harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tau _ { \mathrm { o c e a n } } \dot { T } } & { { } = - \gamma ( I ) ( T - \theta ) - ( 1 + \mu \; | T - S | ) T , } \\ { \tau _ { \mathrm { o c e a n } } \dot { S } } & { { } = \sigma - ( 1 + \mu \; | T - S | ) \; S } \end{array}
Z [ e , \pi ] = \int [ D e _ { i } ^ { a } ] [ D \pi _ { c } ^ { j } ] \ J _ { 0 } \ d e t M _ { \alpha \beta } \, d e l t a ( H _ { \perp } ) \delta ( H _ { i } ) \delta ( J _ { a b } ) \ e x p \frac { i } { \hbar } S ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { X } _ { \mathrm { G } } } & { = \mathrm { G } ( F ) \backslash { X } ^ { \mathrm { G } } \times \mathrm { G } ( { \mathbb A } _ { F , f } ) , ~ \overline { { \mathfrak { X } } } _ { \mathrm { G } } = \mathrm { G } ( F ) \backslash \overline { { X } } ^ { \mathrm { G } } \times \mathrm { G } ( { \mathbb A } _ { F , f } ) , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \partial \mathfrak { X } _ { \mathrm { G } } } & { = \mathrm { G } ( F ) \backslash \partial X ^ { \mathrm { G } } \times \mathrm { G } ( { \mathbb A } _ { F , f } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } } & { { } = - \int _ { \Omega } \dot { \gamma } _ { t } ( \boldsymbol r ) \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol r ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { k } ( \boldsymbol r ) d \boldsymbol r } \\ { \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } } & { { } = - \int _ { \partial \Omega } \boldsymbol v _ { n } ( \boldsymbol r , t ) \gamma _ { t } ( \boldsymbol r ) \nabla u _ { t } ^ { j } ( \boldsymbol r ) \cdot \nabla u _ { t } ^ { k } ( \boldsymbol r ) d s } \end{array}
\begin{array} { r } { | I _ { 2 } | \leq C \left\| \partial _ { x } v \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq C \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n = 1 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = x _ { 1 } \widehat { x _ { 2 } } \in \mathcal { G } _ { p , q } , \quad x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathcal { G } _ { p , q } ; } \\ { n = 2 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = x _ { 1 } \widehat { \widetilde { x _ { 2 } } } \in \mathcal { G } _ { p , q } , \quad x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \mathcal { G } _ { p , q } ; } \\ { n = 3 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = x _ { 1 } \widehat { x _ { 2 } } \widetilde { x _ { 3 } } \widehat { \widetilde { x _ { 4 } } } \in \mathcal { G } _ { p , q } , \quad x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \in \mathcal { G } _ { p , q } ; } \\ { n = 4 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = x _ { 1 } \widehat { \widetilde { x _ { 2 } } } ( \widehat { x _ { 3 } } \widetilde { x _ { 4 } } ) ^ { \bigtriangleup } \in \mathcal { G } _ { p , q } , \quad x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \in \mathcal { G } _ { p , q } ; } \\ { n = 5 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { 8 } ) = x _ { 1 } \widehat { \widetilde { x _ { 2 } } } \widehat { x _ { 3 } } \widetilde { x _ { 4 } } ( \widehat { x _ { 5 } } \widetilde { x _ { 6 } } x _ { 7 } \widehat { \widetilde { x _ { 8 } } } ) ^ { \bigtriangleup } \in \mathcal { G } _ { p , q } , } \\ & { } & { x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { 8 } \in \mathcal { G } _ { p , q } ; } \\ { n = 6 , } & { } & { \mathrm { F } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { 8 } ) = \frac { 1 } { 3 } x _ { 1 } \widetilde { x _ { 2 } } \widehat { x _ { 3 } } \widehat { \widetilde { x _ { 4 } } } ( \widehat { x _ { 5 } } \widehat { \widetilde { x _ { 6 } } } x _ { 7 } \widetilde { x _ { 8 } } ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { } & { + \frac { 2 } { 3 } x _ { 1 } \widetilde { x _ { 2 } } ( ( \widehat { x _ { 3 } } \widehat { \widetilde { x _ { 4 } } } ) ^ { \bigtriangleup } ( ( \widehat { x _ { 5 } } \widehat { \widetilde { x _ { 6 } } } ) ^ { \bigtriangleup } ( x _ { 7 } \widetilde { x _ { 8 } } ) ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } , \qquad x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { 8 } \in \mathcal { G } _ { p , q } . } \end{array}
\widetilde { f } _ { 3 i } ^ { e q } = \frac { 1 } { 4 } \left[ U _ { i } - \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 i } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 i } } \right]
P _ { \mu \nu \rho \sigma } = \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } k _ { \rho } k _ { \sigma } } { k ^ { 4 } } , \ \ \ M _ { \mu \nu \rho \sigma } = \frac { 1 } { 2 } \left( L _ { \mu \rho } P _ { \nu \sigma } + L _ { \mu \sigma } P _ { \nu \rho } + L _ { \nu \rho } P _ { \mu \sigma } + L _ { \nu \sigma } P _ { \mu \rho } \right) , \ \ \ m ^ { 2 } = \frac { \alpha \Lambda } { 2 } .
