harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ d ~ e ~ m ~ } } ( \boldsymbol { x } ) = \int _ { \Omega } \boldsymbol { N } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) \, \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) \, \, \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { x } ^ { \prime } } \end{array}
\chi ^ { 2 } = \frac { \left( N ( \delta _ { \mathrm { C P } } ^ { t r u e } ) - \overline { { N } } ( \delta _ { \mathrm { C P } } ^ { t r u e } ) \right) ^ { 2 } } { ( N + \overline { { N } } ) ( \delta _ { \mathrm { C P } } = 0 , \pi ) } .
G ^ { ( n ) } = W ^ { n } ( x ) = \left( \begin{array} { c c } { { G _ { 1 1 } ( v ) } } & { { h ^ { ( n ) } ( v ) p } } \\ { { k ^ { ( n ) } ( u ) p ^ { - 1 } } } & { { g _ { 2 2 } ( u ) } } \end{array} \right)
| U _ { e 4 } | ^ { 2 } \geq \frac { A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } { 4 | U _ { \mu 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \, , \quad | U _ { \mu 4 } | ^ { 2 } \geq \frac { A _ { { \mu } e } ^ { \mathrm { m i n } } } { 4 | U _ { e 4 } | _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { V } _ { k } : = } & { - c h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) ^ { 2 } \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad + h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) ( k - 1 ) \langle q _ { k - 1 } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { \quad + \| ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) + ( r - 1 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { K _ { i } \rightarrow \infty } \sqrt { \frac { \beta K _ { i } } { 2 \pi } } \exp { \left( - \frac { \beta K _ { i } ( L _ { i } - L _ { 0 i } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) } = \delta ( L _ { i } - L _ { 0 i } ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { X } } ( \omega ) } & { = } & { H _ { X F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { X \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) + H _ { X Y } ( \omega ) \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { } & { + H _ { X X } ( \omega ) \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \\ { \hat { \tilde { Y } } ( \omega ) } & { = } & { H _ { Y F } ( \omega ) \tilde { F } ( \omega ) + H _ { Y \xi } ( \omega ) \hat { \tilde { \xi } } ( \omega ) + H _ { Y X } ( \omega ) \hat { \tilde { X } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { } & { + H _ { Y Y } ( \omega ) \hat { \tilde { Y } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } + \Pi \right) = 0 , \quad \Pi = P ( \rho , \eta , \j ) \ \mathbf { I } + \alpha ( \rho ) \ \j \otimes \j , } \\ & { \frac { \partial \j } { \partial t } } & & { + \nabla \left( \j \cdot \mathbf { u } + \theta ( \rho , \eta ) \right) + \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } - \left( \frac { \partial \j } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } \right) \mathbf { u } = - \frac { \partial \mathcal { R } } { \partial \j } , } \\ & { \frac { \partial \rho \eta } { \partial t } } & & { + \mathrm { d i v } \left( \rho \eta \mathbf { u } + \alpha ( \rho ) \j \right) = \frac { \alpha ( \rho ) } { \theta ( \rho , \eta ) } \, \frac { \partial \mathcal { R } } { \partial \j } \cdot \j . } \end{array}
W _ { \gamma } ( { \bf q _ { \perp } } , { \bf k } ) = \frac { \alpha } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \omega } \left| \frac { \varepsilon R ( { \bf p } ^ { \prime } + { \bf k } ) } { k p ^ { \prime } } - \frac { \varepsilon ^ { \prime } R ( { \bf p } ) } { k p } \right| ^ { 2 }
