harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq L \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq L \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \bigg \| \bigg \| \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \qquad + L \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } - \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \bigg \| \bigg \| \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \leq \frac { L } { \mu } \bigg \| \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| } \\ & { \qquad + C _ { f } L \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } - \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \bigg \| } \\ & { \leq \frac { L ( \zeta _ { f } + L \zeta _ { g ^ { \ast } } ) } { \mu } + C _ { f } L \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \bigg \| \times } \\ & { \qquad \qquad \qquad \bigg \| \nabla _ { y y } g ^ { ( m ) } ( x , y _ { x } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg \| \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y y } g ^ { ( j ) } ( x , y _ { x } ^ { ( j ) } ) \bigg ) ^ { - 1 } \bigg \| } \\ & { \leq \frac { L ( \zeta _ { f } + L \zeta _ { g ^ { \ast } } ) } { \mu } + \frac { C _ { f } L ( \zeta _ { g , y y } + L _ { y ^ { 2 } } \zeta _ { g ^ { \ast } } ) } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\mathbf { y } = ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) , \quad \mathbf { F } ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) = ( y _ { 2 } , \ldots , y _ { n } , F ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) ) .
\left( \frac { \partial } { t } - C \frac { \partial } { \partial x } + J \left[ \psi , * \right] \right) \mathcal { D } \psi + \lambda \frac { \partial \psi } { \partial \partial x } = - \nu \nabla ^ { 4 } \mathcal { D } \psi \quad \textrm { o n } \quad z = 0 ,
\Phi _ { k } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) = \sum _ { s \in { \bf Z } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } E \left( \frac { m } { n } \left( \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 \pi } + k + n s \right) + j , i \sigma _ { 1 } \right) \widetilde { \phi } _ { j } \left( \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 \pi } + k + n s \right) .
\gamma _ { \mathrm { m a g } } = \frac { 3 \alpha _ { s } } { 2 \pi } + \! \Big ( 1 7 - \frac { 1 3 } { 6 } \, n _ { f } \Big ) \! \left( \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \! + O ( \alpha _ { s } ^ { 3 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { L ( t _ { 2 } ) - L ( t _ { 1 } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \frac { a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon _ { n } } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { X ( s ) } { ( X ( s ) + \varepsilon _ { n } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { \varepsilon _ { n } } { ( X ( s ) + \varepsilon _ { n } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { \delta } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon _ { n } } } \right) d s } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \frac { \delta } { \sqrt { X ( s ) } } d s } \\ & { < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a _ { C } ( r = r _ { C , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } { a _ { P } ( r = r _ { P , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } ) } = } & { { } \frac { q ^ { 2 } } { 4 \pi m } \frac { \sigma _ { 0 } } { L \sigma _ { r } } \frac { N } { 0 . 2 1 \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - \hat { J } _ { t } ( \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } & { \leq \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - \Phi \bar { H } ^ { \prime } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) \bigr \| _ { \infty } + \bigl \| \Phi \bar { H } ^ { \prime } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) - \hat { J } _ { t } ( \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \le \varepsilon ^ { \prime \prime } + \bigl \| \Phi \Phi ^ { \dagger } \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) - \Phi \Phi ^ { \dagger } \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \boldsymbol { \omega } _ { t + 1 } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \gamma ^ { \prime } } { \gamma } \bigl \| \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) - \bar { H } \hat { J } _ { t + 1 } ( \boldsymbol { \omega } _ { t + 1 } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { \prime \prime } + \gamma ^ { \prime } \bigl \| \hat { J } _ { t + 1 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 1 } ) - \hat { J } _ { t + 1 } ( \boldsymbol { \omega } _ { t + 1 } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \le \varepsilon ^ { \prime \prime } + \gamma ^ { \prime } \Bigl ( \epsilon ^ { \prime \prime } + \gamma ^ { \prime } \bigl \| \hat { J } _ { t + 2 } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t + 2 } ) - \hat { J } _ { t + 2 } ( \boldsymbol { \omega } _ { t + 2 } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { \le \cdots } \\ & { \le \varepsilon ^ { \prime \prime } \sum _ { i = 0 } ^ { T - t - 1 } ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { i } + ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { T - t } \, \bigl \| \hat { J } _ { T } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { T } ) - \hat { J } _ { T } ( \boldsymbol { \omega } _ { T } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \frac { \gamma + 1 } { \gamma } \varepsilon ^ { \prime } \, \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \sin \alpha } & { \cos \alpha } & { 0 } \\ { - \cos \alpha } & { \sin \alpha } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \gamma } & { - \sin \gamma } & { 0 } \\ { \sin \gamma } & { \cos \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \sin \gamma } & { - \sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \gamma } & { 0 } \\ { - \cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma } & { \cos \alpha \sin \gamma + \sin \alpha \cos \gamma } & { 0 } \end{array} \right] } } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { m } ( \tau , z ) \propto \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma ( z ) } H _ { m } \left( \tau / \sigma ( z ) \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \tau ^ { 2 } / ( 2 q ( z ) ) } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( 1 + m ) \psi ( z ) } } \end{array}
u ( x _ { i } , t _ { i } ) = { \frac { f ( x _ { i } + c t _ { i } ) + f ( x _ { i } - c t _ { i } ) } { 2 } } + { \frac { 1 } { 2 c } } \int _ { x _ { i } - c t _ { i } } ^ { x _ { i } + c t _ { i } } g ( x ) \, \mathrm { d } x + { \frac { 1 } { 2 c } } \int _ { 0 } ^ { t _ { i } } \int _ { x _ { i } - c \left( t _ { i } - t \right) } ^ { x _ { i } + c \left( t _ { i } - t \right) } s ( x , t ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { e ^ { A } B e ^ { - A } } & { { } = ( I + A + \frac { 1 } { 2 ! } A ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 ! } A ^ { 3 } + \dots ) ( B - \frac { 1 } { 1 ! } [ A , B ] + \frac { 1 } { 2 ! } [ A , [ A , B ] ] - \frac { 1 } { 3 ! } [ A , [ A , [ A , B ] ] ] + \dots ) } \end{array}
\_ E = \big [ \_ E _ { \/ L } ^ { r } \exp ( - j \omega _ { \/ { M D L } } t ) + \_ E _ { \/ L } ^ { t } \exp ( j \omega _ { \/ { M D L } } t ) \big ] \exp ( - j \beta _ { \/ L } z ) + \big [ \_ E _ { \/ R } ^ { r } \exp ( - j \omega _ { \/ { M D R } } t ) + \_ E _ { \/ R } ^ { t } \exp ( j \omega _ { \/ { M D R } } t ) \big ] \exp ( - j \beta _ { \/ R } z )
u _ { x } = { \frac { u _ { x } ^ { \prime } + v } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } , \quad u _ { x } ^ { \prime } = { \frac { u _ { x } - v } { 1 - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } } } ,
\mathbf { n } \cdot \left( \mathbf { J } _ { 1 } - \mathbf { J } _ { 2 } \right) = - \nabla _ { T } \cdot d \left( \left( \sigma + \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } \frac { \partial } { \partial t } \right) \nabla _ { T } V \right) \, ,
\frac { \partial } { \partial t } \left[ e ^ { t { \cal L } } g \right] ( y ) = \left[ e ^ { t { \cal L } } P { \cal L } g \right] ( y ) + \left[ e ^ { t Q { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y ) + \int _ { 0 } ^ { t } \left[ e ^ { ( t - s ) { \cal L } } P { \cal L } e ^ { s Q { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y ) d s \; .
\left| \Re \left( i { \lambda } \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } g d _ { 2 } v \overline { { v _ { x } } } d x \right) \right| = o ( 1 ) , \left| R e \left( \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } g ( f ^ { 2 } + d _ { 2 } f ^ { 3 } ) \overline { { v _ { x } } } d x \right) \right| = o ( 1 ) , \left| \Re \left( i { \lambda } \rho \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } ( f ^ { 3 } g ) _ { x } \overline { { v } } d x \right) \right| = o ( 1 ) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { r o t } } ( t ) } & { { } = - \sum _ { \langle i , j \rangle , \sigma } \left\{ v _ { i j } ( t ) \hat { g } _ { i j \sigma } + [ v _ { i j } ( t ) e ^ { i U _ { 0 } t } \hat { h } _ { i j \sigma } ^ { \dagger } + h . c . ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \sum _ { i , j } \frac { \hat { p } _ { i j } ^ { 2 } } { 2 m _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \frac { q _ { i j } q _ { i ^ { \prime } j } } { \left| \hat { \boldsymbol r } _ { i j } - \hat { \boldsymbol r } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \right| } } \end{array}
