harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \textrm { C } } ( t ) = } & { i \sum _ { i , j } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } ( - e ) t _ { i j } ^ { a b } ( t ) ( \mathbf { R } _ { j } - \mathbf { R } _ { i } ) c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { j b \sigma } ( t ) } \\ { = } & { - e \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } \frac { \partial \epsilon _ { a b } ( \mathbf { k } , t ) } { \partial \mathbf { k } } c _ { \mathbf { k } a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { \mathbf { k } b \sigma } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla g _ { \delta } ( z ) } & { = e _ { x } \left( x ^ { - 1 } ( 1 + \delta x ^ { - \delta } ) - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \| y \| _ { d } ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } ( 1 - \delta x ^ { - \delta } ( 1 + \delta / 2 ) ) \right) } \\ & { + e _ { \hat { y } } \left( \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \| y \| _ { d } } { x ^ { 2 } } ( 1 + \delta x ^ { - \delta } ) \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle I _ { x } } & { \displaystyle = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial \phi _ { x } } = J _ { 2 } , } \\ { \displaystyle \psi _ { 2 } } & { = \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial J _ { 2 } } = \phi _ { x } - \int _ { 0 } ^ { s } { \frac { 1 } { \beta _ { x } \left( \tau \right) } d \tau } + \frac { 2 \pi } { L } s \nu _ { x } , } \end{array}
D = \bigg \langle \epsilon \Big ( \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } t } \Big ) ^ { 2 } \omega _ { 0 } \bigg \rangle \propto \frac { \epsilon \omega _ { 0 } \omega ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } .
d \mathbf { f } _ { 0 } = { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { N } } ^ { T } \cdot \mathbf { n } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 } = { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot \mathbf { t } _ { 0 } ~ d \Gamma _ { 0 }
\overbrace { \phantom { \left. \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { p = 1 } ^ { P _ { k } ^ { ( i ) } } 2 \kappa ^ { ( i ) } \tilde { E } _ { k } \Re \left\{ ( \mathrm { d } _ { \rho } Q _ { p , k } ^ { ( i ) } ) \right\} \right| _ { 0 } ^ { T } } } ^ { = \; 0 }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 . . n } \Big | _ { \psi = 0 } } & { = \frac { 1 } { 4 \cdot n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( e ^ { i Y } \Theta ( r - \operatorname* { m a x } ( r _ { \sigma ( 1 ) } , . . , r _ { \sigma ( k ) } ) ) + q e ^ { - i Y } \Theta ( \operatorname* { m i n } ( r _ { \sigma ( 1 ) } , . . , r _ { \sigma ( k ) } ) - r ) ) } \\ & { \qquad \times ( e ^ { i Y } \Theta ( r - \operatorname* { m a x } ( r _ { \sigma ( k + 1 ) } , . . , r _ { \sigma ( n ) } ) ) + q e ^ { - i Y } \Theta ( \operatorname* { m i n } ( r _ { \sigma ( k + 1 ) } , . . , r _ { \sigma ( n ) } ) - r ) ) . } \end{array}
S _ { 4 } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left\{ R - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \partial \sigma ) ^ { 2 } - A e ^ { \alpha \sigma + \beta \phi } \right\} \quad .
\left( \bar { \lambda } \chi \right) ^ { * } = \left( \bar { \lambda } ^ { i } \chi _ { i } \right) ^ { * } = \chi _ { i } ^ { \dagger } \left( \bar { \lambda } ^ { i } \right) ^ { \dagger } = \bar { \chi } ^ { i } \lambda _ { i } = \bar { \lambda } ^ { i } \chi _ { i } = \bar { \chi } \lambda = \bar { \lambda } \chi \ .
