harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \tau _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } } & { = \frac { 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \delta _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } \gets A + \alpha \left( ( Y _ { ( 1 ) } ^ { \top } - A ( C \odot B ) ^ { \top } ) ( \overline { { C \odot B } } ) + \lambda _ { e } \cdot \frac { \nabla _ { e } ^ { \mathsf { H } } \nabla _ { e } ^ { } ( C \odot B ) A ^ { \top } } { \| \nabla _ { e } ( C \odot B ) A ^ { \top } \| _ { 1 } } \right. } \end{array}
\int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { M } u _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) v _ { * } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) v _ { * } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x = 0
\left\langle F \right\rangle = \frac { \int \mathcal { D } \, \Psi ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi \, F \, e ^ { - S _ { E } } } { \int \mathcal { D } \, \Psi ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \Psi \; e ^ { - S _ { E } } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta f } { f _ { r } } = } & { { } ~ \frac { F \delta _ { \mathrm { ~ T ~ L ~ S ~ } } ^ { 0 } } { \pi } \bigg ( \mathrm { ~ R ~ e ~ } \bigg \{ \Psi \bigg ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { h f _ { r } } { 2 i \pi k _ { B } T } \bigg ) \bigg \} + } \end{array}
\phi ( g ) : = f ^ { - 1 } \circ \, p _ { f ( M ) } \circ \, g \in \operatorname { D i f f } ( M ) \quad { \mathrm { a n d } } \quad g \circ \, \phi ( g ) ^ { - 1 } \in \Gamma ( f ^ { * } W _ { f ( M ) } ) \subset \Gamma ( f ^ { * } \operatorname { N o r } ( f ( M ) ) ) .
\Big [ \partial _ { s } - ( 4 - \eta _ { \kappa } ) - \hat { p } \partial _ { \hat { p } } + ( 2 - \eta _ { \kappa } ) { \hat { t } \partial _ { \hat { t } } } \Big ] \hat { C } _ { \kappa } ( \hat { t } , \hat { p } ) = - \hat { p } ^ { 2 } \hat { C } _ { \kappa } ( \hat { t } , \hat { p } ) \int _ { \omega } \frac { \cos ( \hat { \omega } \hat { t } ) - 1 } { \hat { \omega } ^ { 2 } } \hat { J } _ { \kappa } ( \hat { \omega } ) \, .
\mathcal { U } _ { I } = \left( \begin{array} { l l } { \cos ( \beta / 2 ) } & { - i e ^ { - i \tilde { \phi } } \sin ( \beta / 2 ) } \\ { - i e ^ { i \tilde { \phi } } \sin ( \beta / 2 ) } & { \cos ( \beta / 2 ) } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { ( 0 0 0 ) } ( t ) } & { { } = a _ { ( 0 0 0 ) } n _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } , ( 0 0 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } \right) + a _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } , ( 0 0 0 ) } , } \\ { f _ { ( 0 1 0 ) } ( t ) } & { { } = a _ { ( 0 1 0 ) } n _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } , ( 0 1 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } \right) + a _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } , ( 0 1 0 ) } , } \\ { f _ { ( 1 0 0 ) } ( t ) } & { { } = a _ { ( 1 0 0 ) } n _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } , ( 1 0 0 ) } \left( t , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 1 } } \right| , \left| \frac { d \vec { \mu } _ { e } } { d Q _ { 2 } } \right| , \tau _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } \right) + a _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } , ( 1 0 0 ) } . } \end{array}
\psi ^ { i } ( x ) \to U ^ { i j } ( x ) \psi ^ { j } ( x ) , \quad A _ { \mu } ^ { a } ( x ) t ^ { a } \to U ( x ) \left[ A _ { \mu } ^ { a } ( x ) t ^ { a } + i g ^ { - 1 } \partial _ { \mu } \right] U ^ { \dagger } ( x ) ,
k _ { 2 } \frac { 4 F _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \nu _ { 1 } ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { 1 } + 4 F _ { 2 } \mu _ { 1 } } { ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } - F _ { 2 } \nu _ { 1 } x _ { 1 } + \mu _ { 1 } ( 1 - F _ { 2 } ^ { 2 } ) } \Bigg ( \frac { x _ { 3 } + F _ { 3 } } { 1 - F _ { 3 } x _ { 3 } } + \mu _ { 2 } \frac { 1 - F _ { 3 } x _ { 3 } } { x _ { 3 } + F _ { 3 } } \Bigg ) = \nu _ { 2 }
