harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
v = \frac { m _ { Z } } { 2 g _ { Z } } , \quad g _ { Z } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 } \left( g ^ { 2 } + g ^ { \prime 2 } \right) = \frac { g ^ { 2 } } { 8 \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } .
\begin{array} { r l r } { q ( x , y , z ) } & { { } = } & { \tau e ^ { i \theta } \frac { ( 1 + Z _ { 1 } e ^ { \xi _ { 1 } } ) } { 1 + e ^ { \xi _ { 1 } } } , ~ ~ \xi _ { 1 } = k _ { 1 } x + k _ { 2 } y - \Omega _ { 1 } z + \xi _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , } \\ { Z _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 1 } k _ { 1 } - \beta l _ { 2 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } { - i ( \Omega _ { 1 } - l _ { 1 } k _ { 1 } - \beta l _ { 2 } k _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 m } n _ { i n t } ^ { - 1 / 2 } \partial ^ { m } \partial _ { m } n _ { i n t } ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \eta _ { i n t } ^ { \dagger } v ^ { m } v _ { m } \eta _ { i n t } - \mu _ { i n t } + V _ { v a c } = 0 .
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \int _ { \hat { \Gamma } } [ U ( t ) F ] ( { \bf { q } } , { \bf { P } } ) G ( { \bf { q } } , { \bf { P } } ) \hat { \eta } = \int _ { \hat { \Omega } } \hat { F } _ { 0 } ( { \bf { P } } ) ^ { * } \hat { G } _ { 0 } ( { \bf { P } } ) \operatorname* { d e t } ( \hat { \bf M } ) d ^ { 3 } P = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \int _ { \hat { \Gamma } } \overline { { F } } ( { \bf { q } } , { \bf { P } } ) \overline { { G } } ( { \bf { q } } , { \bf { P } } ) \hat { \eta } ,
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { \phi } _ { b } \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \phi \| _ { 0 , e } , \quad \quad \forall \tau \in \omega _ { e } , } \\ & { \| \nabla \tilde { \phi } _ { b } \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| \phi \| _ { 0 , e } , \quad \forall \tau \in \omega _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { { } = \frac { \pi } { 4 } , \; \gamma = 1 . 4 , } \\ { U _ { \infty } } & { { } = \sqrt { 2 } \: m / s , \; p _ { \infty } = 1 . 0 \: P a , \; \rho _ { \infty } = 1 . 0 \: k g / m ^ { 3 } , } \\ { c _ { \infty } } & { { } = \sqrt { \frac { \gamma p _ { \infty } } { \rho _ { \infty } } } = \sqrt { 1 . 4 } \: m / s , } \\ { M _ { \infty } } & { { } = \frac { U _ { \infty } } { c _ { \infty } } = \sqrt { \frac { 2 } { 1 . 4 } } \approx 1 . 1 9 5 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle } & { = \Im m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } \right\rangle - \Im m _ { 1 } \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle - \overline { { m _ { 1 } } } \left\langle { \underline { { W \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } } } } \right\rangle } \\ & { + \Im m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ) _ { j j } ( G _ { 2 } ^ { * } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \Im m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { j j } ( \Im G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \overline { { m _ { 1 } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ) _ { j j } ( G _ { 2 } ^ { * } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \overline { { m _ { 1 } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( \Im G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { j j } ( \Im G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \Im m _ { 1 } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ) _ { j j } - m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \overline { { m _ { 1 } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( \Im G _ { 1 } ) _ { j j } - \Im m _ { 1 } ) ( G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { + \overline { { m _ { 1 } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } S _ { i j } ( ( G _ { 1 } ^ { * } ) _ { j j } - \overline { { m _ { 1 } } } ) ( \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } A _ { 2 } ) _ { i i } . } \end{array}
{ \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } } = { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathbf { x } _ { i } - { \overline { { \mathbf { x } } } } ) ( \mathbf { x } _ { i } - { \overline { { \mathbf { x } } } } ) ^ { \mathrm { { T } } } . = { \frac { 1 } { n - 1 } } [ X ^ { \prime } ( I - { \frac { 1 } { n } } * J ) X ]
\delta R _ { d d } \equiv \bar { R } _ { d } - R _ { D } = \left( V _ { R } ^ { D \dagger } \Delta V _ { R } ^ { D } \right) _ { d d } = \left( V _ { R } ^ { D \dagger } \right) _ { b d } \left( V _ { R } ^ { D } \right) _ { b d } = 2 \delta g _ { R } ^ { d } ;
B ( T ) = B ( T ^ { * } ) - \sum _ { i = g , q , { \overline { { q } } } } \frac { D _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { T ^ { * } } ^ { T } d T ^ { \prime } M _ { i } ( T ^ { \prime } ) \frac { d M _ { i } ( T ^ { \prime } ) } { d T ^ { \prime } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d ^ { 3 } k } { \omega _ { i } } f _ { i } ( k ) \ .
