harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
b _ { \underline { { { n } } } \sigma } ^ { \dagger } = \frac { \pi / L _ { \perp } } { \sqrt { 8 \pi ^ { 3 } n } } b _ { \underline { { { p } } } \sigma } ^ { \dagger } \, , \; \; a _ { \underline { { { m } } } } ^ { \dagger } = \frac { \pi / L _ { \perp } } { \sqrt { 8 \pi ^ { 3 } m } } a _ { \underline { { { q } } } } ^ { \dagger } \, , \; \;
m _ { n } ( - , - , + , . . . , + ) = { \frac { \langle p _ { i } p _ { j } \rangle ^ { 4 } } { \langle p _ { 1 } p _ { 2 } \rangle \cdots \langle p _ { n - 1 } p _ { n } \rangle \langle p _ { n } p _ { 1 } \rangle } } \, ,
F [ \mathbf { E } ] : = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { \Omega _ { g } } \int _ { 0 } ^ { T } \varepsilon _ { \infty , \mathrm { g } } \mathbf { E } \mathbf { E } \, \mathrm { d } t \mathrm { d } ^ { 3 } r ,
\tilde { H } = \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { \Delta } - i \tilde { \gamma } } & { - 1 } & { \tilde { \Omega } / 2 } \\ { - 1 } & { \tilde { \Delta } + i \tilde { \gamma } } & { \tilde { \Omega } / 2 } \\ { \tilde { \Omega } / 2 } & { \tilde { \Omega } / 2 } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { p r i } ( \mathbf { r } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { G } \frac { \mathbf { J } _ { p r i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \times \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \ d v ^ { \prime } } \\ { u _ { v o l } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sigma _ { j } ^ { \prime } - \sigma _ { j } ^ { \prime \prime } \right) \int _ { S _ { j } } V \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \frac { \mathbf { n } ^ { \prime } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \times \mathbf { r } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } } { F \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } \ d S _ { j } ^ { \prime } } \end{array}
\psi ^ { \mathrm { r } , \mathrm { b } , \mathrm { p } } ( x , y , z , t ) = \sum _ { m = 1 } ^ { N } M _ { m } f _ { m } ^ { \mathrm { r } , \mathrm { b } , \mathrm { p } } ( x ) g _ { m } ( y ) h _ { m } ( z ) \exp \left( - \mathrm { i } \frac { E _ { m } } { \hbar } t \right) \, , \quad 0 \le x \le l _ { x } ^ { \mathrm { r } , \mathrm { b } , \mathrm { p } } \, ,
a x ^ { 2 } + b x + c = a \left( x - { \frac { - b + { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } { 2 a } } \right) \left( x - { \frac { - b - { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } { 2 a } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( ) } } & { \le \int _ { \{ \forall t \in [ - 1 , 2 ] \; X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \} } \int _ { 0 } ^ { 1 } \zeta ( X ( t ) ) d t d \mathbb { P } } \\ & { + \mathbb { P } \big ( \bar { \Omega } - \{ \forall t \in [ - 1 , 2 ] \; X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \} \big ) \operatorname* { s u p } _ { B _ { R } } \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \eta ( z , z ^ { \prime } ) \mathcal { E } ( \boldsymbol { \rho } \! + \! \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) \chi ( \boldsymbol { \rho } \! - \! \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \left[ \delta _ { \lambda , H } \delta _ { \lambda ^ { \prime } , V } + \delta _ { \lambda , V } \delta _ { \lambda ^ { \prime } , H } e ^ { i \Phi _ { B } ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) } \right] . } \end{array}
{ \mathcal { L } } ( \varphi _ { 1 } , . . . , \varphi _ { N } ) = { \frac { 1 } { 2 } } [ \partial ^ { \mu } \varphi _ { a } \partial _ { \mu } \varphi _ { a } - m ^ { 2 } \varphi _ { a } \varphi _ { a } ] - { \frac { 1 } { 4 } } \lambda ( \varphi _ { a } \varphi _ { a } ) ^ { 2 } , \quad a = 1 , . . . , N .
