harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D _ { T } = \sqrt { { { \left| { \boldsymbol { \Delta } _ { 2 } ^ { * } } \right| } ^ { 2 } } + { { \left| { \boldsymbol { \Delta } _ { 3 , 1 } ^ { * } } \right| } ^ { 2 } } + { { \left| { \boldsymbol { \Delta } _ { 3 } ^ { * } } \right| } ^ { 2 } } + { { \left| { \boldsymbol { \Delta } _ { 4 , 2 } ^ { * } } \right| } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { K _ { \epsilon } } & { = - \int _ { B _ { \epsilon } ^ { c } } \nabla \Phi ( y ) \cdot \nabla _ { y } f ( x - y ) d y } \\ & { = \int _ { B _ { \epsilon } ^ { c } } \Delta \Phi ( y ) f ( x - y ) d y - \int _ { \partial B _ { \epsilon } } f ( x - y ) \nabla \Phi ( y ) \cdot n ( y ) d S ( y ) } \\ & { = - \int _ { \partial B _ { \epsilon } } f ( x - y ) \nabla \Phi ( y ) \cdot n ( y ) d S ( y ) } \\ & { = - \frac { 1 } { n \alpha ( n ) \epsilon ^ { n - 1 } } \int _ { \partial B ( x , \epsilon ) } f ( y ) d S ( y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { H } \, R _ { I } \, | 0 \rangle } & { { } = E _ { I } \, R _ { I } \, | 0 \rangle ~ , } \\ { \langle 0 | \, L _ { J } ^ { \dagger } \, \bar { H } } & { { } = E _ { J } \, \langle 0 | \, L _ { J } ^ { \dagger } ~ , } \\ { \langle 0 | L _ { J } ^ { \dagger } R _ { I } | 0 \rangle } & { { } = \delta _ { I J } ~ . } \end{array}
\{ F , G \} = \frac { \partial F } { \partial x _ { l } } \frac { \partial G } { \partial p _ { l } } - \frac { \partial F } { \partial p _ { l } } \frac { \partial G } { \partial x _ { l } } + i ( - 1 ) ^ { F } \frac { \partial F } { \partial \psi _ { l } } \frac { \partial G } { \partial \psi _ { l } } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { g } ( \omega ) = - g _ { L } + \frac { 1 } { 2 } \left( g _ { 0 } + g _ { L } \right) \left[ \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( 0 ) + W / 2 \right] \right\rbrace \right. } \\ & { } & { \left. - \operatorname { t a n h } \left\lbrace \rho \left[ \omega + \beta ( 0 ) - W / 2 \right] \right\rbrace \right] , \! \! \! \! \! \! \! } \end{array}
L _ { e f f } ^ { ( 1 ) } = 2 \pi \kappa \frac { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } { q _ { 1 } q _ { 2 } } \sum _ { p _ { 1 } = 1 } ^ { n _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 1 } ^ { n _ { 2 } } \frac { d } { d t } A r g ( \vec { R } _ { p _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } - \vec { R } _ { p _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } ) \; \; .
\sigma ^ { \mathrm { B o s c h - H a l e } } ( \epsilon ) = { \frac { A _ { 1 } + \epsilon { \bigg ( } A _ { 2 } + \epsilon { \big ( } A _ { 3 } + \epsilon ( A _ { 4 } + \epsilon A _ { 5 } ) { \big ) } { \bigg ) } } { 1 + \epsilon { \bigg ( } B _ { 1 } + \epsilon { \big ( } B _ { 2 } + \epsilon ( B _ { 3 } + \epsilon B _ { 4 } ) { \big ) } { \bigg ) } } }
\left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { x } ^ { k + 1 } = \mathbf { x } ^ { k } - h \nabla E _ { k } ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \beta ( \mathbf { x } ^ { k } - \mathbf { x } ^ { k - 1 } ) } & & { { k = 1 , 2 , . . . , n } } \\ & { \mathbf { x } ^ { 1 } = \mathbf { x } ^ { 0 } - h \nabla E _ { 0 } ( \mathbf { x } ^ { 0 } ) } \\ & { \mathbf { x } ^ { 0 } = \mathbf { x } ^ { - 1 } = \mathbf { 0 } } \end{array} \right.
