harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { v _ { t } + v \dot { v } _ { \zeta } } & { = + \mu v _ { \zeta \zeta } } & & { \mathrm { i n } ~ ( 0 , 1 ) \times ( 0 , T ) , } \\ { v _ { \zeta } ( 0 , \cdot ) } & { = 0 , } & & { } \\ { u _ { \zeta } ( 1 , \cdot ) } & { = 0 , } & & { } \\ { u ( \zeta , 0 ) } & { = v _ { 0 } ( \zeta ) } & & { \mathrm { i n } ~ ( 0 , 1 ) , } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { T ( T + 1 ) ( 2 T + 1 ) } { 3 } \frac { v _ { X } ^ { 2 } } { 2 } [ g ^ { 2 } W _ { \mu } ^ { a } W ^ { a \mu } - 2 g g ^ { \prime } W _ { \mu } ^ { 3 } B ^ { \mu } + g ^ { \prime 2 } B _ { \mu } B ^ { \mu } ] .
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { P } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } + 4 \, \sum _ { n } \sum _ { n ^ { \prime } } \, \lambda _ { n 1 } \, \lambda _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } \, ( S _ { n 1 , n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { + } ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { 2 \, \sum _ { n } \sum _ { n ^ { \prime } } \, ( \lambda _ { n 1 } + \lambda _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ) ^ { 2 } \, ( S _ { n 1 , n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { + } ) ^ { 2 } } \\ & { + } & { \sum _ { n } \lambda _ { n 1 } ^ { 2 } \, \langle \xi _ { n 1 } ( \vec { r } ) | \theta ( \vec { e } _ { z } \cdot \vec { r } ) | \xi _ { n 1 } ( \vec { r } ) \rangle } \\ & { + } & { \sum _ { n ^ { \prime } } \, \lambda _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { 2 } \, \langle \xi _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ( \vec { r } ) | \theta ( \vec { e } _ { z } \cdot \vec { r } ) | \xi _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ( \vec { r } ) \rangle \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { A } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { A } x _ { i } ^ { 2 } + \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } \sum _ { i < j } e ^ { - \frac { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\langle \widetilde { A } _ { \mathrm { R } } ^ { \dagger } \widetilde { A } _ { \mathrm { R } } \rangle = \langle \widetilde { A } _ { \mathrm { L } } ^ { \dagger } \widetilde { A } _ { \mathrm { L } } \rangle = { \cal B } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 \pi \nu } - 1 } \right) .
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = { \frac { | \mathbf { Z } | ^ { 2 } | d \mathbf { Z } | ^ { 2 } - ( { \bar { \mathbf { Z } } } \cdot d \mathbf { Z } ) ( \mathbf { Z } \cdot d { \bar { \mathbf { Z } } } ) } { | \mathbf { Z } | ^ { 4 } } } } \\ & { = { \frac { Z _ { \alpha } { \bar { Z } } ^ { \alpha } d Z _ { \beta } d { \bar { Z } } ^ { \beta } - { \bar { Z } } ^ { \alpha } Z _ { \beta } d Z _ { \alpha } d { \bar { Z } } ^ { \beta } } { \left( Z _ { \alpha } { \bar { Z } } ^ { \alpha } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 2 Z _ { [ \alpha } \, d Z _ { \beta ] } { \bar { Z } } ^ { [ \alpha } \, { \overline { { d Z } } } ^ { \beta ] } } { \left( Z _ { \alpha } { \bar { Z } } ^ { \alpha } \right) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
Q _ { s } = \frac { Q _ { i n } v _ { e } } { d } \Big [ \Big ( t _ { s } - \frac { x } { v _ { e } } \Big ) \theta \Big ( \frac { x } { v _ { e } } - t _ { s } \Big ) + \frac { x } { v _ { e } } \Big ] + \frac { Q _ { i n } v _ { h } } { d } \Big [ \Big ( t _ { s } - \frac { d - x } { v _ { h } } \Big ) \theta \Big ( \frac { d - x } { v _ { h } } - t _ { s } \Big ) + \frac { d - x } { v _ { h } } \Big ] ,
