harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } = \frac { F _ { 1 } H ^ { 2 } } { 2 \nu } \left[ \frac { y } { H } - \left( \frac { y } { H } \right) ^ { 2 } \right] , \quad u _ { 2 } = 0 , } \\ & { \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } = \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } = \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } = 0 , \quad \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } = \frac { F _ { 1 } H } { 2 \nu } \left[ 1 - 2 \frac { y } { H } \right] , } \\ & { \nabla \cdot u = \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } = 0 , } \\ & { S _ { x x } = S _ { y y } 0 , \quad S _ { x y } = S _ { y x } = \frac { F _ { 1 } H } { 4 \nu } \left[ 1 - 2 \frac { y } { H } \right] , } \\ & { \omega = \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } - \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } = - \frac { F _ { 1 } H } { 2 \nu } \left[ 1 - 2 \frac { y } { H } \right] . } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } = R _ { \mathrm { ~ c ~ } } + \frac { ( 1 - R _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) ( 1 - R _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) R _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } } { 1 - R _ { \mathrm { ~ i ~ } } R _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } } ; \, \, \, \, \, T _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } = \frac { ( 1 - R _ { \mathrm { ~ c ~ } } ) T _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } } { 1 - R _ { \mathrm { ~ i ~ } } R _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } }
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n - \frac 1 2 } } { \Delta t } } & { = - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta x } - \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta x } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \frac { - \bar { q } } { 1 + | q | ^ { 2 } } z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 1 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { q z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \bar { q } z _ { ( 0 ) } ^ { - 2 i \nu } e ^ { \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 3 } , } & & { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - q } { 1 + | q | ^ { 2 } } z _ { ( 0 ) } ^ { 2 i \nu } e ^ { - \frac { i z ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ i f ~ } z \in X _ { 4 } , } \end{array}
\boldsymbol { m } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) = \boldsymbol { m } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) + \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) + o ( \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) ,
\frac { d x _ { j } } { d x _ { j ^ { \prime } } } = \frac { x _ { j } - \hat { x } _ { j } ( \underline { { x } } ) } { x _ { j ^ { \prime } } - \hat { x } _ { j ^ { \prime } } ( \underline { { x } } ) } , \quad ( j = 1 , 2 , \dots J ; \ j ^ { \prime } = 1 , 2 , \dots J ) .
\begin{array} { r l } & { I _ { \mathrm { I R } } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , t _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } \\ & { \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t _ { 3 } R _ { \mathrm { I R } } ^ { ( 3 ) } ( t _ { 3 } , t _ { 2 } , t _ { 1 } ) \sin ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } ) \sin ( \omega _ { 3 } t _ { 3 } ) . } \end{array}
\tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( s ) = \frac { P _ { 1 2 9 } ( s ) \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 2 9 ) } ( s ) - R P _ { 1 3 1 } ( s ) \varphi _ { \mathrm { P M } } ^ { ( 1 3 1 ) } ( s ) } { 1 + R } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } } & { { } \sim \frac { \pi } { 2 \sqrt { 2 } } \frac { M \omega _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ b ~ } } ^ { 2 } } { \mathcal { F } ^ { 3 / 2 } } \sqrt { \frac { \tau } { P _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \omega ^ { 3 } } } \Delta \alpha _ { \phi } \: . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } ( E _ { \mathrm { x c } } ^ { i } , E _ { \mathrm { x c } } ^ { j } ) = } & { \sum _ { g \in i } \sum _ { h \in j } w _ { g } ^ { i } w _ { h } ^ { j } } \\ & { \times \mathrm { C o v } ( e _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } ) , e _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { x } _ { h } ^ { j } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { g \in i } \sum _ { h \in j } w _ { g } ^ { i } w _ { h } ^ { j } k _ { e _ { \mathrm { x c } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { x } _ { h } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } } _ { 3 } , \delta \phi ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \delta \phi / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \delta \phi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\widetilde K ( k ; n _ { 0 } ) = \left[ - \chi _ { \mathrm { L i n } } ^ { - 1 } ( k ) + \chi _ { \mathrm { T F } } ^ { - 1 } ( k ) + \chi _ { \mathrm { v W } } ^ { - 1 } ( k ) \right] \frac { 1 8 } { 2 5 } n _ { 0 } ^ { - 1 / 3 } \, .
