harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( ( \widetilde { B } _ { 1 } ) _ { x } ) _ { i j } = ( ( \widehat { B } _ { 1 } ) _ { x } ) _ { i j } - \frac { \Delta y ^ { 2 } \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } } , \qquad ( ( \widetilde { B } _ { 2 } ) _ { y } ) _ { i j } = ( ( \widehat { B } _ { 2 } ) _ { y } ) _ { i j } - \frac { \Delta x ^ { 2 } \nabla _ { h } \cdot \widehat { \mathbf { B } } _ { i j } } { \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { S ( x ) } & { = \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { - 7 } x + \alpha ^ { 1 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 0 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { 2 } x ^ { 5 } , } \\ { S ( x ) \Gamma ( x ) } & { = \alpha ^ { 4 } + \alpha ^ { 7 } x + \alpha ^ { 5 } x ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } x ^ { 3 } + \alpha ^ { 1 } x ^ { 4 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 5 } + \alpha ^ { - 1 } x ^ { 6 } + \alpha ^ { 6 } x ^ { 7 } . } \end{array} }
\ln k _ { 0 } \equiv \frac { \langle \vec { \nabla } ( \mathcal { H } - \mathcal { E } ) \ln ( 2 ( \mathcal { H } - \mathcal { E } ) ) \vec { \nabla } \rangle } { \langle \vec { \nabla } ( \mathcal { H } - \mathcal { E } ) \vec { \nabla } \rangle } ,
< g > _ { \phi ^ { n } } = < g > _ { \phi } ^ { n } , \quad < X > _ { \phi ^ { n } } = < X > _ { \phi } { \frac { < g > _ { \phi } ^ { n } - < g ^ { - 1 } > _ { \phi } ^ { n } } { < g > _ { \phi } - < g ^ { - 1 } > _ { \phi } } }
\partial [ \Psi ( \mathbf { X } ) ] = \partial [ A e ^ { - i ( \mathbf { K } \cdot \mathbf { X } ) } ] = - i \mathbf { K } [ A e ^ { - i ( \mathbf { K } \cdot \mathbf { X } ) } ] = - i \mathbf { K } [ \Psi ( \mathbf { X } ) ]
\begin{array} { r l r } & { } & { P _ { 2 } ( \vec { r } ( t ) , \theta ( t ) , \vec { r } _ { 2 } ( t ) , \theta _ { 2 } ( t ) , t ) \approx } \\ & { } & { P _ { 1 } ( \vec { r } ( t _ { 0 } ) , \theta ( t _ { 0 } ) , t _ { 0 } ) \; P _ { 1 } ( \vec { r } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , t _ { 0 } ) \, \mathrm { e x p } \Bigg [ 2 \Gamma \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d \tilde { t } \, \mathrm { c o s } \{ \theta _ { 2 } ( \tilde { t } ) - \theta ( \tilde { t } ) \} \Bigg ] } \end{array}
\mathrm { C - } \operatorname* { l i m } _ { r \to + \infty } \int _ { a - i r } ^ { a + i r } e ^ { z t } \, \frac { \Phi ^ { \dagger } ( z ) } { z } e ^ { - x \Phi ( z ) } \, d z \, : = \, \operatorname* { l i m } _ { R \to + \infty } \frac { 1 } { R } \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { a - i r } ^ { a + i r } e ^ { z t } \, \frac { \Phi ^ { \dagger } ( z ) } { z } e ^ { - x \Phi ( z ) } \, d z \, d r .
