harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \int { \frac { \delta J } { \delta \rho ( { \boldsymbol { r } } ) } } \phi ( { \boldsymbol { r } } ) d { \boldsymbol { r } } } & { = \left[ { \frac { d \ } { d \epsilon } } \, J [ \rho + \epsilon \phi ] \right] _ { \epsilon = 0 } } \\ & { = \left[ { \frac { d \ } { d \epsilon } } \, \left( { \frac { 1 } { 2 } } \iint { \frac { [ \rho ( { \boldsymbol { r } } ) + \epsilon \phi ( { \boldsymbol { r } } ) ] \, [ \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) + \epsilon \phi ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) ] } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } | } } \, d { \boldsymbol { r } } d { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } \right) \right] _ { \epsilon = 0 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \iint { \frac { \rho ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) \phi ( { \boldsymbol { r } } ) } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } | } } \, d { \boldsymbol { r } } d { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } \iint { \frac { \rho ( { \boldsymbol { r } } ) \phi ( { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } | } } \, d { \boldsymbol { r } } d { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } } \end{array} }
6 \, \mathcal { W } _ { 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d Z } { H ^ { 3 } } + 6 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d C _ { - 1 / 2 } } { d Z } \frac { d Z } { H ^ { 2 } } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { T } } & { = } & { g _ { t t } \left( r \right) \, A ( r ) \, \mathrm { d } t \otimes \mathrm { d } t - g _ { r r } \left( r \right) \bigg [ B \left( r \right) + C ( r ) \, r ^ { 2 } \bigg ] \mathrm { d } r \otimes \mathrm { d } r } \\ & { - } & { \, B \left( r \right) \left( r ^ { 2 } \mathrm { d } \theta \otimes \mathrm { d } \theta + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, \mathrm { d } \varphi \otimes \mathrm { d } \varphi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { Q _ { n } \big ( \langle \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle - \langle \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle \big ) + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 \, , } \\ & { Q _ { n } \Big ( \langle \rho \partial _ { t } \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } \rangle + A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ) + C ( \boldsymbol \chi _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 \, , } \\ & { Q _ { n } \Big ( \langle c _ { 0 } \partial _ { t } p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } \rangle - C ( \boldsymbol v _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) + B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { \delta } ( x , y ) } & { = } & { - 2 \sqrt { a b } ( \cos \delta x - \sin \delta y ) ( \sin \delta x + \cos \delta y ) + ( a - b ) ( \sin \delta x + \cos \delta y ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + ( \cos \delta x - \sin \delta y ) ^ { 3 } c + ( \cos \delta x - \sin \delta y ) ^ { 2 } ( \sin \delta x + \cos \delta y ) d } \\ & { } & { + ( \cos \delta x - \sin \delta y ) ( \sin \delta x + \cos \delta y ) ^ { 2 } e + ( \sin \delta x + \cos \delta y ) ^ { 3 } f } \\ & { = } & { x ^ { 2 } \left[ b \frac { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { 0 } + \delta ) } { \cos ^ { 2 } \theta _ { 0 } } - b \right] + x y \left[ - 2 \sqrt { a b } \cos 2 \delta + ( a - b ) \sin 2 \delta \right] } \\ & { } & { + y ^ { 2 } \left[ \sqrt { a b } \sin 2 \delta + ( a - b ) \cos ^ { 2 } \delta \right] } \\ & { } & { + x ^ { 3 } \left[ ( \cos \delta ) ^ { 3 } c + ( \cos \delta ) ^ { 2 } \sin \delta d + \cos \delta ( \sin \delta ) ^ { 2 } e + ( \sin \delta ) ^ { 3 } f \right] } \\ & { } & { + x ^ { 2 } y \left[ 3 ( \cos \delta ) ^ { 2 } \sin \delta c + \cos \delta ( 1 - 3 ( \sin \delta ) ^ { 2 } ) d + \sin \delta ( 3 ( \cos \delta ) ^ { 2 } - 1 ) e + 3 ( \sin \delta ) ^ { 2 } \cos \delta f \right] } \\ & { } & { + x y ^ { 2 } \left[ - 3 \cos \delta ( \sin \delta ) ^ { 2 } c + ( ( \cos \delta ) ^ { 3 } - 2 ( \cos \delta ) ^ { 2 } \sin \delta ( d + e ) + 3 \sin \delta ( \cos \delta ) ^ { 2 } f \right] } \\ & { } & { + y ^ { 3 } \left[ - ( \sin \delta ) ^ { 3 } c + ( \sin \delta ) ^ { 2 } \cos \delta d - \sin \delta ( \cos \delta ) ^ { 2 } e + ( \cos \delta ) ^ { 3 } f \right] } \end{array}
\langle N _ { 6 } \rangle = \frac { 1 } { 9 } \cdot \frac { 1 } { 3 2 } \; K _ { 6 } \left( J _ { x } ^ { 3 } \beta _ { x } ^ { 3 } - 9 J _ { x } ^ { 2 } J _ { y } \beta _ { x } ^ { 2 } \beta _ { y } + 9 J _ { x } J _ { y } ^ { 2 } \beta _ { x } \beta _ { y } ^ { 2 } - J _ { y } ^ { 3 } \beta _ { y } ^ { 3 } \right)
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { { } = \partial _ { p } \left( \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { k } } W \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d k \right] \partial _ { p } f \right) , } \\ { \partial _ { t } W } & { { } = \left[ \int _ { \mathbb { R } _ { p } } \left( \partial _ { p } f \right) p \delta \left( \left( 1 + \lambda ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - p k \right) d p \right] W , } \end{array} \right.
