harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { W K } } ( r ) \approx } & { \frac { \alpha ( Z \alpha ) ^ { 3 } } { \pi } \left[ \left( - \frac { 3 } { 2 } \zeta ( 3 ) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } - \frac { 7 } { 9 } \right) \frac { 1 } { r } + 2 \pi \zeta ( 3 ) \right. } \\ & { \left. - \frac { \pi ^ { 3 } } { 4 } + \left( - 6 \zeta ( 3 ) + \frac { \pi ^ { 4 } } { 1 6 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \right) r + O ( r ^ { 2 } ) \right] } \end{array}
- \frac { \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 2 ) } } = \frac { \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } } { \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } }
\begin{array} { r l } { \langle g _ { \lambda } \rangle _ { E } } & { { } = \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { P } ( \pmb { \mathscr { s } } ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } \int _ { \mathcal { M } } d \pmb { \mathscr { s } } g _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ) \mathscr { T } ^ { \tau } \delta ( \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow \infty } e ^ { \lambda \tau } g _ { \lambda } ( \pmb { \mathscr { s } } ^ { \prime } ) = 0 } \end{array}
\frac { 2 \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } } { 5 } h ^ { 2 } q _ { t } + q = \frac { h ^ { 3 } } { 3 } \left( 2 - 2 h _ { x } \cot \theta + \frac { h _ { x x x } } { \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ a ~ } ~ } } \right) + \mathrm { ~ \textit ~ { ~ R ~ e ~ } ~ } \left( \frac { 1 8 q ^ { 2 } h _ { x } } { 3 5 } - \frac { 3 4 h q q _ { x } } { 3 5 } + \frac { h q f } { 5 } \right) ,
\begin{array} { r } { W _ { \mathcal { N } } ^ { 2 , p } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , m ) = T _ { 0 , - \frac { \alpha _ { 2 } } 2 } \left( W _ { \mathcal { N } } ^ { 2 , p } ( \tilde { \alpha } , 0 , \tilde { m } ) \right) , \qquad \tilde { \alpha } = \frac { 2 \alpha _ { 1 } } { 2 - \alpha _ { 2 } } , \quad \tilde { m } = \frac { m + \frac { \alpha _ { 2 } } 2 } { 1 - \frac { \alpha _ { 2 } } 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { u n } , n } = } & { { } - a \left[ \delta _ { n - 1 } + \frac { \bar { \delta } _ { \mathrm { B } , n } + \bar { \delta } _ { \mathrm { R } , n } } { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { B = \sqrt { \frac { \Gamma _ { l } } { 4 } } \left( \begin{array} { l l l l } { \alpha _ { 2 } } & { - \alpha _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \alpha _ { 1 } ^ { * } } & { \alpha _ { 1 } ^ { * } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { 2 } ^ { * } } & { - \alpha _ { 2 } ^ { * } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \alpha _ { 1 } } & { \alpha _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { 1 } { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } \left[ \sigma _ { 3 3 } + h _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { 1 1 } - h _ { x } ( \sigma _ { 1 3 } + \sigma _ { 3 1 } ) \right] = 2 \kappa \gamma + \Pi ,
\begin{array} { r } { \hat { \rho } _ { B } ( x , y ) = \frac { w _ { n } } { 2 \pi \sigma _ { n } ^ { 2 } } ~ \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) } \\ { + \frac { w _ { w } } { 2 \pi \sigma _ { w } ^ { 2 } } ~ \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { w } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D ) } & { : = \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , f ( \phi ( Y ^ { n } ) ) ) > D \} } \\ & { = \operatorname* { P r } \{ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ( i ^ { * } ) ) > D \} } \\ & { = \mathsf { E } [ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ( i ^ { * } ) ) ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ( i ^ { * } ) ) > t \} \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathsf { E } \big [ \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ( i ^ { * } ) ) > t | Y ^ { n } \} \big ] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathsf { E } \Big [ \prod _ { i \in [ M ] } \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ( i ) ) > t | Y ^ { n } \} \Big ] \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathsf { E } \Big [ ( \operatorname* { P r } \{ \pi ( Y ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) > t | Y ^ { n } \} ) ^ { M } \Big ] \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \rho _ { a S , b S ^ { \prime } } ^ { k \, q } \rangle } & { { } = \sum _ { M M ^ { \prime } } \rho _ { a S M , b S ^ { \prime } M ^ { \prime } } \times } \\ { ( - 1 } & { { } ) ^ { S - M ^ { \prime } + q + 2 k } \sqrt { 2 k + 1 } \left( \begin{array} { l l l } { S ^ { \prime } } & { k } & { S } \\ { - M ^ { \prime } } & { - q } & { M } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \xi _ { x } \rangle } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { y } \; \xi _ { x } ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) \rho ( \alpha _ { x } , \alpha _ { y } ) } \\ & { = } & { 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { x } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { y } \; [ H _ { 0 } ( \alpha _ { x } u ) - H _ { 1 } ( \alpha _ { x } u ) ] H _ { 0 } ( \alpha _ { y } u ) \exp [ - 2 \alpha _ { x } - 2 \alpha _ { y } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i } } & { = \frac { 1 } { 2 } n _ { i 1 } ( n _ { i 1 } - 1 ) a _ { 1 } b _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } n _ { i 2 } ( n _ { i 2 } - 1 ) a _ { 2 } b _ { 2 } + n _ { i 1 } n _ { i 2 } b _ { 1 } a _ { 2 } , } \\ { ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) } & { = ( c _ { 1 } , c _ { 2 } ) \cdot N ^ { t } + ( e _ { 1 } , e _ { 2 } ) + \frac { b _ { 1 } a _ { 2 } - b _ { 2 } a _ { 1 } } { r } ( p , q ) . } \end{array}
\mathbf { a } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) = ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ) | \nabla _ { \mathbf { x } } \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) |
0 \leq \left[ \operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ) \right] ^ { 2 } \leq \operatorname { t r } \left( \mathbf { A } ^ { 2 } \right) \operatorname { t r } \left( \mathbf { B } ^ { 2 } \right) \leq \left[ \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) \right] ^ { 2 } \left[ \operatorname { t r } ( \mathbf { B } ) \right] ^ { 2 } .
\frac { 1 } { [ ( k + p ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } \frac { \left( - 1 \right) ^ { j } \left( p ^ { 2 } + 2 p \cdot k \right) ^ { j } } { \left( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) ^ { j + 1 } } + \frac { \left( - 1 \right) ^ { N + 1 } \left( p ^ { 2 } + 2 p \cdot k \right) ^ { N + 1 } } { \left( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } \right) ^ { N + 1 } [ \left( k + p \right) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } \cdot
{ H } _ { i n t } ^ { 1 } = \bar { \psi } e \left( \gamma ^ { - } \bar { B } _ { - } + \gamma ^ { i } \bar { B } _ { i } \right) \ast \left[ 1 + \frac { e } { 2 } \gamma ^ { + } \frac { 1 } { i \partial _ { - } - e \bar { B } _ { - } } \left( \gamma ^ { - } \bar { B } _ { - } + \gamma ^ { j } \bar { B } _ { j } \right) \right] \ast \psi .