Y _ { i j } = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } x _ { i j 1 } + \beta _ { 2 } x _ { i j 2 } + . . + \beta _ { 7 } x _ { i j 7 } + \beta _ { 8 } x _ { i j 8 } + u _ { j } + \epsilon _ { i j }
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { Q } } & { { } = - \alpha \nabla ( \rho c _ { P } T ) } & { \mathrm { ~ F ~ o ~ u ~ r ~ i ~ e ~ r ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ ( ~ e ~ n ~ e ~ r ~ g ~ y ~ ) ~ } } \\ { \boldsymbol { \tau } } & { { } = - \nu ( \nabla ( \rho \boldsymbol { u } ) + [ \nabla ( \rho \boldsymbol { u } ) ] ^ { \top } ) } & { \mathrm { ~ N ~ e ~ w ~ t ~ o ~ n ~ ' ~ s ~ l ~ a ~ w ~ ( ~ m ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ { \begin{array} { l } { c _ { 0 } = p _ { 0 } , } \\ { c _ { 1 } = p _ { 0 1 2 } + p _ { 0 2 } + p _ { 1 2 } + p _ { 2 } , } \\ { c _ { 2 } = p _ { 0 1 2 } + p _ { 0 1 } + p _ { 1 2 } , } \\ { c _ { 3 } = p _ { 0 1 2 } + p _ { 0 1 } + p _ { 0 2 } + p _ { 0 } , } \\ { c _ { 4 } = p _ { 2 } , } \end{array} } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ T _ { \Omega } ( \tau ) ] ^ { N } } & { = } & { T _ { \Omega } ( \tau ) \circ \dots \circ T _ { \Omega } ( \tau ) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { i } ( \tau ) | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | \lambda _ { i } ( \tau ) | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | \dots \lambda _ { i } ( \tau ) | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { i } ( \tau ) ^ { N } | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | \psi _ { i } \rangle _ { \mu } \langle \phi _ { i } | \dots | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | } \\ & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \lambda _ { i } ( \tau ) ^ { N } | \psi _ { i } \rangle \langle \phi _ { i } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i m } \ H ^ { j } ( T - \Upsilon ^ { \prime } ) ^ { ( 1 ) } } & { \stackrel { ( i ) } { \leq } \sum _ { p + q = j } \mathrm { d i m } \ H ^ { p } ( T , \Omega _ { \langle T , \Upsilon ^ { \prime } \rangle } ^ { q } ) ^ { ( 1 ) } } \\ & { \stackrel { ( i i ) } { \leq } \sum _ { p + q = j } \left( \mathrm { d i m } \ H ^ { p } ( T , \Omega _ { \langle T , \Upsilon \rangle } ^ { q } ) ^ { ( 1 ) } + \mathrm { d i m } \ H ^ { p } ( H , \Omega _ { \langle H , H \cap \Upsilon \rangle } ^ { q - 1 } ) ^ { ( 1 ) } \right) } \\ & { \stackrel { ( i i i ) } { = } \mathrm { d i m } \ H ^ { j } ( T - \Upsilon ) ^ { ( 1 ) } + \mathrm { d i m } \ H ^ { j - 1 } ( H - ( \Upsilon \cap H ) ) ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\cos \left( \varphi ^ { ( u ) } - \varphi ^ { ( d ) } \right) = \frac { 1 } { 8 } \frac { m _ { c } } { m _ { s } } \left[ 1 + 1 6 \left( \frac { m _ { s } } { m _ { c } } \right) ^ { 2 } - \frac { 8 4 1 } { 4 } \left( \frac { m _ { s } } { \alpha ^ { ( d ) } } \right) ^ { 2 } | V _ { u s } | ^ { 2 } \right] = - 0 . 0 9 6 7
\begin{array} { r l } { \mathrm { S e l } ^ { \mathrm { b a l } } ( \mathbf { Q } , \mathbf { A } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } ) } & { \simeq \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { s t r } , \mathrm { r e l } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) \oplus \mathrm { S e l } _ { { \mathrm { o r d } , \mathrm { o r d } } } ( K , A _ { f } ( r ) \otimes \xi _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { \mathbf { c } - 1 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { = k } \\ { s _ { n } } & { = s ( s _ { n - 1 } ) = \sigma _ { 1 } ( s _ { n - 1 } ) - s _ { n - 1 } \quad { \mathrm { i f } } \quad s _ { n - 1 } > 0 } \\ { s _ { n } } & { = 0 \quad { \mathrm { i f } } \quad s _ { n - 1 } = 0 } \\ { s ( 0 ) } & { = { \mathrm { u n d e f i n e d } } } \end{array} }
\frac { 1 } { g ^ { 2 } } m ^ { 2 } = ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } \cos \phi ) ^ { 2 } + \eta _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi = ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \phi } { 2 } .
