harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mu _ { b } ( E ) } & { = \langle R ( E ) \xi _ { a + d } | \xi _ { a + d } \rangle } \\ & { = \langle R ( X _ { u } \backslash ( X _ { u } + a ) ) R ( E ) R ( X _ { u } \backslash ( X _ { u } + a ) ) \xi _ { a + d } | \xi _ { a + d } \rangle } \\ & { = \langle E _ { a } ^ { \perp } R ( E ) E _ { a } ^ { \perp } \xi _ { a + d } | \xi _ { a + d } \rangle ~ ~ ~ ( \textrm { b y E q . } ) } \\ & { = \langle R ( E ) E _ { a } ^ { \perp } \xi _ { a + d } | E _ { a } ^ { \perp } \xi _ { a + d } \rangle } \\ & { = \langle R ( E ) \xi _ { a } | \xi _ { a } \rangle ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( \textrm { b y E q . } ) } \\ & { = \mu _ { a } ( E ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { { } \leq C \left( \delta \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \mathrm { { N u } } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { { N u } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) } \end{array}
\delta ^ { a b } \, ( 1 + \Pi _ { 2 } ( 0 ) ) = { \frac { 1 } { 6 i m } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \left. { \frac { \partial } { \partial p _ { \lambda } } } \Pi ^ { \mu \nu , a b } ( p ) \right| _ { p = 0 }
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { C T S } ( x ; \theta ) } { \partial \theta } \bigg | \bigg | \mathrm { d } x } \\ { \le } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { + } ( x + y - \mu ) } { \partial \theta } f _ { - } ( y ) \bigg | \bigg | \mathrm { d } y \mathrm { d } x + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { - } ( y ) } { \partial \theta } f _ { + } ( x + y - \mu ) \bigg | \bigg | \mathrm { d } y \mathrm { d } x } \\ { = } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { + } ( x + y - \mu ) } { \partial \theta } f _ { - } ( y ) \bigg | \bigg | \mathrm { d } x \mathrm { d } y + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { - } ( y ) } { \partial \theta } f _ { + } ( x + y - \mu ) \bigg | \bigg | \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ { \le } & { \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } | f _ { - } ( y ) | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { + } ( x + y - \mu ) } { \partial \theta } \bigg | \bigg | \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ & { \qquad + \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \bigg | \frac { \partial f _ { - } ( y ) } { \partial \theta } \bigg | \bigg | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \left| f _ { + } ( x + y - \mu ) \right| \mathrm { d } x \mathrm { d } y } \\ { < } & { \ \infty , } \end{array}
g = \sum _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } \in \mathcal { J } } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } ( v ) } ~ ~ \sigma \big ( \langle ~ { \boldsymbol w } _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { v ^ { \prime } } ~ \rangle \big ) - \operatorname* { m a x } _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } ( v ) } ~ ~ \sigma \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { v ^ { \prime } } ~ \rangle \big ) \Big ) .
\begin{array} { r l } { j _ { L } ^ { \mu } = \bar { Q } _ { L } \gamma ^ { \mu } Q _ { L } , \qquad } & { j _ { R } ^ { \mu } = \bar { Q } _ { R } \gamma ^ { \mu } Q _ { R } , \qquad } \\ { j _ { L } ^ { \mu a } = \bar { Q } _ { L } \gamma ^ { \mu } \tau ^ { a } Q _ { L } , \qquad } & { j _ { R } ^ { \mu a } = \bar { Q } _ { R } \gamma ^ { \mu } \tau ^ { a } Q _ { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| h _ { i } ( u _ { i } ) - h _ { i } ( u _ { i } ^ { \prime } ) \| } & { \le L _ { h } \| u _ { i } - u _ { i } ^ { \prime } \| } \\ { \| p _ { i } ( x _ { i } , u _ { i } ) - p _ { i } ( x _ { i } ^ { \prime } , u _ { i } ) \| } & { \le L _ { p } \| x _ { i } - x _ { i } ^ { \prime } \| } \\ { \| p _ { i } ( x _ { i } , u _ { i } ) - p _ { i } ( x _ { i } , u _ { i } ^ { \prime } ) \| } & { \le L _ { p } \| u _ { i } - u _ { i } ^ { \prime } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { H } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { f } + \boldsymbol { \Sigma } _ { \infty } } & { \tilde { \mathbf { W } } } \\ { \tilde { \mathbf { W } } ^ { \dagger } } & { \tilde { \mathbf { d } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { f } + \boldsymbol { \Sigma } _ { \infty } } & { \tilde { \mathbf { W } } ^ { < } } & { \tilde { \mathbf { W } } ^ { > } } \\ { \tilde { \mathbf { W } } ^ { < , \dagger } } & { \tilde { \mathbf { d } } ^ { < } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \tilde { \mathbf { W } } ^ { > , \dagger } } & { \mathbf { 0 } } & { \tilde { \mathbf { d } } ^ { > } } \end{array} \right] , } \end{array}
\gamma _ { k ; s } \to \gamma _ { k ; s } ^ { \infty } = \frac { \zeta _ { g } c _ { k } ^ { 2 \alpha _ { k } } ( 1 - \ensuremath { \bar { M } } ) ( 1 - 2 ^ { - \ensuremath { \bar { B } } _ { g } } ) } { \ensuremath { \bar { K } } ( 1 + c _ { k } ^ { 2 \alpha _ { k } } ) \left( 2 ^ { - \ensuremath { \bar { B } } _ { g } } + \frac { \sigma _ { n } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { t o t } } } \right) } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { u , t _ { f } } } & { } & { \left\{ J = \Gamma \, { { t } _ { f } } + \eta \int _ { { { t } _ { 0 } } } ^ { t _ { f } } { { { u } ^ { 2 } } \left( t \right) \, d t } \right\} } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { } & { \left| \dot { \Tilde { \psi } } \left( t \right) \right\rangle = f \left( \left| \Tilde { \psi } \left( { { t } } \right) \right\rangle , u \left( t \right) , t \right) = \tilde { H } \left( u \left( t \right) \right) \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle } \\ & { } & { \left| \Tilde { \psi } \left( { { t } _ { 0 } } \right) \right\rangle = \left| { { \psi } _ { 0 } } \right\rangle \in { { \mathbb { R } } ^ { n } } } \\ & { } & { { { t } _ { 0 } } \le t \le { { t } _ { f } } } \\ & { } & { u \left( t \right) \in \mathcal { U } : = \left\{ u \in { { L } _ { \infty } } : u \left( t \right) \in \Omega \subset { { \mathbb { R } } } \right\} } \\ & { } & { \Omega = [ { { u } _ { \operatorname* { m i n } } } , { { u } _ { \operatorname* { m a x } } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = ( 4 n - 2 i + 3 ) + f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 4 n - 2 i + 3 ) + i + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( 4 n - 2 i + 3 ) + ( i - 2 ) + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( 4 n - 2 i + 3 ) + ( i - 1 ) + ( i + 2 ) } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 2 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { ( 4 n - 2 i + 3 ) + ( i - 1 ) + i } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n + 4 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } } \\ { 4 n + 2 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ o d d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { c _ { - 1 } } & { c _ { 0 } } & { c _ { 1 } } \\ { c _ { - 1 } ^ { 2 } } & { c _ { 0 } } & { c _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f _ { - 1 } ^ { \mathrm { e q } } } \\ { f _ { 0 } ^ { \mathrm { e q } } } \\ { f _ { 1 } ^ { \mathrm { e q } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { x } } \\ { \rho u _ { x } ^ { 2 } + P - \kappa \rho \partial _ { x } ^ { 2 } \rho } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \epsilon ^ { 2 } ( \hat { \rho } - \rho ) } { 1 + \Lambda } > } & { ~ \frac { D ^ { 2 } } { 2 T \eta } + \frac { \eta M ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \frac { \eta M ^ { 2 } } { \sqrt { T } } } \\ & { + \frac { 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } M D } { \sqrt { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf S } ^ { \prime } \equiv \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( \gamma ) } \\ { \sin ( \gamma ) \cos \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \\ { \sin ( \gamma ) \sin \left( \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a _ { 1 } } { \partial u } } & { = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p , } \\ { \frac { \partial \tilde { a } } { \partial p } } & { = 2 \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ( u ) , } \\ { \frac { \partial \tilde { a } } { \partial u } } & { = \gamma \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime \prime } ( u ) p ^ { 2 } + \left( \partial _ { x } \gamma \right) \mathcal { P } _ { n } ^ { \prime } ( u ) p - g _ { 0 } ( x ) . } \end{array}
\frac { \partial c _ { s , i } } { \partial t } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left[ D _ { s } ( c _ { s , i } ) r ^ { 2 } \frac { \partial c _ { s , i } } { \partial r } \right] \qquad \textrm { i n } \ ( 0 , R _ { p } ) \times ( 0 , t _ { f } ] ,
\Psi ( x ) = \sum _ { s = \pm } \int \! \mathrm { d } { \tilde { p } } { \big ( } b _ { \textbf { p } } ^ { s } u _ { \textbf { p } } ^ { s } \mathrm { e } ^ { i p \cdot x } + d _ { \textbf { p } } ^ { \dagger s } v _ { \textbf { p } } ^ { s } \mathrm { e } ^ { - i p \cdot x } { \big ) } ,
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \prime } ( \theta _ { 1 } ) \left( \sigma ( - \theta _ { 1 } ) ^ { - 1 / \alpha } - N \sigma ( \theta _ { 1 } ) ^ { - 1 / \alpha } \right) } & { = - 6 \gamma \sigma ^ { \prime } ( \gamma ( \theta _ { 1 } + 5 \theta _ { 2 } ) ) \left( \sigma ( - \gamma ( \theta _ { 1 } + 5 \theta _ { 2 } ) ) ^ { - 1 / \alpha } - N \sigma ( \gamma ( \theta _ { 1 } + 5 \theta _ { 2 } ) ) ^ { - 1 / \alpha } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { { } \, { = } \, \frac { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ o ~ r ~ e ~ s ~ c ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } } - \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ o ~ r ~ e ~ s ~ c ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } } } { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ o ~ r ~ e ~ s ~ c ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal D } _ { 3 } \left( \phi _ { l } \right) } & { = } & { \exp \left( - \frac { i \hat { \lambda } _ { 3 } \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { \exp \left( - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( i \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
( C _ { s } ) ^ { n } P ( n , i ; n ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) \to p ( \nu , \nu ^ { \prime } ) , ~ ~ ~ \frac { 1 } { 2 } Q ( n , i ; n ^ { \prime \prime } , i ^ { \prime \prime } ) \to q ( \nu , \nu ^ { \prime \prime } ) .
\frac { 1 } { 3 6 } \int _ { \epsilon } ^ { 0 . 0 1 } \frac { 1 0 ^ { 9 } k ^ { 4 } } { 0 . 2 1 6 } + \frac { \pi k ^ { 3 } } { 2 a } - \frac { k ^ { 4 } } { k ^ { 2 } + a ^ { 2 } } - \frac { k ^ { 3 } \tan ^ { - 1 } \frac { a } { k } } { a } d k
\begin{array} { r l r } { m ^ { * } ( z ) } & { { } = } & { - 2 \int _ { 0 } ^ { z } n \left( - \phi _ { \mathrm { ~ o ~ } } \left( z ^ { \prime } \right) \right) ^ { n - 1 } \left( W \left( z ^ { \prime } \right) + \frac { 1 } { 2 } | z ^ { \prime } | \right) \mathrm { ~ d ~ } z ^ { \prime } , } \end{array}
X _ { i j } = \frac { ( m _ { i } ^ { 2 } - m _ { j } ^ { 2 } ) L } { 4 E _ { \nu } } = 1 . 2 6 7 \frac { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } } { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } } { e V ^ { 2 } } \frac { L } { L } { K m } \frac { \, \mathrm { ~ G ~ e ~ V ~ } } { E _ { \nu } } ,
