harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( m _ { \nu } ) _ { i j } = { \frac { ( f _ { i } f _ { j } ^ { \prime } + f _ { i } ^ { \prime } f _ { j } ) f _ { 2 4 } v _ { 2 } ^ { 2 } m _ { E } \mu _ { 1 2 } \mu _ { 3 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } v _ { 1 } M _ { S U S Y } ^ { 2 } m _ { \chi } } } \ln { \frac { m _ { \chi } ^ { 2 } } { M _ { S U S Y } ^ { 2 } } } .
\Gamma ( Z \to \bar { \nu } \nu \gamma \gamma ) = \left( \frac { 1 \; \mathrm { G e V } } { \Lambda } \right) ^ { 4 } \left( N _ { 0 c } \, | 4 \, a _ { 0 } + a _ { c } | ^ { 2 } + N _ { c } \, | a _ { c } | ^ { 2 } \right) \; \; \mathrm { G e V } ,
\begin{array} { r l } { [ R _ { u } ] _ { i k } [ R _ { v } ^ { \mathsf { T } } ] _ { k j } } & { = \langle \phi _ { u } | P _ { i k } | \phi _ { u } \rangle \langle \phi _ { v } | P _ { j k } | \phi _ { v } \rangle } \\ & { = \langle \phi _ { u } \otimes \phi _ { v } | P _ { i k } \otimes P _ { j k } | \phi _ { u } \otimes \phi _ { v } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { P } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) } & { { } = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { P } } + t _ { 0 } + \mu } \\ { \mu _ { S } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) } & { { } = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { S } } + t _ { 0 } + \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \rho , \rho _ { \ast } ) } & { { } = \sum _ { \substack { x \in \aleph } } D \left[ P ( x ) \omega ( x ) , P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] , } \\ { D ( \sigma , \sigma _ { \ast } ) } & { { } = \sum _ { x \in \beth } D \left[ p ^ { - 1 } P ( x ) \omega ( x ) , p _ { \ast } ^ { - 1 } P _ { \ast } ( x ) \omega _ { \ast } ( x ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { \pm } = } & { { } \sqrt { \gamma _ { \pm } } \left( \hat { c } _ { + k , \pm 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } + \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - k , \mp 1 } \right) , } \end{array}
d = \sum _ { i = 1 } ^ { \mathrm { { \# \ o f \ a t o m s \, = \, 4 } } } \sqrt { ( x _ { \mathrm { { r e f } } , i } - x _ { \mathrm { { s t d } } , i } ) ^ { 2 } + ( y _ { \mathrm { { r e f } } , i } - y _ { \mathrm { { s t d } } , i } ) ^ { 2 } + ( z _ { \mathrm { { r e f } } , i } - z _ { \mathrm { { s t d } } , i } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { S _ { I } ( \rho _ { 1 } ^ { \prime } | \rho _ { 0 } ) + S _ { I } ( \rho _ { 1 } | \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) - S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) - \beta W } \\ { \xrightarrow { R \rightarrow \infty } \qquad - \beta W } & { { } = } & { S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) - S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) - \beta W } \\ { \rightarrow \qquad S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) } & { { } = } & { S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) . } \end{array}
\int _ { \Omega } | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } \mathrm { d } \mu ( x ) < + \infty , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ ( ~ a ~ n ~ d ~ t ~ h ~ u ~ s ~ e ~ v ~ e ~ r ~ y ~ ) ~ p ~ o ~ i ~ n ~ t ~ } x _ { 0 } \in \Omega .
\begin{array} { r l } { { \dot { Q } } _ { m } } & { { } = { \frac { \partial Q _ { m } } { \partial \mathbf { q } } } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } + { \frac { \partial Q _ { m } } { \partial \mathbf { p } } } \cdot { \dot { \mathbf { p } } } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { 1 ) } } & { { h = 3 / 8 , \quad a = 3 / 8 0 , } } \\ { { 2 ) } } & { { h = 7 / 8 , \quad a = 7 / 1 6 , } } \\ { { 3 ) } } & { { h = 3 / 8 + x , \quad a = 3 / 8 0 . } } \end{array}
- \frac { W ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) + \frac { 1 } { 2 } z _ { \mathrm { ~ M ~ } } } { \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) } \, \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { \prime \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) + W ^ { \prime } ( z _ { \mathrm { ~ M ~ } } ) = 0 .
