harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { d L } { d t } = 2 v _ { p } } & { + } & { \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) - 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) } \ N \right] ^ { - 1 } } \\ & { \times } & { \left\{ \tilde { \xi } ^ { - 1 / 2 } \frac { \cosh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) - 1 } { \sinh ( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L ) } \left[ - 2 K ( L - L _ { 0 } ) + \Delta N \left( 1 - \frac { \beta } { 2 } \right) V _ { \mathrm { c e l l } } \right] - 2 \tilde { \chi } \ \frac { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L / 2 \right) } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } C _ { \mathrm { t o t } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \beta , f , g } ^ { j } } & { = \sum _ { k = j ^ { 2 } N _ { 2 } + 1 } ^ { ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } | \phi _ { x , \beta } | ( D _ { k } - D _ { ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } + D _ { - k } - D _ { - ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } ) } \\ & { \leq \sum _ { k = j ^ { 2 } N _ { 2 } + 1 } ^ { ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } \beta \| f \| _ { \infty } \| g \| _ { \infty } ( D _ { k } - D _ { ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } + D _ { - k } - D _ { - ( j + 1 ) ^ { 2 } N _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 + r _ { + } \mathrm { e } ^ { - 2 i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \\ { 1 - r _ { + } \mathrm { e } ^ { - 2 i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { { } = } & { \alpha c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } - \alpha c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( 2 \mathbf { K } + \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { D } \varphi } { \mathrm { D } t } } } & { \equiv { \frac { \partial \varphi } { \partial t } } + \mathbf { u } \cdot \nabla \varphi , } \\ { { \frac { \mathrm { D } \mathbf { A } } { \mathrm { D } t } } } & { \equiv { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { A } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { m \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } u } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } ( t ) + 3 \pi \ell \exp ( \mu ) \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } ( t ) = - m g , } & { { } \qquad \forall t \in ( 0 , T ) } \\ { u ( 0 ) = u _ { 0 } , } & { { } } \\ { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } ( 0 ) = v _ { 0 } , } & { { } } \end{array}
\langle 0 | [ J _ { 0 } ^ { a } ( x ) , J _ { 1 } ^ { b } ( y ) ] | 0 \rangle _ { E . T . } = \frac { i } { 2 \pi } \delta ^ { a b } \, \partial _ { 1 } ^ { x } \delta ( x ^ { 1 } - y ^ { 1 } )
\displaystyle D _ { p q } ( C ) D _ { p ^ { \prime } q ^ { \prime } } ( C ) = \frac { 1 } { 3 } \delta _ { p p ^ { \prime } } \delta _ { q q ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { p p ^ { \prime } p ^ { \prime \prime } } ~ \epsilon _ { q q ^ { \prime } q ^ { \prime \prime } } ~ D _ { p ^ { \prime \prime } q ^ { \prime \prime } } ( C ) + \sum _ { m n } C _ { p q p ^ { \prime } q ^ { \prime } } ^ { m n } { \cal D } _ { m n } ^ { j = 2 } ( C ) ~ ~ ,
\Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) = \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { k , j } ( \tau ) ] } & { = \mathbb { E } [ C _ { k , j } ( \tau ) ] + \delta _ { k , j } \phi _ { k } ^ { \tau } - \phi _ { k } ^ { \tau } \mathbb { E } [ C _ { k , j } ( 0 ) ] } \\ & { = \delta _ { k , j } \phi _ { k } ^ { \tau } + \delta _ { k , j } \phi _ { k } ^ { \tau } - \phi _ { k } ^ { \tau } \delta _ { k , j } } \\ & { = \delta _ { k , j } \phi _ { k } ^ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 } ( t ) } & { t \leq t _ { o n } } \\ { S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t ) } & { t _ { o n } \leq t \leq t _ { e n d } } \\ { S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } ) S _ { 3 } ( t ) } & { t _ { e n d } \leq t . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { L \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } } & { = \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } + \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } + \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \widehat \gamma ^ { 2 } \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } , } \\ { L \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } } & { = \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , Q { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } + \widehat \gamma \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } Q ^ { T } { \boldsymbol u } + \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } \widehat \gamma ^ { 2 } \langle { \boldsymbol u } , X { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle \cdot { \mathcal G } X ^ { T } { \boldsymbol u } , } \end{array}
\frac { 2 u _ { p } } { 2 u _ { p } + v _ { p } } \in \left( \frac { 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } } { 2 \tilde { \gamma } _ { 1 } + \tilde { \gamma } _ { 2 } + \tilde { \gamma } _ { 3 } } , + \infty \right)
f _ { x c , \mathbf { G } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { \pm , \mathrm { ~ A ~ L ~ D ~ A ~ } } = - \operatorname* { l i m } _ { q \to 0 } \frac { 1 } { \Omega } \int _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } d \mathbf { r } \, \, e ^ { - i ( \mathbf { G } - \mathbf { G } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { r } } \, v _ { q } G ^ { \pm } ( q , r _ { s } ( \mathbf { r } ) ) .
