harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { H N C } } ( \boldsymbol { k } ) } & { { } = - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } } { k ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } ) - 1 \right] } \\ { G _ { \mathrm { I E T } } ( \boldsymbol { k } ) } & { { } = \frac { { B } ( \boldsymbol { k } ) } { \beta { U } ( \boldsymbol { k } ) } - \frac { 1 } { n } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { q } } { k ^ { 2 } } \frac { k ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \left[ S ( | \boldsymbol { k } - \boldsymbol { q } | ) - 1 \right] } \end{array}
\tilde { Y } _ { w _ { j } } \stackrel { \sigma _ { j } } { \rightarrow } \tilde { Y } _ { w _ { j - 1 } } \stackrel { \sigma _ { j - 1 } } { \rightarrow } \cdots \stackrel { \sigma _ { 2 } } { \rightarrow } \tilde { Y } _ { w _ { 1 } } \stackrel { \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } } { \rightarrow } Y _ { i _ { 1 } } \rightarrow F .
\begin{array} { r } { \Xi _ { 0 } ^ { ( a ) } = - \arctan [ \xi ] + \frac { \pi } { 2 } \ , \ } \\ { \Xi _ { 1 } ^ { ( a ) } = \xi \arctan [ \xi ] - \frac { \pi \xi } { 2 } - 1 \ , \ } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi ^ { ( S ) } = \phi ( z ) \, d z ^ { 2 } = { \frac { - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } { ( z - \xi _ { 1 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { - \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } { ( z - \xi _ { 2 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { - \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } { ( z - \xi _ { 3 } ) ^ { 2 } } } + { \frac { c _ { 1 } } { z - \xi _ { 1 } } } + { \frac { c _ { 2 } } { z - \xi _ { 2 } } } + { \frac { c _ { 3 } } { z - \xi _ { 3 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } = } & { \: 4 b _ { + , m \ell } ( - 4 \alpha + 2 i m ( 4 \sqrt { \alpha } + 4 ) - 8 \sqrt { \alpha } - 3 + 4 m ^ { 2 } ) \left( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 \right) ^ { - \frac { 5 } { 2 } - \sqrt { \alpha } + i m } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m - \sqrt { \alpha } } } \\ { + } & { \: 2 b _ { + , m \ell } ( 2 \sqrt { \alpha } + 1 ) ( 2 \sqrt { \alpha } + 1 - 2 i m ) \left( 4 \tau + 1 ) ( r - 1 ) \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } - \sqrt { \alpha } + i m } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } - i m - \sqrt { \alpha } } } \\ { + } & { \: O ( 1 ) \left( ( \tau + 1 ) ( r - 1 ) + 4 \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
W _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ - ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } = \sum _ { i = 1 } ^ { C _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { i } } \frac { \lvert \mathbf { u } _ { j } \rvert } { \lvert \mathbf { u } _ { i } \rvert } f ( W _ { i } ; \theta _ { i } , \theta _ { j } ) ,
m _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { m } { \lambda M _ { 0 } } \left[ \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } + { \cal F } _ { \mathrm { E P I } } ( k ^ { 2 } \rightarrow 0 , M _ { 0 } ^ { 2 } ) \right] ^ { - 1 } + O ( m ^ { 2 } ) ,
\delta _ { H } ^ { 2 } \simeq \frac { 5 1 2 \pi } { 7 5 } \, \frac { A } { q ^ { 3 } { M _ { P } } ^ { 6 } } \, \frac { \phi ^ { 2 + q } } { \phi _ { 0 } ^ { q } } \left[ 1 + \xi ( 3 q - \frac { 3 \kappa ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } { q } ) \right] ^ { 2 }
\left\{ \begin{array} { l l } { d _ { s } t = t + \alpha , } & { t ( 0 ) = a _ { 0 } , } \\ { d _ { s } z = z ( 1 - z ) , } & { z ( 0 ) = z _ { 0 } , } \\ { d _ { s } g = \alpha ( z - 1 ) g , } & { g ( 0 ) = z _ { 0 } ^ { a _ { 0 } } . } \end{array} \right.
