harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { f _ { \Lambda \mid X } ( \lambda \mid x ) } & { = \frac { f _ { X , \Lambda } ( x , \lambda ) } { f _ { X } ( x ) } } \\ & { = \frac { f _ { X \mid \Lambda } ( x \mid \lambda ) ~ f _ { \Lambda } ( \lambda ) } { \int _ { \mathbb R } f _ { X \mid \Lambda } ( x \mid \ell ) ~ f _ { \Lambda } ( \ell ) \, \mathrm d \ell } } \\ & { = \frac { \lambda \beta \mathsf e ^ { - \lambda ( x + \beta ) } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \ell \beta \mathsf e ^ { - \ell ( x + \beta ) } ~ \mathrm d \ell } \mathbf 1 _ { 0 \leqslant \lambda , 0 \leqslant x } } \\ & { = \phantom { \frac { ( x + \beta ) ^ { 2 } \lambda \beta \mathsf e ^ { - \lambda ( x + \beta ) } } { \beta } \mathbf 1 _ { 0 \leqslant \lambda , 0 \leqslant x } } } \end{array}
\operatorname { T r } \left[ \boldsymbol { w } \operatorname { C o v } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } ) \right] \geq \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { U } } \left[ \operatorname { T r } \left[ \boldsymbol { w } \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] \right] .
1 - \frac 1 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 4 } \omega _ { 0 } ^ { 4 } r _ { 0 } ^ { 4 } - \frac { 1 } { 3 8 4 } \omega _ { 0 } ^ { 6 } r _ { 0 } ^ { 6 } - \frac { 7 } { 6 4 } \kappa ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 5 } { 1 2 8 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 4 } = \frac { c _ { 1 } } { \alpha _ { 0 } } K _ { 0 } ( k _ { 0 } r _ { 0 } ) ,
b _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , \lambda } ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { t _ { 0 } \to - \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } \int \mathrm { d } { \omega } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ( t - t _ { 0 } ) } c _ { \lambda } ( \omega , t _ { 0 } )
\operatorname { A l t } ( v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { r } ) = { \frac { 1 } { r ! } } \sum _ { \sigma \in { \mathfrak { S } } _ { r } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) v _ { \sigma ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes v _ { \sigma ( r ) }
\int \prod _ { a = 1 } ^ { 2 p } [ \phi _ { a } ] \exp \left( i \int d \tau ( \frac { 1 } { 2 } \phi _ { a } ( \tau ) \theta ^ { a b } \dot { \phi } _ { b } ( \tau ) + \phi _ { a } ( \tau ) \partial _ { n } X ^ { a } ( \tau ) ) \right) \ ,
\frac { p ( x \mid \hat { \theta } _ { S } ( x ) ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } = \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \{ \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) - \Delta \chi ^ { 2 } ( \hat { \theta } _ { S } ( x ) \mid x ) \} \big ] \ge 1
T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) , \dag } = H \otimes \left( { \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \overline { { u _ { j } ^ { * } } } } } - \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } u _ { j } ^ { * } } \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } { { { \left( { I - G } \right) } ^ { n - 1 } } \otimes \left( { \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } \overline { { u _ { j } ^ { * } } } } } - \overline { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } u _ { j } ^ { * } } \right) } .
\begin{array} { r } { | \mathrm { L } \rangle = \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
a = \frac { 3 \lambda _ { H H H } \lambda _ { H Z Z } } { y _ { 3 } - \mu _ { H Z } } + \frac { \lambda _ { H Z Z } ^ { 2 } } { y _ { 1 } + \mu _ { H Z } } + \frac { \lambda _ { H Z Z } ^ { 2 } } { y _ { 2 } + \mu _ { H Z } } + \lambda _ { H H Z Z } s ,
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , \nu T ) \times \partial \Omega ) } } & { \le C ( \Omega ) \left\lVert \nabla v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( 0 , \nu T ; W ^ { \frac 1 6 , \frac 6 5 } ( \partial \Omega ) ) } } \\ & { \le C ( \Omega ) \left\lVert \nabla v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( 0 , \nu T ; W ^ { 1 , \frac 6 5 } ( \Omega ) ) } } \\ & { \le C ( \Omega ) \left\lVert v \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( 0 , \nu T ; W ^ { 2 , \frac 6 5 } ( \Omega ) ) } . } \end{array}
