harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D _ { \mu \nu } ( q ) = P _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { l a t } } ( q ) D ( Q ^ { 2 } ) = \left( \delta _ { \mu \nu } - \frac { Q _ { \mu } ( q ) Q _ { \nu } ( q ) } { Q ^ { 2 } ( q ) } \right) \frac { 1 } { Q ^ { 2 } ( q ) } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | | x _ { b } - x _ { c } | | ^ { d } } } & { \geq \frac { 1 } { 2 ^ { d } \operatorname* { m a x } \{ | | x _ { a } - x _ { b } | | ^ { d } , | | x _ { a } - x _ { c } | | ^ { d } \} } } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 2 ^ { d } | | x _ { a } - x _ { b } | | ^ { d } } , \frac { 1 } { 2 ^ { d } | | x _ { a } - x _ { c } | | ^ { d } } \right\} . } \end{array}
\hat { D } ^ { \dagger } ( \vec { A } _ { l } ) = \prod _ { s = 1 } ^ { \lceil \log _ { 2 } N \rceil } \left[ \prod _ { \mu , \nu \in \mathfrak { T } _ { s } } \hat { U } _ { \mu \nu } ( \theta _ { \mu \nu } ^ { ( s l ) } ) \right] ,
\frac { 4 \widehat m ^ { 2 } F _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 0 } } { ( F _ { \pi } M _ { \pi } ^ { * } ) ^ { 2 } } = 2 \frac { r _ { 2 } ^ { * } ( r ) - r } { r ^ { 2 } - 1 } \ ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = \mu \int _ { D } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla \tilde { u } _ { h , j } ( I _ { 2 } - \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ^ { \top } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } ) \nabla \bar { v } _ { j } \, \mathrm { d } x , } \\ { B _ { 2 } ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \cdot \tilde { u } _ { h } ) ( \nabla \cdot \bar { v } ) - ( \nabla \tilde { u } _ { h } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ) ( \nabla \bar { { v } } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ^ { \top } ) \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } \, \mathrm { d } x , } \\ { B _ { 3 } ( \tilde { u } _ { h } , v ) } & { = \omega ^ { 2 } \int _ { D } \tilde { u } _ { h } \cdot \bar { v } ( \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } - 1 ) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } } & { { } = u _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } \, , } \\ { w _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } } & { { } = w _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } + ( u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } - u _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } ) - \left\lfloor \frac { w _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } + ( u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } - u _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ O ~ R ~ } } ) } { L _ { i + 1 } } + \frac { \alpha } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, . } \end{array}
X = \sigma \Big ( \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } V _ { i } \Big ) = \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } \bigcup _ { \gamma \in \Gamma } \bigcup _ { k = 1 } ^ { a _ { \gamma , i } } \sigma ( V _ { \gamma , i } ^ { ( k ) } ) = \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } \bigcup _ { \gamma \in \Gamma } \bigcup _ { k = 1 } ^ { a _ { \gamma , i } } Z _ { \gamma } = \bigcup _ { \gamma \in \Gamma } \Big ( \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } \bigcup _ { k = 1 } ^ { a _ { \gamma , i } } Z _ { \gamma } \Big ) .
