harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int d ^ { D } k \; d ^ { D } l \; \frac { ( l \cdot p ) ^ { \alpha } \: ( k ^ { 2 } ) ^ { \beta } } { P _ { k + p , m _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } P _ { k + l , m _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } P _ { l , m _ { 3 } } ^ { n _ { 3 } } } \; \: \: = \; \: \: \int d ^ { D } k \; \frac { ( k ^ { 2 } ) ^ { \beta } } { P _ { k + p , m _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } } \; p _ { \mu _ { 1 } } \ldots p _ { \mu _ { \alpha } } \; \int d ^ { D } l \; \frac { l ^ { \mu _ { 1 } } \ldots l ^ { \mu _ { \alpha } } } { P _ { k + l , m _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } P _ { l , m _ { 3 } } ^ { n _ { 3 } } } \: .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } , ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) } & { { } = \frac { i e ^ { 3 } } { 2 \hslash ^ { 2 } } \bigg ( \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \tilde { Z } ( t _ { N } - s ) > x e ^ { \lambda _ { 1 } t _ { N } } ) } & { = \sum _ { i > x e ^ { \lambda _ { 1 } t _ { N } } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { b _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } } { ( 1 - d _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } / b _ { 1 } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } } { 1 - d _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } / b _ { 1 } } \right) ^ { i - 1 } } \\ & { = \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { e ^ { - \lambda _ { 1 } u } } { e ^ { - \lambda _ { 1 } u } - \frac { d _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { 1 } t _ { N } } } \left( \frac { 1 - e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } } { 1 - d _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } / b _ { 1 } } \right) ^ { \lfloor x e ^ { \lambda _ { 1 } t _ { N } } \rfloor } \underset { N \to \infty } { \longrightarrow } \Delta _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { D } _ { \Omega } ( \mathcal M ) \setminus \mathcal { D } _ { \varepsilon } ( \mathcal M ) } r ^ { k - n - \sigma } } & { d \mathcal H ^ { 2 n } ( p , \boldsymbol { \omega } , r ) \le C _ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \operatorname* { m a x } \{ \xi , \varepsilon \} } ^ { \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) } r ^ { k - n - \sigma } \xi ^ { n - k - 1 } d r d \xi } \\ { = } & { \frac { C _ { n } } { n + \sigma - k - 1 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \xi ^ { n - k - 1 } ( \varepsilon ^ { k - n - \sigma + 1 } - ( \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { k - n - \sigma + 1 } ) d \xi \right. } \\ & { \qquad + \left. \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } \xi ^ { - \sigma } - \xi ^ { n - k - 1 } ( \xi + \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) ^ { k - n - \sigma + 1 } d \xi \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { M } ^ { 1 / 2 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { A } } & { \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { B } ^ { \intercal } } & { \boldsymbol { C } } \end{array} \right) \, , } \\ { \boldsymbol { M } ^ { - 1 / 2 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \boldsymbol { D } } & { \boldsymbol { E } } \\ { \boldsymbol { E } ^ { \intercal } } & { \boldsymbol { F } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\hat { B } \left( \begin{array} { l } { x _ { D ^ { \prime } } - x _ { D } } \\ { y _ { D ^ { \prime } } - y _ { D } } \\ { z _ { D ^ { \prime } } - z _ { D } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { b _ { E } } \\ { b _ { F } } \\ { b _ { G } } \end{array} \right) \approx \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }
{ \bf { M } } _ { m , n } ^ { * } \left( f \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { { { \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ^ { 1 - { \delta _ { m , n } } } } \left( f \right) \underbrace { { { \bf { v } } ^ { * } } { { \bf { v } } ^ { * } } \cdots { { \bf { v } } ^ { * } } } _ { n } { { \left( { { { \bf { v } } ^ { * } } \cdot { { \bf { v } } ^ { * } } } \right) } ^ { \left( { m - n } \right) / 2 } } d { \bf { v } } } ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { s q } } & { \simeq \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \mathfrak { R e } \left( \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } + i \omega _ { m } } \right) } = \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { - } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } } } , } \\ { \Gamma _ { s q } } & { \simeq \kappa _ { m } + \frac { \mathfrak { I m } \left( \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } + i \omega _ { m } } \right) } { \omega _ { m } } = \kappa _ { m } + \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { X } \mathcal { H } } { \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } } . } \end{array}
