harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( U _ { i } ) _ { j - \frac { 1 } { 2 } , R } = ( U _ { i } ) _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \phi ( \frac { 1 } { r _ { j } } ) \left\{ ( U _ { i } ) _ { j + 1 } - ( U _ { i } ) _ { j } \right\}
C _ { 0 } = 1 \, , \quad C _ { 1 } = \frac { 3 } { 4 } \, , \quad C _ { 2 } = \frac { 3 3 } { 6 4 } \, , \quad D _ { 0 } = - 2 \, , \quad D _ { 1 } = - \frac { 3 } { 4 } \, , \quad D _ { 2 } = - \frac { 8 1 } { 1 2 8 } \, .
\begin{array} { r l } { P ( \Delta t _ { k } | } & { { } \lambda _ { 1 : M } , \pi _ { 1 : M } ) = \bigg [ \sum _ { m = 1 } ^ { M } \pi _ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { p l } } \frac { \lambda _ { m } } { 2 } } \\ { \times } & { { } \exp \Big ( \frac { \lambda _ { m } } { 2 } \left( 2 ( \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T ) + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \right) \Big ) } \\ { \times } & { { } \mathrm { e r f c } \left( \frac { \tau _ { \mathrm { I R F } } - \Delta t _ { k } - n T + \lambda _ { m } \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { I R F } } \sqrt { 2 } } \right) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 0 ; 0 } ^ { ( k ) } = 2 v _ { + 1 ; - 1 } ^ { ( k ) } = 2 v _ { - 1 ; + 1 } ^ { ( k ) } } & { = \frac { 1 - 3 \cos ^ { 2 } \theta _ { k } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } , } \\ { v _ { 0 ; \pm 1 } ^ { ( k ) } = v _ { \pm 1 ; 0 } ^ { ( k ) } } & { = \frac { \pm \frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \sin \theta _ { k } \cos \theta _ { k } e ^ { \mp i \phi _ { k } } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } , } \\ { v _ { \pm 1 ; \pm 1 } ^ { ( k ) } } & { = \frac { - \frac { 3 } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { k } e ^ { \mp i 2 \phi _ { k } } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } | R _ { k } | ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \psi ( \tau _ { k } + s , \cdot ) - \tilde { u } _ { 0 } ( 1 , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { n - 1 } ) } } & { \le \| \psi ( \tau _ { k } + s , \cdot ) - \psi ( \tau _ { k } , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { n - 1 } ) } } \\ & { \quad + \| \psi ( \tau _ { k } , \cdot ) - \tilde { u } _ { 0 } ( 1 , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { n - 1 } ) } . } \end{array}
\mathrm { N } _ { 2 } \mathrm { O } _ { 5 } ( g ) + \mathrm { S O } _ { 4 } ^ { 2 - } ( a q ) \rightarrow [ \mathrm { N O } _ { 2 } \mathrm { S O } _ { 4 } ] ^ { - } ( a q ) + \mathrm { N O } _ { 3 } ^ { - } ( a q )
\begin{array} { r l } { p _ { x } } & { = \frac { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { \mathrm { d } } E _ { x } } { 1 / \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } - \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 2 } } S / \alpha _ { x x } ^ { \mathrm { p 1 } } } , } \\ { m _ { y } } & { = \frac { H _ { y } } { 1 / \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } - \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 2 } } S / \alpha _ { y y } ^ { \mathrm { m 1 } } } , } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { { Q _ { L } \leftrightarrow F _ { L } , } } & { { u _ { R } \leftrightarrow E _ { R } , } } & { { d _ { R } \leftrightarrow N _ { R } , } } & { { \phi \leftrightarrow \phi ^ { C } , } } \\ { { G _ { q } ^ { \mu } \leftrightarrow G _ { l } ^ { \mu } , } } & { { W ^ { \mu } \leftrightarrow W ^ { \mu } , } } & { { C ^ { \mu } \leftrightarrow - C ^ { \mu } , } } & { { } } \end{array}
\frac { { \tilde { T } _ { i } ^ { n + 1 } - \tilde { T } _ { i } ^ { n } } } { { \delta \tilde { t } } } = \frac { { \tilde { T } _ { i + 1 } ^ { n + 1 } - 2 \tilde { T } _ { i } ^ { n + 1 } + \tilde { T } _ { i - 1 } ^ { n + 1 } } } { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } + Q \tilde { T } _ { i } ^ { n + 1 } ,
\hat { \cal F } _ { T , q } ^ { ( m ) , \mathrm { s o f t } } = \delta ( 1 - z ) \, \sum _ { \ell = - 1 } ^ { 2 m - 1 } \, \frac { 2 } { m } \varepsilon ^ { - \ell - 1 } \, f _ { \ell } ( 1 ) .
