harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d s } \left( \hat { \bf t } \cdot \hat { \bf e } _ { i } \right) } & { = \hat { \bf t } \cdot \frac { d \hat { \bf e } _ { i } } { d s } + \hat { \bf e } _ { i } \cdot \frac { d \hat { \bf t } } { d s } } \\ & { = \cos \psi _ { 0 } \left( h _ { i } - ( \hat { \bf f } _ { i } \cdot \hat { \bf f } _ { 1 2 } ) \frac { \kappa } { \| \bar { \bf f } _ { i } \| } \right) = 0 \, , \ i = 1 , 2 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \eta \rangle _ { r _ { 0 } } = \eta _ { 0 } \exp \left[ - \left( \frac { r _ { 0 } } { R ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \right) ^ { \vartheta ( 2 / W _ { \mathrm { S T } } ) } \right] , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d c _ { \theta } } = \frac 1 { 2 s } \frac { \beta _ { p } } { 1 6 \pi } \overline { { { \sum _ { h \bar { h } } } } } \left| { \cal M } _ { X Y } ^ { ( h \bar { h } ) } ( m _ { \tilde { l } _ { X } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { l } _ { Y } } ^ { 2 } ) \right| ^ { 2 } ,
\sum _ { k \leq j \leq i \leq n } a _ { i , j } = \sum _ { i = k } ^ { n } \sum _ { j = k } ^ { i } a _ { i , j } = \sum _ { j = k } ^ { n } \sum _ { i = j } ^ { n } a _ { i , j } = \sum _ { j = 0 } ^ { n - k } \sum _ { i = k } ^ { n - j } a _ { i + j , i } \quad
\begin{array} { r } { \delta F _ { r } ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ i ~ a ~ l ~ } } ( q ) = \frac { \Delta \tau } { \beta } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { | F ^ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ l ~ } } ( q , \tau _ { i } ) - F ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( q , \tau _ { i } ) | } { F ^ { \mathrm { ~ Q ~ M ~ C ~ } } ( q , \tau _ { i } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( \psi , \theta ) } } & { = } & { \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( X , Z ) } \frac { \partial ( X , Z ) } { \partial ( \psi , \theta ) } ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ \left| \frac { \partial ( S _ { r } , \Theta ) } { \partial ( X , Z ) } \right| = 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \frac { \partial u } { \partial t } , \psi _ { 1 } \right) + ( d _ { 1 } ( u , v , w ) \nabla u , \nabla \psi _ { 1 } ) - ( \chi _ { u } ( v ) u \nabla v , \nabla \psi _ { 1 } ) = ( \lambda u ( 1 - u - v ) , \psi _ { 1 } ) , } \\ & { } & { \left( \frac { \partial v } { \partial t } , \psi _ { 2 } \right) = ( \rho v ( 1 - u - v ) , \psi _ { 2 } ) - ( \eta v w , \psi _ { 2 } ) , } \\ & { } & { \left( \frac { \partial w } { \partial t } , \psi _ { 3 } \right) + ( d _ { 2 } \nabla w , \nabla \psi _ { 3 } ) = ( \alpha u ( 1 - w ) , \psi _ { 3 } ) - ( \beta w , \psi _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { Q _ { 1 } } \\ { Q _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 / R } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { Q } \\ { \Phi } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { J } ( y ) \simeq 1 - \! \! \int _ { 0 } ^ { y } \! \! d y _ { 0 } \, { \bar { \omega } } ^ { 2 } ( y _ { 0 } ) \left[ 1 \! - \! \frac { \widetilde { n _ { 0 } } } { \bar { n } ( y _ { 0 } ) } \right] \frac { \sin \left[ \bar { \phi } ( y , y _ { 0 } ) \right] } { \sqrt { { \bar { \omega } } ( y ) { \bar { \omega } } ( y _ { 0 } ) } } = : \bar { J } _ { a } ( y ) ; } \end{array}
P ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) = G \left[ S _ { \textbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) , \Delta x \right] W \left[ S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) , \Delta E \right] R ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s )
\begin{array} { r l } { ( S _ { \mathbb { K } } ^ { \bullet } ( \mathcal { E } ^ { \prime } ) , Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } ) } & { \stackrel { \mathcal { H } } { \longrightarrow } ( S _ { \mathbb { K } } ^ { \bullet } ( \mathcal { E } ) \otimes _ { \mathbb { K } } \Omega ^ { \bullet } ( [ a , b ] ) , Q _ { \mathcal { E } } \otimes \mathrm { i d } + \mathrm { i d } \otimes \mathrm { d } _ { { d R } } ) } \\ { v } & { \longmapsto \left( t \in [ a , b ] \mapsto J _ { t } ( v ) \otimes 1 - ( - 1 ) ^ { | v | } H _ { t } ( v ) \otimes d t \right) } \end{array}
\tilde { b } ^ { 1 } = - b ^ { 1 } = W - U \; , \qquad \tilde { b } ^ { 2 } = b ^ { 2 } - b ^ { 1 } = 2 W - U \; , \qquad \tilde { b } ^ { 3 } = b ^ { 3 } - b ^ { 1 } = T - \frac { 5 } { 2 } U + W \; .
