harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { \omega } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { \omega } E _ { a i } + [ \kappa _ { a i } ^ { - \omega } ] ^ { * } \; E _ { i a } \big ) } \\ { \Lambda ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sum _ { a i } \big ( \kappa _ { a i } ^ { \omega , \omega ^ { \prime } } E _ { a i } + [ \kappa _ { a i } ^ { - \omega , - \omega ^ { \prime } } ] ^ { * } \; E _ { i a } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 0 } } & { : = \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 1 } | f _ { i } ( \cdot , u ) - f _ { i } ( \cdot , v ) | \, d x , } \\ { J _ { 1 } } & { : = \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | F _ { i } ( \cdot , u ) - F _ { i } ( \cdot , v ) | | w | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla w | \, d x , } \\ { J _ { 2 } } & { : = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | g _ { n , i } ( \cdot , u ) - g _ { n , i } ( \cdot , v ) | ^ { 2 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { } & { ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } + W _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } \circ \textbf { i } _ { \{ W 1 i + \} } - W _ { 1 } ^ { + } ) } \\ & { } & { + k _ { e g } \textbf { i } _ { \{ W 1 + \} } \circ ( i \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { W } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i W _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } + W _ { 2 } ^ { + } \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { n } ^ { \infty } ( x - 1 ) e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } d x } & { \le \int _ { n } ^ { \infty } x e ^ { - \frac { x } { 4 } } d x = 1 6 \big ( 1 + \frac { n } { 4 } \big ) e ^ { - \frac { n } { 4 } } , } \\ { \int _ { n ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } ^ { n } ( x - 1 ) e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } d x } & { \le \int _ { n ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } ^ { \infty } x e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 n } } d x = 2 n e ^ { - \frac { 1 } { 4 } n ^ { 2 \epsilon } } , } \end{array}
\Psi _ { 0 } ( x , t ) = \Psi ( t ) \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( x - a ( t ) ) = \left\{ \begin{array} { c l } { - \Psi ( t ) , } & { x < a ( t ) } \\ { 0 , } & { x = a ( t ) } \\ { \Psi ( t ) , } & { x > a ( t ) } \end{array} \right. \, .
{ Q _ { j } } = \frac { g } { { \sqrt { 2 \pi } } } \frac { { { e ^ { i \kappa { z _ { j } } } } } } { { \omega - { \omega _ { 0 } } } } - i \Gamma _ { 0 } \sum _ { j ^ { \prime } } ^ { } { \frac { { { e ^ { i \omega / c | { z _ { j } } - { z _ { j ^ { \prime } } } | } } } } { { \omega - { \omega _ { 0 } } } } { Q _ { j ^ { \prime } } } } ,
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { n } ( \widehat { x } ) = 1 \quad \mathrm { f o r ~ } | \widehat { x } | < n ; \quad \varphi _ { n } ( \widehat { x } ) = 0 \quad \mathrm { f o r ~ } | \widehat { x } | > 2 n + 1 ; } \\ & { | \varphi _ { n } ^ { \prime } ( \widehat { x } ) | \leq 1 / n , \quad n \leq | \widehat { x } | \leq 2 n + 1 ; \quad 0 \leq \varphi _ { n } ( \widehat { x } ) \leq 1 , \quad \widehat { x } \in { \mathbb R } . } \end{array}