\begin{array} { r l } { 0 = - } & { { } ( 1 + i ( \alpha + \frac { \xi } { 2 } ) ) ( E _ { t 0 } + E _ { r 0 } ) } \\ { + } & { { } i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ( E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + E _ { r \mu _ { 1 } } E _ { r \mu _ { 2 } } E _ { r ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } ) } \\ { + } & { { } 2 E _ { t 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } + 2 E _ { r 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { t \mu _ { 3 } } ) + F _ { t } + F _ { r } . } \end{array}
c _ { g } ^ { \mathrm { e f f } } = \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { a = 1 } ^ { l } L \Bigl ( \frac { 1 } { 1 + y _ { a } } \Bigr ) \, , \qquad \mathrm { w h e r e } \quad \ln ( 1 + y _ { a } ) = \sum _ { b = 1 } ^ { l } ( N _ { a b } + g \delta _ { a b } ) \ln ( 1 + y _ { a } ^ { - 1 } ) \, .
\begin{array} { r } { z _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } k < K - 1 \mathrm { ~ o r ~ } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K } | x ^ { 0 } | > \sqrt { \varepsilon } , } \\ { \left\{ \begin{array} { l l } { - A , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \frac { 1 } { 2 A ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 1 - \frac { 1 } { A ^ { 2 } } , } \\ { A , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \frac { 1 } { 2 A ^ { 2 } } , } \end{array} \right. } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \forall k \in \{ 0 , 1 , \ldots , K - 1 \} , } \end{array}
{ \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } p ^ { \mu } \partial ^ { \nu } { \cal A } _ { \nu } ^ { ( 0 ) } - m _ { 3 } \left( p ^ { \mu } { \cal P } _ { ( 1 ) \, 3 } + \pi _ { ( 1 ) \, 3 } { \cal V } _ { ( 0 ) } ^ { \mu } \right) + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } M _ { ( 0 ) } \partial _ { \nu } { \tilde { \cal S } } _ { ( 0 ) } ^ { \mu \nu } = - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } M _ { ( 0 ) } \partial _ { \nu } M _ { ( 0 ) } \partial _ { p } ^ { \nu } { \cal A } _ { ( 0 ) } ^ { \mu }
\approx { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 . 9 6 5 9 3 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 2 5 8 8 2 } \\ { 0 . 0 } & { 1 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 1 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { - 0 . 2 5 8 8 2 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 9 6 5 9 3 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 . 2 2 4 7 5 } \\ { 1 . 0 0 0 0 0 } \\ { 1 . 0 0 0 0 0 } \\ { 0 . 7 0 7 1 1 } \end{array} \right) } .
\Gamma ^ { ( 0 | 2 , 2 , 2 , 2 ) } = ( 1 2 ) ^ { - 2 } \; { \xi _ { 1 2 3 } ^ { 2 } \xi _ { 1 2 4 } ^ { 2 } } \; F ( x , u ) + O ( \theta ^ { 5 } \bar { \theta } ) \; .
\sum _ { \boldsymbol { x } _ { \ge j } } { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } } \left( { M _ { R } } _ { \boldsymbol x _ { \ge j } } ^ { \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } } \right) ^ { * } = \delta _ { \alpha _ { j - 1 } , \alpha _ { j - 1 } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \prod _ { i = 2 } ^ { n } I _ { i } = \left( \frac { t } { 8 n } + \frac { \left( \frac { t } { 4 n } \right) ^ { 1 - \frac \beta 2 } - \left( \frac { t } { 8 n } \right) ^ { 1 - \frac \beta 2 } } { 1 - \frac \beta 2 } \right) ^ { n - 1 } \ge c ^ { n - 1 } \left( \frac { t } { n } \right) ^ { n - 1 } \left( 1 + \left( \frac { t } { n } \right) ^ { - \frac \beta 2 } \right) ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } \, \mathrm { e } ^ { - q r ^ { 2 } } } & { = } & { { \frac { 1 } { \langle r \rangle } } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 N - 1 ) } { 2 } } \, \sum _ { \nu } \, a _ { 1 \nu } \; F _ { 1 } \left( ( 2 \nu + 1 ) N , \ N , - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } \right) } \\ & { \sim } & { { \frac { 1 } { \langle r \rangle } } \, \sum _ { \nu } \, a _ { 1 \nu } \; \mathrm { e } ^ { - ( 2 \nu + 1 ) \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } } { \partial \xi ^ { 2 } } } & { { } - } & { \frac { \partial ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } } { \partial \theta ^ { 2 } } - 2 i \frac { \partial \Omega ^ { \prime } } { \partial \xi } - 2 i \frac { \partial \Omega ^ { \prime } } { \partial \theta } + ( n ^ { 2 } - 1 ) \Omega ^ { \prime } } \end{array}
