harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \theta } } } & { { } = { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { \theta } } } } \right) } \\ { - m g r \sin { \theta } } & { { } = 2 m r { \dot { r } } { \dot { \theta } } + m r ^ { 2 } { \ddot { \theta } } } \\ { r { \ddot { \theta } } + 2 { \dot { r } } { \dot { \theta } } + g \sin { \theta } } & { { } = 0 } \end{array}
K ( t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \kappa _ { i } e ^ { - t / \tau _ { i } } \Longrightarrow M \frac { d \hat { v } ( t ) } { d t } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \hat { u } _ { k } ( t ) , \frac { d \hat { u } _ { k } ( t ) } { d t } = - \frac { \hat { u } _ { k } ( t ) } { \tau _ { k } } - \kappa _ { k } \hat { v } ( t ) + \sqrt { \frac { 2 \kappa _ { k } T } { \tau _ { k } } } \hat { \xi } _ { k } ^ { \mathrm { G } } ( t )
\widehat { \Delta } _ { 1 } ( \lambda ) = \frac { \widehat { \Delta } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } { \lambda - \lambda _ { 0 } } + \mathcal { O } ( 1 ) , \qquad \widehat { \Delta } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = \frac { 2 ^ { - 5 / 2 } s _ { - 1 } } { \sqrt { \pi } ( 3 \lambda _ { 0 } ) ^ { 1 / 4 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - \sqrt { 3 \lambda _ { 0 } } } \\ { 1 / \sqrt { 3 \lambda _ { 0 } } } & { - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { d \| u _ { n } \| ^ { p } = } & { - \frac p n \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| \nabla u _ { n } \| ^ { 2 } \| u _ { n } \| ^ { p - 2 } d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac p 2 \| \sigma ( u _ { n } ) \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \| u _ { n } \| ^ { p - 2 } d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac { p ( p - 2 ) } { 2 } \left\langle \sigma ( u _ { n } ) , u _ { n } \right\rangle ^ { 2 } \| u _ { n } \| ^ { p - 4 } d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) p \left\langle \sigma ( u _ { n } ) , u _ { n } \right\rangle \| u _ { n } \| ^ { p - 2 } d W , } \end{array}
Y ^ { \mathrm { d i l } } ( \eta ) = Y ^ { \mathrm { G R } } ( \eta ) - 0 . 2 2 { \frac { \partial \ln X } { \partial \ln B ^ { - 1 } } } \kappa ( \varphi _ { \mathrm { r a d } } - \varphi _ { m } ) ^ { 2 } \ ,
- \sigma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } \Big ( X _ { \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } } ( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } ) - \beta \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - 2 \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } \Big ) \longrightarrow \mathfrak { h } ( \mathbf { t } , \mathbf { x } ; \mathfrak { h } _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \b x ( \b \chi , t ) } & { { } = \b \chi + A \sin \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { G } } \right) \left( \sin \left( 2 \pi \frac { \chi _ { 2 } + L / 2 } { L } \right) , \sin \left( 2 \pi \frac { \chi _ { 1 } + L / 2 } { L } \right) \right) , } \\ { \b w ( \b \chi , t ) } & { { } = \frac { \partial \b x } { \partial t } , } \end{array}
W _ { 0 } ( x ) ^ { 2 } = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \frac { - 2 \left( - n \right) ^ { n - 3 } } { ( n - 2 ) ! } } x ^ { n } = x ^ { 2 } - 2 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 4 } - { \frac { 2 5 } { 3 } } x ^ { 5 } + 1 8 x ^ { 6 } - \cdots .
\varphi _ { i , j } ( f , M ) : = \varphi _ { i } ( \varphi _ { j } ( f , \cdot ) , M ) = \sum _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ } S \subset M } \gamma ( s , m ) \left[ \varphi _ { j } ( f , S \cup X _ { i } ) - \varphi _ { j } ( f , S ) \right] \, .
