harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Sigma ^ { A B } = { \frac { i } { 4 } } \left[ \Gamma ^ { A } , \Gamma ^ { B } \right] \to { \frac { i } { 4 } } \left[ \omega \left( \Gamma ^ { A } \right) , \omega \left( \Gamma ^ { B } \right) \right] \equiv \Omega \, \Sigma ^ { A B } \, \Omega ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - 1 \right| \geq \varepsilon \right) } \\ & { \leq \frac { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left| \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - 1 \right| \right] } { \varepsilon } } \\ & { \leq \frac { \frac { 1 } { T V ^ { a , b * } ( P ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } { \varepsilon } . } \end{array}
\hat { p } _ { r } : \ \ - \frac { i \hbar } { \sqrt { r } } \partial _ { r } \sqrt { r } \ \ \ ; \ \ \, h a t { p } _ { \theta } : \ \ - i \hbar \partial _ { \theta } \ \ \ ; \ \ \, h a t { p } _ { z } : \ \ - i \hbar \partial _ { z } \ \ \ ,
\frac { \delta _ { 1 / m _ { Q } } \, F ^ { ( k ) } } { F ^ { ( k ) } } = - \frac { 1 } { m _ { Q } } \frac { 2 } { 3 } \, \frac { F _ { 1 } ^ { ( k ) } } { F _ { 0 } ^ { ( k ) } } \, = \, - \frac { 2 ( 2 \epsilon _ { k } \! + \! m P _ { k } ) } { 3 m _ { Q } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \left( \hat { J } _ { - } \frac { d \hat { \rho } } { d t } \right) = \frac { d \beta } { d t } } & { { } = 2 ( \eta - i \xi ) \lambda ^ { 2 } \beta \gamma , } \\ { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } \left( \hat { J } _ { z } \frac { d \hat { \rho } } { d t } \right) = \frac { d \gamma } { d t } } & { { } = - 2 \eta \lambda ^ { 2 } \beta ^ { * } \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { i a , k c m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = - \delta _ { a c } M _ { i k , m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \\ { K _ { i a , k c m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = + \delta _ { i k } M _ { a c , m } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } k ! | ( - \alpha ) _ { k } | | f _ { 1 , k } | ^ { 2 } , } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k - 1 ) ! | ( - \alpha ) _ { k - 1 } | | f _ { 2 , k } | ^ { 2 } , } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k - 1 ) ! | ( - \alpha ) _ { k } | | f _ { 3 , k } | ^ { 2 } , } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( k - 1 ) ! | ( - \alpha ) _ { k } | | f _ { 4 , k } | ^ { 2 } } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \\ { w } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { r \sin ( \psi ) \sin ( \theta ) \cos ( \varphi ) } \\ { r \sin ( \psi ) \sin ( \theta ) \sin ( \varphi ) } \\ { r \sin ( \psi ) \cos ( \theta ) } \\ { r \cos ( \psi ) } \end{array} \right) \, .
\Gamma \to \Gamma _ { 5 \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } = [ \gamma _ { 5 } ] { \frac { 1 } { 2 } } [ ( \lambda ^ { 1 } - i \lambda ^ { 2 } ) \otimes I ] _ { \tau _ { 1 } \tau _ { 2 } } .
\eta _ { u } = \left\{ \begin{array} { r r } { 0 . 9 8 4 3 } & { \mathrm { ~ f o r ~ ^ { 1 6 } ~ O ~ ^ { 1 2 } ~ C ~ ^ { 1 6 } ~ O } } \\ { 0 . 0 1 1 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ ^ { 1 6 } ~ O ~ ^ { 1 3 } ~ C ~ ^ { 1 6 } ~ O } } \\ { 0 . 0 0 4 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ ^ { 1 6 } ~ O ~ ^ { 1 2 } ~ C ~ ^ { 1 8 } ~ O } } \\ { 0 . 0 0 0 7 } & { \mathrm { ~ f o r ~ ^ { 1 6 } ~ O ~ ^ { 1 2 } ~ C ~ ^ { 1 7 } ~ O } . } \end{array} \right.
