harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | ] } \\ & { \leq } & { ( 2 L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ( C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) ) + 6 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + 8 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 0 L ^ { 2 } } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { { \bf k } n } } & { = } & { \frac { \eta _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { l } - \mu \right) } { \left[ 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { l } - \mu } { \tau _ { e } } \right) \right] } , } \\ { P _ { { \bf k } n } } & { = } & { \frac { \overline { { \eta } } _ { \bf k } \left( \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu \right) } { 1 + \exp \left( \frac { \epsilon _ { { \bf k } n } ^ { h } - \mu } { \tau _ { e } } \right) } } \end{array}
\partial _ { x _ { 0 } ^ { i } x _ { 0 } ^ { i ^ { \prime } } } ^ { 2 } | _ { ( 0 , 0 , 0 ) } \phi _ { 1 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , t ) = \partial _ { x _ { 0 } ^ { i } x _ { 0 } ^ { i ^ { \prime } } } ^ { 2 } | _ { ( 0 , 0 , 0 ) } \phi + D _ { x _ { 1 } } \phi | _ { ( 0 , 0 , 0 ) } \partial _ { x _ { 0 } ^ { i } x _ { 0 } ^ { i ^ { \prime } } } ^ { 2 } | _ { ( 0 , 0 , 0 ) } R ( x _ { 0 } ) .
Q _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ V ~ D ~ D ~ } } = - \int _ { \mathrm { ~ V ~ o ~ r ~ o ~ n ~ o ~ i ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } \left[ \rho ( r ) - \rho ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ } } ( r ) \right] d r .
\theta ( t ) = - { \frac { t } { 2 } } \log \pi + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } \psi ^ { ( 2 k ) } \left( { \frac { 1 } { 4 } } \right) } { ( 2 k + 1 ) ! } } \left( { \frac { t } { 2 } } \right) ^ { 2 k + 1 }
\tilde { P } _ { 4 , 0 } ^ { x x } ( x ) { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } \ + \ [ x ^ { 2 } y ^ { 2 } P _ { 0 , 2 } ^ { x y } \ + \ x y \tilde { P } _ { 1 , 2 } ^ { x y } ( x , y ) \ + \, t i l d e { P } _ { 2 , 0 } ^ { x y } ( x , y ) ] { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } } \ + \ \tilde { P } _ { 4 , 0 } ^ { y y } ( y ) { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } } \ +
\frac { K } { 2 } \frac { \partial \ln M _ { p q } ^ { ( r ) } } { \partial s } - \frac { ( p + r ) \mu _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } } { { d _ { t } } } - \frac { ( q + r ) \mu _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } } { { d _ { r } } } = - \frac { \mu _ { p q } ^ { ( r ) } } { M _ { p q } ^ { ( r ) } } .