\mathbf { Q } _ { 1 } ( P , t ) = \frac { \Gamma } { 2 \pi r } \hat { \pmb { \theta } } + \frac { \Gamma } { 4 \pi R } \left[ \ln \left( \frac { R } { r } \right) \right] \hat { \mathbf { b } } + \frac { \Gamma } { 4 \pi R } ( \cos \phi ) \hat { \pmb { \theta } } + \mathbf { Q } _ { f }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } C + \langle { \bf { u } } \rangle \cdot \nabla C } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \cdot \langle { \bf { u } } \rangle } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { \partial _ { t } ( \rho \langle { \bf { u } } \rangle ) + \nabla \cdot ( \rho \langle { \bf { u } } \rangle \, \langle { \bf { u } } \rangle ) } & { { } = } & { \rho { \bf { g } } } \\ { - \nabla \mathcal P + 2 \nabla \cdot [ ( \mu + \rho \nu _ { t } ) \, \langle { \bf { S } } \rangle ] } & { { } - } & { \gamma \kappa \nabla C \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l c l } { { m _ { 1 } / m } } & { { = } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { * m _ { 2 } / m } } & { { = } } & { { 2 \, \cos ( \pi / 5 ) } } & { { = } } & { { 1 . 6 1 8 \, 0 3 4 \ldots } } \\ { { * m _ { 3 } / m } } & { { = } } & { { 2 \, \cos ( \pi / 3 0 ) } } & { { = } } & { { 1 . 9 8 9 \, 0 4 4 \ldots } } \\ { { * m _ { 4 } / m } } & { { = } } & { { 4 \, \cos ( \pi / 5 ) \, \cos ( 7 \pi / 3 0 ) } } & { { = } } & { { 2 . 4 0 4 \, 8 6 7 \ldots } } \\ { { * m _ { 5 } / m } } & { { = } } & { { 4 \, \cos ( \pi / 5 ) \, \cos ( 2 \pi / 1 5 ) } } & { { = } } & { { 2 . 9 5 6 \, 2 9 5 \ldots } } \\ { { * m _ { 6 } / m } } & { { = } } & { { 4 \, \cos ( \pi / 5 ) \, \cos ( \pi / 3 0 ) } } & { { = } } & { { 3 . 2 1 8 \, 3 4 0 \ldots } } \\ { { * m _ { 7 } / m } } & { { = } } & { { 8 \, \cos ^ { 2 } ( \pi / 5 ) \, \cos ( 7 \pi / 3 0 ) } } & { { = } } & { { 3 . 8 9 1 \, 1 5 7 \ldots } } \\ { { * m _ { 8 } / m } } & { { = } } & { { 8 \, \cos ^ { 2 } ( \pi / 5 ) \, \cos ( 2 \pi / 1 5 ) } } & { { = } } & { { 4 . 7 8 3 \, 3 8 6 \ldots } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ h ^ { \mathrm { H F } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } } & { = \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \alpha \beta } ( t ) \left( h _ { \mathbf { k } - \mathbf { q } , \alpha } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) + h _ { \mathbf { p } + \mathbf { q } , \beta } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) - h _ { \mathbf { k } , \alpha } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) - h _ { \mathbf { p } , \beta } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \right) \, , } \end{array}
\Psi \propto \left| \begin{array} { c c c } { \Psi _ { Q _ { 1 } } ( R _ { 1 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 1 } } ( R _ { 2 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 1 } } ( R _ { 3 } ) } \\ { \Psi _ { Q _ { 2 } } ( R _ { 1 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 2 } } ( R _ { 2 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 2 } } ( R _ { 3 } ) } \\ { \Psi _ { Q _ { 3 } } ( R _ { 1 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 3 } } ( R _ { 2 } ) } & { \Psi _ { Q _ { 3 } } ( R _ { 3 } ) } \end{array} \right|
M ^ { I J } \Psi _ { \mathrm { p h y s } } = M ^ { m n } \Psi _ { \mathrm { p h y s } } = M ^ { m \pm } \Psi _ { \mathrm { p h y s } } = M ^ { 8 9 } \Psi _ { \mathrm { p h y s } } = 0 \, ,
\langle q _ { k } | \psi ( t ) \rangle _ { \vec { k } } = \frac { 1 } { \sqrt { u _ { k } } } \, \exp [ \, \frac { i } { 2 } \frac { \dot { u } _ { k } } { u _ { k } } \, q _ { k } ^ { 2 } \, ] \, ,
