harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f ( { \bf { p } } ) = \left| \sum _ { l m } \frac { 1 } { p } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } i ^ { - l } e ^ { i ( \delta _ { l } + \vartriangle _ { l } ) } Y _ { l m } ( \hat { \bf { p } } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } R _ { p l } ( r ) \chi _ { l m } ( r ) d r \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \theta ^ { \prime } } & { : } & { a + b u \rightarrow a \theta + ( b \theta ) u , } \\ { \epsilon } & { : } & { a + b u \rightarrow a - b u , } \\ { \psi } & { : } & { a + b u \rightarrow \frac { 1 } { 4 } [ a + 3 a ^ { * } + \sqrt { 3 } ( b - b ^ { * } ) ] + \frac { 1 } { 4 } [ b + 3 b ^ { * } - \sqrt { 3 } ( a - a ^ { * } ) ] u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { k } ^ { ( 0 , 0 ) } } & { \sim \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \tilde { d } _ { h } ^ { ( 0 , 1 ) } \frac { \Gamma ( k - h - \beta _ { 0 , 1 } ) } { A _ { 2 } ^ { k - h - \beta _ { 0 , 1 } } } + { \mathcal O } ( 2 ^ { - k } ) } \\ & { = \frac { \Gamma ( k - \beta _ { 0 , 1 } ) } { A _ { 2 } ^ { k - \beta _ { 0 , 1 } } } \bigg [ \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 0 , 1 ) } + \frac { A _ { 2 } \, \tilde { d } _ { 1 } ^ { ( 0 , 1 ) } } { k } + \frac { A _ { 2 } ( \beta _ { 0 , 1 } + 1 ) \tilde { d } _ { 1 } ^ { ( 0 , 1 ) } + A _ { 2 } ^ { 2 } \, \tilde { d } _ { 2 } ^ { ( 0 , 1 ) } } { k ^ { 2 } } + . . . \bigg ] + { \mathcal O } ( 2 ^ { - k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { f } , { w } - { w } _ { h } ) _ { L } - } & { A ( ( { u } _ { h } , p _ { h } ) , ( { w } - { w } _ { h } , r - q _ { h } ) ) } \\ & { = ( { f } , { w } - { w } _ { h } ) _ { L } - ( a ( { u } _ { h } , { w } - { w } _ { h } ) - b ( p _ { h } , { w } - { w } _ { h } ) ) + b ( r - q _ { h } , { u } _ { h } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \theta } ) } & { { } = \left( D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { 0 } ) , D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right) _ { 2 \theta } } \end{array}
f ( V ; \lambda _ { V } , k _ { V } ) = \frac { k _ { V } } { \lambda _ { V } } \left( \frac { V } { \lambda _ { V } } \right) ^ { k _ { V } - 1 } e ^ { - \left( \frac { V } { \lambda _ { V } } \right) ^ { k _ { V } } } ~ , ~ V \geq 0
\mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } ( M _ { Z } ) = 3 \alpha _ { E M } ( M _ { Z } ) \{ \frac { \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } ( M _ { Z } ) } { 2 } + ( \frac { b _ { 3 } ^ { M _ { R } } } { 2 } - \frac { b _ { 2 } ^ { M _ { R } } } { 3 } ) \mathrm { l n } \left( { \frac { M _ { R } } { M } } \right) + ( \frac { b _ { 3 } ^ { M } } { 2 } - \frac { b _ { 2 } ^ { M } } { 3 } ) \mathrm { l n } \left( { \frac { M } { M _ { Z } } } \right) \} .
\begin{array} { r l r } { W } & { { } = } & { A r ^ { \mu _ { + } } + B r ^ { \mu _ { - } } , } \\ { \xi _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } \omega ^ { 2 } ( 1 - \frac { N ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } ) } \big ( \mu _ { + } A r ^ { \mu _ { + } - 1 } + \mu _ { - } B r ^ { \mu _ { - } - 1 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D J ( g ; g _ { i } ^ { b } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { J ( g + \delta \cdot g _ { i } ^ { b } ) - J ( g ) } { \delta } , } & { g _ { i } ^ { b } \in \mathrm { ~ T ~ y ~ p ~ e ~ 1 ~ } ; } \\ { \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g , g _ { i } ^ { b } \rangle _ { \Gamma } \, d t + \int _ { 0 } ^ { T } \left( \theta ( g ) \nabla \rho ( g ) , L ( g _ { i } ^ { b } ) \right) d t , } & { g _ { i } ^ { b } \in \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ t ~ y ~ p ~ e ~ s ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
A _ { \mu } ^ { t r } ( x ) = \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 \omega _ { k } } \sum _ { \lambda = 1 , 2 } [ a _ { k \lambda } \epsilon _ { \mu } ( k , \lambda ) e ^ { - i k \cdot x } + h . c . ] }
| p _ { z } , \mathrm { \boldmath ~ b ~ } _ { \perp } \rangle = \sum _ { \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ p } ~ } _ { \perp } } \frac { \mathrm { e } ^ { i \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ p } ~ } _ { \perp } \cdot \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ b } ~ } _ { \perp } } } { \sqrt { V _ { \perp } } } { \mit \Psi } ( \mathrm { \boldmath ~ p ~ } _ { \perp } ) | p _ { z } , \mathrm { \boldmath ~ p ~ } _ { \perp } \rangle \, .
