \phi _ { n } \| \mathcal { A } \| _ { F } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\tilde { \phi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \phi ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } \, , \quad \forall \, p , q \in \mathbb { Z } \, ,
\begin{array} { r } { \sigma ^ { 2 } \left( \frac { k _ { j } } { k _ { 1 } } \right) ^ { 2 \alpha } - \left( \Omega - \omega _ { j } \right) ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } ) + \sin ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } ) \left( \Omega - \omega _ { j } \right) ^ { 2 } = } \\ { \left( 1 - \sin ^ { 2 } ( \phi _ { 1 } ) \right) \left( \sigma ^ { 2 } \left( \frac { k _ { j } } { k _ { 1 } } \right) ^ { 2 \alpha } - \left( \omega _ { j } - \Omega \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M : = } & { 2 \mu + \frac { \hat { \theta } _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \theta } _ { 2 } ^ { 2 } + r } { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \right) x _ { 1 } ^ { 4 } + \frac { 1 } { 2 \epsilon } x _ { 1 } ^ { 6 } } \\ { z : = } & { x _ { 2 } + \hat { \theta } _ { 1 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \theta } _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } + M x _ { 1 } } \\ { \varphi : = } & { 2 \hat { \theta } _ { 1 } x _ { 1 } + 3 \hat { \theta } _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + M + x _ { 1 } ^ { 2 } \left( 2 + 2 \frac { 2 \epsilon + 1 } { \epsilon } x _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { \epsilon } x _ { 1 } ^ { 4 } \right) } \\ { G : = } & { \mu + Q x _ { 1 } ^ { 2 } \left( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } \right) \varphi ^ { 2 } \left( \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \epsilon } + \frac { \hat { \theta } _ { 1 } ^ { 2 } + \hat { \theta } _ { 2 } ^ { 2 } + r } { \mu } \right) } \end{array}
\textbf { U } _ { 1 } = [ \langle i | \textbf { U } _ { 1 } | j \rangle ] = \left[ \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \epsilon } } & { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \epsilon } } \\ { { \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \epsilon } } & { { \frac { 4 } { 3 } } } & { { \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 2 } } } \\ { { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \epsilon } } & { { \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 2 } } } & { { \frac { 2 } { 3 } } } \end{array} \right]
A ^ { 0 } , H ^ { 0 } \rightarrow \chi _ { 2 } ^ { 0 } \, \chi _ { 2 } ^ { 0 } \rightarrow 4 \, l ^ { \pm } \; + \; X \; \; \; \; \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ( l \, = \, e , \, \mu )
\begin{array} { r } { ( x , p ) \succeq _ { \mathrm { r e g } } ( x , q ) \succeq _ { \mathrm { r e g } } ( x , r ) \quad \mathrm { i m p l i e s } \quad ( x , q ) \sim _ { \mathrm { r e g } } ( x , \alpha p + ( 1 - \alpha ) r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \parallel } \partial _ { l } \delta H _ { s e } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { - \sum _ { \mathbf { k } ^ { \prime } + \mathbf { k } ^ { \prime \prime } = \mathbf { k } } \Lambda _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { k ^ { \prime } } \delta L _ { k ^ { \prime } } \delta H _ { k ^ { \prime \prime } e } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } [ z ^ { T } , z ^ { T } A ^ { T } ] } & { = \operatorname { E } \left[ \left( z ^ { T } - E ( z ^ { T } ) \right) \left( z ^ { T } A ^ { T } - E \left( z ^ { T } A ^ { T } \right) \right) ^ { T } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ ( z ^ { T } - \mu ^ { T } ) ( z ^ { T } A ^ { T } - \mu ^ { T } A ^ { T } ) ^ { T } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ ( z - \mu ) ^ { T } ( A z - A \mu ) \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { f d m a } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \frac { P _ { u } \Bigl | \mathbf { f } \boldsymbol { \Phi } _ { \hat { k } } ^ { \star } \mathbf { g } _ { k } + d _ { k } \Bigr | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \frac { P _ { u } \Bigl | \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { s } } | f _ { n } | | g _ { n , { \hat { k } } } | + | d _ { \hat { k } } | \Bigr | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } \\ & { + \sum _ { k \neq { \hat { k } } } \frac { 1 } { K } \log \left( 1 + \frac { P _ { u } \Bigl | \mathbf { f } \boldsymbol { \Phi } _ { \hat { k } } ^ { \star } \mathbf { g } _ { k } + d _ { k } \Bigr | ^ { 2 } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
f ( t _ { 1 } x _ { 1 } + t _ { 2 } x _ { 2 } ) = t _ { 1 } f ( x _ { 1 } ) + t _ { 2 } f ( x _ { 2 } ) , \forall x _ { 1 } , x _ { 2 } \in V , \forall t _ { 1 } , t _ { 2 } \in \mathbb { F } .
