harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D ^ { \rho } h ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 3 } \left( 2 \frac { \omega _ { R } ^ { \mu \nu } } { \omega _ { \rho } ^ { P } } - \frac { \omega _ { R } ^ { \nu \rho } } { \omega _ { \mu } ^ { P } } - \frac { \omega _ { R } ^ { \rho \mu } } { \omega _ { \nu } ^ { P } } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { \leq K \left[ \int _ { \Omega } \left( | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { a } + | | \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { \operatorname* { m a x } \{ a , b \} } \right) ^ { p } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right] ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \quad \cdot \left[ \int _ { \Omega } | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { 2 q } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right] ^ { \frac { 1 } { q } } } \\ & { \leq K ( \epsilon ^ { a } + \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { x } \in \Omega } | | \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { \operatorname* { m a x } \{ a , b \} } ) \epsilon ^ { 2 } } \end{array}
k ( s ) = \frac { \bar { x } ^ { \prime } ( s ) \bar { y } ^ { \prime \prime } ( s ) - \bar { x } ^ { \prime \prime } ( s ) \bar { y } ^ { \prime } ( s ) } { \left[ \left( \bar { x } ^ { \prime } ( s ) \right) ^ { 2 } + \left( \bar { y } ^ { \prime } ( s ) \right) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } ,
n _ { \bar { u } _ { c s } } - n _ { \bar { d } _ { c s } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x [ \bar { u } _ { c s } ( x , Q ^ { 2 } ) - \bar { d } _ { c s } ( x , Q ^ { 2 } ) ] = - 0 . 1 4 7 \pm 0 . 0 3 9 ,
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \frac { 1 } { n ^ { 4 } } \left( 6 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) , } \\ { \Bar { T } _ { c } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \pm \frac { 1 } { 3 n ^ { 4 } } \left[ 1 6 \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } \right) ^ { 3 / 2 } \right. } \\ & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left. + \left( 8 n ^ { 2 } - 9 6 q _ { m } ^ { 2 } \right) \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } - \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } \; \right] , } \\ { r _ { 0 ( c ) } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = \mp { \sqrt { 3 q _ { m } ^ { 2 } - \sqrt { 3 } \sqrt { q _ { m } ^ { 2 } \left( 3 q _ { m } ^ { 2 } - n ^ { 2 } \right) } } } , } \end{array}
G _ { C } ( Q ^ { 2 } ) = G _ { C C } ( Q ^ { 2 } ) \left[ G _ { E } ^ { p } ( Q ^ { 2 } ) + G _ { E } ^ { n } ( Q ^ { 2 } ) \right] + G _ { C M } ( Q ^ { 2 } ) \left[ G _ { M } ^ { p } ( Q ^ { 2 } ) + G _ { M } ^ { n } ( Q ^ { 2 } ) \right] \; .
B _ { \mathrm { V } } ( w _ { r } ^ { h } , w _ { i } ^ { h } ; \phi _ { r } ^ { h } , \phi _ { i } ^ { h } ) = B _ { \mathrm { S } } + \sum _ { e } \left[ \Big ( \tau \omega w _ { r } ^ { h } , r _ { i } ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } - \Big ( \tau \omega w _ { i } ^ { h } , r _ { r } ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } \right] .
\sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { \mu _ { k , x } } { ( p _ { j } - \mathrm { i } \mu _ { k } ) ( q _ { j } - \mathrm { i } \mu _ { k } ) } } = - 1 , \quad \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { \mu _ { k , t } } { ( p _ { j } - \mathrm { i } \mu _ { k } ) ( q _ { j } - \mathrm { i } \mu _ { k } ) } } = p _ { j } + q _ { j } , \quad ( j = 1 , 2 , . . . , N ) . \eqno ( 2 . 2 5 )
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } [ \widetilde { C } _ { k } } & { ( m , t , G , \sigma ( t , G ^ { ( 2 ) } ( t ) ) ) - C _ { k } ( m , G ) ] } \\ & { \le \sum _ { r , s } \frac { 2 ^ { 2 k } } { ( m n ) ^ { k } } \cdot 2 ^ { 2 k } \cdot ( O ( 1 / n ) ) ^ { 2 k - r } \cdot \operatorname* { m i n } \{ ( O ( k ) ) ^ { O ( s ) } ( O ( n ) ) ^ { 4 k - r - s } , ( O ( n ) ) ^ { 4 k - 1 } \} } \\ & { \le ( O ( 1 ) ) ^ { k } \cdot \operatorname* { m i n } \{ ( k ^ { O ( 1 ) } / n ) ^ { s } , 1 / n \} \le n ^ { - 5 / 6 } \operatorname { V a r } [ C _ { k } ( m , G ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } } & { { } \sim \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { ~ B ~ Z ~ } } ^ { 2 } } \delta ( \epsilon _ { k ^ { \prime } } - \epsilon _ { k } - \Delta E ) \int _ { \boldsymbol { q } + \boldsymbol { p } = \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } } N _ { q } N _ { p } \big | g ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } ) \big | ^ { 2 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } . } \end{array}
Z _ { X } ( { \cal M } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { 3 / 2 } } { \int } _ { X } Z ( { \cal M } ; { \varphi } _ { 0 } ^ { i } ) \sqrt { g } d ^ { 3 } { \varphi } _ { 0 } ^ { i } ,
\mathrm { S C S } ( \omega ) = \sum _ { m } D _ { m } ^ { 2 } \frac { [ q _ { m } + ( \omega - \omega _ { 0 m } ) / ( \Gamma _ { m } / 2 ) ] ^ { 2 } } { 1 + [ ( \omega - \omega _ { 0 m } ) / ( \Gamma _ { m } / 2 ) ] ^ { 2 } } .
\cosh x = 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } + { \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } }
\begin{array} { r l r } { \zeta } & { = } & { \operatorname* { i n f } \left\{ q _ { 0 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv u _ { 3 } ^ { 2 } : \begin{array} { l } { q _ { 1 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv u _ { 1 } ^ { 2 } \leq 0 , } \\ { q _ { 2 } ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ) \equiv - 2 u _ { 1 } u _ { 2 } - 2 u _ { 3 } ^ { 2 } + 2 \leq 0 . } \end{array} \right\} , } \end{array}
s _ { { \scriptscriptstyle m } } ( Z ) = s _ { { \scriptscriptstyle - } } ( 0 , Z ) = h \! - \! \sqrt { h ^ { 2 } \! - \! \mu ^ { 2 } } , \qquad s _ { { \scriptscriptstyle M } } ( Z ) = s _ { { \scriptscriptstyle + } } ( 0 , Z ) = h \! + \! \sqrt { h ^ { 2 } \! - \! \mu ^ { 2 } } ;
g = - \left( \frac { 1 - { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } / { \bar { r } } } { 1 + { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } / { \bar { r } } } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } { x ^ { 0 } } ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } { \bar { r } } \right) ^ { 4 } \left[ \mathrm { d } { x ^ { 1 } } ^ { 2 } + \mathrm { d } { x ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathrm { d } { x ^ { 3 } } ^ { 2 } \right] , \qquad \bar { r } > \bar { r } _ { \mathrm { s } } = \frac { r _ { \mathrm { s } } } { 4 } ,
\left| \bigcap _ { i = 1 } ^ { n } { \bar { A _ { i } } } \right| = \left| S - \bigcup _ { i = 1 } ^ { n } A _ { i } \right| = | S | - \sum _ { i = 1 } ^ { n } | A _ { i } | + \sum _ { 1 \leqslant i < j \leqslant n } | A _ { i } \cap A _ { j } | - \cdots + ( - 1 ) ^ { n } | A _ { 1 } \cap \cdots \cap A _ { n } | .
