harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \theta _ { l e x } ( r ) \leq 2 } & { \bigg ( \int _ { H } \int _ { - \infty } ^ { \rho ( r ) } \int _ { \| \xi \| \leq c s } | f ( A , - s ) \gamma _ { 0 } | \, d s \, d \xi \pi ( d A ) } \\ { + } & { \int _ { H } \int _ { - \infty } ^ { \rho ( r ) } \int _ { \| \xi \| \leq c s } \int _ { \mathbb { R } } | f ( A , - s ) x | \, \nu ( d x ) \, d s \pi ( d A ) \bigg ) . } \end{array}
{ \bf R } = \left( \begin{array} { l l l } { { c _ { 1 3 } } } & { { 0 } } & { { s _ { 1 3 } } } \\ { { - s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } } } & { { c _ { 2 3 } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { - s _ { 1 3 } c _ { 2 3 } } } & { { - s _ { 2 3 } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) .
J _ { n , n + 1 } ^ { i j } ( x ^ { - } ) = U _ { n } ^ { \dagger } ( x ^ { - } ) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { - } } U _ { n } ( x ^ { - } ) - U _ { n + 1 } ( x ^ { - } ) \stackrel { \leftrightarrow } { \partial _ { - } } U _ { n + 1 } ^ { \dagger } ( x ^ { - } )
\begin{array} { r } { | \lambda _ { 1 } ^ { A } | = ( | \lambda _ { 1 } ^ { A } | - | \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } | ) + ( | \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } | - | \lambda _ { 2 } ^ { A _ { 0 } } | ) + ( | \lambda _ { 2 } ^ { A _ { 0 } } - | \lambda _ { 2 } ^ { A } | ) + | \lambda _ { 2 } ^ { A } | \ge | \lambda _ { 2 } ^ { A } | - \kappa \delta , } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } P _ { t } ( n \, | \, n _ { 0 } ) = \mu ( n - 1 ) P _ { t } ( n - 1 \, | \, n _ { 0 } ) - \mu n P _ { t } ( n \, | \, n _ { 0 } ) .
\begin{array} { r } { 5 \sqrt { \ln { c e } } \sqrt { \ln { e t } } \ge 3 \sqrt { \ln { e 0 . 2 2 t / \sqrt { \ln { e t } } } } + \sqrt { \ln { 6 7 c ^ { 2 } } + 2 \ln { 0 . 2 2 t / \sqrt { \ln { e t } } } } } \end{array}
\mathcal { J } ( \boldsymbol { f } ) = - \Gamma ^ { \prime } ( \phi _ { * } ) - \lambda \left( \langle \boldsymbol { f } \cdot \boldsymbol { f } \rangle - 1 \right) - \mu \left( \Delta \Omega + \epsilon \Gamma ( \phi _ { * } ) \right) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \hat { \theta } _ { n } } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \{ \theta _ { 0 } , \theta _ { 0 } + \delta v \} } E _ { x } ^ { \theta } \left[ \Vert \hat { \theta } _ { n } ( Y _ { 0 : n } ) - \theta \Vert ^ { 2 } \right] \geq \frac { \delta ^ { 2 } \Vert v \Vert ^ { 2 } } { 8 } \left[ 1 - 2 \Vert P _ { n } ^ { \theta _ { 0 } } - P _ { n } ^ { \theta _ { 0 } + \delta v } \Vert _ { T V } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
( \! { { \bf { H } } _ { \mathrm { { c o m } } } ^ { 2 } } \! ) ^ { \! H } \! \! = \! { \! \bf { H } } _ { \mathrm { I } } ^ { H } { \! \mathrm { d i a g } } \! \left( \! { \boldsymbol { \varphi } } ^ { 2 } \! \right) { \! \bf { G } } \! + { \! \bf { H } } _ { \! \mathrm { d } } ^ { H } \! = \! \left[ { \! { \boldsymbol { h } } _ { \! { \mathrm { c o m } } , 1 } ^ { 2 } } , { \! { \boldsymbol { h } } _ { \! \mathrm { { c o m } } , 2 } ^ { 2 } } , \! \cdots \! , { \! { \boldsymbol { h } } _ { \! { \mathrm { c o m } } , K } ^ { 2 } } \! \right] ^ { \! H } .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 1 } ( q ) } & { = } & { - a \left( { p } _ { h } , { q } \right) + b ( \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , { q } ) } \\ & { = } & { - \left( p _ { h } , q \right) + ( \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } , q ) } \\ & { = } & { \left( { \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } } _ { h } - p _ { h } , q \right) _ { \mathcal { T } _ { h } } + ( \mathrm { c u r l } _ { h } ( \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } - \boldsymbol { u } _ { h } ) , q ) _ { \mathcal { T } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \infty ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { \rho ^ { * } \to \infty } \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) } & { = \frac { \delta _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } { \delta _ { n , i } \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } = E \left[ \lambda | n \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { G ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } = \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } } \\ & { } & { \mp \frac { B } { B _ { \phi } } \frac { 2 } { \alpha \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \alpha } \biggl [ - \ln \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } } \\ & { } & { - \frac { X } { W } \ln \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } + \ln \biggl ( 1 + 2 \alpha \frac { X } { W } \biggr ) \biggr ] } \\ & { } & { \mp \frac { I } { I _ { 0 } } \frac { \ln [ ( 1 + 2 \alpha X / W ) / \{ 1 \mp \alpha \mathrm { s g n } ( I ) \} ] } { \ln [ ( 1 + \alpha ) / ( 1 - \alpha ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } } & { { } = \frac { v \left( \cos \psi + { \bf h } \cdot \mathbf { q } \right) { \bf p } } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } } - \sin \psi { \bf a } _ { \phi } \, , } \\ { \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } } } & { { } = \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial { \bf q } } \frac { \left( \cos \psi + { \bf h } \cdot \mathbf { q } \right) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } } - \frac { { \bf h } } { v } \sqrt { 1 - v ^ { 2 } ( { \bf p } \cdot { \bf p } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d + 1 } } q ^ { k , \alpha } ( m , \tilde { x } , b , a ; s , x _ { 0 } ) d a d b } & { \leq { \mathbf 1 } _ { m > x _ { 0 } ^ { 1 } } \frac { \| B \| _ { \infty } C _ { T } D 2 ^ { ( d + 1 ) / 2 } } { \sqrt { t - s } } \frac { e ^ { - \frac { | \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { t } ^ { d + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \| D ( \widetilde { \Psi } _ { K } - \mathrm { I d } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { K } ) } \leq C h , \quad \| D ( \widetilde { \Psi } _ { K } ^ { - 1 } - \mathrm { I d } ) \| _ { L ^ { \infty } ( K ) } \leq C h } \\ & { \| D ^ { s } \widetilde { \Psi } _ { K } \| _ { L ^ { \infty } ( \widetilde { K } ) } \leq C , \quad \| D ^ { s } \widetilde { \Psi } _ { K } ^ { - 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( K ) } \leq C \quad \forall s \in [ 1 , r + 1 ] . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { \frac { 1 } { 3 } \int \boldsymbol { r } \cdot \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \\ { t _ { i } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int [ \boldsymbol { r } \times \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) ] _ { i } \thickspace d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \\ { q _ { i j } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int \big [ r _ { i } \mu _ { j } ( \boldsymbol { r } ) + r _ { j } \mu _ { i } ( \boldsymbol { r } ) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \boldsymbol { r } \cdot \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { r } ) \big ] d ^ { 3 } \boldsymbol { r } , } \end{array}
V _ { w } ( x , k ) \approx \frac { \Delta y } { 2 \pi \mathrm { i } \hbar } \sum _ { \zeta = - \infty } ^ { + \infty } \left[ V ( x + \frac { y _ { \zeta } } { 2 } ) - V ( x - \frac { y _ { \zeta } } { 2 } ) \right] \, e ^ { - \mathrm { i } k y _ { \zeta } }
\begin{array} { r l } { - \mathbf n \cdot \textbf { D } \nabla c _ { \varepsilon } } & { = \mathrm { D a } ( c _ { \varepsilon } ^ { a } - 1 ) \qquad \mathbf x \in \Gamma ^ { \varepsilon } , \quad t > 0 } \\ { c ( \mathbf x , 0 ) } & { = c _ { \mathrm { \tiny { i n } } } ( \mathbf x ) \qquad \mathbf x \in \Omega _ { p } ^ { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ( t _ { 0 } ) = } & { \ \ \big \{ \mathbf { x _ { 0 } } \in U : \mathbf { x _ { 0 } } = \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , \ \mathbf { p } = [ u , v ] ^ { \top } \in V = [ u _ { 1 } , u _ { 2 } ] \times [ v _ { 1 } , v _ { 2 } ] \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \big \} , } \\ { \mathcal { M } ( t ) = } & { \ \ \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathcal { M } ( t _ { 0 } ) ) = \big \{ \mathbf { x _ { t } } \in U : \mathbf { x _ { t } } = \hat { \mathbf { r } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) , \ \mathbf { p } \in V \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| \frac { d \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } \right| \le } & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left| u ^ { \mathsf T } \nabla _ { \theta + \alpha u } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) | _ { \alpha = 0 } \right| } \\ { \le } & { \sum _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) | u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } - u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \left( | u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } e _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } | + | u _ { s _ { 1 } } ^ { \mathsf T } \pi _ { 1 } ^ { \alpha } ( \cdot , \cdot | s _ { 1 } ) | \right) \le 2 } \end{array}