\mathcal { C } = \left\lbrace \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right\rbrace
\mathrm { d } a = \mathrm { d } t H _ { 0 } { \sqrt { ( \Omega _ { 0 , R } a ^ { - 2 } + \Omega _ { 0 , M } a ^ { - 1 } + \Omega _ { 0 , k } + \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } ) } }
V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = - [ Z _ { c } + a _ { 1 } \mathrm { { e x p } ( - a _ { 2 } \ e m p h { r } ) + \ e m p h { a } _ { 3 } \ e m p h { r } \mathrm { { e x p } ( - a _ { 4 } \ e m p h { r } ) + \ e m p h { a } _ { 5 } \mathrm { { e x p } ( - a _ { 6 } \ e m p h { r } ) ] / \ e m p h { r } } } }
\begin{array} { r l } { y _ { * } \frac { d U } { d y _ { * } } \frac { \kappa _ { s } } { u _ { \tau } ^ { \star } } = \kappa _ { s } \beta ( y _ { * } , u _ { \tau } ^ { \star } ) } & { { } \approx 1 , } \\ { y _ { * } \frac { d U } { d y _ { * } } \frac { \kappa _ { c } } { u _ { \tau } ^ { * } } = \kappa _ { c } \beta ( y _ { * } , u _ { \tau } ^ { * } ) } & { { } \approx 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { \leq C a _ { 0 } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C \delta ^ { - 1 } } \\ & { \leq C _ { \frac { 1 } { 2 } } \underline { { \alpha } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + C _ { \frac { 5 } { 1 2 } } \underline { { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 1 2 } } { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 5 } { 1 2 } } } \end{array}
\varepsilon ^ { ( d ) \, 2 } \simeq \frac { 2 9 m _ { d } } { \mu ^ { ( d ) } } + \frac { 3 6 } { 3 2 0 } \left( \frac { \alpha ^ { ( d ) } } { \mu ^ { ( d ) } } \right) ^ { 2 } \simeq 0 . 9 3 2 + 1 . 4 1 = 2 . 3 4
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \left( \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } } } ) \overline { { u _ { n , i } } } \right) u _ { n , i } - h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \left( \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } } } ) \overline { { u _ { n , i } } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i , j } ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } ) u _ { n , j } \right) , } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \left( \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } } } ) \overline { { u _ { n , i } } } \right) u _ { n , i } - h \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } \left( \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } } } ) \overline { { u _ { n , j } } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { s } a _ { j , i } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \right) , } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \left( \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } } } ) \overline { { u _ { n , i } } } \right) u _ { n , i } - h \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { j } a _ { j , i } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } } } ) \overline { { u _ { n , j } } } \right) . } \end{array}
S = \int d ^ { 2 } \xi V ^ { \mu } V ^ { \nu } \left( \partial _ { \mu } x ^ { m } - i \partial _ { \mu } \bar { \theta } \gamma ^ { m } \theta \right) \left( \partial _ { \nu } x ^ { m } - i \partial _ { \nu } \bar { \theta } \gamma ^ { m } \theta \right) .