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { ~ e ~ N ~ } } ( \mathbf { r } , \mathbf { R } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \Bigg [ } & { { } \frac { a _ { 1 , \alpha } \, f _ { \alpha } ( R _ { i \alpha } ) } { 1 + a _ { 2 , \alpha } \, f _ { \alpha } ( R _ { i \alpha } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { N _ { s } } } & { { } = \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \; e ^ { - \frac { \beta E _ { 0 } G _ { N _ { s } } ^ { 2 } } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ell ( t _ { s } ) } & { { } \propto } & { \frac { 1 } { c ( v _ { 0 } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \Big ( k A _ { L } ( \omega _ { L } t _ { s } ) + \frac { A _ { L } ^ { 2 } ( \omega _ { L } t _ { s } ) } { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } ( r ) = b _ { 5 } r + \frac { b _ { 6 } } { r } + \nu g r K _ { 0 } ( r ) - \frac { \nu g } { 2 } r ^ { 2 } K _ { 1 } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { m , \alpha } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } \psi _ { m , \beta } \right) d r } \\ { = } & { \omega _ { m , \alpha } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } - \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } - r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime \prime } \right) \psi _ { m , \beta } d r } \\ { = } & { \omega _ { m , \beta } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \beta } - \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } - r \psi _ { m , \beta } ^ { \prime \prime } \right) \psi _ { m , \alpha } d r } \\ { = } & { \omega _ { m , \beta } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } \psi _ { m , \beta } \right) d r . } \end{array}
\Lambda _ { Z \bar { t } c } ^ { \mu } = i e \left[ \gamma ^ { \mu } ( F _ { 1 Z } + F _ { 2 Z } \gamma ^ { 5 } ) + p _ { t } ^ { \mu } ( F _ { 3 Z } + F _ { 4 Z } \gamma ^ { 5 } ) + p _ { c } ^ { \mu } ( F _ { 5 Z } + F _ { 6 Z } \gamma ^ { 5 } ) \right] ,
{ \cal F } ( \nu \, ; \, z ) = \frac { z ^ { \nu } } { \nu } \ _ { 2 } F _ { 1 } ( 1 , \nu ; 1 + \nu ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n + \nu } z ^ { n + \nu } ~ ,
2 { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u } \setminus \partial ^ { * } E ) + { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \partial ^ { * } E ) \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to + \infty } \left( 2 { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( J _ { u _ { n _ { k } } } \setminus \partial ^ { * } E _ { n _ { k } } ) + { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } ( \partial ^ { * } E _ { n _ { k } } ) \right) .
\theta _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \right) e ^ { - \sqrt { \frac { \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } { \delta \nu } } \left( x _ { \mathrm { { R } } } - \xi _ { \mathrm { { R } } } \right) } = \theta _ { 0 } + \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 0 } \right) e ^ { - a \frac { \left( z _ { R } - z \right) } { \epsilon \sqrt { \delta } } } ,
M _ { \mathrm { e f f _ { 1 } } } = \frac { 4 \pi } { \alpha ^ { 2 } } M _ { S } = \frac { 5 } { 1 } \frac { 4 \pi } { 5 \alpha ^ { 2 } } M _ { S } = \frac { 5 } { 1 } M _ { \mathrm { e q } } = 1 7 0 5 \, \mathrm { k g . }
\begin{array} { r } { ( \hat { \lambda } , \hat { \theta } ) = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ a ~ x ~ } _ { ( \lambda , \theta ) } \operatorname* { P r } ( m | \tau [ \omega _ { 0 } ] w _ { 0 } [ \lambda ] ) , \theta ) \, p _ { 0 } ( \theta ) \, , } \end{array}
g _ { i } ( n _ { i } ) = \frac { ( n _ { i } + d _ { i } - 1 ) ! } { n _ { i } ! ( d _ { i } - 1 ) ! } = \sum _ { { \bf n } _ { i } } 1 , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad { \bf n } _ { i } \cdot { \bf d } _ { i } = n _ { i } .
\begin{array} { r } { \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \eta ^ { 2 } } + \Omega _ { A } ^ { 2 } \left( 1 + 2 \epsilon _ { 0 } \cos \eta \right) \right] \hat { \Phi } _ { E } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { \sigma } \mathrm { t r } \left[ \left( \begin{array} { l l } { \psi _ { \sigma } { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } } & { i ( - 1 ) ^ { \sigma } \psi _ { \sigma } { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } } \\ { i ( - 1 ) ^ { \sigma } \psi _ { \sigma } { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } } & { - \psi _ { \sigma } { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { Q ^ { R R } } & { Q ^ { R A } } \\ { Q ^ { R A } } & { - Q ^ { R R } } \end{array} \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d x } g _ { 0 } ( x \pm x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } } & { { } = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { ( - i k ) \exp ( \mp i k x _ { \mathrm { i } } ) } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } F _ { A } ^ { H } + \rho _ { A } \varsigma _ { A } D _ { t } ^ { A } \theta _ { A } = - ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \pi _ { A } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } F _ { B } ^ { H } + \rho _ { B } \varsigma _ { B } D _ { t } ^ { B } \theta _ { B } = - ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \pi _ { B } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } F _ { S } ^ { H } + \rho _ { S } \varsigma _ { S } D _ { t } ^ { S } \theta _ { S } = - ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \pi _ { S } . } \end{array} \right.
