harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { J _ { \parallel } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \int \frac { d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } d \omega _ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } E _ { \omega _ { 1 } } E _ { \omega _ { 2 } } E _ { \omega _ { 3 } } e ^ { - i \omega t } \sigma ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) . } \end{array}
x = 0 . 1 7 9 4 8 7 1 7 9 4 8 7 1 7 9 4 8 7 \ldots = 0 . { \overline { { 1 7 9 4 8 7 } } } { \mathrm { ~ h a s ~ } } 4 x = 0 . { \overline { { 7 1 7 9 4 8 } } } = { \frac { 7 . { \overline { { 1 7 9 4 8 7 } } } } { 1 0 } } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } - \lambda _ { k + m } } & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \alpha } { k } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k + m } b _ { i } - \alpha } { k + m } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \alpha } { k } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \alpha } { k + m } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { k + i } } { k + m } } \\ & { = \frac { m ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \alpha } { k ( k + m ) ) } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { k + i } } { k + m } } \\ & { = \frac { m } { k + m } ( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { i } - \alpha } { k } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { k + i } } { m } ) } \\ & { = \frac { m } { k + m } ( \lambda _ { k } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { k + i } } { m } ) } \end{array}
F ( \textbf { r } _ { \bot } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { \Delta o } e ^ { i k _ { \bot } \textbf { r } _ { \bot } } d \textbf { k } _ { \bot } \approx \frac { \sin \left( \pi x \frac { \sqrt { \Delta o } } { \lambda } \right) \sin \left( \pi y \frac { \sqrt { \Delta o } } { \lambda } \right) } { \pi ^ { 2 } x y } .
{ \bf F } ^ { ( 0 ) } = { \bf Q } ^ { T } { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } { \bf Q } = { \bf E } ~ ~ \mathrm { ~ U ~ n ~ p ~ e ~ r ~ t ~ u ~ r ~ b ~ e ~ d ~ F ~ o ~ c ~ k ~ i ~ a ~ n ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ d ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ r ~ e ~ p ~ r ~ e ~ s ~ e ~ n ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ }
\mathcal { D } = | \mathbf { m } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \mathbf { m } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } |
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left( { \frac { q ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ^ { 2 } } } + { \frac { q \mathbf { n } _ { s } \times { \big ( } ( \mathbf { n } _ { s } - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \times { \dot { { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } } { \big ) } } { c ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) ^ { 3 } | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t _ { r } }
\begin{array} { r l } { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 1 } } & { = - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j - 3 } + \frac { 2 1 } { 1 6 } Q _ { j - 2 } - \frac { 3 5 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 3 5 } { 1 6 } Q _ { j } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 2 } } & { = \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j - 2 } - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 1 5 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 3 } } & { = - \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j - 1 } + \frac { 9 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 9 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } + \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j + 2 } } \\ { Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 4 } } & { = \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j } + \frac { 1 5 } { 1 6 } Q _ { j + 1 } - \frac { 5 } { 1 6 } Q _ { j + 2 } + \frac { 1 } { 1 6 } Q _ { j + 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 3 } | } & { = | \{ ( \beta , \beta ^ { \prime } ) \in I ( \mathscr { C } ) : \beta \cap \beta ^ { \prime } \in Z ( P ) , \; \beta \mathrm { ~ o r ~ } \beta ^ { \prime } \in \beta ^ { \ast } [ \mathscr { C } \setminus \mathscr { C } _ { Z ( P ) } ] \} | } \\ & { = 2 \sum _ { \sigma \in \mathscr { C } \setminus \mathscr { C } _ { Z } } | \{ \beta ^ { \prime } \in \beta [ \mathscr { C } ] : \beta ^ { \prime } \neq \beta ^ { \ast } [ \sigma ] \mathrm { ~ a n d ~ } \beta ^ { \ast } [ \sigma ] \cap \beta ^ { \prime } \in Z ( P ) \} | , } \end{array}
P ^ { \mathrm { \scriptsize { p } } } \: P ^ { \mathrm { \scriptsize { s e a } } } \; = \; 0 \; = \; P ^ { \mathrm { \scriptsize { s e a } } } \: P ^ { \mathrm { \scriptsize { p } } } \; \; \; \; \; { \mathrm { a n d } } \; \; \; \; \; P ^ { \mathrm { \scriptsize { a } } } \: P ^ { \mathrm { \scriptsize { s e a } } } \; = \; P ^ { \mathrm { \scriptsize { a } } } \; = \; P ^ { \mathrm { \scriptsize { s e a } } } \: P ^ { \mathrm { \scriptsize { a } } } \; .
