harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \bar { \rho } \widetilde { Y _ { k } } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \bar { \rho } \widetilde { Y _ { k } } \widetilde { u _ { j } } \right) = - \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ \overline { { J _ { j , k } } } + { \overline { { J _ { j , k } } } ^ { t } } \right] + \frac { \mathcal { E } } { \mathcal { F } } \dot { \omega } _ { k } ^ { c } + \dot { \omega } _ { k } ^ { p } \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k = 1 , N _ { s } \, \mathrm { ~ , ~ }
[ \delta _ { m } ( \epsilon _ { 1 } ) , \bar { \delta } _ { n } ( \epsilon _ { 2 } ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { { \delta _ { m - n } ( \epsilon _ { 1 2 } ) } } & { { m > n > 0 } } \\ { { \bar { \delta } _ { n - m } ( \epsilon _ { 1 2 } ) } } & { { n > m \geq 0 } } \\ { { \delta _ { 0 } ( \epsilon _ { 1 2 } ) + \bar { \delta } _ { 0 } ( \epsilon _ { 1 2 } ) } } & { { m = n > 0 } } \\ { { \bar { \delta } _ { 0 } ( \epsilon _ { 1 2 } ) \delta _ { m , 0 } } } & { { n = 0 \quad . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { f _ { 0 } : \mathcal { X } ^ { n } \times \mathcal { Y } ^ { n } \to \mathcal { M } _ { 0 } : = [ M _ { 0 } ] , } \\ { f _ { 1 } : \mathcal { X } ^ { n } \times \mathcal { Y } ^ { n } \to \mathcal { M } _ { 1 } : = [ M _ { 1 } ] , } \\ { f _ { 2 } : \mathcal { X } ^ { n } \times \mathcal { Y } ^ { n } \to \mathcal { M } _ { 2 } : = [ M _ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } _ { 1 } ^ { + } ( x ; 0 ) } & { = \eta ^ { - } ( x ; 0 ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( 0 ) = k _ { - } \tilde { \kappa } ( 0 ) \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { \nu \bar { u } ^ { \prime \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( 0 ) - 1 } \\ { \nu \mu _ { 3 } ^ { + } ( 0 ) ^ { 2 } + \mu _ { 3 } ^ { + } ( 0 ) + 1 } \end{array} \right) } \\ & { = k _ { - } \tilde { \kappa } ( 0 ) \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { \nu \bar { u } ^ { \prime \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) = k _ { - } \tilde { \kappa } ( 0 ) \Big ( \nu \bar { u } ^ { \prime \prime \prime } ( x ) + \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) + \bar { u } ^ { \prime } ( x ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf P } _ { a } = } & { { } ( T - T _ { r } ) \nabla \eta + ( \mu - \mu _ { r } ) \nabla S } \\ { = } & { { } \int _ { p _ { r } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial \eta } ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \nabla \eta + \int _ { p _ { r } } ^ { p } \frac { \partial \upsilon } { \partial S } ( \eta , S , p ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } p ^ { \prime } \nabla S } \\ { = } & { { } ( p - p _ { r } ) \left( \overline { { \upsilon _ { \eta } } } \nabla \eta + \overline { { \upsilon _ { S } } } \nabla S \right) } \\ { \approx } & { { } \frac { g ( z - z _ { r } ) } { \overline { { \rho } } } \left( \overline { { \rho _ { \eta } } } \nabla \eta + \overline { { \rho _ { S } } } \nabla S \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) = \bar { \phi } _ { \mathrm { M } 0 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) ~ , \quad \forall \zeta ^ { \alpha } \in \partial \Omega _ { 0 \mathrm { D } } ~ , } \end{array}
\mathcal { Z } ( 1 - d _ { B } ) + ( 1 - a + \mathcal { Z } d _ { B } F _ { B 1 0 } / \mathcal { F } _ { B _ { 2 } } ) \kappa _ { 1 } F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } }
\delta V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } = \sqrt { \left( \delta V _ { \mathrm { ~ C ~ G ~ } } \right) ^ { 2 } + \left( \delta V _ { \mathrm { ~ D ~ 2 ~ } } \right) ^ { 2 } + \left( \delta V _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \right) ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { d C _ { O _ { 3 } } } { d t } } & { = k _ { 2 } C _ { O } \ - { \ k } _ { 3 } C _ { O _ { 3 } } C _ { N O } , } \\ { \frac { d C _ { N O } } { d t } } & { = k _ { 1 } C _ { N O _ { 2 } } \ - { \ k } _ { 3 } C _ { O _ { 3 } } C _ { N O } - { \ k } _ { 7 } { C _ { N O } C } _ { H O _ { 2 } } , } \\ { \frac { d C _ { N O _ { 2 } } } { d t } } & { = { - \ k } _ { 1 } C _ { N O _ { 2 } } \ + { \ k } _ { 3 } C _ { O _ { 3 } } C _ { N O } + k _ { 7 } C _ { N O } C _ { H O _ { 2 } } - { \ k } _ { 8 } C _ { N O _ { 2 } } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { H C H O } } { d t } } & { = { - \ k } _ { 4 } C _ { H C H O } \ - { \ k } _ { 5 } C _ { H C H O } - { \ k } _ { 6 } C _ { H C H O } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { H O _ { 2 } } } { d t } } & { = { 2 k } _ { 4 } C _ { H C H O } + \ { \ k } _ { 6 } C _ { H C H O } C _ { O H } - { \ k } _ { 7 } { C _ { N O } C } _ { H O _ { 2 } } + k _ { 1 0 } C _ { H O _ { 2 } H } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { H O _ { 2 } H } } { d t } } & { = - k _ { 9 } C _ { H O _ { 2 } H } - k _ { 1 0 } C _ { H O _ { 2 } H } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { O H } } { d t } } & { = - { \ k } _ { 6 } C _ { H C H O } C _ { O H } + { \ k } _ { 7 } { C _ { N O } C } _ { H O 2 } - { \ k } _ { 8 } C _ { N O 2 } C _ { O H } + { 2 k } _ { 9 } C _ { H O 2 H } - k _ { 1 0 } C _ { H O 2 H } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { O } } { d t } } & { = k _ { 1 } C _ { N O 2 } - k _ { 2 } C _ { O } , } \\ { \frac { d C _ { H N O 3 } } { d t } } & { = { \ k } _ { 8 } C _ { N O 2 } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { C O } } { d t } } & { = { \ k } _ { 4 } C _ { H C H O } \ + { \ k } _ { 5 } C _ { H C H O } + { \ k } _ { 6 } C _ { H C H O } C _ { O H } , } \\ { \frac { d C _ { H 2 } } { d t } } & { = { \ k } _ { 5 } C _ { H C H O } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathrm { d i v } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } \le \| \mathrm { d i v } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } } \\ { \le C _ { 2 } ( \omega , h , L ) ^ { 2 } ( \| \mathrm { d i v } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } ^ { 2 } ) + C _ { 3 } ( \omega , h ) ^ { 2 } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \mu _ { \sigma } } = - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial \mu _ { \sigma } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial \mu _ { \sigma } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { C _ { \Delta X } ^ { \mathrm { ( a c ) } } ( t ; \delta t ) } & { \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \quad \times \left[ M \left( \frac { | t - \delta t | } { \tau _ { A } } \right) + M \left( \frac { t + \delta t } { \tau _ { A } } \right) - 2 M \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) \right] } \\ & { \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } ( \delta t / \tau _ { A } ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad \quad \times \left\{ \begin{array} { l r } { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } & { \delta t \ll t \ll \tau _ { A } } \\ { \Bigl ( - \frac { 1 } { 4 } \Bigr ) \left( \frac { t } { \tau _ { A } } \right) ^ { - 3 / 2 } , } & { \tau _ { A } \ll \delta t \ll t } \end{array} \right. } \end{array}
[ a _ { m } , \; \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } ] = [ a _ { m } , \; \tilde { \psi } _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ] = [ \tilde { a } _ { m } , \; \psi _ { \dot { \alpha } } ] = [ \tilde { a } _ { m } , \; \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } ] = 0