\frac { | \tilde { E } _ { \theta 0 } | ^ { 2 } + | \tilde { E } _ { \phi 0 } | ^ { 2 } } { | E _ { r 0 } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) | ^ { 2 } } = \frac { \delta } { r ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \Lambda \sqrt { 2 \left( 1 - \cos \theta \right) } , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \sqrt { 2 \left[ 2 + 2 \Lambda \left( 1 - \cos \theta \right) + \Lambda ^ { 2 } \left( 1 - \cos \theta \right) \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( z ) } & { { } : = \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { 1 } ( \bar { z } ) f _ { 1 } ( z - \bar { z } ) d \bar { z } \, , } \\ { f _ { \nu } ( z ) } & { { } : = \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { 1 } ( \bar { z } ) f _ { \nu - 1 } ( z - \bar { z } ) d \bar { z } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 2 } ( q _ { B } ) = } & { } & { \frac { 2 \mathcal { S } _ { D } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { A } ^ { \prime } \, q _ { A } ^ { \prime D - 1 } | \chi ^ { ( A ) } ( q _ { B } \, q _ { A } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \\ & { \times } & { \left( \mathcal { H } ( q _ { A } ^ { \prime } ) - \frac { 4 \mathcal { A } ^ { 2 } } { ( \mathcal { A } + 1 ) ^ { 2 } } \right) + \frac { C _ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 } } , } \end{array}
{ \hat { \sigma } } ^ { 2 } = { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } , } & { { \mathrm { i f ~ t h e ~ v a r i a n c e ~ i s ~ k n o w n . } } } \\ { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mu ) ^ { 2 } , } & { { \mathrm { i f ~ t h e ~ v a r i a n c e ~ i s ~ n o t ~ k n o w n , ~ b u t ~ t h e ~ m e a n ~ i s . } } } \\ { { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - { \bar { X } } ) ^ { 2 } , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { C \frac { 1 } { \tau ^ { N } } } & { \le \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + \mathrm { T } ( \varepsilon ) h + \mathrm T ( \varepsilon ) h + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 2 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 3 } } } } + { \frac { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } { \tau } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { N + 1 } } } } + { { { e ^ { - { \frac { \tau h } { 2 } } } } } } \right) + { e ^ { - { \frac { h } { 2 } } \tau } } + \tau { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } . } \end{array}
S _ { M } ^ { \alpha } ( R , z ) \lesssim _ { \epsilon } M ^ { \epsilon } ( R ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } M ^ { \frac { 3 } { 4 } } + M ^ { \frac { 1 1 } { 1 2 } } + R ^ { - \frac { 1 } { 2 4 } } M ^ { \frac { 2 3 } { 2 4 } } ) ,
Z = \int { \cal D } \lambda \Delta ( \lambda _ { i } ( t _ { 2 } ) ) e ^ { - \beta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \frac { 1 } { 2 } \dot { \lambda } _ { i } ^ { 2 } + U ( \lambda _ { i } ) ] } \Delta ( \lambda _ { i } ( t _ { 1 } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 0 , n } ( { M _ { n } } , { f _ { n } ^ { m d } } ) = \ } & { \ \beta _ { 1 } \frac { \rho C ( M _ { n } ) } { f _ { n } ^ { m d } } + \beta _ { 2 } \kappa \rho C ( M _ { n } ) f _ { n } ^ { m d 2 } } \\ & { - \beta _ { 3 } \Phi ( M _ { n } ) , } \\ { \mathcal { F } _ { 1 , n } ( { M _ { n } } , { f _ { n } ^ { e } } , { t _ { n } } ) = \ } & { \ \beta _ { 1 } \frac { \rho C ( M _ { n } ) } { f _ { n } ^ { e } } + \beta _ { 1 } \frac { M _ { n } d } { R _ { n } t _ { n } } } \\ & { + \beta _ { 2 } \frac { M _ { n } d p _ { n } } { R _ { n } } - \beta _ { 3 } \Phi ( M _ { n } ) . } \end{array}
R _ { 1 2 } T _ { 1 } T _ { 2 } = T _ { 2 } T _ { 1 } R _ { 1 2 } , \ \ \ \ \Delta ( T _ { 1 } ) = T _ { 1 } \otimes T _ { 1 } , \ \ \ \ \varepsilon ( T ) = { \bf 1 } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \varphi _ { p } } = \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } - \gamma + b ( \xi ) \right] + \right. } & { { } \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 k _ { \perp } ^ { * } } u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x _ { c } } \\ { y _ { c } } \\ { z _ { c } } \\ { w _ { c } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathrm { M o d } _ { g } } & { = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { g } ; \emptyset , \emptyset ) , \quad \mathrm { M o d } _ { g , \ast } = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { g } ; \emptyset , \{ \widetilde { p } _ { 2 n + 2 } \} ) , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \mathrm { M o d } _ { g } ^ { 1 } } & { = \mathrm { M o d } ( \Sigma _ { g } ^ { 1 } ; \emptyset , \partial \Sigma _ { g } ^ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \textbf L } ^ { T } { \textbf E } { \textbf U } = \left[ \begin{array} { l l } { { \textbf Z } _ { 1 } } & { { \textbf Z } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { { \textbf S } _ { 1 } } & \\ & { { \textbf S } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \textbf Y } _ { 1 } ^ { T } } \\ { { \textbf Y } _ { 2 } ^ { T } } \end{array} \right] , } \end{array}
