harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\textstyle \int \mathrm { d } U \, \hat { d } ( \hat { U } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } U \, \left[ \hat { d } ( \hat { U } ) + \hat { d } ( - \hat { U } ) \right] = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \int \mathrm { d } U \, \hat { g } ( \hat { U } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } U \, \left[ \hat { g } ( \hat { U } ) + \hat { g } ( - \hat { U } ) \right] = 0 .
\nonumber \left( C _ { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \gamma } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } N } w _ { \gamma _ { 1 } } w _ { \gamma _ { 2 } } w _ { \gamma } \right) ^ { 2 } = \int d g \, D _ { 0 0 } ^ { ( N _ { 1 } ) } D _ { 0 0 } ^ { ( N _ { 2 } ) } \overline { { { D _ { 0 0 } ^ { ( N ) } } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle = [ \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) + \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \prod _ { a \ne 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle = } \\ & { } & { = \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \prod _ { a \ne 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) [ \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) + \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] \prod _ { a = 3 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ] | 0 \rangle = } \\ & { } & { = \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } ) \prod _ { a \ne 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } ) \prod _ { a \ne 2 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) + \dots + } \\ & { } & { + \prod _ { a = 1 } ^ { N - 1 } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) [ \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) + \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ] | 0 \rangle = } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \left[ \sum _ { b = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) \prod _ { a \ne b } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \right] | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \widetilde { Z } _ { 5 a } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \sum _ { j k } \theta _ { j } ^ { 3 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 3 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } } \\ { \mathrm { V a r } ( Z _ { 5 a } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \sum _ { j k } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \cdot \theta _ { j } \theta _ { s } \theta _ { k } \theta _ { t } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) } & { = \sum _ { \mu \subset \nu \subset \lambda } s _ { \nu / \mu ; a , b } ( x / - t ) s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( t / y ) , } \\ & { = \sum _ { \mu \subset \nu \subset \lambda } s _ { \nu / \mu ; a , b } ( x / - t ) \widehat { s } _ { \lambda ^ { \prime } / \mu ^ { \prime } ; b ^ { \prime } , a ^ { \prime } } ( y / t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { * } } & { { } \sim \frac { 1 } { \big \vert \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \frac { \chi } { \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { t \, \mathrm { K } \, \nabla ^ { 2 } \theta ( \mathbf { x } ) + f ( \mathbf { x } ) - h _ { T } \, ( \theta ( \mathbf { x } ) - \theta _ { \mathrm { a m b } } ) - \varepsilon \, \sigma \, ( \theta ^ { 4 } ( \mathbf { x } ) - \theta _ { \mathrm { a m b } } ^ { 4 } ) = 0 } & & { \quad \mathrm { i n } \; \Omega , } \\ & { t \, [ \! [ \mathbf { q } ] \! ] \cdot \widehat { \mathbf { n } } ^ { + } ( \mathbf { x } ) = \dot { m } \, c _ { f } \, \mathrm { g r a d } [ \theta ] \cdot \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) } & & { \quad \mathrm { o n } \; \Gamma , } \\ & { \mathbf { q } ( \mathbf { x } ) \cdot \widehat { \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) = q ^ { \mathrm { p } } ( \mathbf { x } ) } & & { \quad \mathrm { o n } \; \partial \Omega ^ { q } , } \\ & { \theta ( \mathbf { x } ) = \theta ^ { \mathrm { p } } ( \mathbf { x } ) } & & { \quad \mathrm { o n } \; \partial \Omega ^ { \theta } , \, \mathrm { a n d } } \\ & { \theta = \theta _ { \mathrm { i n } } } & & { \quad \mathrm { a t } \; s = 0 . } \end{array}
I ( i ) = \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) } { 1 + 2 v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } \frac { 1 - e ^ { - ( \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , - v ) ) t } } { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) + \lambda _ { i } ( x + v t , R _ { i } v ) } \leq \frac { \lambda _ { i } ( x + v t , v ) } { 1 + 2 v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } t .