\begin{array} { r l } { \| r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \| ^ { 2 } } & { \le \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \| A \tilde { M } ^ { - 1 } \| ^ { 2 } \left( \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + \| r ^ { ( k ) } - r ^ { ( k - 1 ) } \| ^ { 2 } \right) } \left( { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ^ { 2 } + \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ^ { 2 } } \right) . } \\ & { \le \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \| A \tilde { M } ^ { - 1 } \| ^ { 2 } } \cdot \frac { \tilde { \xi } ^ { 2 } \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } { \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + \| r ^ { ( k ) } - r ^ { ( k - 1 ) } \| ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \iint _ { ( 0 , T ) \times ( - 1 , 1 ) } | \rho - \hat { \rho } | \phi _ { t } + q ( \rho , \hat { \rho } ) \phi _ { x } } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \Psi ( t , \xi ( t ) ) \left( \phi _ { 0 } + \phi _ { - 1 } + \phi _ { 1 } \right) ( t , \xi ( t ) ) \left[ q _ { R } ^ { 0 } ( \gamma _ { R } \rho , \gamma _ { R } \hat { \rho } ) - q _ { L } ^ { 0 } ( \gamma _ { L } \rho , \gamma _ { L } \hat { \rho } ) \right] } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \Psi ( t , 1 ) \phi _ { 1 } ( t , 1 ) \left[ q ^ { 1 } ( \gamma _ { R } \rho , \gamma _ { R } \hat { \rho } ) - q ^ { 1 } ( \gamma _ { L } \rho , \gamma _ { L } \hat { \rho } ) \right] } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \Psi ( t , - 1 ) \phi _ { - 1 } ( t , - 1 ) \left[ q ^ { - 1 } ( \gamma _ { R } \rho , \gamma _ { R } \hat { \rho } ) - q ^ { - 1 } ( \gamma _ { L } \rho , \gamma _ { L } \hat { \rho } ) \right] , } \end{array}
\frac { ( \vec { D } _ { 2 } ) _ { k } } { ( \vec { D } _ { 2 } ) _ { k ^ { \prime } } } = \frac { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { j } \alpha _ { j } \mathcal { M } _ { i j } ^ { ( k ) } } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { j } \alpha _ { j } \mathcal { M } _ { i j } ^ { ( k ^ { \prime } ) } }
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \left( \frac { \gamma - 1 } { \gamma } T _ { b } \alpha + \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { - } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\{ \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { 1 } , \hat { e } _ { 2 } , \dots , \, \hat { e } _ { N - 1 } \} \rightarrow \{ \hat { e } _ { 0 } , \hat { e } _ { \perp } , \hat { e } _ { 2 } ^ { \prime } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } ^ { \prime } \}
T \frac { \nabla n } { n } = T \nabla \ln n \approx T \nabla \Pi _ { 0 } \left( \ln \left( \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ) \right) \right) = T \Pi _ { 1 } \left( \frac { \nabla \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ) } { \sum _ { k } w _ { k } S ( { \mathbf x } - { \mathbf x } _ { k } ) } \right) ,
\Delta E _ { n \; L S } ^ { \prime } = E _ { n } ^ { \prime } - E _ { n } ^ { ( 0 ) } = \frac { \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | V _ { \textrm { U e h l i n g } } \, | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | \psi _ { n } ^ { \prime } \rangle } .
