harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { \tau _ { * } ^ { 1 } } ^ { 2 } ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 1 } ) } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { ~ + h _ { \tau _ { * } ^ { 2 } } ^ { 2 } ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { \quad \leq 2 ^ { - 2 / 3 } h _ { \tau } ^ { 2 } ( \| R _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { H } , \boldsymbol { p } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } + \| R _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau ) } ^ { 2 } ) . } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 N } \int d \theta \rho ( \theta ) \left( \left( \frac { \partial } { \partial \theta } \frac { \delta } { \delta \rho ( \theta ) } + { \cal V } ( \theta ) \right) ^ { 2 } - { \cal V } ^ { 2 } ( \theta ) \right) \psi [ \rho ] \; ,
\frac { \overline { { { I } } } _ { 6 } - \overline { { { I } } } _ { 4 } } { \overline { { { I } } } _ { 4 } - \overline { { { I } } } _ { 2 } } = { \frac { { . 9 9 5 1 2 2 6 1 4 6 \ldots - . 9 9 5 2 2 0 3 9 4 5 \ldots } } { { . 9 9 5 2 2 0 3 9 4 5 \ldots - . 9 9 5 5 7 5 2 2 1 2 \ldots } } } = . 2 7 5 5 7 \ldots
\Gamma _ { P V } ( A ) = ( - 1 \pm \mathrm { s i g n } ( m ) ) \frac { i \pi } { 2 } \eta ( 0 ) + i \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { P _ { 2 n + 1 } } { ( m ^ { 2 } ) ^ { n - ( d - 1 ) / 2 } } \frac { \Gamma \left( n - \displaystyle { \frac { d } { 2 } } + 1 \right) } { 2 n + 1 - d } .
\left\{ \begin{array} { r l } { \rho \dot { \mathbf u } } & { { } = - \nabla _ { \Gamma } p + 2 \mu { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } ( \mathbf D _ { \Gamma } ( \mathbf u ) ) + \mathbf b + p \kappa \mathbf n , } \\ { { \mathop { \, \mathrm { d i v } } } _ { \Gamma } \mathbf u } & { { } = 0 , } \\ { \dot { \rho } } & { { } = 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } ~ \Gamma ( t ) .
( A - \lambda I ) ^ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } = ( A - \lambda I ) [ ( A - \lambda I ) \mathbf { v } _ { 2 } ] = ( A - \lambda I ) \mathbf { v } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { 0 } ,
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k _ { 0 } t } } \\ { C _ { \mu } ( t ) } & { { } = k _ { 0 } k ^ { \mu - 1 } C _ { 0 } ( 0 ) e ^ { - k t } \cdot f _ { \mu } \ , \quad \mu \geq 1 } \\ { C _ { P } ( t ) } & { { } = C _ { 0 } ( 0 ) \left( 1 - k _ { 0 } e ^ { - k t } \sum _ { \mu = 0 } ^ { L - 1 } k ^ { \mu - 1 } \cdot f _ { \mu } \right) } \\ { f _ { \mu } } & { { } = \frac { e ^ { ( k - k _ { 0 } ) t } - { \displaystyle \sum _ { m = 0 } ^ { \mu - 1 } \frac { \left[ ( k - k _ { 0 } ) t \right] ^ { m } } { m ! } } } { ( k - k _ { 0 } ) ^ { \mu } } } \end{array}
\int \frac { d k _ { i } } { 2 \pi } \rightarrow \frac { 1 } { L _ { i } } \sum _ { n _ { i } = - \infty } ^ { + \infty } \; ; \; \; \; \; \; \; k _ { i } \rightarrow \frac { 2 n _ { i } \pi } { L _ { i } } \; , \; \; i = 1 , 2 . . . , d ,
\begin{array} { r l } & { \| { \bf X } ^ { t } - { \bf P } { \bf X } ^ { t } \| = \| \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } ( { \bf P } - { \bf W } ^ { t - 1 - j } ) { \bf \zeta } ^ { j } \| } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \| { \bf P } - { \bf W } ^ { t - 1 - j } \| _ { \textrm { o p } } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| \leq \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| . } \end{array}