\left( \mathcal { D } _ { u ^ { \prime } } , \mathcal { D } _ { v ^ { \prime } } \right) = - \left( \beta \, u ^ { \prime } + \mathcal { F } \, \frac { u ^ { \prime } } { \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } , \beta \, v ^ { \prime } + \mathcal { F } \, \frac { v ^ { \prime } } { \sqrt { u ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( p , q ) \leq } & { Z _ { q } ^ { - 1 } \exp \{ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ 1 - \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 } \right] \} \leq \gamma _ { m } \exp \left\{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 } \right\} , } \\ { F _ { y } ( p , q ) \leq } & { Z _ { p } ^ { - 1 } \exp \{ ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ 1 - \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \right] \} \leq \gamma _ { n } \exp \left\{ - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } \| y \| ^ { 2 } \right\} , } \end{array}
\lVert ( I _ { b } \otimes \bar { Q } _ { B } ( A _ { h } ) ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k } \bar { \Gamma } _ { i } \otimes A _ { h } ^ { i } \right) ^ { - 1 } \mathrm { v e c } ( \mathbf { v } ) \rVert _ { 2 } \le \kappa ( Z _ { h } ) \lVert \vec { v } \rVert _ { F } \lVert ( I _ { b } \otimes \bar { Q } _ { B } ( D _ { h } ) ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k } \bar { \Gamma } _ { i } \otimes D _ { h } ^ { i } \right) ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } ,
\mu _ { c } = a ^ { 2 } ( p - 1 ) + \log { \left( \frac { n _ { c } } { n _ { c } + n _ { v } } \right) } + \mu _ { c } ^ { * } , \quad \mu _ { v } = a ^ { 2 } ( p - 1 ) + \log { \left( \frac { n _ { v } } { n _ { c } + n _ { v } } \right) } + \mu _ { v } ^ { * } , \quad \mu _ { a } = a ^ { 2 } ( p - 1 ) + \mu _ { a } ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { Q _ { 1 } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } c _ { i } e ^ { \eta _ { i } t } \, , } \\ { Q _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } + \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { \lambda \eta _ { i } } c _ { i } e ^ { \eta _ { i } t } \, , } \end{array}
[ L _ { i , a } ^ { \circ , q } ] [ L _ { i , a } ^ { + , q } ] = [ \overline { { \omega _ { i } } } ] \prod _ { \{ j \in I | C _ { j , i } \neq 0 \} } [ L _ { j , a q _ { j } ^ { - C _ { j , i } } } ^ { + , q } ] + [ \, \overline { { \omega _ { i } - \alpha _ { i } } } \, ] \prod _ { \{ j \in I | C _ { j , i } \neq 0 \} } [ L _ { j , a q _ { j } ^ { C _ { j , i } } } ^ { + , q } ]
\begin{array} { r l } { \psi _ { m } ( z , \bar { z } ) } & { \sim \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \ell ^ { 2 } } } \, \frac { 1 } { ( 2 \pi m ) ^ { 1 / 4 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m f ( \alpha ) + \mathrm { i } \Phi ( \alpha ) } } \\ & { \quad \times \frac { 1 } { \sqrt { \sigma ( \alpha ) } } \exp \left[ - \frac { f ^ { \prime } ( \alpha ) \, a ^ { 2 } } { 1 - \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } ( \alpha ) } { 2 f ^ { \prime } ( \alpha ) } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \vec { x } , \vec { \Omega } , t ) = } & { { } c _ { 1 } ( t ) B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) + c _ { 2 } ( t ) \vec { \Omega } \cdot \nabla B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) + c _ { 3 } ( t ) \partial _ { t } B _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { \Omega } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { 0 0 } } & { \! = \! } & { Z ^ { 2 } \left( x , y , z \right) \equiv c o n s t a n t , ~ ~ g _ { i i } = - a ^ { 2 } \left( t \right) \, R ^ { 2 } \left( x , y , z \right) , ~ ~ ~ } \\ { g ^ { 0 0 } } & { \! = \! } & { \frac { 1 } { Z ^ { 2 } \left( x , y , z \right) } \equiv c o n s t a n t , ~ ~ g ^ { i i } = - \frac { 1 } { a ^ { 2 } \left( t \right) R ^ { 2 } \left( x , y , z \right) } . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) \approx \sum _ { p , s } \sum _ { \theta } \sum _ { \phi } A _ { p , s } ( \mathbf { k } ) \, \mathbf { E } _ { p , s } ^ { \mathrm { ~ P ~ W ~ S ~ } } ( \mathbf { r } ) \, e ^ { - i \, \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { 0 } } \, \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \theta ) \, \Delta \theta \, \Delta \phi .