\left[ \frac { 1 } { \omega } ( A _ { N - 6 } b ^ { 6 } ) ^ { 5 / 8 } \right] ^ { 6 } = \frac { ( A _ { N - 6 } b ^ { 6 } ) ^ { 6 } } { b ^ { 4 N } } \quad \Rightarrow \quad b ^ { 4 N } = 1 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S E } _ { S _ { r e s i d u a l } } } & { = \frac { 1 } { q } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \left| \frac { d { S } ( t _ { i } ) } { d t _ { i } } + \frac { \beta { S } ( t _ { i } ) { I } ( t _ { i } ) } { N } \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { I _ { r e s i d u a l } } } & { = \frac { 1 } { q } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \left| \frac { d { I } ( t _ { i } ) } { d t _ { i } } - \frac { \beta { S } ( t _ { i } ) { I } ( t _ { i } ) } { N } + \gamma I ( t _ { i } ) \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { R _ { r e s i d u a l } } } & { = \frac { 1 } { q } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \left| \frac { d { R } ( t _ { i } ) } { d t _ { i } } - \gamma I ( t _ { i } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \left[ \frac { \partial } { \partial y _ { j } } ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } ) _ { k i } \frac { \partial T _ { j } } { \partial x _ { i } } \right] } & { = \sum _ { i , j , l = 1 } ^ { d } \left[ \mathbf { D } _ { l i } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { k } } { \partial y _ { j } \partial x _ { l } } \frac { \partial T _ { j } } { \partial x _ { i } } \right] = \sum _ { i , l = 1 } ^ { d } \left[ \mathbf { D } _ { l i } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { k } } { \partial x _ { i } \partial x _ { l } } \right] } \\ & { = \sum _ { i , l = 1 , i > l } ^ { d } \mathbf { D } _ { l i } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } T _ { k } } { \partial x _ { i } \partial x _ { l } } - \frac { \partial ^ { 2 } T _ { k } } { \partial x _ { l } \partial x _ { i } } \right] = 0 . } \end{array}
m _ { Q } ( \mu _ { Q } ^ { 2 } ) = m _ { Q } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { Q } ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { Q } ^ { 2 } ) } \right] ^ { 1 2 / ( 3 3 - 2 N _ { F } ) } \{ 1 + { \cal O } ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \}
\begin{array} { r l } { I _ { p _ { i } } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \tau \Big ( \left( \mathcal { X } - 3 \mathcal { A } ^ { 2 } \right) \mathcal { A } _ { p _ { i } } \left[ 2 v _ { r } \cos ( \Phi ) + 2 v _ { i } \sin ( \Phi ) \right] } \\ & { - \mathcal { A } \mathcal { A } _ { p _ { i } } \left[ 2 v _ { r } ^ { 2 } \cos ( 2 \Phi ) - 2 v _ { i } ^ { 2 } \cos ( 2 \Phi ) + 4 v _ { i } v _ { r } \sin ( 2 \Phi ) \right] } \\ & { + \left( \mathcal { X } - \mathcal { A } ^ { 2 } \right) \mathcal { A } \Phi _ { p _ { i } } \left[ 2 v _ { r } \cos ( \Phi ) - 2 v _ { i } \sin ( \Phi ) \right] } \\ & { - \mathcal { A } ^ { 2 } \Phi _ { p _ { i } } \left[ 2 v _ { i } ^ { 2 } \sin ( 2 \Phi ) - 2 v _ { r } ^ { 2 } \sin ( 2 \Phi ) + 4 v _ { i } v _ { r } \cos ( 2 \Phi ) \right] \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { B _ { n } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } { \binom { n - 1 } { k } } { \frac { n } { 4 ^ { n } - 2 ^ { n } } } E _ { k } } & { n } & { = 2 , 4 , 6 , \ldots } \\ { E _ { n } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \binom { n } { k - 1 } } { \frac { 2 ^ { k } - 4 ^ { k } } { k } } B _ { k } } & { n } & { = 2 , 4 , 6 , \ldots } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) = \prod _ { i = 1 } ^ { d } \frac { 1 } { a _ { n } } K _ { i } \Big ( \frac { x _ { i } - u _ { i } } { a _ { n } } \Big ) , } \\ & { \phi ( x ) = \frac { \int a _ { n } ^ { d } \big ( \mathbb { k } ^ { ( n ) } ( u , x ) \big ) ^ { 2 } \, \lambda ( \mathrm { d } u ) } { g ( x ) } = \frac { \int \prod _ { i = 1 } ^ { d } K _ { i } ( u _ { i } ) ^ { 2 } \, \lambda ( \mathrm { d } u ) } { g ( x ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f \star g ) ( x , p ) } & { { } = f \left( x + { \frac { i \hbar } { 2 } } { \overrightarrow { \partial } } _ { p } , p - { \frac { i \hbar } { 2 } } { \overrightarrow { \partial } } _ { x } \right) \cdot g ( x , p ) } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \exp ( { \cal K } _ { 0 } ( Q - 1 ) ) - 1 } } & { { = } } & { { ( f _ { 0 } + Q ^ { - 1 / 2 } f _ { 1 } ) ( Q - 1 ) \; , } } \\ { { \exp ( { \cal K } _ { 1 } ( Q - 2 ) ) - 1 } } & { { = } } & { { Q ^ { - 1 / 2 } f _ { 1 } ( Q - 2 ) \; . } } \end{array}
{ Q } _ { f } \propto \mathrm { ~ P ~ } _ { f } \exp \left( { - \frac { 1 } { 2 } \int \| f ( x ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } A ( x ) - 2 \langle f ( x ) , B ( x ) \rangle _ { \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { ~ d ~ } x \right) ,
S _ { G } [ A ] \; = \; \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \mu \nu } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } \lambda \Big ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ( x ) \Big ) ^ { 2 } \right] \; .
