harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { U _ { n } + z ^ { n } X _ { n } \equiv U \equiv A \tau ( U ) \equiv A ( \tau ( U _ { n } ) + z ^ { n } \tau ( X _ { n } ) ) \pmod { z ^ { n + 1 } } } \\ { \implies } & { z ^ { n } ( X _ { n } - A \tau ( X _ { n } ) ) \equiv ( A - 1 ) \tau ( U _ { n } ) + ( \tau ( U _ { n } ) - 1 ) - ( U _ { n } - 1 ) \pmod { z ^ { n + 1 } } } \\ { \implies } & { X _ { n } - \tau ( X _ { n } ) \equiv \textstyle \frac 1 { z ^ { n } } \big [ ( A - 1 ) \tau ( U _ { n } ) + ( \tau ( U _ { n } ) - 1 ) - ( U _ { n } - 1 ) \big ] \pmod { z } . } \end{array}
F _ { \gamma / e } ( x , \xi ) \equiv \frac { 1 } { \sigma _ { c } } \frac { d \sigma _ { c } } { d x } = \frac { 1 } { D ( \xi ) } \left[ 1 - x + \frac { 1 } { 1 - x } - \frac { 4 x } { \xi ( 1 - x ) } + \frac { 4 x ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } } & { { } = q \left( \begin{array} { l l } { 1 / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } & { 0 } \\ { - \gamma } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { J } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { - 1 / { \tau _ { \mathrm { m } } } } & { 0 } \\ { \alpha \gamma } & { - 1 / { \tau _ { \mathrm { r } } } } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \langle \eta _ { m } ^ { 2 } \rangle } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \langle \eta _ { x } ^ { 2 } \rangle } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \overline { { u v } } } { \partial x } = \overline { { u v _ { o } } } \frac { \partial u _ { * } ^ { 2 } } { \partial x } + u _ { * } ^ { 2 } \frac { \partial \overline { { u v _ { o } } } } { \partial x } = 2 \overline { { u v } } _ { o } u _ { * } \frac { - u _ { * } } { x ( { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) } } \\ { + u _ { * } ^ { 2 } \Big \{ \frac { d \overline { { u v } } _ { o } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) + \frac { d \Delta _ { 1 } } { d x } \overline { { u v _ { o _ { 2 } } } } + \Delta _ { 1 } { \frac { d \overline { { u v _ { o _ { 2 } } } } } { d y _ { o } } y U _ { e } ( \frac { - 1 } { x ^ { 2 } u _ { * } } + \frac { - 1 } { x u _ { * } ^ { 2 } } \frac { d u _ { * } } { d x } ) } } \\ { + \frac { d } { d x } ( R e _ { * } ^ { - 1 } \overline { { u v } } _ { o 2 } ) + \frac { d \Delta _ { 3 } \overline { { u v } } _ { o 4 } } { d x } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \dot { \phi } _ { A } } & { { } = \nabla [ ( \alpha \! + \! \phi _ { A } ^ { 2 } \! - \! \gamma \nabla ^ { 2 } ) \nabla \phi _ { A } + \! ( \kappa \! - \! \delta ) \nabla \phi _ { B } + \! \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { A } ] } \\ { \! \dot { \phi } _ { B } } & { { } = \nabla [ \beta \nabla \phi _ { B } + ( \kappa \! + \! \delta ) \nabla \phi _ { A } + \sqrt { 2 \epsilon } \Lambda _ { B } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \textrm { N } } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \sum _ { \vec { L } } \rho _ { \textrm { N } } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) , } \\ { \rho _ { \textrm { N } } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \sum _ { I } Z _ { I } ^ { \textrm { e f f } } \delta ( \vec { r } - \vec { R } _ { I } - \vec { L } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { x } ( z _ { 0 } ) = \left[ v _ { 3 } e ^ { i k _ { z 3 } z _ { 0 } } + w _ { 3 } e ^ { - i k _ { z 3 } z _ { 0 } } \right] \mathrm { c o s } \, \theta _ { 3 } } \\ { E _ { z } ( z _ { 0 } ) = \left[ - v _ { 3 } e ^ { i k _ { z 3 } z _ { 0 } } + w _ { 3 } e ^ { - i k _ { z 3 } z _ { 0 } } \right] \mathrm { s i n } \, \theta _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } \left( Y _ { i } ^ { T } = y ^ { T } , X _ { i } ^ { 2 : T } = x ^ { 2 : T } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } \right) } & { = \int _ { { \cal { S } } } \, \underset { \mathrm { o u t c o m e s } } { \underbrace { \prod _ { t = 1 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } } } } \\ & { \quad \quad \quad \times \underset { \mathrm { f e e d b a c k } } { \underbrace { \prod _ { t = 2 } ^ { T } G _ { y ^ { t - 1 } , x ^ { t - 1 } } ^ { t } ( \alpha ) ^ { x _ { t } } [ 1 - G _ { y ^ { t - 1 } , x ^ { t - 1 } } ^ { t } ( \alpha ) ] ^ { 1 - x _ { t } } } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \underset { \mathrm { h e t e r o g e n e i t y } } { \underbrace { \pi _ { x _ { 1 } } ( \alpha ) } } d \mu ( \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { p } g = \mathbf { g } _ { p } + \mathbf { g } _ { x } ( - \mathbf { f } _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { f } _ { p } ) = \mathbf { g } _ { p } + \left( - \mathbf { f } _ { x } ^ { - T } \mathbf { g } _ { x } ^ { T } \right) ^ { T } \mathbf { f } _ { p } = \mathbf { g } _ { p } - \left( J ^ { - T } \mathbf { g } _ { x } ^ { T } \right) ^ { T } \mathbf { f } _ { p } = \mathbf { g } _ { p } - \mathbf { r } ^ { T } \mathbf { f } _ { p } . } \end{array}
\mathcal { D } ^ { i } = \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } ( \hat { \mathcal { G } } ^ { i } ) ^ { T } \mathcal { R } ^ { i } ( \mathcal { R } ^ { i } ) ^ { T } \hat { \mathcal { G } } _ { < } ^ { i } ,
\begin{array} { r l } { H _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { { } = 1 , } \\ { H _ { i \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { { } = c _ { i \alpha } , } \\ { H _ { i \alpha \beta } ^ { ( 2 ) } } & { { } = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } - \delta _ { \alpha \beta } , } \\ { H _ { i \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } } & { { } = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } c _ { i \gamma } - [ c _ { i \alpha } \delta _ { \beta \gamma } ] _ { \mathrm { c y c } } , } \\ { H _ { i \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( 4 ) } } & { { } = c _ { i \alpha } c _ { i \beta } c _ { i \gamma } c _ { i \delta } - [ c _ { i \alpha } c _ { i \beta } \delta _ { \gamma \delta } ] _ { \mathrm { c y c } } + [ \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \delta } ] _ { \mathrm { c y c } } , } \end{array}
\tau = 4 k \, ( E _ { \mathrm { i n c } } / E _ { \mathrm { b g } } - 1 ) \, \tau _ { \mathrm { d r t } } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \tau _ { \mathrm { d r t } } = \varepsilon _ { 0 } / \sigma .