\begin{array} { r l r l } { \dot { v } _ { z } ^ { i } } & { { } = - 1 - v _ { z } ^ { i } / v _ { s } , } \\ { \dot { v } _ { x } ^ { i } } & { { } = ( u _ { x } - v _ { x } ^ { i } ) / v _ { s } , } \\ { \kappa ^ { 2 } ( z + z _ { 0 } ) ^ { 2 } u _ { x } ^ { \prime } | u _ { x } ^ { \prime } | } & { { } = u _ { \ast } ^ { 2 } [ 1 - \tau _ { g } ( z ) / \tau ] , } & { u _ { x } ( 0 ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| ( 1 - \partial _ { v v } - \partial _ { w w } ) ( \partial _ { v } + \partial _ { w } ) ^ { m } e ^ { \int _ { w } ^ { v } k \sqrt { h _ { 1 } h _ { 2 } ( z ) } d z } \right| } & { { } \lesssim k ^ { 2 } \Gamma _ { s } ( m ) M ^ { m } e ^ { - C ^ { - 1 } k | w - v | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \frac { \partial \phi } { \partial t } = } & { { } - \kappa \left( \nabla ^ { 2 } - \frac { G ^ { \prime \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) \left( \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) + \gamma \left( \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { n } u \equiv } & { \partial _ { t } u _ { n } - \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u _ { n } ) \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { n } - g _ { 0 } u _ { n } } \\ { = } & { \partial _ { t } u _ { n } - \partial _ { x } \left( \gamma \mathcal { P } _ { n } ( u _ { n } ) \partial _ { x } u _ { n } \right) + \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u _ { n } ) \left( \partial _ { x } u _ { n } \right) ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u _ { n } ) \partial _ { x } u _ { n } - g _ { 0 } u _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } \hat { V } _ { 1 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \sum _ { i , j } F _ { i } F _ { j } \left[ \langle N | Q _ { i } \hat { R } Q _ { j } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \sum _ { i , j } F _ { i } F _ { j } \left[ \sum _ { M } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \langle N | Q _ { i } | M \rangle \langle M | Q _ { j } | N \rangle } { E _ { N } ^ { ( 0 ) } - E _ { M } ^ { ( 0 ) } } \right] } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { \omega _ { i } } \Big [ \langle n _ { i } | Q _ { i } | n _ { i } - 1 \rangle \langle n _ { i } - 1 | Q _ { i } | n _ { i } \rangle \Big ] } \\ & { } & { + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { - \omega _ { i } } \Big [ \langle n _ { i } | Q _ { i } | n _ { i } + 1 \rangle \langle n _ { i } + 1 | Q _ { i } | n _ { i } \rangle \Big ] } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { \omega _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \Big ] + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { - \omega _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { \omega _ { i } } \frac { f _ { i } } { 2 \omega _ { i } } + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { F _ { i } F _ { i } } { - \omega _ { i } } \frac { f _ { i } + 1 } { 2 \omega _ { i } } } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { \omega _ { i } } { f _ { i } } + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { - \omega _ { i } } { ( f _ { i } + 1 ) } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { \dots } & { x _ { n } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } & { \dots } & { y _ { n } } \\ { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } & { \dots } & { z _ { n } } \end{array} \right]
\tilde { H } = M + \frac { 1 } { 8 \lambda } \pi _ { i } \pi _ { i } - \frac { 1 } { 4 \lambda } ( a _ { i } \pi _ { i } ) \theta + \frac { 1 } { 8 \lambda } a _ { i } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } - \eta ( a _ { i } a _ { i } - 1 ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = a ( u ) ( ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \vec { \kappa } + \frac { 1 } { 2 } | \vec { \kappa } | _ { g } ^ { 2 } \vec { \kappa } - \vec { \kappa } ) } & { \mathrm { o n ~ } [ 0 , T ) \times I } \\ { u ( 0 , \cdot ) = u _ { 0 } } & { \mathrm { o n ~ } I } \\ { u ( t , y ) = u _ { 0 } ( y ) } & { \mathrm { f o r ~ } ( t , y ) \in [ 0 , T ) \times \partial I } \\ { \partial _ { s } u ( t , y ) = \partial _ { s } u _ { 0 } ( y ) } & { \mathrm { f o r ~ } ( t , y ) \in [ 0 , T ) \times \partial I . } \end{array} \right.
