harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { w } ( S _ { w } ) = \frac { k _ { r w } ( S _ { w } ) / \mu _ { w } } { ( k _ { r w } ( S _ { w } ) / \mu _ { w } + k _ { r o } ( 1 - S _ { w } ) / \mu _ { o } ) } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad f _ { o } ( S _ { w } ) = 1 - f _ { w } ( S _ { w } ) ,
\Pi _ { 3 } = 6 \left( 2 4 0 + 2 4 0 \lambda + 9 6 \lambda ^ { 2 } + 1 6 \lambda ^ { 3 } - 2 \lambda ^ { 4 } - 2 \lambda ^ { 5 } - \lambda ^ { 6 } + \lambda ^ { 7 } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta ^ { \nabla ^ { \pi } } [ ( w ^ { * } \lambda \circ j ) \wedge ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w ] } \\ & { = } & { - * d ^ { \nabla ^ { \pi } } \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle } \\ & { = } & { - * \langle ( \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) ) \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle - * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w , w ^ { * } \lambda \rangle - * \langle ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \partial ^ { \pi } w , \nabla w ^ { * } \lambda \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = \hat { E _ { \varepsilon } } ( h ) = 8 \pi c ( a + c ) E \left( \frac { \pi } { 2 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { - 4 \pi c ( a + c ) E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + 4 \pi \varepsilon ( \varepsilon + \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } ) } \\ { + \lambda \varepsilon ^ { 3 } \left( 2 \bigg ( \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } + 2 a F \bigg ( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \bigg ) + 2 c E \bigg ( \frac { \pi } { 2 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \bigg ) - \right. } \\ { \left. a F \bigg ( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \bigg ) - c E \bigg ( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , { \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \bigg ) \bigg ) \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \tau _ { \partial i } } \prod _ { j \in \partial i } m _ { j \to \Psi _ { i } } ( T _ { i j } ) \psi ^ { * } ( \tau _ { i } , \tau _ { \partial i } ) = } \\ { = } & { \delta _ { x _ { i , 0 } ^ { * } , I } \delta _ { \tau _ { i } , 0 } \prod _ { j \in \partial i } \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) } \\ & { + \delta _ { x _ { i , 0 } ^ { * } , S } \prod _ { j \in \partial i } \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) \mathbb { I } [ \tau _ { i } \leq \tau _ { j } + s _ { j i } ] } \\ & { - \mathbb { I } [ \tau _ { i } \leq T ] \delta _ { x _ { i , 0 } ^ { * } , S } \prod _ { j \in \partial i } \sum _ { \tau _ { j } } m _ { \Psi _ { j } \to i } ( t _ { j } , t _ { i } , \tau _ { j } , \tau _ { i } ) \mathbb { I } [ \tau _ { i } < \tau _ { j } + s _ { j i } ] = } \\ { = : } & { \sum _ { v = 1 } ^ { 3 } \prod _ { j \in \partial i } m _ { j \to \Psi _ { i } } ^ { v } ( t _ { i } , t _ { j } , \tau _ { i } ) } \end{array}
\mathcal { A } _ { s h G } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \left( \int _ { \infty } ^ { 0 } d x \left[ \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi - \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \cosh b \Phi \right] - M _ { 0 } \cosh \frac { b } { 2 } \left( \Phi - \phi _ { 0 } \right) \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { W _ { r } } & { { } = } & { \int _ { \Omega _ { s } } d \Omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { 0 } r \mathcal { E } _ { \theta } ( { \bf r } ; t ) t _ { 0 } r \mathcal { H } _ { \phi } ( { \bf r } : t ) \, d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\vert a \left( \left( \begin{array} { l } { y } \\ { z } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \phi } \\ { \psi } \end{array} \right) \right) \right\vert \le \alpha _ { 1 } \left( \| \nabla y \| ^ { 2 } + \| \nabla z \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \| \nabla \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \psi \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 