\begin{array} { r l } & { \left\vert ( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \xi _ { 0 } ) ^ { \rightarrow \bullet \rightarrow } \right\vert } \\ & { \quad \leq C \rho ^ { 2 } \left( \rho ^ { 2 / 3 } s ( \log N ) ^ { 3 } + \rho ^ { 1 / 3 } \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \mu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x + \rho ^ { 1 / 3 } \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \nu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x + \int _ { \Lambda } \left\vert \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } \right\vert \, \textnormal { d } x \right) } \\ & { \qquad \times \left[ ( s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { 4 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 5 } + ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \sum _ { l } f _ { l } \phi _ { l } ( x ) = \frac { 1 } { \deg _ { R } ( x ) } \int k _ { \epsilon } ( x , y ) \sum _ { l } f _ { l } \tilde { \gamma } _ { l } ( y ) d \mu ( y ) = \frac { \langle k _ { x } , w \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu ) } } { \langle k _ { x } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu ) } } , \quad w : = \sum _ { l } f _ { l } \frac { 1 } { \lambda _ { l } } \gamma _ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { t } } & { = \sigma _ { g } ( W _ { f } x _ { t } + U _ { f } h _ { t - 1 } + b _ { f } ) \in ( 0 , 1 ) ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ f o r g e t ~ g a t e ' s ~ a c t i v a t i o n ~ v e c t o r } } \\ { i _ { t } } & { = \sigma _ { g } ( W _ { i } x _ { t } + U _ { i } h _ { t - 1 } + b _ { i } ) \in ( 0 , 1 ) ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ i n p u t / u p d a t e ~ g a t e ' s ~ a c t i v a t i o n ~ v e c t o r } } \\ { o _ { t } } & { = \sigma _ { g } ( W _ { o } x _ { t } + U _ { o } h _ { t - 1 } + b _ { o } ) \in ( 0 , 1 ) ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ o u t p u t ~ g a t e ' s ~ a c t i v a t i o n ~ v e c t o r } } \\ { \tilde { c } _ { t } } & { = \sigma _ { c } ( W _ { c } x _ { t } + U _ { c } h _ { t - 1 } + b _ { c } ) \in ( - 1 , 1 ) ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ c e l l ~ i n p u t ~ a c t i v a t i o n ~ v e c t o r } } \\ { c _ { t } } & { = f _ { t } \odot c _ { t - 1 } + i _ { t } \odot \tilde { c } _ { t } \in \mathbb { R } ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ c e l l ~ s t a t e ~ v e c t o r } } \\ { h _ { t } } & { = o _ { t } \odot \sigma _ { h } ( c _ { t } ) \in ( - 1 , 1 ) ^ { h } } & { \mathrm { i s ~ t h e ~ h i d d e n ~ s t a t e ~ ( o u t p u t ) ~ v e c t o r ~ o f ~ t h e ~ L S T M ~ u n i t } } \end{array}
c _ { k } ^ { i j } = \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } } { \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } + i \Omega \Gamma _ { i j k } } A _ { i } B _ { j } ^ { * } .
\begin{array} { r l } { K _ { i } ^ { a } } & { { } = \frac { 2 U _ { 0 i } } { w _ { 0 , a i } ^ { 2 } } , K _ { i } ^ { b } = \frac { 2 U _ { 0 i } } { w _ { 0 , b i } ^ { 2 } } , } \\ { K _ { i } ^ { c } } & { { } = \frac { U _ { 0 i } \lambda ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { w _ { 0 , a i } ^ { 4 } } + \frac { 1 } { w _ { 0 , b i } ^ { 4 } } \right) , } \end{array}
\hat { F } _ { \mu \nu } ^ { i j } ( z ) = \int _ { T ^ { 4 } } d ^ { 4 } x \int _ { T ^ { 4 } } d ^ { 4 } x ^ { \prime } \, \psi ^ { i } { } ^ { \dagger } ( x ; z ) \sigma _ { \mu } ( D _ { z } ^ { \dagger } D _ { z } ) ^ { - 1 } ( x , x ^ { \prime } ; z ) \sigma _ { \nu } ^ { \dagger } \psi ^ { j } ( x ; z ) - [ \mu \leftrightarrow \nu ] .
