harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbb { W } } ^ { \lambda } = \sum _ { k = 1 } ^ { L - 1 } \Big [ \; } & { p _ { + } \big ( \mathrm { e } ^ { \lambda / ( L - 1 ) } \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k } ^ { - } - \hat { n } _ { k } ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { k + 1 } - \hat { n } _ { k + 1 } ) \big ) } \\ { + } & { p _ { - } ( \mathrm { e } ^ { - \lambda / ( L - 1 ) } \hat { \sigma } _ { k } ^ { + } \hat { \sigma } _ { k + 1 } ^ { - } - \hat { n } _ { k + 1 } ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { k } - \hat { n } _ { k } ) \big ) \Big ] } \\ { + } & { \alpha [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } - ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { 1 } - \hat { n } _ { 1 } ) ] + \gamma [ \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } - \hat { n } _ { 1 } ] } \\ { + } & { \delta [ \hat { \sigma } _ { L } ^ { + } - ( \hat { \mathbb { 1 } } _ { L } - \hat { n } _ { L } ) ] + \beta [ \hat { \sigma } _ { L } ^ { - } - \hat { n } _ { L } ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 a } \int _ { \mathrm { m a x } ( - 1 , x - a ) } ^ { \mathrm { m i n } ( 1 , x + a ) } \Psi ( x ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } + \frac { | a - 1 + x | + | a - 1 - x | + 2 a - 2 } { 4 a } \Psi ( x ) = \lambda \Psi ( x ) , } \end{array}
2 i L ^ { - 1 } ( M ) \partial _ { \mu } L ( M ) = e x p ( { - i } \xi _ { i } A _ { i } ) \partial _ { \mu } e x p ( { - i } \xi _ { j } A _ { j } ) = \nu _ { \mu } ^ { i } V _ { i } + a _ { \mu } ^ { i } A _ { i }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } \widetilde { \Theta } ( s _ { 0 } ) \, d t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } \Bigl ( \widetilde { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) - \lambda L ^ { \prime } ( c ) ( s _ { \alpha } ( t ) - s _ { 0 } ) \Bigr ) { \Theta } ( s _ { 0 } ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } \widetilde { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) \, d t + \Bigl [ e ^ { - \lambda t } L ^ { \prime } ( c ) ( s _ { \alpha } ( t ) - s _ { 0 } ) \Bigr ] _ { 0 } ^ { T } - \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } L ^ { \prime } ( c ) ( \alpha ( s _ { \alpha } ( t ) ) - c ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } \widetilde { \Theta } ( s _ { \alpha } ( t ) ) \, d t + e ^ { - \lambda T } L ^ { \prime } ( c ) ( s _ { \alpha } ( T ) - s _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { - \lambda t } L ^ { \prime } ( c ) ( \alpha ( s _ { \alpha } ( t ) ) - c ) \, d t . } \end{array}
G ( m ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { d \eta _ { i } } { ( 1 + \eta _ { i } ^ { 2 } ) } \left[ \frac { m ^ { 2 } } { 4 } + D _ { B } ( \eta ) \right] ^ { - 1 - \delta } \! \! ,
S = - \frac { L } { 4 \pi \lambda ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } ~ \left( ( B \lambda ^ { 2 } - i t ) \frac { ( \lambda ^ { 2 } m ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } { v } \ln \frac { \lambda m - i v } { \lambda m + i v } + c . c . \right)
