harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } ^ { - 1 } = v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } v _ { 2 } ^ { ( 1 ) } v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + v _ { 2 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { \hat { r } _ { 2 , a } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { - r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { - r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { J _ { 2 } } } & { { } = 0 , } \\ { \dot { \Omega } ^ { J _ { 2 } } } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \cos I , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { { } = \frac { 3 } { 8 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \left( 3 + 5 \cos 2 I \right) . } \end{array}
\cos \theta _ { 2 1 } = \cos \theta _ { 2 3 } = - \frac { \Delta \omega + \sigma _ { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } \sigma _ { 1 } } = \frac { ( 2 k - 2 ) e ^ { 2 k } - e ^ { - 2 k } } { 2 \sqrt { 2 } } ,
I ( R ) = { \frac { I _ { 0 } } { ( 1 - \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \left( { \frac { 2 J _ { 1 } ( x ) } { x } } - { \frac { 2 \epsilon J _ { 1 } ( \epsilon x ) } { x } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { h } } & { : = \{ \psi _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } \} , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { V } } _ { h } } & { : = \{ \textbf { w } _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } - 1 } \times S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } } \} , } \\ { \mathcal { Q } _ { h } } & { : = \{ q _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } - 1 } \} . } \end{array}
\vec { \Gamma } ^ { 2 1 } = \frac { 1 } { 2 h ^ { 6 } } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \rho _ { 1 } ^ { 1 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } \frac { \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } } { | \vec { x } _ { 1 } - \vec { x } _ { 2 } | } ,
\operatorname { r a n k } { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { B } } & { \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { A } ^ { n - 1 } \mathbf { B } } \end{array} \right] } = n ,
\begin{array} { r l r } { \hat { h } _ { I } } & { = } & { \sum _ { j , { \bf k } } ( g ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } } + g ^ { * } ( j , { \bf k } ) \hat { a } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ) } \\ { g ( j , { \bf k } ) } & { = } & { - \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } L } \sqrt { \omega _ { j } } D _ { j } e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf r } _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathcal { L } } _ { \mathrm { s } \gamma \mathrm { B I } } = \mathcal { L } _ { \mathrm { s } \gamma \mathrm { B I } } - \frac { 1 } { \lambda } = - \frac { 1 } { \lambda } \sqrt { 1 - \lambda x _ { 1 } ^ { ( \gamma ) } + \frac { 1 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \left( \left( x _ { 1 } ^ { ( \gamma ) } \right) ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { ( \gamma ) } \right) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 1 ) } } & { = i \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) \right] - \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 2 ) } - \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 1 ) } \right] } \\ & { = i \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) \right] - \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 2 ) } - \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { V } ( t ) \right] } \\ & { = i \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { H } _ { 0 } \right] + \frac { i } { 2 } \left[ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { V } ( t ) \right] - \frac { 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha \left( { \mathbf { q } } \right) } & { { } = } & { 2 k _ { B } T \gamma \left( { \mathbf { q } } \right) , } \\ { \left\langle { { \eta _ { i } } \left( t \right) { \eta _ { j } } \left( { t ^ { \prime } } \right) } \right\rangle } & { { } = } & { { \alpha _ { i , j } } \left( { \mathbf { q } } \right) \delta \left( { t - t ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { F C N C } } = - \frac { g } { 4 \cos \theta _ { W } } \, \sum _ { i \neq j } \, \bar { d } ^ { i } \, [ \kappa _ { L } ^ { i j } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) + \kappa _ { R } ^ { i j } \gamma ^ { \mu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) ] \, d ^ { j } Z _ { \mu } \, ,