X _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } \vartheta } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ r ~ o ~ b ~ a ~ b ~ i ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } 1 - \vartheta . } \end{array} \right.
y _ { k + 1 } = ( 1 - f ( y _ { k } ) ) / ( 1 + f ( y _ { k } ) ) ~ , ~ a _ { k + 1 } = a _ { k } ( 1 + y _ { k + 1 } ) ^ { 4 } - 2 ^ { 2 k + 3 } y _ { k + 1 } ( 1 + y _ { k + 1 } + y _ { k + 1 } ^ { 2 } )
{ \begin{array} { r l } { A ^ { - 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( A - 5 I _ { 2 } \right) ~ . } \\ { A ^ { - 2 } } & { = A ^ { - 1 } A ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( A ^ { 2 } - 1 0 A + 2 5 I _ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { 4 } } \left( ( 5 A + 2 I _ { 2 } ) - 1 0 A + 2 5 I _ { 2 } \right) = { \frac { 1 } { 4 } } \left( - 5 A + 2 7 I _ { 2 } \right) ~ . } \end{array} }
{ \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \sum _ { j } \left( x _ { j } - x _ { j + 1 } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \sum _ { k } Q _ { k } Q _ { - k } ( 2 - e ^ { i k a } - e ^ { - i k a } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k } m { \omega _ { k } } ^ { 2 } Q _ { k } Q _ { - k }
\Sigma _ { E } ( p ) = - g ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \Lambda ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } { \left( m ^ { 2 } + ( p - k ) ^ { 2 } \right) \left( \mu ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right) \left( \Lambda ^ { 2 } + k ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { p } } & { { } = - \frac { \beta \lambda } { k \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } } \sin ( k \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin ( k \phi ) - \lambda u _ { p } + \sigma \dot { W } , } \\ { \dot { \phi } } & { { } = r u _ { p } + \frac { 2 \gamma } { k ^ { 2 } \pi } \sin ( k \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin ( k \phi ) - \frac { \gamma } { 2 k ^ { 2 } \pi } \sin ( 2 k \pi \mathrm { ~ \textit ~ { ~ C ~ r ~ } ~ } ) \sin ( 2 k \phi ) . } \end{array}
\mathrm { t r } ^ { \prime } e ^ { - ( \Delta + m ^ { 2 } ) t } = \sum _ { \gamma \neq { \bf 1 } } \int _ { H / \Gamma _ { b } } { \frac { d x d y } { y ^ { 2 } } } { \hat { G } } ( z , \gamma [ z ] ; t ) + A ( H / \Gamma ) \cdot { \hat { G } } ( z , z ; t ) .
