harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l } { { \delta ^ { \prime } A _ { \mu } ^ { k } = - \left( \partial _ { \mu } \eta _ { 0 } ^ { k } + C _ { i j } ^ { k } \, \eta _ { 0 } ^ { i } A _ { \mu } ^ { j } \right) } } \\ { { \delta ^ { \prime } B _ { \mu } ^ { k } = - \left( \partial _ { \mu } \eta _ { 1 } ^ { k } + C _ { i j } ^ { k } \, \eta _ { 1 } ^ { i } A _ { \mu } ^ { j } + C _ { i j } ^ { k } \, \eta _ { 0 } ^ { i } B _ { \mu } ^ { j } \right) \, , } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { B _ { \nu , { \mathrm { m a x } } } ( T ) } & { = { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } ^ { 3 } T ^ { 3 } x ^ { 3 } } { h ^ { 2 } c ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { e ^ { x } - 1 } } } \\ & { \approx 1 . 8 9 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } { \frac { \mathrm { W } } { \mathrm { m ^ { 2 } \cdot H z \cdot s r } } } \times ( T / \mathrm { K } ) ^ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 3 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} } & { { } + \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 3 } - R \eta _ { 2 } + R ^ { 2 } \eta _ { 1 } - R ^ { 3 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ { \, } & { { } = \, \delta \Bigl [ \bigl ( \mathcal { L } - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } \bigr ) \eta _ { 3 } + \partial _ { R } ( \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } ) - t \partial _ { t } \eta _ { 3 } - \eta _ { 1 } \Bigr ] \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | n ( \lambda ) \rangle = \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } & { + \lambda \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } } } + \lambda ^ { 2 } \sum _ { k \neq n } \sum _ { \ell \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| \ell ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle \ell ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { \ell } ^ { ( 0 ) } \right) } } } \\ & { - \lambda ^ { 2 } \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle { \frac { \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle n ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \lambda ^ { 2 } \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle \sum _ { k \neq n } { \frac { | \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle | ^ { 2 } } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } } + O ( \lambda ^ { 3 } ) . } \end{array} }
\psi ^ { a } ( z ) \psi ^ { b } ( \omega ) = - \frac { 1 / 2 \delta ^ { a b } } { z - \omega } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ J ^ { 0 } ( z ) J ^ { 0 } ( \omega ) = - \frac { 1 / 2 } { ( z - \omega ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { P V } | i \rangle = \sum _ { b } ^ { N _ { c } } \left[ \langle b | g | b \rangle | i ^ { P V } \rangle - \langle b | g | i ^ { P V } \rangle | b \rangle \right. } \\ { \left. + \langle b ^ { P V } | g | b \rangle | i \rangle - \langle b ^ { P V } | g | i \rangle | b \rangle \right] . } \end{array}
d u _ { j } = \frac 1 { r ( r - x _ { 4 } ) ^ { 2 } } \{ - \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } x _ { j } ( x _ { k } - r \delta _ { k 4 } ) d x _ { k } + r ( r - x _ { 4 } ) d x _ { j } \} ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { a } } ( t ) = } & { { } \overbrace { \mathscr { E } _ { 0 } \left\{ 1 - \exp { \left( - \Gamma t \right) } \left[ \cos \left( \varpi t \right) + \frac { \Gamma } { \varpi } \sin \left( \varpi t \right) \right] \right\} } ^ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ a ~ h ~ e ~ r ~ t ~ z ~ o ~ s ~ c ~ i ~ l ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } \\ { + } & { { } \overbrace { \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \mathscr { E } _ { 2 } \frac { \left( \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) + 4 \omega _ { 0 } \Gamma \sin ( 2 \omega _ { 0 } t ) } { \left( \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } - 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 1 6 \Gamma ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } ^ { \mathrm { ~ S ~ e ~ c ~ o ~ n ~ d ~ - ~ h ~ a ~ r ~ m ~ o ~ n ~ i ~ c ~ o ~ s ~ c ~ i ~ l ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } \end{array}