\chi _ { n _ { l } , m } ( \vec { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \sqrt { \frac { n _ { l } ! } { 2 ^ { | m | } ( | m | + n _ { l } ) ! } } \, r ^ { | m | } e ^ { - r ^ { 2 } / 4 } e ^ { i m \phi } L _ { n _ { l } } ^ { | m | } \left( \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { H ( { Y } | { X } ^ { 2 } = 0 0 , | { Y } | = 1 ) } & { = H ( Y | X = 0 ) } \\ { H ( { Y } | { X } ^ { 2 } = 1 1 , | { Y } | = 1 ) } & { = H ( Y | X = 1 ) } \\ { H ( { Y } | { X } ^ { 2 } = 0 1 , | { Y } | = 1 ) } & { = H ( V ) } \\ { H ( { Y } | { X } ^ { 2 } = 1 0 , | { Y } | = 1 ) } & { = H ( V ) } \\ { H ( Y | X = 0 ) + H ( Y | X = 1 ) } & { = 2 \left[ \frac { 1 } { 2 } H ( Y | X = 0 ) + \frac { 1 } { 2 } H ( Y | X = 1 ) \right] } \\ & { = 2 H ( V | U ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } } & { = \frac { 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) ( Z - X ) } \\ { \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ) } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \nabla h ( X ) - \mu \nabla h ( Z ) - \nabla f ( X ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - p ^ { 2 } } } & { \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } \int _ { - \frac { \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sqrt { 1 - p ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta ) } } { 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } ( \theta ) } \, d \theta } \\ & { < \frac { ( 1 - p ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { \sqrt { 2 - p ^ { 2 } } } \cdot \Big ( \frac { K ( p ) } { 1 - p ^ { 2 } } + \frac { \pi } { 2 } \sqrt { \frac { p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) } { ( 1 - p ^ { 2 } ( 2 - p ^ { 2 } ) ) ( p ^ { 2 } - p ^ { 4 } ) } } \Big ) } \end{array}
Z _ { 1 } X _ { 2 } Y _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } & { - c _ { 2 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 3 } s _ { 1 } s _ { 2 } } \\ { c _ { 3 } s _ { 1 } + c _ { 1 } s _ { 2 } s _ { 3 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } } & { s _ { 1 } s _ { 3 } - c _ { 1 } c _ { 3 } s _ { 2 } } \\ { - c _ { 2 } s _ { 3 } } & { s _ { 2 } } & { c _ { 2 } c _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { B ^ { ( o ) } = - \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { n = i } ^ { M } \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } c _ { l } [ t _ { n } \beta _ { l } ^ { L + i } | L - ( n - i ) \rangle + t _ { n } ^ { \ast } \beta _ { l } ^ { i - n } | i \rangle ] + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } \sum _ { i \in \partial \Omega } c _ { l } v _ { i } \beta _ { l } ^ { i } | i \rangle + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 M } \sum _ { i , j \in \partial \Omega } c _ { l } v _ { i j } \beta _ { l } ^ { j } | i \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \langle \mathcal { L } [ f ] , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \sum _ { m , k = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( 2 k + 1 ) ! ! } { k ! } w _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } \langle \mathcal { L } [ \psi _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { k } } ^ { m } f _ { M } ] , \psi _ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { l } } ^ { n } \rangle } \end{array}
H _ { m } ^ { M } = H _ { m } ^ { L } + H _ { m } ^ { R } = \frac { 1 } { 2 } m _ { L } \int d ^ { 3 } { x } ( \bar { \psi } _ { L } \psi _ { L } ^ { c } + h . c ) + \frac { 1 } { 2 } m _ { R } \int d ^ { 3 } { x } ( \bar { \psi } _ { R } \psi _ { R } ^ { c } + h . c ) .
