harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } I _ { j } \, \dot { \theta } _ { j } ^ { 2 } - \Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } , . . . , \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } \right) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathsf { M } _ { j } ^ { e } ( t ) \, \theta _ { j } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { V } \mathrm { a r } N _ { 0 } ( n h ) } & { = \mathbb { V } \mathrm { a r } ( \sum _ { j } I ( j h + \xi _ { j } \in ( 0 , n h ] ) ) } \\ & { = \sum _ { j } \mathbb { V } \mathrm { a r } I ( j h + \xi _ { j } \in ( 0 , n h ] ) } \\ & { \leq \sum _ { j } \mathbb { E } I ( j h + \xi _ { j } \in ( 0 , n h ] ) ) } \\ & { = \mathbb { E } N _ { 0 } ( n h ) , } \end{array}
{ \tilde { \epsilon } } _ { K } ^ { \textrm { i m p } } \approx - \frac { R ( 1 + K ) } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } } { B \rho } ( \theta ^ { \prime } ) y _ { \mathrm { c o } } ( \theta ^ { \prime } ) e ^ { i K \Phi ( \theta ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \phi ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - \phi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = - ( y - y _ { j } ) t _ { 2 } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) a _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } Y _ { 2 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) , } \\ { \xi ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - \xi ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = ( y - y _ { j } ) t _ { 2 } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) b _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } Y _ { 2 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) , } \\ { X _ { \alpha } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) - X _ { \alpha } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) } & { = ( y - y _ { j } ) t _ { 2 } ^ { \delta } ( x _ { i } , y ) c _ { 2 } ( 0 , 0 ) \left( X _ { \beta } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) + \textstyle \frac { y - y _ { j } } { 2 } Y _ { 2 } ^ { \delta } ( 0 , 0 ) \right) . } \end{array}
\boldsymbol { J } = \left[ \begin{array} { l l l l } { i \omega _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \omega _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i \omega _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \omega _ { 2 } } \end{array} \right] , \qquad \boldsymbol { U } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \\ { \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \\ { i \omega _ { 1 } \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { - i \omega _ { 1 } \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { i \omega _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { - i \omega _ { 2 } \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } \\ { i \omega _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { - i \omega _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { i \omega _ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { - i \omega _ { 2 } \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] ,
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \lambda ( n ) } { \sqrt { n } } } g ( \log n ) = \sum _ { \rho } { \frac { h ( \gamma ) \zeta ( 2 \rho ) } { \zeta ^ { \prime } ( \rho ) } } + { \frac { 1 } { \zeta ( 1 / 2 ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \, g ( x )
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi ^ { k } , \pi ) } & { \le \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \mathcal { W } _ { 2 } ^ { 2 } ( \eta ^ { k } , \eta ) \le \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ \left( 1 - \frac { \kappa h } { 2 } \right) ^ { k } \left( 2 \| y - y ^ { \star } \| ^ { 2 } + \frac { 2 d } { m } - C \right) + C \right] , } \end{array}
z _ { 1 } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \left( { \frac { m _ { W } } { ( e ^ { 2 } / 4 \pi ) } } \right) ^ { 3 / 2 } A ( \lambda / e ^ { 2 } ) \exp \left[ - { \frac { m _ { W } } { e ^ { 2 } / 4 \pi } } C ( \lambda / e ^ { 2 } ) \right] \; .
\tilde { \lambda } _ { \mathrm { e f f } } = - \frac { 4 \tilde { R } _ { 1 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) \tilde { w } ^ { * } } { ( 1 - \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \tilde { w } ^ { * } + 2 \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } \ln ( \tilde { R } _ { 1 } ) ) } .
