harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ^ { \sigma } } & { { } = \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { 2 p } \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathcal { G } ^ { q } } & { { } = \frac { q _ { \alpha } C _ { \alpha } } { p v _ { T } } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 5 } - 1 \right) . } \end{array}
( ( x , y ) , e ^ { i \theta } ) \mapsto { \left[ \begin{array} { l l } { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } \\ { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }
T _ { \mu \nu } ^ { e f f } ( \varphi ) = \varphi , _ { \mu } \varphi , _ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { { g } } } _ { \mu \nu } \varphi , _ { \alpha } \varphi , ^ { \alpha } + \overline { { { g } } } _ { \mu \nu } V _ { e f f } ( \varphi )
\begin{array} { r l } { \left| \{ \Tilde { p } : D _ { K L } ( \Tilde { p } \| p _ { X } ) \le \frac { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } { 2 \log _ { e } 2 } \} \right| } & { \le | \{ \Tilde { p } : \mathbb { V } ( \Tilde { p } , p _ { X } ) \le \epsilon _ { n } \} | } \\ & { = O ( m _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } \epsilon _ { n } ^ { | \mathfrak { X } | - 1 } ) } \end{array}
{ \cal L } _ { g , 4 A } = - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n , m , l , k \neq ( 0 , 0 , 0 ) } ( \sum _ { j = 0 } ^ { N } a _ { j n } a _ { j m } a _ { j l } a _ { j k } ) g _ { L } f ^ { a b c } g _ { L } f ^ { a d e } \tilde { A } _ { \mu } ^ { n } \tilde { A } _ { \nu } ^ { m } \tilde { A } ^ { l ~ \mu } \tilde { A } ^ { k ~ \nu } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 3 } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) } & { = } & { \exp \left( + \frac { i \sigma _ { z } \pi } { 4 } \right) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \pi } { 4 } } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \pi } { 4 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { i } \end{array} \right) = \mathrm { e } ^ { + i \frac { \pi } { 4 } } \left( \begin{array} { c c } { - i } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = \rho ^ { ( 0 ) } \sqrt { W _ { i } ^ { ( 0 ) } W _ { j } ^ { ( 0 ) } } \mathrm { s g n } ( E ) ^ { ( 2 - P _ { i } - P _ { j } ) / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { - \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \sin \left( \bar { f } t \right) , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { \frac { \eta _ { x } } { \bar { f } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \frac { \eta _ { x } ^ { 2 } } { \bar { f } ^ { 2 } F ^ { 2 } } \left[ 1 - \cos \left( \bar { f } t \right) \right] + x \eta _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ^ { p } ) ( t ) } & { \leq \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ^ { p } ) ( t ) + ( p - 1 ) w ^ { p } ( t ) \mathcal { N } _ { \theta } ( t ) } \\ & { \leq p w ^ { p - 1 } ( t ) \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ) ( t ) , \quad \forall t \in [ 0 , T ^ { * } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \left\lvert ( g \circ f ) ( z _ { 1 } ) - ( g \circ f ) ( z _ { 2 } ) \right\rvert } & { \leq A \displaystyle \left\lvert f ( z _ { 1 } ) - f ( z _ { 2 } ) \right\rvert ^ { \lambda } } \\ & { \leq A B ^ { \lambda } \displaystyle \left\lvert z _ { 1 } - z _ { 2 } \right\rvert ^ { \lambda \alpha } . } \end{array}
U _ { o p } | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } , \mathrm { \bf ~ r } _ { 2 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } ) \int d ^ { 3 } r \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \dot { \hat { a } } } & { { } = - i \omega _ { \boldsymbol { k } } \hat { a } , ~ ~ ~ ~ \dot { \hat { a } } ^ { ( 0 ) } = 0 , ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ k _ { h } \neq 0 } \\ { \dot { \hat { \boldsymbol { v } } } _ { s } } & { { } = \mathbf { 0 } , ~ ~ ~ ~ \dot { \hat { b } } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ k _ { h } = 0 , } \end{array}
\mu _ { 1 1 } d F _ { 0 } ^ { 2 } \sin 2 ( \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } - \beta ) - 2 \mu _ { 1 2 } F _ { 0 } M _ { 0 } \sin ( \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } - \beta ) - m g \bar { I } \sin \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } = 0
{ \frac { \delta \omega _ { \perp \kappa } } { \omega _ { \kappa } } } = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \left< \left\{ { \frac { 1 } { \kappa ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) } } - 1 \right\} { \bf v } _ { \perp } \cdot \left( { \frac { d { \bf R } } { d t } } \right) \right> .
