harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { f } = } & { \ \lambda p . \ \operatorname { p a i r } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ p ) \ ( \operatorname { s u c c } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ p ) ) } \\ { \operatorname { z e r o } = } & { \ ( \lambda f . \lambda x . \ x ) } \\ { \operatorname { p c 0 } = } & { \ \operatorname { p a i r } \ \operatorname { z e r o } \ \operatorname { z e r o } } \\ { \operatorname { p r e d } = } & { \ \lambda n . \ \operatorname { f i r s t } \ ( n \ \operatorname { f } \ \operatorname { p c 0 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { h } ) } & { = } & { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { h } \setminus \overline { { \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } } } ) + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \overline { { \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } } } ) } \\ & { \leq } & { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } \setminus \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } ) + \gamma \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } ) } \\ & { \leq } & { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) + ( \overline { { \gamma } } - 1 ) \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } ) } \\ & { \leq } & { \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { T } _ { H } ) - \lambda \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ; \mathcal { R } _ { \mathcal { T } _ { H } \rightarrow \mathcal { T } _ { h } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x ( t ) } { d t } } & { { } = \frac { p _ { x } ( t ) } { m } + \frac { \omega _ { c } } { 2 } y ( t ) , } \\ { \frac { d y ( t ) } { d t } } & { { } = \frac { p _ { y } ( t ) } { m } - \frac { \omega _ { c } } { 2 } x ( t ) , } \\ { \frac { d p _ { x } ( t ) } { d t } } & { { } = - m \, \omega _ { \perp } ^ { 2 } x ( t ) + \frac { \omega _ { c } } { 2 } p _ { y } ( t ) , } \\ { \frac { d p _ { y } ( t ) } { d t } } & { { } = - m \, \omega _ { \perp } ^ { 2 } y ( t ) - \frac { \omega _ { c } } { 2 } p _ { x } ( t ) , } \\ { \frac { d z ( t ) } { d t } } & { { } = \frac { p _ { z } ( t ) } { m } , } \\ { \frac { d p _ { z } ( t ) } { d t } } & { { } = - m \, \omega _ { z } ^ { 2 } z ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { m } ( \xi ) [ B _ { 1 } \otimes \cdots \otimes B _ { m } ] v } \\ & { : = \int _ { \Delta _ { m } } e ^ { ( s _ { 1 } - 1 ) | \xi | ^ { 2 } \lambda _ { l } ( x ) } B _ { 1 } e ^ { ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) | \xi | ^ { 2 } \lambda _ { l } ( x ) } \cdots B _ { m } e ^ { ( s _ { m + 1 } - s _ { m } ) | \xi | ^ { 2 } \lambda _ { l } ( x ) } ( 1 _ { M } \otimes v ) \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = } & { \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } ( - \mathrm { i } ) ^ { M } } \\ & { \times U \left( t , t _ { M } \right) S \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) U \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) S \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots } \\ & { \times U \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) S \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) U \left( t _ { 1 } , 0 \right) | \psi ( 0 ) \rangle \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { M - 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { M - 1 } \mathrm { ~ d } \mu _ { \omega _ { M } } \mathrm { ~ d } t _ { M } , } \end{array}
w ( z ) = G ( u ) \simeq \frac { 1 + c _ { 1 } u + c _ { 2 } u ^ { 2 } + c _ { 3 } u ^ { 3 } + c _ { 4 } u ^ { 4 } + c _ { 5 } u ^ { 5 } + c _ { 6 } u ^ { 6 } } { 1 + d _ { 1 } u + d _ { 2 } u ^ { 2 } + d _ { 3 } u ^ { 3 } + d _ { 4 } u ^ { 4 } + d _ { 5 } u ^ { 5 } + d _ { 6 } u ^ { 6 } + d _ { 7 } u ^ { 7 } } ,
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial E ^ { 2 } } \right) _ { V } } & { { } } & { = - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \left( \frac { \partial T } { \partial E } \right) _ { V } = - \frac { 1 } { T ^ { 2 } c _ { \nu } } \leqslant 0 \Longleftrightarrow c _ { V } > 0 \Longleftrightarrow \left( \frac { \partial E } { \partial T } \right) _ { V } \geqslant 0 } \end{array}
s _ { 1 2 } ^ { d } \sim \epsilon _ { X } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ s _ { 1 3 } ^ { d } = \frac { c _ { 1 3 } } { c _ { 3 3 } } \epsilon _ { X } ^ { 2 } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ s _ { 2 3 } ^ { d } = \frac { c _ { 2 3 } } { c _ { 3 3 } } \epsilon _ { X } ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } P _ { \mu } ( x , t ) } & { = \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } P _ { \mu } ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } , t ) - \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } P _ { \mu } ( x , t ) } \end{array}
