harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \sum _ { i , j } \frac { \hat { p } _ { i j } ^ { 2 } } { 2 m _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \frac { q _ { i j } q _ { i ^ { \prime } j } } { \left| \hat { \boldsymbol r } _ { i j } - \hat { \boldsymbol r } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \right| } } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left| \hat { \boldsymbol P } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) \right| ^ { 2 } . } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left[ \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp 2 } ( \boldsymbol r ) + \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) + \hat { \boldsymbol B } _ { f } ( \boldsymbol r ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { - } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) - \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol M } ( \boldsymbol r ) \cdot \left( { \boldsymbol B } + \hat { \boldsymbol B } _ { f } \right) ^ { 2 } ( \boldsymbol r ) } \\ & { + } & { \sum _ { i j } \frac { 1 } { 2 m _ { i j } c ^ { 2 } } \left[ \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left[ \hat { n } _ { i j } ( \boldsymbol r ) \times \hat { B } ( \boldsymbol r ) \right] \right] ^ { 2 } } \\ & { - } & { c g _ { a \gamma \gamma } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \hat { a } \left( \hat { \boldsymbol D } - \hat { \boldsymbol P } \right) \cdot \hat { \boldsymbol B _ { f } } \right] } \\ & { + } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \; \left[ \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } g _ { a \gamma } ^ { 2 } \hat { a } ^ { 2 } \left( { \boldsymbol B } + \hat { \boldsymbol B } _ { f } \right) ^ { 2 } ( \boldsymbol r ) ^ { 2 } \right] } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol r \left[ \frac { \left( \hat { \pi } + c g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol A } { \boldsymbol B } \right) ^ { 2 } } { \hbar c ^ { 3 } } + \frac { 1 } { c \hbar } \boldsymbol \nabla \hat { a } \cdot \boldsymbol \nabla \hat { a } + \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { c ^ { 3 } \hbar ^ { 3 } } \hat { a } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\overline { { | \Delta _ { r } u | } } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t s } } } \sum _ { a = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t s } } } \frac { \sum _ { i } ^ { l } | { f } _ { i } [ \mathbf { z } ^ { ( a ) } ] - { f } _ { i } [ - \mathbf { z } ^ { ( a ) } ] | } { | \sum _ { i = 1 } ^ { l } { f } _ { i } [ \mathbf { z } ^ { ( a ) } ] | } = 8 ( 3 ) \cdot 1 0 ^ { - 5 }
\psi _ { q } ( x ) = \sum _ { s p i n } [ \phi _ { 0 , s } ( { \bf x } ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } b _ { q } ( s ) + \phi _ { 0 , s ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( { \bf x } ) e ^ { i \omega _ { 0 } t } b _ { q } ^ { \dagger } ( s ^ { \prime } ) ] ,
\dot { x } _ { i } \; = \; \frac { \epsilon _ { i i _ { 1 } i _ { 2 } . . . i _ { M } } } { M ! } \ \left\{ x _ { i _ { 1 } } , x _ { i _ { 2 } } , \cdots , x _ { i _ { M } } \right\} \ \ \ i \; = \; 1 , 2 , \cdots , N \ ,
\mu = A _ { 1 } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \prod _ { j = 2 } ^ { k } \left( 1 + \frac { \mu } { A _ { j } } \right) ^ { - 1 } = \; \alpha \; \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \Gamma ( 2 + \mu ) \, \frac { \Gamma ( 1 + k ) } { \Gamma ( 1 + \mu + k ) } ,
{ \begin{array} { r l } { K ( k ) } & { = { \frac { \pi } { 2 \operatorname { a g m } \left( 1 , { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) } } } \\ & { = { \frac { \pi } { 2 \operatorname { a g m } \left( { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } { 2 } } , { \sqrt [ { 4 } ] { 1 - k ^ { 2 } } } \right) } } } \\ & { = { \frac { \pi } { \left( 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) \operatorname { a g m } \left( 1 , { \frac { 2 { \sqrt [ { 4 } ] { 1 - k ^ { 2 } } } } { \left( 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } \right) } } \right) } } } \\ & { = { \frac { 2 } { 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } } } K \left( { \frac { 1 - { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } } { 1 + { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } } } } } \right) } \end{array} }
