harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r ( 1 - x / K ) - \frac { q _ { 1 } y } { 1 + a _ { 1 } x } - \frac { q _ { 2 } z } { 1 + a _ { 2 } x } \right) \quad \colon = \quad x F ( x , y , z ) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } x } { 1 + a _ { 1 } x } - \mu _ { 1 } - m _ { 1 } y \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \colon = \quad y G ( x , y ) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } x } { 1 + a _ { 2 } x } - \mu _ { 2 } - m _ { 2 } z \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \colon = \quad z H ( x , z ) , } \\ & { } & { \mathrm { c o n ~ } x ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } y ( 0 ) > 0 \mathrm { , ~ } z ( 0 ) > 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
L ^ { ( - ) } = \left( \begin{array} { c c } { { ( - 1 ) ^ { F } q ^ { - \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } } & { { 0 } } \\ { { ( q ^ { - 1 } - q ) ( - 1 ) ^ { F } Y ^ { - } } } & { { ( - 1 ) ^ { F } q ^ { - \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } } \end{array} \right)
\begin{array} { l } { { { \displaystyle \sum _ { n \neq 0 } | F _ { \nu } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau , \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau _ { 0 } \right) | ^ { 2 } ~ | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } \sim } } } \\ { { { \displaystyle \sim \frac { 2 ^ { 2 \nu } } { \Gamma ^ { 2 } ( 1 - \nu ) } \left( \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } \right) ^ { 2 - 2 \nu } \! ( - \tau _ { 0 } ) ~ { - \tau } ^ { 1 - 2 \nu } \sum _ { n \neq 0 } ^ { } \frac { J _ { \nu } ^ { 2 } \left( - \frac { 2 \pi } { \sigma _ { 0 } } | n | \tau _ { 0 } \right) } { | n | ^ { 2 \nu - 2 } } ~ | \phi _ { n } ( \sigma _ { 0 } ) | ^ { 2 } } } } \end{array}
\Delta E _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } = \oint \vec { F } _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } \, \mathrm { ~ d ~ } \vec { z } = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } ( z + A \cos { \phi } ) A \sin { \phi } \, \mathrm { ~ d ~ } \phi ,
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \hat { \gamma } _ { k \sigma , 1 } } & { { } = i \hat { Z } _ { k \sigma } , } \\ { \hat { \gamma } _ { l \tau , 0 } \hat { \gamma } _ { l \tau , 1 } } & { { } = i \hat { Z } _ { l \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha , z ) \in \mathcal { U } } \| ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( H _ { \mathrm { f } } + r ) \| < \infty } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha , z ) \in \mathcal { U } } \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) + r - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( H _ { \mathrm { f } } + r ) ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) \| < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { q } _ { j } } & { { } = } & { p _ { j } , } \\ { \dot { p } _ { j } } & { { } = } & { - q _ { j } ^ { 3 } + K \left( q _ { j + 1 } + q _ { j - 1 } - 2 q _ { j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { A C C } ( v , l ) = \frac { \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ } } ( m ) \tilde { { X } } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \tilde { { X } } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ( l ) \left[ v , m , n \right] } { \sqrt { \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ } } ( m ) \left( \tilde { { X } } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \right) ^ { 2 } \sum _ { m , n } w _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ } } ( m ) \left( \tilde { { X } } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ u ~ e ~ } } ( l ) \left[ v , m , n \right] \right) ^ { 2 } } } , } \end{array}
\tau ^ { \mathrm { u n i f } } = ( 3 / 2 0 ) ( 3 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 / 3 } n ^ { 5 / 3 } \big [ ( 1 + \zeta ) ^ { 5 / 3 } + ( 1 - \zeta ) ^ { 5 / 3 } \big ]
\widetilde { \Gamma _ { i j } } = \rho _ { f } \left( \widetilde { u _ { i , f } } \widetilde { u _ { j , f } } - \widetilde { u _ { i , f } u _ { j , f } } \right) = 2 \mu _ { t } \widetilde { S _ { i j } } - \frac { 1 } { 3 } \widetilde { \Gamma _ { k k } } \delta _ { i j } ,
p = p _ { 0 } + \frac { E _ { \infty } } { W } \left( \alpha ^ { m } - \alpha ^ { n } \right) - \frac { \left( E _ { 0 } - E _ { \infty } \right) ^ { 2 } } { E _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \eta } { W A } \left( m \alpha ^ { m } - n \alpha ^ { n } \right) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } .
\sigma _ { q \bar { q } - A } ^ { i n e l } ( b , s ) = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } b ^ { 2 } \alpha _ { s } x G _ { A } ( x , Q ^ { 2 } = \lambda / b ^ { 2 } ) < \pi R _ { A } ^ { 2 }
\mathcal { U } _ { m } \subset \left\{ \left( \omega , V \right) \in \Omega \times \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } : H _ { m } ( \pi _ { V } \eta ^ { ( \omega ) } ) \geq \alpha - 1 + \kappa / 2 \right\} \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ \operatorname* { i n f } _ { W \in \mathbb R \mathbb P ^ { 1 } } \ \mathbb P \otimes \mathfrak { m } ^ { ( W ) } ( \mathcal { U } _ { m } ) \geq p _ { 0 } / 2 .
\sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \theta } \left\{ \zeta ( \alpha , \alpha ) \frac { \partial } { \partial b _ { n } } \left( G _ { j , \theta } ^ { ( \alpha ) } \right) ^ { 2 } + 2 \sum _ { \beta = 1 } ^ { \alpha - 1 } \zeta ( \alpha , \beta ) \frac { \partial } { \partial b _ { n } } \left( G _ { j , \theta } ^ { ( \alpha ) } G _ { j , \theta } ^ { ( \beta ) } \right) \right\} = 0 ,
\begin{array} { r l } { \rho } & { { } = \sum _ { i } \lambda _ { i } | \lambda _ { i } \rangle \langle \lambda _ { i } | ~ ~ ~ ; ~ \mathrm { ~ S ~ p ~ e ~ c ~ t ~ r ~ a ~ l ~ d ~ e ~ c ~ o ~ m ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( p ^ { \lambda , n } , Q ^ { \lambda , n } ) , \mathcal { L } ( X _ { t } , Y _ { t } ) ) \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( { p ^ { \lambda , k } } , Q ^ { \lambda , k } ) , \mathcal { L } ( p ^ { \lambda , k - 1 } , Q ^ { \lambda , k - 1 } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { 2 } \left( \mathcal { L } ( \hat { p } ^ { k \lambda , ( \tilde { x } _ { k \lambda } , \tilde { Y } _ { k \lambda } ) } , \hat { Q } ^ { k \lambda , ( \tilde { x } _ { k \lambda } , \tilde { Y } _ { k \lambda } ) } ) , \mathcal { L } ( \hat { p } ^ { k \lambda , ( p _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } , Q _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } ) } , \hat { Q } ^ { k \lambda , ( p _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } , Q _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } ) } ) \right) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { m } { \beta \gamma } ( t - k \lambda ) } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \tilde { x } _ { k \lambda } , \tilde { Q } _ { k \lambda } ) , \mathcal { L } ( p _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } , Q _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { m } { \beta \gamma } \lambda ( n - k ) } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \tilde { x } _ { k \lambda } , \tilde { Q } _ { k \lambda } ) , \mathcal { L } ( p _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } , Q _ { k \lambda } ^ { \lambda , k - 1 } ) ) } \\ & { \leq \sqrt { 2 } C \sqrt { R _ { \lambda , \gamma } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { m } { \beta \gamma } \lambda ( n - k ) } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } C \sqrt { R _ { \lambda , \gamma } } \frac { 1 } { 1 - e ^ { - \frac { m } { \beta \gamma } \lambda } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } C \sqrt { R _ { \lambda , \gamma } } \frac { \beta \gamma } { m \lambda } e ^ { \frac { m } { \beta \gamma } \lambda } } \\ & { \leq C ^ { \prime } \frac { \gamma } { \lambda } \sqrt { R _ { \lambda , \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { - 2 \| \nabla ^ { N } g \| ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ { - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( e _ { k } , \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + \lambda g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) = 0 . } \end{array}
