harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { f _ { v , x } ( p ( x ) ) } & { \leq f _ { v , x } ( p ( x + t ) ) } & { \mathrm { a p p l y i n g ~ L e m m a ~ t o ~ } - t } \\ & { = f _ { v , x - t } ( p ( x ) ) } & { \mathrm { c h a n g i n g ~ v a r i a b l e s ~ } x \mapsto x - t \mathrm { ~ t h r o u g h o u t } } \\ & { \leq f _ { v , x - t } ( p ( x - t ) ) } & { \mathrm { a p p l y i n g ~ L e m m a ~ t o ~ } t } \\ & { = f _ { v , x } ( p ( x ) ) } & { \mathrm { c h a n g i n g ~ v a r i a b l e s ~ } x \mapsto x + t \mathrm { ~ t h r o u g h o u t } , } \end{array}
\gamma _ { \pm } ( z ) = \lambda _ { \pm } z ^ { - \left( \frac { n } 2 \pm | m | l \right) } \, \mathrm { F } \left( \frac { n } 2 \pm | m | l , \pm | m | l ; 1 \pm 2 | m | l ; \frac 1 z \right) ,
R ( x , Q ^ { 2 } ) \, = \, { \frac { F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) + { \frac { 4 M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) - F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } } \, ,
S = S _ { 0 } - \frac { n + 1 } { 2 ( n - 1 ) } \ln ( S _ { 0 } ) - \Gamma _ { n } ( \Xi ) + \frac { l ^ { 2 } \Xi ^ { 2 } [ ( n - 4 ) \Xi ^ { 2 } + 2 ] } { 1 6 [ ( n + 2 ) \Xi ^ { 2 } - n - 1 ] } \frac { q ^ { 2 } } { S _ { 0 } ^ { 2 } } + . . .
\alpha = \omega \, \displaystyle \frac { p + 1 } { p } + \chi _ { \infty } \left( \left\lfloor \displaystyle \frac { 1 } { 2 } + \displaystyle \frac { S } { p + 1 } + \displaystyle \frac { \omega } { \pi } \right\rfloor - \left\lfloor \displaystyle \frac { 1 } { 2 } + \displaystyle \frac { S } { p + 1 } - \displaystyle \frac { \omega } { \pi } \right\rfloor \right)
- \frac { c ^ { - 2 } } { 4 } r ^ { 2 ( 1 - \alpha ) } \left[ \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } + ( 3 - 2 \alpha ) \frac { 1 } { r } \frac { d } { d r } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( m ^ { 2 } + 2 ( \alpha - 1 ) m ) \right] f _ { m } = \lambda ^ { 2 } f _ { m }
\frac { \partial \tilde { u } } { \partial \tilde { t } } = \tilde { D } \frac { \partial } { \partial \tilde { x } } \bigg [ \bigg ( 1 - \frac { \tilde { u } + \tilde { \mu } \tilde { m } } { \tilde { K } } \bigg ) \frac { \partial \tilde { u } } { \partial \tilde { x } } + \tilde { u } \frac { \partial } { \partial \tilde { x } } \bigg ( \frac { \tilde { u } + \tilde { \mu } \tilde { m } } { \tilde { K } } \bigg ) \bigg ] + \tilde { r } \tilde { u } \bigg ( 1 - \frac { \tilde { u } + \tilde { \mu } \tilde { m } } { \tilde { K } } \bigg ) ,
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { { } = } & { \mu ( T ; S _ { \mathrm { e x t } } ) - \phi \frac { n _ { T } + n _ { X } } { n _ { X } } S X - \mu S , } \\ { \dot { T } } & { { } = } & { \phi \frac { n _ { T } } { n _ { X } } S X - \phi ( X T - v Y ) - \mu T , } \\ { \dot { X } } & { { } = } & { \phi S X - \phi ( X T - v Y ) - \mu X , } \\ { \dot { Y } } & { { } = } & { \phi ( X T - v Y ) - \mu Y . } \end{array}
\hat { \psi } _ { i } = \left( \frac { \hbar } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { i } , \quad \quad \hat { \varphi } _ { m } = \left( \frac { \hbar } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Sigma _ { m } ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o p t } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 6 0 } ( - 3 u _ { i - 2 } + 2 7 u _ { i - 1 } + 4 7 u _ { i } - 1 3 u _ { i + 1 } + 7 u _ { i + 2 } ) } \\ { P _ { \mathrm { o p t } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 1 0 } \left[ \phantom { 1 } P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + 6 P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + 3 P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) \right] , } \end{array}
\hat { G } _ { \mu } ^ { ( n ) } = \left( \Gamma _ { \mu } \otimes 1 \otimes \cdots \otimes 1 + 1 \otimes \Gamma _ { \mu } \otimes \cdots \otimes 1 + \cdots + 1 \otimes 1 \otimes \cdots \otimes \Gamma _ { \mu } \right) _ { S y m } ,
F _ { l } ^ { ( N ) } = \sum _ { j = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { j + l } \; D _ { j l } ^ { ( N - 1 ) } \; \frac { m _ { l } } { m _ { j } } = \frac { \partial } { \partial m _ { l } ^ { 2 } } \left( m _ { l } ^ { 2 } D ^ { ( N ) } \right) ,
