harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { c ( y ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { q } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \exp [ ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) y _ { i } ] } { \exp [ \exp ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) ] y _ { i } ! } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] d u d \beta d \tau } \\ & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { q } { 2 } } B \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \binom { y _ { ( n ) } } { y _ { i } } } \frac { \exp [ ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) y _ { i } ] } { \exp [ \exp ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) ] } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] d u d \beta d \tau } \\ & { \le ( 2 \pi ) ^ { - \frac { q } { 2 } } B \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \binom { y _ { ( n ) } } { y _ { i } } } \frac { d \exp [ ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) y _ { i } ] } { [ 1 + \exp ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) ] ^ { y _ { ( n ) } } } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] d u d \beta d \tau , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \int d ^ { 2 } \xi ^ { \prime } K _ { \xi \xi ^ { \prime } } ^ { t - t ^ { \prime } } e ^ { - \phi ( \xi ) } \left( - \frac { 1 } { 2 } ( \xi ^ { \prime } - \xi ) ^ { a } ( \xi ^ { \prime } - \xi ) ^ { b } \left( \partial _ { a } \phi ( \xi ) \partial _ { b } \phi ( \xi ) - \partial _ { a } \partial _ { b } \phi ( \xi ) \right) \right) \Delta ^ { \prime } K _ { \xi ^ { \prime } \xi } ^ { t ^ { \prime } }
t _ { \mathrm { i n t } } = - \frac { C + \langle \tilde { \mathbf { o } } , \mathbf { n } \rangle } { \langle \tilde { \hat { \mathbf { d } } } , \mathbf { n } \rangle } , \quad \mathbf { n } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { \partial _ { u } T } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \partial _ { v } T } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \\ { - 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { R _ { s } ( T ) } & { { } = \frac { a _ { 0 } } { T } \ln \left( \frac { 4 k _ { b } T } { \hbar \omega } \right) \exp \left( - \frac { a _ { 1 } ( T ) T _ { c } } { T } \right) + a _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { { V _ { \phi } } ( P _ { 0 } | P _ { 1 } , P _ { 2 } ) : = \int \phi \Big ( \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } \Big ) \phi \Big ( \frac { d P _ { 2 } } { d P _ { 0 } } \Big ) d P _ { 0 } - \int \phi \Big ( \frac { d P _ { 1 } } { d P _ { 0 } } \Big ) d P _ { 0 } \int \phi \Big ( \frac { d P _ { 2 } } { d P _ { 0 } } \Big ) d P _ { 0 } , } \end{array}
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } d _ { 1 } G _ { \mu \nu } ^ { A } G ^ { A \mu \nu } + { \frac { d _ { 2 } } { m ^ { 2 } } } G _ { \mu \nu } ^ { A } D ^ { 2 } G ^ { A \mu \nu } + { \frac { d _ { 3 } } { m ^ { 2 } } } g f _ { A B C } G _ { \mu \nu } ^ { A } G _ { \mu \alpha } ^ { B } G _ { \nu \alpha } ^ { C } + { \cal O } \left( { \frac { 1 } { m ^ { 4 } } } \right) ,
A _ { n } = { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 4 } { 5 } } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( { \frac { 5 } { 9 } } \right) ^ { k } \quad { \mathrm { g i v i n g } } \quad \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } A _ { n } = 2 \, ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \psi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A B } ^ { k } + \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A B } ^ { - k } \right) = - \frac { \kappa ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } + \beta ) + \delta [ \beta - ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) ] } { [ ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) + \beta ) ( \delta ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } + ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) \beta ] } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \psi } _ { A } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { = \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { A A } ^ { k } = \frac { \delta - \kappa } { ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) } \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \phi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle + \frac { 1 } { ( \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } ) } \frac { \epsilon } { L } \, , } \\ { \left\langle \vert { \phi } _ { B } ^ { k } \vert ^ { 2 } \right\rangle } & { = \mathrm { C o v } ( \psi ) _ { B B } ^ { k } = - \frac { \delta + \kappa } { \beta } \left\langle \mathrm { R e } { \psi } _ { A } ^ { k } { \psi } _ { B } ^ { - k } \right\rangle + \frac { 1 } { \beta } \frac { \epsilon } { L } \, . } \end{array}
_ { 2 } F _ { 1 } \left( a , b ; { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + a + b \right) ; { \frac { 1 } { 2 } } \right) = { \frac { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } ) \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + a + b \right) ) } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + a ) \right) \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + b \right) ) } } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { n } \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } } & { = } & { \sum _ { 0 \leq j _ { 1 } < j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } B ^ { ( j _ { k } + 1 ) } \mathcal { D } _ { n } } \\ & { = } & { \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } < j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell - 1 } \leq n - 1 } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { \ell - 1 } B ^ { ( j _ { k } ) } \right) B \mathcal { D } _ { n } + \chi _ { \ell \neq n } \, \sum _ { 1 \leq j _ { 1 } < j _ { 2 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } B ^ { ( j _ { k } ) } \mathcal { D } _ { n } } \\ & { = } & { ( \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } B + \chi _ { \ell \neq n } \, \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } ) \mathcal { D } _ { n } } \end{array}
\boldsymbol { u } = \cos ^ { 2 } \theta \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi ) + \boldsymbol { \nabla } \phi _ { 2 } , \quad \boldsymbol { \omega } = \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \nabla } ( \cos 2 \theta ) \times \boldsymbol { \nabla } ( \Delta \phi )
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } } \quad } & { f ( \mathbf { x } _ { 0 } , c ( \mathbf { x } ) ) } & \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { g _ { 0 } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , c ( \mathbf { x } ) \right) \preccurlyeq \mathbf { 0 } } \\ & { g _ { i } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { i } , c _ { i } ( \mathbf { x } ) \right) \preccurlyeq \mathbf { 0 } , ~ \forall i \in \mathcal { I } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \nu } ^ { ( L ) } } & { { } = \left( \bigotimes _ { r = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \mu - 1 ) } \hat { Z } _ { r } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = L ( \mu - 1 ) + 1 } ^ { \mu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime } } \right) \left( \bigotimes _ { s = L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { L ( \nu - 1 ) } \hat { Z } _ { s } \bigotimes _ { s ^ { \prime } = L ( \nu - 1 ) + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { s ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\delta _ { l } \approx 0 . 0 1 7 - 0 . 0 6 R e _ { l 0 } ^ { * - 1 } \, , \quad U _ { 0 } ^ { + } \approx 2 . 6 2 - 4 . 6 R e _ { l 0 } ^ { * - 1 } \, ,
{ S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow , t h } } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f ( 1 - f ) ( M _ { 1 } - R _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow } ) = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f ( 1 - f )