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell = L _ { 0 } + 1 } ^ { L } | \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { \ell } ^ { m } | } & { = \sum _ { \ell = L _ { 0 } + 1 } ^ { L } | \boldsymbol { \beta } _ { \ell } ^ { m } - \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { \ell } ^ { m } | } \\ & { \leq 3 \sum _ { \ell = 1 } ^ { L _ { 0 } } | \boldsymbol { \beta } _ { \ell } ^ { m } - \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { \ell } ^ { m } | \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) = } & { } & { \frac { N ^ { 2 } m } { \hbar \Omega } | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { a a } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { X \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { X Y } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { } & { + | 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) , } \\ { S _ { Y Y } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) = } & { } & { \frac { N ^ { 2 } m } { \hbar \Omega } | \sqrt { \kappa } H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { a a } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { Y \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { Y X } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { } & { + | 1 - \sqrt { \kappa } H _ { Y Y } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { y } ( y ) = \mathbb { E } _ { x } \left( \mathbb { E } _ { y \mid x } ( y \mid x ) \right) = \mathbb { E } _ { x } \left( x ^ { T } B ) \right) = 0 } \\ { \operatorname { C o v } _ { y } ( y ) = \mathbb { E } _ { x } \left( \operatorname { C o v } _ { y \mid x } ( y \mid x ) \right) + \operatorname { C o v } _ { x } \left( \mathbb { E } _ { y \mid x } ( y \mid x ) \right) } \\ { = \mathbb { E } _ { x } \left( E \right) + \operatorname { C o v } _ { x } \left( x ^ { T } B \right) = E + B ^ { T } T B . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { J } _ { + } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { \gamma \sinh \gamma } } \sqrt { \displaystyle \frac { \sinh \gamma ( \hat { J } _ { 0 } + \hat { J } _ { 3 } ) \sinh \gamma ( \hat { J } _ { 0 } - \hat { J } _ { 3 } + 1 ) } { ( \hat { J } _ { 0 } + \hat { J } _ { 3 } ) ( \hat { J } _ { 0 } - \hat { J } _ { 3 } + 1 ) } } \hat { J } _ { + } ~ , } } \\ { { \hat { J } _ { - } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { \gamma \sinh \gamma } } \hat { J _ { - } } \sqrt { \displaystyle \frac { \sinh \gamma ( \hat { J } _ { 0 } + \hat { J } _ { 3 } ) \sinh \gamma ( \hat { J } _ { 0 } - \hat { J } _ { 3 } + 1 ) } { ( \hat { J } _ { 0 } + \hat { J } _ { 3 } ) ( \hat { J } _ { 0 } - \hat { J } _ { 3 } + 1 ) } } ~ , } } \\ { { \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \hat { J } _ { 3 } ~ . } } \end{array}
p = p _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } = \mathcal { L } ~ ; \, \, \, \ u _ { a } = \frac { \nabla _ { a } \psi } { \sqrt { 2 X } } ; \, \, \, \ \rho = 2 X \mathcal { L } _ { X } - \mathcal { L } ~ .
a _ { \mathrm { c o r r e l a t i o n } } ( x , \tau ) = \frac { e c ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial R ^ { 2 } } \ \left\{ \begin{array} { l l } { { \int _ { u _ { - } } ^ { u _ { + } } d u \frac { 1 } { \sqrt { \rho ( u ) } } } } & { { \mathrm { i f ~ \sqrt { 2 } ~ R / c ~ < ~ \ a l p h a ~ < ~ \sqrt { 2 } ~ R / c ~ } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| F ( \boldsymbol { X } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 1 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\mathrm { C h } ( \Omega _ { N } , \left\{ \phi ( x ) \right\} ) \equiv \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { f o r \left\{ \phi ( x ) \right\} \in \Omega _ { N } } } \\ { { 0 } } & { { f o r \left\{ \phi ( x ) \right\} \not \in \Omega _ { N } } } \end{array} \right. \right.
\int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \tilde { \gamma } _ { S } ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } \tilde { \gamma } _ { B } ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = 0 \, .