2 } - a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \eta \right) \pi \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 } ( p , \xi ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Pi ( \gamma ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ; \gamma , \xi ) f ( p ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) 2 \pi p ^ { 2 } d p ^ { \prime } \, d \xi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } _ { a , b } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 L _ { x } } \frac { 1 } { 2 L _ { y } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \pmb { j } \cdot \tilde { \pmb { A } } ( x , y ) d x d y } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } \frac { \mu _ { B } B } { \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } } } , a = \pm L _ { x } / 2 , b = \pm L _ { y } / 2 \ ~ ~ ~ 0 , ~ ~ ~ ~ ~ a = 0 , b = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { H } _ { 0 } ( - z ) = - \mathrm { H } _ { 0 } ( z ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathrm { Y } _ { 0 } ( - z ) = \mathrm { Y } _ { 0 } ( z ) - 2 \mathrm { i } \, \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } \left( \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ z ] \right) \mathrm { J } _ { 0 } ( z ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad z \in \mathbb { C } \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ z ] \neq 0 . } \end{array}
H ( { \vec { r } } _ { 1 } , \, { \vec { r } } _ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 1 } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { r _ { 2 } } ^ { 2 } - { \frac { Z } { r _ { 1 } } } - { \frac { Z } { r _ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } } .
\begin{array} { r l } { S _ { l } ^ { ( 1 ) } } & { = \sum _ { m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \operatorname { T r } \big [ B _ { l } B _ { m } ^ { \dagger } ( - t ^ { \prime } ) \rho _ { B } \big ] S _ { m } ( - t ^ { \prime } ) } \\ & { + \sum _ { m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \operatorname { T r } \big [ B _ { l } B _ { m } ( - t ^ { \prime } ) \rho _ { B } \big ] S _ { m } ^ { \dagger } ( - t ^ { \prime } ) } \\ { S _ { l } ^ { ( 2 ) } } & { = \sum _ { m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \operatorname { T r } \big [ B _ { m } ^ { \dagger } ( - t ^ { \prime } ) B _ { l } \rho _ { B } \big ] S _ { m } ( - t ^ { \prime } ) } \\ & { + \sum _ { m } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } \operatorname { T r } \big [ B _ { m } ( - t ^ { \prime } ) B _ { l } \rho _ { B } \big ] S _ { m } ^ { \dagger } ( - t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n w , 2 } ^ { + } = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ v _ { 1 } f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ ( v _ { n } n _ { 1 } - v _ { t } n _ { 2 } ) f ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ \hat { f } _ { 2 } ^ { e q } ( v _ { n } , v _ { t } ) } \\ { = } & { { } } & { ( \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 1 2 } ^ { e q } + ( - \lambda _ { 1 2 } n _ { 1 } + \lambda _ { 2 2 } n _ { 2 } ) ^ { + } f _ { 2 2 } ^ { e q } + } \end{array}
B _ { u } ( \boldsymbol \theta _ { i } ) = \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathbf { j } _ { i } ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) \mathbf { j } _ { i } } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mathbf { j } _ { i , \perp } ^ { \prime } \mathbf { j } _ { i , \perp } }
\phi _ { ( p _ { 2 } , q _ { 2 } ; r _ { 2 } , s _ { 2 } ) } \otimes \phi _ { ( p _ { 1 } , q _ { 1 } ; r _ { 1 } , s _ { 1 } ) } = \sum _ { ( p , q ) \in \Lambda ( p _ { 1 } , q _ { 1 } , p _ { 2 } , q _ { 2 } ) } \; \sum _ { ( r , s ) \in \Lambda ( r _ { 1 } , s _ { 1 } , r _ { 2 } , s _ { 2 } ) } \left[ \phi _ { ( p , q ; r , s ) } \right] ,
{ \cal A } ^ { i l } = \frac 1 { 3 \rho } \left( 2 C ^ { i j k l } - C ^ { i k l j } - C ^ { i l k j } \right) n _ { j } n _ { k } = \frac 1 { 3 \rho } \left( C ^ { i j k l } - C ^ { i l k j } \right) n _ { j } n _ { k } \, .
