harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \dot { m } _ { \mathrm { C } } } { \dot { m } _ { \mathrm { F M } } } = \frac { 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ) } { \alpha _ { \mathrm { M } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { g } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } ) } = \frac { 4 \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ) } { \alpha _ { \mathrm { M } } r _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ( \bar { c } _ { \mathrm { p } } / \bar { c } _ { \mathrm { g } } ) ) } = \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { M } } r _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } }
\begin{array} { r l } { \frac { d x } { d \tau } = } & { \frac { 2 x } { \Tilde { K } ( x , y , \eta , \zeta , \epsilon ) } \Bigg \{ \zeta \left( 2 \eta ^ { 2 } - 1 \right) x ^ { 5 } + 5 \eta \left( \eta ^ { 2 } - 3 \right) x ^ { 4 } } \\ & { - 4 x \left( 9 \zeta \eta ^ { 4 } + y ^ { 4 } \left( \zeta + 2 \lambda + \lambda \eta ^ { 2 } \right) - 3 y ^ { 2 } \left( 2 \zeta \eta ^ { 2 } + \lambda \eta ^ { 4 } \right) \right) } \\ & { + 2 \epsilon x ^ { 3 } \left( - 6 \zeta \eta ^ { 4 } + 6 \zeta \eta ^ { 2 } + y ^ { 2 } \left( ( 2 \zeta - \lambda ) \eta ^ { 2 } - 2 ( \zeta + \lambda ) \right) \right) } \\ & { + 1 2 \epsilon \eta x ^ { 2 } \left( 3 \eta ^ { 4 } + \eta ^ { 2 } - \left( \eta ^ { 2 } + 2 \right) y ^ { 2 } \right) + 4 \eta \left( y ^ { 2 } - 3 \eta ^ { 2 } \right) \left( \left( \eta ^ { 2 } + 3 \right) y ^ { 2 } - 3 \left( \eta ^ { 4 } + \eta ^ { 2 } \right) \right) \Bigg \} , } \\ { \frac { d y } { d \tau } = } & { \frac { y } { \Tilde { K } ( x , y , \eta , \zeta , \epsilon ) } \Bigg \{ 7 2 \eta ^ { 7 } + 1 2 \eta ^ { 4 } x \left( \lambda \left( 2 y ^ { 2 } + 3 \right) - 2 \zeta \epsilon x ^ { 2 } \right) } \\ & { + 4 \eta ^ { 2 } x \left( \epsilon x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) \left( \zeta \epsilon x ^ { 2 } - \lambda \left( y ^ { 2 } + 3 \right) \right) + 2 4 \eta ^ { 5 } \left( 3 \epsilon x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) } \\ & { + 2 \eta ^ { 3 } \left( - 1 2 \epsilon x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x ^ { 4 } + 4 y ^ { 4 } \right) + \lambda x \left( \epsilon x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) \left( 5 \epsilon x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) \Bigg \} , } \\ { \frac { d \eta } { d \tau } = } & { \frac { 2 \eta \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) } { \Tilde { K } ( x , y , \eta , \zeta , \epsilon ) } \Bigg \{ 2 \zeta x ^ { 5 } + 5 \eta x ^ { 4 } - 4 \lambda x y ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } - 3 \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { + 2 \epsilon x ^ { 3 } \left( ( 2 \zeta - \lambda ) y ^ { 2 } - 6 \zeta \eta ^ { 2 } \right) - 1 2 \epsilon \eta x ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } - 3 \eta ^ { 2 } \right) + 4 \eta \left( y ^ { 2 } - 3 \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( B , D ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 B } \int _ { - B } ^ { B } \left( \varepsilon W _ { 1 } ( X , 0 ) + \varepsilon ^ { 2 } W _ { 2 } ( X , 0 ) \right) d X } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 0 } } & { { } = q _ { t } - t m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { p _ { 0 } } & { { } = p _ { t } , } \\ { A _ { 0 } } & { { } = \left( A _ { t } ^ { - 1 } - t m ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { { } = \gamma _ { t } - t T ( p _ { t } ) + \frac { i \hbar } { 2 } \ln \operatorname* { d e t } \left( \operatorname { I d } _ { D } - t m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } \right) . } \end{array}
S _ { P } = \int d ^ { 2 } x \left\{ \left( \frac { 1 } { 1 + \varphi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left[ \varphi ^ { 2 } V ^ { 2 } + ( \partial \varphi ) ^ { 2 } \right] + 2 \lambda \epsilon ^ { \nu \mu } \partial _ { \nu } V _ { \mu } \right\} .