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \tilde { u } _ { h } ^ { n + 1 } - \tilde { u } _ { h } ^ { n } } { \delta _ { t } ^ { n } } , v \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } + \left( ( \sigma + \hat { \sigma } ) \tilde { u } _ { h } ^ { n + 1 } , v \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } + \left( \sigma \tilde { u } _ { h } ^ { * n + 1 } , v \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } - \left( \tilde { p } _ { h } ^ { n + 1 } , \nabla v \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } = \left( f ^ { n + 1 } , v \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } , } \\ & { \left( \frac { \tilde { p } _ { h } ^ { n + 1 } - \tilde { p } _ { h } ^ { n } } { \delta _ { t } ^ { n } } , q \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } + \left( \Lambda _ { 1 } \tilde { p } _ { h } ^ { n + 1 } , q \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } - \left( \partial _ { t } \tilde { p } _ { h } ^ { * n + 1 } , q \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } - \left( \Lambda _ { 2 } \tilde { p } _ { h } ^ { * n + 1 } , q \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } = 0 , } \\ & { \left( \frac { \tilde { u } _ { h } ^ { * n + 1 } - \tilde { u } _ { h } ^ { * n } } { \delta _ { t } ^ { n } } , v ^ { * } \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } - \left( \sigma \tilde { u } _ { h } ^ { n + 1 } , q ^ { * } \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } = 0 , } \\ & { \left( \frac { \tilde { p } _ { h } ^ { * n + 1 } - \tilde { p } _ { h } ^ { * n } } { \delta _ { t } ^ { n } } , q ^ { * } \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } + \left( \nabla \tilde { u } _ { h } ^ { n + 1 } , q ^ { * } \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { 2 } [ \hat { \rho } ] = - \mathrm { i } \sum _ { \mathbf { a } , \mathbf { b } } V _ { \mathbf { b a } } \left( \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { \rho } - \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { \rho } \hat { S } _ { \mathbf { b } } ^ { \dagger } \right) + \mathrm { H . c . } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Psi _ { \mathrm { ~ M ~ P ~ S ~ } } \rangle = \sum _ { \{ \alpha \} } \mathbf { A } ^ { \alpha _ { 1 } } \mathbf { A } ^ { \alpha _ { 2 } } \cdots \mathbf { W } ^ { \alpha _ { i } \alpha _ { i + 1 } } \cdots \mathbf { A } ^ { \alpha _ { n } } | \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { n } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { z } = \frac { t _ { k } ( t _ { k } / 2 + t _ { s } ) + ( E _ { s } / E _ { k } ) t _ { s } ( t _ { s } / 2 ) } { t _ { k } + ( E _ { s } / E _ { k } ) t _ { s } } } \end{array}
\Gamma _ { 1 } ^ { p } ( 1 0 ~ G e V ^ { 2 } ) = 0 . 1 3 0 \pm 0 . 0 0 6 ( s t a t ) \pm 0 . 0 0 8 ( s y s t ) \pm 0 . 0 1 4 ( e v o l ) ~ ,
\begin{array} { l } { \vec { E } _ { 0 } ( x , y ) ~ = ~ \left[ \begin{array} { l } { E _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad \quad \vec { E } _ { 1 } ( x , y ) ~ = ~ \exp \left( i ( \phi _ { 0 } + \Gamma ( x , y ) ) \right) \left[ \begin{array} { l } { E _ { 0 } } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \vec { E } _ { 2 } ( x , y ) = \Bigg ( R \exp ( \phi _ { 1 } ) \vec { E } _ { 1 } ( x , y ) \Bigg ) \ast \Bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \Bigg ) , } \\ { \vec { E } _ { 3 } ( x , y ) ~ = ~ \exp \left( i ( \phi _ { 0 } + \Gamma ( x , y ) ) \right) \vec { E } _ { 2 } ( x , y ) , \quad \quad I _ { \mathrm { b } } ( x , y ) = \left| \vec { E } _ { 0 } ( x , y ) + \vec { E } _ { 3 } ( x , y ) \right| ^ { 2 } , } \\ { \varepsilon \frac { d \Gamma ( x , y ) } { d t } = - \Gamma ( x , y ) + \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { b } } I _ { \mathrm { b } } ( x , y ) + \tilde { \alpha } _ { \mathrm { g } } I _ { \mathrm { 0 g } } + \beta } + \gamma , } \end{array}
P _ { 0 } - E \, = \, ( P _ { 0 } - E _ { 1 } ^ { \prime } - E _ { 2 } ^ { \prime } - E _ { 3 } - E _ { 4 } \, ) \, + \, ( E _ { 1 } ^ { \prime } + E _ { 2 } ^ { \prime } - E _ { 1 } - E _ { 2 } \, )
\begin{array} { r l } { n _ { 2 } ^ { \lambda } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \right) } & { { } \equiv \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } ( \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } - 1 ) \sum _ { \sigma _ { 1 } , \cdots , \sigma _ { N } } \int \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 3 } \cdots \int \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } _ { N } } \end{array}
P _ { ( c ) } ( s , l _ { 1 } , l _ { 2 } ) = = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ^ { 2 } [ s , l _ { 1 } + l _ { 2 } ] ) ^ { 3 / 2 } } ,
\Pi _ { 2 } ^ { \mu \nu } = \frac { e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } } \frac { m ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl ( \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } , x ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ) - \frac { 3 e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } } { 4 } \frac { m ^ { 2 } p ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Pi _ { 2 } ( p ^ { 2 } ) + \frac { 7 e ^ { 2 } g ^ { \mu \nu } } { 8 } \frac { p ^ { 4 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl ( \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } , x ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ) x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 }
a _ { 2 } ( D ^ { ( * ) } \pi ) = c _ { 2 } ( \mu ) + \Bigg ( \frac { 1 } { N _ { c } } + \frac { \epsilon _ { \mathrm { N F } } ^ { B \pi , D ^ { ( * ) } } ( \mu ) } { f _ { D ^ { ( * ) } } } \Bigg ) c _ { 1 } ( \mu ) ~ .
