harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | { \partial } _ { x } ^ { \beta } u ( t , x _ { 1 } ) - { \partial } _ { x } ^ { \beta } u ( t , x _ { 2 } ) | ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R _ { y } ^ { d } } | G ( s , x _ { 1 } , y ) - G ( s , x _ { 2 } , y ) | ^ { 2 } \, d y \, d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R _ { y } ^ { d } } \Big | \int _ { 0 } ^ { 1 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \cdot \nabla _ { x } G ( s , ( 1 - \lambda ) x _ { 1 } + \lambda x _ { 2 } , y ) \, d \lambda \Big | ^ { 2 } \, d y \, d s } \\ & { \leq | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R _ { y } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { 1 } | \nabla _ { x } G ( s , ( 1 - \lambda ) x _ { 1 } + \lambda x _ { 2 } , y ) | ^ { 2 } \, d \lambda \, d y \, d s } \\ & { \leq | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\lVert \nabla _ { x } G ( s , ( 1 - \lambda ) x _ { 1 } + \lambda x _ { 2 } , y ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , t ] \times \mathbb R _ { y } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d \lambda } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( k = 3 ) ( n ) } & { = \binom { n } { 3 } = \sum _ { i = 2 } ^ { n } \binom { i } { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 2 } ^ { n } \left( \frac { i ^ { 2 } } { 2 } - \frac { i } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } i ^ { 2 } - \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } i \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( n - 1 ) ( n ) ( 2 n - 1 ) } { 6 } - \frac { ( n - 1 ) ( n ) } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 2 n ^ { 3 } - 3 n ^ { 2 } + n } { 6 } - \frac { n ^ { 2 } - n } { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 2 n ^ { 3 } - 6 n ^ { 2 } + 4 n } { 6 } } \\ & { = \frac { n ^ { 3 } } { 6 } - \frac { n ^ { 2 } } { 2 } + \frac { n } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } s _ { X } ( t ) } & { { } = - n _ { X } \left( \frac { \lambda _ { X } } { n _ { X } } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { n _ { \overline { { X } } } } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \frac { s _ { X } ( t ) } { n _ { X } } \right) , } \\ { \frac { d } { d t } i _ { X } ( t ) } & { { } = - \frac { d } { d t } s _ { X } ( t ) + \gamma i _ { X } ( t ) . } \end{array}
\int _ { \Omega } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left\{ { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } + L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \delta x ^ { \sigma } \right\} d ^ { 4 } x = 0 \, .
+ 1 3 4 6 4 4 4 3 1 6 0 a ^ { 3 } N ^ { 4 } - 2 6 9 2 8 8 8 6 3 2 a ^ { 3 } N ^ { 5 } - 2 0 8 0 8 6 2 2 8 0 0 a ^ { 5 } N + 1 1 8 5 2 1 4 0 5 0 0 a ^ { 5 } N ^ { 2 }
p ( \pi \mathcal { G } | \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } ) = p ( \mathcal { G } | \hat { \mathcal { G } } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \pi \in \mathbb { S } _ { N } , \, \hat { \pi } \in \mathbb { S } _ { \hat { N } }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { D } } ( \mathbf { x } , t ) = \int \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } \varepsilon ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) \boldsymbol { \mathcal { E } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\{ \mathfrak { s } _ { G _ { 1 } } ^ { k } ( i _ { 1 } , \dots , i _ { k } ) _ { i ^ { \prime \prime } , l - 1 } : i ^ { \prime \prime } \in N _ { G _ { 1 } } ( i ^ { \prime } ) \} ^ { \# } = \{ \mathfrak { s } _ { G _ { 2 } } ^ { k } ( j _ { 1 } , \dots , j _ { k } ) _ { j ^ { \prime \prime } , l - 1 } : j ^ { \prime \prime } \in N _ { G _ { 2 } } ( \pi ( i ^ { \prime } ) ) \} ^ { \# }