\begin{array} { r } { \Delta ^ { - 1 } u = \int _ { 0 } ^ { r } \frac { 1 } { s _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { s _ { 2 } } s _ { 1 } u ( s _ { 1 } ) \mathrm { d } s _ { 1 } \mathrm { d } s _ { 2 } . } \end{array}
{ \cal { M } } _ { a } ( K ^ { - } \rightarrow \pi ^ { - } ; Q _ { 6 } ) \; = \; \sqrt { 2 } G _ { F } \lambda _ { u } \, ( - 8 ) \, ( \frac { N _ { c } \, M } { f _ { \pi } } \, \tilde { \mu } ^ { 2 \epsilon } ) ^ { 2 } \, \, I _ { \chi } \; ,
\begin{array} { r } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } ^ { 2 } \le \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } ^ { 2 } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { 2 } \le \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } ^ { 2 } \langle k \rangle ^ { 2 \eta _ { 2 } } \langle \xi \rangle ^ { - 2 \eta _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf S } _ { \mathrm { P } } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { R e } \left( { \bf E } \times { \bf H } ^ { \star } \right) + \frac { \mu _ { \gamma } ^ { 2 } } { 2 \mu } \mathrm { R e } \left( \phi { \bf A } ^ { \star } \right) \, , } \\ { \langle u _ { \mathrm { P } } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \mathrm { R e } \left( { \bf B } \cdot { \bf H } ^ { \star } + { \bf D } \cdot { \bf E } ^ { \star } \right) } \end{array}
d \Gamma = { \frac { \left| { \mathcal { M } } \right| ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } { \frac { | { \vec { p } } _ { 1 } | } { M ^ { 2 } } } \, d \phi _ { 1 } \, d \left( \cos \theta _ { 1 } \right) .
\langle ( \Pi _ { z } { } ^ { a } \gamma _ { a } { \cal C } ) \rangle \, \langle ( \Pi _ { z } { } ^ { a } \gamma _ { a } { \cal C } ) ^ { \dagger } \rangle = - | Z | ^ { 2 } \mathrm { I } \ , \qquad \langle ( \gamma _ { \hat { \mu } } { \cal C } \; \Pi _ { z } { } ^ { \hat { \mu } } ) \rangle \, \langle ( \gamma _ { \hat { \mu } } { \cal C } \; \Pi _ { z } { } ^ { \hat { \mu } } ) ^ { \dagger } \rangle = | Z | ^ { 2 } \mathrm { I } \ ,
\frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { L } \hat { u } ( x , t ) \mathop { d x } = \int _ { 0 } ^ { L } \sum _ { m = - N } ^ { N } \frac { d \tilde { u } _ { m } } { d t } e ^ { \frac { 2 \pi i m x } { L } } \mathop { d x } = L \tilde { N } _ { 0 } = 0 .
