harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\ensuremath { m _ { \mu \mu } } ^ { ( a _ { 0 } + a _ { 1 } \ensuremath { m _ { \mu \mu } } + a _ { 2 } \ensuremath { m _ { \mu \mu } } ^ { 2 } + . . . + a _ { N } \ensuremath { m _ { \mu \mu } } ^ { N } ) }
\Phi _ { \perp } = \operatorname* { m i n } J _ { \perp } = \operatorname* { m a x } J _ { \perp } ^ { * } = \frac { 1 } { 2 } h \mu ^ { * } \bar { \varphi } _ { \alpha } \bar { \varphi } _ { \alpha } , \quad \mu ^ { * } = \frac { \langle k \rangle ^ { 2 } } { \langle k ^ { 2 } / \mu \rangle } .
\tau _ { ( 0 ) } = - \int \frac { d \omega } { \pi } \mathrm { ~ I ~ m ~ T ~ r ~ } \Big \{ \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { < } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { A } + \tilde { \Psi } _ { ( 0 ) } ^ { R } \tilde { G } _ { ( 0 ) } ^ { < } \Big \} .
d s ^ { 2 } = \frac { 4 | d e ^ { z } | ^ { 2 } } { ( 1 + | e ^ { z } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 4 | e ^ { z } | ^ { 2 } | d z | ^ { 2 } } { ( 1 + | e ^ { z } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { H ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 i \pi } \int _ { \gamma } \frac { H ( z ) } { z - \omega } d z + \sum _ { p } \sum _ { m = 1 } ^ { \nu _ { p } } \frac { \alpha ( H , p , - m ) } { ( \omega - p ) ^ { m } } } \end{array}
A _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } = P _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } - \frac { 1 } { 4 } P _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } \partial _ { \nu } P _ { \lambda }
\left( { \frac { q } { p } } \right) = ( - 1 ) ^ { \left\lfloor { \frac { q } { p } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 q } { p } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { m q } { p } } \right\rfloor }
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbf { m } _ { 1 } } { d t } = } & { - \gamma \mathbf { m } _ { 1 } \times \mathbf { H } _ { 1 } - \gamma H _ { \mathrm { s } 1 } \mathbf { m } _ { 1 } \times \left( \mathbf { m } _ { 2 } \times \mathbf { m } _ { 1 } \right) } \\ & { + \gamma H _ { \mathrm { s } } \mathbf { m } _ { 1 } \times \left( \mathbf { p } \times \mathbf { m } _ { 1 } \right) + \alpha _ { 1 } \mathbf { m } _ { 1 } \times \frac { d \mathbf { m } _ { 1 } } { d t } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { S _ { T P G } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 4 } x \sqrt { h } T , } & { S _ { G R } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 \pi G } \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { { } = { \frac { \mathrm { { d } } \mathbf { L } } { \mathrm { { d } } t } } = { \frac { \mathrm { { d } } ( \mathbf { I } \cdot { \boldsymbol { \omega } } ) } { \mathrm { { d } } t } } } \end{array}
\langle \bar { P } \rangle _ { 0 } = \kappa { \frac { \partial } { \partial \bar { t } } } \, \bar { F } _ { 0 } = { \frac { \partial } { \partial \bar { t } } } \, \Bigl ( \bar { t } t _ { s } + F _ { 0 } ( t _ { s } ) \Bigr ) = t _ { s } = \bar { t } ^ { \, 1 - \bar { \gamma } } \ ,
V _ { s o } ^ { \bar { q } Q } = { \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 r ^ { 3 } } } \vec { L } \cdot [ \vec { S } _ { Q } ( { \frac { 1 } { m _ { Q } ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { m _ { Q } m _ { q } } } ) + \vec { S } _ { \bar { q } } ( { \frac { 1 } { m _ { q } ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { m _ { Q } m _ { q } } } ) ] - { \frac { b } { 2 r } } \vec { L } \cdot [ { \frac { \vec { S } _ { Q } } { m _ { Q } ^ { 2 } } } + { \frac { \vec { S } _ { \bar { q } } } { m _ { q } ^ { 2 } } } ]