\begin{array} { r } { f _ { \mathbb { Z } _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = 1 \oplus x _ { 1 } \oplus x _ { 2 } \oplus x _ { 3 } \oplus x _ { 4 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x \mid \mu , \alpha , \beta ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \sigma ^ { 2 } f ( x , \sigma ^ { 2 } \mid \mu , \alpha , \beta ) } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \, { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \sigma ^ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \alpha + 1 / 2 + 1 } \exp \left( - { \frac { 2 \beta + ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
\Big \langle \big | \tilde { x } _ { 1 } ( 0 ) \big | ^ { 2 } \Big \rangle = \Phi \frac { J _ { 0 } ^ { 2 } \Big \langle \big | \tilde { x } _ { 1 } ( 0 ) \big | ^ { 2 } \Big \rangle + 1 } { \big [ 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \chi \big ] ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Phi = \frac { q ^ { 2 } } { 4 m \omega ^ { 2 } } \left( \frac { | E _ { + } | ^ { 2 } } { 1 + \Omega / \omega } + \frac { | E _ { - } | ^ { 2 } } { 1 - \Omega / \omega } + | E _ { \parallel } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } } & { = \frac { 1 } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } \right) } \\ & { = \frac { 2 \mathrm { i } } { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n / 2 } \frac { 2 \pi } { n } \left( \frac { n } { 2 } - j + \frac { 1 } { 2 } \right) \sin { \left[ k \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { 2 \pi } { n } \right] } . } \end{array}
{ \cal L } _ { M } = ( h _ { d } ) _ { f g } ( \bar { d } _ { f } ) _ { L } ( d _ { g } ) _ { R } v _ { 1 } - ( h _ { u } ) _ { f g } ( \bar { u } _ { f } ) _ { L } ( u _ { g } ) _ { R } v _ { 2 }
^ M D _ { x _ { j } ^ { + } } ^ { \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) } ( \overline { { U _ { i } ^ { + } } } ) : = \frac { \partial \overline { { U _ { i } ^ { + } } } } { \partial x _ { j } ^ { + } } - \overline { { u _ { i } u _ { j } } } ^ { + } ~ ; ~ i , j = 1 , 2 , 3 ~ ; ~ \alpha ( x _ { j } ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\begin{array} { c } { { \displaystyle 2 \frac 1 { R _ { B } ^ { 2 } \left( s \right) } = \frac 1 { R _ { M } ^ { 2 } \left( s \right) } + \frac 1 { R _ { D } ^ { 2 } \left( s \right) } , } } \\ { { \displaystyle 2 \alpha \left( 0 \right) _ { B } = \alpha _ { D } \left( 0 \right) + \alpha _ { M } \left( 0 \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( x , y , \hat { \theta } ) : = } & { \alpha + \omega + \frac { r + \vert \hat { \theta } \vert } { \omega } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \sqrt { r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \theta } _ { j } ^ { 2 } \right) \rho ( x , y , \hat { \theta } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 \epsilon } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { r } } ( t ) } & { = \kappa \sqrt { \frac { P } { M } } { \bf { b } } ( r , \theta ) { { \bf { a } } ^ { T } } ( r , \theta ) { \bf { s } } ( t - \tau ) + { \bf { n } } ( t ) } \\ & { = \kappa \sqrt { \frac { P } { M } } { \bf { b } } ( r , \theta ) \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { { a _ { m } } ( r , \theta ) { s _ { m } } ( t - \tau ) } + { \bf { n } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } = \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } ( \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { n } - \boldsymbol { F } _ { i - 1 / 2 , j } ^ { n } ) - \frac { \Delta t } { \Delta y } ( \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { n } - \boldsymbol { G } _ { i , j - 1 / 2 } ^ { n } ) + \Delta t \, \boldsymbol { L } ( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } ) , } \\ & { \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n + 1 } = \frac { \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { n } + \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } } { 2 } - \frac { \Delta t } { 2 \Delta x } ( \boldsymbol { F } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { * } - \boldsymbol { F } _ { i - 1 / 2 , j } ^ { * } ) - \frac { \Delta t } { 2 \Delta y } ( \boldsymbol { G } _ { i , j + 1 / 2 } ^ { * } - \boldsymbol { G } _ { i , j - 1 / 2 } ^ { * } ) + \frac { \Delta t } { 2 } \, \boldsymbol { L } ( \boldsymbol { \rho } _ { i , j } ^ { * } ) . } \end{array}
\left( \nu _ { g - { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \mathrm { , } \nu _ { g + { 1 \mathord { \left/ { \vphantom { 1 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right)
