harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 1 } } } & { = - \frac { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + 2 } \frac { 1 } { L _ { 1 } } ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( r _ { 2 } + \frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } r _ { 1 } ) ^ { 3 } } - \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( ( r _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } ) ^ { 2 } + \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 3 / 2 } } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 1 } ^ { 2 } } } & { = - \frac { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 1 } + 2 } ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( r _ { 2 } + \frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } r _ { 1 } ) ^ { 3 } } - \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( ( r _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } ) ^ { 2 } + \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 3 / 2 } } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 1 } ^ { 2 } } } & { = - \frac { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } } { m _ { 2 } + 2 } \frac { 1 } { L _ { 1 } ^ { 2 } } ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( r _ { 2 } + \frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } r _ { 1 } ) ^ { 3 } } - \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { ( ( r _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } r _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } ) ^ { 2 } + \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } ) ^ { 3 / 2 } } ) . } \end{array}
2 { \frac { \partial A ^ { i } } { \partial z } } = - \Omega _ { - } F ^ { i } = \Omega _ { - } K ^ { - 1 i j ^ { * } } \frac { \partial { \cal W } ^ { * } } { \partial A ^ { * j } } , \quad \Omega _ { - } \equiv i \frac { \langle - i Z _ { 1 } ^ { * } - Z _ { 2 } ^ { * } \rangle } { | \langle - i Z _ { 1 } ^ { * } - Z _ { 2 } ^ { * } \rangle | } .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \dot { X } ( t ) - \nabla \phi ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi } } \\ & { \le \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi - \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } } \\ & { + 2 \int _ { B _ { R } } \phi ( - \triangle \phi - d ( \mu - \lambda ) ) + 2 \int _ { \partial B _ { R } } \phi ( \nu \cdot \nabla \phi - d ( g - f ) ) } \\ & { + \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } | \nabla \phi ( X ( t ) ) | ^ { 2 } d t d \pi - \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t } ^ { T } \cdot P _ { t } - P _ { t } \cdot Q _ { t } } & { { } = 0 , } \\ { Q _ { t } ^ { \dagger } \cdot P _ { t } - P _ { t } ^ { \dagger } \cdot Q _ { t } } & { { } = 2 i I _ { D } , } \end{array}
\delta _ { x _ { 1 } , y _ { 1 } } \delta _ { x _ { 2 } , y _ { 2 } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) ( e ^ { i ( p _ { 1 } y _ { 1 } + p _ { 2 } y _ { 2 } ) } - \frac { 1 - e ^ { i p _ { 2 } } } { 1 - e ^ { i p _ { 1 } } } e ^ { i ( p _ { 2 } y _ { 1 } + p _ { 1 } y _ { 2 } ) } ) d p _ { 1 } d p _ { 2 }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { m e } } = B _ { 2 } ( \sum _ { i } m _ { i } ^ { 2 } e _ { i i } + \sum _ { ( i j ) } m _ { i } m _ { j } e _ { i j } ) } \\ { + ( B _ { 1 } - B _ { 2 } ) \sum _ { i } m _ { i } ^ { 2 } e _ { i i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { 0 } } & { { } \sim } & { E ^ { 2 l } ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ l = 0 , 1 } \\ { \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { l } } & { { } \sim } & { E ^ { 3 } ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ l > 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t } ^ { \alpha } = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { ( t - a ) ^ { i } x _ { i } ^ { \alpha } } { \Gamma ( i + 1 ) } + \frac { 1 } { \Gamma ( v ) } \int _ { a } ^ { t } ( t - s ) ^ { v - 1 } f \left( s , X _ { s } ^ { \alpha } \right) \mathrm { d } s } \\ & { + \frac { 1 } { \Gamma ( v ) } \int _ { a } ^ { t } ( t - s ) ^ { v - 1 } \left| g \left( s , X _ { s } ^ { \alpha } \right) \right| \Phi ^ { - 1 } ( \alpha ) \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { o p } | \Phi \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \times } \end{array}
Z _ { \mathrm { L G } } ( \tau , z ) = ( \sqrt { - 1 } ) ^ { M - N } q ^ { \frac { M - N } { 1 2 } } y ^ { - r / 2 } \left[ \chi _ { y } ^ { \mathrm { L G } } + \mathrm { O } ( q ) \right] \, .