{ \begin{array} { r l } { d _ { v } ( \{ i \} ) } & { = v ( \{ i \} ) } \\ { d _ { v } ( \{ i , j \} ) } & { = v ( \{ i , j \} ) - d _ { v } ( \{ i \} ) - d _ { v } ( \{ j \} ) } \\ { d _ { v } ( \{ i , j , k \} ) } & { = v ( \{ i , j , k \} ) - d _ { v } ( \{ i , j \} ) - d _ { v } ( \{ i , k \} ) - d _ { v } ( \{ j , k \} ) - d _ { v } ( \{ i \} ) - d _ { v } ( \{ j \} ) - d _ { v } ( \{ k \} ) } \\ & { \vdots } \\ { d _ { v } ( S ) } & { = v ( S ) - \sum _ { T \subsetneq S } d _ { v } ( T ) } \end{array} }
{ \frac { \partial { \vec { u } } } { \partial t } } + ( { \vec { u } } \nabla ) { \vec { u } } = - { \frac { 1 } { \rho } } \nabla p + \nu \Delta { \vec { u } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \vec { J } } \times { \vec { B } }
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { - 0 } } & { { } = } & { [ \mathrm { N } V ] \; p \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J } \\ { \gamma _ { 0 - } } & { { } = } & { [ \mathrm { N } V ] ( 1 - p ) n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J } \end{array}
\Big [ \omega ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } - k _ { \perp } ^ { 2 } \big ( v _ { A } ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } c _ { s } ^ { 2 } \big ) \Big ] \big ( \omega ^ { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } k _ { \| } ^ { 2 } \big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 2 } } c _ { s } ^ { 4 } k _ { \| } ^ { 2 } k _ { \perp } ^ { 2 } = 0
{ S _ { e f f } } ^ { \prime } = \int { d ^ { 4 } x [ - \frac { 1 } { 4 } { F ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } { F ^ { \prime } } ^ { { \mu } { \nu } } S _ { { \mu } { \nu } } ^ { \lambda } A _ { \lambda } - 2 S _ { \lambda } ^ { { \mu } { \nu } } A ^ { \lambda } S _ { { \mu } { \nu } } ^ { \beta } A _ { \beta } + \frac { 1 } { 2 } { m ^ { 2 } } _ { \gamma } A ^ { 2 } ] }
\begin{array} { r } { { \cal R } _ { \operatorname* { m a x } } [ \mathsf { f } , R ] : = \operatorname* { m i n } _ { \rho , { \cal M } } { \cal R } _ { \operatorname* { m a x } } [ \mathsf { f } , R , \rho , { \cal M } ] , \quad { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } , R ] : = \operatorname* { m i n } _ { \rho , { \cal M } } { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } , R , \rho , { \cal M } ] . } \end{array}
\centering \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { x } } \\ { \mathbf { A } _ { y } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { S } _ { x x } } & { \mathbf { S } _ { x y } } \\ { \mathbf { S } _ { y x } } & { \mathbf { S } _ { y y } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { x } ^ { i } } \\ { \mathbf { A } _ { y } ^ { i } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } ( \mathtt { L } ^ { + } | \mathfrak { P } ^ { - } = \mathfrak { p } ^ { - } ) = \int _ { \ell ^ { - } \in \mathfrak { p } ^ { - } } \operatorname* { P r } ( \mathtt { L } ^ { + } | \mathtt { L } ^ { - } = \ell ^ { - } ) d \mu ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathbf { u } ^ { d } } ( 0 ) + P _ { \mathbf { v } ^ { d } } ( 0 ) } & { = 2 \ell - 2 \left( \frac { \ell } { d } - 1 \right) = 2 \ell + 2 - \frac { 2 \ell } { d } , } \\ { P _ { \mathbf { u } ^ { d } } ( j ) + P _ { \mathbf { v } ^ { d } } ( j ) } & { = - \frac { 2 \ell } { d } , \quad \forall j \in \mathbb { Z } _ { d } - \{ 0 \} . } \end{array}
