harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { \delta _ { t } ( v ) } ( k + 1 ) ) = } \\ & { = \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) \cdot \underbrace { \varphi ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ^ { - 1 } \varphi ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) } _ { \Theta _ { k , x } ( t ) } \cdot \varphi ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { \delta _ { t } ( v ) } ( k + 1 ) ) } \\ & { = \delta _ { t } ( \tilde { v } ) \Delta _ { k , x } ( t ) \cdot \Theta _ { k , x } ( t ) \cdot \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) \Delta _ { \lambda _ { k + 1 } , i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) , t , 1 ) } \\ & { = \delta _ { t } ( \tilde { v } ) \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( x ) ) \cdot \underbrace { ( \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( x ) ) ) ^ { - 1 } \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } _ { \Delta _ { k + 1 , x } ^ { a } ( t ) } } \\ & { \cdot \underbrace { ( \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) ) ^ { - 1 } \Delta _ { k , x } ( t ) \Theta _ { k , x } ( t ) \delta _ { \lambda _ { k + 1 } t } ( \zeta _ { i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) ) ) } _ { \Delta _ { k + 1 , x } ^ { b } ( t ) } } \\ & { \cdot \underbrace { \Delta _ { \lambda _ { k + 1 } , i _ { k + 1 } } ( \Pi _ { { \tilde { U } } } ( \gamma _ { \delta _ { t } ( \tilde { v } ) } ( k ) ) , t , 1 ) } _ { \Delta _ { k + 1 , x } ^ { c } ( t ) } = \delta _ { t } ( v ) \cdot \Delta _ { k + 1 , x } ^ { a } ( t ) \Delta _ { k + 1 , x } ^ { b } ( t ) \Delta _ { k + 1 , x } ^ { c } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } } & { { } = } & { | E _ { + } | ^ { 2 } + | E _ { - } | ^ { 2 } = 2 \exp \left( - \Lambda _ { + } \right) \cosh \Lambda _ { - } \, , } \\ { S _ { 1 } } & { { } = } & { | E _ { + } | ^ { 2 } - | E _ { - } | ^ { 2 } = 2 \exp \left( - \Lambda _ { + } \right) \sinh \Lambda _ { - } \, , } \\ { S _ { 2 } } & { { } = } & { E _ { + } E _ { - } ^ { * } + E _ { + } ^ { * } E _ { - } = 2 \exp \left( - \Lambda _ { + } \right) \cos \delta \, , } \\ { S _ { 3 } } & { { } = } & { i ( E _ { + } E _ { - } ^ { * } - E _ { + } ^ { * } E _ { - } ) = 2 \exp \left( - \Lambda _ { + } \right) \sin \delta \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { E } _ { d } ^ { \mathrm { ~ ( ~ p ~ ) ~ } } ( \mathcal { E } _ { z } ) } & { { } = } & { \frac { \gamma t } { 1 2 } ( d ^ { 2 } - 1 ) + o ( \gamma t ) , } \\ { \mathscr { E } _ { b , n } ^ { \mathrm { ~ ( ~ p ~ ) ~ } } ( \mathcal { E } _ { z } ) } & { { } = } & { \frac { \gamma t } { 4 } n + o ( \gamma t ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \displaystyle v ^ { \theta } ( r ) d r = \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \mathcal { S } ( r ) v ^ { \theta } ( 0 ) d r + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \int _ { 0 } ^ { r } \mathcal { S } ( r - s ) \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d s d r + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( r - s ) \overline { { G } } ( z , x , s - ) \tilde { N } ( d s , d z ) d r .
\begin{array} { r l r } { r _ { 1 } \cdot r _ { A } } & { = } & { r _ { 2 } \cdot r _ { A } ( = \rho ) , } \\ { m _ { 1 } \cdot r _ { A } } & { = } & { m _ { 2 } \cdot r _ { A } ( = \mu ) , } \\ { \left< { m _ { 1 } ^ { \perp } , m _ { 2 } ^ { \perp } } \right> } & { = } & { \left< { r _ { 1 } ^ { \perp } , r _ { 2 } ^ { \perp } } \right> , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \left( | C _ { i } ( t ) | \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } ^ { 2 } \, \frac { \partial | C _ { i } ( t ) | } { \partial t } + | C _ { i } ( t ) | \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } ^ { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \rho \mathbf { u } _ { i } ^ { 2 } \, \frac { \partial | C _ { i } ( t ) | } { \partial t } + \mathbf { u } _ { i } \cdot | C _ { i } ( t ) | \frac { \partial \rho \mathbf { u } _ { i } } { \partial t } .
