harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { s } _ { 0 } } { \mathrm { d } \hat { t } } } & { = - \frac { 1 } { 2 ( 1 - f _ { 1 } ) \hat { s } _ { 0 } \ln \left( \hat { s } _ { 0 } \right) } \left[ \Delta \hat { p } _ { g } - \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 \hat { s } _ { 0 } } + 2 \alpha f _ { 2 } \right) \right] , } \\ { \Delta \hat { p } _ { g } } & { = \frac { 1 } { 1 + \mathcal { V } ^ { - 1 } \left( \hat { s } _ { 0 } ( \hat { t } ) ^ { 2 } - \mathcal { S } ^ { 2 } - \hat { t } \right) } \left[ \mathcal { P } + \textrm { C a } ^ { - 1 } \left( \frac { \pi } { 4 \mathcal { S } } + 2 \alpha \right) \right] - \mathcal { P } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( b a ) z } & { = } & { ( \sigma + \beta a + \beta b ) ( \sigma - ( \alpha - \beta ) a ) } \\ & { = } & { \sigma ^ { 2 } - ( \alpha - 2 \beta ) a \sigma + \beta b \sigma - \beta ( \alpha - \beta ) a - \beta ( \alpha - \beta ) a b } \\ & { = } & { [ . . . ] a + [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) + \beta \delta ^ { f } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ] b } \\ & { + } & { [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) ] c + [ . . . ] \sigma } \\ & { = } & { [ . . . ] a + [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) + \beta \delta ^ { f } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) ] b } \\ & { + } & { [ \theta - \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( \alpha - 2 \beta ) ] c + [ . . . ] \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ Y ^ { 2 } | Y > A ] } & { = \mathbb { E } \Big [ e ^ { 2 \beta \omega } \; \Big | \; \omega > \frac { 1 } { \beta } ( \log A + \lambda ( \beta ) ) \Big ] e ^ { - 2 \lambda ( \beta ) } } \\ & { \leq c _ { 0 } ( 2 \beta ) e ^ { 2 \beta \frac { 1 } { \beta } ( \log A + \lambda ( \beta ) ) } e ^ { - 2 \lambda ( \beta ) } } \\ & { = : c _ { 1 } A ^ { 2 } . } \end{array}
\mathcal { H } ^ { \ast } = \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( \xi _ { 5 } ^ { \ast 2 } + \xi _ { 6 } ^ { \ast 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { 1 } \xi _ { 3 } ^ { \ast } - \partial _ { 2 } \xi _ { 2 } ^ { \ast } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \left( \xi _ { 2 } ^ { \ast 2 } + \xi _ { 3 } ^ { \ast 2 } \right) + m \left( \xi _ { 2 } ^ { \ast } \xi _ { 6 } ^ { \ast } - \xi _ { 3 } ^ { \ast } \xi _ { 5 } ^ { \ast } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigg \{ \left( \kappa _ { 1 } ^ { ( a ) 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { ( b ) 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } + 4 k _ { 1 } k _ { 2 } \right) \cosh \left( q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } \right) - 2 ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } \cosh \left( k _ { 1 } + k _ { 2 } \right) \bigg \} \mu _ { c } ^ { a b } } \\ & { + } & { \bigg \{ \left( \kappa _ { 1 } ^ { ( a ) 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { ( b ) 2 } + k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } + 4 k _ { 1 } k _ { 2 } \right) \sinh \left( q _ { 1 2 } ^ { ( a b ) } \right) - 2 ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } \sinh \left( k _ { 1 } + k _ { 2 } \right) \bigg \} \mu _ { s } ^ { ( a b ) } } \\ & { = } & { r ^ { ( a b ) } \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { t } ( t , \xi ) } & { = U ( t , \xi ) , } \\ { U _ { t } ( t , \xi ) } & { = \frac { 1 } { 2 } V ( t , \xi ) - \frac { 1 } { 4 } V _ { \infty } ( t ) , } \\ { V ( t , \xi ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \xi } V _ { 0 , \xi } ( \eta ) \big ( 1 - \alpha \chi _ { \{ t \geq \tau ( \eta ) > 0 \} } ( \eta ) \big ) d \eta , } \\ { H _ { t } ( t , \xi ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial \omega } { \partial k _ { x } } , \frac { \partial \omega } { \partial k _ { y } } \right) } & { { } = \pm k \left( \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta + \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) \sin \theta \cos \theta ( \cos \phi , \sin \phi ) , } \\ { \frac { \partial \omega } { \partial k _ { z } } } & { { } = \pm k \left( \left( \nu _ { o } - 2 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 4 } \theta + \left( - 2 \nu _ { o } + 5 \nu _ { 4 } \right) \cos ^ { 2 } \theta + \nu _ { o } - \nu _ { 4 } \right) , } \end{array}
