harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\vec { F } _ { 2 1 } = \int d ^ { 3 } x _ { 2 } \rho _ { i 2 } ( \vec { E } + \vec { v } _ { i 2 } \times \vec { B } ) + \int d ^ { 3 } x _ { 2 } \rho _ { e 2 } ( \vec { E } + \vec { v } _ { e 2 } \times \vec { B } ) .
\begin{array} { r } { f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \lambda \frac { E _ { n } } { \beta } e ^ { \lambda \frac { k ^ { 2 } } { 4 } } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + n ; 1 ; - \lambda \frac { k ^ { 2 } } { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { c e l l } } } & { = } & { - \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 1 - \beta / 2 } \left[ 1 + \frac { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } { 2 } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } \ N \right] ^ { - 1 } } \\ & { } & { \times \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) + 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { d L } { d t } - v _ { p } \right) \Delta N + \tilde { \chi } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L / 2 \right) } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } y _ { c } + . . . \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 0 } ( x ) = A _ { 0 } ^ { 0 } \exp \left( - i \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { H } _ { 1 } + \frac { i } { 2 } \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial x _ { j } \partial q _ { j } } \mathrm { d } t ^ { \prime } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { X } ) ^ { n } } & { = \mathbf { A } ^ { n } + \varepsilon \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { A } ^ { i - 1 } \mathbf { X } \mathbf { A } ^ { n - i } + { \mathcal { O } } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) , } \\ { ( \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { X } ) ^ { - n } } & { = \mathbf { A } ^ { - n } - \varepsilon \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { A } ^ { - i } \mathbf { X } \mathbf { A } ^ { - ( n + 1 - i ) } + { \mathcal { O } } \left( \varepsilon ^ { 2 } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\lVert \beta ^ { ( + ) } \right\rVert _ { w ^ { k + 1 } } ^ { 2 } } & { { } = \left\langle ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega , ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega \right\rangle _ { w ^ { k + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \widehat { V } _ { \varepsilon _ { k } } \right] } & { = 2 V _ { \mathrm { n o } } - \tau \nu _ { \mathrm { t h } } - 2 , } \\ { \mathrm { V a r } \left[ \widehat { V } _ { \varepsilon _ { k } } \right] } & { : = s _ { k } ^ { 2 } = 8 \frac { N } { m } V _ { \mathrm { n o } } ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \nu _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } , } \end{array}
W _ { Y } ( H ) = y _ { i j } \, \Psi _ { i } ( { \bf 2 7 } ) \Psi _ { j } ( { \bf 2 7 } ) H ( { \bf 2 7 } ) \left( { \frac { \Theta } { M _ { P } } } \right) ^ { f _ { i } + f _ { j } } ,
{ \frac { \partial } { \partial A } } \ln p ( \mathbf { x } ; A ) = { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } ( x [ n ] - A ) \right] = { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x [ n ] - N A \right]
\mathrm { R e } \, \left[ \Pi _ { 0 0 } ( k _ { 0 } , k ) - \Pi _ { 0 0 } ( 0 , k ) \right] = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \left( { \frac { 1 } { \omega - k _ { 0 } } } - { \frac { 1 } { \omega } } \right) \, \mathrm { I m } \, \Pi _ { 0 0 } ( \omega , k )
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \phi = - 4 \pi q _ { 0 } \, \updelta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) - 4 \pi \left( q _ { + } n _ { + } - q _ { - } n _ { - } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ F ( k _ { x } , k _ { y } , 2 ) \right] ^ { 2 } + \mathrm { ~ I ~ m ~ } \left[ F ( k _ { x } , k _ { y } , 2 ) \right] ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } , } \\ { 2 i \epsilon r } & { { } = 0 . } \end{array}
\Delta \vartheta ( { \vec { r } } ) = { \frac { 1 } { { \vec { h } } \cdot \cos \vartheta _ { B } } } { \frac { \partial } { \partial s _ { \vec { h } } } } \left[ { \vec { h } } \cdot { \vec { u } } ( { \vec { r } } ) \right]