\begin{array} { r l } { \frac { N } { i } \left( \Sigma _ { i } ^ { ( N , G ) } - \Sigma _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } \right) } & { { } = \frac { N } { i } \frac { G } { \left( 2 G - 1 \right) } \frac { i } { N } \left( \frac { \Gamma \left( N + 1 \right) \Gamma \left( i - 1 + 1 / G \right) } { \Gamma \left( i + 1 \right) \Gamma \left( N - 1 + 1 / G \right) } + 1 - 1 / G \right) } \end{array}
\displaystyle \frac { e _ { 2 } ( 2 - 2 e _ { 1 } - 3 e _ { 2 } + 6 e _ { 1 } e _ { 2 } + 2 e _ { 2 } ^ { 2 } - 4 e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { 2 } ) } { 1 - e _ { 1 } + 2 e _ { 1 } e _ { 2 } }
| \sqrt { \rho } f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \rho ) | + | \rho ^ { \frac { 3 } { 2 } } f _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( \rho ) | \leq C _ { 2 } \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 1 - 2 \sigma } } , } & & { 0 < \sigma \leq \frac { 1 } { 2 } , } \\ & { { \rho ^ { \sigma - \frac { 1 } { 2 } } } , } & & { \frac { 1 } { 2 } < \sigma < 1 , } \end{array} \right. , \quad \rho \ge 0 ,
\frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } = 0 , \; ( \theta _ { i } - \theta _ { j } ) \frac { \partial ^ { 2 } \alpha ^ { 0 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } = 2 [ \frac { \partial \tau } { \partial x _ { i } } \frac { \partial \alpha ^ { 0 } } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial \tau } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \alpha ^ { 0 } } { \partial x _ { i } } ] .
\begin{array} { r l } { c _ { r } } & { { } = \cos ( 2 \pi { \frac { k } { N } } ) , } \\ { c _ { i } } & { { } = \sin ( 2 \pi { \frac { k } { N } } ) , } \\ { y [ N ] } & { { } = c _ { r } s [ N - 1 ] - s [ N - 2 ] + j c _ { i } s [ N - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A c c u r a c y } } & { { } = \frac { \mathrm { T P } + \mathrm { T N } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F P } + \mathrm { T N } + \mathrm { F N } } , } \\ { \mathrm { P r e c i s i o n } } & { { } = \frac { \mathrm { T P } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F P } } , } \\ { \mathrm { R e c a l l } } & { { } = \frac { \mathrm { T P } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F N } } , } \\ { \mathrm { F 1 } } & { { } = \frac { 2 \times \mathrm { P r e c i s i o n } \times \mathrm { R e c a l l } } { \mathrm { P r e c i s i o n } + \mathrm { R e c a l l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert \Psi _ { \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle } & { { } = \sum _ { m } \alpha _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \lvert \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \rangle . } \end{array}
\frac { \partial n _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ d ~ } } } { \partial \boldsymbol { r } } - \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } z } \frac { \partial n _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ d ~ } } } { \partial \boldsymbol { r ^ { \prime } } } = 0 .
\mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega ; { \bf p } _ { 1 \leq i \leq n } \left( \left| H _ { m _ { j } } \left( \eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) , x , i } \right) - \alpha \right| < \varepsilon _ { j } \right) > 1 - \varepsilon _ { j } \right\} \right) = \mathbb P \left( \left\{ \omega \in \Omega ; { \bf p } _ { 1 \leq i \leq n } \left( \left| H _ { m _ { j } } \left( \eta ^ { ( \omega ) , x , i } \right) - \alpha \right| < \varepsilon _ { j } \right) > 1 - \varepsilon _ { j } \right\} \right) > 1 - \varepsilon _ { j }
\frac { 4 \Lambda ^ { 2 } } { ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } = G _ { 0 } G _ { 2 } - G _ { 1 } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } \kappa _ { \| } ^ { - 2 } G _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ,
\begin{array} { r l } { r ^ { + } } & { { } = i \varepsilon _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } d \frac { \omega ^ { + } } { \omega ^ { + } + ( \omega ^ { + } ) ^ { * } } = \varepsilon _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } d \frac { i \omega ^ { + } } { 2 \operatorname { R e } \omega ^ { + } } , } \\ { r ^ { - } } & { { } = i \varepsilon _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \chi _ { 0 } d \frac { - ( - \omega ^ { + } ) ^ { * } } { \omega ^ { + } + ( \omega ^ { + } ) ^ { * } } = - ( r ^ { + } ) ^ { * } . } \end{array}
\delta _ { W W H } = \delta _ { u } + \left[ 1 - { \frac { ( m _ { t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } \partial } { \partial ( m _ { t } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right] { \frac { \Pi _ { W W } ( 0 ) } { M _ { W } ^ { 2 } } } ,
\frac { B _ { \mathrm { n } } ( \mu ^ { 2 } ) } { \sqrt { N _ { \mathrm { n } } } } = \frac { \sqrt { N _ { \mathrm { n } } } } { 1 2 0 } \sum _ { \mathrm { i , j } = 0 } ^ { \infty } a _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { n } } \ \Phi _ { \mathrm { N } } ^ { ( \mathrm { i } 0 \mathrm { j } ) } ( \mu ^ { 2 } ) ,
\mathbb { E } _ { \Omega : i \in \Omega } \! \left[ \sum _ { j \in \Omega } \hat { x } _ { j , k } ^ { t } \right] = \hat { x } _ { i , k } ^ { t } + \frac { s - 1 } { n - 1 } \sum _ { j \in [ n ] \backslash \{ i \} } \hat { x } _ { j , k } ^ { t } = \frac { n - s } { n - 1 } \hat { x } _ { i , k } ^ { t } + \frac { s - 1 } { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \hat { x } _ { j , k } ^ { t } .
\overline { { h } } = \frac { ( \partial _ { x } g - k ) | _ { x = \overline { { \Lambda } } } } { 2 ( \overline { { \Lambda } } - L ) } ( x - L ) ^ { 2 } + g | _ { x = \overline { { \Lambda } } } - \frac { ( \partial _ { x } g - k ) | _ { x = \overline { { \Lambda } } } } { 2 } ( \overline { { \Lambda } } - L ) , \qquad x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) ,
\sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } ( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t } ) c _ { k i } [ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } = \emptyset ]
T ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } = \left( E ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } | { \bf p } ^ { 2 } | \right) T ^ { 0 0 } = \frac { 4 } { 3 } E ^ { 2 } \left( 1 - \frac { m ^ { 2 } } { 4 E ^ { 2 } } \right) T ^ { 0 0 } \, .
