harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ^ { 2 } }
\tilde { b } _ { 2 } ^ { + } = e ^ { - W } b _ { 2 } ^ { + } \, e ^ { W } = { \frac { 1 } { 4 \omega C _ { \cal R } } } \sum _ { \mu \in { \cal R } } ( \tilde { \ell } _ { \mu } ^ { + } ) ^ { 2 } + V T ,
f _ { l } ( z ) = \sqrt { | z | } e ^ { i \left( { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { a r g } \, z + \pi l \right) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } \left( \sqrt { | z | } e ^ { i \left( { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { a r g } \, z + \pi l \right) } \right) ^ { - 5 n } + f _ { l } ^ { n . p . } ( z ) ,
\begin{array} { r l r } { E } & { { } = } & { \hbar \omega = i \hbar \partial _ { t } } \\ { p } & { { } = } & { \hbar k = - i \hbar \partial _ { z } } \\ { \Delta } & { { } = } & { m ^ { * } v _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\alpha ( p _ { 1 } , \, p _ { 4 } ) = \displaystyle \sum _ { p _ { 2 } \in A _ { 2 } , \, p _ { 3 } \in A _ { 3 } , \, p _ { 5 } \in A _ { 5 } } f ( p _ { 1 } , \, p _ { 2 } , \, p _ { 5 } ) \cdot g ( p _ { 2 } , \, p _ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \hat { \phi } _ { , t } + a \hat { \phi } _ { , x } } & { { } = \kappa \hat { \phi } _ { , x x } , } \\ { \hat { \phi } ( 0 , t ) } & { { } = 0 , } \\ { \hat { \phi } ( L , t ) } & { { } = \cos ( \omega t ) , } \end{array}
Z _ { 1 , 2 } = - i \gamma k _ { x } ^ { 2 } \pm \gamma ( \tilde { u } - i k _ { x } ^ { 2 } ) \sqrt { 1 + \frac { 2 e \delta \gamma k _ { x } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( \tilde { u } - i k _ { x } ^ { 2 } ) } + \frac { e ^ { 2 } k _ { x } ^ { 4 } } { \gamma ^ { 2 } ( \tilde { u } - i k _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { b 1 , B } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 3 } , j _ { 3 } ( d i s t ) } \bigg ( \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 4 } , j _ { 2 } } \eta _ { i _ { 1 } } \eta _ { i _ { 3 } } \eta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 2 } } \theta _ { j _ { 2 } } ( \beta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 1 } } ) ( \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 4 } } ) \bigg ) ^ { 2 } \cdot | \mathbb { E } W _ { i _ { 3 } , j _ { 3 } } | } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 3 } , j _ { 3 } } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 3 } } ^ { 3 } \theta _ { j _ { 3 } } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \underline { { S } } ^ { D } \underline { { \sigma } } - \underline { { g } } ^ { T } \vec { D } + \underline { { \varepsilon } } } & { = \ 0 , } \\ { - \underline { { g } } \underline { { \sigma } } + ( \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } ) ^ { - 1 } \vec { D } + \nabla \phi } & { = \ 0 , } \\ { - \operatorname { d i v } \underline { { \sigma } } } & { = \vec { f } , } \\ { - \operatorname { d i v } \vec { D } } & { = \ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \Omega ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { i } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { - \omega _ { i } } + \sum _ { i , j } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { - \omega _ { i } } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j , k } \frac { \tilde { F } _ { i j j } \tilde { F } _ { i k k } } { - \omega _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { c c } { { \tilde { \gamma } ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma _ { 1 } } } \\ { { \sigma _ { 1 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } & { { \tilde { \gamma } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma _ { 2 } } } \\ { { \sigma _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \begin{array} { c c } { { \tilde { \gamma } ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) } } & { { \tilde { \gamma } ^ { 4 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i \sigma _ { 3 } } } \\ { { i \sigma _ { 3 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array} } } \end{array}
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \beta ( t ) \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert A \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } & { { } = \frac { 1 } { M _ { \mathrm { r e a l } } } \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { \mathrm { r e a l } } } p _ { i } , } \\ { \widehat { t } _ { l o o p - R \Sigma _ { R } R } } & { { } = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } t _ { i } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left\{ { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } r } } \left( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } \right) \times { \hat { \mathbf { r } } } + \left( { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } - { \frac { i \omega } { c r ^ { 2 } } } \right) \left( 3 { \hat { \mathbf { r } } } \left[ { \hat { \mathbf { r } } } \cdot \mathbf { p } \right] - \mathbf { p } \right) \right\} e ^ { \frac { i \omega r } { c } } e ^ { - i \omega t } } \\ { \mathbf { B } } & { = { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } ) \left( 1 - { \frac { c } { i \omega r } } \right) { \frac { e ^ { i \omega r / c } } { r } } e ^ { - i \omega t } . } \end{array} }