\begin{array} { r l } & { h _ { 1 } = - 2 \left( b _ { 0 } + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = a \left( 2 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { b _ { 0 } } \right) } \\ & { h _ { 2 } = 2 \left( 1 - \frac { 2 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = b } \\ & { h _ { 3 } = - \frac { 4 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \right) = - a ^ { 2 } } \\ & { h _ { 4 } = \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - b _ { 0 } \right) = - a b } \\ & { h _ { 5 } = \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( 1 - \frac { b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = c } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - c _ { \nu } \frac { \alpha ( ( [ \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ] _ { + } ) ^ { \alpha - 1 } - \widetilde \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ) } { 2 ( \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { n } ) } ( \delta _ { \nu } ^ { k + 1 , n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } ) + ( \lambda _ { \nu } ^ { k + 1 } - \lambda _ { \nu } ^ { k } ) = - \lambda _ { \nu } ^ { k } + c _ { \nu } \frac { \alpha } { 2 } \widetilde \delta _ { \nu } ^ { k , n + 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { s } } } & { = { \vec { s } } _ { 0 } + { \vec { c } } \, t } \\ { { \vec { \jmath } } } & { = { \vec { \jmath } } _ { 0 } + { \vec { s } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { c } } \, t ^ { 2 } } \\ { { \vec { a } } } & { = { \vec { a } } _ { 0 } + { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { c } } \, t ^ { 3 } } \\ { { \vec { v } } } & { = { \vec { v } } _ { 0 } + { \vec { a } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { c } } \, t ^ { 4 } } \\ { { \vec { r } } } & { = { \vec { r } } _ { 0 } + { \vec { v } } _ { 0 } \, t + { \frac { 1 } { 2 } } { \vec { a } } _ { 0 } \, t ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } { \vec { \jmath } } _ { 0 } \, t ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } { \vec { s } } _ { 0 } \, t ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 1 2 0 } } { \vec { c } } \, t ^ { 5 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g ( \beta ) } & { { } = \frac { W ^ { * } } { \sqrt { 2 \pi \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ L ] } } e ^ { - \frac { ( W ^ { * } \beta - L ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ L ] } } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { q , n } ( t ) } & { = \eta _ { 0 q , n } \exp \! \; \! \left[ { - \omega _ { n } \zeta _ { n } ( 1 - \zeta _ { n } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } ( t - t _ { n } ) } \right] } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \times \sin \! \; \! \left[ \omega _ { n } ( t - t _ { n } ) + \phi \right] + v _ { \star q , n } ( t - t _ { n } ) , } \end{array}
g = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { X } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \exp ( \frac 1 2 \Phi ) } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { 0 } } & { { \exp ( - \frac 1 2 \Phi ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { Y } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { { } \approx } & { \int \varepsilon ( \omega _ { 0 } + \tilde { \omega } ) { \bf E } _ { \tilde { \omega } } e ^ { - i \tilde { \omega } t } \frac { d \tilde { \omega } } { 2 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \dot { \hat { a } } = \, } & { { } - ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) \delta \hat { a } + i \sqrt { 2 } \tilde { g } _ { c } a \delta \hat { q } - \mathcal { G } \delta \hat { d } + \sqrt { 2 \kappa _ { 1 } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ } 1 } + \sqrt { 2 \kappa _ { 2 } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ } 2 } , } \\ { \delta \dot { \hat { d } } = \, } & { { } - ( i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } ) \delta \hat { d } + i \sqrt { 2 } \tilde { g } _ { c } d \delta \hat { q } - \mathcal { G } \delta \hat { a } + \sqrt { 2 \gamma _ { d } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ } 1 } , } \\ { \delta \dot { \hat { q } } = \, } & { { } \Omega _ { \mathrm { ~ m ~ } } \delta \hat { p } , } \\ { \delta \dot { \hat { p } } = \, } & { { } - \Omega _ { \mathrm { ~ m ~ } } \delta \hat { q } - \gamma _ { \mathrm { ~ m ~ } } \delta \hat { p } + \sum _ { c = a , d } \sqrt { 2 } ( \tilde { g } _ { c } m \delta \hat { c } ^ { \dagger } + \tilde { g } _ { c } m ^ { * } \delta \hat { c } ) + C ^ { * } \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ } 1 } + C \hat { a } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ , ~ } 1 } ^ { \dagger } + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \hat { \xi } , } \end{array}
\psi ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { A \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { - i \mu _ { 1 } ^ { \left( + \right) } } } \end{array} \right) e ^ { + i k _ { 1 } x } + A ^ { ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { - i \mu _ { 1 } ^ { \left( - \right) } } } \end{array} \right) e ^ { - i k _ { 1 } x } , } } & { { x < - a / 2 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { B \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { \mu _ { 2 } } } \end{array} \right) e ^ { + i k _ { 2 } x } + B ^ { ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { - \mu _ { 2 } } } \end{array} \right) e ^ { - i k _ { 2 } x } , } } & { { | x | < a / 2 } } \\ { { } } & { { } } \\ { { C \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { i \mu _ { 1 } ^ { \left( - \right) } } } \end{array} \right) e ^ { + i k _ { 1 } x } + C ^ { ^ { \prime } } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { i \mu _ { 1 } ^ { \left( + \right) } } } \end{array} \right) e ^ { - i k _ { 1 } x } , } } & { { x > a / 2 } } \end{array} \right.