\begin{array} { r l r } { \psi ^ { ( i ) } ( r _ { i } ^ { \prime } , \rho _ { i } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { C ^ { ( i ) } \frac { K _ { s _ { n } } \left( \sqrt { 2 } \kappa _ { 0 } \sqrt { r _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } } \right) } { \big ( r _ { i } ^ { 2 } + \rho _ { i } ^ { 2 } \big ) ^ { D / 2 - 1 / 2 } } \frac { \sqrt { \sin \big [ 2 \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] } } { \big \{ \cos \big [ \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] \ \sin \big [ \arctan \left( r _ { i } ^ { \prime } / \rho _ { i } ^ { \prime } \right) \big ] \big \} ^ { D / 2 - 1 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \ \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } \mathcal I } & { { } = \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } \ \bar { \partial } _ { i } \alpha _ { 0 } [ - \frac { \delta { \mathcal F } } { \delta \alpha _ { 0 } } + \zeta \mathcal I _ { \zeta } ( \alpha _ { 0 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( x ) } & { = \frac { A } { x ^ { 2 } } \left[ x ^ { \sqrt { 4 - \lambda } } - x ^ { - \sqrt { 4 - \lambda } } \right] } \\ & { = \frac { A } { x ^ { 2 } } \left[ e ^ { i \sqrt { \lambda - 4 } \ln x } - e ^ { - i \sqrt { \lambda - 4 } \ln x } \right] } \\ & { = \frac { A } { x ^ { 2 } } 2 i \sin ( \sqrt { \lambda - 4 } \ln x ) } \end{array}
\hat { \Gamma } = - \sum _ { j } \frac { \partial } { \partial z _ { j } } e ^ { - | \xi _ { j } | z _ { j } ^ { 2 } / 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { j } } e ^ { | \xi _ { j } | z _ { j } ^ { 2 } / 2 } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \left\{ \left[ \frac { d } { d z } \left( T _ { 1 } + \frac { q } { L e } Y _ { 1 } \right) \right] + q \left( 1 - \frac { 1 } { L e } \right) Y _ { 1 - } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \varphi ^ { 2 N } ( k ) } = a _ { \varphi ^ { N } ( l ) } } & { = \frac { 1 } { w _ { l } w _ { \varphi ( l ) } \cdots w _ { \varphi ^ { N - 1 } ( l ) } } a _ { l } } \\ & { = \frac { 1 } { w _ { \varphi ^ { N } ( k ) } w _ { \varphi ^ { N + 1 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { 2 N - 1 } ( k ) } } \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { N - 1 } ( k ) } } a _ { k } } \\ & { = \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { 2 N - 1 } ( k ) } } a _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| u _ { n } \| _ { s } ^ { p } \leq } & { C _ { p } \Big ( \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| u _ { n } \| ^ { p } + \sum _ { | \alpha | \leq s } \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p } \Big ) } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho } \mathbb E \Big [ 1 + \| u _ { 0 } \| ^ { p } + \| v _ { 0 } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } + \int _ { 0 } ^ { t } \big ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } + n \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } \big ) d t ^ { \prime } \Big ] } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho } \mathbb E \Big [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { \tilde { s } } ^ { p } + \int _ { 0 } ^ { t } \big ( 1 + n \| u _ { n } \| _ { s } ^ { p } \big ) d t ^ { \prime } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ( x , y , 0 ) } & { = k _ { 0 } z ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } k _ { 0 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ) , } \\ { \Phi _ { 1 } ( x , y , 0 ) } & { = k _ { 1 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ) - U _ { 0 } \exp ( - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\vec { n } _ { 0 } | _ { P } = \frac { 1 } { | \vec { \nabla } M | } \vec { \nabla } M | _ { P } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 f _ { M } ^ { 2 } } } } \left( \begin{array} { l } { - \frac { x } { 2 f _ { M } } } \\ { - \frac { y } { 2 f _ { M } } } \\ { 1 } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } { r ( Y , { \hat { Y } } ) } & { = { \frac { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) } { \sqrt { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \frac { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \hat { Y } } _ { i } + { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) } { \sqrt { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \frac { \sum _ { i } [ ( Y _ { i } - { \hat { Y } } _ { i } ) ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) + ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } ] } { \sqrt { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \frac { \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } \cdot \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } } \\ & { = { \sqrt { \frac { \sum _ { i } ( { \hat { Y } } _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { i } ( Y _ { i } - { \bar { Y } } ) ^ { 2 } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \xi c } ( \eta d ) } & { = \sum _ { \tilde { p } \in \mathrm { C r i t } _ { k } ( - \pi ^ { * } h ) } \sum _ { \gamma \in \tilde { \Gamma } } a _ { \xi ^ { - 1 } \tilde { p } } b _ { \eta ^ { - 1 } \gamma \tilde { p } } \gamma } \\ & { = \sum _ { \tilde { q } \in \mathrm { C r i t } _ { k } ( - \pi ^ { * } h ) } \sum _ { \gamma \in \tilde { \Gamma } } a _ { \tilde { q } } b _ { \eta ^ { - 1 } \gamma \xi \tilde { q } } \gamma = \sum _ { \tilde { q } \in \mathrm { C r i t } _ { k } ( - \pi ^ { * } h ) } \sum _ { \mu \in \tilde { \Gamma } } a _ { \tilde { q } } b _ { \mu \tilde { q } } \eta \mu \xi ^ { - 1 } } \\ & { = \eta \epsilon _ { c } ( d ) \xi ^ { - 1 } . } \end{array}
) t h e t w o f i x e d p o i n t s c o l l i d e , a n d a f t e r t r a n s i e n t s t a t e s ( n > 2 0 0 ) , t h e y h a v e t e n d e n c y t o m e r g i n g i n t o a s i n g l e f i x e d p o i n t , a s w e e x p l a i n e d e a r l i e r i n F i g u r e
\begin{array} { r l } { \check { \theta } _ { 1 c } } & { { } = \frac { 1 + \alpha } { \alpha } P _ { 0 + } \check { v } _ { 1 + } - { T } _ { 1 + } \left( \frac { \gamma } { \gamma - 1 } + \frac { 1 } { \alpha } - \ln { | \alpha | } \right) + \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \frac { d T _ { 1 } } { d z } \Big | _ { + } } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { \mathcal { C } } ( u , y ) = \left( \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { Q } _ { C } } & { \boldsymbol { S } _ { C } } \\ { \boldsymbol { S } _ { C } } & { \boldsymbol { R } _ { C } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right) , \qquad s _ { \mathcal { L } } ( u , y ) = \left( \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right) ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { Q } _ { L } } & { \boldsymbol { S } _ { L } } \\ { \boldsymbol { S } _ { L } } & { \boldsymbol { R } _ { L } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right) . } \end{array}
[ J _ { i } , J _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } J ^ { k } , \quad [ J _ { i } , x _ { j } ] = i \epsilon _ { i j k } x ^ { k } , \quad [ x _ { i } , x _ { j } ] = i \lambda \epsilon _ { i j k } x ^ { k } , \quad \quad i , j , k = 1 , 2 , 3 .
S ^ { \mathrm { A u x } } = \frac { 1 } { 2 } \int \! d x ^ { - } d x ^ { + } d y ^ { - } ~ \sigma _ { j i } ( x ^ { - } , y ^ { - } ; x ^ { + } ) \left( s ^ { i j } ( y , x ) - q _ { + } ^ { \dag j } ( x ) q _ { + } ^ { i } ( y ) \right) .