\begin{array} { l l } { { C _ { I } = } } & { { - A _ { m } \xi _ { I } ^ { m } + \phi _ { I } + \lambda _ { I } , } } \\ { { { \cal L } _ { \xi _ { I } } C _ { J } = } } & { { - { f _ { J I } } ^ { K } C _ { K } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \biggr | \sum _ { i , j , k } c _ { i j } \overline { { c _ { i k } } } a _ { j } b _ { k } \biggr | \leq \biggr ( \sum _ { j } | a _ { j } | ^ { 2 } \biggr ) ^ { \frac 1 2 } \biggr ( \sum _ { k } | b _ { k } | \biggr ) ^ { \frac 1 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi ( t ) \rangle } & { { } = \prod _ { j = 1 } | \psi _ { j } ( t ) \rangle , } \\ { | \psi _ { j } \rangle } & { { } = c _ { j g a } ( t ) | g _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j g b } ( t ) | g _ { j } , b _ { j } \rangle + c _ { j e a } ( t ) | e _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j e b } ( t ) | e _ { j } , b _ { j } \rangle . } \end{array}
I = \frac { 1 } { 1 6 \pi ( 8 \pi ^ { 6 } ) } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g ^ { ( 1 0 ) } } e ^ { 2 \phi ^ { ( 1 0 ) } } \left( R ^ { ( 1 0 ) } + 4 ( D \phi ^ { ( 1 0 ) } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } H ^ { ( 1 0 ) 2 } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } S _ { i } - { \overline { { R } } } { \overline { { S } } } } & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 } } ( R _ { i } ^ { 2 } + S _ { i } ^ { 2 } - d _ { i } ^ { 2 } ) - { \overline { { R } } } ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } S _ { i } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } ^ { 2 } - { \overline { { R } } } ^ { 2 } } \\ & { = ( { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { 2 } - { \overline { { R } } } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } ^ { 2 } } \\ & { = \sigma _ { R } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } ^ { 2 } } \\ & { = \sigma _ { R } \sigma _ { S } - { \frac { 1 } { 2 n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } d _ { i } ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } \big ( \tilde { A } _ { 1 } - \mathcal { S } [ M _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] \big ) G _ { 2 } = } & { \ M _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } + ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } - \underline { { G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } W G _ { 2 } } } } \\ & { + G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } + G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] G _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } ^ { \prime } } \sqrt { n b _ { k } ^ { i , l } } | \hat { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t ) | / \Gamma _ { k } ^ { i , l } ( t ) \leq x \right) - \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = \lceil n \tau _ { n } \rceil } ^ { 2 \lceil n b \rceil - \lceil n \tau _ { n } \rceil } \bar { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| = o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { A } ( x - 1 , 1 - x ) } & { = F _ { B } ( x , 1 ) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } : ( m + 1 ) k _ { 1 } + ( m + 2 ) k _ { 2 } \leq n } P ( { \mathbf { N } } ^ { \prime } ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) = ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ) x ^ { k _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } } \sum _ { k _ { 2 } : ( m + 1 ) k _ { 1 } + ( m + 2 ) k _ { 2 } \leq n } P ( { \mathbf { N } } ^ { \prime } ( w _ { 1 } , w _ { 2 } ) = ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) ) x ^ { k _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } } P ( \bar { E } _ { n , m } = k _ { 1 } ) x ^ { k _ { 1 } } , } \end{array}
\frac { d \rho _ { 0 } } { d \Lambda } = \frac { \Lambda \, T ^ { 2 } } { 2 \pi } \, g \left( \frac { \Lambda } { T } \right) \left[ { \frac { 6 \, \lambda _ { { 4 } } + 1 2 \, \rho _ { { 0 } } \lambda _ { { 6 } } } { { \Lambda } ^ { 2 } + 4 \, \rho _ { { 0 } } \lambda _ { { 4 } } } } \right] \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 4 } } \; ,
\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } = { \frac { g _ { I } { ( 1 ) } } { g _ { I } { ( 2 ) } } { \frac { [ 1 + \epsilon _ { B W } ( 1 ) ] [ 1 + \epsilon _ { B R } ( 1 ) ] } { [ 1 + \epsilon _ { B W } ( 2 ) ] [ 1 + \epsilon _ { B R } ( 2 ) ] } } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \| \nabla g ( x _ { k } ) - \nabla h ( x _ { k } ) + z _ { k } \| \leq \| \nabla g ( x _ { k } ) - \nabla g ( \bar { x } ) + z _ { k } + \rho _ { k } ( x _ { k } - \bar { x } ) \| } \\ { + \rho _ { k } \| x _ { k } - \bar { x } \| + \| \nabla h ( \bar { x } ) - \nabla h ( x _ { k } ) \| = o ( \| x _ { k } - \bar { x } \| ) . } \end{array} } \end{array}
H ( x ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 1 \; \; } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; x \ge 0 , } \\ { 0 \; \; } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; \; x < 0 , } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { \int \langle y , ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) y \rangle \nu ( d y ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { \ell = 1 } ^ { d } ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) ) _ { j \ell } \int ( y _ { j } y _ { \ell } ) \nu ( d y ) } \\ & { = b \, \textnormal { t r } \Big ( \nabla \psi ( x ) \nabla \psi ( x ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \Big ) } \end{array}
m _ { e \mu } \; \sim \; \mu _ { \scriptscriptstyle 1 } \left[ \frac { \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 2 \! 1 } ^ { 3 } } { \mathrm { m a x } ( M _ { \tilde { \mu } _ { L } } ^ { 2 } , M _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 2 } ) } + \frac { \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 3 \! 1 } ^ { 2 } \lambda _ { \scriptscriptstyle 1 \! 2 \! 1 } } { \mathrm { m a x } ( M _ { \tilde { \tau } _ { L } } ^ { 2 } , M _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 2 } ) } \right] ( 5 \times 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) \; \sim \; ( 5 \times 1 0 ^ { - 1 1 } \, \mathrm { G e V } ) \; .
