harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) d \xi \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon } \| \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \xi \cdot \nabla _ { x } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \gamma ^ { \varepsilon } } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) d \xi \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| \partial _ { t } ( \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } ) e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d t } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \varepsilon \delta + \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \hat { T } _ { \varepsilon } + \hat { T } _ { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad \leq \varepsilon \delta + \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \kappa ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial Z _ { z x } } { \partial E _ { y } } = \frac { \partial Z _ { z y } } { \partial E _ { x } } } & { { } = } & { [ \sqrt { 2 } ( Z _ { z x ^ { \prime } } - Z _ { z , - x ^ { \prime } } ) - Z _ { z x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 1 } } & { = e _ { \mathrm { f a r } , h } \left( \cos ^ { 2 } \phi + \sin ^ { 2 } \phi / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 2 } } & { = e _ { \mathrm { f a r } , v } \sin \phi \cos \phi \left( 1 - 1 / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 3 } } & { = e _ { \mathrm { f a r } , h } \sin \phi \cos \phi \left( 1 - 1 / \cos \theta \right) ; } \\ { l _ { 4 } } & { = e _ { \mathrm { f a r } , v } \left( \sin ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \phi / \cos \theta \right) ; } \end{array}
\int d x D _ { n m } ^ { j } ( x ) \overline { { { D } } } _ { n ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { j ^ { \prime } } ( x ) = { \frac { q ^ { 2 m } } { [ 2 j + 1 ] } } \delta ^ { j , j ^ { \prime } } \delta _ { n , n ^ { \prime } } \delta _ { m , m ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { D _ { t } v _ { i } + \partial _ { i } P } & { { } = \mu \nabla ^ { 2 } v _ { i } + M _ { j } \partial _ { j } B _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \partial _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) , } \\ { D _ { t } M _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { i j k } \omega _ { j } M _ { k } - \frac { 1 } { 4 \Gamma } \epsilon _ { i j k } M _ { j } \left( \epsilon _ { k l m } M _ { l } B _ { m } \right) . } \end{array}
\mathcal { H } ( \omega ) = \frac { x ( \omega ) } { p _ { d } ( \omega ) } = - \frac { ( \rho _ { l } R _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } { - \omega ^ { 2 } + 2 i \delta \omega _ { 0 } \omega + \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } _ { 3 } ^ { ( 4 ) } ) ( y , \eta ) } \\ { = } & { \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 2 ( 2 \pi ) ^ { - 3 } { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) \mathcal { C } _ { 3 } ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { ( j ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - i \omega \delta n _ { + } + i k ( n _ { 0 } \delta v _ { + } ) = 0 , } & { { } \quad } & { - i \omega \delta n _ { - } ^ { \backprime } + i k ( n _ { 0 } \delta v _ { - } ) + i k v _ { 0 } \delta n _ { - } ^ { \backprime } = 0 , } \\ { - i \omega \bar { M } _ { + } \delta v _ { + } = e \delta E - i \frac { 1 } { n _ { 0 } } k \delta p _ { + } , } & { { } \quad } & { ( - i \omega + i k v _ { 0 } ) \bar { M } _ { - } ^ { \ast } \delta v _ { - } = - e \delta E - i \frac { 1 } { n _ { 0 } } k \left( 1 - \frac { v _ { 0 } \omega } { c ^ { 2 } k } \right) ^ { 2 } \delta p _ { - } ^ { \backprime } , } \\ { i k \cdot \delta E = e ( \delta n _ { + } - \delta n _ { - } ^ { \backprime } ) , } \\ { \delta p _ { + } = \Gamma _ { + } \frac { P _ { + } } { n _ { 0 } } \delta n _ { + } = \bar { M } _ { + } c _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } \delta n _ { + } , } & { { } } & { \delta p _ { - } ^ { \backprime } = \bar { M } _ { - } ^ { \ast } c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } \delta n _ { - } ^ { \backprime } , } \end{array}
\chi ^ { 2 } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \left[ { \cal S } ^ { I } \left( \tau _ { j } , s _ { 0 } \right) - F ^ { 2 } M ^ { 4 } e ^ { - M ^ { 2 } \tau _ { j } } W _ { 4 } ( M , \Gamma , \tau _ { j } ) \right] ^ { 2 } } { \epsilon ( \tau _ { j } ) ^ { 2 } }
R _ { a } ( t _ { R 1 } ) = \frac { m _ { \nu a } ( t _ { R 1 } ) } { m _ { \nu a } ( t _ { 0 } ) } \approx e ^ { - ( \frac { 9 } { 1 0 } I _ { g 1 } + \frac { 9 } { 2 } I _ { g 2 } ) } e ^ { 2 V _ { \tau a } ^ { 2 } I _ { \tau } }
\omega _ { B } ^ { n } : = 2 ^ { - s _ { n } } \sum _ { \mathbf { s } } \left\vert \mathbf { s } \right\rangle _ { B ^ { n } } \left\langle \mathbf { s } \right\vert , ~ \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } : = \mathrm { T r } _ { B } ( \bar { \rho } _ { B E F | T _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } } ^ { n } ) .