d \mathbf { r } = { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial q ^ { 1 } } } d q ^ { 1 } + { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial q ^ { 2 } } } d q ^ { 2 } + { \frac { \partial \mathbf { r } } { \partial q ^ { 3 } } } d q ^ { 3 } = h _ { 1 } d q ^ { 1 } \mathbf { b } _ { 1 } + h _ { 2 } d q ^ { 2 } \mathbf { b } _ { 2 } + h _ { 3 } d q ^ { 3 } \mathbf { b } _ { 3 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 4 } ( x , t ) } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { k _ { B } T u _ { 1 i } u _ { 1 j } k } { \xi ^ { 2 } } \phi _ { i } ( x ) \phi _ { j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { k } ^ { \alpha } \biggr ( \frac { \cos ( ( R + H \tau ) | k + z | ) } { | k + z | ^ { 4 } } \biggl ) - \frac { \bigr ( i R ( k + z ) \bigr ) ^ { \alpha } } { 2 | k + z | ^ { | \alpha | + 4 } } \biggr ( e ^ { i ( R + H \tau ) | k + z | } + ( - 1 ) ^ { | \alpha | } e ^ { - i ( R + H \tau ) | k + z | } \biggr ) } \\ { \lesssim \frac { R ^ { | \alpha | - 1 } } { | k + z | ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { \cal S } _ { 2 } \rangle = \langle \hat { \cal S } _ { 3 } \rangle = 0 , \, \, \langle \hat { \cal S } _ { 1 } \rangle = \langle \hat { \cal S } _ { 0 } \rangle = 2 A _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \right\} } & { = \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \sum _ { j = 1 } ^ { N } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { j } ) w ( \mathbf { r } ) \right\} } \\ & { = \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ - i \sum _ { j = 1 } ^ { N } w ( \mathbf { r } _ { j } ) \right\} } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left\{ \int _ { V } \mathrm { d } \mathbf { r } _ { j } \mathrm { e } ^ { - i w ( \mathbf { r } _ { j } ) } \right\} } \\ & { = ( V z [ i w ] ) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { n } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \ell ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 1 : n } ) } { \partial \theta \partial \theta ^ { t } } \right] } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial v e c \left\{ \hat { \Sigma } _ { i } \right\} } { \partial \theta } \right) ^ { t } ( \hat { \Sigma } _ { i } \otimes \hat { \Sigma } _ { i } ) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial v e c \left\{ \hat { \Sigma } _ { i } \right\} } { \partial \theta } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } } { \partial \theta } \right) ^ { t } \hat { \Sigma } _ { i } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } } { \partial \theta } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { a b } ^ { ( j , \pm ) } = } & { ( - 1 ) ^ { j + 1 } \frac { T _ { j , a } \pm T _ { j , b } } { k _ { a } \pm k _ { b } } \Bigl \{ \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \pm k _ { a } k _ { b } \chi _ { a } \chi _ { b } \Bigl \} } \\ & { + ( 1 \pm T _ { j , a } T _ { j , b } ) \sum _ { c } \xi _ { c } \Bigl \{ \chi _ { c } \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \pm k _ { a } k _ { b } \chi _ { c } \chi _ { a } \chi _ { b } \Bigl \} } \\ & { + \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { 2 } ( k _ { a } \pm k _ { b } ) ( T _ { j , a } \pm T _ { j , b } ) \sum _ { c , d } \xi _ { c } \xi _ { d } \Bigl \{ \chi _ { c } \chi _ { d } \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \pm k _ { a } k _ { b } \chi _ { c } \chi _ { d } \chi _ { a } \chi _ { b } \Bigl \} + \cdots . } \end{array}
\phi _ { \chi _ { j } \otimes \chi _ { \bar { j } } } ^ { \alpha } \; \star \; \phi _ { \chi _ { k } \otimes \bar { \chi } _ { k } } ^ { \beta } \ = \ \sum C \left( \chi _ { j } , \chi _ { \bar { j } } , \alpha \bigm | \chi _ { k } , \chi _ { \bar { k } } , \beta \bigm | \chi _ { l } , \chi _ { \bar { l } } , \gamma \right) \, \phi _ { \chi _ { l } \otimes \chi _ { \bar { l } } } ^ { \gamma } \ .