\begin{array} { r l r } { A _ { f _ { x x x } } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { f _ { x x x } ( 0 , 0 , 0 ) + 3 ( f _ { x z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { x x } ( 0 , 0 ) ) , } \\ { A _ { f _ { x y y } } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { f _ { x y y } ( 0 , 0 , 0 ) + 2 ( f _ { y z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) ) + f _ { x z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) , } \\ { A _ { g _ { x x y } } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { g _ { x x y } ( 0 , 0 , 0 ) + 2 ( g _ { x z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) ) + g _ { y z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) , } \\ { A _ { g _ { y y y } } ( 0 , 0 , 0 ) } & { = } & { g _ { y y y } ( 0 , 0 , 0 ) + 3 ( g _ { y z } ( 0 , 0 , 0 ) \times \varphi _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d t } ( f _ { t } ^ { \ast } \nu _ { t } ) \right\vert _ { t = 0 } ( E _ { 2 } , \ldots , E _ { n } ) } & { = ( \mathcal { L } _ { \Phi X } \nu _ { t } ) ( E _ { 2 } , \ldots , E _ { n } ) = ( \mathcal { L } _ { \Phi X } \nu ) ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) } \\ & { = \varphi ( p ) \Pi _ { \xi ( p ) } \nu ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) = \varphi ( p ) \Pi _ { \xi ( p ) } \nu _ { 0 } ( E _ { 2 } , \ldots , E _ { n } ) . } \end{array}
g ^ { 2 } ( P ^ { 2 } ) = \frac { g ^ { 2 } ( M ^ { 2 } ) } { 1 + \frac { g ^ { 2 } ( M ^ { 2 } ) } { 9 6 \pi ^ { 2 } } l n ( \frac { P ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) } .
\begin{array} { r l } { E ( z ) } & { = \frac { z _ { \mathrm { t i p } } ^ { 2 } ( E _ { \mathrm { m a x } } - E _ { \mathrm { b g } } ) } { z ^ { 2 } } + E _ { \mathrm { b g } } , } \\ { n _ { e } ( z ) } & { = \int _ { z } ^ { \infty } K ( y ) \; e ^ { \int _ { z } ^ { y } \lambda ( x ) \; d x } \; d y , } \\ & { \mathrm { f o r ~ } z \geq z _ { \mathrm { t i p } } . } \end{array}
k \left( \tau \right) = e ^ { i \left( \frac { \pi } { 4 } - \frac { \varphi \left( \tau \right) } { 2 } \right) \sigma ^ { 1 } } e ^ { i \left( \frac { \vartheta \left( \tau \right) } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } \right) \sigma ^ { 2 } } .
\mathbf { B } ^ { n } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 + \lambda _ { 2 } ^ { n } + \lambda _ { 3 } ^ { n } } & { - \lambda _ { 3 } ^ { n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \lambda _ { 3 } ^ { n } } & { 1 + \lambda _ { 3 } ^ { n } + \lambda _ { 4 } ^ { n } } & { - \lambda _ { 4 } ^ { n } } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - \lambda _ { I - 2 } ^ { n } } & { 1 + \lambda _ { I - 2 } ^ { n } + \lambda _ { I - 1 } ^ { n } } & { - \lambda _ { I - 1 } ^ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \lambda _ { I - 1 } ^ { n } } & { 1 + \lambda _ { I - 1 } ^ { n } + \lambda _ { I } ^ { n } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { \Big \{ \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 2 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 3 } } \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( B ( x , r ) ) } & { \leq \mu ( I _ { n - 2 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - 2 } ) ) \leq C _ { 0 } \cdot | I _ { n - 2 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - 2 } ) | ^ { s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi , { \tau ( i ) } ) - 3 \varepsilon } } \\ & { \le C _ { 0 } ( B + 1 ) ^ { 6 } \cdot | I _ { n + 1 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n + 1 } ) | ^ { s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi , { \tau ( i ) } ) - 3 \varepsilon } } \\ & { \le C _ { 0 } \cdot | I _ { n + 1 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n + 1 } ) | ^ { s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi , { \tau ( i ) } ) - 4 \varepsilon } \le C _ { 0 } \cdot r ^ { s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi , { \tau ( i ) } ) - 4 \varepsilon } . } \end{array}