f ( \theta , \varphi ) = C + C _ { i } n ^ { i } + C _ { i j } n ^ { i } n ^ { j } + C _ { i j k } n ^ { i } n ^ { j } n ^ { k } + C _ { i j k \ell } n ^ { i } n ^ { j } n ^ { k } n ^ { \ell } + \cdots .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { M } } _ { 3 } ( \delta \phi ) } & { \equiv } & { \hat { \mathcal { M } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , \delta \phi ) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \cos ( \delta \phi ) } & { - \sin ( \delta \phi ) } & { 0 } \\ { \sin ( \delta \phi ) } & { \ \ \ \cos ( \delta \phi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } & { \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } } & { j _ { 2 } } \\ { j _ { 1 } + j _ { 2 } - 1 } & { j _ { 1 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right\} = \frac { ( - 1 ) ^ { 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } - 1 } \sqrt { ( 2 j _ { 1 } ) ( 2 \bar { j } + 1 ) } } { \sqrt { ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } ) ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } + 1 ) } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } & { = \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \gamma \left( \mathbf { \hat { F } } ( \mathbf { u } ) + \mathbf { G } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) \right) , ~ \mathrm { o n } ~ \Omega , } \\ { \nabla \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } } & { = \mathbf { 0 } ~ \mathrm { o n } ~ \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { s h o r t } } ^ { \mathrm { t a r g e t } } ( { \textrm { 4 G - H D N N P } + \mathit { E } _ { 2 b } } ) } & { { } = } & { E _ { \mathrm { r e f } } - E _ { \mathrm { 2 b } } - E _ { \mathrm { e l e c } } } \end{array}
\psi _ { i } ^ { \alpha } : \; \frac { N _ { c } } { N _ { f } - N _ { c } } - \frac { N _ { c } } { N _ { f } - N _ { c } } \left( - \frac { N _ { 0 } } { N _ { f } - N _ { c } - N _ { 0 } } \right) = \frac { N _ { c } } { N _ { f } - N _ { c } - N _ { 0 } } \; ,
{ V _ { \mathrm { a v g } } ^ { \varepsilon } } ^ { \prime } = \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } d x \, V ( x ) | \psi ^ { \prime } | ^ { 2 } = { \frac { \varepsilon ^ { 2 } | c | ^ { 2 } } { 1 + { \frac { 4 } { 3 } } | c | ^ { 2 } \varepsilon ^ { 3 } } } \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } d x \, V ( x ) \simeq 2 \varepsilon ^ { 3 } | c | ^ { 2 } V ( 0 ) + \cdots ,
\begin{array} { c c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array}
2 h _ { \cal O } \langle \! \langle { \cal O } | { \cal O } \rangle = 2 \langle \! \langle { \cal O } | L _ { 0 } | { \cal O } \rangle = \langle \! \langle { \cal O } | [ L _ { 1 } , L _ { - 1 } ] | { \cal O } \rangle = \| L _ { - 1 } | { \cal O } \rangle \| ^ { 2 } \geq 0 ,