\boldsymbol { \mathcal { A } } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } & { \mu ( \frac { 1 } { 2 } - e ^ { - i \omega } ) } \\ { \mu ( e ^ { i \omega } - \frac { 1 } { 2 } ) } & { - \frac { \mu } { 2 } + \frac { \Sigma \Delta x } { 2 } } \end{array} \right] \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = \iint 4 \pi | V ( \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } ) | ^ { 2 } f _ { p 1 2 } \delta ( \omega - \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \delta ( \mathbf { p } - \mathbf { p } _ { 1 } - \mathbf { p } _ { 2 } ) \, d \mathbf { p } _ { 1 } \, d \mathbf { p } _ { 2 } } \\ & { - \iint 8 \pi | V ( \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 2 } ) | ^ { 2 } f _ { 1 p 2 } \delta ( \omega - \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) \delta ( \mathbf { p } - \mathbf { p } _ { 1 } + \mathbf { p } _ { 2 } ) \, d \mathbf { p } _ { 1 } \, d \mathbf { p } _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \Big | \int _ { 0 } ^ { T } \big ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } ) d t \Big | \right] } \\ & { \leq \left( \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } d t \right] \right) ^ { 1 / 2 } \left( \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \big ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) ^ { 2 } d t \right] \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \| u ^ { \theta ^ { \star } } - u \| _ { \mathcal H ^ { 2 } } \left( \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } G ^ { \star } ( t - s ) \big ( u _ { s } - u _ { s } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d s \right) ^ { 2 } d t \right] \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \left( \| u ^ { \theta ^ { \star } } - u \| _ { \mathcal H ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { T } ( G ^ { \star } ( t - s ) ) ^ { 2 } d s \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \| u ^ { \theta ^ { \star } } - u \| _ { \mathcal H ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\left| { \overline { { { \cal M } } } } \right| _ { L L } ^ { 2 } \equiv \left| { \cal L } _ { i } + { \cal L } _ { f } + { \cal L } _ { p } + { \cal L } _ { e } - { \cal L } _ { m } - { \cal L } _ { m ^ { \prime } } \right| .
\begin{array} { r l } { f ( \mu _ { 1 } , p ) } & { = f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { 2 } \partial _ { \mu } f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 } \partial _ { \mu } ^ { 2 } f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 3 } } { 4 8 } \partial _ { \mu } ^ { 3 } f \left( \xi _ { 1 } , p \right) } \\ { f ( \mu _ { 2 } , p ) } & { = f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } { 2 } \partial _ { \mu } f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 } \partial _ { \mu } ^ { 2 } f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) + \frac { ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) ^ { 3 } } { 4 8 } \partial _ { \mu } ^ { 3 } f \left( \xi _ { 2 } , p \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { t } + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \ddddot t + \ldots } & { { } = } & { E ( x ) ^ { \top } \, \Bigl ( \dot { x } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot x + \ldots \Bigr ) } \\ { \ddot { x } + \frac { h ^ { 2 } } { 1 2 } \ddddot x + \ldots } & { { } = } & { E ( x ) \, \Bigl ( \dot { t } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot t + \ldots \Bigr ) - \widehat B ( x ) \, \Bigl ( \dot { x } + \frac { h ^ { 2 } } 6 \dddot x + \ldots \Bigr ) . \qquad } \end{array}
\sigma _ { q } ^ { \prime } ( t _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ d ~ } } ) = \sqrt { \langle q ( t _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ d ~ } } ) ^ { 2 } \rangle - \langle q ( t _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ a ~ d ~ } } ) \rangle ^ { 2 } } ,
{ \bf q } _ { \mathrm { m i n } } \Rightarrow \mathrm { ~ ` ~ ` ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ ' ~ ' ~ } ~ { U } ( { \bf R } ) ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ s ~ } , { \bf F } = \{ { \bf F } _ { I } \}
{ \cal { R } } _ { y z } = \langle { u _ { y } ^ { \prime } u _ { z } ^ { \prime } } \rangle = - \nu _ { \mathrm { { T } } } \frac { \partial U _ { y } } { \partial z } + \eta 2 \omega _ { \mathrm { { F } } } \frac { \partial H } { \partial z } .