\begin{array} { r l } { ( u _ { s } , \mathbf { A } _ { s } ) } & { = ( u , \mathbf { A } ) + \nabla F _ { \varepsilon } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] - \nabla F _ { \varepsilon } ^ { 0 } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] } \\ & { = ( u , \mathbf { A } ) + \nabla ( F _ { \varepsilon } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] - F _ { \varepsilon } ^ { 0 } [ \rho _ { \varepsilon } , \mathbf { j } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { p } } ] ) } \\ & { = ( u , \mathbf { A } ) + ( u _ { \mathrm { H x c } } , \mathbf { A } _ { \mathrm { x c } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d x } n _ { e } ( x ) v ( x ) } & { = S _ { i o n } ( x ) - S _ { r e c } ( x ) } \\ { A _ { e f f } ( x ) \frac { d } { d x } n _ { e } ( x ) v ( x ) } & { = A _ { e f f } ( x ) S _ { i o n } ( x ) - A _ { e f f } S _ { r e c } ( x ) } \\ { v ( \xi ) } & { = \frac { \int _ { u p } ^ { \xi } A _ { e f f } ( x ) ( S _ { i o n } ( x ) - S _ { r e c } ( x ) ) d x + I _ { u } } { A _ { e f f } ( \xi ) n _ { e } ( \xi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { b _ { 2 } } \\ { b _ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } = S \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { T } & { R } \\ { R } & { T } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { 0 , 2 } } = V _ { \mathrm { 0 , 1 } } + \left( V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } - V _ { \mathrm { 0 , 1 } } \right) \left( 1 - e ^ { - t _ { \mathrm { i n s p } } / \tau _ { \mathrm { i n s p } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { i j } = - \frac { 2 } { \sqrt { g } } \frac { \delta \hat { S } } { \delta g ^ { i j } } } & { = } & { - \frac { E _ { i } E _ { j } } { B } + \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { B } \delta _ { i j } + 2 B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \delta _ { i j } + \left( \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \right) \delta _ { i j } } \\ & { = } & { \frac { - E _ { i } E _ { j } + \vec { E } ^ { 2 } \delta _ { i j } } { B } + \left( \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } + B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } \right) \delta _ { i j } . } \end{array}
f ( { \vec { v } } ) = \mathbf { z } _ { \mathrm { { l } } } { \vec { v } } \mathbf { z } _ { \mathrm { { r } } } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { \mathrm { { l } } } } & { - b _ { \mathrm { { l } } } } & { - c _ { \mathrm { { l } } } } & { - d _ { \mathrm { { l } } } } \\ { b _ { \mathrm { { l } } } } & { a _ { \mathrm { { l } } } } & { - d _ { \mathrm { { l } } } } & { c _ { \mathrm { { l } } } } \\ { c _ { \mathrm { { l } } } } & { d _ { \mathrm { { l } } } } & { a _ { \mathrm { { l } } } } & { - b _ { \mathrm { { l } } } } \\ { d _ { \mathrm { { l } } } } & { - c _ { \mathrm { { l } } } } & { b _ { \mathrm { { l } } } } & { a _ { \mathrm { { l } } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { w } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { \mathrm { { r } } } } & { - b _ { \mathrm { { r } } } } & { - c _ { \mathrm { { r } } } } & { - d _ { \mathrm { { r } } } } \\ { b _ { \mathrm { { r } } } } & { a _ { \mathrm { { r } } } } & { d _ { \mathrm { { r } } } } & { - c _ { \mathrm { { r } } } } \\ { c _ { \mathrm { { r } } } } & { - d _ { \mathrm { { r } } } } & { a _ { \mathrm { { r } } } } & { b _ { \mathrm { { r } } } } \\ { d _ { \mathrm { { r } } } } & { c _ { \mathrm { { r } } } } & { - b _ { \mathrm { { r } } } } & { a _ { \mathrm { { r } } } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } } & { = [ 1 , 1 0 0 ] ~ \ensuremath { \, \mathrm { m ^ { 2 } / s } } } \\ { t _ { \mathrm { T Q } } } & { = [ 1 , 3 ] \ensuremath { \, \mathrm { m s } } } \\ { n _ { e 1 } } & { = [ 1 , 1 . 5 , 2 , 2 . 5 , 3 , 3 . 5 , 4 ] n _ { e 0 } } \\ { n _ { \mathrm { N e 1 } } / n _ { \mathrm { D 1 } } } & { = [ 0 , 0 . 1 , 1 . 