\begin{array} { r l } { \tilde { h } } & { { } = s ( a ( L ^ { + } ( h ) + L ( x ) ) ) } \\ { h _ { a u g } } & { { } = a ( s ( L ( x ) ) ) } \\ { h } & { { } = \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } \left( \tilde { h } , h _ { a u g } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C H } _ { \mathrm { d a t a } } ( x , y ) } & { { } = } & { f _ { 1 } ( x , y ) - f _ { 2 } ( x , y ) + f _ { 3 } ( x , y ) + f _ { 4 } ( x , y ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \iota _ { M , \Delta s } ^ { ( T ) } = - \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int \mathrm { d } ^ { M + 1 } \vec { u } \ P \left( \vec { u } | \alpha ( T ) \right) \partial _ { T } ^ { 2 } \log \Theta \left( u _ { i - 1 } \left. \rightarrow u _ { i } \right| \alpha ( T ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \{ 0 \} ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { v \downarrow 0 } ( - i v m ( i v ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { v \downarrow 0 } \int \frac { \mathrm { d } H ( s , t ) } { 1 + s \underline { { g } } ( i v ) + t \underline { { m } } ( i v ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { v \downarrow 0 } \int \frac { - i v \mathrm { d } H ( s , t ) } { - i v - s i v \underline { { g } } ( i v ) - t i v \underline { { m } } ( i v ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { v \downarrow 0 } \int \frac { - i v \mathrm { d } H ( s , t ) } { - s i v \underline { { g } } ( i v ) + t \underline { { F } } ( \{ 0 \} ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \gamma ^ { j } ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } - x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } \gamma _ { k , i } ^ { j } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { j } | ) } \\ & { = \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 0 } ^ { j } ) _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ^ { j } ) _ { i } - 2 \sum _ { k \in D } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \gamma _ { k , i } ^ { j } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { j } | ) } \\ & { = \sum _ { k \in D } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } \hat { p } _ { k } ^ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ^ { j } ) _ { i } - 2 \sum _ { k \in D } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \gamma _ { k , i } ^ { j } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \gamma _ { 1 } ^ { j } | - 2 | \gamma ^ { j } | ) } \end{array}
\small \mathbb { P } \Bigg \{ \bar { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( h ) ] \leq \operatorname* { i n f } _ { \hat { \rho } } \Big ( \hat { \rho } [ R ^ { \epsilon } ( h ) ] + \Big ( K L ( \hat { \rho } | | \pi ) + \log \Big ( \frac { 1 } { \delta } \Big ) + \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) \frac { 2 } { \sqrt { l } } + \frac { 2 } { \sqrt { l } } \log \Big ( \pi [ 1 + 2 ( L i p ( h ) a ( p , c ) + 1 ) \bar { \alpha } ] \Big ) \Big ) \Bigg \} \geq 1 - \delta .
\Delta _ { \mathrm { c u t } , \ell } ( k , t ) \rightarrow - 2 \Theta ( t ) \frac { k } { 2 m ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, \frac { x \sin k t x } { \left( 2 - x \, \mathrm { l n } \frac { 1 + x } { 1 - x } \right) ^ { 2 } \, + \, x ^ { 2 } } \, .
\left| \begin{array} { l l } { b ^ { \pm } K - \omega ^ { 2 } M _ { 1 1 } ( \omega ) } & { b ^ { \pm } K _ { c } - \omega ^ { 2 } M _ { 1 2 } ( \omega ) } \\ { b ^ { \pm } K _ { c } - \omega ^ { 2 } M _ { 2 1 } ( \omega ) } & { b ^ { \pm } K _ { t } - \omega ^ { 2 } M _ { 2 2 } ( \omega ) } \end{array} \right| = 0 \, .
