harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \boldsymbol { \omega } } { \partial t } = . . . - 2 \nabla \times \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { u } } \\ & { } & { \rightarrow \omega _ { r m s } \approx 2 ~ \Omega ~ t _ { t u r n } ~ u _ { r m s } ~ k _ { f } \rightarrow \frac { k _ { \omega } } { k _ { f } } \approx 2 ~ \Omega ~ t _ { t u r n } ~ , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \ell } d y \; \{ \xi _ { \alpha } ( x ) , \xi _ { \beta } ( y ) \} \; \; \Omega ^ { L } \Big | _ { \big ( { \frac { \delta } { \delta \xi _ { \beta } ( y ) } } , { \frac { \delta } { \delta \xi _ { \gamma } ( z ) } } \big ) } = P _ { \alpha \gamma } ( x , z ) \quad .
\begin{array} { r l } { \lVert \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathrm { d } ^ { \ast } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { k , n } \lVert \nabla ( \lambda \mathrm { I } - \Delta ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { E } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim _ { n , k , s , p } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\mathbf { P } ^ { n } \equiv \int d ^ { 3 } \mathbf { x } \left( \nabla \varphi _ { n } ^ { \alpha } \right) \left\{ \frac { \partial \mathcal { F } ^ { n } } { \partial \varphi _ { n } ^ { \alpha } } - \nabla \mathbf { \cdot } \left( \frac { \partial \mathcal { F } ^ { n } } { \partial \nabla \varphi _ { n } ^ { \alpha } } \right) \right\} .
\left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { W } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { W } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathbf { S } t } \cdot \left( \begin{array} { c } { \delta \mathbf { W } _ { 1 , 1 } } \\ { \vdots } \\ { \delta \mathbf { W } _ { i m a x , j m a x } } \end{array} \right) _ { t = 0 } .
\hat { { \bf g } } _ { M N } = \hat { \eta } _ { A B } \hat { e } _ { \ M } ^ { A } \hat { e } _ { \ N } ^ { B } = \eta _ { \alpha \beta } \hat { e } _ { \ M } ^ { \alpha } \hat { e } _ { \ N } ^ { \beta } - \delta _ { a b }
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { A } ^ { ( 2 2 ) } = ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - 2 \operatorname { t a n h } k _ { 0 } h \operatorname { t a n h } 2 k _ { 0 } h \right) k _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 1 } B _ { s , 1 } } \\ { \mathcal { N } _ { B } ^ { ( 2 2 ) } = ~ } & { \frac { 1 } { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } k _ { 0 } h ) B _ { s , 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\Theta = \left[ \begin{array} { c } { \displaystyle { \frac { 1 1 5 3 } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 7 0 7 \, { \it c _ { 1 } } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 2 8 3 \, \left( { \it c _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 7 7 7 6 } } + { \frac { 6 1 \, \left( { \it c _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 3 } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 5 \, \left( { \it c _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 4 } } { 7 7 7 6 } } } \\ { \displaystyle { \medskip } { \frac { 1 1 5 3 } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 7 0 7 \, { \it c _ { 2 } } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 2 8 3 \, \left( { \it c _ { 2 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 7 7 7 6 } } + { \frac { 6 1 \, \left( { \it c _ { 2 } } - 1 \right) ^ { 3 } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 5 \, \left( { \it c _ { 2 } } - 1 \right) ^ { 4 } } { 7 7 7 6 } } } \\ { \displaystyle { \medskip } { \frac { 1 1 5 3 } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 7 0 7 \, { \it c _ { 3 } } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 2 8 3 \, \left( { \it c _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 7 7 7 6 } } + { \frac { 6 1 \, \left( { \it c _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 3 } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 5 \, \left( { \it c _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 4 } } { 7 7 7 6 } } } \\ { \displaystyle { \medskip } { \frac { 1 1 5 3 } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 7 0 7 \, { \it c _ { 4 } } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 2 8 3 \, \left( { \it c _ { 4 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 7 7 7 6 } } + { \frac { 6 1 \, \left( { \it c 4 } - 1 \right) ^ { 3 } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 5 \, \left( { \it c _ { 4 } } - 1 \right) ^ { 4 } } { 7 7 7 6 } } } \\ { \displaystyle { \medskip } { \frac { 1 1 5 3 } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 7 0 7 \, { \it