\delta \approx \frac { Q } { \omega _ { 0 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 } \right) = \frac { Q } { \omega _ { 0 0 } } \left( \omega - \omega _ { 0 0 } + \alpha \beta i ^ { 2 } \right) = a + b i ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ( r ) = } & { { } \sum _ { \mu \nu } P _ { \mu \nu } ^ { \sigma } \Bigg [ \frac { 4 \chi _ { \mu } ( r ) \chi _ { \nu } ^ { \prime } ( r ) } { r } } \end{array}
\mathrm { d } X _ { t } ^ { \xi , s } = u ( X _ { t } ^ { \xi , s } , t ) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \nu } \mathrm { d } B _ { t } , \quad X _ { \tau } ^ { \xi , s } = \xi , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \tau \leq s .
\displaystyle \frac { { \cal J } _ { - } } { { \cal J } _ { + } } = 2 \displaystyle \frac { J _ { l - \xi } ( k a ) J _ { l + \Phi } ( k a ) - J _ { l } ( k a ) J _ { l + \Phi - \xi } ( k a ) } { J _ { l - \xi } ( k a ) H _ { l + \Phi } ^ { + } ( k a ) - J _ { l } ( k a ) H _ { l + \Phi - \xi } ^ { + } ( k a ) } - 1 .
G \left( \theta \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \beta } \cos ^ { 2 } \left( { \frac { 2 \pi \theta } { 4 \beta } } \right) \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } | \theta | < \beta , } \\ { 0 \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
N \equiv \ln \frac { a ( t _ { e n d } ) } { a ( t ) } = \int _ { t } ^ { t _ { e n d } } H d t \approx \frac { 1 } { M _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } \int _ { \phi _ { e n d } } ^ { \phi } \frac { V } { V ^ { \prime } } d \phi \, ,
\begin{array} { r l } { N \gamma ^ { 2 } \frac { \partial V } { \partial t } = } & { N \alpha \gamma \left( 1 - \frac { V ^ { 2 } } { \alpha } \right) \frac { \partial \phi } { \partial z } - N \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial z } + \frac { V } { \alpha ^ { 2 } } \frac { \partial a ^ { 2 } } { \partial t } \right) } \\ & { - \frac { \gamma \alpha } { m _ { e } c ^ { 2 } } \frac { \partial P _ { e } } { \partial z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \colon } & { A \times A \to \left( \mathbb { R } ^ { 2 } \right) ^ { [ 0 , 1 ] } , } \\ { s _ { A , j } \colon } & { A \times \pi ^ { - 1 } \left( a _ { j } - 1 / 4 , a _ { j } + 1 / 4 \right) \to \left( \mathbb { R } ^ { 2 } \right) ^ { [ 0 , 1 ] } , } \\ { s _ { i , A } \colon } & { \pi ^ { - 1 } \left( a _ { i } - 1 / 4 , a _ { i } + 1 / 4 \right) \times A \to \left( \mathbb { R } ^ { 2 } \right) ^ { [ 0 , 1 ] } , } \\ { s _ { i , j } \colon } & { \pi ^ { - 1 } \left( a _ { i } - 1 / 4 , a _ { i } + 1 / 4 \right) \times \pi ^ { - 1 } \left( a _ { j } - 1 / 4 , a _ { j } + 1 / 4 \right) \to \left( \mathbb { R } ^ { 2 } \right) ^ { [ 0 , 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 G _ { \xi \eta } ( \xi , \eta ) = } & { { \widetilde { \mu } ( \xi , \eta ) } G ( \xi , \eta ) + f \left( \frac { \xi + \eta } { 2 } , \frac { \xi - \eta } { 2 } \right) + \int _ { \frac { \xi - \eta } { 2 } } ^ { \frac { \xi + \eta } { 2 } } \widetilde { \mathcal { G } } ( z , \xi , \eta ) \mathrm { d } z , } \\ { G ( \xi , 0 ) = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } } \xi , } \\ { G _ { \xi } ( \xi , \xi ) = } & { G _ { \eta } ( \xi , \xi ) , } \\ { G ( 0 , 0 ) = } & { 0 , } \end{array}
u _ { i } ^ { \mathrm { a n } } \left( R \right) = \left[ \left( R ^ { 3 } + r _ { \mathrm { i n } } ^ { 3 } - R _ { \mathrm { i n } } ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - R , \ 0 , \ 0 \right] .