\frac { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) + x ( u _ { 1 } ( t ) - u _ { 1 } ( t / 2 ) ) ) } { \overline { { F } } _ { 1 } ( u _ { 1 } ( t ) ) } \ge \frac { \big ( \overline { { F } } _ { 0 } ( u _ { 0 } ( t ) + x ( u _ { 0 } ( t ) - u _ { 0 } ( t / 2 ) ) ) \big ) ^ { 1 - \varepsilon } } { ( \overline { { F } } _ { 0 } ( u _ { 0 } ( t ) ) ) ^ { 1 - \varepsilon } }
T ^ { \mu \nu } = i \int \! d ^ { 4 } x \, e ^ { - i q \cdot x } \, \langle \pi ( p ) \pi ( p ^ { \prime } ) | \, T J _ { \mathrm { e m } } ^ { \mu } ( x ) J _ { \mathrm { e m } } ^ { \nu } ( 0 ) \, | 0 \rangle \nonumber \, = - g _ { T } ^ { \mu \nu } \sum _ { q } \frac { e _ { q } ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! d z \, { \frac { 2 z - 1 } { z ( 1 - z ) } } \, \Phi _ { q } ^ { \pi \pi } ( z , \zeta , W ^ { 2 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { { 6 } f _ { X Y } ( x , y ) = } & { { \frac { \partial ^ { 2 } F _ { X Y } ( x , y ) } { \partial x \, \partial y } } } \\ { \vdots } \\ { f _ { X Y } ( x , y ) = } & { { \frac { \partial ^ { 2 } C ( F _ { X } ( x ) , F _ { Y } ( y ) ) } { \partial x \, \partial y } } } \\ { \vdots } \\ { f _ { X Y } ( x , y ) = } & { { \frac { \partial ^ { 2 } C ( u , v ) } { \partial u \, \partial v } } \cdot { \frac { \partial F _ { X } ( x ) } { \partial x } } \cdot { \frac { \partial F _ { Y } ( y ) } { \partial y } } } \\ { \vdots } \\ { f _ { X Y } ( x , y ) = } & { c ( u , v ) f _ { X } ( x ) f _ { Y } ( y ) } \\ { \vdots } \\ { { \frac { f _ { X Y } ( x , y ) } { f _ { X } ( x ) f _ { Y } ( y ) } } = } & { c ( u , v ) } \end{array} }
\mathcal { G } _ { 3 , 2 } ^ { ( 4 ) } = \bar { m } _ { 3 1 } \xi _ { 2 } + \bar { n } _ { 3 1 } \xi _ { 3 } , ~ \mathcal { G } _ { 3 , 3 } ^ { ( 4 ) } = \bar { m } _ { 3 2 } \xi _ { 2 } + \bar { n } _ { 3 2 } \xi _ { 3 }
\frac { \mu } { q \gamma } \frac { \nabla B \times \mathbf { b } } { B } = \left( \frac { 3 \mu B _ { 0 } } { q B \gamma r } + \frac { \mu } { q \gamma B } \sum _ { m } A _ { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { \varphi } - \left( \frac { \mu } { q \gamma B } \sum _ { m } i m A _ { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { r } ,
+ ( { \frac { j } { m c q } } ) ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } ] - ( { \frac { Q j } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } m c ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } { \frac { Q ^ { 2 } } { m q ^ { 2 } } } ( 1 - \alpha l n { \frac { q } { r _ { 0 } } } - 2 \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
S _ { 0 } = 2 { \pi } { \hbar } \overline { { { \sum } } } _ { n , m } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } { \psi } _ { n } ^ { \star } ( x _ { 1 } ) ( E _ { m } - H ) { \psi } _ { m } ( x _ { 1 } ) \delta ( { \omega } _ { n m } ) ,
\Sigma ( x _ { 1 } ) = \Sigma ( ( 1 + \xi ^ { a } T _ { d + 1 , a } ) \Sigma ( x _ { 0 } ) ) = ( 1 + a ^ { a b } T _ { a b } ) ( 1 + \xi ^ { a } T _ { d + 1 , a } ) \Sigma ( x _ { 0 } ) ,
f ( x ) = { \frac { c k } { \beta } } { \Big ( } { \frac { x - \gamma } { \beta } } { \Big ) } ^ { c k - 1 } { \Big [ } 1 + { \Big ( } { \frac { x - \gamma } { \beta } } { \Big ) } ^ { c } { \Big ] } ^ { - k - 1 }
\begin{array} { r l r } { D _ { 1 } ( \rho ) = } & { { } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma _ { e g } \left( \hat { \sigma } _ { g e } ^ { j } \rho \hat { \sigma } _ { e g } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } \{ \hat { \sigma } _ { e e } ^ { j } , \rho \} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \mathrm { B I D } } ( x ) } & { = k _ { A \to A + B } ( x - 1 ) } \\ { M ^ { \mathrm { B I D } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to 2 B } - \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to \emptyset } } & { k _ { B \to \emptyset } } \\ { k _ { B \to 2 B } } & { \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to 2 B } + \frac { 1 } { 2 } k _ { B \to \emptyset } } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { { i n v } } } ( \theta _ { b } ^ { \mathrm { { i n v } } } , \theta _ { t } ^ { \mathrm { { i n v } } } ; v , \hat { v } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( v _ { i } - \hat { v } _ { i } \right) ^ { 2 }
\mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } = 0 = \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) } \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { ( 1 1 ) } + \mathbb { T } _ { ( N + 1 ) , \nu } ^ { ( 2 2 ) } \mathbb { B } _ { ( N ) , \nu } ^ { ( 2 1 ) }
\int _ { a } ^ { b } e ^ { - 2 r ^ { 2 } } ( 8 r ^ { 4 } - 8 r ^ { 2 } + 1 ) r = - \frac { 1 } { 4 } e ^ { - 2 r ^ { 2 } } ( 8 r ^ { 4 } + 1 ) | _ { a } ^ { b }
\begin{array} { r l } { \small \int _ { \Omega } \nabla \psi ^ { n + 1 } } & { { } \cdot \nabla \omega + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \int _ { \Omega } \psi ^ { n + 1 } \cdot \omega = \int _ { \partial \Omega _ { o } } \left[ g _ { 1 } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) g _ { 2 } ^ { n + 1 } \right] \omega } \\ { + } & { { } \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left[ g _ { 1 } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \left( - g _ { 3 } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right) \right] \omega - \int _ { \Omega } Q _ { 1 } \omega + \int _ { \Omega } \nabla Q _ { 2 } \cdot \nabla \omega , \quad \forall \omega ; } \end{array}
\mathcal { H } ^ { \ast } = \int d ^ { 2 } \, x \, \left[ \frac { 1 } { 2 } \, \left( \pi _ { i } ^ { \perp } \, \pi _ { i } ^ { \perp } + 4 \, m ^ { 2 } A \, _ { i } ^ { \perp } \, A \, _ { i } ^ { \perp } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \, \epsilon ^ { \, i \, j } \, \partial _ { \, i } \, A \, _ { j } ^ { \perp } \right) ^ { 2 } + 2 \, m \, \left( A _ { 1 } ^ { \perp } \, \pi \, _ { 2 } ^ { \perp } - A \, _ { 2 } ^ { \perp } \, \pi _ { 1 } ^ { \perp } \right) \right] .
\log { [ z ^ { n } ] F ( z ) } \sim \left\{ \begin{array} { l l } { ( \frac { 3 } { 2 } ) ( 2 A ) ^ { 1 / 3 } n ^ { 2 / 3 } } & { \mathrm { i f ~ i = 1 ~ } } \\ { n \exp \big ( - \frac { i - 1 } { 3 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) } \\ { \qquad + A \big ( - \frac { i - 1 } { 3 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) ^ { i - 1 } } \\ { \qquad \qquad \times \exp \big ( 2 \big ( \frac { i - 1 } { 3 } \big ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i > 1 ~ } } \\ { 2 ( B n ) ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 1 ~ } } \\ { n \exp \big ( - \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) } \\ { \qquad + B \big ( - \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) ^ { k - 1 } } \\ { \qquad \qquad \times \exp \big ( \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k ~ > ~ 1 ~ } } \\ { n \exp \big ( - j \! \ \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j } \big ( \frac { n } { - ( j + 1 ) C } \big ) ^ { 1 / j } \big ) \big ) } \\ { \qquad + C \big ( - j \! \ \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j } \big ( \frac { n } { - ( j + 1 ) C } \big ) ^ { 1 / j } \big ) \big ) ^ { j + 1 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j \geq ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = P ( z ) ~ } } \\ { - D + D \log ( { - D / n } ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j = 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \\ { n \exp \big ( - ( j - 1 ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j - 1 } \big ( \frac { n } { - j D } \big ) ^ { 1 / ( j - 1 ) } \big ) \big ) } \\ { \qquad + D \big ( - ( j - 1 ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j - 1 } \big ( \frac { n } { - j D } \big ) ^ { 1 / ( j - 1 ) } \big ) \big ) ^ { j } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ , ~ k = 0 ~ , ~ j > ~ 1 ~ , ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \end{array} \right.