\frac { \partial \, L _ { n } } { \partial \, t } = \frac { 1 } { 2 } \left( p \, \frac { \partial \, L _ { n } } { \partial \, p } - n \, \left( L _ { n } - u \right) \right) \, u _ { x } - \frac { \partial \, L _ { n } } { \partial \, x } \, u - v ^ { n - 1 } \, v _ { x }
\begin{array} { r l r } { I _ { 0 } ( m , E , L _ { z } , L ) } & { = } & { m , } \\ { I _ { 1 } ( m , E , L _ { z } , L ) } & { = } & { L _ { z } , } \\ { I _ { 2 } ( m , E , L _ { z } , L ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \oint p _ { \vartheta } d \vartheta = \frac { 1 } { \pi } \int _ { \vartheta _ { 1 } } ^ { \vartheta _ { 2 } } \sqrt { L ^ { 2 } - K ( \vartheta ) } d \vartheta , } \\ { I _ { 3 } ( m , E , L _ { z } , L ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \oint p _ { r } d r = \frac { 1 } { \pi } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \frac { \sqrt { R ( r ) } } { \Delta ( r ) } d r , } \end{array}
\arctan x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } x ^ { 2 n + 1 } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 } } + . . .
\begin{array} { r l } { \tau \lambda ( \alpha ) } & { { } = 1 + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 6 } - \frac { \alpha ^ { 4 } } { 8 6 4 } - \frac { \alpha ^ { 6 } } { 7 7 7 6 0 } + \frac { 1 1 \alpha ^ { 8 } } { 8 9 5 7 9 5 2 0 } + \frac { 1 9 \alpha ^ { 1 0 } } { 2 2 5 7 4 0 3 9 0 4 } + \dots } \end{array}
\theta _ { r s } = \frac { 1 } { 4 } x _ { r s } \theta _ { r s } + \frac { 1 } { 1 6 } \sum _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } x _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } \theta _ { r ^ { \prime } s ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { f _ { a } \cdot \mathrm { ~ G ~ e ~ V ~ } ^ { - 1 } } = 1 0 ^ { - 1 0 } \sqrt { \frac { m _ { 1 5 } ^ { 2 } } { c _ { r } \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } } \bigg | \frac { \delta r } { r } \bigg | } , } \end{array}
Z _ { P } = 1 + \frac { 1 } { F ^ { 2 } } K _ { P } ^ { a } m _ { a } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } F ^ { 2 } } L _ { P } ^ { a } m _ { a } ^ { 2 } \ln \frac { m _ { a } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { C _ { 3 , k } } & { = \frac { 2 } { 3 \Gamma ( k + 1 ) } \sum _ { \{ n \} } \phi _ { \{ n \} } \frac { \langle - n _ { 1 } - n _ { 2 } + n _ { 5 } + n _ { 6 } \rangle } { \Gamma ( - n _ { 1 } - n _ { 2 } ) } } \\ & { \; \; \; \times \langle k + 1 + n _ { 1 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 5 } \rangle \langle k + 1 + n _ { 1 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } + n _ { 6 } \rangle } \\ & { \; \; \; \times \langle k + 1 + n _ { 1 } + n _ { 2 } + 2 n _ { 3 } \rangle \langle k + 1 + n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { \Delta ( x ) } ( \ell _ { \infty } ^ { \pi ( x ) } ) \big ) \, = \, \big \| \mathbf { P } _ { \Delta ( x ) } : C ( \mathbb { T } ^ { \pi ( x ) } ) \rightarrow \mathcal { P } _ { \Delta ( x ) } ( \ell _ { \infty } ^ { \pi ( x ) } ) \big \| \, = \, \int _ { \mathbb { T } ^ { \pi ( x ) } } \big | \sum _ { \alpha \in \Delta ( x ) } z ^ { \alpha } \big | d z \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \rho } ( k , t ) \equiv } & { { } \frac { \langle \rho ^ { \ast } ( k , 0 ) \rho ( k , t ) \rangle } { \langle \rho ^ { \ast } ( k , 0 ) \rho ( k , 0 ) \rangle } } \\ { = } & { { } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } e ^ { - D _ { \mathrm { T } } k ^ { 2 } t } + \frac { 1 } { \gamma } e ^ { - \Gamma k ^ { 2 } t } \cos ( c _ { \mathrm { s } } k t ) , } \end{array}
( { \cal V } _ { - 1 / 8 } \otimes { \cal V } _ { 1 } ) _ { \mathrm { f } } = { \cal V } _ { 3 / 8 } \, , \qquad ( { \cal V } _ { 3 / 8 } \otimes { \cal V } _ { 1 } ) _ { \mathrm { f } } = { \cal V } _ { - 1 / 8 } \, .
