harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } { \theta ^ { ( 1 ) } } e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 2 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } { \theta ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) ^ { 2 } } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } { \theta ^ { ( 1 ) ^ { 2 } } } e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } ( { \theta ^ { ( 1 ) } } ^ { 4 } + \frac { 1 0 } { \lambda } ) e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) } \theta ^ { ( 2 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } { \theta ^ { ( 1 ) } } ^ { 3 } e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } \cos ( { \omega ^ { ( 2 ) } } { \theta ^ { ( 2 ) } } + { \omega ^ { ( 1 ) } } { \theta ^ { ( 1 ) } } + b ) \mathrm { d } { \theta ^ { ( 2 ) } } } \\ & { \quad \quad \quad = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } e ^ { - \frac { 5 } { \lambda } { \omega ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } } \cos ( { \omega ^ { ( 2 ) } } { \theta ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } + { \omega ^ { ( 1 ) } } { \theta ^ { ( 1 ) } } + b ) e ^ { - ( 1 - { \theta ^ { ( 1 ) } } ) ^ { 2 } / 2 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { z ( 1 - z ) } } & { = \frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { z - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + z - 1 } - \frac { 1 } { z - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 - ( - ( z - 1 ) ) } - \frac { 1 } { z - 1 } } \\ & { = \sum _ { n \geq 0 } ( - 1 ) ^ { n } ( z - 1 ) ^ { n } - \frac { 1 } { z - 1 } } \\ & { = - \frac { 1 } { z - 1 } + 1 - ( z - 1 ) + ( z - 1 ) ^ { 2 } - ( z - 1 ) ^ { 3 } + \cdots } \end{array} ,
\mathrm { ( 4 a ) } + \mathrm { ( 4 b ) } = \frac { N } { 4 8 \pi m } \int _ { x } \left[ \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { [ \mu } \tilde { A } _ { \nu ] } [ \tilde { A } ^ { \mu } , \tilde { A } ^ { \nu } ] \right\} + O ( \partial \frac { \partial ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } ) \right] .
\begin{array} { r } { \hat { A } = \left( \begin{array} { l l l } { Q _ { 1 } ^ { T } A _ { 1 } Q _ { 1 } } & { 0 _ { p \times s } } & { \hat { A } _ { 2 } } \\ { 0 _ { s \times p } } & { A _ { 3 } } & { 0 } \\ { \hat { A } _ { 2 } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \hat { B } = \left( \begin{array} { l l l } { Q _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } Q _ { 1 } } & { 0 _ { p \times s } } & { 0 } \\ { 0 _ { s \times p } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
I _ { \mathrm { H M } , N } ( u ) = \left\{ \frac { \lvert \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] - z ( x ) \rvert } { \sqrt { \mathrm { V a r } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { t r a i n } } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { m e a s } , x } ] + \mathrm { V a r } [ \epsilon _ { \mathrm { o t h e r } , x } ] } } : x \in \mathcal { M } ^ { * } \right\} _ { ( N ) } ,
\small \begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \Big [ ( H - \mathop { \mathbb { E } } [ H ] ) ( H - \mathop { \mathbb { E } } [ H ] ) \Big ] } & { = \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) } \\ & { \qquad \times \bigg ( \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) \bigg ] } \\ & { = \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) ^ { 2 } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( P - \mu _ { P } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] + \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) ^ { 2 } \mathop { \mathbb { E } } \bigg [ \left( E - \mu _ { E } \right) \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ] } \\ & { \qquad + 2 \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \bigg ) \mathbb { E } \bigg [ \left( E - \mu _ { E } \right) \left( P - \mu _ { P } \right) \bigg ] } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } \operatorname { C o v } \left( P , P \right) + \operatorname { C o v } \left( E , E \right) + ( V - V _ { 0 } ) \operatorname { C o v } ( E , P ) } \\ { K _ { H H } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + K _ { E E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + ( V - V _ { 0 } ) K _ { P E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \alpha } = - \sqrt { N _ { x } N _ { y } } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mathbf { k } , \alpha } } { 2 V \varepsilon \epsilon _ { 0 } } } e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , 0 )