D ( z ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int d s \theta \left( s - \frac { M ^ { 2 } } { z } - \frac { r ^ { 2 } M ^ { 2 } } { 1 - z } \right) \operatorname * { l i m } _ { q _ { 0 } \to \infty } \frac { \sum \vert A ( P ) \vert ^ { 2 } } { \sum \vert A _ { 0 } \vert ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { \sum _ { i } \left[ c \mathrm { \boldmath ~ { \vec { ~ } \alpha } ~ } ^ { D } \cdot { \vec { p } } _ { i } + ( \beta - 1 ) c ^ { 2 } + V _ { n u c } ( r _ { i } ) \right] + \sum _ { i , j > i } \frac { 1 } { r _ { i j } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } h ( r _ { i } ) + \sum _ { i , j > i } g ( r _ { i j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { j } ^ { n + 1 } - \rho _ { j } ^ { n } } { \Delta \tau } + \frac { \phi _ { j } ^ { m } - \phi _ { j - 1 } ^ { m } } { \Delta \xi } = 0 } \\ & { \frac { \phi _ { j } ^ { m + 1 } - \phi _ { j } ^ { m } } { \Delta \tau } + \frac { \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } - \rho _ { i } ^ { n + 1 } } { \Delta \xi } = - \beta \frac { ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { n + 1 } } { \rho _ { j } ^ { n + 1 } } \approx - \beta \frac { ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { m + 1 } + ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { m } } { \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } + \rho _ { i } ^ { n + 1 } } } \\ & { \qquad \implies \phi _ { j } ^ { m + 1 } + \beta \Delta \tau \frac { ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { m + 1 } } { \rho _ { i } ^ { n + 1 } + \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } } = \phi _ { j } ^ { m } - \frac { \Delta \tau } { \Delta \xi } \left( \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } - \rho _ { i } ^ { n + 1 } \right) - \beta \Delta t \frac { ( \phi | \phi | ) _ { j } ^ { m } } { \rho _ { i } ^ { n + 1 } + \rho _ { i + 1 } ^ { n + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \cfrac { z - s } { s _ { 0 } } } & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \bigg ( \cfrac { K _ { S } + s _ { 0 } } { K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } + \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } } \bigg ) \bigg ( \exp ( k _ { 1 } \varepsilon _ { S S l } s _ { 0 } t ) - \exp ( - k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { \mathrm { c r o s s } } ) t ) \bigg ) } \end{array}
\ln { \left( \frac { 1 } { \sqrt { \mathbb { A } ^ { \mu } \mathbb { A } _ { \mu } } } \right) } = \ln { \left( \frac { p \, \rho _ { o } } { \varrho _ { o } c } \right) } - \ln { \left( \Lambda _ { \rho } \right) }
\left[ { \frac { 1 } { ( { \cal P } - q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( { \cal P } + q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { ( { \cal P } + q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( { \cal P } - q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \right] \} .
\frac { e } { h c } = \frac { ( 1 . 6 0 2 \times 1 0 ^ { - 1 9 } \mathrm { ~ C } ) ( 1 0 ^ { + 3 } \mathrm { ~ m A / ( C / s ) } ) } { ( 6 . 6 2 6 \times 1 0 ^ { - 3 4 } \mathrm { ~ J . s } ) ( 2 . 9 9 8 \times 1 0 ^ { 8 } \mathrm { ~ m / s } ) ( 1 0 ^ { 2 } \mathrm { ~ c m / m } ) ^ { 2 } ( 1 0 ^ { 9 } \mathrm { ~ n m / m } ) } = 8 . 0 6 4 5 \times 1 0 ^ { - 5 } \frac { \mathrm { m A . m ~ ^ 2 ~ } } { \mathrm { W . c m ~ ^ 2 ~ . n m } } \, .