\begin{array} { r l } { \left| \partial _ { j k } ( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v ) \right| } & { \lesssim \left( f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | + f _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 3 } \right) | \partial _ { j } v | \, | \partial _ { k } v | } \\ & { \quad + \left( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 2 } \right) | \partial _ { j k } v | } \\ & { \lesssim \frac { | \partial _ { j } v | \, | \partial _ { k } v | } { \varepsilon ^ { 1 - 2 \sigma } } + | v | ^ { 2 \sigma } | \partial _ { j k } v | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pmb { H } ^ { ( l + 1 ) } = \sigma ( \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 0 } + \pmb { A } \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 1 } + ( \pmb { A } ^ { 2 } - \pmb { D } ) \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 2 } + ( \pmb { A } ^ { 3 } - \pmb { \Sigma } \circ \pmb { A } ) \pmb { H } ^ { ( l ) } \pmb { W } _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K ( \mathrm { \bf ~ r } _ { f } , t _ { f } ; \mathrm { \bf ~ r } _ { i } , t _ { i } ) } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \int d ^ { 3 } r _ { N } \int d ^ { 3 } r _ { N - 1 } \; . \; . \; . \int d ^ { 3 } r _ { 1 } \; K ( \mathrm { \bf ~ r } _ { f } , t _ { f } ; \mathrm { \bf ~ r } _ { N } , t _ { N } ) \times } \\ & { } & { \times \; \; . \; \; . \; \; . \times K ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \mathrm { \bf ~ r } _ { i } , t _ { i } ) \; , } \end{array}
J ^ { - { \frac { 1 } { n } } } \equiv f _ { n } = \left| \begin{array} { l l l } { { s _ { 1 } ^ { ' } } } & { { \cdots } } & { { s _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { s _ { n - 1 } ^ { ' } } } & { { \cdots } } & { { s _ { n - 1 } ^ { ( n - 1 ) } } } \end{array} \right| ^ { - { \frac { 1 } { n } } }
\begin{array} { r l } { H ( t , x ) } & { { } = H _ { 0 } ( x ) + \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { - \beta } H _ { 1 } ( x ) + O ( t ^ { - 2 \beta } ) , \qquad \beta = \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { s ( t ) } & { { } = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O ( t ^ { - \beta } ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha \ne 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } , } \\ { \big ( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha = 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { U } } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla \boldsymbol { U } } & { { } = \boldsymbol { f } - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \nu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { U } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ X _ { 2 } , X _ { 1 } \right] } & { = c _ { 1 2 } ^ { 1 } X _ { 1 } + c _ { 1 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } + X _ { 0 } , } \\ { \left[ X _ { 1 } , X _ { 0 } \right] } & { = c _ { 0 1 } ^ { 1 } X _ { 1 } + c _ { 0 1 } ^ { 2 } X _ { 2 } , } \\ { \left[ X _ { 2 } , X _ { 0 } \right] } & { = c _ { 0 2 } ^ { 1 } X _ { 1 } + c _ { 0 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } . } \end{array}
\left( \frac { \partial ( \mathbf { A } ^ { * } \mathbf { \check { a } } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } = \mathbf { \check { a } } ^ { * } \left( \frac { \partial ( \mathbf { A } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right)
\begin{array} { r } { H _ { 2 } = \epsilon _ { L } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { L \nu } ^ { \dag } a _ { L \nu } + \epsilon _ { f } ^ { 0 } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { f \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } + \epsilon _ { c } a _ { c } ^ { \dag } a _ { c } + \frac { V } { \sqrt { N _ { f } } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } ( a _ { L \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } + a _ { L \nu } a _ { f \nu } ^ { \dag } ) - U _ { f c } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { f \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } ( 1 - a _ { c } ^ { \dag } a _ { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \hat { c } _ { \bf k } } & { { } = } & { \left[ \hat { c } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] + \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \hat { x } _ { \bf k } } & { { } = } & { \left[ \hat { x } _ { \bf k } , \hat { H } _ { S } \right] + \int d q \, \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } . } \end{array}
