harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \phi ( p ) + \phi ( p q ) + \sum _ { i \in [ \beta ] } \phi ( q ^ { i } ) } & { \quad \mathrm { i f ~ } \phi ( p q ) + \phi ( q ) + \phi ( q ^ { \beta } ) > \phi ( p ) + \sum _ { i \in [ \beta ] } \phi ( q ^ { i } ) , } \\ { \phi ( p ) + \sum _ { i \in [ \beta ] } \phi ( q ^ { i } ) } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \bigl ( H _ { N } ( f _ { B } ^ { - 1 } ( \sigma _ { \mathcal { V } } ) , \sigma _ { { \mathcal { V } } ^ { c } } ) - H _ { N } ( \sigma ) \bigr ) } & { = 2 \beta \sum _ { k \in B } \sum _ { j \in [ N ] } J _ { U ( k , 1 ) , j } ( - \sigma _ { U ( k , 1 ) } ) \sigma _ { j } } \\ & { = - 2 \beta \sum _ { k \in B } \Bigl ( | J _ { U ( k , 1 ) , U ( k , 2 ) } | + \sigma _ { U ( k , 1 ) } \sum _ { j : j \neq U ( k , 2 ) } J _ { U ( k , 1 ) , j } \sigma _ { j } \Bigr ) } \\ & { \leq - 2 \beta \sum _ { k \in B } \Bigl ( | J _ { U ( k , 1 ) , U ( k , 2 ) } | - \sum _ { j : j \neq U ( k , 2 ) } | J _ { U ( k , 1 ) , j } | \Bigr ) } \\ & { \leq - 2 \beta | B | 1 0 ^ { - 1 / \alpha } ( N / R ) ^ { 1 / \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r ^ { n } } } & { { } = \frac { 2 } { \Gamma ( n / 2 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, t ^ { n - 1 } \, e ^ { - r ^ { 2 } t ^ { 2 } } , ~ n > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal { C } } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ t ~ } } } & { { } \equiv \frac { \operatorname { V a r } \left( S _ { 1 } ^ { x } - S _ { 2 } ^ { x } \right) + \operatorname { V a r } \left( S _ { 1 } ^ { y } + S _ { 2 } ^ { y } \right) + \operatorname { V a r } \left( S _ { 1 } ^ { z } - S _ { 2 } ^ { z } \right) } { 4 N } } \end{array}
E _ { 0 0 } ^ { \mathrm { T M , ( i n ) } } = \frac { Y _ { 0 0 } ^ { \mathrm { ( i n ) } } - \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E , ~ ( R W G ) } } Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E } , \mathrm { ( R W G ) } } - Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \mathrm { I } } } { Y _ { 0 0 } ^ { \mathrm { ( i n ) } } + \alpha _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E , ~ ( R W G ) } } Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E } , \mathrm { ( R W G ) } } + Y _ { \mathrm { e q } } ^ { \mathrm { I } } }
\begin{array} { r l } { \Pi \colon \quad \tilde { A } ( \mathcal { A } ; \Lambda ^ { \circ } ) } & { \longrightarrow \tilde { A } ( \mathcal { A } ; \Omega ) , } \\ { \sum _ { \alpha \in C ^ { \circ } ( \mathcal { A } ) } a _ { \alpha } \cdot \tilde { \lambda } _ { \alpha } } & { \longmapsto \sum _ { \alpha \in C ^ { \circ } ( \mathcal { A } ) } \pi ( a _ { \alpha } ) \cdot \omega _ { \alpha } \, , } \end{array}
\widehat { \Phi } = ( \Phi _ { + } ^ { 1 } \otimes I + \Phi _ { + } ^ { 2 } \otimes \sigma _ { 3 } ) \otimes I + ( \Phi _ { - } ^ { 3 } \otimes \sigma _ { 1 } + \Phi _ { - } ^ { 4 } \otimes \sigma _ { 2 } ) \otimes \sigma _ { 1 } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \big ] } \\ & { \leq \frac { 4 ( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { T + 1 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \frac { 1 } { \eta _ { T } T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( 2 \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \eta _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } + \lambda \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( 2 \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \frac { 1 } { \eta _ { T } T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } + \lambda \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( 2 \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \frac { 1 } { \eta _ { T } T } \int _ { 1 } ^ { T } \frac { k ^ { 3 } } { m + t } d t } \\ & { \leq \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) + 4 \gamma \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } + \lambda \sigma ^ { 2 } / \eta _ { 0 } ) } { T \eta _ { T } \gamma } + \big ( 2 \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \frac { k ^ { 3 } \ln ( m + T ) } { \eta _ { T } T } } \\ & { \leq \Big ( \frac { 4 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) ) } { k \gamma } + \frac { 1 6 \sigma ^ { 2 } m ^ { 1 / 3 } } { k ^ { 2 } } + \frac { 4 \lambda \sigma ^ { 2 } m ^ { 1 / 3 } } { \gamma k ^ { 2 } } + \big ( 2 k ^ { 2 } \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 2 k ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \ln ( m + T ) \Big ) \frac { ( m + T ) ^ { 1 / 3 } } { T } } \end{array}
V ( \zeta ) = \zeta _ { \mu \nu } \left( \partial X ^ { \mu } + i k _ { \rho } \psi ^ { \rho } \psi ^ { \mu } \right) \left( \bar { \partial } X ^ { \nu } + i k _ { \lambda } \bar { \psi } ^ { \lambda } \bar { \psi } ^ { \nu } \right) e ^ { i k X } ( z , \bar { z } ) .
