harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta < \operatorname* { m i n } \bigg ( \frac { \mu \gamma } { 3 6 \kappa \tilde { L } } , \frac { 1 } { 8 C _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } , \frac { \tilde { L } } { 4 C _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } , \frac { \tilde { L } ^ { 2 } } { c _ { \nu } } , \frac { \tilde { L } ^ { 2 } } { c _ { \omega } } , \frac { \tilde { L } ^ { 2 } } { c _ { u } } , \frac { 1 } { 2 \bar { L } } , 1 \bigg )
\begin{array} { r l l } { { \overline { { { N L } } } } } & { { : \; \; } } & { { \{ ( 0 1 2 3 ) , ( 0 3 1 2 ) \} , \; \; \{ ( 0 1 2 3 ) , ( 0 2 3 1 ) \} , \; \; \{ ( 0 3 1 2 ) , ( 0 2 3 1 ) \} } } \\ { { } } & { { } } & { { \{ ( 0 3 2 1 ) , ( 0 1 3 2 ) \} , \; \; \{ ( 0 3 2 1 ) , ( 0 2 1 3 ) \} , \; \; \{ ( 0 1 3 2 ) , ( 0 2 1 3 ) \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { { } = a + a r + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } , } \\ { r s } & { { } = a r + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } + a r ^ { n } , } \\ { s - r s } & { { } = a - a r ^ { n } , } \\ { s ( 1 - r ) } & { { } = a ( 1 - r ^ { n } ) , } \\ { s } & { { } = a \left( { \frac { 1 - r ^ { n } } { 1 - r } } \right) \quad { \mathrm { ( i f ~ } } r \neq 1 { \mathrm { ) } } . } \end{array}
\frac { D } { D t } \vec { B } = \frac { D } { D t } \left( \vec { a } \vec { b } \right) = \frac { D \vec { a } } { D t } \vec { b } + \vec { a } \frac { D \vec { b } } { D t } = \vec { a } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) \vec { b } + \vec { a } \vec { b } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) = \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { B } + \vec { B } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ Q ( t ) \eta \eta ^ { T } Q ( t ) \} } \\ & { = \eta \eta ^ { T } + \frac { l ^ { ( s ) } } { 2 \alpha } \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r } } ( - \eta _ { u } e _ { u } ) \eta ^ { T } + \frac { l ^ { ( s ) } } { 2 \alpha } \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r } } \eta ( - \eta _ { u } e _ { u } ) ^ { T } } \\ & { + \frac { l ^ { ( s ) } } { 4 \alpha } \sum _ { u \in \mathcal { V } _ { r } } \eta _ { u } ^ { 2 } e _ { u } e _ { u } ^ { T } } \\ & { = ( 1 - 2 \lambda _ { 1 } ) \eta \eta ^ { T } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 r _ { 0 } n } I _ { r _ { 0 } n } , } \end{array}
< \prod _ { i = 1 } ^ { N } s _ { \pm } ( w _ { i } ) > _ { \pm N } ^ { \mu \ne 0 } = \exp ( \pm i \mu \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i 1 } ) \times < \prod _ { i = 1 } ^ { N } s _ { \pm } ( w _ { i } ) > _ { \pm N } ^ { \mu = 0 }
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { = ( \Theta _ { h } * f , u _ { h } - \tilde { u } _ { h } ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } } \\ & { \le \| \Theta _ { h } * f \| _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ) ^ { d } } \| u _ { h } - \tilde { u } _ { h } \| _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } } \\ & { \le C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \| u _ { h } - \tilde { u } _ { h } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { s } ( \Omega _ { h } ) } } \\ & { \le C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \| \Theta _ { h } * f - \tilde { \Theta } _ { h } * f \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } } \\ & { \le C \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \| \Theta _ { h } * f - \tilde { \Theta } _ { h } * f \| _ { L _ { h } ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } } \\ & { \le C h \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \| \nabla f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \boldsymbol { u } _ { f } } & { = 0 \, , } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { u } _ { f } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \boldsymbol { u } _ { f } \otimes \boldsymbol { u } _ { f } ) } & { = - \frac { 1 } { \rho _ { f } } \nabla \boldsymbol { p } + \frac { \mu _ { f } } { \rho _ { f } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } _ { f } + \boldsymbol { F } _ { p } + \boldsymbol { F } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { \triangleq \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { x } ^ { 0 } - x ^ { \star } \| ^ { 2 } , \quad a ^ { \star } \triangleq \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } n } \| \hat { { \mathbf { U } } } ^ { \textit { \footnotesize \texttt { T } } } { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { \star } ) \| ^ { 2 } } \\ { a _ { 1 } } & { \triangleq \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \mu n } , \quad a _ { 2 } \triangleq \frac { 1 0 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { \mu ( 1 - \gamma ) } } \\ { a _ { 3 } } & { \triangleq \frac { 8 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { \mu n ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { { } = \nabla \cdot \left[ \frac { h ^ { 3 } \rho _ { \mathrm { l i q } } } { 3 \eta } \nabla \mu _ { \mathrm { l i q } } \right] - J _ { \mathrm { e v } } - J _ { \mathrm { i m } } } \\ { \partial _ { t } \alpha } & { { } = \nabla \cdot \left[ \frac { D _ { \mathrm { b r u s h } } } { k _ { B } T } \, ( \alpha - 1 ) \, \nabla \mu _ { \mathrm { b r u s h } } \right] + \frac { 1 } { H _ { \mathrm { d r y } } } ( J _ { \mathrm { i m } } - J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } ) } \\ { \partial _ { t } [ ( d - h ) \phi ] } & { { } = \nabla \cdot \left[ D _ { \mathrm { v a p } } ( d - h ) \nabla \phi \right] + \frac { \rho _ { \mathrm { l i q } } k _ { B } T } { p _ { \mathrm { s a t } } } ( J _ { \mathrm { e v } } + J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
Z _ { \mathrm { f l a t \, s p a c e } } = { \frac { 1 } { | I m \tau | ^ { 2 } | \eta | ^ { 8 } } } \sum _ { i } { \frac { 1 } { 2 } } \left| { \frac { \theta _ { i } } { \eta } } \right| ^ { 4 }
\begin{array} { r l } { H ( R ) } & { : = \int _ { D } \Psi ( x ) d x } \\ & { = \int _ { D } \int _ { D } \frac { 1 } { | x - y | ^ { \alpha } } d x d y } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } } \int _ { \mathbb { T } } \int _ { 0 } ^ { R ( \theta ) } \int _ { 0 } ^ { R ( \eta ) } \frac { 1 } { | r ( \cos \theta , \sin \theta ) - \rho ( \cos \eta , \sin \eta ) | ^ { \alpha } } r \rho d r d \rho d \theta d \eta . } \end{array}
R _ { 2 } ( f _ { l } ) = \frac { R _ { 1 } ( f _ { l } ) } { [ 1 - R _ { 1 } ( f _ { l } ) ] ^ { 2 } } \frac { | S _ { 2 } ( f _ { l } , 0 ) | ^ { 2 } } { | S _ { 1 } ( f _ { l } , 0 ) | ^ { 2 } }
R = ( m _ { 1 a } , m _ { b 2 } ) , \; U = ( n , j _ { 1 a } , j _ { b 2 } , \theta _ { a b } , j _ { \gamma } ) , \; W = ( l _ { 1 a } , l _ { b 2 } , \beta _ { m a p } ) , \; \Lambda = ( \nu ^ { 0 } , \nu ^ { 1 } , \nu ^ { 4 } , \nu ^ { 5 } , \kappa ^ { 1 } , \omega ^ { 2 } )
S _ { i , 0 } = \frac { 1 } { 8 } \int _ { \Omega } \left[ \left( \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial y } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } \right) ^ { 2 } \right] d \mathbf { x } \quad \mathrm { a n d } \quad S _ { i , 1 } = - \frac { 1 } { 4 } \int _ { \Omega } \left[ \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial x } \frac { \partial \phi _ { i } } { \partial y } \right] d \mathbf { x } .
\frac { d ^ { 2 } B _ { F , L \pm 1 , M } ^ { Y } ( r ) } { k ^ { 2 } d r ^ { 2 } } + \left( 1 - \frac { ( L \pm 1 + 1 ) ( L \pm 1 ) } { k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) B _ { F , L \pm 1 , M } ^ { Y } ( r ) = \pm \frac { n { \cal I } _ { \pm } } { c } S _ { L \pm 1 } ( k r ) ,
f ( x ) = { \frac { p ( x ) } { q ( x ) } } = P ( x ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { r = 1 } ^ { j _ { i } } { \frac { A _ { i r } } { ( x - a _ { i } ) ^ { r } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { r = 1 } ^ { k _ { i } } { \frac { B _ { i r } x + C _ { i r } } { ( x ^ { 2 } + b _ { i } x + c _ { i } ) ^ { r } } }
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } , \alpha } ^ { ( \nu ) } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { i f } \; \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \\ { \alpha \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { i f } \; \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. , \alpha \in [ 0 , 1 ] , } \end{array}
\left| \Psi _ { \beta } ( 0 ) \right\rangle = \sum _ { b } U _ { \beta b } \int d ^ { 3 } p \Psi _ { b } \left( \stackrel { \rightarrow } { p } , \stackrel { \rightarrow } { p } _ { b } , \sigma _ { p P } \right) \left| b ; \stackrel { \rightarrow } { p } \right\rangle .
