harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { B _ { 3 } ( z ) } & { = } & { 6 h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \left( - U _ { 3 } ( z ) + \frac { N - 2 } { N } U _ { 1 } U _ { 2 } ( z ) - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) } { 3 N ^ { 2 } } U _ { 1 } U _ { 1 } U _ { 1 } ( z ) \right. } \\ & { } & { + \frac { ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 } U _ { 2 } ^ { \prime } ( z ) - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 2 } U _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( z ) } \\ & { } & { \left. - \frac { ( N - 1 ) ( N - 2 ) \alpha _ { 0 } } { 2 N } U _ { 1 } ^ { \prime } U _ { 1 } ( z ) \right) , } \end{array}
\mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) = p _ { C } \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \mathcal { P } ( C \gets D ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { 1 0 0 } } { \partial x } + \frac { \partial v _ { 1 0 0 } } { \partial y } + \frac { \partial w _ { 1 0 0 } } { \partial z } } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ ( ~ c ~ o ~ n ~ t ~ i ~ n ~ u ~ i ~ t ~ y ~ ) ~ , ~ } } \\ { - \frac { \partial p _ { 1 0 0 } } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 0 0 } } { \partial z ^ { 2 } } } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ ( ~ x ~ - ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ ) ~ , ~ } } \\ { \frac { \partial p _ { 1 0 0 } } { \partial y } } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ ( ~ y ~ - ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ ) ~ , ~ } } \\ { \frac { \partial p _ { 1 0 1 } } { \partial z } } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ ( ~ z ~ - ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ ) ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 0 } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { 3 \left( 1 - 4 z ^ { 2 } \right) } { 2 } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial x } - \frac { \partial ^ { 2 } c _ { 0 0 1 } } { \partial z ^ { 2 } } } & { { } = 0 \quad { \mathrm { ~ ( ~ a ~ d ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ -- ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } . } \end{array}
\Psi _ { 0 } = 0 . 1 2 e ^ { ( - i \pi / 2 ) } | - 2 \rangle + 0 . 3 8 | - 1 \rangle + 0 . 3 8 | 0 \rangle + 0 . 1 2 e ^ { ( i \pi / 2 ) } | 1 \rangle
h = \big ( 1 - \frac 1 2 \, ( \partial _ { y } \psi ) ^ { 2 } \big ) \, \mathrm { d } x \otimes \mathrm { d } x + \partial _ { x } \psi \, \partial _ { y } \psi \, \mathrm { d } x \odot \mathrm { d } y + \big ( 1 - \frac 1 2 \, ( \partial _ { x } \psi ) ^ { 2 } \big ) \, \mathrm { d } y \otimes \mathrm { d } y \ .
\begin{array} { r l } { U _ { i i d } } & { = - [ ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) ^ { 2 } \delta _ { ( 1 ) } + ( a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ) z \delta _ { ( 2 ) } + \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } z ^ { 2 } \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } ] , } \\ { W _ { i i d } } & { = - [ a _ { 3 } ^ { 2 } \delta _ { ( 1 ) } - a _ { 4 } ^ { 2 } \theta \delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } + \frac { \theta ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } - a _ { 3 } a _ { 4 } \theta \delta _ { ( 2 ) } ] , } \\ { Z _ { i i d } } & { = - [ ( a _ { 5 } + a _ { 6 } ) ^ { 2 } \delta _ { ( 1 ) } + a _ { 5 } a _ { 6 } z \delta _ { ( 2 ) } + \frac { a _ { 6 } ^ { 2 } z ^ { 2 } \delta _ { ( 3 ) } } { 6 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } } & { { } = } & { \frac { \alpha - 1 } { \alpha + 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } } = \frac { 2 } { \alpha + 1 } \; , } \\ { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } } & { { } = } & { \frac { \beta - 1 } { \beta + 1 } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } = \frac { 2 } { \beta + 1 } \; , } \end{array}
J _ { 1 } \; = \; - \, { \displaystyle { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \displaystyle { \frac { d { \bf p } \, { \bf p } } { p _ { 0 } { \cal P } } } } \left[ F ^ { - } ( p _ { 0 } ) + F ^ { + } ( p _ { 0 } ) \right] \log \left( { \displaystyle { \frac { { \cal P } + { \bf p } } { { \cal P } - { \bf p } } } } \right) .