{ \frac { d \sigma } { d Q ^ { 2 } d Q _ { T } ^ { 2 } } } = { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { r e s } } } { d Q ^ { 2 } d Q _ { T } ^ { 2 } } } - { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { e x p ( k ) } } } { d Q ^ { 2 } d Q _ { T } ^ { 2 } } } + { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { f i x e d ( k ) } } } { d Q ^ { 2 } d Q _ { T } ^ { 2 } } } \, ,
Z : = \int { \cal D } A _ { \mu \nu } { \cal D } \Lambda _ { \mu } { \cal D } C _ { \mu } { \cal D } \bar { C } _ { \mu } { \cal D } d { \cal D } \bar { d } { \cal D } N { \cal D } P { \cal D } B ^ { ( 1 ) } \delta ( \partial ^ { \nu } A _ { \mu \nu } - \partial _ { \mu } N ) \exp \left[ i \int d ^ { 4 } x { \cal L } _ { t o t } ^ { \prime } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { \sigma ( \tau , \mathbf { x } ) = \mathbf { u } } & { = { \frac { R \mathbf { x } } { R + \tau } } , } \\ { \sigma ^ { - 1 } ( \mathbf { u } ) = ( \tau , \mathbf { x } ) } & { = \left( R { \frac { R ^ { 2 } + | u | ^ { 2 } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } , { \frac { 2 R ^ { 2 } \mathbf { u } } { R ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } } } \right) , } \end{array} }
= { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \right] ^ { 1 / 2 } \; { \frac { 1 } { R ^ { \ell + 1 } } } \; \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } ( - 1 ) ^ { m } Y _ { \ell } ^ { - m } ( { \hat { R } } ) Q _ { \ell } ^ { m } , \qquad R > r _ { \mathrm { m a x } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } = } & { \tilde { \mathbf { x } } _ { k } - \tilde { \mathbf { D } } ^ { - 1 } \bigg ( \nabla f ( \tilde { \mathbf { x } } _ { k } ) + \boldsymbol { \phi } _ { k } + c \mathbf { L } \tilde { \mathbf { y } } _ { k } \bigg ) } \\ { \boldsymbol { \phi } _ { k + 1 } = } & { \boldsymbol { \phi } _ { k } + c \mathbf { L } \tilde { \mathbf { y } } _ { k + 1 } } \end{array}
{ \mathbf { v } } = { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } = a { \mathbf { e } } _ { 1 } + b { \mathbf { e } } _ { 2 } , \quad { \mathbf { w } } = { \left[ \begin{array} { l } { c } \\ { d } \end{array} \right] } = c { \mathbf { e } } _ { 1 } + d { \mathbf { e } } _ { 2 }
\mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } \leftarrow \mathrm { m a x } \left( 1 , S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } \right) \ \ \mathrm { i f } \ L _ { \mathrm { r e l } } ^ { r } \geq T _ { F } ^ { 1 }
\begin{array} { r l } { I ( h ; \bar { s } _ { i , T } ) } & { { } \approx \frac { 1 } { 2 } \left< \log \frac { T } { \sigma _ { h _ { \textrm { t r u e } } } ^ { 2 } } \right> _ { h _ { \textrm { t r u e } } } , } \end{array}
A ^ { \mathrm { \ v a r p h i , C V } } \varphi ^ { \mathrm { C V } } - \sum _ { \mathrm { N B ( C V ) } } A ^ { \mathrm { \ v a r p h i , N B } } \varphi ^ { \mathrm { N B } } = S ^ { \mathrm { \ v a r p h i , C V } } \, ,
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { Q _ { \rho } ( s ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \frac { \beta _ { 0 } e ^ { - \beta _ { 0 } E } } { s / \Gamma _ { 0 } + e ^ { - \beta E } } } \\ & { \simeq \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { 0 } - \beta } - \frac { s } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { 0 } - 2 \beta } + O ( s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\alpha _ { ( 1 ) } ^ { ( 1 ) } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 6 } \sigma d ( K _ { \gamma } ( t ) - \sqrt { 2 } b K _ { \phi } ( t ) + f _ { \gamma } ( t ) - \sqrt { 2 } f _ { \phi } ( t ) ) + P ^ { \prime } ( 0 , t ) - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 6 } ( \rho + U ) d e ^ { \sqrt { 2 } b \hat { \phi } } .