\begin{array} { r } { \small { \left( \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \! \! \right) , \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \! \! \right) \right) } } \end{array}
\exists x y \ \left\{ \sum _ { n } ( x _ { n } ^ { T } x _ { n } - 1 ) ^ { 2 } + \sum _ { m , n : m < n } { \Big ( } ( x _ { n } - x _ { m } ) ^ { T } ( x _ { n } - x _ { m } ) - 1 - ( y _ { n m } ) ^ { 2 } { \Big ) } ^ { 2 } = 0 \right\}
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { { { \lambda } _ { t } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { b } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { H } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { \Sigma } ^ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { { \lambda } _ { t } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { b } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { H } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { \Sigma } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ^ { T } \left( \left( \begin{array} { c c c c } { { 9 } } & { { 4 } } & { { 2 4 / 5 } } & { { 0 } } \\ { { 3 } } & { { 1 0 } } & { { 2 4 / 5 } } & { { 0 } } \\ { { 3 } } & { { 4 } } & { { 5 3 / 5 } } & { { 2 1 / 2 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 3 } } & { { 6 3 / 2 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { { \lambda } _ { t } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { b } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { H } ^ { 2 } } } \\ { { { \lambda } _ { \Sigma } ^ { 2 } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { { 9 6 / 5 } } \\ { { 8 4 / 5 } } \\ { { 9 8 / 5 } } \\ { { 3 0 } } \end{array} \right) g ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { t e m } } ( 0 ) } & { { } = f _ { \mathrm { i n } } ( 0 ) , } \\ { f _ { 1 } ( N - 1 ) } & { { } = - f _ { \mathrm { t e m } } ( N - 1 ) { \sum _ { l = 1 } ^ { ( N _ { l } { + } 1 ) / 2 } } z _ { 1 } ^ { 2 l - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { { } = J _ { 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , A } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n , B } + \mathrm { H . c . } ) + J _ { 1 } ^ { \prime } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { c } _ { n , B } ^ { \dagger } \, \hat { c } _ { n + 1 , A } + \mathrm { H . c . } ) } \end{array}
E _ { { \bf A } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \big \lVert { \bf L } _ { i , k } ^ { { \bf A } } { \bf A } _ { k } [ \phi _ { i } - c _ { k } ] \big \rVert _ { 2 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { h ( x ) } & { = } & { ( x + \frac { 1 } { 2 } ) \log ( x + \frac { 1 } { 2 } ) - ( x - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( x - \frac { 1 } { 2 } ) , } \\ { s ^ { \pm } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { Z \pm \sqrt { Z ^ { 2 } - 4 b _ { 4 } } } , } \\ { Z } & { = } & { b _ { 1 } + b _ { 2 } + 2 I _ { 3 } , } \\ { b _ { 1 } } & { = } & { \operatorname* { d e t } \sigma _ { 1 } , } \\ { b _ { 2 } } & { = } & { \operatorname* { d e t } \sigma _ { 2 } , } \\ { b _ { 3 } } & { = } & { \operatorname* { d e t } \sigma _ { 3 } , } \\ { b _ { 4 } } & { = } & { \operatorname* { d e t } \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c } { c t ^ { ' } } \\ { z ^ { ' } } \end{array} \right) } & { = } & { L \left( \begin{array} { c c } { c t } \\ { z } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { a } & { - b } \\ { - b } & { a } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { c t } \\ { z } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { a c t - b z } \\ { - b c t + a z } \end{array} \right) , } \end{array}
I _ { 2 } = - i ( 4 \pi ) ^ { - n / 2 } { \frac { 4 } { \omega ^ { 2 } } } { \frac { \Gamma ( 1 - \omega / 2 ) \Gamma ^ { 2 } ( 1 + \omega / 2 ) } { \Gamma ( 1 + \omega ) } } { \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } } } \left[ ( - p _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \omega / 2 } - ( - p _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \omega / 2 } \right] . \nonumber \,