{ \cal M } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } \, e } \varepsilon _ { \mu } \bar { \nu } \gamma _ { \nu } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \nu \, ( g _ { V } \Pi ^ { \mu \nu } + g _ { A } \Pi _ { 5 } ^ { \mu \nu } ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \mathbb E \left[ \left. \langle \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } , \mathbf S _ { T _ { 0 } + \tau } \odot \vec { \theta } _ { T _ { 0 } + \tau } \rangle - Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , a _ { T _ { 0 } + \tau } } S _ { T _ { 0 } + \tau , a _ { T _ { 0 } + \tau } } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le 6 \left( 1 + C _ { V } \right) M ^ { 2 } K m ^ { 2 - \frac \delta 2 } \cdot \left( 2 \ln m + \ln K \right) + K ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac \delta 2 } \mathbb E \left[ \left. \sum _ { \tau = 1 } ^ { m } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] + 6 M ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \mathbf { u } ^ { * } \cdot \nabla \mathbf { u } ^ { * } = - \nabla P ^ { * } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ^ { * } + T ^ { * } \hat { \mathbf { y } }
\begin{array} { l } { { \tau _ { 1 } \equiv \pi _ { 0 } + \eta ^ { 1 } \approx 0 } } \\ { { \tau _ { 2 } \equiv E ^ { \prime } + \phi ^ { \prime } + \pi + A _ { 1 } + \eta ^ { 2 } \approx 0 } } \\ { { \tau _ { 3 } \equiv E + \eta ^ { 3 } \approx 0 } } \\ { { \tau _ { 4 } \equiv - \pi - \phi ^ { \prime } - 2 A _ { 1 } + A _ { 0 } + \eta ^ { 4 } \approx 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { p } ( n ; t ) } & { = e ^ { - t } \oint \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { t ^ { k } } { z ^ { k } k ! } z ^ { n - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } C _ { m + p - 1 } ^ { p - 1 } z ^ { m } d z } \\ & { = e ^ { - t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \oint \frac { t ^ { k } } { k ! } C _ { m + p - 1 } ^ { p - 1 } z ^ { m + n - k - 1 } d z } \\ & { = e ^ { - t } \sum _ { k = n } ^ { \infty } \frac { t ^ { k } } { k ! } C _ { k - n + p - 1 } ^ { p - 1 } = e ^ { - t } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } C _ { k + p - 1 } ^ { p - 1 } \frac { t ^ { k + n } } { ( k + n ) ! } } \end{array}
2 \, \overline { { { u } } } ( p ) ( 1 + \gamma _ { 5 } ) P ^ { \mu } u ( P ) = \overline { { { u } } } ( p ) ( 1 + \gamma _ { 5 } ) \left( i \, \sigma ^ { \mu \nu } q _ { \nu } + M \gamma ^ { \mu } + q ^ { \mu } \right) \, u ( P ) .