\alpha _ { n } ( \omega ) = V _ { n } \, \frac { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon _ { d } } { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) - \frac { 2 i } { 3 } k ^ { 3 } V _ { n } [ \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon _ { d } ] } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { P ^ { \prime } } [ L _ { T } ^ { a } ( P , Q ) ] } & { = T \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( S ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 2 } + O ( ( \Delta ^ { a } ) ^ { 3 } ) \right] } \\ & { \leq T \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( S _ { \mathrm { e f f } } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 2 } + O ( ( \Delta ^ { a } ) ^ { 3 } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { T \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 2 } } { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } + O \left( T \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { \Omega } _ { M } } & { = } & { \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 1 } ) \mathbf { d } q _ { 1 } ^ { a } \wedge \mathbf { d } v _ { 1 } ^ { b } + \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q _ { 2 } ) \mathbf { d } q _ { 2 } ^ { a } \wedge \mathbf { d } v _ { 2 } ^ { b } , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \mathbf { \Omega } _ { F } } & { = } & { \frac { m } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 3 } } \left( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) \wedge \left( v _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) + \frac { m } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 3 } } \left( \widehat { q } _ { 2 } \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) \wedge \left( v _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) - } \\ & { } & { \frac { \lambda } { \vert q _ { 1 } \vert \vert q _ { 2 } \vert } \left[ \mathbf { d } q _ { 1 } ^ { a } \wedge \left( \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) _ { a } + \left( \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) _ { a } \wedge \mathbf { d } q _ { 2 } ^ { a } - \left( \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) ^ { a } \wedge \left( \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) _ { a } \right] - } \\ & { } & { \frac { \lambda } { \vert q _ { 1 } \vert ^ { 2 } } \left( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) \wedge \left( \widehat { q } _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 1 } \right) + \frac { \lambda } { \vert q _ { 2 } \vert ^ { 2 } } \left( \widehat { q } _ { 2 } \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) \wedge \left( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \mathbf { d } q _ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) \mathbb { E } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k ^ { \ast } } , x ^ { k ^ { \ast } } ) ] } \\ { \leq } & { \frac { ( \gamma - 2 \lambda - \kappa ) D } { K } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } + \frac { 6 \rho \lambda ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \tau _ { k } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \frac { ( \rho + 4 \lambda ) D } { K } + \frac { D } { \sqrt { K } \alpha } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } \alpha } { \sqrt { K } } + \frac { 6 \rho \lambda ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { K } \Delta _ { 2 } , } \end{array}
{ \vec { b } } = ( 0 , { \frac { - 2 2 } { 3 } } , - 1 1 ) + { \frac { 4 } { 3 } } N _ { g } ( 1 , 1 , 1 ) + N _ { H } ( { \frac { 1 } { 1 0 } } , { \frac { 1 } { 6 } } , 0 )
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } y ( \boldsymbol { \mu } ) - \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \Delta y ( \boldsymbol { \mu } ) + [ \cos { \mu _ { 2 } } , \sin { \mu _ { 2 } } ] \cdot \nabla y ( \boldsymbol { \mu } ) = u ( \boldsymbol { \mu } ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle y ( \boldsymbol { \mu } ) = 1 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 2 } \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle y ( \boldsymbol { \mu } ) = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 3 } \cup \Gamma _ { 4 } \cup \Gamma _ { 5 } \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle y ( \boldsymbol { \mu } ) ( 0 ) = y _ { 0 } ( x ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { K _ { 1 } ( 1 , y ) = \frac { 1 } { c _ { 0 } } { \bar { \Psi } } ( 1 , y ) - \frac { 1 } { c _ { 0 } } q { \bar { \phi } } ( 1 , y ) , } \\ & { K _ { 2 } ( 1 , y ) = \frac { 1 } { c _ { 0 } } { \bar { \Phi } } ( 1 , y ) - \frac { 1 } { c _ { 0 } } q { \bar { \varphi } } ( 1 , y ) , } \\ & { K _ { 1 } ( x , 1 ) = \frac { q q _ { 2 } } { q _ { 1 } } K _ { 2 } ( x , 1 ) , } \\ & { q _ { 1 } p K _ { 1 } ( x , 0 ) + q _ { 2 } K _ { 2 } ( x , 0 ) = \eta ( x ) B , } \\ & { \eta ( 1 ) = - \frac { 1 } { c _ { 0 } } q \bar { \gamma } ( 1 ) + \frac { 1 } { c _ { 0 } } \bar { \lambda } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { F } _ { i } ^ { ( * ) } } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \vec { F } _ { i } ^ { ( m ) } \, , } \\ { \sigma _ { F _ { i } ^ { ( * ) } } ^ { 2 } } & { { } = \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sigma _ { F _ { i } ^ { ( m ) } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ e ~ a ~ t ~ o ~ r ~ i ~ c ~ } } + \underbrace { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { D } \left\| \vec { F } _ { i } ^ { ( m ) } - \vec { F } _ { i } ^ { ( * ) } \right\| ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ e ~ p ~ i ~ s ~ t ~ e ~ m ~ i ~ c ~ } } \, , } \end{array}
\| f _ { 1 } + f _ { 2 } \| _ { p } = \left( \int _ { S _ { 2 } } \left| \int _ { S _ { 1 } } F ( x , y ) \, \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) \right| ^ { p } \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \leq \int _ { S _ { 1 } } \left( \int _ { S _ { 2 } } | F ( x , y ) | ^ { p } \, \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) = \| f _ { 1 } \| _ { p } + \| f _ { 2 } \| _ { p } .