c _ { 5 } } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 3 2 8 3 \, \left( { \it c _ { 5 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 7 7 7 6 } } + { \frac { 6 1 \, \left( { \it c _ { 5 } } - 1 \right) ^ { 3 } } { 1 9 4 4 } } + { \frac { 5 \, \left( { \it c _ { 5 } } - 1 \right) ^ { 4 } } { 7 7 7 6 } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\{ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } + \mathbf { w } - \chi \mathbf { n } } \\ { \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = \boldsymbol { \xi } _ { \ast } + \mathbf { w } - \chi \mathbf { n } } \end{array} \right. \mathrm { , ~ w h e r e ~ } \mathbf { w } \perp \mathbf { n } \mathrm { ~ a n d ~ } \chi = \chi _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } = \frac { \Delta I _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } } { m \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \mathrm { , } } \\ & { } & { \mathrm { ~ w i t h ~ } \mathbf { g } = \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \mathrm { a n d ~ } \mathbf { n = } \frac { \mathbf { g } } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { 2 } } \\ { V _ { 3 } } \\ { V _ { 4 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l l } { Z _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { Z _ { 2 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Z _ { 2 4 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 2 } } \\ { I _ { 2 3 } } \\ { I _ { 2 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { - \bar { V } _ { 1 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
d \star \widehat { \mathcal { H } } _ { + } - \mathrm { i } \, Q \wedge \, * \widehat { \mathcal { H } } _ { + } = \mathrm { i } \, \mathcal { F } _ { [ 5 ] } \, \wedge \, \widehat { \mathcal { H } } _ { + } - P \wedge \star \widehat { \mathcal { H } } _ { - }
Z _ { \Psi } = \int \, [ d A _ { \mu } ] [ d \bar { c } ] [ d c ] [ d b ] [ d A _ { \mu } ^ { \ast } ] [ d \bar { c } ^ { \ast } ] [ d c ^ { \ast } ] \, \delta \Bigl [ \phi ^ { \ast } - \frac { \delta \Psi } { \delta \phi } \Bigr ] \, \exp \, \{ i S \} \, .
I ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) \simeq \frac { i } { 3 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { \sqrt { m ^ { 2 } - k ^ { 2 } x ( 1 - x ) } } \simeq \frac { i } { 3 2 \sqrt { - k ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { T _ { \nu } ^ { \mu } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \kappa } \sum _ { i } b _ { i } ( 1 - q _ { i } ) r ^ { - ( q _ { i } + 2 ) } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 } q _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 } q _ { i } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { i } ^ { ( j ) } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \nu _ { P _ { j } } ^ { ( j ) } = N ( \Delta + \frac { \epsilon _ { j } ^ { \mu } } { K } , \frac { \bar { \sigma } ^ { 2 } - \epsilon _ { j } ^ { \mathrm { v } } } { K } ) , } & & { \quad i \in P _ { j } } \\ & { \nu _ { i } ^ { ( 0 ) } , } & & { \quad i \notin P _ { j } } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } ( p \cdot \hat { H } ) = \sum _ { \rho \in \Delta } { \frac { g _ { | \rho | } ^ { 2 } } { | \rho | ^ { 2 } } } ( \rho \cdot \hat { H } ) \left[ y _ { | \rho | } ( \rho \cdot q , w ) x _ { | \rho | } ( - \rho \cdot q , w ) - x _ { | \rho | } ( \rho \cdot q , w ) y _ { | \rho | } ( - \rho \cdot q , w ) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \phi ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { i } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) \left( \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathbf { r } _ { j } ^ { 2 } / ( 2 \sigma ^ { 2 } ) } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } h _ { i } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { j - i - 4 } { 2 } } h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 4 } { 2 } } = ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i - 4 } { 2 } } } \\ & { \cdot t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { j - 4 , j - 3 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { i + 4 , i + 5 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 4 } h _ { i + 2 } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { i + 4 , i + 5 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i + 6 , i + 7 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } } \end{array}
n _ { 1 } = \frac { 1 - n _ { 2 } \left( \alpha _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \alpha _ { 2 } \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } \right) } { \left( 1 + \alpha _ { 1 } \right) ^ { 2 } - 1 } .