l = - { \frac { n } { 2 } } \log { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log { \left[ e ^ { - { \frac { \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \left( 1 + e ^ { - { \frac { \left( x _ { i } + \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } e ^ { \frac { \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) \right] }
\begin{array} { r l } { ( F _ { 2 1 } ^ { \prime } - F _ { 2 1 } ) _ { ( i , i _ { 1 } ) } } & { = ( Z _ { 2 1 } - F _ { 2 2 } ^ { \prime } G _ { 2 } F _ { 1 2 } ^ { \intercal } - F _ { 2 1 } G _ { 1 } F _ { 1 1 } ^ { \intercal } ) _ { ( i , i _ { 1 } ) } ( G _ { 1 } F _ { 1 1 } ^ { \intercal } ) ^ { - 1 } } \\ & { \equiv ( Z _ { 2 1 } - F _ { 2 2 } G _ { 2 } F _ { 1 2 } ^ { \intercal } - F _ { 2 1 } G _ { 1 } F _ { 1 1 } ^ { \intercal } ) _ { ( i , i _ { 1 } ) } ( G _ { 1 } F _ { 1 1 } ^ { \intercal } ) ^ { - 1 } \mod p ^ { a + i - i _ { 1 } } } \\ & { \equiv ( Z - F G F ^ { \intercal } ) _ { ( i , i _ { 1 } ) } ( G _ { 1 } F _ { 1 1 } ^ { \intercal } ) ^ { - 1 } \mod p ^ { a + i - i _ { 1 } } } \end{array}
\Delta \beta = \frac { 2 \pi \lambda ^ { 2 } } { c } \lvert f _ { i } - f _ { k } \rvert \lvert f _ { j } - f _ { k } \rvert \cdot \left[ D _ { c } + \frac { d D _ { c } } { d \lambda } \left( \frac { \lambda ^ { 2 } } { c } \right) \left( \lvert f _ { i } - f _ { k } \rvert + \lvert f _ { j } - f _ { k } \rvert \right) \right] ,
\frac { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } > \frac { \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \; s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } } { \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \; s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } } \qquad
\begin{array} { r l } & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } \frac { { \theta ^ { ( 2 ) } } } { \sqrt { \lambda } } e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 2 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } \theta ^ { ( 2 ) } e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } ( \frac { { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 2 } } { \lambda } + \frac { 1 0 } { \lambda } ) e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 1 ) } } { \theta ^ { ( 2 ) } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } \frac { { \theta ^ { ( 2 ) ^ { 2 } } } } { \sqrt { \lambda } } e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } { \theta ^ { ( 2 ) ^ { 2 } } } \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } \theta ^ { ( 2 ) ^ { 2 } } e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } , } \\ & { \int e ^ { - \Phi _ { R } ( \theta ) } \cos ( { \omega ^ { ( 1 ) } } { \theta ^ { ( 1 ) } } + { \omega ^ { ( 2 ) } } { \theta ^ { ( 2 ) } } + b ) \mathrm { d } { \theta ^ { ( 1 ) } } } \\ & { \quad \quad \quad = \sqrt { 2 0 \pi / \lambda } e ^ { - \frac { 5 } { \lambda } { \omega ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } } \cos ( { \omega ^ { ( 1 ) } } { \theta ^ { ( 2 ) } } / \sqrt { \lambda } + { \omega ^ { ( 2 ) } } { \theta ^ { ( 2 ) } } + b ) e ^ { - { \theta ^ { ( 2 ) } } ^ { 4 } / 2 0 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { - \frac { { \partial } w } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } w } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } + w \Big ) = 0 , \quad \xi > \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { - \frac { { \partial } w } { { \partial } t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } \Big ( \frac { { \partial } ^ { 2 } w } { { \partial } \xi ^ { 2 } } + \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } \Big ) + \delta \Big ( \frac { { \partial } w } { { \partial } \xi } + w \Big ) = 0 , \quad \xi < \hat { \eta } ( t ) , } \\ & { w ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = w ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) , \quad \sigma _ { L } ^ { 2 } ( w _ { x } + w ) ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) = \sigma _ { H } ^ { 2 } ( w _ { x } + w ) ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) . } \end{array} \right.
