harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { ~ I ~ J ~ I ~ } _ { i j } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m a x } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \right] } \quad , \qquad \mathrm { ~ O ~ J ~ I ~ } _ { i j } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m a x } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \right] } \quad .
\begin{array} { r l r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { \Phi } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \Phi _ { b } ^ { \dag } \left( x \right) \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \, \gamma ^ { \nu } D _ { \nu } \Phi _ { b } \left( x \right) \, } \end{array}
\int \frac { d ^ { D } \, q } { ( 2 \, \pi ) ^ { D } } \, \tilde { G } _ { 3 } \, \left( - p , \, \frac { 1 } { 2 } \, p \, + \, q , \, \frac { 1 } { 2 } \, p \, - \, q \right) \, \, ,
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } \bar { 1 } 3 ^ { \prime } } } - 1 , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } + 1 , } \end{array}
\mathrm { i } { \widehat { \mathbf { L } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } } { \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } } - { \frac { \partial H } { \partial q ^ { i } } } { \frac { \partial } { \partial p _ { i } } } \right] = \{ \cdot , H \}
\begin{array} { r l } { G _ { n _ { \perp } n _ { \perp } } ^ { R } } & { { } = \chi \left( \frac { i \omega } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } - 1 \right) , } \\ { G _ { n _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = \frac { \omega k \sigma } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } , } \\ { G _ { j _ { \| } j _ { \| } } ^ { R } } & { { } = - i \omega \sigma \left( \frac { D _ { n } k ^ { 2 } } { i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma } + 1 \right) . } \end{array}
\operatorname* { P r } ( Y _ { i } = y \mid \mathbf { X } _ { i } ) = { p _ { i } } ^ { y } ( 1 - p _ { i } ) ^ { 1 - y } = \left( { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { 1 + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } \right) ^ { y } \left( 1 - { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { 1 + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } \right) ^ { 1 - y } = { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } \cdot y } } { 1 + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } }
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \Vert v _ { t + 1 } - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t + 1 } ) \Vert ^ { 2 } } & { = { \mathbb { E } } \Vert v _ { t } - g ( x _ { t } ; S ) + g ( x _ { t + 1 } ; S ) - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t + 1 } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = { \mathbb { E } } \Vert v _ { t } - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + { \mathbb { E } } \Vert g ( x _ { t + 1 } ; S ) - g ( x _ { t } ; S ) + \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t + 1 } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le { \mathbb { E } } \Vert v _ { t } - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { b } { \mathbb { E } } \Vert g ( x _ { t + 1 } ; w _ { 1 } , \xi _ { 1 } ) - g ( x _ { t } ; w _ { 1 } , \xi _ { 1 } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \le { \mathbb { E } } \Vert v _ { t } - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } M _ { \delta } ^ { 2 } } { b } { \mathbb { E } } \Vert v _ { t } \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } | \nabla f | ^ { 2 } } & { = - u _ { t } | \nabla f _ { t } | ^ { 2 } + 2 \langle \nabla f _ { t } , \nabla f _ { t } ^ { \prime } \rangle , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } ( i _ { \nabla f } H ) } & { = ( - u _ { t } + \Tilde { u } _ { t } ) ( i _ { \nabla { f _ { t } } } H ) + ( i _ { \nabla { f _ { t } ^ { \prime } } } H ) . } \end{array}
K ( \mathfrak { n } _ { i } , x _ { i } ; \mathfrak { n } _ { j } , x _ { j } ) = - \phi ^ { ( \mathfrak { n } _ { i } , \mathfrak { n } _ { j } ) } ( x _ { i } , x _ { j } ) \mathbf { 1 } _ { \mathfrak { n } _ { i } \prec \mathfrak { n } _ { j } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { j } } \Psi _ { n _ { i } - k } ^ { \mathfrak { n } _ { i } } ( x _ { i } ) \Phi _ { n _ { j } - k } ^ { \mathfrak { n } _ { j } } ( x _ { j } ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { \boldsymbol { \mu } } } _ { v _ { j } \to c _ { p } } } & { = \left( \boldsymbol { \mu } _ { v _ { j } \to c _ { p } } \right) ^ { \times \omega _ { j , p } ^ { - 1 } } } \\ { \overline { { \boldsymbol { \mu } } } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } } & { = \left( \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } \right) ^ { \times \left( - \omega _ { \ell , p } ^ { - 1 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \leq C \left[ \| J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \| J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \right] \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \ + C \left[ \| J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } + \| J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \right] \| J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \left( - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } = } & { { } - p _ { C } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \left( ( 1 - w _ { R } ) \frac { k - k _ { C } } { k } + \mathcal { O } ( \delta ) \right) } } \\ { = } & { { } - \frac { 2 p _ { C } } { k N } ( 1 - w _ { R } ) ( k - 1 ) q _ { C | C } q _ { D | C } + \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] M _ { H } ( [ u _ { i - 1 } ~ u _ { i } ~ u _ { i + 1 } ] , [ v _ { i - 1 } ~ v _ { i } ~ v _ { i + 1 } ] , \eta ) } & { { } : = P _ { H } ( x ( \eta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho _ { 1 } ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } \varrho ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f _ { 1 } ( t , x , v ) \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } v + \mathcal { R } [ \rho _ { f } ] ( t , x ) , } \\ { j _ { f } ( t , x ) } & { = p ^ { \prime } ( \varrho _ { 1 } ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } v \nabla _ { x } \varrho ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f _ { 1 } ( t , x , v ) \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } v + \mathcal { R } [ j _ { f } ] ( t , x ) , } \end{array}
- \frac { \partial p _ { s } } { \partial x } + G \frac { \partial ^ { 2 } { u _ { x } } } { \partial z ^ { 2 } } + m \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { x } } { \partial z ^ { 2 } } \right) = 0 ,
\operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) = \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \bar { \ell } ) ) , \quad \operatorname { S t e k } _ { N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 4 } } } ( \bar { \ell } ) ) = \operatorname { S t e k } _ { N } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \bar { \ell } ) ) .
\widetilde { C } _ { \mathrm { ~ o ~ i ~ l ~ } } = \frac { ( C _ { \mathrm { ~ o ~ i ~ l ~ } } - C _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ } } ) } { ( C _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } - C _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ } } ) }
\begin{array} { r l } { U B ^ { ( k ) } } & { = \Psi \sum _ { p \in \mathcal { P } } \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { p } } - x _ { p , r } ^ { ( k ) } \cdot V _ { p , r } + W T ( \boldsymbol { q } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { z } ^ { ( k ) } ) + I V T ( \boldsymbol { z } ^ { ( k ) } ) } \\ { L B ^ { ( k ) } } & { = \Psi \sum _ { p \in \mathcal { P } } \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { p } } - x _ { p , r } ^ { ( k ) } \cdot V _ { p , r } + Z ^ { ( k ) } } \end{array}
E _ { e f f ( 3 + 1 ) } = - \frac { B _ { m } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } y \ln \left( \frac { y ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } / B _ { m } } { m _ { f } ^ { 2 } / B _ { m } } \right) \left( G ( y , B _ { m } d ^ { 2 } ) - c \right) d y
G ^ { h } ( z ) = \frac { H ^ { 2 } \Gamma [ a _ { + } ] \Gamma [ a _ { - } ] } { 8 \pi ^ { 2 } } { } _ { 2 } F _ { 1 } [ a _ { + } , a _ { - } ; 2 ; \frac { 1 } { 2 } ( 1 + z ) ]
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathscr { E } + \mathrm { d i v } \left( \mathscr { E } \mathbf { v } \right) - \mathrm { d i v } \left( \mathbf { v } \mathbf { T } \right) - \rho \mathbf { b } \cdot \mathbf { v } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } - \rho r } & { { } = ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi ( \gamma ^ { \prime } ) = \left( \boldsymbol { \gamma } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \gamma } _ { { a } } , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \gamma _ { a } ^ { \prime } \right) \in \mathbb { A } _ { p _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { p _ { a } } ^ { m _ { a } } \times \mathbb { A } _ { p _ { 1 } ^ { \prime } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { p _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } } , } \\ & { \phi ( \mu ^ { \prime } ) = \left( \boldsymbol { \mu } _ { { 1 } } , \ldots , \boldsymbol { \mu } _ { { b } } , \mu _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mu _ { b } ^ { \prime } \right) \in \mathbb { A } _ { q _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { q _ { b } } ^ { n _ { b } } \times \mathbb { A } _ { q _ { 1 } ^ { \prime } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { q _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } } , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { | 1 - r _ { n _ { k } } ( \tau _ { n _ { k } } ) | \geq } & { | 1 - J _ { 0 } ( 2 \pi \widetilde { \tau } _ { n _ { k } } ) | - | \widetilde { r } _ { n _ { k } } ( \widetilde { \tau } _ { n _ { k } } ) - J _ { 0 } ( 2 \pi | \widetilde { \tau } _ { n _ { k } } | ) | } \\ & { \geq | 1 - J _ { 0 } ( 2 \pi \widetilde { \tau } _ { n _ { k } } ) | + o ( 1 ) . } \end{array}
\Gamma ( \eta _ { c } ) \; = \; { \frac { 1 } { 2 M _ { \eta _ { c } } } } \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 { \pi } ) ^ { 3 } 2 k } } \, { \frac { 2 \pi \delta ( M _ { \eta _ { c } } - 2 | { \bf k } | ) } { M _ { \eta _ { c } } } } \, \big | { \cal T } [ \eta _ { c } \to g ( { \bf k } ) g ( - { \bf k } ) ] \big | ^ { 2 } .
