harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \rVert \mathcal { L } _ { \infty } ^ { - 1 } g \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ( i _ { 0 } ) ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \rVert g \rVert _ { s + 2 \tau + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ( i _ { 0 } ) ) } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ s \ge ~ 0 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { C e ^ { - \rho \left( m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } \right) / 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \frac { \left( \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert \right) ^ { 2 } + \left( 1 + \left\vert \mathbf { g } \right\vert \right) ^ { \gamma } \right) ^ { 2 } } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } d \boldsymbol { \omega } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { C e ^ { - \rho \left( m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } \right) / 2 } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } } \right) } \end{array}
t = \lbrace 4 \omega _ { 0 } ^ { - 1 } , 6 \omega _ { 0 } ^ { - 1 } , 9 \omega _ { 0 } ^ { - 1 } , 1 2 \omega _ { 0 } ^ { - 1 } , 1 5 \omega _ { 0 } ^ { - 1 } \rbrace
\begin{array} { r l } { \hat { n } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, , } \\ { \hat { w } ^ { 0 \to 1 } = } & { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { A _ { 1 } } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { a + 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } J _ { 2 k } ^ { ( a , a ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { A _ { 2 } } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a + 1 } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { a + 1 } \ln \frac { 1 - x } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 2 } J _ { 2 k } ^ { ( a , a ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathbb { P } _ { k - 1 } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - p ( \mathbf { A } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \mathbf { v } _ { j } \| _ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathbb { P } _ { k - 1 } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } p ( \mu _ { j } ) \mathbf { v } _ { j } \| _ { 2 } . } \end{array}
g ^ { 2 } ( \mu ) = { \frac { g ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) } { 1 + { \frac { 2 2 } { 3 } } { \frac { C _ { 2 } ( G ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } g ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) \ln { \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } } } } = { \frac { 1 } { { \frac { 2 2 } { 3 } } { \frac { C _ { 2 } ( G ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \ln { \frac { \mu } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } } } } ,
\begin{array} { r } { v ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { t } { t _ { 0 } } v _ { m a x } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } t < t _ { 0 } } \\ { v _ { m a x } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { M } + 2 \mu _ { X } = E _ { M X _ { 2 } } ^ { M L } , } \\ { \mu _ { X } = \frac { 1 } { 2 } ( E _ { M X _ { 2 } } ^ { M L } - \mu _ { M } ) , } \end{array}
{ \cal W } _ { - \infty , + \infty } [ A ^ { - } ] ( x ^ { - } , x _ { \perp } ) = { \cal P } \exp \Bigg [ + i g \int d x ^ { + } A _ { a } ^ { - } ( x ^ { + } , x ^ { - } , x _ { \perp } ) T _ { a } \Bigg ] \, .
\mu _ { 3 0 K e V } ( \mathrm { ~ s ~ o ~ f ~ t ~ t ~ i ~ s ~ s ~ u ~ e ~ } ) \approx 0 . 4 0 ( c m ^ { - 1 } ) , ~ \mu _ { 8 0 K e V } ( \mathrm { ~ s ~ o ~ f ~ t ~ t ~ i ~ s ~ s ~ u ~ e ~ } ) \approx 0 . 1 9 ( c m ^ { - 1 } )
\begin{array} { r l r } { \left[ \left( \frac { \Delta I } { I } \right) _ { 2 } - 2 \frac { \Delta N } { N } \right] = } & { } & { \frac { G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 2 } ) } { [ G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 2 } ) - G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 1 } ) ] } \times } \\ & { } & { \times \left[ \left( \frac { \Delta I } { I } \right) _ { 2 } - \left( \frac { \Delta I } { I } \right) _ { 1 } \right] . } \end{array}
\mathbf { r } _ { \mathbf { S } } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { \mathbf { r } } _ { m } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { a } _ { \mathbf { S } } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { a } _ { M } ( \hat { \mathbf { r } } _ { 1 } ) + \hat { \mathbf { a } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { M } ( \hat { \mathbf { r } } _ { m } ) + \hat { \mathbf { a } } _ { m } } \end{array} \right] .
