harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } & { w ( x , y ) = { \frac { q _ { 0 } a ^ { 4 } } { D } } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } \left( A _ { m } \cosh { \frac { m \pi y } { a } } + B _ { m } { \frac { m \pi y } { a } } \sinh { \frac { m \pi y } { a } } + G _ { m } \right) \sin { \frac { m \pi x } { a } } } \\ & { { \begin{array} { r l } { { \mathrm { w h e r e } } \quad } & { A _ { m } = - { \frac { 2 \left( \alpha _ { m } \operatorname { t a n h } \alpha _ { m } + 2 \right) } { \pi ^ { 5 } m ^ { 5 } \cosh \alpha _ { m } } } } \\ & { B _ { m } = { \frac { 2 } { \pi ^ { 5 } m ^ { 5 } \cosh \alpha _ { m } } } } \\ & { G _ { m } = { \frac { 4 } { \pi ^ { 5 } m ^ { 5 } } } } \\ { { \mathrm { a n d } } \quad } & { \alpha _ { m } = { \frac { m \pi b } { 2 a } } } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( s ) = \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( 0 ) , } \\ & { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( s ) = 2 A _ { 0 } ^ { 2 } \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( 0 ) s + \hat { P } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( 0 ) , } \\ & { \hat { Q } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( s ) = 2 A _ { 0 } ^ { 2 } \hat { P } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( 0 ) s + \hat { Q } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( 0 ) , } \\ & { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( s ) = \hat { P } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( 0 ) , } \\ & { \hat { Q } _ { n } ^ { ( b ) } ( s ) = \hat { Q } _ { n } ^ { ( b ) } ( 0 ) , } \\ & { \hat { P } _ { n } ^ { ( b ) } ( s ) = \hat { P } _ { n } ^ { ( b ) } ( 0 ) , \, \, \, ( n = 1 , 2 ) } \\ & { \hat { a } _ { k } ^ { ( \alpha ) } = \hat { a } _ { k } ^ { ( \alpha ) } ( 0 ) \exp ( - i A _ { 0 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { ( \alpha ) } s ) , \, \, \, \, ( \alpha = a , b ) } \end{array}
H ^ { I _ { A } ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) J _ { B } ( \nu _ { 2 } , \nu _ { 1 } ) } = \mathrm { T r } \eta ^ { i _ { A ( \mu _ { 1 } + 1 ) } } \cdots \eta ^ { i _ { A ( \mu _ { 2 } - 1 ) } } \eta ^ { j _ { B ( \nu _ { 2 } + 1 ) } } \cdots \eta ^ { j _ { B ( \nu _ { 1 } - 1 ) } }
\begin{array} { r l } { \bar { Z } _ { q _ { \theta } } } & { \equiv \mathbb { E } _ { \widetilde { q } _ { \theta } } \left[ \tilde { w } ( \phi ) \right] } \\ & { = \int _ { \widetilde { \mathrm { s u p p } } ( q _ { \theta } ) } \mathcal { D } [ \phi ] \, q _ { \theta } ( \phi ) \frac { e ^ { - S ( \phi ) } } { q _ { \theta } ( \phi ) } } \\ & { = \int _ { \widetilde { \mathrm { s u p p } } ( q _ { \theta } ) } \mathcal { D } [ \phi ] \, e ^ { - S ( \phi ) } } \\ & { = \int _ { \widetilde { \mathrm { s u p p } } ( q _ { \theta } ) \cap \, \textrm { s u p p } ( p ) } \mathcal { D } [ \phi ] \, e ^ { - S ( \phi ) } \leq \int _ { \textrm { s u p p } ( p ) } \mathcal { D } [ \phi ] \, e ^ { - S ( \phi ) } = Z \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { ( n ) } ( r , r _ { 1 } , x ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \theta _ { 1 } } } { 4 \pi R } \, \mathrm { d } \theta _ { 1 } , } \\ { R ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r r _ { 1 } \cos \theta _ { 1 } + x ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { + } } & { = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \phi _ { + } d y _ { 1 } = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \left[ \phi _ { - } + \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } \partial _ { 2 } \phi \ d y _ { 2 } \right] d y _ { 1 } = - \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } u _ { 1 } \ d y . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { { \bf { B o s o n } } \; \; \; \; \; } } & { { { \bf { Q ^ { a \nu } } } } } \\ { { W _ { \mu } ^ { - } \; \; \; \; \; } } & { { { \bf { Q ^ { 1 \nu } } } = ( - \partial _ { \mu } C ^ { 1 } { } _ { 1 } { } ^ { \mu } + C ^ { 1 } { } _ { 1 \mu } C ^ { 1 } { } _ { 1 } { } ^ { \mu } ) W ^ { - \nu } } } \\ { { W _ { \mu } ^ { + } \; \; \; \; \; } } & { { { \bf { Q ^ { 2 \nu } } } = ( - \partial _ { \mu } C ^ { 2 } { } _ { 2 } { } ^ { \mu } + C ^ { 2 } { } _ { 2 \mu } C ^ { 2 } { } _ { 2 } { } ^ { \mu } ) W ^ { + \nu } } } \\ { { Z _ { \mu } \; \; \; \; \; } } & { { { \bf { Q ^ { 3 \nu } } } = ( - \partial _ { \mu } C ^ { 3 } { } _ { 3 } { } ^ { \mu } + C ^ { 3 } { } _ { 3 \mu } C ^ { 3 } { } _ { 3 } { } ^ { \mu } ) Z ^ { \nu } - \partial _ { \mu } C ^ { 3 } { } _ { 0 } { } _ { \mu } A ^ { \nu } } } \\ { { A _ { \mu } \; \; \; \; \; } } & { { { \bf { Q ^ { 0 \nu } } } = 0 } } \end{array}
\left( \alpha ^ { \left( 1 \right) - 1 \{ a } - \left( \Gamma _ { } ^ { \left( 1 \right) - 1 } , \Gamma _ { } ^ { \left( 0 \right) 1 } \right) ^ { \{ a } , \Gamma _ { } ^ { \left( 0 \right) 0 } \right) ^ { b \} } + \widetilde { V } ^ { \{ a } \left( \alpha ^ { \left( 1 \right) - 1 \{ a } - \left( \Gamma _ { } ^ { \left( 1 \right) - 1 } , \Gamma _ { } ^ { \left( 0 \right) 1 } \right) \right) ^ { b \} } = 0
U ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } u _ { n } } \end{array} \right] U = W ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { - \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 U _ { n } \sqrt { U _ { 1 } } } } \end{array} \right] W ,
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { t + 1 } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } & { \leq ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) f _ { t } + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { \qquad + 2 ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 ( \gamma _ { t } f _ { t } ) ^ { 2 } . } \end{array}