A _ { z } = \frac { i } { 2 \tau _ { 2 } } \Big [ \bar { \tau } A _ { 1 } - A _ { 2 } \Big ] \ \ \ , \ \ \ A _ { \bar { z } } = - \frac { i } { 2 \tau _ { 2 } } \Big [ \tau A _ { 1 } - A _ { 2 } \Big ] \ \ \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( k , t ) } & { { } = - \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ u ~ P ~ } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ f ~ } } ( k , t ) } & { { } = - \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ P ~ P ~ } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ t ~ } } ( k , t ) } & { { } = \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { \mathcal { R } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Gamma _ { f } \in T _ { i } } \sigma _ { i f } \sum _ { \Lambda _ { e } \in \Gamma _ { f } } \sigma _ { f e } \lvert \Lambda _ { e } \rvert \overline { { E } } _ { e } } & { { } = \sum _ { \Lambda _ { e } \in T _ { i } } \sum _ { \Gamma _ { f } \in \mathfrak { F } _ { e i } } \sigma _ { f e } \lvert \Lambda _ { e } \rvert \overline { { E } } _ { e } } \end{array}
\phi _ { f } ( { \cal K } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { \cal K } d x ^ { \mu } \oint _ { { \cal K } ^ { f } } d y ^ { \nu } \epsilon _ { \mu \nu \rho } { \frac { ( x - y ) ^ { \rho } } { | x - y | ^ { 3 } } } = \mathrm { l k } ( { \cal K } , { \cal K } ^ { f } ) .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \left( \phi \left( \frac { \xi _ { 3 } } { \varepsilon } \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \varLambda _ { 3 } ( \xi , x ) \wedge \sigma ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) \mathrm { d } \xi _ { 1 } \mathrm { d } \xi _ { 2 } \right) \mathrm { d } \xi _ { 3 } } \end{array}
\Psi _ { E } \left( r , \theta \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { k - 1 } B _ { n } \left( \begin{array} { l } { { J _ { k + \alpha - n } \left( | E | r \right) e ^ { i n \theta } } } \\ { { - i \frac { | E | } { E } J _ { k + \alpha - n - 1 } \left( | E | r \right) e ^ { i \left( n + 1 \right) \theta } } } \end{array} \right) + \sum _ { n = k } ^ { \infty } A _ { n } \left( \begin{array} { l } { { J _ { n - k - \alpha } \left( | E | r \right) e ^ { i n \theta } } } \\ { { i \frac { | E | } { E } J _ { n + 1 - k - \alpha } \left( | E | r \right) e ^ { i \left( n + 1 \right) \theta } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { L } } } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i ( \beta + \gamma ) } \frac { \cos \alpha - i \ \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin \alpha } { \sqrt { 2 } } } \\ { C _ { \mathrm { R } } } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i ( \beta + \gamma ) } \frac { \cos \alpha + i \ \mathrm { e } ^ { i \delta } \sin \alpha } { \sqrt { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \bar { X } _ { n \gamma } ^ { x } - \bar { X } _ { n \gamma } ^ { y } \right| ^ { 2 } } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { T } _ { n \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } ( x - y ) \mathrm { d } \lambda \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| x - y \right| ^ { 2 } \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { T } _ { n \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } \mathrm { d } \lambda \frac { x - y } { \left| x - y \right| } \right| ^ { 2 } } \\ & { \le \left| x - y \right| ^ { 2 } \left\| \int _ { 0 } ^ { 1 } \bar { T } _ { n \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } \mathrm { d } \lambda \right\| ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbb { P } ( \theta \, | \, \mathbf { x } ) = \frac { \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) } { \mathbb { P } ( \mathbf { x } ) } = \frac { \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) } { \int _ { \Theta } \mathbb { P } ( \mathbf { x } \, | \, \theta ) \mathbb { P } ( \theta ) \mathrm { d } \theta } ,
\lambda _ { T } ^ { \mathrm { b o t , t o p } } = \Big | \langle T _ { \mathrm { s a } } ( 0 , 1 ) - T _ { \mathrm { s a } } ( 0 . 5 ) \rangle _ { A , t } \Big | \Bigg | \frac { \partial \langle T _ { \mathrm { s a } } \rangle } { \partial z } \Bigg | _ { z / H = 0 , 1 } ^ { - 1 } \, .