\int _ { \mathbf { R } ^ { n } } f ( \mathbf { x } ) \, \delta ( g ( \mathbf { x } ) ) \, d \mathbf { x } = \int _ { g ^ { - 1 } ( 0 ) } { \frac { f ( \mathbf { x } ) } { | \mathbf { \nabla } g | } } \, d \sigma ( \mathbf { x } )
\begin{array} { r } { U ^ { ( 1 ) } = \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] - \beta \left( \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \right] - \Omega ^ { ( 1 ) } U ^ { ( 0 ) } \right) . } \end{array}
3 N _ { c } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \Lambda _ { b } } d ( Q ^ { 2 } ) Q ^ { 2 } \frac { 2 f ( M , 0 ) } { 4 N _ { c } f ( M , 0 ) Q ^ { 2 } + a ^ { 2 } m / M } ,
\begin{array} { r } { \beta _ { i h t } ( \varphi _ { i k h } \otimes \mathbf { 1 } _ { h } ^ { X } ) = ( \varphi _ { i h t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \varphi _ { i k h } \otimes \mathbf { 1 } _ { h t } ^ { M } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) = ( \varphi _ { i h t } ( \varphi _ { i k h } \otimes \mathbf { 1 } _ { h t } ^ { M } ) ) \otimes \mathbf { 1 } _ { N } } \\ { = ( \varphi _ { i k t } ( \mathbf { 1 } _ { i k } ^ { M } \otimes \varphi _ { k h t } ) ) \otimes \mathbf { 1 } _ { N } = ( \varphi _ { i k t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \mathbf { 1 } _ { i k } ^ { M } \otimes \varphi _ { k h t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) = \beta _ { i k t } ( \mathbf { 1 } _ { i h } ^ { M } \otimes \beta _ { k h t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { q } _ { 1 } ( \epsilon ) : = ( V _ { + } ^ { - 1 } \circ w _ { 3 } ) ( \epsilon ) , \epsilon \in ( 0 , 1 ] , \quad \tilde { q } _ { 2 } ( \epsilon ) : = ( V _ { + } ^ { - 1 } \circ w _ { 2 } ) ( \epsilon ) , \epsilon \in ( 0 , \hat { \epsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \| { { { \bf { g } } _ { \theta } } } \| ^ { 2 } } } & { = \left[ { \frac { { \partial { { \bf { a } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } \otimes { { \bf { a } } ^ { H } } ( r , \theta ) + { { \bf { a } } ^ { H } } ( r , \theta ) \otimes \frac { { \partial { { \bf { a } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right] } \\ & { \times \left[ { \frac { { \partial { \bf { a } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } \otimes { \bf { a } } ( r , \theta ) + { \bf { a } } ( r , \theta ) \otimes \frac { { \partial { \bf { a } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right] } \\ & { = 2 { \left\| { \frac { { \partial { \bf { a } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } \right\| ^ { 2 } } { \left\| { { \bf { a } } ( r , \theta ) } \right\| ^ { 2 } } + 2 { \left| { \frac { { \partial { { \bf { a } } ^ { H } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } { \bf { a } } ( r , \theta ) } \right| ^ { 2 } } } \\ & { = 2 M a + 2 { | c | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | m _ { e ^ { + } } - m _ { e ^ { - } } | } & { { } < } & { 4 \times 1 0 ^ { - 9 } ~ \mathrm { M e V } } \\ { | m _ { \bar { p } } - m _ { p } | } & { { } < } & { 7 \times 1 0 ^ { - 7 } ~ \mathrm { M e V } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { + } \cup \gamma ^ { - } } \leq \mathrm { { R a } } \left( ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \mathrm { { N u } } - 1 \right) . } \end{array}
H _ { \mathrm { b } } ^ { s , \ell } ( \overline { { \mathbb { R } ^ { 3 } } } ; | d x ^ { 1 } \, d x ^ { 2 } \, d x ^ { 3 } | ) = H _ { \mathrm { b } } ^ { s , \ell + 3 / 2 } ( \overline { { \mathbb { R } ^ { 3 } } } ; \langle r \rangle ^ { - 3 } | d x ^ { 1 } \, d x ^ { 2 } \, d x ^ { 3 } | ) \hookrightarrow \langle r \rangle ^ { - \ell - 3 / 2 } L ^ { \infty } ( \overline { { \mathbb { R } ^ { 3 } } } ) .