\begin{array} { r l } & { \| \hat { u } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , \qquad \| \hat { v } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \Delta \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } \qquad \| \nabla \hat { u } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \nabla \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } \leq \| \nabla \hat { u } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { u } \| _ { H ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \\ & { \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial D \times [ 0 , t ] ) } \leq \| \hat { v } \| _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega ) } \leq C _ { h _ { \Omega } , d + 1 , \rho _ { \Omega } } \| \hat { v } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } } & { { } = \mathcal { F } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \phi \right) } \\ { u ( x , t ) } & { { } = h ( x , t ) , \; - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) \, \quad x \in \partial \Omega , \; t \geq 0 \; . } \end{array}
U _ { 2 \; \nu } ^ { \mu } \equiv N ^ { \mu \beta } S _ { , k } ( { \cal D } _ { i } \nabla _ { \beta } ^ { k } ) { \cal G } ^ { i j } ( { \cal D } _ { j } \nabla _ { \sigma } ^ { l } ) S _ { , l } N ^ { \sigma \gamma } c _ { \gamma \nu } \; ,
\begin{array} { r } { { \Pi } _ { \mathrm { e x t } , I } ^ { \mathrm { c o m p r } } = \frac { \dot { { \sigma } } _ { \mathrm { e x t } , I } ^ { \mathrm { c o m p r } } } { \dot { \sigma } _ { \mathrm { e x t } , I } ^ { \mathrm { s o n i c } } } = \frac { \rho _ { \infty } \, \vec { C } _ { D } \cdot \vec { M } \, | | \vec { M } | | ^ { 2 } / T _ { \infty } } { \rho _ { a } \, { C } _ { D a } / T _ { a } } \sim \boldsymbol { C } _ { D } \cdot \boldsymbol { M } \, | | \boldsymbol { M } | | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal G } ( \mathfrak { a } , \mathfrak { b } ) } & { = - \operatorname* { i n f } _ { m \geq 0 } \int _ { \mathcal { Q } _ { T } } m ( t , x ) \Bigl ( \mathfrak { a } ( t , x ) - H \bigl ( x , m ( t , x ) , \mathfrak { b } ( t , x ) \bigr ) \Bigr ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = - \int _ { \mathcal { Q } _ { T } } \operatorname* { i n f } _ { m \geq 0 } \Bigl [ m \bigl ( \mathfrak { a } ( t , x ) - H \bigl ( x , m , \mathfrak { b } ( t , x ) \bigr ) \bigr ) \Bigr ] \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { = - \int _ { \mathcal { Q } _ { T } } { \mathcal K } \bigl ( \mathfrak { a } ( t , x ) , \mathfrak { b } ( t , x ) \bigr ) \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( d _ { e } ( c _ { n } , c _ { n + 1 } ) + 2 e ( c _ { n + 1 } , b ) \right) } & { < \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( e ( c _ { n } , b ) + 4 ^ { - n } \delta \right) , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { e } ( c _ { n } , c _ { n + 1 } ) + 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ( c _ { n + 1 } , b ) } & { < \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ( c _ { n } , b ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 4 ^ { - n } \delta , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { e } ( c _ { n } , c _ { n + 1 } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ( c _ { n + 1 } , b ) + e ( c _ { \infty + 1 } , b ) } & { < e ( c _ { 0 } , b ) + \frac { 4 } { 3 } \delta , } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { e } ( c _ { n } , c _ { n + 1 } ) } & { < e ( c _ { 0 } , b ) + \frac { 4 } { 3 } \delta . } \end{array}
\aligned \int _ { \Omega } | ( \textbf { f } \cdot \nabla ) \textbf { g } | ^ { 2 } \leq \left( \int _ { \Omega } | \textbf { f } | ^ { 6 } \right) ^ { 1 / 3 } \left( \int _ { \Omega } | \nabla \textbf { g } | ^ { 3 } \right) ^ { 2 / 3 } \leq C \| \nabla \textbf { f } \| ^ { 2 } \| \nabla \textbf { g } \| \| \nabla \textbf { g } \| _ { H ^ { 1 } } . \endaligned