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { m { \varepsilon _ { T } } } } { { \sqrt { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } } } \\ & { \approx \frac { 1 } { { { \varepsilon _ { T } } } } \int _ { - \frac { { M { \varepsilon _ { T } } } } { 2 } } ^ { \frac { { M { \varepsilon _ { T } } } } { 2 } } { \frac { x } { { \sqrt { { x ^ { 2 } } - 2 \sin ( \theta ) x + 1 } } } } d x } \\ & { = \frac { 1 } { { { \varepsilon _ { T } } } } \left[ { \sqrt { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } - \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } - { \sqrt { \frac { { D _ { T } ^ { 2 } } } { { 4 { r ^ { 2 } } } } + \sin \theta \frac { { { D _ { T } } } } { r } + 1 } } \right. } \\ & { \left. + \psi \left( \frac { D _ { T } } { r } \right) \sin \theta \right] , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 6 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 1 2 } \left( 1 - x \right) ^ { 1 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x = { \frac { 4 3 1 \, 3 0 2 \, 7 2 1 } { 1 3 7 \, 2 8 7 \, 9 2 0 } } - \pi
\begin{array} { r } { 1 - \left\langle p _ { 3 } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \sin ^ { 2 } \theta \right\rangle = \left\langle p _ { i } ^ { t \, 2 } \right\rangle = \frac { 1 } { 1 5 } S _ { F } ^ { d \, - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle ( \Delta \hat { s } _ { i } ) ^ { 2 } \rangle \langle ( \Delta \hat { s } _ { j } ) ^ { 2 } \rangle \geq | \langle \hat { s } _ { k } \rangle | ^ { 2 } = | \langle \hat { s } _ { 0 } \rangle | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } F \left( \widehat { \psi } \left( x , t \right) ; C \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } \partial _ { x } \widehat { \psi } \left( x , t \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { A } } & { = \varrho ( f _ { 4 } , 0 . 2 , 2 0 0 0 ) , } & { \mathcal { B } _ { 2 } } & { = \varrho ( f _ { 4 } , 0 . 2 1 , 2 0 0 0 ) , } \\ { \mathcal { B } _ { 1 } } & { = \varrho ( g _ { 2 } , h ( 0 . 2 ) , 2 0 0 0 ) , } & { \mathcal { B } _ { 3 } } & { = \varrho ( f _ { 3 . 9 9 } , 0 . 2 , 2 0 0 0 ) , } \\ & { } & { \mathcal { B } _ { 4 } } & { = \varrho ( f _ { 3 . 9 9 } , 0 . 2 1 , 2 0 0 0 ) . } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { g } { \sqrt { 2 } } \, \bar { b } \gamma ^ { \mu } \biggr [ \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) ( 1 + \kappa _ { L } ) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) \kappa _ { R } \biggr ] t W _ { \mu } ^ { - } \; + \; \mathrm { h . c . }
2 \Re ( \mathcal { M } _ { S M } ^ { * } \mathcal { M } _ { 2 } ) = - 2 \frac { \Re [ ( \lambda _ { L } ^ { i j } \lambda _ { R } ^ { * m n } ) V _ { j n } ^ { * } ] } { m _ { L Q } ^ { 2 } } \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \widetilde { P } \widetilde { A } ^ { * } m _ { \ell ^ { m } } ( m _ { M } ^ { 2 } - m _ { \ell ^ { m } } ^ { 2 } + m _ { \ell ^ { i } } ^ { 2 } ) \; ,
d s ^ { 2 } = 2 ( k - 2 ) [ d R ^ { 2 } - \frac { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) d t ^ { 2 } } { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) \coth ^ { 2 } R - \rho ^ { 2 } - 2 / k } + \frac { \rho ^ { 2 } \coth ^ { 2 } R \; d x ^ { 2 } } { ( \rho ^ { 2 } + 1 - 2 / k ) \coth ^ { 2 } R - \rho ^ { 2 } } ] ,
\gamma _ { i } = \frac { 1 } { 2 s _ { i } } + \frac { s _ { i } } 2 \: \simeq \: F \: \frac { z _ { i } } { \lambda } \: \stackrel { z _ { i } \to \infty } { - \! \! \! - \! \! \! - \! \! \! \longrightarrow } \: \infty ,
\begin{array} { l } { \displaystyle { L _ { K } \big ( T \big ) = \sqrt { 2 } \frac { \xi _ { 0 } } { \sqrt { 1 - T / T _ { p } } } , \qquad L _ { 0 } \big ( m ; T \big ) = 4 K ( m ) \sqrt { 1 + m } \frac { \xi _ { 0 } } { \sqrt { 1 - T / T _ { p } } } , } } \end{array}