\dot { \mathbf { \Psi } } = \left( \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \dot { z } _ { 0 } } \\ { \dot { x } _ { 1 } } \\ { \dot { y } _ { 1 } } \\ { \dot { z } _ { 1 } } \\ { \dot { x } _ { 2 } } \\ { \dot { y } _ { 2 } } \\ { \dot { z } _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { t r } } } & { { } \approx \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } \left( \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } \left( \frac { \Gamma ( 1 + \alpha ) } { 2 \Gamma ( 1 - \alpha ) } \right) ^ { 1 / ( 2 \alpha ) } \left( \frac { L } { A ( F ) } \right) ^ { 1 / \alpha } \propto \frac { \left[ ( L / b ) \coth ( q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ) \right] ^ { 1 / \alpha } } { \gamma _ { \mathrm { r } } \cosh [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { u } } _ { x x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( { \tilde { u } } { \tilde { v } } ) _ { x } { \tilde { u } } _ { x x } { \mathrm { d } x } - \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { v } } _ { x } { \tilde { u } } _ { x x } { \mathrm { d } x } - \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { x } { \tilde { u } } _ { x x } { \mathrm { d } x } + \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { x x } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
< 0 | \tilde { F } _ { i j } ( 0 ) | e _ { \pm } ^ { \lambda } , { \vec { p } } > = - { \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } } \sqrt { \frac { p _ { 0 } } { 2 } } \epsilon _ { i j k } e _ { \pm } ^ { k } \mathrm { l i m } _ { p ^ { 2 } \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { 1 - \Pi ( p ^ { 2 } ) } }
T _ { \hat { M } } ^ { ~ \hat { N } } = \mathrm { d i a g } \left( \frac { n ( n + 1 ) } { 2 \ell ^ { 2 } } - \frac { { \cal Q } ^ { 2 } } { a ^ { 2 n } } , \frac { n ( n + 1 ) } { 2 \ell ^ { 2 } } + \frac { { \cal Q } ^ { 2 } } { a ^ { 2 n } } , \cdots , \frac { n ( n + 1 ) } { 2 \ell ^ { 2 } } + \frac { { \cal Q } ^ { 2 } } { a ^ { 2 n } } , \frac { n ( n + 1 ) } { 2 \ell ^ { 2 } } - \frac { { \cal Q } ^ { 2 } } { a ^ { 2 n } } \right) .
\Lambda \eta _ { 1 } + \delta \bigl ( { \textstyle \frac 1 2 } - \mathcal { L } \bigr ) \eta _ { 1 } \, = \, \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } - \frac { 3 } { 2 } \, ( \partial _ { Z } \phi _ { 0 } ) \eta _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \, \phi _ { 0 } \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) - U _ { i } ( t ) \mid Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \ge C } \\ & { - P _ { 0 } \log _ { 2 } \! \left( \! 1 \! - \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \frac { \alpha \! + \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) \! - \! P _ { 1 } \log _ { 2 } \! \left( \! 1 \! + \alpha \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) } \\ & { \ge C - \log _ { 2 } \left( 1 - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } [ P _ { 0 } ( \alpha + \rho _ { \operatorname* { m i n } } ) - P _ { 1 } \alpha ] \right) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { f } } _ { 0 } } & { = { \frac { 1 } { x } } \cosh ( t ) \, \partial _ { t } - \sinh ( t ) \, \partial _ { x } } \\ { { \vec { f } } _ { 1 } } & { = - { \frac { 1 } { x } } \sinh ( t ) \, \partial _ { t } + \cosh ( t ) \, \partial _ { x } } \\ { { \vec { f } } _ { 2 } } & { = \partial _ { y } , \; { \vec { f } } _ { 3 } = \partial _ { z } } \end{array} }
\mu = \frac { Q / 2 \pi R } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { \eta _ { \mathrm { i n } } } { \eta _ { \mathrm { o u t } } } + \frac { H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) } { 2 } \right] - \frac { \sigma _ { R } R H ( \kappa _ { \mathrm { i n } } R ) } { 3 \eta _ { \mathrm { i n } } + 2 \eta _ { \mathrm { o u t } } } .