{ \frac { d \hat { \sigma } ( \bar { u } d \to e ^ { - } \bar { \nu } _ { e } ) } { d z } } = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 4 } } { 1 2 \pi \hat { s } } } \left[ { \frac { \hat { u } ^ { 2 } } { ( \hat { s } - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { W } M _ { W } ) ^ { 2 } } } + \left( { \frac { \tilde { \lambda } _ { u } \tilde { \lambda } _ { d } } { x } } \right) ^ { 2 } { \frac { \hat { t } ^ { 2 } } { ( \hat { t } - m _ { L Q } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \right] \, ,
\left[ A ^ { - } , A ^ { + } \right] _ { q \left( x \right) } = - \alpha \left( x \right) \cdot \sinh { } \frac i 2 \frac d { d x } \left[ \alpha \left( x \right) \cdot \sinh \left( 2 \rho _ { \frac s 2 } \left( x \right) \right) \right]
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { \mathrm { b } ; p } ( d s , d \mathbf { i } , d q , d \theta _ { 1 } , d \theta _ { 2 } ) } & { { } : = d s \otimes \left( \sum _ { k \geq 0 } \delta _ { k } ( \mathbf { i } _ { 1 } ) \wedge \sum _ { k \geq 0 } \delta _ { k } ( \mathbf { i } _ { 2 } ) \right) \otimes d q \otimes d \theta _ { 1 } \otimes d \theta _ { 2 } \, , } \\ { \lambda ^ { \mathrm { b } ; 1 - p } ( d s , d \mathbf { i } , d \theta ) } & { { } : = d s \otimes \left( \sum _ { k \geq 0 } \delta _ { k } ( \mathbf { i } _ { 1 } ) \wedge \sum _ { k \geq 0 } \delta _ { k } ( \mathbf { i } _ { 2 } ) \right) \otimes d \theta \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l c } { - \displaystyle \sum _ { j , \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \frac { \partial } { \partial x _ { \alpha } } \left( b _ { i j } ^ { \alpha \beta } \ \frac { \partial { { \check { u } } _ { j } } } { \partial x _ { \beta } } \right) + \nabla \check { p } } & { = - \frac { 1 } { \tau } \check { \boldsymbol v } \quad \mathrm { ~ i n ~ } \ { \mathcal { O } } , } \\ { \operatorname { d i v } \left( \boldsymbol { \check { u } } \right) } & { = 0 \quad \mathrm { ~ i n ~ } { \mathcal { O } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P ( E _ { n } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sigma _ { M } \sqrt { 2 \pi } } \exp \left[ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { E _ { n } - \hbar \omega _ { M } } { \sigma _ { M } } \right) ^ { 2 } } \right] \, , } \\ { P ( x _ { n } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sigma _ { a } \sqrt { 2 \pi } } \exp \left[ { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { x _ { n } - ( n - 1 ) a } { \sigma _ { a } } \right) ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\tan 2 \theta _ { \tilde { q } } = \frac { 2 m _ { q } ( A _ { q } + \mu \{ \cot \beta , \tan \beta \} ) } { M _ { \tilde { q } } ^ { 2 } - M _ { \{ \tilde { U } , \tilde { D } \} } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } ( I _ { 3 } - 2 Q _ { q } s _ { W } ^ { 2 } ) \cos 2 \beta } \ .
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { = r ^ { \mu \nu } + P ^ { \mu \nu } \left( \tilde { n } \cdot \tilde { \mu } + \tilde { n } _ { \ell } \cdot \tilde { \mu } _ { \ell } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { ( p - 1 ) ! } \tilde { n } ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \tilde { \mu } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( p - 2 ) ! } ( \tilde { n } _ { \ell } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \tilde { \mu } _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } , } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { e } ^ { [ 1 ] } ( x , t + \Delta t ) } & { = f _ { e } ^ { [ 1 ] } ( x - v _ { x } \Delta t ) , } \\ { f _ { e } ^ { [ 2 ] } ( v _ { z } , t + \Delta t ) } & { = f _ { e } ^ { [ 2 ] } ( v _ { z } - a _ { z } \Delta t ) , } \\ { f _ { e } ^ { [ 3 ] } ( v _ { x } , t + \Delta t ) } & { = f _ { e } ^ { [ 3 ] } ( v _ { x } - a _ { x } \Delta t ) . } \end{array}