\sigma _ { \mathrm { r } } ( E ) = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sigma _ { \mathrm { r } } ^ { l } ( E ) = ( \pi / k ^ { 2 } ) \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) P _ { \mathrm { r } } ^ { l } ( E ) ,
\langle n ( \varepsilon , m _ { \chi } , L ) \rangle \propto A \, E \, \phi ( \varepsilon ^ { 2 } , m _ { \chi } ) \, ( L \, \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { n } = V \, E \, \tilde { \phi } ( m _ { \chi } ) L ^ { n - 1 } \, \varepsilon ^ { 2 ( n + 1 ) } ,
\frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \partial _ { \pm } f _ { i } ^ { ( \pm ) } \right) ^ { 2 } ( \sigma ^ { \pm } ) - \frac { \kappa M } { 4 l _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } - \kappa t _ { \pm } ( \sigma ^ { \pm } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } } \, d z + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 1 } \ln ( \pi _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 2 } \ln ( \pi _ { 2 } ) = \tilde { \Psi } _ { 0 } \in N R ( \Omega _ { 0 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \frac { z } { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } } \, d z + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 1 } z _ { 1 } \ln ( \pi _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 2 } z _ { 2 } \ln ( \pi _ { 2 } ) = \tilde { \Psi } _ { 1 } \in N R ( \Omega _ { 0 } ) . } \end{array}
Q _ { 1 } ( t ) = 1 - ( a _ { 1 1 } + a _ { 1 2 } \, a _ { 2 2 } \, a _ { 1 2 } ^ { - 1 } ) \, t + ( a _ { 1 2 } \, a _ { 2 2 } \, a _ { 1 2 } ^ { - 1 } \, a _ { 1 1 } - a _ { 1 2 } \, a _ { 2 1 } ) \, t ^ { 2 } \ ,
{ \begin{array} { r l } { - a } & { = ( b - \ln K ) T + c T \ln T } \\ & { = ( b - \ln K ) e ^ { L } + c L e ^ { L } } \\ { - { \frac { a } { c } } } & { = \left( { \frac { b - \ln K } { c } } + L \right) e ^ { L } } \\ { - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } } & { = \left( L + { \frac { b - \ln K } { c } } \right) e ^ { L + { \frac { b - \ln K } { c } } } } \\ { L } & { = W \left( - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } \right) + { \frac { \ln K - b } { c } } } \\ { T } & { = \exp \left( W \left( - { \frac { a } { c } } e ^ { \frac { b - \ln K } { c } } \right) + { \frac { \ln K - b } { c } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { C } ^ { m } } , } \end{array}
\Gamma _ { 3 } : = \left\{ \, \, \Gamma _ { 3 V } , \, \, \Gamma _ { G V { \bar { G } } } , \, \, \, \, \left\{ \Gamma _ { F V { \bar { F } } } | F = 1 \ldots N _ { F } \right\} \, \, \right\}
\begin{array} { r } { u _ { i } = \frac { \partial \phi ^ { ( l ) } } { \partial x _ { i } } + e _ { 3 i j } \frac { \partial \psi ^ { ( l ) } } { \partial x _ { j } } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { ( l ) } , } \end{array}
d ( s ) = ( M _ { K } ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } ) \Big [ f _ { + } ( s ) + { \frac { s } { M _ { K } ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } } } f _ { - } ( s ) \Big ] = ( M _ { K } ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } ) f _ { 0 } ( s ) \; \; \; .
\langle a _ { + } ( w ) c { \bar { c } } V _ { n } ^ { 0 } ( 0 ) c { \bar { c } } V _ { m } ^ { 1 } ( 1 ) c { \bar { c } } V _ { r } ^ { \alpha } ( \infty ) \prod _ { i = 1 } ^ { L } \int V _ { n _ { i } } ^ { 0 } \prod _ { j = 1 } ^ { M } \int V _ { m _ { i } } ^ { 1 } { \frac { 1 } { R ! } } ( Q _ { - } ) ^ { R } \rangle
\textbf { u } = ( 5 , 5 ) , \quad P = 1 , \quad \phi _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \bigg ( 1 + \operatorname { t a n h } \bigg ( \frac { r - R } { 2 \epsilon } \bigg ) \bigg ) \quad \mathrm { a n d } \quad \rho = \rho _ { 2 } + ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) \phi _ { 1 } .
