harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \vec { u } } & { { } = 0 } \\ { \rho _ { 0 } \frac { \partial \vec { u } } { \partial t } + \rho _ { 0 } \left( \vec { u } \cdot \nabla \right) \vec { u } } & { { } = - \nabla p + \nabla \cdot \bar { \tau } + \rho \vec { g } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { l i m i n f } \sigma ( A _ { n } ) } & { : = \{ \lambda \in \mathbb { C } : \lambda \textrm { i s t h e l i m i t o f s o m e s e q u e n c e } ( \lambda _ { n } ) _ { n = 1 } ^ { \infty } \textrm { w i t h } \lambda _ { n } \in \sigma ( A _ { n } ) \} , } \\ { \textrm { l i m s u p } \sigma ( A _ { n } ) } & { : = \{ \lambda \in \mathbb { C } : \lambda \textrm { i s t h e p a r t i a l l i m i t o f s o m e s e q u e n c e } ( \lambda _ { n } ) _ { n = 1 } ^ { \infty } \textrm { w i t h } \lambda _ { n } \in \sigma ( A _ { n } ) \} } \end{array}
\tilde { \cal Z } _ { \{ n _ { E } ^ { a } , n _ { M } ^ { a } \} } = \sqrt { 2 } \, Q ^ { a } \, a _ { a } ^ { * } \, , \qquad \left| \tilde { \cal Z } _ { \{ n _ { E } ^ { a } , n _ { M } ^ { a } \} } \right| = \left| { \cal Z } _ { \{ - n _ { E } ^ { a } , n _ { M } ^ { a } \} } \right| \, ,
\begin{array} { r l } { ( I P R ) \quad \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { x } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } } \quad } & { W T ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } ) + I V T ( \boldsymbol { z } ) + \Psi \sum _ { p \in \mathcal { P } } \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { p } } - x _ { p , r } \cdot V _ { p , r } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { C o n s t r a i n t s ~ } ( ) - ( ) } \\ & { ( 1 - \epsilon ) \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } \leq q _ { t } ^ { u , v , r } \leq ( 1 + \epsilon ) \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \forall t \in \mathcal { T } , ( u , v , r ) \in \mathcal { F } } \\ & { \sum _ { p \in \mathcal { P } _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v } } \sum _ { r ^ { \prime } \in \mathcal { R } ^ { u , v } } x _ { p , r ^ { \prime } } \cdot \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } \cdot ( 1 - \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } ) \leq ( \Gamma \cdot { d } _ { t } ^ { u , v } ) ^ { 2 } \quad \forall t \in \mathcal { T } , ( u , v , r ) \in \mathcal { F } } \\ & { \sum _ { r \in R _ { p } } x _ { p , r } = 1 \quad \forall p \in \mathcal { P } } \\ & { x _ { p , r } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall p \in \mathcal { P } , r \in \mathcal { R } _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = \hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { r o t } } + \sum _ { l > 0 } \frac { [ \hat { H } _ { l } ^ { \mathrm { r o t } } , \hat { H } _ { - l } ^ { \mathrm { r o t } } ] } { l \Omega } + \mathcal { O } \Bigl ( \frac { 1 } { \Omega ^ { 2 } } \Bigl ) . } \end{array}
