harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { x x } ( t ) = \sigma _ { i } \frac { \chi - 1 } { \chi } \left[ \frac { 2 \omega _ { f } ^ { 2 } } { \tilde { \Omega } ^ { 2 } } + \frac { 2 \omega _ { f } ^ { 2 } - \Gamma ^ { 2 } } { \tilde { \Omega } ^ { 2 } } \cos \tilde { \Omega } ( t - t _ { 0 } ) + \frac { \Gamma } { \tilde { \Omega } } \sin \tilde { \Omega } ( t - t _ { 0 } ) \right] e ^ { - \Gamma ( t - t _ { 0 } ) } + \frac { \sigma _ { i } } { \chi } \, ,
\begin{array} { r } { \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } \left( i \right) } = \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } + \nu , \; \exists \nu \in \left[ 0 , \infty \right) } \end{array}
v ^ { \pi \pi } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 1 2 \pi } \left| F _ { \pi } ( q ^ { 2 } ) \right| ^ { 2 } \left( \frac { 2 p _ { \pi } } { \sqrt { q ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 } , ~ q ^ { 2 } = m _ { \pi \pi } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \left[ [ V , W ] , \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) \right] } & { \subseteq \left[ V , [ W , \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) ] \right] - \left[ W , [ V , \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) ] \right] } \\ & { \subseteq \left[ V , \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) \right] - \left[ W , \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) \right] \subseteq \Gamma _ { q } ( T ^ { c } M ) , } \end{array}
\widetilde { g } _ { e e } ( 1 2 ) = - \frac { 1 } { n _ { e } } \frac { k _ { e } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { e } ^ { 2 } } f _ { e } ( 1 ) \left( f _ { e } ( 2 ) - Z \int \mathrm { d } [ 3 ] \, \widetilde { g } _ { i e } ( 3 2 ) \right)
\delta \mu ^ { A } ( x , \theta ) = l _ { \varepsilon } \mu ^ { A } ( x , \theta ) = ( \nabla \varepsilon ) ^ { A } + 2 \varepsilon ^ { \alpha } \mathcal { C } _ { \alpha L | B } ^ { A | \mu \nu } R _ { \mu \nu } ^ { B } d Z ^ { L }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { i } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \lambda _ { e } + \frac { \lambda \delta e ^ { - \lambda \delta } n \lambda } { n - 1 } \frac { \lambda _ { e } } { \lambda } } { \frac { \lambda } { n } + \frac { \lambda \delta e ^ { - \lambda \delta } n \lambda } { n - 1 } } } \\ & { = \frac { \lambda _ { e } } { \lambda } \left( 1 + \frac { 1 } { \lambda \delta e ^ { - \lambda \delta } } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { R } } = \frac { n _ { D } e ^ { 2 } } { 3 \pi \epsilon _ { 0 } \hbar ^ { 4 } c ^ { 3 } } E _ { 0 } ^ { 3 } \mu _ { \mathrm { e } - \mathrm { h } } ^ { 2 } ,
\left[ \begin{array} { l l l l l } { T _ { k + 1 } ^ { n _ { s } } } & { T _ { k + 1 } ^ { n _ { s } + a } } & { T _ { k + 1 } ^ { n _ { s } - a } } & { T _ { k + 1 } ^ { n _ { s } + b } } & { T _ { k + 1 } ^ { n _ { s } + b } } \end{array} \right] ^ { T }
\begin{array} { r l r } { R _ { i j } } & { = } & { - \overline { { \rho } } \langle \left[ \left( u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \right) \left( u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \right) \right] \rangle } \\ & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle u _ { i } - \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } - \langle u _ { j } \rangle \rangle \right] } \\ & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \left( \langle u _ { i } \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \right) \left( \langle u _ { j } \rangle - \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right) \right] } \\ { R _ { i j } } & { = } & { - \overline { { \rho } } \left[ \langle u _ { i } \rangle \langle u _ { j } \rangle - \langle u _ { i } \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle - \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle u _ { j } \rangle + \langle \langle u _ { i } \rangle \rangle \langle \langle u _ { j } \rangle \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } - ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } = } & { \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \\ { \leq } & { \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } + \Vert \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \\ { \leq } & { ( \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert + 1 ) \Vert \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \end{array}
S _ { - 1 } ^ { E } = \int d ^ { 2 } \sigma \, \left( - i Y ^ { * } C ^ { - 1 } + \overline { { { C } } } ^ { * \, - 1 } B + \overline { { { C } } } ^ { * \, 0 } \overline { { { \lambda } } } _ { 0 } + \overline { { { C } } } ^ { * \, r } \overline { { { \omega } } } _ { r } \right) \, .
S ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { 2 } } \int d \tau \left\{ m ( - { \dot { X } } ^ { \mu } { \dot { X } } _ { \mu } ) ^ { 1 / 2 } + ( - { \dot { X } } ^ { \mu } { \dot { X } } _ { \mu } ) ^ { 1 / 2 } m ^ { - 1 } m \right\} = S \ ,
\mathcal { H } = - \varepsilon \gamma - \Lambda _ { \rho } \gamma ^ { 2 } + \frac { p } { \varrho c ^ { 2 } } \varepsilon \gamma = \Lambda _ { \rho } \left( \frac { \varepsilon \gamma } { \varrho c ^ { 2 } } - \gamma ^ { 2 } \right)
{ \bf \ddot { n } } = - \omega ^ { 2 } \left( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } \right) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } \right) ,
\begin{array} { r l } { F _ { i , \alpha } } & { { } = - \frac { \partial E } { \partial r _ { i , \alpha } } , } \\ { \Xi _ { \alpha \beta } } & { { } = - \sum _ { \gamma } \frac { \partial E } { \partial h _ { \gamma \alpha } } h _ { \gamma \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 3 } } & { = 8 1 ( a ^ { 6 } - 2 a ^ { 5 } + 1 7 a ^ { 4 } - 3 2 a ^ { 3 } + 8 0 a ^ { 2 } - 1 2 8 a + 6 4 ) y } \\ & { \quad + ( - a ^ { 4 } - 1 6 a ^ { 2 } - 1 4 5 ) x _ { 1 } + a ^ { 5 } + 1 6 a ^ { 3 } + 6 4 a + 8 1 } \\ { g _ { 4 } } & { = 1 3 1 2 2 y x _ { 1 } + 8 1 ( a ^ { 5 } - a ^ { 4 } + 1 6 a ^ { 3 } - 1 6 a ^ { 2 } - 9 8 a - 6 4 ) y } \\ & { \quad + ( - a ^ { 3 } - a ^ { 2 } - 1 7 a - 1 7 ) x _ { 1 } + a ^ { 4 } + a ^ { 3 } + 1 7 a ^ { 2 } + 1 7 a - 8 1 } \end{array}
F _ { ( 1 ) } ^ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \psi ^ { 0 } ( x , ( 1 - x ) \vec { q } _ { \perp } ) \int ^ { ( 1 - x ) Q } \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \psi ^ { 0 \; * } ( x , \vec { k } _ { \perp } )
\begin{array} { r l } { f _ { i j } ( \tau + \Delta \tau ) = } & { { } \ f _ { i j } ( \tau ) ( 1 - \Delta \tau S ) + \Delta f _ { i j } ( \tau ) } \\ { = } & { { } - \frac { \Delta \tau } { 2 } \sum _ { k \ne i } H _ { i k } f _ { k j } ( \tau ) - \frac { \Delta \tau } { 2 } \sum _ { k \ne j } f _ { i k } H _ { k j } } \end{array}
e ^ { \frac { \phi } { 2 } } \partial _ { z } ^ { 2 } e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } \phi + \frac { 1 } { 4 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } = - Q ( z )
\frac { \psi _ { 4 } ( \theta z ) } { \psi _ { 4 } ( z ) } = \frac { \left( \operatorname* { m i n } \{ \theta z , 1 \} \right) ^ { 2 } } { \left( \operatorname* { m i n } \{ z , 1 \} \right) ^ { 2 } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta ^ { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ } \; 0 < z < 1 } \\ { \theta ^ { 2 } z ^ { 2 } , } & { \mathrm { i f ~ } \; 1 \leq z < \frac { 1 } { \theta } } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } \; \frac { 1 } { \theta } \leq z < \infty } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { \ell } \binom { j + \ell } { j } S _ { i j } ^ { ( n ) } \overline { { g } } _ { i , k , j + \ell } ^ { ( n ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { z } \dag \sqrt { { h } / { 2 } } \dag \sqrt { { h } / { 2 } } } \end{array} \right) \dag , , \qquad \Lambda = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 \dag 0 } & { l } & { 0 \dag 0 } & { 0 } & { - l } \end{array} \right) \dag , ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } } & { { } = \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right. } \end{array}
W _ { q } \approx A 8 \ln ( 2 ) ( L _ { \mathrm { b s } } / \lambda _ { q } ) ^ { 2 } \left\{ l ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { l ^ { 2 } } { 3 } \left( b ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right] \right\} \, .