h ( \boldsymbol { x } ) : = e ^ { 2 \pi i \boldsymbol { x } \cdot \boldsymbol { \xi } _ { 0 } } f ( \boldsymbol { x } ) \quad \Longrightarrow \quad \mathcal { F } ( h ) ( \boldsymbol { \xi } ) = \mathcal { F } ( f ) ( \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } _ { 0 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \left( v , ( m ^ { 2 } - { \Delta } _ { g } ) ^ { - 1 / 2 } \Omega _ { 1 } \partial _ { i } u ( s ) \right) _ { L ^ { 2 } } \leq \| \partial _ { i } \Omega _ { 1 } ( m ^ { 2 } - { \Delta } _ { g } ) ^ { - 1 / 2 } v \| _ { L ^ { 2 } } \| u ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C \| v \| _ { L ^ { 2 } } \| u ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x , y , z ) = } & { { } \exp \left[ - 2 x ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ( z ) - 2 y ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ( z ) \right] } \\ { f _ { 2 } ( x , y , z ) = } & { { } \exp \left[ - 2 x ^ { 2 } / w _ { b } ^ { 2 } ( z ) - 2 y ^ { 2 } / w _ { a } ^ { 2 } ( z ) \right] } \\ { g ( z ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( z / z _ { R a } ) ^ { 2 } } \sqrt { 1 + ( z / z _ { R b } ) ^ { 2 } } } } \\ { N ( z ) = } & { { } - g ( z ) \left( \frac { 1 } { z _ { R a } ^ { 2 } + z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { z _ { R b } ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \right) } \\ { M _ { 1 } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 4 x ^ { 2 } } { w _ { 0 , a } ^ { 2 } z _ { R a } ^ { 2 } \alpha _ { a } ^ { 4 } ( z ) } + \frac { 4 y ^ { 2 } } { w _ { 0 , b } ^ { 2 } z _ { R b } ^ { 2 } \alpha _ { b } ^ { 4 } ( z ) } } \\ { M _ { 2 } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 4 x ^ { 2 } } { w _ { 0 , b } ^ { 2 } z _ { R b } ^ { 2 } \alpha _ { b } ^ { 4 } ( z ) } + \frac { 4 y ^ { 2 } } { w _ { 0 , a } ^ { 2 } z _ { R a } ^ { 2 } \alpha _ { a } ^ { 4 } ( z ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \psi } \mathbb { E } \left[ \log { Z _ { \beta } \left( g _ { \psi } \left( \eta \right) \right) } \right] } & { { } = \mathbb { E } \left[ \frac { \nabla _ { \psi } Z _ { \beta } \left( g _ { \psi } \left( \eta \right) \right) } { Z _ { \beta } \left( g _ { \psi } \left( \eta \right) \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ( - L + x ) } & { = z ( - L ) + z ^ { \prime } ( - L ) x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } z ^ { \prime \prime } ( s x ) d s } \\ & { = - \tilde { \delta } + ( \epsilon ^ { 2 } + \tilde { \delta } ^ { 2 } ( 1 + a ( \epsilon ^ { 2 } ) ) ) x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } O ( 2 z z ^ { \prime } ) = - \tilde { \delta } + \tilde { \delta } ^ { 2 } x + O ( \epsilon ^ { 2 } | x | + x ^ { 2 } \tilde { \delta } ^ { 3 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } = d _ { 1 } u _ { x x } - q _ { 1 } u _ { x } + u [ r ( x ) - u - v ] , } & { 0 < x < l , \; \; t > 0 , } \\ { v _ { t } = d _ { 2 } v _ { x x } - q _ { 2 } v _ { x } + v [ r ( x ) - u - v ] , } & { 0 < x < l , \; \; t > 0 , } \\ { d _ { 1 } u _ { x } ( 0 , t ) - q _ { 1 } u ( 0 , t ) = d _ { 2 } v _ { x } ( 0 , t ) - q _ { 2 } v ( 0 , t ) = 0 , } & { t > 0 , } \\ { d _ { 1 } u _ { x } ( l , t ) - q _ { 1 } u ( l , t ) = d _ { 2 } v _ { x } ( l , t ) - q _ { 2 } v ( l , t ) = 0 , } & { t > 0 , } \\ { u ( x , 0 ) , v ( x , 0 ) \ge ( \not \equiv ) 0 , } & { 0 < x < l . } \end{array} \right.
\sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } \psi \left( { \frac { r } { m } } \right) \cdot \sin { \frac { ( 2 \ell + 1 ) \pi r } { m } } = - ( \gamma + \ln 2 m ) \cot { \frac { ( 2 \ell + 1 ) \pi } { 2 m } } + \sin { \frac { ( 2 \ell + 1 ) \pi } { m } } \sum _ { r = 1 } ^ { m - 1 } { \frac { \ln \sin { \frac { \pi r } { m } } } { \cos { \frac { 2 \pi r } { m } } - \cos { \frac { ( 2 \ell + 1 ) \pi } { m } } } } , \qquad \ell \in \mathbb { Z }
\begin{array} { r l } & { d \bigl ( f ^ { i } ( y ) , f ^ { l + i } ( y ) \bigr ) } \\ & { \qquad \leq d \bigl ( f ^ { i } ( y ) , f ^ { i } ( x ) \bigr ) + d \bigl ( f ^ { i } ( x ) , f ^ { l + i } ( x ) \bigr ) + d \bigl ( f ^ { l + i } ( x ) , f ^ { n } ( x ) \bigr ) + d ( f ^ { n } ( x ) , f ^ { n } ( y ) ) } \\ & { \qquad \leq \beta _ { 0 } \delta _ { 3 } + \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } + \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } + \beta _ { 0 } \delta _ { 3 } \leq \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } + \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } + \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } + \frac { C _ { 2 } \delta ^ { \prime } } { 4 } = C _ { 2 } \delta ^ { \prime } . } \end{array}
g _ { 1 } ^ { ( a b ) } [ \alpha _ { s } ] = ( C _ { a } + C _ { b } ) \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } + \frac { 1 } { 2 } K \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) \, ,
R _ { \alpha } ^ { W } = - \frac { 1 } { 8 } W _ { \alpha } { \bar { D } } _ { \dot { \alpha } } { \bar { W } } ^ { \dot { \alpha } } = - \frac { 1 } { 8 } { \bar { D } } ^ { \dot { \alpha } } \left( W _ { \alpha } { \bar { W } } _ { \dot { \alpha } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \| H _ { \Delta x , \xi } - H _ { \xi } \| _ { 1 } } & { \leq \| H _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } - H _ { \xi } ^ { 2 } \| _ { 1 } + \| U _ { \Delta x , \xi } ^ { 2 } - U _ { \xi } ^ { 2 } \| _ { 1 } } \\ & { \leq \left( \| H _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } + \| H _ { \xi } \| _ { 2 } \right) \| H _ { \Delta x , \xi } - H _ { \xi } \| _ { 2 } } \\ & { \qquad + \left( \| U _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } + \| U _ { \xi } \| _ { 2 } \right) \| U _ { \Delta x , \xi } - U _ { \xi } \| _ { 2 } , } \end{array}
U _ { 1 . } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { { \sqrt { Q } } } \\ { { 2 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { Q } } } \\ { { Q - \alpha } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \bar { h } } & { = \sum _ { i \in \{ k ^ { * } - 1 , k ^ { * } + 1 \} } \frac { 1 } { d _ { i } ^ { 2 } \bar { H } ( i ) } } \\ & { = \frac { 1 } { d _ { k ^ { * } - 1 } ^ { 2 } \bar { H } ( k ^ { * } - 1 ) } + \frac { 1 } { d _ { k ^ { * } + 1 } ^ { 2 } \bar { H } ( k ^ { * } + 1 ) } } \\ & { = ( I ) + ( I I ) . } \end{array}
\int _ { \Omega _ { c } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } l _ { i } ( \boldsymbol { \xi } ) F _ { i } \right) l _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi } = \sum _ { \iota = 1 } ^ { 2 ^ { \dim - 1 } } \int _ { \Omega _ { c } ^ { \iota } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { l } _ { i } ( \boldsymbol { z } _ { \iota } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \hat { F } _ { i } ^ { \iota } \right) l _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) d \boldsymbol { \xi }