\begin{array} { r l r } { W _ { r } ^ { r } ( G , G _ { * } ) } & { = } & { \lambda | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + \lambda ^ { * } | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } } \\ & { - } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \lambda , \lambda ^ { * } \right\} ( | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } - | | ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } ) } \\ & { = } & { D _ { r } ( G , G _ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { B } ( \boldsymbol \phi ^ { \prime } ) \! \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \! \sqrt { \displaystyle \left| \frac { R _ { B } + D } { R _ { B } D } \right| } \; S _ { B } \left( \displaystyle { \frac { \boldsymbol \phi ^ { \prime } } { B ^ { \prime } } } \right) } \\ { \! \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \! { \frac { \mathrm { i } } { \sin \alpha } } \exp ( - \mathrm { i } \pi { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } \cot \alpha ) \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } \exp ( - \mathrm { i } \pi \phi ^ { 2 } \cot \alpha ) \exp \left( { \frac { 2 \mathrm { i } \pi \boldsymbol \phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol \phi ^ { \prime } } { \sin \alpha } } \right) T _ { A } ( \boldsymbol \phi ) \, \mathrm { d } \boldsymbol \phi } \\ { \! \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \! \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha } { \mathcal F } _ { \alpha } [ T _ { A } ] ( \boldsymbol \phi ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { d } } & { { } ( t ) \approx \frac { 1 + \xi _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } / 2 } { 2 } \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \beta _ { \perp } ^ { 2 } ( 0 ) t } \end{array}
\mathcal { S } _ { J } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } L = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \Big ( \phi R - \frac { \omega ( \phi ) } { \phi } \nabla _ { a } \phi \nabla ^ { a } \phi - V ( \phi ) \Big ) ~ .
V = \left( \begin{array} { c c } { { C _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - S _ { 2 } S _ { 3 } } } & { { C _ { 3 } e ^ { i \delta } } } \\ { { + S _ { 2 } C _ { 3 } } } & { { S _ { 3 } e ^ { i \delta } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { 1 } & { { } = } & { U + G _ { S } \left( \frac { \mathrm { ~ i ~ } h } { 2 } , C _ { F , U } \right) U + G _ { D } \left( \frac { \mathrm { ~ i ~ } h } { 2 } , R ^ { 2 } C _ { D , F } C _ { F , U } \right) U + G _ { Q } \left( \frac { \mathrm { ~ i ~ } h } { 2 } , R ^ { 4 } C _ { Q , F } C _ { F , U } \right) U } \end{array}
- y _ { o } \frac { d \overline { { u v } } _ { o 1 } } { d y _ { o } } = - \overline { { \Big ( u \frac { \partial p } { \partial y } + v \frac { \partial p } { \partial x } \Big ) } } _ { o } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { U T } ( 2 , { \mathbb F } ) } & { : = } & { \{ \left[ \begin{array} { l l } { x _ { 1 1 } } & { x _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { x _ { 2 1 } } \end{array} \right] \in \mathrm { G L } ( 2 , { \mathbb F } ) \} , } \\ { \mathrm { U T } ( 4 , { \mathbb F } ) } & { : = } & { \{ \left[ \begin{array} { l l l l } { x _ { 1 1 } } & { x _ { 1 2 } } & { x _ { 1 3 } } & { x _ { 1 4 } } \\ { 0 } & { x _ { 2 2 } } & { x _ { 2 3 } } & { x _ { 2 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 3 3 } } & { x _ { 3 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { x _ { 4 4 } } \end{array} \right] \in \mathrm { G L } ( 4 , { \mathbb F } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R } } & { = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { \theta } | _ { r = R + 0 } - \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { e } _ { \theta } | _ { r = R - 0 } } & { = } & { 0 , } \\ { \sigma _ { r \theta } | _ { r = R + 0 } - \sigma _ { r \theta } | _ { r = R - 0 } } & { = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R } } & { = } & { 0 } \\ { \nabla p | _ { r \to \infty } } & { = } & { 0 , } \\ { c _ { i , \mathrm { o u t } } | _ { r \to \infty } } & { = } & { c _ { \mathrm { o u t } } ^ { \infty } , } \\ { \boldsymbol { u } | _ { r \to \infty } } & { = } & { U \boldsymbol { e } _ { z } , } \\ { \psi | _ { r \to \infty } } & { = } & { - E r \cos \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } _ { \mathrm { R y d } } } & { { } = \mathcal { E } _ { \Uparrow } | \Uparrow \rangle \langle \Uparrow | + \mathcal { E } _ { \Downarrow } | \Downarrow \rangle \langle \Downarrow | } \\ { \hat { h } _ { \mathrm { m o l } } ^ { ( k ) } } & { { } = \mathcal { E } _ { \uparrow } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \uparrow ^ { ( k ) } | + \mathcal { E } _ { \downarrow } | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { ( \ell _ { 1 } ^ { \prime } m _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } ^ { \prime } ) \ldots ( \ell _ { d } ^ { \prime } m _ { d } ^ { \prime } n _ { d } ^ { \prime } ) } } & { { } = \sum _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) \ldots } \ldots \tilde { T } _ { ( \ell _ { i - 1 } m _ { i - 1 } n _ { i - 1 } ) ( \ell _ { i } ^ { \prime } m _ { i } ^ { \prime } n _ { i } ^ { \prime } ) ( \ell _ { i } m _ { i } n _ { i } ) } ^ { i } } \end{array}
\Big \langle \frac { 1 } { 4 } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } \theta \, \Big ( \phi ^ { * } e ^ { 2 V } \phi + \tilde { \phi } ^ { * } e ^ { - 2 V } \tilde { \phi } \Big ) \Big \rangle = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \mathrm { R e } \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 2 } \theta \, W _ { a } C ^ { a b } W _ { b } .
