harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Delta \alpha = - \frac { \ell _ { 0 } } { q \psi _ { 0 } } \sqrt { \frac { m H } { 2 } } \frac { \pi a _ { \psi } ( \lambda + 2 \lambda b a _ { \ell } - 1 ) } { 2 a _ { \ell } ^ { 3 / 2 } \sqrt { \lambda } } .
L _ { \mathrm { S t } } ^ { ( 2 ) } = ( { \bar { \chi } } _ { 2 } ^ { 1 * } - { \bar { \pi } } _ { 3 } ^ { 1 * } \sigma _ { - } + { \bar { \chi } } _ { 4 } ^ { 3 * } ) \omega _ { 2 } + { \bar { \chi } } _ { 3 } ^ { 1 * } \sigma _ { - } \chi _ { 4 } ^ { 3 } \, ;
\operatorname { T } ( X ) = { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) \left[ \left( { \frac { 4 } { \pi } } - 1 \right) ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { E = \langle \Psi | H _ { \mathrm { m p } } | \Psi \rangle = \sum _ { p q } { ^ { 1 } \Gamma } _ { p q } \, h _ { q p } + \sum _ { p q r s } { ^ { 2 } \Gamma } _ { p q r s } \, g _ { r s p q } \, , } \end{array}
L _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \mathbb { 1 } } & { \hat { n } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \end{array} \right) \, , \qquad R _ { k } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { \hat { n } } \\ { \mathbb { 1 } } \end{array} \right) \, .
C _ { a } ^ { t , b , \tau , \nu } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { \frac { 2 6 } { 5 } } } } & { { { \frac { 1 4 } { 5 } } } } & { { { \frac { 1 8 } { 5 } } } } & { { { \frac { 6 } { 5 } } } } \\ { { 6 } } & { { 6 } } & { { 2 } } & { { 2 } } \\ { { 4 } } & { { 4 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { l ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { l ; k , j _ { 1 } } - \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { m ; k , j _ { 1 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } \times \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ^ { 2 } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { f ^ { l } - f ^ { m } } ^ { n - w } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } } \left| t - s \right| ^ { \frac { 2 } { \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { a = 2 } ^ { N } \frac { \partial ^ { a } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | } } \\ & { } & { 2 ! ^ { i _ { 1 } } 3 ! ^ { i _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } } b _ { 3 } ( \delta ) ^ { i _ { 2 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } } } \\ & { \leq } & { \frac { \partial ^ { N } g _ { \delta } } { \partial x ^ { N } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { N } \leq \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \frac { \partial ^ { N } g _ { \delta } } { \partial x ^ { N } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha = 1 , 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } = } & { { } ~ \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } \right) + \mathbf { w } _ { 2 } \cdot \left( \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } + \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } \right) } \\ { = } & { { } ~ - \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \tilde { \rho } _ { 2 } \mathbf { w } _ { 2 } - \mathbf { w } _ { 2 } \cdot \tilde { \rho } _ { 1 } \mathbf { w } _ { 1 } } \\ { = } & { { } ~ - \rho \mathbf { w } _ { 1 } \cdot \mathbf { w } _ { 2 } . } \end{array}
\varepsilon _ { 0 } \approx - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \frac { ( - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 0 , s } + i [ \mathrm { ~ \bf ~ K ~ } ] _ { 0 , s } ) ^ { 2 } } { [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { s , s } } .
\lambda = \frac { 1 + ( D - 1 ) \eta } { 2 } + \sqrt { \frac { \{ 1 + ( D - 1 ) \eta \} ^ { 2 } } { 4 } + \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } + \frac { 1 } { \kappa ^ { 4 } } } \; .