\langle \Pi _ { s , \Omega \Omega } ^ { H , \ell } \rangle = - \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } \left\langle \left( \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } + \partial _ { i } \overline { { \omega } } _ { j } ^ { \ell } \right) \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { \omega } } _ { j } ^ { \ell } \right\rangle = - \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } \left\langle \partial _ { j } ( \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { \omega } } _ { j } ^ { \ell } ) \right\rangle = 0 \ ,
e q 3 5 Y ( p ) = p \frac { 1 } { r } [ e ^ { - p \bar { \mu } r } - e ^ { - \Lambda r } ( 1 + \frac { \Lambda ^ { 2 } - p ^ { 2 } \bar { \mu } ^ { 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 } } \Lambda r ) ]
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } : = \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \left( \mathrm { i d } - \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } \right) \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } , } \end{array}
\frac 1 2 { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } v ^ { 2 } } { 4 } } ( 2 W _ { + } ^ { \mu } W _ { \mu - } + W _ { 3 } ^ { \mu } W _ { \mu 3 } ) + { \frac { g _ { 2 } g _ { 1 } v ^ { 2 } } { 4 } } W _ { 3 } ^ { \mu } W _ { \mu 4 } + \frac 1 2 { \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } v ^ { 2 } } { 4 } } W _ { 4 } ^ { \mu } W _ { \mu 4 }
g ( t ) = \sum _ { \alpha ^ { \prime } \in \mathcal { A } } ( - \mathrm { i } ) ^ { \lvert \alpha ^ { \prime } \rvert } t ^ { \alpha ^ { \prime } } h _ { \alpha ^ { \prime } } ( t ) \ , \quad h _ { \alpha ^ { \prime } } ( t ) = \sum _ { \{ 1 \le i \le n , \alpha \in A _ { i } : \alpha = \alpha ^ { \prime } \} } c _ { i , \alpha } e ^ { - \textrm { i } t \cdot x _ { i } } .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { m a x } , i } ^ { \mathrm { a n g } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 H _ { \mathrm { m a x } , i } ^ { \mathrm { r a d } } } & { \mathrm { f o r } \ \gamma _ { i } = 1 } \\ { H _ { \mathrm { m a x } , i } ^ { \mathrm { r a d } } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { 1 } } J ( \left[ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \right] ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { s \sim \mu , k \sim \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( \cdot | s ) } [ \nabla _ { \theta _ { 1 } } \log ( \pi _ { \theta _ { 1 } } ^ { h } ( k | s ) ) \mathbb { E } _ { a _ { k } \sim \pi _ { \theta _ { 2 } } ^ { l } ( \cdot | s , k ) } [ r ( s , a _ { k } ) ] ] . } \end{array}
\left( { \frac { \partial S } { \partial T } } \right) _ { V } = - k _ { B } \sum _ { i } { \frac { Z \cdot { \frac { \partial f ( E _ { i } , T ) } { \partial T } } \cdot \log f ( E _ { i } , T ) - { \frac { \partial Z } { \partial T } } \cdot f ( E _ { i } , T ) \cdot \log f ( E _ { i } , T ) } { Z ^ { 2 } } } = - k _ { B } \sum _ { i } { \frac { \partial } { \partial T } } \left( { \frac { f ( E _ { i } , T ) } { Z } } \right) \cdot \log f ( E _ { i } , T )
i \ln W _ { q \overline { { { q } } } } ^ { \mathrm { S R } } = \int _ { t _ { \mathrm { i } } } ^ { t _ { \mathrm { f } } } d t \, \left\{ - \frac { 4 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } } { r } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 4 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } } { r } ( \delta ^ { h k } + \hat { r } ^ { h } \hat { r } ^ { k } ) \dot { z } _ { 1 } ^ { h } \dot { z } _ { 2 } ^ { k } \right\} .
\begin{array} { r l r } { \nabla J _ { H } ( \theta ) } & { = } & { \mathbb E _ { \rho , \pi _ { \theta } } [ g ( \tau , \theta ) ] , } \\ { g ( \tau , \theta ) } & { = } & { \sum _ { t = 0 } ^ { H - 1 } \left( \sum _ { h = t } ^ { H - 1 } \gamma ^ { h } r ( s _ { h } , a _ { h } ) \right) \nabla \log \pi _ { \theta } ( a _ { t } | s _ { t } ) \, , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \pi _ { r } : J ^ { r } ( \pi ) \to M } \\ { j _ { p } ^ { r } \sigma \mapsto p } \end{array} \right. } , \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \pi _ { r , 0 } : J ^ { r } ( \pi ) \to E } \\ { j _ { p } ^ { r } \sigma \mapsto \sigma ( p ) } \end{array} \right. }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { L } \frac { d z } { L } \Psi ^ { * } \left( \hat { l } _ { x } ^ { 2 } + \hat { l } _ { y } ^ { 2 } \right) \Psi = \hbar ^ { 2 } \left( m ^ { 2 } \frac { L ^ { 2 } } { 3 r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } + i k L \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \lambda } \tau _ { \pm } = \mp \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \frac { d } { d y _ { 1 } } \tau _ { \pm } = \pm \frac { h ^ { \prime \prime } } { ( 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } n _ { \pm } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { K j } } & { = \operatorname* { s u p } _ { t \ge 0 } \frac { t ^ { K j } } { \exp ( \omega _ { M } ( t ) ) } \ge \frac { 1 } { e ^ { D } } \operatorname* { s u p } _ { t \ge 0 } \frac { t ^ { K j } } { \exp ( \omega _ { L } ( t ^ { K } ) ) } = \frac { 1 } { e ^ { D } } \operatorname* { s u p } _ { s \ge 0 } \frac { s ^ { j } } { \exp ( \omega _ { L } ( s ) ) } = \frac { 1 } { e ^ { D } } L _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { F } ( x , z , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = \sqrt { 1 + \frac { | X ^ { \perp } | ^ { 2 } } { 4 z } } = : E _ { 0 } ; } & { \ \tilde { F } _ { p } ( x , z , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = - H _ { S } E _ { 0 } + \frac { X ^ { \perp } } { 4 z E _ { 0 } } , } \\ { \tilde { F } _ { \xi } ( x , z , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = \frac { - 1 } { 4 z E _ { 0 } } g ^ { i j } X _ { i } X ^ { \perp } , } & { \ \tilde { F } _ { \eta } ( x , z , 0 , \mathbf { 0 } , 0 ) } & { = \frac { X ^ { \perp } } { 2 z E _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { p } } & { { } = \| \nabla ^ { 2 } \phi \| _ { p } \leq \| \nabla ^ { 2 } \bar { \phi } \| _ { p } + C \| h ^ { \prime \prime } \| _ { \infty } \| u _ { 1 } \| _ { 1 } } \end{array}
\phi ( \tau , x ^ { - } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \! \int d k ^ { + } \; \! \frac { \theta ( k ^ { + } ) } { \sqrt { 2 k ^ { + } } } \left[ a ( \tau , k ^ { + } ) e ^ { - i k ^ { + } x ^ { - } } + { a ^ { \dag } } ( \tau , k ^ { + } ) e ^ { i k ^ { + } x ^ { - } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = 2 \bar { n } _ { e } ^ { ( 1 ) } + 1 = \frac { 2 \bar { n } _ { B } } { 1 - \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } } + 1 = \frac { \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } \xi _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } } { 1 - \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } } + 1 , } \\ { \gamma } & { { } = \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } ) ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , } \\ { \theta } & { { } = \sqrt { \tau ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } ) } ( \omega - \mu ) , } \\ { \psi } & { { } = \sqrt { \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \phi = \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } \omega + ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ } } ) \mu , } \end{array}
\frac { d f ( \lambda ) } { d t } \, = \, - \, \frac { \partial } { \partial \lambda } K _ { 1 } \, f ( \lambda ) \, + \, \frac { 1 } { 2 } \, \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \lambda ^ { 2 } } K _ { 2 } \, f ( \lambda ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { m a x i m i z e } : \quad } & { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { K } & { 0 } \\ { 0 } & { - K } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { \bar { P } } & { . } \\ { . } & { \bar { Q } } \end{array} \right) \right\rangle } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } : \quad } & { \Psi _ { 1 } ^ { \dagger } \left( \begin{array} { l l } { \bar { P } } & { . } \\ { . } & { \bar { Q } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \bar { P } } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { Q } } \end{array} \right) \leq \left( \begin{array} { l l } { I } & { 0 } \\ { 0 } & { I } \end{array} \right) } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { \bar { P } } & { . } \\ { . } & { \bar { Q } } \end{array} \right) \geq 0 . } \end{array}
\phi _ { i } ( g _ { 1 } , g _ { 2 } , g _ { 3 } , g _ { 4 } ) = { \frac { 1 } { 4 ! } } \sum _ { \sigma \in \Sigma _ { 4 } } \chi _ { i } ( \sigma ) \phi _ { i } ( g _ { \sigma ( 1 ) } , g _ { \sigma ( 2 ) } , g _ { \sigma ( 3 ) } , g _ { \sigma ( 4 ) } ) .
