harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { C } _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { C } _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { C } _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { N _ { x _ { 0 } ^ { d } } { \Sigma } _ { n , d } = \big \langle \bigg \{ \binom { d } { \alpha } ^ { \frac { 1 } { 2 } } x _ { 0 } ^ { d - 2 } x _ { i } x _ { j } \ | \ i , j = 1 , \dots , n \bigg \} \big \rangle \oplus \big \langle \bigg \{ \binom { d } { \alpha } ^ { \frac { 1 } { 2 } } x ^ { \alpha } \ | \ \alpha _ { 0 } < d - 2 \bigg \} \big \rangle = : W \oplus P . } \end{array}
\left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } + \frac { l ( l + 1 ) } { ( z + R ) ^ { 2 } } + m ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } \phi _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 2 } ( z ) + \frac { \sigma } { 4 ! } \phi _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 4 } ( z ) \right] \chi _ { n , l } ( z ) = E _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 2 } ( n , l ) \chi _ { n , l } ( z ) \; .
\langle \mathcal M _ { k } u ^ { k } , u ^ { * } - u ^ { * * } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \big ( \Vert u ^ { * } - u ^ { * * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert u ^ { k } - u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } + \Vert u ^ { * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } - \Vert u ^ { * * } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } ^ { 2 } \big ) .
\big ( \, q ^ { 2 } \, g ^ { \mu \nu } \, - \, q ^ { \mu } q ^ { \nu } \, \big ) \, \Pi ( q ^ { 2 } ) \, \equiv \, - i \int \! \mathrm { d } ^ { 4 } x \, e ^ { i \, q x } \, \langle 0 | \, T \, j ^ { \mu } ( x ) \, j ^ { \nu } ( 0 ) \, | 0 \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = s _ { l } \Big ( \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } - \alpha _ { - n } ) \sin ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \\ { + } & { c _ { l } \Big ( 1 + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } + \alpha _ { - n } ) \cos ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \\ { \delta v _ { l } } & { = s _ { l } \Big ( \omega _ { 0 } + \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) + \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) ) \cos ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \\ & { - c _ { l } \Big ( \sum _ { n \in \mathbb { Z } ^ { + } } ( \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) - \alpha _ { - n } ( \omega _ { 0 } - n \Omega ) ) \sin ( n \phi _ { l } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mu \mu } \simeq P _ { \mu \mu } ( \mathrm { S I } ) + P _ { \mu \mu } ( \ensuremath { a _ { \mu \tau } } / \ensuremath { c _ { \mu \tau } } ) + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 2 } , \alpha \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } , a _ { e \beta } ^ { 2 } , c _ { e \beta } ^ { 2 } , a _ { \mu \tau } ^ { 2 } , c _ { \mu \tau } ^ { 2 } ) , \, \, \, \, \, \, \, \beta = \mu , \tau . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi ( \boldsymbol { r } ; z ) \, = \, 1 \, - \, \frac { \exp \left( \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) } { 1 \, + \, \frac { 2 \mathrm { i } N } U } \, \left( \frac 1 { 1 \, + \, \frac U { 2 \mathrm { i } N } } \right) ^ { N } \, } \\ { \times \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { N + 1 , 1 } \\ { N + 1 , 1 } \end{array} \right| \frac 1 { 1 \, + \, \frac U { 2 \mathrm { i } N } } , - \frac { \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 } { 1 \, + \, \frac { 2 \mathrm { i } N } U } \right) \, , } \end{array}
C _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } } ( \tau ) = \frac { E [ ( x _ { 1 } ( t ) - m _ { x _ { 1 } } ) ( x _ { 2 } ( t + \tau ) - m _ { x _ { 2 } } ) ] } { s _ { x _ { 1 } } s _ { x _ { 2 } } } ,
