harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tau ( P \rightarrow e \pi ) \sim \left\{ \begin{array} { c l } { { 5 \times 1 0 ^ { 3 3 } \mathrm { y e a r s } } } & { { ( a = - 1 ) } } \\ { { 8 \times 1 0 ^ { 3 4 } \mathrm { y e a r s } } } & { { ( a = - 1 / 2 ) } } \end{array} \right. ;
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { \leq \left| \int _ { A _ { r , R } } \frac { 2 D } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \theta } \phi \, d x \right| + 2 \left| \int _ { A _ { r , R } } \frac { D ( 1 - f ^ { 2 } ) } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \theta } \phi \, d x \right| } \\ & { \leq \int _ { r } ^ { R } \frac { 2 | D | | \phi ( \rho , \theta _ { 2 } ) - \phi ( \rho , \theta _ { 1 } ) | } { \rho } \, d \rho + \frac { 1 } { 4 } \int _ { A _ { r , R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } \, d x + C } \\ & { \leq 4 | D | C \int _ { \Gamma _ { r , R } ^ { \pm } } \frac { | \langle u , g ^ { \perp } \rangle | } { \rho } \, d \rho + \frac { 1 } { 4 } \int _ { A _ { r , R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } \, d x + C ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U } { \partial g _ { 0 } } } & { = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \frac { \partial U } { \partial G _ { 0 } } = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \frac { \partial U } { \partial g _ { 1 } } = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } r _ { 1 } } { | r _ { 2 } - \frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } r _ { 1 } | ^ { 3 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \frac { \partial U } { \partial G _ { 1 } } } & { = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { r _ { 2 } r _ { 1 } } { | r _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } r _ { 1 } | ^ { 3 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \frac { \partial U } { \partial g _ { 2 } } = \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } O ( \Upsilon ) , \quad \frac { \partial U } { \partial G _ { 2 } } = \frac { \beta } { \chi } O ( \Upsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { Q , P } ^ { B A } } & { \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } | B \rangle , } \\ { \pi _ { R S , P Q } ^ { B A } } & { \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { S } a _ { R } | B \rangle , } \\ { \gamma _ { S T U , P Q R } ^ { B A } } & { \equiv \langle A | a _ { P } ^ { \dagger } a _ { Q } ^ { \dagger } a _ { R } ^ { \dagger } a _ { U } a _ { T } a _ { S } | B \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { r } = \int _ { c _ { e , 1 } } ^ { c _ { e , 2 } } d c \left[ \frac { 2 c } { \chi } \ln \frac { c } { c _ { e } } + \frac { 2 ( 1 - c ) } { \chi } \ln \frac { 1 - c } { 1 - c _ { e } } - 2 ( c - c _ { e } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { X - ( \mathbb { E } A \otimes J _ { d } ) } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { = \left\| { ( A \otimes I _ { d } ) + \sigma ( A \otimes J _ { d } ) \circ W - ( \mathbb { E } A \otimes J _ { d } ) } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq \left\| { ( A - \mathbb { E } A ) \otimes I _ { d } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \sigma \left\| { ( A \otimes J _ { d } ) \circ W } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { = \left\| { A - \mathbb { E } A } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \sigma \left\| { ( A \otimes J _ { d } ) \circ W } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { O u t p u t = 0 ~ o r ~ 1 } \\ { y = a * x + b } \\ { \mathrm { h } \Theta ( \mathrm { x } ) = \operatorname { s i g m o i d } ( \mathrm { y } ) } \\ { \operatorname { s i g m o i d } ( y ) = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - y } } } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \epsilon } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { 2 ! } } \left( { \frac { \epsilon } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } \left\{ { \frac { 1 } { 1 + e ^ { \beta ( \epsilon - \mu ) } } } - \theta ( - \epsilon ) \right\} = { \frac { 1 } { 3 ! } } \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 } + \left( { \frac { \mu } { 2 \pi } } \right) { \frac { T ^ { 2 } } { 4 ! } } ,
