\begin{array} { r l } & { \langle F _ { x } ( t ) F _ { x } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \sum _ { i } \Biggl \{ \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 3 } } k _ { B } T \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { \Bigl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 3 } } k _ { B } T \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 4 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 3 } } \Bigr ] \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } + \dot { \gamma } \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 3 } } \Bigr ] \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) e ^ { - \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) e ^ { \lambda _ { 4 } t ^ { \prime } } } \\ & { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) + \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 2 } } k _ { B } T e ^ { \lambda _ { 4 } t } \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } - e ^ { \lambda _ { 2 } t ^ { \prime } } \Bigr ) } \\ & { + \frac { c _ { i } ^ { 2 } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } { 1 6 \omega _ { i } ^ { 3 } } k _ { B } T \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { - \lambda _ { 4 } ( t + t ^ { \prime } ) } - e ^ { \lambda _ { 4 } ( t + t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \end{array}