\mathbf { X } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 1 } } & { { - 1 } } & { { i } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { - i } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { - i } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { i } } & { { - 1 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) , \quad \mathbf { Y } = \left( \begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { 1 } } & { { i } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { - i } } & { { - 1 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { - i } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { i } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ i ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } } & { { } = \hat { X } - X } \\ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ i ~ d ~ u ~ a ~ l ~ } } { X } , } \end{array}
i _ { c } ( t ) = h _ { i } ( t ) \otimes v _ { i } ( t ) = \frac { - 2 0 } { \pi } \left( \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 } \frac { 1 . 4 1 7 \sqrt { n } } { ( 4 n ^ { 2 } - 1 ) D _ { 0 . 5 } ( n ) } \cos \left( 1 . 2 4 n t + \frac { \pi } { 4 } - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 0 . 7 1 \sqrt { n } } { 1 + 0 . 7 1 \sqrt { n } } \right) \right) \right)
\begin{array} { r l } { C ^ { * } } & { : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \| \tilde { K } _ { t } ^ { - } \| _ { 0 , c } \| \tilde { K } _ { t } ^ { - } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { L } _ { t } ^ { - } \| _ { 0 , c } \| \tilde { L } _ { t } ^ { + } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { K } _ { t } ^ { - } \| _ { 0 , c } \| \tilde { L } _ { t } ^ { - } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { L } _ { t } ^ { - } \| _ { 0 , c } \| \tilde { K } _ { t } ^ { + } \| _ { c , 0 } , } \\ & { \qquad \qquad \quad \| \tilde { L } _ { t } ^ { + } \| _ { 0 , c } \| \tilde { K } _ { t } ^ { - } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { K } _ { t } ^ { + } \| _ { 0 , c } \| \tilde { L } _ { t } ^ { + } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { L } _ { t } ^ { + } \| _ { 0 , c } \| \tilde { L } _ { t } ^ { - } \| _ { c , 0 } + \| \tilde { K } _ { t } ^ { + } \| _ { 0 , c } \| \tilde { K } _ { t } ^ { + } \| _ { c , 0 } \bigg \} . } \end{array}
\Psi \; = \; \psi \; + \; G _ { 1 } ^ { \psi } \; + \; G _ { 2 } ^ { \psi } \; + \; \frac { 1 } { 2 } \; G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } + \cdots
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ o ~ o ~ t ~ h ~ } } : \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \to \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } = ( S _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } , \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi } & { { } = \textstyle { \cfrac { 4 } { 1 + \textstyle { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 + \textstyle { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 + \textstyle { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 2 + \textstyle { \cfrac { 7 ^ { 2 } } { 2 + \textstyle { \cfrac { 9 ^ { 2 } } { 2 + \ddots } } } } } } } } } } } } = 3 + \textstyle { \cfrac { 1 ^ { 2 } } { 6 + \textstyle { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 6 + \textstyle { \cfrac { 5 ^ { 2 } } { 6 + \textstyle { \cfrac { 7 ^ { 2 } } { 6 + \textstyle { \cfrac { 9 ^ { 2 } } { 6 + \ddots } } } } } } } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { j - 2 } ( h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) } \\ { = } & { ( h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } h _ { i } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - 4 } ^ { - 1 } h _ { j - 2 } h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } t _ { j - 1 , j } ^ { - 1 } t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { I _ { 1 , 1 } + C _ { 2 } \frac { \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } } \end{array}
\sum _ { \mu } [ C _ { \mu } \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ] _ { b b } = \sum _ { \mu } \tilde { S } _ { b \mu } \frac { 1 } { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \tilde { S } _ { \mu a } = \frac { 1 } { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu } \tilde { S } _ { b \mu } \tilde { S } _ { \mu a } = \frac { 1 } { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } S _ { b a } = 1 .