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } = } & { { } \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) d \varphi } \end{array}
+ I ^ { \lambda \rho \sigma \tau } \left( p _ { 2 } ^ { \nu } - p _ { 1 } ^ { \nu } \right) \left( p _ { 1 } ^ { \mu } - p _ { 3 } ^ { \mu } \right) + I ^ { \lambda \rho \mu \nu } \left( p _ { 1 } ^ { \sigma } - p _ { 3 } ^ { \sigma } \right) \left( p _ { 2 } ^ { \tau } - p _ { 1 } ^ { \tau } \right) + I ^ { \lambda \rho \sigma \nu } \left( p _ { 1 } ^ { \mu } - p _ { 3 } ^ { \mu } \right) \left( p _ { 2 } ^ { \tau } - p _ { 1 } ^ { \tau } \right)
\ \phi _ { \pi ^ { 0 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( u \bar { u } - d \bar { d } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi } \int \frac { e ^ { i k ( z _ { j } - z _ { j ^ { \prime } } ) } } { \omega - c | k | } d k = - i \frac { g ^ { 2 } } { c } e ^ { i \omega / c | z _ { j } - z _ { j ^ { \prime } } | } .
\mid T _ { \theta } \mid ^ { 2 } \approx e ^ { - 2 \sqrt { 2 m } \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } d x ( \sqrt { V ( x ) - E _ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \mid \theta ^ { 2 } \Delta E ^ { ( 1 ) } \mid ( V ( x ) - E _ { 0 } ) ^ { \frac { - 1 } { 2 } } ) } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { J } _ { 0 } ( k k _ { c } r ) } { k - 1 \pm \mathrm { i } \epsilon } \, \mathrm { d } k } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \pi } { 2 } C _ { 0 } \left( \left( - 1 \mp \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \pi } { 2 } \left[ - \mathrm { H } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) - \mathrm { Y } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) \mp 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { l } \sim } & { { } \, - \frac { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } ^ { l } } \sum _ { n m } { \bar { T } _ { n 0 } ^ { l } ( 0 ) T _ { n 0 } ^ { l } ( 0 ) ( \bar { T } ^ { l } ) _ { 0 m } ^ { - 1 } ( 0 ) ( T ^ { l } ) _ { 0 m } ^ { - 1 } ( 0 ) } } \end{array}
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \\ { B _ { x } } \\ { B _ { y } } \\ { P } \end{array} \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { q } _ { l } , \quad \mathrm { i f } \ x \leq 0 . 5 , } \\ { \mathbf { q } _ { r } , \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathbf { q } _ { l } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 7 5 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { q } _ { r } = \left[ \begin{array} { l } { 0 . 1 2 5 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 7 5 } \\ { - 1 } \\ { 0 . 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { O _ { D K } ^ { - } x ^ { - s } } & { { } = ( 1 - 2 ^ { 1 - s } ) \zeta ( s ) x ^ { - s } , \qquad R e [ s ] > 0 , } \\ { O _ { D K } ^ { + } x ^ { - s } } & { { } = ( 1 - 2 ^ { s } ) \zeta ( 1 - s ) x ^ { - s } , \qquad R e [ s ] < 1 . } \end{array}
\delta S _ { \mathrm { m i n } } = G \sqrt { \frac { N _ { \mathrm { r } } } { t _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } + \frac { N _ { \mathrm { l , r } } } { t _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } + \frac { N _ { \mathrm { n } } } { t _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } + \frac { N _ { \mathrm { l , n } } } { t _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } H ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } , P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) , p _ { t } ) - H ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } , \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) , p _ { t } ) d t \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \langle p _ { t } , P _ { h } \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { G , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { G } } ) - D \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ( u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } ) \rangle _ { H } d t \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } l ( t , x , u _ { t } ^ { G , h } ( x ) ) - l ( t , x , u _ { t } ^ { \hat { G } } ( x ) ) - \partial _ { u } l ( t , x , u _ { t } ^ { \hat { G } } ( x ) ) ( u _ { t } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } ) ( x ) d x \, d t \right] } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { T } \langle q _ { t } \sqrt { Q } , ( P _ { h } - I ) B \sqrt { Q } \rangle _ { L _ { 2 } ^ { 0 } } d t . } \end{array}