{ \tilde { \delta } } [ \varphi - \varphi _ { c l } ] = { \tilde { \delta } } [ { \dot { \varphi } ^ { a } - \omega ^ { a b } \partial _ { b } H ] ~ \operatorname * { d e t } [ \delta _ { b } ^ { a } \partial _ { t } - \omega ^ { a c } \partial _ { c } \partial _ { b } H } ]
\sum _ { k l , m n } \left( \frac { \partial ^ { 2 } F [ \rho ] _ { i j } } { \partial D _ { k l } \partial D _ { m n } } \right) _ { \rho ^ { T } } \Delta D _ { k l } \Delta D _ { m n } = 4 ( F [ \rho ^ { f } ] _ { i j } + F [ \rho ^ { i } ] _ { i j } - 2 F [ \rho ^ { T } ] _ { i j } )
- \boldsymbol { \nabla } p + \eta \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } - \eta \alpha ^ { 2 } \boldsymbol { v } + \boldsymbol { f } = \boldsymbol { 0 } \, , \quad \boldsymbol { \nabla } \cdot \boldsymbol { v } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { H _ { [ k ] } ^ { \mathrm { e f f } } = \mathrm { C o n t r } _ { k } ^ { \prime } } & { \left\{ T _ { s _ { 1 } } ^ { [ 1 ] } W _ { s _ { 1 } , s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { [ 1 ] } T _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { [ 1 ] * } \cdots T ^ { [ k - 1 ] } W ^ { [ k - 1 ] } T ^ { [ k - 1 ] * } W ^ { [ k ] } \right. } \\ & { \left. T ^ { [ k + 1 ] } W ^ { [ k + 1 ] } T ^ { [ k + 1 ] * } \cdots T _ { n _ { P } } ^ { [ K ] } W _ { n _ { P } , n _ { P } ^ { \prime } } ^ { [ K ] } T _ { n _ { P } ^ { \prime } } ^ { [ K ] * } \right\} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } & { = \left( T ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } - \sigma _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } } \\ & { = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } - \left( \sigma _ { 1 } n _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) n _ { 1 } ^ { 2 } + \left( \sigma _ { 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \right) n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } - \left[ \left( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 3 } \right) n _ { 1 } ^ { 2 } + \left( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 2 } \right) n _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } \right] ^ { 2 } } \\ & { = ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } ) ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } + ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } + ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 3 } ) ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } n _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( t ) = \frac { \gamma } { \sqrt { ( E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \left( e ^ { - i \gamma _ { + } t } - e ^ { - i \gamma _ { - } t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { ( H C ) } & { \left( { \dot { \bf Q } } - { \bf F } \right) \cdot \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { j } } = 0 , \; j = 1 , \dots , n } \\ & { \left( { \dot { \bf Q } } - { \bf F } \right) \cdot { \bf X } _ { r } = 0 , \; r = 1 , \dots , m \left\{ \begin{array} { l l } { ( L N C ) } & { { \bf X } _ { r } = \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { r } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \alpha _ { \nu , r } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { m + \nu } } } \\ & { \textrm { j o i n t l y w i t h } \; { \dot { q } } _ { \nu } = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \alpha _ { \nu , j } { \dot { q } } _ { j } + \beta _ { \nu } , \; \nu = 1 , \dots , k } \\ { ( N N C ) } & { { \bf X } _ { r } = \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { r } } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { k } \frac { \partial \alpha _ { \nu } } { \partial { \dot { q } } _ { r } } \frac { \partial { \bf X } } { \partial q _ { m + \nu } } } \\ & { \textrm { j o i n t l y w i t h } \; { \dot { q } } _ { \nu } = \alpha _ { \nu } , \; \nu = 1 , \dots , k } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle } & { = \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } \rVert _ { \infty } \cdot \lVert \vec { \theta } _ { t } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + M ^ { 2 } t \cdot 2 K \beta _ { t } } \\ & { = \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + 2 M ^ { 2 } t ^ { - 2 } . } \end{array}
g _ { T } ^ { 0 , 1 } = - 5 \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } , \; g _ { T } ^ { 0 , 2 } = 2 \sqrt { \frac { 1 0 } { 3 } } , \; g _ { T } ^ { 2 , 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } , \; g _ { T } ^ { 2 , 1 } = - \sqrt { \frac { 7 } { 6 } } .
