harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
C _ { 8 } ( M _ { W } ) = C _ { 8 } ^ { S M } ( M _ { W } ) - \frac { 1 } { 2 } { ( \frac { V _ { c s } } { V _ { t s } } ) } ^ { * } \frac { m _ { t } } { \Lambda } \ln ( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } ) \kappa _ { g } ,
f _ { u l } = \frac { 4 \pi \nu _ { u l } } { 3 g _ { l } c \, r _ { e } \hbar } \sum _ { m _ { u } m _ { l } } \langle u \, m _ { u } | { \bf M } | l \, m _ { l } \rangle \cdot \langle l \, m _ { l } | { \bf M } | u \, m _ { u } \rangle .
d s ^ { 2 } = ( k + f _ { 0 } \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ) ^ { - 1 } d R ^ { 2 } + R ^ { 2 } d \Omega _ { k } ^ { 2 } - ( k + f _ { 0 } \frac { R _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ) [ d x ^ { 5 } + A _ { R } ( R ) d R ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { w ^ { + } ( \lambda ) \cdot ( e ^ { - \mu _ { - } ( \lambda ) x } \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) ) } & { = e _ { 1 } ^ { T } V _ { - } ( \lambda ) ^ { - 1 } ( e ^ { - \mu _ { - } ( \lambda ) x } \eta ^ { - } ( x ; \lambda ) ) } \\ & { = e _ { 1 } ^ { T } ( e _ { 1 } + \mathbf { o } ( 1 ) ) = 1 + \mathbf { o } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle - \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \right\rangle _ { M } } & { { } = \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 1 6 a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ b ( \omega - k n ) \bigg [ 2 x \cos 2 \varpi \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \dot { \psi } _ { i } ( x , \dot { x } ) \leq L _ { \dot { \psi } _ { i } ^ { k } } \bigg | \bigg | \left[ \begin{array} { l } { d x } \\ { d \dot { x } } \end{array} \right] \bigg | \bigg | } & { \leq L _ { \dot { \psi } _ { i } ^ { k } } ( | | d x | | + | | d \dot { x } | | ) } \\ & { \leq L _ { \dot { \psi } _ { i } ^ { k } } ( | | d x | | + L _ { F } | | d x | | ) } \\ & { = L _ { \dot { \psi } _ { i } ^ { k } } | | d x | | ( 1 + L _ { F } ) } \end{array}
\frac { S } { k } \cdot \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } } \geq \phi _ { 0 } ^ { 3 } \left\{ \begin{array} { l l } { - \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } / \phi _ { 0 } , } & { \, \mathrm { f o r ~ } ( - \mu _ { h } ^ { \prime } / \phi _ { 0 } \leq \mathrm { D a } _ { 0 } ) } \\ { \frac { ( \mathrm { D a } _ { 0 } - \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } \phi _ { 0 } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } { 4 \mathrm { D a } _ { 0 } } , } & { \mathrm { f o r ~ } \, ( - \mu _ { h } ^ { \prime } / \phi _ { 0 } > \mathrm { D a } _ { 0 } ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \! \cdot \! [ ( D + \eta ) \mathbf { u } ] - \frac { 1 } { 1 5 } \Delta ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) = \frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 \sqrt { 5 } } \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \zeta _ { t } ) - \zeta _ { t } \ , } \\ & { \mathbf { u } _ { t } + g \nabla \eta + \frac { 1 } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } - \frac { 2 } { 5 } \nabla \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { \sqrt { 5 } } D \nabla \zeta _ { t t } \ . } \end{array}
\Lambda _ { n , \varepsilon } ( \theta _ { 0 } ) : = \left( \begin{array} { c c } { - \varepsilon \left( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) \Big | _ { \theta = \theta _ { 0 } } \right) _ { 1 \leq i \leq p } } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) \Big | _ { \theta = \theta _ { 0 } } \right) _ { 1 \leq i \leq q } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathscr { M } _ { 1 } } & { : = \left( \operatorname* { s u p } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 1 } ( t ) ^ { \frac 2 p } \, d t \right) ^ { \frac p 2 } , } \\ { \mathscr { M } _ { 2 } } & { : = \left( \operatorname* { s u p } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 2 } ( t ) \, d t \right) ^ { p - 1 } , } \\ { \mathscr { M } _ { 3 } } & { : = \left( \operatorname* { i n f } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 3 } ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } ( s ) \, d s \right) ^ { - \frac { \alpha } { \gamma } } , } \\ { \mathscr { M } _ { 4 } } & { : = \left( \operatorname* { i n f } _ { t \geq 1 } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 4 } ^ { - 1 } ( s ) \, d s \right) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { i + 1 } } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 6 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = \frac { f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } - \frac { ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 7 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) + \frac { \left( f _ { 8 } ( c _ { i } , F _ { i } , Z _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \right) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu \left( F ^ { * } \setminus F _ { i } \right) } } \\ { } & { ~ ~ > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } = \sin ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) = - \partial _ { \varphi ^ { \prime } } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ \bar { L } ( \bar { y } ) \log { ( n ) } + \bar { Q } ( \bar { y } ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bar { R } ( \bar { y } ) \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
\tau _ { f } = \frac { \hat { d } _ { p } ^ { 2 } } { 2 A } \left( 1 + \frac 2 3 \frac B A \hat { d } _ { p } \right) \frac { d _ { g } ^ { 2 } } { \alpha } \quad ( \hat { d } _ { p } = d _ { p } / d _ { g } ) .