\beta \Delta G = - \ln \left[ \frac { \xi } { 4 ( \rho / \rho ^ { \circ } ) ^ { n - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { n } } \right] - \ln \left( v _ { 0 } \rho ^ { \circ } N _ { \mathrm { ~ s ~ } } \right) + n \ln \left( v _ { 0 } \rho ^ { \circ } N _ { \mathrm { ~ p ~ } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \left\langle v _ { s } , \varphi _ { 1 } \right\rangle e ^ { - \frac { 1 1 \pi ^ { 2 } t } { 2 0 } } \left( \frac { 1 1 \pi ^ { 2 } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 6 4 8 } { 5 } - \frac { 8 1 \pi ^ { 4 } } { 1 0 0 } } t \right) } { 1 0 \sqrt { \frac { 6 4 8 } { 5 } - \frac { 8 1 \pi ^ { 4 } } { 1 0 0 } } } + \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 6 4 8 } { 5 } - \frac { 8 1 \pi ^ { 4 } } { 1 0 0 } } t \right) \right) , } \\ & { \left\langle v _ { s } , \varphi _ { 2 } \right\rangle e ^ { - \frac { 1 1 \pi ^ { 2 } t } { 5 } } \left( \frac { 2 2 \pi ^ { 2 } \sinh \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } t \right) } { 5 \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } } + \cosh \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } t \right) \right) } \\ & { \sim \left\langle v _ { s } , \varphi _ { 2 } \right\rangle \left( \frac { 2 2 \pi ^ { 2 } } { 1 0 \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } } + \frac { 1 } { 2 } \right) e ^ { \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } - \frac { 1 1 \pi ^ { 2 } } { 5 } \right) t } } \\ & { \quad + \mathcal { O } \left( e ^ { - \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { 3 2 4 \pi ^ { 4 } } { 2 5 } - \frac { 6 4 8 } { 5 } } + \frac { 1 1 \pi ^ { 2 } } { 5 } \right) t } \right) , \quad t \rightarrow \infty . } \end{array}
\tilde { \eta } ^ { ( 0 ) } = \mathbf { D } \mathbf { T } + \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } z ^ { 2 } \mathbf { F } ( z ) \mathbf { S } _ { L } ( \mathbf { I } + \mathbf { Q } ( z ) ) ^ { - 1 } \mathbf { S } _ { R } ^ { T } \mathbf { F } ( z ) \mathbf { T } d z ,
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 6 , 1 } } & { = } & { t _ { \alpha } \bar { 1 } y 2 1 1 2 3 = 2 1 y 2 \underline { { \bar { y } \bar { 1 } } } \bar { 2 } \cdot \bar { 1 } y 2 1 1 2 3 } \\ & { = } & { 2 1 y 2 1 \underline { { \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 2 1 } } 1 2 3 } \\ & { = } & { 2 1 y \underline { { 2 1 2 } } \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y \underline { { 2 1 2 } } 3 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { 2 1 \underline { { y 1 } } 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 1 2 1 3 } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( 0 ) } } { = } } & { 2 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 1 2 \underline { { 1 3 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { 2 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 1 2 3 \underline { { 1 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \to } } & { 1 2 y 2 1 \bar { y } \bar { 2 } \bar { 1 } y 1 2 3 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { c _ { s } ^ { + } } } & { = c _ { s } ^ { + } k _ { x } } \\ & { + \mathrm { i } \nu A \left( 1 + \frac { \varsigma ^ { 2 } \partial _ { \bar { u } _ { x } } P _ { x x } ^ { * } + B / A } { 2 \bar { \rho } \varsigma ^ { 2 } \sqrt { \varsigma ^ { 2 } + \partial _ { \bar { \rho } } P _ { x x } ^ { * } + ( \partial _ { \bar { u } _ { x } } P _ { x x } ^ { * } / 2 \bar { \rho } ) ^ { 2 } } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { c _ { s } ^ { - } } } & { = c _ { s } ^ { - } k _ { x } } \\ & { + \mathrm { i } \nu A \left( 1 - \frac { \varsigma ^ { 2 } \partial _ { \bar { u } _ { x } } P _ { x x } ^ { * } + B / A } { 2 \bar { \rho } \sqrt { \varsigma ^ { 2 } + \partial _ { \bar { \rho } } P _ { x x } ^ { * } + ( \partial _ { \bar { u } _ { x } } P _ { x x } ^ { * } / 2 \bar { \rho } ) ^ { 2 } } } \right) k _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
e ^ { \textstyle - J \alpha _ { - } \Phi ( \sigma , \tau ) } = { \frac { 1 } { \sqrt { \varpi } } } \sum _ { M = - J } ^ { J } ( - 1 ) ^ { J - M } e ^ { i h ( J - M ) } \xi _ { M } ^ { ( J ) } ( x _ { + } ) \, { \overline { { \xi } } _ { - M } ^ { ( J ) } } ( x _ { - } ) \sqrt { \varpi }