{ \cal O } _ { \pm } ^ { a } ( \{ x \} ) : = \frac { 1 } { ( N ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \pi , \pi ^ { \prime } } \prod _ { b = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( x ^ { ( \pi ( b ) ) } ) P _ { \pm } \psi ^ { ( b ) } ( x ^ { ( \pi ^ { \prime } ( b ) ) } ) \; .
\begin{array} { r l } & { \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \dot { \overline { { \phi S } } } ^ { * } + \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \nabla ^ { * } \cdot \boldsymbol { w } _ { 1 } ^ { * } + \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \phi S _ { 1 } \dot { \epsilon } _ { v } ^ { * } = \frac { M _ { 0 } \gamma _ { 0 } } { l _ { 0 } ^ { 3 } } \nabla ^ { * } \cdot M ^ { * } \nabla ^ { * } \mu ^ { * } , } \\ & { \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \dot { \phi } + \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \nabla ^ { * } \cdot \boldsymbol { w } ^ { * } + \frac { v _ { 0 } } { l _ { 0 } } \phi \dot { \epsilon } _ { v } ^ { * } = 0 , } \\ & { \phi = \phi _ { 0 } + ( 1 - \phi _ { 0 } ) \epsilon _ { v } + \frac { 1 - \phi _ { 0 } } { p _ { 0 } K _ { s } ^ { * } } p _ { 0 } p ^ { * } , } \\ & { \frac { p _ { 0 } } { l _ { 0 } } \nabla \cdot \left( { \boldsymbol { \sigma } ^ { \prime } } ^ { * } - b p ^ { * } \boldsymbol { I } \right) = 0 , } \\ & { \frac { v _ { 0 } \beta } { l _ { 0 } } \dot { d } ^ { * } = \frac { 3 G _ { c } } { 8 l _ { d } } \left( 2 \frac { l _ { d } ^ { 2 } } { l _ { 0 } ^ { 2 } } \triangle ^ { * } { d } - 1 \right) - g ^ { \prime } ( d , \psi _ { c } ) \psi _ { e } ^ { A } , \quad \dot { d } ^ { * } \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , 0 ) = } & { { } u _ { 0 } ( x , y ) , } \\ { v ( x , y , 0 ) = } & { { } v _ { 0 } ( x , y ) , } \\ { h ( x , y , 0 ) = } & { { } h _ { 0 } ( x , y ) . } \end{array}
g _ { 1 } ^ { 2 } = ( T _ { 1 } ^ { 1 } , T _ { 2 } ^ { 4 } , T _ { 3 } ^ { 3 } , T _ { 4 } ^ { 2 } ) \; ( T _ { 1 } ^ { 2 } , T _ { 2 } ^ { 1 } , T _ { 3 } ^ { 4 } , T _ { 4 } ^ { 3 } ) \; ( T _ { 1 } ^ { 3 } , T _ { 2 } ^ { 2 } , T _ { 3 } ^ { 1 } , T _ { 4 } ^ { 4 } ) \; ( T _ { 1 } ^ { 4 } , T _ { 2 } ^ { 3 } , T _ { 3 } ^ { 2 } , T _ { 4 } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { = ( q _ { \uparrow } - q _ { \downarrow } ) ^ { 2 } , } \\ { J _ { \perp } } & { = 2 \left[ 6 q _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } - 4 \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 1 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 1 } | ^ { 2 } \right] + \left[ | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { + 2 } | ^ { 2 } + | q _ { \uparrow \downarrow } ^ { - 2 } | ^ { 2 } \right] \right] , } \end{array}
K _ { d i v } ( t ) = \frac { 2 V \pi ^ { \frac { m - 1 } { 2 } } } { ( 2 \pi ) ^ { m - 1 } \Gamma \left( \frac { m - 1 } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { m - 2 } \, e ^ { - ( M ^ { 2 } - S ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) t } \, .