\begin{array} { r } { \psi ^ { s t } ( r ) \xrightarrow [ r \to \infty ] { } \delta _ { s t } \bar { \phi } _ { s } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 0 ~ ) ~ } } ( r ) + L ^ { s t } \, \bar { \phi } _ { s } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } ( r ) \, , } \end{array}
W _ { i j } ^ { ( p ^ { \prime } ) \ i j } ( \Omega , \Omega ) = \sum _ { { \cal P } k l m } q _ { i j } ^ { ( p ^ { \prime } ) { \cal P } k l m } ( \Omega ) q ^ { ( p ^ { \prime } ) { \cal P } l m \ i j } ( \Omega ) ^ { * } = - 7 2 \alpha ( 1 ) .
\nabla ^ { 2 } \Phi = { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { \sigma } } { \frac { \partial } { \partial \sigma } } \left( \sigma { \frac { \partial \Phi } { \partial \sigma } } \right) + { \frac { 1 } { \tau } } { \frac { \partial } { \partial \tau } } \left( \tau { \frac { \partial \Phi } { \partial \tau } } \right) \right] + { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \varphi ^ { 2 } } }
{ \cal L } = g ^ { \mu \nu } \frac { \partial f ^ { * } } { \partial x ^ { \mu } } \frac { \partial f } { \partial x ^ { \nu } } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial f ^ { * } } { \partial \phi } \frac { \partial f } { \partial \phi } + \mu ^ { 2 } f ^ { * } f - \lambda ( f ^ { * } f ) ^ { 2 } .
\psi ( \underline { { x } } , t , M ) = \psi _ { 0 } ( \underline { { x } } , t ) + M \psi _ { 1 } ( \underline { { x } } , t ) + M ^ { 2 } \psi _ { 2 } ( \underline { { x } } , t ) + \mathcal { O } ( M ^ { 3 } )
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } & { - \boldsymbol { C } ^ { \mathrm { ~ p ~ p ~ } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X _ { m } ^ { N \pm 2 } } \\ { Y _ { m } ^ { N \pm 2 } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { N \pm 2 } \left( \begin{array} { l } { X _ { m } ^ { N \pm 2 } } \\ { Y _ { m } ^ { N \pm 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | f _ { n , B _ { i } ^ { \varepsilon } } - f _ { n , B _ { j } ^ { \varepsilon } } | ^ { 2 } } & { = \Big ( \fint _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } \big ( f _ { n , B _ { i } ^ { \varepsilon } } - f ( x ) \big ) d \mu ( x ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \fint _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } | f _ { n , B _ { i } ^ { \varepsilon } } - f _ { n } ( x ) | ^ { 2 } d \mu ( x ) } \\ & { \leq \fint _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } \fint _ { B _ { i } ^ { \varepsilon } } | f _ { n } ( y ) - f _ { n } ( x ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \fint _ { B _ { j } ^ { \varepsilon } } \fint _ { B ( x , 6 \varepsilon ) } | f _ { n } ( y ) - f _ { n } ( x ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) . } \end{array}
F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) _ { | \mathrm { t w i s t - 2 } } = \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d \xi } { \xi } \, C _ { 2 , L } ( \xi , \alpha _ { s } ( Q ) , Q ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) \, F ( x / \xi , \mu ) + \, \mathrm { g l u o n ~ c o n t r i b u t i o n } .
