harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \rVert ( \Phi ^ { \pm } - I ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \rVert d _ { i } \Phi ^ { \pm } ( i _ { 0 } ) h [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } + \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( 1 , 0 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \frac { c } { \varepsilon } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 - e ^ { \beta ( 1 - T ) } } { 1 + e ^ { \beta ( 1 - T ) } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega \left( { \tau } , { \chi } , { \theta } , { \phi } \right) \longmapsto \frac { 2 } { \sqrt { { \chi } ^ { 2 } + 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 } \sqrt { { \chi } ^ { 2 } - 2 \, { \chi } { \tau } + { \tau } ^ { 2 } + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = T \frac { \nabla n } { n } - \frac { \nabla \times \nabla \times { \mathbf A } } { n } \times { \nabla \times { \mathbf A } } - \frac { \int ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } } { n } \times { \nabla \times { \mathbf A } } , \quad n = \int f \mathrm { d } { \mathbf p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { a } ( t ) \le \beta _ { I , a } ( t ) = 2 \sqrt { \frac { 1 } { D _ { a } ( t ) } \log \left( \frac { 2 n \log ( 2 t ) } { \delta } \right) } \le 2 \sqrt { \frac { 1 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 1 6 n ^ { 2 } Z _ { a } t ^ { 3 } } { \delta } } \le \frac { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a } , \varepsilon / 2 \} ^ { 2 } } { 4 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & & { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 3 } + \frac { x _ { 1 } } { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & & { g ( x , u ) = - ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } u ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x _ { 1 } u ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 2 } \geq 0 \quad \forall u \in U , } \\ & & { U = [ 0 , 1 ] . } \end{array} \right.
N _ { X } ( \sigma , T ) \ll K \operatorname* { m a x } _ { \substack { \sigma - \frac { \alpha } { K } \leqslant \mathrm { R e } ( s ) \leqslant \beta K \, \vert \mathrm { I m } ( s ) \vert \leqslant \beta K } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \vert \operatorname* { d e t } ( 1 - \mathcal { L } _ { \tau _ { 0 } , \tau _ { 1 } , s + i t } ^ { 2 } ) \vert d t \right) + ( C \tau _ { 0 } \tau _ { 1 } ) ^ { 2 K } T .
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \right] _ { L } - \frac { \beta } { 2 } \left( \left[ { E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } } \right] _ { L } + \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] _ { L } \left[ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \right] _ { L } - \Omega ^ { ( 1 ) } \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \right] _ { L } - \frac { \beta } { 2 } \left[ { E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } } \right] _ { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( S , I , R ) : = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( S - S ^ { * } + I - I ^ { * } + R - R ^ { * } \right) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 \mu + \delta } { \beta } \left( I - I ^ { * } - I ^ { * } \ln \left( \frac { I } { I ^ { * } } \right) \right) + \frac { 2 \mu + \delta } { 2 \gamma } ( R - R ^ { * } ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \bf \widehat { \mathbfcal { S } } } \equiv \left\{ \widehat { s } _ { 0 } \, ^ { \prime } , \widehat { s } _ { 1 } \, ^ { \prime } , \widehat { s } _ { 2 } \, ^ { \prime } , \widehat { s } _ { 3 } \, ^ { \prime } \right\} ^ { T }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \mathbf { u } } } { \partial { t } } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } & { = } & { - \nabla p - \Omega \rho \hat { \bf z } + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + { \bf F } _ { \mathrm { L S } } , } \\ { \frac { \partial { \rho } } { \partial { t } } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \rho } & { = } & { \Omega u _ { z } + \kappa \nabla ^ { 2 } \rho , } \\ { { \bf \nabla \cdot u } } & { = } & { 0 , } \end{array}
V ( r ) = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi r } - \sum _ { i } \frac { e ^ { 4 } } { 6 0 \pi ^ { 2 } m _ { i } ^ { 2 } } \biggl ( \frac { \pi } { 2 } \biggr ) ^ { 2 } \frac { M _ { \gamma } ^ { 3 } e ^ { \frac { - M _ { \gamma } ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 8 } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \ ,
H = { \frac { H _ { \Sigma } \langle \phi \rangle - H _ { \Phi } 3 \langle \sigma \rangle } { \sqrt { \langle \phi \rangle ^ { 2 } + 9 \langle \sigma \rangle ^ { 2 } } } } , ~ ~ ~ ~ ~ \bar { H } = { \frac { \bar { H } _ { \Sigma } \langle \phi \rangle - \bar { H } _ { \Phi } 3 \langle \sigma \rangle } { \sqrt { \langle \phi \rangle ^ { 2 } + 9 \langle \sigma \rangle ^ { 2 } } } } .