n _ { \mu _ { 1 } } \cdots n _ { \mu _ { n } } e _ { \alpha } e _ { \beta } ^ { \prime } \langle P ^ { \prime } S ^ { \prime } | { \cal O } _ { n , 2 i } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } \alpha \beta } | P S \rangle = ( 2 \xi ) ^ { 2 i } \mathrm { F } _ { n - 2 i } \ .
\begin{array} { r } { \omega _ { c } = \omega \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] - u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \right. } \\ { \left. \times \left( - \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { K _ { \perp } ^ { * } } \right) J _ { 1 } ^ { \prime } \left( k _ { \perp } ^ { * } r ^ { * } \right) \sin \varphi _ { p } ( t ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } \cap \mathcal { D } _ { l } ^ { c } \cap \mathcal { H } _ { l } } & { \subseteq } & { \{ | L _ { 1 , l } - 2 \sqrt { R } | > R ^ { 1 \slash 3 } \} \cap \mathcal { D } _ { l } ^ { c } \cap \mathcal { H } _ { l } } \\ & { \subseteq } & { \{ | L _ { 1 , l } - 2 \sqrt { R } | > R ^ { 1 \slash 3 } \} \cap \{ R \geq \Phi _ { 4 } \} . } \end{array}
{ p } ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) = \frac { 1 } { \mathrm { B } _ { K } ( \beta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { K } \rho _ { i } ^ { \beta - 1 } \; , \quad \mathrm { B } _ { K } ( \beta ) = \frac { \Gamma ( \beta ) ^ { K } } { \Gamma ( \beta K ) } \; ,
{ \Bigg [ } { \frac { i } { \pi } } { \Bigg ] } = i ^ { - { \frac { a - 1 } { 2 } } } , \; \; \; { \Bigg [ } { \frac { 1 + i } { \pi } } { \Bigg ] } = i ^ { \frac { a - b - 1 - b ^ { 2 } } { 4 } } ,
\begin{array} { r l r } { T _ { t } = 1 + \frac { 1 } { 2 } ( \gamma - 1 ) M _ { \infty } ^ { 2 } \, } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { P _ { t } = \frac { 1 } { \gamma } ( T _ { t } ) ^ { \gamma / ( \gamma - 1 ) } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
a = - { \frac { x } { 6 } } ( 3 N + ( n _ { o } ^ { } + 2 n _ { d } ^ { } ) ) \ , \qquad b = { \frac { x } { 6 } } ( n _ { o } ^ { } + 2 n _ { d } ^ { } ) \ , \qquad c = { \frac { x } { 6 } } ( n _ { o } ^ { } - 4 n _ { d } ^ { } ) \ ,
\mathcal { E } ( \beta , \sigma ) = e _ { 0 } + \frac { e _ { 1 } } { \sqrt { \sigma } } + e _ { 2 } \, \sigma ^ { 1 / 1 0 } \, \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left[ e _ { 3 } \, \beta \, \sigma ^ { 1 / 1 0 } \right] \, ,
V = \frac { \hbar g } { \sqrt { 2 \pi } } \sum _ { j } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( b _ { j } ^ { \dag } a { ( k ) } e ^ { i k z _ { j } } + b _ { j } a { ( k ) } ^ { \dag } e ^ { - i k z _ { j } } ) d k .
