harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Gamma ( t ) \ } & { = \ \exp \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \left[ \frac { \alpha - \gamma } { s ^ { \frac { d } { 2 } } } + \frac { d } { 2 s } \right] d s \right) \ = \ \left( \frac { t } { t _ { 1 } } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \exp \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \frac { \alpha - \gamma } { s ^ { \frac { d } { 2 } } } d s \right) } \\ & { = \ \left( \frac { t } { t _ { 1 } } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } \left[ t ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } - t _ { 1 } ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right] \right) \ = \ C t ^ { \frac { d } { 2 } } \exp \left( \frac { \alpha - \gamma } { 1 - \frac { d } { 2 } } t ^ { 1 - \frac { d } { 2 } } \right) , } \end{array}
\mathbf { w } ( t , \mathbf { x } ) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { \mathbf { w } _ { L } } & { \mathrm { i f } \; r \le 0 . 5 , } \\ { \mathbf { w } _ { R } } & { \mathrm { i f } \; r > 0 . 5 , } \end{array} \right. \qquad \mathbf { w } _ { L } = \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) , \quad \mathbf { w } _ { R } = \left( 0 . 1 2 5 , 0 , 0 , 0 . 1 \right) .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { S } ^ { 2 } ( \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 1 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } & { = I ( x , y ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } I ( x , y ) ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } I ( x , y ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } I ( x , y ) ( x - x ^ { \prime } ) ( y - y ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \left[ \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \right] \frac { L _ { p } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( 1 + \| ( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } ) \| \right) \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) } \\ & { \qquad + \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) + \mathbb { P } \left( \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \geq \operatorname* { m i n } \{ 1 , \delta \} \right) . } \end{array}
( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \mathbf { g } _ { 1 2 } ^ { \prime } ) = - \alpha ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \mathbf { g } _ { 1 2 } ) , \quad ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { g } _ { 1 2 } ^ { \prime } ) = - \beta ( \widehat { \boldsymbol { \sigma } } \times \mathbf { g } _ { 1 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { H o m } ( x , x ) } & { : = \{ 1 _ { x } \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( y , y ) } & { : = \{ 1 _ { y } \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( z , z ) } & { : = \{ 1 _ { z } \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( x , y ) } & { : = \{ ( x ; a ; y ) \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( x , z ) } & { : = \{ ( x ; a , b ; z ) \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( y , x ) } & { : = \emptyset , } \\ { \mathrm { H o m } ( y , z ) } & { : = \{ ( y ; b ; z ) \} , } \\ { \mathrm { H o m } ( z , x ) } & { : = \emptyset , } \\ { \mathrm { H o m } ( z , y ) } & { : = \emptyset . } \end{array}
\zeta ( x _ { 3 } , t ) = \Big [ \frac { 1 } { 1 + i ( t / \tau ) } \Big ] ^ { 1 / 2 } \exp \Big [ - \frac { x _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } [ 1 + i ( t / \tau ) ] } \Big ] , \; \; x _ { 3 } \in \mathbb { R } , \; \; t \geq 0
\operatorname* { m a x } _ { \phi , \ I ( \phi ) } \Delta x = \operatorname* { m a x } _ { \phi , \ I ( \phi ) } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \Big ( P _ { I ( i ) } ^ { x } ( r _ { i } ) - P _ { I ( i ) } ^ { x } ( r _ { i + 1 } ) \Big ) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { K } ( \mathbf { X } _ { A } , \mathbf { X } _ { B } ; M , \boldsymbol { \rho } ) = } \\ & { \mathrm { e x p } \Big ( - \frac { 1 } { 2 } ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } \ ( ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { A } - ^ { \mathcal { T } } \mathbf { X } _ { B } ) \Big ) } \\ & { \not \equiv \mathrm { e x p } \Big ( - \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { \mathbf { X } } _ { A } - \tilde { \mathbf { X } } _ { B } ) ^ { \mathrm { T } } \ \mathbf { P } \ ( \tilde { \mathbf { X } } _ { A } - \tilde { \mathbf { X } } _ { B } ) \Big ) } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { | g _ { 4 } | } \left[ e ^ { - \Phi } \left( R + \left( \nabla \Phi \right) ^ { 2 } - 6 \left( \nabla \beta \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 \Phi } \left( \nabla \sigma \right) ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } Q ^ { 2 } e ^ { - 6 \beta } \right] .