\begin{array} { r } { \Big ( k _ { 1 } \sigma _ { 1 } + k _ { 2 } \sigma _ { 2 } + \mu _ { n } \sigma _ { 3 } \Big ) \left[ \begin{array} { l } { c _ { + } ^ { n } } \\ { c _ { - } ^ { n } } \end{array} \right] = E \left[ \begin{array} { l } { c _ { + } ^ { n } } \\ { c _ { - } ^ { n } } \end{array} \right] , } \end{array}
\int _ { { \cal M } _ { \alpha } } R ^ { \mu \nu \lambda \rho } R _ { \mu \nu \lambda \rho } = \alpha \int _ { { \cal M } _ { \alpha = 1 } } R ^ { \mu \nu \lambda \rho } R _ { \mu \nu \lambda \rho } + 8 \pi ( 1 - \alpha ) \int _ { \Sigma } R _ { \mu \nu \lambda \rho } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \lambda } n _ { j } ^ { \nu } n _ { j } ^ { \rho } + O ( ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } ) ~ ~ ~ ,
I _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) = 4 i \int ^ { \Lambda } \! \! { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { [ p ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ] [ ( p - q ) ^ { 2 } - m _ { q } ^ { 2 } ] } } \, ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \d r _ { 1 } \cdots \d r _ { n } \frac { r _ { 1 } ^ { \xi _ { 1 } - 1 } \cdots r _ { n } ^ { \xi _ { n } - 1 } } { ( A _ { 0 } + A _ { 1 } r _ { 1 } + \cdots + A _ { n } r _ { n } ) ^ { \xi } } = \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { n } \Gamma ( \xi _ { i } ) } { \Gamma ( \xi ) \prod _ { i = 0 } ^ { n } A _ { i } ^ { \xi _ { i } } }
\begin{array} { r } { \rho ^ { * } ( \varphi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \varphi \in L _ { + } ^ { 1 } , \ \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi ] = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \operatorname { \mathbb { E } } [ \varphi Y ] \leq \tilde { \rho } ( Y ) \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } Y \in L _ { + } ^ { \infty } , } \\ { + \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { k ^ { 4 } V - 2 k ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d \widetilde { z } ^ { 2 } } V + \frac { d ^ { 4 } } { d \widetilde { z } ^ { 4 } } V = 0 \, , \ } \\ { \left( k ^ { 2 } \Theta - \frac { d ^ { 2 } } { d \widetilde { z } ^ { 2 } } \Theta \right) + V = 0 \, , \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { 6 } ( x , t ) } & { { } = \frac { k _ { B } T } { k } \left( 1 - \frac { x } { L } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { x } { L } - u _ { 0 } x \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } [ \hat { \Phi } _ { \ell _ { 1 } } ^ { \alpha } \hat { \Phi } _ { \ell _ { 2 } } ^ { \alpha } ] } & { = { \mathbb E } [ \, | \bar { Y } _ { \ell _ { 1 } } | ^ { 2 \alpha } | \bar { Y } _ { \ell _ { 2 } } | ^ { 2 \alpha } \, ] } \\ & { = \lambda _ { \ell _ { 1 } } ^ { \alpha } \lambda _ { \ell _ { 2 } } ^ { \alpha } [ \Gamma ( \alpha + 1 ) ] ^ { 2 } \, _ { 2 } F _ { 1 } ( - \alpha , - \alpha ; 1 ; \rho _ { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int I \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) \, \Lambda \, \, f _ { 0 } ( D ) } & { \le } & { u \int I \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) \, f _ { 0 } ( D ) , } \\ { \int I \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) \, \Lambda \, \, f _ { 0 } ( D ) } & { \ge } & { \left( u - s \right) \int I \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) \, f _ { 0 } ( D ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u \cdot ( n \cdot \nabla ) u - \int u \cdot \Delta u } \\ & { = \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u \cdot ( n \cdot \nabla ) u + \int u ^ { \perp } \cdot \nabla \omega } \\ & { = \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u \cdot ( n \cdot \nabla ) u - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } \omega + \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } \psi } & { = - \zeta } \\ { \frac { \partial \zeta } { \partial t } + u \frac { \partial \zeta } { \partial x } + v \frac { \partial \zeta } { \partial y } } & { = \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \zeta } \\ { \frac { \partial T } { \partial t } + u \frac { \partial T } { \partial x } + v \frac { \partial T } { \partial y } } & { = \frac { 1 } { R e P r } \nabla ^ { 2 } T } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol b _ { 1 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \, , \quad \boldsymbol b _ { 2 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 3 } \times \boldsymbol a _ { 1 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \boldsymbol b _ { 3 } = 2 \pi \frac { \boldsymbol a _ { 1 } \times \boldsymbol a _ { 2 } } { \boldsymbol a _ { 1 } \cdot [ \boldsymbol a _ { 2 } \times \boldsymbol a _ { 3 } ] } \, , } \end{array}
( \Delta m ^ { 2 } ) _ { 2 3 } \propto { \frac { m _ { D , 2 } m _ { D , 3 } ^ { 5 } s ^ { 4 } } { 4 m _ { 1 } ^ { 2 } w _ { w k } ^ { 2 } v _ { B - L } ^ { 2 } } } ~ .
\sigma _ { 0 } ^ { 2 } = \left( \frac { R } { \xi _ { 1 } h ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } h ^ { 2 } } + \frac { 2 R } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { 6 \lambda _ { 2 } h ^ { 4 } } - \frac { 1 1 } { 1 2 ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ c ~ } } : = 2 \cdot \log _ { 1 0 } \left( E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ } } \right) - 3 \in [ - 1 , 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Re \sum _ { p } \frac { \chi ( p ) \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) } \\ & { = \left( \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \cos \left( \frac { 4 \pi } { 5 } \right) + \beta _ { 2 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { 5 } \right) \right) \sum _ { p } \frac { \chi _ { 0 } ( p ) \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) } \\ & { \geq \left( \frac { 1 } { 5 0 0 } \cos \left( \frac { 4 \pi } { 5 } \right) + \frac { 4 9 9 } { 5 0 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { 5 } \right) - o ( 1 ) \right) \sum _ { p } \frac { \chi _ { 0 } ( p ) \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } , \qquad \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { y } = [ \vec { e } _ { z } \times \vec { e } _ { x } ] , \qquad \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { z } \equiv \vec { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle U \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , V \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { 0 } , U ^ { \dag } V \Phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\frac { \overline { { \mathscr { E } _ { d } } } ( \mathcal { E } _ { z } ) } { \overline { { \mathscr { E } _ { b , n } } } ( \mathcal { E } _ { z } ) } = \frac { c _ { d } t _ { d } / T _ { 2 , d } } { c _ { b , n } t _ { b , n } / T _ { 2 , b } } .