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) + { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times ( \Delta \mathbf { r } _ { i } \times { \boldsymbol { \omega } } ) } \\ & { = \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) + { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times - ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ a n t i c o m m u t a t i v i t y } } } \\ & { = \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) + { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + - [ ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ] \; \ldots { \mathrm { ~ c r o s s - p r o d u c t ~ s c a l a r ~ m u l t i p l i c a t i o n } } } \\ & { = \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) + { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) + - [ 0 ] \; \ldots { \mathrm { ~ s e l f ~ c r o s s - p r o d u c t } } } \\ { 0 } & { = \Delta \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) ) + { \boldsymbol { \omega } } \times ( ( { \boldsymbol { \omega } } \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) \times \Delta \mathbf { r } _ { i } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | \langle S ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) , f _ { 3 } \rangle | } & { = \sum _ { L ^ { 1 } } \sum _ { ( I _ { j } ^ { 1 } ) ^ { ( \ell _ { j } ^ { 1 } ) } = L ^ { 1 } } \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } | I _ { j } ^ { 1 } | ^ { \frac 1 2 } } { | L ^ { 1 } | ^ { 2 } } \Lambda ( \langle f _ { 1 } , h _ { I _ { 1 } ^ { 1 } } \rangle , \langle f _ { 2 } , h _ { I _ { 2 } ^ { 1 } } ^ { 0 } \rangle , \langle f _ { 3 } , h _ { I _ { 3 } ^ { 1 } } \rangle ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J \circ \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ v ~ e ~ c ~ } } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) } & { { } = A ( \tau , q ) * _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } \tilde { \varphi } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( \tau , q ) } \end{array}
\psi _ { g _ { 0 } } ( x , t ) = \exp ( - i \frac { m } { 2 } g _ { 0 } ^ { 2 } t ) \exp ( - i m g _ { 0 } x ) \psi _ { \frac { ( 2 m V _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } { \omega } } ^ { \sigma } ( \omega ( x - g _ { 0 } t ) )
U _ { e } = \frac { 1 } { \beta } \left[ \frac { e ^ { 2 } } { 8 } \left( | \sigma _ { 1 } | ^ { 2 } - | \sigma _ { 2 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \beta \tilde { m } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \alpha e \tilde { k } \right) | \sigma _ { 1 } | ^ { 2 } + \left( \beta \tilde { m } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \alpha e \tilde { k } \right) | \sigma _ { 2 } | ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { H ( w ; x _ { 0 } , \theta ) = \int _ { 0 } ^ { T } d t \ \lVert W \dot { \psi } ( t ) - f ( x _ { 0 } - \hat { W } \boldsymbol { 1 } + W \psi ( t ) , t ; \theta ) \lVert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x x } ( \tau ) = } & { { } \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \{ \mathrm { c o s } [ \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t - \mathrm { c o s } [ 2 \Omega _ { 0 } t + \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) + \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t \} } \\ { = } & { { } \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t } \\ { = } & { { } \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { 1 } = \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A } { d - w } \; \; \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ . ~ } \; \; C _ { 2 } = \frac { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { r } A } { w } } \\ { R _ { 1 } = \frac { \rho _ { \mathrm { ~ n ~ d ~ } } ( d - w ) } { A } \; \; \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ . ~ } \; \; R _ { 2 } = \frac { \rho _ { \mathrm { ~ d ~ } } w } { A } } \end{array}
