harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l } { { J ( z ) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { k + \check { g } } \{ S _ { a } ^ { a } - \frac { 1 } { ( \check { g } - \check { s } ) } \Omega _ { c a } ^ { c b } S _ { b } ^ { a } + k \psi ^ { a } \psi _ { a } } } \\ { { } } & { { } } & { { + \Omega _ { a b } ^ { b c } \psi ^ { a } \psi _ { c } + \frac { ( k - \check { g } + \check { s } ) } { 2 ( \check { g } - \check { s } ) } \psi ^ { a b } \psi _ { a b } \} ( z ) } } \end{array}
2 4 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle { \partial ^ { 2 } } / { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } \rangle _ { 0 } ] + 3 [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle { \partial ^ { 2 } } / { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } \rangle _ { 0 } ]
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { i j k } { } ^ { l } \ } & { { } = \ \partial _ { i } \tilde { \Gamma } _ { j k } { } ^ { l } - \partial _ { j } \tilde { \Gamma } _ { i k } { } ^ { l } - \tilde { \Gamma } _ { i k } { } ^ { m } \tilde { \Gamma } _ { j m } { } ^ { l } + \tilde { \Gamma } _ { j k } { } ^ { m } \tilde { \Gamma } _ { i m } { } ^ { l } } \end{array}
\frac { d \textbf { M } } { d t } = - \gamma \mu _ { 0 } [ \textbf { M } \times \textbf { H } _ { \mathrm { e f f } } + \frac { \alpha } { M _ { S } } \textbf { M } \times ( \textbf { M } \times \textbf { H } _ { \mathrm { e f f } } ) ] .
D _ { m m ^ { \prime } } ^ { j } ( \psi ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( j + m ^ { \prime } ) ! } } ~ \frac { 1 } { \sqrt { ( j - m ^ { \prime } ) ! } } ~ ( \frac { \partial } { \partial \xi _ { 1 } ^ { * } } ) ^ { j + m } ~ ( \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } ^ { * } } ) ^ { j - m } ~ < \xi \mid U ( \psi ) \mid j , m ^ { \prime } >
{ \boldsymbol { \sigma } } = \sigma _ { i j } = \left[ { \begin{array} { l } { \mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 1 } ) } } \\ { \mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 2 } ) } } \\ { \mathbf { T } ^ { ( \mathbf { e } _ { 3 } ) } } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} } \right] \equiv \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x x } } & { \sigma _ { x y } } & { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y x } } & { \sigma _ { y y } } & { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } & { \sigma _ { z y } } & { \sigma _ { z z } } \end{array} } \right] \equiv \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x } } & { \tau _ { x y } } & { \tau _ { x z } } \\ { \tau _ { y x } } & { \sigma _ { y } } & { \tau _ { y z } } \\ { \tau _ { z x } } & { \tau _ { z y } } & { \sigma _ { z } } \end{array} } \right] ,
\begin{array} { r l r } { - \tilde { \beta } { \cal { V } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } G ( \Phi _ { 0 } ) ( \partial _ { z } \Phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \; d z } & { = } & { \tilde { \sigma } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \cal { H } } _ { \gamma } ( \partial _ { z } \Phi _ { 0 } ) ^ { 2 } - \partial _ { z } W ^ { \prime } ( \Phi _ { 0 } ) \Phi _ { 1 } + \partial _ { z z } \Phi _ { 1 } \partial _ { z } \Phi _ { 0 } \; d z } \\ & { } & { + L _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } G ( \Phi _ { 0 } ) \partial _ { z } \Phi _ { 0 } \; d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { | \omega ^ { - 1 } ( u ) | ^ { 2 } + 1 } { 2 } ( D _ { p _ { 0 } } \circ \mathcal { F } _ { \hbar } ) ( \psi ) ( \omega ^ { - 1 } ( u ) ) } \\ & { \qquad \qquad = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \hbar p _ { 0 } } \int _ { S ^ { 3 } } \frac { ( D _ { p _ { 0 } } \circ \mathcal { F } _ { \hbar } ) ( \psi ) ( \omega ^ { - 1 } ( y ) ) } { | \omega ^ { - 1 } ( u ) - \omega ^ { - 1 } ( y ) | ^ { 2 } } \Big ( \frac { | \omega ^ { - 1 } ( y ) | ^ { 2 } + 1 } { 2 } \Big ) ^ { 3 } d \Omega ( y ) , } \end{array}