\mathbf { u } _ { t } = \Psi ( \Lambda ( \mathbf { u } _ { t } ) ) , \qquad \dot { \mathbf { u } } = \nabla _ { \theta } \mathbf { \Psi } ( \theta ) \dot { \theta } , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \dot { \theta } = \nabla _ { u } \Lambda ( \mathbf { u } ) \dot { \mathbf { u } } .
\begin{array} { r l r } { 0 \leqslant } & { { } x \leqslant R \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac { 1 } { 4 } [ \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } d \phi ] ^ { 2 } } & { \leq \sin \phi _ { 0 } \leq 1 . } \end{array}
\frac { \partial \delta \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } } + \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } \delta p + \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } + \delta \boldsymbol { f } .
\mathcal { E } _ { \mathrm { t o t . W } } ^ { 2 } = ( \mathcal { E _ { \mathrm { W } } } + m ) ^ { 2 } = \mathcal { E } _ { \mathrm { W } } ^ { 2 } + 2 m \mathcal { E } _ { \mathrm { W } } + m ^ { 2 } .
\gamma _ { * } ^ { \mathrm { e f f } } - C \mathcal G _ { \mathrm { C C } } ( \hat { T } _ { * } ) \approx \frac { \gamma _ { * } } { 1 + \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } - 2 C \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } .
\left\{ j _ { \alpha } ^ { 0 } \left( t , \sigma \right) , j _ { m } ^ { 0 } \left( t , \sigma ^ { \prime } \right) \right\} \approx \left( e m b ^ { * } S _ { \alpha m } \left( \Delta \right) \right) _ { r } \cdot \Lambda ^ { r } \cdot \delta \left( \sigma - \sigma ^ { \prime } \right) \quad ,
{ \cal H } _ { ( m ) } - { \cal E } _ { ( m ) } = \int _ { \Sigma } \sqrt { \sigma } d ^ { 2 } z Q _ { ( m ) } ^ { \mu \nu } ( t ) l _ { \mu } p _ { \nu } + \int _ { C _ { t } } \sqrt { \gamma } d ^ { 2 } y Q _ { ( m ) } ^ { \mu \nu } ( t ) u _ { \mu } n _ { \nu } ~ ~ ~ ,
\left( \begin{array} { c } { E _ { j + 1 , 1 } } \\ { E _ { j + 1 , 2 } } \\ { E _ { j + 1 , 3 } } \\ { E _ { j + 1 , 4 } } \end{array} \right) = \boldsymbol { D _ { j + 1 } ^ { - 1 } D _ { j } P _ { j } } \left( \begin{array} { c } { E _ { j , 1 } } \\ { E _ { j , 2 } } \\ { E _ { j , 3 } } \\ { E _ { j , 4 } } \end{array} \right) = \boldsymbol { M _ { j + 1 , j } P _ { j } } \left( \begin{array} { c } { E _ { j , 1 } } \\ { E _ { j , 2 } } \\ { E _ { j , 3 } } \\ { E _ { j , 4 } } \end{array} \right)
\boldsymbol { \kappa } _ { f , \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \mathfrak { m } } ^ { ( 5 ) } \in H ^ { 1 } \bigl ( \mathbf { Q } , T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - k / 2 ) \otimes _ { \mathcal O } \mathrm { I n d } _ { K [ m ] } ^ { \mathbf { Q } } \Lambda _ { \mathcal O } ( \psi _ { 1 } ^ { - 1 } \psi _ { 2 } ^ { - 1 } \kappa _ { \mathrm { a c } } ^ { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } - 4 ) / 2 } \boldsymbol { \kappa } _ { \mathrm { a c } } ^ { - 1 } ) ( 1 - ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) / 2 ) \bigr ) .
