harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \ell _ { y } ( x ) + \mathrm { \bf I } _ { K + x _ { 0 } } ( x ) } & { = \langle y , x \rangle + \mathrm { \bf I } _ { K } ( x - x _ { 0 } ) } \\ & { = \langle y , x - x _ { 0 } \rangle + \mathrm { \bf I } _ { K } ( x - x _ { 0 } ) + \langle y , x _ { 0 } \rangle } \\ & { = \ell _ { y } ( x - x _ { 0 } ) + \mathrm { \bf I } _ { K } ( x - x _ { 0 } ) + \langle y , x _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \left( \frac { 6 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) } & { = } & { - \frac { 3 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 3 } } \frac { \partial m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { \partial \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \\ & { = } & { - \frac { 2 . 6 \, F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \frac { \Delta \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } { \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { \nabla } _ { i } v ^ { i } \ } & { { } = \ - v ^ { i } \partial _ { i } \varphi ~ , } \\ { \mathring { \Delta } _ { \mathrm { B } } p + \mathring { \nabla } _ { i } v ^ { j } \mathring { \nabla } _ { j } v ^ { i } + \frac 1 2 | v | ^ { 2 } \mathring { R } \ } & { { } = \ - \mathring { g } ^ { i j } \partial _ { i } \varphi \partial _ { j } p + v ^ { i } v ^ { j } \mathring { \nabla } _ { i } \partial _ { j } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { f } _ { a b } ^ { ( j ) } = } & { { } \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { k _ { a } T _ { j , a } } \delta _ { a b } - \sum _ { c } \left( \frac { \mathbb { D } _ { c a b } } { k _ { a } T _ { j , a } k _ { b } T _ { j , b } } + \mathbb { C } _ { c a b } \right) \xi _ { c } } \end{array}
S _ { \mathrm { P 5 h } } = - T _ { \mathrm { P 5 h } } \int d ^ { 6 } \xi \ e ^ { - 2 { \phi } } k ^ { - 1 } \sqrt { | \mathrm { d e t } \ ( \partial _ { i } X ^ { \mu } \partial _ { j } { X } ^ { \nu } g _ { \mu \nu } - k ^ { 2 } F _ { i } F _ { j } ) | } + \mathrm { W Z } \, ,
F _ { K K ^ { * } V } ( k ^ { 2 } ) = 1 + { \frac { G _ { K ^ { * 0 } K ^ { 0 } \omega } } { G _ { K ^ { * 0 } K ^ { 0 } \rho ^ { 0 } } } } { \frac { X _ { \omega } ( k ^ { 2 } ) } { X _ { \rho } ( k ^ { 2 } ) } } \Biggl ( { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { m _ { \omega } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \Biggr ) + { \frac { G _ { K ^ { * 0 } K ^ { 0 } \phi } } { G _ { K ^ { * 0 } K ^ { 0 } \rho ^ { 0 } } } } { \frac { X _ { \phi } ( k ^ { 2 } ) } { X _ { \rho } ( k ^ { 2 } ) } } \Biggl ( { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \Biggr )
\hat { C } _ { 2 } ( \rho = \frac { 1 } { 2 } , \gamma \in [ 0 , \pi ] , \eta \in [ 0 , \pi ] ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { i \gamma } } \\ { e ^ { i \eta } } & { - e ^ { i ( \eta + \gamma ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { I } = \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \frac { x } { \mu ( c ) } \right\rangle + \partial _ { c } ^ { 2 } \log \left( \mu ( c ) \right) = \left( - \frac { \mu ^ { \prime \prime } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 2 ( \mu ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } \right) \left\langle x \right\rangle + \left( \frac { \mu ^ { \prime \prime } } { \mu } - \frac { ( \mu ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) = \left( \frac { \mu ^ { \prime } ( c ) } { \sigma } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbb { C } \left( \pi _ { 0 } \big ( \mathbf { \mathrm { C R S } } ( \Pi ( X _ { \Sigma } ) , \mathcal { A } ) \big ) \right) \xrightarrow { T ( i _ { X _ { \Sigma } } , \mathcal { A } ) } \boldsymbol { \mathcal { Q } } _ { { \boldsymbol { \mathbf { B } } } } ^ { ( s ) } ( \Sigma ) = \mathbb { C } \big ( \widehat { \pi } _ { 0 } ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { \Sigma } ) \big ) ,
\hat { \Pi } ^ { \gamma Z } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) = \frac { \hat { \Sigma } ^ { \gamma Z } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } { M _ { Z } ^ { 2 } + \hat { \Sigma } ^ { \gamma \gamma } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } \quad .