\mathbf { U } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { U } _ { 1 } = \mathbf { D } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { D } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \mathbf { D } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \mathbf { D } \mathbf { D } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \mathbf { I _ { 1 } } ,
\mathrm { M A E = \ x i ^ { 2 } \sum _ { \ t a u , \ t a u ^ { \prime } } \frac { | \langle a _ { \ t a u } | p _ { \ t a u ^ { \prime } } \rangle | ^ { 2 } - | \langle a _ { \ t a u } ^ { \prime } | p _ { z } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta } , }
\langle \eta ( q ^ { \prime } ) | \partial _ { \mu } D ^ { \mu } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } m _ { i } \bar { q _ { i } } q _ { i } | \eta ( q ) \rangle = - 2 q ^ { \prime } \cdot q + 3 m _ { \eta } ^ { 2 } .
\hat { V } ( r ; \lambda ) = V ( r ) - 2 [ l n ( I _ { 0 } + \lambda ) ] ^ { \prime \prime } = V ( r ) - \frac { 4 u _ { 0 } u _ { 0 } ^ { \prime } } { I _ { 0 } + \lambda } + \frac { 2 u _ { 0 } ^ { 4 } } { ( I _ { 0 } + \lambda ) ^ { 2 } } ,
\epsilon _ { j } \geq \epsilon _ { k } \left( - \frac { b _ { k j } ^ { ( i ) } } { b _ { j k } ^ { ( i ) } } \frac { \left| \Re \left( \lambda _ { k } ^ { ( i ) } \right) \right| } { \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| } \left| \frac { c _ { k } ^ { ( i ) } } { c _ { j } ^ { ( i ) } } \right| ^ { 2 } + \frac { \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| } { b _ { j k } ^ { ( i ) } \left| \Re \left( \lambda _ { j } ^ { ( i ) } \right) \right| } \left| \frac { c _ { k } ^ { ( i ) } } { c _ { j } ^ { ( i ) } } \right| \right) \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \epsilon _ { k } \, h \left( \left| \frac { c _ { k } ^ { ( i ) } } { c _ { j } ^ { ( i ) } } \right| \right) .
w = \int d \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } f _ { g } \left[ \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } \right] \left\vert c \left( e , \mathbf { p } _ { + } ^ { \left( 3 , 0 \right) } + \hbar \mathbf { k } , T _ { 3 , 0 } + \tau \right) \right\vert ^ { 2 } ,
\epsilon \simeq \epsilon _ { K } - \delta _ { K } \simeq e ^ { i \phi _ { S W } } \left[ \frac { - \mathrm { I m } ~ M _ { 1 2 } } { \sqrt { 2 } ~ \Delta m } \right] + i e ^ { i \phi _ { S W } } \left[ \frac { M _ { 2 2 } - M _ { 1 1 } } { 2 \sqrt { 2 } ~ \Delta m } \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { c } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } | \boldsymbol { u } | _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } \| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { U } \| \| \boldsymbol { \Theta } \| \, \mathrm { d } t \leq \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } | \boldsymbol { u } | _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } \left( \| \boldsymbol { \eta } \| ^ { 2 } + 2 \| \boldsymbol { \Theta } \| ^ { 2 } \right) \, \mathrm { d } t } \\ & { \leq \| \boldsymbol { u } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t _ { n + 1 } , W _ { \infty } ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) ) } \left( \| \boldsymbol { \eta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } + 2 \| \boldsymbol { \Theta } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , t _ { n + 1 } , L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } \right) \, . } \end{array}
W _ { L } = \sum _ { s , r = 1 } ^ { N _ { f } } ( \lambda _ { r , s } M + { m _ { Q } } _ { r , s } ) V ^ { 2 r - 1 , 2 s } + ( \mathrm { P f } V ) ^ { \frac { 1 } { N _ { f } - 2 } } ( 2 - N _ { f } ) { \Lambda _ { L } } ^ { \frac { N _ { f } - 6 } { N _ { f } - 2 } } + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { c } } g _ { r } { u ^ { c l } } _ { r } , \nonumber
| + { \frac { 1 } { 2 } } > _ { \mu } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } ~ { \cal C } _ { ( 0 ) } ^ { \nu } { \cal C } _ { ( 0 ) } ^ { \lambda } | 0 > _ { \bar { \cal P } _ { ( 0 ) \mu } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { P r o b } _ { I } ( n , k ) = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname { P r o b } _ { I } ( n , k , m ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime } ( n , k , m ) } { \binom { \frac { n - 1 } { 2 } } { k } } + \frac { \mathcal { S } _ { I } ^ { \prime \prime } ( n , k ) } { n \binom { \frac { n - 1 } { 2 } } { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l } { ( t _ { i } \hat { x } _ { i } - k _ { i } \hat { y } _ { i } \sin \phi _ { i } ) + j k _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } } \\ { t _ { i } \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } + j ( k _ { i } \hat { x } _ { i } + t _ { i } \hat { y } \sin \phi _ { i } ) } \end{array} \right) } \end{array} .