\Omega = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { } & { \omega _ { z } } & { } & { - \omega _ { y } } \\ { - \omega _ { z } } & { } & { 0 } & { } & { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } & { } & { - \omega _ { x } } & { } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i } \| ^ { 2 } = \mathbb { E } \bigg \| \bar { \nu } _ { i } - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) + ( 1 - \alpha _ { i } ) \bigg ( \bar { \nu } _ { i - 1 } - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) \bigg ) - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \bigg \| \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \left( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - ( 1 - \alpha _ { i } ) \Big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \Big ) \bigg ) + ( 1 - \alpha _ { i } ) \bar { e } _ { i - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg \| \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big [ \left( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - ( 1 - \alpha _ { i } ) \left( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \right) \Big ] \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \bar { e } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \bigg \| \Big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i } ) \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - ( 1 - \alpha _ { i } ) \Big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( \tilde { x } _ { i - 1 } ) \Big ) \bigg \| ^ { 2 } , } \end{array}
E _ { \mathrm { E W M } } ^ { \pm } = E _ { \mathrm { 2 P E } } ^ { \pm } \sin ^ { 4 } \left( \frac { A _ { C } ^ { \pm } } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { 2 i \left( \phi _ { C 2 } ^ { \pm } - \phi _ { C 1 } ^ { \pm } \right) + 2 i \nu \tau _ { c } } .
\epsilon ^ { ( 1 ) } = e ^ { { \frac { g \eta t } { \sqrt { 2 } } } \epsilon _ { i j } } { \cal H } ^ { - 1 / 8 } \left[ \sqrt { f ^ { 1 / 2 } + 1 } - \sqrt { f ^ { 1 / 2 } - 1 } \gamma _ { \overline { { { r } } } } \right] e ^ { { \frac { \eta } { 2 } } \gamma _ { \overline { { { 0 \theta r } } } } \epsilon ^ { i j } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { \overline { { { \phi \theta } } } } } ( 1 - \eta \gamma _ { \overline { { { 0 } } } } \epsilon ^ { i j } ) \epsilon _ { 0 } ^ { ( 1 ) } .
\int _ { \mathbb { R } \setminus B ( 0 , R ) } \xi ^ { 2 k } | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi \leq \frac { 1 + R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } \setminus B ( 0 , R ) } \frac { \xi ^ { 2 + k } } { 1 + \xi ^ { 2 } } \xi ^ { k } | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi \leq \frac { 1 + R ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \left\| \sqrt { \mathscr { L } } \partial _ { x } ^ { k } f \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
- i \frac { \partial < G > } { \partial \tau } = ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) < G > + g ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau _ { 0 } \int d k _ { 0 } D ( k _ { 0 } ) G _ { 0 } ( \tau _ { 0 } , p ) G _ { 0 } ( \tau - \tau _ { 0 } , p - k _ { 0 } ) .
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta _ { p } w = f } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { w = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta _ { p } z = f ^ { \sharp } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega ^ { \sharp } } \\ { z = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega ^ { \sharp } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g _ { i , j , k } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { \partial ^ { i + j + k } } { \partial r ^ { i } \partial r _ { 1 } ^ { j } \partial x ^ { k } } G ^ { ( n ) } ( r , r _ { 1 } , x ) , } \\ { \overline { { g } } _ { i , j , k } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { 1 } { i ! } \frac { 1 } { j ! } \frac { 1 } { k ! } \frac { \partial ^ { i + j + k } } { \partial r ^ { i } \partial r _ { 1 } ^ { j } \partial x ^ { k } } G ^ { ( n ) } ( r , r _ { 1 } , x ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \sinh ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \cosh ( a x ) + C } \\ { \int \cosh ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \sinh ( a x ) + C } \\ { \int \operatorname { t a n h } ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \ln ( \cosh ( a x ) ) + C } \\ { \int \coth ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \ln \left| \sinh ( a x ) \right| + C } \\ { \int \operatorname { s e c h } ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \arctan ( \sinh ( a x ) ) + C } \\ { \int \operatorname { c s c h } ( a x ) \, d x } & { = a ^ { - 1 } \ln \left| \operatorname { t a n h } \left( { \frac { a x } { 2 } } \right) \right| + C = a ^ { - 1 } \ln \left| \coth \left( a x \right) - \operatorname { c s c h } \left( a x \right) \right| + C = - a ^ { - 1 } \operatorname { a r c o t h } \left( \cosh \left( a x \right) \right) + C } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle | } & { \prec \frac { \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } } { \sqrt { L } } \, , \quad | \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle | \prec \frac { \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } } { \sqrt { L } } \, , } \\ { | \left\langle { \underline { { W \Im G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle | } & { \prec \frac { \rho _ { 1 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } } { \sqrt { L } } \, , \quad | \left\langle { \underline { { W \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle | \prec \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k } \Lambda _ { l } } { \sqrt { L } } \, . } \end{array}
\psi ( v ) = 3 \ln \Gamma ( v ) - 6 \zeta ^ { \prime } ( - 1 , v ) + 3 v ^ { 2 } \ln { v } - { \frac { 3 } { 2 } } v ^ { 2 } - 6 v \ln ( v ) + 3 v + 3 \ln { v } - { \frac { 3 } { 2 } } \ln 2 \pi + { \frac { 1 } { 2 } } - 3 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { { \big | } G _ { n } ( 3 ) { \big | } } { ( v ) _ { n } } } \, ( n - 1 ) ! , \qquad \Re ( v ) > 0 ,
\begin{array} { r l } & { \lambda ( E ; \{ p \} ) = p _ { 3 } \left( 1 - \frac { 2 p _ { 1 } E } { p _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { E ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 p _ { 1 } ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { E ^ { \alpha _ { k } } } { p _ { k + 2 } ^ { \alpha _ { k } } } \right) \exp \left( - \frac { ( E - p _ { 1 } ) ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } } \right) + p _ { N + 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { \mathrm { b } } G _ { \mathrm { b } } \left( \operatorname { a r c c o s } \left( H _ { \mathrm { b } } / r \right) \right) \kappa _ { \mathrm { b } } r ^ { - \alpha _ { \mathrm { b } } } , } & { k = \mathrm { b } , } \\ { P _ { \mathrm { u } } \bar { g } _ { \mathrm { I } , \mathrm { u } } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( r \right) \kappa _ { k } r ^ { - \alpha _ { k } } , } & { k \in \left\{ \mathrm { L } , \mathrm { N } \right\} . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { i , j } ^ { * } | ( C _ { i , j } ^ { * } = x , \widehat f _ { j , n } ^ { * } = y , \widehat \sigma _ { j , n } ^ { 2 } = z ) \overset { d } { = } F _ { i , j } | ( C _ { i , j } = x , f _ { j } = y , \sigma _ { j } ^ { 2 } = z ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad ( x , y , z ) ^ { \prime } \in ( 0 , \infty ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I _ { \mathcal { C } } } } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } + \frac { 1 - x } { 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 - x } { 2 } \right) K ( x , x ) \, \mathrm { d } x } \\ { \mathrm { I _ { \mathcal { A } } } } & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \ln \frac { 1 + x } { 2 } + \frac { 1 - x } { 2 } \ln \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { 2 } K ( x , x ) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { T } _ { i } ^ { h } = \sum _ { c \in \overline { { T } } _ { h } } \Big \{ \textbf { r } ( c ) \times \left( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \right) ( c ) \Big \} \cdot V ( c ) . } \end{array}
\leq \; \left\langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \; 2 \cosh \left( - 2 \sum _ { b = 1 } ^ { N } \beta ^ { ( b ) } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } x \; t ( x ) : \cos \Big [ 2 \sqrt { \pi } \varphi ^ { ( b ) } ( x ) \Big ] : _ { C ^ { 1 } } \right) \right\rangle _ { C ^ { 1 } } \; .
\forall r \in \mathbb { N } : \qquad \| \mathsf { K } F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } , r } ^ { \alpha + \beta , \gamma + \beta } } \le \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } ^ { \prime } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { c o h } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \alpha , \gamma } } \, .