\frac { d } { d t } \left( \frac { \partial { \cal L } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , \dot { R } } , n ^ { ( 0 ) } , { \dot { n } ^ { ( 0 ) } } ) ) } { \partial { \bf \dot { R } } _ { I } } \right) = \frac { \partial { \cal L } ^ { ( 1 ) } ( { \bf R , \dot { R } } , n ^ { ( 0 ) } , { \dot { n } ^ { ( 0 ) } } ) ) } { \partial { \bf R } _ { I } }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \mathcal { H } _ { 1 } } & { { } = \displaystyle \frac { I _ { x } } { \beta _ { x } ( s ) } + V \left( \phi _ { x } , I _ { x } , s \right) , } \\ { \displaystyle V \left( \phi _ { x } , I _ { x } , s \right) } & { { } = \displaystyle \frac { m _ { x } ( s ) } { 6 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } I _ { x } } \right) ^ { 3 } \left( \cos \left( 3 \phi _ { x } \right) + 3 \cos ( \phi _ { x } ) \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \sigma _ { t } - \mathrm { d i v } _ { \theta , \alpha } ( \sigma _ { t } v _ { \sigma } ) = 0 ; } \\ { v _ { \sigma } ( \theta , \alpha ) = \left( \eta \nabla _ { \theta } J _ { \nu _ { t } } ( \theta ) , \kappa \alpha J _ { \nu _ { t } } ( \theta ) \right) ; \quad \nu _ { t } = \mathcal { F } ( \sigma _ { t } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } = M \mathrm { { R a } } ^ { 2 } + \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + 2 \langle \theta u \cdot \nabla \eta \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { \mathrm { { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \substack { { x } _ { 1 } \in { \mathcal X } _ { 1 } , \left( A , { a } \right) \in { \mathcal A } ^ { \mathrm { v } } \left( { x } _ { 1 } , { \Xi } \right) , \, { \mu } \in { \mathcal M } \left( A \right) } } { c } _ { 1 } ^ { \top } { x } _ { 1 } + { c } _ { 2 } ^ { \top } \left( A \tilde { \xi } + { a } \right) + { c } _ { 3 , \Xi } ^ { \top } { \mu } .
s _ { i } \equiv m _ { j k } ^ { 2 } = ( p _ { j } + p _ { k } ) ^ { 2 } = ( E _ { j } + E _ { k } ) ^ { 2 } - ( { \vec { p } } _ { j } + { \vec { p } } _ { k } ) \cdot ( { \vec { p } } _ { j } + { \vec { p } } _ { k } )
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 2 k } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) ^ { k } \frac { \partial ^ { k } } { \partial \theta _ { i } ^ { k } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } = \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle ^ { k } } \end{array}
g = \left( \begin{array} { c c c } { { X ^ { 0 } + X ^ { 1 } } } & { { X ^ { 2 } - X ^ { 3 } } } \\ { { X ^ { 2 } + X ^ { 3 } } } & { { X ^ { 0 } - X ^ { 1 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { d } \frac { \partial \mathbf q _ { d } } { \partial t } + \mathbf q _ { d } } & { { } = - \lambda _ { d } \nabla T _ { d } , } \\ { \tau _ { b } \frac { \partial \mathbf q _ { b } } { \partial t } + \mathbf q _ { b } } & { { } = - \lambda _ { b } \nabla T _ { b } + l _ { b } ^ { 2 } ( \Delta \mathbf q _ { b } + 2 \nabla \nabla \cdot \mathbf q _ { b } ) , } \end{array}
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \boldsymbol { E } } _ { 1 } ( { \boldsymbol { x } } ) + { \boldsymbol { E } } _ { 2 } ( { \boldsymbol { x } } ) + { \boldsymbol { E } } _ { 3 } ( { \boldsymbol { x } } ) + \cdots = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 1 } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { 1 } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { 1 } + { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 2 } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { 2 } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } { \frac { q _ { 3 } } { ( { \boldsymbol { x } } _ { 3 } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { 3 } + \cdots
\mathrm { R e } \, T _ { a } ^ { \mathrm { a s } } ( p , q ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { R e } \ t _ { a } ( x p , q ) \, f ( x ) \, d x = - \frac { e ^ { 2 } } { 2 ( p q ^ { \prime } ) } \, \mathrm { P } \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \frac { f ( x ) } { x - \zeta } \, d x \, ,