e _ { 1 2 3 4 5 8 } = e _ { 1 } e _ { 2 } e _ { 3 } e _ { 4 } e _ { 5 } e _ { 8 } = L _ { e _ { 1 } } L _ { e _ { 2 } } L _ { e _ { 3 } } L _ { e _ { 4 } } L _ { e _ { 5 } } L _ { e _ { 8 } }
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } = } & { g _ { X } X _ { \mathrm { t r a n s } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , o p t i c a l } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , m e c h a n i c a l } } } \\ { P } & { { } = } & { g _ { Y } Y _ { \mathrm { t r a n s } } + P _ { \mathrm { n o i s e , o p t i c a l } } + P _ { \mathrm { n o i s e , m e c h a n i c a l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left\lVert E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \left\lVert \tilde { \Pi } ( \hat { P } E _ { T _ { j } } ^ { \theta } ) ^ { n } \tilde { \Pi } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \exp \left( \frac { n \mathcal { V } _ { j } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \left( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 + \frac { \lambda ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { \mathcal { M } \theta } } \right) \right) } \\ & { = \frac { \mathcal { V } _ { j } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \left( e ^ { \mathcal { M } \theta } - \mathcal { M } \theta - 1 + \frac { \lambda ( e ^ { \mathcal { M } \theta } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { \mathcal { M } \theta } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { h } } & { { } = B - N + P \, , } \\ { B ^ { \prime } } & { { } = B + C _ { h } = 2 B - N + P \, , } \\ { N ^ { \prime } } & { { } = N + C _ { h } = B + P \, , } \\ { C _ { h } ^ { \prime } } & { { } = B ^ { \prime } - N ^ { \prime } + P = C _ { h } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { v e c } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \; \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad J _ { s p } = \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \; \right) \; . } \end{array}
\delta { I \! \! N } = ( { I \! \! L } { I \! \! N } \dot { ) } + \frac { i } { 2 } D _ { \bar { \eta } } { I \! \! L } D _ { \eta } { I \! \! N } + \frac { i } { 2 } D _ { \eta } { I \! \! L } D _ { \bar { \eta } } { I \! \! N } \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \lambda _ { n } , \lambda _ { n } ^ { * } \right\} \operatorname* { m a x } \left\{ | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } , | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | \right\} \lesssim ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \operatorname* { m i n } \left\{ | \Delta v _ { n } | , | \Delta v _ { n } ^ { * } | \right\} . } \end{array}
\omega _ { s } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { m a x } g ( \theta ) , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \theta _ { b a n d } - \Theta \le \theta \le \theta _ { b a n d } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
{ \cal C } _ { \gamma } ^ { \mathrm { f r a g } } [ n ] ( \hat { z } ) = \sum _ { a = g , q , \bar { q } } \int _ { \hat { z } } ^ { 1 } \! \! \frac { d \hat { x } } { \hat { x } } \, { \cal C } _ { a } ^ { \mathrm { d i r } } [ n ] ( \hat { x } , \mu ^ { 2 } ) \, D _ { a \to \gamma } ( \hat { z } / \hat { x } , \mu ^ { 2 } )
\sum _ { k = 0 } ^ { n } g _ { k + 1 } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { \lfloor k / 2 \rfloor } \frac { k ! } { ( l ! ) ^ { 2 } ( k - 2 l ) ! } \phi ^ { k - 2 l } y ^ { l } \right) = 0 .