\sum _ { i s o s p i n \; \; I _ { 1 } , I _ { 2 } } \sigma _ { \pi \pi \rightarrow \pi \pi \pi \pi } ( s , I _ { 1 } , I _ { 2 } ) = \frac { 6 7 } { 2 ^ { 1 7 } \; 3 ^ { 4 } \; \pi ^ { 5 } } \; \; \frac { s ^ { 3 } } { F _ { \pi } ^ { 8 } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ F _ { \pi } = 9 3 ~ ~ \mathrm { M e V }
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { = \Omega - \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } \pm \sqrt { \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \Phi _ { 2 } } \left[ ( 2 k + 1 ) \pi - \Phi _ { 0 } - i | \log \mathcal { A } | \right] } } \\ & { = : \omega _ { a } \pm \omega _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { d , m , s } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 2 ^ { 2 s } \Gamma ( d / 2 + s ) } { \pi ^ { d / 2 } \Gamma ( - s ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( - 1 ) ^ { j } \left( \begin{array} { l } { 2 m } \\ { m - j } \end{array} \right) j ^ { 2 s } \right) ^ { - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } s \in ( 0 , m ) \backslash \mathbb { N } , } \\ { \displaystyle \frac { 2 ^ { 2 s } \Gamma ( d / 2 + s ) s ! } { 2 \pi ^ { d / 2 } } \left( \sum _ { j = 2 } ^ { m } ( - 1 ) ^ { j } \left( \begin{array} { l } { 2 m } \\ { m - j } \end{array} \right) j ^ { 2 s } \ln j \right) ^ { - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } s \in ( 0 , m ) \cap \mathbb { N } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = } & { { } ( 1 + D H ) Q ^ { 0 } + 2 Q ^ { 1 , 1 } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left[ ( ( t - 2 ) D + 2 ) Q ^ { 1 , t } + D Q ^ { 2 , t } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| ( 1 + | \xi | ) \mathcal { F } \left( ( \mathbb { G } _ { i _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { p _ { 1 } } u ) ( \mathbb { G } _ { i _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { p _ { 2 } } u ) \right) ( \xi ) \right| } & { = \left| ( 1 + | \xi | ) \left( ( h _ { 1 } \hat { u } ) * ( h _ { 2 } \hat { u } ) \right) ( \xi ) \right| } \\ & { \le \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } | ( 1 + | x | ) h _ { 1 } ( x ) \hat { u } ( x ) h _ { 2 } ( \xi - x ) \hat { u } ( \xi - x ) | d x } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } | h _ { 1 } ( x ) \hat { u } ( x ) ( 1 + | \xi - x | ) h _ { 2 } ( \xi - x ) \hat { u } ( \xi - x ) | d x . } \end{array}
\tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 e ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( i \pi - \ln \gamma _ { \eta } \right) \varphi ( t + x ) } \varphi ^ { \prime } ( t + x ) \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \omega _ { n } c _ { n } e ^ { n i \pi \varphi ( t + x ) } \medskip , } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq \eta < 1 , } \\ { \displaystyle 2 e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \ln \left\vert \gamma _ { \eta } \right\vert \varphi ( t + x ) } \varphi ^ { \prime } ( t + x ) \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \omega _ { n } c _ { n } e ^ { n i \pi \varphi ( t + x ) } , } & { \mathrm { i f ~ } 1 < \eta < + \infty , } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { i \langle X , \rho \rangle + i \frac { M _ { t } ^ { \gamma } ( f , \omega ) } { v ( t , \gamma ) } } \right] = { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { i \langle X , \rho \rangle - \frac { 1 } { 2 } M ^ { \prime } ( e ^ { | \gamma | ^ { 2 } L } | f | ^ { 2 } ) } \right] .