- \dot { n } _ { \mathrm { ~ o ~ } } h _ { \mathrm { ~ o ~ } } = u _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } + u _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } t } + \bigg ( n _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } u _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } + n _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } u _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \bigg ) \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t }
\begin{array} { r l } { \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \left( \frac { D } { D t } \rho \boldsymbol { v } \right) \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V } & { { } = - \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \boldsymbol { \nabla } p \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c } { \left( \begin{array} { c } { E _ { \rightarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \rightarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { i n } } } \\ { \left( \begin{array} { c } { E _ { \leftarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \leftarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { o u t } } } \end{array} \right] } & { = \stackrel { \leftrightarrow } { \mathrm { T } } \left[ \begin{array} { c } { \left( \begin{array} { c } { E _ { \rightarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \rightarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { o u t } } } \\ { \left( \begin{array} { c } { E _ { \leftarrow } ^ { + } } \\ { E _ { \leftarrow } ^ { - } } \end{array} \right) _ { \mathrm { i n } } } \end{array} \right] ^ { \prime } , } \end{array}
{ \cal H } _ { 0 } = { \frac { \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 4 E _ { \nu } } } ~ U \; \mathrm { d i a g } [ - ( 1 + 2 x _ { 1 2 } ) , - 1 , 1 ] ~ U ^ { \dagger } = { \frac { \Delta m _ { 2 3 } ^ { 2 } } { 4 E _ { \nu } } } ~ { \hat { h } }
\mathbf { \tilde { Y } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } = [ \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 1 + \Delta t } ) , \dots , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 1 + \lfloor \frac { n - 2 } { \Delta t } \rfloor \Delta t } ) ]
\begin{array} { r l } { = } & { { } \left( \begin{array} { l } { V _ { L } ^ { l } U _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { l } } \\ { - ( V _ { \mathrm { ~ L ~ S ~ } } ^ { l } ) ^ { \dagger } U _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { l } ( \Lambda _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { l } ) ^ { - 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { 2 \eta } { \eta _ { t } } + z ^ { 2 } \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } \right) \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } & { } & \\ { + \left( \frac { 8 \eta } { z \eta _ { t } } + 6 z \frac { 5 - \Omega } { 5 ( \Omega + 3 ) } \right) \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \left( \frac { 8 } { \Omega + 3 } - \gamma \right) \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } & { } & \\ { + \Bar { \tau } \bigg [ \epsilon ( \theta ) z ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + 6 \epsilon ( \theta ) z \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + \zeta ( \theta ) \tilde { M } _ { \mathrm { L } } \bigg ] } & { = } & { 0 , } \end{array}
d x = \gamma _ { s } t ^ { \gamma _ { s } - 1 } \left[ \varepsilon _ { 1 } \left( 1 - x \right) - \varepsilon _ { 2 } x \right] d t + \sqrt { 2 x \left( 1 - x \right) } \sqrt { \gamma _ { s } } t ^ { \frac { \gamma _ { s } - 1 } { 2 } } d W _ { t } \, .
{ \it L } = i \bar { \Psi } { \gamma } ^ { \mu } { \partial } _ { \mu } { \Psi } - \bar { \Psi } { \Psi } - q \bar { \Psi } { \gamma } ^ { 0 } { \Psi } \Phi + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \partial } _ { \mu } \Phi ) ( { \partial } ^ { \mu } \Phi ) .