\mathbf { t } ( \tilde { \mathbf { t } } ) = ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) \tilde { \mathbf { t } } = \left( \mathbf { I } - \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } } \\ { \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } - \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } } \\ { \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } - \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \pm \frac { 1 } { 2 } } \\ { \mp \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right] \quad \rightarrow \quad \tilde { \mathrm { t } } _ { 1 } = \tilde { \mathrm { t } } _ { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 }
\begin{array} { r l r } { T _ { T h } = \frac { \epsilon _ { T h } } { \epsilon _ { i n } } = } & { 1 - \frac { 2 \Gamma _ { 1 } \left( - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) } { \left( - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma \right) ^ { 2 } - \beta _ { 1 2 } \beta _ { 2 1 } } , } & { T _ { D r } = - \frac { e ^ { i \pi m } 2 \sqrt { \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } } \left( - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) } { \left( - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma \right) ^ { 2 } - \beta _ { 1 2 } \beta _ { 2 1 } } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } V _ { e f f } ^ { ( 2 ) } ( T = 0 , \mu , m ) } { \partial m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \pi } \left\{ \begin{array} { l l l } { { \ln \frac { m } { m ( 0 ) } + 1 } } & { { \mathrm { w h e n } } } & { { \mu \leq m } } \\ { { \ln \frac { \mu + \sqrt { \mu ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { m ( 0 ) } - \frac { m ^ { 2 } } { ( \mu + \sqrt { \mu ^ { 2 } - m ^ { 2 } } ) \sqrt { \mu ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } } } & { { \mathrm { w h e n } } } & { { \mu > m } } \end{array} \right. ,
{ _ 3 F _ { 2 } } \left( \left. { - j , j + \alpha , \beta \atop \alpha - 1 , 1 + \beta } \right| 1 \right) = \frac { \beta } { \alpha - 1 } \frac { ( 1 ) _ { j } } { ( \alpha ) _ { j } } \left[ ( - 1 ) ^ { j } + \frac { \alpha - \beta - 1 } { \beta } \frac { ( \alpha - \beta ) _ { j } } { ( 1 + \beta ) _ { j } } \right] .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K _ { f } } { \partial S _ { w } } } & { { } = K _ { w } - K _ { h } , } \\ { \frac { \partial \Delta } { \partial S _ { w } } } & { { } = \frac { \Delta } { K _ { f } } \frac { \partial K _ { f } } { \partial S _ { w } } . } \end{array} } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { H } [ \boldsymbol { w } ] } { \partial \boldsymbol { w } } = \frac { \partial \mathcal { H } [ \boldsymbol { w } ] } { \partial \boldsymbol { \tau } } \frac { \partial \boldsymbol { \tau } } { \partial \boldsymbol { w } } .
\begin{array} { r l } & { \phi _ { 2 } = \Phi _ { 2 } } \\ & { \phi _ { 1 } = \Phi _ { 1 } - 2 \Phi _ { 2 } \Omega } \\ & { \phi _ { 0 } = \Phi _ { 0 } - \Phi _ { 1 } \Omega + \Phi _ { 2 } \Omega ^ { 2 } } \end{array} \quad \; \Leftrightarrow \quad \; \begin{array} { r l } & { \Phi _ { 2 } = \phi _ { 2 } } \\ & { \Phi _ { 1 } = \phi _ { 1 } + 2 \phi _ { 2 } \Omega } \\ & { \Phi _ { 0 } = \phi _ { 0 } + \phi _ { 1 } \Omega + \phi _ { 2 } \Omega ^ { 2 } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \frac 1 4 ( 3 - \sqrt { 8 } ) ( | u | _ { A } ^ { 2 } + | v | _ { A } ^ { 2 } ) } & { \le h ( u , v ) \le \frac 1 4 ( 3 + \sqrt { 8 } ) ( | u | _ { A } ^ { 2 } + | v | _ { A } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac 1 4 ( 3 - \sqrt { 8 } ) \lambda _ { m } ( | u | ^ { 2 } + | v | ^ { 2 } ) } & { \le h ( u , v ) \le \frac 1 4 ( 3 + \sqrt { 8 } ) \lambda _ { M } ( | u | ^ { 2 } + | v | ^ { 2 } ) . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \phi = 0 , ~ \frac { \partial \phi } { \partial \boldsymbol { \mathrm { n } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { [ ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x _ { p } } ) \times \boldsymbol { \mathrm { n } } ] \cdot \boldsymbol { \mathrm { e _ { z } } } ~ ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ a ~ i ~ r ~ f ~ o ~ i ~ l ~ } } \\ { 0 ~ ~ \mathrm { ~ o ~ n ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ } } \end{array} \right. ,
\delta G _ { \mu \nu } ^ { a b } \; = \; - i g ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \, G _ { \mu \lambda } ^ { a c } ( \theta ) \epsilon _ { \lambda \rho \sigma } \, f ^ { c d e } \, \delta \theta _ { \rho } ^ { d } \, G _ { \sigma \nu } ^ { e b } ( \theta ) \; ,
\ensuremath { \left\langle { L } _ { f } { S } _ { f } { M } _ { { L } _ { f } } { M } _ { { S } _ { f } } \left\lvert \hat { c } _ { j } \right\rvert { L } _ { i } { S } _ { i } { M } _ { { L } _ { i } } { S } _ { i } \right\rangle }
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle v _ { z } ( r , z , t ) = } & { - \frac { a ^ { 2 } ( z , t ) } { 4 \mu } \frac { \partial p } { \partial z } \left( 1 - \left( \frac { r } { a ( z , t ) } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \displaystyle v _ { r } ( r , z , t ) = } & { \frac { \partial a ( z , t ) } { \partial t } \frac { r } { a ( z , t ) } \left( 2 - \left( \frac { r } { a ( z , t ) } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { a ( z , t ) ^ { 2 } } { 4 \mu } \frac { \partial p } { \partial z } \frac { r } { a ( z , t ) } \frac { \partial a ( z , t ) } { \partial z } \left( 1 - \left( \frac { r } { a ( z , t ) } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { L _ { 1 , l } : = L I S ( \sigma | _ { \mathcal { S } _ { 1 , l } \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) , } \\ { L _ { 2 , l } : = L I S ( \sigma | _ { \mathcal { S } _ { 2 , l } \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { R _ { 1 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 2 } ( G , G , C ) = 1 } \\ { R _ { 1 } ( G , B , D ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) + R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( B , G , C ) > 2 } \\ { P ( G , G ) = 1 } \\ { P ( G , B ) = 0 } \\ { P ( B , G ) = 1 } \\ { P ( B , B ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ E q . ~ ( ) ~ h o l d s } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { R _ { 1 } ( G , G , D ) < 1 } \\ { R _ { 1 } ( B , G , C ) > R _ { 1 } ( B , G , D ) } \\ { \frac { b } { c } > \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , G , C ) - R _ { 1 } ( G , G , D ) } , \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( B , G , C ) - R _ { 1 } ( B , G , D ) } \right\} } \\ { R _ { 1 } ( G , B , C ) \leq R _ { 1 } ( G , B , D ) { \quad \mathrm { o r } \quad } \frac { b } { c } < \frac { R _ { 1 } ( B , G , C ) + R _ { 2 } ( G , B , D ) } { R _ { 1 } ( G , B , C ) - R _ { 1 } ( G , B , D ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { M } ^ { ( 2 ) } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \left[ \begin{array} { c c c } { - \frac { 1 } { T _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { T _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { T _ { 1 } } } \end{array} \right] \boldsymbol { M } ^ { ( 2 ) } + \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { M _ { 0 } } { T _ { 1 } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } ) = \hat { H } _ { F } ( R ; \bar { \omega } , \bar { r } ) + \hat { H } _ { B } ( \omega ; \bar { R } , \bar { r } ) + \Delta H _ { \mathrm { i n t e r } } ( R , \omega ; \bar { r } ) .