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \mu } \eta ) ( \partial ^ { \mu } \eta ) - \frac { 1 } { 2 } m _ { H } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + { \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { v } } \eta ^ { 3 } + \ldots
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { q } _ { * } | _ { 0 , s , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { s , \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } ( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , } \\ { | d _ { i } ( \mathfrak { q } _ { * } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , s , 0 } } & { \le _ { s , \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } + 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
P _ { n } ^ { m } ( x ) = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { 2 ^ { n } n ! } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { m / 2 } \frac { \mathrm { d } ^ { n + m } } { \mathrm { d } x ^ { n + m } } ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { n } \qquad ( m \geq 0 ) .
\left[ \begin{array} { l l l } { n ^ { 2 } - n _ { x } ^ { 2 } - S } & { i D - n _ { x } n _ { y } + i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { z } } & { - n _ { x } n _ { z } - i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { y } } \\ { - i D - n _ { x } n _ { y } - i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { z } } & { n ^ { 2 } - n _ { y } ^ { 2 } - S } & { - n _ { y } n _ { z } + i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { x } } \\ { - n _ { x } n _ { z } + i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { y } } & { - n _ { y } n _ { z } - i \left( V _ { 0 } / \omega \right) n _ { x } } & { n ^ { 2 } - n _ { z } ^ { 2 } - P } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \delta E _ { x } } \\ { \delta E _ { y } } \\ { \delta E _ { z } } \end{array} \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { G _ { r } ^ { \infty } } & { { } = B _ { 2 } \, \frac { r \left( z - h \right) } { s ^ { 3 } } \, , } \\ { G _ { z } ^ { \infty } } & { { } = \frac { B _ { 1 } } { s } + \frac { B _ { 2 } } { s ^ { 3 } } \left( z - h \right) ^ { 2 } \, , } \\ { P ^ { \infty } } & { { } = \frac { z - h } { s ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\langle p ^ { \uparrow } , n ^ { \uparrow } | u ^ { \uparrow } | \Delta ^ { + , \uparrow } , \Delta ^ { 0 , \uparrow } \rangle = \langle p ^ { \uparrow } , n ^ { \uparrow } | d ^ { \downarrow } | \Delta ^ { + , \uparrow } , \Delta ^ { 0 , \uparrow } \rangle = \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } ,
\langle u \rangle _ { E } = \frac { \sum _ { g = 1 } ^ { G } u _ { g } E _ { g } } { \sum _ { g = 1 } ^ { G } E _ { g } } , \quad \bar { \mathbf { K } } _ { R } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } \big ( \langle u \rangle _ { | F _ { x } | } , \langle u \rangle _ { | F _ { y } | } , \langle u \rangle _ { | F _ { z } | } \big ) , ,
v ( x , t ) = \overline { { D } } _ { 0 } \frac { 1 } { H } \frac { \partial h ( x , t ) } { \partial x } - \overline { { D } } _ { 0 } \frac { E _ { 0 } } { k _ { B } T } \frac { h _ { 0 } } { H } \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial \rho _ { 1 } ( x , t ) } { \partial x }
\begin{array} { r l } { \hat { R } ( 0 ) } & { = 1 } \\ { \hat { L } ( 0 ) } & { = 1 + \sum _ { i a } \lambda _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } \lambda _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a } } \end{array}
\mathbb { P } _ { U ^ { I } } ( \mathscr { C } _ { 1 } ^ { I } = V ^ { I } ) = \sum _ { x \in \mathcal G } \mathbb { P } _ { U ^ { I } } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) \geq \sum _ { x \in \mathcal H } \mathbb { P } _ { U ^ { I } } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) \geq \sum _ { x \in \mathcal H } w _ { x } \, \frac { | U ^ { i _ { x } } | } { | U | } \, \mathbb { P } _ { U ^ { i _ { x } } } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) ,