{ \big ( } D \partial _ { x _ { j } } P ( \mathbf { x } , t \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) { \big ) } _ { x _ { j } = x _ { j + 1 } } = { \big ( } D \partial _ { x _ { j + 1 } } P ( \mathbf { x } , t \mid \mathbf { x _ { 0 } } ) { \big ) } _ { x _ { j + 1 } = x _ { j } } ; \qquad j = - M , \ldots , M - 1 ,
\begin{array} { r } { \tau _ { g } = \tau _ { 0 } \left( \frac { 2 \Delta _ { 0 } } { T } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { \frac { 2 \Delta _ { 0 } } { T } } } \\ { \tau _ { 0 } ^ { - 1 } = \frac { 2 } { \hbar } \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } \alpha ^ { 2 } ( 2 \Delta _ { 0 } ) F ( 2 \Delta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 0 } \left( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \kappa _ { D } , w \right) = \frac { \mu ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) ^ { 2 } + \kappa _ { D } w ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 2 \mu + \kappa _ { D } w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { k + 1 } } & { = P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( z _ { k + 1 } ) = P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( z _ { k } - \tau _ { k } a _ { k } r ( \delta ^ { k } + z _ { k } - \mathit { \hat { z } } ^ { k } ) = x _ { k } - \tau _ { k } a _ { k } r ( x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) ) } \\ { w _ { k + 1 } } & { = - r P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( z _ { k + 1 } ) = - r P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( z _ { k } - \tau _ { k } a _ { k } r ( \delta ^ { k } + z _ { k } - \mathit { \hat { z } } ^ { k } ) ) = w _ { k } + \tau _ { k } a _ { k } r ^ { 2 } P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { v } ^ { T } \tilde { Z } { v } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { { v _ { 2 } } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { Z } _ { 1 1 } } & { \tilde { Z } _ { 1 2 } } \\ { \tilde { Z } _ { 2 1 } } & { \tilde { Z } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { { v _ { 2 } } } \end{array} \right] = { v } _ { 2 } ^ { T } \tilde { Z } _ { 2 2 } { v _ { 2 } } . } \end{array}
\mathcal { M } _ { 0 } ( r , t ) = \frac { ( 1 - t ) r ^ { 2 } } { 2 \pi } + \frac { \sqrt { 1 - t } ( 1 - \sqrt { 1 - t } ) } { \pi } ( 1 - \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } ) .
\bar { R } ( \textbf { r } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \textbf { r } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; z _ { 0 } ) \equiv \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } } \sum _ { \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } e ^ { - i \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } \cdot \mathbf { r } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } \Tilde { R } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ; { z _ { 0 } } ) ,
\begin{array} { r } { \psi _ { 1 } \le \hat { \psi } _ { 1 } + 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } ( \hat { \rho } _ { \bar { x } } ^ { h } ( x ) - \rho _ { \bar { x } } ^ { h } ( x ) ) | x - \bar { x } | d x \le \hat { \psi } _ { 1 } + \delta } \\ { ( \mathrm { \it ~ r e s p . } \ \psi _ { 3 } \le \hat { \psi } _ { 3 } + 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { k } } ( \hat { \rho } _ { \bar { x } } ^ { h } ( x ) - \rho _ { \bar { x } } ^ { h } ( x ) ) | x - \bar { x } | d x \le \hat { \psi } _ { 3 } + \delta ) } \end{array}
\mathbf { H } ^ { ( R ) } = \sum _ { \substack { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots \, \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots } } u _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots } \sigma _ { \alpha _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \sigma _ { \alpha _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } } \cdots