f ( \Omega ) ( v _ { 1 } , \dots , v _ { 2 k } ) = { \frac { 1 } { ( 2 k ) ! } } \sum _ { \sigma \in { \mathfrak { S } } _ { 2 k } } \epsilon _ { \sigma } f ( \Omega ( v _ { \sigma ( 1 ) } , v _ { \sigma ( 2 ) } ) , \dots , \Omega ( v _ { \sigma ( 2 k - 1 ) } , v _ { \sigma ( 2 k ) } ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } _ { 1 } \vec { \oplus } \mathcal { C } _ { 2 ^ { * } } = } & { \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \right\} \vec { \oplus } \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \right\} } \\ { = } & { \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] \right\} + \operatorname { s p a n } \left\{ \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \right\} = \mathbb { R } _ { 3 } . } \end{array}
E ( \mathbf { Q } ) = \frac { 1 } { 2 \rho } \left\vert \left\vert \mathbf { m } \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \rho \varepsilon ( \rho , s / \rho ) + \frac { 1 } { 2 } \alpha ( \rho ) \left\vert \left\vert \j \right\vert \right\vert ^ { 2 }
\langle x \mid K _ { 0 } ( T ) \mid y \rangle = \langle x \mid \exp \Bigl [ - T \bigl ( - { \partial } ^ { 2 } + m ^ { 2 } \bigr ) \Bigr ] \mid y \rangle = { ( 4 \pi T ) } ^ { - d / 2 } \exp ( - { \frac { ( x - y ) ^ { 2 } } { 4 T } } ) \, ,
{ \frac { d ^ { 2 } y } { d \tilde { \lambda } ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { { \cal W } ^ { \prime } } { \cal W } } \left[ 1 - \left( { \frac { d y } { d \tilde { \lambda } } } \right) ^ { 2 } \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { \vert y - k ( x , \hat { \theta } ) \vert \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert \sqrt { r } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \leq } & { \frac { \omega } { 4 } \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \frac { r } { \omega } \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } } \\ { \vert y - k ( x , \hat { \theta } ) \vert \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert \vert \hat { \theta } \vert \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \leq } & { \frac { \omega } { 4 } \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \frac { \vert \hat { \theta } \vert } { \omega } \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p } \rho ( x , y , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
I = \frac { \mathrm { d } E _ { K } } { \mathrm { d } t } + \frac { \mathrm { d } E _ { P E } } { \mathrm { d } t } + \frac { 1 } { V } \oint _ { S } p \boldsymbol { u } \cdot \mathrm { d } \boldsymbol { S } + D _ { t h e r } + D _ { v i s c } .