\underbrace { \rho _ { s } b \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial t ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ } , ~ \mathcal { O } ( S t ) } + \underbrace { \frac { u _ { y } } { k } } _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ f ~ f ~ n ~ e ~ s ~ s ~ } , ~ \mathcal { O } ( 1 ) } - \underbrace { \chi _ { t } \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } } { \partial z ^ { 2 } } } _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } , ~ \mathcal { O } ( \theta _ { t } ) } + \underbrace { \chi _ { b } \frac { \partial ^ { 4 } u _ { y } } { \partial z ^ { 4 } } } _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ n ~ d ~ i ~ n ~ g ~ } , ~ \mathcal { O } ( \theta _ { b } ) } = \underbrace { p } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ a ~ d ~ } , ~ \mathcal { O } ( 1 ) } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { P r o b . } \left( \left| \mathrm { T r } \sigma _ { N } ( x ) - 1 \right| \ge \varepsilon \right) \le 2 \exp \left( - \frac { 2 N \varepsilon ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { \varrho _ { \chi } } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \right| } \\ & { \quad \leq \sqrt { x } \left( \left( 1 + \frac { \log { x } } { \sqrt { x } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { ( \log { x } ) ^ { 2 } } { 8 \pi } + \frac { ( \log \log { x } - \log { x } - 2 \log { q } ) \log \log { x } } { 2 \pi } + \frac { \log { x } \log { q } } { 2 \pi } \right. \right. } \\ & { \quad \qquad \qquad \left. \left. + ( \nu _ { 1 } ( x _ { 0 } ) + \nu _ { 3 } ( x _ { 0 } ) + 0 . 9 4 8 7 3 ) \log { q } + \nu _ { 2 } ( x _ { 0 } ) + \nu _ { 4 } ( x _ { 0 } ) + 1 1 . 2 7 0 4 1 \right. \right. } \\ & { \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. - 0 . 2 9 2 5 \log { x } + 0 . 5 8 5 0 \log \log { x } - \frac { 0 . 2 4 7 \log { x } } { \sqrt { x } } \right) \right. } \\ & { \quad \qquad \qquad \left. + \bigg ( \left( 1 + \frac { \log { x } } { \sqrt { x } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \bigg ) \left( \left( \frac { 1 } { \pi } + \frac { 0 . 4 9 4 \log { x } } { \sqrt { x } } \right) \left( \frac { 2 \log { q } + \log { x } - 2 \log \log { x } } { 2 } \right) \right. \right. } \\ & { \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left. - 0 . 2 6 6 7 + \frac { 1 3 . 0 0 3 4 \log { x } } { \sqrt { x } } \right) \right) } \\ & { \quad \leq \left( f _ { 1 } ( x _ { 0 } ) \log { x } + f _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \log { q } + f _ { 3 } ( x _ { 0 } ) \right) \sqrt { x } \log { x } + f _ { 4 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { q } + f _ { 5 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \tilde { T } _ { ( 0 ) t t } = U \delta ( x ) \delta ( y ) + \frac { ( J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \nabla ^ { 2 } \left( l n \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 } , } } \\ { { \tilde { T } _ { ( 0 ) z z } = - T \delta ( x ) \delta ( y ) + \frac { ( J ^ { 2 } - \nu S ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \nabla ^ { 2 } \left( l n \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 } , } } \\ { { \tilde { T } _ { ( 0 ) i j } = ( J ^ { 2 } + \rho S ^ { 2 } ) \delta _ { i j } \delta ( x ) \delta ( y ) - \frac { ( J ^ { 2 } + \nu S ^ { 2 } ) } { 2 \pi } \partial _ { i } \partial _ { j } l n ( r / r _ { 0 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \overline { { z } } ^ { m - n } R _ { n } ^ { \kappa , \rho , m , n } ( | z | ^ { 2 } ) + z ^ { n - [ m \wedge ^ { * } ( n + \rho ) ] } \overline { { z } } ^ { m - [ m \wedge ^ { * } ( n + \rho ) ] } S _ { m \wedge ^ { * } ( n + \rho ) , n } ^ { \kappa , \rho , m , n } ( | z | ^ { 2 } ) . } \end{array}
\pi ^ { - { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( s ) = \pi ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( 1 - s )
\varphi ^ { \mathbb { G } } : = \otimes _ { \alpha \in \mathbb { G } } \varphi _ { \alpha } : ( \mathcal { O } _ { q } \operatorname { S L } _ { 2 } ) ^ { \otimes \mathbb { G } } \to \mathcal { S } _ { A } ( \mathbf { \Sigma } ) , \quad \varphi ^ { \mathbb { G } } ( x _ { 1 } \otimes \ldots \otimes x _ { | \mathbb { G } | } ) = \varphi _ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \ldots \varphi _ { \alpha _ { | \mathbb { G } | } } ( x _ { | \mathbb { G } | } ) .
r _ { \mathrm { t o t a l } } = \frac { - r _ { 1 } + \sqrt { \alpha _ { m } } r _ { 2 } e ^ { i \phi _ { 1 } } } { 1 - r _ { 1 } r _ { 2 } \sqrt { \alpha _ { m } } e ^ { i \phi _ { 1 } } }
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L H S } ( w ^ { * } , z ^ { * } ) \geq F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \langle \lambda , A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \rangle - \frac { 1 } { T } \Big ( \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 1 } } \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
\cos \Theta = \frac { \langle \vec { v } _ { 1 } , \vec { v } _ { 2 } \rangle } { \langle \vec { v } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle \vec { v } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } } , \; \; \; \; \sin \Theta = \frac { \sqrt { \langle \vec { v } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } \rangle \langle \vec { v } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } \rangle - \langle \vec { v } _ { 1 } , \vec { v } _ { 2 } \rangle ^ { 2 } } } { \langle \vec { v } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle \vec { v } _ { 2 } , \vec { v } _ { 2 } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { ( 0 ) } \rho } & { { } = - \rho \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } , } \\ { D _ { t } ^ { ( 0 ) } u _ { \alpha } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \alpha } ( \rho R T ) - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } [ f ^ { ( 0 ) } ] , } \\ { D _ { t } ^ { ( 0 ) } T } & { { } = - \frac { 2 } { 3 } T \partial _ { \alpha } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 R \rho } p _ { \alpha \beta } [ f ^ { ( 0 ) } ] \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 R \rho } \partial _ { \beta } q _ { \beta } [ f ^ { ( 0 ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta x \delta y \delta z \frac { \partial C _ { i , j , k } ( t ) } { \partial t } + \oint _ { \partial \Omega } ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) \ H ( \mathbf { x } , t ) \ d A = \int _ { \Omega } H ( \mathbf { x } , t ) ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) \ d V } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { k } \vec { u } _ { k } ^ { \, 2 } + m _ { l } \vec { u } _ { l } ^ { \, 2 } } & { { } = } & { \left( m _ { k } + m _ { l } \right) \left( \vec { u } _ { k l } ^ { \, s } \right) ^ { 2 } + m _ { k l } \, \vec { u } _ { k l } ^ { \, 2 } \, , } \\ { f _ { k } \left( \vec { u } _ { k } \right) \, f _ { l } \left( \vec { u } _ { l } \right) } & { { } = } & { \left( \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { \left( 2 \pi \, k _ { B } T \right) ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
\vec { E } _ { i } ^ { i n c } ( t , \vec { r } _ { i } ) = E _ { 0 i } ^ { i n c } e ^ { j ( \omega _ { i } ^ { i n c } t - \vec { k } _ { i } ^ { i n c } \cdot \vec { r } _ { i } + \varphi _ { i } ^ { i n c } ) } | p _ { i } ^ { i n c } \rangle ,
\begin{array} { r } { \Vert \frac { \partial ^ { n _ { 0 } } } { \partial k _ { 0 } ^ { n _ { 0 } } } \frac { \partial ^ { n ^ { ( a ) } } } { \partial ( q ^ { ( a ) } ) ^ { n ^ { ( a ) } } } \frac { \partial ^ { n ^ { ( b ) } } } { \partial ( q ^ { ( b ) } ) ^ { n ^ { ( b ) } } } \tilde { C } _ { j , \sigma } ( k _ { 0 } , q ^ { ( a ) } , q ^ { ( b ) } ) \Vert _ { L ^ { \infty } } \le K ^ { n } \gamma ^ { j n _ { 0 } } \gamma ^ { s ^ { ( a ) } n ^ { ( a ) } } \gamma ^ { s ^ { ( b ) } n ^ { ( b ) } } ( n ! ) ^ { 1 / \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| [ F ^ { * } , H ] D \| } & { \; \leq \; \operatorname* { s u p } _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sum _ { m \in { \mathbb Z } ^ { d } } \| F ( n ) - F ( m ) ) \| \, \| D ( m ) \| \, \| \langle n | H | m \rangle \| } \\ & { \; \leq \; \operatorname* { s u p } _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sum _ { m \in { \mathbb Z } ^ { d } } 2 \, d \; | n - m | \; \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { | n | } , \frac { 1 } { | m | } \} \, | m | \, \frac { C } { 1 + | n - m | ^ { \alpha } } \; , } \end{array}
W ( p , q ) = W _ { 4 } ( p , q ; 0 ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 + \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } & { { p } } & { { q } } & { { - \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { { p } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - p } } \\ { { q } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - q } } \\ { { \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } & { { p } } & { { q } } & { { 1 - \frac { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Xi _ { i j } ^ { ( h ) } : = } & { - \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { A _ { 1 , 2 i - 1 , 2 i } ^ { ( h + 1 ) } } \\ { A _ { 1 , 2 i , 2 i - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { X _ { 2 i - 1 , 2 i - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { X _ { 2 i - 1 , 2 i } ^ { ( h + 1 ) } } \\ { X _ { 2 i , 2 i - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { X _ { 2 i , 2 i } ^ { ( h + 1 ) } } \end{array} \right] } \\ & { - \left[ \begin{array} { l l } { X _ { 2 i - 1 , 2 i - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { X _ { 2 i - 1 , 2 i } ^ { ( h + 1 ) } } \\ { X _ { 2 i , 2 i - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { X _ { 2 i , 2 i } ^ { ( h + 1 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { A _ { 2 , 2 j - 1 , 2 j } ^ { ( h + 1 ) } } \\ { A _ { 2 , 2 j , 2 j - 1 } ^ { ( h + 1 ) } } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } ^ { p } = } & { \big \langle \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { i } } ) ) , \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \eta _ { \alpha _ { i } } + \mu _ { \alpha _ { i } } ) ) } \\ & { \quad - \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { i } } ) ) , \zeta ^ { - 1 } ( p \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { i } } ) ) \big \rangle , } \end{array}
\widetilde { Z } ( R ( S ) , \langle \cdot \, , \cdot \rangle ) = \operatorname * { d e t } ( \widetilde { T } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 4 } \, \prod _ { k = 1 } ^ { N } \operatorname * { d e t } ( \widetilde { T } _ { k } ^ { * } \widetilde { T } _ { k } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( - 1 ) ^ { k - 1 } }
\sigma _ { \mathrm { V M C } } ^ { 2 } = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | ( \hat { H } - E _ { \mathrm { V M C } } ) ^ { 2 } | \Psi _ { \mathrm { T } } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { \mathrm { T } } \rangle } \; ,
\begin{array} { r l } { F _ { k } ^ { p o l y } } & { = - \int _ { V } \frac { \partial v _ { i k } ^ { t r a n s } } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) d V } \\ { T _ { k } ^ { p o l y } } & { = - \int _ { V } \frac { \partial v _ { i k } ^ { r o t } } { \partial x _ { j } } \left( \tau _ { i j } ^ { e x } - \tau _ { i j } ^ { e x , \infty } \right) d V } \end{array}
\star \equiv ~ \mathrm { { \Large ~ e ^ { ~ i ~ \hbar ( \stackrel { \leftarrow ~ } { \partial ~ } _ { x } \stackrel { \rightarrow ~ } { \partial ~ } _ { p } - \stackrel { \leftarrow ~ } { \partial ~ } _ { p } \stackrel { \rightarrow ~ } { \partial ~ } _ { x } ) / 2 } ~ } } ~ ,
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \frac { h ^ { 1 1 } } { u } } & { = - \frac { ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } } { u } \left( \psi _ { 1 1 } F + 2 \psi _ { 1 } F _ { 1 } + k \alpha \psi G ^ { k \alpha - 1 } \ddot { G } ^ { p q , r s } b _ { p q 1 } b _ { r s 1 } + k \alpha \psi ( k \alpha - 1 ) G ^ { k \alpha - 2 } ( \nabla _ { 1 } G ) ^ { 2 } + ( k \alpha + 1 ) \psi F \right) } \\ & { + k \alpha \frac { h ^ { 1 1 } } { u } \psi G ^ { k \alpha - 1 } \sum _ { k } \dot { G } ^ { k k } + \eta \frac { h ^ { 1 1 } } { u } - 2 k \alpha \psi ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } G ^ { k \alpha - 1 } \dot { G } ^ { i j } h ^ { p q } \nabla _ { i } b _ { 1 p } \nabla _ { j } b _ { 1 q } } \\ & { - ( 1 - k \alpha ) \frac { h ^ { 1 1 } } { u ^ { 2 } } \psi F + \eta \frac { h ^ { 1 1 } } { u } - k \alpha \psi \frac { h ^ { 1 1 } } { u } G ^ { k \alpha - 1 } \sum _ { i } \dot { G } ^ { i i } . } \end{array}
\left( m + \frac { m _ { i } } { 2 } \right) { \ddot { v } } + \frac { m _ { i } } { 2 } { \ddot { v } _ { b } } + \frac { m _ { i } } { 2 } \frac { \left( \ddot { v } - \ddot { v } _ { b } \right) } { \tan ^ { 2 } { \alpha } } + c \dot { v } + k v = F ,
{ \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] } \, = \, { \frac { 1 } { 1 - \nu _ { x y } \nu _ { y x } } } { \left[ \begin{array} { l l l } { E _ { x } } & { \nu _ { y x } E _ { x } } & { 0 } \\ { \nu _ { x y } E _ { y } } & { E _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { G _ { x y } ( 1 - \nu _ { x y } \nu _ { y x } ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] } \, .