\begin{array} { r l } { ( \phi | _ { k , m L } A ) ( \tau , \boldsymbol { z } ) } & { : = \phi \left( \frac { a \tau + b } { c \tau + d } , \frac { \vec { z } + \vec { m } \tau + \vec { n } } { c \tau + d } \right) ( \sqrt { c \tau + d } ) ^ { - 2 k } } \\ & { \quad \quad \quad e ^ { 2 \pi i m \left( - c \frac { 2 Q ( \vec { z } + \vec { m } \tau + \vec { n } ) } { ( c \tau + d ) } + \left( \vec { m } , \vec { m } \right) \tau + 2 \left( \vec { m } , \vec { z } \right) \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { ( 0 ) } } & { = \tilde { u } _ { f f } + P _ { h o l e s } ^ { f f } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } P _ { h o l e s } ^ { f f } \right) ^ { - 1 } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } P _ { h o l e s } ^ { f f } P _ { f f } ^ { h o l e s } u _ { f f } \right) } \\ & { = \tilde { u } _ { f f } + P _ { h o l e s } ^ { f f } P _ { f f } ^ { h o l e s } u _ { f f } , } \end{array}
\b { W _ { o } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { \Phi } ( \omega ) \b { \Sigma } ( \omega ) ^ { 2 } \b { \Phi } ( \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega , \qquad \b { W _ { c } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { \Psi } ( \omega ) \b { \Sigma } ( \omega ) ^ { 2 } \b { \Psi } ( \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega ,
\lambda ^ { 4 } - \lambda ^ { 2 } ( \omega _ { A } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + 2 \omega _ { M } ^ { 2 } ) + \omega _ { A } ^ { 2 } \omega _ { M } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 4 } = 0 ,
\chi _ { \{ | h _ { x } | < \infty \} } \sqrt { h f ^ { 3 } ( h _ { x } ) } h _ { x x } ; \ \chi _ { \{ v > 0 \} } \sqrt { v } u _ { x } , \ \sqrt { \frac { v } { g ( h ) } } u \in L ^ { 2 } ( Q _ { T } ) ,
P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { \tau } ) = 4 | U _ { \mu 3 } | ^ { 2 } | U _ { \tau 3 } | ^ { 2 } s i n ^ { 2 } ( \frac { \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } L } { 4 E _ { \nu } } ) .
\begin{array} { r } { I _ { \nu } ( z ) = \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \nu + \frac { 3 } { 2 } ) ) } { \sqrt { 2 \pi } \, \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \nu + \frac { 1 } { 2 } ) ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { 1 } { 4 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { 1 } { 4 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( 2 \xi - 1 ) z } \, J _ { \nu } ( 2 z \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb E } [ | w ^ { \top } z | ^ { 2 \alpha + 1 } ] } & { = } & { \| z \| _ { 2 } ^ { 2 \alpha + 1 } \frac { \Gamma ( 1 + \alpha ) \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \alpha ) } } \\ { { \mathbb E } [ ( w ^ { \top } z ) ^ { 2 \alpha } ] } & { = } & { \| z \| _ { 2 } ^ { 2 \alpha } \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } + \alpha ) \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d } { 2 } + \alpha ) } } \\ { { \mathbb E } [ ( w ^ { \top } z ) ^ { 2 } ] } & { = } & { \| z \| _ { 2 } ^ { 2 } / d } \\ { { \mathbb E } [ z ^ { \top } w w ^ { \top } t ] } & { = } & { \frac { 1 } { d } z ^ { \top } t } \\ { { \mathbb E } [ ( z ^ { \top } w w ^ { \top } t ) ^ { 2 } ] } & { = } & { \frac { 1 } { d ( d + 2 ) } \big [ 2 ( z ^ { \top } t ) ^ { 2 } + z ^ { \top } z \cdot t ^ { \top } t \big ] . } \end{array}
T _ { i j } ^ { n } = \langle \partial _ { i } u _ { n , \mathbf { k } } | \partial _ { j } u _ { n , \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { i } u _ { n , \mathbf { k } } | u _ { n , \mathbf { k } } \rangle \langle u _ { n , \mathbf { k } } | \partial _ { j } u _ { n , \mathbf { k } } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { \operatorname* { m a x } | \Phi _ { F M M } ^ { ( n ) } - \Phi _ { D } ^ { ( n ) } | } { \operatorname* { m a x } | \Phi _ { D } ^ { ( n ) } | } , } \end{array}
I _ { \theta } ( \hat { Q } _ { n _ { 1 } , \varepsilon _ { n _ { 1 } } } T _ { \varepsilon _ { n _ { 1 } } } { \mathcal P } ) \to \operatorname* { s u p } _ { Q \in \mathcal Q _ { \alpha } ( \mathcal X ) } I _ { \theta } ( Q { \mathcal P } ) , \quad \quad \mathrm { i n ~ } ( Q _ { 0 } P _ { \theta } ) ^ { n _ { 1 } } \mathrm { - p r o b a b i l i t y } ,
