harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) = { \frac { \left( G \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \right) ^ { n } } { A \left( x _ { 2 } x _ { 3 } \cdots x _ { n } , x _ { 1 } x _ { 3 } \cdots x _ { n } , \ldots , x _ { 1 } x _ { 2 } \cdots x _ { n - 1 } \right) } } = { \frac { \left( G \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) \right) ^ { n } } { A \left( { \frac { 1 } { x _ { 1 } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } , { \frac { 1 } { x _ { 2 } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } , \ldots , { \frac { 1 } { x _ { n } } } { \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } } \right) } } .
\frac { n _ { \gamma , S 2 } } { n _ { e } } \bigg \vert _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ p ~ e ~ r ~ l ~ i ~ m ~ i ~ t ~ } } \approx \frac { g _ { 2 } } { g _ { 1 } } \frac { 1 } { \langle 1 - \arcsin ( r _ { a } / r ) / \pi \rangle } .
L _ { i } ( t ) = \left\langle \delta v _ { i } ( 0 ) \ \delta v _ { i } ( t ) \right\rangle , \L _ { i } ^ { c } ( t ) = \left\langle \delta v _ { i } ( 0 ) \ \delta v _ { i } ( t ) \right\rangle _ { c } , \ \ c = t r , f r . \
\Gamma _ { \mathrm { \sc ~ o p } } ^ { + } : = \partial \Omega _ { u } ^ { + } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { - } \cap D , \quad \Gamma _ { \mathrm { \sc ~ o p } } ^ { - } : = \partial \Omega _ { u } ^ { - } \setminus \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap D \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma _ { \mathrm { \sc ~ t p } } : = \partial \Omega _ { u } ^ { - } \cap \partial \Omega _ { u } ^ { + } \cap D .
\begin{array} { r l } { I _ { 2 2 } = } & { 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta w \nabla \varphi \cdot \nabla \overline { { w } } \, d x d t } \\ { = } & { - 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nabla w \cdot \nabla ( \nabla \varphi \cdot \nabla \overline { { w } } ) \, d x d t + 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \partial \Omega } ( \nabla \varphi \cdot \nabla \overline { { w } } ) \partial _ { \nu } w d \sigma d t } \\ { = } & { K _ { 1 } + K _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } ( \epsilon ( \underline { { u } } ) - \underline { { \underline { { g } } } } ) : \underline { { \underline { { l } } } } \: d \underline { { x } } = 0 \quad \forall \underline { { \underline { { l } } } } \in L . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf B } } & { { } = } & { \left( - \frac { i \sigma } { \sqrt { 2 } } \partial _ { z } A , \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \partial _ { z } A , \frac { i \sigma } { \sqrt { 2 } } \partial _ { x } A - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \partial _ { y } A \right) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + \left( \tilde { u } _ { 0 } - \frac { 1 } { \tilde { h } _ { 0 } } \frac { \partial \tilde { h } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial r } = 0 , \quad \mathrm { f o r } \quad \tilde { r } > 0 , \; 0 < t < 1 ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } } & { { } = \Delta t - \tau \left( { 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) , } \\ { \delta _ { 2 } } & { { } = 2 \tau ^ { 2 } \left( { 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) - \tau \Delta t - \tau \Delta t e ^ { - \Delta t / \tau } , } \\ { \delta _ { 3 } } & { { } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } - \tau \Delta t + \tau ^ { 2 } \left( { 1 - e ^ { - \Delta t / \tau } } \right) . } \end{array}
J _ { \{ \lambda \} } ^ { ( \beta ) } ( \{ - { \frac { p _ { n } } { \beta } } \} ) = ( - 1 ) ^ { | \lambda | } j _ { \{ \lambda \} } ^ { ( \beta ) } J _ { \{ \lambda ^ { \prime } \} } ^ { ( 1 / \beta ) } ( \{ p _ { n } \} ) .
