harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } - 3 \lambda \tau ^ { 2 } - 2 \lambda \beta ) } { 2 \theta ^ { 2 } K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \quad \leq \frac { ( \gamma - \kappa + \rho \beta \theta ^ { - 2 } ) D } { K } + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( 0 ) \equiv \operatorname* { l i m } _ { \rho ^ { * } \to 0 } \bar { \lambda } _ { n , i } ^ { * } ( \rho ^ { * } ) } & { = \frac { \binom { n } { i } \Gamma ( i ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { i } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } { \binom { n } { i } \Gamma ( i ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \lambda ^ { i - 1 } p _ { \lambda | n } \mathrm { d } \lambda } = \frac { E \left[ \lambda ^ { i } | n \right] } { E \left[ \lambda ^ { i - 1 } | n \right] } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { Y } = \sum _ { a = 1 } ^ { k } ( p _ { a } x + c _ { a } ) \pi _ { B _ { a } } ^ { * } g _ { B _ { a } } + \frac { d x ^ { 2 } } { \Theta ( x ) } + \Theta ( x ) \theta ^ { 2 } , } \\ & { \omega _ { Y } = \sum _ { a = 1 } ^ { k } ( p _ { a } x + c _ { a } ) \pi _ { B _ { a } } ^ { * } \omega _ { B _ { a } } + d x \wedge \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( T _ { V } T _ { H } - u I ) } & { = \operatorname* { d e t } ( ( D _ { s } - u I ) ( D - u I ) - u D _ { s } \cdot \mathbf { 1 } \cdot D D _ { s } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( D _ { s } ( ( D _ { s } - u I ) ( D - u I ) - u \mathbf { 1 } \cdot D ) D _ { s } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( ( D _ { s } - u I ) ( D - u I ) - u \mathbf { 1 } \cdot D ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ( \tilde { \phi } , \phi ) } & { { } = } & { \sum _ { i } \Big \lbrace \bar { n } _ { 0 i } \tilde { \phi } _ { i } ( 0 ) - \phi _ { i } ( 0 ) \tilde { \phi } _ { i } ( 0 ) + \Delta t \sum _ { \tau = \Delta t } ^ { t } \left[ - \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) \Delta _ { \tau } \phi _ { i } ( \tau ) + k _ { 1 i } \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) - k _ { 2 i } \tilde { \phi } _ { i } ( \tau ) \phi _ { i } ( \tau _ { - } ) \right] } \end{array}
\Delta ( x ; t ) \equiv \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } K _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } k l } ( x ^ { \prime } , x ; t ) \frac { \delta } { \delta h _ { k l } ( x ) } \frac { \delta } { \delta h _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ( x ^ { \prime } ) } \ ,
L _ { \mathrm { f r e e \ q u a r k s } } = \sum _ { q } ^ { N } \bar { \psi } _ { q j } \, ( i \hbar c \gamma ^ { \mu } \delta _ { j k } \partial _ { \mu } ) \, \psi _ { q k } - m _ { q } c ^ { 2 } \bar { \psi } _ { q j } \psi _ { q j }
\left\{ \begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f - \nabla _ { x } p \cdot \nabla _ { v } f + \mathrm { d i v } _ { v } [ f \varrho ( u - v ) - f \nabla _ { x } p ( \varrho ) ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } p - \Delta _ { x } u - \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \, u } & { = \varrho ( j _ { f } - \rho _ { f } u ) , } \\ { \alpha } & { = 1 - \rho _ { f } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } } & { { } = - i a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } - i b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \Phi - i c _ { 0 } \zeta _ { 4 } | \Phi | ^ { 2 } \Phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ x ^ { 0 } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = 1 } \\ { [ x ^ { 1 } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = ( k + 1 ) \cdot a _ { 0 } } \\ { [ x ^ { 2 } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = { \binom { k + 1 } { 1 } } \cdot r a _ { 1 } + { \binom { k + 2 } { 2 } } \cdot a _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { [ x ^ { 3 } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = { \binom { k + 1 } { 1 } } \cdot r ^ { 2 } a _ { 2 } + { \binom { k + 2 } { 2 } } \cdot r \cdot 2 a _ { 0 } a _ { 1 } + { \binom { k + 3 } { 3 } } \cdot a _ { 0 } ^ { 3 } } \\ { [ x ^ { 4 } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } } & { = { \binom { k + 1 } { 1 } } \cdot r ^ { 3 } a _ { 3 } + { \binom { k + 2 } { 2 } } \cdot r ^ { 2 } \cdot \left( 2 a _ { 0 } a _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \ \ + { \binom { k + 3 } { 3 } } \cdot r \cdot \left( 3 a _ { 1 } a _ { 0 } ^ { 2 } \right) + { \binom { k + 4 } { 4 } } \cdot a _ { 0 } ^ { 4 } } \end{array}
V _ { \a i } ( a ) = U _ { \a i } - \sum _ { j \not = i } ^ { } 2 a E { U _ { \a j } U _ { e j } ^ { * } U _ { e i } \o m _ { j } ^ { 2 } - m _ { i } ^ { 2 } } \ , \quad I _ { i j } = - { \Delta m _ { i j } ^ { 2 } L \o 2 E } + ( | U _ { e i } | ^ { 2 } - | U _ { e j } | ^ { 2 } ) a L \ .
i { \cal D } _ { \mu \nu } ^ { A B } ( i k _ { 4 } , \vec { k } ) \simeq - \delta ^ { A B } \frac { | \vec { k } | } { | \vec { k } | ^ { 3 } + \pi M ^ { 2 } | k _ { 4 } | / 2 } O _ { \mu \nu } ^ { ( 1 ) } - \delta ^ { A B } \frac { 1 } { k _ { 4 } ^ { 2 } + | \vec { k } | ^ { 2 } + 2 M ^ { 2 } } O _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } - \delta ^ { A B } \frac { d } { k _ { 4 } ^ { 2 } + | \vec { k } | ^ { 2 } } O _ { \mu \nu } ^ { ( 3 ) } ,
\rho ( t , \mathbf { r } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { 6 } f _ { i } ( t , \mathbf { r } ) \, , \ \mathbf { u } ( t , \mathbf { r } ) = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { 6 } f _ { i } ( t , \mathbf { r } ) \, c { \bf e } _ { i } } { \rho ( t , \mathbf { r } ) } \ .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } = 2 \pi \frac { \hbar } { \mu } \frac { \lambda _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { \lambda _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \Delta { f _ { \mathrm { ~ m ~ } } } , } \end{array}
V _ { \beta \alpha } \equiv V ^ { \mu } \left( \widetilde { \sigma } _ { \mu } \right) _ { \beta \alpha } \mathrm { ~ } ; \mathrm { ~ } f _ { \alpha \beta } \equiv \left( \tilde { \sigma } _ { \mu } \right) _ { \alpha \beta } f ^ { \mu } \mathrm { ~ } ; \mathrm { ~ } f ^ { \mu } = - \frac i 2 \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } F _ { \nu \rho } \mathrm { ~ } ,
{ \left. { \frac { { \partial \left( { \phi { \bf { u } } } \right) } } { { \partial t } } } \right| _ { \hat { t } } } = \frac { { { { \left. { \left( { \phi { \bf { u } } } \right) } \right| } _ { \hat { t } } } - { { \left. { \left( { \phi { \bf { u } } } \right) } \right| } _ { \hat { t } - \Delta t } } } } { { \Delta t } } .