{ \begin{array} { r l } { p ( x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } & { { \stackrel { \mathrm { u p d a t i n g } } { \longrightarrow } } p ( x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) = { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ) p ( x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime } ) p ( x _ { k } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) d x _ { k } ^ { \prime } } } } \\ & { { \stackrel { \mathrm { p r e d i c t i o n } } { \longrightarrow } } p ( x _ { k + 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) = \int p ( x _ { k + 1 } | x _ { k } ) p ( x _ { k } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) d x _ { k } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } } { 2 ^ { 2 n - 2 } ( 1 + x ^ { 2 } ) } } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } } & { { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 ^ { 2 n - j - 2 } } } x ^ { 4 n + j } ( 1 - x ) ^ { 4 n - 2 j - 2 } } \\ & { - 4 \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } ( - 1 ) ^ { 3 n - j } x ^ { 2 j } + ( - 1 ) ^ { 3 n } { \frac { 4 } { 1 + x ^ { 2 } } } . \qquad ( 1 ) } \end{array} }
E _ { N } = E _ { N , \mathrm { n m } } + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 1 } ^ { 2 N ^ { 2 } } { \bf S } _ { i _ { 1 } } \mathcal { J } _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { \updownarrow } { \bf S } _ { i _ { 2 } } + \sum _ { l = 1 , 2 } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i _ { l } , j _ { l } = 1 } ^ { 2 N ^ { 2 } } { \bf S } _ { i _ { l } } \mathcal { J } _ { i _ { l } j _ { l } } ^ { \leftrightarrow } { \bf S } _ { j _ { l } } + \sum _ { i _ { l } = 1 } ^ { 2 N ^ { 2 } } { \bf S } _ { i _ { l } } \mathcal { A } { \bf S } _ { i _ { l } } \bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \Pr _ { \boldsymbol \pi } \left( \lambda _ { \mathrm { m a x } } \left( \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \geq t \right) } & { \leq e ^ { - \theta t } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \exp \left( \theta \lambda _ { \mathrm { m a x } } \left( \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right) \right] } \\ & { = e ^ { - \theta t } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \lambda _ { \mathrm { m a x } } \left( \exp \left( \theta \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right) \right] } \\ & { \leq e ^ { - \theta t } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \operatorname { t r } \exp \left( \theta \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right] . } \end{array}
d \tilde { F } _ { ( 7 ) } = - \frac { 1 } { 2 } F _ { ( 4 ) } \wedge F _ { ( 4 ) } + I _ { ( 8 ) } ( R ) + \delta ^ { ( 8 ) } ( 3 / 2 / 1 \mathrm { - B r a n e s } ) ,
C = \left( \begin{array} { l l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 1 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 1 2 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \nu _ { 2 1 } } & { \nu _ { 2 2 } } \end{array} \right) \, .
\int _ { \Gamma _ { [ 0 , 1 ] , + , j - \ell } } \oint z _ { j } ^ { \alpha _ { + } } ( 1 - z _ { j } ) ^ { \beta _ { + } } z _ { j + 1 } ^ { \alpha _ { - } } ( 1 - z _ { j + 1 } ) ^ { \beta _ { - } } \Big ( \prod _ { \substack { 1 \leq j _ { 0 } < k _ { 0 } \leq N \, \{ j _ { 0 } , k _ { 0 } \} \cap \{ j , j + 1 \} \neq \varnothing } } ( z _ { k _ { 0 } } - z _ { j _ { 0 } } ) ^ { 2 \gamma _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } \Big ) F \, \mathrm { d } z _ { j } \, \mathrm { d } z _ { j + 1 } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | v _ { \mathrm { H x c } } [ s n _ { i } ] | \varphi _ { i } \rangle d s } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { f _ { i } } \langle \varphi _ { i } | \hat { H } ^ { \mathrm { D F T } } ( s ) | \varphi _ { i } \rangle d s - E _ { \mathrm { H x c } } [ f _ { i } n _ { i } ] } \end{array}
I _ { 5 } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 \Xi } \frac { ( r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 - l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } ) } { r _ { + } ( 2 l ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } + 1 + a ^ { 2 } l ^ { 2 } ) } .