U _ { i } = k _ { \mathrm { c h a n } } \cdot \sum _ { j } { ( E _ { j } \cdot F ( t _ { i } \, - \, t _ { j } \, - \, t _ { \mathrm { s h i f t } } ) ) \, + \, P \, + \, P _ { \mathrm { n o i s e } } } ,
\boldsymbol { \tau } _ { f } \cdot \mathbf { n } - \left( \mathbf { n } \cdot \boldsymbol { \tau } _ { f } \cdot \mathbf { n } \right) \mathbf { n } = - \rho _ { f } v _ { \tau } \frac { \mathbf { v } } { v ^ { + } } \mathrm { ~ , ~ }
\| \nabla B ( v ) \| _ { L ^ { 2 } } \lesssim \| V \| _ { L ^ { \infty } } \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } } + \| v \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 \sigma } \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } } + \left\{ \begin{array} { l l } { \| v \| _ { L ^ { \infty } } \| \nabla V \| _ { L ^ { 2 } } , } & { d = 1 , } \\ { \| v \| _ { L ^ { 4 } } \| \nabla V \| _ { L ^ { 4 } } , } & { d = 2 , 3 , } \end{array} \right. ,
{ \frac { \delta ( \Phi _ { + } ^ { ( 1 ) } - \Phi _ { - } ^ { ( 1 ) } ) } { \delta \theta ( x ) } } = { \frac { \Lambda } { | \Lambda | } } { \frac { 1 } { 4 8 \pi } } ( \partial ^ { 2 } \delta _ { \mu \nu } - \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } ) h _ { \nu \mu } ( x )
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \langle ( \mathcal { H } _ { K } - \mathcal { E } _ { \mathrm { K P } } ( t _ { * * } ^ { 1 } ( \lambda ) , \lambda ) ) e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } ( \lambda ) + \lambda T _ { * * } ^ { \angle } ( \lambda ) } \Phi _ { 0 } , ( c _ { 0 } I + C ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p \left( g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) - ( 1 - p ) \left( g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) - 1 \right) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \leq p \left( \sigma ( - r \sqrt { d } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \sigma ( r \sqrt { d } ) - 1 \right) - ( 1 - p ) \left( \sigma ( r \sqrt { d } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } \sigma ( - r \sqrt { d } ) - 1 \right) = : C _ { p , r \sqrt { d } , \alpha } . } \end{array}
i \, \operatorname * { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \left( m r \right) ^ { 1 - a } g _ { \ell } ^ { \pm } ( r ) \sin \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { \Theta ^ { \pm } } { 2 } \right) = \operatorname * { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \left( m r \right) ^ { a } f _ { \ell } ^ { \pm } ( r ) \cos \left( \frac { \pi } { 4 } + \frac { \Theta ^ { \pm } } { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \overline { { u } } _ { m } } { \partial t } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial y ^ { 3 } } \overline { { v _ { m } ^ { \prime } u _ { m } ^ { \prime } } } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial y ^ { 3 } } \overline { { v _ { T } ^ { \prime } u _ { T } ^ { \prime } } } = - l ^ { 2 } A \overline { { u } } _ { m } - \frac { \kappa } { 2 } ( \overline { { u } } _ { m } - 2 \overline { { u } } _ { T } ) , } \\ & { \frac { \partial \overline { { u } } _ { T } } { \partial t } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial y ^ { 3 } } \overline { { v _ { T } ^ { \prime } u _ { m } ^ { \prime } } } - \frac { 1 } { l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial y ^ { 3 } } \overline { { v _ { m } ^ { \prime } u _ { T } ^ { \prime } } } - \frac { \lambda _ { R } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \overline { { v _ { m } ^ { \prime } \psi _ { T } ^ { \prime } } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad = - l ^ { 2 } A \overline { { u } } _ { T } + \frac { l ^ { 2 } } { l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } } \frac { \kappa } { 2 } ( \overline { { u } } _ { m } - 2 \overline { { u } } _ { T } ) + \frac { \lambda _ { R } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } + \lambda _ { R } ^ { 2 } } \frac { 2 R H } { f _ { 0 } c _ { p } W } , } \end{array}
J _ { \nu - 1 } ^ { 2 } ( i x ) - e ^ { 2 \theta } J _ { \nu } ^ { 2 } ( i x ) = { J _ { \nu } ^ { \prime } } ^ { 2 } ( i x ) - \left( { \frac { \nu ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } + e ^ { 2 \theta } \right) J _ { \nu } ^ { 2 } ( i x ) + { \frac { 2 \nu } { i x } } J _ { \nu } ( i x ) J _ { \nu } ^ { \prime } ( i x ) .