\oint _ { S } { \vec { E } } \cdot \mathrm { d } { \vec { A } } = { \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } } } \, Q _ { e n c l o s e d } = \int _ { V } { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } } \cdot \operatorname { d } ^ { 3 } r ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = } & { { } ~ - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + b \mathbf { n } _ { \alpha } + \nu \Delta \mathbf { u } , } \\ { \frac { \partial b } { \partial t } + \nabla \cdot ( b \mathbf { u } ) = } & { { } ~ \beta \Delta b - N ^ { 2 } \ ( \mathbf { n } _ { \alpha } \cdot \mathbf { u } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \psi | H [ v , \mathbf { A } ] | \psi \rangle = \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle } \\ & { + \int _ { \mathbb R ^ { 3 } } \left( v ( \mathbf { r } ) + \frac 1 2 | \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \right) \rho _ { \psi } ( \mathbf { r } ) \, \mathrm { d } \mathbf { r } + \int _ { \mathbb R ^ { 3 } } \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \\ & { = \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle + \langle v + \frac 1 2 | \mathbf { A } | ^ { 2 } , \rho _ { \psi } \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { P E R ( v ) = \sum _ { \frac { \partial } { \partial v } L ( x _ { i } , y _ { i } , v ) > 0 , ( x _ { i } , y _ { i } ) \in R O I } \frac { \partial } { \partial v } L ( x _ { i } , y _ { i } , v ) , } \\ { N E R ( v ) = \sum _ { \frac { \partial } { \partial v } L ( x _ { i } , y _ { i } , v ) < 0 , ( x _ { i } , y _ { i } ) \in R O I } \frac { \partial } { \partial v } L ( x _ { i } , y _ { i } , v ) , } \\ { L ( x _ { i } , y _ { i } , v ) = \log ( I \otimes h ( x _ { i } , y _ { i } , k \frac { \left| v - v _ { 0 } \right| } { 2 v _ { 0 } } D ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l r } { \mathcal { H } _ { 0 } : p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) = p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) , } & { \mathrm { ~ \{ \mathbf { x } _ t \} ~ i s ~ n o t ~ t h e ~ c a u s e ~ o f ~ \{ \mathbf { y } _ t \} ~ } } \\ { \mathcal { H } _ { 1 } : p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } ) \neq p ( y _ { t + 1 } | \mathbf { y } _ { t } ^ { m } , \mathbf { x } _ { t } ^ { m } ) , } & { \mathrm { ~ \{ \mathbf { x } _ t \} ~ i s ~ t h e ~ c a u s e ~ o f ~ \{ \mathbf { y } _ t \} ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q \left( \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - q \right) \sin ( q t ) J _ { 1 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 } { \alpha ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } q ^ { 2 } \, \frac { \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - q } { \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, \cos ( q t ) J _ { 0 } ( q r ) \, \mathrm { d } q \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A ^ { ' } ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } A ( t , e _ { i } ) X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \biggl ( \frac { \eta ( t - , e _ { i } , z ) } { \eta ( t - , e _ { i } , z ) + 1 } + \frac { 1 } { \eta ( t - , e _ { i } , z ) + 1 } - 1 \biggl ) \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } X _ { 2 } ^ { - 1 } ( t ) \left\{ A ( t , e _ { j } ) - A ( t , e _ { i } ) \right\} \mu _ { i j } ( t ) = 0 } \end{array}