\frac { g ( x ) } { g ( \tilde { x } ) } = 1 + \frac { g ^ { ( 1 ) } ( \tilde { x } ) u \epsilon ^ { 1 / 2 } } { g ( \tilde { x } ) } + \frac { g ^ { ( 2 ) } ( \tilde { x } ) u ^ { 2 } \epsilon } { 2 ! g ( \tilde { x } ) } + \mathcal { O } \left( \epsilon ^ { 3 / 2 } \right)
\cdots { \overset { d _ { n + 1 } } { \longrightarrow } } E _ { n } { \overset { d _ { n } } { \longrightarrow } } \cdots { \overset { d _ { 3 } } { \longrightarrow } } E _ { 2 } { \overset { d _ { 2 } } { \longrightarrow } } E _ { 1 } { \overset { d _ { 1 } } { \longrightarrow } } E _ { 0 } { \overset { \varepsilon } { \longrightarrow } } M \longrightarrow 0 .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \rho } = \hat { \rho } - \rho _ { 0 } } & { { } = } & { \rho _ { 0 } ( e ^ { ( \alpha _ { 0 } - \hat { \alpha } ) \Delta t } - 1 ) \approx \rho _ { 0 } ( \alpha _ { 0 } - \hat { \alpha } ) \Delta t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 , D } ( \Delta _ { c } ) = } & { } \\ { ~ \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = v _ { \uparrow } } ^ { 3 v _ { \sigma } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { f } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = v _ { \downarrow } } ^ { v _ { \uparrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \\ { + \frac { \Delta v _ { c } } { v _ { \sigma } \sqrt { 2 \pi } } } & { \sum _ { v _ { i } = - 3 v _ { \sigma } } ^ { v _ { \downarrow } } \rho _ { 1 2 } \left( v _ { i } , \Delta _ { c } \right) e ^ { \frac { - v _ { i } ^ { 2 } } { 2 v _ { \sigma } ^ { 2 } } } } \end{array}
J = \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial \xi _ { 1 } } \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial \xi _ { 2 } } - \frac { \partial x _ { 1 } } { \partial \xi _ { 2 } } \frac { \partial x _ { 2 } } { \partial \xi _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { y \in B ( x _ { n } , ( 1 - \varepsilon ) \rho ) } u ( y ) } & { \geq \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { n } , \rho / 2 ) } u ( x ) } \\ & { \geq C \left( d , \alpha , \frac { l _ { n } } { \rho } , \frac { 1 } { 2 } \right) \cdot \hdots \cdot C \left( d , \alpha , \frac { l _ { 2 } } { \rho } , \frac { 1 } { 2 } \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { 1 } , \rho / 2 ) } u ( x ) } \\ & { \geq C \left( d , \alpha , \frac { l _ { n } } { \rho } , \frac { 1 } { 2 } \right) \cdot \hdots \cdot C \left( d , \alpha , \frac { l _ { 2 } } { \rho } , \frac { 1 } { 2 } \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { 1 } , \varepsilon \rho ) } u ( x ) . } \end{array}
p _ { q } = \frac { \delta ( 1 + 1 ) ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) \cdots ( 1 + ( q - 1 ) ) } { \frac { 1 } { \mu } ( \mu + 1 ) ( \mu + 2 ) ( \mu + 3 ) \cdots ( \mu + ( q - 1 ) } .