{ \cal E } _ { i } = - 2 \alpha _ { 1 } \left( \widetilde { \Delta } K _ { i } + K ^ { a b } { } _ { i } K _ { a b } { } ^ { j } K _ { j } - { \frac { 1 } { 2 } } K ^ { j } K _ { j } K _ { i } - { \cal G } _ { a b } K ^ { a b } { } _ { i } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tau _ { 2 } } & { { } \approx } & { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( T _ { 0 } / 2 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( T _ { 0 } / 2 \right) - \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \left( 0 \right) \mathbf { u } _ { 1 } \left( 0 \right) } \end{array}
G _ { m } ( \lambda ) \equiv \frac { 1 } { ( m + 1 ) ! } \frac { \partial ^ { m + 1 } } { \partial { \xi ^ { m + 1 } } } \left( \frac { 1 } { \mu - 1 / \xi - \lambda ^ { 2 } \xi } \right) \Bigg \vert _ { 0 } ,
\left[ \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + 3 H \frac { d } { d t } + \left[ \frac { k ^ { 2 } } { a _ { o } ^ { 2 } } + m ^ { 2 } ( T _ { o } ) + \frac { \lambda _ { R } T _ { c } ^ { 2 } } { 2 4 } \right] e ^ { - 2 H t } - \frac { \lambda _ { R } T _ { c } ^ { 2 } } { 2 4 } \right] \varphi _ { k } ^ { H } ( t ) = 0
\begin{array} { r l } { \Dot { \Theta } = \Omega } & { { } - \left( \boldsymbol { d } \mathbf { V } ^ { \top } \right) ^ { - } \sin ( \mathbf { V } \boldsymbol { \delta } \Theta + \mathbf { U } A _ { \uparrow } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \Delta m ^ { 2 } } } & { { = 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 8 } e V ^ { 2 } , } } \\ { { \, \, \mu } } & { { = 3 . 9 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \mu _ { B } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow \, } & { { } \frac { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 4 } } { 1 6 } - \left( \beta - \frac { 1 } { 4 } f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 } \\ { \Leftrightarrow \, } & { { } f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } = \frac { 2 + 2 \left( \beta + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \beta + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | ] } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \slash 2 ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - 4 L ^ { 2 } } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = - \left( 1 + i ( \zeta _ { 0 } - \delta \zeta _ { \mathrm { N L } } + \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ) \right) a _ { + } + \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } f } \\ { 0 } & { { } = - \left( 1 + i ( \zeta _ { 0 } - \delta \zeta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } ) \right) a _ { - } - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } f } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { t a n h } } } & { = i \operatorname { t a n h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \qquad \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \coth } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - i ) \coth \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \boldsymbol j \ne \boldsymbol 0 , } \\ { 0 } & { \boldsymbol j = \boldsymbol 0 , } \end{array} \right. } \\ { \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { s e c h } } } & { = \operatorname { s e c h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) , } & { \qquad \hat { H } _ { \boldsymbol j } ^ { \operatorname { c s c h } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i \operatorname { c s c h } \big ( \langle \boldsymbol j , \boldsymbol k \rangle h \big ) } & { \boldsymbol j \ne \boldsymbol 0 , } \\ { 0 } & { \boldsymbol j = \boldsymbol 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \bf u } = { \frac { { \bf k } _ { \perp } } { x } } \, , \; \; { \bf v } = { \bf q } _ { \perp } - { \frac { { \bf k } _ { \perp } } { x } } , \; \; a = m ^ { 2 } + { \bf u } ^ { 2 } , \; \; b = m ^ { 2 } + { \bf v } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal D } _ { 3 } ^ { ( v ) } \left( \phi _ { y } \right) } & { = } & { \exp \left( - i \hat { e } _ { 3 } ^ { ( v ) } \phi _ { y } \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { \exp \left( - i \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \exp \left( i \frac { \phi _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial n ^ { + } } p ^ { D } ( s , ( \tau ^ { + } , 0 + ) , t , y ) \textrm { d } y \right) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , s ) \textrm { d } \tau ^ { + } \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial n ^ { - } } p ^ { D } ( s , ( \tau ^ { - } , 0 + ) , t , y ) \textrm { d } y \right) \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , s ) \textrm { d } \tau ^ { - } \textrm { d } s , } \end{array}
{ \cal U } _ { a } ^ { A I } = V _ { a } ^ { \mu } ( { \cal U } _ { i } ^ { A I } \partial _ { \mu } q ^ { i } - \epsilon ^ { A B } C ^ { I J } \bar { \psi _ { \mu } } _ { B } \zeta _ { J } - \bar { \psi _ { \mu } } ^ { A } \zeta ^ { I } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P N L } _ { \tau ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } } & { = \; B \Big ( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { s } d s - S _ { T } \Big ) - \lambda ( B - Q _ { T } ^ { \alpha ^ { \varepsilon } } ) _ { + } } \\ & { \rightarrow \; B \Big ( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { s } d s - S _ { T } \Big ) - \lambda ( B - Q _ { T } ^ { \alpha } ) _ { + } \; = \; \mathrm { P N L } _ { \bar { \tau } } ^ { \alpha } , } \end{array}
E = { \frac { p _ { \mathrm { { F } } } ^ { 2 } v _ { \mathrm { { F } } } } { 2 ( \pi ) ^ { 2 } } } \sum _ { l m } ( \delta \phi _ { l m } ) ^ { 2 } { \frac { ( l + m ) ! } { ( 2 l + 1 ) ( l - m ) ! } } \left( 1 + { \frac { f _ { l } } { 2 l + 1 } } \right)
\begin{array} { r l r l } & { \Phi _ { C o u l } ^ { S } ( R , L ) } & { = } & { \quad k _ { e } \sum _ { i , j } ^ { N ^ { \prime } } \sum _ { n } q _ { i } q _ { j } \frac { e r f c ( \alpha \| r _ { i , j , n } \| ) } { 2 \| r _ { i , j , n } \| } } \\ & { \Phi _ { C o u l } ^ { L } ( R , L ) } & { = } & { \quad k _ { e } \sum _ { i , j } ^ { N } \sum _ { m } q _ { i } q _ { j } \frac { 2 \pi } { V \| G _ { m } \| ^ { 2 } } \cdot \exp { \left( - \frac { \| G _ { m } \| ^ { 2 } } { 4 \alpha ^ { 2 } } \right) } \cdot \cos { ( { G _ { m } } \cdot r _ { i , j } ) } } \\ & { \Phi _ { C o u l } ^ { s e l f } ( R , L ) } & { = } & { - k _ { e } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } ^ { 2 } \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K L \left( \Phi \| \tilde { \Phi } \right) } \\ { = } & { \int _ { \mathcal { I } ^ { d } } \Phi ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) \log \frac { \Phi ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) } { \tilde { \Phi } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) } d \boldsymbol { \theta } } \\ { = } & { - H \left[ \Phi \right] - \int _ { \mathcal { I } ^ { d } } \Phi ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) \log \tilde { \Phi } ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) d \boldsymbol { \theta } . } \end{array}
\mu ^ { ( \nu ) } \sim ( 0 . 7 0 7 \; \; \mathrm { t o } \; \; 4 . 0 8 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \; \mathrm { e V ~ ~ ~ o r ~ ~ } \; ( 0 . 5 6 2 \; \; \mathrm { t o } \; \; 3 . 2 5 ) \times 1 0 ^ { - 3 } \; \mathrm { e V } \; ,
