harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { - r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + v _ { 2 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { - \hat { r } _ { 2 , a } ( k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { ( r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) \hat { r } _ { 2 , a } ( k ) ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 9 _ { L } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - r _ { 2 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { r _ { 1 , a } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { k } ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { r _ { 2 , a } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { v _ { 9 _ { r } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 + r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) } & { g _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { - r _ { 2 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { g _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { g ( \omega k ) } & { h _ { 1 } ( \omega k ) e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { - r _ { 1 , r } ( \omega ^ { 2 } k ) e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { h _ { 2 } ( \omega k ) e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left[ ( F - d ) \setminus \bigcup _ { \substack { k \in \mathbb { Z } ^ { n } \setminus \{ 0 \} \, | k | _ { 1 } \leq K } } \Delta _ { c , \hat { q } } \left( k , \frac { \beta } { | k | _ { 1 } ^ { \tau } } \right) \right] \setminus \left[ ( F - d ) \setminus \bigcup _ { \substack { k \in \mathbb { Z } ^ { n } \setminus \{ 0 \} \, | k | _ { 1 } \leq K } } \Delta _ { c , \hat { q } } \left( k , \frac { \beta } { | k | _ { 1 } ^ { \tau } } \right) \right] .
e ^ { - \hat { T } _ { * } ^ { \dagger } } ( \hat { I } + \hat { Z } _ { * } ) | \phi _ { 0 } \rangle = \Vert e ^ { \hat { T } _ { * } } \phi _ { 0 } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { - 2 } e ^ { \hat { T } _ { * } } | \phi _ { 0 } \rangle
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { m u l t i , B } } ( \theta ) = \: } & { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \, . . . , \, \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) } \left[ \sum _ { k = i + 1 } ^ { j - 1 } | | \mathbf { x } _ { t _ { k } } - \mathbf { x } _ { t _ { k } } ^ { \mathrm { O D E , B } } ( \mathbf { x } _ { t _ { j } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { x } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { O D E , B } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { i } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } ) - g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } ^ { \mathrm { O D E , B } } , t ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \geq \eta \mu n / p } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal C \in \mathrm { M C } ( P _ { n } ) } \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } > m \right) } & { = O \left( \left\lvert \mathrm { M C } ( P _ { n } ) \right\rvert e ^ { - \frac { \eta \mu n } { 2 } \left( 1 - \eta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = O \left( \Gamma ^ { ( 1 + o ( 1 ) ) n } e ^ { - \frac { \eta \mu n } { 2 } \left( 1 - \eta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \widetilde { \mathbf { X } } _ { 1 } } & { = ( t ^ { n } , \mathbf { X } _ { 1 } ^ { n } ) = ( t ^ { n } , x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , } & { \qquad } & { \widetilde { \mathbf { X } } _ { 2 } = ( t ^ { n } , \mathbf { X } _ { 2 } ^ { n } ) = ( t ^ { n } , x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , } & \\ { \widetilde { \mathbf { X } } _ { 3 } } & { = ( t ^ { n + 1 } , \mathbf { X } _ { 2 } ^ { n + 1 } ) = ( t ^ { n + 1 } , x _ { 3 } , y _ { 3 } ) , } & { \qquad } & { \widetilde { \mathbf { X } } _ { 4 } = ( t ^ { n + 1 } , \mathbf { X } _ { 1 } ^ { n + 1 } ) = ( t ^ { n + 1 } , x _ { 4 } , y _ { 4 } ) . } & \end{array}
\mathrm { ~ H ~ P ~ D ~ } \quad \xrightarrow { \hat { \mathcal { A } } } \quad \mathrm { ~ D ~ E ~ T ~ } \quad \xrightarrow { \hat { \mathcal { O } } _ { S } } \quad \mathrm { ~ C ~ S ~ F ~ ( ~ C ~ F ~ G ~ ) ~ } \quad \xrightarrow { \hat { \mathcal { O } } _ { R } } \quad \mathrm { ~ S ~ A ~ - ~ C ~ S ~ F ~ } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigl ( \bigl | Z ^ { ( n ) } ( t ) - Z ^ { ( n ) } ( s ) \bigr | ^ { 4 } \bigr ) } & { \leq 2 7 \bigl ( 1 9 5 2 ( t - u _ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 4 3 ( u _ { 1 } - u _ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 9 5 2 ( u _ { 2 } - s ) ^ { 2 } \bigr ) } \\ & { \leq 2 7 \cdot 1 9 5 2 ( t - u _ { 1 } + u _ { 1 } - u _ { 2 } + u _ { 2 } - s ) ^ { 2 } = 5 2 7 0 4 ( t - s ) ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { G _ { B } } { Q _ { m } } \approx \frac { 2 \omega _ { p } } { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \Omega _ { m } ^ { 2 } } \frac { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 6 } p _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } \beta _ { m } ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } = \frac { \pi } { c } \frac { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 6 } p _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } } { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } V _ { L } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { p } } ,
x _ { 0 } < y _ { 0 } , \quad \forall x _ { 0 } \in \mathrm { s u p p } h ( \cdot - a ) \wedge \forall y _ { 0 } \mathrm { w i t h } \exists \vec { y } \in C _ { L } \mathrm { w i t h } ( y _ { 0 } , \vec { y } ) \in \mathrm { s u p p } g .