\mathbf { R } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { A } _ { J } ^ { - } } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \mathbf { D } _ { J } ^ { - } } & { \mathbf { A } _ { J - 1 } ^ { - } } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { D } _ { J - 1 } ^ { - } } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathbf { D } _ { 1 } ^ { - } } & { \mathbf { A } _ { 0 } ^ { - } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { N } } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \hat { \mathcal { N } } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \mathcal { N } } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \\ { \hat { \mathcal { F } } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \hat { \mathcal { F } } _ { + } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + \hat { \mathcal { F } } _ { - } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , z ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho = \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { x \in \lbrack 0 , 1 ] } \left( \frac { r ( x ) - \mu ( x ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi ( x , y ) \ell ( y ) \, d y } { d ( x ) } \right) , } & \\ { \ell ( y ) = \displaystyle \frac { \rho } { k _ { 2 } } \frac { \omega ( x ( \rho , \ell ) , y ) } { \nu ( y ) \rho + k _ { 1 } } , \quad y \in [ 0 , 1 ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { = \sum _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } \det G _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } ^ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { M } ^ { ( n ) } } \; \; \sum _ { \mathbf { J } ^ { ( n ) } : \mathbf { M } ^ { ( n ) } \mapsto \mathbf { E } } \det G [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] } \\ & { = \sum _ { \mathbf { J } ^ { ( n ) } } \det G [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] , } \end{array}
\bar { R } ^ { \prime \prime } - \bar { y } \bar { R } ^ { \prime } = \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } , \qquad \bar { L } ^ { \prime \prime } - \bar { y } \bar { L } ^ { \prime } = \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } , \qquad \bar { Q } ^ { \prime \prime } - \bar { y } \bar { Q } ^ { \prime } = \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } .
\begin{array} { r l r } { g _ { 1 } ( t ) } & { = } & { \frac { 4 \mu ( 1 - \mu ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } ( x \sin { t } - y \cos { t } ) \left( \rho _ { 1 } ^ { - 3 } - \rho _ { 2 } ^ { - 3 } \right) , } \\ { g _ { 2 } ( t ) } & { = } & { \frac { - 2 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \\ & { } & { \quad \times \bigg ( \mu \frac { \rho _ { 1 } ^ { 2 } - ( 1 - \mu ) ( x \cos { t } + y \sin { t } - [ 1 - \mu ] ) } { \rho _ { 1 } ^ { 3 } } } \\ & { } & { \quad \mathrm + ( 1 - \mu ) \frac { \rho _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ( x \cos { t } + y \sin { t } + \mu ) } { \rho _ { 2 } ^ { 3 } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \textrm { E } } } & { { } = } & { 4 \pi \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } k _ { \textrm { C } } \int _ { s \ge 1 } \! \! d s \ s ^ { - 5 / 3 } = 6 \pi \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } k _ { \textrm { C } } ^ { - 2 / 3 } } \end{array}
\operatorname { E } \left[ X ^ { n } \right] = i ^ { - n } \, \varphi _ { X } ^ { ( n ) } ( 0 ) = i ^ { - n } \, \left[ { \frac { d ^ { n } } { d t ^ { n } } } \varphi _ { X } ( t ) \right] _ { t = 0 } \,
\frac { \mathrm { { I m } } M _ { 1 2 } ( P ) } { { \mathrm { R e } } M _ { 1 2 } ( P ) } = \frac { \mathrm { { I m } } { \tilde { \cal M } } _ { l } ( P ) } { { \mathrm { R e } } { \tilde { \cal M } } _ { l } ( P ) } .