A \ = \ \left( \begin{array} { l l l } { \alpha } & { \sigma _ { 3 } - \zeta _ { 3 } } & { 0 } \\ { \sigma _ { 3 } + \zeta _ { 3 } } & { \beta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \gamma } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } \: \: } & { { } \lambda _ { D } D _ { K } + \lambda _ { A } \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( A _ { k } ) + \lambda _ { \mathrm { p r } } \mathbf { c } _ { \mathrm { p r } } ^ { \top } \mathbf { x } + \lambda _ { \mathrm { S V I } } \mathbf { c } _ { \mathrm { S V I } } ^ { \top } \mathbf { x } + \lambda _ { \mathrm { P o p } } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \mathbf { c } _ { \mathrm { P o p } } ^ { \top } \mathbf { \bar { d } } _ { k } + \lambda _ { \mathrm { i n f } } h } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } \: \: } & { { } \sum _ { i = 1 } ^ { C } x _ { i } - N \leq h , \quad 0 \le h } \end{array}
{ \cal M } _ { \mu \nu } ^ { 2 } \; \equiv \; \mathrm { R e } { \Pi } _ { \mu \nu } \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, \left( { \Pi } ^ { r e t } + { \Pi } ^ { a d v } \right) _ { \mu \nu } \; \; \; \; \; \; \Gamma _ { \mu \nu } \; \equiv \; \mathrm { I m } { \Pi } _ { \mu \nu } \; = \; i \, \left( { \Pi } ^ { r e t } - { \Pi } ^ { a d v } \right) _ { \mu \nu }
\partial _ { \mu } R _ { \mu } = \frac { 3 N _ { c } - N _ { f } ( 1 - \gamma ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } ~ F _ { \mu \nu } ^ { a } \widetilde { F } _ { \mu \nu } ^ { a } - \frac { 1 } { 6 } q B _ { \mu \nu } \widetilde { B }
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta e ^ { i \theta } \hat { E } _ { b } ^ { + } ( x _ { 1 } ) \hat { E } _ { a } ^ { + } ( x _ { 2 } ) \hat { E } _ { a } ^ { - } ( x _ { 1 } ) \hat { E } _ { a } ^ { - } ( x _ { 2 } ) = 0
\begin{array} { r } { \sum _ { i } \beta _ { i } + 2 \sum _ { i , j } l _ { i j } \tan { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } + \sum _ { v \in \mathcal { V } } \sigma \left( u ( K , v ) \right) = 4 \pi ; } \\ { 2 \sum _ { i , j } l _ { i j } \tan { \frac { \gamma _ { i j } } 2 } = 4 \pi - \sum _ { i } \beta _ { i } - \sum _ { v \in \mathcal { V } } \sigma \left( u ( K , v ) \right) . } \end{array}
\mathrm { Q } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \cos ( 2 \psi _ { i } ) ; \mathrm { U } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \sin ( 2 \psi _ { i } ) ; \mathrm { I } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } .
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \frac { d } { d t } \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ } \left[ \lambda ( t ) - \lambda _ { 0 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { 1 } = \sum _ { \bf q q ^ { \prime } } \mathcal { C } _ { \bf q q ^ { \prime } } = \mathcal { C } _ { \bf d d } + \mathcal { C } _ { \bf u d } + \mathcal { C } _ { \bf d u } + \mathcal { C } _ { \bf u u } . } \end{array}
H _ { + 1 , - 1 } = - ( g _ { S } \mu _ { B } B _ { X } ) ^ { 2 } \left( \frac { \langle - 1 | S _ { X } | 0 ^ { + } \rangle \langle 0 ^ { + } | S _ { X } | + 1 \rangle } { \Delta E _ { 0 ^ { + } } } + \frac { \langle - 1 | S _ { X } | 0 ^ { - } \rangle \langle 0 ^ { - } | S _ { X } | + 1 \rangle } { \Delta E _ { 0 ^ { - } } } \right)
\begin{array} { r l } { K _ { k , k _ { 1 } } ( x , y ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i y \cdot \eta } m ( \xi , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) \psi _ { k _ { 1 } } ( \eta ) d \xi d \eta , } \\ { ( i x ) ^ { \alpha } ( i y ) ^ { \beta } K _ { k , k _ { 1 } } ( x , y ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i y \cdot \eta } \nabla _ { \xi } ^ { \alpha } \nabla _ { \eta } ^ { \beta } \big ( m ( \xi , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) \psi _ { k _ { 1 } } ( \eta ) \big ) d \xi d \eta . } \end{array}
\frac { X _ { R } ^ { \mu } \left( \stackrel { i + 1 } { \tau _ { R } + \triangle \tau _ { R } } \right) - X _ { R } ^ { \mu } ( \stackrel { i } { \tau _ { R } } ) } { \triangle \tau _ { R } } = \Pi _ { R } ^ { \mu } \cdot 2 \pi \alpha ^ { \prime } = \frac { 2 p ^ { \mu } 2 \pi \alpha ^ { \prime } } { \triangle \tau _ { R } }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { x c } } } = \frac { 1 } { C _ { \mathrm { x c } } ^ { e e } } + \frac { 1 } { C _ { \mathrm { c } } ^ { e I } } - \sum _ { i } \frac { \alpha _ { i } \, t _ { i } } { C _ { \mathrm { x c } } ^ { i i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( f ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \binom { m } { j } \frac { \partial ^ { m - j } } { \partial { z ^ { m - j } } } ( z ^ { \rho } ) \frac { \partial ^ { j } } { \partial { z ^ { j } } } \left( \frac { \partial ^ { n } } { \partial { \overline { { z } } ^ { n } } } [ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + m + n } f ] \right) } \\ & { = z ^ { \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + m } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { \ell = 0 } ^ { j } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathbf { a } _ { m , n , j , \ell , k } ^ { \kappa , \rho } z ^ { j - m } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { k + \ell - j } \mathcal { Z } _ { j - \ell , n - k } ^ { \kappa + m + k + \ell - j } ( z , \overline { { z } } ) \frac { \partial ^ { \ell + k } } { \partial z ^ { \ell } \partial \overline { { z } } ^ { k } } ( f ) , } \end{array}