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \Omega _ { 1 } \cap \Omega _ { 2 } = \big \{ ( w , y ) \in W \times Y \; \big | \; } & { \widetilde { A } _ { 1 } ( w ) + \widetilde { A } _ { 2 } ( y ) = \widetilde { u } , } \\ & { \langle \widetilde { x } _ { i } ^ { * } , w \rangle + \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y \rangle \leq \alpha _ { i } , \, i = 1 , \ldots , p , } \\ & { \langle y _ { 2 , j } ^ { * } , y \rangle + \langle \widetilde { z } _ { j } ^ { * } , w \rangle \leq \beta _ { j } , \, j = 1 , \ldots , q \big \} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \Delta } } } & { = \operatorname* { i n f } _ { \widetilde { \theta } \in \Theta ^ { I } } \underline { { \Delta } } ( \widetilde { \theta } ) , } \\ { \overline { { \Delta } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \widetilde { \theta } \in \Theta ^ { I } } \overline { { \Delta } } ( \widetilde { \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { P } _ { n } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) } & { = \widehat { P } _ { l + 1 } \Big [ P _ { l + 2 } \cdots \check { P } _ { n } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) \Big ] } \\ & { = \widehat { P } _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) + f _ { l + 1 } . } \end{array}
\epsilon ( \omega ^ { ( 0 ) } , { \bf k } ) = 1 + { \frac { 3 \omega _ { p } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } } [ 1 - { \frac { \omega ^ { ( 0 ) } } { 2 K } } \bigl ( { \ln } | { \frac { K + \omega ^ { ( 0 ) } } { K - \omega ^ { ( 0 ) } } } | - i \pi \Theta ( K - \omega ^ { ( 0 ) } ) \bigr ) ] .
\begin{array} { r } { F _ { 0 } ( t ) = \frac { 1 } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d x \frac { x \exp [ - ( x - \overline { u } t ) ^ { 2 } / ( 4 D _ { h } t ) ] } { \sqrt { 4 \pi D _ { h } t ^ { 3 } } } . } \end{array}
\int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ( t ) ) ^ { 2 } = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 \lambda \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \rho \Re \left( \overline { { \psi } } B \psi \right) .
\begin{array} { r l } { h ^ { \mathrm { t h r e e } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ) } & { { } \triangleq { \frac { 1 } { a _ { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { a _ { 3 } } h ^ { \mathrm { t w o } } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { m _ { 3 } } { a _ { 3 } } } x _ { 3 } } \, d x _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 1 } ( t ) } & { = } & { \left( \left( 1 - c _ { 1 } e ^ { - t } \right) ^ { - 1 } , 0 , 0 \right) , \quad \mathrm { c o n ~ } c _ { 1 } \in ( 0 , 1 ) , } \\ { \psi _ { 2 } ( t ) } & { = } & { \left( 0 , \left( 1 - c _ { 2 } e ^ { - t } \right) ^ { - 1 } , 0 \right) , \quad \mathrm { c o n ~ } c _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
P _ { p r e d } ^ { s c a t } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } _ { s } , \delta m , \omega ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \int _ { V } G _ { 0 } ( \textbf { x } _ { r } , \textbf { x } , \omega ) \delta m ( \textbf { x } ) G _ { 0 } ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { s } , \omega ) W ( \omega ) \, d \textbf { x } .
