harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { i s o } } } & { = \frac { q ^ { 2 } } { 4 m c ^ { 2 } } \frac { ( \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 1 - \Omega ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } = \frac { m } { 4 } \frac { \left( \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \tilde { \Omega } ( z ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } { 1 - \Omega ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \pm } } & { { } = - \left( 1 + i \zeta _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } i ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } + | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \pm i \sqrt { \beta ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } ( | a _ { 0 } | ^ { 2 } - | b _ { 0 } | ^ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \Theta | \Theta ^ { 0 } ) } & { = E ( \ell | y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } , x _ { i } , \Theta ^ { 0 } ) } \\ & { = \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 1 } } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 1 } \Big ] + \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 2 } } \Bigg \{ \tau _ { i 0 } ( \Theta ^ { 0 } ) \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 0 } ^ { 2 } \Big ] + \tau _ { i 1 } ( \Theta ^ { 0 } ) \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 2 } \Big ] \Bigg \} . } \end{array}
\langle 0 \vert T \Psi _ { i } ( x / 2 ) \overline { { \Psi } } _ { j } ( - x / 2 ) \vert \pi _ { A } ^ { a } ( q ) \rangle \equiv 1 _ { A } \; T _ { B + \xi } ^ { a } \; \int \! d x e ^ { - i p x } \chi _ { A i j } ( p ; q ) { } ~ ,
\begin{array} { r } { \vec { V } _ { i } ( \vec { x } ) = \frac { 1 } { n _ { i } } \int \vec { v } \; f _ { i } \; d ^ { 3 } \vec { v } = \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } \vec { v } _ { p } } \end{array}
\mathcal { R } ( \mathbf { m } ) = \| \mathbf { m } \| _ { T V } = \sum \| \left( \nabla _ { x } \mathbf { m } ~ \nabla _ { z } \mathbf { m } \right) \| = \sum \sqrt { \left( \nabla _ { x } \mathbf { m } \right) ^ { 2 } + \left( \nabla _ { z } \mathbf { m } \right) ^ { 2 } } ,
P _ { \mathrm { a b } } ( x ) = x ^ { 3 } + \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } \right) x ^ { 2 } - \left( 1 + k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) \right) x - k _ { \mathrm { a } } .
\begin{array} { r l } { \| P _ { S _ { A } } - P \| } & { = \| f ( S _ { A } ) - \phi _ { d } ( l ( S _ { A } ) ) \| } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \ldots , n _ { s v } } | h ( l ( \sigma _ { i } ) ) - \phi _ { d } ( l ( \sigma _ { i } ) ) | , \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in \mathcal { L } _ { n _ { s v } } ^ { c } } | \phi _ { d } ( l ( \lambda ) ) | \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , \ldots , n _ { s v } } | h ( \cos ( \theta _ { i } ) ) - \phi _ { d } ( \cos ( \theta _ { i } ) ) | , \operatorname* { m a x } _ { \theta } | \phi _ { d } ( l ( \theta ) ) | \} , } \end{array}
\Gamma ^ { + } ( r , t ) = - \frac { 1 } { { d } ( \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \mu _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) ) } \frac { \partial \Phi ( r , t ) } { \partial \hat { n } } = \frac { 2 \gamma _ { d } } { \alpha } \Phi ( r , t ) .