\partial _ { \mu } ( \bar { q } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } q ) = 2 i m _ { q } \, \bar { q } \gamma _ { 5 } q - \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } \, G _ { \mu \nu } ^ { A } \, \widetilde { G } ^ { A , \mu \nu }
\tilde { \Sigma } ( s ) = \sum _ { p , p ^ { \prime } } \frac { | { \cal B } _ { p , p ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { \omega _ { p } \omega _ { p ^ { \prime } } } \left\{ ( 1 + n _ { p } + n _ { p ^ { \prime } } ) \frac { \omega _ { p } + \omega _ { p ^ { \prime } } } { s ^ { 2 } + ( \omega _ { p } + \omega _ { p ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \, - \, ( n _ { p } - n _ { p ^ { \prime } } ) \frac { \omega _ { p } - \omega _ { p ^ { \prime } } } { s ^ { 2 } + ( \omega _ { p } - \omega _ { p ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } \right\}
\gamma \; = \; 0 . 5 7 7 2 2 , \qquad { \frac { \zeta ^ { \prime } ( - 1 ) } { \zeta ( - 1 ) } } \; = \; 1 . 9 8 5 0 5 , \qquad { \frac { \zeta ^ { \prime } ( - 3 ) } { \zeta ( - 3 ) } } \; = \; 0 . 6 4 5 4 3 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \left( \frac { b } { 8 \mathrm { { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { 1 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r _ { w } ( t ) } & { { } \geq r _ { b } } \\ { 0 } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r _ { w } ( t ) } & { { } < r _ { b } } \end{array}
[ \: M _ { \mu \nu } \: , \: M _ { \rho \sigma } \: ] = - 4 \: \eta _ { \begin{array} { c c } { { [ \mu } } & { { } } \\ { { } } & { { [ \rho } } \end{array} } M _ { \begin{array} { c c } { { \nu ] } } & { { } } \\ { { \bullet } } & { { \sigma ] } } \end{array} }
u _ { i j } ^ { ( 2 ) } = \mathrm { K n } \beta _ { 2 } ^ { \prime } \frac { \partial w _ { \langle i } ^ { 1 } } { \partial x _ { j \rangle } } , \qquad \beta _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } A _ { 4 8 } - c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } A _ { 4 5 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } ( c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 2 2 ) } - c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( 1 2 ) } ) } .
{ \mathcal { L } } \, = \, - { \frac { 1 } { 4 \mu _ { 0 } } } F ^ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } - A _ { \alpha } J _ { \mathrm { f r e e } } ^ { \alpha } + { \frac { 1 } { 2 } } F _ { \alpha \beta } { \mathcal { M } } ^ { \alpha \beta } \, .
\textstyle \bigl [ ( 1 - \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } ) f _ { \xi } ^ { + } + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { + } f _ { \gamma } ^ { + } \bigr ] \bigl ( ( 1 + \theta _ { \gamma } ) e _ { \gamma } \bigr ) = \bigl [ ( 1 - \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { - } ) f _ { \xi } ^ { - } + \lambda _ { \xi , \gamma } ^ { - } f _ { \gamma } ^ { + } \bigr ] \bigl ( ( 1 + \theta _ { \gamma } ) e _ { \gamma } \bigr ) = 1 .
W _ { q _ { R } } ^ { R G } \left( s , \mu ^ { 2 } , \mu _ { \mathrm { e x p t } } ^ { 2 } \right) \approx \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) C _ { F } } { 2 \pi } \left[ \frac { 1 } { c } \log \frac { s } { m ^ { 2 } } \log \frac { \alpha _ { s } ( \mu ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( \mu _ { \mathrm { e x p t } } ^ { 2 } ) } + \log \frac { \mu ^ { 2 } } { \mu _ { \mathrm { e x p t } } ^ { 2 } } \right] \; , \; \mu _ { \mathrm { e x p t } } \ll m
\begin{array} { r l } { \delta _ { n } ( t ) } & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } s _ { 1 } ( t - s _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { s _ { 1 } } \mathrm { d } s _ { 2 } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) \dots \int _ { 0 } ^ { s _ { k - 1 } } \mathrm { d } s _ { k } ( s _ { k - 1 } - s _ { k } ) \delta _ { n + k } ( s _ { k } ) c ^ { k } ( n \cdots ( n + k ) ) ^ { 2 } } \end{array}
\varphi ( 2 0 ) = \varphi ( 2 ^ { 2 } 5 ) = 2 0 \, ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } ) \, ( 1 - { \frac { 1 } { 5 } } ) = 2 0 \cdot { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \frac { 4 } { 5 } } = 8 .