\begin{array} { r } { [ \hat { \rho } _ { 0 } ] _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \equiv \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N } } \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \ensuremath { \langle \b { q } + \b { s } / 2 \vert } \hat { \rho } _ { 0 } \ensuremath { \vert \b { q } - \b { s } / 2 \rangle } , \; \; } \end{array}
\mathfrak { F } ( t ) = - 2 \pi ^ { - 1 / 2 } \ln 2 + t - \frac { 2 } { 3 } \pi ^ { - 1 / 2 } t ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } t ^ { 3 } + \mathcal { O } \bigl ( t ^ { 4 } \bigr ) \, ,
\hat { u } _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \displaystyle \frac { n } { 1 + n } \frac { 1 } { | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } \hat { \kappa } ^ { \frac { 1 } { n } } } \left[ \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } - \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \vert \hat { z } \vert - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \right] \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { s } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ f ~ } \quad \vert \hat { z } \vert > \displaystyle \frac { \hat { \tau } _ { y } } { | \hat { \nabla } \hat { p } | } , } \\ { \displaystyle - \frac { n } { 1 + n } \frac { 1 } { | \hat { \nabla } \hat { p } | ^ { 2 } \hat { \kappa } ^ { \frac { 1 } { n } } } \left( | \hat { \nabla } \hat { p } | \hat { H } - \hat { \tau } _ { y } \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { s } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ f ~ } \quad \vert \hat { z } \vert \leqslant \displaystyle \frac { \hat { \tau } _ { y } } { | \hat { \nabla } \hat { p } | } , } \end{array} \right.
\mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { a p p } ( \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } ) = \mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { a p p } ( \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ n ~ a ~ r ~ } ) = 2 \times \mathrm { ~ T ~ r ~ } _ { a p p } ( \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } )
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial n _ { i 1 } } { \partial t } + \frac { \partial v _ { i 1 } } { \partial x } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { i 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \sigma \frac { \partial n _ { i 1 } } { \partial x } - \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } } & { { } = } & { \phi _ { 1 } - \delta _ { i } n _ { i 1 } - \alpha \delta _ { d } \varphi _ { d 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | \int _ { Q _ { \Gamma _ { 0 } , l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y - \rho _ { \theta } \Big ( \frac { l } { 2 T } , \frac { l } { 2 T } \Big ) ( x _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ( y _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) ) \Big | } \\ & { } & { \leq \epsilon ( x _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ( y _ { l } ( \Gamma _ { 0 } ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma _ { 0 } ) ) \leq \epsilon T ^ { - 2 } . } \end{array}
\varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } , \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 3 } , \ldots , \varepsilon _ { m - 1 } - \varepsilon _ { m } , \left\{ { \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { m - 1 } + \varepsilon _ { m } } & { n = 2 m } \\ { \varepsilon _ { m } } & { n = 2 m + 1 . } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l r } { E \left[ Y _ { \tau } ^ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) Y _ { \tau } ^ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] } & { = } & { \left( \frac { \tau + 1 } { \tau \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \tau } { 2 } \right) ^ { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \tau } } \\ & { } & { \left\{ \frac { 4 \tau ^ { 2 } } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { \tau ^ { 2 } } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { + \left. 4 \frac { 4 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 1 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \frac { 2 } { \left( 2 \tau + 1 \right) ^ { \frac { m } { 2 } + 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right\} . } \end{array}
\left. + 2 \zeta \int d ^ { 4 } x \left[ \cos \left( \frac { \left| \lambda _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( x ) \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) + \cos \left( \frac { \left| \lambda _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( x ) \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] - i \int d ^ { 4 } x h _ { \mu \nu } ^ { a } { \cal S } _ { \mu \nu } ^ { a } \right\} .