\begin{array} { r } { Y _ { S X } ^ { \ast } = \frac { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) / n _ { X } } { \phi v + \mu } S X , \quad Y _ { T X } ^ { \ast } = \frac { \phi } { \phi v + \mu } T X , \quad Y _ { X X } ^ { \ast } = \frac { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) / n _ { X } } { \phi v + \mu } X ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } w _ { \alpha } ( 1 \vert t ) \, u ^ { - 1 } \, d u \equiv \frac { 1 } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \alpha } ( 1 \vert u ) \, u ^ { - 1 } \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \{ \rho _ { \alpha } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert u ) \} ( 1 ) \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \{ \rho _ { \alpha } \star f _ { \alpha } \} ( u ^ { - 1 / \alpha } ) \, u ^ { - 1 } \, d u } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { k , \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { k \cos ( k s _ { N } ) } { \sin ( k s _ { N } ) } } & { } & { } & { } & { } & { \frac { k } { \sin ( k s _ { N } ) } e ^ { - \i \alpha L } } \\ { \frac { k } { \sin ( k s _ { N } ) } e ^ { \i \alpha L } } & { } & { } & { } & { } & { - \frac { k \cos ( k s _ { N } ) } { \sin ( k s _ { N } ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { n _ { 2 } } \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ( N - n _ { 2 } , n _ { 2 } ) \Big | _ { N = n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } + n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } , \, n _ { 2 } = n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } } } & { = 0 , } \\ { \mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } ( n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } ) } & { = \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z _ { k } ( t , \tau ) } & { { } = } & { \tilde { h } _ { k } ( t ) + \sum _ { j ( j \neq k ) } J _ { k j } ( \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) } \\ { \int D [ x \hat { x } ] } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { t _ { \mathrm { m a x } } \rightarrow \infty } \int \prod _ { k } ^ { N } \prod _ { t } ^ { t _ { \mathrm { m a x } } } \prod _ { \tau } ^ { T - 1 } d x _ { k } ( t , \tau ) d \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) } \\ { E _ { k } ( t , \tau ) } & { { } = } & { \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) \big ( \partial _ { t } + 1 \big ) x _ { k } ( t , \tau ) + i \sigma ^ { 2 } \hat { x } _ { k } ^ { 2 } ( t , \tau ) - \mathrm { t a n h } \big ( f _ { k } ( t , \tau ) \big ) \hat { x } _ { k } ( t , \tau ) + \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) \big ( f _ { k } ( t , \tau ) - \tilde { h } _ { k } \big ) } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } D ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( g ^ { 2 } \left( T _ { 3 } ( H _ { 1 } ^ { 0 } ) | H _ { 1 } ^ { 0 } | ^ { 2 } + T _ { 3 } ( H _ { 2 } ^ { 0 } ) | H _ { 1 } ^ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + g ^ { 2 } \left( Y ( H _ { 1 } ^ { 0 } ) | H _ { 1 } ^ { 0 } | ^ { 2 } + Y ( H _ { 2 } ^ { 0 } ) | H _ { 1 } ^ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { y } } { d \phi } = } & { { } \frac { | e | } { c } \frac { d } { d \phi } ( A _ { 0 , y } + A _ { 1 , y } ) } \\ { \frac { d p _ { x } } { d \phi } = } & { { } - \frac { | e | } { \omega _ { 0 } } \frac { p _ { y } } { p _ { - } } ( B _ { 0 , z } + B _ { 1 , z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathbf G = G | \underline { { N } } = \underline { { n } } ) } & { = \frac { \mathbb { E } _ { X } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { k } \mathbb { P } ( N = n ^ { ( i ) } | X , \mathbf G = G ) f _ { X | \mathbf G = G } ( X ) \right) } { \mathbb { P } ( \underline { { N } } = \underline { { n } } ) } \mathbb { P } ( \mathbf G = G ) } \\ & { \propto \frac { K _ { G } ( \alpha , \beta ) \, \prod _ { i = 1 } ^ { k } C _ { G } ( n ^ { ( i ) } , r ) } { K _ { G } ( \alpha + \sum _ { i = 1 } ^ { k } n ^ { ( i ) } , \beta + k \, r ) } , \quad G \in \mathfrak G ( V ) , } \end{array}