\psi _ { n _ { 3 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } = \cos \Big ( \frac { n _ { 3 } \pi } { h } z \Big ) H _ { m } ^ { ( 2 ) } ( k _ { \rho n _ { 3 } } \rho ) e ^ { - j m \phi } \quad , n _ { 3 } = 0 , 1 , . . .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( \lambda , n ) = } & { - 2 7 2 ( 1 0 1 7 5 n \lambda - 1 8 8 0 3 6 7 ) ( 1 6 1 5 8 7 9 0 7 5 3 1 2 5 0 0 \lambda ^ { 3 } n ^ { 3 } } \\ & { + 5 1 0 2 4 0 2 7 7 1 7 7 8 1 2 5 \lambda ^ { 2 } n ^ { 3 } - 3 1 8 3 6 0 8 2 2 4 4 8 9 1 4 3 7 5 \lambda ^ { 2 } n ^ { 2 } } \\ & { + 2 3 0 1 0 4 5 7 5 7 5 3 4 5 6 2 5 \lambda \, n ^ { 3 } + 1 0 9 1 3 2 6 3 0 1 8 8 0 4 4 1 1 2 5 \lambda \, n ^ { 2 } } \\ & { + 4 2 6 5 7 8 8 3 1 5 4 4 8 6 0 6 7 0 0 n \lambda + 4 9 4 3 0 7 2 2 0 7 1 6 3 5 0 9 1 0 0 n ^ { 2 } } \\ & { - 5 3 6 6 8 4 9 6 6 0 8 0 3 2 5 8 6 5 0 0 n + 2 9 0 8 1 7 1 9 7 4 0 3 1 8 7 2 0 3 3 6 ) , } \\ { f _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 1 5 5 2 9 5 9 3 7 5 n ^ { 3 } ( 4 0 7 0 0 n \lambda + 8 2 6 3 7 8 9 ) ( 2 0 3 5 n \lambda + 2 7 8 0 9 7 8 ) ^ { 2 } , } \\ { g _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 3 7 8 9 8 9 2 5 6 1 0 6 9 7 5 8 3 0 0 7 8 1 2 5 n ^ { 5 } ( 2 4 7 5 n \lambda - 3 0 7 5 8 ) ( 1 1 5 6 0 0 n \lambda - 1 7 2 8 6 9 6 9 ) ^ { 2 } } \\ & { ( 4 0 7 0 0 n \lambda + 8 2 6 3 7 8 9 ) ^ { 3 } ( 2 0 3 5 n \lambda + 2 7 8 0 9 7 8 ) ^ { 6 } , } \\ { z _ { 2 } ( \lambda , n ) = } & { 1 5 8 1 0 2 0 1 3 7 5 3 1 8 0 5 2 7 2 6 8 5 1 0 0 3 6 9 6 0 6 0 1 8 0 6 6 4 0 6 2 5 n ^ { 7 } ( 3 2 5 6 0 n \lambda - 2 8 6 0 1 2 3 ) } \\ & { ( 1 0 1 7 5 n \lambda - 1 8 8 0 3 6 7 ) ( 2 4 7 5 n \lambda - 3 0 7 5 8 ) ^ { 2 } ( 4 0 7 0 0 n \lambda + 8 2 6 3 7 8 9 ) ^ { 5 } } \\ & { ( 1 1 5 6 0 0 n \lambda - 1 7 2 8 6 9 6 9 ) ^ { 5 } ( 2 0 3 5 n \lambda + 2 7 8 0 9 7 8 ) ^ { 1 0 } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { H _ { ( 8 , 0 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 7 , 1 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 7 , 0 , 1 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 1 } ( ( 2 , 1 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 6 , 2 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 6 , 1 , 1 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 6 , 0 , 2 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 1 } ( ( 2 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 5 , 3 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 0 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 5 , 2 , 1 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 5 , 1 , 2 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 5 , 0 , 3 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 0 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 1 } ( ( 2 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 4 , 3 , 1 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 0 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 1 ) \, | \, ( 1 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 4 , 2 , 2 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 4 , 1 , 3 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 0 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 1 , 1 , 1 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) , } \\ { H _ { ( 3 , 3 , 2 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 0 ) \, | \, ( 0 , 0 , 1 ) ) - q S _ { 1 1 } ( ( 0 , 0 , 1 ) \, | \, ( 0 , 1 , 1 ) ) . } \end{array}
\left( \widetilde { \mathbf { O } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { O } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \ldots , \widetilde { \mathbf { O } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { O } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right) \stackrel { d } { = } \left( \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \ldots , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right) .