\int { \cal D } A _ { \mu } ^ { a } { \cal D } B ^ { a } { \cal D } \bar { c } ^ { a } { \cal D } c ^ { a } \exp \{ - S _ { Y M } ( A _ { \mu } ^ { a } ) + \int d x [ - i B ^ { a } ( \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } ) + \bar { c } ^ { a } ( - \partial _ { \mu } ( D ^ { \mu } c ) ^ { a } ] \}
\operatorname* { l i m } _ { \eta } u _ { \beta _ { \eta } } ^ { * } \psi ( t ) u _ { \beta _ { \eta } } = \varphi ( t ) = \sum _ { i \in I } \varphi ( t ) P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } = \sum _ { i \in I } P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } \varphi ( t ) P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } = \sum _ { i \in I } \pi ( t ) P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } = \pi ( t ) .
{ \begin{array} { r l } { A } & { = 2 \pi \int _ { - r } ^ { r } { \sqrt { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \, { \sqrt { 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } } \, d x } \\ & { = 2 \pi r \int _ { - r } ^ { r } \, { \sqrt { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } \, { \sqrt { \frac { 1 } { r ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } } \, d x } \\ & { = 2 \pi r \int _ { - r } ^ { r } \, d x } \\ & { = 4 \pi r ^ { 2 } \, } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } } & { = \mu _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \sum _ { i , j } \sum _ { k } \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } } { \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } + i \Omega \Gamma _ { i j k } } A _ { i } B _ { j } ^ { * } } \\ & { { \stackrel { \leftrightarrow } { \pi } } : \nabla \otimes \vec { u } _ { k } ^ { i j } e ^ { i \Omega t } e ^ { i ( \beta _ { i } - \gamma _ { j } ) z } \cdot \vec { E } } \end{array}
\delta V = - \frac { 1 2 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \, \left( M _ { i } ^ { 2 } + H _ { i } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \, \ell n \, \frac { M _ { i } ^ { 2 } + H _ { i } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } { M _ { i } ^ { 2 } + H _ { i } ^ { 2 } v ^ { 2 } } \ .