\begin{array} { r } { \mathcal { B } _ { p } = \left( \mathcal { B } _ { p } \cap \mathcal { B } _ { D } \right) \cup \left( \mathcal { B } _ { p } \setminus \mathcal { B } _ { D } \right) = \left( \mathcal { B } _ { p } \cap \mathcal { B } _ { D } \right) \cup \left( \mathcal { B } _ { p } ^ { + } \setminus \mathcal { B } _ { D } \right) \cup \left( \mathcal { B } _ { p } ^ { - } \setminus \mathcal { B } _ { D } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { \pm } ( z ) } & { = } & { \frac { \sqrt [ 4 ] { \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } c ^ { 2 } \omega ^ { 2 } e ^ { 2 \beta z } + \left( \omega + \alpha \omega e ^ { \beta z } \right) ^ { 4 } } } { \omega } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( \omega \left( \alpha e ^ { \beta z } + 1 \right) ^ { 2 } \pm i \alpha \beta c e ^ { \beta z } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. + i \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \arg \left( \omega \left( \alpha e ^ { \beta z } + 1 \right) ^ { 2 } \pm i \alpha \beta c e ^ { \beta z } \right) \right) \right] , } \end{array}
\epsilon _ { 1 2 } ^ { \prime } = M _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 } ^ { \dagger } M _ { 0 } \epsilon _ { 2 } - \epsilon _ { 2 } M _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 } ^ { \dagger } M _ { 0 } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \dot { Q } } ( 0 ) } & { = } & { - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) + } \\ & { } & { - i \mu _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \; d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { K } ( \omega ) ^ { - 1 } \cdot \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A D } } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { D } } ( \omega ) , } \end{array}
\left[ P _ { ( n ) } T \right] ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } = { P _ { ( n ) } } _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { n } } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { n } } \, T ^ { \, \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { n } } .
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = e ^ { - { \frac { 2 \phi } { 3 } } } d s _ { 1 0 } ^ { 2 } + e ^ { \frac { 4 \phi } { 3 } } ( d x _ { 1 1 } - A _ { \mu } d x ^ { \mu } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \frac { \tau \left( t \right) } { \dot { \tau } \left( t \right) } \left\lVert \dot { y } \left( t \right) \right\rVert ^ { 2 } } & { = } & { \frac { \tau ( t ) } { \tau ( t ) ^ { \frac { q - 1 } { q } } \lambda ( t ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \left\lVert \dot { y } \left( t \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \tau ( t ) ^ { \frac { 1 } { q } } } { \lambda ( t ) ^ { \frac { 1 } { q } } } \left\lVert \dot { y } \left( t \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \tau ( t ) ^ { \frac { 1 } { q } } \left\lVert \dot { y } \left( t \right) \right\rVert ^ { 2 + \frac { p - 1 } { p q } } \quad \forall t \geq t _ { 0 } . } \end{array}
\frac { A ( \overline { { { B _ { q } ^ { 0 } } } } \to D ^ { 0 } f _ { r } ) } { A ( B _ { q } ^ { 0 } \to D ^ { 0 } f _ { r } ) } = \eta _ { f _ { r } } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { C P } } ( B _ { q } ) } \frac { \overline { { { v } } } _ { r } } { v _ { r } ^ { \ast } } \frac { 1 } { a _ { f _ { r } } e ^ { i \delta _ { f _ { r } } } }