\gamma _ { s } = \frac { \left( - 1 \right) ^ { s } } 2 \int _ { \Sigma _ { s } } \int _ { \partial \Sigma _ { s } = { \bf c } } \frac { \left( \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } \right) \cdot d \vec { S } } { \left[ \left( \vec { R } - i \frac 1 2 \vec { \Gamma } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac 3 2 } } ,
\begin{array} { r } { \textstyle 2 a _ { t + 1 } ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } - 1 } { 2 \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { a _ { t } ^ { 2 } + 1 } - 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = 2 a _ { t + 1 } ^ { 2 } + \Theta ( a _ { t } ^ { 4 } ) = \Theta \left( \frac { 1 } { { t + 1 } } \right) , } \end{array}
W = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \omega _ { z } } & { \omega _ { y } } \\ { \omega _ { z } } & { 0 } & { - \omega _ { x } } \\ { - \omega _ { y } } & { \omega _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) }
\partial _ { t ^ { 2 } } \hat { G } _ { I J } - \partial _ { t ^ { 2 } } G _ { I J } = { \frac { 1 } { 2 \cdot 6 ^ { \frac { 2 } { 3 } } } } \delta _ { I } ^ { 2 } \delta _ { J } ^ { 2 } \ , \qquad \mathrm { a s } \ t ^ { 2 } \rightarrow 0 .
\left( \mathrm { M i x e d } \right) \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F ~ i ~ n ~ d ~ } ( u _ { i } , p ) \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ : ~ } } & { } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \left( - p \delta _ { i j } ^ { \phantom { } } + \sigma _ { i j } ^ { \mathrm { M i x e d } } \right) = 0 _ { j } } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { J = 1 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = - p ^ { \mathrm { c a v } } n _ { i } } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } , } \\ { \sigma _ { i j } n _ { j } = 0 _ { i } } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { o u t } } , } \\ { u _ { i } n _ { i } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { x } } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap y = 0 \} , } \\ { u _ { i } \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { y } } = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } \{ \Gamma ^ { \mathrm { b a s e } } \cap \Gamma ^ { \mathrm { c a v i t y } } \cap x = 0 \} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { h } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf u _ { h } \rho _ { h } ) } & { = Q _ { m } , } \\ { \frac { \partial ( \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } \mathbf u _ { h } \mathbf u _ { h } ) } & { = - \nabla P _ { h } + \mathbf f _ { h } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ^ { 2 } \right) + \nabla \left( \mathbf u _ { h } \cdot \frac { 1 } { 2 } \rho _ { h } \mathbf u _ { h } ^ { 2 } \right) } & { = - \nabla P _ { h } \cdot \mathbf u _ { h } + \mathbf f _ { h } \cdot \mathbf u _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \tilde { x } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } } \right\| = \left\| { x } _ { i \left( \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } \right) } \right\| \lesssim \log \left( \frac { ( \log ( 1 / \delta ) ) ^ { 2 } } { \delta } \right) } \\ & { = \log ( 1 / \delta ) + \log ( ( \log ( 1 / \delta ) ) ^ { 2 } ) \lesssim \log ( 1 / \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { i i } ^ { 2 } ( r ) = C _ { 2 } ( \langle \epsilon \rangle r _ { i } ) ^ { 2 / 3 } , } \\ { D _ { i j } ^ { 2 } ( r ) = \frac { 4 } { 3 } C _ { 2 } ( \langle \epsilon \rangle r _ { j } ) ^ { 2 / 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( - z \, { \mathrm d } t _ { * } + \mu ) } & { = \Bigl ( - ( \operatorname { I m } z ) ^ { 2 } G ( { \mathrm d } t _ { * } ) + G ( - ( \operatorname { R e } z ) { \mathrm d } t _ { * } + \mu ) \Bigr ) } \\ & { \quad \qquad + 2 i ( \operatorname { I m } z ) g ^ { - 1 } ( - ( \operatorname { R e } z ) { \mathrm d } t _ { * } + \mu , - { \mathrm d } t _ { * } ) . } \end{array}
\underline { { \underline { { D } } } } _ { \mathrm { ~ h ~ } } = \bigl [ \begin{array} { l l } { \alpha _ { \mathrm { ~ L ~ } } \overline { { u } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha _ { \mathrm { ~ T ~ } } \overline { { u } } } \end{array} \bigr ]
a _ { 5 } ^ { b } = \frac { 1 } { 1 6 \lambda ^ { b } } + \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 4 } \left( 1 7 \hat { \Delta } _ { \epsilon } + \frac { 6 7 } { 6 } \right) .