0 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T u \| _ { L ^ { 2 } ( A B C ) } ^ { 2 } } & { = m ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A B C ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( A B C ) } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { B C } ^ { 2 } + \int _ { A B } ( - 2 m \Re i \, n _ { 1 _ { A B } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } - 2 m \Re \, n _ { 2 _ { A B } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } ) } \\ & { \qquad - \Re i n _ { 1 _ { A B } } \int _ { A B } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 2 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) + \Re i n _ { 2 _ { A B } } \int _ { A B } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 1 } u _ { 1 } ) } \\ & { \qquad + \int _ { A C } ( - 2 m \Re i \, n _ { 1 _ { A C } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } - 2 m \Re \, n _ { 2 _ { A C } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } ) - \Re i n _ { 1 _ { A C } } \int _ { A C } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 2 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) } \\ & { \qquad + \Re i n _ { 2 _ { A C } } \int _ { A C } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 1 } u _ { 1 } ) } \end{array}
\epsilon ( x ) = \epsilon + Z _ { 1 } \delta ( x + \frac { L } { 2 } ) + Z _ { 2 } \delta ( x - \frac { L } { 2 } ) , \ \ \ \ Z _ { 1 } = V _ { 1 } + i V _ { 2 } , \ \ \ \ Z _ { 2 } = Z _ { 1 } ^ { * } ,
\begin{array} { r } { D _ { S , j } c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , t ) \frac { \partial S _ { j } } { \partial r } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) = - \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } c ^ { 2 } ( \tau , t ) r _ { S , j } ( { { \bf X } ( c ( \tau , t ) , t ) } , { { \bf S } } ( c ( \tau , t ) , t ) ) \frac { \partial } { \partial \tau } c ( \tau , t ) d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { A } & { = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 2 } } \end{array} \right] , } & & { B = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { E _ { 2 } } \end{array} \right] , \; \; } & & { E = \left[ \begin{array} { l l l } { B _ { 1 } } & { 0 } & { E _ { 1 } } \\ { 0 } & { B _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { C } & { = \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { - C _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } & & { D = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { I } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { H } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { \beta } ( \widehat { g } _ { i } , f _ { i , \boldsymbol { \theta } } ) , } \\ { d _ { \beta } ( \widehat { g } _ { i } , f _ { i , \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \mathrm { E } \left[ f _ { i , \boldsymbol { \theta } } ^ { \beta } ( Y _ { i } ) \right] - \frac { \beta + 1 } { \beta } \frac { 1 } { n } f _ { i , \boldsymbol { \theta } } ^ { \beta } ( Y _ { i } ) + \frac { 1 } { \beta } \frac { 1 } { n } . } \end{array}
\Pi ( \xi \vert \phi ) = \mathcal { A } \exp \left( \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } \frac { \sum _ { \sigma } v _ { \sigma } ^ { \prime } ( \phi ) \Pi ( \sigma \vert \phi ) } { \sum _ { \sigma } \Pi ( \sigma \vert \phi ) \frac { \omega _ { \sigma } ( \phi ) } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F ) } \psi ( \mathrm { t r } ( T z ) ) \Phi ^ { 0 } ( a + x ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta t ( 1 , m ( a ) ) u ( x , 0 , z ) ) d u } \\ { = } & { \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F ) } \psi ( \mathrm { t r } ( T z ) ) \Phi ^ { 0 } ( x ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta t ( 1 , m ( a ) ) u ( x - a , 0 , z ) ) d u } \\ { = } & { \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F ) } \psi ( \mathrm { t r } ( T z ) ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta t ( 1 , m ( a ) ) u ( - a , 0 , z ) ) d u . } \end{array}
\small \mathcal { L } ( X _ { 0 : T } \mid f ) = \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \| f ( X _ { t } ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } t + \int _ { 0 } ^ { T } \langle f ( X _ { t } ) , X _ { t + \mathrm { ~ d ~ } t } - X _ { t } \rangle \mathrm { ~ d ~ } t \right] ,