\mathrm { 4 \times ( 0 . 1 2 + 0 . 0 6 + 0 . 0 1 5 + 0 . 0 0 5 + 0 . 0 0 5 ) \times 7 2 \times 3 2 \times 1 0 ^ { 6 } = 1 . 8 9 \, G b / s }
\begin{array} { r l } { { \displaystyle P } } & { { = { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { H } } \sinh h _ { j } - 2 { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } } \sinh y _ { j } } } \\ { { } } & { { - { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { C } } \sinh c _ { j } + { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { W } } ( \sinh w _ { j } ) _ { I I } } } \\ { { } } & { { - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } 2 \Im m \left[ \cosh ( x + i \eta ) \log ( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z ( x + i \eta ) } ) \right] \: , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R T } ^ { 0 } ( \mathcal T _ { \nu } ^ { x } ) } & { : = \left\{ \vec { v } _ { h _ { x } } \in H ( \mathrm { d i v } ; \Omega ) \, | \, \forall \omega \in \mathcal T _ { \nu } ^ { x } : \vec { v } _ { h _ { x } | \omega } \in \mathcal { R T } ^ { 0 } ( \omega ) \right\} = \mathrm { s p a n } \{ \vec { \psi } _ { k } ^ { \mathcal { R T } } \} _ { k = 1 } ^ { N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } } , } \\ { \mathcal N _ { \mathrm { I } } ^ { 0 } ( \mathcal T _ { \nu } ^ { x } ) } & { : = \left\{ \vec { v } _ { h _ { x } } \in H ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) \, | \, \, \forall \omega \in \mathcal T _ { \nu } ^ { x } : \vec { v } _ { h _ { x } | \omega } \in \mathcal N _ { \mathrm { I } } ^ { 0 } ( \omega ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta _ { 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 1 } - \omega _ { e _ { 3 } g _ { 1 } } } \\ { \delta _ { 2 } } & { { } = } & { \omega _ { 2 } - \omega _ { e _ { 5 } g _ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \cal D } \mathrm { e t } ^ { \prime } ( \bar { F } ^ { \dag } \bar { F } ) = \left[ 1 6 ( C + 2 - \frac { 2 } { D } ) \right] ^ { Z _ { ( d \delta ) } ( 0 ) } e ^ { - 2 Z _ { ( d \delta ) } ^ { \prime } ( 0 ) }
\hat { H } _ { I 1 } = - \int \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, d ^ { 3 } r \; \; \; , \; \; \; \hat { H } _ { I 3 } = - \int \hat { \mathrm { ~ \bf ~ m ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \hat { \mathrm { ~ \bf ~ B ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \, d ^ { 3 } r
\begin{array} { r l } { u = \frac { \partial u } { \partial n } = 0 \quad } & { { } a . e . \ ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times \partial \Omega } \\ { \psi = \frac { \partial \psi } { \partial n } = \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial n ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 3 } \psi } { \partial n ^ { 3 } } = 0 \quad } & { { } a . e . \ ( t , x ) \in ( 0 , T ] \times \partial \Omega } \end{array}
L = - m c ^ { 2 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { \dot { \mathbf { r } } } { c } } \right) ^ { 2 } } } + q \mathbf { A } ( \mathbf { r } ) \cdot { \dot { \mathbf { r } } } - q \phi ( \mathbf { r } ) \,
\langle \, : ( \Delta \, P _ { + } ) ^ { 2 } : \, \rangle _ { \beta , \gamma } \simeq \langle \, : ( \Delta \, P _ { - } ) ^ { 2 } : \, \rangle _ { \beta , \gamma } \simeq 4 \, \langle N \rangle _ { \beta , \gamma } \simeq 4 \, \alpha ^ { \prime } \, M ^ { 2 } \, .