M _ { u } = \frac { 1 } { M } \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda _ { 1 1 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 0 } \rangle } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \lambda _ { 2 1 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 1 } \rangle } } & { { \lambda _ { 2 2 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 0 } \rangle } } & { { 0 } } \\ { { \lambda _ { 3 1 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 2 } \rangle } } & { { \lambda _ { 3 2 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 1 } \rangle } } & { { \lambda _ { 3 3 } ^ { \prime } v \langle \overline { { { S } } } _ { 0 } \rangle } } \end{array} \right) ,
y ^ { \delta } \tilde { \Gamma } ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } \tilde { B } ^ { \beta } | _ { 1 } = y ^ { \delta } ( \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } + \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta , \sigma } x ^ { \sigma } / 2 ) [ B ^ { \beta } + ( B ^ { \beta } { } _ { , \sigma } + \Gamma ^ { \beta } { } _ { \sigma \tau } B ^ { \tau } ) d ^ { \sigma } / 2 ]
\begin{array} { r } { = \frac { 1 } { 2 } ( { \bf k } \times { \bf k } ^ { \prime } ) \left( \overline { { \delta \phi } } _ { - { \bf k } ^ { \prime } } \overline { { \delta \phi } } _ { \bf k } g _ { a , { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } } + \overline { { \delta \phi } } _ { { \bf k } ^ { \prime } } \overline { { \delta \phi } } _ { - \bf k } g _ { a , { - \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\sigma _ { a b } ^ { \mathrm { a } } = L \left[ \nabla _ { c } \rho \left( q _ { a d } \nabla _ { c } q _ { d b } - q _ { b d } \nabla _ { c } q _ { d a } \right) + \rho \left( q _ { a e } \Delta q _ { b e } - q _ { b e } \Delta q _ { a e } \right) \right] .
\frac { \partial } { \partial y _ { t } } \left[ P _ { i } - P _ { n } \right] = \frac { r \left\{ 1 - \left[ 1 + ( w - 1 ) y _ { i } \right] ^ { N _ { I } } \right\} } { N _ { I } ( 1 - w ) y _ { i } } + 1 > 0
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ) = \langle \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } \rangle = } \\ & { = \sum _ { i < j } [ H _ { i j } ( w _ { i j } ^ { * } ) - p _ { i j } \ln \zeta _ { i j } ] . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) ( x ^ { 2 } + x + 1 ) } } = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } } = { \frac { 1 } { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \widehat { S } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } \widehat { S } + \mu ( 1 - \widehat { S } ) - \beta ^ { * } \widehat { I } \widehat { S } , } \\ { \partial _ { t } \widehat { I } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } \widehat { I } + \beta ^ { * } \widehat { I } \widehat { S } - ( \nu + \mu ) \widehat { I } , . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { x } } & { { } = } & { \frac { 1 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - z ^ { \prime } } \left[ \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } - X , \Delta y ^ { \prime } - Y , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } \right. } \end{array}
m \ddot { x } ^ { \mu } = F ^ { \mu } ( x , \dot { x } ) = G ^ { \mu } ( x ) + F _ { \; \; \; \nu } ^ { \mu } ( x ) \, \dot { x } ^ { \nu } - m \Gamma _ { \; \: \nu \rho } ^ { \mu } \, \dot { x } ^ { \nu } \, \dot { x } ^ { \rho } ,
\partial _ { t } \overline { { \mathbf { u } } } = - \int _ { \partial \Omega _ { k } } \overline { { \mathbf { F } } } \left( \mathbf { x } \right) \cdot \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \ \mathrm { d } \mathbf { x } \approx - \sum _ { j \in I } m _ { j } \overline { { \mathbf { F } } } ( \mathbf { u } _ { j } ^ { - } , \mathbf { u } _ { j } ^ { + } , \mathbf { n } _ { j } )
\left( \frac { \Omega _ { \mathrm { E } } } { \omega _ { \mathrm { p } } } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { \Gamma _ { \mathrm { f r } } } \frac { a ^ { 2 } } { \Delta ^ { 2 } } \frac { 1 } { L ^ { 2 } } .
v ( t ) = c _ { 0 } + \frac { c _ { 0 } \Lambda ( t ) } { 2 h _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ X = x - x _ { 0 } - c _ { 0 } t - \frac { c _ { 0 } \Lambda _ { 0 } } { 2 h _ { 0 } \Gamma } [ 1 - \exp ( - \Gamma t ) ] .