\mathfrak { L } \approx \frac { e \tau _ { \mu } } { ( 4 \pi m _ { \mu } c ) ^ { 2 } } \frac { f _ { h g } \sigma _ { \delta } \bar { B } } { \varepsilon _ { \perp } \varepsilon _ { L } } { E _ { \mu } } ^ { 2 } N _ { + } N _ { - } n _ { b } f _ { r } \, ,
\kappa ^ { 2 } - \tau _ { 1 } ^ { 2 } - \tau _ { 2 } ^ { 2 } = \lambda ^ { 2 } ( E ^ { 2 } - H ^ { 2 } ) ~ , \qquad \kappa \tau _ { 2 } = - \lambda ^ { 2 } ( \vec { E } \cdot \vec { H } )
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( y , \alpha / 2 e ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x } & { \leq \int _ { B ( y , \alpha _ { k _ { 0 } + 1 } ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x \leq \frac { ( 1 + \delta ) ^ { ( k _ { 0 } + 1 ) ( k _ { 0 } + 2 ) } } { ( e ^ { 2 } ) ^ { k _ { 0 } + 1 } } \int _ { B ( y , \alpha _ { 0 } ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x } \\ & { \leq e ^ { - k _ { 0 } } \int _ { B ( y , \alpha / 2 ) } \mathbb { P } ( x ) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon \approx \frac { \gamma ^ { 2 } } { J } } & { { } \frac { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } { 1 - \big ( \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \big ) ^ { M } } , \quad \zeta \approx g \sqrt { \frac { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } { 1 - \big ( \frac { v ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } \big ) ^ { M } } } , } \end{array}
W ( \mathbf { r } , h ) = w _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } + 1 5 ( 1 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ 0 ~ \leq ~ q ~ \leq ~ 1 ~ } } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ 1 ~ < ~ q ~ \leq ~ 2 ~ } } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ 2 ~ < ~ q ~ \leq ~ 3 ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad q = { \lVert } \mathbf { r } { \rVert } / h ,
B ( z , \bar { z } ) = w _ { + } e ^ { \omega z + \bar { \omega } \bar { z } } + w _ { - } e ^ { - \left( \omega z + \bar { \omega } \bar { z } \right) } + w e ^ { \omega z - \bar { \omega } \bar { z } } + \bar { w } e ^ { - \left( \omega z - \bar { \omega } \bar { z } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \int g \partial _ { \omega } \Big ( f \frac { F _ { \omega } } { I } \Big ) \ d E } & { { } = \int \Big ( \int g \partial _ { \omega } \Big ( f \frac { F _ { \omega } } { I } \Big ) \ d \omega \Big ) \ d E _ { \omega } } \end{array}
\mu _ { i j } = \kappa _ { 1 } = \lambda _ { 1 } = 5 / 2 , \quad \lambda _ { 2 } = \lambda _ { 4 } = 3 / 2 \quad \mathrm { a n d \quad } \kappa _ { 4 } = \kappa _ { 2 } = 7 / 2 .
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { a \rightarrow b , M _ { 1 } } ^ { a \rightarrow e , M _ { 2 } } } & { { } = \mathbf { w } _ { a \rightarrow b , M _ { 1 } } \mathbf { w } _ { a \rightarrow e , M _ { 2 } } , } \end{array}
F _ { 2 } ( n , k ; \Delta ^ { 2 } ) = - 2 \pi ^ { 2 } i \{ \frac { 1 } { 1 6 k \mu ^ { 2 } } \frac { [ \sqrt { k ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } } + k - i \mu ] } { [ k + i \frac { ( \Delta ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } { 2 \mu } ] } + \frac { 1 } { 1 6 k \mu ^ { 2 } } \frac { [ \sqrt { k ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } } - k - i \mu ] } { [ k - i \frac { ( \Delta ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } { 2 \mu } ] } \} ,
h _ { x } = 2 x ( 2 y ^ { 4 } + ( 2 x ^ { 2 } - 3 ) y ^ { 2 } + 1 ) , \qquad h _ { y } = 2 y ( x ^ { 4 } + ( 4 y ^ { 2 } - 3 ) x ^ { 2 } + 3 ( y ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r l } { M _ { h _ { x } } ^ { \mathcal { N } , \mathcal { R T } } [ \ell , \kappa ] } & { = ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { \mathcal { R T } } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } & & { \ell = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { N } } , \; \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } , } \\ { J [ \kappa , k ] } & { = j _ { \kappa } ^ { k } , } & & { \kappa = 1 , \dots , N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } , \; k = 0 , \dots , N ^ { t } , } \\ { \widehat M _ { h _ { t } } ^ { 1 } [ l , k ] } & { = ( \varphi _ { k } ^ { 1 } , \varphi _ { l } ^ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } , } & & { l = 0 , \dots , N ^ { t } - 1 , \; k = 0 , \dots , N ^ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { h , a } [ g ] : = } & { \int _ { \mathbb { D } } \frac { - \mathrm { \normalfont ~ R e } [ g ( y ) ] | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } + 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } [ ( 1 + h ^ { \prime } ( y ) ) \overline { { g ^ { \prime } ( y ) } } ] \, \mathrm { \normalfont ~ R e } [ a - f _ { h } ( y ) ] } { | a - f _ { h } ( y ) | ^ { 2 } } \, d y } \\ & { - \int _ { \mathbb { D } } \frac { 2 \mathrm { \normalfont ~ R e } [ ( a - f _ { h } ( y ) ) \overline { { g ( y ) } } ] \, \mathrm { \normalfont ~ R e } [ a - f _ { h } ( y ) ] } { | a - f _ { h } ( y ) | ^ { 4 } } | f _ { h } ^ { \prime } ( y ) | ^ { 2 } \, d y } \end{array}
\Bigl ( x \mapsto \lim _ { 0 } \bigl ( h \mapsto \bigl ( ( \xi \mapsto 2 \xi ^ { 2 } + 5 ) ( x + h ) - ( \xi \mapsto 2 \xi ^ { 2 } + 5 ) ( x ) \bigr ) / h \bigr ) \Bigr ) = \Bigl ( x \mapsto \lim _ { 0 } \bigl ( h \mapsto \bigl ( ( 2 ( x + h ) ^ { 2 } + 5 ) - ( 2 x ^ { 2 } + 5 ) \bigr ) / h \bigr ) \Bigr ) = \bigl ( x \mapsto \lim _ { 0 } ( h \mapsto ( 4 h x + 2 h ^ { 2 } ) / h ) \bigr ) = \bigl ( x \mapsto \lim _ { 0 } ( h \mapsto 4 x + 2 h ) \bigr ) = ( x \mapsto 4 x )
\mathrm { T r } ( \bar { M } ) = { \frac { i } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { \rho } F _ { \rho } ^ { \cal R } { \frac { \rho ^ { 2 } } { ( \rho \cdot \! \bar { q } ) ^ { 2 } } } .
\mathcal { P } _ { c } ( \gamma ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { m } } \sum _ { k = 0 } ^ { m _ { s } - 1 } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 ^ { m } } } \int _ { 0 } ^ { R _ { L } } \frac { ( - s ) ^ { k } } { k ! } { \Bigg [ \frac { \partial ^ { k } \mathcal { L } _ { I _ { t o t } } ( s | \varphi _ { c } , \phi _ { 0 } ^ { i } ) } { \partial { s ^ { k } } } \Bigg ] } _ { s } p _ { \phi } f _ { d _ { 0 } } ( d _ { 0 } ) f _ { \varphi _ { c } } ( \varphi _ { c } ) \mathrm { d } d _ { 0 } \mathrm { d } \varphi _ { c } ,
\begin{array} { r l } { | U | } & { \le \sum _ { j = 0 } ^ { i } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } - \frac { 1 } { 2 ^ { i + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i - 1 } } \bigg ) \cdot | V ^ { ( j ) } | + 2 ^ { d - i - 2 } + 2 ^ { k + i } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { i } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } - \frac { 1 } { 2 ^ { i + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i - 1 } } \bigg ) \cdot ( S _ { j } - S _ { j - 1 } ) + 2 ^ { d - i - 2 } + 2 ^ { k + i } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } - \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j - 1 } } \bigg ) S _ { j } + \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { i + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i } } \bigg ) S _ { i } + 2 ^ { d - i - 2 } + 2 ^ { k + i } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { i } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) S _ { j } + 2 ^ { d - i - 2 } + 2 ^ { k + i } . } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \| ( \nabla ^ { \perp } \cdot V ) ( t , x - t y , y ) \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } + \| ( \nabla ^ { \perp } \cdot B ) ( t , x - t y , y ) \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } } \\ { \leq ( 1 + \kappa ^ { - 2 / 3 } ) ^ { 2 } ( \| \nabla ^ { \perp } \cdot V | _ { t = 0 } \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \perp } \cdot B | _ { t = 0 } \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