\begin{array} { r l r } { \hat { T } [ a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) a ( 0 , 0 ) ] } & { = } & { : a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) a ( 0 , 0 ) : } \\ & { + } & { : a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( 0 , 0 ) : \langle v a c \vert \hat { T } a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) \vert v a c \rangle } \\ & { + } & { : a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) : \langle v a c \vert \hat { T } a ( 0 , 0 ) a ^ { \dagger } ( x , t ) \vert v a c \rangle } \\ & { + } & { \langle v a c \vert \hat { T } a ^ { \dagger } ( x , t ) a ( 0 , 0 ) \vert v a c \rangle \langle v a c \vert \hat { T } a ( x , t ) a ^ { \dagger } ( 0 , 0 ) \vert v a c \rangle . } \end{array}
+ \left\{ \left[ ( A ^ { \prime } - B ^ { \prime } ) - ( A ^ { \prime \prime } - B ^ { \prime \prime } ) \right] - \left[ D _ { J K } ^ { \prime } + D _ { J K } ^ { \prime \prime } \right] m - \left[ D _ { J K } ^ { \prime } - D _ { J K } ^ { \prime \prime } \right] m ^ { 2 } \right\} K ^ { 2 } - ( D _ { K } ^ { \prime } - D _ { K } ^ { \prime \prime } ) K ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } & { ( \partial _ { t } \mathrm { E } _ { h } , \eta _ { h } ) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = \int _ { \Omega } \eta _ { h } \wedge ( d \mathrm { H } _ { h } - \mathrm { J } _ { h } ) \; } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \eta _ { h } \in X _ { h , 0 } ^ { 1 } , } \\ & { ( \partial _ { t } \mathrm { H } _ { h } , \xi _ { h } ) _ { L _ { \mu } ^ { 2 } \Lambda ^ { 1 } ( \Omega ) } = - \int _ { \Omega } \xi _ { h } \wedge d \mathrm { E } _ { h } \; } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \xi _ { h } \in \widetilde { X } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } w ( k ) } & { = - \tilde { j } ( k ) } \\ & { - c \frac \xi { ( k + 1 ) ^ { 2 } } \frac 1 { 1 + ( \frac \xi { k + 1 } - t ) ^ { 2 } } w ( k + 1 ) } \\ & { + c \frac \xi { ( k - 1 ) ^ { 2 } } \frac 1 { 1 + ( \frac \xi { k - 1 } - t ) ^ { 2 } } w ( k - 1 ) } \\ { \partial _ { t } \tilde { j } ( k ) } & { = ( 2 \frac { t - \frac \xi k } { 1 + ( \frac \xi k - t ) ^ { 2 } } - \kappa k ^ { 2 } ( 1 + ( t - \frac \xi k ^ { 2 } ) ) \tilde { j } ( k ) + \frac { \kappa k ^ { 2 } } \beta w ( k ) , } \end{array}
\tilde { { \cal O } } _ { 1 } = ( \overline { { { q } } } _ { 1 i } \Gamma _ { \mu } \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } Q _ { i } ) ( \overline { { { q } } } _ { 2 j } \Gamma ^ { \mu } \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } q _ { 3 j } ) \, .