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal { E } } _ { 2 , 1 } ^ { \mathrm { r e c } } ( s _ { k + 1 } , k , \boldsymbol { x } , \alpha , l , t , \iota ; \hbar ) = \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k + 1 } , t ] } ( s _ { k } ) V _ { \hbar , x _ { l } } ^ { s _ { k + 1 } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { \iota ( m + k _ { 1 } ) } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { X _ { 1 } } } \\ { { X _ { 2 } } } \\ { { X _ { 3 } } } \\ { { X _ { 4 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 r } \left( \begin{array} { l l l } { { 3 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { - 3 } } \\ { { - 1 } } & { { - 1 } } & { { 3 } } \\ { { - 3 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \varphi ^ { ( 1 ) } } } \\ { { \varphi ^ { ( 2 ) } } } \\ { { \varphi ^ { ( 3 ) } } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { w ( z ) } & { { } = P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { \; z } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { } \end{array} } \right\} } \end{array} } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { l = 1 } ^ { n + 1 } \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \bar { z } _ { l } u \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( z _ { l } u ) d \xi } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n + 1 } \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \left( x _ { l } u \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( x _ { l } u ) + y _ { l } u \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( y _ { l } u ) \right) d \xi } \\ & { \geqslant ( p - 1 ) A _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u ) \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \sum _ { l = 1 } ^ { n + 1 } ( x _ { l } ^ { 2 } + y _ { l } ^ { 2 } ) u ^ { p } d \xi } \\ & { = ( p - 1 ) A _ { \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( u ) . } \end{array}
t _ { \mathrm { t h m } } \equiv \frac { P _ { 0 } } { \langle \mathcal { T } _ { r \varphi } \rangle _ { r \varphi t } ( z = 0 ) } \frac { 1 } { \Omega } = \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { m i d } } \Omega } .
\tau _ { p \gamma } \simeq c \sigma _ { \mathrm { p e a k } } n _ { x } \frac { r } { \Gamma c } = 1 \frac { \Gamma L _ { x 3 8 } } { r _ { 8 } } ( \epsilon _ { x } / 1 \mathrm { k e V } ) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } & { \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; l ; 2 } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) d t = \sum _ { n = 1 , 2 } ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i t _ { n } \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { i \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t _ { n } , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t _ { n } , \eta ) } \\ & { \quad \times \psi _ { k } ( \xi ) \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) \varphi _ { 2 } ( \xi , \eta ) d \eta - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { i \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } } \\ & { \quad \times \partial _ { t } \big [ \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \big ] \psi _ { k } ( \xi ) \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) \varphi _ { 2 } ( \xi , \eta ) d \eta d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { 1 } ( s , \pi _ { * } ^ { 1 } , \pi _ { * } ^ { 2 } ) } & { \geq v ^ { 1 } ( s , \pi ^ { 1 } , \pi _ { * } ^ { 2 } ) \quad \forall \pi ^ { 1 } \in \Pi ^ { 1 } } \\ { v ^ { 2 } ( s , \pi _ { * } ^ { 1 } , \pi _ { * } ^ { 2 } ) } & { \geq v ^ { 2 } ( s , \pi _ { * } ^ { 1 } , \pi ^ { 2 } ) \quad \forall \pi ^ { 2 } \in \Pi ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { X } _ { 0 } ^ { * } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \quad { X } _ { 1 } ^ { * } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 + r } \\ { 0 } \end{array} \right] , { X } _ { 2 } ^ { * } = \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { \frac { q } { p } } } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 + r \sqrt { \frac { q } { p } } } { \sqrt { { p } { q } } } } \end{array} \right] , { X } _ { 3 } ^ { * } = \left[ \begin{array} { l } { - \frac { 1 } { r } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , { X } _ { 4 } ^ { * } = \left[ \begin{array} { l } { - \sqrt { \frac { q } { p } } } \\ { 0 } \\ { \frac { - 1 + r \sqrt { \frac { q } { p } } } { \sqrt { { p } { q } } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } } & { { } = \frac 1 { 3 0 \sqrt { 1 5 } } \big ( c _ { 1 } ( - 9 - 1 2 C + 4 c _ { 1 } ^ { 2 } + 9 c _ { 3 } ^ { 2 } ) + 6 c _ { 2 } c _ { 3 } \big ) , } \\ { W _ { 2 } } & { { } = \frac 1 { 9 0 } \big ( c _ { 3 } ( 3 - 3 0 C - 1 0 c _ { 3 } ^ { 2 } ) - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } ( 4 + 1 5 C ) \big ) , } \\ { W _ { 3 } } & { { } = \frac 1 { 7 5 } ( - 7 - 6 C + 1 5 c _ { 3 } ^ { 2 } ) , } \\ { W _ { 4 } } & { { } = \frac 2 { 2 5 } ( - 1 - 3 C ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { R S } } ) } & { = ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { R S } } ) \frac { \gamma - 1 + 2 \, [ M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { R S } ) ] ^ { - 2 } } { \gamma + 1 } \; \; \mathrm { a n d } } \\ { ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p o s t } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { F S } } ) } & { = ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { n } ~ \unboldmath } } _ { \mathrm { F S } } ) \frac { \gamma - 1 + 2 \, [ M _ { \mathrm { e f f } } ( \mathrm { F S } ) ] ^ { - 2 } } { \gamma + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { D } _ { 2 } ( \underline { { \delta } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } & { : = \{ \, u \in \mathrm { D } _ { 2 } ( \delta , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \, | \, \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } = 0 \, \} \mathrm { , ~ } } \\ { \mathrm { D } _ { 2 } ( \underline { { \mathrm { d } } } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } & { : = \{ \, u \in \mathrm { D } _ { 2 } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \, | \, \nu \wedge u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } = 0 \, \} \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| y ( \cdot , 0 , u ) - y _ { r } ( \cdot , 0 , u ) \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } } & { \leq \left\| y ( \cdot , 0 , u ) - y _ { r } ( \cdot , 0 , u _ { r } ) \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } + \left\| y _ { r } ( \cdot , 0 , u _ { r } ) - y _ { r } ( \cdot , 0 , u ) \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left\| y ( \cdot , 0 , u ) - y _ { r } ( \cdot , 0 , u _ { r } ) \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } + \gamma _ { T } \left\| u _ { r } - u \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { f } } B = Z _ { \mathrm { f } } \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \delta _ { D } } & { { } = D \left( \frac { 2 \beta \chi } { 3 \beta + \sigma } + \frac { 3 \beta } { \sigma } + 1 \right) } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \delta _ { E } } & { { } = - \frac { D \chi ( \beta + \sigma ) } { 3 \beta + \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | a _ { 0 } | ^ { 4 } - \left( \beta + 3 | a _ { 0 } | ^ { 2 } \pm \sqrt { \frac { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } { 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } } - 1 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 1 } \\ { \Leftrightarrow \, } & { | a _ { 0 } | ^ { 4 } - 1 = \left( \beta \pm \sqrt { \frac { f _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } { 4 | a _ { 0 } | ^ { 2 } } - 1 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 } - | a _ { 0 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
N + \mathcal { E } _ { { \mathcal M } , p } ^ { c } ( t ) \leq \mathcal { E } _ { { \mathcal M } , k } ^ { c } ( t ) + \mathcal { E } _ { { \mathcal M } , p } ^ { c } ( t ) = \mathcal { E } _ { { \mathcal M } , k } ^ { c } ( t ) + \frac { \kappa _ { 2 } } { 8 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } ( d _ { i j } ( t ) - R _ { i j } ^ { \infty } ) ^ { 2 } = { \mathcal E } _ { \mathcal M } ^ { c } ( t ) \leq \mathcal { E } _ { { \mathcal M } } ^ { c } ( 0 ) ,
c _ { p } \, c _ { g } \, \left( \Delta a \, + \, 2 i \, \nabla a \cdot \nabla \theta \, - \, a \, \nabla \theta \cdot \nabla \theta \, + \, i \, a \, \Delta \theta \right) \, + \, \nabla \left( c _ { p } \, c _ { g } \right) \cdot \left( \nabla a \, + \, i \, a \, \nabla \theta \right) \, + \, k ^ { 2 } \, c _ { p } \, c _ { g } \, a \, = \, 0 .