I _ { L } U _ { L } ^ { u } { \cal M } _ { d i a g } ^ { u } { U _ { R } ^ { u } } ^ { \dagger } I _ { R } = I _ { L } U _ { L } ^ { d } { \cal M } _ { d i a g } ^ { d } { U _ { R } ^ { d } } ^ { \dagger } I _ { R } ~ .
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { f ( x ) } \left[ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { y = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { x \cdot y } | y \rangle \right] = \sum _ { y = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \left[ { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { f ( x ) } ( - 1 ) ^ { x \cdot y } \right] | y \rangle
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } \left( t \right) } & { { } = \mathbf { p } \left( 0 , \mathbf { q } \left( 0 \right) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \left\{ \mathbf { A } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] d t ^ { \prime } + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { p } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] \cdot d \mathbf { w } ^ { p } ( t ^ { \prime } ) \right\} } \\ { \mathbf { q } \left( t \right) } & { { } = \mathbf { q } \left( T , \mathbf { p } \left( T \right) \right) + \int _ { t } ^ { T } \left\{ \mathbf { A } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] d t ^ { \prime } + \underline { { \mathbf { B } } } ^ { q } \left[ \mathbf { a } \left( t ^ { \prime } \right) \right] \cdot d \mathbf { w } ^ { q } ( t ^ { \prime } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \partial _ { \tau } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) } & { = \left< \Phi _ { i } ^ { a } | ( H _ { N } e ^ { T _ { 1 } ( \tau ) + T _ { 2 } ( \tau ) } ) _ { C } | \Phi \right> } \\ { - i \partial _ { \tau } t _ { i j } ^ { a b } ( \tau ) ) } & { = \left< \Phi _ { i j } ^ { a b } | ( H _ { N } e ^ { T _ { 1 } ( \tau ) + T _ { 2 } ( \tau ) } ) _ { C } | \Phi \right> \; , } \end{array}
\varepsilon _ { \pm , \pm } ^ { i } = \pi _ { v _ { i } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { v } _ { i } \pm \epsilon \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 1 } \pm \epsilon \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { i } \pm \epsilon \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 2 } \pm \epsilon \boldsymbol { \gamma } _ { v _ { i } } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l } { N ( \infty ) } & { { } = \frac { \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 3 } + \epsilon _ { \mathrm { + } } \right) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( 2 \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) + 2 \epsilon _ { \mathrm { { m } } } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \hat { a } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \\ { \hat { b } ^ { \mathrm { { o u t } } } } \end{array} \right) } & { { } = S _ { \mathrm { { M Z I } } } \left( \begin{array} { l } { \hat { a } ^ { \mathrm { { i n } } } } \\ { \hat { b } ^ { \mathrm { { i n } } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla f = \left( \partial _ { x } f , \, \partial _ { y } f \right) ^ { T } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 A _ { F } } \, \left( ( f _ { j } - f _ { i } ) ( \vec { \bf x } _ { i } - \vec { \bf x } _ { k } ) ^ { \perp } + ( f _ { k } - f _ { i } ) ( \vec { \bf x } _ { j } - \vec { \bf x } _ { i } ) ^ { \perp } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf H 1 : } } & { { } \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) = \alpha \, \Delta _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) } \\ { { \bf H 2 : } } & { { } \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) = \alpha \, \Delta _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) } \\ { { \bf H 3 : } } & { { } \quad \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) = \alpha \, D ^ { 2 } \, \vec { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t ) } \end{array}
i \hbar D _ { 0 } \psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \mathrm { ~ \bf ~ D ~ } ^ { 2 } \psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; .
\begin{array} { r l } { B _ { 2 i + 1 + } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i , \, n } \gamma _ { \mathrm { s y s } , \, i , \, n , \, \mu ^ { + } ( n ) } \beta _ { i + 1 , \, \mu ^ { + } ( n ) } } \\ { B _ { 2 i + 1 - } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i , \, n } \gamma _ { \mathrm { s y s } , \, i , \, n , \, \mu ^ { - } ( n ) } \beta _ { i + 1 , \, \mu ^ { - } ( n ) } . } \end{array}
f _ { 0 } = \frac 2 { \chi } \ln \left( \frac { \alpha } { \cosh \left( { \frac { \chi \alpha } { 2 } } t _ { 0 } \right) } \right) + \frac 1 { \chi } \ln \left( { \frac { ( d - 2 ) \chi } { ( q - 1 ) b ^ { 2 } } } \right) - { \frac { a c _ { 2 } } { \chi } } .
J = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
f ( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , \dots , x ^ { n } ) = f { \bigg ( } x ^ { 1 } ( { \bar { x } } ) , x ^ { 2 } ( { \bar { x } } ) , \dots , x ^ { n } ( { \bar { x } } ) { \bigg ) } = { \bar { f } } ( { \bar { x } } ^ { 1 } , { \bar { x } } ^ { 2 } , \dots , { \bar { x } } ^ { n } ) = { \bar { f } } { \bigg ( } { \bar { x } } ^ { 1 } ( x ) , { \bar { x } } ^ { 2 } ( x ) , \dots , { \bar { x } } ^ { n } ( x ) { \bigg ) }
f _ { \mathrm { ~ r ~ h ~ o ~ } } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { ~ r ~ h ~ o ~ } } - \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ r ~ h ~ o ~ } } + 2 \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } + f _ { \mathrm { ~ V ~ O ~ } } \frac { \varepsilon _ { \mathrm { ~ V ~ O ~ } } - \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ V ~ O ~ } } + 2 \varepsilon _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ x ~ } } } = 0 .
\begin{array} { r l } { T = } & { ( 1 - R ) | \frac { F - r _ { \textrm { E F } } E _ { t 0 } } { F } | ^ { 2 } } \\ { = } & { ( 1 - R ) | \frac { ( 1 + i \alpha ) ^ { 2 } + ( \xi / 2 ) ^ { 2 } - r _ { \textrm { E F } } ( 1 + i \alpha ) } { ( 1 + i \alpha ) ^ { 2 } + ( \xi / 2 ) ^ { 2 } - i r _ { \textrm { E F } } r \xi / 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { n } ^ { * } l _ { 1 } ^ { n } } { \lambda _ { n } } - 1 \to 0 , \ \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) l _ { 1 } ^ { n } } { \lambda _ { n } } + l _ { 2 } ^ { n } - \frac { \lambda _ { n } ^ { * } l _ { 3 } ^ { n } } { \lambda _ { n } } \to 0 , \ \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } \left\{ \frac { l _ { 1 } ^ { n } - ( l _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } } { 3 } + l _ { 1 } ^ { n } l _ { 2 } ^ { n } \right\} \to 0 . } \end{array}
A \left( t _ { 0 } \right) = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \mathrm { e } ^ { i \omega t _ { 0 } } \frac { \tilde { s } ^ { * } ( f ) \tilde { v ( f ) } } { J ( f ) } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { s } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } } ,
C _ { V } ( \beta ) = - \beta ^ { 2 } \left[ \left( \frac { \sum _ { i } E _ { i } e ^ { - \beta E _ { i } } } { Z ( \beta ) } \right) ^ { 2 } - \frac { \sum _ { i } E _ { i } ^ { 2 } e ^ { - \beta E _ { i } } } { Z ( \beta ) } \right] .
\partial _ { y } \left[ \langle v _ { y } ^ { \omega \prime } \frac { \psi ^ { \prime 2 } } { 2 } \rangle - \alpha \langle \psi ^ { \prime } \partial _ { y } \psi ^ { \prime } \rangle \right] = \epsilon - \langle v _ { y } ^ { \omega \prime } \psi ^ { \prime } \rangle \partial _ { y } \Psi .
\begin{array} { r } { { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { H _ { j } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \; { \frac { \partial e ^ { \varphi } } { \partial \lambda _ { i } } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { w _ { j } ^ { - 1 } ( H _ { j } ^ { \epsilon } ) } d ^ { 2 } w _ { j } \; { \frac { \partial } { \partial \lambda _ { i } } } \left[ { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { | w _ { j } | ^ { 2 } } } \right] = 2 \delta _ { i j } \lambda _ { i } \left( \log r _ { i } [ H _ { i } ] - \log \epsilon \right) \, . } \end{array}