\begin{array} { r l } { A ^ { ( 1 ) } } & { = A ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { A } } } & { = A ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { a } } \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ { A u ^ { ( 1 ) } } & { = ( A u ) ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { A u } } } & { = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { a } } \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) } \\ & { - \Delta t \, \boldsymbol { \tilde { a } } \, \frac { A ^ { ( 1 ) } } { \rho } \partial _ { x } p ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \tilde { \mathcal { A } } } \, \frac { \boldsymbol { \hat { A } } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { \hat { p } } } \\ { p ^ { ( 1 ) } } & { = p ^ { n } } \\ { \boldsymbol { \hat { p } } } & { = p ^ { n } \boldsymbol { \hat { e } } - \Delta t \, \boldsymbol { a } \, E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \hat { \mathcal { A } } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ & { - \frac { \Delta t \, \boldsymbol { a } } { \tau _ { r } } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) \right) - \frac { \Delta t \, \hat { \mathcal { A } } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { \hat { p } } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \left[ x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) , \cdots , x ( L ) \right] } } \\ { { \left[ y ( 1 ) , y ( 2 ) , y ( 3 ) , \cdots , y ( L ) \right] } } \end{array} \right\} ,
R = \left( \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } \right) ^ { 9 / 2 5 } \, \left[ 1 - \frac { 7 9 2 1 } { 3 7 5 0 } \, \frac { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) - \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } \right] + \Lambda _ { R } \left( \frac { 1 } { m _ { c } } - \frac { 1 } { m _ { b } } \right) \, ,
{ \displaystyle { \bf n } _ { j + 1 } ^ { ( 0 ) } = 2 { \bf n } _ { j } ^ { ( 0 ) } - { \bf n } _ { j - 1 } ^ { ( 0 ) } + \delta t ^ { 2 } { \bf \ddot { n } } _ { j } ^ { ( 0 ) } + \alpha \sum _ { l = 0 } ^ { l _ { \mathrm { m a x } } } c _ { l } { \bf n } _ { j - l } ^ { ( 0 ) } } ,
\begin{array} { r l } { \Delta x ^ { i } } & { = \frac { f } { v ^ { 2 } } \epsilon ^ { i j } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! ^ { 2 } } y \ G _ { j k } ( x - x ^ { \prime } ) \left[ \Delta \gamma _ { k } ( x ^ { \prime } ) + \partial _ { k } \Delta P ( x ^ { \prime } ) \right] \, } \\ & { = \frac { 2 } { f } \epsilon ^ { i j } \left[ \Delta \gamma _ { j } ( x ) + \partial _ { j } \Delta P ( x ) + \frac { 1 } { 2 \pi } \partial _ { j } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! ^ { 2 } } x ^ { \prime } \ K _ { 0 } ( \frac { | x - x ^ { \prime } | } { \ell } ) \partial _ { k } ( \Delta \gamma _ { k } ( x ^ { \prime } ) + \partial _ { k } \Delta P ( x ^ { \prime } ) ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { f } = \biggl [ \frac { 2 \tau _ { x ^ { * } y ^ { * } } ^ { * } } { \rho ^ { * } ( U ^ { * } ) ^ { 2 } } \biggr ] \biggl | _ { y ^ { * } = 0 } } & { = 2 \textrm { R e } ^ { - 1 / 2 } ( \tau _ { x y } ) | _ { y = 0 } } \\ & { = 2 x \, \textrm { R e } ^ { - 1 / 2 } h ( 0 ) } \\ & { \quad - 2 x \, \textrm { W i } \, \textrm { R e } ^ { - 1 / 2 } [ g ( 0 ) s _ { x y } ( 0 ) - f ( 0 ) s _ { x y } ^ { \prime } ( 0 ) - h ( 0 ) s _ { y y } ( 0 ) ] } \\ & { \quad + 2 ( 1 - \beta ) x \, \textrm { W i } \, \textrm { R e } ^ { - 1 / 2 } [ 3 g ( 0 ) h ( 0 ) - f ( 0 ) h ^ { \prime } ( 0 ) ] . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 3 } } } } = { - } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 3 } } \left( \mathrm { 6 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + \mathrm { 6 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \mathrm { D } } } & { = \big ( \Pi _ { 1 } + \Pi _ { 2 } e ^ { - 2 \lambda } - \Pi _ { 3 } e ^ { - \lambda } + \Pi _ { 4 } E _ { 1 } ( \lambda ) + \Pi _ { 5 } K _ { 0 } ( 2 \lambda ) } \\ & { \, \left. + \, \Pi _ { 6 } K _ { 1 } ( 2 \lambda ) + \Pi _ { 7 } N _ { 0 } ( 2 \lambda ) - \Pi _ { 8 } N _ { 1 } ( 2 \lambda ) \big ) \middle / \left( 6 4 \lambda ^ { 4 } \right) \right. , } \end{array}
= \; \frac { e ^ { 2 } } { \pi + g N } \Big ( A , T \sum _ { b = 1 } ^ { N } a ^ { ( b ) } \Big ) + \frac { e \sqrt { g } } { \pi } \Big ( h ^ { \prime } , T \sum _ { b = 1 } ^ { N } a ^ { ( b ) } \Big ) \; .