\langle { \cal O } \rangle _ { \sigma } = G _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \overbrace { x ^ { - 1 } \zeta , \cdots , x ^ { - 1 } \zeta } ^ { n } , \overbrace { \zeta , \cdots , \zeta } ^ { n } ) ^ { - \varepsilon _ { n } \cdots - \varepsilon _ { 1 } \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime } \cdots \varepsilon _ { n } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { - \dot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \theta _ { n } ) } & { = \left[ \ddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \theta _ { n } ) + \frac { 1 } { 2 } \dddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \bar { \theta } _ { n } ) ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } - \theta _ { n } ) \right] ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } - \theta _ { n } ) = \left[ \ddot { \ell } _ { n _ { 2 } } ( \theta _ { n } ) + o _ { P _ { n } } ( 1 ) \right] ( \hat { \theta } _ { n _ { 2 } } - \theta _ { n } ) . } \end{array}
\delta \sigma = ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } ) [ g _ { \mu \nu } \dot { z } ^ { \mu } \delta z ^ { \nu } ] _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \lambda _ { 1 } } - ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 0 } ) \int _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \lambda _ { 1 } } ( g _ { \mu \nu } \ddot { z } ^ { \nu } + x _ { \mu \nu \lambda } ^ { \prime } \dot { z } ^ { \nu } \dot { z } ^ { \lambda } ) \delta z ^ { \mu } d \lambda
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } I _ { m } } { \mathrm { d } t } = } & { - I _ { m } + m r S _ { m } \; , } \\ { \frac { \mathrm { d } S _ { m } } { \mathrm { d } t } = } & { - m r S _ { m } \; , } \\ { \frac { \mathrm { d } G _ { n , i } ^ { \lambda } } { \mathrm { d } t } = } & { \; ( i + 1 ) G _ { n + 1 , i + 1 } ^ { \lambda } - i G _ { n , i } ^ { \lambda } + ( n - i + 1 ) \lbrace \lambda ( i - 1 ) + \rho \rbrace G _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \\ & { - ( n - i ) \lbrace \lambda i + \rho \rbrace G _ { n , i } ^ { \lambda } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D \left( P _ { T } \left\| Q _ { T } \right. \right) } & { = \mathbf { E } \left[ \log \frac { \mathrm { d } P _ { T } } { \mathrm { d } Q _ { T } } \left( a , X ^ { P } \right) \right] = \mathbf { E } \left[ \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \log \frac { \mathrm { d } P _ { T \wedge \sigma _ { n } } } { \mathrm { d } Q _ { T \wedge \sigma _ { n } } } \left( a , X ^ { P } \right) \right] } \\ & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathbf { E } \left[ \log \frac { \mathrm { d } P _ { T \wedge \sigma _ { n } } } { \mathrm { d } Q _ { T \wedge \sigma _ { n } } } \left( a , X ^ { P } \right) \right] = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathbf { E } \left[ - \log \frac { \mathrm { d } Q _ { T \wedge \sigma _ { n } } } { \mathrm { d } P _ { T \wedge \sigma _ { n } } } \left( a , X ^ { P } \right) \right] } \\ & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathbf { E } \left[ \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { T \wedge \sigma _ { n } } \left| \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( s , a , X ^ { P } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } s \right] } \\ & { \quad - \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \mathbf { E } \left[ \frac { \beta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T \wedge \sigma _ { n } } \left\langle \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( s , a , X ^ { P } \right) , \mathrm { d } B _ { s } \right\rangle \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T \wedge \sigma _ { n } } \left| \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( s , a , X ^ { P } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } s \right] } \\ & { = \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \left| \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( s , a , X ^ { P } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } s \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \tilde { \mu } } _ { k + 1 } + \left( { \alpha } _ { k } + { \beta } _ { k } { \gamma } _ { k } \right) { \tilde { \nu } } _ { k + 1 } } & { \leq { \tilde { \mu } } _ { k } + \left( { \alpha } _ { k - 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \gamma } _ { k - 1 } \right) { \tilde { \nu } } _ { k } } \\ & { + { \mathrm { c } } _ { 2 } { \tau } { \tilde { \nu } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 5 } { \tau } \left( 1 + \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } \right) { \tilde { \nu } } _ { k } + { \tau } { \sigma } _ { k } \left( \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } + \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k + 1 } } \right) } \\ & { = { \tilde { \mu } } _ { k } + \left( { \alpha } _ { k - 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \gamma } _ { k - 1 } \right) { \tilde { \nu } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 6 } { \tau } { \tilde { \nu } } _ { k } } \\ & { + { \mathrm { c } } _ { 5 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } { \tilde { \nu } } _ { k } + { \tau } { \sigma } _ { k } \left( \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k } } + \sqrt { { \tilde { \mu } } _ { k + 1 } } \right) \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 6 } = { \mathrm { c } } _ { 2 } + { \mathrm { c } } _ { 5 } \, . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { E G } } & { { } } & { { \stackrel { \tilde { f } } { \rightarrow } } } & { { } } & { { B \hat { G } } } \\ { { } } & { { \searrow } } & { { } } & { { \swarrow } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { B G } } & { { } } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { j , i } ( - h L ) } & { = \varphi _ { j } ( - c _ { i } h L ) c _ { i } ^ { j } - \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } a _ { i k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } } \\ { \psi _ { j } ( - h L ) } & { = \varphi _ { j } ( - h L ) - \sum _ { k = 0 } ^ { s - 1 } a _ { ( s - 1 ) k } ( - h L ) \frac { c _ { k } ^ { j - 1 } } { ( j - 1 ) ! } } \end{array}
\eta _ { a } = ( v _ { 0 } / c ) ^ { 1 / 2 } ( \omega _ { 0 } L _ { n } / c ) ^ { 4 / 3 } \frac { 2 - 2 \omega _ { p } / \omega _ { 0 } - \omega _ { p } ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \omega _ { p } / \omega _ { 0 } ) ^ { 2 / 3 } } ,
\mathbf { L } = m \mathbf { r } \times \mathbf { v } = m r ^ { 2 } \left( { \dot { \theta } } \, { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } - { \dot { \varphi } } \sin \theta \, \mathbf { \hat { \boldsymbol { \theta } } } \right) .
f ( Q ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 4 + Q ^ { 2 } / M _ { K } ^ { 2 } } { 4 \sqrt { Q ^ { 2 } / M _ { K } ^ { 2 } } } \arctan \biggl ( \frac { \sqrt { Q ^ { 2 } } } { 2 M _ { K } } \biggr ) ~ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } | f ( Y _ { t } ) - f ( y ( t ) ) | } \\ & { \qquad \le \frac { \sqrt { 2 } K _ { 0 } } { T ^ { 3 / 2 } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le \kappa T } | B _ { t } | + \frac { L _ { f } } { T ^ { 3 } } \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le \kappa T } | B _ { t } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { s } _ { b _ { } } ^ { s } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 + \cos { \chi } } & { 1 - \cos { \chi } } & { s { } ^ { - 1 } \sin { \chi } } & { - s { } ^ { - 1 } \sin { \chi } } \\ { 1 - \cos { \chi } } & { 1 + \cos { \chi } } & { - s { } ^ { - 1 } \sin { \chi } } & { s { } ^ { - 1 } \sin { \chi } } \\ { s { } \sin { \chi } } & { - s { } \sin { \chi } } & { 1 + \cos { \chi } } & { 1 - \cos { \chi } } \\ { - s { } \sin { \chi } } & { s { } \sin { \chi } } & { 1 - \cos { \chi } } & { 1 + \cos { \chi } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } u _ { h } , \operatorname { c u r l } _ { x } u _ { h } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } ^ { x } ) } \leq c _ { I } ( \mu _ { \operatorname* { m i n } } \epsilon _ { \operatorname* { m i n } } ) ^ { - 1 } h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 2 } \| u _ { h } \| _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \mathcal { T } ^ { x } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \Delta C _ { t } ^ { * } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \beta _ { t } \frac { S _ { t - 1 } ^ { * } } { N } I _ { t - 1 } ^ { * } ) } \\ { \Delta R c _ { t } ^ { * } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \gamma _ { t } I _ { t - 1 } ^ { * } ) \mathrm { ~ f o r ~ t = 1 , 2 , ~ \dots , ~ T ~ } } \\ { \Delta \bar { D } _ { t } ^ { w } | \Omega _ { t - 1 } } & { \sim } & { P o i s s o n ( \sum _ { s = t - 6 } ^ { t } \nu _ { s } I _ { s - 1 } ^ { * } ) \mathrm { ~ f o r ~ t = 7 k ~ a n d ~ k = 1 , 2 , \dots ~ } } \\ { \Delta C _ { t } ^ { * } = - \Delta S _ { t } ^ { * } } & { = } & { \Delta I _ { t } ^ { * } + \Delta R c _ { t } ^ { * } + \Delta \bar { D } _ { t } ^ { d } } \end{array}
| | A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) - A _ { 2 } \circ \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) | | = | | A _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) ) - A _ { 2 } ( \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) ) | | \leq \ | | W _ { 2 } | | \; | | \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ) - \sigma _ { 1 } \circ A _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) | | \leq C _ { \sigma } \; | | W _ { 2 } | | \; | | W _ { 1 } | | \; | | x - x ^ { \prime } | |
{ \frac { \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } - \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } } { \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } - \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } } } = { \frac { b _ { 0 \, 3 } - b _ { 0 \, 2 } } { b _ { 0 \, 2 } - b _ { 0 \, 1 } } }
\begin{array} { r } { D = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 1 } } { \partial a } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 1 } } { \partial b } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 1 } } { \partial c } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 1 } } { \partial d } } \\ { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 2 } } { \partial a } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 2 } } { \partial b } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 2 } } { \partial c } } & { \frac { \partial \textrm { C F R } _ { 2 } } { \partial d } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { f } ( t ) \tilde { G } ( \mathbf x ) = ( 1 \! - \! 2 \pi ^ { 2 } 0 . 5 ^ { 2 } t ^ { 2 } ) { \frac { e ^ { - \pi ^ { 2 } 0 . 5 ^ { 2 } t ^ { 2 } } } { \pi \kappa } } \sum _ { j = 1 } ^ { J } e ^ { - { \frac { | \mathbf x - \mathbf x _ { j } | ^ { 2 } } { \kappa } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \vec { \hat { p } } \cdot \Omega ( \vec { \hat { q } } ) + \frac { 1 } { 2 } \Omega ( \vec { \hat { q } } ) \cdot \vec { \hat { p } } + \frac { 1 } { 2 } [ \hat { { p } } _ { i } , \Omega _ { i } ( \vec { \hat { q } } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \tilde { t } ) } & { \leq g ( \tilde { t } ) + e ^ { \lambda ( \tilde { t } ) \tilde { t } } \lambda ( \tilde { t } ) ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \tilde { t } } g ( s ) \frac { ( \tilde { t } - s ) ^ { 2 } } { 2 } d s } \\ & { \leq g ( \tilde { t } ) + e ^ { \lambda ( \tilde { t } ) \tilde { t } } \lambda ( \tilde { t } ) ^ { 3 } g ( \tilde { t } ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { t } } \frac { ( \tilde { t } - s ) ^ { 2 } } { 2 } d s \leq g ( \tilde { t } ) \Big ( 1 + \frac { \lambda ( \tilde { t } ) ^ { 3 } \tilde { t } ^ { 3 } } { 6 } \Big ) e ^ { \lambda ( \tilde { t } ) \tilde { t } } . } \end{array}
B _ { p } = - i \omega \zeta \frac { \frac { d } { k _ { p } } \sinh ( k _ { p } d ) - \frac { 1 } { k _ { p } ^ { 2 } } [ \cosh ( k _ { p } d ) - 1 ] } { k _ { p } \frac { \left[ H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { p } a ) \right] ^ { \prime } } { \cosh ( k _ { p } d ) } \left[ \frac { \sinh ( 2 k _ { p } d ) } { 4 k _ { p } } + \frac { d } { 2 } \right] }
N _ { u } = p N _ { \mathrm { n u l l } } \Big ( 1 \pm \sqrt { \frac { p q } { N } } \Big ) \overset { e . g . } { \ = \ } { \bf N _ { u , m e a s u r e d } } \Big ( 1 \pm \frac { 0 . 1 4 } { N ^ { 1 / 2 } } \Big ) ,
