harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s \ p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ s \ \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) = \left[ \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) \right] _ { 0 } ^ { \infty } - \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } \ \frac { \mathrm { d } \Pi ( s ; u _ { f } | u _ { 0 } ) } { \mathrm { d } s } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { C } } } & { { } = G _ { \mathrm { C } } ^ { \prime } + { \cal R } T \ln { a _ { \mathrm { C } } } , } \\ { G _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } & { { } = G _ { \mathrm { O _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \left( \frac { f _ { \mathrm { O _ { 2 } } } } { P _ { 0 } } \right) } , } \\ { G _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } & { { } = G _ { \mathrm { C O _ { 2 } , 0 } } + { \cal R } T \ln { \left( \frac { f _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } } { P _ { 0 } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \sqrt { n b _ { k } ^ { i , l } } \operatorname* { s u p } _ { | t _ { j } - t | \leq n ^ { - 1 } , j \in \mathcal { T } _ { n } , t \in [ 0 , 1 ] } \left| \frac { \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t ) } { \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t ) } - \frac { \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) } { \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) } \right| \mathbf 1 ( \bar { B } _ { n } ^ { \prime } ) \right\| _ { q } = O ( | \mathbb { B } | ^ { 1 / q } ( n b ) ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d x } { x } } \sin [ ( a + 2 p \pi ) x + { \frac { b } { x } } ] = { \frac { \pi } { 2 } } [ s i g n ( a + 2 p \pi ) + s i g n ( b ) ] J _ { 0 } ( 2 \sqrt { ( a + 2 p \pi ) b } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta t } ( \pmb { \rho _ { i } ^ { s r c } } - \pmb { \rho _ { i } } ) = \pmb { \rho _ { i } } \odot \pmb { r _ { i } } \odot \pmb { \chi _ { i } } } \\ { \Rightarrow \quad } & { \pmb { \rho _ { i } ^ { s r c } } = ( \pmb { 1 _ { n } } + \Delta t \cdot \pmb { r _ { i } } \odot \pmb { \chi _ { i } } ) \odot \pmb { \rho _ { i } } } \end{array}
\hat { S } _ { 1 } = \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } - \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } , \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \hat { \mathcal { D } } = - \frac { \hat { 1 } - \hat { \mathcal { P } } } { \hat { H } _ { 0 } - E _ { 0 } } .
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ c ~ } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } | \Psi ( t ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { [ 0 , 2 \pi ] ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { k \in I _ { 0 } } t _ { j } ( k ^ { 1 } , k ^ { 2 } ) e ^ { i k ^ { ( 2 ) } x ^ { ( 2 ) } } \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } } & { \leq \int _ { S _ { 0 } } \left\vert \sum _ { \tau = 0 } ^ { h } t _ { j } \left( k _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \tau \kappa ^ { ( 2 ) } \right) e ^ { i \tau \kappa ^ { ( 2 ) } x ^ { ( 2 ) } } \right\vert \, \textnormal { d } x ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \Phi } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \alpha \beta } \left( \partial _ { \alpha } \Phi \right) \left( \partial _ { \beta } \Phi \right) - V _ { \mathcal { R } } \left( \Phi \right) , \quad \alpha , \beta = 0 , 1 , 2 , 3
\lambda _ { \hat { \varepsilon } } ^ { ( 1 ) } ( F ) = - a _ { \hat { \varepsilon } } \frac { 1 } { \omega } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { \tilde { l } b } \frac { \sigma ^ { a k b } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } { \xi _ { \hat { \varepsilon } } } _ { a } { \chi _ { \hat { \varepsilon } } } _ { k } = - \frac { a _ { \hat { \varepsilon } } } { \omega } { \xi } _ { \tilde { l } } \lvert \xi _ { \hat { \varepsilon } } \rvert _ { \hat { \mu } } ^ { 2 } ,
\mu ( t ) = ( K _ { B } \omega _ { \beta } ^ { 2 } / \omega _ { w } ) \sqrt { K _ { E } ^ { 2 } / 4 K _ { B } ^ { 2 } \left( \omega _ { w } ^ { 2 } / 4 K _ { B } \omega _ { \beta } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } }
\sin ^ { 2 } { \frac { c } { 2 R } } = \sin ^ { 2 } { \frac { a } { 2 R } } + \sin ^ { 2 } { \frac { b } { 2 R } } - 2 \sin ^ { 2 } { \frac { a } { 2 R } } \sin ^ { 2 } { \frac { b } { 2 R } } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { u _ { \vartheta } = - \frac { B I \ell _ { G } ^ { 2 } } { 2 \pi c \eta r } + \frac { B I \left( \eta \ell _ { L } ^ { 2 } - \eta _ { L } \ell _ { G } ^ { 2 } \right) } { 2 \pi c \eta \eta _ { L } r _ { 1 } r _ { 2 } } \times } \\ & { } & \\ & { } & { \quad \times \left[ K _ { 1 } \! \left( \frac { r } { \ell _ { G } } \right) \frac { r _ { 1 } I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) \! - \! r _ { 2 } I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) } { K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) \! - \! I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) } \right. } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad + \left. I _ { 1 } \! \left( \frac { r } { \ell _ { G } } \right) \frac { r _ { 2 } K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) \! - \! r _ { 1 } K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) } { K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) \! - \! I _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 1 } } { \ell _ { G } } \right) K _ { 1 } \! \left( \frac { r _ { 2 } } { \ell _ { G } } \right) } \right] \! , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathbb D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ) + q ^ { i } y ^ { i } } & { = } & { g ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { t } ^ { 1 - \gamma } y ^ { i } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { y ^ { 0 , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { r c l l } { a _ { i } ( u _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , v _ { h } ^ { i } ) - b _ { i } ( \lambda _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) , v _ { h } ^ { i } ) } & { = } & { 0 } & { \qquad \forall v _ { h } ^ { i } \in V _ { h } ^ { i } , } \\ { b _ { i } ( \mu _ { h } ^ { i } , u _ { h } ^ { i } ( u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) ) } & { = } & { b _ { \gamma } ^ { i } ( \mu _ { h } ^ { i } , u _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } ) } & { \qquad \forall \mu _ { h } ^ { i } \in \Lambda _ { h } ^ { i } . } \end{array} \right.
\sigma \epsilon ^ { p - 3 } = \Phi \! \! \left( \! \! \begin{array} { c c } { { 2 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 3 } } \end{array} \! \! \right) = \Phi \! \! \left( \! \! \begin{array} { c c } { { p - 3 } } & { { p - 3 } } \\ { { 2 } } & { { 1 } } \end{array} \! \! \right) = \sigma ^ { p - 4 } \bar { \sigma } ^ { p - 2 }
\begin{array} { r l } & { \frac { ( p _ { 1 } - \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \vert p _ { 2 } \vert - \epsilon _ { 2 } ) ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } = 1 - 2 \frac { p _ { 1 } \epsilon _ { 1 } + \vert p _ { 2 } \vert \epsilon _ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } + \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { \phantom { \frac { ( p _ { 1 } - \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \vert p _ { 2 } \vert - \epsilon _ { 2 } ) ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } } \geq 1 - 2 \frac { \sqrt { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } \Vert \widehat { \epsilon } \Vert _ { 2 } + \frac { \Vert \widehat { \epsilon } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } { p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } } \geq ( 1 - M \Vert \widehat { \epsilon } \Vert _ { 2 } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \frac { 1 } { l _ { M } ^ { 3 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \mid } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \frac { R _ { 1 } } { l _ { M } ^ { 3 } } } } & { { - } } & { { \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { l _ { M } ^ { 6 } } } } & { { - } } & { { \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } R _ { 3 } } { l _ { M } ^ { 9 } } } } & { { - } } & { { \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } R _ { 3 } R _ { 4 } } { l _ { M } ^ { 9 } } } } & { { - \dots - } } & { { \frac { 1 } { R _ { d + 1 } } } } \end{array}
G _ { 1 1 } = 1 + { \frac { ( P _ { 2 } - P _ { 1 } ) } { r } } + { \cal O } ( r ^ { - 2 } ) , \ \ \ \ G _ { 2 2 } = 1 + { \frac { ( Q _ { 1 } - Q _ { 2 } ) } { r } } + { \cal O } ( r ^ { - 2 } ) ,
{ \frac { \langle E ( s ) \rangle } { A } } = { \frac { \hbar c ^ { 1 - s } } { 4 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi q d q \left\vert q ^ { 2 } + { \frac { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \right\vert ^ { ( 1 - s ) / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { < \frac { - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } + \frac { ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \left( \frac { - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \right) } \\ { } & { = \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } \\ { } & { \le 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon = } & { { n _ { d } } / { n _ { i } } } \\ { \alpha = } & { ( 1 - \epsilon Z ) ^ { - 1 } } \\ { \mu = } & { \frac { m _ { d } { n _ { d } } } { m _ { n } { n _ { n } } } } \\ { x _ { I } = } & { \frac { { n _ { i } } } { { n _ { n } } } } \\ { \cos \theta = } & { \frac { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } } { | \mathbf { k } | | \mathbf { w } _ { s d } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = b \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] \approx q F b ^ { 2 } / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) , } \\ { B } & { { } = b ^ { 2 } . } \end{array}