\mathrm { s g n } \left( \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right) \left[ { \frac { 1 } { \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } } } - 2 \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right] = { \frac { \mathrm { c o s } \Delta } { \left| \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right| } }
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { w } ^ { i } + \Delta E _ { k } ^ { i } + \Delta E _ { l } ^ { i } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { \alpha } \, \left( \epsilon _ { k } ^ { i } \, \Delta N _ { k } ^ { i } + \epsilon _ { l } ^ { i } \, \Delta N _ { l } ^ { i } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { S } } } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { O T _ { \mathcal { S } } } \int _ { \mathcal { X } } c ( x _ { T 1 } , x _ { T 2 } ^ { R } ) d p ( x _ { T 1 } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } } & { { } O T _ { \mathcal { S } } \# p ( x _ { T 1 } ) = p ( x _ { T 2 } ^ { R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 L ^ { 2 } C _ { 3 } \eta ^ { 2 } \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) + 2 \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } } { 1 - 3 2 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } K ^ { 2 } \Big ( \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { \lambda ^ { Q } + 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) } , } \end{array}
\vec { V } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ r ~ m ~ } , i } = \frac { \vec { V _ { i } } } { | | \vec { V _ { i } } | | } \cdot \frac { | | \vec { V _ { i } } | | - \operatorname* { m i n } ( \vec { | | V _ { i } | | } ) } { ( \operatorname* { m a x } ( \vec { | | V _ { i } | | } ) - \operatorname* { m i n } ( \vec { | | V _ { i } | | } ) ) } .
{ \frac { 1 } { ( \pi ) ^ { 4 } } } \int \! \! \! \int d ^ { 4 } \widehat { x } \phi ^ { n } ( \widehat { x } ) \neq { \frac { 1 } { ( \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } x \phi ^ { n } ( x ) \quad n \geq 2
\mathbf { q } ^ { \prime } \left( r , \theta , z , t \right) = F \hat { \mathbf { q } } \left( r , z \right) \left( \frac { 1 } { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t - \theta \right) } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t + \theta \right) } \right) + c . c . ,
L _ { e f f } ^ { i i } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \hat { \Phi } ^ { i } ~ \hat { \eta } ^ { i } \right) \left( \begin{array} { c c } { { A ^ { i i } } } & { { C ^ { i i } / 2 } } \\ { { C ^ { i i } / 2 } } & { { B ^ { i i } } } \end{array} \right) ~ \left( \begin{array} { c } { { \hat { \Phi } ^ { i } } } \\ { { \hat { \eta } ^ { i } } } \end{array} \right) ,
\mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } , \mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ W ~ E ~ N ~ O ~ i ~ n ~ x ~ , ~ \quad ~ o ~ r ~ } \quad \mathbf u _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } , \mathbf u _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ W ~ E ~ N ~ O ~ i ~ n ~ y ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { \Hat F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } } & { { } = \sum _ { G _ { y } } \Delta y w _ { G _ { y } } ( \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } F ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , t ) ) d t ) , } \\ { \Hat G _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = \sum _ { G _ { x } } \Delta x w _ { G _ { x } } ( \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } G ( W ( x _ { G _ { x } } , y _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , t ) ) d t ) , } \end{array}
\mathbf { x } ( z = 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { x _ { z = 0 } ^ { ( - N ) } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { x _ { z = 0 } ^ { ( 0 ) } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { x _ { z = 0 } ^ { ( + N ) } } \end{array} \right] = \mathbf { Z _ { t } } \cdot \left[ \begin{array} { l } { y _ { z = 0 } ^ { ( - N ) } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { y _ { z = 0 } ^ { ( 0 ) } } \\ { \cdot } \\ { \cdot } \\ { y _ { z = 0 } ^ { ( + N ) } } \end{array} \right] = \mathbf { Z } _ { t } \cdot \mathbf { y } ( z = 0 ) .