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i ( 2 n - 1 ) k d } G \Bigl ( ( 2 n - 1 ) d \Bigr ) = \sum _ { n \in \mathbb { Z } \backslash \{ 0 \} } \Bigl ( e ^ { - i k d n } G \left( d n \right) - e ^ { - i k 2 d n } G \left( 2 d n \right) \Bigr ) = \tilde { G } _ { d } ( k ) - \tilde { G } _ { 2 d } ( k ) ,
\begin{array} { r l } { \| f _ { \theta } \| _ { S ^ { \beta } } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \theta _ { i } \sqrt { m } K \big ( m x - ( i - 1 / 2 ) \big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } \theta _ { i } m ^ { \beta + 1 / 2 } K ^ { ( \beta ) } \big ( m x - ( i - 1 / 2 ) \big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \theta _ { i } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } m K \big ( m x - ( i - 1 / 2 ) \big ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + m ^ { 2 \beta + 1 } K ^ { ( \beta ) } \big ( m x - ( i - 1 / 2 ) \big ) ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \theta _ { i } ^ { 2 } m ^ { 2 \beta } \| K \| _ { S ^ { \beta } } ^ { 2 } \leq R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \langle v , D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } - c \cdot w \rangle } \\ & { = \langle v , D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } \\ & { = \langle D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } - c \cdot w , D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle } \\ & { = \langle D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } , D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } \rangle - c \cdot \langle D _ { w } \mathbf { 1 } _ { S } , w \rangle } \\ & { = c \cdot ( 1 - c ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { h ^ { \prime } } { h } \right) ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 2 } } + \left( \frac { 9 H _ { p } ^ { 2 } } { 4 } - 2 H _ { N } ^ { 2 } \right) \frac { \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 4 } } + \frac { H _ { N } ^ { 4 } \tan ^ { 2 } \beta } { h ^ { 6 } } } \end{array}
f * g ( x ) = \exp \left[ \frac { i } { 2 } \theta ^ { i j } \frac { \partial } { \partial x _ { i } ^ { 1 } } \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \right] f ( x ^ { 1 } ) g ( x ^ { 2 } ) | _ { x ^ { 1 } = x ^ { 2 } = x }
\begin{array} { r } { \omega _ { o p t } ( k ) - \omega _ { o p t } ( k - q _ { 1 } - q _ { 2 } - . . . - q _ { n } ) = \omega _ { a c } ( q _ { 1 } ) + \omega _ { a c } ( q _ { 2 } ) + . . . + \omega _ { a c } ( q _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 } = } & { u _ { t k } u _ { k } + u \partial _ { t } u - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { k i } u _ { k j } - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { k i j } u _ { k } - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i } u _ { j } - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i j } u } \\ { = } & { F \psi _ { k } u _ { k } + \psi F _ { k } u _ { k } - \eta \mid \nabla u \mid ^ { 2 } - \psi \dot { F } ^ { i j } ( b _ { k i } - u \delta _ { k i } ) ( b _ { k j } - u \delta _ { k j } ) - \psi \dot { F } ^ { i j } ( b _ { k i j } - u _ { j } \delta _ { k i } ) u _ { k } } \\ & { + ( \psi F - \eta u ) u - \psi \dot { F } ^ { i j } u _ { i } u _ { j } - \psi u \dot { F } ^ { i j } ( b _ { i j } - u \delta _ { i j } ) } \\ { = } & { F \psi _ { k } u _ { k } - \eta \rho ^ { 2 } - \psi \dot { F } ^ { i j } b _ { k i } b _ { k j } + ( 1 + k \alpha ) \psi u F } \end{array}
- \frac { e ^ { i \frac { \pi } { 2 } \mathrm { s i g n } \left( \frac { H } { P } \right) } } { \sqrt { 8 K | H | } } \mathrm { s i g n } ( P ) e ^ { - \frac { i \pi } { 2 K } \phi } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { j ! } \left. \left( \frac { \pi } { 2 i K } \frac { P } { H } \right) ^ { j } \left[ \partial _ { \epsilon } ^ { ( 2 j ) } \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } 2 i \sin \frac { \epsilon } { p _ { i } } } { 2 i \sin \epsilon } \right] \right| _ { \epsilon = 0 } .