Z _ { i } = \frac { s _ { i } - \overline { { s _ { i } } } } { \sigma _ { s _ { i } } } , ~ ~ ~ ~ ~ P _ { i } = 1 - \left[ \left( \frac { S ^ { s ( f ) } } { s _ { i } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { k , k \neq i } \left( \frac { s _ { k } } { s _ { i } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { S ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } + 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} , } \\ { \left\{ \Phi _ { S ( - 1 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \Big \{ | n _ { 1 } \dots ( n _ { i } - 1 ) \dots n _ { m } \rangle \Big \} . } \end{array}
\nu \delta t / \delta r ^ { 2 } \in \{ 1 0 ^ { - 6 } , 5 \times 1 0 ^ { - 6 } , 1 0 ^ { - 5 } , 5 \times 1 0 ^ { - 5 } , 1 0 ^ { - 4 } , 5 \times 1 0 ^ { - 4 } , 1 0 ^ { - 3 } , 5 \times 1 0 ^ { - 3 } , 1 0 ^ { - 2 } , 5 \times 1 0 ^ { - 2 } , 0 . 1 , 0 . 5 , 1 , 1 . 1 , 1 . 2 \}
\tilde { H } _ { n , k } = n ^ { - k } \, \prod _ { s = 0 } ^ { k } ( s \, n - 1 \, ) \sum _ { m = 0 } ^ { \lfloor \frac { k } { 2 } \rfloor } \frac { 1 } { m ! \, ( k - 2 \, m ) ! \, n ^ { m } } \prod _ { l = 0 } ^ { m } { \frac { 1 } { l \, n - 1 } } \, v ^ { m n } \, u ^ { k - 2 m }
o _ { t } = \operatorname { T F } \Big ( \underbrace { h _ { 0 } , } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ h ~ i ~ d ~ d ~ e ~ n ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } } \underbrace { x _ { 0 } , \, \dots , \, x _ { t } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ p ~ u ~ t ~ s ~ t ~ r ~ e ~ a ~ m ~ } } \, \, ; \, \, \underbrace { w _ { h } , w _ { o } } _ { \mathrm { ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ s ~ } } \Big ) .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Delta } { d t } } & { { } = } & { \varepsilon \Delta - 2 \varepsilon \Delta \Sigma + \varepsilon \Sigma \left( 2 q - 1 \right) + \frac { 2 a } { h } \left( 2 q - 1 - 2 \Delta \right) , } \\ { \frac { d \Sigma } { d t } } & { { } = } & { 2 \left( 1 + \varepsilon \right) \left( 1 - q \right) q + \Delta \left( 1 + 2 \varepsilon \right) \left( 2 q - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \Delta _ { k } { T } _ { f } g \right\| _ { L ^ { 1 } } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left| \sum _ { j = k - 2 } ^ { k + 2 } { \Delta } _ { k } \left( { S } _ { j - 4 } f { \Delta } _ { j } g \right) ( x ) \right| d x } \\ & { \lesssim \sum _ { j = k - 2 } ^ { k + 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left| { S } _ { j - 4 } f { \Delta } _ { j } g \right| ( x ) d x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k s } \sum _ { j = k - 2 } ^ { k + 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left\| { S } _ { j - 4 } f \right\| _ { L ^ { \infty } } \left| 2 ^ { k s } { \Delta } _ { j } g \right| ( x ) d x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k s } \sum _ { j = k - 2 } ^ { k + 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \underset { j \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \; 2 ^ { j s } \left| { \Delta } _ { j } g \right| d x \lesssim 2 ^ { - k s } \| f \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } \| g \| _ { { F } _ { 1 , \infty } ^ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } S } & { { } = \mu N ( 1 - p ) - \mu S - \beta ( t ) \frac { I } { N } S , } \\ { \frac { d } { d t } I } & { { } = \beta ( t ) \frac { I } { N } S - ( \nu + \mu ) I , } \\ { \frac { d } { d t } R } & { { } = \nu I - \mu R , } \\ { \frac { d } { d t } V } & { { } = \mu N p - \mu V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 1 } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { n } C _ { l } ^ { n } y ^ { 2 ( n - l ) } \sum _ { k = - 1 } ^ { n + 1 } 2 ( k + l ) ( k + 2 l + 1 ) a _ { 2 k } x ^ { 2 ( k + l ) - 1 } , } \\ { \widetilde { S } _ { 2 } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { n } C _ { l } ^ { n } x ^ { 2 l + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n + 1 } ( 2 ( k + n - l ) - 1 ) ( k + 2 ( n - l ) ) b _ { 2 k } y ^ { 2 ( k + n - l - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f + b _ { j } \mathfrak h _ { j } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } - C \varepsilon ^ { 2 } \| ( a , c ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