\begin{array} { r } { F _ { i j } ^ { ( 2 ) } = \frac { \mathrm d F _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \mathrm d u _ { j } } = \frac { \partial \varOmega _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \partial u _ { j } } + \frac { \partial \varOmega _ { i } ^ { ( 1 ) } } { \partial \mu } \frac { \mathrm d \mu } { \mathrm d u _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { + } ^ { \uparrow } } & { = \{ \Lambda \in \O ( 1 , 3 ) \mid \operatorname* { d e t } \Lambda = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } \geq 1 \} } \\ { L _ { - } ^ { \uparrow } } & { = \{ \Lambda \in \O ( 1 , 3 ) \mid \operatorname* { d e t } \Lambda = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } \geq 1 \} } \\ { L _ { + } ^ { \downarrow } } & { = \{ \Lambda \in \O ( 1 , 3 ) \mid \operatorname* { d e t } \Lambda = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } \leq - 1 \} } \\ { L _ { - } ^ { \downarrow } } & { = \{ \Lambda \in \O ( 1 , 3 ) \mid \operatorname* { d e t } \Lambda = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } \leq - 1 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \bigg [ \partial _ { i } U _ { i } ( \boldsymbol { r } ) } & { - U _ { i } ( \boldsymbol { r } ) \left( \frac { r _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } \right) } \\ & { \quad + \left( \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } - 1 \right) \frac { \dot { \sigma } _ { i } ( t ) } { \sigma _ { i } ( t ) } \bigg ] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } [ 1 , 1 : ] / \boldsymbol { E } [ 1 , 0 ] = } & { { } \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { 2 \gamma l _ { 2 } } } & { e ^ { 2 \gamma l _ { 3 } } } & { \ldots } & { e ^ { 2 \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] , } \\ { \boldsymbol { E } [ 2 , 1 : ] / \boldsymbol { E } [ 2 , 0 ] = } & { { } \left[ \begin{array} { l l l l } { e ^ { - 2 \gamma l _ { 2 } } } & { e ^ { - 2 \gamma l _ { 3 } } } & { \ldots } & { e ^ { - 2 \gamma l _ { N } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { r P W 9 2 } } ( r _ { s } , \zeta ) : = } & { ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } + \zeta ^ { 2 } \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 1 } } \\ & { + ( 1 - \zeta ^ { 2 } ) \zeta ^ { 2 } \big [ Z _ { 2 } ( r _ { s } ) + \zeta ^ { 2 } Z _ { 3 } ( r _ { s } ) \big ] \; . } \end{array}
{ \displaystyle V _ { \alpha } ^ { i } = \pi _ { \alpha } ^ { i } + i p _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } i } + m \theta _ { \alpha } ^ { i } - i e A _ { \alpha } ^ { i } \approx 0 , \bar { V } _ { \dot { \alpha } i } = \bar { \pi } _ { \dot { \alpha } i } + i \theta _ { i } ^ { \alpha } p _ { \alpha \dot { \alpha } } + m \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } i } - i e \bar { A } _ { \dot { \alpha } i } \approx 0 , }
\begin{array} { r l } { \langle S _ { 2 } | S _ { 1 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 2 } [ 1 + \cos ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } ) ] } \\ { \langle S _ { 2 } | \hat { H } _ { 2 } | S _ { 2 } \rangle } & { { } = - t ( \cos \sigma _ { 1 } + \cos \sigma _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } U \cos \sigma _ { 1 } \cos \sigma _ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial \mathcal { T } } + \frac { \partial \hat { E } _ { e } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { F } _ { e } } { \partial \eta } + \frac { \partial \hat { G } _ { e } } { \partial \zeta } = \frac { \partial \hat { E } _ { v } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { F } _ { v } } { \partial \eta } + \frac { \partial \hat { G } _ { v } } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { \alpha } - \partial _ { t } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \right) - \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \psi _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \theta \boldsymbol { \Phi } _ { \alpha } - \mathbf { q } _ { \alpha } \right) } & { { } } \\ { + \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( r _ { \alpha } - \theta s _ { \alpha } \right) - \boldsymbol { \pi } _ { \alpha } \cdot \mathbf { v } _ { \alpha } + \gamma _ { \alpha } \| \mathbf { v } _ { \alpha } \| ^ { 2 } / 2 } & { { } ~ \geq 0 , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } { f ( x ) d x } = 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { { \frac { 1 } { { { \left( { 2 M } \right) } ^ { 2 n + 1 } } \left( { 2 n + 1 } \right) ! } } { { \left. { { f ^ { ( 2 n ) } } ( x ) } \right| } _ { x = { \frac { m - 1 / 2 } { M } } } } } } \, \, .