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { v } ^ { + } ( \omega ) } { \sqrt { Z _ { 0 } } } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ \hat { v } ( \omega ) + \hat { i } ( \omega ) Z _ { 0 } \right] = \left[ \frac { \hbar \omega } { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \hat { a } ( \omega ) } \\ { \frac { \hat { v } ^ { - } ( \omega ) } { \sqrt { Z _ { 0 } } } } & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ \hat { v } ( \omega ) - \hat { i } ( \omega ) Z _ { 0 } \right] = \left[ \frac { \hbar \omega } { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \hat { b } ( \omega ) , } \end{array}
E ^ { 2 } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } { L _ { 1 } L _ { 2 } } \right) ^ { 2 } q ^ { 2 } } \left( \left( \frac { 2 \pi } { L _ { 1 } } n _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 2 \pi } { L _ { 2 } } n _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { f _ { \Phi } ( x , t ) } & { = \frac { e ^ { - t \lambda } } { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } \frac { x ^ { j } } { j ! } ( - 1 ) ^ { j } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Im \left[ \frac { ( \Phi _ { + } ( \lambda - \rho ) ) ^ { j + 1 } } { \rho + \lambda } e ^ { - t \rho } \right] d \rho } \\ & { = \frac { e ^ { x \lambda ^ { \alpha } - t \lambda } } { \pi } \sum _ { j = 0 } ^ { + \infty } \frac { x ^ { j } } { j ! } ( - 1 ) ^ { j } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Im \left[ \frac { ( \Phi _ { + } ( \lambda - \rho ) ) ^ { j + 1 } } { \rho + \lambda } e ^ { - x ( - \rho ) ^ { \alpha } - t \rho } \right] d \rho } \\ & { = \frac { e ^ { x \lambda ^ { \alpha } - t \lambda } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { e ^ { x \rho ^ { \alpha } \cos ( \alpha \pi ) - t \rho } } { \rho + \lambda } [ \rho ^ { \alpha } \sin ( \alpha \pi - x \rho ^ { \alpha } \sin ( i \alpha \pi ) ) + \lambda ^ { \alpha } \cos ( \alpha \pi ) \sin ( x \rho ^ { \alpha } \sin ( i \alpha \pi ) ) ] d \rho , } \end{array}
\omega _ { 0 } = \left[ \frac { 1 } { \rho _ { l } R _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 3 n p _ { \infty } + \frac { 2 ( 3 n - 1 ) \sigma _ { 0 } } { R _ { 0 } } + \frac { 4 E _ { s } } { R _ { 0 } } \right) \right] ^ { 1 / 2 } ,
- \frac { 1 } { 2 } \varphi ^ { i } \hat { H } \varphi ^ { j } \equiv - \frac { 1 } { 2 } \varphi ^ { i } \left[ \hat { K } _ { i j } \Delta + \hat { L } _ { \lambda , i j } \nabla ^ { \lambda } + \hat { M } _ { i j } \right] \varphi ^ { j } ,
\operatorname* { g c d } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { n } ) = \operatorname* { g c d } ( a _ { 1 } , \, \operatorname* { g c d } ( a _ { 2 } , \, \operatorname* { g c d } ( a _ { 3 } , \dots , \operatorname* { g c d } ( a _ { n - 1 } \, , a _ { n } ) ) ) , \dots ) ,
H _ { o p } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \left[ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \nabla \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right]
\alpha _ { S } ( \widehat { Q } ^ { 2 } ) T _ { H } ^ { 1 } ( x , y , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 6 \pi C _ { F } \alpha _ { S } ( \widehat { Q } ^ { 2 } ) } { Q ^ { 2 } ( 1 - x ) ( 1 - y ) } , \qquad C _ { F } = 4 / 3 .
S ( b ; k _ { T } ) = \frac { \int d ^ { 2 } b _ { 1 } d ^ { 2 } b _ { 2 } T _ { A } ( b _ { 1 } ) T _ { B } ( b _ { 2 } ) S ( b _ { 1 } , b _ { 2 } ; k _ { T } ) \delta ^ { ( 2 ) } ( b _ { 1 } - b _ { 2 } - b ) } { \int d ^ { 2 } b _ { 1 } d ^ { 2 } b _ { 2 } T _ { A } ( b _ { 1 } ) T _ { B } ( b _ { 2 } ) \delta ^ { ( 2 ) } ( b _ { 1 } - b _ { 2 } - b ) } .