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { E } \Vert _ { F } } & { = \sqrt { { \Vert E ^ { ( 1 ) } \Vert } _ { F } ^ { 2 } + { \Vert E ^ { ( 2 ) } \Vert } _ { F } ^ { 2 } + \dots + { \Vert E ^ { ( l ) } \Vert } _ { F } ^ { 2 } } } \\ & { \leqslant \Vert E ^ { ( 1 ) } \Vert _ { F } + \Vert E ^ { ( 2 ) } \Vert _ { F } + \cdots + \Vert E ^ { ( l ) } \Vert _ { F } , } \end{array}
\, \! { \frac { \partial U } { \partial m } } = { \frac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } } { \frac { \partial x _ { 1 } ^ { * } } { \partial m } } + { \frac { \partial u } { \partial x _ { 2 } } } { \frac { \partial x _ { 2 } ^ { * } } { \partial m } } = \lambda ^ { * } p _ { 1 } { \frac { \partial x _ { 1 } ^ { * } } { \partial m } } + \lambda ^ { * } p _ { 2 } { \frac { \partial x _ { 2 } ^ { * } } { \partial m } } = \lambda ^ { * } \left( p _ { 1 } { \frac { \partial x _ { 1 } ^ { * } } { \partial m } } + p _ { 2 } { \frac { \partial x _ { 2 } ^ { * } } { \partial m } } \right) = \lambda ^ { * } { \frac { \partial E } { \partial m } } .
\begin{array} { r l } { | X ^ { I } p _ { 1 } ^ { n } ( e ) | } & { \lesssim \sum _ { d ( I ) \leq d ( J ) < \gamma + \beta } \operatorname* { s u p } _ { d ( J ^ { \prime } ) \leq d ( J ) } \left| \big ( \mathcal { R } f - \Pi _ { y } f ( y ) \big ) \big ( X _ { 1 } ^ { J ^ { \prime } } K _ { n } ( y , \cdot ) \big ) \right| | y ^ { - 1 } x | ^ { d ( J ) - d ( I ) } } \\ & { \lesssim \sum _ { d ( I ) \leq d ( J ) < \gamma + \beta } \operatorname* { s u p } _ { d ( J ^ { \prime } ) \leq d ( J ) } 2 ^ { - n ( \gamma + \beta - d ( J ^ { \prime } ) ) } | y ^ { - 1 } x | ^ { d ( J ) - d ( I ) } } \\ & { \lesssim \sum _ { d ( I ) \leq d ( J ) < \gamma + \beta } 2 ^ { - n ( \gamma + \beta - d ( J ) ) } | y ^ { - 1 } x | ^ { d ( J ) - d ( I ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \\ { { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } { \bf F } ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { \bf R } ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + { \bf J } _ { 1 1 } \{ { { \bar { \bf F } } } ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } , } \end{array}
x ^ { n } = T _ { n } \left( \, { \frac { \, x + x ^ { - 1 } \, } { 2 } } \, \right) + { \frac { \, x - x ^ { - 1 } \, } { 2 } } U _ { n - 1 } \left( \, { \frac { \, x + x ^ { - 1 } \, } { 2 } } \, \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { P . V . \int _ { t ^ { n - 1 } } ^ { t _ { j } ^ { n } } k _ { - \alpha _ { \ell } } ( t _ { j } ^ { n } - s ) ( \Pi ^ { p } U _ { \ell } ) ( s ) \ d x [ s ] - f _ { \ell } ( t ^ { n } , U _ { \ell , j } ^ { n } ) } \\ { = } & { - _ { F } H ^ { \alpha _ { \ell } } U _ { \ell , j } ^ { n } + \frac { ( t _ { j } ^ { n } ) ^ { - \alpha _ { \ell } } } { \Gamma ( 1 - \alpha _ { \ell } ) } \phi _ { \ell } , \quad 1 \le j \le N , 1 \le \ell \le d . } \end{array}
x ^ { \prime } = k x , \quad y ^ { \prime } = y , \quad z ^ { \prime } = z , \quad t ^ { \prime } = { \frac { t } { k } } - { \frac { k w x } { c ^ { 2 } } } , \quad k ^ { 2 } = { \frac { c ^ { 2 } } { c ^ { 2 } - w ^ { 2 } } }
\begin{array} { r c l c r c l } { { H _ { 1 7 } ( r ) } } & { { = } } & { { 1 + \frac { \vert g ^ { 1 7 } \vert } { r } } } & { { ; } } & { { H _ { 2 4 } ( r ) } } & { { = } } & { { 1 + \frac { \vert g ^ { 2 4 } \vert } { r } } } \\ { { H _ { 1 8 } ( r ) } } & { { = } } & { { 1 + \frac { \vert e _ { 1 8 } \vert } { r } } } & { { ; } } & { { H _ { 2 3 } ( r ) } } & { { = } } & { { 1 + \frac { \vert e _ { 2 3 } \vert } { r } } } \end{array}
{ \cal M } _ { A } ^ { 0 } = f _ { D } ^ { 2 } m _ { D } ^ { 2 } ~ , ~ ~ { \cal M } _ { P } ^ { 0 } = \frac { f _ { D } ^ { 2 } m _ { D } ^ { 4 } } { ( m _ { u } + m _ { c } ) ^ { 2 } } ~ .