\dot { c } _ { e } ( t ) = - D \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \omega ^ { 3 } e ^ { - \epsilon \omega } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { i ( \nu - \omega ) ( t - t ^ { \prime } ) } c _ { e } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { ~ K ~ L ~ } } ( P | | T ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \ln \frac { P ( \mathbf { A } ) } { T ( \mathbf { A } ) } , } \\ { D _ { \mathrm { ~ K ~ L ~ } } ( \overline { { Q } } | | \overline { { R } } ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } } } Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) \ln \frac { Q ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } { R ( \mathbf { W } | \mathbf { A } ) } d \mathbf { W } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( x ) } & { : = \frac { 2 } { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( e ^ { - ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 0 } ) s } - 1 ) \, e ^ { \lambda _ { 1 } \, s } e ^ { - x \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { \lambda _ { 1 } s } } d s , } \\ { L ( x ) } & { : = \frac { 1 } { b _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( 1 + 2 b _ { 0 } s ) \, e ^ { - \lambda _ { 0 } s } e ^ { - x \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { \lambda _ { 1 } s } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathcal M , p } ^ { p } ( \mu _ { s } , \mu _ { t } ) \; } & { \le \sum _ { j k } \sum _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } w _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } \delta ^ { p } ( a _ { t } ^ { j k } , a _ { s } ^ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ) } \\ & { \le ( t - s ) ^ { p } \sum _ { j k } w _ { j k } ^ { * } \delta ^ { p } ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \le ( t - s ) ^ { p } \delta _ { \mathcal M , p } ^ { p } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } v , w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } } & { = - ( v , b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } - ( \nabla _ { \Gamma _ { h } } \cdot b _ { h } v , w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } + \int _ { \mathcal { E } _ { h } } [ b _ { h } v w ; n _ { E } ] \mathrm { d } \mathcal { E } _ { h } } \\ & { = - ( v , b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } - ( v , \nabla _ { \Gamma _ { h } } \cdot b _ { h } w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } } \\ & { \quad + ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} [ v ] , \{ w \} ) _ { \mathcal { E } _ { h } } + ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} \{ v \} , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { \quad + ( \{ v w \} , [ b _ { h } ; n _ { E } ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { ~ B ~ o ~ n ~ d ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } } & { { } = B o = \frac { \rho _ { l } g d ^ { 2 } } { \sigma } } \\ { \mathrm { ~ M ~ o ~ r ~ t ~ o ~ n ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } } & { { } = M o = \frac { g \mu _ { l , 0 } ^ { 4 } } { \rho _ { l } \sigma ^ { 3 } } } \\ { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ f ~ i ~ n ~ e ~ m ~ e ~ n ~ t ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ } } & { { } = C _ { r } = \frac { W } { d } } \\ { \mathrm { ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ t ~ o ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ d ~ i ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } & { { } = h _ { d } = \frac { h } { d } } \end{array}
C _ { 7 , 8 } ^ { H } ( m _ { W } ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \tan ^ { 2 } \beta } f _ { 7 , 8 } ^ { ( 1 ) } \left( \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) + f _ { 7 , 8 } ^ { ( 2 ) } \left( \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) \right] \ ,
\begin{array} { r } { \| \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } = \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \eta ^ { 0 } \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle + \left( \eta ^ { 0 } \right) ^ { 2 } \| \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
| \widetilde { \rho } _ { \Xi } ( t + \Delta t ) \rangle \leftarrow \widetilde { S } ( t + \Delta t , \omega ) | \widetilde { \rho } _ { \Xi } ( t + \Delta t ) \rangle , t \gets t + \Delta t , \eta ( t ) \gets \eta ( t + \Delta t ) , | \tilde { \rho } _ { \Xi } ( t ) \rangle \gets | \tilde { \rho } _ { \Xi } ( t + \Delta t ) \rangle
{ \frac { d V _ { \bigcirc } } { d \phi } } \propto \phi \left[ M _ { \pi } ^ { 2 } + { \frac { 8 \lambda } { 3 } } { \frac { \phi ^ { 2 } } { N } } + { \frac { 4 \lambda } { 3 } } { \frac { N \! + \! 2 } { N ^ { 2 } } } ( P _ { f } [ M _ { \sigma } ] - P _ { f } [ M _ { \pi } ] ) + { \frac { \lambda } { \lambda _ { R } } } { \frac { 2 } { N } } ( M _ { \pi } ^ { 2 } - M _ { \sigma } ^ { 2 } ) \right] ~ .