( { \mathrm { s a m p l e ~ s k e w n e s s } } ) ^ { 2 } = { \frac { 4 } { ( 2 + { \hat { \nu } } ) ^ { 2 } } } { \bigg ( } { \frac { ( { \hat { c } } - { \hat { a } } ) ^ { 2 } } { \mathrm { ( s a m p l e ~ v a r i a n c e ) } } } - 4 ( 1 + { \hat { \nu } } ) { \bigg ) }
C _ { * } \Big ( \mathrm { c e l l } \big ( A \cup \{ a , a ^ { \prime } \} , \mathcal { W } \cup \{ w _ { a } , w _ { a ^ { \prime } } \} , w \big ) \Big ) \to C _ { * + 2 } \Big ( \mathrm { c e l l } \big ( A \cup \{ b , c , b ^ { \prime } , c ^ { \prime } \} , \mathcal { W } \cup \{ w _ { b } , w _ { c } , w _ { b ^ { \prime } } , w _ { c ^ { \prime } } \} , w \big ) \Big )
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle \right] } & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle \right] + \mathop { \mathbb { E } } \left[ D \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \sum _ { t = 1 } ^ { T } ( { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } - \mathbf { g } _ { ( k - 1 ) T + t } ) \right\| \right] } \\ & { \le \mathop { \mathbb { E } } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\langle \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } , \mathbf { u } ^ { k } \right\rangle \right] + D \sigma K \sqrt { T } } \\ & { = \mathop { \mathbb { E } } \left[ - \sum _ { k = 1 } ^ { K } D T \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } \right\| \right] + D \sigma K \sqrt { T } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi = \frac { i e ^ { i \theta _ { 0 } } ( 1 + e ^ { i \phi } ) } { 2 e ^ { i ( \theta _ { 0 } + \phi ) } - \sqrt { 1 - L } e ^ { i \phi } + \sqrt { 1 - L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } ( { x } _ { 1 } - { x } _ { 1 } { x } _ { 2 } + 2 { x } _ { 1 } ^ { 2 } - 2 . 9 8 5 1 { x } _ { 1 } ^ { 2 } { x } _ { 3 } ) + { \lambda } _ { 1 } ( - 4 { x } _ { 1 } + 7 { x } _ { 1 } ^ { 2 } - 4 . 9 8 5 1 { x } _ { 1 } ^ { 3 } - 3 { x } _ { 1 } { x } _ { 2 } + 2 . 9 8 5 1 { x } _ { 1 } ^ { 3 } { x } _ { 2 } - } \\ & { 5 . 9 7 0 2 0 { x } _ { 1 } ^ { 4 } - 2 . 9 8 5 1 0 0 { x } _ { 1 } ^ { 2 } { x } _ { 3 } + 2 . 9 8 5 1 { x } _ { 1 } ^ { 3 } { x } _ { 3 } ) + ( 3 { x } _ { 1 } + { x } _ { 1 } ^ { 2 } - 8 . 9 8 5 1 0 0 { x } _ { 1 } ^ { 3 } - 2 . 9 8 5 1 { x } _ { 1 } ^ { 4 } + 5 . 9 7 0 2 0 0 { x } _ { 1 } ^ { 5 } } \\ & { + 8 . 9 5 5 3 0 { x } _ { 1 } { x } _ { 3 } - 1 7 . 9 1 0 6 0 0 { x } _ { 1 } ^ { 2 } { x } _ { 3 } - 0 . 0 4 4 4 7 8 { x } _ { 1 } ^ { 3 } { x } _ { 3 } + 1 7 . 8 2 1 6 4 4 { x } _ { 1 } ^ { 4 } { x } _ { 3 } - 8 . 9 1 0 8 2 { x } _ { 1 } ^ { 3 } { x } _ { 3 } ) = 0 . } \end{array}
B = \frac { 1 } { \gamma } + \frac { \alpha a ^ { 2 } } { 2 v ^ { 2 } } + \frac { \cosh { ( L / \lambda ) } } { \sinh { ( L / \lambda ) } } \Bigg ( \frac { a } { v } \sqrt { \frac { \alpha + \gamma } { \gamma } } - \frac { \alpha + \gamma } { \alpha \gamma } \ \frac { 1 } { \sinh { ( L / \lambda ) } } \Bigg ) .
x _ { D } ^ { 2 } - y _ { D } ^ { 2 } \; \approx 2 ~ \frac { r _ { + } ^ { ~ } - 3 r _ { - } ^ { ~ } } { r _ { + } ^ { ~ } - r _ { - } ^ { ~ } } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x _ { D } ^ { 2 } + y _ { D } ^ { 2 } \; \approx \; 4 r _ { - } ^ { ~ } ~ \frac { r _ { + } ^ { ~ } - 2 r _ { - } ^ { ~ } } { r _ { + } ^ { ~ } - r _ { - } ^ { ~ } } \; .