\begin{array} { r l } { S _ { N } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ell _ { i } ^ { 2 } + 4 g _ { i } - \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ^ { n } \ell _ { i } \ell _ { j } + 2 \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } ^ { n } \big [ ( \ell _ { i } + \ell _ { j } ) q _ { i j } - g _ { i } - g _ { j } \big ] } \\ & { \qquad - \frac { 4 } { n } \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ell _ { i } \sum _ { j < k , j \neq i } ^ { n } q _ { j k } + \frac { 4 } { n - 2 } \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j < k , j \neq i } ^ { n } q _ { i j } q _ { i k } } \\ & { \qquad - \frac { 4 n ( n - 1 ) } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \left[ \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } q _ { i j } \right] ^ { 2 } + \frac { 4 n } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } q _ { i j } ^ { 2 } . } \end{array}
\ensuremath \mathbf { F } = \ensuremath \mathbf { h } + \ensuremath \mathbf { J } [ \ensuremath \mathbf { D } ] - c _ { x } \ensuremath \mathbf { K } [ \ensuremath \mathbf { D } ] + \ensuremath \mathbf { V } ^ { x c } [ \ensuremath \mathbf { D } ] ,
J _ { 5 } ( x ) \approx { \frac { - ( 1 0 7 / 2 8 4 1 6 0 0 0 ) x ^ { 7 } + ( 1 / 3 8 4 0 ) x ^ { 5 } } { 1 + ( 1 5 1 / 5 5 5 0 ) x ^ { 2 } + ( 1 4 5 3 / 3 7 2 9 6 0 0 ) x ^ { 4 } + ( 1 3 3 9 / 3 5 8 0 4 1 6 0 0 ) x ^ { 6 } + ( 2 7 6 7 / 1 2 0 3 0 1 9 7 7 6 0 0 ) x ^ { 8 } } }
\begin{array} { r } { \mathfrak { L } _ { y } = L _ { y } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { n ( n + 1 ) - m ( m + 1 ) } Y _ { n } ^ { m + 1 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { n ( n + 1 ) - m ( m - 1 ) } Y _ { n } ^ { m - 1 } \quad \mathrm { a n d \ } \quad \mathfrak { L } _ { z } = L _ { z } | Y _ { n } ^ { m } \rangle = m Y _ { n } ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \textrm { V I X } } _ { T _ { i } } ^ { 2 } ( \ell ) = } & { \frac { 1 } { \Delta } \mathbb { E } \biggl [ \int _ { T _ { i } } ^ { T _ { i } + \Delta } \sum _ { j = i } ^ { N } \sum _ { | J | , | I | \le n } \ell _ { I } ( T _ { j } ) \ell _ { J } ( T _ { j } ) 1 _ { [ T _ { j } , T _ { j + 1 } ) } ( t ) \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t \bigg \lvert \mathcal { F } _ { T _ { i } } \biggr ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { \Delta } \sum _ { j = i } ^ { N } \sum _ { | J | , | I | \le n } \ell _ { I } ( T _ { j } ) \ell _ { J } ( T _ { j } ) \mathbb { E } \biggl [ \int _ { T _ { j } \land ( T _ { i } + \Delta ) } ^ { T _ { j + 1 } \land ( T _ { i } + \Delta ) } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t \bigg \lvert \mathcal { F } _ { T _ { i } } \biggr ] } \\ { = } & { \frac 1 { \Delta } \sum _ { j = i } ^ { N } \sum _ { | J | , | I | \le n } \ell _ { I } ( T _ { j } ) \ell _ { J } ( T _ { j } ) \Bigg ( \mathbb { E } \biggl [ \int _ { T _ { i } } ^ { T _ { j + 1 } \land ( T _ { i } + \Delta ) } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t \bigg \lvert \mathcal { F } _ { T _ { i } } \biggr ] } \\ & { \qquad - \mathbb { E } \biggl [ \int _ { T _ { i } } ^ { T _ { j } \land ( T _ { i } + \Delta ) } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t \bigg \lvert \mathcal { F } _ { T _ { i } } \biggr ] \Bigg ) } \end{array}
H ^ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { v } ^ { 2 } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } & { \partial _ { v } \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } \\ { \partial _ { v } \partial _ { e } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } & { \partial _ { e } ^ { 2 } E _ { \overline { { \mu } } _ { v , e } } [ j _ { j , j + 1 } ^ { v } ] } \end{array} \right) = 2 \left( \begin{array} { l l } { \partial _ { v } ^ { 2 } \tau } & { \partial _ { v } \partial _ { e } \tau } \\ { \partial _ { v } \partial _ { e } \tau } & { \partial _ { e } ^ { 2 } \tau } \end{array} \right)
S = \int d ^ { 4 } x \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \vert ( \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } ) \phi \vert ^ { 2 } - m ^ { 2 } \vert \phi \vert ^ { 2 } \right] \, .
{ \vec { V } } \cdot { \vec { Z } } _ { i } = V _ { i } = { \vec { V } } ^ { T } { \vec { Z } } _ { i } = { \vec { Z } } _ { i } ^ { T } { \vec { V } } = { p r o j _ { { \vec { Z } } ^ { i } } ( { \vec { V } } ) } \cdot { \vec { Z } } _ { i } = { p r o j _ { \vec { V } } ( { \vec { Z } } ^ { i } ) } \cdot { \vec { V } }
a _ { \mathrm { a n } } ( Q ^ { 2 } ) \equiv \frac { \bar { \alpha } _ { \mathrm { a n } } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \, = \, \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \sigma \frac { \rho ( \sigma ) } { \sigma + Q ^ { 2 } - \mathrm { i } \epsilon } \, ,
F _ { \mathrm { s i n g } } ( N , g _ { 3 } , g _ { 4 } ) \sim b \cdot \left[ \delta g _ { 3 } + \left( \frac { 3 ^ { 1 / 4 } } { 4 } - \frac { 3 ^ { 7 / 4 } } { 2 } \right) \delta g _ { 4 } \right] ^ { 5 / 2 } + b ^ { \prime } \cdot [ \delta g _ { 4 } ] ^ { - 6 } + \cdots .