\begin{array} { r l } & { \tau ( X _ { 1 } , \dots , X _ { n } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { X _ { 1 } } ^ { \prime } ( \lambda _ { 1 } ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } [ X _ { 1 } ^ { 2 } ] , \quad } & { n = 1 } \\ { \partial _ { \lambda _ { 1 } } \dots \partial _ { \lambda _ { n } } I _ { \vec { X } } ( 0 ) , \quad } & { n \geq 2 } \end{array} \right. } \end{array}
D o F \approx \frac { 2 f _ { \mathrm { n u m } } d _ { c } } { M ^ { 2 } } = \frac { 2 \times 1 . 4 \times 0 . 0 0 7 } { 0 . 1 ^ { 2 } } = 2 . 2 ~ \mathrm { m m } ,
F _ { i j } = \frac { \delta ^ { 2 } S ^ { G } } { \delta \Phi ^ { i } \delta \Phi ^ { j } } - \frac { \delta \chi ^ { \alpha } } { \delta \Phi ^ { i } } c _ { \alpha \beta } \frac { \delta \chi ^ { \beta } } { \delta \Phi ^ { j } } .
\mathcal { K } _ { a b } ^ { ( j , \pm ) } = \frac { \mathrm { s e c h } ( k _ { a } | h _ { j } | ) } { \cosh ( k _ { b } | h _ { j } | ) } \frac { \sinh [ ( k _ { a } \pm k _ { b } ) ( \xi - h _ { j } ) ] } { k _ { a } \pm k _ { b } } \Bigl \{ \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \pm k _ { a } k _ { b } \chi _ { a } \chi _ { b } \Bigl \} .
\int _ { 0 } ^ { T } | | f | | _ { L ^ { 2 + h } } ^ { \frac { 2 ( 2 + h ) ( 6 - p ) } { 3 h } } \leq C \int _ { 0 } ^ { T } | | f | | _ { L ^ { 2 } } ^ { \frac { 2 [ ( 6 - p ) ( 2 + h ) - 3 h ] } { 3 h } } | | f | | _ { W ^ { 1 , \frac { 6 } { p - 1 } } } ^ { 2 } , \; \left\{ \begin{array} { l l } { h \geq 0 \; \mathrm { i f } \; 1 \leq p \leq 3 , } \\ { h \in \left[ 0 , \frac { 2 ( 6 - p ) } { p - 3 } \right] \; \mathrm { i f } \; 3 < p < 6 . } \end{array} \right.
\begin{array} { c c } { { \gamma _ { \Omega , 9 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { 1 6 \times 1 6 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 _ { 1 6 \times 1 6 } } } \end{array} \right) } } & { { \gamma _ { { \cal R } , 9 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { 1 6 \times 1 6 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 _ { 1 6 \times 1 6 } } } \end{array} \right) } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { \gamma _ { \Omega , 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { n \times n } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 _ { n \times n } } } \end{array} \right) } } & { { \gamma _ { { \cal R } , 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 _ { n \times n } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 _ { n \times n } } } \end{array} \right) } } \end{array}
{ \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } = \sum _ { \ell , \ m } { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } { \frac { 1 } { r } } \left( { \frac { r _ { 0 } } { r } } \right) ^ { \ell } { Y ^ { * } } _ { \ell } ^ { m } \left( \theta _ { 0 } , \ \phi _ { 0 } \right) Y _ { \ell } ^ { m } \left( \theta , \ \phi \right)
\begin{array} { r l r } { K _ { 1 x } ^ { 1 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( v ~ \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) ~ H + \gamma _ { 1 } ~ ( u t + v ) ~ E _ { c } + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 x } ^ { 2 } } & { { } = } & { - d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 x } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( - 2 ~ t ~ E _ { c } + \gamma ~ v ~ ( t ~ v + u ) ) } \end{array}
