harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } = a \sqrt { 2 \left( 1 + \cos { \phi } \right) } , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } = r _ { 2 } \sqrt { 2 \left[ 2 + 2 \zeta \left( 1 + \cos { \phi } \right) + \zeta ^ { 2 } \left( 1 + \cos { \phi } \right) \right] } . } \end{array}
V _ { X } : = - \int ^ { x } \frac { \varepsilon } { \partial \sigma } \left[ 1 - c \lvert { g ^ { - 1 } ( x ) - W } \rvert ^ { 1 / 2 } g ^ { - 1 } ( x ) ) \right] \, \mathrm { d } x + V _ { 0 } ( W ) .
\begin{array} { r l } { \lambda ( S ( y _ { l - 2 } , y _ { l - 1 } ) \cup Q ) } & { \leq \lambda ( S ( y _ { l - 2 } , y _ { l } ) \cup Q ) + \lambda ( S ( v , y _ { l - 1 } ) \cup Q ) - \lambda ( S ( v , y _ { l } ) \cup Q ) } \\ & { = \lambda ( S ( y _ { l - 2 } , y _ { l } ) \cup Q ) + \lambda ( S ( y _ { l - 1 } , y _ { l } ) \cup R ) - \lambda ( S ( v , y _ { l } ) \cup S ) } \\ & { \leq \lambda ( S ( y _ { l - 2 } , y _ { l } ) ) + \lambda ( S ( y _ { l - 1 } , y _ { l } ) \cup Q ) - \lambda ( S ( y _ { l - 1 } , y _ { l } ) ) } \\ & { \quad + ( k - 1 ) - \lambda ( S ( v , y _ { l } ) \cup S ) } \\ & { = \lambda ( S ( y _ { l - 1 } , y _ { l } ) \cup Q ) \leq k - 1 } \end{array}
\sqrt { - G } \left( R _ { M N } - \frac { 1 } { 2 } G _ { M N } R \right) = - \frac { 1 } { M ^ { 3 } } \left[ \Lambda \sqrt { - G } G _ { M N } + \sqrt { - g } V g _ { \mu \nu } \delta _ { M } ^ { \mu } \delta _ { N } ^ { \nu } \delta ( x _ { 5 } ) \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \left( \mathrm { d } ^ { \mathrm C E } \eta \right) ( x , y , z ) } & { = \nu ( x ) ( \eta ( y , z ) ) - \nu ( y ) ( \eta ( x , z ) ) + \nu ( z ) ( \eta ( x , y ) ) } \\ & { \quad - \eta ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } , y ) + \eta ( [ x , z ] _ { \mathfrak { g } } , y ) - \eta ( [ y , z ] _ { \mathfrak { g } } , x ) . } \end{array}
S _ { 1 3 } ^ { q } = { S _ { 1 3 } ^ { s h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) .
\phi ^ { k \to i } ( t + 1 ) = ( 1 - \beta ) ( 1 - \gamma ) \phi ^ { k \to i } ( t ) - [ ( 1 - \nu ^ { k } ( t + 1 ) ) P _ { S } ^ { k \to i } ( t + 1 ) - ( 1 - \nu ^ { k } ( t ) ) P _ { S } ^ { k \to i } ( t ) ]
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 1 1 } } & { { } = } & { 4 { [ ( f { _ Z } - f _ { Y } ) - i ( f { _ X } - f _ { X ^ { \prime } } ) ] } } \\ { F _ { 2 0 0 } } & { { } = } & { 4 [ ( f { _ Z } + f _ { Y } ) - ( f { _ X } + f _ { X ^ { \prime } } ) ] } \end{array}
\varphi ( \mathbf { r } , t ) = \int { \frac { \delta \left( t ^ { \prime } - { \frac { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } { c } } - t \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) d ^ { 3 } r ^ { \prime } d t ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { d = } & { \frac { 1 } { T _ { S R } T _ { S D } T _ { R D } } } \\ & { \times \operatorname* { m a x } _ { n _ { r } } \{ N _ { S } ( T _ { S R } T _ { S D } T _ { R D } - N _ { S } T _ { S R } T _ { R D } - n _ { r } T _ { S R } T _ { S D } ) } \\ & { + \operatorname* { m i n } \{ N _ { S } ^ { \ast } N _ { S } ( T _ { S R } T _ { R D } - T _ { S D } T _ { R D } ) , } \\ & { \quad \quad \quad n _ { r } ( T _ { S R } T _ { S D } T _ { R D } - N _ { S } T _ { S R } T _ { R D } - n _ { r } T _ { S R } T _ { S D } ) \} \} . } \end{array}