{ \begin{array} { r l } { S ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) } & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } + r _ { 4 } ^ { 2 } } \\ & { = [ 6 - ( \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } ) ] ^ { 2 } + [ 5 - ( \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } ) ] ^ { 2 } + [ 7 - ( \beta _ { 1 } + 3 \beta _ { 2 } ) ] ^ { 2 } + [ 1 0 - ( \beta _ { 1 } + 4 \beta _ { 2 } ) ] ^ { 2 } } \\ & { = 4 \beta _ { 1 } ^ { 2 } + 3 0 \beta _ { 2 } ^ { 2 } + 2 0 \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } - 5 6 \beta _ { 1 } - 1 5 4 \beta _ { 2 } + 2 1 0 . } \end{array} }
\, \, \, C _ { 0 } \qquad \rightarrow \qquad - \frac { e ^ { 2 \phi } C _ { 0 } } { 1 + e ^ { 2 \phi } C _ { 0 } ^ { 2 } } = - \frac { e ^ { \phi } C _ { 0 } } { e ^ { - \phi } + e ^ { \phi } C _ { 0 } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \Pi ( x , t | y \geq 0 ) } & { = } & { 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } P ( x , y , t ) d y } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 t } } \left[ 1 + \mathrm { E r f } \left( \frac { x \rho ( t ) } { \sqrt { 2 t [ 1 - \rho ^ { 2 } ( t ) ] } } \right) \right] = } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi \sqrt { t } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 t } } \int _ { - \infty } ^ { \frac { x \rho ( t ) } { \sqrt { t [ 1 - \rho ^ { 2 } ( t ) ] } } } e ^ { - s ^ { 2 } / 2 } d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f ^ { \prime } ( w ^ { \prime } ) - f ^ { \prime } ( w ) | } & { \le | w ^ { \prime } - w | \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } | f ^ { \prime \prime } ( w _ { \theta } ) | } \\ & { \le \frac { 2 - \alpha } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } | w ^ { \prime } - w | \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } | w _ { \theta } | ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \cdot 1 } \\ & { = \frac { 2 - \alpha } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } | w ^ { \prime } - w | \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \Big | \frac { 1 - \alpha } { 2 - \alpha } f ^ { \prime } ( w _ { \theta } ) \Big | ^ { \alpha } } \\ & { \le \frac { ( 2 - \alpha ) ^ { 1 - \alpha } } { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 - \alpha } } | w ^ { \prime } - w | \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } | f ^ { \prime } ( w _ { \theta } ) | ^ { \alpha } } \end{array}
\mathbf { C } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } + \cdots + a _ { 1 n } b _ { n 1 } } & { a _ { 1 1 } b _ { 1 2 } + \cdots + a _ { 1 n } b _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 1 } b _ { 1 p } + \cdots + a _ { 1 n } b _ { n p } } \\ { a _ { 2 1 } b _ { 1 1 } + \cdots + a _ { 2 n } b _ { n 1 } } & { a _ { 2 1 } b _ { 1 2 } + \cdots + a _ { 2 n } b _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 1 } b _ { 1 p } + \cdots + a _ { 2 n } b _ { n p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { m 1 } b _ { 1 1 } + \cdots + a _ { m n } b _ { n 1 } } & { a _ { m 1 } b _ { 1 2 } + \cdots + a _ { m n } b _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { m 1 } b _ { 1 p } + \cdots + a _ { m n } b _ { n p } } \end{array} \right) }