S ( p _ { T } ) = \left[ \int _ { 0 } ^ { R } \, r \, d r \int _ { - \phi _ { \mathrm { m a x } } } ^ { + \phi _ { \mathrm { m a x } } } \, d \phi \, P ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { T } ) \right] / \left[ 2 \pi \int _ { 0 } ^ { R } \, r \, d r \, P ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { T } ) \right] ,
\sqrt { \theta } ^ { l _ { 1 } + l _ { 2 } } m ! \sum _ { k _ { 4 } = 0 } ^ { l _ { 2 } } \frac { ( - 1 ) ^ { l _ { 2 } - k _ { 4 } } } { ( l _ { 2 } - k _ { 4 } ) ! k _ { 4 } ! } \frac { \Gamma ( \theta N ) } { \Gamma ( \theta N + k _ { 4 } ) } \Bigg [ \sum _ { k _ { 3 } = 0 } ^ { l _ { 1 } } \frac { ( - 1 ) ^ { l _ { 1 } - k _ { 3 } } } { ( l _ { 1 } - k _ { 3 } ) ! k _ { 3 } ! } ( \theta N + k _ { 3 } ) ( \theta N + k _ { 3 } + 1 ) . . . ( \theta N + k _ { 3 } + k _ { 4 } - 1 ) \Bigg ] .
\begin{array} { r } { M _ { 2 } = \mathtt { m } _ { \alpha } \Lambda ^ { \alpha - 1 } + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + \left( d _ { 2 } - \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \right) + \Upsilon _ { d _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } = O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { d } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\chi + r \frac { \displaystyle { n \left( H \chi \right) ^ { 1 + \frac { 1 } { n } } \left( ( n + 1 ) H \chi + ( n + 2 ) Y \right) } } { ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( \chi + Y / H ) ^ { 2 } } = m - \frac { Y } { H } > 0 .
\begin{array} { r l } { 0 = \frac { \partial ( \log P ) } { \partial h } \left| _ { h ^ { * } } \right. } & { = \frac { \partial } { \partial h } \left( \sum _ { i , t } \left( ( - \eta s _ { i } J _ { i } h - \epsilon s _ { i } ) - \log ( 1 + e ^ { - ( \eta J _ { i } h + \epsilon ) } \right) \right) \left| _ { h ^ { * } } \right. } \\ & { = \sum _ { i } - \eta \bar { s } _ { i } J _ { i } T + \frac { T J _ { i } \eta } { 1 + e ^ { \eta J _ { i } h ^ { * } + \epsilon } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) } & { \to \Psi _ { \infty } ( \omega ; \vec { r } _ { 1 } , \vec { r } _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { \omega } { \pi ^ { 3 / 2 } } \exp \Bigl ( - \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \omega \bigl ( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \Bigr ) \Bigl ( \frac { 1 } { r _ { 1 2 } } - 4 \pi \Bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) - \mathrm { B i L i n } _ { f } ( p _ { k } ^ { * } - p _ { k - 1 } ^ { * } , q _ { k } ^ { * } - q ) } \\ { \leq } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) + \sqrt { \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) } \sqrt { \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ^ { * } ) } } \\ { \leq } & { - \left( \eta _ { k } - \frac { 1 } { 4 ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) } \right) \mathrm { K L } ( p _ { k } ^ { * } \| p _ { k - 1 } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \lambda } ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ) = { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { k = 1 } ^ { K } | U _ { \boldsymbol \nu } ( r _ { k } , 0 , t _ { m } ) \! - \! d _ { k } ^ { m } | ^ { 2 } \! + \! { \frac { \lambda } { 2 } } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) ^ { t } \ensuremath { \boldsymbol \Gamma _ { \! \mathrm { p r } } } ^ { - 1 } ( \boldsymbol \nu - \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { 0 } ^ { \frac { j _ { k } } { | \xi | } } \int _ { - t } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } ( 1 + u ) ^ { \alpha - 2 } d u d s d t \right| \le _ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { j _ { k } } { | \xi | } } \int _ { - t } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } 1 d u d s d t = \frac { 1 } { 3 } j _ { k } ^ { 3 } | \xi | ^ { - 3 } . } \end{array}
\Delta \lambda _ { n } ^ { c r i t } = - 2 \theta a \left( \frac { \lambda _ { n } ^ { c r i t } } { 2 ( n + 1 ) } \right) ^ { 2 } \left( c _ { n + 1 } + \left( \frac { \lambda _ { n + 1 } ^ { c r i t } } { 2 ( n + 2 ) } \right) ^ { 2 } \left( c _ { n + 2 } + \cdots \right) \right) .