\mathbf { F } ^ { n } = \frac { \rho } { \Delta t } \mathbf { U } _ { \mathrm { ~ I ~ B ~ } } ^ { n } + \mathbf { B } ^ { \intercal } \left( \mathbf { f } ^ { \star } - \frac { \rho } { \Delta t } \mathbf { u } ^ { \star } \right) \, ,
\sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { 1 6 ^ { n - k } { \bmod { ( } } 8 k + 1 ) } { 8 k + 1 } } + \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 6 ^ { n - k } } { 8 k + 1 } } .
\begin{array} { r l } { | V ( x _ { 2 } ) - V ( x _ { 1 } ) | } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla V ( x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ) ^ { \mathrm { T } } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \mathrm { d } t \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla V ( x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ) \| _ { 2 } \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } L ( 1 + \| x _ { 1 } + t ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \| _ { 2 } ) \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + t \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } ) \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { = L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + \frac 1 2 \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } ) \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| _ { 2 } \le L ( 1 + \| x _ { 1 } \| _ { 2 } + r ) \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| } \end{array}
H = 1 + \frac { r _ { 0 } ^ { 7 - p } \sinh ^ { 2 } \alpha } { r ^ { 7 - p } } , \ \ \ f = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } } { r } \right) ^ { 7 - p } , \ \ \ h ^ { - 1 } = \cos ^ { 2 } \theta + H ^ { - 1 } \sin ^ { 2 } \theta .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { { q } ^ { \mathrm { T } } } \nabla _ { z } ^ { 2 } L ( z ^ { * } , \lambda ^ { * } , p ) q } & { > 0 , \quad \forall q \: \: \mathrm { s . t . } \: \: q \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \ensuremath { { \nabla _ { z } c _ { i } ( z ^ { * } , p ) } ^ { \mathrm { T } } } q = 0 , \: \forall i \in \mathcal { E } \cup \mathcal { A } _ { + } ^ { * } . } \end{array}
M _ { 4 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = < F ^ { 2 } ( x _ { 1 } ) F ^ { 2 } ( x _ { 2 } ) F ^ { 2 } ( x _ { 3 } ) F ^ { 2 } ( x _ { 4 } ) >
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { \perp _ { \mathbf { n } } } } \left( 1 + \frac { \mathbf { 1 } _ { \left\vert \widetilde { \mathbf { g } } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { j l , i k } ^ { \alpha \beta } } } { \left( \widetilde { \Psi } _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } \right) ^ { 1 - \gamma / 2 } } \right) \exp \left( - \frac { m _ { \beta } } { 2 } \left\vert \frac { \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) _ { \perp _ { \boldsymbol { n } } } } { 2 } + \mathbf { w } \right\vert ^ { 2 } \right) d \mathbf { w } } \\ & { \leq } & { \int _ { \left\vert \mathbf { w } \right\vert \leq 1 } 1 + \left\vert \mathbf { w } \right\vert ^ { \gamma - 2 } \, d \mathbf { w } + 2 \int _ { \left\vert \mathbf { w } \right\vert \geq 1 } \exp \left( - \frac { m _ { \beta } } { 2 } \left\vert \frac { \left( \boldsymbol { \xi + \xi } _ { \ast } \right) _ { \perp _ { \boldsymbol { n } } } } { 2 } + \mathbf { w } \right\vert ^ { 2 } \right) d \mathbf { w } } \\ & { \leq } & { \int _ { \left\vert \mathbf { w } \right\vert \leq 1 } 1 + \left\vert \mathbf { w } \right\vert ^ { \gamma - 2 } \, d \mathbf { w } + 2 \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { \perp _ { \mathbf { n } } } } e ^ { - m _ { \beta } \left\vert \widetilde { \mathbf { w } } \right\vert ^ { 2 } / 2 } \, d \widetilde { \mathbf { w } } } \\ & { = } & { 2 \pi \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } R + R ^ { \gamma - 1 } \, d R + 2 \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { \perp _ { \mathbf { n } } } } R e ^ { - m _ { \beta } R ^ { 2 } / 2 } \, d R \right) = C \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { n _ { \alpha } } } & { { } = \pi \epsilon ^ { 2 } \int \! d \beta d \gamma \ \omega _ { \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } \left( \omega _ { \beta } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \omega _ { \gamma } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \omega _ { \alpha } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \delta \left( \mathbf { k } _ { \alpha , \beta , \gamma } \right) \delta \left( \Omega _ { \alpha \beta \gamma } \right) . } \end{array}
{ \cal A } = \frac 1 { \sinh | v _ { 1 } - v _ { 2 } | } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \int _ { 0 } ^ { \infty } d l ^ { \prime } \int \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { T } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { b } } e ^ { - \frac { q ^ { 2 } } 2 \tau } e ^ { - \frac { k ^ { 2 } } 2 l ^ { \prime } } < e ^ { i p \cdot X } > _ { o s c } { \cal N }
q ( a , b , r ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \sum _ { \omega l \lambda } ( 2 l + 1 ) \omega ^ { 4 } \beta _ { \lambda l } ^ { 2 } f _ { \lambda l } ^ { ( q ) } ( \omega a , \omega r ) , \quad q = \varepsilon , \, p , \, p _ { \perp } ,
X _ { A _ { 1 } . . . A _ { p } } = \nabla _ { [ A _ { 1 } } \alpha _ { A _ { 2 } . . . A _ { p } ] } + \epsilon _ { A _ { 1 } . . . A _ { p } B _ { 1 } . . . B _ { p } } \nabla ^ { B _ { 1 } } \beta ^ { B _ { 2 } . . . B _ { p } } \ ,
\nabla \ell ( \zeta ) = \bigl ( J _ { \mathrm { P D } ^ { x ^ { * } } } ( \zeta ) \bigr ) ^ { T } \bigl ( \mathrm { I d } - J _ { \mathrm { P D } _ { ( \zeta ) } } ( x ^ { * } ) \bigr ) ^ { - T } \bigl ( x ^ { * } - x \bigr ) .
\begin{array} { r l r } { \Lambda ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac 1 { \ell + 1 } \sqrt { \frac { ( \ell + m + 2 ) ( \ell + m + 1 ) \ell ( \ell + 2 ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } } } \\ { \Lambda ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac 1 { \ell + 1 } \sqrt { \frac { ( \ell - m + 2 ) ( \ell - m + 1 ) \ell ( \ell + 2 ) } { ( 2 \ell + 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } } } \\ { \Lambda ^ { ( 3 ) } } & { = } & { - \frac { \sqrt { ( \ell + m + 1 ) ( \ell - m ) } } { \ell ( \ell + 1 ) } } \end{array}
\operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } \frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } \leq \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } x _ { n } ^ { \frac { 1 } { n } } \leq \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } x _ { n } ^ { \frac { 1 } { n } } \leq \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } \frac { x _ { n + 1 } } { x _ { n } } .