\varphi _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( u _ { 0 } ) = e ^ { ( t - t _ { 0 } ) \mathcal { A } _ { U } } u _ { 0 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } J _ { s } \circ \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) \, d s , \qquad 0 \leq t _ { 0 } < t < t ^ { * } ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d { p } } \sum _ { i , j } k ( \mathbf { X } ^ { [ i ] } , \mathbf { Y } ^ { [ j ] } ; p ) = \sum _ { i _ { 0 } } \mathbf { \tilde { c } } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) ^ { T } \mathbf { X } _ { p } ^ { [ i _ { 0 } ] } + \mathbf { \tilde { c } } _ { 3 } , } \end{array}
\ ^ { * } G _ { R } ^ { \rho \sigma } ( K ) = \frac { 1 } { \ ^ { * } \Pi _ { T } ^ { R } ( K ) - K ^ { 2 } - i \epsilon k _ { 0 } } A ^ { \rho \sigma } + \frac { 1 } { \ ^ { * } \Pi _ { L } ^ { R } ( K ) - K ^ { 2 } - i \epsilon k _ { 0 } } B ^ { \rho \sigma } - \frac { \xi } { K ^ { 2 } + i \epsilon k _ { 0 } } D ^ { \rho \sigma } \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle S _ { + } \rangle } { d t } } & { { } = } & { \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } P _ { j + 1 } \big ( 1 - P _ { j } \big ) = P _ { j } P _ { j + 1 } \big ( S _ { j } \big ) ^ { 2 } } & { = P _ { j } \left( S _ { j } \big ( 1 - P _ { j + 1 } \big ) \right) S _ { j } = 0 \quad \implies \quad P _ { j } P _ { j + 1 } P _ { j } = P _ { j } P _ { j + 1 } \ , } \\ { \big ( 1 - P _ { j } \big ) P _ { j + 1 } P _ { j } = \big ( S _ { j } \big ) ^ { 2 } P _ { j + 1 } P _ { j } } & { = P _ { j } \left( \big ( 1 - P _ { j + 1 } \big ) S _ { j } \right) P _ { j } = 0 \quad \implies \quad P _ { j } P _ { j + 1 } P _ { j } = P _ { j + 1 } P _ { j } \ . } \end{array}
\dot { y } = - 0 . 5 7 4 8 x + 0 . 5 9 2 5 x y ^ { 2 } + 0 . 1 3 4 0 x ^ { 2 } y - 1 . 3 3 4 0 x ^ { 3 } - 0 . 1 3 3 9 x y ^ { 4 } - 0 . 2 1 3 6 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 0 . 1 4 9 5 x ^ { 5 }
\begin{array} { r l } & { | - | } \\ & { = \left| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm e ^ { \mathrm i k x + \mathrm i k ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k ) \mathrm d k - \frac { 1 } { 2 \pi } \int \displaylimits _ { k : \; | 3 k ^ { 2 } t | < P } \mathrm e ^ { \mathrm i k x + \mathrm i k ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k ) \mathrm d k - \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 \pi } \int \displaylimits _ { k : \; | 3 k ^ { 2 } t | > P } \mathrm e ^ { \mathrm i k x + \mathrm i k ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k ) \mathrm d k \right| } \\ & { \leq \frac { ( 1 - \varepsilon _ { 0 } ) } { 2 \pi } \int \displaylimits _ { k : \; | 3 k ^ { 2 } t | > P } \left| \mathrm e ^ { \mathrm i k x + \mathrm i k ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k ) \right| \mathrm d k \quad \leq \quad \frac { ( 1 - \varepsilon _ { 0 } ) } { 2 \pi } \int \displaylimits _ { k : \; | 3 k ^ { 2 } t | > P } \left| \hat { q } _ { 0 } ( k ) \right| \mathrm d k . } \end{array}
M _ { N } = \left( \begin{array} { c c c c } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - m _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { m _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { m _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { - m _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } \\ { { - m _ { Z } \sin \theta _ { W } \cos \beta } } & { { m _ { Z } \cos \theta _ { W } \cos \beta } } & { { 0 } } & { { - \mu } } \\ { { m _ { Z } \sin \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - m _ { Z } \cos \theta _ { W } \sin \beta } } & { { - \mu } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma _ { i j } } & { { } = - 2 \alpha K _ { i j } + \mathcal { L } _ { \beta } \gamma _ { i j } } \\ { \partial _ { t } K _ { i j } } & { { } = - D _ { i } D _ { j } \alpha + \alpha \left[ R _ { i j } + K K _ { i j } - 2 K _ { i k } K _ { j } ^ { k } + 2 \hat { D } _ { ( i } Z _ { j ) } \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { C _ { \mathrm { D E } } ^ { i j } } } & { { = } } & { { \delta ^ { i j } { } + { } \alpha ^ { 2 } \left( D _ { i } \, D _ { j } { } + { } B _ { i } \, B _ { j } \right) } } \\ { { C _ { \mathrm { D B } } ^ { i j } } } & { { = } } & { { \alpha ^ { 2 } \left( B _ { i } \, E _ { j } { } - { } D _ { i } \, H _ { j } \right) } } \\ { { C _ { \mathrm { H B } } ^ { k l } } } & { { = } } & { { \delta _ { k l } { } - { } \alpha ^ { 2 } \left( H _ { k } \, H _ { l } { } + { } E _ { k } \, E _ { l } \right) } } \\ { { C _ { \mathrm { H E } } ^ { k l } } } & { { = } } & { { \alpha ^ { 2 } \left( D _ { l } \, H _ { k } { } - { } B _ { l } \, E _ { k } \right) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { f _ { - } ( r ) } & { = } & { \sqrt { \frac { \varepsilon - V ( r _ { N } ) - m _ { e } c ^ { 2 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \times } \\ & { } & { \frac { k ( \varepsilon ) r \cos ( k ( \varepsilon ) r ) - \sin ( k ( \varepsilon ) r ) } { k ^ { 2 } ( \varepsilon ) r ^ { 2 } } , } \\ { g _ { - } ( r ) } & { = } & { \sqrt { \frac { \varepsilon - V ( r _ { N } ) + m _ { e } c ^ { 2 } } { m _ { e } c ^ { 2 } } } \, \frac { \sin ( k ( \varepsilon ) r ) } { k ( \varepsilon ) r } . } \end{array}
\frac { d } { d x } \left[ ( 1 - x ^ { 2 } ) \frac { d v _ { \lambda } } { d x } \right] + \left[ \nu ( \nu + 1 ) - \frac { \mu _ { l } ^ { 2 } } { 1 - x ^ { 2 } } \right] v _ { \lambda } = 0 \: ,
\mathcal { O } _ { n } ( \theta _ { 1 } , \dots , \theta _ { n } ) = \mathcal { O } _ { 1 } ( \theta _ { 1 } ) \mathcal { O } _ { n - 1 } ( \theta _ { 2 } , \dots , \theta _ { n } ) + O ( e ^ { - \theta _ { 1 } }
\frac { | \mathcal { J } ( \iota ^ { ( n ) } ( c _ { s , i } ) ) ) | - | \mathcal { J } ( \iota ^ { ( n - 1 ) } ( c _ { s , i } ) ) ) | } { | \mathcal { J } ( \iota ^ { ( n ) } ( c _ { s , i } ) ) ) | } < \epsilon
- \mathbf { q } \cdot { \dot { \mathbf { p } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) = - \mathbf { Q } \cdot { \dot { \mathbf { P } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) + { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial t } } + { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial \mathbf { p } } } \cdot { \dot { \mathbf { p } } } + { \frac { \partial G _ { 4 } } { \partial \mathbf { P } } } \cdot { \dot { \mathbf { P } } }
\begin{array} { r } { I _ { n } ^ { 2 } [ u _ { H } ^ { m } ] ( \mu ) : = \frac { u _ { H } ^ { m - 2 } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m } - \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } - \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } + \widetilde { t } ^ { m } ) t ^ { n } - t ^ { m - 1 } t ^ { m } \big ] } \\ { + \frac { u _ { H } ^ { m - 1 } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } - \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } - \widetilde { t } ^ { m } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m } + \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) t ^ { n } - t ^ { m } t ^ { m - 2 } \big ] } \\ { + \frac { u _ { H } ^ { m } ( \mu ) } { ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } - \widetilde { t } ^ { m } ) ( \widetilde { t } ^ { m } - \widetilde { t } ^ { m - 2 } ) } \big [ - ( t ^ { n } ) ^ { 2 } + ( \widetilde { t } ^ { m - 2 } + \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) t ^ { n } - t ^ { m - 2 } t ^ { m - 1 } \big ] . } \end{array}
\mathrm { F i t t } _ { \mathbb Z _ { p } [ [ \mathcal G ] ] ^ { - } } T _ { p } ( \mathcal M _ { S , T } ^ { \mathcal { H } , - } ) = \mathrm { F i t t } _ { \mathbb Z _ { p } [ [ \mathcal G ] ] ^ { - } } T _ { p } ( \mathcal M _ { S , T } ^ { \mathcal { H } , - } ) ^ { \ast } = \mathrm { F i t t } _ { \mathbb Z _ { p } [ [ \mathcal G ] ] ^ { - } } S e l _ { S } ^ { T } ( \mathcal { H } ) _ { p } ^ { - } = ( \Theta _ { S } ^ { T } ( \mathcal { H } / F ) ) .
\begin{array} { r l } { \alpha \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } } & { { } = \lambda _ { \parallel } \mathsf { A } _ { \varepsilon \perp } ^ { T } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { \parallel } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { H } = \hat { H } - \sum _ { i } ^ { N _ { e } } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } \tau + \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Big ( \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \Big ) ^ { 2 } \Big ) } \end{array}