\left\vert \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 1 ) } } \right\vert \propto \left\vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 1 ) } ] - n ^ { ( 1 ) } \right\vert \propto \omega ^ { - 4 } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { \leq m } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) } & { \leq \boldsymbol { \widehat { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { \leq m } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) } \\ & { \leq \boldsymbol { \widehat { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( \leq m , n ) } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) \leq \sum _ { k = 0 } ^ { m } \boldsymbol { \widehat { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { \Lambda _ { T } ( k , n ) } ( \ell _ { r , s } ^ { n } ) \big ) \leq \sum _ { k = 0 } ^ { m } e ^ { k } \left( \frac { \varphi _ { \ell _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } } ( n ) } { \varphi _ { \ell _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } } ( k ) } \right) ^ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } _ { n + 1 } } & { { } = \mathbf { y } _ { n } + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \mathbf { k } _ { i } } \\ { \mathbf { k } _ { i } } & { { } = f ( t _ { n } + c _ { i } h , \mathbf { y } _ { n } + h \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i j } \mathbf { k } _ { j } ) , \quad i = 1 , \ldots , s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta H _ { 0 i } ^ { ( 2 ) } } & { \simeq } & { \frac { e } { T _ { i } } F _ { M } \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { s } \left[ i \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } J _ { s } J _ { + } \delta \phi _ { s } ^ { * } \delta \phi _ { + } + \left( \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { s } } { 2 \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } J _ { 0 } J _ { s } ^ { 2 } \lvert \delta \phi _ { s } \rvert ^ { 2 } \delta \phi _ { 0 } \right] } \\ & { + } & { \delta \phi _ { - } \ \mathrm { c o n t r i b u t i o n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 3 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf a _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \mathrm { i } { \bf k } \cdot { \bf a _ { 1 } } } } \end{array} \right) \rho ( C _ { 3 } ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\lambda = j _ { 2 } - \frac { \alpha j _ { 1 } } { j _ { 2 } } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 j _ { 2 } } \left( 1 - \frac { j _ { 1 } ^ { 2 } } { j _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \frac { \alpha j _ { 1 } } { 2 j _ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { j _ { 3 } ^ { 2 } } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { j _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { j _ { 1 } ^ { 2 } } { j _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] + { \cal O } ( \mu ^ { 3 } ) ,
{ \mathbf m } ^ { 2 N } ( \alpha , p _ { N } ) = \left( \begin{array} { l l } { { e ^ { - i N p _ { N } } , } } & { { \alpha e ^ { - i N p _ { N } } } } \\ { { \alpha e ^ { i N p _ { N } } , } } & { { e ^ { i N p _ { N } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { ( 1 \cdot 3 ) + ( 2 \cdot 4 ) ( 3 \cdot 5 ) + \dots + ( k - 1 ) \cdot ( k + 1 ) + k \cdot ( k + 2 ) } & { = \frac { k ( k - 1 ) ( 2 k + 5 ) } { 6 } + k \cdot ( k + 2 ) } \\ & { = \frac { k ( k - 1 ) ( 2 k + 5 ) + 6 k \cdot ( k + 2 ) } 6 } \\ & { = \frac { k } { 6 } \big ( ( k - 1 ) ( 2 k + 5 ) + 6 ( k + 2 ) \big ) } \\ & { = \frac { k } { 6 } \left( 2 k ^ { 2 } + 9 k + 7 \right) } \\ & { = \frac { k ( k + 1 ) ( 2 k + 7 ) } { 6 } } \end{array}
f ( x , y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { 3 } / ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } & { { \mathrm { i f ~ } } ( x , y ) \neq ( 0 , 0 ) } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } ( x , y ) = ( 0 , 0 ) } \end{array} \right. }
\langle \hat { E } _ { 0 } | \hat { W } _ { 0 } ( f ) | \hat { E } _ { 0 } \rangle = e ^ { - i \pi q ( \widetilde { f _ { + } } ( 0 ) - \widetilde { f _ { - } } ( 0 ) ) } \, \langle \hat { V } _ { 0 } | \hat { W } _ { 0 } ( f ) | \hat { V } _ { 0 } \rangle .