\begin{array} { r l r l } { p = } & { { } \frac { P } { K _ { p } } } & { n = } & { { } \frac { N } { K _ { n } } } \\ { \gamma = } & { { } \frac { g } { K _ { p } } } & { \epsilon = } & { { } a t _ { 0 } } \\ { k ( p ) = } & { { } R _ { p } ( p K _ { p } ) } & { r _ { n } ( n ) = } & { { } R _ { n } ( n K _ { n } ) } \\ { \tau = } & { { } \frac { 1 } { t _ { 0 } c } } & { \tilde { t } = } & { { } t / t _ { 0 } } \\ { q = } & { { } \frac { 1 } { d K _ { p } t _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ } } ^ { \prime } } & { { } = E _ { 0 } \frac { \tilde { B } ( z ) } { B _ { 0 } } \cos \left( k y ^ { \prime } - \omega t \right) \hat { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { K \geq K _ { 0 } } \mathbb { P } \left( | \langle M ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { S _ { K } } - \langle M ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { T _ { K } } | \geq \alpha , T _ { K } \leq S _ { K } + \delta \right) } & { { } \leq \epsilon } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \operatorname* { s u p } _ { K \geq K _ { 0 } } \mathbb { P } \left( | V _ { S _ { K } } ^ { H | K } ( f ) - V _ { T _ { K } } ^ { H | K } ( f ) | \geq \alpha , T _ { K } \leq S _ { K } + \delta \right) } & { { } \leq \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast \omega ) \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { H } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { H } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ { : = } & { { } T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) } { m c ^ { 2 } } } \, \lambda _ { i } \, \psi _ { i } ( \vec { x } ) \overset { \footnotesize ( ) } { = } \sum _ { d = 1 } ^ { D } } & { \left[ \psi _ { i } ( \vec { x } + \hat { d } \delta ) \; \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) - V ( \vec { x } + \hat { d } \delta / 2 ) } { m c ^ { 2 } } } + \psi _ { i } ( \vec { x } - \hat { d } \delta ) \; \mathrm e ^ { \frac { V ( \vec { x } ) - V ( \vec { x } - \hat { d } \delta / 2 ) } { m c ^ { 2 } } } \right] = } \\ & { \overset { \footnotesize ( ) } { = } 2 D \psi _ { i } + \delta ^ { 2 } \left[ \Delta - \frac { \vec { \nabla } V } { m c ^ { 2 } } \vec { \nabla } - \frac { 1 } { 4 } \frac { \Delta V } { m c ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \Big ( \frac { \vec { \nabla } V } { m c ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } \right] \psi _ { i } ( \vec { x } ) . } \end{array}
e _ { \mathrm { ~ g ~ s ~ } } ^ { \infty } = \frac { \Delta } { 4 } - \int \mathrm { d } x \, \frac { 1 - \Delta ^ { 2 } } { 2 \cosh ( \pi x ) \big [ \cosh ( 2 x \operatorname { a r c c o s } { \Delta } ) - \Delta \big ] } .
u _ { m \ell } ( r ) = - w _ { \infty , m \ell } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } ( r ^ { \prime } - 1 ) ^ { - 2 } w _ { \infty , m \ell } ^ { - 2 } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { r ^ { \prime } } \frac { x + 1 } { x - 1 } \, d x } \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } w _ { \infty , m \ell } ( x ) e ^ { - i m \int _ { r _ { 0 } } ^ { x } \frac { y + 1 } { y - 1 } \, d y } F _ { m \ell } ( x ) \, d x \, d r ^ { \prime } .
E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { + } } \left( 1 + \frac { v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } \quad , \quad E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime } = \frac { E _ { \gamma _ { - } } \left( 1 - \frac { v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } . \eqno ( 3 8 )
L ( p _ { 2 } ( \lambda ) , \psi _ { 2 } ( \lambda ) ) = \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) \frac { ( p _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } ( \psi _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, ,
| \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( | \uparrow \downarrow \uparrow \rangle + | \downarrow \uparrow \uparrow \rangle + | \uparrow \uparrow \downarrow \rangle ) , \ \ E _ { B } = J / 2
\left\{ A _ { 1 } , \cdots , A _ { 2 k } \right\} _ { { \footnotesize N B } } = \frac { 1 } { \left( N - k \right) ! } \left\{ A _ { 1 } , \cdots , A _ { 2 k } , x _ { i _ { 1 } } , p _ { i _ { 1 } } , \cdots , x _ { i _ { N - k } } , p _ { i _ { N - k } } \right\} _ { { \footnotesize N B } } \; .