\operatorname { R i c } _ { 1 1 } = \mathcal { R } ^ { 2 } _ { 1 } ( \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { e } _ { 1 } ) = \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, \mathcal { R } ^ { 1 } _ { 2 } ( \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } ) = \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, K \, , \qquad \operatorname { R i c } _ { 2 2 } = \mathcal { R } ^ { 1 } _ { 2 } ( \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } ) = K \, ,
[ d \overline { { { \lambda } } } d \lambda ] = \prod _ { x = 0 } ^ { N - 1 } d \overline { { { \lambda } } } _ { - j } ( x ) . . . d \overline { { { \lambda } } } _ { j } ( x ) d \lambda _ { j } ( x ) . . . d \lambda _ { - j } ( x )
\begin{array} { l l l } { { } } & { { \ } } & { { \left( \sigma _ { i } , \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { j } \, S a _ { i n } \left( \overline { { { \sigma } } } _ { j } \right) S ^ { - 1 } + \overline { { { \sigma } } } _ { j } \, S a _ { i n } ^ { \dagger } \left( \sigma _ { j } \right) S ^ { - 1 } \right) _ { K . G . } } } \\ { { } } & { { = } } & { { S a _ { i n } \left( \overline { { { \sigma } } } _ { i } \right) S ^ { - 1 } \; . } } \end{array}
\partial _ { t } \rho _ { S } = \mathcal { L } \left( \rho _ { S } \right) : = - \mathrm { i } \left[ H _ { S } , \rho _ { S } \right] + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( c _ { i } \rho _ { S } c _ { i } ^ { \dagger } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ c _ { i } ^ { \dagger } c _ { i } , \rho _ { S } \right\} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \dot { I } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } b B _ { 0 } } \int \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( { \bf k } _ { \perp } ) } { k _ { \perp } } \mathrm { e r f } \left( \frac { b k _ { \perp } } { 2 B _ { 0 } } z \right) d { \bf k } _ { \perp } } \\ { \dot { J } _ { x } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } B _ { 0 } ^ { 2 } } \int \frac { P _ { x x } ^ { 2 D } ( { \bf k } _ { \perp } ) \cos ( k _ { x } X _ { 0 } ) } { \sqrt { ( b k _ { \perp } / B _ { 0 } ) ^ { 2 } + 2 ( \mathcal { D } _ { x } k _ { x } ^ { 2 } + \mathcal { D } _ { y } k _ { y } ^ { 2 } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { \sum _ { r , s } \left( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } - i Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } \right) \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) \left( X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) = C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } + i D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } , } \\ { C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { \sum _ { r , s } \left( P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) - Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } - Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) \right) , } \\ { D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = } & { \sum _ { r , s } \left( Q _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } + Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) + P _ { r , s } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( X _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } Y _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } - Y _ { r , n } ^ { \mathbf { k } } X _ { s , n } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } } ) \right) . } \end{array}
D _ { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } , - } + D _ { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } , + } = \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot ( \mathbf { f } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { f } ^ { \ell } ) + \mathbf { p } ^ { \ell + 1 } \cdot ( \mathbf { f } ^ { \ell + 1 } - \mathbf { f } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ) = F _ { G } ^ { \ell + 1 } - F _ { G } ^ { \ell } ,
\frac { \partial f } { \partial t } = - \alpha \left[ \frac { \partial \mathcal { C } } { \partial f ^ { * } } - \textrm { d i v } _ { \boldsymbol { g } } \left( \frac { \partial \mathcal { C } } { \partial \boldsymbol { g } ^ { * } } \right) \right] ,
\frac { \alpha } { \delta } \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \right) ^ { \delta } = 1 , \; \; \frac { \beta ^ { 2 } } { \alpha } = 2 m \left( \frac { 2 \delta } { m 8 ^ { \delta } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 \delta - 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \| h _ { 2 } - h _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } } & { = \| \rho L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } ( f _ { 2 } ) - \rho L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 1 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \| \rho L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } + \| \rho ( L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq C \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } + \| \rho ( L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq C \Big ( \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } + \| \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } \Big ) } \\ & { \leq C \Big ( \| \rho ^ { - 1 } L _ { \gamma _ { 1 } } [ \rho L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) ] \| _ { C _ { \phi , \phi ^ { 4 + \frac 3 2 } \rho ^ { \frac 1 2 } } ^ { 0 , \alpha } } + \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad + \| \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } \Big ) } \\ & { \leq C \Big ( \| \rho ^ { - 1 } ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } \| _ { \phi , \phi ^ { 4 + \frac 3 2 } \rho ^ { \frac 1 2 } } + \| \rho ^ { - 1 } \mathscr E \| _ { C _ { \phi , \phi ^ { 4 + \frac 3 2 } \rho ^ { \frac 1 2 } } ^ { 0 , \alpha } } } \\ & { \qquad \| f _ { 2 } - f _ { 1 } \| _ { H _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } \Big ) } \\ & { \leq C \Big ( \| \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad + \| h _ { 2 } - h _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \Big ( \| \gamma _ { 2 } - g _ { S } ^ { m } \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \Big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi ^ { 2 } ( { p _ { Y } } \, \| \, { p _ { Y \mid S = s _ { 0 } } } ) = p _ { S } ( s _ { 1 } ) ^ { 2 } \chi ^ { 2 } ( { p _ { Y \mid S = s _ { 1 } } } \, \| \, { p _ { Y \mid S = s _ { 0 } } } ) , } \\ & { \chi ^ { 2 } ( { p _ { Y } } \, \| \, { p _ { Y \mid S = s _ { 1 } } } ) = p _ { S } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } \chi ^ { 2 } ( { p _ { Y \mid S = s _ { 0 } } } \, \| \, { p _ { Y \mid S = s _ { 1 } } } ) . } \end{array}
\mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } ( t _ { i } ) = \frac { \sum _ { n } \left( I _ { t _ { i } , n } ( R / 2 ) - \overline { { I } } _ { t _ { i } } ( R / 2 ) \right) \left( I _ { t _ { i } , n } ( - R / 2 ) - \overline { { I } } _ { t _ { i } } ( - R / 2 ) \right) } { \sqrt { \sum _ { n } \left( I _ { t _ { i } , n } ( R / 2 ) - \overline { { I } } _ { t _ { i } } ( R / 2 ) \right) ^ { 2 } \sum _ { n } \left( I _ { t _ { i } , n } ( - R / 2 ) - \overline { { I } } _ { t _ { i } } ( - R / 2 ) \right) ^ { 2 } } } ,
\psi ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / s + c \quad } & { | s - s _ { 0 } | \le a } \\ { 1 / s + c \cos ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { \pi } { 2 } \frac { | s - s _ { 0 } | - a } { b - a } } \right) \quad a < } & { | s - s _ { 0 } | < b } \\ { 1 / s \quad } & { | s - s _ { 0 } | \geq b } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } & { \lesssim \operatorname* { i n f } _ { v _ { h } \in \mathcal { S } _ { D } ^ { 1 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } { \big [ \| F _ { h } ( \cdot , \nabla v _ { h } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \mathrm { o s c } _ { h } ( f , v _ { h } ) } } \\ & { \; \; + \| \omega _ { p } ( h _ { \mathcal { T } } ) ^ { 2 } \, ( 1 + \vert \nabla u \vert ^ { p ( \cdot ) s } + ( \vert \nabla v _ { h } \vert + \vert \nabla v _ { h } - \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } \vert ) ^ { p _ { h } ( \cdot ) s } ) \| _ { 1 , \Omega } \big ] \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n + 1 , k } } & { { } = P _ { n , k } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left| O _ { n } \right| ^ { 2 } } O _ { n } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) } \\ { O _ { n + 1 } } & { { } = O _ { n } + \frac { \beta } { \operatorname* { m a x } \left( \sum _ { k } \left| P _ { n , k } \right| ^ { 2 } \right) } \sum _ { k } P _ { n , k } ^ { * } \left( \psi _ { k } - P _ { n , k } \cdot O _ { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { y _ { f } ( t ) = \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { \ell } } c _ { p _ { 1 } } \gamma _ { p _ { 1 } , \ell } e ^ { \lambda _ { \ell } t } + \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { R _ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { \ell } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \ell } } c _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } \gamma _ { p _ { 1 } , \ell } \gamma _ { p _ { 2 } , j } e ^ { ( \lambda _ { \ell } + \lambda _ { j } ) t } } \end{array}
\sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { 0 } _ { p } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right) ,
{ \partial _ { t } } = \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { { \varepsilon ^ { n } } { \partial _ { t n } } , } \; \; \; \; \; \nabla = \varepsilon { \nabla _ { 1 } } , \; \; \; \; \; { h _ { i } } = \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { { \varepsilon ^ { n } } h _ { i } ^ { \left( n \right) } , } \; \; \; \; \; \widehat F = \varepsilon { \widehat F ^ { \left( 1 \right) } } ,
\begin{array} { r l } { R ( t , \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) } & { = \left\lfloor \frac { 1 } { 2 } r \left( \frac { e t } { 2 } , \frac { 5 } { 4 } \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } \right) \right\rfloor , } \\ { r ( t , \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) } & { = \Theta \left( t + \frac { \log ( \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } ) } { \log \left( e + \log ( \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } } ) / t \right) } \right) } \\ & { \leq \mathcal { O } \left( t + \log ( 1 / \varepsilon _ { \mathrm { t r i } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ( t ) } & { { } = } & { E _ { 0 } \; e ^ { - 2 \ln ( 2 ) \left( \frac { t + \tau / 2 } { \Delta t } \right) ^ { 2 } } \; \mathrm { c o s } ( \omega _ { 0 } ( t + \tau / 2 ) + \phi ) } \\ { E _ { y } ( t ) } & { { } = } & { E _ { 0 } \; e ^ { - 2 \ln ( 2 ) \left( \frac { t - \tau / 2 } { \Delta t } \right) ^ { 2 } } \; \mathrm { c o s } ( \omega _ { 0 } ( t - \tau / 2 ) + \phi ) , } \end{array}
\left( \frac { \dot { a _ { 0 } } } { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { \ddot { a _ { 0 } } } { a _ { 0 } } = \frac { 1 } { 5 7 6 M ^ { 6 } } \left[ v _ { b } b _ { 0 } ( \rho - 3 p ) - \rho ( \rho + 3 p ) \right]
r _ { p } = \, { \frac { \cos \theta _ { \mathrm { i } } - i n { \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } - 1 } } } { \cos \theta _ { \mathrm { i } } + i n { \sqrt { n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } - 1 } } } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } \in \boldsymbol { Q } } \frac { ( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } , \boldsymbol { q } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } \in \boldsymbol { Q } } \frac { ( \mu \nabla \times \boldsymbol { u } , \boldsymbol { q } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - \big ( R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) + \mu \nabla \times \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { q } \big ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \forall \boldsymbol { q } \in \boldsymbol { Q } } \frac { ( \mu \nabla \times ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) , \boldsymbol { q } ) _ { \mathcal { T } _ { h } } - \big ( R _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) , \boldsymbol { q } \big ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } { \| \boldsymbol { q } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } } } \\ & { \lesssim } & { \| \nabla \times ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } + \eta ( u _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) . } \end{array}
\left[ \sqrt { r _ { 1 3 } ^ { 2 } - \left( \frac { r _ { 1 3 } ^ { 2 } + r _ { 1 2 } ^ { 2 } - r _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 2 r _ { 1 2 } } \right) ^ { 2 } } , \, 0 \, , \frac { r _ { 1 3 } ^ { 2 } + r _ { 1 2 } ^ { 2 } - r _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 2 r _ { 1 2 } } \right] .
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { { } = - \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \left[ \cos \Omega \, \left( e \, \sin \omega + \sin u \right) + \cos I \, \sin \Omega \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) \right] , } \\ { v _ { y } } & { { } = - \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \left[ - \cos I \, \cos \Omega \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) + \sin \Omega \, \left( e \, \sin \omega + \sin u \right) \right] , } \\ { v _ { z } } & { { } = \frac { n _ { \mathrm { b } } \, a } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \, \sin I \, \left( e \, \cos \omega + \cos u \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P _ { S U ( n + 1 ) } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 5 } \right) \cdots \left( 1 + x ^ { 2 n + 1 } \right) } \\ { P _ { S O ( 2 n + 1 ) } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 7 } \right) \cdots \left( 1 + x ^ { 4 n - 1 } \right) } \\ { P _ { S p ( n ) } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 7 } \right) \cdots \left( 1 + x ^ { 4 n - 1 } \right) } \\ { P _ { S O ( 2 n ) } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 2 n - 1 } \right) \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 7 } \right) \cdots \left( 1 + x ^ { 4 n - 5 } \right) } \\ { P _ { G _ { 2 } } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 1 } \right) } \\ { P _ { F _ { 4 } } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 1 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 5 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 3 } \right) } \\ { P _ { E _ { 6 } } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 9 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 1 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 5 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 7 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 3 } \right) } \\ { P _ { E _ { 7 } } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 1 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 5 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 9 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 7 } \right) \left( 1 + x ^ { 3 5 } \right) } \\ { P _ { E _ { 8 } } ( x ) } & { = \left( 1 + x ^ { 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 1 5 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 3 } \right) \left( 1 + x ^ { 2 7 } \right) \left( 1 + x ^ { 3 5 } \right) \left( 1 + x ^ { 3 9 } \right) \left( 1 + x ^ { 4 7 } \right) \left( 1 + x ^ { 5 9 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| \frac { d ^ { 2 } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right| \le } & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| u ^ { \mathsf T } \nabla _ { \theta + \alpha u } ^ { 2 } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) | _ { \alpha = 0 } u \right| } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \Big ( | u _ { s } ^ { \mathsf T } e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } ^ { \mathsf T } u _ { s } | + | u _ { s } ^ { \mathsf T } e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) ^ { \mathsf T } u _ { s } | + | u _ { s } ^ { \mathsf T } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } ^ { \mathsf T } u _ { s } | } \\ & { + 2 | u _ { s } ^ { \mathsf T } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s ) \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s ) ^ { \mathsf T } u _ { s } | + | u _ { s } ^ { \mathsf T } \mathrm { d i a g } ( \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) u _ { s } | \Big ) \le 6 } \end{array}
\pi ^ { - { \frac { s } { 2 } } } \Gamma \left( { \frac { s } { 2 } } \right) \zeta ( s ) = { \frac { 1 } { s ( { s - 1 } ) } } + \int _ { 1 } ^ { \infty } \left( { x ^ { - { \frac { s } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } } + x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } } \right) \psi ( x ) \, d x
\epsilon \simeq \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } g _ { s } ^ { 2 } F ^ { 2 } } { 2 ( M _ { s } ^ { 2 } A _ { T } ) ^ { 2 } } \left( \frac { M _ { P } } { \Psi } \right) ^ { 2 } , \qquad \eta \simeq - \frac { 2 \pi g _ { s } F } { ( M _ { s } ^ { 2 } A _ { T } ) } \left( \frac { M _ { P } } { \Psi } \right) ^ { 2 } .
< 0 | { \phi } _ { 3 } ( x ) a _ { 3 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 3 } \right) | 0 > < 0 | { \phi } _ { 4 } ( x ) a _ { 4 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 4 } \right) | 0 >
\left\lVert \boldsymbol { \psi } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) ^ { 2 } } \leq C _ { p } \left\lVert \nabla \boldsymbol { \psi } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) ^ { 2 } } = C _ { p } \left\lVert \boldsymbol { \psi } \right\rVert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ^ { 2 } }
\beta \, ( g , \, \varepsilon ) \, = \, - g \, \left[ \varepsilon \, + \, \beta _ { 0 } \, \left( \frac { g } { 4 \, \pi } \right) ^ { 2 } \, + \, \beta _ { 1 } \, \left( \frac { g } { 4 \, \pi } \right) ^ { 4 } \, + \, . . . \, \right] \, \, ,