{ \cal G } ~ = ~ \log \left( \frac { ~ | W | ^ { 2 } } { ( S + { \bar { S } } ) ( T + { \bar { T } } - 2 | C _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right) ~ , ~ f _ { a b } ~ = ~ S ~ \delta _ { a b } ~ , ~
\begin{array} { r l } { x } & { = \frac { - \hslash \sqrt { \gamma _ { 0 } } B } { m Z _ { m } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \left( \frac { \sqrt 2 \xi \omega _ { 0 } } { \gamma _ { + } } \big [ \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { a } \big ] + \right. } \\ & { \quad \left. + \frac { \eta } { \sqrt 2 } \left[ \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { \phi } + \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, i \Omega \, b _ { \phi } } { \gamma _ { + } } \right] \right) + \frac { F _ { s } + F _ { T } } { m Z _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { J _ { N , T } ^ { * } } } & { \leq C \left\lbrace \log ( N ) \log ( T ) \psi _ { N } ^ { 2 } \left[ d _ { N } \sqrt { \phi _ { N , T } } + \sqrt { \frac { \log ( N ) } { T } } + \xi _ { N , T } \psi _ { N } ^ { 2 } \right] + \frac { \sqrt { K } \log ( N ) d _ { N } ^ { * } \psi _ { N } ^ { 2 } } { \sqrt { T } } + \frac { 1 } { \log ( N ) } \right. } \\ & { \left. \qquad + ( \tilde { S } ^ { * } d _ { N } ^ { * } ) ^ { 2 } \left[ \frac { \log ( N ) ^ { 3 / 2 } \log ( T ) } { \sqrt { T } } + \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) ^ { 2 } } { T } \right] + \sqrt { \frac { \log ( N ) ^ { 2 } \log ( T ) \log ( N T ) } { T } } \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) W _ { k } ( \xi _ { i } ) \right) \, , } \end{array}
\underline { { \underline { { \xi } } } } ^ { - 1 } = J ^ { T } \xi ^ { - 1 } J \operatorname* { d e t } ( J ^ { - 1 } ) \; , \; \underline { { \underline { { \Lambda } } } } ^ { - 1 } = J ^ { T } \Lambda ^ { - 1 } J \operatorname* { d e t } ( J ^ { - 1 } ) \; ,
\left( \begin{array} { l } { \mathbf { D } } \\ { \mathbf { C } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { P } ^ { 1 1 } } & { \mathbf { P } ^ { 1 2 } } \\ { ( \mathbf { P } ^ { 1 2 } ) ^ { \top } } & { \mathbf { P } ^ { 2 2 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { \mathbf { b } ^ { 1 } } \\ { \mathbf { b } ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( v ^ { 2 } ) } & { { } = } & { - i \frac { \, 2 ^ { 7 / 2 } \alpha ^ { 5 / 2 } \, ( 3 v ^ { 4 } + 1 1 \alpha ^ { 4 } - 1 8 \alpha ^ { 2 } v ^ { 2 } ) } { \pi ( v ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 5 } } . } \end{array}
\tau _ { \Pi } \dot { \Pi } + \Pi = - \zeta \theta - \tau _ { \Pi n } n _ { \mu } \nabla ^ { \mu } P _ { 0 } - \ell _ { \Pi n } \partial _ { \mu } n ^ { \mu } - \delta _ { \Pi \Pi } \Pi \theta + \lambda _ { \Pi n } n ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \alpha _ { 0 } + \lambda _ { \Pi \pi } \pi ^ { \mu \nu } \sigma _ { \mu \nu } .