{ \cal L } _ { S D } ^ { s y m p } = \epsilon ^ { i j } ( { \frac { \mu } { 2 } } A ^ { j } - f ^ { j } ) \dot { A } ^ { i } \equiv a _ { i } \dot { \bar { \rho } } ^ { i } = a _ { 3 } \dot { \bar { \rho } } ^ { 3 } + a _ { 4 } \dot { \bar { \rho } } ^ { 4 } ,
\begin{array} { r l } & { ( m , m , \ldots , m ) , \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } m \in M ( X ) , } \\ & { ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { i } , \ldots , m _ { j } , \ldots , m _ { n } ) + ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { j } , \ldots , m _ { i } , \ldots , m _ { n } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } m _ { i } \in M ( X ) , ~ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 1 \leq i , j \leq n } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( m _ { 1 } , \ldots , m _ { i - 1 } , ( m _ { i } , m _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , m _ { n - 1 } ^ { \prime } ) , m _ { i + 1 } , \ldots , m _ { n } ) , \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } m _ { i } , m _ { i } ^ { \prime } \in M ( X ) . } \end{array}
\sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } \delta _ { \mathbf { A } , \mathbf { A } ^ { * } } \langle \mathbf { C } \rangle _ { \mathbf { A } } ( \underline { { \psi } } ^ { * } ) = \langle \mathbf { C } \rangle _ { \mathbf { A } ^ { * } } ( \underline { { \psi } } ^ { * } ) = \mathbf { C ^ { * } }
{ \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \cfrac { \partial I _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } }
8 1 2 8 = 2 ^ { 6 } ( 2 ^ { 7 } - 1 ) = 1 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } + 7 ^ { 3 } + 9 ^ { 3 } + 1 1 ^ { 3 } + 1 3 ^ { 3 } + 1 5 ^ { 3 }
\dot { M } _ { \mathrm { c o r e , R } } / \dot { M } _ { \mathrm { c o r e , N R } } = \gamma _ { \mathrm { R } } ^ { - 1 } / \gamma _ { \mathrm { N R } } ^ { - 1 } \approx \left( N / 2 \Omega \right) ^ { 1 / 2 } \left( 2 4 N t / 5 \right) ^ { - 1 / 6 }
\begin{array} { r } { \hat { \eta } ( \varphi ) = \langle \hat { \eta } \rangle + \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } \backslash \left\{ 0 \right\} } \frac { \widehat { g _ { 2 } } ( l ) } { \omega \cdot l } e ^ { \mathrm { i } l \cdot \varphi } = : \langle \hat { \eta } \rangle + ( \omega \cdot \partial _ { \varphi } ) ^ { - 1 } g _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { + } } & { { } = \hbar [ ( N - m ^ { \prime } ) \omega _ { 3 4 } + \Omega _ { 1 } / 2 + ( M + m ^ { \prime } ) \omega _ { R F 2 } ] , } \\ { E _ { - } } & { { } = \hbar [ ( N - m ) \omega _ { 3 4 } - \Omega _ { 1 } / 2 + ( M + m ) \omega _ { R F 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { 0 } ^ { \, d } ( t ) = 1 , \quad P _ { 1 } ^ { \, d } ( t ) = t , } \\ & { P _ { 2 } ^ { \, d } ( t ) = \frac { 1 } { d - 1 } [ d t ^ { 2 } - 1 ] , } \\ & { P _ { 3 } ^ { \, d } ( t ) = \frac { 1 } { d - 1 } [ ( d + 2 ) t ^ { 3 } - 3 t ] , } \\ & { P _ { 4 } ^ { \, d } ( t ) = \frac { 1 } { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } [ ( d + 2 ) ( d + 4 ) t ^ { 4 } - 6 ( d + 2 ) t ^ { 2 } + 3 ] , } \\ & { P _ { 5 } ^ { \, d } ( t ) = \frac { 1 } { ( d - 1 ) ( d + 1 ) } [ ( d + 4 ) ( d + 6 ) t ^ { 5 } - 1 0 ( d + 4 ) t ^ { 3 } + 1 5 t ] , } \\ & { P _ { 6 } ^ { \, d } ( t ) = \frac { 1 } { ( d - 1 ) ( d + 1 ) ( d + 3 ) } [ ( d + 4 ) ( d + 6 ) ( d + 8 ) t ^ { 6 } - 1 5 ( d + 4 ) ( d + 6 ) t ^ { 4 } + 4 5 ( d + 4 ) t ^ { 2 } - 1 5 ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { H } \ \rangle } \\ { | \mathrm { V } \ \rangle } \end{array} \right) = \frac { \mathrm { e } ^ { i \gamma } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { - i } & { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { L } \ \rangle } \\ { | \mathrm { R } \ \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { X \cup Y } } & { = { \frac { 1 } { N _ { X \cup Y } } } \left( N _ { X } \mu _ { X } + N _ { Y } \mu _ { Y } - N _ { X \cap Y } \mu _ { X \cap Y } \right) } \\ { \sigma _ { X \cup Y } } & { = { \sqrt { { \frac { 1 } { N _ { X \cup Y } } } \left( N _ { X } [ \sigma _ { X } ^ { 2 } + \mu _ { X } ^ { 2 } ] + N _ { Y } [ \sigma _ { Y } ^ { 2 } + \mu _ { Y } ^ { 2 } ] - N _ { X \cap Y } [ \sigma _ { X \cap Y } ^ { 2 } + \mu _ { X \cap Y } ^ { 2 } ] \right) - \mu _ { X \cup Y } ^ { 2 } } } } \end{array} }
W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) \leq \mathcal { C } _ { n } \big ( \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \| \rho _ { t } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \big ) \frac { \log ( n ) } { n } ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { S M T } } ( \bf { r } ) \it = } & { \left| \sum _ { \omega } e ^ { i \theta ( \omega ) } \sum _ { \bf k _ { \mathrm { o u t } } } e ^ { i \bf k _ { \mathrm { o u t } } \cdot \bf { r } + \it i \phi _ { \mathrm { o u t } } ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } ) } \right. } \\ & { \, \, \left. \sum _ { \bf k _ { \mathrm { i n } } } e ^ { - i \bf k _ { \mathrm { i n } } \cdot \bf { r } + \it i \phi _ { \mathrm { i n } } ( \bf k _ { \mathrm { i n } } ) } S ( \bf k _ { \mathrm { o u t } } , \bf k _ { \mathrm { i n } } , \omega ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho ( \mathbf { x } , t ) = \chi ( \mathbf { x } , t ) \rho ^ { - } + ( 1 - \chi ( \mathbf { x } , t ) ) \rho ^ { + } , } \\ { \mu ( \mathbf { x } , t ) = \chi ( \mathbf { x } , t ) \mu ^ { - } + ( 1 - \chi ( \mathbf { x } , t ) ) \mu ^ { + } , } \end{array}
\left| \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \overline { { r } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s , a ^ { 1 } ) - \gamma _ { 1 } \sum _ { a ^ { 2 } \in A ^ { 2 } } \sum _ { s ^ { \prime } \in S } \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \pi \overline { { Q } } _ { \infty } ^ { 1 } ( s ^ { \prime } ) p ( s ^ { \prime } | s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \overline { { \pi } } _ { \infty } ^ { 2 } ( s , a ^ { 2 } ) \right| = 0 \ ,
f ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } ( t ) = \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } } { \sqrt { 2 \pi } \, \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \frac { ( t - \Delta t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ i ~ m ~ } } ^ { 2 } } } .
{ \cal L } _ { 0 } : \, \, \partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \chi _ { n } = \widetilde { \mathrm { I n h } } \left( \chi _ { 0 } , \ldots , \chi _ { n - 1 } \right) \, , \quad { \cal L } _ { 1 } : \, \, \partial _ { z } \partial _ { \bar { z } } \chi _ { n } + m ^ { 2 } \chi _ { n } = \widetilde { \mathrm { I n h } } \left( \chi _ { 0 } , \ldots , \chi _ { n - 1 } \right) \, .