\begin{array} { r l r } { \delta \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) } & { = } & { - i \, \delta \overline { { \phi } } _ { i } \, \overline { { J } } _ { i } \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) \quad \mathrm { a s } \quad x ^ { \, \mu } \rightarrow x ^ { \, \mu } + \delta x ^ { \, \mu } } \\ { \overline { { J } } _ { i } } & { = } & { \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) J _ { i } \, \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } ^ { - 1 } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \hat { S } _ { x } } \\ { \hat { S } _ { y } } \\ { \hat { S } _ { z } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { c } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \hat { n } _ { \mathrm { ~ H ~ } } - \hat { n } _ { \mathrm { ~ V ~ } } } \\ { \hat { n } _ { \mathrm { ~ D ~ } } - \hat { n } _ { \mathrm { ~ A ~ } } } \\ { \hat { n } _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \hat { n } _ { \mathrm { ~ R ~ } } } \end{array} \right) = \frac { c } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } - \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } + \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } } \\ { i \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } - i \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { H } } _ { \mathrm { t r i } } } & { { } = \tilde { \mathbf { q } } ^ { ( j ) , \dagger } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { f } + \boldsymbol { \Sigma } _ { \infty } } & { \mathbf { W } } \\ { \mathbf { W } ^ { \dagger } } & { \mathbf { d } } \end{array} \right] \tilde { \mathbf { q } } ^ { ( j ) } } \end{array}
\omega _ { i } ^ { \mu } ( \sigma _ { i } ^ { \mu } ) = \left( 1 + \exp \{ 2 J \beta \sigma _ { i } ^ { \mu } \Sigma _ { i ^ { \prime } } ^ { \mu ^ { \prime } } ( r ) \sum _ { j } A _ { i j } ^ { \mu } \sigma _ { j } ^ { \mu } \} \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \Phi } } ( x ) } & { : = ( \Phi _ { 1 } ( x ) , \ldots , \Phi _ { d + 1 } ( x ) , \varphi ( x ) ) , } \\ { \overline { { p } } ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { d + 1 } , z ) } & { : = ( p _ { 1 } ( x , y _ { 1 } ) , \ldots , p _ { d + 1 } ( x , y _ { d + 1 } ) , } \\ & { \qquad H _ { 1 } ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { d + 1 } ) - z H _ { 2 } ( x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { d + 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { N _ { \zeta } } ( u ) = } & { { } 6 { e ^ { - 3 i u } } { \left( { - 1 + { e ^ { i u } } } \right) ^ { 4 } } \left( { - 1 + 2 { e ^ { i u } } } \right) \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } } \\ { + } & { { } \left[ { 6 \left( { 5 - 6 \cos \left[ u \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] - 2 i \left( { - 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \sin \left[ u \right] } \right) } \right] \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf P } _ { 1 } ^ { ' } } & { = } & { \hat { { \bf P } } _ { 1 } \mathrm { c o s } ( \psi ) + \hat { { \bf P } } _ { 2 } \mathrm { s i n } ( \psi ) , } \\ { \hat { \bf P } _ { 2 } ^ { ' } } & { = } & { - \hat { { \bf P } } _ { 1 } \mathrm { s i n } ( \psi ) + \hat { { \bf P } } _ { 2 } \mathrm { c o s } ( \psi ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } ^ { ' } } \\ { \mathcal { E } _ { y } ^ { ' } } \end{array} \right) = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } R _ { z } ( { \it \Delta \Psi } ) \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } } \\ { \mathcal { E } _ { y } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( X _ { k } = \xi ) } & { = p ( \xi _ { i } = \xi | A _ { i } = 1 ) } \\ & { = \frac { p ( \xi _ { i } = \xi ) \cdot \P { A _ { i } = 1 | \xi _ { i } = \xi } } { \P { A _ { i } = 1 } } } \\ & { = \frac { q ( \xi ) } { \int _ { \tilde { E } _ { 0 } - w } ^ { \tilde { E } _ { 0 } + w } q ( \xi ) d \xi } , ~ ~ ~ \forall \xi \in [ \tilde { E } _ { 0 } - w , \tilde { E } _ { 0 } + w ] . } \end{array}
F _ { \mu \nu } ^ { i } ( x ) = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { i } ( x ) - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { i } ( x ) + f _ { j k } ^ { \, \, \, i } A _ { \mu } ^ { j } ( x ) A _ { \nu } ^ { k } ( x ) .
