harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V _ { I L } ^ { \mathrm { C } } = } & { { } \sum _ { { I ^ { \prime } L ^ { \prime } \ne I L } } ( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ) n _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } , } \\ { U _ { I L } = } & { { } \left( \Gamma _ { I L , I L } + \gamma _ { I L , I L } \right) . } \end{array}
\cosh x = { \cfrac { 1 } { 1 - { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 + x ^ { 2 } - { \cfrac { 2 x ^ { 2 } } { 3 \cdot 4 + x ^ { 2 } - { \cfrac { 3 \cdot 4 x ^ { 2 } } { 5 \cdot 6 + x ^ { 2 } - \ddots } } } } } } } } .
\begin{array} { r l } { u ( x ) \geq \lambda _ { + } ( 1 + \tau \epsilon ) ( x _ { n } + b _ { + } ) ^ { + } } & { \geq \lambda _ { + } \left( 1 + \tau \frac { \epsilon } { 2 } \right) ( x _ { n } + b _ { + } + c _ { 2 } \epsilon ) ^ { + } } \\ & { \geq f _ { 1 } ( x ) \geq f _ { t } ( x ) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ \, \, ~ x ~ \in ~ B _ { \frac { 1 } { 1 0 0 } } ( Q ) , ~ t ~ \in ~ [ 0 , 1 ] ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Gamma ( \omega ) } { 2 \pi N \ell ^ { 2 } } } & { = \frac { q ^ { 2 } E ^ { 2 } } { 1 6 \pi \hbar ^ { 2 } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } p \, \delta ( \omega - p \, \omega _ { \mathrm { F } } ) } \\ & { \quad \times \bigg | \oint \frac { \mathrm { d } \varphi } { 2 \pi } \cos ( \varphi - \alpha ) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } p \theta ( \varphi ) } \, \lambda ( \varphi ) ^ { 3 / 2 } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { A } \oplus \mathbf { B } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { a _ { 1 1 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } & { \cdots } & { a _ { m n } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { b _ { 1 1 } } & { \cdots } & { b _ { 1 q } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { b _ { p 1 } } & { \cdots } & { b _ { p q } } \end{array} \right] } .
C _ { X } ( \infty , \Delta ) = g ( \alpha _ { 2 } , \infty ) = \frac { \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 2 } - 1 ) \Gamma ^ { 2 } \left( ( \alpha _ { 2 } + 1 ) / 2 \right) \delta ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( \alpha _ { 2 } ) \mathrm { s i n } ( \pi \alpha _ { 2 } / 2 ) } \Delta ^ { \alpha _ { 2 } - 2 } .
\iint _ { \mathcal { D } } \Psi _ { 1 } \Psi _ { 2 } \Psi _ { 3 } ^ { * } \, \mathrm { d } A = \frac { 1 } { N _ { 1 } N _ { 2 } N _ { 3 } } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } r \mathrm { J } _ { m _ { 1 } } ( K _ { 1 } r ) \mathrm { J } _ { m _ { 2 } } ( K _ { 2 } r ) \mathrm { J } _ { m _ { 3 } } ( K _ { 3 } r ) \, \mathrm { d } r \bigg ) \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } - m _ { 3 } ) \theta } \, \mathrm { d } \theta \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { w f } } ( \boldsymbol { \rho ^ { \prime } } - \mathbf { r } ) } & { { } = \int \frac { d \mathbf { k } } { 2 \pi } \tilde { U } _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { k } ) \exp \left[ i \mathbf { k } \cdot ( \boldsymbol { \rho ^ { \prime } } - \mathbf { r } ) \right] , } \\ { I _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \int \frac { d \mathbf { k } } { 2 \pi } \tilde { I } _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { k } ) \exp ( i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { = w _ { 1 } y + w _ { 2 } z } \\ { \dot { y } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { = w _ { 3 } x + w _ { 4 } y } \\ { \ddot { x } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { = w _ { 1 } \dot { y } + w _ { 2 } \dot { z } = w _ { 2 } w _ { 7 } x z + w _ { 2 } w _ { 6 } z + w _ { 1 } w _ { 4 } y + w _ { 1 } w _ { 3 } x + w _ { 2 } w _ { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { G } } } & { { } = T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { M } } + T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { N } } , } \\ { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { M } } } & { { } = \frac { 5 } { 2 } p R T \delta _ { \alpha \beta } , } \\ { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { N } } } & { { } = \frac { 7 } { 2 } R T \sigma _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\mathbf { Y } _ { i } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { x _ { 1 } ( 1 ) - x _ { 1 } ( 0 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 2 } ( 1 ) - x _ { 2 } ( 0 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 3 } ( 1 ) - x _ { 3 } ( 0 ) } { \Delta T } } \\ { \frac { x _ { 1 } ( 2 ) - x _ { 1 } ( 1 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 2 } ( 2 ) - x _ { 2 } ( 1 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 3 } ( 2 ) - x _ { 3 } ( 1 ) } { \Delta T } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { x _ { 1 } ( T ) - x _ { 1 } ( T - 1 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 2 } ( T ) - x _ { 2 } ( T - 1 ) } { \Delta T } } & { \frac { x _ { 3 } ( T ) - x _ { 3 } ( T - 1 ) } { \Delta T } } \end{array} \right]
\ddot { h } \, - \, \frac { \dot { a } \, \dot { h } } { a } \, + \, \biggr \{ \frac { n ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \, - \, 2 \, \frac { \ddot { a } } { a } \biggl \} h \, = \, 0 \quad ,
\begin{array} { r l r } { S } & { { } = } & { \int d x \frac { \operatorname* { d e t } e } { 2 \kappa } \left( e ^ { a \mu } e ^ { b \nu } R _ { { \mu \nu } a b } - \bar { \Psi } _ { \mu } \gamma ^ { { \mu \nu } \rho } D _ { \nu } \Psi _ { \rho } \right) } \\ { R _ { { \mu \nu } a b } } & { { } = } & { \partial _ { \mu } \omega _ { \nu a b } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu a b } + \omega _ { \mu a c } \omega _ { \nu \, \, b } ^ { \, \, c } - \omega _ { \nu a c } \omega _ { \mu \, \, b } ^ { \, \, c } } \\ { D _ { \nu } } & { { } = } & { \partial _ { \nu } + \frac { 1 } { 4 } \omega _ { \nu a b } \gamma ^ { a b } } \\ { \omega _ { \nu a b } } & { { } = } & { 2 e _ { \mu [ a } \partial _ { [ \nu } e _ { b ] } ^ { \mu ] } - e _ { \mu [ a } e _ { b ] } ^ { \sigma } e _ { \nu c } \partial ^ { \mu } e _ { \sigma } ^ { c } } \\ { g _ { \mu \nu } } & { { } = } & { e _ { \mu } ^ { a } g _ { a b } ^ { \mathrm { ~ F ~ l ~ a ~ t ~ } } e _ { \nu } ^ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } = \pi / 2 , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ( p ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l n \biggl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \biggr ) \biggr ] \biggl [ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 2 3 } { 2 } x - \frac { 2 3 } { 2 } x ^ { 2 } + x ^ { 3 } \biggr ] , } \\ { \theta ( p ^ { 2 } ) } & { { } = } & { \biggl ( 1 - \frac { 2 p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) ) e ^ { 2 } \Pi _ { L } ( p ^ { 2 } ) + \frac { e ^ { 2 } m ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \Phi ( p ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { q } } _ { \sigma _ { m + 1 } } = \alpha _ { 1 } ^ { ( \sigma ) } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } , t ) } \\ { \dots } \\ { { \dot { q } } _ { { \sigma } _ { m + k } } = \alpha _ { k } ^ { ( \sigma ) } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } , t ) } \end{array} \right.
G _ { h l } ^ { ( n ) } ( \lambda , m ) - z ^ { h / 2 } \tilde { G } _ { h l } ^ { ( n ) } ( \lambda , 1 / m ) = O \left( g ^ { h + l - 2 } \alpha _ { s } ^ { n } \lambda ^ { \delta } ( \lambda / m ) ^ { k + 1 } \ln ^ { n } ( \lambda / m ) \right) .