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { J } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } , m ) } & { { } = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } ) \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) = \sum _ { k } [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) ] \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } , m ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - 4 8 H ^ { 3 } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 6 H ^ { 2 } - 2 V ( \phi ) - \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 , } \\ & { - 1 6 H \dot { H } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) - 1 6 H ^ { 3 } \dot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) - V ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } + H ^ { 2 } \left( - 8 \dot { \phi } ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( \phi ) - 8 \ddot { \phi } f ^ { \prime } ( \phi ) + 3 \right) + 2 \dot { H } = 0 , } \\ & { 3 H \left( - 8 H \left( \dot { H } + H ^ { 2 } \right) f ^ { \prime } ( \phi ) - \epsilon \dot { \phi } \right) - V ^ { \prime } ( \phi ) - \epsilon \ddot { \phi } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( x - m ) ( x - m ) ^ { T } g _ { m , \Sigma } ( x ) d x } & { = \frac { \beta _ { d } } { Z _ { 0 , I , h } } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } r ^ { d + 1 } h ( r ^ { 2 } ) d r \; \Sigma } \\ & { = \frac { \Gamma ( d / 2 ) } { 2 \Gamma ( d / 2 + 1 ) } \frac { \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } r ^ { d + 1 } h ( r ^ { 2 } ) d r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } r ^ { d - 1 } h ( r ^ { 2 } ) d r } \; \Sigma } \\ & { = \frac { 1 } { d } \frac { \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } r ^ { d + 1 } h ( r ^ { 2 } ) d r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } r ^ { d - 1 } h ( r ^ { 2 } ) d r } \Sigma . } \end{array}
\triangle E ( H , T , \mu ) = - g ^ { 2 } m \frac { H _ { 0 } } H \frac { 2 i } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \sum _ { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \, d r \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \varepsilon A ( r , \tau ) ,
\begin{array} { r l } { \omega { n _ { \perp } } - k { j _ { \| } } } & { { } = ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } * _ { k } \! \left( k { \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } } + \omega { \tilde { A } _ { \| } } + i \ell { \tilde { A } _ { \psi , t } ^ { \| } } \right) - i \ell { j _ { \ell } ^ { \perp } } , } \\ { \omega { n } _ { \| } } & { { } = - \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \! \left( \omega \tilde { A } _ { \perp } + i \ell \tilde { A } _ { \psi , t } ^ { \perp } \right) } - i \ell j _ { \ell } ^ { \| } , } \\ { k { n _ { \| } } } & { { } = - \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \left( k \tilde { A } _ { \perp } - i \ell \tilde { A } _ { \psi } ^ { \| } \right) } - i \ell { n _ { \ell } ^ { \perp } } , } \\ { n _ { \ell } ^ { \| } } & { { } = ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { A } _ { \psi } ^ { \perp } } . } \end{array}
v _ { f } = \frac { 1 } { 2 s _ { w } c _ { w } } ( I _ { f } ^ { 3 } - 2 s _ { w } ^ { 2 } Q _ { f } ) , \qquad a _ { f } = \frac { I _ { f } ^ { 3 } } { 2 s _ { w } c _ { w } } \; ,
\varepsilon = \sum _ { | \mathbf { T } | > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } \chi _ { \mu } ( \mathbf { r } - \mathbf { T } ) \approx \int _ { R > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } \chi _ { \mu } ( \mathbf { R } ) d ^ { 3 } \mathbf { R } < 4 \pi N _ { \mu } \int _ { R > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } R ^ { l _ { \mu } + 2 } e ^ { - \alpha _ { \mu } R ^ { 2 } } d R .
\tan ( 2 \theta ) = - \frac { v ^ { 2 } ( 1 - 2 S _ { W } ^ { 2 } ) \sqrt { 3 - 4 S _ { W } ^ { 2 } } } { 4 C _ { W } ^ { 4 } V ^ { 2 } - v ^ { 2 } ( 1 - 2 S _ { W } ^ { 4 } ) } .
\begin{array} { r l } { k = | { \widetilde \mu } | } & { \le ( p ^ { r } - 1 ) \sum _ { p ^ { j } \le p ^ { s } / ( s - 1 ) } p ^ { j } + ( p ^ { r } - p ^ { r - 1 } ) \sum _ { p ^ { s } / ( s - 1 ) < p ^ { j } \le p ^ { s - 1 } } p ^ { j } } \\ & { < ( p ^ { r - 1 } - 1 ) \frac { p ^ { s } } { ( s - 1 ) } \Big ( 1 - \frac 1 p \Big ) ^ { - 1 } + ( p ^ { r } - p ^ { r - 1 } ) p ^ { s - 1 } \Big ( 1 - \frac 1 p \Big ) ^ { - 1 } < p ^ { r + s - 1 } \Big ( 1 + \frac 4 s \Big ) , } \end{array}