\begin{array} { r l r } { V ( x , t ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 \pi } x ^ { - 2 } * \mathcal { R } _ { t } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( x ) } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 \pi } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { z ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathcal { R } _ { t } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( x - z ) d z } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } 2 \sqrt { \frac { B } { A } } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { z ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } } { ( z ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sqrt { \big ( \frac { 1 } { \sqrt { B } } - x + z \big ) \big ( \frac { 1 } { \sqrt { B } } + x - z \big ) } d z } \\ & { = } & { - \sqrt { \frac { B } { A } } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \Big ( 1 - \Re \big [ \frac { \epsilon - i x } { \sqrt { B ^ { - 1 } + ( \epsilon - i x ) ^ { 2 } } } \big ] \Big ) } \end{array}
\Lambda _ { L } = m _ { R } \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { \beta _ { 1 } e _ { R } ^ { 2 } } } \left( \frac { \beta _ { 2 } e _ { R } ^ { 2 } } { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } e _ { R } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { \beta _ { 2 } } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \left[ h ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { i j k l } = \sum _ { m } \left[ h _ { i m } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \, \mathcal { G } _ { m j k l } ( t ) + h _ { j m } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \, \mathcal { G } _ { i m k l } ( t ) - \mathcal { G } _ { i j m l } ( t ) \, h _ { m k } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) - \mathcal { G } _ { i j k m } ( t ) \, h _ { m l } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P _ { 0 } } } & { { } = \gamma _ { 0 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { 1 } } } & { { } = - b P _ { 1 } + \gamma _ { 1 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { 2 } } } & { { } = \gamma _ { 2 } P _ { \mathrm { e } } } \\ { \dot { P _ { \mathrm { e } } } } & { { } = b P _ { 1 } - \gamma P _ { \mathrm { e } } \overset { ! } { = } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { t + 1 } } & { = \frac { \beta _ { t } } { \beta _ { t - 1 } } w _ { t } - \beta _ { t } \left( \alpha _ { t + 1 } \tilde { g } _ { t + 1 } + \alpha _ { t } ( D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \tilde { g } _ { t } ) \right) } \\ & { = \frac { \beta _ { t } } { \beta _ { t - 1 } } w _ { t } - \beta _ { t } \left( D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \nabla \mu ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla \mu ( z _ { t } ) - \alpha _ { t } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) ) + \alpha _ { t } \tilde { g } _ { t } \right. } \\ & { \quad \left. + \alpha _ { t } ( D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \tilde { g } _ { t } ) \right) } \\ & { = \frac { \beta _ { t } } { \beta _ { t - 1 } } w _ { t } - \beta _ { t } D \varphi ( \bar { x } _ { t - 1 } , w _ { t } ) ^ { T } ( \nabla \mu ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla \mu ( z _ { t } ) ) . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i j } { } ^ { 1 } K _ { j } ^ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } + \sum _ { i j k l } { } ^ { 2 } V _ { k , l } ^ { i , j } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } \hat { a } _ { k } \, ,
\begin{array} { c r } { G _ { 0 } } & { = \hphantom { - } \sqrt { 1 + \mathcal { E } _ { 0 } } N _ { 0 } ( 2 \zeta r ) ^ { \gamma _ { 0 } } e ^ { - \zeta r } , } \\ { F _ { 0 } } & { = - \sqrt { 1 - \mathcal { E } _ { 0 } } N _ { 0 } ( 2 \zeta r ) ^ { \gamma _ { 0 } } e ^ { - \zeta r } , } \end{array}
y _ { n _ { r } } = p \left\{ 1 + C _ { n _ { r } } \, p ^ { - 2 / 3 } + \left( \lambda _ { l } ^ { ( \ast ) } \right) ^ { 1 / 2 } \, \left[ - c + \ln \Theta _ { l } \right] p ^ { - 1 } + O \left( p ^ { - 4 / 3 } \right) \right\} \; .