T r \left( { \tilde { L } } ( \lambda | x _ { N } , \partial _ { x _ { N } } ) \ldots { \tilde { L } } ( \lambda | x _ { 1 } , \partial _ { x _ { 1 } } ) \right) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } - ( \lambda + \beta _ { i } ) \frac { w _ { i } ( \lambda - 1 ) } { w _ { i } ( \lambda ) } + \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i } ( \lambda + 1 ) } { w _ { i } ( \lambda ) } ~ .
\begin{array} { r l } { \dot { C } _ { f } ( t = 0 ) } & { = - K ( 0 ) C _ { p } ( 0 ) , } \\ { \dot { C } _ { f } ( t = \Delta t ) } & { = - K ( \Delta t ) C _ { p } ( 0 ) - \frac { \Delta t } { 2 } \left[ K ( \Delta t ) \dot { C } _ { p } ( 0 ) + K ( 0 ) \dot { C } _ { p } ( \Delta t ) \right] , } \\ { \dot { C } _ { f } ( t = N \Delta t ) } & { = - K ( N \Delta t ) C _ { p } ( 0 ) - \frac { \Delta t } { 2 } \left[ K ( N \Delta t ) \dot { C } _ { p } ( 0 ) + K ( 0 ) \dot { C } _ { p } ( N \Delta t ) \right] - \Delta t \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } K ( ( N - n ) \Delta t ) \dot { C } _ { p } ( n \Delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf \nabla } _ { i } \mathcal { T } \big | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } } = - { \bf \nabla } _ { i } \Phi \big | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } } + \frac { 1 } { 2 } \kappa \big ( { \bf \hat { n } } \times { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } \big ) , } \end{array}
B = ( \beta ) ( \frac { 2 } { 3 } ) ( \frac { C _ { m u } } { \sigma _ { t } } ) ( \frac { k } { \varepsilon } ) ( \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ) \frac { \partial \overline { { T } } } { \partial x _ { j } } g _ { j }
\begin{array} { r l r } { d _ { 1 } } & { { } = } & { V _ { \eta } a _ { 1 } } \\ { d _ { 2 } } & { { } = } & { V _ { \eta } a _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V _ { \eta \eta } a _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { d _ { 3 } } & { { } = } & { V _ { \eta } a _ { 3 } + V _ { \eta \eta } a _ { 1 } a _ { 2 } + V _ { \xi \eta } a _ { 1 } b _ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } V _ { \eta \eta \eta } a _ { 1 } ^ { 3 } . } \end{array}
\{ A _ { 1 } ^ { a } ( \vec { x } , x ^ { 0 } ) , A _ { 2 } ^ { b } ( \vec { y } , x ^ { 0 } ) \} = \frac { 1 } { 2 N _ { k } } \, \delta ^ { a b } \, \delta ^ { ( 2 ) } ( \vec { x } - \vec { y } ) \ \ \ .
\begin{array} { r l } { | T _ { \varepsilon } ( \sigma _ { \varepsilon } ) - T ( \sigma ) | } & { \le | T _ { \varepsilon } ( \sigma _ { \varepsilon } ) - T _ { \eta } ( \sigma _ { \varepsilon } ) | + | T _ { \eta } ( \sigma _ { \varepsilon } ) - T _ { \eta } ( \sigma ) | + | T _ { \eta } ( \sigma ) - T ( \sigma ) | } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \sigma \in \mathcal S } | T _ { \varepsilon } ( \sigma ) - T _ { \eta } ( \sigma ) | + | T _ { \eta } ( \sigma _ { \varepsilon } ) - T _ { \eta } ( \sigma ) | + \operatorname* { s u p } _ { \sigma \in \mathcal S } | T _ { \varepsilon } ( \sigma ) - T ( \sigma ) | . } \end{array}
\Psi = \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \tilde { \mathcal { G } } _ { n } ^ { 2 } ] } & { = \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } [ U _ { 0 } ^ { 2 } ] \left( \frac { \frac { 2 } { \gamma + \nu } } { 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 } { ( \gamma + \nu ) ^ { 2 } } } } \right) ^ { 2 n } + \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Big ( H _ { n } ( s ) - \gamma \int _ { 0 } ^ { s } H _ { n } ( u ) e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \Big ) ^ { 2 } \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { _ { 0 } ^ { C } D _ { t } ^ { \beta } u ( \mathrm { x } , t ) = \Delta u ( \mathrm { x } , t ) + f ( \mathrm { x } , t ) , ~ ~ \mathrm { x } \in \Omega , ~ t \in ( 0 , T ] , } \\ & { u ( \mathrm { x } , 0 ) = \varphi _ { 1 } ( \mathrm { x } ) , ~ ~ u _ { t } ( \mathrm { x } , 0 ) = \varphi _ { 2 } ( \mathrm { x } ) , ~ ~ \mathrm { x } \in \bar { \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { n } ^ { ( \frac { d - 2 } { 2 } ) } ( t ) P _ { m } ^ { ( \frac { d - 2 } { 2 } ) } ( t ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } \mathrm { d } t = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \pi 2 ^ { 3 - d } \Gamma ( n + d - 2 ) } { n ! ( n + \frac { d - 2 } { 2 } ) \Gamma ( \frac { d - 2 } { 2 } ) ^ { 2 } } , } & { n = m , } \\ { 0 , } & { n \ne m . } \end{array} \right. } \end{array}
\gamma _ { \mu } \Gamma \gamma ^ { \mu } = ( - 1 ) ^ { n _ { \gamma } } ( n - 2 n _ { \gamma } ) \Gamma \quad \mathrm { a n d } \quad \gamma _ { 0 } \Gamma \gamma _ { 0 } = ( - 1 ) ^ { n _ { \gamma } } s _ { \gamma } \Gamma ,
\mathrm { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { m _ { 2 2 0 0 } } & { m _ { 2 1 1 0 } } & { m _ { 2 0 2 0 } } \\ { m _ { 1 2 0 1 } } & { m _ { 1 1 1 1 } } & { m _ { 1 0 2 1 } } \\ { m _ { 0 2 0 2 } } & { m _ { 0 1 1 2 } } & { m _ { 0 0 2 2 } } \end{array} \right] \! , \, \, \mathrm { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { m _ { 2 2 0 0 } } & { m _ { 2 1 0 1 } } & { m _ { 2 0 0 2 } } \\ { m _ { 1 2 1 0 } } & { m _ { 1 1 1 1 } } & { m _ { 1 0 1 2 } } \\ { m _ { 0 2 2 0 } } & { m _ { 0 1 2 1 } } & { m _ { 0 0 2 2 } } \end{array} \right] \! , \,
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { R } , i } = } & { \hbar \Omega _ { \mathrm { R } , i } \bigg ( a _ { \mathrm { R } , i } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { R } , i } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega _ { \mathrm { S } , i } ( | p _ { \mathrm { S } , i } | ^ { 2 } + | q _ { \mathrm { S } , i } | ^ { 2 } ) , } & \\ { H _ { \mathrm { P } , i } = } & { \hbar \Omega _ { \mathrm { P } , i } \bigg ( a _ { \mathrm { P } , i } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { P } , i } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \hbar \Omega _ { \mathrm { S } , i } ( | p _ { \mathrm { S } , i } | ^ { 2 } + } & \\ & { | q _ { \mathrm { S } , i } + d _ { \mathrm { S } , i } | ^ { 2 } ) + \Delta G _ { i } , } & \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ( \nu , T ) } & { { } = } & { \frac { 2 h _ { \mathrm { P } } c ^ { 2 } \nu ^ { 3 } } { e ^ { \nu c \, h _ { \mathrm { P } } / ( k _ { \mathrm { B } } T ) } - 1 } . } \end{array}
\widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \epsilon k ^ { 2 } } } { 2 \tilde { \omega } _ { d } B ( k ) } \left[ \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { \tau _ { s } ( k ) } } } { \tau _ { f } ( k ) } - \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { \tau _ { f } ( k ) } } } { \tau _ { s } ( k ) } \right] .
\begin{array} { r } { \mathbf q ( \theta ) ^ { \ell } = ( c _ { x } ^ { \ell } , c _ { y } ^ { \ell } ) + r ^ { \ell } ( \theta ) ( \cos ( 2 \pi \theta ) , \sin ( 2 \pi \theta ) ) , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] , } \\ { r ^ { \ell } ( \theta ) = r _ { j } ^ { \ell } { \frac { \theta - \theta _ { j + 1 } } { \theta _ { j } - \theta _ { j + 1 } } } + r _ { j + 1 } ^ { \ell } { \frac { \theta - \theta _ { j } } { \theta _ { j + 1 } - \theta _ { j } } } , \; \theta \in [ \theta _ { j } , \theta _ { j + 1 } ] , \; j = 0 , 1 , \ldots , Z \! - \! 1 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { N - \tilde { c } _ { \tilde { n } _ { 1 } + 1 - i } , } } & { { i \leq \tilde { n } _ { 1 } } } \\ { { c _ { i - \tilde { n } _ { 1 } } , } } & { { i > \tilde { n } _ { 1 } } } \end{array} \right\} .