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { \sqrt { ( E _ { u } / 2 N ^ { 3 } ) } \ i \left( \exp ( i \phi _ { 1 } ( \mathbf { k } ) ) - \exp ( i \phi _ { 2 } ( \mathbf { k } ) ) \right) , } \\ { u _ { 2 } ( \mathbf { k } ) } & { { } = } & { \sqrt { ( E _ { u } / 2 N ^ { 3 } ) } \ \left( \exp ( i \phi _ { 1 } ( \mathbf { k } ) ) + \exp ( i \phi _ { 2 } ( \mathbf { k } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m _ { * } } ^ { \beta } ( R ) } \big \| E _ { \theta } \big [ \widetilde \theta \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq B \quad \mathrm { a n d } \ \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m _ { * } } ^ { \beta } ( R ) } \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { * } } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widetilde \theta _ { i } \big ) \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { I V a r } _ { f } \big ( \widehat f \big ) . } \end{array}
1 , \quad \eta _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ } } ^ { \prime } : = \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } } , \quad \frac { 1 } { 3 } \, \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { 1 } { 3 } \, \frac { \chi ^ { 4 } } { ( 1 + \chi ^ { 2 } + \chi ^ { 4 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\varrho = \varrho _ { m } ( 1 + \zeta e ^ { - 2 \psi } ) + \varrho _ { r } e ^ { - 2 \psi } + \varrho _ { \psi } , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \wp = \textstyle { \frac { 1 } { 3 } } \varrho _ { r } e ^ { - 2 \psi } c ^ { 2 } + \varrho _ { \psi } c ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { E _ { x } = e ^ { - z ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { { } \quad } & { B _ { x } = \frac { 1 } { c } e ^ { - y ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \\ { E _ { y } = e ^ { - x ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { { } \quad } & { B _ { y } = \frac { 1 } { c } e ^ { - z ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } = e ^ { - y ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } & { { } \quad } & { B _ { z } = \frac { 1 } { c } e ^ { - x ^ { 2 } / L ^ { 2 } } , } \end{array}
Y _ { \nu } = { \bf U } Y _ { \triangle } = { \bf U } \left( \begin{array} { c c c } { { y _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { y _ { 2 1 } } } & { { y _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { y _ { 3 1 } } } & { { y _ { 3 2 } } } & { { y _ { 3 } } } \end{array} \right) .
\mathcal { L } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) = { \mathcal J } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) - \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left\langle { { R _ { k } } \left( { { \bf { \bar { v } } } ; { C _ { n } } } \right) , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { { \bf { x } } , t } } }
\begin{array} { r l r } { U ^ { \dag } \left( x , s \right) \, \psi _ { f } \left( x \right) } & { { } = } & { \sum _ { r } U _ { r } ^ { \dag } \left( x , s \right) \, \psi _ { f } ^ { r } \left( x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { G } ( - \omega ) S _ { \ell } ( \omega ) \mathbb { G } ( \omega ) ^ { T } } & { = b ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } & { \gamma \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } - i \omega } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \\ { \gamma \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } & { \gamma ^ { 2 } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \end{array} \right) \frac { 2 \sigma _ { \ell } ^ { 2 } / \tau _ { \ell } } { 1 / \tau _ { \ell } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \\ { | \mathbb { N } ( \omega ) | ^ { 2 } } & { = \langle \eta _ { c } ^ { 2 } \rangle \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } & { \gamma \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } - i \omega } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \\ { \gamma \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } + i \omega } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } & { \gamma ^ { 2 } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { c } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } + \frac { \langle \eta _ { x } ^ { 2 } \rangle } { \langle \eta _ { c } ^ { 2 } \rangle } \frac { 1 } { 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { E } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \left\langle ( r ^ { n } - r ^ { 0 } ) ^ { 2 } \right\rangle } { 2 d \, n \Delta { t } } \; = \; \frac { k _ { B } T } { \alpha } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \mid , s _ { i } ( t ) = 0 , i \in e \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) = \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } } \\ { p ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \mid , s _ { i } ( t ) = 1 , i \in e \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) = \frac { b k ^ { 2 } } { l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { * } \bigl ( x ( t ) \bigr ) } & { { } = \underset { a \in \mathcal { A } } { \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ a ~ x ~ } } \; \mathbb { E } _ { \eta } \bigl [ \mathcal { C } \bigl ( f ( x ( t ) ) + g ( x ( t ) ) a \Delta { t } ^ { \prime } + d \eta \bigr ) \bigr ] \; . } \end{array}