R [ \rho ] = \int d { \mathbf r } \, { \cal R } [ \rho ] = \int d { \mathbf r } \, { \cal E } [ \rho ] + \frac { 1 } { 2 } I \omega ^ { 2 } = \int d { \mathbf r } \, { \cal E } [ \rho ] + \frac { L ^ { 2 } } { 2 I }
\nu ( t ) = \nu ( t _ { 1 } , \ldots , t _ { n } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i - 1 } t _ { i } d t _ { 1 } \wedge \ldots \wedge \hat { d t _ { i } } \wedge \ldots \wedge d t _ { n }
< / s p a n > s t a n d s f o r t h e h e a t k e r n e l . W h a t w o u l d t h e r e g u l a r i t y o f t h e s o l u t i o n b e n o w ? I c a n s e e t h a t t h e i n t e g r a l t e r m w i l l p r o v i d e s o m e c o n t i n u i t y i n t i m e s i n c e t h e k e r n e l i s e x t r e m e l y s m o o t h ( b e s i d e s < s p a n c l a s s = " m a t h - c o n t a i n e r " >
\alpha _ { n } ( \omega ) = V _ { n } \, \frac { \varepsilon ( \omega ) - 1 } { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) - \frac { 2 i \omega ^ { 3 } } { 3 c ^ { 3 } } V _ { n } [ \varepsilon ( \omega ) - 1 ] } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { s i n g l e } } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } , \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } - \mu _ { t _ { i + 1 } } ^ { \mathrm { O D E , F } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } - \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\mathbf { T } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ l ~ , ~ r ~ a ~ y ~ } } ^ { ( m ) } = \sigma \frac { { P } _ { 1 , \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ , ~ r ~ a ~ y ~ } } ^ { ( m ) } } { \omega } \hat { \mathbf { r } } _ { 1 , \mathrm { ~ a ~ b ~ s ~ , ~ r ~ a ~ y ~ } } ^ { ( m ) }
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { F _ { f _ { X } } ( Z _ { i } , \theta ; x ) } { 1 + \lambda _ { f _ { X } } F _ { f _ { X } } ( Z _ { i } , \theta ; x ) } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { F _ { m } ( Z _ { i } , Y _ { i } , \theta ; x ) } { 1 + \lambda _ { m } F _ { m } ( Z _ { i } , Y _ { i } , \theta ; x ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f ^ { n } \frac { \d ^ { 3 } v } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = \frac { 1 - n } { 2 } B _ { 0 } ^ { \alpha } x \, ( 1 - x ^ { 2 } ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \\ { v } & { { } = \frac { \d v } { \d x } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \frac { \d v } { \d x } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { \nu , s } ^ { \prime \prime } } & { = \frac { q _ { \nu , s } ^ { \prime \prime } } { s _ { 1 } n _ { * } + s _ { 4 } n _ { 1 } } \; , \quad s \in \mathbb { Z } ^ { 4 } \colon ( s _ { 1 } , s _ { 4 } ) \neq ( 0 , 0 ) \; , } \\ { \hat { q } _ { \nu , p } ^ { \prime } } & { = \frac { q _ { \nu , p } ^ { \prime } } { n _ { 1 } } \; , \quad p \in \mathbb { Z } ^ { 2 } \; , } \end{array}
( \tau _ { \beta } ^ { B } ) _ { \zeta , \eta } ^ { i , j } ( 1 _ { D ( H ) } ) = 1 _ { N _ { B } } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) \beta _ { i j } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) .
