harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } } & { = { \frac { d z _ { j } \, d { \bar { z } } ^ { j } } { 1 + z _ { i } { \bar { z } } ^ { i } } } - { \frac { { \bar { z } } ^ { j } z _ { i } \, d z _ { j } \, d { \bar { z } } ^ { i } } { ( 1 + z _ { i } { \bar { z } } ^ { i } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } ) } { 1 + r ^ { 2 } } } - { \frac { r ^ { 2 } \left( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \right) } { \left( 1 + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } } { \left( 1 + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { r ^ { 2 } \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } \right) } { 1 + r ^ { 2 } } } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { = i { \frac { j _ { 1 } j _ { 0 } } { \sqrt { j ( j + 1 ) } } } , } \\ { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j - 1 \right\rangle } & { = - B _ { j } \xi _ { j } { \sqrt { j ( 2 j - 1 ) } } , } \\ { \left\langle j - 1 \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { = B _ { j } \xi _ { j } ^ { - 1 } { \sqrt { j ( 2 j + 1 ) } } , } \end{array} }
S _ { M } = - \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g } [ { \frac { 1 } { 6 0 } } M _ { m _ { 1 } . . . m _ { 5 } } M ^ { m _ { 1 } . . . m _ { 5 } } - \L _ { m _ { 1 } . . . m _ { 5 } } ^ { ( 1 ) } { M } ^ { m _ { 1 } . . . m _ { 5 } } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \L ^ { ( n + 1 ) } \L ^ { ( n + 2 ) } ]
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } = } & { \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } _ { \mathrm { 1 C } } \left( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \right) + \mathbf { x } _ { \mathrm { 2 C } } \left( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } \right) + \mathbf { x } _ { \mathrm { 3 C } } \left( \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 3 } + 1 \right) } \\ { \mathbf { x } = } & { \mathbf { Q } \boldsymbol { \lambda } \quad \mathrm { w i t h } \ \lambda _ { 1 } \geq \lambda _ { 2 } \geq \lambda _ { 3 } \ \mathrm { , } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { k } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } { k _ { i } 2 ^ { i } } = k _ { m - 1 } 2 ^ { m - 1 } + k _ { m - 2 } 2 ^ { m - 2 } + \dots + k _ { 1 } 2 + k _ { 0 } } \\ { n } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } { n _ { i } 2 ^ { i } } = n _ { m - 1 } 2 ^ { m - 1 } + n _ { m - 2 } 2 ^ { m - 2 } + \dots + n _ { 1 } 2 + n _ { 0 } } \end{array} }
\rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } = \frac { 1 } { ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) \, ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } ) } \, \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ } \, s \times \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ d ~ } \, \sigma
f ( \boldsymbol { r } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } ( \frac { \boldsymbol { k } _ { 0 } \cdot \boldsymbol { r } - \omega _ { 0 } t } { 2 \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) , } & { 0 \leq t \leq \tau _ { p } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { c c c c } { 0 . 5 + 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 5 + 0 . 0 i } \\ { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } \\ { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } \\ { 0 . 5 + 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 0 i } & { 0 . 5 + 0 . 0 i } \end{array} \right]
J = \frac { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } | E _ { 1 } ( t ) - E _ { 2 } ( t ) | ^ { 2 } d t } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } ( | E _ { 1 } ( t ) | ^ { 2 } + | E _ { 2 } ( t ) | ^ { 2 } ) d t } ,
