harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { R a d i a l ~ p r o j e c t i o n s } \, } & { \Longrightarrow A B C \mathrm { ~ T h e o r e m } } \\ & { \Longrightarrow \, \mathrm { P r o j e c t i o n s ~ o f ~ r e g u l a r ~ s e t s } } \\ & { \Longrightarrow \, \mathrm { F u r s t e n b e r g ~ s e t s ~ a s s o c i a t e d ~ w i t h ~ r e g u l a r ~ l i n e ~ s e t s } } \\ & { \Longrightarrow \, \mathrm { F u r s t e n b e r g ~ s e t s ~ a s s o c i a t e d ~ w i t h ~ g e n e r a l ~ l i n e ~ s e t s } } \\ & { \Longrightarrow \, \mathrm { P r o j e c t i o n s ~ o f ~ g e n e r a l ~ s e t s ~ a n d ~ d i s c r e t i s e d ~ s u m ~ p r o d u c t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( t ) } & { = } & { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( 0 ) \; e ^ { - \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } t } , } \\ { n _ { \mathrm { C _ { 4 } H _ { n } ^ { + } } } ( t ) } & { = } & { n _ { \mathrm { C a ^ { + } } } ( 0 ) \; \frac { \tilde { k } ^ { ( 2 ) } } { \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { k } _ { \mathrm { t o t } } t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j \in \mathcal { S } \setminus \{ i \} } \mathrm { C o v } \{ n _ { i } , n _ { j } \} \frac { \partial \ln [ X _ { j } ] _ { \mathrm { s s } } } { \partial \lambda } } \\ & { = - \mathrm { V a r } \{ n _ { i } \} \frac { \partial } { \partial \lambda } \ln \left( \sum _ { j \in \mathcal { S } \setminus \{ i \} } [ X _ { j } ] _ { \mathrm { s s } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } E [ u ] ( t ) } & { = \int _ { U } D u _ { t } D u \, d x } \\ & { = - \int _ { U } u _ { t } \Delta u \, d x + \int _ { \partial U } \frac { \partial U } { \partial \nu } u _ { t } \, d S ( x ) } \\ & { = - \int _ { U } ( u _ { t } ) ^ { 2 } \, d x + \int _ { \partial U } \frac { \partial U } { \partial \nu } u _ { t } \, d S ( x ) . } \end{array}
\tilde { \psi } _ { X } ( X _ { \xi } , k ) = [ \tilde { \psi } _ { X } ( X _ { \xi } , k ) - \tilde { \psi } _ { X } ^ { \mathrm { q h } } ( X _ { \xi } , k ) ] + \tilde { \psi } _ { X } ^ { \mathrm { q h } } ( X _ { \xi } , k )
\begin{array} { r l } { v ( 1 , ( 1 , 0 ) ) } & { = ( 0 . 9 9 9 8 4 7 6 9 5 1 5 6 3 9 1 , 0 . 0 1 7 4 5 2 4 0 6 4 3 7 2 8 3 5 , 0 . 0 ) } \\ & { = \left( \cos \left( \frac { \pi } { 1 8 0 } \right) , \sin \left( \frac { \pi } { 1 8 0 } \right) , 0 \right) } \\ & { = \left( \cos ( 1 ° ) , \sin ( 1 ° ) , 0 \right) } \\ { v ( 2 , ( 1 , 0 ) ) } & { = 2 \, v ( 1 , ( 1 , 0 ) ) } \\ { v ( 3 , ( 1 , 0 ) ) } & { = 3 \, v ( 1 , ( 1 , 0 ) ) } \\ { v ( 1 , ( 1 , 1 ) ) } & { = ( 0 . 9 9 9 6 9 5 4 1 3 5 0 9 5 4 8 , 0 . 0 1 7 4 4 9 7 4 8 3 5 1 2 5 0 5 , 0 . 0 1 7 4 5 2 4 0 6 4 3 7 2 8 3 5 ) } \\ & { = \left( \cos ( 1 ° ) \cos ( 1 ° ) , \ \sin ( 1 ° ) \cos ( 1 ° ) , \ \sin ( 1 ° ) \right) } \end{array}
T ^ { + 2 } = - 2 i e _ { q } ^ { + } e _ { q } ^ { + } - 2 i \pi _ { q } ^ { 2 + } \pi _ { q } ^ { 2 + } , \quad T ^ { - 2 } = - 2 i \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } \pi _ { \dot { q } } ^ { 1 - } - 2 i e _ { \dot { q } } ^ { - } e _ { \dot { q } } ^ { - }
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { - } ( x ^ { - } ) } & { = - P _ { 1 } ( \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } ) , \quad x ^ { - } \in X ^ { - } = L ^ { 2 } ( ( a , l ) , \mathbb { R } ^ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { N } ^ { + } ( x ^ { + } ) } & { = - P _ { 1 } ( \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } ) , \quad x ^ { + } \in X ^ { + } = L ^ { 2 } ( ( l , b ) , \mathbb { R } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\delta \psi _ { 0 } = D _ { 0 } \epsilon + { \frac { i } { 8 } } X _ { I } \Gamma _ { 0 } { } ^ { \nu \rho } F _ { \mu \rho } { } ^ { I } - { \frac { i } { 2 } } \Gamma ^ { \rho } X _ { I } F _ { 0 \rho } { } ^ { I } \epsilon ,
f _ { 0 } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) = \frac { n } { ( 2 \pi k _ { b } T / m ) ^ { 3 / 2 } } \exp ( - \frac { m ( \mathbf { u } - \mathbf { v } ) ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } ) ,
\begin{array} { r } { \Sigma _ { k } \textbf { p } _ { k } ( t _ { n } + \delta t / 2 ) = \Sigma _ { k } \textbf { p } _ { k } ( t _ { n } - \delta t / 2 ) + \delta t \Sigma _ { k } \textbf { f } _ { k } ( t _ { n } ) } \\ { = \Sigma _ { k } \textbf { p } _ { k } ( t _ { n } - \delta t / 2 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n ^ { ( 1 ) } \rangle } & { { } = { \frac { V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } } } | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 2 ) } \rangle } & { { } = \left( { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } E _ { n k _ { 2 } } } } - { \frac { V _ { n n } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { n k _ { 1 } } ^ { 2 } } } \right) | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { V _ { n k _ { 1 } } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 2 } } } | n ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 3 ) } \rangle } & { { } = { \Bigg [ } - { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } E _ { n k _ { 3 } } } } + { \frac { V _ { n n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } } } \left( { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 1 } } } } + { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 2 } } } } \right) - { \frac { | V _ { n n } | ^ { 2 } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } ^ { 3 } } } + { \frac { | V _ { n k _ { 2 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 1 } n } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { n k _ { 2 } } } } \left( { \frac { 1 } { E _ { n k _ { 1 } } } } + { \frac { 1 } { 2 E _ { n k _ { 2 } } } } \right) { \Bigg ] } | k _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \rangle } \\ { | n ^ { ( 4 ) } \rangle } & { { } = { \Bigg [ } { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } k _ { 4 } } V _ { k _ { 4 } k _ { 2 } } + V _ { k _ { 3 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } V _ { k _ { 4 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 2 } k _ { 4 } } } { 2 E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } ^ { 2 } E _ { k _ { 2 } k _ { 4 } } } } - { \frac { V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } V _ { k _ { 3 } k _ { 4 } } V _ { k _ { 4 } n } V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 1 } n } E _ { k _ { 2 } n } E _ { n k _ { 3 } } E _ { n k _ { 4 } } } } + { \frac { V _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 1 } n } } } \left( { \frac { | V _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 2 } k _ { 2 } } } { E _ { k _ { 2 } k _ { 3 } } ^ { 3 } } } - { \frac { | V _ { n k _ { 3 } } | ^ { 2 } V _ { k _ { 2 } n } } { E _ { k _ { 3 } n } ^ { 2 } E _ { k _ { 2 } n } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { i j k l } } & { { } \! = \! } & { \langle x _ { i } x _ { j } x _ { k } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { j } \rangle \langle x _ { k } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { k } \rangle \langle x _ { j } x _ { l } \rangle - \langle x _ { i } x _ { l } \rangle \langle x _ { j } x _ { k } \rangle } \end{array}
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle { n _ { k } ^ { \alpha } } ^ { \prime } = \sum _ { l = 1 } ^ { k } n _ { l } ^ { \alpha } \ , } } \\ { { \displaystyle { \varphi _ { k } ^ { \alpha } } ^ { \prime } = \varphi _ { k } ^ { \alpha } + 2 { n _ { k } ^ { \alpha } } ^ { \prime } \pi \ , } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { H } _ { i , j } ^ { \mathrm { ~ f ~ l ~ o ~ w ~ } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \sigma _ { i , j } < - n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h } \sigma _ { i , j } + \frac { 1 } { \pi } \sin \left( \frac { \pi } { n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h } \sigma _ { i , j } \right) \right) , } & { | \sigma _ { i , j } | \le n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h , } \\ { 1 , } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \\ { \widetilde { H } _ { i , j } ^ { \mathrm { ~ b ~ o ~ d ~ y ~ } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \psi _ { i , j } < - n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h } \psi _ { i , j } + \frac { 1 } { \pi } \sin \left( \frac { \pi } { n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h } \psi _ { i , j } \right) \right) , } & { | \psi _ { i , j } | \le n _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ s ~ } } \, h , } \\ { 1 , } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \sigma _ { \Omega } T ( n , \Omega ) = } & { \frac { \beta } { 2 n G _ { n } ^ { \Omega } ( 1 ) } \Big ( G _ { n } ^ { \Omega } ( 1 ) F _ { n , \Omega } ^ { \prime } ( 1 ) - F _ { n , \Omega } ( 1 ) \mathcal { H } _ { n } ^ { \prime } ( 1 ) \Big ) } \\ & { + \frac { \beta } { 2 n G _ { n } ^ { \Omega } ( 1 ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \big [ r ^ { 2 n + 1 } \mathcal { H } _ { n } ^ { \prime } ( r ) \big ] ^ { \prime } F _ { n , \Omega } ( r ) d r , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ( b + c ) = a [ b , e , c ] = [ a b , a e , a c ] = a b - a e + a c , \qquad ( a + b ) c = a c - e c + b c , } \\ & { a ( b - c ) = a [ b , c , e ] = [ a b , a c , a e ] = a b - a c + a e , \qquad ( a - b ) c = a c - b c + e c , } \\ & { a ( - b ) = a ( e - b ) = a e - a b + a e , \qquad ( - a ) b = e b - a b + e b . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { i d _ { V ( a _ { 0 } ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 1 } ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 2 } ) } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ~ o r ~ } \qquad \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { i d _ { V ( a _ { 0 } ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \left< h ( x ) ^ { 2 } \right> } & { \approx } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } y \int _ { 0 } ^ { \frac x \mu } \mathrm { d } t ^ { \prime } \, P _ { 0 } ^ { \mu } ( x - y , t ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 8 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \frac x \mu } \frac { \mathrm { d } t ^ { \prime } } { \sqrt { t ^ { \prime } } } = \sqrt { \frac { x } { 2 \pi \mu } } . } \end{array}
- \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \tilde { \rho } \tilde { f } ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot ( \tilde { h } \tilde { h } ^ { T } \tilde { \rho } ) ) = - M ( \rho ) ^ { - 1 } \frac { \delta \mathcal { E } ( \rho ; \rho _ { \mathrm { p o s t } } ) } { \delta \rho } | A ^ { - 1 } | ,
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf S } _ { \mathrm { P } } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { R e } \left( { \bf E } \times { \bf H } ^ { \star } \right) + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu } \mathrm { R e } \left( \phi { \bf A } ^ { \star } \right) \, , } \\ { \langle u _ { \mathrm { P } } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \mathrm { R e } \left( { \bf B } \cdot { \bf H } ^ { \star } + { \bf D } \cdot { \bf E } ^ { \star } \right) } \\ & { + } & { \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 4 \mu c ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left( | \phi | ^ { 2 } + c ^ { 2 } | { \bf A } | ^ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \tilde { \xi } } } & { = } & { \left\{ \tilde { H } , \tilde { \xi } \right\} } \\ & { = } & { { \bf E } \left( t \right) \cdot \sum _ { k } { n _ { k } \int { \tilde { \phi } _ { k } ^ { * } \left( - i \nabla + { \bf A } \left( t \right) \right) \tilde { \phi } _ { k } \ \mathrm { d } { \bf x } } } , } \\ & { = } & { { \bf E } \left( t \right) \cdot \int { { \bf j } \left( { \bf x } , t \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \end{array}
\lambda u _ { \lambda } ^ { \mathrm { { D r a i n e } } } = 6 . 8 4 \times 1 0 ^ { - 1 4 } \frac { 3 1 . 0 1 6 \lambda _ { 3 } ^ { 2 } - 4 9 . 9 1 3 \lambda _ { 3 } + 1 9 . 8 9 7 } { \lambda _ { 3 } ^ { 5 } }
j _ { h } = \cos \vartheta \, j _ { h _ { 0 } } - \sin \vartheta \, j _ { \sigma _ { 0 } } \mathrm { ~ a n d ~ } j _ { \sigma } = \cos \vartheta \, j _ { h _ { 0 } } + \sin \vartheta \, j _ { h _ { 0 } } .
\begin{array} { r } { C L = I ^ { + } + 2 I ^ { - } = \iint _ { 0 } \displaylimits ^ { + \infty } \left\{ \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } h ^ { + } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , m , m _ { 1 } ) \delta \left[ g ^ { + } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , m , m _ { 1 } ) \right] d m _ { 1 } \right. } \\ { - 2 \left. \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { + \infty } h ^ { - } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , m , m _ { 1 } ) \delta \left[ g ^ { - } ( k , k _ { 1 } , k _ { 2 } , m , m _ { 1 } ) \right] d m _ { 1 } \right\} \, d k _ { 1 } \, d k _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { m a } ^ { \mathrm { R P A } } } & { = z _ { m a } } \\ & { + \sum _ { b n } \left( \frac { Z _ { b n } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { m n a b } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { n } - \omega } + \frac { Z _ { n b } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { m b a n } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { n } + \omega } \right) \, , } \\ { Z _ { a m } ^ { \mathrm { R P A } } } & { = z _ { a m } } \\ & { + \sum _ { b n } \left( \frac { Z _ { b n } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { a n m b } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { n } - \omega } + \frac { Z _ { n b } ^ { \mathrm { R P A } } \tilde { g } _ { a b m n } } { \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { n } + \omega } \right) \, , } \end{array}
I _ { B } ( T ) = I _ { B } ( 0 ) \frac { k _ { r B } } { k _ { r B } + k _ { n r B } } + ( \frac { k _ { T R } k _ { r B } } { k _ { r B } + k _ { n r B } } ) ( \frac { I _ { A } ( 0 ) } { k _ { r A } + k _ { n r A } + k _ { T R } } )
\begin{array} { r l } { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) } } } & { = 0 \, , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i k } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) ( \Delta G _ { l j } ^ { \lambda } ( t _ { 0 } ) ) ^ { * } } } } & { = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } n _ { j } ( 1 \pm n _ { i } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { i } { c ^ { 2 } k } \bigg [ \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } k } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } \, V + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } ( \omega - v _ { | | } k ) } { n _ { 0 } } N \bigg ] B _ { w } = \frac { i \omega _ { p e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } k n _ { 0 } } \frac { ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } N B _ { w } } \end{array}
{ \cal E } _ { f } \ = \ - \frac 1 4 C _ { s } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \int _ { m } ^ { \infty } d k [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ^ { 1 - s } \frac { \partial } { \partial k } [ \ln f _ { l } ( i k ) - \ln f _ { l } ^ { a s } ( i k ) ]
\begin{array} { c } { { \chi ( a , b ) = \chi ( a ) + \chi ( b ) + n _ { 2 } ( a ) n _ { 1 } ( b ) } } \\ { { \chi ( c , d ) = \chi ( c ) + \chi ( d ) + n _ { 2 } ( c ) n _ { 1 } ( d ) } } \\ { { \chi ( a , d ) = \chi ( a ) + \chi ( d ) + n _ { 2 } ( a ) n _ { 1 } ( d ) } } \\ { { \chi ( b ) = \chi ( c ) } } \\ { { ( \epsilon _ { ( b , c ) } ) _ { n } = ( - ) ^ { n _ { 2 } ( b ) } q ^ { \frac { 1 } { 2 } ( n _ { 1 } ( b ) - n _ { 2 } ( b ) ) } } } \end{array}
\| v _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| v _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \sharp } ^ { 1 } ( \Omega ) ) } + \| \partial _ { t } v _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \sharp } ^ { - 1 } ( \Omega ) ) } \leq C _ { \Vec { B } , J } ( \| w _ { 0 } \| _ { 2 } + \| v _ { 0 } \| _ { 2 } + \| F \| _ { \infty } \sqrt { T } ) ,
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { 1 \le n \le X _ { 0 } } n ^ { - s } \right| } & { \le \sum _ { 1 \le n \le X _ { 0 } } n ^ { - \sigma _ { k } } \le 1 + \int _ { 1 } ^ { X _ { 0 } } u ^ { - \sigma _ { k } } \mathrm { d } u } \\ & { = 1 + \frac { X _ { 0 } ^ { 1 - \sigma } - 1 } { 1 - \sigma } \le 1 + \frac { 2 K - 2 } { k } ( t ^ { \phi k / ( 2 K - 2 ) } - 1 ) } \end{array}
\int _ { \Omega } \rho \left( \partial _ { t } \boldsymbol { u } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } \right) \cdot \boldsymbol { \nu } d \Omega = \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } ) \cdot \boldsymbol { \nu } d \Omega + \int _ { \Omega } \boldsymbol { f } \cdot \boldsymbol { \nu } d \Omega
J _ { 0 } = - 1 + \frac { V ^ { \prime } \left( - \left| \lambda \right| ^ { 2 } \right) } { \left| \lambda \right| ^ { 2 } } \varphi \star \varphi ^ { \dagger } + \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } J _ { i j } \star J ^ { i j } \right) ^ { 1 / 2 } .
H _ { 0 } \underset { | \frac { E } { r B } | \ll \omega _ { c } } { \approx } \frac { M } { 2 } v _ { c } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 M } P ^ { 2 } + \frac { M } { 2 } \frac { E ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } + q \Phi .
\begin{array} { r l } { \underline { { E } } _ { i } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } & { = \left( \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lceil R ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + \lfloor S ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } } \\ & { \le \left( \lceil A + R ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } x + \lfloor A + S ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } \widehat { x } + C ^ { + } w + C ^ { - } \widehat { w } \right) _ { i } = \underline { { E } } _ { i } ^ { \mathrm { L i n } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { I _ { p } } \tilde { f } _ { j } ( g _ { j } - 1 ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \varphi ( t ) \, \mathrm { d } t } & { = } & { \int _ { I _ { p } } \tilde { f } _ { j } ( t ) \varphi ( t ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t } \sum _ { s \geq 0 } c _ { s } ^ { p } ( g _ { j } - 1 ) e ^ { 2 i \pi \frac { s t } { | I _ { p } | } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { + \infty } c _ { s } ^ { p } ( g _ { j } - 1 ) \int _ { I _ { p } } \tilde { f } _ { j } ( t ) \varphi ( t ) e ^ { 2 i \pi \lambda _ { \ell } t + \frac { 2 i \pi s t } { | I _ { p } | } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { + \infty } c _ { s } ^ { p } ( g _ { j } - 1 ) \sum _ { r \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { r } { \mathcal F } [ \varphi ] \left( \lambda _ { r } - \lambda _ { \ell } - \frac { s } { | I _ { p } | } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { r \in { \mathcal D } _ { j } } u _ { r } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } c _ { s } ^ { p } ( g _ { j } - 1 ) { \mathcal F } [ \varphi ] \left( \lambda _ { r } - \lambda _ { \ell } - \frac { s } { | I _ { p } | } \right) . } \end{array}
m _ { j } = 8 \, p ^ { \frac { r } { 6 s } } \left\{ \sum _ { a } \sin \frac { a \pi } { g } + \frac { 4 } { 3 } ( p ^ { \frac { r } { 6 s } } ) ^ { 2 } \sum _ { a } \sin ^ { 3 } \frac { a \pi } { g } + \ldots \right\} ,
\frac { M _ { H } ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \simeq \frac { 2 ( A - 1 ) } { 2 A - 1 } \left( \ln M ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \right) ^ { A } \frac { \left( \ln M ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \right) ^ { - 2 A + 1 } - \left( \ln \Lambda ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \right) ^ { - 2 A + 1 } } { \left( \ln M ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \right) ^ { - A + 1 } - \left( \ln \Lambda ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } \right) ^ { - A + 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ( y _ { i + 1 } - y _ { i - 1 } ) \right| = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } ( x _ { i + 1 } - x _ { i - 1 } ) \right| = { \frac { 1 } { 2 } } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } y _ { i + 1 } - x _ { i + 1 } y _ { i } ) \right| } \end{array}
\begin{array} { c } { { \textsl { f o r o n e - v e r t e x d e c o m p o s a b l e d i s c r e p a n c i e s , } } } \\ { { \textsl { o n l y t h e o n e - v e r t e x i r r e d u c i b l e d i a g r a m s c o n t r i b u t e . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { L } [ u ] - \mathcal { L } [ u ^ { * } ] \| } & { = \| E ^ { - 1 } \{ v E ( L [ u ] ) \} - E ^ { - 1 } \{ v E ( L [ u ^ { * } ] ) \} \| } \\ & { = \left\| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( L u - L u ^ { * } ) e ^ { - t v } d t \right) e ^ { t v } v d v \right\| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v } \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho \| u - u ^ { * } \| e ^ { - t v } d t \right) e ^ { t v } d v } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { v } \mathcal { L } ( \rho \| u - u ^ { * } \| ) e ^ { t v } d v } \\ & { = \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { v } \mathcal { L } ( \rho \| u - u ^ { * } \| ) \right\} \leq \vartheta \| u - u ^ { * } \| \mathrm { ~ w h e r e ~ } \vartheta = \rho t _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \int _ { V C ( t ) } \rho v _ { i } \, d \tau } & { = \int _ { V C ( t ) } \Big ( \partial _ { t } ( \rho v _ { i } ) + \nabla \cdot ( \rho v v _ { i } ) \Big ) d \tau } \\ & { = \int _ { V C ( t ) } \Big ( \rho \partial _ { t } v _ { i } + \rho v \nabla \cdot v _ { i } + v _ { i } \big ( \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho v ) \big ) \Big ) d \tau } \\ & { = \int _ { V C ( t ) } \rho \Big ( \partial _ { t } v _ { i } + v \cdot \nabla v _ { i } \Big ) d \tau } \\ & { = \int _ { V C ( t ) } \rho d _ { t } v _ { i } \, d \tau } \end{array}
s _ { i , j , g } = \sum _ { g ^ { ' } = 1 } ^ { N _ { g } } \Sigma _ { i , j , g ^ { ' } \rightarrow i , j , g } ^ { s } \phi _ { i , j , g ^ { ' } } ^ { ( k ) } + \lambda \chi _ { g } \sum _ { g ^ { ' } = 1 } ^ { N _ { g } } \nu _ { g ^ { ' } } \Sigma _ { i , j , g ^ { ' } } ^ { f } \phi _ { i , j , g ^ { ' } } ^ { ( k ) } \, .
\begin{array} { r l } { S } & { = \gamma \pi \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } C _ { 0 , \alpha } C _ { 0 , \beta } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { 0 , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { 0 , \beta } ^ { \prime } + \frac { 0 ^ { 2 } } { r } \psi _ { 0 , \alpha } \psi _ { 0 , \beta } \right) d r } \\ & { + \frac { \gamma \pi } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \infty } ( C _ { m , \alpha } C _ { m , \beta } + D _ { m , \alpha } D _ { m , \beta } ) } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } \psi _ { m , \beta } \right) d r , } \end{array}
{ \cal L } _ { \rho } = \lambda _ { 5 } \overline { { { f _ { L } } } } \rho \tau _ { 2 } { f _ { R } ^ { \prime } } + \lambda _ { 6 } \overline { { { f _ { L } } } } \rho ^ { c } \tau _ { 2 } { f _ { R } ^ { \prime } } + \mathrm { ~ H . c . }
\mathbb { E } [ G _ { s } ^ { \gamma } | \mathcal { F } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ] = \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) + ( \pi ^ { \gamma } - \pi ^ { \frac { \gamma } { 2 } } ) ( f ) ,
\langle \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) \rangle _ { \mathrm { c o n } } = ( - i ) ^ { n + 1 } \left. { \frac { \delta ^ { n } E } { \delta J ( x _ { 1 } ) \cdots \delta J ( x _ { n } ) } } \right| _ { J = 0 }
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } ( N , N ^ { \prime } ) } & { \geq \frac { \lfloor \eta N \rfloor } { \tilde { N } } \frac { \lfloor \eta N ^ { \prime } \rfloor } { \tilde { N ^ { \prime } } } \cdot A _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) } \\ & { \geq \frac { \eta ^ { 2 } } { 1 6 0 \cdot l } \cdot A _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 1 6 0 \cdot l \cdot Q ^ { 2 } \cdot R ^ { 2 } } \cdot A _ { 2 } ( N , N ^ { \prime } ) . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { c } _ { i j } } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } + \hbar ^ { 2 } \frac { \Lambda ^ { 2 } + 1 5 / 4 } { 2 \mu \rho ^ { 2 } } + v _ { c } ( r _ { i j } ) ,