R _ { j , \alpha } ^ { k } = - \frac { \zeta ^ { \ell } \eta _ { j , \alpha } ^ { \ell } } { \zeta ^ { \ell } \mathsf { M } _ { i } ^ { \ell } K _ { 1 , e _ { k } } ^ { i } } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad R _ { j , \alpha } ^ { q } = 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; q \in \{ 1 , \ldots , r \} \setminus \{ k \} ,
\mathbf { A } ( ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) , ( { \boldsymbol \tau } , { \mathbf { v } } ) ) \, \geq \, \frac { 1 } { \nu } \left( 1 - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 \, \nu } \right) \, \| { \boldsymbol \tau } ^ { \mathrm { d } } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \alpha } \, \| \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \tau } ) \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } \, \| \nabla { \mathbf { v } } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \, \| { \mathbf { v } } \| _ { 0 , \Gamma } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \hat { \varphi } ( x _ { k } ) - \nabla \hat { \varphi } ( \bar { x } ) + z _ { k } \| } & { \leq \| \nabla \hat { \varphi } ( x _ { k } ) - \nabla \hat { \varphi } ( \bar { x } ) + z _ { k } + \rho _ { k } ( x _ { k } - \bar { x } ) \| + \rho _ { k } \| x _ { k } - \bar { x } \| } \\ & { = o ( \| x _ { k } - \bar { x } \| ) , } \end{array}
{ \cal M } _ { \tilde { t } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { \tilde { t } _ { L } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + \cos { 2 \beta } ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } \, s _ { W } ^ { 2 } ) \, M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { m _ { t } \, M _ { L R } ^ { t } } } \\ { { m _ { t } \, M _ { L R } ^ { t } } } & { { M _ { \tilde { t } _ { R } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 3 } } \, \cos { 2 \beta } \, s _ { W } ^ { 2 } \, M _ { Z } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ \ell ( f ^ { * } ( x _ { s } \cup { \mathbf { x } } _ { i } ) , { \mathbf { y } } ) \big ] } & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } , { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ \ell ( p ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) , { \mathbf { y } } ) \big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \Big [ \mathbb { E } _ { { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } } [ \ell ( p ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) , { \mathbf { y } } ) ] \Big ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } } \big [ H ( { \mathbf { y } } \mid { \mathbf { x } } _ { i } , x _ { s } ) \big ] } \\ & { = H ( { \mathbf { y } } \mid x _ { s } ) - I ( { \mathbf { y } } ; { \mathbf { x } } _ { i } \mid x _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } ^ { ( \mathrm { s t } ) } ( \tilde { y } ) = } & { { } \, \Delta _ { R } ( \alpha ) \tilde { \boldsymbol { r } } _ { 0 } \times \boldsymbol { F } ^ { ( \mathrm { s t } ) } ( \tilde { y } ) } \end{array}
p _ { k l } \sim M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { L ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } L ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\begin{array} { r l } { \Delta f _ { 1 , i } } & { { } = \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i - 2 } - \frac { 2 } { 3 } f _ { i - 1 } + \frac { 2 } { 3 } f _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 2 , i } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i - 2 } + \frac { 4 } { 3 } f _ { i - 1 } - \frac { 5 } { 2 } f _ { i } + \frac { 4 } { 3 } f _ { i + 1 } - \frac { 1 } { 1 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 3 , i } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } f _ { i - 2 } + f _ { i - 1 } - f _ { i + 1 } + \frac { 1 } { 2 } f _ { i + 2 } , } \\ { \Delta f _ { 4 , i } } & { { } = f _ { i - 2 } - 4 f _ { i - 1 } + 6 f _ { i } - 4 f _ { i + 1 } + f _ { i + 2 } . } \end{array}
F _ { e } ( \vec { k } ) = 8 E \sin ( \frac { 1 } { 2 } a k _ { x } ) \sin ( \frac { 1 } { 2 } b k _ { y } ) \sin ( \frac { 1 } { 2 } c k _ { z } ) ( k _ { x } k _ { y } k _ { z } ) ^ { - 1 } .