\frac { \partial ^ { k } c _ { 1 } } { \partial t ^ { k } } \bigg | _ { t = T _ { 0 } } = \mathcal { C } _ { 0 } ^ { ( k ) } , \ \frac { \partial ^ { k } c _ { 1 } } { \partial t ^ { k } } \bigg | _ { t = T _ { 1 } } = \mathcal { C } _ { 1 } ^ { ( k ) } , k = 1 , 2 , \cdots ,
\begin{array} { r } { \overbrace { a _ { o } \bar { \phi } _ { i } + \sum _ { \ell \ge 1 } a _ { \ell } ( \bar { \phi } _ { i + \ell } + \bar { \phi } _ { i - \ell } ) } ^ { \left[ 1 + \sum _ { \ell \geq 1 } \epsilon _ { 2 \ell } ( \Delta x ) ^ { 2 \ell } \delta _ { x } ^ { 2 \ell } \right] \{ \bar { \phi } \} } = \overbrace { b _ { o } \phi _ { i } + \sum _ { r \ge 1 } b _ { r } ( \phi _ { i + r } + \phi _ { i - r } ) } ^ { \left[ 1 + \sum _ { r \geq 1 } \epsilon _ { 2 r } ( \Delta x ) ^ { 2 r } \delta _ { x } ^ { 2 r } \right] \{ \phi \} } \ . } \end{array}
J = \operatorname* { d e t } \left( { \boldsymbol { F } } \right) , \quad { \boldsymbol { C } } = { \boldsymbol { F } } ^ { T } { \boldsymbol { F } } = { \boldsymbol { U } } ^ { 2 } , \quad { \boldsymbol { F } } = { \boldsymbol { R } } { \boldsymbol { U } } , \quad { \boldsymbol { R } } ^ { T } = { \boldsymbol { R } } ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { q ( y | x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { | \mathcal { N } ( x ) | } \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } ( x ) | } + \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { j } ( x ) | } \right) , } & { \mathrm { i f } ~ \exists \, i \in \mathcal { N } ( x ) } \\ & { \land ~ \exists j \in \mathcal { N } _ { i } ( x ) : } \\ & { y \equiv \tau _ { i j } ( x ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\omega ( x , t ) \, = \, \omega _ { \mathrm { l i n } } ( x - a ( t ) , t ) \, + \, \omega _ { \mathrm { c o r r } } ( x , t ) \, , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \| \omega _ { \mathrm { c o r r } } ( \cdot \, , t ) \| \, \le \, K \, \Gamma \, \biggl ( \frac { \sqrt { \nu t } } { r _ { 0 } } \biggr ) ^ { \! 1 - 3 \sigma } \, ,
\rho _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \left( \frac { \Gamma ( n / 2 + 1 ) m } { \nu } \right) ^ { 1 / d } \; \; \; } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ a ~ } d - \mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ e ~ n ~ s ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ E ~ u ~ c ~ l ~ e ~ d ~ i ~ a ~ n ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ } \medskip } \\ { \displaystyle \cosh ^ { - 1 } \left( \frac { m } { 2 \pi \nu } - 1 \right) \; \; \; } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ a ~ h ~ y ~ p ~ e ~ r ~ b ~ o ~ l ~ i ~ c ~ p ~ l ~ a ~ n ~ e ~ } } \end{array} \right.
\frac { \partial \textbf { Q } } { \partial t } + \frac { \partial \textbf { F ( Q ) } } { \partial x } + \frac { \partial \textbf { G ( Q ) } } { \partial y } = 0 \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ d ~ o ~ m ~ a ~ i ~ n ~ } \quad \Omega
\boldsymbol { H } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { P } ^ { \mathrm { Z F , a s y } } = \delta \boldsymbol { H } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Phi } \boldsymbol { \Phi } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { H } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Phi } \boldsymbol { \Phi } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { H } ) ^ { - 1 } = \delta \boldsymbol { I } _ { K } .
\epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( q ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \epsilon _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ } } + \epsilon _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } } \frac { 1 + \epsilon _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } } \operatorname { t a n h } ( | q | d ) } { \epsilon _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } } + \operatorname { t a n h } ( | q | d ) } \right] ,
{ \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d \phi } \Phi ^ { 2 } + \frac { \alpha } { 2 } \Phi ^ { 2 } - \sqrt { 3 \left( \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { 2 } + V _ { 0 } \right) } \Phi + \alpha V _ { 0 } = 0 . }
\small \widetilde { \beta } _ { j } ^ { \mathrm { D e b } } - \beta _ { j } = \frac { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } \epsilon } { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , j } } + \frac { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , - j } ( \beta _ { - j } - \widehat { \beta } _ { - j } ) } { Z _ { \cdot , j } ^ { \intercal } X _ { \cdot , j } } .
\begin{array} { r } { | P _ { \mathrm { s s } , P _ { 0 } } ^ { \lambda } \rangle = | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle + 2 \mathrm { R e } [ | R _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { 1 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle ] } \\ { + | R _ { 3 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { 3 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { c l } { { } } & { { G _ { N } ^ { ( i ) } ( z , z ^ { \prime } | z _ { 1 } ^ { \prime } , \cdots , z _ { N } ^ { \prime } , z _ { N } , \cdots , z _ { 1 } ) ^ { j _ { 1 } ^ { \prime } , \cdots , j _ { N } ^ { \prime } , j _ { N } , \cdots , j _ { 1 } } } } \\ { { = } } & { { { } _ { i } \langle B | A _ { S W } ^ { ( i ) } ( z , z ^ { \prime } ) \phi _ { j _ { 1 } ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } - z _ { 1 } ^ { \prime } ) \cdots \phi _ { j _ { N } ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } - z _ { N } ^ { \prime } ) \phi ^ { j _ { N } } ( z _ { N } - z ^ { \prime } ) \cdots \phi ^ { j _ { 1 } } ( z _ { 1 } - z ^ { \prime } ) A _ { S W } ^ { ( i ) } ( z , z ^ { \prime } ) | B \rangle _ { i } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac 1 { n _ { k } } \partial _ { x x } \tilde { u } _ { n _ { k } } , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } \Big | \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { L } = - 2 \int \int _ { V } \frac { \partial v } { \partial t } d x d y } & { + 2 \oint _ { S } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } ( v ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) - x v \zeta - x \frac { \partial u } { \partial t } + \frac { 1 } { R e } \Big ( x \nabla ^ { 2 } u + \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } + 2 \frac { \partial v } { \partial y } \Big ) \Bigg ] d x } \\ & { + 2 \oint _ { S } \Big ( - u v + x u \zeta + x \frac { \partial u } { \partial t } - \frac { 1 } { R e } x \nabla ^ { 2 } v \Big ) d y } \end{array}
U ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { U _ { 0 } ( 1 + \frac { d - r } { b } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r < d , } \\ { U _ { 0 } \exp ( \frac { d - r } { b } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \ge d . } \end{array} \right.
{ } ^ { ( 4 ) } \! R ( g + \langle \delta _ { 2 } g \rangle ) = { } ^ { ( 4 ) } \! R ( g ) - 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \langle T ^ { \mathrm { G W } } { } _ { 5 } ^ { 5 } \rangle + \frac { \dot { B } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \left( \frac { \langle \delta _ { 2 } V \rangle } { V } - \frac { \langle \dot { \delta } _ { 2 } V \rangle } { \dot { V } } \right) ,
\biggl ( \frac { \hat { \Lambda } ^ { 3 N _ { c } - N _ { f } } } { \operatorname * { d e t } X } \biggr ) ^ { \frac { 1 } { N _ { c } - N _ { f } } } 1 - m X + \frac { 1 } { g } X ^ { 2 } = 0 .