\mathrm { { m i n } _ { \mathbf { t } , \mathbf { o } } f , \quad \mathrm { { w i t h } \quad f = \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { m } } ( y _ { q } - \mathbf { o } ^ { T } \lvert \mathbf { F } ( \mathbf { a } _ { q } ^ { * } \odot \mathbf { t } ) \rvert ^ { 4 } ) ^ { 2 } , } }
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { f a r } } } & { = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left[ f _ { j m } \langle I \rangle _ { \mathrm { s c a } } - g _ { j m } \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } \right] } \\ { V _ { \mathrm { f a r } } } & { = \frac { 1 } { ( k r ^ { 2 } ) j ( j + 1 ) } \left[ - g _ { j m } \langle I \rangle _ { \mathrm { s c a } } + f _ { j m } \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ( R _ { i j } ) = \frac { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { d a t a } } \right) } { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { d a t a } } \right) + \frac { \left| { \cal D } ^ { \mathrm { r a n d } } \right| } { \left| { \cal D } ^ { \mathrm { d a t a } } \right| } P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { r a n d } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( u _ { g } ) _ { t } + f _ { 0 } u _ { a g } ^ { \perp } + \beta y u _ { g } ^ { \perp } + g \nabla \eta _ { a g } = 0 , ( \eta _ { g } ) _ { t } + H \nabla \cdot u _ { a g } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { Q _ { ( 0 , b ) } } \partial _ { t } ( \varepsilon \partial _ { t } \vec { \eta } \cdot \partial _ { t } \vec { \eta } ) \, \mathrm d x \, \mathrm d t - \frac { 1 } { 2 } \int _ { Q _ { ( 0 , b ) } } \partial _ { t } ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } \cdot \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \eta } ) \, \mathrm d x \, \mathrm d t \leq 0 . } \end{array}
\frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \left( c _ { 1 } \ln ^ { 2 } \, \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + c _ { 2 } \ln \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + c _ { 3 } \right) ,
z ^ { h } { \frac { d ^ { h } } { d z ^ { h } } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { 0 , \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } , h } \end{array} } \; \right| \, z \right) = ( - 1 ) ^ { h } \; G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m + 1 , \, n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } , 0 } \\ { h , \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) ,
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( \partial \psi _ { 1 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 2 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 3 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 4 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 1 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 2 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 3 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 4 } / \partial y ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { d \psi _ { 1 } } \\ { d \psi _ { 2 } } \\ { d \psi _ { 3 } } \\ { d \psi _ { 4 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\left( \frac { \partial } { \partial \beta } \zeta ^ { \prime } ( s ) \right) _ { s = 0 } = - 2 \sum _ { m } \int \frac { d k } { 2 \pi } \frac { 1 } { \lambda _ { m } ^ { 2 } ( k ) } \frac { \partial } { \partial \beta } \lambda _ { m } ^ { 2 } ( k ) \; .
\Gamma \left[ \phi _ { \mathrm { c l } } ^ { \alpha } , J _ { O } \right] = W \left[ J ^ { \alpha } , J _ { O } \right] - \sum _ { \beta } \: \int _ { c } \: d ^ { 4 } x \: J _ { \beta } ( x ) \phi _ { \mathrm { c l } } ^ { \beta } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } = \sum _ { i < j } [ - \beta _ { i j } \hat { w } _ { i j } + a _ { i j } ^ { * } \ln \beta _ { i j } ] \quad } & { \Longrightarrow \quad \beta _ { i j } = \frac { a _ { i j } ^ { * } } { \hat { w } _ { i j } } } \\ { \mathcal { G } _ { \underline { { \psi } } } = \sum _ { i < j } [ - \beta _ { i j } \hat { w } _ { i j } + p _ { i j } \ln \beta _ { i j } ] \quad } & { \Longrightarrow \quad \beta _ { i j } = \frac { p _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } } \\ { \langle \beta _ { i j } \rangle = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \beta _ { i j } ( \mathbf { A } ) = } \\ { = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \frac { a _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } \quad } & { \Longrightarrow \quad \langle \beta _ { i j } \rangle = \frac { p _ { i j } } { \hat { w } _ { i j } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\{ \hat { \lambda } _ { i } , \hat { \lambda } _ { j } \right\} + \left[ \hat { \lambda } _ { i } , \hat { \lambda } _ { j } \right] } & { { } = 2 \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } , } \end{array}
\operatorname* { P r } [ X < x ] = ( 1 - x ) ^ { - 3 } / 2 { \mathrm { ~ f o r ~ n e g a t i v e ~ } } x { \mathrm { ~ a n d ~ } } \operatorname* { P r } [ X > x ] = ( 1 + x ) ^ { - 3 } / 2 { \mathrm { ~ f o r ~ p o s i t i v e ~ } } x .