{ \begin{array} { r l } { | \mathrm { c a t } _ { e } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \left( 1 + e ^ { - 2 | \alpha | ^ { 2 } } \right) } } } { \big ( } | \alpha \rangle + | { - } \alpha \rangle { \big ) } , } \\ { | \mathrm { c a t } _ { o } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \left( 1 - e ^ { - 2 | \alpha | ^ { 2 } } \right) } } } { \big ( } | \alpha \rangle - | { - } \alpha \rangle { \big ) } , } \\ { | \mathrm { c a t } _ { \theta } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \left( 1 + \cos ( \theta ) e ^ { - 2 | \alpha | ^ { 2 } } \right) } } } { \big ( } | \alpha \rangle + e ^ { i \theta } | { - } \alpha \rangle { \big ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = f _ { i } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array}
\phi _ { 1 2 } ^ { + } \, \widetilde T _ { 1 2 , 2 3 } ^ { 3 D } \, \phi _ { 2 3 } \, = \, ( - 2 i \pi ) ^ { 2 } \, \left[ \overline { { \Phi } } _ { 1 2 } \, T _ { 1 2 , 2 3 } \, \Phi _ { 2 3 } \right] _ { 3 1 } ^ { \delta \delta } \, \beta _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { \mathrm { ~ s ~ } } = } & { { } \; \; \; \; \frac { 1 } { 2 } ( \widehat { V P } + \widehat { P V } ) } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } \left( v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + v _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 2 } \textsc { q } _ { 1 } } \right) } \end{array}
{ \frac { t _ { \mathrm { d e c a y } } ^ { \mathrm { H M } } } { t _ { \mathrm { d e c a y } } ^ { \mathrm { C D L } } } } = \exp \left[ 8 \pi ^ { 2 } \left( { \frac { 8 } { T ^ { 2 } } } - { \frac { 3 } { V _ { 1 } } } \right) \right] \ .
\begin{array} { r l } { d = } & { \operatorname* { m a x } _ { n _ { r } } ( 1 - \frac { n _ { r } } { T _ { R D } } ) } \\ & { \times \operatorname* { m i n } \bigg \{ ( N _ { S } + n _ { r } ) ( 1 + \frac { N _ { S } } { K ( T _ { R D } - n _ { r } ) } ) , } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad N _ { S } ( 1 + \frac { K N _ { S } ^ { \ast } - N _ { S } } { K ( T _ { R D } - n _ { r } ) } ) \bigg \} . } \end{array}
\frac { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) \right] e _ { \mathrm { r } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } { \left[ 1 - e _ { \mathrm { s } } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) \Gamma ( \tilde { \nu } ) \right] e _ { \mathrm { r } } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } = \frac { \hat { S } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } { \hat { S } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } = \frac { \hat { V } ( t _ { 0 } , \tilde { \nu } ) } { \hat { V } ( t _ { 1 } , \tilde { \nu } ) } ,
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c } { { R _ { n } \left( \begin{array} { c } { { x = q ^ { 2 k } } } \\ { { h } } \end{array} \right) } } & { { \stackrel { X _ { + } ^ { k - h } } { \longrightarrow } } } & { { R _ { n } \left( \begin{array} { c } { { x = q ^ { 2 h } } } \\ { { k } } \end{array} \right) } } \\ { { \downarrow } } & { { } } & { { \downarrow } } \\ { { R _ { n } \left( \begin{array} { c } { { x = q ^ { 2 k } } } \\ { { h } } \end{array} \right) } } & { { \stackrel { X _ { + } ^ { k - h } } { \longrightarrow } } } & { { R _ { n } \left( \begin{array} { c } { { x = q ^ { 2 h } } } \\ { { k } } \end{array} \right) } } \end{array}
E _ { _ \mathrm { ( g s ) } } = - \frac { \hbar ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { 2 M } \, \frac { 1 } { e ^ { 4 \pi / \lambda } - 1 } \sim - \frac { \hbar ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { 2 M } \, e ^ { - 4 \pi / \lambda } \, .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } U ^ { x } + u ( y ) \partial _ { x } U ^ { x } + u ^ { \prime } ( y ) U ^ { y } + \theta ( y ) \partial _ { x } P + d \partial _ { x } P + U ^ { x } \partial _ { x } U ^ { x } + U ^ { y } \partial _ { y } U ^ { x } = 0 , } \end{array}
p ( z ) = \sum _ { i } \tilde { g } _ { i } ( z ) \tilde { f } _ { i } ( z ) + \sum _ { i } f ^ { i } ( z ) ^ { 2 } + \sum _ { i , j } f _ { j } ^ { i } ( z ) ^ { 2 } g _ { j } ( z ) + \sum _ { i } \sum _ { j > k } f _ { j k } ^ { i } ( z ) ^ { 2 } g _ { j } ( z ) g _ { k } ( z ) + \sum _ { i } \sum _ { j > k > l } f _ { j k } ^ { i } ( z ) ^ { 2 } g _ { j } ( z ) g _ { k } ( z ) g _ { l } ( z ) + . . .