\Delta u ~ \Delta v \geq \frac { 1 } { 2 } \sqrt { | \langle u \star v - v \star u \rangle | ^ { 2 } + \langle ( u - \langle u \rangle ) \star ( v - \langle v \rangle ) + ( v - \langle v \rangle ) \star ( u - \langle u \rangle ) \rangle ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) ; p ( \mathbf { y } | \{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \} ) = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \mathbf { y } | \vec { \mathbf { x } } ) d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) } \\ & { + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } | \vec { \mathbf { x } } ) d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) } \\ & { = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) p ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \vec { \mathbf { x } } ) } d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) } \\ & { + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \vec { \mathbf { x } } ) } d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { s } [ f ( t ) ] \propto \left[ \left( 1 + \left| \xi _ { f } ^ { ( s ) } \right| ^ { 2 } \right) \left( e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { L } } ^ { ( s ) } t } + e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { H } } ^ { ( s ) } t } \right) - 2 \, \mathrm { R e } \, \xi _ { f } ^ { ( s ) } \left( e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { L } } ^ { ( s ) } t } - e ^ { - \Gamma _ { \mathrm { H } } ^ { ( s ) } t } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { V _ { D B } } & { { } \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \right) = \left[ V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { R } \right) + V \left( \overrightarrow { \mathbfit { x } } \mid \overrightarrow { \mathbfit { x } } _ { 0 } ^ { T } \right) + \Delta V \right] / 2 - } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { I _ { i } } & { = [ \alpha _ { i } - X ^ { - \varepsilon ^ { 4 } } , \alpha _ { i } + X ^ { - \varepsilon ^ { 4 } } ] \textnormal { f o r } i = 1 , \ldots , r , } \\ { \{ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { r } \} } & { = \{ t \in [ 0 , \frac { \pi } { 2 } ] : \, \exists \, k \in \{ 1 , \ldots , R \} : \, \textup { I m } ( ( 1 + i \tan ( t ) ) ^ { k } ) \cdot \textup { I m } ( ( 1 + i \tan ( 2 t ) ) ^ { k } ) = 0 \} , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \gamma ( 0 ) } & { { } = \frac { 3 \gamma } { 2 k _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { I m } \left[ \widetilde G _ { x x } ( 0 ) \right] = \gamma \frac { 3 } { 4 \pi } \left( \frac { \lambda _ { 0 } } { a } \right) ^ { 2 } - \gamma , } \\ { \widetilde \Omega ( 0 ) } & { { } = - \frac { 3 \gamma } { 2 k _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { R e } \left[ \widetilde G _ { x x } ( 0 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf S } _ { z } } & { { } = } & { ( - i ) \hbar \hat { \bf z } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) , } \end{array}
\sigma _ { + } : = \sqrt { \frac { ( \rho \beta + \mu \alpha ) + \sqrt { ( \rho \beta - \mu \alpha ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \mu \rho } } { 2 \beta \alpha _ { 1 } } } \quad \mathrm { a n d } \quad \sigma _ { - } : = \sqrt { \frac { ( \rho \beta + \mu \alpha ) - \sqrt { ( \rho \beta - \mu \alpha ) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \mu \rho } } { 2 \beta \alpha _ { 1 } } } .
p = { \bigg ( } 6 + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } { \bigg ) } \; \; \; h e q a t + { \bigg ( } 3 + { \frac { 1 } { 3 } } { \bigg ) } \; \; \; r o
\tilde { \varepsilon } = \frac { \tilde { v } \tilde { p } } { \gamma - 1 } , \quad \tilde { \theta } = \frac { \tilde { v } \tilde { p } } { \gamma - 1 } , \quad \tilde { \eta } = \mathrm { l o g } \left( \tilde { p } \ \tilde { v } ^ { \gamma } \right) .