A = \sigma ^ { 2 } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \; \; \; \; \; \; \; B = \sigma ^ { 2 } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right] } \; \; \; \; \; \; \; C = \sigma ^ { 2 } { \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { x _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 3 } } \end{array} \right] } \; \; \; \; \; \; \; D = \sigma ^ { 2 } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \rho } & { \rho ^ { 2 } } \\ { \rho } & { 1 } & { \rho } \\ { \rho ^ { 2 } } & { \rho } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { K } = \left( \begin{array} { l l } { k _ { j x } \; \eta _ { j x } \left( { y } / { h } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { k _ { j y } \; \eta _ { j y } \left( { y } / { h } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
J D _ { X } ^ { 2 } H = O \left[ \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { 1 } { r _ { 0 } \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 2 } } } \\ { 1 } & { \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 2 } } } \\ { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } \beta ^ { 4 } } } \\ { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } & { \beta ^ { 4 } } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } \beta } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } \boldsymbol { v } ) } & { = a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) + a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } \boldsymbol { v } - \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) = a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) } \\ { a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) } & { = a ( \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) + a ( \mathbb { S } \boldsymbol { u } - \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) = a ( \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { u } , \mathbb { S } ^ { \dagger } \boldsymbol { v } ) } \end{array}
\bar { P } _ { m c d s w } = \bar { u } _ { s } + 2 \sqrt { 2 } \sqrt { a _ { s } } + 2 \sqrt { 2 } \epsilon \left( c _ { 6 } + \frac { 2 } { 3 } c _ { 7 } \right) a _ { s } ^ { 3 / 2 } .
{ \bf H } _ { A B } = \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ } [ t _ { 1 a e } ^ { \prime } e ^ { i x _ { 1 a e } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) \cdot { \bf k } } , t _ { 1 c d } ^ { \prime } e ^ { - i x _ { 1 c d } ( { \bf a } _ { 2 } - { \bf a } _ { 3 } ) \cdot { \bf k } } , t _ { 1 b f } ^ { \prime } e ^ { - i x _ { 1 b f } ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 3 } ) \cdot { \bf k } } ] ,
\begin{array} { r } { J _ { g } ( \underline { { x } } ) = \left( \begin{array} { c c c c c } { - \frac { x _ { 1 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { x _ { 0 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \frac { x _ { K + 1 } } { x _ { K } ^ { 2 } } } & { \frac { 1 } { x _ { K } } } \end{array} \right) } \end{array}
F ( r ) = { \frac { 1 } { 3 l ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \left[ 3 r ^ { 6 } + ( l ^ { 2 } - 1 5 n ^ { 2 } ) r ^ { 4 } - 3 n ^ { 2 } ( 2 l ^ { 2 } - 1 5 n ^ { 2 } ) r ^ { 2 } - 6 m r l ^ { 2 } - 3 n ^ { 4 } ( l ^ { 2 } - 5 n ^ { 2 } ) \right]
Z ( s ) = 0 . 6 8 8 6 s + \cfrac { 1 } { 0 . 8 8 6 4 s + \cfrac { 1 } { 0 . 8 9 1 8 s + \cfrac { 1 } { 0 . 2 9 0 3 s + \cfrac { 1 } { 1 . 1 0 5 5 } } } } .
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \varepsilon } ( q _ { \varepsilon } ) } & { { } = \int _ { \Omega } W ^ { \varepsilon } [ q _ { \varepsilon } ] \, \mathrm { d } x , \qquad W ^ { \varepsilon } [ q _ { \varepsilon } ] = W _ { \mathrm { e l a s t } } ( \boldsymbol { F } , \psi ) + W _ { \mathrm { p h a s e } } ^ { \varepsilon } ( \psi , \boldsymbol { F } ^ { - T } \nabla \psi ) , } \end{array}
\sin \left( { \frac { \pi } { 3 2 } } \right) = \sin \left( 5 . 6 2 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } }
R ^ { 2 } + \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \ln { \left( R ^ { 2 } - \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \right) } = R _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \ln { \left( R _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { r _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \right) } - g t .