\begin{array} { r l } { 0 \geq } & { \frac { n - 1 } { 2 \eta n } \Delta _ { I , g } f - \frac { ( \varphi ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \varphi ^ { \prime \prime } } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( \sum _ { k \neq i } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 k 2 k + 1 } } ) ( | u _ { 2 i } | ^ { 2 } + | u _ { 2 i + 1 } | ^ { 2 } ) } \\ & { - ( n - 1 ) \varphi ^ { \prime } + \left( \frac { \epsilon ( n - 1 ) \varphi ^ { \prime } } { n } - \frac { C _ { 1 } } { \eta } \right) \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \log \left( \frac { 1 } { 2 T } \sum _ { \tau = - T ; \tau \neq 0 } ^ { T } \frac { P ( x ^ { ( t ) } = i , x ^ { ( t + \tau ) } = j ) } { P ( x ^ { ( t ) } = i ) P ( x ^ { ( t ) } = j ) } \right) - \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { r a n d } } \right| + \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { d a t a } } \right| . } \end{array}
\Pi _ { D } ^ { \mathrm { N G } } ( b ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 3 } } \int d ^ { 4 } \bar { p } \; \delta ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \frac { - b \cdot p } { ( b - p + i \epsilon ^ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \left[ 1 - 2 \beta _ { p } ^ { 2 } \theta ( p _ { 0 } ) - 2 \delta _ { p } ^ { 2 } \theta ( - p _ { 0 } ) \right]
\frac { \partial \mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } = \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \frac { \partial \left( \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \right) _ { \pm } ^ { * } } { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } + \cdots = \mp \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \, \alpha _ { 1 } ^ { 2 3 } \, \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \kappa \left( \frac { \pi \, \tilde { \Gamma } _ { 2 } } { A _ { 2 } \, L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \, \frac { \partial B _ { 1 } } { \partial \tilde { \psi } _ { 1 } } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } \right) + \cdots ,
I m M _ { 1 2 } ^ { H ^ { 0 } } = \frac { G ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } } f _ { K } ^ { 2 } \tilde { B } _ { K } m _ { K } ( \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } ) ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } \sum _ { k } ( \frac { 2 \sqrt { 3 } \pi v m _ { K } } { m _ { H _ { k } ^ { 0 } } m _ { c } } \frac { \zeta _ { D } } { s _ { \beta } } ) ^ { 2 } I m ( Y _ { k , 1 2 } ^ { d } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb { \pmb \xi } } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) } & { { } = } & { } \\ { - 2 \mu \int _ { \partial D _ { b } } \big ( e _ { a b } \{ { \pmb v } ( { \pmb x } ) \} v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - e _ { a b } \{ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) \} v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \big ) n _ { b } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } & { { } \neq } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F } & { { } = C _ { F , U } U } & { = \frac { 3 } { 3 G _ { S } ^ { ( 0 , 0 ) } + R ^ { 2 } \left[ \pi ^ { 2 } B ( \rho ) + 3 G _ { S } ^ { ( 2 , 0 ) } \right] } U + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { D } & { { } = C _ { D , F } F } & { = 4 \pi ^ { 2 } \left( 1 + R ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , - 2 ) } \right) F + \mathcal { O } \left( R ^ { 4 } , \frac { R ^ { 4 } } { h ^ { 4 } } \right) , } \\ { Q } & { { } = C _ { Q , F } F } & { = 4 \pi ^ { 2 } G _ { S } ^ { ( 2 , 2 ) } F + \mathcal { O } ( R ^ { 2 } ) , } \\ { O } & { { } = C _ { O , Q } Q } & { = - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 } Q + \mathcal { O } ( R ^ { 2 } ) } \end{array}
S = S _ { 0 } + \int \, d t \, [ y _ { \mu } ^ { * } \{ y ^ { \mu } , \tilde { \chi } _ { \alpha } \} c ^ { \alpha } + \psi _ { \beta } ^ { * } \{ \psi ^ { \beta } , \tilde { \chi } _ { \alpha } \} c ^ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } ^ { * } \dot { c } ^ { \alpha } ]