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \neq { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \cdot { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
v _ { i } = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 0 . 6 1 8 0 \quad { \mathrm { ( w i t h ~ a ~ 0 ~ i n ~ t h e ~ u n i t s ' ~ p l a c e ) } } } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } 0 . 7 2 3 6 , } \\ { + 1 . 6 1 8 0 \quad { \mathrm { ( w i t h ~ a ~ 1 ~ i n ~ t h e ~ u n i t s ' ~ p l a c e ) } } } & { { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } } 0 . 2 7 6 4 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \vec { \Omega } + \left\{ \left( \vec { v } \cdot \nabla _ { X } \right) \Omega + \left( \vec { \Omega } \cdot \nabla _ { X } \right) \vec { v } \right\} } & { { } = 0 } \\ { \partial _ { z } \vec { \Omega } + \nabla _ { X } \left( \vec { \Omega } \cdot \vec { v } \right) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \gamma } _ { 2 p } } & { { } = \hat { a } _ { p } + \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } } \\ { \hat { \gamma } _ { 2 p + 1 } } & { { } = - i ( \hat { a } _ { p } - \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } ) , } \end{array}
N _ { i } ^ { t h } = \left. \left( \lambda _ { i } \frac { \partial \ln Z ( V , \beta , \lambda _ { q } , \lambda _ { s } , \ldots , \lambda _ { i } , \ldots ) } { \partial \lambda _ { i } } \right) \right| _ { \ldots = \lambda _ { i } = \ldots = 1 } \; \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = } & { - v _ { 0 } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) - \nabla \cdot \left( - \Gamma _ { \rho } \nabla \frac { \delta F _ { a } } { \delta \rho } \right) , } \\ { \frac { \partial { \bf P } } { \partial t } } & { = } & { \lambda _ { 1 } ( { \bf P } \cdot \nabla ) { \bf P } - \Gamma _ { P } \frac { \delta F _ { a } } { \delta { \bf P } } . } \end{array}
\Phi ( r , t ) + \frac { 1 } { 2 \gamma _ { d } } \frac { 1 } { d ( \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \mu _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) ) } \alpha \frac { \partial \Phi ( r , t ) } { \partial \hat { n } } = \left\lbrace \begin{array} { l } { \frac { Q ( r , t ) } { \gamma _ { d } } , \, r \in s } \\ { 0 , \, r \in \partial \Omega \setminus s } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { - 1 } } & { \int _ { F _ { 3 } } ( 1 - x / a ) | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { \geq ( 1 - ( \beta + \delta + \delta ^ { 2 } ) / a ) \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \leq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { \geq ( 1 - ( \beta + \delta + \delta ^ { 2 } ) / a ) \left( \frac { 2 } { a } - \frac { 4 } { a } ( 1 - \frac { \beta } { a } ) + { \mathcal O } ( \delta ) + o ( 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \mathbf { k } , \omega ) } & { { } = \int d \mathbf { r } d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) + i k \left( r - r ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } e ^ { i k ^ { \prime } \left( r - r ^ { \prime \prime } \right) } \frac { i \vec { k ^ { \prime } } ( - i \omega ) } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho \left( r ^ { \prime \prime } , t \right) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \end{array}
\mathcal { T } _ { \mathrm { t o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) \equiv | \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n } } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + | \mathcal { T } _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + | \mathcal { B } ( k _ { h } , k _ { z } ) | + { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle P } } ( k _ { h } , k _ { z } ) .