\begin{array} { r } { \mathscr { C } ^ { ( \mathcal { R } ) } ( \mathcal { N } ) = \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m _ { 1 } , . . . , m _ { n } ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in \mathcal { R } } I ( A _ { 1 } , . . . , A _ { n } ; ~ B ) \right\} . } \end{array}
x _ { \pm } = \pm \frac { m \, ( 2 \, \sqrt { 1 + \sqrt { 9 - \frac { 8 \, b \, q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } } \mp ( 1 + \sqrt { 9 - \frac { 8 \, b \, q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } ) ) } { 4 \, q ^ { 2 } \, A }
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \leq H / A } \frac { 1 . 8 3 H } { n \log ^ { 2 } ( H / n ) } } & { \leq \frac { 1 . 8 3 H } { \log ^ { 2 } H } + H \int _ { 1 } ^ { H / A } \frac { 1 . 8 3 d t } { t \log ^ { 2 } ( H / t ) } } \\ & { \leq \frac { 1 . 8 3 H } { \log ^ { 2 } H } + 1 . 8 3 H \left( \frac { 1 } { \log A } - \frac { 1 } { \log H } \right) } \\ & { = 1 . 8 3 H \left( \frac { 1 } { \log ^ { 2 } H } + \frac { 1 } { \log A } - \frac { 1 } { \log H } \right) . } \end{array}
\left( \frac { \partial N _ { A } } { \partial x } , \frac { \partial N _ { B } } { \partial x } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { h } , } & { B = A \pm 1 } \\ { \frac { 2 } { h } , } & { B = A } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
{ \bf j } ^ { \uparrow } = \frac { 1 } { i } \sum _ { k } { \frac { n _ { k } ^ { \uparrow } } { 2 } \left( \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow * } \nabla \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow } - \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow } \nabla \tilde { \phi } _ { k } ^ { \uparrow * } \right) } + { \bf A } ( t ) \rho ^ { \uparrow } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { g } ^ { 2 } \ = \ } & { { } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x - Q _ { g } ^ { 2 } } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \kappa Q - ( Q + \kappa ) ^ { 2 } } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } - ( Q + \kappa ) \kappa . } \end{array}
W ( { \vec { k } } _ { 1 } , { \vec { k } } _ { 2 } , t ) = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , N _ { 1 } , N _ { 2 } } A _ { k _ { 1 } } ( 1 ) A _ { k _ { 2 } } ( 2 ) { \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 k _ { 1 } + 1 ) ( 2 k _ { 2 } + 1 ) } } } \times Y _ { k _ { 1 } } ^ { N _ { 1 } } ( \Theta _ { 1 } , \Phi _ { 1 } ) \cdot Y _ { k _ { 2 } } ^ { N _ { 2 } } ( \Theta _ { 2 } , \Phi _ { 2 } ) G _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } } ( t )
| | \mathbf { v } _ { i } | | _ { 2 } ^ { 2 } = | | \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { i } | | _ { 2 } ^ { 2 } = 1
\begin{array} { r } { T ( z ) = T _ { 0 } \left( 1 + \frac { \theta z } { d } \right) \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \rho ( z ) = \rho _ { 0 } \left( 1 + \frac { \theta z } { d } \right) ^ { m } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { \Omega _ { \sigma } } ( \vec { A } _ { 0 } ^ { N } ( t ) , \vec { \varphi } _ { l } ) = ( \vec { j } _ { a } ( t ) , \vec { \varphi } _ { l } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } - ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \phi } ^ { N } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \varphi } _ { l } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \partial _ { t } w _ { n + 1 } } & { = \Delta w _ { n + 1 } + \mathrm { d i v } [ B _ { 1 } w _ { n + 1 } \, \nabla J * ( w _ { n } - v _ { n } ) ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w _ { n } + v _ { n } ) ) , } \\ { \partial _ { t } v _ { n + 1 } } & { = \Delta v _ { n + 1 } + \mathrm { d i v } [ B _ { 2 } v _ { n + 1 } \, \nabla J * ( w _ { n } - v _ { n } ) ] + F ( \frac { 1 } { 2 } ( w _ { n } + v _ { n } ) ) , } \end{array} \right. \quad ( t , x ) \in Q _ { T } ,
C _ { s } ( n , d , \sigma ) : = \operatorname* { m a x } _ { { \bar { \mathbf { A } } } , { \bar { \mathbf { b } } } , \mathbf { c } } ~ \mathbb { E } _ { { \hat { \mathbf { A } } } , { \hat { \mathbf { b } } } } [ T ( { \bar { \mathbf { A } } } + { \hat { \mathbf { A } } } , { \bar { \mathbf { b } } } + { \hat { \mathbf { b } } } , \mathbf { c } ) ] = \mathrm { { p o l y } } ( d , \log n , \sigma ^ { - 1 } ) .
{ \cal A } [ { \cal C } ] \, \, \rightarrow \, \, \tilde { \cal A } [ { \cal C } ] = \int _ { \cal C } \Omega = \int _ { \cal C } \left[ L ( t , q , v ) \, \mathrm { d } t + h ( t , q , v ) \, \varrho \right] \, ,
\L = - \bar { \psi } _ { b } \gamma _ { \mu } ( g _ { v _ { b } } - g _ { a _ { b } } \gamma _ { 5 } ) \, \psi _ { b } Z _ { b } ^ { \mu } - e _ { b } Q \, \bar { \psi } _ { b } \gamma _ { \mu } \psi _ { b } A _ { b } ^ { \mu } ~ .