\mathcal { J } _ { p } ( \alpha ) = \frac { \sqrt { \pi } ( k _ { 0 } d ) ^ { p } } { \Gamma ( p / 2 ) d } \left( \frac { | \alpha | L _ { y } } { 2 \pi d } \right) ^ { \frac { p - 1 } { 2 } } K _ { \frac { p - 1 } { 2 } } \left( | \alpha | \frac { \pi d } { L _ { y } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \Phi _ { n + 1 } ( z ) } { d z } } & { { } = } & { \alpha \Big ( N _ { n } ( z ) \sin \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \\ { N _ { n + 1 } ( z ) } & { { } = } & { \Big ( N _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) - } \\ { P _ { n + 1 } ( z ) } & { { } = } & { \Big ( P _ { n } ( z ) \cos \Phi _ { n + 1 } ( z ) + } \\ { 0 } & { { } \le } & { z \le L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } , } \\ { \Phi _ { n + 1 } ( 0 ) } & { { } = } & { \Phi _ { n } ( L _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ) , } \end{array}
\delta T \propto \int d ^ { 3 } k e ^ { i ( k _ { x } ( x - x ^ { \prime } ) + k _ { y } ( y - y ^ { \prime } ) ) } \frac { \delta ( \omega + \omega { ' } ) } { i \omega - { D _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } + { D _ { y } } { k _ { y } ^ { 2 } } + { D _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } } } ,
E _ { 0 } ^ { p , q } = { \frac { F ^ { p } B ^ { p + q } } { F ^ { p + 1 } B ^ { p + q } } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } p < 0 { \mathrm { ~ o r ~ } } p > 1 } \\ { C ^ { q } } & { { \mathrm { i f ~ } } p = 0 } \\ { A ^ { q + 1 } } & { { \mathrm { i f ~ } } p = 1 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { | Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) | = } & { \left| - \frac { \lambda } { \alpha } [ C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) - \eta _ { 1 } ] _ { + } + \lambda C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + e _ { ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } ^ { \mathsf T } M ( \alpha ) \bar { c } \right| } \\ { \overset { ( a ) } { \le } } & { \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { 1 } { 1 - \gamma } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \end{array}
r ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ( \hbar \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } r _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ( \epsilon ) \cdot \mathcal { B } ( \hbar \omega - \epsilon ) \mathrm { d } \epsilon
\frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } s _ { H } } = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { s _ { H } } } \! \mathrm { d } q _ { + } \, \frac { F ( \bar { \Lambda } - q _ { + } ) } { ( M _ { B } - q _ { + } ) ^ { 2 } } \, \frac { \mathrm { d } \Gamma } { \mathrm { d } \hat { s } _ { H } } ( \hat { s } _ { H , q } ^ { 2 } , \varepsilon _ { q } ) \, , \qquad 0 \le s _ { H } \le M _ { B } ^ { 2 } \, ,
\lambda n _ { 0 , t } = \left( f _ { 0 } + f _ { 1 } { \frac { s _ { 0 } } { \lambda } } + \cdots + f _ { \omega - 1 } { \frac { s _ { 0 } \cdots s _ { \omega - 2 } } { \lambda ^ { \omega - 1 } } } \right) n _ { ( 0 , t ) } .
{ } _ { 4 } F _ { 3 } ( _ { 2 \lambda + 1 , \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 3 } } ^ { \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 4 } , \lambda , \lambda _ { 2 } } | y ) = f _ { a } \frac { ( 7 \lambda ^ { 2 } - 4 ) } { ( \lambda - 1 ) \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } + f _ { b } \frac { 9 \lambda ^ { 3 } } { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \; .
C \equiv \frac { { \left( 4 \pi \right) } ^ { 2 } } { i } \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } m _ { K } f _ { K } ^ { 2 } \hat { B } _ { K } \eta } { 2 } \simeq \frac { { \left( 4 \pi \right) } ^ { 2 } } { i } \; 5 . 4 \times 1 0 ^ { 4 } \; \; \; \; \mathrm { M e V } ^ { 3 } \; ,
{ \frac { p + i q } { r + i s } } = { \frac { ( p + i q ) ( r - i s ) } { ( r + i s ) ( r - i s ) } } = { \frac { p r + q s + i ( q r - p s ) } { r ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } = { \frac { p r + q s } { r ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } + i { \frac { q r - p s } { r ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } .
\mathrm { R e } ( F _ { 2 } ^ { R } - \bar { F } _ { 2 } ^ { L } ) = - \frac { 2 \alpha _ { s } } { 3 \pi } \sin ( 2 \alpha _ { t } ) \sin ( \phi _ { t } ) \frac { m _ { \lambda } m _ { W } } { ( m _ { t } ^ { 2 } - m _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { I m ~ } { \cal I } ( m _ { \tilde { t } } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \Omega ^ { \prime } e _ { 4 } ^ { \prime } ( u ) - \Omega ^ { \prime } e _ { 3 } ^ { \prime } ( u ) = \frac { \lambda \Omega ^ { \prime } } { 4 } | f | ^ { 2 } e _ { 3 } ( u ) - \frac { \Omega ^ { \prime } } { \lambda \Omega } = \frac { \Omega } { 4 } | f | ^ { 2 } - \frac { { \Omega ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } . } \end{array}
0 \longrightarrow \mathcal { O } ( \mathbb { K } ^ { 2 } ) \oplus \mathcal { O } ( \mathbb { K } ^ { 2 } ) \stackrel { \delta _ { 1 } } { \longrightarrow } \mathcal { O } ( \mathbb { K } ^ { 2 } ) \oplus \mathcal { O } ( \mathbb { K } ^ { 2 } ) \oplus \mathcal { O } ( \mathbb { K } ^ { 2 } ) \stackrel { \delta _ { 0 } } { \longrightarrow } \mathcal { I } _ { 0 } ^ { 2 } \longrightarrow 0 ,
\mathbf { \partial } \cdot \mathbf { N } = \partial ^ { \mu } \eta _ { \mu \nu } N ^ { \nu } = \partial _ { \nu } N ^ { \nu } = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) \cdot \left( n c , n { \vec { \mathbf { u } } } \right) = { \frac { \partial _ { t } } { c } } \left( n c \right) + { \vec { \nabla } } \cdot n { \vec { \mathbf { u } } } = \partial _ { t } n + { \vec { \nabla } } \cdot n { \vec { \mathbf { u } } } = 0
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname { F L O P S } ( \boldsymbol { \mathbf { x } } \mapsto \check { \vec { p } } _ { \ell ; r _ { \ell } } \boldsymbol { \mathbf { x } } ) , \operatorname { F L O P S } ( \boldsymbol { \mathbf { x } } \mapsto \check { \vec { r } } _ { \ell ; r _ { \ell } } \boldsymbol { \mathbf { x } } ) \right\} = \mathcal { O } \left( K ^ { d } \log ( | \Xi _ { \ell } | ) ^ { d } | \Xi _ { \ell } | \right) , } \end{array}
( \mathbf { n } \cdot \mathbf { K } ) ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { x } ^ { 2 } } & { n _ { x } n _ { y } } & { n _ { x } n _ { z } } \\ { 0 } & { n _ { y } n _ { x } } & { n _ { y } ^ { 2 } } & { n _ { y } n _ { z } } \\ { 0 } & { n _ { z } n _ { x } } & { n _ { z } n _ { y } } & { n _ { z } ^ { 2 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 9 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { > \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \alpha ^ { 2 } \Delta \mathbf { X } _ { 2 , 0 } ( t ) + \alpha \beta \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 1 } ( t ) + \mathrm { c u b i c ~ a n d ~ h i g h e r - o r d e r ~ t e r m s } } \\ { = } & { \alpha \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } + \alpha ^ { 2 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } [ \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) + \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( \tilde { t } ) \cdot \nabla \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) ] \, d \tilde { t } + \alpha \beta \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } . } \end{array}
\gamma ^ { 2 } = \frac { \sigma ^ { 4 } } { n _ { s } } \left( \kappa - 1 + \frac { 2 } { n _ { s } - 1 } \right) \approx \frac { S ^ { 4 } } { n _ { s } } \left( K - 1 + \frac { 2 } { n _ { s } - 1 } \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { a > 1 } \vert \Omega _ { a } / \lambda _ { a } \vert \ll \frac { 1 } { \beta ( n - 1 ) \operatorname* { m a x } _ { i } \sqrt { \pi _ { i } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { \psi } & { : } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) \otimes ( \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) , \dots , \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) ) } & { \to } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) } \\ & & { ( x , \phi _ { 1 } ( x ) , \dots , \phi _ { G } ( x ) ) } & { \mapsto } & { \sum _ { g = 1 } ^ { G } \phi _ { g } ( x ) - x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } ) } & { = } & { \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } \ , \hat { d } _ { 1 } \geq \epsilon ) + \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } \ , \hat { d } _ { 1 } < \epsilon ) \ } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } \ , \hat { \hat { d } } _ { 1 } = \hat { d } _ { 1 } ) + \mathbb { P } ( \hat { d } _ { 1 } < \epsilon ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \hat { \hat { d } } _ { 1 } < \hat { q } _ { \alpha , 1 } ^ { * } ) + \mathbb { P } ( \sqrt { n } ( \hat { d } _ { 1 } - d _ { 1 } ) < \sqrt { n } ( \epsilon - d _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \bigcup _ { u \in S } ( N _ { G } ( u ) \cap V ( Q _ { 1 } ) ) \right| } & { \leq \sum _ { u \in S \setminus \{ \tilde { u } _ { 2 } \} } | N _ { G } ( u ) \cap V ( Q _ { 1 } ) | } \\ & { \leq \sum _ { u \in S \setminus \{ \tilde { u } _ { 2 } \} } ( d _ { G } ( u ) - | S \setminus \{ u \} | ) } \\ & { \leq ( | S | - 1 ) ( 2 k - 1 - ( | S | - 1 ) ) } \\ & { = ( | S | - 1 ) ( 2 k - | S | ) } \\ & { \leq ( 2 k - 2 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial { t } } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } } & { { } = - \nabla { p } + \frac { 1 } { R e } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , } \end{array}
u \ : = \, m a x _ { \mathrm { j } } \left( D \mathrm { e } _ { j } - D \mathrm { c } _ { j } , \ 0 \right) \ + \, m a x _ { \mathrm { j } } \left( D \mathrm { c } _ { j } - D \mathrm { e } _ { j } , \ 0 \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { \delta } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 1 - \delta } ^ { 1 } \int _ { \gamma ( z ) } n _ { + } \cdot ( u - \nabla ) T \ d S \ d z \ d t } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { \delta } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega _ { \delta } } n _ { + } \cdot u T \ d y \ d t - \operatorname* { l i m s u p } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { 1 } { \delta } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega _ { \delta } } n _ { + } \cdot \nabla T \ d y \ d t } \end{array}
\frac { \Omega _ { \phi } } { \Omega _ { a } } \simeq 1 0 ^ { - 5 } \frac { \langle \phi ^ { 2 } \rangle } { f _ { P Q } ^ { 2 } } \simeq 1 0 ^ { 7 } \frac { \langle \phi ^ { 2 } \rangle } { m _ { P l } ^ { 2 } }
\left| \frac { \partial } { \partial B _ { \rho } } \ln \left( \frac { [ X _ { i } ] _ { \mathrm { s s } } } { \sum _ { j \in \mathcal { S } \setminus \{ i \} } [ X _ { j } ] _ { \mathrm { s s } } } \right) \right| \leq \operatorname { t a n h } \left( \frac { \mathcal { F } } { 4 } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { p ( h w ^ { \prime } ) } & { = h \cdot h ^ { - 1 } { \frac { 1 } { \# G } } \sum _ { g \in G } g \cdot p _ { 0 } \cdot g ^ { - 1 } ( h w ^ { \prime } ) } \\ & { = h \cdot { \frac { 1 } { \# G } } \sum _ { g \in G } ( h ^ { - 1 } \cdot g ) \cdot p _ { 0 } \cdot ( g ^ { - 1 } h ) w ^ { \prime } } \\ & { = h \cdot { \frac { 1 } { \# G } } \sum _ { g \in G } g \cdot p _ { 0 } \cdot g ^ { - 1 } w ^ { \prime } } \\ & { = h \cdot p ( w ^ { \prime } ) } \\ & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { R _ { 1 2 3 } = R _ { 1 3 4 } = \frac { 1 } { 4 s } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 8 } s + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) , } \\ & { R _ { 1 2 4 } = \frac { 1 } { 8 s ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 8 s } - 1 - \frac { 1 } { 1 6 } s + 2 s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) , } \\ & { R _ { 2 3 4 } = - \frac { 1 } { 4 s ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } - s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 3 } ) . } \end{array}
a _ { E } ( 1 , 1 ) = i q ^ { 3 } \sqrt { 4 \pi / 3 } \, ( d _ { x } - i d _ { y } ) , \ a _ { E } ( 1 , 0 ) = - i q ^ { 3 } \sqrt { 8 \pi / 3 } \, d _ { z } , \ a _ { E } ( 1 , - 1 ) = a _ { E } ( 1 , 1 ) ^ { * }
f _ { \mathrm { s t } } = g _ { 0 } ^ { - 1 } \exp \left\{ - \psi _ { \mathrm { s t } } ( \boldsymbol { x } ) \right\} \exp \left\{ - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { m v _ { i } ^ { 2 } } { 2 k T _ { \mathrm { e q } } } \right\} \, .
\begin{array} { r l } { | S ( \hat { F } _ { n , X } ) - S ( F _ { X } ) | ^ { p / q } } & { \leq 2 ^ { p / q - 1 } \big ( | S ( \hat { F } _ { n , X } ) | ^ { p / q } + | S ( F _ { X } ) | ^ { p / q } \big ) } \\ & { \leq 2 ^ { p / q - 1 } \Big ( ( a M _ { p } ^ { q } ( \hat { F } _ { n , X } ) + b ) ^ { p / q } + ( a M _ { p } ^ { q } ( F _ { X } ) + b ) ^ { p / q } \Big ) } \\ & { \leq 2 ^ { 2 ( p / q - 1 ) } \Big ( a ^ { p / q } M _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } ) + a ^ { p / q } M _ { p } ^ { p } ( F _ { X } ) + 2 b ^ { p / q } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A _ { 0 } ^ { T } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } A _ { i } ^ { T } + X ^ { * } \Lambda = 0 , } \\ & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) - a _ { i } \le 0 , \ i = 1 , \cdots , k , \ X ^ { * T } X ^ { * } = I _ { p } , } \\ & { } & { \lambda _ { i } ^ { + } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) - a _ { i } ^ { u } ) = \lambda _ { i } ^ { - } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) - a _ { i } ^ { l } ) = 0 , \ i = 1 , \cdots , k , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) = } & { { } - x _ { 2 } - \frac { x _ { 1 } ^ { 3 } } { 2 4 } - \frac { 1 } { 6 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { x _ { 2 } ^ { 5 } } { 1 8 } + \frac { 1 } { 7 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 1 4 4 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } + \dots \, , } \\ { u _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) = } & { { } \frac { x _ { 1 } } { 2 } - \frac { x _ { 2 } ^ { 3 } } { 6 } - \frac { 1 } { 1 2 } x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { x _ { 1 } ^ { 5 } } { 2 8 8 } - \frac { 1 } { 1 4 4 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 6 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 1 } + \dots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 7 } ^ { \mathbb { Q } } \leq } & { \int _ { \mathbb { Q } } \fint _ { \mathbb { Q } } \int _ { C ^ { s } } \big | \phi ( x ^ { \prime } - y ) - \phi ( x - y ) \big | | \overline { { \nu _ { y } ^ { \infty } } } | d \lambda ^ { s } ( y ) d x ^ { \prime } d x } \\ { \leq } & { \sqrt { n } \int _ { \mathbb { Q } } \fint _ { \mathbb { Q } } \int _ { \mathbb { Q } + t Q } \| x - x ^ { \prime } \| \int _ { 0 } ^ { 1 } \big | D \phi ( x + ( x ^ { \prime } - x ) \tau ) ( x ^ { \prime } - x ) \big | d \tau d \lambda ^ { s } ( y ) d x ^ { \prime } d x . } \end{array}
\frac { d \sigma _ { L } ^ { h } } { d x } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { p } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \frac { d \hat { \sigma } _ { L } ^ { p } } { d z } ( z ) D _ { p } ^ { h } ( x / z , Q ^ { 2 } ) .
E _ { ( \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { m } ) , \mu } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { m } ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \substack { k _ { 1 } + \dots + k _ { m } = k \, k _ { j } \geq 0 } } \binom { k } { k _ { 1 } , \dots , k _ { m } } \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { m } z _ { j } ^ { k _ { j } } } { \Gamma ( \mu + \sum _ { j = 1 } ^ { m } \alpha _ { j } k _ { j } ) } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \alpha ^ { 2 } \left\{ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 2 3 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 2 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ( \omega ) / 2 ] \right\} \left\{ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 3 2 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 3 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) / 2 ] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ z ^ { m _ { 1 } - a } y ^ { m _ { 2 } - b } ] \frac { P ( z y ) ^ { r } } { 1 - y - z } = [ z ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } + b - a } q ^ { m _ { 2 } - b } ] \frac { P ( q ) ^ { r } } { 1 - y - z } } \\ & { \quad = [ z ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } + b - a } q ^ { m _ { 2 } - b } ] \frac { P ( q ) ^ { r } } { ( 1 - 2 P ( q ) ) \big ( 1 - \frac { z } { 1 - P ( q ) } \big ) } } \\ & { \quad = [ q ^ { m _ { 2 } - b } ] \frac { P ( q ) ^ { r } } { ( 1 - 2 P ( q ) ) \big ( 1 - P ( q ) \big ) ^ { m _ { 1 } - m _ { 2 } + b - a } } } \\ & { \quad = [ q ^ { - 1 } ] \frac { 1 } { P ( q ) ^ { m _ { 2 } - b + 1 - r } ( 1 - 2 P ( q ) ) ( 1 - P ( q ) ) ^ { m _ { 1 } - a + 1 } } } \\ & { \quad = [ P ^ { - 1 } ] \frac { 1 - 2 P } { P ^ { m _ { 2 } - b + 1 - r } ( 1 - 2 P ) ( 1 - P ) ^ { m _ { 1 } - a + 1 } } = [ P ^ { m _ { 2 } - b - r } ] \frac { 1 } { ( 1 - P ) ^ { m _ { 1 } - a + 1 } } } \\ & { \quad = \binom { m _ { 1 } + m _ { 2 } - a - b - r } { m _ { 1 } - a } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ } } = \mathbb { E } _ { \left( { \mathcal { G } } , l \right) \in { \mathbb { G } } \times { \mathbb { L } } } [ \mathcal { L } \left( g \left( { \mathcal { G } } \right) , l \right) ] \; .