Z _ { 2 } ( \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 3 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 3 } } + \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } } { \lambda + 2 \lambda _ { 0 } } , } & { \quad \lambda \in \mathbb { C } \setminus \overline { { D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta } } ) , } \\ { \displaystyle \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 3 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 3 } } + \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } { ( \lambda + 2 \lambda _ { 0 } ) ^ { 2 } } + \frac { Z _ { 2 } ^ { ( - 1 ) } } { \lambda + 2 \lambda _ { 0 } } - Z _ { 1 - } ( \lambda ) \Delta _ { 1 } ( \lambda ) - \Delta _ { 2 } ( \lambda ) , } & { \quad \lambda \in D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { m ( 3 ) } & { = \frac { 4 1 9 } { 6 4 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 5 } H - 9 \lambda _ { 1 } ^ { 5 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 7 9 0 3 } { 9 7 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } H ^ { 2 } - \frac { 1 9 7 6 3 } { 6 4 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } H \delta _ { 1 } - \frac { 2 8 5 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 5 7 3 4 4 } { 2 7 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \delta _ { 1 , 1 } - \frac { 4 0 1 } { 1 6 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } H + 1 5 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 3 } + \frac { 1 0 0 7 9 5 } { 1 9 4 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H ^ { 3 } - } \\ & { - \frac { 1 6 0 5 7 } { 9 7 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } - \frac { 1 0 0 5 5 5 } { 6 4 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 8 6 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 6 1 4 6 3 5 } { 5 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + } \\ & { + 1 5 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } - \frac { 6 4 3 3 } { 8 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } - 3 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + \frac { 1 1 5 6 1 } { 2 1 6 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 4 } + } \\ & { + \frac { 1 2 3 4 9 } { 3 2 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 5 5 9 } { 1 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 2 0 8 8 3 } { 3 2 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 2 6 3 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } + } \\ & { + \frac { 1 9 8 7 9 9 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } - 2 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } H - 5 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } - 1 5 1 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H ^ { 3 } + } \\ & { + 5 4 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } - 5 2 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + \frac { 2 8 4 5 } { 1 6 2 } \lambda _ { 1 } H ^ { 5 } + \frac { 1 9 4 1 5 } { 3 2 4 } \lambda _ { 1 } H ^ { 4 } \delta _ { 1 } + } \\ & { + \frac { 5 9 3 0 3 } { 3 2 4 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 9 4 6 } { 2 4 3 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 6 6 3 6 7 } { 1 6 2 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { 9 0 3 } { 4 } \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 5 } + } \\ & { + 1 8 5 1 9 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } - 2 2 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 1 3 3 3 } { 1 8 } \lambda _ { 2 } H ^ { 4 } + 8 6 \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + 1 1 2 \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + } \\ & { + 1 1 2 \lambda _ { 3 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } - \frac { 4 0 7 } { 2 1 6 } H ^ { 6 } + \frac { 1 4 5 2 1 } { 6 4 8 } H ^ { 5 } \delta _ { 1 } + \frac { 4 0 2 0 5 } { 6 4 8 } H ^ { 4 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 4 7 9 1 7 } { 9 7 2 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - } \\ & { - \frac { 8 5 6 3 } { 2 4 3 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } - \frac { 1 0 4 0 7 5 } { 6 4 8 } H \delta _ { 1 } ^ { 5 } - 6 3 \delta _ { 1 } ^ { 6 } + \frac { 1 1 3 7 7 } { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial t } R _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( \widehat { L } , t ; t _ { f } ) = \ } & { { } \rho _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ( t _ { f } | \widehat { L } , t ) P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { H } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } \times \mathbf { n } - \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G _ { \mathrm { M S } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}