\mathbf { r } = x _ { 1 } { \frac { \mathbf { a } _ { 1 } } { a _ { 1 } } } + x _ { 2 } { \frac { \mathbf { a } _ { 2 } } { a _ { 2 } } } + x _ { 3 } { \frac { \mathbf { a } _ { 3 } } { a _ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { b = } & { { } b ^ { ( 0 ) } + \epsilon b ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } b ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } b ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) , } \\ { \tau = } & { { } \tau ^ { ( 0 ) } + \epsilon \tau ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } \tau ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } \tau ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) , } \\ { \tilde { \eta } = } & { { } \epsilon \tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } + \epsilon ^ { 2 } \tilde { \eta } ^ { ( 2 ) } + \epsilon ^ { 3 } \tilde { \eta } ^ { ( 3 ) } + O ( \epsilon ^ { 4 } ) . } \end{array}
| \l _ { 0 } \rangle , \ | \l _ { 0 } - 1 / 2 , i _ { 1 } \rangle . . . , \ | \l _ { 0 } - l / 2 , i _ { 1 } , . . . , i _ { l } \rangle , \ | \l _ { 0 } - N / 2 , i _ { 1 } , . . . , i _ { N } \rangle
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n } & { { } = - \nabla \cdot ( n \boldsymbol { u } ) , } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } & { { } = \frac { 1 } { n } \boldsymbol { b } \cdot \nabla \boldsymbol { b } - \frac { 1 } { n } \nabla \left( c _ { s } ^ { 2 } n + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } \right) + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } } \\ { \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { b } } & { { } = \boldsymbol { b } \cdot \nabla \boldsymbol { u } - \boldsymbol { b } \nabla \cdot \boldsymbol { u } - d _ { i } \nabla \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } - \eta \nabla \times \left( \frac { \nabla \times \boldsymbol { b } } { n } \right) , } \\ { \nabla \cdot \boldsymbol { b } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 7 } + _ { 1 } + _ { 3 } + _ { 9 } + _ { 3 } + _ { 5 } + _ { 2 } + _ { 4 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { w \leq m - n } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } + 2 \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ) } \\ & { \quad + \delta _ { q , i } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { w \leq m - n } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } - 2 \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] } \\ & { \quad + ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \delta _ { q , i } ( m - n ) e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
{ \cal M } _ { V C S } = - i e ^ { 2 } \epsilon _ { \mu } \epsilon _ { \nu } ^ { \ast } M ^ { \mu \nu } = - i e ^ { 2 } \epsilon _ { \mu } M ^ { \mu } = i e ^ { 2 } \left( \vec { \epsilon } _ { T } \cdot \vec { M } _ { T } + \frac { q ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \epsilon _ { z } M _ { z } \right) ,
\zeta _ { a } ^ { \prime } ( 0 ) = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 4 8 } } \zeta _ { R } ( 3 ) \pi ^ { 2 } \int d ^ { 4 } x ( \partial ^ { 2 } \beta ^ { - 2 } ) ,
A _ { f i } \; = \; - 4 \pi \alpha \cdot e _ { t } ^ { 2 } \psi ^ { + } \left[ a \tilde { G } ( \vec { p } , E ) + \frac { p } { m _ { t } } \vec { b } \cdot \vec { \sigma } \cdot \tilde { F } ( \vec { p } , E ) \right] \chi \cdot \left( E - \frac { \vec { p } ^ { 2 } } { m _ { t } } + i \Gamma _ { t } \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { | c | = 1 } { \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } } \, \Theta _ { a } \Phi _ { b } } & { { } = \alpha _ { N } \left( { \frac { N \pi _ { N } - 1 } { N - 1 } } \right) \delta _ { a b } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \beta _ { 1 2 } D _ { 1 3 } c _ { 1 2 } + \delta _ { 1 2 } D _ { 2 3 } d _ { 1 2 } = b _ { 2 3 } D _ { 1 3 } \gamma _ { 2 3 } + d _ { 2 3 } D _ { 1 2 } \delta _ { 2 3 } } \\ & { } & { \beta _ { 1 2 } D _ { 1 3 } a _ { 1 2 } + \delta _ { 1 2 } D _ { 2 3 } b _ { 1 2 } = d _ { 2 3 } B _ { 1 2 } \delta _ { 1 3 } } \\ & { } & { \delta _ { 1 2 } B _ { 2 3 } d _ { 1 3 } = b _ { 2 3 } D _ { 1 3 } \alpha _ { 2 3 } + d _ { 2 3 } D _ { 1 2 } \beta _ { 2 3 } } \\ & { } & { \beta _ { 1 2 } B _ { 1 3 } d _ { 2 3 } = d _ { 2 3 } B _ { 1 2 } \beta _ { 1 3 } } \\ & { } & { \delta _ { 1 2 } B _ { 2 3 } b _ { 1 3 } = b _ { 2 3 } B _ { 1 3 } \delta _ { 1 2 } } \\ & { } & { \beta _ { 1 2 } B _ { 1 3 } b _ { 2 3 } = b _ { 2 3 } B _ { 1 3 } \beta _ { 1 2 } \quad ( * ) } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \hat { \Tilde { \rho } } } { \partial t } = [ \hat { \Tilde { H } } , \hat { \Tilde { \rho } } ] - i \hbar \frac { 1 } { 2 } ( \hat { \Gamma } \hat { \Tilde { \rho } } + \hat { \Tilde { \rho } } \hat { \Gamma } ) + i \hbar \hat { \Lambda } .