f ( t ) \mapsto f ( t , T ) \Rightarrow \frac { \partial f } { \partial t } \mapsto \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { \partial T } { \partial t } \frac { \partial f } { \partial T } = \frac { \partial f } { \partial t } + \epsilon ^ { - 2 } \frac { \partial f } { \partial T } .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \big \| \theta \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } \quad } & { } \\ & { \leq \big \| \theta _ { m _ { * } } \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } + \big \| \theta - \theta _ { M } \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } + \sum _ { m = m _ { * } } ^ { M } \big \| \theta _ { m } - \theta _ { m - 1 } \big \| _ { C ^ { 0 , \mu } ( [ 0 , 1 ] ; L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) ) } } \\ & { \leq C _ { \theta _ { 0 } } \, , } \end{array}
\frac { d ^ { i } } { d \Delta _ { t } ^ { i } } \left( 1 + \left( t - \Delta _ { t } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - r } \bigg | _ { \Delta _ { t } \to 0 } = \frac { d ^ { i } } { d t ^ { i } } \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { - r }
\begin{array} { r } { \mathcal { H } = \Bar { \psi } \bigg [ - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 m } - \mu \bigg ] \psi + \Big [ { V } _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( t ) + { V } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ p ~ } } \Big ] \Bar { \psi } \psi + \frac { g } { 2 } ( \Bar { \psi } \psi ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { p } } ^ { ( 2 ) } ( u , \psi ) = \int _ { \Omega } \left[ \rho \psi - \frac { \epsilon ( u ) } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } - ( 1 - u ) B ( \psi ) \right] \, d x , } \end{array}
q _ { \alpha } = \frac { 2 D _ { \alpha } } { \sqrt { N } } \sum _ { A = 1 } ^ { \frac { 1 } { 2 } N } \xi _ { 2 A - 1 } \cos [ ( 2 A - 1 ) \varphi _ { \alpha } + \frac { \pi } { 4 } ]
+ \sum _ { { \bf { q } } _ { 1 } } A _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 - { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } _ { 1 } ) A _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } _ { 1 } / 2 } ( - { \bf { q } } + { \bf { q } } _ { 1 } )
\sigma _ { 3 } = \left[ \begin{array} { c c } { { - q } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { - 1 } } } \end{array} \right] \; , \qquad \sigma _ { - } = \left[ 2 \right] ^ { 1 / 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - q ^ { 1 / 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right] \; ,
K ^ { 1 _ { + + } 1 _ { + + } } ( x , b ^ { \prime } ) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left\{ - \sqrt { \alpha - 1 } \cosh \left[ { \frac { ( r _ { + } ^ { 2 } - r _ { - } ^ { 2 } ) } { r _ { + } } } \Delta t - r _ { - } \Delta \phi _ { n } ) \right] + \sqrt { \alpha } \cosh ( r _ { + } \Delta \phi _ { n } ) \right\} ^ { - 2 h _ { + } } .
\eta _ { l o c } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lVert u _ { i } ^ { h } - \tilde { u } _ { h , i } ^ { H } \rVert _ { 1 , \mathcal { T } _ { k } ^ { h } } ^ { 2 } + \lVert \tilde { \phi } _ { h } ^ { H } - \phi ^ { h } \rVert _ { 1 , \mathcal { T } _ { k } ^ { h } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 \pi } \lvert \tilde { \phi } _ { h } ^ { H } - \phi ^ { h } \rvert _ { 1 , \mathcal { T } _ { k } ^ { h } } ^ { 2 }
\sigma _ { n } = \sigma _ { B L } + \sigma _ { C L } , \ \ \ \ \ \sigma _ { B L } = \chi _ { n } \frac { \nu } { b ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \sigma _ { C L } = \frac { 2 M } { \rho b } k \operatorname { t a n h } { k h } ,
f \left( T _ { a } ( z ) , \zeta \right) = f ( z , \zeta ) + \sum _ { b } ( \zeta - k ) \ln \left( \frac { a _ { b } ( d _ { b } a _ { a } - c _ { b } b _ { a } ) } { c _ { b } ( b _ { b } a _ { a } - a _ { b } b _ { a } ) } \right) \ .
h ( \Lambda , M , F _ { \pi } , \lambda ) = \frac { r _ { \phi } } { 4 } \frac { ( 1 / 2 + \mu ) ^ { 2 } - ( 1 / 2 - \mu ) ^ { 2 } ( M / \Lambda ) ^ { 4 \mu } } { 1 - ( M / \Lambda ) ^ { 4 \mu } } .
