harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { \gamma - 1 } \big ( \frac 1 2 ( \gamma + 1 ) \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \big ) = \frac 1 2 c ^ { 2 } + h ( \rho ) \geq \frac 1 2 | D \varphi | ^ { 2 } + h ( \rho ) \geq 0 \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \binom { n } { k } } p ^ { k } q ^ { n - k } } & { \simeq { \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi n { \frac { k } { n } } \left( 1 - { \frac { k } { n } } \right) } } } \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } } \\ & { \simeq { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } \qquad p + q = 1 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } & { = \mathrm { d i v } ( \mathsf { D } ( \mathbf { x } ) \nabla \mathbf { u } ) + \gamma \mathbf { F } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) , ~ \mathrm { o n } ~ \Omega , } \\ { \nabla \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } } & { = \mathbf { 0 } ~ \mathrm { o n } ~ \partial \Omega . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } & { = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) x ( n _ { 1 } - k _ { 1 } , n _ { 2 } - k _ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 1 } ( k _ { 1 } ) h _ { 2 } ( k _ { 2 } ) x ( n _ { 1 } - k _ { 1 } , n _ { 2 } - k _ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 1 } ( k _ { 1 } ) { \Bigg [ } \sum _ { k _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } h _ { 2 } ( k _ { 2 } ) x ( n _ { 1 } - k _ { 1 } , n _ { 2 } - k _ { 2 } ) { \Bigg ] } } \end{array} }
\Lambda _ { + } = { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { + } = { \frac { 1 } { 4 } } \gamma ^ { - } \gamma ^ { + } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { \sigma _ { 3 } } } \\ { { \sigma _ { 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; ,
| \psi _ { I } ( t ) \rangle = \left[ 1 - { \frac { i \lambda } { \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 1 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 1 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 1 } - t _ { 0 } ) } e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } V ( t _ { 2 } ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 0 } ) } + \ldots \right] | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle ~ ,
\begin{array} { r l r } { 2 \left| \langle \varepsilon \, \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu , \Pi _ { \tau } ^ { \infty } ( \nabla _ { \tau } \nu ) \rangle _ { L ^ { 2 } } \right| } & { \leq } & { \left( \left\| \sqrt { | \varepsilon | } \, \Pi _ { \tau } ^ { \infty } \nu \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { | \varepsilon | } \Pi _ { \tau } ^ { \infty } ( \nabla _ { \tau } \nu ) \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq } & { ( \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } \| \nu \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } \| \nabla _ { \tau } \nu \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 0 ) } } & { { } = \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } \mathbf { D } , } \\ { \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { D } - \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( 0 ) } \ \ , } \\ { \forall _ { k \geq 2 } \ \ \ \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( k ) } } & { { } = - k \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \tilde { C } ( } \omega \mathbf { ) } ^ { ( k - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta , \varphi , \gamma , \omega } \alpha \mathcal { L } _ { R e c } + \beta \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { S } } } + \delta \mathcal { L } _ { O T _ { \mathcal { M } } } + \eta \mathcal { L } _ { R e g } , } \end{array}
c _ { 2 } = { \frac { h _ { 2 } - h _ { 1 } ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } ) } { 1 - ( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \chi ^ { ( 2 ) } } & { = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 2 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 3 ) } } & { = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 3 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 4 ) } } & { = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 4 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 4 } ^ { ( 4 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi ^ { ( 6 ) } } & { = \left( C \, \Big | \, \rho ^ { ( 6 ) } \right) = \left( C \, \Big | \, [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial s } ( s , s _ { 0 } ) + \frac { \partial \rho } { \partial s _ { 0 } } ( s , s _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s ) } { \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) } - \frac { \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \varphi _ { \epsilon } ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } \varphi _ { \epsilon } ( s ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \varphi _ { \epsilon } ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } \left( \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s ) \varphi _ { \epsilon } ( s _ { 0 } ) - \varphi _ { \epsilon } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) \varphi _ { \epsilon } ( s ) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \varphi _ { \epsilon } ^ { 2 } ( s _ { 0 } ) } F _ { \epsilon } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { x } ( x , y , z ) } & { = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ 2 k _ { 1 } + U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } - f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { q _ { y } ( x , y , z ) } & { = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ - 2 k _ { 1 } + U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { b } ^ { 2 } ( z ) } - f _ { 2 } ( x , y , z ) \frac { 4 } { w _ { a } ^ { 2 } ( z ) } \right) \right] , } \\ { q _ { z } ( x , y , z ) } & { = \frac { 2 } { m \Omega ^ { 2 } } \left[ U _ { 0 } g ( z ) \left( f _ { 1 } M _ { 1 } - f _ { 2 } M _ { 2 } \right) + U _ { 0 } N ( z ) \left( f _ { 1 } - f _ { 2 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall \vert \alpha \vert \leq s , \ \ \left\Vert [ \partial _ { x } ^ { \alpha } , E ] g \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } \leq C _ { s } \left( \Vert \nabla _ { x } E \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert g \Vert _ { \mathrm { H } ^ { s - 1 } } + \Vert E \Vert _ { \mathrm { H } ^ { s } } \Vert g \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { m , n } ^ { \rho , \kappa } ( f ) } & { = ( - 1 ) ^ { m } m ! z ^ { \rho } h ^ { \kappa } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \frac { ( - 1 ) ^ { j } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { j } } { j ! ( m - j ) ! } \mathcal { Z } _ { m - j , n } ^ { \kappa + j , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \frac { \partial ^ { j } f } { \partial { z ^ { j } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bf { E } _ { \it { I } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { = } & { E _ { 0 , I } e ^ { i ( k _ { 1 } z - \omega t ) } \bf { \hat { y } } } \\ { \bf { B } _ { \it { I } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { = } & { - \frac { E _ { 0 , I } } { v _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 1 } z - \omega t ) } \bf { \hat { x } } } \\ { \bf { E } _ { \it { R } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { = } & { E _ { 0 , R } e ^ { i ( - k _ { 1 } z - \omega t ) } \bf { \hat { y } } } \\ { \bf { B } _ { \it { R } } ( \it { z } , \it { t } ) } & { = } & { \frac { E _ { 0 , R } } { v _ { 1 } } e ^ { i ( - k _ { 1 } z - \omega t ) } \bf { \hat { x } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ c ] F ( v , t ) } & { { } = \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) , } \\ { ( \mathbf { w } ^ { - } ) ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) } & { { } = N \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } w ^ { - } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) , } \\ { ( \mathbf { w } ^ { + } ) ^ { T } \mathbf { f } ( v , t ) } & { { } = N \sum _ { w ^ { + } = 0 } ^ { N } \sum _ { w ^ { - } = 0 } ^ { N } w ^ { + } g _ { N } ( v , w ^ { - } , w ^ { + } , t ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { B } = \left[ B _ { 1 , x } \left( t \right) , B _ { 1 , y } \left( t \right) , \boldsymbol { G } \left( t \right) \cdot \boldsymbol { x } \left( t \right) + \frac { \Delta \omega ( t ) } { \gamma } \right] ^ { \mathrm { T } } } \end{array}
( T _ { 3 } - T _ { 1 } T _ { 2 } ) \operatorname * { d e t } M _ { R } = D _ { 9 } ^ { 4 } D _ { 5 } ^ { 2 } R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } R _ { 5 } ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { [ \frac { 1 } { 2 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } \\ & { = | B _ { 2 } | + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } \\ & { \leqslant \frac { n } { 4 } + 4 + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| . } \end{array}
\Phi _ { 0 2 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } m ^ { a } m ^ { b } \, , \quad \Phi _ { 2 0 } : = { \frac { 1 } { 2 } } R _ { a b } { \bar { m } } ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } = { \overline { { \Phi _ { 0 2 } } } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { \pi Z ^ { 3 } } { 3 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \left[ \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 1 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( Z q , \sqrt { 2 E } / Z \right) \right] _ { E = E ( \omega , q ) } , } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ u ~ s ~ } } = \frac { 1 - \lambda _ { k } } { \lambda _ { k } } \frac { \operatorname* { d e t } \left( g _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \right) } { \operatorname* { d e t } \left( g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \right) }