\begin{array} { r l } { { \bf f } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) = } & { { } { \boldsymbol \rho } _ { \mathrm { m i n } } ^ { ( 0 ) } [ { \bf n } ^ { ( 0 ) } ] - { \bf n } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D O S } } } \, = \, \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D O S } , e } } + \frac { 1 } { C _ { \mathrm { D O S } , \mathrm { L i ^ { + } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { k } _ { a b } ^ { ( j ) } = \frac { \mathrm { s e c h } ( k _ { a } | h _ { j } | ) } { \Sigma \cosh ( k _ { b } | h _ { j } | ) } \int _ { h _ { j } } ^ { \xi } \mathrm { d } z \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \Bigl \{ } & { { } \nabla \chi _ { a } \cdot \nabla \chi _ { b } \cosh [ k _ { a } ( z - h _ { j } ) ] \cosh [ k _ { b } ( z - h _ { j } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta ^ { n } f ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n + 1 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i < j } ( - 1 ) ^ { i + j + ( x _ { i } + x _ { j } ) ( x _ { 1 } + \cdots + x _ { i - 1 } ) + x _ { j } ( x _ { i + 1 } + \cdots + x _ { j - 1 } ) } } \\ & { } & { f ( [ x _ { i } , x _ { j } ] , x _ { 1 } , \ldots , \hat { x _ { i } } , \ldots , \hat { x _ { j } } , \ldots , x _ { n + 1 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } ( - 1 ) ^ { i - 1 + x _ { i } ( f + x _ { 1 } + \cdots + x _ { i - 1 } ) } [ x _ { i } , f ( x _ { 1 } , \ldots , \hat { x _ { i } } , \ldots , x _ { n + 1 } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \xi \in \Xi } \sum _ { \zeta \in \Xi } c _ { \xi } \overline { { c _ { \zeta } } } K ( \xi , \zeta ) } & { = \sum _ { \xi \in \Xi } \sum _ { \zeta \in \Xi } c _ { \xi } \overline { { c _ { \zeta } } } \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } f _ { \ell } ( \xi ) \overline { { f _ { \ell ^ { \prime } } ( \zeta ) } } } \\ & { = \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } y _ { \ell } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } \overline { { y _ { \ell ^ { \prime } } } } = \langle A ( y ) , y \rangle \geq 0 , } \\ & { \mathrm { w i t h ~ } y = \left( \sum _ { \xi \in \Xi } c _ { \xi } f _ { 1 } ( \xi ) \right) _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \in Y . } \end{array}
- \mathcal { \hat { D } } _ { v } ( \boldsymbol { \hat { n } _ { l } } \cdot \hat { \nabla } \hat { \rho } ^ { v } ) | _ { \hat { \zeta } } = \alpha \bigg ( \frac { \hat { R } \hat { T } _ { s } } { 2 \pi \hat { M } } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \rho } ^ { v e } - \hat { \rho } ^ { v } | _ { \hat { \zeta } } ) .
\left\langle \delta x _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi ^ { 0 } , f r } = \frac { \Delta ^ { 2 } } { V _ { d } ^ { 2 } } , \ \ \left\langle \delta x _ { 2 } ^ { 2 } \right\rangle _ { \phi ^ { 0 } , f r } = 2 \ D _ { 2 } ^ { f r } t
\left[ \left( z ( 1 - z ) { \frac { d } { d z } } \right) ^ { 3 } - q _ { 2 } z ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } { \frac { d } { d z } } + i q _ { 3 } z ( 1 - z ) \right] Q ( z ) = 0 .