{ \frac { \mu } { T _ { c } } } = 4 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { c _ { 0 } } { \sqrt { 4 ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } - c _ { 0 } ^ { 2 } } } } \tan ^ { - 1 } { \frac { c _ { 0 } } { \sqrt { 4 ( 2 n - 1 ) ^ { 2 } - c _ { 0 } ^ { 2 } } } } \, ,
V = \frac { 1 } { 6 } \sum _ { ( i , j , k ) \in \texttt { T r i } } ( \boldsymbol X _ { j } - \boldsymbol X _ { k } , \boldsymbol X _ { k } - \boldsymbol X _ { i } , \boldsymbol X _ { i } - \boldsymbol X _ { j } ) ,
I ( L , r ) = \int d ^ { D } \hat { p } \frac { ( p ^ { 2 } ) ^ { r } } { [ p ^ { 2 } + S ] ^ { L } } = \frac { i ( - 1 ) ^ { r - L } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } \frac { \mu ^ { 4 - D } } { \Gamma ( L ) } \frac { \Gamma ( r + D / 2 ) } { \Gamma ( D / 2 ) } \frac { \Gamma ( L - r - D / 2 ) } { ( - S ) ^ { L - r - D / 2 } } ,
\underbrace { \boldsymbol { \eta } ( \mathbf { x } ) = \bigl ( \eta _ { 1 } ( \mathbf { x } ) , . . . , \eta _ { 1 1 } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ a ~ l ~ f ~ l ~ o ~ w ~ f ~ e ~ a ~ t ~ u ~ r ~ e ~ s ~ } } \xrightarrow [ w ] { R F } \underbrace { \left( w _ { 1 } \bigl ( \delta ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } ) ; \bar { \delta } ( \mathbf { x } ) ; \sigma _ { w } \bigr ) , . . . , w _ { K } \bigl ( \delta ^ { ( K ) } ( \mathbf { x } ) ; \bar { \delta } ( \mathbf { x } ) ; \sigma _ { w } \bigr ) \right) } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ a ~ l ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ s ~ w ~ e ~ i ~ g ~ h ~ t ~ s ~ } }
S = { \int } d ^ { 4 } x \left[ \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } + ( D _ { \mu } \phi ) ^ { \dag } ( D _ { \mu } \phi ) + m ^ { 2 } \phi ^ { \dag } \phi + \frac { \lambda } { 3 ! } ( \phi ^ { \dag } \phi ) ^ { 2 } \right] ,
j ^ { T ( 2 ) a \mu } ( k ) = \int \, S _ { k , k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a b c \mu \nu \lambda } ( A _ { \nu } ^ { b } ( k _ { 1 } ) A _ { \lambda } ^ { c } ( k _ { 2 } ) - \langle A _ { \nu } ^ { b } ( k _ { 1 } ) A _ { \lambda } ^ { c } ( k _ { 2 } ) \rangle ) \delta ( k - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) d k _ { 1 } d k _ { 2 } ,
C _ { 2 } \ = \ \left( 2 \kappa \sinh \frac { E } { 2 \kappa c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \vec { P } ^ { 2 } e ^ { \frac { E } { \kappa c ^ { 2 } } } = M ^ { 2 } .
\sum _ { m } \mathsf { v } _ { n m } T _ { m } ( x _ { 2 , 0 } ) = 0 , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \sum _ { m } \mathsf { v } _ { n m } T _ { m } ( x _ { 2 , N _ { 2 } } ) = 0 ,
\begin{array} { r c l c r c l c r c l c r c l } { { \alpha _ { 6 } } } & { { = } } & { { \frac { i } { 6 ! } } } & { { ; } } & { { \alpha _ { 4 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 \, 4 ! } } } & { { ; } } & { { \alpha _ { 0 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 4 8 } } } & { { ; } } & { { \alpha _ { 2 } } } & { { = } } & { { \frac { i } { 1 6 } } } \end{array}
\boldsymbol { \tau } _ { s } = \eta _ { s } \left[ \boldsymbol { \nabla } _ { s } \mathbf { u } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { I } _ { s } + \mathbf { I } _ { s } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { \nabla } _ { s } \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \gamma , \eta } ^ { \alpha , \beta , + } ( h _ { a , b } f ) } & { = A _ { \gamma , \eta } A _ { \gamma , \eta } ^ { * _ { \alpha , \beta } } ( h _ { a , b } f ) = h _ { a , b } A _ { \gamma + a , \eta + b } A _ { \gamma + a , \eta + b } ^ { * _ { \alpha + 2 a , \beta + 2 b } } ( f ) = h _ { a , b } \mathcal { L } _ { \gamma + a , \eta + b } ^ { \alpha + 2 a , \beta + 2 b , + } ( f ) . } \end{array}