\begin{array} { r l } { \widehat { \gamma } _ { t ^ { \prime } } = } & { { } \Big [ \mathbf { g } ^ { - 1 } \Big ( \underbrace { \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { t ^ { \prime } - t } \circ \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left[ t - m \varepsilon , t \right] } \right) } _ { \textbf { P a r t s 1 - 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { [ \tilde { V } _ { j } ( i ) ] } } & { = ( S _ { n } ^ { [ j ] } ) ^ { T } Q _ { n } ^ { [ \tilde { V } _ { j } ( i ) ] } , \quad j \in \{ 1 , \dotsc , B \} } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ V _ { j } ( i ) , j ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( 2 \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { c c } { { P _ { x } = \Pi _ { 3 } + J _ { 3 } \qquad } } & { { K _ { x } = \frac { \Pi _ { 3 } - J _ { 3 } } { 2 } } } \\ { { \null } } & { { \null } } \\ { { P _ { t } = - \Pi _ { 0 } + N _ { 2 } \qquad } } & { { K _ { t } = - \frac { \Pi _ { 0 } + N _ { 2 } } { 2 } } } \\ { { \null } } & { { \null } } \\ { { P _ { w } = \Pi _ { 1 } - J _ { 1 } \qquad } } & { { K _ { w } = \frac { \Pi _ { 1 } + J _ { 1 } } { 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l } { ^ { ^ C } \mathcal { D } _ { 0 ^ { + } } ^ { ^ \alpha } \varphi ( y , s ) = A \varphi ( y , s ) , } & { ( y , s ) \in Q _ { T } , \ \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { \varphi ( \varsigma , s ) = 0 , } & { ( \varsigma , s ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { \varphi ( y , 0 ) = \nabla ^ { * } \tilde { \varphi } _ { 0 } ( y ) , } & { y \in \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { n _ { h , t } = n _ { h , t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) , } \\ & { \boldsymbol { \Delta } _ { h , t } = \left[ \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } , \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \right] ^ { \top } , } \\ & { \mathbf { M } _ { h , t } = \mathbf { M } _ { h , t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \left( \mathbf { a } _ { t } \mathbf { m } _ { h , t - 1 } ^ { \top } + \mathbf { m } _ { h , t - 1 } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } + \mathbf { a } _ { t } \mathbf { a } _ { t } ^ { \top } \right) , } \\ & { \mathbf { m } _ { h , t } = \mathbf { m } _ { h , t - 1 } + \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \mathbf { a } _ { t } . } \end{array}
A ( v _ { i } , v _ { j } ) = \left\{ \begin{array} { l } { 1 , \mathrm { ~ i ~ f ~ } v _ { i } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } v _ { j } \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ n ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } } \\ { 0 , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Big | \Sigma _ { q } \Big | } & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \left( \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 1 } } \times N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( N _ { 0 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } + N _ { 0 } Q _ { 1 } ^ { 5 / 2 } ( Q _ { 1 } M _ { 0 } ) ^ { \theta } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \left( \frac { M _ { 0 } } { Q _ { 1 } } \times N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( N _ { 0 } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \sqrt { N } \times \frac { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } { Q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\sum _ { \kappa = 0 } ^ { k } \Big [ \Big ( \sum _ { \varkappa ^ { \prime } + \varkappa ^ { \prime \prime } = \varkappa } a _ { k , \kappa , \varkappa ^ { \prime } , \varkappa ^ { \prime \prime } } \Big ) \Big ( \frac { \Gamma ( 1 + \alpha + \kappa ) } { \Gamma ( 2 + \alpha + 2 \gamma + \kappa ) } + \frac { \Gamma ( 1 + \alpha + \kappa + d ) } { \Gamma ( 2 + \alpha + 2 \gamma + \kappa + d ) } \Big ) \Big ] = 0
\begin{array} { l l } { \Upsilon ( 6 , 1 , + 1 , 1 , - 1 , 1 ) = 1 2 8 0 } \\ { \Upsilon ( 6 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 ) = 1 6 0 } \\ { \Upsilon ( 6 , 1 , - 1 , 1 , + 1 , 1 ) = 1 2 8 0 } \end{array}
v _ { 1 x s } = - \frac { \omega _ { c s } ^ { 2 } } { \omega _ { c s } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \frac { \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } _ { 1 } } { q _ { s } n _ { s } B _ { 0 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha } \left( t \right) } & { { } = z _ { \alpha } \left( 0 \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } \left( 0 \right) z _ { \gamma } ^ { * } \left( 0 \right) G _ { 1 } \left( t , 0 \right) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { t } \! d s \int \! \! d \beta d \gamma \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \frac { d } { d s } \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } \right) G _ { 1 } \left( t , s \right) } \end{array}
\theta _ { \nu _ { \mu } \nu _ { \tau } } ^ { \mathrm { o s c } } \, \simeq \, \theta _ { \mu \tau } ^ { \ell } - \theta _ { \mu \tau } ^ { \nu } \, \simeq \, \left( 0 . 4 3 7 \, + \, \sqrt { \frac { m _ { \nu _ { 2 } } } { m _ { \nu _ { 3 } } } } \, \right) \, .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { i B A } = g _ { 1 } \big ( b _ { 0 } ^ { \dagger } \sigma + \sigma ^ { \dagger } b _ { 0 } \big ) + g _ { 2 } \big ( a _ { \Delta x } ^ { \dagger } \sigma + \sigma ^ { \dagger } a _ { \Delta x } \big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { l } x _ { l } x _ { l + m } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { k k ^ { \prime } } Q _ { k } Q _ { k ^ { \prime } } \sum _ { l } e ^ { i a l \left( k + k ^ { \prime } \right) } e ^ { i a m k ^ { \prime } } = \sum _ { k } Q _ { k } Q _ { - k } e ^ { i a m k } } \\ { \sum _ { l } { p _ { l } } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k } \Pi _ { k } \Pi _ { - k } ~ , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { n _ { 4 } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { q _ { B } ^ { 4 - D } } 4 \pi \prod _ { k = 1 } ^ { D - 3 } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta _ { k } \sin ^ { k } ( \theta _ { k } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { x } ( t ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) + z ( t ) = 0 , } \\ & { \dot { z } ( t ) - \alpha \sqrt { \varepsilon ( t ) } \dot { x } ( t ) - \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) - \varepsilon ( t ) x ( t ) = 0 , } \\ & { x ( t _ { 0 } ) = x _ { 0 } , \ z ( t _ { 0 } ) = - \left( \dot { x } ( t _ { 0 } ) + \beta \nabla \Phi _ { \lambda ( t _ { 0 } ) } ( x _ { 0 } ) \right) . } \end{array} \right.