g ( \widehat { 1 } ) = \sum _ { \substack { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \dots , k _ { n } ) \, \sum _ { i = 1 } ^ { n } i k _ { i } = n } } \left[ 2 ^ { \sum _ { i = 2 } ^ { n } k \binom { i } { 2 } } \right] \left[ ( - 1 ) ^ { - 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { i } } \right] \left( - 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { i } \right) ! \left( \frac { n ! } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } k _ { i } ! i ! ^ { k _ { i } } } \right)
\begin{array} { r } { \frac { \gamma \eta _ { t } } { 4 } \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } } { 4 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \leq \Phi _ { t } - \Phi _ { t + 1 } + \frac { 4 m \gamma \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \eta _ { t } ^ { 2 } + \frac { m \lambda \sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \eta _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal L } _ { I } = - \frac { 2 } { 9 } \Omega ^ { \rho , \mu \nu \alpha \beta } \Omega _ { \mu , \rho \nu \alpha \beta } + \frac { 2 } { 9 } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } \Omega _ { \mu \nu \alpha } - \frac { 1 } { 9 } \Omega ^ { \rho , \mu \nu \alpha \beta } E _ { \mu \nu \alpha \beta , \rho } - \frac { 4 } { 9 } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } E _ { \mu \nu \alpha }
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { i } ( t + 1 ) = \mathbf { x } _ { i } ( t ) + \mathbf { v } _ { i } ( t + 1 ) , \quad \mathbf { v } _ { i } ( t + 1 ) = v _ { 0 } \mathcal { R } _ { \eta } \! \left[ \Theta \! \left( \sum _ { | \mathbf { x } _ { j } - \mathbf { x } _ { i } | < R _ { 0 } } \mathbf { v } _ { j } ( t ) - \beta \mathbf { x } _ { i } ( t ) \right) \! \right] \! , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta } & { { } = c \exp \left( \sqrt { \frac { s } { a } } \xi \right) + \frac { u ^ { - } } { s } + \frac { u _ { \xi } ^ { - } } { s } \xi \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \xi < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbf { H } _ { N } ] _ { : k + 1 , : k } \stackrel { \mathrm { d i s t . } } { = } \frac { 1 } { \sqrt { 2 N } } \left[ \begin{array} { l l l } { \mathcal { C N } ( 0 , 2 ) } & { \cdots } & { \mathcal { C N } ( 0 , 2 ) } \\ { \chi _ { 2 ( N - 1 ) } } & { \ddots } & { \vdots } \\ & { \ddots } & { \mathcal { C N } ( 0 , 1 ) } \\ { \qquad \chi _ { 2 ( N - k ) } } & \end{array} \right] } \end{array}
E _ { L } \left( r , t \right) = E _ { \omega } f _ { 1 } e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } } \cos \left( \omega t \right) + E _ { 2 \omega } f _ { 2 } e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } } \cos \left( \omega t + \theta \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \frac { \Delta t _ { n } } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t _ { n } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) \equiv 2 \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { * } ( \operatorname { F l a g } _ { 1 , \dots , k + 1 } ( V ) ; \mathbb { F } _ { 2 } ) } & { \cong H ^ { * } \big ( \mathbb { P } \big ( ( E _ { 1 } \oplus \cdots \oplus E _ { k } ) ^ { \perp } \big ) ; \mathbb { F } _ { 2 } \big ) } \\ & { \cong H ^ { * } ( \operatorname { F l a g } _ { 1 , \dots , k } ( V ) ; \mathbb { F } _ { 2 } ) [ x ] / \Big ( \sum _ { s = 0 } ^ { d - k } w _ { d - k - s } \ x ^ { s } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } { \bf C } \frac { \omega } { i } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } \frac { d t } { T _ { \mathrm { T H z } } } e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } } \end{array}
V \left( { \bf x } \right) = - g ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 3 } { { \bf q } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } } { \frac { e ^ { i { \bf q } \cdot { \bf x } } } { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } = - { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } } { \frac { e ^ { - m \left| { \bf x } \right| } } { \left| { \bf x } \right| } } .
\dot { \eta } ^ { \prime } = \left\{ \eta + \delta \eta , H \right\} ^ { ( \eta , \Lambda ) } + \left\{ \eta , \frac { \partial \delta W } { \partial t } \right\} ^ { ( \eta , \Lambda ) } = \left\{ \eta + \delta \eta , H + \frac { \partial \delta W } { \partial t } \right\} ^ { ( \eta , \Lambda ) } \; .