\begin{array} { r } { k \left[ \{ y _ { i , \ell } , \, 1 \leq i \leq n , \, \ell \in \mathbb { N } \} \right] / \Tilde { I } \, \stackrel { \cong } { \longrightarrow } \, k \big [ y _ { 1 } ^ { ( \infty ) } , \ldots , y _ { n } ^ { ( \infty ) } \big ] / I ^ { ( \infty ) } \, , \quad y _ { i , \ell } \mapsto \frac { y _ { i } ^ { ( \ell ) } } { \ell ! } \, . } \end{array}
\frac { \partial v _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial v _ { i } v _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } v _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \; ,
d N _ { \gamma } ^ { S R } = N _ { 1 } \ { \frac { d I } { E _ { \gamma } } } \ \Delta t = { \frac { 4 } { 9 } } \ \alpha \ N _ { 1 } \ F ( E _ { \gamma } / E _ { c } ^ { S R } ) \ { \frac { d E _ { \gamma } } { E _ { \gamma } } } { \frac { { Z _ { 1 } } ^ { 3 } e B _ { \mathrm { e x t } } } { m _ { 1 } c } } \ \Delta t \ .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \tau } } & { = \nabla \left( \Phi - \varphi ( \psi ) \right) - { \mathbf V } _ { \perp } \times { \mathbf B } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times { \mathbf B } } \\ { \nabla ^ { 2 } \left( \Phi - \varphi ( \psi ) \right) } & { = - \nabla \cdot \left[ - { \mathbf V } _ { \perp } \times { \mathbf B } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \nabla \times { \mathbf B } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { x } } & { \propto } & { \sin ( k _ { x } x ) \cos ( k _ { y } y ) \cos ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \\ { u _ { y } } & { \propto } & { \cos ( k _ { x } x ) \sin ( k _ { y } y ) \cos ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \\ { u _ { z } } & { \propto } & { \cos ( k _ { x } x ) \cos ( k _ { y } y ) \sin ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \end{array}
k _ { z } = \sqrt { k _ { \mathrm { ~ m ~ } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } - k _ { x } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } - k _ { y } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; X , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } ) } & { \leq I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; X , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } } } , Y , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { \leq I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } } } , V _ { \Omega _ { t + r } } , Y , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } } } , V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { \leq I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } } } , a _ { [ r - 1 ] } , V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , \textbf { d } _ { { g } } , Z _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } , V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , a _ { [ r - 1 ] } , \textbf { d } _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , a _ { [ r - 1 ] } , \textbf { d } _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) + I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } | V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , a _ { [ r - 1 ] } , \textbf { d } _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = I ( \textbf { d } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ; \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } | V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , a _ { [ r - 1 ] } , \textbf { d } _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = H ( \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } | V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , a _ { [ r - 1 ] } , \textbf { d } _ { { g } } , W _ { [ N ] } ) - H ( \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } | V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , \textbf { d } _ { \Omega _ { r } } , a _ { [ r - 1 ] } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = H ( \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ) - H ( \textbf { P } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } | V _ { \Omega _ { t + r } } , \textbf { P } _ { g } , \textbf { d } _ { \Omega _ { r } } , a _ { [ r - 1 ] } , W _ { [ N ] } ) } \\ & { = H ( \textbf { q } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ) - H ( \textbf { P } _ { { \Omega _ { r } \backslash g } } ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } F _ { A } ^ { H } + \rho _ { A } \varsigma _ { A } D _ { t } ^ { A } \theta _ { A } - \mathcal { T } _ { A } ( v _ { A } , \pi _ { A } ) : D ( v _ { A } ) = - e _ { D _ { A } } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } F _ { B } ^ { H } + \rho _ { B } \varsigma _ { B } D _ { t } ^ { B } \theta _ { B } - \mathcal { T } _ { B } ( v _ { B } , \pi _ { B } ) : D ( v _ { B } ) = - e _ { D _ { B } } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } F _ { S } ^ { H } + \rho _ { S } \varsigma _ { S } D _ { t } ^ { S } \theta _ { S } - \mathcal { T } _ { S } ( v _ { S } , \pi _ { S } ) : D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) = - e _ { D _ { S } } . } \end{array} \right.
\iota _ { 0 } ( c _ { s , i } ) = F \widehat { k } _ { 0 , - } c _ { e } ^ { \widehat { \alpha } _ { a , - } } \left( c _ { s , i , m a x } - c _ { s , i } \right) ^ { \widehat { \alpha } _ { a , - } } c _ { s , i } ^ { ( 1 - \widehat { \alpha } _ { a , - } ) }
\hat { H } ^ { \mathrm { ( R o t ) } } = - \sum _ { i } \nu _ { i } \hat { I } _ { i z } + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ~ ( ~ H ~ o ~ m ~ o ~ ) ~ } } } J _ { i j } ( \hat { \mathbf { I } } _ { i } \cdot \hat { \mathbf { I } } _ { j } ) + \sum _ { \substack { i < j \, \mathrm { ~ ( ~ H ~ e ~ t ~ e ~ r ~ o ~ ) ~ } } } J _ { i j } ( \hat { I } _ { i z } \cdot \hat { I } _ { j z } ) .
\begin{array} { r l } { | g _ { i j } ( t ) | \le } & { 4 e ^ { 2 q _ { n } } \| \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } + 4 \kappa _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } \| \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } \| \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| } \\ & { + e ^ { 2 q _ { n } } \kappa _ { n } ^ { 2 } \| \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { 2 e ^ { 2 q _ { n } } [ 4 \| \widehat { \eta } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } ^ { 2 } + \kappa _ { n } ^ { 2 } \| \widehat { \gamma } ( t ) - \gamma ^ { * } ( t ) \| ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } + \lceil R ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } } & { \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } + \lfloor R ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } } \\ { \lfloor A \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } + \lfloor S ( x , \widehat { x } ) \rfloor ^ { \mathrm { M z l } } } & { \lceil A \rceil ^ { \mathrm { M z l } } + \lceil S ( x , \widehat { x } ) \rceil ^ { \mathrm { M z l } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { \widehat { x } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { C ^ { + } } & { C ^ { - } } \\ { C ^ { - } } & { C ^ { + } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { \widehat { w } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \nabla \times \nabla \times u } & { = \frac { \widehat { n } } { | J | } \left[ - \nabla _ { \bot } \cdot ( \widehat { J } J ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ( J u _ { \bot } ) - \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } ) \right] } \\ & { \quad + \widehat { J } ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } \left( \widehat { J } J ^ { - 1 } ( \partial _ { \sigma } ( J u _ { \bot } ) - \nabla _ { \! \bot } u _ { \sigma } ) \right) + \widehat { J } ^ { - 1 } \nabla ^ { \bot } \left( \frac { \nabla ^ { \bot } \cdot ( J u _ { \bot } ) } { | J | } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \kappa _ { n } ( t , \mu ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { ( n - 1 ) ! } \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \left\{ \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \left( - \sum _ { V \in \pi } \binom { | V | } { 2 } \kappa _ { 2 } ( \mu ) \right) ^ { n - 1 } e _ { \pi } ( t , \mu ) } { ( n - 1 ) ! } \right\} \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \frac { \kappa _ { 2 } ( \mu ) ^ { n - 1 } } { ( ( n - 1 ) ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \pi \in \mathcal { P } ( n ) } \left( \sum _ { V \in \pi } \binom { | V | } { 2 } \right) ^ { n - 1 } \mu _ { n } ( \pi , 1 _ { n } ) } \\ & { = \frac { ( \kappa _ { 2 } ( \mu ) n ) ^ { n - 1 } } { n ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { p o s t } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 F ^ { * } ( t _ { 0 } ) S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } - N _ { p r e } \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } N _ { p r e } < \frac { F ^ { * } ( t _ { 0 } ) S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } } \\ { N _ { p r e } } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { s = 1 } ^ { t } U _ { s } ^ { t } \right| } & { \leq \left( \frac { 4 } { 3 } + 2 \sqrt { \frac { 5 \left( \sigma / M \right) ^ { p } } { 1 - \beta } } \right) M \log \frac { 4 T } { \delta } ; } \\ { \left| \sum _ { s = 1 } ^ { t } R _ { s } ^ { t } \right| } & { \leq \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 4 \sqrt { \frac { 5 \left( \sigma / M \right) ^ { p } } { 1 - \beta } } \right) M ^ { 2 } \log \frac { 4 T } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { R } ( t ) } { d t } } & { { } = - c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { R } ( t ) + \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ( t ) \cos \big ( \gamma ( t ) \big ) } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { I } ( t ) } { d t } } & { { } = - c _ { \mathrm { ~ - ~ } \mu } ^ { I } ( t ) - \frac { \beta } { \sqrt { 2 \pi } } F _ { \mu } ( t ) \sin \big ( \gamma ( t ) \big ) . } \end{array}
\phi _ { i j , \alpha } = \frac { 1 } { 2 } \left( \phi _ { L , i j } + \phi _ { R , i j } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \phi _ { i } + \phi _ { j } \right) + \frac { 1 } { 2 } \alpha \left( \nabla _ { 0 } { \phi _ { i } } - \nabla _ { 0 } { \phi _ { j } } \right) \cdot \mathbf { d } _ { i j } \quad ,
\begin{array} { r } { \mathbf { P } ( \mathbf { x } , \omega ) = \int _ { V } \mathbb { T } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } , \omega ) \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , \omega ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k = } & { \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( 2 \left( 1 - u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + u ^ { 2 } + u ^ { 4 } \right) } \\ & { + 2 \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) u ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 4 } \right) + u ^ { 6 } \left( 1 - a ^ { 2 } \right) + a ^ { 2 } u ^ { 2 } \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( 3 - u ^ { 2 } \right) \geq 0 , } \\ { n = } & { 2 \left( \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( 2 - 5 u ^ { 2 } + 5 u ^ { 4 } - \frac { 3 u ^ { 6 } } { 2 } \right) } \\ & { + \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } u ^ { 2 } + a ^ { 2 } \left( u ^ { 2 } - u ^ { 4 } + \frac { u ^ { 6 } } { 2 } \right) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { \operatorname* { m a x } h } } & { { } \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { T } _ { i } ^ { + } } & { = } & { \left[ \overline { a } + h \frac { i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N h \overline { { z } } } { ( 1 + \alpha ) N } \right] ( N - i ) } \\ { \overline { T } _ { i } ^ { - } } & { = } & { \left[ \overline { a } + h \frac { N - i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N h ( 1 - \overline { { z } } ) } { ( 1 + \alpha ) N } \right] i , } \end{array}
+ i \{ g g ^ { \mu \nu } \delta ( x - y ) + { \frac { 1 } { e ^ { 2 } } } N ^ { \mu \beta } ( x ) N ^ { \nu \lambda } ( y ) ( { \frac { a } { a ^ { 2 } \partial ^ { 2 } + 4 \alpha ^ { 2 } } } g _ { \beta \lambda } \delta ( x - y ) + { \frac { 2 \alpha } { \partial ^ { 2 } ( a ^ { 2 } \partial ^ { 2 } + 4 \alpha ^ { 2 } ) } } \epsilon _ { \beta \lambda \sigma } \partial ^ { \sigma } \delta ( x - y ) ) \} ,
\begin{array} { r l } { \| F \| _ { H ^ { 2 r } } \sim \| F \| _ { h ^ { 2 r } } } & { \lesssim \left\Vert \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left| \vartheta _ { k } ( D ) ( F ) \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \right\Vert _ { L ^ { 2 r } } = \left\Vert T ( f , \overline { { g } } ) \right\Vert _ { L ^ { r } } ^ { 1 / 2 } \lesssim \| f \| _ { L ^ { p } } ^ { 1 / 2 } \| g \| _ { L ^ { q } } ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { V a r } } \Big [ \frac { d } { d \tau _ { j } } \log L ( \beta , \tau \mid y , u ) \Big | \tau _ { j } , y \Big ] = { \mathrm { V a r } } ( u _ { j } ^ { \top } u _ { j } \mid \tau _ { j } , y ) / 4 \approx \sum _ { m = 1 } ^ { q _ { j } } { \mathrm { V a r } } ( u _ { j m } ^ { 2 } \mid \tau _ { j } , y ) / 4 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( s , t ) } & { = ( r _ { 1 } \cos 2 \pi s - r _ { 2 } \cos 2 \pi t ) ^ { 2 } + ( r _ { 1 } \sin 2 \pi s - r _ { 2 } \sin 2 \pi t ) ^ { 2 } + 1 } \\ & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } ( \cos 2 \pi s \cdot \cos 2 \pi t + \sin 2 \pi s \cdot \sin 2 \pi t ) + 1 } \\ & { = ( 1 + r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ) - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } \cos 2 \pi ( s - t ) . } \end{array}
\left[ \, u \partial _ { u } u \partial _ { u } \, + \, \partial _ { \phi } ^ { 2 } \, \right] f = \left[ \left( u j \right) ^ { 2 } + g ^ { 2 } \right] f - \kappa ^ { 2 } u ^ { 2 } \left( 1 - f ^ { 2 } \right) f ,
[ Q _ { i } , \; a _ { m } ] = - ( \gamma _ { i } ) _ { m \dot { \alpha } } \psi _ { \dot { \alpha } } , \; \; \; \; \; \; [ Q _ { i } , \; \psi _ { \dot { \alpha } } ] _ { + } = ( \gamma _ { i } ^ { \dagger } ) _ { \dot { \alpha } m } a _ { m }
F _ { i j } ^ { \alpha } \equiv \partial _ { i } \bar { A } _ { j } ^ { \alpha } ( \bar { x } ) - \bar { A } _ { i } ^ { \alpha } ( \bar { x } ) \stackrel { \leftarrow } \partial _ { j } + g F ^ { \alpha \beta \gamma } \bar { A } _ { i } ^ { \beta } ( \bar { x } ) \bar { A } ^ { \gamma } ( \bar { x } )
( 1 - \frac { u ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) \frac { \partial u } { \partial x } - \frac { 2 u v } { c ^ { 2 } } \frac { \partial u } { \partial y } + ( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } ) \frac { \partial v } { \partial y } = 0