\eta ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s , \quad \widetilde { { \rho } } _ { \Xi } ( t ) = \mathrm { e } ^ { - \eta ( t ) } { \rho } _ { \Xi } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { i \left( \left. \frac { \partial } { \partial \tau } \right| _ { k = c o n s t a n t } - E a \left. \frac { \partial } { \partial k } \right| _ { \tau = c o n s t } \right) } & { { } = i \left. \frac { \partial } { \partial \tau } \right| _ { s = c o n s t } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { o } } & { { } = } & { 1 . 4 4 \times 1 0 ^ { - 3 } \mathrm { ~ k ~ m ~ } ^ { - 1 } , } \\ { \alpha _ { w } ( h ^ { \prime } ) } & { { } = } & { 4 . 4 4 \times 1 0 ^ { - 5 } p _ { 0 } e ^ { - \frac { h ^ { \prime } } { 2 } } \mathrm { ~ k ~ m ~ } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { V } ^ { \textrm { X C } } \left[ \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) , | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | \right] = } & { \frac { \delta E _ { \mathrm { X C } } } { \delta \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { 0 } + \sum _ { u = \{ x , y , z \} } \frac { \delta E _ { \mathrm { X C } } } { \delta \rho _ { \textrm { m } , u } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { u } } \\ { = } & { \frac { \delta E _ { \mathrm { X C } } } { \delta \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } ) } \boldsymbol { \sigma } _ { 0 } + \frac { \delta E _ { \mathrm { X C } } } { \delta | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | } \frac { \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) \cdot \vec { \boldsymbol { \sigma } } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } ) | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right) } & { = { \mathbb E } \left[ F ( X _ { 0 } , X _ { 0 } ) \right] + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ { \mathcal L } \left( F \right) ( M _ { s } , X _ { s } ) \right] d s } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } { \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ \partial _ { m } F ( X _ { s } , { X _ { s } } ) \| A ( X _ { s } ) \| ^ { 2 } \frac { p _ { V } ( X _ { s } , { X _ { s } } ; s ) } { p _ { X } ( X _ { s } ; s ) } \right] d s . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf P } _ { 1 } ^ { ' } } & { { } = } & { \hat { { \bf P } } _ { 1 } \mathrm { c o s } ( \psi ) + \hat { { \bf P } } _ { 2 } \mathrm { s i n } ( \psi ) , } \\ { \hat { \bf P } _ { 2 } ^ { ' } } & { { } = } & { - \hat { { \bf P } } _ { 1 } \mathrm { s i n } ( \psi ) + \hat { { \bf P } } _ { 2 } \mathrm { c o s } ( \psi ) . } \end{array}
M _ { \sigma } ^ { 2 } ( T , \mu ) = M _ { \pi } ^ { 2 } ( T , \mu ) + { \frac { 1 6 N } { f _ { \pi } ^ { 2 } ( T , \mu ) } } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( - ) ^ { n } \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { \left( m + { \bar { \Sigma } } _ { s } \right) ^ { 2 } } { \left[ { \bar { k } } ^ { 2 } + \left( m + { \bar { \Sigma } } _ { s } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } } ~ { \bar { \Sigma } } _ { s } ^ { 2 } ~ e ^ { \displaystyle { i n { \frac { k _ { 0 } } { T } } } }
\begin{array} { r l } & { ( \sqrt { p _ { k } } - 2 c _ { k } ) ( \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } ) } \\ & { \quad = \left( \frac { 3 c _ { k } + \sqrt { c _ { k } ^ { 2 } + 4 k ^ { 2 } + 8 k + 4 } } { 2 } - 2 c _ { k } \right) \left( \frac { 3 c _ { k } + \sqrt { c _ { k } ^ { 2 } + 4 k ^ { 2 } + 8 k + 4 } } { 2 } - c _ { k } \right) } \\ & { \quad = k ^ { 2 } + 2 k + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 4 } = } & { \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) ( g - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g ) d t + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g d t \right) ^ { 2 } } \\ { \le } & { 2 \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e ) ( g - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g ) d t \right) ^ { 2 } + 2 \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \left( R _ { 1 } e ^ { 2 } + R _ { 2 } e e ^ { \prime } + R _ { 3 } ( e ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g d t \right) ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \| g - \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } + C \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } \left( e ^ { 2 } + ( e ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } d t \| \Pi _ { * } ^ { \bf { r - 2 } } g \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \| g \| _ { H ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } + C \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { 4 } d t + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } d t \right) \| g \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \| e \| _ { H ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le n \le N } \Big \{ \Big ( \displaystyle \frac { k _ { n } } { r _ { n } } \Big ) ^ { 4 } \Big \} \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } + C \left( \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { 4 } d t + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { \prime } ) ^ { 4 } d t \right) \| e \| _ { L ^ { 2 } ( I ) } ^ { 2 } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \sigma _ { x } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \cos \left( 2 \omega t \right) } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \sin \left( 2 \omega t \right) } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } & { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \omega t } } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \omega t } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E r r _ { k , i } } & { = } & { \mu _ { k , i } - \pullback { f _ { k , i } } } \\ & { = } & { ( \mu _ { k , i } - \pullback { f _ { k , i - 1 } } ) - ( g _ { k } - \pullback { f _ { k , i - 1 } } ) + ( g _ { k } - \pullback { f _ { k , i } } ) } \\ & { = } & { H _ { i } ( D _ { k , i } ) \ell _ { i } \otimes \ell _ { i } - D _ { k , i } + D _ { k , i + 1 } , } \end{array}
\left[ q ( t , \vec { x } ) , \, p ( t , \vec { x } ^ { \prime } ) \right] = \delta ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) , \quad \left[ \Psi ( t , \vec { x } ) , \, \bar { \Psi } ( t , \vec { x } ^ { \prime } ) \right] = - i \delta ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } )
\Pi _ { V } ^ { ( r e s ) } ( q ^ { 2 } ) = < \frac { d } { d n } \sum _ { k } \theta ( n - k ) > \; \int \frac { d s } { s - q ^ { 2 } } s f _ { V n ( s ) } ^ { 2 } \frac { d n ( s ) } { d s } \; ,
\{ f \circ g \} = \sum _ { k } { \frac { \partial f } { \partial a _ { k } } } { \frac { \partial g } { \partial a _ { k } ^ { * } } } = { \frac { \partial f } { \partial { \vec { a } } } } \cdot { \frac { \partial g } { \partial { \vec { a } } ^ { * } } } .
( f _ { \chi _ { 1 } \phi \chi _ { 2 } } ) ^ { \ast } = ( - 1 ) ^ { h _ { 1 } + h _ { \phi } + h _ { 2 } } f _ { \overline { { \chi } } _ { 1 } \overline { { \phi } } \overline { { \chi } } _ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { P } _ { H } ( x ) , \mathcal { P } _ { H } ( x ) ] } & { = \beta ^ { 2 } \big [ x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] h _ { k } ^ { \prime } , x - \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] h _ { k } ^ { \prime } \big ] } \\ & { = \beta ^ { 2 } ( - 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } - 2 \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } ) } \\ & { = - \beta ^ { 2 } ( 1 + \sum _ { k \in [ K ^ { \prime } ] } [ x , h _ { k } ^ { \prime } ] ^ { 2 } ) = - 1 ; } \end{array}
\epsilon \equiv \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { V ^ { \prime } } { V _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \simeq \frac { M _ { P } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } \left( \frac { g ^ { 4 } } { \lambda ^ { 4 } } \right) ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l r } { \langle 4 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle } & { = } & { 2 \mu _ { a b } \bigg [ 2 V _ { a b } ^ { ( 1 ) } - R _ { a b } ^ { ( 1 ) } \bigg ] , } \\ { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { 3 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { = } & { \left( 1 + \gamma _ { E } \right) \langle 4 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle + 2 \mu _ { a b } \bigg [ 2 \tilde { V } _ { a b } ^ { ( 1 ) } - \tilde { R } _ { a b } ^ { ( 1 ) } \bigg ] , } \\ { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { a b } ^ { 4 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { = } & { \mu _ { a b } \bigg [ - 2 { V } _ { a b } ^ { ( 2 ) } + { R } _ { a b } ^ { ( 2 ) } \pm \langle 1 2 \pi \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { a b } ) \rangle \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { l } { \alpha _ { d } = \arcsin ( \sqrt { \mu } ) + \mathcal { O } ( k ^ { 2 } ) , } \\ { \kappa _ { d } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \mu ( 1 - \mu ) } k ^ { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) , } \\ { c _ { d } = - 1 2 + ( 9 + 6 \mu ) k ^ { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) , } \\ { \Delta _ { d } = 4 \arcsin ( \sqrt { \mu } ) + \mathcal { O } ( k ^ { 2 } ) , } \end{array}
V _ { \mathbf { k } \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 , 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ^ { \prime } \mp \mathbf { k } ) \left[ W _ { \mathbf { k } } W _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } \pm \frac { 1 } { W _ { \mathbf { k } } W _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } } \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = - 2 g r _ { b } ( r _ { a } ^ { 2 } \hat { x } _ { a } ^ { 2 } - r _ { a } ^ { - 2 } \hat { p } _ { a } ^ { 2 } ) \hat { x } _ { b } - 2 g r _ { b } ^ { - 1 } ( \hat { x } _ { a } \hat { p } _ { a } + \hat { p } _ { a } \hat { x } _ { a } ) \hat { p } _ { b } } \end{array}
\kappa = \frac { \sqrt { 2 } G _ { F } \left( N _ { e } \right) _ { r e s } \tan ^ { 2 } 2 \theta _ { G } } { \left| \left( \frac { 1 } { N _ { e } } \frac { d N _ { e } } { d r } \right) - \left( \frac { 1 } { \phi } \frac { d \phi } { d r } \right) \right| _ { r e s } } \gg 1 .