{ \cal H } = { \frac { ( \hat { C } - \hat { D } _ { + } ) } { 2 \mu \omega } } \vec { p } ^ { 2 } + { \frac { \mu \omega ( \hat { C } + \hat { D } _ { + } ) } { 2 } } \vec { x } ^ { 2 } - { \frac { 3 \hat { C } } { 2 } } - { \frac { \hat { D } _ { - } } { 2 } } ( \vec { x } \cdot \vec { p } + \vec { p } \cdot \vec { x } ) + { \cal H } _ { \mathrm { e x c } } ,
\begin{array} { r } { \left[ \mathbf { L } _ { M } ^ { \left( n \right) } \right] _ { i j } = n \delta _ { i j } \mathbf { D } _ { i } ^ { \left( n \right) } - \mathbf { A } _ { i j } ^ { \left( n \right) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \cot x + i ) ^ { n } = } & { { \binom { n } { 0 } } \cot ^ { n } x + { \binom { n } { 1 } } ( \cot ^ { n - 1 } x ) i + \cdots + { \binom { n } { n - 1 } } ( \cot x ) i ^ { n - 1 } + { \binom { n } { n } } i ^ { n } } \\ { = } & { { \Bigg ( } { \binom { n } { 0 } } \cot ^ { n } x - { \binom { n } { 2 } } \cot ^ { n - 2 } x \pm \cdots { \Bigg ) } \; + \; i { \Bigg ( } { \binom { n } { 1 } } \cot ^ { n - 1 } x - { \binom { n } { 3 } } \cot ^ { n - 3 } x \pm \cdots { \Bigg ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a _ { \ell } ^ { ( r ) } } & { { } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } c _ { \ell } ^ { ( r ) } } \\ { d _ { j } ^ { ( r ) } } & { { } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m ( \Delta x ) ^ { 2 } } c _ { 0 } ^ { ( r ) } + V _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( | j \vec { D } ( j ) - k \vec { D } ( k ) ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \vec { w } | } & { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } | \vec { w } | | j - k | ( | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ \vec { w } \in ~ \mathbb { R } ^ \nu ~ , ~ j , k \in ~ S ^ \perp \left\{ ~ 0 ~ \right\} ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r } { | \widetilde { \mathcal { M } } _ { n , \mathbf { j } } ( m 2 ^ { - j _ { n } } + 2 ^ { - j _ { n } a } ) | \leq C _ { 2 } \log ( 3 + | \mathbf { j } | + m ) ^ { \frac { d } { 2 } } \| \widetilde { \mathcal { M } } _ { n , \mathbf { j } } ( m 2 ^ { - j _ { n } } + 2 ^ { - j _ { n } a } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
D = \left\{ \begin{array} { l l } { t _ { j } = j \Delta t ; \ \Delta t = \frac { T } { M } ; \ j = 0 , 1 , . . . , M } \\ { r _ { i } = i \Delta r ; \ \Delta r = \frac { r _ { \operatorname* { m a x } } } { N } ; \ i = 0 , 1 , . . . , N } \\ { \lambda _ { k } = k \Delta \lambda ; \ \Delta \lambda = \frac { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } { L } ; \ k = 0 , 1 , . . . , L } \end{array} \right.
f \left( \boldsymbol { Q } \boldsymbol { A } _ { 1 } \boldsymbol { Q } ^ { T } , \boldsymbol { Q } \boldsymbol { A } _ { 2 } \boldsymbol { Q } ^ { T } , \ldots , \boldsymbol { Q } \mathbf { A } _ { n } \boldsymbol { Q } ^ { T } , \boldsymbol { Q } \boldsymbol { v } \right) = f \left( \boldsymbol { A } _ { 1 } , \boldsymbol { A } _ { 2 } , \ldots , \boldsymbol { A } _ { n } \ldots , \boldsymbol { v } \right) , \; \boldsymbol { A } _ { i } \in \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } , \; \boldsymbol { v } \in \mathbb { R } ^ { 1 \times 3 } , \; \boldsymbol { Q } \in O ( 3 ) ,
\left[ \begin{array} { c c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta } } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right]