\lambda _ { 1 } = v + \sqrt { \frac { 5 } { 3 } \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m _ { 1 } } T } , \quad \lambda _ { 2 } = v + \sqrt { \frac { 5 } { 3 } \frac { k _ { \mathrm { B } } } { m _ { 2 } } T } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } ( \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } ) } & { = \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { b o u n d } } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } } \\ & { = \mathbf { J } + \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } , } \end{array} }
V ^ { \prime } ( \vec { f } ) = \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ } V ( \vec { f } ) \dot { \vec { f } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { P ( y , k _ { + } c , k _ { - } ) d y } \\ & { = } & { \sum _ { M = 1 , \infty } ( d y ) ( k _ { - } ) e ^ { - k _ { + } c ( T - y ) } e ^ { - k _ { - } y } \frac { { ( k _ { - } y ) } ^ { M - 1 } } { ( M - 1 ) ! } \frac { { ( k _ { + } c ( T - y ) ) } ^ { M } } { ( M ) ! } + \sum _ { M = 0 , \infty } ( d y ) ( k _ { + } c ) e ^ { - k _ { + } c ( T - y ) } e ^ { - k _ { - } y } \frac { ( k _ { - } y ) ^ { M } } { ( M ) ! } \frac { ( k _ { + } c ( T - y ) ) ^ { M } } { ( M ) ! } } \\ & { + } & { d y \delta ( y ) e ^ { - k _ { + } c T } } \\ & { = } & { e ^ { - k _ { + } c ( T - y ) } e ^ { - k _ { - } y } [ ( d y ) ( k _ { + } c ) I _ { 0 } ( 2 \sqrt { k _ { + } c y } \sqrt { k _ { - } ( T - y ) } ) + ( d y ) ( k _ { - } ) \frac { \sqrt { k _ { + } c ( T - y ) } I _ { 1 } \left( 2 \sqrt { k _ { + } c ( T - y ) } \sqrt { k _ { - } y } \right) } { \sqrt { k _ { - } y } } ] } \\ & { + } & { d y \delta ( y ) e ^ { - k _ { + } c T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \int \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { p } 1 } \mathrm { D } w _ { \mathrm { p } 1 } \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { p } 2 } \mathrm { D } w _ { \mathrm { p } 2 } \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { s } } \mathrm { D } w _ { \mathrm { s } } \mathrm { D } \eta \mathrm { D } \psi \mathrm { d } \mathbf { f } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { f } _ { 2 } \ Q _ { \mathrm { p } 1 } Q _ { \mathrm { p } 2 } \exp ( e ^ { \mu _ { \mathrm { s } } } Q _ { \mathrm { s } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a b a b } & { = - a b a ( 1 - b ) - a b ( 1 - a ) - a ( 1 - b ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { b a b a } & { = - b a b ( 1 - a ) - b a ( 1 - b ) - b ( 1 - a ) - ( 1 - b ) + 1 , } \\ { a b ^ { 2 } a } & { = - a b ^ { 2 } ( 1 - a ) - a b ( 1 - b ) - a ( 1 - b ) - ( 1 - a ) + 1 , } \\ { b a ^ { 2 } b } & { = - b a ^ { 2 } ( 1 - b ) - b a ( 1 - a ) - b ( 1 - a ) - ( 1 - b ) + 1 . } \end{array}
\tilde { \psi } _ { k } = \triangle x ^ { \prime } \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } G ^ { ( 1 ) } ( x _ { k } - x _ { j } ^ { \prime } , t ) \psi _ { 0 } ( x _ { j } ^ { \prime } ) , \quad k = 0 , \dots , K - 1 .
\begin{array} { r l } { \| \tilde { u } - \tilde { u } _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { * } ) } } & { \leqslant C \ell _ { h } \| \tilde { u } - I _ { h } \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { * } ) } } \\ & { \leqslant C \ell _ { h } \| u ^ { ( h ) } - I _ { h } u ^ { ( h ) } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } } \\ & { \leqslant C \ell _ { h } \| u - I _ { h } u \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega _ { h } ) } + C \ell _ { h } h ^ { r + 1 } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ^ { t } ) } , } \end{array}
p ( \mathbf { k } , t ; \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \mathrm { e x p } ( - i \omega ( k ) t ) p ( \mathbf { k } , 0 ; \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \mathrm { e x p } ( - i \mathrm { R e } \ \omega ( k ) t ) \mathrm { e x p } ( \mathrm { I m } \ \omega ( k ) t ) p ( \mathbf { k } , t ; \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) ,