\begin{array} { r l } { I } & { = : \int _ { B _ { 1 } } | g | ^ { p } \left\{ \int _ { 0 } ^ { \frac { | g | } { b _ { 1 } } } \frac { d \left[ \phi \left( b _ { 2 } \mu \right) \right] } { \mu ^ { p } } \right\} d x } \\ & { \leq \int _ { B _ { 1 } } | g | ^ { p } \left\{ \frac { \phi \left( b _ { 2 } \frac { | g | } { b _ { 1 } } \right) } { \left( \frac { | g | } { b _ { 1 } } \right) ^ { p } } + p \int _ { 0 } ^ { \frac { | g | } { b _ { 1 } } } \frac { \phi \left( b _ { 2 } \mu \right) } { \mu ^ { p + 1 } } d \mu \right\} d x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Tilde { E } _ { h } } & { { } = } & { \Tilde { E } _ { 1 } e ^ { i \varphi _ { 1 } ( t ) } } \\ { \Tilde { E } _ { k } } & { { } = } & { \Tilde { E } _ { 2 } e ^ { i \varphi _ { 2 } ( t ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { x } } & { { } = } & { \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - z ^ { \prime } } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { z } \Delta z ^ { \prime } } } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { i } } } { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial s } } = \sum _ { k } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } h _ { k i } ~ { \frac { \partial q ^ { i } } { \partial s } } \right) \mathbf { e } _ { k } ~ ; ~ ~ { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { j } } } { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial t } } = \sum _ { m } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } h _ { m j } ~ { \frac { \partial q ^ { j } } { \partial t } } \right) \mathbf { e } _ { m }
\int d ^ { 2 } q _ { T } \left[ f ( q _ { T } ) \right] _ { + } g ( \vec { q } _ { T } ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \int _ { 0 } ^ { + \infty } q _ { T } d q _ { T } f ( q _ { T } ) \left( g ( \vec { q } _ { T } ) - g ( \vec { 0 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 1 ) } } & { : = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( - \infty , \bar { t } ) , y \in ( - \infty , \bar { t } ) \} } [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 0 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] + \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \infty ) , y \in ( \bar { t } , \infty ) \} } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] , } \\ { Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 2 ) } } & { : = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } = \bar { t } \} } \mathbb { 1 } _ { \{ y \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( y ) \nabla y , \qquad Z _ { y , \hat { y } } ^ { ( 3 ) } : = [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) ] [ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y , \hat { y } } ^ { 3 } } ] \nabla \hat { y } , } \end{array}
\rho = T _ { 0 } ^ { ~ 0 } = - { \cal L } = \frac { \sqrt { 2 { \cal F } } } { 8 \pi \beta } \ln \left( 1 + \beta \sqrt { 2 { \cal F } } \right) = \frac { q } { 8 \pi \beta r ^ { 2 } } \ln \left( 1 + \frac { \beta q } { r ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l r c l } { \phi : } & { \Gamma ( V _ { \bullet } ) } & { \longrightarrow } & { { \mathbb { R } } } \\ & { ( n , \alpha ) } & { \longmapsto } & { \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ^ { ( n , \alpha ) } ( V _ { \bullet } ) , \varphi _ { n } ^ { \alpha } , \eta _ { n } ^ { \alpha } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ^ { n - 2 } Q ^ { \prime \prime \prime } ( r ) + ( n - 2 ) r ^ { n - 3 } Q ^ { \prime \prime } ( r ) } & { = ( n - 3 ) r ^ { n - 4 } Q ^ { \prime } ( r ) + r ^ { n - 3 } Q ^ { \prime \prime } ( r ) - \lambda Q ^ { \prime } ( r ) r ^ { n - 2 } } \\ & { - ( n - 2 ) \lambda Q ( r ) r ^ { n - 3 } + ( n - 2 ) \lambda Q ( r ) r ^ { n - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } } & { = \frac { v \left( \cos \psi + { \bf h } \cdot \mathbf { q } \right) { \bf p } } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } } - \sin \psi { \bf a } _ { \phi } \, , } \\ { \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } } } & { = \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial { \bf q } } \frac { \left( \cos \psi + { \bf h } \cdot \mathbf { q } \right) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } } - \frac { { \bf h } } { v } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi \left( x \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } x \right) } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) \right] = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \dot { \omega } _ { t } ^ { ( j ) } \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } \\ & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) \right] \omega _ { t } ^ { ( j ) } \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } \\ & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( x \right) \right] \varphi \left( x \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } x \right) . } \end{array}
\bigl | \partial _ { R } \hat { W } _ { \epsilon } \bigr | + \bigl | \partial _ { Z } \hat { W } _ { \epsilon } \bigr | \, \le \, \gamma \, \rho ^ { 2 \gamma - 1 } \, \hat { W } _ { \epsilon } \, \le \, \gamma \, \epsilon ^ { \sigma _ { 2 } - 2 \sigma _ { 1 } } \, \hat { W } _ { \epsilon } \, , \quad \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ e ~ } ~ \, \rho \ge \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { B _ { k } k ^ { m } } \lesssim \frac 1 B \quad \mathrm { a n d } \quad \sum _ { k = 2 } ^ { ( \ell _ { N } ) ^ { n } } \frac { 1 } { L _ { k } k ^ { m } } \lesssim \frac { 1 } { L } \ell _ { N } ^ { n ( 5 - m ) } = ( \ell _ { N } ) ^ { m - 2 + n ( 5 - m ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { \partial _ { \mu } \big ( \varrho \, \partial ^ { \mu } \theta \big ) = 0 , \hfill } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \theta \partial ^ { \mu } \theta = - \displaystyle \frac { \delta V } { \delta \varrho } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g _ { \kappa \lambda ; \alpha } } & { { } = 0 } \\ { ( { \sqrt { - g } } \; ^ { W } ) _ { ; \alpha } } & { { } = ( { \sqrt { - g } } \; ^ { W } ) _ { , \alpha } - W \Gamma _ { ~ \delta \alpha } ^ { \delta } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } = { \frac { W } { 2 } } g ^ { \kappa \lambda } g _ { \kappa \lambda , \alpha } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } - W \Gamma _ { ~ \delta \alpha } ^ { \delta } { \sqrt { - g } } \; ^ { W } = 0 \, . } \end{array}
| \psi \rangle _ { \scriptscriptstyle 0 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | \omega _ { s } \omega _ { i } \rangle _ { \scriptscriptstyle H } + e ^ { i \varphi _ { _ 0 } } | \omega _ { s } \omega _ { i } \rangle _ { \scriptscriptstyle V } ) ,
\begin{array} { r l } & { F _ { k } ( r , t ) : = \left( \frac { \theta _ { r } - \theta _ { r + 1 } } { \log h _ { 3 } } - \frac { \log h _ { 2 } } { ( k - 2 ) \log t } + \frac { 1 } { \log t } \right) t ^ { ( \theta _ { r } k - 1 ) / ( 2 K - 2 ) } \times } \\ & { \qquad \bigg [ \lceil h _ { 3 } \rceil ( h _ { 3 } H ) ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } t ^ { - \theta _ { r } } } \\ & { \qquad + \left( C _ { r } ( \eta _ { 3 } , h _ { 3 } ) H ^ { k / ( 2 K - 2 ) - r / ( 2 R - 2 ) } + D _ { r } ( \eta _ { 3 } , h _ { 3 } ) H ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 2 / R + r / ( 2 R - 2 ) } \right) t ^ { - \theta _ { r } / R } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { D _ { m } ^ { 2 } W _ { m } } { \eta _ { x } } - \frac { D _ { m } W _ { m } } { \eta _ { x } ^ { 2 } } D _ { m } \eta _ { x } - \frac { K ^ { * } a _ { m } ^ { 2 } } { \eta _ { z } } W _ { m } + R a _ { m } a _ { m } ^ { 2 } \theta _ { m } = i \frac { \sigma _ { m } \delta ^ { 2 } } { \chi } ( D _ { m } ^ { 2 } - a _ { m } ^ { 2 } ) W _ { m } ~ , } \\ & { ( D _ { m } ^ { 2 } - a _ { m } ^ { 2 } ) \theta _ { m } + W _ { m } = - i \sigma _ { m } G _ { m } P r _ { m } \theta _ { m } ~ . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \theta } _ { H } { = a r c t a n } \left( \frac { \left( 1 - k \right) \sqrt { s i n ^ { 2 } \beta + { \left( \frac { k H _ { K } } { H _ { S O T } ^ { D L } } \right) } ^ { 2 } } } { k c o s \beta } \right) , } \\ { { \varphi } _ { H } { = a r c t a n } \left( \frac { k H _ { K } } { H _ { S O T } ^ { D L } s i n \beta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ^ { + } } & { { } = \{ z \in \mathbb { C } \, | \, \mathrm { I m } \, z > 0 \} , } \\ { \mathcal { D } } & { { } = \{ w \in \mathbb { C } \, | \, | w | < 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { \infty } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) = 1 - \left( 1 - \frac { s _ { 1 } } { s _ { 2 } } \right) ^ { \theta } + \theta \left( \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } } - 1 \right) ^ { \theta } \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } } + t - 1 \right) ^ { - \theta - 1 } F _ { \infty } \left( \frac { s _ { 2 } - s _ { 1 } } { t } , s _ { 2 } - s _ { 1 } \right) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left[ Y \geq \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right] } & { \geq \mathbb { P } \left[ \left\{ Y \geq 2 \mathbb { E } \left[ \left| \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right| \right] \right\} \cap \left\{ \nabla \phi ^ { e } ( e ) \leq 2 \mathbb { E } \left[ \left| \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right| \right] \right\} \right] } \\ & { = \mathbb { P } \left[ \left\{ Y \geq 2 \mathbb { E } \left[ \left| \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right| \right] \right\} \right) \mathbb { P } \left( \left\{ \nabla \phi ^ { e } ( e ) \leq 2 \mathbb { E } \left[ \left| \nabla \phi ^ { e } ( e ) \right| \right] \right\} \right] } \\ & { \geq c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ( z ) } & { { } = \sqrt { \epsilon _ { c } } \; \frac { D \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) - \sqrt { \epsilon _ { c } } \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } { D \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) + \sqrt { \epsilon _ { c } } \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } , } \end{array}
{ { \varepsilon } _ { \alpha } } ( { { q } _ { x } } ) = 1 + \frac { 2 \pi i { { \sigma } _ { \alpha } } } { \omega } \sqrt { q _ { x } ^ { 2 } + q _ { y } ^ { 2 } } = 1 - \sqrt { \frac { q _ { x } ^ { 2 } + q _ { y } ^ { 2 } } { q _ { p \alpha } ^ { 2 } } }
{ \begin{array} { r l } { M ^ { 2 } } & { = ( E _ { 1 } + E _ { 2 } ) ^ { 2 } - \left\| { \textbf { p } } _ { 1 } + { \textbf { p } } _ { 2 } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = [ ( p _ { 1 } , 0 , 0 , p _ { 1 } ) + ( p _ { 2 } , 0 , p _ { 2 } \sin \theta , p _ { 2 } \cos \theta ) ] ^ { 2 } } \\ & { = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta - ( p _ { 1 } + p _ { 2 } \cos \theta ) ^ { 2 } } \\ & { = 2 p _ { 1 } p _ { 2 } ( 1 - \cos \theta ) . } \end{array} }
\partial _ { \Tilde { \theta } _ { k } ^ { * } } \mathcal { I } = \mathbb { E } _ { \chi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] - \mathbb { E } _ { \chi } [ O _ { k } ^ { * } ( \sigma ) ] \mathbb { E } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] ,
\lambda _ { 2 } = \frac { \pm 1 } { 4 \cdot n _ { \mp } } a ( \mu ) \langle H _ { ( \pm ) } ^ { ( Q ) } | \bar { Q } _ { v _ { r } } g \sigma _ { \alpha \beta } G ^ { \alpha \beta } Q _ { v _ { r } } | H _ { ( \pm ) } ^ { ( Q ) } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| g _ { k } ( x _ { k - 1 } ) - g _ { k } ( x _ { k - 2 } ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ \frac { 1 } { b } \mathbb { E } [ \mathbb { E } _ { z \sim D _ { p } } \| \nabla \ell ( x _ { k - 1 } , z ) - \nabla \ell ( x _ { k - 2 } , z ) - \nabla f _ { p } ( x _ { k - 1 } ) + \nabla f _ { p } ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \ \frac { L ^ { 2 } } { b } \mathbb { E } \| x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
A ( x ) = - \int { \frac { 1 } { e ^ { - 4 x } } } x e ^ { - 2 x } \cosh x \, \mathrm { d } x = - \int x e ^ { 2 x } \cosh x \, \mathrm { d } x = - { \frac { 1 } { 1 8 } } e ^ { x } ( 9 ( x - 1 ) + e ^ { 2 x } ( 3 x - 1 ) ) + C _ { 1 }