S _ { i n t } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - g } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } x e ^ { \widehat { \phi } / 2 } \sqrt { - \widehat { g } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { \mathrm { a } } } & { { } = - \frac { i } { \hbar } [ H _ { \mathrm { a } } , \rho _ { \mathrm { a } } ] + \frac { \Gamma ^ { \mathrm { B } } } { 2 } \mathcal { D } [ \sigma ^ { - } ] \rho _ { \mathrm { a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \widetilde { \Upsilon } ^ { M } ( g , A ; g _ { b } , A _ { b } ) } & { = \mathrm { t r } _ { g _ { 0 } } \delta _ { g _ { b } } ^ { * } ( A - A _ { b } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } g _ { 0 } ^ { \mu \nu } \Big ( \partial _ { \mu } ( A _ { \nu } - A _ { b , \nu } ) + \partial _ { \mu } ( A _ { \nu } - A _ { b , \nu } ) - 2 \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \kappa } ( g _ { 0 } ) ( A _ { \kappa } - A _ { b , \kappa } ) \Big ) \quad \mathrm { a t } \quad \Sigma _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \varphi _ { f } ^ { ( k ) } ( x ) - x ^ { k } | } & { = \left| \int _ { - x } ^ { x } K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } ( x , t ) t ^ { k } d t \right| \leqslant \left( \int _ { - x } ^ { x } \left| K _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } ( x , t ) \right| ^ { 2 } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \int _ { - x } ^ { x } | t | ^ { 2 k } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leqslant \sqrt { 2 b } \left\| K _ { \mathfrak { I } _ { N } ^ { f } } \right\| _ { L _ { \infty } ( \Omega ) } \sqrt { \frac { 2 } { 2 k + 1 } } x ^ { k + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
S _ { C 2 } = \sum _ { j , k \ge 0 } \frac { \left( k + j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( k + j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - ( \gamma + a ) n + ( - \gamma + b ) j - ( \gamma + a ) ( k + j ) } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
\frac { d \sigma } { d t } = 8 \, \pi ^ { 2 } \, \alpha \ \frac { x } { Q ^ { 2 } } \, \left[ - g _ { \mu \nu } \, \frac { d { \mathcal W } _ { p } ^ { \mu \nu \, ( 2 ) } } { d t } \right] \, ,
G ( z ; \rho _ { A } ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { n } \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n z } { T } \bigg ) + b _ { n } \sin { \bigg ( \frac { 2 \pi n z } { T } \bigg ) } } .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \cos \beta } \\ { \sin \beta } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \frac { E _ { x } } { A _ { x } } } \\ { \frac { \cos \delta } { \sin \delta } \frac { E _ { x } } { E _ { x } ^ { 0 } } - \frac { 1 } { \sin \delta } \frac { E _ { y } } { E _ { y } ^ { 0 } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( t ) \ \leq \ } & { \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \Gamma ( s ) g ( s ) d s + \frac { \Gamma ( t _ { 1 } ) E ( t _ { 1 } ) } { \Gamma ( t ) } \ = \ \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \Gamma ( s ) g ( s ) d s + \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 2 } } ^ { t } \Gamma ( s ) g ( s ) d s } \\ & { + \ \frac { \Gamma ( t _ { 1 } ) E ( t _ { 1 } ) } { \Gamma ( t ) } \ \leq \ \frac { \| x ^ { * } \| ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 1 } { \Gamma ( t ) } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \Gamma ( s ) g ( s ) d s - \frac { C _ { 2 } } { \Gamma ( t ) } + C \frac { \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } t ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) } { \delta t \Gamma ( t ) } \right) + \frac { \Gamma ( t _ { 1 } ) E ( t _ { 1 } ) } { \Gamma ( t ) } . } \end{array}
\dot { \Theta } ( \boldsymbol { q } ) = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \dot { \boldsymbol { q } } d \boldsymbol { x } = \int _ { \mathcal { D } } \nabla _ { \boldsymbol { q } } \Theta ( \boldsymbol { q } ) \cdot \mathcal { N } ( \boldsymbol { q } ) d \boldsymbol { x } = \Omega _ { n } .