\begin{array} { r l } { G ( t ) } & { { } = \frac { ( 1 + \langle Z \rangle ) B ^ { 2 } } { \bar { n } \langle m _ { i } \rangle } \left( 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \Delta y } { \pi r } \right) ^ { N + 1 } \right] \frac { \pi r } { \Delta y } \frac { t _ { 0 } } { R _ { A } } + \frac { t } { R _ { \mathrm { e f f } } } \right) } \end{array}
\Omega _ { i \, m i n } = \omega _ { i } - \sqrt { \omega _ { i } ^ { 2 } - g _ { t t } / g _ { \phi _ { i } \phi _ { i } } } , \ \ \ \ \ \ \Omega _ { i \, m a x } = \omega _ { i } + \sqrt { \omega _ { i } ^ { 2 } - g _ { t t } / g _ { \phi _ { i } \phi _ { i } } } ,
\begin{array} { r } { \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { c u t } } } { \Omega \theta _ { \nu \lambda \omega } } \frac { 2 ^ { l _ { \mu \kappa } } \pi ^ { 5 / 2 } f _ { l _ { \mu \nu \kappa \lambda } } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } N _ { \lambda } e ^ { - s ^ { * } } \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { 3 / 2 } ( \theta _ { \nu \lambda \omega } R _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { l _ { \mu \nu } + l _ { \kappa \lambda } - 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa \lambda } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } } \alpha _ { \lambda } ^ { l _ { \lambda } } } < \tau . } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { 0 } ^ { D } \frac { 1 } { D } \sqrt { \sum _ { B \in \{ N , P , Z , D , D I C , T A \} } \frac { 1 } { \sigma _ { B } } | B ^ { p r e d } ( z , T _ { i } ) - B ^ { t r u e } ( z , T _ { i } ) | } d z
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } f _ { \theta } ( x ) } & { = - \theta f _ { \theta } ( x ) \left( \left( 1 - \frac { \theta \sigma ^ { 2 } } { 2 } \right) \left| \nabla U ( x ) \right| ^ { 2 } - \frac { \theta \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta U ( x ) \right) } \\ & { \le - \theta M f _ { \theta } ( x ) - \theta f _ { \theta } ( x ) \left( \left( 1 - \frac { \theta \sigma ^ { 2 } } { 2 } \right) \left| \nabla U ( x ) \right| ^ { 2 } - \frac { \theta \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta U ( x ) \right) 1 _ { { \cal C } _ { M } } ( x ) , } \end{array}
x \in \Big [ \sum _ { n = 1 } ^ { k } \frac { b _ { n } } { \beta ^ { n } } , \sum _ { n = 1 } ^ { k } \frac { b _ { n } } { \beta ^ { n } } + \sum _ { n \ge k + 1 } \frac 1 { \beta ^ { k } } \Big ] = \Big [ \sum _ { n = 1 } ^ { k } \frac { b _ { n } } { \beta ^ { n } } , \sum _ { n = 1 } ^ { k } \frac { b _ { n } } { \beta ^ { n } } + \frac 1 { \beta ^ { k } ( \beta - 1 ) } \Big ] .
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } k _ { n } } \\ { B } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } k _ { n } ^ { 2 } } \\ { C } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } k _ { n } . } \end{array}
\delta H _ { \gamma } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta H _ { \gamma } ( R ) } & { r < R , } \\ { \frac { q Q } { 4 \pi M _ { \gamma } } \left( \frac { - \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } } { r } + \frac { B } { 2 r ^ { 2 } } + \frac { Q ^ { 2 } } { 1 9 2 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 3 } } \right) } & { r \geq R , } \end{array} \right.