G _ { 6 6 } \sim 1 + \frac { 2 0 } { 3 ! } g \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, f r a c { 1 } { k ^ { 2 } } \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( p + k ) ^ { 2 } } ~ ,
\begin{array} { r l } { P _ { M , N } ( z ) = \sum _ { l = 0 } ^ { M } ( - 1 ) ^ { l } \Bigg ( } & { \sum _ { i \ge 0 , j \ge 0 , i + j = l } \frac { ( M - i ) ! ( M - j ) ! } { M ! ( M - l ) ! } } \\ & { \frac { ( N - i ) ! ( N - j ) ! } { N ! ( N - l ) ! } e _ { i } ( a _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , a _ { M } ^ { 2 } ) e _ { j } ( b _ { 1 } ^ { 2 } , . . . , b _ { M } ^ { 2 } ) \Bigg ) z ^ { M - l } . } \end{array}
A _ { t } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { t } - \frac { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { 0 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 0 } ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } D _ { T _ { 0 } } - \frac { H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 0 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 0 } ) H _ { 2 } ( t ) } { H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { 0 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 0 } ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) } D _ { T _ { 1 } } } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { 0 } , T _ { 1 } ) , } \\ { D _ { t } - \frac { H _ { 1 } ( T _ { 2 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 2 } ) } { H _ { 1 } ( T _ { 2 } ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { 2 } ) } D _ { T _ { 1 } } - \frac { H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( t ) } { H _ { 1 } ( T _ { 2 } ) H _ { 2 } ( T _ { 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { 2 } ) } D _ { T _ { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { 1 } , T _ { 2 } ) , } \\ { \, \vdots } \\ { D _ { t } - \frac { H _ { 1 } ( T _ { n } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { n } ) } { H _ { 1 } ( T _ { n } ) H _ { 2 } ( T _ { n - 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { n - 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { n } ) } D _ { T _ { n - 1 } } } & \\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \frac { H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { n - 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { n - 1 } ) H _ { 2 } ( t ) } { H _ { 1 } ( T _ { n } ) H _ { 2 } ( T _ { n - 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { n - 1 } ) H _ { 2 } ( T _ { n } ) } D _ { T _ { n } } } & { \mathrm { i f ~ } t \in [ T _ { n - 1 } , T _ { n } ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { l } \frac { \mathrm { d } \hat { \mathbf { y } } \times ( \mathbf { r } - \mathbf { y } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { y } | ^ { 3 } } } \\ & { = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \left( \frac { l - y } { x \sqrt { x ^ { 2 } + ( l - y ) ^ { 2 } } } + \frac { y } { x \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \right) \hat { \mathbf { z } } , } \end{array}
k _ { x } k _ { y } E _ { x } + \left( - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } + { \frac { \omega ^ { 2 } n _ { y } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) E _ { y } + k _ { y } k _ { z } E _ { z } = 0
\mathfrak { a } _ { N + j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \hbar } { 2 } ( + \pi i ) , \ 0 ( + \pi i ) } & { ( \textrm { e v e n } , + ) \ \textrm { s e c t o r } } \\ { \frac { \hbar } { 2 } ( + \pi i ) , \ \hbar , \ \pi i } & { ( \textrm { o d d } , + ) \ \textrm { s e c t o r } } \\ { \frac { \hbar } { 2 } ( + \pi i ) , \ \hbar ( + \pi i ) } & { ( \textrm { e v e n } , - ) \ \textrm { s e c t o r } } \\ { \frac { \hbar } { 2 } ( + \pi i ) , \ 0 , \ \hbar + \pi i } & { ( \textrm { o d d } , - ) \ \textrm { s e c t o r } } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { { \displaystyle \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n ( n - 1 ) c _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) d _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n d _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n ( n - 1 ) d _ { n } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle \qquad + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n c _ { n } \, \rho ^ { n } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } d _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } n d _ { n } \, \rho ^ { n } - \gamma k ^ { 2 } \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } c _ { n - 2 } \, \rho ^ { n } - \gamma k ^ { 2 } ( \ln \rho ) \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } d _ { n - 2 } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle \qquad - \delta k \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) a _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } - \delta