\begin{array} { r l } { \varnothing _ { U } \to U \qquad } & { { } U \to \varnothing _ { U } } \\ { \Gamma _ { u \to u + 1 } = e ^ { - \beta ( V - c r ) } \Gamma _ { U } ^ { 0 } \quad \quad } & { { } \Gamma _ { u + 1 \to u } = ( u + 1 ) \Gamma _ { U } ^ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial U } { \partial R } = 0 , ~ \tau _ { R Z } = 0 ~ a t ~ R = 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d ~ ~ ~ } } \\ { U = U _ { s } ( Z ) = - \frac { \zeta E _ { Z } } { \mu _ { s } } \xi ( Z ) ~ \mathrm { a t } ~ R = h ( Z ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } q ^ { 3 m ^ { 2 } - 2 m } } \\ { = } & { \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { 3 ( k + 1 ) } { 2 } } ) \left[ \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { \frac { 6 k - 1 } { 4 } } ) ( 1 - q ^ { \frac { 6 k + 7 } { 4 } } ) + \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { \frac { 6 k - 1 } { 4 } } ) ( 1 + q ^ { \frac { 6 k + 7 } { 4 } } ) \right] } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 2 } } & { \cdots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 1 } } & { \cdots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 2 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { p - 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { p - 2 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { p - 3 } } & { \cdots } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { A } _ { 1 } } \\ { \mathbf { A } _ { 2 } } \\ { \mathbf { A } _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { A } _ { p } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { \Gamma } _ { 1 } } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 2 } } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 3 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { p } } \end{array} \right]
{ \cal G } = M _ { a b } d { \bf x } _ { a } \cdot d { \bf x } _ { b } + ( M ^ { - 1 } ) _ { a b } ( d \xi _ { a } + { \bf W } _ { a c } \cdot d { \bf x } _ { c } ) ( d \xi _ { b } + { \bf W } _ { b d } \cdot d { \bf x } _ { d } ) ,
\sum _ { j = 1 } ^ { n } \left[ Q _ { j } - \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } - { \frac { \partial T } { \partial q _ { j } } } \right) \right] \delta q _ { j } = 0 \, ,
r _ { \mathrm { f a c t } } = 0 . 1 8 \times a _ { 1 } \times \left[ \frac { | V _ { u b } | } { 3 . 2 \times 1 0 ^ { - 3 } } \right] \sqrt { \left[ \frac { 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 5 } } { B ( B ^ { \pm } \to \pi ^ { \pm } K ) } \right] \times \left[ \frac { \tau _ { B _ { u } } } { 1 . 6 \, \mathrm { p s } } \right] } .