= \int d \lambda \int d m _ { 1 } \int d m _ { 2 } \int d m _ { 3 } a ( m _ { 1 } , m _ { 3 } , \lambda ) a ^ { \ast } ( m _ { 2 } , m _ { 3 } , \lambda ) \frac { g _ { \phi ^ { 3 } } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { \theta ( x ) } { m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } \ln \frac { x m _ { 3 } ^ { 2 } + ( 1 - x ) m _ { 1 } ^ { 2 } - x ( 1 - x ) M ^ { 2 } } { x m _ { 3 } ^ { 2 } + ( 1 - x ) m _ { 2 } ^ { 2 } - x ( 1 - x ) M ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \mathbf { F } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) \leq } & { \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { F } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] + \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { F } ) \right] - \mathbb { E } \left[ h _ { \mathbf { z } , \delta } ( \mathbf { N } ) \right] + \mathbb { P } ( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } + \delta ) - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { t } + u \, u _ { x } + v \, u _ { y } + p _ { x } } & { { } = } & { R e ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } u } \\ { v _ { t } + u \, v _ { x } + v \, v _ { y } + p _ { y } } & { { } = } & { R e ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { U } _ { r } \left( y \right) } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } U \left( y - z \right) \rho _ { r } \left( z \right) \mathrm { d } z } \\ & { \ge \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } U \left( x - z \right) \rho _ { r } \left( z \right) \mathrm { d } z + \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left\langle \nabla U \left( x - z \right) , ( y - z ) - ( x - z ) \right\rangle \rho _ { r } \left( z \right) \mathrm { d } z } \\ & { \quad + \frac { \lambda } { 2 } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| ( y - z ) - ( x - z ) \right| ^ { 2 } \rho _ { r } \left( z \right) \mathrm { d } z } \\ & { = \Bar { U } _ { r } \left( x \right) + \left\langle \nabla \Bar { U } _ { r } \left( x \right) , y - x \right\rangle + \frac { \lambda } { 2 } \left| y - x \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| h ^ { - 1 } ( \kappa _ { \theta + h } - \kappa _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } \| _ { \infty } \to 0 , \quad \| h ^ { - 1 } ( \tilde { \kappa } _ { \theta + h } - \tilde { \kappa } _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } \| _ { \infty } \to 0 } \\ & { \| \omega ^ { - 1 / 2 } ( h ^ { - 1 } ( \kappa _ { \theta + h } - \kappa _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ) \| _ { \mathfrak { h } } \to 0 , \quad \| \omega ^ { - 1 / 2 } ( h ^ { - 1 } ( \tilde { \kappa } _ { \theta + h } - \tilde { \kappa } _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ) \| _ { \mathfrak { h } } \to 0 } \\ & { \| \omega ^ { - 1 } ( h ^ { - 1 } ( \kappa _ { \theta + h } - \kappa _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \kappa _ { \theta } ) \| _ { \mathfrak { h } } \to 0 , \quad \| \omega ^ { - 1 } ( h ^ { - 1 } ( \tilde { \kappa } _ { \theta + h } - \tilde { \kappa } _ { \theta } ) - \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } ) \| _ { \mathfrak { h } } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \nabla { \hat { U } } ^ { n } , \nabla \delta _ { t } U ^ { n } \right) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 k } \left( \nabla \left( U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + U ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \right) , \nabla \left( U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - U ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 k } \left( \| \nabla U ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \| ^ { 2 } - \| \nabla U ^ { n - \frac { 1 } { 2 } } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k + 1 } ^ { v , \tau _ { i } } \left( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } \right) } & { = \sum _ { \{ t _ { j } \} _ { j \leq k + 1 } } \prod _ { j \leq k + 1 } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) \delta _ { S _ { 1 } , \sum _ { j \leq k + 1 } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \delta _ { S _ { 2 } , \sum _ { j \leq k + 1 } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } = } \\ & { = \sum _ { t _ { k + 1 } } m _ { k + 1 \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { k + 1 } , \tau _ { i } ) \sum _ { \{ t _ { j } \} _ { j \leq k } } \prod _ { j \leq k } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) \times } \\ & { \qquad \qquad \times \delta _ { S _ { 1 } - ( t _ { i } - t _ { k + 1 } - 1 ) _ { + } , \sum _ { j \leq k } ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) _ { + } } \delta _ { S _ { 2 } - \theta ( t _ { i } - t _ { k + 1 } - 1 ) , \sum _ { j \leq k } \theta ( t _ { i } - t _ { j } - 1 ) } = } \\ & { = \sum _ { t _ { k + 1 } } m _ { k + 1 \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { k + 1 } , \tau _ { i } ) F _ { k } ^ { v , \tau _ { i } } ( t _ { i } , S _ { 1 } - ( t _ { i } - t _ { k + 1 } - 1 ) _ { + } , S _ { 2 } - \theta ( t _ { i } - t _ { k + 1 } - 1 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg \langle \Delta \nu \bigg \rangle _ { \psi _ { N } } = \frac { 1 } { [ N ] } \sum _ { n = - N } ^ { N } \Delta \nu \approx \frac { 1 } { 2 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Delta \nu \; d \cos ( \theta ) } \end{array}
\hat { \psi } _ { ( 2 , 0 ) } ( \hat { y } ) = \frac { \log ^ { 2 } { ( \hat { y } ) } } { 8 } - \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 4 } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( k ) } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { b _ { k } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } ,
\begin{array} { r l } { { \epsilon _ { { \bf u } , k } } } & { { } = \frac { \int _ { \Theta } \left[ { { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) - { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k - 1 } } \left( { \theta } \right) } \right] ^ { \mathrm { T } } \left[ { { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) - { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k - 1 } } \left( { \theta } \right) } \right] \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } { \int _ { \Theta } { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } ^ { \mathrm { T } } } \left( { \theta } \right) { { \bf { u } } _ { \mathrm { W I N } , k } } \left( { \theta } \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { e / o } ( E ) } & { \approx \delta _ { e / o } ( E _ { 0 } ) + \frac { d \delta _ { e / o } } { d E } \Big | _ { E _ { 0 } } ( E - E _ { 0 } ) } \\ & { \equiv \delta _ { e / o } ^ { 0 } + \delta _ { e / o } ^ { 0 } ( E - E _ { 0 } ) , } \\ { k ( E ) } & { \approx k ( E _ { 0 } ) + \frac { d k } { d E } \Big | _ { E _ { 0 } } ( E - E _ { 0 } ) } \\ & { \equiv k _ { 0 } + \frac 1 { v _ { 0 } } ( E - E _ { 0 } ) , \ \textrm { w i t h } \ v _ { 0 } = \sqrt { 2 E _ { 0 } } , } \\ { E } & { = E _ { 0 } + ( E - E _ { 0 } ) . } \end{array}
\tau \mathbf { F } _ { t } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } + \mathbf { F } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ } } = - ( \xi _ { | | } ^ { p } \hat { { \bf { t } } } \hat { { \bf { t } } } + \xi _ { \perp } ^ { p } \hat { { \bf { n } } } \hat { { \bf { n } } } ) \cdot { \bf { X } } _ { t } ,
\begin{array} { r l } { - \alpha \lVert c ^ { 1 } \rVert _ { \infty } + \langle c ^ { 1 } , b \rangle = } & { - \alpha \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { A } c _ { i } ^ { 1 } b _ { i } } \\ { = } & { - \alpha \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { 1 } } \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } b _ { i } + ( 1 - k _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } ) b _ { k _ { 1 } + 1 } , \quad \mathrm { ( d e f i n i t i o n ~ o f ~ c ^ 1 ~ ) } } \\ { = } & { ( \frac { - \alpha + \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { 1 } } b _ { i } } { k _ { 1 } } ) k _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } + b _ { k _ { 1 } + 1 } ( 1 - k _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } ) , \qquad \mathrm { ( r e - a r r a n g i n g ) } } \\ { \leq } & { \frac { - \alpha + \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { 2 } } b _ { i } } { k _ { 2 } } } \\ { = } & { - \alpha \lVert c ^ { 2 } \rVert _ { \infty } + \langle c ^ { 2 } , b \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { x } & { { } = 0 . 