{ \cal M } _ { \tilde { t } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { \tilde { b } _ { L } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + \cos { 2 \beta } ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 2 } { 3 } } \, s ^ { 2 } ) \, M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { m _ { t } \, M _ { L R } } } \\ { { m _ { t } \, M _ { L R } } } & { { M _ { \tilde { t } _ { R } } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } + { \frac { 2 } { 3 } } \, \cos { 2 \beta } \, s ^ { 2 } \, M _ { Z } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { + } } & { { } = \frac { N _ { \downarrow } \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \uparrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q + 1 } \left( N - i + 1 \right) } + \frac { p \, N _ { \downarrow } } { N } \left[ 1 - \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \uparrow } - i + 1 \right) - \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \downarrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N - i + 1 \right) } \right] , } \\ { \varphi ^ { - } } & { { } = \frac { N _ { \uparrow } \prod _ { i = 1 } ^ { q } \left( N _ { \downarrow } - i + 1 \right) } { \prod _ { i = 1 } ^ { q + 1 } \left( N - i + 1 \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { 0 } } & { = | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } \, , \phantom { Z Z Z Z } } \\ { \mathbf { S } _ { 1 } } & { = | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 2 } } & { = 2 \mathrm { R e } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \\ { \mathbf { S } _ { 3 } } & { = 2 \mathrm { I m } [ E _ { x } E _ { y } ^ { \ast } ] \, , } \end{array}
\psi ( \vec { x } , 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { V } } \sum _ { p } \; \mathrm { e } ^ { i \vec { p } \cdot \vec { x } } \left\{ \left( \begin{array} { r } { { \chi _ { _ { p , L } } a _ { p , L } ^ { } } } \\ { { \chi _ { _ { p , R } } a _ { p , R } ^ { } } } \end{array} \right) \; + \; \left( \begin{array} { r } { { \chi _ { _ { p , R } } b _ { - p , R } ^ { \dagger } } } \\ { { \; - \; \chi _ { _ { p , L } } b _ { - p , L } ^ { \dagger } } } \end{array} \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { A } - { \frac { \gamma \varphi } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } + \left( \gamma - 1 \right) \left( \mathbf { A } \cdot \mathbf { \hat { v } } \right) \mathbf { \hat { v } } } \\ { \varphi ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( \varphi - \mathbf { A } \cdot \mathbf { v } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( \tau , \mathfrak { z } ) } & { = \sum _ { n \in \mathbb { Q } } \sum _ { a , b , c \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i a c / N } \sum _ { \ell \in L ^ { \prime } } c _ { ( a , b ) , \ell + L } ( n - Q ( \ell ) ) q ^ { n } \zeta ^ { \ell } \mathfrak { f } _ { ( c , b ) } } \\ & { = \sum _ { c , b \in \mathbb { Z } / N \mathbb Z } \sum _ { n \in \mathbb { Q } } \sum _ { \ell \in L ^ { \prime } } \Big ( \sum _ { a \in \mathbb { Z } / N \mathbb { Z } } e ^ { 2 \pi i a c / N } c _ { ( a , b ) , \ell + L } ( n - Q ( \ell ) ) \Big ) q ^ { n } \zeta ^ { \ell } \mathfrak { f } _ { ( c , b ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle q _ { j } ^ { 2 } \rangle } { d t } - \frac { 2 } { M } \langle q _ { j } p _ { j } \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { d \langle q _ { j } p _ { j } \rangle } { d t } - \frac { 1 } { M } \langle p _ { j } ^ { 2 } \rangle + M \omega _ { j } ^ { 2 } \langle q _ { j } ^ { 2 } \rangle } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { d \langle p _ { j } ^ { 2 } \rangle } { d t } + 2 M \omega _ { j } ^ { 2 } \langle q _ { j } p _ { j } \rangle } & { = } & { \mathcal { C } [ \Delta p _ { j } ^ { 2 } ] , } \end{array}
\operatorname { e r f } ^ { ( k ) } ( z ) = { \frac { 2 ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { \sqrt { \pi } } } { \mathit { H } } _ { k - 1 } ( z ) e ^ { - z ^ { 2 } } = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { d ^ { k - 1 } } { d z ^ { k - 1 } } } \left( e ^ { - z ^ { 2 } } \right) , \qquad k = 1 , 2 , \dots