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { } & { - \frac { j } { 8 } \left[ H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) + H _ { 2 } ( k _ { o } \rho ) \cos ( 2 \theta ) \right] } \\ { E _ { y } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { } & { - \frac { j } { 8 } \left[ H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) - H _ { 2 } ( k _ { o } \rho ) \cos ( 2 \theta ) \right] } \\ { E _ { z } ^ { \mathrm { i n c } } = } & { } & { - \frac { j } { 4 } H _ { 0 } ( k _ { o } \rho ) } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { 4 } \! = \! \frac { K _ { 4 } ^ { ( 1 ) } \! Q _ { 1 1 1 1 } } { Z } , p _ { 3 } \! = \! \frac { K _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \! { \cal Q } _ { 3 } } { Z } , p _ { 2 } \! = \! \frac { K _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \! { \cal Q } _ { 2 } } { Z } , p _ { 0 } \! = \! \frac { { \cal Z } _ { 0 } } { Z } , } \\ { p _ { 4 } + p _ { 3 } + p _ { 2 } + p _ { 0 } = 1 . } \end{array}
\cos \alpha = { \frac { { \hat { n } } _ { 1 } \cdot { \hat { n } } _ { 2 } } { | { \hat { n } } _ { 1 } | | { \hat { n } } _ { 2 } | } } = { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } + b _ { 1 } b _ { 2 } + c _ { 1 } c _ { 2 } } { { \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } } } { \sqrt { a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } } } } } .
S [ \phi ] = \int d ^ { D } x \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 ! } } \lambda \phi ^ { 3 } \right] ,
d s ^ { 2 } = - \frac { f ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } \left( r _ { + } d \phi - r _ { - } \frac { d t } { l } \right) ^ { 2 } - \frac { f { ' \; 2 } d r ^ { 2 } } { ( \frac { f ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } + 1 ) } + \left( \frac { f ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - 1 \right) \left( r _ { - } d \phi - r _ { + } \frac { d t } { l } \right) ^ { 2 }
\epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \mathrm { ~ M ~ O ~ D ~ - ~ B ~ 3 ~ L ~ Y ~ P ~ } } ( r _ { s } , \zeta , s ) = \Theta ( s - 1 . 8 2 ) \, \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \mathrm { ~ B ~ 3 ~ L ~ Y ~ P ~ } } ( r _ { s } , \zeta , s ) \, ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f _ { + , j } } & { = - \partial _ { x } J _ { + , j } + \lambda ( f _ { - , j } - f _ { + , j } ) , } \\ { \partial _ { t } f _ { - , j } } & { = - \partial _ { x } J _ { - , j } + \lambda ( f _ { + , j } - f _ { - , j } ) , } \end{array} \quad \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times ( 0 , L _ { j } ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { F _ { x } } { \tilde { r } _ { b } } = - \frac { x _ { n } } { 2 } - g \frac { \sqrt { 2 \nu \xi } } { 4 } \left[ \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \log \left( 2 \nu \xi \right) + 3 x _ { n } ^ { 2 } + y _ { n } ^ { 2 } \right] , } \\ & { \frac { F _ { y } } { \tilde { r } _ { b } } = - \frac { y _ { n } } { 2 } - g \sqrt { 2 \nu \xi } \frac { x _ { n } y _ { n } } { 2 } . } \end{array}