\psi _ { 0 } ( x , y ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \Psi _ { 0 } ( k _ { x } , k _ { y } ) ~ e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { y } y ) } ~ d k _ { x } d k _ { y }
\begin{array} { r } { \mathbf { \hat { t } } = \mathbf { r ^ { \prime } } , \quad \mathbf { \hat { n } } = \frac { \mathbf { \hat { t } ^ { \prime } } } { \lVert \mathbf { \hat { t } ^ { \prime } } \rVert } , \quad \textrm { a n d } \quad \mathbf { \hat { b } } = \mathbf { \hat { t } } \times \mathbf { \hat { n } } , } \end{array}
\Phi ( r , \theta , \varphi , t ) = \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { \varphi } - 1 } \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { r } + p - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \theta } - 1 } \phi _ { j k l } ( t ) \Lambda _ { j } ( r ) \Lambda _ { k } ( \theta ) \Lambda _ { l } ( \varphi )
D ( t , t ^ { \prime } ) = \frac { 2 \nu t _ { 0 } } { [ 2 i \nu \omega _ { 0 } ( t _ { 0 } ) t _ { 0 } ] ^ { 2 \nu } } ( z z ^ { \prime } ) ^ { \nu } \left[ I _ { \nu } ( z ) K _ { \nu } ( z ^ { \prime } ) - K _ { \nu } ( z ) I _ { \nu } ( z ^ { \prime } ) \right] ,
I _ { m , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sin ^ { m - 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } - \frac { m - 1 } { n - 1 } I _ { m - 2 , n - 2 } } \\ { \frac { \sin ^ { m + 1 } { a x } } { a ( n - 1 ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } - \frac { m - n + 2 } { n - 1 } I _ { m , n - 2 } } \\ { - \frac { \sin ^ { m - 1 } { a x } } { a ( m - n ) \cos ^ { n - 1 } { a x } } + \frac { m - 1 } { m - n } I _ { m - 2 , n } } \end{array} \right. \,
{ \hat { G } } ( { \hat { \xi } } { \hat { \eta } } ; { \hat { \xi } } ^ { \prime } { \hat { \eta } } ^ { \prime } ) = \int { d \xi _ { 0 } d \eta _ { 0 } d \xi _ { 0 } ^ { \prime } d \eta _ { 0 } ^ { \prime } } G ( \xi \eta ; \xi ^ { \prime } \eta ^ { \prime } )
z ^ { 3 } = \frac { z _ { 0 } k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 2 4 ( c _ { 2 } - \pi ^ { 2 } / 8 ) } , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad z ( T _ { t } ) = \sqrt [ 3 ] { \eta z _ { 0 } } ,
\mathcal { D } ( \boldsymbol { U } _ { \infty } , t ) \boldsymbol { U } _ { \infty } = 0 , \quad \mathcal { B } ( \boldsymbol { U } _ { \infty } , t ) \boldsymbol { U } _ { \infty } = G , \quad \boldsymbol { F } ( t ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \mu _ { u v w } ( \mathbf { p } _ { u v w } ) } & { = \mu _ { x y z } ( \boldsymbol \phi ^ { - 1 } ( \mathbf { p } _ { u v w } ) ) J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } ^ { - 1 } J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } ^ { - \top } \mathrm { d e t } ( J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } ) , } \\ { \boldsymbol \rho _ { u v w } ( \mathbf { p } _ { u v w } ) } & { = \rho _ { x y z } ( \boldsymbol \phi ^ { - 1 } ( \mathbf { p } _ { u v w } ) ) J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } ^ { \top } J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } / \mathrm { d e t } ( J _ { \boldsymbol \phi ^ { - 1 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { k } ^ { r + 1 } = \Bigg [ \varphi _ { k } ^ { r } + } & { \gamma _ { k } \Bigg ( \frac { \partial h _ { k } ( \varphi , \xi ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = \varphi _ { k } ^ { r } , ~ \xi = \xi _ { k } ^ { r } } \Bigg ) ^ { \top } } \\ & { \times \Big ( v ^ { * } - h _ { k } \big ( \varphi _ { k } ^ { r } , \xi _ { k } ^ { r } \big ) \Big ) \Bigg ] _ { \underline { { q } } _ { k } } ^ { \overline { { q } } _ { k } } , \quad r \geq 0 , } \end{array}
\delta \kappa = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ 2 ( Y _ { e } ^ { \dagger } Y _ { e } ) ^ { T } \kappa + 2 \kappa \, ( Y _ { e } ^ { \dagger } Y _ { e } ) - \lambda \kappa + C _ { \kappa } \right] \frac { 1 } { \epsilon } \; ,