[ \mathsf { L } _ { 1 } , \mathsf { u } _ { 2 } ] = - i \hbar \mathsf { \mathcal { C } } _ { 1 2 } \mathsf { u } _ { 2 } , \qquad [ \mathsf { R } _ { 1 } , \mathsf { v } _ { 2 } ] = i \hbar \mathsf { v } _ { 2 } \mathsf { \mathcal { C } } _ { 1 2 }
\begin{array} { r l } { [ \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { k j } , b _ { k } ) ] _ { 1 \leq k \leq 3 , 1 \leq j \leq 3 } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 1 1 } , b _ { 1 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 1 2 } , b _ { 1 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 1 3 } , b _ { 1 } ) } \\ { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 2 1 } , b _ { 2 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 2 2 } , b _ { 2 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 2 3 } , b _ { 2 } ) } \\ { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 3 1 } , b _ { 3 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 3 2 } , b _ { 3 } ) } & { \sigma _ { G } \, ( b _ { 1 } , a _ { 3 3 } , b _ { 3 } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 0 3 , 0 . 5 4 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 3 8 , 0 . 5 4 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 2 6 , 0 . 5 4 ) } \\ { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 9 8 , 0 . 1 3 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 1 0 , 0 . 1 3 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 0 3 , 0 . 1 3 ) } \\ { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 7 7 , 0 . 8 7 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 1 5 , 0 . 8 7 ) } & { \sigma _ { G } \, ( 0 . 5 4 , 0 . 8 5 , 0 . 8 7 ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { 0 . 2 0 5 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \omega } ( \tau _ { n _ { 0 } } \le k R ^ { 2 } ) } & { \le \sum _ { e : | e | = 1 } P _ { \omega } ( \operatorname* { s u p } _ { n \le k R ^ { 2 } } X _ { n } \cdot e \ge n _ { 0 } R / \sqrt { d } ) } \\ & { \le \frac { \sqrt d } { n _ { 0 } R } \sum _ { e : | e | = 1 } E _ { \omega } [ ( X _ { k R ^ { 2 } } \cdot e ) _ { + } ] \lesssim \frac { \sqrt { k R ^ { 2 } } } { n _ { 0 } R } \lesssim \frac { \sqrt k } { n _ { 0 } } . } \end{array}
\lambda _ { 2 } \, u ^ { \nu } \nabla _ { \nu } ( u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \Pi ) + \lambda _ { 1 } \, u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \Pi + \Pi = - \zeta \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } - \chi \, u ^ { \nu } \nabla _ { \nu } ( \nabla _ { \mu } u ^ { \mu } ) \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { n } = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { l } = 0 } ^ { + \infty } \Lambda _ { n | k _ { l } , \ldots , k _ { 1 } } P _ { k _ { l } } [ \eta ] \ldots P _ { k _ { 1 } } [ \eta ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { 2 \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] } & { { } \left( \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ) \right\} \right. } \end{array}
( \Delta _ { \theta , j } ) _ { 1 , \nu } = \delta _ { \nu - 1 , j , \theta } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } ( - J _ { 0 , k } ) ^ { \theta - \nu } \frac { \operatorname* { d e t } ( M _ { \nu - 1 , k } ) } { \operatorname* { d e t } ( M _ { \theta , k } ) } \exp ( \mathrm { i } 2 \pi k j / N ) , \qquad \mathrm { f o r ~ } \nu = 1 , 2 , \ldots , \theta ,