D _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { l l l l } { { p ^ { 2 } - p _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \alpha \beta ^ { 2 } } } } & { { - p _ { 0 } p _ { 1 } } } & { { - p _ { 0 } p _ { 2 } } } & { { - p _ { 0 } p _ { 3 } } } \\ { { - p _ { 0 } p _ { 1 } } } & { { p ^ { 2 } - p _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { - p _ { 1 } p _ { 2 } } } & { { - p _ { 1 } p _ { 3 } } } \\ { { - p _ { 0 } p _ { 2 } } } & { { - p _ { 1 } p _ { 2 } } } & { { p ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { - p _ { 2 } p _ { 3 } } } \\ { { - p _ { 0 } p _ { 3 } } } & { { - p _ { 1 } p _ { 3 } } } & { { - p _ { 2 } p _ { 3 } } } & { { p ^ { 2 } - p _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right] \beta ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ) ) | } & { } \\ { \leq } & { | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ) - G ( L _ { j } ^ { ( \psi ) } ) ) | } \\ & { + | C o v ( F ( L _ { i _ { 1 } } , \ldots , L _ { i _ { u } } ) , G ( L _ { j } ^ { ( \psi ) } ) ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \zeta _ { T } ^ { X | K } , f _ { T } \rangle } & { = \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { j = 1 } ^ { K _ { X } } \left( f _ { 0 } ( x _ { j } ^ { X } ( 0 ) ) + \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { A } f _ { t } ( \Psi ( x _ { j } ^ { X } ( 0 ) , t , 0 ) ) d t \right) } \\ & { + \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) \left( \int _ { t } ^ { T } \langle \Delta _ { X } ( u , z , t ) , \mathcal { A } f _ { z } \rangle d z \right) Q _ { Y } ( d t , d u ) } \\ & { + \frac { 1 } { K _ { X } } \sum _ { Y \in \mathcal { S } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { Y } } \mathcal { I } _ { Y } ( t - , u ) f _ { t - , u } ^ { X } Q _ { Y } ( d t , d u ) . } \end{array}
\langle { \pi ^ { + } | \tilde { H } _ { w } | \hat { \kappa } ^ { + } } \rangle = - \sqrt { 2 } \langle { \pi ^ { 0 } | \tilde { H } _ { w } | \hat { \kappa } ^ { 0 } } \rangle = \langle { \sigma | \tilde { H } _ { w } | K ^ { 0 } } \rangle = \cdots = { \frac { k _ { a } } { 2 A _ { a } } } \langle { \pi ^ { + } \, \, | \tilde { H } _ { w } | K ^ { + } } \rangle ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } \mathbb { E } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n ( s ) } F _ { t } ( x + \chi _ { k } ( s ) - \sqrt { 2 } s ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ x + \chi _ { k } ( s ) - \sqrt { 2 } s < - K \right\} } \right] ( - x ) e ^ { - \sqrt { 2 } x } d x } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { s } \mathbb { E } [ F _ { t } ( x + W _ { s } - \sqrt { 2 } s ) \mathbf { 1 } _ { \left\{ x + W _ { s } - \sqrt { 2 } s < - K \right\} } ] ( - x ) e ^ { - \sqrt { 2 } x } d x } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { s } \int _ { - \infty } ^ { - K } C _ { f , t } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { \sqrt { 2 } y - \frac { y ^ { 2 } } { 2 t } } \frac { e ^ { - \frac { ( y + \sqrt { 2 } s + x ) ^ { 2 } } { 2 s } } } { \sqrt { 2 \pi s } } d y \right) x e ^ { \sqrt { 2 } x } d x } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { h _ { k } : ( a - r , a + r ) \to \mathbf { R } } \\ { h _ { k } ( x ) = ( x - a ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } c _ { k + 1 + j } ( x - a ) ^ { j } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { z _ { \ell + 1 } ^ { p } } & { { } = s _ { \ell , \theta } ^ { p } ( z _ { \ell } ^ { v } ; x ^ { p } ( t ) ) \odot z _ { \ell } ^ { p } + t _ { \ell , \theta } ^ { p } ( z _ { \ell } ^ { v } ; x ^ { p } ( t ) ) , } \\ { z _ { \ell + 1 } ^ { v } } & { { } = s _ { \ell , \theta } ^ { v } ( z _ { \ell + 1 } ^ { p } ; x ^ { p } ( t ) ) \odot z _ { \ell } ^ { v } + t _ { \ell , \theta } ^ { v } ( z _ { \ell + 1 } ^ { p } ; x ^ { p } ( t ) ) . } \end{array}