A ^ { * } = \frac { \sqrt { 2 } \; C _ { l } \, A _ { l } \, C _ { h } \, A _ { h } } { \sqrt { ( C _ { l } \, A _ { l } ) ^ { 2 } + ( C _ { h } \, A _ { h } ) ^ { 2 } } } \approx \frac { \sqrt { 2 } \, C _ { d } \, A _ { l } \, A _ { h } } { \sqrt { A _ { l } ^ { 2 } + A _ { h } ^ { 2 } } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \log 2 F [ ( \delta _ { n } / 1 2 \eta ) \big \lbrace \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + 3 \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } \big \rbrace ] } \\ & { = \log [ 1 + ( \delta _ { n } / 6 ) \big \lbrace \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + 3 \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } \big \rbrace + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( \delta _ { n } ^ { 2 } \{ \| h \| ^ { 6 } \vee 1 \} ) ] } \\ & { = ( \delta _ { n } / 6 ) \big \lbrace \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + 3 \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } \big \rbrace + \tilde { r } _ { n , 1 } ( h ) } \end{array}
S _ { 0 } = \mu ^ { 2 } K _ { 2 / 3 } ^ { 2 } ( \nu ) + \beta ^ { 2 } K _ { 1 / 3 } ^ { 2 } ( \nu ) + \frac { u ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { 2 ( 1 + u ) } \left[ K _ { 1 / 3 } ^ { 2 } ( \nu ) + K _ { 2 / 3 } ^ { 2 } ( \nu ) \right]
R _ { a b c } ^ { d } - \delta _ { b } ^ { d } g _ { a c } + \delta _ { c } ^ { d } g _ { a b } + D _ { b } T _ { a c } ^ { d } - D _ { c } T _ { a b } ^ { d } + T _ { e b } ^ { d } T _ { a c } ^ { e } - T _ { e c } ^ { d } T _ { a b } ^ { e } = 0 .
\frac { d } { d t } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \nu \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \leq - \mu \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \chi _ { n , \tau } + \frac { c M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \chi _ { n , \tau } ( t ) \int _ { t _ { n } } ^ { t } \phi ( s ) d s .
( \lambda _ { i } ) _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } k < i \mathrm { ~ \ a n d ~ \ } i + k \mathrm { ~ \ o d d } } \\ { - 1 , } & { \mathrm { i f ~ } k < i \mathrm { ~ \ a n d ~ \ } i + k \mathrm { ~ \ e v e n } } \\ { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } k \geq i \mathrm { ~ \ a n d ~ \ } i + k \mathrm { ~ \ e v e n } } \\ { - 1 , } & { \mathrm { i f ~ } k \geq i \mathrm { ~ \ a n d ~ \ } i + k \mathrm { ~ \ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { \Xi } _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } : = } & { \frac { \sum _ { \sigma } \left[ \left\vert \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } E _ { \sigma } G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right\vert + \left\vert \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right\vert \right] } { N } } \\ & { + \frac { \sum _ { \sigma } \left[ \left\vert \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } E _ { \sigma } G _ { 2 } ^ { * } ( \mathring { A } _ { 1 } ) ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \big ( G _ { 2 } ^ { * } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { y } } \right\vert + \left| \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } E _ { \sigma } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \big ( G _ { 2 } ^ { * } ( \mathring { A } _ { 1 } ) ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { y } \boldsymbol { y } } \right| \right] } { N } } \end{array}
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } ^ { m } = { \frac { \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } } { \left( \cos 2 \theta _ { 1 3 } - A / \delta m _ { a } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } } } \, ,
\mathcal { F } ( h ) = - \frac { k ^ { 2 } h ^ { 2 } } { 4 \tilde { \alpha } } s _ { \pm } \bigl ( \Phi _ { \pm } \bigr ) ( \tilde { \alpha } ) = - \frac { k ^ { 2 } h ^ { 2 } } { 4 \tilde { \alpha } } \left\{ \sum _ { \ell \ge 0 } y ^ { \ell } s _ { \pm } ( \varphi _ { \ell } ) ( \tilde { \alpha } ) + \mathcal { C } _ { \mathrm { I R } } ^ { \pm } \tilde { \alpha } ^ { 2 - 2 a } \mathrm { e } ^ { - 2 / \tilde { \alpha } } \right\} .