\sum _ { \Xi = 0 } ^ { 4 } \sum _ { b = 1 } ^ { N ^ { 2 } - 1 } \int \! \! d ^ { D } \! x \, \bar { \Pi } _ { \Theta \Xi } ^ { a b } ( w , x ) \, \bar { D } _ { b c } ^ { \Xi \Phi } ( x , y ) \, .
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb { R } } \phi ( y ) \big ( u _ { x } ( y ) - u _ { \Delta x , x } ( y ) \big ) d y \right| } & { = \left| \int _ { \mathbb { R } } \phi ^ { \prime } ( y ) \left( u ( y ) - u _ { \Delta x } ( y ) \right) d y \right| } \\ & { \leq \| \phi ^ { \prime } \| _ { 2 } \| u - u _ { \Delta x } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \left( 1 + \sqrt { 2 } \right) \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \| \phi ^ { \prime } \| _ { 2 } \Delta x . } \end{array}
\langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times \delta { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle ^ { i } = \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \times \tau _ { b } ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { U } } } \rangle ^ { i } = \left\langle { \epsilon ^ { i j k } u ^ { \prime } { } ^ { j } \tau _ { b } b ^ { \ell } \frac { \partial U ^ { k } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle = \tau _ { b } \langle { u ^ { \prime } { } ^ { j } b ^ { \prime } { } ^ { \ell } } \rangle \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial U ^ { k } } { \partial x ^ { \ell } } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d M } { d t } } } & { = \Lambda - \delta M - \mu M } \\ { { \frac { d S } { d t } } } & { = \delta M - { \frac { \beta S I } { N } } - \mu S } \\ { { \frac { d I } { d t } } } & { = { \frac { \beta S I } { N } } - \gamma I - \mu I } \\ { { \frac { d R } { d t } } } & { = \gamma I - \mu R } \end{array} }
\begin{array} { r } { C _ { T } ( g , \tau ) \equiv R _ { T } ( g , \tau ) - \langle g \rangle _ { T } ^ { 2 } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \tilde { C } _ { T } ( g , \tau ) \equiv C _ { T } ( g , \tau ) / C _ { T } ( g , 0 ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \xi _ { 1 } ^ { 2 } ( \theta ) } } \\ { { \xi _ { 2 } ^ { 2 } ( \theta ) } } \end{array} \right) ~ = ~ \sigma _ { 3 } \left( \begin{array} { c } { { \xi _ { 1 } ^ { 1 } ( \theta ) } } \\ { { \xi _ { 2 } ^ { 1 } ( \theta ) } } \end{array} \right)
\mathcal { L } _ { t i m e } = \frac { 1 } { \mathcal { T } - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal { T } - 1 } \frac { 1 } { | V _ { t } \cap V _ { t + 1 } | } \sum _ { i \in V _ { t } \cap V _ { t + 1 } } | | h _ { i } ^ { t } - h _ { i } ^ { t + 1 } | | _ { 2 } ^ { 2 }
\partial { \cal U } ( { \bf R } , { \bf X } ) / \partial R _ { I } = 2 \mathrm { T r } [ { \bf h } _ { R _ { I } } { \bf D } ] + \mathrm { T r } [ ( 2 { \bf D } - { \bf P } ) { \bf G } _ { R _ { I } } ] + \partial V _ { n n } / \partial R _ { I } - 2 \mathrm { T r } [ { \bf Z } { \bf Z } ^ { T } { \bf F } { \bf D } { \bf S } _ { R _ { I } } ]
i \hbar { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } ( 1 , \cdots , N ) = { \frac { 1 } { 2 m } } \sum _ { p = 1 } ^ { N } \{ i \hbar \partial _ { i } ^ { ( p ) } - { \frac { e } { c } } \sum _ { r = 1 ( \ne p ) } ^ { N } { \cal A } _ { i } ( p , r ) \} ^ { 2 } \Phi ( 1 , \cdots , N ) \, .