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , c r - S } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \\ & { \times } & { \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ^ { ( i ) } \, \frac { \langle P a n _ { 2 } | I ( \omega ) | n _ { 1 } Q b \rangle \langle n _ { 3 } | U | n _ { 2 } \rangle \langle P b n _ { 1 } | I ( \omega - \Delta _ { P a Q a } ) | n _ { 3 } Q a \rangle } { ( \varepsilon _ { P a } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 1 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 2 } } ) ( \varepsilon _ { Q b } - \omega - u \varepsilon _ { n _ { 3 } } ) } \, , } \end{array}
\Delta l ^ { a } - D n ^ { a } = ( \gamma + { \bar { \gamma } } ) l ^ { a } + ( \varepsilon + { \bar { \varepsilon } } ) n ^ { a } - ( { \bar { \tau } } + \pi ) m ^ { a } - ( \tau + { \bar { \pi } } ) { \bar { m } } ^ { a } \, ,
\begin{array} { r l r } { H _ { 0 } } & { = } & { \sqrt { A } H \frac { 1 } { \sqrt { A } } = i \left[ \begin{array} { c c c } { - \mathbb { G } _ { R C } } & { - \mathbb { W } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } \mathbb { S } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } _ { x } } } } \\ { \mathbb { W } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { L } _ { x } } } \mathbb { S } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { C } } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } ~ H _ { 0 } + H _ { I } , } \\ { H _ { 0 } = } & { { } ~ \omega _ { \mathrm { p h } } a ^ { \dagger } { a } + \omega _ { \mathrm { a t } } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + | 2 \rangle \langle 2 | + | 4 \rangle \langle 4 | ) } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}
I = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { g } \left[ e ^ { - 2 \phi } \Big ( R + 4 \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { 3 } ^ { 2 } \Big ) - \sum _ { p } \frac { 1 } { 2 ( p + 2 ) ! } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \right] + I _ { W Z }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ r ~ } ( \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ . ~ c ~ o ~ n ~ t ~ a ~ c ~ t ~ } | \mathrm { ~ l ~ i ~ v ~ e ~ a ~ t ~ } n ) } & { { } = \sum _ { m } \mathrm { ~ P ~ r ~ } ( \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ v ~ e ~ l ~ t ~ o ~ } m | \mathrm { ~ l ~ i ~ v ~ e ~ a ~ t ~ } n ) } \end{array}
I ( m _ { c } ^ { 2 } , m _ { d } ^ { 2 } ) = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } \frac { 1 } { q ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \left[ ( k - q ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \frac { 1 } { \left[ ( k - q ) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } \right] } .
\begin{array} { r l } { ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) } & { = ( a , b ) } \\ { ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) } & { = ( - \frac { 1 } { 2 } a - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } b , - \frac { 1 } { 2 } b + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } a ) } \\ { ( a _ { 3 } , b _ { 3 } ) } & { = ( - \frac { 1 } { 2 } a + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } b , - \frac { 1 } { 2 } b - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } a ) } \end{array}
\bar { q } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { { m _ { q \bar { q } } ^ { 2 } + { \bf Q } _ { t } ^ { 2 } } } & { { \mathrm { f o r } \; \; q \bar { q } } } \\ { { \frac { { \bf k } _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 - z } } } & { { \mathrm { f o r } \; \; q \bar { q } g } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { C o u l } ( R , L ) = } & { \ \frac { k _ { e } } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { N ^ { \prime } } \sum _ { n \in \mathcal { N } } \frac { q _ { i } q _ { j } } { \| r _ { i , j , n } \| } } \\ { \Phi _ { B u c k } ( R , L ) = } & { \ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { N ^ { \prime } } \sum _ { n \in \mathcal { N } } A \exp ( - \frac { \| r _ { i , j , n } \| } { \rho } ) - \frac { C } { \| r _ { i , j , n } \| ^ { 6 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \omega \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } } & { { } \leq C \left[ \| \omega _ { 0 } \| _ { p } + \left( 1 + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p - 2 } } \right) \| u _ { 0 } \| _ { 2 } + C _ { \alpha , \kappa } \mathrm { { R a } } \right] , } \end{array}