( \partial _ { \bar { l } } A _ { 0 } ^ { z } ) ( \partial _ { l } A _ { 0 } ^ { \bar { z } } ) - ( \partial _ { \bar { l } } A _ { 0 } ^ { \bar { z } } ) ( \partial _ { l } A _ { 0 } ^ { z } ) = \frac { 1 } { 2 } { \cal L } _ { 0 } = \frac { 4 } { \cosh ^ { 2 } ( l ) } \, .
\begin{array} { r l c } { { G _ { B - L } : H ^ { ( 1 ) } ( 1 ) , H ^ { ( 2 ) } ( 1 ) , L ( - 1 ) , E ^ { c } ( 0 ) , } } \\ { { Q ( - 1 ) , U ^ { c } ( 0 ) , D ^ { c } ( 0 ) , S ( 0 ) , \phi ( 0 ) , \bar { \phi } ( 0 ) , ~ } } \\ { { N ( - 1 ) , \bar { N } ( 1 ) , T ( 2 ) , \bar { T } ( - 2 ) ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \left( \partial _ { z } \chi \right) ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, \left\{ \left[ n _ { 1 } ^ { 2 } | \tau | ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } \right] A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) + n _ { 1 } n _ { 2 } ( \tau - \bar { \tau } ) A _ { \bar { z } } ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) \right\} \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left( \partial _ { z } \chi \right) ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, \left\{ \left[ n _ { 1 } ^ { 2 } | \tau | ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } \right] A _ { \bar { z } } ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) - n _ { 1 } n _ { 2 } ( \tau - \bar { \tau } ) A _ { \bar { z } } ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) \right\} \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left( \partial _ { z } \chi \right) ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, \left\{ - n _ { 1 } n _ { 2 } ( \tau - \bar { \tau } ) A _ { \bar { z } } ^ { + - } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) + \left[ n _ { 1 } ^ { 2 } | \tau | ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } \right] A _ { \bar { z } } ^ { - + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) \right\} \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left( \partial _ { z } \chi \right) ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { \frac { - 1 } { n _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } } \, \left\{ + n _ { 1 } n _ { 2 } ( \tau - \bar { \tau } ) A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) + \left[ n _ { 1 } ^ { 2 } | \tau | ^ { 2 } - n _ { 2 } ^ { 2 } \right] A _ { \bar { z } } ^ { -- } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) \right\} \ \ \ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \nu _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { 2 \pi } \bar { \tilde { q } } _ { 1 } } { ( e ^ { \pi \nu _ { 1 } } - e ^ { - \pi \nu _ { 1 } } ) \Gamma ( - i \nu _ { 1 } ) } , } & & { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \nu _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { 2 \pi } \tilde { q } _ { 1 } } { ( e ^ { \pi \nu _ { 1 } } - e ^ { - \pi \nu _ { 1 } } ) \Gamma ( i \nu _ { 1 } ) } , } \\ & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi ( \nu _ { 4 } - \nu _ { 2 } ) } \sqrt { 2 \pi } ( \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( - i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , } & & { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi \nu _ { 2 } } \sqrt { 2 \pi } ( q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { * } } & { { } = \sum _ { i < j } \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } , } \\ { \sum _ { i < j } w _ { i j } ^ { * } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } } & { { } = \sum _ { i < j } \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \beta _ { 0 } + z _ { i j } ^ { - 1 } } \cdot \frac { \partial z _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial \underline { { \phi } } } . } \end{array}
N _ { k } ( N \! + \! 1 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { k } ( N ) - 1 } & { \qquad \mathrm { p r o b a b i l i t y } \quad \frac { N _ { k } } { N } } \\ { N _ { k } ( N ) + 1 } & { \qquad \mathrm { p r o b a b i l i t y } \quad \frac { N _ { k - 1 } } { N } } \\ { N _ { k } ( N ) } & { \qquad \mathrm { p r o b a b i l i t y } \quad 1 - \frac { N _ { k - 1 } + N _ { k } } { N } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { f m } } & { { } = - \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { f } \bigl [ \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \mathbf { d } _ { s } \cdot \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } _ { s } , \omega _ { f } \right) } \end{array}