\begin{array} { r } { Z _ { l } ^ { m } ( \xi , \phi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { l } ^ { m } ( \xi ) \sin ( m \phi ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m > 0 } \\ { R _ { l } ^ { m } ( \xi ) \cos ( m \phi ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m \leq 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
C \dot { p } - K _ { 0 } p ^ { \prime \prime } - ( K _ { p } p ^ { \prime } + K _ { \varphi } \varphi ^ { \prime } ) p ^ { \prime } - ( \partial _ { e } K _ { 0 } A ^ { - 1 } \bar { \sigma } + K _ { p } p + K _ { \varphi } \varphi ) p ^ { \prime \prime } = F \dot { \varphi } \; .
\begin{array} { r l } { \varphi ( a _ { k } ) } & { = \textup { G a m m a } \left( a _ { k } ; \eta _ { a } , \lambda _ { a } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( \eta _ { a } ) } ( \lambda _ { a } ) ^ { \eta _ { a } } ( a _ { k } ) ^ { \eta _ { a } - 1 } \exp \left( - \lambda _ { a } a _ { k } \right) } \\ { \varphi ( \mu _ { k } ) } & { = U ( \nu _ { 0 } , \nu _ { 1 } ) } \\ { \varphi ( \sigma _ { k } ) } & { = \textup { G a m m a } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { k } ^ { 2 } } ; \eta _ { \sigma } , \lambda _ { \sigma } \right) } \\ { \varphi ( B ) } & { = N ( B ; \nu _ { B } , { \xi _ { B } } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { X _ { i } ^ { \prime } } & { { } = \partial _ { \varphi ^ { i } } , } & { i } & { { } = 1 , . . . , r , } \\ { X _ { i } ^ { \prime } } & { { } = X _ { i } - d \varphi ^ { n } ( X _ { i } ) X _ { n } ^ { \prime } , } & { i } & { { } = n - r , . . . , n - 1 , } & { X _ { n } ^ { \prime } } & { { } = \partial _ { \kappa ^ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { y \to x _ { + } } h ( y ) } & { = } & { - x _ { + } + \alpha ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \left( \sqrt { x _ { + } - \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } - \alpha \beta \right) } \\ & { \leq } & { - ( x _ { + } - \alpha ^ { 2 } ) + 2 \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \left( \sqrt { 1 + \frac { x _ { + } - \alpha ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } - 1 \right) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - j + 1 } \frac { \psi _ { 0 } ( i + j ) } { i } - \sum _ { l = 1 } ^ { a } \frac { \psi _ { 0 } ( l + m + 1 ) } { j + l - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \! \left( \psi _ { 0 } ( a + j ) - \psi _ { 0 } ( j ) \right) } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \times \left( \psi _ { 0 } ( a + j ) + 2 \psi _ { 0 } ( m - j + 2 ) + \psi _ { 0 } ( j ) - 2 \psi _ { 0 } ( 1 ) \right) - \psi _ { 1 } ( a + j ) + \psi _ { 1 } ( j ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) } & { = t _ { h } ( u _ { h } ^ { n } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) + a _ { h } ^ { L } ( \boldsymbol { e } _ { u } ^ { h , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) , } \\ { a _ { h } ( u ^ { n + 1 } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) } & { = t _ { h } ( u ^ { n + 1 } ; \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) + a _ { h } ^ { L } ( \boldsymbol { e } _ { u } ^ { I , n + 1 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { { } = \frac { 1 } { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } \left( \begin{array} { l l } { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { u } ) \times ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v } ) , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
< D ^ { * 0 } | { \cal H } _ { e f f } | \bar { B } ^ { 0 } > = \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { c b } V _ { u d } ^ { * } a _ { 1 } < D ^ { * 0 } | \bar { c } \gamma _ { \mu } L u | 0 > < 0 | \bar { d } \gamma ^ { \mu } L b | \bar { B } ^ { 0 } > .