9 9 9 \ldots } \\ { 1 0 x } & { { } = 9 . 9 9 9 \ldots } & { } & { { } { \mathrm { b y ~ � m u l t i p l y i n g � ~ b y ~ } } 1 0 } \\ { 1 0 x } & { { } = 9 + 0 . 9 9 9 \ldots } & { } & { { } { \mathrm { b y ~ � s p l i t t i n g � ~ o f f ~ i n t e g e r ~ p a r t } } } \\ { 1 0 x } & { { } = 9 + x } & { } & { { } { \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ } } x } \\ { 9 x } & { { } = 9 } & { } & { { } { \mathrm { b y ~ s u b t r a c t i n g ~ } } x } \\ { x } & { { } = 1 } & { } & { { } { \mathrm { b y ~ d i v i d i n g ~ b y ~ } } 9 } \end{array}
\frac { v ( r ) } { c } = \sqrt { \frac { 2 } { x } - 3 \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } + \frac { 1 5 } { 4 } \frac { \lambda ^ { 4 } } { x ^ { 5 } } - \frac { 3 5 } { 8 } \frac { \lambda ^ { 6 } } { x ^ { 7 } } + { \cal O } ( x ^ { - 9 } ) } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } = } & { { } } & { \frac { C _ { e B } ^ { \ell } } { \Lambda ^ { 2 } } \left( \bar { \ell } _ { L } \sigma ^ { \mu \nu } \ell _ { R } \right) \! H B _ { \mu \nu } + \frac { C _ { e W } ^ { \ell } } { \Lambda ^ { 2 } } \left( \bar { \ell } _ { L } \sigma ^ { \mu \nu } \ell _ { R } \right) \! \tau ^ { I } \! H W _ { \mu \nu } ^ { I } } \end{array}
\omega ^ { ( \ell ) } = \frac { \mathcal { N } ^ { ( \ell ) } } { ( 2 \ell + 1 ) ! ! } \left( \Delta _ { \alpha \beta } k ^ { \alpha } k ^ { \beta } \right) ^ { \ell } f _ { 0 \mathbf { k } } \tilde { f } _ { 0 \mathbf { k } } .
A ^ { \mu } ( { \bf x } , \tau ) = \sqrt { \frac { \beta } { V } } \sum _ { n } \sum _ { { \bf p } } e ^ { i ( { \bf p } \cdot { \bf x } + \omega _ { n } \tau ) } A _ { n } ^ { \mu } ( { \bf p } ) , \ \ \omega _ { n } = 2 n \pi T .
E = \frac { m } { 2 } \frac { d f _ { \mathrm { n o n l i n e a r } } ^ { - 1 } ( { \bf y } ^ { T } ) } { d t } \frac { d f _ { \mathrm { n o n l i n e a r } } ^ { - 1 } ( { \bf y } ) } { d t } - \frac { 1 } { 2 } { \bf y } ^ { T } Q { \bf y } - b ^ { T } { \bf y } + \phi ( t ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { y _ { i } } f _ { \mathrm { n o n l i n e a r } } ^ { - 1 } ( x ) d x .
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { s } } } \\ { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) \simeq \left( \begin{array} { c c c c } { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { \epsilon } } & { { - \epsilon } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { 0 } } } \\ { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \rightarrow \infty } C ( t = t ^ { \prime } + s , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = C ( s , \tau ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t ^ { \prime } \rightarrow \infty } G ( t = t ^ { \prime } + s , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = G ( s , \tau ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } = 0 \, , \forall \, ( t ^ { \prime } , \tau ) } \end{array}
H ^ { 1 } \mathrm { ~ - ~ e ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } : = \left( \int \varepsilon _ { k } \varepsilon _ { k } + \frac { \partial \varepsilon _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \varepsilon _ { i } } { \partial x _ { j } } \ \mathrm { ~ d ~ } \Omega _ { 0 } \right) ^ { 0 . 5 } .
\; = \; \left( \begin{array} { c } { { ( - ( s - s _ { a } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 1 } ^ { 2 } + ( s + s _ { a } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( s - s _ { a } + m _ { 3 } ^ { 2 } ) s _ { a } ) / ( 2 s _ { a } ) } } \\ { { ( ( s _ { a } + t _ { a } - m _ { b } ^ { 2 } ) m _ { 1 } ^ { 2 } + ( s _ { a } - t _ { a } + m _ { b } ^ { 2 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } - ( s _ { a } - t _ { a } - m _ { b } ^ { 2 } ) s _ { a } ) / ( 2 s _ { a } ) } } \end{array} \right) \; ,