P r _ { c } = \frac { - ( 1 + L e ) \beta _ { 2 } + \sqrt { ( 1 + L e ) ^ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } - 4 \beta _ { 1 } \left[ ( 1 + L e ^ { 2 } ) \beta _ { 3 } + L e \beta _ { 4 } \right] } } { 2 [ ( 1 + L e ^ { 2 } ) \beta _ { 3 } + L e \beta _ { 4 } ] } .
\begin{array} { r l } { ( } & { \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { \pi } v ) ( s ) = \operatorname* { m i n } _ { { R , P \in \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ \underbrace { R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) } _ { \mathrm { n o m i n a l ~ v a l u e s } } \Bigm ] } \\ & { \qquad \qquad + \operatorname* { m i n } _ { { p \in \mathcal { P } } , r \in \mathcal { R } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ r ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } p ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { \qquad \mathrm { ( f r o m ~ \mathtt { s } ~ - r e c t a n g u l a r i t y ~ w e ~ h a v e ) } } \\ & { = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { \qquad \qquad + \underbrace { \operatorname* { m i n } _ { { p _ { s } \in \mathcal { P } _ { s } } , r _ { s } \in \mathcal { R } _ { s } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ r _ { s } ( a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } p _ { s } ( s ^ { \prime } | a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } _ { : = \Omega _ { s } ( \pi _ { s } , v ) } } \end{array}
R _ { M N P Q } = \left( - B _ { \infty } + \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \right] _ { M , N , P , Q \in \{ \theta _ { a } \} } \right) \left( g _ { M P } g _ { N Q } - g _ { M Q } g _ { N P } \right) ,
{ { \bar { S } } _ { i j } } \mathrm { { = } } { \lambda _ { 1 } } q _ { i } ^ { \left( 1 \right) } q _ { j } ^ { \left( 1 \right) } + { \lambda _ { 2 } } q _ { i } ^ { \left( 2 \right) } q _ { j } ^ { \left( 2 \right) } + { \lambda _ { 3 } } q _ { i } ^ { \left( 3 \right) } q _ { j } ^ { \left( 3 \right) } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } { { \lambda _ { k } } q _ { i } ^ { \left( k \right) } q _ { j } ^ { \left( k \right) } } ,
= \exp \left\{ \frac { { z } ^ { 1 } } { 1 ^ { t } } + \left( 1 + \frac { { x } ^ { 1 } } { 1 ^ { r } } \right) \left( 1 + \frac { { y } ^ { 1 } } { 1 ^ { s } } \right) \frac { { z } ^ { 2 } } { 2 ^ { t } } + \left( 1 + \frac { { x } ^ { 1 } } { 1 ^ { r } } + \frac { { x } ^ { 2 } } { 2 ^ { r } } \right) \left( 1 + \frac { { y } ^ { 1 } } { 1 ^ { s } } + \frac { { y } ^ { 2 } } { 2 ^ { s } } \right) \frac { { z } ^ { 3 } } { 3 ^ { t } } + \cdots \right\}
\begin{array} { r l } { B _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } = B _ { k \setminus i } ^ { t t ^ { \prime } } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t } \right) \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { k } ^ { t ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \left. \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta s _ { k } ^ { t } \partial s _ { k } ^ { t ^ { \prime } } } \sum _ { \boldsymbol { x } _ { k } } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { s } _ { k } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right| _ { s _ { k } = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho ^ { i } + \nabla \cdot ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) = } & { { } 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) + \nabla \cdot ( \rho ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } \mathbf { u } ^ { i } ) = } & { { } - \rho ^ { i } \nabla \mu ^ { i } + \gamma \phi ( 1 - \phi ) ( \mathbf { u } ^ { 3 - i } - \mathbf { u } ^ { i } ) } \end{array}
\Delta _ { I } S = \int _ { \pmb { \xi } _ { e q . } } ^ { \pmb \xi } d _ { I } S = \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \int _ { { { \pmb \xi } _ { e q . } } } ^ { \pmb \xi } \frac { A ^ { \mu } } { T } d { \pmb \xi } \qquad \mathrm { w i t h } \quad { \pmb \xi } \equiv \xi _ { 1 } , \cdots , \xi _ { n }