\Omega _ { k } ^ { m } = \frac { \alpha _ { k } ^ { m } } { \alpha _ { 0 } ^ { m } + \alpha _ { 1 } ^ { m } + \alpha _ { 2 } ^ { m } } , \quad \alpha _ { k } ^ { m } = \frac { C _ { k } } { { ( \epsilon + I S _ { k } ^ { m } ) } ^ { p } } , \quad C _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 0 } \quad k = 0 } \\ { \frac { 6 } { 1 0 } \quad k = 1 } \\ { \frac { 3 } { 1 0 } \quad k = 2 } \end{array} \right. \quad k = 0 , 1 , 2
\left[ \Psi _ { M } ^ { + } ( x ) , \overline { { { \Psi } } } _ { N } ^ { - } ( y ) \right] = ( 2 \pi ) ^ { - 3 } \int \frac { \left( m - i \widehat { p } \right) _ { M N } } { 2 p _ { 0 } } e ^ { i p ( x - y ) } d ^ { 3 } p
\mathbf { t } ( \tilde { \mathbf { t } } ) = ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) \tilde { \mathbf { t } } = \left( \mathbf { I } - \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } } \\ { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } - \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } } \\ { \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } - \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \pm \frac { 1 } { 2 } } \\ { \mp \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 1 } = \tilde { \mathrm { ~ t ~ } } _ { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 }
\omega ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \bar { \omega } _ { p } ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } \pm \left( \left( \bar { \omega } _ { p } ^ { 2 } - \omega _ { c } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 \, \bar { \omega } _ { p } ^ { 2 } \, \omega _ { c } ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \right) ^ { 1 / 2 } \right] \, ,
\boxed { \mathrm { C L S D E I M : } \qquad \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) = ( P ^ { T } M ) ^ { - 1 } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - \frac { \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } ( P ^ { T } M ) ^ { - 1 } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) } { ( \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ) } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) . }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left( \int _ { x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) } ^ { x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) } \mathrm { d } x \, q ( t , x ) \right) } & { = q \Big ( t , x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) \Big ) \xi _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) - q \Big ( t , x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) \Big ) \xi _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \\ & { \phantom { m m m m m m m m m m } + \int _ { x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) } ^ { x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) } \mathrm { d } x \, \partial _ { t } q ( t , x ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = q \Big ( t , x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) \Big ) \xi _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) - q \Big ( t , x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) \Big ) \xi _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + U \Big ( x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) \Big ) q \Big ( t , x _ { i + \frac 1 2 } + \xi _ { 2 } ( t ) \Big ) - U \Big ( x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) \Big ) q \Big ( t , x _ { i - \frac 1 2 } + \xi _ { 1 } ( t ) \Big ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { E _ { \mathrm { p e r t } } } } & { { = 4 \pi { \frac { 4 } { 3 } } \alpha _ { \mathrm { s } } D _ { \mu \nu } ( \zeta ) p ^ { \mu } p ^ { \prime \nu } \nonumber } } \\ { { E _ { \mathrm { c o n f } } } } & { { = \delta ( \zeta _ { 0 } ) \vert { \vec { \zeta } } \vert \epsilon ( p _ { 0 } ) \epsilon ( p _ { 0 } ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \{ p _ { 0 } ^ { 2 } p _ { 0 } ^ { \prime 2 } - [ \lambda p _ { 0 } ^ { \prime } { \vec { p } } _ { \mathrm { T } } + ( 1 - \lambda ) p _ { 0 } { \vec { p } } _ { \mathrm { T } } ^ { \prime } ] ^ { 2 } \} ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { k } } & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } d \bigl ( f ^ { i } ( y ) , \mathcal { K } \bigr ) ^ { \alpha } \leq \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \bigl ( d \bigl ( f ^ { i } ( x ) , \mathcal { K } \bigr ) ^ { \alpha } + d \bigl ( f ^ { i } ( x ) , f ^ { i } ( y ) \bigr ) ^ { \alpha } \bigr ) } \\ & { \leq \Sigma _ { k - 1 } + \beta _ { 0 } ^ { \alpha } d ( x , x ^ { \prime } ) ^ { \alpha } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \Lambda ^ { - \alpha ( n - i ) } \leq \Sigma _ { k - 1 } + \frac { \beta _ { 0 } ^ { \alpha } \theta ^ { - \alpha } } { 1 - \Lambda ^ { - \alpha } } \Delta _ { k - 1 } ^ { \alpha } } \\ & { \leq \biggl ( 1 + \frac { \beta _ { 0 } ^ { \alpha } \theta ^ { - \alpha } } { 1 - \Lambda ^ { - \alpha } } \cdot \frac { 1 } { \tau } \biggr ) \Sigma _ { k - 1 } = D \Sigma _ { k - 1 } \leq D ^ { k } \Sigma _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { n } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] } & { { } = } & { \mathcal { P } \left[ a _ { n } , L _ { n - 1 } ; k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] \, \mathcal { H } _ { n - 1 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] + e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \, L _ { n - 1 } } \, \mathcal { H } _ { n - 2 } \left[ k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) \right] } \end{array}
\forall t \geqslant 0 , \quad \forall \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } , \quad \partial _ { t } F _ { k } \big ( t , \Phi _ { t } ( \xi ) \big ) + U \big ( t , \Phi _ { t } ( \xi ) \big ) \cdot \nabla F \big ( t , \Phi _ { t } ( \xi ) \big ) = 0 .