\left[ \begin{array} { c } { \dot { z } _ { 1 } } \\ { \dot { z } _ { 2 } } \\ { \dot { z } _ { 3 } } \\ { \dot { z } _ { 4 } } \\ { \dot { z } _ { 5 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \kappa \left( z _ { 3 } z _ { 4 } + z _ { 2 } z _ { 5 } \right) } \\ { - 2 i \Delta _ { 1 } z _ { 2 } + \kappa z _ { 4 } \left( 1 - 2 z _ { 1 } \right) } \\ { 2 i \Delta _ { 1 } z _ { 3 } + \kappa z _ { 5 } \left( 1 - 2 z _ { 1 } \right) } \\ { - \kappa z _ { 2 } } \\ { - \kappa z _ { 3 } } \end{array} \right] + \sqrt { \kappa } \left[ \begin{array} { c } { z _ { 1 } \left( z _ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { * } + z _ { 3 } \xi _ { 2 } ^ { * } \right) } \\ { z _ { 2 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { * } - z _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { * } } \\ { - z _ { 1 } ^ { 2 } \xi _ { 1 } ^ { * } + z _ { 3 } ^ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { * } } \\ { \xi _ { 1 } } \\ { \xi _ { 2 } } \end{array} \right] .
\Gamma _ { \kappa } ^ { ( m , n ) } ( t _ { 1 } , { \bf x } _ { 1 } , \cdots , t _ { m + n } , { \bf x } _ { n + m } ) = \frac { \delta ^ { m + n } \Gamma _ { \kappa } } { \delta \psi ( t _ { 1 } , { \bf x } _ { 1 } ) \cdots \delta \psi ( t _ { m } , { \bf x } _ { m } ) \delta \tilde { \psi } ( t _ { m + 1 } , { \bf x } _ { m + 1 } ) \cdots \delta \tilde { \psi } ( t _ { m + n } , { \bf x } _ { m + n } ) } \, .
{ \mathcal E } ( t , x , y ) = { \mathcal E } ( t , { \bar { x } } ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { c } { \alpha } \\ { j } \end{array} \right) \, \left( 1 - { \mathrm { e } ^ { - 2 \beta \, t } } \right) ^ { j } \, D _ { \bar { x } } ^ { ( 2 j ) } [ F _ { j } ( t , w ) ] ( t , { \bar { x } } ) .