\hat { \phi } \in C ^ { 2 } ( \Omega ) \cap C ^ { 1 } ( \overline { { \Omega } } \setminus ( { \Gamma _ { \mathrm { s o n i c } } ^ { 5 } } \cup { \Gamma _ { \mathrm { s o n i c } } ^ { 6 } } ) ) \cap C ^ { 0 } ( \overline { { \Omega } } )
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi \Vert _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } ^ { B , \sigma } } ^ { 2 } } & { = \Vert S _ { N } \phi \Vert _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } ^ { B , \sigma } } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb R ^ { 2 } \times \mathbb R ^ { 2 } } \int _ { \mathscr D _ { N - 1 } ^ { \sigma } } \vert \phi ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 1 } \mathrm { d } ^ { 2 } q _ { 2 } \mathrm { d } \mu _ { N - 1 } ^ { B } ( x ) } \\ & { = \| \phi \| _ { { \mathbb H } _ { N } ^ { B , \sigma } \otimes L ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { 2 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
= \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } + \frac { y ^ { 5 } } { 5 ^ { a } } + \frac { y ^ { 6 } } { 6 ^ { a } } + \frac { y ^ { 7 } } { 7 ^ { a } } + \cdots \right) \left( \frac { z ^ { 1 } } { 1 ^ { b } } + \frac { z ^ { 2 } } { 2 ^ { b } } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 ^ { b } } + \frac { z ^ { 4 } } { 4 ^ { b } } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ^ { b } } + \frac { z ^ { 6 } } { 6 ^ { b } } + \frac { z ^ { 7 } } { 7 ^ { b } } + \cdots \right)
\begin{array} { r l } { \langle r \lvert \varphi _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } & { { } = e ^ { - i \textbf { A } ( t ) \cdot \textbf { r } } \psi _ { i , \textbf { k } ( t ) } ( \textbf { r } ) , } \\ { \widetilde { E } _ { i , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) } & { { } = E _ { i } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ) \textbf { ) } . } \end{array}
\delta _ { h } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 3 } \left( 1 + \sqrt { 1 - 3 r ^ { 2 } } \right) \quad 0 \leq r \leq 0 . 5 } \\ { \frac { 1 } { 6 } \left( 5 - 3 r - \sqrt { 1 - 3 ( 1 - r ) ^ { 2 } } \right) \quad 0 . 5 \leq r \leq 1 . 5 } \\ { 0 \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | g ( \xi ; \mu ) - g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) | } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau } \\ & { \leq \frac { \xi - \alpha ( \mu ) } { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { c _ { 2 } ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau } { [ ( c _ { 3 } / 2 ) ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau ] ^ { 3 / 2 } } ) d \tau \right) } \\ & { = \frac { c _ { 2 } \sqrt 2 \sqrt { \xi - \alpha ( \mu ) } } { c _ { 3 } ^ { 3 / 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \tau } { \sqrt \tau } \right) = \frac { 2 \sqrt 2 c _ { 2 } \sqrt { \xi - \alpha ( \mu ) } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 3 } } } . } \end{array}
\lambda _ { 2 } ^ { H } = { \frac { \mp 1 } { 2 v ^ { 0 } \, m _ { H _ { \pm } } n _ { \mp } } } \, \langle H _ { \pm } ( v ) | \, \bar { h } _ { v } ^ { ( Q ) } \, \frac { g _ { s } } 2 \, \sigma _ { \alpha \beta } G ^ { \alpha \beta } \, h _ { v } ^ { ( Q ) } \, | H _ { \pm } ( v ) \rangle \, .