\begin{array} { r l } { H _ { \uparrow } ^ { \leq a } } & { = \left\{ \left. [ x ] \in \frac { H } { t H } \right| \ell _ { \uparrow } ( [ x ] ) \leq a \right\} , \qquad H _ { \uparrow } ^ { < a } = \left\{ \left. [ x ] \in \frac { H } { t H } \right| \ell _ { \uparrow } ( [ x ] ) < a \right\} , } \\ { H _ { \geq a } ^ { \downarrow } } & { = \left\{ \left. [ x ] \in \frac { H } { t H } \right| \ell ^ { \downarrow } ( [ x ] ) \geq a \right\} , \qquad H _ { > a } ^ { \downarrow } = \left\{ \left. [ x ] \in \frac { H } { t H } \right| \ell ^ { \downarrow } ( [ x ] ) > a \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { R } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) + e ^ { \varphi } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] + { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { j } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \overline { { \partial } } \varphi + \partial \varphi \, \overline { { \partial } } \left( { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \right) \right] } \\ & { \quad \quad \quad = { \frac { i } { 4 \pi } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \; \int _ { | z - \xi _ { j } | = \epsilon } { \frac { \partial \varphi } { \partial \xi _ { i } } } \left( \overline { { \partial } } \varphi d \overline { { z } } - \partial \varphi d z \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x [ i ] = } & { { } \mathrm { f l o o r } \left[ x _ { \mathrm { m a x } } \frac { A _ { 0 } \cos ( \omega t [ i ] + \theta _ { 0 } ) - A _ { 0 } \omega j ( t [ i ] ) \sin ( \omega t [ i ] + \theta _ { 0 } ) } { A _ { \mathrm { R } } } \right. } \end{array}
\int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 g ^ { 2 } N } \left( M + \frac { \lambda } { 2 } \, M ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { 2 \rho ^ { t } } \big ( \| \lambda - \lambda ^ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } \big ) = - \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 1 } } \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \underbrace { \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \frac { 1 } { 2 \rho ^ { t - 1 } } - \frac { 1 } { 2 \rho ^ { t } } \Big ) \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \rho ^ { T } } \| \lambda - \lambda ^ { T + 1 } \| ^ { 2 } } _ { \geq 0 } } \\ & { \geq - \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 1 } } \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot \mathbf { E } = 4 \pi \rho ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } = - \frac { 1 } { c } \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \\ { \nabla \times \mathbf { B } = \frac { 4 \pi } { c } \mathbf { j } ( \mathbf { r } , t ) + \frac { 1 } { c } \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \end{array} \right. ,
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } 2 x } & { + } & { y } & { - } & { z } & { = } & { 8 } & { \qquad ( L _ { 1 } ) } \\ { - 3 x } & { - } & { y } & { + } & { 2 z } & { = } & { - 1 1 } & { \qquad ( L _ { 2 } ) } \\ { - 2 x } & { + } & { y } & { + } & { 2 z } & { = } & { - 3 } & { \qquad ( L _ { 3 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( \theta ^ { \prime } ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) \delta \psi _ { h } ^ { i + 1 } , v _ { h } ) + \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) ) \nabla \delta \psi _ { h } ^ { i + 1 } , \nabla v _ { h } ) } \\ & { \quad + \tau \left( ( K \circ \theta ) ^ { \prime } ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , i } + z ) \, \delta \psi _ { h } ^ { i + 1 } , \nabla v _ { h } \right) } \\ & { \quad = \tau ( f ^ { n } , v _ { h } ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n - 1 } ) , v _ { h } ) - \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) ) \nabla \psi _ { h } ^ { i } , \nabla v _ { h } ) , } \end{array}
| \psi _ { F } ( t ) \rangle = \left[ 1 - { \frac { i } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } H _ { 0 } e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } - { \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } H _ { 0 } e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } H _ { 0 } e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } \lambda V ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } + \cdots \right] | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle .
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { O u t p u t } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \delta \phi _ { \mathrm { t } } ) | \mathrm { P o r t \ 1 } ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
s _ { \mu \nu } = T r ( \rlap / p \gamma _ { \mu } \rlap / p ^ { \prime } \gamma _ { \nu } ) , \ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ a _ { \mu \nu } = T r ( \gamma _ { 5 } \rlap / p \gamma _ { \mu } \rlap / p ^ { \prime } \gamma _ { \nu } ) .
