harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } ( A _ { a , b \vert 0 } ^ { \prime } , A _ { a , b \vert 1 } ^ { \prime } ) + \operatorname* { m i n } ( A _ { g ( a ) , b \vert 0 } ^ { \prime } , A _ { g ( a ) , b \vert 1 } ^ { \prime } ) + \operatorname* { m i n } ( A _ { a , g ( b ) \vert 0 } ^ { \prime } , A _ { a , g ( b ) \vert 1 } ^ { \prime } ) + \operatorname* { m i n } ( A _ { g ( a ) , g ( b ) \vert 0 } ^ { \prime } , A _ { g ( a ) , g ( b ) \vert 1 } ^ { \prime } ) } \\ { \leq \operatorname* { m i n } ( A _ { a \vert 0 } , A _ { a \vert 1 } ) + \operatorname* { m i n } ( A _ { g ( a ) \vert 0 } , A _ { g ( a ) \vert 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { H } ( A ^ { * } ) } & { = ( 1 - \delta ) \log \left( \frac { 1 } { 1 - \delta } \right) + \delta \log \left( \frac { k - 1 } { \delta } \right) } \\ & { = ( 1 - \delta ) \log \left( 1 + \frac { \delta } { 1 - \delta } \right) + \delta \log \left( \frac { k - 1 } { \delta } \right) } \\ & { \approx \delta + \delta \log ( ( k - 1 ) / \delta ) , } \end{array}
\underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \Vert K _ { n } - K \Vert _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } \times { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ^ { 2 } = \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - e ^ { - \frac { 1 } { n } ( \lambda _ { \ell } + \lambda _ { \ell ^ { \prime } } ) } \right) ^ { 2 } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } = 0 .
\sum _ { i _ { k } } { \sum _ { u _ { k - 1 } } { ( { ^ k T _ { u _ { k - 1 } u _ { k } ^ { ' } } ^ { i _ { k } } } ) ^ { * } \times { ^ k T _ { u _ { k - 1 } u _ { k } } ^ { i _ { k } } } } } = \delta _ { u _ { k } ^ { ' } u _ { k } }
\begin{array} { r l } & { \tilde { h } ( s ) = \mathbb { E } \left[ \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) ^ { s / 2 } \right] , } \\ & { \tilde { \rho } = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \left[ \log \left( \left( 1 - \frac { \eta \sigma ^ { 2 } } { b } X \right) ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } X Y \right) \right] , } \end{array}
\frac { 4 } { n - 2 } \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j < k , j \neq i } ^ { n } q _ { i j } q _ { i k } = 4 \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \varphi _ { i j } + \frac { 4 } { n - 2 } \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j < k , j \neq i } ^ { n } ( q _ { i j } q _ { i k } - \varphi _ { j k } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) } \\ & { \leq } & { 1 5 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) + 2 T - 1 } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { 2 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { } & { \quad \times \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \sqrt { ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { \leq } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { } & { + 6 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + 8 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 0 L ^ { 2 } } . } \end{array}
V ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) = \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } - u ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } ( \phi _ { 1 } ^ { \dagger } \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } ^ { \dagger } \phi _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } ( h \cos \theta ) } & { + } & { \cfrac { 1 } { R } \left[ \partial _ { \lambda } \left( h u \right) + \partial _ { \theta } \left( h v \cos \theta \right) \right] = 0 } \\ { \partial _ { t } ( h u \cos \theta ) } & { + } & { \cfrac { 1 } { R } \left[ \partial _ { \lambda } \left( h u ^ { 2 } + \cfrac { g h ^ { 2 } } { 2 } \right) + \partial _ { \theta } \left( h u v \cos \theta \right) \right] } \\ & { = } & { \left( f \cos \theta + \frac u R \sin \theta \right) h v } \\ { \partial _ { t } ( h v \cos \theta ) } & { + } & { \cfrac { 1 } { R } \left[ \partial _ { \lambda } \left( h u v \right) + \partial _ { \theta } \left( \left( h v ^ { 2 } + \cfrac { g h ^ { 2 } } { 2 } \right) \cos \theta \right) \right] } \\ & { = } & { - \cfrac { g h ^ { 2 } \sin \theta } { 2 R } - \left( f \cos \theta + \frac u R \sin \theta \right) h u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { E } } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l } { \mathbb { O } } & { \mathcal { E } _ { 1 } } & { \mathcal { E } _ { 1 } } & { \mathbb { O } } & { \mathbb { O } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathbb { O } } & { \mathbb { O } } & { \mathcal { E } _ { 2 } } & { \mathcal { E } _ { 2 } } \\ { 1 } & { \mathbb { O } } & { \mathbb { I } } & { \mathbb { O } } & { \mathbb { I } } \end{array} \right) } \\ { \bar { \mathcal { E } } } & { = \left( \begin{array} { l l } { \mathcal { E } _ { 1 } } & { \mathbb { O } } \\ { \mathbb { O } } & { \mathcal { E } _ { 2 } } \end{array} \right) } \\ { p } & { = p _ { 1 } + p _ { 2 } + 1 . } \end{array}
F _ { \mathrm { g r a d } , z } \left( z \right) = - \frac { P \alpha } { 2 \pi c \varepsilon _ { 0 } n ^ { \prime } w _ { 0 } ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { z } { \left[ 1 + \left( z / z _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } .
\frac { \ensuremath { \partial } \Psi } { \ensuremath { \partial } z } + \frac { i ( l \xi + m \eta ) + \tau _ { H } n _ { s } } { \nu } \Psi = \frac { \omega \tau _ { H } } { 4 \pi \nu } \big ( n _ { s } \mathcal { G } _ { 1 } + G _ { s } \Theta + \mathrm { A _ { 1 } } \nu \left( n _ { s } S - q _ { s } \Theta \right) \big ) - \frac { \tau _ { H } } { \nu } L _ { s } \Theta ,
\begin{array} { r l } { I I } & { = \left| \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { \ell } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( \varphi ) - ( \mathbb { E } _ { \ell } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) ) + \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( 0 ) } ) \right| } \\ & { \le \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } | \mathbb { E } _ { \ell } ( \varphi - \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( \varphi - \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) | + | \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( 0 ) } ) | } \\ & { \le C \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \| \varphi - \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } } \\ & { \le C \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } h _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ^ { \eta _ { \Psi } r } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } } \\ & { \le C ( h _ { 0 } 2 ^ { - L } ) ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } ( h _ { 0 } 2 ^ { - \ell } ) ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \gamma , q } e ^ { i \delta _ { \gamma , q } } = } & { \sum _ { \lambda _ { c } } \langle J _ { c s } M _ { J _ { c s } } , l m | J _ { f } , M _ { J _ { f } } \rangle } \\ & { \times \langle [ ( s , J _ { c } ) J _ { c s } , l ] J _ { f } | [ J _ { c } , ( s , l ) j ] J _ { f } \rangle T _ { f , i } ^ { ( q ) } . } \end{array}
\left. { \begin{array} { l l } { = } & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3 } \\ & { \underbrace { \qquad \; \; \vdots \qquad \; \; } } \\ & { 3 \underbrace { \uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3 } \\ & { 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 } \end{array} } \right\} { \mathrm { 6 4 ~ l a y e r s } }
E = [ P _ { 1 1 } ^ { 2 } + [ 2 L _ { 1 } L _ { 2 } T ^ { ( 2 ) } + V _ { 2 } ] ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \approx P _ { 1 1 } + \frac { 2 L _ { 1 } L _ { 2 } T ^ { ( 2 ) } V _ { 2 } } { P _ { 1 1 } } + { \frac { 2 ( L _ { 1 } L _ { 2 } T ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } { P _ { 1 1 } } }
\begin{array} { l } { \lambda q _ { m } = \displaystyle \frac { m ^ { 2 } } { 2 } q _ { m } + i k \cdot m p _ { m } + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 1 , m } \left( \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \phi _ { m } \, { \mathrm { d } } z \right) , } \\ { \lambda p _ { m } = \displaystyle \frac { m ^ { 2 } } 2 p _ { m } - i k \cdot m q _ { m } , } \\ { \lambda \phi _ { m } = \displaystyle \frac 1 2 \phi _ { m } + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 , m } q _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { j } ) \ell ( y _ { i } , y _ { j } ) - \frac { 4 } { N ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { \kappa } ) \ell ( y _ { i } , y _ { j } ) } \\ & { - \frac { 2 } { N ^ { 3 } } \sum _ { i , j , \kappa = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { j } ) \ell ( y _ { i } , y _ { \kappa } ) + \frac { 4 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { \kappa } ) \ell ( y _ { i } , y _ { l } ) } \\ & { + \frac { 2 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { l } ) \ell ( y _ { i } , y _ { j } ) + \frac { 2 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { l } ) \ell ( y _ { i } , y _ { l } ) } \\ & { + \frac { 4 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { j } ) \ell ( y _ { i } , y _ { l } ) + \frac { 1 } { N ^ { 4 } } \sum _ { i , j , \kappa , l = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { i } , x _ { j } ) \ell ( y _ { \kappa } , y _ { l } ) } \\ & { - \frac { 8 } { N ^ { 5 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { l } ) \ell ( y _ { m } , y _ { j } ) - \frac { 4 } { N ^ { 5 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { j } ) \ell ( y _ { m } , y _ { l } ) } \\ & { + \frac { 4 } { N ^ { 6 } } \sum _ { i , j , \kappa , l , m , n = 1 } ^ { N } k ( x _ { i } , x _ { j } ) k ( x _ { \kappa } , x _ { l } ) \ell ( y _ { m } , y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { e q , a } ( \mathbf { r } _ { a } ) } & { \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathbf { r } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) \times \mathbf { r } _ { a } \cdot \mathbf { h } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) } { F ( \mathbf { r } _ { a } , \mathbf { r } _ { e q , a } ^ { \prime } ( t ) ) } d t } \\ & { = \frac { I _ { 1 } q _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { a } ) + I _ { 2 } q _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { a } ) } { I _ { 1 } + I _ { 2 } } } \\ { \implies ( I _ { 1 } + } & { I _ { 2 } ) q _ { e q , a } ( \mathbf { r } _ { a } ) = I _ { 1 } q _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { a } ) + I _ { 2 } q _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { a } ) . } \end{array}
S ( \omega ) = \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } D ( D ^ { 2 } + \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) } { ( D ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 2 ( D ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega _ { 0 } ^ { 4 } } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { | \langle \tilde { \rho } _ { N } - \bar { \rho } _ { N } , v \rangle | } & { \leqslant \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } \fint _ { B _ { i } } \left| v - \fint _ { \partial B _ { i } } v \right| } \\ & { \leqslant \left( \frac 1 N \sum _ { i = 1 } ^ { N } \fint _ { B _ { i } } \left| v - \fint _ { \partial B _ { i } } v \right| ^ { p } \right) ^ { \frac 1 p } \leqslant C _ { p } N ^ { - \frac 1 p } R ^ { 1 - \frac 3 p } \| \nabla v \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } } \\ & { = C _ { p } N ^ { - \frac 1 3 } r ^ { 1 - \frac 3 p } \| \nabla v \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { j } ^ { \mu } ( t ) } & { \equiv - \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ( t ) } { \partial A _ { \mu } ( t ) } } \\ & { = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { n + 1 } } { n ! } \hat { h } ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) \hdots A _ { \alpha _ { n } } ( t ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } & { < f _ { 6 } ( w _ { i } , d _ { i } , F _ { i } ) + u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \left( - \, \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + 1 \right) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) + ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \mu \left( F _ { i } \setminus F ^ { * } \right) } { \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { i } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { D \frac { \partial ^ { 2 } { \mathcal U } ( x , z , s ) } { \partial x ^ { 2 } } - s { \mathcal U } ( x , z , s ) = 0 , \ x \in ( 0 , L ) , } \\ & { } & { D \partial _ { x } { \mathcal U } ( 0 , z , s ) = \nu ( s + z ) { \mathcal U } ( 0 , z , s ) , } \\ & { } & { D \partial _ { x } { \mathcal U } ( L , z , s ) = \frac { J _ { L } } { s } . } \end{array}
Z ( R ( S ) , \langle \cdot \, , \cdot \rangle ^ { A } ) = \biggl ( \, \prod _ { k = 0 } ^ { N } | d e t ( A _ { k } ) | ^ { ( - 1 ) ^ { k } } \biggr ) \, Z ( R ( S ) , \langle \cdot \, , \cdot \rangle )