\mathrm { S N R } ^ { 2 } \, = \, \frac { 3 H _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } \, \pi ^ { 2 } } \, F \, \sqrt { T } \, \left\{ \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } f \, \frac { \gamma ^ { 2 } ( f ) \, \Omega _ { \mathrm { G W } } ^ { 2 } ( f ) } { f ^ { 6 } \, S _ { n } ^ { \, ( 1 ) } ( f ) \, S _ { n } ^ { \, ( 2 ) } ( f ) } \, \right\} ^ { 1 / 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \epsilon } & { { } = m \Omega _ { 0 } ^ { 2 } \frac { q } { 2 \epsilon } \mathrm { d } q + \frac { 1 } { 2 \epsilon } \frac { p } { m } \mathrm { d } p + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 m \epsilon } - \frac { 1 } { 4 \epsilon ^ { 3 } } \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) ( \mathrm { d } p ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d x _ { t } ^ { i } } & { = } & { \mathsf { d r i f t } _ { i } ( t , ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { M } ) d t + \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { i } } \mathsf { v o l } _ { i k } ( t , ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { M } ) d W _ { t } ^ { \mathsf { i n d } ( i , k ) } \qquad ( i \in { \cal I } _ { S } ) } \\ { x _ { t } ^ { i } } & { = } & { f _ { i } ( t , ( x _ { t } ^ { j } ) _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ) \qquad ( i \in { \cal I } _ { F } ) } \\ { \mathsf { c o r r } ( d W _ { t } ^ { i } , d W _ { t } ^ { j } ) } & { = } & { \mathsf { c o r r e l } _ { i , j } ( t , ( x _ { t } ^ { k } ) _ { k = 1 } ^ { M } ) } \end{array}
\hat { \mathbf { k } } _ { \perp , o u t o f ( k _ { S V D } , b _ { 0 } ) p l a n e } = \frac { \hat { \mathbf { k } } _ { S V D } \times \hat { \mathbf { b } } _ { 0 } } { | \hat { \mathbf { k } } _ { S V D } \times \hat { \mathbf { b } } _ { 0 } | }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f _ { t } ( x ) = \sum _ { k = 1 } ^ { n - s } \partial _ { \tau _ { k } } g ( \Psi ( x , T , t ) ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \partial _ { \tau _ { k } } f _ { t } ( x ) = \partial _ { \tau _ { k } } g ( \Psi ( x , T , t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { \bf A } = } & { \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \nabla \phi ^ { T } \nabla \phi } & { \nabla \phi ^ { T } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ^ { T } \nabla \phi } & { 1 } \end{array} \right) = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \boldsymbol { \Phi } } & { \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } } & { 1 } \end{array} \right) } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \boldsymbol { \Phi } - \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ) } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } [ \textbf { 1 } _ { T \mathcal M } - { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } ] \boldsymbol { \Phi } ) } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ) \operatorname* { d e t } ( \textbf { 1 } _ { T \mathcal M } - { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { p } ^ { ( x ) } = } & { { } k _ { p } \delta + k _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } , } \\ { \phi _ { p } ^ { ( y ) } = } & { { } q _ { p } \delta + q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { \alpha = 1 , \dots , N - 1 } \hat { \gamma } _ { \alpha } \left( ( \psi _ { \alpha } - \psi _ { N } ) + ( \chi _ { \alpha } - \chi _ { N } ) + ( \rho _ { \alpha } ^ { - 1 } - \rho _ { N } ^ { - 1 } ) p \right) \leq 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma } & { = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { \left\lfloor \log _ { 2 } k \right\rfloor } { k } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 3 } } + 2 \left( { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 6 } } - { \frac { 1 } { 7 } } \right) + 3 \left( { \frac { 1 } { 8 } } - { \frac { 1 } { 9 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } } - { \frac { 1 } { 1 1 } } + \cdots - { \frac { 1 } { 1 5 } } \right) + \cdots , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C \left( \theta \right) } & { = \Delta U \left( t = L / \beta _ { 0 } c , \theta \right) } \\ & { = q \int _ { 0 } ^ { L / \beta _ { 0 } c } \vec { E } \left( z \left( { t } ^ { \prime } , \theta \right) , \theta , { t } ^ { \prime } \right) \cdot \vec { \upsilon } \left( { t } ^ { \prime } , \theta \right) d { t } ^ { \prime } } \end{array}
\mathrm { m a x } \Big \{ \sqrt { \ell _ { P } - \ell _ { P } ^ { \mathrm { m i n } } } - \sqrt { \lambda _ { G ^ { 2 } } } \, ; \, \, 0 \Big \} < \sqrt { \ell _ { V } - \ell _ { V } ^ { \mathrm { m i n } } } < \sqrt { \ell _ { P } - \ell _ { P } ^ { \mathrm { m i n } } } + \sqrt { \lambda _ { G ^ { 2 } } } \, .