a = \mu - \frac { \omega } { 2 } + \frac { \gamma } { 2 } , \qquad b = 1 + \left( \mu - \frac { \omega } { 2 } \right) ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } , \qquad c = \mu - \frac { \omega } { 2 } - \frac { \gamma } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { i n t } } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) = } & { - \rho _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } | \mathbf { x } _ { j } ) \rho _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } | \mathbf { x } _ { i } ) - \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { k } \, \Gamma _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { k } | \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { j } ) \rho _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } | \mathbf { x } _ { k } ) } \\ & { - \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { l } \, \rho _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } | \mathbf { x } _ { l } ) \Gamma _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { x } _ { l } | \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { x } _ { i } ) - \int \! \mathrm { d } \mathbf { x } _ { k } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { l } \, \Gamma _ { A } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { k } | \mathbf { x } _ { i } \mathbf { x } _ { l } ) \Gamma _ { B } ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { x } _ { l } | \mathbf { x } _ { j } \mathbf { x } _ { k } ) . } \end{array}
\sum _ { i } \ q _ { i } p _ { i } o _ { i } \ = \ t N + s M + r L + \eta _ { q } u \frac { N } { 2 } + \eta _ { p } v \frac { M } { 2 } + \eta _ { o } w \frac { L } { 2 } \ \ , \ \ t , s , r , u , v , w \ \in \ Z \ ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf q } } & { = \mathbf B ( \mathbf q ) \mathbf u \, , } \\ { \dot { \mathbf u } } & { = \mathbf M ( \mathbf q ) ^ { - 1 } \left( \mathbf f ^ { \mathrm { i n t } } ( \mathbf q ) + \mathbf f ^ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf q ) - \mathbf f ^ { \mathrm { g y r } } ( \mathbf q , \mathbf u ) \right) \, , } \end{array}
P _ { s t } \left( x \right) = \frac { \Gamma \left( \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } \right) } { \Gamma \left( \varepsilon _ { 1 } \right) \Gamma \left( \varepsilon _ { 2 } \right) } x ^ { \varepsilon _ { 1 } - 1 } \left( 1 - x \right) ^ { \varepsilon _ { 2 } - 1 } .
\mathbb { E } \big [ \eta \big ] = \widehat { \eta } _ { 0 } \cos \big ( \boldsymbol { k } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { x } - \omega t \big ) \exp \big ( - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } | \alpha | ^ { 2 } ( \boldsymbol { k } _ { \sigma } \times \boldsymbol { k } ) ^ { 2 } t \big ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { V } ^ { n } ( t ) } & { = n \left( \pi \left( \lambda ^ { * } \right) - h _ { 0 } ^ { n } \right) t - \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \pi ^ { n } \left( \lambda ^ { n } ( s ) \right) \, d s - \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 0 } ^ { I } h _ { i } ^ { n } Q _ { i } ^ { n } ( s ) \, d s - \left( c ^ { n } \right) ^ { \prime } I ^ { n } ( t ) \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left[ \zeta ^ { n } ( s ) ^ { \prime } H \zeta ^ { n } ( s ) + O \left( n ^ { - 1 / 2 } \right) \right] \, d s + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i = 0 } ^ { I } h _ { i } Z _ { i } ^ { n } ( s ) \, d s + c ^ { \prime } U ^ { n } ( t ) . } \end{array}
\mathrm { L O G } _ { M , 0 } \, : \, H ^ { 1 } ( G _ { p } , M \widehat { \otimes } _ { \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } } \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } ^ { \textup { c y c } } ) \stackrel { \sim } { \longrightarrow } \mathbf { D } _ { \mathrm { c r i s } } ( M ) \, \widehat { \otimes } _ { \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } } \, \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } ^ { \textup { c y c } } \, ,
\frac { C ( \tilde { G } ) } { C ( G ^ { * } ) } = \frac { 1 - ( 1 - q ) \, \psi _ { q } ^ { * } \cdot C ( \tilde { G } ) } { 1 - ( 1 - q ) \, \psi _ { q } ^ { * } \cdot C ( G ^ { * } ) } ,