( e ^ { i t , _ { 2 } M _ { 2 } ^ { \prime } } c _ { 2 } ^ { \prime } \ , \ldots , \ e ^ { i t _ { 2 } ^ { \prime } M _ { 2 } ^ { \prime } } \ldots e ^ { i t _ { n } ^ { \prime } M _ { n } ^ { \prime } } c _ { n } ^ { \prime } ) \ ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \omega _ { 1 } + \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { z , y } \omega _ { 1 } - u ^ { \prime \prime } \partial _ { z } \psi _ { 1 } - \theta ^ { \prime } ( y ) \partial _ { z } P _ { 1 } + \partial _ { y } P _ { 1 } \partial _ { z } d _ { 1 } - \partial _ { z } P _ { 1 } \partial _ { y } a = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \Delta \phi } & { = } & { K _ { \phi g } \left[ e ^ { - \gamma _ { g } \left( T _ { 0 } - \Delta \tau \right) } - e ^ { - \gamma _ { g } \Delta \tau } \right] } \\ & { + } & { K _ { \phi q } \left[ e ^ { - \gamma _ { q } \left( T _ { 0 } - \Delta \tau \right) } - e ^ { - \gamma _ { q } \Delta \tau } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle m | | Z ^ { \mathrm { R P A } } | | a \rangle } & { { } = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } + \omega \right) } \\ { \langle a | | Z ^ { \mathrm { R P A } } | | m \rangle } & { { } = \left( \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { m } - \omega \right) \left( - 1 \right) ^ { m - a + J } } \end{array}
\operatorname { v a r } \left[ { \frac { 1 - X } { X } } \right] = \operatorname { E } \left[ \left( { \frac { 1 - X } { X } } - \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 - X } { X } } \right] \right) ^ { 2 } \right] = { \frac { \beta ( \alpha + \beta - 1 ) } { ( \alpha - 2 ) ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } } } { \mathrm { ~ i f ~ } } \alpha > 2
{ \cal V } _ { \mathrm { p h y s } } / { \cal V } _ { 0 } \ni | \widetilde { \Phi } > , \; \; | \widetilde { \Phi } > = | \Phi > + { \cal V } _ { 0 } , \; \; | \Phi > \in { \cal V } _ { \mathrm { p h y s } }
\frac { d A } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda A + \mathrm { ~ i ~ } \, \mu _ { _ { S C } } \alpha _ { _ - } f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { S C } } | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { S C } } | B | ^ { 2 } A ,
\begin{array} { r } { \mathbf { a } _ { \mathrm { a i r , B G } } = \mathbf { T } _ { \mathrm { t o p } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t , B G } } ^ { \mathrm { J } } , } \end{array}
\tilde { \rho } _ { s } ^ { 2 } = 2 { \sqrt { { \frac { 4 N _ { c } \chi ( \lambda _ { 0 } ) } { \pi b ( 1 - \lambda _ { 0 } ) } } Y } } \left( \rho - { \sqrt { { \frac { 4 N _ { c } \chi ( \lambda _ { 0 } ) } { \pi b ( 1 - \lambda _ { 0 } ) } } Y } } \right)
\begin{array} { r l } & { \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k + 1 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } } \\ { = } & { \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } - \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ { = } & { \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } - \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda ( { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { u } } _ { C } \overline { { { \mathbf { Y } } } } ^ { k } + { \mathbf { u } } _ { C } \overline { { { \mathbf { Y } } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } - \overline { { \lambda } } \overline { { { \mathbf { Y } } } } ^ { k } - \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ { = } & { \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } - \overline { { \lambda } } \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) + \overline { { \lambda } } ( \nabla f ( \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } ) - \overline { { { \mathbf { Y } } } } ^ { k } ) } \\ & { - \frac { 1 } { n } { \mathbf { u } } _ { R } ^ { \intercal } \Lambda \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } , } \end{array}
\eta _ { \mathrm { H F } } = 0 . 8 2 6 , \quad \mathrm { f o r } \quad \left( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } \right) ^ { 2 } = 0 . 9 4 , \quad \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 2 } } = 0 . 9 6 .
\left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } = Q _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } - \hat { Q } _ { \alpha } } \\ { \varepsilon _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } = Q _ { \alpha } ^ { ( 2 ) } - \hat { Q } _ { \alpha } } \\ { \varepsilon _ { \alpha } ^ { ( 3 ) } = Q _ { \alpha } ^ { ( 3 ) } - \hat { Q } _ { \alpha } } \end{array} \right.
\mathbf { r } ( s ) = \mathbf { r } ( 0 ) + \left( s - { \frac { s ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { T } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 2 } \kappa ( 0 ) } { 2 } } + { \frac { s ^ { 3 } \kappa ^ { \prime } ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { N } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 3 } \kappa ( 0 ) \tau ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { B } ( 0 ) + o ( s ^ { 3 } ) .