\begin{array} { r } { d \left( f ( x ) , f ( x _ { 0 } ) \cdot D f ( x _ { 0 } ) | _ { V _ { 1 } } [ ( \pi \circ \varphi ) ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot ( \pi \circ \varphi ) ( x ) ] \right) } \\ { \qquad = d \left( f ( x ) , f ( x _ { 0 } ) \cdot \pi ( D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot \varphi ( x ) ] ) \right) } \\ { \qquad \qquad \leq d \left( f ( x ) , f ( x _ { 0 } ) \cdot D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot \varphi ( x ) ] , \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { - } } \frac { V _ { 1 } - V _ { 0 } } { t } } & { = \frac { 1 } { n } \int _ { V _ { \epsilon } } l _ { g } ( u ) d S _ { K } ( u ) + \frac { 1 } { n } \int _ { \Omega \setminus V _ { \epsilon } } l _ { g } ( u ) d S _ { K } ( u ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { n } \int _ { \Omega } f ( u ) d S _ { K } ( u ) + \frac { \epsilon } { n } S _ { K } ( V _ { \epsilon } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { E } _ { 0 } ^ { z } } { \partial \tilde { r } } \right] = - \frac { 2 \nu } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left\{ \frac { \tilde { r } } { \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { f } ( \tilde { w } , n ) } & { { } = \tilde { w } ^ { 3 } \sqrt { \frac { \Delta x } { \tilde { w } } } { \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { \chi } } ^ { N _ { \chi } - 1 } } { 6 \alpha _ { n ^ { \prime } , 3 } } { \int _ { \chi _ { n ^ { \prime } } } ^ { \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } } } F _ { c } ^ { ( 3 ) } \left( n { - } \frac { \tilde { u } } { \tilde { w } } \right) \mathrm { d } \tilde { u } } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } = d _ { \perp } \left[ \mathcal { E } _ { y } \left( \hat { S } _ { x } ^ { 2 } - \hat { S } _ { y } ^ { 2 } \right) + \mathcal { E } _ { x } \left( \hat { S } _ { x } \hat { S } _ { y } + \hat { S } _ { y } \hat { S } _ { x } \right) \right]
M _ { i j } ^ { R } \approx \tilde { M } _ { i j } ^ { R } \left( 1 + \frac { 2 } { \pi } \, Q _ { i j } ^ { - 1 } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \, Q _ { i j } ^ { - 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \right) ,
\theta _ { l e x } ( r ) = \operatorname* { s u p } _ { g \in \mathcal { L } _ { 1 } } \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb { N } } \| \mathbb { E } [ g ( \boldsymbol { Z } _ { j _ { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { Z } _ { j _ { v } } ) | \mathcal { M } ] - \mathbb { E } [ g ( \boldsymbol { Z } _ { j _ { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { Z } _ { j _ { v } } ) ] \| _ { 1 } .
\begin{array} { r l } & { x _ { 1 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) x _ { 3 } + y _ { 1 } ^ { 2 } - y _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) y _ { 3 } = r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) r _ { 3 } } \\ & { 2 ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) x _ { 3 } + 2 ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) y _ { 3 } = r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) r _ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { c _ { 1 } x _ { 3 } + c _ { 2 } y _ { 3 } = c _ { 3 } } \end{array}
C _ { 2 } = D _ { J } ^ { \, I } D _ { I } ^ { \, J } = { \frac { 1 } { 2 } } ( D ^ { 0 } ) ^ { 2 } + D ^ { 0 } + 2 D _ { 1 } ^ { \, 2 } D _ { 2 } ^ { \, 1 }
\begin{array} { r l } { \| S ( u ) \| _ { \infty , \alpha } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega } p _ { \alpha } ( S ( u ) ( x ) ) = \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega } p _ { \alpha } ( u ( \delta _ { x } ) ) \underset { \leq } C \operatorname* { s u p } _ { x \in \Omega } \operatorname* { s u p } _ { f \in K } | \delta _ { x } ( f ) | } \\ & { = C \operatorname* { s u p } _ { f \in K } \| f \| _ { \infty } < \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { T } x - \mathcal { T } \bar { x } \| ^ { \frac { 1 + \alpha } { \alpha } } } & { = \| \mathcal { T } x - \mathcal { T } \bar { x } \| ^ { \frac { 1 } { \alpha } - 1 } \| \mathcal { T } x - \mathcal { T } \bar { x } \| ^ { 2 } \leq \bigg ( \operatorname* { s u p } _ { u \in U } \| \mathcal { T } u - \mathcal { T } \bar { x } \| ^ { \frac { 1 } { \alpha } - 1 } \bigg ) \| \mathcal { T } x - \mathcal { T } \bar { x } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bar { M } ( l ( \mathcal { T } x ) - l ( \mathcal { T } \bar { x } ) - \langle \mathcal { T } ^ { * } \nabla l ( \mathcal { T } \bar { x } ) , x - \bar { x } \rangle ) , } \end{array}