\begin{array} { r l } { S _ { 1 4 } ^ { q } } & { = { S _ { 1 4 } ^ { t h } } = S _ { 2 3 } ^ { q } = { S _ { 2 3 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } ( 1 + R ) , } \\ { S _ { 1 2 } ^ { q } } & { = S _ { 3 4 } ^ { q } = \frac { 1 - R } { 1 + R } S _ { 1 4 } ^ { q } , } \\ { S _ { 1 3 } ^ { q } } & { = 0 , } \\ { S _ { 2 4 } ^ { q } } & { = { S _ { 2 4 } ^ { s h } } = - \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ p ~ } } } & { { } = \log ( \frac { e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } } \ e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } } } { e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } } \ e ^ { - \sum _ { \zeta } \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } } } ) } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + \frac { \theta } { 4 } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha } F _ { \mu \nu } A _ { \alpha } + \frac { i } { 2 } \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi - \frac { i } { 2 } ( \partial _ { \mu } \bar { \psi } ) \gamma ^ { \mu } \psi - m \bar { \psi } \psi + e \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } A _ { \mu } \psi ,
{ \begin{array} { l l l l l } { \beta _ { 0 } } & { = \beta _ { 0 } ^ { ( 0 ) } } & & & \\ & & { \beta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } & & \\ { \beta _ { 1 } } & { = \beta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } & & & \\ & & & { \ddots } & \\ { \vdots } & & { \vdots } & & { \beta _ { 0 } ^ { ( n ) } } \\ { \beta _ { n - 1 } } & { = \beta _ { n - 1 } ^ { ( 0 ) } } & & & \\ & & { \beta _ { n - 1 } ^ { ( 1 ) } } & & \\ { \beta _ { n } } & { = \beta _ { n } ^ { ( 0 ) } } & & & \end{array} }
O ^ { T } M O = \left( \begin{array} { c c c c } { { - m _ { + } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { + } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - m _ { - } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { - } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c c c } { { \sigma _ { 1 } m _ { + } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \sigma _ { 2 } m _ { + } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sigma _ { 3 } m _ { - } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sigma _ { 4 } m _ { - } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\mathbb { V } _ { A b s } ( N ) = g \tilde { A } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { n _ { a } } + \frac { 1 } { n _ { b } } ) + g \tilde { B } ^ { 2 } ( n _ { a } + n _ { b } ) + 4 g \tilde { A } \tilde { B }
{ \begin{array} { r l } & { f ( { \boldsymbol { x } } ) = \sum _ { | \alpha | \leq k } { \frac { D ^ { \alpha } f ( { \boldsymbol { a } } ) } { \alpha ! } } ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } + \sum _ { | \alpha | = k } h _ { \alpha } ( { \boldsymbol { x } } ) ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } , } \\ & { { \mathrm { a n d } } \quad \operatorname* { l i m } _ { { \boldsymbol { x } } \to { \boldsymbol { a } } } h _ { \alpha } ( { \boldsymbol { x } } ) = 0 . } \end{array} }
| Z _ { 2 } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( Z _ { i j } \bar { Z } ^ { i j } - \sqrt { ( Z _ { i j } \bar { Z } ^ { i j } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } | \epsilon ^ { i j k l } Z _ { i j } Z _ { k l } ) | ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l r } { { \cal T } { } ^ { < a b c > } \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) } & { { } = } & { \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 3 \phi _ { \xi } + \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \sin 3 \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } { } ^ { < a b c > } \Big ( k _ { a } m _ { b } m _ { c } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } k _ { a } k _ { b } k _ { c } \Big ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \Big ( { \cal T } _ { 1 1 3 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 3 } ^ { \prime } \Big ) \cos 2 \phi _ { \xi } + { \cal T } _ { 1 2 3 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } { } ^ { < a b c > } k _ { a } k _ { b } m _ { c } } & { { } = } & { { \cal T } _ { 1 3 3 } ^ { \prime } \cos \phi _ { \xi } + { \cal T } _ { 2 3 3 } ^ { \prime } \sin \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } { } ^ { < a b c > } k _ { a } k _ { b } k _ { c } } & { { } = } & { { \cal T } _ { 3 3 3 } ^ { \prime } . } \end{array}