\frac { \partial \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } { \partial \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } \left( f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) _ { i j } + f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) _ { j i } \right) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = 2 \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) _ { i j } \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, ,
\mathbb { H } _ { k } ( \mathcal { P M } ( a , b , k ) ) _ { s , t } \cong \ker ( \delta | _ { ( \Lambda ^ { \downarrow } \oplus \Lambda _ { \uparrow } ) ^ { \preceq _ { a , b } ( s , t ) } } ) , \quad \mathbb { H } _ { k - 1 } ( \mathcal { P M } ( a , b , k ) ) _ { s , t } \cong \mathrm { c o k e r } ( \delta | _ { ( \Lambda ^ { \downarrow } \oplus \Lambda _ { \uparrow } ) ^ { \preceq _ { a , b } ( s , t ) } } ) ,
\begin{array} { r l } & { \; \psi ( \epsilon + \alpha \Delta \epsilon , X + \alpha \Delta X , y + \alpha \Delta y , Z + \alpha \Delta Z ) } \\ { = } & { \; \psi ( \epsilon , X , y , Z ) + 2 \alpha ( \delta - 1 ) \psi ( \epsilon , X , y , Z ) + o ( \alpha ) } \\ { = } & { \; \left[ 1 - 2 \sigma ( 1 - \delta ) \alpha \right] \psi ( \epsilon , X , y , Z ) + o ( \alpha ) , } \end{array}
A _ { \cal P } ^ { ( \pi p ) } ( s , 0 ) = 3 P _ { \pi } P _ { p } [ 2 A _ { \cal P } ^ { ( 1 ) } ( s / 6 , 0 ) + 3 A _ { \cal P } ^ { ( 2 ) } ( s / 3 , 0 ) + A _ { \cal P } ^ { ( 3 ) } ( 2 s / 3 , 0 ) ] ,
{ \mathcal { B } } = \left\{ \prod _ { i \in I } U _ { i } \ { \Big | } \ ( \exists j _ { 1 } , \ldots , j _ { n } ) ( U _ { j _ { i } } \ \mathrm { o p e n \ i n } \ X _ { j _ { i } } ) \ \mathrm { a n d } \ ( \forall i \neq j _ { 1 } , \ldots , j _ { n } ) ( U _ { i } = X _ { i } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t } & { \leq 2 ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } ( e ^ { - 2 \beta _ { k } t } ) \, \mathrm d t + 2 \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 \beta _ { k } ( s - t ) } \, \mathrm d s \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s \, \mathrm d t } \\ & { \leq ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 1 - e ^ { - 2 \beta _ { k } T } } { \beta _ { k } } + 2 \frac { 1 - e ^ { - 2 \beta _ { k } T } } { 2 \beta _ { k } } T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } } + \frac { 1 } { \beta _ { \operatorname* { m i n } } } T \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { C ^ { \prime } C Q } } & { { } = \sum _ { x ^ { \prime } , x } \tilde { q } _ { x } \tilde { q } _ { x ^ { \prime } | x } | x ^ { \prime } , x \rangle _ { C ^ { \prime } C } \langle x ^ { \prime } , x | \otimes \tilde { \tau } _ { Q } ^ { x ^ { \prime } , x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { i } ^ { F A o p t } = \frac { \lvert - y _ { i } \exp ( - \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + y _ { i } ^ { - 1 } \exp ( \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) \rvert \Vert \hat { \boldsymbol { H } } ^ { - 1 } \boldsymbol { B } _ { i } \Vert _ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lvert - y _ { i } \exp ( - \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + y _ { i } ^ { - 1 } \exp ( \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) \rvert \Vert \hat { \boldsymbol { H } } ^ { - 1 } \boldsymbol { B } _ { i } \Vert _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( h _ { \alpha } ^ { \vee } ) ^ { \prime } } & { = h _ { \alpha } ^ { \vee } , } \\ { ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } } & { = \alpha ^ { \# } , } \\ { \lambda ^ { \prime } ( ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } ) } & { = \lambda ( \alpha ^ { \# } ) , } \\ { ( \lambda ^ { * } ) ^ { \prime } ( ( \alpha ^ { \# } ) ^ { \prime } ) } & { = \lambda ^ { * } ( \alpha ^ { \# } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