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } & { P ^ { ( v ) } ( { z } , { t + 1 } ) = P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) - R ^ { ( e ) } ( t ) z P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) + R ^ { ( e ) } ( t ) ( z + 1 ) P ^ { ( v ) } ( { z + 1 } , { t } ) \, , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } z \ge k \, , } \\ & { P ^ { ( e ) } ( { n } , { t + 1 } ) = P ^ { ( e ) } ( { n } , { t } ) - R ^ { ( v ) } ( t ) n P ^ { ( e ) } ( { n } , { t } ) + R ^ { ( v ) } ( t ) ( n + 1 ) P ^ { ( e ) } ( { n + 1 } , { t } ) \, , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } n \ge q \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \pm , \mu } \cdot { \bf n } _ { 1 } > 0 , \qquad \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \pm , \mu } \cdot \mathbf { n } ^ { * } + \frac { | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } } { 2 } > 0 , } \\ { \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \pm } \cdot { \bf n } _ { 1 } > 0 , \qquad \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mu , \pm } \cdot \mathbf { n } ^ { * } + \frac { | \mathbf { B } ^ { * } | ^ { 2 } } { 2 } > 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p _ { r } } & { = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { r } } } } = { \frac { \partial T } { \partial { \dot { r } } } } = ( M + m ) { \dot { r } } } \\ { p _ { \theta } } & { = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial { \dot { \theta } } } } = { \frac { \partial T } { \partial { \dot { \theta } } } } = m r ^ { 2 } { \dot { \theta } } } \\ { \therefore { \mathcal { H } } } & { = { \frac { p _ { r } ^ { 2 } } { 2 ( M + m ) } } + { \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { 2 m r ^ { 2 } } } + M g r - m g r \cos { \theta } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R } v _ { t } \partial _ { x } ^ { 6 } v \ d x } & { { } = - \int _ { \mathbb R } v v _ { x } \partial _ { x } ^ { 6 } v \ d x - \int _ { \mathbb R } [ \mathscr { L } , \mathscr { N } h ] h \partial _ { x } ^ { 6 } v \ d x - \int _ { \mathbb R } \mathscr { N } h \partial _ { x } ^ { 6 } v \ d x . } \end{array}
\langle \hat { O _ { 8 } ^ { J / \psi } ( ^ { 3 } S _ { 1 } ) } \rangle = ( 0 . 0 1 9 \pm 0 . 0 0 5 _ { s t a t } \pm 0 . 0 1 0 _ { t h e o r y } ) ~ G e V ^ { 3 } .
G _ { \parallel } = \frac { V _ { 3 } N u ^ { 4 } } { 2 \pi ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } \left( \sqrt { 1 - \frac { 2 m } { u ^ { 4 } } - \frac { \lambda \Omega ^ { 2 } ( u ^ { 2 } + l ^ { 2 } ) } { u ^ { 4 } } + \frac { 2 \sqrt { 2 m \lambda } l \Omega } { u ^ { 4 } } } - 1 - \frac { \sqrt { 2 m \lambda } l \Omega } { u ^ { 4 } } \right) .
S _ { L } = r ^ { - 1 } \sigma \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c } { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 8 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { - 2 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { - \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { - 2 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 \mathbf { Q } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { u ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { { } = } & { u ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \epsilon u ^ { ( 2 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { v ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { { } = } & { \epsilon ^ { - 1 } v ^ { ( 0 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + v ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { w ( \bar { r } , \theta , s , t ; \epsilon ) } & { { } = } & { \epsilon ^ { - 1 } w ^ { ( 0 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + w ^ { ( 1 ) } ( \bar { r } , \theta , s , t ) + \cdots } \\ { \mathbf { X } ( s , t ; \epsilon ) } & { { } = } & { \mathbf { X } ^ { ( 0 ) } ( s , t ) + \epsilon \mathbf { X } ^ { ( 1 ) } ( s , t ) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Omega \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { = ( u _ { w } ( \mathbf { x } , t ) , 0 ) } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Gamma _ { 1 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) } & { = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) } & { \in \Gamma _ { 2 } \times [ 0 , T ] } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , 0 ) } & { = \mathbf { u } _ { 0 } ( \mathbf { x } ) } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \end{array}
\Delta = \overline { { D } } _ { \mathrm { m i n - a v e } } - \overline { { D } } _ { \mathrm { a v e - m i n } } = \overline { { \sum _ { \mathbf { X } } } } [ D ( \boldsymbol { \lambda } _ { \mathbf { X } } ^ { * } ) - \hat { D } _ { \mathbf { X } } ( \boldsymbol { \lambda } _ { \mathbf { X } } ^ { * } ) ] .