\delta \bar { A } ( s _ { 0 } , s _ { 0 } , s _ { 0 } ) \approx \delta P ( s _ { 0 } , s _ { 0 } , s _ { 0 } ) = \delta \bar { c } ( s _ { a } - s _ { A } ) ^ { 2 } = 0 . 1 2 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( D _ { X , \mathrm { i m g } } ) } & { = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( y ) } | | D _ { X , \mathrm { i m g } } ( F ( y ) ) | | _ { 2 } + \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( x ) } | | 1 - D _ { X , \mathrm { i m g } } ( x ) | | _ { 2 } , } \\ { \mathcal { L } ( D _ { Y , \mathrm { i m g } } ) } & { = \mathbb { E } _ { x \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( x ) } | | D _ { Y , \mathrm { i m g } } ( G ( x ) ) | | _ { 2 } + \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { d a t a } } ( y ) } | | 1 - D _ { Y , \mathrm { i m g } } ( y ) | | _ { 2 } } \end{array}
\partial _ { M } J ^ { M } = \partial _ { \mu } \bar { \Psi } \gamma ^ { \mu } ( Q _ { V } + \gamma ^ { 5 } Q _ { A } ) \Psi - i \, \bar { \Psi } [ { \cal M } , Q _ { V } ] + \gamma ^ { 5 } \{ { \cal M } , Q _ { A } \} \Psi \; .
\begin{array} { r } { \nabla _ { ( \rho , U , T ) } \left( \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \mathcal { M } ( F ) \right) = \left[ { \begin{array} { c } { \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 3 } } } \\ { - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho T } \right) + \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { T } } \\ { \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { - \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T ^ { 2 } } + \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) } \end{array} } \right] \mathcal { M } ( F ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { e } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } ( n _ { e } u _ { e } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial z } ( n _ { i } u _ { i } ) } & { { } = 0 , } \\ { m _ { e } \left( \frac { \partial u _ { e } } { \partial t } + u _ { e } \frac { \partial u _ { e } } { \partial z } \right) } & { { } = q _ { e } E - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { \partial P _ { e } } { \partial z } - \frac { R _ { e i } } { n _ { e } } , } \\ { m _ { i } \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { i } \frac { \partial u _ { i } } { \partial z } \right) } & { { } = q _ { i } E - \frac { 1 } { n _ { i } } \frac { \partial P _ { i } } { \partial z } - \frac { R _ { i e } } { n _ { i } } , } \\ { \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial E } { \partial z } } & { { } = n _ { i } q _ { i } + n _ { e } q _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { J \equiv \int \! \bigg ( \frac { d z } { d x } \bigg ) ^ { \! 2 } d x , \qquad J _ { 2 } \equiv \int \! z ^ { 2 } d x , \qquad J _ { 4 } \equiv \int \! z ^ { 4 } d x . } } \end{array}
D \gamma - \Delta \varepsilon = ( \tau + { \bar { \pi } } ) \alpha + ( { \bar { \tau } } + \pi ) \beta - ( \varepsilon + { \bar { \varepsilon } } ) \gamma - ( \gamma + { \bar { \gamma } } ) \varepsilon + \tau \pi - \nu \kappa + \Psi _ { 2 } + \Phi _ { 1 1 } - \Lambda \, ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 1 } < \mu } p ( \mu _ { 1 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \mu _ { 2 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 2 } < \mu } p ( \mu _ { 2 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { \mu _ { 3 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \mu } \left\{ \left( \int _ { \mu _ { 3 } < \mu } p ( \mu _ { 3 } | D , K ) \textup { d } \mu _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } ( \mu - 1 \sigma \leq X \leq \mu + 1 \sigma ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { - { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } } d u \approx 0 . 6 8 2 7 } \\ & { \operatorname* { P r } ( \mu - 2 \sigma \leq X \leq \mu + 2 \sigma ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - 2 } ^ { 2 } e ^ { - { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } } d u \approx 0 . 9 5 4 5 } \\ & { \operatorname* { P r } ( \mu - 3 \sigma \leq X \leq \mu + 3 \sigma ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \int _ { - 3 } ^ { 3 } e ^ { - { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } } d u \approx 0 . 9 9 7 3 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \eta ( r _ { a } ) } & { { } = \eta _ { p } \bigl ( \kappa + \kappa ^ { 2 } \bigl ( \eta _ { 4 5 } - 1 \bigr ) \bigr ) , } \\ { \eta _ { 4 5 } } & { { } = 6 \exp ( - 1 7 0 r _ { a } / \mathrm { ~ m ~ m ~ } ) - } \\ { \kappa } & { { } = \frac { r _ { a } ^ { 2 } } { ( r _ { a } - 0 . 0 0 0 5 5 \mathrm { ~ m ~ m ~ } ) ^ { 2 } } , } \end{array}