\begin{array} { r } { { \mathbb { E } } [ \psi ( x ) \psi ( y ) ] = { \int } _ { \mathbb { K } ^ { 3 } } d ^ { 3 } k \exp ( i k _ { i } ( x - y ) ^ { i } ) = { \mathbb { E } } [ \mathcal { W } ( x ) ~ \mathcal { W } ( y ) ] = { C } \delta ^ { 3 } ( x - y ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { H } ^ { ( l + 1 ) } = \sigma ( \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 0 } + \pmb { A } \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 1 } + ( \pmb { A } ^ { 2 } - \pmb { D } ) \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 2 } + ( \pmb { A } ^ { 3 } - \pmb { \Sigma } \circ \pmb { A } ) \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 3 } ) } \end{array}
Q _ { \alpha a } = \frac \partial { \partial \theta ^ { \alpha a } } - \frac 1 2 \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } \gamma _ { a \dot { b } } ^ { m } \bar { \theta } ^ { \dot { \beta } \dot { b } } \partial _ { \mu } \tilde { \partial } _ { m } , \quad \bar { Q } _ { \dot { \beta } \dot { b } } = \frac \partial { \partial \bar { \theta } ^ { \dot { \beta } \dot { b } } } - \frac 1 2 \theta ^ { \alpha a } \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } \gamma _ { a \dot { b } } ^ { m } \partial _ { \mu } \tilde { \partial } _ { m }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \big [ { \phi } ( \boldsymbol { r } , t ) \big ] = } & { ~ \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } \big [ { \phi } ^ { * } ( \boldsymbol { r } , t ) \big ] } \\ & { + \sqrt { \epsilon } \sum _ { j } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \frac { \delta \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \boldsymbol { r } , t ) } { \delta { \phi _ { j } } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) } { \Delta \phi _ { j } } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { L } ^ { [ 0 ] } } & { { } = W ^ { [ 0 ] } X ^ { [ 0 ] } + b ^ { [ 0 ] } , } \\ { { X } ^ { [ 1 ] } = \mathcal { R } ^ { [ 0 ] } } & { { } = \mathcal { K } X _ { L } ^ { [ 0 ] } + ( 1 - \mathcal { K } ) \mathcal { F } ( X _ { L } ^ { [ 0 ] } ) , } \\ { { X } ^ { [ i N _ { h } + 1 ] } = \mathcal { R } ^ { [ i ] } } & { { } = \mathcal { L } _ { i } ( \mathcal { R } ^ { [ i - 1 ] } ) + \mathcal { K } \mathcal { R } ^ { [ i - 1 ] } , \ i = 1 , 2 , . . . , N _ { B } , } \\ { X ^ { [ D ] } } & { { } = W ^ { [ D - 1 ] } X ^ { [ D - 1 ] } + b ^ { [ D - 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { p _ { 1 } } & { \mapsto x _ { 1 } } & { p _ { 1 } } & { \mapsto y _ { 1 } } & { p _ { 1 } } & { \mapsto z _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } & { \mapsto x _ { 1 } ^ { - 1 } } & { p _ { 2 } } & { \mapsto y _ { 2 } } & { p _ { 2 } } & { \mapsto z _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } & { \mapsto x _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { \mapsto y _ { 2 } ^ { - 1 } } & { p _ { 3 } } & { \mapsto z _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ { p _ { 4 } } & { \mapsto x _ { 2 } ^ { - 1 } } & { p _ { 4 } } & { \mapsto y _ { 1 } ^ { - 1 } } & { p _ { 4 } } & { \mapsto z _ { 1 } z _ { 2 } ^ { - 1 } z _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array}
D _ { c } ( G ^ { \prime } , G ^ { \prime \prime } ) = \left[ \sum _ { h = 1 } ^ { r } \left( Q _ { c } ^ { \prime } ( h ) - Q _ { c } ^ { \prime \prime } ( h ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt G P S } ) ^ { 3 } } P _ { 2 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 2 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 1 . 5 1 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 2 \phi , ~ 8 . 6 9 \times 1 0 ^ { - 1 8 } \cos 2 \phi \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \log M _ { Z ( \mathsf { H } ) } ( t ) : = \log \mathbb { E } \left[ e ^ { t Z ( \mathsf { H } ) } \right] = \left( \frac { t } { \rho ( 1 - \rho ) } \right) ^ { 2 } \| \mathsf { H } ^ { \circ } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { K = 3 } ^ { \infty } \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( \frac { 2 } { \rho ( 1 - \rho ) } \lambda _ { s } t \right) ^ { K } } { K } } \end{array}
\sigma _ { B } ( s ) = \int _ { 0 } ^ { s } d s _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { ( \sqrt { s } - \sqrt { s _ { 1 } } ) ^ { 2 } } d s _ { 2 } \; \rho ( s _ { 1 } ) \rho ( s _ { 2 } ) \; \sigma _ { 0 } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \; .