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 2 } - \tilde { u } _ { 2 } \vert } & { \le ( 0 \ 1 ) S ^ { \ast } ( s _ { 1 } ) R [ F ] } \\ & { \le \frac 1 { 2 c } R _ { 1 } [ F ] + 2 c R _ { 2 } [ F ] } \\ & { \le ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } u _ { 2 } ( d ) + O ( c ) } \\ & { = 2 ( c \eta ) ^ { \gamma } \beta ( 1 - \exp ( - \frac \pi \beta ) ) u _ { 1 } ( s _ { 0 } ) + O ( c ) . } \end{array}
\frac { \partial \widehat { n } } { \partial s _ { i } } = \frac { \partial p } { \partial s _ { i } } \cdot \frac { \partial \widehat { n } } { \partial p } = \frac { \partial p } { \partial s _ { i } } \cdot \nabla _ { \! \bot } \widehat { n }
\frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } b _ { \mathrm { { i n } } } ^ { 2 } u _ { \mathrm { { i n } } } L = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } u _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { 2 } u _ { \mathrm { { o u t } } } \Delta .
\left\{ C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) \right\} = C \left( \xi \right) C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) + C ^ { + } \left( \xi ^ { \prime } \right) C \left( \xi \right) = \delta _ { \xi \xi ^ { \prime } } .
L _ { \mathcal O } ( n , n ^ { \prime } , k ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \big ( \alpha _ { j } ( \lambda _ { j } ^ { \prime \prime } n - \lambda _ { j } ^ { \prime \prime } n ^ { \prime } - b _ { j } \cdot k ) + \beta _ { j } ( - \lambda _ { j } n + \lambda _ { j } n ^ { \prime } + a _ { j } \cdot k ) - \alpha _ { j } \beta _ { j } \big )
\begin{array} { r l } { L ( x ) } & { { } = { 1 } \cdot { \frac { x - 2 } { 1 - 2 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 1 - 3 } } \cdot { \frac { x - 4 } { 1 - 4 } } + { 8 } \cdot { \frac { x - 1 } { 2 - 1 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 2 - 3 } } \cdot { \frac { x - 4 } { 2 - 4 } } + { 2 7 } \cdot { \frac { x - 1 } { 3 - 1 } } \cdot { \frac { x - 2 } { 3 - 2 } } \cdot { \frac { x - 4 } { 3 - 4 } } + { 6 4 } \cdot { \frac { x - 1 } { 4 - 1 } } \cdot { \frac { x - 2 } { 4 - 2 } } \cdot { \frac { x - 3 } { 4 - 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 1 } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } ( | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ j , k \in \mathbb { Z } , k \ne ~ 0 ~ } } \\ { | \mathtt { B } _ { 1 } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 1 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \widetilde { \tau } = \displaystyle \frac { \tau } { \cosh \omega } + \Theta ( \widetilde { \tau } , x ) \operatorname { t a n h } \omega , \hfill } } \\ { { \widetilde { \Theta } = \displaystyle \frac { \Theta ( \widetilde { \tau } , x ) } { \cosh \omega } - \tau \operatorname { t a n h } \omega , \hfill } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d v ^ { \prime } ( z - v ) ^ { k _ { 0 } . q _ { 0 } } ( 1 - v ^ { \prime } ) ^ { p _ { 0 } . q _ { 0 } } ( v ^ { \prime } ) ^ { q _ { 0 } . l _ { 0 } - 2 }
\alpha ( t ) \equiv \theta _ { 2 } ( t ) - \theta _ { 1 } ( t ) = 2 \, \mathrm { a t a n } \{ \mathrm { t a n } [ \alpha ( t _ { 0 } ) / 2 ] \, \mathrm { e x p } [ 2 \Gamma ( t _ { 0 } - t ) ] \}
\rho ^ { 0 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; , \; \; \rho ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; .