\begin{array} { r l } { { \cal R } ^ { 2 n } } & { = \displaystyle { \cal R } ^ { 2 n - 2 } + 2 { \cal H } \prod _ { \sigma } L _ { \sigma } ^ { ( 2 M ) } { \cal I } ^ { 2 n - 1 } } \\ { { \cal I } ^ { 2 n + 1 } } & { = \displaystyle { \cal I } ^ { 2 n - 1 } - 2 { \cal H } \prod _ { \sigma } L _ { \sigma } ^ { ( 2 M ) } { \cal R } ^ { 2 n } } \end{array}
{ \frac { R R ^ { \prime 2 } } { N ^ { 2 } } } - R - { \frac { 1 } { 1 2 } } { \frac { R ^ { 3 } } { N ^ { 2 } } } D ^ { \prime 2 } + { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 8 \pi ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { R ^ { 3 } } } e ^ { { \frac { 2 } { \sqrt 3 } } D } = 0 ,
\lambda : x { \left| \begin{array} { l l l } { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } & { r _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } & { r _ { 3 } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } + y { \left| \begin{array} { l l l } { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } & { r _ { 1 } } \\ { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } & { r _ { 3 } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } + z { \left| \begin{array} { l l l } { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } & { r _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } & { r _ { 2 } } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l l } { p _ { 1 } } & { q _ { 1 } } & { r _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } & { q _ { 2 } } & { r _ { 2 } } \\ { p _ { 3 } } & { q _ { 3 } } & { r _ { 3 } } \end{array} \right| } = 0 .
{ \ddot { \mathbf { O } } } = [ { \ddot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + { \dot { r } } { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ] + [ { \dot { r } } { \dot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } + r { \ddot { \theta } } { \hat { \boldsymbol { \theta } } } - r { \dot { \theta } } ^ { 2 } { \hat { \mathbf { r } } } ]
\Bigg \langle \! \exp \left( - S _ { i n t } [ \Phi ^ { ( I ) } ] - i e \Bigg [ \frac { 1 } { \sqrt { \pi \! + \! g N } } \Big ( A _ { \mu } ^ { ( 1 ) } , \varepsilon _ { \nu \mu } \partial _ { \nu } \Phi ^ { ( 1 ) } \Big ) + \sum _ { I = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \Big ( A _ { \mu } ^ { ( I ) } , \varepsilon _ { \nu \mu } \partial _ { \nu } \Phi ^ { ( I ) } \Big ) \Bigg ] \right) \! \Bigg \rangle _ { \! \{ K ^ { ( I ) } \} } .
M _ { j } ^ { ( - ) } ( \rho , \eta ^ { \prime } ) = \exp [ - \phi _ { j } ( C , \eta ^ { \prime } ) ] \, \left[ A _ { j } ^ { ( - ) } ( \rho - \eta ^ { \prime } ) - \int _ { 0 } ^ { \eta ^ { \prime } } d \tau \, \exp [ \phi _ { j } ( C , \tau ) ] \, \left( \frac { - \imath \pi } { 2 } \right) \, \left( \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) \, \sum _ { j ^ { \prime } } r _ { j j ^ { \prime } } \, M _ { j ^ { \prime } } ^ { ( + ) } ( C , \tau ) \right] ~ .