B _ { 6 } ^ { + } = { \frac { \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { 6 } & { 4 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 5 } & { 1 0 } & { 1 0 } & { 5 } & { 0 } \\ { 1 } & { 6 } & { 1 5 } & { 2 0 } & { 1 5 } & { 6 } \\ { 1 } & { 7 } & { 2 1 } & { 3 5 } & { 3 5 } & { 2 1 } \end{array} \right) } } { 7 ! } } = { \frac { 1 2 0 } { 5 0 4 0 } } = { \frac { 1 } { 4 2 } }
S ^ { - 1 } ( \vec { v } _ { F } , l ) = \gamma _ { 0 } \left( \begin{array} { l l } { { Z ( l _ { \parallel } ) l \cdot V } } & { { - \Delta ( l _ { \parallel } ) } } \\ { { - \Delta ^ { \dagger } ( l _ { \parallel } ) } } & { { Z ( l _ { \parallel } ) l \cdot \bar { V } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbf { Y } ^ { ( l ) } ( g \hat { \mathbf { n } } ) = \mathbf { D } ^ { ( l ) } ( g ) \cdot \mathbf { Y } ^ { ( l ) } ( \hat { \mathbf { n } } ) \quad \hat { \mathbf { n } } \in S ^ { 2 } \quad g \in S O ( 3 ) } \\ { \mathbf { B } ^ { ( k ) } ( g \hat { \mathbf { n } } ) = \mathbf { C } ^ { ( k ) } ( g ) \mathbf { B } ^ { ( k ) } ( \hat { \mathbf { n } } ) \quad \hat { \mathbf { n } } \in S \quad g \in S O ( 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { m o l } } = \frac { \hat { P } ^ { 2 } } { 2 ( 2 M ) } + \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 ( M / 2 ) } + \frac { C } { \hat { x } ^ { 4 } } + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - V e ^ { - \lambda \hat { x } } \sum _ { \sigma } ( c _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 2 \sigma } + c _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 1 \sigma } ) , } \end{array}
\langle \mathrm { t r } \Omega ^ { \dagger } ( r ) \mathrm { t r } \Omega ( 0 ) \rangle _ { c } - 1 = \frac { N ^ { 2 } - 1 } { 8 N ^ { 2 } } \left( \frac { g ^ { 2 } e ^ { - m _ { 0 } r } } { 4 \pi r T } \right) ^ { 2 } + O ( g ^ { 6 } ) = f _ { \mathrm { m . s . } } ^ { ( 0 ) } + O ( g ^ { 6 } )
S = \int d ^ { 2 } \sigma \sqrt { g } \left[ \frac { 1 } { 4 } \{ X ^ { \mu } , X ^ { \nu } \} ^ { 2 } - \frac { i } { 2 } \bar { \theta } \Gamma _ { \mu } \{ X ^ { \mu } , \theta \} + \lambda \right] ,
\begin{array} { r l } { \| H _ { s } ^ { \prime } ( g ) \| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } } & { = \left\| \frac { e ^ { i h \chi } - 1 - i h \chi } { h } e ^ { i s \chi } g + \frac { 1 } { h } ( 1 - e ^ { i h \chi } ) e ^ { i s \chi } g \right\| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } } \\ & { \leq \left\| \frac { e ^ { i h \chi } - 1 - i h \chi } { h } e ^ { i s \chi } g \right\| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } + \frac { 1 } { h } \| ( 1 - e ^ { i h \chi } ) e ^ { i s \chi } g \| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } } \\ & { \leq \left\| \frac { e ^ { i h \chi } - 1 - i h \chi } { h } \right\| _ { \alpha ^ { * * } , \beta , \gamma } \| H _ { s } ( g ) \| _ { \alpha _ { 0 } , \beta , \gamma _ { 0 } } + \frac { 1 } { h } \| ( 1 - e ^ { i h \chi } ) \| _ { \alpha ^ { * } , \beta , \gamma } \| H _ { s } ( g ) \| _ { \alpha _ { 0 } , \beta , \gamma _ { 0 } } } \\ & { \lesssim \left( \left\| \frac { e ^ { i h \chi } - 1 - i h \chi } { h } \right\| _ { \alpha ^ { * * } , \beta , \gamma } + \| ( 1 - e ^ { i h \chi } ) \| _ { \alpha ^ { * } , \beta , \gamma } \right) ( 1 + | e ^ { i s \chi } | _ { 0 , \beta } ) \| g \| _ { \alpha _ { 0 } , \beta , \gamma _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { M P 2 } = E _ { M P 2 a } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) g _ { i j } ^ { a b } } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } \\ { E _ { M P 3 } = E _ { M P 3 a } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j k l } \frac { ( g _ { a b } ^ { i j } - g _ { b a } ^ { i j } ) g _ { k l } ^ { i j } g _ { k l } ^ { a b } } { ( \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) ( \varepsilon _ { k } + \varepsilon _ { l } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \textbf { v } \rho ) = 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \textbf { v } ) + \nabla \cdot ( \textbf { v } \rho \textbf { v } - \textbf { B B } ) + \nabla p _ { t o t } = \rho \textbf { g } \, , } \\ { \partial _ { t } e + \nabla \cdot ( \textbf { v } e - \textbf { B B } \cdot \textbf { v } + \textbf { v } p _ { t o t } ) = \rho \textbf { g } \cdot \textbf { v } \, , } \\ { \partial _ { t } \textbf { B } + \nabla \cdot ( \textbf { v B } - \textbf { B v } ) = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } A _ { 0 } } { \mathrm { d } t } + i \left( \mathcal { H } _ { 1 } + \frac { i } { 2 } \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial x _ { j } \partial q _ { j } } \right) A _ { 0 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { k } } & { = x _ { k } + \frac { \frac { 2 } { \iota ( k + 1 ) } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { k + 1 } { 2 } \iota \sqrt { \mu s } \right) - \mu s } { 1 - \mu s } \left( z _ { k } - x _ { k } \right) } \\ { x _ { k + 1 } } & { = y _ { k } - s \nabla f \left( y _ { k } \right) } \\ { z _ { k + 1 } } & { = z _ { k } + \frac { \iota s ( k + 1 ) } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { k + 1 } { 2 } \iota \sqrt { \mu s } \right) \left( \mu y _ { k } - \mu z _ { k } - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ^ { \lambda } \big ( s , a _ { \pm } \big ) = } & { \ \lambda ^ { - 1 } \, \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ L \big ( s ( \tau , z ) , a _ { \pm } ( \tau , z ) \big ) - \frac { 1 } { 2 } \, s ( \tau , z ) \, ( J ^ { \lambda } * s ( \tau , \cdot ) ) ( z ) - \boldsymbol \Lambda \Big ] d z \, d \tau } \\ & { \ + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } g ( z ) \, s ( T , z ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal P } ( p _ { X Y } ) } & { : = } & { \{ p _ { U X Y } : \vert { \cal U } \vert \leq \vert { \cal X } \vert + 1 , U \leftrightarrow X \leftrightarrow Y \} , } \\ { { \cal P } _ { \mathrm { s h } } ( p _ { X Y } ) } & { : = } & { \{ p _ { U X Y } : \vert { \cal U } \vert \leq \vert { \cal X } \vert , U \leftrightarrow X \leftrightarrow Y \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { n } } & { = x ^ { n ^ { 2 } } \left( \frac { x ^ { n } } { \displaystyle x ^ { \binom { n } { 2 } } [ n ] _ { x } } - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { x ^ { k } } { \displaystyle x ^ { \binom { n - k } { 2 } } [ n - k ] _ { x } } x ^ { k ^ { 2 } - 2 k n } \right) } \\ & { = \frac { x ^ { n ^ { 2 } } } { x ^ { \binom { n } { 2 } } [ n ] _ { x } } \left( x ^ { n } - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { [ n ] _ { x } } { [ n - k ] _ { x } } x ^ { k - n k + \binom { k } { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \partial _ { t } E _ { \epsilon } \, } & { { } = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \, t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac 1 2 t ( \partial _ { t } W _ { \epsilon } ) \tilde { \eta } ^ { 2 } \Bigr ) \, \mathrm { d } X \, - \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \Bigl ( \tilde { \phi } \, t \partial _ { t } \tilde { \eta } + \frac { t \dot { \epsilon } } { 2 } \frac { R | \nabla \tilde { \phi } | ^ { 2 } } { ( 1 + \epsilon R ) ^ { 2 } } \Bigr ) \, \mathrm { d } X } \\ { \, } & { { } = \, I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } + I _ { 4 } + I _ { 5 } + I _ { 6 } \, , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { Q ^ { 2 } \to \infty } \int _ { \omega _ { t h } } ^ { \infty } \sigma _ { T S } \frac { d \omega } { \sqrt { Q ^ { 2 } } } = \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha } { Q ^ { 2 } } \langle i , \frac 1 2 | \sum _ { j } e _ { j } ^ { 2 } \sigma _ { j } ^ { + } | i , - \frac 1 2 \rangle .