\tau ( r _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \frac { H ^ { \prime } } { H } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \frac { ( p - 7 ) + \frac { Q ^ { 2 } } { ( 3 - p ) \rho r _ { i } ^ { 3 - p } } } { 1 - \frac { Q ^ { 2 } } { \rho ( 3 - p ) ( 1 0 - 2 p ) r _ { i } ^ { 3 - p } } } \frac { 1 } { r _ { i } } \, s i m \, f r a c { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \Bigg ( \frac { p - 7 } { r _ { i } } + \frac { Q ^ { 2 } } { ( 1 0 - 2 p ) \rho } \frac { 1 } { r _ { i } ^ { 4 - p } } \Bigg )
\begin{array} { r l } & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } + 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } h ( \mu _ { - j , \mathrm { M } } ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } = \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } h ( \mu _ { - j , \mathrm { M } } ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } + j } : = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , j _ { \operatorname* { m a x } } ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } + j } : = 0 \quad ( j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 , \cdots , \infty ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } - 1 } : = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { M } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } = \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { M } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } : = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) ) \hat { Q } _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , j _ { \operatorname* { m a x } } ) , } \\ & { \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } : = 0 \quad ( j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 , \cdots , \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } = } & { { } } & { \int N ( x , z ) \frac { \partial \Lambda _ { j } ( x ) } { \partial x } \Lambda _ { k } ( z ) \frac { \partial \Lambda _ { j } ( x ) } { \partial x } \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \end{array}
| \partial _ { y _ { i } } u | \lesssim \varepsilon ( 1 - | y | ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } \rho ^ { - 1 + \delta } \, \quad | \partial _ { y _ { i } } \phi | \lesssim \varepsilon ( 1 - | y | ^ { 2 } ) ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } \rho ^ { - \frac 3 2 + \delta } , \quad | \triangle _ { y } \phi | \lesssim \varepsilon \rho ^ { - \frac 3 2 + \delta } ( \rho / t ) ^ { \frac 5 2 - \delta } .
\begin{array} { r l } { | 0 _ { 0 } , 0 \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = | 0 , 0 , 0 \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { | 1 _ { - 1 } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 1 , 1 , m \rangle ^ { ( 0 ) } - | 1 , - 1 , m \rangle ^ { ( 0 ) } ) , } \\ { | 1 _ { 0 } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( | 1 , 1 , m \rangle ^ { ( 0 ) } + | 1 , - 1 , m \rangle ^ { ( 0 ) } ) , } \\ { | 1 _ { 1 } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = | 1 , 0 , m \rangle ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda _ { 2 , j } } { \lambda _ { 1 , j } } = T \left( \frac { [ 2 3 . j 2 ] , [ 1 2 . j 1 ] } { [ 1 2 . j 2 ] , [ 2 3 . j 1 ] } \right) , \qquad } & { \frac { \mu _ { 2 , j } } { \mu _ { 1 , j } } = T \left( \frac { [ 1 3 . j 2 ] , [ 1 2 . j 1 ] } { [ 1 2 . j 2 ] , [ 1 3 . j 1 ] } \right) , } \\ { \frac { \lambda _ { 2 , j } ^ { \prime } } { \lambda _ { 1 , j } ^ { \prime } } = T \left( \frac { [ 2 4 . j 2 ] , [ 1 2 . j 1 ] } { [ 1 2 . j 2 ] , [ 2 4 . j 1 ] } \right) , \qquad } & { \frac { \mu _ { 2 , j } ^ { \prime } } { \mu _ { 1 , j } ^ { \prime } } = T \left( \frac { [ 1 4 . j 2 ] , [ 1 2 . j 1 ] } { [ 1 2 . j 2 ] , [ 1 4 . j 1 ] } \right) , } \end{array}