\begin{array} { r } { H = \left( \begin{array} { l l l l } { - \frac { \omega _ { g } } { 2 } } & { 0 } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } \\ { 0 } & { + \frac { \omega _ { g } } { 2 } } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } \\ { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { \omega _ { 0 } - \frac { \omega _ { e } } { 2 } } & { 0 } \\ { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { { \frac { \Omega } { 2 } \cos \left( \omega t \right) } } & { 0 } & { \omega _ { 0 } + \frac { \omega _ { e } } { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = - { \frac { e \, m ( d + e \, x ) ^ { m - 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } } { 2 c ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \, + \, { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m } ( b + 2 c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { 2 c ( 2 p + 1 ) } } \, + \, { \frac { e ^ { 2 } m ( m - 1 ) } { 2 c ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m - 2 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } d x
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { \sigma } } ^ { 2 } } & { = \left( { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { ( \ln S _ { t _ { i } } - \ln S _ { t _ { i - 1 } } ) ^ { 2 } } { t _ { i } - t _ { i - 1 } } } \right) - { \frac { 1 } { n } } { \frac { ( \ln S _ { t _ { n } } - \ln S _ { t _ { 0 } } ) ^ { 2 } } { t _ { n } - t _ { 0 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( t _ { i } - t _ { i - 1 } ) \left( { \frac { \ln { \frac { S _ { t _ { i } } } { S _ { t _ { i - 1 } } } } } { t _ { i } - t _ { i - 1 } } } - { \frac { \ln { \frac { S _ { t _ { n } } } { S _ { t _ { 0 } } } } } { t _ { n } - t _ { 0 } } } \right) ^ { 2 } ; } \end{array} }
V ( \overline { { { \rho } } } ) = \frac { 3 e ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \overline { { { \rho } } } ^ { 4 } \left( \ln \frac { \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right) .
\delta m \frac { d ^ { 2 } a } { d t ^ { 2 } } = \delta F _ { \mathrm { h y d r o } } + \delta F _ { \mathrm { c r i c u m } } + \delta F _ { \mathrm { a c t i v e } } + \delta F _ { \mathrm { g e l } } + \delta F _ { \mathrm { f r i c t i o n } }
\begin{array} { r } { \alpha _ { \mathrm { p } } ^ { x x } ( \omega ) = - \frac { 3 } { 1 6 \pi ^ { 3 } } \lambda _ { 0 } ^ { 3 } \frac { \gamma } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) + i \gamma } , } \end{array}
\big [ \hat { \Sigma } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } } ^ { r } ( k , \hat { \nu } ^ { \le ( r ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } = \big [ \hat { \Sigma } ( k , \hat { \nu } ^ { \le ( r ) } , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } \chi _ { j } ( 4 p _ { 0 } ^ { 2 } + e ^ { 2 } ( { \bf k } , 1 ) ) \cdot v _ { s ^ { ( a ) } } [ t ^ { ( a ) } ( { \bf k } ) ] \cdot v _ { s ^ { ( b ) } } [ t ^ { ( b ) } ( { \bf k } ) ] .
g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } ; k = 2 , q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } \lvert \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rangle
\qquad \qquad + \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } = 1 } ^ { m } \left( \mathbf { I } \otimes \mathbf { g } _ { j _ { 2 } } ^ { \intercal } \left( t _ { n } \right) \right) \mathbf { f } _ { \mathbf { x x } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ) \mathbf { g } _ { j _ { 1 } } \left( t _ { n } \right) { \widetilde { J } } _ { \left( j _ { 1 } , j _ { 2 } , 0 \right) , } \qquad \qquad ( 7 . 4 )
G ^ { ( + ) } ( x , x ^ { \prime } ) = - 2 \pi i \int \frac { d ^ { n - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } } e ^ { 2 i k _ { \mu } \tilde { x } ^ { \mu } } \frac { ( 1 + f ( k _ { 0 } , \overline { { x } } ) ) } { 2 | \omega | }
\big | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big | \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { t | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | } { ( 1 - t ) ^ { 2 } + t \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } d t .
P _ { k j } ( t ) \ = \ P _ { k j } ( 0 ) \ + \ \dot { P } _ { k j } ( 0 ) \, t \ + \ \frac { 1 } { 2 } \, \ddot { P } _ { k j } ( 0 ) \, t ^ { 2 } \ + \ { \cal { O } } ( t ^ { 3 } ) .
{ \begin{array} { r l } { \iint _ { \Sigma } ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot \, d \mathbf { \Sigma } } & { = \iint _ { D } { ( \nabla \times \mathbf { F } ) ( { \boldsymbol { \psi } } ( u , v ) ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } ( u , v ) \times { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } ( u , v ) \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } v } } \end{array} }
< { e } ^ { ( 1 ) ^ { 2 } } > _ { n } ^ { \lambda \lambda } = < { e } ^ { ( 2 ) ^ { 2 } } > _ { n } ^ { \lambda \lambda } = 1 / 6 \ ; \qquad < { e } ^ { ( 3 ) ^ { 2 } } > _ { n } ^ { \lambda \lambda } = 1 / 3