( d f _ { p } ) ( v ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } } ( p ) } & { \cdots } & { { \frac { \partial f } { \partial x _ { n } } } ( p ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } } \end{array} \right] } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \partial f } { \partial x _ { i } } } ( p ) v _ { i } = { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } } ( p ) } \\ { \vdots } \\ { { \frac { \partial f } { \partial x _ { n } } } ( p ) } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } } \end{array} \right] } = \nabla f ( p ) \cdot v
\begin{array} { r } { f _ { i , i } ( q , p ) = P _ { i , i } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) = 2 ^ { 3 } e ^ { - 2 \alpha _ { i } q ^ { 2 } } e ^ { - p ^ { 2 } / ( 2 \alpha _ { i } ) } , } \end{array}
\exp \left( - i e \int _ { x } ^ { y } A \right) h _ { x } \Omega _ { + } ( x , y ) = \frac { 1 } { \pi ( x - y ) ^ { 2 } } - \frac { \pi } { 6 L ^ { 2 } } + \frac { 2 \pi } { L ^ { 2 } } ( \phi - [ \phi ] - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + { \cal O } ( x - y ) ,
( x ( x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } x ^ { \prime \prime } ) , \, y ( x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } x ^ { \prime \prime } ) , \, x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } x ^ { \prime \prime } ) = ( x , \, y , \, 1 ) ( x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - y ^ { \prime } x ^ { \prime \prime } ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \epsilon } = \frac { \epsilon } { 1 8 \sqrt { \log ( 2 / \delta _ { 2 } ) } } } \\ { g \triangleq \operatorname* { m a x } \{ \hat { \epsilon } \sqrt { | U | } / ( 6 \sqrt { 5 \ln { ( ( 4 s ) / \delta _ { 2 } ) } } ) , \sqrt { s } , 1 0 \} } \\ { b \triangleq \lceil \frac { 1 8 0 g ^ { 2 } \ln { ( 4 s / \delta _ { 2 } ) } } { \hat { \epsilon } ^ { 2 } | U | } \rceil } \\ { p \triangleq \frac { 9 0 g ^ { 2 } \ln { ( 4 s / \delta _ { 2 } ) } } { b \hat { \epsilon } ^ { 2 } | U | } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A } & { = \beta \alpha ^ { 3 } \left( 3 + 6 \alpha + 4 \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } \right) \, , } \\ { B } & { = - \beta \alpha ^ { 3 } \left( 2 + 4 \alpha + 6 \alpha ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 3 } \right) \, , } \\ { C } & { = \beta \alpha ^ { 5 } \left( 2 + \alpha \right) \, , } \\ { D } & { = - \beta \alpha ^ { 3 } \left( 1 + 2 \alpha \right) \, , } \\ { E } & { = - 2 \beta \alpha ^ { 2 } \left( 1 - \alpha \right) \left( 5 + 6 \alpha + 3 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \right) \, , } \\ { H } & { = \beta \left( 1 - \alpha ^ { 2 } \right) \left( 2 + \alpha + 2 \alpha ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
d q _ { 1 } = { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } d x + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } d y + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } } d z = { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } d x + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } \left( { \frac { \partial y } { \partial q _ { 1 } } } d q _ { 1 } + { \frac { \partial y } { \partial q _ { 2 } } } d q _ { 2 } + { \frac { \partial y } { \partial q _ { 3 } } } d q _ { 3 } \right) + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } } \left( { \frac { \partial z } { \partial q _ { 1 } } } d q _ { 1 } + { \frac { \partial z } { \partial q _ { 2 } } } d q _ { 2 } + { \frac { \partial z } { \partial q _ { 3 } } } d q _ { 3 } \right)
\begin{array} { r } { | \Psi ( t ) \rangle = \sum _ { j } \left| w _ { v , j } \right\rangle a _ { j } ( t ) + \int _ { \mathrm { B Z } } a _ { c } ( \textbf { k } , t ) \left| \psi _ { c , k } \right\rangle \mathrm { d } \textbf { k } , } \end{array}