\frac { 1 } { r ^ { 2 } } < \operatorname* { i n f } _ { t \in ( T _ { 0 } , 1 ) } \operatorname* { i n f } _ { P \in \mathcal { P } } \lambda _ { i , t } ^ { 3 } ( P ) \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in ( T _ { 0 } , 1 ) } \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } } \lambda _ { i , t } ^ { 3 } ( P ) < \frac { 1 } { r ^ { p + 2 \delta } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { E h } { R ^ { 2 } ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \langle \theta \rangle } } { \partial \theta ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial \theta } ( \cot \theta v _ { \langle \theta \rangle } ) + ( 1 - \nu ) v _ { \langle \theta \rangle } + ( 1 + \nu ) \frac { \partial w } { \partial \theta } \Big ) } \\ & { \qquad + \frac { p } { 2 } \Big ( \frac { 2 } { R } \frac { \partial w } { \partial \theta } + \cot ( \theta ) \frac { \partial v _ { \langle \theta \rangle } } { \partial \theta } + \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \langle \theta \rangle } } { \partial \theta ^ { 2 } } - ( \csc ( \theta ) ) ^ { 2 } v _ { \langle \theta \rangle } \Big ) = \rho h \frac { \partial ^ { 2 } v _ { \langle \theta \rangle } } { \partial t ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( G _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } = } & { } & { \textbf { P } _ { i } ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { L } + ( G _ { i } ) _ { R } \right\} - \frac { ( \widetilde { \lambda } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } } { 2 } \left\{ ( U _ { i } ) _ { R } - ( U _ { i } ) _ { L } \right\} } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( G _ { i } ) _ { L } + ( G _ { i } ) _ { R } \right\} - \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( \Delta G _ { i } ^ { + } ) _ { j + 1 / 2 } - ( \Delta G _ { i } ^ { - } ) _ { j + 1 / 2 } \right\} ; } \\ & { } & { ( \Delta G _ { i } ^ { \pm } ) _ { j + 1 / 2 } = \left[ { \pm } \frac { \widetilde { \lambda } _ { i } } { 2 } \left\{ ( U _ { i } ) _ { R } - ( U _ { i } ) _ { L } \right\} \right] _ { j + 1 / 2 } } \end{array}
U = \frac { 1 } { m _ { 2 } ^ { 4 } } \left( s _ { 1 } m _ { 1 } ^ { 4 } e ^ { - ( \beta - \alpha ) \phi / M _ { p } } + s M ^ { 4 } e ^ { - \beta \phi / M _ { p } } \right) ^ { 2 }
g ^ { \mu \nu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } } = - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } \Delta } } \left( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + { \frac { r _ { \mathrm { s } } r a ^ { 2 } } { \Sigma } } \sin ^ { 2 } \theta \right) \left( { \frac { \partial } { \partial t } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 2 r _ { \mathrm { s } } r a } { c \Sigma \Delta } } { \frac { \partial } { \partial \phi } } { \frac { \partial } { \partial { t } } } + { \frac { 1 } { \Delta \sin ^ { 2 } \theta } } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { s } } r } { \Sigma } } \right) \left( { \frac { \partial } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } + { \frac { \Delta } { \Sigma } } \left( { \frac { \partial } { \partial r } } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { \Sigma } } \left( { \frac { \partial } { \partial \theta } } \right) ^ { 2 }
\lambda ( T ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } } { 3 } \left( \frac { k _ { B } T _ { c } } { \Delta _ { o } ( 0 ) } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { W _ { o } } [ v _ { F } \tau _ { o } ( T _ { c } ) ] e ^ { \Delta / k _ { B } T } ,
\displaystyle Q ^ { \alpha , \beta } = \frac { 1 } { 2 | E ^ { \alpha , \beta } | } \sum _ { i , j } { \left[ B _ { i , j } - \frac { k _ { i } k _ { j } } { 2 | E ^ { \alpha , \beta } | } \right] } \delta \left( c _ { i } , c _ { j } \right)
\begin{array} { r l } { \langle \eta _ { T } ^ { H } , g \rangle } & { { } = \langle \eta _ { 0 } ^ { H } , f _ { 0 } \rangle + \lambda _ { H } \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle d t } \end{array}