E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] \, = \, \frac { \beta _ { \epsilon } - 2 } { 4 \pi } \, \mu _ { 0 } ^ { 2 } + E _ { 0 } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta ] + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, , \qquad \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \epsilon \to 0 \, ,
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \big [ e ^ { - i \Delta E _ { g g } t / \hbar } } & { { } | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; g _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle + e ^ { - i \Delta E _ { e e } t / \hbar } | e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; e _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } } & { \lesssim n ^ { 3 } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { | y | ^ { 2 + q } } { ( 1 + ( n | y | ) ^ { p } ) ^ { 2 } } d y \lesssim n ^ { 3 } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { | y | ^ { 2 + q } } { 1 + ( n | y | ) ^ { 2 p } } d y } \\ & { \lesssim n ^ { - q } \int _ { \mathbb { R } } \frac { | y | ^ { 2 + q } } { 1 + | y | ^ { 2 p } } d y = O ( n ^ { - q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( i , j , k ) \left( \theta \right) = } & { { } } \\ { \sum _ { i ^ { * } = i - 1 } ^ { i + 1 } \sum _ { j ^ { * } = j - 1 } ^ { j + 1 } } & { { } \sum _ { k ^ { * } = k - 1 } ^ { k + 1 } ( f _ { 2 } ( i ^ { * } , j ^ { * } , k ^ { * } ) - f _ { 2 , p } ( i ^ { * } , j ^ { * } , k ^ { * } , \theta ) ) ^ { 2 } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { 0 } = \vec { \alpha } \vec { p } + \beta m - \frac { \alpha Z _ { T } } { \operatorname* { m a x } ( r , R _ { T } ) } - \frac { \alpha Z _ { P } } { \operatorname* { m a x } ( r , R ( t ) ) } ,
\mathbb { P } \left\{ \underset { n \rightarrow \infty } { \mathrm { \operatorname* { l i m } \, s u p } } \, A _ { n } \right\} = \mathbb { P } \left\{ \underset { n \rightarrow \infty } { \mathrm { \operatorname* { l i m } \, s u p } } \, \bigcup _ { N \geq 1 } A _ { n , 1 / N } \right\} = \mathbb { P } \left\{ \bigcup _ { N \geq 1 } \underset { n \rightarrow \infty } { \mathrm { \operatorname* { l i m } \, s u p } } \, A _ { n , 1 / N } \right\} .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } : = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { J } \wedge F ^ { K L } , } \\ & { \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ( \mathrm { e } ) : = \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { I J K L } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { e } ^ { J } \wedge \delta \omega ^ { K L } . } \end{array}
B _ { c , d } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) = \boldsymbol { x } ^ { T } \cdot \left( \begin{array} { l l l l l } { c } & { d } & { d } & { \dots } & { d } \\ { d } & { c } & { d } & { \dots } & { d } \\ { d } & { d } & { c } & { \dots } & { d } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \ddots } & { \vdots } \\ { d } & { d } & { d } & { \dots } & { c } \end{array} \right) \cdot \boldsymbol { y } .
\begin{array} { r l r } { W _ { \ell } ( J ) } & { = } & { m \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \xi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - \xi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { V _ { \ell } ( J ) } & { = } & { \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \xi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - m \xi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { A _ { \ell } ( J ) } & { = } & { m \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) , } \\ { B _ { \ell } ( J ) } & { = } & { \psi _ { \ell } ( m _ { J } x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( x ) - m \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { ' } ( m _ { J } x ) . } \end{array}
\psi _ { 1 } ( x , E ) = \psi _ { 1 } ( x _ { 0 } , E ) \, \Xi _ { - } ( B , B ) = \psi _ { 1 } ( x _ { 0 } , E ) \exp \left( i \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } d x ^ { \prime } \frac { \Delta ( x ) } { 4 E } \right) \ ,
\begin{array} { r } { \sum _ { i \in \Psi _ { k + 1 , \ell } } w _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } \le 2 \sum _ { i \in \Psi _ { k + 1 , \ell } } w _ { i } ^ { 2 } \epsilon _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 4 } { 3 } R ^ { 2 } \log ( 4 k ^ { 2 } L / \delta ) , } \\ { \sum _ { i \in \Psi _ { k + 1 , \ell } } w _ { i } ^ { 2 } \epsilon _ { i } ^ { 2 } \le \frac { 3 } { 2 } \sum _ { i \in \Psi _ { k + 1 , \ell } } w _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ^ { 2 } + \frac { 7 } { 3 } R ^ { 2 } \log ( 4 k ^ { 2 } L / \delta ) . } \end{array}