G \left( \xi \right) = \mathfrak { F } \left\{ f \left( x \right) \right\} \cdot \mathfrak { F } \left\{ h _ { e f f e c t i v e } \left( x \right) \right\} = F \left( \xi \right) \cdot H _ { e f f e c t i v e } \left( \xi \right) ,
\mathrm { t r } _ { \rho _ { 1 } \times \rho _ { 2 } } e ^ { i F } = \left( \mathrm { t r } _ { \rho _ { 1 } } e ^ { i F } \right) \left( \mathrm { t r } _ { \rho _ { 2 } } e ^ { i F } \right)
\kappa ^ { 2 } = \frac { n e ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } k _ { B } T } , \qquad \lambda ^ { 2 } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { m k _ { B } T } , \qquad \tau = \frac { e ^ { 2 } \sqrt { m } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } \sqrt { k _ { B } T } \hbar } .
\frac { \mathrm { d } \sigma _ { A , \chi } ^ { \mathrm { S D } } } { \mathrm { d } q ^ { 2 } } = \frac { 4 } { 3 } \frac { \pi } { 2 J + 1 } \frac { \mu _ { A , \chi } ^ { 2 } } { \mu _ { n / p , \chi } ^ { 2 } } S _ { A } ^ { a _ { 0 } = 1 , a _ { 1 } = \mp 1 } ( q ) \, \frac { \mathrm { d } \sigma _ { n / p , \chi } ^ { \mathrm { S D } } } { \mathrm { d } q ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } \bigg ( \sum _ { ( \ell , s ) } \mathrm { V a r } ( \tilde { E } _ { \ell , s } | \mathcal { F } _ { \prec ( \ell , s ) } ) \bigg ) \lesssim \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 3 } \| \Omega _ { i } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } \vee \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 4 } \| \Omega _ { i } \| _ { 4 } ^ { 4 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( \rho , \rho _ { 0 } ) : = \left\{ \begin{array} { l l l } { \sqrt { \displaystyle { \frac { \rho ( p ( \rho ) - p ( \rho _ { 0 } ) ) } { \rho _ { 0 } ( \rho - \rho _ { 0 } ) } } } , \quad \mathrm { i f } \; \rho \ne \rho _ { 0 } , } \\ { \sqrt { p ^ { \prime } ( \rho _ { 0 } ) } , \quad \mathrm { i f } \; \rho = \rho _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrel { \phantom { = } } \biggl ( - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } - \frac { 2 \omega } { \pi ^ { 1 / 2 } \lambda _ { n l } } \exp \bigl ( - \omega r ^ { 2 } \bigr ) \biggr ) } \\ & { \mathrel { \phantom { = } } \times \Bigl [ \exp \Bigl ( \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \omega r ^ { 2 } \Bigr ) \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } ) \Bigr ] = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } \wedge \partial \eta } & { { } = \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \partial \omega } \wedge \partial \omega = \int _ { \Omega } \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \partial \omega } \wedge d ( \partial \eta ) = \langle d ( \partial \eta ) , \ast \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } \rangle _ { L ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \partial _ { t } ^ { \alpha } u \; \chi d t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } ( I _ { t } ^ { 1 - \alpha } u _ { t } ) \chi d t = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - \alpha } u _ { s } ( x , s ) d s \right) \chi ( x , t ) d t } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { s } ^ { T } ( t - s ) ^ { - \alpha } \chi ( x , t ) d t \right) u _ { s } ( x , s ) d s = \int _ { 0 } ^ { T } u _ { s } ( J _ { s } ^ { 1 - \alpha } \chi ) d s , } \end{array}
\left[ d e t \, D _ { q } \, \right] ^ { ( - N / 2 ) ^ { s + 1 } } = \exp \left[ i { \frac { N } { 4 8 \pi } } ( - 1 ) ^ { s } \left( 6 q ^ { 2 } - 6 q + 1 \right) S [ g ] \right]
\begin{array} { r } { \tau _ { \Pi } = \frac { 2 p T ( D - 3 ) } { 3 D \zeta } , \quad \eta = \frac { 2 ( D - 3 ) } { 3 D } p \tau _ { \Pi } , \quad p = \frac { k _ { \textrm { B } } } { m } \rho T , \quad e = \frac { D } { 2 } \frac { k _ { \textrm { B } } } { m } T , \quad \zeta = \zeta ( \rho , T ) > 0 \ \ \textrm { f o r a n y } \ \ \{ \rho , T \} . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \eta \in \mathcal { P } _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \mathrm H _ { \delta _ { p } \otimes \eta } ^ { - } \mathcal E _ { K } ( \delta _ { p } ) + \nabla V _ { K , \nu } ( p ) ^ { \mathrm { T } } v _ { \eta } \quad \mathrm { s . t . } \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \eta ( x ) = 1 .