{ { \bf { W } } _ { \mathrm { { Z F } } } } = \frac { { { { \bf { H } } _ { { \mathrm { c o m } } } } { { \left( { { \bf { H } } _ { \mathrm { { c o m } } } ^ { H } { { \bf { H } } _ { { \mathrm { c o m } } } } } \right) } ^ { - 1 } } { { \bf { P } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } } { { { { \left\| { { { \bf { H } } _ { \mathrm { { c o m } } } } { { \left( { { \bf { H } } _ { { \mathrm { c o m } } } ^ { H } { { \bf { H } } _ { \mathrm { { c o m } } } } } \right) } ^ { - 1 } } } \right\| } ^ { 2 } } } } ,
\begin{array} { r l } { x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { \alpha _ { j } } ( 0 ) n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { - \alpha _ { j } } ( 0 ) n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) n _ { v } x _ { - \alpha _ { j } } ( 0 ) n _ { v } ^ { - 1 } n _ { v } n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) x _ { - v \alpha _ { j } } ( 0 ) n _ { v } n _ { j } ^ { - 1 } b ^ { \prime } } \\ & { = x _ { \beta _ { 1 } } ( d _ { 1 } ) \cdots x _ { \beta _ { \ell } } ( d _ { \ell } ) x _ { - v \alpha _ { j } } ( 0 ) n _ { v s _ { j } } b ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \nu _ { x } ( \gamma ) - \nu _ { x } ( \gamma ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } } & { = \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \nu _ { x } ^ { \prime } ( \xi ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } } \\ & { \leq \frac { \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert } { 2 } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } \left[ \frac { x \ln ( 1 + x \xi ( x ) ) } { \xi ( x ) } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } } \\ & { \quad + \frac { \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert } { 2 } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { d } } & { { } = \rho _ { u } \frac { ( \gamma + 1 ) M ^ { 2 } } { 2 + ( \gamma - 1 ) M ^ { 2 } } , } \\ { u _ { d } } & { { } = u _ { u } \frac { \rho _ { u } } { \rho _ { d } } , } \\ { p _ { d } } & { { } = p _ { u } \frac { 1 + 2 \gamma \left( M ^ { 2 } - 1 \right) } { \gamma + 1 } } \end{array}
\langle \phi _ { i _ { 1 } } . . . \phi _ { i _ { s } } \rangle _ { W } ^ { g = 0 } = r e s ( \frac { \phi _ { i _ { 1 } } . . . \phi _ { i _ { s } } } { \partial W } ) \equiv \frac { 1 } { 2 \pi i } \oint _ { \gamma } d X \frac { \phi _ { i _ { 1 } } ( X ) . . . \phi _ { i _ { s } } ( X ) } { \partial W }
\begin{array} { r c l } { { ( { \bf 1 } ) _ { a b c d } } } & { { = } } & { { S _ { a c } S _ { b d } } } \\ { { ( Q - 1 ) ( P _ { 0 } ) _ { a b c d } } } & { { = } } & { { S _ { a b } S _ { c d } } } \\ { { \mathrm { a n d \; \; } ( Q - 2 ) ( P _ { 1 } ) _ { a b c d } } } & { { = } } & { { Q \sum _ { \alpha } S _ { a \alpha } S _ { b \alpha } S _ { \alpha c } S _ { \alpha d } - S _ { a b } S _ { c d } \; . } } \end{array}
\mathscr { S } ( \textbf { a } ) \otimes \mathscr { S } ( \textbf { a } ) \to \mathscr { S } ( \textbf { a } ) , \qquad { \mathtt { s } } _ { ( - ) } \otimes { \mathtt { t } } _ { ( - ) } \mapsto { \mathtt { s } } \ast { \mathtt { t } } _ { ( - ) } : = \sum _ { S \sqcup T = ( - ) } \mu _ { S , T } ( { \mathtt { s } } _ { S } \otimes { \mathtt { t } } _ { T } )
\hat { W } _ { \pm \pm } ^ { \mathrm { e q } } ( s ) = \frac { p _ { \pm } ^ { \mathrm { e q } } } { s } - \frac { 1 } { \mu s ^ { 2 } } \frac { [ 1 - \hat { \psi } _ { + } ( s ) ] [ 1 - \hat { \psi } _ { - } ( s ) ] } { 1 - \hat { \psi } ( s ) } ,
\mu _ { 0 } ( t ) \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \tilde { \eta } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, , \qquad \mu _ { 1 } ( t ) \, = \, \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( R + \epsilon R ^ { 2 } / 2 \bigr ) \, \tilde { \eta } ( R , Z , t ) \, \mathrm { d } X \, ,