\begin{array} { c } { { \dot { \bf x } = { \bf e } _ { 1 } , } } \\ { { { \dot { \bf e } } _ { 1 } = k _ { 1 } { \bf e } _ { 2 } , } } \\ { { { \dot { \bf e } } _ { 2 } = - k _ { 1 } { \bf e } _ { 1 } + k _ { 2 } { \bf e } _ { 3 } , } } \\ { { { \dot { \bf e } } _ { 3 } = - k _ { 2 } { \bf e } _ { 2 } + k _ { 3 } { \bf p } _ { 3 } / c } } \\ { { { \dot { \bf p } } _ { 3 } = - k _ { 3 } c { \bf e } _ { 3 } - k _ { 2 } { \bf p } _ { 2 } , } } \\ { { { \dot { \bf p } } _ { 2 } = - k _ { 1 } { \bf p } _ { 1 } + k _ { 2 } { \bf p } _ { 3 } , } } \\ { { { \dot { \bf p } } _ { 1 } = - s { \bf p } + k _ { 1 } { \bf p } _ { 2 } + s c _ { 0 } { \bf e } _ { 1 } , } } \\ { { { \dot { \bf p } } = 0 . } } \end{array}
\sigma _ { y } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { j } \sum _ { k } C _ { j k } \frac { \partial y } { \partial a _ { j } } \Big | _ { \mathbf { x } } \ \frac { \partial y } { \partial a _ { k } } \Big | _ { \mathbf { x } } ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } } & { { } \approx \pm \left[ t ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 t t ^ { \prime } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \delta k ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( e _ { i } ) } & { = \Gamma _ { i } ^ { h } - \Gamma _ { i } ^ { \mathrm { s u s p } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j < k \leq 0 } \Gamma _ { i j } ^ { k } e _ { j } e _ { k } - \sum _ { - ( d - 1 ) \leq j < k \leq n } \Gamma _ { i j } ^ { k } e _ { j } e _ { k } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j < k , \, k > 0 } - \Gamma _ { i j } ^ { k } e _ { j } e _ { k } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { j \leq 0 < k } \partial _ { t _ { k } } h _ { i j } e _ { j } \partial _ { t _ { k } } = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { k > 0 } ( \partial _ { t _ { k } } h ) ^ { \mathrm { o p } } ( e _ { i } ) \partial _ { t _ { k } } . } \end{array}
\delta ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \equiv \frac { \langle | S ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) - S _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ . ~ } } ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ g ~ . ~ } } } { \langle | S ^ { ( 4 ) } ( \mathbf { k } _ { 1 } , \mathbf { k } _ { 2 } , \mathbf { k } _ { 3 } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ g ~ . ~ } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X ( t ) , \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) + X ^ { \xi } ( t ) \} , \varepsilon ) | > \delta r _ { 0 } n \} \le } \\ & { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \frac { \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + ( 4 + C _ { 1 1 } ) \lambda _ { 1 } t + \lambda _ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } + t \Big ) } \\ & { ~ \Big ( \frac { ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \Big ) \Big ] , ~ \forall \frac { 1 } { \lambda _ { 3 } } \le t \le \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } , } \\ & { \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X ( t ) , \mathbb { E } \{ X ^ { \eta } ( t ) \} , \varepsilon ) | > \delta r _ { 0 } n \} } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \frac { \| X ^ { \bot } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + ( 3 + C _ { 2 1 } ) \lambda _ { 1 } t } \\ & { + \frac { C _ { 2 2 } \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } \Big ] , ~ \forall \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } \le t \le \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { t \, [ \! [ \mathbf { q } ] \! ] \cdot \widehat { \mathbf { n } } ^ { + } ( \mathbf { x } ) = \dot { m } \, c _ { f } \, \frac { d \theta } { d s } \; \; \; \; \; \; \mathrm { o r } \; \; \; \; \; \; t \, [ \! [ \mathbf { q } ] \! ] \cdot \widehat { \mathbf { n } } ^ { + } ( \mathbf { x } ) = \dot { m } \, c _ { f } \, \mathrm { g r a d } [ \theta ] \cdot \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G ( V ) = ( G _ { 1 } ( V ) , G _ { 2 } ( V ) , G _ { 3 } ( V ) , G _ { 4 } ( V ) ) } \\ { : = } & { \Bigl ( \Lambda - \mu _ { 1 } S - \frac { \alpha S I } { S + I + E + R } + \beta R , - \mu _ { 2 } E + \frac { \alpha S I } { S + I + E + R } - \sigma E , - \mu _ { 3 } I + \sigma E - \gamma I , - \mu _ { 4 } R + \gamma I - \beta R \Bigr ) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial x _ { i } } = \frac { \partial } { \partial \xi _ { i } } + \delta _ { x } \frac { \partial } { \partial X _ { i } } , \; \; \frac { \partial } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial \tau } + \delta _ { t } \frac { \partial } { \partial T } .