\mathbf { B B } = { \left[ \begin{array} { l l l } { B B 1 } & { - A A 3 } & { 0 } \\ { - A A 3 } & { B B 2 } & { - A A 3 } \\ { 0 } & { - A A 3 } & { B B 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq } & { 2 ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 4 \beta _ { k } } { \beta _ { k } ^ { 2 } - 4 \lambda _ { k } } + 2 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \lambda _ { k } \frac { 4 \beta _ { k } } { \beta _ { k } ^ { 2 } - 4 \lambda _ { k } } } \\ & { + 2 \frac { 2 \beta _ { k } } { \beta _ { k } ^ { 2 } - 4 \lambda _ { k } } T \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
A _ { \mathrm { i n t } } [ f ] = - \int d ^ { 4 } x \, \delta ( F - \tau ) \mathcal { L } _ { \mathrm { i n t } } f ^ { \mu } \partial _ { \mu } F = - \int d ^ { 4 } x \, \delta ( F - \tau ) \mathcal { L } _ { \mathrm { i n t } } \delta _ { f } F = 0 \; ,
\mathcal { B } \equiv \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { u } | ^ { 2 } + \frac { \gamma } { \gamma - 1 } \frac { P } { \rho } + \Phi - \frac { 3 } { 2 } \Omega ^ { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho u _ { z } } \mathcal { S } _ { z } .
{ \cal S _ { N } } = \Gamma _ { A } ^ { \mu \, ( 2 n ) } \Delta _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } ( q ) \Gamma _ { A } ^ { \nu \, ( 2 n ) } + \Gamma _ { A } ^ { \mu \, ( 2 n ) } \Delta _ { \mu } ^ { ( 2 n ) } ( q ) \Gamma _ { P } ^ { ( 2 n ) } + \Gamma _ { P } ^ { ( 2 n ) } \Delta _ { \nu } ^ { ( 2 n ) } ( q ) \Gamma _ { A } ^ { \nu \, ( 2 n ) } + \Gamma _ { P } ^ { ( 2 n ) } \Delta ^ { ( 2 n ) } ( q ) \Gamma _ { P } ^ { ( 2 n ) } ~ ,
\begin{array} { r } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| ( \partial _ { t } + 1 ) f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } f _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \leq C _ { 2 , \sigma } ( t ) \Big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + } \\ { + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { 3 } \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| \partial _ { y } u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} , } \end{array}
C _ { \mathrm { l i n e a r } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { C _ { \mathrm { s r g b } } } { 1 2 . 9 2 } } , } & { { \mathrm { i f ~ } } C _ { \mathrm { s r g b } } \leq 0 . 0 4 0 4 5 } \\ { \left( { \frac { C _ { \mathrm { s r g b } } + 0 . 0 5 5 } { 1 . 0 5 5 } } \right) ^ { 2 . 4 } , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\mathbb { R } ^ { \prime } = i \textbf { i } _ { 0 } ^ { \prime } r _ { 0 } ^ { \prime } + \Sigma \textbf { i } _ { k } ^ { \prime } r _ { k } ^ { \prime } + k _ { e g } ( i \textbf { I } _ { 0 } ^ { \prime } R _ { 0 } ^ { \prime } + \Sigma \textbf { I } _ { k } ^ { \prime } R _ { k } ^ { \prime } )
\left( \begin{array} { l } { \mathbf { V } _ { 1 } } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { S } } } & { \boldsymbol { \Lambda } _ { 1 2 } ^ { \mathrm { P } } } \\ { \boldsymbol { \Lambda } _ { 2 1 } ^ { \mathrm { P } } } & { \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { S } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \mathbf { f } _ { 1 } } \\ { \mathbf { f } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } E _ { 1 } + E _ { 2 } + \frac { 2 \mathcal R | E _ { 1 } | ^ { 2 } } { | E _ { 1 } | ^ { 2 } + | E _ { 2 } | ^ { 2 } } E _ { 1 } } & { { } = i \tilde { \gamma } E _ { 1 } , } \\ { i \partial _ { t } E _ { 2 } + E _ { 1 } + \frac { 2 \mathcal R | E _ { 2 } | ^ { 2 } } { | E _ { 1 } | ^ { 2 } + | E _ { 2 } | ^ { 2 } } E _ { 2 } } & { { } = - i \tilde { \gamma } E _ { 2 } . } \end{array}
\bar { c } D \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ) = - c \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) ) + d \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) \ ,