\begin{array} { r } { Q ( \widehat { L } ) : = \lambda \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } d \widehat { L } _ { 0 } \; P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L } _ { 0 } ) \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \end{array}
F _ { p } = \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \lambda } { n _ { \textrm { L N } } } \right) ^ { 3 } \cdot \frac { Q } { V _ { \textrm { m o d e } } } \cdot \Bigl | \frac { E ( \textbf { r } ) } { E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \Bigr | ^ { 2 } \cdot \frac { \beta } { \chi _ { L } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k ) } ] } & { = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } [ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k ) } | \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } ] ] = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } \left[ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] + \gamma ( \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ] ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } \left[ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } \left[ F ^ { ( k - 1 ) } \frac { \pi ^ { ( k - 1 ) } } { \pi ^ { ( k ) } } \right] \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } \left[ \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] - \gamma ( \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } [ F ^ { ( k - 1 ) } ] ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] - \gamma ( \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } ] - \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k - 1 ) } } [ F ^ { ( k - 1 ) } ] ) = \mathbb { E } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] } \end{array}
C _ { \Omega } = 2 ^ { 1 0 / 3 } 3 ^ { - 1 } \pi ^ { 1 3 / 6 } \kappa ^ { - 5 / 3 } N ^ { 1 / 2 } m ^ { 1 / 2 } r _ { + } \frac { 1 5 r _ { + } ^ { 4 } + 3 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } - 2 l ^ { 4 } } { 3 r _ { + } ^ { 4 } + 4 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 4 } } \frac { 3 r _ { + } ^ { 2 } + l ^ { 2 } } { 3 r _ { + } ^ { 2 } - l ^ { 2 } } .
\int \prod _ { x \in \Sigma _ { g } } \! \! d c ^ { \alpha } ( x ) \, \, c ( x _ { i } ) \left( 1 + S _ { \mathrm { q } } ( c ) \right) = \int \prod _ { x \in \Sigma _ { g } \setminus x _ { i } } \! \! d c ^ { \alpha } ( x ) \, e ^ { - S _ { \mathrm { q } } } ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! < \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \sigma _ { P P } \in \{ { ( \sigma _ { h } ) } _ { i _ { \alpha } i _ { \beta } } ^ { a _ { \alpha } u _ { \beta } } , { ( \sigma _ { h } ) } _ { i _ { \beta } i _ { \alpha } } ^ { a _ { \beta } u _ { \alpha } } ; { ( \sigma _ { p } ) } _ { i _ { \alpha } v _ { \beta } } ^ { a _ { \alpha } a _ { \beta } } , { ( \sigma _ { p } ) } _ { i _ { \beta } v _ { \alpha } } ^ { a _ { \beta } a _ { \alpha } } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( q _ { 1 } e ^ { i \alpha } , q _ { 2 } e ^ { i \theta } ) d \alpha = H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 2 } { \mathbb { D } } } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } e ^ { i \alpha } ) d \alpha } \\ & { = \frac { 1 } { q _ { 2 } } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \frac { | \log q _ { 1 } | } { | \log q _ { 2 } | } = \frac { 1 } { q _ { 2 } } H _ { { \mathbb { D } } \setminus q _ { 1 } { \mathbb { D } } } ( 1 , q _ { 1 } e ^ { i \theta } ) \left( 1 + \frac { 1 } { q _ { 1 } \log q _ { 1 } } \varepsilon + O _ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { I } } ^ { ( T ) } = \dot { \i } _ { N _ { T } } ^ { ( T ) } \left( 1 + \frac { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } + \frac { N _ { T } I _ { e } ^ { 2 } \tau _ { e } } { I _ { T } ^ { 2 } \tau _ { T } \varrho } \right) ^ { - 1 } J ( \alpha ) . } \end{array}
\psi = \frac { m } { 4 \pi ^ { 2 } } \iint \frac { i l } { \sqrt { k ^ { 2 } + l ^ { 2 } } - \kappa } \exp \left[ i k x + i l y - z \sqrt { k ^ { 2 } + l ^ { 2 } } \right] \, \textrm { d } k \, \textrm { d } l .