m i n ( a _ { \mu } ^ { h } ) ^ { v a r } = \frac { \alpha ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \Biggl \{ x _ { 0 } \Biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } x _ { i } + x _ { 0 } \Biggr ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } a _ { i } ( \bar { x } _ { i } - x _ { i } ) x _ { i } \Biggr \} = 1 . 0 2 . 1 0 ^ { - 8 }
\begin{array} { r l } & { M _ { a _ { 1 } e \to a _ { 3 } f } ^ { ( 0 ) } M _ { a _ { 2 } f \to a _ { 4 } a _ { 5 } \dots a _ { n } e } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { M _ { a _ { 1 } e \to a _ { 4 } f } ^ { ( 0 ) } M _ { a _ { 2 } f \to a _ { 3 } a _ { 5 } \dots a _ { n } e } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { \vdots } \\ & { M _ { a _ { 1 } e \to a _ { n } f } ^ { ( 0 ) } M _ { a _ { 2 } f \to a _ { 3 } a _ { 4 } \dots a _ { n - 1 } e } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
V ( r ) = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } r ^ { 2 } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } [ q ^ { 2 } + 2 s ( t ) q + s ^ { 2 } ( t ) ] = V ( q ) + f _ { 0 } ( t ) q + \varepsilon _ { 0 } ( t ) .
\displaystyle { } _ { r } G _ { r } ( a _ { 1 } , . . . a _ { r } ; b _ { 1 } , . . . , b _ { r } ; q , p ; z ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( a _ { 1 } , . . . , a _ { r } ; q ; p ) _ { n } } { ( b _ { 1 } , . . . , b _ { r } ; q , p ) _ { n } } } z ^ { n }
\sum _ { i \in \emptyset } { m _ { i } } = 0 ; \quad \sum _ { i \in \{ j \} } { m _ { i } } = m _ { j } ; \quad \sum _ { i \in \{ j , k \} } { m _ { i } } = m _ { j } + m _ { k } \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } j \neq k
I _ { C , { \mathrm { d i s c } } } = \iiint _ { Q } \rho \, r ^ { 2 } \, \mathrm { d } V = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } \rho r ^ { 2 } s r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta = 2 \pi \rho s { \frac { R ^ { 4 } } { 4 } } = { \frac { 1 } { 2 } } m R ^ { 2 } ,
\frac { d } { d t } \frac { \partial T ^ { * } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } - \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { d } { d t } \left( \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \right) \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { m + \nu } } = { \cal F } ^ { ( q _ { r } ) } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } { \cal F } ^ { ( q _ { m + \nu } ) } , \qquad r = 1 , \dots , m .
W ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n } + \Delta t ) \approx W ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n } ^ { + } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } [ \partial _ { t } ^ { ( k ) } W ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n } ^ { + } ) ] \frac { ( \Delta t ) ^ { k } } { k ! } ,
\begin{array} { r l } { F _ { C S } ( N , k , { \tilde { k } } = k + N ) } & { = \frac { N } { 2 } \log ( k + N ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } ( N - j ) \log ( 2 \sin \frac { \pi j } { k + N } ) } \\ { F _ { C S } ( N , k , { \tilde { k } } ) } & { = F _ { C S } ( N , k , { \tilde { k } } = k + N ) + \frac { 1 } { 2 } \log \frac { { \tilde { k } } } { k + N } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Phi } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( i ) } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) \sum _ { \Phi } Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( i ) } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) Q _ { i , j } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W , Y } ( i , j ) } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \nu _ { 0 } \textrm { n } _ { 0 } + ( 1 - \textrm { n } _ { 0 } ) \cos ^ { 2 } \! \beta \right) N } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) } & { = \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | \nabla _ { \alpha } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle ~ , } \\ { \widetilde { \mathcal { F } } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) } & { = \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | \nabla _ { \alpha } ^ { 2 } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle = \nabla _ { \alpha } \mathcal { F } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) + \sum _ { K } \mathcal { F } _ { J K } ^ { \alpha } ( R ) \, \mathcal { F } _ { K I } ^ { \alpha } ( R ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x _ { 0 } } f _ { a } \left( x \right) d x } & { = 1 - \frac { a } { 2 \left( 1 + a \right) } \left( 1 - \frac { \pi } { a + 1 } \cot \frac { \pi } { a + 1 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { a ^ { 2 } } { \left( 1 + a \right) ^ { 2 } } - 1 \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \left( 1 + a \right) ^ { 2 } } \left[ 1 + a + a ^ { 2 } - a \pi \cot \frac { a \pi } { a + 1 } \right] . } \end{array}
2 [ t _ { 1 } \sin ( q _ { x } b ) + t _ { 3 } \sin ( q _ { y } b ) ] J _ { 1 } ( K _ { y 2 } ) J _ { 2 } ( K _ { y 1 } ) \sin ( 2 \varphi _ { y 1 } - \varphi _ { y 2 } ) + 2 t _ { 2 } \sin [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 1 } ( K _ { x 2 } ) J _ { 2 } ( K _ { x 1 } ) \sin ( \varphi _ { x 2 } ) \}
\begin{array} { c c } { { T _ { R 1 } ( p ) } } & { { T _ { R 2 } ( p ) } } \\ { { T _ { A 1 } ( p ) } } & { { T _ { A 2 } ( p ) } } \end{array} = \begin{array} { c c } { { N ( p ) } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } & { { } \quad } & { \mathrm { ~ R ~ a ~ t ~ e ~ } } \\ { ( s , i ) \to ( s - 1 , i + 1 ) } & { { } \quad } & { \lambda s i ; } \\ { ( s , i ) \to ( s , i - 1 ) } & { { } \quad } & { \gamma i . } \end{array}
\Vec { \nabla } \cdot \Vec { J _ { i } } = \Vec { \nabla } \cdot \left[ - D _ { i } \Vec { \nabla } C _ { i } - \frac { e Z _ { i } D _ { i } } { k _ { B } T } C _ { i } \Vec { \nabla } \psi \right] = 0 \, ,
\footnotesize \mathrm { ~ R ~ o ~ t ~ } ( W _ { 5 } ) = \left( \begin{array} { l l l l } { w _ { 1 } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { 1 } ^ { 2 } } & { w _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { w _ { 2 } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { 2 } ^ { 2 } } & { w _ { 2 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { w _ { n } ^ { n } } & { \cdots } & { w _ { n } ^ { 2 } } & { w _ { n } ^ { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \langle \sigma ( z , \bar { z } ) \rangle ^ { \alpha \beta } } & { = \bar { z } ^ { - 2 h _ { \sigma } } \mathcal { A } _ { \sigma , \Psi _ { \mathbf { 1 } } } ^ { ( \beta ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { \mathbf { 1 } } , \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \beta \beta \alpha ) \Psi _ { 1 2 } } \tilde { \mathcal { F } } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \, , } \\ { \langle \sigma _ { \varepsilon } ( z , \bar { z } ) \rangle ^ { \alpha \beta } } & { = \bar { z } ^ { - 2 h _ { \sigma _ { \varepsilon } } } \mathcal { A } _ { \sigma _ { \varepsilon } , \Psi _ { \mathbf { 1 } } } ^ { ( \beta ) } \mathcal { B } _ { \Psi _ { \mathbf { 1 } } , \Psi _ { 1 2 } } ^ { ( \beta \beta \alpha ) \Psi _ { 1 2 } } \tilde { \mathcal { F } } _ { \mathbf { 1 } } ^ { ( \varepsilon ) } ( \eta ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { k } \big ( q _ { k - 1 } , \xi _ { k - 1 } \big ) } & { \approx h _ { k - 1 } \big ( q _ { k - 1 } , \xi _ { k - 1 } \big ) } \\ & { = v _ { k - 1 } , } \\ { \frac { \partial h _ { k } ( \varphi , \xi ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = q _ { k - 1 } , ~ \xi = \xi _ { k - 1 } } } & { \approx \frac { \partial h _ { k - 1 } ( \varphi , \xi ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = q _ { k - 1 } , ~ \xi = \xi _ { k - 1 } } . } \end{array}