W ( T ) = \sum _ { f \neq i } \mid T _ { f i } ( T ) \mid ^ { 2 } \sim \epsilon ^ { 2 } T ^ { 2 } \sum _ { f \neq i } \mid T _ { f i } ^ { \bar { n } } ( T ) \mid ^ { 2 } \sim \epsilon ^ { 2 } T ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { [ b ( a x ) ] _ { \beta } - [ ( b a ) x ] _ { \beta } } \\ & { = } & { \left( \beta P + \delta P - \alpha \beta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } ( \alpha - \beta ) \delta ^ { f } - \alpha \delta ^ { f } \right) } \\ & { - } & { \left( \beta ^ { 2 } P + P \delta ^ { f } + \alpha \delta ^ { f } + \alpha \beta ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \left( \frac { P } { \beta } \left[ \beta ^ { 2 } + \beta \delta + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) + ( \alpha - 2 \beta ) \delta ^ { f } - \beta ^ { 3 } \right] - 2 \alpha ( \delta ^ { f } + \beta ^ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \hat { c } _ { 0 } \rangle ^ ( t ) | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 + e ^ { - \frac { 2 \gamma } { \hbar } t } - 2 e ^ { - \frac { \gamma } { \hbar } t } \cos [ \frac { \tilde { \Omega } } { \hbar } t ] } { \gamma ^ { 2 } } \gamma ^ { C } \gamma ^ { X } , } \\ { | \langle \hat { x } _ { 0 } \rangle ^ ( t ) | ^ { 2 } } & { = \frac { \frac { \gamma ^ { C } } { \gamma ^ { X } } + \frac { \gamma ^ { X } } { \gamma ^ { C } } e ^ { - \frac { 2 \gamma } { \hbar } t } + 2 e ^ { - \frac { \gamma } { \hbar } t } \cos [ \frac { \tilde { \Omega } } { \hbar } t ] } { \gamma ^ { 2 } } \gamma ^ { C } \gamma ^ { X } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { X \cup Y } } & { = { \frac { 1 } { N _ { X \cup Y } } } \left( N _ { X } \mu _ { X } + N _ { Y } \mu _ { Y } \right) } \\ { \sigma _ { X \cup Y } } & { = { \sqrt { { \frac { 1 } { N _ { X \cup Y } - 1 } } \left( [ N _ { X } - 1 ] \sigma _ { X } ^ { 2 } + N _ { X } \mu _ { X } ^ { 2 } + [ N _ { Y } - 1 ] \sigma _ { Y } ^ { 2 } + N _ { Y } \mu _ { Y } ^ { 2 } - [ N _ { X } + N _ { Y } ] \mu _ { X \cup Y } ^ { 2 } \right) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int _ { D } \int _ { D \setminus A } \hat { p } _ { D } ( s , x , w ) \hat { \nu } ( w , z ) p _ { D } ( t - s , z , y _ { n } ) \, d z \, d w } \\ & { \leq \mathcal { A } 2 ^ { d + \alpha } \delta ^ { - d - \alpha } \int _ { D } \int _ { D \setminus A } \hat { p } _ { D } ( s , x , w ) p _ { D } ( t - s , y _ { n } , z ) \, d z \, d w \leq \mathcal { A } 2 ^ { d + \alpha } \delta ^ { - d - \alpha } , } \end{array}
; M Z M 2 c a n b e d r i v e n b o t h b y a s e c o n d a r b i t r a r y w a v e f o r m g e n e r a t o r ( A W G 2 ) o r b y t h e o u t p u t o f a p h o t o d i o d e ( P D 2 ) , a s d e s c r i b e d b e l o w . T h e t w o m o d u l a t e d s i g n a l s a r e m e r g e d t o g e t h e r i n a 5 0 / 5 0 f i b e r c o u p l e r ( C 1 ) a n d t h e n i n j e c t e d i n t o a n E r b i u m - d o p e d - f i b e r a m p l i f i e r ( E D F A 1 ) . E D F A 1 r a i s e s t h e t o t a l p o w e r t o
g = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } \phi _ { p } ^ { r } - \phi _ { p } ^ { l } > \theta _ { 0 } ; } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
d = 1 + \varepsilon = 1 + \sum _ { i } { \beta _ { i } L _ { 0 , i } ( \Phi _ { i } ) } + \sum _ { i , \mu } { \int _ { x ^ { \mu } } ^ { x _ { 0 } ^ { \mu } } { \tilde { B } _ { i } ^ { \mu } ( x ) d x ^ { \mu } } }