{ \frac { \partial } { \partial \mathbf { r } _ { k } } } \equiv \left( { \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } , { \frac { \partial } { \partial y _ { k } } } , { \frac { \partial } { \partial z _ { k } } } \right) \, , \quad { \frac { \partial } { \partial { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } } } \equiv \left( { \frac { \partial } { \partial { \dot { x } } _ { k } } } , { \frac { \partial } { \partial { \dot { y } } _ { k } } } , { \frac { \partial } { \partial { \dot { z } } _ { k } } } \right)
K ( t ) = \mathbb { P } [ \tau _ { b } \in \mathrm { d } t , \Delta _ { s } ( \tau _ { b } ) = 0 ] + \mathbb { P } [ \tau _ { b } \in \mathrm { d } t , \Delta _ { s } ( \tau _ { b } ) > 0 ] = - b ^ { \prime } ( t ) g _ { t } ( b ( t ) ) + \int _ { 0 } ^ { b ( t ) } g _ { t } ( u ^ { \prime } ) \overline { \nu } ( b ( t ) - u ^ { \prime } ) \mathrm { d } u ^ { \prime } .
\frac { d } { d t } \left\| w \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb R ) } ^ { 2 } = 2 \int _ { \mathbb R } w _ { t } w \ d x \leq 2 \left\| w \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| w _ { t } \right\| _ { L ^ { 2 } } \leq \mathcal { E } ( t ) .
\langle \partial _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } ( x ) \rangle = \left. \frac { \delta \ln { \mathcal J } } { \delta \alpha ( x ) } \right| _ { \alpha = 0 } = \left. 2 i \, \mathrm { T r } \, \gamma _ { 5 } \right| _ { r e g }
\begin{array} { r l } & { \rVert M _ { 1 } h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 b } \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 4 - 2 b } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } , } \\ & { \rVert M _ { 1 } ^ { - 1 } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { - 2 b } = \gamma ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { v } } } & { = \mathcal { L } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { v } } - \rho \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { e } } ( \boldsymbol { r } , t ) } \\ & { = \mathcal { L } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { v } } + \rho \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { e } } ( \boldsymbol { r } ) \frac { t } { \sqrt { 2 \pi } \tau ^ { 3 } } e ^ { - t ^ { 2 } / { 2 \tau ^ { 2 } } } , } \end{array}
- \frac { { \partial \left\langle { { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } } { { \partial t } } \approx 2 { \left| \lambda \right| _ { \infty } } { \left\| { \bf { q } } \right\| _ { \infty } } \left\langle { { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } } \right\rangle ,
{ \hat { \omega } } ^ { 2 } = m ^ { 2 } ( { \hat { \Pi } } ) + { \hat { \Pi } } ^ { 2 } ; \quad \Sigma _ { g } = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { s } { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } \sigma _ { \mu \nu } ,
\widetilde { f } _ { b } ^ { s , e } \Big ( z _ { 0 } \Big ) \leq \widetilde { f } _ { d } ^ { s , e } \Big ( z _ { 0 } \Big ) \leq \operatorname* { m a x } _ { s < t < e } \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { f } _ { t } ^ { s , e } ( z ) \Big | - 2 \gamma \leq \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { F } _ { b } ^ { s , e } ( z ) \Big | - \gamma ,
\begin{array} { r l } { \int _ { S } \Theta _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } } & { + \mathrm { d e g } ( \overline { { \mathcal { L } } } ) \delta _ { ( m , \mu ) = ( 0 , 0 ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { S - \cup D _ { P , \epsilon } } ( \Theta _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } + \Omega \delta _ { ( m , \mu ) = ( 0 , 0 ) } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { \partial ( S - \cup D _ { P , \epsilon } ) } \mathrm { d ^ { c } } \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } } \\ & { = \mathrm { d e g } \ \mathrm { N L } _ { \mathbb { V } } ( m ) _ { \mu } - \sum _ { P \in \overline { { S } } \, \backslash \, S } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { \partial D _ { P , \epsilon } } \mathrm { d ^ { c } } \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } } \\ & { = \mathrm { d e g } \ \mathrm { N L } _ { \mathbb { V } } ( m ) _ { \mu } - \sum _ { P \in \overline { { S } } \, \backslash \, S } \mathrm { r e s } _ { P } \ \partial \mathfrak { g } _ { \mathbb { V } } ^ { \circ } ( y ) _ { m , \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \right\| _ { X } } & { = \left\| \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right\| _ { X } = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 } \frac { \left\| \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( x + u ) } \\ { u } \end{array} \right] \right\| _ { X } } { \left\| \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { u } \end{array} \right] \right\| _ { X } } = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 } \frac { \left\| \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } X ^ { \frac 1 2 } ( x + u ) } \\ { u } \end{array} \right] \right\| } { \left\| \left[ \begin{array} { l } { X ^ { \frac 1 2 } x } \\ { u } \end{array} \right] \right\| } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 } \frac { \frac { 1 } { 4 } X ( x + u ) ^ { 2 } + u ^ { 2 } } { X x ^ { 2 } + u ^ { 2 } } = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 } \frac { \frac { 1 } { 4 } X ( x + u ) ^ { 2 } - X x ^ { 2 } } { X x ^ { 2 } + u ^ { 2 } } + 1 > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \textrm { d } p } { \textrm { d } t } = \gamma \frac { p } { \varrho } \frac { \textrm { d } \varrho } { \textrm { d } t } = - \gamma p \nabla \cdot \mathbf { v } _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { g ( \mathbf { r } ) = a \cdot \frac { \tau _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \mathbf { r } ) } { \tau ( \mathbf { r } ) } , \qquad \tau _ { \mathrm { ~ W ~ } } ( \mathbf { r } ) = \frac { | \nabla \rho ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } } { 8 \rho ( \mathbf { r } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial t } = \biggl [ - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } + g _ { i i } \frac { | \phi _ { i } | ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - g _ { 1 2 } \frac { | \phi _ { j } | ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \\ { + g _ { L H Y } | \frac { \phi _ { i } } { r } | ^ { 3 } + V _ { 0 } | \Psi ( r ) | ^ { 2 } \biggr ] \phi _ { i } } \end{array}
\mathcal { S } ( \Delta ) \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \ x ^ { 2 } \ln \left\{ 1 + \exp \left[ \beta \mu - x ^ { 2 } - \frac { \hbar \beta } { 4 \omega _ { \mathrm { r e c } } } \left( \Delta + \frac { m _ { \mathrm { e x } } } { \beta \hbar } x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] \right\} ,
{ \cal V } ^ { \prime \prime } + \left[ k ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ( \eta _ { c } - \eta ) ^ { 2 } } \right] { \cal V } = 0 , ~ ~ ~ { \cal W } ^ { \prime \prime } + \left[ k ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ( \eta _ { c } - \eta ) ^ { 2 } } \right] { \cal W } = 0
\begin{array} { r l } & { \Dot { x _ { 1 } } = x _ { 3 } x _ { 4 } , \quad \Dot { x _ { 2 } } = x _ { 5 } x _ { 6 } , \quad \Dot { x _ { 3 } } = - \sin ( x _ { 1 } ) \Dot { x _ { 1 } } = - \sin ( x _ { 1 } ) x _ { 3 } x _ { 4 } , } \\ & { \Dot { x _ { 4 } } = - \sin ( x _ { 2 } ) x _ { 5 } x _ { 6 } , \quad \Dot { x _ { 5 } } = \exp ( x _ { 1 } ) \Dot { x _ { 1 } } = x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } , \quad \Dot { x _ { 6 } } = x _ { 5 } x _ { 6 } ^ { 2 } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = n \left[ d r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } d \theta ^ { 2 } + \left( \frac \zeta { \sqrt { 2 n } } d \phi + \frac \zeta { \sqrt { 2 n ^ { 3 } } } d \theta \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { P \to A } ^ { ( H ) } = e ^ { \beta ( h - \Delta E ) } \Gamma _ { H } ^ { 0 } \quad \quad } & { \Gamma _ { A \to P } ^ { ( H ) } = \Gamma _ { H } ^ { 0 } } \\ { \Gamma _ { P \to A } ^ { ( I ) } = e ^ { - \beta \Delta E } \Gamma _ { I } ^ { 0 } \quad \quad } & { \Gamma _ { A \to P } ^ { ( I ) } = \Gamma _ { I } ^ { 0 } e ^ { \beta z ( s / N _ { S } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \mathbb { D } ^ { - 1 } [ g ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } ( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } ) . } \end{array}
\nu _ { 2 } ^ { * } = \mu _ { m a x , P H } \frac { S _ { I C } ^ { * } } { K _ { P H , I C } + S _ { I C } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { P H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n , * } } { K _ { P H , O _ { 2 } } ^ { i n , * } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \frac { I _ { 0 } } { I _ { o p t , P H } } \ e ^ { ( 1 - \frac { I _ { 0 } } { I _ { o p t } } ) } \psi _ { P H } ^ { * }
0 = \Delta \mathbf { r } \approx \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { T } } \Delta \mathbf { T } + \frac { d \mathbf { r } } { d \mathbf { \Psi } } \Delta \mathbf { \Psi } + \frac { d \mathbf { r } } { d L _ { x } } \Delta L _ { x } .
d ( x , z ) = 1 - \biggl [ F \biggl ( \frac { x - x _ { s } ^ { d } } { \delta _ { s } ^ { d } } \biggl ) - F \biggl ( \frac { x - x _ { e } ^ { d } } { \delta _ { e } ^ { d } } + 1 \biggl ) \biggl ] \mathcal { H } ( z - H ) .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { m } \partial _ { m } \boldsymbol { v } \left( \boldsymbol { x } \right) } & { { } = } & { \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } \right] \left( \begin{array} { c c } { \cos \phi } & { - \sin \phi } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } \end{array} \; \right) \boldsymbol { v } \left( \boldsymbol { x } _ { 0 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { e ^ { - } } } \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , j } ^ { \mathrm { ~ F ~ E ~ P ~ } } \right) } & { { } = \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ C ~ O ~ M ~ } } } \mathcal { L } \left( E _ { \mathrm { ~ k ~ } , i } ^ { \mathrm { ~ C ~ O ~ M ~ } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ( x , t ) = } & { \alpha ( x , t ) - \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \phi } } ( x , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \varphi } } ( x , y ) \beta ( y , t ) d y - \bar { \gamma } ( x ) { X } ( t ) , } \\ { w ( x , t ) = } & { \beta ( x , t ) - \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \Psi } } ( x , y ) \alpha ( y , t ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { x } { \bar { \Phi } } ( x , y ) \beta ( y , t ) d y - \bar { \lambda } ( x ) { X } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { R e = \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ } } { \mathrm { ~ v ~ i ~ s ~ c ~ o ~ u ~ s ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ } } = \frac { F _ { I } } { F _ { \nu } } \sim \frac { \rho d ^ { 3 } ( U ^ { 2 } / d ) } { \mu ( U / d ) d ^ { 2 } } = \frac { \rho U d } { \mu } = \frac { U d } { \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V a r ( 1 / X ) } & { = E \left[ \frac { 1 } { X ^ { 2 } } \right] - E \left[ \frac { 1 } { X } \right] ^ { 2 } } \\ & { \leq E \left[ \frac { 1 } { X } \frac { 1 } { k } \right] - E \left[ \frac { 1 } { X } \right] ^ { 2 } } \\ & { = E \left[ \frac { 1 } { X } \right] \frac { 1 } { k } - E \left[ \frac { 1 } { X } \right] ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { m a x } _ { c \in [ 1 / m , 1 / k ] } \left[ \frac { c } { k } - c ^ { 2 } \right] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ m ~ \geq ~ 2 k ~ } } \\ { \frac { 1 } { m k } - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ m ~ \in ~ [ k , ~ 2 k ] ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { S p D } _ { 5 6 } \left( E ^ { { \vec { \alpha } } _ { 5 } } \right) = \left( \begin{array} { l l } { { { \bf 0 } } } & { { B [ { { \vec { \alpha } } _ { 5 } } ] } } \\ { { C [ { { \vec { \alpha } } _ { 5 } } ] } } & { { { \bf 0 } } } \end{array} \right)
E _ { c } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } = \langle \Psi | \hat { \mathcal { H } } | \Psi \rangle - \langle \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } | \hat { \mathcal { H } } | \Psi _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ S ~ D ~ } } \rangle