\begin{array} { r } { \int \log \frac { 1 } { | \zeta - z | ^ { 2 } } \, d \mu _ { W } ( z ) + W ( \zeta ) = C , \quad \mathrm { q . e . } \quad \mathrm { i f ~ } \zeta \in S _ { W } ; \smallskip } \\ { \int \log \frac { 1 } { | \zeta - z | ^ { 2 } } \, d \mu _ { W } ( z ) + W ( \zeta ) \ge C , \quad \mathrm { q . e . } \quad \mathrm { i f ~ } \zeta \notin S _ { W } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { i } [ t + \Delta t / 2 ] } & { = \alpha \mathbf { v } _ { i } [ t - \Delta t / 2 ] + \frac { 1 - \alpha } { \gamma m _ { i } } \mathbf { F } _ { i } [ t ] + \boldsymbol { \eta } _ { i } [ t ] } \\ { \mathbf { r } _ { i } [ t + \Delta t ] } & { = \mathbf { r } _ { i } [ t ] + \mathbf { v } _ { i } [ t + \Delta t / 2 ] \Delta t } \end{array}
j ^ { 1 } \sigma \left( p _ { 1 } , p _ { 2 } \right) = \left( p ^ { 1 } , p ^ { 2 } , p ^ { 1 } \left( p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } , \left( p ^ { 2 } \right) ^ { 2 } , 2 p ^ { 1 } p ^ { 2 } \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \nu \beta _ { i } d _ { i } ^ { m } } & { = \sum _ { l , s } \left[ \int _ { \Omega } \xi _ { l } \nabla \xi _ { s } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { i } \right] b _ { l } ^ { m } a _ { s } ^ { m } - \sum _ { l , s } \left[ \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { \Sigma } _ { l } \boldsymbol { \Sigma } _ { s } ^ { T } \right) \colon \nabla \boldsymbol { \eta } _ { i } \right] g _ { l } ^ { m } f _ { s } ^ { m } } \\ & { + \sum _ { l , s } \left[ \int _ { \Omega } \left( \nabla \boldsymbol { \Sigma } _ { l } \odot \boldsymbol { \Sigma } _ { s } \right) \cdot \boldsymbol { \eta } _ { i } \right] f _ { l } ^ { m } g _ { s } ^ { m } , } \\ { \displaystyle \frac { d } { d t } f _ { i } ^ { m } } & { = \sum _ { l , s } \biggl ( - \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { \eta } _ { l } \cdot \nabla \right) \boldsymbol { \Sigma } _ { s } \colon \boldsymbol { \Sigma } _ { i } + \int _ { \Omega } \left( \nabla \boldsymbol { \eta } _ { l } \right) \boldsymbol { \Sigma } _ { s } \colon \boldsymbol { \Sigma } _ { i } \biggr ) d _ { l } ^ { m } f _ { s } ^ { m } - \gamma g _ { i } ^ { m } , } \\ { \displaystyle g _ { i } ^ { m } } & { = \int _ { \Omega } \partial _ { \mathbf { F } _ { m } } w _ { R } \left( \sum _ { s } a _ { s } ^ { m } \xi _ { s } , \sum _ { l } f _ { l } ^ { m } \boldsymbol { \Sigma } _ { l } \right) \colon \boldsymbol { \Sigma } _ { i } + \lambda \gamma _ { i } f _ { i } ^ { m } , } \\ { \displaystyle \frac { d } { d t } a _ { i } ^ { m } } & { = - \sum _ { l , s } \left[ \int _ { \Omega } \left( \boldsymbol { \eta } _ { l } \cdot \nabla \xi _ { s } \right) \cdot \xi _ { i } \right] d _ { l } ^ { m } a _ { s } ^ { m } - \sum _ { l } \left[ \int _ { \Omega } b \left( \sum _ { s } a _ { s } ^ { m } \xi _ { s } \right) \nabla \xi _ { l } \cdot \nabla \xi _ { i } \right] c _ { l } ^ { m } , } \\ { \displaystyle c _ { i } ^ { m } } & { = \alpha _ { i } a _ { i } ^ { m } + \int _ { \Omega } \psi ^ { \prime } \left( \sum _ { s } a _ { s } ^ { m } \xi _ { s } \right) \xi _ { i } + \int _ { \Omega } \partial _ { \phi _ { m } } w _ { R } \left( \sum _ { s } a _ { s } ^ { m } \xi _ { s } , \sum _ { l } f _ { l } ^ { m } \boldsymbol { \Sigma } _ { l } \right) \xi _ { i } , } \\ { \displaystyle a _ { i } ^ { m } ( 0 ) } & { = \left( \phi _ { 0 } , \xi _ { i } \right) , \; f _ { i } ^ { m } ( 0 ) = \left( \mathbf { F } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma _ { i } } \right) , \quad i = 0 , \dots , m . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { x } } } & { { } = ( 1 - \eta ) \frac { 3 L _ { 3 } n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } } \left( \mathbf { x } - \mathbf { c } \right) , } \end{array}