\frac { F } { k H } = \frac { l m } { n } \frac { 1 } { a _ { c } + b _ { c } } \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { H } \right) ^ { a _ { c } } - \left( 1 - \frac { \delta } { H } \right) ^ { - b _ { c } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { D _ { C } \mathbf { G } _ { 2 } ^ { \mathrm { p r } } [ H ] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = } & { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } C ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \left( \int _ { K _ { 2 } ^ { 2 } } H ( u , w , u ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \Delta ( w , w ^ { \prime } ) d w \, d w ^ { \prime } \right) d u \, d u ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } H ( u , t , u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \left( \int _ { K _ { 2 } ^ { 2 } } C ( u , w , u ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) \Delta ( w , w ^ { \prime } ) d w \, d w ^ { \prime } \right) d u \, d u ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { x , y , z } } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } d ( z , x ) < d ( z , y ) } \\ { 1 / 2 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } d ( z , x ) = d ( z , y ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { u ^ { \textnormal { L } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { L } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { L } } } u ( x ( t ) , t ) \, d t = \frac { \epsilon } { T ^ { \textnormal { L } } k } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cos \theta } { 1 - \epsilon \cos \theta } \, d \theta = \frac { c } { 2 } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( r , n ) = ( 1 2 , 1 1 ) \- } & { ( * , * , * , * ) , } \\ { ( 1 2 , 1 2 ) \- } & { ( * , * , * , * ) , } \\ { ( 1 3 , 1 1 ) \- } & { ( * , * , * , * ) , } \\ { ( 1 3 , 1 2 ) \- } & { ( 3 , * , * , * ) , ( 2 , * , * , * ) , ( 1 , * , * , * ) , } \\ { ( 1 3 , 1 3 ) \- } & { ( 2 , * , * , * ) , ( 1 , * , * , * ) , } \\ { ( 1 4 , 1 1 ) \- } & { ( * , * , * , * ) , } \\ { ( 1 4 , 1 2 ) \- } & { ( 3 , * , * , * ) , ( 2 , * , * , * ) , ( 1 , * , * , * ) , } \\ { ( 1 4 , 1 3 ) \- } & { ( 2 , * , * , * ) , ( 1 , * , * , * ) , } \\ { ( 1 4 , 1 4 ) \- } & { ( 2 , * , * , * ) , ( 1 , * , * , * ) , } \\ { ( 1 5 , 1 1 ) \- } & { ( * , * , * , * ) , } \\ { ( 1 5 , 1 3 ) \- } & { ( 2 , 0 , 0 , * ) , ( 1 , 0 , * , * ) , } \\ { ( 1 5 , 1 4 ) \- } & { ( 2 , 1 , 0 , * ) , ( 2 , 0 , * , * ) , ( 1 , 0 , * , * ) , } \\ { ( 1 5 , 1 5 ) \- } & { ( 1 , * , * , * ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \sum _ { m } | { \cal M } _ { m } ^ { ( - ) } ( \k ) | ^ { 2 } + | { \cal M } _ { m } ^ { ( + ) * } ( \k ) | ^ { 2 } } \\ { B } & { = } & { 2 \mathrm { R e } \sum _ { m } \left[ { \cal M } _ { m } ^ { ( - ) } ( \k ) { \cal M } _ { m } ^ { ( + ) * } ( \k ) \right] } \\ { C } & { = } & { \arg \sum _ { m } \left[ { \cal M } _ { m } ^ { ( \mathrm { - ) } } ( \k ) { \cal M } _ { m } ^ { ( \mathrm { + ) * } } ( \k ) \right] \equiv 2 \omega \tau _ { a } \ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] } \\ { \dot { r } } & { { } = r ( 1 - r ) [ u ( 1 - x ) - x ] . } \end{array} \right.