t ( t - 1 ) x ( t ) ^ { \prime \prime } + ( ( 1 - \lambda _ { 1 } - 2 \lambda _ { 2 } + \alpha ) t - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } + \alpha - 1 ) x ( t ) ^ { \prime } + \lambda _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } - \alpha ) x ( t ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { 𝓝 𝕍 ( A ; B ) } & { = 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ N ) ; } \\ { 𝓝 𝕍 ( A ; B ⊗ _ { N } C ) } & { = 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ N ⊗ C ⊗ N ) ; } \\ { 𝓝 𝕍 ( A ; B ◁ _ { N } C ) } & { = 𝕍 ( A ; ( N ⊗ B ⊗ N ) ◁ ( N ⊗ C ⊗ N ) ) ; } \\ { 𝓝 𝕍 ( A ; I _ { N } ) } & { = 𝕍 ( A ; N ) ; } \\ { 𝓝 𝕍 ( A ; N _ { N } ) } & { = 𝕍 ( A ; N ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 } ( x , t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } ( \tilde { \mu } _ { i } ( x , t ) - \langle { \tilde { \mu } _ { i } ( x , t ) } \rangle ) ^ { 2 } , } \\ { \chi _ { 2 } ( x , t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } ( \tilde { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( x , t ) - \langle { \tilde { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( x , t ) } \rangle ) ^ { 2 } , } \\ { \chi ( \{ \Delta x _ { i } , \alpha _ { i } , \beta _ { i } \} ) } & { = \int \int ( \chi _ { 1 } ( x , t ) + \sqrt { \chi _ { 2 } ( x , t ) } ) d x d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } x _ { i } ^ { t } \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \prod _ { t ^ { \prime } = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , x _ { i } ^ { t ^ { \prime } } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t ^ { \prime } + 1 } , 1 } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t ^ { \prime } } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t ^ { \prime } } \nu _ { k i } ^ { t ^ { \prime } } } \right] \right\} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 0 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = ( \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 0 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) } \\ & { \quad - ( \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 0 ) } ( \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } - \sum _ { w \leq m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ) . } \end{array}
s ( \rho ) = \beta ( \rho ) + 5 \ln ( \Lambda \rho ) - \ln \widetilde \beta ^ { 2 N _ { c } } + \beta \xi ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \int d \rho _ { 1 } ~ n ( \rho _ { 1 } ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } ,
f { \big ( } g ( x ) { \big ) } = g { \big ( } f ( x ) { \big ) } = { \frac { { \big ( } \cos ( \alpha + \beta ) { \big ) } x - \sin ( \alpha + \beta ) } { { \big ( } \sin ( \alpha + \beta ) { \big ) } x + \cos ( \alpha + \beta ) } } .
- A = \frac { d } { d t } \Big ( \int ( 1 - \phi ) ( p _ { \mathrm { a t m } } + p _ { f } ) \Big [ \ln \Big ( 1 + \frac { p _ { f } } { p _ { \mathrm { a t m } } } \Big ) - 1 \Big ] \Big ) + \int \kappa ( \phi ) | \nabla p _ { f } | ^ { 2 } .
\eta _ { \pm } = \frac { \langle \pi ^ { + } \pi ^ { - } | K _ { L } \rangle } { \langle \pi ^ { + } \pi ^ { - } | K _ { S } \rangle } \quad , \quad \eta _ { 0 0 } = \frac { \langle \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } | K _ { L } \rangle } { \langle \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } | K _ { S } \rangle }
\begin{array} { r l r l r l r l r l r } & { 2 U \oplus D _ { 7 } } & & { 2 U \oplus A _ { 7 } } & & { 2 U \oplus E _ { 7 } } & & { 2 U \oplus E _ { 6 } \oplus A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus D _ { 6 } \oplus A _ { 1 } } & \\ & { 2 U \oplus D _ { 4 } \oplus 3 A _ { 1 } } & & { 2 U \oplus 7 A _ { 1 } } & & { U \oplus U ( 2 ) \oplus 7 A _ { 1 } } & & { 2 U ( 2 ) \oplus 7 A _ { 1 } . } & \end{array}
{ \begin{array} { r l } { a _ { k } } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \varphi ( y ) \cos ( 2 k + 1 ) { \frac { \pi y } { 2 } } \, d y } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( a \cos { \frac { \pi y } { 2 } } \cos ( 2 k + 1 ) { \frac { \pi y } { 2 } } + a ^ { \prime } \cos 3 { \frac { \pi y } { 2 } } \cos ( 2 k + 1 ) { \frac { \pi y } { 2 } } + \cdots \right) \, d y } \end{array} }
\hat { \chi } \left( t , \boldsymbol { r } \right) = { \hat { \chi } } _ { \mathrm { s t a t } } + Q \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { i M _ { z } ( { \boldsymbol { r } } , t ) } & { - i M _ { y } ( { \boldsymbol { r } } , t ) } \\ { - i M _ { z } ( { \boldsymbol { r } } , t ) } & { 0 } & { 0 } \\ { i M _ { y } ( { \boldsymbol { r } } , t ) } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ,
F = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 1 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { F } _ { 2 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \beta } & { \beta \alpha } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad V = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 1 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 1 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 2 } } { \partial I } ( x _ { 0 } ) } & { \frac { \partial \mathcal { V } _ { 2 } } { \partial Y } ( x _ { 0 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { 2 } } \end{array} \right) .