\begin{array} { r l } & { \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \mathbf { F } _ { n } - \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } } \\ & { \leq \frac { a _ { n , 1 } c _ { n , 1 } \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} ( \mu _ { n } + K ) } } { \sigma _ { \mu _ { n } } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) ^ { 2 q - 1 } } \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } , q ) + \Delta _ { \mu _ { n } + 1 } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) , } \end{array}
\int d ^ { 4 } v \, V _ { \rho } ( y , v , 0 ) = \frac { i g } { 1 6 \pi ^ { 4 } } \, ( f ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ) \, \gamma _ { 5 } \gamma _ { \sigma } \left( \frac { y _ { \sigma } y _ { \rho } } { y ^ { 6 } } - \frac { \delta _ { \sigma \rho } } { 4 y ^ { 4 } } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , v ) } & { = k _ { n } \left[ ( 1 - \varepsilon ) u _ { n + 2 } v _ { n + 1 } ^ { \ast } + ( 2 + \varepsilon ) u _ { n + 1 } ^ { \ast } v _ { n + 2 } \right] + } \\ & { = k _ { n - 1 } \left[ ( 2 \varepsilon + 1 ) u _ { n - 1 } ^ { \ast } v _ { n + 1 } - ( 1 - \varepsilon ) u _ { n + 1 } v _ { n - 1 } ^ { \ast } \right] + } \\ & { = k _ { n - 2 } \left[ ( 2 + \varepsilon ) u _ { n - 1 } v _ { n - 2 } + ( 2 \varepsilon + 1 ) u _ { n - 2 } v _ { n - 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { z } = \operatorname* { m a x } _ { a _ { i } , i = 1 , . . . , m } \bigg \{ \sqrt { n } \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , 2 , \cdots , n } \Big \{ \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { j } { n } - \frac { \# \{ k : a _ { i } \leq x _ { k } \leq x _ { j } ^ { b } \} } { n } , \frac { \# \{ k : a _ { i } \leq x _ { k } \leq x _ { j } ^ { b } \} } { n } - \frac { j - 1 } { n } \Big \} \Big \} \bigg \} } \end{array}
\nabla _ { ( \mathbf { U } _ { 1 } , \cdots , \mathbf { U } _ { N } ) } ^ { \mathbf { G } _ { 1 } \times \cdots \times \mathbf { G } _ { N } } ( \mathbf { W } _ { 1 } , \cdots , \mathbf { W } _ { N } ) = \left( \nabla _ { \mathbf { U } _ { 1 } } ^ { \mathbf { G } _ { 1 } } \mathbf { W } _ { 1 } , \cdots , \nabla _ { \mathbf { U } _ { N } } ^ { \mathbf { G } _ { N } } \mathbf { W } _ { N } \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) ] = \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( u ^ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( u ^ { t } ) ] , } \\ { \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( z ^ { t } ) ] = \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( v ^ { t + 1 } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( v ^ { t } ) ] = \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( \omega ^ { t + 1 } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \ln \left| \frac { ( m + n + 1 ) ! } { n ! } \right| } { n + m + 1 } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { ( m + n + \frac { 3 } { 2 } ) \ln ( m + n + 1 ) - ( m + n + 1 ) - ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \ln ( n ) + n } { n } } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { ( m + 1 ) \ln ( m + n + 1 ) + ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \ln \left( \frac { m + n + 1 } { n } \right) - ( m + 1 ) } { n } = 0 . } \end{array}
e ^ { i y } = \left( 1 - { \frac { y ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { y ^ { 4 } } { 4 ! } } - { \frac { y ^ { 6 } } { 6 ! } } + \cdots \right) + i \left( y - { \frac { y ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { y ^ { 5 } } { 5 ! } } - \cdots \right) .