\vec { m } _ { i j } = \textsc { D e n s e } ( A _ { i j } v _ { j } ) \odot \frac { \vec { p } _ { i } - \vec { P } _ { j } } { | | \vec { p } _ { i } - \vec { P } _ { j } | | } + \textsc { D e n s e } ( A _ { i j } v _ { j } ) \odot \Vec { V } _ { j }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E [ \rho ] } { \partial D _ { i j } } } & { { } = } & { h _ { i j } + J _ { i j } + \int \underbrace { \frac { \delta E _ { x c } [ \rho ] } { \delta \rho ( r ) } } _ { v ^ { x c } [ \rho ] ( r ) } \frac { \partial \rho ( r ) } { \partial D _ { i j } } d r } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \phi } \Gamma _ { \sigma } ( \phi ) + \frac { \Gamma _ { \sigma } ( \phi ) } { v _ { \sigma } ( \phi ) } \left( \lambda \sum _ { \eta } \mu _ { \sigma \to \eta } \right) } \\ { - \lambda \sum _ { \eta \neq \tau } \Gamma _ { \eta } ( \phi ) \left( \frac { \mu _ { \eta \to \sigma } } { v _ { \eta } ( \phi ) } - \frac { \mu _ { \tau \to \sigma } } { v _ { \tau } ( \phi ) } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { D i v } _ { h } } \mathbf { B } _ { h } = \frac { 1 } { | c | } \sum _ { f \in \partial c } \alpha _ { c , f } | f | \, B _ { f } } \\ & { = \frac { 1 } { R _ { c } h _ { R } h _ { z } h _ { \phi } } \left( | f _ { \mathrm { r i g h t } } | B _ { \mathrm { r i g h t } } - | f _ { \mathrm { l e f t } } | B _ { \mathrm { l e f t } } + | f _ { \mathrm { u p } } | B _ { \mathrm { u p } } - | f _ { \mathrm { d o w n } } | B _ { \mathrm { d o w n } } + | f _ { \mathrm { f r o n t } } | B _ { \mathrm { f r o n t } } - | f _ { \mathrm { b a c k } } | B _ { \mathrm { b a c k } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { I } ( q ) } & { = \exp \left[ \iint _ { \mathcal { B } ( r _ { 0 } , \tau ) } \frac { - \Lambda ( r , \theta ) } { 1 + j ( q P _ { t } l ( r ) ) ^ { - 1 } } \, r d r d \theta \right] } \\ & { = \exp \left[ - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { r _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { b u + d u \left( \Delta ( u , \theta ) \right) ^ { 2 } } { 1 + j ( q P _ { t } \, l ( u ) ) ^ { - 1 } } - a \frac { u \, \left( \Delta ( u , \theta ) \right) ^ { - 1 } + c u \Delta ( u , \theta ) } { \left( 1 + j ( q P _ { t } \, l ( u ) ) ^ { - 1 } \right) } \, d \theta d u \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ( D I C ) } { d t } } & { { } = - C _ { P } \frac { d P } { d t } - C _ { Z } \frac { d Z } { d t } - C _ { D } \frac { d D } { d t } - \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } \; , } \\ { \frac { d ( T A ) } { d t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho _ { w } } \frac { d N } { d t } - \frac { 2 \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } } { \rho _ { w } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \frac { H } { 1 0 ^ { 1 9 } } < n \leq \frac { H } { D } } \chi ( n ) \sum _ { m \leq H / n } \Lambda ( m ) } \\ & { \qquad = \sum _ { \frac { H } { 1 0 ^ { 1 9 } } < n \leq \frac { H } { D } } \chi ( n ) \sum _ { m \leq H / n } \Lambda ( m ) } \\ & { \qquad = H \sum _ { \frac { H } { 1 0 ^ { 1 9 } } < n \leq \frac { H } { D } } \frac { \chi ( n ) } { n } + \mathcal { O } ^ { * } \left( \sum _ { \frac { H } { 1 0 ^ { 1 9 } } < n \leq \frac { H } { D } } A _ { 2 } \sqrt { \frac { H } { n } } \right) } \\ & { \qquad = H \sum _ { \frac { H } { 1 0 ^ { 1 9 } } < n \leq \frac { H } { D } } \frac { \chi ( n ) } { n } + \mathcal { O } ^ { * } \left( 2 A _ { 2 } H D ^ { - 1 / 2 } \right) , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { s m o o t h } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left[ \left( \frac { \partial \mathrm { \mathbf { u } } _ { i } } { \partial x } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \mathrm { \mathbf { u } } _ { i } } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \mathrm { \mathbf { u } } _ { i } } { \partial z } \right) ^ { 2 } \right] ,
\left( \begin{array} { l l l } & { \tilde { T } _ { 2 } } & \\ & & { \tilde { T } _ { 3 } } \\ { \tilde { T } _ { 1 } } & & \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right) = \lambda _ { d } \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right)
{ \overline { { \sigma } } } ^ { \mu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \sigma ^ { 0 } } & { - \sigma ^ { 1 } } & { - \sigma ^ { 2 } } & { - \sigma ^ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { I _ { 2 } } & { - \sigma _ { \mathrm { x } } } & { - \sigma _ { \mathrm { y } } } & { - \sigma _ { \mathrm { z } } } \end{array} \right] }
\widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ( ( \check { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \check { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) - ( \tilde { \dot { g } } , \tilde { \dot { A } } ) \big ) = - f + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { m } ^ { \mathrm { { o u t } } } = } & { s _ { 1 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + s _ { 1 2 } \gamma ^ { m - 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 1 2 } \frac { 1 - \gamma ^ { m - 1 } } { 1 - \gamma } \kappa , } \\ { \hat { b } _ { m } ^ { \mathrm { o u t } } = } & { s _ { 2 1 } \hat { a } _ { 1 } ^ { \mathrm { { i n } } } + s _ { 2 2 } \gamma ^ { m - 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } + s _ { 2 2 } \frac { 1 - \gamma ^ { m - 1 } } { 1 - \gamma } \kappa , } \end{array}
\int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \, { \cal F } _ { \alpha } ^ { t w 3 } ( x ; P ^ { \prime } , S ^ { \prime } ; P , S ) = \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \, x { \cal F } _ { \alpha } ^ { t w 3 } ( x ; P ^ { \prime } , S ^ { \prime } ; P , S ) = 0 ,
\left| f ( a , u ) - f ^ { \prime } ( a , u ) \right| = \left| \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) , u ) - \ell ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ^ { \prime } ( a ) , u ) \right| \leq \rho \left\| \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a ) - \boldsymbol { \mathcal { G } } ^ { \prime } ( a ) \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { u } } ) } .
\begin{array} { r l } { \rho ( A ) \leq \| A \| _ { 1 } } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ 1 - \mu \alpha + \frac { 2 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } L ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } { ( 1 - \gamma ) } , ~ \frac { 1 + \gamma } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } L \alpha \right\} } \\ & { \leq 1 - \frac { \mu \alpha } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { Y } _ { j } ( z ) = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { i \sqrt { \epsilon _ { j } } } \\ { 1 } & { - i \sqrt { \epsilon _ { j } } } \end{array} \right] \left( \mathcal { Z } _ { j } ( z ) \right) , \quad z \in [ z _ { j - 1 } , z _ { j } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \phi \alpha _ { i } ( u , v ) u _ { i } + \phi \beta _ { i } ( u , v ) v _ { i } \right) d x d t \le } & { \delta \left( \left( \gamma _ { u _ { i } } + \gamma _ { v _ { i } } + \gamma _ { S } \right) T \right. } \\ & { \left. + \| { u _ { 0 } } _ { i } + { v _ { 0 } } _ { i } \| _ { \infty , ( 0 , 1 ) } + \| S _ { 0 } \| _ { \infty , ( 0 , 1 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { J : = \mathbf { J } \cdot d { \mathbf { x } } \otimes d ^ { 2 } x = \hbar \Im ( \psi ^ { * } \nabla \psi ) \cdot d { \mathbf { x } } = \hbar N \nabla \phi \cdot d { \mathbf { x } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( h ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { n } \big [ \mathcal { X } _ { 0 } ^ { n } ( g ) L _ { n } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( h ) \big ] } \\ & { = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } h - 2 n \alpha _ { n } \mathscr { A } _ { n } h ) + \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \mathscr { S } _ { t } ^ { n } ( \mathscr { D } _ { n } h ) + \frac { 2 \theta ( n ) } { n ^ { 2 } } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( \tilde { \mathscr { D } _ { n } } h ) + E _ { t } ^ { n } ( h ) , } \end{array}