W ( x , p ) \, \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \, { \frac { 1 } { \pi \hbar } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x + y ) \psi ( x - y ) e ^ { 2 i p y / \hbar } \, d y .
\left\{ \begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { p ^ { \prime } } ( t ) } & { : = 1 + \left( 1 + \| w ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \| w ^ { - 1 } ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { \tau _ { d } } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \right) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { r \in \{ 1 , \ldots , L \} } \| w ^ { - 1 } ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { p ^ { \prime } } ( \Lambda _ { r } ) } ^ { 2 } , } \\ { \mathcal { M } _ { 0 } ( t ) } & { : = 1 + \operatorname* { s u p } _ { r \in \{ 0 , \ldots , L \} } \| \mathbf { a } ( t , \cdot ) ^ { 1 / 2 } \| _ { \underline { { L } } ^ { \sigma _ { d } } \left( \Lambda _ { r } \right) } ^ { 2 } \left( 1 + \| w ^ { - 1 } ( t , \cdot ) \| _ { \underline { { L } } ^ { \tau _ { d } ^ { \prime } } \left( \Lambda _ { r } \right) } ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathcal { M } _ { 1 } ( t ) } & { : = 1 + \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) ^ { \frac { p } { 2 ( 1 - \theta _ { d } ) } } \, d s , } \\ { \mathcal { M } _ { 2 } ( t ) } & { : = 1 + \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } \frac { \sum _ { e \ni x } \mathbf { a } ( t , e ) } { | x | _ { * } ^ { ( p - 2 ) / ( p - 1 ) } } , } \\ { \mathcal { M } _ { 3 } ( t ) } & { : = 1 + \left( \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \mathcal { M } _ { p ^ { \prime } } ( s ) ^ { \frac { \alpha } { \beta } } \, d s \right) ^ { \beta } , } \\ { \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) } & { : = 1 + \operatorname* { s u p } _ { s \in [ t , t + 1 ] } \left\| w ( s , \cdot ) ^ { - 1 } \right\| _ { \underline { { L } } ^ { d } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { 2 } . } \end{array} \right.
V = - \frac { d \Phi _ { \mathrm { t o t } } ( z ) } { d t } = - \frac { d \Phi _ { \mathrm { t o t } } ( z ) } { d z } \, \frac { d z } { d t } = \frac { 3 N _ { c } \, k \pi R ^ { 2 } R _ { c } ^ { 2 } \, z } { 2 ( R _ { c } ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \, v \, \, ,
\overline { { T } } { } ( z ) = T _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ } } + ( T _ { \mathrm { ~ s ~ l ~ } } - T _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ r ~ } } ) \exp \left( - \frac { z } { H _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ a ~ l ~ } } } \right) ,
f ( \mathbf { x } ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { 2 \pi i k \langle \mathbf { x } , { \hat { n } ( \theta ) } \rangle } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - 2 \pi i k t } y ( t , \hat { n } ( \theta ) ) d t \, | k | \, d k \, d \theta ,
{ \frac { p } { 2 N } } \mathrm { ~ B P S } : \quad { \cal D } ( 2 \sum _ { k = p } ^ { N } a _ { k } ; 0 , 0 , 0 ; 0 , \ldots , 0 , a _ { p } , \ldots , a _ { N } ) \; , \quad p = 1 , \ldots , N \; .