H ^ { 2 } = \kappa ^ { 2 } - { \frac { h } { a ^ { 2 } } } = { \frac { w _ { n + 1 } m } { a ^ { n + 1 } } } - { \frac { k } { a ^ { 2 } } } + \kappa ^ { 2 } - { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } ( | u _ { j } ^ { t + 1 } | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \mathbb { R } \left( \langle \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \rangle \right) + \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } \| u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \mathcal { B } ( | u _ { j } ^ { t } | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \mathbb { R } \left( \langle \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \rangle \right) + \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } \| u _ { j } ^ { t } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { \sqrt { ( E _ { u } / 2 N ^ { 3 } ) } \ i \left( \exp ( i \phi _ { 1 } ( \mathbf { k } ) ) - \exp ( i \phi _ { 2 } ( \mathbf { k } ) ) \right) , } \\ { u _ { 2 } ( \mathbf { k } ) } & { = } & { \sqrt { ( E _ { u } / 2 N ^ { 3 } ) } \ \left( \exp ( i \phi _ { 1 } ( \mathbf { k } ) ) + \exp ( i \phi _ { 2 } ( \mathbf { k } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r r l } { \mathrm { w h e r e } } & { r ( \phi ) = } & { r _ { f } + r _ { 1 } a \cos ( \phi ) + a \sin ( w \phi + \phi _ { 0 } ) } \\ { \mathrm { a n d } } & { \alpha = } & { \phi + a \cos ( w \phi + \phi _ { 0 } ) / ( w r _ { f } ) } \\ { \mathrm { w i t h } } & { t _ { N L } = } & { r _ { f } ^ { 2 } / \Gamma \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ i ~ m ~ e ~ - ~ s ~ c ~ a ~ l ~ e ~ , ~ } } \\ { \mathrm { a n d } } & { r _ { e } = } & { ( \Gamma / ( \pi \omega _ { m } ) ) ^ { 1 / 2 } \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ e ~ f ~ f ~ e ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ r ~ a ~ d ~ i ~ u ~ s ~ . ~ } } \end{array}
\Gamma ( Z \rightarrow q \bar { q } G X ) = { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } } \Gamma ( Z \rightarrow q \bar { q } ) \int d x _ { 2 } \int d z { \frac { x _ { 3 } } { z } } { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) } } D ( z , Q ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) a \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { g ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) v \partial _ { v } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ { + ( 1 - \gamma ) \langle \mathbb { K } _ { \epsilon , R } [ g ] , \varphi \rangle + ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r _ { \delta } ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta = \partial _ { t } } & { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta , } \end{array}
G ^ { s } \left( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } \right) = \prod _ { n = 0 } ^ { N _ { d } } G ^ { s } \left( \tau ^ { \prime } + [ n + 1 ] \tau ^ { 0 } , \tau _ { 1 } + n \tau ^ { 0 } \right) ,
\begin{array} { r l } { G ( u _ { t _ { n } , m } ^ { \pi } ) \leq } & { [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] [ \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) \vee 1 ] , } \\ { H ( u _ { t _ { n } , m } ^ { \pi } ) \leq } & { [ e ^ { A _ { 5 } T } \vee 1 ] g _ { 0 } + \left[ f _ { 0 } + f _ { 0 } ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ( e ) ^ { 2 } \lambda ( d e ) ) h \right] \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 5 } ) } \\ & { + [ b _ { 0 } + \sigma _ { 0 } + \beta _ { 0 } + b _ { 0 } h + A _ { 2 } H ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ] } \\ & { \times \left[ g _ { x } \Upsilon _ { 1 } ^ { n } ( A _ { 5 } , A _ { 1 } + A _ { 2 } G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) + A _ { 6 } \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 5 } ) \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 1 } + A _ { 2 } G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) \right] } \\ { = } & { c _ { 1 } \left( \lambda , h , G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) \right) H ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) + L _ { 2 } \left( \lambda , h , G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { \mathrm { H D } } ( \tau ) } & { = \frac { 1 } { 3 } \bigg ( 1 + J _ { 1 } { \left( \mathrm { P } \sin ( 2 \tau ) \right) } \cos ( \tau ) } \\ & { \times \frac { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 3 \sigma ^ { 2 } ( \tau - n \pi ) ^ { 2 } } } { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 3 \sigma ^ { 2 } n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { \mathrm { l o g } _ { 2 } ( 3 ) } \, . } \end{array}
\alpha = \frac { N } { N + \hat { N } } \quad \Omega _ { \hat { G } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } _ { 3 N } - \frac { \alpha } { N } \mathbf { 1 } _ { N \times N } \otimes \mathbf { I } _ { 3 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } _ { d _ { h } N } } \end{array} \right] \quad \omega _ { \hat { G } } = \left[ \begin{array} { l } { - ( 1 - \alpha ) \mathbf { 1 } _ { N \times 1 } \otimes \mathbf { \hat { x } } _ { a v } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
F _ { i } ^ { l l ^ { \prime } S S ^ { \prime } } = \sum _ { n = 0 } ^ { 2 J } \, f _ { i n } ^ { l l ^ { \prime } S S ^ { \prime } } ( s \, , \, Q ^ { 2 } \, , \, s ^ { \prime } ) ( i P _ { \mu } \Gamma ^ { \mu } ( P ^ { \prime } ) ) ^ { n } \; .