\begin{array} { r } { \tilde { \mu } ^ { \mathrm { c l } } ( a _ { 1 } ) = \sqrt { \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } { \left( \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \theta + \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \right) \left( \omega _ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + \omega _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta \right) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { O } ( 2 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 6 5 6 4 , } & { \qquad \alpha _ { \mathrm { S O } ( 2 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 3 9 2 7 , } \\ { \alpha _ { \mathrm { O } ( 3 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 6 7 0 4 , } & { \qquad \alpha _ { \mathrm { S O } ( 3 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 5 4 7 6 , } \\ { \alpha _ { \mathrm { O } ( 4 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 6 7 9 5 , } & { \qquad \alpha _ { \mathrm { S O } ( 4 ) } ^ { 2 } \approx 0 . 6 0 9 6 . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { g } ^ { \prime } \approx - G ( \rho _ { \mathrm { b c g } } + \rho _ { g } ) \frac { M _ { \mathrm { t o t } } } { r ^ { 2 } } , \qquad \qquad \qquad ( \Lambda \mathrm { ~ C ~ D ~ M ~ } ) . } \end{array}
f g = f \circ g = ( 1 \ 2 \ 4 ) ( 3 \ 5 ) = { \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } & { 5 } \\ { 2 } & { 4 } & { 5 } & { 1 } & { 3 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { \log ( \theta _ { i } + 2 r _ { 2 } ) } { T } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { \operatorname* { m a x } \{ \log ( 2 \theta _ { i } ) , \, \log ( 4 r _ { 2 } ) \} } { T } } \\ & { \qquad = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { \log ( 2 \theta _ { i } ) } { T } , \, \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { \log ( 4 r _ { 2 } ) } { T } \bigg \} } \\ & { \qquad = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { \log \theta _ { i } } { T } , \, 0 \bigg \} , } \end{array}
M ^ { 2 } ~ = ~ \frac { 3 \lambda } { 2 \pi } ( R T ) T ^ { 2 } \left[ \frac { M } { T } \: \mathrm { L i } _ { 2 } \left( e ^ { - M / T } \right) + \mathrm { L i } _ { 3 } \left( e ^ { - M / T } \right) \right] ~
\begin{array} { r l } { P _ { i j k l } P _ { k l r s } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( \delta _ { i k } \delta _ { j l } - w _ { k j } w _ { i l } ) ( \delta _ { k r } \delta _ { l s } - w _ { r l } w _ { k s } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } ( \delta _ { i r } \delta _ { j s } - w _ { r j } w _ { i s } - w _ { r j } w _ { i s } + w _ { k j } w _ { i l } w _ { r l } w _ { k s } ) . } \end{array}
\lambda ^ { \mu } \left( t \right) = \bar { X } ^ { \mu } + \xi ^ { \mu } t - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \nu \rho } ^ { \mu } \xi ^ { \nu } \xi ^ { \rho } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 ! } \Gamma _ { \nu \rho \kappa } ^ { \mu } \xi ^ { \nu } \xi ^ { \rho } \xi ^ { \kappa } t ^ { 3 } + \ldots ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } [ \langle e _ { I } , { \mathbb Y } _ { s , t } \rangle | { \mathcal F } _ { u } ] } & { = { \mathbb E } [ \langle e _ { I } , { \mathbb Y } _ { s } ^ { - 1 } \otimes { \mathbb Y } _ { t } \rangle | { \mathcal F } _ { u } ] = \sum _ { e _ { I _ { 1 } } \otimes e _ { I _ { 2 } } = e _ { I } } \langle e _ { I _ { 1 } } , { \mathbb Y } _ { s } ^ { - 1 } \rangle { \mathbb E } [ \langle e _ { I _ { 2 } } , { \mathbb Y } _ { t } \rangle | { \mathcal F } _ { u } ] } \\ & { = \sum _ { e _ { I _ { 1 } } \otimes e _ { I _ { 2 } } = e _ { I } } \langle e _ { I _ { 1 } } , { \mathbb Y } _ { s } ^ { - 1 } \rangle { \textup { \bf v e c } } ( e _ { I _ { 2 } } ) ^ { \top } e ^ { ( t - u ) G ^ { \top } } { \textup { \bf v e c } } ( { { \mathbb Y } } _ { u } ^ { n } ) , } \end{array}