\tilde { J } _ { y } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { j } \sum _ { m m ^ { \prime } } a _ { j m } ^ { ( 2 ) \dag } ( t ) a _ { j m ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( t ) < j m | { \cal J } _ { y } | j m ^ { \prime } > ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( N = n ) = \frac { \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G } ^ { + } } \operatorname { m u l t } ( r , y ^ { C } ) ( n _ { C } ) } { \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G } ^ { - } } \left( \operatorname { m u l t } ( r , y ^ { S } ) ( n _ { S } ) \right) ^ { \nu _ { S } } } , \quad n \in \mathbb N _ { G , r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \rho D } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \leq } & { \frac { \rho D } { \eta ^ { - 1 } K } = \frac { \rho \eta D } { K } } \\ { \frac { \sqrt { K } D } { \alpha \sqrt { \eta } \sum _ { k = 1 } ^ { K } I _ { k } } \leq } & { \frac { \sqrt { K } D } { \alpha \eta ^ { - 1 / 2 } K } = \frac { \sqrt { \eta } D } { \sqrt { K } \alpha } , } \end{array}
\mathcal { G } _ { \omega } \equiv \left( \begin{array} { l l l l } { R _ { \omega 1 } } & { G _ { \omega 1 2 } } & { \dots } & { G _ { \omega 1 m } } \\ { G _ { \omega 2 1 } } & { R _ { \omega 2 } } & { \dots } & { G _ { \omega 2 m } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { G _ { \omega m 1 } } & { G _ { \omega m 2 } } & { \dots } & { R _ { \omega m } } \end{array} \right) \, .
w _ { 1 } ( x | y ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { w _ { 0 } } [ e ^ { - { \frac { ( x - f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } + e ^ { - { \frac { ( x - f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } ] , \quad 0 < x < y ^ { \prime } \; , } \\ { 0 , \quad \mathrm { o u t s i d e , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ } & { \| ( q _ { k + 1 } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { x } ( \zeta _ { x } ^ { k + 1 } , \phi _ { x } ^ { k + 1 } ) ) + ( q _ { k } ^ { x } - q _ { k + 1 } ^ { x } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le 3 0 ( l _ { f , 1 } ^ { 2 } + l _ { g , 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } ) ( \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| y _ { k + 2 } - y _ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \| z _ { k + 2 } - z _ { k + 1 } \| ^ { 2 } ) + 4 0 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \le 1 2 0 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } ( \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ) + \alpha _ { k + 1 } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ) + \gamma _ { k + 1 } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ) ) + 4 0 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } . } \end{array}
\partial _ { \mu } P ( Z ) = U \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { Z ^ { \dag } } } \\ { { - Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { } } & { { \partial _ { \mu } Z ^ { \dag } } } \\ { { \partial _ { \mu } Z } } & { { } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { - Z ^ { \dag } } } \\ { { Z } } & { { I ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } U ^ { \dag }
{ \begin{array} { r l } { q ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { d \to 0 } { \Big ( } F \delta ( x ) - F \delta ( x - d ) { \Big ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { d \to 0 } \left( { \frac { M } { d } } \delta ( x ) - { \frac { M } { d } } \delta ( x - d ) \right) } \\ & { = M \operatorname* { l i m } _ { d \to 0 } { \frac { \delta ( x ) - \delta ( x - d ) } { d } } } \\ & { = M \delta ^ { \prime } ( x ) . } \end{array} }