\begin{array} { r l } { e ( n ) \geq f ( 2 k + 2 , k + 2 ) } & { = { \frac { F _ { k + 2 } - 1 } { F _ { k } } } } \\ & { \geq ( \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { F _ { 2 k } } } ) - { \frac { 1 } { F _ { k } } } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - 8 ^ { - 1 / 2 } n ^ { - 1 / 2 } - \sqrt { 6 } n ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \geq \alpha ^ { 2 } - 3 n ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\epsilon _ { \ensuremath { \mathbf { \phi } } } = \frac { | \ensuremath { \mathbf { \phi } } - \ensuremath { \mathbf { \phi } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } | } { | \ensuremath { \mathbf { \phi } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } | } ,
\begin{array} { r l } { I I _ { 1 } } & { = c \int _ { u _ { f } - r _ { f } } ^ { u _ { g } - r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } d v } \\ & { \le c r _ { f } ^ { n } \int _ { u _ { f } - r _ { f } } ^ { u _ { g } - r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \, d v } \\ & { = c r _ { f } ^ { n } ( u _ { g } - u _ { f } + r _ { f } - r _ { g } ) \left\{ 1 + \frac 1 3 \left( ( u _ { g } - r _ { g } ) ^ { 2 } + ( u _ { g } - r _ { g } ) ( u _ { f } - r _ { g } ) + ( u _ { f } - r _ { g } ) ^ { 2 } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { L } = u _ { i } + 0 . 5 \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i } + \beta ^ { D } \left( u _ { i + 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i - 1 } \right) } \\ { \quad u _ { R } = u _ { i + 1 } - 0 . 5 \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i + 1 } + \beta ^ { D } \left( u _ { i + 2 } - 2 u _ { i + 1 } + u _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { u _ { g } - r _ { g } } ^ { u _ { f } - r _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v + \int _ { u _ { f } + r _ { f } } ^ { u _ { g } + r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v } \\ & { \quad \le c \int _ { u _ { g } - r _ { g } } ^ { u _ { f } - r _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { g } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { n / 2 } \, d v + c \int _ { u _ { f } + r _ { f } } ^ { u _ { g } + r _ { g } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { g } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { n / 2 } d v } \\ & { \quad \le C \left( | u _ { f } - u _ { g } | + | r _ { f } - r _ { g } | \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { L } ( k ) = \omega _ { p d } ^ { 2 } [ ( - 0 . 5 6 8 + 0 . 3 1 4 9 \cos ( 0 . 4 3 1 k ) + } \\ { 0 . 0 5 6 \sin ( 0 . 4 3 1 k ) + 0 . 1 8 7 \cos ( 0 . 8 6 2 k ) } \\ { + 0 . 0 5 8 \sin ( 0 . 8 6 2 k ) + 0 . 0 5 1 1 \cos ( 1 . 2 9 3 k ) } \\ { + 0 . 0 4 4 \sin ( 1 . 2 9 3 k ) - 0 . 0 0 0 1 6 \cos ( 1 . 7 2 4 k ) } \\ { - 0 . 0 2 5 \sin ( 1 . 7 2 k ) + 0 . 0 0 7 9 \cos ( 2 . 1 5 5 k ) } \\ { - 0 . 0 0 9 0 \sin ( 2 . 1 5 5 k ) ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( \phi _ { k , l } , m ) } & { = \bar { \phi } _ { k , m , l } - \phi _ { k , l } = ( \eta _ { m } - 1 ) \phi _ { k , l } , } \\ { \Delta ( r _ { k , l } , m ) } & { = \bar { r } _ { k , m , l } - r _ { k , l } = \left( \frac { 1 - \eta _ { m } ^ { 2 } \phi _ { k , l } ^ { 2 } } { \eta _ { m } ( 1 - \phi _ { k , l } ^ { 2 } ) } - 1 \right) r _ { k , l } . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ A _ { 1 } a _ { 0 } , H _ { 1 } G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ] = \{ A _ { 1 } a _ { 0 } \} + \{ A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } \} + \{ E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } \} + H _ { l } ^ { - 1 } ( E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) } \\ { + \{ F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } \} + H _ { l } ^ { - 1 } ( G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) + H _ { l } ^ { - 1 } ( H _ { 1 } G _ { 1 } F E _ { 2 } E _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) . } \end{array}
J = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \frac { M _ { 8 } n _ { 8 } } { 3 } } + { \frac { M _ { 3 } n _ { 3 } } { 2 } } + { \frac { M _ { 1 } n _ { 1 } } { 6 } } \right] .
R _ { n } ( \omega ) = \frac { 1 } { | \omega | } \frac { 2 ^ { 1 - n } \pi ^ { \frac { 3 - n } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \left( \sqrt { \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \right) ^ { n - 3 } \, \theta ( \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) .