7 9 2 M = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 7 9 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 7 9 2 } & { 1 1 5 2 } & { - 1 9 4 4 } & { - 5 4 } & { - 2 8 8 } \\ { - 1 2 5 4 } & { - 9 6 } & { 1 3 5 0 } & { 8 7 } & { 3 7 6 } \\ { 5 2 8 } & { - 3 1 2 } & { - 2 1 6 } & { - 3 9 } & { - 9 8 } \\ { - 6 6 } & { 4 8 } & { 1 8 } & { 6 } & { 1 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| { \mathcal I } ^ { k , j } [ p ] ( . , . ; s ) \| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } \leq C \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { \sqrt { t - s } } \operatorname* { s u p } _ { u \in [ 0 , s ] } \| p ( . , . ; u ) \| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } d s } \end{array}
I ^ { ( 4 ) } = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \int _ { M ^ { 4 } } ^ { } R ^ { ( 4 ) } \sqrt { g } d ^ { 4 } x - { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int _ { \partial M ^ { 4 } } ^ { } ( K ^ { ( 4 ) } - K _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) \sqrt { h } d ^ { 3 } x ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } \left\{ \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k ] \check { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } [ k - \tau ] \right\} = \alpha _ { h _ { \mathrm { D } } } ^ { | \tau | } \sigma _ { h _ { \mathrm { D } } } ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } \left\{ \bar { h } _ { \mathrm { D } } \check { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } [ k - \tau ] \right\} = \mathbb { E } \left\{ \bar { h } _ { \mathrm { D } } ^ { * } \check { h } _ { \mathrm { D } } [ k ] \right\} = 0 . } \end{array} \right.
S _ { N } = \{ ( t _ { 1 } , s _ { 1 } ) , ( t _ { 2 } , s _ { 2 } ) , \ldots , ( t _ { N } , s _ { N } ) \} , \qquad \hat { S } _ { N } ( x ) = \{ ( t _ { 1 } , \hat { s } _ { 1 } ( x ) ) , ( t _ { 2 } , \hat { s } _ { 2 } ( x ) ) , \ldots , ( t _ { N } , \hat { s } _ { N } ( x ) ) \} .
\operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \left| \eta _ { n } ( \epsilon ) \right| = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \left[ \frac { \lambda } { \lambda _ { n } ^ { ( \ast ) } } \right] ^ { 2 / \epsilon } \; .
D _ { b } ( z , \mathfrak { T } z ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } D _ { b } ( u _ { n + 1 } , \mathfrak { T } z ) \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } H _ { b } ( \mathfrak { T } u _ { n } , \mathfrak { T } u _ { n } , \mathfrak { T } z ) \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } r S _ { b } ( u _ { n } , u _ { n } , z ) = 0
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { k } } & { = \hat { \mathbf { x } } _ { k - 1 } + \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { v } _ { k - 1 } , \qquad \hat { \mathbf { x } } _ { k } = g _ { k } ( \mathbf { r } _ { k } ) , } \\ { \mathbf { v } _ { k } } & { = \mathbf { y } - \mathbf { A } \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \frac { N } { M } \mathbf { v } _ { k - 1 } \mathrm { d i v } [ g _ { k } ( \mathbf { r } _ { k } ) ] , } \end{array}
Q _ { v i s c } = \frac { \eta _ { 0 } } { 3 } \left( \frac { 1 - 3 \beta } { 1 - \beta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \right) ^ { 2 } ( \partial _ { z } V _ { x } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { { } = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) = \Delta _ { B } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { A } + \theta _ { B } } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \alpha , \sigma ^ { \prime } ) ] } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) , } \end{array}
\widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ) \otimes _ { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } } \mathcal { R } _ { 2 } \xrightarrow [ \mathrm { E X P } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ^ { * } \otimes \mathrm { i d } ] { \sim } \mathcal { R } _ { 2 } .