h _ { \pm } ( { \vec { q } } , t ) = ( 1 + Z _ { \Lambda } ) ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 W _ { \pm } ( { \vec { q } } , t ) } } e ^ { \pm i \int _ { - T } ^ { t } W _ { \pm } ( { \vec { q } } , t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } }
\left[ \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \xi ^ { 2 } - 1 \right) \frac { \partial } { \partial \xi } + a \xi + \frac { R ^ { 2 } E _ { j } } { 2 } \left( \xi ^ { 2 } - 1 \right) + \frac { \omega ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 4 } \left( 1 - \xi ^ { 4 } \right) + \lambda _ { j } - \frac { \widetilde { m } _ { j } ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } - 1 } \right] F _ { j } \left( \xi ; R \right) = 0 ,
\hat { \pi } _ { 2 n L } ^ { ( 2 ) } = \pi _ { 2 n L } ^ { ( 2 ) } , \quad \hat { \tau } _ { 2 n L } ^ { ( 2 ) } = \tau _ { 2 n L } ^ { ( 2 ) } , \quad \hat { \sigma } _ { 2 n L } ^ { i j ( 2 ) } = \sigma _ { 2 n L } ^ { i j ( 2 ) } .
\begin{array} { r l } { U ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = U _ { E } ( \mathbf { r } ) + \widetilde { U } _ { E } ( \mathbf { r } ) \cos ( \Omega t ) + \sum _ { i = 1 } U _ { D , i } ( \mathbf { r } ) \left[ 1 + \eta _ { i } \cos ( \Omega t ) \right] , } \end{array}
\epsilon ^ { b c d e } = i ( \epsilon ^ { B D } \epsilon ^ { C E } \epsilon ^ { B ^ { \prime } E ^ { \prime } } \epsilon ^ { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } - \epsilon ^ { B E } \epsilon ^ { C D } \epsilon ^ { B ^ { \prime } D ^ { \prime } } \epsilon ^ { C ^ { \prime } E ^ { \prime } } ) .
\mathrm { I = \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d G \int _ { G } ^ { 1 - x + G } d y \int _ { 0 } ^ { x - G } d v \right\} \int _ { 0 } ^ { \infty } d A A ^ { 4 } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \ p i ) ^ { 4 } } ~ { \it q } _ { i } ~ e ^ { - E } ~ , }
\begin{array} { r } { { \bf e } ( { \bf r } , t ) = { \bf e } _ { 0 } \, e ^ { i ( { \bf k } \cdot { \bf r } - \omega t ) } \; \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \, \, { \bf b } ( { \bf r } , t ) = { \bf b } _ { 0 } \, e ^ { i ( { \bf k } \cdot { \bf r } - \omega t ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { e ^ { \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } g _ { \alpha } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } = \frac { \sqrt { \mu _ { \gamma } } f } { \mu _ { q _ { \alpha } } } = \frac { f } { \sqrt { \mu _ { \gamma } } } + \left( \frac { 1 } { \sqrt { \mu _ { \gamma } } } - \frac { \sqrt { \mu _ { \gamma } } } { \mu _ { q _ { \alpha } } } \right) f = \frac { f } { \sqrt { \mu _ { \gamma } } } + \left( \frac { \mu _ { q _ { \alpha } } } { \mu _ { \gamma } } - 1 \right) \frac { e ^ { \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } g _ { \alpha } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 , x } } & { { } = a _ { 0 , y } = - \frac { 1 } { 2 } a _ { z } = \frac { 4 k _ { 0 } } { m \Omega ^ { 2 } } , } \\ { q _ { 0 , x } } & { { } = - q _ { 0 , y } = \frac { 4 k _ { 1 } } { m \Omega ^ { 2 } } , } \\ { q _ { 0 , z } } & { { } = 0 . } \end{array}
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
J _ { 5 } ^ { \mu } = F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \overline { { { \psi _ { 1 } } } } ( \gamma ^ { \mu } - \frac { q ^ { \nu } \gamma _ { \nu } } { q ^ { 2 } } q ^ { \mu } ) \gamma _ { 5 } \psi _ { 2 }
g ( \tau ) = \left\{ \begin{array} { l c c } { \exp \left( - \frac { 1 } { \tau ^ { p } ( 1 - \tau ) ^ { p } } \right) , } & { \mathrm { f o r } } & { \tau \in ( 0 , 1 ) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { f o r } } & { \tau \notin ( 0 , 1 ) , } \end{array} \right.