| \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } \rangle = c o n s t _ { N } \, \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | 0 \rangle
\lambda _ { 5 } \left( { \cal R e } \, [ \Phi _ { 1 } ^ { \dagger } \Phi _ { 2 } ] - v _ { 1 } v _ { 2 } \cos \xi _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \lambda _ { 6 } \left( { \cal I m } \, [ \Phi _ { 1 } ^ { \dagger } \Phi _ { 2 } ] - v _ { 1 } v _ { 2 } \sin \xi _ { 0 } \right) ^ { 2 }
W _ { 2 } = h _ { H } H \bar { H } \frac { \langle W \rangle } { M _ { P } ^ { 2 } } \, + \, f _ { \alpha } \bar { N } _ { \alpha } S \frac { \langle W \rangle } { M _ { P } ^ { 2 } } \, + \, k _ { \alpha } S L _ { \alpha } H \frac { \langle W \rangle } { M _ { P } ^ { 3 } } \, + \, \frac { 1 } { 2 } h S S \frac { \langle W \rangle ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 5 } } \, .
\Delta ( J ^ { \pm } ) \langle v | q ^ { - J ^ { 0 } } | v \rangle = ( J ^ { \pm } \langle v | ) | v \rangle + ( q ^ { - J ^ { 0 } } \langle v | ) J ^ { \pm } q ^ { - J ^ { 0 } } | v \rangle = - \langle v | J ^ { \pm } | v \rangle + \langle v | J ^ { \pm } | v \rangle = 0 ,
Z _ { k } ^ { 1 } \equiv V { \frac { g _ { k } } { 2 \pi ^ { 2 } } } m _ { k } ^ { 2 } T K _ { 2 } \left( { \frac { m _ { k } } { T } } \right) \exp ( B _ { k } \mu _ { B } + Q _ { k } \mu _ { Q } )
Q _ { 0 } [ \eta ] \, = \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } A | \nabla \eta | ^ { 2 } \, \mathrm { d } X + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } ( \nabla A \cdot \nabla \eta ) \eta \, \mathrm { d } X + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } V \eta ^ { 2 } \, \mathrm { d } X \, ,
Q _ { \mathrm { ~ S ~ } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } \int _ { S } d S ~ \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \boldsymbol { \mathbf { E } } \times \boldsymbol { \mathbf { H } } ^ { * } \right] \cdot \hat { \mathbf { n } } } { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \boldsymbol { \mathbf { E } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \times \boldsymbol { \mathbf { H } } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { * } \right] \, A _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } }
( \ell , \dot { \ell } , h ) ( A _ { 0 } , \dot { A } _ { 0 } ) = ( h A _ { 0 } h ^ { - 1 } - \ell , h \dot { A } _ { 0 } h ^ { - 1 } + [ \ell , h A _ { 0 } h ^ { - 1 } ] - \dot { \ell } )
k _ { m - F G R } = \frac { 2 | J | ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { i ( \tilde { E } _ { 1 } - \tilde { E } _ { 2 } ) t / \hbar } \left( e ^ { - { \mathcal C } ( t ) } - e ^ { - { \mathcal C } _ { R , s } } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { \varepsilon } { 2 } \frac { d } { d t } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { q _ { \alpha } \varepsilon } { 2 } \langle \partial _ { t } \phi g _ { \alpha } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle e ^ { \gamma \psi } \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q _ { \alpha } } g _ { \alpha } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } g _ { \alpha } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - 4 \pi \gamma \langle \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { = - \varepsilon \langle \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \phi } } } , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } ( \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } ) , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle e ^ { \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \Gamma _ { q _ { \alpha } } ( g _ { \alpha } , g _ { \alpha } ) , g _ { \alpha } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Sigma } \otimes \textbf { E } _ { \mathcal { F } _ { \mathrm { l o c } } [ [ \hbar ] ] } } & { \to ( \boldsymbol { \Sigma } \otimes \textbf { E } _ { \mathcal { F } _ { \mathrm { l o c } } [ [ \hbar ] ] } ) ^ { \textbf { E } } } \\ { \mathtt { H } _ { F } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { i _ { 1 } } \otimes \dots \otimes \emph { \textsf { A } } _ { i _ { n } } } & { \mapsto \, \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \underbrace { \downarrow \dots \downarrow } _ { \mathrm { ~ r ~ t i m e s } } \mathtt { H } _ { F } \otimes \underbrace { \emph { \textsf { S } } _ { \mathrm { i n t } } \otimes \dots \otimes \emph { \textsf { S } } _ { \mathrm { i n t } } } _ { \mathrm { ~ r ~ t i m e s } } \, \otimes \, \emph { \textsf { A } } _ { i _ { 1 } } \otimes \dots \otimes \emph { \textsf { A } } _ { i _ { n } } . } \end{array}
S ( { \vec { r } } , \omega _ { 0 } ) = { \frac { 1 } { \pi } } R e \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \langle E ^ { ( - ) } ( { \vec { r } } , t ) E ^ { ( + ) } ( { \vec { r } } , t + \tau ) \rangle e ^ { i \omega _ { 0 } \tau }
\nu _ { ( i , j , k ) } ^ { d } = \frac { | p _ { ( i + 1 , j , k ) } - 2 p _ { ( i , j , k ) } + p _ { ( i - 1 , j , k ) } | } { p _ { ( i + 1 , j , k ) } - 2 p _ { ( i , j , k ) } + p _ { ( i - 1 , j , k ) } } \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l r l } & { } & { \quad \quad v _ { D } ( \theta ; q ) = \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol { z } } \quad } & { z _ { 1 } + z _ { 2 } \mu _ { 1 } + z _ { 3 } \mu _ { 2 } + z _ { 4 } a \mu _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 5 } b \mu _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 6 } c \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \\ & { } & { { s . t . } \quad h _ { 1 } ( x ; \boldsymbol { z } ) : = } & { z _ { 1 } + z _ { 2 } x _ { 1 } + z _ { 3 } x _ { 2 } + z _ { 4 } x _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 6 } x _ { 1 } x _ { 2 } \geq 0 , \quad \forall ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad h _ { 2 } ( x ; \boldsymbol { z } ) : = q + z _ { 1 } } & { + ( z _ { 2 } - 1 ) x _ { 1 } + ( z _ { 3 } - 1 ) x _ { 2 } + z _ { 4 } x _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 6 } x _ { 1 } x _ { 2 } \geq 0 , \quad \forall ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } , } \end{array}
G _ { p o l a r } ( x , y ; k ) = - 4 i \pi \left( S ( x ) \gamma ^ { 5 } \right) \otimes \left( S ( y ) \gamma ^ { 5 } \right) \frac { \sin \left[ k x / 2 \right] \sin \left[ k y / 2 \right] } { ( k ^ { 2 } - e ^ { 2 } / \pi + i \epsilon ) } \; ,
\begin{array} { r } { \omega _ { I J } = \left\{ \begin{array} { l l } { \prod _ { n = I } ^ { J - 1 } p _ { v _ { n } v _ { n + 1 } } } & { I < J } \\ { \prod _ { n = J } ^ { I - 1 } p _ { v _ { n + 1 } v _ { n } } } & { I > J } \\ { 1 } & { I = J } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \eta _ { 0 } ^ { X } , f _ { T , 0 } ^ { S , I } \rangle = \sum _ { n = S + I } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } p _ { n , S } ^ { X } \binom { I } { n - S } \mathrm { e } ^ { - \gamma I T } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \gamma T } ) ^ { n - S - I } .