\begin{array} { r l } { l _ { \mathrm { ~ D ~ D ~ E ~ S ~ } } } & { { } = l _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ N ~ S ~ } } - f _ { d } \operatorname* { m a x } { \{ 0 , \left( l _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ N ~ S ~ } } - l _ { \mathrm { ~ L ~ E ~ S ~ } } \right) \} } } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ f _ { d } } & { { } = 1 - \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( 1 6 r _ { d } \right) } ^ { 3 } \right] } \ \ \ } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \ r _ { d } } & { { } = \frac { \nu + \nu _ { t } } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } \ \ \ . } \end{array}
h _ { ~ \nu } ^ { \mu } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { { h _ { 1 } } } & { { h _ { 3 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - d ^ { 2 } h _ { 3 } / f } } & { { h _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \chi } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \chi } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \chi } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \theta } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \theta } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \theta } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { h _ { ~ \chi } ^ { \phi } } } & { { h _ { ~ \theta } ^ { \phi } } } & { { h _ { ~ \phi } ^ { \phi } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \cos z } & { { } : = { \frac { \exp ( i z ) + \exp ( - i z ) } { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { z ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } , \quad { \mathrm { a n d } } } \\ { \sin z } & { { } : = { \frac { \exp ( i z ) - \exp ( - i z ) } { 2 i } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { z ^ { 2 k + 1 } } { ( 2 k + 1 ) ! } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \frac { | p _ { i } ^ { \alpha _ { i } } | } { ( 1 + | p _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d p \leq \int \frac { 1 } { ( 1 + | p _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \, d p _ { i } = \frac { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } d } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { d - 1 } } { ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \, d r = \frac { \pi ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } d \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } { 2 \Gamma ( \frac { d } { 2 } + 1 ) \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } . } \end{array}
\tilde { A } = A - Q _ { 2 } \{ \chi , A \} + { \frac { 1 } { 2 ! } } Q _ { 2 } ^ { 2 } \{ \chi , \{ \chi , A \} \} - { \frac { 1 } { 3 ! } } Q _ { 2 } ^ { 3 } \{ \chi , \{ \chi , \{ \chi , A \} \} \} + . . .
\begin{array} { l } { { \nabla ^ { 2 } \phi _ { e } = - \rho _ { e } ( \mathbf { x } ) , ~ ~ ~ ~ \nabla ^ { 2 } \phi _ { m } = \rho _ { m } ( \mathbf { x } ) , } } \\ { { \nabla ^ { 2 } \mathbf { A _ { m } } = - \mathbf { J _ { e } } ( \mathbf { x } ) , ~ ~ ~ ~ \nabla ^ { 2 } \mathbf { A _ { e } } = \mathbf { J _ { m } } ( \mathbf { x } ) } } \end{array}
\begin{array} { c c } { { T _ { n } ^ { \dagger } = T _ { - n } } } & { { } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { ( G _ { s } ^ { + } ) ^ { \dagger } = G _ { - s } ^ { - } ; } } & { { ( G _ { s } ^ { + K } ) ^ { \dagger } = G _ { - s } ^ { - K } } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { ( A _ { n } ^ { + i } ) ^ { \dagger } = A _ { - n } ^ { + i } ; } } & { { ( A _ { m } ^ { - i } ) ^ { \dagger } = A _ { - m } ^ { - i } } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { W _ { n } ^ { \dagger } = W _ { - n } } } & { { } } \\ { { \ } } & { { \ } } \\ { { ( Q _ { r } ^ { + } ) ^ { \dagger } = - Q _ { - r } ^ { - } ; } } & { { ( Q _ { r } ^ { + K } ) ^ { \dagger } = - Q _ { - r } ^ { - K } } } \end{array}
S _ { G , A } = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } d \tau \left[ \begin{array} { c } { { \left( D _ { \tau } X _ { i } ^ { M } \right) \varepsilon ^ { i j } X _ { j } ^ { N } \, \, G _ { M N } \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } \right) } } \\ { { + \left( D _ { \tau } X _ { i } ^ { M } \right) \varepsilon ^ { i j } A _ { j N } \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } \right) \, . \, } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 1 } ^ { - 1 } } & { = \left( \Delta ^ { - \omega \left( \tau _ { 1 } \right) } \left( \xi _ { 1 } \right) _ { \left( \omega _ { 1 } \right) } \right) \left( \Delta ^ { - \omega \left( \tau _ { 2 } \right) } \left( \xi _ { 2 } \right) _ { \left( \omega _ { 2 } \right) } \right) \left( \left( \chi _ { 1 } \right) _ { \left( \omega _ { 1 } \right) } \Delta ^ { - \omega \left( \tau _ { 1 } \right) - e _ { 1 } + 1 } \right) } \\ & { = \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \left( \chi _ { 1 } \right) _ { \left( \omega \left( \tau _ { 2 } \right) \right) } \Delta ^ { - \omega \left( \tau _ { 2 } \right) - e _ { 1 } + 1 - 2 \omega \left( \tau _ { 1 } \right) } . } \end{array}