S = - i \langle \mathrm { \boldmath ~ \ p s i \bar { \ p s i } ~ } \rangle = \biggl ( \begin{array} { c r } { { S _ { 1 1 } } } & { { S _ { 1 2 } } } \\ { { S _ { 2 1 } } } & { { S _ { 2 2 } } } \end{array} \biggr )
\begin{array} { r } { { \bf K } _ { X U _ { 1 } U _ { 2 } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { 1 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 1 } } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { 2 } } ^ { 2 } + \sigma _ { \Theta _ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = f _ { h } ( \mathbf { u } ) , } \\ { \mathbf { u } ( 0 ) } & { { } = \mathbf { u } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( d , d _ { 0 } , z _ { 0 } ) = 1 - d _ { 0 } \frac { z _ { m a x } - z _ { 0 } } { ( z _ { m a x } - z _ { 0 } ) ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { d _ { 0 } / d - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C } & { { } \equiv \frac { 3 } { V } \langle \left\vert { \int } _ { V } \, \vec { E } _ { 0 } \cdot \hat { A ^ { \prime } } \, \mathrm { d } V \right\vert ^ { 2 } \rangle } \end{array}
\mu ( \theta ) = \frac { N _ { \mathrm { m a x } } ( \theta ) - N _ { \mathrm { m i n } } ( \theta ) } { N _ { \mathrm { m a x } } ( \theta ) + N _ { \mathrm { m i n } } ( \theta ) } = \frac { \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } \right) _ { \phi = 9 0 ^ { \circ } } - \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } \right) _ { \phi = 0 ^ { \circ } } } { \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } \right) _ { \phi = 9 0 ^ { \circ } } + \left( \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } \right) _ { \phi = 0 ^ { \circ } } } = \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { E / E ^ { \prime } + E ^ { \prime } / E - \sin ^ { 2 } \theta } .
\begin{array} { r } { ( \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } ) ) _ { \Omega } = - a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mu } _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } ) ) \leq C _ { \mathrm { c o n t } } \| \boldsymbol { \mu } _ { h } ^ { n } \| _ { 1 , h } \| \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } ) \| _ { 1 , h } , } \end{array}
\frac { A _ { R } } { A _ { I } } = r _ { 1 2 } + \frac { l _ { 1 2 } l l _ { 2 1 } } { \sqrt { 1 + M _ { l } } } \frac { \left( 1 + \sqrt { 1 + M _ { l } } \right) ^ { 2 } r l _ { 2 1 } e ^ { 2 i \delta _ { L } } } { 4 - \left( 1 + \sqrt { 1 + M _ { l } } \right) ^ { 2 } r l _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i \delta _ { L } } } + \frac { s _ { 1 2 } l s _ { 2 1 } } { \sqrt { 1 + M _ { s } } } \frac { \left( 1 + \sqrt { 1 + M _ { s } } \right) ^ { 2 } r s _ { 2 1 } e ^ { 2 i \delta _ { S } } } { 4 - \left( 1 + \sqrt { 1 + M _ { s } } \right) ^ { 2 } r s _ { 2 1 } ^ { 2 } e ^ { 2 i \delta _ { S } } } + M
\tau _ { f } ( \delta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \tau _ { f } ^ { s } - \tau _ { f } ^ { d } ) \left( 1 - \frac { \delta } { \delta _ { c } } \right) + \tau _ { f } ^ { d } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { ; \delta < \delta _ { c } } \\ { \tau _ { f } ^ { d } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { ; \delta > \delta _ { c } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \rho ( \boldsymbol { r } , t ) = m N \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } } \exp \left( - \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } ( t ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \Phi ^ { \prime } ( ( \tau , W + H ) ; ( \tau , H ) ) = \sum _ { j = 1 } ^ { r } h ( \tau , \lambda _ { j } ( 1 ) ) Q _ { j } ^ { \prime } ( 1 ) ( H ) } \\ & { \; + \sum _ { i = 1 } ^ { n } h ^ { \prime } ( ( \tau , d _ { i } ( 1 ) ) ; ( \tau , d _ { i } ^ { \prime } ( W + H ; H ) ) ) p _ { i } ( 1 ) p _ { i } ( 1 ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x = \left( C _ { 0 } \frac { \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \eta + \beta \left( \delta _ { r , 2 } \kappa _ { \infty } + \delta _ { r , 0 } \right) \right) k \eta , \ y = \beta r \left( \frac { 3 } { 2 } \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } + \omega _ { \nabla U } ( 1 ) \sqrt { \frac { b + d / \beta } { m } } \right) . } \end{array}
\frac { \delta < H _ { A } ^ { \theta } > } { \delta G ( k ) } = \frac { 1 } { 4 } [ k ^ { 2 } - G ^ { - 2 } ( k ) + \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } ( 2 z k ^ { - 2 } G ^ { - 3 } ( k ) - \frac { \delta z } { \delta G ( k ) } 4 \pi ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } p ^ { - 2 } G ^ { - 2 } ( p ) ) ]
A _ { a } ^ { - } ( k ) = \{ ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \ldots , a _ { k } ) : a _ { 1 } , \ldots , a _ { k } \succ 0 , a + a _ { 1 } + a _ { 2 } + \ldots + a _ { k } \preceq 0 \} .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } E } & { = \mathbb { E } _ { { \mathbf { r } } \sim \psi _ { \theta } ^ { 2 } } \left[ \left[ E _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) - \mathbb { E } _ { { \mathbf { r } } \sim \psi _ { \theta } ^ { 2 } } \left[ E _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) \right] \right] \nabla _ { \theta } \log \psi _ { \theta } ( { \mathbf { r } } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { a } } _ { e } } & { = } & { - \frac { \kappa _ { e } } { 2 } \hat { a } _ { e } - i g \hat { a } _ { o } ^ { \dagger } - i g ^ { * } \hat { a } _ { t } + \sqrt { \eta _ { e } \kappa _ { e } } \delta \hat { a } _ { e , \mathrm { i n } } + \sqrt { \left( 1 - \eta _ { e } \right) \kappa _ { e } } \delta \hat { a } _ { e , 0 } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { o } } & { = } & { \left( i \delta _ { o } - \frac { \kappa _ { o } } { 2 } \right) \hat { a } _ { o } - i g \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } + \sqrt { \eta _ { o } \kappa _ { o } } \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { i n } } + \sqrt { \left( 1 - \eta _ { o } \right) \kappa _ { o } } \delta \hat { a } _ { o , \mathrm { 0 } } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { t } } & { = } & { \left( i \delta _ { t } - \frac { \kappa _ { t } } { 2 } \right) \hat { a } _ { t } - i g ^ { * } \hat { a } _ { e } - i J \hat { a } _ { \mathrm { t m } } + \sqrt { \kappa _ { t } } \delta \hat { a } _ { t , \mathrm { v a c } } , } \\ { \dot { \hat { a } } _ { \mathrm { t m } } } & { = } & { \left( i \delta _ { \mathrm { t m } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { t m } } } { 2 } \right) \hat { a } _ { \mathrm { t m } } - i J \hat { a } _ { t } + \sqrt { \kappa _ { \mathrm { t m } } } \delta \hat { a } _ { { \mathrm { t m } } , \mathrm { v a c } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \partial u _ { \mathrm { { B } } i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } u _ { \mathrm { { B } } i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } } \end{array}
\mathrm { c a r d } ( \mathbb { R } ^ { \mathbb { R } } ) = \mathrm { c a r d } ( \mathbb { R } ) ^ { \mathrm { c a r d } ( \mathbb { R } ) } = { \mathfrak { c } } ^ { \mathfrak { c } } = ( 2 ^ { \aleph _ { 0 } } ) ^ { \mathfrak { c } } = 2 ^ { \aleph _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } } = 2 ^ { \mathfrak { c } }
\left( \tilde { M } _ { \xi } ^ { 2 } ( X ) \right) _ { \mathrm { \scriptsize { I } } } = \frac { \lambda } { 6 } \left[ \alpha _ { \xi } \tilde { \cal I } _ { \pi } + \beta _ { \xi } \tilde { \cal I } _ { \sigma } \right]