\left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 8 \pi } { 3 m _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } } \left[ \dot { f } ^ { 2 } + { \frac { K } { a ^ { 6 } f ^ { 2 } } } + V \left( f \right) \right] \; .
L _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { - i } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { i } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\Sigma ( k , \omega ) = \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k ^ { \prime } \mathrm { ~ d ~ } \omega ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { k ( k - k ^ { \prime } ) } { D _ { 0 } ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 2 } + i ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } \frac { S ( k ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) } { h _ { 0 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \Delta _ { i , j } \left( k e V \right) = \left( E _ { i , j } ^ { 2 6 1 4 . 5 k e V } - E _ { i , j + 1 } ^ { 2 6 1 4 . 5 k e V } \right) a _ { i , j } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } & { { } = } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 2 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log M ^ { * } ( n , D , \varepsilon ) } & { \geq n R ( P _ { X } , D ) + \sqrt { n \mathrm { V } ( P _ { X } , D ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ^ { \prime } ) - \log n } \\ & { = n R ( P _ { X } , D ) + \sqrt { n \mathrm { V } ( P _ { X } , D ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) + O ( \log n ) . } \end{array}
\textrm { N L L } = - \ln \mathcal { L } \left( \boldsymbol { \sigma } | ( \mathbf { r } | \mathbf { s } ) ; n \right) = - \sum _ { i } \ln p ^ { ( n ) } ( \mathbf { r } _ { i } | \mathbf { s } _ { i } ; \boldsymbol { \sigma } ) ,
\begin{array} { r l } { I } & { = \left\vert \overrightarrow { E } _ { s f } \right\vert ^ { 2 } = 2 \sum _ { n = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - Z } ^ { Z - n } [ \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert } \\ & { \times \cos ( \left( 2 l + n \right) \Omega t + n \phi + 2 \theta + \varphi _ { n } ^ { l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m - l } \right\vert \left\vert A _ { m + n + l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( \left( 2 l - n \right) \Omega t - n \phi + 2 \theta - \varphi _ { n } ^ { - l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n + l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n \Omega t + n \phi + \psi _ { n } ^ { l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m - l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n \Omega t + n \phi + \psi _ { n } ^ { - l } ) ] . } \end{array}
\frac { \partial \alpha _ { f } \rho _ { f } \widetilde { u _ { i , f } } } { \partial t } + \frac { \partial \alpha _ { f } \rho _ { f } \widetilde { u _ { i , f } } \widetilde { u _ { j , f } } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \widetilde { p } } { \partial x _ { i } } + \alpha _ { f } \rho _ { f } g _ { i } + \frac { \partial \alpha _ { f } \widetilde { \tau _ { i j } } } { \partial x _ { j } } - R _ { i , p f } + \frac { \partial \alpha _ { f } \widetilde { \Gamma _ { i j } } } { \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , F _ { T , 0 } \rangle = } & { { } p _ { n , s } ^ { X } \big ( \mathbb { E } [ f ( T , Y _ { j _ { 1 } } - T , \dots , Y _ { j _ { m } } - T ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ Y _ { j _ { 1 } } - T > 0 , \dots , Y _ { j _ { m } } - T > 0 \right\} } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \textsf { T r } \left( M _ { 1 } ( u _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } - 1 _ { i _ { 1 } = j _ { 1 } } \cdot I ) ( u _ { j _ { 2 } } u _ { i _ { 2 } } ^ { \top } - 1 _ { i _ { 2 } = j _ { 2 } } \cdot I ) M _ { 2 } ^ { \top } \right) , \textsf { T r } \left( M _ { 1 } w _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } u _ { j _ { 2 } } w _ { i _ { 2 } } ^ { \top } M _ { 2 } ^ { \top } \right) , \textsf { T r } \left( M _ { 1 } z _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } u _ { j _ { 2 } } z _ { i _ { 2 } } ^ { \top } M _ { 2 } ^ { \top } \right) , } \\ { \textsf { T r } \left( M _ { 1 } ( u _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } - 1 _ { i _ { 1 } = j _ { 1 } } \cdot I ) u _ { j _ { 2 } } w _ { i _ { 2 } } ^ { \top } M _ { 2 } ^ { \top } \right) , \textsf { T r } \left( M _ { 1 } ( u _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } - 1 _ { i _ { 1 } = j _ { 1 } } \cdot I ) u _ { j _ { 2 } } z _ { i _ { 2 } } ^ { \top } M _ { 2 } ^ { \top } \right) , \textsf { T r } \left( M _ { 1 } w _ { i _ { 1 } } u _ { j _ { 1 } } ^ { \top } u _ { j _ { 2 } } z _ { i _ { 2 } } ^ { \top } M _ { 2 } ^ { \top } \right) } \end{array}
\texttt { \textbf { M } } = \left[ \begin{array} { c c } { \texttt { \textbf { M } } _ { 1 1 } } & { \texttt { \textbf { M } } _ { 1 2 } } \\ { \texttt { \textbf { M } } _ { 2 1 } } & { \texttt { \textbf { M } } _ { 2 2 } } \end{array} \right] \, \, .
\begin{array} { r l } { U _ { + } } & { ( \mathbf { x } ) = U ( 0 ) + \left( \mathbf { x } ^ { + } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { + + } \mathbf { x } ^ { + } / 2 + } \\ & { + \left( \mathbf { x } ^ { - } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { -- } \mathbf { x } ^ { - } / 2 - \left( \mathbf { x } ^ { + } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { - 1 } \right) ^ { + - } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } = \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( J _ { i } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ A ~ } } - J _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { \ell } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { k r _ { g } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { \ell } \bigg \{ ( - 1 ) ^ { \ell } ( 2 \ell - 2 ) ! ! \Big \{ C _ { \ell \ell } ^ { \prime } \cos \ell \phi _ { \xi } + S _ { \ell \ell } ^ { \prime } \sin \ell \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ 1 - ( \vec { k } \cdot \vec { n } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { ( 2 k ) ! } { 4 ^ { k } ( k ! ) ^ { 2 } } \Big ( \frac { b } { r } \Big ) ^ { 2 k } \Big \} \bigg \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } , } \end{array}
p _ { k l } \sim M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { G _ { \boldsymbol { \varepsilon } _ { k } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } G _ { \boldsymbol { \varepsilon } _ { k } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho \bigr ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho h ) + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \rho h \bigr ) = \frac { \gamma } { 2 } \rho ^ { 2 } \eta \partial _ { x } \bigl ( c ( x ) V ( h ) \bigr ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L ( x ( t ) , y ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \psi , \lambda ( t ) ) } & { = o \Big ( \frac { 1 } { t } \Big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( x ( t ) , y ( t ) , \lambda ( t ) ) - ( \xi , \psi , \eta ) \rVert } & { = o \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { t } } \Big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } . } \end{array}
\langle \mathcal { B } ( t ) , s \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \widehat { Q } [ [ \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) , T ] , T ] \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle \widehat { Q } [ [ \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) , T ] , T ] \Phi _ { 0 } , S \Phi _ { 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } } & { : = L ^ { 2 } \big ( 0 , T ; H _ { 0 , \Gamma _ { D } } ^ { 1 } ( \Omega ) \big ) \cap H _ { 0 , * } ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) , } \\ { \mathcal { V } } & { : = L ^ { 2 } \big ( 0 , T ; H _ { 0 , \Gamma _ { D } } ^ { 1 } ( \Omega ) \big ) \cap H _ { * , 0 } ^ { 1 } \big ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { G _ { * } \in \Xi } \frac { \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \left\| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) - ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \right\| ^ { 2 } } { \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } } \lesssim \frac { \log ^ { 2 } n } { n ( \lambda ^ { * } ) ^ { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 4 } } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { \varrho _ { \chi } } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \right| } & { \leq \sqrt { x } \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \omega + \sum _ { 2 0 0 \leq | \gamma _ { \chi } | < \eta ( x _ { 0 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } } + \sum _ { \eta ( x _ { 0 } ) \leq | \gamma _ { \chi } | < T } \frac { 1 } { | \gamma _ { \chi } | } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \bigg ( \left( 1 + \frac { h } { x } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + 1 \bigg ) \frac { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { h } \sum _ { | \gamma _ { \chi } | \geq T } \frac { 1 } { \gamma _ { \chi } ^ { 2 } } . } \end{array}