\mathcal { \Omega } _ { \gamma } = \{ - a _ { 1 } \alpha _ { 0 } + \gamma , \ ( - a _ { 1 } + 1 ) \alpha _ { 0 } + \gamma , \ \cdots , \gamma , \ \cdots , ( a _ { 1 } - 1 ) \alpha _ { 0 } + \gamma , \ a _ { 1 } \alpha _ { 0 } + \gamma \}
\begin{array} { r l } { a = } & { { } \frac { 1 } { 3 } \int \boldsymbol { r } \cdot \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \\ { t _ { i } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \int [ \boldsymbol { r } \times \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) ] _ { i } \thickspace d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \\ { q _ { i j } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \int \big [ r _ { i } \mu _ { j } ( \boldsymbol { r } ) + r _ { j } \mu _ { i } ( \boldsymbol { r } ) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \boldsymbol { r } \cdot \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) \big ] d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \end{array}
p _ { i j } ^ { - } \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } }
V _ { \pm } = \frac { a ( a \mp \frac { \mu } { \sqrt { 2 } } ) f ^ { 2 } + ( a ( b \mp \frac { \nu } { \sqrt { 2 } } ) + b ( a \mp \frac { \mu } { \sqrt { 2 } } ) ) f + b ( b \mp \frac { \nu } { \sqrt { 2 } } ) } { ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \pm \frac { a } { \sqrt { 2 } } .
\left[ Q ^ { 2 } F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) \right] ^ { r e s } = \frac { ( 1 6 \pi r f _ { \pi } ) ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \exp \left[ - 4 \pi u / \beta _ { 0 } \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) \right] B [ Q ^ { 2 } F ] ( u ) .
\begin{array} { r l } { \textbf y } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] \mathrm { d i a g } \{ h _ { 1 } ^ { \prime } , \cdots , h _ { P } ^ { \prime } \} \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { y } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { y } _ { p } } \end{array} \right] + \textbf v . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 < \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } \frac { M } { N } \le \frac { M } { N } \le \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } \frac { M } { N } < \infty , } \\ & { 0 < \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } \frac { L } { M } \le \frac { L } { M } \le \operatorname* { l i m } \operatorname* { s u p } \frac { L } { M } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi ( t , { \vec { x } } ) } & { { } = } & { \varphi _ { 0 } + k \Big \{ c ( t - t _ { 0 } ) - { \vec { k } } \cdot ( { \vec { r } } - { \vec { r } } _ { 0 } ) - r _ { g } \ln \Big [ \frac { r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r _ { 0 } + ( \vec { k } \cdot \vec { r } _ { 0 } ) } \Big ] + } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { \ell _ { \infty } ^ { n } } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } , J ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } , J ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { K ( B _ { X _ { n } } , \Lambda _ { T } ) } { \sqrt { \frac { \log n } { n } } } \, , } \end{array}
= - \frac { \gamma } { 2 } \epsilon _ { i j } \sum _ { s = 1 } ^ { N } \int _ { C ^ { s } } \left( x _ { j } \partial _ { k } h ( e ^ { h } - 1 ) n _ { k } ^ { s } - ( e ^ { h } - h - 1 ) n _ { j } ^ { s } \right) \, d l .
p _ { d } ( N ) = \mathrm { d i m } \, V _ { N + \frac { 1 } { 2 } { \alpha } ^ { 2 } } ^ { \alpha } = \sum _ { M = 0 } ^ { N } p _ { d - 2 } ( M ) p _ { 2 } ( N - M ) - p _ { d - 2 } ( N ) + \mathrm { d i m } \, T _ { N + \frac { 1 } { 2 } { \alpha } ^ { 2 } } ^ { \alpha } \, .