d s _ { D } ^ { 2 } = h ^ { \frac { 1 } { D - 2 } } ( r ) [ - h ^ { - 1 } ( r ) f ( r ) d t ^ { 2 } + f ^ { - 1 } ( r ) d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l } & { x = \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } e _ { i i } + e _ { 2 n + 1 , 2 n + 1 } , \; } \\ & { y = \sum _ { i = n + 2 } ^ { 2 n + 2 } e _ { i i } , \; A _ { i } = e _ { 2 n + 1 , i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , 2 n + 1 , } \\ & { E _ { i } = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 i - 1 } ( - 1 ) ^ { k + 1 } e _ { k , n + 2 i + 1 - k } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , \Big \lfloor \frac { n + 1 } { 2 } \Big \rfloor , } \\ & { E _ { \frac { n } { 2 } + j } = \sum _ { k = 1 } ^ { n + 2 - 2 j } ( - 1 ) ^ { k + 1 } e _ { n + 2 - k , n + 2 j - 1 + k } , \; \; \forall j = 1 , \ldots , \frac { n } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tau _ { 2 } } & { = } & { - \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \cdot \left[ { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { k } \right) \right] \right\rangle _ { j } } \\ & { - } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( t + T \right) \cdot \left[ { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { k } \right) \right] \right\rangle _ { j } . } \end{array}
\frac { \Delta _ { \rho ^ { - } \pi ^ { + } } ^ { \bar { B } ^ { 0 } } } { \Delta _ { K ^ { * - } K ^ { + } } ^ { \bar { B } _ { s } ^ { 0 } } } \approx - \, 1 . 1 5 \left( \frac { F _ { 1 } ^ { B \to \pi } } { F _ { 1 } ^ { B _ { s } \to K } } \right) ^ { 2 } \; , \; \; \; \frac { \Delta _ { \rho ^ { - } K ^ { + } } ^ { \bar { B } _ { s } ^ { 0 } } } { \Delta _ { K ^ { * - } \pi ^ { + } } ^ { \bar { B } ^ { 0 } } } \approx - \, 1 . 1 5 \left( \frac { F _ { 1 } ^ { B _ { s } \to K } } { F _ { 1 } ^ { B \to \pi } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { c } { { a _ { 1 } ( E - E _ { 1 } ^ { 0 } - W _ { 1 1 } ) - a _ { 2 } W _ { 1 2 } - a _ { 3 } W _ { 1 3 } - . . . - a _ { n } W _ { 1 n } = 0 } } \\ { { - a _ { 1 } W _ { 2 1 } + a _ { 2 } ( E - E _ { 2 } ^ { 0 } - W _ { 2 2 } ) - a _ { 3 } W _ { 2 3 } - . . . - a _ { n } W _ { 2 n } = 0 } } \\ { { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } } \\ { { - a _ { 1 } W _ { n 1 } - a _ { 2 } W _ { n 2 } - a _ { 3 } W _ { n 3 } - . . . + a _ { n } ( E - E _ { n } ^ { 0 } - W _ { n n } ) = 0 } } \end{array}
\left( \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \alpha ^ { c k _ { i } } \right) \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { \alpha ^ { k _ { 1 } } } & { \alpha ^ { k _ { 2 } } } & { \cdots } & { \alpha ^ { k _ { d - 1 } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { \alpha ^ { ( d - 2 ) k _ { 1 } } } & { \alpha ^ { ( d - 2 ) k _ { 2 } } } & { \cdots } & { \alpha ^ { ( d - 2 ) k _ { d - 1 } } } \end{array} \right) } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \alpha ^ { c k _ { i } } \right) \operatorname* { d e t } ( V ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { H } } & { = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { H } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { H } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { h h } \mathsf { D } \mathbb { T } + \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathbb { W } , } \\ { \mathbb { S } } & { = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { S } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { S } ^ { T _ { 0 } } + \mathsf { K } ^ { \pi h } \mathsf { D } \mathbb { T } + \mathsf { K } ^ { \pi \pi } \mathbb { W } , } \end{array}
{ \cal L } _ { 6 } = d _ { 1 } ~ F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } ~ \mathrm { T r } \left[ Q ^ { 2 } \partial _ { \alpha } U _ { 0 } \partial ^ { \alpha } U _ { 0 } ^ { \dagger } \right] + d _ { 2 } ~ F _ { \mu \alpha } F ^ { \mu \beta } ~ \mathrm { T r } \left[ Q ^ { 2 } \partial ^ { \alpha } U _ { 0 } ^ { \dagger } \partial _ { \beta } U _ { 0 } \right] .