\rho _ { n } ( \omega ) = \frac { 2 } { \pi \omega } \, \mathrm { ~ I ~ m ~ } \! \left[ \frac { \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) - 1 } { \varepsilon ( \omega ) - \varepsilon ^ { \prime } ( \omega _ { n } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { k \approx \frac { \Phi _ { 2 } ^ { \prime } } { \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } } & { { } = \frac { 1 } { \Phi _ { 1 } ^ { \prime } } \int _ { s _ { 2 } } B \cdot \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } \left[ \frac { x \ln ( 1 + x \xi ( x ) ) } { \xi ( x ) } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \gamma ^ { \prime } } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq 3 6 + \Gamma ( 5 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { f } } & { = f - \frac { \Delta t } { 2 } \Omega = \frac { 2 \tau + \Delta t } { 2 \tau } f - \frac { \Delta t } { 2 \tau } f ^ { t } } \\ { \textrm { a n d } \quad \hat { f } } & { = f + \frac { \Delta t } { 2 } \Omega = \frac { 2 \tau - \Delta t } { 2 \tau } f + \frac { \Delta t } { 2 \tau } f ^ { t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( a , b ) } & { \leq \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( a , b ) } , } \\ { I ( a , b ) } & { \geq \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( a , b ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { e } \big ( a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\mathbf { \Psi } ( \vec { x } ) = \int d w \sum _ { l , n } \left( a _ { n l } ( w ) \Psi _ { w n l } ( \vec { x } ) + a _ { n l } ^ { \ast } ( w ) \overline { { { \Psi _ { w n l } ( \vec { x } ) } } } \right)
F _ { \mathrm { P } } = { \frac { m _ { \mathrm { P } } l _ { \mathrm { P } } } { t _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \ { \frac { q _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } { l _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } }
\left\{ \begin{array} { r l } { { P _ { 1 1 } ( z ) t _ { 1 } + P _ { 1 2 } ( z ) t _ { 2 } = 0 } } & { { } } \\ { { - \bar { P } _ { 1 2 } ( z ) t _ { 1 } + \bar { P } _ { 1 1 } ( z ) t _ { 2 } = 0 } } & { { , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \gamma - \frac { 4 } { \gamma } , 0 ) , ( \alpha , i ) } [ e ^ { - \mu \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) } ] \cdot \mathrm { { C R } } _ { 2 } ( \alpha ) = \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( 2 ) [ e ^ { - \mu R _ { 2 } } | \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; L _ { 2 } ) | ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \Phi _ { N } ^ { n + 1 } - \Phi _ { N } ^ { n } } { s } = \Delta \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } - \nabla \cdot ( \Phi _ { N } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } ) + s ( G _ { \phi } ^ { ( 0 ) } ) ^ { n } + O ( s ^ { 2 } ) + O ( h ^ { m _ { 0 } } ) , } \\ & { } & { \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } = \ln ( 1 + \Phi _ { N } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 - \Phi _ { N } ^ { n + 1 } ) - \theta _ { 0 } \Phi _ { N } ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta \Phi _ { N } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { ( - \Delta + I ) \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } = - \nabla P _ { N } ^ { n + 1 } - \gamma \Phi _ { N } ^ { n } \nabla \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } + s ( G _ { v } ^ { ( 0 ) } ) ^ { n } + O ( \Delta t ^ { 2 } ) + O ( h ^ { m _ { 0 } } ) , } \\ & { } & { \nabla \cdot \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } } & { { } = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \mathbf { U } _ { i , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \mathbf { U } _ { i - 1 , j } ^ { 0 } } \\ { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } & { { } = \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \mathbf { U } _ { i + 1 , j } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \mathbf { U } _ { i + 2 , j } ^ { 0 } } \end{array}