\begin{array} { r l r l r l } { \chi _ { \mathrm { s p i n } } ^ { + } } & { { } = \frac { \phi _ { 0 } } { \phi ( 2 \phi _ { 0 } - \phi ) } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \chi _ { \mathrm { b i n } } ^ { + } } & { { } = \frac { \log \left( \frac { 2 \phi _ { 0 } } { \phi } - 1 \right) } { 2 \phi _ { 0 } - 2 \phi } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( x [ s ] , y [ s ] ) - ( x , y ) | } & { = | ( x [ s ] , y [ s ] ) - ( r _ { s } \cos \theta _ { s } , r _ { s } \sin \theta _ { s } ) + ( r _ { s } \cos \theta _ { s } , r _ { s } \sin \theta _ { s } ) - ( x , y ) | } \\ & { \leq | ( x [ s ] , y [ s ] ) - ( r _ { s } \cos \theta _ { s } , r _ { s } \sin \theta _ { s } ) | + | ( r _ { s } \cos \theta _ { s } , r _ { s } \sin \theta _ { s } ) - ( x , y ) | } \\ & { \leq 2 ^ { - s } + | ( r _ { s } \cos \theta _ { s } , r _ { s } \sin \theta _ { s } ) - ( r \cos \theta , r \sin \theta ) | } \\ & { \leq 2 ^ { - s } + M | ( r _ { s } , \theta _ { s } ) - ( r , \theta ) | } \\ & { \leq 2 ^ { - s } + M \sqrt { ( r - r _ { s } ) ^ { 2 } + ( \theta - \theta _ { s } ) ^ { 2 } } } \\ & { < 2 ^ { - s } + M \sqrt { ( 2 ) 2 ^ { - 2 s } } } \\ & { = 2 ^ { - s } + \sqrt { 2 } M 2 ^ { - s } } \\ & { = 2 ^ { - s } ( 1 + M \sqrt { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta ) \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} + \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - \rho \theta } { 2 } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { + \big ( \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \frac { \gamma \beta \theta } { 2 } \big ) \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} - \frac { \theta ( \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa ) } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } - \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] . } \end{array}
{ _ { - \infty } } ^ { C } D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \overline { { U _ { i } ^ { + } } } = \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) ) } \int _ { - \infty } ^ { x _ { j } ^ { + } } ( x _ { j } ^ { + } - \xi ) ^ { - \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } \frac { d \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ( \xi ) } { d x _ { j } ^ { + } } d \xi
v _ { B z } ^ { \delta } = \frac { 3 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \Gamma _ { + } \frac { \rho _ { c } \, \delta _ { 0 \rho } - \rho _ { + } \delta _ { 0 \rho } ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) + ( z _ { c } - z _ { + } ) \delta _ { 0 z } } { { R _ { 2 A } ^ { \delta } } ^ { 5 } ( 1 - { k _ { A } ^ { \delta } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { 2 } } ( 2 \rho _ { + } - \rho _ { c } ( 2 - 4 \cos ^ { 2 } \theta ) ) \, d \theta
\begin{array} { r l } { \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y ^ { \prime } \tau _ { I ^ { \prime } ( 1 ) } \tau _ { I ^ { \prime } ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } } & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 r } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta y ) \Bigl ( A _ { 2 r } ^ { \prime } - \frac { 1 } { M - 1 } \bigl ( 1 - A _ { 2 r } ^ { \prime } ) \Bigr ) , } \\ { \mathbb E \ln \bigl \langle e ^ { \beta y ^ { \prime \prime } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 1 ) } \rho _ { I ^ { \prime \prime } ( 2 ) } } \bigr \rangle _ { t } } & { = \mathbb E \ln \cosh \beta y - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 r } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 r } ( \beta y ) \Bigl ( A _ { 2 r } ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { N - 1 } \bigl ( 1 - A _ { 2 r } ^ { \prime \prime } ) \Bigr ) . } \end{array}
\mathbf { k } = k \big ( \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \phi ) , \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \phi ) , \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \theta ) \big )
\mathbf { F } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = \mathbf { F } _ { p } + \frac { \zeta \eta _ { s } ^ { 0 } } { \Pi _ { c } } \mathbf { F } _ { p } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { A } + \mathcal { O } ( \beta ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ } , \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } } ^ { + } = \frac { - 2 \zeta _ { + } ( 3 \zeta _ { + } - 2 ) ( \zeta _ { + } ( \zeta _ { + } ( k + 3 ) - k \sigma - 3 ) + 1 ) \pm 2 \sqrt { 3 } \sqrt { \zeta _ { + } ^ { 5 } ( 3 \zeta _ { + } - 2 ) ^ { 2 } k ( \zeta _ { + } - \sigma ) } } { ( 2 - 3 \zeta _ { + } ) ^ { 2 } \zeta _ { + } ^ { 2 } } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ } , \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } } ^ { - } = \frac { - 2 \zeta _ { - } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ( \zeta _ { - } ( \zeta _ { - } ( k + 3 ) + k \sigma + 3 ) + 1 ) \pm 2 \sqrt { 3 } \sqrt { \zeta _ { - } ^ { 5 } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ^ { 2 } k ( \zeta _ { - } + \sigma ) } } { \zeta _ { - } ^ { 2 } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 3 } ^ { 2 } } & { = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } { k _ { 3 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } } , } \\ { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } , } \\ { \omega _ { 4 } ^ { 2 } } & { = \frac { N ^ { 2 } ( k _ { 4 } ^ { 2 } + l _ { 4 } ^ { 2 } ) + f ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 2 } } { k _ { 4 } ^ { 2 } + l _ { 4 } ^ { 2 } + m _ { 4 } ^ { 2 } } . } \end{array}
0 = - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { n 0 , 0 0 } c _ { 0 0 } ( \omega ) - \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { n 0 , n ^ { \prime } 0 } c _ { n ^ { \prime } 0 } ( \omega ) .