\hat { D } = \exp { \left\{ - \frac { \kappa } { \omega } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ \hat { d } _ { j } ^ { a } ( \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { j } ) + \hat { d } _ { j } ^ { b } ( \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { j } ) \right] \right\} }
E _ { \pm } ( \vec { p } ) = \sqrt { M ^ { 2 } + \vec { p } \, ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \vec { q } \, ^ { 2 } \pm \sqrt { M ^ { 2 } \vec { q } \, ^ { 2 } + ( \vec { q } \cdot \vec { p } ) ^ { 2 } } } ,
\log L _ { 1 } \left( X _ { \mathrm { ~ c ~ } } / X _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } , f _ { \mathrm { ~ o ~ v ~ } } \right) = \log L _ { 2 } \left( X _ { \mathrm { ~ c ~ } } / X _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } , \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ v ~ } } \right)
\boldsymbol { \Delta } _ { 1 2 } = \overline { { \alpha } } ( \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot \widehat { \boldsymbol { \sigma } } ) \widehat { \boldsymbol { \sigma } } + \overline { { \beta } } \left[ \mathbf { c } _ { 1 2 } - ( \mathbf { c } _ { 1 2 } \cdot \widehat { \boldsymbol { \sigma } } ) \widehat { \boldsymbol { \sigma } } - 2 \sqrt { \frac { \theta } { \kappa } } \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { W } _ { 1 2 } \right]
I _ { 3 } ( t ) \leq - \frac { 1 } { 2 } \left( e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } \kappa - c ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 3 e ^ { - \frac { \bar { c } \beta R ^ { 2 } } { 1 2 8 \eta _ { k } } } \right) \mathbb { E } \left[ | Z _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t < \tau _ { j } \} } \right] .
\begin{array} { r } { g _ { \theta } ^ { C _ { \epsilon } } ( ( m , \! a ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! = \! \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \frac { q e ^ { - z q s } ( 1 \! - \! e ^ { - \frac { 4 8 } { 2 5 } z q } ) \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { ( m \! + \! \frac { q ^ { \frac { \alpha ( 1 - \epsilon ) } { 2 } } } { \theta s ^ { \frac { \alpha \epsilon } { 2 } } } ( \frac { C _ { \epsilon } } { z } ) ^ { a } ) ( 1 \! - \! e ^ { - z q } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } } & { { } = \exp \left\{ - \left[ V _ { i j } \Delta n _ { i } \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } n _ { j } \left( \tau \right) d \tau \right] ^ { + } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma = \left( \begin{array} { l l } { \langle ( \Delta \hat { x } _ { a } ) ^ { 2 } \rangle } & { \langle \Delta ( \hat { x } _ { a } , \hat { p } _ { a } ) \rangle } \\ { \langle \Delta ( \hat { p } _ { a } , \hat { x } _ { a } ) \rangle } & { \langle ( \Delta \hat { p } _ { a } ) ^ { 2 } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
S _ { 0 } \! = \! \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \! \int \! d t d \xi _ { 2 } d \xi _ { 3 } \left\{ | \partial _ { t } \Phi _ { \! n } ( \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } , t ) | ^ { 2 } \! \! - \! | \partial _ { \xi _ { 3 } } \! \Phi _ { \! n } ( \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } , t ) | ^ { 2 } \! \! - \! M _ { \! n } ^ { 2 } | \Phi _ { \! n } ( \xi _ { 2 } , \xi _ { 3 } , t ) | ^ { 2 } \! \right\} ,