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { L } ( u ) - \mathcal { L } ( v ) \Vert _ { \mathbf { E } _ { T , \lambda } } ^ { 2 } } & { { } : = \underset { 0 \leq t \leq T } { \operatorname* { s u p } } e ^ { - \lambda t } \mathbb { E } \Bigg \Vert \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) ( \mathcal { F } ( u ( s ) ) - \mathcal { F } ( v ( s ) ) ) d s } \end{array}
\Sigma ^ { a b } = \frac { 1 } { 4 } ( \gamma ^ { a } \gamma ^ { b } - \gamma ^ { b } \gamma ^ { a } ) = \frac { 1 } { 4 } \left( \begin{array} { c c } { { \sigma ^ { a } \bar { \sigma } ^ { b } - \sigma ^ { b } \bar { \sigma } ^ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \bar { \sigma } ^ { a } \sigma ^ { b } - \bar { \sigma } ^ { b } \sigma ^ { a } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } ^ { \pm W _ { i } ( x ) } } & { = 1 \pm { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) \mathrm { P e } \pm { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) \Delta \varphi } \\ & { + [ { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) ^ { 2 } \pm { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 2 } ( x ) ] \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { + [ { W _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) \pm { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 1 } ( x ) ] ( \mathrm { P e } ) ( \Delta \varphi ) } \\ & { + [ { W _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) ^ { 2 } \pm { W _ { i } } _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) ] \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 2 } } { 2 } + \cdots . } \end{array}
u ^ { \beta ( \alpha ) } ( \vec { p } \, ) = ( - 1 ) ^ { \alpha } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 5 } u ^ { \alpha * } ( \vec { p } \, ) \, , \qquad \mathrm { a n d } \qquad e _ { \mu } ^ { - \ell } ( \vec { q } ) = e _ { \mu } ^ { \ell * } ( \vec { q } \, ) \, ,
A _ { 2 } ^ { 2 } = A _ { 3 } ^ { 3 } = A _ { 4 } ^ { 4 } = A _ { 5 } ^ { 5 } = \frac { B _ { 1 } ^ { 1 } } 4 - \frac { A _ { 1 } ^ { 1 } } 2 - \left( B _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { B _ { 1 } ^ { 1 } } 2 \right) \ln ( \mu r ) \ .
B _ { \mu N \to e N } = \frac { 2 G _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } V ^ { ( p ) 2 } ( | \tilde { g } _ { L V } ^ { ( p ) } | ^ { 2 } + | \tilde { g } _ { R V } ^ { ( p ) } | ^ { 2 } ) } { \omega _ { \mathrm { c a p t } } } .
\begin{array} { r l r } { E _ { 0 } \quad = \quad ( 0 , 0 , 0 ) \mathrm { , ~ } \quad E _ { 1 } } & { = } & { ( 1 , 0 , 0 ) \mathrm { , ~ } \quad E _ { 2 } \quad = \quad ( 0 , 1 , 0 ) \mathrm { , ~ } } \\ { E _ { 5 } \quad = \quad ( 0 . 2 0 2 4 1 8 , 0 , 0 . 0 8 0 0 8 1 1 ) \mathrm { , ~ } } & { } & { E ^ { * } \quad = \quad ( 0 . 1 1 9 6 9 , 0 . 8 1 3 8 5 7 , 0 . 0 0 6 6 6 1 1 6 ) . } \end{array}
I _ { T \to T } ^ { ( c ) } = - \left[ ( \vec { e } \vec { V } ^ { * } ) ( m ^ { 2 } + \vec { k } \vec { k } _ { 1 } ) + ( \vec { V } ^ { * } \vec { k } ) ( \vec { e } \vec { k } _ { 1 } ) ( 1 - 2 z ) ^ { 2 } - ( \vec { e } \vec { k } ) ( \vec { V } ^ { * } \vec { k } _ { 1 } ) \right] \, .
\begin{array} { r } { \phi ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \, \int \frac { \left[ \rho _ { \mathrm { e x t } } + \rho _ { \mathrm { e } } + \rho _ { \mathrm { i o n } } + \rho _ { \mathrm { d i e l } } \right] ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } } \end{array}
S = \frac { \pi u } { \lambda ^ { 2 / 3 } } \left[ \frac { | m ^ { i } + \tau n ^ { i } + \omega p ^ { i } | ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } } + \lambda ^ { 2 } \left( p ^ { i } \right) ^ { 2 } \right] - \pi u ^ { 3 } + 2 \pi i C _ { i j k } m ^ { i } n ^ { j } p ^ { k } \, ,