n _ { \mathbf { k } } ( t ) = n _ { \mathbf { k } } ( \tau ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 } \, \left[ z _ { \mathbf { k } } ( \tau , t _ { 0 } ) n _ { \mathbf { k } } ( \tau ) + ( t - t _ { 0 } ) \, \mathcal { R } [ \omega _ { \mathbf { k } } , \mathbf { k } ; \mathcal { N } _ { j } ( \tau ) ] \, \right] + \mathcal { O } ( \lambda ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { G _ { a \sigma b \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { R } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) } & { { } = - i \theta ( t - t ^ { \prime } ) \langle \{ c _ { \mathbf { k } a \sigma } ( t ) , c _ { \mathbf { k } b \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \} \rangle , } \\ { G _ { a \sigma b \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { A } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) } & { { } = i \theta ( t ^ { \prime } - t ) \langle \{ c _ { \mathbf { k } a \sigma } ( t ) , c _ { \mathbf { k } b \sigma ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) \} \rangle . } \end{array}
h ^ { * } < \frac { 2 \Omega } { \nu } \ell _ { I } ^ { * } \ell _ { d } ^ { * 2 } , \qquad \frac { \theta ^ { * } } { \Delta _ { T } } \sim \frac { \nu } { 2 \Omega \ell _ { d } ^ { * 2 } }
\begin{array} { r l r } { \hat { L } _ { I } } & { { } = } & { { ^ I l } _ { 0 } + \sum _ { a i } { ^ I l } _ { a } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } { ^ I l } _ { a b } ^ { i j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } \hat { a } _ { a } } \end{array}
\bar { \alpha } _ { S } ( \mu ) = \frac { \bar { \alpha } _ { S } ( \mu _ { 0 } ) } { 1 + \frac { \bar { \alpha } _ { S } } { 4 \pi } \beta _ { 1 } \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { P D F } _ { \mu , \sigma ^ { 2 } } ( \Lambda _ { x } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \Lambda } \sqrt { ( \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \Lambda ) ( \Lambda - \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } } \end{array}
f _ { S B } ( N _ { f } ) T _ { c } ^ { 4 } + { \frac { N _ { f } } { 6 } } \mu _ { c } ^ { 2 } T _ { c } ^ { 2 } + { \frac { N _ { f } } { 1 0 8 \pi ^ { 2 } } } \mu _ { c } ^ { 4 } = { \frac { 3 } { a _ { h } + N _ { f } } } \tilde { B } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { \nu } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { I } + 1 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \| \eta \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \tau q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 3 2 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 2 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 6 4 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } M \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( z ) - d _ { V } ( z ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \left( V _ { m } ^ { n } ( g _ { n } ) - \int _ { [ 0 , l ] ^ { n } } K _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { n } \right) } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \left( V _ { m } ^ { n } ( g _ { n } ) - \int _ { [ 0 , l ] ^ { 2 n } } g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 n } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \mathrm { d } x _ { 2 n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal C } _ { 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 4 } + \frac { \omega _ { 1 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 1 } , q ) \right] , } \\ { { \cal C } _ { 2 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { f _ { e l } ^ { B _ { 1 } } } { 2 } - \frac { \omega _ { 3 } } { q ^ { 3 } } { \cal J } _ { 1 0 1 } ( \omega _ { 3 } , q ) + \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 3 } } { q ^ { 4 } } { \cal Q } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) \right] , } \\ { { \cal C } _ { 3 } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { 1 } \omega _ { 3 } } { 8 \pi ^ { 2 } q ^ { 2 } } { \cal P } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , { q } ) . } \end{array}
G ^ { \epsilon } ( z , \bar { z } ) = \operatorname * { l i m } _ { | z _ { 3 } \bar { z _ { 3 } } | \rightarrow \infty } | z _ { 3 } \bar { z } _ { 3 } | ^ { 2 \Delta _ { \alpha _ { 3 } } } \langle \phi _ { \alpha _ { 3 } } \left( z _ { 3 } , \bar { z } _ { 3 } \right) \phi _ { \alpha _ { 2 } } \left( 1 \right) R _ { \alpha } ^ { \epsilon } \left( z , \bar { z } \right) R _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \epsilon } \left( 0 \right) \rangle
\mathbb E \big ( u _ { k } ( t ) \big ) = u _ { k } ( 0 ) e ^ { ( - \theta \lambda _ { k } ^ { 2 } + \beta \lambda _ { k } ) t } , \qquad \mathbb E \big ( u _ { k } ^ { 2 } ( t ) \big ) = \frac { \sigma ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { - 2 \gamma } } { 2 ( \theta \lambda _ { k } ^ { 2 } - \beta \lambda _ { k } ) } \Big [ 1 - e ^ { ( - 2 \theta \lambda _ { k } ^ { 2 } + 2 \beta \lambda _ { k } ) t } \Big ] .