\alpha ^ { 2 } \gamma _ { x } ^ { 2 } ( 1 + \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } ) = \alpha \gamma _ { x } ( \alpha \gamma _ { x } + \frac { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 7 } ) \leq \alpha \gamma _ { x } ( \frac { ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 6 0 } + \frac { 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } } { 7 } ) \leq \frac { \alpha \gamma _ { x } ( 1 - \widehat \rho _ { x } ^ { 2 } ) } { 6 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } = \hbar \mathrm { e } ^ { i ( m + 1 ) \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { - m } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } } \\ & { } & { \cdot \left( z \left( - \frac { m } { r } + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - z \frac { m } { r } - i k r \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) , } \end{array}
\omega _ { 1 } = - i \pi , \quad \omega _ { 3 } \in { \bf R } _ { + } , \quad \tau \equiv { \frac { \omega _ { 3 } } { \omega _ { 1 } } } = i \omega _ { 3 } / \pi , \quad q = e ^ { i \tau \pi } = e ^ { - \omega _ { 3 } }
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 2 0 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 2 0 / \gamma \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \mathrm { ~ m } \leq x < 1 / 2 \mathrm { ~ m } } \\ { ( 1 . 2 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 . 2 / \gamma \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 / 2 \mathrm { ~ m } \leq x \leq 1 \mathrm { ~ m } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \nabla ^ { 2 } \phi _ { c } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { \epsilon } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) } & & { \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } \cup \Omega _ { 2 } , } \\ { \phi _ { c } ( \mathbf { x } ) } & { = 0 } & & { \mathrm { ~ a s ~ } | \mathbf { x } | \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { f } ^ { p } ( \lambda ) : = \frac { \partial f } { \partial \lambda _ { p } } ( \lambda ) = \dot { \mathcal { F } } ^ { p p } ( A ) \ , \quad \ddot { f } ^ { p q } ( \lambda ) : = \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \lambda _ { p } \partial \lambda _ { q } } = \ddot { \mathcal { F } } ^ { p p , q q } ( A ) . } \end{array}
\frac { \kappa _ { 2 } } { 4 N } | d _ { i j } ( t ) - R _ { i j } ^ { \infty } | ^ { 2 } \le \frac { \kappa _ { 2 } } { 8 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } | d _ { i j } ( t ) - R _ { i j } ^ { \infty } | ^ { 2 } = \mathcal { E } _ { { \mathcal M } } ^ { c } ( t ) - \mathcal { E } _ { { \mathcal M } , k } ^ { c } ( t ) \le \mathcal { E } _ { { \mathcal M } } ^ { c } ( 0 ) - N .
\hat { B } = 2 \left( \begin{array} { l l l } { x _ { D } - x _ { E } } & { y _ { D } - y _ { E } } & { z _ { D } - z _ { E } } \\ { x _ { D } - x _ { F } } & { y _ { D } - y _ { F } } & { z _ { D } - z _ { F } } \\ { x _ { D } - x _ { G } } & { y _ { D } - y _ { G } } & { z _ { D } - z _ { G } } \end{array} \right) = 2 \epsilon \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { \; \; 0 } \\ { 1 } & { \; \; 1 } & { \; \; 0 } \\ { 1 } & { \; \; 0 } & { - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { 1 , 1 } ^ { c } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { R _ { 1 } } - \frac { 2 } { p _ { 1 } } - \frac { 2 } { l _ { 0 } } , \frac { 1 } { 9 } \right) , } & { } & & { \beta _ { 1 } ^ { c } = \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { p _ { 1 } } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { R _ { 1 } } \right) - \frac { 3 } { R _ { 1 } } - \frac { 2 } { l _ { 0 } } , \alpha _ { 1 , 1 } ^ { c } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \footnotesize \mathscr { C } ^ { ( d _ { 1 } , d _ { 2 } ) } ( \tau ) = \sum _ { t = 1 } ^ { T - \tau } \frac { \left[ A ^ { ( d _ { 1 } ) } ( t ) - \mu ^ { ( d _ { 1 } ) } \right] \cdot \left[ A ^ { ( d _ { 2 } ) } ( t + \tau ) - \mu ^ { ( d _ { 2 } ) } \right] ^ { \intercal } } { ( T - \tau ) ( d _ { 1 } - 1 ) ! ( d _ { 2 } - 1 ) ! } , } \end{array}