\begin{array} { r l } { | \log J _ { p } ( p _ { K _ { M } } / } & { q _ { K _ { M } } ) - \log J _ { p } ( p _ { k _ { M } } / q _ { k _ { M } } ) | \le } \\ & { \sum _ { k _ { M } / 2 \le j < K _ { M } / 2 } \frac { a _ { 2 j + 2 } } { 8 } + \left| \sum _ { 0 \le j < K _ { M } / 2 } g _ { p } ( T ^ { 2 j } p _ { K _ { M } } / q _ { K _ { M } } ) - \sum _ { 0 \le j < k _ { M } / 2 } g _ { p } ( T ^ { 2 j } p _ { k _ { M } } / q _ { k _ { M } } ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { C } _ { , 3 } \operatorname* { s u p } _ { d \in \mathbb { N } ^ { * } } \mathbf { E } [ ( H _ { d - 1 } ^ { S } ) ^ { 4 k - 1 } ] ( e ^ { k B } + 1 ) e ^ { - k \Lambda _ { l } ( \mathfrak { L } _ { n } ) } \sum _ { \ell = 1 } ^ { k - 1 } \; \sum _ { \Pi \textrm { i n c r e a s i n g } } ( \mathfrak { g } _ { l - 1 , n } ) ^ { \tau _ { \ell } } ( \mathfrak { L } _ { n } ) ^ { \ell - \tau _ { \ell } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { p } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } & { = } & { p ! a _ { p } ( \delta ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) \cdots ( N - p ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 1 - p } } \\ & { } & { + \sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) N ( N - 1 ) \cdots ( N - q + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - q } \partial _ { x } ^ { p - q } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ & { } & { + y _ { 0 } \left[ \sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) \frac { d ^ { q } x } { d x ^ { q } } ( x _ { 0 } ) \partial _ { x } ^ { p - q } i _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \right] + y _ { 0 } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { p } j _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) . } \end{array}
\mathrm { p r o b } ( \mathrm { f o r w a r d } \, \mathrm { e m i s s i o n } ) = \frac { \sigma _ { T / L ( \mathrm { d i r e c t } ) } ^ { \gamma ^ { * } i } ( \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 1 } ^ { 2 } ) - \sigma _ { T / L ( \mathrm { d i r e c t } \, 2 \rightarrow 2 ) } ^ { \gamma ^ { * } i ( 2 \rightarrow 2 ) } ( \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 1 } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { T / L ( \mathrm { d i r e c t } ) } ^ { \gamma ^ { * } i } ( \tilde { s } , Q ^ { 2 } , Q _ { 1 } ^ { 2 } ) }
\ell _ { p } ( \mu ) = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { N } \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log \left[ { 1 + 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \frac { \left( y _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { v _ { i } } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma ^ { + } } r ^ { N } e ^ { \rho \cdot \mathbf { \hat { x } _ { + } } r } \mathrm d \sigma } & { = { \frac { \Gamma ( N + 1 ) } { [ - ( \tau \mathbf d + \mathrm i \sqrt { { k ^ { 2 } } + { \tau ^ { 2 } } } { \mathbf d ^ { \bot } } ) \cdot ( \cos { \theta _ { 0 } } , \sin { \theta _ { 0 } } ) ] ^ { N + 1 } } } , } \\ { \int _ { \Gamma ^ { - } } r ^ { N } e ^ { \rho \cdot \mathbf { \hat { x } _ { - } } r } \mathrm d \sigma } & { = { \frac { \Gamma ( N + 1 ) } { [ { - ( \tau \mathbf d + \mathrm i \sqrt { { k ^ { 2 } } + { \tau ^ { 2 } } } { \mathbf d ^ { \bot } } ) \cdot ( 1 , 0 ) } ] ^ { N + 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 , 2 } } & { { } = \frac { \Omega } { 2 } \sqrt { \frac { q ^ { 2 } } { 2 } + a _ { 1 , 2 } } } \\ { \omega _ { 3 } } & { { } = \frac { \Omega } { 2 } \sqrt { a _ { 3 } } , } \end{array}
V _ { F } = \left| { \frac { \partial W } { \partial U } } \right| ^ { 2 } = h _ { t } ^ { 2 } \left| H _ { 2 } Q \right| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 3 6 } } \lambda ^ { 2 } \phi ^ { 4 } \, .
\begin{array} { r l } { \P [ B _ { 1 } ] \leq \ } & { \P \left[ T _ { \varepsilon _ { \Delta l } } > t , \; \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \Theta _ { k } I _ { k } U _ { k } < \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } \right] } \\ { = \ } & { \P \left[ T _ { \varepsilon _ { \Delta l } } > t , \; \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \Theta _ { k } I _ { k } U _ { k } < \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } , \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } I _ { k } < \hat { p } t \right] } \\ & { + \P \left[ T _ { \varepsilon _ { \Delta l } } > t , \; \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \Theta _ { k } I _ { k } U _ { k } < \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } , \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } I _ { k } \geq \hat { p } t \right] } \\ { \leq \ } & { \P \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } I _ { k } < \hat { p } t \right] + \P \left[ T _ { \varepsilon _ { \Delta l } } > t , \; \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \Theta _ { k } I _ { k } U _ { k } < \left( \hat { p } - \frac 1 2 \right) t - \frac { l } { 2 } , \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } I _ { k } \geq \hat { p } t \right] } \\ { \leq \ } & { e ^ { - \frac { ( p - \hat { p } ) ^ { 2 } } { 2 p ^ { 2 } } t } + 0 = e ^ { - \frac { ( p - \hat { p } ) ^ { 2 } } { 2 p ^ { 2 } } t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 2 n - 1 } } & { { } = F _ { n } ^ { 2 } + F _ { n - 1 } ^ { 2 } } \\ { F _ { 2 n } } & { { } = ( F _ { n - 1 } + F _ { n + 1 } ) F _ { n } } \end{array}