- i M ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) = g ^ { 2 } t ^ { A } t ^ { A } \int _ { k 5 } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } - ( k ^ { 5 } ) ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( p - k ) ^ { 2 } } } N ( k , k ^ { 5 } , p ) \ ,
\partial _ { \mu _ { 1 } } . . . \partial _ { \mu _ { n } } x _ { a } = x _ { a } \partial _ { \mu _ { 1 } } . . . \partial _ { \mu _ { n } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \delta _ { a \mu _ { i } } \partial _ { \mu _ { 1 } } . . . \check { \partial } _ { \mu _ { i } } . . . \partial _ { \mu _ { n } } ,
c _ { n } ( \psi 1 _ { 1 } + \psi 2 _ { 1 } \psi _ { n } ) + a _ { n } ( \psi 1 _ { n - 1 } + \psi 2 _ { n - 1 } \psi _ { n } ) + b _ { n } \psi _ { n } = g _ { n } .
\begin{array} { r } { H = \epsilon \sum _ { i } c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } + t \sum _ { \langle i , j \rangle } c _ { i } ^ { \dagger } c _ { j } + \sum _ { i } V _ { i } c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { H ( \omega ) } & { = H _ { \mathrm { N R } } + \sum _ { p , ~ p \in i \mathbb { R } } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } } \\ & { + \sum _ { p , ~ R e [ p ] > 0 } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \left[ \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( w - p ) ^ { m } } - \frac { \alpha ( H , p , - m ) ^ { * } } { ( w + p ^ { * } ) ^ { m } } \right] } \end{array} } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 , - 3 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ - ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ e ~ d ~ a ~ i ~ r ~ } , } \\ { ( 2 1 6 / 4 1 , ( 1 6 4 5 / 2 8 6 ) - 3 , 0 , 2 5 1 / 6 ) , } & { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ t ~ - ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ e ~ d ~ a ~ i ~ r ~ } , } \\ { ( 0 . 1 3 8 , - 3 , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ i ~ u ~ m ~ b ~ u ~ b ~ b ~ l ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = L } = \mathbf M \left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) _ { z = 0 }
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { T } \langle y _ { t } , \phi \rangle _ { V _ { 0 } ^ { \star } , V _ { 0 } } \; d t \right| \leq } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| y ( \cdot , t ) \| _ { V _ { 0 } } \| \phi ( \cdot , t ) \| _ { V _ { 0 } } \; d t + \int _ { 0 } ^ { T } \| f ( \cdot , t ) \| _ { V _ { 0 } ^ { \star } } \| \phi ( \cdot , t ) \| _ { V _ { 0 } } \; d t } \\ { \leq } & { C \| y \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ^ { \star } ) } \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; V _ { 0 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \boldsymbol A _ { | \mathcal I _ { \boldsymbol { 2 M } } | } } } \, \boldsymbol e _ { \boldsymbol 0 } = \Bigg ( \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \b { 2 M } } } \delta _ { \boldsymbol 0 , \boldsymbol k } \, \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \Bigg ) _ { j = 1 } ^ { N } = \boldsymbol 1 _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { \epsilon } ^ { ( 1 ) } ( t ) \geq { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( t ) - \epsilon \left( \frac { \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 2 \alpha } + \frac { \alpha } { 2 } \| u \| ^ { 2 } \right) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \| u \| ^ { 2 } = { \cal E } ^ { ( 1 ) } ( t ) - \frac { \epsilon } { 2 \alpha } \| u ^ { \prime } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { v _ { \theta } ( R _ { 1 } ) - R _ { 1 } \Omega _ { 1 } } & { = b ^ { i n } \frac { d v _ { \theta } } { d \theta } , } \\ { v _ { \theta } ( R _ { 2 } ) - R _ { 2 } \Omega _ { 2 } } & { = - b ^ { o u t } \frac { d v _ { \theta } } { d \theta } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \log \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s , a , \eta ) } } & { = \textbf { 1 } ( s _ { 1 } = s , a _ { 1 } = a , \eta _ { 2 } = \eta ) - \frac { \exp ( \theta _ { 1 } ( s , a , \eta ) ) } { \sum _ { a _ { 1 } ^ { \prime } , \eta _ { 2 } ^ { \prime } } \exp ( \theta _ { 1 } ( s , a _ { 1 } ^ { \prime } , \eta _ { 2 } ^ { \prime } ) ) } \textbf { 1 } ( s _ { 1 } = s ) } \\ & { = \textbf { 1 } ( s _ { 1 } = s ) \Big ( \textbf { 1 } ( a _ { 1 } = a , \eta _ { 2 } = \eta ) - \pi _ { 1 } ( a , \eta | s ) \Big ) } \\ { \frac { \partial \log \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) } { \partial \theta _ { 2 } ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) } } & { = \textbf { 1 } ( s _ { t } = s , \eta _ { t } = \eta , a _ { t } = a , \eta _ { t + 1 } = \eta ^ { \prime } ) - \frac { \exp ( \theta _ { 2 } ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) ) } { \sum _ { a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } } \exp ( \theta _ { 2 } ( s , \eta , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) ) } \textbf { 1 } ( s _ { t } = s , \eta _ { t } = \eta ) } \\ & { = \textbf { 1 } ( s _ { t } = s , \eta _ { t } = \eta ) \Big ( \textbf { 1 } ( a _ { t } = a , \eta _ { t + 1 } = \eta ^ { \prime } ) - \pi _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { = \left( 1 + \mu A _ { k + 1 } \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , z _ { k + 1 } \right) - \left( 1 + \mu A _ { k } \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , z _ { k } \right) } \\ & { \quad + A _ { k + 1 } \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) - A _ { k } \left( f \left( x _ { k } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) } \\ & { = \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , z _ { k + 1 } \right) } \\ & { \quad + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + A _ { k } \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) \right) } \\ & { \quad + \left( 1 + \mu A _ { k } \right) \left( - h \left( z _ { k + 1 } \right) - \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + h \left( z _ { k } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , x ^ { * } - z _ { k } \right\rangle \right) } \\ & { \leq \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) - \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle } \\ & { \quad + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) + A _ { k } \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) \right) } \\ & { \quad + \left( 1 + \mu A _ { k } \right) \left( - h \left( z _ { k + 1 } \right) - \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + h \left( z _ { k } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , x ^ { * } - z _ { k } \right\rangle \right) . } \end{array}
\epsilon ^ { \sigma \mu \nu } ( \partial _ { \mu } { B _ { \sigma } } \! ^ { a } - \epsilon ^ { a b c } ( { B _ { \sigma } } \! ^ { b } { A _ { \mu } } \! ^ { c } + { \eta _ { \sigma } } \! ^ { b } { \phi _ { \mu } } \! ^ { c } ) ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { z \to z _ { 0 } } \left[ \frac { F ( z ) - F ( z _ { 0 } ) } { z - z _ { 0 } } - \int _ { C } f _ { z } ( \tau , z _ { 0 } ) \, d \tau \right] } & { = \operatorname* { l i m } _ { z \to z _ { 0 } } \Bigg [ \int _ { C } \left[ \frac { f ( \tau , z ) - f ( \tau , z _ { 0 } ) } { z - z _ { 0 } } - f _ { z } ( \tau , z _ { 0 } ) \right] \, d \tau \Bigg ] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { z \to z _ { 0 } } \Bigg [ \int _ { C } \left[ \, g ( \tau , z ) - g ( \tau , z _ { 0 } ) \right] \, d \tau \Bigg ] } \\ & { = 0 } \end{array}
\left( \frac { b ^ { 2 } ( M ) } { 2 \mu _ { R } } - \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { R } } \right) \psi _ { M } ( \vec { p } ) = \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } V ( \vec { p } , \vec { q } , M ) \psi _ { M } ( \vec { q } ) ,
\begin{array} { r l } & { | P _ { 1 } ( r ) | - 1 . 2 6 8 4 4 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { q ^ { - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 2 q ^ { d - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 2 } - q ^ { - 2 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 q ^ { ( d - 3 ) / 2 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 1 . 2 6 8 4 4 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { t ^ { 4 } q ^ { 2 d - 1 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 3 d / 2 } - 2 t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } - t ^ { 4 } q ^ { 2 d - 2 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { ( 4 d - 3 ) / 2 } - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 1 1 / 3 } q ^ { 1 1 d / 6 } } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 } - 2 t q ^ { ( 2 - d ) / 2 } - 2 - t ^ { 2 } q ^ { - 1 } - 2 t q ^ { - 1 / 2 } - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } q ^ { ( 6 - d ) / 6 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 } - 2 t \cdot 3 ^ { ( 2 - 7 ) / 2 } - 2 - t ^ { 2 } \cdot 3 ^ { - 1 } - 2 t \cdot 3 ^ { - 1 / 2 } - 1 . 