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S D } ( k ) } & { = \frac { 1 } { N ^ { 4 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { k } ^ { k + 1 } \tilde { I } ^ { * } \tilde { I } k ^ { \prime } d k ^ { \prime } d \phi } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { k } ^ { k + 1 } k ^ { \prime } d k ^ { \prime } d \phi } } \\ & { \approx \frac { 1 } { N ^ { 4 } } \frac { \sum _ { k _ { x } } \sum _ { k _ { y } } \tilde { I } ^ { * } \tilde { I } \Theta ( k ^ { 2 } \leq k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } < ( k + 1 ) ^ { 2 } ) } { \sum _ { k _ { x } } \sum _ { k _ { y } } \Theta ( k ^ { 2 } \leq k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } < ( k + 1 ) ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } ( \mu \cdot \nu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { r - q } } } & { = \frac { 1 } { q ! } \mu ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } } \nu _ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { q } \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { r - q } } , } & & { \quad q \leq r , } \\ { ( \mu \cdot \nu ) _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - r } } } & { = \frac { 1 } { r ! } \mu _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { q - r } \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { r } } \nu ^ { \nu _ { 1 } \ldots \nu _ { r } } , } & & { \quad q \geq r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ) } & { = \frac { N } { C _ { N } } \idotsint \prod _ { 2 \leq i \leq N } f _ { 1 i } ^ { 2 } \prod _ { 2 \leq i < j \leq N } f _ { i j } ^ { 2 } | D _ { N } | ^ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \ldots \, \textnormal { d } x _ { N } } \\ & { = \frac { N ! } { C _ { N } } \left[ \rho ^ { ( 1 ) } ( x _ { 1 } ) + \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \idotsint X _ { p } ^ { 1 } \rho ^ { ( p + 1 ) } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \ldots \, \textnormal { d } x _ { p + 1 } \right] , } \end{array}
b _ { n , \nu } = \pi ^ { 3 } \, 2 ^ { 4 i \nu } \, \frac { \Gamma ( - i \nu + ( 1 + \left| n \right| ) / 2 ) \; \Gamma ( i \nu + \left| n \right| / 2 ) } { \Gamma ( i \nu + ( 1 + \left| n \right| ) / 2 ) \, \Gamma ( 1 - i \nu + \left| n \right| / 2 ) }
\Theta _ { k k ^ { \prime } } ( t , t ^ { \prime } ) = \mathrm { R e } \left\{ \left( \alpha _ { k } ( t ) \beta _ { k ^ { \prime } } ( t ) + \alpha _ { k ^ { \prime } } ( t ) \beta _ { k } ( t ) \right) \left( \alpha _ { k } ( t ^ { \prime } ) \beta _ { k ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) + \alpha _ { k ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) \beta _ { k } ( t ^ { \prime } ) \right) ^ { * } \right\} .
\begin{array} { r } { E [ \rho ( 1 ) ] = \operatorname* { m i n } _ { \{ { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } \} \to \rho ( 1 ) } \; \sum _ { p q r s } \, \left( \frac { 2 \, h _ { r p } \, \delta _ { q s } } { N - 1 } + g _ { r s p q } \right) \, { ^ { 2 } \Gamma _ { p q r s } } \, , } \end{array}
v _ { \bot } \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t \right) = \hat { v } \left( t + \tau ( \textbf { r } ^ { \prime } ) \right) \, w _ { e } ( \textbf { r } ^ { \prime } ) \quad \forall \textbf { r } ^ { \prime } \in \mathbf { \Omega } ,
\tau _ { p u l s e } = 2 \gamma _ { w } \tau _ { o b s } \sim 2 0 0 \, \mathrm { m s } \left( \frac { \gamma _ { w } } { 1 0 ^ { 2 } } \right) \left( \frac { \tau _ { o b s } } { 1 \mathrm { \; m s } } \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { 0 \longrightarrow \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { \emptyset } ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) } \xrightarrow { \delta _ { T } ^ { 1 } } \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { 0 } ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \delta _ { T } ^ { 1 } ( \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) ) } \xrightarrow { j _ { T } } } & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \, T , \Delta _ { \mathrm { C M } } ) } \\ & { \qquad \qquad \xrightarrow { \pi _ { T } } \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { \emptyset } ) } \end{array} } \end{array}
| J | \, \le \, \frac { C \epsilon \beta _ { \epsilon } } { \delta } \, \Bigl ( \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \delta \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \Bigr ) + C \Bigl ( \epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 5 } } } { \delta ^ { 2 } } \Bigr ) \, .