\langle \Delta \mathbf { R } _ { A } ^ { 2 } ( t ) \rangle \equiv \overline { { \langle [ \mathbf { R } _ { A } ( t _ { 0 } + t ) - \mathbf { R } _ { A } ( t _ { 0 } ) ] ^ { 2 } \rangle } } _ { \mathrm { s p } }
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { S } \rho \right) ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { { } \gtrapprox \sum _ { \mathbf { b } } 2 w _ { \mathbf { b } } \Re \left( 1 - \hat { \rho } ( \mathbf { b } ) e ^ { i \, \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { r } ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
\partial _ { c } d _ { f } \mathscr { F } \big ( c _ { \mathbf { m } } ( \widetilde { \gamma } ) , 0 \big ) [ \cos ( \mathbf { m } \varphi ) ] = - \mathbf { m } \sin ( \mathbf { m } \varphi ) \in \mathtt { s p a n } \big ( \varphi \mapsto \sin ( \mathbf { m } \varphi ) \big ) .
\left( \begin{array} { l l } { 0 } & { ( R ^ { * } ) ^ { \mathrm { T } } } \\ { R ^ { * } } & { C ^ { * } } \end{array} \right) = - \left( \begin{array} { l l } { \Gamma ^ { 2 , 0 * } } & { \Gamma ^ { 1 , 1 * } } \\ { ( \Gamma ^ { 1 , 1 * } ) ^ { \mathrm { T } } } & { \Gamma ^ { 0 , 2 * } } \end{array} \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l r } { { 2 } \partial _ { t } u + u \cdot \nabla u } & { { } = - \nabla p , } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad M , } \\ { \nabla \cdot u } & { { } = 0 , } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad M , } \\ { u | _ { t = 0 } } & { { } = u _ { 0 } , } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad M , } \\ { u \cdot \hat { n } } & { { } = 0 , } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \partial M . } \end{array}
\tilde { s } _ { d } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , \tilde { T } ] = \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } + ( 1 - x _ { \tau } ) \tau + \frac { \tilde { t } _ { 1 } \tilde { t } _ { 2 } } { \tilde { t } _ { 1 } + \tilde { t } _ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { v a r } ( { \mathrm { m e a n } } ) } & { = \operatorname { v a r } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } \right) = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \operatorname { v a r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } X _ { i } \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { v a r } ( X _ { i } ) = { \frac { N } { N ^ { 2 } } } \operatorname { v a r } ( X ) = { \frac { 1 } { N } } \operatorname { v a r } ( X ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left| { \mathrm { T r } } [ | \mathcal D _ { \gamma } | P _ { \gamma } ^ { - } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } ] \right| } & { \leq \| | \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } P _ { \gamma } ^ { - } \theta ( \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } + \| | \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } P _ { \gamma } ^ { - } \gamma P _ { \gamma } ^ { - } \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq 2 \left( \| P _ { \gamma } ^ { - } \theta ( \gamma ) P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } + \| P _ { \gamma } ^ { - } \gamma P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } \right) } \\ & { \leq 2 \left( C _ { \kappa , L } \frac { q \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } + \| P _ { \gamma } ^ { - } \gamma P _ { \gamma } ^ { - } \| _ { X _ { c } } \right) . } \end{array}
{ \mathcal { C } } = C _ { D _ { 2 } } ^ { X } g _ { c } ^ { 2 } e ^ { - \lambda } ( 2 \pi ) ^ { p + 1 } \delta ^ { p + 1 } ( k _ { 1 } + k _ { 1 } . D + k _ { 2 } + k _ { 2 } . D ) .
I _ { 2 } = \frac { \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ \# ~ 2 ~ } } { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } } \simeq \frac { L } { 2 } \frac { \omega } { m \Omega _ { d } } \frac { S } { B _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial L } \log \delta f _ { m } \simeq 1 ,