\begin{array} { r l } { b ^ { \prime } } & { = e ^ { - ( W + W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } + e ^ { ( W - W ^ { \prime } - W ^ { \prime \prime } ) / 2 } - e ^ { ( W - W ^ { \prime } + W ^ { \prime \prime } ) / 2 } } \\ & { = 1 + e ^ { W } - e ^ { - W ^ { \prime } } = 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } z - ( - 1 ) ^ { \delta ^ { \prime } } \frac { 1 } { z ^ { \prime } } } \\ & { = 1 - z - ( 1 - z ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { s } ( x ) \sim \frac { 1 } { \sqrt { g } } f \left( \frac { x } { \sqrt { g } } \right) \quad , \quad \frac { g } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \gg \frac { 1 } { N } \; , } \\ & { } & { \rho _ { s } ( x ) \sim \frac { \sqrt { N } } { v _ { 0 } } \phi \left( \sqrt { N } \frac { x } { v _ { 0 } } \right) \quad , \quad \frac { g } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \ll \frac { 1 } { N } \; , } \end{array}
P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) = | \langle \nu _ { \beta } | \nu _ { \alpha } ( t ) \rangle | ^ { 2 } = \sum _ { i \, j } V _ { j \, \beta } V _ { j \, \alpha } ^ { * } V _ { i \, \beta } ^ { * } V _ { i \, \alpha } e ^ { 2 i x _ { j \, i } } \; ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \alpha \bar { P } _ { z } A + \epsilon B / 2 - A / T _ { 2 } , } \\ { 0 = } & { { } - \epsilon A / 2 - B / T _ { 2 } , } \\ { 0 = } & { { } - \alpha A ^ { 2 } / 4 - \bar { P } _ { z } / T _ { 1 } + G ( P _ { 0 } - \bar { P } _ { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i } & { \frac { d \psi _ { \sigma } } { d t } = \Big [ \Omega _ { \sigma } + \frac { i } { 2 } \left( R X _ { \sigma } - \Gamma \right) \Big ] \psi _ { \sigma } + \Omega _ { \parallel } \psi _ { - \sigma } e ^ { - \sigma i 2 \omega t } + \theta _ { \sigma } ( t ) , } \\ & { \frac { d X _ { \sigma } } { d t } = - \left( \Gamma _ { R } + R \lvert \psi _ { \sigma } \rvert ^ { 2 } \right) X _ { \sigma } + \Gamma _ { s } ( X _ { - \sigma } - X _ { \sigma } ) + P _ { \sigma } , } \\ & { \Omega _ { \sigma } = \alpha \lvert \psi _ { \sigma } \rvert ^ { 2 } + G \left( X _ { \sigma } + \frac { P _ { \sigma } } { W } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ . ~ } } ( \mu , \sigma _ { 1 } ; x ) } & { { } = \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \varphi \left( \frac x { \sigma _ { 1 } } \right) + \mu ^ { - 1 } e ^ { - \frac x \mu - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } } \cdot \Phi \left( \frac x { \sigma _ { 1 } } - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { a } \right\rangle } & { { } = i ( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 ) \left\langle \hat { a } \right\rangle - i \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { a } } \left( \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { + } \right\rangle e ^ { i \omega _ { z } t } + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { - } \right\rangle e ^ { - i \omega _ { z } t } \right) \left\langle \hat { a } \right\rangle , } \\ { \frac { d } { d t } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle } & { { } = i \left( \alpha _ { d } ^ { * } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left\langle \hat { a } \right\rangle - \alpha _ { d } \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \right\rangle \right) - \kappa \left\langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \right\rangle , } \end{array}
- \left[ \mathbf { \hat { k } } \right] ^ { 2 } \equiv \left| \mathbf { \hat { k } } \right| ^ { 2 } \left( \mathbf { E } - \mathbf { \hat { k } } \mathbf { \hat { k } } ^ { \mathsf { T } } \right) = \mathbf { E } - \mathbf { \hat { k } } \mathbf { \hat { k } } ^ { \mathsf { T } } ,
{ \bf \cal S } ( \tau ) = \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \omega \tau } & { - \sin \omega \tau } & { 0 } \\ { \sin \omega \tau } & { \cos \omega \tau } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \ ,
g _ { q } ( y , M ) = { \frac { M } { 1 8 \pi } } x _ { a } x _ { b } \ [ f _ { q } ^ { ( a ) } ( x _ { a } , M ^ { 2 } ) f _ { \bar { q } } ^ { ( b ) } ( x _ { b } , M ^ { 2 } ) + f _ { \bar { q } } ^ { ( a ) } ( x _ { a } , M ^ { 2 } ) f _ { q } ^ { ( b ) } ( x _ { b } , M ^ { 2 } ) ] \ ,
\int _ { 0 } ^ { a } \! \varphi ( \alpha ) \psi ( \alpha ) \, \mathrm d t = \psi ( 0 ) \! \! \int _ { 0 } ^ { b } \! \! \varphi ( \alpha ) \, \mathrm d \alpha + \psi ( a ) \! \! \int _ { b } ^ { a } \! \! \varphi ( \alpha ) \, \mathrm d \alpha .
( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \left[ \begin{array} { r } { a \ \ \ b } \\ { c \ \ \ d } \end{array} \right] ) | _ { ( { x _ { 0 } } , d f _ { x _ { 0 } } ) } = ( x _ { 1 } ^ { 0 } , x _ { 2 } ^ { 0 } , \left[ \begin{array} { r } { a _ { 0 } \ \ \ b _ { 0 } } \\ { c _ { 0 } \ \ \ d _ { 0 } } \end{array} \right] ) = ( { x _ { 0 } } , \left[ \begin{array} { r } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \\ { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \ \ \ \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right] ( { x _ { 0 } } ) ) .
\begin{array} { r l r } { j ^ { - m } \left[ \widehat { H } _ { m } ^ { ( 2 ) } ( k L ) + j \widehat { H } _ { m } ^ { ( 2 ) \prime } ( k L ) \right] \frac { m ( m + 1 ) } { ( 2 m + 1 ) } b _ { m } = \frac { 2 e ^ { - j k L } } { j k L } \times } & { { } } & { } \\ { \times P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) + \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } j ^ { - \ell } \left[ \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k L ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( k L ) \right] b _ { \ell } \times } & { { } } & { } \\ { \times \sin \theta _ { 0 } P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) P _ { \ell } ( \cos \theta _ { 0 } ) \ell ( \ell + 1 ) m ( m + 1 ) g _ { m \ell } , } & { { } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 0 , * } } & { : = \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } \left( - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \right) , \quad \mathcal { B } _ { 1 , * } : = \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } \left( \mathfrak { F } _ { \alpha - 1 } ( \omega , \xi ) \right) } \\ { \mathcal { B } _ { 2 , * } } & { : = \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha , 2 } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \mathfrak { m } _ { \le 0 , 2 } \right) , \quad \mathcal { B } _ { 3 , * } : = \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } \left( \mathfrak { b } _ { 0 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mathrm { S E X } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { { } = - \sum _ { i } ^ { \mathrm { o c c . } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \end{array}
H _ { d } = V D _ { d } ^ { 2 } V ^ { \dagger } \simeq m _ { b } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \sigma ^ { 2 } ( 1 + x ^ { 2 } ) } } & { { \rho \sigma ( y + e ^ { - i \delta } ) } } & { { \sigma e ^ { - i \delta } } } \\ { { \rho \sigma ( y + e ^ { i \delta } ) } } & { { \rho ^ { 2 } ( 1 + y ^ { 2 } / x ^ { 2 } ) } } & { { \rho } } \\ { { \sigma e ^ { i \delta } } } & { { \rho } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ \ ,
\begin{array} { r l } & { c _ { 1 , 0 } + c _ { 0 , 1 } = 0 , \qquad c _ { 1 , 1 } + c _ { 0 , 2 } = c _ { 0 , 1 } , \qquad c _ { 2 , 0 } + c _ { 1 , 1 } = c _ { 1 , 0 } , } \\ & { c _ { 1 , 2 } + c _ { 0 , 3 } = c _ { 0 , 2 } , \qquad c _ { 2 , 1 } + c _ { 1 , 2 } = c _ { 1 , 1 } , \qquad c _ { 3 , 0 } + c _ { 2 , 1 } = c _ { 2 , 0 } , } \\ & { c _ { 1 , 3 } = c _ { 0 , 3 } , \qquad c _ { 2 , 2 } + c _ { 1 , 3 } = c _ { 1 , 2 } , \qquad c _ { 3 , 1 } + c _ { 2 , 2 } = c _ { 2 , 1 } , \qquad c _ { 3 , 1 } = c _ { 3 , 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial R _ { k } / \partial x _ { \ell } = - \mathrm { { t r } } \left( { \uppercase { \mathbf { B } } } ^ { - 1 } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } \left( { \uppercase { \mathbf { A } } } - P _ { k } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } { \uppercase { \mathbf { B } } } ^ { - 1 } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } \right) ^ { - 1 } P _ { k } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } { \uppercase { \mathbf { B } } } ^ { - 1 } P _ { i } { \lowercase { \mathbf { c } } } _ { \ell } { \lowercase { \mathbf { c } } } _ { \ell } ^ { H } \right) . } \end{array}