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \Phi } { \partial Z } } & { + \zeta _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial Y ^ { 2 } } \right) + \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } + \zeta _ { 3 } \Phi } \\ & { + \zeta _ { 4 } | \Phi | ^ { 2 } \Phi + \zeta _ { 5 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial X ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi } \\ & { + \zeta _ { 6 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } ( | \Phi | ^ { 2 } ) \Phi = \mathcal { Q } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { L } _ { 1 } } & { = } & { \left\langle \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial r ^ { \prime \mu } } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } d r ^ { \prime \mu } } \\ & { } & { + \left\langle \Gamma _ { u _ { \parallel } ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial u _ { \parallel } ^ { \prime } } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } d u _ { \parallel } ^ { \prime } } \\ & { } & { + \left\langle \Gamma _ { \phi ^ { \prime } } - \frac { \partial R } { \partial \phi ^ { \prime } } - \varepsilon \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial \phi ^ { \prime } } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = m } ^ { n } a r ^ { k - 1 } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { a ( r ^ { m - 1 } - r ^ { n } ) } { 1 - r } } } & { { \mathrm { i f ~ } } r \neq 1 } \\ { a ( n - m + 1 ) } & { { \mathrm { i f ~ } } r = 1 } \end{array} \right. } } \\ { \sum _ { k = m } ^ { n } a r ^ { k } } & { = { \left\{ \begin{array} { l l } { a ( n - m + 1 ) } & { { \mathrm { i f ~ } } r = 1 } \\ { { \frac { a ( r ^ { m } - r ^ { n + 1 } ) } { 1 - r } } } & { { \mathrm { i f ~ } } r \neq 1 } \end{array} \right. } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { v _ { p } ^ { n + 1 } - v _ { p } ^ { n } } { \Delta t } = \sum _ { v _ { \bar { p } } } Q ( \xi ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } ) \Gamma ( S _ { \epsilon } ^ { n } , p , \bar { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d X ( t ) = } & { \ b ( t , X ( t ) , X ( t - \delta _ { 1 } ( t ) ) , \alpha ( t ) ) d t } \\ & { + \sigma ( t , X ( t ) , X ( t - \delta _ { 2 } ( t ) ) , \alpha ( t ) ) d W ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t , X ( t - ) , X ( ( t - \delta _ { 3 } ( t ) ) - ) , \alpha ( t - ) , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \gamma ( t , X ( t - ) , X ( ( t - \delta _ { 4 } ( t ) ) - ) , \alpha ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) , \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { X ( t ) = } & { \ x _ { 0 } ( t ) , \qquad t \in [ - \delta , 0 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } } & { = T _ { i j k } v _ { j } ^ { \mathrm { r e } } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ c s h } ~ F L O P s ) } } \\ { S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } } & { = T _ { i j k } v _ { j } ^ { \mathrm { i m } } } & & { \mathrm { ( ~ N _ \mathrm { ~ n z } ^ \mathrm { ~ c s h } ~ F L O P s ) } } \\ { u _ { i } ^ { \mathrm { r e } } } & { = S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } w _ { k } ^ { \mathrm { r e } } + S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } w _ { k } ^ { \mathrm { i m } } } & & { \mathrm { ( ~ 2 M ^ 2 ~ F L O P s ) } } \\ { u _ { i } ^ { \mathrm { i m } } } & { = S _ { i k } ^ { \mathrm { r e } } w _ { k } ^ { \mathrm { i m } } + S _ { i k } ^ { \mathrm { i m } } w _ { k } ^ { \mathrm { r e } } } & & { \mathrm { ( ~ 2 M ^ 2 ~ F L O P s ) } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) , \exp ( \nabla h ^ { n , t } ) \big ) \, \mathrm { d } \mathrm { m } \lesssim } & { \, \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { + \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } \frac { \log ( n ) } { n } \frac { \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } { \mathbb { E } [ \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } - \nabla h ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { 2 } \frac { d ^ { 2 } z _ { 2 } } { d t ^ { 2 } } } & { { } = } & { \frac { k } { m _ { 2 } } ( z _ { 1 } - 2 z _ { 2 } + z _ { 3 } ) } \end{array}
\left( \gamma ^ { \mu } i \partial _ { \mu } - \gamma ^ { \mu } e A _ { \mu } - m \right) \psi = \left( \gamma _ { + } i \partial _ { + } + \gamma _ { - } ( i \partial _ { - } + e E x _ { + } ) + \widetilde { \gamma } \cdot i \widetilde { \nabla } - m \right) \psi \; .