\begin{array} { r } { \phi _ { e } ( \mathbf { v } ) = \mathbf { k } \mathbf { v } ( t _ { s } + \frac { \Delta t } { 2 } ) = \frac { \mathbf { k } \mathbf { v } } { 2 } ( 2 t _ { s } + \Delta t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { 2 } \gamma _ { 1 } - \Omega _ { 1 } \gamma _ { 2 } = \dot { \gamma } _ { 3 } , \qquad I _ { 1 } \Omega _ { 1 } \gamma _ { 1 } + I _ { 2 } \Omega _ { 2 } \gamma _ { 2 } = c - I _ { 3 } \Omega _ { 3 } \gamma _ { 3 } . } \end{array}
\left( \frac { 4 r ^ { 2 } } { R _ { I } ^ { 4 } } - \frac { 6 } { R _ { I } ^ { 2 } } \right) \Phi + \left( \omega _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 K m ^ { 2 } } { R _ { I } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) \Phi = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { P ^ { 1 } } & { = p ^ { 1 } ( 1 - A \, | \vec { p } | ) + \ell \left( \frac { A \, ( p ^ { 1 } ) ^ { 2 } \left( ( p ^ { 1 } ) ^ { 2 } - 3 ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) } { 4 p } + \frac { 1 } { 4 } ( 1 - A \, | \vec { p } | ) \left( ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( p ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right) \right) - \frac { 1 } { 8 } \, \ell ^ { 2 } \, | \vec { p } | ^ { 2 } \, p ^ { 1 } \; , } \\ { P ^ { 2 } } & { = p ^ { 2 } ( 1 - A \, | \vec { p } | ) + \frac { \ell \, p ^ { 2 } \left( - A ( p ^ { 1 } ) ^ { 3 } - 5 A p ^ { 1 } ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 | \vec { p } | p ^ { 1 } \right) } { 4 | \vec { p } | } - \frac { 1 } { 8 } \, \ell ^ { 2 } \, | \vec { p } | ^ { 2 } p ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( j , j ^ { \prime } ) \in \bar { C } } a _ { j j ^ { \prime } } \left( e ^ { j } - e ^ { j ^ { \prime } } \right) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \sum _ { k = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } a _ { k , \, k + 1 } \left( e ^ { k } - e ^ { k + 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \sum _ { k = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } \left[ \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { k } y _ { l } \right) \left( e ^ { k } - e ^ { k + 1 } \right) \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \Big [ y _ { b _ { i - 1 } + 1 } \left( e ^ { b _ { i - 1 } + 1 } - e ^ { b _ { i - 1 } + 2 } \right) + \left( y _ { b _ { i - 1 } + 1 } + y _ { b _ { i - 1 } + 2 } \right) \left( e ^ { b _ { i - 1 } + 2 } - e ^ { b _ { i - 1 } + 3 } \right) } \\ & { \qquad + \cdots + \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 2 } y _ { l } \right) \left( e ^ { b _ { i } - 2 } - e ^ { b _ { i } - 1 } \right) + \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } y _ { l } \right) \left( e ^ { b _ { i } - 1 } - e ^ { b _ { i } } \right) \Big ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \Big [ y _ { b _ { i - 1 } + 1 } e ^ { b _ { i - 1 } + 1 } + \left( y _ { b _ { i - 1 } + 2 } + y _ { b _ { i - 1 } + 1 } - y _ { b _ { i - 1 } + 1 } \right) e ^ { b _ { i - 1 } + 2 } } \\ & { \qquad + \cdots + \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } y _ { l } - \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 2 } y _ { l } \right) e ^ { b _ { i } - 1 } - \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } y _ { l } \right) e ^ { b _ { i } } \Big ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \left[ y _ { b _ { i - 1 } + 1 } e ^ { b _ { i - 1 } + 1 } + y _ { b _ { i - 1 } + 2 } e ^ { b _ { i - 1 } + 2 } + \cdots + y _ { b _ { i } - 1 } e ^ { b _ { i } - 1 } - \left( \sum _ { l = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } - 1 } y _ { l } \right) e ^ { b _ { i } } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \left[ y _ { b _ { i - 1 } + 1 } e ^ { b _ { i - 1 } + 1 } + y _ { b _ { i - 1 } + 2 } e ^ { b _ { i - 1 } + 2 } + \cdots + y _ { b _ { i } - 1 } e ^ { b _ { i } - 1 } - \left( - y _ { b _ { i } } \right) e ^ { b _ { i } } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { I } \sum _ { k = b _ { i - 1 } + 1 } ^ { b _ { i } } y _ { k } e ^ { k } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { J } y _ { j } e ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 c _ { 2 r + 1 } - c _ { 3 r + 1 } } & { = 2 c _ { 2 r + 1 } - ( c _ { 2 r + 2 } + ( r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) ) } \\ & { = 2 c _ { 2 r + 1 } - ( c _ { 2 r + 1 } + \Delta _ { 2 } + ( r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 2 r + 1 } - \Delta _ { 2 } - ( r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 2 r + 1 - 2 ( r - 1 ) } + ( r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) - \Delta _ { 2 } - ( r - 1 ) ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) } \\ & { = c _ { 3 } - \Delta _ { 2 } } \\ & { = x + \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \phi } { \partial s _ { 0 } } ( s _ { 0 } ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \left( \frac { \partial J } { \partial s } ( s , s _ { 0 } ) + \frac { \partial J } { \partial s _ { 0 } } ( s , s _ { 0 } ) \right) d s } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } } \left( \frac { \partial \rho } { \partial s } ( s , s _ { 0 } ) + \frac { \partial \rho } { \partial s _ { 0 } } ( s , s _ { 0 } ) \right) \Psi ( s , s _ { 0 } ) d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta X _ { k + 1 } ^ { 0 } = } & { \bar { A } X _ { k } ^ { 0 } \bar { A } ^ { \prime } - \bar { A } X _ { k } ^ { d } K ^ { \prime } \bar { B } ^ { \prime } - \bar { B } K { X } _ { k } ^ { d } \bar { A } ^ { \prime } + \bar { B } K { X } _ { k } ^ { d } K ^ { \prime } \bar { B } ^ { \prime } , } \\ { \Delta X _ { k + 1 } ^ { i } = } & { A \Delta X _ { k } ^ { i - 1 } A ^ { \prime } , i = 1 , \cdots , d - 1 , } \\ { X _ { k + 1 } ^ { d } = } & { A \Delta X _ { k } ^ { d - 1 } A ^ { \prime } + ( A - B K ) X _ { k } ^ { d } ( A - B K ) ^ { \prime } . } \end{array}
\langle H _ { 1 } \rangle = \frac { 1 } { 4 } m \tilde { \Omega } ^ { 2 } \frac { R ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \left( 2 \frac { D + J } { m \Omega _ { B } R ^ { 2 } } \right) ^ { n } \sum _ { \ell = 0 , 2 . . . } ^ { n } \mathcal { C } _ { \ell } ^ { n } \mathcal { C } _ { \ell / 2 } ^ { \ell } \left( \frac { \sqrt { D J } } { D + J } \right) ^ { \ell } .
+ \frac { 1 + x } { 1 - x } x ^ { 2 } l n x , ~ ~ ~ ~ ~ x = \frac { 1 - ( 1 - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } / s ) ^ { 1 / 2 } } { 1 + ( 1 - 4 m _ { \pi } ^ { 2 } / s ) ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r l } { A } & { = a ( \cos { \omega } \cos { \Omega } - \sin { \omega } \sin { \Omega } \cos { i } ) , } \\ { B } & { = a ( \cos { \omega } \sin { \Omega } + \sin { \omega } \cos { \Omega } \cos { i } ) , } \\ { F } & { = a ( - \sin { \omega } \cos { \Omega } - \cos { \omega } \sin { \Omega } \cos { i } ) , } \\ { G } & { = a ( - \sin { \omega } \sin { \Omega } + \cos { \omega } \cos { \Omega } \cos { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } \mid n x ) } & { = \, 1 - \frac { \mathcal { L } ( n x , \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } ) { ( n x ) } ^ { - \alpha } { ( \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } ) } ^ { - \beta } } { 1 - \textrm { e } ^ { - 1 / ( n x ) } } } \\ & { \underset { n \to \infty } \sim \, 1 - \frac { \mathcal { L } ( n x , \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } ) } { n ^ { \alpha - 1 } x ^ { \alpha - 1 } { ( \tilde { a } _ { n } y + \tilde { b } _ { n } ) } ^ { \beta } } } \end{array}
H \; = \; a _ { j } ^ { \dagger } A _ { j l } a _ { l } - \frac { i } { 2 } a _ { j } B _ { j l } a _ { l } + \frac { i } { 2 } a _ { j } ^ { \dagger } B _ { j l } ^ { * } a _ { l } ^ { \dagger } + \mathrm { c o n s t a n t } \; ,