\Gamma _ { 0 } ( \omega ) = \frac { 2 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \mathbf { d } \cdot \mathrm { I m } \left[ { \mathbf { G } _ { \mathrm { B } } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \right] \cdot \mathbf { d } ,
\begin{array} { r } { { \cal E } _ { N } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } , ( 1 ) , \mathrm { ~ X ~ B ~ } } = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { j } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } ( x ) \ensuremath { \mathbf { j } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } } ( x ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { \psi } _ { \pm } \rangle = } & { \frac { | \psi _ { \pm } \rangle } { \sqrt { \langle \chi _ { \pm } | \psi _ { \pm } \rangle } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 t _ { 0 } ( t _ { 0 } \mp d _ { 3 } ) } } \left( \begin{array} { c } { d _ { 3 } \mp t _ { 0 } } \\ { d _ { 1 } + i d _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \langle \tilde { \chi } _ { \pm } | = } & { \frac { \langle \chi _ { \pm } | } { \sqrt { \langle \chi _ { \pm } | \psi _ { \pm } \rangle } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 t _ { 0 } ( t _ { 0 } \mp d _ { 3 } ) } } ( d _ { 3 } \mp t _ { 0 } , d _ { 1 } - i d _ { 2 } ) , } \end{array}
\stackrel { ( 1 ) } { \cal { L } } = { \frac { 1 } { 6 } } f _ { b c } ^ { a } \ ^ { * } C _ { a } ^ { * } C ^ { b } C ^ { c } + f _ { b c } ^ { a } 3 \ ^ { * } A _ { a } ^ { * } \wedge A ^ { b } C ^ { c } + f _ { a b c } A ^ { a } \wedge A ^ { b } \wedge A ^ { c } \ .
c h e m i c a l s p e c i e s f o r a g r i d o f l a t i t u d e s , l o n g i t u d e s , a n d e l e v a t i o n s . T h e d a t a w e c o n s i d e r i s d r a w n f r o m t h e w o r k o f V e l e g a r e t a l . a n d c o n t a i n s s i m u l a t e d a t m o s p h e r i c o z o n e c o n c e n t r a t i o n g e n e r a t e d b y t h e C T M s o f t w a r e G E O S - C h e m o v e r t h e c o u r s e o f a y e a r w i t h d y n a m i c a l t i m e s t e p s o f 2 0 m i n u t e s . T h e a c c e s s e d d a t a f r o m i s a c o m p r e s s e d S V D r e p r e s e n t a t i o n u s i n g t h e f i r s t 5 0 P O D m o d e s . T h e d e c o m p r e s s e d d a t a m a t r i x c o n s i s t s o f 2 6 , 2 0 8 s n a p s h o t s o f a 4 6 b y 7 2 b y 3 0 ( l a t i t u d e , l o n g i t u d e , e l e v a t i o n ) g r i d , f r o m w h i c h w e f u r t h e r d o w n s a m p l e t o o b t a i n 2 , 6 0 0 e v e n l y t e m p o r a l l y s p a c e d g l o b a l o z o n e c o n c e n t r a t i o n f i e l d s . T o a c c o u n t f o r t h e f a c t t h a t t h e d a t a m a t r i x i s i n h e r e n t l y r a n k 5 0 , w e a d d G a u s s i a n n o i s e w i t h s t a n d a r d d e v i a t i o n
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { S A P T } } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { e l s t } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 ) } + } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal E _ { N } ( \Omega , X ) : = \sigma P ( \Omega ) + { \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { d } } } \sum _ { i \not = j } { \frac { 1 } { | x _ { i } - x _ { j } | } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } H e ^ { T ( \mu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle c _ { \mu } ^ { \alpha } } & { { } + } & { \sum _ { \nu \; ( \neq \mu ) } \left[ \langle \Phi _ { \vartheta } ( \mu ) | e ^ { - T ( \mu ) } e ^ { T ( \nu ) } | \Phi _ { \mu } \rangle H _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { e f f } } c _ { \nu } ^ { \alpha } \right. - } \end{array}