\begin{array} { r l } { n _ { - } ( z ) = } & { { } \sqrt { \frac { \alpha c } { \omega } } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( 2 \alpha - 4 \alpha \sec ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { \alpha \omega } { c } } ( z + i \beta c ) \right) \right) \right) + i \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( 2 \alpha - 4 \alpha \sec ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { \alpha \omega } { c } } ( z + i \beta c ) \right) \right) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mu \nu } } & { { } = \pi N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } R _ { \nu } ^ { 2 } } \sum _ { k } ^ { l _ { \mu \nu } } L _ { \mu \nu } ^ { k } ( R _ { \nu } ) \frac { \Gamma ( \frac { k + 1 } { 2 } ) } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { ( k + 3 ) / 2 } } . } \end{array}
| \beta _ { + , a , 1 } | , | \beta _ { + , a , 2 } | > | \beta _ { - , a , 1 } | , | \beta _ { - , a , 2 } | > | \beta _ { + , b , 1 } | , | \beta _ { + , b , 2 } | > | \beta _ { - , b , 1 } | , | \beta _ { - , b , 2 } |
\mathbf { E } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { l m } \frac { 1 } { k _ { 0 } r } \left[ \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } + c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathbf { E } _ { l m , \mathrm { ~ T ~ M ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right] ,
\begin{array} { l } { { \delta _ { \epsilon _ { 1 } } \Big ( \displaystyle \frac 1 2 x ^ { n } ( \epsilon _ { 2 } \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } \Big ) - \delta _ { \epsilon _ { 2 } } \Big ( \frac 1 2 x ^ { n } ( \epsilon _ { 1 } \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } \Big ) = - \frac 1 2 i ( \epsilon _ { 1 } \Gamma ^ { n } \epsilon _ { 2 } ) ( \theta \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } , } } \\ { { \delta _ { \epsilon _ { 1 } } \Big ( - \displaystyle \frac 1 6 i ( \theta \Gamma ^ { n } \epsilon _ { 2 } ) ( \theta \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } \Big ) - \delta _ { \epsilon _ { 2 } } \Big ( - \frac 1 6 i ( \theta \Gamma ^ { n } \epsilon _ { 1 } ) ( \theta \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } \Big ) = - \frac 1 2 i ( \epsilon _ { 1 } \Gamma ^ { n } \epsilon _ { 2 } ) ( \theta \Gamma _ { n } ) _ { \alpha } , } } \end{array}
E [ \tilde { \tau } , \tilde { e } , \tilde { \eta } ] \equiv ( \vartheta _ { 1 } e + \vartheta _ { 2 } \tilde { e } + \vartheta _ { 3 } e \tilde { e } + \vartheta _ { 4 } \tilde { e } ^ { 2 } ) \tilde { \tau } - e ( 1 - \tilde { e } ) [ \mu _ { 1 } - \tilde { \mu } _ { 0 } - ( \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 4 } \tilde { e } ) ( \tilde { \mu } _ { 1 } - \tilde { \mu } _ { 0 } ) ] + ( 1 - e ) \tilde { e } [ \mu _ { 0 } - \tilde { \mu } _ { 0 } - ( \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 4 } \tilde { e } ) ( \tilde { \mu } _ { 1 } - \tilde { \mu } _ { 0 } ) ]
\begin{array} { r l } { R _ { y } } & { { } = R _ { c } e ^ { x _ { m } ^ { 2 } / w ^ { 2 } } \cos \phi + x _ { m } \sin \phi , } \\ { \sin \phi } & { { } = \frac { x _ { P _ { A } } } { \sqrt { x _ { P _ { A } } ^ { 2 } + z _ { P _ { A } } ^ { 2 } } } , } \end{array}
b _ { n } J _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) + c _ { n } J _ { - n + 1 - { \frac { D } { 2 } } } ^ { \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) - a _ { n } J _ { n - 1 + { \frac { D } { 2 } } } ^ { \prime } ( | \omega | r ^ { \prime } ) = { \frac { ( 2 n + D - 2 ) \Gamma \left( { \frac { D - 2 } { 2 } } \right) } { 4 ( \pi r ^ { \prime } ) ^ { \frac { D } { 2 } } | \omega | } }