\Gamma _ { \mathrm { Z } } ^ { \mathrm { e x p } } = ( 2 4 9 5 . 2 \pm 2 . 3 ) \, \mathrm { M e V } \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \Gamma _ { \mathrm { Z } } ^ { \mathrm { S M } } = ( 2 4 9 5 . 9 \pm 2 . 4 ) \, \mathrm { M e V }
{ \hat { H } } _ { \mathrm { D i r a c } } = \gamma ^ { 0 } \left[ c { \boldsymbol { \gamma } } \cdot \left( { \hat { \mathbf { p } } } - q \mathbf { A } \right) + m c ^ { 2 } + \gamma ^ { 0 } q \varphi \right] \, ,
H _ { d } ( z ) = { \frac { b _ { 0 } ( z + 1 ) ^ { N } + b _ { 1 } K ( z - 1 ) ( z + 1 ) ^ { N - 1 } + b _ { 2 } K ^ { 2 } ( z - 1 ) ^ { 2 } ( z + 1 ) ^ { N - 2 } + \cdots + b _ { Q } K ^ { Q } ( z - 1 ) ^ { Q } ( z + 1 ) ^ { N - Q } } { a _ { 0 } ( z + 1 ) ^ { N } + a _ { 1 } K ( z - 1 ) ( z + 1 ) ^ { N - 1 } + a _ { 2 } K ^ { 2 } ( z - 1 ) ^ { 2 } ( z + 1 ) ^ { N - 2 } + \cdots + a _ { P } K ^ { P } ( z - 1 ) ^ { P } ( z + 1 ) ^ { N - P } } }
{ \begin{array} { r l } { { \binom { n } { k } } p ^ { k } q ^ { n - k } } & { = { \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } } p ^ { k } q ^ { n - k } } \\ & { \simeq { \frac { n ^ { n } e ^ { - n } { \sqrt { 2 \pi n } } } { k ^ { k } e ^ { - k } { \sqrt { 2 \pi k } } ( n - k ) ^ { n - k } e ^ { - ( n - k ) } { \sqrt { 2 \pi ( n - k ) } } } } p ^ { k } q ^ { n - k } } \\ & { = { \sqrt { \frac { n } { 2 \pi k \left( n - k \right) } } } { \frac { n ^ { n } } { k ^ { k } \left( n - k \right) ^ { n - k } } } p ^ { k } q ^ { n - k } } \\ & { = { \sqrt { \frac { n } { 2 \pi k \left( n - k \right) } } } \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } } \end{array} }
\left\{ a ( { \bf k } , \lambda ) \epsilon _ { \mu \nu } ( { \bf k } , \lambda ) e ^ { i ( { \bf k \cdot r } - \omega t ) } + a ^ { \dagger } ( { \bf k } , \lambda ) \epsilon _ { \mu \nu } ^ { * } ( { \bf k } , \lambda ) e ^ { - i ( { \bf k \cdot r } - \omega t ) } \right\}
\underline { { \boldsymbol \chi } } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { \chi _ { \perp } ^ { \prime } } & { - i \chi _ { \times } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { i \chi _ { \times } ^ { \prime } } & { \chi _ { \perp } ^ { \prime } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \chi _ { \parallel } ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \| u _ { \Gamma } - u _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } } & { \leq 2 C _ { \mathcal { C } } \operatorname* { i n f } _ { v _ { \Gamma , S } \in V _ { \Gamma , S _ { \Gamma } } } \| u _ { \Gamma } - v _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } , } \\ { \| \kappa ( u _ { \Gamma } - u _ { \Gamma , S } ) \| } & { \leq 2 C _ { \mathcal { C } } ^ { 2 } \sigma ^ { * } \operatorname* { i n f } _ { v _ { \Gamma , S } \in V _ { \Gamma , S _ { \Gamma } } } \| u _ { \Gamma } - v _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - 2 ) \phi _ { 0 } ( a _ { 0 } ) + C _ { 2 } ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - 1 ) a _ { 1 } ^ { \Lambda _ { 1 } + 1 } a _ { 2 } ^ { \Lambda _ { 2 } + 1 } + D _ { 2 } ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - 1 ) a _ { 1 } ^ { \Lambda _ { 1 } + 1 } a _ { 2 } ^ { - \Lambda _ { 2 } + 1 } } & { = 0 , } \\ { ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) ( C _ { i } + C _ { i + 2 } ) } & { = 0 , } \\ { \quad ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i } + ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i + 2 } } & { = 0 , } \end{array}
h _ { \mu \nu } ^ { \pm } = \gamma _ { \mu \nu } ^ { \pm } + \varphi ^ { \pm } \eta _ { \mu \nu } + f _ { \mu , \nu } + f _ { \nu , \mu } \, , \, \, \, { \gamma _ { \mu \nu } } ^ { , \, \nu } = \eta ^ { \mu \nu } \gamma _ { \mu \nu } = 0 .