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { { } = \frac { x / ( t + 1 ) } { 1 + \sqrt { \frac { t + 1 } { t _ { 0 } } } \exp \left( R e \frac { x ^ { 2 } } { 4 t + 4 } \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { Y } } _ { k } } & { = \tilde { \mathbf { B } } ^ { H } \tilde { \mathbf { H } } _ { k } ^ { H } \tilde { \mathbf { R } } _ { k } } \\ & { = \tilde { \mathbf { B } } ^ { H } \tilde { \mathbf { H } } _ { k } ^ { H } \tilde { \mathbf { H } } _ { k } \tilde { \mathbf { B } } \mathbf { S } + \tilde { \mathbf { B } } ^ { H } \tilde { \mathbf { H } } _ { k } ^ { H } \tilde { \mathbf { W } } _ { k } . } \end{array}
A = \| { \vec { u } } \| \| { \vec { v } } \| \sin \theta = { \sqrt { \| { \vec { u } } \| ^ { 2 } \| { \vec { v } } \| ^ { 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) } } = { \sqrt { \| { \vec { u } } \| ^ { 2 } \| { \vec { v } } \| ^ { 2 } - ( { \vec { u } } \cdot { \vec { v } } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { H a l l } , 1 } ^ { \varphi } ( t ) } & { = - \frac { \alpha _ { 0 } l } { \pi } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) E _ { z } ( r _ { 1 } , t ) , } \\ { I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { \varphi } ( t ) } & { = - \frac { \alpha _ { 0 } l } { \pi } ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } ) E _ { z } ( r _ { 2 } , t ) , } \end{array}
\hat { \mathcal { M } } _ { L M , l } = \frac { 1 } { ( 2 l + 1 ) ! ! } \sum _ { m ^ { \prime } , q ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \; r ^ { l } \langle l 1 L M | l m ^ { \prime } 1 q ^ { \prime } \rangle \hat { j } _ { q ^ { \prime } } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) Y _ { l m ^ { \prime } } ^ { * } ( \Omega _ { r } ) \; \; \; , \; \; l = L , L \pm 1 \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } F ^ { \prime } ( p ) \, d p } & { { } = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } F ^ { \prime } ( p ) \, d p = F ( 2 \pi ) - F ( 0 ) = 4 ( F ( { \begin{array} { l } { { \frac { \pi } { 2 } } } \end{array} } ) - F ( 0 ) ) , } \end{array}
\delta R _ { \theta \theta } = \frac { 1 } { 1 2 } g _ { \theta \theta } \delta [ e ^ { \frac { 8 } { 3 } \lambda } F ^ { ( K ) 2 } + e ^ { - \frac { 4 } { 3 } \lambda + 4 \nu } F ^ { 2 } + e ^ { - \frac { 4 } { 3 } \lambda - 4 \nu } H ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j \neq 0 } \mathrm { I m } ( E ( x _ { j } ) ) } & { = } & { - \frac { \sin ( \gamma ) } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \lambda \rho ( \lambda ) K _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) } \\ & { = } & { - \frac { \sin ( \gamma ) } { 2 \gamma } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \ 2 \pi i \omega \tilde { K } _ { 1 } ( \omega ) \tilde { \sigma } _ { \rho } ( \omega ) } \\ & { = } & { - \frac { \sin ( \gamma ) } { 2 \gamma } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \ i \omega \frac { \tilde { K } _ { 1 } ( \omega ) } { 1 + \tilde { K } _ { 2 } ( \omega ) } \Theta ( \omega ) } \\ & { = } & { \frac { \sin ( \gamma ) } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \omega \sin ( \omega \lambda _ { 0 } ) \operatorname { t a n h } ( \omega ) \frac { \sinh [ ( \frac { \pi } { \gamma } - 2 ) \omega ] } { \sinh ( \frac { \pi } { \gamma } \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( z ^ { \prime } ) = d _ { v } ( w ) } & { { } \geq d _ { 0 } ( z ) = d _ { v } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { d _ { v } ( w ^ { \prime } ) = d _ { 0 } ( z ) } & { { } \leq s / 2 . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { c } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { 0 } & { z } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { x a } & { y a + z b } \\ { 0 } & { z c } \end{array} \right) }