{ \cal L } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } i \bar { \Psi } _ { j } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \Psi _ { j } + \frac { G } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ ( \bar { \Psi } _ { j } \Psi _ { j } ) ^ { 2 } + ( \bar { \Psi } _ { j } i \gamma _ { 5 } \Psi _ { j } ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \| p \| _ { 1 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } | ( p _ { x } ) _ { i } | + | ( p _ { y } ) _ { i } | , \quad \| p \| _ { 2 } = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } | ( p _ { x } ) _ { i } | ^ { 2 } + | ( p _ { y } ) _ { i } | ^ { 2 } } , } \\ { \| p \| _ { 2 , 1 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } \sqrt { | ( p _ { x } ) _ { i } | ^ { 2 } + | ( p _ { y } ) _ { i } | ^ { 2 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { 2 } } \| p _ { i } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( \rho , z ) } & { : = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { 1 } ( \rho , z ) d \theta \quad = \quad \frac { \rho } { 2 } \left( - \left( \frac { r _ { 1 } } { 1 0 } \right) + \left( \frac { r _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) } { 1 0 K _ { 2 } } \right) \right) , } \\ { f _ { 2 } ( \rho , z ) } & { : = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { 2 } ( \rho , z ) d \theta \quad = \quad - m z . } \end{array}
( \rho + p ) \left( \frac { 2 } { x } v + \frac { d v } { d x } \right) - x \frac { d \rho } { d T } \, \frac { d T } { d x } = 0 \qquad \frac { d p } { d T } \frac { d T } { d x } = ( \rho + p ) x \frac { d v } { d x }
\begin{array} { r l } { \left| \tilde { \psi } + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } } & { = \left| \mathcal { F } \left( P \cdot \left[ 1 - O \right] \right) + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \tilde { P } + \mathcal { F } \left( P \right) \otimes \mathcal { F } \left( - O \right) + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \mathcal { F } \left( P \right) \otimes \mathcal { F } \left( - O \right) + \tilde { P } + \tilde { \rho } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \mathcal { F } \left( P \right) \otimes \mathcal { F } \left( O _ { \textrm { t w i n } } \right) + \tilde { \rho } _ { \textrm { t w i n } } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { 4 c _ { i } ^ { r } ( c _ { i } ^ { r } K ^ { 2 } - { u \alpha } ) } \\ { = \left( 2 \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } + ( u - \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) + \sqrt { ( u + \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) ^ { 2 } - 4 \alpha u c _ { i } ^ { r } } \right) ^ { 2 } - 4 \alpha u c _ { i } ^ { r } } \\ { = 2 ( u + \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) ^ { 2 } - 8 \alpha u c _ { i } ^ { r } + 2 ( u + \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) \sqrt { ( u + \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) ^ { 2 } - 4 \alpha u c _ { i } ^ { r } } , } \end{array}
\quad { C _ { 2 } } = \frac { { \left\langle { M _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle \left\langle { { L } _ { i j } { N _ { i j } } } \right\rangle - \left\langle { { M _ { i j } } { N _ { i j } } } \right\rangle \left\langle { { L } _ { i j } { M _ { i j } } } \right\rangle } } { { \left\langle { N _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle \left\langle { M _ { i j } ^ { 2 } } \right\rangle - { { \left\langle { { M _ { i j } } { N _ { i j } } } \right\rangle } ^ { 2 } } } } ,
\mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] \leq \left( 1 - \frac { \alpha \omega ( 1 - \gamma ) } { 8 } \right) \mathbb { E } \left[ \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha ( 1 - \gamma ) } { 4 } \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] + \frac { 5 \alpha ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) } E _ { t - 1 } + \frac { 8 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { M } .