T _ { f } = \left( \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \right) ^ { x / ( 1 - q y ) } \left( \frac { \sqrt { m _ { D p } } m ^ { d _ { \perp } - q - 1 } } { a B V _ { p } } \right) ^ { y / ( 1 - q y ) } \sim \left( \frac { 1 } { V _ { p } } \right) ^ { \frac { x + y / 2 } { 1 - q y } }
\begin{array} { r l } { \dot { \hat { a } } } & { = - i \omega _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } , ~ ~ ~ ~ \dot { \hat { a } } ^ { ( 0 ) } = 0 , ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ k _ { h } \neq 0 } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol { v } } } _ { s } } & { = \mathbf { 0 } , ~ ~ ~ ~ \dot { \hat { b } } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { i f } ~ ~ k _ { h } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } } & { = - \frac { \partial F _ { 3 } } { \partial p _ { i } } = \sqrt { f _ { 2 } } \, \bar { x } _ { i } } \\ { \bar { p } _ { i } } & { = - \frac { \partial F _ { 3 } } { \partial \bar { x } _ { i } } = \sqrt { f _ { 2 } } \, p _ { i } - \frac { \dot { f } _ { 2 } } { 2 c } \bar { x } _ { i } \, . } \end{array}
K = \left[ { \frac { d T } { d z } } \right] _ { \bar { z } ^ { + } } - \left[ { \frac { d T } { d z } } \right] _ { \bar { z } ^ { - } } = \left[ { \frac { d T } { d s } } \right] _ { s ( \bar { z } ) } \, \left[ \left( { \frac { d s _ { 2 } } { d z } } \right) _ { \bar { z } ^ { + } } - \left( { \frac { d s _ { 1 } } { d z } } \right) _ { \bar { z } ^ { - } } \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \rangle } & { { } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) P ( k _ { 1 } ) , } \\ { \langle \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \tilde { \delta } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 3 } ) \rangle } & { { } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 3 } ) B ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) , } \\ { \langle \tilde { \delta } _ { A } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } ) \tilde { \delta } _ { B } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) \rangle } & { { } = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta _ { D } ^ { ( 3 ) } ( \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 1 } + \ensuremath { \boldsymbol { k } } _ { 2 } ) P ^ { \mathrm { ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } } ( k _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \bigg ( \frac { 9 \eta c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 8 \mu \gamma } + \frac { 9 \eta c _ { \nu } ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \mu \gamma } \bigg ) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } + 4 \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \frac { 9 \eta \gamma ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } - \frac { 3 \eta } { 1 6 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } - \frac { \hat { L } ^ { 2 } \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } + C _ { 1 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 \leq \ell \leq m } & { : \ \pi _ { \ell } \in \mathfrak { g } ^ { m } } \\ { m + 1 \leq \ell \leq 2 m - 1 } & { : \ \pi _ { \ell } \in \mathfrak { g } ^ { m } \oplus \mathfrak { g } ^ { 2 m - 2 } } \\ { 2 m \leq \ell \leq 3 m - 2 } & { : \ \pi _ { \ell } \in \mathfrak { g } ^ { m } \oplus \mathfrak { g } ^ { 2 m - 2 } \oplus \mathfrak { g } ^ { 3 m - 4 } } \\ { 3 m - 1 \leq \ell \leq 4 m - 3 } & { : \ \pi _ { \ell } \in \mathfrak { g } ^ { m } \oplus \mathfrak { g } ^ { 2 m - 2 } \oplus \mathfrak { g } ^ { 3 m - 4 } \oplus \mathfrak { g } ^ { 4 m - 6 } \mathrm { ~ e t c . } } \end{array}
T _ { l } = \frac { 1 } { 8 } \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } & { { - 2 } } & { { 2 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 2 } } & { { - 3 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \! \right) ^ { \! \! \! \sim } ,
S = \frac { 1 } { 2 \lambda _ { s } ^ { 2 } } \int d t e ^ { \alpha + 2 \beta - \phi } \biggl \{ \frac { 1 } { N } \biggl [ - \dot { \phi } ^ { 2 } - 2 \dot { \beta } ^ { 2 } - 4 \dot { \alpha } \dot { \beta } + 2 \dot { \alpha } \dot { \phi } + 4 \dot { \beta } \dot { \phi } \biggr ] + \frac { w \lambda _ { s } ^ { 2 } } { 4 N ^ { 3 } } \biggl [ 8 \dot { \phi } ~ \dot { \alpha } ~ \dot { \beta } ^ { 2 } - \dot { \phi } ^ { 4 } \biggr ] \biggr \}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } } \tilde { \mathbb { E } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { H } ^ { p } + \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { V } ^ { 2 } d t \right) ^ { p / 2 } \right] < \infty . } \end{array}
\left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial p _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \vec { p } ^ { 2 } } \right] \frac { 1 } { ( p - q ) ^ { 2 } + i o } = - 4 \pi ^ { 2 } i \delta ^ { ( 4 ) } ( p - q ) .