\begin{array} { r l } { ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) } & { \leq \| \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } \| _ { \infty } \cdot \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } \cdot \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \leq C ^ { * } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } \cdot \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 ( C ^ { * } ) ^ { 2 } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \| \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal L } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , \dot { R } } , n ^ { ( 0 ) } , { \dot { n } ^ { ( 0 ) } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { I } \vert { \bf \dot { R } } _ { I } \vert ^ { 2 } - { \cal U } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) } \ ~ } \\ { { \displaystyle + \frac { 1 } { 2 } \mu \int \vert { \dot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) \vert ^ { 2 } d { \bf r } - \frac { 1 } { 2 } \mu \omega ^ { 2 } \iint \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) \right) } \ ~ } \\ { { \displaystyle \times T ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } } . } \end{array}
\frac { d u ^ { 0 } } { d s } + \frac { \dot { a } } { a } u ^ { i } u _ { i } = 0 = c \frac { d ^ { 2 } t } { d s ^ { 2 } } + \frac { a \dot { a } } { 1 - k r ^ { 2 } } \left( \frac { d r } { d s } \right) ^ { 2 } + a \dot { a } r ^ { 2 } \left( \frac { d \theta } { d s } \right) ^ { 2 } + a \dot { a } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \frac { d \phi } { d s } \right) ^ { 2 } = 0
H = - \frac { a _ { 5 } a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 4 } a _ { 1 } a _ { 2 } + a _ { 3 } a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } } { \left( 1 + a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
M _ { H } ( [ u _ { 1 } , \dots , u _ { 9 } ] , [ v _ { 2 } ~ v _ { 4 } ~ v _ { 5 } ~ v _ { 6 } ~ v _ { 8 } ] , [ w _ { 2 } ~ w _ { 4 } ~ w _ { 5 } ~ w _ { 6 } ~ w _ { 8 } ] , \xi , \eta ) : = P _ { H } ( x ( \xi ) , y ( \eta ) ) ,
\big ( g _ { \pi N N } / 2 M _ { N } \big ) \partial _ { \mu } \vec { \pi } \cdot \bar { N } \gamma ^ { 5 } \gamma ^ { \mu } \vec { \tau } N \ , \quad g _ { \rho } ^ { \mathrm { t e n s } } \partial _ { \mu } \vec { \rho } _ { \nu } \cdot \bar { N } \sigma ^ { \mu \nu } \vec { \tau } N \ , \quad g _ { \omega } ^ { \mathrm { v e c } } \omega _ { \mu } \cdot \bar { N } \gamma ^ { \mu } N \ ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \varphi ( z \gamma g ) = \varphi ( g ) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \gamma \in \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbf { F } ) , ~ z \in \mathbf { Z } ( \mathbb { A } ) , ~ g \in \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { A } ) , } \\ { \mathrm { T h e ~ P e t e r s s o n ~ n o r m ~ } \langle \varphi , \varphi \rangle : = \displaystyle \int _ { [ \mathrm { P G L } _ { 2 } ] } \lvert \cdot \rvert [ \varphi ( g ) ] ^ { 2 } \mathrm { d } \bar { g } < \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \nu } _ { n } \approx \tilde { \nu } _ { n } ^ { ( N ) } = \frac { 2 5 } { 2 } \, \frac { U _ { n 1 } ^ { 4 } } { \Big [ \sum _ { k _ { 1 } = 1 } ^ { N } \sum _ { k _ { 2 } = 1 } ^ { N } U _ { n k _ { 1 } } \, U _ { n k _ { 2 } } \, ( 4 \, k _ { < } + 1 ) \, \sqrt \frac { k _ { < } \, ( k _ { < } + 1 ) \, ( k _ { < } + 2 ) \, ( k _ { < } + 3 ) } { k _ { > } \, ( k _ { > } + 1 ) \, ( k _ { > } + 2 ) \, ( k _ { > } + 3 ) } \, \Big ] ^ { 2 } } \quad . } \end{array}