{ \cal H } _ { l } R _ { n l } ( y ) = - \left[ \frac { \partial ^ { 2 } R _ { n l } ( y ) } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { 1 } { y } \frac { \partial R _ { n l } ( y ) } { \partial y } \right] + U _ { l } ^ { e f f } \! ( y ) R _ { n l } ( y ) .
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 \nu t } \| \Lambda d ( t ; x ) \| ^ { 2 } } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } x _ { m } ^ { 2 } e ^ { 2 \nu t } \| \Lambda d ( t ; e _ { m } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { m } ^ { 2 } x _ { m } ^ { 2 } \Big ( 1 + ( - 1 ) ^ { m - 1 } R _ { m } ( t ) \Big ) } \\ & { = \| \Lambda x \| ^ { 2 } + R ( t ; x ) , } \end{array}
\bar { O } ( p ) \Gamma _ { S } ( p ) \bar { O } ^ { T } ( - p ) = \hat { \bar { \Gamma } } _ { S } ( p ) = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { \Gamma _ { a } ^ { \phi _ { S } } ( p ) } } \\ { { \Gamma _ { r } ^ { \phi _ { S } } ( p ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\Phi _ { C } ( \Tilde { \varphi } ) \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { 3 1 } ( \Tilde { \varphi } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ 0 , \frac { \pi } { 3 } ] , } \\ { \phi _ { 3 1 } ( \frac { 2 \pi } { 3 } - \Tilde { \varphi } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ \frac { \pi } { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 } ] , } \\ { \phi _ { 2 3 } ( \Tilde { \varphi } - \frac { 2 \pi } { 3 } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ \frac { 2 \pi } { 3 } , \pi ] , } \\ { \phi _ { 1 2 } ( \frac { 4 \pi } { 3 } - \Tilde { \varphi } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ \pi , \frac { 4 \pi } { 3 } ] , } \\ { \phi _ { 1 2 } ( \Tilde { \varphi } - \frac { 4 \pi } { 3 } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ \frac { 4 \pi } { 3 } , \frac { 5 \pi } { 3 } ] , } \\ { \phi _ { 2 3 } ( 2 \pi - \Tilde { \varphi } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Tilde { \varphi } \in [ \frac { 5 \pi } { 3 } , 2 \pi ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { y \otimes x } & { \overset { \eta _ { A } ^ { \widehat { \mathbb { G } } } \otimes i d } { \mapsto } \big ( y \underset { L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } } { \otimes } u ^ { \prime } \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \big ) \otimes x \overset { \alpha } { \mapsto } \big ( y \underset { L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } } { \otimes } u ^ { \prime } \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } \big ) \ \underset { \mathbb { C } } { \widehat { \otimes } } x . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta ( S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 } ) = \sum _ { 0 \leq i \leq 2 m + 1 } S q _ { C _ { 2 } } ^ { i } \otimes S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m + 1 - i } } \\ { \Delta ( S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m } ) = \sum _ { 0 \leq j \leq m } S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 i } \otimes S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m - 2 j } + u \sum _ { 1 \leq j \leq m } S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 j - 1 } \otimes S q _ { C _ { 2 } } ^ { 2 m - 2 j + 1 } . } \end{array} \right.