\Bigg [ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu \rho ^ { 2 } } \Big ( \Lambda ^ { 2 } + \frac { 1 5 } { 4 } \Big ) + \sum _ { i < j } ^ { 3 } V ( r _ { i j } ) \Bigg ] \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) = U _ { \nu } ( \rho ) \Phi _ { \nu } ( \rho ; \Omega ) ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ , ~ e ~ x ~ t ~ } } ^ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ I ~ } } \approx } & { { } \left( \frac { L L _ { \mathrm { ~ M ~ Z ~ } } } { 2 L _ { 1 } L _ { 2 } } \right) ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } \ , } \end{array}
H _ { \textrm { i n t , q M C } } = - \Delta \left( \sigma _ { \textrm { e } } + \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + a ^ { \dagger } a \right) + g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { { g } _ { 1 } \mathrm { e } } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \frac { \Omega } { 2 } \left( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } \right) + \epsilon ( a + \textrm { h . ~ c . } ) ,
\mu _ { N } = \mu _ { N } ^ { \left[ 1 \right] } + \mu _ { N } ^ { \pi q \overline { { { q } } } } + \mu _ { N } ^ { \gamma \pi \pi } + \mu _ { N } ^ { \rho q \overline { { { q } } } } + \mu _ { N } ^ { \gamma \rho \rho } + \mu _ { N } ^ { \rho \pi \gamma } \, .
V = \frac { 1 } { 2 } [ ( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } \Delta \sin ^ { 2 } \theta ) \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } + \Omega ^ { 2 } + ( n + \frac { a Q r \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } } ) ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } \lesssim } & { \: ( 1 + \tau _ { A } ) ^ { \gamma ( 1 + 2 \epsilon ) } \int _ { \Sigma _ { \tau _ { A } } } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r } \\ & { \: + ( 1 + \tau _ { A } ) ^ { \gamma ( 1 + 2 \epsilon ) } \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \tau _ { A } } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } [ ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } + r ^ { 2 } \chi _ { \tau _ { A } \leq \tau \leq \tau _ { A } + 1 } + r ^ { 1 + \epsilon } ] | K G | ^ { 2 } \, r ^ { 2 } d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: ( 1 + \tau _ { A } ) ^ { \gamma ( 1 + 2 \epsilon ) } \Bigg [ \sum _ { k \leq 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau _ { A } } } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \phi ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r + C D _ { 1 } [ \phi ] ( \tau _ { A } ) \Bigg ] , } \end{array}
\mathbf { M } = \left[ \begin{array} { l l l l } { T _ { s _ { 1 } } } & { T _ { s _ { 1 } \rightarrow s _ { 2 } } } & { T _ { s _ { 1 } \rightarrow s _ { 3 } } } & { \dots } \\ { T _ { s _ { 2 } \rightarrow s _ { 1 } } } & { T _ { s _ { 2 } } } & { T _ { s _ { 2 } \rightarrow s _ { 3 } } } & { \dots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \dots } & { \dots } & { \dots } & { \dots } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { | A | } & { \leqslant \left( \frac { n } { 1 2 } + 2 - \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 2 } \right) + \left( \frac { n } { 1 0 } + 2 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 5 } \right) + \frac { n } { 9 } + C } \\ & { \, \, \, \, \, \, + \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + 3 - 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| - \left| Z _ { B } \right| \right) + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| } \\ & { = \frac { 5 3 n } { 1 8 0 } + C + 7 + \frac { \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| } { 1 0 } + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| - \left| Z _ { B } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { | | } ^ { \mathrm { R } } ( \mathrm { f } \leftarrow \mathrm { i } ) } & { = 4 5 a _ { \mathrm { f i } } ^ { 2 } + 4 \gamma _ { \mathrm { f i } } ^ { 2 } \; , } \\ { A _ { \perp } ^ { \mathrm { R } } ( \mathrm { f } \leftarrow \mathrm { i } ) } & { = 3 \gamma _ { \mathrm { f i } } ^ { 2 } \; , } \\ { A ^ { \mathrm { R } } ( \mathrm { f } \leftarrow \mathrm { i } ) } & { = 4 5 a _ { \mathrm { f i } } ^ { 2 } + 7 \gamma _ { \mathrm { f i } } ^ { 2 } \; , } \end{array}
\Biggl | \, \frac { \kappa _ { m } \big \| \nabla { \theta } _ { m } \big \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } { \kappa _ { m - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla \theta _ { m - 1 } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } - 1 \, \Biggr | \leq C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \, .