\begin{array} { r } { J ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | U _ { \boldsymbol \nu } ( r _ { k } , 0 , t _ { m } ) \! - \! d _ { k } ^ { m } | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { { p r } } } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) , } \end{array}
\Psi \approx \alpha _ { 1 } e ^ { i S ^ { ( + ) } ( \beta , \phi ) } \chi ^ { ( + ) } ( \beta , \phi , \{ x _ { \lambda } \} ) + \alpha _ { 2 } e ^ { i S ^ { ( - ) } ( \beta , \phi ) } \chi ^ { ( - ) } ( \beta , \phi , \{ x _ { \lambda } \} ) ,
\begin{array} { r l } { \underbrace { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { \textrm { e n s e m b l e ~ c o v a r i a n c e } } } } & { = \underbrace { \left[ C _ { L } ^ { ( \eta ) } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] } _ { \mathrm { \textrm { m e a n ~ c o v a r i a n c e } } } } \\ & { + \underbrace { \left[ \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ( \tau ) \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ( \tau ^ { \prime } ) \right] - \overline { { L } } ( \tau ) \overline { { L } } ( \tau ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { \textrm { c o v a r i a n c e ~ o f ~ m e a n s } } } } \end{array}
\qquad \qquad \qquad \left. - { \frac { 1 } { 6 } } \sum _ { M \parallel i } \partial _ { a } \ln \tilde { E } _ { M } + { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { M \perp i } \partial _ { a } \ln \tilde { E } _ { M } \right] \Gamma _ { \hat { a } } \eta = 0
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { i n t } } = \sum _ { i < j } \left[ V _ { i j } ^ { \mathrm { C } } + V _ { i j } ^ { \mathrm { B } } \right] - \sum _ { i } V _ { \mathrm { s c r } } ( r _ { i } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { h k } ^ { B } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } & { = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 1 , \quad } & { h = 1 , } \\ & { P _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) , \quad } & { h = 2 , } \\ & { \sum _ { s _ { 2 } ^ { k } \in \mathcal { S } } \cdots \sum _ { s _ { h - 1 } ^ { k } \in \mathcal { S } } P _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \cdots P _ { h - 1 } ( s _ { h } ^ { k } \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) , \quad } & { h \geq 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) + 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } \leq C .
\begin{array} { r l } { { A } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { = c _ { 1 } \left( \delta _ { i j } - { p _ { i } } { p _ { j } } \right) + c _ { 2 } { p _ { i } } { p _ { j } } } \\ { { D } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { = c _ { 3 } \left( \delta _ { i j } - { p _ { i } } { p _ { j } } \right) + c _ { 4 } { p _ { i } } { p _ { j } } } \\ { { B } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d } } ^ { ( 2 ) } = \Delta g _ { \mathrm { r e d , E } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , F } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , G } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l } } ^ { ( 2 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \alpha } _ { a b } } & { { } = \alpha _ { a b } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b } ( g ) - \mathrm { i } [ \alpha _ { a b } ^ { \prime } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b } ^ { \prime } ( g ) ] } \\ { \tilde { \alpha } _ { a b , c } } & { { } = \alpha _ { a b , c } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b , c } ( g ) - \mathrm { i } [ \alpha _ { a b , c } ^ { \prime } ( f ) + \mathrm { i } \alpha _ { a b , c } ^ { \prime } ( g ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { ( n ) } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l ^ { \prime } \right) } = } & { { } \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { \varphi } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( \varphi ) \Lambda _ { l } ( \varphi ) \mathrm { d } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \phi _ { f } } ^ { i f } } & { = \Big ( - \frac { i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert T [ { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) ] \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle } \\ & { = \Big ( - \frac { i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle } _ { s _ { 1 2 } } } \\ & { \quad \mathrm + \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle } _ { s _ { 2 1 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \left( \frac { 1 } { 8 } , \epsilon \right) } & { = \frac { 9 } { 5 1 2 } ( 9 x ^ { 4 } + 9 6 x ^ { 3 } - 5 6 0 x ^ { 2 } + 2 5 6 x + 6 4 ) } \\ & { = \frac { 9 \epsilon ^ { 2 } } { 5 1 2 } \left( 9 \epsilon ^ { 2 } + 9 6 \epsilon ^ { 1 } - 5 6 0 + 2 5 6 \frac { 1 } { \epsilon } + 6 4 \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { 9 \epsilon ^ { 2 } } { 5 1 2 } \left( 9 \left( \epsilon + \frac { 8 } { 3 \epsilon } \right) ^ { 2 } + 9 6 \left( \epsilon + \frac { 8 } { 3 \epsilon } \right) - 6 0 8 \right) } \end{array}
I _ { d } \left( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { s } \right) = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } \boldsymbol { x } \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right) = \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma _ { t } } \right) = \left\{ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \xi \right) \vert \xi \in \left[ 0 , \infty \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x _ { i } , y _ { j } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \overline { { \chi _ { 1 } } } ( y _ { 1 } ) \cdots \overline { { \chi _ { m } } } ( y _ { m } ) \psi \left( f + y _ { 1 } f _ { 1 } + \cdots + y _ { m } f _ { m } \right) } \\ & { = G ( \overline { { \chi _ { 1 } } } ) \cdots G ( \overline { { \chi _ { m } } } ) \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \chi _ { 1 } ( f _ { 1 } ) \cdots \chi _ { m } ( f _ { m } ) \psi ( f ) . } \end{array}
2 [ A - B - 1 + 2 p ^ { \prime } ] x = 2 A ( 1 - p ^ { \prime } ) + 2 B p ^ { \prime } - \frac { 2 ( 1 - p ^ { \prime } ) ^ { 3 } A + 2 p ^ { 3 } B } { p ^ { \prime } ( 1 - p ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r l } & { d \partial _ { z } v ^ { j } = - ( \partial _ { z } u ^ { j } \partial _ { x } v ^ { j } + u ^ { j } \partial _ { x z } v ^ { j } + \partial _ { z } w ^ { j } \partial _ { z } v ^ { j } + w ^ { j } \partial _ { z z } v ^ { j } ) d t + \partial _ { z z } \sigma ( u ^ { j } ) d W : = B _ { 1 } d t + B _ { 2 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| K _ { N } ^ { t } \psi - \widehat K _ { N } ^ { m , t } \psi \| _ { \mu } } & { \le \| K _ { N } ^ { t } \psi - \widetilde K _ { N } ^ { m , t } \psi \| _ { \mu } + \| \varphi \| _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \| \widetilde K _ { N } ^ { m , t } \psi - \widehat K _ { N } ^ { m , t } \psi \| } \\ & { \le \frac { \| \psi \| } { \sqrt { \lambda _ { N } } } \cdot \varepsilon + \frac { N + 1 } { \lambda _ { N } \delta _ { N } } ( \varepsilon + \| \varphi \| _ { 1 } ) \| \varphi \| _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \| \psi \| \varepsilon } \\ & { = \left[ \frac 1 { \sqrt { \lambda _ { N } } } + \frac { N + 1 } { \delta _ { N } \lambda _ { N } } ( 1 + \| \varphi \| _ { 1 } ) \| \varphi \| _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \right] \varepsilon \cdot \| \psi \| , } \end{array}
( { p } \star P ) ( \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } p ( t ) P ( \omega - t ) d t = \sum _ { j } | c _ { j } ^ { 2 } | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta ( \omega - E _ { j } - t ) d t = \sum _ { j } | c _ { j } | ^ { 2 } p ( E _ { j } - \omega ) .