e ^ { - 2 \Phi } = { \frac { e ^ { - 2 \Phi _ { 0 } } } { ( 1 - { \frac { q c o s \theta } { ( r - m ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } c o s ^ { 2 } \theta } } ) ^ { \frac { 2 \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r } { \dot { \iota } = \frac { \iota } { s _ { \mathrm { t o t } } } \sigma = \frac { \iota } { s _ { \mathrm { t o t } } } \frac { 1 } { \tau _ { s } } = \frac { \rho N } { \tau _ { c } \left( \Delta T \right) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ S ~ t ~ e ~ p ~ : ~ } \frac { \frac { d I } { d t } } { \frac { d S } { d t } } = \frac { \beta f ( S ) g ( I ) - \gamma I } { - \beta f ( S ) g ( I ) } = - 1 + \frac { I } { R _ { 0 } f ( S ) g ( I ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \pi } _ { a _ { } } } & { { } \approx \mathbf { v } _ { b } ^ { a _ { } / 2 } \left( a _ { } \Delta t { } \mathbf { f } _ { b } + \left[ \mathbf { 1 } { } + \frac { a _ { } } { 2 } \Delta t { } \mathbf { w } _ { b } \right] \boldsymbol { \pi } _ { 0 } \right) , } \end{array}
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + f _ { 8 } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 4 } x + g _ { 1 2 - n } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 5 } + g _ { 1 2 } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 6 } + g _ { 1 2 + n } ( z ^ { \prime } ) z ^ { 7 }
\begin{array} { r l } { \phi _ { \pm } ^ { L R } } & { = - i \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \Bigg ( 1 + \frac { 2 } { e ^ { i ( \phi _ { \mp } ^ { R } + \phi _ { \pm } ^ { R } ) } \tan { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \tan { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } - 1 } \Bigg ) } \\ { \theta _ { \pm } ^ { L R } } & { = \cos ^ { - 1 } { \Bigg ( \frac { 2 } { 1 - e ^ { i ( \phi _ { \pm } ^ { R } - \phi _ { \mp } ^ { R } ) } \cot { \frac { \theta _ { \mp } ^ { R } } { 2 } } \tan { \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } } - 1 \Bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { A \rightarrow B } ^ { m } : = \vert \vert \left\{ ( i , j ) \in A \times B : - \tau _ { i j } ^ { m , n } < d _ { i j } ^ { m , n } < 0 \wedge \vert d _ { i j } ^ { m , n } \vert < \tau _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \right\} \vert \vert \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) _ { S } } & { = \nu \nabla _ { \boldsymbol { x } } ^ { 2 } \boldsymbol { u } + \boldsymbol { f } _ { S } , } \\ { ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla _ { \boldsymbol { x } } \boldsymbol { u } ) _ { I } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } p + \boldsymbol { f } _ { I } , } \end{array}
{ \dot { R } } ^ { 2 } = \frac { 2 G M } { R } + \frac { 3 G M ^ { 2 } } { 4 \pi \lambda R ^ { 4 } } + \frac { Q } { \lambda R ^ { 2 } } + E + \frac { \Lambda } { 3 } R ^ { 2 } .
\mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \cong \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \cong \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } }
\Psi ( \vec { x } ) = \sum _ { \lambda } \int \frac { d \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ U _ { \lambda } ( \vec { k } ) B _ { \lambda } ( \vec { k } ) + V _ { \lambda } ( - \vec { k } ) D _ { \lambda } ^ { \dagger } ( - \vec { k } ) \right] e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { x } }
\begin{array} { r l } & { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 , 1 \} \! } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \! \{ 0 , 1 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \end{array} \right) \! \! , \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \! \sim \! 4 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
- \frac { g ^ { 4 } } { 2 } f ^ { a b ^ { \prime } c ^ { \prime } } f ^ { a d e } f ^ { c ^ { \prime } c g } f ^ { b b ^ { \prime } g } \int \frac { d ^ { 4 } s } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } ( 2 s _ { 0 } + q _ { 0 } ) ( 2 r _ { 0 } - q _ { 0 } ) \delta _ { k l } \Delta ^ { - 1 } ( q ) N D ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } \left\Vert \mathbb { E } \hat { f } _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } = \mathcal { O } \left( \Delta _ { n } ^ { - \beta } \right) , \quad \mathrm { a s } \quad n \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } } & { { } = - c v _ { 1 } \big ( r ( t ) - v _ { 2 } \big ) , } \\ { \dot { v } _ { 2 } } & { { } = b v _ { 2 } + d ( t ) + \frac { s } { c } v _ { 1 } \big ( l r ( t ) - v _ { 2 } \big ) , } \\ { y } & { { } = v _ { 2 } . } \end{array}
\{ { \cal Q } , \omega _ { d } \} = ( - 1 ) ^ { g } i _ { v _ { 1 } } \cdots i _ { v _ { g } } d \Omega _ { d + g } + \sum _ { k = 1 } ^ { g } ( - 1 ) ^ { k + 1 } { \cal L } _ { v _ { k } } i _ { v _ { 1 } } \cdots i _ { v _ { k - 1 } } i _ { v _ { k + 1 } } \cdots i _ { v _ { g } } \Omega _ { d + g } = d \omega _ { d } .