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { C } ^ { m } } , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \lambda _ { C } ^ { m } } , } \\ & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { \lambda \neq \lambda _ { 0 } } \frac { 1 } { 1 - \lambda _ { C } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( \boldsymbol { \beta } , \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \delta } ) = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { L } \log \mathnormal { p } \big ( \mathbf { r } ( t ) ; \boldsymbol { \beta } , \boldsymbol { \rho } , \boldsymbol { \delta } \big ) } \\ { = } & { f - L \big ( \log \vert \mathbf { G } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { G } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { R } } \big ] \big ) , } \end{array}
\bigl ( P _ { 1 } \eta _ { 0 } \bigr ) ( R , Z ) \, = \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { R { + } R ^ { \prime } } { 2 } \, \eta _ { 0 } ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, = \, \frac { R } { 2 } \, ,
h _ { e _ { i } e _ { j } } d e ^ { i } d e ^ { j } = \mathrm { T r } ( V _ { 1 } \cdot V _ { 1 } ) = \frac 2 { ( e ^ { 2 } ) ^ { 2 } } e _ { 0 } ^ { 2 } \left( ( d e _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( d e _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) \, \quad ( i , j = 1 , 2 )
4 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 4 \alpha ^ { 2 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 4 0 0 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau ^ { 3 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 8 \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \le 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 3 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r } { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 1 } { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 2 s - 1 } { s } } . } \end{array}
\Delta E _ { 2 P \rightarrow 2 S } ^ { ( 1 ) \, \textrm { p o i n t c h a r g e } } = E _ { 2 P } ^ { ( 1 ) } - E _ { 2 S } ^ { ( 1 ) } = 2 0 5 . 3 0 6 6 4 ( 1 0 0 ) \, \textrm { m e V }
\begin{array} { r l } { y _ { \sigma ( 1 ) } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq \sigma ( 1 ) } \beta _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( j ) } } \sum _ { j \neq 1 } \beta _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( j ) } y _ { \sigma ( j ) } \ ; U _ { \sigma ( 1 ) } \right) } \\ { \vdots } & { } \\ { y _ { \sigma ( N ) } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq \sigma ( N ) } \beta _ { \sigma ( N ) \sigma ( j ) } } \sum _ { j \neq N } \beta _ { \sigma ( N ) \sigma ( j ) } y _ { \sigma ( j ) } \ ; U _ { \sigma ( N ) } \right) } \end{array}
\Upsilon _ { \textbf { a } \overline { { \textbf { b } } } } = \Upsilon _ { \textbf { c } \textbf { a } _ { 1 } \overline { { \textbf { b } } } _ { 1 } \overline { { \textbf { c } } } } \asymp \Upsilon _ { \textbf { c } } \Upsilon _ { \textbf { a } _ { 1 } \overline { { \textbf { b } } } _ { 1 } } \Upsilon _ { \overline { { \textbf { c } } } } \ll \Upsilon _ { \textbf { c } } ^ { 2 } ,
\left( \frac { a ^ { \prime } } { b } \right) ^ { 2 } = \frac { - \Lambda _ { b } } { 6 M ^ { 3 } } a ^ { 2 } + \left( \frac { \dot { a } } { n } \right) ^ { 2 } + K + \frac { C } { a ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \int _ { D _ { H } } 2 \Re \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { E } ( u , ( x _ { 2 } - m ) e _ { j } ) \partial _ { 2 } \bar { u } _ { j } \, \mathrm { d } x + C _ { 1 } ( \| \mathrm { d i v } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \mathrm { c u r l } \, u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } ) } \\ { \ge C _ { 2 } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } \pmb { \mathscr { G } } _ { k ^ { \prime } , j _ { i } , l ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } \right] \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k ^ { \prime } , j _ { i } , l ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \right] + v _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } } \delta \left( k - k ^ { \prime } \right) \delta \left( l - l ^ { \prime } \right) .
\begin{array} { r } { P _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ g ~ } } : \quad 8 \le i _ { 1 } + i _ { 2 } + i _ { 3 } + i _ { 4 } + i _ { 5 } + i _ { 6 } + i _ { 7 } + i _ { 8 } \le H \; . } \end{array}
\mathcal { T } _ { 2 } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { 1 } { 3 } s _ { N } } & { } & { } & { } & { \frac { 1 } { 6 } s _ { N } e ^ { - \i \alpha L } } \\ { \frac { 1 } { 6 } s _ { N } e ^ { \i \alpha L } } & { } & { } & { } & { \frac { 1 } { 3 } s _ { N } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { u _ { 2 } ^ { \prime } ( t , \alpha _ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { r ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } + t ^ { \gamma _ { r } } } + ( t + \alpha _ { 2 } r ) \frac { r \gamma _ { r } ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } - 1 } t ^ { \gamma _ { r } } } { ( ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } + t ^ { \gamma _ { r } } ) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { n } = { \left( \begin{array} { l l } { F _ { n + 1 } } & { F _ { n } } \\ { F _ { n } } & { F _ { n - 1 } } \end{array} \right) } .