{ \cal V } ^ { ( 0 ) } ( \Phi ) = { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 0 } ( \mu ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 0 } ( { \cal M } ^ { 2 } ) + { \frac { { \cal M } ^ { 2 } } { 4 } } I _ { 1 } ( { \cal M } ^ { 2 } ) + { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { P ( t , T ) } & { = \exp \left\lbrace - r _ { t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T - t ) } } { \theta _ { r } } \right) + \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { r } ( T - u ) } } { \theta _ { r } } y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u \right\rbrace . } \end{array}
W _ { \nu } ( \zeta ) \sim \frac { 2 ^ { i \nu } \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } - i \nu \right) \Gamma ( i \nu ) } { 2 ( 2 \pi ) ^ { \frac { d + 1 } { 2 } } } \ \ \zeta ^ { - \frac { d - 1 } { 2 } + i \nu } \ \ \ \ \ \ \ \ \makebox { f o r I m } \ \nu < 0
\begin{array} { r l r l r l } { Q } & { \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } r \, \textnormal { d } r , } & { B } & { \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { b } } r \, \textnormal { d } r , } & & { } \\ { M } & { \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } ^ { 2 } r \, \textnormal { d } r , } & { M ^ { \prime } } & { \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w ^ { 2 } } } r \, \textnormal { d } r , } & { P } & { \equiv 2 \ \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { p } } r \, \textnormal { d } r , } \\ { F } & { \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w } } \overline { { b } } r \, \textnormal { d } r , } & { F ^ { \prime } } & { \equiv 2 \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } r \, \textnormal { d } r , } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \rho } & { { } = } & { - i [ H , \rho ] + \kappa ( \bar { n } _ { m } + 1 ) \mathcal { L } _ { m } \rho + \kappa \bar { n } _ { m } \mathcal { L } _ { m ^ { \dagger } } \rho } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { j } ^ { Y } = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \beta \hat { \sigma } } ( v _ { j , 0 } ^ { Y } + v _ { j , 1 } ^ { Y } ) , } & { j = 1 , \dots , 4 , } \\ { e ^ { \alpha \hat { \tau } } ( v _ { j , 0 } ^ { Y } + v _ { j , 1 } ^ { Y } ) + e ^ { \beta \hat { \sigma } } v _ { j , 1 ^ { \prime } } ^ { Y } , } & { j = 5 , \dots , 8 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) \not \simeq \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( t _ { n , I _ { n } } ) \right) } \\ & { = P \left( | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) | > | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( t _ { n , I _ { n } } ) | \right) } \\ & { \leq P ( \chi - t _ { n , I _ { n } } > \epsilon _ { n } ) + P \left( | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) | > | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi - \epsilon _ { n } ) | \} \right) } \\ & { \leq P \left( \frac { \lceil n U \rceil } { n U } > e ^ { \lambda \epsilon _ { n } } \right) + P \left( \mathrm { E x p } \left( C _ { f } \left( | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi - \epsilon _ { n } ) | + \sum _ { j \in \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi - \epsilon _ { n } ) } \mathcal { D } _ { j } \right) \right) \leq \epsilon _ { n } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { n ( e ^ { \lambda \epsilon _ { n } } - 1 ) } + E \left[ 1 - e ^ { - C _ { f } \epsilon _ { n } \left( | \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) | + \sum _ { j \in \mathcal { T } _ { I _ { n } } ^ { c } ( \chi ) } \mathcal { D } _ { j } \right) } \right] \to 0 , } \end{array}
\Delta R / R _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ t ~ } } = \frac { R C _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ t ~ } } - R C _ { 2 5 ^ { \circ } \mathrm { ~ C ~ } } } { R C _ { 2 5 ^ { \circ } \mathrm { ~ C ~ } } } ,
\begin{array} { r l } { R _ { x x } ( \tau ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) x ( t + \tau ) \, \mathrm { ~ d ~ } t , } \\ { R _ { x y } ( \tau ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ( t ) y ( t + \tau ) \, \mathrm { ~ d ~ } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \\ { \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } \end{array}
\mathbb { C } _ { \alpha , \beta , \gamma } ^ { 3 } \Big \backslash \Big [ \{ \alpha \in \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 } \} \cup \{ \alpha + \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 2 - d } \} \cup \{ \beta \in \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 } \} \cup \{ \beta + \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 2 } \} \cup \{ \gamma \in 2 ^ { - 1 } \mathbb { Z } ^ { \leq - 1 } \} \Big ] .
\boldsymbol { W _ { 2 } } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } , \texttt { r o t a t e - b a c k } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } ) \}