\mathcal { L } = w _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } + w _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ E ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ P ~ D ~ E ~ } } + w _ { \mathrm { ~ b ~ c ~ } } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ b ~ c ~ } }
\begin{array} { r } { \gamma ( \alpha ( { U _ { T } , } _ { y y } - { U _ { L } , } _ { y y } ) - v ( { U _ { T } , } _ { y } - { U _ { L } , } _ { y } ) ) + \alpha { U _ { L } , } _ { y y } - v { U _ { L } , } _ { y } = p _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \frac { \omega ^ { j ( l + 1 ) } } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , \omega ^ { j } k ) d k } \\ & { = - \frac { \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k \mathcal { A } ^ { j } = - \frac { \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { - l } \hat { w } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \frac { d k } { - k ^ { 2 } } \mathcal { A } ^ { j } } \\ & { = \frac { \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { - l - 2 } \hat { w } ( x , t , k ) d k \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } = - \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F _ { 1 } ^ { ( - l - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } y } } \left( \mu _ { 0 } { \frac { \mathrm { d } U } { y } } \right) + R a ( \Theta _ { 0 } + N \Phi _ { 0 } ) } & { = } & { R e { \frac { \mathrm { d } P } { \mathrm { d } x } } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Theta _ { 0 } } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } } } & { = } & { U , } \\ { { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Phi _ { 0 } } { \mathrm { d } y ^ { 2 } } } } & { = } & { U , } \end{array}
\cos \left( \theta _ { l } \right) = \frac { r \frac { \partial \eta } { \partial x } + H - \eta } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \partial \eta } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \eta } { \partial y } \right) ^ { 2 } } \sqrt { r ^ { 2 } + \left( H - \eta \right) ^ { 2 } } }
\delta { \mathbf { u } } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \mathbfcal { R } ^ { ( \alpha ) } \delta v _ { \alpha } \, , \qquad \delta { \mathbf { x } } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \mathbfcal { P } ^ { ( \alpha ) } \delta y _ { \alpha } \, .
\int _ { 0 } ^ { a } \mathrm { d } x \left( p _ { R } ^ { [ 1 ] } ( x ) + p _ { L } ^ { [ 1 ] } ( x ) \right) + \int _ { a } ^ { \ell } \mathrm { d } x \left( p _ { R } ^ { [ 2 ] } ( x ) + p _ { L } ^ { [ 2 ] } ( x ) \right) = 1 .
\theta _ { \varphi } ( \varphi _ { f } ) \quad \mathrm { e t } \quad \theta _ { \psi } ( \varphi _ { f } ) \in \left[ A ^ { \bullet } ( S \times \mathbf { C } ^ { n } ) \otimes C ^ { \infty } \left( \mathcal { G } ( \mathbf { A } _ { f } ) \right) \right] ^ { \mathcal { G } ( \mathbf { Q } ) \times L _ { \varphi _ { f } } } = A ^ { \bullet } \left( \widehat { [ \mathcal { G } ] } / L _ { \varphi _ { f } } \right) ,
\left( { \begin{array} { c c } { \cos \theta _ { \mathrm { P } } } & { - \sin \theta _ { \mathrm { P } } } \\ { \sin \theta _ { \mathrm { P } } } & { ~ ~ \cos \theta _ { \mathrm { P } } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { \mathrm { \ e t a } _ { 8 } } \\ { \mathrm { \ e t a } _ { 1 } } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { c } { \mathrm { \ e t a } } \\ { \mathrm { \ e t a ^ { \prime } } } \end{array} } \right) ~ .