\begin{array} { r } { \theta ^ { j } \cdot \frac { T _ { \le s - 1 } ( N - j - 1 , k _ { 1 } , \ldots , k _ { s } ) } { ( P _ { N - j - 1 } ) ! } = \frac { 1 } { P _ { N - j - 1 } } \cdot \Big ( \theta ^ { N - k _ { s } - 1 } \cdot P _ { k _ { s } } + \theta ^ { N - k _ { s - 1 } - 2 } \cdot P _ { k _ { s - 1 } } \cdot \sum _ { i = k _ { s } } ^ { N - j - 2 } \frac { 1 } { P _ { i } } + } \end{array}
\sum _ { c = 1 , 2 } \Gamma _ { \phi ^ { - } } ^ { b c } ( p ) [ \delta ^ { c a } - L ^ { c a } ( p ) G { ( - 1 ) } ^ { a + 1 } ] = i \frac { G } { 2 } \delta ^ { b a } { ( - 1 ) } ^ { ( a + 1 ) } , \ \ b , a = 1 , 2 ,
\mathrm { R M S E } = \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( \Delta \mathrm { S I C } _ { i } ^ { \mathrm { C N N } } - \Delta \mathrm { S I C } _ { i } ^ { \mathrm { T r u e } } \big ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa + u , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { \Gamma ( \kappa + u + m + 1 ) } { \Gamma ( \kappa + u + m + n + 1 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j + k } \mathbf { b } _ { j , k } ^ { \kappa , \rho , m , n } \mathcal { Z } _ { j , k } ^ { u - j - k } ( z , \overline { { z } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 F ( t ) } \Big [ } & { f _ { 2 } \dot { x } ^ { 2 } - \dot { f } _ { 2 } x \dot { x } + x ^ { 2 } \big \{ { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \ddot { f } _ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \dot { f } _ { 2 } f ( t ) } \\ { + } & { f _ { 2 } \omega ^ { 2 } ( t ) + 2 x f _ { 2 } a ( t ) \big \} \Big ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j k l } ^ { ( 4 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } , \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } & { { } = \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } } \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { l , \lambda _ { 4 } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { l , \lambda _ { 4 } } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { k , \lambda _ { 3 } } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { j , \lambda _ { 2 } } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { i , \lambda _ { 1 } } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \end{array}
{ \mathrm { j o i n } } \colon { A ^ { * } } ^ { * } \to A ^ { * } = l \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { n i l } } } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { n i l } } } \\ { { \mathrm { a p p e n d } } \, a \, ( { \mathrm { j o i n } } \, l ^ { \prime } ) } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { c o n s } } \, a \, l ^ { \prime } } \end{array} \right. }
0 = U + G _ { S } ( R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } , F ) + G _ { D } ( R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } , R ^ { 2 } D ) + G _ { Q } ( R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } , R ^ { 4 } Q ) + G _ { O } ( R \mathrm { ~ e ~ } ^ { \mathrm { ~ i ~ } \theta } , R ^ { 6 } O ) + \dots
\begin{array} { r } { \nabla _ { \alpha } b _ { i j k } ^ { p } ( \alpha , \beta , \gamma ) = \left[ \begin{array} { l } { b _ { j } ^ { p - i } b _ { k } ^ { p - i - j } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \alpha } b _ { i } ^ { p } } \\ { b _ { i } ^ { p } b _ { k } ^ { p - i - j } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \beta } b _ { j } ^ { p - i } } \\ { b _ { i } ^ { p } b _ { j } ^ { p - i } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \gamma } b _ { k } ^ { p - i - j } } \end{array} \right] \, . } \end{array}
| \mathcal { N } _ { \sharp } [ H _ { { \bf B } } , H _ { { \bf B } } ] | \lesssim C \varepsilon ^ { 2 } \lVert \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \rVert _ { [ \alpha ] } ^ { 2 } \left( { \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \int \chi _ { \underline { { r } } ^ { \sharp } \! , \overline { { r } } ^ { \sharp } } \left| v ^ { 2 } W _ { 0 } \left( \frac { H _ { \chi } } { v ^ { 2 } } \right) \right| ^ { 2 } \right) .