\beta = \frac { \alpha \theta } { c _ { p r } } \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta } \qquad \rightarrow \qquad \frac { \partial \mu _ { r } } { \partial \theta } = \frac { c _ { p r } \beta } { \alpha \theta } \qquad \rightarrow \qquad \mu _ { r } = \frac { c _ { p r } \beta } { \alpha } \ln { \frac { \theta } { \theta _ { \star } } } + \mu _ { 0 } ( S )
\eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { h } ) \leq \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) - \lambda \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { M u l t i h e a d } \left( Q , K , V \right) } & { = \mathrm { C o n c a t } \left( \hat { y } _ { 1 } , \dots , \hat { y } _ { h } \right) W ^ { \mathrm { O } } , } \\ { \hat { y } _ { l } \left( Q , K , V \right) } & { = \mathrm { A t t e n t i o n } \left( Q W _ { l } ^ { \mathrm { Q } } , K W _ { l } ^ { \mathrm { K } } , V W _ { l } ^ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \frac { 1 + \gamma - \alpha } { 2 } } + a _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { 1 + \gamma } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha + \gamma - \eta } + b _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \frac { 1 + \eta - \left( \alpha + \gamma - \eta \right) } { 2 } } + b _ { 3 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { 1 + \eta } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
f ( r ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( r - 1 ) } & { 1 \leq r \leq 1 + \frac { 1 } { 2 } \delta , } \\ { - r ^ { - 1 } } & { 1 + \delta \leq r \leq 1 + \frac { 1 } { 4 } ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) = : r _ { 0 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } r _ { 0 } ^ { - 1 } \frac { \arctan ( r _ { * } ( r ) - r _ { * } ( r _ { \mathrm { m a x } } ) ) } { \arctan ( r _ { * } ( r _ { \mathrm { m a x } } ) - r _ { * } ( r _ { 0 } ) ) } } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) \leq r \leq 1 + 2 ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) = : r _ { 1 } } \\ { \frac { 3 } { 4 } c _ { 0 } + \frac { 1 } { 8 } c _ { 0 } \frac { r - r _ { 2 } } { R _ { \infty } - r _ { 2 } } } & { r _ { 2 } : = 1 + 3 ( r _ { \mathrm { m a x } } - 1 ) < r \leq R _ { \infty } } \\ { c _ { 0 } } & { r > R _ { \infty } + 1 . } \end{array} \right.