\beta F = - \frac { c } { \beta ^ { 2 } } \int d \phi \int _ { r _ { H } + h } ^ { L } d r \frac { \sqrt { g _ { 3 } } } { ( - g _ { t t } ^ { ' } ) ^ { 3 / 2 } } = - c \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d \phi \int _ { r _ { H } + h } ^ { L } d r \sqrt { g _ { 3 } } \frac { 1 } { \beta _ { l o c a l } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { n } ( m ) = \big \{ ( i _ { 0 } , i _ { 1 } , \dots , i _ { m } , i _ { m + 1 } ) \in \{ 1 \} \times \mathbb { N } ^ { m + 1 } : \; } & { { } i _ { m + 1 } \leq n - m , } \end{array}
{ \tilde { W } } = Z _ { 1 } ^ { 1 2 } + Z _ { 2 } ^ { 1 2 } + Z _ { 3 } ^ { 6 } + Z _ { 4 } ^ { 6 } + Z _ { 5 } ^ { 2 } - 1 2 \psi Z _ { 1 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } Z _ { 4 } Z _ { 5 } - 2 \phi Z _ { 1 } ^ { 6 } Z _ { 2 } ^ { 6 }
\begin{array} { r } { \mathrm { E n s . ~ N o r m . ~ S t d . } _ { k } = \frac { 1 } { S } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \left\{ \frac { 1 } { y _ { s k } } \sqrt { \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \hat { y } _ { s k } ^ { n } - \frac { 1 } { N } \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \hat { y } _ { s k } ^ { n ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { N - 1 } } \right\} . } \end{array}
\Delta \vec { p } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \vec { F } d t = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e \vec { E } d t = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { e g } { 4 \pi } \frac { \rho } { ( \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \hat { e } _ { \phi } d t
\begin{array} { r l } & { V ( \tilde { \Phi } , \Phi ) } \\ { \leq } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \tilde { \Phi } } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { + } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \tilde { \Phi } } \right] - H \left[ \breve { \Phi } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { + } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { \Phi } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\left\langle i \right| Y _ { 0 } \left| i \right\rangle = \frac { e ^ { 2 } } \pi \left\langle i \right| \beta m \left( \frac 3 2 \ln ( A _ { 0 } ) + \frac 1 { 4 A _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac 1 4 \right) \left| i \right\rangle = 1 . 1 1 5 \frac { e ^ { 2 } } \pi \left\langle i \right| \beta m \left| i \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \left( \gamma - \alpha \right) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left( \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } + \beta \left\langle \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) , \dot { x } ( t ) \right\rangle \right) \ = \ } & { \frac { \left( \gamma - \alpha \right) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } { 2 } \Big ( \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } + \| \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } } \\ & { - \ \beta ^ { 2 } \| \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \| ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
Z = i ^ { l - m } \frac { \kappa } { n _ { r } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } Z _ { 1 } ^ { \perp } ( \omega ^ { \prime } ) J _ { l } ( \chi _ { \alpha } ^ { \prime } ) J _ { m } ( \chi _ { \beta } ^ { \prime } ) d \omega ^ { \prime } ,
\operatorname * { d e t } \left[ \left( I - \mu _ { 1 } ^ { \left\langle 1 \right\rangle } \right) R ^ { q } \left( I + \mu _ { 2 } ^ { \left\langle 1 \right\rangle } \right) ^ { T } R ^ { q } - z \right] = P ^ { - } ( z ) .