| \tilde { K } _ { \epsilon } ( R , R ^ { \prime } , Z , Z ^ { \prime } ) | \, \le \, C \epsilon \bigl ( | R | + | R ^ { \prime } | \bigr ) \Bigl ( \beta _ { \epsilon } + 1 + \log \frac { 8 } { D } \Bigr ) + \mathcal { O } \bigl ( \beta _ { \epsilon } \epsilon ^ { 2 - 2 \sigma _ { 1 } } \bigr ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \textrm { S } } ( t ) = } & { i [ H _ { \textrm { s } } ( t ) , \sum _ { j } \mathbf { R } _ { j } S _ { j } ^ { z } ( t ) ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } \textrm { s g n } ( \sigma ) \frac { \partial \epsilon _ { a b } ( \mathbf { k } , t ) } { \partial \mathbf { k } } c _ { \mathbf { k } a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { \mathbf { k } b \sigma } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \alpha } & { - \sin \alpha } \\ { 0 } & { \sin \alpha } & { \cos \alpha } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } & { 0 } \\ { \sin \gamma } & { \cos \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } u } & { { } = } & { - a \partial _ { x } u + \nu \partial _ { x } ^ { 2 } u + | \lambda ^ { \prime } | \sum _ { k } \epsilon _ { k } ( \Delta x ) ^ { 2 k - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 k } u - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta t ) \partial _ { t } ^ { 2 } u + \dots } \end{array}
\frac { d } { d t } c ^ { N } = - \nu ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } D \cdot c ^ { N } - ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } \left( \mathcal { N } ^ { N } : c ^ { N } \otimes c ^ { N } \right) - 2 \lambda ( R ^ { N } ) ^ { - 1 } S ^ { N } ( t , c ^ { N } ) ,
\dot { \bar { \xi } } = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 0 } \left( \exp \left( \frac { - \alpha \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) - \exp \left( \frac { ( 1 - \alpha ) \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) \right) , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad 0 < \bar { \xi } < 1 , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \bar { \xi } = 1 . } \end{array} \right.
T = \frac { \displaystyle \frac { 1 } { R _ { \infty } } - R _ { \infty } } { \displaystyle e ^ { \alpha t } \frac { 1 } { R _ { \infty } } - e ^ { - \alpha t } R _ { \infty } } = \frac { b } { a \sinh { \alpha t } + b \cosh { \alpha t } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { T } - \theta ^ { * } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { \leq \left( 1 - \alpha \omega ( 1 - \gamma ) \right) ^ { T - \tau } \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { \tau } - \theta ^ { * } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] + 2 7 7 7 \alpha ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \tau G ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \alpha \omega ( 1 - \gamma ) \right) ^ { k } } \\ & { = \left( 1 - \alpha \omega ( 1 - \gamma ) \right) ^ { T - \tau } \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { \tau } - \theta ^ { * } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] + 2 7 7 7 \frac { \alpha \tau \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } } { \omega ( 1 - \gamma ) } . } \end{array}
\Delta K _ { W W } ^ { q \tilde { q } l \tilde { l } } = - \frac { 4 g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \frac { f x ( 2 x - 1 ) } { f - x ( 1 - x ) }
\begin{array} { r l r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { { } = } & { \frac { \epsilon } { 2 } \omega | A _ { 0 } | ^ { 2 } \left( - \frac { m } { r } \sin \phi , \frac { m } { r } \cos \phi , k _ { n _ { 0 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \hat { x } _ { 0 } } \mathcal { J } ( \hat { { x } } _ { 0 } , \hat { { x } } _ { 1 } ) = \nabla _ { \hat { x } _ { 0 } } \mathcal { H } ( \hat { { x } } _ { 0 } ) } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \varphi ) \| { z } \| ^ { 2 } , c \big \} \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } } \\ & { \cdot \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( { z } + \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } ( { z } + \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) \right) } \\ & { \cdot \left[ - { \Sigma } ^ { - 1 } ( { z } + \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) \right] \mathrm { d } { z } . } \end{array}
v _ { R } / { \lambda _ { 1 } s _ { D } } \simeq 1 0 ^ { - 6 } , \qquad v _ { R } / { \lambda _ { 2 } s _ { D } } \simeq 1 0 ^ { - 3 } , \qquad v _ { R } / { \lambda _ { 3 } s _ { D } } \simeq 1 0 ^ { - 2 } .
\mathrm { d i s t } ( \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } \setminus ( B _ { r } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) \cup B _ { r } ( P _ { 0 } ^ { 2 } ) ) , \, \Gamma _ { \mathrm { { s y m } } } ) > C _ { 2 } ^ { - 1 } \, .