\mathbf { v _ { i } } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { \mathrm { d } \mathbf { r } } { \mathrm { d } t } } = \left( { \frac { \mathrm { d } \mathbf { r } } { \mathrm { d } t } } \right) _ { \mathrm { r } } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { r } = \mathbf { v } _ { \mathrm { r } } + { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { r } \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } } & { = } & { \left\lbrace { \cal L } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } } + 2 { \cal Q } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \cdot C _ { { \bf x } { \bf x } } \right\rbrace _ { 3 } } \\ & { - } & { \frac { 1 } { \tau _ { d } } C _ { \bf x x x } . } \end{array}
\hat { \cal H } _ { \mathrm { E M } } ( x ) = \hbar \sum _ { p \in \cal Z } \frac { 1 } { 1 } { L } \exp \{ i \frac { 2 \pi } { 2 \pi } { L } p x \} \cdot { \cal H } _ { \mathrm { E M } } ( p ) ,
\left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } + A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \geqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \right) - 3
{ \bar { F } } _ { x \alpha } ^ { i } = ( \bar { 4 } , 1 , \bar { 2 } ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { \bar { d } ^ { R } } } & { { \bar { d } ^ { B } } } & { { \bar { d } ^ { G } } } & { { e ^ { + } } } \\ { { \bar { u } ^ { R } } } & { { \bar { u } ^ { B } } } & { { \bar { u } ^ { G } } } & { { \bar { \nu } } } \end{array} \right) ^ { i }
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \theta _ { i } } { \mathrm { d } t } = \frac { K _ { i } \sin \theta _ { i } } { I _ { i } \Omega _ { i } n } \left[ \left( x _ { i } - \eta _ { i } \right) \omega ( e ) \frac { \Omega _ { i } } { n } - 2 N ( e ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle L _ { 1 } ( \tau ) L _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \mathrm { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \left( ( 1 - \alpha ) \gamma s \right) ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \tau } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { s } \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } d s } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { i } ( \xi _ { i } , \xi _ { i } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \alpha _ { t } ( 2 - \alpha _ { t } ) } } \exp \left( - \frac { | \xi _ { i } - ( 1 - \alpha _ { t } ) \xi _ { i } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 2 \alpha _ { t } ( 2 - \alpha _ { t } ) } \right) \omega _ { 0 } ( \xi _ { i } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { { } = } & { w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { j } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) , } \\ { w _ { R } } & { { } = } & { w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { k } \cdot ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum \widehat \mu _ { i } ( \overline { E } ) } & { \le { \mathrm { d e g } } ( \overline { E } ) \le \sum \widehat \mu _ { i } ( \overline { E } ) + \frac { 1 } { 2 } r \ln r , } \\ { \sum \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } ( \overline { E } ) , 0 ) } & { \le { \mathrm { d e g } } _ { + } ( \overline { E } ) \le \sum \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } ( \overline { E } ) , 0 ) + \frac { 1 } { 2 } r \ln r . } \end{array}
\eta _ { \mathrm { t h } } = { \frac { \mathrm { D e s i r e d ~ O u t p u t } } { \mathrm { R e q u i r e d ~ I n p u t } } } = { \frac { W _ { \mathrm { o u t } } ^ { \prime } } { Q _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } } }
\begin{array} { r l } { R 2 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { S i N } } } & { { } = R _ { 2 } ^ { \textrm { S i N } } \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { S i N } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \end{array}
3 2 = N _ { A _ { 1 } } + 2 N _ { A _ { 2 } } + 4 ^ { b } \left( N _ { c _ { 1 } } + N _ { c _ { 3 } } \right) = N _ { A _ { 1 } } + 2 N _ { A _ { 2 } } + 4 ^ { b } \left( N _ { c _ { 2 } } + N _ { c _ { 4 } } \right) . \nonumber
\mathcal { O } _ { b } = \frac { 3 } { 2 } J _ { 2 } R ^ { 2 } \left( - p \frac { \mu _ { 1 } ^ { 4 } \beta _ { 1 } ^ { 7 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 7 } } + ( p + 3 ) \frac { \mu _ { 2 } ^ { 4 } \beta _ { 2 } ^ { 7 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 7 } } \right)
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 2 } ^ { ( i - 2 ) , m } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , m ^ { \prime } } \mathscr { B } _ { m ; t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 1 } \\ { 2 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 2 } ^ { ( i - 2 ) , m } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } \mathscr { B } _ { m ; t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ ~ ~ } j = 2 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ ~ ~ } i = 3 , 4 ;
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } } & { = \sum _ { j } ( \hat { \mathrm { e } } _ { \mathbf { k } } \cdot \hat { \boldsymbol \mu } _ { j } ( \hat { \bf R } _ { j } ) ) \sin ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) , } \\ { \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } } & { = \sum _ { j } ( \hat { \mathrm { e } } _ { \mathbf { k } } \cdot \hat { \boldsymbol \mu } _ { j } ( \hat { \bf R } _ { j } ) ) \cos ( \mathbf { k } \cdot \bar { \boldsymbol x } _ { j } ) . } \end{array}