\begin{array} { r l } { O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \circ O p ^ { W } ( \mathfrak { b } ) } & { = O p ^ { W } ( \mathfrak { c } ) , } \\ { { \mathfrak { c } } ( x , \xi ) } & { = \mathfrak { a } \mathfrak { b } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \left\{ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \right\} + \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } ^ { 2 } , } \end{array}
F ^ { p e r t } \, \left( \frac { k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ; \, \alpha \right) \, = \, \left[ \frac { \overline { { { \overline { { { \alpha } } } } } } \, ( k ^ { 2 } ) } { \alpha } \right] \, F ^ { p e r t } \, ( 1 ; \, \overline { { { \overline { { { \alpha } } } } } } \, ( k ^ { 2 } ) ) \, \, ;
\sum _ { m _ { e } , m _ { g } } \vec { d } _ { m _ { e } m _ { g } } ^ { * } \otimes \vec { d } _ { m _ { e } m _ { g } } = ( 2 I _ { e } + 1 ) \sum _ { q , q ^ { \prime } } \sum _ { m _ { e } , m _ { g } } \hat { e } _ { q } ^ { * } \otimes \hat { e } _ { q ^ { \prime } } \left( \begin{array} { l l l } { I _ { e } } & { I _ { g } } & { 1 } \\ { - m _ { e } } & { m _ { g } } & { q } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { I _ { e } } & { I _ { g } } & { 1 } \\ { - m _ { e } } & { m _ { g } } & { q ^ { \prime } } \end{array} \right)
\psi _ { \mathrm { b a } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = - 2 \gamma e ^ { - 2 \gamma \tau _ { 1 } } \Biggl ( \int _ { - \infty } ^ { \tau _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } ~ e ^ { 2 \gamma t _ { 1 } } \xi ( t _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \Biggl ) + \psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } )
{ { \mathrm { t h e } } \atop { N P / N , } } { { \mathrm { b a d } } \atop { N / N , } } { { \mathrm { b o y } } \atop { N , } } { { \mathrm { m a d e } } \atop { ( N P \backslash S ) / N P , } } { { \mathrm { t h a t } } \atop { N P / N , } } { { \mathrm { m e s s } } \atop { N } }
\begin{array} { r l r } { A _ { y } } & { = } & { \frac { \sigma _ { y } ^ { 2 } + \sigma _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } = \frac { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } , } \\ { B _ { y } } & { = } & { \frac { i k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { y } ^ { 2 } - x + D \eta } { \sigma _ { y } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { B _ { y } ^ { 2 } } { 4 A _ { y } } } & { = } & { x ^ { 2 } \, \frac { \sigma _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } - x \eta \, \frac { D \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } + \eta ^ { 2 } \, \frac { D ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } - x \, \frac { i k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \eta \, \frac { i D k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { r } ^ { 2 } } { \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } - \frac { \left[ k _ { u } T _ { \alpha } ( z - s ) \sigma _ { r } \sigma _ { y } \right] ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { y r } ^ { 2 } } . } \end{array}
h ^ { 1 } ( B , \mathcal { F } _ { i } / \mathcal { F } _ { i - 1 } ) = h ^ { 0 } ( B , \mathcal { F } _ { i } / \mathcal { F } _ { i - 1 } ) - \chi ( \mathcal { F } _ { i } / \mathcal { F } _ { i - 1 } ) \leq \frac { - 1 } { 2 } \deg ( \mathcal { F } _ { i } / \mathcal { F } _ { i - 1 } ) + g ( B ) \operatorname { r k } ( \mathcal { F } _ { i } / \mathcal { F } _ { i - 1 } ) .