\Delta E _ { b } = \frac { 2 \alpha \varepsilon } { 3 \pi } \left[ \ln \xi _ { 0 } - \frac { 9 } { 1 6 } - C - \ln 2 + \frac { 2 7 \pi } { 3 2 \sqrt { 2 } \xi _ { 0 } } \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 4 } + \ln \xi _ { 0 } + \frac { 4 } { 2 7 } - C + \frac { \pi } { 4 } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { O } \succeq \mathbf { 0 } _ { V } } \log \vert \mathbf { O } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { O } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { k } ^ { ( d ) } \big ] , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { Q } \succ \mathbf { 0 } _ { W } } \log \vert \mathbf { Q } \vert + \mathrm { t r a c e } \big [ \mathbf { Q } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { N } } _ { j } ^ { ( d ) } \big ] . } \end{array}
c _ { T _ { l } ^ { \prime } , T _ { l } } ^ { f , l } ( x _ { l } ^ { \prime } , { \bf p } _ { l \perp } ^ { \prime } ; x _ { l } , { \bf p } _ { l \perp } ) = c _ { T _ { l } , T _ { l } ^ { \prime } } ^ { f , l * } ( x _ { l } , { \bf p } _ { l \perp } ; x _ { l } ^ { \prime } , { \bf p } _ { l \perp } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r } { ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \rho _ { \varepsilon } ) = ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega , \rho ) \star \phi _ { \varepsilon } - ( \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega _ { - \varepsilon } \star ( \delta _ { 0 } - \phi _ { \varepsilon } ) , 0 ) , } \end{array}
\dot { x } ^ { A } { } _ { D ^ { \prime } } \acute { x } ^ { B C ^ { \prime } } \dot { x } _ { A C ^ { \prime } } \acute { x } _ { B } { } ^ { D ^ { \prime } } = - \dot { x } ^ { A } { } _ { C ^ { \prime } } \dot { x } _ { A D ^ { \prime } } \acute { x } ^ { B C ^ { \prime } } \acute { x } _ { B } { } ^ { D ^ { \prime } }
\sigma _ { \mathrm { g e n e r a t o r } } = | { W } _ { i } ^ { \mathrm { ~ P ~ Y ~ T ~ H ~ I ~ A ~ , ~ o ~ n ~ - ~ t ~ h ~ e ~ - ~ f ~ l ~ y ~ } } - { W } _ { i } ^ { \mathrm { ~ P ~ H ~ O ~ J ~ E ~ T ~ , ~ o ~ n ~ - ~ t ~ h ~ e ~ - ~ f ~ l ~ y ~ } } | ,
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } I _ { \varepsilon } ( u ) [ X ] } & { = \int _ { M } 2 | d ( L _ { X } u ) | ^ { 2 } - 2 \Delta u ( L _ { X } ^ { 2 } u ) - ( \mathrm { d i v } X ) \mathcal { F } _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u ) L _ { X } u } \\ & { = \int _ { M } 2 | d ( L _ { X } u ) | ^ { 2 } - \mathcal { F } _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u ) \left( L _ { X } ( L _ { X } u ) + \mathrm { d i v } X L _ { X } u \right) = \int _ { M } 2 | d ( L _ { X } u ) | ^ { 2 } - \mathcal { F } _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d i v } ( [ L _ { X } u ] X ) } \\ & { = 2 \int _ { M } | d ( L _ { X } u ) | ^ { 2 } - \mathrm { d i v } \left( f _ { \varepsilon } ( u ) ( L _ { X } ) u X \right) + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( u ) ( L _ { X } u ) ^ { 2 } = I _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( u ) [ L _ { X } u ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \in \mathcal { T } _ { 1 } } | P _ { 1 } ^ { \prime } ( m ) B _ { v _ { 0 } , H } ( m ) | ^ { 2 } } & { \ll P _ { 1 } ^ { - 2 \alpha _ { 1 } } \left( \frac { T } { ( X / P _ { 1 } ^ { \prime } ) ( \log X ) } + \frac { 1 } { ( \log X ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { \ll ( \log X ) ^ { - 2 } P _ { 1 } ^ { - \varepsilon } , } \end{array}
\partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } = \partial _ { \tau } \theta \left( x \right) \partial _ { \theta \left( x \right) } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } + \partial _ { \tau } \phi \left( x \right) \partial _ { \phi \left( x \right) } \hat { \varsigma } ^ { \dagger }
\begin{array} { r l } & { \nu \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } q ( q - 1 ) | \rho ^ { \nu } | ^ { q - 2 } | \nabla _ { x } \rho ^ { \nu } | ^ { 2 } | \varphi | + | \rho ^ { \nu } | ^ { q } | \Delta _ { x } \varphi | ~ d x d t } \\ & { \quad + 4 \pi \nu \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { H } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } | \partial _ { r } \varphi | d r d z \to 0 . } \end{array}
\Gamma _ { k 1 2 } ^ { \alpha \beta \gamma } = i \sum _ { \alpha ^ { \prime } } \Big ( \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } - \frac { k ^ { \alpha } k ^ { \alpha ^ { \prime } } } { k ^ { 2 } } \Big ) ( k ^ { \beta } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \gamma } + k ^ { \gamma } \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta } )
\frac { 1 } { 2 Q \cdot k _ { i } + k _ { i } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 Q \cdot k _ { i } } - \frac { k _ { i } ^ { 2 } } { \left( 2 Q \cdot k _ { i } \right) ^ { 2 } } + \frac { \left( k _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( 2 Q \cdot k _ { i } \right) ^ { 3 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } I _ { \mathrm { E H } } [ g + \varepsilon h ] } & { = \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \int _ { U } \mathrm { R } ( g + \varepsilon h ) \, \mathrm { v o l } _ { g + \varepsilon h } } \\ & { = \int _ { U } \left\{ \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { R } ( g + \varepsilon h ) \right) \mathrm { v o l } _ { g } + \mathrm { R } ( g ) \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { v o l } _ { g + \varepsilon h } \right) \right\} } \\ & { = \int _ { U } \left\{ \left( - \Delta h + \div ( \div h ) - \langle \mathrm { R i c } ( g ) , h \rangle _ { g } \right) \mathrm { v o l } _ { g } + \mathrm { R } ( g ) \frac { \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) } { 2 } \mathrm { v o l } _ { g } \right\} } \\ & { = \int _ { U } \left( - \Delta h + \div ( \div h ) - \langle \mathrm { R i c } ( g ) , h \rangle _ { g } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { R } ( g ) \, \mathrm { t r } ( g ^ { - 1 } h ) \right) \mathrm { v o l } _ { g } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ( f \circ F ) } & { { } = \left( f ^ { \prime } \circ F \right) \, \nabla F } \\ { ( F \circ \mathbf { r } ) ^ { \prime } } & { { } = ( \nabla F \circ \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \nabla ( F \circ \mathbf { A } ) } & { { } = ( \nabla F \circ \mathbf { A } ) \, \nabla \mathbf { A } } \end{array}
t _ { 2 } = \tan \left( \frac { \pi } { 2 4 } \right) T _ { 0 } T _ { 2 } T _ { 3 } / \sqrt { 3 } = \tan \left( \frac { \pi } { 2 4 } \right) \tan \left( \frac { 5 \pi } { 2 4 } \right) \tan \left( \frac { \pi } { 1 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \nabla \Phi ( \boldsymbol { y } ^ { k + 1 } ) } & { = \nabla \Phi ( \boldsymbol { x } ^ { k } ) - \eta \partial ^ { k } } \\ { \boldsymbol { x } ^ { k + 1 } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { x } \in { \mathcal { X } \cap \mathcal { C } } } D _ { B } [ \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ^ { k + 1 } ] } \end{array}
f ( \mathbf { x } ) = C \sum _ { n = 1 } ^ { | V | } \left( 1 - \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } x _ { n , i } \right) ^ { 2 } + D \sum _ { n = 1 } ^ { | V | } \sum _ { m = 1 } ^ { | V | } \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } A _ { n m } x _ { n , i } x _ { m , i } ,
\begin{array} { r } { P ( \vec { \xi } | | \alpha \rangle , | \beta \rangle ) = \int \mathrm { ~ d ~ } a \; \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ M _ { A ^ { \prime } B } ^ { \vec { \xi } } ( \rho _ { A ^ { \prime } } ^ { a } \otimes | \beta \rangle \! \langle \beta | _ { B } ) ] \; \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ N _ { A } ^ { a } | \alpha \rangle \! \langle \alpha | _ { A } ] = \int \mathrm { ~ d ~ } a \; \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ M _ { B } ^ { \vec { \xi } | a } | \beta \rangle \! \langle \beta | _ { B } ] \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ N _ { A } ^ { a } | \alpha \rangle \! \langle \alpha | _ { A } ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { A } \sim C \rho ^ { 2 \Gamma - 1 } , } \\ { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } \mathrm { ~ : ~ \ \ } } & { { } } & { \delta \pi _ { B } \sim F \rho ^ { 2 \Gamma - 1 } . } \end{array}