\begin{array} { r l r } { P _ { 0 _ { 1 } 0 _ { 2 } } } & { = } & { P _ { 1 _ { 1 } 1 _ { 2 } } = \langle \psi | \hat { P } _ { 0 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 0 _ { 2 } } | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { P } _ { 1 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 1 _ { 2 } } | \psi \rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \alpha - \beta } { 2 } , } \\ { P _ { 0 _ { 1 } 1 _ { 2 } } } & { = } & { P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } = \langle \psi | \hat { P } _ { 0 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 1 _ { 2 } } | \psi \rangle = \langle \psi | \hat { P } _ { 1 _ { 1 } } \otimes \hat { P } _ { 0 _ { 2 } } | \psi \rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { 2 } \frac { \alpha - \beta } { 2 } . } \end{array}
P _ { \nu _ { \alpha } \to \nu _ { \beta } } ^ { ( \mathrm { L B L , A } ) } = \left| \sum _ { j = 1 , 2 } U _ { \beta j } ^ { \prime } U _ { \alpha j } ^ { * } \exp { \left( - i \frac { \epsilon _ { j } } { 2 p } \, L \right) } \right| ^ { 2 } + \left| \sum _ { k = 3 , 4 } U _ { \beta k } ^ { \prime } U _ { \alpha k } ^ { * } \exp { \left( - i \frac { \epsilon _ { k } } { 2 p } \, L \right) } \right| ^ { 2 } \, ,
C _ { \mu \nu } \; = \; { \frac { \displaystyle \langle P _ { \mu } P _ { \nu } \rangle _ { c } } { \displaystyle \sqrt { \langle P _ { \mu } P _ { \mu } \rangle _ { c } + \langle P _ { \nu } P _ { \nu } \rangle _ { c } } } } .
\begin{array} { r } { e \big ( { \boldsymbol { A } } , { \boldsymbol { B } } , \hat { g } ( { \boldsymbol { A } } , { \boldsymbol { B } } , { \boldsymbol { y } } ) \big ) = { \boldsymbol { y } } , \, \mathrm { f o r ~ a l l ~ { \boldsymbol { A } } \in \mathbb ~ R ^ { m \times ~ k } ~ , ~ { \boldsymbol { B } } \in \mathbb ~ R ^ { n \times ~ k } ~ a n d ~ { \boldsymbol { y } } \in ~ e ( \{ { \boldsymbol { A } } \} ~ \times ~ \{ { \boldsymbol { B } } \} ~ \times ~ \mathcal { V } ) ~ . } } \end{array}
\frac { \alpha _ { i } ^ { - 1 } ( M ) - \alpha _ { j } ^ { - 1 } ( M ) } { \alpha _ { j } ^ { - 1 } ( M ) - \alpha _ { k } ^ { - 1 } ( M ) } = \frac { b _ { i } - b _ { j } } { b _ { j } - b _ { k } } , ~ ~ ~ ~ i , j , k = 1 , 2 , 3 ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } \right\| _ { R } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) \left\| \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { R } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { \theta _ { R } \gamma _ { x } } \Bigg [ c _ { 2 } ( 1 - \theta _ { R } \gamma _ { x } ) ^ { 2 } \hat { \lambda } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + c _ { 2 4 } C \gamma _ { x } ^ { 2 } \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \Bigg ] + s _ { k } ^ { 2 } \zeta _ { c } , } \end{array}
\int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \kappa \rho ( x ) \log \Big ( \frac { \rho ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, d x \sim - \kappa \rho _ { \infty } | \Omega | \beta \Big ( \frac { | \Omega | } { n } \Big ) ^ { 2 / d } .