\begin{array} { r l } { F ( x _ { t + 1 } ) } & { \leq F ( x _ { t } ) + 8 \eta _ { t } \gamma \| u _ { t } - \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 8 C _ { f y } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu ^ { 2 } } \| G _ { t } - \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 \kappa ^ { 2 } C _ { f y } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu ^ { 2 } } \| H _ { t } - \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } + 8 \kappa ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma \| h _ { t } - \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta _ { t } \gamma } { \mu } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) - \frac { \eta _ { t } } { 2 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \chi ( t ) e ^ { i ( \omega + i \eta ) t } \mathrm { d } t } & { = S \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { E _ { 0 } } ^ { \infty } 2 \sin \bigr ( t ( E _ { 0 } - \lambda ) \bigr ) e ^ { i ( \omega + i \eta ) t } \mathrm { d } P _ { \lambda } ^ { H } \mathrm { d } t S ^ { \ast } } \\ & { = S \int _ { E _ { 0 } } ^ { \infty } \frac { 1 } { E _ { 0 } - \omega - i \eta - \lambda } + \frac { 1 } { E _ { 0 } + \omega + i \eta - \lambda } \mathrm { d } P _ { \lambda } ^ { H } S ^ { \ast } } \\ & { = S ( 1 - P _ { E _ { 0 } } ^ { H } ) \bigr ( ( E _ { 0 } - \omega - i \eta - H ) ^ { - 1 } + ( E _ { 0 } + \omega + i \eta - H ) ^ { - 1 } \bigr ) ( 1 - P _ { E _ { 0 } } ^ { H } ) S ^ { \ast } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ( x ; \lambda ) | } & { \le \Big ( | v ( x _ { 0 } ; \lambda ) | + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) e _ { 1 } | d \xi \Big ) e ^ { \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } | F ( \xi ; \lambda ) | d \xi } } \\ & { \le \Big ( | v ( x _ { 0 } ; \lambda ) | + \int _ { x _ { 0 } } ^ { \infty } | F ( \xi ; \lambda ) e _ { 1 } | d \xi \Big ) e ^ { \int _ { x _ { 0 } } ^ { \infty } | F ( \xi ; \lambda ) | d \xi } . } \end{array}
\mathfrak { T } : \left| \eta ( \Psi _ { \gamma } ) \right) \longmapsto \frac { c _ { \gamma } } { n ! } \sum _ { \sigma \in \mathrm { S } _ { n } } \sum _ { \left\lbrace I \right\rbrace } \psi _ { \left\lbrace I \right\rbrace } \bigotimes _ { l = 1 } ^ { n } \left| \eta ( \mathcal { S } _ { \gamma _ { \sigma ( l ) } } ^ { I _ { \sigma ( l ) } } ) \right) , \qquad c _ { \gamma } = \sqrt { \frac { n ! } { m _ { 1 } ! \cdots m _ { k } ! } }
\begin{array} { r } { \partial _ { \xi } n _ { e } + g \frac { \nu } { 2 } \partial _ { \tilde { x } } n _ { e } + v _ { x } \partial _ { \tilde { x } } n _ { e } + v _ { y } \partial _ { \tilde { y } } n _ { e } + n _ { e } \partial _ { \tilde { x } } v _ { x } + n _ { e } \partial _ { \tilde { y } } v _ { y } = 0 . } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { \partial L _ { \mathrm { c } } } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial L _ { \mathrm { c } } } { \partial r ^ { I } } + \frac { \partial L _ { \mathrm { c } } } { \partial s ^ { \alpha } } \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } + \frac { \partial L } { \partial \dot { s } ^ { \alpha } } \gamma _ { I J } ^ { \alpha } \dot { r } ^ { J } = Q _ { I } , \ \ I = \bar { m } + 1 , \ldots , n ,
1 1 g _ { k _ { 2 } + 1 } , \ldots , 1 1 g _ { k _ { 3 } } , 0 1 g _ { k _ { 3 } } , \ldots , 0 1 g _ { k _ { 2 } + 1 } , 0 0 g _ { k _ { 2 } + 1 } , \ldots , 0 0 g _ { k _ { 3 } } , \ldots ,
\begin{array} { r l } { G ( x ; \widehat { M } ) = \int } & { { } \textup { K L } ( p ( y | \grave { f } ( x ) ) , p ( y | f ( x ; \theta _ { \widehat { M } } ) ) ) p ( \theta _ { \widehat { M } } | \widehat { M } , D ) \textup { d } \theta _ { \widehat { M } } } \\ { G ( x ; M ^ { \circ } ) = \int } & { { } \textup { K L } ( p ( y | \grave { f } ( x ) ) , p ( y | f ( x ; \theta _ { M ^ { \circ } } ) ) ) p ( \theta _ { M ^ { \circ } } | M ^ { \circ } , D ) \textup { d } \theta _ { M ^ { \circ } } . } \end{array}
Z _ { S ^ { 3 } } = \int [ d x _ { \mu } ] [ d p _ { \mu } ] \mathrm { T r } \exp \left[ i \int \left( p _ { \nu } \dot { x } _ { \nu } - H _ { S ^ { 3 } } ^ { 0 } \right) d t \right] \mathrm { T r } \exp \left[ \int A _ { S ^ { 3 } } ^ { 0 } d t \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Pi } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { [ \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { [ \boldsymbol { \Sigma } _ { v ( k - 1 ) } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { - 1 } } \end{array} \right] , \qquad \boldsymbol { \Pi } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \left[ \begin{array} { l l } { [ \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { [ \boldsymbol { \Sigma } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { - 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\sum _ { l = 0 } ^ { N } f ( l ) = \frac { 1 } { 2 } f ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { N + 1 } f ( x ) d x + \sum _ { l = 0 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } f ^ { \prime } ( x + l ) ( x - \frac { 1 } { 2 } ) d x - \frac { 1 } { 2 } f ( N + 1 ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } } & { = } & { \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \hat { \bf p } _ { \mathrm { F i e l d } } } \\ & { = } & { \hbar k \hat { \bf z } \left[ \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \frac { 1 } { 2 } \right) + \left( \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { c } } = k _ { \mathrm { B } } \ln \left( \nu _ { \mathrm { H T S T } } \, \frac { \tilde { \nu } _ { \mathrm { A } } } { \tilde { \nu } _ { \mathrm { S } } } \frac { h } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { A C } _ { + } } & { { } = } & { \left[ ( N - 2 ) \cdot \omega _ { + } , ( 2 ) \omega _ { z } , ( N - 1 ) \cdot 2 \omega _ { - } \right] } \\ { \mathrm { A C } _ { - } } & { { } = } & { \left[ ( N - 1 ) \cdot \omega _ { + } , ( - 1 ) \omega _ { z } , ( N ) \cdot 2 \omega _ { - } , ( 1 ) 2 \omega _ { z } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { i S ( \Lambda _ { n } ^ { 2 } - k _ { \parallel n 0 } ^ { 2 } q _ { m i n } ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( 1 / n ) ^ { 1 / 2 } \big [ k _ { \parallel n 0 } q _ { m i n } R _ { 0 } - i ( \Lambda _ { n } ^ { 2 } - k _ { \parallel n 0 } ^ { 2 } q _ { m i n } ^ { 2 } R _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \big ] ^ { 1 / 2 } = \delta { \hat { W } } _ { n f } + \delta { \hat { W } } _ { n k } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( \delta | \hat { A _ { 1 } } | ) } & { { } \approx \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 1 } } | + \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 2 } } | , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } ( \delta | \hat { A _ { 2 } } | ) } & { { } \approx \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 1 } } | + \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } \delta | \hat { A _ { 2 } } | . } \end{array}
\hat { H } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 4 } \hat { H } _ { 1 } } & { t \in [ \ell , \ell + 1 / 3 ) } \\ { \frac { 3 } { 2 } \hat { H } _ { 2 } } & { t \in [ \ell + 1 / 3 , \ell + 2 / 3 ) } \\ { \frac { 3 } { 4 } \hat { H } _ { 1 } } & { t \in [ \ell + 2 / 3 , \ell + 1 ) } \end{array} \right. ,
\widehat { H } = \left( \begin{array} { c c } { \widehat { p } ^ { \, 2 } / \left( 2 m \right) } & { \gamma e ^ { i \omega t } } \\ { \gamma e ^ { - i \omega t } } & { \widehat { p } ^ { \, 2 } / \left( 2 m \right) } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \ell ( t _ { s } ) } & { \propto } & { \frac { 1 } { c ( v _ { 0 } ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \Big ( k A _ { L } ( \omega _ { L } t _ { s } ) + \frac { A _ { L } ^ { 2 } ( \omega _ { L } t _ { s } ) } { 2 } \Big ) } \\ & { \propto } & { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { k ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
H = 2 \sqrt { 2 } G _ { F } n _ { e } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { e e } ^ { m } } } & { { \epsilon _ { e \mu } ^ { m } } } & { { \epsilon _ { e \tau } ^ { m } } } \\ { { \epsilon _ { e \mu } ^ { m * } } } & { { \epsilon _ { \mu \mu } ^ { m } } } & { { \epsilon _ { \mu \tau } ^ { m } } } \\ { { \epsilon _ { e \tau } ^ { m * } } } & { { \epsilon _ { \mu \tau } ^ { m * } } } & { { \epsilon _ { \tau \tau } ^ { m } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \frac { \lambda _ { e f f } } { 2 R \pi } = 1 3 . 7 4 - 0 . 1 2 [ \varepsilon _ { \infty } + \varepsilon _ { s } 1 4 1 . 0 4 ] / \varepsilon _ { s } } \\ { - \frac { 2 } { \pi } + \frac { \lambda } { \lambda _ { p } } 0 . 1 2 \sqrt { \varepsilon _ { \infty } + \varepsilon _ { s } 1 4 1 . 0 4 } / \varepsilon _ { s } } \end{array}
\frac { d C _ { + } } { d \tau } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d \log { \Omega _ { k } } } { d \tau } h _ { + } ^ { 2 } C _ { - } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { d C _ { - } } { d \tau } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d \log { \Omega _ { k } } } { d \tau } h _ { - } ^ { 2 } C _ { + } ,