h _ { c m } \ = \ - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \partial _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } ( \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \partial _ { i } ) ^ { 2 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } y _ { i } \partial _ { i }
\begin{array} { l } { { \displaystyle p ^ { \mu } \hat { \Gamma } _ { \mu \rho \sigma } ^ { \hat { A } \hat { W } ^ { + } \hat { W } ^ { - } } ( p , p _ { + } , p _ { - } ) = e [ \hat { \Gamma } _ { \rho \sigma } ^ { \hat { W } ^ { + } \hat { W } ^ { - } } ( - p _ { - } ) - \hat { \Gamma } _ { \rho \sigma } ^ { \hat { W } ^ { + } \hat { W } ^ { - } } ( p _ { + } ) ] , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { | D | = N } | L _ { D } | \lesssim \sqrt { N ^ { 3 } \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \log ( \frac { n e } { N } ) } + N \epsilon \log ( \frac { n e } { N } ) \lesssim \sqrt { N ^ { 3 } \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } \log ( \frac { n e } { N } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { d } ^ { \star } } & { { } = A x ^ { \star } - p + \underline { d } ^ { \star } \geq A x ^ { \star } - p , } \\ { \underline { d } ^ { \star } } & { { } = - ( A x ^ { \star } - p ) + \overline { d } ^ { \star } \geq - ( A x ^ { \star } - p ) . } \end{array}
\Omega ( \phi ) = \frac { e ^ { - \phi } } { 2 \sqrt { \kappa } } \sqrt { \frac { e ^ { - 2 \phi } } { \kappa } - 1 } - \frac { 1 } { 2 } l n \left( \frac { e ^ { - \phi } } { \sqrt { \kappa } } + \sqrt { \frac { e ^ { - 2 \phi } } { \kappa } - 1 } \right)
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \quad \mathbf y \in \mathcal B , } \\ & { \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \quad \mathbf y \in \mathcal B , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i j k } C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k } \left( C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } + C _ { i k j } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { k } \hat { \lambda } _ { j } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k } \left( C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } - C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { k } \hat { \lambda } _ { j } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k } C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \left( \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { k } - \hat { \lambda } _ { k } \hat { \lambda } _ { j } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k } C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \left[ \hat { \lambda } _ { j } , \hat { \lambda } _ { k } \right] } \\ & { = } & { i \sum _ { i j k } C _ { i j k } C _ { j k l } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { l } } \\ & { = } & { i \sum _ { i j k } C _ { j k i } C _ { j k l } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { l } } \\ & { = } & { 3 i \sum _ { i } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\dot { y } = U _ { s } ^ { ( 2 ) } \sin ( \phi _ { 2 } ) - U _ { s } ^ { ( 1 ) } \sin ( \phi _ { 1 } ) - \frac { 3 y \left( x _ { i } S _ { i j } ^ { ( 1 ) } x _ { j } + x _ { i } S _ { i j } ^ { ( 2 ) } x _ { j } \right) } { 8 \pi \mu ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } ,
L _ { \mathrm { c h e m } } = \dot { M } _ { c } \Delta X _ { \mathrm { m e l t } } \left[ \left. { \frac { \partial E } { \partial X } } \right| _ { c } - \left\langle { \frac { \partial E } { \partial X } } \right\rangle \right] = \dot { M } _ { c } \Delta X _ { \mathrm { m e l t } } \, \alpha \left. { \frac { \partial E } { \partial X } } \right| _ { c } ,
\mathcal { I } _ { G } ( t , u ) = \mathbf { 1 } _ { \left\{ \theta _ { 1 } \leq \frac { \beta _ { G } } { K } S ( t ) I ( t ) , \, \theta _ { 2 } \leq \frac { s _ { k } ^ { H } ( t ) } { S ( t ) } , \, \theta _ { 3 } \leq \frac { s _ { \ell } ^ { W } ( t ) } { S ( t ) } \right\} } .
\begin{array} { r l } & { \hat { V } _ { m } ( x _ { t + 1 \mid t } ) \leqslant c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t + 1 } , u _ { t + 1 + i \mid t + 1 } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t + 1 } , u _ { t + N \mid t + 1 } ) } \\ & { \quad + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 2 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t + 1 } , u _ { t + 1 + i \mid t + 1 } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u _ { t + N \mid t + 1 } ) } \\ & { \quad + \sum _ { i = 0 } ^ { N - 2 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + 1 + i \mid t } , u _ { t + 1 + i \mid t } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + i \mid t } , u _ { t + i \mid t } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N + 1 \mid t + 1 } ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) - c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N \mid t } ) } \\ & { \quad - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \\ & { = c _ { \mathrm { f } } ( \bar { f } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) ) + c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t + N \mid t } , u ^ { \prime } ) - c _ { \mathrm { f } } ( x _ { t + N \mid t } ) } \\ & { \quad - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \\ & { \leqslant - c _ { \mathrm { s } } ( x _ { t } , u _ { t \mid t } ^ { \ast } ) + V _ { m } ( x _ { t } ) } \end{array}
d s _ { K K M } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + d y _ { 1 } ^ { 2 } + \dots + d y _ { D - 5 } ^ { 2 } + H ^ { - 1 } ( d z + A _ { i } d x ^ { i } ) ^ { 2 } + H d x _ { i } d x ^ { i } , \qquad i = 1 \dots 3 ,
\Phi ( \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } ) \simeq \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } / \ln 2 = 1 . 4 4 \eta _ { \mathrm { ~ d ~ } } \mathrm { ~ ( ~ b ~ i ~ t ~ s ~ p ~ e ~ r ~ c ~ h ~ a ~ n ~ n ~ e ~ l ~ u ~ s ~ e ~ ) ~ . ~ }
\left( \widehat { Q } _ { n , \lambda , \gamma } ( u ) \right) _ { ( n - k , k ) , ( s , i ) } = \frac { 1 } { u + \lambda s i + \gamma i } \sum _ { \mathfrak { i } \in \mathcal { I } _ { n } ( k , m , i ) } \prod _ { j = 0 } ^ { m } q _ { n , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u ) g _ { n , m , \lambda , \gamma } ( \mathfrak { i } , j ; u )
\begin{array} { r l } { X _ { t } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \psi _ { j } \frac { ( \nu ) _ { n } } { n ! } ( m u B - B ^ { m } ) ^ { n } \epsilon _ { t - j - n } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \psi _ { j } { \frac { ( \nu ) _ { n } } { n ! } } \sum _ { r = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { r } \binom { n } { r } ( m u ) ^ { n - r } B ^ { 2 r } \epsilon _ { t - n } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \psi _ { j } { \frac { ( \nu ) _ { n } } { n ! } } ( m u - 1 ) ^ { n } \epsilon _ { t - n - 2 j } . } \end{array}