W _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } ) = W _ { s t i m } ( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } ) + W _ { s p } ( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { r } } _ { 2 } ) .
C _ { k } = \theta ^ { - k } \left( \sum _ { ( i , j ) : i + j = k } { a _ { i } b _ { j } \theta ^ { k } } + \sum _ { ( i , j ) : i + j = k + n } { a _ { i } b _ { j } \theta ^ { n + k } } \right) = e ^ { - i 2 \pi k / n } \left( \sum _ { ( i , j ) : i + j = k } { a _ { i } b _ { j } e ^ { i 2 \pi k / n } } + \sum _ { ( i , j ) : i + j = k + n } { a _ { i } b _ { j } e ^ { i 2 \pi ( n + k ) / n } } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { [ 0 , 1 ] } g _ { j } ( \alpha ) \; \mathrm { d } [ \bar { \mathfrak { m } } _ { k , m + 1 } ^ { + } - ( 1 - \alpha ) \; \bar { \mathfrak { m } } _ { k , m } ^ { + } ] = 0 , } \\ & { \forall g _ { j } ( \alpha ) , \; j = 1 , 2 , \ldots , \ \ \ m = 0 , 1 , \ldots , M - 1 , \ \ \ k = 0 , \ldots , m . } \end{array}
\pm \left. { \frac { { \frac { \partial f } { \partial u } } \times { \frac { \partial f } { \partial v } } } { { \big \| } { \frac { \partial f } { \partial u } } \times { \frac { \partial f } { \partial v } } { \big \| } } } \right| _ { f ^ { - 1 } ( p ) } , \qquad \pm \left. { \frac { { \big ( } { \frac { \partial h } { \partial u } } , { \frac { \partial h } { \partial v } } , - 1 { \big ) } } { \sqrt { 1 + { \big ( } { \frac { \partial h } { \partial u } } { \big ) } ^ { 2 } + { \big ( } { \frac { \partial h } { \partial v } } { \big ) } ^ { 2 } } } } \right| _ { ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } , \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \pm { \frac { \nabla F ( p ) } { { \big \| } \nabla F ( p ) { \big \| } } } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { M } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \mathbf { P } ( t _ { 0 } , \tau ) } & { h I _ { N } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { h I _ { N } } & { \mathbf { P } ( t _ { 1 } , \tau ) } & { h I _ { N } } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { h I _ { N } } & { \mathbf { P } ( t _ { 2 } , \tau ) } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { \mathbf { P } ( t _ { T } , \tau ) , } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 1 1 } x _ { 3 2 } x _ { 1 2 } ^ { * } x _ { 3 1 } ^ { * } ) } & { = h ( a h b ^ { * } g ^ { * } ) = ( - q ) ^ { - 1 } \cdot h ( a h ( d k - q \cdot f g ) ( b f - q \cdot c e ) ) } \\ & { = - q ^ { - 1 } [ h ( a h d k b f ) - q \cdot h ( a h d k c e ) - q \cdot h ( a h f g b f ) + q ^ { 2 } \cdot h ( a h f g c e ) ] } \\ & { = \frac { - q } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}
E _ { 0 } = | m | \; \; \; \; \; \; { \psi } _ { 0 , m > 0 } ^ { ( - ) } = N _ { 0 } e ^ { i p x _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) .
{ \frac { u _ { i } ^ { n + 1 } - u _ { i } ^ { n } } { \Delta t } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ F _ { i } ^ { n + 1 } \left( u , \, x , \, t , \, { \frac { \partial u } { \partial x } } , \, { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) + F _ { i } ^ { n } \left( u , \, x , \, t , \, { \frac { \partial u } { \partial x } } , \, { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \right) \right] \qquad { \mathrm { ( C r a n k - N i c o l s o n ) } } .