\begin{array} { r l } { P ( \tilde { Z } _ { \mathrm { b o o t } } > x | \mathcal { F } _ { n } ) } & { \geq \prod _ { z \in \mathbb { B } } ( b ^ { - 1 } c _ { z } ^ { 2 } C _ { \kappa } \exp ( - x ^ { 2 } / 2 ) + 2 ( 1 - \Phi ( x ) ) ) + o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) } \\ & { \geq ( b ^ { - 1 } C _ { \kappa } \exp ( - x ^ { 2 } / 2 ) + 2 ( 1 - \Phi ( x ) ) ) ^ { | \mathbb { B } | } + o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { G } } } } & { : = g ^ { \mu \lambda } \big ( \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \rho } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \rho } - \overline { { \Gamma } } _ { \mu \rho } ^ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \rho } \big ) + \big ( \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \mu } \delta _ { \kappa } ^ { \nu } - \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \nu } \big ) \big ( \partial _ { \nu } g ^ { \kappa \lambda } - \frac { 1 } { 2 } g _ { \alpha \beta } g ^ { \kappa \lambda } \partial _ { \nu } g ^ { \alpha \beta } \big ) \, , } \\ { \mathbf { \overline { { B } } } } & { : = \frac { 1 } { \sqrt { - g } } \partial _ { \kappa } \big ( \sqrt { - g } ( g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } - g ^ { \kappa \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \mu } ) \big ) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { a } _ { { \mathrm { t a n g e n t i a l } } , i } + \Delta \mathbf { r } _ { i } \times \mathbf { a } _ { { \mathrm { c e n t r i p e t a l } } , i } ] } \\ { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { v } _ { { \mathrm { t a n g e n t i a l } } , i } ) ] } \\ { { \boldsymbol { \tau } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) ] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \rVert } & { \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } + 1 } A ( \varphi , k , \xi ) \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \varphi , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } + 1 } A ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } + 1 } A ( \cdot , k , \xi ) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le \langle k \rangle ^ { \eta _ { 1 } + 1 } \langle \xi \rangle ^ { - ( \eta _ { 1 } + 1 ) } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s , \eta _ { 1 } + 1 } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s _ { 0 } } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \langle k \rangle ^ { \eta _ { 1 } + 1 } \langle \xi \rangle ^ { - ( \eta _ { 1 } + 1 ) } | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s _ { 0 } , \eta _ { 1 } + 1 } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \le \langle k \rangle ^ { \eta + 1 } \langle \xi \rangle ^ { - ( \eta + 1 ) } | \left( \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s , \eta _ { 1 } + 1 } \left( 1 + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s _ { 0 } + \mu _ { 0 } , \eta _ { 2 } + 1 } \right) + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s _ { 0 } , \eta _ { 1 } + 1 } \left( 1 + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 2 } + 1 } \right) \right) } \\ & { \le \langle k \rangle ^ { \eta + 1 } \langle \xi \rangle ^ { - ( \eta + 1 ) } \left( 1 + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta _ { 0 } + N } \right) , } \end{array}
a = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \sigma _ { \mathrm { { g } _ { 2 } \mathrm { { e } } } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \sigma _ { \mathrm { { g } _ { 1 } \mathrm { { e } } } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
\mathcal { L } ( \boldsymbol { a } , \lambda ) = \boldsymbol { a } ^ { T } \boldsymbol { a } - 2 \boldsymbol { a } ^ { T } \widetilde { T } _ { i } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } + \lambda ( \boldsymbol { a } ^ { T } \boldsymbol { a } - \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } ^ { T } \widetilde { \boldsymbol { a } } _ { i } ) ,
u ( x , y , \lambda ) = - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigl [ ( \lambda _ { i \, x } ) ^ { 2 } \wp ( \lambda - \lambda _ { i } ) + \lambda _ { i \, x x } \, \zeta ( \lambda - \lambda _ { i } ) \bigr ] + c ( x , y ) ,
A _ { j k } ^ { i } = \left[ \begin{array} { l } { \Phi _ { j } ^ { \star u _ { i } } \Phi _ { k , i } ^ { \star ( 1 / \rho ) } - \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \Phi _ { k , i } ^ { \star u _ { i } } } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star u _ { i } } \Phi _ { k , i } ^ { \star u _ { 1 } } + \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \Phi _ { k , i } ^ { \star p } \delta _ { 1 i } } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star u _ { i } } \Phi _ { k , i } ^ { \star u _ { 2 } } + \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \Phi _ { k , i } ^ { \star p } \delta _ { 2 i } } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star u _ { i } } \Phi _ { k , i } ^ { \star u _ { 3 } } + \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \Phi _ { k , i } ^ { \star p } \delta _ { 3 i } } \\ { \gamma \Phi _ { j } ^ { \star p } \Phi _ { k , i } ^ { \star u _ { i } } + \Phi _ { j } ^ { \star u _ { i } } \Phi _ { k , i } ^ { \star p } } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } F _ { j k } ^ { i } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \tau _ { 1 i k , i } ^ { \star } } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \tau _ { 2 i k , i } ^ { \star } } \\ { \Phi _ { j } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \tau _ { 3 i k , i } ^ { \star } } \\ { \frac { \gamma \mu } { P _ { r } } \left( \Phi _ { j } ^ { \star p } \Phi _ { k } ^ { \star ( 1 / \rho ) } \right) _ { , i i } + ( \gamma - 1 ) \Phi _ { j , i } ^ { \star u _ { \alpha } } \tau _ { \alpha i k } ^ { \star } } \end{array} \right] .