{ \frac { d } { d u } } \left[ \sum _ { n \leq e ^ { | u | } } \Lambda ( n ) + { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( 1 - e ^ { - 2 | u | } ) \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Lambda ( n ) \left[ \delta ( u + \ln n ) + \delta ( u - \ln n ) \right] + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { d \ln ( 1 - e ^ { - 2 | u | } ) } { d u } } = e ^ { u } - \sum _ { \rho } e ^ { \rho u }
\begin{array} { r l } { \omega _ { \textup { r e d } , a } } & { = \textup { H } ^ { 2 } \ p _ { 1 } ( \phi , \boldsymbol { u } _ { a } ) + \textup { H } ^ { 4 } \ p _ { 2 } ( \phi , \boldsymbol { u } _ { a } ) + \textup { H } ^ { 6 } \ p _ { 3 } ( \phi , \boldsymbol { u } _ { a } ) \ \ ; } \\ { \omega _ { \textup { r e d } , J } } & { = r _ { 0 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } \ r _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 2 } \ r _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + } \\ & { \ \ \ \ \textup { H } ^ { 3 } \ r _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 4 } \ r _ { 4 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 5 } \ r _ { 5 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) \ \ \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { b = \, } & { \varsigma ( x _ { 2 } ) + \varsigma ( y _ { 1 } ) + \varsigma ( y _ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 1 } ) + \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 1 } ) + \varsigma ( x _ { 1 } y _ { 2 } ) + \varsigma ( x _ { 2 } y _ { 2 } ) } \\ & { - \varsigma ( x _ { 1 } ) \varsigma ( y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } ) \varsigma ( y _ { 1 } ) - \varsigma ( x _ { 2 } ) \varsigma ( y _ { 2 } ) - \varsigma ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } - \varsigma ( y _ { 2 } ) ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { i } + D _ { i } + f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F _ { i } ) - c _ { i } ( F ^ { * } ) + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ ~ ~ + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ = u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { b } = \int d ^ { 4 } x \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } = \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } ^ { R } \psi _ { b } } \end{array}
\omega _ { \varphi } ^ { 2 } \approx { \frac { G M } { r _ { \mathrm { o u t e r } } ^ { 3 } } } = \left( { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } c ^ { 2 } } { 2 r _ { \mathrm { o u t e r } } ^ { 3 } } } \right) = \left( { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } c ^ { 2 } } { 2 } } \right) \left( { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } ^ { 3 } } { 8 a ^ { 6 } } } \right) = { \frac { c ^ { 2 } r _ { \mathrm { { s } } } ^ { 4 } } { 1 6 a ^ { 6 } } }
0 \neq ( - 1 ) ^ { n } = \operatorname { s i g n } \det G [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \operatorname { s i g n } \det S [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] \operatorname { s i g n } \det R [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \operatorname { s i g n } \det S [ \mathbf { J } ^ { ( n ) } ] .
S _ { E } = \int d ^ { D } x \, \left\{ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \left[ \frac { \partial \Psi ^ { \dagger } } { \partial x ^ { M } } \frac { \partial \Psi } { \partial x ^ { M } } + \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi ^ { \dagger } } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial \left( x ^ { M } \right) ^ { 2 } } \right] - \mu _ { 0 } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi + \frac { 1 } { 2 } b \left( \Psi ^ { \dagger } \Psi \right) ^ { 2 } \right\} \; .