2 6 8 4 4 t ^ { 5 / 3 } \cdot 3 ^ { ( 6 - 7 ) / 6 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 2 d - 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } - 1 . 2 8 9 4 t - 1 . 0 5 6 2 1 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { = } & { t ^ { 3 } q ^ { 2 d - 1 } \left( t ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 1 / 3 } - 1 . 0 5 6 2 1 \right) - 1 . 2 8 9 4 \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 3 } q ^ { 2 d - 1 } \left( 3 1 3 ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } \cdot 3 1 3 ^ { 1 / 3 } - 1 . 0 5 6 2 1 \right) - 1 . 2 8 9 4 \right) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 c } ^ { ( 1 ) } } & { { } = - 2 4 0 i D p ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } x y ( y + s ) ^ { 2 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \end{array}
\Pi _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } = - \tau \rho \frac { k _ { B } T } { m } \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { D } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) - \tau \rho \frac { 2 k _ { B } T } { D m } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } ,
- \kappa ^ { 2 } B ^ { \dagger } B = { \frac { - i \kappa ^ { 4 } B ^ { \dagger } B } { \pi ^ { 3 } } } \int _ { - \Lambda } ^ { \Lambda } ~ d p ~ p ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } ~ d p _ { 0 } { \cal G } ( p _ { 0 } , p )
\begin{array} { r l } { \bar { y } ^ { c } ( x ) } & { { } = \mathbf { C } ( x ) \mathbf { C } _ { \mathrm { s } } ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { \mathrm { s } } , } \\ { C _ { y } ^ { c } ( x , x ^ { \prime } ) } & { { } = C _ { y } ( x , x ^ { \prime } ) - \mathbf { C } ( x ) \mathbf { C } _ { \mathrm { s } } ^ { - 1 } \mathbf { C } ( x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { g _ { t } } ( h _ { t } , h _ { t } ) = \langle \Pi _ { 2 } ^ { g _ { t } } h _ { t } , h _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g _ { t } } ) } = \langle \Pi ^ { g _ { t } } \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { t } , \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { t } \rangle + | \langle 1 , \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g _ { t } } ) } | ^ { 2 } } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { z _ { 0 } \in \mathcal { R } ( \Omega _ { \varepsilon } ^ { 5 } ) } \big \| \psi ^ { ( z _ { 0 } ) } \big \| _ { 2 , \alpha , \overline { { Q _ { 1 / 4 } ^ { ( z _ { 0 } ) } } } } \, + \operatorname* { s u p } _ { z _ { 0 } \in \mathcal { R } ( \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } \cap \partial \Omega _ { \varepsilon } ^ { 5 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 0 } } } \big \| F ^ { ( z _ { 0 } ) } \big \| _ { 2 , \alpha , [ - \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } ] } \leq C \, .
\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 - \epsilon } & { 1 - \delta } \end{array} \right] ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \epsilon - \delta } \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \delta } & { - 1 } \\ { - ( 1 - \epsilon ) } & { 1 } \end{array} \right]
H = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } ( 1 - \sqrt { 3 } ) } \frac { 1 } { \tilde { t } } \left( 1 - \frac { t } { \tilde { t } } \right) ^ { \frac { \sqrt { 3 } } { 1 - \sqrt { 3 } } } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r } { \tilde { E } _ { z } ^ { 0 } ( \kappa ) = \left\{ \begin{array} { c } { a _ { 1 } + a _ { 2 } \log ( \kappa ) ~ ~ \kappa < 1 } \\ { a _ { 3 } + a _ { 4 } \log ( \kappa ) - 2 \nu \log \left( \kappa + \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } \right) ~ ~ 1 < \kappa \ll \infty } \end{array} \right. , } \end{array}
\frac { 1 } { s } ( \tilde { \phi } ^ { n } , \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) \leq \frac { 1 } { s } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { - 1 , h } \cdot \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \leq \frac { 2 } { s ^ { 2 } } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { - 1 , h } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } .