harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Phi ( P ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Phi \big ( ( p _ { i } ^ { ( 1 ) } \, \cdots \, p _ { i } ^ { ( d ) } ) \big ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Phi \big ( ( p _ { i } ^ { ( 1 ) } \, 1 \, \cdots \, 1 ) \boxtimes \cdots \boxtimes ( 1 \, \cdots \, 1 \, p _ { i } ^ { ( d ) } ) \big ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { d } \varphi _ { k } ( p _ { i } ^ { ( k ) } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \prod _ { k = 1 } ^ { d } ( p _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { \alpha _ { k } } , } \end{array}
C = \left( \begin{array} { c c c c } { 9 . 9 7 1 2 5 \mathrm { e } { - 1 } } & { 2 . 6 2 5 0 0 \mathrm { e - } { 3 } } & { 2 . 5 0 0 0 0 \mathrm { e } { - 4 } } \\ { 1 . 6 7 5 0 0 \mathrm { e } { - 2 } } & { 9 . 8 1 2 5 0 \mathrm { e - } { 1 } } & { 2 . 0 0 0 0 0 \mathrm { e } { - 3 } } \\ { 6 . 1 2 5 0 0 \mathrm { e } { - 3 } } & { 4 . 3 3 7 5 0 \mathrm { e - } { 2 } } & { 9 . 5 0 5 0 0 \mathrm { e } { - 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } } & { : = ( 1 - \exp ( \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) ) ) ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) \mathcal { I } _ { \ell } , } \\ { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } } & { : = ( \exp ( \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) ) - 1 ) ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) ( 1 - \mathcal { I } _ { \ell } ) , } \\ { A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } } & { : = ( \exp ( \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) ) - 1 ) \mathcal { I } _ { \ell } , } \\ { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } } & { : = ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) \mathcal { I } _ { \ell } , } \\ { A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } } & { : = ( 1 - \exp ( \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) ) ) ( 1 - \mathcal { I } _ { \ell } ) , } \\ { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 6 ) } } & { : = \exp ( \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) ) ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) \mathcal { I } _ { \ell } , } \\ { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 7 ) } } & { : = ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) ( 1 - \mathcal { I } _ { \ell } ) , } \\ { A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } } & { : = \exp ( \Phi _ { \ell - 1 } ( \omega , \delta ) - \Phi _ { \ell } ( \omega , \delta ) ) ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) ( 1 - \mathcal { I } _ { \ell } ) . } \end{array}
\left. h _ { a } ^ { ( I ) } \right. ^ { 2 } = \left. h _ { b } ^ { ( I ) } \right. ^ { 2 } = \sigma ^ { ( I ) } , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \sigma ^ { ( I ) } = \frac { 1 } { t ^ { ( I ) } d _ { I } + \left. \vec { \alpha } ^ { ( I ) } \right. ^ { 2 } / 4 } .
\begin{array} { r l r } { \langle \xi _ { a s } ( t , k ) \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a c } ( t , q ) \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t _ { 1 } , k ) \xi _ { a s } ( t _ { 2 } , k ) \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t _ { 1 } , q ) \xi _ { a c } ( t _ { 2 } , q ) \rangle } & { = } & { n _ { t h } \delta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) , } \end{array}
{ \cal L } _ { e f f } = 2 t r \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } { \bf G } ^ { \mu \nu } { \bf G } _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal { \cal D } } _ { \mu } { \bf B } _ { i } ) ^ { 2 } \right] - W ( { \bf B } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { t } \rho \, \varphi \, \textup { d } y + \frac { D _ { T } } { L ^ { 2 } ( t ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { y } \rho \, \partial _ { y } \varphi \, \textup { d } y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \, \partial _ { y } \rho \, \varphi \, \textup { d } y + \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \bigl ( f _ { + } ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } - \bigl ( f _ { - } ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } \right) \partial _ { y } \varphi \, \textup { d } y } \\ & { \quad - \left( \beta _ { + } ( \Lambda ) \, f _ { + } ( t , 1 ) - \alpha _ { - } ( \Lambda ) \, g _ { - } ( \boldsymbol { f } ( t , 1 ) \right) \varphi ( 1 ) } \\ & { \quad - \left( \beta _ { - } ( \Lambda _ { \textup { s o m } } ) f _ { - } ( t , 0 ) - \alpha _ { + } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ) \, g _ { + } ( \boldsymbol { f } ( t , 0 ) ) \right) \varphi ( 0 ) . } \end{array}
U _ { i j } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { T ^ { ( i ) } G _ { j } T ^ { ( k ) } } } & { { f o r i \neq j w i t h k \neq i , j , } } \\ { { T ^ { ( i ) } ( G _ { k } T ^ { ( l ) } + G _ { l } T ^ { ( k ) } ) } } & { { f o r i = j w i t h k \neq l \neq i . } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r } { f _ { k } ^ { Y _ { N } } ( u ) \, = \, \frac { d } { d u } { \operatorname* { P r } } _ { k } \left\{ L ^ { Y } ( Y ) \le u \right\} \, = \, \frac { d } { d u } { \operatorname* { P r } } _ { k } \left\{ Y \le W ( u ) \right\} \, = \, f _ { k } ^ { Y } \left( W ( u ) \right) \frac { d } { d u } W ( u ) , \, k \in \{ 0 , 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } ^ { 2 } } \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) \right] ^ { N } \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] ^ { \hat { a } _ { l } } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \left\langle \boldsymbol { x } , \left( G _ { 1 } A _ { 1 } \cdots G _ { k } A _ { k } G _ { k + 1 } - M \left( z _ { 1 } , A _ { 1 } , \ldots , A _ { k } , z _ { k + 1 } \right) \right) \boldsymbol { y } \right\rangle \right| \prec \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { N } \eta ^ { k - m / 2 + 1 / 2 } } } & { d \leqslant 1 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { N } d ^ { k + 2 } } } & { d \geqslant 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta v _ { j , 0 } = v _ { j , 1 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega , } \\ { \cdots , } \\ { - \Delta v _ { j , s - 2 } = v _ { j , s - 1 } } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega , } \\ { - \Delta v _ { j , s - 1 } = f ( x , v _ { j , 0 } ) } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega , } \\ { v _ { j , 0 } = \cdots = v _ { j , s - 1 } = 0 } & { \mathrm { o n } \, \, \partial \Omega . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { E } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } \right) - \left( { \gamma - 1 } \right) ( \mathbf { E } \cdot \mathbf { \hat { v } } ) \mathbf { \hat { v } } } \\ { \mathbf { B } ^ { \prime } } & { = \gamma \left( \mathbf { B } - { \frac { \mathbf { v } \times \mathbf { E } } { c ^ { 2 } } } \right) - \left( { \gamma - 1 } \right) ( \mathbf { B } \cdot \mathbf { \hat { v } } ) \mathbf { \hat { v } } } \end{array} }
\Delta ( a _ { i } ( - l ) ) = a _ { i } ( - l ) \otimes \gamma ^ { - \frac { 3 l } { 2 } } + \gamma ^ { - \frac { l } { 2 } } \otimes a _ { i } ( - l ) \quad { \it m o d } \; U N _ { - } \otimes U N _ { + }
\begin{array} { r l } { { v _ { I } } _ { t } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { S _ { p } } } \left( \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } ( x , w ) \mathrm { d } x \mathrm { d } w \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { j } ^ { d } + g _ { j } ^ { r } \! = \frac { ( c _ { j } + \epsilon _ { j } ) ^ { - 1 } } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } d , \ \theta _ { j } ^ { d } \in \mathbb { R } _ { \ge 0 } \ \forall j \in \mathcal { G } } \\ & { d _ { l } ^ { d } + d _ { l } ^ { r } = d _ { l } , \ \! \! \forall l \in \mathcal { L } } \\ & { \lambda ^ { d } = \lambda ^ { r } = \frac { d } { \sum _ { k \in \mathcal { G } } ( c _ { k } + \epsilon _ { k } ) ^ { - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \delta _ { x _ { i , 0 } ^ { * } , I } \delta _ { \tau _ { i } , 0 } \prod _ { j \in \partial i } \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) } \\ { = : } & { { } \sum _ { v = 1 } ^ { 3 } \prod _ { j \in \partial i } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } \end{array}
- 3 2 ( u ^ { 4 } - 9 u v + 8 6 4 \mu ) ( 3 2 u ^ { 1 0 } v - 7 9 2 u ^ { 7 } v ^ { 2 } + 6 8 0 4 u ^ { 4 } v ^ { 3 } - 1 9 6 8 3 u v ^ { 4 } + 5 7 6 0 u ^ { 9 } \mu - 8 1 2 1 6 u ^ { 6 } v \mu - 6 9 9 8 4 u ^ { 3 } v ^ { 2 } \mu
\begin{array} { r } { f ^ { \sigma } \left( \theta ^ { \sigma } , \omega _ { \sigma } , t \right) = \frac { g ^ { \sigma } ( \omega ) } { 2 \pi } \Big [ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { \sigma } ^ { n } ( \omega _ { \sigma } , t ) e ^ { \imath n \theta ^ { \sigma } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bar { \alpha } _ { \sigma } ^ { n } ( \omega _ { \sigma } , t ) e ^ { - \imath n \theta ^ { \sigma } } \Big ] , } \end{array}
\left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ) \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } \leq \sigma ( l ) + \zeta \left( \sum _ { i \leq l } \left| \left\langle f ^ { * } , f _ { i } \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } \right| \left\| ( \Pi _ { { \cal F } _ { l } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } \right) .
\begin{array} { r l } { { U ^ { \dag } U } } & { { = V ^ { \dag } V + U ^ { \dag } U ^ { \prime } } } \\ { { } } & { { = 1 - K f K ^ { \dag } + ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } K f \Delta ^ { \dag } \Delta ^ { \prime } f K ^ { \dag } ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { = 1 - K f K ^ { \dag } } } \\ { { } } & { { \quad + ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } K f ( f ^ { - 1 } - K ^ { \dag } K ) f K ^ { \dag } ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { = 1 - K f K ^ { \dag } } } \\ { { } } & { { \quad + ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } ( K f K ^ { \dag } - K f K ^ { \dag } K f K ^ { \dag } ) ( 1 - K f K ^ { \dag } ) _ { \Pi } ^ { - 1 / 2 } } } \\ { { } } & { { = 1 - K f K ^ { \dag } + \Pi K f K ^ { \dag } \Pi } } \\ { { } } & { { = 1 - \Pi _ { 0 } K f K ^ { \dag } - K f K ^ { \dag } \Pi _ { 0 } + \Pi _ { 0 } = \Pi \ne 1 . } } \end{array}
\int _ { S } \frac { \partial \vec { B } } { \partial t } \cdot \hat { n } \, d S = \frac { d } { d t } \int _ { S } \vec { B } \cdot \hat { n } \, d S + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { l } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } ,
\begin{array} { r l } { F ( \Delta ) } & { { } = \frac { h } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ \varepsilon \left( \Delta - q \right) \left( 1 + \Delta - q \right) \left( 2 \Delta \varepsilon + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \frac { a } { h } \left( 2 \Delta + \left( 1 - 2 q \right) ( 1 + \varepsilon ) \right) - 4 \left( \frac { a } { h } \right) ^ { 2 } \left( 2 \Delta + 1 - 2 q \right) \right] , } \\ { D ( \Delta ) } & { { } = \frac { h } { 2 N } \frac { 1 } { 1 + \frac { 4 a } { h } } \left[ - \Delta ^ { 2 } \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + \frac { 4 a } { h } \right) + \left( 1 - \varepsilon + \frac { 4 a } { h } \right) \left( \frac { a } { h } + q \thinspace ( 1 - q ) ( 1 + \varepsilon ) \right) - \Delta \left( 1 - 2 q \right) \left( 1 - \varepsilon ^ { 2 } + ( 2 + \varepsilon ) \frac { 2 a } { h } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb { F } _ { q } } S ( x ) \; } & { = \; \sum _ { x \in \mathbb { F } _ { q } } \, \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \omega ^ { - j t _ { i } } \chi ( x - c _ { i } ) ^ { j } \right) } \\ { \; } & { = \; \sum _ { x \in \mathbb { F } _ { q } } \sum _ { j _ { 1 } \dots j _ { d } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { d } \omega ^ { - j _ { i } t _ { i } } \right) \; \prod _ { i = 1 } ^ { d } \chi ( x - c _ { i } ) ^ { j _ { i } } } \\ { \; } & { = \; \sum _ { j _ { 1 } \dots j _ { d } } \omega ^ { - \sum _ { i } j _ { i } \xi _ { i } } \sum _ { x \in \mathbb { F } _ { q } } \; \chi \left( \prod _ { i = 1 } ^ { d } ( x - c _ { i } ) ^ { j _ { i } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { M ^ { \textrm { T } } D _ { n } ^ { \prime \prime } ( t ) + [ N ^ { \textrm { T } } + P ^ { \textrm { \textrm { T } } } ] D _ { n } ^ { \prime } ( t ) + Q ^ { \textrm { T } } D _ { n } ( t ) = G _ { n } ( t ) , \; \; \mathrm { f o r } \ \ t \in [ 0 , T ] , } \\ { D _ { n } ( 0 ) = U _ { n } , \; \; D _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) = V _ { n } , } \end{array} \right. } \end{array}
e ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \equiv e _ { i } = \frac { \left| \left| U _ { i } ^ { t _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ } } } \right| - \left| U _ { i , \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ^ { t _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ } } } \right| \right| } { \left| U _ { i , \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ^ { t _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ d ~ } } } \right| } , \quad \left| U _ { i } \right| = \sqrt { u _ { i } ^ { 2 } + v _ { i } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { n ^ { \alpha } g ^ { \beta \mu } g ^ { \sigma \lambda } \nabla _ { \lambda } ( \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } ) = n ^ { \alpha } \nabla ^ { \sigma } ( g ^ { \beta \mu } \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } ) = : n ^ { \alpha } \nabla ^ { \sigma } ( t _ { \alpha \sigma } ) , } \end{array}
U _ { \mathrm { r e p } } ( r ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \displaystyle \frac { ( Z - 1 ) e ^ { 2 } } { 2 r _ { b } } \bigg ( 3 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \bigg ) , } & { \mathrm { f o r } } & { r \leq r _ { b } , } \\ { \displaystyle \frac { ( Z - 1 ) e ^ { 2 } } { r } , } & { \mathrm { f o r } } & { r > r _ { b } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } \psi ( x , t ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \psi ( x , t ) + \beta \psi ( x , t ) + \varepsilon ^ { 2 } \psi ^ { 3 } ( x , t ) = 0 , \quad x \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ & { \psi ( a , t ) = \psi ( b , t ) , \quad \partial _ { x } \psi ( a , t ) = \partial _ { x } \psi ( b , t ) , \quad t \geq 0 , } \\ & { \psi ( x , 0 ) = \psi _ { 0 } ( x ) , \quad \partial _ { t } \psi ( x , 0 ) = \psi _ { 1 } ( x ) , \quad x \in \overline { { \Omega } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { a } ( U ) p - q | ^ { 2 } \leq } & { \Lambda ( U ) \left( ( \mathbf { a } ( U ) p - q ) \cdot \mathbf { a } ^ { - 1 } ( U ) ( \mathbf { a } ( U ) p - q ) \right) } \\ { = } & { \Lambda ( U ) \left( p \cdot \mathbf { a } ( U ) p + q \cdot \mathbf { a } ^ { - 1 } ( U ) q - 2 p \cdot q \right) } \\ { \leq } & { \Lambda ( U ) \left( p \cdot \mathbf { a } ( U ) p + q \cdot \mathbf { a } _ { * } ^ { - 1 } ( U ) q - 2 p \cdot q \right) } \\ { = } & { 2 \Lambda ( U ) J ( U , p , q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n m } \omega _ { n m } } & { { } = \sigma _ { A } \omega _ { A } + n ( \sigma _ { B } \omega _ { B } - \sigma _ { A } \omega _ { A } ) + m ( \sigma _ { C } \omega _ { C } - \sigma _ { A } \omega _ { A } ) , } \\ { \sigma _ { n m } \ell _ { n m } } & { { } = \sigma _ { A } \ell _ { A } + n ( \sigma _ { B } \ell _ { B } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) + m ( \sigma _ { C } \ell _ { C } - \sigma _ { A } \ell _ { A } ) . } \end{array}
\varphi _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } ) \equiv z _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } - h } z _ { 2 } ^ { \alpha _ { 2 } - h } z _ { 3 } ^ { \alpha _ { 3 } - h } z _ { 1 2 } ^ { \alpha _ { 3 } } z _ { 2 3 } ^ { \alpha _ { 1 } } z _ { 3 1 } ^ { \alpha _ { 2 } } \, ,
V : ( t _ { 0 } , x _ { 0 } ) \mapsto \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in L ^ { \infty } ( ( t _ { 0 } ; \infty ) ) } \left( \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } e ^ { - \lambda ( t - t _ { 0 } ) } \left( \theta ( t , x _ { \alpha } ( t ) ) - L ( \alpha ) \right) d t \right) \mathrm { ~ w i t h ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { \alpha } ^ { \prime } ( t ) = \alpha ( t ) \, , } \\ { x _ { \alpha } ( t _ { 0 } ) = x _ { 0 } . } \end{array} \right.
J ( \widehat { x } _ { N } ) : = \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } [ - \langle \widehat { x } _ { N } , \xi \rangle ] + \rho \mathrm { C V a R } _ { \alpha , \xi \sim \mathbb { P } } ( - \langle \widehat { x } _ { N } , \xi \rangle ) = \operatorname* { i n f } _ { \tau \in \mathbb { R } } \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \left\{ 1 , 2 \right\} } \left( a _ { k } \langle \widehat { x } _ { N } , \xi \rangle + b _ { k } \tau \right) \right] .
\frac { 1 } { \log ( \operatorname* { d e t } W _ { n } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { ( \operatorname* { d e t } W _ { k } ) ^ { 2 } - ( \operatorname* { d e t } W _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { ( \operatorname* { d e t } W _ { k } ) ^ { 2 } } \bigg ) W _ { k } \mathcal { H } _ { k } ( u ) \mathcal { H } _ { k } ( u ) ^ { T } W _ { k } ^ { T } \to \frac { 1 } { d } u ^ { T } u W
{ \cal U } _ { k } ( x ) = { \cal P } \left\{ U _ { k } ( x ) U _ { k } ( x + \hat { k } ) + \alpha _ { f } \sum _ { \pm ( j \neq k ) } U _ { j } ( x ) U _ { k } ( x + \hat { j } ) U _ { k } ( x + \hat { j } + \hat { k } ) U _ { j } ^ { \dagger } ( x + 2 \hat { k } ) \right\} .
\sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta = \sin ^ { 2 } \left( t + { \frac { 1 } { 2 } } \pi \right) + \cos ^ { 2 } \left( t + { \frac { 1 } { 2 } } \pi \right) = \cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t = 1 .
\begin{array} { r l } { \beta _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } } & { { } = M \cdot \left( \begin{array} { l } { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( 1 ) } } \\ { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( 2 ) } } \\ { \vdots } \\ { \tilde { \tilde { \beta } } _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , \cdots , k _ { n } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { f 0 } = T _ { 0 } ( 1 - e ^ { - \frac { 2 \pi r _ { 1 h } } { { \dot { m } } _ { a } C _ { a } } L } ) + T _ { f i } e ^ { - \frac { 2 { \pi h r } _ { 1 } } { { \dot { m } } _ { a } C _ { a } } L } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { p ! } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } a ^ { [ \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } ] } } & { = a ^ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } ] } , } \\ { { \frac { 1 } { p ! } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } a _ { [ \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } ] } } & { = a _ { [ \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } ] } , } \\ { { \frac { 1 } { p ! } } \delta _ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } \delta _ { \kappa _ { 1 } \dots \kappa _ { p } } ^ { \nu _ { 1 } \dots \nu _ { p } } } & { = \delta _ { \kappa _ { 1 } \dots \kappa _ { p } } ^ { \mu _ { 1 } \dots \mu _ { p } } , } \end{array} }
{ \displaystyle { \bf D } _ { 1 } ^ { \perp } = \left. \frac { \partial } { \partial \lambda } \left( e ^ { \left[ \beta \left( { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } - \mu _ { 0 } { \bf I } + \lambda ( { \bf F } _ { 1 } ^ { \perp } - \mu _ { 1 } { \bf I } ) \right) \right] } + { \bf I } \right) ^ { - 1 } \right\vert _ { \lambda = 0 } } ,
\langle \phi _ { a _ { 1 } } ^ { ( \alpha _ { 1 } ) } ( x ^ { \nu } , y ) \rangle = \left\{ \begin{array} { l r } { { 0 } } & { { \mathrm { f o r ~ R \leq \frac { \ a l p h a _ { 1 } } { \ m u } ~ } } } \\ { { \left( v \cos \left( \frac { \alpha _ { 1 } y } { R } \right) , v \sin \left( \frac { \alpha _ { 1 } y } { R } \right) , 0 , \cdots , 0 \right) } } & { { \mathrm { f o r ~ R > \frac { \ a l p h a _ { 1 } } { \ m u } ~ } } } \end{array} \right. ,
\mathring { \Delta } _ { \mathrm { B } } p \ = \ - ( \mathring { \nabla } _ { i } v _ { j } ) ( \mathring { \nabla } ^ { j } v ^ { i } ) - v ^ { i } v ^ { j } \mathring { R } _ { i j } - \nu c \big ( \mathring { R } _ { i j } S ^ { i j } + \frac 1 2 v ^ { i } \partial _ { i } \mathring { R } \big ) \, ,
R _ { c o h } = { \frac { 1 6 m _ { \tilde { Z } _ { 1 } } M _ { N } ^ { 3 } M _ { Z } ^ { 4 } } { [ M _ { N } + m _ { \tilde { Z } _ { 1 } } ] ^ { 2 } } } ~ \vert A _ { c o h } \vert ^ { 2 }
P _ { K } ( V ; { \bf a } _ { 1 } , \ldots , { \bf a } _ { K } , \rho _ { 1 } , \ldots , \rho _ { K } ) = \frac { 1 } { Z ( V ) } \, \frac { C ^ { K } } { K ! } \prod _ { j = 1 } ^ { K } \rho _ { j } ^ { \alpha } \ \Theta ( \{ { \bf a } _ { j } \} , \{ \rho _ { j } \} ) \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho \bigr ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \bigl ( \rho ( h + p ( \rho ) ) \bigr ) + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho ( h + p ( \rho ) ) \bigr ) = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { U _ { R } = } & { \sum _ { n } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , n } ^ { \dagger } - a _ { d B , n } ^ { \dagger } ) a _ { u B , n + 2 } } \\ { + } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , n + 2 } ^ { \dagger } - a _ { d B , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { u B , n } } \\ { - } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( - a _ { u B , n } ^ { \dagger } - a _ { d B , n } ^ { \dagger } ) a _ { d B , n + 2 } } \\ { + } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u B , n + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d B , n + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d B , n } ] } \\ { - } & { \sum _ { n } ( a _ { u A , n } ^ { \dagger } a _ { u A , n } + a _ { d A , n } ^ { \dagger } a _ { d A , n } ) ; } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { { P a } } } ^ { \mathrm { { ( e x t r ) } } } = \gamma _ { \mathrm { { P a , 1 } } } ^ { \mathrm { { ( n u m ) } } } - \epsilon _ { 1 } \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { { P a , 2 } } } ^ { \mathrm { { ( n u m ) } } } - \gamma _ { \mathrm { { P a , 1 } } } ^ { \mathrm { { ( n u m ) } } } } { \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 1 } } \right] .
u ^ { ( \pm ) } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } = 0 ) = u ^ { ( \pm ) } ( x = x ^ { \prime } , y = y ^ { \prime } , z = x ^ { \prime } \delta \phi _ { x } ) \exp ( \mp i k ( z = x ^ { \prime } \delta \phi _ { x } ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { t o t a l } } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = E _ { 0 } \sum _ { \tau , n , m } \mathcal { S } _ { \tau n m } \bigg [ \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { k _ { z } k } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } B _ { \tau n m j } ( \pm k _ { z } / k ) \Phi _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } \bigg ] } \end{array}
\gamma _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { - \, { 1 } } & { { 0 } } \\ { \, \, \, \, \, { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \! , \quad \gamma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { \, \, \, \, \, 0 } & { 1 } \\ { - \, 1 } & { 0 } \end{array} \right) \! ,
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { B } } & { = \gamma \left( \Delta t _ { A } - \frac { v \Delta x _ { A } } { c ^ { 2 } } \right) } \\ & { = - \gamma \frac { v \Delta x _ { A } } { c ^ { 2 } } ~ , } \\ { \Delta x _ { B } } & { = \gamma \left( \Delta x _ { A } - v \Delta t _ { A } \right) } \\ & { = \gamma \Delta x _ { A } } \\ { \implies \Delta x _ { A } } & { = \frac { \Delta x _ { B } } { \gamma } ~ . } \end{array}