\begin{array} { r l } { \hat { I } ^ { ( 1 , 2 ) } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } & { \equiv ( - q ^ { 2 } ) ^ { n _ { 1 2 } - d / 2 } \int \frac { d ^ { d } k } { { \mathrm { i } \pi ^ { d / 2 } } } \frac { 1 } { ( - k ^ { 2 } ) ^ { n _ { 1 } } ( k - q ) ^ { 2 n _ { 2 } } } } \\ & { = \frac { \Gamma ( n _ { 1 2 } - \frac { d } { 2 } ) } { \Gamma ( d - n _ { 1 2 } ) } \frac { \Gamma ( \frac { d } { 2 } - n _ { 1 } ) } { \Gamma ( n _ { 1 } ) } \frac { \Gamma ( \frac { d } { 2 } - n _ { 2 } ) } { \Gamma ( n _ { 2 } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { p } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { n _ { p } } k ^ { ( n _ { p } + l + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) ) } d ^ { n _ { p } } \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \frac { \phi _ { 1 , 2 , \cdots , N } } { 2 ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } } \\ { \times \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { N } ( R _ { j } ) ^ { ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } \mathrm { d } { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ } } } & { { } = a _ { \mathrm { R b } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { R b } } \cdot \mathbf { L _ { \mathrm { o } } } + a _ { \mathrm { C s } } \ \mathbf { i } _ { \mathrm { C s } } \cdot \mathbf { L _ { \mathrm { o } } } } \end{array}
\ln n ! \sim n \ln n - n + { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( 2 \pi n ) + { \frac { 1 } { 1 2 n } } - { \frac { 1 } { 3 6 0 n ^ { 3 } } } + { \frac { 1 } { 1 2 6 0 n ^ { 5 } } } - { \frac { 1 } { 1 6 8 0 n ^ { 7 } } } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \kappa } } & { = \left\{ f : \mathrm { T } \rightarrow \Lambda \; \vert \; f ( 1 , z ) \in \mathrm { C o n t } ( \mathbf { Z } _ { p } , \Lambda ) \mathrm { ~ a n d ~ } f ( a \cdot t ) = \kappa ( a ) \cdot f ( t ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , \, t \in \mathrm { T } \right\} , } \\ { \mathcal { A } _ { \kappa } ^ { \prime } } & { = \left\{ f : \mathrm { T } ^ { \prime } \rightarrow \Lambda \; \vert \; f ( p z , 1 ) \in \mathrm { C o n t } ( \mathbf { Z } _ { p } , \Lambda ) \mathrm { ~ a n d ~ } f ( a \cdot t ) = \kappa ( a ) \cdot f ( t ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , \, t \in \mathrm { T } ^ { \prime } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { M } } & { { } = k \boldsymbol { X } \boldsymbol { L } , } \\ { \boldsymbol { D } ^ { - 1 } \boldsymbol { M } ^ { T } \boldsymbol { P } \boldsymbol { Q } } & { { } = \frac { 1 } { k } \boldsymbol { L } ^ { T } \boldsymbol { P } \boldsymbol { Q } \boldsymbol { X } ^ { - 1 } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } = \frac { 3 \sigma _ { \mathrm { T } } } { 1 6 \pi } \left( \frac { E ^ { \prime } } { E } \right) ^ { 2 } \left( \frac { E } { E ^ { \prime } } + \frac { E ^ { \prime } } { E } - 2 \sin ^ { 2 } \theta \, \cos ^ { 2 } \phi \right)
S _ { I I } ( \omega _ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( S _ { X X } \left( \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } \right) + S _ { P P } \left( \omega _ { n } - \Delta _ { \mathrm { L O } } \right) + S _ { X X } \left( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } \right) + S _ { P P } \left( \omega _ { n } + \Delta _ { \mathrm { L O } } \right) \right) .
\rho = - i { \cal T } ^ { a } ( { \psi } _ { m } ^ { \dagger } f _ { m a n } { \psi } _ { n } ) = i \psi _ { m } ^ { \dagger } [ { \cal T } ^ { m } , { \cal T } ^ { n } ] \psi _ { n } = - i [ \Psi ^ { \dagger } , \Psi ] ,
d \sigma _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to X } ( \{ s \} ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 2 } \, \phi _ { b _ { 1 } / a _ { 1 } } ( x _ { 1 } , \mu ) \, d \hat { \sigma } _ { b _ { 1 } b _ { 2 } \to X } ( \{ s \} , x _ { 1 } , x _ { 2 } , \mu ) \, \phi _ { b _ { 2 } / a _ { 2 } } ( x _ { 2 } , \mu ) ,
\sigma { ( E _ { i } ) } = \frac { 4 \pi } { E _ { i } } \int _ { 0 } ^ { E _ { i } } \int _ { q _ { - } } ^ { q _ { + } } \mathrm { d } q \frac { K { ( q , E ) } } { q ^ { 3 } } \mathrm { d } E \, ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { I } _ { X , Y } { ( 2 , 4 ) } } & { { } = - \log _ { 2 } \! { \left[ p _ { X , Y } { ( 2 , 4 ) } \right] } = \log _ { 2 } \! { 3 6 } = 2 \log _ { 2 } \! { 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( Q , \Gamma ) = } & { { } 1 + \frac { \Gamma ^ { 2 } - Q _ { + } Q _ { - } } { 4 Q } \log \frac { Q _ { + } ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } { Q _ { - } ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , J ( \tau ) ) \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } & { = K S ( \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , J ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) ) } \\ & { = - K \langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle J ( \tau ) } \\ & { = - K l ^ { 2 } u ( \tau ) E ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { s } ( X , P , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \delta \omega ( X ^ { 2 } + P ^ { 2 } ) + \sum _ { n \in \mathbb { Z } } K _ { q } \delta ( \frac { t } { \tau } - \theta _ { q } - n ) } \\ & { } & { \cos ( k _ { q } [ P \sin ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) + X \cos ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) ] - \phi _ { q } ) . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } | ( f _ { \varepsilon / 2 } ) _ { B ( x , R ) } - f _ { B ( x , R ) } | ^ { 2 } d \mu ( z ) } & { = \mu ( B ( x , R ) ) \Big | \fint _ { B ( x , R ) } ( f _ { \varepsilon / 2 } ( y ) - f ( y ) ) \, d \mu ( y ) \Big | ^ { 2 } } \\ & { \leq \| f - f _ { \varepsilon / 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( X , \mu ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial \tau } P ( L , \tau ) = - k ( L , \tau ) P ( L , \tau ) - \frac { \partial } { \partial L } a ( L ) P ( L , \tau ) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } P ( L , \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } , \mathbf { k } _ { i } , \mathbf { k } _ { j } ) } & { = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } ( | \mathbf { k } _ { i } | | \mathbf { k } _ { j } | ) ^ { 1 / 2 } } \Biggl [ 3 ( | \mathbf { k } _ { i } | | \mathbf { k } _ { j } | ) ^ { 2 } } \\ & { \left. + ( \mathbf { k } _ { i } \cdot \mathbf { k } _ { j } ) ( \mathbf { k } _ { i } \cdot \mathbf { k } _ { j } - 4 ( | \mathbf { k } _ { i } | + | \mathbf { k } _ { j } | ) ( | \mathbf { k } _ { i } | | \mathbf { k } _ { j } | ) ^ { 1 / 2 } ) \right. } \\ & { + \frac { 2 ( \omega _ { i } - \omega _ { j } ) ^ { 2 } ( \mathbf { k } _ { i } \cdot \mathbf { k } _ { j } + | \mathbf { k } _ { i } | | \mathbf { k } _ { j } | ) ^ { 2 } } { g | \mathbf { k } _ { i } - \mathbf { k } _ { j } | - ( \omega _ { i } - \omega _ { j } ) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 2 ( \omega _ { i } + \omega _ { j } ) ^ { 2 } ( \mathbf { k } _ { i } \cdot \mathbf { k } _ { j } - | \mathbf { k } _ { i } | | \mathbf { k } _ { j } | ) ^ { 2 } } { g | \mathbf { k } _ { i } + \mathbf { k } _ { j } | - ( \omega _ { i } + \omega _ { j } ) ^ { 2 } } \Biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon ( z , \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { \mathrm { d } } } & { ( z > 0 ) , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { m } } ( \omega ) } & { ( z < 0 ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\left| \frac { 1 } { | F | } \sum _ { \alpha \in F } f ( \alpha ) - \int _ { \mathbb { P } _ { \operatorname { B e r k } , v } ^ { 1 } } f d \rho _ { v } \right| \leq \frac { \operatorname { H o l } _ { \kappa ^ { \prime } } ( f ) } { | F | ^ { \kappa ^ { \prime } / \kappa } } + ( 2 h _ { \rho } ( F ) + C \frac { \log | F | } { | F | } ) ^ { 1 / 2 } ( \triangle f , \triangle f ) _ { v } ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { \rVert q \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 3 } + \varepsilon \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , \quad \rVert d _ { i } q ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right] } } \\ { { \pm \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right] \mathrm { ~ o r ~ } \pm \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] \mathrm { ~ o r ~ } \pm \frac { q _ { i } } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] } } \end{array}
J _ { \mu } ^ { C C } = \frac { e } { \sqrt { 2 } \sin \theta _ { W } } \left( \bar { u } , \bar { c } , \bar { t } \right) _ { L } \gamma _ { \mu } V _ { \mathrm { \footnotesize { ~ C K M } } } \left( \begin{array} { c } { { d } } \\ { { s } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } \; ,
{ \begin{array} { r l } { Q } & { = Q _ { \mathrm { f } } + Q _ { \mathrm { b } } = \iiint _ { \Omega } \left( \rho _ { \mathrm { f } } + \rho _ { \mathrm { b } } \right) \, \mathrm { d } V = \iiint _ { \Omega } \rho \, \mathrm { d } V , } \\ { I } & { = I _ { \mathrm { f } } + I _ { \mathrm { b } } = \iint _ { \Sigma } \left( \mathbf { J } _ { \mathrm { f } } + \mathbf { J } _ { \mathrm { b } } \right) \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } = \iint _ { \Sigma } \mathbf { J } \cdot \mathrm { d } \mathbf { S } . } \end{array} }
\operatorname * { d e t } \Delta \gamma = \frac { 1 } { 1 6 } \frac { 1 } { ( m _ { 0 } - \mu ) ^ { 2 } } \Big [ 4 \, \Big ( \Re \, ( m _ { 2 1 } \, { \Gamma } _ { 1 2 } ^ { L O Y } ) { \Big ) } ^ { 2 } - | m _ { 1 2 } | ^ { 2 } ( { \Gamma } _ { 1 1 } ^ { L O Y } + { \Gamma } _ { 2 2 } ^ { L O Y } ) ^ { 2 } \Big ] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { q _ { 1 } ( x , y , z ) = A ( \frac { k _ { 1 R } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 R } ^ { 2 } } { \gamma } ) ^ { 1 / 2 } e ^ { i ( \eta _ { 1 I } + \theta ) } \mathrm { s e c h } ( \eta _ { 1 R } + \frac { R _ { 2 } } { 2 } ) , } \\ & { } & { q _ { 2 } ( x , y , z ) = \tau e ^ { i ( \gamma \sigma \tau ^ { 2 } z + \phi + \pi ) } \bigg [ \cos \phi \operatorname { t a n h } ( \eta _ { 1 R } + \frac { R _ { 2 } } { 2 } ) + i \sin \phi \bigg ] , } \end{array}
F _ { p } ( t _ { s } ^ { a } ) = F _ { p } ^ { ( s ) } ( t ) Q _ { \Gamma _ { a , s } } ^ { p } ( t ) , \qquad F _ { p } ( t _ { s } ^ { b } ) = F _ { p } ( t ) Q _ { \Gamma _ { b , s } } ^ { p } ( t )
\mathrm { ~ R ~ } = \left| \sum _ { m = - 3 } ^ { 4 } \frac { A _ { m , m - 1 } \left[ 1 + i \left( \nu _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \nu _ { m , m - 1 } \right) / \Tilde { \gamma } \right] } { \left( \nu _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } - \nu _ { m , m - 1 } \right) ^ { 2 } + \Tilde { \gamma } ^ { 2 } } \right| .