{ \vec { P } } = { \frac { 2 \epsilon _ { 0 } \alpha } { E _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } { \bigg ( } 2 ( E ^ { 2 } - c ^ { 2 } B ^ { 2 } ) { \vec { E } } + 7 c ^ { 2 } ( { \vec { E } } \cdot { \vec { B } } ) { \vec { B } } { \bigg ) }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( B _ { R A } - B _ { R R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) = - W C _ { A | R } , } \\ { ( B _ { A A } - B _ { A R } C _ { R R } ^ { - 1 } C _ { R A } ) = C _ { A | R } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ L _ { 1 - 3 } } = \sqrt { { L _ { 1 - 2 } } ^ { 2 } + { L _ { 2 - 3 } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 1 - 2 } } \cdot { L _ { 2 - 3 } } \cdot c o s ( { A _ { 2 } } ) ) }
d \mu ^ { \prime } = \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m ) } [ d \mu ] , \quad d \mu ^ { \prime } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) = x _ { 0 } ^ { p } \, p ^ { ( m ) } ( x _ { 0 } | \mathbf { x } _ { - } ) \, d x _ { 0 } \, d \mu ( \mathbf { x } _ { - } ) .
\Xi ^ { ( I I ) } ( n ) = C _ { 1 } ^ { ( I I ) } n ^ { k ^ { ( I I ) } } \exp \left\{ \pi \sqrt { \frac { 2 n ( D - 2 ) } { 3 Q ( N ) } } \right\} ( 1 + { \mathcal O } ( n ^ { - k _ { 1 } } ) ) \, \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \left\lVert \Pi - \Pi _ { 0 } \right\rVert _ { \ell ^ { \infty } \to \ell ^ { \infty } } } & { \le \frac { r } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lVert ( r e ^ { i \theta } - B ) ^ { - 1 } - ( r e ^ { i \theta } - B _ { 0 } ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { \ell ^ { \infty } \to \ell ^ { \infty } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \le \frac { r } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left\lVert ( r e ^ { i \theta } - B ) ^ { - 1 } ( B - B _ { 0 } ) ( r e ^ { i \theta } - B _ { 0 } ) ^ { - 1 } \right\rVert _ { \ell ^ { \infty } \to \ell ^ { \infty } } \mathrm { d } \theta } \\ & { \le r \cdot \frac { 8 C } { \delta } \cdot \gamma \frac { \delta } { 8 C } \cdot \frac { 4 C } { \delta } = \gamma \frac { 4 C r } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( J _ { k , j } ^ { \circ } J _ { l , j } ^ { \circ } ) } & { = \frac { 1 } { n b _ { z } \kappa } \sum _ { p , q = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \mathbb { E } v _ { z , p + k - 1 } v _ { z , q + l - 1 } K _ { b _ { z } } \left( \frac { p - \lceil n b \rceil } { n } \right) K _ { b _ { z } } \left( \frac { q - \lceil n b \rceil } { n } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n b _ { z } \kappa } \sum _ { p , q = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \mathbf 1 ( p = q + l - k ) K _ { b _ { z } } \left( \frac { p - \lceil n b \rceil } { n } \right) K _ { b _ { z } } \left( \frac { q - \lceil n b \rceil } { n } \right) } \\ & { = \kappa ^ { - 1 } \int K ( u ) K \left( u + \frac { k - l } { n b _ { z } } \right) d u + O ( ( n b ) ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \psi _ { i } ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \geq - \frac { 1 } { \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i } ^ { ( k ) } - x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + x _ { i } ^ { ( k ) } - 2 x _ { 0 } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - x _ { i } ^ { ( k ) } ) } \end{array}
\Pi _ { \bar { a } \bar { b } } ^ { ( \mathrm { g h ) } } ( x , y ) = \left. \hbar g ^ { 2 } \frac { \delta \Gamma _ { 1 } } { \delta _ { r } \eta ^ { \bar { b } } ( y ) \delta _ { l } \bar { \eta } ^ { \bar { a } } ( x ) } \right| _ { 0 }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \partial G _ { i j } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau ^ { \prime } ) } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } G _ { i j } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau , \tau ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { F } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) } & { : = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t _ { n } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } + \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } , } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } } & { \phantom { : } = 2 \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } . } \end{array}