\frac { 1 } { C _ { p } u _ { 0 } ^ { p } } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { - \zeta _ { p } } \, S _ { p } ( \ell _ { m } ) \approx \, F _ { p } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { s } } \right)
G = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 0 } + \mathrm { d } t ^ { 2 } , } & { \mathrm { o n ~ } M \times \mathord { \mathbb { R } } _ { \geq - 1 } , } \\ { \frac { 1 - t } { 2 } g _ { 0 } + \frac { ( 1 + t ) } { 2 } g + \mathrm { d } t ^ { 2 } , } & { \mathrm { o n ~ } M \times [ - 1 , 1 ] , } \\ { g + \mathrm { d } t ^ { 2 } , } & { \mathrm { o n ~ } M \times \mathord { \mathbb { R } } _ { \geq 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { C } h ) ( k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { h ( u ) d u } { u - k ^ { - 1 } } \mathcal { B } = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { - \Gamma } \frac { h ( s ^ { - 1 } ) s ^ { - 2 } d s } { s ^ { - 1 } - k ^ { - 1 } } \mathcal { B } = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { k } { s } \frac { h ( s ) d s } { k - s } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \Big ( \frac { k } { s } \frac { 1 } { k - s } - \frac { 1 } { s } \Big ) h ( s ) d s = - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { 1 } { k - s } h ( s ) d s = ( \mathcal { C } h ) ( k ) . } \end{array}
P _ { - } ( \xi ) = e ^ { - \xi } \left[ \frac { m ^ { 2 } } { 2 \kappa C } + \frac { ( C + 1 ) ^ { 2 } \, \vec { \pi } \, { } ^ { 2 } } { 2 \kappa C ( 1 + C \, e ^ { \xi } ) } \right]
\begin{array} { r l } & { \langle \phi _ { n ^ { \prime } } | p _ { i } ( H _ { S } - E _ { a } \pm k ) p _ { i } | \phi _ { n } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \phi _ { n ^ { \prime } } | \Delta V | \phi _ { n } \rangle + \left( \frac { 1 } { 2 } ( E _ { n ^ { \prime } } + E _ { n } ) - E _ { a } \pm k \right) } \\ & { \times \langle \phi _ { n ^ { \prime } } | p ^ { 2 } | \phi _ { n } \rangle . } \end{array}
P ( \Omega _ { i } \setminus B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) \leq P ( \Omega _ { i } ) + 2 \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega _ { i } \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) - \sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } | \Omega _ { i } \cap B _ { r } ( x _ { 0 } ) | ^ { \frac { 2 } { 3 } } .
- \frac { i } { \hbar } \int d ^ { 3 } r \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left( \begin{array} { c } { - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { - i \hbar q _ { a } \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \end{array} \right) = \int d ^ { 3 } r \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \left( \begin{array} { c } { \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { q _ { a } \delta ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \\ { q _ { a } \nabla \chi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) } \end{array} \right)
\int x \operatorname { a r s e c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r s e c h } ( a x ) } { 2 } } - { \frac { ( 1 + a x ) } { 2 a ^ { 2 } } } { \sqrt { \frac { 1 - a x } { 1 + a x } } } + C