\begin{array} { r l r } & { \delta _ { L ^ { ( n ) } } \phi } & { = t ^ { n + 1 } \partial _ { t } \phi + ( n + 1 ) t ^ { n } ( x ^ { j } \partial _ { j } + \Delta _ { 1 } ) \phi } \\ & { \delta _ { L ^ { ( n ) } } \chi } & { = t ^ { n + 1 } \partial _ { t } \chi + ( n + 1 ) t ^ { n } ( x ^ { j } \partial _ { j } + \Delta _ { 1 } ) \chi } \\ & { \qquad } & { \qquad \qquad + \frac { i } { \sqrt { 2 } } n ( n + 1 ) t ^ { n - 1 } x ^ { k } \sigma _ { k } \phi } \\ & { \delta _ { L ^ { ( n ) } } \varphi } & { = t ^ { n + 1 } \partial _ { t } \varphi + ( n + 1 ) t ^ { n } ( x ^ { j } \partial _ { j } + \Delta _ { 2 } ) \varphi } \end{array}
\begin{array} { r } { C = C ( \beta , \, \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } , \, \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } , \, \| x u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , \, \| x v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , \, \| u _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } , \, \| v _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 } = \frac { \lambda _ { 2 } } { \tau } \Rightarrow \frac { \textrm { d e t } l _ { i j } } { l _ { 2 2 } } = l _ { 1 1 } \Rightarrow \frac { l _ { 1 2 } l _ { 2 1 } } { l _ { 2 2 } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha = \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) \sqrt { \frac { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ F ^ { ( k ) } ] } { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ G ^ { ( k ) } ] } } , \quad p = n + \frac { m } { w } , \quad m = n \sqrt { \frac { w \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \xi } S = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \mathcal { L } _ { \xi } ( \sqrt { - g } \, \overline { { \mathbf { G } } } ) d ^ { 4 } x } & { = \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \Big [ \partial _ { \mu } ( \sqrt { - g } \xi ^ { \mu } \overline { { \mathbf { G } } } ) + \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \xi ^ { \lambda } \big ( \overline { { M } } ^ { \mu \nu } _ { \lambda } + P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \big ) \sqrt { - g } \Big ] d ^ { 4 } x } \\ & { = \textrm { b o u n d a r y t e r m s } + \frac { 1 } { 2 \kappa } \int \xi ^ { \lambda } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Big ( \sqrt { - g } \big ( \overline { { M } } ^ { \mu \nu } _ { \lambda } + P ^ { \mu \nu } _ { \lambda } \big ) \Big ) d ^ { 4 } x \, , } \end{array}
f _ { x _ { 0 } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l c l } { 2 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) ) - \alpha \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, | \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) | \leq k L \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } \\ { \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) > k L \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } \\ { 3 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) < - k L \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) , } \end{array} \right.
\langle \overline { { { \psi } } } _ { \Phi } \psi _ { \Phi } \rangle \simeq \frac { \lambda } { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } \frac { \phi _ { 0 } ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } } \langle \overline { { { \psi } } } _ { \phi } \psi _ { \phi } \rangle .
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] \approx } & { \frac { ( 1 - \eta ) ^ { 2 } + ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } ) ( 1 - \eta ) } { 2 \eta \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } } } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] \approx } & { \frac { ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } + ( 1 - \eta e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } ) ( 1 - \eta ) } { 2 \eta \left[ ( e ^ { 2 r _ { \mathrm { s } } } - 1 ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \, \omega ^ { 2 } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } \grave { \phi } _ { \alpha } + \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \cdot \grave { \overline { { \nabla \phi } } } _ { \alpha } \right) = } & { { } ~ - \tilde { \rho } _ { \alpha } \left( \chi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } + \left( \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } \right) } \end{array}
\psi _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( \mathbf { r } ; \mathbf { r } _ { p } ) = \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) t ( \mathbf { r } ; \mathbf { r } _ { p } ) = \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { r } ) e ^ { i \phi ( \vec { r } + \vec { r } _ { p } ) }
U ( \mathbf { q } _ { 1 } + \mathbf { c } , \mathbf { q } _ { 2 } + \mathbf { c } , \dots , \mathbf { q } _ { N } + \mathbf { c } ) = U ( \mathbf { q } _ { 1 } , \mathbf { q } _ { 2 } , \dots , \mathbf { q } _ { N } )
\begin{array} { r l } { ( d _ { b } ^ { * } ( x ) , y ) } & { = ( - 1 ) ^ { \tilde { x } } \int _ { M } d \big ( * ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) \big ) \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } \wedge y } \\ & { = \int d \big ( * ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) \big ) \wedge ( y \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \tilde { x } } \int * ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) \wedge d ( y \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) } \\ & { = \big ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } , d ( y \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) \big ) . } \end{array}
U _ { q \bar { q } } ^ { ( 1 ) , R } \left( 1 - z , { \bf Q } _ { T } \right) = \; { \cal F } ( z , { \bf Q } _ { T } , Q / \sqrt { z } , \epsilon ) \; { \frac { 8 } { Q ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 3 } } } \; .
S = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \cal M } d ^ { 2 } z \left( G _ { i j } \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial ^ { \alpha } X ^ { j } - 2 \pi i \alpha ^ { \prime } B _ { i j } \epsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial _ { \beta } X ^ { j } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 1 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 0 } + 1 , i , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 0 } - i + 1 } } } \\ & { \times \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | } } U _ { \hbar , \lambda } ( - t _ { | \alpha | } ) U _ { \hbar , 0 } ( t _ { | \alpha | } ) \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 0 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) . } \end{array}
\sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } = - \frac { e ^ { n + 1 } } { \hslash ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { i \omega _ { j } } \right) \int [ d \mathbf { k } ] \, \kappa _ { ( 1 ) , \mathbf { k } } ^ { \nu \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathrm { P r } } } & { = \frac { \nu } { \kappa _ { T } } , \quad \tau = \frac { \kappa _ { C } } { \kappa _ { T } } , \quad D _ { B } = \frac { \eta } { \kappa _ { T } } , } \\ { R _ { 0 } } & { = \frac { \alpha \left( \frac { d T _ { 0 } } { d z } - \frac { d T _ { \mathrm { a d } } } { d z } \right) } { \beta \frac { d C _ { 0 } } { d z } } , \quad H _ { B } = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { \rho _ { m } \mu _ { 0 } \kappa _ { T } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ \int _ { \mathbf { D } } \mathcal { U } _ { i } ( x , t ) \mathcal { U } ^ { i } ( x , t ) d ^ { 3 } x \right] = - \nu \int _ { \mathbf { D } } \mathbb { E } [ | \nabla _ { j } \mathcal { U } _ { i } \nabla ^ { j } \mathcal { U } ^ { i } | ] d ^ { 3 } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( Y _ { k } + \alpha _ { k } F ( Y _ { k } ) ) = \nabla \eta ( Y _ { k } + \alpha _ { k } F ( Y _ { k } ) ) } & { = \nabla \Phi ( Y _ { k } + \alpha _ { k } F ( Y _ { k } ) ) ^ { \top } A ^ { \top } u _ { k } } \\ & { = A ^ { \top } u _ { k } + ( \nabla \Phi ( Y _ { k } + \alpha _ { k } F ( Y _ { k } ) ) - \nabla \Phi ( p ) ) ^ { \top } A ^ { \top } u _ { k } } \\ & { \in A ^ { \top } u _ { k } + \epsilon _ { p } \| A \| _ { \mathrm { o p } } \mathrm { L i p } _ { \nabla \Phi } B _ { 1 } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 2 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } \right) ^ { 1 / 2 } \sigma _ { k j , i l } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert , \cos \theta \right) \mathbf { 1 } _ { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } } d \boldsymbol { \omega } \mathrm { , ~ } } \\ & { } & { \mathrm { w i t h ~ } \cos \theta = \boldsymbol { \omega } \cdot \frac { \overline { { \mathbf { g } } } } { \left\vert \overline { { \mathbf { g } } } \right\vert } \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { \Delta } I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } = \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } \Delta I _ { i l , k j } ^ { \alpha \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) = } & { \frac { ( x - t ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } } \\ { \equiv } & { \frac { 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } { r } \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) = } & { - \mathbf { e } _ { x } \left\{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \left[ - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) \right\} } \\ & { - \mathbf { e } _ { y } \left\{ - \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } + \left[ \frac { 2 ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } + \frac { ( x - t ) y } { r ^ { 2 } } \right] \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) \right\} . } \end{array}