l _ { j } ^ { ' } = \left\{ \begin{array} { l l } { { l _ { j } + 1 , } } & { { \quad \mathrm { f o r } \ x = f , } } \\ { { l _ { j } - 1 , } } & { { \quad \mathrm { f o r } \ x = e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } r \Big [ 2 \pi + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \pi r _ { 2 } } \Big ( r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 1 } ^ { 3 } + r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) + r _ { 2 } ^ { 3 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { \pi \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ) + \pi \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] \sin ( \omega _ { 0 } t ) } \\ & { \quad - \pi \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } r \frac { n I _ { 0 } } { 8 l } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 1 } , t ) } & { \approx \mu _ { 0 } ^ { 2 } \frac { n I _ { 0 } } { 4 \pi l } r \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \Big [ r _ { 1 } ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) + r _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ] \cos ( \omega _ { 0 } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \gamma , \eta , m } ^ { \alpha , \beta } ( z , w ) } & { = d _ { m } ^ { \kappa , \rho } \frac { [ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - | w | ^ { 2 } ) ] ^ { \gamma + m } } { | z w | ^ { 2 \eta } } R _ { m } ^ { \kappa , \rho } \left( { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { a , b } \\ { c } \end{array} \bigg | z \overline { { w } } \right) \right) . } \end{array}
K _ { \nu } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - t - \frac { z ^ { 2 } } { 4 t } } } { t ^ { \nu + 1 } } d t
f l i p ( G ) = \left[ \begin{array} { c } { e _ { \frac { s + 1 } { 2 } } + e _ { k } } \\ { e _ { s } + e _ { k - 1 } } \\ { e _ { s - 1 } + e _ { k - 2 } } \\ { \vdots } \\ { e _ { s - \frac { k - 3 } { 2 } } + e _ { \frac { k + 1 } { 2 } } } \\ { e _ { \frac { k + 1 } { 2 } - 1 } } \\ { e _ { \frac { k + 1 } { 2 } - 2 } } \\ { \vdots } \\ { e _ { 2 } } \\ { e _ { 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { { \mathcal C } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \pi \hbar } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { { \mathcal J } ( \omega ) } { \omega ^ { 2 } } \Big \{ \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \left( 1 - \cos ( \omega t ) \right) } \end{array}
q ( \boldsymbol x _ { \le j } ) : = \sum _ { \alpha _ { j } } \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { j } } ( \boldsymbol x _ { \le j } ) \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { j } } ( \boldsymbol x _ { \le j } ) ^ { * } ,
d _ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } = N _ { 2 } ^ { c } { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { 2 r ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( Y _ { 2 } ^ { - 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } \right)
\sigma _ { R } = - \varepsilon _ { 0 } \left[ \left. \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } \right| _ { R + 0 } - \left. \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } \right| _ { R - 0 } \right] ,
\frac { 1 } { \sqrt { 2 } \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \exp ^ { - s M _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { s } d s _ { 1 } M ( s _ { 1 } ) _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } d s _ { 2 } M ( s _ { 2 } ) _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } d s _ { 3 } M ( s _ { 3 } ) d s _ { 3 }
\overline { { I _ { \Delta , \lambda , j } ^ { ( s + m ) } } } - \overline { { I _ { \Delta , \lambda , j } ^ { ( m ) } } } = \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \left( M _ { j } \overline { { F _ { \lambda } \theta _ { s , \lambda } ^ { 2 } } } \right) , \quad T _ { \lambda } = 1 .
Z _ { \; \; \alpha _ { L - 1 } } ^ { \alpha _ { L - 2 } } Z _ { \; \; \alpha _ { L } } ^ { \alpha _ { L - 1 } } = C _ { \alpha _ { L } } ^ { \alpha _ { L - 2 } \beta _ { 0 } } \frac { \delta S _ { 0 } } { \delta \Phi ^ { \beta _ { 0 } } } , \; \alpha _ { L } = 1 , \cdots , M _ { L } ,
\begin{array} { r } { E = \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } = \frac 1 2 g _ { i j } \dot { \bf R } _ { i } \dot { \bf R } _ { j } = \frac 1 2 I _ { i j } \Omega _ { i } \Omega _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 4 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } = C _ { 1 1 } + C _ { 1 2 } + C _ { 1 3 } , } \end{array}