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \sum _ { x _ { i } ^ { t - 1 } , x _ { i } ^ { t } } \rho _ { \rightarrow t - 1 } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t - 1 } \right) x _ { i } ^ { t } M _ { x _ { i } ^ { t - 1 } x _ { i } ^ { t } } ^ { i \setminus j } \rho _ { t \leftarrow } ^ { i \setminus j } \left( x _ { i } ^ { t } \right) } \end{array}
\alpha _ { k } = { \frac { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k } } { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A } \mathbf { p } _ { k } } } = { \frac { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k } } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A p } _ { k } } }
I ( R , z ) = I ( R ) \exp \left[ - { \frac { \vert z \vert } { h _ { z } } } \right] = I _ { 0 } \exp \left[ - \left( { \frac { R } { h _ { R } } } + { \frac { \vert z \vert } { h _ { z } } } \right) \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { W _ { - } = \eta _ { - } ^ { \alpha _ { 2 } / \gamma } [ c _ { 1 } ^ { ( - ) } U ( \frac { \alpha _ { 1 } } { \gamma } , 1 + \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { \gamma } , \eta _ { - } ) + } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ c _ { 2 } ^ { ( - ) } L ( \frac { \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } + 2 \alpha _ { 2 } } { \gamma } , \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { \gamma } , \eta _ { - } ) ] , } \\ & { } & { W _ { + } = \eta _ { + } ^ { \alpha _ { 2 } / \gamma } [ c _ { 1 } ^ { ( + ) } U ( \frac { \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } } { \gamma } , 1 + \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { \gamma } , \eta _ { + } ) + } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ c _ { 2 } ^ { ( + ) } L ( - \frac { \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } } { \gamma } , \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { \gamma } , \eta _ { + } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( t , t ^ { \prime } ) \simeq G _ { 0 } \exp \Big [ { - \frac { \kappa G _ { 0 } } { \alpha \Gamma _ { 0 } \eta _ { 0 } } \big ( ( \Gamma _ { 0 } t ) ^ { \alpha } - ( \Gamma _ { 0 } t ^ { \prime } ) ^ { \alpha } \big ) } \Big ] . } \end{array}
\Bigg [ 4 j W _ { ( \mathcal { C } _ { i } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \mathbb { P } ) + ( 2 m - 4 j ) W _ { ( { \mathcal { C } _ { i j } ^ { 1 } } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \mathbb { P } ) - 4 j W _ { ( { \mathcal { C } _ { i j } ^ { 2 } } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \mathbb { P } ) + ( m - 4 j ) W _ { ( { \mathcal { C } _ { i j } ^ { 3 } } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \mathbb { P } ) \Bigg ] .
\int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { B _ { 2 } ( t ) } { ( x ^ { 2 } + ( 2 \pi t ) ^ { 2 } ) ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } } } = { \frac { 1 } { 6 x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } } } } - { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } | x | } } + { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 } } } \sinh ^ { - 1 } { \frac { 2 \pi } { | x | } } \ .
Q _ { \mathcal { T } , \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ n ~ e ~ r ~ } } ^ { ( 4 ) } = \lambda _ { 1 } [ X _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + \lambda _ { 2 } [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] + \lambda _ { 3 } [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] .
U _ { M N S } ^ { ( L M A ) } \simeq \left( \begin{array} { l l l } { { 0 . 8 2 5 } } & { { 0 . 5 6 5 } } & { { 0 } } \\ { { - 0 . 4 0 0 } } & { { 0 . 5 8 3 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \\ { { 0 . 5 8 3 } } & { { - 0 . 4 0 0 } } & { { 0 . 7 0 7 } } \end{array} \right) .
\frac { 1 } { 3 } \left( \widehat { \chi } _ { p } \left( \frac { \tau } { 3 } \right) + \overline { { { \epsilon } } } \widehat { \chi } _ { p } \left( \frac { \tau + 1 } { 3 } \right) + \epsilon \widehat { \chi } _ { p } \left( \frac { \tau + 2 } { 3 } \right) \right)
\begin{array} { r l r l r l r l r } { { \operatorname { w t } } : B \rightarrow X _ { * } , } & { } & { { \tilde { e } } _ { i } : B \rightarrow B \sqcup \{ 0 \} } & { } & { { \tilde { f } } _ { i } : B \rightarrow B \sqcup \{ 0 \} , } & { } & { { \varepsilon } _ { i } : B \rightarrow { \mathbb { Z } } \cup \{ - \infty \} , } & { } & { \varphi _ { i } : B \rightarrow { \mathbb { Z } } \cup \{ - \infty \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( { \cal E } _ { h } ^ { ( 1 ) } ( t ) + \epsilon ( u _ { h } ^ { \prime } , u _ { h } ) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \right) + ( \alpha - \epsilon ) \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \epsilon \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left\| V ( t , \cdot ) \right\| _ { p } ^ { p } + \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \left| \nabla \left( \left| V _ { j } ( t , x ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right| ^ { 2 } d x d t \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left\| U _ { 0 } \right\| _ { p } ^ { p } \right] + C _ { T } . } \end{array}