\sigma ^ { 2 } \operatorname* { i n f } { \frac { \varphi ^ { \prime \prime } ( x ) } { 2 } } \leq \sigma ^ { 2 } \operatorname* { i n f } h ( x ) \leq E \left[ \varphi \left( X \right) \right] - \varphi \left( E [ X ] \right) \leq \sigma ^ { 2 } \operatorname* { s u p } h ( x ) \leq \sigma ^ { 2 } \operatorname* { s u p } { \frac { \varphi ^ { \prime \prime } ( x ) } { 2 } } .
[ { \dot { S } } ] = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { \Omega } } } & { - { \dot { \Omega } } { \textbf { d } } - \Omega { \dot { \textbf { d } } } + { \ddot { \textbf { d } } } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { { \dot { \Omega } } } & { - { \dot { \Omega } } { \textbf { d } } - \Omega { \textbf { V } } _ { O } + { \textbf { A } } _ { O } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\hat { H } _ { d i m } = \frac { \Omega _ { \mu w } } { 2 } \sum _ { i } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } + \hat { b } _ { i } ) - \sum _ { i } ( \Delta _ { \mu w } + \mathcal { I } _ { i } ) \hat { n } _ { i } + \sum _ { i < j } \frac { C _ { 3 } ( \hat { b } _ { i } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \mathrm { h . c . } ) } { ( k _ { i } a _ { 1 } + m _ { j } a _ { 2 } ) ^ { 3 } } + \sum _ { i < j } \frac { C _ { 6 } ( \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } ) } { ( k _ { i } a _ { 1 } + m _ { j } a _ { 2 } ) ^ { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } d _ { i , j } T _ { k } ^ { j } T _ { i } } & { = \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } ( { \bf d } _ { 0 } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } ) T _ { \ell \times k } } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } { \bf d } _ { k - i } ^ { T } { \bf a } _ { 1 } ) T _ { i } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { m - 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell } + { \bf d } _ { k - i } ^ { T } { \bf a } _ { \ell + 1 } ) T _ { \ell \times k + i } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } ( { \bf d } _ { i } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } ) T _ { ( m - 1 ) \times k + i } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } } & { } & { = \frac { 1 } { ( k c ) ^ { n } } \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < k c T } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } C ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { k c T } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \right) ^ { 3 } ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } d t _ { 7 } } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - k c T x } \left( 1 - e ^ { - k c T x } \right) ^ { 3 } ( 1 - x ) ^ { n } d x } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - k c T } e ^ { k c T y } \left( 1 - e ^ { - k c T } e ^ { k c T y } \right) ^ { 3 } y ^ { n } d y } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { k c T ( y - 1 ) } \left( 1 - e ^ { k c T ( y - 1 ) } \right) ^ { 3 } y ^ { n } d y } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { k c T ( y - 1 ) } \left( 1 - e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } - 3 e ^ { k c T ( y - 1 ) } + 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } \right) y ^ { n } d y } \\ & { } & { = \frac { 4 ! C ( k c T ) ^ { n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( e ^ { k c T ( y - 1 ) } - e ^ { 4 k c T ( y - 1 ) } - 3 e ^ { 2 k c T ( y - 1 ) } + 3 e ^ { 3 k c T ( y - 1 ) } \right) y ^ { n } d y } \end{array}