\begin{array} { c l } { \displaystyle \frac { 3 } { 2 \delta } g _ { 3 , 0 , { l _ { 3 \nu } } _ { x } } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \frac { 2 } { 9 6 \delta _ { \nu } \pi ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } } } \end{array}
\prod _ { 1 \le i < j \le m } ( x _ { j } - x _ { i } ) = \left| \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { x _ { 1 } } } & { { x _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \dots } } & { { x _ { 1 } ^ { m - 1 } } } \\ { { 1 } } & { { x _ { 2 } } } & { { x _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \dots } } & { { x _ { 2 } ^ { m - 1 } } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 1 } } & { { x _ { m } } } & { { x _ { m } ^ { 2 } } } & { { \dots } } & { { x _ { m } ^ { m - 1 } } } \end{array} \right|
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { L D O S , p l a n e } } = \frac { 1 } { 1 6 \pi d ^ { 3 } } \left[ \frac { \varepsilon ( 0 ) - 1 } { \varepsilon ( 0 ) + 1 } \right] , } \end{array}
- \frac 1 { 3 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } { } S _ { \mu \nu } ^ { \tau \lambda } { } S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \rho } { } \epsilon _ { \tau \lambda \sigma \rho } = ( C ^ { 2 } - C ^ { \mu \nu } C _ { \mu \nu } ) ,
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { s } _ { k } ( t ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = } & { \langle \hat { s } _ { k } ( 0 ) \hat { s } _ { k } ^ { * } ( 0 ) \rangle e ^ { - \gamma k ^ { 2 } t - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } t ^ { \prime } } + \sigma ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } e ^ { - \gamma k ^ { 2 } ( t - s ) - \gamma ^ { * } k ^ { 2 } ( t ^ { \prime } - s ^ { \prime } ) } \langle d W _ { s } d W _ { s } ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { { } \frac { { \left( q _ { 1 } + w _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } } + \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 C _ { 2 } } + \frac { { \left( q _ { 2 } + w _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A \| _ { 1 , \frac { 1 } { \theta } } } & { \le \| A \| _ { 1 , \frac { 1 } { \theta _ { 0 } } } ^ { \theta / \theta _ { 0 } } \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { ( \theta _ { 0 } - \theta ) / \theta _ { 0 } } } \\ & { < ( \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta _ { 0 } } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { \theta _ { 0 } } ) ^ { \theta / \theta _ { 0 } } \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { ( \theta _ { 0 } - \theta ) / \theta _ { 0 } } } \\ & { = \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \lambda _ { 2 } } & { = \frac { \langle v , ( I - A ) v \rangle } { \langle v , v \rangle } } \\ & { = \frac { \langle D _ { w } u , ( I - A ) D _ { w } u \rangle } { \langle D _ { w } u , D _ { w } u \rangle + c ^ { 2 } } } \\ & { \ \ \ [ \mathrm { s i n c e ~ \ensuremath { ( I - A ) w = 0 } ~ a n d ~ \ensuremath { ( I - A ) ^ { T } w = 0 } } ] } \\ & { \geq \frac { \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } x \rangle + \langle D _ { w } y , ( I - A ) D _ { w } y \rangle - 2 \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } y \rangle } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle + \langle D _ { w } y , D _ { w } y \rangle } } \\ & { \geq \frac { \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } x \rangle + \langle D _ { w } y , ( I - A ) D _ { w } y \rangle } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle + \langle D _ { w } y , D _ { w } y \rangle } } \\ & { \ \ \ [ \mathrm { s i n c e ~ } \langle D _ { w } x , D _ { w } y \rangle - \langle D _ { w } x , A \cdot D _ { w } y \rangle = 0 - \langle D _ { w } x , A \cdot D _ { w } y \rangle \leq 0 , } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { a s ~ a l l ~ e n t r i e s ~ o f ~ } x , y , w , A \mathrm { ~ a r e ~ n o n n e g a t i v e } ] } \\ & { \geq \frac { \langle D _ { w } x , ( I - A ) D _ { w } x \rangle } { \langle D _ { w } x , D _ { w } x \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { g b } } & { { } = \left( \frac { E h ^ { 2 } } { 8 \rho g } \right) ^ { 1 / 3 } , } \\ { \bar { k } _ { s } } & { { } = \frac { k _ { s } L _ { g b } ^ { 2 } } { k _ { b } } = \frac { 4 L _ { g b } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( \frac { \varepsilon _ { r } - \varepsilon _ { m } } { \varepsilon _ { r } + 2 \varepsilon _ { m } } \right) = \delta _ { i } \left( \frac { \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { m } } { \varepsilon _ { i } + 2 \varepsilon _ { m } } \right)
\begin{array} { r } { J _ { 1 } \left\{ P \sin ( 2 \tau ) \right\} e ^ { - 3 \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \approx A \sin ( B \tau ) e ^ { - \frac { 3 } { 2 } \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 a ) } ( \omega ) } & { = } & { - \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { d } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) + ( 2 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) } \\ & { } & { \times \; \delta ^ { \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - p ^ { 2 } / 2 - V ( q ) \right) \rho _ { 0 , \mathrm { W } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , \; \; } \end{array}