\eta \equiv \frac { \epsilon - \delta } { 1 + 2 \delta } = \eta _ { 0 } + \eta _ { 1 } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \eta _ { 2 } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } } & { = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { i } } \left[ \mathbf { F } _ { 1 , i + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 1 , i - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } } & { = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } - \frac { \Delta t } { \Delta y _ { j } } \left[ \mathbf { F } _ { 2 , j + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 2 , j - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 2 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 1 ) } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } } & { = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } - \frac { \Delta t } { \Delta z _ { k } } \left[ \mathbf { F } _ { 3 , k + 1 / 2 } - \mathbf { F } _ { 3 , k - 1 / 2 } \right] + \Delta t \mathbf { S } _ { 3 } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 2 ) } ) } \\ { \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } + \Delta t \mathbf { S } _ { \mathrm { s p l i t } } ( \mathbf { U } _ { i j k } ^ { n , ( 3 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \| , \mathrm { o h m } } ^ { ( i ) } ( \tau \gg L / ( 2 C _ { A } ) ) } & { = - 2 \int _ { \partial s _ { i } } \sigma _ { \| } \frac { E _ { y } ( y _ { B } - y ) } { L } d y d R } \\ & { = - 2 P _ { i } \int _ { 0 } ^ { \Delta y } \int _ { 0 } ^ { \Delta R } \Theta ( \partial s _ { > } ; y , R ) \sigma _ { \| } \frac { E _ { y } ( y _ { B } - y ) } { 2 \pi R _ { \mathrm { m } } i } d y d R } \\ & { = P _ { i } \sigma _ { \| } \frac { E _ { y } \Delta y ^ { 2 } \Delta R } { 2 \pi R _ { \mathrm { m } } i } , } \end{array}
\mathcal { M } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { - i \mathbb { 1 } _ { r } } & { \mathbb { 1 } _ { r } } \\ { \mathbb { 1 } _ { r } } & { - i \mathbb { 1 } _ { r } } \end{array} \right) M \left( \begin{array} { c c } { i \mathbb { 1 } _ { r } } & { \mathbb { 1 } _ { r } } \\ { \mathbb { 1 } _ { r } } & { i \mathbb { 1 } _ { r } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathrm { C o t o r } _ { H ^ { * } ( G ) } ^ { i , * } ( { \mathbb Z } / p , H ^ { * } ( { \mathcal P } _ { \tau } ( S ^ { 2 m } ) ) ) \cong \left\{ \begin{array} { l l } { \wedge ( x \otimes u ) \otimes \Gamma [ w ] } & { \mathrm { f o r ~ i ~ = ~ 0 ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r ~ i ~ \neq ~ 0 ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textit { j } ( \omega ) \sim } & { \int _ { \textrm { B Z } } d \textrm { K } _ { 0 x } \int _ { \textrm { B Z } } d \textrm { K } _ { 0 y } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } g ( \textrm { K } _ { 0 x } , \textrm { K } _ { 0 y } , t , t ^ { \prime } ) } \\ & { \times e ^ { - i S ( \textrm { K } _ { 0 x } , \textrm { K } _ { 0 y } , t , t ^ { \prime } , \omega ) } + c . c . , } \end{array}
\frac { \Gamma ( \nu - s + 1 ) } { \Gamma ( \nu + s ) } = \nu ^ { 1 - 2 s } ( 1 + s \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { B _ { 2 j } } { j } \nu ^ { - 2 j } + O ( s ^ { 2 } ) )
\begin{array} { r l } { I _ { n } ^ { c } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { m } \int \frac { W _ { n m } ^ { c } ( i \omega ^ { \prime } ) d \omega ^ { \prime } } { \omega + i \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { m } - i \eta \, \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( \epsilon _ { F } - \epsilon _ { m } ) } } \\ { R _ { n } ^ { c } ( \omega ) } & { { } = \sum _ { m } f _ { m } W _ { n m } ^ { c } ( | \epsilon _ { m } - \omega | + i \eta ) } \end{array}
\mathrm { ~ Q ~ E ~ } < \frac { \frac { \tau _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ - ~ t ~ h ~ } } } - 1 } { F _ { \mathrm { ~ P ~ } } F _ { \mathrm { ~ D ~ W ~ } } } .