\begin{array} { r l } { A } & { { } = { \sqrt { s \left( s - a \right) \left( s - b \right) \left( s - c \right) } } = { \sqrt { 1 6 \cdot ( 1 6 - 4 ) \cdot ( 1 6 - 1 3 ) \cdot ( 1 6 - 1 5 ) } } } \end{array}
\theta = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { l l } { \textrm { t a n } ^ { - 1 } \left( \frac { - \eta - \sqrt { \eta ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } } { \kappa - \delta } \right) \textrm { m o d } \; 1 8 0 } & { \textrm { i f } 0 ^ { \circ } < \phi < 9 0 ^ { \circ } } \\ { \textrm { t a n } ^ { - 1 } \left( \frac { - \eta + \sqrt { \eta ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } } { \kappa - \delta } \right) \textrm { m o d } \; 1 8 0 } & { \textrm { i f } 9 0 ^ { \circ } < \phi < 1 8 0 ^ { \circ } } \\ { \phi } & { \textrm { i f } \phi \textrm { m o d } 9 0 = 0 ^ { \circ } } \end{array} } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { w ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) = w ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) - \Delta t \, n ( } & { u ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { v ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { w ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) } \\ & { p ^ { p u } ( t + \Delta t , x , y , z ; \theta ) ; \nu ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| P ( f ) ^ { \perp } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { s p t } ( \zeta ) ) } } & { \leq \| f \| _ { C ^ { 4 } ( \mathrm { s p t } ( \zeta ) ) } \leq \epsilon \| f \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \mathrm { s p t } ( \zeta ) ) } + C ( \epsilon ) \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { s p t } ( \zeta ) ) } } \\ & { \leq C \left( \epsilon \| f \| _ { C _ { \phi , \phi ^ { \frac { 3 } { 2 } } \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } } ^ { 4 , \alpha } } + C ( \epsilon ) \| f \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \pi } ( t ) = x ^ { 0 } } & { + \sum _ { k = 1 } ^ { m } f _ { k } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } u _ { k } ( s _ { 1 } ) d s _ { 1 } + \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = 1 } ^ { m } L _ { f _ { k _ { 2 } } } f _ { k _ { 1 } } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \int _ { t _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } u _ { k _ { 1 } } ( s _ { 1 } ) u _ { k _ { 2 } } ( s _ { 2 } ) d s _ { 2 } d s _ { 1 } } \\ & { + r _ { 1 } ( t ) + r _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } \left( 1 \times 2 ^ { - 0 } + 1 \times 2 ^ { - 1 } + 0 \times 2 ^ { - 2 } + 0 \times 2 ^ { - 3 } + 1 \times 2 ^ { - 4 } + \cdots + 1 \times 2 ^ { - 2 3 } \right) \times 2 ^ { 1 } } \\ { \approx { } } & { { } 1 . 5 7 0 7 9 6 4 \times 2 } \\ { \approx { } } & { { } 3 . 1 4 1 5 9 2 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal T } [ H ( { \bf k } ) ] { \cal T } ^ { - 1 } } & { { } \! = \! \sum _ { j _ { z } } C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { y } { \cal K } \left\{ \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { s } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \mathcal { K } ( \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , \mathbf { \Omega } ) \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { u } } } \\ { \boldsymbol { \Omega } \mathbf { s } } \end{array} \right] + \mathcal { P } ( \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { s } , \mathbf { \Omega } ) \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Omega } \bar { \mathbf { u } } } \\ { \boldsymbol { \Omega } \mathbf { s } , } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \left| \nabla \mathbf { v } _ { m } \right| ^ { 2 } + \gamma \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \left| \mathbf { M } _ { m } \right| ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } b ( \phi _ { m } ) \left| \nabla \mu _ { m } \right| ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi _ { m } ( t ) | ^ { 2 } + \psi ( \phi _ { m } ( t ) ) + w _ { R } ( \phi _ { m } ( t ) , \mathbf { F } _ { m } ( t ) ) + \frac { \lambda } { 2 } | \nabla \mathbf { F } _ { m } ( t ) | ^ { 2 } \right) } \\ & { = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla \phi _ { m } ( 0 ) | ^ { 2 } + \psi ( \phi _ { m } ( 0 ) ) + w _ { R } ( \phi _ { m } ( 0 ) , \mathbf { F } _ { m } ( 0 ) ) + \frac { \lambda } { 2 } | \nabla \mathbf { F } _ { m } ( 0 ) | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to \infty , \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to 0 } } & { { } = } & { \frac { 3 Q } { 2 } - 2 \pi R ^ { 2 } \sigma _ { R } , } \\ { Q _ { \mathrm { e f f } } | _ { \eta _ { \mathrm { o u t } } / \eta _ { \mathrm { i n } } \to \infty , \kappa _ { \mathrm { i n } } R \to \infty } } & { { } = } & { \frac { Q } { 2 } - \frac { 1 0 \pi R \sigma _ { R } } { \kappa _ { \mathrm { i n } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { = | \mathbf { F } \mathbf { P _ { n + 1 } } \mathbf { T _ { n } } \mathbf { P _ { n } } \dots \mathbf { T _ { k } } \mathbf { P _ { k } } \dots \mathbf { T _ { 2 } } \mathbf { P _ { 2 } } \mathbf { T _ { 1 } } x _ { 1 } | ^ { 2 } , } \\ & { = | \mathbf { F } ( x _ { n + 1 } \odot ( \mathbf { T _ { n } } ( x _ { n } \odot . . . \mathbf { T _ { 2 } } ( x _ { 2 } \odot \mathbf { T _ { 1 } } x _ { 1 } ) . . . ) ) ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \Sigma , \omega _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \times \Sigma , \omega \times m \right\rangle - \left\langle \nabla \times \Sigma , \frac { s } { D } \nabla \theta \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \Sigma \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( D _ { 0 } ^ { ( i ) } \bigr ) ^ { 2 } } & { { } \leq { \bf 1 } _ { i = 1 } \frac { C \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , 1 } ^ { 2 } } + { \bf 1 } _ { i \geq 2 } \biggl ( \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 1 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \Bigl ( \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } + \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 2 \delta } \mathcal { F } ^ { 2 } \Bigr ) + \frac { C \mathsf { A } _ { m - 1 , i - 2 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } _ { m - 1 , i } ^ { 2 } } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { 4 \delta } \mathcal { F } ^ { 4 } \biggr ) } \end{array}
\mathcal { A } ( x , y ) = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { A } _ { 1 } } & { \mathcal { A } _ { 2 } } \\ { \mathcal { A } _ { 2 } } & { \mathcal { A } _ { 4 } } \end{array} \right] ( x , y ) : = \sqrt { g } G ^ { - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { g } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 + z _ { y } ^ { 2 } } & { - z _ { x } z _ { y } } \\ { - z _ { x } z _ { y } } & { 1 + z _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
{ \dot { x } } _ { 2 } = l \left( { \dot { \theta } } _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } \cos \theta _ { 2 } \right) \quad \rightarrow \quad { \dot { x } } _ { 2 } ^ { 2 } = l ^ { 2 } \left( { \dot { \theta } } _ { 1 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 1 } + { \dot { \theta } } _ { 1 } { \dot { \theta } } _ { 2 } \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } \right)
S _ { T e V e S } = \int d ^ { 4 } x \left[ \mathcal { L } _ { E H } ( g _ { \mu \nu } ) + \mathcal { L } _ { S } ( \phi , \sigma , g _ { \mu \nu } , F ) + \mathcal { L } _ { V } ( U _ { \mu } , g _ { \mu \nu } ) + \mathcal { L } _ { m } ( \tilde { g } _ { \mu \nu } , \psi ) \right] .