R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \, G _ { \mu \nu } \, { \cal R } - \left( \partial _ { \mu } \varphi \, \partial _ { \nu } \varphi - \frac { 1 } { 2 } \, G _ { \mu \nu } \, \partial _ { \rho } \varphi \, \partial ^ { \rho } \varphi \right) - \left( \partial _ { \mu } \eta _ { a } \, \partial _ { \nu } \eta _ { a } - \frac { 1 } { 2 } \, G _ { \mu \nu } \, \partial _ { \rho } \eta _ { a } \, \partial ^ { \rho } \eta _ { a } \right)
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \dot { r } } \\ { \dot { \phi } } \\ { \dot { z } } \end{array} \right) = } & { R _ { z } ( \phi ) \left( \begin{array} { l l l } { \operatorname { R e } ( \Lambda ) } & { - \operatorname { I m } ( \Lambda ) } & { 0 } \\ { \operatorname { I m } ( \Lambda ) } & { \operatorname { R e } ( \Lambda ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Lambda _ { R e } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { r \cos \phi } \\ { \sin \phi } \\ { z } \end{array} \right) + } \\ & { + R _ { z } ( \phi ) \left( \begin{array} { l } { \operatorname { R e } ( n l _ { 1 } ) } \\ { \operatorname { I m } ( n l _ { 1 } ) / r } \\ { n l _ { 3 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { i , j } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { s } } \; e ^ { - i \b { p } \cdot \b { s } } \chi _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { q } } - \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) \chi _ { j } ( \ensuremath { \mathbf { q } } + \ensuremath { \mathbf { s } } / 2 ) . } \end{array}
\langle \hat { R } ( p , u ; s ) \rangle _ { E } = \frac { \hat { R } ( p , u ; t = 0 ) + \frac { 2 g ( 0 ) } { \hbar ^ { 2 } s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \langle \hat { R } ( p + q , u ; s ) \rangle _ { E } d q } { s - \frac { i 4 J \sin p \sin ( \frac { u } { 2 } ) } { \hbar } + \frac { 2 g ( 0 ) } { \hbar ^ { 2 } s } } .
( - 2 \sigma _ { 1 } , M _ { 1 } ) ^ { p _ { 1 } } ( 2 \sigma _ { 3 } , - M _ { 3 } ) ^ { q _ { 1 } } \ldots ( - 2 \sigma _ { 1 } , M _ { 1 } ) ^ { p _ { n } } ( 2 \sigma _ { 3 } , - M _ { 3 } ) ^ { q _ { n } } .
a _ { 2 1 } = - { \frac { R _ { A } + d } { R _ { A } } } \; { \frac { d ^ { \prime } - R _ { D } + R _ { B } } { R _ { B } R _ { D } } } + { \frac { n } { n ^ { \prime } } } \; { \frac { d ^ { \prime } + R _ { B } } { R _ { A } R _ { B } R _ { D } } } \; ( d + R _ { A } - R _ { D } ) = { \frac { \mathfrak { N } } { n ^ { \prime } R _ { A } R _ { B } R _ { D } } } \, ,
\begin{array} { r l } { D ( \vec { r } _ { j } , \nu ) \equiv } & { { } \sum _ { m } { \frac { 2 \gamma } { ( \nu - \nu _ { m } ) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } } | \Phi _ { m } ( \vec { r } _ { j } ) | ^ { 2 } } } \\ { \propto } & { { } 1 - | S _ { 1 1 } ( \vec { r } _ { j } , \nu ) | ^ { 2 } , } \end{array}
E = \left( { \frac { a _ { 1 } \, a _ { 2 } } { 2 \pi L _ { B } } } \right) v _ { 1 } \, v _ { 2 } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } { k \; d k \; } D \left( k \right) \mid _ { k _ { 0 } = k _ { B } = 0 } { \mathcal { J } } _ { 1 } \left( k r _ { B 1 } \right) { \mathcal { J } } _ { 1 } \left( k r _ { B 2 } \right) { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k r _ { 1 2 } \right)