\begin{array} { r l } { s _ { x } ^ { 2 } + s _ { y } ^ { 2 } + s _ { z } ^ { 2 } } & { { } = 1 } \\ { - \omega _ { B } s _ { z } - \frac { 2 V / \beta } { 1 + \beta ( \Omega _ { - 1 } s _ { x } + \Delta _ { - 1 } s _ { z } + \bar { \omega } ) } } & { { } = \omega _ { B } - \frac { 2 V / \beta } { 1 + \beta ( \bar { \omega } - \Delta _ { - 1 } ) } , } \end{array}
p _ { a } = \frac { 1 } { \sqrt { k } } \times \frac { 1 } { l _ { s } } \left( \frac { n _ { a } } { r _ { a } } + w ^ { a } r _ { a } \right) ~ , ~ ~ ~ \bar { p } _ { a } = \frac { 1 } { \sqrt { k } } \times \frac { 1 } { l _ { s } } \left( \frac { n _ { a } } { r _ { a } } - w ^ { a } r _ { a } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( f _ { t } ) } d \Pi ( f ) } \\ & { = \int _ { U _ { K _ { n } - 1 } } 1 _ { H ( \phi _ { \gamma } ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) \in A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( H ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) } \frac { 1 } { B ( \delta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \left( \frac { \gamma _ { i } \xi _ { i } } { S _ { \gamma } ( \xi ) } \right) ^ { \delta _ { i , n } - 1 } \frac { 1 } { S _ { \gamma } ( \xi ) ^ { K _ { n } } } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \gamma _ { i } d \xi _ { 1 } \dots d \xi _ { K _ { n } - 1 } } \\ & { = \int _ { U _ { K _ { n } - 1 } } 1 _ { H ( \phi _ { \gamma } ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) \in A _ { n } } e ^ { \alpha _ { n } l _ { n } ( H ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { K _ { n } - 1 } ) ) } \underbrace { \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \gamma _ { i } ^ { \delta _ { i , n } } } _ { ( * ) } \underbrace { \frac { 1 } { S _ { \gamma } ( \xi ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \delta _ { i , n } } } } _ { ( * * ) } \frac { 1 } { B ( \delta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K _ { n } } \xi _ { i } ^ { \delta _ { i , n } - 1 } d \xi _ { 1 } \dots d \xi _ { K _ { n } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { X _ { \mathrm { t r a n s } } } & { { } = } & { \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { \mathrm { Y } } } \chi ( \omega ) \left( \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } X _ { \mathrm { i n } } + Y _ { \mathrm { i n } } \right) } \\ { Y _ { \mathrm { t r a n s } } } & { { } = } & { - \frac { 2 \sqrt { \Gamma C } } { g _ { \mathrm { Y } } } \chi ( \omega ) \left( X _ { \mathrm { i n } } - \frac { G f ( \omega ) } { 8 C } Y _ { \mathrm { i n } } \right) . } \end{array}
U _ { c } \int _ { 0 } ^ { L } { \frac { d y } { g ( H ( y ) ) } } + \frac { C _ { 0 } } { a } \int _ { 0 } ^ { L } { \bigl ( \frac { 1 } { V ( y ) g ( H ( y ) ) } + c \, V ^ { - 3 } ( y ) V ^ { \prime } ( y ) ^ { 2 } \bigr ) d y } = L .
\begin{array} { r } { \sigma \left( u ( K , E _ { i j } ) \right) = \int _ { 0 } ^ { \frac { l _ { i j } } { \cos { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } } } \int _ { - \frac { \gamma _ { i j } } 2 } ^ { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } \cos \vartheta \, \mathrm { d } \vartheta \mathrm { d } \varphi = \frac { l _ { i j } } { \cos { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } } \cdot 2 \sin { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } = 2 l _ { i j } \tan { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ^ { \epsilon } } & { { } \approx \mathrm { E } _ { 0 } \mathcal { U } _ { n , m } e ^ { \mathrm { i } \omega t } + \mathrm { E } _ { 0 } \frac { \epsilon } { 2 } \left( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } - B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } + A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \right) e ^ { \mathrm { i } \omega t } - \mathrm { i } \frac { k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } } { 1 6 } \mathrm { E } _ { 0 } \bigg ( A _ { n } \Big ( \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + \frac { \epsilon } { 2 } \big ( A _ { n + 2 } \mathcal { U } _ { n + 4 , m } } \end{array}
\psi _ { m } ( z , \bar { z } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \ell ^ { 2 } } } \, \frac { 1 } { ( 2 \pi m ) ^ { 1 / 4 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m f ( \alpha ) + \mathrm { i } \Phi ( \alpha ) } \frac { 1 } { \sqrt { \sigma ( \alpha ) } } \exp \left[ - \frac { f ^ { \prime } ( \alpha ) \, a ^ { 2 } } { 1 - \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \alpha ) } { 2 f ^ { \prime } ( \alpha ) } } \right] \left( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { m } } R _ { m } ( a , \alpha ) + O ( 1 / m ) \right) .