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } ^ { t + 1 } } & { { } : = \mathcal { A } _ { S L } ( \rho ^ { t } , \mathrm { \mathbf { u } } ^ { t } ) } \\ { \hat { \rho } ^ { t } } & { { } : = \mathcal { A } _ { S L } ( \hat { \rho } ^ { t + 1 } , - \mathrm { \mathbf { u } } ^ { t } ) } \\ { \rho ^ { t + 1 } } & { { } : = \hat { \rho } ^ { t + 1 } + 0 . 5 ( \rho ^ { t } - \hat { \rho } ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | W | ^ { - 2 } \Bigg ( } & { \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { q } { 2 } } \left| \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } ) \right| \, d r \Bigg ) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \: C | W | ^ { - 2 } \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - 1 + q - \epsilon ^ { \prime } } \, d r } \\ & { \: \times \int _ { 1 + z _ { 0 } | m | ^ { - 1 } | \widetilde { \omega } | } ^ { r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - 4 + \epsilon ^ { \prime } } ( \widetilde { \omega } ^ { 2 } + ( r - 1 ) ^ { 2 } ) | { u } _ { \mathrm { h o r } } | ^ { 2 } + ( r - 1 ) ^ { - 4 + \epsilon ^ { \prime } } | { u } _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | ^ { 2 } \, d r } \\ { \leq } & { \: C _ { m } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 2 } W _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathcal { E } _ { x , \mathrm { ~ d ~ i ~ r ~ e ~ c ~ t ~ } } ^ { i j k } = - 2 \frac { \partial ^ { 3 } \phi } { \partial x ^ { 3 } } \! \left( x _ { i } , y _ { j } , \tau _ { k } \right) \Delta x + O \! \left( \Delta x ^ { 3 } \right) .
{ \frac { \; T _ { \mathrm { \ n u } } \; } { T _ { \mathrm { \ g a m m a } } } } = { \frac { \; T _ { 1 } \; } { T _ { 2 } } } = \left( { \frac { \; g _ { 2 } \; } { g _ { 1 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } = \left( { \frac { 2 } { \; 2 + { \frac { 7 } { 4 } } + { \frac { \, 7 \, } { 4 } } \; } } \right) ^ { \frac { \, 1 \, } { 3 } } = \left( { \frac { 4 } { \; 1 1 \; } } \right) ^ { \frac { \, 1 \, } { 3 } } \approx { 0 . 7 1 4 } ~ .
\begin{array} { r l } { J ^ { 1 } } & { : = U _ { \mathfrak { A } _ { 0 } } ^ { 1 } U _ { \mathfrak { A } _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } e ( \mathfrak { A } _ { 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } \cdots U _ { \mathfrak { A } _ { t - 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 2 } e ( \mathfrak { A } _ { t - 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } U _ { \mathfrak { A } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 1 } e ( \mathfrak { A } / \mathcal { O } _ { E } ) } , } \\ { H ^ { 1 } } & { : = U _ { \mathfrak { A } _ { 0 } } ^ { 1 } U _ { \mathfrak { A } _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } e ( \mathfrak { A } _ { 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } \cdots U _ { \mathfrak { A } _ { t - 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 2 } e ( \mathfrak { A } _ { t - 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } U _ { \mathfrak { A } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 1 } e ( \mathfrak { A } / \mathcal { O } _ { E } ) + } , } \\ { \mathfrak { J } ^ { 1 } } & { : = \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { 0 } } + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } e ( \mathfrak { A } _ { 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } + \cdots + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { t - 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 2 } e ( \mathfrak { A } _ { t - 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) } + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 1 } e ( \mathfrak { A } / \mathcal { O } _ { E } ) } , } \\ { \mathfrak { H } ^ { 1 } } & { : = \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { 0 } } + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { 0 } e ( \mathfrak { A } _ { 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } + \cdots + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } _ { t - 1 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 2 } e ( \mathfrak { A } _ { t - 1 } / \mathcal { O } _ { E } ) + } + \mathfrak { P } _ { \mathfrak { A } } ^ { \frac { 1 } { 2 } a _ { t - 1 } e ( \mathfrak { A } / \mathcal { O } _ { E } ) + } . } \end{array}