\begin{array} { r } { \frac { 8 \ln d } { \frac { \sqrt { 2 \left( 1 - \sqrt { r } \right) ^ { 2 } \ln d } } { \sqrt { 2 \pi } \left\{ 2 \left( 1 - \sqrt { r } \right) ^ { 2 } \ln d + 1 \right\} } - \epsilon ( \tau ) d ^ { \left( 1 - \sqrt { r } \right) ^ { 2 } } } d ^ { \left( 1 - \sqrt { r } \right) ^ { 2 } } \leq M \leq \frac { d } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \mathrm { p l } } = \frac { \left( \omega ^ { 2 } + \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } \right) \left( L - d _ { \mathrm { s h } } \right) } { \epsilon _ { \mathrm { 0 } } \nu _ { \mathrm { m } } \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } S } . } \\ { C _ { \mathrm { p l } } = \frac { \epsilon _ { \mathrm { 0 } } S } { L - d _ { \mathrm { s h } } } \left( 1 - \frac { \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + \nu _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad X _ { \mathrm { p l } } = \frac { 1 } { j \omega C _ { \mathrm { p l } } } . } \\ { C _ { \mathrm { s h } } = \frac { \epsilon _ { \mathrm { 0 } } \epsilon _ { \mathrm { A r } } S } { d _ { \mathrm { s h } } } \quad \mathrm { a n d } \quad X _ { \mathrm { s h } } = \frac { 1 } { j \omega C _ { \mathrm { s h } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { J } _ { h } [ \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) ] \rVert _ { \infty } } & { \leq \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) - \mathcal { J } _ { h } [ \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n - 1 } , \tau _ { k } ] } \circ \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) ] \rVert _ { \infty } } \\ & { + C _ { n - 1 , k } \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , t _ { n - 1 } ] } - \Phi _ { \Delta t } ( t _ { n } ) \rVert _ { \infty } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { i } ( \tau ^ { ( 1 ) } ) - u _ { i } ( \tau ^ { ( 2 ) } ) } & { = } & { \int _ { \tau _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { 1 } } g _ { i , 1 } ( \tau ^ { ( 1 ) } , u ( \tau ^ { ( 1 ) } ) ) d \tau _ { 1 } } \\ { u _ { i } ( \tau ^ { ( 2 ) } ) - u _ { i } ( \tau ^ { ( 3 ) } ) } & { = } & { \int _ { \tau _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { 2 } } g _ { i , 2 } ( \tau ^ { ( 2 ) } , u ( \tau ^ { ( 2 ) } ) ) d \tau _ { 2 } } \\ & { \vdots } & \\ { u _ { i } ( \tau ^ { ( p ) } ) - u _ { i } ( \tau ^ { ( 0 ) } ) } & { = } & { \int _ { \tau _ { p } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { p } } g _ { i , p } ( \tau ^ { ( p ) } , u ( \tau ^ { ( p ) } ) ) d \tau _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } { \hbar \omega _ { c } } } & { = } & { \frac { \hat { X } ^ { 2 } + \hat { P } ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \epsilon } _ { \boldsymbol { q } n } \frac { \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } + \hat { P } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \xi } _ { \boldsymbol { q } n } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } \right] ^ { 2 } - \hat { \boldsymbol { \pi } } \cdot \sum _ { \boldsymbol { q } n } \tilde { \xi } _ { \boldsymbol { q } n } \boldsymbol { e } _ { \boldsymbol { q } } \hat { X } _ { \boldsymbol { q } n } } \\ & { \equiv } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \boldsymbol { \phi } } ^ { \mathrm { T } } M \hat { \boldsymbol { \phi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \frac { \partial } { \partial t } } & { { } \rightarrow \frac { \partial } { \partial t } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial T } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \frac { \partial } { \partial x } } & { { } \rightarrow \frac { \partial } { \partial x } + \epsilon \frac { \partial } { \partial X } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \rho , v , \rho _ { T } , \Phi ) : = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { 2 } \| v ( t , x ) \| ^ { 2 } \rho ( t , x ) d x d t + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } V ( x ) \rho ( T , x ) d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( t , x ) \Big ( \partial _ { t } \rho ( t , x ) + \nabla \cdot ( \rho ( t , x ) v ( t , x ) ) - \beta \Delta \rho ( t , x ) \Big ) d x d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { 2 } \| v ( t , x ) \| ^ { 2 } \rho ( t , x ) d x d t + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } V ( x ) \rho ( T , x ) d x } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( T , x ) \rho ( T , x ) d x - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Phi ( 0 , x ) \rho ( 0 , x ) d x } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \Big ( - \partial _ { t } \Phi ( t , x ) \rho ( t , x ) - ( \nabla \Phi ( t , x ) , v ( t , x ) ) \rho ( t , x ) - \beta \Phi ( t , x ) \Delta \rho ( t , x ) \Big ) d x d t . } \end{array}
x = \frac { \pi X } { 2 L } ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ U ( x ) = \frac { 8 M L ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } V ( X ) ; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \epsilon = \frac { 8 M L ^ { 2 } E } { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb E _ { \varepsilon } \exp \left\{ \lambda \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } \left[ P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right] \right\} } \\ & { \leqslant \mathbb E _ { \varepsilon } \exp \left\{ \lambda \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) \right\} } \\ & { \leqslant \exp \left\{ 6 4 ( 1 + e ) \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { e \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 2 n } \right\} . } \end{array}