\begin{array} { c c c } { { } } & { { } } & { { U ( 1 ) _ { R } } } \\ { { W } } & { { } } & { { 1 } } \\ { { \tau } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { Q } } & { { } } & { { ( N _ { f } - N _ { c } ) / N _ { f } } } \\ { { \tilde { Q } } } & { { } } & { { ( N _ { f } - N _ { c } ) / N _ { f } } } \\ { { m } } & { { } } & { { 2 N _ { c } / N _ { f } } } \\ { { K } } & { { } } & { { \mathrm { a r b i t r a r y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { R \rightarrow P } } & { \in \left[ \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } - \theta _ { \frac { \alpha } { 2 } } \sigma , \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } + \theta _ { \frac { \alpha } { 2 } } \sigma \right] , } \\ { \sigma } & { = \sqrt { \frac { \mathrm { V a r } ( \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ) } { \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ^ { 2 } M _ { \mathrm { r e a l } } } + \frac { \widehat { p } _ { R \rightarrow P } ( \Sigma _ { R } ) ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \widehat { t } _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } ) } { \widehat { t } _ { l o o p - R \Sigma _ { R } R } ^ { 4 } n _ { \mathrm { l o o p } - R \Sigma _ { R } R } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { U } u ( t ) \psi d x = \int _ { U } u _ { 0 } \psi d x - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { U } ( \eta _ { \epsilon } + z ( s ) ^ { 2 } ) \langle \nabla u ( s ) , \nabla \psi \rangle d x d s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { U } ( u ( s ) - g ) \psi d x d s } \\ & { \int _ { U } z ( t ) \psi d x = \int _ { U } z _ { 0 } \psi d x - 2 \epsilon \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { U } \langle \nabla z ( s ) , \nabla \psi \rangle d x d s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { U } z ( s ) \psi | \nabla u ( s ) | ^ { 2 } + \frac { 1 - z ( s ) } { 2 \epsilon } \psi d x d s } \end{array}
T ^ { \mu \nu } \left( r ^ { \alpha } \right) = \int _ { \mathcal { V } ^ { 3 } } \frac { \sqrt { - g } d ^ { 3 } u } { \sqrt { 1 + u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } + u _ { 3 } ^ { 2 } } } u ^ { \mu } u ^ { \nu } f ,
\int D \Phi \frac { \delta } { \delta \Phi ( p ) } \left( \frac { 1 } { 2 } \frac { \delta } { \delta \Phi ( - p ) } + P _ { \Lambda } ^ { - 1 } ( p ) \Phi ( p ) + Q _ { \Lambda } ^ { - 1 } ( p ) J ( p ) \right) e ^ { - S _ { \Lambda } ( \Phi , J ) } = 0 .
\begin{array} { r c c c c c c c c } { \scriptstyle 1 ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { \scriptstyle 2 ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { 3 } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { \scriptstyle 3 ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { 3 } & { 5 } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { \scriptstyle 4 ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { 3 } & { 5 } & { 7 } & { } & { } & { } & { } \\ { \scriptstyle 5 ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { 3 } & { 5 } & { 7 } & { 9 } & { } & { } & { } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { } & { } & { } & { \ddots } & { } & { } \\ { \scriptstyle ( n - 1 ) ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { \cdots } & { } & { } & { } & { \cdots } & { \scriptstyle 2 n - 3 } & { } \\ { \scriptstyle n ^ { 2 } \scriptstyle = } & { 1 } & { \cdots } & { } & { } & { } & { \cdots } & { \scriptstyle 2 n - 3 } & { \scriptstyle 2 n - 1 } \end{array}
\chi _ { r , s } ^ { ( p , p ^ { \prime } ) } ( q ) = \frac { 1 } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left( q ^ { p p ^ { \prime } n ^ { 2 } + ( r p ^ { \prime } - s p ) n } - q ^ { ( p n + r ) ( p ^ { \prime } n + s ) } \right) ,
\operatorname* { d e t } g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right) = \operatorname* { d e t } \left( A \right) \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) .
\frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \parallel \Pi ^ { \top } [ ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } ) \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } ) - ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } ) ] \parallel _ { \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } } / \parallel \Pi ^ { \top } ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } ) \parallel _ { \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } } ,
s _ { m } = \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } \simeq i \kappa _ { m } ( - ( c / R ) \cdot x / \omega _ { m } ^ { 2 } - ( c / R ) ^ { 3 } \cdot x ^ { 3 } / \omega _ { m } ^ { 4 } ) + \mathcal { O } ( x ^ { 4 } )