\begin{array} { r } { [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { x _ { 0 } } ^ { \mathrm { R } } ] ( x , x ^ { \prime } ) = t t ^ { \prime } \int _ { S ( 0 , 1 ) \times S ( 0 , 1 ) } k _ { x _ { 0 } } ^ { \mathrm { R } } ( x - c | t | \gamma , x ^ { \prime } - c | t ^ { \prime } | \gamma ^ { \prime } ) \frac { d \Omega d \Omega ^ { \prime } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \end{array}
{ \bf v } _ { \mathrm { L } } = { \bf v } _ { \mathrm { s l } } + \alpha { \bf s ^ { \prime } } \times ( { \bf v } _ { \mathrm { n } } - { \bf v } _ { \mathrm { s l } } ) - \alpha ^ { \prime } { \bf s ^ { \prime } } \times [ { \bf s } ^ { \prime } \times ( { \bf v } _ { \mathrm { n } } - { \bf v } _ { \mathrm { s l } } ) ] ,
\bigl ( \nabla _ { c } \cdot [ r \, \vec { \chi } ] , ~ \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { - } ^ { m } } } \bigr ) = \int _ { \mathcal { R } _ { - } ^ { m } } \nabla _ { c } \cdot [ r \, \vec { \chi } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z = \bigl \langle ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { \chi } , ~ \vec { \nu } ^ { m } \bigr \rangle \qquad \forall \vec { \chi } \in \mathbb { U } ^ { m } .
s = a { \theta _ { 3 } } ^ { 4 } + b { \frac { \theta _ { 3 } ^ { \prime } \theta _ { 3 } ^ { 3 } } { \eta ^ { 1 2 } } } \ , \ \ - t = a { \theta _ { 4 } } ^ { 4 } + b { \frac { \theta _ { 4 } ^ { \prime } \theta _ { 4 } ^ { 3 } } { \eta ^ { 1 2 } } } \ , \ \ - u = a { \theta _ { 2 } } ^ { 4 } + b { \frac { \theta _ { 2 } ^ { \prime } \theta _ { 2 } ^ { 3 } } { \eta ^ { 1 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \left[ n _ { m \sigma } ( t ) , n _ { n \sigma ^ { \prime } } \right] = } & { \frac { 2 i } { N ^ { 2 } } \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \sum _ { q , k , k ^ { \prime } } \sin \Big \{ ( q - k ) m } \\ & { + ( k - k ^ { \prime } ) n - \frac { 2 J } { \hbar } \left[ \cos ( q ) - \cos ( k ) \right] t \Big \} } \\ & { \hat { c } _ { q \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k ^ { \prime } \sigma } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { i } \partial \theta _ { j } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } L _ { 1 } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) + \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } L _ { 2 } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = } & { D _ { 1 } + D _ { 2 } + D _ { 3 } + C _ { 1 } + C _ { 2 } + C _ { 3 } } \\ & { = } & { D _ { 1 } + D _ { 2 } + D _ { 3 } + C _ { 1 } + L _ { 1 } ^ { \ast } + L _ { 2 } ^ { \ast } + L _ { 3 } ^ { \ast } + L _ { 4 } ^ { \ast } } \\ & { } & { + A _ { 1 } ^ { \ast } + A _ { 2 } ^ { \ast } + A _ { 3 } ^ { \ast } + A _ { 4 } ^ { \ast } + A _ { 5 } ^ { \ast } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathscr { L } ( I ) \mathscr { L } ( J ) } ( T , \Delta ) : } & { = \mathbb { E } \biggl [ \int _ { T } ^ { T + \Delta } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle \mathrm { d } t \lvert \mathcal { F } _ { T } \biggr ] } \\ & { = \mathbb { E } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T + \Delta } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t - \int _ { 0 } ^ { T } \langle e _ { I } \shuffle e _ { J } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle { \mathrm { d } } t \lvert \mathcal { F } _ { T } \biggr ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigl [ \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { T + \Delta } \rangle - \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { T } \rangle \lvert \mathcal { F } _ { T } \bigr ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigl [ \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { T + \Delta } \rangle \lvert \mathcal { F } _ { T } \bigr ] - \langle ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } , \widehat { \mathbb { X } } _ { T } \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T _ { f } ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( z - c ) ^ { k } } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - c ) ^ { k + 1 } } } \, d w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { w - c } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { z - c } { w - c } } \right) ^ { k } \, d w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { w - c } } \left( { \frac { 1 } { 1 - { \frac { z - c } { w - c } } } } \right) \, d w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { w - z } } \, d w = f ( z ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \quad 1 = J _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } J _ { n } ^ { 2 } ( s ) \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \quad 0 = 2 J _ { 0 } ( s ) J _ { 2 m } ( s ) + \sum _ { n = 1 } ^ { 2 m - 1 } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } ( s ) J _ { 2 m - n } ( s ) + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } J _ { n } ( s ) J _ { 2 m + n } ( s ) , \quad s \geqslant 0 , } \end{array}
\operatorname { R i e m } ^ { \alpha } { } _ { \beta \xi \eta } = \mathcal { R } ^ { \alpha } { } _ { \beta } ( \mathbf { e } _ { \xi } , \mathbf { e } _ { \eta } ) \, , \qquad \operatorname { R i c } _ { \alpha \beta } = \mathcal { R } ^ { \gamma } { } _ { \alpha } ( \mathbf { \mathbf { e } _ { \gamma } } , \mathbf { e } _ { \beta } ) \, .
\begin{array} { r l } { a \left( \left( \begin{array} { l } { y } \\ { z } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \phi } \\ { \psi } \end{array} \right) \right) : = } & { \eta _ { 0 } \langle \nabla y , \nabla \phi \rangle + \eta _ { 1 } \langle z , \phi \rangle + \nu _ { 0 } \langle y , \phi \rangle + \beta _ { 0 } \langle \nabla z , \nabla \psi \rangle + ( \kappa + \nu _ { 0 } ) \langle z , \psi \rangle - \langle y , \psi \rangle . } \end{array}
\textrm { d i v } \frac { \textbf { R } _ { o } } { R _ { o } ^ { 3 } } = \textbf { R } _ { o } \textrm { g r a d } \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { R _ { o } ^ { 3 } } \textrm { d i v } \textbf { R } _ { o } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \vec { \Delta } _ { L L i } } & { { } = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { L i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { L j } } \\ { \vec { \Delta } _ { L R i } } & { { } = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { L i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { R j } } \\ { \vec { \Delta } _ { R L i } } & { { } = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { R i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { L j } } \\ { \vec { \Delta } _ { R R i } } & { { } = } & { - 3 \, \vec { \delta } _ { R i } + \sum _ { j \neq i } \vec { \delta } _ { R i } } \end{array}
\int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathbf { F } _ { \mathrm { r a d } } \cdot \mathbf { v } d t = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } - P d t = - \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } \mathbf { a } ^ { 2 } d t = - \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \cdot { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } d t .
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { D } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Big ( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } } \\ & { \quad + b \, \textnormal { t r } \left( \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) - \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } \right) \Big ) } \end{array}