\begin{array} { r l } { \| r _ { C } ^ { ( k ) } \| } & { = \| ( V _ { p } Z _ { 1 } + V _ { p , \perp } Z _ { 2 } ) ^ { T } S _ { C } ( V _ { p } Y _ { 1 } + V _ { p , \perp } Y _ { 2 } ) \| } \\ & { = \| Z _ { 1 } ^ { T } \Sigma _ { p } ^ { 2 } Y _ { 1 } + Z _ { 2 } ^ { T } \Sigma _ { p } ^ { \prime 2 } Y _ { 2 } \| \leq 2 \| S _ { C } \| \epsilon _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \sum _ { \beta = 1 } ^ { M } E _ { \beta } ( t ) \bigg | ^ { 2 } } & { { } = I _ { \alpha } ( t ) + \sum _ { \beta \neq \alpha } I _ { \beta } ( t ) + \sum _ { \gamma } \sum _ { \beta \neq \gamma } E _ { \gamma } ^ { * } ( t ) \, E _ { \beta } ( t ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { f _ { \eta } ^ { 1 } } & { = - [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } , } \\ { d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) } & { = \ast \Big ( ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ) \wedge ( \ast d \eta ) \Big ) + d \Big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) } \\ { f _ { \Sigma } ^ { 1 } } & { = - e _ { \phi } ^ { 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \boldsymbol { Q } = \left[ \begin{array} { c c } { \alpha } & { - \beta ^ { * } } \\ { \beta } & { \alpha ^ { * } } \end{array} \right] , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \left| \alpha \right| ^ { 2 } + \left| \beta \right| ^ { 2 } = 1 , } \end{array}
\left( \frac { \partial } { \partial q ^ { 2 } } \right) ^ { l } G ^ { ( d ) } ( q ^ { 2 } , \{ m _ { s } ^ { 2 } \} ) = \frac { ( - 1 ) ^ { ( L + 1 ) l } } { \pi ^ { L l } } \overline { { { Q } } } ^ { l } ( \partial ) G ^ { ( d + 2 l ) } ( q ^ { 2 } , \{ m _ { s } ^ { 2 } \} ) .
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } G _ { i j } ^ { < } ( t ) } & { = [ h ^ { \textrm { H F } } ( t ) , G ^ { < } ( t ) ] _ { i j } + [ I + I ^ { \dagger } ] _ { i j } ( t ) } \\ { i \partial _ { t } \mathcal { G } _ { i j k l } ( t ) } & { = [ h ^ { ( 2 ) , \textrm { H F } } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) ] _ { i j k l } + \Psi _ { i j k l } ( t ) . } \end{array}
\Delta n ( \mathbf { r } ) _ { \mathbf { q } , A } = 2 A \textnormal { c o s } \left( \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } \right) \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } ) \ .
\begin{array} { r l } { \Psi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { A } ) = } & { \frac { 1 } { \sqrt { A ! } } \left[ \Pi _ { n = 0 } ^ { A - 1 } \mathcal { N } _ { n } e ^ { - \frac { x _ { i } ^ { 2 } } { 2 } } \right] \times } \\ & { \left| \begin{array} { l l l l } { H _ { 0 } \left( x _ { 1 } \right) } & { H _ { 0 } \left( x _ { 2 } \right) } & { \ldots } & { H _ { 0 } \left( x _ { A } \right) } \\ { H _ { 1 } \left( x _ { 1 } \right) } & { H _ { 1 } \left( x _ { 2 } \right) } & { \ldots } & { H _ { 1 } \left( x _ { A } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { H _ { A - 1 } \left( x _ { 1 } \right) } & { H _ { A - 1 } \left( x _ { 2 } \right) } & { \ldots } & { H _ { A - 1 } \left( x _ { A } \right) } \end{array} \right| . } \end{array}