\begin{array} { r l } { \hat { s } ( \theta , \hat { t } ) } & { { } = \hat { s } _ { 0 } ( \hat { t } ) + \varepsilon \hat { \gamma } _ { n } ( \hat { t } ) \cos n \theta + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \hat { p } ( \hat { r } , \theta , \hat { t } ) } & { { } = \hat { p } _ { 0 } ( \hat { r } , \hat { t } ) + \varepsilon \hat { A } _ { n } ( \hat { r } , \hat { t } ) \cos n \theta + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) \leq \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi ^ { T , T , K _ { 0 } } } \Big \{ \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) \Big \} } \\ & { \leq } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { } & { + 2 0 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 5 0 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 L } . } \end{array}
\nabla ^ { A } \partial _ { A } \Phi ^ { a } = - { \frac { ( \partial ^ { A } \Phi ^ { b } ) ( \partial _ { A } \Phi ^ { b } ) } { \eta ^ { 2 } } } \Phi ^ { a } + { \frac { \sqrt { - h } } { \sqrt { - g } } } { \frac { \partial \sigma _ { i } ( \Phi ^ { a } ) } { \partial \Phi ^ { a } } } \delta ( y _ { i } ) \, ,
\nabla \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { S } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { \Omega } ( \mathbf { x } , t ) , \quad \mathbf { S } = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { f } + \nabla \mathbf { f } ^ { \top } ) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \beta = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \left[ q ^ { \alpha + \beta - 2 \operatorname* { m i n } ( \alpha , \beta ) } \right] ^ { 2 } } } & { = \sum _ { \beta = 0 } ^ { \alpha } \frac { 1 } { q ^ { 2 ( \alpha - \beta ) } } + \sum _ { \beta = \alpha + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { q ^ { 2 ( \beta - \alpha ) } } } \\ & { \le \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { q ^ { 2 r } } + \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { q ^ { 2 r } } = \left( 1 + 1 / q ^ { 2 } \right) \cdot \frac { 1 } { 1 - 1 / q ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \ell ( \hat { z } , z ^ { * } ) } \\ & { \leq k \exp \left( - \left( 1 - \left( 2 \rho + \frac { C _ { 3 } } { 2 } \sqrt { \frac { \beta ^ { - 2 } k ^ { 3 } p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { n } \right) \frac { 1 6 k p } { \beta q } \right) \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq a \neq b \leq k } J _ { n _ { a } , n _ { b } , p , q } \right) } \\ & { \quad + 4 k ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 3 n ( p - q ) ^ { 2 } } { 2 p } \right) + \exp \left( - 1 2 8 n p \right) + 2 n ^ { - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { x x } } & { = \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \Omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi v _ { \perp } ^ { \prime } d v _ { \perp } ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { \parallel } ^ { \prime } } \\ & { \quad \times \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { \Omega v _ { \perp } ^ { \prime } } { \omega - k _ { \parallel } v _ { \parallel } ^ { \prime } - n \Omega } \frac { n ^ { 2 } J _ { n } ( z ) ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { c } { { \mathrm { F _ { [ m ] } ~ i n ~ I I B } } } \\ { { \mathrm { o n S ^ { 1 } } } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { S } } \\ { { \longmapsto } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { \mathrm { D 1 _ { [ m ] } ~ i n ~ I I B } } } \\ { { \mathrm { o n S ^ { 1 } } } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { \Omega } } \\ { { \longmapsto } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { \mathrm { D 1 _ { [ m ] } ~ i n ~ I B } } } \\ { { \mathrm { o n ~ S ^ { 1 } } } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { T _ { m } } } \\ { { \longmapsto } } \end{array} } \quad { \begin{array} { c } { { \mathrm { \ l q \ l q D 0 " ~ i n ~ I ^ { \prime } } } } \\ { { \mathrm { o n ~ S ^ { 1 } / Z _ { 2 } } } } \end{array} } \quad ,