E _ { B } \ = \ - \frac { \cos \pi s } { \pi } \mu ^ { 2 s } \sum _ { l } \int _ { m } ^ { \infty } d k ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 - s } \frac { \partial } { \partial k } \ln f _ { l } ( i k ) \ ,
\begin{array} { r } { \centering P _ { \mu e } \simeq P _ { \mu e } ( \mathrm { S I } ) + P _ { \mu e } ( a _ { e \beta } / c _ { e \beta } ) + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 2 } , \alpha \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } , a _ { e \beta } ^ { 2 } , c _ { e \beta } ^ { 2 } , a _ { \mu \tau } ^ { 2 } , c _ { \mu \tau } ^ { 2 } ) , \, \, \, \, \, \, \, \beta = \mu , \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal R } } & { { } = } & { - \frac { 3 i \Gamma \pi } { \Omega k ^ { 2 } a ^ { 2 } } \frac { \Omega / 2 } { \Delta + i ( \Gamma / 2 ) + i { \cal G } } } \\ { \langle \eta _ { E } ^ { + } \rangle ( x < L ) } & { { } = } & { \hat { \varepsilon } ( e ^ { i k x } + { \cal R } e ^ { i k | x | } + A _ { \alpha } [ e ^ { - i k x } + { \cal R } e ^ { i k | x | } ] ) } \\ { \langle \eta _ { E } ^ { + } \rangle ( x > 0 ) } & { { } = } & { \hat { \varepsilon } A _ { \beta } ( e ^ { i k ( x - L ) } + { \cal R } e ^ { i k | x - L | } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { t } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] \leq e ^ { - K t } { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { 0 } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] + ( 1 - e ^ { - K t } ) { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { \star } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal C } _ { 0 } ^ { - } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \lambda > - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \mu > \mu _ { 1 } ^ { + } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 1 } ^ { - } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda < - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \mu > \mu _ { 1 } ^ { + } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda \in \mathbb { R } , \, \, \mu = \mu _ { 1 } ^ { + } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda > - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \mu _ { 1 } ^ { - } < \mu < \mu _ { 1 } ^ { + } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 2 } ^ { - } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \lambda < - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \, \, \mu _ { 1 } ^ { - } < \mu < \mu _ { 1 } ^ { + } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \, \lambda \in \mathbb { R } , \, \, \mu = \mu _ { 1 } ^ { - } \} } \\ & { \quad \quad \cup \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \lambda > - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \, \, \mu < \mu _ { 1 } ^ { - } \} , } \\ { { \mathcal C } _ { 3 } ^ { - } } & { = \{ ( \lambda , \mu ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \, \lambda < - \frac { 8 ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 0 } ^ { - } ) } { ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { + } ) ( \mu - \mu _ { 1 } ^ { - } ) } , \, \, \, \, \mu < \mu _ { 1 } ^ { - } \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf p } _ { \textrm { G F } } ( t + \frac { h } { 2 } ) } & { \leftarrow } & { { \bf p } _ { \textrm { G F } } ( t - \frac { h } { 2 } ) + h { \bf f } _ { \textrm { G F } } ( t ) } \\ { { \bf v } _ { \textrm { G F } } ( t + \frac { h } { 2 } ) } & { \leftarrow } & { M ^ { - 1 } { \bf p } _ { \textrm { G F } } ( t + \frac { h } { 2 } ) + { \bf v } _ { T } ( t ) + { \bf v } _ { S } } \\ { { \bf r } _ { \textrm { G F } } ( t + h ) } & { \leftarrow } & { { \bf r } _ { \textrm { G F } } ( t ) + h { \bf v } _ { \textrm { G F } } ( t + \frac { h } { 2 } ) , } \end{array}