\mathsf { \partial _ { \xi } F _ { h } } = F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } \mathsf { b } _ { L } + \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { F } + F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } \mathsf { b } _ { R } , \qquad \mathsf { D } _ { 1 } = \mathsf { D } - \mathsf { b } _ { L } \mathsf { V } _ { L } ^ { \top } - \mathsf { b } _ { R } \mathsf { V } _ { R } ^ { \top }
\mathbf { u } = \bar { \mathbf { A } } \left( \mathbf { q } \right) \dot { \mathbf { q } } = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { I } } & { \ \ - \mathbf { B } _ { 2 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \dot { \mathbf { s } } } \\ { \dot { \mathbf { r } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { i } h _ { 0 } ( i ) + V _ { c } \, , } \\ { h _ { 0 } ( i ) } & { = c \boldsymbol { \alpha } _ { i } \cdot { \bf p } _ { i } + m _ { e } c ^ { 2 } \beta _ { i } } \\ & { + V _ { \mathrm { n u c } } ( r _ { i } ) + h _ { W } ( r _ { i } ) + U ( r _ { i } ) \, , } \\ { V _ { c } } & { = \frac 1 2 \sum _ { i \neq j } \frac { e ^ { 2 } } { | { \bf r } _ { i } - { \bf r } _ { j } | } - \sum _ { i } U ( r _ { i } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { S } _ { i } , \hat { S } _ { j } \right] = \mathrm { ~ i ~ } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \epsilon _ { i j k } \hat { S } _ { k } } \\ { \hat { S } _ { x } ^ { 2 } + \hat { S } _ { y } ^ { 2 } + \hat { S } _ { z } ^ { 3 } = \hat { S } _ { 0 } \left( \hat { S } _ { 0 } + 1 \right) . } \end{array}
\boldsymbol x _ { t } = \boldsymbol w ^ { T } \dot { \boldsymbol g } _ { t } \approx \boldsymbol x _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } + \boldsymbol x _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } }
\big \| \mathbf { U U } ^ { \prime } \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \mathbf { j } _ { i } \big \| _ { 2 } \leq \big \| \mathbf { U U } ^ { \prime } \mathbf { P } _ { \mathbf { U U } ^ { \prime } \mathbf { J } _ { i } } \mathbf { j } _ { i } \big \| _ { 2 } ,
Z _ { 1 , 1 } = V _ { 1 , 1 } , \qquad Z _ { 2 , 2 } = V _ { 2 , 2 } , \qquad Z _ { 2 , 1 } = V _ { 2 , 1 } - V _ { 1 , 1 } V _ { 1 , 0 } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } } & { { } = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } ) \; \; , \; \; \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \\ { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { a = 1 } ^ { N } [ \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } ) + ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } ) \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau ( \omega ) ] } \| u ^ { j _ { l } } - u ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { s } \leq C _ { \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau ( \omega ) ] } \| u ^ { j _ { l } } - u ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { s , j _ { l + 1 } } \leq C _ { \kappa } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { l } \wedge \tilde { \tau } _ { l + 1 } ] } \| u ^ { j _ { l } } - u ^ { j _ { l + 1 } } \| _ { s , j _ { l + 1 } } < C _ { \kappa } 2 ^ { - ( l + 2 ) } . } \end{array}
\boldsymbol { W _ { 0 } } ^ { 0 } = \{ \boldsymbol { W _ { C _ { 0 } } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W _ { R _ { 0 } } } ^ { 4 } , \boldsymbol { W _ { R _ { 0 } } } ^ { 5 } \}
\begin{array} { r l } { [ ( 1 , e v _ { 2 } ) ( M _ { 2 } ) _ { _ 2 } , W _ { 1 } ] } & { = [ ( 1 \times e v _ { 2 } ( M _ { 2 } ) _ { Q _ { 2 } } ) , W _ { 1 } ] } \\ & { = \{ ^ { ( 1 , x _ { 2 } ) } ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) ^ { - 1 } \mid x _ { 2 } \in e v _ { 2 } ( M _ { 2 } ) _ { Q _ { 2 } } , \; ( t _ { 1 } , q _ { 1 } ) \in W _ { 1 } \} } \\ & { = \{ ( 1 , ^ { x _ { 2 } } q _ { 1 } q _ { 1 } ^ { - 1 } \mid x _ { 2 } \in e v _ { 2 } ( M _ { 2 } ) _ { Q _ { 2 } } , \; q _ { 1 } \in Q _ { 1 } \} } \\ & { = 1 \times [ ( e v _ { 2 } ( M _ { 2 } ) _ { Q _ { 2 } } , Q _ { 1 } ] } \end{array}
\int \hat { \mathrm { D } } \{ \mathbf { R } _ { j } \} = \int \mathrm { D } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \exp \left\{ - \frac { 3 } { 2 b ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \left( \frac { \partial \mathbf { R } _ { j } ( s ) } { \partial s } \right) ^ { 2 } \right\}
\mathbf { M } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( M ) } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 2 1 } } & { \cdots } & { A _ { n 1 } } \\ { A _ { 1 2 } } & { A _ { 2 2 } } & { \cdots } & { A _ { n 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { 1 n } } & { A _ { 2 n } } & { \cdots } & { A _ { n n } } \end{array} \right] }