\begin{array} { r l } { \| u ( t , x ) \| _ { p } } & { \le \sqrt 2 e ^ { - \mu _ { 1 } t } J _ { c _ { 1 } } ( t , x ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } ( 8 p \lambda ^ { 2 } L _ { \sigma } ^ { 2 } C ) ^ { i } \, \widetilde { h } _ { i } ( t ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \sqrt 2 C _ { 6 } J _ { c _ { 1 } } ( t , x ) e ^ { \frac 1 2 t \left( 8 C _ { 7 } C p \lambda ^ { 2 } L _ { \sigma } ^ { 2 } + C _ { 8 } ( 8 C ) ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } p ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \lambda ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } L _ { \sigma } ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } - \mu _ { 1 } \right) } . } \end{array}
S _ { t o t } = \phi _ { t o t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } H _ { i i j j } + K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } \right) = \phi _ { t o t } \left( K _ { d } ^ { - 1 } + K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } \right) = : S \, .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c } { \boldsymbol { M } _ { S B } } \\ { w _ { 1 } \boldsymbol { K } _ { B } ^ { T } } \end{array} \right] \boldsymbol { \lambda } _ { B } = \left[ \begin{array} { c } { \boldsymbol { v } _ { S } } \\ { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] . } \end{array}
2 M = \frac { 1 - k ^ { 2 } - 2 l } { 1 + k ^ { 2 } } \rho _ { 0 } \; , \; \; \beta = 1 \; , \; \; \gamma = 1 + \frac { 2 l \rho _ { 0 } } { ( 1 + k ^ { 2 } ) M } \; .
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 1 2 } } & { { } = } & { - ( \alpha _ { \infty } - 1 ) \phi \rho _ { \mathrm { f } } , } \\ { \rho _ { 1 1 } } & { { } = } & { ( 1 - \phi ) \rho _ { \mathrm { s } } - \rho _ { 1 2 } , } \\ { \rho _ { 2 2 } } & { { } = } & { \phi \rho _ { \mathrm { f } } - \rho _ { 1 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { = { \overline { { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } } } , } \\ { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j - 1 \right\rangle } & { = - { \overline { { \left\langle j - 1 \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } } } , } \end{array} }
\alpha ( \tau ) = \alpha _ { 0 } \tau ^ { p _ { 1 } } , \beta ( \tau ) = \beta _ { 0 } \tau ^ { p _ { 2 } } , \gamma = \gamma _ { 0 } \tau ^ { p _ { 3 } } , \delta = e ^ { \phi } = \delta _ { 0 } \tau ^ { p _ { 4 } } ,
\begin{array} { r } { | \phi \rangle \rightarrow \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos ( \theta / 2 ) | \mathrm { L } \rangle + \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin ( \theta / 2 ) | \mathrm { R } \rangle , } \end{array}
p _ { 1 } = \tau , \quad p _ { 2 } = \hat { \eta } _ { 1 , 1 } , \quad p _ { 3 } = b , \quad p _ { 4 } = \hat { \eta } _ { 1 , - 1 } , \quad p _ { 5 } = \hat { \eta } _ { 0 , 2 } \; \; , \; \; \dots \; \; , \; \; p _ { N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } = \hat { \eta } _ { 1 , - N _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { c x _ { 1 } ^ { 3 m - 1 } ( x _ { 2 } x _ { 3 } ( x _ { 4 } \cdots x _ { d } ) ^ { 3 } r ) ^ { p ^ { e } } ( x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \ell ( p ^ { e } + 3 ) - p ^ { e } } } & { \in } \\ { ( J _ { 1 } ^ { ( p ^ { e } ) } , } & { x _ { 2 } ^ { 2 ( \ell ( p ^ { e } + 3 ) ) } , x _ { 3 } ^ { 2 ( \ell ( p ^ { e } + 3 ) ) } , x _ { 4 } ^ { 4 p ^ { e } } , \ldots , x _ { d } ^ { 4 p ^ { e } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i k \ell t i ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } \bigg [ \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } \beta _ { \ell ^ { \prime } } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } \theta _ { i ^ { \prime } } \theta _ { \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { \ell } \beta _ { \ell ^ { \prime } } \beta _ { t } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } \theta _ { i ^ { \prime } } \theta _ { \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ] \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ^ { m + n } } & { { } = b ^ { m } \cdot b ^ { n } } \\ { \left( b ^ { m } \right) ^ { n } } & { { } = b ^ { m \cdot n } } \\ { ( b \cdot c ) ^ { n } } & { { } = b ^ { n } \cdot c ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert g _ { t } ^ { N } - \nabla G ( \omega _ { t } ) \right\rVert } & { \leq \left\lVert g _ { t } ^ { N } - g _ { t } ^ { N , \eta } \right\rVert + \left\lVert g _ { t } ^ { N , \eta } - \nabla G ( \omega _ { t } ) \right\rVert } \\ & { = \left\lVert \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { t } ^ { i } \phi ( s _ { t } ^ { i } ) - \delta _ { t } ^ { i , \eta } \phi ( s _ { t } ^ { i } ) \right\rVert + \left\lVert \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { t } ^ { i , \eta } \phi ( s _ { t } ^ { i } ) - \nabla G ( \omega _ { t } ) \right\rVert . } \end{array}
( \rho , u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 1 5 6 9 5 , 0 . 5 2 3 3 4 6 , 1 . 8 0 5 0 0 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x < - 4 . 5 } \\ { ( 1 + 0 . 1 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( 2 0 \pi x ) , 0 , 1 ) , \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x > - 4 . 5 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \varrho ^ { 3 } ( C ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) ( \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } + D ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { = } & { C ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) ( \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 3 } + D ( \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } , \zeta ^ { 4 } ) \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \gamma } & { = { \frac { 3 } { 2 } } - \log 2 - \sum _ { m = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m } \, { \frac { m - 1 } { m } } { \big ( } \zeta ( m ) - 1 { \big ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 2 n - 1 } { 2 n } } - \log n + \sum _ { k = 2 } ^ { n } \left( { \frac { 1 } { k } } - { \frac { \zeta ( 1 - k ) } { n ^ { k } } } \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( { \frac { 2 ^ { n } } { e ^ { 2 ^ { n } } } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { m n } } { ( m + 1 ) ! } } \sum _ { t = 0 } ^ { m } { \frac { 1 } { t + 1 } } - n \log 2 + O \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { n } \, e ^ { 2 ^ { n } } } } \right) \right) . } \end{array} }
E _ { \mathrm { ~ T ~ D ~ L ~ } } = \frac { E _ { N _ { k _ { 2 } } } N _ { k _ { 1 } } ^ { - 1 } - E _ { N _ { k _ { 1 } } } N _ { k _ { 2 } } ^ { - 1 } } { N _ { k _ { 1 } } ^ { - 1 } - N _ { k _ { 2 } } ^ { - 1 } }
\langle 0 | a ( k ^ { \prime } s ^ { \prime } ) a ^ { * } ( q , r ) a ( q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) a ^ { * } ( k , s ) | 0 \rangle = \frac { 2 \kappa ^ { \prime } g ( s ^ { \prime } ) } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } \lambda } \delta _ { r s ^ { \prime } } \delta ^ { 4 } ( q - k ^ { \prime } ) \frac { 2 \kappa g ( s ) } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } \lambda } \delta _ { r ^ { \prime } s } \delta ^ { 4 } ( q ^ { \prime } - k )
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { { } \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { 2 } ( z ) } & { { } = } & { F _ { M } ( z ) ^ { 2 } d _ { 0 } ( z ) + P ( z ) \sum _ { q = 0 } ^ { M } \alpha _ { q } z ^ { q } \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } z ^ { - k } { d _ { 1 } [ k ] } } \end{array}