\begin{array} { r l } { \langle v _ { k } , y _ { k + 1 } ^ { * } - y _ { k } ^ { * } \rangle } & { = \langle v _ { k } , \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle } \\ & { \quad + \langle v _ { k } , y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) - \nabla y ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle . } \end{array}
\left[ - \mathrm { M a } _ { c } ^ { ( f l ) } \epsilon ^ { 2 } \partial _ { k } ^ { 2 } + \alpha _ { 0 } \frac { ( k - k _ { c } ) ^ { 2 } } { 2 } \right] { a _ { + } [ k ] } = \delta \mathrm { M a } \; { a _ { + } [ k ] } \, , \
\begin{array} { r } { \mathcal { R } = \frac { M _ { s } } { 2 \gamma } \left[ \alpha ( \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \phi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) - 2 \tau \dot { \phi } \sin ^ { 2 } \theta \right] , } \end{array}
\partial _ { t } \Omega ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega ( t , \xi ) - g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \Omega ( t , \xi ) \geq C _ { d , \beta } g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \partial _ { \eta } \Omega ( t , \eta ) \eta ^ { \beta - 1 } d \eta , \quad ( t , \xi ) \in ( 0 , T ) \times ( 0 , \infty ) ,
\frac { d ^ { 2 } W } { d t d \xi } = \frac { \alpha } { \sqrt { 3 } \pi \tau _ { c } \gamma } \left[ \mathrm { I n t } K _ { 5 / 3 } + \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 - \xi } K _ { 2 / 3 } ( b ) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { S } _ { i } } { d t } = } & { - \gamma _ { \mathrm { L } } \mathbf { S } _ { i } \times \left( \mathbf { B } _ { i } + \mathbf { B } _ { i } ^ { \mathrm { f } } \right) } \\ & { - \gamma _ { \mathrm { L } } \alpha \mathbf { S } _ { i } \times \left[ \mathbf { S } _ { i } \times \left( \mathbf { B } _ { i } + \mathbf { B } _ { i } ^ { \mathrm { f } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } & { = \left( \mathcal { Q } ^ { + } x \right) _ { 2 } ( 0 ^ { + } ) = \left( \mathcal { Q } ^ { - } x \right) _ { 2 } ( 0 ^ { - } ) , } \\ { - e _ { I , \mathcal { Q } _ { 0 } x } } & { = \left( \mathcal { Q } ^ { + } x \right) _ { 1 } ( 0 ^ { + } ) - \left( \mathcal { Q } ^ { - } x \right) _ { 1 } ( 0 ^ { - } ) . } \end{array}
{ \cal F } _ { B \to D ^ { * } } ( 1 ) = h _ { A _ { 1 } } ( 1 ) = 0 . 9 1 3 { } _ { - 0 . 0 1 7 } ^ { + 0 . 0 2 4 } \pm 0 . 0 1 6 { } _ { - 0 . 0 1 4 } ^ { + 0 . 0 0 3 } { } _ { - 0 . 0 1 6 } ^ { + 0 . 0 0 0 } { } _ { - 0 . 0 1 4 } ^ { + 0 . 0 0 6 } ,
\widetilde { \mathcal { K } } _ { b , 1 } : = \check { L } _ { b } ( 0 ) \mathcal { K } _ { b , 1 } , \quad \widetilde { \mathcal { K } } _ { b , 2 } : = \check { L } _ { b } ( 0 ) \mathcal { K } _ { b , 2 } , \quad \widetilde { \mathcal { K } } _ { b } : = \check { L } _ { b } ( 0 ) \mathcal { K } _ { b } = \widetilde { \mathcal { K } } _ { b , 1 } \oplus \widetilde { \mathcal { K } } _ { b , 2 } .