\dot { x } ^ { 2 } ( \tau , 0 ) = A ^ { 2 } \frac { [ f - g ] ^ { 2 } } { 4 \acute { f } \acute { g } } , \; \; \dot { x } ^ { 2 } ( \tau , l ) = A ^ { 2 } \frac { [ f _ { l } - g _ { l } ] ^ { 2 } } { 4 \acute { f } _ { l } \acute { g } _ { l } } .
E \frac { d \sigma } { d ^ { 3 } k } = \sum _ { i } \int E ^ { \prime } \frac { d \sigma _ { i } } { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } ( k ^ { \prime } , \mu ) D _ { i } ^ { ( h ) } ( z , \mu ) \frac { E } { E ^ { \prime } } \frac { d z } { z ^ { 3 } } \; ,
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { v } } ^ { \mathrm { h } } } & { = C e ^ { - \beta t } \quad \mathrm { w i t h } \quad C = \mathrm { c o n s t . } , } \\ { u _ { \mathrm { v } } } & { = u _ { \mathrm { v } } ( t _ { 0 } ) e ^ { - \beta ( t - t _ { 0 } ) } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } u ( \tau ) \beta e ^ { - \beta ( t - \tau ) } \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
\mathbf { \hat { p } = A ^ { - 1 } \Phi } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \Phi _ { 1 } + \Phi _ { 2 } - \Phi _ { 3 } } \\ { \Phi _ { 1 } + \Phi _ { 3 } - \Phi _ { 2 } } \\ { \Phi _ { 2 } + \Phi _ { 3 } - \Phi _ { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { D _ { x _ { i } } u _ { n } } & { = ( 1 - \phi _ { n } ) D _ { x _ { i } } u ( \cdot , 0 ) + \phi _ { n } D _ { x _ { i } } u , } \\ { D _ { x _ { i } x _ { j } } u _ { n } } & { = ( 1 - \phi _ { n } ) D _ { x _ { i } x _ { j } } u ( \cdot , 0 ) + \phi _ { n } D _ { x _ { i } x _ { j } } u , } \\ { D _ { y } u _ { n } } & { = \phi _ { n } ^ { \prime } ( u - u ( \cdot , 0 ) ) + \phi _ { n } D _ { y } u , } \\ { D _ { y y } u _ { n } } & { = \phi _ { n } ^ { \prime \prime } ( u - u ( \cdot , 0 ) ) + 2 \phi _ { n } ^ { \prime } D _ { y } u + \phi _ { n } D _ { y y } u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { d e g } } ( \overline { I } ( m ) ) } & { \leq \widehat { \mathrm { d e g } } ( \pi _ { * } ( m \overline { M } ) ) - \widehat { \mathrm { d e g } } ( \overline { Q } ( m ) ) } \\ & { \leq \widehat { \mathrm { d e g } } ( \pi _ { * } ( m \overline { M } ) ) - \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( \pi _ { * } ( m \overline { M } ) ) \dim _ { K } Q ( m ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 ^ { + } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { n ^ { s } } } - { \frac { 1 } { s ^ { n } } } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { x } } + u _ { x } \, { \partial _ { x } u _ { x } } + u _ { y } \, { \partial _ { y } u _ { x } } + u _ { z } \, { \partial _ { z } u _ { x } } \right) } \\ & { \quad = - \partial _ { x } p + \mu \left( { \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { x } } + { \partial _ { y } ^ { 2 } u _ { x } } + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { x } } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } \mu \ \partial _ { x } \left( { \partial _ { x } u _ { x } } + { \partial _ { y } u _ { y } } + { \partial _ { z } u _ { z } } \right) + \rho g _ { x } } \end{array} }
\begin{array} { r } { P ( z ) = \exp \left\lbrace \frac { \lambda ^ { 2 } } { S } \left[ G ( z ) - G ( 0 ) \right] \right\rbrace = \exp \left\lbrace \frac { \lambda ^ { 2 } } { S } G ( 0 ) \left[ G _ { 0 } ( z ) - 1 \right] \right\rbrace , } \end{array}