\begin{array} { r l r } { { \cal J } _ { n l l ^ { \prime } , 1 s } ^ { a } ( \tau , q ) } & { = } & { \frac { 2 ^ { \tau + l + 4 } \; \tau } { q \; n ^ { 2 + l } ( 1 + \tau ) ^ { 2 + \tau } ( 1 - \tau ) ^ { 2 } ( 2 - \tau ) } \frac { 1 } { ( 2 l + 1 ) ! } \left[ \frac { ( n + l ) ! } { ( n - l - 1 ) ! } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \times \mathrm { R e } \left\{ \sum _ { p = 0 } ^ { l ^ { \prime } } \frac { i ^ { p - l ^ { \prime } - 1 } } { ( 2 q ) ^ { p } } \frac { ( l ^ { \prime } + p ) ! } { p ! ( l ^ { \prime } - p ) ! } \sum _ { s = 0 } ^ { n - l - 1 } \frac { ( l + 1 - n ) _ { s } } { ( 2 l + 2 ) _ { s } s ! } \left( \frac { 2 } { n } \right) ^ { s } \right. } \\ & { } & { \times ( 2 + l - p + s ) ! \left( \frac { n \tau } { n + \tau - i q n \tau } \right) ^ { 3 + l - p + s } } \\ & { } & { \times \left. F _ { 1 } ( 2 - \tau , - 1 - \tau , 3 + l - p + s , 3 - \tau , x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi } { \partial z } } & { { } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial t ^ { 2 } } + \frac { \beta _ { 4 } } { 2 4 } \frac { \partial ^ { 4 } \psi } { \partial t ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } } & { = - 2 D \kappa _ { E } b _ { \varepsilon } \gamma } \\ { \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \gamma } } & { = - b _ { \varepsilon } \gamma \left( 1 + \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \right) } \\ & { = - 2 b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } } \\ { \frac { 1 } { V ^ { \ast } } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { F } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma ^ { 2 } } } & { = 2 D \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) b _ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \Psi _ { y } ^ { - 1 } ( \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) ) } ( z ) = 1 } & { \iff z \in \Psi _ { y } ^ { - 1 } ( \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) ) \iff \Psi _ { y } ( z ) \in \mathcal A \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) } \\ & { \iff \Psi _ { y } ( z ) \in \mathcal A \iff \xi ( y , z ) \in \mathcal A } \\ & { \iff ( y , z ) \in \xi ^ { - 1 } ( \mathcal A ) \iff \chi _ { \xi ^ { - 1 } ( \mathcal A ) } ( y , z ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 1 } ( x , t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \\ & { \times \left( \frac { 1 - \exp ( - C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) t ) } { ( C \sigma _ { i } + \frac { k } { \xi } ) ( C ( \sigma _ { i } + \sigma _ { j } ) ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { s } ^ { S D A } \right] = \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h _ { 0 } } } \left[ \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) \right] - \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h _ { 0 } } , Z } \left[ \mathrm { E i } \left( - \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } Z } \right) \right] \mathrm { l o g } _ { 2 } e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \beta _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \rightarrow 0 } P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \left( U _ { \eta } = r \right) } & { { } = \frac { 1 } { \vert \mathbf { H } \left( M \right) \vert } . } \end{array}