0 = k \cdot \varepsilon _ { 1 , 2 } = \vec { k } \cdot \vec { \varepsilon } _ { 1 , 2 } - ( k ^ { 0 } ) \varepsilon _ { 1 , 2 } ^ { 0 } = \left[ \vec { k } - \frac { k ^ { 0 } } { \sqrt { ( \vec { n } ) ^ { 2 } + 1 } } \vec { n } \right] \cdot \vec { \varepsilon } _ { 1 , 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \bigg [ \Vert \tilde { v } _ { n } \Vert _ { H _ { l } } \operatorname* { s u p } _ { h _ { 2 } \in F _ { l + 1 : L } } \bigg \Vert \frac { \Vert h _ { 2 } \Vert _ { H _ { l } } \gamma _ { n } } { \Vert \tilde { v } _ { n } \Vert _ { H _ { l } } } \tilde { v } _ { n } - h \bigg \Vert _ { H _ { l } } \bigg ] } & { \le \mathrm { E } ^ { \frac 1 2 } [ \Vert v _ { n } \Vert _ { H _ { l } } ^ { 2 } ] \mathrm { E } ^ { \frac 1 2 } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { h _ { 2 } \in F _ { l + 1 : L } } \bigg \Vert \frac { \Vert h _ { 2 } \Vert _ { H _ { l } } \gamma _ { n } } { \Vert \tilde { v } _ { n } \Vert _ { H _ { l } } } \tilde { v } _ { n } - h \bigg \Vert _ { H _ { l } } ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \le B \sqrt { n } \mathrm { E } ^ { \frac 1 2 } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { h _ { 2 } \in F _ { l + 1 : L } } \bigg \Vert \frac { \Vert h _ { 2 } \Vert _ { H _ { l } } \gamma _ { n } } { \Vert \tilde { v } _ { n } \Vert _ { H _ { l } } } \tilde { v } _ { n } - h \bigg \Vert _ { H _ { l } } ^ { 2 } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { i } < \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { a _ { i } } } & { \Rightarrow } & { \frac { 1 } { K _ { i } } > \frac { a _ { i } } { 1 + a _ { i } / 2 } } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } r _ { i } - r _ { i } / K _ { i } - a _ { i } r _ { i } / ( 2 K _ { i } ) } { 1 + a _ { i } / 4 } < 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } r _ { i } ( 1 - 1 / ( 4 K _ { i } ) ) - r _ { i } / K _ { i } - a _ { i } r _ { i } / ( 4 K _ { i } ) } { 1 + a _ { i } / 4 } < 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } r _ { i } ( 1 - 1 / ( 4 K _ { i } ) ) } { 1 + a _ { i } / 4 } - \frac { r _ { i } } { K _ { i } } < 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } ( \alpha _ { i j } / 4 + q _ { i } / ( 1 + a _ { i } / 4 ) ) } { 1 + a _ { i } / 4 } - \frac { r _ { i } } { K _ { i } } < 0 \mathrm { , ~ c o n ~ } q _ { i } \mathrm { ~ c o m o ~ e n ~ } } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } \alpha _ { i j } / 4 } { 1 + a _ { i } / 4 } + \frac { a _ { i } q _ { i } } { ( 1 + a _ { i } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { i } } { K _ { i } } < 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \frac { a _ { i } q _ { i } } { ( 1 + a _ { i } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { i } } { K _ { i } } < 0 . } \end{array}
M S D ( t ) = \frac { 1 } { t _ { s } - t + 1 } \sum _ { t _ { 0 } = 0 } ^ { t _ { s } = t } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ r _ { i } ( t _ { 0 } + t ) - r _ { i } ( t _ { 0 } ) \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { M _ { \pm } } } & { { } \approx \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { M _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { T _ { \pm } } } & { { } \approx \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { T _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \\ { \mathbf { S _ { \pm } } } & { { } \approx \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( 0 ) } } + \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( 1 ) } } + \ldots + \mathbf { S _ { \pm } ^ { ( n ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \rho w ^ { 2 } r } & { ( \frac { 1 } 2 r \psi _ { s } + \frac 3 2 \sin \psi ) } \\ { = } & { p _ { 0 } \kappa + c _ { \kappa } \big ( r ^ { - 1 } ( r \kappa _ { s } ) _ { s } + \frac 1 2 \kappa ^ { 3 } - 2 K \kappa \big ) + p ^ { \mathrm { e x t } } , } \\ { r _ { s } = } & { \cos \psi , } \\ { 2 \pi \int _ { 0 } ^ { L } } & { r \, d s = A , \quad \pi \int _ { 0 } ^ { L } r ^ { 2 } \sin \psi \, d s = V } \\ { r ( 0 ) = } & { \, 0 , \quad r ( L ) = 0 , \quad \psi ( 0 ) = 0 , \quad \psi ( L ) = \pi . } \end{array}