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le \frac { 1 } { \phi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } f ( \theta ) \left( h ( \theta + \phi ) + h ( \theta - \phi ) - 2 h ( \theta ) \cos ( \phi ) \right) d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { \phi ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } h ( \theta ) \left( f ( \theta + \phi ) + f ( \theta - \phi ) - 2 f ( \theta ) \cos ( \phi ) \right) d \theta } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } h ( \theta ) \left[ \frac { f ( \theta + \phi ) + f ( \theta - \phi ) - 2 f ( \theta ) } { \phi ^ { 2 } } \right] + h ( \theta ) f ( \theta ) \left[ 2 \frac { ( 1 - \cos ( \phi ) ) } { \phi ^ { 2 } } \right] d \theta . } \end{array}
r _ { 0 } \surd \sigma = 1 . 1 9 2 ( 1 0 ) - ( 0 . 3 2 \pm 0 . 0 8 ) \biggl ( { \frac { a _ { s } } { r _ { 0 } } } \biggr ) ^ { 2 } + ( 0 . 6 6 \pm 0 . 1 1 ) \biggl ( { \frac { a _ { s } } { r _ { 0 } } } \biggr ) ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } { \hat { V } _ { i } t _ { i } } & { = } & { \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } K n \frac { 2 - \chi } { \chi } \eta _ { \mathrm { V S } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { v } _ { j } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } - \eta ^ { 1 } \frac { K n ^ { 2 } } { \operatorname* { P r } } \frac { \partial } { \partial \hat { x } _ { k } } \left( \frac { \partial \hat { v } _ { i } } { \partial \hat { x } _ { k } } + \frac { \partial \hat { v } _ { k } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) t _ { i } } \\ & { } & { + \frac { \eta ^ { 1 } c _ { p } } { \operatorname* { P r } } K n \frac { \partial \hat { \theta } } { \partial \hat { x } _ { i } } t _ { i } + \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } K n \frac { 2 - \chi } { \chi } \eta _ { \mathrm { V S } } \frac { 2 } { 5 + \delta } \left( \frac { \partial \hat { q } _ { i } ^ { \mathrm { N S F } } } { \partial \hat { x } _ { j } } + \frac { \partial \hat { q } _ { j } ^ { \mathrm { N S F } } } { \partial \hat { x } _ { i } } \right) n _ { i } t _ { j } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { m } _ { ( ( b _ { 1 } { p _ { \mathrm { s } } } + b _ { 2 } ) { p _ { \mathrm { s } } } + b _ { 3 } ) { p _ { \mathrm { t } } } + n + 1 } ( S , J ) : = M _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } , n } ( S , J ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } ( K O ) } & { { } = \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 1 } ( K O ) } & { { } = \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 2 } ( K O ) } & { { } = \mathbf { Z } / 2 \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 3 } ( K O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 4 } ( K O ) } & { { } = \mathbf { Z } } \\ { \pi _ { 5 } ( K O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 6 } ( K O ) } & { { } = 0 } \\ { \pi _ { 7 } ( K O ) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { A } \phi _ { \alpha } ^ { * } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \phi _ { \alpha } ( x _ { 1 } ) , } \end{array}
\hat { \psi } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \epsilon ^ { n } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \log { ( n ) } + \frac { \gamma - \log { ( 2 ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \log { ( 1 + Y ) } \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n } { 2 } - 1 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \frac { \epsilon ^ { n } } { 2 } \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array} \right.
{ \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { 4 \sin ^ { 2 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } =
I _ { 3 1 } ^ { \mu } = \frac { 1 } { \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { k _ { 1 } k _ { 2 } } } \bigg \{ \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { s \alpha } \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { \mu \alpha } I _ { 3 0 } - \frac { 1 } { 2 } \bigg [ \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { \mu k _ { 2 } } I _ { 2 0 } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { \mu ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } I _ { 2 0 } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { \mu k _ { 1 } } I _ { 2 0 } ^ { ( 3 ) } \bigg ] \bigg \} .