= \frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \sum _ { n , m } \frac { 1 } { ( E _ { n } - t _ { 0 } ) ^ { 2 } } < n | O _ { k } | m > < m | O _ { l } | n > \frac { 2 ( E _ { m } - E _ { n } ) } { p ^ { 2 } + ( E _ { m } - E _ { n } ) ^ { 2 } } ,
\left( { \cal H } ^ { a , b , c } \, \oplus \, { \cal H } ^ { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } , c ^ { \prime } } \right) \, \textcircled { \scshape A } \, \left( { \cal H } ^ { a , b , c } \, \oplus \, { \cal H } ^ { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } , c ^ { \prime } } \right)
E _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } = \sqrt { 1 6 \pi \, a _ { \mathrm { ~ B ~ o ~ h ~ r ~ } } ^ { 2 } \, n _ { 0 } \, h _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ m ~ } } } \, E _ { \mathrm { ~ R ~ y ~ d ~ b ~ e ~ r ~ g ~ } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } / \hbar } & { { } = } & { \tilde { \omega } _ { w } \hat { a } ^ { \dag } \hat { a } + \tilde { \omega } _ { d } \hat { b } ^ { \dag } \hat { b } + \tilde { \omega } _ { c } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } + g _ { d } ( \hat { a } ^ { \dag } \hat { b } + \hat { a } \hat { b } ^ { \dag } ) + } \end{array}
f _ { k } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = \omega _ { k } c , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \omega _ { 0 } = 4 / 9 , \quad \omega _ { 1 , 2 , 3 , 4 } = 1 / 9 , \quad \omega _ { 5 , 6 , 7 , 8 } = 1 / 3 6 ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { 2 \phi _ { d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ; 0 , \hat { \Omega } _ { \mathcal { C } \mathcal { C } } ) ( 1 / 2 + \eta \alpha _ { \eta , \mathcal { C } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) ) = } & { 2 \phi _ { d _ { \mathcal { C } } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ; 0 , \hat { \Omega } _ { \mathcal { C } \mathcal { C } } ) F ( \alpha _ { \eta , \mathcal { C } } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) ) + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ^ { - 1 } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { \downarrow z } ^ { i } } & { { } = - v _ { s } - v _ { s } W _ { 0 } \left( - e ^ { - 1 - h ^ { i } / v _ { s } ^ { 2 } } \right) , } \\ { v _ { \downarrow x } ^ { i } } & { { } \simeq v _ { \uparrow x } ^ { i } + \frac { v _ { \uparrow z } ^ { i } - v _ { \downarrow z } ^ { i } } { v _ { s } + v _ { \uparrow z } ^ { i } } [ u _ { x } ( \overline { { z } } _ { \ast } ^ { i } ) - v _ { \uparrow x } ^ { i } ] , } \end{array}
{ \cal H } _ { \pm , l } = - \displaystyle \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + \displaystyle \frac { ( l + \Phi ( r ) ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } } { r ^ { 2 } } \mp \displaystyle \frac { \Phi ^ { \prime } ( r ) } { r } ,
\sum _ { m = 1 } ^ { N _ { 0 } } \bar { F } _ { n m } K ^ { q \left( m \right) } = 0 , \ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \bar { F } _ { n m } : = \mathfrak { z } _ { \left( n \right) } ^ { a } F _ { a b } \mathfrak { z } _ { \left( m \right) } ^ { b } ,
u _ { j } ^ { n + 1 } = u _ { j } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x _ { j } } \left( f _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - f _ { j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right)