\omega ^ { 1 } { } _ { 2 } = \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \, d X ^ { 1 } - \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \, d X ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \mathfrak { b } _ { 1 } ( \omega , \varphi , x , \xi ) = \sum _ { j _ { k } \in S } C _ { \mathfrak { b } , j _ { k } } ( \xi ) \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } ( \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + j _ { k } x ) } , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ C _ { \mathfrak { b } , j _ k } \in ~ \mathcal { S } ^ { - 2 } ~ . } } \end{array}
{ \hat { M } } = { 5 } \int _ { V _ { s } } \frac { j _ { 2 } ( k _ { d } r ^ { \prime } ) } { ( k _ { d } r ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \{ [ { \bf r } ^ { \prime } \times { \bf j } ( { \bf r } ^ { \prime } ) ] { \bf r } ^ { \prime } + { \bf r } ^ { \prime } [ { \bf r } ^ { \prime } \times { \bf j } ( { \bf r } ^ { \prime } ) ] \} d { \bf r } ^ { \prime } ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } } & { { } = } & { - \int _ { \Omega } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } | ^ { 2 } + R T \mathcal { R } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } } { \mathcal { R } _ { r } } \right) \right\} d x = - \Delta . } \end{array}
\textstyle \operatorname { V a r } \Big ( \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { L - 1 } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \Big ) \sim \frac { 4 } { m ^ { 2 } d ^ { 4 } } \left[ \operatorname { T r } ( \hat { h } ^ { 2 } ) + 2 \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) \right] + \mathcal { O } ( \eta ^ { j } ) + \mathcal { O } ( \eta ^ { L - j } ) .
\stackrel { \mathrm { H W } } { S ^ { \alpha \beta } } = \int \tau _ { \mathrm { K G } } ^ { \alpha \beta 0 } \, d ^ { 3 } x \, = \frac { 1 } { 4 m i } \int \left[ \left( D ^ { 0 } \overline { { { \Psi } } } \right) \sigma ^ { \alpha \beta } \Psi - \overline { { { \Psi } } } \sigma ^ { \alpha \beta } \left( D ^ { 0 } \Psi \right) \right] \, d ^ { 3 } x \, .
\begin{array} { r l } { W _ { \alpha } ( \textbf { r } _ { 1 } , \textbf { r } _ { 2 } , z ) } & { = \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 6 \beta ^ { 8 } \lvert A \rvert ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } e ^ { - \frac { ( \sin { \alpha } + i \cos { \alpha } ) } { 4 \beta ^ { 2 } A \sigma ^ { 2 } } r _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { e ^ { - \frac { ( \sin { \alpha } - i \cos { \alpha } ) } { 4 \beta ^ { 2 } A ^ { * } \sigma ^ { 2 } } r _ { 1 } ^ { 2 } } e ^ { \frac { ( \textbf { r } _ { 1 } A + \textbf { r } _ { 2 } A ^ { * } ) ^ { 2 } } { 1 6 \beta ^ { 4 } \lvert A \rvert ^ { 4 } \eta } } } \\ & { \Biggl [ \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } A ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } A ^ { * 2 } + 2 \lvert A \rvert ^ { 2 } ( x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } ) } { 1 6 \lvert A \rvert ^ { 4 } \eta ^ { 3 } } } \\ { - } & { \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } A + r _ { 2 } ^ { 2 } A ^ { * } + ( A + A ^ { * } ) ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) } { 4 \lvert A \rvert ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) } { \eta } + \frac { \beta ^ { 4 } } { \eta ^ { 2 } } \Biggr ] , } \end{array}
A _ { r } ^ { a } = \frac { 1 } { L _ { \perp } \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { \lambda = \pm 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { \Lambda } \frac { 1 } { \sqrt { k } } \left( a _ { k , \lambda } ^ { a } \epsilon _ { r } ^ { - \lambda } e ^ { - 2 \pi i k x ^ { - } / L } + { a _ { k , \lambda } ^ { a } } ^ { \dag } \epsilon _ { r } ^ { \lambda } e ^ { 2 \pi i k x ^ { - } / L } \right) \; .