\left. \begin{array} { l l } { { { \left\{ \begin{array} { l } { { H _ { 1 } ^ { ( m ) } = \lambda ^ { - m } ( q _ { 1 } \partial _ { 1 } - q _ { 2 } \partial _ { 2 } ) , \, \, } } \\ { { H _ { 2 } ^ { ( m ) } = 3 \lambda ^ { - m } ( q _ { 1 } \partial _ { 1 } + q _ { 2 } \partial _ { 2 } ) , \, \, } } \\ { { E _ { 2 } ^ { ( m ) } = - \lambda ^ { - m } q _ { 2 } \partial _ { 1 } , \, \, } } \\ { { E _ { - 2 } ^ { ( m ) } = - \lambda ^ { - m } q _ { 1 } \partial _ { 2 } , \, \, } } \end{array} \right. } } } & { { { \left\{ \begin{array} { l } { { E _ { 1 } ^ { ( m ) } = - \lambda ^ { - m } [ q _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { 1 } - ( 1 - q _ { 1 } q _ { 2 } ) \partial _ { 2 } ] , \, \, } } \\ { { E _ { - 1 } ^ { ( m ) } = \lambda ^ { - m } [ ( 1 - q _ { 1 } q _ { 2 } ) \partial _ { 1 } - q _ { 2 } ^ { 2 } \partial _ { 2 } ] , \, \, } } \\ { { E _ { 3 } ^ { ( m ) } = \lambda ^ { - m } [ ( 1 + q _ { 1 } q _ { 2 } ) \partial _ { 1 } + q _ { 2 } ^ { 2 } \partial _ { 2 } ] , \, \, } } \\ { { E _ { - 3 } ^ { ( m ) } = - \lambda ^ { - m } [ q _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { 1 } + ( 1 + q _ { 1 } q _ { 2 } ) \partial _ { 2 } ] . } } \end{array} \right. } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { \mathrm { a s . } } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { \| x \| , \| y \| = 1 } { \langle x \otimes y , \frac { 1 } { 2 } ( I - V ) ( x \otimes y ) \rangle } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { ( \| x \otimes y \| ^ { 2 } - | \langle x , y \rangle | ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \operatorname* { i n f } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { | \langle x , y \rangle | ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = y _ { p } ^ { + } } = \frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = c } + \frac { G } { \ln R e _ { \tau } } + O ( \sigma ^ { 2 } ) ,
\langle H ( x _ { 1 } ) H ( x _ { 2 } ) \cdots H ( x _ { n } ) \rangle = { \frac { \int D H \, e ^ { - \int d ^ { d } x \left[ A H ^ { 2 } + Z | \nabla H | ^ { 2 } + \lambda H ^ { 4 } \right] } H ( x _ { 1 } ) H ( x _ { 2 } ) \cdots H ( x _ { n } ) } { \int D H \, e ^ { - \int d ^ { d } x \left[ A H ^ { 2 } + Z | \nabla H | ^ { 2 } + \lambda H ^ { 4 } \right] } } } .
\begin{array} { r l r } { [ \lambda _ { G } ] \otimes \beta } & { = } & { [ \lambda _ { G } ] \otimes [ \pi _ { r } ] \otimes \alpha = [ \pi _ { r } \circ \lambda _ { G } ] \otimes \alpha = [ \lambda \circ \pi ] \otimes \alpha } \\ & { = } & { [ \pi ] \otimes [ \lambda ] \otimes \alpha = [ \pi ] \otimes [ \varepsilon ] = [ \varepsilon \circ \pi ] = [ \varepsilon _ { G } ] . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } J _ { n } ( x _ { k } \rho ) J _ { n } ( x _ { k } ^ { \prime } \rho ) \rho \, d \rho = { \frac { 1 } { 2 } } J _ { n + 1 } ( x _ { k } ) ^ { 2 } \delta _ { k k ^ { \prime } }
\Delta \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \approx \sqrt { 2 S _ { \Delta \Phi } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } } \left[ 3 { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } } ^ { - 1 / 2 } + \left( \tau _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } \right) ^ { - 1 / 4 } \right] .