\Phi ^ { \prime } = \frac { ( 2 \varepsilon ( \hat { \bf p } ) ) ^ { - 1 / 2 } } { ( \varepsilon ( \hat { \bf p } ) + m c ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( ( \varepsilon ( \hat { \bf p } ) + m c ^ { 2 } ) \Phi ( \varepsilon ( \hat { \bf p } ) + m c ^ { 2 } ) + c ^ { 2 } \vec { \sigma } { \bf \hat { p } } \Phi \vec { \sigma } { \bf \hat { p } } \right) \frac { ( 2 \varepsilon ( \hat { \bf p } ) ) ^ { - 1 / 2 } } { ( \varepsilon ( \hat { \bf p } ) + m c ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \, ;
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb E [ \mathrm { L F } ( l _ { i } , r _ { i } ) ] - \frac { 2 } { n } \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| } \\ & { \le \left| \mathbb E [ \mathrm { L F } ( l _ { i } , r _ { i } ) ] - \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| + \left| \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } - \frac { 2 } { n } \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| } \\ & { = R + \left| \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } - \frac { 2 } { n } \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| } \\ & { \le R + \left| \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } - \frac { 2 } { n } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| + \left| \frac { 2 } { n } \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } - \frac { 2 } { n } \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| } \\ & { = R + \left| \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } - \frac { 2 } { n } \right| \cdot \int _ { l _ { i } } ^ { r _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } + \frac { 2 } { n } \left| \int _ { a _ { i } } ^ { l _ { i } } \frac { d x } { f ( x ) } + \int _ { r _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \frac { d x } { f ( x ) } \right| . } \end{array}
\mathbf { x } _ { 2 } = \mathbf { x } _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \mathbf { p } _ { 1 } \approx { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 2 3 5 6 } \\ { 0 . 3 3 8 4 } \end{array} \right] } + 0 . 4 1 2 2 { \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 3 5 1 1 } \\ { 0 . 7 2 2 9 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 . 0 9 0 9 } \\ { 0 . 6 3 6 4 } \end{array} \right] } .
\frac { 1 2 \pi ^ { 2 } } { n ! } \, \frac { d ^ { n } } { d ( q ^ { 2 } ) ^ { n } } \, \Pi ( q ^ { 2 } ) _ { \big | q ^ { 2 } = 0 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { n + 1 } } \, R _ { b \bar { b } } ( s ) ,
\begin{array} { r l r } { E _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { { } = } & { \delta _ { n } \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \frac { 1 + p p ^ { \prime } \beta _ { 0 } ^ { 2 } } { p ^ { l - 1 } } \frac { K _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 1 } u ) } { \varepsilon _ { 0 } W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u r / r _ { c } ) , \; r < r _ { c } , } \\ { E _ { l , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) } & { { } = } & { \delta _ { n } \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p , p ^ { \prime } = \pm 1 } \frac { 1 + p p ^ { \prime } \beta ^ { 2 } \varepsilon _ { 1 } } { p ^ { l - 1 } } \frac { I _ { n + p ^ { \prime } } ( \gamma _ { 0 } u ) } { \varepsilon _ { 1 } W _ { n + p ^ { \prime } } ^ { I } } K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u r / r _ { c } ) , \; r > r _ { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } \bigg ) \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } } { 2 \mu } \underbrace { \| \nabla _ { y } g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 2 \mu \gamma } \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { u } = { \frac { \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } + \mathbf { v } } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } + { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } ( \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } ) } { 1 + { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } _ { \parallel } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } P ( s _ { 0 } \to s | u _ { 0 } ) = \Gamma _ { S } ^ { 0 } \biggl [ } & { { } e ^ { - \beta \sigma } u _ { 0 } P ( s _ { 0 } \to s ^ { \prime } ) \delta _ { s ^ { \prime } , s - 1 } + } \end{array}
\langle \varphi ^ { 2 } ( x ) \rangle ^ { ( a b ) } \approx - \frac { ( b - a ) ^ { 1 - D } } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } \Gamma ( D / 2 ) } \int _ { m _ { 0 } } ^ { \infty } d y \, \frac { ( y ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { D / 2 - 1 } } { c _ { b } ( y ) e ^ { 2 y } / c _ { a } ( y ) - 1 } F ( y , r ) , \quad a , b \to \infty , b - a = { \mathrm { c o n s t } } .