\Big \langle \nabla \mathcal { J } _ { 2 } , \iota ^ { \prime } \Big \rangle _ { H ^ { 1 } } = \int _ { 0 } ^ { c _ { s , m a x } } \left[ \nabla \mathcal { J } _ { 2 } \, \iota ^ { \prime } + \ell ^ { 2 } \frac { d \left( \nabla \mathcal { J } _ { 2 } \right) } { d c _ { s } } \frac { d \iota ^ { \prime } } { d c _ { s } } \right] \, d c _ { s } ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla \left( { \frac { \psi } { \phi } } \right) } & { = { \frac { \phi \, \nabla \psi - \psi \, \nabla \phi } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \left( { \frac { \mathbf { A } } { \phi } } \right) } & { = { \frac { \phi \, \nabla \mathbf { A } - \nabla \phi \otimes \mathbf { A } } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \cdot \left( { \frac { \mathbf { A } } { \phi } } \right) } & { = { \frac { \phi \, \nabla { \cdot } \mathbf { A } - \nabla \! \phi \cdot \mathbf { A } } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla \times \left( { \frac { \mathbf { A } } { \phi } } \right) } & { = { \frac { \phi \, \nabla { \times } \mathbf { A } - \nabla \! \phi \, { \times } \, \mathbf { A } } { \phi ^ { 2 } } } } \\ { \nabla ^ { 2 } \left( { \frac { \psi } { \phi } } \right) } & { = { \frac { \phi \, \nabla ^ { 2 \! } \psi - 2 \, \phi \, \nabla \! \left( { \frac { \psi } { \phi } } \right) \cdot \! \nabla \phi - \psi \, \nabla ^ { 2 \! } \phi } { \phi ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { s } \bigg \vert \mathbb { \hat { E } } \big [ \varphi ( z + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ) - \varphi ( z ) \big ] - s \operatorname* { s u p } _ { F _ { \mu } \in \mathcal { L } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \delta _ { \lambda } \varphi ( z ) F _ { \mu } ( d \lambda ) \bigg \vert } \\ & { \leq \frac { 1 } { s } \mathbb { \hat { E } } \bigg [ \bigg \vert \mathbb { \hat { E } } \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) \big ] - s \operatorname* { s u p } _ { F _ { \mu } \in \mathcal { L } } \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + x _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 1 } ( d \lambda _ { 1 } ) \bigg \vert _ { x _ { 2 } = s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg ] } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + C s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \mathbb { \hat { E } } [ | Z _ { 1 } ^ { 2 } | ] + \frac { 1 } { s } \bigg \vert \mathbb { \hat { E } } \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { 2 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ] - s \operatorname* { s u p } _ { F _ { \mu } \in \mathcal { L } } \int _ { \mathbb { R } } \delta _ { \lambda _ { 2 } } ^ { 2 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) F _ { \mu } ^ { 2 } ( d \lambda _ { 2 } ) \bigg \vert \rightarrow 0 } \end{array}
\tilde { j } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { D - d } } = ( \frac 1 { \sqrt { g } } ) J ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { D - d } } ( \frac \phi x ) \sum _ { i = 1 } ^ { l } \beta _ { i } \eta _ { i } \int _ { N _ { i } } \delta ^ { D } ( x - z _ { i } ( u ) ) \sqrt { g _ { u } } d ^ { ( D - d ) } u ,
\vec { \cal J } = \dots + \frac { 2 } { 3 } \int \! \! \! \! \int \frac { k ^ { 2 } { \hat { V } } } { - \mathrm { i } \omega + { \bar { \eta } } k ^ { 2 } } \; \mathrm { d } \vec { k } \, \mathrm { d } \omega \ \mathrm { c u r l } \bar { \vec { B } } \, ,
| | f ^ { m } - f _ { N } ^ { m } | | = \operatorname* { m a x } _ { - 1 \leq x \leq 1 } \bigg | \sum _ { k = 0 } ^ { m } ( \hat { f } _ { k } ^ { \lambda } - \hat { g } _ { k } ^ { \lambda } ) C _ { k } ^ { \lambda } ( x ) \bigg | ,
\begin{array} { r } { p ^ { + } = \frac { L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } , \quad p ^ { - } = \frac { L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } { L ( \mathbf { A } ^ { * } ) } . } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ } } - \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ b ~ } } } { \omega ^ { 2 } } = \mathbf { \widetilde { M } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) - \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) } { \omega ^ { 2 } } \, .