k \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } b _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } - \delta k ( \ln \rho ) \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } ( n - 1 ) b _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } } } \\ { { \displaystyle - \delta k \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } a _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } - \delta k ( \ln \rho ) \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } b _ { n - 1 } \, \rho ^ { n } = 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \quad } & { { } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 1 } \cap A _ { 2 } } & { } & { { } \iff ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 1 } \land ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { E _ { x } / E _ { x } ^ { 0 } } \\ { E _ { y } / E _ { y } ^ { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { \cos \delta } & { - \sin \delta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \cos \beta } \\ { \sin \beta } \end{array} \right) , } \end{array}
\frac { \rho _ { \infty } } { \rho _ { 0 } } = \frac { ( \gamma + 1 ) \mathrm { M a } ^ { 2 } } { 2 + \mathrm { M a } ^ { 2 } \left( \gamma - 1 \right) } \mathrm { , ~ } \frac { \rho _ { \infty } v _ { \infty } } { \rho _ { 0 } \sqrt { \theta _ { 0 } } } = \sqrt { \gamma } \mathrm { M a , ~ a n d ~ } \frac { \rho _ { \infty } \theta _ { \infty } } { \rho _ { 0 } \theta _ { 0 } } = \frac { 1 - \gamma + 2 \gamma \mathrm { M a } ^ { 2 } } { 1 + \gamma }
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { \ell j } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \nu _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j j } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \mu _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } p _ { i k } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { \ell k } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j \ell } ^ { \left[ \beta \right] } ; } \\ { \nu _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \sum _ { \beta = 1 } ^ { L } \upsilon \left( \beta \right) \left( \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \right) p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } p _ { i k } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } w _ { k \ell } ^ { \left[ \beta \right] } \tau _ { j k } ^ { \left[ \beta \right] } . } \end{array}
\theta _ { \mathrm { o u t } } = \theta _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } = \theta _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } = \theta _ { \mathrm { s } } = \theta _ { \mathrm { G } } = \theta _ { \mathrm { i n } } = \theta _ { 0 } = \varphi _ { \mathrm { s } } / 2
\begin{array} { r l } { = } & { { } z ^ { r } ( k ) ^ { \top } \hat { M } _ { f } ^ { r } { } ^ { \top } P ^ { r } \hat { M } _ { f } ^ { r } z ^ { r } ( k ) - z ^ { r } ( k ) ^ { \top } P ^ { r } z ^ { r } ( k ) } \\ { = } & { { } z ^ { r } ( k ) ^ { \top } \big ( ( M _ { f } ^ { r } - h \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ( z ^ { \ell } ) B _ { f } ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } ( M _ { f } ^ { r } } \\ { = } & { { } ( z ^ { r } ) ^ { \top } \hat { M } _ { f } ^ { r } { } ^ { \top } P ^ { r } M _ { f } ^ { r } z ^ { r } - ( z ^ { r } ) ^ { \top } P ^ { r } z ^ { r } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \big [ V _ { \epsilon } ^ { t - 1 } \big ] - \mathbb { E } \big [ U _ { \epsilon } ^ { t - 1 } \big ] = \frac { t } { q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 } - \frac { 1 } { q _ { \epsilon } - 1 } + \frac { p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } - 1 } { 2 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } - \frac { \lambda _ { \epsilon } ( t - 1 ) } { 4 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } + \lambda _ { \epsilon } \frac { p _ { \epsilon } - p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 2 ) } } { 4 ( p _ { \epsilon } - 1 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) - } & { \Theta _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) | \leq | Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) - } \\ { \hat { Q } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) | } & { + | \hat { \Theta } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) - \Theta _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) | } \\ { \leq \alpha _ { t } + } & { | \hat { \Theta } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) - \Theta _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) | , } \end{array}
F ( t , t ^ { \prime } , v ) = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 2 } \sum _ { \alpha ^ { \prime } = 0 } ^ { 2 } \, t ^ { 2 - \alpha } \, { t ^ { \prime } } ^ { 2 - \alpha ^ { \prime } } + p _ { k } ( v ) \, t \, t ^ { \prime } ,