\begin{array} { r l } { \| D _ { w } ( A ^ { \tau } - w \cdot w ^ { T } ) x \| _ { 1 } } & { = \| D _ { w } ( A ^ { \tau } x - w \cdot w ^ { T } x ) \| _ { 1 } } \\ & { = \| D _ { w } ( \lambda _ { 2 } ^ { \tau } ( A ) x - w \cdot \mathbf { 0 } ) \| _ { 1 } } \\ & { = \lambda _ { 2 } ^ { \tau } ( A ) \| D _ { w } x \| _ { 1 } } \\ & { \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { A } ~ i s ~ \ensuremath { \frac { 1 } { 2 } } - l a z y ~ a n d ~ t h u s ~ \ensuremath { \lambda _ { 2 } ( A ) \geq 0 } ] } } \\ & { = \lambda _ { 2 } ^ { \tau } ( A ) } \\ & { = ( 1 - \Delta ( A ) ) ^ { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { * } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } { L _ { D } ^ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + b { L _ { D } ^ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \big ( 6 b - 1 \big ) { L _ { * } } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + 6 b { L _ { * } } S _ { i } S _ { j } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } \end{array}
\dot { \boldsymbol { r } } _ { 3 } ( 0 ) = ( 0 . 0 3 9 4 8 2 2 2 0 3 8 8 5 7 4 7 7 , - 0 . 0 5 3 1 8 8 4 9 7 9 9 5 6 1 1 4 7 )
\begin{array} { r } { \eta : = \left( \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega \right) ^ { - 1 } \chi \, ( \vartheta _ { \mathrm { o u t l e t } } - \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left| I _ { \ell + \ell ^ { ' } - 2 r } \left( s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \otimes _ { r } s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ^ { ' } ) } \right) \right| ^ { 2 } \right] \leq ( \ell + \ell ^ { ' } - 2 r ) ! \ \left\| s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \otimes _ { r } s _ { 2 ^ { J } t _ { n } , j _ { n } } ^ { ( \ell ^ { ' } ) } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { K \geq 1 } \mathbb { E } [ | \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \phi _ { N } \rangle - \langle \tilde { \zeta } _ { T } ^ { X | K } , \phi \rangle | ] = 0 .
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { A B } ^ { \mathrm { P } } } & { \equiv \mathcal { G } _ { \Pi _ { A } } \otimes \mathcal { G } _ { \Pi _ { B } } [ \rho _ { A B } ] } \\ & { = \sum _ { s , s ^ { \prime } = + , - } \hat { P } _ { s } ^ { ( A ) } \otimes \hat { P } _ { s ^ { \prime } } ^ { ( B ) } \rho _ { A B } \hat { P } _ { s } ^ { ( A ) } \otimes \hat { P } _ { s ^ { \prime } } ^ { ( B ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { = z ^ { N } } \\ & { = ( \sum _ { i } e ^ { - \beta \epsilon _ { i } } ) ^ { N } } \\ & { = ( \sum _ { i _ { 1 } } e ^ { - \beta \epsilon _ { i _ { 1 } } } ) \cdot ( \sum _ { i _ { 2 } } e ^ { - \beta \epsilon _ { i _ { 2 } } } ) \cdots ( \sum _ { i _ { N } } e ^ { - \beta \epsilon _ { i _ { N } } } ) } \\ & { = \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots , i _ { N } } e ^ { - \beta ( \epsilon _ { i _ { 1 } } + \epsilon _ { i _ { 2 } } + \cdots + \epsilon _ { i _ { N } } ) } } \end{array}