= \frac 1 { m ! } \epsilon ^ { \mu _ { 1 } \cdot \cdot \cdot \mu _ { k } \mu _ { k + 1 } \cdot \cdot \cdot \mu _ { n } } \epsilon _ { A _ { 1 } \cdot \cdot \cdot A _ { m } } J ( \frac \phi v ) \frac { \partial v ^ { A _ { 1 } } } { \partial x ^ { \mu _ { k + 1 } } } \cdot \cdot \cdot \frac { \partial v ^ { A _ { 1 } } } { \partial x ^ { \mu _ { n } } } ,
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 0 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) } & { { } = } & { \Gamma _ { 0 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) , } \\ { \Gamma _ { 2 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } - \Delta \phi ) } & { { } = } & { \Gamma _ { 2 } ( \phi _ { 1 } ^ { * } + \Delta \phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { n l m } ^ { ( 1 ) } ( N ) } & { = } & { - \frac { i ^ { l } e ^ { - i \phi _ { q } } { \cal E } _ { 0 } } { 2 { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } \omega } \frac { J _ { N - 1 } ( X _ { q } ) } { \sqrt { 2 l + 1 } } \left[ \sqrt { l } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) + \sqrt { l + 1 } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) \right] } \\ & { } & { - \frac { i ^ { l } e ^ { i \phi _ { q } } { \cal E } _ { 0 } } { 2 { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } \omega } \frac { J _ { N + 1 } ( X _ { q } ) } { \sqrt { 2 l + 1 } } \left[ \sqrt { l } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } , \Omega _ { n } ^ { + } , q ) + \sqrt { l + 1 } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { - } , \Omega _ { n } ^ { + } , q ) \right] , } \end{array}
\overline { { { ( \Delta N ) ^ { 2 } } } } = \frac { \partial ^ { 2 } \, \psi _ { d } \, ( \beta , \gamma ) } { \partial \, \beta ^ { 2 } } \ , \ \overline { { { ( \Delta { \cal R } ) ^ { 2 } } } } = \frac { \partial ^ { 2 } \, \psi _ { d } \, ( \beta , \gamma ) } { \partial \, \gamma ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta P _ { g a s } ^ { k i n } } & { = } & { \sum _ { { \bf k } , { \bf G } } ( P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { + } - P _ { { \bf k } + { \bf G } } ^ { - } ) \frac { | { \bf k } + { \bf G } | ^ { 2 } } { 3 } } \\ { \Delta P _ { g a s } ^ { x c } } & { = } & { n ^ { h } \int _ { \omega _ { a } } V _ { x c } \left[ n ^ { 1 } + n ^ { h } + n _ { c } \right] ~ d { \bf r } ~ } \\ & { - } & { n ^ { h } \int _ { \omega _ { a } } V _ { x c } \left[ \tilde { n } ^ { 1 } + n ^ { h } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } \right] ~ { \bf d r } } \\ { \Delta P _ { g a s } ^ { H } } & { = } & { n ^ { h } \int _ { \omega _ { a } } V _ { H } [ n ^ { 1 } + n ^ { h } + n _ { Z c } ] ~ { \bf d r } } \\ & { - } & { n ^ { h } \int _ { \omega _ { a } } \left( ~ V _ { H } [ \tilde { n } ^ { 1 } + n ^ { h } + \hat { n } ] + V _ { l o c } ( { \bf r } ) ~ \right) ~ { \bf d r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { { } = \sum _ { m _ { g } } \big [ \delta _ { 1 / 2 } | 1 / 2 , m _ { g } \rangle \langle 1 / 2 , m _ { g } | + \delta _ { 3 / 2 } | 3 / 2 , m _ { g } \rangle \langle 3 / 2 , m _ { g } | \big ] } \end{array}
\langle f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } \rangle = \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } g _ { i } f _ { i } \; | \; g _ { 1 } , \ldots , g _ { k } \in K [ x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ] \right\} .
\begin{array} { r l r l } { - \Delta u = } & { 0 } & & { \mathrm { i n } \ \Omega \setminus \Gamma \equiv [ - 1 , 1 ] ^ { 2 } \setminus \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) , } \\ { u = } & { 2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 6 x y ^ { 2 } + x + y ^ { 2 } + 1 } & & { \mathrm { o n } \ \Gamma \equiv \partial B _ { \epsilon } ( 0 ) , } \\ { u = } & { \frac { 2 \epsilon ^ { 6 } x \left( x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } \right) } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } + \frac { \epsilon ^ { 4 } \left( - x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \epsilon ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { \log { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } } { 2 \log { \left( \epsilon \right) } } } & & { \mathrm { o n } \ \partial \Omega , } \end{array}