{ \mathcal { A } } = { \mathcal { I } } - \frac { 1 } { 2 } { \tau } ^ { 2 } { q } _ { k } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } \, , \ \mathrm { w i t h } \ D \left( { \mathcal { A } } \right) = \left\{ u \left( x \right) \in { C } ^ { 2 } \left( \left[ 0 , \ell \right] \right) \mid u \left( 0 \right) = u \left( \ell \right) = 0 \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } = \Big [ \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } } ^ { 0 } \rangle } & { - \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 1 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 2 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle } \\ & { - \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle + \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \Big ] } \\ & { + \Big \{ \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle - \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } ^ { 0 } h _ { I _ { 3 } ^ { 2 , 3 } } ^ { 0 } \rangle \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { l o n g } ( t ) } & { = 1 } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m = 0 ) d t + \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } Z _ { 2 } ^ { - 1 } p ( t , m ) d t } \\ & { = ( 1 - S ( t _ { e n d } , m = 0 ) ) + Z _ { 2 } ^ { - 1 } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { \infty } p ( t , m ) d t - \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) d t \bigg ) } \\ & { = ( 1 - S ( t _ { e n d } , m = 0 ) ) + Z _ { 2 } ^ { - 1 } \bigg ( 1 - ( 1 - S ( t _ { e n d } , m ) \bigg ) } \\ { \implies ( 1 - S ( t _ { e n d } , m = 0 ) ) + Z _ { 2 } ^ { - 1 } S ( t _ { e n d } , m ) } & { = 1 } \\ { \implies Z _ { 2 } ^ { - 1 } } & { = \frac { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { S ( t _ { e n d } , m ) } . } \end{array}
\Phi = \hat { \mathcal { A } } \prod _ { i } ^ { N } \phi _ { i } ( \mathbf { x } _ { i } ) = \hat { \mathcal { A } } \prod _ { i } ^ { N } \varphi _ { i } ( \mathbf { r } _ { i } ) \prod _ { i } ^ { N } \sigma _ { i } ( s _ { i } ) .
\tilde { w } ( \tilde { s } ) = 1 + \frac { 8 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } G \left( \frac { \tilde { x } ^ { \prime } } { \tilde { s } } \right) \left[ \frac { 1 } { \tilde { w } ( \tilde { x } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } + \frac { \chi } { \tilde { w } ( \tilde { x } ^ { \prime } ) ^ { 3 } } \right] \, \mathrm { d } \tilde { x } ^ { \prime } ,
h _ { \mu \nu } ^ { \infty } ( x ) = - \frac { 2 x ^ { \alpha } x ^ { \beta } } { r ^ { 2 } } \int _ { r } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, r ^ { \prime } \, R _ { \alpha \mu , \beta \nu } ^ { L } ( r ^ { \prime } \hat { x } ) + \frac { 2 x ^ { \alpha } x ^ { \beta } } { r ^ { 3 } } \int _ { r } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, { r ^ { \prime } } ^ { 2 } R _ { \alpha \mu , \beta \nu } ^ { L } ( r ^ { \prime } \hat { x } )
\begin{array} { r l } & { y = x + K ( 3 . 6 - 4 . 8 x + 1 . 8 x ^ { 2 } - 0 . 2 x ^ { 3 } ) , } \\ & { z = y + K ( 3 . 6 - 4 . 8 y + 1 . 8 y ^ { 2 } - 0 . 2 y ^ { 3 } ) , } \\ & { x = z + K ( 3 . 6 - 4 . 8 z + 1 . 8 z ^ { 2 } - 0 . 2 z ^ { 3 } ) , } \\ & { { x \neq y , ~ x \neq z , } } \\ & { x > 0 , ~ y > 0 , ~ z > 0 , ~ K > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \mathbf { v _ { e } } } { \partial t } + ( \mathbf { v _ { e } } \cdot \triangledown ) \mathbf { v _ { e } } = - \frac { e } { m _ { e } } ( \mathbf { E } + \mathbf { v _ { e } } \times \mathbf { B _ { 0 } } ) - \frac { \triangledown p _ { e } } { n _ { e } m _ { e } } - \frac { \triangledown \cdot { \bf \Pi _ { e } } } { n _ { e } m _ { e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) = } & { S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( { k } _ { 1 } ) S _ { \beta \beta ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( { k } _ { 2 } ) S _ { \gamma \gamma ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( | \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } | ) } \\ & { \times \left( \frac { \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } } { x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } + \rho _ { 0 } ^ { 2 } c _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } ) \right) , } \end{array}