{ \frac { \mathrm { D } \Gamma } { \mathrm { D } t } } = \oint _ { C } { \frac { \mathrm { D } { \boldsymbol { u } } } { \mathrm { D } t } } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } + \oint _ { C } { \boldsymbol { u } } \cdot { \frac { \mathrm { D } \mathrm { d } { \boldsymbol { s } } } { \mathrm { D } t } } .
0 = \partial _ { \mathrm { S } } \left[ ( B + C ) \mathrm { S } ( 1 + \mathrm { S } ) f ( \mathrm { S } ) + \partial _ { \mathrm { S } } \left( \frac { A ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \mathrm { S } ) ^ { 2 } f ( \mathrm { S } ) \right) \right] ,
s ( \textbf { R } ) = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } i \; \mathrm { e } ^ { - \lambda d ( \textbf { R } _ { i } , \textbf { R } ) } } { \sum _ { i = 0 } ^ { L - 1 } \mathrm { e } ^ { - \lambda d ( \textbf { R } _ { i } , \textbf { R } ) } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \delta ( B / A ) } { B / A } \approx 0 . 6 \frac { \delta m _ { q } } { m _ { q } } \approx 2 . 4 \frac { \delta m _ { \pi } } { m _ { \pi } } \approx - 0 . 1 2 \theta ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left. - 2 \sqrt { 2 } \left[ 2 F _ { \alpha } ^ { \mu \, A } C ^ { [ \alpha } \partial ^ { \nu ] } D - \frac { g ^ { \mu \nu } } { 2 } F _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { \, A } C ^ { [ \alpha _ { 1 } } \partial ^ { \alpha _ { 2 } ] } D \right] + 2 \left[ 2 C _ { [ \alpha } \partial ^ { \mu ] } D C ^ { [ \alpha } \partial ^ { \nu ] } D \right. \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) } & { = - i \Delta \omega _ { { g g ^ { \prime } } } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) + i \sum _ { e , \, s } \left( \Omega _ { s } ^ { ( - ) } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e } s } \rho _ { { e g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) - \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e g ^ { \prime } } s } \right) } \\ & { + \sum _ { e , s } f _ { s } ^ { ( + ) * } ( \textbf { r } , t ) T _ { { g e } s } \rho _ { { e g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , t ) + \sum _ { e , \, s } f _ { s } ^ { ( - ) * } ( \textbf { r } , t ) \rho _ { { g e } } ( \textbf { r } , t ) T _ { { e g ^ { \prime } } s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { j } ^ { ( 1 ) } = e ^ { - i \tau ( V ( x _ { j } ) + f ( | \psi _ { j } ^ { k } | ^ { 2 } ) ) } \psi _ { j } ^ { k } , } \\ & { \psi _ { j } ^ { k + 1 } = \sum _ { l \in \mathcal { T } _ { N } } e ^ { - i \tau \mu _ { l } ^ { 2 } } \widetilde { ( \psi ^ { ( 1 ) } ) } _ { l } \sin ( \mu _ { l } ( x _ { j } - a ) ) , } \end{array} \qquad j \in \mathcal { T } _ { N } ^ { 0 } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } G _ { 2 } \right] } & { { } = } & { 1 6 m ^ { 7 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \cos \theta \cdot u } \end{array}
\partial _ { \rho } ^ { \ell } \bigg ( w ( \pm \rho , x ) + \frac { A ^ { \pm } ( x ) } { f ^ { \prime \prime } ( \pm 1 ) } \bigg ) = O ( e ^ { - \alpha \rho } ) \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \rho \to \infty , \ l = 0 , 1 , 2 .