| | h | | _ { \infty } = \underset { x \in E _ { 1 } } { \operatorname* { s u p } } | | h ( x ) | | _ { E _ { 2 } } , \ensuremath { \mathrm { L i p } } _ { \alpha } ( h ) : = \underset { x _ { 1 } , x _ { 2 } \in E _ { 1 } , x _ { 1 } \not = x _ { 2 } } { \operatorname* { s u p } } \frac { | | h ( x _ { 1 } ) - h ( x _ { 2 } ) | | _ { E _ { 2 } } } { | | x _ { 1 } - x _ { 2 } | | _ { E _ { 1 } } ^ { \alpha } } \; \mathrm { f o r } \; \mathrm { a n y } \; \alpha \in [ 0 , 1 ] ,
\begin{array} { r l } & { H _ { g f } ( N _ { e } , A _ { e } ) = \frac { 1 } { 2 } \int d x d y \, \left( \rho _ { s } ^ { 2 } N _ { e } ^ { 2 } + d _ { e } ^ { 2 } U _ { e } ^ { 2 } + | \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \parallel } | ^ { 2 } - N _ { e } ( G _ { 1 0 e } \phi - \rho _ { s } ^ { 2 } 2 G _ { 2 0 e } B _ { \parallel } ) \right) . } \end{array}
\hat { s } _ { l \le K } = \left\{ \begin{array} { l l } { s \sqrt { \left( 1 + \frac { c } { s ^ { 2 } } \right) \left( 1 + \frac { 1 } { s ^ { 2 } } \right) } } & { \mathrm { f o r } \; s > s _ { c r i t } } \\ { 1 + \sqrt { c } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\hat { \gamma } _ { p } = \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } E _ { N } ( \rho ( p ) ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , \rho _ { p } = \frac { \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \rho ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } } { \tau _ { \mathcal M } ( \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \rho ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } ) }
\begin{array} { r l r l } { u } & { { } = f ( x ) , } \\ { d u } & { { } = f ^ { \prime } ( x ) \, d x , } \\ { d v } & { { } = P _ { 0 } ( x ) \, d x } & { } & { { } ( { \mathrm { s i n c e ~ } } P _ { 0 } ( x ) = 1 ) , } \\ { v } & { { } = P _ { 1 } ( x ) . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha } ^ { \pm } ( { { q } _ { x } } ) = \exp \left\{ \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { \ln { { \varepsilon } _ { \alpha } } ( u ) d u } { u - { { q } _ { x } } \pm i { { 0 } ^ { + } } } } \right\} .
\mathcal C ( C ) ^ { \mathrm { l r g } } = \left( \mathcal C ( C ^ { \vee } ) ^ { \mathrm { s m l } } \right) ^ { \vee _ { \mathrm { f r } } } = \left( \bigcap _ { i \in I } \mathcal C ^ { ( i ) } \right) ^ { \vee _ { \mathrm { f r } } } = \left( \bigcup _ { i \in I } { \mathcal C ^ { ( i ) } } ^ { \vee _ { \mathrm { f r } } } \right) ^ { \vee _ { \mathrm { f r } } \vee _ { \mathrm { f r } } } .