{ \begin{array} { r l } { \langle f \mid g \rangle } & { = \langle \Psi | ( { \hat { A } } - \langle { \hat { A } } \rangle ) ( { \hat { B } } - \langle { \hat { B } } \rangle ) \Psi \rangle } \\ & { = \langle \Psi \mid ( { \hat { A } } { \hat { B } } - { \hat { A } } \langle { \hat { B } } \rangle - { \hat { B } } \langle { \hat { A } } \rangle + \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle ) \Psi \rangle } \\ & { = \langle \Psi \mid { \hat { A } } { \hat { B } } \Psi \rangle - \langle \Psi \mid { \hat { A } } \langle { \hat { B } } \rangle \Psi \rangle - \langle \Psi \mid { \hat { B } } \langle { \hat { A } } \rangle \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle \Psi \rangle } \\ & { = \langle { \hat { A } } { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle + \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle } \\ & { = \langle { \hat { A } } { \hat { B } } \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \tilde { B } ( Q , q ; m _ { \gamma } , k _ { s } ) = \frac { \alpha } { \pi } \, \bigg \{ } } & { { } { { } \left[ \, \nu A ( Q , q ) - 1 \, \right] \, \ln \frac { 4 k _ { s } ^ { 2 } } { m _ { \gamma } ^ { 2 } } - \frac { M ^ { 2 } } { 2 } A _ { 4 } ( Q , Q ) - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } A _ { 4 } ( q , q ) } } \\ { { } } & { { } { { } - \nu A _ { 4 } ( Q , q ) \bigg \} , } } \end{array}
f _ { U } ( \mathbf { 0 } _ { 2 d } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf x \in \mathbb { R } ^ { 2 d } } f _ { U } ( \mathbf x ) = f ( \mathbf { 0 } _ { d } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf x \in \mathbb { R } ^ { d } } f ( \mathbf x ) , \quad \textnormal { a n d } \quad \| f _ { U } ( \mathbf x ^ { \prime } ) - f _ { U } ( \mathbf x ) \| = \| f ( U ^ { \top } \mathbf x ^ { \prime } ) - f ( U ^ { \top } \mathbf x ) \| .
\begin{array} { r } { \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathbf { x } } = \mathbb { E } [ \mathbf { x } _ { [ \imath ] } ( t ) \mathbf { x } _ { [ \imath ] } ( t ) ^ { H } ] = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { U } , \mathrm { S } } \mathbf { \bar { P } } \mathbf { H } _ { \mathrm { U } , \mathrm { S } } ^ { H } + \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } \mathbf { R } _ { [ 1 ] , \mathrm { s } } \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } ^ { H } , \quad } & { \mathrm { i f } \ \imath = 1 , } \\ { \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } \mathbf { R } _ { [ 2 ] , \mathrm { s } } \mathbf { G } _ { \mathrm { t } } ^ { H } , \quad } & { \mathrm { i f } \ \imath = 2 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } \left( X _ { i } - q \right) - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } \left( Y _ { j } - p \right) \geq \frac { 1 + \rho } { 2 } \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) ( p - q ) \right) } \\ & { \geq \exp \left( - J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , p , q } - \rho \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { q } - 4 \sqrt { \frac { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ( p - q ) ^ { 2 } p } { q ^ { 2 } } } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \sqrt { \frac { 2 } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) q } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { A } ( x ) \oplus _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { { } = } & { 1 , } \\ { 1 \ominus _ { \mathbb { X } } \chi _ { A } ( x ) } & { { } = } & { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) , } \\ { \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A } ( x ) } & { { } = } & { \chi _ { A } ( x ) , } \\ { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) } & { { } = } & { \chi _ { A ^ { \prime } } ( x ) . } \end{array}