p ( n ) \sim { \frac { 1 } { 2 \pi { \sqrt { 2 } } } } \sum _ { k = 1 } ^ { v } A _ { k } ( n ) { \sqrt { k } } \cdot { \frac { d } { d n } } \left( { { \frac { 1 } { \sqrt { n - { \frac { 1 } { 2 4 } } } } } \exp \left[ { { \frac { \pi } { k } } { \sqrt { { \frac { 2 } { 3 } } \left( n - { \frac { 1 } { 2 4 } } \right) } } } \, \, \, \right] } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle - \frac { I _ { 2 3 } } { 2 } \sin \theta \, \frac { \sin 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M } = \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 i a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta } & { { } } & { } \\ { \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \cos \theta \left( 2 X _ { k } ^ { - 3 , 0 } - e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) + \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) \Big ] \left( e ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - e ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \ll } & { T _ { 1 } ( \log T _ { 1 } ) ^ { 4 } } \\ { I _ { 2 } \ll } & { \left( \operatorname* { m a x } _ { T _ { 1 } \leq t \leq 2 T _ { 1 } } \mid L ^ { 3 } ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 2 } f ) \mid ^ { 2 } \right) \times } \\ & { \qquad \left( \int _ { T _ { 1 } } ^ { 2 T _ { 1 } } \mid L ( \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f ) \mid ^ { 2 } \ \mathrm { d } t \right) } \\ { \ll } & { T _ { 1 } ^ { 6 \times \frac { 2 7 } { 2 0 } \times \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + \frac { 5 } { 2 } + \epsilon } } \\ { \ll } & { T _ { 1 } ^ { \frac { 1 3 1 } { 2 0 } + 2 \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = n \mathrm { ~ i ~ f ~ } d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { n } ) < d ( \pmb { \mathscr { s } } , \pmb { \sigma } ^ { m } ) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ } m \neq n } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi ^ { n , s } , ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } ) } & { \leq \int _ { \mathcal { M } \times \mathcal { M } \times \mathcal { M } \times \mathcal { M } } \delta ^ { 2 } \big ( ( x , z ) , ( y , w ) \big ) \mathrm { d } \Gamma \big ( ( x , y ) , ( z , w ) \big ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { M } } \delta ^ { 2 } \big ( ( x , T ^ { n , s } ( x ) ) , ( x , \exp ( \nabla h ^ { n , t } ( x ) ) ) \big ) \, \mu ^ { n , s } ( x ) \, \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) } \\ & { \stackrel { = } \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( T ^ { n , s } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) \big ) \mu ^ { n , s } \, \mathrm { d } \mathrm { m } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { A _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n \leq k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { B _ { n } = 0 \qquad , \quad \mathrm { f o r } \quad n > k + \alpha - \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
{ \frac { f _ { x } ^ { \prime \prime } ( x ) } { f _ { x } ( x ) } } + { \frac { f _ { y } ^ { \prime \prime } ( y ) } { f _ { y } ( y ) } } + { \frac { f _ { z } ^ { \prime \prime } ( z ) } { f _ { z } ( z ) } } + k ^ { 2 } = 0
\begin{array} { r l } { \cos ( \omega _ { c } t + \beta \sin ( \omega _ { m } t ) ) } & { { } \approx \cos ( \omega _ { c } t ) } \\ { + \frac { \beta } { 2 } \cos [ ( \omega _ { c } + } & { { } \omega _ { m } ) t ] - \frac { \beta } { 2 } \cos [ ( \omega _ { c } - \omega _ { m } ) t ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { r e c o i l } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) } & { { } = \left( \frac { m _ { \mathrm { r } } } { m _ { \mathrm { e } } } \right) ^ { 2 } \Delta g _ { \mathrm { n o n - r e l . } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s ) \, , } \end{array}
\epsilon ^ { m n } \displaystyle \frac { \partial } { \partial x _ { m } } \left[ L _ { j k } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial x _ { j } \partial x ^ { l } } + M _ { j l } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial x ^ { k } \partial _ { j } } + \frac { i } { 2 } H ^ { n j } \frac { \partial ^ { 3 } W } { \partial x ^ { j } \partial x ^ { k } \partial x ^ { l } } \right] = 0
9 ( \Xi ^ { 2 } - 2 ) r _ { + } ^ { 4 } - 2 l \Phi \Xi ^ { 2 } ( 7 \Xi ^ { 2 } - 2 ) r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 4 } \Phi ^ { 4 } \Xi ^ { 4 } ( ( \Xi ^ { 2 } - 2 ) \geq 0 .