M S E [ a ] = \frac { 1 } { 2 ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) - a } \sum _ { a - ( v _ { 2 } - v _ { 1 } ) + 1 } ^ { v _ { 2 } - v _ { 1 } } ( N ^ { \prime } [ v ] - P ^ { \prime } [ a - v ] ) ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { S } } ^ { 2 } : \left\{ \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathcal { S } } _ { k } ^ { 2 } : \left\{ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { k } = - x _ { k } + x _ { k } ^ { 2 } y _ { k } | u | - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } x _ { k } ^ { 3 } , } \\ { \dot { y } _ { k } = - y _ { k } . } \end{array} \right. } \\ { k = 1 , 2 , \ldots , } \end{array} \right. } \end{array}
N = 6 : \quad A = { \frac { 1 } { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { { - 1 } } & { { 1 } } & { { 2 } } \\ { { 2 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 3 } } & { { { \frac { 3 } { 2 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ; \quad B = { \frac { 1 } { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 2 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \\ { { { \frac { 3 } { 2 } } } } & { { 3 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\mathbf { P } _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } } ^ { + } = \left[ \begin{array} { l l l l } { R _ { N / 2 + 1 } ^ { + } } & { R _ { N / 2 + 2 } ^ { + } } & { \cdots } & { R _ { N } ^ { + } } \end{array} \right]
( i g ) ^ { M } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { M } . . . \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { 1 } \theta ( \tau _ { M } , . . . , \tau _ { 1 } ) A ( x ( \tau _ { M } ) ) \cdot \dot { x } ( \tau _ { M } ) . . . A ( x ( \tau _ { 1 } ) ) \cdot \dot { x } ( \tau _ { 1 } )
z = ( z ( x ) ) _ { x \in \mathcal { M } _ { \mathrm { s a t } } } \sim N \left( \mathbb { E } \left[ ( \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { * } ) ) _ { x \in \mathcal { M } _ { \mathrm { s a t } } } \vert D _ { \mathrm { t r a i n } } \right] , \Sigma _ { \mathrm { m e a s } } + \Sigma _ { \mathrm { e m u } } + \delta ^ { 2 } I _ { \lvert \mathcal { M } _ { \mathrm { s a t } } \rvert } \right) ,
\begin{array} { r } { \left( \mathbb { E } \tau _ { \xi } ^ { p } ( \mathcal { U } _ { \Pi } ) \right) ^ { 1 / p } \leq 2 \left( \mathbb { E } \mathbb { E } _ { \epsilon } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in S _ { \xi ; ( J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } ) } } \left\vert \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \epsilon _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } f _ { \mathcal { X } } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \right\vert ^ { p } \right) ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \Omega _ { T } } \mu _ { \theta } u _ { \theta } d x d \tau } & { = } & { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { \Omega _ { T } } | \nabla u ^ { N } | ^ { 2 } d x d \tau + \int _ { \Omega _ { T } } q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) u _ { \theta } d x d \tau } \\ & { } & { + \int _ { \Omega _ { T } } u _ { \theta } ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u _ { \theta } d x d \tau } \end{array}
G ( z ) = \sum _ { n \geq 1 } \left( { \frac { 1 } { | C _ { 2 n } | } } \right) g ( z ) ^ { 2 n } = { \frac { 1 } { 2 } } \log { \frac { 1 } { 1 - g ( z ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r l } { \mathrm { T h e n } \; \; } & { c < b } \\ { \implies \; } & { f ( c ) \le f ( b ) } & & { \mathrm { [ b y ~ m o n o t o n i c i t y ~ o f ~ f ~ ] } } \\ { \implies \; } & { d \le f ( b ) } & & { \mathrm { [ s i n c e ~ d = f ( c ) ~ ] } } \\ { \implies \; } & { b < f ( b ) } & & { \mathrm { [ s i n c e ~ b ~ < ~ d ~ ] } } \end{array}