\begin{array} { r l } { D _ { [ t , t + \varepsilon ] } ( n ) ( c _ { i } ) } & { = \int _ { t } ^ { t + \delta } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c _ { i } ^ { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } \\ & { \quad + \int _ { t + \delta } ^ { t + \varepsilon } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c _ { i } ^ { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } \\ & { \geq \int _ { t } ^ { t + \delta } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c _ { i } ^ { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n } ( f ( s ) - \tilde { f } ( s ) ) \d s } \\ & { \quad - \int _ { t + \delta } ^ { t + \varepsilon } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c _ { i } ^ { 2 } s + c _ { i } b ( s ) } s ^ { n } \operatorname* { m a x } ( f ( s ) , \tilde { f } ( s ) ) \d s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L L ( Y | \alpha , \beta , \phi , c , \theta ) = } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \left[ e ^ { \alpha + \beta t _ { i } } + \sum _ { j : t _ { j } < t _ { i } } \left( \frac { \phi } { ( t - t _ { j } + c ) ^ { \theta } } - \xi \right) \right] } \\ & { - \int _ { t _ { i n } } ^ { t _ { f i n } } \left[ e ^ { \alpha + \beta t } + \sum _ { j : t _ { j } < t } \left( \frac { \phi } { ( t - t _ { j } + c ) ^ { \theta } } - \xi \right) \right] d t } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u _ { N } = \pi _ { N } [ d i v ( ( \eta _ { \epsilon } + \phi ( z _ { N } ) ^ { 2 } ) \nabla u _ { N } ) ] - ( u _ { N } - g _ { N } ) \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \partial _ { t } z _ { N } = 2 \epsilon \Delta z _ { N } - \pi _ { N } [ \phi ^ { \prime } ( z _ { N } ) \phi ( z _ { N } ) | \nabla u _ { N } | ^ { 2 } ] + \frac { 1 - z _ { N } } { 2 \epsilon } \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times U } \\ { \frac { \partial } { \partial n } u _ { N } = \frac { \partial } { \partial n } z _ { N } = 0 \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \partial U } \\ { u _ { N } ( 0 , \cdot ) = \pi _ { N } [ u _ { 0 } ] \mathrm { ~ a n d ~ } z _ { N } ( 0 , \cdot ) = \pi _ { N } [ z _ { 0 } ] \mathrm { ~ i n ~ } \{ 0 \} \times U } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l r l } { z _ { 1 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 1 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 2 } = 0 } } & { z _ { 1 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 1 } } { I _ { 2 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } \\ { z _ { 2 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { I _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 2 } = 0 } } & { z _ { 2 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { I _ { 2 } } } \right| _ { I _ { 1 } = 0 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbb { C } } _ { n m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { C } ^ { ( 0 ) } - i n \omega _ { \mathrm { r f } } \mathbf { I } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ n = m , } \\ { \mathbf { C } ^ { ( \pm 1 ) } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ m = n \mp 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { R } _ { 1 } ( t ) } & { = \dot { R } _ { 0 } ( t ) - h e ^ { t A _ { 0 } } \left( A _ { 0 } v _ { 1 } ( t ) + v _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) \right) } \\ & { = A R _ { 0 } ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } h ^ { j } A _ { j } e ^ { t A _ { 0 } } u + \tilde { r } _ { 0 , N } ( t ) - h A e ^ { t A _ { 0 } } v _ { 1 } ( t ) + h ( A - A _ { 0 } ) e ^ { t A _ { 0 } } v _ { 1 } ( t ) - h e ^ { t A _ { 0 } } v _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \\ & { = A R _ { 1 } ( t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N - 1 } h ^ { j } A _ { j } e ^ { t A _ { 0 } } u + \tilde { r } _ { 0 , N } ( t ) + h ( A - A _ { 0 } ) e ^ { t A _ { 0 } } v _ { 1 } ( t ) - h e ^ { t A _ { 0 } } v _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) } \end{array}