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } \left( S , S ^ { \prime } \right) = b ^ { \prime } \left( q \left( \lambda ^ { \prime } p + ( 1 - \lambda ^ { \prime } ) ( 1 - p ) \right) \right) } \\ & { P _ { 0 } \left( S , S ^ { \prime } \right) = ( 1 - b ^ { \prime } ) \left( q \left( \lambda ^ { \prime } p + ( 1 - \lambda ^ { \prime } ) ( 1 - p ) \right) \right) } \\ & { P _ { 1 } \left( S , S ^ { \prime \prime } \right) = b ^ { \prime } \left( ( 1 - q ) \left( \lambda ^ { \prime } p + ( 1 - \lambda ^ { \prime } ) ( 1 - p ) \right) \right) } \\ & { P _ { 0 } \left( S , S ^ { \prime \prime } \right) = ( 1 - b ^ { \prime } ) \left( ( 1 - q ) \left( \lambda ^ { \prime } p + ( 1 - \lambda ^ { \prime } ) ( 1 - p ) \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta } & { { } = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { - a ^ { 4 } - b ^ { 4 } - c ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } c ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { 4 } \boldsymbol { \mathbf { P } } + 2 \eta \, \partial _ { t } ^ { 3 } \boldsymbol { \mathbf { P } } + } & { { } ( 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) \, \partial _ { t } ^ { 2 } \boldsymbol { \mathbf { P } } + 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \eta \, \partial _ { t } \boldsymbol { \mathbf { P } } + \omega _ { 0 } ^ { 4 } \boldsymbol { \mathbf { P } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { { } = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 4 } } { k _ { i } ^ { 2 } } , \qquad \beta ^ { 2 } \ll \theta ^ { 2 } < \beta , } \end{array}
{ \bar { \theta } } ( x _ { k } , y _ { k } ; x ) \equiv \theta ( x _ { k } , y _ { k } ; x ) - \frac { y _ { k } - x _ { k } } { L } = \frac { 1 } { L } \sum _ { p \ne 0 } \frac { 1 } { i p } \left( e ^ { i p y _ { k } } - e ^ { i p x _ { k } } \right) e ^ { - i p x } \, ,
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { p _ { N } \sum _ { { \bf q } } P ( { \bf q } ) \left[ 1 - \prod _ { m ^ { \prime } = 2 } ^ { M } ( 1 - V _ { m ^ { \prime } } ) ^ { q _ { m ^ { \prime } } } \right] , } \\ { S } & { { } = } & { \sum _ { m } p _ { H } ^ { [ m ] } Q ( m ) \left[ 1 - ( 1 - W _ { m } ) ^ { m } \right] . } \end{array}
L ( \phi , \Lambda ) = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 m ) ! } } \int { \frac { d p _ { 1 } . . . d p _ { 2 m } } { ( 2 \pi ) ^ { 8 m - 4 } } } L _ { 2 m } ( p _ { 1 } , . . . , p _ { 2 m } ; \Lambda ) \delta ^ { 4 } ( p _ { 1 } + . . . + p _ { 2 m } ) \phi ( p _ { 1 } ) . . . \phi ( p _ { 2 m } )
\begin{array} { r l } & { \bigcup _ { i \in I \cup J } f _ { i } ( U ) \subseteq U \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } \mathsf { w } \in \mathbb { T } ^ { \# J } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \left( \bigcup _ { \mathsf { w } \in \mathbb { T } ^ { \# J } } f _ { i } ( U ) \right) \bigcap \left( \bigcup _ { \mathsf { w } \in \mathbb { T } ^ { \# J } } f _ { j } ( U ) \right) = \emptyset \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \neq j . } \end{array}
L _ { s R } = [ \frac { 1 } { L _ { s } } + \frac { 1 } { L _ { R } } ] ^ { - 1 } = \left\{ \begin{array} { c c } { L _ { s } } & { L _ { s } \ll L _ { R } } \\ { L _ { R } } & { L _ { R } \ll L _ { s } } \end{array} \right. .