\begin{array} { r } { d _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( | \mathcal { F } ( P _ { j } z ) | + \mathfrak { N } ( 0 , s ^ { 2 } I _ { m ^ { 2 } \times m ^ { 2 } } ) ) ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ n o i s e ~ i s ~ G a u s s i a n } , } \\ { \mathrm { P o i s s o n } ( | \mathcal { F } ( P _ { j } z _ { \zeta } ) | ^ { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ n o i s e ~ i s ~ P o i s s o n , } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } } \partial _ { u } ( \partial _ { s } G ) \partial _ { u } G \mathrm { d } u \mathrm { d } s = } & { - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } } \partial _ { s } \left( \partial _ { u } G \right) ^ { 2 } \mathrm { d } u \mathrm { d } s } \\ { = } & { - \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } } \left\{ \left( \partial _ { u } G _ { t } ( u ) \right) ^ { 2 } - \left( \partial _ { u } G _ { 0 } ( u ) \right) ^ { 2 } \right\} \mathrm { d } u . } \end{array}
\big ( - \frac { \mathrm { ~ d ~ } F _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } } { \mathrm { ~ d ~ } z } \big ) \big | _ { z _ { 0 } } = \big ( \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } V _ { \mathrm { ~ t ~ s ~ } } } { \mathrm { ~ d ~ } z ^ { 2 } } \big ) \big | _ { z _ { 0 } }
\Psi ( \lambda , x ) = \lambda ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( I + \frac { \Psi ^ { ( 1 ) } ( x ) } { \lambda ^ { 1 / 2 } } + \frac { \Psi ^ { ( 2 ) } ( x ) } { \lambda } + \mathcal { O } ( \lambda ^ { - 3 / 2 } ) \right) \mathrm { e } ^ { \theta _ { 0 } ( \lambda , x ) \sigma _ { 3 } } ,
G _ { n } ^ { r } = \frac { 1 } { ( \gamma + ( r + 1 ) ^ { 2 } ) ^ { n } } + \sum _ { k = 1 } ^ { [ ( n - 1 ) / 2 ] } \ \sum _ { m = k + 1 } ^ { n - k } { \binom { m - 1 } { k } } \frac { 1 } { ( \gamma + ( r + 1 ) ^ { 2 } ) ^ { m } } \, s u m _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \ldots \sum _ { i _ { k } = 1 } ^ { \infty } \delta _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { k } , n - m } G _ { i _ { 1 } } ^ { r + 2 } \ldots G _ { i _ { k } } ^ { r + 2 }
W ^ { - } - R W ^ { + } = \left[ \begin{array} { l } { u _ { n } + p / u _ { n } } \\ { u _ { \tau } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } } \end{array} \right] p / u _ { n } = \left[ \begin{array} { l } { u _ { n } } \\ { u _ { \tau } } \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \; ( C _ { 1 } , \boldsymbol { c } _ { 1 } ) \cdots ( C _ { M } , \boldsymbol { c } _ { M } ) } \\ { = } & { \; ( C _ { 1 } , \boldsymbol { c } _ { 1 } ) \cdot ( I , \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) \cdot ( C _ { M } , \boldsymbol { c } _ { M } ) } \\ { = } & { \; ( I , \boldsymbol { c } _ { 1 } + C _ { 1 } \boldsymbol { c } _ { M } + C _ { 1 } \boldsymbol { x } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \alpha } ( - x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x t } d P _ { \alpha } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } P _ { \alpha } ( t / x ) \, d t } \\ { \mathrm { o r } \quad E _ { \alpha } ( - x ^ { \alpha } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } P _ { \alpha } ( x ^ { - \alpha } t ) \, d t = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } ( 1 - F _ { \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) ) \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \alpha _ { 1 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 3 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } , } \\ { { \beta _ { 1 } } ^ { \ast } } & { = \frac { \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 2 } ( t ) \rangle \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle - \langle | l _ { 1 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle } { 1 - | \langle | l _ { 2 } ( t ) | l _ { 3 } ( t ) \rangle | ^ { 2 } } . } \end{array}
I ( \vec { x } , t , \vec { \Omega } ) = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } ( t - s ) } B ( \vec { x } ( s ) , s , \vec { \Omega } ) \mathrm { d } s + \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t } I _ { 0 } ( \vec { x } _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { j \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { j , 0 } , } \\ { H _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { \bar { j } \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { 0 , \bar { j } } \epsilon . } \end{array}