\mathcal { P } _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \mathcal { L } \bar { f } = \mathscr { L } _ { 0 } ^ { ( 2 2 ) } u ^ { ( 2 ) } \phi ^ { ( 2 ) } + \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( m n ) } u _ { i } ^ { ( n ) } \phi _ { i } ^ { ( m ) } + \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \mathscr { L } _ { 2 } ^ { ( m n ) } u _ { i j } ^ { ( n ) } \phi _ { i j } ^ { ( m ) } + \mathscr { L } _ { 3 } ^ { ( 2 2 ) } u _ { i j k } ^ { ( 2 ) } \phi _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ,
b _ { + - } \equiv A ( B ^ { 0 } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) = - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } A _ { 1 / 2 , 0 } + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } [ A _ { 3 / 2 , 2 } - A _ { 5 / 2 , 2 } ] \; ,
\begin{array} { r } { \frac { ( q ; q ) _ { \infty } } { ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } } = \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } - q \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 0 } ; q ^ { 4 0 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 8 } ; q ^ { 8 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \mathrm I + \mathrm { I I } \right\rvert } & { { } \le C ( \Omega ) \frac \nu L \Biggl [ \nu ^ { - \frac 1 3 } F _ { \nu } + E _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \left( \nu ^ { - 1 } D _ { \nu } + \nu ^ { \frac 1 3 } H _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \right) \Biggr ] ^ { \frac 3 4 } ( T | \partial \Omega | ) ^ { \frac 1 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { \frac { i } { \sqrt { 2 \pi | \mathbf { E } ( \eta _ { 0 } ) | } } \, { \cal S } \, { \cal P } _ { + } Q } \\ & { \times } & { \exp \left\{ - i \int _ { \tilde { \eta } _ { 0 } } d s \left[ \tilde { \varepsilon } + \frac { \mathbf { p } \cdot \mathbf { A } ( s ) + A ( s ) ^ { 2 } / 2 } { \tilde { \Lambda } } \right] + i ( I _ { p } - c ^ { 2 } ) \tilde { \eta } _ { 0 } \right\} . } \end{array}
\rho _ { 0 } = \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left( \frac { N _ { f } } { e ^ { \beta ( \omega ( k ) - \mu ) } - 1 } - \frac { N _ { f } } { e ^ { \beta ( \omega ( k ) + \mu ) } - 1 } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { S _ { b } } & { { } = } & { \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } = \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } \psi _ { b } } \\ { S _ { f } } & { { } = } & { \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } = \psi _ { f } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } \nabla _ { \mu } \psi _ { f } \; . } \end{array}
\varepsilon _ { K } ^ { H ^ { 0 } } = - C _ { \varepsilon } ^ { ( 0 ) } | V _ { u s } | ^ { 2 } | V _ { c b } | ^ { 4 } \left\{ \left[ ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right] \sin 2 \varphi _ { b } + 2 \eta ( 1 - \rho ) \cos 2 \varphi _ { b } \right\} \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { m _ { H ^ { 0 } } ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } [ ^ { 1 } E ] = 2 \mathcal { E } [ ^ { m } \Phi _ { 2 } ] - \mathcal { E } [ ^ { 3 } \Phi _ { 1 } ] , } \\ & { \mathcal { E } [ ^ { 1 } A _ { 1 } ] = \mathcal { E } [ ^ { 3 } \Phi _ { 1 } ] + 2 ( \mathcal { E } [ ^ { 1 } \Phi _ { 3 } ] - \mathcal { E } [ ^ { m } \Phi _ { 2 } ] ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { t \rightarrow 0 } \frac { \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } + k v _ { i } } } \end{array} \right] ( t ) } { \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } + k v _ { i } } } \end{array} \right] ( t ) } = \left\{ \begin{array} { r l } { { ( - 1 ) ^ { [ k v _ { i } ] + 1 } } } & { { v _ { j } > 0 } } \\ { { ( - 1 ) ^ { [ - k v _ { i } ] } } } & { { v _ { j } < 0 } } \end{array} \right.