{ \begin{array} { l l l } { \alpha _ { n } ( V _ { m } ) = { \frac { 0 . 0 1 ( 1 0 - V ) } { \exp { \big ( } { \frac { 1 0 - V } { 1 0 } } { \big ) } - 1 } } } & { \alpha _ { m } ( V _ { m } ) = { \frac { 0 . 1 ( 2 5 - V ) } { \exp { \big ( } { \frac { 2 5 - V } { 1 0 } } { \big ) } - 1 } } } & { \alpha _ { h } ( V _ { m } ) = 0 . 0 7 \exp { \bigg ( } - { \frac { V } { 2 0 } } { \bigg ) } } \\ { \beta _ { n } ( V _ { m } ) = 0 . 1 2 5 \exp { \bigg ( } - { \frac { V } { 8 0 } } { \bigg ) } } & { \beta _ { m } ( V _ { m } ) = 4 \exp { \bigg ( } - { \frac { V } { 1 8 } } { \bigg ) } } & { \beta _ { h } ( V _ { m } ) = { \frac { 1 } { \exp { \big ( } { \frac { 3 0 - V } { 1 0 } } { \big ) } + 1 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } f ( x _ { i } ) \Delta } & { { } \to \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \, d x = 1 } \\ { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } f ( x _ { i } ) \Delta \log ( f ( x _ { i } ) ) } & { { } \to \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \log f ( x ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { i } \in \left\{ - \Lambda , - \frac { N - 1 } { N } \Lambda , \ldots , - \frac { \Lambda } { N } , 0 , \frac { \Lambda } { N } , \ldots , \frac { N - 1 } { N } \Lambda , \Lambda \right\} , \; \; i \in \{ x , y \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta = \frac { m g } { \pi \sigma } \frac { \mathrm { K } _ { 0 } ( \sqrt { \mathrm { ~ B ~ o ~ } } ) } { \mathrm { ~ B ~ o ~ } \mathrm { K } _ { 0 } ( \sqrt { \mathrm { ~ B ~ o ~ } } ) + 2 \sqrt { \mathrm { ~ B ~ o ~ } } \, \mathrm { K } _ { 1 } ( \sqrt { \mathrm { ~ B ~ o ~ } } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M M D } ^ { ( \beta ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \beta } \int _ { \mathcal { X } \times \mathcal { X } } d x \, d y \, d ( x , y ) ^ { \beta } \, \left( \mathcal { E } ( x ) - \mathcal { E } ^ { \prime } ( x ) \right) \left( \mathcal { E } ( y ) - \mathcal { E } ^ { \prime } ( y ) \right) , } \\ { \mathrm { C D } ^ { ( \beta ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 2 \beta } \int _ { \mathcal { X } } d x \, \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathrm { S u p p } ( \mathcal { E } ^ { \prime } ) } [ d ( x , y ) ^ { \beta } ] \, \mathcal { E } ( x ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \int _ { \mathcal { X } } d y \, \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathrm { S u p p } ( \mathcal { E } ) } [ d ( x , y ) ^ { \beta } ] \, \mathcal { E } ^ { \prime } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { v } = \, - \frac { { \bf e } _ { u } } { h _ { \xi } h _ { \varphi } } \partial _ { \xi } \psi \, + \, \frac { { \bf e } _ { \xi } } { h _ { u } h _ { \varphi } } \partial _ { u } \psi \ , \ } \end{array}
\frac { \alpha \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } } { 1 - 2 \alpha ^ { 2 } } = \frac { U _ { e 1 } U _ { e 2 } } { ( \Delta _ { 2 1 } / A ) + ( U _ { e 2 } ^ { 2 } - U _ { e 1 } ^ { 2 } ) }
\left[ \phi _ { \alpha , \ell _ { \alpha } \epsilon } ^ { \Gamma \, - } ( r ) \right] _ { \mathrm { o u t } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi k _ { \alpha } } } \frac { e ^ { i \theta _ { \alpha } ( r ) } } { r } , \qquad r \to \infty
\begin{array} { r l r } { E _ { i } ( { \bf r } ^ { N } ) } & { { } = } & { { { \boldsymbol \beta } } _ { \nu _ { i } } \cdot ( { { \bf B } } _ { i } - { { \bf B } } _ { 0 \nu _ { i } } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } \right\| \right] } & { \le 2 \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D N } + 2 \frac { K D G \sqrt { T } } { D N } + \frac { G } { \sqrt { T } } } \\ & { \le \frac { 2 T ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \frac { 3 G } { \sqrt { T } } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 G ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 G } { \sqrt { N } } \right) + \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { { Q } _ { - k ^ { \prime } } } = { { \alpha } _ { k ^ { \prime } } } { { S } } \otimes { { I } _ { n } } - { { { \tilde { \alpha } } } _ { k ^ { \prime } } } { { I } _ { n } } \otimes { { S } } } \\ & { = { { \alpha } _ { k ^ { \prime } } } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) - { { { \tilde { \alpha } } } _ { k ^ { \prime } } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { { { - \tilde { \alpha } } } _ { k ^ { \prime } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { k ^ { \prime } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { { \alpha } _ { k ^ { \prime } } } - { { { \tilde { \alpha } } } _ { k ^ { \prime } } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \alpha _ { x , x , 3 } } & { = \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left\{ \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) e ^ { i \left( - 3 \chi _ { x } ( s ) + \frac { 3 \nu _ { x } s } { R } - \frac { n s } { R } \right) } } \right. } \\ & { \displaystyle ~ ~ \times \int _ { 0 } ^ { L } { m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - i \left( - 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \frac { 3 \nu _ { x } s ^ { \prime } } { R } - \frac { n s ^ { \prime } } { R } \right) } } { n - 3 \nu _ { x } } d s ^ { \prime } } + \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) e ^ { i \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - \frac { 3 \nu _ { x } s } { R } + \frac { n s } { R } \right) } } } \\ & { \displaystyle ~ ~ \left. \times \int _ { 0 } ^ { L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { e ^ { i \left( - 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \frac { 3 \nu _ { x } s ^ { \prime } } { R } - \frac { n s ^ { \prime } } { R } \right) } } { n - 3 \nu _ { x } } d s ^ { \prime } \right\} } \\ & { \displaystyle = \frac { 3 } { 2 } \sum _ { n = \infty } ^ { \infty } \left( 3 g _ { 3 , 0 , n } \cdot f _ { 3 , 0 , n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } \sim \frac { 1 } { 4 } A ( t ) ^ { 2 } \left\{ \mathbf { e } _ { x } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] + \mathbf { e } _ { y } \left[ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \right] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { k , s } = } & { N \sum _ { t = 1 } ^ { N } ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \dots \nu _ { i _ { k } } ( ( b _ { k } ) _ { ( 1 ) } ( b _ { k + 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { k } , t } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } } \\ & { \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \dots h ( ( a _ { k } ) _ { ( 1 ) ^ { \prime } } u _ { i _ { k } t } ) ( a _ { k } ) _ { ( 2 ) ^ { \prime } } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ I ~ } } } & { { } = U _ { \mathrm { ~ N ~ } } \; \bar { t } _ { \mathrm { ~ Z ~ I ~ } } = ( 1 - \bar { \nu } ) \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } \\ { \delta \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ R ~ } } } & { { } = U _ { \mathrm { ~ C ~ J ~ } } \; \delta \bar { t } _ { \mathrm { ~ Z ~ R ~ } } = \bar { \nu } \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } \\ { \bar { \nu } } & { { } = \frac { \delta \ell _ { \mathrm { ~ Z ~ R ~ } } } { \bar { \ell } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } } = \bar { y } \; \frac { v _ { \mathrm { ~ C ~ J ~ } } } { \bar { v } _ { \mathrm { ~ Z ~ } } ( \bar { y } ) } . \quad } \end{array}
\mathbf { Q } \mathbf { Q } ^ { \top } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { T } { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 2 } { ( 2 + 4 t ) ^ { 2 } } } & { \frac { T } { 2 } - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 2 } { ( 2 + 4 t ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { T } { 2 } - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 2 } { ( 2 + 4 t ) ^ { 2 } } } & { \frac { T } { 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 2 } { ( 2 + 4 t ) ^ { 2 } } } \end{array} \right] .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 - \mathrm { ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } } ( 2 k , 2 k _ { c } , 2 k _ { t } , m , I _ { m } , 2 M _ { 0 } , 2 I _ { 0 } ) = 2 \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 1 - \mathrm { ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } } ( k , k _ { c } , k _ { t } , m , I _ { m } , M _ { 0 } , I _ { 0 } ) \, .
\begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { n } H _ { x } } { d x ^ { n } } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } n ! \left[ \zeta ( n + 1 ) - H _ { x , n + 1 } \right] } \\ { { \frac { d ^ { n } H _ { x , 2 } } { d x ^ { n } } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } ( n + 1 ) ! \left[ \zeta ( n + 2 ) - H _ { x , n + 2 } \right] } \\ { { \frac { d ^ { n } H _ { x , 3 } } { d x ^ { n } } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } { \frac { 1 } { 2 } } ( n + 2 ) ! \left[ \zeta ( n + 3 ) - H _ { x , n + 3 } \right] . } \end{array}