\begin{array} { r l r } { \left< B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ^ { * } ) } ( \Gamma ) \right> _ { S } } & { = } & { \left< \Omega _ { t , t + \tau / N } ( \Gamma ; 0 ) \right> _ { S } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i } } { \delta t } } \\ & { = } & { \frac { A \tau } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i } } { \delta t } , } \\ & { = } & { \frac { \left< w \right> } { \delta t } A \tau , } \end{array}
X \Psi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } m } ( \mu , \nu , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) = - \alpha \frac { n _ { 1 } - n _ { 2 } + \frac { \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } } { 2 } } { n + \frac { \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } } { 2 } } \, \Psi _ { n _ { 1 } n _ { 2 } m } ( \mu , \nu , \varphi ; \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { v } \varphi _ { 0 t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) h } & { = D \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) \partial _ { v } \varphi _ { 0 t _ { 1 } ^ { + } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) h + \partial _ { v } \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) h } \\ & { = D \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) S \partial _ { v } \varphi _ { 0 t _ { 1 } ^ { - } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) h + \partial _ { v } \varphi _ { t _ { 1 } ^ { + } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) h . } \end{array}
\{ \theta \, , \, \bar { \theta } \} ^ { \ast } = \frac { i } { s } \zeta \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \frac { z \bar { z } \theta \bar { \theta } } { \zeta } \right) \qquad \{ z \, , \, \bar { \theta } \} ^ { \ast } = \frac { i \zeta } { 2 s } z \bar { \theta } \qquad \{ \bar { z } \, , \, \theta \} ^ { \ast } = - \frac { i \zeta } { 2 s } \bar { z } \theta \, .
\begin{array} { r } { ( \tilde { \omega } - \omega ) ^ { 2 } ( \omega _ { 3 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 3 } - \omega ) = ( \kappa _ { 1 3 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 3 } ^ { 2 } ) ( \tilde { \omega } - \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) } & { { } = \sum _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ( U \mathbf { h } _ { i } ^ { L \uparrow } ) _ { \gamma } ( V \mathbf { h } _ { j } ^ { L \downarrow } ) _ { \gamma } } \end{array}
\varepsilon ^ { \{ j , k \} , \{ p , q \} } = { \mathrm { s g n } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 4 } \\ { j } & { k } & { p } & { q } \end{array} \right] } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } p \neq j , q \neq k .
D ( 0 , 0 , \alpha ) = \left( \begin{array} { l l l l } { { \cos \alpha } } & { { - \sin \alpha } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \sin \alpha } } & { { \cos \alpha } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \log \tilde { Z } ^ { n } ( w ) = \log \int \exp \Big ( - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Big [ F _ { k } ( \gamma _ { k } ) + V ( \Delta _ { k } \gamma + w ) \Big ] \Big ) \mathrm { d } { \gamma } } \\ & { \ge \log \int e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Big [ F _ { k } ( \gamma _ { k } ) + V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + ( w - v ) V ^ { \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } V ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v + r ) \Big ] } \mathrm { d } { \gamma } } \\ & { = \log \tilde { Z } ^ { n } ( v ) + \log \frac { 1 } { \tilde { Z } ^ { n } ( v ) } \int e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Big [ F _ { k } ( \gamma _ { k } ) + V ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + ( w - v ) V ^ { \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } V ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v + r ) \Big ] } \mathrm { d } { \gamma } } \\ & { = \log \tilde { Z } ^ { n } ( v ) + \log \tilde { \mu } _ { v } ^ { n } \bigg ( \exp \Big ( - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Big [ ( w - v ) V ^ { \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v ) + \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } V ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v + r ) \Big ] \Big ) \bigg ) } \\ & { \ge \log \tilde { Z } ^ { n } ( v ) - ( w - v ) \tilde { \mu } _ { v } ^ { n } \bigg ( \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ^ { \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v ) \bigg ) - \frac { 1 } { 2 } ( w - v ) ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { v } ^ { n } \bigg ( \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \operatorname* { s u p } _ { | r | \le 1 } V ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { k } \gamma + v + r ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial s } } & { = } & { p - \lambda \left( e ^ { s + t } - e ^ { s } \right) = 0 \implies p = \lambda \left( e ^ { s + t } - e ^ { s } \right) } \\ { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial t } } & { = } & { q - \lambda \left( e ^ { s + t } - e ^ { t } \right) = 0 \implies q = \lambda \left( e ^ { s + t } - e ^ { t } \right) } \\ { \displaystyle \frac { \partial \Phi } { \partial \lambda } } & { = } & { e ^ { s + t } - e ^ { s } - e ^ { t } - 3 = 0 . } \end{array}
\sin \delta _ { 1 3 } = \frac { ( 1 + s _ { 1 2 } + s _ { 2 3 } + s _ { 1 3 } ) \sqrt { 1 - s _ { 1 2 } ^ { 2 } - s _ { 2 3 } ^ { 2 } - s _ { 1 3 } ^ { 2 } + 2 s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } { ( 1 + s _ { 1 2 } ) ( 1 + s _ { 2 3 } ) ( 1 + s _ { 1 3 } ) }
\begin{array} { r l r } { \frac { d \rho _ { g g ^ { \prime } } } { d t } } & { = } & { i \omega _ { g ^ { \prime } \! g } \rho _ { g g ^ { \prime } } + \frac { i } { 2 } \sum _ { e } ( \Omega _ { e g ^ { \prime } } \rho _ { g e } - \Omega _ { g e } \rho _ { e g ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { + \sum _ { e , e ^ { \prime } } \gamma _ { e g e ^ { \prime } \! g ^ { \prime } } \rho _ { e e ^ { \prime } } ; } \\ { \frac { d \rho _ { e e ^ { \prime } } } { d t } } & { = } & { i \omega _ { e ^ { \prime } \! e } \rho _ { e e ^ { \prime } } + \frac { i } { 2 } \sum _ { g } ( \Omega _ { g e ^ { \prime } } \rho _ { e g } - \Omega _ { e g } \rho _ { g e ^ { \prime } } ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g , e ^ { \prime \prime } } ( \gamma _ { e g e ^ { \prime \prime } \! g } \rho _ { e ^ { \prime \prime } \! e ^ { \prime } } + \gamma _ { e ^ { \prime \prime } \! g e ^ { \prime } \! g } \rho _ { e e ^ { \prime \prime } } ) ; } \\ { \frac { d \rho _ { g e } } { d t } } & { = } & { i ( \omega _ { e g } - \omega _ { v } ) \rho _ { g e } + \frac { i } { 2 } \sum _ { g ^ { \prime } } \Omega _ { g ^ { \prime } \! e } \rho _ { g g ^ { \prime } } } \\ & { } & { - \frac { i } { 2 } \sum _ { e ^ { \prime } } \Omega _ { g e ^ { \prime } } \rho _ { e ^ { \prime } \! e } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { g ^ { \prime } , e ^ { \prime } } \gamma _ { e ^ { \prime } \! g ^ { \prime } \! e g ^ { \prime } } \rho _ { g e ^ { \prime } } , } \end{array}
\frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \sim \frac { 1 } { \epsilon _ { \lambda } } \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } \sim \frac { 1 } { \epsilon _ { \lambda } } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } \sim \frac { 1 } { \epsilon _ { \lambda } ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { r } } { \partial z }
\frac { \Delta Q _ { 1 } } { P _ { 1 } } + \frac { \Delta Q _ { 2 } } { P _ { 2 } } + \frac { \Delta Q _ { 3 } } { P _ { 3 } } \equiv 0 , \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \qquad { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \frac { \Delta Q _ { j } } { P _ { j } } \equiv 0 ,
\begin{array} { r l r } { \langle P \cdot \mathcal { D } , Q \rangle } & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) \left( x W ( x ) Q ^ { \ast } ( x ) \right) ^ { \prime } d x + \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( W ^ { - 1 } ( x ) x ( A - 1 ) W ( x ) \right) Q ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) \left( W ( x ) Q ^ { \ast } ( x ) + x W ^ { \prime } ( x ) Q ^ { \ast } + x W ( x ) ( Q ^ { \ast } ( x ) ) ^ { \prime } \right) d x } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( W ^ { - 1 } ( x ) x ( A - 1 ) W ( x ) \right) Q ^ { \ast } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q ( \gamma _ { 2 n + 1 } ^ { l } ) } & { = } & { q ( \gamma _ { 1 } ^ { l } + \gamma _ { 3 } ^ { l } + \cdots + \gamma _ { 2 n - 1 } ^ { l } ) = q ( \gamma _ { 1 } ^ { l } ) + q ( \gamma _ { 3 } ^ { l } ) + \cdots + q ( \gamma _ { 2 n - 1 } ^ { l } ) } \\ & { = } & { n } \\ & { = } & { 1 \quad \mathrm { i n ~ } \mathbb { Z } _ { 2 } . } \end{array}
0 . 0 5 3 \, f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } ^ { - 1 } \, \lambda ^ { - 4 3 / 1 0 } \, \alpha ^ { 1 2 } \, \beta ^ { 1 7 / 1 2 } \, \gamma ^ { - 1 1 / 3 }
\mathbf { \dot { u } } _ { i } = \mathbf { L } _ { \mathrm { N S } } ( \mathbf { u } _ { i } ) - \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { N S } } ( \mathbf { u } _ { i } ) , \mathbf { u } _ { i } \rangle \mathbf { u } _ { i } - \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } [ \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { N S } } ( \mathbf { u } _ { i } ) , \mathbf { u } _ { j } \rangle + \langle \mathbf { L } _ { \mathrm { N S } } ( \mathbf { u } _ { j } ) , \mathbf { u } _ { i } \rangle ] \mathbf { u } _ { j } ,
\dot { \xi } = - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } \xi } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } \xi } = - \frac { k _ { 2 } e _ { 0 } \xi } { K _ { M } + \xi } , \quad \xi ( \widetilde t ) = s ^ { * } \in ( 0 , \, s _ { 0 } ] .
\begin{array} { c l } { \displaystyle b _ { 0 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \sum _ { i , j = 1 , i , j \neq k } ^ { N } { S _ { i } S _ { j } \int _ { s _ { i } } ^ { s _ { i } + l _ { i } } \int _ { s _ { j } } ^ { s _ { j } + l _ { j } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) \left( 2 \cot { 3 \pi \nu _ { x } } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \right. } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert - 2 \phi _ { 2 } Q ) U e } & { = ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } - ( \phi _ { 2 } - \langle A _ { \phi _ { 1 } } \rangle ) - 2 \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { \geq 2 ( \bar { A } _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { A } } _ { j } ( t ) } & { = j \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { \Gamma ( 1 + n \alpha ) } { n ! ( n - n \alpha + 1 ) } \sin ( \pi n \alpha ) t ^ { - n \alpha + n + 1 } } \\ { \overline { { B } } _ { j } ( t ) } & { = j ( j - 1 ) \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { ( n + 1 ) \Gamma ( 1 + n \alpha ) } { n ! ( n - n \alpha ) } \sin ( \pi n \alpha ) t ^ { - n \alpha + n } } \\ { \overline { { C } } _ { j } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { j = 1 , 2 } \\ { \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { j ! } { ( j - k ) ! } \sum _ { n = k + 1 } ^ { + \infty } ( - 1 ) ^ { n } \binom { n + 1 } { k + 2 } \frac { \Gamma ( 1 + n \alpha ) } { n ! ( n - n \alpha - 1 - k ) } \sin ( \pi n \alpha ) t ^ { - n \alpha + n - 1 - k } } & { j \ge 3 , } \end{array} \right. } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 - \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } } d \xi ^ { 0 } d \xi ^ { 0 } - ( 1 - \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } ) \left[ ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { - 2 } d \rho ^ { 2 } + ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \rho ^ { 2 } d { \bf u } d { \bf u } ^ { \prime } \right] ~ ,
\begin{array} { r l r l } { { 4 } - \mathrm { d i v } ( a \nabla u ) - \kappa ^ { 2 } u } & { = f } & { \quad } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { a \partial _ { n } u - i \omega \beta u } & { = g } & { \quad } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { R } , } \\ { u } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D } , } \end{array}
\mathbf { B } = \left[ \begin{array} { l l } { b _ { 1 1 } } & { b _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { b _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { - ( B + C ) } & { a } \\ { 0 } & { - 1 / \tau _ { d } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { k } } & { { } = - \tilde { h } ( \alpha + i ) \sqrt { \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tilde { h } } \right) \left( 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \tilde { h } } + \frac { \beta k } { \tilde { h } } \right) } } \end{array}
\mathrm { T r } K _ { \beta } ^ { ( 2 ) } ( s ) = 3 \mathrm { T r } K _ { \beta } ^ { ( 0 ) } ( s ) - \chi [ S _ { \beta } ^ { 2 } ] - \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { c k } } e ^ { - s \lambda _ { l } } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { E S L } } ^ { \ast } } & { = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { P r } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { B i } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { P l } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { M a } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { L a } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } } \end{array}