\mathbf { u } = { \left( \begin{array} { l l l } { - 2 } & { 6 } & { - 4 } \end{array} \right) } ^ { \textsf { T } } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 3 } & { - 2 } \end{array} \right) } ^ { \textsf { T } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { L i } _ { 2 } ( - e ^ { a \hbar } ; e ^ { \hbar } ) } & { = - \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } \left( \frac { 1 } { 2 \hbar } - \frac { 1 } { \hbar } \right) + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \left( \log ( - 2 \hbar ) - \log ( - \hbar ) \right) + \frac { B _ { 2 } ( a ) } { 4 } ( 2 \hbar - \hbar ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k + 1 } ( a ) B _ { 2 k } } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } \bigl ( ( 2 \hbar ) ^ { 2 k } - \hbar ^ { 2 k } \bigr ) + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) } \\ & { = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 + \frac { B _ { 2 } ( a ) } { 4 } \hbar } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k + 1 } ( a ) B _ { 2 k } } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) , } \end{array}
\left\langle a _ { \nu } , a _ { \mu } \right\rangle = \left\langle \delta a _ { \nu } \delta a _ { \mu } \right\rangle = \left\langle a _ { \nu } a _ { \mu } \right\rangle - \left\langle a _ { \nu } \right\rangle \left\langle a _ { \mu } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { \left( \log J _ { p } ( a / q ) , \log J _ { p ^ { \prime } } ( a / q ) \right) = } & { \sum _ { j \ge 0 } \left( h _ { p } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) , h _ { p ^ { \prime } } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) \right) } \\ { = } & { \sum _ { j \ge 0 } \left( \frac { a _ { 2 j + 2 } } { 8 } , - \frac { a _ { 2 j + 1 } } { 8 } \right) + \sum _ { j \ge 0 } \left( g _ { p } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) , g _ { p ^ { \prime } } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \pi \mathrm { i \, } \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) + 2 \pi \mathrm { i \, } \mathcal { \epsilon } _ { c r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) } & { + \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { - \pi } \frac { 1 } { \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { \xi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi = 0 , } \end{array}
\bar { \alpha } ^ { - } | \Phi _ { s } \rangle = \Bigl ( - \frac { \partial ^ { I } } { \partial ^ { + } } \bar { \alpha } ^ { I } + \frac { s + d - 2 } { \hat { \partial } ^ { + } } \bar { \alpha } ^ { z } - \frac { 2 ( \hat { \partial } ^ { + } - \alpha ^ { + } \bar { \alpha } ^ { z } ) } { \hat { \partial } ^ { + } ( \hat { \partial } ^ { + } - 2 \alpha ^ { + } \bar { \alpha } ^ { z } ) } \bar { \alpha } ^ { z } \Bigr ) | \Phi _ { s } \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { \theta _ { n } } ( x ) } & { = \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { \theta _ { n } } ( x _ { I } ) + O \big ( \frac { { N } \cdot | I | } { 2 ^ { k } } \cdot M _ { \mathrm { H L } } f ( x ) \big ) } \\ & { \qquad = \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \chi _ { k } * f _ { \theta _ { n } } ( x _ { I } ) + O \big ( 2 ^ { - k / 2 } \cdot M _ { \mathrm { H L } } f ( x ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { ~ B ~ e ~ l ~ l ~ } } \geq \frac { P _ { g r + r g } ^ { \pi } } { 2 } + \sqrt { \frac { \sum _ { i } ( P _ { i } ^ { 2 \pi } ) ^ { 2 } - 1 } { 2 } + P _ { g r } ^ { \pi } P _ { r g } ^ { \pi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { { t o t a l } } } ( E , s / d ) = } & { { } \frac { \mu _ { 1 s , 3 p } \mu _ { 3 p , E } } { 4 \omega _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } \omega _ { \mathrm { ~ H ~ 1 ~ 5 ~ } } } \mathrm e ^ { - \mathrm i \omega _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } \tau } \int \mathrm d t \int ^ { t } \mathrm d t ^ { \prime } \sqrt { I _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } } ( t ) I _ { \mathrm { ~ H ~ 1 ~ 5 ~ } } ( t ^ { \prime } ) } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle = } & { \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r g } \rangle ] - \gamma \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle = } & { \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { s g } \rangle ] - \gamma \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle = } & { \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { n } _ { j } ^ { r } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g g } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { s r } \rangle ] + i \left( \Delta _ { r } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle } \\ & { - i \sum _ { k \neq j } V _ { j k } [ \langle \hat { n } _ { k } ^ { r } \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle + \langle \hat { n } _ { k } ^ { s } \hat { \sigma } _ { j } ^ { g r } \rangle ] , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle = } & { \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { n } _ { j } ^ { s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g g } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle ] + i \left( \Delta _ { s } + i \frac { \gamma } { 2 } \right) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle } \\ & { - i \sum _ { k \neq j } V _ { j k } [ \langle \hat { n } _ { k } ^ { s } \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle + \langle \hat { n } _ { k } ^ { r } \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle ] , } \\ { \partial _ { t } \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle = } & { \ i \frac { \Omega } { 2 } [ \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { g s } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r g } \rangle ] - i ( \Delta _ { r } - \Delta _ { s } - i { \gamma } ) \langle \hat { \sigma } _ { j } ^ { r s } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { j } ( x , s ) - \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \left( \kappa _ { j - 1 } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j - 1 } ) \Theta _ { j - 1 , k } ^ { - 1 } ( s ) + \kappa _ { j } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j } ) \Theta _ { j k } ^ { - 1 } ( s ) \right) } \\ & { \times [ \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s ) + \widetilde { p } _ { j + 1 } ( a _ { j + 1 } , s ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \mathrm { d } ( \alpha \wedge \tau ) = \mathrm { d } \alpha \wedge \tau - \alpha \wedge \mathrm { d } \tau = \mathrm { d } \alpha \wedge \tau - \alpha \wedge \alpha \wedge \tau = \mathrm { d } \alpha \wedge \tau \ . } \end{array}
Q _ { \mu \nu } ( R ) = N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { 3 / 2 } \Big ( \frac { \alpha _ { \nu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + { \frac { \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R } { \alpha _ { \mu \nu } } } \Big ) ^ { l _ { \mu } } \Big ( \frac { \alpha _ { \mu } d _ { \mu \nu } } { \alpha _ { \mu \nu } } + { \frac { \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } R } { \alpha _ { \mu \nu } } } \Big ) ^ { l _ { \nu } } .
\begin{array} { r l } { R _ { n s } = } & { \frac { n _ { s } n _ { n } } { M _ { t h _ { s } } \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } ^ { 2 } \sqrt { \pi } ( 1 + \delta _ { n s } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { s } ^ { 2 } \sigma ( v _ { s } ) } \\ & { \quad \times \left\lbrace \exp \left[ - \left( M _ { t h _ { s } } - \frac { v _ { s } } { \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } } \right) ^ { 2 } \right] - \exp \left[ - \left( M _ { t h _ { s } } + \frac { v _ { s } } { \ensuremath { v _ { \mathrm { t h } _ { s } } } } \right) ^ { 2 } \right] \right\rbrace \mathrm { d } v _ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta } \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| e _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \eta + \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \| e ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } } \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 8 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 7 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta m n } \left( \frac { 2 R ^ { 2 } } { \delta } + \frac { 1 1 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 n } + \frac { 1 2 ( 1 - \delta ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta n } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\bar { \rho } \frac { \partial } { \partial t } \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) = - \nabla ^ { 2 } p ^ { \prime } + \lambda \nabla ^ { 2 } \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) + 2 \mu \nabla ^ { 2 } \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right)
\log p ( x _ { - 0 } | x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \log p ( x _ { 1 : N } | x _ { 0 } ) \, = - \frac { d _ { x } } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } N \log \left( \frac { \pi T } { N \beta } \right) - \beta \int _ { 0 } ^ { T } d t \ \lVert \dot { x } ( t ) - f ( x , t ; \theta ) \lVert ^ { 2 } .