R _ { \alpha \mu \beta } ^ { u } ( p , p ^ { \prime } ; z ) = i ^ { 2 } \int \! d ^ { 4 } x \int \! d ^ { 4 } y \ e ^ { - i p x } e ^ { i p ^ { \prime } y } \left\langle 0 \left| T \left\{ j _ { \alpha } ^ { 5 ^ { + } } ( x ) \, \bar { u } ( 0 ) \gamma _ { \mu } E ( 0 , z ; A ) u ( z ) \, j _ { \beta } ^ { 5 } ( y ) \right\} \right| 0 \right\rangle \ ,
\Lambda ( k ) ~ ~ = ~ ~ \left( \begin{array} { c c c } { { { \gamma } } } & { { { \gamma } { \beta } ^ { 1 } } } & { { { \gamma } { \beta } ^ { 2 } } } \\ { { { \gamma } { \beta } ^ { 1 } } } & { { 1 + \frac { ( { \gamma } - 1 ) ( { \beta } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( \vec { \beta } ) ^ { 2 } } } } & { { \frac { ( { \gamma } - 1 ) { \beta } ^ { 1 } { \beta } ^ { 2 } } { ( \vec { \beta } ) ^ { 2 } } } } \\ { { { \gamma } { \beta } ^ { 2 } } } & { { \frac { ( { \gamma } - 1 ) { \beta } ^ { 1 } { \beta } ^ { 2 } } { ( \vec { \beta } ) ^ { 2 } } } } & { { 1 + \frac { ( { \gamma } - 1 ) ( { \beta } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \vec { \beta } ) ^ { 2 } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } _ { \leq K } \right) \right] - \mathbb { E } \left[ h \left( \mathbf { N } \right) \right] \right| \leq \overset { d } { \underset { m = 1 } { \sum } } \mathbb { E } \left| \underset { \ell \in \{ K + 2 , K + 4 , \ldots \} } { \sum } N _ { m } ^ { ( \ell ) } \right| } \\ { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \overset { d } { \underset { m = 1 } { \sum } } \left[ \underset { \ell \in \{ K + 2 , K + 4 , \ldots \} } { \sum } \mathbb { E } | N _ { m } ^ { ( \ell ) } | ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \overset { d } { \underset { m = 1 } { \sum } } \left[ \underset { \ell \in \{ K + 2 , K + 4 , \ldots \} } { \sum } 2 ^ { J } \ell ! \| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\vec { C } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { I _ { 1 } } & { v _ { A } ^ { 2 } k _ { 1 } } & { v _ { A } ^ { 3 } k _ { 1 } } \\ { v _ { A } ^ { 1 } k _ { 2 } } & { I _ { 2 } } & { v _ { A } ^ { 3 } k _ { 2 } } \\ { v _ { A } ^ { 1 } k _ { 3 } } & { v _ { A } ^ { 2 } k _ { 3 } } & { I _ { 3 } } \end{array} \right) \; ,
C _ { S } ^ { 2 } = \frac { \langle \sigma _ { j } \alpha _ { j } \rangle } { \langle \alpha _ { j } \alpha _ { j } \rangle } , ~ \alpha _ { j } = - \overline { { \Delta } } ^ { 2 } | \overline { { S } } | \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } .
Q _ { a , b } ( \mu , \nu ; N ) = p _ { a , b } ( \mu , \nu ; 0 ; N ) + \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \lambda } p _ { a , b } ( \mu , \nu ; \lambda ; N ) + \sum _ { \lambda = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \lambda } m _ { a , b } ( \mu , \nu ; \lambda ; N ) .
1 ~ { \mathrm { P } } = 0 . 1 ~ { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { s } } ^ { - 1 } = 1 ~ { \mathrm { g } } { \cdot } { \mathrm { c m } } ^ { - 1 } { \cdot } { \mathrm { s } } ^ { - 1 } = 1 ~ { \mathrm { d y n } } { \cdot } { \mathrm { s } } { \cdot } { \mathrm { c m } } ^ { - 2 } .
J = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { V ^ { 2 } + 3 U ^ { 2 } - \theta _ { \mathrm { e f f } } } & { - 1 + 2 U V } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 + 2 U V } & { U ^ { 2 } + 3 V ^ { 2 } - \theta _ { \mathrm { e f f } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) _ { ( U _ { s } , V _ { s } ) }
\vec { T } _ { 0 } ^ { 1 } \vec { T } _ { 1 } ^ { 1 } \; = \; s _ { - 1 } ^ { r - 1 } s _ { 1 } ^ { r - 1 } f _ { - 1 } ^ { 1 } f _ { 1 } ^ { 1 } \, \vec { I } + s _ { 0 } ^ { r - 1 } f _ { 0 } ^ { 1 } \, \vec { T } _ { 0 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { | \alpha _ { \sigma } \rangle } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { - \frac { | \alpha _ { \sigma } | ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { \alpha _ { \sigma } \hat { a } _ { \sigma } ^ { \dagger } } | 0 \rangle , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { Y u k } } = h _ { L } \bar { \psi } _ { L } \chi ( \psi _ { L } ) ^ { c } + h _ { R } \bar { \psi } _ { 1 R } \chi ( \psi _ { 2 R } ) ^ { c } \nonumber \, + n \bar { \psi } _ { 1 R } \Delta ( \psi _ { 1 R } ) ^ { c } + \mathrm { H . c . } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ^ { d } ( x ^ { k + 1 } ) ] \leq } & { \psi _ { 1 / \rho } ^ { d } ( x ^ { k } ) - \frac { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) I _ { k } } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) - \frac { \rho ( \gamma _ { k } - \rho ) I _ { k } } { 2 ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 3 \rho \lambda I _ { k } } { \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 \rho L _ { f } I _ { k } } { ( \gamma _ { k } - \kappa ) ( \gamma _ { k } - 2 \lambda - \kappa ) } } \end{array}
\frac { d \pi ^ { + } } { d \tau } = \frac { \alpha _ { \pi } m _ { \pi } ^ { 2 } } { 2 x } { [ \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d x _ { 1 } } { x _ { 1 } } u ( x _ { 1 } ) \frac { 2 ( x _ { 1 } - x ) ^ { 3 } } { ( x _ { 1 } - x ) ^ { 2 } + \epsilon } - \pi ^ { + } \int _ { 0 } ^ { x } d x _ { 1 } \frac { ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } { ( x - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + \epsilon } ] }
\mathbf { R } _ { 4 } ^ { \prime } ( \alpha , \beta ) = \left( \begin{array} { l l l l } { \cos ( \alpha ) } & { \sin ( \alpha ) } & { 0 } & { 0 } \\ { - \sin ( \alpha ) } & { \cos ( \alpha ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos ( \beta ) } & { \sin ( \beta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sin ( \beta ) } & { \cos ( \beta ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb E [ W _ { 1 } ( \eta _ { x } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { x } ^ { \delta _ { n } } ) ] } & { = \mathbb E [ W _ { 1 } ( ( \exp _ { x } ) _ { * } \psi _ { * } \tilde { \eta } _ { x } ^ { \delta _ { n } } , ( \exp _ { x } ) _ { * } \psi _ { * } \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ) ] } \\ & { \leqslant \mathbb E [ W _ { 1 } ( \tilde { \eta } _ { x } ^ { \delta _ { n } } , \tilde { \mu } _ { x } ^ { \delta _ { n } } ) ] ( 1 + C \delta _ { n } ) } \\ & { \leqslant c _ { n } ^ { \prime } \delta _ { n } ^ { 3 } ( 1 + C \delta _ { n } ) \leqslant c _ { n } \delta _ { n } ^ { 3 } } \end{array}
M ( \xi ) = \frac { i } { \xi ^ { 2 } + \gamma _ { p } \gamma _ { s } } \left( \begin{array} { c c } { \omega ^ { 2 } \gamma _ { p } } & { - \xi \omega ^ { 2 } + \xi \mu ( \xi ^ { 2 } + \gamma _ { p } \gamma _ { s } ) } \\ { \xi \omega ^ { 2 } - \xi \mu ( \xi ^ { 2 } + \gamma _ { p } \gamma _ { s } ) } & { \omega ^ { 2 } \gamma _ { s } } \end{array} \right) .
\widetilde { u } _ { \perp } ( \widetilde { t } , \widetilde { x } ) = \delta \widetilde { u } _ { \perp 0 } \biggl ( \widetilde { t } , \widetilde { x } - \widetilde { v } _ { \mathrm { m s , d a } } \widetilde { t } \biggl [ 1 + \delta \widetilde { B } _ { 0 } ( \widetilde { x } _ { \mathrm { i } } ) + \frac { 1 + \beta _ { \mathrm { i 0 } } } { 2 \widetilde { v } _ { \mathrm { m s , d a } } ^ { 2 } } \delta \widetilde { B } _ { 0 } ( \widetilde { x } _ { \mathrm { i } } ) \biggr ] \biggr ) ,
\begin{array} { l l l } { { 3 . 3 ^ { \circ } \leq \theta \leq 6 . 3 ^ { \circ } } } & { { - } } & { { \mathrm { n a r r o w \; a c c e p t a n c e } } } \\ { { 2 . 7 ^ { \circ } \leq \theta \leq 7 . 0 ^ { \circ } } } & { { - } } & { { \mathrm { w i d e \; a c c e p t a n c e } } } \end{array}
f _ { \sigma M } = n _ { \sigma } \left( \frac { m _ { \sigma } } { 2 \pi k _ { B } { \cal T } _ { \sigma } } \right) ^ { 3 / 2 } e ^ { - m _ { \sigma } ( { \bf v } - { \bf u } _ { \sigma } ) ^ { 2 } / 2 k _ { B } { \cal T } _ { \sigma } } ,
\begin{array} { r l } { 4 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 4 } ( p \theta ) } & { = 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } \\ { n + 2 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 2 p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( 2 p \theta ) } & { = 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 2 p \theta ) + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ( 4 p \theta ) } & { = 0 \, . } \end{array}