\mathbf { \widetilde { M } } _ { n m } ^ { ( 1 , 3 ) } ( k r , \theta , \phi ) = \sum _ { m ^ { \prime } = - n } ^ { n } D _ { m m ^ { \prime } } ^ { n } ( \alpha , \beta , \gamma ) \mathbf { M } _ { n m ^ { \prime } } ^ { ( 1 , 3 ) } ( k r , \theta , \phi ) ,
\begin{array} { r l } { V _ { q , \varpi } ( r ) = } & { \: \widetilde { V } ( r ) - \widetilde { \omega } ^ { 2 } + \left[ ( \widetilde { \omega } + \varpi ) ^ { 2 } + 2 q ( \widetilde { \omega } + \varpi ) \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } + q ^ { 2 } \left( \frac { d \Delta } { d r } \right) ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { Q } ^ { * } ( \boldsymbol { x } , - \Omega _ { n } t ) } & { { } = - U ^ { * } \nabla u - V ^ { * } \nabla v + \boldsymbol { q } \cdot \nabla \boldsymbol { Q } ^ { * } - \nabla P ^ { * } + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { Q } ^ { * } , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { Q } ^ { * } } & { { } = 0 , } \end{array}
\mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ r ~ e ~ a ~ s ~ i ~ n ~ g ~ } T _ { s } \rightarrow \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ r ~ e ~ a ~ s ~ i ~ n ~ g ~ h ~ u ~ m ~ i ~ d ~ i ~ t ~ y ~ } \rightarrow \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ r ~ e ~ a ~ s ~ i ~ n ~ g ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } \rightarrow \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ r ~ e ~ a ~ s ~ i ~ n ~ g ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ c ~ t ~ i ~ v ~ e ~ v ~ i ~ g ~ o ~ r ~ } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { K , \mathrm { a r c } } ^ { \mathrm { i m p } } } & { \approx } & { \frac { 1 + K } { 2 \pi } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } f _ { k } } { \nu _ { y } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } e ^ { i \frac { P - 1 } { P } ( k + K ) \pi } } \\ & { \times } & { e ^ { i \frac { M - 1 } { P M } ( K \eta _ { \mathrm { a r c } } + \frac { k \nu _ { B } } { \nu _ { y } } ) \pi } \Bigl [ g _ { d } - g _ { f } e ^ { - i \frac { K \eta _ { \mathrm { a r c } } + \frac { k \nu _ { B } } { \nu _ { y } } } { M P } \pi } \Bigr ] } \\ & { \times } & { \zeta _ { P } ( \frac { k + K } { P } ) \zeta _ { M } ( \frac { K \eta _ { \mathrm { a r c } } + k \frac { \nu _ { B } } { \nu _ { y } } } { M P } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } , \mathbf { x } \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \Pi _ { \mathrm { N B } } \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ } \mathbf { x } > \mathbf { x } _ { \mathrm { b u r n } } , } \\ { \Pi _ { \mathrm { F B } } \left( T _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } \right) , \mathrm { ~ f o r ~ } \mathbf { x } \le \mathbf { x } _ { \mathrm { b u r n } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\dot { \mathbf { M } } ( t = 0 ) = \gamma M _ { x } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \sqrt { 2 } \xi _ { 2 } \cos 2 \alpha } \\ { - \xi _ { 1 } \sin 2 \alpha . } \end{array} \right) \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { T H z } } } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } E _ { \mathrm { T H z } } ^ { 2 } \right] \, \mathrm { d } t ,
\begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( a \right) \cos \left( A \right) } \\ { \cos \left( a \right) \sin \left( A \right) } \\ { \sin \left( a \right) } \end{array} \right] } } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } & { 0 } & { - \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } & { 0 } & { \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \cos \left( \delta \right) \cos \left( h \right) } \\ { \cos \left( \delta \right) \sin \left( h \right) } \\ { \sin \left( \delta \right) } \end{array} \right] } } \\ { \tan \left( h \right) } & { { } = { \frac { \sin \left( A \right) } { \cos \left( A \right) \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) + \tan \left( a \right) \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } } ; \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \cos \left( \delta \right) \sin \left( h \right) = \cos \left( a \right) \sin \left( A \right) ; } \\ { \cos \left( \delta \right) \cos \left( h \right) = \sin \left( a \right) \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) + \cos \left( a \right) \cos \left( A \right) \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) } \end{array} \right. } } \\ { \sin \left( \delta \right) } & { { } = \sin \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \sin \left( a \right) - \cos \left( \phi _ { \mathrm { o } } \right) \cos \left( a \right) \cos \left( A \right) ; } \end{array}
\Phi _ { B , - } ( \omega ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \eta } { \eta } \, \Phi _ { B , + } ( \omega / \eta ) \quad \Leftrightarrow \quad \Phi _ { B , + } ( \omega ) = - \omega \, \Phi _ { B , - } ^ { \prime } ( \omega )
\begin{array} { r l } { \langle \hat { F } ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \eta _ { k } + \sum _ { k , j = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ S ~ } } \rho _ { { \bf 0 } _ { k j } ^ { + + } } ^ { ( 2 ) } ( t ) . } \end{array}
I \left[ \, \Phi \ , X \, \right] \equiv \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \, \int _ { \Sigma } d ^ { 2 } \sigma \, \left[ \, { \frac { \mathrm { d e t } ( \gamma _ { m n } ) } { \Phi ( \, \sigma \, ) } } + \Phi ( \, \sigma \, ) \, \right]