S _ { e f f } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \, \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { - g } \, \, ( - R + { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \partial _ { \mu } \lambda \partial ^ { \mu } \bar { \lambda } } { ( \mathrm { I m } \lambda ) ^ { 2 } } } - \sum _ { n = 1 } ^ { N } { F _ { \mu \nu } ^ { ( n ) } { } ^ { \star } \tilde { F } ^ { ( n ) } { } ^ { \mu \nu } } ) ,
\begin{array} { r l } & { I _ { 6 , 1 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { t , h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { t , h _ { 1 } } \rangle _ { L _ { 2 } } , } \\ & { I _ { 6 , 2 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { I _ { 6 , 3 } = \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
\alpha = \operatorname* { m i n } ( 1 , \frac { \exp ( L ( \Tilde { \theta } ) - 0 . 5 \Tilde { r } \cdot \Tilde { r } ) } { \exp ( L ( \theta ^ { m - 1 } ) - 0 . 5 r ^ { 0 } \cdot r ^ { 0 } ) } )
Z _ { 4 } = \frac { ( m L ) ^ { 4 } } { 4 ! } I _ { 1 } ^ { 4 } - ( m L ) ^ { 3 } I _ { 1 } ^ { 2 } I _ { 2 } + \frac { ( M L ) ^ { 2 } } { 2 } \left[ \frac { 2 } { 3 } I _ { 1 } I _ { 3 } + \left( \frac { I _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right] - \frac { ( m L ) } { 4 } I _ { 4 } \, \, \, .
\begin{array} { r } { \widetilde { C } _ { l , m } = \frac 1 2 \big ( \widetilde { V } _ { l , m } + \widetilde { V } _ { - l , - m } \big ) = \cos \Big ( \frac { l } { \widetilde { r } } \Phi + 2 m { \theta } \widetilde { r } \Big ) , \qquad \widetilde { x } _ { l . m } = \frac { l ^ { 2 } } { 4 \widetilde { r } ^ { 2 } } + m ^ { 2 } \widetilde { r } ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } D _ { H } ^ { c } D _ { H } \psi _ { H } , \psi _ { H } \rangle _ { H } = } & { | [ \theta , \theta ] | _ { H , \omega } ^ { 2 } + | [ \theta , \theta ] | _ { H , \omega } ^ { 2 } + \langle F _ { D } ^ { + } , [ \theta , \theta ^ { * } ] \rangle _ { H , \omega } } \\ & { - | [ \theta , \theta ] | _ { H , \omega } ^ { 2 } + \langle F _ { D } ^ { + } , [ \theta , \theta ^ { * } ] \rangle _ { H , \omega } - | [ \theta , \theta ] | _ { H , \omega } ^ { 2 } } \\ { = } & { 2 \langle F _ { D } ^ { + } , \psi _ { H } \wedge \psi _ { H } \rangle _ { H , \omega } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { X } = \left( \Gamma - \kappa \right) X + \omega _ { 0 } Y - \sqrt { 2 \kappa } X _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { Y } = - \kappa Y - \omega _ { 0 } X - \sqrt { 2 \kappa } Y _ { \mathrm { i n } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { k ^ { l } ( \mathbf { x } _ { I a } , \mathbf { x } _ { J b } ) = \mathbf { \delta } _ { Z _ { a } , Z _ { b } } \exp { \left( - \frac { \vert \vert \mathbf { x } _ { I a } - \mathbf { x } _ { J b } \vert \vert _ { 1 } } { \sigma } \right) } ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu \circ ( \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \times \eta ) ( a , \overline { { b } } , \overline { { \star } } ) = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } ( \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \times \eta ) ( x , y , \overline { { b } } , \overline { { \star } } ) \times \mu ( a , b , \overline { { x } } , \overline { { y } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( x , \overline { { b } } ) \times \eta ( y , \overline { { \star } } ) \times \mu ( a , \overline { { x } } , \overline { { y } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \ _ { \mathcal { C } } \langle b , x \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle \eta _ { \mathcal { C } } ( \star ) , y \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , a \rangle } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \ _ { \mathcal { C } } \langle b \otimes _ { \mathcal { C } } \eta _ { \mathcal { C } } ( \star ) , x \otimes _ { \mathcal { C } } y \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , a \rangle } \\ & { = \ _ { \mathcal { C } } \langle b \otimes _ { \mathcal { C } } \eta _ { \mathcal { C } } ( \star ) , a \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { j } ( n ) } & { = } & { \langle P \cdot \mathcal { D } , \delta ^ { j } \cdot P \rangle \mathcal { H } ( n - j ) ^ { - 1 } = \langle P , \delta ^ { j } \cdot P \cdot \mathcal { D } ^ { \dagger } \rangle \mathcal { H } ( n - j ) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \langle P , \delta ^ { j } \cdot P \cdot v ^ { \prime } ( x ) \rangle \mathcal { H } ( n - j ) ^ { - 1 } = \langle P \cdot v ^ { \prime } ( x ) , \delta ^ { j } \cdot P \rangle \mathcal { H } ( n - j ) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \langle v ^ { \prime } ( L ) \cdot P , \delta ^ { j } \cdot P \rangle \mathcal { H } ( n - j ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F | ^ { p } d \xi \right) ^ { \frac { 2 } { p } } \leqslant } & { \left( \frac { { C } _ { n , 2 \gamma } } { \Theta ( { j , k } ; \frac { Q - 2 \gamma } { Q } , 2 n + 1 ) } + \epsilon \right) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \bar { F } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F ) d \xi } \\ & { + C ( \epsilon ) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F | ^ { 2 } d \xi , } \end{array}
\hat { I } ( s ) = \frac { \hat { \Psi } ( s ) } { R _ { p } } \frac { \sqrt { s R _ { p } C } \sinh \sqrt { s R _ { p } C } } { \xi ^ { - 1 } \sqrt { s R _ { p } C } \sinh \sqrt { s R _ { p } C } + \cosh \sqrt { s R _ { p } C } } .
\begin{array} { r l } { { \bf S } } & { { } = | E _ { 0 } | ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \cos ( 2 \chi ) \cos ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \cos ( 2 \chi ) \sin ( 2 { \it \Psi } ) } \\ { \sin ( 2 \chi ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ^ { - 1 } } & { { } \left[ \tilde { U } ( \phi ) ( 1 - \kappa ) \right] = U ^ { - 1 } \left( 1 - \epsilon \mathrm { l o g } _ { 1 - \kappa } ( \tilde { U } ( \phi ) ( 1 - \kappa ) ) \right) } \end{array}
X = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \quad Y = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] , \quad Z = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] .
{ \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 4 } ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 4 } ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } + { \sqrt [ [object Object] ] { \cos ^ { 4 } ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) / \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } = - { \sqrt [ [object Object] ] { 4 9 } } / 2 .
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( Q _ { g } ^ { \mathrm { b v p } } ( \partial _ { t } ^ { 2 } ( { v } _ { 1 } ^ { m } v _ { 2 } v _ { 3 } v _ { 4 } ) ) ) ( y , \eta ) } \\ { = } & { - 2 ( 2 \pi ) ^ { - ( m + 1 ) } { { \sigma _ { p } } } ( { Q } _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } { \sigma _ { p } } ( v _ { 1 } ^ { m } ) ( q , \zeta ^ { ( 1 ) } ) \prod _ { j = 2 } ^ { 4 } { \sigma _ { p } } ( v _ { j } ) ( q , { \zeta ^ { ( j ) } } ) , } \end{array}
t _ { \mathrm { I C } } \lesssim 2 \times 1 0 ^ { 2 } \: \frac { 1 } { 1 + \tau _ { \mathrm { e s } } } \left( \frac { \ell } { 1 0 } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { R } { 1 0 \: R _ { g } } \right) \left( \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { 1 0 ^ { 7 } \: \mathrm { { M } _ { \odot } } } \right) \: \mathrm { { s } . }