\begin{array} { r } { [ \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } E ] _ { p q } : = \left. \frac { \partial ^ { 2 } E ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) } { \partial \kappa _ { p q } \partial { \boldsymbol { \theta } } } \right| _ { \kappa = 0 } = 2 \left( \frac { \partial F _ { p q } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } - \frac { \partial F _ { q p } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + \nabla P = \Delta u + f } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \mathsf Q _ { 2 } } \\ { \operatorname { d i v } u = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \mathsf Q _ { 2 } } \\ { u = 0 } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ } \bar { \mathsf Q } _ { 2 } \; . } \end{array} \right. } \end{array}
n ^ { \mu 2 } \equiv \left( \frac { r \beta e ^ { - \psi } \cos \delta } { \sqrt { e ^ { 2 \psi } \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } r ^ { 2 } } } , 0 , - \frac { 1 } { r } \sin \delta , \frac { \alpha e ^ { \psi } \cos \delta } { r \sqrt { e ^ { 2 \psi } \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } r ^ { 2 } } } \right)
\Omega _ { i j } ^ { \mathrm { M } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \beta } { 6 V N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } t } \left\langle \Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { \mathrm { M } } ( t ) \cdot \Delta \mathbf { r } _ { j } ^ { \mathrm { M } } ( t ) \right\rangle
A = 2 \sqrt 2 \, G _ { F } \, Y _ { e } \, \rho \, E _ { \nu } = 1 . 5 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { e V ^ { 2 } } Y _ { e } \, \rho \, ( \mathrm { g / c m ^ { 3 } } ) E _ { \nu } \, ( \mathrm { G e V ) \; . }
\begin{array} { r } { q _ { \psi } ( x _ { 0 } ) = \mathcal { N } \left( x _ { 0 } \middle | m _ { x _ { 0 } } , \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \left( \sigma _ { x _ { 0 , 1 } } ^ { 2 } , \dots , \sigma _ { x _ { 0 , d _ { x } } } ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
f = \frac { 4 } { \lambda ^ { 2 } - 4 } \left( \frac { ( 3 4 \lambda ^ { 2 } - 6 4 ) ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) } { \lambda } f _ { a } + f _ { b } ( 4 8 \lambda ^ { 2 } - 8 4 ) \right) \left( \frac { ( 1 3 \lambda ^ { 2 } - 1 6 ) } { \lambda } f _ { a } + 1 8 f _ { b } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { ( \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ) ^ { k } = - i \sqrt { \epsilon } \boldsymbol { q } ^ { k } \sum _ { j } \mathcal { J } _ { i j } ^ { k } \Delta { \phi } _ { j } ^ { k } + \mathcal { O } ( \epsilon ) \, , } \end{array}
\index { \textbf { F u n c t i o n s p a c e s } ! 2 0 @ \mathbb { Y } _ { s } } \mathbb { Y } _ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { L ^ { 2 } ( \Omega ) \times ( { _ 0 } H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { n } ) ) ^ { \ast } } & { \mathrm { i f ~ } s = - 1 , } \\ { H ^ { 1 + s } ( \Omega ) \times H ^ { s } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { n } ) \times H ^ { 1 / 2 + s } ( \Sigma ; \mathbb { R } ^ { n } ) } & { \mathrm { i f ~ } s \geqslant 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { r m s } } ^ { 2 } ( X ) } & { = \frac { [ a _ { 0 } \, g ( \varphi ) ] ^ { 2 } } { 1 + ( z / z _ { R } ) ^ { 2 } } \exp \! \left[ - \frac { 2 \vec { r } _ { \perp } ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } + ( \vartheta z ) ^ { 2 } } \right] \times \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / 2 } & { \mathrm { L P } } \\ { 1 } & { \mathrm { C P } } \end{array} \right. , } \end{array}