= \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi k i } } ( { \cal M } ^ { - 1 } - 1 ) \frac { e ^ { - i [ \Omega ] \theta } } { 1 - e ^ { i \theta } } \left( 1 + e ^ { i \left( [ \Omega ] + 1 / 2 \right) ( 2 \theta - \pi ) } \tan \theta / 2 \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \varepsilon _ { V } , \varepsilon _ { V P } , \varepsilon _ { P } } \left( \frac { \lambda _ { V } } { \varepsilon _ { V } } + \frac { \lambda _ { V P } } { \varepsilon _ { V P } } + \frac { \lambda _ { P } } { \varepsilon _ { P } } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad ( 1 + \lambda _ { P } ) \varepsilon _ { V } + \varepsilon _ { V P } + \lambda _ { V } \varepsilon _ { P } = \varepsilon _ { \mathrm { t a r g } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { t } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k } \\ { B _ { t } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k ^ { 2 } } \\ { C _ { t } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma _ { n k } ^ { ( t ) } k , } \end{array}
\sum _ { l , m , n = 0 } ^ { \infty } b _ { l m n } { \omega } _ { 1 } ^ { l } { \omega } _ { 2 } ^ { m } { \omega } _ { 3 } ^ { n } = \sum _ { L = 0 } ^ { \infty } \sum _ { l + m + n = L } b _ { l m n } { \omega } _ { 1 } ^ { l } { \omega } _ { 2 } ^ { m } { \omega } _ { 3 } ^ { n } ,
\begin{array} { r l } & { \Lambda = ( a _ { i } ) _ { , i \in \mathbb { N } } , \Gamma = ( b _ { i } ) _ { i \in \mathbb { N } } , \quad \Lambda \leq \Gamma \quad \iff } \\ & { \qquad \quad \mathrm { ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } k > 0 : ( a _ { i } ) _ { i \geq k } \mathrm { ~ i s ~ a ~ s u b s e q u e n c e ~ o f ~ } ( b _ { i } ) _ { i \geq 0 } . } \end{array}
\varphi = \frac { 3 \gamma } { 2 } \left[ ( 3 \gamma - 2 ) \hat { \Omega } _ { \rho } ^ { \ast } + 4 ( 3 \gamma - 1 ) \hat { \Omega } _ { \lambda } ^ { \ast } \right] + 4 \hat { \Omega } _ { \cal U } ^ { \ast } \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { H } } & { = } & { \sum _ { i } \left[ \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } - \sum _ { A } \frac { Z _ { A } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { R } _ { A } | } \right] + \sum _ { i > j } \frac { 1 } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } + } \\ & { + } & { \sum _ { A > B } \frac { Z _ { A } Z _ { B } } { | \vec { R } _ { A } - \vec { R } _ { B } | } + V _ { \textsc { C A P } } } \\ { V _ { \textsc { C A P } } } & { = } & { - i \sum _ { \alpha i } b _ { \alpha } \, \theta ( r _ { i } - R _ { \alpha } ) \, ( r _ { i } - R _ { \alpha } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 4 } ( s , \alpha , \beta , \gamma ) = \frac { 1 } { \Gamma \left( - \frac { s } { 2 } \right) } \int _ { c _ { 1 } - i \infty } ^ { c _ { 1 } + i \infty } \, \int _ { c _ { 2 } - i \infty } ^ { c _ { 2 } + i \infty } \, \int _ { c _ { 3 } - i \infty } ^ { c _ { 3 } + i \infty } \, } & { \frac { \Gamma \left( - z _ { 1 } \right) \Gamma \left( 2 z _ { 1 } + 1 \right) \Gamma \left( - z _ { 2 } \right) \Gamma \left( 2 z _ { 2 } + 1 \right) \Gamma \left( - z _ { 3 } \right) \Gamma \left( 2 z _ { 3 } + 1 \right) \Gamma \left( s - 2 z _ { 1 } - 2 z _ { 2 } - 2 z _ { 3 } + 1 \right) } { \Gamma \left( 2 z _ { 1 } + 2 \right) \Gamma \left( 2 z _ { 2 } + 2 \right) \Gamma \left( 2 z _ { 3 } + 2 \right) \Gamma \left( s - 2 z _ { 1 } - 2 z _ { 2 } - 2 z _ { 3 } + 2 \right) } } \\ & { \times \Gamma \left( - \frac { s } { 2 } + z _ { 1 } + z _ { 2 } + z _ { 3 } \right) ( \alpha ) ^ { z _ { 1 } } ( \beta ) ^ { z _ { 2 } } ( \gamma ) ^ { z _ { 3 } } \frac { \mathrm { d } z _ { 1 } \mathrm { d } z _ { 2 } \mathrm { d } z _ { 3 } } { ( 2 \pi i ) ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { o } ) } & { { } \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } } \end{array}
{ \mathcal { H } } ( d | s ) = - \ln { \mathcal { G } } ( d - R \, s , N ) = { \frac { 1 } { 2 } } \, ( d - R \, s ) ^ { \dagger } N ^ { - 1 } \, ( d - R \, s ) + { \frac { 1 } { 2 } } \, \ln | 2 \pi N | .