k _ { i } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \ \ \qquad { \mathrm { i f ~ t h e } } \ i ^ { t h } \ { \mathrm { c o e f f i c i e n t ~ o f } } \ { \textbf { f } } \ { \mathrm { a n d } } \ { \textbf { g } } \ { \mathrm { i s } } \ 1 } \\ { - 1 \qquad { \mathrm { i f ~ t h e } } \ i ^ { t h } \ { \mathrm { c o e f f i c i e n t ~ o f } } \ { \textbf { f } } \ { \mathrm { a n d } } \ { \textbf { g } } \ { \mathrm { i s } } \ - 1 } \\ { 0 \ \ \qquad { \mathrm { O t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
w _ { i } ^ { \left( e x p o n e n t i a l \right) } = \frac { K } { z _ { i } } \; ; \; \; \sum _ { i } ^ { N _ { h z s } \times \ N _ { x } } w _ { i } = \frac { N _ { h z s } N _ { x } } { \sqrt { N _ { p r i o r s } } }
\begin{array} { c c } { { B M B ^ { - 1 } = - M ^ { \dagger } \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ B = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \, . } } \end{array}
J ( s , \alpha , v , \lambda ) = 2 v \int _ { \zeta _ { b _ { 1 } } } ^ { \zeta _ { b _ { 2 } } } \sqrt { 1 - \lambda B } \, \frac { 1 } { \hat { \mathbf { b } } \cdot \nabla \zeta } \, \mathrm { ~ d ~ } \zeta ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \delta _ { D } ( w ) > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } \, d w } \\ & { + \int _ { \delta _ { D } ( w ) > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha - 1 - d / \alpha } \, d w } \\ & { + \int _ { \delta _ { D } ( w ) \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } \, d w } \\ & { + \int _ { \delta _ { D } ( w ) \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha - 1 - d / \alpha } \, d w \lesssim ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { X _ { 0 } } } & { = 2 7 x ^ { 3 } - 2 4 ( 5 z - m ) x ^ { 2 } + \Bigl ( 1 5 2 z ^ { 2 } - 2 ( 3 5 m - 1 2 ) z + 3 m ( 3 m + 2 ) \Bigr ) x } \\ & { \qquad - 6 4 z ^ { 3 } + 4 8 m z ^ { 2 } - 8 m ( m - 2 ) z + 2 m ^ { 2 } ( m + 2 ) , } \\ { P _ { X _ { 1 } } } & { = 9 x ^ { 2 } - ( 1 6 z - 5 m + 6 ) x + 8 z ^ { 2 } - 6 m z - 4 m , } \\ { P _ { X \mathcal { N } } } & { = - 1 8 x ^ { 2 } + 4 ( 8 z - m + 6 ) x - 1 6 z ^ { 2 } + 4 ( m - 4 ) z + 2 m ( m + 6 ) , } \\ { P _ { Y _ { 0 } } } & { = 9 x ^ { 3 } - 6 ( 1 0 z - m ) x ^ { 2 } + \Bigl ( 1 2 0 z ^ { 2 } - 2 ( 1 1 m - 1 2 ) z + 3 m ( m + 2 ) \Bigr ) x } \\ & { \qquad - 6 4 z ^ { 3 } + 1 6 ( m - 4 ) z ^ { 2 } - 8 m ( m + 2 ) z , } \\ { P _ { Y _ { 1 } } } & { = 3 x ^ { 2 } - ( 1 2 z + m + 6 ) x + 8 z ^ { 2 } + 2 ( m + 8 ) z , } \\ { P _ { Y \mathcal { N } } } & { = - 6 x ^ { 2 } + 4 ( 6 z - m ) x - 1 6 z ^ { 2 } + 4 ( m - 4 ) z - 2 m ( m + 2 ) , } \\ { P _ { Z } } & { = 3 x ^ { 2 } + ( - 2 z + 3 m ) x - ( 4 m + 8 ) z - 2 m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( \{ \mathcal { I } = 0 \} _ { s } ) } & { = U ^ { \frac { ( p - 1 ) ( p - 2 s ) } { 2 } } \operatorname* { m a x } \{ i - s , j \} _ { p - s } } \\ & { = U ^ { \frac { ( p - 1 ) ( p - 2 s ) } { 2 } + ( p - s ) } \operatorname* { m a x } \{ i - p , j - ( p - s ) \} _ { p - s } } \\ & { = U ^ { \frac { p ^ { 2 } + p - 2 p s } { 2 } } \{ \mathcal { J } = p ( p - s ) - \frac { p ( p - 1 ) } { 2 } \} _ { p - s } } \\ & { = \{ \mathcal { J } = 0 \} _ { p - s } } \\ { \Psi ( \{ \mathcal { J } = p s - \frac { p ( p - 1 ) } { 2 } \} _ { s } ) } & { = U ^ { \frac { ( p - 1 ) ( p - 2 s ) } { 2 } } \operatorname* { m a x } \{ i - s , j - p \} _ { p - s } } \\ & { = U ^ { \frac { ( p - 1 ) ( p - 2 s ) } { 2 } - s } \operatorname* { m a x } \{ i , j - ( p - s ) \} _ { p - s } } \\ & { = \{ \mathcal { I } = p s - \frac { p ( p - 1 ) } { 2 } \} _ { p - s } } \end{array}