{ \tilde { F } } _ { \phi r } = - { \tilde { F } } _ { r \phi } = - \frac { r } { 1 + H ^ { 2 } r ^ { 2 } } \tan H t \ , \quad { \tilde { F } } _ { t r } = { \tilde { F } } _ { r t } = { \tilde { F } } _ { t \phi } = { \tilde { F } } _ { \phi t } = 0
\boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } ( \Omega _ { \nu } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } ) \cdot \boldsymbol { X } _ { \nu } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } = \Omega _ { \nu } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } \boldsymbol { X } _ { \nu } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } }
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { { \cal C } m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } } \\ & { \times } & { \exp \left\{ i \int _ { \eta _ { 0 } - i \Lambda / \kappa ^ { 2 } } \frac { Z \varepsilon ( s ) / ( c ^ { 2 } \Lambda ) \, \, d s } { | \mathbf { p } _ { m a x } ( s - \eta _ { 0 } ) + { \boldsymbol \alpha } ( s ) - { \boldsymbol \alpha } ( \eta _ { 0 } ) + \mathbf { r } _ { k } ( s , \eta _ { 0 } ) | } \right\} } \end{array}
S _ { m a s s } ^ { ( 1 ) } [ \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ] = - \frac { M } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } x \, ( \xi _ { 1 } ^ { t } g \xi _ { 2 } - \xi _ { 2 } ^ { t } g ^ { - 1 } \xi _ { 1 } )
\alpha ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \log \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / 3 } } & { \mathrm { i f ~ i = 1 ~ } } \\ { - \frac { i - 1 } { 3 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 3 } { i - 1 } \big ( \frac { n } { 2 A } \big ) ^ { 1 / ( i - 1 ) } \big ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ > ~ 1 ~ } } \\ { - \log \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ a n d ~ k = 1 ~ } } \\ { - \frac { k - 1 } { 2 } \operatorname { W } \big ( - \frac { 2 } { k - 1 } \big ( \frac { n } { B } \big ) ^ { 1 / ( k - 1 ) } \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ a n d ~ k ~ > ~ 1 ~ } } \\ { - j \! \ \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j } \big ( \frac { n } { - ( j + 1 ) C } \big ) ^ { 1 / j } \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ a n d ~ k = 0 ~ a n d ~ j \geq ~ 1 ~ a n d ~ F ( z ) = P ( z ) ~ } } \\ { \log ( { - D / n } ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ a n d ~ k = 0 ~ a n d ~ j = 1 ~ a n d ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \\ { - ( j - 1 ) \operatorname { W } \big ( - \frac { 1 } { j - 1 } \big ( \frac { n } { - j D } \big ) ^ { 1 / ( j - 1 ) } \big ) } & { \mathrm { i f ~ i = 0 ~ a n d ~ k = 0 ~ a n d ~ j > ~ 1 ~ a n d ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ } } \end{array} \right.
\Tilde { \rho } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \Tilde { u } } } { \partial \Tilde { t } } + \boldsymbol { \Tilde { u } } \cdot \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \boldsymbol { \Tilde { u } } \right) = - \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \Tilde { p } + \frac { 1 } { R e } \Tilde { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \left( \Tilde { \eta } \left[ \boldsymbol { \Tilde { \nabla } \Tilde { u } } + \boldsymbol { \Tilde { \nabla } \Tilde { u } ^ { T } } \right] \right) + \frac { 1 } { W e } \Tilde { \kappa } \Tilde { \delta _ { s } } \boldsymbol { n } + \frac { 1 } { B o } \boldsymbol { \Tilde { g } } ,
c _ { i } ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \sum _ { n = - M } ^ { M } c _ { i , n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } + o ( 1 ) , \quad V _ { i } ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \sum _ { n = - M } ^ { M } \int _ { x _ { i } ^ { - } } ^ { x _ { i } ^ { + } } v _ { n } ( x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } + o ( 1 ) .
= \sum _ { i \neq m } { \mathrm { T r } } \left\{ \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( i \right) } , \delta } \right\} \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho ^ { \otimes n } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { B } ^ { * } } & { \mathbf { A } ^ { * } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { R } } \\ { \mathbf { R } ^ { * } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { X } ^ { * } } & { \mathbf { X } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { U } } \\ { \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} \right] } & { { } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { L _ { 1 } } } & { \mathbf { L _ { 2 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { R } } \\ { \mathbf { R } ^ { * } } \end{array} \right] } \end{array}
g _ { ( a ) } ^ { - 2 } ( M _ { Z } ) \ = \ g _ { ( a ) } ^ { - 2 } ( M _ { \mathrm { G U T } } ) \, + \, \frac { b _ { ( a ) } } { 8 \pi ^ { 2 } } \, \ln \big ( \frac { M _ { \mathrm { G U T } } } { M _ { Z } } \big ) \ ,
\displaystyle { \frac { \partial V } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial x } } = - S + \nu \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial x ^ { 2 } } } , \qquad \displaystyle { \frac { \partial S } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial S } { \partial x } } = V + \kappa \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } } ,
\kappa ( h ) = \prod _ { \alpha > 0 } \left[ \frac { \pi ( h , \alpha ) } { a _ { 0 } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { ( h , \alpha ) ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 2 } } \right) \right] = \prod _ { \alpha > 0 } \sin \frac { \pi ( h , \alpha ) } { a _ { 0 } } \ .