\begin{array} { r } { \Big \langle \frac { \sigma ^ { ( k ) } ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) } { ( p _ { + } + p _ { * k } ) ^ { 2 } } \Big \rangle ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) } \\ { = \frac { a _ { 1 } } { p _ { + } + p _ { * 1 } } ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) + \frac { a _ { 2 } } { p _ { + } + p _ { * 2 } } ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) } \\ { = \Big ( 1 - \frac { a _ { 2 } } { p _ { + } + p _ { * 2 } } \Big ) ( p _ { + } + p _ { * 2 } ) + \Big ( 1 - \frac { a _ { 1 } } { p _ { + } + p _ { * 1 } } \Big ) ( p _ { + } + p _ { * 1 } ) } \\ { = 2 p _ { + } + p _ { * 1 } + p _ { * 2 } - a _ { 1 } - a _ { 2 } } \\ { = 2 p _ { + } - ( b _ { 1 } + b _ { 2 } ) = 2 p _ { + } - b = \sqrt { d } . } \end{array}
m _ { G } ^ { 2 } \; = \; \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \; \mathrm { t r } ( I ) \; \frac { A ( \varepsilon ) \varepsilon ^ { 2 } } { A ^ { 2 } ( \varepsilon ) \epsilon ^ { 2 } + B ^ { 2 } ( \varepsilon ) } \; .
\begin{array} { r } { \left( \mathbf { \Xi } _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \right) ^ { H } \mathbf { \Xi } _ { k } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { \hat { x } } _ { k } = \left( \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \right) ^ { H } \mathbf { \Xi } _ { k } ^ { - 1 } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \mathbf { x } _ { k } + \left( \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \right) ^ { H } \mathbf { \Xi } _ { k } ^ { - 1 } \mathbf { v } . } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
{ \cal V } = \langle \Phi | \hat { V } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { 2 } \int { \ d ^ { 2 } z _ { 1 } } \int { \ d ^ { 2 } z _ { 2 } } ~ V ( | z _ { 1 } - z _ { 2 } | ) ~ \rho ( z _ { 1 } | z _ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { [ \mathbf { \tilde { F } } - \mathbf { F } ] _ { i , j } } & { { } = m \sum _ { X } \frac { ( 1 - \delta ) p ( X ) } { p ( \boldsymbol { \lambda } ^ { * } | X ) } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } p ( \boldsymbol { \lambda } | X ) } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } \right] _ { \boldsymbol { \lambda } = \boldsymbol { \lambda } ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mathrm { i } \widetilde { v } _ { i n } + \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } _ { o u t } } { \mathrm { d } y } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { v } _ { i n } } { \partial r _ { s } ^ { 2 } } , } \\ { - \mathrm { i } \widetilde { \tau } _ { i n } + \mathrm { i } \left( \gamma - 1 \right) \frac { \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { T _ { w } } \widetilde { p } _ { o u t } } & { = \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { \tau } _ { i n } } { \partial r _ { s } ^ { 2 } } , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ , ~ L ~ o ~ S ~ } } ^ { ( k ) } ( \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } ) = \beta I ( x : y ) _ { \tau , \bar { n } } - \chi _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ S ~ } } ( E : y ) _ { \tau , \bar { n } , \bar { n } _ { B } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } = } & { { } \frac { n } { 2 \pi } \left( \frac { m } { T } \right) ^ { 2 } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) \exp \left( - \frac { m y ^ { 2 } } { 2 T } \right) \int _ { 0 } ^ { y } \mathrm { d } t \: \exp \left( \frac { m t ^ { 2 } } { 2 T } \right) } \\ { \equiv } & { { } \frac { 2 n } { \pi } \left( \frac { m } { 2 T } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { m \mu B } { T } \right) J , } \end{array}