R m _ { t } ( H ) \sim R ( y _ { t } H ) \rightarrow 0 , \; \; \; u _ { B } \sim \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } R ( y _ { t } H ) \rightarrow \frac { 1 } { 2 } \; \; \; u _ { F } \sim \frac { 1 } { 2 } R ( y _ { t } H ) \rightarrow 0
\hat { \rho } _ { 0 } ( z ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d z _ { 2 } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d z _ { 3 } } { 2 \pi } \frac { \hat { \omega } ( z ) ^ { - 1 } \hat { \omega } ( z _ { 2 } ) ^ { - 1 } \hat { \omega } ( z _ { 3 } ) ^ { - 1 } \hat { \omega } ( z _ { 4 } ) ^ { - 1 } } { \left[ \hat { \omega } ( z ) + \hat { \omega } ( z _ { 2 } ) + \hat { \omega } ( z _ { 3 } ) + \hat { \omega } ( z _ { 4 } ) \right] ^ { 2 } }
\frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } R ( x ) ^ { 2 } } \frac { d } { d x } \left[ R ( x ) ^ { 2 } \frac { d } { d x } \right] \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) - \varphi _ { m } ^ { n } ( x ) = - S _ { m } ^ { n } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf E _ { i = k } H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } \omega } ) , x , i } ) \leq \ } & { \mathbf P _ { i = k } \left( H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } \omega } ) , x , i } ) \leq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) \left( \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) } \\ & { + \mathbf P _ { i = k } \left( H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } \omega } ) , x , i } ) \geq \alpha - 1 + \kappa ^ { \prime } / 8 \right) \left( 1 + O ( 1 / m ) \right) , } \end{array}
T _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } , P R Z } = \frac { \tilde { T } _ { \vec { k } _ { 1 } \vec { k } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } + \tilde { T } _ { \vec { k } \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } _ { 3 } \vec { k } } } { 2 } \approx - \frac { ( k k _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ( \cos \alpha - \cos \beta ) ( \cos \beta \cos \alpha + 1 + \cos \alpha - 3 \cos \beta ) .
R _ { k ^ { * } \pi } ^ { + } = \frac { 2 [ B r ( B ^ { + } \rightarrow K ^ { * + } \pi ^ { 0 } ) + B r ( B ^ { - } \rightarrow K ^ { * - } \pi ^ { 0 } ) ] } { B r ( B ^ { + } \rightarrow K ^ { * 0 } \pi ^ { + } ) + B r ( B ^ { - } \rightarrow \overline { { { K ^ { * 0 } } } } \pi ^ { - } ) }
\begin{array} { r l } { 2 \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } v \cdot E F _ { + } d x d v } & { \lesssim \| E \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| | v | F _ { + } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim ( \| \langle \xi \rangle ^ { 2 } F _ { - } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } + \| \langle v \rangle ^ { 2 } F _ { + } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ) \| \langle v \rangle ^ { 3 } F _ { + } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim 1 . } \end{array}
\rho _ { q } ^ { ( f _ { i } ) } ( { \bf k } _ { 1 } , \ldots , { \bf k } _ { q } ) \equiv \frac { 1 } { \sigma } \frac { d ^ { q } \sigma ^ { ( f _ { i } ) } } { d \omega _ { 1 } , \ldots , d \omega _ { q } } ,
\hat { U } ( \eta _ { u } ) = \frac { \Tilde { u } ( \eta _ { u } ) - u _ { B L } ( \eta _ { u } ) } { \Delta \Tilde { u } _ { d e f i c i t } } \, , \qquad \eta _ { u } = \frac { y - y _ { w a k e } } { y _ { w a k e } }
\begin{array} { r l } { d = } & { \operatorname* { m a x } _ { n _ { r } } ( 1 - \frac { N _ { S } + n _ { r } } { T _ { S D } } ) } \\ & { \times \operatorname* { m i n } \bigg \{ ( N _ { S } + n _ { r } ) ( 1 + \frac { ( K - 1 ) n _ { r } } { K ( T _ { S D } - n _ { r } - N _ { S } ) } ) , } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad N _ { S } ( 1 + \frac { K N _ { S } ^ { \ast } + ( K - 1 ) n _ { r } } { K ( T _ { S D } - n _ { r } - N _ { S } ) } ) \bigg \} . } \end{array}
t _ { f } = \tau _ { \mathrm { i s o } } \operatorname * { m i n } ( \cosh y _ { k 1 } , \cosh y _ { k 2 } ) , \; \; \Delta _ { \mathrm { t o t } } = \sqrt { \Delta _ { k 1 } ^ { 2 } + \Delta _ { k 2 } ^ { 2 } } ,
4 2 = ( - 8 0 5 3 8 7 3 8 8 1 2 0 7 5 9 7 4 ) ^ { 3 } + 8 0 4 3 5 7 5 8 1 4 5 8 1 7 5 1 5 ^ { 3 } + 1 2 6 0 2 1 2 3 2 9 7 3 3 5 6 3 1 ^ { 3 } .