B _ { 0 } = \frac { \alpha \, R ^ { 2 } } { 2 } , \quad B _ { 1 / 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \, \alpha \, R \, \sqrt \pi , \quad B _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 } \, \frac { \pi ^ { 2 } } { \alpha } + \frac { \alpha } { 6 } ,
H = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \sigma _ { j } ^ { x } \sigma _ { j + 1 } ^ { x } + \sigma _ { j } ^ { y } \sigma _ { j + 1 } ^ { y } + \Delta \sigma _ { j } ^ { z } \sigma _ { j + 1 } ^ { z } \right) .
A _ { i } = A _ { i } ^ { \perp } + A _ { i } ^ { \| } , \, A _ { i } ^ { \perp } \equiv \sum _ { p \neq 0 } \chi _ { p } A _ { i } ^ { p } , \, A _ { i } ^ { \| } \equiv \chi _ { 0 } A _ { i } ^ { 0 } .
\ast \boldsymbol { n } ( u ) = \ast \big ( \mathcal { N } ^ { \flat } \wedge ( i _ { \mathcal { N } } u ) \big ) = ( i _ { \mathcal { N } } u ) \wedge ( \ast \mathcal { N } ^ { \flat } ) = ( i _ { \mathcal { N } } u ) v _ { \Sigma } .
\begin{array} { r l } { C } & { \le { { \tau ^ { N } } } \mathrm T ( \varepsilon ) h + { { \tau ^ { N } } } \mathrm T ( \varepsilon ) h + { { \tau ^ { N } } } \mathrm T ( \varepsilon ) h + \left( { \frac { 1 } { { \tau } } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - N } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { 2 } } } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - N } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { 2 } } } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - N } } \right) + \left( { \frac { 1 } { { \tau ^ { 3 } } } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - N } } \right) } \\ & { + \left( { \frac { 1 } { { \tau } } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - ( N + 1 ) } } \right) + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { { \frac { 1 } { 2 } } - ( N + 2 ) } } + { \tau ^ { - 1 } } { h ^ { - ( N + 1 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { A } ( \nu , p ^ { * } , \gamma ) } & { = } & { \frac { \exp ( - \nu ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \nu ^ { n } } { n ! } \left[ ( 1 - ( 1 - p ^ { * } ) ^ { n } \right] \cdot } \\ & { } & { \cdot \left[ 1 - ( 1 - \gamma ) ^ { n } \right] } \\ & { = } & { 1 - \exp ( - \gamma \nu ) \frac { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ( 1 - \gamma ) ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( \Delta , \Sigma ; t ) } { \partial t } = } & { \left( E _ { \Delta } ^ { - 1 } E _ { \Sigma } ^ { - 1 } - 1 \right) \left[ W _ { + + } P ( \Delta , \Sigma ; t ) \right] } \\ & { + \left( E _ { \Delta } ^ { - 1 } E _ { \Sigma } - 1 \right) \left[ W _ { + - } P ( \Delta , \Sigma ; t ) \right] } \\ & { + \left( E _ { \Delta } E _ { \Sigma } ^ { - 1 } - 1 \right) \left[ W _ { - + } P ( \Delta , \Sigma ; t ) \right] } \\ & { + \left( E _ { \Delta } E _ { \Sigma } - 1 \right) \left[ W _ { -- } P ( \Delta , \Sigma ; t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha ^ { - 1 } \Phi ( \mathrm { g r a d } _ { g _ { R } } \alpha ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \left( \kappa _ { R } \mathrm { g r a d } _ { \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) } ( r ) + r ( \partial _ { \varphi } \kappa _ { R } ) \cdot ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 } \partial _ { \varphi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 0 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } r _ { i } ^ { 2 } \right) + \sum _ { i < j ^ { \prime } } ^ { N } V ( r _ { i j ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s } } ) ] - \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ) ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 4 } E _ { t } + 4 \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { l } } \\ & { \qquad + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 2 \hat { L } ^ { 2 } \eta B _ { t } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta } { 4 } E _ { t } + 4 \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } I ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { l } } \\ & { \qquad + 2 \hat { L } ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } d _ { i } ^ { 8 } = 5 ( ( R ^ { 2 } + L ^ { 2 } ) ^ { 4 } + 1 2 R ^ { 2 } L ^ { 2 } ( R ^ { 2 } + L ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 6 R ^ { 4 } L ^ { 4 } ) .