\begin{array} { r l r l } & { } & { - } & { \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \left\lbrace \overline { { \alpha } } ( x _ { { i } + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. + \frac { \Delta t } { 2 } \left( \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } + \frac { 3 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { { i } + 2 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \left. \left. \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ 2 q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - 2 q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \beta \left[ q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right] \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \overline { { \alpha } } ( x _ { { i } - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \ q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \frac { \Delta t } { 2 } \left( \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \! - \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { { i } + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ 2 q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) - 2 q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \left. \left. \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \alpha ( x _ { { i } - \frac { 3 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } - 2 } , t ^ { n } ) \right] \right. \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \left. \beta \left[ q ( x _ { { i } - 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { { i } } , t ^ { n } ) \right] \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right) \right] \right\rbrace } \\ & { = } & { - } & { \partial _ { x } \left( \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right) + \frac { \Delta t } { 2 } \left\lbrace \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \partial _ { x } \left( \partial _ { t } \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right) \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left( \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \beta \partial _ { x } \left( \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right) \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right\rbrace + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 2 } ) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) . } \end{array}