{ \hat { \varepsilon } } ^ { T } X = \left( \mathbf { y } - \mathbf { \hat { y } } \right) ^ { T } X = \mathbf { y } ^ { T } ( I - X ( X ^ { T } X ) ^ { - 1 } X ^ { T } ) X = { \mathbf { y } } ^ { T } ( X - X ) = { \mathbf { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \xi } b _ { i j k } ^ { p } } & { = ( \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } ) ^ { - T } \nabla _ { \alpha } b _ { i j k } ^ { p } \, , \qquad \qquad \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta } & { 1 - \alpha } & { 0 } \\ { ( \beta - 1 ) \gamma } & { ( \alpha - 1 ) \gamma } & { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } \end{array} \right] \, , } \\ { ( \mathrm { D } _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } ) ^ { - T } } & { = \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } \left[ \begin{array} { l l l } { ( 1 - \alpha ) ( 1 - \beta ) } & { ( 1 - \beta ) \beta } & { \gamma } \\ { 0 } & { 1 - \beta } & { \gamma } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 \pi } \log | x | \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; n = 2 } \\ { \frac { 1 } { n ( n - 2 ) \alpha ( n ) } \frac { 1 } { | x | ^ { n - 2 } } \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; n > 2 } \end{array} \right. } \end{array}
\left( \frac { \lambda _ { k } - i } { \lambda _ { k } + i } \right) ^ { n } = - \prod _ { j = 1 } ^ { p } \frac { \lambda _ { k } - \lambda _ { j } + i } { \lambda _ { k } - \lambda _ { j } - i } \; , \; \; \; k = 1 , . . . . , p \, .
\begin{array} { r l } { z _ { \ell { + } 1 } } & { = \int \frac { \exp ( - ( \Delta + \beta _ { \ell } ) \Phi ^ { y } ( { \boldsymbol x } ) - \Phi _ { 0 } ( { \boldsymbol x } ) ) \lambda ( { \boldsymbol x } ) } { f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) } f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) { \mathrm { d } } { \boldsymbol x } , } \\ { z _ { \ell } } & { = \int \frac { \exp ( - \beta _ { \ell } \Phi ^ { y } ( { \boldsymbol x } ) - \Phi _ { 0 } ( { \boldsymbol x } ) ) \lambda ( { \boldsymbol x } ) } { f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) } f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) { \mathrm { d } } { \boldsymbol x } , } \\ { I } & { = \int \frac { \exp ( - ( \Delta / 2 + \beta _ { \ell } ) \Phi ^ { y } ( { \boldsymbol x } ) - \Phi _ { 0 } ( { \boldsymbol x } ) ) \lambda ( { \boldsymbol x } ) } { f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) } f _ { \hat { \boldsymbol X } _ { \ell } } ( { \boldsymbol x } ) { \mathrm { d } } { \boldsymbol x } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j } } & { { } = } & { { \bf U } _ { j _ { 1 } } \otimes _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { j } { \bf U } _ { j _ { 2 } } \colon { \bf U } _ { j } ^ { * } \, , } \end{array}
\bigg ( \textbf { d } _ { \alpha \beta } ( \bar { \textbf { R } } ) \cdot \big ( - \nabla V _ { \alpha } ( { \bar { \textbf { R } } } ) \big ) \bigg ) \bigg ( \textbf { d } _ { \alpha \beta } ( \bar { \textbf { R } } ) \cdot \big ( - \nabla V _ { \beta } ( { \bar { \textbf { R } } } ) \big ) \bigg )
\begin{array} { r l r } { \dot { R } _ { 0 } ^ { * } } & { = } & { \frac { 1 } { 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 8 } } \left\{ - 6 { \phi _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 4 } + { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 4 } \right) - 2 { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 1 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 6 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. + 3 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 4 } + 2 1 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 4 } \right) + 3 { \phi _ { 2 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ( 3 { R _ { 0 } ^ { * } } - { R _ { 1 } ^ { * } } ) \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 3 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) \right\} } \\ & { } & { + O ( { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 5 } ) , } \\ { \dot { R } _ { 1 } ^ { * } } & { = } & { \frac { 1 } { 1 4 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 8 } } \left\{ 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } { R _ { 1 } ^ { * } } [ 2 0 { R _ { 0 } ^ { * } } ( { \phi _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } + 2 { \phi _ { 1 } ^ { * } } ) + 9 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ] + 6 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } [ 5 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ( { \phi _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } + 5 { \phi _ { 1 } ^ { * } } ) + 7 5 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ] \right. } \\ & { } & { \left. + 8 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } ( 2 { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } - 1 5 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ) + 1 5 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 4 } ( 6 8 { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } - 1 8 9 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ) - 3 5 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 4 } ( 4 { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } + 9 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ) \right\} } \\ & { } & { + O ( { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 5 } ) , } \end{array}
\exp { \left( - \Gamma _ { k } [ \phi ] \right) } = \int { \mathcal D } \chi \, { \mathcal O } _ { k } [ \chi ] \, \exp { \left( - S [ \chi + \phi ] + \int \frac { \delta \Gamma _ { k } [ \phi ] } { \delta \phi } \chi \right) } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \Big ( \Big | \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } \right) - \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) \Big | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \Big ) } \\ & { \qquad \leq \mathbb { P } \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big | [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } \right) - [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) \Big | \geq \frac { \epsilon } { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { - 1 } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \left( 2 \cot { 3 \pi \nu _ { x } } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \right. } } } \end{array}
f ( \mathbf x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \delta - \eta ~ , } & { \forall \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | > r } \\ { - \delta - \eta + \mathbf x ~ , } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { ~ ~ a n d ~ ~ } \mathbf x \leq \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } } \\ { - \delta - \eta + r - \mathbf x ~ , } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { ~ ~ a n d ~ ~ } \mathbf x > \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. ~ .
\sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } v _ { \mathrm { s } } ^ { n } e ^ { - j k _ { x n } x } = \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \sum _ { m = - \infty } ^ { + \infty } g _ { m } i _ { \mathrm { s } } ^ { n } e ^ { - j k _ { x , n + m } x } .
\begin{array} { r } { \int _ { S ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } - 1 } } { g _ { j } ( Q ) \ d S ( Q ) } = \frac { ( - 1 ) ^ { \frac { j } { 2 } } ( 2 \pi ) ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 4 } } \frac { j ! } { ( \frac { j } { 2 } ) ! } \binom { n } { j } } { 2 ^ { j } \int _ { 0 } ^ { + \infty } { \rho ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } - 1 + j } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } } d \rho } } \quad \mathrm { i f ~ 0 \le ~ j \le ~ n ~ , ~ j ~ e v e n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { 0 } } { d t } } & { { } = } & { n _ { 0 } f _ { 0 } ( 1 - \gamma - \mu ) + \mu n _ { 1 } f _ { 1 } - n _ { 0 } N ( t ) / K , } \\ { \frac { d n _ { i } } { d t } } & { { } = } & { n _ { i } f _ { i } ( 1 - \gamma - \mu ) + ( \mu / 2 ) ( n _ { i + 1 } f _ { i + 1 } + n _ { i - 1 } f _ { i - 1 } ) } \end{array}