f _ { i } ( t + \Delta t , \mathbf { r } + { \bf e } _ { i } ) = f _ { i } ( t , \mathbf { r } ) - \frac { 1 } { \tau } \left[ f _ { i } ( t , \mathbf { r } ) - f _ { i } ^ { S S } ( t , \mathbf { r } ) \right] + \eta _ { i } ( t , \mathbf { r } ) \ ,
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m a x } _ { \epsilon } ~ ~ } & { Q ( u _ { t } , x _ { t } + \epsilon ) ~ } & { \mathrm { s . t . } ~ ~ } & { | | \epsilon | | \le \sigma } \\ { u _ { t } ( \epsilon ) } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } } Q ( u _ { t } , x _ { t } ) ~ } & { \mathrm { s . t . } ~ ~ } & { \| u _ { t } \| _ { 2 } \le 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( r ) } & { = } & { \frac { 1 } { N \rho } < \sum _ { i \neq j } \delta \left( r - \left| \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } \right| \right) > } \\ { g _ { Q } ( r ) } & { = } & { \frac { 1 } { N \rho } < \sum _ { i \neq j } \delta \left( r - \left| \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } \right| \right) q _ { i } q _ { j } > } \end{array}
S _ { b o u n d } = - \frac { 1 } { \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 5 } x ( \delta _ { x _ { 5 } } - \delta _ { x _ { 5 } - R } ) ( \sqrt { - g _ { 4 } } \frac { 3 } { 2 } W + \frac { 2 g } { 4 ! } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } A _ { \mu \nu \rho \sigma } ) .
\left\| \mathbf { v } + \mathbf { w } \right\| ^ { 2 } = \langle \mathbf { v + w } , \ \mathbf { v + w } \rangle = \langle \mathbf { v } , \ \mathbf { v } \rangle + \langle \mathbf { w } , \ \mathbf { w } \rangle + \langle \mathbf { v , \ w } \rangle + \langle \mathbf { w , \ v } \rangle \ = \left\| \mathbf { v } \right\| ^ { 2 } + \left\| \mathbf { w } \right\| ^ { 2 } ,
\mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \nabla \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; \; \; , \; \; \; \; \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - \nabla \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\operatorname* { s u p } _ { x \in I } \bigg | \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big [ \widehat { \phi } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) - \phi _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) \big ] \bigg | \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in I } | \widehat { \gamma } _ { n } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) - \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { Z } _ { i } ) | = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \Vert e _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } } } \leq C _ { T } T _ { 1 } ^ { \varepsilon _ { 0 } } \Vert \Pi _ { \tau } } & { \bigl ( F ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) ) - F ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) - e _ { n } ) \bigr ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , - b ^ { \prime } } } } \\ & { + C _ { T } \Vert \Pi _ { \tau } \bigl ( R ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) ) - R ^ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } ) - e _ { n } ) \bigr ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } + C _ { T } \tau ^ { \frac { s _ { 0 } } { 2 } } , } \end{array}