\sum _ { j = 0 } ^ { n } \sum _ { \mu _ { 1 } \leq \ldots \leq \mu _ { j } } ( - 1 ) ^ { j } \partial _ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { j } } ^ { j } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f _ { i , \mu _ { 1 } \dots \mu _ { j } } } } \right) = 0
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { R S } ) } & { { } = a _ { \mathrm { w } } ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { R S } } ) } \\ { M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { F S } ) } & { { } = a _ { \mathrm { a } } ^ { - 1 } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ n ~ } ~ \unboldmath ~ } } _ { \mathrm { F S } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i a , j b } ^ { \mathrm { G F } 2 } ( \omega ) } & { = A _ { i a , j b } ^ { \mathrm { G F } 2 } + \Xi _ { i a , j b } ^ { \mathrm { G F } 2 } ( \omega ) } \\ { B _ { i a , j b } ^ { \mathrm { G F } 2 } ( \omega ) } & { = B _ { i a , j b } ^ { \mathrm { G F } 2 } + \Xi _ { i a , b j } ^ { \mathrm { G F } 2 } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { \xi } \Big \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \big ( \nabla f _ { \xi } ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \big ) \Big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \big \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } 2 n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| ^ { 2 } ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \| ^ { 2 } ) \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| ^ { 2 } ) } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \| ^ { 2 } ) \exp ( 1 2 n ^ { - 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 1 0 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 2 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 5 } } \; \; \; ; \; \; \; { \frac { 3 } { 1 0 } } = { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial s _ { v } } { \partial t } = \iota _ { \frac { \partial v } { \partial t } } v ^ { \flat } + \iota _ { v } \, \frac { \partial v ^ { \flat } } { \partial t } = - g ( \nabla _ { v } v , v ) - \pounds _ { v } p - \iota _ { v } \, \pounds _ { v } v ^ { \flat } - \pounds _ { v } p - \frac { 1 } { 2 } \, \pounds _ { v } s _ { v } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { d o w n } ) \subseteq \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { u p } ) , \quad \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { u p } ) \subseteq \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ n ] } ^ { d o w n } ) . \quad } \end{array}
2 \, { \mathrm I m } T _ { \lambda _ { N } \lambda _ { \bar { N } } , \, \lambda _ { \gamma } ^ { \prime } \lambda _ { \gamma } } ^ { J \; ( \gamma \gamma \, \rightarrow \, N \bar { N } ) } ( t ) \; = \; { \frac { 1 } { ( 8 \pi ) } } \; { \frac { p _ { \pi } } { \sqrt { t } } } \left[ \, T _ { \Lambda _ { \gamma } } ^ { J \; ( \gamma \gamma \, \rightarrow \, \pi \pi ) } ( t ) \, \right] \left[ \, T _ { \Lambda _ { N } } ^ { J \; ( \pi \pi \, \rightarrow \, N \bar { N } ) } ( t ) \, \right] ^ { \ast } .
\displaystyle \mathfrak { L } = \frac { 5 ~ \mathrm { { y e a r s } } } { 5 ~ \mathrm { { y e a r s } } } { { t i m e } } \left( \frac { E _ { \mathrm { { c m } } } } { 1 0 \, \mathrm { { T e V } } } \right) ^ { 2 } 2 \cdot 1 0 ^ { 3 5 } \mathrm { { c m } } ^ { - 2 } \mathrm { { s } } ^ { - 1 } \, .
{ \frac { 1 } { 2 a _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ f ( { \bf x } ) = { \frac { e ^ { - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 \pi } } } \left[ { \frac { 1 } { 2 a _ { 2 } } } \, \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } \sqrt { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \Big ] - { \frac { \rho ^ { 2 } \, x _ { 1 } ^ { 2 } \, e ^ { - { \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) \sqrt { 2 \pi ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \right] \, .