2 r \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial f } { \partial r } \right) - 2 n ^ { 2 } f ( r ) [ a ( r ) - 1 ] ^ { 2 } - \lambda r ^ { 2 } f ( r ) [ f ^ { 2 } ( r ) - 1 ] = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal A _ { g , g } ( 0 , n \mathcal F ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T _ { g } } g ( t ) g ^ { * } ( t ) e ^ { - j 2 \pi n \mathcal F t } d t , } \\ & { = \sum _ { \dot { n } = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { \dot { n } \frac { \mathfrak T } { N } } ^ { ( \dot { n } + 1 ) \frac { \mathfrak T } { N } } g ( t ) g ^ { * } ( t ) e ^ { - j 2 \pi n \mathcal F t } d t , } \\ & { = \sum _ { \dot { n } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { - j 2 \pi \frac { n \dot { n } } { N } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \mathfrak T } { N } } g ( t ) g ^ { * } ( t ) e ^ { - j 2 \pi n \mathcal F t } d t , } \\ & { = \delta ( n ) , } \end{array}
N ( m , \delta , \lambda ) = { \frac { 1 } { ( \lambda ^ { 2 } - m ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } ) } } \left[ \pi \lambda ( \lambda ^ { 2 } + 3 m ^ { 2 } - 3 \delta ^ { 2 } ) - 2 ( 3 \lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \, F _ { 0 } ( m , \delta ) \right] \, .
\langle 0 | O _ { 8 } ^ { \psi } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) | 0 \rangle + { \frac { 7 } { M _ { c } ^ { 2 } } } ~ \langle 0 | O _ { 8 } ^ { \psi } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) | 0 \rangle = ( 0 . 0 2 0 \pm 0 . 0 0 1 ) ~ \mathrm { G e V } ^ { 3 } ,
\begin{array} { r } { \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } , 0 \right) \right) \varphi _ { 0 } e ^ { i S ( \mathbf { x } ) / \hbar } = 0 . } \end{array}
R _ { n , V } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ) = n \int _ { \mathbb { R } } d x _ { 2 } \dots \int _ { \mathbf { R } } d x _ { n } \, p _ { n , V } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } ) .
A ( r ) = 4 \pi r ^ { 2 } ( 1 - \frac { r _ { 0 } } { r } ) ^ { 1 - k } \; , \; \; \tilde { A } ( r ) = 4 \pi r ^ { 2 } ( 1 - \frac { r _ { 0 } } { r } ) ^ { 1 - k - b }
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } \boldsymbol { u } ^ { \star } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \mathsf { U } } + \rho _ { f } \boldsymbol { \mathsf { U } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ^ { \star } } & { = - \boldsymbol { \nabla } \mathsf { P } + \mu _ { f } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \mathsf { U } } + \rho _ { f } ( \boldsymbol { u } _ { f } ^ { \star } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \lambda } ) \boldsymbol { \mathsf { U } } } \\ & { \qquad - 2 \mu _ { f } \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \mathsf { U } } + \mu _ { f } ( \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \lambda } ) \boldsymbol { \mathsf { U } } + \boldsymbol { \lambda } \mathsf { P } \, } \\ { \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathsf { U } } } & { = \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathsf { U } } \, , } \\ { \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } + n _ { 1 } \boldsymbol { l } _ { 1 } ) \, , \qquad \mathsf { P } ( \boldsymbol { x } ) = \mathsf { P } ( \boldsymbol { x } + n _ { 1 } \boldsymbol { l } _ { 1 } ) \, , } \\ { \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 \qquad \mathrm { f o r } ~ ~ \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 0 } \, . } \end{array}