U ( x ) = \overline { { \psi } } ^ { a } ( x ) \psi ^ { a } ( x ) \overline { { \psi } } ^ { b } ( x ) \psi ^ { b } ( x ) - \overline { { \psi } } ^ { a } ( x ) \gamma _ { s } \psi ^ { a } ( x ) \overline { { \psi } } ^ { b } ( x ) \gamma _ { s } \psi ^ { b } ( x ) .
\frac { \partial \xi } { \partial t } | _ { x ^ { \alpha } } = - \vec { p } \dot { \vec { X } } , \; \; \; \frac { \partial \sigma ^ { i } } { \partial t } | _ { x ^ { \alpha } } = - ( N ^ { - 1 } ) _ { k } ^ { i } g ^ { k r } \vec { X } _ { , r } ( \dot { \vec { X } } + \xi \dot { \vec { p } } ) ,
\aleph _ { \alpha } ^ { \aleph _ { \beta } } \leq \aleph _ { \alpha } ^ { \aleph _ { \alpha } } \leq ( 2 ^ { \aleph _ { \alpha } } ) ^ { \aleph _ { \alpha } } = 2 ^ { \aleph _ { \alpha } \cdot \aleph _ { \alpha } } = 2 ^ { \aleph _ { \alpha } } = \aleph _ { \alpha + 1 }
B _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l } { \cos { ( \theta _ { k } ) } } & { 0 } & { 0 } & { i \sin { ( \theta _ { k } ) } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { i \sin { ( \theta _ { k } ) } } & { 0 } & { 0 } & { \cos { ( \theta _ { k } ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { h f } } } & { = a _ { \mathrm { R b } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { R b } } \cdot \mathbf { L _ { \mathrm { o } } } + a _ { \mathrm { C s } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { C s } } \cdot \mathbf { L _ { \mathrm { o } } } } \\ & { + \delta \left( b _ { f _ { \mathrm { R b } } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { R b } } \cdot \mathbf { S } + b _ { f _ { \mathrm { C s } } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { C s } } \cdot \mathbf { S } \right) , } \end{array}
\left| \widehat { u _ { 0 } } ( 1 ) - \varepsilon \sum _ { \substack { n _ { 2 } = n _ { 1 } \, \lambda _ { n _ { 1 } } + \varepsilon \in \Lambda _ { - } ( \delta ) } } \operatorname { s i n c } ( \pi F ( - \lambda _ { n _ { 1 } } ) ) \frac { F ( - \lambda _ { n _ { 1 } } ) e ^ { i ( \theta _ { n _ { 1 } + 1 } - \theta _ { n _ { 1 } } ) } } { n _ { 2 } - n _ { 1 } - F ( - \lambda _ { n _ { 1 } } ) } \right| \leq C ( \delta ) \varepsilon ^ { r - c } + C \delta ,
\begin{array} { r l } { r _ { 7 } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( r _ { 2 } + r _ { 3 } + r _ { 5 } + r _ { 6 } ) , \quad r _ { 8 } = \frac { 1 } { 4 } ( r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 4 } + r _ { 5 } ) , } \\ { r _ { 9 } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( r _ { 1 } + r _ { 3 } + r _ { 4 } + r _ { 6 } ) , \quad r _ { 1 0 } = \frac { 1 } { 6 } \left( r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 3 } + r _ { 4 } + r _ { 5 } + r _ { 6 } \right) . } \end{array}
\frac { 1 } { ( z - q _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 - x ) - q _ { 2 } ^ { 2 } x - i 0 ) ( ( q - q _ { 2 } ) ^ { 2 } + i 0 ) } \rightarrow - ( - 2 \pi i ) ^ { 2 } \delta ( z - q _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 - x ) - q _ { 2 } ^ { 2 } x ) \delta ( ( q - q _ { 2 } ) ^ { 2 } ) ~ .
s ( t _ { T } ) = \frac { p _ { T } \bar { l } _ { p } d _ { w } } { \tau ( p _ { 3 } ^ { 2 } - 1 ) } \frac { p _ { 1 } p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \Bigl ( p _ { 3 } \log \bigl [ p _ { 3 } \cosh ( \tau ) + \sinh ( \tau ) \bigr ] - \tau - p _ { 3 } \log ( p _ { 3 } ) \Bigr ) , \qquad p _ { 3 } = \frac { p _ { 1 } \sqrt { 1 + R _ { * } ^ { 2 } } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } .