\begin{array} { r l r } & { } & { \tan \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \frac { d } { d t } \right) C ^ { \prime } \left( t \right) } \\ & { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } 2 ^ { 2 n } \left( 2 ^ { 2 n } - 1 \right) B _ { 2 n } } { \left( 2 n \right) ! } \left( \frac { \beta \hbar } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left[ - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } \left( \omega \right) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \left( - 1 \right) ^ { n } \omega ^ { 2 n - 1 } \sin \omega t \right] } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } 2 ^ { 2 n } \left( 2 ^ { 2 n } - 1 \right) B _ { 2 n } } { \left( 2 n \right) ! } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( - 1 \right) ^ { n } \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } 2 ^ { 2 n } \left( 2 ^ { 2 n } - 1 \right) B _ { 2 n } } { \left( 2 n \right) ! } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( i \right) ^ { 2 n - 1 } i \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n - 1 } 2 ^ { 2 n } \left( 2 ^ { 2 n } - 1 \right) B _ { 2 n } } { \left( 2 n \right) ! } \left( i \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) ^ { 2 n - 1 } i \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tan \left( i \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) i \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \sin \left( i \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) } { \cos \left( i \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) } i \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \exp \left( - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) - \exp \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) } { \exp \left( - \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) + \exp \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) } \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \left( - \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \right) \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \sin \omega t } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \tilde { C } ^ { \prime \prime } ( \omega ) \sin \omega t . } \end{array}