{ \begin{array} { r l } { F ( x ) = - { \frac { 1 } { 8 } } \ln } & { \, { \Big ( } ( x ^ { 6 } + 1 5 x ^ { 4 } - 8 0 x ^ { 3 } + 2 7 x ^ { 2 } - 5 2 8 x + 7 8 1 ) { \sqrt { x ^ { 4 } + 1 0 x ^ { 2 } - 9 6 x - 7 1 } } { \Big . } } \\ & { - { \Big . } ( x ^ { 8 } + 2 0 x ^ { 6 } - 1 2 8 x ^ { 5 } + 5 4 x ^ { 4 } - 1 4 0 8 x ^ { 3 } + 3 1 2 4 x ^ { 2 } - 1 0 0 0 1 ) { \Big ) } + C . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { U ^ { \mu } ( 2 T ) } & { \leq c _ { 3 } \nu _ { 2 } ^ { - \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } B _ { 0 } ^ { \frac { 2 ( 5 r - 1 2 ) } { 5 r - 6 } } \int _ { \tau } ^ { 2 T } U ( t ) \ d t + \int _ { \tau } ^ { 2 T } \left[ \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { 4 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] \ d t + U ^ { \mu } ( \tau ) , } \\ & { \leq c _ { 4 } \nu _ { 2 } ^ { - \frac { 1 0 } { 5 r - 6 } } B _ { 0 } ^ { \frac { 4 ( 5 r - 9 ) } { 5 r - 6 } } + c _ { 5 } B _ { 0 } ^ { \mu } + c _ { 6 } B _ { 0 } ^ { 5 } + c _ { 7 } B _ { 0 } \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = F ( e ^ { i { \theta } } w ) - F ( \mathbf 1 ) = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | v | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x + \mathrm { R e } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } ) \mathbf 1 \, { \mathrm { d } } x = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | v | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x + \mathrm { R e } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } v _ { 2 } \mathbf 1 \, { \mathrm { d } } x . } \end{array}
\alpha ( Q ^ { 2 } ) = \alpha \, \left[ \, 1 + \bigg ( \frac { \alpha } { \pi } \bigg ) \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { f } } \frac { 1 } { 3 } \, \left( \ell n \frac { Q ^ { 2 } } { m _ { i } ^ { 2 } } - \frac { 5 } { 3 } \right) \, \right] \, .
\begin{array} { r l } { P _ { c d , \pm } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \Big ( 2 \pm 2 \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } - \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } \Big ) e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\sum _ { \sigma [ \mathcal N _ { \mathrm { s u b } } ] } \operatorname* { s u p } _ { \alpha [ \mathcal N _ { \mathrm { s u b } } ] : | \alpha _ { \mathfrak n } - \sigma _ { \mathfrak n } | \leq 1 } | \mathcal B ( t , t , \alpha [ \mathcal N _ { \mathrm { s u b } } ] ) | \lesssim ( C ^ { + } \delta ^ { - 1 / 4 } ) ^ { n _ { \mathrm { s u b } } } \cdot L ^ { C \rho \sqrt { \delta } } \prod _ { j = 1 } ^ { q } \mathfrak X _ { j } ^ { z _ { j } } \prod _ { \mathfrak l \in \mathcal L _ { \mathrm { s u b } } } ^ { ( + ) } \langle k _ { \mathfrak l } ^ { 0 } \rangle ^ { 2 0 d } ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { 1 } \left( { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \times _ { 2 } \left( { \bf Q } _ { 2 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \top } \right) \dots \times _ { N } \left( { \bf Q } _ { N } { \bf Q } _ { N } ^ { \top } \right) = \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) } \\ & { + \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) - \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \times _ { p _ { 2 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 2 } } { \bf Q } _ { p _ { 2 } } ^ { \top } \right) } \\ & { + \dots + \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \times _ { p _ { 2 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 2 } } { \bf Q } _ { p _ { 2 } } ^ { \top } \right) \dots \times _ { p _ { N - 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { N - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { N - 1 } } ^ { \top } \right) } \\ & { - \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \right) \times _ { p _ { 2 } } \left( { \bf Q } _ { p _ { 2 } } { \bf Q } _ { p _ { 2 } } ^ { \top } \right) \dots \times _ { p _ { N } } \left( { \bf Q } _ { p _ { N } } { \bf Q } _ { p _ { N } } ^ { \top } \right) . } \end{array}
\delta M _ { B } = - \frac { m _ { \Pi } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f ^ { 2 } M _ { B } ^ { 0 } } \left\{ 1 + \frac 1 2 \ln \frac { m _ { \Pi } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \right\} ( B | { \cal O } ^ { \Pi } | B ) ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \mathcal { T } ) = \ln \left( \frac { 1 + \exp \left( \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \mathcal { T } _ { 1 : 2 ^ { s - 1 } } ) + \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \mathcal { T } _ { 1 + 2 ^ { s - 1 } : 2 ^ { s } } ) \right) } { \exp \left( \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \mathcal { T } _ { 1 : 2 ^ { s - 1 } } ) \right) + \exp \left( \boldsymbol { l } _ { / \mathbb { B } } ( \mathcal { T } _ { 1 + 2 ^ { s - 1 } : 2 ^ { s } } ) \right) } \right) , } \end{array}
H _ { k , i } ( L ) : = \int _ { S ^ { 1 } } \mathrm { r e s \, } \left( L _ { d } ( L ) \right) _ { i i } ^ { k / { p } } , \qquad \forall \, i = 1 , \ldots , 2 s , \quad k = 1 , 2 , \dots \, .