\rho _ { X , Y } = \operatorname { c o r r } ( X , Y ) = { \frac { \operatorname { c o v } ( X , Y ) } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } } = { \frac { \operatorname { E } [ ( X - \mu _ { X } ) ( Y - \mu _ { Y } ) ] } { \sigma _ { X } \sigma _ { Y } } }
\begin{array} { r l r } { \xi _ { x } ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] H _ { 0 } ( \alpha _ { y } u ) } \\ { \xi _ { y } ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) [ H _ { 0 } ( \alpha _ { y } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { y } u ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { n } \cdot \big ( \nabla f ^ { t _ { n } } ( x _ { n } ) - t _ { n } \nabla f ( 0 ) \big ) = } & { \sqrt { 1 - t _ { n } ^ { 2 } } \lvert x _ { n } \rvert \partial _ { \hat { x } _ { n } } \Tilde { f } ( x _ { n } ) + t _ { n } \lvert x _ { n } \rvert ^ { 2 } \partial _ { \hat { x } _ { n } } ^ { 2 } f ( 0 ) + t _ { n } \frac { \lvert x _ { n } \rvert ^ { 3 } } { 2 } \partial _ { \hat { x } _ { n } } ^ { 3 } f ( \theta _ { n } ^ { \prime } x _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf U } _ { S } \, { \sf H } ^ { \dagger } ( k ) \, { \sf U } _ { S } ^ { - 1 } } & { = + { \sf H } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { S } \, { \sf D } ^ { \dagger } ( k ) \, { \sf U } _ { S } ^ { - 1 } } & { = + { \sf D } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { S } \, { \sf P } ^ { \dagger } ( k ) \, { \sf U } _ { S } ^ { - 1 } } & { = + { \sf P } ( k ) . } \end{array}
K _ { 1 } = - i e t _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 L _ { 1 } } \left( \frac { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) } { \vartheta _ { 1 } ( \bar { t } ) } - \frac { \vartheta _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } { \vartheta _ { 1 } ( t ) } \right) ,
X ( Y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { - 1 } \left( Y e ^ { Y } \right) - W _ { 0 } \left( Y e ^ { Y } \right) = Y - W _ { 0 } \left( Y e ^ { Y } \right) } & { { \mathrm { f o r ~ } } Y < - 1 , } \\ { W _ { 0 } \left( Y e ^ { Y } \right) - W _ { - 1 } \left( Y e ^ { Y } \right) = Y - W _ { - 1 } \left( Y e ^ { Y } \right) } & { { \mathrm { f o r ~ } } - 1 < Y < 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { ( r + 1 ) \alpha ^ { r } ( 1 - \alpha ) ( 1 - ( 1 + z ) / 2 ) ^ { - ( r + 2 ) } } & { = \left( \alpha ^ { r } ( 1 - \alpha ) ( 1 - x ) ^ { - ( r + 1 ) } \right) ^ { \prime } \Big | _ { x = \frac { 1 + z } { 2 } } } \\ & { \geqslant \sigma _ { \alpha } ^ { \prime } \Big ( \frac { z + 1 } { 2 } \Big ) \geqslant \frac { \sigma _ { \alpha } ( y ) - \sigma _ { \alpha } ( z ) } { y - z } = \frac { ( \log 4 ) s ^ { r } } { y - z } . } \end{array}
{ \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } \! \theta } } \, \tan \theta = 1 + { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } } = { \frac { \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta } { \cos ^ { 2 } \theta } } = { \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \theta } } = \sec ^ { 2 } \theta \, .
( C \Gamma ^ { \mu _ { 6 } } ) _ { \alpha { ' } \beta { ' } } ( C \Gamma _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 6 } } ) _ { \delta { ' } \epsilon { ' } } = ( C \Gamma ^ { \mu _ { 6 } } ) _ { \alpha { ' } \beta { ' } } ( C \Gamma _ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { 5 } } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \delta { ' } \lambda } { ( \Gamma _ { 1 1 } \Gamma _ { \mu _ { 6 } } ) ^ { \lambda } } _ { \epsilon { ' } }
\begin{array} { r l } { \Bar { L } ^ { r } V ( x ) } & { = \left( \frac { d m \beta } { 4 } + \frac { \left( m \beta \right) ^ { 2 } } { 1 6 } \left| x \right| ^ { 2 } - \frac { m \beta ^ { 2 } } { 4 } \left\langle \nabla \Bar { U } _ { r } \left( x \right) , x \right\rangle \right) V ( x ) } \\ & { \le \left( \frac { d m \beta } { 4 } + \frac { \left( m \beta \right) ^ { 2 } } { 1 6 } \left| x \right| ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 8 } \left| x \right| ^ { 2 } + \frac { m \beta ^ { 2 } } { 4 } \left( b + m \right) \right) V ( x ) } \\ & { = \left( \frac { m \beta \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { 4 } - \frac { m ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } { 1 6 } | x | ^ { 2 } \right) V ( x ) . } \end{array}
\left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } \leq d \left\lVert E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ^ { n } = d \rho _ { \epsilon } ^ { n } ,
S _ { L , t } = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { L } ^ { \ast } ( t ) + \frac { t - t _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } { t ^ { \prime } - t _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } ( S _ { L , t ^ { \prime } } - S _ { L } ^ { \ast } ( t ^ { \prime } ) ) } & { t < t ^ { \prime } } \\ { S _ { L } ^ { \ast } ( t ) + S _ { L , t ^ { \prime } } - S _ { L } ^ { \ast } ( t ^ { \prime } ) } & { t > t ^ { \prime } } \\ { S _ { L , t ^ { \prime } } } & { t = t ^ { \prime } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { = } & { \pi _ { M s } + \delta \pi _ { s } } \\ & { = } & { n _ { M s } T _ { s } \left[ 1 - \alpha _ { s } A - \alpha _ { s } \frac { C } { M _ { s } } T _ { s } \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \\ & { } & { - 2 \alpha _ { s } \frac { C } { M _ { s } } n _ { M s } T _ { s } ^ { 2 } \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } , } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { m } ( 0 ) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi \langle T p ^ { 2 } \rangle } \right) \sum _ { \overline { { \mu } } , \overline { { \nu } } } W _ { { \mu } { \nu } } ^ { \alpha \beta } \, ( \phi _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ^ { \alpha \beta } p ) , } \end{array}
d { \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { \rho ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } ) d V } { ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } ^ { \prime }
\mathbf { f } ( \mathbf { x } + \mathbf { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t ) = \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) - \Omega \left[ \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { f } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( \mathbf { x } , t ) \right] + \mathbf { F } ( \mathbf { x } , t ) \Delta t ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ( \delta \phi ) } & { { } \equiv } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } } _ { 1 } , \delta \phi ) = \exp \left( - i { \sigma } _ { 3 } \left( \frac { \delta \phi } { 2 } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \operatorname* { m i n } _ { ( x , w ) \in F } \: \: } & & { c ^ { \textup { T } } x + d ^ { \textup { T } } w } \\ & { \quad \: \mathrm { s . t . } } & & { ( x _ { i } , x _ { j } , w _ { i j } ) \in \mathcal { P M R } _ { i j } ^ { B } ( \mathcal { P } _ { i } , \mathcal { P } _ { j } ) , \quad \forall ( i , j ) \in \mathcal { B } , } \\ & { } & & { ( x _ { k } , w _ { k k } ) \in \mathcal { P M R } _ { k } ^ { Q } ( \mathcal { P } _ { k } ) , \quad \forall k \in \mathcal { Q } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } ( a _ { x } , a _ { y } , a _ { z } ) | _ { L o n g , r o u n d } } & { = } & { \Delta \nu _ { x , S C } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { z } ^ { 2 } u } { 4 } \right) } \\ & { } & { \times \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] I _ { 0 } \left( \frac { a _ { y } ^ { 2 } } { 4 } u \right) } \end{array}
2 \bar { F } _ { 3 } \star F _ { 3 } = \frac { 4 } { \eta + \bar { \eta } } [ ( H _ { 1 } - \mathrm { i } \, \bar { \eta } \, H _ { 2 } ) \star ( H _ { 1 } + \mathrm { i } \, \eta \, H _ { 2 } ) ] .
\begin{array} { r } { H ( \xi , \phi ) = \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { J } _ { \phi } ( \xi - \theta ) + ( 1 - \mathcal { J } _ { \phi } ) ( - C \theta ) } \\ { \mathcal { J } _ { \phi } ( \xi - \psi - 1 ) + ( 1 - \mathcal { J } _ { \phi } ) ( - \psi ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( L , \tau | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial \tau } } & { = \frac { \partial } { \partial L } \left[ \left( f ( L ) - D \frac { \partial } { \partial L } \log P ^ { \mathrm { f w } } ( L , T - \tau | \widehat { L } _ { f } , 0 ) \right) P ( L , \tau | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \\ & { \ \ \ + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } P ( L , \tau | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } } & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } \delta _ { \mathbf { A } , \mathbf { A } ^ { * } } \ln Z _ { \mathbf { A } } } \\ & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln Z _ { \mathbf { A } ^ { * } } = \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } ; } \end{array}
\tilde { a } ( x , t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { a ( x , t ) } { d _ { \Gamma } ( x , t ) } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( x , t ) \in \Gamma ( 3 \delta ) \setminus \Gamma , } \\ { \partial _ { \mathbf { n } } a ( x , t ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } ( x , t ) \in \Gamma } \end{array} \right.
{ \frac { 1 } { \pi } } = { \frac { 1 2 } { 6 4 0 3 2 0 ^ { 3 / 2 } } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 6 k ) ! ( 1 6 3 \cdot 3 3 4 4 4 1 8 k + 1 3 5 9 1 4 0 9 ) } { ( 3 k ) ! \left( k ! \right) ^ { 3 } \left( - 6 4 0 3 2 0 \right) ^ { 3 k } } }
\begin{array} { r l } { A ( } & { m _ { 2 } , \varepsilon _ { 2 } , \lambda _ { i c } , \lambda _ { 3 } ) = } \\ & { \frac { \lambda _ { i c } \lambda _ { 3 } \varepsilon _ { 2 } ( m _ { 2 } + 1 ) } { \mu m _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { ( m _ { 2 } + 1 ) } { \mu } \left[ \frac { \lambda _ { i c } \varepsilon _ { 2 } } { m _ { 2 } } + \frac { \lambda _ { i c } ^ { 2 } \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ & { + \frac { ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) ( 2 m _ { 2 } + 1 ) \lambda _ { i c } } { 2 m _ { 2 } } A ( m _ { 2 } , \varepsilon _ { 2 } , \lambda _ { i c } , \lambda _ { 3 } ) ~ . } \end{array}
\int \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } d X _ { i } e ^ { i K _ { i } X _ { i } } \prod _ { i = 3 } ^ { 4 } d X _ { i } e ^ { - i K _ { i } X _ { i } } \langle T \psi _ { } ^ { \dagger } ( X _ { 3 } ) \psi _ { } ^ { \dagger } ( X _ { 4 } ) \psi _ { } ( X _ { 1 } ) \psi _ { } ( X _ { 2 } ) \rangle =
a r g \operatorname* { m i n } _ { \xi _ { j } } \left( Z _ { i } \xi _ { j } + \lambda _ { 1 } \| \xi _ { j } \| _ { 1 } + 0 . 5 \left( \lambda _ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { i } \sigma _ { k } \right) \| \xi _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) .
{ \cal S } _ { 0 } = \frac { 2 \beta k } { \pi } \arcsin { \left( \frac { c _ { 0 } } { c _ { k } } \right) } + \frac { 2 \beta } { \pi } \sqrt { k ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } M ^ { 2 } } \arcsin { \left( \frac { c _ { 0 } } { 2 c _ { k } } \right) } - \frac { 3 } { \pi } \beta M \left[ \ln { \left( \frac { \beta \Lambda } { \pi c _ { k } } \right) } + 1 \right] ,
\bar { W } _ { \sigma \mu \nu } ( g , \bar { \Gamma } ) = \bar { \nabla } _ { \sigma } g _ { \mu \nu } = \partial _ { \sigma } g _ { \mu \nu } - \bar { \Gamma } _ { ~ \mu \sigma } ^ { \alpha } g _ { \alpha \nu } - \bar { \Gamma } _ { ~ \nu \sigma } ^ { \alpha } g _ { \alpha \mu }
x = { \cfrac { 1 } { 1 - { \cfrac { r _ { 1 } } { 1 + r _ { 1 } - { \cfrac { r _ { 2 } } { 1 + r _ { 2 } - { \cfrac { r _ { 3 } } { 1 + r _ { 3 } - \ddots } } } } } } } }
\left\{ \begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + A \bar { \sigma } _ { x } + \alpha B ( \zeta \bar { \sigma } ) _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( \zeta ^ { 2 } \bar { \sigma } ) _ { x } = 0 } \\ & { \bar { \sigma } _ { t } + \zeta _ { x } + \alpha B \, \bar { \sigma } \bar { \sigma } _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( \zeta \bar { \sigma } ^ { 2 } ) _ { x } = \epsilon ^ { 2 } \bar { \kappa } \bar { \sigma } _ { x x t } } \end{array} \right. \, .